Prueba De Hipotesis i1u4

Primer bloque EJERCICIO 1. De 50000 válvulas fabricadas por una compañía, se retira una muestra aleatoria de 400 válvulas, y se obtiene una media de 800 horas y una desviación estándar de 100 horas. SOLUCIÓN n=400

x=800 σ =100

a) ¿Cuál es intervalo de confianza de 99% para la media población. 1+ 99 P ( Z0< Z)= → Z 0=2.576 2 ´x −

z0 S z S ≤ μ ≤ ´x + 0 √n √n

800−

2,576∗100 2,576∗100 ≤ μ ≤800+ √ 400 √ 400

∴787,12 ≤ μ ≤ 812,9 b) ¿con que coeficiente de confianza se diría que la vida media está en <799,11:800,98> Rpta 16%. c) ¿Qué tamaño debe tener la muestra para que el intervalo de la media<792,16; 807,84> sea 95% de confianza? ´x −

z0 S z S ≤ μ ≤ ´x + 0 √n √n

800−

1,960∗100 1,960∗100 ≤ μ ≤ 800+ √ 625 √625

∴792,16 ≤ μ ≤807,84

EJERCICIO 2. Un investigador está estudiando la resistencia de un determinado material bajo determinadas condiciones. El sabe que esta variable tiene una distribución normal con una desviación estándar de 2 unidades ´x −

T0 S

√n

≤ μ ≤ ´x +

T0S

√n

a) Utilizando los siguientes valores obtenidos de una muestra de tamaño 9. Determinar el intervalo de confianza para la resistencia media con un coeficiente de confianza de 90%: 4.9; 7.0; 8.1; 4.5; 5.6; 6.8; 7.2; 5.7; 6.2 unidades.

INTERVALOS DE CONFIANZA Y PRUEBA DE HIPOTESIS

n=9

^ ´x =6. 22 σ =1.161 gl=8

γ =0.90 P ( T 0
1+γ → T 0 =1.860 2

∴5.501 ≤ μ ≤ 6.942

b) ¿Cuál es el tamaño necesario de la muestra si quisiéramos que el erro cometido. Al estimar la resistencia media, no sea superior a 0.1 unidades con probabilidad de 0.90? e=0.1 σ=2 γ=0.9 z=1.64485 Z σ 2 n= 0 e

( )

n=1082.217 ∴ n=1083 EJERCICIO 3. Fueron retiradas 25 piezas de la producción diaria de una maquina; se encontró para una cierta medida una media de 5,2 mm.se sabe que las medidas tienen distribución normal con desviación estándar de 1,2 mm. Construir el intervalo de confianza para la media con coeficiente de confianza de 99%. SOLUCIÓN n=925

´x =5,2 S=1,2

gl=25−1=24 P ( T 0
1+0.99 → T 0=2.797 2

Formula: ´x −

T0 S

√n

[Escribir texto]

≤ μ ≤ ´x +

T0S

√n

Página 2


5,2−

2,797∗1,2 2,797∗1,2 ≤ μ ≤ 5,2− √ 25 √ 25

∴ 4,529 ≤ μ ≤5,871

EJERCICIO 4. Suponga que las alturas de los alumnos de la facultad de economía tienen distribución normal con f=15cm.fue retirada una muestra de 100 alumnos obteniéndose x=175cm.construir el intervalo de confianza para la verdadera altura media de los alumnos con 95% de confianza? SOLUCIÓN n=100 ´x =175

σ =15 ´x −

Z0 δ

√n

175−

≤ μ ≤ x´ +

Z0 δ

√n

1,960∗15 1,960∗15 ≤ μ ≤ 175+ √100 √ 100

∴172,06 ≤ μ ≤177,94 EJERCICIO 5.Extraída una muestra de 30 piezas, dio los siguientes pesos: 250,265,267,269,271,277,281,283,284,287,289,291,293,293,293,298,301,303,306,307, 307,309,311,315,319,322,324,328,335,339,275.Por medio de la construcción del intervalo de confianza, responder si esta muestra satisface la especificación por la cual el peso medio debe ser 300 kg.use α=5%. SOLUCIÓN n=30, x x i n =296.633 s =22.2299632 Hallamos z0 : α=5% [Escribir texto]

Página 3


γ =0.95

P ( z0 < z ) =

1+ γ 1+0.95 = =0.975 → z 0=1.96 2 2

El intervalo está determinado por: ´x −

z0 S

≤ μ ≤ ´x +

√n

¿ 296.63−

z0 S

√n

1.96∗22.2299632 1.96∗22.2299632 ≤ μ ≤ 296.63+ >¿ √ 30 √ 30

∴288.675 ≤ μ≤ 304.585 Rpta: Si satisface por la cual el peso medio debe de ser 300kg

EJERCICIO 6. En una fabrica al seleccionar una muestra de cierta pieza, se obtuvo las siguientes medias para los diámetros: 10,11,11,11,12,12,12,12,13,15,13,13,13,13,13,13,13,13,13,13,13,14,14,14,14,14,15,15,1 5,16,16. a) Estimar la media y la varianza. SOLUCION: x ( x  x) x i s2   i n n 1

x

394  13.133 30

s  1.432

b) Construir el intervalo de confianza para la media. SOLUCIÓN: Hallamos z0 : γ =0.95 P ( z0 < z ) =

1+ γ 1+0.95 = =0.975 → z 0=1.96 2 2 n=30 ´x −

z0 S z S ≤ μ ≤ ´x + 0 √n √n

13.133−

[Escribir texto]

1.96∗1.432 1.96∗1.432 ≤ μ ≤ 13.133+ √ 30 √ 30 Página 4


∴ EJERCICIO 7. Sea X una tal que X~N (µ, muestra de tamaño 15, dio los valores 15

15

i=1

i=1

σ2

), donde µ y

σ2

son desconocidas .Una

∑ X i=8.7 y ∑ X 2i =27.3

Determine un intervalo de confianza de 95% para

σ2

.

n=15 n<30

S

2

X 

2 i

 ( X i ) 2 /n

n 1 27.3  (8.7) 2 / 15 S2  14 2 S 1.5896 γ =0.95

α =0.05 =>

I =¿

(n−1) S 2 (n−1)S 2 ; >¿ X2 ∝ X 2∝ 1−

X

2 1−

∝ =0.025 2

2

2

2

∝ 2

=X 0.975 =26.1

X 2∝ =X 20.025=5.63 2

I :<

( 14 ) (1,5896) ( 14 ) (1,5896) ; >¿ 26.1 5.63

I =¿ 0,853 ; 3,953>¿ EJERCICIO 8. Diez lotes de siembra son tratados con fertilizante “A” y 12 con el [Escribir texto]

Página 5


fertilizante “B”. El rendimiento de los primeros lotes fue de 8 con una desviación estándar de 0.4. El rendimiento de Los segundos lotes fue de 6 con una desviación estándar de 0.2.Construir el intervalo de confianza para la diferencia de medias al 95% y 98%.

n1 10

n1  12





X1 8

X1 6

S1 0,4

S1 0,2 A

gl 

(S12 /n 1 S 22 /n 2 ) 2 (S12 /n 1 ) 2 /(n 1  1)  (S 22 /n 2 ) 2 /(n 2  1)

(0,016  0,003) 2 (0,0000284)  (0,0000008 ) 0,000361 gl  0,0000292 gl 12,3612 gl 

PARA γ =0.95

P ( t ≤ t0 ) =

1,95 =0.975 2

t 0=2,179 ´ 2 ) ±t 0 1−¿ μ2=( X´ 1− X μ¿

√

S 21 S 22 + n1 n 2

1−¿ μ2=2 ± ( 2,179 ) (0,1378404) μ¿

[Escribir texto]

Página 6

B


1−¿ μ2 ≤2.3 1.69 ≤ μ ¿

PARA γ =0.98 t 0=2.681 ´ 2 ) ±t 0 1−¿ μ2=( X´ 1− X μ¿

√

S 21 S 22 + n1 n 2

1−¿ μ2=2 ± ( 2,681 ) (0,1378404) μ¿ 1−¿ μ2 ≤2.37 1.63 ≤ μ ¿

EJERCICIO 9. Un curso de inglés fue dado a 18 estudiantes por medio del método tradicional obteniéndose una media de 75 y una desviación estándar de 5. Para otro grupo de 15 estudiantes dio el mismo curso por medio de un método más moderno obteniéndose una media de 70 y una desviación estándar de 6. Construir el intervalo para la diferencia de las medias, use γ =97 . 5 .

n1 18 

X1 75 S1 5

[Escribir texto]

n1  15 

X1 70 S1 6

I grupo

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II grupo


gl 

(S12 /n 1 S 22 /n 2 ) 2 (S12 /n 1 ) 2 /(n 1  1)  (S 22 /n 2 ) 2 /(n 2  1)

(1,3888  2,4) 2 (0,11347131)  (0,4142857 1) 14,35567901 gl  0,52775702 gl 27,327 gl 

P ( t ≤ t0 ) =

γ =0.95

1,975 2

t 0=2,473 ´ 2 ) ±t 0 1−¿ μ2=( X´ 1− X μ¿

√

S 21 S 22 + n1 n 2

1−¿ μ2=5 ± ( 2,473 ) (1,9465) μ¿ 1−¿ μ2 ≤ 9,8 0,2≤ μ ¿

EJERCICIO 10. La Gerencia Comercial Moderno ha comercializado una nueva pila para las unidades "flash" de cámaras de 35mm con el lema. ¿Por que no usar lo mejor? En promedio muestras baterías producen 20000 destellos. El gerente de comercialización se criticaba el reclamo publicitario de la compañía al día para refutar las críticas, el gerente seleccionó al azar 23 unidades de destellos diferentes y comprobó con ellos la pila, los resultados fueron:

[Escribir texto]

