Precis-thermodynamique.pdf 5e5x5

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La remp&ature Celsius 2.:., notee e et exprimee en degrts Celsius.:', se dl:duit de Ia templ:raturc absolue T, exprim Ce en kc:lvin$1 par : r("C) = T (K)-273,15.

E.3. Proprietes des gaz parfaits E.3.1 - Equation d'etat I...es diffl:rentes lois historiques pc:rmettent de retrouver) a partir de considl:rntions experimentales,l'eQuation d'etat du gaz parfait:

l pV =nRT : Les isothennes d 'un gaz parfait som done : - des hyperboles en coordonnees de C lape)TOn, - des droites paraltCles 3 l'axe des abscisscs en coordonnCes d'Arnagat.

E .3.2 - D ens ite La de.nsite d'un gaz est le rapporc de Ia masse volumique p de ce gaz ilia masse volumique de I'air, choisi com.mc rCicrencc, dans Jes memes conditions de tempC:rature et de pression : d

...

= P...

p,.

La masse volumiquc d'unc masse, de gaz parfait, de masse molaire M, occu· •.t ' panl un voIume 'l.,.,t sc-ent :p

=

' "' R · T ,on d cun "d . : V, et putsque p · V = M.

IJI

I = ~=e! : p

V

R · T"

En appliquam cc n!sultat 3 I' air et aux gaz assimiiC:s 3 des g
vient : d iu. =

~P, et en utilisant le fait que M ..u ~ "'

29 g · mOI "1

:

- M,.. 29

d

IIU. -

La densitf par rapport

a !'air d'un gaz parfait de

s'exprime par :

I M....,

masse molaire M.

en g . mol- 1 •

E. 3.3 - Melange ideal d e gaz parfaits H. Hotammel\1 il n'y a pas

de rhttion ttlilnique entre "' moli culn de

g..-.

Un mCiange de gaz parfaits est idtal s'il n'y a pas d 'intc-racrion entre les molecules des difftrents gaz 24 • Soit n; Ia quantite d e matii:re du gaz; et n :;;

r_,, Ia quamilt de matiere cotale

' gaz est caracct rist dans le dans un mtlange idCal de gaz parfaits. Chaquc melange par sa fraction molaire x ; tt lle que : X,:;;; -

11;

:;;;

tl ,

I •. "

I·Hdifi!!.i·i·* La pression particlle p, du gaz i dans un mC.lang:e ideal de gaz parfaits est Ia pression qu'aurait Je gaz s'il oc:c:upait seulle mCme vclume rom!.

En appHquant Ia loi des gaz parfaits, on obtient : p,·

=

II;· R · T

v

"· , . R. T II , p, = - ' = - 'p = x, 'p.

d 'oU:

U

V

II

11 est Cg
II· R· T

v

L "· · R· T

v

;;; !,p,

d'oU : P :;; !Po.

Loi de Dalton La p rcS$ion 1or,alc p d'un melange idCal de gaz parfaiu est Ia somme des p ressions par tieJies p, des ditrt!rentS gaz : P = L,p, avec P; • x, · p ( x,. fraction molaire du gaz ;).

E.4. Un m od ele d e gaz reel : le gaz d e Van de r Waals Pour css~cr de repr6;enter mathCmatiquement l'holution de la pression en fonction de la rempt rature ec du volume pour les gaz reels, plusieurs formes d'equation d'Ctat om CtC proposCes, a partir de deux consid~mti ons: - Lorsque le volume ofTert au gaz varie, c'est sculemenr Je volume entre les molkuJcs qui varic ; le ~t·olume minimal incompressible est le volume propre des molecules ou covolume, note b pour une mole de gaz:. - Lcs forces de pression dans un gu rbel ne son.t pas seulement dues aux: chocs, il existe des interactions d'oU Ia considCration d'unc pression interne l't. 25. Johannes Van de Waals, plly$i~iun nterlanlhis (1837 ·1923), 8 6tabli son iquttion cntet du tlulde rteJsuite 8 ses traYaux $UIIes inttrfction$moliculaires. & BeatXoup d'eutres modtles

de gu riels existent en donnant. par t.tempte, •Ia pression inteme ~ diflitentts expres.sioM.

Van derWaalsu a propose d'exprimer 1t sous Ia forme : n = ~a (a coefficient molai~ dcndant du gaz) u .

IMI.ii!JifJ L'equatioo dcV~n der\Vaals relative 3 une mole de gaz rl!:el apporte del tcrroes cor~ctifs 3 la pression et au .,.·otume: dans )'eQuation d'etat du gaz parfait et s·~crit: (V - h) = R T.

(p+;T,)

Pour 1t moles, ce:tte equation devitnt :

(p+"~·:a} (V-, · b) ::;;: , · R · T . E .S. Coefficients thermoelastiques d 'un fiuide r eel

Z7. On dtlinit en gt niral trois coefficierrtlS mermoila~iquK. I.e uolsieme. oot6 P., ne fai plus

L'Crude expCrimemale pe.rmettam d'acceder a t'~q uation d'etat d'un fluide rttl consiste a fixer un des paramerres, p, V ou Tt et 1i. etudier les variations simultanees des deux auues. Ces mesures permettent en premier lieu de dCtermincr les coefficients thermoCia.stiques du fluide.l'f.

partie du ptOQJamme de cent I Mit.

Le coefficient de dilatation isobare a reprt:sente La dilatation relati\'e du ftuide;, c'est..a-dire Ia variation de volume relative en fonction de la temperature, Ia pression restant consrantc. II s'exprirne par: 1 (av) <>•v·;;r ,·

Le coefficient de comprcssibilltC isotherm.e. XT reprC:sente PinHuence

re-Jati,·e de Ia pression sur le volume) a temptrarure constante. n s'exprinte

l

par:

XT =

_.!. ·(av) . v

ap T

Le volume diminue lorSque Ia p~sion augmente et le signe •- • permet de dCfinir un coefficiem XT positif.

Cl\llpltre I 0\1 ga: parfait au tluide r6el

Coefficien ts ther moeta.sdques du gaz parfait Exprimer les c-oefficients a et XT pour un gaz parfait. Solution u· R·T Dans le cas du gaz parfait : V = ::.....:.:..~ p Application 3

On dtduit:

(ro,. "/ . ~ v R = - -- = - (~~)T I>' p

(l :

I

V

v·T

:

-. p I

II '

F. Phases condensees venergie interne d'un fluide rCel, gaz ou liquide, ne depend pas seulement de Ia tempCrature. Dans la mesure oU il existe une Cquation d'Ctat f(p , V, T ) ;: 0 , les ..,ariables pression, "'olume et temperarure s.on.t Liees et il suffit odors de cboisir, en plus de T, une variable parmi Vet p pour exprimer l'tnergie interne. Usuellemem, I'Cnergie interne est exprimCe en fonction de Ia temptrat'u re T ec du volume V. Dans le cas de phases condens.tes, liquides ou solides, Ia pression a une influence tres faible sur le \'Oiume et le coefficient de compressibilite isotherme est faible, par exemple pour le cuivre, XT = 7 ,2. I0- 12 Pa -•. Pour une phase condensee, tors d 'une tvolution infinit(s.imale reptisentCe par une variation de tempCrature dT et une variation de volume dV, on nt-gljgto Ia contribution du volume a La variation d't:nergie interne dU.

ues

En premil-re approximation, l' ~nergie interne d 'une pbase eondens~e ne depend que de La reJnperatute et s'tcrit : dU = C v · dl".

Cenc: relation s'inregre entre Its templ!raturts T 1 et T 1 de facon a determiner la variation d•energie interne. Si Ia capacite thennique Cv est assimirec 3 une constante dans le domajne de te.mpC:rarurc considCre, il viem : U (T ,)- U(T,) = Cv(T,- T , ).

L'essentiel .I ModCI~ du f:UZ parfait monmuomiqu.:

• Un gaz parfait monoatomique e!i t constituc! d'un ensemble d'atomes cunsidhCs comme d es particules ponctuelles sans interaction cncrc eUes.

• Dansle m<,dtle du gaz parfait monoatomique, iJ faut, en outre, que Ia repartition des atomes soic u.niforme et que leurs vitesses soient isotropes. • Les \rltesses des moU:cuJes d•un gaz parfait sont telles que :

v11

u > 'V-r >tit~

\rlt~se

Ia plu.s p robable vlttc m oycnne u = J{ v!) : vitc:ssc: q uadratique m oyc:nn t :

.I Pression dnetiQliC

• Dans un Ruide au repos, Ia force entourant un point M s•ecrit :

dF

subie par un element de- surface dS

dF : force cxcrcee par lc: flui de (N) p : p ression exertte par le Ou.ide en M (Pa)

dF =

p · dS ·

u; = p · dS

dS : surface t!lt!mentaire tntourant M (ml) f4 : vectc:ur unitaire orthogonal 8 dS e t o rient!!

vers le so1ide • La pression clnCdque p ex:eroee par un gaz parfait monoa.tomique sur un

etemem de paroi du recipient qui le contiem vaut : N : nombre d'atomes de gaz N m·u! v: volume du recipient (m 1)

P=V- ·l -

/

T~"lll~r

m : masse d 'un :tto me de gaz (kg) u: vitesse quadratique moyeone (m • s -1 )

cinetique

• La tempUa.ture dn~tique Test Ia manifestation macroscopique d e l'agita· cion moiCcul:.1ire. Dans le c:.1s d '·un g:.1z parfait moooatoroiquc, cUe s'exprime apartir d e J'energie cinecique moyenne d•un atome :

..!. . , ., ! 2

= ! . k·T

2 avec: k = 1,38 · to-:uj · K -• eonstante-de-Boltzmann.

• L'unitC SI de tempCrnrure est le kelvin (K) dont Ia reference est le point triple d e l'cau fix.! it 273, 10 K. La corrcsPQndance entre lcs r chellc:s kelvin et Celsius s•ecrit :

t(•C) = T(K) - 273,15. /

Sysr.:m~ ~n ~quillbre

thermodynnmique

• Lorsque 1'
- des grandeurs extensives, qui d(:pendem de Ia taille du systeme (1e volume, It~ quantitl: de matiere_, Ia masse, ...) ;

Ch.apute 1 Ou OIU parf&!l au Huide tel! I

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- des grandeurs Intensives, qui ne dtpeodent pas de Ia t11ille du 'YStWlc Oa pression, la tempCrarore) 111 mast:;c \-'Oiumiquc, ... ) .

./ PropritlH dC"fi: RU parfahs • L'&luarion d 'ilat d·un gu parfan relit la pression p du pz., lt \"'iumt V qu'd occupc tt sa tanphonm. T par :

p V :

11 •

R T

p : pr<$5100
• En coordonntct de Clapeyron (V en abscisse, pen ordonn~c), IH lsot.hcrmes p (V) du ga:e parfait (T constantc) 110nt dc:s hyperboles. En coordonnecs d' A.mAKIU (p co ;.bscissc, p · V en ordonn~e), cc sont des droites horizonmles.

• L'incraie lm·c..ne U d'un a.~ parfait, cxprlmtc en joule (j), est In &om me des Cnergies cinttiques de to us les otomes. Ellc ne dtpend q ue de Ia tempfrature1'": U • Cv T

, : quantitC de matiere m mole (mol) Cv : capacitt thermique a volume oon.suam (j • K T : tcmpenrure eo kelvin (K )

Pour une mole de pz par{an moooatomiqut : Cv a

t.

mol

1)

%·R .

• La de:nslt~ d'un au tst le rapport (sans unitt} de Ia masse ''Oiwmque p de- CC' pz. ll ccUc de l'a.ir dans lcs mfmes conditions de tempUaw:re Tel dt prnsion p.. Pour Wl(IU pa.rfai1 de tnaSSt' molaiR: M.,. Ca • mol •) :

d- =

"if .-·ec

M.

~

29 g · mol '·

• Dans un m~lanac de gu parfaiu idtal, La pression partieUe p, du a;t:t; est Ia pression qu'aunlit Je gotZ s'il occupait seul lc mCme volume tot21. La pression tolalt p du mClange est Ia somme des pression.s p11rric:lles p, des diffCrents gaz (loi de: Dalton) : p •

LP, QVCC

p, ~ x 1 • p (x0 fraction molaire du gaz J'),

./ A ui
(p+~,)-(V-b) = R · T oil best lc \'Oiumc propre des molkules ou tt •

= ~~

C:St

('()V()]um~

la pn:uion intemt~ rd.ultantc: des fore~ d'intencrion.

• l..es corfficl~n•s th~rmotla.Jtlque:s d'un ftuidt SOOI

:

(i¥), (coollida>t de dilatatiotl isobaruo K lT~ - ~ ·(~)T (cocffidc:m de compressibilitC isothermc e:n Pa 1), a •

~

1

)

./ Pha!tc~ cQnden~CII

Dan.11le cas d'une phaK condensCc dont Ia te:mpCrnrure varie de dT~ on nCa,ligc gCnCrntcmcnt Ia V'Urintion de: volume:. La wriation d'C.ncrgie interne s'c!crit alurs : dU

= C\' · dT.

Mise en <Euvre Methode n" l

Comment determiner les caracteristiques de deux gaz parfaits en equilibre ? CoosidC:roos deux gaz parfaits sarC:s par unc paroi (piston mobile ou paroi pennhtble a la chaleur). Apn!s un dq,Jaceme.nt de ceue paroi, on etudie Je nouvel tquilibre obtenu.

-t Savolr fal re

r-----------------------------, a 0 Ecrin: I'litC CQITespondant l'~tat d'Cquilibre des deux ftuid c:s :

I

- dans le cas de deux ftuldes separes par un piston mobile sans Cronemems, il y a equilibre 1 mCcaniquc, cc done CgalitC des pressions, entre lcs deux Auides, lor5quc lc piston est immo1 bile. -dans Je cas de deux ftuidcs sarCs par une paroi pcrmCablc i Ia chaleur, iJ y a Cquilibrc 1 thermique, et d one Cgalit~ des tempCrarures, entre lcs deux Huides Jorsque l'Cquilibn- global

eSl aneint. 8 Ecrire I'eQuation d't-cat des gaz parfaits pour chacun des deux gaz. e Ecrire les eQuations supptemencaires qui soot ntcessaires a Ia determination des inconnues. Ainsi, peoscr :i. utiHscr Ia conservation de la matiCre dans un systtme fermt. 0 RCsoudre le systCme d'Cquati<ms obteou puis ri:pondre prCcisiment :i.la question.

~ - ------------------------ - ---~ -t Application Deux rtc:ipitnts, notes ( I) et (2), de meme volume V :: 40,0 mL Mmt rtlits par un tube fin de seccion s = 20 mm1 et de longueur L = 40,0 em. Us contiennem un meme gaz parfait sous Ia pression p = I,00 bar li Ia tempC..raturc T = 300 K. Ces deu.x rCcipienrs sont sarC:s par un petit ind ex de mer cure d e dimen!)ions nCgligeable1 initialemeot place au centre 0 du tube. L

"2

L

Or

' (l l

1) Calculcr Ia quantitC de matiere, en mole, de gaz contenu dans cbacun des deux rt<:ipients. 2) On PQrtc: le recipient (1) 3 Ia tempCr:nuJc T ' = 350 K . Calculer Je dtplacement x de l'index de

mercure. Solution

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1) U volume •ot.al de: ch1que ridpienr., rube compris, C':lt : v, c V+s ..I. .

2

A

l..l'

o.-. re,-r Ot ob

,.. .,

I

•

C<

'tS -f'S Q' a"'ICieUI'1 $0f"'lf" .....

I"Aot;l~

d

"

.:lml.

On applique Ia lo1 des pz parfaits i l'un des deux tecipienlS pour obtenir Ia quantite de matiere :

• p · V, = I)OO · l0sx44 · 10 • R ·T 8,32x300

6

I ?& · IO•' I ' mo ·

•

2) 0 L'indcx de mercurc se d~p l acc de maniere a Ctrc en tquilibrc done ahrc soumls a une pres.. sion idenrique de Ia part des deux gaz. L: gaz contenu dan.$ lc rCcipic:nt l , de pret.~ion p' :1 Ia tc:mpCr.1rurc T ' C:lt alon en Cquilibrc mCcanique par rapport au ga.'l. du ~cipicm 2. de pression p' a IB tc:mperatureT. l!l t.•equarion d·euu .-ecrit : - pour le gaz du coro.pa.rtimcnt I. p· · V1' = n · R · T' ; - pour Je p.z du companimesu 2, p' · Vt' = n • R • T . On a obtmu un systl-me de dtu¥ l:quations a trois incon.nues : p '• v ,· et V2'.

e On sait que : V 1' =

V+-s(i•x)tr V = V+ 1( ~ - x) 1'

oU x esc te depllec:mcnc de l'inda. On peut alors tcri.rc lc sys.ttmc suivant :

p· · [V+s( ~ + x)] s " p·

[v+s(~ - •)]

R · T"

= 11-R

T.

0 Pour ~oudre « ll}'lltCme, on rait le rapport des deux eq uations :

V+s(;+x)

T'

vu ( ~ - x)

T

- -:-:---:-•-

T[v+s(~u)] = T[V+s ( ~ -x))

d'oU

V (T -T")u ~ (T -T')

• -u (T + T ·) .

(v.,~)·
p~t;:

• ·(T"+T)

m

ll d ltJfttJOft clu GI-l dins"' ,.CIOJtnt $01JS reffet dune augrn.ff\111 on ... leremptraMt tmtr-e un di!placemerrt de r •ndtc dt l!'ltrcurt dans le sens pei1t1f dl! ra.x.e Ox.

Applicatim• "llmin'quc :

" •

(40,0 +20 · 10·'x20,0)(350 - 300) 20 · 10· 2 (350 + 300) • 16•9 em .

·.t;:

Les volumes i!lant en em et tes $urfaces an ct"'l1. on obtlent x en em.

Methode n"2

Comment calculer un coefficient thermoelastique a partir d'une equation d'etat? On connait J•equation d'Ct:at d•une mole de gaz riel dont on soubaile calculer un coefficient ther· rnoelastique.

-+ Savoir faire

r----------------------- ------,

1 0 Ecrire l'exprtssion du coefficient dem.nnde.

I

@l

I

1

Apartir de I'Cquacion d'Ctat du fluidc, rcchercher si I'expression deJa variable 3 dCriver est faciJemenc accessible. Pat exempleJ pour caJcuJer le coefficient a = ~ · (~) , il est neces..

I

sairt d'exprirner le volume V en fonction des auues variables.

I

Dans Je cas o U cene e."<prcssion est difficile o u impossible

'

a obtenir, chercher a utiliser Ia

dCrivCe partietle inverse :dans l'exemple ci-dessus, pour utiJiser La de!rivee partit.lle faut exprimerT en fcmction de V. 6)

I

(~) _, iJ

I

'

1

Calculer Ja dedvee partieUe et reponer d"ns Pcxpressioo du coefficient thermOOlasciqtle.

I

~-----------------------------~ -+ Application Exprirner le Cj)Cfficient de compressibilht isot11erme X-r pour une mole de gaz teeJ suivant l'equa.. tion deCisusius: (p+T~V2)-(V -b) = R · T. Solution 0 Lc coc.fficicm de comprcssibiHtC isodlcrmc s'Ccrit :

XT = @

- ~ (~V) · dp T

A partir de I'Cquation de C lausius, il n'est pas possible' d'e.xprimer V en foncrion de p pqur caJ-

cuJer Ja derivCe partieJJe (~~')T. En revanche, il est aise d'OCrire :

R·T p

=

a

V- b- T·V''

cc qui pcrmet de calculcr (;~

)T.On peut cnsuite dCduire: 1 (av) ap ., = (ap) · av T

$ La dCrivee partieUe de p par rappo rt a v, a temperature oonsUlnt'e, s'ecrit :

!Je.) (dV

T

On d edujt :

Ch.t~>oitro t

Ou g.ar parfM Du "" de n.~el

=-

R· T 2a (V - b)'+ T · V' . I

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Comment calculer une petite variation thermoelastiques?

a partir de coefficients

On dispose d'un ftuidc nX:I dont un ou ptusicurs coefficients thc.nnoetastiqucs sont connus. On 50Uhaite c::atcukr Ia \"'riitlOn d '~ des grandeur$ (\oolumc, tcmp(:rm.rn:, pra..s100) ~ au ftuide. -t

S.avoir fa ire

r-----------------------------~

1 0 R.ec.bm:her panna lc:s cocffick:nts thcnnoi-las.riqu" celu1 qui correspond AIa \-:arianon i. trul di~. Par c:xcmptc, coruid&t>ns La 'wiation de \"'iume AV due 8 unc: variation de tcmpCntun: AT, Ia pression mtam constaate. L'in.Huencc de la temptrarure sur lc volume, i prmion

I I

• · m· ·

constance, Ci t rrc&cnl<::e rna cmanquemcm par

(av) err ·appanalt' dam 1c QUI

ffiCJCO( ' a..

<;OC

1 $ Si Ia variation relnt..ive de tentperature est rfti faible (moim ' de I %), il en souvtom pos-sible 1 I d'assimiler le mppor1 dc5 v~niadons macroscopiqucs {!Ju dCrivee parriellc. I I

I

A'U\51.1 d31)$ I'CXC:l'npIC p rcoe • ' d Cnt1 'I · 'Ic r ( i1f' "V) I C:Sl J>OSSI'blC d' :15Siffil

Cl

tl.V &=r·

I

, Ct C:Jiculcr Ia varla.t:ion dC5lrk en utilisam lc cocfficicm thcrmoCI:aniquc: appropriC. 0 VUificr que II \'lriation obtenue C$1 Dis faible a fin de \'>llidt:r lo methode utihsCc.

~-----t Application

I I

-----------------------

I

Ca.lculc:r ta \'Via don a:ubt~e par un \'Oiumc: V = I 0 mL de: mercurc k)nquc Ia prcsston mvironnantevaric:de I ,OObarit,Ot barAiau:mpbuureT = 298K.

Donn« : le coeffid ern de cumpi'CSSibilitC isothcrmc: du mcn:urc

x.,. • 3,9

10

11

Pa

1•

Solution 0 On \'t\Jt dCtc:muncr Ia \'lriation de volume associC~ 3: unc: augmcntooon de pr-ession_, soit dCter-

miner It rapport

~ pour une cernptrature T

= 298 K . L'inHuence de Ia pression sur lc volume

;.pparuit dans l'exprnslon du coefficient de comprc~'iibilitC i'Othcrmc: XT • -

(~~t =

II ,;em :

- JC·r · V·

(ID,.

A tcmpC.ntturc: oon5tante :

V~t .

c:

:~ .

8 En assimilantlcs varunions de \'Oiume et de pression oonsidt:rffs a dc: peutes \'ariations~ iJ vient:

(~)

T

=dV dp

=

6V =- XT • V . /lp

e On cledult :

p If' ~ sc

•

I pt

r te,.,-' COr-M'

"

~

Vo

0 La variation de: volume esc ues raible et justifie J'utilisation d•unc tcllc mCthodc. De plus~ te volume l:uant donnt avec deux chiffrc5 significarif:'i, un cQrrec:tif uu sdC.mc chiffrt aprd Ja virgule n'aurait pns de sens.

•

erczces I>oclnCcs a~ uilln pou.r 1cs applieauons n~uo : - nombrc d'A\oogadro: ,t( • 6.02 · IOU mol 1 ; - constantc de Bolwnann : .\ • 1,38 · 10 1 ' J• K 1 ; - cooJtamc dn 1~1 ~rfaics : R = 8,32 J • t{ ' mol ' o

- acttlttauondtb.pcsantcur : t = 9.Sim

1 1•

Ex. 5 Calcul d'une vitasse quadratique

Q.C.M.

moyenne

A Ia tc:mpC.n:turc T, un riclpicnt conticnt 2 mOld de

&.1 L'Cneqjc ltltnne U d 'uM mok
a)

( M.-.-= 32g· mol 1 ). Au bout d'un tc:mp& ~ rnmt kJna, ta tc:mpCnnlre: est uniformt daJu ~ RcipienL I) Calc:uler le rllpport des viu::55C$ quadradque• m~nnes de.' co p.nkulcs. 1) [)&Cftllin,tt lc:s \-.Jeutl de$ VUftleS qu2dnuq\MS rnoya'U'lC$ pour UM t~ T • llO K .

«• :

t ·•··r ;

b)

~ · R ·T

; c:) C\' · T ; d)

j.,n · .,, .

d~ (M .._ •l2a·mol·•) us moles d'btbum (M ttt = 4 g · mol '). U vir.CNC quadntique mo)"CCM dnmolkulcsdedioxsa:t:n~~~~~~o, • 4SOm · • ~ • .

Calc:uler Ia vitc&ae quadratiquc moyennc.' des ~tome• d'~lium..

Ex. Z Vrai ou lowe ? I) La J)CUttOn ~Ut ftt pt"oponiotl.Mik i la ttm-

ptrarureT. l) La vitcllc quadratiquc moyennc d'un px parfait monoatomiq~ dl proportion~lk a La tl"ID~ra~ T. l) Lt: pun.mt par cuu:imM ~est unc uni.ti plus peUtc: qu.t k ~ pu m~ C'Ubt:. 4) L•intc:nsitt d'un coun~n• flectriquc: c:11 une grandeur intcn•h~. S) Lu courbc=s isotbc:rmcs d 'un su parl"•it Mmt des h,-pabolct ... ~ ck Clapeyron. 6) o.nsk -d'un . , . _ id
Ex. I Grandeurs intensives tltxtensins Ptnni les arandcun wiwnt~l, IHquelles $0nt intc:nJ.i· c:xtensive1: longueur, friquenee, masse, masse: rolumique:, indicc: de rtfracrion ?

\'e& et lesqudlc:110nt

Ex. 1 Rec:htn:ht dt Ia composition tfun alllego Le laiton c:st un alliJi~ de %ll.'K c1 de cuivtc:. On 1\l~ pose que Ia formation de cet aUI•1e n'entntn~ pas de variation de volume:. Un cylindtt de lahon, de: rayon r • 2 em, de hauteur It • 4.8 em., • \lM masse Ill a 500 • •Sac:hatlt que '" maut~ \'OJ:wniques du rui\-n d du zinc soru ~ vt:mmt 8,9 ct 7,1a · em·', dCterminct ~malin de cuivrc: c:t de: z.inc dans le cylindrc con.sidCrl!.

Ex. I Ec:hellts de temp6ralurt

N iveau 1

Ex. 3 Vrtuse quadratique moyenne e11emperature c.Jc:ulct pour lc dihyd~nc let vitcskt quadradques mo,--cnnc:t des rnolto.da aux umpCnuura T 1 • 300 K ec. T, • 600 K. DonMI : M (H,) = 2a · mol-•.

Ex. 4 Proportionnelil6 des vilesses quedrlliques moytnnes 1 _milanae d.ans un rkipcn1 des atomo

?::.

ct~uaon ~~. 40c. mo~-•) c:t dC'I mo1ecu1~ de: di~~

1) Qudk ~~ absolue: C$( k double: de: Ia tcm~~~28 ·C?

l) L'ttheUc de tcmpirarurt Fah.rcnheit c:st tcllc que : o • c-= 32 •p ; 100• c = 2 12•P. AqueUe ttmpnarurc rn dt:IJC:s Celsius c:otTCSpOnd la ~ 11•F ? (La tc:mpCnnu~ Fahrcnbat est u.ne ronetion hnbirc dt: b ttm,n.turc Cdsius.)

Ex. 9 Covolume d·un gaz monoolomique Lrs atomet de n~on. suppo~~b spi\Criquct,. ont pour nyon r = I ,6 10 .. m.. Cakukr k c=orolu.mc MtOcii

6 uno mole de nl< rel="nofollow">a.

Ex. tO Limiles de riquolion de Van der Waals L'~quation

de V.n der Waalt (lei pour une mole de

px) apporu: quelques • cot'f'«tions • par rappot1 i

\'cquarioo du a» parf:Ut:

c

(P+ ~) · (V - b) •

R T .

Dbnotltrtt que I"iqw;ooo de Van dcr'\'t'uk pn-r1'lct dc I"Cqu.ation d'fllt du pz parfait lonquc- La prculon tend val MJ'OU"O--cr

zero.

Tous In pz aont ClOOSidCftt. c»rnrne puWts n k mtean,c m auppost id&J. Dtttnniner ta pmsiocu particllcs des dtf'f'C:rmts gu cc Ia pr-c11ion totale.

DtmnJ«J : M( He) = 4&·mo1 M(Ne) • 10g · mo1· 1 ; M (N) • 7g · moJ-•. 4

'

Niveau 2

&.IS ~hllltO do IIUIIiire entre dew! recipionu

&.1t Veriltioa de vol111111 du cuivre Un bloc de C'l.livrr de voh.lme V = 20cm 1 n.t inidal~ mc:t'U aous La pression p • I ,0 I J bat i Ia rempfnnart:

T • 295K .

La Vlriati<ms awk:ag~ acront considetie• oomme d.n JX"ritcs variationL I) 0o pone sa tan~ a T ' = 2'9S,S K , iOUS 1,0 I ) bar. Detc:rmioer J'll\llll)mta:rioo de volume COP I'C'tpoodantt:.

l)

A partir de

l' itat initial, on ilm la prqaion de

o.o~o bar' 295 K. ~terminer ta variation de vol·ume

tOrretpondame.

Dott.Ntft : pout Je cui\l'l't, CJ. • 4,9 . 10·' K~ 1 ; XT • 7.2 · 10 u pa •.

&.12 eo.ticitwlllllm1061ntiq-

;

Un fttipmt de ''Oiw:rk V1 • 2 L at mnpli d'un au parfait sous la prusion p1 • 0,80 bar i Ia tempCra~ T 1 = JOOK.

I) Calculer Ia quanlite de maci~re, tn mole, du gu contmu d~ lc ri-cipicnt. 1) U rkipimt ~It noli ( l ), at rdit par un

rube de \ 'Oiwnt ~ l un rtcipicot (2) de ''Oiume V1 • V1 ct contt:mtu inltialcmc:nt k mime pz ~r(ai, ' Ia mbnt tcmptntu~ n tous b mftnc prnsion.

Le rtcip!cnt (2) est pont 6 Ia tcmptnrurr T 1 = l60K. On nta:Jiac In lcha~ lhermiqucs possibles entre lcs deux rttipicnta par fintennedi.aire du tube.

du ou

de Van der Wlllt Exprimer lu cocfficic:nta lhermo(.lastiques a ct :h pour une mole de an rtcl auivant l'equarion de Van

da-Waab : (P•~J)-(V - 6) • R · T

CaJculc.r 11 ~ a k$ qu.anmb ck maOCn: d.am cbaqut ~~ i l'iquilibn: mfantquc..

Niveau 3 &.II Etude d'une pompe

&.13 Dil~on du •rcure dens u•dlermotllilre

()a le' pt'OpON: ck CQnfter un potU de \'Oiumc intftinlr

V • 40 L au moyen d'WK" pompc doot 1c princ:ipt nt

l..c tube d'un lhermom~tr~ e.at totalemau rcmpU de mereure.

SC'htmatiH ci'"

On nC:aJi,at:ra Ia dllacttion du vern et Its V'lriadons scront cons~ comme des petites variltioos.. tm~

I) QutcUt ua b ·~ subit pu r~toppc: ck ~ knque b tcmpintu.rc •ucmentc ck 1 •c ? l) Bn auppos.ant que l'envck'lpJX' de \~ pcur tup. porter une surpression de 10 bars, qucllc aua:mcntauon de tcmpCraturc peuc-elle er sans ruptuh:?

Do•u•iu : - let d.t.trerunes d~ pardella torn lites par :

(~). {ffi. (ID, = - ·; &.14 M61onge et "''"ions partie lin b tnnp(nlUI'C' 8 • 2.5

-c :

.c

t~moq~l'lt,,

11

W'ltlllpneu

La prcu10n a:tmcwc-c:st Pt • I ,OI)bw ct 1·ait m: conskUri c:omme un C:H psrfah. lA corps de pompc a un volume V • I L et on nia:hac: lc ''Oiwne ~tam dMt 111. pom pc torsque tc piston eu enronc~ A rond. Lcs tNinaformations sont suppoate• OOthcrmes.

- cwftlcimts tbcrtnoilu:ciqun du mtteure : a • 1,8 · 10--1 K-' ; XT • 3,9 . 10· 11 Pa· '.

On metan~ cbns un ballon de volumt V

s, ,--:: s,

10 L , '

5c d"bCbum,
lnitiakmen~, lc p~too est compl~1cmcnt cnfooce ct le pncu contit.nt de J' ait sous Ia PftQion p..

I) Calc::ulet" Ia prusion dam k pn.na apris un allerretour du piston.

2) Qucl est 1c: nombrc de coups de pompc 8 donner pour ame:ner Ia pression in1tricu.rt ! 2p0 ?

Ex.17 Minima du produit p • V ettemperature de Mariotte l.'«Juation rtbti\•e a une mole de gazdcVan dcrWaals

s•C

(p+~)-(V - b)

= R· T .

2) LonqU<: les isOlt.w:nnes paSfot':nt p;:at un minimum en coordonnC:es d 'Ama.gat, rexinence de cc minimum est r~ti~~ par (~JT = 0 . a) DC:tcnniner Ia rt"lation en~ p ct ~ au minimwn d'uoe isocherme donnee. b) QueUe est Ll courbe dE:finjc dans cc S)"'Steme de coordonnCcs par I' ensemble des minima dn isother-

On sc propose-d'Ctudier ln isothcrmes corrtl!pOnd~n·

mes?

tes enooordonnCes d'Amagat p· V = f(p) . I) Afin d'eliminer Ia wriablc V de I'Cquation, on pose usucUement : p • V • y. ikrirc l' iquation d'C.tal de Van ch:r Waals en v:ariables yet p..

3) Calculer la temperature de Mationc T,.. de l'isothermc qui et une tangcntc horil.ontale i pt~:$-Sion quasi nuUe. Que pet•t-on dire des isothermes tc-JJcs que T > T,..?

Indications Bien cxprimcr Ia masse molauc dans Jc. SySlC:mc: tnle:rnOitKlnal~ tn kl.l mol- 1•

Uabscr Ia c:onscrvallon de Ia masse. Lcs volum" a'ajouteru. dant. ce ens.

Ei.:1JJ t ) A prtssion Cl)nn:Lme, (~) = assitnile:r i

ff, (lut: I'on peut

:~ pour de pculct' variations.

l) De mmte. i tempCniWJ'(' consrantc,

Commc: a l'cxerace I I, I« vanabolU Ctant ftubles. on ~ut assimiltt. a volume oonitant

~· et :.~.

Penscr Acxpnmer la C:('M«Vtltion de la quantitC de matiere totalc. Lorsquc J'equiJibrc m(ocanjquc est rtaJise. la pression (:St idc.ntique dtlns I~ deux n.·dpsent-t~.

Eli:r&:

(~) r •

:;

que. l'on peu( :3&,\:imile:r ll .A v pour a~ ~tilts \.--:tri3&p

Pcnscr Aapnmer l11 c;onscn.•J•uon de Ia quantitC: de m:uiere tou.le, ap.U u.n n.IJcr-N.':tOur, puiJ 4prb ,J alk-r-r-etours d u piston.

dons. I)

13i~

prendrt

~rdt:

6 Clnnincr tow1cmc:m V de

l>.ms Ia mcs\lf'e oU il est impossible d'exprimc:rV en ft;tt~ctlcm de T et p pow C~lc:uler lt:J J&ivfc• )»Nicllts conespondamcs. cxpri:lll('rT. puis p. en ronction

l'f!qulltiont t'n utilis:tnt lc fll1t que V

des aull"eff ntbbles ct. rolculer (~) et (2~)

/(p,y.T) = 0, il faut diffCrenei~ l'eltp~lon obtcnue pour fan-e ti.J'Ipo:Jrni:tre d.y ct dp ct co !..a dv d I;Uwrc

'

On en diduil

cntuih~ (ffi, et (~)T

.

T

-= l, p

l) :\prC:s II\'OI.r obtmu unc Cquanon de Ia forme

ap·

Copyrighted material

•

Solutions des exerczces Q.C.M. Exercice 1 vene~e

interne d'une mole de gaz parfait monoatomique s•ecnt:

U =~·R ·T=Cv·T 3 ' ' du gaz parf' avec C v = 2' · R capacu' 'e thc:rmJque moI aue aJL Les

r~ponses

b

et e soot done correcces.

Exercice 2 1 N · , · u1 3·k ·T ct que u2 = ::.....::......! 3 V m le carrC de Ia vites-se quadnuique mo)·enne qui eu proport.ionnel a Ia temperatureT.

1) Vrai puisque Ia pression s'ecrit p = 1) Faux, c'~s t

3) Faux:! g · cm ·' = IO()O kg · m ' · 4) Faux. La charge Clecuiquc est unc grandeur ad ditive, done extensive. Vintensitt, charge etectri· que a travers une surfs~ par unite de temps, l'est egalement. . pu1sque . .,' ) V ra1, p =

constance V .

6) Vrai, puisque Ia pression panic11e est de Ia forme p, = x, · p avec ic:i x,·

= I.

2

Niveau 1 Exercice 3 Pour unc molc!<:u le de d.ihydrogCne (diatomique) de masse m,l'energie cin(d quc moycnne s'Ccrit:

Ec =

2'I · m · u 1:

=

2'5 · k · T .

La vitesse quadratiquc moycnne u est done de Ia forme :

"= Comme m -X

=M

( H : ) et que R

pp:.

= k ·X, iJ vient :

"•r ·;:;.

X =

l ~T

Aux temperatures proposees, il vient : 5X8,32X 300 2 · 10 ~ '

"ooo =

= 2498 m · s ~ •

5x8,32x600 = 3532 . 8 _1 2 · 10 ~, m ·

Exercice 4 1} La vltesse quadratique moyenne s'exprime difTCrcmment suivant qu'il s'agit d'un e molecule monoatomiquc o u diatomique.

~ B•on v6riller Ia naMe des molecules dt1 gaz etudii avant tout calcul Pour l"argon, Ec

= 23 · k · T

tl

u,... =

m

~~.

Pour le d ioxygtne, Et = -5 · le • T e t Uo. = 2 l

l·R·T M0

On en d eduit :

u~

AT = u

uo ,

"i •

M,.... X 5

40 x 5

330 K , les vitesses quadratiques moyennes ont pour valeur :

=

"'

'

• JMo,x3 .p2x3 • 0 ,693.

u0 t 2)

.

3x8t32x330 = 454 m · s · • 40 X IQ- l

#5 X 8,32 X 330 ~ 32x IO·'

= 655

m

. 8• 1 ·

Exercice 5 Comme dans l'exercice 4, les vitesscs quadratiq ues mo)'ennes s'expriment sous Ia forme :

~

Comma dans l'e;xercic:e preetdem. l'b&lium, un gat monoato!TI4que neceS$ite le coefficient 3. et re dioxygine, un gaz d1atomique,le coetf•c•ent 5.

Le rapport des vitesses s'krit :

On deduit:

fM0 : : 986 m · s·• .

""~ : u0 1 • 4~

Exercice 6 Les g:randeun extensives (ou ad ditives) somla longueur et Ia masse.

Les gran deurs in tensives som Ia &equence, la masse volumique ct l'indice d e refraction .

Exercice 7 Les equations de conservation du volume et d e Ia masse s'«rivent :

v • Vc. + v,. {m = Po. . Vc. + p7.., . Vu.

(JJ

(2)

en dCsignant par Po. e1 PZn les masses volum iques respcctives du cuivrc et d u zin c. D'autrc parl: V = ( nr 2) · h = n x(2 · J0-2)2 X 4,8 · IO-l = 60,3cm l. E n rortan t Vr,., tirC de J•equation (I) dans I'Cquation (2), il vient : m = Pc.. · (V- V7..,) + p 7.., • Vz...

Chaplue 1 , Ou ga2 parfa11 au flu •de r!lel

D'oU:

cm, VZll-_ m-Pc.· V -_ 500-8,9x60,3 -_ 204 ' •

Ptn-Po. 8,9-7,1 Un calcul du mbne type ou une simple sousttaction conduisent 8 : Vo. = 39, 9 cml. Finalemenc : m z, = Pz.. · VZa = 144,9 g { me. = Po.· Vo. = 355,1 g .

Exercice 8 I) La tempC:rature Celsius 8 = 28oC correspond a T = 28-.. 273 = 30 1 K. La temp(:rature demandee est done 602 K 2) Entre 0 °C et 100 °C, les cent degrC:s Celsius corrcspcmdent a 180 op' entre 32 °F et 212 °F ,

~~t;:

La fusion et 1'6bulfrtJon de reau servant de refl!rence. ll faut interpoler entre les bornes en °F pour teire corres· pondre une valeur en •c,

Une (emperarure de 77 °F correspond a 77- 32 de La glace. Ainsi : 180 °F COITC$pondent iJ. 100 °C ; 45 op corrcspondrom 3

= 45 °F au-dessus de Ia tempCrature de fusion

eoc.

O'oU : 9 e 4Sx

100 180

= 25°C.

Exercice 9 Lc covolume est le volume • propre • des moiCc'uJes, soi( le volume de J( spheres de rayon r, done de volume

'34 n:rJ.

v~x·( : · • · r')

o•ou : V

= 6,02·10 1' x; x x x ( 1,6 · 10- 1 ~)' : 10,3 · 10-• m ' c 10,3cm' .

..~'1"<.:

Une mole de gez occupe un yolume de 25 l a 20 oc. le cavotume est done negligeable clevant le votume total ·'( cx:eup6.

Exercice 10 LorSque la pression d'un gaz tend \'trS zero : - les inleractions entre molecules diminuent ; - le volume tend vers l'infini. On dtduit :

{

· ~ ~,->0 V»b=>(V - b).

Ainsi Ia limite de I'Cquation

(p+ ~2 )

•

(V- b) = R · T est :

p·V :

mole de gu parfait, lorsque la pression p tend vers zero.

·~t):

lorsque Ia press•on tend vers O,les atotnes s'6lo1gnen11es uns des auttes.

R · T, Cquation relative 8 une

Niveau 2 Exercice 1:...1'----------:---:---1) A pression constance, on peut ecrire :

(~), = ~· En assimilant les variations proposCcs

a des ·variations infinitCsimales : dV av - ~ dT aT'

·~Y:

On chefche (m6thode 3) quel coefficient met en 1eu l'inftuence de Ia tempSratUJe sur le volume.

O 'aurre part, le coefficient de dilatation isobarc: a s'ckrit : a

= v1 .

(':rr)V) . '

d'd . . 1 av II Vlcnt: Ct ., V · T ct on c uJt : 6

Application 11umbique : 6 V = 4_,9 · 10 · 5 x 20 · l0 4 X0,5 = 4 ,9. 10 •o m tJ.V = 0,49 mm 1 •

l

L'approximarion est justifiCc puisquc 1iV « V .

2) Comme pr«Cdemmcnt, on peut Ccrire, ii temperature constante :

En

·;y:

. ,_

p rem.t~;re

. . dV t>.V approx1mauon} dp = lip pour de petites variations.

On cherche (methode 31 Quel coeffic•enl mel en 1eu nntluence de Ia ptes.s10n sutlevufume.

('lV)

1 1 · d e compress•'b'1' · En uu·1·Jsam 1e coeffiCJent 11tc· ·ISO th ermc XT = - V · i)p T,..- V · av p , 1·1\'lent : 4 L1V ., - XT· V , !:J.p. AppJ.icariq, r1um£n'que: tJV = - 7,2·10 -12 · 20 · 10 ~ . 0 ,05· JO.S = - 7,2 · 10 u m ) tJV = - 7,2 · 10--' mm 1 •

-J;:

On peut remarquer que

j.V es-t tth faible : le.s solides sont peu compresSibles. - ,\ Y < 0 le w lume dimmue lorsque Ia pression augmente.

Exercice 12 A parnr de t•equatiOfl de Van der Wast$, il n·est pes possible d'exprimer V en fonction de T pour calcufer le • o: ~ V 1 coeffic1ent

("v) dT p

En revanche, il est simple d'ex.primer Ten toncnon de V. de cslcuter ( ~~) et d'en deduire (miuhode 2)_

Chapiue 1: Du 911: p11rf11t1111.1 fl uidc ret'!

.,. '

(f;) = _!_ ' ' (
P


• Calcul du coefficient de dilatation isobarc De l'Cquation de: Van derWaals, on tire:

a a·b]

T = -RI · [ p-V-b·p+V - -V t . En dCrivam par rapport aV a pression consmnte :

(fv), =

I

a

[

Za· b] .

R . P - V2 +-yr

Finalemem,l'expression de a s'&ril: CU

~ ·(~).: ~ ·(~") . ;;v ' R

Ot = --~-:--:-

v · [P - .!!... + '!!!..:..!) V2 V'

• Calcul du coefficient de compresslblllte lsotherme XT

A panir de I'Cquation

(P+ ~) · (V - b) ::: R · T, on tirt : R ·T a p = V- b - V'.

La dCrivtt partielle de p par rapporr aV a temphat'u re constante s'Ccrit :

ap) _-
Or !'expression de XT

= - ~ · (~;)T fait apparnitre (~~)T qui est eel que : t (av) ap • = (ap) · av T

On dc':duit !'expression de X·r :

x. = -~

(%¥t = -~ · (~)." I

Exercice 13 1) II s'agit d 'c:tudier l'influc:ncc de Ia tempC:rnrure sur Ia pression, calcuJer (~)v =

U

dans ces conditions.

eft • /lpT'

· · · 1n-our d e pemes \1lnauons, on a : d•

(l.

a volume constant done de

La relation proposee daos l'tnonce:

t.(~),. (mT

(~

= - I permet d'tcrire :

et en utilisant Jes expressions des coefficients a et XT :

D vient :

On dCduit : I!J.p

·~t:;:

= 4,6 · 10 6 • L\T

= 4,6 · 10 6 Pa

= 46 bar .

Cette surpresSlOn est hnorme (rupture du ve~rel.

2) Puisqu'une variation de I °C = I K provoquc unc surprcssion de 46 bars, uoc surpression de JObar.corresponda:AT

= !~ = 0,22 K .

Exercice 14 Les diff.!Kntes quanritCs de matiere sont : 5 4 nNe

=

"~'~: =

4

10 7

i4

=

1,2~

mol

= 0,40 mol = 0,50 mol

La pression to tale est : p

8

=> n,IJUI ; 2,15 mol.

X 8,32 X 298 = 5 33 b = •. RV . T = 2,15 10 · 10-.} , ar.

II faut wnp8rativement que Ia temp6rattlle so•t exprim8e en kelvin

On dMuit: p •., =

x,., ·p = ~:~~ x 5,33 = 3,10 bar 04 x~ · p = 2,]) ~ ~ X 5,33

PNt

2

PN

:: XN1 '

1

p::

• 0,99 bar

~:~~X 5,33:: 1,24 bar

CopyngfiTe(J matenal

Exercice 15 1) L'tquation d'tau de:s gaz parfaits entrainc :

Pt • V, n, :: R · T = 6,4 · 10 4 mol. 1

2)

v,

Vt • V1

p'

p'

..,

r,

T,

·#t{: On peut s.e reponer a

Ia

•••

mlithocle L

A I'Cquilibre mecanique, Ia pression est identique dans !'ensemble du systtme : p',

= p'2 = p'.

n y avait iniria.lement l.a mCme quanritt de matiere n 1 dans les deux recipients. La conservation de Ia quantitt de mati~re totalc~ entraine : • , p' · V, p' · V2 2 p, · V1 n , +n:=2·n, ~ R · T, ... R·T:a = R·T,

=>p'·(;, +~j =2·~·. => ., 2 , Po. p T,

l

=2 x 0, 80 X-,--'---,+ 300 _1_ + _1_ T, T , 300 360

(.!.. .!..)

p' = 0,87 bar.

