Razonamiento Matematico_uni.pdf 2r6x6u

Razonamiento Matemático

Matemática Recreativa Los problemas que veremos a continuación, deben realizarse con una gran dosis de ingenio y creatividad. Veremos ejercicios sobre palitos de fósforo, ubicación de números, trazos de figuras, etc. En cuanto a los palitos de fósforo, debemos de encontrar exactamente lo que nos piden, sin que sobren o falten, ni romper los palitos. En la ubicación de números, no debemos repetir alguno de ellos, a no ser que nos lo indiquen.

Ejemplos: 1) Quita 2 palitos para que hayan exa cta me nte 4 cua dr a dos iguales.

Érato es la musa que inspira las matemáticas.

Solución: Se deben sacar dos palitos:

Reto Ubica 9 pelotas en cuatro cajas, de tal forma que en cada una haya un número impar de pelotas y estos números sean diferentes entre sí. 2) Ubica 10 fichas, de tal forma que hayan 5 filas de 4 fichas cada una.

Las musas son hijas de Zeus y de Mnemósime. Son nueve hermanas, fruto de otras tantas noches de amor. Su nombre está relacionado con la palabra música y son la representación de la concepción filosófica de la primacía de la música en el universo, todas ellas en conjunto y también cada una en particular, patrocinan y favorecen las actividades artísticas, especulativas y espirituales, así como la belleza del cuerpo y del espíritu.

Solución: Lo dijo... Weierstrass Un matemático que no es un poco poeta no será jamás un matemático completo.

2do de Secundaria

Un eulerino... un triunfador

5


3) Ubica los números del 1 al 9 en la siguiente figura, de tal forma que la suma en cada línea sea de 27.

5) Indica qué figuras se pueden realizar de un solo trazo sin levantar el lápiz.

a) Nivel I

= 27 Sí b)

Indica y verifica qué figuras se pueden realizar de un solo trazo (ejercicios 1, 2, 3 y 4).

27 1) Solución: Sí

7 2 8

1

9

Sí

c) 3

No

6 2)

4

Sí

5

Reto 4) ¿Cuántos palitos debo mover como mínimo para que el perrito vea a la izquierda y siga feliz?

Con cinco doces y las operaciones aritméticas necesarias, incluidos los signos de esas operaciones, expresa los números:

Sí

No

11: 3)

Solución: 15 :

12321 :

6


Sí

No

Sí

No

4)

2do de Secundaria


5) ¿Cuántas argollas se deben abrir y cerrar como mínimo para obtener una cadena en línea recta?

10) Utilizando cinco cifras “cinco”, expresa los números del 1 al l5, utilizando sólo las operaciones fundamentales:

14) ¿Cuántos palitos se debe mover como mínimo para transformar la figura I en la figura II?

1= 2= 3= 4=

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

6) Ubica los números del 1 al 9, de tal manera que en cada fila, columna y diagonales principales la suma de valores sea 15.

7) Divide la figura (media luna) en 6 partes (no necesariamente iguales) usando solo dos rectas.

5=

I

11) Coloca las cifras del 1 al 7 en cada círculo, de tal forma que la suma en cada fila sea 10.

II

15) Ubica los números del 1 al 7 en cada ladrillo, tal que los números de arriba sean el resultado de la suma de los números de abajo.

Nivel II 12) ¿Cuántos palitos debo retirar para obtener dos cuadrados?

Indica qué figuras se pueden realizar con un solo trazo.

16)

13) Halla A + B si los bloques de abajo (de 2 en 2) sumen el que está arriba.

Sí

No

Sí

No

A 80

17)

63 Mueve sólo una copa, para que las copas llenas y vacías queden alternadas.

2do de Secundaria

15 a) 164 d) 195

8

9 b) 194 e) 200

c) 174


7


22) Utilizando cinco cifras “cinco”, expresa los números del 6 al 10, utilizando sólo las operaciones fundamentales.

18)

Sí

No

6= 7= 8= 9= 10 =

a) 4 d) 1

23) E m p l e a n d o c u a t r o c i f r a s “cuatro”, expresa los números del 1 al 5, utilizando sólo las operaciones fundamentales.

19)

27) ¿Cuántos palitos de fósforo como mínimo se tendrá que mover para que la siguiente igualdad resulte verdadera?

b) 3 e) 5

c) 2

28) ¿Cuántos palitos hay que retirar como mínimo, para que no quede ningún triángulo?

1= 2= 3= 4= 5= Sí

No 24) Coloca las cifras del 2 al 9, una por casillero, para que la suma en cada rectángulo sea igual.

20)

Sí

No

21) Ubica los números del 1 al 8, de tal forma que números consecutivos no sean vecinos, ni por un lado ni por una esquina.

25) Une los puntos con cuatro líneas rectas y de un solo trazo.

26) ¿Cuántos fósforos como mínimo se deben quitar para formar dos cuadrados?

a) 7 d) 4

8

b) 6 e) 8

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

29) ¿Cuántos palitos se deben mover como mínimo para obtener una verdadera igualdad?

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

30) Ubica los números del 1 al 9, uno en cada círculo, de tal manera que la suma en cada fila sea 15.

c) 5


2do de Secundaria


Nivel III 31) ¿Cuántos palitos hay que sacar para que quede solo uno?

35) E m p l e a n d o c u a t r o c i f r a s “cuatro”, expresa los números del 6 al 10, utilizando sólo las operaciones fundamentales. 6=

11

7=

b) 2 e) 5

c) 3

32) ¿Cuántos palitos como mínimo deben sacarse para que la operación sea correcta?

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

33) ¿Cuántos palitos deben retirarse para dejar seis en la figura?

a) 4 d) 7

b) 5 e) 17

c) 6

34) Empezando en 8, llega hasta 4, sumando exactamente 29, sólo en forma horizontal y vertical.

8

5

2

1

7

9

6

3

4

2do de Secundaria

1 2 3

9

9=

8

10 =

4 7

36) ¿Cuántos palitos de fósforo como mínimo se tienen que mover para que la siguiente igualdad sea verdadera?

a) 3 d) 5

12

10

8=

a) 1 d) 4

40) Divide el siguiente reloj en tres partes, de tal forma que la suma de valores en cada región sea la misma.

b) 2 e) 4

6

5

41) Tres personas deben dividirse 21 vasos:

c) 1

37) ¿De qué manera, la mitad de doce podría ser siete?

38) C o n t r e s c i f r a s “ t r e s ” y utilizando las cuatro operaciones fundamentales obtén los siguientes números:

Como se observa, siete están llenos, siete vacíos y siete sólo están llenos hasta la mitad. ¿Cómo deben repartirse si cada uno debe recibir la misma cantidad de líquido y la misma cantidad de vasos?

42) Coloca los números del 1 al 7 en cada región entre los círculos, tal que en cada círculo de la figura la suma sea 13.

30 = 11 = 99 =

39) Une los puntos con seis líneas rectas y sin levantar el lápiz.


9


Indica qué figuras se pueden realizar de un trazo sin levantar el lápiz.

ENUNCIADO Dado el siguiente ordenamiento:

43)

Orden en el Universo 1. Coloca las cartas del as al nueve en un montón sobre la mesa según el orden indicado en la figura (el nueve será la carta que muestre su cara).

No

Sí

44)

47) Mueve cuatro palitos para obtener tres cuadrados iguales.

48) Mueve cuatro palitos para obtener cinco cuadrados. No

Sí

45)

49) Mueve seis palitos para obtener dos cuadrados.

50) A un cerezo subí, donde cerezos habían cerezos no deje, ¿cuántos cerezos habían? a) 1 d) 4 Sí

b) 2 c) 3 e) Muchos

No

Reto 46 ) Si tú y yo somos iguales, ¿cuánto es dos más dos? a) 2 d) 4

10

b) 1 c) 3 e) No se puede determinar

Moviendo solamente una cerilla debemos lograr una igualdad verdadera. No es válido tachar el signo “igual” con una cerilla y obtener una desigualdad verdadera; la expresión final debe ser una auténtica igualdad.


2. Corta por cualquier lugar y completa el corte. 3. Separa las cartas en dos montones, repartiendo sobre la mesa, alternativamente, una carta a la izquierda y una a la derecha. 4. Junta los montones colocando uno de ellos sobre el otro. 5. Repite las mismas operaciones anteriores dos veces más (con el objeto de desordenar completamente las cartas). 6. Observa la carta superior del paquete y pasa de arriba a abajo tantas cartas como indique su número. 7. Abre en abanico todas las cartas. ¿No es sorprendente? Las fuerzas del Universo logran finalmente el orden.

2do de Secundaria


Sucesiones

Es la secuencia ordenada de términos, regidos por una regla o ley de formación. Los términos pueden ser números, letras o gráficos. La ley de formación generalmente va en función a la posición del término en la sucesión. Ejemplo: 3, 5, 7, 9, 11, ... # término: 1.º 2.º 3.º 4.º 5.º , ...

Regla o Ley tn = 2n + 1 Si

n=1 n=2 n=3

t1 = 3 t2 = 5 t3 = 7

Reto Halla el valor que falta en: A, H, BE, FD, ABE, ______

Lo dijo... Federico II el Grande Conocimientos puede tenerlos cualquiera, pero el arte de pensar es el regalo más escaso de la naturaleza.

2do de Secundaria

Algunas sucesiones notables:

Nombre

Sucesión

Regla o ley de formación

De los números naturales

1, 2, 3, 4, 5, ...

tn = n

De los números pares

2, 4, 6, 8, 10, ...

tn = 2n

De los números impares

1, 3, 5, 7, ....

tn = 2n - 1

De los números triangulares

1, 3, 6, 10, 15, ...

tn =

De los números cuadráticos

1, 4, 9, 16, 25, ...

tn = n(n+1)(2n+1) 6

De los números primos

2, 3, 5, 7, 11, 13, ...

n(n+1) 2

Clases de sucesiones 1. SUCESIONES NUMÉRICAS I)

SUCESIÓN ARITMÉTICA a) 5, 12, 19, 26, ... b) 60, 57, 52, 45, 36, ... c) 2, 5, 20, 56, 104, 173, ...

II) SUCESIÓN GEOMÉTRICA a) 1, 3, 9, 27, 81, ... b) 1, 2, 4, 16, 192, ... c) 1, 1, 1, 2, 16, ... III) SUCESIÓN COMBINADA a) 1, 3, 9, 11, 33, 35, ... b) 36, 32, 16, 12, 6, ...


11


IV) SUCESIÓN ALTERNADA a) 32, 5, 16, 10, 8, 20, ___, ___ b) 5, 2, 7, 6, 9, 18, 11, ___, ___

2. SUCESIÓN ALFABÉTICA

Nivel I

Utilizaremos 27 letras del abecedario: A 1

B 2

C 3

D 4

E 5

F 6

G 7

H 8

I 9

J K L M 10 11 12 13

N Ñ O P Q R S T U V W X Y Z 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 No utilizaremos las letras dobles: CH y LL. Ejemplo:

En cada caso halla el número o números que faltan, así como también la letra que falta según sea el caso.

1) -11, 0, 11, 22, 33, __ a) 33 d) 12

b) 44 e) 14

c) 50

2) 30, 0, -20, -20, 10, __

B; E; J ; P ; ___ 2 5 10 17

a) 50 d) 80

b) 65 e) 70

c) 25

+3 +5 +7 3) 25, 22, 16, 17, ____ a) -3 d) -6

Nota Nota Cada vez que veamos letras, no necesariamente se tratará de la sucesión con las letras del abecedario, sino pueden tratarse de iniciales de palabras que forman una sucesión: L, M, M, (lunes) (martes) (miércoles)

J, V (jueves) (viernes)

b) -4 e) -7

c) -5

4) -3, -6, -12, -24, -48, ____ a) -36 d) -70

b) -58 e) -90

c) -96

5) 2, 7, 28, 31, 62, ___ a) 64 d) 63

b) 124 e) 59

c) 60

6) -30, 2, 19, 19, 0, ___

La Sucesión de Fibonacci Consideremos la siguiente sucesión de números: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... Cada número a partir del tercero, se obtiene sumando los dos que le preceden. Ej. : 21 = 13 + 8. Esta sucesión es la llamada sucesión de Fibonacci. Esta sucesión de números aparece en la naturaleza en formas curiosas, como la formación de la concha de algunos moluscos.

12


a) 17 d) -39

b) -41 e) -40

c) 19

7) X, R, N, J, G, ___ a) F d) E

b) D e) B

c) C

2do de Secundaria


8) C, E, H, L, P, ___ a) U d) T

b) V e) X

24) 7, 9, 3, -1, 11, 25, ____

Nivel II c) W 16) -4, -3, -1, 2, 6, 11, 17, ___ a) 21 d) 23

b) 24 e) 25

b) 19 e) 13

c) 15

b) 2160 e) 3160

b) 66 e) 48

c) 54

11) 1, 8, 27, 64, ___ a) 68 d) 125

b) 72 e) 625

b) P e) N

c) 5/2

a) 39 d) 42

b) 43 e) 38

c) 41

c) D

b) 198 e) 162

c) 208

28) D, C, S, O, ____ a) M d) E

c) U

b) P e) A

c) D

20) 4, 5, 9, 16, 26, ___ a) 39 d) 35

d) 13, 48 e) 15, 24

b) 38 e) 40

c) 41 29) 3, 5, 8, 13, 22, ____ a) 39 d) 41

21) 1, 6, 30, 120, ___ b) 360 e) 340

c) M

b) 1 e) -5

c) 40

30) 3, 5, 3, 15, 6, 45, 18, __ , __

22) -34, -33, -31, -27, -19, ____ a) -25 d) -3

b) 37 e) 38

c) 480

14) E, F, M, A, ___ b) D e) L

b) C e) H

27) 2, 4, 7, 28, 33, ____ a) 89 d) 189

a) 240 d) 600

a) A d) R

c) X

19) 1, 5, 12, 21, 31, ___

13) 2, 6, 5, 12, 8, 24, ___ a) 11, 34 b) 11, 48 c) 12, 24

a) E d) G

c) 75

12) B, D, F, H, J, ___ a) L d) Ñ

b) 1/8 e) 1/2

b) Y e) V

26) W, Q, M, I, F, ____

18) - 1 , 0 , 1 , 1 , 3 , 2 , ___ 2 2 2 a) 1/4 d) 7/2

a) W d) Z

c) 720

10) 3, 6, 12, 15, 30, 33, ___ a) 50 d) 31

c) -27

25) A, D, H, M, R, ____

17) -3, -6, -18, -72, -360, ___ a) -720 d) -2160

b) 24 e) -29

c) 18

9) 1, 4, 9, 16, 25, ___ a) 20 d) 14

a) -12 d) -17

a) 120, 60 b) 135, 72 c) 140, 50

d) 136, 64 e) 125, 56

c) -15

15) A, C, F, J, Ñ, ___ a) R d) U

b) S e) V

c) T

23) 0, 4, 12, 21, 39, 58, ____ a) 100 d) 98

2do de Secundaria

b) 94 e) 96

c) 92


13


39) BC, EF, IJ, NÑ, ____

Nivel III

a) RS d) UV

31) 7, 8, 19, 130, 1241, ____ a) 12352 b) 12353 c) 2352

d) 112 352 e) 1352

b) ST e) QR

47) Halla el valor que sigue: 4, 3, 9/2, 27/2, 81, ____ c) TU

b) B e) E

c) C

c) 42

b) -16 e) -29

c) -30

42)

b) 98 e) 102

c) 67

43)

36)

b) 21 e) 24

c) 22 44)

3, 0, 0, 0, 0, 5, 27, ____ a) 88 d) 92

b) 80 e) 90

c) 87

37) Q, O, M, K, H, F, ____ a) B d) A

b) D e) C

c) E

38) D, N, G, K, J, H, M, ____ a) E d) C

b) F e) D

b) ABE

d) BEF

e) FC

c) G

b) 16 e) 25

c) 21

1, 3, 6, 12, 21, 57, ____

c) -300

b) 120 e) 223

c) 180

49) Halla el décimo término de la siguiente sucesión y da como respuesta la suma de sus cifras. 1, 2, 3, 5, 8, 13, ____ a) 16 d) 19

b) 17 e) 20

c) 18

50) ¿Qué término hay que reemplazar para que forme una sucesión? 3, 3, 6, 18, 72, 216, 2160, _____ a) 6 d) 216

b) 18 e) 2260

c) 72

6 , 3 , 3 , 39 , ___ a2 a 2 4 3a 8 3 2 a d) 16 a)

3 2 b) a 8 3 e) a 16

3 3 c) a 2

45) 4938, 8493, 9384, 9951, ____ a) 9971 d) 9954

b) 9983 e) 9960

c) 9953

46) Halla el valor de x en: 1, 8, 81, 1024, x Da como respuesta la suma de sus cifras. a) 20 d) 36

14

c) CF

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ____

a) 60 d) 237

35) -1, 0, 0, 2, 9, ____ a) 16 d) 25

a) ABC

a) 14 d) 23

34) -1, 0, 0, 3, 12, 17, ____ a) 100 d) 81

b) -240 e) 550

41) A, D, I, AF, BE, ____

33) -14, 0, 6, 5, -2, -14, ____ a) -32 d) -28

c) 200

48) Halla el valor que falta: -2, -2, 4, 12, -48, ____ a) 300 d) 240

32) 2, 0, 0, 3, 10, 22, ____ b) 40 e) 36

b) 153 e) 600

40) P, N, L, I, G, D, ____ a) A d) D

a) 18 d) 46

a) 243 d) 972

b) 19 e) 21

c) 32


2do de Secundaria


Distribuciones y Analogías Numéricas Reto Debes escribir del 1 al 25 en cuadrícula adjunta, pero con condición de que vayas como salto del caballo en el ajedrez. Utiliza lápiz, no vayas equivocarte.

la la el a

1

En el presente capítulo, veremos ordenamientos generalmente con números. Trataremos de relacionar entre sí los valores, mediante una regla de formación o ley. En el caso de las analogías veremos que el valor central de cada fila está encerrado entre paréntesis. Con los valores extremos de cada fila se tratará de conseguir el valor central, mediante alguna ley de formación, la cual deberá ser confirmada en la primera y segunda fila para luego averiguar el valor pedido. Generalmente se trabajan con los valores extremos para conseguir el valor central.

2)

En el siglo VII el Papa encargó al monje benedictino Dionís que fijase la fecha de nacimiento de Cristo. Este fraile calculó que Jesucristo había nacido el año 754 después de la fundación de Roma. Tomó como fecha de inicio el día que fue circuncidado y lo llamó 1 de enero del año 1. No dijo del año 0, porque esta cifra no se utilizaba en Occidente en aquella época. ¿El tercer milenio comienza el 1 de enero de 2000?

(80 - 20)  2 = 30

Fila 2

(34 - 6)  2 = 14

Fila 3

(23 - 5)  2 = 9

3)

2 1 4

1)

2 (13) 3 1 (37) 6 3 ( ) 5 Fila 1

22 + 32 = 13

Fila 2

12 + 62 = 37

Fila 3

32 + 52 = 34


2 4 1

8 9 x

2x3+2= 8

Fila 2

1x5+4= 9

Fila 3

4 x 3 + 1 = 13 Número buscado

4)

Ejemplos:

3 5 3

Fila 1

En la distribución gráfica, el mismo gráfico dará una idea para averiguar la regla de formación.

Número buscado

2do de Secundaria

Fila 1

Número buscado

En una distribución numérica propiamente dicha, la regla a buscar es indiferente, tanto en forma vertical (columna) o en la horizontal (fila).

El tercer milenio

80 (30) 20 34 (14) 6 23 ( ) 5

2 3 8

5 1 5

2 4 x

5 2 25

Columna 1

23 = 8

Columna 2

51 = 5

Columna 3

24 = 16

Columna 4

52 = 25

Número buscado

15


5)

12

6

3

2

5)

5

4

3

1

7

15 23 21

(17) (28) ( )

2)

5 4 6

3)

16

c) 4

24

2 3 x

12 2

10 12 12

a) 16 d) 22

7) c) 7

1

2

7

10 3

4 5 2

8)

(24) (15) ( )

3 2 1

a) 4 d) 3

x

c) 20

2 1 3

b) 18 e) 22

2 1 3

2

4

3

b) 17 e) 21

a) 15 d) 21

4

4 5 1 b) 6 e) 13

c) 20

10 7 x c) 5

3

1

3

9) a) 6 d) 16

20 3 x

c) 20

b) 3 e) 12

2

5

2 5 1

b) 22 e) 18

a) 2 d) 13

Uno de los mayores entret enimientos matemáticos es el de descomponer un cierto número de varias formas. Por ejemplo, ¿sabías que el número 1729 es el primer número que se descompone como la suma de dos cubos perfectos, de dos maneras distintas? Efectivamente, puedes comprobar que 1729=103+93=123+13 * Prueba tu habilidad con los números: a) ¿ P u e d e s e s c r i b i r e l número 10 de dos formas distintas empleando cuatro nueves? b) ¿Puedes escribir el número 100 de cuatro modos distintos empleando cinco cifras iguales? Ejemplo: 100=111-11. c) ¿Puedes escribir el número 30 con tres números tres? ¿Y con tres seis? ¿Y con tres cincos?

b) 7 e) 10

14 1

a) 23 d) 17

1 x 7 + 3 = 10 Número buscado

3 6 x

20

6)

Nivel I 1)

3

6 6 1

En cada caso calcula el valor que falta o el valor de x.

4 x 3 + 5 = 17

x

5 7 1

a) 5 d) 9

3 x 2 + 6 = 12

17

3 2 8

b) 7 e) 15

2

c) 12 2

8

3

9

2

4)

1022 2031 10113 a) 8 d) 16

(7) (10) ( ) b) 20 e) 14

101 11101 22013 c) 13


5

a) 30 d) 23

x

b) 21 e) 60

c) 25

2do de Secundaria

1


10)

12 20 13

(8) (11) ( )

a) 7 d) 10

11)

b) 8 e) 9

2 4 5

5 3 3

a) 6 d) 9

12)

4 2 3 c) 12

7 4 8

16)

13 42 16

3 8 x

12

14

17

36

56

x

3

4

3

17)

b) 14 e) 30

5 4 8

(13) (9) ( )

a) 13 d) 17

c) 51

(24) (50) ( )

a) 41 d) 52 1203 (18) 12 2101 ( 8 ) 101 1023 ( ) 2021 a) 16 d) 30

b) 25 e) 32

c) 27

( 81 ) (169) ( )

a) 36 d) 63 14)

12 14 13

3 8 3

a) 12 d) 14

15)

9 6 x

b) 11 e) 18

2

1

3

3

3 2 3

(7) (6) ( )

a) 6 d) 8

5

b) 12 e) 10

2

1

4 b) 17 e) 27

2

1 1 c) 20

2do de Secundaria

21)

2 3 5 a) 220 d) 128

2 2 3

5 1 1 b) 200 e) 117

b) 100 e) 49

2 3 5 11

c) 122

3 2 18

x 7 10 24

b) 2 e) 5

16 8 12

c) 3

4 2 x

a) 7 d) 1

c) 23

28 25 17

4 2 10 18

a) 1 d) 4

c) 50

b) 49 e) 71

91 14 11

5 2 x

c) 25

3 7 5

b) 6 e) 14

c) 3

1

2

1


2

2 1

c) 126

1

3

c) 13

9 10 x

2 24

18

13 4

a) 19 d) 23

20)

c) 25

4 2 64

a) 90 d) 36

26) c) 10

8

3 1 9

b) 48 e) 23

12 15 24

6 6 6

b) 36 e) 38

3 4 144

25) 19)

20 50 x

c) 17

b) 20 e) 22

2 5 4

13 8 3

a) 24 d) 23

24) 18)

13)

25 13 42

2 7 14

23)

c) 8

b) 52 e) 49

(13) (11) (x)

a) 15 d) 20

b) 7 e) 12

a) 60 d) 42

22)

Nivel II

1 a) 30 d) 50

3

x

b) 32 e) 52

1 c) 40

17


27)

1 6

3 7

1

31)

5 7 4

5 5 x a) 2 d) 13

b) 7 e) 1

6 5 4

13

2

5

7

3

4

3

2

1

8

3

4

1

27 9 2

7

x 17 3 a) 27 d) 37

30)

6 c) 38

52 50

1

3

18

2

B E G

(H) (Ñ) ( )

c) U

21

2

6

20 3

7

x

38)

b) 15 e) 126

10 12 24

5 4 8

c) 25

3 3 4

7 4 x

b) 20 e) 7

c) 1

36

8

5

7

4

3

4

5

4

x

x

5

1

7

2

3

7

a) 20 d) 35

4

3

6

a) 2 d) 3

35)

c) 50

25

D C C

b) T e) Y

2

c) 53

5

c) 18

14

b) 36 e) 41

b) 36 e) 70

a) 93 d) 39

28 7 3

23 18

a) 44 d) 37

b) 12 e) 15

a) S d) Z

b) 35 e) 33

2

150 141 123

c) 17 34)

5

a) 20 d) 25 c) 28

(12) (16) ( )

a) 17 d) 14

b) 16 e)25

9 8 11

37)

204 217 165

1 1 3

3 2

b) 30 e) 25

5 4

x

c) 23

(30) (26) ( )

a) 32 d) 24

33)

29)

b) 21 e) 32

1 2

8 1

3

7 3 5

48

c) 20

26

a) 15 d) 20

(32) (52) (x)

a) 17 d) 25

32) 28)

36

3

4

3

36)

Nivel III

13

b) 25 e) 40

39)

16 36 49 a) 14 d) 39

(12) (30) ( ) b) 44 e) 40

3 5 2 c) 37

c) 28


2do de Secundaria


40)

4

3

1

2

2

5

6

45)

3

40

20

26

4

7

6

5

2

36

5

7

49)

2 3 4 a) 4 d) 6

2

5 3 2

15 8 x

b) 3 e) 8

c) 7

x

7

4

9

1

7

1

50)

8

4

X a) 43 d) 76

b) 56 e) 42

a) 42 d) 52

c) 72

46)

41) 23

30

41

72

71

42 X

45

42)

a) 12 d) 18 43)

a) 60 d) 58 44)

a) 18 d) 19

(11) (7) ( )

(34) (64) ( ) b) 72 e) 96

111 91 91

3 3 x

a) 7 d) 8

a) 40 d) 23

b) 42 e) 55

1 2 3 c) 39

Truco de Adivinación

2 4 1

b) 10 e) 13

(20) (13) ( ) b) 16 e) 23

8 2 5 81

c) 42

c) 4

16 4 3 49

a) 64 d) 72

5 3 6

b) 13 e) 20 9 11 12

c) 57

(15) (26) ( )

Este truco, es bastante sencillo, pero no es un truco que se pueda improvisar en un momento, a no ser que tengas una gran capacidad de cálculo o una memoria prodigiosa. El truco es el siguiente: deberás enseñar las siguientes columnas.

34

b) 35 e) 64 42 22 25

b) 48 e) 64

7 5 20

47) a) 30 d) 60

23 42 33

c) 15

48)

b) 66 e) 82

c) 70

3

2

5

8

9

32 25

4 6 5 c) 53

24 8 5 x

a) 27 - 25 b) 64 - 36 c) 23 - 32

6

2

x

y

2

d) 46 - 63 e) 36 - 64

289 78 270 c) 15

2do de Secundaria


1 9

2 10

4 12

8 12

3 11

3 11

5 13

9 13

5 13

6 14

6 14

10 14

7 15

7 15

7 15

11 15

Pide a alguien que piense en un número del 1 al 15. Pide que te señale en cuáles de las cuatro columnas aparece ese número. Para adivinar el número solo tienes que sumar los números marcados en rojo de las columnas que te señalen. Ejemplo: Si han pensado en el número 7, te señalarán las tres primeras columnas, sumando los tres números rojos, obtendrás 1+2+4=7. Explicación: En la primera carta están todos los números cuyo último dígito en el sistema binario es 1; la segunda contiene todos los números cuyo segundo dígito por la derecha es 1 (en el sistema binario), la tercera y la cuarta lo mismo. Los números marcados en rojo son las potencias de 2. Por lo tanto, cuando te señalen las columnas, te estarán indicando el desarrollo en binario del número elegido (aunque ellos no lo sepan).

19


Repaso 5)

Nivel I En cada caso, halla el o los valores que faltan. 1)

5 7 8

(15) (14) ( )

a) 20 d) 23 2)

b) 21 e) 24 2 5 7

2

3

2

3

6

3

1

a) 20 d) 16

2 b) 16 e) 15

b) 66 e) 28

25 8

b) 12 e) 14

c) 10

11) Ayer gasté S/. 30 en un concierto, hoy gastaré S/. 20 más que ayer y así iré gastando S/. 20 más que el día anterior. Durante 4 días, ¿cuánto gastaré en total? a) S/. 100 b) S/. 500 c) S/. 480

d) 650 e) 700

3 12) Dentro de 12 años la suma de las edades de tres personas sumarán 90 años. ¿Cuánto han sumado hace dos años?

6 b) -10 e) -20

3

c) -16

a) 48 años b) 60 años c) 62 años

d) 56 años e) 76 años

8) 4, 4, 6, 18, 22, 110, ____ a) 660 d) 666 c) 50

b) 432 e) 116

c) 126

9) BC, EF, IJ, NÑ, ____ a) RS d) UV

20

c) 3

3

2

c) 12

4) 2, 4, 8, 16, 32, ____ a) 23 d) 64

b) 2 e) 5

2

2

5

5 2 26 x

2

6

a) 9 d) 16

121 13

1 ?

c) 19

4 2 20 4

7)

10)

x

x

a) 20 d) 13

3 2 10 1

20 4

10 12 3

b) 11 e) 50

a) 1 d) 20

c) 12

11 1

6)

1 2 x

b) 10 e) 8

(14) (21) ( x)

a) 20 d) 23

c) 22

3 1 1

a) 0 d) 3

3)

3 2 3

2 3 4

b) ST e) QR

c) TU


2do de Secundaria


13) Distribuye los números del 1 al 9 en la siguiente rueda con la condición de que en cada línea la suma de valores sea 15.

18)

5 17 36

(64) (81) ( )

a) 20 d) 36

19)

b) 64 e) 6

16 35 26

2 6 3

3 5 2 a) 23 d) 43

121 + 73 = 185

7 1 3

13 17 x

c) 22

24)

3 1 6

3/2

x

b) 6/5 e) 3/2

3

5 37 x

c) 2/3

2 2

8

4

x 8

2

c) 4 a) 4 d) 8

12 40 14

b) 18 e) 16

2

a) 1/5 d) 1

14 24 40

b) 7 e) 12

21)

15) Cambia de lugar una cifra para que la igualdad sea correcta:

3 2 3

3 c) 121

b) 26 e) 27

a) 6 d) 5 b) 5 c) 3 e) Absurdo

23)

6 20)

a) 1 d) 14

(47) (29) ( )

a) 30 d) 36

14) ¿Cuántos palitos hay que quitar como mínimo para que quede uno?

13 8 30

c) 34

b) 2 e) 10

c) 6

25) 5 4 3

12 3 6

20 x 15 22) 3 ; D

H 6

a)

15 Q

R b) 16

d)

R 15

e)

A 1

Nivel II

;

En cada caso, halla el o los valores que faltan. 16) 3, 5, 20, 26, 208, ____ a) 250 d) 320

b) 236 e) 350

c) 218

;

10 ; M

Q c) 15

15 R

a) 6 b) 7 c) 9

d) 8 e) 10

26) SI, SOL , LUNA, PAPEL, ____ a) CRISTAL b) RELOJ c) MADERA

d) SEIS e) NO

17) 1, 30, 35, 16, -26, ____ a) 30 d) 40

b) 32 e) -90

c) -60

2do de Secundaria


21


27) Raúl y Pepa tienen entre los dos S/. 480, pero Pepa tiene S/. 60 más que Raúl. ¿Cuánto tiene Raúl? a) S/. 270 b) S/. 240 c) S/. 210

d) S/. 180 e) S/. 220

28) Usando solamente cinco cifras “5” y las operaciones fundamentales, expresa el número 30.

29) ¿Cuánto costó un auto que se vendió a S/. 1200 si se ganó la mitad del precio de venta? a) S/. 1800 b) S/. 600 c) S/. 1000

d) S/. 1300 e) S/. 900

30) Para pasar de la posición I a la II, ¿cuántas bolitas debo cambiar de posición como mínimo?

I a) 3 d) 5

II b) 4 e) 6

c) 1

Nivel III 31) ¿Cuánto se tardará en cortar una pieza de tela de 70 m de largo en trozos de 1m si se emplea 5 s en hacer cada corte? a) 126 s b) 235 s c) 435 s

d) 345 s e) 430 s

32) Entre 24 personas de una oficina deciden comprar un “extractor de aire”, pero 8 de ellos sólo pueden pagar la mitad de lo que les corresponde, obligando a las demás a que añadan a su cuota S/. 6. ¿Cuánto cuesta el extractor de aire? a) S/. 516 b) S/. 418 c) S/. 478

33) ¿Cuál es el menor número entero que multiplicado por 33 da un producto cuyas cifras son todas siete? a) 25 693 b) 36 592 c) 26 432

d) 23 569 e) 35 794

34) Hace algún tiempo cada habitante de un distrito recibía 300 litros de agua por día. Actualmente el número de habitantes aumentó en 180, teniendo que recibir cada habitante 6 litros menos por día. ¿Cuántos habitantes hay actualmente? a) 7 000 b) 9 000 c) 8 000

d) 11 000 e) 13 000

35) Dos secretarias tienen que escribir 300 cartas cada una. La primera escribe 15 cartas por hora y la segunda 13 cartas por hora. Cuando la primera haya terminado su tarea, ¿cuántas cartas le faltará por escribir a la segunda? a) 55 d) 40

b) 50 e) 35

b) 267 e) 300

a) 350 y 168 b) 325 y 150 c) 300 y 155

d) 250 y 175 e) 245 y 168

38) ¿Por lo menos cuántos números deben ser cambiados de posición para que las sumas de los números unidos por una línea recta sean iguales y además sean la máxima suma posible? 6

8 2

4 14 a) 6 d) 4

10 12

b) 3 e) 2

c) 5

39) Coloca las cifras del 1 al 8 en los círculos de los dos cuadrados para que los tres vértices de los triángulos pequeños sumen lo mismo. ¿Cuál es esa suma si es la menor posible?

c) 45

36) Un alumno ha de multiplicar un número por 50, pero por hacerlo de prisa se olvida de poner el cero a la derecha, hallando así un producto que difiere del verdadero en 11 610. ¿Cuál es el número que le dieron para multiplicar? a) 325 d) 258

22

d) S/. 520 e) S/. 576

37) Con un cañón se han hecho 35 disparos por hora, con otro 24 disparos por hora, y entre los dos hicieron 518 disparos. Cuando comenzó a disparar el segundo, el primero había disparado ya durante 3 horas. ¿Cuántos disparos hizo cada cañón?

a) 10 d) 11

b) 14 e) 13

c) 12

c) 432


2do de Secundaria


40) ¿Cuántos palitos de fósforo se tendrán que mover como mínimo para que la siguiente igualdad resulte verdadera?

44) Halla x en: 1, 5, 11, 14, 21, 23, ______ a) 6 d) 18

b) 30 e) 37

50) Halla x en: 2 4 5

c) 31

a) 136 d) 142 a) 3 d) 5

b) 2 e) 4

c) 1

a) Domingo b) Lunes c) Martes

d) Sábado e) Miércoles

42) Si el mañana del mañana del ayer del pasado mañana del mañana del ayer es jueves, ¿qué día será dentro de 4 días? a) Lunes b) Domingo c) Sábado

d) Viernes e) Jueves

43) En la siguiente operación:

b) 48 e) 120

a) 198 d) 216

b) 108 e) 189

c) 165

48 36 28

(47) (11) ( )

a) 25 d) 13

46 30 24

b) 26 e) 19

c) 15

48) Halla x en: 5 13

3

3

7 16

2

7

b) 10 e) 16

5 54

x

c) 23

¿cuántos palitos se deben mover como mínimo para obtener 132? c) 3

49) Halla x en: 3 5 51 a) 25 d) 55

2do de Secundaria

c) 126

El número cero

47) Halla x en:

a) 3 d) 2

b) 2 e) 0

b) 12 e) 15

c) 286

46) Halla x en: 2, 4, 7, 28, 33, ______

2

a) 1 d) 4

3 2 3

45) Halla x en: 1, 1, 1, 2, 12, ______ a) 144 d) 72

41) ¿Cuál es el día que está anterior al siguiente día del que subsigue al posterior día del que está después del día que precede al anterior día del sábado?

(9) (17) (x)

6 2 21

7 3 12

b) 32 e) 52

8 4 x c) 23


Los primeros en utilizar un símbolo que representara el cero fueron los babilonios. Las tabletas de arcilla que se encontraron, que se remontan al año 200 a.C., dan cuenta del empleo de este símbolo. En Europa, el cero fue introducido recién en los siglos IX o X de nuestra era. En la escritura de números, los babilonios introdujeron el sistema posicional, en el que se basa el sistema decimal. El valor de cualquier dígito depende de su posición en el número. Ya en el año 2500 a.C. los babilonios poseían vastos conocimientos matemáticos. Fue recién en el siglo IX de la Era Cristiana que este sistema se introdujo en Europa. Nuestro conocimiento de la matemática griega se remonta hacia el año 600 a. C. aproximadamente cuando Thales, uno de los siete sabios de Grecia, introdujo el estudio de la geometría. Los egipcios establecieron un sistema de medidas basado en el cuerpo h u m a n o . La unidad principal era el codo (distancia que hay entre el codo y las puntas de los dedos), equivalente a 46 cm, aproximadamente.

23


Cuatro Operaciones I Reto Utilizando los valores del 1 al 9, completa el cuadro cumpliendo las operaciones: +

x



x + +

x +

+ 9

= 26 x = 21 -

Ejemplo: 1) Pepito va al mercado y compra 2 kilos de arroz y 6 kilos de azúcar. Si cada kilo de arroz cuesta S/. 3 y cada kilo de azúcar cuesta S/. 3,5; ¿cuánto gastó en total?

= 4

8

Ahora veremos diferentes tipos de ejercicios relacionados con las operaciones combinadas y sus diferentes formas de resolver problemas.

6

Arroz

Arroz

S/. 3

S/. 3

2(S/. 3) = S/. 6

Jugando con Números Te planteo este sencillo juego. - Escribe un número de tres cifras distintas (por ejemplo 136). - Escríbelo en orden inverso (631). - Resta del mayor el menor. (631-136=495) - Si tú me dices la cifra de las unidades, yo adivino el valor de la resta. ¿Crees que es posible?

Azúcar

Azúcar

Azúcar

S/. 3,5

S/. 3,5

S/. 3,5

Azúcar

Azúcar

Azúcar

S/. 3,5

S/. 3,5

S/. 3,5

2) María compra 3 docenas de vasos a S/. 20 cada docena. Si se rompen 6 vasos, ¿a cuánto debe vender cada vaso restante para no ganar ni perder? En tres docenas hay: 3(12) = 36 vasos El costo fue de: 3(S/. 20) = S/. 60 Se rompen 6 vasos, entonces quedarán: 36 - 6 = 30 vasos. Si no gano ni pierdo, entonces cada vaso debo venderlo en: S/. 60 = S/. 2 c/vaso 30

3) Se reparten 480 polos a 8 equipos de fulbito (6 por equipo), ¿cuántos polos recibirá cada jugador? Número de polos por equipo: 480 = 60 8 Número de polos por jugador: 60 = 10 polos 6

6(S/. 3,5) = S/. 21 Total: S/. 6 + S/. 21 = S/. 27

24


2do de Secundaria


4) ¿En qué orden debemos acomodar las tarjetas (orden de operación) para obtener 3 a partir del valor inicial 10? A

B

Restar 5

Dividir entre 6

C

D

Multiplicar por 3

Valor inicial: 3 Valor final : 29

7) Nivel I Dadas las siguientes fichas:

Sumar 3

Una forma es: A C D B Otra forma es: C B D A

5) Con el valor inicial 12 obtén el valor final 21, ¿en qué orden de operación debemos ordenar las tarjetas? A

B

Sumar 13

Multiplicar por 2 C Dividir entre 3

La forma será: C B A

A

B

C

D

12

13

20

15

E

F

G

H

3

7

30

11

1) Ubica tres fichas cuyo producto sea el menor.

Jugando con doses ¿Puedes escribir todos los números del cero al diez utilizando cinco doses, y los signos +, -, x, / además del paréntesis? Puedes empezar así: 0= 2 - 2/2 - 2/2

2do de Secundaria

8)

3) Ubica tres fichas cuya suma sea 48.

5) Ubica cuatro fichas, con la condición de que la suma de dos de ellas exceda a la suma de las otras dos en 10.

En cada caso dar el orden de operación de las tarjetas, para obtener el valor final a partir del valor inicial. 6)

A

B

Suma 13

Resta 7

C

D

Suma 4

Multiplica por 2


B

Suma 18

Multiplica por 4

C

D

Suma 10

Divide entre 7


2) Ubica tres fichas cuyo producto sea el segundo mayor.

4) Una ficha excede a la suma de otras dos en 4. Ubica las tres fichas.

A

A

B

Divide entre 8

Resta 20

C

D

Multipica por 2

Resta 1


9)

A

B

Suma 16

Resta 23

C

D

Divide entre 3

Suma -2


25


A

B

Divide entre 2

Divide entre 3

C

D

Suma 10

Multiplica por 6

10)

15) La docena de polos cuesta S/. 24, ¿cuánto pagaré por 13 polos? a) S/. 23 b) S/. 26 c) S/. 27

21)

d) S/. 30 e) S/. 32

A

B

Divide entre 3

Multiplica por 2

C

D

Suma 5

Resta 3

Nivel II Valor inicial: 12 Valor final : 42

d) S/. 30 e) S/. 40

d) S/. 20 e) S/. 30

13) Si por 5 figuritas de “chacalón” pago S/. 12, ¿cuánto pagaré por 15 figuritas? a) S/. 30 b) S/. 44 c) S/. 35

d) S/. 36 e) S/. 52

B

C

D

37

-2

-5

12

E

F

G

H

17

-11

15

25


22)

17) Ubica cuatro fichas cuya suma sea mínima.

b) 10 e) 50

c) 20

A

B

Suma 12

Divide entre 3

C

D

Resta 7

Suma 10 E

18) Ubica cuatro fichas en las cuales, la suma de dos de ellas excede a la suma de las otras dos en 31.

Resta 14 Valor inicial: 28 Valor final : 15

19) ¿Y para que la suma de cinco de ellas sea 48? En cada caso ordena las tarjetas, para que del valor inicial se obtenga el valor final. 20)

14) Compro monstritos a S/. 3 y los vendo a S/. 5, ¿cuántos debo vender para ganar S/. 40? a) 30 d) 40

A

16) Ubica tres fichas cuyo producto sea mínimo.

12) L a d o c e n a d e c h u p e t i n e s “globopop” cuesta S/. 8 y la decena de chocolates “princesa” cuesta S/. 3. ¿Cuánto pagaré por tres docenas de chupetines y 4 decenas de chocolates? a) S/. 36 b) S/. 14 c) S/. 15

Multiplica por 5

Dadas las siguientes fichas:

11) Un “Dom” cuesta S/. 2 y un “Bim” cuesta S/. 3, ¿cuánto pagaré por 5 “Dom” y 4“Bim”? a) S/. 24 b) S/. 22 c) S/. 23

E

A

B

Suma 5

Resta 12

C

D

Multiplica por 2

Divide entre 3 E

Suma 15

23)

A

B

Resta 12

Suma 15

C

D

Divide entre 7

Multiplica por 3 E Suma 13

Valor inicial: 20 Valor final : -8


26


2do de Secundaria


24) En “Polvos Guindas” se vende los polos a S/. 20, los pantalones a S/. 30, las camisas a S/. 25 y las corbatas a S/. 15, ¿cuánto pagaré por 3 polos, 2 pantalones, 5 camisas y 2 corbatas? a) S/. 300 b) S/. 350 c) S/. 400

d) S/. 275 e) S/. 450

29) Andrés gana S/. 40 diarios y ahorra S/. 25. ¿Cuánto dinero ganó hasta el momento que ha ahorrado S/. 250? a) S/. 100 b) S/. 75 c) S/. 500

d) S/. 420 e) S/. 400

a) b) c) d) e)

Nivel III 25) Por 3 piononos y 2 milhojas pago S/. 15. ¿Cuánto pagaré por 12 piononos y 8 milhojas? a) S/. 50 b) S/. 80 c) S/. 60

d) S/. 55 e) S/. 75

26) Tengo 10 celulares que me costaron $50 cada uno. Si se malogran 5 de ellos, ¿a cuánto debo vender los restantes para no perder? a) $ 80 b) $ 120 c) $ 100

d) $ 130 e) $ 140

30) Dos profesores tenían que corregir 400 exámenes cada uno. Uno corrige 20 exámenes por hora y el otro 15 exámenes por hora. Cuando el primer profesor terminó de corregir, ¿cuántos exámenes le faltaba corregir al segundo? a) 80 d) 100

27) Compré 30 billeteras a S/. 2 cada una. Si regalo 5 de las billeteras, ¿a cuánto debo vender cada una de las restantes si deseo ganar S/. 40? a) S/. 2,5 b) S/. 3 c) S/. 3,5

d) S/. 4 e) S/. 4,5

b) 20 e) 120

b) 60 e) 23

b) 65 e) 53

c) 66

d) S/. 200 e) S/. 130

35) Tengo 3 cajas rojas, en cada caja roja hay 8 amarillas y en cada amarilla 10 blancas, ¿cuántas cajas hay en total? a) 300 d) 120

b) 240 e) 267

c) 260

36) Por 12 manzanas pago S/. 24 . Si al comprar 17 manzanas pago con un billete de S/. 50, ¿cuánto recibo de vuelto? a) S/. 20 b) S/. 16 c) S/. 14

a) S/. 3,2 b) S/. 2,8 c) S/. 2,4

d) S/. 7 e) S/. 8

2do de Secundaria

a) S/. 150 b) S/. 100 c) S/. 120

d) S/. 18 e) S/. 17

37) Por grabar una canción en un disco compacto me cobran 20 céntimos. ¿Cuánto debo pagar si deseo que me graben un disco de “Daddy Yankee” con 12 canciones?

28) Se compra 70 vasos a S/. 3 cada uno. Si se venden 20 de ellos a S/. 3 cada uno y se rompen 10, ¿a cuánto se debe vender cada uno de los restantes para ganar S/. 50? a) S/. 4 b) S/. 5 c) S/. 6

34) Del problema anterior, ¿cuánto ganó en cada buey de los que quedaron?

c) 57

32) En una reunión hay 12 personas. Todas se saludaron dándose un apretón de manos. ¿Cuántos apretones de mano hubo? a) 60 d) 50

gana S/. 1000 pierde S/. 1000 pierde S/. 800 gana S/. 1400 gana S/. 1200

c) 30

31) Se reparte S/. 87 entre Pepito y Ricardo de modo que Pepito recibe S/. 11 más que Ricardo. ¿Cuánto recibió el mayor? a) 37 d) 49

33) Un hacendado compró 64 bueyes por S/. 12 800. En mantenerlos ha gastado $ 800. Si se mueren 14 bueyes y el resto los vende a $ 300 cada uno, ¿gana o pierde?, ¿cuánto?


d) S/. 3,2 e) S/. 2,6

27


38) Tres libros de RM ocupan el mismo espacio que 4 libros de RM. Si se sabe que en un estante pueden caber 20 libros de RM y 15 de RV, ¿cuántos libros de RM pueden caber en todo el estante? a) 30 d) 36

b) 48 e) 24

d) S/. 15 e) S/. 13

A

B

C

D

20

50

-15

-30

E

F

G

100

60

-20

44) Ubica cuatro fichas cuya suma sea un número múltiplo de 11.

d) S/. 9 e) S/. 10

45) Ubica cuatro fichas tal que el producto de dos de ellas exceda al producto de las otras dos en 700.

46) Ubica cinco fichas que sumen 135.

41) En un estante se puede colocar 24 libros de RM o 12 de Aritmética. Si en el estante se ha colocado 12 libros de RM, ¿cuántos libros de Aritmética se podrán colocar en el espacio que sobra? a) 4 d) 12

d) S/. 7600 e) S/. 4500

b) 6 e) 18

c) 10

47) Alex posee 80 monedas de S/. 5 y Luis tiene 100 monedas de S/. 2. ¿Cuántas monedas deben intercambiarse para que ambos tengan la misma suma de dinero? a) 20 d) 35

b) 28 e) 30

c) 60

42) Del problema anterior, si en el estante se colocaran 6 libros de Aritmética, ¿cuántos de RM faltarán para llenar el estante? a) 12 d) 14

28

b) 13 e) 11

48) Con los dedos de la mano se cuenta de la siguiente manera: ... 2

8 3

7 4 5

6

... 1

Dadas las fichas:

40) Se compraron 3 chocolates por S/. 5 y se venden 5 chocolates por S/. 9. ¿Cuánto se gana en la venta de 60 chocolates? a) S/. 6 b) S/. 7 c) S/. 8

a) S/. 9000 b) S/. 8400 c) S/. 6000

c) 40

39) Compré 500 sombreros a S/. 6 cada uno. Vendí cierto número a S/. 5 cada uno, ¿a cuánto debo vender el resto para no perder? a) S/. 10 b) S/. 11,5 c) S/. 12, 5

43) ¿A cómo he de vender lo que me ha costado S/. 6300 para que la ganancia sea la tercera parte del costo?

c) 10


¿En qué dedo cae el mayor número de cuatro cifras que empieza en 5 y termina en 4? a) anular b) meñique c) pulgar

d) índice e) medio

49) Pilar tiene “S” soles más que Luis, ¿cuánto debe darle Pilar a Luis para que ambos tengan la misma suma? a) S/2 b) S/3 c) 2S

d) S/4 e) S

Números Consecutivos a) ¿Es posible generar todos los números entre 1 y 30, por suma de números consecutivos? Por ejemplo: 6=1+2+3 9=4+5 23=11+12 b) ¿Cuáles son los números que pueden generarse por suma de 2 consecutivos? c) ¿Cuáles pueden generarse por suma de 3 consecutivos? d) ¿Es posible generar un número entre 1 y 30 por adición de 4 consecutivos? e) ¿Es posible predecir qué números entre 1 y 100 pueden generarse sumando números consecutivos?

2do de Secundaria


Cuatro Operaciones II Resolución: A Raúl le regala: 1) Luis gana S/.60 diarios, de los cuales puede ahorrar S/.35. ¿Cuánto dinero ganó si lleva ahorrados S/. 245?

800 = 200 figuritas 4

Queda : 800 – 200 = 600 figuritas A Raquel :

600 = 200 figuritas 3

En total regaló 200 + 200 :

Resolución:

400 figuritas

Por día ahorra S/.35 y en total lleva ahorrados S/. 245. 245 Días transcurridos: =7 35 Cada día gana S/. 60 . En total ganó : 7 x 60 = S/.420

2) Alberto regala 5 caramelos por día y Arturo regala siete caramelos por día. Después de haber regalado entre los dos en total 204 caramelos, ¿cuántos días han transcurrido?