Página 8


Número de destellos (en miles) 15 19 14 16 12 17 16 18 17 22 18 9

a) un

Número de destellos (en miles) 16 18 17 20 16 15 17 16 13 15 17

Obtener estimador puntual de

la media verdadera n=23 n<30 X´ =16,22

El estimado puntual para la media es:

´ μ= X=16,22

b) Obtener un Intervalo de confianza de 95% para la media verdadera. Con base a estos resultados, ¿podría el gerente de comercialización refutar las críticas al anuncio que hace el lema de la compañía? S2

 (X 



i

- X )2

n 1 (15  16,22) 2  (19  16,22)  ...  (17  16,22) S2  22 2 S  7,178 S 2,679



γ =0.95 gl=n−1=22

P ( t ≤ t0 ) =

1,95 2

t 0=2,074

[Escribir texto]

Página 9




´ ± t n−1 s > ¿ I :< X √n I :<16,22 ±(2,074)

2,679 >¿ 4,796

I :<16,22 ± 1,1594>¿

I :<15,0606 ; 17,379> En Miles R: No, porque 20000 no está en el intervalo de confianza EJERCICIO 11. Los alumnos de la fac8ultad de Ingeniería Industrial puede escoger entre dos cursos de física, uno de 3 horas semanales sin laboratorio. El examen final es el mismo para ambos cursos. Si 12 estudiantes del curso con laboratorio obtienen una calificación promedio de 84 con una desviación estándar de 4 y 18 del curso sin laboratorio obtienen una calificación promedio de 77 con una desviación estándar de 6, encuentre un intervalo de confianza al 99% para la diferencia entre las calificaciones promedio para los 2 cursos. Suponga que las poblaciones tienen distribuciones aproximadamente normales.

n 1 12

n 1  18





X 1 84

X1 77

S1  4

S1 6

Lab

γ =0.99 P ( t ≤ t0 ) =

1,95 2

[Escribir texto]

Página 10

Sin Lab


(S12 /n 1 S 22 /n 2 ) 2 gl  2 (S1 /n 1 ) 2 /(n 1  1)  (S 22 /n 2 ) 2 /(n 2  1) (1,3333333  2) 2 (0,1616161)  (0,2352941 ) 11,11111 gl  0,3969102 gl 27,927 gl 

´ 2 ) ±t 0 1−¿ μ2=( X´ 1− X μ¿

√

t 0=2,074

S 21 S 22 + n1 n 2

1−¿ μ2=7 ± ( 2,771 ) (1,8257418) μ¿ 1−¿ μ2 ≤12,06 1,49 ≤ μ ¿ EJERCICIO 12. Un agente de compras de una compañía se vio confrontado con dos tipos de máquinas para realizar cierta operación. Se le permitió probar ambas máquinas a lo largo de cierto periodo de pruebas. Es deseo del agente comprar la máquina que tiene mayor rendimiento. Se le asignaron aleatoriamente 40 tareas, 20 a cada máquina con los siguientes resultados: X´ 1=30 horas , S 21=135

n1=n2=20

X´ 2=30 horas , S 22=80 a) ¿Qué máquina decidirá comprar el agente? ∝=0.2

[Escribir texto]

Página 11


∝/2=0.01

I :< X´ 1− X´ 2 ± Z ∝/ 2 I :<10 ± 2,32

√

√

σ 21 σ 22 + >¿ n1 n2

135 80 + >¿ 20 20

I :<2,39 ; 17,6> ¿ 1>¿ μ2 Como ambos límites son positivos entonces μ¿ R: El agente deberá comprar la máquina 1 EJERCICIO 13. Una compañía de automóviles de alquiler está tratando de decidir la compra de neumáticos, entre las marcas A y B, para su flota de taxis. Para estimar la diferencia entre las dos marcas, se efectúa un experimento, empleando 12 de cada marca. Los neumáticos se usan hasta que se desgastan. Los resultados para la marca A ´x 1 s ´x 2 s son: = 36300 km y 1 = 5000 km. Y para la marca B; =38100 Km y 2 = 6100 km. Calcule un intervalo de confianza del 95% para µ1-µ2 (suponga que las poblaciones tienen distribuciones aproximadamente normales) r. -6522 < µ1-µ2 < 2922 SOLUCIÓN: 1. n<30, m<30, n=12 , m=12, γ=0.95 2. hallamos t0 para n+m-2=22 grados de libertad P [T≤ t0]= (γ+1)/2=(0.95+1)/2=0.975 t0=2.074 3. el intervalo está determinado por : 1 1 1 1 [( x  y )  t 0 S c   ( x  y)  ( x  y)  t 0 S c  ] n m n m Sc 

(n  1) S x2  (m  1) S y2 nm2

11 * 500 2  11 * 6100 2 22

Sc =

=5577.186 t0 S c

1 1  n m

Hallamos =2.074*5577.186* Θ1= (36300-38100)-4722.24 Θ2= (36300-38100)+4722.24 [Escribir texto]

Página 12

1 / 12  1 / 12

=4722.24


4. El intervalo de confianza para un nivel de confianza de 95% es: [6522.24; 2922.24] EJERCICIO 14. Una compañía de café está probando dos nuevos envases para su café instantáneo. Se eligieron 200 tiendas de abarrotes: en 100 de ellas se colocó un tipo de envases y en los 100 restantes el otro. El volumen mensual de ventas de los envases nuevos se expresó en forma de porcentaje de las ventas mensuales de los meses anteriores. Se llevó un registro para cada tienda. Para el envase A, el aumento del promedio de ventas fue del 3% con una desviación estándar del 20%. Para el envase B, el aumento del promedio de ventas fue de 8% con una desviación estándar de 24%. ¿Aumentó el promedio de ventas del envase B en forma significativa con respecto a A ? R. -0.0112324 < µ B - µ A < 0,11124 El promedio de ventas de B no ha aumentado en forma significativa con respecto a A. SOLUCIÓN: 1. n=100 , m=100, γ=0.95 (opcional) 2. Hallamos Z0, γ=0.99 P [Z≤ z0]= (γ+1)/2=(0.99+1)/2=0.995 Z0= 2.576 3. el intervalo está determinado por : 2 2  x2  y  x2  y   ( x  y)  ( x  y)  Z 0  ] n m n m

[( x  y )  Z 0

Z0

2  x2  y  n m

y Θ1 y Θ2

Hallamos

Para Z0 =2.576

1.960

0.2 2 100



0.24 2 100

=0.061 Θ1= (0.08-0.03)- 0.061 Θ2= (0.08-0.03)+ 0.061 4. El intervalo de confianza para un nivel de confianza de 99% es: [-0.011;0.11] El promedio de ventas de B no ha aumentado en forma significativa con respecto a A.

EJERCICIO 15. Se desea estimar el gasto promedio diario por turista extranjero en Lima y con dicho fin, se elige una muestra de 120 turistas supuestamente representativa, encontrándose un promedio de $800 diarios. Si por estudios anteriores se conoce que la desviación estándar del gasto diario por turista extranjero en Lima es de $ 100 diarios. a) Determine un intervalo de confianza al 99% para la media real de los gastos diarios. SOLUCIÓN: [Escribir texto]

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x

n=120, γ=0.99, =800, σ=100 Hallamos Z0 para P [Z≤ z0]= (γ+1)/2=(0.99+1)/2=0.995 Z0= 2.5758 el intervalo está determinado por : Z Z [x  0    x  0 ] n n Z 0 n 120 Hallamos =2.5758*100*/ =23.51 Θ1= 120-23.51 Θ2= 120+23.51 El intervalo de confianza para un nivel de confianza de 95% es: [96.49; 143.51]

b) Si quisiéramos disminuir el error de estimación a $10, aceptando una probabilidad del 5% de que el verdadero valor del parámetro caiga fuera del intervalo, ¿Cuántas observaciones adicionales se deben tomar? SOLUCIÓN: σ=100, E=10, γ =1-α=1-0.05=0.95 Hallamos Z0 para P [Z≤ z0]= (γ+1)/2=(0.95+1)/2=0.975 Z0= 1.960 la muestra está determinado por:

n [

Z 0 2 ] E

= (1.960*100/10)2=384

Como la muestra que tenemos es 120, entonces faltarían 384-120=264 observaciones adicionales.

EJERCICIO 16. Dos universidades nacionales de Lima Metropolitana tienen métodos distintos para inscribir a sus postulantes para el examen de isión. Las dos desean comparar el tiempo promedio que les toma a los estudiantes completar el trámite de inscripción. En cada universidad se anotaron los tiempos de inscripción para 100 alumnos seleccionados al azar. Las medias y las desviaciones estándares muéstrales son las siguientes: ´x 1 ´x 2 =50,2 =52,9 s1

s2

= 4,8

= 5,4

Si se supone que el muestreo se llevó a cabo sobre dos poblaciones distribuidas normalmente e independientes, obtener los intervalos de confianza del 90, 95 y 99% para la diferencia entre las medias de tiempo de inscripción para las dos universidades. Con base a esta evidencia, ¿se estaría inclinando a concluir que existe una diferencia real entre los tiempos medios para cada universidad? R. -3,89 < µ1-µ2 <-1,51, <-4,12;1,28 >, <-4,58;-0,82 > [Escribir texto]

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SOLUCIÓN: n=100, m=100, γ=0.90 , γ=0.95 , γ=0.99 Hallamos Z0 , γ=0.90 P [Z≤ z0]= (γ+1)/2=(0.90+1)/2=0.95 Z0= 1.645 Hallamos Z0, γ=0.95 P [Z≤ z0]= (γ+1)/2=(0.95+1)/2=0.975 Z0= 1.960 Hallamos Z0, γ=0.99 P [Z≤ z0]= (γ+1)/2=(0.99+1)/2=0.995 Z0= 2.576 El intervalo está determinado por : 2 2  x2  y  x2  y   ( x  y)  ( x  y)  Z 0  ] n m n m

