Razon De Cambio 1y870

Razón de cambio Dirección de Formación Básica.

Razón de cambio

Competencias a desarrollar Al terminar la presente sesión usted estará en la capacidad de: (1) Calcular e interpretar la razón de cambio promedio, razón de cambio instantáneo y la razón de cambio relativa de una función. (2) Calcular e interpretar el ingreso marginal, costo marginal y utilidad marginal.

Razón de cambio Problema motivador Un comerciante estima que su ingreso mensual por la venta de un artículo es 𝐼 𝑞 = 30𝑞 − 0,02𝑞2 , para 0 ≤ 𝑞 ≤ 1500. Si el costo de adquisición es de 10 dólares por cada artículo. Encuentre la utilidad marginal si se producen y venden 200 unidades e interprete su resultado.

Variación o incremento En adelante, consideraremos funciones definidas sobre intervalos de la recta y la letra 𝐼 denotará a un intervalo cualquiera. Definición. Sea 𝑓: 𝐼 → ℝ con 𝑥0 , 𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 = 𝑓(𝑥), la variación de 𝑥 es ∆𝑥 = 𝑥 − 𝑥0 La variación de a función 𝑓 entre 𝑥0 y 𝑥 o variación de 𝑦 es ∆𝑦 = 𝑦 − 𝑦0 = 𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑥0

Variación o incremento Ejemplo. Suponga que el costo total, en dólares, de fabricar 𝑞 unidades de cierto artículo es 𝐶 𝑞 = 3𝑞2 + 5𝑞 + 10. Si el nivel de producción es de 40 unidades, calcule la variación del costo si se producen 40,5 unidades. Resolución

Vemos que 𝑞 = 40 y ∆𝑞 = 0,5 Entonces, la variación del costo entre 40 y 40,5 unidades es ∆𝐶 = 𝐶 𝑞 + ∆𝑞 − 𝐶(𝑞) = 𝐶 40,5 − 𝐶(40) = 5 133,25 − 5 010

= 123,25 Es decir, la variación del costo entre 40 y 40,5 unidades es $123,25.

Razones de cambio Definición Sea 𝑓: 𝐼 → ℝ, 𝑥0 , 𝑥 ∈ 𝐼. La razón de cambio promedio (R.C.P) de 𝑓 entre 𝑥0 y 𝑥 es el número ∆𝑦 𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑥0 ) = ∆𝑥 𝑥 − 𝑥0 La razón de cambio instantánea (R.C.I.) o derivada de 𝑓 en el punto 𝑥0 , es el límite (si existe) 𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑥0 𝑓 𝑥0 + ∆𝑥 − 𝑓 𝑥0 ′ 𝑓 𝑥0 = lim = lim 𝑥→𝑥0 ∆𝑥→0 𝑥 − 𝑥0 ∆𝑥

Razones de cambio Ejemplo. Para cierto fabricante, la utilidad 𝑈 (en dólares) que se obtiene con la venta de 𝑞 unidades de su producto está dada por: 𝑈 𝑞 = 10𝑞 − 0,01𝑞2 a) Determine y explique el significado de la razón de cambio promedio de la utilidad, cuando las ventas pasen de 400 a 450 unidades. b) Calcule y explique la razón de cambio instantánea cuando se venden 400 unidades: Resolución Parte a) R.C.P es igual a

∆𝑈 𝑈 450 − 𝑈(400) = ∆𝑞 450 − 400 2475 − 2400 = 50 = 1,5

Se concluye entonces que la R.C.P de la utilidad, cuando las ventas pasen de 400 a 450 unidades es de $1,5.

Parte b) R.C.I para cualquier valor de q es 𝑈 ′ 𝑞 = 10 − 0,02𝑞 Si 𝑞 = 400 → 𝑈′(400) = 2,0

Se concluye entonces que la R.C.I de la utilidad, cuando se venden 400 unidades es de $2,0.

Razones de cambio La cantidad

𝑓′(𝑥) 𝑓(𝑥)

también es usada para comparar la razón de cambio de una cantidad con respecto a ella misma.

como la razón de cambio relativo.

𝑓 ′ (𝑥) 𝑓 𝑥

es conocida

Razones de cambio La razón de cambio nos da una medida de como cambia una magnitud frente a otra. Pero este cambio depende de la situación en que estemos. No es lo mismo que en un año una población cambie en 100 000 habitantes si la población es de 10 000 000 que si es de 500 000. La razón de cambio porcentual (RC%) para una cantidad 𝑓 permite calibrar mejor estas situaciones, la cual es definida por: 𝑓′(𝑥) RC% = ∙ 100% 𝑓(𝑥) El cambio porcentual para la población de 10 000 000 es de 1%. El cambio porcentual para la población de 500 000 es de 20%.

Razones de cambio Ejemplo. El PBI de cierto país es aproximado por la función 𝑁 𝑡 = 𝑡 2 + 4𝑡 + 150 mil millones de dólares 𝑡 años después del 2003. a) Estime la razón de cambio al comienzo del 2005. b) Estime la razón de cambio porcentual del PBI al comienzo del 2005. Resolución Parte a) Como han pasado 2 años después del 2003 se tiene que calcular 𝑁′(2). Primero se calcula la función derivada 𝑁´ 𝑡 = 2𝑡 + 4 La razón de cambio para comienzos del 2005 es 𝑁´ 2 = 2 2 + 4 = 8 mil millones de dólares.

