Operacion Con Fracciones f5p66
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Unidad II
Operaciones con fracciones En esta unidad usted aprenderá a: • Sumar y restar fracciones con un mismo denominador. • Sumar y restar fracciones con diferente denominador y con números mixtos. • Multiplicar números con fracciones. • Dividir números con fracciones. Le servirá para: • Hacer sumas y restas de cantidades de productos expresadas en enteros y fracciones. • Determinar el total de ventas de un producto cuando éste se vende por partes o fracciones. • Calcular la suma total de uno o varios productos cuando éstos se tratan en fracciones de diferentes valores. • Calcular la diferencia entre dos cantidades expresadas en fracciones. • Determinar la cantidad que queda de una mercancía después de haber realizado las ventas del día en partes o fracciones.
Tema 1
Suma de fracciones con igual denominador
Tema 2
Resta de fracciones con igual denominador
Tema 3
Suma de fracciones con diferente denominador
Tema 4
Resta de fracciones con diferente denominador
Tema 5
Multiplicación de fracciones
Tema 6
División de fracciones
NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA
Tema 1
Suma de fracciones con igual denominador
H
oy, durante la mañana, Karina vendió 1 de kg de queso; luego, despachó
4 3 de kg de queso; y un poco más tarde, otro 1 de kg. 4 4
Para saber qué cantidad vendió en total, Karina hace la suma de fracciones de la siguiente manera. Paso 1 Acomoda las fracciones que se van a sumar una enseguida de la otra, separándolas con el signo de más (+). 1 + 3 + 1 = 4 4 4 Paso 2 Verifica que todas las fracciones que se van a sumar tengan común denominador, lo cual quiere decir que se van a sumar cuartos y por lo tanto el resultado debe obtenerse en cuartos. 1 + 3 + 1 = común denominador 4 4 4 4 64
OPERACIONES CON FRACCIONES
Paso 3 Suma los numeradores: 1 + 3 + 1 = 5 Paso 4 Escribe el total (5) sobre el común denominador (4): 1 + 3 + 1 = 1+3+1 = 5 4 4 4 4 4
Común denominador
Paso 5 En caso de que el resultado sea una fracción con el numerador mayor que el denominador, se hace la división para obtener el resultado en un número mixto. 1 5 =5÷4= 4 5 = 1 1 4 4 -4 1 Las ventas de queso realizadas por Karina se pueden expresar así: 1 kg + 3 kg + 1 kg = 5 kg = 1 1 kg 4 4 4 4 4 Para comprobar lo anterior, observe las siguientes figuras. Primero vendió
1 4
Luego vendió 3 4
+
= 4
=
Hasta ahora ha vendido 4
4
Más tarde vendió 1
4
4
+
= 5 4
65
NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA
Generalmente conviene simplificar el resultado de una suma de fracciones, encontrando la fracción equivalente con el denominador más pequeño.
Ejemplo 5 1 + = 12 12 Sumando los numeradores: 5 + 1 = 6 5 1 6 + = 12 12 12 El resultado
÷6 6 12
6 se puede simplificar 12
○○○○○○○○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
dividiendo entre 6 ambos términos.
66
=
1 2
÷6
Ejercicios 1. Realice las siguientes sumas de fracciones.
Ejemplo a)
4 4+3 7 3 + = = 5 5 5 5
b)
1 2 2 + + = 3 3 3
d)
6 2 + = 6 6
c)
4 2 + = 9 9
e)
1 3 1 + + = 2 2 2
Problema 1. La señora Eloísa compró en la carnicería tres cuartos de kilo de lomo de puerco, un cuarto de kilo de chuletas de puerco y tres cuartos de kilo de costillas de res. La señora Eloísa desea saber cuánto compró de carne en total.
OPERACIONES CON FRACCIONES
Suma de números mixtos con el mismo denominador
Don Pepe vende leche en un
establo; para hacer sus cuentas de la cantidad de litros que vende al día, anota en una libreta las cantidades que va vendiendo. Antes sumaba mentalmente los litros y luego los medios litros, diciendo un litro y 1
medio más tres litros y medio son 5 litros, más dos litros y medio son 7 2 litros, más cuatro litros y medio son 12 litros. También se pueden hacer las cuentas con lápiz y papel escribiendo las cantidades en fracciones, como se muestra a continuación. Paso 1 Se escriben las cantidades en fracciones o números mixtos, uno enseguida del otro, separándolos con el signo más (+).
1 1 +31 +2 1 +4 1 = 2
2
2
2
Paso 2 Se suman todos los enteros.
1 + 3 + 2 + 4 = 10 Paso 3 Por separado, se suman las fracciones del mismo denominador. Se suman los numeradores y el resultado se escribe sobre el común denominador. 1 1 1 1 4 + + + = 2 2 2 2 2 67
NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA
Paso 4 Si el resultado es una fracción con el numerador mayor que el denominador, conviene hacer la división para obtener el resultado en un número mixto o entero. 2 4 = 2 4 = 2 2 -4 0 Paso 5 Finalmente, se agregan a la suma de enteros el resultado de la suma de las fracciones.
10 + 2 = 12
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
Don Pepe lleva vendidos 12 litros (1
68
1 1 1 1 +3 +2 +4 = 12) 2 2 2 2
Ejercicios 1. Realice las siguientes sumas de fracciones. a)
5
1 1 +3 = 4 4
b)
6
3 3 +3 = 10 10
d)
9
2 6 +3 = 4 4
c)
7
2 4 +6 = 9 9
e)
3
3 6 +1 = 2 2
Problemas 1. Doña Juana fue al mercado a comprar su mandado del día para preparar la comida. Doña Juana compró: 3 de kg de papas 4 1 de kg de carne molida 4 1 de kg de arroz 4
Todo lo guardó en su bolsa de mandado. ¿Cuánto pesaba la bolsa de doña Juana?
2. Lalo tenía en su papelería un rollo de hule de 30 metros. Tiene una lista de lo que vendió: en la primera semana, 5 8
1 1 metros; en la segunda semana, 6 metros; y 2 2
1 metros, en la tercera. Hace la cuenta de los metros que vendió para saber 2
cuántos metros le quedan en el rollo. ¿Podría usted ayudarle a realizar sus cuentas por escrito para saber cuántos metros de hule vendió en las 3 semanas?
3. La señora Aurelia vende tacos de suadero los viernes, sábados y domingos. Ella lleva la cuenta de los kilos de carne que vende por día. 1 kilos 2 1 Sábado, 2 kilos 2 1 Domingo, 3 kilos 2
Viernes, 3
¿Podría usted ayudarle a saber cuántos kilos vendió, para calcular la compra de carne para el siguiente fin de semana? 4. La señora Valeria vende quesadillas todos los días, para ello compra queso cada tercer día. Lunes, 2
1 1 kilos; miércoles, 1 kilos; viernes, 2 kilos. ¿Cuántos 2 2
kilos de queso compra en la semana?
○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
OPERACIONES CON FRACCIONES
69
NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA
Tema 2
Resta de fracciones con igual denominador
D
on Sebastián partió un queso en ocho partes, es decir, tiene
cuánto le quedó del queso si vendió sólo dos partes, es decir, 2 .
8 ; quiere saber 8
8
Para resolver este problema, siguió el siguiente procedimiento. Resto los numeradores, y la diferencia la escribió como fracción con el mismo denominador. 8 - 2 = 8-2 = 6 8 8 8 8
8 6 3 2 = = 8 8 4 8 70
OPERACIONES CON FRACCIONES
Observe usted que la primera figura representa la fracción 8 . La segunda 8
representa el resultado (diferencia), después de restar o quitar 2 . En la figura 8 6 también se observa que el resultado se puede simplificar con la fracción 8 3 equivalente 4 .
Ejemplo Si don Sebastián vende por la tarde otros tres pedazos de su queso, ¿cómo puede saber cuánto le queda de su pieza original de queso?
A don Sebastián, a medio día, sólo le quedaban 6 de su queso original, por lo que a 8 esta cantidad le deberá restar los tres pedazos que vendió en la tarde. Como los pedazos corresponden a octavos del queso original, éstos se pueden 3 expresar como la fracción y como ésta tiene el mismo denominador que la 8 fracción anterior, se puede hacer la resta de las fracciones, de la siguiente manera. 6 3 6-3 3 = = 8 8 8 8 A don Sebastián sólo le quedan 3 de su queso original. 8
Observe que cuando las fracciones tienen el mismo denominador, su resta se puede hacer directamente restando los numeradores y poniéndoles el común denominador. 71
○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA
72
Ejercicios 1. Realice las siguientes restas de fracciones.
Ejemplo a)
6 3 6-3 3 = = 2 2 2 2
b)
8 6 7 7
=
d)
4 2 = 4 4
c)
9 3 6 6
=
e)
7 2 = 3 3
Problemas 1
1. Don Pepe tiene una vaca que le da 30 litros de leche al día. Si ayer vendió 2 1 18 litros, ¿cuánta leche le sobró? 2
3
1
2. Un pintor tiene 19 4 litros de pintura; el primer día utilizó 6 litros, el 4 1 segundo día empleó 8 4 litros. ¿Podría usted ayudarle a saber cuánta pintura le sobra para seguir pintando el siguiente día?
OPERACIONES CON FRACCIONES
Tema 3
Suma de fracciones con diferente denominador
I
1 de litro de crema para hacer un postre. Si en el refrigerador 4 3 1 tiene un recipiente con de litro de crema y otro con litro, ¿le alcanza o 4 2
sabel necesita 1
tiene que comprar más crema?
Isabel, para conocer si le alcanza la crema que tiene, debe sumar comparar su resultado con lo que necesita ( 1 alcanza su crema o tiene que comprar más. Suma de lo que tiene:
3 1 y ; luego, 4 2
1 de litro) y con ello definir si le 4
3 1 + = ? 4 2
En esta suma de fracciones, se puede observar que cada una de las fracciones que la componen tienen diferente denominador. Isabel recordó que para sumar o restar fracciones éstas deben tener el mismo denominador, por lo que decide encontrar fracciones equivalentes con el mismo denominador. 73
NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA 3
1
Como tiene las fracciones y 2 , tratará de encontrar una fracción equivalente 4 1 a pero con denominador de 4. 1 ? 2 = 2 4 Para esto, se debe buscar un número que multiplicado por 2 de 4. Este número es el 2, por lo que la fracción equivalente a 1 con denominador 4 será: 2
x2 1 2
=
2 4
x2 Con esta fracción equivalente, se puede plantear la suma de las fracciones de Isabel, de la siguiente manera: 3 2 + = 4 4 Con lo que el resultado será la suma de los numeradores con denominador 4. 3 2 3+2 5 + = = 4 4 4 4 Realizando la conversión a números mixtos se tiene: 1 4 5 5 1 =1 4 4 -4 1 Con este resultado, Isabel se da cuenta que los 3 de litro y el 1 de litro de 4 2 crema que tiene suman 1 1 litros que es exactamente lo que necesita para hacer 4 un postre, por lo que no tiene que comprar más crema.
Ejemplo La señora Araceli tiene un negocio donde vende quesadillas. Ella fue a visitar por la noche a su comadre para que le ayudara a calcular cuántos kilos de masa tiene 3 que comprar para el día siguiente, si por la mañana usó 5 de kg de masa y por 4 1 la tarde 4 de kg de masa. 2
En este caso, se trata de una suma de números mixtos. Entonces, para saber el total de kilos de masa, hay que hacer la siguiente suma: 3 1 5 + 4 = 4 2 74
OPERACIONES CON FRACCIONES
Primero Sume los enteros:
5+4=9
Segundo Sume las fracciones: 3 1 + = 4 2
Recuerde que para sumar fracciones se necesita que todas tengan el mismo denominador. Enseguida, se busca una fracción equivalente a 1 con denominador 4. Observe que el 2 se puede 2 igualar al 4 multiplicándolo por 2.
x2 1 2
=
2 4
x2
Ahora tenemos la suma de fracciones con el mismo denominador: 3 + 1 = 3 + 2 = 3+2 = 4 2 4 4 4
5 4
5
Araceli se da cuenta que el resultado es una fracción con el numerador más 4 grande que el denominador, por lo que conviene convertirlo a número mixto haciendo la división 5 ÷ 4.