[( x  y )  Z 0

2  x2  y  n m

Z0

y Θ1 y Θ2

Hallamos

Para Z0 =1.645 1.645

4.8 2 100



5.4 2 100

=1.185 Θ1= (50,2 - 52,9)-1.185 Θ2= (50,2 - 52,9)-1.185 Para Z0 =1.960

1.960

4.8 2 100



5.4 2 100

=1.416 Θ1= (50,2 - 52,9)- 1.416 Θ2= (50,2 - 52,9)+1.416 Para Z0 =2.576 2.576

4 .8 2 100



5 .4 2 100 =1.861

Θ1= (50,2 - 52,9)- 1.861 Θ2= (50,2 - 52,9)+ 1.861 El intervalo de confianza para un nivel de confianza de 90% es: [-3.89; -1.51] El intervalo de confianza para un nivel de confianza de 95% es: [4,12;-1,28] [Escribir texto]

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El intervalo de confianza para un nivel de confianza de 99% es: [-4,58;-0,82] EJERCICIO 17. Una compañía que vende maquinaria a una planta pretende que una nueva máquina, costosa, desarrollada recientemente duplicara la producción respecto a las máquinas antiguas. La planta instala una de estas nuevas maquinas y la pone a producir al lado de las antiguas por un período de seis semanas consecutivas. Se obtiene los siguientes resultados (en unidades redondeadas a un millón). Producción promedio de máq. Antigua

2

2

3

4 54

Producción promedio de máq. Nuevas

4

4

8

6 86

Con base a estos datos, ¿se estaría inclinando a justificar a la gerencia que declara que la nueva máquina no tuvo el desempeño que se pretendía? SOLUCIÓN: ´x 1

=3.33

s1

= 1.21

´x 2

=6 s2

= 1.63

1. n<30, m<30, n=6 , m=6, γ=0.95 2. hallamos t0 para n+m-2=10 grados de libertad P [T≤ t0]= (γ+1)/2=(0.95+1)/2=0.975 t0=2.228 3. el intervalo está determinado por : 1 1 1 1 [( x  y )  t 0 S c   ( x  y)  ( x  y)  t 0 S c  ] n m n m

Sc 

(n  1) S x2  (m  1) S y2 nm2

6 *1.212  6 *1.63 2 10

Sc =

=1.572 t0 S c

1 1  n m

1/ 6  1/ 6

Hallamos =2.228*1.572* =2.022 Θ1= (6-3.33)-2.022 Θ2= (6-3.33)+2.022 4. El intervalo de confianza para un nivel de confianza de 95% es: [0.648;4.692] Existe una diferencia significativa entre la producción de maquinas nuevas con respecto las maquinas antiguas. EJERCICIO 18. Cierto metal se produce, por lo común, mediante un proceso estándar. Se desarrolla un nuevo proceso en el que se añade una aleación a la producción del metal. Los fabricantes se encuentran interesados en estimar la verdadera diferencia entre las tensiones de ruptura de los metales producidos por los dos procesos. Para cada metal se selecciona 12 especímenes y cada uno de estos se somete a una tensión hasta que se [Escribir texto]

Página 16


rompa. La siguiente tabla muestra las tensiones de ruptura de los especímenes en kilogramos por centímetro cuadrado. Proc. Estándar Proc. Nuevo

428 419 458 439 441 456 463 429 438 445 441 463 462 448 435 465 429 472 453 459 427 468 452 447

Si se supone que el muestreo se llevó a cabo sobre dos distribuciones normales e independientes, obtener los intervalos de confianza estimados del 90; 95 y 99% para µ s y µ N. Con base a los resultados ¿se estaría inclinando a concluir que existe una diferencia real entre µ s y µ N? R. <-18,3262; 2,1594 >, < -20,4559; 4,2891 >, <-24,9003; 8,7335 >, NO SOLUCIÓN: ´x 1

=443.333333

s1

= 14.278613

´x 2

=451.416667 s2

= 14.9390175

1. n<30, m<30, n=12 , m=12, γ=0.95, γ=0.90, γ=0.99 2. hallamos t0 para n+m-2=22 grados de libertad y , γ=0.90 P [T≤ t0]= (γ+1)/2=(0.90+1)/2=0.95 t0=1.717 3. hallamos t0 para n+m-2=22 grados de libertad y , γ=0.95 P [T≤ t0]= (γ+1)/2=(0.95+1)/2=0.975 t0=2.074 4. hallamos t0 para n+m-2=22 grados de libertad y , γ=0.99 P [T≤ t0]= (γ+1)/2=(0.99+1)/2=0.995 t0=2.819 5. el intervalo está determinado por : 1 1 1 1 [( x  y )  t 0 S c   ( x  y)  ( x  y)  t 0 S c  ] n m n m (n  1) S x2  (m  1) S y2

Sc 

Sc

nm2

11 *14.28 2  11 *14.94 2 22

= Luego:

=14.614 t0 Sc

1 1  n m

1 / 12  1 / 12 Para t0=1.717 hallamos =1.717*14.614* =10.24 Θ1= (443.33-451.42)-10.24 Θ2= = (443.33-451.42)+10.24 El intervalo de confianza para un nivel de confianza de 90% es: [-18.09; 2.15] [Escribir texto]

Página 17


t0 Sc

1 1  n m

1 / 12  1 / 12

Para t0=2.074 hallamos =2.074 *14.614* =12.37 Θ1= (443.33-451.42)- 12.37 Θ2= = (443.33-451.42)+ 12.37 El intervalo de confianza para un nivel de confianza de 95% es: [-20,46; 4,29]

t0 Sc

1 1  n m

1 / 12  1 / 12

Para t0=2.819 hallamos =2.819 *14.614* =16.816 Θ1= (443.33-451.42)- 16.816 Θ2= = (443.33-451.42)+16.816 El intervalo de confianza para un nivel de confianza de 99% es: [-24,90; 8,73] 6. No diferencia una diferencia real entre µ s y µ N EJERCICIO 19. Un fabricante de TV esta desarrollando un nuevo modelo de televisor a color, y para este fin se pueden utilizar dos tipos de esquemas transistorizados. El fabricante selecciona una m.a de esquemas transistorizados del primer tipo de tamaño 12, y otra del segundo tipo de tamaño 11. Los datos muestrales con respecto a la vida de cada esquema son los siguientes: X 1=2000 h

,

S 1=15

X 2=2500h

,

S 2=10

Con base a estos datos ¿se estaría inclinando a concluir que la vida media del esquema del primer tipo es mayor que la del segundo? use γ =90 Solución n1=12

,

n2=11

Como las muestras son de tamaño pequeño, y las varianzas poblacionales son desconocidas, pero no nos dicen si son iguales o distintas, por eso primero 2 2 construiremos el intervalo de confianza para σ 1 /σ 2 .

Para

α γ =1−α =0.90 y =0.05 , buscamos en la tabla de distribución F, y se 2

encuentra:

[Escribir texto]

Página 18


F∝ /2 ( n2−1 ; n1−1 ) =F0.05 ( 10,11 )=2.85 F1−∝/ 2 ( n2−1 ; n1−1 ) =

1 1 1 = = =0.3401 F ∝/2 ( n1−1 ; n2 −1 ) F 0.05 (11,10 ) 2.94

2 2 Luego el intervalo de confianza del 90% para σ 1 /σ 2 es:

S21 S21 1 I =¿ 2 . ; . F ∝/2 ( n2−1 ; n1−1 )> ¿ S2 F∝ /2 ( n1−1 ; n2−1 ) S22 I =¿

225 225 .(0.3401); . ( 2.85 ) >¿ 100 100

I =¿ 0.765225 ; 6.4125>¿

Como

1∈ I , concluimos que

2

2

σ A =σ B . Entonces el intervalo de confianza a

utilizar para el análisis de la diferencia de medias

√

I =¿ ( X 1− X 2 ) ±t ∝/2 ( n1 +n 2−2 ) S 2P (

μ1−μ2

es:

1 1 + )> ¿ n1 n 2

Donde: ( n1−1 ) S21 + ( n2 −1 ) S 22 ( 12−1 ) 152 + ( 11−1 ) 102 2 SP= = n1 +n 2−2 12+11−2 S 2P =165.4761905 Ahora para

α γ =1−α=0.90 y =0.05 , en la tabla de distribución T encontramos: 2

t ∝ /2 ( 21 )=1.721 Por lo tanto, el intervalo de confianza del 90% para la diferencia de medias

μ1−μ2

es:

√

I =¿ ( 2000−2500 ) ± 1.721 165.4761905(

1 1 + )>¿ 12 11

I =¿ (−500 ) ± 1.721 √ 28.83297259>¿

I =¿ (−500 ) ± 1.721(5.369624307)>¿ I =¿−509.2411;−490.7589> ¿

Se observa que el intervalo no incluye al cero, luego del hecho de que ambos intervalos son negativos, concluimos que la vida media del esquema del primer tipo es menor que la del segundo tipo. [Escribir texto]

Página 19


EJERCICIO 20. En las ciudades de Arequipa y Ayacucho se llevo a cabo una encuesta sobre el costo de vida para obtener el gasto promedio en alimentación en familias constituidas por 4 personas. De cada ciudad se selecciono aleatoriamente una muestra de 20 familias y se observaron sus gastos semanales en alineación. Las medias y las desviaciones estándar muéstrales fueron las siguientes: X 1=135 ( para arequipa) ,

S 1=15

X 2=122( para ayacucho ) ,

S 2=10

Solución n1=20

,

n2=20

Como las muestras son de tamaño pequeño, y las varianzas poblacionales son desconocidas, pero no nos dicen si son iguales o distintas, por eso primero 2

2

construiremos el intervalo de confianza para σ 1 /σ 2 .

