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PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES PASO 1

Presentado por: ANDRÉS FELIPE CHAVEZ Código 14’567.169 ALEJANDRO BOTERO Código CRISTIAN CAMILO ESCUDERO Código 1’053.778.965 FRANK CHARLES SANCHEZ VEGA Código 9’729.736 FREDI ARAMIS PALLARES Código

Grupo 299004_34

Tutora y Directora del Curso: Ana Isabel Bolaños

UNAD UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA COLOMBIA 2015

INTRODUCCIÓN

El Procesamiento digital de señales se ha convertido en un apoyo de muchas otras disciplinas como son las telecomunicaciones, control, la medicina, etc. Hoy en día es más evidente que esa interacción que se mencionó sea profundizado más con el tema de la televisión digital, la multimedia y los sistemas de información, como podemos ver cada vez se muestra más la conectividad en la comunicaciones de forma inalámbrica donde el procesamiento y acoplo de las señales digitales juegan un papel importante en el desarrollo tecnológico. Lo realmente importante es como el procesamiento de las señales digitales nos permite que los sistemas puedan tener comunicación en tiempo real esto debido a que las señales se deben muestrear a la salida a la misma velocidad que aquellas de tiempo continúo.

DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES

Dentro de la opinión generada para el articulo, es importante tener en cuenta que las carreras científico técnicas necesitan y requieren de prácticas en laboratorios, los cuales pueden ser virtuales o presenciales. Sin embargo, en el artículo se habla de la producción de unas prácticas para el desarrollo de una serie de laboratorios virtuales que van a ser muy útiles en el proceso de aprendizaje para este tipo de carreras. Esta producción técnica mejoraría la experiencia e incluso podría llegar a potencializar innovaciones en los métodos utilizados por los profesores, docentes y tutores. Es claro que se debe reducir la distancia que existe entre la teoría y la práctica, ya que en muchas situaciones, se pueden tener estudiantes que son hábiles para desarrollar problemas técnicos que surgen a partir del desarrollo académico, pero que no tienen ninguna aplicación práctica en la industria, lo cual significa que el proceso de aprendizaje se demora un poco más.

En cambio si se tiene un aprendizaje más práctico, en donde los problemas a desarrollar sean cada vez más frecuentes en la vida laboral, se pueden llegar incluso a reducir los tiempos de aprendizaje de ingenieros recién egresados en la industria, o incluso impulsar nuevos desarrollos técnicos. Lo cual lleva a pensar que la academia impulsa el desarrollo técnico de un país, pero si la academia se encarga de solucionar situaciones que son únicamente presentables en la universidad, entonces el trabajo del avance científico técnico está a cargo únicamente de la industria.

VENTAJAS: 1. REPETITIVIDAD: La distribución de los componentes permite que los sistemas digitales sean repetitivos. Por ejemplo al aplicar diferentes señales de entrada en diferentes instantes de tiempo, a un dispositivo analógico, posiblemente se obtengan señales que tiene diferencias con cierto rango de probabilidad, y si se realiza la misma operación con dispositivos digitales, se puede tener un rango de probabilidad mucho menor.

2. REPROGRAMABILIDAD: Se puede potencializar la forma de trabajo de los dispositivos digitales con solo cambiar la programación de las tareas, en cambio con los dispositivos analógicos es necesario el cambio de hardware para poder realizar ese cambio de tareas.

3. ADAPTACION: El algoritmo adaptativo de un sistema de procesamiento digital le puede permitir adaptarse a un cambio en las variables ambientales.

4. TRANSMISION DE DATOS Y ALMACENAMIENTO: Por ejemplo en un sistema de audio, la fidelidad de los sistemas digitales es mayor que la de los analógicos. La facilidad existente en los sistemas de grabación para introducir ruido en la música es bien conocida. A menos que un reproductor de discos compactos reciba un fuerte golpe, funcionará sin apenas errores, y los que se pudieran llegar a producir, se pueden corregir digitalmente sin pérdida de fidelidad.