Parte b) La razón de cambio porcentual para el 2005 es estimada en 𝑁′(2) 𝑅𝐶% = ∙ 100% 𝑁(2) 8 𝑅𝐶% = ∙ 100% 162 𝑅𝐶% = 4,93% por año.

Marginalidad Análisis marginal En economía el concepto marginal se refiere al cambio instantáneo de una cantidad con respecto a otra. Esto es la derivada de una cantidad con respecto a otra. Daremos a continuación el concepto y la interpretación de varias cantidades marginales de uso frecuente en economía.

Marginalidad Costo marginal Definición. Si 𝐶 = 𝐶(𝑞) es la función de costo total de un fabricante (el costo de producir y comercializar 𝑞 unidades de un producto), el costo marginal (𝐶𝑀) se define como la razón de cambio del costo total con respecto al número total de unidades vendidas, esto es 𝑑𝐶 𝐶𝑀(𝑞) = 𝑑𝑞 Se interpreta como el costo aproximado de una unidad adicional producida.

Marginalidad Ejemplo. Un fabricante estima que cuando producen 𝑞 unidades de cierto 1 artículo, el costo total es 𝐶 𝑞 = 𝑞 2 + 3𝑞 + 98 dólares. 8

Utilice el costo marginal para calcular el costo de producir la novena utilidad. Resolución El costo marginal es

Si 𝑞 = 9 entonces

𝐶𝑀 = 𝐶 ′ 𝑞 1 𝐶𝑀 = 𝑞 + 3 4 𝐶𝑀 =

1 (9) + 3 4

𝐶𝑀 = 5,25

Significa que, el costo aproximado de producir una unidad adicional a la novena es 5,25 dólares.

Marginalidad Ingreso marginal Definición. Si 𝐼 = 𝐼(𝑞) es la función de ingreso de un fabricante (el ingreso de vender 𝑞 unidades de un producto), el ingreso marginal (𝐼𝑀) se define como la razón de cambio del ingreso con respecto al número total de unidades vendidas, esto es 𝑑𝐼 𝐼𝑀(𝑞) = 𝑑𝑞 Se interpreta como el ingreso aproximado de una unidad adicional vendida.

Marginalidad Ejemplo. El precio 𝑝 (en dólares) y la demanda 𝑞 de un radio particular están relacionados por la ecuación 𝑝 = 100 − 0,025 𝑞. Encuentre el ingreso marginal cuando 𝑞 = 1 600. Interprete. Resolución La función de ingreso es

𝐼 = 𝑝𝑞 𝐼 = 100 − 0,025 𝑞 𝑞 𝐼 = −0,025𝑞 2 + 100𝑞

El ingreso marginal es

Si 𝑞 = 1 600 entonces

𝐼𝑀 = 𝐼′ 𝑞 𝐼𝑀 = −0,05𝑞 + 100 𝐼𝑀 = −0,05(1 600) +100 𝐼𝑀 = 20

Significa que, el ingreso aproximado por la venta de la unidad 1601 es 20 dólares.

Marginalidad Utilidad marginal Definición. Si 𝑈 = 𝑈(𝑞) es la función de utilidad de un fabricante (la utilidad de producir y vender 𝑞 unidades de un producto), la utilidad marginal (UM) se define como la derivada de la función utilidad con respecto a la cantidad 𝑞, esto es 𝑑𝑈 UM(𝑞) = 𝑑𝑞 Se interpreta como la utilidad aproximada de producir y vender una unidad adicional.

Marginalidad Ejemplo. Un comerciante estima que su ingreso mensual por la venta de un artículo sea 𝐼 𝑞 = 30𝑞 − 0,02𝑞2 , para 0 ≤ 𝑞 ≤ 1500. Si el costo de adquisición es de 10 dólares por cada artículo. Encuentre la utilidad marginal si se producen y venden 200 unidades e interprete su resultado. Resolución La función de utilidad es 𝑈 =𝐼−𝐶

𝑈 = (30𝑞 − 0,02𝑞 2 ) − 10𝑞

La utilidad marginal es

𝑈 = −0,02𝑞 2 + 20𝑞

𝑈𝑀 = 𝑈′ 𝑞 𝑈𝑀 = −0,04𝑞 + 20

Si 𝑞 = 200 entonces 𝑈𝑀 = −0,04(200) +20 𝑈𝑀 = −8 + 20 𝑈𝑀 = 12 Significa que, la utilidad aproximada por la producción y venta de la unidad 201 es 12 dólares.

Razón de cambio. Bibliografía • [1] Arya, Jagdish C. (2009) Matemática aplicada a la istración. Ed 5. México, D.F. Pearson. • [2] Haeussler, Ernest F. (2008). Matemática para istración y Economía. Ed 12. Pearson Educación.