Para

α γ =1−α =0.90 y =0.05 , buscamos en la tabla de distribución F, y se 2

encuentra: F∝ /2 ( n2−1 ; n1−1 ) =F0.05 ( 10,11 )=2.85 F1−∝/ 2 ( n2−1 ; n1−1 ) =

1 1 1 = g= =0.3401 2.94 F ∝/2 ( n1−1 ; n2 −1 ) F 0.05 (11,10 )

2 2 Luego el intervalo de confianza del 90% para σ 1 /σ 2 es:

2

2

S S 1 I =¿ 12 . ; 12 . F ∝/2 ( n2−1 ; n1−1 )> ¿ S2 F∝ /2 ( n1−1 ; n2−1 ) S2 I =¿

225 225 .(0 . 3401); . ( 2 . 85 ) >¿ 100 100

I =¿ 0 .765225 ; 6 . 4125> ¿

[Escribir texto]

Página 20

INTERVALOS DE CONFIANZA Y PRUEBA DE HIPOTESIS 2

1∈ I , concluimos que

Como

2

σ A =σ B . Entonces el intervalo de confianza a

utilizar para el análisis de la diferencia de medias

√

2

I =¿ ( X 1− X 2 ) ±t ∝/2 ( n1 +n 2−2 ) S P (

μ1−μ2

es:

1 1 + )> ¿ n1 n 2

Donde: 2 P

S =

( n1−1 ) S21 + ( n2 −1 ) S 22 ( 12−1 ) 152 + ( 11−1 ) 102 n1 +n 2−2

=

12+11−2

2

S P =165 . 4761905

Ahora para

α γ =1−α =0 . 90 y =0 . 05 , en la tabla de distribución T encontramos: 2

t ∝ /2 ( 21 )=1. 721 Por lo tanto, el intervalo de confianza del 90% para la diferencia de medias

μ1−μ2

es:

√

I =¿ ( 2000−2500 ) ± 1. 721 165 . 4761905(

1 1 + )> ¿ 12 11

I =¿ (−500 ) ± 1. 721 √ 28 . 83297259>¿ I =¿ (−500 ) ± 1. 721(5 . 369624307)>¿

I =¿−509. 2411 ;−490 . 7589>¿ Se observa que el intervalo no incluye al cero, luego del hecho de que ambos intervalos son negativos, concluimos que la vida media del esquema del primer tipo es menor que la del segundo tipo.

EJERCICIO 21. Una agencia estatal tiene la responsabilidad de vigilar la calidad del agua para la cría de peces con fines comerciales. Esta agencia se encuentra interesada en comparar la variación de ciertas sustancias tóxicas en dos estuarios cuyas aguas se [Escribir texto]

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encuentran contaminadas por desperdicios industriales provenientes de una zona industrial cercana. En el primer estuario se seleccionaron 11 muestras y el segundo 8, las cuales enviaron a un laboratorio para su análisis. Las mediciones en ppm que se observaron en cada muestra se exponen en la siguiente tabla. Si se supone que el muestreo se hizo sobre dos poblaciones independientes con distribución normal, ¿se podría concluir que las dos varianzas son diferentes al 95% de confianza?

Estuario 1 Estuario 2

1 0 11

1 0 8

1 2 9

1 3

9 8

7

1 0 8

1 2

1 2 0

8

1 0

1 4 8

EJERCICIO 22. La compañía A produce focos pequeños de 1.5 voltios y se desea analizar la variabilidad del proceso de producción. Se tomo una m.a de 16 focos y se obtuvo una media de duración igual a 120 hora, y un coeficiente de de variabilidad igual al 25%. Halle el intervalo de confianza del 98% para la desviación estándar poblacional. EJERCICIO 23. Se planea una encuesta para medir la cantidad de tiempo que los niños miran la lelevision. Un chequeo preliminar indica que el tiempo promedio por semana es cerca de 15 horas con la desviación estándar de 5 horas. Se desea estimar el tiempo promedio por semana con una presicion de media hora, al nivel de confianza del 99%. a) Si el costo de istración de la encuesta es de S/. 50000, mas S/. 100 por entrevista, ¿cuál es el costo total que debe presupuestar para la encuesta? b) Después de completar la encuesta, se encuentra que la media es de 18 horas y la desviación estándar de 6 horas ¿qué costo adicional ( si es que hay alguno) debe presupuestarse, excluyendo la istración, para conseguir una estimación revisada del tiempo promedio, a la luz de esta nueva información.

EJERCICIO 24. Se sospecha que un laboratorio de medidas de viscosidad obtenida en la mañana eran menores que en la tarde. Para confirmar esta sospecha se toman dos muestras una por la mañana y otra por la tarde. ¿existe diferencia estadística para afirmar que la variabvilidad de la viscosidad difiere en ambos turnos.

EJERCICIO 25. Un gran fabricante de aparatos eléctricos necesita una estimación actualizada y precisa de las ventas al por menor de sus productos, como información dauxiliar para la planeacion de la producción. Para ello el fabricante piensa tomar una [Escribir texto]

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m.a de sus distribuciones al por menor y estimar la ventas mensuales. Para ayudarles en la planeación de la investigación, se selecciono una muestra preliminar de 60 distribuidores de su producto. Los resultados fueron 60

60

i=1

i=1

∑ Xi=1004 ∑ X i 2=22034 Donde X representa las ventas de aparatos ( en unidades) por distribuidor, en el mes pasado. a) El fabricante desea que la estimación muestral de la media de las ventas mensuales por distribuidor sea precisa con un margen de +1 aparato, con un nivel de 95% de confianza ¿Qué tamaño debe tener la muestra para obtener esta precisión? b) El costo de la investigación se estima en S/ 200000 mas S/4000 por distribución de muestreado. ¿Cuál será el costo total de la encuesta en base a la respuesta en a)? EJERCICIO 26. Un analista económico realiza un estudio y decide proponer al gobierno que apoye las exportaciones de algodón y hierro, mediante préstamos promociones tomados de un fondo de dinero que el gobierno de Canada tiene intención de donar al Peru. El analista resuelve tomar aleatoriamente los promedios mensuales de exportaciones de ambos productos correspondientes a 10 meses del gobierno, con la intención de observar cual de los productos han generado una mayor cantidad de divisas al país en los últimos años. Si el promedio mensual de uno de los productos es mayor que el otro, este producto obtendrá las dos terceras partes de los fondos, caso contrario el fondo se repartirá en partes iguales. En la siguiente tabla aparecen las exportaciones en millones de dólares de algodón y hierro.

Exportaciones en millones de dolares Algodón

Hierro

Enero 1986

0.01

0.01

Marzo 1986

0.17

0.44

Junio 1986

0.31

0.55

Julio 1986

0.36

1.03

septiembre 1986

0.98

0.81

[Escribir texto]

Página 23


Febrero 1987

0.98

1.51

Junio 1987

1.03

0.79

Julio 1987

0.26

0.97

Agosto 1987

0.22

2.63

0.1

2.77

septiembre 1987

En la base a los datos, ¿Qué recomendaría el analista al gobierno? Use y = 90%

EJERCICIO 27. El desarrollo económico debe ser entendido a partir de sus dos premisas fundamentales: el crecimiento económico, y luego la mejor distribución del ingreso. No se puede distribuir mejor la riqueza si es que no se logran adecuadas tasas de crecimiento, porque sino seria como repartir pobreza entre los pobres. Con esta idea, un grupo de economistas decide realizar un estudio respecto a la situación económica de Perú desde la década de los sesenta. Para este fin se presenta una de las principales variables utilizadas en el estudio.

TASA DE CRECIMIENTO DEL PBI (%) Años

Años

Años

1960

9.19

1970

7.31

1980

2.88

1961

8.42

1971

5.13

1981

3.06

1962

9.03

1972

5.84

1982

0.89

1963

4.07

1973

6.2

1983

-11.98

1964

7.14

1974

6.86

1984

4.73

1965

4.88

1975

2.39

1985

1.95

1966

7.05

1976

3.33

1986

8.6

[Escribir texto]

Página 24


1967

3.51

1977

0.26

1987

6.87

1968

0.03

1978

-1.77

1988

-8

1969

4.14

1979

4.31

1989

1.95

Considerando los datos aquí presentados. Que podría afirmar respecta de las siguientes conclusiones elaboradas por este grupo de economistas a) Se puede afirmar que el Perú ha alcanzado el promedio mínimo de crecimiento necesario para lograr el desarrollo, es decir que históricamente ha crecido como mínimo en promedio 6%. b) Tratando a nivel de lo observado en los últimos gobiernos democráticos (1980 – 1985) y (1986 – 1989), es posible aseverar que existe diferencias en las tasas promedio de crecimiento alcanzadas por uno y por otro, siendo la diferencia favorable al régimen de (1986 – 1989), y se espera que la diferencia observada crezca cada vez más en el mismo sentido.

EJERCICIO 28. Considere ud. El problema de un inversionista nacional que desea colocar su capital dentro del sector industrial. Dicho agente se guiara para tomar la decisión respecto de donde invertir sus recursos, del criterio de maximizar la rentabilidad promedio derivada de la operación realizada. Con este fin se selecciona 10 observaciones de la industria textil y 15 de la industria papelera, encontrándose una rentabilidad promedio de 3% y 8% respectivamente, con desviaciones típicas de 20% y 24% en cada caso. ¿En qué sector le recomendaría invertir al agente en cuestión? (Y=97%)

EJERCICIO 29. Al tomar una m.a de 50 focos la vida útil de cada uno de ellos en una tabla de frecuencia de 5 intervalos con Xmin = 600, Xmax = 1100h, además f 1= 12, F2 = 25, h3= 0.18, F4= 46. Con estos datos construir e interpretar un intervalo del 95% de confianza para la media poblacional.