4) Compro 24 vasos a S/. 5 cada uno. Si 8 de ellos se rompen, ¿a cuánto debo vender cada uno de los restantes para recuperar mi dinero? Resolución: Costo : Venta :

# vasos c/u 24 x 5 (24 – 8) x C

Cada uno a :

Total = 120 = 120

120 120 = 16 24 – 8

El problema de los puentes de Königsberg En el siglo XVIII había en la ciudad de Königsberg (situada en la antigua Prusia, hoy Kaliningrado, perteneciente a Rusia) siete puentes que conectaban cada una de las orillas del río Pregel con dos islas interiores. Los ciudadanos estaban muy orgullosos de sus puentes y bromeaban sobre la posibilidad de recorrerlos todos pasando una sola vez por cada uno de ellos. ¿Es esto posible?

S/. 7,5

Resolución: Diario entre los dos regalan: 5 + 7 = 12 caramelos Días totales : 204 = 12

5) Gabriela compra 32 CD’s a S/. 15 cada uno y los vende a S/.17 cada uno. ¿Cuánto ha ganado en el negocio? Resolución:

17 días

La ganancia por CD es de S/. 17 – S/. 15 = S/. 2

3) Manuel tiene 800 figuritas y decide regalar la cuarta parte a Raúl, y de lo que queda le regala la tercera parte a Raquel. ¿Cuántas figuritas regaló en total?

Como vende 32 CD’s, la ganancia es de:

2do de Secundaria


S/.32 x S/. 2 =

S/.64

29


Nivel I 1) Compré 500 cajas de $ 3 cada una. Si 200 de ellas están inservibles, ¿a cuánto debo vender cada una de las restantes para no perder dinero? a) $ 4 b) $ 5 c) $ 4,5

d) $ 5,5 e) $ 6

2) Marco compró 300 caramelos a S/. 12 y luego vende cada uno a diez céntimos. ¿Cuánto dinero ganó? a) S/. 12 b) S/. 15 c) S/. 18

d) S/. 24 e) S/. 30

3) Po c h i t o v e n d e g a s e o s a s «Cuádruple Kola». Si un día compró tres docenas a S/. 1 y gana 50 céntimos en la venta de cada gaseosa, ¿cuánto dinero obtuvo por la venta de las gaseosas? a) S/. 18 b) S/. 48 c) S/. 51

d) S/. 54 e) S/. 57

4) Un comerciante compró varias camisas a 20 unidades por 480 soles y las vende a 12 por 372 soles. ¿Cuántas debe vender para ganar 301 soles? a) 39 b) 41 c) 43

30

d) 47 e) 53

5) Pepita quiere ir al concierto de Shakira (S/. 420 la entrada VIP) y para ello decide vender alfajores durante el recreo. Si compra la caja con una docena de alfajores por 4 soles y vende cada alfajor en S/. 1,5, ¿cuántas cajas deberá vender para juntar el dinero y comprar su entrada al concierto de Shakira? a) 20 b) 25 c) 28

d) 24 e) 30

6) «Viajes Palabella» ofrece un tour al Caribe al precio de $ 650 al contado o 24 cuotas de $ 32 c/u sin inicial. ¿Cuál es la diferencia que tendría que pagar si accede a la segunda opción (es decir, en cuotas)? a) $ 118 b) $ 148 c) $ 108

d) $ 98 e) $ 112

7) Un lorito cuesta S/.12. Si gané S/. 7 en la venta de uno, ¿cuánto dinero podría obtener por la venta de 13 loritos? a) S/. 195 b) S/. 217 c) S/. 226

d) S/. 231 e) S/. 247

8) Matías decide importar juegos para PLAYSTATION 2. Si el costo de cada juego es de $ 42 y los vende a $ 53 cada uno, ¿cuánto podrá ganar en la venta de 17 juegos? a) $ 164 b) $ 170 c) $ 120

d) $ 187 e) $ 153


9) Marco gana S/. 1200 mensual– mente. La mitad de su dinero es entregado a su mamá; de lo que le queda, gasta la tercera parte en ropa. ¿Cuánto dinero le sobra? a) S/. 350 b) S/. 400 c) S/. 500

d) S/. 450 e) S/. 300

10) Un librero compró 15 libros a 12 soles cada uno. Habiéndose deteriorado nueve de ellos, tuvo que venderlos a S/. 8 cada uno. ¿A cuánto tiene que vender los restantes para no perder? a) S/. 15 b) S/. 17 c) S/. 18

d) S/. 20 e) S/. 25

11) Un comerciante compró 11 trajes por 3 300 soles. Vendió cinco a S/. 240 cada uno. ¿A cuánto tiene que vender los restantes para ganar S/. 900? a) S/. 400 b) S/. 500 c) S/. 600

d) S/. 550 e) S/. 450

12) Matilde compró 600 sacos de azúcar a $ 8 cada uno. Por la venta de 300 sacos obtiene $ 2 700. ¿A cuánto debe vender cada uno de los sacos restantes si desea ganar $ 1200 ? a) $ 11 b) $ 12 c) $ 13

d) $ 10 e) $ 15

2do de Secundaria


13) Pepe se dedica a la venta de libros de RM. Si cada libro le costó S/.25 y decide venderlos a S/.40, ¿cuántos libros deberá comprar si desea ganar S/. 625 y por cada 10 ventas regalará uno? a) 40 b) 50 c) 55

d) 60 e) 75

14) Luciana se dedica a la venta de CD’s originales en su stand en el Jockey Plaza. Cada disco le cuesta $ 12 y además:  Tiene 200 discos en stock.  Vende 70 de ellos a $ 15 c/u.  Vende 20 de ellos a $ 9 debido a que pasaron de moda. ¿A cuánto deberá vender cada uno de los restantes si desea ganar $ 260? a) $ 12 b) $ 13 c) $ 14

d) $ 15 e) $ 16

15) Juan se dedica a la compra y venta de huevos. La docena de huevos le cuesta S/. 6,5 y de regalo recibe un huevo más. El precio de venta de cada huevo es de 70 céntimos. ¿Cuántas docenas debió comprar para ganar 130 soles? a) 40 b) 50 c) 60

d) 30 e) 45

Nivel II 16) Julio tiene S/. 30 más que Ricardo. Si juntos tienen S/. 90, ¿cuánto dinero tiene Ricardo? a) S/. 30 b) S/. 40 c) S/. 50

d) S/. 60 e) S/. 45

17) Martín tiene el doble del dinero que tiene Samuel. Si juntos tienen S/. 180, ¿cuánto dinero tiene Martín? a) S/. 80 b) S/. 120 c) S/. 90

d) S/. 110 e) S/. 100

18) Si Marco le entrega la mitad de su dinero a Patricia, ésta tendría S/. 90 y Marco se quedaría con S/.70. ¿Cuánto dinero tiene Patricia? a) S/. 10 b) S/. 15 c) S/. 20

d) S/. 25 e) S/. 30

d) S/. 40 e) S/. 70

20) Mónica come 3 panes al día y Wilkins come 12 panes. Si en total han comido 255 panes, ¿cuántos días han transcurrido? a) 13 b) 15 c) 17

d) 19 e) 21

21) Manuel y Sandra tienen 60 y 90 stickers, respectivamente. Si cada día Manuel le regala tres stickers a Sandra y ella en agradecimiento le regala cinco stickers a Manuel, ¿luego de cuántos días Sandra no tendrá stickers? a) 35 b) 40 c) 45

a) 12 b) 15 c) 18

d) 50 e) 55


d) S/. 300 e) S/. 200

24) Yola tiene 400 burbujitas, y decide enviar a la cuarta parte a la fiesta del hijo de Timoteo, y a la mitad del resto a la fiesta de la hija de Chibolín. Si el resto de las burbujitas van al cumpleaños de Toledo, ¿cuántas burbujitas fueron? a) 200 b) 150 c) 100

d) 170 e) 125

25) Si te regalo S/. 50, ambos tendremos la misma cantidad de dinero. ¿Cuánto dinero más que tú tengo? a) S/. 50 b) S/. 25 c) S/. 75

d) S/. 100 e) S/. 125

26) Pedro tiene el cuádruple del dinero que tiene Sebastián. Si entre los dos tienen S/. 1200, ¿en cuánto excede la cantidad que tiene Pedro a la cantidad que tiene Sebastián? a) S/. 240 b) S/. 480 c) S/. 720

2do de Secundaria

d) 20 e) 25

23) Manolo tiene S/. 600. Le regala la mitad a su tío Cucho y la tercera parte del resto a su abuelito Cochito. ¿Cuánto dinero le sobra? a) S/. 400 b) S/. 250 c) S/. 350

19) Según el problema anterior, ¿cuánto dinero debe prestarle Marco a Patricia para que ambos tengan la misma cantidad de dinero? a) S/. 60 b) S/. 50 c) S/. 80

22) Aldo y Beto tienen 50 y 40 plátanos, respectivamente. Si llega Carlos y deciden comer los plátanos en cantidades iguales, ¿cuántos plátanos invitó Aldo a Carlos?

d) S/. 960 e) S/. 1020

31


27) La edad de un padre y la de su hijo suman 80 años. Si cuando nació el hijo el papá tenía 36 años, ¿cuál es la edad del padre? a) 22 años b) 38 años c) 46 años


28) Dos personas juntas pesan 180 kg. Si una de ellas pesa 30 kg más que la otra, ¿cuál es el peso de una de ellas? a) 95 kg b) 85 kg c) 70 kg

d) 105 kg e) 90 kg

29) Julio y Javier tienen juntos 360 soles. Si Julio tiene 80 soles más que Javier, ¿cuánto dinero tiene Julio? a) S/. 140 b) S/. 220 c) S/. 180

d) S/. 190 e) S/. 210

30) A es el triple de B y C es el doble de B. Si A+B+C = 90, halla A. a) 30 b) 40 c) 45

d) 60 e) 50

a) 15 b) 20 c) 10

31) En un campeonato de fulbito participan seis equipos. Si deciden jugar todos contra todos, ¿cuántos partidos se juegan en dicho campeonato?

33) En una caja verde hay cinco cajas rojas, en cada caja roja hay tres cajas amarillas y en cada caja amarilla hay dos blancas. ¿Cuántas cajas hay en total? a) 41 b) 51 c) 50

d) 48 e) 45

34) Repartí $87 entre A y B, de modo que B recibió $ 11 menos que A. ¿Cuánto recibió A? a) $ 51 b) $ 38 c) $ 47

d) $ 43 e) $ 49

35) Luego de comprar tres camisas, me sobran 12 soles y me faltan 24 soles para comprar 2 camisas más. ¿Cuánto cuesta cada camisa? a) S/. 15 b) S/. 6 c) S/. 18

d) 20 e) 21

a) S/. 57 b) S/. 66 c) S/. 30

d) S/. 12 e) S/. 24

d) S/. 48 e) S/. 64

37) Se tienen dos depósitos de aceite, uno de 150 litros y otro del triple de capacidad que el primero. Si se decide embotellar todo el aceite en bidones de 5 litros, ¿cuántos bidones se necesitarán? a) 200 b) 100 c) 120

32

d) 12 e) 18

36) Según el problema anterior, ¿cuánto dinero tenía antes de comprar las camisas?

Nivel III

a) 15 b) 30 c) 24

32) En una reunión hay cinco personas. Todas se saludaron dándose la mano. ¿Cuántos apretones de mano hubieron?

d) 150 e) 50


38) A una reunión asisten 60 parejas y una cantidad de hombres solos igual al doble del número de mujeres. ¿Cuántos hombres asistieron a la reunión? a) 60 b) 90 c) 120

d) 150 e) 180

39) Las horas transcurridas del día son el quíntuplo de las que aún no han transcurrido. ¿Qué hora es? a) 2 p.m. b) 4 p.m. c) 6 p.m.

d) 8 p.m. e) 9 p.m.

40) En un frasco hay 2 microbios. Si se duplica la cantidad en cada minuto, ¿cuántos microbios habrá al final del cuarto minuto? a) 8 b) 16 c) 32

d) 64 e) 12

41) Según el problema anterior, ¿luego de cuántos minutos (como mínimo) podré encontrar más de 1 000 microbios? a) 5 min b) 6 min c) 7 min

d) 8 min e) 9 min

42) Si Mitchel le da 25 dulces a Manuel, ambos tendrán la misma cantidad. Entre los dos tienen 82 dulces. ¿Cuántos dulces tenía inicialmente Mitchel? a) 66 b) 58 c) 60

d) 63 e) 52

43) Se sabe que 100 peras cuestan lo mismo que 20 naranjas y 40 manzanas. Si cada naranja cuesta S/. 3 y cada manzana S/. 2, ¿cuánto cuesta una pera? a) S/. 1,2 b) S/. 1,3 c) S/. 1,4

d) S/. 1,5 e) S/. 1,6

2do de Secundaria


44) Dos depósitos contienen 164 y 28 litros de agua. En una bomba se traslada del primero al segundo, 4 litros de agua por minuto. ¿Después de cuántos minutos los dos depósitos contendrán la misma cantidad de agua? a) 15 b) 16 c) 17

d) 18 e) 19

45) Julio le dice a Mónica: «Si me prestas S/. 100, me podré comprar siete pantalones que cuestan S/. 32 cada uno». ¿Cuánto dinero tiene Julio? a) S/. 124 b) S/. 64 c) S/. 84

d) 3 e) 4

47) Se contrata un operario por 10 meses y se le pagará S/. 5600 y un reloj «Rolex» de oro. Al final del octavo mes el trabajador decide renunciar por lo que se le entrega S/. 4000 y el reloj. ¿Cuál es el precio del reloj? a) S/. 1 800 b) S/. 2 100 c) S/. 2 200

a) 12 litros b) 18 litros c) 24 litros

50) Con los S/. 300 que tengo puedo comprar 25 kg de carne o 60 kg de pollo. Si cada semana consumo 2 kg de carne y 3 kg de pollo, ¿cuánto gasto por dicho consumo? a) S/. 32 b) S/. 34 c) S/. 35

d) S/. 39 e) S/. 42

d) 30 litros e) 36 litros

d) S/. 104 e) S/. 136

46) El profesor Min juega a los naipes con el profesor Ricardo, y acuerdan que el que pierde dará al otro S/. 5. Si luego de cinco juegos consecutivos Min ganó S/. 15, ¿cuántos juegos ganó Ricardo? a) 0 b) 1 c) 2

49) En un asentamiento humano, a cada familia le corresponde 60 litros de agua por día. Si llegan 40 nuevas familias producto de una invasión, ¿en qué cantidad se verá reducida la ración de agua de las 60 familias que vivían inicialmente en el asentamiento humano?

La herencia del Jeque Un Jeque árabe tenía tres hijos y les dejó al morir 17 camellos, con el mandato expreso de que habían de repartirlos sin matar ningún camello, y de la manera siguiente: el mayor recibirá la mitad; el segundo, la tercera parte, y el menor, la novena parte. Los hijos del Jeque, al querer hacer el reparto,se dieron cuenta de que para poder cumplir la voluntad de su padre no había más remedio que descuartizar algunos camellos. Acudieron al cadí, y éste les pidió un día para pensarlo. Pasado ese día, acudió el cadí con un camello suyo y lo unió al grupo de los 17 camellos, y propuso que se procediera a cumplir la voluntad del Jeque sobre esta herencia aumentada. Así, el mayor tomó 9 camellos; el segundo, 6, y el menor, 2. Al terminar el reparto el cadí volvió a llevarse su camello y dejó a los tres hermanos contentos. Explica la solución dada por el cadí.

d) S/. 2 400 e) S/. 2 800

48) Se tiene dos cajas, la primera contiene 40 naranjas de 300 g cada una y la segunda contiene 30 manzanas de 200 g cada una. ¿Cuántas frutas deben intercambiarse para que las dos cajas tengan el mismo peso? a) 20 b) 15 c) 25

d) 30 e) 10

2do de Secundaria


33


Orden de Información Lineal Ordenamiento Lineal

Reto

En este caso se procede a ordenar la información, ubicando los datos en forma vertical u horizontal, según corresponda.

La proposición «Juana no es mayor que Rosa» equivale a:

A. CRECIENTE O DECRECIENTE

«Juana es menor que Rosa o Juana tiene la misma edad que Rosa».

Ejemplo 1: Rosa, Laura, Lina y Helen conversan acerca de su estatura. Rosa : «Soy más alta que Lina pero más baja que Helen». Laura : «No soy la más baja». Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda.  Lina puede ser la más baja. (  Helen es la más alta. (  Laura es más alta que Rosa. (

) ) )

Ejemplo 2:  Miluska es 3 cm más alta que Lisseth.  Denisse es 2 cm más baja que Lisseth.  Annelisse es 5 cm más baja que Miluska.  Ivón es 3 cm más baja que Lisseth. Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda.  Annelisse y Denisse son de la misma talla. (  Ivón es la más baja. (  Lisseth es la más alta. (  Miluska es la más alta. (

34

) ) ) )

Ejemplo 3: Se sabe que:     

Lucho no es más bajo que Arturo. Alberto es más alto que Lucho. Lucho es más bajo que Alfonso. Abel es más bajo que Alfonso. No es cierto que Pancho sea más alto que Lucho.

Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda.    

Arturo es el más bajo. ( Abel es más alto que Lucho.( Alfonso es el más alto. ( Arturo es más bajo que Alfonso. (

) ) )

Los fines de la matemática La matemática tiene un fin triple. Primero, proporcionar un instrumento para el estudio de la naturaleza. Pero esto no es todo. Tiene también un fin filosófico y un fin estético. Los buenos conocedores de la matemática encuentran en ella placeres comparables a los que proporcionan la pintura y la música. iran la delicada armonía de los números y de las formas. Se maravillan cuando un nuevo descubrimiento abre una nueva perspectiva. ¿Y no es estético este placer, aunque los sentidos no participen en él?

Poincaré

)

B. LATERAL 

DERECHA





ESTE

OCCIDENTE



ORIENTE

IZQUIERDA OESTE




2do de Secundaria


Ejemplo 4: Cuatro amigas viven en la misma calle. Además:  Delia vive a la izquierda de Úrsula.  La casa de Úrsula queda junto y a la derecha de la de Sonia.  Sonia vive a la izquierda de Mónica. ¿Quién vive a la izquierda de las demás?

4) María es menor que Juan, Rosa es mayor que María, tres quintos de la edad de Juan es menor que cuatro séptimos de la edad de Rosa. ¿Quién es mayor? Nivel I 1) Raúl es mayor que Manuel. Percy es menor que Arturo. Carmen es menor que Percy y Manuel es más viejo que Arturo, entonces: a) Manuel es el menor. b) Arturo es el menor. c) Carmen es el menor. d) Raúl es menor que Percy. e) M a n u e l e s m e n o r q u e Carmen.

Ejemplo 5: El volcán Tembero está ubicado al este del Sumatra. El volcán Singapur al oeste del Krakatoa. El Sumatra a su vez está ubicado al oeste del Singapur. ¿Cuál es el volcán ubicado más al oeste?

2) Se sabe que:  «A» es más alto que «C».  «B» es más bajo que «D».  «E» y «D» son más bajos que «C». Se afirma que: a) El más bajo es «B». b) «C» no es más alto que «B». c) «E» es más bajo que «A». d) No es cierto que «A» sea más alto. e) «D» es más alto que «E».

3) Jorge es mayor que Juan, pero menor que Antonio, Jesús es menor que Jorge y mayor que Julio, José es mayor que Jorge. Se afirma que:

a) María b) Juan c) Rosa d) Juan y Rosa tienen la misma edad. E) Faltan datos

5) Cinco alumnos rinden un examen. Se sabe que:  «B» obtuvo un punto más que «D».  «D» obtuvo un punto más que «C».  «E» obtuvo dos puntos menos que «D».  «B» obtuvo dos puntos menos que «A». Ordénalos de forma creciente. a) ABDCE b) ECDBA c) EDCBA

d) BCDEA e) EDBAC

6) Pancho es más grande que Rafael y más chico que Juan. Si la altura de Pancho es J, la de Juan es R y la de Rafael es P, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? a) R

d) P
a) No es cierto que José sea mayor que Julio. b) José es mayor que Antonio. c) No es cierto que Juan sea menor que José. d) Jesús es menor que Juan. e) Antonio es mayor que Julio.

2do de Secundaria


35


7) Sabiendo que:  Sara es más alta que Raquel.  Rosa es más baja que Raquel y que Maritza.  Luisa es más alta que las demás excepto que Maritza. Podemos afirmar: I. Sara es más alta que Rosa. II. Raquel es más baja que Maritza. III. Maritza es más baja que Sara. Son correctas: a) Sólo I y II d) Todas b) Sólo I y III e) Sólo I c) Sólo II y III

8) Arequipa tiene más habitantes que Tacna. Tacna tiene menos habitantes que Piura pero más que Tumbes. Si Arequipa tiene menos habitantes que Piura, ¿cuál tiene más habitantes? a) Arequipa b) Tacna c) Lima

d) Piura e) Tumbes

9) Se sabe que:  Juan es menor que Jorge.  Jacinto es menor que Julio.  Jesús no es mayor que Jorge.  Jesús es mayor que Javier pero menor que Jaime.  Jesús es menor que Jacinto. Se afirma que: a) Juan es mayor que Jacinto. b) Jorge es mayor que Julio. c) Javier no es mayor que Julio. d) Julio es menor que Jaime. e) Javier es menor que Jorge.

10) Seis amigos (A, B, C, D, E y F) se sientan en 6 asientos contiguos en el teatro. Se sabe que:  «A» se sienta junto y a la izquierda de «B».  «C» está a la derecha de «A» y entre «F» y «D».  «D» está junto y a la izquierda de «E».  «F» está a la izquierda de «B». ¿Quién ocupa el 4.º asiento, si los contamos de izquierda a derecha? a) A b) C c) B

d) F e) E

11) «A» es mayor que «B» pero menor que «C». «C» es mayor que «D» pero menor que «E», «D» es mayor que «A». ¿Quién es el mayor de todos? a) A b) B c) C

d) D e) E

12) Según el problema anterior, ¿cuántas personas son mayores que «A»? a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

13) Si A está a la derecha de B, C está al oeste de D y B está a la derecha de D, ¿quién está sentado a la derecha de los demás? a) A b) B c) C

d) D e) Faltan datos

14) Según el problema anterior, ¿cuántas personas se sientan a la izquierda de B? a) 0 b) 1 c) 2

36

15) Si se sabe que:  A es mayor que B.  C es la mayor del grupo.  D es mayor que A.  E es menor que A. ¿quién es la menor de todas? a) A b) B c) D

d) E e) Falta información

Nivel II 16) Se sabe que:  Harry es mayor que Ron pero menor que Hermione.  Dobby es mayor que Hagrid pero menor que Draco.  Harry es un niño, en cambio Hagrid es adulto. ¿Quién es el menor de todos? a) Harry b) Ron c) Hermione

d) Hagrid e) Dobby

17) Según el problema anterior, si Dobby es mayor que «n» personas, halla «n». a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) Falta información

18)Se pesa a 6 amigos y se decide entregar la siguiente información:  Ñoño pesa más que el Chavo pero menos que Jaimito el cartero.  El señor Barriga pesa más que Kiko.  Don Ramón pesa menos que Kiko pero más que el Chavo. ¿Quién es el que pesa menos? a) Ñoño d) El Chavo b) Kiko e) Falta c) Don Ramón información

d) 3 e) No se puede determinar


2do de Secundaria


19) Según el problema anterior, ¿quién es el más pesado? a) Sr. Barriga b) Jaimito c) Ñoño

d) Kiko e) Falta información

20) El profesor de RM observa a cinco alumnos durante un mes y llega a las siguientes conclusiones:  Juanito es más estudioso que Pochito.  Pepito no es más estudioso que Cachito.  Mafalda es menos estudiosa que Pepito pero más que Tadeíto.  Juanito es igual de estudioso que Tadeíto. ¿Quién es el menos estudioso? a) Pepito b) Pochito c) Cachito

d) Mafalda e) Tadeíto

21) Según el problema anterior, ¿quién es el más estudioso del salón? a) Cachito b) Mafalda c) Tadeíto

d) Pepito e) Falta información

22) Se tiene un castillo de cuatro pisos y en cada piso vive una familia. La familia Drácula vive un piso más arriba que la familia Frankestein; la familia Rasputín habita más arriba que la familia Monster y los Drácula viven más abajo que los Monster. ¿En qué piso viven los Drácula? a) Primero b) Segundo c) Tercero

d) Cuarto e) Sótano

23) Se asume que medio tono es el menor intervalo entre notas y se sabe que:  La nota T es medio tono mayor que la nota V.  La nota W es medio tono menor que la nota X.  La nota X es un tono menor que la nota T.  La nota Y es un tono menor que la nota W. ¿Cuál de las siguientes representa el orden de menor a mayor? a) X Y W V T d) Y W V T X b) Y W X V T e) Y X W V T c) W V T Y X 24) Cinco autos numerados del 1 al 5 participan en una carrera. Se sabe que:  El auto 1 llegó en tercer lugar.  La diferencia en la numeración de los dos últimos autos en llegar fue igual a 2.  La numeración de ningún auto coincidió con su orden de llegada. Podemos afirmar : I. No es cierto que el auto 2 llegó en último lugar. II. El auto 3 ganó la carrera. III. El auto 4 llegó después del auto 2. a) Sólo I b) I y II c) II y III

25) María es más alta que Irene y tiene más dinero que Lucía, quien no es más alta que María ni tiene menos dinero que Irene. Leticia no es más alta que Lucía y no tiene menos dinero que Irene. Podemos afirmar: I. Leticia no es más alta que María. II. Irene es la más baja. III. María es la que tiene más dinero. a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III

2do de Secundaria

d) I y III e) Todas

d) II y III e) I y II


26) C o n s i d e r a l a s s i g u i e n t e s proposiciones referentes a las casas A, B y C. I. La casa A cabe dentro de la casa B. II. La casa C cabe dentro de la casa A. III. La casa B cabe dentro de la casa C. ¿Cuál de las siguientes opciones sucede con certeza? a) Si se cumplen I y II, entonces se cumple III. b) Si se cumplen II y III, entonces se cumple I. c) Si se cumplen I y III, entonces se cumple II. d) Si se cumplen II y III, entonces no se cumple I. e) Si se cumplen III y II, entonces I puede cumplirse. 27) Sobre la misma fila de un tablero de ajedrez se tiene seis piezas:  Adyacente al rey y al peón hay un lugar común vacío.  El alfil está a la izquierda de la dama.   La torre está a la derecha de la dama y junto a un lugar vacío.  El caballo está a la derecha de los demás y junto al peón. ¿Cuál es correcta? a) Entre la torre y el rey hay un lugar vacío. b) Entre la torre y la dama hay un lugar vacío. c) Entre el rey y la dama hay un lugar vacío. d) El alfil no está a la izquierda de los demás. e) N.A. 28) En una carrera intervienen siete participantes. Los jueces determinan que no puede haber empates. Sabiendo que:  L llegó un puesto detrás de M.  N llegó dos puestos detrás de K.  P llegó cinco puestos detrás de M.  Q llegó un puesto detrás de P.

37


Luego: R llegó... a) entre M y K. b) entre N y K. c) dos puestos detrás de N. d) después de P. e) antes de M.

29) En una carrera participan seis personas. Se sabe que «A» no llegó en un lugar impar, y «C» llegó equidistante a «F» y «B» quien llegó último. Además «E» no ganó la competencia. ¿En qué lugares llegaron «D» y «F»? a) 2.° y 3.° b) 1.° y 2.° c) 3.° y 2.°

d) 1.° y 4.° e) 3.° y 4.°

30) Sobre una mesa hay tres naipes en hilera.  A la izquierda del rey hay un as.   A la derecha de la jota hay uno de diamantes.  A la izquierda del de diamantes hay uno de tréboles.  A la derecha del de corazones hay una jota. ¿Cuál es el naipe del medio? a) Rey de tréboles. b) As de tréboles. c) Jota de diamantes. d) As de diamantes. e) Jota de tréboles.

31) Si Toby, Mafalda y Chili realizan las tareas en el orden «AEBDC», «ADEBC» y «EDABC» respectivamente, ¿quién respetó el orden solicitado? a) Sólo Toby b) Sólo Mafalda c) Sólo Chili d) Todos e) Sólo dos de ellos Enunciado II Si se sabe que:  Jessica es mayor que Magaly, pero menor que Alicia.   Hilda es menor que Jessica y mayor que Fernanda.  Pilar es mayor que Jessica.  Alicia es mayor que Olga. 32) Podemos afirmar con certeza que: a) Pilar es mayor que Alicia. b) Hilda es menor que Magaly. c) No es cierto que Pilar sea mayor que Fernanda. d) A l i c i a e s m a y o r q u e Fernanda. e) Más de una es correcta. 33) ¿Quiénes no pueden tener la misma edad? a) Pilar y Alicia. b) Hilda y Magaly. c) Pilar e Hilda. d) Fernanda y Magaly. e) Olga y Jessica.

Nivel III Enunciado I El profesor de RM indica a los alumnos «Toby», «Mafalda» y «Chili» que deben realizar cada uno cinco tareas: «A», «B», «C», «D» y «E». Además:  «C» debe hacerse después de «B».   «E» debe hacerse antes que «B».  «D» debe hacerse después de «A».  «E» debe hacerse después de «D».

38

34) Si Pilar no es la mayor, ¿quién es la mayor? a) Olga b) Hilda c) Jessica

d) Fernanda e) Alicia

35) Para saber quién es la menor, debo saber además que: a) Hilda es menor que Olga y mayor que Magaly. b) Magaly es menor que Olga y mayor que Hilda. c) Olga es mayor que Pilar y Magaly. d) Fernanda es cinco años menor que Olga. e) Jessica y Olga tienen la misma edad. 36) Si supiese que Olga es mayor que Hilda y menor que Magaly, entonces podría determinar que: a) La mayor es Pilar. b) La menor es Fernanda. c) La mayor es Alicia. d) La menor es Hilda. e) Ninguna de las anteriores.

Enunciado III Tres nigerianos (N, O y P) y tres cubanos (K, L y M) participan en una carrera. No hay empates y se sabe que:  «P» llega tres puestos antes que «K».   Un nigeriano no es el ganador.  «N» llega junto a «P».  D os cu b a n o s n o l l eg a n juntos. 37) ¿Quién llega en quinto lugar? a) «L» b) «M» c) «O»

d) «K» e) «N»

38) Podemos afirmar con certeza que: a) «M» llega antes que «N». b) «L» llega antes que «P». c) «K» no llega último. d) «N» llega antes que «P». e) «P» llega antes que «M».


2do de Secundaria


39) Si «M» ganó la carrera, entonces es falso que: I. «L» llegó cuarto. II. «N» llegó después de «P». III. «K» llegó último. a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III

d) I y III e) Todas

Enunciado IV Natalia es más alta que Roxana pero más baja que Fabiola. Laura es más baja que Susana pero más alta que Fabiola. 40) ¿Quién es la más baja? a) Laura b) Natalia c) Susana

d) Roxana e) Fabiola

41) ¿Quién es la más alta? a) Susana b) Natalia c) Fabiola

d) Laura e) No podemos determinar

Enunciado V Cinco amigas: Alicia Diana, Lucía, Claudia y Verónica, nacieron en ciudades diferentes. Con respecto a la ubicación de dichas ciudades, se cumple que Alicia nació al norte de Diana, Lucía nació al sur de Verónica, quien nació al sur de Diana, y Lucía nació al norte de Claudia. 42) ¿Quién de ellas nació en una ciudad al sur de todas las demás? a) Alicia b) Claudia c) Diana

d) Lucía e) Verónica

43) ¿Quién de ellas nació exactamente en un lugar al centro de todas? a) Lucía b) Verónica c) Alicia

d) Diana e) Claudia

2do de Secundaria

Enunciado VI Seis amigos –Antonio, Alberto, Elisa, Elvira, Olga y Pedro– ocupan una fila de seis asientos. Además, se sabe lo siguiente:  Antonio se encuentra en el extremo derecho de la fila.  Pedro está sentado junto a Olga y a Elvira.  Alberto está sentado junto a Elisa.  Elvira está sentada junto a su mejor amiga. 44) ¿ C u á l d e l a s s i g u i e n t e s afirmaciones es verdadera? a) Alberto está sentado en el extremo izquierdo de la fila. b) Olga está sentada en el extremo izquierdo de la fila. c) Olga y Antonio tienen sitios adyacentes. d) Elisa y Elvira tienen sitios adyacentes. e) Alberto y Antonio tienen sitios adyacentes.

45) Si Olga se sienta en el extremo izquierdo, ¿quién se sienta, de izquierda a derecha en el 3. er puesto? a) Pedro b) Alberto c) Elvira

d) Elisa e) Antonio

46) ¿Cuántos posibles arreglos hay? a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

47) Si Pedro está junto a Olga, ¿quién estará en el extremo izquierdo? a) Alberto b) Antonio c) Olga

d) Elvira e) Elisa

48) Cinco automóviles: P, Q, R, S y T son comparados de acuerdo a su costo y a su tiempo de fabricación. Si:  P es menos caro que R y menos moderno que Q.  Q es más caro que P y más moderno que S.  R es más caro que T y más moderno que S.  S es menos caro que P y más moderno que T.  T es más caro que Q y más moderno que P. ¿cuál (es) de los siguientes autos es más caro que P y más moderno que T? a) Sólo Q b) Sólo R c) Sólo S

49) Jessica es más alta que Alexandra y más gorda que Ximena. Ximena es más alta que Katiuska y más flaca que Alexandra. Si Katiuska es más baja que Jessica y más gorda que Alexandra, ¿quién es más alta y más flaca que Katiuska? a) Jessica b) Ximena c) Alexandra

d) Ninguna e) Jessica y Ximena

50) Cinco personas (A, B, C, D y E) estudiaron diferentes tiempos para dar un mismo examen, y obtuvieron distintos puntajes. Si:  A estudió más tiempo que B, pero obtuvo menor puntaje.  C es la que más tiempo estudió, pero obtuvo menos puntaje que D.  E estudió más que A y obtuvo mayor puntaje que ella, pero menor que B.  C obtuvo más puntaje que B, quien estudió menos tiempo que D, quien a su vez estudió menos que A. ¿quién estudió menos que E, pero obtuvo un mejor puntaje que ella? a) A b) D c) B


d) Q y R e) R y S

d) A y B e) B y D

39


Repaso Nivel I 1) Se tienen seis libros en un estante: Álgebra, Física, Química, Biología, Historia y Geología. Además: El de Física está a la izquierda del de Química. El de Historia está junto y a la izquierda del de Geología. El de Biología está a la derecha del de Álgebra y a la izquierda del de Historia. El de Álgebra está junto y a la izquierda del de Química. ¿Qué libro ocupa el cuarto lugar si lo contamos de izquierda a derecha? a) b) c) d) e)

Física Biología Química Historia Geología

2) Benito es más alto que Daniel, pero más bajo que Rafael, Germán es más bajo que Enrique y éste a su vez es más bajo que Carlos. Si Benito es más alto que Enrique y Fernando es más bajo que Enrique, entonces: a) Fernando es el más bajo. b) Carlos es más alto que Fernando. c) Benito es más alto que Germán. d) Daniel es más alto que Germán. e) Rafael es más bajo que Fernando.

40

3) Se sabe que: “B” tiene menos población que “A” pero más que “C”. “D” tiene más población que “C”. “A” tiene la mitad de la suma de las poblaciones de “D” y “E”. “D” tiene más población que “B” y menos que “E”. ¿Cuáles son las ciudades de mínima y máxima población, respectivamente? a) C, A d) B, A

b) C, E e) B, D

c) B, E

4) ¿Cuántos palitos debemos retirar como mínimo para dejar 6 en la figura?

6) Halla “x” en: 3

1

2 128

36 4

2

2

4

1 1

2

x 3

a) 56 d) 72

2

b) 32 e) 60

c) 48

7) Halla “x” en: 2

6 16

x a) 4 d) 7

b) 6 e) 17

c) 9

5) Coloca los números del 1 al 9, uno por círculo, de manera que las sumas de los números de cada lado sea igual a 20. Da como respuesta la suma de los números que van en los vértices.

a) 16 d) 36

216 b) 8 e) 24

c) 4

8) Halla la letra que falta: B, F, J, N, _______ a) P d) S

b) Q e) R

c) D

9) Halla el número que falta: 6, 40, 74, 108, _______

a) 17 d) 11

b) 15 e) 10

c) 9


a) 150 d) 125

b) 142 e) 162

c) 132

2do de Secundaria


10) Halla el valor que falta: -12; -6; -3; -3/2; -3/4; ______ a) 1/8 d) -3/8

b) 3/8 e) -1/8

c) 7/8

20) Halla la letra que sigue: C, E, G, I, ______

Nivel II 16) ¿Cuántos palitos debo mover como mínimo para obtener 4 triángulos equiláteros?

11) Halla el valor que falta: -7; -2; 5; 14; 25; 38; ______ a) 42 d) 48

b) 45 e) 53

a) S/. 280 b) S/. 300 c) S/. 360

d) S/. 420 e) S/. 480

13) Un profesor gana S/. 1800 mensualmente. Si cada día gasta S/. 10 en comida y pasajes, S/. 15 en materiales y además debe pagar cada mes S/. 500 por un departamento alquilado, ¿cuánto dinero le sobra para ahorrar? (Considera un mes de 30 días) a) S/. 800 b) S/. 900 c) S/. 750

d) S/. 550 e) S/. 1 000

a) 260 d) 70 a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

d) S/. 6 e) S/. 7

15) Según el problema anterior, ¿cuántos sacos compré? a) 100 b) 120 c) 130

d) 150 e) 180

2do de Secundaria

c) M

a) 0 d) 6

14

24

2

3

b) 40 e) 54

5 6 2 b) 10 e) 7

5 8 x c) 6

ENUNCIADO

9

7

2

8

7

13 5

4

6

24 10

x

b) 3 e) 6

De cinco ciudades V, W, X, Y, Z se sabe que: La ciudad X tiene más habitantes que la ciudad W, y está al este de la misma. La ciuda d W t iene men os habitantes que Y pero más que Z y está al oeste de V. La ciudad V está al oeste de Y y Z, pero tiene más habitantes que Y. c) 4 24) ¿ Q u é c i u d a d e s t á m á s a l occidente? a) W d) Z

19) Halla la letra que sigue: B, D, G, K, ______ b) N e) P

2 4 3

c) 36

18) Halla x en:

a) M d) O

6 8 12 a) 12 d) 4

7

a) 2 d) 5

c) 3

23) Halla el valor de x en:

6 x

a) 70 d) 48

b) -1 e) -2

6

2

4

c) 195

22) Halla el número que sigue: 10, 8, 4, 2, 1, ____

3

4

b) 390 e) 145

c) 3

17) Halla x en:

14) Si compro cierto número de sacos de azúcar por 600 soles y los vendo por 840, ganando 2 soles por cada saco, ¿cuánto pagué por cada saco? a) S/. 3 b) S/. 4 c) S/. 5

b) L e) Ñ

21) Halla el número que sigue: 5, 6, 12, 15, 60, 65, _____

c) 46

12) Si gano S/. 23 diarios y gasto S/. 11 en comida y pasajes, ¿cuánto dinero podría ahorrar en un mes (30 días)?

a) K d) J

b) X c) Y e) No se puede determinar

c) Ñ


41


25) ¿Cuál tiene menos habitantes? a) W d) Z

b) X c) Y e) No se puede determinar

26) Con seguridad, ¿cuál tiene más habiantes que W pero menos que V? a) X d) Z

b) Y c) W e) Más de una es correcta

35) Halla el número que sigue en: 2, 3, 5, 7, 11, ______

Nivel III

ENUNCIADO Mirna quiere preparar galletas para venderlas en el colegio. Para producir 50 galletas necesita realizar los siguientes gastos: Harina 2kg S/. 7 Leche 1/2 litro S/. 1 Mantequilla 1/2 kg Saborizante 1 botella Huevos 1 kg

S/. 2.5 S/. 1,5 S/. 3

a) 12 d) 15

b) 13 e) 16

c) 14

36) Halla el número que sigue: 20, 16, 12, 4, -20, ____ a) -150 d) -130

b) -200 e) -201

c) -116

37) Halla x en: 27) ¿Qué ciudades no pueden estar una junta a la otra? a) W y X b) Z y V c) Y y X

d) W y V e) Y y Z

28) Carmen regala 3 caramelos por día y Selene regala 10 caramelos por día. Luego de algunos días entre las dos han regalado 247 caramelos, ¿cuántos días han pasado? a) 13 d) 19

b) 15 e) 21

a) S/. 60 b) S/. 80 c) S/. 120

d) S/. 240 e) S/. 90

30) A: El exceso de 43 sobre 27. B: Cantidad en la que es excedido 73 por 95. Halla (3A + 5B) A. a) 2618 b) 2718 c) 2512

42

a) S/. 60 b) S/. 30 c) S/. 40

d) S/. 80 e) S/. 90

32) ¿Cuánto ganará en la venta de 10 galletas si las vende cada una en S/. 0,5? a) S/. 6 b) S/. 3 c) S/. 2

d) S/. 7 e) S/. 8

c) 17

29) Si Pedro le da a Pablo S/. 120, ambos tendrían la misma cantidad de dinero. ¿Cuánto es el exceso de la cantidad que tiene Pedro sobre Pablo?

132 ( 24 ) 516 (210) 113 ( x )

31) Si produce 200 galletas, ¿cuánto gastará?

33) Si en un día produce 400 galletas, ¿a cuánto debe vender cada galleta si desea ganar S/. 80? a) 35 céntimos d) 60 céntimos b) 45 céntimos e) 75 céntimos c) 50 céntimos

a) 20 d) 135

4 7 9

b) 120 e) 18

c) 27

38) Halla x en: 15 39 12 a) 10 d) 8

(7) (5) (x)

20 26 30

b) 12 e) 7

c) 9

39) Halla x en: 5 2 13 a) 10 d) 15

4 4 19

8 3 27

b) 3 e) 5

6 0 x c) 18

34) Si durante la preparación se queman 100 galletas, ¿a cuánto debe vender cada galleta si desea recuperar su dinero? a) 40 céntimos d) 55 céntimos b) 45 céntimos e) 60 céntimos c) 50 céntimos

d) 2528 e) 2642


2do de Secundaria


44) Un lapicero cuesta S/. 2 más que un plumón y el plumón cuesta S/. 1 más que un lápiz. Si un lapicero, un plumón y un lápiz cuestan S/. 16, ¿cuánto cuesta el plumón?

40) Halla x en: 12 13 15 17 a) 14 d) 22

4 18 10 6

6 11 15 x

b) 13 e) 23

c) 18

a) S/. 4 b) S/. 3 c) S/. 5

d) S/. 6 e) S/. 7

41) Halla x en: 1

4

2

5

3

6

2

3

3

5 7

45) ¿Cuántos cubos unitarios hay en la figura?

8 9 x 6

a) 20 d) 10

a) 18 d) 20

b) 6 e) 4

b) 17 e) 15

46) Se sabe que:

a) 40 litros b) 50 litros c) 60 litros


43) La edad de Jorge, en 1992, excedía a la edad de Gilder en 23 años. Si en el 2003 la suma de sus edades era de 73 años, ¿qué edad tendrá Gilder en el año 2009? a) 25 años b) 31 años c) 28 años

a) Semifusa, corchea, fusa, semicorchea, blanca. b) Fusa, corchea, semifusa, semicorchea, blanca. c) Blanca, semicorchea, fusa, corchea, semifusa. d) Semifusa, fusa, corchea, semicorchea, blanca. e) N.A.

c) 16

c) 5

42) Se tienen tres depósitos A, B y C cuyos contenidos son 280; 230 y 150 litros. Si de A y B se pasan algunos litros a C hasta lograr que los tres depósitos tengan la misma cantidad de agua, ¿cuántos litros se pasaron de A a C?

47) Las notas en un pentagrama están dispuestas de la siguiente manera: La semifusa se encuentra dos líneas debajo de la corchea. La fusa se encuentra dos líneas debajo de la blanca. La corchea se encuentra una línea debajo de la fusa. La blanca se encuentra u n a l í n e a a r r ib a d e l a semicorchea. Representa el orden relativo de abajo hacia arriba.

Sonia no es más baja que Liliana. Pilar es más alta que Sonia. Mil ka es más b aja qu e Catalina. No es cierto que Karina sea más alta que Sonia. So nia es má s b a ja qu e Catalina. Por lo tanto se puede afirmar que: a) b) c) d)

Liliana es la más alta. Catalina es la más alta. Milka es más alta que Sonia. Liliana es más baja que Catalina. e) No es cierto que Pilar sea más alta que Karina.

48) Una enfermera proporciona a su paciente una tableta cada 45 minutos. ¿Cuántas tabletas necesitará para 9 horas de turno si debe suministrarlas al inicio y al término del mismo? a) 11 d) 17

c) 15

49) Un comerciante tiene al inicio del día 8 lapiceros de S/. 1 cada uno y 4 lapiceros de S/. 2 cada uno. Si al final del día tiene S/. 12, ¿cuántos lapiceros le sobran, sabiendo que le queda por lo menos un lapicero de cada tipo? a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

50) Un depósito lleno de gasolina cuesta 275 soles. Si se saca de él 85 litros, ya no cuesta más que 150 soles. ¿Cuántos litros contenía el depósito?


a) 85 d) 289

2do de Secundaria

b) 13 e) 19


b) 125 e) F.D.

c) 187

43


Ordenamiento Circular y Test de Decisiones Resolución:

Objetivos

"M se sienta junto y a la derecha de N y frente a P".

1. Po ten cia r l a ha bil ida d analítica. 2. Afianzar el desarrollo de la creatividad y el ingenio. 3. Ej er cit a r l a ca p a cid a d recreativa de la realidad con la Matemática.

1. Ordenamiento Circular En estos casos se presenta la información indicándose cómo se ubican los datos alrededor de un objeto, formando así una línea cerrada (circunferencia).

Luego, terminando de completar:

P

"Q no se sienta junto a N". Q (I) p

Q (II)

M

Rpta.: T está entre N y P

"A", "B", "C", "D", "E", "F", "G" y "H" se sientan alrededor de un mesa circular con ocho asientos, distribuidos simétricamente, de la siguiente manera. B H

E M

A

D G

F

N "R no se sienta junto a P"; esto descarta la posibilidad (II) y tendríamos:

P M

• Q no se sienta junto a N.

C Responde: a) ¿Quién se sienta frente a "F"? _________________________

Q R

N

¿Entre quiénes se sienta T?

44

T

Ejemplo 2:

N

Si se sabe que:

• R no se sienta junto a P.

R

M

Ejemplo 1:

• M se sienta junto y a la derecha de N y frente a P.

P

N

Los ejercicios de este tema son un tanto complicados y se necesita mayor atención y un minucioso análisis.

Seis amigos M; N; P; Q; R y T se sientan alrededor de una mesa circular con seis asientos distribuidos simétricamente.

Q


b) ¿Quién(es) está(n) a la derecha de "C"? _________________________ c) ¿Quién está a la izquierda de "A" y junto a "D"? _________________________ d) ¿Quién está al frente del que está tres asientos frente a la izquierda de "G"? _________________________

2do de Secundaria


2. Cuadro de Decisiones En algunos casos la existencia de una diversidad de datos, hace necesaria la construcción de una tabla o cuadro en el cual se relacionan los datos proporcionados marcando las relaciones existentes y descartando las que no cumplen las condiciones del problema. A continuación se procede a marcar una "X" o "NO" en cada casilla correspondiente a una imposibilidad definida y a colocar “” o un “Sí” en la casilla que corresponda a un dato confirmado. Además se debe verificar tanto en cada fila horizontal y vertical la existencia de un solo Sí a menos que las condiciones del problema afirmen lo contrario o señalen características especiales de los datos.

• "Pilar no simpatiza con Nora". Se deduce entonces que Pilar no es amiga de Nora, entonces Hugo no salió con Pilar (por el caso anterior). Luego, Hugo salió con Sara, lo cual señala que Sara no salió ni con Marcos ni con Carlos. Nora Marcos Hugo

• "Hugo salió con la amiga de Nora". Se deduce que Hugo no salió con Nora, pudo haber salido con Pilar o Sara. Nora

Pilar

Sara

Marcos X

X

 X

• "Pilar salió antes que Marcos". Se deduce que Pilar no salió con Marcos, tampoco con Hugo, pues éste salió con Sara; entonces, ella salió con Carlos.

Marcos Hugo

X

Carlos

Pilar

Sara

X

X

X





X

Según (1): Corbata Apellidos

Sr. Blanco

Blanca

Roja

Negra

X

Sr. Rojo

X

Sr. Negro

X

Según (2): El Sr. Blanco responde al señor de corbata roja.

Finalmente: • Nora salió con Marcos:

Corbata Apellidos

Nora

Pilar

Sara

Sr. Blanco

Marcos



X

X

Hugo

X

X



Sr. Rojo

Carlos

X



X

Luego, Hugo acompaña a Sara y Marcos salió con Nora. Ejemplo: 4


Blanca

Roja

X

X

Negra

X

Sr. Negro

X

El señor de la corbata roja es de apellido Blanco o Negro, pero como le está contando al señor Blanco; entonces el personaje de la corbata roja se apellida Negro. Corbata

Almorzaban juntos tres políticos: el señor Blanco, el señor Rojo y el señor Negro. Uno de ellos llevaba corbata blanca, otro roja y el otro negra, pero no en el mismo orden.

Carlos

2do de Secundaria

¿De qué color es la corbata de cada político? Resolución:

Resolución:

Hugo

X

Nora

¡Atención! ... Vamos a resolver, de una manera sencilla, un problema de ingenio muy especial. Analizando las premisas:

Sara X

Carlos

Ejemplo: 3 A una reunión asistieron tres amigos: Marcos, Hugo y Carlos; y tres damas: Pilar, Nora y Sara. Terminada la actividad, cada uno de ellos salió acompañado por una dama. Hugo salió con la amiga de Nora. Pilar, que no simpatiza con Nora, salió antes que Marcos. ¿Quién acompañó a Sara y con quién salió Marcos?

Pilar

En un corto diálogo, se escucha que: 1. El señor de la corbata roja dice: «es curioso, a pesar de que nuestros apellidos son los mismos que los colores de nuestras corbatas, ninguno lleva su correspon– diente». 2. El señor Blanco responde: «tiene usted razón».

Blanca

Roja

Negra

Sr. Blanco

X

X



Sr. Rojo



X

X

Sr. Negro

X



X

Apellidos

45


Para este problema en particular, en cada fila y en cada columna, solamente se debe distinguir una afirmación verdadera () y todas las demás falsas (X). Nivel I Además, deducimos que el señor de apellido Blanco tiene corbata negra, pues su corbata no puede ser blanca, y esto nos lleva a concluir que el señor Rojo tiene corbata blanca. Así:

Señor Blanco ................. Rojo .................... Negro ..................