5. COMPRESION DE DATOS: para esto se debe tener en cuenta que en todos los ejemplos de compresión analógica se pierde algo de información. Un ejemplo típico es el limitado ancho de banda que utilizan las líneas telefónicas analógicas cuando se multiplexan las llamadas, mientras que en la transmisión de datos digitales se pueden dar dos formas de compresión, sin pérdidas o con perdido

Ejercicio 2a Método Grafico de Cálculo de la Convolución Para resolver la Convolución de las secuencias:

𝑥[𝑛] = {1, {0,

10 ≤ 𝑛 ≤ 20 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 Con

ℎ[𝑛] = {𝑛, {0,

−5 ≤ 𝑛 ≤ 5 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜

Utilizaremos un método eficaz y muy útil para resolver la Convolución discreta de señales de este tipo de secuencias, aunque existen varios métodos como tabulación, analítico, entre otros, en este caso, usaremos el método gráfico. Primero definamos que la Convolución permite calcular la salida de un sistema LTI ante cualquier entrada, conociendo su respuesta impulsional. La ecuación de la Convolución es la siguiente:

Dicha expresión se denomina sumatoria de Convolución y nos dice que la respuesta del sistema LTI y[n] a una entrada x[n] es igual a la Convolución de x[n] con la respuesta al impulso h[n]. Los pasos son los siguientes: 1. Invertir temporalmente la secuencia h[k] para obtener h [-k]. 2. Desplazar h [-k] n muestras a la derecha si n>0 o hacia la izquierda si n<0 para formar h [n-k] 3. Formar los productos v[k] = x[k]h [n − k] 4. Sumar todas las muestras de v[k] para obtener el valor de la nuestra y[n].

Para empezar graficamos las secuencias x[n] y h[n]

Después desplazamos h [-k] n muestras a la derecha si n>0 o hacia la izquierda si n<0 para formar h [n-k], creamos los intervalos y formamos los productos v[k] = x[k]h [n − k]. Luego:

; [10 − 5; 20 − (−5)] = [5; 25] Es en este intervalo donde se grafica la señal y[n], es decir [5; 25] 5