1 4 5 -4 1
5 = 1 1 4 4
Finalmente, volvemos a sumar enteros con enteros y al resultado se le agrega la parte fraccionaria de la siguiente forma:
9 kg + 1
1 1 kg = 10 kg (diez kilos un cuarto) 4 4 75
NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA
Otra manera de realizar este tipo de sumas es pasando los números mixtos a decimales y, luego, hacer la suma con la calculadora. Recuerde que para convertir un número mixto a un número decimal sólo se requiere agregar a la parte entera el decimal que resulte de la división de la fracción. Observe:
5
3 3 =5+ 4 4
Entonces:
5
3 = 5 + 0.75 = 5.75 4
Tambien:
4
1 1 =4+ 2 2
Entonces:
4
1 = 4 + 0.50 = 4.50 2
3 ÷ 4
= 0.75
1 ÷ 2
= 0.50
Ahora, se suman los números decimales usando la calculadora:
5
•
7
5
+
4
•
5
=
10.25
Observe que el resultado 10.25 se puede expresar como número mixto haciendo la conversión a fracción de la parte decimal.
10.25 kg = 10
25 1 kg = 10 kg 100 4
Recuerde que 25 se simplifica dividiendo entre 25 arriba y abajo para 100 obtener la fracción equivalente igual a 1 . 4
Ejemplo Marcos tiene un negocio de cerrajería y sus ingresos mensuales son alrededor de $6,000.00, pero una quinta parte la utiliza para pagar la renta del local y la luz, y una cuarta parte la gasta en materiales. Marcos desea saber qué parte de sus ingresos usa en su negocio y qué tanto corresponde a sus ganancias. 76
OPERACIONES CON FRACCIONES
Marcos piensa que necesita hacer una suma de fracciones.
La parte de la renta ( 1 ) 5
+
La parte de los materiales ( 1 ) 4
=
La parte de los ingresos que se gastan en el negocio
Para sumar fracciones se necesita que éstas tengan el mismo denominador.
Primero, hay que buscar un común denominador para las dos fracciones ( 1 y 1 ). 5
4
Marcos se preguntó si alguno de los dos denominadores (el 5 ó el 4) podría servir para ambas fracciones. Recuerde que el común denominador es el número que es divisible entre los dos denominadores (el 5 y el 4) en forma exacta, es decir, sin residuo. Primero, probó el 5 y encontró que no funciona porque el 5 no se puede dividir de manera exacta entre 4. Luego, probó el 4 y encontró que tampoco funciona porque el 4 no se puede dividir en forma exacta entre el 5. Como ni el 4 ni el 5 funcionan como común denominador, Marcos buscó otro número. El número más seguro, aunque no siempre es el más pequeño, resulta de multiplicar los dos denominadores (4 x 5 = 20). Observe que el 20 sí funciona como común denominador porque sí es divisible entre el 5 y el 4.
20 ÷ 5 = 4 y 20 ÷ 4 = 5
77
NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA
Enseguida, Marcos trató de encontrar las fracciones equivalentes con denominador 20 para cada una de las dos fracciones.
x4 1 5
=
x5 1 4
4 20
x4
=
5 20
x5
Finalmente, Marcos hizo la suma así: 1 1 4 5 4+5 9 + = + = = 5 4 20 20 20 20 9
Observe que se pueden transformar en porcentaje buscando la fracción 20 equivalente con denominador 100. INGRESOS
x5 9 20
=
45 = 0.45 = 45% 100
x5
9
Ahora Marcos sabe que nueve veinteavos ( 20 ), o el 45% de sus ingresos, los gasta en su negocio y el resto (55%) es la ganancia que se lleva a su casa.
78
OPERACIONES CON FRACCIONES
Ejemplo El otro día fueron a visitar a don Paco tres amigos que tenían una granja de pollos en sociedad y habían decidido cerrar porque no les había ido bien. Les sobraron 35 pollos que ahora querían repartirse, de acuerdo con la participación que cada uno tenía en el negocio. A uno de los socios le pertenecía la mitad del negocio, mientras que a los otros dos 1 1 les correspondía y , 3 9 respectivamente. Como no se ponían de acuerdo de cuántos pollos les tocaban a cada uno, fueron a ver a don Paco para que les ayudara a hacer el reparto. El problema que tenían era que al dividir la cantidad de pollos entre la parte que les correspondía les resultaban cantidades con decimales y no querían partir los pollos. 1 ( ) 35 ÷ 2 = 17.5 2 1 ( ) 35 ÷ 3 = 11.6666 3 1 ( ) 35 ÷ 9 = 3.8888 9 Don Paco se dio cuenta del fondo del problema y, tomando ventaja de sus conocimientos de fracciones, aceptó ayudarles a resolver el asunto. Don Paco les aseguró que con la solución que él tenía, todos iban a salir ganando. Como don Paco tenía pollos, les ofreció prestarles uno para completar 36 pollos y así tener una cantidad más fácil de repartir sin necesidad de partir ninguno. 36
Así, al que tenía la novena parte del negocio le tocaban 4 pollos (porque = 4), 9 en lugar de los 3.888 que le correspondían. 79
NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA 36
Al socio que tenía la tercera parte le tocaron 12 pollos (porque = 12), en lugar 3 de los 11.666 que le correspondían. 36
Al que tenía la mitad del negocio le tocaron 18 pollos (porque = 18), en lugar 2 de 17.5 que le correspondían. Como sobraron dos pollos, don Paco recuperó el pollo que les había prestado y sus amigos no tuvieron inconveniente en que se quedara con el otro pollo como pago por sus servicios.
Asombrados por la astucia de don Paco, los tres amigos se despidieron muy agradecidos. ¿De qué se dio cuenta don Paco para tomar ventaja del problema de sus amigos?, ¿a qué se debe que todos salieron ganando? 1
Don Paco se dio cuenta que había un error en las participaciones de los socios ( , 2 1 y 1 ) porque la suma de las partes no correspondía con la unidad o el todo. 3
9
Don Paco representó el negocio de la granja o lo que quedaba de ésta (los 35 pollos) con un círculo, así:
80
Luego, representó en el círculo las participaciones de los tres socios ( 1 , 2 1 y 1 ). 3
9
OPERACIONES CON FRACCIONES
Y observó que quedaba una fracción sin repartir, de la cual los tres socios no se habían percatado. En la figura se puede ver que la fracción faltante podría ser un 1 poquito menor a . 9
Don Paco pensó que alguno de los tres socios tenía equivocada su participación o fracción del negocio. Recuerde que la suma de todas las fracciones que componen un todo debe ser igual a uno. Para saber la cantidad de la fracción que falta, sólo basta sumar las fracciones 1 1 1 ( + + ) y determinar por diferencia lo que falta para que sume uno. 2
3
9
1 1 1 + + = 2 3 9 Recuerde que para sumar o restar fracciones se necesita que todas tengan el mismo denominador.
Deberá buscar fracciones equivalentes que tengan el mismo denominador, por lo que hace lo siguiente: Busca el menor número posible que divida de manera exacta al 2, 3 y 9. Prueba con el número más chico de los tres que es el 2, pero ni el 3, ni el 9 son divisibles entre 2. Lo mismo sucede con el 3 y el 9, por lo que prueba el producto de los tres números: 2 x 3 x 9 = 54, número que sí es divisible entre 2, 3 y 9. Ahora, deberá encontrar las fracciones equivalentes con denominador 54. a)
1 ? = 2 54
b)
? 1 = 54 3
c)
? 1 = 54 9
Observe que si divide el común denominador (54) entre el denominador de la fracción que se tiene (?), se obtiene el número por el que se debe multiplicar el numerador para encontrar la fracción equivalente. Esto es:
a)
54 x 1 = 27 2
b)
54 x 1 = 18 3
c)
54 x1=6 9 81
NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA
Esto significa lo mismo que: a)
b)
c)
x 27 1 2
27 54
=
x6
x 18 1 3
x 27
=
18 54
x 18
1 9
=
6 54
x6
La suma quedará de la siguiente manera: 27 + 18 +6 27 18 6 51 + + = = 54 54 54 54 54 Para encontrar la cantidad que no está reportada en la sociedad, se deben restar a 1 los
51 . 54
Recordando que 1 =
54 , se tiene: 54
1 Esta fracción (
51 54 51 54 - 51 3 = = = 54 54 54 54 54
3 ) se puede representar por una equivalente de menor 54
denominador ya que tanto el 3 como el 54 se pueden dividir entre 3. 3 = 1 54 18
Recuerde que una fracción no se altera si su numerador y denominador se multiplican o dividen por un mismo número. Con las operaciones anteriores se obtiene la cantidad que falta para que las fracciones sumadas den el todo.
82
OPERACIONES CON FRACCIONES EN RESUMEN, PARA SUMAR O RESTAR FRACCIONES CON DIFERENTE DENOMINADOR, SE PUEDEN SEGUIR LOS SIGUIENTES PASOS.
1. Busque un denominador común (el menor que sea posible) que pueda ser dividido por todos los denominadores de las fracciones. 7 + 4 + 1 = 6 3 ? 9 En este caso, ninguno de los tres denominadores (6, 9 y 3) divide a los otros dos de manera exacta, por lo que se puede probar con el producto de los tres (6 x 9 x 3 = 162) o con otro número menor que pueda ser dividido por los tres (se puede probar con el 18).
18 ÷ 6 = 3 18 ÷ 9 = 2 18 ÷ 3 = 6 Aun cuando el resultado sería el mismo al usar cualquiera de los dos números (18 ó 162), es más fácil utilizar el menor. 2. Obtenga una fracción equivalente de cada una de las tres que se van a sumar, pero con denominador 18. 7 ? = , 6 18
? 1 ? 4 = y = 18 3 18 9
x3 7 6
= x3
x2 21 18
4 9
= x2
x6 8 18
1 3
=
6 18
x6
3. Ahora, sume las tres fracciones equivalentes que tienen el mismo denominador. 7 + 4 + 1 = 21 + 8 + 6 = 21 + 8 + 6 = 35 6 9 3 18 18 18 18 18 4. Cuando tenga fracciones con numerador mayor que el denominador, convierta a un número mixto. 1 35 35 17 18 3 5 = 1 18 18 18 - 18 17
83
NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA
Ejemplo 3 + 2 + 1 = ? 7 5 3 Paso 1 Busque un común denominador que sea divisible por todos los denominadores de las fracciones a sumar. El número que es dividido por los denominadores (7, 5, 3) puede ser el producto de tres denominadores.
7 x 5 x 3 = 105 3 + 2 + 1 = 7 5 3 105 Paso 2 3 2 1 Obtenga las fracciones equivalentes de , y con denominador 105. 3 = ? , 7 105
7
=
3
2 = ? y 1 = ? 5 105 3 105
x 15 3 7
5
x 21 45 105
x 15
2 5
x 35 42 105
=
1 3
x 21
=
35 105
x 35
Observe que los números por los que hay que multiplicar a los dos términos de las fracciones (15, 21 y 35) se obtienen al dividir al común denominador (105) entre el denominador de la fracción correspondiente. Por ejemplo, 105 ÷ 7 = 15. Cantidad por la que se debe multiplicar el numerador y denominador para obtener la fracción equivalente. Paso 3 Se suman las fracciones equivalentes con el mismo denominador. 3 2 1 45 42 35 + + = + + = 122 7 5 3 105 105 105 105
Paso 4 Se obtiene el número mixto. 1 105 122 -105 17 84
122 17 =1 105 105
Ejercicios 1. Resuelva las siguientes operaciones con fracciones.
a)
9
1 3 +2 = 3 6
d)
2
1 2 1 +1 +3 = 8 4 2
b)
8
1 3 +1 = 4 2
e)
2
2 4 2 +3 +4 = 5 10 3
c)
5
1 2 +1 = 6 3
f)
3
4 2 1 +2 +2 = 9 3 6
Problemas 1. El día de tianguis de la semana pasada, doña Soledad obtuvo $5,000.00 como total de su venta. Una tercera parte de la venta fue de mangos; dos quintas partes, de naranjas y toronjas; una cuarta parte, de manzanas y peras; y el resto, de verduras. a) Represente gráficamente el total de ventas y la fracción que corresponde a cada uno de los diferentes productos. b) Determine qué fracción representa la venta de frutas con respecto al total. c) Determine la fracción que representa la venta de las verduras. d) Calcule cuánto vendió doña Soledad de cada uno de los productos.
2. Don José tiene un negocio de pinturas; desea saber cuántos litros vendió en 1
3
total en el día. Hoy vendió lo siguiente: 9 2 litros de pintura blanca, 4 4 litros 1 1 de pintura negra, 3 2 litros de pintura roja y 1 4 litros de pintura azul.