Corbata negra blanca roja

Ejemplo: 5 Se va a montar una obra teatral con cinco integrantes: Mario, Jorge, Willy, Carmen y Claudia representando cinco papeles: juez, abogado, fiscal, testigo y acusado, además cada uno tendrá una característica diferente: furioso, tranquilo, enojado, alegre y triste, y que: • • • • •

1) Cuatro amigos se sientan alrededor de una mesa redonda en la que hay cuatro sillas distribuidas simétricamente. Sabemos que:   Julio se sienta junto y a la derecha de Beto.   Peter no se sienta junto a Beto.   José está entretenido viendo cómo los otros tres discuten. Según esto podemos afirmar: a) José y Julio se sientan juntos. b) Beto y José no se sientan juntos. c) No es cierto que José y Julio no se sientan juntos. d) Peter se sienta junto y a la derecha de José. e) Peter se sienta junto y a la derecha de Julio.

El juez estará tranquilo en el escenario. Carmen hará de fiscal. El papel de testigo se lo dieron a Willy. Jorge no será el acusado porque tendría que estar triste en escena. A Claudia le dieron el papel de abogado y por lo tanto no estará furiosa en escena.

2) En una mesa cuadrada se sientan

Completa el cuadro:

 

Mario Jorge

cuatro personas: Pedro, Pablo, Wilma y Betty, uno en cada esquina. Se sabe que:  Frente a Pedro está Betty.  Pablo no está a la izquierda de Betty. ¿Quién está a la izquierda de Wilma? a) Betty b) Pablo c) Pedro

Willy Carmen

d) Nadie e) Falta información

3) En una mesa circular seis superhéroes (Batman, Robin, Superman, Acuaman, Flash y la Mujer Maravilla) se ubican simétricamente. Si se sabe que:   Superman está a la izquierda de la Mujer Maravilla y frente a Acuaman.   Robin está frente a Batman y no está al lado de Acuaman. ¿Quién está a la izquierda de Flash?

Claudia

a) Robin d) Batman b)Mujer Maravilla e) Acuaman c) Superman

46


2do de Secundaria


4) Cinco personas A, B, C, D y E se sientan alrededor de una mesa circular que tiene cinco asientos:  A se sienta entre B y C.  E se sienta al lado de B. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? I. C se sienta junto a D. II. A se sienta junto a E. III. D se sienta junto a E. a) I y II b) I y III c) II y III

d) Ninguno e) Faltan datos

5) Seis amigos A, B, C, D, E y F se sientan alrededor de una mesa circular con seis asientos distribuidos simétricamente. Además:   D no se sienta junto a B.   A se sienta junto y a la derecha de B y frente a C.   E no se sienta junto a C. ¿Entre quiénes se sienta F? a) C y E b) C y B c) A y D

d) C y A e) B y E

6) En una mesa circular se encuentran distribuidos simétricamente tres niños: Renzo, Carlos y Marco. Si Marco está junto y a la izquierda de Carlos, ¿cuál es el orden en que se sientan los niños empezando por Renzo y siguiendo el sentido antihorario? a) RMC b) MCR c) RCM

d) CRM e) CMR

7) Tres amigos: Gilder, José y Beto comentan acerca del equipo del cual son hinchas: "U", Cristal y Cienciano.   Gilder dice: "No soy hincha de Cienciano ni de Cristal".   José dice: "Me gustaría que mi equipo tuviera una camiseta como la del Cienciano".   Beto dice: "Me encanta el uniforme rojo de mi equipo". Si el más inteligente es hincha de la "U", ¿quién es éste?

2do de Secundaria

U

Cristal Cienciano

Gilder José Beto 8) Cuatro amigos: Ángel, Juan, Mauro y Roberto viven en cuatro distritos diferentes. Además se sabe que:   Juan no vive en Jesús María, pero Roberto vive en Pueblo Libre.   Ángel va a Jesús María a visitar a Mauro.   A Juan le gustaría vivir en San Isidro. ¿Dónde vive Ángel?¿Quién vive en San Borja? J.M. P.L.

S.I.

S.B.

Ángel Juan Mauro Roberto 9) Tres personas: Antonio, Fernando y Jorge tienen diferentes aficiones: fútbol, básquet y tenis, y gustan de colores diferentes: azul, rojo y blanco. Si se sabe que:   Fernando no practica tenis.   El basquetbolista no gusta del rojo.   Antonio no practica básquet.   Quien practica tenis gusta del blanco.   Fernando no gusta del azul. ¿Qué afición tiene Antonio?¿Cuál es el color favorito de Jorge? Afición

Color

10) Rocío, Ana y Martha son tres tutoras de primer, segundo y te rc er año , aunque no necesariamente en ese orden. Si:   Ana es tutora de primer año.   Martha no es tutora de segundo año. ¿Quién es la tutora del salón del tercer año? a) Rocío b) Diana

d) Martha e) N.A.

11) Aldo, Carlos y Beto son militares con tres rangos distintos: soldado, ca b o y ma y or, a un qu e n o necesariamente en ese orden. Si:   Beto es el soldado.   Carlos no es el cabo. ¿Cómo se llama el mayor? a) Aldo b) Carlos c) Beto

d) Faltan datos e) N.A.

12) Tres amigos: Ana, Beto y Carlos, tienen distintas profesiones: profesor, médico y electricista, no necesariamente en ese orden. Si:   Ana es el médico.   Beto no es el electricista. ¿Cuál es la profesión de Carlos? a) Profesor b) Médico c) Electricista

d) Ninguna e) Contador

13) "A", "B" y "C" tienen una mascota cada uno: perro, gato y mono. Si "B" le dice a la que tiene el gato, que la otra tiene un perro, y "C" le dice a la que tiene el perro, que debería vacunarlo contra la rabia; entonces:

Fút. Bás. Ten. Azu Roj Bla

Antonio Fernando

a) "A" tiene el mono. b) "C" tiene el gato. c) "B" tiene el perro. d) Faltan datos. e) N.A.

Jorge


47


14) Tres niños tienen como mascotas a un sapo, un pez y a un hámster y les han puesto como nombres Boris, Alex y Cuty. Se sabe que Alex no croa y que a Boris le cambian periódicamente el agua. Entonces, el pez, el hámster y el sapo se llaman respectivamente: a) Alex, Boris, Cuty b) Cuty, Alex, Boris c) Boris, Cuty, Alex d) Alex, Cuty, Boris e) Boris, Alex, Cuty 15) Tres hermanos practican natación, atletismo o básquet; cada deporte se identifica con un color: azul, rojo o verde. Juan no sabe nadar, el que juega por el verde es atleta; los rojos no juegan básquet, Gustavo participa por el verde. ¿Qué deporte le corresponde a Alberto y Gustavo, respectivamente? a) Natación y básquet b) Básquet y atletismo c) Atletismo y natación d) Natación y atletismo e) Faltan datos

Nivel II

16) Cuatro hermanas: Nancy, Rosa, Graciela y Nilda se sientan alrededor de una mesa circular que tiene cinco asientos.   Entre Rosa y Graciela hay un asiento vacío.   Nilda no se sienta junto a Rosa. ¿Quiénes se sientan junto a Nancy? a) Graciela y Nilda b) Rosa y Graciela c) Nilda y Rosa d) Ninguna e) Faltan datos

48

17) Seis personas juegan al póquer alrededor de una mesa redonda. Lito no está sentado al lado de Elena ni de Juana. Félix no está al lado de Gino ni de Juana, Pablo está junto y a la derecha de Elena. ¿Quién está sentado a la derecha de Pablo? a) Lito b) Félix c) Elena

d) Juana e) Gino

18) Seis amigos: P, Q, R,S, T y U, se sientan alrededor de una mesa circular con seis asientos distribuidos simétricamente. Si se sabe que P se sienta junto y a la derecha de Q y frente a R. S no se sienta junto a Q y T no se sienta junto a R. ¿Dónde se sienta U? a) Entre R y T d) Frente a Q b) Frente a S e) Frente a P c) Entre Q y R 19) Cuatro amigos se sientan alrededor de una mesa redonda con cuatro sillas distribuidas simétricamente. Se sabe que:   Pilar no se sienta junto a Julia.   Pamela se sienta junto y a la derecha de Julia. ¿Dónde se sienta Jorge? a) Frente a Pamela. b) Frente a Pilar. c) A la izquierda de Julia. d) A la derecha de Pilar. e) Más de una es correcta. 20) Seis amigos: Ángel, Daniel, Mario, Raúl, Sergio y Tomás se reúnen para cenar en una mesa redonda. Se sabe que:   Raúl no se sentó al lado de Tomás ni de Ángel.   Mario no se ubicó al lado de Ángel ni de Raúl.   Sergio no se sentó al lado de Tomás ni de Mario. ¿Quién se sentó junto y a la izquierda de Ángel? a) Sergio b) Daniel c) Mario

d) Tomás e) Raúl


21) Seis amigos se ubican alrededor de una fogata, Tito no está sentado al lado de Nicanor, ni de Pablo, Fernando no está al lado de Ricardo ni de Pablo. Nicanor no está al lado de Ricardo ni de Fernando. Darío está junto y a la derecha de Nicanor. ¿Quién está sentado a la izquierda de Fernando? a) Tito b) Nicanor c) Ricardo

d) Pablo e) Darío

22) Rommel, Alex, Luis y Eduardo practican los siguientes deportes: fútbol, atletismo, natación y tenis; y viven en los distritos de Los Olivos, Breña, San Borja y Miraflores. Se sabe que:   Luis no vive en Los Olivos ni en Breña.   El atleta vive en Los Olivos.   Rommel vive en Miraflores.   Eduardo es futbolista.   El nadador nunca ha emigrado de San Borja. ¿Qué deporte practica Rommel? a) Natación b) Atletismo c) Fútbol

d) Tenis e) Básquetbol

23) ¿Dónde vive el futbolista? a) Los Olivos d) Breña b) Miraflores e) San Miguel c) San Borja 24) Luis y Carlos tienen diferentes ocupaciones y viven en distritos diferentes. Se sabe que el vendedor visita a su amigo en Lince. Carlos vive en Breña. Uno de ellos es doctor. Luego es cierto que: a) El doctor vive en Breña. b) Carlos no es vendedor. c) El que vive en Lince es vendedor. d) Luis es doctor. e) Ninguna es cierta.

2do de Secundaria


25) Hugo, Paco y Luis están enfermos, uno tiene tos, el otro fiebre y el otro dolor de barriga. Hugo le dice al que tiene fiebre que el otro amigo tiene dolor de barriga, Luis tiene miedo a los termómetros y su mamá no sabe como medirle la temperatura. La relación correcta es: a) Hugo – fiebre b) Luis – dolor de barriga c) Luis – tos d) Paco – tos e) Paco – dolor de barriga 26) Tres amigos, con nombres distintos, tienen cada uno un animal diferente:   Pepe le dice al dueño del gato que el otro amigo tiene un gallo.   Chachi le dice a Ernesto que su hija es doctora.   Chachi le dice molesto al dueño del gato, que éste quiso atacar al gallo.   El perro y el gato peleaban. La relación correcta es: a) Gato – Pepe b) Gato – Chachi c) Gallo – Pepe d) Perro – Pepe e) N.A. 27) Los señores López, Pérez y Quispe viven en un edificio de tres pisos, uno en cada piso. Ellos tienen un auto, un microbús y un camión, no necesariamente en ese orden. Se sabe que el Sr. López vive arriba del que tiene auto; el que tiene camión es el Sr. Quispe, quien vive en el primer piso. Entonces, se puede afirmar que: a) El Sr. López tiene auto y vive en el tercer piso. b) En el segundo piso vive el Sr. Pérez quien tiene auto. c) El Sr. Quispe vive en el tercer piso. d) Quien tiene el auto vive en el primer piso. e) Más de una es correcta.

2do de Secundaria

28) Tres amigas: Angélica, Berenís y Cinthya fueron a una fiesta, acompañadas de sus enamorados: una fue con vestido rojo, otra con blanco y la otra con verde. Se sabe que Angélica, que no fue de blanco, fue acompañada por Juan. La de vestido rojo fue con David. Rubén y Berenís que habían sido enamorados antes, se encontraron después de mucho tiempo en la fiesta. Entonces Cinthya fue con: a) Rubén b) Juan c) David

d) Jorge e) Toño

29) En una reunión se encuentra un carpintero, un escritor, un sastre y un maestro. Ellos se llaman (no necesariamente en ese orden) Carlos, Enrique, Jorge y Gerardo, además:   Carlos y el carpintero están enojados con Gerardo.   Enrique es amigo del maestro.   El escritor es familiar de Gerardo.   El sastre es vecino de Jorge y del maestro.   Ca r l os h a ce a ño s v ie ne editando libros. ¿Quién es el sastre? a) Enrique b) Jorge c) Gerardo

d) Carlos e) Luis

30) Del problema anterior, ¿cuál es la profesión de Gerardo? a) Escritor b) Sastre c) Maestro

d) Carpintero e) Faltan datos

Nivel III 31) En una mesa circular, cuatro peleadores (Bruce, Riu, Ken, Chun– Lee) se ubican simétricamente. Se sabe que:   Ken se sienta frente a Riu.   Bruce se sienta frente a Chun– Lee. ¿Quién está a la derecha de Ken? a) Chun–Lee b) Riu c) Bruce d) Chun – Lee o Riu e) Bruce o Chun – Lee 32) Seis amigos juegan al póquer alrededor de una mesa redonda. Además se sabe que:   Luis no está sentado al lado de Enrique ni de José.   Fernando no está al lado de Gustavo ni de José.   Enrique no está al lado de Gustavo ni de Fernando.   Pedro está a la derecha de Enrique. ¿Quién está sentado junto y a la izquierda de Fernando? a) Pedro b) Enrique c) Luis

33) ¿Quién se sienta frente a Enrique? a) Pedro b) Gustavo c) Luis

d) Fernando e) N.A.

34) En una mesa circular con seis asientos distribuidos simétricamente se sientan cinco hermanos: Érica, Fabiola, Miluska, Guisela y Francisco. Se sabe que:   Francisco y Miluska no se sientan juntos.   Guisela se sienta junto a Érica y Francisco.   Fabiola se sienta frente a Guisela. ¿Quién se sienta frente al sitio vacío? a) Érica b) Miluska c) Francisco


d) Gustavo e) Fernando

d) Guisela e) Fabiola

49


35) E n l a b i b l i o t e c a d e u n a universidad, 8 alumnos se sientan en una mesa circular guardando iguales distancias. Todos son alumnos de diversas facultades. El de Ingeniería está frente al de Educación y entre los de Economía y Farmacia, el de Periodismo está a la izquierda del de Educación y frente al de Economía, frente al de Farmacia está el de Derecho; éste a su vez está a la siniestra del de Arquitectura. ¿Cuál de ellos está entre los estudiantes de Biología y Educación? a) El de Periodismo b) El de Economía c) El de Biología d) El de Arquitectura e) El de Educación 36) En una mes a circular hay seis asientos simétricamente colocados ante lo cual se sientan 6 amigas a jugar monopolio. Además se sabe que:   Lucía no está sentada al lado de Leticia ni de Juana.   María no está al lado de Cecilia ni de Juana.   Leticia no está al lado de Cecilia ni de María.   Irene está junto y a la derecha de Leticia. Entonces es cierto: I. Irene está junto y a la derecha de María. II. Lucía está frente a Leticia. III.Juana está junto y a la izquierda de Cecilia. a) Sólo I b) Sólo II c) I y III

d) II y III e) Todos

37) Cinco hermanos P, Q, R, S y T se sientan alrededor de una mesa circular que tiene cinco asientos.   P se sienta entre Q y R.   T se sienta al lado de Q.

50

¿Cuál de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I. R se sienta junto a S. II. P se sienta junto a T. III.S se sienta junto a T. a) I y II b) II y III c) I y III

d) Ninguna e) Las tres

38) Diana, Elena, Fiorella, Alejandro, Bruno y Carlos se sientan alrededor de una mesa circular con seis sillas distribuidas simétricamente de modo que:   Alejandro se sienta frente a Fiorella.   Dos personas del mismo sexo no se sientan juntas. ¿ C u á l e s d e la s s i g u i en t e s afirmaciones son verdaderas? I. Alejandro se sienta adyacente a Diana y Elena. II. Fiorella se sienta a la derecha de Carlos. III.Elena se sienta a la izquierda de Bruno. a) Sólo I b) I y II c) I y III

d) II y III e) Ninguna

39) En una fiesta se encuentran tres amigos: Darío, Armando y Gerardo. Ellos a su vez son: profesor, marinero y contador, aunque no necesariamente en ese orden. El profesor, que es vecino de Gerardo, siempre va de compras con Darío. Si Gerardo fue compañero de estudios del marinero, ¿qué ocupación tiene Darío? a) Profesor b) Marinero c) Contador

41) Albino, Beto y César viven en distritos diferentes, y se movilizan usando transportes distintos. Los distritos son: La Victoria, Lima, Pueblo Libre y los medios son: bicicleta, moto y automóvil.   Cuando Beto tenga dinero se comprará una moto y se mudará a Pueblo Libre.   Desde que César vive en Lima ya no tiene bicicleta.   El que vive en La Victoria usa 2 automóviles por la distancia. ¿Qué medio usa el que vive en Pueblo Libre? a) Moto b) Biciclet c) Automóvil

d) Faltan datos e) N.A.

El número 40 Es un número que, asociado a la unidad, ha sido muy recurrente en la Biblia. Moisés pasó 40 días y 40 noches en el Monte Sinai. Jesucristo pasó 40 días de penitencia en el desierto. El Diluvio Universal duró 40 días. Los grandes reyes judíos Salomón y David reinaron 40 años, los mismos que el pueblo judío estuvo errante en el desierto.

d) Doctor e) N.A.

40) ¿Qué ocupación tiene Gerardo? a) Profesor b) Marinero c) Doctor

d) Contador e) N.A.


2do de Secundaria


Operaciones Matemáticas Arbitrarias 3. ¿Qué es un Operador Matemático?

Objetivos 1. C o n o c e r e n t o d a s s u s variantes, el concepto de operación matemática. 2. Conocer las diferentes formas de definición de una operación matemática. 3. Potenciar la aptitud de reconocimento y manejo adecuado de nuevas estructuras simbólicas relacionadas con las operaciones matemáticas.

1. Nociones previas Este es un capítulo que basa su importancia en la gran aplicación que tiene sobre los procesos condicionados y reglamentados, que permite medir la capacidad para captar relaciones u operaciones nuevas, a las que se supone estamos poco acostumbrados. Permite también analizar nuevas operaciones matemáticas (definidas a partir de las ya conocidas), su definición y el modo de aplicarlas bajo las condiciones o restricciones en las cuales ha sido definida. Para tal efecto, debemos entender lo que es una operación matemática y lo que es un operador matemático. Veamos: Imaginemos que tenemos una máquina procesadora de algodón, tal como se muestra en la figura; esta máquina recibe la materia prima que es el algodón y la transforma en un producto terminado, después de un determinado proceso, dependiendo del botón que se haya escogido se obtiene:

2do de Secundaria

Es aquel símbolo que representa a una operación matemática. Nos permite reconocer la operación matemática a emplear con su respectiva regla de definición. Como ejemplos de operadores matemáticos tenemos:

Procesadora de Algodón Igual ocurre con una operación matemática (representada por la máquina), ya que ella se encarga de obtener resultados, después de un conjunto de procesos que se efectúan sobre determinadas cantidades; estos procesos son diferenciados por el operador que se emplee (representado por los botones).

Aquí mostramos otros operadores: *

#

2. ¿Qué es una operación matemática? @ Es un proceso que consiste en la transformación de una o más cantidades en una cantidad llamada resultado, bajo ciertas reglas o condiciones en la cual se define la operación. Toda operación matemática presenta una regla de definición y un símbolo que la identifica llamado operador matemático. Como ejemplos de operaciones matemáticas tenemos: la adición, la sustracción, la multiplicación, etc.

Operador asterisco Operador cuadrado Operador nabla Operador grilla Operador triángulo Operador rectángulo Operador diamante Operador arroba

Con estos operadores podemos establecer cualquier operación matemática, teniendo como REGLA DE FORMACIÓN alguna combinación de operaciones básicas conocidas que podemos crear. Ejemplo: Operación a Operador


b=a + b Regla de formación

51


Resolución: Dado a * b podemos calcular primero: 1 * 2 haciendo m = 1 y n =2.

1. Si: a b=a+b Calcula " 5 3"

2

a) 11 b) 10 c)14

Recurriendo a la misma operación a * b, podemos hallar (2 * 3) haciendo m = 2 y n = 3. Finalmente en la expresión "E", se hace necesario aplicar otra vez: m * n, donde "m" y "n" son los dos resultados anteriores, respectivamente:

d) 12 e) 13

Cálculo de 1 * 2: m * n = m2 + 2mn + n 2

Resolución: En este caso el operador es . La regla de formación es "a + b2". Lo que tenemos que hacer, es hallar el valor numérico de tal regla para: a = 5 y b = 3, ya que: a

b

5

3

1 * 2 = 12 + 2(1)(2) + 22 1* 2=9 ........................ 1 Cálculo de 2 * 3: m * n = m2 + 2mn + n 2

2 * 3 = 22 + 2(2)(3) + 32 2 * 3 = 25 ........................ 22

Luego de identificar los valores de "a y b", procedemos a reemplazarlos en la regla de formación: a

b = a + b2

5

3 = 5 + 32

Cálculo de "E": m * n = m2 + 2mn + n 2

E=

Efectuando operaciones combinadas:

Reemplazando

la potenciación: 5 3 = 5 + 9 Luego la adición: 5 3 = 14

El valor de 5

1

3 es 14.

El valor de "E" será 1156.

Rpta.: c

Importante

 Si se nos da: a * b y nos pide : 1 * 2

(1º) Potenciación o radicación (2º) Multiplicación o división (3º) Adición o sustracción

Si m * n = m2 + 2mn + n2; halla el valor de la expresión "E". E = (1 * 2) * (2 * 3) a) 1156 d) 846

52

b) 618 e) 1256

Rpta.: a

Recuerda que

 Al e fe ct u a r o pe r a ci on es combinadas se procede en el siguiente orden:

2.

y 2 :

E = 9 * 25 = 92 + 2 (9)(25) + 252 E = 81 + 2 (9)(25) + 625 E = 81 + 450 + 625 = 1156

Primero 

1 * 2

c)725

Sólo tenemos que identificar ambas expresiones de modo tal como lo indican las flechas: a=1 b=2

3. Si: x @ y = 3x + y3, calcula "m" en: {[1 @ 0] @ 2} + m = [6 @ 1] a) 6 d) 8

b) 4 e) 10


c) 2

2do de Secundaria


Resolución:

Resolución:

"m" forma parte de una igualdad.

De la condición:

5. Se sabe que: m

Calcula: 16

a+b

Vamos por partes: si calculamos primero el resultado de las operaciones: x @ y, tendremos una igualdad más sencilla donde podremos determinar el valor de "m".

a#b= a-b

Resolución: 16 2 = 16 (2

Calculamos: x+2 x-2

de [ 1 @ 0 ]:

Si: x @ y = 3x + y3

2.

Si reemplazamos tendríamos:

x#2= Cálculo

m)2

n = m (n

2x # 3 =

...........(I)

2x +3 ...........(II) 2x -3

16)2........... ()

como puedes apreciar debemos calcular 2 16 para reemplazarlo en (), tendríamos: 2 16 = 2(16

2)2

1 @ 0 = 3(1) + 03 =3.................

de [ 6 @ 1 ]:

Reemplazamos (I) y (II) en la expresión incógnita:

Si: 6 @ 1 = 3(6) + 13 = 19...............

x # 2 = 2x # 3

 Cálculo

 Reemplazando

y

2x + 3 x+2 = x-2 2x - 3

en la

igualdad: {3 @ 2}+ m = 19..

 Cálculo

(x + 2) . (2x - 3) = (x - 2) . (2x + 3)

Sin embargo analicemos el ejercicio: m n = m ( n m )2 lo que falta determinar

2x2 - 3x + 4x - 6 = 2x 2 + 3x - 4x- 6

de { 3 @ 2 }:

Si: x @ y = 3x + y3 3 @ 2 = 3(3) +23 = 17................  Reemplazando

Pe r o p a r a c a l c u l a r 2 1 6 , previamente debemos conocer 16 2, dato que no poseemos y que era lo que inicialmente queriamos calcular. Parece díficil, ¿verdad?

en:

Sin embargo: n

x-6=-x-6 2x = 0

 x= 0 =0 2

17 + m = 19  En esta nueva expresión, si m = 2,

m = n (m

n) 2,

de acuerdo a la definición. Ahora reemplazamos lo obtenido e n l a p r i m e r a ex p r e s i ó n y tendríamos: Rpta.: a

m m

n = m(n[m n] 2)2 n = mn2 [m n]4

la igualdad se verifica. El valor de "m" pedido es 2. Rpta.: c

4. Sea la operación (#) definida en los reales como: a+b a#b= a-b Calcula el valor de "x" si: x#2=2x#3 a) 0 b) 5 c) 2

d) 6 e) 3

2do de Secundaria

1 =( m mn2

Regla Implícita

n)3→(m

1 3 n)=mn2

lo que estabamos buscando. Entonces:

 Hasta ahora el proceso de solución de los ejercicios era sumamente sencillo, ya que la regla de definición era directa, sin embargo existen ejercicios en las que la regla de definición está incluida (implícita en el enunciado).


53


8) Si se conoce que: m @ n = 5m2 - 2n3. Calcula el valor de "1 @ 0".

Nivel I 1) Si: a * b = 4a + 5b; calcula "2 * 3". a) 21 d) 25

a) 6 d) 1

b) 23 e) 26

c) 19

9) Si:

a) 21 d) 26

2

b) 18 e) 15

halla: 15 a) 36 d) 35

c) 12

3) " " es un operador, de tal modo que: x

y = x2 + 5y.

b) 29 e) 17

b) 44 e) 49

2

c) 18

a) -1 d) 1

54

b) 13 e) 19

c) 16

c) 11

N = MN - 1;

halla: (3 2)

c) 3

K

=

c) 3

K + H +8 2

halla "x", en: 9

a) 9 d) 11

2.

b) 24 e) 35

c) 63

17) Si se sabe que: b = ( a + 1) (b + 2);

halla: 5

(3

a) 12 d) 84

b) 48 e) 81

1) c) 62

18) Si: a # b = ab;

b) 0 e) 1 H

x

b) 6 e) 9

a

halla: 3 # 2.

13) Se define:

7) Sabiendo que: m = 2m + 3; halla " 5 ".

9 b) 2 e) -2

calcula " 2 ".

a) 11 d) 15

c) 6

12) Si: m # n = mn - nm,

c) 15

a) 7 d) 5

(-2)

16) Si se sabe que:

y =2 x - 3 y ;

a) -1 d) 2

b) 3 e) 17

c) 27

y = x2 + 2xy + y2;

a) 64 d) 15

6) Si: x = 5x + 1;

a) 8 d) 11

15) Si x

b) 19 e) 41

M

b) 5 e) 8

halla: 25

c) 42

a) 18 d) 43

Nivel II 4a - 5b a*b= 6

x

5) Si: m * n = (m + n) (m - mn + n ); calcula "2 * 1". b) 5 e) 9

c) 32

11) Si:

2

a) 6 d) 3

b) 40 e) 38

a) 4 d) 7

c) 27

halla de izquierda a derecha: 2*3*1

calcula: (-1)

10) Si:

4) Si: a # b = (a + b) (a - b); calcula "7 # 2". a) 46 d) 45

3.

halla: 10 * 2.

Según esto, calcula "2 5". a) 21 d) 20

c) 10

q = p + pq; 2

3p

2) Si: m # n= m + n ; calcula "1 # 5". 2

b) 5 e) 0

14) Si a * b = 2a + 5b;

a) 8 d) 12

c) 8


b) 10 e) 0

18) Calcula: 5 x

= 13 b) 10 e) 12

halla: (1 # 0) # (2 # 1)

a) 51 d) 69

c) 3

2, sabiendo que:

y = (x + y)2 + (x - y)2 b) 16 e) 70

c) 58

2do de Secundaria


20) Se sabe que: a * b = 2a - b y m n = (m + 1) (n - 1);

{

27) Si: a = 3a ; si "a" es par. 4a + 1 ; si "a" es impar.

halla: "(6 # 4) # 3".

halla: 5 + 6 halla: (5 * 1) a) 20 d) 9

(2 * 1).

b) 26 e) 15

c) 12

b) 28 e) 45

3

halla: (8

2)

a) 4 d) 2

b) 6 e) 1

(3

a) 16 d) 13

3). c) 8

a) 10 d) 13

b) 5 e) 9

b) 21 e) 26

b) 510 e) 417

b) 18 e) 11

3

4

1

1

3

3

4

2

2

4

3

3

3

2

3

4

4

4

3

1

2

1

M

halla "(3

1)

A

S

S

A

S

M

A

S

a) 1 d) 4

b) 2 e) a o c

O

P

R

O

O

R

O

R

R

O

R

P

c) 15

.

a) 17 d) 62

c) 18

2do de Secundaria

c) 3

a) 1 d) 4

b) 2 e) a o b

36) Si: a

b =a2 - ab;

c) 3

halla "x", en: (A (P a) S A O d) S

S) O)

b)SO

M (R

(x + 2) P)

S c) O

e) S R

31) Si a * b= ab - ba; halla: "3 * 4". a) 16 d) 18

b) 17 e) 14

a) 2 d) -3

(x - 1) = 4x b) 6 e) -6

c) -2

37) Si la siguiente tabla está definida por: 3

Nivel III

halla el valor de:

(2 2)"

35) En el problema anterior, halla "x" si (x 3) 2 = 4.

R

P

halla:

26) Si y = 5y + 1,

b) 16 e) 31

2

S

25) Sabiendo que a = 2a + 5;

a) 13 d) 16

1

A

c) 642

halla el valor de: 3 + 1 .

c) 20

M

P

calcula el valor de: (2 * 1) * (1 * 0)

b) 15 e) 30

S

c) 23

24) Si a * c = 3a2 + 2c3;

a) 542 d) 480

30) Dada las tablas:

c) 6

23) Si m n= m + 2n, determina el valor de (3 4) 6. a) 19 d) 24

c) 12

A

(2 1)"

34) Si:

b) 11 e) 14

M

b = a2 + b ; si: a > b b = a + b2 ; si: a ≤ b

a) 10 d) 25

c) 20

halla "f (3)".

determina el valor de 9 . a) 12 d) 8

b) 8 e) N.A.

29) Siendo: f (x) = x2 + 2;

x = x + x;

c) 2

halla: "(1 2)

halla: E = 10 + 5 .

p q = + 2; q

b) 5 e) 3

33) Si: a a

a+b 28) Si: a = ; a-b 6

p

a) 4 d) 6

c) 34

b

21) Si:

22) Si

a) 20 d) 39

m+n ; m-n

32) Si m # n =

7

9

3

7

9

3

7

9

3

7

9

3

7

9

calcula: (7 9) (9 3) c) 15


a) 3 d) 3 ó 7

b) 7 e) 7 ó 9

c) 9

55


38) Si: x = x(x - 4) ; x = (x2 - 4); calcula: M = 5 + 6 a) 23 d) 56

c) 38

b ; 2

a) 16 d) 13

a) 16 d) 32

b) 11 e) 14

c) 12

c) 28

40) Con la definición anterior, halla "x".

3

+5

b) 19 e) 18

-

c) 2

41) Con la definición anterior, halla:

3 c) 10

b) 30 e) 18

c) 36

m

1 5 = 2

x

43) Si: a =

b) 3 e) 3

c) 6

{6a5a +; si1"a"; sies"a"par.es impar.

a) 20 d) 39 44) Si: a b =

b) 28 e) 29

c) 34

6

b) 8 e) N.A.

*

a

b

c

d

a

c

d

b

a

b

d

b

a

c

c

b

a

c

d

d

a

c

d

b

(b * d) * (a * a) a * [b * (c * d)]

calcula:

a+b ; a-b

halla: E = 10 + 5

56

c) 1

48) Dada la siguiente tabla:

5

halla: 3 + 2 .

a) 16 d) 13

b) 5 e) 3

b = a + b.

5

c) 16

m+n m+n - 4 3

n =

a) 2 d) 7

42) Halla: M =

a) 1 d) 1

b) 15 e) 32

47) Si se define la operación:

halla: "x".

Si: a

a) 10 d) 24

y se ha obtenido en una de sus aplicaciones:

x * x2 a) 32 d) 12

c) 9

1

4 * x = 11 b) 8 e) 10

b) 10 e) 45

entonces halla:

a = 2a - 1

a) 23 d) 25

9

n = 2 n;

calcula: E =

a) 5 d) 6

a) 2 d) 11

a = 2a

b) 14 e) 30

y = 3 x - 2 y;

50) Sabiendo que:

46) Definimos la operación:

halla: (5 * 8) * 4.

49) Si: x

calcula: 25

halla: f(3).

b) 16 e) 33

39) Si: a * b = 2a +

45) Siendo f (x) = x2 + 2 x + 1.

3

a

a) b c) 20

d)

c d

b

b) a e)

b

Lo s á r a b es l l a ma b a n a la incógnita shay (cosa). En muchas traducciones se escribía latinizada como xay y de ahí, al abreviar, quedó x. En Italia, shay se tradujo como cosa y a los que resolvían ecuaciones se les llamó cosistas, quienes escribían la x como co.

Ghiyath Al-Din Abu'l-Fath Umar Ibn Ibrahim Al-Nisaburi Al-Khayyam (hacia 1048 - 1131)

c) c

c a


2do de Secundaria


Métodos Operativos I Operaciones Inversas Reto

Una fuga peligrosa Ejemplo 1

Un número se multiplica por 5, el resultado se le resta 10, al resultado se le divide entre 2 y por último, al cociente obtenido se le aumenta 5, obteniéndose 40. Halla el número inicial. Debido a una fuga en una válvula, el camión cisterna pierde por cada 10 km, la mitad de su capacidad y 10 galones más. Luego de 40 km se quedó vacío. ¿Cuántos galones tenía inicialmente el camión cisterna?

Resolución:

Existe una cantidad indeterminada de problemas en la matemática. Las características que presentan algunos de ellos, ya sea por sus datos o forma de solución hace que sea posible clasificarlos y tener un método determinado para resolverlos.

Ejemplo 2

1. Operaciones Inversas

Cantidad Inicial

2do de Secundaria

x 5=

– 10 =

÷5

+ 10



2=

x2

+5=

40

–5

Arnaldo y Bruno se ponen a jugar casino. Primero perdió Arnaldo y duplicó el dinero a Bruno; luego perdió Bruno y le pagó 20 soles a Arnaldo y luego volvió a perder Bruno, pero esta vez la mitad de su dinero. Si ahora Arnaldo tiene 50 soles y Bruno 26 soles, ¿cuánto tenía cada uno inicialmente? Resolución:

1.1. REGLA DEL CANGREJO Es un método que se aplica a problemas donde una cantidad inicial (desconocida) se transforma en otra por medio de cierta operación y a su vez este resultado se transforma en otra con otra operación y así sucesivamente hasta llegar a un resultado final que se presenta como dato.

Cantidad Final

Arnaldo

–?=

+ 20 =

+?=

50

Bruno

x 2=

– 20 =

2=

26

Ejemplo 3

76

Jorge gasta de su sueldo los 2/3 en un par de zapatos más 2/7 de lo que le queda en un pantalón y por último gasta los 3/5 del nuevo resto en alimento quedándole aún 300 soles. ¿Cuál es el sueldo de Jorge? a) S/.3 501

b) S/.3 510

c) S/. 3 150


d) S/. 3 050

e) N.A.

57


Resolución:

Ejemplo 4

S = sueldo de Jorge.

lo que queda

Gastos 2 3

3–2 3 =

1 3

2 7

7–2 5 7 = 7

3 5

5–3 2 = 5 5

Luego:

2)

Un profesor de "RM" entra a una iglesia donde existe un santo milagroso, que le triplica el dinero que lleva; cada vez que el profesor entra a la iglesia con la condición que cada vez que le hace el milagro de triplicar su dinero le deje de limosna 25 soles. Si después de haber entrado 2 veces sale con 35 soles, ¿Cuál era su dinero inicialmente?

3)

a) S/.12 d) S/.16

? 4=

b) S/.15 e) N.A.

c) S/.18

a) 28 d) 16

Resolución: Como dicho profesor entró 2 veces, esto quiere decir que el Santo le hizo 2 milagros.

Rpta.: c

x3

a) 250 d) 450

b) 350 e) N.A.

a) 32 d) 16

20 + 25 = 45

→

x3

c) 300

=

x7=

=

x7=

2=

b) 9 e) 10

c) 6

b) 20 c) 14 e) 10

5) 60 : 3 = 20

? +6=

– 25 → 35 + 25 = 60

+ 3 = 17

Al final sale →de la iglesia con 35 soles. El dinero inicial era de 15 soles.

Resolución:

– 15 =

5=7

→ 2.° Milagro

c) 24

4)

45 : 3 = 15 soles

– 25

b) 20 e) 12

? x2=

1.er Milagro

Ejemplo 4 Un estudiante escribe cada día, la mitad de las hojas en blanco, más 25 hojas. Si al cabo de 3 días gastó todas las hojas, ¿cuántas hojas tenía el cuaderno?

=

x5 =

+2 = 12

1 x 5 x 2 x S = S/. 300 3 7 5 S = S/. 300 x 3 x 7 2 S = 3 150 soles

+ 16 =

a) 12 d) 8

6) ? –6= →

→

→

→

a) 10 d) 4

→ →

58

• En cada caso, halla el valor de la interrogante (?):

→

→

+ 12 =

 2 = 16 Nivel I

→

x5=

→

÷

→ →

x9=

a) 12 d) 10


c) 9

7) ? x5=

1)

b) 7 e) 5

+ 30 =

 11 =

+ 2 = 92

b) 8 e) 16

c) 6

2do de Secundaria


8) Un número se multiplica por 3,

13) Un número se aumenta en 40;

el resultado es aumentado en 10 unidades, al valor obtenido se le extrae la raiz cuadrada y al resultado obtenido se le añade 12 obteniendo finalmente el número 17. ¿Cuál era el número inicial?

el resultado se divide entre 4, el cociente obtenido se aumenta en 5; al resultado se le extrae la raíz cuadrada, el resultado se multiplica por 15 y luego al producto obtenido se le divide entre 25 resultando 3. Halla el número.

(

a) 32 d) 81

19)

a) 10 d) 15

b) 8 e) 12

c) 5

9) Un número se aumenta en 2,

el resultado se multiplica por 3, al resultado se le resta 15 obteniéndose 45. ¿Cuál es el número inicial? a) 24 d) 16

b) 12 e) 10

dentro de 2 años se le multiplica por 2, al producto le restamos 2, a todo esto se le divide entre 2, al cociente le agregamos 2, y le extraemos la raíz cuadrada al resultado, obtengo 5. ¿Cuál es la edad de Lucy?

c) 18

resultado se duplica, al resultado se le extrae la raíz cuadrada y al resultado de esta raíz se le disminuye en 8 obteniéndose 0. Halla el número inicial. b) 24 e) 10

c) 12


a) 622 d) 326

b) 516 e) 342

c) 464


siguientes operaciones; primero se multiplica por 5, al producto se le suma 60, a dicha suma se le divide entre 10, al cociente se le extrae la raíz cuadrada para finalmente restarle 4. Si luego de realizar las operaciones indicadas se obtiene 2, ¿cuál es el número? a) 6 d) 300

b) 60 e) 150

posee Pepe se le multiplica por 4, luego le quitamos 2, después lo dividimos entre 6 y le sacamos la raíz cuadrada, se obtiene 5. ¿Cuántas bolas eran propiedad de Pepe?

a) 34 d) 76

b) 38 e) 48

c) 152

Nivel II •

En cada caso, halla el valor de la incógnita (?):

–2=

a) 12 d) 48

b) 30 e) 11

c) 60

? +8=

x5=

+12 =

20)

(

)3 = 8 b) –8 e) –20

c) –10

•

Cada vez que salgo a la calle gasto la mitad de mi dinero y 5 soles más. Si un día salí 3 veces luego de las cuales me sobraron S/. 10.

21) ¿Cuánto dinero tenía al inicio

del día? a) S/.120 b) S/.310 d) S/.70 e) S/.90

c) S/.150

22) ¿Cuánto dinero gasté durante el

? +5= a) 6 d) 10

x6= b) 7 e) 12

 15 = 6 c) 8

17)

día? a) S/.120 b) S/.140 d) S/.135 e) S/.125

c) S/.150

23) ¿Cuánto dinero gasté en la segunda

salida? a) S/.20 d) S/.45

c) 80

2do de Secundaria

=

)2 = 4

a) –4 d) –6

16) 12) Con un número se hacen las

+6=

15) Si a la cantidad de bolas que

11) Un número se disminuye en 42,

el resultado se divide entre 6, al cociente obtenido se le multiplica por 20, luego se triplica el producto obtenido y se divide entre 5, hallándose 600 de cociente. El número es:

c) 40

? 3=

14) Si a la edad que Lucy tendrá

10) Un número se aumenta en 20, el

a) 18 d) 6

b) 42 e) 50

18)


b) S/.35 e) S/.50

c) S/.40

59


• "A", "B" y "C" juegan a los dados tal que el perdedor duplica el dinero a los demás. Si pierden en ese orden quedando al final con S/. 64, S/. 72 y S/. 80.

30) Cuando un campesino saca agua

35) Al sueldo de mi papá se le divide

de un pozo, extrae la mitad del contenido y 5 litros más. Si después de tres extracciones quedan aún 10 litros en el pozo, ¿cuántos litros habían inicialmente?

entre 9, luego le aumentamos 5, se le disminuye 18 y finalmente se le multiplica por 4, obteniéndose así 188. ¿Cuál es el sueldo de mi papá?

a) 180 d) 140

a) 450 d) 540

24) ¿Con cuánto dinero empezó "A"?

a) S/.106 b) S/.112 d) S/.116 e) S/.124

c) S/.120

25) ¿Con cuánto dinero empezó "C"?

a) S/.21 d) S/.31

b) S/.27 e) S/.37

c) S/.25

¿cuánto sumaban entre "A" y "B"?

cierta cantidad de peras. El primer cliente le compró la mitad del total más 10 peras. El segundo le compró la mitad del resto más 10 peras y lo mismo hicieron el tercer y el cuarto cliente, quedándose sólo con tres peras. ¿Cuántas vendió? b) 174 e) 345

• En cada caso, halla el valor de "x".

2

100 x 5

+9=

=

2 x 7 =

a) 1 d) 4

=

x b) 2 e) 5

c) 3

32)

50 + 10 = = a) 4 d) 9

7

x 12 =

+1=

b) 6 e) 10

1

= a) 12 d) 18

c) S/.110

3

+ 11 =

= x

b) 14 e) 20

c) 16

29) Cada vez que Jorge se encuentra

a) S/.7 d) S/.12

60

b) S/.21 e) S/.24

c) S/.5

1

60 x 5 =

4

 3

3

x

a) 1 d) 4

b) 2 e) 6

 11 =

cuaderno la dividimos entre 4, luego la aumentamos en 8, le disminuimos 26, a la diferencia se le multiplica por 5, obteniendo 60. ¿Cuántas hojas tenía al comienzo dicho cuaderno? b) 6 e) 220

c) 120

la raíz cuadrada, luego se le multiplica por 4, se le disminuye 8 y finalmente se le divide entre 2, obteniendose 8. ¿Cuál es la edad de Ángel?

34)

con Rosa, éste le duplica el dinero a ella. En agradecimiento Rosa le da un sol. Si en un día se han encontrado dos veces, luego de las cuales Rosa tiene 25 soles, ¿cuánto tenía inicialmente ella?


38) A la edad de Ángel se le extrae

 5 = 3  8


c) 8

33)

180 x 12 =

disminuye 7, a la diferencia se le multiplica por 4, se le divide entre 6, finalmente se le aumenta 5, obteniendo 19. ¿Cuál es la edad de Miguel?

a) 180 d) 320

3

x 2 = x

28) Juan duplica el dinero que llevaba

a) S/.60 b) S/.120 d) S/.220 e) S/.160

c) 380

37) Si a la cantidad de hojas de un

c) 384

al principio y luego gasta S/. 100. Con lo que le queda vuelve a duplicarlo y luego gasta S/.180. Si aún le quedan S/. 100, ¿cuánto dinero tenía inicialmente?

b) 550 e) 640

36) A la edad de Miguel se le

Nivel III

c) S/.150

27) Un comerciante llevó al mercado

a) 348 d) 171

c) 120

31)

26) Luego de la primera partida,

a) S/.132 b) S/.140 d) S/.148 e) S/.142

b) 150 e) 110

2 11

=

= = x c) 3




39) A un cierto número se le saca la

raíz cuadrada, a este resultado se le multiplica por 3, a este nuevo resultado se le multiplica por 7, luego lo dividimos entre 14, a lo que nos sale lo elevamos al cubo, luego le agregamos 9, finalmente extraemos la raíz cuadrada, obteniendo como resultado final 6. Halla el número inicial. a) 3 d) 6

b) 1/3 e) 9

c) 4

2do de Secundaria


40) Al preguntarle a Pablo por su edad,

45) De un juego de 52 cartas se saca

él responde: "A mi edad que tengo le sumo 14, luego le resto 2 y a esta diferencia le saco la raíz cuadrada para después multiplicarlo por 4 y a este producto sumarle 46 y para finalmente dividirlo por 3 y así obtengo un número múltiplo de 11 menor que 30. ¿Cuántos años tendrá Pablo dentro de 5 años?

primero (2x + 4) cartas; luego se saca la tercera parte de lo que resta y se observa que todavía quedan 16 cartas. ¿Cuánto se sacó la primera vez?

a) 16 d) 19

b) 17 e) 20

c) 18

a) 12 d) 36

casino, primero pierde Pablo S/. 30, luego pierde Tania y tiene que duplicarle el dinero a Pablo, quedando de esta manera Pablo con S/. 80 y Tania con S/. 40. ¿Cuánto tenía Pablo inicialmente?

día aumentó 6m, al segundo día disminuyó 9m, al tercer día disminuyó 7m, y al cuarto día aumentó 4m. Obteniéndose finalmente 12m. ¿Cuál fue la altura inicial? b) 22 m e) 18 m

c) 20 m

42) A la altura del nivel del agua de

una piscina en la primera hora se le dividió entre 3, en la segunda hora se la multiplico por 7 y en la tercera hora se le disminuyó 5. Halla la altura de la piscina. a) 15 d) 30

b) 14 e) 10

c) 16

c) 16

a) S/.50 d) S/.80 •

b) S/.65 e) S/.70

c) S/.110

"A", "B" y "C" juegan a las cartas con la condición que el perdedor entregará la mitad de su dinero el cual será repartido en partes iguales entre los ganadores. Si juegan tres partidas donde pierden en orden alfabético y luego de los cuales terminan con S/.8400, S/.200 y S/.200 respectivamente.

47) ¿Cuánto tenía "A" al inicio del

juego? 43) Un pozo de agua se vacía en 4

horas. Si en cada hora se va la mitad de lo que había en esa hora más 1 litro, ¿cuántos litros tenía inicialmente el pozo? a) 21 d) 28

b) 27 e) 29

c) 30

"A" y "B". De "A" pasan a "B" 20 litros; luego de "B" pasan a "A" la mitad de los litros que tiene "B". Si quedan "A" y "B" con 115 y 35 litros respectivamente, ¿cuántos litros tenía "B" inicialmente?

a) 40 d) 60

b) 30 e) 80

c) 50

46) Pablo y Tania se ponen a jugar

41) Un pozo de agua en el primer

a) 14 m d) 16 m

b) 24 e) 28

50) Se tiene dos depósitos de vino,

a) S/.450 b) S/.500 d) S/.475 e) S/.375

La estructura de una esfera geodésica se obtiene a partir del icosaedro. Como sabes es un poliedro de veinte caras triangulares. Es el poliedro regular más parecido a una esfera. En cada vértice del icosaedro coinciden cinco triángulos. Si realizamos un corte adecuado en cada vértice, podemos obtener un pentágono regular. Además, por cada cara triangular del icosaedro aparece un nuevo hexágono. El nuevo poliedro resultante tiene doce pentágonos y veinte hexágonos. Se llama Icosaedro Truncado y es un poliedro semirregular o arquimediano. Reconocerás en este poliedro a un balón de fútbol.

c) S/.525

48) ¿Cuánto dinero ganó o perdió

"C"? a) S/.25 b) S/.50 d) S/.100 e) S/.80

c) S/.75

44) Un estudiante escribió cada día

la mitad de las hojas en blanco que posee ese día, más 15 hojas. Si al cabo de 4 días gastó todas las hojas, ¿cuántas hojas tenía el cuaderno al principio? a) 320 d) 420

b) 450 e) 480

c) 520

2do de Secundaria

49) ¿Quién ganó más dinero?

a) Sólo A b) Sólo B c) Sólo C d) A y C e) B y C


61


Métodos Operativos II Falsa Suposición Reto

Gran pollada bailable

Resolución:

Ejemplo 2:

• Falsa Suposición: Si las nueve prendas compradas costaron S/. 45 cada una, se habría gastado:

En una granja donde existen vacas y gallinas, se contaron 80 cabezas y 220 patas (extremidades). ¿Cuántas gallinas hay en la granja?

9 x S/. 45 = S/. 405 • Error Total: Como el verdadero gasto fue de S/. 255 entonces hay un error de:

a) 20 d) 60

1. Método: Falsa Suposición El presente método se emplea en problemas donde hay un cierto número de elementos que presentan dos características diferentes y además se indica el total de estas características obtenidas a partir de los elementos.

Ejemplo: 1) En un bazar se vende cada camisa en S/. 20 y cada pantalón en S/. 45. Si Roberto compró nueve prendas gastando S/. 255, ¿cuántas camisas compró?

62

• Error Unitario: En cada camisa que cuesta S/. 20 se está cometiendo un error de: 45 - 20 = S/. 25 más Error total Número de = Error unitario Camisas 150

= 25 = 6

2. Método del Rombo Para que un problema se pueda resolver aplicando el método del rombo debe tener las siguientes características: 1. Que tenga 2 incógnitas. 2. Que presenta un valor numérico producido por la suma de dos incógnitas (número total de elementos). 3. Valor unitario de cada una de las incógnitas. 4. Además, tenga otro valor numérico producido por el número total de elementos. Para su mejor comprensión, veamos algunos problemas.


c) 40

Resolución:

405 - 255 = S/. 150 más Piolín y Silvestre organizaron una “pollada” con sus amigos. Si asistieron 52 sujetos y se contaron 144 patas, ¿cuántos lindos gatitos asistieron?

b) 30 e) 50

-

x -

A

Donde:

B

?