On deduit :

n'1

p' · V, · 10' x 2 · l0 ·• =- = 087 ' 8,32 = R. T, X 300

.

7 . tO· l mol

-

0 87 · 10' x2 · tO·• S,S · 10"'1 mol. 8,32 X 360 -

Niveau 3 Exercice 16 1) Lorsque l'on tire lc piston, Ia soupape $ 1 s'ouvre et aspire un volume d'ai.r V' 3 Ia pression p0 • Lorsqu'on repoussc le piston, Ia soupape S: SC: fcrme, puis Ia $0Upapc s, s'ouvre, permettant a l'air de pblt:uer dans le pneu. Soit p , Ia pres.sion dans le pneu aprCs un coup de pompc. La conscn'ation de Ia quantitC de matiere tO[Ait conduit a : p, · V Po· V Po· V ' -=-+--. R ·T0 R ·T0 R ·T0

Finalement:

p1

=Po (l+~)=

1 1,013x ( t + 4 ) • t,038bar. 0

a 2 p 0 , il est possible d•ecnre : 2p, · v V .v· •Rp,·+ n · p, R· T · T0 R·T

2) Apres n aller· retoun permerutnt d'amenc.r Ia pression

0

11

quantuc! de m1ti~rc i l 'mt~nc-ur du pncu

quantile de m•tiC:rt'

•won« par ,

COUJM de pompc

Ainsi: 2V • V + nV'

¥•

~If • ~· •

40 coups d e pompe.

Exercice 17 I ) En dh'
(P• ~i)

(V

EnPQAmy = p V,iJvient :

d'oU:

2) a) En posantT = constantc, difftrc:ntions )'expression priddcntc:

a a·• 2• · b · -p · dp+ 2a · b · -p' · dp 50. dy+- · dp -"-'· dy - b · dp y y' y2 yl

.~'t): l'tquatton obtenut tla qutst•on 1'" dtlalormt fc llv•entd/

Oavtcdf •

.... ( dy r

~}(

dr+

1

p. YJ

•

o

tdf ) dp • 0 pouruntfoncbondedeullvanables. l tlp •

Tout revieme celculer (J;J~ et {;:;)~ e16 rtmplactt dans rnplttston de df . 0 .

En ordonnam p;~.r rnpport {l dy ct dp : • • b dy · ( I -"-" +

y'

~

dp

(~)T ~ 0

2a . b.e') +dp · (;- - b .Y'

• (C)y) • ~

T

2• .

b.")

y'

• 0.

_ 2. + b + :::2::.•_· b;-·.. _.y'---:-..,..,..<-,y ' -. '!..:../! 2a · b · p' 1 -y' · y'

pour

c'cst-i-dirc pour:

On deduit :

Copyr

b ) La relation enue per y obteuue est celle d~une parabo le, d 'axe h orizontal. y • P•V

•

b t---

L

lb

--- -- ----- -

3) La parabole obtenue coupe l'axe des ordonni:es pour p

= 0, done pour y

o •autre part, 1orsque p~O,I'l:quation ) 1 + a · P.. -(b · p) - a · b · p~']. = R-T y y·

=

a b.

tc:Dd\'C[$)'

= R·TM.

On deduit la tentpCratu_re de Ma_rioue :

~" ,R ..., ~ b--, ·1

r-1

Lcs isothermes de tempi:rature T >T:" ne prCscntent pas de miniz:num en coord onnees d'Amagat. Y• P· V

•

b

\

-lb ----------,-I '

I

/ / / /

oL-~~-----------

p


Statique des .fluides

Introduction La pression est une grandeur courammcnt u tilisCe dans Ia vie quotidienne : pression d'un pneu d'automobile, pression atmosphCriquc, pression :i laquellc est soumisc un plongeur, etc. Lcs ingCnieurs se trouvcnt done confrontCs a unc grande variCtC de problemes lies cene grandeur.

a

Dans le chapiue I, une definition macroscopique de Ia pression a partir de Ia force exerde sur un Clement de surfac-e est proposCe. Nous avons pu en dc!dulre )'expression de la pression cinCtique au scin d'un gaz parfait monoatomique. La definition proposCe va nous permcttre dans un premier temps d"Ctudier les variations de Ia pression au sein d'un fluide et de predser les mCthodes de mesure. Enfin, nous verrons comment exprimcr Ia rc!sultante des forces de pression exercc!es par un ftuide en utilisant le thOOrt:me d 'Archimede.

Plan du chapitre 2 A. Pres-sion au sein d 'un flu ide

1. Masse volumique ..... ..... .... ...... ... ...... ... ...... ... ...... .. ........ ... ......... ....... ... . 44 2. Pression en un point d'un fluide en equilibre .... .. ...... .... ...... .... .... .... ........ .. . 44

B. Variatio!"' de Ia pression dans le champ de pesanteur 1. Expression diff6rentielle- ~quation locale ...................................... ... .. ..... 45 2. Cas des fluides incompressibles .......... ........ .... ....... .. .................... ........ .. 46 3. Cas des gaz parfaits : equilibre de l'atmospMre isotherms ............. .... ...... .. .. 48 C. Th&or8me d' Archim8de .................................... ...... ... ........ .. .....• •• , ....... .. .. 51

M 411todu

L•essentid; mise en ceuvre .... ... ....... ... ..... ... ........ .. ................. .. ......... ....... .. .. 53 Enonch du CtX~ ............................. ... . ....... .. ......... ................ .... ...... ... . 57 Indication& ...... .. ....... .. .......... ....... ... ...... .. .. ...... ... ...... .. .. ....... .. ...... ... ....... ... . 59 Solution, dB. f!xercicfl8 . ....... .. .... " .. .. ....... .. .. ...... ... ..... ... . ....... ... ...... ... ....... ... . 61

A. Pression au sein d ' un flu ide A.l. Masse volumique Eo un point M entourC d'un volume dt contenant unt- masse eJemem a.in: dm d'un ftuide, on peut definir Ia m..'lsse volumique du fluidc :

dm

p(M) ~ d<. 1. On utilise friquenwnt;nt le gtamme par centimittre cube (g . em ou &t kilogr&mme par litre ( kg ·L·'). Le rel&tiOtl et'llle e.es unfits est :

p(M) s'exprime en kilogmmme par metre cube ( kg · m·'J 1 dans le Sys· teme international.

4

')

lg • C-tr'l ~ • lkg · l '

=

I CO) kg · m·'.

A pn·on·. Ia masse volumique dend du poim M. considCrC dans un fluide.

Dans un liquide, fluide incompressible, elle a Ia meme valeur e-n tout point, pour une temptrarure donnee tt eUe \'31'ie avec 1a temperacure suivant la dHatation du liquide. Dans un gaz, elle dcnd de Ia pression et de Ia tem.pCratu.n: et il est nC:ccssaire de connaitre I'Cquation d'Ctat du gaz.

A. 2. Pression en un point d'un fiuide en equilibre • II a CtC Ctabli au chapitre J que Ia force C:IC:mcntaire df. cxcrcCc par un fluide en equiJibrt sur un eJtment dS de Ja surface d•un solide immerge est de La forme :

dS = dS · u;, le vecteur unitaire U: C:tant

orthogonal adS et oriente \rers le solide pIa pression exercCc par le fluide en M

Cene definition ne fait pas intervenir Ia nature (solide ou non) de !'objet immergC ct pcut s'appliquer 8 to ute surface au d'un fl uide. Notamment, elle peut s'appliquer a une surface fermee, evenruellement fictive, cnfermant une portion d u ftuide cons.idC:rC. 2. 01ll)arle de • <:ylindrt • t pardr du moment oUts volume •" d!limil! par un ensemble de gi oir;,lric:n parllltlu entr\1 elles. les ue-tions nt $0nt pn ntcessawemem dH sections droites et pevvent ;,voir une forme qutkonque.

· Dans un fiuide en tquilibre (on dit egalemem ftuide • au repos•), envisagcons un volume ClCrnentairc << c:ytindrique )) 1 de fluidc, c;ylindn: dont l'axe est horizoncal et dont unc: seule base est orthogonalc 3 son axe (fig. 1). Figure 1

Forces subies par un volume 816mtntaire cyltndrique de ftuide. dS

dS'

•'

0

: M'

- - - - - - - ;,; -"dF"

•

X

''

Appliquons Ia rdation fo ndamcntalc de Ia dynamique il l'eiCment de fluide cylindrique consid4!1i. On se place pour cela dans un rifC:rentid galilCcn. Bilan des forces e-x.ttrieures subies par I'CJC:ment de ftu.ide : - son poids P o rthogonal 8 l'axc d u cylindre notC: Ox ; - Jes forCC'$ de pression Sur Jes parois latC.rales d u cylindre, orthOiOnales ;l J•axe Ox ;


- les forces d e pression dF et dF· qui s•exercen[ sur Jes b ases dS et dS' du ...·olume cylindrique; leurs points d •application soot en M et M ·,centres respectifs de dS e t dS ' et sirues sur l"axe hori7..0ntal Ox.

A I'CquiJibre, Ia somme vectorieUe des fo rces subies par l'CICmem d e fluide est nulle. En p rojection sur I'axe Ox : dF · cos
p·dS · cosa - p'· dS ' • 0. ). dS' est Ia proj:ection dedSdans unolan ptlpendiculaire. r ax• du

cylindrs; hngle de projection est r•ft91e a entre les deux normates.

Comme les surfaces dS et dS' J sont li.!es par J'egalire d$ · cos(t = d S ' , on d t duit : p . p '.

La pressjon a done mCme valeur au.x points M ct M ' de l'axe ho rizontal Ox .

La p ression p exer cCe par un fluide en Cquilibre sur une surface est iodependante de )'orientation de la surface ClOnsidC:rie.

La pression est Ia metnc en t out point d 'uo m ime plan horizontal d•un ftuide en c;quilibre.

B. Variation de Ia pression dans le champ de pesanteur B.l. Expression differentielle- Equation locale Dans u n fluide en C:quilibre, considC.ron.s une tranche C:IC.mentaire hori:r.ontale d e fluide, de masse dm, d e surface S tt d'epaisseur d z: entre les cotes z ec .: + d~ ( fig. 2). Soic p Ia pression d u flu ide 3 !'altitude .: ct p + dp Ia p ression a )'altitude z + dz. Figure 2 ~uilibre d"un volume t!limentaire de fluide dans te champ de pesanteur. I

p S

u;

9

It

------------ ------~---- 4

lA,

-···· -

A ····-···········-·

Copyrig~'tl

Bilan des forces extCrieures subies par I'CU:mc:nt de fluide : -son poids P = - dm · g · U: oU g est l'intensitC de Ia pesantc:ur; - les forces de p ression sur les parois notamment Ia force - (p + dp) · S · !'altitude z + dz et Ia force +p · S · U: a l'altirud e z.

u; a

A I'Cquilibre, Ia

somme vcctoriellc: des forces est nulle, et en projection sur I'axe Oz, il vient : -(p+dp) · S+p · S-g · dm = 0

= dp · S = -g · dm.

En ouueJ Ia masse volumique p de l'C.JCment de volume de fluide considCri dm est telle que p • S . dz' d'oU en simptifiant : dp e - p · g • dz .

4, Bien no.,et loe signe • - • lonqt.te I'axe Otsst orient6 V9rsle hauL l otsqU'on cofUid@re un axe vefti.

La variation de pression dp daos le champ de pcsanteur est liCe i J'aisseur de Ja tranche CIC:mentai.l"e d!r de Auide par I'Cquation locale de Ia

c•l Otorient8 6e h11Jt sn bu.

r6qu•tionloca1e de Ia steliqt.te

,I

statique des fluldes : dp

=-

P Ia masse volumique de I'CIC:ment de ft uide

p · g · dz

g l'intensite de la pesanttur

-----'

des ftuides drMnt : dp = +p· g · dt.

le paramitre texpfione alors 111 profondetlf et non plus r altilude.

8 .2. Cas des ftuides incompressibles 8.2.1 - Relation fondamentale de Ia s tatique des ftuides

S. En toute rigueur, les riCI.-N

sont trh falb1ement cotnpressi· b4n ~ ....,.. mf.SSe volurnique ost seonsiblement cons.ante.

Dans le cas d'un fluide incomprcssible 5, Ia masse volumique pest indendame de Ia pression et de l'ahitude done il est possible d' int~grer simplemcnt t•egalitt ptecedente.

IQ:.J.IIO'ii Entre deu.'t points A c:t B, de: cotes z,. et t 8 , d•un ftu idc incompressible (fig. 3), on obtient Ia relalion fondamentale de la statique des fluides : PA e[ p 8 Jes presslons respec[ives e:n A eLB p,.- PB • - p · g · (z,.- za) p la masse volu_mjque du fiuidc = p · g· (z8 - .:A) g l'intensirt de la pesanteur

Dans lc champ de pcsamcur, Ia difference de pression entre deux points d'un m C.me fluid e incompressible est proportionnclle 3 Ia d C:nh:eiJation entre ces points. Figure 3 Le.s points Aet Bont pour cotes respectivt.s z,. et z8 . l

t,

- --- - - • A

te ---------------~ 8 0

,/

0\apitre 2 St&ti.que des flui~

/

/. ......///.

Application 1

Pression et plong Ce sou s-m.arine

La pression aanosphCrique 8 La surface de l'odan est: Po = 1,013 bar. Deu:rminer 3 queUe profondeur un plongew sous--marin est soumis i une pression 2 Po. Donnie : masse volumique de l'eau, supposee conswne p = I 000 kg · m -).

Solution En prenant la surface de l'eau comme reference des cotes, il est assez logique de consldt:rer un axe ver tical Oz d 'origine 0 3 Ia surf.a~ d e l'cau et oriente de haut en bas. VCquaclon locale de Ia statique des ftuides devient :

dp = +p·g · d : . L'eau Ctant un liquidc, quasimcnt incompressible, en nt:gligeant la variation de l'acciiCration de La pesanteur g , il vlem par intCgration entre 0 et z : p (z)-p(O) = p(z)-p0 = +p · g ·(z-0). La profondeur a laquelle Ia pression est le double de Ia p ression en surface p 0 est relic que 6 :

z

= 2p0 - Po = 1,013 · 10' = IO 33 m. p ·g

8. Pour t viltt tout ptOIJt,lme d'ooitb. exl)fWnw tous IN tennes dens le Systerne lntemelional, k rbultats'e;q~rimer~ d• ns fe mime syuime.

1000 x 9,81

'

8.2.2- Consequen ces • Dans le cas oU ::A = :: 8 , Ia relation fondamentale de La statique des Ouidt$ conduit 3 PA = P&. On r-ctrouvc:: le fait que Ia pressicm est identique en tout point d'un plan horizontal d'un ftuide incompressible en Cquilibrc. • La relation fondamemaJe de Ia statique des fluides pennet d 'obtenir immCdiatement Je theorime de Pascal : un fluide incompressible uansmer integralement les variations de pres-sion. Ainsi si on applique unc surpression llp en A de cote ::A , Ia mCme surpression s'applique en B 3 Ia cote z 11 •

Presse hydraullque Deux recipients A et B. de sections respecti'\'eS SA et base par un rube c:t rc:mplis d 'eau. Application 2

s.

telles que Su = 10 S,.. soot relies 3 leur

Dans chacun des deux n!cipients) 3 Ia surface du liquide, on place un piston) l'un de surface S,. ct t•auuc de surface S 8 , coulissant sans fronements. I

J

I

A

• /

'--.../

ricipieMS relib p81 un tube 11 remplis d"eau

On exercc: une force verricale

7:. sur Je piston du compartiment A. Determiner Ia valeur de Ia force

J: subie par le piston du compartimc:nt B. Condure.

Solution Avant tout dtplacement, les surfaces de liquide en a\<ec les pistons soot dans un mbne plan horizontal c:t 8 Ia mC:me p ression p. Ccue pression s•exprimc sous la forme :

P

Oil

/A = fu

s,.

s~ ·

CopyrigH!W

On deduit:

j,

= ~A

•

S,

= I 0 S, .

A

Une p resse hydtaulique permet ainsi de dCmultiplier les forces : plus lc rapport des surfaces est grand, pl·us Ia force aexercer / ,.. est faible, pour un mCme resultat.

8.2.3- Application aux mesures d e pression Une mesure de pression est souvent une m esurc de dCn ivellation entre surfaces libres d 'un liquide dans un manometre (fig. 4). Le mercure est utilise pour sa masse volwnique etevee. Figure 4

Manometre i merc-ure. vide

tvapeut de rneiture .

---~us pression tr8s faiblel

~rs un r6c.,ie.nl

h

&Ia pression p ou

mercure

(.

vers r atmosphke lbaromitre)

La relation rondamentale de la statique des ftuides s'ecrit pour le mercure oontenu dans le tube : p-0 = Pu1 ·g · h .

A0°C,ondonne:p·," = 13595k,g ·m ·' ,g = 9,8066m·s~2 • La pression correspondam aunc dtoivellation de I mm de mercure est done : p = 1~595x9,8066 · 10 ' ' = 133,32 Pa. Ce:nda.nt Ia correspo ndancc: la plus pratique entre Jes m illimC:ues de mercure et les auues unites est : I ann = 760 mm Hg.

B.3. Cas des gaz parfaits: equllibr e de !'atmosph ere isotherme 8 .3.1 - Variation de pression en fonction de !'altitude ConsjdCrons, comm e au paragraphe B.l, unc tranche CJemcntaire horizontale de fluide, ici I' air, de masse dm , de surfaceS et d'tpaisseur d z entre les cotes :s: e t z: + d : (fig. 2). On avait obtenu Ia relation dp = -p · g · d :::. Oans Je cas d'un gaz, Ia masse volumique p varie avec l.a pression p ct o n n e pc:ut

imegrer simplemem cene relation. En assimilant l'annosphhe a un gaz parfait de masse molaire M, et en notan t respcctivement "-• p, V et T Ia quamitC d e matiere, Ia pression, le V()lume et Ia tempC-ra.ture de Ia tranche d'air cnvisagCe, on peut krire :

p·V

;~:

m n · R· T a M · R · T .

On tire :

puis

Chepitte 2 : S1a1ique «JeS flu•Cie:s


En sepanulllt$ variables p tt z, l'~q uation differenrielle prCcedente devient: 1. Cene equation ne s' intigre

;

directement que slles r-rarntlres f et TaoM eonst~MS.

=

- ~:;dz. '

En supposant l'aunospbere lsotherme (T constante) et en d ~signam par p0 Ia pression aI' altitude :: = 0, l'imegration conduit a :

.

( ' dp = - ( M .g . d z

)~11 p

I. I.e h rometre 8 mwc:ure est

"oalement appe.le baromttre

) 0 R·T

=>In ~ • _ M·g · (z- 0) • _ M·g · z . Po R ·T R·T

d-e Toniclfli tn hom~Nge i E\tangelista Toniceli 116Q8.t64n,

pflysiclen e1 mathf tnitlicien

On deduit:

italien, d tibfe pour sn

p(z) = Po •

ex{

~1.l z ) ·

cteeouvenes sur les effets de Ia prNsion atmosphtriqvel.

8.3.2 - Mesure de pression atmospherique

Oans Ia vi.e courante, 011 utilise

La pression aunosphe:rique t$l baromCtre8 •

des baromitrt$ i dt fori!M'tion de membrane. plus compacts.

ffit$ur~e

avec un manomeue particulier: lc

InteRt d'une correction baromCtrique Dans le mod~Je d'atmosphC:rc isotherme applique 8 !'air, calcuJer Ia pression p( ::) 3 une altitude :; = 100m au-dess.us du niveau de lamer, a0 °C. Exprimer la ditft:rence de pression llp ::: Po - p(z) en millimet:rc:s de mercure. Conclurc. Donnie: Po = 101325 Pa 760 mm Hg a l'altit'u de z 0. Applicettlon 3

=

=

Solution

A !'altitude z = 100m, La relation prCcedentc (3 redemontrcr le cas ~cht!ant) CQnduit a: p(z)

= p0 · ex+ ~T•)·

La diffhe:nce de pression t$l : llp c::

Po- P(z): p0 - p0 · exp(- ~¥' · z)

•p= 10132> _ x [ 1 -exp( - 29 ·, 10 ·•x x 9,81 x 100)]

~

8 32

Ap

273

= I 260 Pa = 9,45 mm Hg.

Ccttc diffCrcnce, de prCs de un ccntim( tre, est visualisable faciJement sur un baromCtre de Torri~ celli (8 rolonnc de mercure), mCme pour cenc dCnivcllarion rdative.ment faible. Les pres.sions etant par reference coutes ramentes au niveau de Ia mer, U est n~eessaire d'etalonner un barom~tre en foncdon du lieu d~utllisatlon . · Dans le modCie d'annos-phCre isotherme, Ia pression dt croit exponentielJeme.nt en foncrion de I'altitude aVt'C une loi de Ia forme : P=

Po· exp(- ~)·

·T • La distance car:tctCristiquc ou hauteur d 'tcheUe H = R -M est tclle que, a ·g l'aJtitude H , Ia pression Po est divisCe par un facteur e = 2, 718. Dans I'air (M = 29 g · mol-1) a 0 oc (273 K), on obtient : R ·T

H = M ·g H=

S, 32 X 2'73 =798 · 10 , m •8 km. 29 · 10 "'X 9,8 1 '

9. Saltf preci$ion «1nt11ire. on ettra presque toujour& q\Jt Ia pte$$iotl ttmoq~hlriQIIe est constente,

• Lorsque le systCme considCri est de petites dimenliionli (1ors d'experiences en laboratoirc, par exemple}, Ia pression atmospherique varie tres peu et U est justifi~ d e Ia coasiderer comme constante9. Par exemple, si Ia p ression est Po

= 101325 Pa a l'allitude

I'altitude : = l m, d'apres 101 relation

p(~)

= Po·

: = 0, alors i

cxp(- ~.·4 ·z) , on peut

Ccrire : p = 101325

e>q:{- 29~,~~-:~;JSI

X

I)

p : 101312 Pa.

La difference de pression est de 13 Pa. La correction porte seulement sur les cinquii:me et sixiCme chiffres de l'expression de p, oe qui n'est pas coherent si I'o n observe que Jes aunes donnees comportent deux ou troi-s chiffres si_gnifi· catifs.

8. 3.3 - Lol de Boltzmann On a vu qu'il I' altitude :,Ia pression s'cxprimc sous Ia forme :

Po · <x{ ~l•)

P:

Si chaque molecule de gaz a une masse m, il vient : M = X · m , )( Ctant le nombre d' Avogadro.

En inuoduisam La constante de Boltzmann k et en urilisam R = k · .N", on dCduit :

( mk.·gT•z)·

p(z) = p, · exp -

Cette expression fait apparaitre l'tner gie potentieHe de pesameur d'une moltcule de gaz E~ = m · g · .: et Ia relation peut alors s•ecrire : p(z )

aPo· exp(-k ~;.).

• A tempC.rature fixCe, Ia p~ssion est p roponionne.Lle au nombre de molecules par unite de \'Oiume a t•attitude z, note Nv(z). On deduit:

( m·g·z) Nv(z) = Nw, • .,·exp(-.E;-). Lc facteur exponenriel exp(- It~T) est appeiC facteur de Boltzmann.. N.,.(.:) = N.,.t• •o• · cxp - k , T

Dans l'h>'J>Othese d'une aunosphhe isotherme, le nombrt de particules par unite de volume esc proportionnel au facteur de Bolwnann. Ce resultat esc un cas parriculier de Ia loi de distribution gCnCrale de Boltzmann.

Loi de Boltzmann La probabilitC pour qu'un systC:mc:, en Cquilib rc: 8 la te mpCrature T, soit dans un t tat d 'energie E esr donnee par :

A-cxph \ ) Chapiu e 2 St~liquc des fluidH

C. Theoreme d' Archimede Consjderons un c::orps solide: partiellement lmmergC dans un ftuide en tquilibre (fig. Sa), de l'eau par exemple.

Les forces subies sont: - sonpOids P , - les forces de pression exercees par t•eau et l'ai.r sur sa surface, notCes :

IfF,.,...,. Ce solidc n'est pas nCcessairemem a J'equilibre. Remplacon& Je s.olidt par une surface fennCe, de mC.me forme, enfermnnt le mCme volume et contenam Jes quantites de fluides (eau et air) ptealablement d laci:es par le solid e lorsqu'il Ctait i.mmergC (fig. Sb), FiguJe 5tt Un solide immerg6 est soumis l son poids et • I• rhultante des forces de pression.

...

1/ l.Oiida

G

/ /

.......

I I I 1 p

•••

Figute 5b

Une surface de mime forme que le solide c-i·denus est $OUmise aux memes forces de pre-ssion.

Les forces subies par cet element de fl:uide soot :

- son poids Plhlkk, applique au centre d'inertie C des ftuides dtplaces. - les fon~es d e p ression exercCes par l'eau et t•ajr extCrieurs, iden-

J/F;.._,_,

tiques aux forces de p ression 5ubies par le 5olide.

Commc cc S)'$t~me est a l't:quilibre, o n sait que :

• .l....a somme des forces c.xtCrieures est nulle : p RIBOt ...

Jf F"""'krl> =0 .

On d eduit Ia rCsultantc des fo rces d e pression exercees par les fluides d ans Jesquels le solide est immerge. ElJe est appetee poussee d'Archimede et notee

n. :

In:

=

If F.--

= -

~,..

I

• Le moment resultant en un point 0 quelconque fLxe est nul :

:it, (P,..,,) + :U:(ff F,.....,) = 0. En utilisant te fait que te po ids s'app lique en C, il vient :

"ii;(JfF;...-)= .'ii;;(fl;) = -.J4(P...,,J = -OCA~,. On dtduit le

thb)~me

d' ArehimM.e.

ThCorCme d'Arc.himCdc Tout corps solide immerge dans un ftuide (ou plusieurs ftuides) en equi~ libre subit unc force <:gale et oppos<:c au poids des fl'uides dlacCs. Cenc: force appc:JCc pous5Cc d ' ArchimCde est a ppliquee au cen tre d'inertie C des fluides deplaces.

--------------------------------

Boule inunergee Une boule, de rayon R = 3 em est to talement immergie dans l'eau, de masse \'Oiumique p(W = 1,0 g · cm - l. C c ttc boule est ri:alisCc en aluminium, de masse volumique PAt = 2, 7 g · cm- 1. Application 4

Determiner la resultante des forces exercees sur cene sphe-re.

Solution La boule est soumise a :

- sonpoids

P = m·l= p"' ·V · 7.

- la poussee d'Arch.imede

F( = - P~·~~ · V ·g.

U \'Qiume d e Ia bo ule est calcuiC par V =

On deduit Ia force tesulmnte

4 '3 · 1t • Rl .

F: F =P ... n = (p"' - p,...>. v .g .

Applitalion numiriqr" : F = (2,7 - t ,O) x

ao' x 34 x 1t x (3 . 1o·2 ), x 9,81

= 1,9 N.

L'essentiel ·!>ant un ftu~c qucklonquc, ta masse wlumiquc dtpcnd du poim MADans un liquidc, ftuide incomprcnible:, die a la meme ,,.leur en tout point mais \'2rie: awcc Ia tcm,Craturc.. Ellc depend de la preuion tt de Ia ttmphature danslcopz. ~ Pn.-uion tn un point d.'un Ou.idr en <"quillbl"C"

• La pn:ss.ion p cxcrdc par un fluidc: sur unc: surface at tndtndantc de

l'orimtation de Ia swf'a« c:oruidtrff. • La pression e1ot la m~me c:n tout point d'un metne plan horizon rat d'un fluidc en tquilibre .

./ Variation de In pn:8.!1ion dan.'l lc champ de pc$antcur On considere un Ruldc de m:nsc VQ!umique p en Cquilibrc dnns un ch:lmp d e pesanteur d 'imcnllil;: g.

• Dans le champ de J)t:lllntcur, Jorsquc J'axc: Oz est orient<: wrs le hout, Ia

pression varle avec l'ah:itude :

suh1antl'~qu.ation

locale de 111 statlque del

ftu_idcs :

dp . -p · g · d:.

• Dansie cas d'un flulde incom.pre5sible, entre deux points A cc B de COtes : " et : ., on obticn1 11 rdation fondam~tak dt 1a Jtatique des ftuJdc:s : P~~. - Pa • - p t ·(.:~~..-.:a) = P t·( ~.- ~.~~.). La diff~ de prc:uion mrn deux pOints d'un mhne ftuide lnc:ompms:ible Hl propon:tOnnellc 6 Ia dbm-c:Uatioo. • Tbiorime de PaJCal : uo ftuide incompressible ua.nsmet int4r'alc-ment In \'ariarions de pression. • Une mesu~ de prc~s:ion c::!t .sou\-c:nt une mesurc de dC:nivelhmon entre sur· faces libm d'un Hquide dans u.n manometre. La preuion corrtspondant i

une denivellnrion de I mm de mercure esc: p = 133,32 Pa. On utilise auJsi : l atm = 760mm Hg . ./ Vnrhuion de In rm:sslun ntmosphl!rique en fonction de l'ultitudc • La mas.se V(llumiquc p d'un gaz \'llrie avec Ia preS$icm p. En 1.11-.ollbnilont l'a tn\osph~re 6 un gaz parfait de masse molaire M, J'fquation locale de Ialta· cique devicnt : dp = _ M ·g · d:

R ·T . coru.tante (aunospbert isothermc), p

• Sl ta ttm))trature T c~t cettc relation conduu 6 :

p (:) • P•

l'int~rauoo

de

<x+ ~lA =).

• LorSQUc le S)'ll~mc c:ooskltft eM de petites dimensiocu, Ia \--ari~bOn de p~ sion tDTtOSphbiquc- ~~ tm faiblc ct il " ' justifi¢ de considtrer ccnc pn::ssK)n

comme cocuunte. • La pn:ssion

aI' altitude: s'cxprimc Cgalement par: p ( ::)

L'cxponendclle cxp Boltzmann.

• Po· up (-.

:!r)·

(-It~!r) est lc factcur de Boltzmann ct k l1.1 connomc de

• La pression lltmottphCriquc c$t mcsuric avec un m:.momCtre p1lniculicr1 le baromhn:. U est ntccs!lairt d 'Ct.alonner uo barom~tre en fonctJon du lieu

d'utililtuion.

I lbC:oreme d'Archin1C:de • Tout corps solide immergC dans un fluide (ou plusieurs fluides) en Cquilibre subit une force Cgale et o pposCe au peids des fluides dtplae~. • Cene force, appdC.e poussee d'Archimede s'applique au centre de masse des fluides deptaoes.

Mise en muvre Methode n•1

Comment utiliser !'equation locale de Ia statique pour calculer une differenc-e de pression ? Dans un fluide en tquilibre, on oonsidete dewc points de cotes difftrentes dans le champ de pesan .. teur. On chetcbe Ia difference de pression enue ces deux points.

-+ Savoir faire

r-----------------------------,

1 0 Chois.ir un axe Oz \<'ertical. L"C:quation locale de Ia statique des fluides ne s'c!crit sous Ia forme dp :;; - p · g · dz que si l'axe est oriente vers le h.aut. Dans le cas conttaire, il faut const-. 1 dererdp = +p · g·dz. 8 Pour cbacun des termes de Ia relation prtcedeme, dCterminer s'il est constant ou non, sui,.. vant La nature du fluide considC:rC. Ainsi, Ia masse volumiquc d'un gaz dC:pc.nd de La pre$$ion I et de Ia temptrarure. L'imensite de Ia pesanteur g varie avec ]'altitude z mais peut souvent Cue considCrie comme constante. I I @) S;ner lcs variables (a pn'()ri pet::). I 8 lmi:grer chaquc membrc de 1'tqu.. tion obtcnue en vi:rifiant Ia correspondance des bomes. I 0 Deduire te resultat demand¢.

1 1 I

I

I I

L-----------------------------~ -t Application

Determiner Ia difference de pression entre un point 0 sirut au niveau de la mer et un point M s.arC:: du prect:dent par une dC.ni\'ellation de 30 m dans les deux cas suivant$ ; a) M est dan.o; Ia mer, a.ss.imilCe 3 un ftuide incompressible de masse volumique p = l 000 kg · m -' ; b) M est dansl'air, considC:.re comrne un gaz parfait (de masse molaire M = 29g · mol-1) et on neglige- Ia variation de temperature pour une tcUe dc;nivellation.

Donnees:

-auniveaudeJamer:p0 = l01325Pa ;T = 293K ; -l'in tensitC. de Ia pesanteur est considCrCe comme une constante de valeur g = 9,81 m · s-1 •

Solution a) 0 Considerons l'axe 0..:: oriente ...ers Je haut. L'equation locale de Ia sra.tique des ftuides s•ccnt ; dp= - p·g · d• et les ordonnees des deux points consid&es, 0 et M, sont respectivcme.ot : = 0 ct :: = - 30m. @

Dans l'eau, un tluide incompressible, Ia masse volumique: p est <:onsrante, c:t g, l'intensiti: de: Ia pesameur, varie peu sur une denil.•ellation aussi faib lc.

. °t' 0111

Copyrighted matenal

Cl l..otvariables, p
-p •g

d:.

0 On int~ Ia rclarioo J')tteMc:ntc::

J:''dp a -p g•J;d:

=>

p(•) -p, =-p · g · (: -0)

• A~wo~ : Ap = p ( : ) - p. • - 1000 >< 9,81 x (- 30) =

+ 2,94 · IO' I'll • 2,94 bar.

b) O l'ue 0 = ~ant toujoun oritmi .."'U11e baut,on a : dp • - P· I dt et les ordonntesdcsdcux points considUts, 0 ec M. son.t rapttti~mt : = 0 et : ~ + 30 m. 49 Dans l'air, un ftuidc comprasiblc: considetC o:~mme un gaz parfait,la mMs.e "''olum.ique p varie en fonction de Ia prcs1ion ct de Ia tcmpCraturc suivam :

I

••

~

p " R · T·

...

(M t tant lo masse: mola.l~ de l'air). La tcmPf!r:nure T et Ia pes.an1cur 1 toot suppos«s constantes. e En sfparant l es variables pet::, 11 vient : • ·M dp • -1f;¥ · t · d:

0

••

~

=>

0 L'inregntion de CC:ctc rclation conduit a :

,.. I"'•·· ~p . _M·x.J'd• R· T •

8Fmalemnu: p (:) • ct

p,

Ap • p(: )-p, •

1nei!l = _M.J <• - 0). p,

R· T

exp(-M ·.r·•) R· T

Pe·[exp(- "~·t;•) -1 ]

App/i
e 101325 x[exp(- 29 ' ~~;~"/2!! X 30) _ 1J

Ap • - 3S4 Pa.

Cene difference est evidcmmcnt negative puisque Ia pression diminue lonquc !'altitude augmente.

Methode n' 2

-+ Savoir f•ire

r-----------------------------,

e D ..t~< ~tudl< ct &ire un bilan des forces subia par 1<: I)'St~<. 1 Cbois:ir un uc Oc "'t tdal et pro)ctcr les difrcranes fon:a sur cct uc. I e E.xprimcr Itt ditl'C:rcotes forces~ co particulier la pow;Hc d 'ArchimCdc 1 en fonction des I donn«s foumia. 1 0 Deduirc le rttultat dcmandC en foncrlon des donnees fournics. I

e

~-----------------------------~ -+ Application

a Ia surface de l'eau. Determiner 50n volume: v C:1nc:rgC en fonction de V, de Ia masse volumique deJa glace ~. et de Ja masse volumique de l'cau liquidc p., ,

On iceberg de volume V flottc

Solution

0 Lr syst~me comidCrc esc rk:ebug. ll es1 sounus a :

.... son poids P, appliqut en soo ceoue d'ioertie ; - Ia pou.ssft d'Atchimedt dt l,eau 0: appliqutt au an~n:

..... .. v

d'tntn:ic du ,.'Olumt imm~. On nC,hgc Ia pous.sC:c d'Archim~~ du~ it l'air sur b panie

em <.

I

n.

8 On proicnc Ia rcl ~ation de Ia dynamique it l'equilibrc

P • IT.. = 0 vee1eur unitoJrc U..

du S)'Sh~mc

sur l'axc 0.: oricm¢ pOlr lc 0

n.- P

=

o

~

n,

= 1). p

C)

D'tutl'e pan : P • , ., • JA-, .v .,

n......... ,

0 On cUduit, i

..

eo appelant "'~ la masst d'eau deplacff.

l'~uilibn:

: I', · V · g = f1, · (V-v) ,.. . ., = (11,- I',) V v=

1- !!1 -v.

"·

/1

erczce.s Lu prt:$$l()n <~tmotlpherique et Ia pression de l'ht.lium som suppostts IOutt$ deux tg:tles a P• = 1.013bar .

Donnees numC:riqucs utiles pour

its applitations numCriques : - conuante des (t3% parfaits : R = 8,32 J · K · • · mol - aodiC:rarion de Ia pesa.ntwr g = 9,81 m · s· J.

1;

Q.C.M. Ex. I On considei'C.' Ia rdation dp= -p·g ·d~

1) Calcultr les masses \~lum.iques respecth-es de !'air et de l'hHium, supp05Cs gaz parfaiu.. Z) OCtermine:r Ia valeur malrimale de m pour que la monrgolfiere puiue decoller. /Jc)nnkt: 1"tas11es molairt'$ : - de l'hC.Iium M u, • 4 g · mol 1 ; - dtl ':.~ir M.11 = 29g·mot·•.

representant l'influcnce de l'a1tirudc s ur la prcuion au

sein d'un 6uide, dans le champ de pesanteur d'intenUtCg. I) Cette relation esr valable quel que S
wnsid«C. 2) L'axe Ot envisage «t n&essairement orientC \'t"t'S I.e haut.

3) Ent«" deux points A et B du fl'uide, on peut dtduire Ia relation p,.-p8 • p · g · (.;8 -::,. ) qud que soit le fl uide considCfi.

4) Pour un ga:z psrfait de masse molaire M, cene I'C.'la-

a: exp(- ~.l·)·

tion conduit nCoeuairemmt

p = p.

Ex. 4 Recipients de sections differentes Deux r«ipi~ IS A et B de sections C()nstatnes re$peC~ th.~s S" • 40cm t et S 8 = IOem' communiquent a leur base p:~r un tube fin . Us CX~ntiennent initialement un volume d'cau suffisam pour que, au eouri des experiences suiVInu:s., iJ )' ait w ujOUJ'$ de l'eau dans chacun des deux lieipients.. I) On \•erse un volume V = 0,02L d'hudc dam lc rCcipiem A. Determiner l:a denivtllation entre: k::s deux

s.u.rfaces libres. Z) QueUe serait ccnc dC:nh't"llation s-i on avail \'ctse l'huile dans It rk:ipitnt 8 ? lfiJmUa : 1>.\a.s.sc$ volumiqucs :

- de l'nu P. • I g em ' ; - de l'buil11 = 0,9g·cm ).

Niveau 1 Ex. 2 Hydrostatique dans un tube en U Soit un tube eo U dans lequeJ se trouvent deux liquides de masses \'Oiumiques respecri\-es Jl et ~· . On note respcctivement It et h' les d(niveUations entre Its surfaces libru des liquides et leur imerface (voir le sehem :~ ci-de&SOUS).

Ex. 5 Equilibre d'un bouchon de liege Un bouchon d e liege cylindriqu t de hauteur H = S em et de sec;tion t • 2 em1 est p lace \'C,rticalcmcnt dans une tprou vene g:radu6c tgalemern cylindrique.de dia· mCtre ltgC:n::ment s.uphkur. Lcs frottcments sur Its p:arois !IOIU n4:glig.!s. L'4:prOu \•ette ccmtie:nl une qu:an~ titC: d'eau suffisame pour que le bouchon flone s.ans toucher le fond.

Ia hauteur de li ~gt imm tra,ie. 2) On pose s u.r Je bouchon une piece de monnaie de masse "' • 6 g, QueUe est Ia nOU\'t"IJe hauteur immerg:Ce? 1)

Exprimer le rapport des dtnivellation, en fonction des masse$ volumiqut'$ des deux liquides.

Ex. 3

Decollaga d'una montgolfiere

U ne roomi'C)Ifitn! de \"'()lum c V = 500 m' e$1 remplit d'hCiium, 8 la tempCratur~ T = 298 K . L'cnvclop~

du baUc.m. tl Ia naceUt om une masse tC>tliJe met un volume negligeable pat rapport a v.

Oeu~nniner

3) On remplaoe k bouchon par un gla~on C)'lindrique de mCme forme. QueUe est Ia hauteur de gl.:t~

immcrgC:e? Dormk-S: Masses \'Oiumiques: p(eau) = I,OOg· em·' ; p (liC:ge) = 0,24 g · em , ; p(glace) • 0,92 5 • cm ' .

--·---

Copy rio,~

al-.

Niveau 2 Ex. 6 CU'Ie 6 mercure Un rube de: vt:ne de !«tion s • ),00 cm 2 eSt initiJtlemc:nt r~pli de mc:reu re puis plact: i l'etl\'t":I"S sur unc: CU\'e a mc:rcurc. La hauteur du tube: au..<Jeuus de Ia surface libre du mc:rcurc est L = 1,00 m. U presston atm011ph~riquc: c:sl p. = I ,0 13 bar c:t Ia m.assc \'Oium)quc: du mcn;ure est :

p

~

13,6 · 10 ' lr.a: • m·'.

I) Cakulc:r Ia tuauu:ur h de me:rcure i l' imtrieur du

Ex.! Variation de g avec I' altitude Dans le modCie d'aunosphtre ise>therme) a Ia tc:mptrarure T, on considC:re ici que PaccC.l&ation de La pcsanteur g varie avec !'altitude suivant la rt:lation : g( ::)

=

to · (~~~J, R. repr«c:ntant 1c rayon de Ia

Terre. Au niv~u du $01 (.: = 0), ()1'1 no1e Jlo l'acttleration de Ia pcsantcur et p~ Ia pression. DC:tcrm.iner Ia loi de variation p( z ) dans ces condi--

tions.

rube.

2) On injccte dans le rube " ' moles de gu parfait. La b.auteur de mtKUR: dans le tube de\·ient h ' = 0,40 m . Determiner :

Ex.10 Mouvement d'una montgolfiire Une monl;i(llfib-c se trOu\'C: dans l'air a une altitude:

a ) Ia ~ssion p' du gu enferml!, cxprimCe en pascah

Lc \'Oiume de Ia naeeUe en nea:Jigt devanc celui de

c:t en millimi:tres de merture ;

l'enveloppe ct on et ainsi que I'on peut assim.iler Ia montgolfi«e ia une spb~re de rayon R = 4 m.

b) Ia quantitC de matiUe pzeuse introduite.

oU Ia ma.ssevolumique de l'aircst p • I,OOkg · m

J.

La miL$5e tota.le de Ia montaolfiert: est m = 300 Ita.

Ex. 7 Equilibre dans un tube en U Un rube en U de section constante s • I cm1 , ouvett aux deux extremitCI, oontient de l'eau.

1) On tjoute dans une des branches un volume V = 6cm' d'huilc:. Oitcnniner Ia dC:nivcUation entre Ia surface librc: de l'c:au et 1.:1 surface de separation cau-huile. 2) A partir de l'~tat d'equilibre pr«Cdcnt, on ajoute dans l 'autrc branche du tube en U un volume v· = lO em-' d'ao«one. DC:tenniner la dC:nivdlation entre l et~ deux in1e:rfi\ees

eau-huilc: et ~au-act-ton~ ai.mi que Ia dC:nivcllation en.tre lcs deux t~urfacc:s !ibn$.

D<mnUs : Ai.a:sses volumiques : p(eau) = I )OOg · cm · ~ ; p(huile) • 0,90 g · c;m• J ; p(acetc>ne) = 0,79g·cm·'.

Ex. I

l) Lc mouvemem de la mont&'Qifit:ft est-il asotndant

ou descendant ? Quc:Jie est Ia \'lllcur de: son accCIC..ration tors de cc mouvtmcnt ? 2) A partir de ccue m~me altitude, on ~ut que Ia montgolfiirc monee &\'CC une aocCIC:ration de ''aleur g' • O,Sm·s-2 • QueiJe masse de leSt faut illiche:r ?

Niveau 3 Ex.11 Dilatation d'un gaz parfait On considt:fe le ditpositif suivam, rc:mpli paniclle-mcnt de mercun: ct dont ch.acune des deux branches., bermi:riquement scelli:e, oontient une metne qu~nti te de: gal parfait il La temperature T 0 , sous Ia pression Po. La hauteur commune aux deux colonnel de pz est h et Ia s~ion des deux redpic:nu est S.

Pression atmosphirique en altitude

C#Jculer Ia prt$$ioo atmosphtriquc: au som.mc:t du Mont Blanc (4807 m) dans les deux cas t~uivanl'5.

s

I

To.Po

To.Po

l) On suppose que Ia temp(:rature de l'atmosphCre est eonstan!e ec ea;ale a T 0 • 2) On suppose que Ia tc:mpirarurc: absolue ''ari~ 8\'C:C l' altirudc sui\'ant Ia loi :

•

menan

T = T.- A · .; avecA • 6,4S · JO·> K · m ·•,

Dcmnh:J : - teml)tr.uu re 3 J'altirude = = 0 : T 0 = 290 K ; - pression i l'ahitude :: = 0 : Po = 1,0 13 bat > - m.assemolairedel'air: M • 29s · mol"1•

Te=293K Po= 1.013 b•r h• 40cm p:l3.8g · cm·S

'C'opynghted matenal

On chauffe_. au moyen de ~ r&is-tancc, It gaz. contcnu dans unc des branches, jusqu'i une rempb'arureT. A

l' t(luilibre, lib~s

~

dhlivtUation entre Jes deux s.urfaces

du mercure est 10 em.

Caltuler Ia tcmp&atu.rcT.

Ex.12 Gaz parfait dans un tube scelle Un tube cyfindrique \'ertieal de section s • 5 em* est sC:parC en deux parties i.nitiakment de m&nc longueur L = 0,5 m par un petit pi$tOn. Ce demier, de ma-sse "' • 100 g, coulissc: sam frouemenu dam Je rube. Lcs deux comparti:mcn.ts contiennc:nt teSpecti v~ ment ~'• el n~ moles de gu parfait 8 Ia tempC:rarure: T = 2931<.

Ex.ll Thermometre diflerentiel t:Xux baiJoM identiquet. cootienne01 chacun un gu parfait Ia pression Po = 0,50 b:ar ct i Ia temptrarurt T = 293K.

a

& S()nt reliCs par un rube: en U de .section t = 1 cm 2 dans lequcl se trouve un index de mereurt. Le volume initial de chaque ballon et de la portion de rube au dt$Sul de !' index de mereu.re est V • 0,200 L .

"•

Ill ,, l

tem~nrure T . l'ir')de¥ de mcrcun: se dtaoe de 5 em. CalculerT.