EJERCICIO 30. Debido a la escasez de agua producida por el calor severo en las ciudades de Lima, Trujillo, Chiclayo, el gobierno observa el consumo mensual promedio por vivienda. Si ui representa el consumo mensual promedio por vivienda, de la i-ésima ciudad, siendo i = 1,2,3,4, entonces el costo mensual promedio esperado debido al consumo de estas cuatro ciudades es: [Escribir texto]

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C = 5 u1 + 7 u2 + 5 u3 + 5 u4 Con base en estudios previos, se cree que el costo mensual esperado es S/. 257. El gobierno lleva a cabo una encuesta a través del INEI en la que seleccionando m.a independientes de cada una de las ciudades se obtuvo lo siguiente:

n1 = 50

,

X 1=15

,

S12 = 4

n2 = 50

,

X 1=10

,

S22 = 10

n3 = 40

,

X 1=13

,

S32 = 8

n4 = 70

,

X 1=12

,

S42 = 7

Empleando un intervalo de confianza del 99.8% para C, ¿Se podrá afirmar que la evidencia apoya el estudio previo?

EJERCICIO 31. Se sabe el intervalo de confianza que cuantifica la diferencia de la medias poblacionales tiene la longitud (L) L= 2tα/2(n1 + n2 -2)

√

( n 1−1 ) +(n 2−1) 1 2 ( + ) n 1+n 2−2 n1 n2

Donde n1 = n2 = 11

2

a) Si el intervalo de confianza del 90% para

σ1 2 σ2

construido con la misma

muestra es < 0.110228 ; 0.966116 >, ¿Es posible que el intervalo de confianza del 90% para la diferencia de medias poblacionales tenga longitud L? ¿Por qué? b) Si se incrementa el coef. de confianza en un 99%, ¿cambiara su respuesta a la pregunta anterior? Discuta su respuesta con resultados cuantitativos.

[Escribir texto]

Página 26


EJERCICIO 32. Una empresa importadora de automóviles tiene cuatro puntos de venta, dos ellos ubicados en Lima y los otros en el interior del país (provincias). Cada uno de los puntos de venta cuenta con determinado número de vendedores a los cuales se les paga un porcentaje de comisión sobre el nivel de ventas realizadas. Las comisiones son u del 4% en Lima y de 6% en provincias, si i representa el nivel de ventas semanales promedio, en miles de soles, de i-énesimo punto de venta (i= 1, 2,3,4,) y de acuerdo a información histórica registrada, se sabe que la desviación estándar del nivel de ventas asciende a 50 miles de soles y es la misma para todos los puntos de venta. Por lo anterior el costo semanal esperado por empresa importadora por concepto de comisiones pagadas a los vendedores de lima y provincia es:

C=0 . 04 u1 +0 . 04 u2 +0 . 06 u3 +0 . 06 u4 Se cuenta con información sobre el nivel de ventas promedio, en miles de soles, efectuadas por la empresa durante las últimas semanas en los distintos puntos de venta que son:

n1 = 50

,

X 1=50

n2 = 50

,

X 1=50

n3 = 50

,

X 1=60

n4 = 50

,

X 1=70

a) Estime en forma puntual el costo semanal esperado C de la empresa importadora por concepto de pago de comisiones a los vendedores de Lima y provincias. b) Estime el costo semanal esperado C de la empresa importadora por concepto de pago de comisiones a los vendedores de Lima y provincias con un intervalo de confianza al 95% asumiendo el nivel de ventas que tiene una distribución normal. c) ¿Qué sucedería con el error de estimación si cuenta con una muestra constituida por un mayor numero de datos para cada uno de los puntos de venta de la Cia. Importadora? Explique porque se estaría presentando la situación anterior. EJERCICIO 33. La empresa Novilandia que produce bizcochos cree que puede encontrar una marcada diferencia en ala ventas en las regiones donde se expende su producto, lo cual le permitirá discriminar (diferenciar) precios por la región. Para [Escribir texto]

Página 27


comprobar esto, toma muestras de dos regiones; en la región 1 casi no existe competencia mientras que en la región 2 si hay y por ello la ventas son diferentes, de tal forma que las características de las regiones son independientes. Los datos corresponden a 35 tiendas donde se expende el producto en cada región, donde: X: ventas en la región con baja competencia, X: ventas en la región con baja competencia,

X 1=S /.15621 Y 1=S/. 10354

S x =3. 538 S y =4 . 004

Con un coeficiente de confianza del 98% pruebe si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. a) Existe una mayor regularidad en la ventas cuando estas presentan una alta competencia. b) Existe un mayor promedio de ventas en la región donde hay menor competencia y solo este es el único argumento necesario para que la empresa decida discriminar precios en esta región con respecto a la otra.

EJERCICIO 34. Por definición, el concepto de elasticidad-precio de la demanda nos mide el grado de sensibilidad de la demanda ante una variación de precios. Asimismo, Se define también que la demanda es menos elástica cuando menos sea ese grado de sensibilidad. Por ello, la demanda puede ser elástica, inelástica o de elasticidad unitaria. Al efecto cuantificaremos el promedio mensual de la elasticidad-precio de la demanda de arroz del país ZZZ, para ello contamos con los siguientes datos: Se sabe que la demanda de arroz esta conformada por la demanda en el norte y la demanda en el sur. Según datos históricos la demanda en el norte representa un 20% de la demanda total y el resto se destina al sur de la región, esta participación se mantiene invariable durante un año. Se cuenta con una muestra de 12 meses respectivamente de un año en el cual el mercado no presento perturbaciones graves. Los datos que se obtuvieron son los siguientes:

Elasticidad-precio Norte X 1=−1 .320 S 1=0 . 335

[Escribir texto]

en

el Elasticidad-precio en el SUR X 2=−0 . 50 S 2=0 . 212

Página 28


Para calcular la elasticidad-precio de la demanda total d arroz emplearemos el concepto ET =a1 E N +a2 ES a1 y a2 de elasticidad total: donde son las respectivas ponderaciones (o particiones) y

EN y ES

elasticidades del Norte y del Sur.

a) Por lo general se espera que las elasticidades mensuales en las dos regiones sean homogéneas, sin embargo, no siempre es la misma en las dos regiones. Se pide: determinar si existe alguna diferencia significativa entre la homogeneidad de las elasticidades existentes en el norte y el sur de la región. Presente los supuestos del caso b) Suponga que luego de revisar varios años representativos se encontró que la variabilidad de las elasticidades debe ser de 0.12 (unidades al cuadrado) para el norte y 0.05 (unidades al cuadrado) para el sur. Se pide con esta nueva información determinar el intervalo de confianza para la elasticidad total de la demanda del país ZZZ conformada por las regiones norte y sur. Con los resultados, identifique el tipo de elasticidad-precio hallado (elástica, inelástica, unitaria) y determine si puede afirmarse que la demanda total es altamente sensible a la variación de precios. Presente los supuestos estadísticos necesarios. EJERCICIO 35. Un circuito eléctrico tiene 3 resistencias de diferente tipo. Las pruebas de 100 piezas del tipo 1 mostraron una resistencia promedio de 9.1 ohmios, con desviación de 0.2 ohmios. Las pruebas en 80 resistencias del tipo 2 dieron una resistencia promedio de 14.3 ohmios con desviación estándar de 0.4 ohmios. Las pruebas en 120 resistencias del tipo 3 dieron promedio de 5.6 ohmios con desviación u +u +u igual a 0.1 ohmios. Determinar un intervalo de confianza del 95% para 1 2 3 ¿Bajo que condiciones resuelve ud. Este problema?

SEGUNDO BLOQUE EJERCICIO 1.Se quiere probar la efectividad de un antigripal en reducir la fiebre, con tal fin se tomo la temperatura a 10 niños de dos años afectados de gripe, antes o inmediatamente después de la istración del antigripal y los resultados fueron: Paciente 1 2 3 [Escribir texto]

Temperatura Temperatura antes después 38,8 37,8 39,6 38 39,8 38,1 Página 29


4 5 6 7 8 9 10

39,4 40,1 39,7 39,3 40,0 39,9 39,5

38,2 37,9 37,6 38,3 37,0 38,5 38,7

Suponiendo que la característica en estudio tiene distribución normal, obtener el intervalo de confianza del 95% para la diferencia de medias de temperaturas. Con base en los resultados. ¿Se estaría inclinando a concluir que el antigripal reduce la fiebre? SOLUCIÓN: n=10

D =temperatura antes-temperatura después ´ D=−1 ,6 S´ D=0 , 678 Para γ =1−α =0 . 95 y α /2 ¿ 0.025 t (n-1) t (9) ¿ 2,262 α/2

0.025

Luego el intervalo de confianza del 95% para µD ¿ µV- µN Sd Sd ´ ´ I =¿ D−T . ; D+T . >¿ ∝ ∝ (n −1 ) √ n (n−1) √ n 2 2 I =¿ 1 ,6−2 , 262.

0 ,678 0 , 678 ; 1, 6+2 , 262 . >¿ √ 10 √ 10

∴ I =¿ 1 , 11486 ; 2 , 08514>¿ Se puede concluir que el antigripal reduce la fiebre, ya que ambos límites del intervalo son positivos

EJERCICIO 2.Veinte estudiantes de matemática I de la facultad de ingeniería industrial de la universidad de lima fueron divididos en 10 parejas, teniendo cada miembro de la pareja aproximadamente el mismo coeficiente de inteligencia. Uno de cada pareja se selecciona al azar y se asigna a una sección que utiliza videos. El otro miembro se asigna a una sección que cuenta con un profesor. Al finalizar el ciclo ambos grupos se presentan al mismo examen, obteniéndose los resultados. Pareja Con video Con profesor 1 15 16 [Escribir texto]

Página 30


2 3 4 5 6 7 8 9 10

12 17 11 18 15 16 13 14 10

10 17 14 17 16 18 12 15 11

Suponiendo que la característica en estudio tiene, distribución normal, obtener el intervalo del 98%, para la diferencia real en el promedio de calificación de los productos de enseñanza con base en los resultados. ¿Se puede concluir que el procedimiento de enseñanza con profesor es mejor que con el de video? SOLUCIÓN: n=10 D =Con Video-con profesor ´ D=¿ -0.5 S´ D=¿ 1.509 Para γ =1-α=0.98 y α /2 ¿ 0.01 α /2 (n-1) t0.01( 9) ¿ 2.821 t Luego el intervalo de confianza del 95% para µD ¿ µV- µN ´ I =¿ D−T ∝ 2

(n −1 )

x

SD ´ SD ; D+T ∝ x >¿ (n−1) √ n √n 2

∴ I =¿−1 . 846; 0. 846> ¿ Como el intervalo incluye al cero, entonces

μ2=μ1

, y se concluye que la enseñanza

con profesor no es mejor que con el de video.