A = # Total de elementos (2.a característica). B = Recaudación total (4.a característica). En el vértice superior e inferior se colocan los valores unitarios (3.a característica). Luego, la resolución del problema dado es:

4 patas (vacas) -

x 80 cabezas

220 patas

-

2 patas (gallinas) 80 x 4 - 220 Número de = 4-2 Gallinas

Número de Gallinas = 50 Rpta.: e

2do de Secundaria


En caso que quisiéramos halla el número de vacas se procederá de la siguiente manera:

4 patas (vacas)

80 cabezas

220 patas

-

x

2 patas (gallinas)

Ejemplo:

Ejemplo:

4) A una fiesta entran un total de 350 personas entre niños y niñas, recaudándose S/. 1 550, debido a que cada niño pagaba S/. 5 y cada niña S/. 4. ¿Cuál es la diferencia entre niñas y niños?

a) 200 d) 50

b) 300 e) 350

Resolución:

Número de 80 x 2 - 220 -60 = = 2-4 -2 Vacas

Aplicando el método del rombo, obtenemos:

S/. 5 (niño)

Número de Vacas = 30

350 personas

Ejemplo: 3) Debo pagar 2 050 soles con 28 billetes de 50 y 100 soles. ¿Cuántos billetes de 50 soles debo emplear?

b) 17 e) 14

c) 16

-

100 preguntas

S/. 4 (niña)

# de niños = 350 - 200 = 150

28 billetes

Luego la diferencia entre niñas y niños es:

-

-

x

Ahora calculamos el número de niños.

S/.100 (billete)

c) 60

1 pto. (correcta)

S/. 1 550

N.° de niñas = 200


b) 40 e) 80

Por el método del rombo obtenemos:

# de niñas = 350 x 5 - 1 550 5-4

Resolución:

x

a) 30 d) 70 Resolución:

-

x

a) 15 d) 13

c) 150

5) En un concurso de isión en la prueba de Razonamiento Matemático que trae 100 preguntas, por la respuesta correcta se le asigna un punto y por la incorrecta tiene un puntaje en contra de un cuarto de punto. Arturo ha obtenido en dicha prueba 50 puntos habiendo respondido la totalidad de preguntas planteadas. ¿En cuántas se equivocó?

200 - 150 = 50

-1/4 ptos (incorrecta) Número de preguntas incorrec-= tas

100 x 1 - 50 1 1- 4

( )

= 50= 50 x 4 = 40 5 5

4 N.° de preguntas incorrectas = 40

2 050 soles

Rpta.: b Rpta.: d

S/.50 (billete)

En caso que quisiera halla el número de preguntas correctas se procederá de la siguiente manera, veamos:

Número de billetes de 50 = 28 x 100 - 2 050 100 - 50 soles

1 pto. (correcta)

100 preguntas

N.° de billetes de 50 soles = 15 Rpta.: a

50 puntos

x

2do de Secundaria

50 puntos

-

-

-1/4 ptos (incorrecta)


63


Número de preguntas correctas =

- 4

-

- 50

1 -1 4

Nivel I

= -75 = 4 x 75 = 60 5 5

-

4

N.° de preguntas correctas = 60

1) Si pago una deuda de S/.600 con 39 billetes de S/. 10 y S/. 20, ¿cuántos billetes de S/. 10 usé?

Ejemplo:

a) 18 d) 21

6) Un barril contiene 154 litros de vino que debe ser envasado en 280 botellas, unas de 0,75 litros y otra de 0,40 litros. ¿Cuántas botellas de 0,75 litros se van a necesitar?

a) 160 d) 200

6) Si Sebastián responde bien una pregunta, el profesor de RM le entregará S/. 25, pero si se equivoca él entregará al profesor S/. 15. Si luego de 24 preguntas, Sebastián le debe S/. 80 al profesor de RM. ¿Cuántas preguntas contestó bien?

( ) 1

100

b) 140 e) 160

b) 19 e) 22

c) 20

2)

a) 15 000 b) 16 000 c) 17 000 d) 13 000 e) 14 000


3) Se tienen 51 insectos entre arañas y moscas. Si en total se cuentan 368 patas, ¿cuántas arañas hay?

0,75 litros (botella)

280 botellas

154 litros

-

x

0,4 litros (botella)

Número de bote280 x 0,40 - 154 llas de 0,75 litros= 0,40 - 0,75 - 42 = - 0,35

N.° de botellas de 0,75 litros = 120 Rpta.: c

a) 20 d) 31

c) 28

4) Sandra tiene 54 animales entre loros y conejos. Si en total contó 158 patas, ¿cuántos conejos tiene? a) 21 d) 29

b) 25 e) 30

c) 27

5) J u a n c o n t r a t a u n o b r e r o ofreciéndole S/. 30 por cada día de trabajo, pero si un día deja de ir al trabajo se le descontará S/.18. Si al cabo de 30 días el obrero recibe S/. 276, ¿cuántos días no trabajó? a) 11 d) 17

64

b) 25 e) 33

b) 13 e) 19

c) 15


b) 8 e) 3

c) 9

7) En una playa de estacionamiento hay motos y autos. Si en total hay 118 llantas y 38 vehículos, ¿cuántas motos hay en dicha playa de estacionamiento? a) 12 d) 19

c) 120

Resolución:

a) 7 d) 10

b) 15 e) 21

c) 17

8) Un comerciante pagó S/. 45 900 por 128 trajes de seda y de lana. Por cada traje de seda pagó S/. 300 y por cada traje de lana S/. 400, ¿cuántos trajes de seda compró? a) 75 d) 63

b) 53 e) 67

c) 58

9) En una granja hay 50 animales entre gallos y conejos. Si el número total de patas de animales es de 180, ¿cuántos conejos hay? a) 10 d) 31

b) 29 e) 40

c) 25

10) Tengo S/. 3 100 en billetes de S/. 100 y de S/. 50. Si en total tengo 34 billetes, ¿cuántos billetes de S/. 100 tengo? a) 28 d) 6

b) 27 e) 7

c) 17

11) Una persona tiene 30 animales entre canarios y gatos. Si el total de patas es de 84, halla el número de gatos. a) 18 d) 16

b) 12 e) 15

c) 14

2do de Secundaria


12) Mañuco compró 18 prendas de vestir entre camisas y pantalones, gastando S/. 1 200. Cada camisa cuesta S/. 50 y cada pantalón S/. 80. ¿Cuántos pantalones compró? a) 10 d) 6

b) 8 e) 9

c) 12

13) Tengo 32 bolsas de caramelos, algunas de cinco caramelos cada una y las otras de seis caramelos cada una. Si en total tengo 177 caramelos, ¿cuántas bolsas son de cinco caramelos? a) 18 d) 15

b) 17 e) 14

c) 16

14) En una granja donde existen conejos y patos se contaron 220 patas y 160 ojos. ¿Cuántos conejos hay en la granja? a) 20 d) 50

b) 30 e) 60

c) 40

b) 20 e) 50

c) 30

Nivel II

b) 7 e) 5

c) 8

17) Un poeta sólo emplea palabras de 5 u 8 letras. En un poema empleó 25 palabras y un total de 149 letras. ¿Cuántas palabras de 5 letras empleó? a) 8 d) 15

b) 17 e) 9

b) 3 e) 2

a) 56 d) 36

b) 48 e) 32

b) 10 e) 14

b) 8 e) 14

c) 10

25) E n u n p a r q u e h a y n i ñ o s paseándose ya sea en triciclo o en bicicletas. En total se cuentan 30 timones y 78 ruedas. ¿Cuántos triciclos más que bicicletas hay? a) 7 d) 6

c) 62

20) Una empresa tiene una flota de 22 camiones, unos de 4 ruedas y otros de 6 ruedas. Si en total se cuentan 108 ruedas, ¿cuántos camiones de 4 ruedas hay? a) 12 d) 8

a) 12 d) 16

c) 4

19) En cierto espectáculo las entradas cuestan: adulto S/. 9 y niños S/. 6. Si asistieron 92 espectadores y se recaudó S/. 660, ¿cuántos niños asistieron?

b) 4 e) 9

c) 2

26) En un salón hay 36 carpetas, unas bipersonales y otras para cuatro alumnos. Si en total hay 96 alumnos ocupando estas 36 carpetas, ¿cuántas carpetas son bipersonales?

c) 15

21) Una señora compra en una frutería 13 frutas, entre manzanas y naranjas. Cada manzana costó 45 céntimos y cada naranja 30 céntimos. Si gastó en total S/. 5,10 ¿cuántas naranjas compró? a) 8 d) 6

16) Un mecánico cobra S/. 25 cada vez que revisa un VW y S/. 40 cuando revisa un Toyota. En un día revisó 15 autos (VW y Toyota) recibiendo en total S/. 480. ¿Cuántos VW revisó? a) 6 d) 4

a) 6 d) 5

24) En una granja se crian gallinas y conejos. Si se cuentan en total 48 ojos y 68 patas, ¿cuántas gallinas hay?

a) 12 d) 18

b) 24 e) 30

c) 6

a) 12 d) 9

b) 15 e) 16

c) 18

27)

15) Del ejercicio anterior, ¿cuántos patos más que conejos existen? a) 10 d) 40

18) Se compraron 9 kg de arroz de dos calidades, el superior de S/. 3 el kg y el arroz extra de S/. 2 el kg. Si en total se pagó S/. 24, ¿cuántos kg de arroz extra se compraron?

c) 12

2do de Secundaria

b) 4 e) 3

c) 5

22) En una combi viajan 150 pasajeros. El pasaje adulto cuesta S/. 1,50 y el pasaje universitario S/. 1. Si la recaudación fue S/.187, ¿cuántos pagaron pasaje adulto? a) 72 d) 68

b) 74 e) 86

c) 76

23) Cada vez que voy al cine gasto S/.18 y cada vez que voy al teatro gasto S/.24. Si he salido 12 veces (al cine o teatro) y gasté S/. 264, ¿cuántas veces he ido al cine? a) 6 d) 2

b) 3 e) 7

c) 4


28) Una pregunta de R.M. demora cuatro minutos en resolverse y una pregunta de R.V. demora dos minutos en contestarla. Si un examen de Aptitud consta de 40 preguntas y demora dos horas, ¿cuántas preguntas son de R.M.? (Un punto cada pregunta bien contestada). a) 20 d) 24

b) 18 e) 16

c) 22

29) En el problema anterior, ¿qué puntaje se obtuvo con las preguntas de R.V.? a) 40 d) 20

b) 60 e) 36

c) 30

65


39) En un examen, un alumno gana 4 puntos por respuesta correcta, pero pierde un punto por cada equivocación. Si después de haber contestado 50 preguntas obtiene 180 puntos, ¿cuántas preguntas respondió correctamente?

30) Con S/. 101 000 se han comprado carneros y ovejas, adquiriendo un total de 25 animales. Si cada carnero cuesta S/. 3 000 y cada oveja S/. 5 000, ¿cuántos carneros se han comprado? a) 12 d) 9

b) 13 e) 6

c) 15

Nivel III

31) En una granja hay conejos y gallinas, con un total de 4 animales. Si al contar el número de patas se observó que habían 104, ¿cuántas gallinas hay en dicha granja? a) 26 d) 20

b) 12 e) 28

b) 15 e) 9

c) 8

33) Un ferrocarril conduce 150 pasajeros en vagones de primera y segunda clase. Los primeros pagan S/. 1,5 y los últimos, S/. 1. Si la recaudación total fue S/. 187, ¿cuántos viajaron en segunda clase? a) 76 d) 86

b) 74 e) 68

c) 72

34) En una playa de estacionamiento hay 27 vehículos estacionados entre autos y motos. Si se cuentan en total 84 ruedas, ¿cuántas motos hay? a) 8 d) 12

66

b) 15 e) 10

a) 15 d) 10

b) 8 e) 12

c) 9

36)

c) 6

a) 46 d) 2

a) 6 d) 5

b) 8 e) 4

c) 7

37) En un cuartel de 100 soldados todos se disponen a hacer “planchas”. En un determinado momento, el sargento pudo observar sobre el piso 298 extremidades. ¿Cuál es el número total de soldados haciendo “planchas”? a) 74 d) 49

b) 54 e) 41

c) 51

38) En un zoológico hay 56 animales, entre aves y felinos. Si se cuentan el número de patas tenemos que es 196, luego: I. Hay 42 felinos. II. La diferencia entre felinos y aves es 24. III. Si vendiéramos todas las aves a S/. 5 cada una, recaudaríamos S/. 70. Son ciertas: a) Sólo III c) I y II e) Sólo II

b) 40 e) 3

c) 36

40) U n a p e r s o n a c o n cu r r e a l hipódromo a apostar en las carreras de caballos. En cada carrera que acierta gana S/. 250 y si no acierta pierde S/. 150; después de 24 carreras, su capital ha aumentado en S/. 3 200. ¿Cuántas carreras acertó? a) 17 d) 12

c) 18

32) Se tiene 23 monedas, unas de S/. 5 y otras de S/. 2, que hacen un total de S/.91. ¿Cuántas monedas son de S/. 2? a) 12 d) 6

35) Un alumno contesta las 20 preguntas de un examen obteniendo 40 puntos. Cada respuesta correcta vale 4 puntos y en cada error se pierde un punto. ¿Cuántas respuestas fueron correctas?

b) 7 e) 8

c) 6

41) Un profesor cobra S/. 15 por cada clase dictada y se le descuenta S/. 5 por cada clase que falta. Si al término del mes, debió dictar 40 clases y nada le queda por cobrar, ¿a cuántas clases faltó? a) 10 d) 30

b) 15 e) 40

c) 25

42) Con 30 monedas de S/. 2 y S/. 5 colocados en o, unas a continuación de otras, se ha formado la longitud de 1 metro, se sabe que los diámetros de e s t a s m o n e d a s s o n 2 8 mm y 36 mm, respectivamente. ¿Cuántas monedas de S/. 5 hay en el grupo? a) 15 d) 19

b) 17 e) 20

c) 18

b) Sólo I d) I y III


2do de Secundaria


43) Podría ahorrar S/. 20 al día; pero cada mañana de sol gasto S/. 9 en helados y cada mañana fría gasto S/.6 en café. Si al cabo de 21 días he ahorrado S/. 258, se puede afirmar: I. La diferencia entre días soleados y fríos es 3. II. Gasté S/. 56 tomando café. III. Podría haber ahorrado S/. 231 si todas las mañanas hubiesen sido soleadas. a) Sólo I d) I y III

b) Sólo II e) Todas

c) Sólo III

44) Una canasta contiene 60 frutas entre manzanas y peras. Cada manzana pesa 350 g y cada pera 300 g. Si la canasta pesa en total 22 kg y además las frutas pesan 17,6 kg más que la canasta, ¿cuántas de las frutas son peras? a) 10 d) 24

b) 15 e) 30

c) 20

45) Martín rinde un examen de 50 preguntas. Si por cada respuesta acertada obtiene 6 puntos y por cada equivocación pierde 4 puntos, ¿cuántas preguntas contestó bien si obtuvo un puntaje de -20 puntos? a) 12 d) 18

b) 15 e) 20

c) 17

46) Según el problema anterior, ¿qué puntaje habría obtenido Martín si se le daban 7 puntos por pregunta bien contestada y sólo se le quitaba uno por pregunta mal contestada? a) 90 d) 96

b) 94 e) 98

c) 86

47) Una canasta contiene 80 frutas entre plátanos y manzanas. Cada plátano pesa 300 g y cada manzana 220 g. Si la canasta pesa en total (con frutas) 24 kg y además las frutas pesan 16 kg más que la canasta. Luego son ciertas: I. El peso de todos los plátanos es de 5 000 g más que el de la canasta vacía. II. Hay 20 manzanas más que plátanos. III. Si por todos los plátanos me dan S/. 60, cada plátano costará S/.2. a) Sólo II c) Todas e) N.A.

I. Doce veces hizo el mínimo. II. Dos veces hizo 4 puntos. III.Obtuvo 26 puntos con el mínimo puntaje. Son ciertas: a) Sólo II c) I y III e) N.A.

I. Un litro de agua pesa 1 kilo. II. En la mezcla hay 1,5 litros de agua. III. En la mezcla, la leche y el agua están en relación de 8 a 3. a) Sólo II b) Sólo III c) I y II d) II y III e) Todas

Reto

Las tres hijas

48) Jessica tiró "x" veces un dado. El máximo puntaje total que pudo haber obtenido es 120, pero sólo obtuvo 62 puntos y sólo sacó puntaje par. Si cuatro veces hizo el máximo puntaje, entonces:

Después de tiempo Juan y Luis se encuentran por la calle. Juan le pregunta a Luis ¿cómo están tus hijas y cuántos años tienen? Luis, le contesta: el producto de las tres edades es 36 y la suma, el número del portal en el que vives. Juan le dice: “entonces, me falta un dato”, y Luis le contesta “es cierto, la mayor toca el piano”. ¿Cuál es la edad de cada hija?

b) II y III d) Todas

49) Un ganadero vendió su ganado compuesto de 60 cabezas entre vacas y terneros por la suma de $216 000, pero como necesitaba $250 000 debe efectuar una venta complementaria a las mismas personas. Calcula que si vende 8 vacas, le faltarían $2 000 y si vende 19 terneros, le sobrarían $ 4000. ¿Cuál es la diferencia entre el número de animales de cada tipo que vendió inicialmente? a) 18 d) 16

2do de Secundaria

b) Sólo III d) I y II

50) Un litro de leche pura pesa 1 032 g. Si se tiene 5,5 litros de leche adulterada cuyo peso es de 5 628 g, luego podemos afirmar que:

b) 42 e) N.A.

c) 24


67


Métodos Operativos III Diferencia Total y Unitaria Regla Conjunta Reto

Chifa “PonTu”

Resolución: Cada amigo: S/. 20 falta: S/.40

=

Cada amigo : S/. 25 sobra: S/.50 Observa que si cada amigo colabora con: 25 – 20 = S/.5 más, se completaría los S/.40 que faltaba y todavía quedaría S/.50, osea, se reuniría: S/. 40 + S/.50 = S/. 90 más.

En un chifa si en cada mesa están sentadas ocho personas, habría 4 personas de pie, pero si estuvieran sentadas 10 en cada mesa, quedarían 2 mesas libres. ¿Cuántas personas hay?

Luego, el número de amigos es: 90 ÷ 5 = 18 amigos. Rpta.: 18 amigos

Para que un problema se pueda resolver aplicando el método del rectángulo debe cumplir ciertas condiciones. Cuando participan dos cantidades excluyentes, una mayor que la otra; que no se comparan en 2 oportunidades, originándose en un caso, un sobrante (o ganancia) y en otro, un faltante (o pérdida) es cuando utilizaremos este método.

b) S/. 150 e) N.A.

c) S/.120

Resolución: Aplicando el método del rectángulo, obtenemos:

Ejemplo 1

Ahora, calculamos el valor de la grabadora: 1.er Caso: Valor de la grabadora = 640 (S/.0,5) – S/.200 = S/. 120

2.° Caso:

Rpta.: c

Ejemplo 3 Una persona quiere repartir cierto número de caramelos entre sus sobrinos. Si les da 11 caramelos a cada uno, le sobran 116, y si les da 24 caramelos a cada uno le falta 27 caramelos. ¿Cuántos caramelos quiere repartir? a) 237 d) 372

Un grupo de amigos decide hacer una colecta para comprar un equipo de sonido. Si cada uno colabora con S/. 20, faltarían S/. 40 y si cada uno colabora con S/. 25, sobrarían S/. 50. ¿Cuántos eran los amigos?

68

Precio de cada boleto = S/. 0,5

Para ganar S/. 200 en la rifa de una grabadora; se imprimieron 640 boletos, sin embargo; sólo se vendieron 210 boletos; originándose una pérdida de S/. 15. Halla el valor de la grabadora. a) S/. 180 d) S/. 80

S/.215 430

Valor de la grabadora = 210 (S/.0,5) + S/.15 = S/. 120

Ejemplo 2

1. Método del Rectángulo

S/.200 + S/.15 Precio de = = 640 – 210 cada boleto


b) 273 e) 327

c) 723

2do de Secundaria


Resolución: Aplicando el método del rectángulo, obtenemos:

2. Regla Conjunta Se aplica a problemas donde se encuentran equivalencias sucesivas entre unidades. El procedimiento consiste en elaborar dos columnas en las cuales se encuentran las unidades.

Ahora, hallamos el número de caramelos que quiere repartir:

Regla Práctica: Se forma con los datos una serie de igualdades, poniendo el primer miembro de la primera incógnita (x), y procurando que el segundo miembro de cada igualdad sea de la misma especie que el primero de la siguiente y de este modo el segundo miembro de la última igualdad será de la misma especie que el primero de la primera. Se multiplican ordenadamente estas igualdades y se halla el valor de (x).

1.er Caso: Número de caramelos = 11(11) + 116 = 237

Para su mejor comprensión veamos algunos ejercicios:

116 + 27 Número de = 24 – 11 sobrinos

143 = 13

N.° de sobrinos = 11

2.° Caso: Número de caramelos = 11(24) – 27 = 237

Rpta.: a

Reto Un gran problema

S/. x 6 varas 2 metros

< > 4 varas < > 5 metros < > S/. 30

Multiplicamos miembro a miembro. x . 6 . 2 < > 4 x 5 x S/. 30 x <>

4 . 5 . S/.30 6.2

x < > S/. 50 Ejemplo 2

En cierto sistema de medida se tienen las siguientes equivalencias: 5 codos 6 palmos 2 palmos 1 pie 3 pies  5 brazos 4 brazos  "x" codos

Ejemplo 1 Sabiendo que 6 varas de paño cuestan lo mismo que 5 metros y que 2 metros valen 30 soles. ¿Cuánto costarán 4 varas? a) S/. 50 d) S/. 80

Así que tendremos:

b) S/. 40 e) N.A.

c) S/. 60

Resolución: Escribimos primero la igualdad de la incógnita.

Halla el valor de "x".

Resolución: Observa que en las dos columnas están las misma unidades, luego se procede de la siguiente manera: (5)(2)(3)(4)  (6)(1)(5)(x) 4 x

x = 4

S/. x < > 4 varas Como el segundo miembro de esta igualdad es "varas", el primero de la siguiente también debe ser "varas"; o sea: 6 varas < > 5 metros Rosa viajó a Malasia y quizó comprar un par de zapatillas talla 39 (10 pulg) pero en ese lugar la medida es en kobas (1 pulg = 13 kobas). ¿Qué medida deberá pedir?

2do de Secundaria

Como el segundo miembro de esta igualdad es "metros", el primero de la siguiente también debe ser "metros"; o sea: 2 metros < > S/. 30


Ejemplo 3 En una feria agropecuaria 7 gallinas cuestan lo mismo que 2 pavos; 14 patos cuestan lo mismo que 5 pavos; 3 conejos cuestan lo mismo que 8 patos. ¿Cuánto costarán 4 gallinas si un conejo cuesta 30 soles? a) S/. 28 d) S/. 54

b) S/. 36 e) N.A.

c) S/. 42

69


Aplicando la regla de la conjunta, tenemos: x soles < > 4 gallinas 1 conejo < > 30 soles 8 patos < > 3 conejos 5 pavos < > 14 patos 7 gallinas < > 2 pavos 7.5.8.1.x < > 2.14.3.30.4 x = 2 . 2 . 3. 120 = 12 . 3 = 36 5.8

4) En el problema anterior, ¿de

cuánto dinero disponía Carlos? a) S/.72 d) S/.76

Rpta.: b

c) S/.80

5) Una señora compró 5 macetas

y le sobraron 8 soles. Si hubiera comprado 7 macetas, le hubiera faltado S/.4. ¿Cuál es el costo de cada maceta? a) S/.7 d) S/.4

x < > S/. 36

b) S/.64 e) S/.78

b) S/.3 e) S/.6

c) S/.5

6) Un niño compró 8 chocolates y le

sobró S/. 6. Si hubiera comprado 10 chocolates le sobraría S/. 3. ¿Cuánto cuesta cada chocolate? a) S/.1,50 b) S/.2,00 c) S/.1,20 d) S/.2,40 e) S/.1,60 Nivel I

10) En el mercado, 4 naranjas

cuestan lo mismo que 15 plátanos, 10 plátanos lo mismo que 3 manzanas, 12 manzanas lo mismo que una piña. ¿Cuántas naranjas cuestan lo mismo que 3 piñas? a) 16 b) 48

b) 32 e) 24

c) 36

11) En cierto lugar de la serranía se

acostumbra hacer trueques. Si 3 alpacas equivalen a 2 vacas, 3 vacas equivalen a 5 caballos y 8 caballos equivalen a 9 ovejas. ¿Cuántas alpacas se puede intercambiar con 15 ovejas? a) 10 b) 13

b) 11 e) 14

c) 12

12) Si una tijera cuesta lo mismo que

5 lapiceros, 3 lapiceros igual que 6 borradores, por 90 borradores, ¿cuántas tijeras me darán?

7) En el problema anterior, ¿de

1) La a de la peluquería "Lali", pensó comprar 18 tijeras, pero observó que le sobrarían S/.12 y si compra 21 tijeras, también le sobrarían S/. 3, ¿cuánto cuesta cada tijera? a) S/.2 d) S/.3

b) S/.6 e) S/.5

c) S/.4

2) Si un artista de TV compra 10

camisas le sobran S/. 24, pero si compra 14 camisas entonces le falta S/.32. ¿Cuánto cuesta cada camisa? a) S/.16 d) S/.12

b) S/.14 e) S/.17

c) S/.18

3) Cuando Carlos compró 12

pañuelos le sobró S/.36, en cambio si hubiera comprado 28 pañuelos le hubiera faltado S/.12. ¿Cuánto cuesta cada pañuelo? a) S/.2,50 b) S/.4 d) S/.6 e) S/.8

c) S/.3

cuánto dinero disponía el niño? a) S/.13 d) S/.16

b) S/.15 e) S/.17

c) S/.18

8) En una reunión celebrada para

reunir fondos para los pobres se observó que si cada uno de los asistentes colaboraba con S/.5 faltarían S/. 125; mientras que si la colaboración fuese de S/.8 sobrarían S/.100. ¿Cuánto era la cantidad necesaria? a) S/.700 b) S/.600 d) S/.350 e) S/.250

c) S/.500

9) Si:

1 m = 100 cm 2,54 cm = 1 pulgada 100 pulgadas = "x" m;

c) 7

13) En un bazar se observa que el

precio de 4 pantalones equivalen al precio de 10 camisas; 5 camisas cuestan tanto como 7 chompas. ¿Cuántas chompas se pueden comprar con 2 pantalones? a) 5 b) 9

b) 8 e) 7

c) 10

14) Hace algunos años, el cambio

monetario era el siguiente: 8 soles < > 5 cruzeiros 10 cruzeiros < > 3 pesos 6 pesos < > 4 dólares ¿Cuántos soles daban por 2 dólares? a) 16 b) 14

b) 18 e) 13

c) 10,5

b) 254 e) 0,254

c) 2,54

paño teniendo en cuenta que 6 varas equivalen a 5 m, que 18 m cuestan 54 francos y que 1 franco vale $0,20. a) $52 b) $50

70

b) 9 e) 10

15) Halla el precio de 100 varas de

halla "x". a) 25,4 b) 2 540

a) 8 b) 12


b) $56 e) $51

c) $64

2do de Secundaria


22) En el problema anterior, ¿cuánto

Nivel II

dinero se tenía para la compra?

16) Si se vende cierta cantidad de

carpetas a S/. 54 cada uno, se obtendría como ganancia S/. 200 y si lo vendemos a S/.50 se ganaría sólo S/.80; calcula el número de carpetas que se tiene para la venta. a) 30 b) 90

b) 40 e) 50

c) 60

17) Carolina desea comprarse algunos

polos. Si compra 7 polos, le faltaría S/.50 y si compra 5 polos le faltaría S/.10. ¿Cuánto cuesta cada polo? a) S/.12 b) S/.18

b) S/.25 e) S/.20

c) S/.22

18) En el problema anterior, ¿cuánto

dinero tenía Carolina? a) S/.100 b) S/.90 b) S/.82 e) S/.86

cierta cantidad de dinero para comprar cuadernos a sus hijos. Si compra 13 cuadernos, le sobra S/.70 y si compra 15 cuadernos le sobra S/. 50. ¿Cuánto cuesta cada cuaderno? b) S/.12 e) S/.16

c) S/.14

20) En el problema anterior, ¿qué

cantidad de dinero tenía el padre? a) S/.185 b) S/.360 b) S/.180 e) S/.200

23) Se tiene una cierta cantidad de

cajas de colores. Si se venden a S/.2 se obtiene S/.40 de ganancia y si se venden al doble, se obtiene el triple de ganancia. Calcula la cantidad de cajas de colores. a) 30 d) 90

b) 40 e) 50

Ticos, 3 Ticos como 10 Datsun, 7 Datsun como 21 Fiat, 6 Fiat como 8 Volvos. Por 120 Volvos, ¿cuántos Toyotas equivalen? b) 7 e) 11

c) 6

c) S/.320

por 8 departamentos; cada departamento tiene 3 sucursales. En cada 2 sucursales hay 5 oficinas y en cada oficina trabajan 12 empleados. ¿Cuántos empleados trabajan en 10 compañías? a) 6 000 d) 8 200

b) 7 200 e) 8 000

c) 7 600

26) Cinco destres mallorquines

equivalen a 13,55 canas; 50 canas a 93 varas y 1 vara a 0,836 de metro. Halla la equivalencia del destre con el metro (aprox). a) 4,7 d) 3,2

b) 4,2 e) 5,3

27) Si 4 camotes pesan tanto como 7

a) S/.60 b) S/.90

a) 96 d) 150

c) S/.75

2do de Secundaria

b) 125 e) 147

realiza un trueque: • 5 sacos de papa se cambian por 7 de camotes. • 10 sacos de yuca se cambian por 6 de olluco. • 8 sacos de camote se cambian por 3 de olluco. • 2 sacos de yuca se cambian por "x" de papa. Halla "x". a) 6 d) 9

b) 8 e) 7

c) 4

30) El trabajo de cuántos hombres

equivaldrá al trabajo de 8 niñas, si el trabajo de 4 niñas equivale al de 3 niños, el de una mujer al de 2 niños y el de 3 mujeres al de un hombre. a) 1 d) 4

b) 2 e) 6

c) 3

Nivel III

31) Coco y Tina van con sus hijos al

comprar mesas. Si compran 5 mesas, sobrarían S/. 400 y si se compran 8 mesas, faltarían S/. 140. ¿Cuánto cuesta cada mesa? b) S/.180 e) S/.55

d) S/. 24 400 e) S/. 48 000

c) 5,6

cebollas; 5 cebollas tanto como 12 tomates; 2 tomates tanto como 7 caiguas y 18 caiguas pesan tanto como 3 papas. Se sabe además que 3 camotes pesan 1 kg. ¿Cuántas papas pesarán igual que 20 kg de camote?

21) En una mueblería se desea

a) S/. 14 000 b) S/. 32 600 c) S/. 28 800

29) En cierto pueblo de la sierra se

24) Si 4 Toyotas cuestan igual que 6

a) 5 d) 9

para pagar a 4 generales?. Si el sueldo de 6 coroneles equivale al de 10 comandantes, el de 5 comandantes al de 12 tenientes, el de 2 generales al de 4 coroneles, el de 6 tenientes al de 9 sargentos y si 4 sargentos ganan S/. 2400 al mes?

c) 60

25) Una compañía está formada

c) S/.75

19) Un padre de familia dispone de

a) S/.10 b) S/.15

a) S/.460 b) S/.620 c) S/.530 b) S/.500 e) S/.1 300

28) ¿Qué suma necesitará un gobierno

teatro. Si quieren sacar entradas de S/.12, Coco dice que les sobraría S/. 80, pero si quieren sacar entradas de S/.18 Tina dice que le sobraría S/. 20. ¿Cuántos hijos tienen? a) 10 d) 9

b) 12 e) 6

c) 8

c) 86


71


32) Se desea rifar un reloj vendiéndose

cierto número de boletos. Si se vende cada boleto a S/. 0,70 se pierde S/.40 y si se vende cada boleto a S/. 0,80 se gana S/.50. El precio del reloj es: a) S/.670 b) S/.630 d) S/.680 e) S/.640

c) S/.610

minicomponente se hicieron 90 boletos, vendiéndose única– mente 75, originándose una pérdida de S/.17. Entonces el valor del minicomponente es: c) S/.262

obsequiarle una blusa a una alumna el día de su cumpleaños. Si cada alumno colabora con S/.8 sobrarían S/.6, pero si cada uno de ellos diera S/.6 faltarían S/12. ¿Cuánto cuesta la blusa? b) S/.66 e) S/.69

c) S/.67

35) Para la rifa de un departamento

se pusieron a la venta 1 890 boletos y se pensó ganar S/. 106 800; pero solo se vendieron 980 boletos, originándose una pérdida de S/. 2 400. Halla el precio del departamento. a) S/. 60 000 d) S/. 180 000 b) S/. 200 000 e) S/. 120 000 c) S/. 40 000 36) Un grupo de feligreses acude a una

iglesia. Si se sientan 10 feligreses en cada banca, quedan 2 bancas libres y si se sientan 8 feligreses en cada banca, entonces quedarían 10 feligreses de pie. ¿Cuántos feligreses son? a) 140 d) 110

72

b) 150 e) 130

a) 7 d) 4

b) 6 e) 8

c) 5

persona pensó cobrar a cada uno de sus inquilinos, S/. 30, pero nota que le faltaría S/. 225. Entonces decide cobrarle a cada uno S/. 35, sobrándoles S/. 375. ¿Cuál era el número de inquilinos? a) 90 d) 105

b) 110 e) 120

c) 100

39) Feredico quiere repartir cierto

34) Se realizó una colecta para

a) S/.65 d) S/.68

e hijos. Si paga S/. 3 por cada entrada, le falta para 2 boletos y si paga S/.2 por cada entrada le sobra S/.1. ¿Cuántos hijos tiene?

38) Para cancelar una factura, una

33) Para ganar S/.28 en la rifa de un

a) S/.270 b) S/.242 d) S/.224 e) S/.263

37) Un padre va al cine con su señora

c) 120

número de caramelos a sus nietos. Si les da 8 caramelos a cada uno le sobra 45 y si les da 11 a cada uno, le falta 27. ¿Cuántos caramelos quiere repartir? a) 237 d) 723

b) 327 e) 372

c) 273

40) Con S/.120 se comprarían cierto

número de libros, pero como el precio de cada uno aumentó en S/.2, se compraron 3 libros menos. ¿Cuántos libros compró? a) 10 d) 13

b) 12 e) 16

c) 15

41) En una feria agropecuaria por 3

patos me dan 2 pollos; por 4 pollos me dan 3 gallinas; por 12 gallinas dan 8 monos; 5 monos cuestan 150 soles. ¿Cuánto me costará adquirir 5 patos? a) S/.40 d) S/.60

b) S/.50 e) S/.75

c) S/.55

42) H a ce a l g u n o s a ñ o s p o r 5

melocotones daban 8 melones; por 9 melones daban 4 manzanas; por 3 naranjas daban 2 manzanas y por 6 plátanos daban 10 naranjas. ¿Cuántos plátanos darán por 50 melocotones?

a) 24 b) 28

b) 18 e) 32

43) Se sabe que 8 operarios de la

CIA "A" producen tanto como 5 operarios de la CIA "B", 6 de la CIA "D" producen tanto como 5 de la CIA "C", 6 de la CIA "B" tanto como 11 de la CIA "C", 8 de la CIA "A", ¿a cuántos de la CIA "D" equivale su producción? a) 11 b) 22

b) 8 e) 9

c) 15

44) En una feria venden 8 plátanos

al mismo precio que 6 duraznos, 4 duraznos lo mismo que 10 nísperos. Una docena de nísperos al mismo precio que 2 piñas, si 10 piñas cuestan S/.320, ¿cuánto pagará por 2 plátanos, 3 duraznos y una piña? a) S/.90 b) S/.93

b) S/.91 e) S/.94

c) S/.92

45) Si 10 m3 de madera de abeto pesan

lo mismo que 7 m3 de madera de acacia, 10 m3 de madera de cerezo lo mismo que 9 m3 de madera de acacia; 5 m3 de madera de cerezo lo mismo que 3,6 m3 de madera de eucalipto, y esta última pesa lo mismo que el agua. Halla el peso de 1 m3 de madera de abeto.

a) 480 kg b) 520 kg c)560 kg d) 450 kg e) 260 kg

46) Si 2 fichas negras equivalen a 5

fichas amarillas, 9 grises equivalen a 3 amarillas, 7 marrones equivalen a 8 grises, 10 fichas doradas a 6 marrones, 14 doradas a 16 rojas, además 20 fichas rojas equivalen a 9 fichas blancas, 15 fichas azules equivalene a 3 negras y 3 fichas blancas a 2 verdes. ¿A cuántas fichas verdes equivalen 24 fichas azules? a) 15 d) 12

b) 20 e) 18

c) 16

c) 16


2do de Secundaria


Repaso

Nivel I 1) En una mesa circula r seis superhéroes (Batman, Robin, Superman, Acuaman, Flash, y la Mujer Maravilla) se ubican simétricamente. Si se sabe que: - Superman está a la izquierda de la Mujer Maravilla y frente a Acuaman. - Robin está frente a Batman y no está al lado de Acuaman. ¿Quién está a la izquierda de Flash? a) Robin b) Mujer Maravilla c) Superman d) Batman e) Faltan datos 2) En una mesa circular, cuatro peleadores (Bruce, Riu, Ken, Chun - Lee) se ubican simétricamente. Si sabe que: - Ken se sienta frente a Riu. - Bruce se sienta frente a ChunLee. ¿Quién está a la derecha de Ken? a) Chun - Lee b) Riu c) Bruce d) Chun - Lee o Riu e) Bruce o Chun - Lee

2do de Secundaria

Enunciado Tres personas (“A”, “B" y “C") tienen diferentes aficiones: fútbol, básquet y voley y gustan de colores diferentes: azul, rojo y blanco. Si se sabe que: - “B” no practica voley. - La basquetbolista no gusta del rojo. - “A” no practica básquet. - Quien practica voley gusta del blanco. - “B” no gusta del azul. 3) ¿Qué afición tiene “A”? a) Fútbol b) Básquet c) Voley d) Fútbol o básquet e) Básquet o voley

5) ¿Cuál de las siguientes relaciones es correcta? a) Irene - Básquet b) Leticia - Básquet c) Irene - Atletismo d) María - Equitación e) Lucía - Equitación

6) Es necesariamente cierto que: I. Lucía es gimnasia. II. Irene es basquetbolista. III. Leticia practica atletismo. a) Sólo I c) I y III e) Ninguna

b) I y II d) II y III

4) ¿Cuál es el color favorito de “C”? a) azul b) rojo c) blanco d) rojo o blanco e) azul o blanco

Enunciado

7) Si a ∆ b = a 2 + b 3; calcula: 2∆3 a) 11 d) 30

b) 21 e) 18

c) 31

Cinco amigas: María, Lucía, Irene, Leticia y Cecilia pertenecen al equipo olímpico en los siguientes deportes: gimnasia, básquet, equitación, voley y atletismo, no necesariamente en ese mismo orden. Además: - Cecilia participó en voley. - María no es basquetbolista. - Mientras la gimnasta participaba, Irene y Leticia observaban a la voleybolista. - A Cecilia y a María les gusta el estilo de la gimnasta pero no la de atletismo.


73


8) Si x * y = x2 + 2y + 5; calcula 6 * -1 a) 20 d) 13 9)

b) 39 e) 24

14)

Enunciado

15)

- Marisol dice: “Mi polo no es azul ni rosa” - Fátima dice: “Me gustaría tener un polo rosa” - Laura dice: “Me encanta mi polo rojo”

Cuatro amigas, Marisol, Laura, Fátima y Eliana, llevan puesto cada una, un polo de diferente color: rojo, azul, verde y rosa. Se oyen los siguientes comentarios:

c) 26

Se sabe que: a (a + 1) a = 2 100

Calcula:

199

a) 99-1 d) 199-1

b) 98-1 e) 100-1

a) 18 y 16 d) 17 y 18

c) 189-1

W+3 ; si: W es impar 2 W= W+4 ; si: W es par 2

16) Seis amigos “A”, “B”, “C”, “D”, “E” y “F”, se sientan alrededor de una mesa circular con seis asientos distribuidos simétricamente. Si se sabe que: - “A” se sienta junto y a la derecha ..de “B” y frente a “C”. - “D” no se sienta junto a “B”. - “E” no se sienta junto a “C”. ¿Dónde se sienta “F”?

Calcula: 2n b) n e) F.D.

c) n + 1

a) Entre “C” y “E” b) Frente a “D” c) Entre “B” y “C” d) Frente a “B” e) Ninguna anterior

11) Del problema anterior: Calcular: -13 a) -8 b) -5 c) 5 d) 8 e)No se puede determinar

b) 4 e) 5

74

b) 11 e) 14

c) 8

c) 12

c) Verde

19) Es cierto que: I. El polo de Marisol es verde. II. El polo de Fátima es azul. III. A la que tiene polo azul le encanta el polo de Eliana. a) Sólo I b) I y II c) II y III d) I y III e) Todas

Enunciado

20) Renzo pasará sus vacaciones en: a) Trujillo c) Tacna e) Chiclayo

13) Un número se multiplica por 3, al resultado se le extrae la raíz cuadrada, al resultado se le suma 5 y por último se resta 11 obteniéndose cero. El número inicial era: a) 10 d) 13

b) Rojo e) Negro

17)

12) Si a la cantidad que tienes lo multiplicamos por 5, luego le aumentamos 8, a dicha suma se le disminuye 7, finalmente se divide entre 3, obteniendo 7. ¿Cuál es la cantidad? a) 7 d) 9

18) El polo de Eliana es de color: a) Azul d) Rosa

Nivel II

10) Se define en N, la siguiente operación:

a) n + 2 d) n - 2

b) 14 y 16 c) 15 y 16 e) 14 y 17

b) Arequipa d) Cusco

21) Es imposible que: I. Ramiro viva en Trujillo. II. Rodrigo viva en Cajamarca. III. Rubén viva en Tacna. a) Eduardo c) Marcos e) Andrés

b) Luis d) Guillermo


a) Sólo I c) Sólo III e) Todas

b) Sólo II d) I y II

2do de Secundaria


22) Raúl, Carlos, Pedro y Bruno tienen diferentes profesiones: ingeniero, profesor, abogado y médico, pero ninguno en ese orden. Y se sabe que: - Carlos, el abogado y el médico juegan fútbol. -Raúl,elmédicoyelabogado juegan ajedrez. ¿Qué profesión tiene Pedro? a) Ingeniero c) Abogado e) Contador 23) Si

b) Médico d) Profesor x = 3x2

24)

b) 50 e) 30 3

3

b) 730 e) 512

c) 729

b) 9 e) 1

b) 300 e) 150

c) 350

27)

a) 50L d) 64L

b) 12 e) 9

c) 11

b) 60L e) 72L

a) 5 d) 20

b) 10 e) 25

c) 15

Nivel III

c) 11

26)

a) 60 d) 80

29) En un dibujo hay 22 figuras geométricas entre hexágonos (de 6 lados) y cuadrados (de 4 lados). Si en total se tiene 108 lados, ¿cuántos hexágonos hay en el dibujo?

30) En un taller de reparación de bicicletas se encontraron 30 vehículos entre bicicletas y triciclos. Si en total hay 70 ruedas, ¿cuántos triciclos hay?

25) Si x ∆ y = 2 x - 3 y ; halla: 25∆ 9 a) 8 d) 19

c) 4 y 9

c) 75

halla: (2 * 0) * (0 * 1) a) 513 d) 731

a) 6 y 7 b) 8 y 5 d) 10 y 3 e) 11 y 2

a) 13 d) 10

Halla: 5 a) 25 d) 100

28) Se quiere pagar una deuda de S/. 440 con 13 billetes de S/. 20 y S/. 50. ¿Cuántos billetes son de S/. 20 y S/. 50 respectivamente?

c) 62L

2do de Secundaria

31) Tres luchadores practican las artes marciales en gimnasios diferentes, uno practicaba Judo, otro Karate y el otro Kung Fu, además uno de ellos es cinturón naranja. Sus nombres son: Wen Li, Chin Lu, Pio Kiu. Se sabe que Wen Li y Chin Lu practicaban antes Karate, pero ya no. El judoka es cinturón naranja. Pio Kiu y el de cinturón marrón no se conocen. Wen Li es amigo de los otros dos. Entonces, se puede afirmar que: a) Wen Li es judoka cinturón negro. b) El que practica Kung Fu es cinturón negro. c) Pio Kiu es cinturón negro. d) El karateca es Wen Li. e) El judoka es cinturón marrón.


32) Víctor, Daniel y Beto son militares con tres rangos distintos: soldado, cabo y mayor, aunque no necesariamente en ese orden. Si: - Beto es el soldado. - Daniel no es el cabo. ¿Cómo se llama el mayor? a) Víctor d) F.D.

b) Daniel c) Beto e) N.A.

33) Alicia, Carmen, Franci y Edith tienen diferentes profesiones: periodista, médico, ginesiólogo y matemático, y viven en las ciudades X, Y, Z, y W. - Franci no vive en Z ni en Y. - El médico vive en X. - Alicia vive en W. - Edith es ginesióloga. ¿Qué profesión tiene Alicia? a) Abogada b) Médico c) Periodista d) Ginesióloga e) Matemática 34) Tres personas X, Y, Z disponen de A, B y C libros, aunque no necesariamente en ese orden. Además se conoce que: otra tiene A libros. - Z le dice a la que tiene A, que tiene sed. Se pregunta: ¿Quién tiene A libros? a) X d) X o Z

b) Y c) Z e) Y o Z

35) Rosa, Claudia y Rosemary son tres tutoras de primer, segundo y tercer año, aunque no necesariamente en ese orden. Si: - Claudia es tutora de primer año. - Rosemary no es tutora de segundo año. ¿Quién es la tutora del salón de tercer año? a) Rosa c) Claudia e) N.A.

b) Carmen d) Rosemary

75


36) En una reunión se encuentran 4 amigos: Miguel, José, Roberto y Eduardo; éstos a su vez son: atleta, futbolista, obrero, ingeniero, aunque no necesariamente en ese orden. El atleta que es primo de Miguel es el más joven de todos y siempre va al cine con José o Roberto, que es el mayor de todos, es vecino del futbolista, quien a su vez es millonario, Miguel que es pobre es 5 años menor que el ingeniero. ¿Cuál es la ocupación de Roberto? a) Obrero c) Futbolista e) Millonario

b) Ingeniero d) Atleta

40) Se define la operación mediante la siguiente tabla. 2

3

4

1

2

4

1

3

2

4

1

3

2

3

1

3

2

4

4

3

2

4

1

Calcula: 2(3 a) 1 d) 4

2) - 3 (4

b) 3 e) b o c

x

[{(3

a) 1 d) 4

3)

c) 2

c) 3

42) Dado: 24 * 31 = 14 36 * 51 = 33 64 * 71 = 34 Calcula: 59 * 11.

-

a) 47 d) 46

- El tercer personaje se llama José. ¿Cómo se llama el estudiante?

b) 14 e) 41

b) 6 e) 9

c) 7

4)

2} + x ] = 4

b) 2 e) a o c

46) César da a Raúl 23 problemas para que los resuelva, con la condición que por cada problema bien resuelto le dará S/. 5 y por cada problema mal resuelto le dará S/. 2. Si al final recibe S/. 88. ¿Cuántos problemas no resolvió bien? a) 5 d) 8

41) De la tabla anterior, calcula el valor de "x", si:

37) Un estudiante, un médico y un abogado comentan que cada uno de ellos ahorra en un banco diferente: - “Yo ahorro en Interbank”, dice el médico a Roberto. -

1

,

47) En un examen, por cada respuesta correcta se obtiene 20 puntos y por cada error se descuenta 10 puntos. Un alumno contestó las 50 preguntas del examen y obtuvo 640 puntos. Entonces es cierto que: I. Tuvo 12 errores. II. Tuvo 36 aciertos. III. Le descontaron 200 puntos. a) Sólo I b) Sólo II c) I y II d) I y III e) Todas

c) 102

43) Si: a b = 3( b a) - 5b ; calcula: E = (7 5) + 3 a) Roberto b) Roberto o José 4 c) José d) Tito a) 12 b) 14 c) 16 e) Faltan datos d) 17 e) 15

48) Tres jugadores: Héctor, Pirulin y Lito convienen en que el que pierda la partida triplicará el dinero de los otros 2. Pierde una partida cada uno en el orden antes mencionado y quedan al final con S/. 36, S/. 57 y S/. 55 respectivamente. ¿Con cuánto empezó Lito?

38) Si se cumple que: | x | = x; si: x ≥ 0 | x | = -x; si: x < 0

44) Se define el conjunto de los

números naturales: 3

Halla: | 3 -| 9 | + 2| - 4|| a) 3 d) 8

b) 2 e) 12

c) 6

a) -36 d) 46

76

- 4) b) -40 e) 35

(-2

4)

c) 42

y

b) 3 e) 5

2

49) ¿Cuánto dinero perdió Héctor? c) 4

45) Para pagar una deuda de S/. 940 se utilizan 23 billetes de S/. 50 y S/. 20. ¿Cuántos billetes de S/. 20 se utilizaron? a) 2 d) 6

b) 5 e) 8

c) S/. 14

x)

Calcula: 4 # 9. a) 2 d) 8

39) Sabiendo que: a b = a (b + 1); si: ab ≥ 0 a b = b (a + 1); si: ab < 0 Halla: (-3

x 2 # y-1 y y+1 = (

a) S/. 12 b) S/. 13 d) S/. 15 e) S/. 16

c) 7


a) S/. 70 b) S/. 54 d) S/. 64 e) S/. 62

c) S/. 74

50) Luego de la segunda partida, ¿cuánto dinero tenían entre Héctor y Lito? a) S/. 117 b) S/. 121 c) S/. 129 d) S/. 102 e) S/. 119

2do de Secundaria


Criptoaritmética DEFINICIÓN

Ejemplo 2:

"Cripto" significa "oculto". En este sentido un Criptoaritmo es una operación matemática que ha sido encriptada, es decir, sus cifras se han ocultado empleando para ello letras o asteriscos generalmente. Debes tener presente que letras iguales representan cifras iguales. Ejemplo 1: Reconstruye:

A B C + B 3 5 C 8 1

Resolución: En las unidades: C + 5 = 11 → C = 6 (llevo 1) En las decenas: B+3+1=8 B=4 ó B + 3 + 1 = 18 B = 14 (no puede ser de dos cifras) En las centenas: A+4=6 → A=2 Luego, la operación reconstruida es: 2 4 6 + 4 3 5 6 8 1

Reto Rocío le mandó un telegrama a Óscar donde de manera sutil le pedía cierta cantidad de dinero. Reconstruye la operación, sabiendo además que la cantidad pedida es el resultado de la suma y ésta es la mayor posible (O : cero). D A M E + M A S A M O R

2do de Secundaria

Halla "A + B + C", si: A B C 2 × 7 3 2 C B A Resolución: En las unidades: 7 × 2 = 14 se pone 4 y lleva 1, luego A = 4. En las decenas y centenas se "tantean" los valores de "C" y "B". En efecto, reemplazando A = 4, la operación tiene la forma: A B C 2 × 7 3 2 C B 4 Tanteando, si C = 1 se tiene: A B 1 2 × 7 3 2 1 B 4 ... no cumple un valor de "B". Si: C = 2 ... no cumple un valor de "B". C = 3 ... no cumple un valor de "B".