○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
OPERACIONES CON FRACCIONES
85
○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA
86
3. A la ferretería de Luis llegó un cliente a comprar clavos de diferentes tamaños para hacer un mueble. El cliente le pidió lo siguiente: 3 de kilo de clavos de 1 pulgada. 4 1 1 2 kilos de clavos de 3 pulgadas. 1 2 kilo de clavos de 2 pulgadas. 1
1 4 kilos de clavos de 4 pulgadas. Ayude usted a Luis a saber el total de la venta en kilos.
4. En la rosticería de la esquina, don Manuel vende pollo rostizado; necesita 1
1
saber cuánto lleva vendido. Primero, vendió 4 de pollo; después, 2 pollo; 1 1 luego, 4 de pollo; por último, 1 2 de pollo. ¿Podría ayudarle a obtener el resultado?
5. La señora Lupe tiene un puesto donde vende crema suelta y queso blanco. 1
1
1
1
En la mañana, vendió crema: 2 litro, 1 2 litros, 1 4 litros, 1 4 litros, 3 de litro. También vendió queso: 3 de kg, 1 de kg, 2 kg, 1 kg, 1 kg, 1 kg 4
1
4
4
2
2
y 2 kg. Ella necesita saber cuánto vendió en total de crema y queso para poder surtirse nuevamente.
OPERACIONES CON FRACCIONES
Tema 4
E
Resta de fracciones con diferente denominador
n la carnicería, don Sergio tenía 7 3 kilos de carne de “maciza de puerco”; 4
quiere saber cuánta carne vendió si le sobraron 3
1 kilos. 2
Primero, lo hace mentalmente, diciendo: Siete kilos menos tres kilos me quedan cuatro kilos, y tres cuartos menos un medio 1
me queda un cuarto. Entonces me quedan 4 4 kilos de “maciza de puerco”. Este problema también se puede resolver con lápiz y papel haciendo una resta de fracciones, de la siguiente manera: Paso 1 Escriba la resta anotando, primero, la fracción más grande seguida del signo menos (–) y luego, la cantidad más chica.
7
3 1 -3 = 4 2 87
NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA
Paso 2 3 1 Encuentre el común denominador de las dos fracciones, y . 4
2
Escoja el 4 como común denominador porque el 4 puede dividirse entre 4 y entre 2. Enseguida, encuentre una fracción equivalente a
1 con denominador 4. 2
x2 1 2
2 4
= x2
Paso 3 Haga la resta de las fracciones con el mismo denominador. 3 - 1 = 3 - 2 = 3-2 = 1 4 2 4 4 4 4 Paso 4 Haga la resta de los enteros.
7-3=4 Paso 5 Agregue al resultado de la resta de los enteros el resultado de la resta de las fracciones ( 1 ). 4
7
3 1 1 -3 = 4 4 2 4
Naturalmente, esta operación también se puede realizar con la calculadora, convirtiendo, primero, los números mixtos a decimales, de la siguiente manera:
7
3 1 -3 4 2
7
•
7
= 7.75 - 3.5 5
-
3
•
5
=
4.25
Veamos ahora cómo hacer la resta cuando la fracción del número mayor (el minuendo) es menor a la del número menor (sustraendo). 88
OPERACIONES CON FRACCIONES
Ejemplo 7 1 -3 1 = 4
2
Paso 1 1 1 Encuentre el común denominador de y . 4
2
De nuevo, escoja el 4 y encuentre la fracción equivalente de
x2 1 4
1 2
1 con denominador 4. 2
2 4
= x2
Las fracciones serán
1 2 y . 4 4
Paso 2 1 2 Como a no se le puede restar se hace un ajuste, reagrupando el 7. 4
Como 7 = 6
4
4 1 5 , y agregando la fracción que se tenía ( ) queda 6 . 4 4 4
7
1 4+1 5 =6 =6 4 4 4
Paso 3 5 2 3 Ahora la resta nos queda así: 6 -3 =3 4 4 4 Otra forma de resolver una resta de este tipo es convirtiendo los números mixtos a decimales y haciendo la resta directamente con la calculadora. 1 2 7 -3 = 7.25 - 3.50 = 4 4 7
•
2
5
-
3
•
5
=
3.75
Ejercicios 1. Resuelva las siguientes restas de fracciones. a)
6 8
2 = 4
c)
b)
4 3 = 3 4
d)
5
1 1 - 1 = 2 4
3 6 = 4 8
89
○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA
90
3 2 - 3 = 2 4
e)
8
f)
6 8
g)
3
6 2
2 = 4
- 1
2 = 6
h)
8
1 1 - 2 = 3 2
i)
6
1 4
j)
7
1 3 - 5 = 4 4
- 3
1 = 3
Problemas 1. En su tocinería, don José vende longaniza. Por la mañana, tenía 6 terminar el día, había vendido en total 3 saber cuánto le quedó?
1 kilos; al 2
1 kilos. ¿Podría usted ayudarle a 4
2. En la farmacia, venden crema líquida; durante el día vendieron lo siguiente: 1
1 3 1 litros, de litro, 1 litros. ¿Cuánta 2 4 4
crema vendieron en total y cuánta crema sobró si el frasco es de 5
3. Don Jesús tenía 21
1 litros? 2
3 kilos de jitomate para 4
vender en el tianguis; al terminar la venta, sabe que vendió 13 1 kilos de jitomate. 2
¿Podría usted ayudarle a saber cuántos kilos le sobraron? 4. Doña Patricia atiende la carnicería con su esposo; una clienta le pide 2 kilos y medio de “surtida de puerco”. Doña patricia pesó
3 de kg de “falda de puerco” 4
y el resto lo completó de costilla. La clienta quiere saber cuánto le dieron de costilla si sabe que 3 de kilo son de “falda”. ¿Podría usted calcular cuánto 4
le dieron de costilla para completar los 2
1 kilos de “surtida de puerco”? 2
OPERACIONES CON FRACCIONES
Tema 5
R
Multiplicación de fracciones
amiro vende manzanas en el mercado de la Estrella; si a cada caja que recibe le
cabe 8
1 kilos de manzanas y el lunes recibió 4 cajas, ¿cuántos kilos de manzana 4
tiene para vender Ramiro?
1
Para resolver su problema, Ramiro puede sumar 4 veces 8 4 kg. 1 1 1 1 8 +8 +8 +8 = 4 4 4 4 Primero, suma los enteros: 8 + 8 + 8 + 8 = 32 Luego, suma las fracciones:
1 1 1 1 1+1+1+1 4 + + + = = = 1 4 4 4 4 4 4 91
NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA
Con lo anterior, Ramiro sabe que tiene 32 kg de los enteros y 1 kg de los cuartos, lo que da un total de 33 kg. Pero recuerda que cuando va a sumar varias veces la misma cantidad es más fácil multiplicar, por lo que hace lo siguiente: Multiplica el número de cajas (4) 1
por el peso de cada caja (8 4 kg):
4x8
1 = 4
Una forma sencilla de obtener el resultado de la multiplicación de fracciones es convertir multiplicando y multiplicador a fracciones sin que tengan números mixtos. 4
Esto implica, primero, convertir al 4 en fracción, lo que resulta sencillo porque 1 es la forma más fácil de presentar a 4 como fracción. 1
1
Luego, se debe convertir 8 4 . Como este número tiene cuartos ( ), conviene 4 convertir el 8 a cuartos y agregar los cuartos que le acompañan:
x4
8 = ? 1 4
8 1
=
32 4
x4 Se busca un número que multiplicado por 1 dé 4. Este número es el 4. Para que no se altere la fracción original (
8 ), se multiplica su numerador y denominador por 4. 1
8 32 es igual a y como la fracción 1 4 1 32 1 completa es 8 falta agregar a los el ; por lo que: 4 4 4
Con lo anterior, se sabe que la fracción
8
1 33 = 4 4
Con lo anterior, la multiplicación de las fracciones de Ramiro quedará así:
4x8 92
1 4 33 = x 4 1 4
OPERACIONES CON FRACCIONES
Para multiplicar fracciones, se multiplican los numeradores por los numeradores y los denominadores por los denominadores, sin importar si son o no iguales y con ello se obtiene una nueva fracción, producto de la multiplicación. 4 33 4 x 33 132 x = = 1 4 1x4 4 Se reduce la fracción de la siguiente manera: 33 4 132 132 -12 . = 33 kg 4 012 0 Mismo resultado que obtuvo Ramiro sumando las cajas.
Ejemplo
1
Ramiro vendió, de sus 4 cajas de manzanas, sólo 2 2 . ¿Cuánto vendió Ramiro de manzanas en kilos? Para saber cuánto vendió Ramiro, multiplica lo que pesa una caja de manzanas (8
1 1 kg) por las 2 4 2
cajas que vendió.
8
1 1 x2 =? 4 2
Convertir 8 1 a una fracción con denominador 4 porque se están manejando 1 4 cuartos ( ). 4
8 ? = 1 4
Se busca un número que multiplicado por 1 dé 4.
x4 8 1
=
32 4
x4
32 Como se tienen 8 1 , hay que agregar a los el 1 que falta, lo que da: 4 4 4 1 33 8 = 4 4 93
NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA
Convertir 2
1 2
a una fracción impropia con denominador 2 porque se están
manejando medios ( 1 ). 2
x2
Primero, se toma al 2. 2 1
2 ? = 1 2
4 2
= x2
Se debe buscar un número que multiplicado por 1 dé 2. Este número es el 2. 4
1
Se agrega a los 2 el 2 que falta: 1 5 2 = 2 2 Con estas dos nuevas fracciones equivalentes a 8
8 1 x 2 1 = 33 x 5 = 165 4
2
4
2
1 1 y2 se tiene que: 4 2
8
Observe que en la multiplicación de fracciones no importa si los denominadores son iguales. Simplemente se multiplican los numeradores por los numeradores para obtener el nuevo numerador, y los denominadores por los denominadores para encontrar el nuevo denominador. Ramiro simplifica, de la siguiente manera, la fracción que obtuvo: 20 8 165 -16 . 05 165 5 = 20 - 0 8 8 5 Ramiro, al vender 2
1 5 cajas de manzana, vendió el equivalente a 20 kg. 2 8 5
Para conocer a cuánto equivalen los de kg en gramos, Ramiro hace con su 8 calculadora la división y obtiene:
5 ÷ 8 = 0.625
Por lo que ahora puede decir con toda seguridad que las 2 1 cajas de manzana 2
que vendió pesaban exactamente 20.625 kg, o sea, 20 kg con 625 gramos. 94
OPERACIONES CON FRACCIONES
Ejemplo En su tienda de abarrotes, don Javier va anotando diariamente lo que vende de azúcar y así saber qué cantidad reponer. En la lista de hoy, él anotó nueve veces medio kilo y desea saber cuántos kilos son en total. Don Javier realiza la suma contando los pares de medios kilos que se pueden formar con los 9 medios y le da un total de 4 pares y le sobra 1 medio; como cada par forma 1 kilo, entonces se tienen 4 1 kg. 2
La multiplicación de una fracción por un entero (
1 x 9) también se puede hacer 2
como si fuera una multiplicación de dos fracciones.
9 1
Se deja al entero (9) como numerador y colocamos un 1 como denominador ( ). Recuerde que un entero se puede expresar como fracción con denominador uno. Después, se multiplica directamente numerador por numerador y denominador por denominador. 1 9 1x9 9 x = = 2 1 2x1 2 9
Como es una fracción con el numerador mayor que el denominador, conviene 2 convertirla a un número mixto haciendo la división: 4 9 1 2 9 = 4 2 2 -8 1 1
La cantidad de azúcar que vendió Javier fueron 4 2 kg. 95
NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA
Ejemplo Rocío compra un queso completo que pesa 5
1 kg. Pagó 121 pesos por todo el queso. 2
Si su cuñada quiere una tercera parte y su prima dos quintas partes, ¿cuánto debe cobrar y cuánto queso debe de dar a cada una? Rocío, para saber cuánto queso debe entregar a su cuñada, quien sólo quiere 1
los 5 2 kg, hace una multiplicación de fracciones, de la siguiente manera: 1 1 5 x = ? 2 3 Primero, convierte los 5
1 de 3
1 a una fracción impropia de medios, por lo que convierte 2
el 5 a una fracción de medios y, luego, le suma el medio que falta. Se busca un número que multiplicado por 1 dé 2.
x2 5 1
10 2
= x2
Suma a los
1 10 10 1 11 el que falta, con lo que tiene que: + = ; por lo que: 2 2 2 2 2
5
1 2
=
11 2
Con la fracción equivalente anterior, puede fácilmente hacer su multiplicación.