EJERCICIO 3.Se desea comparar dos nuevas líneas de trigo, para esto se toman 10 fincas al azar, plantando en cada una de ellas, y en dos parcelas distintas, ambas líneas. La producción en las 10 fincas fue (en fanegadas por hectárea) línea A: 57 ; 49 ; 60 ; 55 ; 57 ; 48 ; 50 ; 61 ; 52 ; 56 línea B: 55 ; 48 ; 58 ; 56 ; 54 ; 48 ; 52 ; 56 ; 50 ; 58 [Escribir texto]

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Suponiendo que la característica en estudio tiene una distribución normal, ¿podemos aceptar que la producción en las fincas fue (en fanegadas por hectárea) Di=X i−Y i : 2 ; 1 ; 2 ; -1 ; 3 ; 0 ; -2 ; 5 ; 2 ; -2 10

´ D=

∑ Di

=

i=1

10

D ¿ ´ i− D ¿¿ ¿ ¿ ¿

=

´ 10 =1 D= 10

S D =46 2

=

10

∑¿ i=1

S D =¿ 2

S D =6 , 7823 ❑

∝=0 . 05 ∝/2=0 . 025

t ∝ =t 0 ,025 =0 , 5142 2

I :<1 ±(4 , 6278)

´ ± X´ ±t ( n−1) I :< D 2 ∝ 2

SD

√n

>¿

6 ,7823 >¿ 3 ,1623

I :<−8 , 93 ; 10 , 93>¿

Como en el intervalo incluye el 0 =>

μ1 ¿ μ2

, por lo tanto la producción es la misma

Mujer 1 2 3 4 5 6 7 Peso 58.5 60.3 61.7 69 64 62.6 56.7 anterior Peso 60 54.9 58.1 62.1 58.5 59.9 54.4 posterior EJERCICIO 4.Se dice que una nueva dieta reduce el peso de una persona un promedio de 4,5 Kg en un periodo de 2 semanas. Los pesos de 7 Mujeres que siguieron esa dieta, fueron anotados antes y después de un período de 2 semanas. [Escribir texto]

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Suponiendo que la característica en estudio tiene distribución normal, ¿podemos concluir que la dieta es eficaz al 95% de confianza? Di=X i−Y i : -1.5, 5.4, 3.6, 6.9, 5.5 2.7 2.3 10

∑ Di

´ i=1 ´ D= D=3. 557 10

Como el intervalo, los límites son positivos, decimos que la dieta es eficaz. EJERCICIO 5.Un banco se especializa en préstamos a industrias pequeñas, para lo cual debe hacer una evaluación minuciosa de la situación financiera de cada una de ellas. Con este propósito, un agente de crédito analiza los estados financieros y las solicitudes e inclusive entrevista al solicitante si así lo desea; así se forma una opinión respecto a la tasa de crédito del mismo. El resultado de su análisis se evalúa mediante un número entero comprendido entre 0 y 9, usando el 9 para una tasa excelente y el 0 para una tasa mala. El agente del banco, deseaba estar seguro de que ambos agentes de crédito, el señor Alcalá y el señor Meza, estaban usando el mismo estándar al evaluar las tasas de crédito. Se escogieron 25 clientes al azar y ambos agentes fueron enviados por separado con cada uno de ellos, siendo los resultados de sus respectivas investigaciones lo siguiente:

Número de Solicitud de crédito 1 2 3 4 5 6 7 [Escribir texto]

Evaluación del

Evaluación del

Sr. Alcalá 8 5 6 9 1 4 5

Sr. Meza 7 3 7 9 2 2 5

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8 8 6 9 7 4 10 5 6 11 2 1 12 2 2 13 1 0 14 6 7 15 5 4 16 3 3 17 6 6 18 6 5 19 4 5 20 3 1 21 6 6 22 5 4 2.1 4 4 24 5 5 25 4 3 La gerencia sabia que habría diferencias entre ambas evaluaciones, pero deseaba que los agentes de crédito diesen la misma evaluación en promedio. ¿Los resultados muestran una diferencia significativa?

SOLUCIÓN: 1. Con los datos anteriores hallamos di:

[Escribir texto]

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Número de Solicitud de crédito 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2.1 24 25

[Escribir texto]

Evaluación del Sr. Alcalá Xi 8 5 6 9 1 4 5 8 7 5 2 2 1 6 5 3 6 6 4 3 6 5 4 5 4

Evaluación del Sr. Meza Yi 7 3 7 9 2 2 5 6 4 6 1 2 0 7 4 3 6 5 5 1 6 4 4 5 3 promedio Di Desv. Típica

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Di=Xi- Yi -1 -2 1 0 1 -2 0 -2 -3 1 -1 0 -1 1 -1 0 0 -1 1 -2 0 -1 0 0 -1 -0.52 1.1224

D 2. n=120 , γ=0.99, =-0.52, σ=1.124 Hallamos t0 para n-1= 24 grados de libertad, γ=0.95 (opcional) P [T≤ t0]= (γ+1)/2=(0.95+1)/2=0.975 t0=2.064

3. el intervalo para datos pareados está determinado por : t S t S [D  0    D  0 ] n n t0 S n Hallamos =2.064*1.1224/ Θ1= -0.52-0.4633 Θ2= -0.52+0.4633

25 =0.4633

El intervalo de confianza para un nivel de confianza de 95% es: [-0.983;-0.057] Como ambos límites son negativos, Los resultados no muestran una diferencia significativa EJERCICIO 6.Se selecciona al azar 5 secretarias de la Universidad de Lima y se procede a registrar la velocidad en mecanografiar un texto (palabras por minuto) para cada secretaria. Luego, se les envía a un curso de perfeccionamiento y se vuelve a realizar la misma prueba. Los resultados obtenidos en ambos casos son los siguientes: Secretaria

Antes

1 2 3 4 5

80 70 85 62 82

Después del curso de perf. 82 77 79 68 84

Suponiendo que la característica en estudio tiene distribución normal, ¿se puede afirmar con un 95% de confianza, que la velocidad de mecanografiado es superior luego de haber realizado el curso? SOLUCIÓN: 1. Con los datos anteriores hallamos di: Secretaria Antes (Xi) Después del curso de perfeccionam. (Yi) 1 80 82 2 70 77 3 85 79 4 62 68 5 82 84 promedio Di

Di=Xi-Yi 2 7 -6 6 2 2.2

Desv. Típica

4.57820926

D 1. n=5 , γ=0.99, =2.2 , σ=4.5782 Hallamos t0 para n-1= 4 grados de libertad, γ=0.95 P [T≤ t0]= (γ+1)/2=(0.95+1)/2=0.975 t0=2.776

2. el intervalo para datos pareados está determinado por : t S t S [D  0    D  0 ] n n t0 S n

Hallamos =2.776*4.5782/ θ1= 2.2-6.35 θ 2=2.2+6.35

4

=6.35

El intervalo de confianza para un nivel de confianza de 95% es: [-4.15; 8.55] El intervalo incluye el cero µ1=u2 no hay diferencias en la velocidad de mecanografiado después de haber realizado el curso. EJERCICIO 7. Un equipo de investigación medica esta interesado en ver si una nueva droga reduce el colesterol en la sangre. Con tal fin toma una muestra de diez pacientes y determina el contenido del colesterol en la sangre ante y después del tratamiento. Los datos muestrales expresados en miligramos por 100 mililitros son los siguientes: Paciente Antes(xi) Después(yi) Di= yi- xi

1 217 209 -8

2 252 241 -11

3 229 230 1

4 200 208 8

5 209 206 -3

6 213 211 -2

7 215 209 -6

8 260 228 -32

9 232 224 -8

10 216 203 -13

Suponiendo que la característica en estudio tiene distribución normal, ¿se puede afirmar con un 95%de confianza que la nueva droga reduce el colesterol en la sangre? Solución 1=¿ contenido de colesterol enla sangre antes del tratamiento μ¿ 2=¿ contenido de colesterol en la sangre despuesdel tratamiento μ¿ Como el contenido del colesterol en la sangre, se determina en los dos casos (antes y después), y es en el mismo paciente, estamos frente a un caso de datos pareados. n=10

Yi 10

∑ (¿−X i ) i=1

=

10

−74 =−7 . 4 10

n

10

∑ Di D=

i=1

n

∑ Di

= i=1 =¿ 10 D D

10

∑ (¿¿ i−D)2 i=1

=10 .58510484

9 n

∑ ( ¿¿i−D)2 i=1

n−1 S D= √ ¿

Para

=√ ¿

α γ =1−α =0 . 95 y =0 . 025 , buscamos en la tabla de distribución T, y se 2

encuentra: t ∝ ( n−1 )=t 0 .025 ( 9 )=2 . 262 2

Luego el intervalo de confianza al 95% para I =¿ D−t ∝ ( n−1 ) 2

μD =μ2−μ 1

es:

SD S ; D+t ∝ ( n−1 ) D >¿ √n √n 2

I =¿−7 . 4−2. 262

10 . 58510484 10 . 58510484 ;−7 . 4+ 2. 262 >¿ √ 10 √ 10

I =¿−7 . 4−7 .571601776 ;−7 . 4+7 .571601776>¿

I =¿−14 . 97160178; 0 . 171601776>¿ Como el intervalo incluye al cero, entonces

μ2=μ1

, y se concluye que la nueva droga

no reduce el colesterol en la sangre. EJERCICIO 8. El año 1986 se vio caracterizado por el auge de la bolsa de valores producto de las medias de política económica aplicadas por el gobierno las cuales promovieron un incremento de rentabilidad relativa de los valores transados en bolsa respecto de otras alternativas de inversión. Este fenómeno observado llega a ser cúspide

en el mes de abril de dicho año periodo en el cual se transan 576.4 millones de soles de acciones u obligaciones. A continuación se presenta un cuadro resumen del movimiento bursátil para 1986, en los meses de abril y diciembre, respectivamente. Suponiendo que la característica en estudio tiene distribución normal ¿será cierta la supremacía del mes de abril respecto del mes de diciembre en cuanto al movimiento bursátil promedio se refiere?