Ejemplo 3: Halla el máximo valor que puede tomar: abcd si: a a a + (a ≠ b ≠ c ≠ d) b a c d a) 9 859 d) 8 795

b) 8 575 e) N.A.

c) 8 759

Resolución: Como abcd debe tomar el máximo valor, esto quiere decir que "a" también debe tomar su valor máximo, o sea: a = 9; S i h a c e m o s l a comparación respectiva, notamos que no cumple, ahora hacemos que a = 8.

a a a + b  a c d

8 8 8 + 7 8 9 5

Comparando términos, obtenemos que:

C = 4 ... no cumple un valor de "B".

a=8 ; b=7 c=9 y d=5

C = 5 ... si cumple y B = 6.

Luego, calculamos el valor de abcd.

Luego: A + B + C = 4 + 6 + 5 = 15


abcd = 8795

Rpta.: d

77


Ejemplo 4: Si se sabe que: abc × m = 4 468 y abc × n = 2 972 Halla el valor de abc × mn. a) 56 789 b) 45 545 d) 67 890 e) N.A.

c) 47 652

Resolución:

*

El producto abc × mn, se puede escribir como: a b c × m n

6)

Nivel I

B A + B A 1 5 6

En cada caso, halla "A + B". 1)

a) 12 d) 15

A 3 + 5 B 6 7

2972+ Productos  n × abc = Parciales  m × abc = 4 4 6 8 47652

a) 3 d) 6

b) 4 e) 7

c) 5

7)

2)

5 A B 4 3 2

Ejemplo 5: Halla la suma de las cifras del producto total, de la siguiente multiplicación: • • • • × • 8 • • • 0 2 • 2 • • • • • • • • • • 1 8 9 a) 27 b) 24 c) 29 d) 36 e) 30 Resolución: • • • • × para que el producto (•x•) termine en 9, • 8 • los valores que puede • • 0 2 9 tomar (•x•) son (3×3) ó (7×7) probando 2• • • • con (3×3) notamos • • • • que no cumple con • • • 1 8 9 el problema, por ello tomaremos (7×7). Luego: Completando las cifras que faltan, obtenemos: • • • 7 × 3147 × • 87 287 • • 029 22029  25176 2• • • • • • • • 6294 • • • 189 903189 ∑ cifras del producto total: ∑= 9 + 0 + 3 + 1 + 8 + 9 = 30 Rpta.: e

78

a) 7 d) 10

3)

b) 8 e) 11

a) 10 d) 13 c) 9

8)

A 4 + B 5 1 3 9 a) 13 d) 14

4)

b) 12 e) 10

b) 13 e) 11

b) 11 e) 14

c) 12

A B × B 1 7 5 a) 5 d) 8

b) 6 e) 9

c) 7

c) 11 9)

A * 2 * -

A A + B B 1 4 3 a) 12 d) 15

c) 14

A 3 × B 3 7 1

abc × mn = 47 652 Rpta.: c

b) 13 e) 11

a) 15 d) 14

c) 14

B

5 1*

* 5 3 b) 13 e) 10

c) 11

10) 5)

3 A × B 2 4 5

A B + 8 5 1 B 7 a) 3 d) 6

b) 4 e) 7

c) 5


a) 10 d) 14

b) 12 e) 9

c) 13

2do de Secundaria


11) Si A + B + C = 13,

21) Si:

Nivel II

* * * * 2 - 5 * * * * 3

halla ABC + BCA + CAB . a) 1333 d) 1443

12) Si:

b) 1444 e) 1334

c) 1343

2 A 5 B × 3

halla "A + B + C + D". b) 23 e) 28

A B 1 * * 6 7 7

A × C 0

Halla la suma de las cifras del dividendo.

*

a) 19 d) 17

halla "A + B + C ".

D C A B

a) 27 d) 26

16) Si:

c) 25

a) 10 d) 14

b) 12 e) 8

A B 2 × 3 1 9 C A

halla " C + D " A b) 8 e) 4

halla "a + b + c". c) 5

a) 13 d) 12 19) Si:

14)

2 B * * * * * * * 7

A × 7 * 4

b) 5 e) 9

a) 3 d) 6 c) 7

B 5 7 C

3 + C B B

a) 11 d) 14

b) 12 e) 15

c) 16

c) 13

2do de Secundaria

b) 11 e) 14

c) 12

A A + B B C C A 5 B Halla C - A B

a) 1 d) 4

b) 4 e) 7

c) 5

b) 2 e) 5

c) 3

24) Si: A B 5

1 4 7 - A 8

* A *

20) Si:

*

3 * 2 1 *

a) 17 d) 15

Halla "A + B". a) 5 d) 9

* * 0

b) 18 e) 16

b) 7 e) 10

c) 8

25) Si mmm + mm = 7pq,

Halla la suma de las cifras del dividendo.

halla "A + B + C ".

a) 10 d) 13

B+A C

* * * * 8 - 7 * * * 3 4 * * - *

15) Si:

A B C 1 B

b) 15 e) 10

Halla "A + B + C ".

23) Si:

A B 5 C A 7 2 3 B

halla

halla A + B. a) 3 d) 8

c) 5

18) Si aaa + aa + a = 4bc,

A A B

a) 10 d) 6

b) 3 e) 7

c) 22

22) Si:

17) Si aaaa + aa = **54,

a) 2 d) 6

A B + C D 2 7

b) 20 e) 18

c) 13

halla "a". 13) Si:

4 1 * *

c) 14


halla "p + q". a) 3 d) 5

b) 6 e) 7

c) 4

79


26) Si:

Nivel III A 3 2 * * * * * *

2 × B *

31) Halla "P × T" si: T753 - 3PPT = 50T5

4

a) 45 d) 63

Halla "a + b". a) 6 d) 9

36) Halla la suma de cifras del dividendo:

b) 7 e) 10

b) 36 e) 72

c) 48

c) 8 32) Halla "F × M", si: 1121 - FMF = 7FM

27) En el problema anterior, halla la

suma de todos los asteriscos.

a) 27 d) 32

b) 29 e) 33

a) 24 d) 48

b) 25 e) 21

c) 32

* * * 7 * * 3 * * 7 * * * 3 * * * 1 2 a) 23 b) 24 d) 26 e) 27

c) 25

37) Halla "m + n + p" si: m3m + p2m + nn4 = 1324 a) 10 d) 13

c) 31

2 * 1* * *

b) 11 e) 14

c) 12

33) Halla la suma de cifras del producto

en:

28) En: * * * * *

* * 1 -

2 0 * * * -

* * 4 * * * el divisor es:a) 11 d) 41

6 2 × *1 *9**

1

cba + cba + cba = baa, halla a + b + c.

9 6

a) 16 d) 19

* * 5 * * * - 7

b) 21 e) 51

38) Si:

b) 17 e) 20

34) Si:

c) 18

9

× 3

c) 31

halla "A + P + M". a) 8 d) 11

b) 9 e) 12

c) 18

39) Si:

halla x/2.

7 7

a) 28 d) 26

b) 11 e) 14

7x25 - xx2 = x9x3,

Halla la suma de cifras del producto. 29) Si AM × PM = 816,

a) 10 d) 15

b) 29 e) 27

c) 30

a) 1 d) 4

b) 2 e) 0

c) 3

40) Halla "A + B + E" si: AAAA - BEF = BAE

c) 10 35) Si:

9

3 6

a) 15 d) 14

1

b) 10 e) 7

c) 12

8

3 30) Si aa + bb = ccO donde O = cero, halla "a + b + c". a) 9 d) 13

80

b) 11 e) 14

c) 12

Halla la suma de las cifras encontradas. a) 35 d) 38

b) 36 e) 40

c) 37


2do de Secundaria


41) Si mnp × m = 1748, mnp × n = 1311, mnp × p = 3059,

46) Si ame × 999 = ...211, a+m+e halla m

halla mnp2. a) 190699 b) 190969 c)190696

a) 2 d) 5

d) 190669 e) N.A.

*

a) 12 d) 42

b) 28 e) 56

c) 4

Para las preguntas 47, 48 y 49 * 3 1 * -

42) Si abc × 9 = *223, halla "a × b × c".

b) 3 e) 6

* * 7 * * * -

* *

3 * *5*

* 0 * 3 * * - 3

47) La suma de las cifras del cociente

es: c) 48

a) 6 d) 10

b) 8 e) 11

c) 9

43) Si abc × 99 = ** 854, 48) La suma de las cifras del dividendo

calcula "a × b + c". a) 17 d) 31

b) 34 e) 33

es: c) 46

44) Indica el segundo producto parcial en: ? 5 ? 7 × 3 ? 9 0 5 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a) 14581 b) 13581 d) 13681 e) 13584

a) 19 d) 22

b) 20 e) 23

c) 21

49) La suma de todos los asteriscos

es: a) 59 d) 66

b) 61 e) 58

c) 57

c) 13591

45) Si fraile × 3 = ...370367, halla "r + i + e + l". a) 29 d) 30

b) 27 e) 32

c) 28

2do de Secundaria


En el principio fue... Pitágoras Sin duda a Pitágoras le debemos el nacimiento de la Matemática como ciencia. De hecho el término Matemática se lo debemos a él. Podemos resumir la deuda de la Humanidad con los pitagóricos en estos cuatro puntos:  Proporcionan la primera v is ió n cos mo ló g ica de l universo físico.  Afirman que la esencia del mundo físico es matemática.  Colocan número natural origen, fundamento y explicación de todas las cosas.  Son los responsables de la organización del saber en las 4 ramas que perdurarán hasta los tiempos de Newton: Aritmética, Geometría, Música y Astronomía. El famoso Cuadrivium Medieval. Pe r o l o s m a t e m á t i c o s l e s debemos algo más importante: el nacimiento de la Teoría de Números. Filolao, un siglo después de Pitágoras llegó a afirmar: “Todas las cosas que pueden ser conocidas tienen número; pues no es posible que sin número nada pueda ser conocido ni concebido”. Los pitagóricos consideraban a los números como los componentes últimos de los objetos materiales. Más o menos como nuestros átomos. Seguramente a esta concepción más materialista debamos la existencia de los números triangulares y de los números poligonales desde los albores de la Matemática.

81


Repaso

Nivel I 1) Si compro 8 manzanas me sobrarían S/.12, pero si decido c om p r a r 1 5 m a n z a na s m e faltarían S/.2. ¿Cuánto cuesta cada manzana? a) S/. 1 b) S/.1,25 c) S/.1,50 d) S/.1,75 e) S/.2 2) Según el problema anterior, ¿cuánto dinero tenía antes de la compra de las manzanas? a) S/.24 d) S/.28

b) S/.22 e) S/.32

c) S/.26

Enunciado Se sabe que: - 7 dólares equivalen a 24,5 soles. - 11 soles equivalen a 10 pesos argentinos. - 2 pesos argentinos equivalen a 17 pesos uruguayos. chilenos. 6) Si tengo S/.220 y voy a Buenos Aires, ¿cuántos pesos argentinos puedo obtener? a) 200 d) 190

c) 171

a) 10 d) 18 *

b) 3786 e) 3640

b) 10 e) 14

c) 12

4) Según el problema anterior, ¿cuánto le costó cada TV? a) $300 d) $315

b) $305 e) $320

c) $310

5) Si con el dinero que tengo quiero comprar 2 camisas me sobran S/.90 y si compro 4 camisas me faltaría S/.70, ¿cuánto cuesta cada camisa? a) S/.60 d) S/.85

82

b) S/.70 e) S/.90

a) 12370 b) 11840 d) 13020 e) 12740

b) 17 e) 16,8

5 A B + B B 7 a) 5 d) 8

b) 6 e) 9

c) 7

c) 3648 1 4 B 3B 5 A

12)

5 3 6 a) 12 d) 15

c) 12920

9) Si un recuerdo en Chile cuesta 3040 pesos chilenos ¿cuántos soles cuesta dicho recuerdo? (aprox.) a) 15,5 d) 18,2

c) 15

A 9 9

8) Si tengo 60 pesos argentinos y voy a Santiago, ¿cuántos pesos chilenos puedo obtener? a) 8 d) 13

b) 12 e) 20

En cada caso; halla “A + B”.

11)

7) Si tengo $140 y viajo a Montevideo, ¿cuántos pesos uruguayos puede obtener? (aprox.) a) 3580 d) 3920

3)

b) 180 e) 140

10) Se sabe que 5 botellas de cerveza cuestan lo mismo que 2 botellas de vino, 2 botellas de whisky cuestan tanto como 12 botellas de ron y 5 botellas de vino igual que 1 botella de whisky, ¿cuántas botellas de ron se pueden comprar con 25 botellas de cerveza?

b) 13 e) 16

c) 14

A B x 3

13)

C 4 1 a) 9 d) 12

c) 16,4

b) 10 e) 13 A B x 9

14)

c) 11

0: cero

A 0 8 a) 3 d) 6

c) S/.80


b) 4 e) 7

c) 5

2do de Secundaria


15)

A B * * 5 * * a) 12 d) 15

5 * * *

4 2 * *

b) 17 e) 14

21) Se sabe que 3 patos cuestan igual que 8 pavos, 16 pavos cuestan lo mismo que 15 gallinas. Si 5 gallinas cuestan S/.20, ¿cuánto cuestan 10 patos?

16) Si un comerciante compra 10 lámparas, le sobraría S/.60 y si quiere comprar 15 lámparas, le faltarán S/.60. ¿Cuánto cuesta cada lámpara? a) S/. 26 d) S/.30

b) S/.24 e) S/.28

c) S/.21

17) En el problema anterior, ¿de cuánt o dinero d isponía el comerciante? a) S/.460 b) S/.380 d) S/.270 e) S/.300

22) Sabiendo que 2 kilos de frejoles cuestan lo mismo que 3 kilos de azúcar, 4 lápices valen lo mismo que 5 kilos de azúcar, que 3 cuadernos valen S/.30 y que 8 lápices cuestan lo mismo que 4 cuadernos. ¿Cuánto costarán 6 kilos de frejoles? a) S/.12 d) S/.44

b) S/.10 e) S/.30

“

+

+

”

23)

+

c) 15

26)

× 2 3 6 8 a) 11 d) 14

b) 12 e) 15

c) 13

27)

× 2 1 0

a) 11 d) 13

b) 10 e) 9

c) 12

a) 11 d) 14

c) S/.15

b) 12 e) 15

24)

c) S/.150

28) En la siguiente multiplicación, halla la suma de las cifras del producto.

2 3 5 1 3 1 c) 13

5 2 + 1 a) 11 d) 12

8 4 b) 7 e) 13

c) 9

b) 9 e) 12

a) 26 d) 42


* × * * 0 c) 10

29) Halla la suma de los dígitos que faltan: 4 9 8 4 2 - 5 9 5 4 - 5 8 5 4 -

c) 54

2do de Secundaria

7 * 2 * 6 * * * * 8 1 * 1 * a) 8 d) 11

7

¿Cuántas palomas darán por 12 pollos? b) 46 e) 40

b) 14 e) 17

c) S/.210

20) En una feria agropecuaria se observa que: - por 5 pollos dan 3 conejos. - por 4 conejos dan 7 gallinas. - por 3 gallinas dan 10 palomas.

a) 42 d) 60

a) 13 d) 16

En cada caso, halla:

19) Según el problema anterior, ¿cuánto dinero tengo? a) S/.140 b) S/.130 d) S/.170 e) S/.180

c) S/.36

-

1 2 3

1 *

18) Si compro 12 polos me sobrarían S/.30, pero si deseo comprar 17 polos me faltarían S/.20. ¿Cuál es el costo de cada polo? a) S/.5 d) S/.20

b) S/.28 e) S/.56

4 3 5

a) S/. 60 b) S/. 75 c) S/. 100 d) S/. 120 e) S/. 150

c) 13

Nivel II

25)

b) 36 e) 19

79

c) 16

83


*

30) Halla “a + b + c”, si: 3 a b + b c a a b 7

Para las preguntas 36 y 37 A 3 * * * * * * * 3

Si:

c b c a a) 7 d) 10

b) 8 e) 11

c) 9

Nivel III C A +

a) 28 d) 32

2 5

Halla “C + A + R + N + E”. a) 23 d) 16 32) Si:

b) 24 e) 18

c) 26

b) 13 e) 16

b) 30 e) 33

Para las preguntas 38 y 39. Si:

D A M 5 * 4 * * * 1 * * * * 0 * 6

halla “a + m”.

a) 7 d) 11

c) 6

a) 28 d) 32 40) Si:

34) Si: p + pp + ppp = 8m1 ;

4

b) 9 e) 13

c) 10

b) 31 e) 29

c) 30

L + L U L U Z 6 0 2

halla L + U + L + U Z

halla “p + m”. b) 10 e) 14

A× A *

39) Halla la suma de todos los asteriscos.

2a+3a+4a+5a+6a+7a = m88 ;

a) 11 d) 13

c) 31

c) 14

33) Si:

b) 5 e) 8

c) 20

38) Halla “D + A + M + A”.

Halla “A + B + C + D”.

a) 4 d) 7

*

A A A + B B B C C C D 4 B A

a) 12 d) 15

b) 18 e) 24

37) Halla la suma de todos los asteriscos.

R N E M I

6

36) Halla “M + A + A”. a) 16 d) 21

31) Si:

M × 3 *

c) 12

35) Si:

a) 4 d) 3

b) 6 e) 2

c) 5

41) Si: a1a + a2a + ... + a7a = xyz4 ;

5 + 55 + 555 + ... + 5555555 = ...xyz

Halla “x + y + z”. a) 16 d) 17

84

b) 15 e) 18

halla “a + x + y + z”. c) 13

a) 12 d) 17

b) 15 e) 18

c) 16


42) 1 2 a r a g o n e s e q u i v a l e n a 5 borbones, 15 borbones equivalen a 48 caledonios. ¿A cuántos aragones equivalen 2 caledonios? a) 1 d) 3

b) 1,5 e) 3,5

c) 2,5

43) Se sabe que 25 lanchas consumen tanto petróleo como 3 barcos; 50 camiones consumen tanto como 16 barcos. Si "x" camiones consumen tanto como 8 lanchas, halla "x". a) 6 d) 3

b) 5 e) 2

c) 4

44) Sabiendo que 6 vasos cuestan lo mismo que 5 metros de una varilla y que 2 metros valen S/.4, ¿cuánto costarán 4 varas? a) S/.6,66 b) S/.6,30 c) S/.6,33 d) S/.6,50 e) S/.7,50 45) Si 8 cilindros de agua equivalen a 5 latas de agua, 15 latas equivalen a 16 cubas, ¿cuántas cubas de agua equivalen a 3 cilindros? a) 16 d) 2

b) 8 e) 10

c) 4

46) Si cada persona colabora con S/.3 faltarían S/.20 para comprar una bicicleta, pero si cada uno colabora con S/.5 sobrarían S/.80. ¿Cuántas personas están colaborando? a) 30 d) 50

b) 40 e) 60

c) 45

47) Según el problema anterior, ¿cuánto cuesta la bicicleta? a) S/.130 b) S/.160 d) S/.150 e) S/.190

c) S/.170

48) Si quiero comprar 5 tijeras me faltarían S/.20 y si quiero comprar 7 tijeras me faltarían S/.50. ¿Cuánto cuesta cada tijera? a) S/.10 d) S/.25

b) S/.15 e) S/.30

c) S/.20

2do de Secundaria


Fracciones:

Operaciones Básicas Se denomina fracción, a una o varias partes de la unidad dividida en cualquier número de partes iguales. A la fracción, se le conoce también con el nombre de número fraccionario, quebrado o número quebrado.

1. Términos de una fracción

• Multiplicación 5. 2 • Suma y Resta 1. 2 1 3

Los términos de una fracción son el numerador y denominador. • El denominador de una fracción, indica en cuantas partes iguales ha sido dividida la unidad entera. • El numerador, nos indica cuantas partes de ésta han sido tomadas. Ejemplo: Numerador 5

+1

2 7 7 = + 5 3 5 7x5 +3x7 = 3x5 56 = 15

1 2x3+1 2 = 3 3

2. 3 + 2 - 2 = 45 + 24 - 8 4 5 15 60 61 1 = 60 = 1 60 M.C.M. (4; 5; 15) = 60

Sumas y Restas

2.º

7 5

9. 3 

2

7x3

1

21

 3 = 5 x 2 = 10 =2 10 3 1 1 = 4 1 4

=

3x4 = 12 1x1

• Operaciones combinadas: 3. 5 -

1.º

1 3x1 3 = = 5 5 5

4 1 3 20 2x4 8 2 7. 2 x x = = =2 5 9 3 3 3 1 3

8.

Denominador

Multiplicación y División

6. 3 x

• División:

9

Orden de operación:

1 5 7 17 119 11 x3 = x = =9 3 4 3 4 12 12

2 4 5x3-4 11 = = =3 3 3 3 3

4. 2 1 +5 1 - 3 1 3 4 6 1 1 1 = 2 + 3 + 5 + 4 - 3 + 6  =(2 + 5 - 3) + 

1

1

10.

1 1 1+ 1 12

1 1 1+ 1 1 2 2 =

1 1+2 1 2 = 3 =

1

3 + 4 6

=4+

2do de Secundaria

4+3-2 5 5 =4 + =4 12 12 12


85


11)

Nivel I Efectúa cada uno de los siguientes ejercicios: 1)

1 1 + 3 2

2)

2 1 + 5 2

3)

7 37 + 11 11

4)

1 1 2 +3 3 4

5)

11

6)

12)

3 2 - 10 4 5

13)

1 - 1 1 +1 2 3 2 3

17)

1 + 3 5 - 8 2 3 3 2 4 5

3 1  1 + 3  5  2 4

a) -1

1 1 1 + 2 3 4 1 1 1    2 3   4

d) -

14)

+

1 1 7

3 5 3

1 2

85 144 3 d) 4 a) -

 4  2  1 3 3 15) 9 2 3

1 5 14 x x 5 7 3

b) -2

19)

e)

c) -3

1 2

2 3 4 1 + x 9 2 6 2 3 2 1+ x 2 5

18) 1 1 + 1 1 3 5 2 3 + 2

1

 5

1 8 35 e) 144 b)

c) - 5 8

2 x 3 + 1 - 1 ÷ 1 12 2 2 3 5

Nivel II 7)

8)

6 4 8 x x 3x1 16 11 13

2

9 5

16)

 3 – 2 + 1  1 5 10 15 20 a)

1 3

d) 14 9)

1 2

1 5 1 d) 8 5 a) 9

28 3 3 e) 2 b)

27 5

c)

43 5

e) 2

c) 28

4

 5

20)

1 1 1 1+ 2 1 + 3 1 + 4 + + 1 1 1 2 3 4

a) 7

1 1 1 1 10) 3 1 +2 + 6 3 5 15

86

b)

d)


1 12

b)

1 3

c) 12

e) 1 60

2do de Secundaria


1 1 * Si: a = 2 ; b= 4 21) Halla: 1 3 3 d) 20 a)

1 y c= 5

ab c

1 4 2 d) 13

5 8 1 e) 7 b)

c)

1 40

b)

5 4

a) 8 d) 7

27) Halla:

2 3 5 d) 6 a)

c) 2

e) 13 4

23) Halla (a - 2b) (c - 1) b) 0 e) 4

a) 1 3 d) 2 3

25) Halla:

1

d) 2

e) 3

1 1+ 2 3 4 6 e) 7 b)

c)

4 5

2 11 2 d) 33

2 8 6 e) 11 b)

32) Efectúa:

c) 1

b) 2 e)

1 2

b) - 1 e) 3

1 c) 5 a) 1 d) 8

c) 1

2 2-

a) 6 d) 16

8 9

8 3

3 2 x x 70 7 5 b) 8 e) 24

a) 8 9 d) 9 8

c) 12

b) 5 3 e) 10 3

c)

9 2

c)

4 6

35) Efectúa: 2

1 1 1 + + 4 8 12 1 1 1 + + 24 6 4

1 22

b) 3 e) 2

c)

1 2 34) Efectúa: 1 1+ 3

1

30) Halla:

1 3 1 13

1+

2-

1a) 2 d) 0

8 11

1 1-

2do de Secundaria

c)

c) 3

e) 2

a) 2 3 1 d) 2

2

29) Halla:

y-z x-y 3 b) 5

1

1 2

b) 5

33) Efectúa: a)

e) 5

3 a) 5

1 3 1 d) 5

c) 2

xyz 3 5 b) 2

1-

c) 1

2+ 3 4

2 3 4 ; y= ; z= * Si: x = 3 4 5 24) Halla:

b) 9 e) 6

a)

28) Halla:

a) 1 d) 3

Nivel III 31) Halla: 1 +

22) Halla: a + b b c a)

26) Halla: 3x + 4y + 5z y+ 1 4

c) 4


2 6 5 d) 6 a)

3 6 6 e) 6 b)

87


36) Efectúa:

a) 5 16 d) 5 8

37) Efectúa:

b) 3 8 e) 3 16

c) 1 4

1 4 1

22+

1+

a) 5 8 d) 2 7

41) Efectúa:

3 1 ÷ 8 2 1 1÷ 4

1 4 c) 3 14

1 + 2

80 13 24 d) 13 a)

1 1 13 2 1 + 5 4

40 13 48 e) 13 b)

3 39) Efectúa: 4 ÷

5 a) 3 6 d) 11

40) Efectúa: a) 5 3 d) 6 11

88

3 4



4 b) 15 e) 3 8

a)

7 5

d) 4

43) Halla:

c)

20 13

46) Halla:

3 1 - 4 1 x 2 1 1 1 - 3 9 3   2 4  3 5 9

c)

1 2 + 1 4 5 2 1 +2 2 5 4 3 10

1+ 1 1+ 1 1+ 1 1+ 1  2  3  4  5

c) 1

a) 1 24

b) 3

d) 8

e)

 1  2  4 3 5 5 1 - 1 2 3

b) 2

d) 3

e) 1

c) 2 3

b) 1 3 1 e) 7

3 31 9 d) 23

2 15 2 e) 41 b)

5 4

d) 9 2

c)

b)

5 3

c) 17 1 5

y c=



a)

4 ; 9

2 3 c)

4 5

e) 10 3

50) Ordena de menor a mayor: 3 5 7 ; 5 7 ; 9

1 + 2 + 1 3 5 2

a)

5 1 , b= 8 3

halla: ( a ÷ b) c ÷

c) 4 3

1 2 1 2 3 5 45) Halla:

9 c) 40

5 24

8 3

3 a) 12 1 b) 43 5 4 2 2 d) 8 e) 35 5 5

a=

6 + 3 -3 1 2 3 3 3 2

1 1 12

c)

48) Halla a + b si: c 1 3 y 1 a= 2 ; b= c= 5 4 12

44) Halla:

9 c) 40

c) 3 1 2

e) 2

a) 2 5

a) 1 9 2 d) 5

b) 13 93 e) - 40 3

47) Efectúa:

3

b)

676 27 51 d) 81 a)

49) Si:

5 1 1+ 2

4 b) 15 3 e) 20

b) 10 11 7 e) 5

42) Efectúa:

b) 3 8 e) 3 7

38) Efectúa:

a) 5 21 6 d) 25

3 5 4 x 9 5 3 2 4

2 31


3 7 5 7 5 3 d) ; ; 5 9 7 9 ; 7 ; 5 7 3 5 5 7 3 b) ; ; e) 9 ; 5 ; 7 7 9 5 3 5 7 c) 5 ; 7 ; 9 a)

2do de Secundaria


Fracciones: Representación y situaciones problemáticas Representación gráfica de situaciones elementales En este caso, el denominador, nos indica que la unidad ha sido dividida en 9 partes iguales y el numerador, indica que se han tomado 5 partes.

• Relación parte - todo

• ¿Fracción de fracción?

a. ¿Qué parte de 40 es 15? 3 15 = P. 40 = 15  P = 8 40

a. Halla los 3 de 40: 3 (40)=24 5 5 b. Halla los

b. ¿De 60 qué parte es 12? 12 1 = P. 60 = 12  P = 60 5

3 5

3 5 de los de 400: 2 6

 5 (400) = 500 6

Gráficamente: c. Si son las 10:00 a.m., ¿qué parte 1

1

1

1

1

1

1

1

1

9

9

9

9

9

9

9

9

9

5 9 9 9

del día ha transcurrido? 10 5 P. 24 = 10  P = = 24 12

• Si a una fracción se le quita o agrega una parte de ella. 7 son mujeres, ¿qué 9 parte son hombres?

a. Si los

1-

• ¿En cuánto excede A a B?

=1

7 2 = 9 9

a. ¿En cuánto excede 100 a 45?

b. ¿En cuánto excede

2 ! 5 Todo debe ser del mismo tamaño

¡No es

Ahora sí:

1 2 a ? 3 11

1 2 5 = 3 11 33

• Representación Gráfica (Relación Parte - Todo)

3 8

3 del día han transcu7 rrido, ¿qué parte del día falta

b. Si los

100 - 45 = 55

transcurrir? 1-

3 4 = 7 7

• ¿En cuánto es excedido A por B? a. ¿En cuánto es excedido 36 por 50? 50 - 36 = 14 b. ¿En cuánto es excedido 3 5 por 7 ? 4 7 3 23 = 4 5 20

2do de Secundaria


89


5)

Nivel I

5 6

10)



Grafica: 1)

5 12

cuadrado

2)

3)

6)

11)

3 16

5 7

cuadrado

3 8

7)

12)





3 8  13)

8) 4)

3 4

1 6

triángulo equilátero

14)



triángulo equilátero • Indica la fracción que representa la parte sombreada del total:

 15)

9) 

90


2do de Secundaria


Nivel II

20) ¿Cuánto le sobra a 2 000 respecto a los 5/3 de 3/2 de 600?

24) Tengo 2/5 de 600, ¿cuánto me falta para obtener 800?

21) Si en una reunión los 3/15 son hombres, ¿qué fracción serán mujeres?

25) De $ 1000 pierdo 1/5, luego de lo que me queda me roban $ 200. ¿Cuánto me queda al final?

16) ¿Cuánto le sobra a 15/2 respecto a la suma de 1/2 y 1/5?

17) ¿Cuánto le falta a 3/4 para ser igual al producto de 2/3 con 9/4?

22) ¿Cuánto le sobra a 4/9 respecto de 1/3? 18) ¿Cuánto es los 2/3 de los 7/5 de 300?

26) Tengo S/.120 y gasto las 3/5 partes. ¿Cuánto me queda? a) S/.36 d) S/.72

b) S/.40 e) S/.60

c) S/.48

27) Mariana me debía los 3/7 de 420 soles y me acaba de pagar los 7/11 de 220 soles. ¿Cuánto me debe ahora?

19) ¿Cuánto le falta a 60 para ser igual a los 2/5 de 400?

23) Si tengo $ 6 000 y pierdo $ 2 000, ¿qué parte de lo que tenía perdí?

a) S/.60 d) S/.80

c) S/.30

28) En una reunión la cuarta parte son hombres, de los cuáles la tercera parte son solteros y los 20 restantes son casados. ¿Cuántos hombres hay? a) 40 d) 30

2do de Secundaria

b) S/.40 e) S/.50


b) 60 e) 45

c) 25

91


29) Según el problema anterior, ¿cuántas personas hay en la reunión?

35) ¿En cuánto excede 2

a) 1 a) 100 d) 200

b) 108 e) 120

c) 160

30) ¿Cuánto le falta a 3/5 para ser igual al producto de 7/3 y 5/2? 1 a) 5 30 d) 4

11 30

3 b) 4 23 e) 3

7 c) 5 30

17 30

b)

8 15

c)

13 6

e) 3 5

a) 12 d) 24

b) 8 e) 48

c) 4

33) Calcula los 3/5 de los 7/3 de los 11/4 de los 16/23 de 460. a) 616 d) 1232

b) 836 e) 1032

c) 1212

34) Si aumento 2/5 en sus 2/5 partes, ¿cuánto obtengo? 4 a) 5

14 b) 25

d) 6 25

e) 12 25

92

2 c) 5

4 15

c)

7 15

e) 2 3

7 b) 3 4 e) 7

4 c) 11

37) Teresa desea embotellar 70 litros de ron «Rasca Rasca Limón» en envases de 2 1/3 cada uno, ¿Cuántos envases necesitará? a) 60 d) 20

32) Halla los 3/7 de los 2/5 de 140.

b) 1

36) Si vendo los 7/4 de lo que no vendo, ¿qué parte del total no vendo?

3 d) 7

31) ¿Qué parte de 60 es 32? 15 8 d) 6 13

d) 11 15

7 a) 11

Nivel III

a)

2 15

3 a1 1 ? 5 3

b) 40 e) 50

c) 30

38) Claudia reparte S/.30 entre sus cuatro mejores amigas. A Mariana le da S/.5, a Rocío S/.15, a Luciana S/.3 y el resto a Cirila. ¿Qué parte del total le tocó a Cirila? a)

4 5

d) 7 15

b)

11 30

c)

7 30

e) 23 30

39) José tiene 360 soles y gastó 2/5 en comprarse un pantalón; 1/6 del resto en un polo y del resto le dio la mitad a Carlos. ¿Cuánto gastó en el pantalón? a) S/.180 b) S/.150 d) S/.205 e) S/.144

c) S/.164


40) En el problema anterior, ¿cuánto gastó en el polo? a) S/.42 d) S/.24

b) S/.36 e) S/.54

c) S/.27

41) En el problema 39, ¿cuánto le quedó a José? a) S/.90 d) S/.72

b) S/.180 e) S/.56

c) S/.60

42) Pirulín desea embotellar 60 litros de gaseosa «DON CACHITO KOLA» en envases de 2/3 L. ¿Cuántos envases necesitará? a) 80 d) 120

b) 90 e) 150

c) 100

43) Un padre deja una herencia a sus cuatro hijos, la cual es distribuida de la siguiente manera: • A Sandra le toca las 3/7 partes. • A Sergio le toca las 2/9 partes. • A Mariana le toca las 4/21 partes. • A César le toca el resto. ¿Qué parte le tocó a César? 55 63 11 d) 63 a)

53 63 12 e) 63 b)

c)

10 63

44) Si un TV me costó $300 y lo vendo a $340, ¿qué parte del costo representa la ganancia obtenida por la venta del TV? 7 15 15 d) 17 a)

13 15 15 e) 13 b)

c)

2do de Secundaria

2 15


Reducción a la Unidad Estos tipos de problemas se caracterizan por que se tratará de homogenizar lo hecho por cada objeto (caños, grifos) o personajes ya sea en un día, un minuto, ..., etc. Por ejemplo, si nos dicen que: Max hace toda una obra en 5 días, entonces debemos considerar que en 1 día hará 1/5 de la obra.

Juntos en 1 hora llenarán:

(

1 1 – 2 6

)

(tanque)

(

1 hora < >

3–1 6

)

1 tanque 3

1 hora < >

 3 horas < > 1 tanque 1. Ana hace un trabajo en 15 días y Any lo hace en 30 días. ¿En cuántos días harán dicho trabajo juntas? a) 15

b) 10

c) 2

d) 3

e) 4

Resolución: 1 (trabajo) 15

Ana en 1 día hará Any en 1 día hará

1 (trabajo) 30

Juntas en 1 día harán: 2+1 1 día < > 30

( )

(

1 1 + 15 30

En un día, juntas harán la suma de lo hecho por cada una en un día.

+

)

Rpta.: c 3. Un grifo puede llenar un tanque en 6 horas y un desagüe lo vacía en 8 horas. Si ambos se abren a la vez, ¿en qué tiempo se llenará el tanque? a) 12 h d) 18 h

b) 15 h e) 30 h

Resolución:

(trabajo)

Juntos en 1 hora llenarán:

TRABAJO trabajo  1 día < >  10 días < > trabajo 10

Rpta.: b

1 1 1 tanque < > 1 h – = 6 8 24 1 tanque < > 24 h Rpta.: c

2. Un caño «A» llena un tanque en 2 horas y otro «B» lo desaloja en 6 horas. Funcionando juntos, ¿en qué tiempo se llenará el tanque? a) 5 horas

b) 4 horas

c) 3 horas

d) 6 horas

e) 9 horas

Resolución: «A» en 1 hora llenará:

1 (tanque) 2 –

«B» en 1 hora desalojará: 1 (tanque) 6

2do de Secundaria

c) 24 h

Se resta, ya que, «A» va llenando y «B» quitando (lo contrario de «A»)


4. «A» puede hacer una obra en 20 días y «B» la podría hacer en 60 días. Si «A» y «B» trabajan juntos, ¿en cuántos días la podrían terminar? a) 10 d) 18

b) 12 e) 9

c) 15

93


6) Una señora demora 20 minutos en lustrar el piso de su sala. ¿Qué parte lustró en 1 min?

Resolución: Juntos en 1 día: 1 1 3+1 1 + 20 60 = 60 = 15 Lo Lo hecho hecho por por «A» «B»

= obra < > 1 día 15

1 obra < > 15 días

Nivel I 1) Roberto demoró cuatro minutos en resolver un problema. ¿Qué parte del problema resolvió en un minuto? 3 4 1 d) 4 a)

Rpta.: c

5. Un depósito puede llenarse por un tubo en 2 h y por otro en 3 h y vacearse por uno de desagüe en 4 h. El depósito se llenará con los tres tubos abiertos en: a) 12 h 7

b) 6 h

d) 7 h

e) 2 h

c) 11 h 7

Resolución: Juntos en 1 hora llenarán: 1 1 1 6+4–3 + = 2 3 4 12 = 7 depósito < > 1h 12 12  1 depósito < > h 7 Rpta.: a

2 4 4 e) 4 b)

c)

5 4

2) Un caño demoró seis horas en llenar un depósito. ¿Qué fracción del depósito llenó en una hora? 3 6 d) 5 6 a)

2 6 e) 4 6 b)

c)

1 6

3) Rubén demora seis días en hacer una obra. ¿Cuánto demora en hacer los 2/3 de la obra? a) 3 días

d) 4 días

b) 2 días

e)

1 días 2

4) César demora cuatro horas en pintar una pared. ¿Qué parte de la pared pintó en una hora? 1 4 d) 4 4

1 2 e) 2 4 b)

c)

3 4

5) Un caño demora 15 minutos en llenar un depósito. ¿Qué parte del depósito se llena en 8/3 min? 15 8 d) 45 8 a)

94

8 5 e) 8 45 b)

c)

5 8


1 b) 10 e)

1 c) 20

1 2

7) Un obrero demora 8 días en abrir una zanja. ¿Qué parte de la zanja abrió en 2 días? a) 1 2 d) 1 16

b) 1 4 e) 1 5

c) 1 8

8) José demora 10 segundos en tomarse un vaso con agua. ¿Qué parte tomó en un segundo? 1 4 1 d) 10 a)

1 2 1 e) 20 b)

c)

1 5

9) Un caño llena un depósito en 7 minutos. ¿Qué parte del depósito llena en 1 min? 1 2 d) 1 6 a)

c) 1 días 6

a)

1 a) 5 1 d) 15

1 3 e) 1 7 b)

c)

1 5

10) Mediante cierto mecanismo una piscina puede ser vaciada en 20 horas. ¿Qué parte de la piscina se vacía en una hora? 1 3 1 d) 20 a)

1 6 1 e) 30 b)

c)

1 10

11) Una cocinera demora 26 minutos en preparar cierta comida. ¿Qué parte de dicha comida prepara en 2 minutos? 1 2 1 d) 4 a)

1 13 1 e) 5 b)

c)

2do de Secundaria

1 26


12) Un albañil demora 20 horas en levantar una pared. ¿Qué parte de la pared levantó en cuatro horas? 1 a) 3 1 d) 2

1 b) 4 3 e) 10

1 c) 5

13) Antonio demora 4 minutos en resolver un problema. ¿Qué parte del problema resolvió en 2 minutos? 1 2 1 d) 5 a)

1 3 1 e) 6 b)

c)

1 4

14) Una secretaria demora 24 minutos en escribir una página. ¿Qué parte de la página escribió en 2 minutos? a) 1 4 d) 1 13

b) 1 6 e) 1 24

c) 1 12

15) Rosa demora tres horas en hacer su tarea escolar. ¿Qué parte de la tarea resuelve en 45 minutos? 1 a) 6 1 d) 3

1 b) 4 5 e) 6

2 c) 3

16) Un albañil construye 1/15 de un edificio en un día. ¿En qué tiempo construirá todo el edificio? d) 5 días e) 30 días

17) En un minuto, un caño llenó 1/24 de un depósito. ¿En qué tiempo llenará todo el depósito? a) 30 min b) 21 min c) 24 min

a) 6 días b) 3 días c) 2 días

d) 36 min e) 32 min

2do de Secundaria

d) 4 días e) 9 días

19) Eduardo pintó 1/4 de una casa en un día. ¿En qué tiempo pintará toda la casa? a) 10 días b) 8 días c) 5 días

d) 4 días e) 2 días

a) 20 min b) 15 min c) 10 min

d) 12 min e) 8 min

21) Un obrero realiza las 2/3 partes de un trabajo en cuatro horas. ¿En cuánto tiempo realizará toda la obra? a) 6 horas b) 8 horas c) 10 horas

d) 12 horas e) 3 horas

22) Luis hizo los 3/5 de una obra en seis días. ¿Qué parte de la obra hizo en un día? b) 2 5 e) 1 10

c) 3 8

23) Una cocinera demora 26 3/4 minutos en preparar cierta comida. ¿Qué parte de dicha comida prepara en 1/2 minuto? 1 107 2 d) 53 a)

1 53 4 e) 107 b)

c)

5 24 5 d) 48 a)

5 6 5 e) 18 b)

c)

5 12

25) Carmen demora 20 minutos en hacer una tarea; Rosa demora 24 minutos en hacer una tarea similar. ¿Cuánto demoran juntos en hacer una tarea? 120 120 11 min d) 13 min 60 b) min e) 30 min 11 13 c) 32 min 3 a)

20) En 1 minuto un caño llenó 1/20 de un depósito. ¿En qué tiempo llenará todo el depósito?

a) 5 2 d) 6 5

Nivel II

a) 10 días b) 15 días c) 20 días

18) Gabriel pintó 1/3 de una casa en un día. ¿En qué tiempo pintará toda la casa?

2 107

24) Una secretaria demora 24/5 minutos en escribir una página. ¿Qué parte de la página escribió en dos minutos?


26) Un caño llena un depósito en 24 minutos, mientras que el desagüe demora 30 minutos en vaciar el depósito. ¿Cuánto demora en llenarse el depósito si se abren el caño y el desagüe? a) 110 min b) 140 min c) 120 min

d) 145 min e) 160 min

27) Un caño llena un depósito «A» en tres minutos y un depósito «B» en seis minutos. ¿En qué tiempo llenará el caño los dos depósitos? a) 9 min b) 4 min c) 4,5 min

d) 1/2 min e) 2 min

28) Un depósito tiene un caño que demora 12 minutos en llenarlo, además tiene un desagüe que demora 18 minutos en vaciarlo. ¿En qué tiempo se llenará el depósito si se abren al mismo tiempo el caño y el desagüe? a) 42 min b) 35 min c) 32 min

d) 40 min e) 36 min

29) Un caño «A» llena un tanque en tres horas y otro «B» lo llena en seis horas. Si se abren los dos caños a la vez, ¿en qué tiempo lo llenarán? a) 1 h d) 4 h

b) 2 h e) 5 h

c) 3 h

95


30) Un hombre realiza un trabajo en seis horas. Si su hijo lo hace en 12 horas, ¿cuánto tardarán en hacerlo juntos? a) 4 h d) 3 h

b) 6 h e) 18 h

c) 9 h

Nivel III 31) Frank puede hacer un trabajo en 8 días y su hijo lo puede hacer en 12 días. ¿Cuántos días les tomará hacer todo el trabajo juntos? a) 4,3 días b) 4,4 días c) 4,5 días

d) 4,8 días e) 4,9 días

32) Javier demora 10/3 minutos en hacer una tarea. ¿Qué parte de la tarea hace en 5/6 minutos? 2 5 1 d) 4 a)

1 3 3 e) 10 b)

c)

2 3

33) Un caño «A» llena un depósito en 3 min y otro caño «B» llenaría el depósito en 6 min. ¿Qué parte llenarían los dos caños en 1 min? 1 a) 2

1 b) 3

d) 1 6

e) 1 8

1 c) 4

34) Carmen demora 20 minutos en preparar una fuente con cebiche y Sofía demora 36 minutos en hacer lo mismo. ¿Cuánto demorarán juntas en hacer una fuente de cebiche? (aproximadamente) a) 56 min b) 28 min c) 18 min

d) 15 min e) 13 min

35) De los dos caños que fluyen a un tanque, uno solo lo puede llenar en 6 horas y el otro solo lo puede llenar en 2 horas. ¿Qué parte llenarán los dos caños juntos en 1 hora?

96

1 3 2 d) 3 a)

1 5 5 e) 3 b)

c)

3 5

36) Un depósito se vacía mediante cierto dispositivo en 2 horas y mediante otro dispositivo en 4 horas. ¿Qué parte vaciarán los dos dispositivos simultáneamente en 1 hora? 1 2 d) 4 3 a)

1 3 e) 3 4 b)

c)

1 4

1 b) 3 1 e) 16

1 c) 4

38) Un albañil hace 2/5 de una pared en un día, mientras que su ayudante hace 1/8 de la pared en un día. ¿Cuánto demoran los dos juntos en hacer la pared? a) 41 días 21 b) 20 días 3 40 c) días 21

d) 80 días 21 e) 45 días 7

39) En una hora, un caño llena 1/5 de un depósito y otro caño en una hora llena 1/10 del depósito. ¿Cuánto demoran los dos caños juntos en llenar el depósito? 2 horas d) 2 3 b) 1 1 horas e) 3 3 c) 5 1 horas 3 a) 1

41) Un depósito se vacía, mediante cierto dispositivo en seis horas y mediante otro dispositivo en ocho horas. ¿En qué tiempo se vaciará el depósito si funcionan los dos dispositivos simultáneamente? 4 1 horas d) 12 horas 7 7 4 1 b) 3 horas e) 3 horas 7 8 c) 3 3 horas 7 a) 2

37) José demora 6 días en pintar un edificio. Luis demora 12 días en pintar otro edificio similar. ¿Qué parte pintarán los dos juntos en un día? 1 a) 2 1 d) 8

1 horas d) 1 hora 3 b) 1 1 horas e) 3 horas 3 1 c) 3 horas 3 a) 2

2 horas 3 1 horas 3

40) Un tanque puede ser llenado por un primer caño en dos horas y por un segundo caño en cuatro horas. ¿En cuántas horas se llenaría el tanque si funcionan a la vez los dos caños?


42) De los dos caños que fluyen a un tanque, uno solo lo puede llenar en seis horas y el otro lo puede llenar en ocho horas. Si abrimos los dos caños a la vez estando el tanque vacío, ¿en qué tiempo se llenará dicho tanque? 1 horas d) 4 7 2 b) 3 horas e) 3 7 c) 3 3 horas 7 a) 3

1 horas 7 5 horas 7

43) Los caños «A», «B» y «C» llenan individualmente un estanque en 1, 2 y 4 h, respectivamente. Si se abren los tres caños juntos, ¿en qué tiempo se llenará? a) 4 hora 7 b) 4 hora 8 c) 2 horas

d) 1 hora e) 3 hora 7

44) Un caño puede llenar un depósito en 3 horas y otro lo puede hacer solo en 4 horas. Si el depósito está vacío y abrimos los dos caños a la vez, ¿en qué tiempo se llenará todo el depósito? a) 1 5 horas d) 2 7 b) 2 1 horas e) 1 7 c) 3 1 horas 4

5 horas 7 3 horas 7

2do de Secundaria


Repaso 5) Efectúa:

Nivel I •

3 5 2 + – 1 1 1 4 2 2

¿Qué fracción representa la región sombreada? a) 24 d) 18

1) a) 1/8 b) 1/4 c) 1/12 d) 1/14 e) 1/16

11) Luis demora 20 s en tomarse un vaso con agua. ¿Qué parte tomó en 1 s?

b) 16 e) 23

c) 21

6) Halla el 20% de 560. a) 112 d) 220

b) 182 e) 222

c) 140

1 5 es ? 2 8 3 2 b) c) 5 3 e) 3 8

7) ¿Qué parte de

2)

4 5 d) 5 8

a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4 d) 1/8 e) 1/5

a)

8) Halla el valor de «a + b» de la siguiente igualdad: 3) a) 1/2 b) 1/8 c) 1/4 d) 1/16 e) 1/32

8

9 a = 10 b

a) 44 d) 79

b) 99 e) 70

c) 89

9) Al ordenar de mayor a menor las fracciones: a = 3/7; b = 2/5 y c = 5/8; se obtiene:

4) Efectúa:

2 + 3

7 a) 5 7 d) 3

14 b) 15 5 e) 3

1 5 3 4

a) a; b; c b) b; c; a d) b; a; c e) c; a; b 14 c) 5

2do de Secundaria

c) a; c; b

10) Si por cinco caramelos pago un sol, ¿cuánto debo pagar por 45 caramelos? a) S/.7 d) S/.10

b) S/.8 e) S/.11

1 2 1 d) 4 a)

1 20 1 e) 5 b)

c)

12) Si tres bolas idénticas de acero pesan 7 kg, ¿cuál será el peso de 18 bolas idénticas a las anteriores? a) 28 kg b) 36 kg d) 32 kg e) 42 kg

c) 41 kg

13) Un hombre demora 4 horas en realizar un trabajo. ¿En un día que parte realizaría? 1 3 1 d) 5 a)

1 2 2 e) 3 b)

c)

1 4

14) Si 15 chelines equivalen a $30, ¿cuántos chelines equivalen a $200? a) 68 d) 100

b) 91 e) 99

c) 70

15) Tengo S/. 120 y gasto las 3/5 partes. ¿Cuánto me queda? a) $ 36 d) $ 40

b) $ 60 e) $ 72

c) $ 48

c) S/.9


1 10

97


22) ¿Qué parte de 4/9 es 1/3?

Nivel II •

¿Qué fracción representa la región sombreada?

a) 1/4 d) 4/27

b) 2/5 e) 3/4

c) 2/9

23) ¿Cuántos medios tercios hay en ocho unidades?

16) a) 3/8 b) 7/16 c) 9/16 d) 1/8 e) 5/16

a) 40 d) 42

b) 36 e) 38

a) 1/2 b) 17/32 c) 15/32 d) 17/64 e) N.A.