5
1 1 11 1 11 x 1 11 x = x = = 2 3 2 3 2x3 6
Reduce la fracción obtenida, de la siguiente manera: 1 11 5 6 11 =1 6 6 - 6 5 1
5
Lo anterior significa que de los 5 2 kg debe dar a su cuñada 1 6 kg. Al hacer la 5 división de los 6 de kg obtiene que: 5 = 5 ÷ 6 = 0.833 6
Por lo que le entregará 1.833 kg de queso. Para saber cuánto le debe cobrar, 1 saca la tercera parte a lo que pagó (121 pesos), o sea, multiplica 121 x . 3
96
OPERACIONES CON FRACCIONES
Esta multiplicación de fracciones, como no tiene números mixtos, la puede resolver de manera directa. 121 1 121 x = 1 3 3 Reduce su fracción haciendo la división y obtiene lo siguiente: 40 3 1 21 -1 2 0 01
121 1 = 40 3 3
Problema 1. Con el procedimiento anterior, ayude usted a Rocío para calcular qué cantidad 2 partes del queso, y cuánto 5 1 debe cobrarle de los $121.00 que Rocio pagó por el queso que pesa 5 2 kg.
en kg debe darle a su prima, quien sólo quiere
Ejercicios 1. Resuelva las siguientes operaciones y simplifique el resultado. 18 ÷ 2 9 = 10 ÷ 2 5
a)
3 x 6 = 3 x 6 = 18 5 2 5x2 10
b)
9 x 3 = 3 8
g)
5 x 9 = 4 7
c)
1 x 1 = 2 3
h)
3 x 4 = 8 5
d)
3 x 7 = 9 2
i)
4 x 10 = 5
e)
6 x 3 = 9 5
j)
5 x7= 16
f)
2 x 7 = 6 7
k)
6x 4 =
simplificando:
5
○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ ○ ○ ○ ○
Lo que quiere decir que le debe cobrar 40 pesos y un tercio de un peso, o sea, 1 ÷ 3 = 0.33; es decir, debe cobrar a su cuñada 40.33 pesos.
97
○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA
98
Problemas 1. Don Pancho quiere poner un puesto móvil en forma de carro, para vender churros con azúcar. 1 En la panadería donde trabajaba, preparaba 12 kilos de harina para la masa 2
de los churros; pero ahora, para no tener pérdidas o sobrantes, sabe que tiene que preparar menos cantidad. Él desea saber qué cantidades de la 1
receta necesita si sólo quiere preparar una tercera parte ( ) de masa. 3 La receta que él preparaba incluye las cantidades de ingredientes que siguen: 12
1 kilos de harina de trigo 2
1 cucharada sopera de polvo de hornear 1 cucharada sopera de vainilla 3 litros de agua hirviendo 1 puño de sal de grano
1 kg de manteca vegetal 4
aceite caliente, el necesario para freír, y azúcar para espolvorear. Ayude usted a don Pancho a obtener, con ayuda de las fracciones, las cantidades de ingredientes que necesita para preparar su masa.
2. Doña Juana va a comprar diferentes tipos de chile seco en la central de abasto para venderlo por gramos en su tienda de abarrotes. Los precios del chile por kilo son: guajillo, $44.00; ancho, $36.00; mulato, $32.00 y pasilla, $26.00. ¿Cuánto pagará por cada tipo de chile si compra
1 1 de kg de guajillo, kg de 4 2
chile ancho, 1 de kg de chile mulato y medio kilo de chile pasilla? 4
OPERACIONES CON FRACCIONES
3. Todos los días, Inocencio, en su puesto de tacos de “suadero” prepara carne, tortillas, salsa, verdura y limones para 200 tacos. Él compraba la mercancía para toda la semana, pero como se le echaba a perder tenía pérdidas en su negocio, por eso ahora piensa abastecerse los lunes, miércoles y viernes. Él necesita saber qué parte o fracción de mercancía necesita comprar en cada uno de los días en que va de compras. Las cantidades de ingredientes que compraba para 7 días eran:35 kilos de “suadero”, 28 kilos de tortillas, 28 kilos de jitomate, 1 5
3 kg de chile de árbol, 4
1 1 kg de cebolla, 17.50 pesos de cilantro, 3 kg de sal y 35 kg de limones. 4 2
Ayude usted a Inocencio a calcular las cantidades de ingredientes que necesita si se abastece los lunes, miércoles y viernes.
4. Doña Concha, como todas las amas de casa, sabe que el papel higiénico se ocupa mucho, por eso decidió comprarlo por mayoreo para gastar menos. Así que convenció a su prima y a su cuñada de comprar un paquete grande para repartirlo entre las tres en partes iguales. El paquete le salió a doña Concha en 105 pesos y trae 16 paquetes con 6 rollos cada uno. Ahora doña Concha quiere saber cuántos rollos de papel le tiene que dar a cada una y cuánto les debe cobrar por ello. Ayude usted a doña Concha a resolver su problema. 99
NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA
5. Doña Carmen fue de compras con su vecina y encontraron en oferta el queso manchego a 48 pesos el kilo. Como estaba en oferta se vendió rápido y ya sólo quedaban quesos grandes; decidieron entre las dos llevarse uno que pesaba dos kilos y un cuarto; doña Carmen le dijo a su vecina que ella sólo necesitaba una tercera parte del queso. Ahora su vecina necesita saber qué cantidad en kilos de queso tiene que dar a doña Carmen y cuánto le tiene que cobrar. ¿Podría usted ayudarle?
6. Doña Chuy, cada semana, compra yogures para sus hijos porque sabe que es nutritivo; la caja con 48 botellitas le cuesta $72.00, pero si ella compra toda la caja se salía de su presupuesto, entonces su cuñada le dijo que comprara toda la caja y que le vendiera a ella una cuarta parte, la que le pagaría al llegar. Doña Chuy, para poder cobrar a su cuñada los yogur, en el trayecto a su casa va haciendo sus cuentas. Ella necesita saber cuántas botellitas tiene que dar a su cuñada y cuánto dinero le tiene que cobrar. ¿Podría usted ayudar a doña Chuy a hacer sus cuentas? 7. Doña Chela, aun cuando las cosas están muy caras, hace el esfuerzo por ahorrar una quinta parte de su gasto, que es de 500 pesos a la semana. Como en quince semanas es el cumpleaños de su hijo Lalito, ella lo quiere festejar haciéndole un pastel de cumpleaños e invitar a sus familiares. ¿Cuánto ahorrará doña Chela en quince semanas para la fiesta de Lalito? 100
OPERACIONES CON FRACCIONES
Tema 6
División de fracciones
D
oña Lupe fue a la tienda a comprar 3 litros de crema que le hacían falta para
preparar un pedido de pasteles, pero en la tienda sólo encontró tarritos de crema de
1 de litro. Doña Lupe quiere saber cuántos tarritos debe comprar para 4
completar los 3 litros que le hacen falta. 1
Ella necesita saber cuántos tarritos de de litro hay en 3 litros, lo cual se puede 4 expresar como una división, así: 1 4
1 4
1 4
1 4
=1
1 4
1 4
1 4
1 4
=1
1 4
1 4
1 4
1 4
=1 1
l, entonces 3 litros contienen Observe que cada litro contiene 4 tarritos de 4 3 veces 4, o sea, 12 tarritos de crema. 1 3 x 4 = 12 3÷ = 12 4 inverso 101
NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA
Este problema nos hace recordar que la división es el inverso de la multiplicación, y de aquí se origina la siguiente regla para dividir fracciones. Regla Para dividir un número (entero o fracción) entre una fracción, multiplique el número por el inverso de la fracción. El inverso (recíproco) de una fracción se obtiene invirtiendo el numerador por el denominador.
Ejemplo 5 3 ÷ = 4 2 Aplicando la regla tenemos: 5 3 ÷ = 4 2
5 2 x = 4 3 inverso
Efectuando la multiplicación y luego simplificando:
÷2
5 2 10 x = 4 3 12
10 12
=
5 6
÷2
Recuerde que el inverso de una fracción se obtiene al invertir el numerador y el denominador de la fracción.
Ejemplo
1 4 , su inverso es . 4 1 6 7 , su inverso es . 7 6 2 9 , su inverso es . 9 2 102
OPERACIONES CON FRACCIONES
Ejemplo
3
La señora Olivia cobró en su cremeria $76.50 por 12 kilos de crema. ¿A cómo 4 dio el kilo de crema? Para conocer el precio por kilo, necesita dividir lo que cobró entre el número de kilos de crema que vendió.
76.50 ÷ 12 3 = ? 4
Observe que se está dividiendo una cantidad con decimales entre una cantidad con fracciones. También se podría haber planteado la división de fracciones de la siguiente manera: 76
1 3 ÷ 12 2 4
=?
Sin embargo, esto no es común, por lo que se continuará con el planteamiento original. 76.50 ÷ 12 3 = ? 4 Para hacer una división de fracciones, se debe obtener el inverso de la fracción y luego multiplicar, por lo que en este caso se obtendrá la fracción impropia de 12
3 . 4
Es conveniente que esta fracción se obtenga con denominador 4 porque se tienen cuartos. 3
?
Para convertir 12 4 a 4 , primero se convierte el entero (12) a cuartos. Se busca un número que multiplicado por 1 dé 4. Éste es 4.
x4 12 ? = 1 4
12 1
48 4
= x4
48 3 48 + 3 51 Se suman los 3 que ya se tenían: + = = 4
4
4
4
4
103
NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA
Con lo que se obtiene que: 3 51 12 = 4 4 Con lo anterior, la división de la señora Olivia quedará de la siguiente forma:
76.50 ÷ 12
3 51 = 76.50 ÷ =? 4 4
Para hacer la división de fracciones, se debe multiplicar al primer número por el inverso de la fracción que divide, la señora Olivia hace lo siguiente: El inverso de
51 4 es , por lo que: 4 51
76.50 ÷
51 4 306 = 76.50 x = 4 51 51
Haciendo la reducción de la fracción, la señora Olivia obtuvo lo siguiente: 306 = 306 ÷ 51 = 6 51
○○○○○○○○○○○○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
Con lo anterior, la señora Olivia sabe que el kilo de crema lo dio en 6 pesos.
104
Ejercicios 1. Resuelva las siguientes divisiones de fracciones. a)
9 4 ÷ = 3 6
f)
2 3 ÷ = 5 4
b)
6 2 ÷ = 5 3
g)
6 3 ÷ = 2 5
c)
8 4 ÷ = 4 2
h)
8 ÷ 4 = 9
d)
5 3 ÷ = 8 7
i)
5 ÷
e)
9 6 ÷ = 2 5
3 = 7
OPERACIONES CON FRACCIONES
Se pueden comprobar las divisiones de fracciones, convirtiendo las fracciones a decimales y efectuando las operaciónes con ayuda de una calculadora.
Ejemplo Divida los números decimales:
Convierta las fracciones a decimales:
2
÷
5
=
0.4
3
÷
4
=
0.75
0.4 ÷ 0.75 = 0.5333 Compare los resultados en números decimales: 8 = 8 ÷ 15 = 0.5333 15
Problemas 1. Doña Aurora tiene 1
1 2
kg de arroz sin preparar; desea saber si le alcanza
para preparar 25 órdenes de arroz para llevar. Doña Aurora sabe que de
1 3
de taza de arroz sin preparar sale una orden de arroz para llevar y que una taza de arroz (sin preparar) pesa 200 gramos ó
1 de kg. 5
2. Doña Aurora pagó en la carnicería 90 pesos por un lomo de puerco que pesó 3
2 4 de kg y desea saber a cómo le cobraron el kg. 3. Doña Aurora tiene
3 de una pizza grande que quiere compartir, para la cena, 4
con sus tres hijas en partes iguales. ¿Cuántas fracciones de la pizza le tocan a cada una?