0o chauffc l'un dc:s ballons a Ia

••

DcmnU; masse votumiquc du mercure p," = 13,6 ~iston

a· em-).

Ex.14 Resultanto des forces do pression sur Ia paroi d·un barrage Le mur d 'un bamlge, supposC: plan, de largeur L,

., "'

retiem wtlac al'tificiel. Ul haureur d'e•u t$t h.

21

•

l ) La pression p 1 du gaz; con.tcnu dans Ia partie: supC:rieure a pour valeur 0, 100 bar. Determiner Ia press-ion p 1 dans La partie in!ericu.re c:t les quantirCs de matiere r~ 1 et n 1 • 2) On remume le rube i1 remper:uure con$t.ante de f'a~on placer le compartime:nt (I) en bas.. OC:terr:niner le deplace~t du piston.

a

t ltll

••

I) Determiner Ia rbultantc de$ forces de ptessioo sur le mur du barr<Jge. 2) Determiner Ia position d u point d'appliation de

cc:tte rCsuJtame.

Indications Ex..5 Deux points d'un mCmt- tiquide, siruCs a Ia memc aluwde, wnl i la. mC:me p~swn.

Faii'C! un bilan de ron:e e.t projeter s ur un axe

l) Comparcr Itd'Archbnede.

t ) La haureur de: m ereuredttJ~t l e rube e1;t telte que :

poids

total et

Ia

poussie

vc:rtiC11il.

Ap

= p ·g · h.

E&1tl ComtMrer l'a1r- corume W1 !Jilt pl)rf3il J>OUI'Iequcl : • M p = "--"'-'.

UtiliKer la Jni de$ gaz parfaits ct le principe de t•hydrostallquc

R· T

E~pdmcr

L'a•r eu..nt $uppo&(: .se comporrcr commt un gv. parfait, 3 trmpCnnurc oonstaotc, 11 !aut tenir compce de 111 vnri:ujon de t a~c l'nltitude avnnt d'mtC'grer.

1) fam: un btlan de (orccs c.t appiJqutt l1• n::lutioo fondamcma1e de Ia dynasnique pour determiner Jc sens du vccteur Q,

Cllnpihe 2 S l.ntique des fluuir.s

J'Cquibbrc du piston ct unliscr Ja Joides

Jl:<~t paz:f~its

1)

duns ch.-que companimcnt.

oeco.uposu Ia surface de Ja

paroi en sutf.tlccfl

Clbncntaires ds • L · d3: a l'attitudc z. On obtknt Ia nisuh-ame dt:$ fClrce~~ en intta;r:.mt Its forces CIC.menta.ircs sur toutcs le-s surfaC« mfi.niterimales. 2) L• PQsition <:lu p<>irn d'applic;t~~it.m lie dl!lermtntcn considb-ant le moment c:n 0 de lu ris-uhantc ct Ia ~mmc

des momentlo m 0 de• fortes ~ICmcntair~.

Sol"1tions des exerczces Q.C.M. Exercice 1 1) Vrai. La relation dp = - p · g · dz est valable queUe que soit Ia nature du flui de, lorsque I' axe O.t est oriente vers le haut.

2) Vrai. Dans le champ de pesanteur, le signe •-• com:spond 3 unc o rientation de I'axe Oz vcrs le haut. 3) Faux. einttgration de dp c: - p · g · d.z en p,. - PB = p · g · (z 11 - : ,..) n'est com.-cte que si les tcrmcs p ct g som cons-tams : fluide incompressible, et variation de g avec I' altitud e faible. 4) Faux. L'int6gration de dp

=-

p · g • d : c.n p(z) = Po· cxp ( -~ : ~:

=) pour un gaz parfait n'cst

corrC:C"u: que si g est supposte constante et si Ia temperature Test cons tame.

Niveau 1 Exercice 2 Les points A et B soot t\ Ia m€me pression (p, = p8 ) car lis font partie du mCmc fluidc ct se uouvem dans un mCme plan b oriront0\1.

~

l

,.. ,..

II est nices.satre que le fluide considere sort continu de A a B.

De plus p,.. ::: Pa· = Po (pte$Sion aunosphi!rique). Enfin, on l!:crit Ia relation fond amen tale d e Ia sratique entre A et A' et entre B et B' : :c

p. · g ·(Zo· -Zo)

·~.:I

• ..

PA-PA' = ll'· g • (.::,,-.::A) :c p.' · g · h'

Pa-Po·

A' 8

.. Q

0

= p. · g · h.

Ondeduit : p,. - PN = PH - Pu·

=>

~·· g · h'= v. · g · ll .

Finalement :

Ex.ercice 3 1) Pour un gaz parfait d'equation d'Ctat p. V =

s'c:xprime par :

11 .

m R . T = - · R ·T Ia masse \<"Oiumique

M

_ m _ p ·M

P - V - R·1" Appliccuion numirique : - pou.r l'hCiium, p,•.

..

- pour l'air, p.;.

=

= l ,Ol 3 · 10' x 4 ·

8,32x298

2

tO -'

1 1 0 13 • ~.!~ xx ~~ · tO-'

=

= 0 16 ...... . m •l · '

.,..

1,18 kg · m·.l,

'

•

b.• Pour obtenir une masse ~olumique eKprimh dans le Svstitme intemattonal. tes res grandeurs dans ce sys-tllme. 2) LA: ballon est soumis - son poids

if est mdispensable d'exprimer tou·

a:

l

P ( nacelle, c.nvt'.loppc: et h C:Iium) ;

- Ia poussee d' Archimede de l'air

n:.

• ·,•r.: hire un sch6ma afin de reprhenter fes diHirentes forces avant de proreter les vecteurs

Y wrfa<e~

u; o

(force vetticale, dirigCe ven le bas)

p = m · g + PH. · V · g { n . = p.;, · V · g

(force verticale, dirigee vers le haut)

La momgolfiere peut d tcoller si n , > P done si :

P.or · V · g>mg + Plk ·V · g ~

(Po~r- p 1111 ) · V>m .

O'oU Ia valeur maximale de m permenant le dtcollage : mmu

= (p,,- PH, ) • V = ( 1,18 - 0, 16) X 500 = 510 kg.

Exercice 4 1) Le volume d'huile verst: est: V • 0, 2 L = 200 em' . La hauteur d'huile dans le ric'ipient A est : v = -200 = 5 em. h~~. c s. 40 PM· PN· Po O'autre part : { PM = f>N. En appliquam le principc de l'bydrostarique dans chaque compartiment (l'huile est un fluide incompressible) : p,..-p'". = Plo· g · h,. = PN-PN· = Pc · g · ha. p" 0,9 D'oU : h : - • h,. = - x 5 = 4,5 em

J

= =

8

p,

=

D'autre pan : !PE = PF PE· = Pr = Po· En appliquant le principe de l'hydrostarique dans chaque comparriment : PE-Pe· = Pc· t · hi.. : Pt:-p,.. • P11 · g · h'a· o •ou: et on dtduit :

8

A

M

....

N'

•• N••

I

ct ondMuit: d = 0,5 em. 2) La hauteur d'huile h'11 dans le recipient B es-t: 200 h'0 V 20 em. s. 10

= =

... -'1--

8

A

• -

E'

- --~ - --

-l

p

----

F

,.

-

hi.. • Ph· It'• = 0,9:20 = 18cm p, d' = 2 em .

Exercice 5

·:y:

Utifls.er les E!tapes di!finies a Ia minllode n° 2.

l) lc systi!me cons.idCrC est le bouchon, soumis 3 son poids et 8 la poussCe d•ArchimCde.

On envisage un axe Oz vertical, oriente de bas en hauL


A I'Cquilib rc, Ia pousste d'Archimede est egale au poids du boucho n :

n, =

l

;r,

p, · (h · s) · g = P = p1 • (H · t ) · g.

On dtduit : h = Pr . H = 0.~24 X S = l,l em.

p,

air

-,;;

1

2) D ans ce cas, Ia po uss~e d'ArchimCdc, qui correspond a unc hauteur immergee h ·,est egate, a )'fq uilibre, au po ids d u bouchon, plus le poids de La piCoe. n, = p,· (h ' · s)g = P' = p1 ·(H ·s)·g+m· g. On deduit : h'

•

~oe

G

c

H

h

-

eau

p

L-...f--1 ..

= p1 · H ·s + m = 0~24x5 x 2+6 = 4 2 cm . P,· s

1x 2 ' 3) Dans le cas d 'un gla~n cylindtique, le raisonnement est id entique ll ce-lui de La premiere question, en remplar;ant p 1 par p 1 • Dviem : h" = & . H = 0•92 x 5 = 4,6 cm. p, 1

Niveau 2 Exercice 6 1) p,. = p,... = Po er en appliquant le principe de l'hydrostatique au mercure (ftuid e incompressible) : p, -O=p ·g · h

•

1,01 3, JOS - 0 76 d' ' .h ou · - 9 ,81 x 13,6 . 10 1 - ' m . 2) La pression dans le haut du rube est main tenant p• et Po -p' = p · g · h ' , h • chant Ia nouveUe hauteur d e mercure. La loi d es gaz parfaits s'Ccrit : p ' · v · = n ' · R · T. a) De la premiere relation, on d eduit : p" = p,-p ·g· h" p' = 1,013 · 10 5 - 13,6 · JOl X 9,8 1 X0,40 p' = 0,48 · 101 Pa = 360 mm Hg. b) p'• V ' :1!1 p '· s · ( H-h') = n' · R · T ,d'oU : n' = p'·I · ( H - h' ) ;:; R ·T

0,48·IO ' x3 · 10 ~4 x0.6

8,32 x 290

e

A

~--f·; fl--"' AI-l

3

'

6 . 10~l moI·

Exerc:.ic:e 7

't): Ca1cu"-r

1) ...

Ia hauteu1 d'huite h' •

de l'ttydrosta6Que.

~pour pouVOtr utihsor It

princrpe

A ct 8 sont deux points s.ituCs dans l'cau ct dans un mCmc plan horizontal done p,. :=: p 8 • De plus p,.. = Po· :a: Po· Le principe d e l'hydros-tatique conduit a ecrire :

p,.-Po

AI

AI

$

= P~ · g · h = Pa- Po = p.,· g · h'avec h ' : Y = 6cm.

•

]j

B

f-..ue

A ••

"

8

:)-"'

h = h'. P11 p,

= 6 x 0 •90 = S,4cm. 1,00

2) La hauteur de La colonne d'acetone est :

h" =

·d:·}-··

v· = IOcm. $

.J.~..

eeetone

Les points A et B de l'e01u sont dans un mCmc: p lan horizontal

h"

'

a····· .... J.~. B

~P,.. = Pa ·

A

D'autre part P~t• = Pc· = Po· Le principe de J'h)•drosrotique permct d'tcrire :

huile

l

h'

eau

p, - p" = p,· g · h " = Po - Pe· = (p. - pc) + (pc -Pd

= (p.· g · d+ p,· g · h ' ). OntiK:

. - p,· h" -p, · h' _ 0,79x10-0,90 x 6 _ - 25 , em. d p, 1,00

On dCduit Ia d enivcllation entre les surfaces librcs d es deu.x branches : d ' • h" - h' - d 10 - 6 - 2,5 l,Scm.

=

=

Exereiee 8

·~?:;:

Utiliser le ra•sonnement Pfhente au p.aragraphe 8.3.1du cour1:.

Dans tous lcs cas, dp Pour un gaz parfait :

= - p · g • d:: dans le eha.mp de pesanreur, l'axe Oz etant o riente vers le haut.

dp M·g p ·M P=p = -R · T·dz . R·T 1) Lor$que Ia temperatur e est cons-tante et t gale a T 0 :

· dt

p

R ·T0 M ·g I n - = - - - · (z- 0) o R·T0

(t )

ou, d'une a utre fa~on :

P = p,· exp(- M · x ·z). R ·To

9,8J x4807) App/icarion numirique : p = I 1OI3 · IO'x e.xp ( -29·10-'x 8,32 X 290 . p

2)

·~'():

= 0,575 · 10' Pa

~

O,S7S bar.

Remplacer Tpar son expressaon en fonct10n dezavant d'int&grer.

LorSque Ia temperature varie avec !'altitude : dp M·g

p

dz

= -"'R·T, - A·z'

M·g (T-A·z) To

Par im egration : In P = +A · R · In Po

0

A · z)~ . P = Po· I-To

(

Application numi riqut : p = I 013 . 10'

_,

)~·IO• I~tO,II

I - 6.45. 10 X 4807 ( ' 290 1 p = 0,557 · 10 Pa = 0,551 bar.

Ctl.epitre 2 : St.eliQ~Jt des Ruides

X

6M

10 ,)II,

Exercice 9 L'axe 0 : Cum oriente \'ers le haut : dp

= - p · g . dz .

L'air est considetC comme gaz parfail, d'oU p

= ~·.J.j

et l'intensiti: de Ia pcsantcur est:

g= g, · (~)'. R,+ z En reponam dans l'tquation locale de Ia statique des flui des : p· M Rl ) ( dp = - R . T . gq· (RI + z)Z . d z

,. 1e __M . g,. Rc. R· T

p-

dz

(R, u )' .

l.o"t temperature tta.nt OOO$tante, )'expression M ·Rg_0T· R '' est cons tame, ct, en intCgram e ntre les altitud es 0 et

z:

= _ M·g0 • Ri .[.!. __ I_] Po R·T R, Rt +z .

lnp(z)

Exercice 10 1) Lc poids de Ia montgouiere est P -= m · g

= 300 x 9,81 = 294.3 N.

La pous11« d'ArchimCde de l'air a pour V

n. = ( p · V) · g

avec V :

J4 · n · R,. le volume

de Ia sphere. ll vient :

n. -=P·~ · n·R 9 ·g= I,O x ~ x n: x 4' x9,8 1 = 2630N. Dans Ia mesure oil P > n., Ia montgolfiCre n 'est pas iii'Cquilibre. Elle est animee d'un mouvement descendant.

La relation de Ia dynamique permet d•ecnre : m · ;; = P + vertical oriente de bas en haul : m · a

II vient :

a=

n:

et en p roje<.'lion sur un axe Oz

= - m · g+ p . ~ . n:: . R ,.· g

-P +n ..

::: - P+ n •.

= - 1,04m· s-: .

Ill

·.'(): On retrowe bien que racceteratJ>On, negative, conespond il un vetteur T diri9i ver:J le bas

--

2) La relation de la d ynamique s'&rit : m '. -. a = p· + n. en notant m ' Ia masse penneuant d•avoir une acceleration

'

diri~~-e

"·

ve.r$ le haut, de

6'

vaJeur 0,8 m · s -2 .

0

En p rojection sur Oz : La poussee d•Archimede a meme valeur que dans Ia question pr&:edentc. On dCduit: n1

. .: n.

2630

g+ a ' = 9,81 + 0,80 =

248

kg.

l1 est done nC:Cessaire de lichcr une masse de lest 4m telle que : IDn == m - m ' = 300 - 248 = SZ k.g.

p.

Niveau 3 Exercice 11

·J;: Ubliser le pnnc1pe fondamemel dele statique.la loi des gaz p.arfans et Ia conservatiOn du volume de liquade. Lors du chauffage, il y a dilatation du gaz sirue dans le recipient com:spondant. • Principe d e l'hydrostatique : p 1 - Pz = p · g · d .

p,· h · S = "·R·T0 • Loi des gaz parfaits : p 1 • h 1 • S ;;: n · R · T {

h

'

P\. T

p1 · h'l · S ;;: n · R·T0

"'I I·

Pl· To

• Or la conservation du volume de mercurc implique :

h,· :>+h, ·$= 2h ·$ h , + h.,= 2h. En tenant compte du fait que h 1 - h2

=d

a:

I 0 em, on deduit :

d h , = h +2

AppJicalitm mnniriqut : h 1 = 40 +

;

°

d

h~ = h- 2'

10 h, = 40- -r •35cm.

1 = 45 em ; 2

On en dt duit :

p,· h · S = n · R· T 0 : p2 • h,·S =o p, = p0 {p

1

=p2 + p · g · d ~p1

. I n · R·T Ftnacment: n · R· T 0

•: ,

=

l,OI3 x ~~ = 1,158bar

ra 1, 158 · 10' + l3,6·10 'x 9,81 x 10· J0-2 = 1)291 · 10' Pa = 1,291 bar

· h , 293 1,291 x 45 420 K T p,·h,· S ·r • -= = = 1 .0 · p,p- ·ht -= x = . T P: ·h · S I,158x35 0

1

2

Exercice 12 I) Lc piston est en equilibre sous !'action de : - son poids P,

- Ies forces de pression F ec ~. II viem P+ f: + F; ; 0 et en projection sur un axe 0 .: vertical : P2 ·s - p,·s - m · g = 0.

"'J:j: Les forces

de pression sont dirigiles do flulda vers Ia pJSton,le poids est oriente

de haut en bas.

On dCduit:

m·g

Pz = p, + - - · I

App/iCOli<Jn numirique: p2 = 0, I 00 · JOS + O, JOO ~9>81 = 1,19 . 5 . 1 ..... La loi des gaz parfaits permet de dedui.re n 1 et n.2 :

n,

10~ Pa.

=p 1 · L·s=O, l · l0s xo,Sx5 · 10""' = l Ol · IO·' I R ·T 8,32x293 ' mo

{ n, =P:· L · s= l , t9 · 10'xO,SxS · 10-•= 1 22 . 10., I R ·T 8,32x293 ' mo ·

C'hlpitre 2 : Suuique des fluides


2) Lors du retournemem, Je piston se de-place \'e rs le bas d'une distance x: le gaz (1) occupe alo rs un volume ( L - x) · t et le gaz (2) occupe un volume (L + x) · s,

& •

Le sens de dliplacement envisage correspond il une augmentation de Ia QteS:Sion p'1 done aunt diminution du volume COtrespondant a temp6rature con.stante.

1

... (2)

F ·-·f- .Jf.

. m ·g • L'Cquilibrc d u piston cntraine: p' 1 = p 2 + - - . s

~

• La loi des ga:z parfaits s•ecnt :

'--

( I)

p', ·(L -x)· s = n 1 · R · T { p'2 • (L + x ) · s = 11 1 • R · T. En re:ponant les expressions d e p '1 et p '1 dans Ia condition d'equilibre mecanique :

;i"i-'·...:R.:,· T:, =- n1 · R · T + m _ ·_g. (L - x) · s

s

( L +x) · s

En reduisant au meme dtnominateur ( L - x) · (L + x ) · s, il viem : 11 1 · R · T · (L+x) =- 11'2· R · T · (L-x) +m · g · (Ll -x2). En ordonnant par rapport aux puissances de x : m · g· x2 +R · T · (n 1 +n2 ) ·x +(n 1 - n 2)·R · T · L - m · g·L2 = 0. numiriqm: : 0, 1 X 9,81 · X 2 + 8,32 X 293 X (1,02 + 1,22) ·

Appl~ation

= 0,981 · x2 +5,46·x - 0,489

[ Q ·' X X +

(1,02 - 1,22) ·

[Q· l X

8,32 X 293 X 0,5

;; 0.

' .,• -,4""x"o',"'48"'9'x""o,"9'"'8t •d . . _ - 5,46 ± J "'5,""4"6' On d cuu . x2x0,981 · L.a sc:ule racine positive est x

&

= 8,8 · 10· 2 = 8,8 em.

II itnporte d'avoif analydle sen.s de d&placoment du piston p.our choisir entre res deuK raeines possibles.

Exercice 13 Soit x = 5 em le deptacement de l'index de mercure. Le volume occupe par le gaz a Ia temper:trure T esc maintenanc V + s · x ; lc volum e occupC par lc gaz rcsce a Ia t~mpCrature T 0 est V-s · x. La dc!nivellarion entre lc:s deux s urfa~s libre:s d u mercure: est 2x. Principe fondamcntal de l'hydrostatiq ue ~ntrc les surfaces librc:s d u mercure: ( 1)

Loi des gaz parfaits : p 0 ·V = n · R· T 0 p, · ( V u · x) = n · R · T p, · ( V - s ·x) = n ·R · T 0

{

( 2) (3)

( 4)

Oe$ relations (2) ct (4), on deduit : P: · ( V- s · x)

:e

Po • V .

T

Des relations (3) et (4), on deduit : p 2 • ( V + s · x) = Po· V · T

0

•

..

..

r

r,

zf: :i~l --=

En reponant dans Ia relation ( I), il vient : p() ·V·T

p0 · V

T o·(V+s ·x)- (V -s·x) = Pna ·t· 2x. On deduit: T = T o·

( V+ s ·x) T 0 · ( V+ s · x) +Pu1 ·g· 2 X · {V -s · x) p0 · V

Applicatiort rmmirique : T = 293 x ( 0,200+5 · 10 '') • 13,6 · IO' x9,81xl0 · JO ·•x 293 x {0,2+5 · 0,200-5 · JO · ' 0,5 · IO'x 0,2

·J:;:

JO·'>.

II est possible de laisser le volume &n htres, pu•squ'd n'1nterv•ent ici que des rapports de volumes:.

Finalement : T

= 388 K .

Exercice 14

l) La pression varie avec Ia profondeur. Considetons une bande de surface d'tpaisseur dz a Ia profondeur .::. La pression a Ia meme "aleur p(:) en tout point de cenc sur-

,. •

face, ~t Ia fo rce de pression due 8 l'~a u est :

-

-

h

dF = p(z) · d s · u, .

...

• I

(

-~

di

u;

~ pvarie avec l, done ch.ange en fonction de Ia bancle de surface c-onsidtree.

0

AI

u.

D 'autre part, le principe de l'hydrostatique condujt a: p(z) = Po + p · g · ( h - .c) en nomnt pIa masse volumique de l'eau. De plus, 3 ccttc altitude, s'excrcc en sens contrai~ une fore~

df.· due :i l'air pr6cnt de !'autre

cOtC: de Ia paroi, 3\'CC dF ' = - Po· ds · U:. La rCsulrante des forces de pression de l'cau ct de l'air sur I'C.ICmcnt dS est done:

dF, = dF+dF'

= p·g· {h -z) · dS·U:.

Pour obtcnir l.a force s'cxe~nt sur lc mur du barrage, il faut additionner ces fo rces C!Cmcntaires, c va.rii'Lnt de 0 il h, pour U)utes les surfaces t tememaires dS = L · d.c . ~ Pour une variation con11nue d'une grandeur. adcliti01tner rev1ent 8 intE!grer II vicnt :

F, = fdF, = f: p g·(h -z) L · dz = p ·g L ·J: (/• -z) d z = p g L

F, =

p g·

[h ·•- ~1

L (I•'- ~')

= 2) La rtsultante des forces de pressio n d oit av-oir le mCme d fet que l'wsemblc des forces .!!Cmen-

taires, notamrnem dans !'expression du moment en 0. Ai.nsi :

Chapitte 2 : Stalique de-s fiWCie-s

Copynghted matenal

• Si on note C le point d•applicauion de Ia r~suhantt

OM AdF • • ·ii',A p

• D'autrt part: d.:ii;(cW) •

'F: :

1 · ( h - : )· L · d• · U.

• •· P· t (h -•)· L d• · U, En ajoutanl tous cn momena CICmcnt-atn:s pour .: variant dt 0 i It,

~ litntore.

" •

I

~

...

'

Jd:ii:(dF) •

p I L

• p I L

I:=

•• ( h -:) d.:

·t ••

u;

[h -:' -r-3

• px · L h' -u,..

6

• La compani:t:on de deux cxpmsions du moment en 0 pcrmct d·~:

hl

h'

z, · P· t · L · 2 • P· t · L · 6


Premier principe de la thermodynamique Int ro d uctio n En mCcaniquc, lors du mouvcmcnt d 'un corps, Ja somme de I'Cnergic cinC:tique, associ& au mouvcmcnt, ct de l'Cncrgic potcntiellc, liCe a Ia position, definit l'Cnergie mCcanique. Dans le cas oil lcs forces cxtCricurcs sont conservatives, I'Cnergie mtcanique est constante au cours du temps mais cette: grandeur nc suffit plus lorsqu'on doit considCrcr lc travail

de forces non conservatives. En thermodynamique, a partir d'un c!tat d'tquilibre caracrense par des variables d'c!tat, un sysreme donne peut Cvoluer vers un autre ~hat d 'f.qui libre. Ces deux ~hars d 'f.qui libre sont caracterises par leur Cnergie totale., som.me de I'Cnergie mecanique et de J'Cnergie associCc aux phCnomCnes microscopiques, encore appe!Ce energie interne et dtfinie au chapitre 1 ii partir du modtJe du gnz. parfait monoatomique. La thermodyna.m.ique Ctudie les variations de ltenergie totaJe d 'un S}'StCme en tre deux Ctats d"Cquilibre et envisage deux modes de transfert d'Cncrgic: Je travail et le transfert thermique. Le pre-mier principe de Ia thermodynamique exprime Ia conservation de I'energie totale et permer ainsi de generaliser Ies notions abordees en mecanique.

Plan du chapitre 3 A. Evolutions

t

transformations en thermodynamlque .......... ..... ...... .. ..... ..... .... .72

8 Energ1e et echanges d'tnerg1e..... .... ... ... ........ .. ..... .... ...... ... .... ... .. ...... .. ...... . 72 C Premier principe de Ia thermodynamique .. .... .... ...... ,, ..•••• . ,,, ...... , .. ...... , .. .... .. 74 0 Travail des forces de pression ..... ........ .......... .. .... ........... ...... .. ................ ... 76

E. La fonction enthafpie ..... ......... ... ..... ..... ..... .... .... ..... ..... ... .... ...... .... .... ..... .. 78

F Cepec:ites thermiques........ ....... ... ..... .... ..... .... .... .... ...... ... ...... ......... ... ..... .. 81 G. Principaux travaux et transferts thermiques ... .... ..... .. ,, •••• .. ,, ..••••• , ...... .. ,, ••.• •,, 83

M4tllodes

L'csscnticl ; rni.sc en ceuvre ..... .... ..... .............. ..... ... .. ... ..... ..... .... ......... ... .... ... 88 Enonc4s du e:r~cu ....... .... ..... .... ..... .... ...... .... .... .... ...... .... .... 93 p

.. ...... ... .... ...

I"dicutio,s .... .. ................ .. ....... ........ .................. .......... ......... ........ .... .... ... 97 Solrttions des ex.erciGes , .... ... , , ..... , , , , ........ .... .. ,, ............... . , . , ....... ....... ,, ...... , .. 98

' A. Evolutions et transformations en thermodynamique

1. II eSI possible d'eiWlsager cf•utres veri•bf,O$ pol.lf di llnir l'&•at lf'un systeme: Ia charge d'un condensotO\Ir, pet exemple.

J:erot d'Cquilibre d'un systeme thermodynamique est defini par des variables d'Ctat : Ia pression, lc volume cc Ia temperature pour les systCme:s CrudiCs dans ce chapitre 1• Lorsque-ce systtme e d 'un Ctat d'Cquilibre 8 un autre, il subit des evolutions (ou transformations). On peut classer ces evolutions dans lcs deux categories suivantcs : • L'Cvolution peut Ctre brutale. Seul un bilan global est possible, les t rots intermediaires et les variables d'Ctat ne sont pas dCfinis. On dit alors que r evolution est irreversible. • L'b-'Oiution peut Ctre suffisamment lentc (infinimc:-nt lentc dans le cas ideal) pour que le S)'Steme puisse eue consideti comme etant a J'equilibre achaque Ctape de Ia transformation. On dit alors que l'Cvolution est quasi statique. Lorsque I'evolmion est quasi statique, il est parfois poss.iblc a prion' de rcvenir de r etat final a l'ttat initial par les memes etapes intermediaires : une telle Cvolution quas.i statiquc est alors rCvel"'$ible. Cepcndant une evolution quasi statique n'est pas forcemem reproductible en scns inverse et peut, C'Qmme une evolution brutale, eue irreversible. E>:<mpk:

Figure 1

Ul d6tente d'un gaz peut 6tre reversible ou irreversible.

Po

T p, T

Considhons un gaz initialemcnt $ OU$ l.a pression p infCrieure 3 Ia pression exterieure p 0 , contenu dans un recipient cylindrique ferme 3 un<: c.xtrC.mit~ par un piston mobile sans fronements (fig. 1). Le gaz et Je milieu exthieur soot it la mCme temptnuure T. Pour amener le gaz 3 Ia pression Po, deux methodes som possibles : • Premiere methode : pOusser trts lentement le piston en laissant lcs Cchangcs thcrmiqucs s'cffectuer de celle facon que Ia pression et le \'Oiume du gaz soient connus a chaque imtant ; J'Cvolution est alors quasi statique. Si on ramime lemement Je piston a sa position initiate, il est possible de retrouver les mC:mes Ctapes que tors de Ia co mprcS:Sion : I'Cvolution est de plus reversible. • Deuxii:me methode : Laisser le piston evotuer libremcnt jusqu'il cc que le no uvel equilibrc soit Ctabli ; I'Cvolution est dans ce cas irreversible.

Une i:volution rl:versible est necr-ssaircment quasi statique ; eo revanche. une evolution quasi statique peut Ctrc irreversible. Exempf-e : La temperature d'un recipient eontenant de l'eau chaude et laisse

a tempera.. rure ambiance .:Volue lentement jus.qu•a l'tquilibre. Une telle evolution peut Ct:rc: considerCe comme quasi statique mais elle n'est pas reversible.

B. Energie et echanges d'energie B. I. Les formes d'energie En mckanique, un systCme ~s t caroctCrisC par s.on Cnerg:ie cinCtique macrosoopique E.:- et son energie poLentielle-assoc-iee aux forces extC:rieurcs E 11 • Lorsque les rorces exterieures soot conservatives, on sa.it que I'C:nergie mCcanique du systCme Em = £, + E, est constante au oouTS du tempS.

Chaphre 3 ; Premier P•ittCipe de Ia thtmn()dynamique


Mais d'autre$ phenomenes peu~nt inten,.enir. Ainsi>9 l'entrCe d'une navettc: spatiale dans l'armosphere, les f"rouements de l'air enttaihent une diminution de: I'Cnc:rgic: cinCtiquc macroscopiquc de Ia navenc ct son Cncrgie p()[entielle de pesanteur diminue .!galemcnt. En prCscncc de forces n on conservatives comme les forces de frouemem, t•energie mecanique Em : E.. + E,. n'esc pas 2. le trav1il l'une IOfce conservative ne d6pend ~as du chemin suivi. U variation de rl!nergle pot.!nriele a:ssoe"e i uot force '-Onserv•tive m 6g1te Aropposl! du travail de ceue lOtte.

3. 11 n' estpat pcmibledtns le cu tliniral d'ivaluer r energie klttrne U d'vn ;y;tt~. on accede se\llement i des varl'•l:ions.

c:onscame 1• Simulcant:ment it ces diminutio ns d 'tncrgie, Ia ttmpfrature d u bo uclier thermique de Ia naveue augmente. Or Ia temperacure est Ia manifestation macroscopique de I'Cnergi.c cioCtique microscopique liCe 3 I'agitation thermique des atomes ou m ol.!cules.

L'energie interne u d'un systeme ' rep...;sente l'tnergie cinetique microscopique ainsi que l'tnergie potentielle associee aux forces inu~:rieures. Elle s' exprimc en joules.

I

A un systCme donne, nous associons dtsormais : - unc Cnergic cin Ctique macroscopique norCe E(, - une tnergie potenrielle des forces e.x rbieures notCe EP, - une energie interne notee U. L'C:oergie totale E d'un 1ystCme est Ia somme de son Cocrgjc cinCtique macroscopique E.., de l't:n ergie potentielle d es forcc:s ex.ttrieures E.,. et de son tnergie interne U : E = E. + U = E, +E,+U. Elle s'exprime en joules.

B.2. Les modes d 'ech a n ge en ergetique

c. lors 6e I't.xp4riet~ce eSc Joule, il est necessaire .renvisager de nornbreux ttai~s 6ts massts

Quels modes d't:change energ!!=tique permeuent de Caire varier t•energie totalc E = E( + E.,. + U d 'un systCmc ? • L'expCricncc d e Joule est reprC:sentCe ci--dessous {fig. 2). Lors.que lcs masses M et M' descendent, leur C.ntrgie pOtentitlle d e pesanteur diminue et dies cedent simultantment d e l'etlergie a l'eau par Ia rotation des palettes. L'C:ner-gie cinCtique microscopique des molecules d'~u augrncnte, done Ia tcmp6rature augmentc C:galcment ~ .

L'Cnergic totale de l'eau varie par le travail W des forces de. frottcmcnt.

U et M' pour obtenir 1.11e variation de temp6rab.lre signilleative.

Figure 2 I: experience de Joule. ·

-

manivelle permettant la remonth 6es ma"'s

r:<:----'::t-- eyfindre pemettent te bobinage des fils

!.+----,""-- .... M

... reoipief\4 e~1or1fuge

paleues

Pour augmen ter Ia temperature de Ia masse d'eau pred d en te, une autre methode es1de Ia mettre au d'une source de chaleur, une plaque t leotriq ue par exemple. V i:n ergie totale de Peau varie ollors par le transfert thennique Q ).

o

S. On ne do« pas confondre Its notions de ttansfen thermique lmod• d'i change inerg itiq~) et de temperature (paramette

Lcs p rin cipaux modes d 'Cchange Cne[gi:rique som Je travail W et le transfe:rt the.rmique Q . lis s'e.xpriment en joules.

d'ttat~

La variation de tempitlt!Jre est une des eons!quen.c:H possibles cfun translt rt t~nniqLJt, une eutre consequence possible est le ehangement d'etat

B.3. Differentielles et formes differ entielles o

L'~nergie

interne U d' un sysd :me est une fonetion d' ~tat ; sa variation

au n e d epend q ue de l'C-tat initial et de l'i:tat fi.nal, pas de Ia narure de t•evo-lution. En mathCmatique, une variation infinitt simale de Ia fonction i:nergie interne, n otCe dU, est une diff'Cre.ntielle totale. Une \•a.riation infinitCsimale d e t•energie imerne dU s'exprin1e en fon ction d e d eux variables indcn dantes parmi p~ T ou V, usuellemcnt les vari;ablcs T etV :

dU =

(~. dT+(~t dV.

j

O n n e peut accCd er qu'8 des variations d e I'Cnergie interne. Une variation finie d 't.nergie interne.~ o btenue par imCgrarion de dU~ s.e n ote au.

6. On ne peut envisager de d&mt eJ pa~lleJ d t W tt Q pat n•pport aux variables d'etat 7. Par imigr~tion d e &.V, on n'obtient pas t..W mais W.

o Le travail W et le transfert thermJque Q nt sont pas des fonctions d 'Ctat : leurs \'aleurs d endcnt de Ia nature d e l'Cvolution. En mathi:matique, les cravaux et cransfer ts thermiques Clementaires se n otent respectivement aw et aQ. Ce ne sont pas d es difft rentielles to tales meme si Ies expressions infinitesimales 5W et OQ peuvc.nt s'exprimer en fo nctio n de d V et de dT: on parte de fo rme8 dlfferentielles 6 , L'imegration d e 8W et de 8Q lort d'une C\'"Qiurion finie permet d'obtenir le travail W et le transfert chermique Q1•

C. Premier principe de Ia thermodynamique C.l. Expression s du premier princip e Considetons un systeme d 'tnergie totaJe E = Em + U c: Ec + E.,. + U, capable d'Cchange.r de I'Cnergie ave~ le milieu excetieur par un travail et par un ttansfer t thermique.

8. Cene eonvendon es1 tth impon•ntt •ussi b~n

en thermodynemique qu'en

Pnr conven tion 8, on no te respecrivement Wet Q le travail et Je cransfcrt then niquc at.gebriqueme n t

re~us

par le sysceme.

tMeaniqve ou en t leetrid l!.

A\•ec cene convention, lorsque Ia valeur de \V o u d e Q est positive,I'Cnergic correspondame est effecrivement rc~uc ; lorsqu'elle est negative, elle est efftc· ti\'ement cedee au milieu exterieur.

Le premier prlncipe de la thermodynam.ique expri.me Ia conservation de J•energie : lors d1 unc holution_, Ia variation de l'energie totale E du systCme est C.gale 3 la somme des travaux et transferts thenniques ~us par le systeme.
I L\U = W+Q. I Si l't'\'olution subie par le systCme est infinitC:simale :

ldu = sw • 0<2-l C.2. Application : Ia detente de Joule Gay-Lussa c

!1. HlstDriquemenr.. e~ ~enenee iiti ri1tid• fvtC d•ux b1lloM

Deux recipients, notes (I) et (2), de volumes respectifs V1 et v l som relii:s par un tube fin muni d 'un robinet initialement ferme (fig. 3). Le recipient ( 1) contient un ga.z sous la pression p, Je rtcipient (2) est vide, Les parois sont rigides et parfaitemenc calorifugees 9 •

1

Fig~o~re 3 L'eKperience cfe Joule Gay·lussac .

de mkne volume 12 L

.,..IRI 121

Ill

...

v,

v,

vide

p

Lorsqu'oo ouvre le robinet, le gaz du rCcipient ( I) s'Ccoule dans le rCcipient (2): on parte de •dCtente dans le vide•. L'Cvolurion est irreversible. Les parois Ctant rigides et calorifugtes., le gaz ne ~oit ni travail, ni uansfert thermique du milieu exttrieur, done W = 0 et Q = 0. L'application du premier principe de Ia thermodynamique au gaz Crudi.! conduit 8 :
141.i·U!§tji L'energje imeme d 'un gaz dont Ia temp(-racurc restc consmntc au cours d' une dl!tentc: de Joule Gay-Lussac ne dend que de Ia temp~ratu.re : il vh ifie Ja. premiere loi de Joule. 10. On peut vilifier Ia premiere loi d• Jou.. pour let on p.~rfait$ si les deux frtC1ioM de QIU obte1111e:s ont Ia posslbirrte de rhli$81 6t5 h:lwlnges,hermiquas

enttt eles.

Cen:e propritte est vt:rifiee en particulier par les gaz parfaitS 10.

C.3. Energie interne d ' un gaz parfait D est possible d'exprimer une variation d'Cnergic interne sous Ia forme :

dU = ("U) · dT • ( "U) · dV. ()T V

oVT

CopyrigHiW

La capacitC thermique 8 volume constant s'C:Crit : Cv

= (~l.

EUc s'exprime en J · K~•.

11. P011r ungaz p.atfail :

(~~), :

L'trude de Ia detente de j oule Ga.y·Lussac moncre q ue J'Cnergie interne d'un gax parfait ne d epend que d e Ia tempC.rature 11• On d eduit Ia proprii:ti: suivantc:.

0.

dU = Cv · dT 6 U • Cv · 6T.

Pour un gaz parfait : et en imc!grn.nt :

On definit t-galement : - pour une mole, Ia capacite thennique molaire 3 volume constant,

' Ia qu.anntc ' ' d c mauc:re " de ~ ; · ' en J · K' - cxpnmec • · moI- ', 11 ctant C v = Cv •

II

- po ur I kg, Ia capacitC thermique massique (ou chaleur massique) 8

\•otume constant, ~· =

S

Ill

exprimee en J · K-' · kg-', m etant Ia masse de gu.

D. Travail des forces de pression Parmi les differems modes d'echange d 'energie, no us nous proposons d'tva· luer le travail mCcanique des fo rces de pression.

0.1. Evolution infinitesimale quelconque Un gaz. sous Ia pression pest contenu dans un ri:cipic:-nt cylindriquc:- ferme par un piston de sectionS, mobile sans fronements (fig. 4) . Ce piston est soumis :i Ia p ression extCricure pi#,. Figure 4

Gaz soumis auna pression ext6rieura. p

0"

T -+--{!-" - - - - - X

s 12. p,. Pf\11 ivttntvelemenl rept8senter Ia pression a tmoSI)hfrique et F• Ia lorn auo'"iiemai5 F,., pevt igalement repr8senter toute force exteriwre appliqu•• au piston.

Lors d 'un d6placcmcnt infinitC&imal ceue force est :

aw

00

di

= dx .7, le travail

= - p""•• s. dx est le travail fournJ par Ia force

egalement le travail algC:brique

sw ~u par le ga.z.

F~

mais represence

1Jt.l.li!§5d Lc mtvail CICmcntaire 6W re~u par le gaz dans le recipient s'i-crit : dV Ia variation de volume algCbrique du gaz en m' p., La pression en Pn

13. re~reuion &N = - p.,.. dV est lei demonlrie !)OUr IJil ricipient cylindriqu•. no..n

ettrons ce rl!sultat pour unr6-cipient de forme Q-u.lconque.

Ch<Jpitt• 3: Prqmier pnncipe del<~

oWen)

t htfmodyn~miq~

AlgCb riqucmcnt : - lors d'une comp ression, V d iminue, dV est n4-atif et OW > 0 : lc gaz re~oit effectivcmcnt du travail ; - lors d'une detente, V augmente, dV est positif et OW< 0 : lc gaz four nit effecdvement d u travail.

0.2. Evolution infinitesimale quasi statique 14. Lu rhubtJ inom::N pour

une transformation quasi u a1iQ11e s'appliQutnl ividtmment 111 CIS p&Jtieulier des transformations rherslbles l voir Ia proprittt 1),

Lors d 'une transformation q uasi S.tatique 1 " d'un gaz, les diffCrc:ntes Ctllpes d e l'tvolution sont des tt-ats d'equilibre ou trt-s proches d es ttars d 'tquilibre. La pression extCrieure est CgaJe :i Ia p ression p du gaz supposee uniforme : Pen = p. On d Cduit le tra\'ail CICmentairc rccu par le gaz en fonction d e Ia \'ariation d e volume d V: l ~w = - p

dV.j

,

0.3. E volution entre deux etats d 'equilibre • Dans le cas d'une t v olutio n quelco n que d'un gaz en tre deux Ctats d 'Cquilibre A et B, de volumes respectifs VA et V8 , le uavail recu par le gaz est: v1

\'(I = -

f

v.

Pa1 · dV.

Une telle exp ression ne peut Ctte inttgree que si Ia pression extl!rieure est connuc. • Dans le cas d'une evo lution quasi statique, !'expression du U'a\'ail par le gaz d evient :

re~u

Iw =-I>· dV.] • Atten tion ! MCme s:i Ia d iffi:rence entre les deux expressions parait minime, Ia seconde expression per1net le ca.lcul de l'integrale lorsque l'on connait l'equation d'etat du gaz (c'est·
0.4. Representa tion graphique 0.4.1 - Representation graphique et travail algebrlque En coordonnees de Clapeyron, l'ttat initial A et l'ttat final B peu ...·em Cue reprCsem Cs par deux poin ts de coordonnCes respectives (V" , p") et (V6 , p11 ) •

Entre ces d eux Ctats d 'Cquilibre : - unc Cvolution q uasi sw.t:ique est rrCsen tCe par une co urbe bien di:termin 6e puisquc les i:tats d 'CqujJjbre intermc!:diaires sont co nnus ; - une evolution irreversible serait egalement rep resencee par une cowbe p(V) , a pricri inconnue et non d Cfinie. C onsidCrons l'Cvolu rion reversible de I'Ctat A il l'Ctat B n:prC:sentCc en coerdonnees d e Clapeyron ci-con tre (fig. 5) .

Fig11re S

L'intt grale

8

oL--

J'v.'- p · dV est Ia mesure d e l'aire sous Ia courbe.

AlgCb riqucment : - si VA > V8 ,1't\·olution est une compression et 0\'<' = - si VA < V8 , l't\·olution est une dtt'e nte et 8W = -

,,

-J"p · dV > 0 ; v.

fv"' p · dV < 0, •

Copyrigli'"~"!l'

I ;t.J.Il!§f_il Le travail re~u par un systCme dcnd de Ia nature de SQn evolution o u, dit d'une autre fa90n, dl:pend du chemin reactionnel suivi.

0.4.2 - Travail re~u lors d'un cycle de transformations L'etat final d'une suite de transformations pcut sc rctrouvcr idcntiquc I'Ctat initial: le S)IStCme d ecr it alors un cycle.

a

On envisage Ia succession de deux evolutions :

A-+B B-+A

representee par les deux courbes associees (fig. 6).

Figure 6

Pour )'ensemble du cycle:

wrydl:

a

w,,.,_. + wt,._,.,

IW A_,I>Iwt._,.,l . , _, < 0 et W 2

- en comparam les aires : 1 - d 'un point de vue algCbrique : W 1

On dC:duit sur I'ensemble du cycle : \V~" < 0.

·-·

> 0.

v Le travail re~u par un systeme au coors d'un cycle est : - neptif lorsque le cycle est dCcrit dans le sens des aiguilles d'unc momre; - positif lonque Je cycle est dC:crit dans le sens trigonomc!otrique.

0.5. Evolution isochore !.t§itffiii.Ufi Unc Cvolution isochorc est \.InC evolution

15.&\Vn'ut pn une diff6rtnCittlt toUIIe don<e &\Y = 0 conduit 6 W z O, alorsque dU .. 0 cond~o~irait 6 6U • 0.

18.0•ns le ca.s giniral, le tr1nslen thermique dipand cle Ia naMe de rl!vohttion. Si l'ivolution lit isochore, il est ige16 1a varietion d'uM fonction d'ttat done indf pt ndent du chemin rbctionnel suivi.

a\IQlume constant.

Dans le cas d 'une telle C:volution, rCversible ou n on, Ia variation infinitC:simale de volume du systeme est nulle : dV = 0 ~ SW = 0 et pour une evolution finie : W = 0 IS,

LC' trawil chore.

~u

par le systeme est nu.llors d'une C:volution quclconque iso-

L'application d u premier principc de Ia the.rmodynamique conduit 3 Ccrire : dU s O
a

E. La fonction enthalpie E.I. Notion d ' enthalpie Une C\'Qiution i.sobarc est unc C\·olurion 3 pression construne.

Chapure 3 : Premier pn ncl pe de t.a thermodynamiq ue


Dans le cadre d'un S)'Stf!me done t•evotution est isobare, la variation de pre~ sion du systCmc peut s'tcrire :

dp = 0 => p · dV = p · dV + V · dp = d(p · V). En notant Q, le transfert thermique ~u il pression oonsr:ante-, il vient : dU = - p · dV + OQ, = - d(p· V) +OQ,=> d(U + p · V) = SQ_.

La erandeur H = U + p · V est appeiCe eothalpje du systeme. Elle s 'ex.prime en joules (J).

L'enthalpie est une fonction d'~tat telle que : dH : 8Q, o u, sous forme integrte, &H. o Q,. 11. Una g~ndeur m.nliw H1 additive et depend de Ia quanlit! de m~litre qu'tlt c.ontient 1l D1ns le eas gfnerel,le trens· tan «Mrmique clt penel da le nan.re 4a rivolution. Sf I'ivolution es«lsot:hora,ll eu i-galllla varia· tion cl'ooa fonC'tion d'itJ1 done ifldipft'ldaM clu chemin rtectionntl $Uivi.

Comme l'Cnergie interne, l'enthalpic est unc grandeur cxtensi\'e 11 , homogtne a une energle 1s.

E.2. La d eten te d e Joule Thoms on Ut dl:tcntc de Joule Thomson est unc detente lente, on dit aussi • detente frrinfe ., I} travers une paroi po reuse ou un erranglemen t.