𝑦[𝑛] = ∑ 𝑥[𝑛] ℎ[𝑛 − 𝑘] 𝑘=−5

Entonces: 5

𝑦[0] = ∑ 𝑥[𝑛] ℎ[𝑛 − 𝑘] = 5𝑥1 = 5 𝑘=−5 5

𝑦[1] = ∑ 𝑥[𝑛] ℎ[𝑛 − 𝑘] = 5𝑥1 + 4𝑥1 = 9 𝑘=−5 5

𝑦[2] = ∑ 𝑥[𝑛] ℎ[𝑛 − 𝑘] = 5𝑥1 + 4𝑥1 + 3𝑥1 = 12 𝑘=−5 5

𝑦[3] = ∑ 𝑥[𝑛] ℎ[𝑛 − 𝑘] = 5𝑥1 + 4𝑥1 + 3𝑥1 + 2𝑥1 = 14 𝑘=−5 5

𝑦[4] = ∑ 𝑥[𝑛] ℎ[𝑛 − 𝑘] = 5𝑥1 + 4𝑥1 + 3𝑥1 + 2𝑥1 + 1𝑥1 = 15 𝑘=−5 5

𝑦[5] = ∑ 𝑥[𝑛] ℎ[𝑛 − 𝑘] = 5𝑥1 + 4𝑥1 + 3𝑥1 + 2𝑥1 + 1𝑥1 = 15 𝑘=−5 5

𝑦[6] = ∑ 𝑥[𝑛] ℎ[𝑛 − 𝑘] = 5𝑥1 + 4𝑥1 + 3𝑥1 + 2𝑥1 = 14 𝑘=−5 5

𝑦[7] = ∑ 𝑥[𝑛] ℎ[𝑛 − 𝑘] = 5𝑥1 + 4𝑥1 + 3𝑥1 = 12 𝑘=−5 5

𝑦[8] = ∑ 𝑥[𝑛] ℎ[𝑛 − 𝑘] = 5𝑥1 + 4𝑥1 = 9 𝑘=−5 5

𝑦[9] = ∑ 𝑥[𝑛] ℎ[𝑛 − 𝑘] = 5𝑥1 = 5 𝑘=−5 5

𝑦[10] = ∑ 𝑥[𝑛] ℎ[𝑛 − 𝑘] = 0𝑥0 = 0 𝑘=−5 5

𝑦[11] = ∑ 𝑥[𝑛] ℎ[𝑛 − 𝑘] = −5𝑥1 = −5 𝑘=−5

5

𝑦[12] = ∑ 𝑥[𝑛] ℎ[𝑛 − 𝑘] = −5𝑥1 − 4𝑥1 = −9 𝑘=−5 5

𝑦[13] = ∑ 𝑥[𝑛] ℎ[𝑛 − 𝑘] = −5𝑥1 − 4𝑥1 − 3𝑥1 = −12 𝑘=−5 5

𝑦[14] = ∑ 𝑥[𝑛] ℎ[𝑛 − 𝑘] = −5𝑥1 − 4𝑥1 − 3𝑥1 − 2𝑥1 = −14 𝑘=−5 5

𝑦[15] = ∑ 𝑥[𝑛] ℎ[𝑛 − 𝑘] = −5𝑥1 − 4𝑥1 − 3𝑥1 − 2𝑥1 − 1𝑥1 = −15 𝑘=−5 5

𝑦[16] = ∑ 𝑥[𝑛] ℎ[𝑛 − 𝑘] = −5𝑥1 − 4𝑥1 − 3𝑥1 − 2𝑥1 − 1𝑥1 = −15 𝑘=−5 5

𝑦[17] = ∑ 𝑥[𝑛] ℎ[𝑛 − 𝑘] = −5𝑥1 − 4𝑥1 − 3𝑥1 − 2𝑥1 = −14 𝑘=−5 5

𝑦[18] = ∑ 𝑥[𝑛] ℎ[𝑛 − 𝑘] = −5𝑥1 − 4𝑥1 − 3𝑥1 = −12 𝑘=−5 5

𝑦[19] = ∑ 𝑥[𝑛] ℎ[𝑛 − 𝑘] = −5𝑥1 − 4𝑥1 = −9 𝑘=−5 5

𝑦[20] = ∑ 𝑥[𝑛] ℎ[𝑛 − 𝑘] = −5𝑥1 = −5 𝑘=−5

Obteniendo la siguiente gráfica de la señal de salida y[n].

Señal de salida y[n]

EJERCICIO No. 3 Encuentre la correlación entre las secuencias:  

𝑥[𝑛] = 𝑢[𝑛] − 𝑢[𝑛 − 6] y ℎ[𝑛] = 𝑢[𝑛 − 2] − 𝑢[𝑛 − 5]

Solución: Hallaremos primero que secuencias tiene cada una de las expresiones anteriores, con una longitud de n=6, tomada a criterio personal Secuencia: x [𝑛] = [𝑛] − 𝑢 [𝑛 – 6] Para n=0 Para n=1 Para n=2 Para n=3 Para n=4 Para n=5

[0] − [0 – 6] = 6 [1] − [1 – 6] = 6 [2] − [2 – 6] = 6 [3] − [3 – 6] = 6 [4] − [4 – 6] = 6 [5] − [5 – 6] = 6

Vemos que la secuencia de x [n], posee los mismos valores, quiere decir que es una señal con un pulso constante en 6. Secuencia: ℎ[𝑛] = 𝑢[𝑛 − 2] − 𝑢[𝑛 − 5] Para n=0 Para n=1 Para n=2 Para n=3 Para n=4 Para n=5