SECTORES Bancos Financieras Industriales Mobiliarias Mineras Seguros Servicios Públicos Diversas Industria laborales Mineras laborales

ABRIL(Xi) 10.8 2.4 267.8 0.0 10.7 2.6 0.1 4.1 113.6 14.0

DICIEMBRE(Yi) 35.0 9.5 31.1 0.0 6.9 14.8 0.1 27.6 196.2 11.6 Solución Como el movimiento bursátil se dio en el mismo sector, tanto en el mes en el mes de diciembre, estamos frente a un caso de datos pareados: 1=¿ movimiento bur s atil promedioen el mes de abril μ¿ 2=¿ movimiento promedio bursatil en el mes de diciembre μ¿ n=10 Yi 10

∑ (¿−X i ) i=1

10

= n

−93 . 3 =−9 .33 10 10

∑ Di ∑ Di

D= i=1 n

= i=1 =¿ 10

Yi - Xi 24.2 7.1 -236.7 0 -3.8 12.2 0 23.5 82.6 -2.4 de abril como

D D

10

∑ (¿¿ i−D)2 i=1

=83 . 88914709

9 n

∑ (¿¿i−D)2 i=1

n−1 S D= √ ¿

Para

=√ ¿

α γ =1−α =0.95 y =0.025 , buscamos en la tabla de distribución T, y se 2

encuentra: t ∝ ( n−1 )=t 0.025 ( 9 )=2.262 2

Luego el intervalo de confianza al 95% para I =¿ D−t ∝ ( n−1 ) 2

μD =μ2−μ 1

es:

SD S ; D+t ∝ ( n−1 ) D >¿ √n √n 2

I =¿−9.33−2.262

83.88914709 83.88914709 ;−9.33+2.262 >¿ √ 10 √ 10

I =¿−9.33−60.00651148 ;−9.33+ 60.00651148>¿ I =¿ 69.3365 ;50.6765> ¿

Nótese que ambos límites de confianza del intervalo son positivos, en consecuencia μ2 > μ1 , es decir que el movimiento bursátil promedio del mes de abril es menor que del mes de diciembre, por lo tanto no es cierta la supremacía del mes de abril respecto del mes de diciembre.

TERCER BLOQUE EJERCICIO 1.Una m.a. de 400 domicilios mostro que 25% de ellos son casas de alquiler hallar un intervalo de confianza del 98% para la proporción p. SOLUCION: n=400, γ=0.98,

Hallamos Z0, γ=0.98 P [Z≤ z0]= (γ+1)/2=(0.98+1)/2=0.99 Z0= 2.33

EJERCICIO 2.En 50 lanzamientos de una moneda, fueron obtenidas 30 caras. A partir de una intervalo de confianza del 95%, ¿Se puede decir que la moneda no esta cargada?

EJERCICIO 3.Una muestra de 300 habitantes de una ciudad mostro que 180 deseaban agua filtrada. Encontrar los límites de confianza de 90% y 95% para la proporción de la población favorable a la filtración. Solución Agua f 180 α 90% y 95%

Para

EJERCICIO 4.Una determinada comunidad esta compuesta de 1200 unidades habitacionales de una muestra elegida al azar de 200 unidades resulto que 50 necesitaban reparaciones urgentes, construir el intervalo de confianza del 90% para la proporción real de las unidades que necesitan reparación. SOLUCION: n=400, γ=0.98,

Hallamos Z0, γ=1-α=0.90 , α/2=0.05 e n la tabla I

=1.645

Por tanto , el intervalo de confianza del 90%.

EJERCICIO 5.Supongamos que estamos interesados en estimar el porcentaje de consumidores de cierto producto. si una muestra de tamaño de 300 dio 100 individuos que consumían dicho producto, determine: Solución a) El intervalo de confianza par p, con coeficiente de confianza del 95%.

Para

y

/2

0.025

Z α/2=1,960

b) El tamaño de la muestra para que el error de estimación no exceda a 0.02 unidades con probabilidad de 95%. SOLUCION: Para y /2 0.025 Z α/2=1,960

n=(1.960)( 1.960)(0.333)(0.667)/(0.02)( 0.02)=2134

EJERCICIO 6.En una encuesta para verificar las actitudes de los empleados ante el boletín mensual, se les pidió a 500 empleados de una organización nacional que indicaran con que frecuencia leían el boletín de noticias.de los 500; 75 informaron que leían todas las ediciones. construir el intervalo de confianza del 95% para la proporción real de los que leen todas las ediciones. Solución: n =500, x=75,

Hallamos Z0, γ=1-α=0.95 , α/2=0.025 e n la tabla I

=1.96

EJERCICIO 7.Se recibe un lote muy grande provenientes de un fabricante que asegura que el porcentaje de artículos defectuosos en la producción es de 1% .Al seleccionar una

m.a de 200 artículos y después de inspeccionarlos, se descubre 8 defectuosos. Obtener un intervalo de confianza aproximando del 99% para la verdadera proporción de artículos defectuosos en el proceso de manufactura del fabricante. Con base a estos resultados. ¿Qué se puede concluir con respecto a la afirmación del fabricante? n=200 I  p  z 0

  0.99 p  8 / 200  0.04 P ( Z  z 0 )  0.995 z 0  2.576

0.04(1  0.04)  200

0.04(1  0.04)  200 I  0.0043    0.0757  I  0.04  (2.276)

Existe razón para creer que existen artículos defectuosos. EJERCICIO 8.En una investigación de mercado para estudiar la preferencia de la población de una población de una cuidad en relación a un determinado producto , se selecciona una muestra de 300 individuos , de los cuales 180 prefieren ese producto. a) Determine un intervalo de confianza para la proporción de la población que prefieren el producto en estudio.

n  300

  0.95 p  180 / 300  0.6 P( Z  z 0 )  0.975 z 0  1.96

I  p  z 0

p (1  p )  n

0.6(1  0.6)  300 I  0.54456    0.655437  I  0.6  (1.96)

b) ¿es posible obtener un estimador puntual de esa proporción que no difiera del valor verdadero en mas de 0.0005 con probabilidad de 0.95? caso contrario , determine que es lo que debe hacerse? n=300 x=180

x ´p= =≫´p =0.6 n γ =0.95

P ( Z0< Z)=

1+ γ → Z 0=1.96 2

∴ 0.46≤ p ≤0.735

EJERCICIO9.- un medico investigador desea estimar la proporción de mujeres, en edad madura, que fuman en exceso y que desarrollaran cáncer pulmonar en los siguientes cinco años el investigador desea seleccionar una cierta cantidad de mujeres que hayan fumado por lo menos dos cajetillas de cigarros al día durante 20 años y observarlos durante los próximos 5 años para saber cuántos desarrollaron cáncer pulmonar. ¿Cuál debe ser el tamaño de la muestra que el investigador debe seleccionar de manera con que la probabilidad de 0,95 la proporción muestral se encuentre a no mas de 0,02 unidades de la proporción verdadera?

EJERCICIO10.- una muestra de 10000 piezas de un lote de producción fue inspeccionado, y el numero de defectos para cada pieza fue registrado en la siguiente tabla. N° de defectos Cantidad de piezas

0 6000

1 3200

2 600

3 150

4 50

Determine los limites de confianza para la proporción de piezas defectuosas en la población con coeficiente de confianza del 98%. EJERCICIO11.- antes de una elección en que existían 2 candidatos A y B se hizo una encuesta con 400 electores seleccionados al azar, y se verifico que 208 de ellos pretendían votar por el candidato A. construya un intervalo de confianza del 95%, para la proporción de electores favorables al candidato A en la época de las elecciones. EJERCICIO12.- las companías de auditoría generalmente generalmente seleccionan una muestra aleatoria de los clientes de un banco y verifican los balances contables reportados por el banco, si una compañía de este tipo se encuentra interesada en estimar la proporsion de cuentas para las cuales existe una discrepancia entre el cliente y el banco ¿Cuántas cuentas deveran seleccionarse de manera tal que con una confiabilidad del 99% la proporción muestral se encuentre a no mas de 0,02 unidades de la proporcion real? EJERCICIO13.- una compañía de TV quería estimar la proporción de sus suscriptores que comprarían su revista con la programación. La compañía quería tener 95% de confianza de que su estimación este correcta con aproximación de +0,05 de la proporción real. La experiencia previa en otras areas indica que el 30% de los suscriptores comprarían la revista ¿que tamaño de muestra se necesita? EJERCICIO14.- se desea realizar una encuesta de mercado para estimar la proporcion de amas de casa que prefieren una nueva pasta dental. Asimismo , se desea que el error al estimar la proporción no sea mayor que 2% con un coeficiente de confianza de 95.45%.el departamento de ventas hace la hipótesis preliminar de que cerca del25% de las amas de casa podrían preferir el producto. Si cuesta $500000 poner en marcha la encuesta y $.500 por entrevista, ¿Cómo debería costar toda la encuesta?