A l'in tC:rieur d 'un e ruyCrc calorifugCe, on consid i:rc I'Ccoulement d'un gaz 3 tra\'ers une paroi poreuse (fig. 7). En regime permanem, la pression est uniforme de part et d'autre de Ia paroi et l'tcoulement est dO a Ia difference de pression : p > p'. Figure 7 Ecoutement
"'"

d'f coulemt nt

V.p

V',p

l

l

Considetons un systt:me de masse met de volume V reptesente en projection dans le plan par les limitcs ABCD (on parle souvent de • tranche de gu• ABCD). Ce systCme se dl.a cc 3 Ia \'itessc V avam d e ttavcrser Ia paroi poreuse. Apres 1a ttaverste, les limites de sa projection deviennent A'B'C'D', son \'Oiumc dcvient V' supC:ricur 3 V (car p' < p) ct sa vitesse devient V'.

A chacune des representations du systeme prCcCdem,ll est possible d 'ajouter 1t. En rigime permanent.

r tnergie inteme, grandeur lx.tln$ive U$0cih iU VOiu!M DC8'A' est cons1ame.

le systCme reprisent~ dans le plan par D CB'A' et incluant Ia paroi poreuse. Le probleme revient aetudier l'kolution d~un nouveau systtme dtfini par les limites ABB'A' a I'Ctat initial, puis DCC'D' It a l'l:tat final. Le premier principe de Ia thermodyn311lique appliquC i I'C'Ir·olution ainsi definie d e ce systeme s'Ccrit : 4U•o.E = W•Q. Comme les parois soot c.alorifugtes : Q .: 0. Le travail re~ par le gaz. oonstituanr le systtme t$t W = p · V-p' · V' (le gaz rec:oit effectivt-ment le travail p · V et fournit effectivement le tmvail p' . V ') .

CopyrigH\

U vient :

=W =

(U '-U) + (E'-E)

p·V-p'· V'

= ( ~ · m· v·z .u·)-(k ·m·v"•U) ~

=

p· V- p'· V'

.!. . m ·v'l+ U '+ p' · V' : !.. · m·vl TUTp·V 2 2

~ ~ · m· t~' 2 +H'

=

~

· m· V2 TH.

Dans Je cas ge:ntraJ, l't:nergie cint:tique est faible par rapport \rarit peu. On deduit H' = H, d'oU :

a l'enrhalpie el

il"H-= "' --,o".:

'"'I

La dCt~nte de Joule Thomson est une dtrente aenthalpie constante. ExpCrimentalemc:nt, on constate que Ia tc:mpC:rature d e Ia plupan des gaz ri-els varie torS d'une deteme d e Joule Thomson.

Vemhalpic d'un gaz dont Ia tempCrature rcste constantc: au cours d'une detente de Joule Thomson ne dend que de Ia te,mpl:rature: : il v~rifie Ia deuxi~me loi de j oule. Cette propriete est vtrifiee en particulier par les gaz parfaits.

E.3. Enthalpie d ' un gaz parfait Une variation infinitl:simalt dH de l'enthalpie, fonction d 'etat, eu une diffc~ rentielle tomle, qu'il est judicieux d'expritner en fonction d es vatiables T et p:

[dH = (~), · dT+ (~t ·dp.J La capacite tbermique 3 pression constante s'tcrit :

C,= (~·

I

Elle s'exprime en J · K-

1 •

'

On d€:finh egatement : - pour une mole, Ia c:apacitC therm.ique molaire li ..·olume constant,

C, = C, t:xprimc!e en

. " - pour 1

J · K·• · mot-•, u ttam Ia quantit.e de matiC~ de gaz ;

kg, Ia ccapacitC thermique ma55iquc (ou chaleur massique) 3

c,.

\fOiume constanl, cv = - exprimte en J · K · • · ~cg- • t m etant Ia masse de gaz.. m 10. En par6culier. r enthat~ie ne dtp~ild

L'hude de Ia detente de Joule Thomson montre que l'enthalpie d 'un gat parfait ne d C:pcnd que de Ia lempCrarure 10• On deduit, pour un gaz parfait :

pas de Ia pre.ssion :

(~)•• 0.

l dH = C, dTj et en integranc :

CR&P!Ire 3 Ptetru~r Ptlnclpe de Ia tt\erMO


Apphcation 1

Echauffemeot d 'un bloc de fer

On veut poner un bJoc d e fert de masse m = 100 gt de 20 °C a 100 °C sous Ia pression p = 1,013 bar. CalcuJer le cransfert thermique re~u par ec bloc de fer, sachant que Ia capacitC thermiq ue massique du fer a pour valeur 452 J · K -1 • kg ~ • . Solution

A pression oonstante, Q = L\H d'oU : Q = m · c,·(f,-T;) = O,l x 452x (373-293) = 3616).

F. Capacites thermiques F.l. Capacites thermiques d'un gaz parfait · Dans le cas d'un gaz parfait, U = U + p · V = U + n · R · T

dH

dU

dT

dT

~- = -+ ,·R

.

Com.me l'energie interne et l'enthalpie ne d endcnt que de Ia tcmpc!raturc :

:~ = (~~). =

::.';! = (~~), = C.-

Cv ;

'4'·J.l·!'flh' tt, Les deux expreuioMde

On dC:duit Ia relation de .\ia)'er u pour les gaz parfaits :

le rei•IJon de Ml')'er don,.es ici

s·a.ppliquenueulement aux gat p.arf&its.

C,- Cv=n·R ou, en utilisant les capacitC:s rhermiques molaires :

C, - Cv = R. • • • On detinil usuellcmcnt le coefficient

lr

=

~ ~ rappon des c:tpacitCs ther-

mlques (ou des capacitCs thermiques molain:s). 22. La plupart du temps. on se eontetlle de donner I• vale111 du coefficient i partir duquel on poelll dMulte le:s diff!rentes e•Pfdlts: tl'lermiqu.s.

En utiJic;ant Ia relation de Mayer, o n d eduit 21

~, ;0

r

ou

:

lev.· ~~

lc' --"/-.R I I = I.:.!! l .

. ou c,_

y - 1·

CapacitCs thcrmiqucs massiqucs d'un gaz parfait Exprimer let capacices thermiques et calculer le coefficient y pOur d es gaz parfaits monoatomique ct diatomiquc. Application 2

Solution • Pour un gaz parfait monoatomique-, l't:nergie interne s•ecrit U = ! 2 l'cnthalpic : 5 -n·R·T. H = U +p· V = U +n·R · T =

2

Finalement :

3

Cv • "2· n · R;

c, •

5

2 · rr · R ;

y • 35

·n · R· T

et on deduit

• Pour un gaz. parfait diatomique, t•energie interne s'Ccrit U = H = U+p · V Finalement :

Cv =

2'5 · n · R

; Cl' =

7

= '2 " "

~

· n · R · T ct o n deduit t•emhalpie :

· R ·T .

27 · , · R ;

Y•

57 ;;;

l ,4 .

F.2. Capacites thermiques d es solides et des liquides

2100

• Dans le cas des solides et d es liquides 2 3, on peut nC:g:ligcr lcs variations de volume et dH = dU + d(p · V) - dU. On deduit: dH dU dT - dT=>C, - C, ,

932

En n otant C Ia valeur commune awe deux capacitCs thermiqucs, il est d one

23. C.ap.aeit!s thermiques ma$$iQI.lt& de queiQ\It.S liq~o~idts e1 solides (en J · K ·• · kg"'): g ll t (l

- '"

• i

~

•:s•

:3'

aluminium dlaman1

506

cuiwe .argem

<52 385 238

plornb

129.5

4185 2424 '"ide ithfno'ique 2058

'" 61hanol

possible d'e<:-rire, comme nous l'avons vu au chapiue 1, pour les s.olid es et Jes tiquidcs : l dU = dH = C - dT.I • Dans le cas particulier des solid es, on constate cxpCrimcntalement q ue Ia capacitl! thermique molaire garde une valeur sc.nsiblement c:::onsatme Ooi de Dulong ct Petit) : C,.- 25 J · K-• · kg-•.

F.3. Calorimetrie La calori.metrie permct Ia mcsurc des trans.fens thermiques. EIJe se realise usucllement dans des calorimhres adiabatiques, enc:::eintes rigides thermiquement isolees (fig. 8). Figure 8

Un calorim(!tre. thermometre -

-

•gua1eur menuel

~;:::t=t:::;::;r- bour::hon f- vase ._ttritur cb _

air

L=====:JI-

envel()(lpe v:~trieure

F. 3.1 - Principe general Le premier principe applique au contenu du calorimCtre et au vase imt rieur s'C:crit : IIU = W+Q.

Cen dant, Ia calorim!trie est sOu\'ent mise en ctu\'Te a pression constante, et dans ce cas : 6H = Q,. Des mesures thermomC:triques permencnt de dCtenniner Ia variation d'enthalpie l1H . Lors de l'interprttation des resultats, il faut tenir compte d e Ia capa· cite thermique du \'ase inttrieur car le calorimeue et ses accessoires participc.nt aux f!changcs thcrmiques.

Le trans:fert thermiq uc Q , est nul si lc calorimCtte est parfaitement isol~ et si aucun echange energetique n'a lieu avec le milieu ext~.~rie ur.


3 D~termia.ation de la eapaclte thermique d' un calorim~tre Un calorimc!-tre suppo~ parfaitemem iso Je eontiem une masse m = 200 g d 'eau, et Ia tem perature d 'equilibre est e = 24,9 oc. On ajoute une masse m ' 157 g d'eau aIa cernperaru.re 8' 80,0 oc ; un nouvel Cquilibrc s'C:tablit a Ia tempC:raturc 9, = 45,7 °C . Determiner Ia capacitC thennique d u calorimeue C.,,1 • [)()lmU : Ia capacitC: thennique massique de l'eau c. = 4 185 J · K -1 • kg-1 • Applie~ti on

=

=

Solution Le vase imerieur du calorimc!tre est initiaJem ent ii Ia tem~mrure 9. II n'y a pas d 'echange thtrmique avec l'extetieur. l1 est done poss-ible d'ecrire :

6H = (m ·<, + C"')· (61 -6) + m'· <,·(61 -6') = o. On deduit Ia capacite thermique du caJorimeue : C m' · <,· (6'-6,)_ m· 0,157 x 4185X (80,0-45,7)_ 0200 x 4185 (!Ill 9,-9 c., 45,7 - 24,9 ' .

=

=

n vient :

C(l1 = 246,5 J · K -s.

F. 3.2 - D etermination de Ia eapacitc thermlque massique d'un liquide Le Liquide erud ie d e masse m, de capacitt thermique massique c et de tempe.. rature T1 est introduit dans un calorimCtrc de capacitC thermiquc C (~ puis chauffe par effet Joule au m oyen d'un conducteur ohmique de resistance R parcour-u par un courant I pendant une duree l. Soit Tc Ia temperacure finale apn!s- chauffage.

6.H = (m · e + Co.~) · (Tr - T 1 ) = Q, = R · 12 • l, il est possible de deduire Ia capacitC thermiquc massique e chcrchCe.

A partir de l'tquation

F. 3. 3 - Capacite thermique des solides : m ethode des m elanges Un calorimetre, de capacitC: thermique C n~ contitm unt masse m 1d'eau, de

capacitt thermique massique c.,, a Ia temptracure T 1• On introduit un solide de masse m 3 , de capacitC thcrmiquc massique c,, initialement 3 Ia tempC.raturc T 1 . Ap reste m elange, Ia tempCrarure finale est Tc. En !'absence de tout Cchange thermique avec l'exterieur, Q, = 0. D'oU : 6H = (m 1 ·e. + Cu~) ·(T,- T, ) +m :·c.· (T, -T2 ) = 0 . On deduit Ia capacitC: thermique inconnue c• .

G . Principaux travaux et transferts thermiques G. t . Evolution isochore 24. Une Mllllion isoehore est reprisent8• Plr oo $•gment parallile i r8Xe de$ ordoMiu • n coordonntn de ClapeytGn.

Uoe evolu tion isochnrc est une ~volution a \'O)ume consmnr 1". Dans C·e s conditions : =>

dV = 0 => 8W o O

lw- o I Copyrigl'fl'I)U

Le premier principe conduit a d U = que l'on imegre en :

&Q. Si le gaz est parfait :

dU

=5Q =Cv·dT

= Q = Cv ·

hl.t!iifjfjti Lors d'une Cvolution isochore: W = 0. Si d e plus le gaz est parfait: aU ~ Q • Cv · AT .

G .2. Evolution isobare I.Htcfi!t.l,IHJ 25. Une evolution isobare quasi m1iqu• 9$1. r• prisenth pas un seQment parall81e 8 r ue des absdsses en coc:udonn~es dt Clap.-vron.

Une C"-olution isoban: est une evolution it p ression constante~ . Lors de I'Cvolurion d'un Ctat initial de volume VAi un Ctat final de volume V8

5w = -p·dV

=>

:

1w = -P ·
Lors d 'une evolutio n isobare d 'u_n Ctat initial d e volume V,. i un C.tat final de volume V8 :

Le transfert thennique se dCduit du premier principe Q = aU - \VI, apres avoir calcuiC Ia variation d 'Cncrgie interne ou 3 partir de Ia \':lriarion d'cnthalpi< Q = Q, =

G.3. Evolution isotherme d ' un gaz parfait Une b •olution isotberme est une evolution

atemperature oonstante.

Pression e t volume dans l'trnt A et d ans l'ttat B so m lies par Ia loi de Mariont :

PA·VA = Pa · Ya . Si l'tvolution est isotherme et quasi statique : p · V = PA · V"' = Pe ·V.a•

La courbe representant une telle evolution est une branche d'hyperbole en coordonn&es de C lapeyron. Le travail CICmentaire re<;u s'Ccrit : 3\V = - p · dV si I'Cvolution est quasi stacique.

Dans le cas d'un gaz parfajt : p

= n·R·1'" V

ISW= -nRT?V·I

=>

U travail re"u par un gaz parfait c:st done :

IW -n·RT In(~) =" RT In~) ~ =


L'tnergie interne d'un gaz parfait ne depend que de Ia te-mptrarure done 8U = 0. L'application du premier principe permet d'tcrire : L\U \'<' + Q 0, d'oU:

i= Q

- \V

=

=

=n RT In(~) = - n-R T- In~)-1

Lors d'unc C\'olution isothcrme d'un c!:tat initial ( VA. p,. ) a un enn final (V8 , p 8 ) , un gaz parfait re~oit un travail Wet un transfe:rt the:rmique Q :

=- n R T In(~: ) = n R · T In~:) Q =-W =n RT In(~) = - n - R - T · In~:)W

'--- - Application 4

O~te nte

i.sotherme d'un gaz parfait

Une mole d e gaz parfait se di!tend de I'hal A ( PA = 6 bar, V,. : 4 L) a I'Ctat 8 {p 8 = l bar, V8) suivanc une c!:\'Oiudon quas-i statiquc isothcrme. Determiner le trnvail et le tronsfert thermique recus par le gaz. Solution

Le travail r«u par le g_az s'exprime sous Ia forme : \V

= - u·R · T · In(~: ) = " · R · T · In~:) .

Le facte ur n · R · T peut C:tre determine en calculam au prealable: Ia temperature, maL.:: il est prefiorable de cons-idtrer que 11 • R · T = p,, · V,..

Ondeduit:\V = P~o. · V~o.· lnp8 = 6 · IO,x 4·IO ·' x tn! = - 4,3kJ =

PA

6

- Q.

Le travail, nt-gatif, est effecti1r-emem fo umi a l'exthieur.

G.4. Evolution adiabatique du gaz parfait G.4.1 - Loi de Laplace Une evolution adiabatique es-t telle que Q = 0 (ou

BQ

= 0).

En utilisanl le premier principe de la thennodynamique, il \tient : iiQ = dU - S\V = 0. - Si l'tvolution est li\•ersible (ou quasi SHitique} : 8W = - p · dV. - Si, de plus, le gaz est parfait :

dU = C v · d T

n·R = n · Cv• · dT = "(-·dT - I

On d~d uit: n·R 6Q · dT+p - dV

=y - 1

et

=-y - 1 - dT+11 · R · T · dV - =0 v t~ · R

dT

T • !Y-

t

>. dV v = o. Copyrigl\1~el

Par intCgrarion : In T + (y- 1) · In V ;;; Constante ou d'une autre fa~n : jT · V•·• - Constante. j La loi des gaz parfaits p · V = n · R · T entraine :

lnp+ lnV = ln(n · R) + InT et en diffCrendant

:

dV

dp

dT

-p•-v = "T·

En comparant avec Ia forme diffetentiellc pricCdcntc de Ia loi de Laplace

d; + ('( - 1) . ~ = 0, on dc!duit deux autres e.xprcssions tn variables p et V ct en variables p ct T :

~+rd: = 0 r·

d;

+( 1-y)-

7=

=> 0

jp· V• = Constante l =>

IT'-p' ·•

= Constante. l

I Lors d'une ~-olution adiab::niquc quasi stntique, un s:az parfait suit Its lois 2l.Attantion.tu loll dtleplau s'eppllquent stulement aux

ivolutionf r8v91$ibl• slou sevl~enr quasi mtiques) d'un g•z porl1il.

de Laplace :!t : - en variablesTetV: T· VT- 1 = Constante; - en variables p et T : p · vr ; Constante ; - enwriabfespetV: Tr . pt ~r ~ Constantc.

G .4.2- Travail re\'u par un gaz parfait Commc 0Q parfait :

c:

0, le premier principe implique dU = 8W, et pour un gaz

dU

R · dT. Y- 1

II •

= 8W • Cv · dT ;; n · Cv · dT = *

Entre deux etats A et B :

irA _U __=--~ --=-,~,.R n___(_ T-.-_-T -,-l-=-p~.--~v ".-~ p.- vu.~ -1 .

y- 1

y- 1

.

Cene relation est dCmont:rCe queUe que soit Ia nature de J'tvolurion, rblersi· ble ou non.

G.4.3 - Comparaison des courbes representatives

:c

=

:c

= (gC

• La pent<: d'une courbc rrCscntant unc Cvolution isotherme est

(N$ )T en coordonntes de Clapeyron. Dans Je cas d'un gaz parfait:

(:ct= -c-

• La pemc d'une courbc representant une Cvolurion adiabatique peut s•ecrirc

)Q.Pour une adiabarique quasi smtique, p · vr = k. = Constame,

d'oU :

= -y · k · V(·I -t> = -y ·p · V '· VI- I•l'l = -y · f.. fi V Les deux courbes representatives ont des pe:ntcs negatives en coordonnees de dp = d(k · V-Y)

dV

Clapeyron. t.c coefficient y ~tant superieur 8 I, Ia pente de l'adiabatique est suphieure a Ia pente de l'isotherme (en valeur absolue) en un point donne du diagrammc de ClapcytQn (fig. 9).

Chapitre 3 : Premier puhtipe de Ia tMtMOdyl'lamique


Figure 9 Comparaison des eourbes repr6sentatives d'une IM:>Iution isotherme AB et d'une evolution ediebatiQue AB', p

8'

Mh.tlion adiabatique

f vOiution isMherme lbranehe d'hyperbole pour te gaz parfait!

A

o~--~~~--------- v

Application 5

DCtentcs adiabatiquc et isotherme

On cons.iderc un gaz parfait diatomique pour lequel y = 1,4. A partir d•un mC:me Ctat initial A ( PA : 10 bar, VA = 1 L ), on Jaisse ce gaz. se dttendrt s-uivant deux evolutions quasi statiques, l'une isotherme, I' autre adiabatique, jusqu';i un volume Vv = 10 L. Comparer les- pressions obtenues- a l'ttat final dans chaqu e cas.

Solution • Dans Je cas d 'une evolution isotherme : P,,' VA = Ps ' Va

Pu = IOx

I

10

• Dans le cas d 'une evolution adiabarique : PA ' v,;r

= Ps = p,., ' ~

= I bar .

= P'fl ' Vu'

= Pa = PA' ~::

I ) '" = 0 ,4 bar. Pe = 10 x ( iO

a

La pression finale eS[ plus faible Ia suite d e l01 dCtcntc adiabatique, ce qui vCrifie Ia position dc:s oourbes reprisemarivcs des deux Cvolu rions su r le d iagramme de Clapeyron.

Application 6

Formulc de Rcccb

On dCfinit dans le cas d'une evolution reversible un coefficient de compres.sibilite adiabatique par XQ = -

~ · (~~)Q . Exprimcr en foncrion de y Je rapport du coefficient de rompressibiJite adiaba~

riq ue x.o et du coefficient de compressibilite isolherme

XT= - ~ ·(tnT po ur un gaz parfait. La

relation obtenue est Ia formulc de Recch. S o lution Le rapport des deux coefficients therrne>elasriques s'Ccrit :

L' essentiel ./ OitTerente:s evolutions • Lorsqu'un systtmc p:Jsse d ' un Ctat d'Cqu_ilib re 3 un a utre, il l)--ubit une C\'olu tion qui pcut Ctl"e : - irreversible,lcs Ctats intcrmCdia ircs ct les vnriablcs d'Ctat n'Crant aJors pas

detinis; - quasi statique lorsquc lc sy!ltCme peut Ctrc considi=.rC commc etant 3 I'Cqui1ibrc 3 toute Ctape d e Ia tran o;forma tion . • Unc Cvolution quasi statique pcut d e plus Ctrc r C"·c rsiblc : lc &)'S[Cm c peut alors rt•,.tenir de I'Cmt fina l il t•etat initial par les memes etapes intermediaires.

./ Premier priucipe • Les principaux mOOes d'ecbange d'ene-rgie sont le travail W et le tran.Sfert thermique Q . Us s'cxprimcnt en ;oulcs ct nc soot pas des fonctions d'Ctat : leurs vale u.rs d end en t de Ia nature de l'h•olution . Les travaux et transfer ts thermiques eJCmentaires sc notem .respectivemem 5W et aQ. • Le premier princlpe de Ia thermodynamlque exprime La conservation de l'Cner,gie; lors d'une Cvolution, Ia variation de I'Cnergie tot:de E du systCme est .!gale a Ia somme des travaux er transferts thenniques re~us par le systtm e : 6E =
dU

tem~mture_, soit

:

= Cv · dT et en integr&nt_, 4U = C v · 4T

oU Cv est La cap.acite thermiqu e :i YOiume constant, cxprim ee en J · K 1.

./ 'rra\':lil des forces de pression

• Soit un gn soum.is 3 uoe pression pftl sur une surfaceS. Lors d'un di place· m e nt Cl.!m em aire dx deS, lc travail CIC.mentairc ~u par cc g:az de La pan des forces de pression s•ecrit : 5W

=-p~· S · dx =-p~· dV

oil d V est Ia variation de volume du g.az. o

Si Ia t:.runsfornlation est ~·enible ou q uasi s-mtique, Ia p ression extC:rieure est Cgttle il Ia pression p du gaz. suppos« uniforme : Pw. = p , d'oU: 3W = - p · dV. Lors d'une evolution reversible ou quasi. statique d'un gaz e:n.tre deux etaa d•Cquilibre Act B de voJumes respectifs VA et V8 • alors Je travail re~ par le ga:r. est : v, W a -v. p · dV.

•

-J

11

VmtCgrale p ( V).

v,

J•

p · d V est Ia mesure de J'aire sous la courbe n:prC:sentative

• Lc tr.~vail rec-u par un systl!me au cours d'un cycle est : - nCgatif pOur un q d e dCcrit d ans le scn.s d e$ aiguillcs d 'un e moorrc ; - positif pOur un cycle dCcrit dans le scns trigonomCtrique.

Copyrighted matenal

./ E.nthalpie d'un '-)'tcmc

• La grandeur H • U + p · V tst appe.Jee enthalpie du

syst~mt.

Ellc s'exprimc en joule (J).

• L"enthalpie Cit unc fooctioo d'(ut teUe que : dH ~ &:). ou, sous form< int
Q,.

• La d~unte de Jou.le Thomson m une detente lente, on dit aussi •
dH e C, • dT et, en inregram, AH ,. C, 4T oU C, es.t Ia capacitC thermique 3 prc$s:io.n consmnte, exprimte en .I

J.K

1

Qapacit~i t11~rmiquefi

• L..es capucitts thcrmiques d'un gaz parfait sont liees par Ia relation d e:: M ayer : C, - Cv •

11 •

R ou, en u tilisan t les ca pacitCs thc:rmiqucs molnlrcs, C,., - Cv,. = R .

• On detinil usucllemcnt lc coefficient y -= CC,, rapport des capnch~s thcrm.iques (ou des capav

cites thcrmique11 molairc:$). En utilisan t La relation de M a)'U, on d&tuil :

Cv = " . R Y- 1

ou

Cv

C - n Y· R ou C ~ -

=

•

-

_E_

y- 1

L!

~-- y - 1 '

Y-1

• Dans I< c:u d< solid<s
c,-c,.. Eo

dU =dH =C · dT . ./ Echaftjl~ d·~nrrair pour diffc:rcnts typ~ d JCYolution

• Une ~·olution h1ochore est unr evolution a \'Oium~ constant. Pour unc tcllc Cvolution du gaz

parfair :

W = 0
-

V.).

• Une Cvolution ltothcrmc est unc l:"vlution :i tcmpC:r:.nurc c:onsramc. L.c: t·raV".tll ct lc transfcrt thermiquc

rc~"UI

t'Ccrivcnt : \'(1

=

- t~·R·T·In(~: ) =

n· R· i · ln(;;)

Q •- W = t~ · R · T · ln(~: )=-n R T lnfi!)· • Une bvlu1Mln adlabltiq ue csl tdlr que Q =- 0. La lois de Lap~ s'appbquent a unc: b"'iution adiabatiquc quasi - en,-....riabksTnV, T · Vt- 1 = Constante ; - m \--ariabln p tt v. p · VT = Conswue ; - en variables T ct p_. Tt p 1 t • Comta.ntr .

itltiqur d 'un p%

parfait:

l....e travail rc('U par un g~tt parfait lors d•unc evolution adiabatique, ~vers.iblc ou ooo, entre

deu.
L\U • W :: , . R . (Ts - T,.) :: Ps , v,.

r-

I

y

- p,.. V,. . I

• La pente d\me adiuboUque c.-st suphieure a Ia pentt d 'une i"ltherme (en ''nJeur absolue) en un point donne du dingrt1mmc de C lapeyron.

M ise en reuvre Methode Comment calculer le travail et le transfert thermique r~us par un gaz a partir d'une representation en coordonnees de Clapeyron? On envisage Ia representation d'une st:rie de uansformations d'uo gaz parfah en coordonnees de Clapeyron. Les coordonn«:s de quelques tuns d'CquiJjbre sont coonucs. On se propose de calculer lc travail et Je cransfert thermique ~us par cc: gaz. lors des diffCrentcs holutiom.

-+ Savoir fai re

----- ----------- ---- ----,

r----0 Repres.enter le cycle si le schema n'est pas donne dans l'enonce. 8 Faire Je bilan des donnees u tiles er non foumies dans l'tnonce : - les param~tres d'i:tat p, V etT;

- les coefficicn~ calorimCuiqucs C, ou C\·· Ct Exprimer puis calculcr ccs diffCrentcs donnCcs : - en calculant C, ou Cv a partir du coefficient y ; - en u tiUsant laloi d e Mariotte p · V = constantc pour unc i:volut:ion isothcrmc ct lcs lois de Laplace po ur une evolution adiabatique, quasi ~:;tatique d'un gaz parfait. 0 Exprimer 8W, dU, 8Q lors des tvo1utions propoSoees, isochorc::, isobare, isotherme ou adiabatique. lntt-grer les expressions differentieUes prtddeotes pour aboutir awe rC:sultats demandCs. Pour un gaz parfait, penser aux rt'.lations : dU = = c ... . dT Ct dH = aQ, = . dT qui pennenent de calculer facilement les transferts therrniques :i volume ct 3 prcs"Sion constants.

oo.. .

~---------------------- -------~ -+ Application On con!i.iderc lc cycle sui·vant dCcrit par unc mole de gaz parfait de coefficient y = 1,4 : - une compression isotherme, quasi statique, de La pres1;ion p,. = 0,50 bar ;) Ia pression p 8 = 2,00 bar~ :i la temperature T = 1000 K ; - unc dCtcmc isochore. de Ia pression Pll il Ia pression Pc = p,., ame.nant le gaz a Ja temptnuure T '; - une th•olution isoban:, ramcmmt lc gaz 3 Ia temperature T. Calculer les travaux et transferts Wcrmiqucs re~us par lc gaz. ains.i que les variations d'Cnergie interne et d'enthalpie pour les diverSes evolutions. Commenter le signe d u travail to tal ~u .

Donnie: constantt des gaz parfaits R

= 8,32 J •K "' 1 • mol'"' 1•

Solution 0 La representation du cycle est la suivante : plb81l

L'Cvolution AB, isotherme, est unc branche d'h)'Pf!rbole pour un gaz parfait. 0,50

L __

__::::,__·~•• ••..

c oL------------------ v

Chaoltre 3 Ptem.~r Pflueipc ck! Ia 1hermodyn11m•quc

Copyrighted matenal

e

Pour un gaz parfah, dU

= Cv · dT et dH = C, · dT, U nout {aut done connnaitre les coeffi·

cietus thermiquet C,. et Cv.

~ plus, U at mdispau.able de connaitrt' I~ \'Olumes V,. Cl V1 airui que Ia lt':mp&aturt: T c • T '.

e L:s c;apadtis ca'onm~qua s"aprimc:nt en foncrion du coeffiOcnt y :

Cv • ,.. . R = t x8,J2-= 20,8J · K-• · mol ' 1,4-1

y-1

C,a

b

y -n · R ;: y · Cv-= 1,4 x20,8 a 29,1 I I

J K 1 · mol

1•

NG pas oubl,er quo

• -'L et ~I ftPI•Itntent des capec:ites thenniqMs mol&•fes . y- 1 y • eet igllht6slct6du•tts dee Ia tU:IttlOfl de Ma'(IU) ne s'epphque•u qu'au11. 011 ptuftuts h:"f F1 du cours)

Lt: volume V,., 1'obtient II partir de La Joi des gn parfaits.

Ala tempCrature T • 1000 K , V,., = n · R · T -= 1 x~· 32 )( lOOO • 0,166 m ' e 166 L.

PA

b

8rWt n,pr--r P

V~ution

,5 .

JO ~

PHCili t'l V •" metres cubn.

A8 Nnt isothame., oo ditamine v. i partir de Ia lol de Manonc. 0 ,;em ; PA · V" :: Pa • V8

PA . v. = V8 • =,.....::

Po V :;; 0,50 - IO' x 166 • 41 6 L • 2,00·10 5 , • On dedu.it tinaltmcnt T c 1\'ec Ia loi des gaz parfaits.

Au point C : Vc• Vo • 4 1,6L} => Tc Pc • p,. • 0,5 bar ·

s.

T' =

Pc·Vc 05 · IO' x4 1 6 · 10 ' a ' ' • 250 K. n·R I )( 8,32

0 0 est aJors possible de dCterminer Jes grandeurs demandC:es pour ch11quc:: Cvolution.

• Evolution AD bothcrme -Pour un pz parfait, l'blergic interne ct l'c:nthatpie ne dE-pendent que de Ia LempUature :

AU! = 0 et AH! • 0. - Lc travail ~ t•ioit :

fv.-.''p - dV=- fv,':. • - R -T -dV V

w.,

= -

w..

v. - lx8,32 xl 0001n 41,6 = - ,. · R · T ln-= V1 166 = + 11,.5 . 10' J = 11 ,5 1;].

w.,

- En utilisant le premierprindpe: Q.u~ =

au:- WAI

= - 11 ,5 "' ·

• E"<
= - 15,6 · 10' J = - 15,6 kj .

•

- U.

VZ~ri:n)cm

d 'cnthalpic se ca1cule par dH =- C P· dT (pour un gaz parfait), d'oU : 6H~ = C, · (Tc - T. ) = + 29,1 x (250 - I 000) 6H~ = - 21,8 · 10'

J

= - 21,8 kj .

• Evolution CA isobarc:. - l:cxprcssion '6W = - p · dV s'inti:grc ais.Cment :i p ression cc;mstantc :

\VI"" = - p.·(V, -

Vc) = -0,5· IO' x( 166-41,6)· 10·'

\VIc-.A = - 6,2 · JOJ. j : -6,2kj.

/J:.

Ne pas. oubi.!H d expnmer pen pasc;als et V "" metru cube.s-

- Pour un gaz parfait : OU~ :;;: C\' · (T A- T c) = 20,8 x ( 1000 - 250) au~ ; + 15,6 . 10' J ; 15,6 kJ. - A pression ronstante, il est plus facile d'obtenir le transferr thennique Q CA par Ia relation Q ,..... =- Q,. ::. o.H~, mC:me si Ia relation Q : L\U- West toujours valable. n vlent :

Q c, =
= W,.,9 + Wee + \Vc.., =- + l i,S+0 - 6,2 = + 5J3 kJ.

Le uavail, positif, indique que le sysceme teur ou rCsistan-t.

re~it

effectivement du travail. C 'es-t un cyde recep-

La n.Jture du cyc:le e1 le s~ne de W ,.,. auta1an1 pu etre prews, le cycle e1an1 df!cnt darts te sans tr1gono-

m8tr1que

Copy nghteo r 1tenal

•

erczces l:>ronnCe numC-nquc: vtik pour Ia applicati.onJ numtriqun : c:orutante de!t p:c parfair$ R • 8.32 J · K · 1 ·mol

Ex. 4 Compreuion isodlerme d'un gaz parfait 1•

Q.C.M. &.1 On consid~re une compression ldiabatique d'un p% parl'ait d'un hat ln.itiaJ .~ i un ~at 6na1 B. I) La rdstion' \T -=- Conttant~ s'•ppliql.k tOUJOun 1

i unc tdk ivotuoon.

l ) La ''ariation d'Cnergie imernc- du g:az est faalc au uavtil qu'il ~~oh.

On COmprimc de maniC-tt nk>tn~c unc m211e m • 8 g d'argQn (M • •10 mo.J 1), IIUPJXl!!C Ctrt: un gat parfait monoatomique, d e Ia pr(Mion p 1 = I bar i It pl't'Uion P: -a I 0 bar. j 11 temptt'lt~ c:oostame Ta298K.

a.

t) Cakuk:r ld '"'tuma v, er VJ d 'araon •csP«ti~~ mmt 8 l'etat innsal ct .6 I'Con final.

2) (!,xprimer puili CM)euJer num ~riqucm ent le traVllil W cc le trans:fert thc:rmKIU~ Q ~· par I~~ Jon de

ec-uc compression. O.J.CUttr k ~ ckW.

Ex. 5 Compression lsolberme d'un gaz

3) U tta\'1lll ~ par lc gn prot .-c:xprimer lOUt Ia

fOrme":

,... v. -p" v" Y- I

4) La tcmpel"'turc ne varic pas 11u cours de 1 '~\'0iution . 5) La courlx rrCsentativc de l'i-volution eat n~ uiremmt Wlt branche d'~rbote en coordon.nCc-1 de Oopeyroa.

de Van der Waals On compnmc ck fa(OD tsoOCbttnk et m"etSablc une mote- ck pa: d'un volume V1 i un volume v .,. L"iQua· don d'etat de Van derWaalss'appliquc i cene mole de pz:

(P+V,) (V-b) = R · T .

Expnmcr k U2\U f'C('U par It eu ton dt cute eom· prt"MtOn.

Ex.Z I) Le U'2n&fert thermique rec:u Pllr un gaz i prei~kln coostantc o-1 tpl i La variation d'c:mhaJpie dt.~ au. l) La detmte ck jouk Giy-l..tnuc s'eff«''lX touiOW'S l tcmp&a~ coonante.

Ex. 6 Calorimetrio pratique

3) l...on d'unt eomprt:$Sion, le \'Uiume diminuc: d11n11

Si on nfgligt Ia ~J)'cnt th~rmique de Ia ba~in: et les dl\•erses pc-rtc!l thcrmiqu cs, q u el volume doit.-on prtiC'\-c:r i ch2eunc dc:1 deux soui'Otl )

tOUI ICS C811.

4) Une C1.'01udon adiabatiq~K pcut s'clf«ruer i tanpttarurr CODJtante.

On \~Ut remplir unc b.li&noi~ de 100 litrcs d'eau ill n •c. On dis.poK pour cd.a de deux IOW'C'CS, rune d 'eau froid.e- i t'au~ d~cau chaudt i

•s•c,

60•c.

Dtw.ffh : masst \'Oiunuqut dot J'eau p

• I 000 lea · rn

l,

S) U t1'2V3:11 ~par u.n ll(lf)

trntmc lon d'une compresisothcnne, quasi starique at poaitif.

Ex. 7 Echangos thanniques dans un celorimitre

Niveau 1 Ex. 3 Compreuion adiabatiqua d' un gaz parfait Oo oompri.me de maniC:rc- adiablbque, quui scadqut UM mok dt JU parfait d:&atOI'tllqUc: (y • 1,"1), ck I bv i 10 bu.

Lc volum~ iniriala pour wl~ur V1 = 5 L . I) Oetennincr le volume: fuu111 V1 ct Ia te:m p(raturc:

finale Tt. l) .DCtc:rm.inu" tc (nqjJ ~ pv k pz: ion dt ccttc comprt'SSion,

Un calorimetre de apeciti calori6quot C. • 209 J K 1 canomtUDotmas.std'(au• = 300allalanpinturt 8 • 18 •c CO iquJbbft tbermiqut 11VK lc vase inceriC\If, O n inuoduit :.l<>n lcs manes; : - m, • 50 i de c;ui\·re • 0 1 • 3<1"C, - ..,, • 30g de plomb 8 1 =

a

so•c,

- • , • 80a dc:fcrt8, • 50-<:. Quflfe alb tcmpCnt"R firWe 8, d'fquilib«? Dcm~tJ." : c;apaeitO tht-.rmiquc!l nuauiquC'S t,., • 129,5 J. kg I ' K I : t~ •

452J · kg~ •. K 1 ;

cc. • :J.85J · kg- 1 · K 1 ; c_ • 4185 J . q~• · K 1•

Ex. 8 Experience de Joule L'c:xp(:riencc de JouJe est rri:sentCe d·Qpr!s.. Lorsquc 16 masses ,\\ et M' descendent, Ia rou:uion des palettes ernrai'ne une t.lcl:v:uion de Ia tempC:raturt" de l'eau du ca1orimc!-m:.

3) Exprimer puis cakulcr le tra\'ail Wt et le transfen thennk{ue Q a rews par le &:az ainsi que l:a variation d'C:nergie interne 6U 2 du gaz lors du second • trajet •. 4) Comparer les deux pos.sibilitC:s d'Cvolurion de A

:\B.

Ex. 10 Succession d·6volutions lsothenne et adiabatique Une mole de gaz parfait diat<>mique (y = 1.4) est Ill Ia

recipient calorifugi palenes

temperature 9 = 20°C sous Ia pression p, = 1 bar . On oomprime ce gu de fawn i.sotherme, quasi swti~ que, jusqu•a une prt:stion p2 = SO bat puis on ramene le gaz 8 Ia p«ssion p, par une detente adiabatiquc, quasi statique.. I ) Re.pr&~ter ces deux e\oolutions e:n coordonn~

de Clapeyron. O~termine:r Ia variation

de te:mpcl:raturt obtc:nue tonque les deux masses M ct M', de mtme valeur 0,5 kg, descendent d'une hauteur h = 1 1'1'1. Peut-on tirerune conclusion d'une tellc expC:ridlce mise en
On ncl:gligt les diss.ipations energcl:tiqucs au ni.,-eau des axes de rotation ct a tnl\"CT$ 11:5 parois du alorim!m. Donni~ :

- cap3citcl: thermique du calorimcl:tre

C011 = 120J · K· ' ; - masse d' eau dans le calorimtlre m = 2 ka, ; - capacitC thttmique massique de l'cau

c. = 4 185)·K· • ·kg-1 ;

-accC.Itntiondelapcsamcurg = 9,8 1m · $·l .

Niveau 2 Ex. 9 Comparaison d'ivolution,s entre deux etats Un rCcipiem de volume V"' = 5 L fermC par un pis,. t<>n oontient n = 0,5 mol de~ parfait, initialement i Ia te-mperature T,, = 287 K. On porte- de fa.;on quasi statique le volume du gaz 8 une \'aleur V8 • 20 L. ll Ia temptr.aru~ T 8 = 350 K . On donne pour ct ga-z le coefficient y • 1,4 . L: age de I'Ctat A li I'Cun B s'd:Tectue de deux mani~ns diffCrentes : ( I) chauffage i.sochore de 287 K 350 K puis di:tente isotherme de VA a Ve a Ia temperature 35-0 K ;

a

(2) detente isotherme de VA a Va a Ia temperature 287 K puis chauffage isoc:hore de 287 K il 35-0 K. 1) ReprCsenter lcs dew: i:\'olutions pricCdentcs en coordonn«:s de Clapeyron. 2) Exprimer puis calculcr le travail W, et le trans.fert thermique Q, r«us ~»r le pz ainsi que I• varietion d' tnergje interne L\U1 du ga2)0I'$ du prwlier ' trajet •.

l) Calculer Ia temperature T ' aprC:s les dew: C..'()lutk>ns.

3) Exprimer le travail total W deux C\'Oiurions.

&::n

~cu

par le gtt pour les

Etude d·un cycle resistant

Une mole de gaz parfait monnatomique ( y =

t)

subit suocns.ivemcnt tes e\'()tutions quasi statiques suinntes : - une compreuion adiabatique de l'Ctat A (T,. • JOO K ) il J'Ctat B (T u • 360 K ), - une e,--olution isobare amenant il J•erat C tel que Tc • T,. • 300K, - une detente i$othenne ramenant a l'etat A. 1) Rrnc:nter les dh.'CtSCs Cvolutions en coordonnees de Clapeyron. 2) Exprimcr pui$ calculcr les grandeurs W, Q, 6U

pour tes Mlutions AB. BC et CA. et pour !'ensemble du cycle obtenu. Discuter 1e signc de W.,.., .

Ei. U Etude d·un cycle moteur On considCre le cyde suivant d«t·h par deux moles de g3z parfait ( y = 1,4) :

- une comp~ssion isotherme, qu:lSi statique, de A i 8 de Ia pn::».ion p,. • I bar a la pression Pa , a Ia temperaru~ T,. = T • = 298 K ; - un khauffement isobarc, quasi !ltatique, de 8 ju-squ•a Ia temperature Te = 400K j

ac

- unc C:\'Oiurion de C a A par une detente adiabatique, quasi statique-. 1) ReprC:sentc:r lc ~le en ooordonnCcs de Clapeyron. 2) Determiner les ooordonn«s des points A, B et C dans « diagramme. 3) Exprimer puit calculer les tr.waux et tr:ms.f eTtS tbermi.ques r~s par le gu lot'$ des diflercntcs tra.ns-formations..

Ex. 13 Evolutions oivorsibltet iiT6vorsiblt Un recipient eyUnddquc fcrm6 piU' un piston de mane nCa:ligeable cont.leot de l'.tir, auppost !tre unan parfait d.iatomiQUC': (y = I ,4). I...a J)UOis ct le piscon .ant pc{>itcmmt ~ l>onsi'Nt initial, I< YOiume d"a.ircontmu dans It: cyt~ a:c V = 5 L , lattmpCrlt\ltt est (T • 298 K) et Ia pn::uiem est p • I bu.r. 1) On comprimc l'alr contenu dans le riociplcnt de manittt tdiabldque, quasi natiq~ jusqu'i la prt:saioop ' = IObar. ~k,'OiumcV' nlatC'ID* pent:ure T ' ii'N! final, l) A PMtir du mfme Ctat initial qu'lla question pr-e. ct'demc, on amble Ia p~ssion bruaquc:mem i Ia ''aleur p" • p · • I 0 bar. en pos.am unc masse M surle pi•· ton. Oi-tnmincr k \'Olume V " et Ia tt:lllptt3rure T" i.

··-final.

Ex. 14 Calorim6trie 1) Un c:dorim~tn: en tquilibrc thermique oonrient unc

mused'eau"', • )00gilueml)traturc9• • 1s•c. On ajoute une m.uK • : = 2SOa d'tau ita tcmpCratuR 8 1 • 60 •C. La tcmphahft fioak du ml-laoJc, lonque 1'6qullibrc thennique ttl atttin~ ~~ 9, • 64 •c. Calculer Ia capecitC tbermKJu c du alorimCU"C. Omt,.,h: capadtC thcnniquC" mauJque de l'eau t. = 418SJ · K '· Jca·'. l ) Dans tot mfnw c:a.foriml1:~ contenant unc m.u.w d 'cau 111 1 z l001 i Ia t~nt~ 9, • 1s•c, on ajoutt maintenant un bloc de cui~ de matse = 29S g prfalablc:mem portC i la tem~r~turt 81 • 80 ' C. La ttm:p&arure finale ~t e· = J6,7 •C. CakWcr la apea:tf tber mique 4u cume.

DCtmn.inu les nouwlles tempfnrutn T,'

ct

T 1' et

let nouYCJics pressiom PA ct pi, lt I'Cquilibrc. On eura que Ia fraction de gu restam dans Je r~ci · pkm A subit une t"Volution adiabariquc., quasi statique.

Ex. II ~qailibro .,.canique tll1rt deux gaz Un ~eipient parfaitemeot cakll'ifup e.c si:parf en d eux panics par unc cloison mobile:, lemem calo· rifugCc, iniriakmcm b~uCe. La parUc A. de ''Oiume inilial v. =- I L c:ontM"nt 0.,3 mok de pz. parfait diatomiquc ( T = 1,-1) i. la tcmpttarurc TA • 293 K . ct la plrtw 8, de ''Oiumc tnibal v, • 2 L 1 0,1 mole du rnfmc gaz parfait diatomiquc i. la tempC:rarurc

i ll • TA. 1) Determiner k-s prc:"ioo' initiates dans eh.acun del dnuc companimetus.

1) On li~ Ia pan:14 mobde.. CakuJcr b pn:ssion finllc da.nt In deux c:ompartJmcnts,lcs tcmpfnuwu 6nalc1 e1 let ''olumes C

On cnra que lc• d~placc~u de La doison 11ont quaw • tatiqucs.

Ex. 17 Experience de Clement et Desonnos Un ~cipi cnt dc \'Oiumc Vest rcmpli d'un gaz suppo11C parfAit et n:lie i un manometre (voir lc tchCma ei-des.. sous). U rttipirru a.t muni d' un robincc permcnant J'mwm:un: "ttSI'auno.phCre.

m,

R

Hg

Niveau 3 Ell. 15 Dettll1u donsle vide On ~ dc\ax pou.ibilit&. de detente d:a.nt k ride l partir de deux riapicnu de mf:~m volwne V • 12 L, poU\'Ilnt communiquer par un tubt fin de volume ne,U.Cable munl d'un rubinet. lnJtialancttt, lc rtctp.icot A contimt une mole de 111 pufait diatOmiquc- (T =- 1,4 ) i la prasioo p te i l.a tcmp&a-ruft T • .)()0 K, ct. k tkip~mt 8 est vide. Us deux rfcl,p1entt sont parftlittmcnt calorifu&U, t) On ouv~ lc robinct ct on au end I'Ctat d'Cquihbn: tbermodynamtQue ! on Laisse notammcm aw: khanlet thttmiQ'ua ttltrt lcs diffirenta ftactions de pz k temps de s'dftetutt. Ofu:rmintt let tcmpttaruru T. ct T 1 ct les prrtttOm PA et h a I'Cquilibn:. l ) On OU\'ft'i lc roblntt. que Ia prusion finale Cit Mkntique dantltt likux rttipknts, on fcrmc lc robinte I&D5 possibibtf: d'kbaoct: tbmntqlk" ann- let ckwt fnctionsd

oes

Expiritnct dt Cltment et Dlloont.s.