ℎ[𝑛] = 𝑢[0 − 2] − 𝑢[0 − 5] = 3 ℎ[𝑛] = 𝑢[1 − 2] − 𝑢[1 − 5] = 3 ℎ[𝑛] = 𝑢[2 − 2] − 𝑢[2 − 5] = 3 ℎ[𝑛] = 𝑢[3 − 2] − 𝑢[3 − 5] = 3 ℎ[𝑛] = 𝑢[4 − 2] − 𝑢[4 − 5] = 3 ℎ[𝑛] = 𝑢[5 − 2] − 𝑢[5 − 5] = 3

Vemos que la secuencia de h [n], posee los mismos valores, quiere decir que es una señal con un pulso constante en 3. Construimos la siguiente tabla con los resultados obtenidos previamente, con una longitud para las señales de N=6:

Ahora la expresión que define la correlación entre dos secuencias es: 𝑁−1

𝑁−1

𝑛=0

𝑛=0

1 1 𝐶𝑥,ℎ [𝑘] = ∑ 𝑥[𝑛] ℎ[𝑛 + 𝑘] = ∑ ℎ [𝑛] 𝑥[𝑛 − 𝑘] 𝑁 𝑁

𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑛 = 0,1,2,3 …

Llamada correlación cruzada entre dos señales Donde: Cx, n = Resultado de la correlación cruzada entre las secuencias x[n], h[n]. N = Longitud de las secuencias x [n] = Secuencia 1 h [n] = Secuencia 2 La correlación existente entre ambas señales puede efectuarse mediante la suma de los productos de los correspondientes pares de puntos. La correlación es idéntica con la Convolución, ya que se desplaza la segunda señal a la derecha, se calcula la secuencia producto, y se determina su suma así:

n x [n] h [n] h [n+1] h [n+2] h [n+3] h [n+4] h [n+5] h [n+6] Cx,h

0 6 3 3 3 3 3 3 3 90

1 6 3 3 3 3 3 3 3 90

2 6 3 3 3 3 3 3 3 90

3 6 3 3 3 3 3 3 3 90

4 6 3 3 3 3 3 3 3 90

5 6 3 3 3 3 3 3 3 90

k

Cx,h

0 1 2 3 4 5 6

(6x3)+(6x3)+(6x3)+(6x3)+(6x3)+(6x3) = 90 (6x3)+(6x3)+(6x3)+(6x3)+(6x3)+(6x3) = 90 (6x3)+(6x3)+(6x3)+(6x3)+(6x3)+(6x3) = 90 (6x3)+(6x3)+(6x3)+(6x3)+(6x3)+(6x3) = 90 (6x3)+(6x3)+(6x3)+(6x3)+(6x3)+(6x3) = 90 (6x3)+(6x3)+(6x3)+(6x3)+(6x3)+(6x3) = 90 (6x3)+(6x3)+(6x3)+(6x3)+(6x3)+(6x3) = 90

La señal h [n], se desplaza hacia la derecha obteniendo la suma de los productos de los correspondientes pares de puntos. En cada desplazamiento se observa que el resultado de la correlación de las dos señales, es igual a 90, y es porque la segunda señal es una señal periódica con un mismo patrón numérico de 3, y aunque se desplace hacia la derecha, sus valores siguen siendo los mismos, ya que los números que vienen de izquierda a derecha de la señal h [n], también son valores numéricos de valor 3. Por lo tanto la correlación de las dos señales x [n] y h [n] es: 𝑁−1

1 𝐶𝑥,ℎ [𝑘] = ∑ 𝑥[𝑛] ℎ[𝑛 + 𝑘] = 𝑁 𝑛=0

𝑁−1

1 𝐶𝑥,ℎ [𝑘] = ∑(6 𝑥 3) + (6 𝑥 3) + (6 𝑥 3) + (6 𝑥 3) + (6 𝑥 3) + (6 𝑥 3) = 90 𝑁 𝑛=0