EJERCICIO15.- se planea una encuesta para estimar la proporción de los profesores de la universidad de san marcos que desean tener seguro medico familiar. También, se desea que el error de estimación no sea mayor que 6% con un coeficiente de confianza de 0,96844. El director de personal hace la hipótesis preliminar de que cerca del 70% de los profeores podrían preferir el seguro medico familiar. Si la universidad debe pagar $10000 por cada entrevista ¿Cuánto debería costar toda la encuesta? EJERCICIO16.- debe obtenerse una estimación de la proporción de artículos utiles en el inventario de exedentes almacenados en condiciones desfavorables la estimación devera ser correcta dentro de un margen de tolerancia de +0,05 y confiable al 95%. El inventario total consta de 10000 articulos y se cree que la proporción de artículos utilizables todavía es 0,30 ¿Qué tamaño de mustra es necesario para obtener un estimador con la exactitud requerida ? EJERCCIO17.- el director de la biblioteca de la universidad de lima quiere calcular el porcentaje de libros de que dispone con fechas de publicación de 1980 o anteriores . ¿de que tamaño debe tomar la m.a para que se tenga un 97% de seguridad de quedar dentro del 4% de la proporción real? EJERCICIO18.- una librería recibe un embarque de cierta marca de bolígrafos baratos del fabricante. El propetario desea estimar la proporción de bolígrafos que están defectuosos. Se prueba con una m.a de 400 boligrafos y se encuentran 40 defectuosos. Hallar el intervalo de confiaza del 97% para la proporción de bolígrafos defectuosos en el enbarque. Si el embarque se puede devolver en caso de que aparesca mas de 6% de defectuosos, entonces con base en los resultados de la muestra ¿puede el dueño devolver el embarque? EJERCICIO19.- para determinar cuantas en un pueblo joven de 10000 familias califican para recibir canastas alimentarias del ministerio de agricultura, se tomo una muestra aleatoria de 360 familias. Se encontró que 98 de esas 360 familias. Calificaron . calcular limites de confianza del 90% para el numero total de familias de este pueblo joven que califican para las canastaas alimentarias. EJERCICIO 20.- un departamento de mercadotecnia se interesa en determinar el tamaño de un mercado para un nuevo producto que tiene poco atractivo para el publico pero cuya utilidad unitaria es especialmente alta. Una encuesta de consumidores sobre 2000 familias indico que 30 de ellas comprarían el nuevo producto. El area de mercado considerado comprende de 5000000 familias. Estimese el numero de familias que comprarían el producto. Use los resultados de la encuesta para determinar el intervalo de confianza del 97% para el numero de familias que comprarían el nuevo producto. EJERCICIO 21.-se afirma que tan solo 700 de 2000 proyectos serán llevados a cabo por el gobierno debido a un recorte presupuestal. Sin embargo, es muy importante que se prevea esto, en tal sentido.

a) .- construya un intervalode confianza para la proporción de proyectos que se llevaran a cabo. Con una probabilidad del 10% de que el verdadero valor del parámetro caiga fuera de los limites . b) Supóngase ahora que de 4000 posibles proyectos, se extrae una muestra de 2300, determinándose que de tales solo podrían llevarse a cabo 600 (debido al recorte presupuestario). ¿Cuál seria el intervalo de confianza para la proporción de proyectos que no sse podrán llevar a cabo? EJERCICIO22.- se desea averiguar, en base a un muestreo estratificado en colegios estatales y particulares, las preferencias de los alumnos hacia ciertas emisoras de radio FM. Sse toma una muestra de 1490 alumnos de secundaria de los cuales, 1000 pertenecen a colegios estatales y 490 a colegios particulares, encontrándose los siguientes resultados. radio Doble nueve Panamericana Estudio92 Super FM rbc FM estéreo lima 100 sanborja FM exelsior 1160 FM otras Total

Total 4,6% 17,2% 5,7% 7,3% 12,6% 1,9% 2,3% 1,5% 14,0% 32% 100%

particular 6,4% 20,4% 8,9% 10,2% 14% 2,5% 1,3% 1,9% 14% 20,4% 100%

Estatal 1,9% 12,5% 1% 2,9% 10,6% 1% 3,8% 0,9% 16,3% 65,4% 100%

a) Construya un intervalo de confianza del 95% para la proporción de alumnos que prefiere panamericana FM en los colegios estatales y particulares a la ves. b) Construya un intervalo de confianza del 90% para la diferencia de proporciones de alumnos que prefieren RBC FM en los colegios estatales y particulares. En base a este resultado, ¿se puede decir q ay una diferencia significativa en cuanto a la preferencia? EJERCICIO23.- una empresa de estudios de mercado quiere estimar las proporciones de hombres y mujeres que conocen un producto promocionado a escala nacional. En una m.a de 100 hombres y 200 mujeres se determina que 20 hombres y 60 mujeres están familiarizadas con el articulo indicado. Construya el intervalo de confianza del 95% para la diferencia de proporciones de hombres y mujeres que conocen el producto. Con base en resultados. ¿se estaría inclinando a concluir que existe una diferencia significativa entre las dos proporciones? EJERCICIO24.-una compañía tabacalera afirma que sus cigarrilollos marca A se venden en un 9% mas que sus cigarrillos de marca B. si se encuentra

que 45 de de 200 fumadores prefieren los cigarrillos marca A y 21 de 150 prefieren la marca B. calcule un intervalo de confianza del 97% para la diferencia entre las proporciones de ventas de las 2 marcas de cigarrillos y decida si la diferencia del 9% es una afirmación valida? EJERCICIO25.- una muestra de tamaño 600 seleccionado entre los alumnos que habían consultado al servicio medico de la universidad nacional de san marcos durante el año pasado indico que 160 tenian una enfermedad de naturaleza sicosomática ¿con que grado de grado de confianza se puede afirmar que 20% a 28% de todos los alumnos que consultaron el servicio medico el año pasado tenían una enfermedad psicosomática? EJERCICIO26.- de una m.a de 150 universitarios. 105 dijeron que en alguna parte del universo tenia que haber vida. De otra m.a. de 200 jovenes de la misma edad pero que no eran universitarios, 120 dijeron lo mismo. Construir el intervalo de confianza del 95% para la diferencia de las proporciones poblacionales. EJERCICIO27.-la empresa de muebles sancos S.A ofrece a sus clientes dos opciones de pago: la opción A consiste en pagar a 30 dias con un descuento de 5% y la opción B consiste en pagar a 60 dias sin que se le otorgue ningún tipo de descuento. La gerencia de la empresa desea recopilar información acerca de cada opción de pago y estudiar la diferencias entre ellas. Le interesa el monto promedio de las facturas de los clientes y el porcentaje de facturas superiores a $.10000. Si se selecciono una m.a de 15 facturas de la opción A y 14 de la opción B con los siguientes resultados. Opción A

Opción B

¿Cuáles son sus conclusiones acerca de : a) La proporción de facturas de la opción A mayores a $ 10000? b) ¿Es la media de todas laas facturas de la opción A igual a $ 10500? c) ¿Es la proporción de facturas superior a $ 10000 de la opción B igual a 0,45? d) ¿existe una diferencia en el monto promedio de las facturas entre las dos opciones de pago? e) ¿hay alguna diferencia entre la opción A y la opción B en la proporción de facturas con un monto mayor a $. 10000? EJERCICIO28.- una compañía tabacalera desea determinar la efectividad de su nuevo proceso de producción. Entendida esta como la consecuencia de mayores clientes de su marca dentro de los hombres y no de las mujeres. De 600 mujeres encuestadas. 300 indicaron que fumaban dicha marca. De 400 hombres fumadores encuestados. 200 indicaron que estaban fumando esa marca. ¿a que conclusiones podría llegar usted?

EJERCICIO29.- el sindicato de empleados de la universidad de lima sospecha que hay mas hombres que mujeres que trabajan horas extras en distintas oficinas de la universidad. El sindicato plantea su queja a la oficina del personal sobre la discriminación de las mujeres al asignar el tiempo extra. El sindicato y la oficina de personal acuerdan usar una muestra aleatoria de 175 mujeres y una de 250 hombres usando los registros del año anterior para decidir sobre el asunto. En las muestras aleatorias se encontraron que 23 mujeres y 32 hombres trabajaron el tiempo extra. EJERCICIO30.- en un estudio para evaluar los efectos de incluir una modelo en los anuncios de automóviles se mostro a 100 hombres la fotografías de los automóviles de precio color y tamaño similares pero de distintas marcas. A 50 de los 100 hombres (grupo A)se les mostro uno de los autos con una modelo y el otro sin la modelo, mientras que a los restantes 50 hombres (grupo B )los dos autos se les presento sin la modelo, en el grupo A, el auto mostrado con la modelo fue considerado mas caro por 37 personas, mientras que el grupo B el mismo auto fue considerado mas caro por 23 personas .¿indican estos resultados que incluir una modelo influye en la percepción del costo por automóvil? EJERCICIO31.- la empresa cepsi S.A el año pasado inicio una campaña intensiva de publicidad basada en el “reto cepsi”donde cada consumidor desidia su preferencia entre esta bebida y la de la competencia. Al final de la promoción la empresa cepsi S.A en su publicidad afirmo lo siguiente: “ se ha demostrado con un error máximo de 1% y con 95% de confiabilidad, en una muestra de 5000 entrevistados, el 51% de las personas sometidas a la prueba de desgustacion prefieren la bebida cepsi por lo tanto se verifico la preferencia de mas de la mitad de las personas en la población” Revisando los cálculos necesarios, el INDECOPI acuso a cepsi S.A de emplear una falsa publicidad que ocaciona competencia desleal entre ambas marcas a) ¿Cuáles fueron los argumentos estadísticos que utiliso INDECOPI para presentar la acusación contar la cepsi S.A ¿ b) Si la proporción muestral se mantiene. ¿Con que tamaño de muestra como minimo . la firma se hubiese liberado de la acusación? EJERCICIO32.-en una encuesta de opinión publica se invita a 100 personas de 1000 a expresar su preferencia por los productos A y B, 30 personas prefieren A: de esto se concluyo que entre 210 y 390 personas de la población prefieren el producto A ¿Qué coeficiente de confianza se uso en este informe?

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