Le pa est i Ia mi:me lcmphat.Ut"r: T que l'cxt:&icut ct la ~ initiUc p 1 du JU at ~man s.upirinarc i 11 prnsJOn atmOI!Jphmquc p.. Soit A1 la dcnn-dlmon du ITI.IJlOmhrc- COrt'tfpondant i I;~ prna.ion p1 • Le robinet n t ouwn brievement puit rcJerm~ aunt• t6t. Un nou\'Cl Ctat d'~uilibn: s'Cublh alor5, caractl!-riiC: J* la pre5sKlrJ et la dtM-eu.tion 4J. I) R >Od.....C.. de 0.pc)'TOn 1<s dcwc tupa de l'nolurion cntn:: I'Cut initial ct I*Ctat 6nal.

2) Exprimcr lc codfieiem "( caranCrlttiquc de c:c gill. en foncr~ d t Po, (11 ct PJ puis d~ h 1 c-t h 2 • Lcs !iur· p~lon• par nppon ' b pces.sion aunospbCriqU< fcmt faibloes, on usimdtta k:s coutba f'C'prbcntat:n-a dcs b-oh.luom i des tqmm.u de dro1tn.

Ex. 11 Evolutions irrevorsibles Un volume d'air v. = 2.00 L en en(erme dans un cylindre \"
3) Calculer lc transfcn tbcrm.ique Q foumi par le condu<.:teur ohmique.

Ex. 20 Experience de Rllckardt La methode de Rikkardt pcrmet de dCtcrminer ')'en ttudiant le mOU\'~tnt d'une bine d.ans un rube en vtrre. La billc mt:taUique, de dia.met:rc: trCs VOisin de oclui du tube $C <.:omporte c:omme un piston el:3nche. On nta,lia:e les frottemcnts. X

0. '

V: du g:a7. a Ia fin de .xue comprcuion.

a

2) AIa suite d'Cchangcs thcnniq ues travers lQ parois

)It . .

du cylindre, lc ga~ revient lentem ent 3 La tcmpf!ratu«:: T l = T 1 • DCtc:nnintt Ia pression finale p ) et le ''Oiume finaJ V, du &Itt. Dorm&: l'acet .ler.uion de Ia pesanteur 1 = 9,81 m ·s ·l.

~

p.T

Ex. 19 Apport exterieur d"ene111ie electrique Un ~cipicnt de wlumc 2V, padaiu:mcm calorifu.ae est partagC en deux compartimems (I) ct (2) par un piston mobile sans frottement, i:plemcnt calorifugC. Chaquc: oompartimc:nt contic:m" molc:sd'un gaz par· fait diatomique (')' = 1,4) qui O«Upe initialemcnt un volume V = 2 L sousla pression p • I bar, aIa tem· pCraturc T • 300K. Dans k: eompartiment ( I ), un conducteut ohmiquc de risisomcc R pcut fournir un transfe:rt thermique Q1 par effct Jou.le. On fait er un couram d 'lntcnsitC I daM Ia rts-is.-tancc R jusqu'i cc que Ia pression p 1 du compartiment ( I ) w it (gille ;i Zp. Le clwuffQ.gc- est suffisamment lent pour con11idC~r lcs Cvolurions oomme quasi statiquc:s..

'I

•

Ill

Lorsqu'on Iiebe Ia bille dans le tube de section '• on o~ des oscillations autour d'une pMition d'Cql.l.ili-

brc:. La mCtbodc consi8te oi mes.urer Ia p&iode d'O$cilhu-ion e du mou~me:nt de Ia billc. On note: V0 le volume de g:az lorsque x = 0 c t on note te$pectiv'Cmcnt Po ct T 0 Ia pre$$ion et l:t temp~rJ'Hurt extC:rieures. I) En appliquam Ia relation fondamemale de Ia dynamiquc a Ia bille, CUibli.r l'(quation de son mQU\'~ent. Pricis.er, en particulicr, la p~ssion il l'f!quilibtc. 2) D' un point de: vue t.hcrmod)'Damiquc) le phblomC.nc est oonsKIC:re <.:omme pratiquement quasi statique et adiabatique. L'air eomcnu dans Ia bouteillc est assimilC a un ga:.c parf•it. Determiner

I~

I) Oetenniner les rolumes et temperatures V., T., T 1 , V2 a La fin de rb\'Oiution. 1) Exprimcr puis calculcr numCriquemcntles uavaux w, et wl re~u$ p:.r les deux gaz. le tnnsfcrt thermiquc Q1 r~ par le gaz dans le compartimc:nt (2) , ainsi Cl tl.Ut de que It$ V1riations d'tnergie interne cbacun des deux g:u..

au.

:c

au \'Oisinage de FCtat (Po) V0 ) .

3) Les i:c;;aru de pression et de volume Ctam faibles, on approxime dV par V - V0 = s · x ct dp par p- p0 • En deduire p - Pu en foncrion de x. 4) En dCduitc l't:quation difft!:~ntielle du mouvt:ment \'ettical de Ia biUc:. 5) Determiner l'exprtSSion de la ptriode e du 8ignal et en dt:duire I'expression du coefficient'(.

Indications 2) Pour de faiblcs variations, on c:ura que :

Utiliser Ia coD.SCT'Y3rion de Ia mass<.'.

:C·!~

el on assimile les branches de courbt

a

des segmtnlS de droitc.

Oi:composer les deux C:\•olutions en dc:u.x itapcs.

EiJl]

t ) On ne peut utiliser les k'liS de Laplace (e\'o1ution

t) A l'tquilibrt mkoanique, les pressions sOnl ~

I« ; 3 l'C:quiJibre thenniqm!J les tempC:r:~tives sont

: calculer sepa.rCment w et au pour a<:cMer •ux variables d'Ctat. i~bie)

Cgales. 2) Une des &actioo.s de gu subit unc: Cvolution irl'C:versible et on nc peut lui applique:r les lois de Laplace.

I) Seul lc compartimcnt (2} subit une e\·olution quasi statique et adiabatique. Utiliser I'C:quilibr-e

meca.nique et accklcr a 1 1 • d(placxmc:nu de Ia doison Cwn supposes quasi statiques, let lois de Uplaec wnt utilis..-'lbles dans chaque comparrimau.

l:;:a

C0115oeTV'ation du \'Oiume total pour

l,.('s

l) Au voisina~ de (p0 , V0 ),

l...,.!.!

*'.

v v,

t ) La

pre•niere eu.pe: peut ~tre eoJUid~rU eomme

adiabatique, Ia deuxiCme oomme isoc.hore

dans lc calcul de

• Solu tions des exerczces

Q. C.M. Exercice 1 1} Faux. Cctte relation ne pcut s'appliqucr que si l't...·olution est quasi starique. 2) Vrai, suite 8 l'applicarion du premier prindpe W = L\U puisque Q = 0.

3) Vrai. L'expression Plt • v,- ~" ·

Y-

VA

est toujours valable queUe que soit la nature de I'C:volution.

4) Faux. Unc C:votution adiabatique impliquc )'absence d 'Cchanges tbermiques, il y a en revanche unc variation de Ia temperature. S) Faux. Seulc une Mlution isotherme d•un gaz. parfait est reprC:smtec par unc branche d'hyper-

bole en coordonnees de Clapeyron.

Exereice 2 1) Vrai, a pression constame : 4.H = Q,. 2) Faux. La dtteruc de Joule Gay-Lussac ne s'effectuc: a tcmpCrarurc con.stantc que pour les gaz qui verifient Ia premiere loi d e j oule, en particulier les gaz parfaits. 3) Faux. En gblerat, si p augmente, V diminue, que l'~volution soh isothcrme ou adiabatique. Cepeodant, pour une Cvolutioo isoc:horc, Ia pression varie mais le volume reste constant. 4) Faux. La tempCrature varie lors d'une Cvotution adiabatique.

S) Vrai. Lors d'une compression, le travail

re~

par le systeme est effectivement positif.

Niveau 1 Exercice 3 1) La compression adiabarique est quas.i statique d•ou : p, · v;r = Pa· V3' pour un gaz parfait.

On dtduit :

~

l&s lo•s de laplac& ne s'apphquem qu'il une evolution quasi .statique ou resersible d"un gaz parfait.

La loi des gaz parfaits permet d 'Ccrin: : _ Pa· V: _ 10 · 10' x 0,96 · 10 ·' ; li S K . T: - l x8,314 n •R

2) W

·~'({:

=PJ . V~1-1 - p, . V, = 6U pour une evolution adiabatique. Cette relat•on e-st veri:flee que revolution sort quaSI statique ou non.

Chapitre 3 :Premier prlnc:lpe de Ia thermodvnamlque

Copyrighted m

0 vient: \V = 10 · 10'x 0,96 · 10· ' -l · IO'x 5 · 10·• 1,4- I

W

=

+ I ,IS kJ > 0 pou.r u.ne compression.

·.t;: Penser 8 bien verifier le signe deW en relatiooevec Ia nature de revolution Exercice 4

..

8

1) Q uanrite de marie~ d •ara:on : n = M = = 0,2 mol. 40 La loi des gaz parfaits conduit a ;

r=

Vr =

0,2 X 8,32 X 298 n·R · T = 4,95 . to·) m' = 4,95 L = l . ]Q S p,

n·R · T

"'

= Pt · V.

: 1 x 4}95

= 0 ,495 L.

"' 10 En exprimant Ia loi des gaz parfaits dans le Systime international. le risultat est obtenu dans le mime systiime, done en metres cubes. 2) L'C...·olution Ctant rc!vcrsiblc, lc travail CICmentaire re~ s'e.x.prime sous Ia forme 8W = - p · dV d'oU:

W= -

f

v,

\',

p · dV= - n·R·T·

W = -0,2x8,32x298xln

0 495 ~,

95

Q

v,

v

v,

.

= l,14kj >Opourunccompresslon.

Atempt.nuure constantc, pour un gaz parfait, Q done

f "' dV V - = - n·R·T·tn .....!.

= -

w

puisque

au = o

= - 1,14 kJ .

Exercice 5 La CQmprc:ssion etant isothcrme et reversible : 8 W = - p · dV et on pcut cxprimer Ia pression en

fonction d u volume. On en deduit : W = -

R .T

vl

a

- -J p · dV ave<:p = V-b va

W = -

\ '1

f

v, -R · -T · dV +

v1 V- b

f"' va v1

~ · dV

(I I)

V , -b W = - R · T · In--+a · ---. V1 -b V1 Va

Exercice 6 Lamassed'eaucocaleest:m • V· p • 100 )( 1000 • tooq;. En utilisant l'indice 1 pour l'eau froide et l'indice 2 pour l'eau chaude : m 1 + m 2 ;: 100 kg. On neglige les ecbanges thermiques avec l'excerieur, d'oU, a pression atmospherique constame : d H = Q,. c 0 c: m 1 · cc·(T, - T 1 ) + m, · cc · (T, - T ,) (cc : capacite thermique mas.siquc de l'cau). )\\.. Pour une phase condensSe, on ne distingue pas des capacites lherm•ques
Ll.'

ap

ou

a V conslanl

el

11 vient : {"' 1 + , , :;: 100 nr 1 x(32-l8)+m 1 x ( 32 - 60) = 0

=

m 1 x(I4)+m1 x(- 28) =0 .

·.'{): Le systeme de deux i!quattons deux 1nconnues se f hOud S1mptement en til'3nt In1 Ou m~

a

14m1 -28m.1

;;;:

14 m 1 - 28 x (100 - m 1) = 0

. m2 m 1 = 28 X 100 = 66, 7 kg d ' ou. on d e' d uJt 14 + 28

= 33,3 kg.

Les volumes s.e dtduisent par la relation V = !!! : p

66, 7 1000

= 66,7 · 10-' m'

(~~

= 33,3 · 10

c:

66,7L

' m' = 33,3 L .

Exercice 7 Pour unc: phase condcnsC-e, dH = C · dT = m · c · dT. E n nCgligcant les Cchanges thermiques avec l'exterieur, l\ prt$Sion eonstam e: d H c Q,.

= 0.

L'Cqu.ation calorimetrique s'Ccrit (8 pression atm osphl-rique consumte) : ~H =

Q,.= 0 = (m · c..,.,+ C('OI))· (Tr- T) +m 1 • cc.. ·(Tr -

T 1 ) +m 2 . , .... . (T, - T 2 ) +m J · c ~ · (T,- T,).

u viem :

T, = ( m · '••

· Co. · T, + m2 · c,._ · T2 + m 1 · ' " · T 1. m · c... + Ca~ +m 1 • cc.,+ m2 · c,..+m1· 'F~

+Ca l) · T + m,

~ Meme si les donnees son1 en degrl}s Celsius, bien exprimer les tempe-ratures en kelVIns.

On dCduit : f _ (0,300 X4 185 + 209)X 291 + 0,050 X 385 X 303 + 0,030X 129,5 X 353 + 0,080 X452 X 323 t 0,.300 X 4 185 + 0,050 X 385 + 0,030 X 129,5 + 0,080 X 4S2 T , = 292K

~

Or = l9°C.

Exercice 8

~.t;: le ltava•l des forces de frouement est 6gal Ala dim•nution
W; ( M +M') · g · h ; (0,5 + 0,5)x9,81 x I ; 9,81 ). Ce travail conduit a une variation de l'energie interne de l'eau du calorimetre : W

{!;:

= 6U = (m ·c~ +Ctt~~) · .6.T .

Ne pas oubber I'Eichauffement du vase du calonmEure

9.,8 1 - 1 I tO·• K On d eduit: u"T = m · c~\V+ C .,., = 2 x 4185+ 120- ' . · U est d one nCcessaire de recommcnccr plusicurs fois l'cxpCrience pour provoqucr un accroissemem

de rempt-rnrure si&onificatif.

Chapttre J

Prem~r pr1nC1pe de 1a thermo<Jyn.amliQue

Niveau 2 Exercice 9 t) Les diverse$ etapes peuvent, en coordonnCcs de Clapeyron, se

represemer oous Ia forme :

p

c ( I)

'•

(I)

•

(2)

A

c·

'•

(21

v

0

·~t):

les ~Sottlermes sont des branches d'hyperbole

2) W 1

:;;

"·) = -0,5 Vc

(

W,.,c + Wca c 0 + - n · R · T 8 · ln -

X

8,32 X }50

X

(n(25°) = - 2 017 j .

=
Q,

-.y:

l'tnergie interne d'un gaz parfart ne dllpend que de Ia temperature.

Or J'e\•Oiution CB Ctant isothtrmc) L\U~ tt

l'h-olution AC Ctant hochore, au~ = Q AC = IJ . R

Cv = -

avec

-.y:

= 0 = 'X'e s+ Qce ;

y- 1

c,..( T c - T A)

;; 10,4 J · K-•.

Pennr i " lculer c.. 8 partir du c<Mfficent ydoMb.

On tire : Qc 8

;;

Q AC •

+n ·

R · T8

· In ( ~;) = - \V01 = +2 OJ7 J

l

= 655) + 2672 J

Cv·(T 0 - T,) • I0,4 x (350 - 287)

Finalement :

Q1

AU,

;:

20 17 + 6SS ;;

= 6SSJ.

3) On applique Ia mCme mCthodc qu':l Ia question prCcedcnu: : \"f/2 = WAC· +\Vc·u =

(- n·R · T,.,·ln ( ~:·)) +o

= - 0,5x8,32 x 287x ln (

°) = .. 16S4j .

2 5

= 0 =
L'tvolution AC' tlant iscnhcrme, dU ~· L'evolution C'B ~tamisochorc:,t.\U~·

. { Q' = Q.c·+Qc ·o = +2309 ) FLnalement : AU, = +6SSJ. 4) On rema.rque que W1 ;t W2 , Q 1 ;t; Q2 , dU 1 = t.\Uz. Seule l'l!nergie interne est une fonction d'etat, le travail etle transfert thennique dependent de Ia nacure de l'l!volution.

Exercice 10 I)

.,

p

B

T :2S3K

p, ·-······ ····· ·-----

c A oL-------------------v

2) L'C.volurion BC etant adiabatique, quasi statique : Ta'·p~ -l = Tc., · pJ "".

Comme TB

= T = 293 K , u vlent: T ' = Tc = Ts .

Application numen·que: T ' a 293

xeoy;;,.. 1

,_,

a:)' .

= 95,8 K .

3) • Po ur une evolution isotherme :

-f

11

WAll=

8

p · dV = -n· R·T · In V = +n · R · T · tn ( P•)

A

Pit.

VA

50 W"" = I x 8,32 x 293 X In T = 9,53 kJ . ·]:;: Ubliser Ia lo. de Marione pour une •sotherme : p V • Consteme.

• Pour une evolution adiabatique : c

Woe =
Pc · Vc- Pa · VB

Y- 1

= Cv· (Tc - Ta)

n·R =· ( T ' -T ) . y- I

·.t;: Caltuler Ia c.apac:d ttlermique i volu-me constantdu gaz p.arfeit : Cv = ; ...~ . I X 8,32 I ><(95,8-293) • - 4, 11 il]. I ,4 WAB +Wee; = 9,53 - 4, 11 = + 5,42 kJ .

W,0 •

Tm.vailtotal: w,UIII

=

Exercice 11 I) p

c A

. ~-----------------v

Chapitre 3 : Pr•mier princiP9 dt I<~; thermodvnamiqve

2) Evolution AB adiabatique :

w..

= 6U! = Cv· (T, - T.> =" · R ·(T, - T.) = 8 •314 (36Q - 300) = 748)

l _t

Y- 1

Q.... . 0

3

Evolution BC isochore :

Woe = 0 Q,c = 6U~ = Cv·(Tc- T8 ) = -7481 Evolution CA isorherme :

au~

=o

=>

we.\ = - Q CA

\Va. :: - n· R·T,.

· In ( ~~); +,. R · TA ·to(::)

~J:): Cat~uler les parametres

d'etat en cons1derant que revolution de ce gaz parfa1t est uoe ad1-abst1que quaSJ

stanque. On d Ctermine V<:. :: V8 par Ia relation de Laplace:

T V,_, = Ta · v '·' A·

A

11

=::)

Ve = V"' · ( Ta T• )~ ' ·

Finalement :

WCA =

W CA

+t~ · R·T,..·ln ( ~:) = n · R · TA ·tn ( ~: )~

= n · R · T, ·tn ( T• ) = + t x 8,32 x 300xtn ( 300) = _ 6831 = - Q •-1 T, 5 360 CA· '

--I

3 • Ensemble du cycle : 6U~t ;;: 0 J puisque l'energie interne est une fonction d'etat ; Wct 0 pour un cycle d~crit dans le sens trigonometrique.

Exercice 12 I) p

A

, ~-----------------·

· R::-·..:T~ · = 2 x 8,32 x 298 2) Point A: V,.. = •::.... p,. 1·10'

= 49,6 .

tO-> m' = 49,6 L .

Point C : on dCtenninc Vc co urilisant lc fai t que I'Cvolution CA est adiabatique, quasi smrique : T A ' VA,-1 -_ T c · vC'·' • II vient :

Hidden page

Le bilan des echanges thermiques s'&rit :

.6.H = 0 =

m 1 ·cc· (T1 -T1 )+C (a~· (T,- T1 )+m.1 ·c( · (Tr - T1 ) .

On dCduit:

c"' App&ati<m numtn'que : C('lf

=

"'• · ct · (Tr- T,) + m 1 • c( · (T, - T 1 ) T 1 - T1

-==

C.., = 176 } · K-• . 2) Le nouveau bilan the-rmique s'&rit :

dH'

=0

= "'• · c. · (Tf - T ,) + Cc.1 ·(Ti- T,)+ m, · c~ · ( fi - T .)

= 0.

O'oU : c"' Applicauim numb iqu!'! : ca.

=

( m, · eft+ C(11) · (Ti m 1 • (T3 - T ( )

T ,) ·

4185 + 176) X(289,7- 288) = (0,300x0,295x (353-289,7)

= 384 J . K·'

·

.~t;: Meme s'il n'y a pas d'influence sur le rti:J;ultat dans ce cas. bien e~eprimer les temperatures en kelvins Niveau 3 Exercice 15 1) II s'agit d 'une detente d e j oule Gay·Lussac. L'Cnergie incerne du gaz est oons-mnte et pour un gaz parfait, Ia tcmpC.rature ne varie pas.

Ainsi :

T" = Tn = T = 300 K . L'Cquilibre mCcanique chant rCaJjs(. PA = Pw· La loi des gaz parfaits appliquee a l'thac initial ec a l '~tat final conduit :1 :

Comme V,. = V8 = V,

PA = p, =

p

2

8,32 X 300 R ·T = 2 . v = 2 x12 · 10· • = 1,04 bar .

2) • San..; &hanges avec l'extCrieur , I'Cnerg:ie intc.me est encore CQnstantc. : aU = 0. Oe mCme, I'Cquilibrc mi:canique est encore rCalisC :i I'Ctat final d'oU : PA = p 8 = p·.

La loi d es gaz parfaitS conduit a :

{

p · V = R ·T PA. v = x.... R. T ...

p 8 · V = x8 · R · T 8

en appelant x,. et x8 les quantitCs de matie~ dans les deux rCdpients aprC:s Ia d Ctente.

·,'t;: Le systfme est isole.renergie interne se connrve. On deduit, par conservation de I'Cnergie interne:

On tire:

0

=

p, · V + p 8 • V- p · V

::::) p,. = p8 = ~ = 1,04 bar . • Dans le recipient A, en l>Upposant l'tvolution adiabatique, reversible, il est possible d'utiliser Jes relations de Laplace, d'oU :

T y • p l •Y

T A' • pA••,

--

::::) T,. = T · fld~.I = 246 K.

tf,.) .,

La quanti[C: de matiCre x,. rcsta.nt dans A C$t done :

x,.

p,..v

= 0,61 mol

= -

R · TA

x8

d'oU

= 0,39 mol.

IT· =~= 38S K.,

On deduit:

-~K: Lu fart de supposer que Ia f1actton de gaz restant daJU A subit une fvolution adiabatique, quasi statique est rela· ·' ( tivernent ju$1ifii: cette portion de g&J se ditend le nt.ement A nater que sans cette l'rypothese, le prob!Ome n'aurail 1)(.16ue r6sotu.

Exercice 16 1) Avant

tOU[

dtplacemem du p iston :

_ nA · R · TA _ 0,3 x 8,32x293 = 7,3 · 101 Pa = 7,3 bar v,. 1 . 1o~'

p,. { 2)

Pa =

rr8 · R · T 8 O,tx8,32x293 Va = =- 1,2 · 10 s Pa =- 1,2 bar. . _, 2 10

·J;: Pour une Svolut•on adtababque, quas1stabque d' un gaz parfait. on peut trtiiiSer les lOts de laplace. Chacun des deux gaz tvolue de manihe adiabatique) quasi statique d'oU :

= p,,· . v~' Pt1 · V~ = Pa' · \18.,

p,.. . v~ {

p~~.·

c p 8' 1\ I'equilibre mkanique.

En divisant les relations de Laplace membre p,. •

Pa ·

Vl

v:

VA., =

v;'

v;. • ~ J~)i

d 'oU :

VB

v;.

Va \.Pa

v;. = !.

AppJi<-atitm numi rique :

Commc

amcmbre, il vicm :

v.·

•

,

(7,3),: = 1)81·

2 x l2

•

+ VS = V,. + V8 = 3 L, on deduit :

4

w11 {v;.

= 1,07 L = 1,93 L .

ll es-t alors possible d e d eterminer les pressions :

v'A = 7,3 · 10~ X )I )''' = 2,9 · ' = p,.. . v·T PA ( 1 93 A v.'

10~

Pa = 2,9 bar

2 )" = 2,9 · 10~ Pa = 2,9 bar. P• = p, . Vi/ = 1,2 · JO~x ( l ,O?

-.t;: La

PiltOI est Jmmobi1e, a l'i!qut1ibte, a l'tHat fina1.11 est normal de verifier regaliti de.s p.ressions.

T,; On deduit:

{Ti

= p~ · Vj.. = 2,9 · 10' x 1,93 · 10 "' = 224 K "". R 0,3 X 8 ,32 =

Pi · VB n8 · R

=

2,9 . 10' X 1,07 . tO•l = 373 K . 0,1 x 8,J2

Exercice 17 1)

A l'o uvcnurc du robinet, Ia pression du gaz e de PI

a Po· Lors de cene dc!tente rapide, Ia

temperature e a une valeur T ' < T. Puis, lentcment, 8 Ia suite d'Cchangcs thennique a travers les parois, le gaz revient 3 Ia temperature T 3 \'Oiume constant, done Ia pression augmente de Po 8 une valeur P:· La pTC-miCTC- Ctapc, rapidc, pcut Ctre considC.rCe comme adiabatique, Ia deuxit me, isochore, ram~nc a Ia temp6rarure T. D'oU le diagramme :

. p

,

Pt

•

••

•

.. .' · ... .... - - A•'~

•, ~.::....~ C

··- T

' Po -- - -~------,

B;

o L-~----_.---------v

·~Y:

Les points A etC sont situils sur Ia mime courhe tsotherme a Ia temperature l

2) Les evolutions s'e.ffecruant enue des flats d'tquilibre prochesles uns des autres., o n assimile les courbes AB, BC e t AC a des segments de droite. La peme de Ia courbe reprc!-sentati ...·e de l'isotherme est

(~).,• (.'die de Ia ()Ourbc rri:senta:ri\•c

de l'adiabatique est (~)Q· Or:

(!!e) = ! . (ap) av T r av Q ap) - _p,-p, (av T tN ap ) (av

Q-

p,- Po

- ~en

posant 6V = V 11 - V,..

I y

On dCduit: p, -P: = - · (p, -Po)

-=

'Y

= Pt-Po. p, - P2

En exprimant les pressions en millimeues de mercure, il vi.ent :

h,

y = h, - h'l .

Copyr~W

Exercice 18 1) L'evotution eovisagee est adiabatique, irreversible ; lcs lois de Laplace ne sont pas applicables.

8.

Bien verifier Ia nature de l'iwoltrtion avan1 d'apphquer ou non les lots de Laplace

La pression

p~

correspond a un equilibre metanique d'oU : p~ =

·.t;:

M ·g p1 + S = 1,062 bar.

Ne fNIS ooblier Ia press.on exerde par le po•ds de Ia mass.e M.

Le travail recu par le gaz lors de cene compressi<m peut s'cxprimcr de deux far;o ns :

W : - p, • (V, -

v,) (pression p, consrante appliquee au piston)

. vI { w = P!. Vz - p, 1

= au = C v . (T2 - T .) (premier principe applique i une tvolution adiabatique).

Y-

De ces deu..x t-galitCs, on dt!duit : Vt = p, . V, -t(y - l)pz · V, Y·P:

V

2

•

2.

Fina.lement: T 2

tQ · l X

:;;:

= V,

.P• + ( y- l )Pt Y · P2

1,013 · 10' + ( 1,4- I) X 1,062 · 10' = I ,93 . 10 _, m' = I ,93 L . 1,4 X 1,062 · l0'

T 1 • P: . VJ = 298 x I,0 62 X 1•93 = l 01 7 K . p 1 • V1 1,013 X 2,00 '

2) L't\folution es.t isobare it Ia pression P: .d'oU P: = p 1 • La lemperarure finale etant T 1 = 298 K = T 1 , il \rient:

v, ·"' p,

= 1,91 L .

Exercice 19 t ) A I'Ctat final, I'Cquilibrc mC:canique est rCalise et

p, = P: = 2p = 2 bar.

t:C\'Olution (2) est adi.abarique, q uasi statique, it est possible d 'uciliser les lois de Laplace:

p · V" =p~;· VJ =2p · Vf= V2 =V·2 · i

{

, •. .,. TT c

pJW.,. T i => T l

= 1,22 L

1.:!

• T . 2 ., = 366 K.

Dans le compartiment (1), I'C:volution est quelconque mais on pcut dC:duire V 1 par :

V, = 2V - V, = 2,78 L . La loi des gaz parfaits permet d'ecrire :

T1 = T

P~v = Pt~v , , d•ou :

p; : ~•

•

=

2

300 x ~;•;8

= 834K .

2) • Compartiment (2) :

L'evolution est adiabatique

= {Q:z =

0

W 1 = 6U 1

:

Cv · (T1 - T) .

Or Cv = n · R = p ·V = l0, X2 · 10 l = 166 J ·K-•. Y- 1 T ·(Y- 1) 300x(1,4-l) ' On dCduit : W, : aU, : L,66 x (366 - 300) = 109,5 J .

Che:pltre 3 :Premier pnnocipe de Ia thermod.,.namlque

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Deuxieme principe de la thermodynamique In t ro du c ti o n l..e premier principe constirue une generalis ation du concept de conservation de l'Cncrgic, dt!:j3 a borde en mecanique. Cependam, Ia seule erude des t!:tatS d'tquilibre est insuffisante pour reprC:senter I'Cvolution physique de l'univers au cours du temps. Le prem.i er principe nc pcrmct pas notamment de distingucr les evolutions reversibles et irreve.rsibles. C'es t lc dcuxiC:me principe de Ia thermodynamique qui va permettre cctte distinction. D a C:tt enonce au XlXf siecle a partir de l'c!tude des machines thermiqucs. Avant de donner les enonces his torique§ du deuxieme principe) le chapitre 4 en propose uoe prC:sentation plus acruelle en dt!:finissant une nouvelle fonction d )t!:tat, Pentropie) qui caracttrise l'tvolution d 'un systfme au cours du temps. Le:s ecudes de ce chapitre concement uniquemenr des syst.emes fermes.

Plan du chapitre 4 A. La fonction entropie etl'enonce du deuxieme prlncipe ..... ... .... ... .... •.. ...... .. ... 112 8 . Evolutions rever$lble5 e-t itreversibles ............. ............... ............. .. ............ 1 13 C. System as isol6s/ non isoles ..... .. ....... ..... ... .... .. ..... ... ............ .. ............. .. ... 1 15

0. fdentites thermodynamique:s ... ...... ......... ...... ..... ... ..... ... ....... ...... ............. 116 E. Entropie d'un gal: parfait ......... ... ............................................................ 116 F. Diagremme entropique ........... .. .............. ............................................... 117

G. Enonces h1storique.s do d.euxieme principe .......... ........... ........ ...... ........ ..... 1 18 H. Calcul crentropie c:reee pour quelques phttnom.nes irt.Vet$ibhts .................... , 19 Trolsieme princ:ipe de Ia thermodynamique,, .•.... ,, •... . , , ...•.•...•.. , , .•••.. , .••.. , , , .• 122 ftfetllodes

L'essentiel; mise en c.euvrc: ....... ....... . ,. ..... ... .................................. ............. 123 Enonc.es des e.xere.U:u. ............. ....... .......... ....... ........ ........ ................. ........ 126

lnd;cation.s . ,., ...................... ........ ................... ........................... ........ .. ... 128 Soltttions des ex ercices ................. .......... ... ... .... ........................... .. ........... 129

Copyngh r

A. La fonction entropie et l'enonce du deuxieme principe A.l. Source de chaleur et thermostat

Une source de chaleur ~~ un que par tra.nsfert thennique.

sys t~me

ferme q ui n'ec:::hange- de

P~nergie

~--

Une source d e chaleur peut ~trc une masse d'eau, l'atmosphCre d'un local, . ..

1.le thermouat reseant A tem.piraturt corm.nte, su ltvolulions sont rltversiblea.

U n thermostat est une source de chaleur dont Ia temperature restc: constante 1• Un thermostat peut-etre : - un mClange de deux phases d'un corps pur en Cquilibre, par exemple, le melan ge eau-glace reste a 0 °C sous 1,0 13 bar tant que les deux phases coexistent ; - un systeme suffisamment grand pour que sa \•ariation de te-mperature soit trCs faib le et nCgligeablc, par cxcmplc l'cau d'un lac, l'atmosphC.rc, . ..

A.2. Expression infinites imale du deuxieme principe

2. rentrople. fo..eUon d'ttel. est unt grandeur tiCttnsWt (voir le chepitre 1, t.lJ.

Deux:iCme prindpe de Ia therntodyn.amique Pour tout systeme ferme en 8\'ec une (ou p lusieul'$) source(s) de chaleur, il exisce une fonccion d'etat, n otee S et appeJee entropie ~, teUe que pour tOUtC Cvolution in fin.ittsimale de CC systCme :

dS ; 8S ,+8S , •

• OSc =

l.la U1mpjra1urt T, d'unt source 68 ollaleur $$1: auscepcible de

vtrler au tours de l'tvOiutkln. 4. Contreifement t rentropje S du syst~me. r emropie kl\angte -'-r enttopie eritt ne aont pas d.a fonctiona .retat: leurs variations inflnir.tsimales se nott nt 65. t16S, .

~· +&S,.

0

~ est l'entropie ichangCe par le systCme au cours de l'C:volution •

infin..itt:simale reeuemenc mise en jeu. Dans cene expression, OQ. est le uansfert thermiquc (en joules) recu algC-briquement par le sys-u!me de Ia part de Ia (ou des) source(s) de: chaleur et T. reprCsente Ia tempCrature 1 (en kelvins) de Ia (ou des) source(s) de chaleur.

• SSe en l'entropie creee• au cours de I'C...·olution infinitesimale. EJ!c est nullc dans lc cas d'unc evolution reversible, positive pour une evolution quelconque. • L'entrQpic s'cxprime en joules par kelvin (J · K - 1 ).

Consequences • Si I' evolution est li\rtrsible, en notam &clm le transfert thermique ~ICmen taire ~u de la pan de Ia source de chaleur : dS

= SS, = ~-

•

avec

SS,

= 0.


• Si I'C...·olution est irrCversible :

dS

= S.S~ +SSe = ()~., + S.S< •

avec

SSe> o.

La variation d'enuopie du sysceme est alors superieure a l'enO'Opie echangee:

SQ.

dS > T .

•

A.3. Expression integree du deuxieme principe Lc deuxiCmc principc pcuc s'Cnoncer d'unc autre fawn.

DewdC:me principe de Ia thermodynamique Pour tout systC:me ferm~ en avec une ou plusieun souroes de chaleur, il ex:iste une fonction d'ecac, notee S et appelee entrople, telle que pour toutc Cvolution de cc systbnc d'un Ctat A a un Ctat B :

• S. -

S. l'entropie crete est tl)ujoUI"$ d"'ulte d-es ealeuls pre"r!lnalres de AS!-' s•.

i'8Q. T, A

est l'cntropie CchangCe par le systi:me au cours de I'Cvolu-

tion rCellement mise en jeu. Dans cette expression, OQ, est lc transfert tbermique (en joules) recu par te sys-ttme de la pan de Ia (ou des) s.ource(s) de chaleur et T~ reptesente Ia tempe-rature (en kelvins) de cene (ces) source(s) a un Ctat intermCdiaire entre i\ et 8. • Sc est l'cntropie erC.tt au cours de I'CVQlution ' . Elle est nuUe dans le cas d 'une evolution reversible, positive pour une ~vo lution qudconque. L'emropie s'exprime en joules par kelvin (J · K• 1 ) .

' B. Evolutions reversibles et irreversibles

B .l. Dis tinction entre evolutions r eversibles et irrevers ibles • Si l"evotution est reversible, a chaque Ct:tpc de I'Cvolution : - Ia te-mptrarure T du systCme est t:gale Ia tempCrarurc ~r. de Ia source de chaleur cons.idCrCe ; -Ia creation d'cntropie est nuUc ;

a

- I' en trOpic ec-hangee est egale a

s~ = La ~""" .

O'apres le deuxieme principe. la variation d'entropie du systeme s'Ccrit :

los:= s. =f~·l • Si l'evotudon est Irreversible, il n'est plus possible de dtfinir des t tats d'Cquilibre intermediaires :

- l'emropie creee est positive ; - )'entropie k hangte C':St epte t\ S, :

L'l 6~•.

Lc dcuxiCme principe ne nous pe rmet que d'i:<::rire l'int-galitt :

L'enrropie Cchangee St initial et I'Ctat final.

los! >s•.l sc calculc a partir de I'Cvolurion ReUe entre I'Ctat

La variation d 'e.ntropie M ! se calcule ii partir d'une evolution r!h·ersible entre ces deux m~mes toots. L'entropie crCic est dCduite par:

S.: = ll.S~- S/ .

6. r entropie eehangie etrentropie ertte dtpet'ldem de t& MNre

del'ivolrtion ; le variation d"entropie d"un systeme. c.alculie t n lmaginant vne h'olutlon riveraibl.. n• dtpel'd p&$ de I.e nature de I'!Yolution r8elle.

Si l'eotropic crL-ec est nulle, l'l:volu tio n est rhersib le; si el.le est positive, elle est irrtvtrsibh:.

Lc caractC:Ore d'irrC\•er sibilitC: est d'autant plus important que l'entropie creee est grande.

B .2. Causes d'irreversibillte Les causes d 'irrCversibilitC soot les phenomenes physiques qui empCchcnt, lors d'une Cvolution, d 'imaginer une evolution inverse ou de di:finir des C:tats d'l!quilib re intermediaires entre l'etat initial et l'ttat final.

8 .2.1 - Les forces de frottement Les forces de fronemem, par leur tn~.vail, entrainent une dissipation d'tnergie thermique. Ceue dissipation conduit a Ia non-conservation de t•energje mec:tnique totale d 'oU l'irTCversibilitC.

8. 2.2- Les ec hanges thermiques (diffusion thermique) Les ecba.nges thermiques, tors du entre deux systbnes de rempCratureS T e t T' om lieu lorsque ces tempCrarures som diffCrcmcs. II n'y pas rCvc:rsibilite de I'Cchange par diffusion thermique.

ll est possible d'approcher ce-ue rb:ersibUitc; lorsque les temperatures sont tres proc-hes, ce qui pennet d'emtisager deux etats d'tquilibres infiniment voisinS-.

8 .2.3 - D etente dans Je vide Lors d'une derente dans le vide Ooule Gay-Lussac, voir le chapiue 3), il n 'est pas possible de dtfi..nir des tuts d'tquilibre du systeme au COUts de l'Cvolut:ion. Les parametres d'etat nc soot di:finis qu'3 I'C:tat initial et li l'i:tat final : l'tvolution n'est pas q uasi statique. De plus, il est tvident qu'une telle tvolu · tion n'est pas reversible.

8 .2 .4 - M elange d e deux gaz (diffusion de particules) Lors du melange de deux gaz dilftrems, Ia diffusion de chaque gaz se fail dans le sens des concentrations decroissantes. Un tel Cchange n 'est pas reversible. De meme, lorsque les gaz sont composes des memes molCcules, le pbCnomCne de mC:lange introduit une irrCversibilite q ui se manifeste par !'existence d'une emropie creee.


C. Systemes isoles/ non is oles C. l . Application du deuxieme principe aux systemes isoles Le bilan entropiq ue prCcCdent applique a un systCmc isoiC constitue un cas particulier important.

Un systeme ferme es-t isol~ lorsqu•iJ n'tchangt' ni matii::re ni lc milieu exttrieur.

~ nergie

a\'ec

Un sysrtme ferme n'Cchange notamment aucune Cnergie pa.r transfert thermique, soit 8Q~ = 0. L'entropie tchangt.e s.. est alon nulle, d'oU, d'apri:s le deuxiCme principe :

los~. 7.l'ine..-gie interne d't.WI svstime doli se e011setve. La variation d'enttopie d'oo SVIt8me isoli est nt.dle seu..~n~m sl uv-.,tlon ett r8vtrsiblf,

s," o.l

La criation d'emropie se dttermine ainsi directement ti partir de Ia variation d•enrropie du systtme et cette variation est strictement positive lors d'une evolution irreversible 7•

'4'-!.ii!:iff) L'cncropie d'un systCme isolC ne peut qu'au.gmcnter lors d'une evolution irre\'ersible.

C.2. Application du deuxieme principe aux systemes non isoles Si lc systeme CtudiC n'cst pas isoiC, il est possible de determiner Ia creation d'ent:ropie comme dans le paragraphe A.3. Mais il est parfois intCressant de oonsidtrer un nou\'eau sysu!me constitue par !'ensemble (systeme ttudie + source(s) de chalew). systeme dont l'entropie ecbangee est nulle car il est

isoiC. Pour l'enscmble {systCmc CtudjC + sourcc(s) de chaleur}~ Ia propriCtC prCcCdente permet d'l:crire :

• -o=-.•1

rl.-."s'""-- , = --:-L">"s.- .-.~ -.-os =_-_-..,s'"" ,"..

C.3. Entropie echangee par une source de chaleur Soit oo S)'Stt-me qui ecbange de 1•energie avec une seule source de chaJeur. L't-galite ptecedente permet de rettOu\'er I'expression du deuxieme principe pour le systC.me CtudiC (sans Ia source de chaleur) en consta.rant q ue :

Lc signe •-• pn:tvient du fait que I'Cchange thermique est cQmptC algebriquement: - le systtme recoit ~ ; - Ia source de chaleur recoit - SQt Ia tempCrature Tt. Cette tempCrature pcut Ctre CQOStante si Ia source de chaleur est un thermostat.

a

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H. Calcul d'entropie creee pour quelques phenomenes irreversibles H . l. Methode generate Esrime:r l'irrCversibilitC d'une Cvolution impose de determiner Ia valew de l'entropie cteee. On procede comme suit : • calcul de l'entropie Cchangte S, pour l'tvolution reeue mise en jeu (elle est nuUe si le systc!me considere ~s t isoiC}; • calcul de Ia variation d*emropie a$ du systtme en envisageruu une evolu· tion rivcrsible du mCme Ctat initial au mCme Ctat final ; • calcul de l'entropie crHe avec Sc = ~- s. ;

• les causes d'irreversibilite.

H .2. Syste me en avec un (ou p lusieurs) thermostat(s) U n solide de capacite thermique C, initialemtnt a Ia tem~nnure T; , est mis au d'un thermostat de tempCrarure T,. La tempernru.re finale du solide est Ia tempC:rature T. du thermostat. Lors de I'Cvolution. le solide ~oit un transfert thermique :

Q

= L\U =

• L'enrropie echangee s'exprime : s .

C. (T, - T1). "'•or.

!IC

f

~T

T,

'

I

JT,

'

r.

= T . . 6Q =

c . T fT- T

I •

'

• La variation d'emropic du solide s'obtient en envisageant une ~vo lurion

reversible de T 1 a T 0 done en oonsidtra.nt que le solide est en con.tacr avec unc infinite de thermostat$ de u:mpCratures continUmem variables de T; 3 T, . De La part de chacun de ces thermostats, le solide reQOit SQ c dU e C · dT.

On deduit :

L\S =

JT'5Q JT'C. ~T TI T T; 1 =

= C. ln(T•) . T;

• L'enuopie crtee s'Ccrit :

S, = 4S - S, = C·ln(T·) - cT, - T •. T;

T.

On peut verifier qu'elle est positive, l'tvolution est irreversible. • D y a i.rreversibilite par uansfen lhermique. Application 4

R efroidiaa.ement d 'un caillou

On jeue dans un lac un caillou de masse 200 g, initialcment a 20 °C. Le lac est su.ffisammcnt grand

pour que sa temptrarure, T, = 277 K, soic assimilte a une consmme. Donnie : Ia capacite thermique du caillou C = 200

J · K - 1•

Solution L'entropie tchan.gee s'exprime sous Ia fonne :

s • JT·~ '

T,

T,

• T,.!... JT'oo . c . T,T,- T, • "00 Ti

<

X

277- 293 • -li,SS J · K -1 • 293

La variation d'entropie se determine en irnagjnam une evolution re..~crsible de 20 °C a 4 cours de laquelle le caillou rece\'rait une infinite de transfen s thermiques de valeur C · dT.

=f,.,'SQ = f,.,'CdT = T

4\S

T

~

T

oc au

(T) T, = 200 x ln(277) 293 = - ll ,n) · K· •.

C·ln

L'entropie creee a done pour valeur : Sc:

-= aS - S~ = + 0,.32 J · K - 1•

H .3. de d eux solides de temperatures differentes On met en thermique deux solidc:s de capacitbi thermiques C 1 et C 2 , de cempCratures injtiales respe<:tives T 1,o ec T 2,o . Par uansfert thermique, on obtient 3 J'equiJibre une temperature finale T , commune aux deux solides.

Venscmblc constitue un syst~me isole pour lequel : 6U = 6U, + AU 2 = C, · (T, - T ,.b) + C 2 • (Tr- T u ) as =as, + a5 2 = S., >O. On d i:duit de Ia conservation de I'C::nergie interne :

T' =

=0

c, . T,.o + ck· T 2,o

C, +C 1 Le calcul des variations d 'entropie 45, et AS"l s'dfccrue en imaginam des evolutions rC\'ersibles entre les m~mes etats et en remarquant que, en l'absence de travail e.change, SQ :;; d U = C · dT pour chaque soljdc. On envisage pour cbacun le avec une infinit~ de thermostats de templ:ratures variables rcspeccives T, et T 2 echelonnees de T 1, 0 et Tu jusqu•a Tr .

as ,

=

as, =

dU, =f,.,.' C, T,·dT, C, In(..:!!..) rSQ· =r· T,,. T,,o I r,.,. = JT1 = f' C,·dT, -_C I (T,) T,

5Q, Tl

,

Fmalement Se = OS =

=

T

dU2

T uo T~

'f,_.

T;

T,,o

2'

n . TM

c .. In(T T ') + c3. In (T T ')) grandeur dont on peut 1.0 1,(1

,,e_rifier qu'elle est positive pour ceue e\'olution irreversible. L'irriversibilitt est lQencore due au pbenomime de diffusion tbcrmique. Application 5

Co ntact d e d e ux solidcs de m Cm c. c.a pacitC thcnnique

On met en deux solidcs de mCme capadtC thermique C, de temperatures injtiales respecti· \'esT, -<~ et T 2,0 • Exprimer Ia temperature finale T, et l'enU"'pie cteee Se. Montrer que l'enuopic crt-ee est positive.

Solution L'enst.mblc des deux solides etant isole :

au = au,+ au, = c . (T, - T ,.J +c . (T, - T ,.J = o. On di:duit :

T , = T~.o + T 2,0 2

Les var iations d'cmropie des deux solides s•ecrivent respectivement :

<.\5 1

= C·In(:{') ; 1,0

<.\52 =

C·In(:{')· 2,0

Copyrlgntea mmenal

Comme le sysreme est is.o!C : St

S(

= aS = 6-S, + 65 2 •

= 65 = C · ln(.i.~) +C·In(;:O)

=

C · ln(~:·:;.~o~~:;J.

Cene grandeur est bien positive puisque : (T1,0 + T 2,0 )i - 4 X T ~,11 • T 2.0 = (T 1,o - T 2,.o)2 > 0 .