𝐶𝑥,ℎ [𝑘] = 90 Con la gráfica de salida:

EJERCICIO No. 4 Considere un sistema descrito por la ecuación en diferencias [𝑛] = [𝑛 − 1] − 𝑦[𝑛 − 2] + 0.5𝑥[𝑛] + 0.5𝑥[𝑛 − 1] Encuentre la respuesta de este sistema a la entrada [𝑛] = (0.5)n [𝑛] Con condiciones iniciales (−1) = 0.75 y (−2) = 0.25 Solución: Lo que primero debemos hallar, son los valores de la entrada [𝑛] = (0.5)n [𝑛], entonces:

[𝑛] = (0.5)n [𝑛] [-2] = (0.5)-2 [-2] = - 8 [-1] = (0.5)-1 [-1] = - 2 [0] = (0.5)0 [0] = 0 [1] = (0.5)1 [1] = 0,5 [2] = (0.5)2 [2] = 0,5 [3] = (0.5)3 [3] = 0,375 [4] = (0.5)4 [4] = 0,25 [5] = (0.5)5 [5] = 0,15625 [6] = (0.5)6 [6] = 0,09375 [7] = (0.5)7 [7] = 0,0546875 [8] = (0.5)8 [8] = 0,03125 [9] = (0.5)9 [9] = 0,0175 [10] = (0.5)10 [10] = 0,009765

Ahora calculamos la ecuación en diferencia, teniendo en cuenta las condiciones iniciales (−1) = 0.75 y (−2) = 0.25 [𝑛] = [𝑛 − 1] − 𝑦[𝑛 − 2] + 0.5𝑥[𝑛] + 0.5𝑥[𝑛 − 1] Para n=0: [0] = [0− 1] − 𝑦[0 − 2] + 0.5𝑥[0] + 0.5𝑥[0 − 1] [0] = [− 1] − 𝑦[− 2] + [0] =

0,75 –

0,25 +

0 0

+ 0.5𝑥[− 1] - (0,5)(-2)

=

1,5

Para n=1: [1] = [1− 1] − 𝑦[1 − 2] + 0.5𝑥[1] + 0.5𝑥[1 − 1] [1] = [0]

− 𝑦[− 1]

[1] = 1,5 –

0,75

+ (0,5)(0,5) + 0.5𝑥[0] +

0,25 -

0

=

1

Para n=2: [2] = [2− 1] − 𝑦[2 − 2] + 0.5𝑥[2] + 0.5𝑥[2 − 1] [2] = [1]

−

𝑦[0]

[2] =

–

1,5

1

+ 0,5(0,5)+ 0.5𝑥[1] +

0,25 -

0,25

=

- 0,5

Para n=3: [3] = [3− 1] − 𝑦[3 − 2] + 0.5𝑥[3] + 0.5𝑥[3 − 1] [3] = [2]

−

[3] = -0,5 –

𝑦[1]

+ 0,5(0,375)+ 0.5𝑥[2]

1

+ 0,1875 + 0,25

=

- 1,0625

Para n=4: [4] = [4− 1] − 𝑦[4 − 2] + 0.5𝑥[4] + 0.5𝑥[4 − 1] [4] = [3]

−

𝑦[2]

+ 0,5(0,25)+ 0.5𝑥[3]

[4] = - 1,0625 – (-0,5) + 0,125 + 0,1875

=

- 0,25

Para n=5: [5] = [5− 1] − 𝑦[5 − 2] + 0.5𝑥[5] + 0.5𝑥[5 − 1] [5] = [4]

−

𝑦[3]

+ 0,5(0,15625)+ 0.5𝑥[4]

[5] = - 0,25 – (-1,0625) + 0,078125 + 0,125

=

1,015625

Para n=6: [6] = [6− 1] − 𝑦[6 − 2] + 0.5𝑥[6] + 0.5𝑥[6 − 1] [6] = [5]