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
2 3 8 ÷ = 5 4 15
105
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Autoevaluación Unidad II: Operaciones con fracciones Ahora que terminó la Unidad II, vamos a recordar los temas que ya estudió: Suma de fracciones con igual denominador, Resta de fracciones con igual denominador, Suma de fracciones con diferente denominador, Resta de fracciones con diferente denominador, Multiplicación de fracciones y División de fracciones. Para conocer lo que aprendió, es importante que resuelva los siguientes ejercicios; recuerde que puede utilizar todo el material que considere útil. 1. Doña Sofía vende quesadillas; esta semana compró diferentes cantidades de masa, como se muestra en la siguiente tabla. Día
Cantidad de masa 1
Jueves
5 4 kg 28 kg
Viernes
4 6 3 kg 4 24 kg 4
Sábado Domingo a) ¿Qué cantidad de masa compró en total?
b) ¿Qué día de la semana compró más cantidad de masa? 2. Rosalinda compró 1 kg de papa, 1 de kg de zanahoria y 3 de kg de calabacitas. 2 8 4 ¿Qué cantidad de verdura compró en total? 3. Julieta compró las botellas de aceite que se muestran abajo. ¿Cuánto aceite compró?
1 litro 106
+
1 litro 2
+
1 litro 4
=
4. Azucena compró 3 1 kg de pollo para preparar 3 guisados diferentes. Si prepara 2 3 1 de kg en salsa verde y 1 4 kg en jitomate con papas, ¿con qué cantidad de pollo 4 va a praparar el guisado que le falta?
5. Don Leopoldo dio a su hijo mayor $2,000.00. De esa cantidad, le pidió que con un 1 pague el predial; con la mitad de lo que le quede pague la renta; con un 1 de 4 5 lo que le quede compre la comida; y que le regrese el cambio. ¿Qué cantidad de dinero va a devolver a don Leopoldo?
6. Josefa vende lentejas en bolsas de 1 de kilo y frijoles en bolsas de 1 kilo. Si en una 2 4 semana vendió 32 bolsas de lentejas y 24 bolsas de frijoles, ¿cuántos kilos de semilla vendió en total?
7. La maestra Alejandra va a repartir en partes iguales 8 2 kilos de caramelos y galletas 4 entre sus 34 alumnos. Si los quiere poner en bolsitas, ¿qué cantidad deberá poner en cada bolsita?
8. Reina va a hacer 20 flores de papel para adornar un salón de baile. Si para cada flor utiliza 1 del pliego de papel, ¿cuántos pliegos debe comprar para hacer las 4 20 flores? 107
9. Según la receta de Teresita, se necesitan los siguientes ingredientes para hacer pasteles: Tamaño grande
Tamaño mediano
1 kg de galletas “Marías” 4 1 kg de mantequilla 5 1 kg de queso 2
1 kg de galletas “Marías” 8 1 kg de mantequilla 10 1 kg de queso 4
a) Si Teresita quiere hacer 2 pasteles grandes y 3 pasteles medianos, ¿qué cantidad de cada ingrediente tiene que comprar? Galletas “Marías” Mantequilla Queso b) Si en la tienda venden los ingredientes en gramos, ¿cuántos gramos son de cada ingrediente? Galletas “Marías” gramos. Mantequilla gramos. Queso gramos. 10. En la fiesta de cumpleaños de doña Anita, sirvieron ensalada de frutas. Para 2 2 1 preparar la ensalada compraron 2 8 kg de melón, 3 4 kg de sandía, 2 2 kg de papaya y 3 14 kg de plátanos. a) ¿Cuántos kilos de fruta compraron? b) ¿Qué cantidad de ensalada le sirvieron a cada invitado si repartieron toda la fruta y eran 45 personas?
108
Hoja de respuestas Unidad II: Operaciones con fracciones Instrucciones Revise sus respuestas a los ejercicios. Si tuvo dificultad para responder las preguntas correctamente, identifique sus aciertos y fallas y vuelva a leer la unidad. Pregunta
Respuesta
1
a) 25 kg.
2
1 4 kg = 1 1 kg
3
1 3 litros.
4
1 2 kg.
5
$600.00.
6
20 kilos.
7
32
b) El viernes. 8
4 1
1 kg. 4
8
5 pliegos.
9
a) Galletas, 7 kg; mantequilla, 7 kg; queso,
10
8
1 3 kg. 4 b) Galletas = 875 gramos, mantequilla = 700 gramos, queso = 1,750 gramos. 1 a) 11 2 kg.
10
b) 255 gramos. Sugerencias Si usted respondió 4 preguntas correctamente, se le sugiere que continúe estudiando la siguiente unidad. Si obtuvo menos aciertos, es conveniente que se regrese a estudiar esta unidad para reafirmar los temas.
109
Unidad II
Operaciones con fracciones En esta unidad usted aprenderá a: • Sumar y restar fracciones con un mismo denominador. • Sumar y restar fracciones con diferente denominador y con números mixtos. • Multiplicar números con fracciones. • Dividir números con fracciones. Le servirá para: • Hacer sumas y restas de cantidades de productos expresadas en enteros y fracciones. • Determinar el total de ventas de un producto cuando éste se vende por partes o fracciones. • Calcular la suma total de uno o varios productos cuando éstos se tratan en fracciones de diferentes valores. • Calcular la diferencia entre dos cantidades expresadas en fracciones. • Determinar la cantidad que queda de una mercancía después de haber realizado las ventas del día en partes o fracciones.
Tema 1
Suma de fracciones con igual denominador
Tema 2
Resta de fracciones con igual denominador
Tema 3
Suma de fracciones con diferente denominador
Tema 4
Resta de fracciones con diferente denominador
Tema 5
Multiplicación de fracciones
Tema 6
División de fracciones
NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA
Tema 1
Suma de fracciones con igual denominador
H
oy, durante la mañana, Karina vendió 1 de kg de queso; luego, despachó
4 3 de kg de queso; y un poco más tarde, otro 1 de kg. 4 4
Para saber qué cantidad vendió en total, Karina hace la suma de fracciones de la siguiente manera. Paso 1 Acomoda las fracciones que se van a sumar una enseguida de la otra, separándolas con el signo de más (+). 1 + 3 + 1 = 4 4 4 Paso 2 Verifica que todas las fracciones que se van a sumar tengan común denominador, lo cual quiere decir que se van a sumar cuartos y por lo tanto el resultado debe obtenerse en cuartos. 1 + 3 + 1 = común denominador 4 4 4 4 64
OPERACIONES CON FRACCIONES
Paso 3 Suma los numeradores: 1 + 3 + 1 = 5 Paso 4 Escribe el total (5) sobre el común denominador (4): 1 + 3 + 1 = 1+3+1 = 5 4 4 4 4 4
Común denominador
Paso 5 En caso de que el resultado sea una fracción con el numerador mayor que el denominador, se hace la división para obtener el resultado en un número mixto. 1 5 =5÷4= 4 5 = 1 1 4 4 -4 1 Las ventas de queso realizadas por Karina se pueden expresar así: 1 kg + 3 kg + 1 kg = 5 kg = 1 1 kg 4 4 4 4 4 Para comprobar lo anterior, observe las siguientes figuras. Primero vendió
1 4
Luego vendió 3 4
+
= 4
=
Hasta ahora ha vendido 4
4
Más tarde vendió 1
4
4
+
= 5 4
65
NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA
Generalmente conviene simplificar el resultado de una suma de fracciones, encontrando la fracción equivalente con el denominador más pequeño.
Ejemplo 5 1 + = 12 12 Sumando los numeradores: 5 + 1 = 6 5 1 6 + = 12 12 12 El resultado
÷6 6 12
6 se puede simplificar 12
○○○○○○○○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
dividiendo entre 6 ambos términos.
66
=
1 2
÷6
Ejercicios 1. Realice las siguientes sumas de fracciones.
Ejemplo a)
4 4+3 7 3 + = = 5 5 5 5
b)
1 2 2 + + = 3 3 3
d)
6 2 + = 6 6
c)
4 2 + = 9 9
e)
1 3 1 + + = 2 2 2
Problema 1. La señora Eloísa compró en la carnicería tres cuartos de kilo de lomo de puerco, un cuarto de kilo de chuletas de puerco y tres cuartos de kilo de costillas de res. La señora Eloísa desea saber cuánto compró de carne en total.
OPERACIONES CON FRACCIONES
Suma de números mixtos con el mismo denominador
Don Pepe vende leche en un
establo; para hacer sus cuentas de la cantidad de litros que vende al día, anota en una libreta las cantidades que va vendiendo. Antes sumaba mentalmente los litros y luego los medios litros, diciendo un litro y 1
medio más tres litros y medio son 5 litros, más dos litros y medio son 7 2 litros, más cuatro litros y medio son 12 litros. También se pueden hacer las cuentas con lápiz y papel escribiendo las cantidades en fracciones, como se muestra a continuación. Paso 1 Se escriben las cantidades en fracciones o números mixtos, uno enseguida del otro, separándolos con el signo más (+).
1 1 +31 +2 1 +4 1 = 2
2
2
2
Paso 2 Se suman todos los enteros.
1 + 3 + 2 + 4 = 10 Paso 3 Por separado, se suman las fracciones del mismo denominador. Se suman los numeradores y el resultado se escribe sobre el común denominador. 1 1 1 1 4 + + + = 2 2 2 2 2 67
NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA
Paso 4 Si el resultado es una fracción con el numerador mayor que el denominador, conviene hacer la división para obtener el resultado en un número mixto o entero. 2 4 = 2 4 = 2 2 -4 0 Paso 5 Finalmente, se agregan a la suma de enteros el resultado de la suma de las fracciones.
10 + 2 = 12
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
Don Pepe lleva vendidos 12 litros (1
68
1 1 1 1 +3 +2 +4 = 12) 2 2 2 2
Ejercicios 1. Realice las siguientes sumas de fracciones. a)
5
1 1 +3 = 4 4
b)
6
3 3 +3 = 10 10
d)
9
2 6 +3 = 4 4
c)
7
2 4 +6 = 9 9
e)
3
3 6 +1 = 2 2
Problemas 1. Doña Juana fue al mercado a comprar su mandado del día para preparar la comida. Doña Juana compró: 3 de kg de papas 4 1 de kg de carne molida 4 1 de kg de arroz 4
Todo lo guardó en su bolsa de mandado. ¿Cuánto pesaba la bolsa de doña Juana?
2. Lalo tenía en su papelería un rollo de hule de 30 metros. Tiene una lista de lo que vendió: en la primera semana, 5 8
1 1 metros; en la segunda semana, 6 metros; y 2 2
1 metros, en la tercera. Hace la cuenta de los metros que vendió para saber 2
cuántos metros le quedan en el rollo. ¿Podría usted ayudarle a realizar sus cuentas por escrito para saber cuántos metros de hule vendió en las 3 semanas?
3. La señora Aurelia vende tacos de suadero los viernes, sábados y domingos. Ella lleva la cuenta de los kilos de carne que vende por día. 1 kilos 2 1 Sábado, 2 kilos 2 1 Domingo, 3 kilos 2
Viernes, 3
¿Podría usted ayudarle a saber cuántos kilos vendió, para calcular la compra de carne para el siguiente fin de semana? 4. La señora Valeria vende quesadillas todos los días, para ello compra queso cada tercer día. Lunes, 2
1 1 kilos; miércoles, 1 kilos; viernes, 2 kilos. ¿Cuántos 2 2
kilos de queso compra en la semana?
○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
OPERACIONES CON FRACCIONES
69
NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA
Tema 2
Resta de fracciones con igual denominador
D
on Sebastián partió un queso en ocho partes, es decir, tiene
cuánto le quedó del queso si vendió sólo dos partes, es decir, 2 .
8 ; quiere saber 8
8
Para resolver este problema, siguió el siguiente procedimiento. Resto los numeradores, y la diferencia la escribió como fracción con el mismo denominador. 8 - 2 = 8-2 = 6 8 8 8 8
8 6 3 2 = = 8 8 4 8 70
OPERACIONES CON FRACCIONES
Observe usted que la primera figura representa la fracción 8 . La segunda 8
representa el resultado (diferencia), después de restar o quitar 2 . En la figura 8 6 también se observa que el resultado se puede simplificar con la fracción 8 3 equivalente 4 .
Ejemplo Si don Sebastián vende por la tarde otros tres pedazos de su queso, ¿cómo puede saber cuánto le queda de su pieza original de queso?