1 7 d) 6 7 a)

18) Efectúa: 2 + 40 7 36 d) 5

1 3 3–

b)

c)

32 15

1 1 +3 3 2 C= 1 1 4 +5 3 2

a) 30 d) 40

c) 35/59

2 3 de de 100. 3 5 b) 65 e) 60

c) 45

21) Los 5/8 de los 2/7 de la quinta parte de 112 es: a) 6 d) 7

98

b) 5 e) 8

3 7

7 24 9 e) 24 b)

c) 4

5 2 6 d) 5 a)

2 5 1 e) 10 b)

c)

17 24

b) 2 h e) 5 h

c)

3 8

c) 3 h

28) Un hombre realiza un trabajo en 6 horas y su hijo lo hace en 12 horas. ¿Cuánto tardarán en hacerlo juntos? a) 4 horas b) 6 horas c) 9 horas

c) 24

30) Se necesitaron cinco obreros para hacer una obra en ocho días. ¿Cuántos obreros se necesitan para hacer la obra en 10 días? a) 2 d) 5

b) 6 e) 8

c) 4

31) Efectúa: 3 1 1 1 – + 4 2 2 3 Q= 1 1 + 1 1 + + 6 3 2 3 a) 2,3 d) 1,5

27) Un caño «A» llena un tanque en 3 horas y otro «B» lo llena en 6 horas. Si se abren los dos caños, ¿en qué tiempo lo llenarán? a) 1 h d) 4 h

b) 27 e) 9

Nivel III

26) Luis hizo los 3/5 de una obra en 6 días. ¿Qué parte de la obra hizo en un día?

2

a) 35/6 b) 6/59 d) 27/35 e) 22/59

5 24 11 d) 24 a)

1 2

19) Halla el valor de «C» si:

20) Halla

c)

25) Si son las 5 de la tarde, halla la fracción transcurrida del día.

52 15 e) 52 3

a)

4 7 e) 5 7 b)

a) 18 d) 4

c) 48

24) Si es el día miércoles, halla la fracción transcurrida de la semana.

17)

29) E n u n a c o m p e t e n c i a , u n auto da ocho vueltas en dos minutos. ¿Cuántas vueltas dará en seis minutos? (a la misma velocidad)



b) 2,7 e) 1,4

c) 1,6

32) ¿Cuánto le falta a la suma de A y B para ser igual a 4/3? Si: A = 1 –

yB= 2–

2–

1 1–

a) 1/5 d) 1/6

1

1 2

1 3

b) 2/3 e) 5/6

c) 1/2

33) ¿Qué parte de la figura representa la región sombreada? a) 5/8 b) 3/8 c) 1/2 d) 3/4 e) 5/6

2do de Secundaria


34) ¿Qué parte de la figura está sombreada?

40) ¿En cuántos dieciseisavos es mayor 1/2 que 1/4? a) 1 d) 4

a) 1/4 b) 2/3 c) 1/2 d) 2/5 e) 5/6

b) 2 e) 5

c) 3

3 de 1 del triple 4 10 7 1 de los de de 5 1 . 12 5 3

41) Halla los 35) En el problema anterior, ¿qué parte de la región sombreada es la parte que no está sombreada? 1 5 d) 4 5 a)

2 5 e) 5 5 b)

c)

3 5

36) Ordena las siguientes fracciones de menor a mayor: 14 , 7 , 9 17 10 13 a) 9 , 7 , 14 d) 9 , 14 , 7 13 10 17 13 17 10 b)

7 , 9 , 14 e) N.A. 10 13 17

14 , 9 , 7 c) 17 13 10

37) ¿Cuál es el número, cuyo 5/7 es 85? a) 117 d) 139

b) 129 e) 149

c) 119

38) ¿De qué número es 78 sus 3/4? a) 99 d) 104

b) 93 e) 106

c) 102

39) ¿Los 2/5 de qué número es 30? a) 85 d) 55

b) 75 e) 70

c) 65

2do de Secundaria

a)

21 50

d) 31 50

b)

50 7

c)

7 50

e) 1 50

42) ¿Cuánto se obtiene al aumentar 3/4 en los 3/4 de sus 3/4? 75 64 d) 25 64 a)

75 16 e) 27 64 b)

c)

75 4

46) Un estanque se puede llenar por tres llaves. La primera lo puede llenar en 5 horas, la segunda en 10 horas y la tercera en 8 horas. ¿En cuánto tiempo se llenará el estanque si se abren al mismo tiempo las tres llaves? 6 2 horas d) 4 horas 17 7 5 b) 3 horas e) N.A. 17 11 c) 2 17 horas a) 2

47) Un depósito puede llenarse por un tubo en 2 horas y por otro en 3 horas, y vaciarse por uno de desagüe en 4 horas. El depósito se llenará con los tres tubos abiertos en: a) 1 h b) 12/7 h d) 11/7 h e) 13/7 h

c) 10 h

43) ¿Qué fracción de los 2/5 de 3/4 representa los 3/7 de 8/9? 1 54 d) 18 54 a)

80 63 e) 9 63 b)

c)

20 63

44) Un obrero realiza las 2/3 partes de un trabajo en 4 horas. ¿En cuánto tiempo realizará toda la obra? a) 6 horas b) 8 horas c) 10 horas


Leonardo da Vinci realizó este dibujo para ilustrar el libro De Divina Proportione del matemático Luca Pacioli editado en 1509. En dicho libro se describen cuales han de ser las proporciones de las construcciones artísticas. En particular, Pacioli propone un hombre perfecto en el que las relaciones entre las distintas partes de su cuerpo sean las del dibujo adjunto. Resulta que la relación entre la altura del hombre y la distancia desde el ombligo a la mano es el número áureo.

45) Un caño llena un depósito «A» en 3 minutos y un depósito «B» en 6 minutos. ¿En qué tiempo llenará el caño los dos depósitos? a) 9 min b) 4 min c) 4,5 min

d) 1/2 min e) 2 min


99


Tanto por Ciento Es el número de unidades que se toma de cada 100. Ejemplo: •

19 por ciento (I.G.V.) significa que se están tomando 19 unidades por cada 100.

•

19 por ciento se representa como 19 19% que equivale a 100

Notación: a% = Se lee: 1

2

a 100

a%: a por ciento 3

...

98 99 100

1 1 1 100 100 100

1 100 • •

1 1 1 100 100 100

< >%

10 1 10% = 100 = 10 20 1 20% = = 100 5

Parte 2

Parte 4

•



Expresa una fracción como tanto por ciento. a) 3 5

x 100% = 60%

b) 6 4

x 100 % = 150%

c) 1 2 5

= 7 x 100% = 140% 5

Parte 3 a) Halla el 50% de 120. 50 x 120 = 60 100 b) Halla el 20% del 30% de 18 000. 20 30 x x 18 000 = 1080 100 100 c) El 60% de 80 menos el 20% de 100.



30 = 100 24 b) 24% = = 100 27 27 c) %= 500 5

100

b) N+2%N – 30%N = 72%N c) N + 3%N + 3 N 5 =

N x 100%+3%N+300%N 5

= 20% N + 3%N + 300%N = 323% N GANANCIAS Y PÉRDIDAS Pv = Pc + G

Pv = Pc – P

Pv : Precio de venta Pc : Precio de compra G : Ganancia P : Pérdida

Se vende una bicicleta en S/. 570 ganándose el 20% del precio de compra. ¿Cuánto costó? d) El 40% de 5 más el 30% de 60.

Expresa como una fracción. a) 30 % =

a) 5%N+2%N+25%N= 32%N

Ejemplo 1:

n  Si tengo «n» partes <> n% = 100 Parte 1

Operaciones con porcentajes.

Resolución: Pv = Pc + G 570 = Pc + 20% Pc

3 10 6 25

570 = 120 % Pc Pc = S/.475


2do de Secundaria


AUMENTO O DESCUENTOS SUCESIVOS

a) 12 d) 18

Ejemplo 2: ¿A cuánto equivalen dos descuentos sucesivos del 20% y 30%? Resolución: Descuento o Aumento

5) Halla el 20% de 5/2% de 1 200.

(

axb % 100 (+) aumento (–) descuento

a+b

El descuento es: 20 + 30 – 20 x 30 = 44% 100

)

b) 100 e) 4

c) 6

6) Calcula: 30% del 40% del 500% de S/.8 000. a) S/.5 200 b) S/.6 300 c) S/.5 100

d) S/.4 800 e) S/.4 900

7) Reduce: 4S + 20% S – 3/5 S + 25% S a) 280 %S b) 275 %S c) 180 %S

d) 300 %S e) 385 %S

8) ¿36% de qué número es 144? a) 40 d) 1 440

b) 400 e) N.A.

c) 360

13) Me pagan el 20% de S/.600 y me regalan el 13% de S/. 2 800. ¿Cuánto tengo? a) S/.480 b) S/.450 c) S/.280

d) S/.484 e) S/.380

14) Invito al cine a 3 amigos y gasto en las entradas el 5% de S/.720. ¿Cuánto costó cada entrada? a) S/.9 b) S/.10 c) S/.12

d) S/.36 e) S/.5

15) Al pagar una cuenta me cobran S/. 800 pero al llegar a caja me descuentan el 15%. ¿Cuánto pagué? a) S/.750 b) S/.600 c) S/.550

d) S/.680 e) S/.650

Nivel I 1) Calcula: a) El 25% de 400 b) El 3% de 1 200 c) El 14% de 120 d) El 4/5% de 5 000 2) Expresa como fracción. a) 13% b) 115% c) 3/2% d) 1 1 % 5 3) Expresa como porcentaje. a) 3/5 b) 7/10 c) 3/8 d) 2 1 5 4) Calcula: a) A + 2%A + 5%A b) 3/5 A + 70% A + 3%A c) 50%P + 3%P + 3P d) P + 2P + 3/5 P – 3/4 P

2do de Secundaria

9) ¿El 20% de qué número es el 40% del 5% de 600? a) 600 b) 6 d) 6x103 e) N.A.

c) 60

10) Pamela tiene S/. 300. Si gasta el 70%, ¿cuánto le queda? a) S/.80 b) S/.90 c) S/.120

d) S/.240 e) S/.210

11) Anabelí gastó el 20% del 30% de S/.1500 y luego gastó S/.25. ¿Cuánto le queda? a) S/.1 250 b) S/.1 420 c) S/.1 385

d) S/.1 120 e) S/.950

12) Pepe gasta el 20% de su dinero. ¿Cuánto le queda? a) 80% d) 30%

b) 60% e) 55%

Nivel II

16) Expresa como tanto por ciento. a) 3/9 b) 1/25 c) 15/2 d) 82/5

17) Expresar como fracción. a) 22% b) 5% c) 16% d) 27%

18) Halla el 75% del 2% de 600 menos el 5% de los 4/5 de 120. a) 33/10 d) –3,3

b) 2,5 e) 1/3

c) 3,6

c) 10%


101


19) ¿De qué número es 41 el 18% menos? a) 48 d) 52

b) 50 e) 45

c) 56

20) ¿De qué número es 62 el 24% más? a) 50 d) 126

b) 52 e) 46

b) 20% e) 24%

c) 18%

22) ¿Cuál es el 17 1 % de 24? 3 a) 5,25 d) 5,16

b) 4,16 e) 6,24

24) Tengo S/. 350 y gasto de la siguiente forma: • En un reloj el 10%. • En un polo el 20% • En una entrada al concierto de Shakira el 42% • En unos zapatos el 18%. Si con lo que le quedó fue a comer y le sobró S/.2, ¿cuánto gastó en comer?

102

a) S/.80 b) S/.75 c) S/.70

d) S/.60 e) S/.50

e) S/.32

30) Se realiza la siguiente mezcla: 20 litros de ron (30% de alcohol) 5 0 lit ros de g in (40% de alcohol) 80 litros de tequila (60% de alcohol) ¿Cuánto de alcohol puro hay en la mezcla? a) 90 litros b) 74 litros c) 65 litros

a) S/.105 000 d) S/.92 000 b) S/.96 000 e) S/.90 000 c) S/.102 000 28) Se venden diez perritos «chow chow» por $1 250 ganando por ellos el 25%. ¿Cuánto costó cada uno? a) $200 d) $65

b) $180 e) $35

c) $100

29) ¿Cuál es el número mayor? a) Un número cuyo 60% es 240. b) Un número cuyo 80% es 64. c) Un número cuyo 5% del 40% es 80. d) Un número cuyo 0,03% es 15. e) Un número cuyo 0,05% del 6% es 0,003.



Nivel III

31) Vendo un televisor en $240 ganando el 20% del costo. ¿Cuánto le costó el televisor? a) $100 d) $550

27) Bruno tiene S/.140 y gasta el 30% en dos entradas a la opera. Si al concierto asistieron 5 000 personas, ¿cuánto se recaudó?

a) 2%R + 155%R + 15%R b) 3%S + S + 4/5 S – 70 %S c) 2S + 1/5S – 2%S d) 40%H + 3H – 2%H – 1/20 H

b) S/.35 e) S/.40

26) Kalieska va a «SAGA» y realiza una compra de S/.100, justo antes de pagar la cajera le dice que el producto que compró tiene un descuento del 20%. ¿Cuánto tendrá que pagar Kalieska?

c) 4,36

23) Reduce:

a) S/.20 d) S/.33

a) El 50% de S/. 500 b) El 30% de S/. 600 c) El 30% de S/. 800 d) El 40% de S/. 720 e) Más de una es correcta

c) 48

21) ¿Qué porcentaje de 1 es 0,2? a) 25% d) 12%

25) Si Claudia me debía el 30% de S/.1200 y me pagó el 20% de S/.600, ¿cuánto me quedó debiendo?

b) $200 e) $400

c)$350

32) Al vender en S/.1 200 un auto, gano el 25% del costo. ¿Cuánto costó el auto? a) S/.850 b) S/.800 c) S/.960

d) S/.950 e) S/.1 000

33) Vendo una radio en S/.450 ganando el 10% del precio de venta. ¿Cuánto costó la radio? a) S/.300 b) S/.450 c) S/.395

d) S/.405 e) S/.455

34) Al vender una computadora que me costó $850, pierdo el 20% del costo. ¿A cómo la vendí? a) $700 b) $750 c) $690

d) $710 e) $680

2do de Secundaria


35) Al vender 6 entradas a un concierto por $300 pierdo el 2% del precio de venta. ¿Cuánto me costó cada entrada? a) $306 b) $51 c) $80

d) $210 e) $85

36) Compro una lavadora a S/.150. Si luego la vendo ganando el 2% del precio de venta más el 20% del precio de costo, ¿cuál es el precio de venta? a) S/.130 b) S/.135 c) S/.122,5

d) S/.130,5 e) S/.128,5

37) Juanito vende dos raquetas de tenis a $120 c/u. En la primera ganó el 20% y en la segunda perdió el 20%. Por la venta de las dos raquetas, ¿ganó o perdió dinero?, ¿cuánto? a) Ganó S/.10 b) Perdió S/.10 c) Ganó S/.20 d) Perdió S/.20 e) Ni ganó, ni perdió

b) $256 e) $64

c)$54

39) Ana compra 50 botellas de gaseosa a S/. 1 cada uno. Si decide venderlas ganando el 40% en cada botella, ¿cuál es el monto total obtenido por la venta de las botellas? a) S/.1,4 b) S/.20 c) S/.70

a) 100/3 % b) 20% c) 25%

d) 30% e) 15%

41) Pamela vende un florero a S/.80 con una pérdida del 30% de su precio de venta. ¿Cuál fue el precio de compra? a) S/.56 b) S/.104 c) S/.100

d) S/.86 e) S/.98

42) Un pantalón «Axe Bahía» cuesta S/.80, pero me realizaron un descuento del 15% más el 10%. ¿Cuánto pagué por él? a) $38 d) $61,2

b) $60,3 e) $65,5

c)$70,5

43) Si en el descuento de un televisor me hicieron el 20% más el 30% y pagué S/.392, ¿cuál era el precio original?

38) Un DVD es vendido a $320 ganando el 25% del precio de compra. ¿Cuál fue la ganancia obtenida? a) $220 d) $60

40) Un TV me costó S/.450 y lo vendí a S/.600. ¿Qué porcentaje del precio de venta gané?

d) S/.60 e) S/.120

2do de Secundaria

a) S/.650 b) S/.750 c) S/.800

d) S/.700 e) S/.630

44) Sergio en enero gana S/.600. Si en febrero le aumentan el sueldo en un 20% y en julio recibe un nuevo aumento del 30%, ¿cuánto ganará luego del segundo aumento? a) S/.900 b) S/.920 c) S/.936

d) S/.950 e) S/.1 020

46) Un producto lo vendo en $300, pero previamente realizo dos descuentos sucesivos de 10% y 60%. ¿Cuánto me pagó? a) S/.192 b) S/.132 c) S/.170

d) S/.155 e) S/.122

47) Luego de realizar dos descuentos sucesivos de 10% y 30% se paga por un producto S/.126. ¿Cuánto era el precio de venta? a) S/.200 b) S/.180 c) S/.220

d) S/.350 e) S/.125

48) Tres descuentos sucesivos de 30%, 40% y 60% equivalen a un único descuento de: a) 80,5% b) 83,2% c) 86,5%

d) 84,6% e) 86,6%

49) Al vender una computadora en $810 se pierde el 5% del precio de venta más el 10% de la compra. ¿Cuánto costó la computadora? a) $800 b) $950 c) $945

d) $1 000 e) $1 100

50) Se vende dos computadoras en $990 c/u, en la primera se gana el 10% y en la segunda se pierde el 10%. ¿Ganó o perdió?, ¿cuánto? a) Ganó $20 b) Perdió $20 c) Ganó $10 d) No ganó ni perdió e) Perdió $30

45) ¿A cuánto equivale un descuento único si se descuenta el 35% y el 40%? a) $70 d) $75

b) $61 e) $60

c)$55


103


Intervalos Algunas ideas para aprender mejor este capítulo 1. Presta mucha atención a cada situación que se plantea en la guía y observa en qué casos puedes aplicar el mismo método de solución. 2. Debes tener en cuenta que las fórmulas mencionadas sólo te permitirán llegar más rápidamente a la respuesta, pero aun cuando no las recuerdes, puedes resolver los problemas si haces el mismo análisis que al principio. 3. Plantéate problemas que tengan que ver con tu entorno y donde puedas aplicar los métodos de resolución aprendidos. Los problemas que vamos a desarrollar y aprender en el presente capítulo, están relacionados con cortes, estacas y postes; pues son con estos casos con los que comprenderemos mejor los criterios que se tienen al trabajar con intervalos de longitud.

Ejemplos: 1. Un reloj da 5 campanadas en 12 segundos. ¿En qué tiempo dará 8 campanadas? Resolución:

5 campanadas  4 intervalos 

 En 8 campanadas  7 intervalos Luego:

Intervalos

Tiempo

4

12

7

x

x=

7.12 = 21 4

2. Una pistola automática dispara 7 balas en 2 segundos. ¿Cuántas balas disparará en 5 segundos?

e

e

e

e

e

e

Resolución:

Intervalos de tiempo Los problemas de intervalos de tiempo relacionados a la vida diaria, involucran a las campanadas y pastillas. Ambas serán motivo de estudio en el presente capítulo. Aplicaremos así, las técnicas estudiadas en los temas de razonamiento lógico y el razonamiento deductivo, poniendo énfasis en la observación y el análisis de la información dada.

104



 7 balas determinan 6 intervalos. Por dato del problema y aplicando regla de tres: 6 intervalos x

2s 5s

6 . 5 = 15 intervalos  x= 2

Por lo tanto, número de balas: 15 + 1 = 16 Respuesta: En 5 segundos disparará 16 balas.


2do de Secundaria


3. ¿Cuántas pastillas tomará Arturo durante los dos días que estará en cama por una enfermedad viral si toma una cada 6 horas y empezó a tomarlas apenas empezó su reposo hasta que culminó? Resolución: Gráficamente: Culmina

Empieza 6h

6h

6h

6h

6h

6h

1er día

6h

6h

2do día

Número Lt + = de estacas Lu 5. En una avenida de 960 metros de longitud, se quiere colocar postes pequeños cada 8 metros de distancia entre cada uno de ellos. ¿Cuántos postes será necesarios para cubrir toda la avenida? a) 116 d) 140

b) 120 e) 121

c) 124

N.º pastillas = 9 

Método práctico: Para calcular el número de pastillas, utilizaremos el siguiente criterio: tiempo total N.º pastillas = tiempo que toma / pastilla + 1 En el problema: 2 días < > 48 horas.

Respuesta: Tomará 9 pastillas.

Lt N.º postes = Lu + 1

Intervalos de longitud

=

CORTES, ESTACAS Y POSTES

4. ¿Cuántos cortes debe darse a una soga de 72 m de largo, para tener pedazos de 4 m de largo cada uno? c) 19

Resolución: 4m

4m

960 m 8 m + 1 = 120 + 1 N.º de postes = 121

Este tipo de problemas de carácter recreativo, se refieren a los cortes que en número suficiente se deben realizar a objetos de una longitud determinada, para obtener pequeños trozos (pedazos) de igual longitud. Donde: Lt Número de = Lu – 1 Lt: Longitud total cortes Lu: Longitud unitaria

b) 18

Nuestros datos son: Longitud total: Lt = 960 m Longitud unitaria: Lu = 8 m Luego, para calcular el número de postes (estacas), aplicamos la fórmula, resultando:

Entonces: N.º pastillas = 48 + 1 = 9 6

a) 17

Resolución:

d) 20

e) 21

Rpta.: e

Caso Especial Cuando se trate de calcular el número de cortes y estacas en objetos circulares (aros), la fórmula es única, osea: Lt Nº de Nº de = = Lu cortes estacas

Lt = 72m 4m

4m

...

Lu Para calcular el número de cortes que se deben realizar, aplicamos la fórmula correspondiente: Número de Lt = Lu – 1 = 72 m – 1 = 18 – 1  N.º cortes = 17 cortes 4m Rpta.: a

2do de Secundaria


6. ¿Cuántos cortes debe darse a un aro de 40 metros de longitud, para obtener pedazos de 5 metros de longitud? a) 5 d) 10

b) 7 e) 9

c) 8

105


4) Una ametralladora dispara 15 balas en siete segundos. ¿Cuántas balas disparará en cuatro segundos?

Resolución: Sea el diagrama siguiente:

a) 6 d) 10

1 8

2 Nº de cortes

7

3 4

6 5

Como observarás, en total se realiza 8 cortes, valor que lo verificamos aplicando la fórmula para este caso: N.º cortes =

Lt 40 m = =8 Lu 5m Rpta.: c

a) 9 s d) 17 s

1) Se escuchan cinco campanadas en cuatro segundos. ¿Cuántas campanadas se escuchan en ocho segundos? b) 12 e) 9

c) 10

2) De un caño, caen cinco gotas cada cuatro segundos. ¿Cuántas gotas caerán en ocho segundos? b) 9 e) 8

c) 10

3) Un boxeador da cinco golpes cada cuatro segundos. ¿Cuántos golpes dará en 10 segundos? a) 11 d) 9

106

b) 12 s e) 15 s

c) 18 s

6) Un gallo al amanecer, canta cinco veces en dos minutos. ¿Cuántas veces cantará en siete minutos? a) 15 d) 12

b) 14 e) 11

c) 13

7) Julio para escribir tres letras se ha demorado tres segundos. ¿Cuánto se demorará en escribir nueve letras? b) 10 s e) 13 s

c) 11 s

8) Si para tocar un timbre seis veces ha tardado 10 segundos, ¿cuánto tardará Gildercito en tocar el mismo timbre nueve veces?

Nivel I

a) 6 d) 7

c) 8

5) Un reloj da tres campanadas en tres segundos. ¿Cuánto demora en dar nueve campanadas?

a) 9 s d) 12 s

a) 7 d) 8

b) 7 e) 9

b) 12 e) 8

c) 13

a) 15 s d) 18 s

b) 16 s e) 19 s

c) 17 s

9) ¿Cuántos cortes se deben dar a un aro para tener siete pedazos? a) 9 d) 8

b) 5 e) 7

c) 6

10) En una circunferencia de 4 cm de radio. ¿Cuántos cortes se deben realizar si se desea tener 10 partes iguales? a) 8 d) 10

b) 9 e) 11

c) 4

11) Una soga de 60 m se va a cortar en pedazos de 5 m. ¿Cuántos cortes se deben dar? a) 10 d) 11

b) 12 e) 9

c) 13


12) Una avenida tiene 900 m de largo y se siembran árboles cada 45 m. ¿Cuántos árboles se necesitan? a) 21 d) 22

b) 20 e) 18

c) 19

13) Se desea efectuar cortes de 5 metros de longitud de arco en un aro de 45 metros de longitud de circunferencia. ¿Cuántos cortes podemos efectuar? a) 6 d) 7

b) 9 e) 10

c) 8

14) ¿Cuántos cortes debemos efectuar en una varilla de fierro de 60 m para obtener pedazos de 4 m de longitud cada uno? a) 12 d) 16

b) 14 e) 13

c) 15

15) Una larga soga debe ser dividida en trozos de 27 cm de largo cada uno. Si la longitud de la soga incialmente es de 1 215 cm, ¿cuántos cortes se debe realizar? a) 90 d) 28

b) 45 e) 46

c) 44

Nivel II 16) Ronaldo patea nueve penales en tres minutos. ¿Cuántos penales pateará en seis minutos? a) 18 d) 15

b) 17 e) 14

c) 16

17) Hollyfield (campeón mundial de boxeo) da a su contrincante 17 golpes en medio minuto. ¿Cuántos golpes de box le dará en cuatro minutos? a) 128 d) 127

b) 129 e) 126

c) 130

18) Un reloj da siete campanadas en 10 segundos. ¿Cuántas campanadas dará en 15 segundos? a) 9 d) 12

b) 10 e) 13

c) 11

2do de Secundaria


19) El campanario de una iglesia da nueve campanadas en 12 segundos. ¿En cuántos segundos dará 15 campanadas? a) 20 d) 22

b) 19 e) 21

c) 18

20) Un reloj da 11 campanadas en cinco segundos. ¿Cuántas campanadas dará en ocho segundos? a) 15 d) 18

b) 16 e) 19

c) 17

21) Todos los domingos a las ocho de la noche el sacerdote de una catedral da cuatro campanadas en cuatro segundos. ¿En cuántos segundos dará 13 campanadas? a) 16 d) 13

b) 17 e) 14

c) 15

22) Si para que un reloj toque 16 campanadas se ha demorado 18 segundos, ¿qué tiempo se demorará para que toque seis campanadas? a) 5 s d) 6 s

b) 4 s e) 3 s

c) 7 s

23) Una ametralladora dispara 100 balas en dos minutos. ¿Cuántas balas disparará en seis minutos? a) 300 d) 297

b) 299 e) 298

c) 296

24) Gildder para tocar una puerta cuatro veces ha tardado cinco segundos. ¿Cuánto se tardará para tocar la misma puerta seis veces? a) 11 s d) 7 s

b) 8 s e) 10 s

b) 6 e) 8

a) 19 d) 21

b) 18 e) 22

c) 20

27) Un tronco de árbol es seccionado en trozos de 11 cm de largo para leña. Si para esto se ha efectuado 20 cortes, ¿cuál es la longitud inicial del tronco? a) 231 cm b) 217 cm c) 242 cm

d) 253 cm e) 180 cm

28) ¿Cuántos cortes debemos dar a un cable de 300 metros de longitud, para obtener pedazos de 25 metros cada uno? a) 11 d) 25

b) 12 e) 13

29) ¿Cuántos cortes debe darse a un aro de 24 metros de longitud para tener pedazos de 1,2 m de longitud? a) 12 d) 30

b) 18 e) 20

c) 24

30) ¿Cuántos cortes se deben hacer en un listón de madera de 2 metros de largo, si se necesitan pedazos de 8 cm de longitud? a) 24 d) 32

b) 26 e) 30

c) 28

Nivel III

b) 8 s e) 1/5 s

c) 8/3 s

c) 7

2do de Secundaria

a) 21 s d) 25 s

b) 22 s e) 24 s

c) 20 s

33) Un boxeador tira 7 golpes en 30 segundos. ¿Cuántos golpes dará en 50 segundos? a) 10 d) 13

b) 11 e) 15

c) 12

34) Un carpintero demora 3 minutos en cortar un madero en 2 partes. ¿Cuánto demorará en cortarlo en 5 partes? a) 12 min b) 15 min c) 10 min d) 14 min e) 18 min

35) Gisella toca 5 campanadas en 8 segundos. En medio minuto, ¿cuántas campanadas tocó? a) 15 d) 16

a) 7 d) 8

c) 20

b) 6 e) 9

c) 5

37) Una enfermera debe aplicar una inyección a un paciente cada seis horas. ¿Cuántas inyecciones le aplicará en cuatro días? b) 16 e) 14

c) 18

38) Una enfermera debe darle a un paciente dos pastillas cada ocho horas. ¿Cuántas pastillas le dará en cinco días? a) 16 d) 33


b) 18 e) 22

36) A un niño le dan su biberón cada cuatro horas. ¿Cuántos biberones le darán al niño en un día?

a) 17 d) 15

31) Un boxeador da 15 golpes en cinco segundos. ¿Cuánto demorará en dar ocho golpes? a) 10 s d) 2,5 s

32) Una campana tañe 8 veces en 14 segundos. ¿Cuánto demorará en tañer 11 veces?

c) 15

c) 9 s

25) Un jardinero debe sembrar una planta cada 20 m, a lo largo de una cuadra de 100 m. ¿Cuántas plantas necesita? a) 5 d) 4

26) Un electricista tiene un cable de 120 m y debe cortarlo en pedazos de 6 m. ¿Cuántos cortes debe dar?

b) 32 e) 31

c) 15

107


•

Una enfermera proporciona a su paciente una pastilla cada 40 minutos. ¿Cuántas pastillas necesitará para un turno de ... (suministra al inicio y término del mismo).

39) 6 horas? a) 8 d) 11

b) 9 e) 12

c) 10

40) 6:00 a.m. a 6:00 p.m.? a) 16 d) 19

b) 17 e) 20

c) 18

41) Cada pedazo de pionono se vende en S/.2. ¿Cuántos cortes se dieron a un pionono entero si se recaudó en total S/.20? a) 10 d) 8

b) 11 e) 12

c) 9

42) En una varilla de madera de 196 cm de longitud se colocaron 29 clavos. Si los hay al inicio y al final de la varila, ¿cada cuántos centímetros se colocaron dichos clavos? a) 5 d) 12

b) 8 e) 7

c) 9

43) Se desea plantar postes cada 15 m a lo largo de una avenida de 645 m. Si se nos ha cobrado S/.308 por el total de mano de obra, ¿cuánto nos ha cobrado por plantar cada poste sabiendo que pusieron uno al inicio y otro al final de la avenida? a) S/.5 d) S/.10

b) S/.7 e) S/.9

c) S/.8

44) Un tronco de árbol es seccionado en trozos de 11 cm de largo cada uno para leña. Si para esto se han efectuado 20 cortes, ¿cuál fue la longitud inicial del tronco? a) 231 cm b) 217 cm c) 242 cm

108

d) 254 cm e) 180 cm

45) A un aro de 20 metros de longitud, se hacen 10 cortes para tener pedazos de 2 metros de largo. ¿Cuántos cortes deben hacerse si se tomará la mitad del largo del aro? a) 6 d) 3

b) 5 e) 7

c) 4

46) Se tiene un terreno rectangular cuyo perímetro es 60 m. ¿Cuántos postes deberían colocarse cada 3 metros si uno de estos mide 2 metros de longitud? a) 20 d) 40

b) 19 e) 23

Si mides una tarjeta de crédito cualquiera, comprobarás que la relación entre su largo y su ancho es aproximadamente de (Fi). Esto es así porque de todos los rectángulos posibles es el más agradable a la percepción.  = 1 + 5 ≈ 1,6180339887... 2

c) 21

47) Un hojalatero tiene una plancha de alumnio de 25 m de largo por 1,5 m de ancho. Diario corta 5 m de largo por 1,5 m de ancho. ¿En cuántos días cortará integramente la plancha? a) 8 d) 4

b) 6 e) 7

48) Un parque tiene forma cuadrada de 100 m de lado. Se quieren colocar postes cada 25 m. ¿Cuántos postes se necesitan? a) 12 d) 15

b) 18 e) 16

c) 17

49) Por cortar un pedazo de madera en tres partes se cobra S/.50. ¿Cuánto se debería cobrar por cortarla en 10 partes? a) S/.250 b) S/.500 d) S/.175 e) S/.200

La Estrella Pentagonal Era según la tradición, el símbolo de los seguidores de Pitágoras. Los pitagóricos pensaban que el mundo estaba configurado según un orden numérico, donde sólo tenían cabida los números fraccionarios. La casualidad hizo que en su propio símbolo se encontrara un número raro: el irracional Fi como puedes ver en la figura, donde QN, NP y QP están en proporción áurea.

c) S/.225

50) Un sastre tiene 60 m de tela. Si comienza a trabajar el lunes y cada día corta 12 m, ¿qué día da el último corte? a) Martes b) Miércoles c) Jueves

Interesante

c) 5

d) Viernes e) Sábado


A

Q

N

M

P

C

2do de Secundaria


Cronometría Objetivos 1. Brindar al estudiante las pautas teóricas para reconocer y resolver problemas de cronometría. 2. Dar a conocer al estudiante las diversas técnicas empleadas en la resolución de problemas de cronometría. 3. Aplicar a situaciones propias de la vida diaria referente a la medición del tiempo.

1. Hace ya treinta horas que un reloj se adelanta 2 minutos cada 3 horas. ¿Qué hora señalará el reloj si en realidad son 10 horas 15 minutos? Resolución:

En este capítulo tenemos dos tipos de problemas, unos con relación a adelantos y atrasos; y otros con relación entre las horas marcadas y los ángulos que forman las manecillas o agujas del reloj en ese momento. Los dos tipos de problemas los vamos a conocer a través de la resolución de problemas.

En primer lugar, calculamos el adelanto total, aplicando regla de tres simple, veamos: Si:

Adelantos y Atrasos

Se adelanta

2’

Se

En 30 horas adelantará x’

Situaciones donde se encuentran relojes malogrados, debemos considerar: + Atraso Total Hora indicada por un reloj atrasado

En 3 horas

Donde:

– Adelanto Total

x= Hora indicada por un reloj adelantado

Hora real

30 horas . 2’ = 20’(adelanto 3 horas total)

En segundo lugar, aplicamos la siguiente fórmula: Hora Hora Adelanto = – Real Marcada Total

+ Adelanto Total

– Atraso Total

Hora Real = Hora Adelantada – adelanto Hora Real = Hora Atrasada + atraso

  

Hora Hora = Atrasada Real

–

Reemplazando valores, obtenemos: 10 horas 15’=hora marcada – 20’ Hora marcada = 10 h 15’ + 20’  Hora marcada = 10h 35’

Atraso Total

Hora Hora + Adelanto = Adelantada Real Total

2do de Secundaria


109


2. Hace ya 90 horas que un reloj se adelanta 2 minutos cada 5 horas. ¿Qué hora señalará el reloj cuando sean en realidad las 6:18? a) 6:54 d) 9:32

b) 7:02 e) 7:18

c) 9:30

Ángulos entre las manecillas de un reloj ÁNGULOS ENTRE EL HORARIO Y EL MINUTERO er

1. Caso: Cuando el minutero está después del horario.

Resolución: Adelanta 2 min x

x = 2 . 90 = 36 min 5 Hora  adelantada=6:18+36min= 6:54.

a) 120 d) 1 148

b) 1 200 e) 1 140

c) 1 400

– 30H

2.º Caso: Cuando el horario está después del minutero.

Rpta.: a

3. Un reloj tiene 3 minutos de retraso y sigue retrasándose a razón de 3 segundos por minuto. ¿Cuántos minutos deben transcurrir para tener una hora de retraso?

M 2

( )

 = 11

En 5 horas En 90 horas

4. ¿Cuál es el menor ángulo que forman las manecillas de un reloj a las 14 h 45’?

11 = (M) 2

Rpta.: 4h 54 6 11

Nota Cuando las manecillas se oponen el ángulo que forman es 180º.

30 (H)

=

11 (45) - 30 (2) 2

=

+ 247º30’ – 60º

Nivel I Indica en cada caso, ¿cuánto mide el menor ángulo determinado por las agujas del reloj?

57 min = 57 . 60s

57 . 60 . 1 min = 1 140 3 Rpta.: e

= 187º30’ (ángulo mayor) Luego, calculamos el ángulo menor:  = 360º

1) 9:44 a) 11º d) 15º

b) 22º e) 18º

c) 30º

b) 48º e) 68º

c) 54º

b) 48º e) 58º

c) 54º

2) 4:12 a) 56º d) 60º

– 

 = 359º60’ – 187º30’  = 172º30’ (ángulo menor)

110

 =  11 (M) 30 (H) 2 11 =± (M) 30 (4) 2 11 180 = + (M) – 120 2 11 (M) = 300  2 600 M= min 11

Resolución:

Para retrasarse 1 hora, falta retrasarse: 1 hora – 3 min = 57 min

x=

Aplicando la fórmula:

M 2

Resolución:

x

Resolución:

( )

 = 30 H – 11

Sabemos que las 14 h son las 2 de la tarde; pues en la fórmula el valor de «H» la reemplazaremos por 2 y no por 14. Veamos:

En 1 minuto retraso 3s

5. ¿A qué hora entre las 4 y las 5 están opuestas las agujas de un reloj?


3) 10:44 a) 56º d) 68º

2do de Secundaria


12) 6:26

4) 4:40 a) 90º d) 80º

b) 100º e) 75º

c) 120º

b) 32º e) 78º

c) 38º

6) 6:15 a) 97º d) 98,5º

c) 13º

a) 3:50 h b) 4:48 h d) 4:52 h e) 3:36 h

a) 1º d) 6º

b) 3º e) 10º

b) 97, 5º e) 99º

c) 98º

b) 70º e) 10º

c) 80º

b) 135º e) 95º

c) 130º

a) 10º b) 81º d) 116,5º e) 42,7º

c) 6,5º

9) 11:57 a) 16º d) 17,5º

b) 17º e) 18º

c) 16,5º

10) 8:17 a) 10º b) 81º d) 116,5º e) 42,7º

c) 5,5º

11) 2:28 a) 10º d) 18º

b) 12º e) 20º

c) 14º

b) 10:25 e) 9:23

c) 8:23

15) 6:18 a) 12º b) 81º d) 118,5º e) 42,7º

c) 5,5º

Nivel II 16) Un reloj marca las 8:36 y hace 3 horas que se adelanta 5 minutos cada 18 minutos. ¿Cuál es la hora verdadera? a) 7:46 d) 8:04

b) 7:42 e) 8:12

c) 7:52

17) Un reloj se atrasa 3 minutos cada 15 minutos. ¿Qué hora marcará cuando en realidad sea las 10:24 h si hace 5 horas que viene funcionando con ese defecto? a) 11:24 d) 09:25

b) 10:28 e) 09:24

c) 09:28

18) Un reloj se adelanta 1 minuto cada 15 minutos. Si ahora marca las 4 horas 20 minutos y hace 8 horas que se adelanta, entonces la hora correcta es: a) 4:26 d) 3:52

2do de Secundaria

20) Hace ya 45 horas que un reloj se adelanta 3 minutos cada 5 horas. ¿Qué hora señalará el reloj cuando sean en realidad las 8h 50 min? a) 8:17 d) 9:17

8) 8:20 a) 120º d) 115º

c) 3:46 h

c) 5º

14) 4:20

7) 5:40 a) 60º d) 90º

b) 11º e) 17º

13) 4:12

5) 2:26 a) 16º d) 83º

a) 10º d) 15º

19) Siendo las 6:00 horas, un reloj empieza a atrasarse a razón de 6 minutos cada hora. ¿Qué hora marcará cuando sean las 6:00 a.m. del día siguiente?

b) 3:48 e) 3:36

c) 4:52


21) Suky golpeó su reloj a las 8:45 h y a partir de ese momento se adelanta 8 minutos cada hora. ¿Qué hora marcará dicho reloj a las 12:00 h? a) 12:26 h b) 11:34 h c) 11:48 h

d) 12:18 h e) 12:24 h

22) Un reloj se adelanta 5 minutos cada 18 horas a partir de las 8 a.m. ¿Cuánto tiempo deberá transcurrir para que ese reloj marque de nuevo la hora exacta? a) b) c) d) e)

108 días 72 días 48 días 180 días Imposible calcular

23) Un reloj se adelanta 2 minutos cada 3 horas. ¿A qué hora empezó a adelantarse si a las 11:15 a.m. señalaba 11:27 a.m.? a) b) c) d) e)

4:15 6:15 5:15 5:15 4:15

a.m. a.m. a.m. p.m. p.m.

111


24) Hace ya 18 horas que se adelanta un reloj. ¿Cuál es su adelanto por hora si señala las 5h 25 min, cuando en realidad son 5h 16 min? a) 30 min b) 5 s c) 50 s

d) 30 s e) 3 min

25) Jorge golpeó su reloj a las 5 horas 24 minutos y este comenzó a tener un atraso de 3 minutos cada hora y media. ¿Qué hora marcará su reloj a las 13 h 54 min? a) b) c) d) e)

13 h 27 min 13 h 37 min 13 h 42 min 14 h 12 min 15 h 52 min

d) 03:32 h e) 02:40 h

27) Supongamos que un reloj se adelanta 2 minutos cada 12 horas. Si en este momento son las 7 p.m. , ¿cuánto tiempo debe pasar para que tal reloj marque la hora correcta nuevamente? a) b) c) d) e)

a) 05:30 b) 05:40 c) 05:20

d) 05:48 e) 05:10

30) Hace ya 30 horas que un reloj se adelanta 2 minutos cada 3 horas. ¿Qué hora señalará el reloj cuando sean en realidad las 10 horas 15 minutos? a) 9:45 b) 9:55 c) 10:05

d) 10:15 e) 10:35

Nivel III

26) Un reloj se atrasa cada 15 minutos, 2 minutos. ¿Qué hora marcará dicho reloj cuando sean las 03:15 h si hace 5 horas que viene funcionando con este desperfecto? a) 02:50 h b) 02:55 h c) 02:35 h

29) Siendo las 17:20 h un reloj marca 17:28 h. Si dicho reloj se adelanta a razón de 40 s cada hora, ¿a qué hora empezó a adelantarse?

110 días 180 días 100 días 140 días Imposible calcular

31) Un reloj se adelanta 2 minutos cada cuarto de hora. Si esto ocurre hace 11 horas y dicho reloj marca en este instante las 5h 42 min, ¿cuál es la hora correcta? a) 6h 10 min b) 5h 10 min c) 4h 14 min

d) 4h 24 min e) 4h 32 min

32) E n e s t e m o m e n t o s o n exactamente las 5h 26 min. Hace 8 horas que el reloj de César sufrió un desperfecto de modo que cada 20 minutos se adelanta medio minuto. ¿Qué hora marcan las agujas del reloj de César en este momento? a) 5h 14 min b) 4h 25 min c) 5h 50 min

d) 5h 11 min e) 5h 38 min

112

a) 5:15 b) 5:22 c) 5:20

d) 5:14 e) 5:21

34) ¿A qué hora entre las 7h y las 7h 30 min están en ángulo recto las agujas de un reloj? a) 7 h 21

9 min 11

b) 7 h 19 min 1 min 11 7 d) 7 h 18 min 11 1 e) 7 h 22 min 11 c) 7 h 25

35) ¿A qué hora entre la 1 y las 2 están opuestas las agujas del reloj? a) 1 h 42

1 min 11

b) 1 h 35 min 2 min 11 7 d) 1 h 30 min 11 1 e) 1 h 36 min 11 c) 1 h 38

36) ¿Cuánto tiempo después de la 1:00 p.m. forman un ángulo de 120º las agujas de un reloj? 1800 min 11 270 b) min 11 a)

c) 2700 min 11 1700 d) min 11

28) Un reloj se adelanta 2 minutos cada media hora. Si hace 8 horas que vienen funcionando así, ¿qué hora será en relaidad cuando dicho reloj marque las 02:38h? a) 02:16 h b) 02:08 h c) 02:18 h

33) ¿A qué hora entre las 5 y 6 las agujas de un reloj determinan un ángulo que mide 40º?

e) 300 min 11

d) 02:06 h e) 02:10 h


2do de Secundaria


37) ¿A qué hora las agujas de un reloj forman 127º, entre las 9 y las 10 horas? a) b) c) d) e)

9 h 15 min 9 h 15 min 23 s 9 h 6 min 9 h 26 min 9 h 6 min 6 s

38) ¿A qué hora entre las 9 y las 10 las agujas de un reloj, están en línea recta?

a) 10º b) 81º d) 116,8º e) 42,7º

c) 5,5º

5 11

39) ¿Qué hora será cuando las agujas están superpuestas si este ocurre entre las 9 y las 10 de la mañana? a) 9 h 42

1 min 11

b) 9 h 41 min 1 c) 9 h 49 11 min d) 9h 47 min e) 9 h 45

1 min 11

a) 1º d) 4º

b) 2º e) 5º

c) 3º

42) 2:40 a) 20º d) 40º

b) 10º e) 50º

44) 2h 18' 40'' a) 10º d) 42º

c) 30º

d) 9:16

b) 9:16

43) 2:10

41) 12:01

4 11 e) 9:17 1 11

a) 9:15

c) 9:16

Indica en cada caso, ¿cuánto mide el menor ángulo determinado por las agujas del reloj?

b) 81º e) 116,5º

c) 5º

45) 3h 17' 20'' a) 4º d) 6º

b) 5,5º e) 6º 20'

c) 5º 20'

En el siglo VII el Papa encargó al monje benedictino Dionís que fijase la fecha de nacimiento de Cristo. Este fraile calculó que Jesucristo había nacido en el año 754 después de la fundación de Roma. Tomó como fecha de inicio el día que fue circuncidado y lo llamó 1 de enero del año 1. No dijo del año 0 porque esta cifra no se utilizaba en occidente en aquella época. ¿El tercer milenio comienza el 1 de enero del 2000? La respuesta es no. Evidentemente, deberían haber pasado 2000 años desde el nacimiento de Jesucristo. Como se empezó a contar en el año 1 esto no ocurrirá hasta el día 1 de enero del 2001.

40) Entre las 15:00 h y 16:00 h, ¿a qué hora se superponen las agujas del reloj? a) 3 h 1

4 min 11

b) 3 h 1 min 11 6 c) 3 h 2 min 11 9 d) 3 h min 11 e) 3 h 4 1 min 11

2do de Secundaria


113


Repaso Nivel I •

1)

8)

7 2 1  + 5 7 4

9)

3 1 1 x + 5 6 5

En cada caso simplificar: (relaciona con las letras) 1 1 1 + + 2 3 5 10)

2)

2

1 1 2 + x 5 3 7

2

2 1 1 x 1 +2 5 3 4

d)

3 5

g) 6 1 4 4)

5)

1+

1 1 12

1 3 1 23

1 1 1 + 2 3 4

b) 8

3 5

c)

3 10

e) 5

3 20

f)

16 105

h)

4 5

i)

1 2

1 1+

1 1+

1 1 1+ 3 1 1 13

114

18 17 34 d) 18 a)

1 2

12) Reduce:

7 8 1 d) 3 a)

1 2 a) 10 d) 15

1 12 b) 12 e) 16

1 1 ; b= 2 4 b.a halla: c-b

j) 1 1 30

11) Resuelve:

b) 2 e) 5

15) Si a =

5 11 4 e) 11

1 2 1 d) 6 a)

4 1 + 9 2 b)

c) 3

14) Reduce:

1+

6)

7)

a) 1 d) 4

1 1 10 x3 x 2 4 13

a) 3 3)

13) Simplifica: 8 4 22 39 x x x 3x 13 11 16 12

c)

17 18

c)

4 6

1 3 1 e) 7 b)

+1

c) 14

y c = 1,

c)

5 2 +1 9 3 8 9 2 e) 5 b)


2do de Secundaria

1 5


25) ¿Qué fracción de 102 es 68?

Nivel II •

16)

17)

18)

19)

20)

Representa gráficamente la fracción pedida:

a) 1/3 d) 3/7

b) 2/3 e) 4/7

c) 3/5

26) ¿Qué fracción de 105 es 45?

1 3

a) 2/7 d) 3/7

b) 1/7 e) 4/7

c) 5/7

27) Halla los 2/5 de los 3/7 de 70.

3 4

a) 6 d) 24

b) 9 e) 36

a) 1/7 d) 4/21

3 8

b) 2/21 e) 7/11

c) 10/21

29) Aumenta 1/2 en la mitad de su mitad. a) 1/4 d) 3/4

1 16

b) 2/3 e) 5/8

a) 40/3 d) 80

b) 60 e) 1/27

c) 120

34) ¿En cuántos dieciseisavos es mayor 1/2 que 1/4? a) 16 d) 4

b) 8 e) 2

c) 32

c) 12

28) ¿En cuánto excede 1/3 a 1/7?

1 4

33) ¿Cuántos 1/3 hay en 40?

c) 1

35) Tengo S/. 120 y gasto las 3/5 partes. ¿Cuánto me queda? a) S/. 36 b) S/. 40 d) S/. 72 e) S/. 60

c) S/. 48

36) Si presto los 2/5 de lo que no presto. ¿Qué parte del total presté? a) 3/5 d) 2/7

b) 1/7 e) 5/7

c) 3/7

30) Disminuye 180 en sus 11/15. a) 36 d) 48

21) 11 27

b) 24 e) 44

c) 96

37) Si antes de prestar tenía S/. 700, ¿cuánto dinero me sobró luego de realizar el préstamo? a) S/. 450 b) S/. 280 c) S/. 420

Nivel III

d) S/. 500 e) S/. 480

22) Calcula 1/2 de 7000. a) 2000 d) 3000

b) 3500 e) 350

c) 1250

23) Calcula 2/7 de 2604. a) 744 d) 250

b) 720 e) 764

a) 5/6 d) 8/9

b) 62 e) 75

b) 7/9 e) 4/11

c) 12/11

c) 644

24) Halla 1/2 de 1/4 de 560. a) 60 d) 70

31) ¿Qué fracción de los 6/7 de los 16/5 de los 9/4 representa los 8/7 de los 8/5 de 3?

c) 74

2do de Secundaria

38) ¿Cuánto le sobra a 7/8 para ser igual a la diferencia de 2/5 y 3/8? a) 17/20 b) 17/30 c) 17/40

d) 1/3 e) 2/7

32) En una taza con café, la esencia representa los 1/6 de la taza. Si la taza tiene capacidad de 1/3 de litro, ¿qué cantidad de esencia de café hay en la taza? a) 1/18 d) 5/18

b) 1/9 e) 1/27

c) 2/9


115


* A una fiesta acuden 12 hombres con polo azul, 20 con polo verde, 10 con polo celeste, además hay 8 mujeres con polo verde, 14 con polo azul y 16 con polo celeste. Si en total hay 100 personas en la fiesta (igual número de hombres y mujeres) y los que no tienen polo azul, verde o celeste, tienen polo negro. 39) ¿Qué parte de los hombres tienen polo negro? a) 7/50 b) 2/25 c) 3/25

d) 2/30 e) 4/25

40) ¿Qué parte de las mujeres no tienen polo celeste? a) 18/25 b) 17/25 c) 19/25

d) 21/25 e) 13/25

d) 11/50 e) 21/50

42) ¿Qué parte de las mujeres tiene polo celeste o negro? a) 14/25 b) 17/50 c) 19/50

a) S/. 150 b) S/. 175 c) S/. 200

d) S/. 250 e) S/. 300

45) ¿Cuánto dinero regalé? a) S/. 300 b) S/. 250 c) S/. 150

d) S/. 100 e) S/. 400/3

46) ¿En cuánto excede la tercera parte de los 2/7 de los tres medios de 182, a la cuarta parte de los 3/5 de los cuatro tercios de 120? d) 6 e) 9

47) ¿Cuánto le falta a 3/5 para ser igual al producto de 7/3 y 5/2? 1 30 3 b) 4 23 7 c) 5 30 a) 5

d) 4

11 30

e) 3

17 30

d) 13/25 e) 21/50 48) Calcula los 3/5 de los 7/3 de los 11/4 de los 12/23 de 460.