−

𝑦[4]

+ 0,5(0,09375)+ 0.5𝑥[5]

[6] = 1,015625– (-0,25) + 0,046875 + 0,078125

=

1,390625

Para n=7: [7] = [7− 1] − 𝑦[7 − 2] + 0.5𝑥[7] + 0.5𝑥[7 − 1] [7] = [6]

−

𝑦[5]

+ 0,5(0,0546875)+ 0.5𝑥[0,09375]

[7] = 1,390625 – 1,015625 + 0,02734375 + 0,046875

=

0,44921875

Para n=8: [8] = [8− 1] − 𝑦[8 − 2] + 0.5𝑥[8] + 0.5𝑥[8 − 1] [8] = [7]

−

𝑦[6]

+ 0,5(0,03125)+ 0.5𝑥[7]

[8] = 0,44921875 – 1,390625 + 0,015625 + 0,02734375

=

-0,85546875

=

-1,2803125

Para n=9: [9] = [9− 1] − 𝑦[9 − 2] + 0.5𝑥[9] + 0.5𝑥[9 − 1] [9] = [8]

−

𝑦[7]

+ 0,5(0,0175)+ 0.5𝑥[8]

[9] = -0,85546875 – 0,44921875 + 0,00875 + 0,015625

Para n=10: [10] = [10− 1] − 𝑦[10 − 2] + 0.5𝑥[10] + 0.5𝑥[10 − 1] [10] = [9]

−

𝑦[8]

+ 0,5(0,009765)+ 0.5𝑥[9]

[10] = -1,2803125– (-0,85546875) + 0,004882 + 0,00875

=

-0,411211

Se obtuvo la siguiente tabla que contiene la solución homogénea de la ecuación [𝑛] = [𝑛 − 1] − 𝑦[𝑛 − 2] + 0.5𝑥[𝑛] + 0.5𝑥[𝑛 − 1], con la respuesta de este sistema a la entrada 𝑥[𝑛] = (0.5)n 𝑢[𝑛].

SOLUCIÓN n

y [n]

0

1,5

1

1

2

-0,5

3

-1,0625

4

-0,25

5

1,015625

6

1,390625

7

0,44921875

8 9

-0,85546875 -1,2803125

10

-0,41121175

Con los datos tabulados se obtuvo la gráfica de la ecuación en diferencia.

y [n] 2 1,5

1 0,5 0 0 -0,5 -1

-1,5

2

4

6

8

10

12

EJERCICIO NO. 5

Una señal dada por x (t) = 2cos (3𝜋𝑡) se muestra con una frecuencia de 20 hz, comenzando en t =0

a) ¿la frecuencia de muestreo es suficiente para la señal? (sugerencias): Para que se verifique el teorema de muestreo, es necesario tener más de dos muestras por periodo. Esta se cumple si Fm >2Fmax Fm > 2B, siendo B el ancho de banda de la señal. Entonces Fm = 20hz en el intervalo - Fm/2 < F < Fm/2 Fk = ± F0+K Fm,K = 0, ± 1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6  

Las señales nunca son de banda limitada y siempre hay ruido presente La idea es mantener el aliasing tan bajo como sea posible y también reducir la rata de muestreo al mínimo, reducir el ancho de banda del sistema, la cual se logra realizando filtraje en la señal de entrada

Donde se ha considerado k=1, la frecuencia de 10 hz muestreada a 20hz no es suficiente para la señal b) Encontrar las primeras seis muestras de la secuencia.



N  2K , K  1,2,3,4,5 Para k = 1 se obtiene el periodo de frecuencias de seis 3 muestras 𝜋

X(n) = 2cos(2 𝑛), 𝑛 = 0,1,2,3,4,5 2 2  2 2 x(n)  2, , ,2, , 1 2  1 1



c) Teniendo en cuenta que la señal muestreada se representa como x[n],¿cómo se representaría la misma señal retrasada en cuatro periodos de muestreo?