H .4. Detente de Joule Gay-Lussac Lors de Ia detente de Joule Gay-Lussac, un gaz contcnu dans un recipient de volume v, sc dC:tend dans un recipient de volume vh inirialement vide. Venstmble est thermiquement isoiC: Ct les parois des recipients S<>Ol rigides. La detente s'dfectue il Cnergic interne constance: 6-U = 0 . Dans le cas d'un gn parfait, Ia temperarure ne varie pas. On ded.uit, 8 partir de Ia relation gCnCraJc donnanc Ia variation d'entropie d'un gaz parfajt :

tiS=+, . R·

Jn(v· ~.v2 ).

{.;'ensemble est un systtme isole d'oU : St

= L\S = + , · R · Ln

(v, V,.v,) > 0 .

L'cntropie crCI!e est positive. L't!volution, diffusion de parti<.:u les dans lc vide, est irrCversiblc. Application 6

Detente de joule Gay-Lussac

DCterminer Ia variation d'entropie acoompagnam Ia detente de JouJe Gay-Lussac d'une mole de gaz parfait contenue dans un r«ipient de volume V dans un recipient vide de meme volume.

Solution La relation ptecCdente aS = + n · R · ln( V' ~~ V2 ) conduit a :

S(

=R· ln2 =5,76J · K-•.

H.S. Melange de deux gaz parfaits de meme temperature Deux gaz parfaits diffCrents sonc contenus dans deux recipients de m6:me volume V. Les deux gaz sont initialcment 3 Ia mCmc temperature et l'ensem· ble est parfaitement eaJorifuge (fig. 3).

Soit T, Ia tempCrature finale commune aux deux gaz. • Lc systCme est isoJC : .dU = &U, +L\U2 = C,, · CT t- T,)+Cv ·(Tt - T~) = O.

.

'

ial

Si, de plus, les gaz om mbne capacite thermique Cv1 = C v, = C v, il vie.nt

T,

~

T.

• Le volume otTtrt a chaque gu a double :

65 1 =

11 ·

2

R·ln( : ) = n · R · ln2

a$ 1 = tt · R ·ln(

J) :: n · R · ln 2.

2

Le systbne total est isoli:, d'oU : S, ; 6S; liS, +liS,= 2· n· R · ln 2>0. V~ntropie crete est positive pour l'opCration de mCiange irreversible.

I. Troisieme principe de Ia thermodynamique Dans les chapitres precedents, aprCs avoir dCfini I'Olergie interne U, l'enthalpie H) nous avons exprimC leurs variations .o.U et .6.H, sans jamais envisager de rHCrence permenant de calculer l'tnergie interne ou l'cnthalpie associCes a un etat d'tquilibre donne. Lcs fonctions d'Ctat C.nergie interne et enthalpie som dCfmies 3 une constante additi\•e pres. Dans ce cbapitrc, nous avons pu, de mbne, acceder aux variations .6S 'd e La fo nction d 'Ctat entrOpie. Cependant, le pbysicien Walther Nernst, en 1906, a permis de determiner l'entropie d'un Ctat d 'Cquilibrc donne en postulant le croisiemc principe: de Ia thermodynamique.

Troisi¢rnc principe de la thcrmodynamique Lorsq ue Ia temphature absolue d 'un corps p ur parfait tend vers 0 K. son entrOple cend \'ers une limite egalc :i 0 J . K-•. Une telle teftrencc n'cxistc que si le corps pur est stable 8 ccuc temperature. Dans ce cas, les a.tomes de solidc soot parfaitement ordonnes et le corps pur est cris tallist.

Remarque : !'utilisation d'une expression du cype

6S~1

=

(· Jo C · ~

pour

calculer l'entropie a T 1 (en urilis:mt Je troisie.me principe) n'est cohhtnte que si on considht que C varie avec T.


L' essentiel / Source de chaleur t"t thcnnoo;:tat

• Unt' sou.r«< de chaleur at UD S)"Stbnc fermt qui n'khanct de l'b\crak q~ par mansfcn thermtquc. • U n thfl'mo.tat at unc ~ de cbakur qui rntc i temp(rarut'C connantc.

./

Ocu.xi~me

prim: I~ de Ia thtnnod:ynamiquc

• Pour tout l)'lt~me ferme en avec Utlt source de chaleur, i1 exille u.oe fonction d'~an., not« S ct appeiCe entropJe~ grandeur cxcensive, tel1c q ue po ur tou rc tvolu tion infinitCsim.alc de cc systCmc :

dS 35, =

=as,+liS, = ~· . as, . •

~' Cl[ l'c:ntroplc: Cchangtt par lc systCmc ct 8Q. lc rransfcrt thcr•

mique re~u par lc JystCmc d e Ia part de Ia source d e chaleur de tcmpC:raturc

T,. SS.: est l'cntrople cft~e au cours d e l't\'Oiution infinjttiimale. EUe est teUe

que :

s( = 0 ; -pour unc i:\'Oiurion irrhcniblc:, sc- > 0. - pour unc i:\:'Oiution lh-a'llblc,

• Sous forme int~, Jc ckuxibne princ:i)x s'«rit pour ~ ~-olution entre u.o ~at A et ut1 ttac 8 :

AS: = S, + s•.

S, • [

•~· est l'entrop le ~changfe pule systUne au eoun de l't-volutioo

mise en ;cu. Sc est l'entroplc Cr~Ce au cours de J•Cvolution. El_lc C$1 tclle que : - pour une ~vo l ution reversib le, sc : 0 ; - pour une evolution irreversible, Sc> 0 .

• V cmropie t'exprime en joules par kelvin

a. K I).

./ ~~ludnn" rc!vcr~~lblcJ/irrC\'criiblcs

• Si l'~trOpie cr~«: Hl nulle, l'(volution est rf:\'ersible ; si eJie en positive1 ellc cs.t i~·cniblc . • l...es causes d'irrb<enibililt sont les forces de frouement,let k:ban,an thcnniques (la diffusion thC'nniquc), Ia dhcntc dam le vide n le ~lange de deux px (Ia dift\mon de particuks) .

./ S)'!itCmc b.ol~

• Un systtmc fcrm~ est bote lonqu'i1 n 'Cc.han&C' ni

milieu cxttrieur, nownmeru aucune

en~

mati~rc

ni

btef'~Pc •~ le

p:ar uansfert lhenniqu~, soit

~ . 0.

• L'cntropic ~chanaec s.. d 'un systCmc isolC est nuJle, d'oU d'ap ~ lc dcu.xiCm~ prind pe de Ia thermodynamique : OS! = S, i!J O. ./ Vnrlmlon d 'cntrOI)IC: d'un thc.nnostat Un thermostat rcscant ~ tcmpCraturc constantc, ses Cvoludons 110m reversibles.

Une variation d•entropie Clc!menlaire d•un lhermostal s•exprime :

dS• =

-~. '

.En iotCg:rant pour )'ensemble de revolution : AS,II

= - ~.

•

/ Jdentltes tbennodynam.iques o Um: variation d'Cnergie interne pe:ul s•exprimer en fonction du volume e t de rentropie, utiliste comme variable et associCe 3 la temptr:.uurc :

dU = - p·dV+T · dS . o De mC:me, une variation d'enthalple peut s'exprimer en fonction de l<1 pression et de l'cntropie, utilisCe comme variable cr associCe 3 Ia tcmpc!rnrurc: : dH = V·dp+T·dS. / EntrOpie d'un gou: pQrfa.h En variables T et V, elle s'exprimc sous Ia rorme :

...-

~.-

T0

C v•ln -

T"

VIJ +n • R · ln - .

VA

./ Dia.gramme entrupique:

Un diagramme cntropiquc prCsentc Jes courbc$ T(S) lon; des diffCrc:nte$ C:\-"Qiutions. Dans un tel diagramme, le rransfert thermique correspond 3 l'ain: sous Ia courbe associte it une evolution donne. . ./ Enoncioo; hi.!itoriques du second principc EnoncC de Clausius : I'C:nergie C:changC:.e par transfert the:rmique ne e pas spontanC:ment d'un corps froid a un oorps cbaud.

o

o

E:noncC de Thomson : un systeme en avec un seut tbetnlosrot 1\e peur, au cours d•un cycle foumir du tra\1aiL

/ Troit.iCme prlndpe de ln lhennodynrunique

ttmpfra.ture absolue d•un corps pur [end vets 0 K, son entropie tend vers une Limice egaleiiO J·K· ' . Lorsque Ia

Mise en ceuvre Methode

Comment calculer l'entropie creee tors de l 'evolution d'un systeme en avec un (ou plusieurs) thermostat(s) ? Soir un solide de capacite thermique donni:e. LorSqu•on le met au d'un thermostat, sa tcmpCrmurc tvolue cr aneim lc plus souveor Ia temperature du tbennosrat 1•etat final •

a

.... Savoir fa ire

-, r--------------------------1 0 0£-flDir le systl!me a.uqueJ on va appliquer Je deuxieme principe. 1

e Analyser si Je systeme est isole ou non. S'll n•est pas isole, calculer l'emropie tcbangfe.

~ ---- - -- - -- --- -- -----------d ee J

Copy nghteo r 1 nal

.... ·---------------------------, 1

e

Calculcr Ia \'l.ritrion d'entropic: du sysu~me en con.sidCrant une C\
I

•m~et~ci~~aum-tw-.

I

n n'esl m

~frat pas utile dt

I

I I I

thCuque. Dans le cas ou un i)"'tbnt est compose! de deux (ou p1u$ieun) SOUK)"Sttmes, e:tkuJer- la I variation d'mtrople pour cbaque partit tt pmser qu'unt foncuon d'~a:t at uot grandeur I exterui\"C (ou addatn'e). I

precise:r comment se d~roul~ Ct'ttt b-oluuon m~rsiblt h~-po- I

_____________ _

I I

I 0 .Deduirc des rUultats pnX:edems 1a creation d'enuopie.

...I e Analyser Its couses d'irm=ibilice.

-------

-+ Application

--~

On plong:c un morceau de cuiVl'"e de masse m = 50 g, initinlemc:m Q 20 °C, dnn!l un rCdpic:nt contenant une trfs g rande quantitl: d 'cau J00°C . A l'eun finn!, In tcm~mturc du morceau d e cuivre ett d e 1oo•c. OCtcrminc:r Ia crCation d 'c:nt.ropie lors de cettc evolution.

a

Dotmtl: Ia capac:irt thcrmiquc ma.ssique du cuivTe t o.. = 385 J. kg • • K •. Solution 0 l.e S)'!Ot~me cons:idC:rt e&l le bloc de cuiv~. l..c \'Oiume d'eau. suffisa.mment grand, jout It rOle de lhetlllO!tat.

• U I)"Stbn~ n'est pas as:oae. L'cntropic khanaft: K c::alcule pour l'b'Oiution fi.eiJc de l'etat m1rial i

s. = Or, pour Je cui~, i

p~ion

+

constantt :

c- ~.

l'~'tlt

final:

= - 65_.

6Q. = dH = nt ·
Q. = L\H = m · co.· (T1 Finalentent :

T,) .

s• • ..!.. . JsQ' = 9.! Tt T, S a fti • C'(:" •('l", - T ,) = 0*050X385 X(373 - 293)

•

1~

373

S, • +4t 12 J ·K-•.

e

Si on envisage une Cvolutton d'c:ntropie du cuiwc est :

dS =

~-ers:iblt

~

qui amene le cuivre de 293 K A 37J K, Ia "ariation

"'-..:

SQ_ = dH = '"
La remp&arure T, va.nable, at Ia temp¢rafU1"t du S)"Sttme mtl en IYtt u~ infinitC de thermosuu tUCCUJif• dont In tcmp&aturcs 5'Cdl.elonnc:nt de 29) K • 37) K.

J"'

dS _,. · co. dT ~ _ m ce. dT T => ~.. - ,., T OS • m · c-c11 •

In ~~~

= 0,050 x 385 x

In~!~

• + 4,64 J K

1 •

G L'enrropie c:rC:ee s'c:xp nmc par:

S, = 65-S, = +0,52J · K ' · 0 L'Cvolution eft irreversible, irrevers:ibililt d ue aux transferts Lhermiqucs d e J'cau vers le cuivre.

Hidden page

Caleuler Ia \'3ri.lltion d'entropie de l'tauJ l'c:ntropic: &bangCc: c:t l'c:ntropie crett Jon de cent ev(llution.

Donni-e: cap:acite thermique ml$$ique de l'eau '~

• 4J85J · kg- 1 · K - 1•

Ex."i1.8 Etude d'un cycle On considCre le cycle suivant com p¢ruun une iso~ rhenne AB, u:ne L$ochorc BC c:t une isobare CA, dCc:rit par une mole de gaz parfai1 dhuomiquc: (Y = I ,4 ).

Une mole de g:az p:trf:ait di1nomiquc ( y • 1,4) subit : a) une fh"'OiutiM iSOthennt i La tem p(:nnure T = 293 K, de Ia pression p, = 1 b:ar :i. Ia p~ssion P: = 2 bar ; b) une Eo\•olution isoc:hore de I'Cult p1 • I bar ; T 1 • 293 K il i'Ctat Pt = 2 bar. Calcule:r loa variation d'entropie du gu parfait dans chaque cas.

Ex. 15 Di tonta de Joule Thomson

pfbat l

2

Ex. 14 Evolutions d'un gaz parfait

On erwi.$age une di:tente de Jouh: Thom-son subic par unc: mole de g:az parfait monoatomique ( y = 1,33) de Ia prc:uion p, • 1, 5 bar 8 Ia p~ion p11 = I bar .

B

Calculcr Ia variation d'entropie du gaz. loB de cenc detente.

Ex. 16 Detente da Joule Gay·Lussac

... ....

oL-~------~~--- Vtl) 16$

Calculer la variation d 'mtropie du ga.z tors des trois Cvolutions e.nvis:aget$.

E£11 Echauffement d'un gaz au d'un tllennostat Un r«ipient fenne dont les pa.rois, ri,pd.Q, &Ont pcraux tnnsfem thcrmiquc:s contient un gaz padait diatomique ( y = 1,4) Al'tta~ A (p~~. = 1,00 bar ; v~~. = 1,00 L; T ... s 293 1\). On placccc: recipient dans unc: Ctuve ponee a 13 temperature T 11 = 333 K jU5
Caleuler Ia variation d ·entropic: du g:u., Ia w riation d ' enuopie dt l'ttU\"e, i.tl marion d'c:ntropic.

b:'11 Expression ginerale de Ia variation d'entropie d'un gaz parfait " moles de gaz parfait (yi:tant suppose eonnu) subis~ sen1 une tvolution d'un ~an A i un Ctat B. &primer Ia \'ariarion d' entropie de ce g:u parfait : a) en variables T c:t V ; b) en variables T ct p ; <:) en v.riables p et V.

EX.':I3 Variation d'entropie d'un gaz parfait pour une evolution isochore Exprimer puis caleuler numeri(luement Ia variation d 'cntropie d'un gaz parfait monoatomiquc: (y = 1,33) ttltft: :

- I'Ctt;t A(p~~. • l ,OObar o V~~. • l ,OOL, T,... = 293 K), - c:t t•ew B {p8 = 1,00 bar, V8 = 2,00 L, T .).

Un rtcipient A, i 1)3t'Ois adiab:ttiques, de V()lume V,. • I L,contientungazparf3itdiatomiquc: (·r= 1,4 ) sous p = 2 b3r i1 Ia temperature T = 298 K. On lc: met en communic3rion, gricc 3 un robinet, a\'eC un rtclpient B,de volume V8 • 5 L, parfaitement \ide ct dom lcs parois som tgalemem calorifuge.t$. Calculc:r Ia creation d'cntropie 3u cours de ttne detente.

Niveau 3 Ex. 11 Melange de deux gaz parfaits Un cylindre, parfaitc:mcnt calorifu.gC, de volume: total I 0 L est $tpart en deux c:ompartiments ( I} et (2} de mCmc: volume V = 5 L par une paroi escamotablc:. Initialement, les dew: compartimentJ oontiennent deux gaz. parf3its monoatomiques difT&-ent$ ('Y = 1,33) Ia mC:mc: tem..,Crature T • 298 K . Lc gaz contc:nu dans lc: compani.mem ( I) en Ala pression p 1 = I bllr , cclui du rCcipicnt (2) est i Ia pression p 2 = 2 bar. On supprimc: Ia paroi : les deux gaz sc metangcm. LQrsque l'«!uilibrc est Cnabll. dCtcrminer :

a

a) la 1eml)trature T' tt la pression p' li I'Ct·at final;

b) les press.:iont p.artielles de$ deux p~; c) Ia variati
EX. 11 M61ange de deux fractions d'un mime gaz parfait Deux rtcipienu de mCmc volume V • I L contiennc:m un m&ne g:u. parfait diatomique ( y = 1,4) i Ia mCme u::mpCrature T • .300 K . U n d es r«ipients est Ia pression p. = 1, 1 bar, l'aum a 13 pression P1 = 0,9 bar.

a

On ouvn: un peu k robioct R entre lcs deux Jic~nts n l'koulc.mc:n• du pz a11ris ~~. 1)

Oiumuner

a I'&at titW b. tanphuwc: T

· ct b

prnwon , .

2) Cak\lkr Ia ctiauon d 'cotropte k7n de et m~lance.

Ex. 19 Evolutions adiabotiques Un C)'lindre parfa.itemem calorif'ugC., muni d'un ptnon mobile t.llntl froncmcnt, (:g<demcnt eulorifug~, com;em un Jill parfah diatomique (y = 1,4 ).

Ex. 2D Evolution odiobatiquo ot evolution isotherm• Un riapicnt l*f••tunmt c:alorifuci a~ sq,.ri ft'l dc:ux computJ.mc:ntt. ( I) tt (2) de: mdnc: Wllumc: v = l L. La ckwl comraMimmts peuvc:m c:ommuniquer par un onficc: mum d 'un robinct.

lnitialemcnt, lc robinet e.- fe:rrM, le companiment (I) contiem un -~ P'rflllt diatomiquc (y = 1,4) sous Ia pression p = I bar et U Ia 1·emptraru~ T = 298 K, le oompartimcnt (2) ell vide. 1) La p.aroi entre les deux rkipiems est suppos&: par.. rai u~mtru c:alorifu&fe.

lnaualcmc:nt, La pro.sion du gu a l'mtcncur du eybndre ell p = 0,5 bar. La prtt.S.i011 extC:r.cure esl p.., • 2p • I b3r.

I) On :~mtnc: lc: gaz de: fa~on rrnnublc it. l11o prnfion p' • , _ • 2p • I bar. a) Calculcr le volume V ' ct ~ tcmpertturt T' AI'Cnn final. b) Cakuter 1:~ crtarion d'cnt:ropic. 2) En puunt du m.Cme Cut miual que prCcCdcmmmt. co lb:l.ncSoonM k piston non~ reqwlabft s'Cublir. a ) CakukrkYOiwm v · nlacemptraNftT .. •t·cw final b) C.laakr Ia ai:•rion d'c:nuop1c.

On ouvre lc robinet, puis on It rc:Cerme des qiK I'Cqutbbrc: mkaniquc: esc attcinL On ad..met que lt pz mtant dant It co~l ( I ) subit um dnmce ...S.bctdqut ~bk. a ) I:>Ctennmc:r •l'cqu.•tilm IDC'C'atuQ\k b. prcsgon p· rommUM aux deux eompanimc:nts, aUW qut let tc:mp(nt\ltC$ T '1 ct T i resp«th-a. On note N ' 1 c:t n ': I~ quanma de m1tit:re rn~u daM 1~ compartimeots ( I) e-t (2).

b) Calculc:r )a ertatl<>n d'c:nt.ropie s~ Jon de <;ettc tvolution. 2) Reprc.ndre Ia qucttion prtcerlCT'Itc: en supposant Ia paroi entre les deux compartimems permC:ablc: aux. &:1\:anges tbermiquC'I. a) O.:t~ Ia pru&IOn p" tiltS tempttaru.rcs T~1

.:cT ·:· b) Clkukt b crbtaon d' cnuopic

Sc.. kln dt ttttc

~'OiubOO.

3) Compan::r

tes creauons

d'cnuoptc dans cbaquc:

~Condu~.

Indications titib:ser lc prmliCI' pnnc:•pc pour c:alcukr T '. [)cux

_ " " " _ _ _ ckl

ooo d'cnuopc :

ConMdcrer 1•C1U'Iembk ~fer + cakJnrnt'tR + caul qus ffl un S)"ltcme rsole.

-son l'c::x:prn1100 en '-.mblcsT,V, -son l'c:xprnuon en 1.-antblC'I T , p.

U:lO Ap~•

In calculs., vt-rifier qut:

.1-S~.......

• 0.

6::1

Ei:2lll

b) A partir de: Ia rdarion dbnonUtt da.n.lle coun.. lc ch.anf"JM'f't de ftri.ablc:s s'effc«ue m uHhYnl ll d&.fftm\oc:IIC' Joc;ariduniquc: de: , V • • R T • d d\" dT tort

1· v • y·

Seoul lt en mu.nt dan.~ (I) subit uoe C,.-oJutJon ~bque RYCntblc La quanutC de rna:DCrc ~ wud.a.m(2)s'cnckdwctn~tla~

deb-

• Solu tions des exerczces

Q.C.M. Exercice 1 I) Sach.ant que AS = S. + Sc avec

$~

> 0, il ,tjent L\S > S~ et !'affirmation est done fausse.

2) C'est tout 3 fait possible. La seule certitude conccrne Ia cr~tion d'emropie (S< ii:t 0) et pas AS. 3) Vrai. Si un systCmc est isoiC, = 0 ct 6$ = S, car l'entropie tchangCe est nulle. Comme Sc ;;t 0, l'enuopie d'un systeme isoJe ne pcut qu':mgmc.ntcr.

s.

Exercice 2 1) Vrai, mf!me si le travaiJ et le transfert thermiquc sont de signes co ntraircs. 2) Vrai, puisque pour un cycle, L\Uqc~c = \V + Q = 0 =:) I W I = I Q 1. 3) Faux. II est nCcessairc qu'unc ~volurion soit adiabatiquc et reversible pour Ctr'C isentropique. 4) Vrai, cllc est adiabatiquc ct reversible.

Niveau 1 Exercice 3 Ces affirmations sont tout 3 fait en accord avec Je premier principc de Ia thermodynamiquc : il y a bien conservation de J'energie. En revanche, l'fvolution envis.agee implique un U'ansfen thermique spontane du corps , froid • (POltmos-phtre) vers le corps •chaud • (l'eau). ce qui conuedit l't:nonce historique de Clausius.

Exercice 4 Dans !'experience de JouJe, J'echauffement de l'c-au est dU a un apport d'energie par le travail des forces de froctements des palenes dans l'eau. U n'y a pas d'tcllange thermique avec un lhennostat : Q~ • 0 d'oU S~ ~ 0.

Exercice 5

·.y:

On ne demande ici que Ia variation d'enttopie. soit \S. a calculer pour une livolunon rtwers1ble (imaginairel

La variation d'entropie de l'eau St' calcule en imaginant une evolution reversible entre ces mCmes trots (com~ct avec une infinite d e thermos-cars de temperarures comprises enue 20 oc et 60 °C ) : i\S

....

:

JT'm·cT ·dT : T J1T,·, ~ -:

'I',

~

as,...

·r m • c · ln ....! : 0 ,4 X 4185 X In 333 • T1 293

= 214,2 J . K -'.

Exercice 6

·.y:

rentrop1e 9changlie correspond au d'un seul thermostat (itvolubon rliell.el, Ia vauatiOn d·enrropte au conlt~CI avec une infiMi de thermostats

•

L'cnttopi~ CchangC:c: s'&:rit : Sc = JT' ~T' T.

'

avec 5Q. =m·Cc· dT et T,= 280K, Tr : 291K. U tempCraturc du thermostat est T , = 29 1 K, CQnstante.

m · c, · (1~- T,)

20 · I0 -1 ><4185 >< (291 -280) 29t = 3,t64 J . K-•. • La variation d'entropie de l'eau s'exprime sous Ia forme : 5

~•

On dCdujt:

=

T.

st

L\S

T eranc maimenant varlable de t•erat initial

m ·c~ ·dT

T,

291 = m • c · ln -

= 3,225) · K-•. 280 = 6,1 · 10-1 J · K- 1 > 0 pour une evolution irreversible par uansfen

L\S =

• Finale1nenc S c =M thcrmique.

f""

Tr m · t ·dT

T f ill'etat final. =

s.

""'

T

•

Exercice 7

-,y:

Avant de calculer la variat1on d"entropJe, il fa ttl determmer fetat

• Le melange s'effectue qucment i$OIC.

a pression constamc d'oU Q ~ = ~ L\H :;:: 0:;;:

On deduit :

·~t):

f1na~ natamment Ia temperature f1nale T,; on

coMidllte que pour ce rnt6mo . itol6, il n·v a p.a.s d·&chenoe.s avec l'uttnet~r.

T, = T, +T, = 293K 2

= 0 puisquc l'cnscmble est thermi-

m1 · c~ · ( T,- T1 )+ m 2 · e~·( T,- T1 ) .

(20 °C).

le systtme iltant •sol&. fa cr6at1on d'entrOp•e est 1$Sttni1il& t la variation d' t-ntrop1& .l.S

• La variation d'cntropie du systC.me est Ia somme des variations d 'emropie des deux masses d'eau :

,.

,.

•o _

S

S _

~ - ll,+tl. z-

T

J' m · c,T · dT + J' m~·c,T ·dT 1

T•

T1

Tr

1 llS = m 1 · C, ·ln-+m, · c~ ·lnT, Ti

283 283 llS . t x4 t 8sxtnm + J x 4t85 x tn m

llS = 5,22 }·K-•. • Le systCmc Ctant isoiC, S, = AS =+ 5,22 J . K· 1 > o.

L'Cvolution est irreversible par diffusion de moiCcules d'eau lors du melange.

Exercice 8

·~t): le systeme ut isoh~ . il n·y a pas Q'echange avec r exterieut. Notamment. apress1on constante. 0 ,. = 0 et 0 , = aH

• Lc melange s'effectue 3 pression constante : ment isoiC:. L\H

Q,.

= ali = 0 puisque l'ensemble est the-rmique·

=0 = ( m 1 · Cc +C ) ·(T, - T, ) + m~·c..., · (T, -T1 )

-co•~•~•~·•·~•~•~.co~.:.~;: •.,.;;;;••~.•~,~...;;;-;:.~.~..~.~...;,,;;;,..,;;.;v.~•~•;;,;q~..::;---------

- GQi:iYr:ighi·ed material

Tf

(m 1

:;:

•

c, +C)· T , + m 2 • C~~t · T 1 m 1 • c, + C + m1 • c~~

(0,2 x 4185 + 150)x 293 + 0,1 x452 x353 0,2x4185+ 150+452 x0,1

•

T, = 295,6 K.

·.t): l'enS:tmble est isore done S, • 0 l"entro.,te. foncbon d'61at. est une g1ancleur extensiVe Variation de l'ensemble {eau + calorimCtrc} : tJ.s

tJ.S , •

_

' -

IT( m, · c, +C)· dT _ 1

T

T,

(0,200 x 4185 +150)x ln 2~gj0

-

• + 8,81J · K· •.

Variation d'entropie du fer :

tJ.S ' -

-

IT'"'t. T

Cv... dT -

T,

-

2 6 tJ.S, = 0, 100 x 452 x In ;;; • -8,02 J . K·•. L'ensemble {fer+ eau + calorimetre) tunt isole, Sc :;;: L\5 1 + &S"t

= + 0, 79 J • K - 1 > 0 pour unt evo-

lution irrCversiblc. II y a irrtversibili[e par d iffusion thermique.

Niveau 2 Exercice 9

·.t;: le lac resae iltemperature constante et joue le riile de thermostat. La variation d'encropie de l'eau versee est :

_ tJ.S -

IT, oQ.., _ T, 2 7a T - m · c · In - = I x4185xln , = -lSS,S J · K·•. '

T,

'li

_,33

L'entropie ¢changb! est :

s.. .

I

T· dT

T" m ·C

T,

<

avec T, = 278 K la temperalure du lac

m · c, · (T, - T, ) = I x 4185 x(278- 333) • _ 828 OJ . K· • T 278 ' .

-.y:

•

a

L'entrop1e l!chang(le est opposh Ia vanatiOn d'enuop1e du toe.

La creation d'emropie est : S~

=6S-S~ =+ 72,5 J · K'"

1

>0 .

L'tvolurion est irri:\·crsible par diffusion lhermique.

Exercice 10

~

11 ne s·agit p.a.s de catcuter tci une crhtion d'entropie mais seutement de dtlerminer tes variation$
S, fonCbon d•6tal,. tors des d1Hfrentes 8volut10ns.

• E,•olutionAB isothcrme: T" = T 11 La relation gC:nCrale donnant la variation d'entropie d'un gaz parfait se simplifie sous Ia forme : T6

V8 V8 + n · R · ln - = , · R · In -

dS"11 = Cv · In -

T"

dS! =

v,.

VA

1 X 8,32 x ln~~:

= - ll,SIJ · K"1 •

• Evolution B C lsochore: V8 = Vc La relation generate as~ = Cv ·In~:

+ 11 · R · In~:

se simplifie sous Ia forme:

dS~ = Cv·ln T c = , . R. 10 T c = l x 8 ,32 x ln 250, 2

T8

6S~

y- 1

T8

1,4 - 1

1000

= -28,82 J · K-• .

• .Evoludon CA isobare L'utilisation de Pexpres.c;ion gC:nCrale

L\S~ = C v · In ~+ , · R · ln ~;

conduit a :

aS~= n · R·In T,.+ ,·R · Ln V,. = lx8,32·1n IOOO+I x 8,32 X In 166 Y- l

Tc

Vc

1,4 - 1

250,2

41 ,6

AS~ = +40,33J·K-•.

On vhifie q ue : M

= 6S!

+ dS~ + dS~ = 0 J · K -•,

Exercice 11

·.r.: 11 est possible de earculer s .. r enuop•e tchangee. eo eonsid(Hant que S~ = ·y d'Euud•er u.n sysu!me {gaz etuvel. tSolil. pour lequel .AS =- S

ilS,. ... mais il est P-!'eferabre

+

Le nk:ipient Ctant rigide, l'tvolution est isochore. On deduit, pour Je gaz, ge.nerale :

L\SIP<'

, .R

,~$

1

PA .vA

T"

= '(- 1 · Ln T" - = · - - · In- = T,. y-1 TA

0,1092

a partir de Ia relation

J · K-• ,

• L'Ctuvc rcstc 3 Ia tempCrature T~ = T 6 = 333 K. Le gaz rc,oit un transfert thermique :

Q

~

Pour calculer .1S-

, .R

= 6U = C v · (T, - T ,) = y- - 1 · (T, - T,).

, •I Iaut cons•(!i!rer le uans1en therm1qul't r&!jU par l'e-tuve, oppose il ceiUJ·CI.

L'Ctuve rewit done un transfcrt thcrmiquc -Q = -

6Stt._ =

:_g = _ n · R . Tt~- T,. T~

y- 1

11 •

R · (T 0

y- 1

-

T ") d 'oU sa vari.ation d'cntropie:

= _ p,.·VA.__!_. T II- TA = -0,102S J · K -' .

T0

TA

y- I

T8

tO-~

J · K- 1 > 0 .

• L'ensemble {gaz + eruve} etant isote :

Sc = 65 •..,+ .6.5~.."' = + 6,7 · II y a

im~·\'ersibilitc':

par transfert thermique.

Exercice 12

-J:;: bpnmef dS M fo~cllon des vanablu dbu6es. pu1-S mt&gret. -c-opynghted matenal

t..S,.8

En incegrant : b)

1 T, , + In -V8 ] . = 11 • R · [ y--J• In.r,. v,.

Apanirde !'equatio n d'C:tat du gaz parfait p · V et en denvanc; + ~ = ~· On repone

= n · R · T , on tire lnp + ln V = In (n · R) + In T ,

C:: dans !'expression de dS precedeme :

dS = u · R. dp + n • R . dV + 11 • R. dV y- l

dS

py- IV

V

= n·R.dp+u·R · y.dV = rr · R· [~ +y · dV] y- 1

p

y- 1

V

p

y- 1

V

u · R ( ln -Ps +y · ln -V11] . "= --· y- 1 PA v,.

tl.S.,

c) On rorte maintcnam

d:

dans !'expression initiate de dS :

dS = n·RdT +n · R dT_,.Rdp y- 1

T

T

p

dS = n · R · _L . dT -n · Rdp = n·R· [ - ' - · dT _ dpl y- I

T

y- I

p

a S•A

=

T

p

v . JnT• p8 ]. . [ .....L... n· R· - - Jn y- 1 T,. p,.

Exercice 13 D est possible d 'utiliser Ia relation genetale donnant Ia \'
T

y- 1

y· R . dT = as!:: , · y· R . In Tu . y- 1 T y- 1 T,

=> dS : n ·

n. R = p,. · v,. T.

{loi des gaz parfaits)

D 'autre part :

On dCduit :

S"

(}A =

p. ·

v. · (-y- ·) l nT-8

TA

Y- 1

T"

1•33 IO'x JO-• l2=095J·K-' 293 x l,33 - l x n ' · Exercice 14 La relation genC.ralc d onnant La variation d'cntropic d'un gaz parfait c.n variablcsT ctV s'Ccrit :

T8 V8 +n · R · ln - . T ,.. V,.

C v· ln -

a ) v evotution i.hant isotherme :

L\S!

On deduit:

()$~

= l X 8,32 X In

~

= - S, 76 J· K •1 .

b) L'b.
T

8 = C"· lnT"

L\S! 6 App/i(;atUm num8ri"U6 X ~I . ..,. : 65, = 1,4-

1

8

8 32 X

~

R y- 1

,.

T 11 T"

- - · ln -

= 11 • R , Ln Pu . y- I

PA

In 2 -- 14 ' 4 J · K-1 .

II ne s'agitque du cakul d'une vartat1on d'entropte etsans atrtre pr6cision. il n'est pas dernandll rentrOpi8 cr66e.

Exercice 15

-."r<:.: ·y

On connell le variatlon de pression et on seit que Test constante. IJtiliser l'ell!prenion de l'entropie en variables Tetp.

La detente de joule Thomson est a enthalpie constance cl comme pour un gaz parfait, l'enthalpie ne dcn d q ue de Ia tc-m~rature, o n d eduit :

6T = T 8

-

T, = 0.

En utilisant !'exp ression de Ia variation d 'emhalpie du gaz parfait en varia blesT et p, il \ient:

AS! = n·R ·[~· In T 6 - ln P!l = - n · R· In p" y- 1 TA p.J PA

AS~ =

- I X 8,~2 X

In~ = + 3,37 J· K •1 • 1,)

Lesysu!.meCtant isote, S, = 0= S( = 6S! = + 3,37 j · K-' >0. La diffusion de matiere sous l'effet d'une difi'Crence de pression explique l'irrtversibilitC de I'Cvo-Luti<m.

Exercice 16 Lon d'une d etente d e joule Gay-L ussac:, l'tnergie interne reste constame: 6U ;;;; 0, et pour un gazparfait,&T = o. La variation d'entropic du gaz parfait est idcntique 3 c~C.IIc d 'une dCtcntc rCvcrsiblc entre les mCmes Ctats. O n simplifie Ia rdation genCrale donnant la variation d' entropie e n variab les T c-t V : a$ = n·R·In V~~.+Vn = p · VA· In V~~.+Vn

VA

T

VA

•S _ 2 · 10'x i · IO-• I 1 +5 _ 120J · K· ' 298 x nl - ' '

u-

-.0 : On applique le deull!iime pri~cipe au svsteme ccwnprenant res dtuK t6ciprents etItgu parhtrt ¥

un tel srst•m• est

ISOhi.

Ctam isoiC, l'enuopie Cc:hangCe est nulle : St = 0 . On deduit: s( = as =+ 1,2-o1. K -• > o. U y a iniversibilite par diffusion de matiere dans le vide.

Le systeme

~ p-t +recipients~

Chapltte 4 : Oe-ulU&me pnr.clpe de l.a fh.etMOdynamiqoe

Hidden page

p1 + V

p 1 +V _ p' • 2V d' . .

R · T + R · T- R · T

ou .

p' = ~ = lbar .

2

2) La \'ar iation de l'enU'Opie de chacune des fractions de gaz s'obtiem en en\risagcant unc C\o"'iution reversible jusqu'au mC.m e Ctat final : ::. 11 1 ·

2V

R · Iny

·V = n 1 · R · ln 2 = Pt - · ln2 T

2V

= n1 · R · InV =

=

.. ~

~.oul

p,· V n 2 ·R· ln2 = 'T"" · ln2 .

= (p,+ p.1)· V_

T

1n 2

= (1, 1+ 0,9) · 10' x i · IO ·" xr

n2

300

=

0,46 ) · K '·

L'cnsemblc C:tant isoiC:, l'entrop ie Cchangbc: est nullc car :

s¢=as,.,,.,.= + o.46 J . K-• > o. II y a irrtversibilite par diffusion de panicules, par melange de moiCculcs, b ien que cellcs-ci

soient des molCculcs d'un mCme gaz..

~

le fa•t qu'd s'ag.sse de moUtcules de d&UI< gaz d•ff6rents ou de mollicules lf'un m4me gaz conduit au mfme

reisonnement et au mime type de rbultat.

Exercice 19 I) a) La compression du g:az parfait est rC\.·crsible; on peut utiliser les lois de l,Japlace:

2p · (V')T = P·

V1 ~ V' = V ·( ~ )~ = 0,61 L .

La loi des gaz parfailS permet d'«'rirc (conservation de Ia matiCrc) :

v· .e.= · 298x-'061 x 1- = 363 K . =T·V p I 0,5 v evotution esr adiabarique ec reve-rsible done isem:ropique : as = 0. Le gaz n'echange T'

b)

pas

d'Cn ergic par transfcrt thcrmique : l'entrQpie ~changCc est nullc. La etiaticm d 'cntropic csr done nulle pour ccue evolution reversible. 2) a) Us lois de Laplace ne sont plus applicables> l'&volution est irreversible. /}. las lois de Laplace flt sorn apphcables qu·a une evolution adiaballque.teve-rsible du gaz parfait

VCvolution Ctant toujours adia batique : LIU

=w=

,..

-L p~, · dV = 2p · (V-V ").

D'uncautrefawn: 6U = Cv · 6T = rr · R · i\T = 2 e· V"-p·V . y-1

y- 1

L'egalite 2p · (V - V") = 2 P· v · - e · v conduit a : y- I

v - .2Y - I .v. zx t ,4- 1 . 1 064 L 2y 2xl,4 = ' · Ond

v· ··

o 64

1

= T · v · 'J; = 298x-'] x 0 , 5 = 381 K .

b) L'entropie creee est egale 3 1a variation d'entropie du gaz (l'entropie t-changbe: est nulle).

'C'opynghted matenal

Hidden page

La relation AU

~;;

0 conduit alors a ! n ) · T," + ~ · T~ .. = (n, + n1 ) • T T<' ; T 2 " = T = 298 K .

Ou obticnt Cgalement p..

= ~ : O,S bar, comme p~tdemmtnt.

b) E.n appliquant ces rl!sultats 8 l'expres."Sion de La variation d'entropie, il vienc, puisque le systb:ne global est rou;ours isolt :

AS-= .6S,"+.6.S,·

= - n, · R · Int:: - n 2 · R · Ine.:: p p

S" ; 65" = - n·R·Inp" = p · VIn2 ' P T S," = I · I0' ~~ · IO '' · In2 • 0,233 J · K-•.

2

3) S,"" > s,·, l'tvolution (2) est plus •irrevers-ible t que t•evolution ( 1). En etfet, si on laisse, apres l't~olution de Ia premiere question, les uansferts tbcrmiqucs s'effectucr entre les deux cornpa:rtime:ntS,Ia reropCrarure finit pa_r s~uniformiscr. L'Cvolurion de I'Ct:at {p*, v,·, Vl*) 3 l'Ctat (p'", V, '" • V.( ) est done une Cvolution irreversible, ~e qui correspond bic.n ii s~-- s<· > 0.

R

A1achinesthernniques dithermes ln~roduction

Unc machine thcrmique est un dispositif destine 3 reaHser des u ansfens d'energle. Un fl.uide therm.ique y dCcrit un cycle de transformations en Cchangeant de L'Cnergie, par uansfert l.hermique, avec une ou plusieurs sources. L'enonce de Thomson d u deuxi~me principc de Ia thermodynamique pc-nnct de montrcr (voir le chapitre 4) qu'une machine the.r mique en avec une seule source (appelee machine monotherm.e) ne peur effectivement fournir du travail : le travail est oCcessairement effectivemem re~u (W > 0 ) . Pour un tel cycle monotherme, llUqdr = W + Q = 0 done le transfert thermique re<;U est negatif (Q < 0 ) .

U nc tcllc machine monotherme peut fonctionner e n reccvant ctfcctivemcnt du travaiJ ct en fournissant effcctivcmcnt de l'Cncrgic par cransfcrt thcrmique. Elle est sans intCret pratique. Dans ce chapitre, on considCre des machines dithermes pour lesquelles le ftuide thermique constitue uo systt!me fenne. Les diffCrents modes de fo nc[ionnement sont le moteur thermique, le refrigc!:rsteur et Ia pompe a chaleur.

Plan du chapitre 5 A Gt nerali

~ :tur f&s

mach•nes dithennes •.. .... .•.. .. ,., .•••... ,, ..••.. , .. , .••.. ,., ...•.. .. , 140

8 Moteur therm1que d1thermo .......... ....... .......... ... ..... .... ........ .. ................ .. 14 1

C. Refngerateur et pornpe a chateur d1thermes,, ..•. . ,,,, .•••.. ••• , .•••. , .. ,, .............. ,, 143 0 Sources de temperatures variables. ..•.••.• .....•. ........•.•.... ...........••••• .....••.. ... 146

E Un tJCemple de cycle reel .Ia moteur • explosion ......... ................ ..

u

. .. . . . . . . . .

147

;\tetJ,odi!s

L'c$$entic1; mise en
Copyngh

cri 31

A . Gem!ralites sur les machines dithermes A.l. Fonctionnement des machines thermiques dithermes

*·"dffitt.l·' ' Une machine thermlque est un dispositif dans lcqucl un fluidc dCcdt uo cycle de transformations.

Une machine: thc:rmiquc dithcrme .!change de lhermique, avec deux sources de chaleur.

l '~nerg:ie,

par transfert

Ces deux sources, appelees source froide et source c:haude, sont aux temperatures respectives T r et T~ telles q ue T r < T , . U fluid e d ecr ivant le cycle rer;oit les transfercs thermiques Q r et ~ de Ia part des sources, et re~oit dans le meme temps un tra\'ail W.

A.2. L'inegalite de Clausius ['our un cycle : ll U cy.:11 = \VI + Q r +
Dans le cas oU tes sources de chaleur sont des thermostats de temperatures cons tames T, et T~ ,l'entropie « hangCe lors du q•cle s'Ccrit : 1. Les ~l'ft{lttttures T, et T, sont ici $Vppos8• s coi\$Wites. Nous 8tudierons le us de sources del t(lmp6ratures Vllfiabltn fU paragraph• D.

2, Dans le ce:soU le nombte de SOUttn est suptn.~.~~ a deu~~;, Ia rel.ation de Clausius$'eJll)rime sous le forme genHalis!e :

:E~ ~ o. ' '

S :: Q~+ Qr l t T t T, . En appliquant le deuxil!me principe de Ia thermodynam.ique : 6 St)'dr = 0 = S~ + S, avet S, ii!' 0.

On dCduit :

lnegolite de Clausius Pour une machine tbermique dithcrmc, les ec.hangcs d'Cne.rgie par rransfert thermique sont tels que : Qc + Qf l li O Ol T c Tt '

Si le cycle est dtcric de facon re,·enible, on a :

Q<+ Q, = T t T,

o.

A.3. Classification des machines dithermes Parmi les machines thermiques, o n distingue : - les moteurs thermiques qui fournisscnt effectivement du travail, c'est-3dire que le travail recu est tel que W < 0 ; - lcs rCfrigi:rateurs Cl les pompes a chaleur qui reCQiVCnt cffectivement du travail, c'esc-8-dire que le travail t«"u est tel qu e W > 0.

L'etlicacite d'une machine lherntique, noree <, est le rapport (en .rueur absotue) d u transfcn d 'Cnergic utile au uansfen d'i:nergic denst pour le fonctionnemc:n t.

I

Vc:fficacit~ e:u done unc grandeur positive, qui di:pcnd de Ia nature de La mac-hint thermiqut.

A.4. Le cycle de Carnot 3. Sadl Carnot (1796-18321. pflysic:itn fra~e is. iWdie iNdtux ph'ic:ipes
Le cycle de CarnotJ est un cyc-le te..·ersible dCcrit par une machine ditherme en 8\'C:C deux thermo!; tats. II comportc: : - deux C\rolutions isothc.rmcs aux ccmpC.ratures T 1 et T(, - deux Cvolutions adiabariques ~ .

pcbidoent de Ia Ripublique. t. ln
Figure 1 Re~rhentation d'un cycle

Figure 2

Representation d'un cycle de Carnot en diagramme entropique.

de Camot

en c:oordonnees de Clapeyron.

•

T

'· '• L-----------~---v I

B

c

A

0

L----------------S

I·M@11!.irC1 Un cyclt est moteur lorsque W < 0.

Un cycle moteur est decrit dans le sens des aiguilles d "une montre en

coordonnees de Clapeyron t:l tn diagramme tmropique.

l• [email protected] Un cycle est resistant lorsque W > 0 . Un cycle re!:iistant est d6crit dans le scn s trigonomCtriquc en coordonnees d e Clapeyron et tn diagrammt enuopiqut.

B. Moteur thermique ditherme B .l. Fonctionnement Un motcur thcnniquc dithcrmc ( · 3 est unc: machine the:nnique qui: - fo umit d Tet:ti\'tment un travail (W < 0), - re(:oil etrecrivement un uansfert thennique d 'une source chaude (Qc > 0 ), - fournit efi:C:ctivcrne.m un tr.~nsfc.rt lhermique il une source froide ( Q1 < 0 ).

Cot~r~

L~s

figurtt 3 echanges d' energie d'un moteur thermiqua ditherme.

IWI •

extirieur

source froide

8.2. Efficacite thermodynamique Pour un moteur, I'Cncrgie utile est le travail. L'Cncrgie densCc est le transfert thermique re~ de La pan de Ia source chaude. On en dt:duh l'expn:ssion de l'efficaciu~ d'un moteur thermique :

l e= -~-1 A partir du premier principe, on deduit : \V

= - Q, - Q,

d 'oU l'expression de l'efficacite: ' = - \V = Q, + Q, = I + Q,

Qt Q., Q., ' Lorsque lcs sources de chaleur sont des thermostats, le deuxiCme principe (represent
Q., + Qr < 0 et a Qt < - T , .

Tc T,

Q(

Tc

On dCduit :

~ ~ L'egalite (soit ~ = 1 - ~~ ) correspond a un cycle reversible compose de deux

' Tr et T., et de deux adiabatiques. Vefficadtt: est isothermes de templ:ratu~s ainsi maxirnale lorsque le moteur thermique fonctionne de facon reversible suivanc un cycle de C.arnot. TbCorCme d e Ca.rno t re13tif au m o tcu.r thermique L'efficadtt: d'un moteur thermique est maximale lo r!lquc le cycle cstdecrit de facon te\'et sible. l.a valeur de l'cfficadtC maximale, appciCe ctlicaciu! de Carno t ec , nc depend que des tt mphaturtS Tc et T , des thermostats : 5. Cottt relation nous montHl qu~ refl\.(acit8 d'unmoteur lflermiqu• esatoujours inferieure 6 1. resuttat loglque puisque IW I< 0, .

tc

-= 1 - T~, ~.