43) ¿Qué parte de los hombres que no tienen polo verde son las mujeres que tienen polo negro? a) 1/5 b) 2/5 c) 1/3

44) ¿Cuánto dinero gasté?

a) 2 b) 3 c) 4

41) ¿Qué parte de las personas tiene polo azul? a) 7/50 b) 3/25 c) 13/50

* Tengo S/. 600 y gasto la mitad de lo que no gasto y luego regalo la tercera parte de lo que no regalo.

a) 616 b) 836 c) 1212

d) 1232 e) 1032

49) Un padre deja una herencia a sus cuatro hijos, la cual es distribuida de la siguiente manera: - A Sandra le toca las 3/7 partes. - A Sergio le toca las 2/9 partes. - A Mariana le toca las 4/21 partes. - A César le toca el resto. ¿Qué parte le tocó a César? a) 55/63 b) 53/63 c) 10/63

d) 11/63 e) 12/63

50) Mariana me debía los 3/7 de 420 soles y me acaba de pagar los 7/11 de 220 soles. ¿Cuánto me debe ahora? a) S/. 60 b) S/. 40 c) S/. 30

d) S/. 80 e) S/. 50

Los cuadrados mágicos están formados por números colocados de tal forma que la suma de estos números en filas, columnas y diagonales son iguales, esta suma común se llama número mágico. El cuadrado mágico representado po r Al ber to Dur ero en su célebre grabado “Melancolía” fue descubierto en las ruinas de la ciudad de Khajuraho (siglos X y XI), en la India. Tal vez Durero eligió este cuadrado porque los dos números centrales de la última fila coinciden con la fecha de ejecución del grabado: 1514.

d) 1/4 e) 1/7

¿Sabrías encontrar más cuadrados mágicos similares a éste?

116


2do de Secundaria


Habilidad Operativa En este capítulo aprenderemos técnicas y formas de solución que nos permitan efectuar operaciones aritméticas con mayor rapidez que lo común, para ello utilizaremos un poco de habilidad matemática e intuición, basándonos en el Cálculo Inductivo y las propiedades básicas de la matemática.

Multiplicación por 15

Ejemplo 2: 

1.er paso 4 x 6 = 24 se deja 4 y se lleva 2

84 x 96 8064

2.o paso 8 x 6 = 48 + 4 x 9 = 36 84 + 2 86 se deja 6 y se lleva 8

Multiplicación ab x mn Sea : ab x mn =

x

a

b

m

n

x

3.er paso 8 x 9 = 72 + 8 80

Ejemplo 1: 

35 x 42 1470

1.er paso 5 x 2 = 10 se deja 0 y se lleva 1

Multiplicación por 5 Sea :

2. paso 3x2= 6+ 5 x 4 = 20 26 + 1 27 se deja 7 y se lleva 2. er

3. paso 3 x 4 = 12 + 2 14

2do de Secundaria

abc x 5 =

2 ab0

ab x 15 = ab0 +

2

abc x 15 = abc0 + abc0 2

Ejemplos:  18 x 15 = 180 +  23 x 15 = 230 +  32 x 15 = 320 +

180 2 230 2 320

ab0  982 x 15 =9820+

2

n0

n x 15 = n0 +

2

 473 x 15 = 4730 + ab x 5 =

o

Sea :

= 270 = 345 = 480

4730 2

9820 2

= 7095

= 14 730

abc0 2

Multiplicación por 25

Ejemplos:

Sea :

Calcula :  34 x 5 =  53 x 5 =

340 2 530 2

= 170 = 265


ab x 25 = ab00 4 abc x 25 =

abc00 4

117


Ejemplos:

Ejemplos:

 32 x 25 =  43 x 25 =  82 x 25 =

3200 4 4300 4 8200 4

= 800

Ejemplos:

 45 x 111 = 4(4 + 5)(4 + 5)(5) = 4995

= 1075

llevo 1

 65 x 111 = 6(6 + 5)(6 + 5)5 = 2050

= 6 (11)(11) 5 = 7215

ab x 11 = a(a + b)b abc x 11 = a(a+b)(b+c)c



llevo 1

 576

 (83)2 = ? (83)2 = 82 ... 2(8)(3) ... 32 llevo 4

Multiplicación por 11 Sea :

 (24)2 = ? (24)2 = 22 ... 2(2)(4) ... 42



no llevo

6889

Cálculo de números al cuadrado 1. CUADRADO DE UN NÚMERO QUE TERMINA EN 5

Ejemplos:

(N5)2 = .........25

 2 3 x 1 1 = 2 5 3

3. CUADRADO DE UN NÚMERO CUALQUIERA

(N)2 = (N – a)(N + a) + a2

x(N + 1) Donde “a” es el C.A. para ser un

+ +

 8 4 7 x 11 = 9 3 1 7  723 x 11= 7(7+2)(2+3)3 = 7953

múltiplo de 10 o una unidad inmediata

Ejemplos:  (35)2

superior o inferior. =

1225

x4  965 x 11= 9(9 + 6)(6 + 5)5 = 9(15)(11)5

 (145)2

21025

x 15

1

= 9(15)15

=

¡Con decimales!

= 9(16)15 1

 (8,5)2 = 72,25

 (108)2 = (108 – 8)(108 + 8) + 82 = (100)(116) + 64 = 11 664  (212)2 = (212– 12)(212+ 12)+122 = (200)(224) + 144 = 44 944

x9

=9 6 1 5 = 10 615

Ejemplos:

 (16,5)2 = 272,25 x 17

Multiplicación por 111 Sea : ab x 111 = a(a + b)(a + b)b

2. CUADRADO DE UN NÚMERO DE 2 CIFRAS Desarrollo del Binomio 2

(ab) = a2 ... 2(a)(b) ... b2

abc x 111= a(a + b)(a + b + c)(b + c)c

118


2do de Secundaria


Cifras Terminales

3. PARA NÚMEROS QUE TERMINAN EN 2, 3, 7 Y 8

1. PARA NÚMEROS QUE TERMINEN EN 0, 1, 5 Y 6 (...0)n = ...0 (...1)n = ...1

(...5)n = ...5 (...6)n = ...6

Donde n  Z+.

°

4

(...2) = ...6 °

(...3)4 = ...1

4°

(...7) = ...1 °

(...8)4 = ...6

 Indica en qué cifra termina el desarrollo de E = 3256261.

 (11)2 = 121

terminan en “1”

(31)2 = 961

Resolución:

terminan en “0”

(40)2 = 1600  (15)2 = 225

terminan en “5”

(65)2 = 4225

61 1

4 º 15  61 = 4 + 1

terminan en “6”

(16)2 = 256

(...4) = ...4 (...9) (...4)par = ...6 (...9)par

= ...9 = ...1

En cada caso, determina "a + b + c". Ejemplos:

par

= (...4)

= ...6

a) 6 b) 7 c) 8

d) 650 e) 858

R=282 + 752 d) 9 e) 10

6 55533

a) 6 123 b) 6 409 c) 7 052

d) 5 609 e) 6 209

8) Halla:

 Si A = 999992222 , halla la cifra terminal.

S=23 x 11+352-72 x 5

A = 99999par = ...1

a) 1 231 b) 1 255 c) 1 118

1

2do de Secundaria

a) 657 b) 756 c) 850 7) Halla:

1) 342 x 5 = abac

 ¿En qué cifra termina 20042004 ?

d) 18 e) 16

A=56 x 11+28 x 5 Nivel I

 Termina en

d) 17 e) 18

6) Resuelve:

impar

 Termina en

a) 14 b) 15 c) 16

a) 13 b) 15 c) 17

2. PARA NÚMEROS QUE TERMINAN EN 4 Y 9

(2004)

d) 14 e) 15

5) (23)2 = abc

 (26) = 676

2004

a) 11 b) 12 c) 13

º E=(...2)4 + 1 = (...2)1 = ...2

2

impar

d) 13 e) 14

4) 63 x 12 = abc

En el exponente:

 (20)2 = 400

a) 10 b) 11 c) 12

3) 132 x 99 = a30bc

Ejemplo:

Ejemplos:

2) 348 x 11 = abcb


d) 1 123 e) 1 116

119


9) Resuelve: P=852 - 17 x 22 a) 7 850 b) 8 561 c) 7 620

d) 6 851 e) 6 872

10) Halla: P = 212 + 14 x 11 a) 690 b) 595 c) 580

d) 482 e) 495

M = 16 x 22 + 232 a) 880 b) 860 c) 881

d) 781 e) 635

12) Resuelve: N = 652 + 57 x 11 a) 3 845 b) 4 830 c) 4 852

d) 4 856 e) 3 852

13) Resuelve: R = 352+38x11+21x34 a) 2 350 b) 2 357 c) 2 380

d) 4 250 e) 3 251

d) 52 e) 7

15) Halla a x b x c si: 36000 x 5 = abc000

120

a) 20600 y 34476 b) 20600 y 33150 c) 20600 y 31824 d) 19776 y 32150 e) 21424 y 33150

a) 12 b) 13 c) 14

a) 6 b) 7 c) 8

d) 28 e) 0

d) 15 e) 16

a) 8 b) 7 c) 6

d) 5 e) 10

a) 189 b) 315 c) 400

d) 185 e) 320

24) Halla “M + N” si: (MN)2 = 1225

d) 9 e) 10

19) Calcula "M + N" si: (MN5)2 = 42 025 a) 1 b) 2 c) 4

22) Al resolver : 9914986 x 11 indica la suma de la primera y última cifra del resultado.

23) Halla “A x B” si: 11 x A = 231 11 x B = 165

18) Si abc x 11 = a595, halla "a + b + c".

a) 6 b) 7 c) 5

d) 8 e) 9

25) Resuelve y halla “P ” si: P = 232 + 23 x 11

d) 3 e) 5

a) 682 b) 782 c) 681

d) 581 e) 785

20) Si 9992 - 9982 = abbc, halla "a + b + c". a) 16 b) 17 c) 18

14) Halla a + b si: (105)2 = ...ab

a) 1 b) 8 c) 18

16) Multiplica por 25 los siguientes números 824 y 1326.

17) Halla "a + b + c" si: 37 x 5 = abc

11) Halla:

a) 5 b) 2 c) 25

Nivel II

d) 19 e) 26

21) C o n o c i e n d o l a s i g u i e n t e operación: 38 x 2m 1064 indica el valor de “m” sin usar la operación de división. a) 3 b) 4 c) 8

26) Halla “R + S” si: (R5)2 = 3025 11 x S = 517 a) 185 b) 52 c) 28

d) 45 e) 55

d) 9 e) a o c


2do de Secundaria


27) Halla “A x B” si: 11 x A = 275 (B5)2 = 2025 a) 150 b) 100 c) 130

d) 140 e) 180

32) Indica en qué cifra termina el resultado de: E = 2 x 4 x 6 x ... (n ≥ 5) “n” factores

a) 2 b) 3 c) 4

d) 0 e) Faltan datos

36) Si sabemos que: 333 ... 333 x 11 = 3...abcde3, calcula “a + b + c + d + e”. a) 20 b) 6 c) 10

d) 36 e) 30

37) Si: 28) Halla “3A + B + C” si: (AB5)2 = 15 625 11 x C = 1078 2

a) 127 b) 138 c) 181

d) 150 e) 105

29) Calcula: A2 + 2B – C si : 11 x A = 187 (B5)2 = 2025 11 x C = 341 a) 295 b) 266 c) 256

d) 281 e) 315

33) ¿Cuál es el resultado de la expresión “C”? C =(x – a)(x – b)(x – c)...(x – z) a) x b) a c) 1


34) Calcula el valor de “a2” si : (1 x 3 x 5 x 7 x ...) = ....a a) 1 b) 4 c) 9

d) 25 e) 16

548 x 99 = ...xy , calcula “x – y” a) 7 b) 5 c) 3

d) 1 e) 4

x – y = 16 x– y=2, calcula “x + y” sin usar cálculos algebraicos. a) 36 b) 20 c) 18

d) 24 e) 12

d) 5 e) 7

38) Obtén la suma de cifras del resultado de multiplicar : 11 ; 22 y 44 a) 18 b) 17 c) 19

d) 13 e) 20

D=(1 x 3 x 5 x 7...)–(2 x 4 x 6 x 8...) (n ≥ 5) “n” factores “n” factores

a) 2 b) 3 c) 0

d) 5 e) Falta conocer "n"

40) Calcula m + n si: (1 x 3 x 5 x 7 x ...)4 = .....mn 2004 factores

Nivel III

a) 5 b) 7 c) 16

31) Obtén con rapidez el valor de “a + b + c” si : 4321 x 11 = 4abc1 a) 12 b) 18 c) 10

a) 1 b) 6 c) 4

39) Indica la última cifra del resultado de : 35) Si

30) Si:

22 . xx = 242, calcula el valor de “x”.

d) 25 e) 18

41) Si se sabe : x : par y : impar, indica la situación de “C”. C = (ax)(xy) – y

d) 15 e) 8

a) Par d) Falta datos b) Impar e) N.A. c) Falta conocer "a"

2do de Secundaria


121


42) Halla la última cifra luego de efectuar el producto: P = (22004 + 1)(22003 + 1)(22002 + 1) ... ... (22 + 1) a) 4 b) 5 c) 7

d) 9 e) 6

46) Halla la última cifra de: Q = 1234567 x 6789555 a) 7 b) 9 c) 4

999

d) 6

Reto

e) 1

Amigas 47) Halla la última cifra de:

43) Indica en qué cifra termina: M = (10 + 1)(102 + 3)(103 + 5) ... ...(10500 + 999) + 4 a) 5 b) 7 c) 9

e) 6

naranjas, respectivamente. Cuando se aprestaban a comerlas llega

a) 6 b) 7 c) 8

d) 0

Ivonne y Mariela tienen 10 y 8

219 x 377 x 7999 48 x 360 x 49121

S=

d) 9

Fernando, con quien comparten las

e) 0

naranjas: comiendo todos por igual. Al retirarse Fernando saca 60 soles de su bolsillo y le da 30 soles a cada

44) Indica en qué cifra termina el desarrollo de: E = (5555)6666 + (4444)5555 + (3333)4444 + (2222)3333 + (1111)2222 a) 1 b) 2 c) 3

d) 0

48) Indica en qué cifra termina X (M : impar). X = LIZANASEGAMA97 UNMSM

UNI94

+

SMP96

+ PU98

a) 1 b) 2 c) 3

e) 5

RYDER99

una como agradecimiento por su acción; sorprendentemente Ivonne se niega a recibirlos aduciendo que la repartición del dinero ha sido injusta y que a cada una le debe dar de acuerdo al número de naranjas

d) 4 e) 5

que de cada una de ellas haya recibido Fernando. Finalmente, luego de reflexionar, Fernando

45) Halla la cifra terminal del desarrollo de : N = RM44 HU99 a) 4 b) 5 c) 9

XY1

+ RV55

JULIO

HP3

d) 8 e) 6

+

se da cuenta del error que había

49) Halla la última cifra de: 1997

E = JAM73

a) 1 b) 2 c) 3

1999

+ CLA75

cometido en el reparto del dinero MES18

+ ALA02

y le da a Ivonne lo que corresponde. Tal suma es:

d) 5 e) 7

50) Halla la suma de las 2 últimas cifras del siguiente desarrollo : M = (...76)2 + (...76)3 + (...76)4 + (...76)5 + ... + (...76)10

a) 12 b) 15 c) 21

122

d) 10 e) 13


2do de Secundaria

l e


Inducción Matemática Consiste en analizar casos particulares para conseguir ciertos resultados que al analizarlos nos permitan llegar a una conclusión, que llamaremos caso general.

Casos Particulares

Inducción

2. En el siguiente arreglo triangular de letras, ¿de cuántas formas distintas se puede leer JUAN DIEGO a igual distancia una letra de otra en cada lectura?

A

U U A A A

I

I

I

I

E E E E E E E G G G G G G G G O O O O O O O O O

2

n = 1  (6) = 36 CIFRAS = 3 + 6 = 9 = 9(1)

Observemos que JUAN DIEGO contiene 9 letras.

N.º de formas de leer JUAN DIEGO = 29 -1 = 28

2 letras

J

n = 2  (66) = 4356 CIFRAS = 4 + 3 + 5 + 6 = 18 = 9(2)

U 1

Después de analizar los cuatro casos anteriores, concluimos que la suma de cifras de la expresión es: 9(n) = 9n

2do de Secundaria

U 1

1 .2.3. 4 + 1= 1 x 4 +1=5

N.º de formas de leer JU = 1 + 1 = 2 = 22 – 1 3 letras

U A 1

x

x

U A 2

x

+

2 . 3 . 4 . 5 + 1 = 2 x 5 +1=11 +

3 . 4 . 5 . 6 + 1 = 3 x 6 +1=19

J

n = 4  (6666)2 = 44435556 CIFRAS = 4+4+4+3+5+5+5+6 = 36 = 9(4)

3. Calcula el resultado al operar: K = 47 x 48 x 49 x 50 +1 Resolución: Empezamos evaluando valores pequeños guardando la forma original (notas que son 4 números consecutivos).

Para

2

n = 3  (666)2 = 443556 CIFRAS = 4 + 4 +3 + 5 + 5 + 6 = 27 = 9(3)

N 1

9 letras

Resolución:

Evaluemos los siguientes casos para:

N 3

Luego de analizar los casos particulares concluimos que:

“n” cifras

Resolución:

N 3

A

N.º de formas de leer JUAN = 1+3+3+1 = 8 = 24 - 1

D D D D D I I

U A

N 1

N N N N

1. Calcula la suma de las cifras del resultado de operar: (666.....6)2

U

J

Caso General

J

4 letras

A 1

N.º de formas de leer JUA = 1 + 2 + 1 = 4 = 23 – 1


+

Se concluye que también cumplirá para: 47 . 48 . 49 . 50 + 1 x

+

= 47 x 50 + 1 = 2351

123


4. Calcula la cantidad total de esferas que hay en el siguiente arreglo triangular:

5) ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra “ARTURO”?

Nivel I

1 2 34

60 6162

número de esferas

1 2 3 4



Caso 1 : Caso 2 :



Caso 3 :

a) 32 d) 64

3 4 5 6

4 5 6 7

b) 48 e) 72



a) 64 d) 55

5. Halla la suma de todos los elementos de la siguiente matriz: 3 4 5

4 5 6

... 9 10 11 ... 10 11 12 ... 11 12 13

10 11 12 13 ... 18 19 20 11 12 13 14 ... 19 20 21

Caso 1 : 1

suma: _____

Caso 2 : 1 2

suma: _____

2

b) 60 e) 18

c) 100

c) 36

R ROR ROMOR b) 16 e) 8

3 4

b) 29 e) 32

c) 28

97 x 98 x 99 x 100 + 1 a) 5000 d) 2500

b) 9700 e) 1000

c) 9701

8) Halla la suma de los números de la fila 50: Fila 1 Fila 2 Fila 3 Fila 4

 1  3 5  7 9 11  13 15 17 19

a) 9750 b) 12 500 c) 25 000 d) 75 200 e) 125 000 c) 15

9) Halla el valor de la fila 10 en: Fila 1 : 1 Fila 2 : 3 + 5 Fila 3 : 7 + 9 + 11

suma: _____

4 5

a) 10 d) 1000

Por lo tanto la respuesta será : ____________

124

a) 30 d) 31

7) Calcula:

4) ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra “ROM” en el siguiente arreglo?

a) 7 d) 31

c) 32

4x5x6x7+1

3) Calcula la suma de cifras del resultado de obtener : (3333)2 a) 27 d) 45

b) 31 e) 64

c) 60

3

Caso 3 : 1 2 3 2 3

b) 81 e) 70

a) 24 d) 63

6) Calcula :

9 cifras

Entonces la respuesta será : _________________

2 3 4

2 3 4 5

2) Calcula la suma de las cifras del resultado de efectuar : C = (111...11)2



Caso 4 :

1 2 3

1) Calcula la suma de cifras de la siguiente matriz cuadrada:

A ARA ARTRA ARTUTRA ARTURUTRA ARTURORTIRA


b) 100 e) 2000

c) 300

2do de Secundaria


10) Calcula la suma de los números de la fila 10. Fila 1 Fila 2 Fila 3 Fila 4 a) 1024 d) 512

   

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1

b) 100 e) 511

10 términos

b) 8 e) –6

12) Si :

16) Calcula la suma de todos los elementos de la s iguiente matriz: 1 2 3 4

c) 1023

11) Efectúa: 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 +... a) 5 d) 6

Nivel II

c) –5

W1 = 1 x 2 + 4,

W2 = 2 x 3 + 6,

b) 12 e) 17

a) 100/99 b) 100/101 c) 100/102

a) 8 d) 16

a) 2 d) 5

3 x 5 x 17 x 257 + 1 b) 3 e) 6

c) 4

2do de Secundaria

a) 256 d) 128

b) 512 e) 2048

c) 1024

22) Calcula la suma de cifras de: (11111111)2 a) 49 d) 81

b) 36 e) 100

c) 64

23) Si f(1) = 1 + 2 f(2) = 2 + 3 f(3) = 3 + 4 ,

b) 12 e) 18

c) 14

halla f(100). a) 200 d) 300

b) 201 e) 400

c) 202

24) Calcula la suma de cifras de: M = (666...66)2 12 cifras

18) CINCO

a) 108 d) 104

C I I N N N C C O b) 8 e) 14

c) 10

b) 102 e) 103

c) 110

25) A una r eunión a sis t ieron 60 hombres y todos ellos se saludaron con un apretón de manos. ¿Cuántos apretones de manos hubo en la reunión? a) 1580 d) 1830

19) Calcula:

b) 1770 e) 1940

c) 1720

29 x 30 x 31 x 32 + 1 a) 918 d) 926

b) 929 e) 932

c) 936

20) Calcula :

15) Calcula : 24

c) 1100

M U U N N N D D D D O O O O O

a) 6 d) 12

d) 102/101 e) 103/102

10 11 12 13

17) MUNDO

c) 13

14) Calcula f(100) si : f(1) = 1 + 1/2 f(2) = 1 + 1/3 f(3) = 1 + 1/4

... ... ... ...

 Indica de cuántas maneras se pueden leer las siguientes palabras:

calcula la suma de cifras de F 20. a) 9 d) 7

4 5 6 7

a) 10 000 b) 1000 d) 1010 e) 5050

W3 = 3 x 4 + 8;

13) Sabiendo que : F1 = 1 x 100 + 50 F2 = 2 x 99 + 49 F3 = 3 x 98 + 48

3 4 5 6

10 11 12 13 ... 19

calcula “W99”.

a) 11 000 b) 10 010 c) 10 100 d) 11 010 e) 10 000

2 3 4 5

21) Calcula la suma de todos los términos de la fila 10 del triángulo de PASCAL.

E = 50 x 51 x 52 x 53 + 1 usando inducción. a) 2648 d) 2651

b) 2649 e) 2652

26) En un campeonato de ajedrez hay 15 participantes. Si juegan todos contra todos, ¿cuántas partidas se realizarán? a) 120 d) 105

b) 108 e) 210

c) 180

c) 2650


125


27) Halla la suma de los elementos de la fila 12. Fila 1 Fila 2 Fila 3 ... a) 1658 d) 1638

1

b) 1614 e) 1748

c) 1728

100 cifras

b) 801 e) 600

a) 1600 d) 2000

a) 930 d) 430

30) Si :  1 =4 –  3 = 16, halla 8 a) 81 d) 49

30 c) 480

c) 64

Nivel III 31) Calcula la suma de todos los elementos de la s iguiente matriz: a) 154 b) 225 c) 3475 d) 3375 e) 3325

126

b) 6 e) 10

15

a) 255 d) 256

b) 511 e) 25

1 1 1 1 ... 1 + + + + + 1x2 2x3 3x4 4x5 99x100 a) 99/100 b) 1 d) 100/99 e) 98/99

c) 1

39) Halla la suma de cifras del resultado de R : R = 9 x 888...888 888 cifras

a) 8889 d) 7950

c) 7

34) Halla el valor de “S”.

b) 7992 e) 4250

c) 7500

40) Halla la suma de cifras de : E = 37 x 222...222 222 cifras

a) 451 d) 160

c) 2

b) 441 e) 453

c) 420

41) Calcula : 35) Si :

halla

b) 72 e) 100

halla

c) 2100

1 = 2 , 2 = 9 y 3 = 28;

2 =9

= 22 – 3 x 1 = 32 – 4 x 2 = 42 – 5 x 3 = 52 – 6 x 4 ,

M = 100 x 101 x 102 x 103+1 a) 5 d) 8

... b) 465 e) 720

b) 1900 e) 2250

33) Calcula la suma de cifras de:

S=

1 2 3

1 2 3 4

18 20 22 ... 34 36 20 22 24 ... 36 38

c) 601

29) Calcula la cantidad de triángulos que hay en:

38) Si se observa que :

2 4 6 ... 18 20 4 6 8 ... 20 22 6 8 10 ... 22 24

3 5 7 9 11 ... ... ... ...

28) Calcula la suma de cifras de A si: A = (333...34)2 a) 701 d) 901

32) Halla la suma de los elementos de la siguiente matriz de 10 x 10.

a) 681 d) 344

41000

(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)... +1 2000 factores

7 b) 342 e) 50

c) 350

36) Halla el valor de F(100) si : F(1) = 1 F(2) = 3 + 5 F(3) = 7 + 9 + 11 F(4) = 13 + 15 + 17 + 19 d) (10-3)-2 e) Todas

a) 1 000 000 b) 106 c) (102)3

37) Calcula la suma de cifras del resultado de “A”. A = (999...9995)2

a) 2 d) 16

b) 4 e) 32

c) 8

42) ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra INGENIO en el siguiente arreglo? I INI INGNI INGEGNI INGENEGNI INGENINEGNI INGENIOINEGNI a) 128 d) 125

b) 127 e) 124

c) 126

101 cifras

a) 900 d) 916

b) 925 e) 907

c) 625


2do de Secundaria


43) ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra “CAMISA”? C A A M M M I I I I S S S S S A A A A A A a) 16 d) 36

b) 24 e) 32

47) Halla el total de palitos de fósforos de : a) b) c) d) e)

44) ¿De cuántas maneras se puede leer la frase: “I CAN DO IT”? I C C A A A N N N N D D D D D O O O O O O I I I I I I I T T T T T T T T

A L L I I I A A A A N N N Z Z A b) 16 e) 24

c) 18

46) Halla el total de palitos en la siguiente figura: a) b) c) d) e)

3825 3675 3125 3500 4280 1

2

12 1212 121212 + + + ... 25 2525 252525 100 sumandos

a) 12/25 d) 48

b) 25/12 c) 12 e) Faltan datos

b) 81 e) 72

c) 64

50) Si : a5 x a6 x a7 x a8 + 1 = 2161, calcula: M = a + aa + aaa + ... “a” sumandos

a) 4936 d) 4836

b) 4938 e) 4746

c) 4856

c) 256

45) ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra “ALIANZA”?

a) 14 d) 20

48 49 50

48) Efectúa y da como respuesta la suma de cifras de “A”.

c) 30

b) 64 e) 512

a) 49 d) 100

1 2 3 4

A=

a) 128 d) 32

2500 500 2550 2499 2501

49) Calcula la suma de cifras del resultado de efectuar: E = 81 x (123456789)2

3

2do de Secundaria

Carl Friedrich Gauss (1777–1855), matemático alemán, fue un niño prodigio, y continuó siendo prodigio toda su vida hasta el extremo que se le ha llamado el Príncipe de los Matemáticos, si bien su linaje no fue nada aristocrático, pues nació en una miserable cabaña y sus padres eran pobres. Sus contribuciones a la matemática, la física matemática y otras ramas aplicadas de la ciencia, como la astronomía, fueron de una importancia extraordinaria. Nunca publicó un trabajo hasta asegurarse de que estaba perfectamente elaborado, por lo cual no hay forma de saber cómo obtenía sus resultados (llegó a decir “cuando se finaliza un noble edificio no deben quedar visibles los andamios”; pero, continuando con su metáfora, Gauss no solamente retiró los andamios sino que destruyó los planos. Jacobi dijo: “sus demostraciones son rígidas, heladas... lo primero que hay que hacer es descongelarlas”. Abel (v.) observó “Es como el zorro, que borra con la cola sus huellas de la arena”). Fue muy precoz. Antes de cumplir tres años corrigió a su padre en la cuenta de la paga a los obreros, sin que nadie le hubiera enseñado aritmética. A los 10 años el maestro propuso en clase el problema de sumar 1+2+...+100. Apenas había terminado de enunciarlo, cuando Gauss puso su pizarra en la mesa del profesor. Al cabo de una hora sus compañeros terminaron el tedioso cálculo. Sus pizarras estaban repletas de sumas, mientras que en la de Gauss sólo había un número. Era la única respuesta correcta. A Gauss le encantaba, en su vejez, contar esta anécdota. El maestro le compró con su propio dinero un libro de aritmética y se lo regaló.

50


127


Repaso Nivel I

1) En una librería cada cuaderno tamaño oficio cuesta S/. 5. Si en marzo por campaña escolar venden 9518 cuadernos, ¿a cuánto ascendieron los ingresos por la venta de estos cuadernos? a) S/.47 580 b) S/.47 560 c) S/.46 590

d) S/.47 490 e) S/.47 590

2) Un ambulante vende lentes a S/. 15 cada uno. Si en todo el verano vendió 789 lentes, ¿cuánto recibió por la venta de todos los lentes? a) S/.10 815 b) S/.11 235 c) S/.10 985

d) S/.11 835 e) S/.11 735

4) La entrada a un parque de diversiones cuesta S/. 11. Si en el mes de marzo ingresaron 7615 personas, ¿a cuánto ascendió la recaudación por la venta de entradas? a) S/.84 765 b) S/.82 775 c) S/.84 775

d) S/.87 765 e) S/.83 765

5) Si una caja de leche cuesta S/. 111, ¿cuánto costará 598 cajas de leche? a) S/.66 398 b) S/.66 768 c) S/.65 698 

d) S/.66 378 e) S/.63 378

a) S/.22 315 b) S/.21 325 c) S/.22 305

128

d) S/.21 335 e) S/.22 325

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

10) Calcula : M=

d) 15 e) 17

a) 12 b) 13 c) 14

D U U L L L C C C C E E E E E a) 8 b) 16 c) 18

d) 12 e) 14

12) Calcula la suma de términos de la fila 6. d) 15 e) 16

8) 371 x 99 a) 25 b) 23 c) 26

d) 250 e) 249

11) ¿De cuántas maneras se puede leer la palabra DULCE?

6) 41 x 37 a) 11 b) 12 c) 14

22 x 23 x 24 x 25 + 1

a) 550 b) 551 c) 251

En cada caso, da por respuesta la suma de las cifras del producto.

7) 375 x 11 3) Un confeccionista tiene 893 chompas, va a Gamarra y las vende todas a S/. 25 cada una. ¿Cuánto recibe por esta venta?

9) 101 x 101

d) 24 e) 27


Fila 1 Fila 2 Fila 3 Fila 4 a) 36 b) 216 c) 612

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 d) 96 e) 106

2do de Secundaria


13) Halla la suma de cifras de : E = (1111...111)2 25 cifras

a) 525 b) 625 c) 256

d) 125 e) 111

14) Calcula la suma de cifras del resultado de obtener : (333...332)2 20 cifras

a) 60 b) 61 c) 120

d) 80 e) 59

a) 10 b) 100 c) 90

a) 8 b) 9 c) 10

d) 11 e) 12

19) Determina “a + b” si: 375 x 99 = 37ab5 a) 3 b) 4 c) 6

d) 8 e) 9

20) Calcula el valor de “a2” si : (1 x 3 x 5 x 7 x ...) = ...a

15) Halla la suma de cifras de : E = (999...99)3 93 = 729 993 = 970 299

18) Determina “a + b” si: 11 x 37 = a0b

10 cifras

d) 180 e) 200

a) 1 b) 4 c) 9

21) ¿Cuál es el resultado de la expresión "C"? C=(y – a)(y – b)(y – c)...(y – z) a) y b) a c) 1

Nivel II

d) 25 e) 16


23) ¿En qué cifra termina el resultado de la siguiente suma? (3425)2 + (7436)2 a) 5 b) 6 c) 1

d) 3 e) 8

24) Calcula el valor de “M” y da como respuesta la suma de sus cifras: M = (6666666)2 a) 54 b) 63 c) 72

d) 81 e) 45

25) Calcula la suma de los términos de la fila 50. Fila 1  1 Fila 2  3 5 Fila 3  7 9 11 Fila 4  13 15 17 19 a) 9750 b) 12 500 c) 25 000

d) 75 200 e) 125 000

26) Calcula el resultado de efectuar : 99 . 100 . 101 . 102 + 1

16) Resuelve : N = 652 + 57 x 11 a) 3845 b) 4830 c) 4852

d) 4856 e) 3852

22) Halla la última cifra del resultado de : E =367131+(82519+1)(262 – 1) a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

 En los problemas del 27 al 29, ¿de cuántas maneras diferentes se podrá leer la palabra dada en cada caso?

D I I A A A

d) 4250 e) 3251

2do de Secundaria

d) 10 099 e) 10 091

27) DIA

17) Resuelve : R = 352 + 38 x 11 + 21 x 34 a) 2350 b) 2357 c) 2380

a) 10 000 b) 11 199 c) 10 090

a) 2 b) 4 c) 5


d) 6 e) 8

129


28) CALMA

37) Halla la última cifra de : W = (21999+1)(21998+1)...(22 +1) (21 + 1)

Nivel III C A A L L L M M A

a) 4 b) 6 c) 8

d) 10 e) 12

31) Si : (z6x1) x 11 = w2y91, calcula el valor de “x – z + y – w”. a) 4 b) 3 c) 2

d) 1 e) 0

C = (ab + b)2 – (ba + a)2, entonces “C” es:

M A A N N N G G G G O O O O O a) 16 b) 14 c) 12

d) 10 e) 8

S1 = 1 -

1 2

,

1 S2 = 1 3

. S1 y

1 4

. S2 ;

S3 = 1 halla S500. a) 1/150 b) 1/500 c) 1/501

a) Par d) a y b b) Impar e) N.A. c) Faltan datos 33) Halla “a + b” si : (1 x 3 x 5 x 7 x 9 x ...)2 = ...ab d) 9 e) 11

34) Si LUZ x 1001 = ..374, halla “L + U + Z”. a) 12 b) 13 c) 14

d) 15 e) 16

35) La cifra de unidades de : 2003

d) 1/100 e) 1/51

38) Indica la cifra de las unidades de:

a) 5 b) 6 c) 3

32

– 1996

– 1996 d) 9 e) 0

39) Calcula “E” y da como respuesta la suma de sus cifras. E = (333...333)2 a) 2000 b) 2200 c) 1100

a) 5 b) 6 c) 1

a) 2 b) 4 c) 8

d) 1800 e) 900

40) Halla la suma de cifras del resultado de : S = (999...99)2 110 cifras

a) 999 b) 110 c) 990

d) 81 e) 330

41) Calcula la suma de cifras del resultado de : A = (999...9995)2 101 cifras

es : d) 0 e) 9

36) ¿En qué cifra termina el resultado de 453? d) 6 e) 0

a) 796 b) 902 c) 849

d) 907 e) 912

42) Si : M = 9 x 888...88 , 2003 cifras

halla la suma de cifras del resultado de “M”. a) 17 973 b) 18 027 c) 16 024

130

1997

200 cifras

a) 3 b) 5 c) 7

30) Si :

d) 7 e) 0

(32)

32) Si a es par y b es impar 29) MANGO

a) 2 b) 3 c) 5


d) 19 979 e) 10 827

2do de Secundaria


43) Calcula la suma de las cifras del resultado de efectuar : M=

47) Calcula el máximo número de triángulos en la siguiente figura.

Retos

997 x 998 x 999 x 1000 + 1

a) 26 b) 27 c) 28

d) 25 e) 24

11

RETO 1

3 2 1

Están jugando naipes: Norma, Carlos, Karol y Edson, y cada

a) 11 b) 22 c) 33

44) ¿De cuántas maneras se puede leer la palabra “CREATIVO”, en el siguiente arreglo?

uno de ellos gana una partida

d) 44 e) 55

en orden inverso al que han sido nombrados. La regla del juego es la siguiente; al que gane en primer lugar, los demás le darán 40 soles, al que gane en segundo lugar, le

48) Calcula la suma de : C CRC CRERC 2 4 6 8 CREAERC 4 6 8 10 CREATAERC 6 8 10 12 CREATITAERC CREATIVITAERC 8 10 12 14 CREATIVOVITAERC a) 127 b) 128 c) 511

a) 118 b) 96 c) 124

d) 512 e) 255

45) Calcula : 21006

(3 x 5 x 17 x 257...) + 1

tercer juego, los que pierden le darán 20 soles; al que gane el último, sólo se le darán 10 soles por cada uno de los que pierdan. Luego de jugarse el cuarto juego y cumplirse con la regla del juego,

d) 100 e) 128

cada uno tiene 60 soles. ¿Cuál es la diferencia entre lo que tenía inicialmente Norma y Karol?

49) Halla el valor de “R(22)” si : R(1) = 1 x 2 + 3 R(2) = 2 + 3 x 4 R(3) = 3 x 4 + 5 R(4) = 4 + 5 x 6 a) 542 b) 745 c) 22

1006 factores

a) 2 b) 3 c) 4

darán 30 soles; al que gane el

d) 5 e) 6

RETO 2 Se dispone de S/.100 para comprar 40 corbatas

de

S/.1;

S/.4 y S/.12 respectivamente, comprándose por lo menos una de

d) 574 e) 1

cada precio. ¿Cuántas corbatas de cuatro soles se

compraron?

RETO 3

50) Halla el valor de n si :

En 1918, la edad de un padre era

46) ¿Cuántos triángulos hay en total en F(20)?

... F(1) a) 77 b) 81 c) 85

F(2)

F(3)

22 =

22 33

+

a) 213 b) 44 c) 66

2222 3333

+

222222 333333

+...+

22...2 33...3

d) 77 e) 88

9 veces la edad de su hijo, en 1923, la edad del padre fue el quíntuplo de la de su hijo. ¿Cuál fue la edad del padre en 1940?

d) 89 e) 101

2do de Secundaria


131


Psicotécnico En esta clase, nuestro propósito es incentivar en ti, el razonamiento, la imaginación, la creatividad y la lógica de modo que ejercites tu habilidad mental de manera óptima. Veamos algunos ejemplos: Podrías decir que observas en las figuras :

2. TEST ESPACIAL Debe observarse la figura plana con todas sus características y al doblar mentalmente, formando una figura espacial, deben de coincidir. Así : 3. TEST DE COMPRENSIÓN MECÁNICO ¿Cuál de las dos lunas dará más vueltas alrededor del planeta?

a)

b)

A

Aspectos elementales Debemos tener en cuenta a la lógica y a la matemática como ciencias pilares del saber humano. Dividiremos nuestro estudio en dos partes: – Test mentales (ingenio y rapidez). – Figuras (rapidez visual).

 En las siguientes analogías gráficas que se proponen a continuación, encuentra la relación que existe entre las figuras y marca la alternativa correcta. Esta figura forma un cubo que debe tener en una línea las 3 cruces.

NO es correcto porque los 3 en blanco deben estar en una línea.

?

Se observa que en la serie central falta el número 6 para completar los números del 1 al 6 y en la serie exterior se repiten dos veces cada número, lo que indica que falta el 5.

132

... la Luna “A”. Además observaremos casos de razonamiento en el plano.

1. TEST DE DOMINÓ

?

B

NO es correcto porque las tres cruces no deben ir separadas, sino en una línea. SÍ puede ser porque las dos cruces que faltan no pueden verse pero están en línea.


 ¿Qué figura no corresponde a las demás? a)

b)

c)

d)

e) Rpta.: La alternativa “d”, pues va en sentido contrario a los demás.

2do de Secundaria


6)



es a

a)

d)

como

b)

es a:

c)

? Nivel I 1) Señala la figura que no tiene relación con las demás:

e)

Rpta.: La alternativa “a”, pues las figuras tienen que unirse como el caso dado y así formarse la figura “a”.

1

2

3

3

4

d)

c)

1

2

3

4

e)

d)

e)

c)

 De cada grupo de cinco figuras asignadas con las letras A, B, C, D y E, señala la que no pertenezca al grupo.

A

B

C

D

E

B

C

D

E

B

C

D

E

B

C

D

E

9)

4)

?

8. ¿Qué figura continúa?

a)

b)

d)

e)

c)

A 10)

?

b)

b)

5

Determina la figura que sigue en las siguientes sucesiones de figuras.

Rpta.: La alternativa “d”, pues falta el triángulo grande con línea horizontal y con vértice arriba.

a)

a)

8)

? b)

e)

?

3) Señala la figura que no tiene relación con las demás:

a)

d)

c)

4

 ¿Qué figura falta? 2

b)

7)

2) Señala la figura que no tiene relación con las demás:

1

a)

c)

A 5)

d)

11)

e)

Rpta.: La alternativa “c”, pues sigue un hexágono y dentro un heptágono.

2do de Secundaria

? a)

b)

d)

e)

c)


A

133




En los siguientes ejercicios, indica la figura que completa la analogía.

21)

Nivel II 

En cada caso, encuentra la figura discordante.

16)

12) es a

como

a)

b)

d)

e)

?

es a: A

c)

B

C

D

E

a)

b)

d)

e)

c)

17) 22)

13)

A es a

como

B

C

D

E

?

es a: 18)

a)

b)

d)

e)

c)

A

B

C

D

b)

d)

e)

c)

E 

19)

14)

a)

Indica la figura que continúa en las series dadas.

23) es a

como

a)

b)

d)

e)

es a: A

c) •

B

C

D

...

E

En cada caso, indica la figura que falta.

a)

b)

d)

e)

a)

b)

d)

e)

c)

20) 15) es a

como

a)

b)

d)

e)

134

24)

es a:

?

c) a)

b)

d)

e)

c)


c)

2do de Secundaria


25)

a)

b)

a)

b)

d)

e)

c)

34) a)

b)

d)

e)

c)

c) 30) ¿Qué figura falta?

d)

35) Indica la figura que falta:

e)

?

26)

? a) d)

b)

c)

a)

b)

d)

e)

c) b)

d)

e)

c)

e) Nivel III

27) ¿Qué figura no corresponde con las demás? a)

a)

b)

36) Indica la figura que falta:

 ¿Cuál de las siguientes figuras no guarda relación con las demás?

;

c)

;

;

;

31) a) d)

b)

c)

e) d)

b)

c)

b)

d)

e)

c)

e)

28) ¿Qué figura no corresponde con las demás? a)

a)

32) a)

b)

c) 37) Indica la figura que falta:

d)

e)

d)

e)

a)

b)

d)

e)

29) ¿Qué figura falta?

?

33) c)

?

2do de Secundaria


a)

b)

d)

e)

c)

135

?



47)

42) ¿Qué término continúa?

? ? a)

b)

d)

e)

a)

b)

d)

e)

c)

Rpta.: .........

c)



En cada caso, indica cuál es la figura discordante. 48)

43) 39) ¿Qué figura falta? A

B

C

D

E

44)

Rpta.: .........

? a)

b)

d)

e)

A

B

C

D

E 

c)


Uno de los cinco cubos designados con las letras «a», «b», «c», «d» y «e» debe ser el resultado de armar la figura plana.

49) 40) ¿Qué figura no corresponde a las demás? a)

b)

d)

e)

?

c)



a)

b)

d)

e)

c)

A continuación, observa bien cada grupo y determina cuántos puntos le corresponden a la ficha que está en blanco.

41) ¿Qué término continúa?

?

a)

b)

d)

e)

a)

b)

d)

e)

c)

50)

46) a)

b)

d)

e)

136

c)

Rpta.: .........


c)

2do de Secundaria


Resolución de Ecuaciones En matemáticas se trabaja con igualdades. Si son ciertas para algunos valores, se llaman ecuaciones. Otras igualdades que son ciertas siempre, se llaman identidades. Observa:

x+3=7

3 + x = 10 x = 10 – 3 x=7

Es una ecuación, pues se verifica únicamente si x = 4. (x + 3)2 = x2 + 6x + 9 Es una identidad, pues se verifica para cualquier valor de «x».

Las ecuaciones Se llama ecuación a aquella igualdad que se satisface para algún o algunos valores asignados a sus incógnitas. Por ejemplo, en una ecuación lineal x + 3 = 7, es una ecuación. La ecuación se verificará sólo cuando x sea 4.

+

=

=

Para ampliar la comprensión debemos imaginar sobre las cartas los posibles números que hacen coincidir los resultados.

Las letras que intervienen en una ecuación son las incógnitas y los valores de esas letras son las raíces de la ecuación. De este modo, al reemplazar las incógnitas por las raíces se tiene una igualdad numérica: x – 1 = 3x – 11 5 – 1 = 3 . 5 – 11 4 = 15 – 11 4 =4 Las ecuaciones se pueden clasificar en enteras, fraccionarias e irracionales. Las enteras son aquellas en que las incógnitas están sometidas a las operaciones de suma, resta y multiplicación:

–

3x + 2 = 5x – 8 Ecuación entera

=

2do de Secundaria


137


La s fra ccio na ria s p os een a l menos una de sus incógnitas en el denominador.

3 x + 2 = 5x – 3

 5(x + 3)+7=4 (x + 3) + x + 10 5x+15+7= 4x + 12 + x + 10 5x – 5x = 22 – 22 0=0 Es una ecuación compatible e indeterminada (tiene infinitas soluciones).

 4(x + 3)+2 = 3(x + 2) – 5 + x 4x + 12 + 2 = 3x + 6 – 5 + x 4x – 4x = 1 – 14 0 = –13 Es una ecuación incompatible (no tiene solución).

Ecuación fraccionaria Las irracionales tienen una incógnita bajo el signo radical: x+3= x–2 Ecuación irracional Las ecuaciones pueden tener una o dos incógnitas y su grado también puede variar.

Clasificación de un sistema de ecuaciones según sus soluciones a) Compatibles: Son aquellos que tienen por lo menos una solución. A su vez éstas se dividen en: Determinadas: Si tienen un número limitado de soluciones. Indeterminadas: Si tienen un número ilimitado de soluciones. b) Incompatibles: Son aquellas que no tienen solución. Ejemplos :  3x + 5 = 2x + 11   x = 6

1. Resuelve 2x + 7 = x + 10 Resolución: Transponiendo términos tenemos:

Recuerda que al transponer los términos, estos cambian de signo.

2x + 7 = x + 10

¡Ah! ... y no olvides que la incógnita debes ubicarla a un solo lado de la igualdad.

2x – x = 10 – 7  x= 3

2. Resuelve la ecuación: 4x + 3 [2x – 4(x – 2)]= 72 – 6x Resolución: Resolviendo el paréntesis tenemos: 4x + 3 [2x – 4x + 8] = 72 – 6x Eliminando el corchete, se obtiene: 4x + 6x – 12x + 24 = 72 – 6x Transponiendo al primer miembro todos los términos con «x» y al segundo los numéricos tendremos: 4x + 6x – 12x + 6x = 72 – 24 Reduciendo:

48

4x = 48  x = 4

  x = 12

3. Resuelve la ecuación: (1 + 3x)2 = (5 – x)2 + 4(1 – x) (3 – 2x) Resolución: Resolviendo los paréntesis 1+6x+9x2 = 25 – 10x + x2 + 12 – 20x + 8x2 Transponiendo términos tenemos: 9x2 – x2– 8x2+6x+10x+20x=25+12 – 1 Luego: 36 x = 36



36

x = 36

 x=1

Es una ecuación compatible y determinada (tiene una solución).

138


2do de Secundaria


x 2x x 6 +7= 3 + 2 +1

4. Resuelve Resolución:

En primer lugar, efectuamos el M.C.M. a los denominadores: x 7 2x x 1 6 +1 = 3 +2 +1

6 – 1 – 3 – 2 – 1 2 3 – 1 – 3 – 1 – 1 3 1 – 1 – 1 – 1 – 1

Nivel I

Así tenemos: x + 42 = 4x + 3x + 6 42 – 6 = 4x + 3x – x 36

=

6x

P r o c u r a si emp r e que la variable permanezca con coeficiente positivo.