 3

N  2K , K  1,2,3 Para k = 1 se obtiene la señal retrasada en cuatro periodo

Entonces: 𝜋  2 2 X(n) = 2cos ( 2 𝑛), 𝑛 = 0, 1, 2,3 x(n)  2, , ,2  1 1



EJERCICIO NO. 6

Utilice la Transformada Discreta de Fourier (DFT, del inglés Discrete Fourier Transform) para encontrar las muestras del espectro de frecuencia, tanto en magnitud como en fase, de la siguiente secuencia x[n] = {2,-1,3}. Una vez encuentre las muestras del espectro, aplique la Transformada Discreta de Fourier Inversa (IDFT, del inglés Inverse Discrete Fourier Transform) para recuperar la secuencia original. Discreta directa: para poder decir que se le puede aplicar la transformada discreta si la señal: xn= es la señal xn= valga cero para cualquier (n) negativo . xn= valga cero para cualquier valor de (N) superior número de puntos puntos que queremos calcular menos (-1). kn= número de periodos en la señal. n= es el valor de la posición de cada una de las muestras. Ejercicio a desarrollar. 𝑥[𝑛] = {2, −1,3} 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑛𝑜𝑡𝑎𝑟 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 (3) => 𝑛 − 1 = > 2−1= 2 Orden =3 la sumatoria se realiza hasta n=2 (Para k=0) 2𝜋00𝑗 => 2𝑒 0 => 2.1 = 2 3

𝑥(0) = ∑ 𝑥(𝑛)𝑒

2𝜋𝑗𝑛𝑘 𝑁

≡ 2

𝑥(0) = ∑ 𝑥(𝑛)𝑒

2𝜋𝑗𝑛𝑘 𝑁

≡ −1

𝑥(0) = ∑ 𝑥(𝑛)𝑒

2𝜋𝑗𝑛𝑘 𝑁

≡ 3

2𝜋10𝑗 => −1𝑒 0 => −1.1 = −1 3

2𝜋20𝑗 3

=> 3𝑒 0 => 3.1 = 3

Sumatoria 𝑹/𝒙(𝟎) = 𝟐 + (−𝟏) + 𝟑 = 𝟒 Para k=1 2𝜋01𝑗 => 2𝑒 0 => 2.1 = 2 3

𝑥(1) = ∑ 𝑥(𝑛)𝑒

2𝜋𝑗𝑛𝑘 𝑁

≡ 2

𝑥(1) = ∑ 𝑥(𝑛)𝑒

2𝜋𝑗𝑛𝑘 𝑁

≡ −1

𝑥(1) = ∑ 𝑥(𝑛)𝑒

2𝜋𝑗𝑛𝑘 𝑁

≡ 3

2 2𝜋11𝑗 => −1𝑒 3𝜋𝑗 3

4 2𝜋21𝑗 => 3𝑒 3𝜋𝑗 3

De exponencial a trigonométrica 2 2 2 1 1 √3 √3 −1𝑒 3𝜋𝑗 = −1 [𝑐𝑜𝑠 ( 𝜋) − 𝑗𝑠𝑒𝑛 ( 𝜋)] => −1 [− − 𝑗 ] => + + 𝑗 3 3 2 2 2 2

4 4 4 1 3 √3 √3 3𝑒 3𝜋𝑗 = 3 [𝑐𝑜𝑠 ( 𝜋) − 𝑗𝑠𝑒𝑛 ( 𝜋)] = 3 [− − [− ]] = − + (𝑗3 ) 3 3 2 2 2 2