A don Sebastián, a medio día, sólo le quedaban 6 de su queso original, por lo que a 8 esta cantidad le deberá restar los tres pedazos que vendió en la tarde. Como los pedazos corresponden a octavos del queso original, éstos se pueden 3 expresar como la fracción y como ésta tiene el mismo denominador que la 8 fracción anterior, se puede hacer la resta de las fracciones, de la siguiente manera. 6 3 6-3 3 = = 8 8 8 8 A don Sebastián sólo le quedan 3 de su queso original. 8
Observe que cuando las fracciones tienen el mismo denominador, su resta se puede hacer directamente restando los numeradores y poniéndoles el común denominador. 71
○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA
72
Ejercicios 1. Realice las siguientes restas de fracciones.
Ejemplo a)
6 3 6-3 3 = = 2 2 2 2
b)
8 6 7 7
=
d)
4 2 = 4 4
c)
9 3 6 6
=
e)
7 2 = 3 3
Problemas 1
1. Don Pepe tiene una vaca que le da 30 litros de leche al día. Si ayer vendió 2 1 18 litros, ¿cuánta leche le sobró? 2
3
1
2. Un pintor tiene 19 4 litros de pintura; el primer día utilizó 6 litros, el 4 1 segundo día empleó 8 4 litros. ¿Podría usted ayudarle a saber cuánta pintura le sobra para seguir pintando el siguiente día?
OPERACIONES CON FRACCIONES
Tema 3
Suma de fracciones con diferente denominador
I
1 de litro de crema para hacer un postre. Si en el refrigerador 4 3 1 tiene un recipiente con de litro de crema y otro con litro, ¿le alcanza o 4 2
sabel necesita 1
tiene que comprar más crema?
Isabel, para conocer si le alcanza la crema que tiene, debe sumar comparar su resultado con lo que necesita ( 1 alcanza su crema o tiene que comprar más. Suma de lo que tiene:
3 1 y ; luego, 4 2
1 de litro) y con ello definir si le 4
3 1 + = ? 4 2
En esta suma de fracciones, se puede observar que cada una de las fracciones que la componen tienen diferente denominador. Isabel recordó que para sumar o restar fracciones éstas deben tener el mismo denominador, por lo que decide encontrar fracciones equivalentes con el mismo denominador. 73
NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA 3
1
Como tiene las fracciones y 2 , tratará de encontrar una fracción equivalente 4 1 a pero con denominador de 4. 1 ? 2 = 2 4 Para esto, se debe buscar un número que multiplicado por 2 de 4. Este número es el 2, por lo que la fracción equivalente a 1 con denominador 4 será: 2
x2 1 2
=
2 4
x2 Con esta fracción equivalente, se puede plantear la suma de las fracciones de Isabel, de la siguiente manera: 3 2 + = 4 4 Con lo que el resultado será la suma de los numeradores con denominador 4. 3 2 3+2 5 + = = 4 4 4 4 Realizando la conversión a números mixtos se tiene: 1 4 5 5 1 =1 4 4 -4 1 Con este resultado, Isabel se da cuenta que los 3 de litro y el 1 de litro de 4 2 crema que tiene suman 1 1 litros que es exactamente lo que necesita para hacer 4 un postre, por lo que no tiene que comprar más crema.
Ejemplo La señora Araceli tiene un negocio donde vende quesadillas. Ella fue a visitar por la noche a su comadre para que le ayudara a calcular cuántos kilos de masa tiene 3 que comprar para el día siguiente, si por la mañana usó 5 de kg de masa y por 4 1 la tarde 4 de kg de masa. 2
En este caso, se trata de una suma de números mixtos. Entonces, para saber el total de kilos de masa, hay que hacer la siguiente suma: 3 1 5 + 4 = 4 2 74
OPERACIONES CON FRACCIONES
Primero Sume los enteros:
5+4=9
Segundo Sume las fracciones: 3 1 + = 4 2
Recuerde que para sumar fracciones se necesita que todas tengan el mismo denominador. Enseguida, se busca una fracción equivalente a 1 con denominador 4. Observe que el 2 se puede 2 igualar al 4 multiplicándolo por 2.
x2 1 2
=
2 4
x2
Ahora tenemos la suma de fracciones con el mismo denominador: 3 + 1 = 3 + 2 = 3+2 = 4 2 4 4 4
5 4
5
Araceli se da cuenta que el resultado es una fracción con el numerador más 4 grande que el denominador, por lo que conviene convertirlo a número mixto haciendo la división 5 ÷ 4.
1 4 5 -4 1
5 = 1 1 4 4
Finalmente, volvemos a sumar enteros con enteros y al resultado se le agrega la parte fraccionaria de la siguiente forma:
9 kg + 1
1 1 kg = 10 kg (diez kilos un cuarto) 4 4 75
NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA
Otra manera de realizar este tipo de sumas es pasando los números mixtos a decimales y, luego, hacer la suma con la calculadora. Recuerde que para convertir un número mixto a un número decimal sólo se requiere agregar a la parte entera el decimal que resulte de la división de la fracción. Observe:
5
3 3 =5+ 4 4
Entonces:
5
3 = 5 + 0.75 = 5.75 4
Tambien:
4
1 1 =4+ 2 2
Entonces:
4
1 = 4 + 0.50 = 4.50 2
3 ÷ 4
= 0.75
1 ÷ 2
= 0.50
Ahora, se suman los números decimales usando la calculadora:
5
•
7
5
+
4
•
5
=
10.25
Observe que el resultado 10.25 se puede expresar como número mixto haciendo la conversión a fracción de la parte decimal.
10.25 kg = 10
25 1 kg = 10 kg 100 4
Recuerde que 25 se simplifica dividiendo entre 25 arriba y abajo para 100 obtener la fracción equivalente igual a 1 . 4
Ejemplo Marcos tiene un negocio de cerrajería y sus ingresos mensuales son alrededor de $6,000.00, pero una quinta parte la utiliza para pagar la renta del local y la luz, y una cuarta parte la gasta en materiales. Marcos desea saber qué parte de sus ingresos usa en su negocio y qué tanto corresponde a sus ganancias. 76
OPERACIONES CON FRACCIONES
Marcos piensa que necesita hacer una suma de fracciones.
La parte de la renta ( 1 ) 5
+
La parte de los materiales ( 1 ) 4
=
La parte de los ingresos que se gastan en el negocio
Para sumar fracciones se necesita que éstas tengan el mismo denominador.
Primero, hay que buscar un común denominador para las dos fracciones ( 1 y 1 ). 5
4
Marcos se preguntó si alguno de los dos denominadores (el 5 ó el 4) podría servir para ambas fracciones. Recuerde que el común denominador es el número que es divisible entre los dos denominadores (el 5 y el 4) en forma exacta, es decir, sin residuo. Primero, probó el 5 y encontró que no funciona porque el 5 no se puede dividir de manera exacta entre 4. Luego, probó el 4 y encontró que tampoco funciona porque el 4 no se puede dividir en forma exacta entre el 5. Como ni el 4 ni el 5 funcionan como común denominador, Marcos buscó otro número. El número más seguro, aunque no siempre es el más pequeño, resulta de multiplicar los dos denominadores (4 x 5 = 20). Observe que el 20 sí funciona como común denominador porque sí es divisible entre el 5 y el 4.
20 ÷ 5 = 4 y 20 ÷ 4 = 5
77
NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA
Enseguida, Marcos trató de encontrar las fracciones equivalentes con denominador 20 para cada una de las dos fracciones.
x4 1 5
=
x5 1 4
4 20
x4
=
5 20
x5
Finalmente, Marcos hizo la suma así: 1 1 4 5 4+5 9 + = + = = 5 4 20 20 20 20 9
Observe que se pueden transformar en porcentaje buscando la fracción 20 equivalente con denominador 100. INGRESOS
x5 9 20
=
45 = 0.45 = 45% 100
x5
9
Ahora Marcos sabe que nueve veinteavos ( 20 ), o el 45% de sus ingresos, los gasta en su negocio y el resto (55%) es la ganancia que se lleva a su casa.
78
OPERACIONES CON FRACCIONES
Ejemplo El otro día fueron a visitar a don Paco tres amigos que tenían una granja de pollos en sociedad y habían decidido cerrar porque no les había ido bien. Les sobraron 35 pollos que ahora querían repartirse, de acuerdo con la participación que cada uno tenía en el negocio. A uno de los socios le pertenecía la mitad del negocio, mientras que a los otros dos 1 1 les correspondía y , 3 9 respectivamente. Como no se ponían de acuerdo de cuántos pollos les tocaban a cada uno, fueron a ver a don Paco para que les ayudara a hacer el reparto. El problema que tenían era que al dividir la cantidad de pollos entre la parte que les correspondía les resultaban cantidades con decimales y no querían partir los pollos. 1 ( ) 35 ÷ 2 = 17.5 2 1 ( ) 35 ÷ 3 = 11.6666 3 1 ( ) 35 ÷ 9 = 3.8888 9 Don Paco se dio cuenta del fondo del problema y, tomando ventaja de sus conocimientos de fracciones, aceptó ayudarles a resolver el asunto. Don Paco les aseguró que con la solución que él tenía, todos iban a salir ganando. Como don Paco tenía pollos, les ofreció prestarles uno para completar 36 pollos y así tener una cantidad más fácil de repartir sin necesidad de partir ninguno. 36
Así, al que tenía la novena parte del negocio le tocaban 4 pollos (porque = 4), 9 en lugar de los 3.888 que le correspondían. 79
NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA 36
Al socio que tenía la tercera parte le tocaron 12 pollos (porque = 12), en lugar 3 de los 11.666 que le correspondían. 36
Al que tenía la mitad del negocio le tocaron 18 pollos (porque = 18), en lugar 2 de 17.5 que le correspondían. Como sobraron dos pollos, don Paco recuperó el pollo que les había prestado y sus amigos no tuvieron inconveniente en que se quedara con el otro pollo como pago por sus servicios.
Asombrados por la astucia de don Paco, los tres amigos se despidieron muy agradecidos. ¿De qué se dio cuenta don Paco para tomar ventaja del problema de sus amigos?, ¿a qué se debe que todos salieron ganando? 1
Don Paco se dio cuenta que había un error en las participaciones de los socios ( , 2 1 y 1 ) porque la suma de las partes no correspondía con la unidad o el todo. 3
9
Don Paco representó el negocio de la granja o lo que quedaba de ésta (los 35 pollos) con un círculo, así:
80
Luego, representó en el círculo las participaciones de los tres socios ( 1 , 2 1 y 1 ). 3
9
OPERACIONES CON FRACCIONES
Y observó que quedaba una fracción sin repartir, de la cual los tres socios no se habían percatado. En la figura se puede ver que la fracción faltante podría ser un 1 poquito menor a . 9
Don Paco pensó que alguno de los tres socios tenía equivocada su participación o fracción del negocio. Recuerde que la suma de todas las fracciones que componen un todo debe ser igual a uno. Para saber la cantidad de la fracción que falta, sólo basta sumar las fracciones 1 1 1 ( + + ) y determinar por diferencia lo que falta para que sume uno. 2
3
9
1 1 1 + + = 2 3 9 Recuerde que para sumar o restar fracciones se necesita que todas tengan el mismo denominador.
Deberá buscar fracciones equivalentes que tengan el mismo denominador, por lo que hace lo siguiente: Busca el menor número posible que divida de manera exacta al 2, 3 y 9. Prueba con el número más chico de los tres que es el 2, pero ni el 3, ni el 9 son divisibles entre 2. Lo mismo sucede con el 3 y el 9, por lo que prueba el producto de los tres números: 2 x 3 x 9 = 54, número que sí es divisible entre 2, 3 y 9. Ahora, deberá encontrar las fracciones equivalentes con denominador 54. a)
1 ? = 2 54
b)
? 1 = 54 3
c)
? 1 = 54 9
Observe que si divide el común denominador (54) entre el denominador de la fracción que se tiene (?), se obtiene el número por el que se debe multiplicar el numerador para encontrar la fracción equivalente. Esto es:
a)
54 x 1 = 27 2
b)
54 x 1 = 18 3
c)
54 x1=6 9 81
NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA
Esto significa lo mismo que: a)
b)
c)
x 27 1 2
27 54
=
x6
x 18 1 3
x 27
=
18 54
x 18
1 9
=
6 54
x6
La suma quedará de la siguiente manera: 27 + 18 +6 27 18 6 51 + + = = 54 54 54 54 54 Para encontrar la cantidad que no está reportada en la sociedad, se deben restar a 1 los
51 . 54
Recordando que 1 =
54 , se tiene: 54
1 Esta fracción (
51 54 51 54 - 51 3 = = = 54 54 54 54 54
3 ) se puede representar por una equivalente de menor 54
denominador ya que tanto el 3 como el 54 se pueden dividir entre 3. 3 = 1 54 18
Recuerde que una fracción no se altera si su numerador y denominador se multiplican o dividen por un mismo número. Con las operaciones anteriores se obtiene la cantidad que falta para que las fracciones sumadas den el todo.