1) Resuelve y halla «x2» en: 7x + 23 = 6x + 25 a) 3 d) 1

b) 4 e) 0

c) 2

6 = x  x=6

2) Resuelve la ecuación y halla «3x» en: 2(x + 5) + 30 = 5 (x + 7)

Luego M.C.M. = 6

5. Resuelve la ecuación:

a) 4 d) 2

x 3(x – 8) = 5 +1 2

Resolución:

– – –

5 – 1 2 5 – 1 5 1 – 1

Luego:

a) 5 d) 8

b) 6 e) 9

c) 7

M.C.M. = 10 4) Resuelve la ecuación y halla «xx» en: 5(2x + 7) + 3 = 48 Transponiendo términos:

(5)(3)(x–8) = 2x + 10 15(x – 8) = 2x + 10 15x – 120 = 2x + 10

c) 3

3) Resuelve: 3(x – 3) + 13 = 4x – 1

3(x – 8) x 1 = 5 + 1 2

2 1 1

b) 5 e) 0

15x – 2x = 10 + 120 13x = 130 130

x = 13  x = 10

a) 2 d) 3

b) 0 e) 4

c) 1

5) Resuelve: 2(7x + 4) = 8(2x + 3) a) -6 d) -5

b) -8 e) N.A.

c) -7

6) Resuelve: a+1 7 1–a – 10 + 5 = 6 2

a) 18 d) 21

2do de Secundaria


b) 19 e) 22

c) 20

139


7) Halla "2a":

14) Resuelve:

7a + 1 3(a - 1) 2(a + 1) = 10 + 10 5

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

8) Resuelve la ecuación y halla «aa» en: 7(2a + 3) + 10 = 17 a) 2 d) 8

b) 4 e) -1

c) 6

a) 3 d) 2

b) 0 e) 1

b) 2 e) 5

c) 3

11) Resuelve y halla «xx» en : 7(x–3) –5(x+2)+11(x+1)=19 a) 28 d) 30

b) 27 e) 31

b) 13 e) 6

c) 12

15) Resuelve: 1

a

1

2a

1 + a – 3 = 6 + 2 – 9 + 16 b) 14 e) 7

c) 15

Nivel II

c) 29

b) 2/3 e) 2

9(a – 1) 2

a) 20 d) -16

31

a) 33

b) 33

d) 31

e)

33

c) 31

4 33

b) 7 e) N.A.

c) 8

x 2 –x=

a) 12 d) -8

a) 18 d) 17

140

b) 19 e) 6

a(a – 3) (a – 4)(a – 7) – =2 11 11

b) 4 e) N.A.

c) 25/4

2(13x + 1) +4 = 31 x

a) 3 d) 1

x 4 –9

b) 8 e) 9

a) 1 d) 4

c) -6

b) 2 e) 5

b) 4 e) 0

c) 2

c) 20


c) 3

24) Resuelve: 3+

19) Resuelve y halla «xx» en:

13) Resuelve: 2a + 4 – 5 = 3(a – 7)

c) 9

2(x+1) 3(x–1) 7x + 1 – = 10 5 10

2(m–4)+15m 15m + 7(m–1) +30= 3 21

a) 25 d) 4/25

b) -12 e) 10

23) Resuelve:

18) Resuelve: 2(a + 1) 10 + = 6 3

c) 120

7 1–x x+1 2 – 6 + 5 = 10

1 12) Resuelve:

b) 90 e) 75

c) 14/5

17) Resuelve:

a) 6 d) 3

a) 60 d) 150

x

= 3 +4

22) Resuelve:

16) Resuelve: 3x – 1–(x+4) –[2(x–3) –3(1–2x)] = –x – 2 a) -1 d) 3/5

x x 5 + 6

21) Resuelve:

c) 4

10) Resuelve: 11(2x–7)+2(5x–4)– 3(2x–5)= –18 a) 1 d) 4

a) 14 d) 16

a) 13 d) 16

9) Resuelve: 2(3a – 7) + 5(a + 3) = 23

20) Determina el valor de «x» si:

m m – 2m +9 = 4 2

1 x– 3

a) 4/3 d) 10/3

1

=

5

3+

b) 2/3 e) 4/5

5

2 1 5 + 15

c) 8/10

25) Halla «x» en: 1+

a) 1 d) 45

2+ x–5=2

b) 2 e) 54

c) 30

2do de Secundaria


26) Halla «x» en:

32) 3x – 1–(x – 4) –[2(x–3) – 3(1–2x)]= 2x

4 + 23+ 1 + a) 1 d) 40

x–3=3

b) 20 e) 12

2x + y = 6 a) 3/2 d) -1

c) 30

a) -7 d) -6

5 x+3 x–3 = 2

b) 7 e) 10

c) 8

34)

x 2

b) 7 e) 5

c) 1/3 x–y+1=4

x x 1 a – a+b = a+b

b) a/b e) 1

c) ab

35)

c) 6

b) 14 e) 18

c) 8

b) 2 e) 18

c) 1/2

a) 5 d) -3

(12344)2 – (24689)2

b) -11 e) 20

d) 74 070 e) 12 345

c) 12

1 1 1 4 (x–2)+ 3 – x – 3 (2x–1) = 0

a) -3 d) -6

b) -4 e) -7

c) -5

31) 5(x – 2) + 3x = 2(3x + 4) b) 3 e) -6

1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 x – 1 –1 –1 –1 –1=0

a) 363 d) 366

c) 2

px

–

m+n

=

p 2(m + n)

p

m+n m-n b) p p e)

c)

mn p

pn p

42) Halla «x. y» si: x – 2y = 4 2x + 3y = 1 a) 3 d) 4

43) Reduce

b) 1 e) 5

c) -2

x+3 y =2 y+6 x =–1

y halla x2 – y2.

38) Resuelve:

Resuelve las siguientes ecuaciones:

2

d) mnp

37) Resuelve: 3x+2 = 3x–2

Nivel III

a) 9 d) 1

3 4 x+2 = x–1

c) 3

(12346)2 – (24691)2

a) 12 340 b) 24 680 c) 12 343

36)

b) 1 e) 4

2

a)

30) Halla «x» en:



a) 0 d) 5

1

29) Resuelve: x+3 2 – 3x 4x – = 3 2 7

c) 51

40) Resuelve:

3(m + n)

b) 1/4 e) 3

b) 34 e) 36

41) Despeja x en:

2x + 7 3x + 8 = 6 7

a) 4 d) 1

a) 1 d) 4

a) 17 d) 18

x 1 x 1 x 1 1 x – 3 – 4+ 4 = 5 – 5+ 6 – 6 3

x + 3 = 10

a) 10 d) 12

28) Resuelve:

a) b/a d) a+b

b) 2/5 e) 1

33) –3x – 9+5x+10 = 4x + 8 – x

27) Resuelve:

a) 6 d) 9

39) Calcula x . y en:

b) 364 e) 367

a) 23 d) 21

b) 22 e) 12

c) 24

c) 365

c) -3

2do de Secundaria


141


44) Si A + B = 4000 y A – B = 1500, halla «A». a) 2750 d) 3500

b) 1250 e) 500

c) 2000

45) Si x–1 + y–1 + z–1 = 0, calcula el valor de «E» si: x

y

z

x

y

z

49) Si: a – b + c = 5, b – c + d = 7, c – d – e = 4, a+b+d=9y e – a + f = 2; calcula 2(a + b + c + d + f) a) 27 d) 26

b) 54 e) -28

50) Calcula x en: x(x + 1) = 33 4

a) 10 d) 13

b) 11 e) 14

c) 12

c) -14

E= y + x+x+ z + z + y a) -1 d) -4

b) -2 e) -5

c) -3 Diofanto de Alejandría (Diophanti Alexandrini) Nacido alrededor del 200/214 - fallecido alrededor de 284/298, fue un antiguo matemático

46) Resuelve en «x»: x2 + a2 = (a + x)2 – a(a–1) a) -1

b) a

d) -7

e)

c) - 1 2

a-1 2

griego. Se considera a Diofanto el Padre del Álgebra. Nacido en Alejandría, nada se conoce con seguridad sobre su vida salvo la edad a la que falleció, gracias al epitafio redactado en forma de problema y conservado en la antología griega. Según el epitafio, Diofanto falleció a la edad de 84 años. Se ignora, sin embargo en qué siglo vivió. Hipatia (fallecida en 415), comentó que habría fallecido antes del siglo V, pero si se trata de personas distintas cabe pensar

47) Halla «x»:

que vivía a finales de dicho siglo, ya que ni Proclo ni Pappus le citan, lo

2

( )

a–x b–x = ab a) a + b

a b

ab b) a – b

que resulta difícil de entender tratándose de un matemático que pasa por ser el inventor del álgebra. En opinión de Albufaraga, Diofanto vivía ab c) 2a – b

ab a+b d) 2a + b e) 2

en los tiempos del emperador Juliano, hacia 365, fecha que aceptan los historiadores. El matemático alejandrino debe su renombre a su obra Arithmetica. Este libro, que constaba de trece libros de los que sólo se han hallado seis, fue publicado por Guilielmus Xylander en 1575 a partir de unos manuscritos

48) Calcula «x + y +z» si: x + y = 20 y + z = 24 x + z = 16 a) 25 d) 45

b) 30 e) 60

c) 35

de la Universidad de Wittenberg, añadiendo el editor un manuscrito sobre números poligonales, fragmento de otro tratado del mismo autor. En esta obra realiza sus estudios de ecuaciones con variables que tienen un valor racional (ecuaciones diofánticas), aunque no es una obra de carácter teórico sino una colección de problemas. Importante fue también su contribución en el campo de la notación; si bien los símbolos empleados por Diofanto no son como los concebimos actualmente, introdujo importantes novedades como el empleo de un símbolo único para la variable desconocida (στ) y para la sustracción, aunque conservó las abreviaturas para las potencias de la incógnita (δς para el cuadrado, δδς para el duplo del cuadrado, χς para el cubo, δχς para la quinta potencia, etc.).

142


2do de Secundaria


Planteo de Ecuaciones La comunicación es una actividad muy importante para la vida y desarrollo de todo ser, pues así se pueden transmitir situaciones de peligro, de hambre, de malestar, etc. Por ejemplo, los animales para poder comunicarse, han logrado desarrollar diferentes tipos de lenguaje, algunos tan sorprendentes y sofisticados como en el caso de los delfines o los murciélagos (que inclusive llevaron al hombre a inventar el radar). Estos animalitos emiten señales sonoras de alta frecuencia, imperceptibles al oído humano. Existen otros lenguajes, quizás más sencillos de comprender como es el caso del perro. Es sabido que al llegar a casa, él te recibirá "saludándote" (moviendo la colita); esta es una señal de afecto o también cuando en algún momento al acercarnos nos gruñe; esta es una señal de incomidad. El ser humano, lógicamente, no escapa a esta característica; sin embargo, él ha logrado desarrollar diferentes tipos de lenguaje, como por ejemplo: el lenguaje simbólico, el lenguaje cromático, el lenguaje gestual, el lenguaje matemático, el lenguaje textual, etc. Observa los siguientes gráficos:

Indica peligro

Indica proceso correcto

Indica primeros auxilios

Indica servicio higiénico masculino

Corresponden al LENGUAJE SIMBÓLICO. Cuando caminamos por la calle y el semáforo está en verde, indica que podemos cruzar la pista. Cuando vas a la playa y ves una bandera de color rojo, nos indica que el mar está demasiado agitado y por lo tanto no debes nadar. Estos son ejemplos del LENGUAJE CROMÁTICO. Ahora estos ejemplos corresponden al LENGUAJE GESTUAL:

En el lenguaje matemático hacemos uso de los números (que en realidad son los numerales) y de algunas operaciones conocidas (suma: +; resta: - ; multiplicación: x, etc.). Observa los ejemplos: 7 + 3 x 25 ;

2-

2

25 3

En el lenguaje textual hacemos uso de las letras (que en realidad son grafemas) y las reglas gramaticales. Un ejemplo de este lenguaje es todo lo que has leído anteriormente. Todos estos ejemplos han sido vistos porque en el tema de hoy relacionaremos dos lenguajes: el matemático y el textual, interpretándolos de manera adecuada para la solución de problemas.

Planteamiento de ecuaciones Consiste en traducir un problema dado en forma de enunciado a un lenguaje de incógnitas, es decir, elegir apropiadamente los símbolos desconocidos. Variable Símbolo con el que se representa el valor o valores que deseamos calcular o conocer. Enunciado

Indica que algo está correcto

2do de Secundaria

Indica silencio

Indica que algo está incorrecto


Aquí se dan las relaciones entre los datos y la o las incógnitas.

143


Traducción de enunciados de la forma verbal a la simbólica:

Forma Verbal

Forma Simbólica

Un número aumentado en 7.

x+7

Un número disminuido en 5.

x–5

El triple de un número.

3x

La cuarta parte de un número.

x/4

El doble de un número aumentado en 9.

2(x + 9)

El doble de un número, aumentado en 9.

2x + 9

La suma de tres números consecutivos es 18.

(x–1)+(x)+(x+1)=18

El doble de la edad de Juan, aumentado en 5 años es 15.

Forma Simbólica

2x + 5 = 15

Forma Verbal El triple de un número.

3x x2 + 7

El cuadrado de un número, aumentado en 7.

(x + 7)2

El cuadrado de un número aumentado en 7.

2x

3

(2x)

El doble, del cubo de un número. 3

El cubo, del doble de un número.

En enunciados de mayor complejidad se recomienda utilizar los siguientes procedimientos: 1. Lectura rápida

1. Halla tres números consecutivos cuya suma sea igual a 81. Resolución: Sean los números: x – 1; x; x + 1 si sumamos tenemos: x – 1 + x + x + 1 = 81 3x = 81 x = 27 Entonces los tres números son: 26; 27; 28 2. Si le multiplico por 4 a la edad de Pilar, luego le sumo 6, lo divido entre 2 y por último le resto 4, obteniendo al final 39, ¿qué edad tiene Pilar? Resolución: Sea «x» la edad de Pilar. (Multiplica por 4): (Sumo 6): 4x + 6 (Divido entre 2):

Objetivo: Saber de qué trata el problema o el contexto en el cual se desarrolla.

4x

(Resto 4):

4x + 6 2

4x + 6 2

– 4 = 39

2. Lectura pausada Objetivo: Comprender el problema, determinando los datos y la pregunta.

4x + 6 = 43 2

4x x

3. Utilizar la resolución más concisa Objetivo: Ampliar el raciocinio del alumno y dar mayor competitividad.

Pilar tiene 20 años.

4. Verificar la respuesta Objetivo: Comprobar que el resultado obtenido es el que satisface las condiciones del problema.

144


2do de Secundaria

= 80 = 20


3. Halla un número, tal que al agregarle 432 obtendremos su triple disminuido en 8. Resolución:

5. Reparte 210 soles entre tres personas de modo que la segunda reciba 35 soles menos que la primera y 20 soles más que la tercera.

a) 120 d) 180

Resolución:

El número es "n".

Según el enunciado, sea «x» la cantidad que recibe la primera persona, entonces:

n + 432 = 3n – 8 440 = 2n n = 220 Si la expresión hubiera sido: «El triple de la diferencia del número con 8», se simbolizaría así: 3(n – 8) El número es 220.

4. Una habitación rectangular tiene de largo tres veces su anchura y su perímetro mide 24 m. Halla las dimensiones del rectángulo.

A:x B : ( x – 35) C : ( x – 35) – 20 Luego: x + (x – 35) + (x – 35) – 20 = 210

Sea el rectángulo de ancho «x».

A = 100; B = 65 y C = 45

3x

Luego, las dimensiones son: largo = 9 m ancho = 3 m

Nivel I

a) 140 d) 170

1) L a m i t a d d e u n n ú m e r o aumentado en 5 es 25. Halla el número. a) 30 d) 25

b) 40 e) 35

c) 45

b) 28 e) 10

c) 9

b) 6 e) 16

c) 12

a) 50 d) 60

b) 40 e) 65

c) 45


b) 150 e) 180

c) 160

8) La suma de dos números enteros consecutivos es 35, ¿cuál es el doble del mayor? a) 24 d) 26

2) L a m i t a d d e u n n ú m e r o aumentado en 5 es 35. Halla el número.

2do de Secundaria

c) 6

7) ¿Cuál es el número que excede a 70 en la misma medida en que 120 excede a 40?

Dato del problema: 3x + 3x + x + x = perímetro 8x = 24 m x=3m

b) 7 e) 12

6) El exceso del doble de un número sobre 18, es igual al triple del número disminuido en 10. ¿Cuál es ese número? a) 8 d) 14

x

c) 150

5) Halla un número que aumentado en 14 equivale al triple del mismo número. a) 14 d) 7

Reduciendo: 3x – 90 = 210 3x = 300 x = 100

b) 130 e) 200

4) Halla un número, sabiendo que aumentado en 18 equivale al triple de su valor. a) 4 d) 9

Finalmente reciben:

Resolución:

3) L a m i t a d d e u n n ú m e r o aumentado en su tercera parte es igual a 125. Halla el número.

b) 34 e) 32

c) 36

9) La suma de tres números enteros consecutivos es 47 unidades más que el número menor. Halla el mayor de los tres números. a) 18 d) 24

b) 20 e) 25

c) 22

145


10) Si al doble de un número le aumentas cinco unidades, obtendrás como resultado el mismo número disminuido en cuatro unidades. ¿Cuál es el número? a) 13 d) 9

b) - 13 e) - 9

c) - 4

11) Se sabe que la suma de dos números es 16 y además uno de ellos es el triple del otro. Encuentra la diferencia entre ambos. a) 4 d) 16

b) 8 e) 20

c) 12

a) 50 y 35 b) 27 y 58 c) 38 y 47 d) 33 y 52 e) 29 y 56 13) Una papaya pesa 1 kg más la mitad de su peso. ¿Cuánto pesa? a) 1 kg b) 1,5 kg c) 2 kg d) 0,5 kg e) Absurdo 14) U n h o l g a z á n d u e r m e normalmente todas las horas de cada día menos las que duerme. ¿Cuántas horas duerme diariamente? b) 6 c) 0 e) Absurdo

15) En una reunión hay 40 personas, cuando se retiran 8 varones y 6 damas, la diferencia entre ellos y ellas es 10. ¿Cuántos varones quedaron? a) 20 d) 18

146

b) 14 e) 8

16) ¿Cuántos buzos tiene Diego si sabemos que al octuplicarlos y restarle 8 obtenemos siete veces dicha cantidad aumentada en 3? a) 15 d) 14

c) 26

b) 11 e) 16

c) 13

17) Halla el número de pelotas que tiene Jorge tal que si se multiplican por siete y luego se le agrega 20 resulta el quíntuple de ellas aumentada en 60. a) 10 d) 25

12) En el colegio hay dos aulas para segundo grado. Si juntas tienen 85 alumnos y los dos tercios de una, más los cinco medios de la otra suman 152, determina cuántos alumnos tiene cada aula.

a) 24 d) 12

Nivel II

b) 18 e) 35

c) 20

18) Se sabe que el triple de la mitad del cuadrado de 6, es igual a nueve veces la cuarta parte de la edad de Juan. ¿Cuál es su edad? a) 22 años b) 23 años c) 24 años d) 25 años e) 26 años 19) Si al doble del número de hermanos de Andrea le agregamos 14, nos da el quíntuple de ellos disminuido en 10. ¿Cuántos hermanos tiene Andrea? a) 6 d) 9

b) 7 e) 10

b) 13 e) 12

a) 10 d) 25

b) 12 e) 30

c) 15

23) Si ganase S/.60 tendría el cuádruple de lo que me quedaría si perdiera S/.75. ¿Cuánto tengo? a) S/.100 b) S/.80 d) S/.120 e) S/.130

c) S/.140

24) Si comprara 40 libros tendría entonces el quíntuple de lo que me quedaría si hubiera vendido tres, más 15 libros. ¿Cuántos libros tengo? a) 8 d) 16

b) 10 e) 21

c) 12

25) Tres cestos contienen 575 manzanas. El primer cesto tiene 10 manzanas más que el segundo y 15 más que el tercero. ¿Cuántas manzanas hay en el segundo cesto? a) 190 d) 197

b) 188 e) 181

c) 176

c) 8

20) Veintisiete es excedido por un número en la décima parte del número. Entonces número es: a) 30 d) 36

22) ¿Cuál es el lado de un cuadrado, tal que el doble de su perímetro disminuido en 20 es igual al triple de su lado aumentado en 30?

c) 24

21) Se sabe que Leonardo mide tres centímetros más que Brodd y tres centímetros menos que Jhon. Si la suma de la talla de los tres es 549cm, ¿cuánto mide Jhon? a) 180 cm b) 186 cm c) 184 cm d) 183 cm e) 146 cm


26) Tres tortugas A, B y C tienen las características siguientes: la longitud de «A» excede a la de «B» en 8 cm y a la de «C» en 4 cm. Si la suma de las longitudes de las tres es 102, ¿cuánto mide «A»? a) 100cm b) 40cm d) 38cm e) 42cm

c) 30cm

27) Si de 24 soles, la mitad de lo que gasto más lo que no gasto es 17 soles, ¿cuánto no gasto? a) 6 soles b) 8 soles c) 8soles d) 10 soles e) 12 soles

2do de Secundaria


28) Tengo 20 libros en stock . ¿Cuántos debo vender para que la cantidad de libros vendidos sea los 2/3 de la cantidad de libros no vendidos? a) 2 libros b) 6 libros c) 8 libros d)10 libros e) 12 libros

29) La cantidad de libros de álgebra que tengo es tal que su mitad más su cuarta parte, más 2 equivale a la cantidad de libros en total. ¿Cuántos son? a) 4 libros b) 5 libros c) 6 libros d) 7 libros e) 8 libros

30) Carlos compró tres libros, el de matemáticas costó el doble que el de lenguaje y el triple que el de historia. Siendo el gasto total de 66 soles, ¿cuánto costó el libro de historia? a) S/.36 d) S/.12

b) S/.24 e) S/.8

c) S/.18

Nivel III

31) «A» excede a «B» en 43 y «B» excede a «C» en 19. ¿En cuánto excede «A» a «C»? a) 34 d) 52

b) 24 e) 62

c) 72

32) El perímetro de un terreno rectangular es 520 m. Si su ancho es los 3/10 del largo, halla el ancho del terreno. a) 60 m d) 70 m

b) 40 m e) 80 m

c) 100 m

2do de Secundaria

33) Dos depósitos contienen 520 y 680 litros de agua, respectivamente. ¿Cuántos litros se deben pasar del primer al segundo depósito para que este último tenga el doble de agua que el segundo? a) 60 litros b) 80 litros c) 90 litros


34) Cecilia limpia siete autos por hora y Matilde dos cada media hora. Si luego de «n» horas entre las dos han limpiado 66 autos, halla «n». a) 5 d) 8

b) 6 e) 9

c) 7

35) El dividendo de una división es 55, el cociente y el resto son iguales y el divisor es el doble del cociente. Halla el divisor. a) 5 d) 20

b) 10 e) N.A.

c) 15

36) L o s d o s f a c t o r e s d e u n a multiplicación suman 91. Si se aumentan cinco unidades al multiplicando y se disminuyen dos al multiplicador, el producto aumenta en 67. ¿Cuáles son los factores? Da uno de ellos. a) 36 d) 39

b) 37 e) N.A.

c) 38

37) Dos depósitos tienen juntos 180 litros de agua. Si uno de ellos tiene el quíntuple del otro, ¿cuántos litros tendría el que contiene menos si me tomo dos litros? a) 30 d) 58

b) 32 e) 34

c) 28


38) Se reparte una herencia de $480000 entre dos personas. ¿Cuánto recibe la más afortunada si se sabe que tendría el triple del otro? a) $ 360000 b) $ 240000 c) $ 160000

d) $ 320000 e) N.A.

39) Jessica tiene S/.300 y Karina S/.750. Cada una de ellas ahorra mensualmente S/.30. ¿Dentro de cuánto tiempo el dinero de Karina será el doble del de Jessica? a) 4 meses b) 5 meses c) 8 meses

d) 10 meses e) 20 meses

40) Los animales que tiene Pepita son todos perritos menos 5, todos gatitos menos 7 y todos loritos menos 4. ¿Cuántos gatitos tiene? a) 1 d) 2

b) 3 e) 5

c) 4

41) Si subo una escalera de 5 en 5, doy 4 pasos más que subiendo de 6 en 6. ¿Cuántos escalones tiene la escalera? a) 60 d) 100

b) 120 e) 96

c) 90

42) A los habitantes de un pueblo le corresponde 60 litros de agua diarios, pero al aumentar la población en 44 habitantes, a cada uno le corresponde 2 litros menos. ¿Cuántos habitantes tiene ahora el pueblo? a) 1276 d) 2310

b) 1320 e) 1220

c) 1762

147


43) En un corral se observa 3 gallinas por cada 5 patos y 4 conejos por cada 3 patos. Si en total se cuenta 164 cabezas, ¿cuál es el número total de patas? a) 412 d) 400

b) 484 e) 544

c) 512

a) 20 d) 60

44) El metro cuadrado de un terreno cuesta $45. Para cercarlo con 3 filas de alambre de púas se necesitó 510 metros de alambre. ¿Cuál será el precio del terreno si su largo excede a su ancho en 35 m? a) $62 500 b) $52 500 c) $67 500

d) $39 500 e) $72 500

45) El perímetro de un solar en forma triangular es de 162 metros. Un lado mide el doble del segundo lado. Si la longitud del tercer lado es seis menos que el triple del segundo, halla la medida del tercer lado. a) 78 m d) 72 m

b) 56 m e) 46 m

c) 28 m

46) Tú tienes dos veces lo que yo tengo, y él tiene dos veces más de lo que tú tienes. Si tuviera lo que tú, él y yo tenemos, tendría el doble de lo que tú tienes, más S/.35. ¿Cuánto tienes? a) S/.7 d) S/.20

b) S/.14 e) S/.42

48) Cuando a Carmen le preguntaron cuántas manzanas lleva en su canasta responde: "Llevo tantas decenas como el número de docenas, más uno". ¿Cuántas manzanas lleva Carmen? b) 40 e) 70

c) 50

49) Entre ocho personas tienen que pagar en partes iguales S/.200. Como algunos de ellos no pueden hacerlo cada uno de los restantes tiene que pagar S/.15 más. ¿Cuántas personas no pagaron? a) 3 d) 6

b) 4 e) 7

c) 5

50) La cabeza de un pescado mide 20 cm, la cola mide tanto como la cabeza más medio cuerpo y el cuerpo mide tanto como la cabeza y la cola juntas. ¿Cuál es la longitud del pescado? a) 1,55 m b) 1,60 m c)1,90 m

d) 0,96 m e) 1,45 m

148

b) 13:00 e) 13:30

Los primeros en tratar las ecuaciones de primer grado fueron los árabes, en un libro llamado Tratado de la cosa, y a la ciencia de hacerlo, Álgebra (del ár. algabru walmuqabalah, reducción y cotejo). La cosa era la incógnita. La primera traducción fue hecha al latín en España, y como la palabra árabe «la cosa» suena algo parecido a la X española medieval (que a veces ha dado J y otra X porque su sonido era intermedio, como en México/Méjico, Ximénez/ Jiménez), los matemáticos españoles llamaron a «la cosa» X y así sigue. Pa r a r e s o l v e r e cu a ci o n es de primer y segundo grado, el hombre no encontró gran dificultad, la situación fue completamente diferente para ecuaciones de grado mayor de 2. En efecto, la ecuación general de tercer grado:

c) S/.21 ax3 + bx2 + cx + d = 0 requirió consideraciones bastante profundas y resistió todos los esfuerzos de los matemáticos de la antigüedad. Sólo se pudieron resolver a principios del siglo XVI, en la Era del Renacimiento en Italia.

47) ¿Qué hora es si la mitad del tiempo transcurrido desde las 09:00 horas es igual a la tercera parte del tiempo que falta transcurrir para ser las 19:00 h? a) 12:00 d) 12:30

La historia de las ecuaciones

c) 14:00


2do de Secundaria


Edades Objetivos Al final de la sesión de clase el alumno será capaz de: 1. Ejercitar las capacidades para resolver los diferentes tipos de problemas sobre edades. 2. Utilizar de manera adecuada, las tablas de doble entrada para la resolución de problemas sobre edades que involucren a dos o más sujetos. 3. Aplicar métodos prácticos para el planteo y resolución de los problemas de manera rápida y sencilla. 4. Consolidar lo aprendido en el tema "Planteo de Ecuaciones", mediante la resolución de problemas que constituyen una continuación de dicho tema ya estudiado.

Introducción Debido a que estos problemas sobre edades tienen un texto que debemos interpretar y traducir, cabe plantear la siguiente interrogante: ¿Por qué no se estudiaron este tipo de problemas en el capítulo anterior sobre planteo de ecuaciones? Lo que sucede es que esta clase de ejercicios pueden ser resueltos empleando formas particulares y prácticas muy interesantes y efectivas (incluso sin ecuaciones), y es por ello que ameritan ser tratados en un capítulo aparte en el cual se propondrán otras técnicas de planteo y resolución de problemas. La importancia del tema aquí desarrollado queda en evidencia por cuanto contribuye a enriquecer nuestro conocimiento de otras técnicas de planteo y resolución de ecuaciones y

2do de Secundaria

consolida las ya estudiadas en el capítulo anterior.

Observación En todo problema sobre edades se pueden distinguir principalmente tres elementos: sujetos, tiempo y edades. Sobre ellos trataremos a continuación.

Nociones Previas SUJETOS Son los protagonistas del problema, a quienes corresponden las edades y que intervienen en el problema. Ejemplo :

Paola es cinco años menor que Junior, pero tres años mayor que Kelly.

TIEMPO Es uno de los elementos más importantes, ya que las condiciones del problema ocurren en tiempos diferentes (pasado, presente o futuro) y todo depende de su correcta interpretación. Como hemos mencionado, los tiempos pueden ser: pasado, presente y futuro. Es decir: Tiempo

Expresiones

Presente En un problema existe un solo presente. Se le identifica por las siguientes expresiones:

Tengo..., Tenemos..., Tienes... Hoy la edad ..., La suma de nuestras edades es..., etc.

Pasado En un problema pueden darse uno o más pasados. Se le identifica por las siguientes expresiones:

Hace..., Teníamos..., Tuvimos..., Tenía, tuve..., Tenías, tuviste, La suma de nuestras edades fue..., etc.

Futuro En un problema pueden darse uno o más futuros. Se le identifica por las siguientes expresiones:

Dentro de ..., Tendré..., Tendremos, tuviésemos, Tendrás, La suma de nuestras edades será..., etc.


149


EDAD La edad representa el tiempo de vida de un sujeto. Entre las edades se establecen determinadas relaciones, llamadas condiciones, las cuales se cumplen en un mismo tiempo o entre tiempos diferentes.

Por condición del problema:

Por condición del problema:

x + 20 = 3 (x – 10) x + 20 = 3x – 30 20 + 30 = 3x – x 50 = 2x x = 25  Edad actual 25 años

3x + 5 + x + 5 = 46 4x = 36 x = 9 (edad de Ángel) Rpta.: 9 años

Ejemplo : Hoy tengo 26 años, pero dentro de cuatro años tendré el doble de la edad que tenía hace 11 años. Tiempo

Edad

Hace 11 años

15

Hoy

26

Dentro de 4 años

30

Para facilitar su resolución, clasificaremos los problemas en dos tipos. Con un solo sujeto (Cuando interviene la edad de un solo sujeto).

 Hace tres años tuve 22 años. 2. Cuatro veces la edad que tendré dentro de 10 años, menos tres veces la edad que tenía hace cinco años, resulta el doble de mi edad actual. ¿Cuánto me falta para cumplir 60 años? Resolución: hace 5 años

dentro de 10 años

x– 5

x

x + 10

Pasado

Presente

Futuro

Por condición del problema: 4(x + 10) – 3(x – 5) = 2x x + 55= 2x x = 55 (edad actual)  Para cumplir 60 años me faltan: 60 – 55 = 5 años.

1. Dentro de 20 años tendré tres veces la edad que tenía hace 10 años. ¿Qué edad tuve hace tres años? Resolución: Asumiendo la edad actual "x" años: hace 10 años

3. La edad de Sara es el triple de Ángel y dentro de 5 años ambas edades sumarán 46 años. En la actualidad Ángel tiene: Resolución: Desarrollemos el cuadro:

dentro de 20 años

x– 10

x

x + 20

Pasado

Presente

Futuro

150

Con varios sujetos

Las matemáticas son tan antiguas como la propia humanidad. Ya la encontramos en los diseños prehistóricos de cerámica, tejidos y en las pinturas rupestres (donde se pueden encontrar evidencias del sentido geométrico y del interés en figuras geométricas). Los sistemas de cálculo primitivos estaban basados, seguramente, en el uso de los dedos de una o dos manos (prestar atención como cuentan los niños), lo que resulta evidente por la gran abundancia de sistemas numéricos en los que las bases son los números 5 y 10. Las primeras referencias a matemáticas avanzadas y organizadas datan del tercer milenio a.C., en Babilonia y Egipto. Estas matemáticas estaban dominadas por la aritmética, con cierto interés en medidas y cálculos geométricos y sin mención de conceptos matemáticos como los axiomas o las demostraciones.

Pasado Presente Sara Ángel

Futuro

Dentro de 5

3x

3x + 5

Dentro de 5

x

x+5


2do de Secundaria


4. Actualmente tengo 20 años, ¿podrías decir qué edad tenía hace seis años y cuántos años cumpliré dentro de ocho años? Resolución:

4) ¿Cuántos años transcurrieron desde 1943 hasta el año 2004? a) 51 d) 71

Hoy tengo hace 6 años

dentro de 8 años 20 años

T. Pasado

5. Si actualmente tengo 16 años, ¿podrás completar el siguiente esquema que se da a continuación? Resolución: Hoy tengo dentro de 14 años

hace 5 años

b) 45 e) 60

dentro de 8 años

b) 100 e) 110

7) Las edades actuales de un padre y su hijo suman 90 años. Se sabe que el hijo nació cuando el padre tenía 36 años ¿Qué edad tiene el hijo? a) 25 años b) 26 años c) 27 años



2) Si Margarita tiene 13 años, ¿cuánto le falta para tener 67 años?

1) Dentro de 34 años Lizet tendrá 63 años. ¿Qué edad tiene actualmente? a) 23 años b) 26 años c) 39 años


2do de Secundaria

c) 102

8) La suma de las edades de Luis y Esteban es 25 años. Si Esteban es mayor que Luis por 3 años, ¿cuál es la edad de Luis?

Presente

Nivel I

c) 48

6) Un niño tiene 8 años y 6 meses. ¿A cuántos meses equivale su edad?

T. Futuro

a) 98 d) 104

hace 12 años

c) 61

5) Dentro de 26 años Abel tendrá 71 años. ¿Cuántos años tiene actualmente a) 42 d) 52

Tiempo Presente

b) 54 e) 82



3) Si María dentro de 13 años tendrá 84 años, su edad actual es: a) 51 años b) 63 años c) 71 años




9) Kimberly tiene actualmente 7 años. ¿Dentro de cuántos años tendrá el triple de lo que tenía hace 3 años? a) 6 d) 8

b) 7 e) 4

c) 5

10) Hace 10 años tenía 5 años. ¿Qué edad tendré dentro de 10 años? a) 20 años b) 15 años c) 10 años


151


11) Hace 5 años tenía 15 años. ¿Qué edad tendré dentro de 5 años? a) 20 años b) 25 años c) 30 años



12) Dentro de 8 años tendré 28 años. ¿Qué edad tenía hace 8 años? a) 10 años b) 20 años c) 12 años


13) Si actualmente tengo 10 años, ¿dentro de cuántos años tendré el doble de los que tenía hace 2 años? a) 6 d) 3

b) 4 e) 10

c) 8

14) Actualmente Katty tiene 24 años. ¿Hace cuántos años tenía la mitad de lo que tendrá dentro de 6 años? a) 6 d) 7

b) 8 e) 10

c) 9

15) Mi edad dentro de 5 años será el doble de lo que tenía hace 5 años. ¿Qué edad tengo? a) 10 años b) 15 años c) 14 años


16) Javier tiene el doble de la edad de Katty y dentro de seis años tendrá el triple de la edad que ella tenía hace dos años. ¿Cuál es la edad actual de Javier?

152



18) La edad que tendré dentro de ocho años, será el doble de la edad que tenía hace dos años. ¿Cuál es mi edad actual? a) 8 años b) 6 años c) 12 años


19) Miguel tiene el triple de la edad de Willy. Si sus edades suman 60 años, ¿cuál es la edad de Willy? a) 18 años b) 22 años c) 25 años


20) Ángel tiene el doble de la edad de Bruno y dentro de 6 años Ángel tendrá el triple de la edad que tenía Bruno hace 2 años. Determina las edades actuales (en años). a) 24 y 12 b) 22 y 11 c) 20 y 10 d) 18 y 9 e) 30 y 15 21) Briguitte tiene 10 años. ¿Hace cuántos años tenía, lo que tendrá dentro de 5 años, disminuido en 6 años? a) 1 d) 4

Nivel II


17) La edad que tenía hace ocho años es la tercera parte de la edad que tendré dentro de 16 años. Halla mi edad actual.

b) 2 e) 5

c) 3

22) Hace 10 años, Manuel tenía el triple de la edad de Nina. Actualmente sus edades suman 68 años. ¿Cuál es la edad actual de Manuel? a) 36 años b) 40 años c) 45 años



23) Las edades de 2 hermanos suman 48 años. Halla la edad del menor, si el mayor dentro de 3 años tendrá 33 años. a) 19 d) 16

b) 20 e) 22

c) 18

24) Un padre tiene el triple de la edad de su hijo, dentro de 15 años el padre tendrá el doble de la edad del hijo. ¿Cuál es la edad actual del padre? a) 36 años b) 48 años c) 60 años


25) Halla la edad de Rosa si se sabe que el triple de su edad, disminuida en sus 11/17, resulta 40 años. a) 17 años b) 18 años c) 19 años


26) Jorge tiene el doble de la edad que tenía hace 18 años. ¿Cuál es su edad actual? a) 27 años b) 36 años c) 40 años


27) La edad de María es la mitad de la edad de Miguel, pero hace 20 años, la edad de Miguel era el triple de la edad de María. ¿Qué edad tiene María? a) 20 años b) 80 años c) 40 años


28) Pepe tiene 12 años y su hermano menor 2 años. ¿D entro de cuánto tiempo su edad representará el triple de la edad de su hermano? a) 3 años b) 1 años c) 5 años

d) 8 años e) Nunca será

2do de Secundaria


29) La edad de Arturo es el doble que de Katty y hace 15 años la edad de Arturo fue el triple de la de Katty. ¿Cuál es la edad de Arturo? a) 30 años b) 45 años c) 50 años


30) Si al doble de la edad que tengo, le resto 8 años, resultaría mi edad actual aumentada en 4 años. ¿Qué edad tendré dentro de 5 años? a) 15 años b) 16 años c) 17 años


Nivel III 31) Rosa tiene el cuádruplo de la edad de Romina que tiene ocho años y hace algunos años tenía 25 veces la edad de Romina. ¿Hace cuántos años fue? a) 7 d) 9

b) 6 e) 12

c) 8

32) Las edades de Ángel y William en este año suman 80 años. ¿Cuántos años deben pasar para que la suma de sus edades sumen 90? Da como respuesta la edad que tendrá Ángel si actualmente William tiene 48 años. a) 32 años b) 34 años c) 36 años


33) Hace 3 años mi edad fue la mitad de la edad que tendré dentro de 19 años. ¿Cuál es mi edad? a) 20 años b) 22 años c) 23 años

34) Hace seis años Julio tenía el cuádruple de la edad de David. Halla la suma de sus edades actuales, sabiendo que dentro de cuatro años sólo será el doble. a) 37 años b) 36 años c) 35 años


35) Dentro de cuatro años la edad de Pilar será el triple de la de María y hace dos años era el quíntuple. Halla la edad de Pilar dentro de siete años. a) 42 años b) 30 años c) 36 años


36) La edad de Milagros es el triple de la edad de Eduardo y hace cuatro años ambas edades sumaban tantos años como la edad de Eduardo dentro de 16 años. Luego, la edad de Milagros es: a) 24 años b) 20 años c) 18 años


37) Juan tiene 42 años y Pedro 18. ¿Hace cuántos años la edad de Juan fue nueve veces la edad que tuvo Pedro en ese entonces? a) 12 d) 10

b) 14 e) 11

c) 15

38) La edad de Eva es el triple que la de Luis y dentro de 5 años ambas edades sumaran 46 años. ¿Cuántos años tiene Eva? a) 25 d) 28

b) 26 e) 29

c) 27


2do de Secundaria


39) Adelaida tiene 8 años y su papá 50 años. ¿Dentro de cuántos años la edad de su papá será el triple de Adelaida? a) 10 d) 15

b) 12 e) 16

c) 13

40) La edad de Gustavo sumada con la edad de su perrito es 27 años. Hace 6 años Gustavo tenía el doble de la de su perrito en ese momento. Halla la edad de su perrito. a) 13 años b) 15 años c) 20 años


41) Cuando nació la hermana de Isabel, su hermana Isidora tenía 15 años. Hoy tiene el doble de su edad. ¿Cuál es la edad de Isabel? a) 30 años b) 15 años c) 10 años


42) Any tiene 18 años, su edad es el triple de la edad que Diana tenía, cuando Any tenía la mitad de la edad que tiene Diana. ¿Cuántos años tendrá Diana dentro de 20 años? a) 36 d) 44

b) 41 e) 52

c) 32

43) Las edades de Pablo y José son tales que la suma de ellas es 46. Si la quinta parte del mayor, más la tercera parte del menor es 12, halla la edad de José que es el mayor. a) 20 años b) 22 años c) 24 años


153


44) Una persona en el mes de junio resta los meses que ha vivido a los años que tiene y obtiene 445. ¿En qué mes nació dicha persona? a) septiembre d) diciembre b) octubre e) enero c) noviembre

48) Zaida tiene 24 años, su edad es el sextuplo de la edad que tenía Bety cuando Zaida tenía la tercera parte de la edad que tiene Bety. ¿Qué edad tiene Bety? a) 18 años b) 21 años c) 24 años


45) Dado el siguiente cuadro: Pasado

Presente

Karen

2a

24

Merly

36

4a

halla la edad actual de Merly. a) 25 años b) 30 años c) 35 años


46) En el gráfico mostrado: Presente

Futuro

Diana

3n

40

Roxana

16

5n

¿Cuántos años tiene Diana? a) 21 d) 24

b) 22 e) 25

c) 23

49) Honores tiene 48 años, esta edad es el doble de la edad que tenía Malqui cuando Honores tenía la misma edad que tiene Malqui. ¿Qué edad tiene Malqui? a) 42 años b) 28 años c) 39 años

RETO 1 Alex le dice a Betty: Cuando yo nací, tú tenías 6 años. Cuando César nació yo tenía la tercera parte de lo que tú tenías cuando yo nací, pero cuando nació David, César tenía el doble de lo que yo tenía cuando César nació, pero cuando David tenga un año menos de lo que yo tenía cuando David nació ¿Qué edad tendrá César en ese momento?


50) Mi edad es el doble de la edad que tú tenías, cuando yo tenía la edad que tú tienes, y cuando tú tengas la edad que yo tengo, la suma de nuestras edades será 63. Podemos afirmar que: I. El mayor tiene 26 años. II. El menor tiene 14 años. III. La diferencia de edades es 7. a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III

Retos

d) II y III e) I y III

RETO 2 Karina le dice a Roberto, la suma de nuestras edades es 46 años y tu edad, es el triple de la edad que tenías, cuando yo tenía el triple de la edad que tuviste cuando yo nací. Entonces Roberto tiene actualmente.

47) Según el gráfico, halla "x" e "y".

Pasado Presente Futuro Rommel

12

3x

40

Alex

x

24

y

a) 27; 30 b) 27, 37 c) 8; 35

154

d) 9; 37 e) 9; 18


2do de Secundaria


Repaso 6) La suma de cinco números impares consecutivos es 1725. Halla el mayor.

Nivel I

1) Resuelve la ecuación y halla «x». 3x – (x – 7) = x + 11 a) 4 b) 5 c) 3

d) 2 e) 1

2) Halla «x» en: 3x – 5 = 2x + 6 a) 10 b) 11 c) 9

d) 8 e) 7

3) Halla «x» en: 2(7x – 3x) + 4 = 28 a) 2 b) 3 c) 4

d) 7 e) 10

4) Resuelve: 5x + (2x–4) – (x+6) = 12– (–2x–6) a) 6 b) 7 c) 8

d) 9 e) 14

5) Resuelve: (–x–4) – (+4x – 2 + 3) = –(6x + 8) + (2x –4+3) a) 7 b) -12 c) -5

d) 5 e) 8

2do de Secundaria

a) 345 b) 347 c) 353

d) 351 e) 349

7) La suma de seis números pares consecutivos es 630. Halla el menor. a) 100 b) 98 c) 102

d) 104 e) 106

8) Halla cuatro números enteros consecutivos cuya suma sea 74. El mayor es: a) 21 b) 20 c) 24

d) 26 e) 28

9) La suma de tres números es 200, el mayor excede al del medio en 32 y al menor en 64. Halla el número intermedio. a) 69 b) 67 c) 60

d) 62 e) 65

10) Si tres números consecutivos suman 39, halla el mayor. a) 12 b) 13 c) 14

d) 15 e) 11


11) Si dentro de cinco años tendré 29 años, ¿qué edad tuve hace ocho años? a) 16 años b) 19 años c) 20 años


12) Yo nací cinco años antes que tú, y hoy nuestras edades suman 25 años. ¿Qué edad tengo? a) 15 años b) 5 años c) 10 años


13) La edad que tengo es el triple de la edad que tuve hace 20 años, ¿qué edad tuve hace un año? a) 28 años b) 29 años c) 30 años


14) Si actualmente tengo 10 años, ¿dentro de cuántos años tendré el doble de los que tenía hace 2 años? a) 6 b) 4 c) 8

d) 3 e) 10

155


15) Si actualmente Katy tiene 24 años, ¿hace cuántos años tenía la mitad de lo que tendrá dentro de 6 años? a) 6 b) 8 c) 9

d) 7 e) 10

16) Halla «x» en: 28x 3x – 1 = 10

a) 5 b) 10 c) 6

d) 4 e) 8

17) Halla «x» en: x x –3= 3 +4 2

a) 20 b) 41 c) 42

d) 23 e) 43

18) Halla «x» en: 8x 7x + 2 +2 = 3 3

a) 5 b) 6 c) 8

d) 4 e) 3

19) Calcula «x» en: x+3 x x 3 4 + 6 = 4 +4 4

d) 24 e) 30

20) La suma de cuatro números impares consecutivos es 592. Halla el mayor. a) 153 b) 151 c) 147

156

a) 20 b) 22 c) 30

d) 40 e) 50

22) «10x» excede a 50 tanto como 200 excede a «15x». Halla «x».

Nivel II

a) 6 b) 12 c) 18

21) La suma de cinco números pares consecutivos es 130. Halla el menor.

d) 145 e) 141

a) 10 b) 20 c) 30

d) 40 e) 50

23) Julio tiene el doble de Carlos y lo que tiene Jorge excede en 12 soles a lo que tiene Carlos. ¿Cuánto tiene Jorge si entre los tres tienen 312 soles? a) S/.82 b) S/.87 c) S/.25

d) S/.29 e) S/.32

24) Halla el número cuyo doble aumentado en 18 nos da el exceso de su triple sobre 20. a) 38 b) 28 c) 30

d) 48 e) 18

25) Halla un número que disminuido en 130, resulte a igual que sus 3/16. a) 150 b) 240 c) 200

d) 160 e) 180

26) Un padre le dice a su hijo: «Hace 8 años mi edad era el cuádruplo de la edad que tú tenías, pero dentro de 8 años sólo será el doble». ¿Qué edad tiene el hijo? a) 8 años b) 14 años c) 16 años



27) Si dentro de ocho años tendré 32 años, ¿qué edad tuve hace siete años? a) 19 años b) 18 años c) 17 años


28) Si hace trece años tenía 8 años, ¿qué edad tendré dentro de quince años? a) 30 años b) 36 años c) 29 años


29) La edad de Néstor es el triple de la edad de Mario, pero hace 10 años era el cuádruple. La suma de sus edades es: a) 120 años b) 100 años c) 130 años


30) La suma de nuestras edades es 56 años, pero hace 4 años yo era menor que tú por 12 años. ¿Qué edad tuve hace dos años? a) 16 años b) 18 años c) 20 años


Nivel III

31) Resuelve la ecuación y halla «a»: 7(2a + 3) + 10 = 17 a) 2 b) 4 c) 6

d) 8 e) -1

32) Resuelve: 15m+7(m–1) 2(m – 4)+15m +30 = 21 3

a) 6 b) 7 c) 8

d) 3 e) 9

2do de Secundaria


33) Resuelve: x

x

5– 3 = 2 +6 a) 4/3 b) -2/5 c) -6/5

d) 6 e) 12

34) Resuelve: a(a – 3) (a – 4)(a – 7) – =2 11 11

a) 25 b) 4 c) 25/4

d) 4/25 e) 14

35) Resuelve y halla el valor de «x»: 2(13x + 1) + 4 = 31 x

a) 3 b) 4 c) 2

d) 1 e) 0

36) Halla «2a» en: 2(a + 1) 7a + 1 3(a – 1) + = 5 10 10

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

37) Halla «x + y + xy» al resolver: x–y=4 2x – y = 9 a) 9 b) 10 c) 11

d) 8 e) 7

a) 30 b) 40 c) 45

d) 11 e) 13

2do de Secundaria

d) 25 e) 35

40) Halla un número, que al sumarle seis veces el mismo número, da 28. a) 8 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

41) Si te diera el triple de lo que tienes, me quedaría con S/.60. ¿Cuánto tienes si yo tengo S/.120? a) S/.180 b) S/.60 c) S/.20

d) S/.40 e) S/.50

42) Elena paga por 2 pollos y 5 pavos un total de 495 pesos. Si cada pavo cuesta 15 pesos más que un pollo, ¿cuántos pesos cuesta un pollo y un pavo juntos? a) 120 b) 105 c) 145

d) 95 e) 135

43) En una granja se tiene palomas, loros y gallinas, sin contar las palomas tenemos 6 aves, sin contar los loros tenemos 9 aves y sin contar las gallinas tenemos 7 aves. ¿Cuál es el número de palomas en dicha granja? a) 1 b) 2 c) 3

38) Halla «x .y» si: y – 8 = 2x x + 2y = 3(y – 3) a) 8 b) 9 c) 10

39) La mitad de un número «aumentado» en 5 es 25. Halla dicho número.



46) Cuando nació Pedro, su padre tenía 32 años. En la actualidad el padre tiene el triple de la edad de su hijo. Indica la edad del padre. a) 48 años b) 47 años c) 46 años


47) "El año pasado tenía la mitad de la edad que tendré dentro de 6 años. ¿Cuántos años tengo", decía el último de los hermanos de Eduardo... a) 4 b) 5 c) 6

d) 8 e) 9

48) Manolito le plantea a uno de sus hermanos el siguiente problema: Hace 10 años tenía la mitad de la edad que tendré dentro de 8 años. ¿Dentro de cuántos años tendré el doble de la edad que tuve hace 8 años? a) 12 años b) 14 años c) 10 años


d) 4 e) 5

44) Dentro de 40 años, Arturo tendrá el quíntuple de su edad actual. Hace 3 años tenía: a) 5 años b) 6 años c) 7 años

45) Cuando Juan nació, su tío José tenía 22 años. Si hoy ambas edades suman 60 años, ¿qué edad tiene Juan?



49) El doble, el triple y el cuádruplo de un número suman 180. El número es: a) 30 b) 20 c) 25

d) 45 e) 40

157

Razonamiento Matematico_uni.pdf 2r6x6u

Overview 5o1f4z

More details 6z3438

Related Documents c2h70

Razonamiento 281yb

Razonamiento Matematico 171g1j

Razonamiento Abstracto 434q3j

Razonamiento Cuantitativo 1x4yv

Razonamiento Matematico_uni.pdf 2r6x6u

Razonamiento Verbal 311xj