Tous le:s moreun tbermiques dithermes rC.versibles o nt ainsi Ia mCme efficacite de Carnot.


Applicat ion 1

!\toteur therm.ique ri:venible

Un moteur ditherme reversible fonctionne entre: deux thermostats, sources chaude et fro idc, de temperatures respectives Tc = 740 K et T , = 300 K. I. Calculer J'dficacit~ de cc moteur. 2. Lt motcur ttudiC: fournit un travail de I 600 joules par secondc. Quelle est Ia puissance thermique pnHevee a Ia source chaude de temperature T , ? Solu'fion

1. L'cfficacitC d'un moteur thermique ditherme reversible est l'efficacitt! de Carnot :

ec= l -~> Applicatiott mmtirique : e.,

= I - 300 = 0,595. 740

2. L'efficacite est initialement dCfinie par e =

- ~> queUe que soit Ia narurt du moteur therrnique

ditherme. Dans le cas CtudiC, l'Cn crgie recue par seoondc sous forme de trnvaiJ est - 1600 J, d'oU 1'6\ergie lhermique recue par seconde de Ia part de Ia source chaude :

w= - - 1600 =269 1W Q = -~

e 0 ,595 · La puissance thermiquc pr~levCc 3 Ia source chaude est done de 2 691 W:

C. Refrigerateur et pompe dithermes

a chaleur

C. l. Fonctionnement l·hffithi.!.ij Un rCfrig-Cratcur et une pompe a chaleur dithermes (fls. 4 sont des machines therrniques qui : - te!;oivem effecti"-emcm du cravail (W > 0), - fou rnissent cffecrivcment un trnosfert therm.ique a une source chaudc (Q,< 0), - retoivenl effectivement un transferl thermique d'une source froide (Q,> 0). Figure •

Principe de fMttionnement du r!frig6rateur et de Ia pompe 6 chaleur. sourc-e cftaude

w

+

ex.tirit'ur

CopyrigliW!f

i;ll

C.2. Effic acite thermodynamique

&. On tappelle que reffieacit!

Le p rincipe physique de fonctionnemem de ces deux machines thermiques est identique mais le but recherche n'cst pas lc mCmc. Dans lcs deux cas, I'Cnergic dcnsCe est le tnwail W mais I'Cn e.rgie utile ct done l'effieacitt thennodynamiq uc 6 diffhent.

d'un• macl'lint th•11niQ1111 U1 le rappon(enveleut •bsolue)

dw v.nsfM cf'tnetgie utile au transf81t criner9i• d8pens.ie pour It foi)Ctionnemem.

C. 2.1- Efficacite d 'un refrigerateur Dans Je cas d'un un rHri.gt:rateur,t•ene-rgie utile est le tr.tnsfert thermique Q, recu de Ia source froidc. l 'efficacitC d'un rCfrigCrateur s'exprime d on e par :

[·-~·-.~ · I

J. Les grandevrs Q , et W 5001 posirlves.

L'application d u p remier principe de Ia ther mod ynamique W + Q ,+ ~ cond uit a : 6 = Qr = Q.

- Q, - Q,

=0

- 1 - -.!

Q,

Lor&que lea sou.rees de chaleur soot de& thermosta ts, l'intgalire de I. Oan$11 rct•~nd• Clousius,. 1'8g•1iti correspond au cycie d6cril de m1niere rtvtrsibte.

Clausiuss Qc + Qr < 0 entraine- Qc > T c ,d'oU :

T c T,

Qr

e E

1

T,

- ·1

T,

T,

= T,- T , .

T, Comme dans le cas du moteur, l'tgalite correspond a un cycle reversible compoS.C de deux isothe:rmes de tempCrarures T, ct Tc et d e deux adiabatiq ues, done un cycle de Camot.

Tbeoreme de Carnot relatlf a un rtfriger.neur l!efficaciu~ maximale d'un rHrigCrateurJ ou cfficacitC de Carnot e¢ , obrenue pour un fonctionnement rtversible ne depend que des tempera. tures des sounx-s :

e

9. 0anste l:-fs1imite01i T, = T,,

c

r effieacite pourra« We infinie. Cependam. il s·•gil d"une efficaciti thiorique, obtenue pour un lonctioooetnenr r6vtrslble. et pas torc9ment acces.sille d'un poitrt de vue t.echnologique.

Applicat•on 2

=

Tr

T1,1 - T 1

9

Tous les rCfrigCrateurs dithermcs rCversibles om ainsi Ia meme efficaciu! de Carnot. L'efficacit~ d'un rCfrigCrateur pcut Ctre supc!rieurc 3 I. Elle est d'autam plus grande (et le rHrigC:rateur d'autam moins utile) que les temperatures des sources sont proches.

Temperature$ des deux sou rces

I. La tempCrarurc a l'intCrieur d 'un rCfrigCrateur rCversible est maimenue 3 5 °C, !'atmosphere !!tam;\ 20 °C . Calculer l'efficacite- de ec rHrigCrateur.

exu~ri eure

2. QueUe strait son dficaeite si La rcmpCraturc de Ia piece dans Jaquelle il est place Ctait 3 14 °C ? Conclure. Solution I. L'efficacitt d'un rHrigC.rateur riversible fonctionnant entre deux thermostatS est l'cfficaciu! de Carnot: T, 278 «; = = 293278 • 18' 5 . Tc -Tf

CllCII)olfe 5 Machines therm;ques d ilhermes

Copynghted matenal

2. Si Ia temptra.rure de Ia piece etait de 14 "C : 287 K, l'efficacirt serajt :

T,

278

tc = T.: - T 1 = 287 - 278 = 30•9 · L'tffic:acit~

est plus gran de lonq ue les tem pCmtures dc:s so urces sont prochc:s.

C.2.2- Efficacite d'unc pompe

a chaleur

venergie utile est le transfert thermique effective:ment fo uroi chaud e. L'efficacitC d 'unc pompc 3 chaleur s'exprime d one par :

1·--··"··· A partir de

!'expression generate e = -

=

-~·I

~, l'utiljsation du

d e: Ia thermod ynamique W + Q, + Q.: = 0 co nduit fl =

a la source

premier principe

a:

Q.

I = -Q.: + Q , l +Q.:'

Q, Lo rsquc lcs sources d e chaleur soot des thermostats, Ia relation de

Claus-ius

~ "'" Q, E

T.:

Tr

0 entralne Q, ;;: Q~

-I!, d 'oU : Tc

, ,. _I_ = T , . l - T 1 T.: - T,

T, U encore, l'egalht correspond a un cycle reversible compose d e d eux iso.. thermc:s de tem~ratures T 1 ct Tc ct de d c:u.x adiabatiq ucs (cycle de C arnot).

L"efficacitt maximalc d 'une pompc • chaleur, o u

e.fficacit~

d e Carnot

•c, obtenue pour uo fonctionnemen.t rtvenible ne d t pend que des tempCrarum des sources :

Toutes les pompes a chaleur dilhermes reversibles om ainsi Ia meme efficacitC de Carnot. C ommc pour le rCfrigCrateur, l'efficacitC d 'u ne pompe :i chaleur peut ~t:re superieure a 1 et ceue efficacite es-t d 'aumnt plus grande q ue les temperatures d es sources sonc proches l'une d e I ' autre:. Pour une mCme Wergie initiate. iJ est ainsi plus rent01blc d'un point d e vue CnergCtique d 'utiliser cette Cnergie pour fai.re fo nctionner unc: pompe a chaleur que pour alimencer direetement un radiateur e.tectrique (voir melbod e et exercice 3). Application 3

Temperatures de$ d eux sources 1. Une pompe a chaleur te-Yenible fonctionne entre l'armosphCrc cxtCrieurc ct un local d'habitation. Elle maintiem Ia rempCrature du JocaJ ll 20 °C. La temperatu re ext~rieure est 12 f1C. Calculer son efficacite. 2. QueiJe serait l'efficacitt d e cene pompe a chaleur s-i on voulait seulemenc atteindre Ia tem.pCra· ture de 18 oc dans le local ?

Solution 1. L'efficacite de Carnot d'une pompe <1 chaleur rb•crsiblc est donnCe par :

T,

29} 36 6 29}-285 = ' ' maintenu a Ia temperature de l8°C :
2. Si le lcx:al doit ~tte

•

T, 29 1 BS ec = Tc- Tr = 29 1 - 285 = 4 ' · U encore, l'efficaciti: est p lus grande lorsque lcs te:mpCr aturc:s des sources sont p roche'S.

C.3. Recapitulatif sur l'efficacite des machines thermiques II est possible de rassembler tous les resuhats dans un t
r.nure Tr. Machine

w

Q. I Q,

EfficacitC

Moteur

<0

>0

<0

e;

RHrighuteur

>0

<0

>0

l)ompc 3 chaleur

>0

<0

>0

thennique

I

Efficacite de Carnot

w

ec = I .. Tl

Q;

T,

Q,

T ec • T( -rTf

' =w <

= Q. w

e<: =

T, T.,- Tr

D. Sources de temperatures variables La tcmpCrature d'unc (ou des deux) sourcc(s) peut varier au cours du fonctionnement de Ia machine thermique ditherme. II fa ut alors raisonner sur un cycle infinitesimal : dU = 0 = oW+oQ, +oQ, dS = 0. En appliquant le d euxiCme p rincipe de Ia therrnodynamique, on obrient :

oQ, + oQ,"' o = dS T, T, oU T ., et T 1 sont les temperatures ~spectives des sources chaudes ct froides au cours du ronctionnement de Ia mac-hine. Pour l'ensemble du cycle, Ia relation de Clausius s'ecrit :

T,.IT,.y + I oQ.

T,,11

~

T f..

oQ, ~

r

.; o.

L'tgalite correspond a une succession de cycles reversibles I!Jememaires.

Chapitr$ S: M;M;hinHthermiquN d rthermes

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E.3. Efficacite du cycle d e Beau de Roch as Lc p(Cll)jer prin cipe pcrmct d 'Ccrire : \V+Q.+Q, = 0. U tran$fcrt t.hcrrniquc Q, est oCg:nif ct Q< est positif pour un moreur ther· mique. Les tvolutio ns BC er DE ecant adiabatiques, if fa ut Crudjcr IC$ Cvolutions CD er EB pour identifier Q1 er ~. Ce sont des b'olutions isochorcs au cours desqucllcs Je travail tchange es-r nul. Le cran.sfert thennique es-r q,'lll ii Ia variatioo d 'C.ocrgic interne des gaz (consideres comme parfaits). D vicm :

Qco;:; oug;:;;; Cw·(Tn - T d = Q r car T 0 > T c QF.s o L\U: .c C .. ·(Ta- T u) = Q , car T -.
0

-~

Q,

C.· ( Tn - T c) + C,· (T, - T •) = ,_(T;_,o,_-....,;T;, c:.. l c.•.,; (T:=-7 0 - ...:T ...,o) C. ·(T o- T cl ( To- Te )

0

•=

I

(T,.- T•l +(TD T c f

Ccne efficacitl: s'cxpriroe souvcnt co fon ction du rapport volumetrlque (ou taux de compression) o. :

BJ .

A

ll est possible d'~iminer les temperatures de l'cxprcssio n de l'efficacitC e en tcrivant Jes lois de Laplace en variables T et V pour les adlabat:iques rtvcrsi-

blcs BC ct OE : ·rfl . y 8Y· I -_ •'( c.

En utilisam Vc = V0

~:

=

(~:r ·l

=

= V,.

(~:r-l

vc

on • O

et V1~

et ;;:

=al - l

·r,} . v.o., ., = ·'r 6 • v'6 ·' •

Vc, il \'ient :

et

~=

=

(~:r-l

=

(~:r- l

:

a Y·I.

Finaleme.nt :

"'fc

To

-c-o T., T~~;

Tc - T o T tt- Ta

... ~

o Q.•

.

En cep<>r-raot dans )•expression de l'cfficacit~, iJ vicnt :

~~ = 1-;f-t = 1 -a'-~-~ II est possible d'cstlrocr un ordre de grandeur de c::cnc efficacitC : - lc mCiange gazeux contient unc grande qu:mtitCd 'air compose de gaz diatomiques, e.t Je coefficient yest vois-in de 1,4 ; - le rapport volume-ttique est compris babituelleme.nt entre 3 et 10. On obtie.nt dans ces coaditiolls c = 0158, valeur Sut't$timte s-i em tiem compte des appmximntions faitcs. L'au.gmeotation du rapport volumCrriquc pennct d 'augmcmcr l'efficacitC mais une trop grande compression peut amencr une lnflammation spontanCc du melange (autoaUumage).

L'essentiel ./ tnCgatht- de Cl:tusius • Une machine thermlque dltherme &hange de J'energie~ par uansfert tbcrmique, avec deux '(lurces de chaleur. • Lorsquc les sourcel' de chaleur froide et chaude sont des thttmost.ats de temperatures respectives T 1 et T., (T , < Tc), les echanges d'tnergie sont tels que : Q .. + Q,~ o.

Tc T, Q , et Q( som les transferts thermiques

r"C~us

par tc fluide dCcrivant lc cycle

de transformations.

• Si le cycle est dtcrit de

fa~on

reversible, Ia relation de Clausius est l'egalite :

Q< +Q' ~ o.

Te: • Dan5lt: cas oU Ia

tem~rarure d'unt

T1

(ou des) source(s) varie(nt), 11 faut envi-

sager des cycles ete.mentaires et inttgrer Ia relation de Clausius : T,,~ ~Q - '+ T,_. Tt

J

fT'TM

~Q

~ r:Eii:O. ,,

./ Cycle de Carnot- Cyde$ motcur ct rdist:ant

• Le cycle de Camot est un cycle r eversible dk:rit par une machine. ditherme. D com pone :

-deux evolutions isothermcs aux u:mpCraturcs T 1 et Tc• -deux Cvolutions adiabatiques. • Un cycle est m o tcur Jorsquc W < 0. 11 est dc;crit dans le $Cn5 des aiguillcs d'une montre en coordonntes de Clapeyron et en diagramme entropique.

• Un C)'Cle est resistant (ou tecepreur) Jorsque \Yl > 0 . U e$1 decrit dans le scns trigonomC:triquc en coordonntes de Clape}'TOn et en diagromme entropique. / Classi.6cution des machini.."5 thC'"rm.iqucs dithenncs • Un moteur thermique ditherme : - fournh clfcctivemem un tr.~vai.l (\V < 0}, - rc~oit etTtctl\'ement un transfert thennique d'une source chaude (Qc > 0), - fournit dTectivement un transfert thermique uoe source froide (Qr

a

• Un rifrigerateur et une pompe a chaleur dithermes : - rc~hrcnt eff«:tivement un tr.tvail (\V>O), - fournissent etTecti\<ement un transfert thermique a une source c::haude ( Q< 0). / Efficac.itC

• L'efficaclte d'une machine thermique, notte e, est le rapport (en valeur absoluc) du tr.msfert d 'Cnergie utile au cransfcn d'tnergie depense pour le fonctionnement. • L'cl'licacitC d 'un moteur thcrm.ique est dt:finie par:

w

• = - Q.'

Copy nghteo r 1tenal

Lorsque lcs sourots de chaleur 1om des then:nosut~ d 'apf'H l'intgalit~ de Clausius: T, ll!ii. l - - . T, L•dficacit~ at maxim.ale si le moteur tbcnnique fooctionnc- de fe~ fto\'U't.iblc cn.tn: en deux thermostats. L'cfficadt~ com:spoodant~ ou effie•citt de Carnot, a.t : '<; =

T,

1- - . T,

Tous les motrun dithCTIDC$ m-usibles ont 1a mime efficacitt dt Camo.:. • L'efficadt~ d•un

ri:fri1trate~r s'exprime par : t"~- =

Q,

w·

L'cfficaclt~ m:udmolc d un rCfrigtrateur, ou eflieach6 de Carnot tc, obtcnue pour un fonctionncmcm rtvcnlblc entre deux thermostats, ne dC:pcnd que dell r(mp~rntu~ des sources : 1

T,

ec = T~ -Tr • L'dficache d •uoe pompe 8 chaleur s.'cxprime par : .!........, • '*"""-

= -

Q.

w'

L'effic:ad tt maximalc d'une pompe i ~. ou efficacht de Carool "c • obtcnue pour un fonctionncma'U m."Usibk en~ dna thermostatS, ne eXpend que c:ks I~ des SOW'tlC:S : T,

t.c = Tc- T,. • Rtcaphulatif Pour les difT'hentet machines thermiqucs dithennes :

Mac:h.lne dtennlque

w Q, Q,

Motcur

<0

>0

<0

· ~ - Q;

RHrigC.ratcur

>0

<0

>0

e=g_,

Pom~

>0

<0

>0

i chaleur

E.mca.dt6

w

e.

I

El!l
I

fc; •

1- T,

T, T,

w

' < • T. - Tr

Q.

T, t c • T. - T,

-w

Mise en muvre Methode

Comment calcule.r l'efficacite d'une m achine thermlque? On ~ut cnlc:ulcr l'cfficacitt d'unt" machine thcrmiquc dithennc ronctionnant entre deux 50urces de chaleur (thermostats ou non),

... Savoir faire

r-----------------------------, 0 Bien schCmariser le fonctionne.ment de Ia machine thcnnique ttudiee. @

Ecrire le premier principc ct lc d euxiCme principe appliques au fluide thcrmiq ue de.trivant le cycl!!. Les Cerire sou.s une forme iotegrte si possible, ou sous une forme CJementaire si les sources ont des tempCrarurcs variables.

4)

Determiner les tTansfens t.hermiques r~us par Jc Ouide thermiquc. Attention~ Qn ne pcut SQuve.nt accC:der a ces uansferts thermiques qu'apri's avoir ca.lcule Jes transferts thtnniques r«us par Jes sources, dans Ia mesure oU on connait1es capacites the:r•

miques des sources et oil l'on n'a aucune information sur le ftuide thermique. llenser a verifier que Jes signcs des resuhats obrenus som conformes 31a machine Ctudiee. 0 o eduire le travail recu par le fluide lhermique. Attention au vocabulairc :de n ombrcux c.xcrcic:cs Cvoquc:nc un travail • foumi • c:t il importe aJors de changer de signe (implicittment, on e de Ia convention. recepteur . a Ia COO\~~ tion • gCnCrateur• commc en Clcc-tricitC).

0 Determiner J'effic01citC de Ia machine thcrmiquc eo utilisant la dC6nition appropriCe.

L----- ----------------------

... Application

On utilise une pompe 3 chaleur ~'Cfsiblc pour chauffer Peau d'une piscinc de V()lumc 100m', initialc:mc:nt a IS °C. La source froide est consrituCe par l'arm osphe re, a 15 °C Cgalc:ment. On pOrte Ia tempCrature d e l'eau de Ia pisc:ine a 23°C. Oet·e rminer L'c::Ificaciu~ de cette pompe a chaleur. Que Ue sernit Ia temperatur e attcintc par l'cau si lc travail \V chait dircctement utilisC pour chauffer t•eau par e:tfet joule (radiateur t lectrique) ?

DormC.ttS : -masse volumiquc de l'eau p = l 000 kg· m-, ; - capadte thermique massique de l'eau c, = 4 185 I · kg

1•

K#l.

Solution

o Us'agit d'une pompe a chaleur. Le mode de ronctionnement en. est le suivant : piscine : uu t T< variable

!source cl\aude)

t

IO,I

w

• atmosphire i T1 con stante

($0urn troidel

@

Le premier p.rincipc s'Ccrit :

W +Q, + Q, ; 0. Le deuxiCme principc, pour UD cycle ClCmcotaire reversible, S1exprime par :

~Q, + ~Q, = 0. T~ Tr

Copyrighted matenal

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Ex. 11 Moteur lllormiquo avec deux sources

de temperatures variablu Un moctur tbenniquc ~hible fooctionnc entre deux ..ourcn de mC:me capac! I ~ lhcnnique C = 400J · K '

dont let t~m.ptn,um, T,

tt

T1 (T1< T, ), V'lriC"nt.

Ln teml)tnrures initilln des ilaun:a. sont fUJ)«'ti''C'" mmc T._. -= 373 K n T ._. a 285 K . I) Drou...n d'un btbn tnlropequt b rdation cntn att tcmpfnturc:s T, , T,, T._. tt T,.•. Z) Calculer Ia tcm~rauurc T• commuM aux deux 10urccs quand le moceur t'ari'CI.C! d e fonctit~nncr. l) Cakultr It 0'2\'1Lil total (oumi par le moccur iu1oqu'i l'arrtt. 4) CakWcr l'd6cacil~ I de CC' motCW'~ S) CakWtt ··d6cacirc , . q~ roo au.n:it obtmuc pout cc moccur si I'on avaic mainctt~u~tt conscantn In ccm·· piracurn initialcs dn tourcn.

l ) Expnma l'dSatc:iti die ttttt mac:tunc t'ft foaa:ion de yet du t~u:w: de compn:uron fl.

ElL 13 Fonctionnemenl d"un moleur entre deux miSses d'eau Un mota~r therrnique m~noiblc (OOC1ionoc Mil'(' : - une mabt d'~u • .. = SOO q , tou:roc c:haude a la tcmpft.Nft uunak T ..,. = 360 K J - unc ll\hM d'au ""' • 800 q , 10un;c froidc i l:a temptroturc 1muak T,.. = 288 K . 1) Ct~lculer Ia tem~r.lture fin aleT 1mcimc lCJnque le moteur CC'IIIe de fonctionner

2) DCtenniner pc-nd.ant Ja duro« du fonctionnement du mottur :

• J I< .....,., lh
ehaude ;

b ) le tni.Mfcrt l.bermique Q , ~(U de la p:m de l:a

sou n:e froide t

Ell. 11 Rolrigirateur irr6voraible

e) le tnvall algCbrique W re(.'u par It moteur.

Un rCfricttaceur fonccionnc de f•~ ~-crslblc entre dtwc tOW"C'e5 de tempft.tlftS T , = )0() K <1 T, • 26) K. On note Q.- ~ Q t les ttmslcru tbt:rmtqun r«US ck b pan des aourcu n W le trt'\'111 ~ t ) Calaattt l"cfficaciU de« rHrigir.urur. 1) Bn rbJitC, il exisce d es causes d 'irrevtnibll h~ dan•

lt foncdonnement de Ia mAChine. On conmcc que k rapport des tn.nsferu t.bermique. Q. n Q, at Iii •u 12ppon des t~ des tour--

'* IQ , Q.

c:a

• T, = · - . T,·

kg '· K - 1•

Ex. 14 Elficacili et cycle motour Un mo.eur d1thttrM fonetionne em~ deux t:bermolt:atsdc: r~mpCn1t~s 1'1 = 400 K c1 T 1 • 278 K .

Lc ftuidc thcrmiquc en connituC par unc mole de g:az parf11it (de coefficient '() dierivam Jc e)•clc d-
OCu:rminu, chns ee c:as,l'cfticacitf du rHriafntwr.

Ell. 1Z Elficaci16 e11eux de compression On c:onsidCn: le q·ck ri-\'tnibk d-des50Us dterh par un au patf'ai• dUtomiquc (T • 1,4). La ~'Otudocu AB n CD lOill .:5ab.uqua:, b ~tior'ui BC e1 DA tont

Dwmh: Ia capr.citt tMnnique mus.iquc de l'eau

'• •418SJ

1) f'\)ur C:haqUt" fvol ution t:n\u,«, C'Xprimcr lc tn'-ail ~u W, le trarurc:n dlc:nniquc ~ Q ct Ia 1;•a.ri~uion

d'entropic OS du tJII~ en ronction d ey, R, T , et T 1. 2) Calcu1er l'tfficadtCde c:c: mmtur thermique. 3) Cakuler l' effic:adtC de C.mot d 'u.n moc.nrr fi,.'Cf'5i. blc qui r~. eo~ ees de-WE MlWttt..

bobcms.

Lc- rappon P•, n«f "• at appelt ~tux de comprna.ion. p

••

Ex. 15 Pomp. i chaleur et source

de temperature variable Unc pompc 8 chakut fonedonne rMnibltmcm

enu-e Jes deux 110u.n:es suivantel : - un rtse:n'O~r d'~u, source eNudc de atpacitt ther-Driquc C. l'eau m initi.akm~t • la temp(nrure T.._. = 2:88K ; - rat'l"l''IOphcn:, 50Ut'CC' &oidC' i b tc:m.pirarurr

•• .....8CTol i-"'---..CCTI'

,, .......A (T.J

·'-::-:-----~

T 1, 0

0 CTol

~---------------·

1) Lc cyc:k c:orrnpond-il • un motcut tbmn.iquc ou

• ...,. .......... liipifiqu< l l) Eq.unu l'd!icacltf ck «ttt rnad'line m dn tcmpCrawru.

ronrnon

•

288 K , tuPJ)OSCe COMIIntc.

1) A l'1ide d e Ia pompe :\chaleur, on I: rel="nofollow">Ortt l'eau A 1*1 tempCrnruf1: T • 320 K . Exprimc:r lc: travail fourni i Ja pompc: • c:h.alcur en fonction de C,1~ T 1, 0 ct T ,,0 • 2) Exprimer l'dl"acaciti dC' ttnc pompc: i cbalnlt m fooc::don dc T, T,.. n T,,., purs cak'U.Ja- numCriquemau anc tf6c110ti:.

Niveau 3

Pour d!::aqu.e cycle dkrit par Ia machine thermiquc, on considm que Ia tempertuu~ des deux corps varic d e faecm inl\nilftimale.

Ex. 16 Cycle reversible ot cycle irreversible J1'\.ldunc frit;orifiqut: doni )e ftu.ide CSI assimilable: i un pz pufai1~ unc mok de ftudc pucou· n.nt I~ cycle ~oit un transfcn thermiqut Q t ( :> 0) d•une &Ourc:c froide de rempCraturc T 1 • 268 K, tt un uaruJert thermique Q, ( < 0) d'une wurce chaude de temp&ot1u~ T 1 = 293 K. Lc: c:om~ dtli'ft
t:ta\'Sil W,

1) On suPP<*, dans un ~ml-cr temps, que lc cycle eomprcnd li!t rrnn.srormalions ~''ersible!ii 11ulvantes : - UM compR'nkm ad:i.abat1Qu.t de T : i. T 11 - unc comprtu,tOD itoc.hc:rmt i T u - UM dfwnte adiabcttique c:k T1 a T !• - une dltcntc tsotbc:nne i T ,.

a) Calculn b ccm~ finale 1; d~ deux corps

m fooction cit' T, .. e1 Tu. b) Calculer lc tn't'a.IJ f
Ex. 11 Cycle .run moteur Diesel i double combustion Dam In motcur'$ ~I ~cis, j V'ltcsSC dc roution flfflc, lc C)'cle d~t par l'aiT ell cclui repr«cnt~ sur lit figure ci·dC:IIIIOus diiJ~S le dia&ramme de Cl:~pcyron, p{batl

..

a) Exprimer\'(1 en function de Q 1 et des 1 c-mp~mtures. Pourquoi U l·iJ impossible d'MbaiSS(':r la tem,pCrature de 1a source: &oidc au Uro al»oo~o~ ?

. . ...

2.

b) Dt1irur ct akultt l'
l) En riaiUC', le cyde comprcnd les lTolntforrn:uions

Exprimer l'c fficacit~ e en r~mction de 1' 1 ct T j ct <:Om· pa.rc:r sa Vllleur' ~e du cyck ri\'Cl"$lble. Dt:J•nW : 11 ap.c:d calonfiqu.e mobirt t ptUSion consume du fluid~ C, = 29 J• K ·• . mol '·

Ex. 17 Comparaison entre direct et mechinethennique On t'Oftlidtff deux rorps idmbq"Uc:s, isoiCs du mibeu txterieur. d< apaciti- talonliquc- i \"'lumc C'OIUUD.t commune C ct dont lcs vanab<ms d'¢nc:raM: •nctme

s'exprime:nt IOU! la forme dU = C dT. 1) Let tempCntures initialet de• deux corpttont 1·,,0 n T~ ( 1\"«' T 1_. > T a..). II$ IOI'lt mis en conttc.c thtt~ mtt opintion ayanl IKU i \"'Ou.mt ClOimUru.

a) &primer .. ttms*n-tu.rc ranak d'equitihrt en (onction de T 1,0 ct T 1_. . b) CaJculcr l11 criation d'cntropic C:Om'spondllnt cene oph>adon.

a

On \"TUI mauuma.nt utiltt
s

~--------~~--v v, v,

auh~ntell :

( 1): unc comprcuion adiabat:iquc re\'«'Siblc dt T 1 i T i • )30 K ; (2) : un rd'totdmcmcnt tiOb&R- ck T j i T ; (J) : UM dt-td\tc .diabatiqut rb'ft"'.ibk de T , iT; ; (4): un tctu.u.lTement isoNn: ju5qu' it T 1 •

•

3

Aprts Ia phnc d'iss.ion de I' j 1, Fair subic unc COCilplUsion asmuopique de I l 2.

A,prQ l'miccrlon Oc c:arbun.nt m 2, la combu'Mion t'c:frc:cruc: d'abotd de &~on i:soc:ho«: de 2 i 3 puis sc pounuit de (aeon isobarc de 3 A4 .

La ph.ase de combu1otion es.t 11uivito d'unt dtteme iSt>nII"'piquc: de 4 j S puis d'unc: ph.uc: d'ecb.apponmt

ood>or
.

v,

liOn:a,.. = -

v, •

19.

l ) Exprimer en fonctlon de yet des diJTffi:ntes temjMratu.res l'd't'icseh6
1) Cakuln-la tcmpt:n.ru.rcs T : 1 T , n T, . Eo dldu.n

la vUcw nwMnquc de: l'd6cacue ~.

l) OCt«m.iner k tnnsfcrt dlcrmk(uc Q ( re~ par unc m11.Me d'air d' un kiloaramme lora de Ia combunion de2i.4. .a)

IXlttftliner lc tram!en tbc:rmiquc Qt

tnaMC:

rt'(U par unc d' air d~un ktJocrammc kln Oc l' iTohnioo de S

il. 5) 06tcrminer le INIVail W r~u p1r une d'un kiJogramm e au cours d'un C)•tlc,

r'n.A$$C

d 'alr

DMNN : Ia muse molaire de l'air .\t • 29 g · mol '·

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Lors du fonctionnement du cong(:lateur, Q, = + 400 kJ. Lc fonctionnement Ctant reversible : Q, + ~ = o, T, T( d'oU : Q, 400 Q = - T · - = -293x =-4614"' " " Tr 254 ' "' Qt etant le cransfert thermique r«u par le cong:tlareur de Ia part de Ia source chaude. Le congelateur fournit done+ 461, 4 Jr.J par hcure au local

Lj\

Dans Ia relation de Clausius. 0 et Q , sont re~ues par le flu1de themuque.

2) Le premier principe conduit a w = -
Exercice 5 Pour un fonctionnement reversible du congelateur :

T,

.- '

i!c =T

D'oU: T~ Te

T .

= 297,S K = 24,5°C.

Exercice 6

L'efficacite de Carnot de Ia pompe achaleur est : T, 293 trc ::t T~ - Tr: 293 - 273

D'une autre fa~on,l'efficacite s'exprime par : Be : re~u

Le travail

=

14,6.

Q,

w·

par Ia pompe ;i chaleur est done :

10 0 ~ = 682 J par seconde, 14, soit une puissance de 682 \V. W •

Exercice 7 1) • La source chaude reste a 293 K, Ia source froide e de 293 K a 278 K.

Le mnsfett thermique ~u par Ia source froide est Q = re~it

:

Q, = - Q = -

soit :

m

f'" C · dT = - 50

X

f"'"' C · dT done le fluide t.hermique (278 - 293),

Q1 = 7SO kJ en trente minutes.

·;M: La temp6ralllle m~•rietue vane au cours du temps. II faut done utifiser Ia relation de Clausius sous sa forme ·y • erementaire . et wnegrer.

• Le fonctionnement eumt reversible :

Comme T.,

e

293 K, il vient :

On dC:duit:

278

Q. • +T, ·C · In 293 Q. = -770 kJ.

f"' ~l

= + 293 X 50 X

Q.

dT Tr

C·- '+-

T.,

= 0.

In ~~~

2) Lc uavail rc.;u par le Auide thermique est : w = -Q.- Q, = - 750 + 770 • + 20 I<J . Le rrnvail a t tt recu en trentc minutes, d'oU Ia puissance r«ue : p •

~ c

= 20 · 10 ' = II 30 x 60

'

I W.

Niveau 2 Exercice 8

·_y:

A&:lpliquer re-s mitllodes du chap1tre 3 en avant au prhtable reprllsontit le cycle

1) Lc cycle se rep resente comme suil : p

B

c

0

v

On dc!terminc les pressions en A et 8 par :

PA = .. . R · T.

v.

{ Pll=

II •

R ·T8

v.

=2PA·

Il vient :

PA •

t x 8,32 x 350 s 29 . 101 Pa = 2-,9 bar 1·10-~ '

{ Ps-= 2pA = S, S bar. L'tvolution BC iunt adiabatique ct reversible : Pu · VJ = Pc · V~ . On deduit : Pc = p .. · v~y = 5,8x

( vd

(oT5)'·' = 2,2 bar.

La cempi:raturc en C est done : T~ = Pc · Vc = 2,2 · 10 1 X l · 10-' = 265 K. ,.R l x 8 ,32 • Evolution AB L'Cvolution est isothenne ~ d.U! = 0.

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.

Lc moteur re.;o tt done :

{8Qr :; - m · c ·dTr 1

~

11

o
T

Tt.o

TM

= -J m,·c,dT,_J m,·<,· dT, f 8Q,,.foQ, T ., Tr Tr Tt ~

T

T

Tr.o

T.,,o

mr · ln -1-m.,· ln -

=0

= 0

T -- ,.r.o ..~ ...., · .•.t,o . , ••, •

...

=>

ApplictJtiott numhique : T

..,

288~ X 360 ~ = 314 K.

c:

2) a) Transfert thermique recu par Ia source chaude : Q, = -m, · c, ·(T - T,,o l • -500x4 185x(31 4 - 360) Q, • 96,7 . to• J. b ) Tnmsfc.n therm iq ue re.;u par Ia source froide : Q , = - m1 • c,· (T - T ,,0 ) = - 800 x 4185 x (3 14 - 288) Q , = - 86, 4 . 10' J . c) Travail re<;U :

w = - Q , - Q, = ( - 96,7+86,4) · 10' w = - 10,3 . 10' J.

Exercice 14 1) Representation du cycle en coord onnCes de C lapeyron : p

A

8

o L - - - - - - - - -- v • Evolution AB adiabatique reversible L'Cvolution Ctant adiabatique, Q " 9 c: 0, et d e p lus rtvertible : dS! :;; 0 . Le travail re-;u par le gtt parfait s•ec:rit : n·R . T R . T W,8 =aU~=C. ·(T8 - T, )=y- l· ( f8 - ,) = y- l ·( f , - ,).

• Evolution BC isotherme L'l-nell.~e

imeme d'un gaz parfait n e d epend q ue de Ia lemperarure d 'oU_, pour une isotherme : dU~ = 0. \'Y'a c = - Q ec = =>

vep· dV = - R · T a· J\'cdV Jv,. \'. v v, v.

\Vac= - Qac= - R ·T1 ·ln-.

~.y: Poot aoivot a ro._p,euion demandOe, pentet a ulilisef les aunts evolutions. notamment l'adiabauque ttvers;ble.

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Niveau 3 Exercice 16 1) a) Le cycle est un cycle de Carnot d'oU Comme W + Q 1 + Q 2

$:,. ~; = 0.

= 0, il vient :

F~

(~ -¥.).

-Q , - Q, = Q,

T 3 s'exprime: T 2 = - T 1 • ~; ; comme Q 2 est different de 0, T 2 ne peut tendre que 0 K que si Q 1 ~ + oo, ce qui est impossible.

b) L'efficacite du cycle est :

T,

e

Q'

a

- - -Q, 2

-=

_ _T.:_;. ,

W -Q, ·( I - ~:)

=

268 =i=-"'= 10,72. 293 - 268

e ~

On retrouve bien entcndu l'efficadtC de Camot. 2) Le cycle se reprCs.ente sous Ia forme :

~

p

r,, _ a..·~"r;

Analyser 01 et a, pour determiner Queltransfert tllermique est eltectrvement re~u

L'cfficacitC s'exprime mujours par e

= ~,2

c.

w

a~:

Q2

- Q, - Q,

r;·' ---oa-,- -"" r, L-----------.v

T,?

Q, = 6H, = C, · (T, <0 { Q,= 6H, = C,· (T, - T , )>O

-,..,-.,T ~,-.....;T,;o.,.....,..., • = (T,'~ T ,) + ( T ,' - T,) ' ·~tj:

Utll ser leslo's de laplace pour obten.r 1'9JI:Pf9SS!On voutue

Pour lcs adiabatiques rCversibles :

(f!_·!)lf

T i = T2 = T 1 T 2' V)1

•

En rtmplacant dans l'exprcs.sion dee :

• =

t

=- I

T,

!i _1 = T,' - T ,

•

268 330 - 268

c:

4,32.

T, Cene valeur est bien entendu inft-rieure a l'efficacite de Carnot.

Copynghted matenal

Ex&rcic& 17 1) a) Soit Tt Ia temperolture finale. L'ensemble d es deux corps est iso le d 'oU:

AU = C· (T, - T1,0 ) •C· (T,- T, ,0 ) = 0. On deduit : b) Pour chaque corps, it volume constant, 8Q = dU = C · dT. o·ou, pour )'ensemble des deux corps :

as

=

IT' c ; Tl,6

6S

==

T·

+IT' c ' d Tt T~

I

=

c 'In TTr + c ' In

Tr

1,0

T t,O

T2

2

2

= C · ln (T, ,o +Tu) = S,> O. · Tu 4 · T 1,0 • T1 ,0

C · ln

Tr

T 1 ,0 La variation d'entropie est t-gale ill'entropie creee puisque !'ensemble est un S)'St~me isoiC. 2) a) Chaque cyde eJCmentaire Ctant rCversible : a~, + S~ = 0 pour le fluide thermique.

8Q 1 est le transfen thermique re~u par le fluide d e Ia pan d e Ia source cbaude : SQ 1 ;; De mCme, SQ, = - C · dT2 est le transfert thermique de Ia part de Ia source froide.

-

C · dT 1 •

Ondeduit : - C· dT'- C· dT:;; 0= dT, + dT1 = 0. T, T2 T, T1 En imegrant:

JT'·r,, d;•+ JTr ~~1 = 0=> In 1~',o + In .Jr 0

T,,.

1

J

1

= 0.

2, 0

Fmalement : Tr;; JT,,0 • Tu .] b) Le fluide recoit Q , = - C · (T,- T 1 ,0 ) de Ia part de Ia source chaude et Q; = - C · (T1 - T 2• 0 ) de la part de Ia source froide. On deduit:

W

= -Q1 - Q, =

C · ( 2 · T,- T 1,o - T 2 , 0 ) .

w e$t le travail ~ par le fluide thermiquc, done le travail roumi demmdt est :

b.

- C · (2 J T 1,0 • T u- T 1,0

-

T 2 ,0 ).

B1en laue Ia di~inction entre le trava•l re.;u 0-1' le fltJide lqvi iiPIH•rait dans les relations
~ ~rava1 :

Exercice 18

w

1) L'efficacite e:st e = - - -

Q~.. ·

Or T , >T2 ; T, > T ,; T ,> T ,

=>

• CVQiution 2 -+ 3 isochore Q 2 ., = au:= C v · (T , -T2)> 0 • Cvolurion 3 4 4 is.oban: Q, .4 = aH: = C, · (T,. - T,) > 0 • t volution 5 -+ I

Q,., = AUl = C v· (T,-T,)< O Le transfe:rt thermique: rec:u est done Cgal 3 : Q 2 ., + Q,.4 • Le premier principe conduit OndMuh :

e •

a: w + Ql •) + Q,--4 + Q, .,

= 0.

w

= Q, ..} + Qj__.

•

1

C v ·(T1 - T 1 )

• Cv · (T, - T , ) + C, · (T,- T ,)'

Pour un gaz parf3it, C .,.

n·R =y- 1

etC,. o

----·-r,- -r;- .. -

-<

2) • De I

n·y· R Jd'oU : ·1 - 1

= ____ 1+ T_!- T,

...

~

y . ("f• - ·1·.))

a 2, l'e-.·oJution est iseotropiquc d 'oU T, . v,t-l = T ;a· v.r I {Joi de Laplace) .

On dMuit: T 1

T ,. (~:)' · ' avec y = t, 4 pour un g;u: parfait di.atomique.Il vicm:

;

T,

= T , ·(~:r

= 293 x ( 19)" = 951 K.

· l.3 conservatio n de Ia quMtitC de madtre P •.. ·•v, ~ PlT. Vz, avec Vl = V1 cond uit aT, = T 1 . p, . 1, 1 P2 La p ression P:: se deduit de 1'€:\.,;,lutio n prfcMente, isentropiquc :

p, · V,' = P1· V-l => P1 = p , · (~:r = 1 x (19) 1••

c

61,7 bar

=>T, = 951 x .65 = 1002 K .

6 1,7 • L't volutioo 4 ~ 5 est Cgalemc.nt isc:ntropiquc, d 'oia lcs equatio ns :

T l · p~ " 1 ;;; Tl· p~ "1

loi de Laplace

PI ·>II p$ .)1, ~ -~ Lc systCmc de dcu:x Cqu:u-joo.s 3 deux inconnucs T , et p, conduit ii :

{ conservation de la malib'e

293 ~-•..•

T ' ·t

1 1 T s c T ~' · p ~1 ' ' · PI ~ ., ;;; 2173 i' x 65 - •·• x 11• 1.4

• = 1

• On dCduit:

_

= 912 K •

Ts- TI

(T , - T,) + y (T , - T , ) I 912 - 293 _ O 63. -( l002 - 951 ) +1 ,4 X(2173 - 1002) - '

3) Le transfcrt thcrmiquc Q c: est tel que Q c: = <¢., + Q H = C\' · (T , - T 2) + C, • (T ,- T ,) . Cv c ~ - n · R c t1·R 2 1 Pour un gaz parfait diatomiquc : Y7 ,. . y . R { C,. =2 · rt · R o y - t . La quantitC de mariCrt n sc dCduit du fait que IB masse d 'ai_r cn\'isagee est I kg alors que Ia masse m olaire de Pair est 29 g · m ot-• : 1000

" ;;:

Finalcmem:

Q~

=

:>

Q, =

~

=>

Q,

1212 kj .

c

:;.; 34,5 mol.

29

%·n .1{ · (1~. -T~) + ~ • ,

X 34,5 X 8,32 X( 1002 - 951)

4) l...e trsntfe.rt thermique Q , est tel que Q ,

Q, •

+;

. R · (T., - T } ) ·

X 34,5 X 8,32 X (2173 - 1 002)

= Q,. 1

o

C,. · (T t - T 1).

z5 ·n · R · (T , - T ,) = 25 x 34,5 x 8,32 x (293 - 912 ) Q, o -444 kj .

S) Lc tra\'ail recuse dCduit du premier priocipe :

w = - Q,- Q,= -

1212+444 = - 768kJ .

Copyrightea nialenal

•

Changement d'etat d 'un corps pur

I ntroductio n Un corps pur est forme d'un seul coostitunnt. n peut cxistcr sous trois Ctats physiques (sous crois phases): solide, liquide, w peur. Le p assage d'un ecat physique a un autre est w1e transition de phase ou changemenr d 'f.tac. L'f-rude lhe:nnodynamique des changements d 'etat physique offre un grand intCrCt pratique lorsqu'on s'imfresse : - aux machines thcrmiqucs {rCfrigCratcurs, ...), - au conditionnement de gaz en bouteillcs sous fo rme condcnsCc (propane, butane, ...), - aux fluides supercritiques (deca:ftination, teinture, extractions fines, ...).

~an du chapitre 6 A

E~~:

tuhha

1qu

o p pur

1 Les changements d'etat d'un corps pur ....... .... ............... ................... ..... 170 Diagramme d'etat d'un corps pur .. .... .... ..... ... ..... .... ....... .. ..... .. .. ......... .... 170 • · Limite et pente da Ia courbe de fusion .......... ......... ........ .......... .......... ..... 172 8 la1s 1ran Itt -,od~tn u I' t.rhbre d 'vn corps pur 1 Enthalpies de changement d'etat ................ ......... .~ .............. ............. .... 172

2. Entropies de changement d'6tat .... ...... ................. .... ....... ..................... 173 Relations entre grandeurs de changement d'etat ..... ... ....... ..... ... .... .......... . 173 age d'un atat h un autre ..... .. ........ ........ .. ...... ... ......... ....... .............. 173 C Etud I q 1llbre- I '1Uid vapeur ott erm1 d' Andrews 1 Representation d'une isotherme en coordonnees de Clapeyron .••••• .... •••••• ... 174 2 Courbe de saturation .... ......... ..... .... .... ....... ......... .... ..... .... ........ ....... .... 174 lsotherme critique .. ...... .... ..... .... ...... ......... .... ..... .... ..... .... ....... ... ...... ... 175 4 Th~oreme des moments ... .... ...... .............. ........... ........ ..... ........ ...... .... 175 Methodu

L'esscntiel; ntise en tt:U\Te ....... ................ ....... ............. ...... ...... ...... , ......... . Enonce., des exerct'ces •.. ...... . . . ......... . . . ........................ . ........ . . . . . ............... . . lndlcatlotut ........................ ......... ... ..... ... ......... ........ .......... ...................... Solutiott.'i des exerc'1'ces ......... . ....... ... ........ . ........ . ...... .. ............. ... .............. .

177 181 183 184

L_

Copyngh r'

A. Equilibres physiques d ' un corps pur A.l. Les ch a ngem ents d 'eta t d ' un corps pur Les differents changements d'etat d'un corps pur peuvent eue reprisemes

sur lc d iagrammc suivant : Figure 1 Representation des changements d'ftat d' un cOfpS pur.

lusion

solide

L ---,--'

====::::~==--.: ·1 solidiieation

liqui

/

liquefaction

eondonution sublimation

ve porisetion

•I vapeur I ~/ Pour un corps pur tiel, 3 chacun des Ctat physiques (solide, liquidc ou vapeur), correspond une relation de Ia forme f (p, V, T) = 0 . Ces fonctio ns permcttent de dt:Jimjter les domain es d 'cxistence d'un corps p ur en fonction de p, V ecT, mais Ia representation en trois dimensions est assez complexe (fig. 2). Rg UJI

z

Le:s difftfents 6tets d"un corps pur en fonction de p, Vet T.

Figure 3 Solidific.ation d' un co,ps pur

dans re cas idht.

...

U lOCI

Of'---... -HI

Nous ttudierons principalement les diagrammes p (T) et p (V).