1

3

Sumatoria 2 + 2 + (− 2) + 𝑗

√3 2

+ (𝑗3

√3 ) 2

=> 1 + 2√3

=> 𝐑/𝟏 + 𝟐√𝟑

Para k=2 2𝜋02𝑗 => 2𝑒 0 => 2.1 = 2 3

𝑥(2) = ∑ 𝑥(𝑛)𝑒

2𝜋𝑗𝑛𝑘 𝑁

≡ 2

𝑥(2) = ∑ 𝑥(𝑛)𝑒

2𝜋𝑗𝑛𝑘 𝑁

≡ −1

𝑥(2) = ∑ 𝑥(𝑛)𝑒

2𝜋𝑗𝑛𝑘 𝑁

≡ 3

4 2𝜋12𝑗 => −1𝑒 3𝜋𝑗 3

8 2𝜋22𝑗 => 3𝑒 3𝜋𝑗 3

De exponencial a trigonométrica 4 4 4 1 1 √3 √3 −1𝑒 3𝜋𝑗 = −1 [𝑐𝑜𝑠 ( 𝜋) − 𝑗𝑠𝑒𝑛 ( 𝜋)] => −1 [− + 𝑗 ] => − 𝑗 3 3 2 2 2 2 4 8 8 1 3 3√3 √3 3𝑒 3𝜋𝑗 = 3 [𝑐𝑜𝑠 ( 𝜋) − 𝑗𝑠𝑒𝑛 ( 𝜋)] = 3 [− − 𝑗 ] = − − 𝑗 3 3 2 2 2 2

1

3

Sumatoria 2 + 2 − 2 + (−𝑗 Respuestas de la función 𝒙(𝟎) = 𝟐 + (−𝟏) + 𝟑 = 𝟒 𝒙(𝟏) = 𝟏 − 𝟐√𝟑 𝒙(𝟐) = 𝟏 − 𝟐√𝟑

√3 ) 2

+ (−𝑗

3√3 2

)

𝑅/ 1 − 2√3

CONCLUSIONES



Por medio de las lecturas realizadas a los artículos propuestos en la guía integrada de actividades e investigaciones en la web, me pude dar cuenta de la importancia que tiene procesamiento Digital de señales en nuestra vida diaria, ya que en casi todos los dispositivos electrónicos, manejan un procesamiento de señal que nos ha permitido acelerar procesos que antes eran muy lentos y engorrosos, y otros nos ha permitido hacer la vida más fácil y práctica.

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Las temáticas propuestas por el curso de procesamiento Digital de Señales, son de vital importancia para nuestro aprendizaje como futuros ingenieros, puesto que nos ha permitido conocer de qué manera y con qué procesos se puede analizar una señal discreta, también de qué manera se puede buscar patrones por emparejamiento, como es el caso de la correlación. Así que de nosotros como estudiantes depende un buen aprendizaje, y logrará el éxito, no solo en el análisis y tratamiento de señales digitales, sino también en cursos futuros donde se necesite tener herramientas de análisis de señales discretas.

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Podemos decir que se utilizaron los métodos estudiados, como Convolución, correlación, ecuaciones en diferencia, transformada discreta de Fourier, entre otros, para la elaboración de los diferentes ejercicios propuestos en la guía, pues se logró un entendimiento más adecuado del uso de las herramientas que nos permite lograr un mejor entendimiento gracias a su versatilidad y gran variedad de aplicaciones.

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Con este trabajo se logró reconocer la temática de introducción al procesamiento de señales que han sido propuestos en nuestro modulo. Que sirvieron para el desarrollo adecuado de esta actividad y el manejo de funciones basadas en la correlación, Convolución y sistemas discretos.

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Quedo demostrado que la Transformada de Fourier tiene una aplicación importantísima en los procesos digitales que permite el desarrollo tecnológico.

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Por medio de la elaboración del trabajo se concluye el familiarizarnos con el análisis matemático de cada uno de los ejercicios propuestos para fortalecer nuestras competencias.

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Trabajar en equipo con los demás compañeros del curso. Con el objetivo de dar cumplimiento a las actividades del curso.

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Realizar el estudio y análisis de las referencias bibliográficas para cumplir con lo solicitado en el curso.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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