82
OPERACIONES CON FRACCIONES EN RESUMEN, PARA SUMAR O RESTAR FRACCIONES CON DIFERENTE DENOMINADOR, SE PUEDEN SEGUIR LOS SIGUIENTES PASOS.
1. Busque un denominador común (el menor que sea posible) que pueda ser dividido por todos los denominadores de las fracciones. 7 + 4 + 1 = 6 3 ? 9 En este caso, ninguno de los tres denominadores (6, 9 y 3) divide a los otros dos de manera exacta, por lo que se puede probar con el producto de los tres (6 x 9 x 3 = 162) o con otro número menor que pueda ser dividido por los tres (se puede probar con el 18).
18 ÷ 6 = 3 18 ÷ 9 = 2 18 ÷ 3 = 6 Aun cuando el resultado sería el mismo al usar cualquiera de los dos números (18 ó 162), es más fácil utilizar el menor. 2. Obtenga una fracción equivalente de cada una de las tres que se van a sumar, pero con denominador 18. 7 ? = , 6 18
? 1 ? 4 = y = 18 3 18 9
x3 7 6
= x3
x2 21 18
4 9
= x2
x6 8 18
1 3
=
6 18
x6
3. Ahora, sume las tres fracciones equivalentes que tienen el mismo denominador. 7 + 4 + 1 = 21 + 8 + 6 = 21 + 8 + 6 = 35 6 9 3 18 18 18 18 18 4. Cuando tenga fracciones con numerador mayor que el denominador, convierta a un número mixto. 1 35 35 17 18 3 5 = 1 18 18 18 - 18 17
83
NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA
Ejemplo 3 + 2 + 1 = ? 7 5 3 Paso 1 Busque un común denominador que sea divisible por todos los denominadores de las fracciones a sumar. El número que es dividido por los denominadores (7, 5, 3) puede ser el producto de tres denominadores.
7 x 5 x 3 = 105 3 + 2 + 1 = 7 5 3 105 Paso 2 3 2 1 Obtenga las fracciones equivalentes de , y con denominador 105. 3 = ? , 7 105
7
=
3
2 = ? y 1 = ? 5 105 3 105
x 15 3 7
5
x 21 45 105
x 15
2 5
x 35 42 105
=
1 3
x 21
=
35 105
x 35
Observe que los números por los que hay que multiplicar a los dos términos de las fracciones (15, 21 y 35) se obtienen al dividir al común denominador (105) entre el denominador de la fracción correspondiente. Por ejemplo, 105 ÷ 7 = 15. Cantidad por la que se debe multiplicar el numerador y denominador para obtener la fracción equivalente. Paso 3 Se suman las fracciones equivalentes con el mismo denominador. 3 2 1 45 42 35 + + = + + = 122 7 5 3 105 105 105 105
Paso 4 Se obtiene el número mixto. 1 105 122 -105 17 84
122 17 =1 105 105
Ejercicios 1. Resuelva las siguientes operaciones con fracciones.
a)
9
1 3 +2 = 3 6
d)
2
1 2 1 +1 +3 = 8 4 2
b)
8
1 3 +1 = 4 2
e)
2
2 4 2 +3 +4 = 5 10 3
c)
5
1 2 +1 = 6 3
f)
3
4 2 1 +2 +2 = 9 3 6
Problemas 1. El día de tianguis de la semana pasada, doña Soledad obtuvo $5,000.00 como total de su venta. Una tercera parte de la venta fue de mangos; dos quintas partes, de naranjas y toronjas; una cuarta parte, de manzanas y peras; y el resto, de verduras. a) Represente gráficamente el total de ventas y la fracción que corresponde a cada uno de los diferentes productos. b) Determine qué fracción representa la venta de frutas con respecto al total. c) Determine la fracción que representa la venta de las verduras. d) Calcule cuánto vendió doña Soledad de cada uno de los productos.
2. Don José tiene un negocio de pinturas; desea saber cuántos litros vendió en 1
3
total en el día. Hoy vendió lo siguiente: 9 2 litros de pintura blanca, 4 4 litros 1 1 de pintura negra, 3 2 litros de pintura roja y 1 4 litros de pintura azul.
○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
OPERACIONES CON FRACCIONES
85
○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA
86
3. A la ferretería de Luis llegó un cliente a comprar clavos de diferentes tamaños para hacer un mueble. El cliente le pidió lo siguiente: 3 de kilo de clavos de 1 pulgada. 4 1 1 2 kilos de clavos de 3 pulgadas. 1 2 kilo de clavos de 2 pulgadas. 1
1 4 kilos de clavos de 4 pulgadas. Ayude usted a Luis a saber el total de la venta en kilos.
4. En la rosticería de la esquina, don Manuel vende pollo rostizado; necesita 1
1
saber cuánto lleva vendido. Primero, vendió 4 de pollo; después, 2 pollo; 1 1 luego, 4 de pollo; por último, 1 2 de pollo. ¿Podría ayudarle a obtener el resultado?
5. La señora Lupe tiene un puesto donde vende crema suelta y queso blanco. 1
1
1
1
En la mañana, vendió crema: 2 litro, 1 2 litros, 1 4 litros, 1 4 litros, 3 de litro. También vendió queso: 3 de kg, 1 de kg, 2 kg, 1 kg, 1 kg, 1 kg 4
1
4
4
2
2
y 2 kg. Ella necesita saber cuánto vendió en total de crema y queso para poder surtirse nuevamente.
OPERACIONES CON FRACCIONES
Tema 4
E
Resta de fracciones con diferente denominador
n la carnicería, don Sergio tenía 7 3 kilos de carne de “maciza de puerco”; 4
quiere saber cuánta carne vendió si le sobraron 3
1 kilos. 2
Primero, lo hace mentalmente, diciendo: Siete kilos menos tres kilos me quedan cuatro kilos, y tres cuartos menos un medio 1
me queda un cuarto. Entonces me quedan 4 4 kilos de “maciza de puerco”. Este problema también se puede resolver con lápiz y papel haciendo una resta de fracciones, de la siguiente manera: Paso 1 Escriba la resta anotando, primero, la fracción más grande seguida del signo menos (–) y luego, la cantidad más chica.
7
3 1 -3 = 4 2 87
NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA
Paso 2 3 1 Encuentre el común denominador de las dos fracciones, y . 4
2
Escoja el 4 como común denominador porque el 4 puede dividirse entre 4 y entre 2. Enseguida, encuentre una fracción equivalente a
1 con denominador 4. 2
x2 1 2
2 4
= x2
Paso 3 Haga la resta de las fracciones con el mismo denominador. 3 - 1 = 3 - 2 = 3-2 = 1 4 2 4 4 4 4 Paso 4 Haga la resta de los enteros.
7-3=4 Paso 5 Agregue al resultado de la resta de los enteros el resultado de la resta de las fracciones ( 1 ). 4
7
3 1 1 -3 = 4 4 2 4
Naturalmente, esta operación también se puede realizar con la calculadora, convirtiendo, primero, los números mixtos a decimales, de la siguiente manera:
7
3 1 -3 4 2
7
•
7
= 7.75 - 3.5 5
-
3
•
5
=
4.25
Veamos ahora cómo hacer la resta cuando la fracción del número mayor (el minuendo) es menor a la del número menor (sustraendo). 88
OPERACIONES CON FRACCIONES
Ejemplo 7 1 -3 1 = 4
2
Paso 1 1 1 Encuentre el común denominador de y . 4
2
De nuevo, escoja el 4 y encuentre la fracción equivalente de
x2 1 4
1 2
1 con denominador 4. 2
2 4
= x2
Las fracciones serán
1 2 y . 4 4
Paso 2 1 2 Como a no se le puede restar se hace un ajuste, reagrupando el 7. 4
Como 7 = 6
4
4 1 5 , y agregando la fracción que se tenía ( ) queda 6 . 4 4 4
7
1 4+1 5 =6 =6 4 4 4
Paso 3 5 2 3 Ahora la resta nos queda así: 6 -3 =3 4 4 4 Otra forma de resolver una resta de este tipo es convirtiendo los números mixtos a decimales y haciendo la resta directamente con la calculadora. 1 2 7 -3 = 7.25 - 3.50 = 4 4 7
•
2
5
-
3
•
5
=
3.75
Ejercicios 1. Resuelva las siguientes restas de fracciones. a)
6 8
2 = 4
c)
b)
4 3 = 3 4
d)
5
1 1 - 1 = 2 4
3 6 = 4 8
89
○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA
90
3 2 - 3 = 2 4
e)
8
f)
6 8
g)
3
6 2
2 = 4
- 1
2 = 6
h)
8
1 1 - 2 = 3 2
i)
6
1 4
j)
7
1 3 - 5 = 4 4
- 3
1 = 3
Problemas 1. En su tocinería, don José vende longaniza. Por la mañana, tenía 6 terminar el día, había vendido en total 3 saber cuánto le quedó?
1 kilos; al 2
1 kilos. ¿Podría usted ayudarle a 4
2. En la farmacia, venden crema líquida; durante el día vendieron lo siguiente: 1
1 3 1 litros, de litro, 1 litros. ¿Cuánta 2 4 4
crema vendieron en total y cuánta crema sobró si el frasco es de 5
3. Don Jesús tenía 21
1 litros? 2
3 kilos de jitomate para 4
vender en el tianguis; al terminar la venta, sabe que vendió 13 1 kilos de jitomate. 2
¿Podría usted ayudarle a saber cuántos kilos le sobraron? 4. Doña Patricia atiende la carnicería con su esposo; una clienta le pide 2 kilos y medio de “surtida de puerco”. Doña patricia pesó
3 de kg de “falda de puerco” 4
y el resto lo completó de costilla. La clienta quiere saber cuánto le dieron de costilla si sabe que 3 de kilo son de “falda”. ¿Podría usted calcular cuánto 4
le dieron de costilla para completar los 2
1 kilos de “surtida de puerco”? 2
OPERACIONES CON FRACCIONES
Tema 5
R
Multiplicación de fracciones
amiro vende manzanas en el mercado de la Estrella; si a cada caja que recibe le
cabe 8
1 kilos de manzanas y el lunes recibió 4 cajas, ¿cuántos kilos de manzana 4
tiene para vender Ramiro?
1
Para resolver su problema, Ramiro puede sumar 4 veces 8 4 kg. 1 1 1 1 8 +8 +8 +8 = 4 4 4 4 Primero, suma los enteros: 8 + 8 + 8 + 8 = 32 Luego, suma las fracciones:
1 1 1 1 1+1+1+1 4 + + + = = = 1 4 4 4 4 4 4 91
NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA
Con lo anterior, Ramiro sabe que tiene 32 kg de los enteros y 1 kg de los cuartos, lo que da un total de 33 kg. Pero recuerda que cuando va a sumar varias veces la misma cantidad es más fácil multiplicar, por lo que hace lo siguiente: Multiplica el número de cajas (4) 1
por el peso de cada caja (8 4 kg):
4x8
1 = 4
Una forma sencilla de obtener el resultado de la multiplicación de fracciones es convertir multiplicando y multiplicador a fracciones sin que tengan números mixtos. 4
Esto implica, primero, convertir al 4 en fracción, lo que resulta sencillo porque 1 es la forma más fácil de presentar a 4 como fracción. 1
1
Luego, se debe convertir 8 4 . Como este número tiene cuartos ( ), conviene 4 convertir el 8 a cuartos y agregar los cuartos que le acompañan:
x4
8 = ? 1 4
8 1
=
32 4
x4 Se busca un número que multiplicado por 1 dé 4. Este número es el 4. Para que no se altere la fracción original (
8 ), se multiplica su numerador y denominador por 4. 1
8 32 es igual a y como la fracción 1 4 1 32 1 completa es 8 falta agregar a los el ; por lo que: 4 4 4
Con lo anterior, se sabe que la fracción
8
1 33 = 4 4
Con lo anterior, la multiplicación de las fracciones de Ramiro quedará así:
4x8 92
1 4 33 = x 4 1 4
OPERACIONES CON FRACCIONES
Para multiplicar fracciones, se multiplican los numeradores por los numeradores y los denominadores por los denominadores, sin importar si son o no iguales y con ello se obtiene una nueva fracción, producto de la multiplicación. 4 33 4 x 33 132 x = = 1 4 1x4 4 Se reduce la fracción de la siguiente manera: 33 4 132 132 -12 . = 33 kg 4 012 0 Mismo resultado que obtuvo Ramiro sumando las cajas.