A.2. Diagr a mme d ' etat d ' un corps p ur A.Z .I - Analyse thermiqu e du changem en t d ' etat liquide-solide Sous une pression consnuuc d onnCe Oa pression aonospherique, par exem,. pte), on place une masse d'tau a 20 °C dans un congC:Iateur de: tc.mpCrarure

intet'ieure - 19 oc er on suir t•eV()Iution de Ia temperarure de l'eau en fonction

' - - -- - - - - : , d u temps (fig. 3).


Figure 4 Solidification d'un corps pur avec: surfusion. e('Cl

...

Sous une pression constante, la tempCratu.re d•un corps pur reste constante pendant toute Ia durie du chaogement d'C:tat liquide-solide. La tempCrature du palier obtenu est Ia tcmpC:rature de fusion pour Ia pression donnee.

--

Par exemplc., la tc:m ~rature de fusion de J•cau est 0°C sous unc pression de 1,013 bar. En pratique, tors du refroidis.sement, iJ est possible d'atteindrc, le corps pur restant a J'ttat liquide, une temperature inftrieure aIa t·emptrarure de fusion. Ce phCnomC:ne) appeiC: s urfusion, ccsse brusquement, soit de fa con spontanee, soit par agregation des cristaux de solide autour d'un • noyau • (fig, 4).

A. 2.2- Equllibre entre deux phases Suite a l'exptrienee dc!'crite prtcedemment, nous enrons Ia proprittt q ui suit.

'4' l@§tfi Pour tout c:hangement d'Ctat, sous une pression donn~, deux Ctats physiques distincts d'un corps pur ne peuvent C:tre en fquilibre qu'A une temperature parfaitement dcherminee.

1 le choix d'une u t.de varieble IP ou Tl permet dt cUfinir

aj

Dans UD dia.gramme p = /(T)

I l'ensemble des points correspondant un Cqui1ibre physique donne constituc une courbe d'Cquilibre (! . 5). Ceue: courbe d'~uilibre dC:finit les domaines d'existenc·e des deux phases.

totelern~Nlt r 6quiibre..

Sl 011 cholsit Ia ft,fl'ICI&ftture T, Ia pre.nion ptlt petfebmtnt firie. et r6eiproquernenl FigureS Courbe d'l!quilibre p (T) entre l'ltat solide et rttat liqutde. Par exe.mple, A est

dansle domaine du solide (absence de liquide). 9 est dansle domaine du liquide (absence de solid e).

•

De part et d'autre de Ia cowbe d'equilibre, la pression ne peut varier indepc:ndamment de Ia temperature que par rupture d'Cquilibrc et disparition d'une phase.

A.2.3 - Representation du diagramme Le trace des courbes d'equiJibre preMion- remptrature pour chaque equilibre phys-ique dtfinit le diagramme d'equilibre pression-temperature du corps pur (fig. 6 ).

A X

•·tilfilll!.l.fj T

z. Polrtts ttiptes de reau at dt.1 dioKVdt 6a caJtlone: H,O: T = 2.13,16K : p . 6..03 · 10 4 atm ;

CO,:T • 216.55K :p• S.la11'1'1. l. Points critiques de reau tt du cllQI;)'dt da carbona : ttp : T= &0..3 K; p: 218)atm; CO,: l= ~.2K ; p : 7U5etm.

Les courbes de fusion, de vaporisation et de sublimation se coupent en un point T, le point triple .. , oU coexistent lcs trois Ctats de Ia matiCre : les coordonnees du point triple sont fixes et parfaitement dtterminees pour cbaquc corps pur.

La courbe de vaporisation est limitCe dans le domaine des hautes prcssions par le point critique C au~elll duqueJ il n'est plus poMible de d.istin· guer l'e·tat vapeur et l'etat liquide.

Covrs

1

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' C. Etude de l'equilibre liquide-vapeur lsothermes d'Andrews

C.l. Representation d ' une isotherme en coordonnees de Clapeyron

S. lnv.,-umerrt. si on dlminue Ia pression d'eau liquide.le pOintl eorrespond Ar epparition de ta pttmiAra !Nile d• vepeur.

Considtrons, a Ia temptrarure T, Ia compression isothermc d 'un gaz dans un grand domaine de pression (fig. 7). Lorsque Ia pression atte:int Ia valeur permettant I'Cquilibre tiquide-vapeur A cene temperature (au point L), Ia premihe goutte de liquide apparait s, Figure 1 Compression isotherme d'un !J&l dans un grand domaine de pression•

• ttat liquide

8 Pll

- ---

------

----~ ..

l

----

/ "

: :

•• •• ••

p,

.

tquilibreiquide·vtpeut

- - - - ......,.,

T

•

----~1--------i-------------- -

'

A

La p ression d '~uil ibre ~ Ia tc:mperatureT est appel&- pression de vapeur saturante et notee P- · La pression reste constante tant que le liquide e1 Ia vapeur sont en Cquilibre : Ia courbe p(V) prhentc un palier de cbangement d'C:tat. Lorsque Ia dernic!re bulJe de vapeur disparait, il est possible d'augmenter la pression au-deJa de Ia pression de vapeur sarur.mtc. Cependant, lc volume varie pcu lors de Ia co mpression du liquidc forme. 6. En rl\'anel'le. ta vapeur $1t~,Want.a n• p• ut PI' itta

usimilit 8 un ga.z parfait.

Lorsque p < p._, Ia vapeur est ditc • sCchc •. La vapeur sCche pcut en premiCre approximation Ctre consideree comme un gaz parfait 6•

C.2. Courbe de saturation L'ensemble des extrCmitts des paliers de changement d 'etat obtenus pour un rCseau d'isothennes constituc Ia courbe de saturation ( fig,. 8), CeUe-ci sc compose de deux p3tties : - Ia courbe de rosee (l'enscmble des points V), - Ia courbe d'ebullltioa (l'ensemble des pointS L). Les courbes de rosCc et d 'Cbullition se rejoignent au point critique C. Les isothermes de temperature T > T c ne ptesentent plus de palier et iJ n'est plus possible d'obtenir le changement d 'etat.

Chapilre 6. Changemem d ¢llll d'un corpll pur


Figure 8 CQ(ube de saturation et isothermes cf'Andrews.

p

T> T

c •

••

b• de rl)$f•

'

'

'

~f-/ 4

••

~--------------------v

C.3. Isotherme critique V isotherme cnuque pli:sente, au point C, un point d'inflc:xion 8 tangente horizon tale. MathCmatiquement, ces deux propriCtCs permenent d'tcrire :

Ces deux i:galites permenent de dCterminer les coordonnees du point critique C d 'un fluide d 'equation j(p, V, T) = 0 connue.

C.4. Theoreme des moments 11 est pratique d'ttudier les isothennes de l'cXauilibre liquide--vapeur en repreV sentant Ia pression pen fonction du volume massique v :;; - du corps pur.

"'

Us grandeurs the.rmodynamiques assodtes aux changements d'Ctat sont aloes des grandeurs massiques. Soit un melange liquide--vapeur en tquilibre a Ia temperature T, represente en coordonntcs (p,v) par lc point M. Soit Let V les c.xtrimiti:s du palier de saturation a cene temperature (fig. 9). Soit m La masse tomle de corps pur et V le volume total occupC par les deux ttalS. Soit mv Ia masse de vapeur et x La fraction massique de vapeur. 11 \rient : mv

X=- . m

En notan t m1• Ia masse de liquide, Ia fraction massique de liquidc est tgale :i y=l - xavec : m L y =l - x = - . m Le volume total du mi:lange s'b::rit : V = mv · Vy+ mi. · tJ&. .

CopyrigtllW

Figure 9 En un point M quelconque appanenant au palier de saturation,les proportions de liquide et de vapeur oOOissent au theonime des moments.l'ensemble de3 mlliewt M• de$ paliers de saturation n'est pas rectiligne. p

'

''

T

'•,

~----------------------· En divisant par Ia masse du melange, il vienr : V

mv

m1

- = - ·vv + -· ·vL.

"' m m Ainsi,le volume massique d u melange s'exprime 3 partir des fractions massiques et des volumes massiques :

I•= x · vv + ( l -x) · •L·I On tire Ia fraction massique de v01peur x, de cene CgalitC :

lx=.:~:~.. ~

l

La fra ction massique de liquide y s'Ccrit de mCme : y ;; J - x;; I

• v-v • ti'v- VL

Ces resuJtats constituem le th~oreme des moments. En considC:rant le diagramme, on eons-t'ate que les differences de volumes massiques v - v L, Vv - v L c t Vv- v sent respcctivcmcnt proportionnelles aux longueurs des segments lM, LV e t MV. Lc tht!orC-me des moments peut done .lemen t s'Cnoncer oomme suit.

ThCodme des momenta Pour un equilibre liquide-vapeur donne en un point ~ IC$ proportions ma!>siques de liquide e t de vapeur en tquilibre sont respectivemem : MY LM.

LV et

LV

oil Let V soot les extremitc!s du ohangemenc d'tmt correspondant respec-tivement a l'ttat liquide eta l'tcat V"apeur.

-

------'

Re:marques : • L'ensemble des points correspondant 4 des masses de Liquide et de vapeur identiques n'est pas rectiligne, mais relie les milieux des differe.ms paliers de saturation (fig. 9). • Lc dlCorCme des moments s'Ccrit Cgalement a\'ec des grandeurs molaires et se dCmontre de Ia meme maniere en remplat;ant les masses par les quantitCs de matitre exprimees en moles et en remplacam les gmndeurs massiques par les grandeurs mo1aires,

Ctulprue 6 Chnngemenl d'e1a1 d'un eorps, pur


L' essentiel ./ Les c..h&nf,temt:nb d 'ct.ou d ' un corps pur

-- --

- I.

•

•

tolidt

.I Olagrnmme d'etat d 'un corp~ pur

• Sou s u ne pre111ion conat-nntc:, Ia tempe rature n:$te cons tante pc:ndanl loulc: Ia durte d 'un ch angemcnt d 'eutL

• U phfnom~nt: de turfualon pc:r met d'atteind~, le corp..~ pur rc~Utnl ill'Ctat Uquide, une tempCracure inferleure a Ia temperature de fution. • Dans un diaaramme p :a /(T), l'ensembJe des poinlS correspondant l un Cquilibre phydquc: donnC oo.ns.tituc unc cou:rbe d 'iqulUbre. Celle-d dCfinh les domalnes d 'exlnenc:c des dtux Ctats. • l....M c:outbc:s de fus:aon, ck: vaporisation et de sublimation" coupen1 au point lriple T, oU eoais:tmt lc:s trois iuts de Ia matibe : Itt c:oordonnffl du pomt triple soot fixn d parfaitr:mr:nt di terminees pour chaque corps pur. • La cou.rbt' de vaporisabon est limit« dans le domaine dH hauta prtUtOOs par lc point critique C . ./ Grandc:un lh.c rmod)'ruuniqun c.lc l't"quilibtT

• A tout chanacmcm d'~tat, on associe uoe variation d'enthalple e t u.ne varladon d 'entropie : -pour solidc ~ lictuidc, l'enthalpie de fu$ion AN>H et l'cntropic de fusion 6,..S; - pour liquide Q VIIP'(ur, l'cnthalpic de vaporisation ~.,.11 H ctl'~n l ropic de vaporisndon A....,S i - pour Mllidt = vapeur, 1'e:nlba1pie de sublimation a,..bH tt l'entropic de sublimation A~S . • l..es equitlbrt:ll p r~cC
• Ces difTCrc.ntc:s aran<Sturs sontlitts aux tcmp(:rarures d'Cquilibre rul)«ti\'H par : A,.H ~s. ~H ; A,.S = "---H ;:;::z;.; ; A,.S = . T ..,. T,... T'" • On utildt- ~aaJemcm : - lc:s t:nthalpia mass1qua de chanacmem d'iat, souvent appcl6tl c,h alcun latcntt$ de ch.an,seman d'Ctat ct nottts L,., t_. et L..... i - It$ enthalpics molaires de cbangement d'(t2t appcltts c haleun late otcs molalres de changemcnt d'Ctat l,.,,,., L.,..., et L...w· .I

l 'iolherme~

d'J\ndftws ( Cqullibrc liquidc-\'Upcur) • La pression d'equili'bn: liquide..vapeur a Ia cemp(=,raturtT est appel~e pression de vapeur s al'U rante, n 01Ce p ..,.

Hidden page

~

Application

Dans un rtclpitnt fcrm~ de: volume: V s: 10 L, on introduit unc masse "' • '8 d'Cthcr liquide 8 17.9 •c i Ia prt"SS.oo de 0_,_53 bar. Le recipient est mainte:nu • 17,9 •c. Calcultt Ia crfauon d 'co troJ)ic.

D<m>tM : - prnsiondcvapcuraacurantcdct'Ctheri: 17,9°.-= 0,.53bat ; - m""" molllre d< l'tlber M 5 74 g . moJ·• ; - masse \"'iumique de I'Ctber p =- 0,713 g • em-, ; - anhalpic de vaporisation de I'Cther J7,9°C b...H =- 29,0 kJ · mol •.

a

Solution 0 L'tther, liquide • Ia prasion P..u est rrC:sente par lc poim L sur lc di=a,a.rammc: de Clapeyron

ci-
p

....

L

...c •

.. .. . .•

~. V

'•

••

•'

~--·····-~---·

'•

•

••.

L------------------·

Si 11 ootalirt d< l'tlber nr i l'ew ,,.P
---v-

Pt • 1,63 · 10 1 Pa = 0,163 bar. Pr rtscntCc par lc: point F. @

l...or!i de sn vuporisntlon dans lc vide, Jc syst<:mc nc re~oit pa.s de Ltavail de l'cxtC.ricur ct il

C$t

en

awe un seul thermosuu i Ja tem~rarure T. L't:ntropi~ ~chang6e

t'tcrit :

-f.... liQ,~Q,

Sc -

_.. T

T .

L'a:pplicltion du prtmier princi~ pmnet d'tcrire : 4U = Q. . La fonction d'ttat l~ interne- peut l!ue caJcu.tt.t' sur une b-otution ~U'Sible U:, eo tenant ~mpte

du fait que :

• EvoJution VP

4U~ = 0 puisquc l'b\craic interne d'un pz: parfait nc: dend que de latcmpC:r.ature.

• Evolutio n LV C'est unc: evolution isobare re,·ersible. D vient : Q *" = Q , = AH~

Q ,.... =

5 74

X

= , . a,,...B = "Kk · a...H

29,0 = 1,96 kj i

: -f'·' p · dV: -p~·(Vv - Vd ~-p-· V,, S

m

= - - · R·T = - - x 8,32x290,9 = - 0,16kJ . M 74

·J;: On neglige Ut\ll!llemcnt It volume 411 hquide devam cehu de ta vapeu' et on assim1!e Ia vapeut 8 un gat parta t Ondeduit : L\Ur

= Q'"+ W~

:r

1,96-0,16: I,SOkJ.

L'cntropie Ccb:mg6e par l'i!ther avec le thermostat, qui ret te 3 la. tempc!mturt T finaJemeru : S : Q, a AU a 1,80 · 10 ' : + 6 L9 ) · K, ' T• T 290,9 ' . ~

=

290,9 K est

La variation d'entcopie de I'Cther se dCterminc pour une CVQiution rCversiblc LF. ct l'entropie Ctant une grandeur extensi•.:e : ASF... = AS't. + t\S''V•

• Evolution VF

n s'agic d'une evolution isocherme de 101 vapeur sCcbe, supposCc gaz. parfait~ 6U~ = o. En a pp liquant le p remier prim.;p..: :

Q v-,. + \Vv -F

::

0.

O n d Cduit:

Q,..... F

e:

m v,. + --· R · T · ln - . M

Vv

Le volume Vv eu le volume occupC par, moles de gaz sous Ia pression P-. = 0,53 bar, soit :

Vv =,.!!!.. R·T : 2.,. 8,32 x 290,9 M p .. 74 X 0,:53 · 10 5

= 3 I · IO_, _, = 31 L n'l ' . '

~S~ = JP6Q"" =-

Q,._,. =.!!!.. R ·;f ·ln Vr.,. T T M ;r Vv 5 IO S • = + 74x 8 ,32 x In 3:'i: llv + 0 ,66 J · K - ' .

Finale.ment :

• Evolution LV

a

~S~ est Ia variation d'emropie de Ia vaporisation de Ia quantiu! de matiere mjse-en jeu, Ja cem· pc!ra turi: T.

= .2_ X 29,0 · 10 ' = + 6 73 J, K 74

290,3

)

0

.

• .Evolution LF Ondt!duit :

M~+O.S~ a 6,73 +0,66 : 7,39J · K-•.

0 L'application du deu.xiCme principe pennct de calculc,r Ia crC-acion d'entropie :

Sc = AS~-S. = 7,39 - 6,19 = + 1,20J · K- 1• S, > 0 pour cene h'olution irreversible.

Clumitrc 8 Ch.1ngcmcnt d " c1.e~t d' l.ln c:orJ)l; pu1

CopynghtE'C miltenal

erczces 0 : liquidc seul a Ia pression Pl ct i. Ia tempera~ T 2 • 3) Qud est l'Ctat du systC:me aux points E ct F?

Q.C.M. Ex. I 1) JJenthalpie de fusion d'un corps pur t:SI toujour$

Ex. 4 Un rifrigeratour pratique

J)C)titi~'e.

Unc.' mC:thodc utilist!c tn pr:ltique pour rl:frigtrer u.ne boutdUe d'cuu es.t de l'entourer de papier journaJ mouille puis de laisser ~che:r !'ensemble.

2) LA pen1e de 1:. eourbe de fusion p(T) d'un corp&

pur est toujours positi\•e. 3) Lc age de I'C:tat solide il. l'f!au ''apcur pcut ~ Caire directemcnt pu sublimation it toute temp(:rature.

4) Lort d'un tbangement d'Ctat, a temp&at~ constante, Ia variation d'tnergie interne est nulle. 5) La pression de vapeur saturanu: d ' un corps pur d~pend de I~ temperature.

Niveau 1 Ex. 2 Vaporisation du butane On considi:re une boutcille de butane commercial dans laquelle lc butane, SQU$ sa prt$$iOn de \'llpeur sarurante p.., = 2 bar, C:Sl paniellement liquide il temp(rutur< ambiantc. On ouvre le robinct de faQOn i aVQir un dtbit rtgulier de Jil% \tttl'exti:rieur.

Justifier l'cfficacitC de cttte mtthode.

Niveau 2 Ex. 5 Gaz de Vander Waals et point critique On cotuidCre l'isothe.rme critique n.-lath"C au gaz de V3n derW:'Ials rep~sentCe en coordonn~es de Clapey.. ron. I) Oetenniner les coordonn6es du point critique Pc, V c et T e poude g:udeVan derW:Ials dom l'tquati.on d'etat relative une mole s'tcrit :

a

(t~+:,2}(V - b) =

R ·T.

l) On dC:finit lcs coordonnCes reduitcs par :

OiSC\uer l'k'Olutton au coun du temps dt L1 pre:ssion

1!.., V, = ::L e1 T , = .I.. Pe Ve T e; Expri1ncr l'&juati<m d'i:t:u l'(!)ative i un~ mole de $;:1Z de Van dcr Waals en (onction des coordonnCcs

Ex. 3 Quelques points parttculiers

reduites.

a l'intbicur de Ia boutcillc.

dansle diagramme d'Androws

Ex. 6 Fusion de gla~ons dans un verre d'eau

On considCI"<' les rourbcs isothcnnes aux temptrarures T, et T 2 sur It diagrammc liquide-v<~pc:ur rlisemC ci--dessous..

•

,·,

.

Po

'•

a-

ture).

''

2) C2leu!er ta crtation d'entr<.>pie lors de eeue e,vlu-

'

tion. Dmmits : - cnth.,Jpie rrn~.ssique de (usion de l'eau a 0 ..c 61\ooH = 333 J . g-e ; - apacitC tbermiquc massique de reau liquidc t, = 2,10J·g· I , K ~ • j

'' E '\

• '

'•

v I)

On introduit deux glacQns de 10 g ch:tcun, initi.l'llemcnt 19 °C, dans un ' 'errc d 'eau de 250 mL, reau e1ant initialement ;\ 25 °C. On neglige les khangct

thcrmiques a"-.:c l'atmosphCrc. I) DCt<.'rmincr l'etat final (etat ph)'Siquc.' et tc.'mp(>ra-

c

' '

p, =

t.a temperature T

a Ia tcmpC:raturc i

2

1

e$t-elle sup&ieure ou infericun:

?

l) Placer sur le diagramme lcs points sui\•ants : A : \'apeur saturantc

aIa prn.sion PI en I'absence de

l.iquide ; 8 : \'apcur sCchc a La pn.-ssion P: <.'t a Ia temp(:raturc Tl i

- atpacitt! thtf'1nique 2,10J · g 1 · K';

c, .

massiquc

de

- ma.sse \'Oiumique de l'eau p • I g · c:m

Ia

glace

J,

Ex. 7 M elange eau·glace dans un recipient adiabatique Rrc:ndre l'excn.;cc ptecedent en introduisant 150 g

de glace a - 19 oc dans 250 mL d'eau a 25 °C,

Ex. 8 Surfllsion de ruu

Ex. 11 Compression d"un melange air - vapaur

On place un rCdpient contc:nant 10 mL d'c:au ~ l'c:xt~· rieur>un jour oU Ia temperature en - 5 "C. L'eau, in.itialc:mcnt Jiquidc:, attdnt La tempU;rure de - .5 01C tuut en rc:$1an1 a l'eu.rliqu.ide. Sponr.anem~u, La romlite de l'c:au se transformc alon en glace .l - .5 ~c . Calculer Ia criation d 'tnU'Opie. CNnniu: - cmhalpic: masslquc: de fusion de l'eau i 0 °C .66o>H • JJlJ , g~ • ; - a~pac:itC thennique massique de l'e.:tu liquide c~ = 2,10J · a· ' · K· • ; - eapacmt thcrmique massique de Ia glac<: C..: •

2,JOJ · tr' · K·1

;

- masse volumiquc: de l'eau p • l g • an-l .

Ex. 9 Vaporisation de I"Idler On cnvisa.ge La vaporUatlon de 7,4 g d'ethcr j )4~5 OC sous une pression de 1,013 bar. Calculcr La o,-ariation d'c-nth.a.lpic et La variuion d'Cnergie interne lon de CctlC evolution. On assimik I'Cther gauux a un gu parfait c:t on nCglige lc ..'Oiumc massiquc du liquidc devant celui de La vapeur. lkmnCc1:

- enthalpie molairt de vaporisation de I'Cthcr i 34,3 "C a_H = 29,0 kJ. mol- 1 ; - mMs~mol.ai~deJ'itbt:rM = 74g · rnol· 1 •

Niveau 3 I) Un q·lind~ fcnnC par uo piston mobile <;Onti..:nt 18cm 3 d'eau liquide i IOO"C sous 110 13 bar. t.:c.nsc:mbk c:tt en avec un thermostat i 100 •c. On tire 1~ pinon l~ntement jusqu'i ce qu~ Ia d<;rniCtt gounc: de: Jiquide soit vapori&Cc.

•> Calculer lc: \'Oiume final Vr du cyllndre en co.Wderant Ia vapeur seche obte:nue comme un gaz parfait. b) ReprC:senter I'Cvolution sur un diagramme de Clapeyron. c) Calc:uler ~U. t.H, 6.$, We-t Q. 2) l...e mCme volume d e 18cm' d'eau liquid.: est iniccte dans un tecipien1 thcnnostate 8 I 00 ~ de volume v, dans lequel la v:~porl$AtiOn est i.mmtdiatc. Determiner Is eriation d'cnuopic tors de cene ch·olution. DonnleJ :

CMpitr~& I.sn~m,enl

d'CI41 <1'un Co.f!)l pur

On cnf~rme dans un cylindtc droit d~ section S e JOO cm2 un mClange Cquimolaire d'air c:t de: \'apeua: d' eau. Ce cylindrt ttt fcrtne par un pi11ton mobiJe $ailS frommcnt et de masse n(gli~able ; set parois Cta.nt permeabtes aux transferu thnm.ique$} il est place dans un the-rmostat de tempC:r.&ture T • .,. 373 K. Les deux pz soot oonsKJCres wmmc: parfaits. La prtS&;ion iniriale ~t 2 p0 = 2 bar etla hauteur initial~ du cylindre ot lr0 = 20 em. On augmc:ntc: progrc:ssivement Ia prcs:sion jusqu•! Ja valeur finale : P1 = 3 · P.o = 3bar. I) Oecerminc:t les pressions partiellcs de !'air P-.1 ct de li vapeur d'e-~u Pt.J. 2) O~tenninc:r Ia h.autt"Ur h 1 du cs·lindrc. 3) Par rapport A Ia mass~ d'eau totaJe, queUe proportion SC: troU\o'C SOUS (onne vapeur? 4) QueUe aura ~tt. Ia variation d'~nc:rgic interne: ~U du come:nu du cyUndrt loN de l'tvolution e:nviugte?

Dumoh.r' - prmion de vapeur sarun.ntt de l'eau i 373 K : p~e lbar ;

- cnthatpic m;.Hique de: \'aporisation de l'cau a .3 73 K ' A-H = 2 250 I<J · tqr' . L:: volume m.w:ique de l'eau est nt:aii~ devant celui de- Ia wpcur.

Ex. 12 antre deux corps

Ex. 10 Vaporisation reversible et iiTtvenible

- c:nthalpie massique de \o
d'eau

a

et moteur thennique I) Une mill$( ,.., ;;, 8,2:.5a de gl;,cc a 0 °C

m.isl: en oonmcc avec une m.asse rn1 = I,66 g de vapeu.r d'eau ia I 00 °C rout en re:nant II Wlt pres.\ion con.stantt:: Po = I bar. On ni:gli~ les ecl'langcs tbenniques l\'tc I'cxtiric:ur:. C!it

OCtermincr l'Ctat finale' Ia cli<~rion d 'c:ntropk. 2) En ~alitC, un mote-ur ri:vcrsible (oncrionne entre lc:s deux sources pttcidentes : La glace va fondre ct la vapeur va se oondenser. L'arrC-t du moteur <:Ur:r:cs-pond 8. J'egalite des cemptnrures des deux sources. OC:tcrminer ccne temperature ct lc travail atgebriquc rtCU par le motcur. Ju.sdfitr lc: signe du travail re~. l>Mnhs :

- entbalpie massique de fusion de l'cau 4 0 °C 61\otH • 33JJ · g~ • t - cntbalpic massiquc: d~ ''apori.sarion de l'c:au i JOO <>C .6.-H = 2 250 kJ · kg·• ; - capacitt thennique ma!lsique de l'eau liquid~ ~~ = 4, 18 J · g-. J· K·J .

·opyrighled malenal

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Solu tions des exerczces Q .C.M. Exercice 1 I ) Vrai, Ia fusion est to uiours une n!act:ion end othermique. 2) Faux, die pcut Ctrc nCgative, par excmplc dans lc cas de l'eau.

3) Faux, Ia sublimation n 'cxistc q ue pou r unc tcmpCr:~turc (ct unc p ression) infericurc(s) 3 ccUc(s) du point triple. Au-delia, il faut envisagcr le age par !'&tat liquide. 4) Faux, l'C.nergie interne ne dend que de Ia tcmpC:ratur e pour un gaz parfait. Ce:ndant, Ia variation d'energie interne n'est pas nuUe lors d'un changement d'ttat.

S} Vrai, a chaque remphature, Ia pression de vapeur saturan.te a une valeur differente.

Niveau 1 Exercice 2 Lorsque le gaz s'tchappe, Ia pression interne es-t egale a p ..' :: 2 bar tam qu'iJ reste du b utane liquide. A partir du moment oU Ia derniere gouue de liquide est vaporlsec., la pression diminue pour tendre vers Ia pression aonosphCrique. II n•y a alors plus d'Cjection de gaz.

Exercice 3 l) La temptrarurt T 1 t$l superieure 9 la temperature T t. 2) p

c

, •, ~ n

-

'' ' ' ' A -1-1,-----",;: 'f ''

e'- ---., . -1:--~'<-:

:o

'

'

''

B I,

'

L-- - - - - - - -v 3) Au point E. Cquilibre liquide-vapeur so us Ia pression de vapeur saturant Pl· Au point F, le liquide sarure est a Ia pression P1·

Exercice 4 La vaporisation de l'eau qui humidifie le papier est une evolution e:ndolhermique. L'l!ne-rgie nCcessaire est p uisCe autant dans l'atmosphl!rc que dans le rCcipiem dont Ia temperature va diminuer.

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Jm 20x2, 10dT+20x33l+[T'zn 20x4,18dT+JT' 250x4,18dT = 0. M4

2011

=> 20 X2, 10 x(273 - 254) + 20 X 333 + 20 X 4,18 X (T1 - 273) + 250 X 4,18 X (T1 - 298) = 0

= T = -20 x 2,10 x(273 -254)- 20 x333 + 20 x4,18x 273 + 250 x 4, 18 x298 r ~

20x4,18 + 250X4,18

T, = 289,5 K.

L'hypothese proposCe est d one v6rifiee.

2)

' . ·.9:

Con.sidO-rer un mtome isole comprenaml'eau et Ia glace pour en calcultu Ia va1iab0f\ d'cntropit.

Pour le systlb:mc {eau +glace}, isol~, Ia variation d'ent.rOpie est egale a l'entropie crtte.

La variation d'entropie totale du systC.me est Ia somme des variations d'enuopie de Ia glace ct de l'eau :

273 m, · b~~uH 289.,5 289,5 AS = m, . c,. In 254 + T ,_ + m, · '~ · In 273 + "'• · c, · In 298 273 20 X 333 289,5 2891 5 =4S = 20x2,10xlnm+ +20 x4,18x ln +250x4,18 xln 273 273 298 1 => L\S = 2.09 ) · K - • =:)

Le systane C:tant isoie, l'entropie echangee est nullc.

L'application du deuxieme principe conduit :i. :

S, = 4S = 2,09 J · K-• . L'entropie

creee est pos-itive, I'Cvolution est ir rCversible lors de ce cha.ngement d'ttat.

Exercice 7 ·~"r-: ConsidCrer i nouveau 'e sys1eme isole , eau ,. glace et etMsaget les hypotheses les pus p!ausibles pour l'ttat

·y

final

1) La meme hypothese qu'Q l'exercice prCddent conduit hi encore 8 I'Cquarion :

6.H = 0 = AH111- + AH ,.., =

fm m, · c, · dT + m, · Ar...H + iT' m, · c,. · dT + fT' m,. · 2~

V)

c~ · dT. ~~~-------"

II vient :

0 = m, · c1 • (273 - 254) + m1 · A,.H + "'• · c. · (T, - 273) +me· c. · (T, - 298)

=0

= 150 x 2, 10x(273-254)+ 150 x333+ 150x4,18x(f1 - 273) + 250x4,18x(f1 -298)

=> T = - 150 X 2,10 X (273 - 254) - 150 X 333 + 150 X 4,18 X 273 + 250 X 4,18 X298

=

r Tr

150 x4,18+250x4, l8

= 2SS K.

Cette valeur est incoht-rente avec l'ttat liquide propose en hypothCsc. On peut alors envisager qu'une masse de glace m' e a l'Ctat liquide (m' < m1 ),1a tempC:rature finale Ctant celle de l'~q uilib re solide-liquide, s.oit T 1 = 273 K.

6H = 6HIIK, + 4H..., = 0 =

Chapitre 6 Ch~l'lgtmer'lt d ~flit tf'un corps pur

f,,."' m, · c, · dT + m' · AfV,H Copyrighted material

=0 =m

c1 • (273- 254) + m' · Aru,H + m, · c, · (273- 298) => m' = mI · cI ·(254- 273)+mt ·
1 ·

= m':;;. 60,Sg . = 150 g , l'hypothtse est valid ee.

La masse obtenue est infhieure 4 m,

2) La variation d 'entropie d u systCrne {e:au + gl.ace } (Cgale, hi en core, al'entropie aCCe) s'exprime

par: L\S:

:m

J

dT

, J • C • -+

m' · 4r.,, H

+

Ju 2

dT

tn · C · -

T T r.,. tte ' ' T 273 , . ' AMH 273 ~ = m, ·c~· ln2S4 + T~u. +m, · ct· ln298 ""

I

I

AS • 1SO x 2,10 x Ln

273 2 54

+60,Sx

333 273 +2SOx4, l 8x ln 273 298

4,95 J · K -1 • On deduit, par application d u deuxieme prlncipe : ~AS =

S, • &S • 4,9S J · K- 1 > 0 . v evolution est irreversjble lors d e ce changement d 'etat.

Exercice 8 La surfusion cesse !'atmosphere.

i - 5 oc et Ia solidification resulte des ecbanges lher miques entre l'eau et

L'enthalpie de l'eau s'obtient en envisagean t d eux trajets amenam au memc c!tat final : glace a- 5 •c

eaua - soc

.

{"'"' m ·c ·dT

{"' m · c ·dT 27.)

I

glace a o•c

eau9.0 °C

- m · L\,_H

On deduit: ll.H_ c lO x 4,18 x (273- 268) - lO x 333 + 10 x 2,10 x (268- 273) ll.H" ' = - 3 226 J . • La v;~ria tion d 'enttopie d e l'eau se calcule sur le trajet reversible envisage :

AS

=

-

m · ~H J "' m · c · -dT + fm m·c · -dT T T r... :ns T Me

1

'

273 ll...,H AS_ = m· [ c, ·1n - T ,_ 268 L\Stft

=

=~Sa.,=

+ C1 ·

ln

268] 273

268] 10 x [ 4, t s x tn 273 - 333 +2,JO x Ln ffi

268

- l l,S J · K-•.

273

• L'tvolution se fait a 268 K et l'eau ~oit un uansfert thermique

=~: =t.~s" = - 32~~6 = -

L'cntropic echang
b.

= dlidu = - 3 226 J.

Q~t

12,0 J · K

1

•

On ne peut rien concture des signes de .!\S.._ et St II faut catculer S

· La creation d'enU'Opie Sc est telle que: S( :: a s - S( -= 0,.2 J · K-1 • La valeur obtenue es-c b ien posili"-e pour une telle evolution irreversible, correspondant rupture brutale d e 1'elat d e surfusion.

a Ia

E)(ercic·e 9 • L'cmhaJpic de vaporisation de 7,4 g d'Cthcr a pour

i:

AH -= ,, · A,..pH =

\':I leur

:

X 29,0 = 2,90 kJ.

• La valeur p recedeme est egalement le uansfert thermique re(:u par l'tther Q, = tl.H d ans les co nditions rC.versibles.

avec W, = -p · (V\' - V ~,.) (C.volution 3 pressio n constantc) . En negtigeant Vs. devant Vv et en considC.rant Ia vapeur commc un ga:t parfait: w, ... -p · Vv =-n·R·T. m Finalement : t.U = L\H - M · R · T = 2,90 · 10 )- 0,1 x 8,32 x 307,S e 2,64 kJ. D 'oU dU =

Q~ + W,

Niveau 3 Exercice 10 1) a) Le volume final de va~ur sl:-c.he est tel q ue : V = V = n . R · T = m · R · T = 18 X 8,32 X 373 -= 3 06 .

ao-: 01 ,

= lO L

6 l 8x t,O I3 · 10, ' ' • b) L'Cvolution rCvcrsiblc a lieu suivant le palier de changemem d'itat, du po int L au point V.

'

v

p

M·p

p

L' • "" " "'" ' '' '

,-, '\ . V

'' ' '

''

''

' \.,,

'--ihr-':v,------v vl v11 . v1 c) Le transfen thermique,

a pression constantc est Cga.l 3 Ia variation d'emhaJpie :

=

=

Q, • t.H m · A~,H 18 X 2 250 Le travail re"' par l'eau, a pn::$sion e<.mstante s'Ccrit :

' Jv.

= + 4Q,5 1\l,

- p · V t = - l,0 13 · 10,x30,6 · JO l = -3,1 kj. On d Cduit Ia varialion d'tnergie interne de l'eau : AU = W, + Q, = AH + \YI = 40,5 · 10' - 3, 1 · 10 ) a + 37,4 kJ . La variation d'~n trQpic de l'cau se calcule aisement, Ia temperature t lant co nsumte :

W, = \'t.p · dV =

- p·(Vv - VL) ~ - p·Vv::::

t.S •

Q = AH = 40,5 · 10 ' = + lOS 6 J . K ·• 373 373 ' -

T

Chapitre 6 Ch11ngemen1 d ' el-'1 d '•.mcorps P'"

Copynghled matenal

2) La vaporisation est ici irr(:versible, du memc etat initial au m(me
=

=

On deduit lc: transfert the.rmique L'entropie CchangCe s'Ccrit:

S

~

re~

=

par l'eau : Q = aU = 37,4 kJ .

= T~f = 373 ~ = 37,4 · 10 ' = I003j · K -• 373 ' .

D'oU Ia creation d'entropie s ... = 65 - S~ = 8,3 J · K · •, valeur positive pOur cene vaporisation itri\'ersible. L'Cvolution est irreversible : iJ )' a diffusion de molecules et les <:tats intermtdiaires nc sont pas dt!finis. Bien an&lyser c:e qui n

pane

-lors deJa vap
E.xercice 11 l) L'air et La vapeur d'eau €:tant presents en meme quamite, les pressions partielJes res-pectives de l'air ct de Ia vapeur d 'cau dans lc melange som tOU tCS deux Cga_lcs Po· l.ol vapeur d'eau est done prl:sente sous sa pression de vapeur saturante et I' augmentation de pression va entrainer un dCbut de liquefaction, Ja pression partielle de l'eau restant oonstante (tquilibre Hquide..wpeur). OndCduit: P~.• = p.et p, , = 3p0 - P~. • = 2bar.

a

b.

La d1fficutte est de comprendre qu'd y a foteement un equit.bre l1qu de·vapeur pour reau a I'E11a1 f•nal

2) L'air subit une compression isotherme, d'oU en utilisant La loi de !v\.ariotte (t'air est suppOSe etre un gaz parfait) :

3) On neglige le volume de liquide et on considc!re Ia vapeur d'eau comme un gaz parfait. 11 ,tJent pour Ia vapeur d'eau :

Po· ·• ·h, = '"• -·R·T0

{

... M

p0 · s · h-t~

=

M · R ·To

en notant respecth•ement m0 et m 1 les mas-ses initiales et finales de Ia v~1.peur d'eau. On dCduit : m 1 =

1 0 ; •

La moitiC de Ia masse inidalc de vapeur d 'cau s'cst liquCfiCc.

4) La compression est isotherme : - Ia variation d'ettergie interne de l'air, gaz parfait, est nuUe : 6U. = 0 ; - Ia variation d'Cncrgie interne de l'cnu s'C.Crit AU. = \V, + Q~ .

• Le trons.fert thermique ~u pour HquC:tier une masse d'eau d'eau constame : A =

~

T

s'txprime, a. pression de vapeur

H = _ mo. H = _ i'A. ·Po · s · ho . A H A t 2 A,-. R ·To· 2 "'P

= _ 18 · JO-' XIO' xiOO·IO -'x 20 · 10

1

2250 . 10 , 8,32X373X2 X • Le travail re~ par l'eau, a pression constante s'exprime par : Q

'

w.

__ ___

f

=-

l30SJ '

,,

=- \'.' p 0 · dV = -p0 • (s · h 1 -s · ll0 )

,

Copyri~tll~

al

W. e p0 · s ·(h0 -h 0)

JO'x

•

JOO · JO ~x(20 - 1 0)·

JO·' = IOO J .

· Finalement:
-.~: Les valeurs des muses m e1 m, etent oev etoignees len ordre de grandeuri.I'IYypottuhe Ia plus plausible est

·y

1

que tout sOil llqmde a rinat !mal

1) On suppose q u'il I'Ctat final to ut est sous forme liquide i la temperature T 1 • I:ensemble Ctant suppo~ isoiC : AH = Q, = aH• + L\Hv : 0. Pour Ia glace : 6 H 1 = m 1 ·An,, H +m 1 • c. ·(Tr-273).

Pour Ia vapeur: aliv = - m 2 • An.,.H + m 1 • ' • • (T, - :}73) . On de:duit : T , = m 1 • ' • • 273 + "'z · c, · 373 + m2 • .6....,pH - m1 • 6 1111 H (m 1 +m1 )·c, T = 8,25X4,18X273+ 1,66x4,18 x373+ 1,66x2250-8,25x333 = 314 1< . t (8,25 + 1,66)X4,18

Cene valeur, comprise entre 273 K et 373 K est cobCrente avec l'hypothesc formulee. Le systtme euuu isolt,la creation d'entropie est tgale a Ia variation d'enuopie de !'ensemble.

AS,

s, = 45

m1 • d aa.H

273

o

Tr

+

"'· ·'··In m-

m2 • 6 ..pH

373

+ "'-t ·c.·

Tr

m 373

S = AS=8,25 x333 825x418x l0 314_ 1,66 x2250+166x4 18xl 314 ( 273 + ' ' 273 373 ' ) n 373 = St :;;; L\S = + 3,64 J · K-• . La valeur est positive; le thermique amene a une diffusion d'energie, irreversible. 2) Le moteur ttant te\oersiblc, 4$ = 0 et l'tquation est identique a Ia prCcCdentc avec T ; t:- 314 K. =>

Ainsi :

L\S

=0

::

,,, · ~H 273

+ nt 1 • Cc • ln

Ti 273

-

m 2 • L\.,..pH

373

+ m't • c. • In

T; 373

.

• nr · ~H m 1 · L\,_H ( m1 + 111 2) . c,. tnT, = m 1 • c, · ln273 + m2 · c. · ln373 + 2 373 273

(8,25 + 1,66) x 4,18 x ln T ; = 8)2S x4) 18 x ln273 + 1,66 x 4, 18x In 373 + l, 1.)4

=> 41,1 x InTi = 2,34 · 10 1

10~

3~;

66

250

-

8 2

~ ;; 333

3

= Ti = exp ~ = 28 S K.

Venergie thermique recue par le moteur de Ia part de la source chaude est : ~ = - Q~ 0 ·,.,. = -O.H., = m~ ·A,.,H-m~ · c. · (Ti-T 3 ) .

L'C.nergie thermique recue par le moteur de Ia pan de Ia source froide est : Qr = - Q,._ = -AH1 = -m 1 ·A._H-m 1 ·c,·(T i -T 1 ) . Pour le cycle: Finalemenc, le travail W

AU = 0 = W + Qc + Qr, re~ par Je moteur est :

W = Clc' -Qr = -m2 • L\,.,pH + m2 • c, ·(Ti-T.) + nt 1 • ~H + m, · Cc ·(T i -T,) W • - 1,66 X 2 250 + 1,66 X 4,18 X (285- 373) + 8,25 X 333 + 8,25 X 4,18 X ( 285- 273) W • -1,18 · 10') • - 1,18 kJ. La valeur est negative pour un fon ctionnement en moteur.

Copynghted matenal

Index -A

-

D

Adilllodqoo (l r o - 0 1), 8S

M••wt {dl.eri•• ..}. 114

Dohoo (loi dol21 DH1h6 ~'•• eaz ,.rtah ,., repponi rair. 21

........ ,. . ,

Oiteftle

1'1. 18

Atdli.W. (tWOi .... • >. 51 A•ovodro - Ampiro (loi d'), 11

- do Jotolo Go~. 7!;, 121 - do Joolo 79

n.o.,...,

DiqriiiUM - tlllttoplq.... 11 7

-

B

•-•llooloes(eydoMl147 e.ft1 n o (loi ML5D

BOlle - Mlri- (loi M), 11

-c

- d'~11ilibre d'un corps pYr, 112 - d'M 170 Difljre,.;.llo (1..-L 74

E

t.•o1111 de te"''Oroluros, 19 Efficacit6 llltm1ody111emiq••. 144

t .....,.

Colorlftlilrio. 82

C.,.cilt 111-iq,.

-·,.......·--·· -·¥14---76 _..,,i,.,16. 8Q

- lftltltqM, 80

- (6choo1o d'). 73 - loto<M hlifinitioo oloi'L 73 - -lo(-itiooMrt.73 EliiMiroto - (dthitioo •• n 78 - docho.,.......d'M 172 Elttoplt

CoroO( - (cyclo M), 141

- (dtfioioioo do 1'). 112 - ...... 112 - de ••o........ d'ital. 113 - d'oo .., ,.,toil. 116

- (lftlcocit0do),142.144, 145 _ ,...........,,142.144

a.,.,,.. ,....,.

•Hlt8

Clowiw

-r•-.o detHa - lloitolitHo). 140 CotMciHttlhem~CMilelfiquu, 22

COIIM11111tlon, 170 ~

174 -· -.174 - ......lliti....

-•-,.,;.,.m Crifi4oo (poiot), 171 Cyclo (dHnhion d'oo). 118

_ .......... 112

- ll l.m.ni.rlno, 113 Eqoolioolocolo Mia stotiqoo ... .,ldot. 46 Eqolllb,. - lhemlique, 14 - thtmlodylllamiq• • · 15 Euo(c~••I...,Oid1, 170 Exltlllln (lr•odNrL 15

F

A11hle r6el. 17 Fusion, 170

- de vapeur salurante, 174 - d'u.Aft11idt en iquililne, 45 - exttde par u•IWdt. 10

G

c..,........ Uoi ~•L 11

Priocipo

G.u partait - ldmhioo tl'uo), 8 - tiquttiond'itatd'un), 15

- (premitr'l dtle ttlermodyeamique. 74 - (deuxi'"'•l de Ia thermodyn.mique, 112 - ltrois.i•me) dela thermod:yAt,.iCfue, 122 - tiro de Ia ttlem~odye.mtqlllt, 14

1-J

-

N omilh tttt.-octpenriqvn. 111 lntensiwe (grendeur), IS lrrtiveniblt ttre•slonnation). 72 lso~art (lranstormation), 78 lsochort ltnMfo....U..L78

·-·

lsolt l..,..._l, 118

Quasi s.tallque (transformalion), 72 Ritritfrltefllr, 1C3

Rtlatioolood-le de II ,......,. desloiMs. 41 RiversibJe (trtMformationt 72

- llnlolfornlltioo), 78 - critique, 115

5-T

Joele (up,rit•c• de), 73 Joelo Goy-IAouK (-oto till JS. 121 J ..to Tho"""o lditeoto tlo), 1'J

L-M u...,........,no MadliMIMfwM.N (Niin.itiOfl). ItO

Mess:e voiUftlliqt,lt d'un luidt, U Mayer (relation de), 81 Moteur l explosion. 147 MotewtlillfMiftut,141

0-R

SolidikotlM, 170 So1arce lit c-htJur, 112 Sublimttior~, 110 Surfuslon, 171

r_.,_o ciHtiqoo. tJ .......,_des_ .....lS ThermodyniMique (d86nitio. de ta), 7 Thomson (6nond1 de), 118

Travail

_.... ,..... " "_.._n

- lin torc.n .. pressioa. ll Triple (poimt 19, 171

p

-

Pos

Plllll C:OftdtfiSit, 23 P001pt hhal.... 1'3

P...O. 4'Atcloilll0de, 52 Pression - (mHure crune), 48.49 - cldtique, 11

v

-

Va• clef WMlt (iqutioa rh). 22 Vapoorlkha, 174

V1poris.eli0ft, 110 Vitene qu1dr11ique moyennt, 14

........ .een~P~~ U!.L 2St10 · ~

~"""' ;u;n 2008 2090347102

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