Ejemplo
1
Ramiro vendió, de sus 4 cajas de manzanas, sólo 2 2 . ¿Cuánto vendió Ramiro de manzanas en kilos? Para saber cuánto vendió Ramiro, multiplica lo que pesa una caja de manzanas (8
1 1 kg) por las 2 4 2
cajas que vendió.
8
1 1 x2 =? 4 2
Convertir 8 1 a una fracción con denominador 4 porque se están manejando 1 4 cuartos ( ). 4
8 ? = 1 4
Se busca un número que multiplicado por 1 dé 4.
x4 8 1
=
32 4
x4
32 Como se tienen 8 1 , hay que agregar a los el 1 que falta, lo que da: 4 4 4 1 33 8 = 4 4 93
NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA
Convertir 2
1 2
a una fracción impropia con denominador 2 porque se están
manejando medios ( 1 ). 2
x2
Primero, se toma al 2. 2 1
2 ? = 1 2
4 2
= x2
Se debe buscar un número que multiplicado por 1 dé 2. Este número es el 2. 4
1
Se agrega a los 2 el 2 que falta: 1 5 2 = 2 2 Con estas dos nuevas fracciones equivalentes a 8
8 1 x 2 1 = 33 x 5 = 165 4
2
4
2
1 1 y2 se tiene que: 4 2
8
Observe que en la multiplicación de fracciones no importa si los denominadores son iguales. Simplemente se multiplican los numeradores por los numeradores para obtener el nuevo numerador, y los denominadores por los denominadores para encontrar el nuevo denominador. Ramiro simplifica, de la siguiente manera, la fracción que obtuvo: 20 8 165 -16 . 05 165 5 = 20 - 0 8 8 5 Ramiro, al vender 2
1 5 cajas de manzana, vendió el equivalente a 20 kg. 2 8 5
Para conocer a cuánto equivalen los de kg en gramos, Ramiro hace con su 8 calculadora la división y obtiene:
5 ÷ 8 = 0.625
Por lo que ahora puede decir con toda seguridad que las 2 1 cajas de manzana 2
que vendió pesaban exactamente 20.625 kg, o sea, 20 kg con 625 gramos. 94
OPERACIONES CON FRACCIONES
Ejemplo En su tienda de abarrotes, don Javier va anotando diariamente lo que vende de azúcar y así saber qué cantidad reponer. En la lista de hoy, él anotó nueve veces medio kilo y desea saber cuántos kilos son en total. Don Javier realiza la suma contando los pares de medios kilos que se pueden formar con los 9 medios y le da un total de 4 pares y le sobra 1 medio; como cada par forma 1 kilo, entonces se tienen 4 1 kg. 2
La multiplicación de una fracción por un entero (
1 x 9) también se puede hacer 2
como si fuera una multiplicación de dos fracciones.
9 1
Se deja al entero (9) como numerador y colocamos un 1 como denominador ( ). Recuerde que un entero se puede expresar como fracción con denominador uno. Después, se multiplica directamente numerador por numerador y denominador por denominador. 1 9 1x9 9 x = = 2 1 2x1 2 9
Como es una fracción con el numerador mayor que el denominador, conviene 2 convertirla a un número mixto haciendo la división: 4 9 1 2 9 = 4 2 2 -8 1 1
La cantidad de azúcar que vendió Javier fueron 4 2 kg. 95
NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA
Ejemplo Rocío compra un queso completo que pesa 5
1 kg. Pagó 121 pesos por todo el queso. 2
Si su cuñada quiere una tercera parte y su prima dos quintas partes, ¿cuánto debe cobrar y cuánto queso debe de dar a cada una? Rocío, para saber cuánto queso debe entregar a su cuñada, quien sólo quiere 1
los 5 2 kg, hace una multiplicación de fracciones, de la siguiente manera: 1 1 5 x = ? 2 3 Primero, convierte los 5
1 de 3
1 a una fracción impropia de medios, por lo que convierte 2
el 5 a una fracción de medios y, luego, le suma el medio que falta. Se busca un número que multiplicado por 1 dé 2.
x2 5 1
10 2
= x2
Suma a los
1 10 10 1 11 el que falta, con lo que tiene que: + = ; por lo que: 2 2 2 2 2
5
1 2
=
11 2
Con la fracción equivalente anterior, puede fácilmente hacer su multiplicación.
5
1 1 11 1 11 x 1 11 x = x = = 2 3 2 3 2x3 6
Reduce la fracción obtenida, de la siguiente manera: 1 11 5 6 11 =1 6 6 - 6 5 1
5
Lo anterior significa que de los 5 2 kg debe dar a su cuñada 1 6 kg. Al hacer la 5 división de los 6 de kg obtiene que: 5 = 5 ÷ 6 = 0.833 6
Por lo que le entregará 1.833 kg de queso. Para saber cuánto le debe cobrar, 1 saca la tercera parte a lo que pagó (121 pesos), o sea, multiplica 121 x . 3
96
OPERACIONES CON FRACCIONES
Esta multiplicación de fracciones, como no tiene números mixtos, la puede resolver de manera directa. 121 1 121 x = 1 3 3 Reduce su fracción haciendo la división y obtiene lo siguiente: 40 3 1 21 -1 2 0 01
121 1 = 40 3 3
Problema 1. Con el procedimiento anterior, ayude usted a Rocío para calcular qué cantidad 2 partes del queso, y cuánto 5 1 debe cobrarle de los $121.00 que Rocio pagó por el queso que pesa 5 2 kg.
en kg debe darle a su prima, quien sólo quiere
Ejercicios 1. Resuelva las siguientes operaciones y simplifique el resultado. 18 ÷ 2 9 = 10 ÷ 2 5
a)
3 x 6 = 3 x 6 = 18 5 2 5x2 10
b)
9 x 3 = 3 8
g)
5 x 9 = 4 7
c)
1 x 1 = 2 3
h)
3 x 4 = 8 5
d)
3 x 7 = 9 2
i)
4 x 10 = 5
e)
6 x 3 = 9 5
j)
5 x7= 16
f)
2 x 7 = 6 7
k)
6x 4 =
simplificando:
5
○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ ○ ○ ○ ○
Lo que quiere decir que le debe cobrar 40 pesos y un tercio de un peso, o sea, 1 ÷ 3 = 0.33; es decir, debe cobrar a su cuñada 40.33 pesos.
97
○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA
98
Problemas 1. Don Pancho quiere poner un puesto móvil en forma de carro, para vender churros con azúcar. 1 En la panadería donde trabajaba, preparaba 12 kilos de harina para la masa 2
de los churros; pero ahora, para no tener pérdidas o sobrantes, sabe que tiene que preparar menos cantidad. Él desea saber qué cantidades de la 1
receta necesita si sólo quiere preparar una tercera parte ( ) de masa. 3 La receta que él preparaba incluye las cantidades de ingredientes que siguen: 12
1 kilos de harina de trigo 2
1 cucharada sopera de polvo de hornear 1 cucharada sopera de vainilla 3 litros de agua hirviendo 1 puño de sal de grano
1 kg de manteca vegetal 4
aceite caliente, el necesario para freír, y azúcar para espolvorear. Ayude usted a don Pancho a obtener, con ayuda de las fracciones, las cantidades de ingredientes que necesita para preparar su masa.
2. Doña Juana va a comprar diferentes tipos de chile seco en la central de abasto para venderlo por gramos en su tienda de abarrotes. Los precios del chile por kilo son: guajillo, $44.00; ancho, $36.00; mulato, $32.00 y pasilla, $26.00. ¿Cuánto pagará por cada tipo de chile si compra
1 1 de kg de guajillo, kg de 4 2
chile ancho, 1 de kg de chile mulato y medio kilo de chile pasilla? 4
OPERACIONES CON FRACCIONES
3. Todos los días, Inocencio, en su puesto de tacos de “suadero” prepara carne, tortillas, salsa, verdura y limones para 200 tacos. Él compraba la mercancía para toda la semana, pero como se le echaba a perder tenía pérdidas en su negocio, por eso ahora piensa abastecerse los lunes, miércoles y viernes. Él necesita saber qué parte o fracción de mercancía necesita comprar en cada uno de los días en que va de compras. Las cantidades de ingredientes que compraba para 7 días eran:35 kilos de “suadero”, 28 kilos de tortillas, 28 kilos de jitomate, 1 5
3 kg de chile de árbol, 4
1 1 kg de cebolla, 17.50 pesos de cilantro, 3 kg de sal y 35 kg de limones. 4 2
Ayude usted a Inocencio a calcular las cantidades de ingredientes que necesita si se abastece los lunes, miércoles y viernes.
4. Doña Concha, como todas las amas de casa, sabe que el papel higiénico se ocupa mucho, por eso decidió comprarlo por mayoreo para gastar menos. Así que convenció a su prima y a su cuñada de comprar un paquete grande para repartirlo entre las tres en partes iguales. El paquete le salió a doña Concha en 105 pesos y trae 16 paquetes con 6 rollos cada uno. Ahora doña Concha quiere saber cuántos rollos de papel le tiene que dar a cada una y cuánto les debe cobrar por ello. Ayude usted a doña Concha a resolver su problema. 99
NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA
5. Doña Carmen fue de compras con su vecina y encontraron en oferta el queso manchego a 48 pesos el kilo. Como estaba en oferta se vendió rápido y ya sólo quedaban quesos grandes; decidieron entre las dos llevarse uno que pesaba dos kilos y un cuarto; doña Carmen le dijo a su vecina que ella sólo necesitaba una tercera parte del queso. Ahora su vecina necesita saber qué cantidad en kilos de queso tiene que dar a doña Carmen y cuánto le tiene que cobrar. ¿Podría usted ayudarle?
6. Doña Chuy, cada semana, compra yogures para sus hijos porque sabe que es nutritivo; la caja con 48 botellitas le cuesta $72.00, pero si ella compra toda la caja se salía de su presupuesto, entonces su cuñada le dijo que comprara toda la caja y que le vendiera a ella una cuarta parte, la que le pagaría al llegar. Doña Chuy, para poder cobrar a su cuñada los yogur, en el trayecto a su casa va haciendo sus cuentas. Ella necesita saber cuántas botellitas tiene que dar a su cuñada y cuánto dinero le tiene que cobrar. ¿Podría usted ayudar a doña Chuy a hacer sus cuentas? 7. Doña Chela, aun cuando las cosas están muy caras, hace el esfuerzo por ahorrar una quinta parte de su gasto, que es de 500 pesos a la semana. Como en quince semanas es el cumpleaños de su hijo Lalito, ella lo quiere festejar haciéndole un pastel de cumpleaños e invitar a sus familiares. ¿Cuánto ahorrará doña Chela en quince semanas para la fiesta de Lalito? 100
OPERACIONES CON FRACCIONES
Tema 6
División de fracciones
D
oña Lupe fue a la tienda a comprar 3 litros de crema que le hacían falta para
preparar un pedido de pasteles, pero en la tienda sólo encontró tarritos de crema de
1 de litro. Doña Lupe quiere saber cuántos tarritos debe comprar para 4
completar los 3 litros que le hacen falta. 1
Ella necesita saber cuántos tarritos de de litro hay en 3 litros, lo cual se puede 4 expresar como una división, así: 1 4
1 4
1 4
1 4
=1
1 4
1 4
1 4
1 4
=1
1 4
1 4
1 4
1 4
=1 1
l, entonces 3 litros contienen Observe que cada litro contiene 4 tarritos de 4 3 veces 4, o sea, 12 tarritos de crema. 1 3 x 4 = 12 3÷ = 12 4 inverso 101
NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA
Este problema nos hace recordar que la división es el inverso de la multiplicación, y de aquí se origina la siguiente regla para dividir fracciones. Regla Para dividir un número (entero o fracción) entre una fracción, multiplique el número por el inverso de la fracción. El inverso (recíproco) de una fracción se obtiene invirtiendo el numerador por el denominador.
Ejemplo 5 3 ÷ = 4 2 Aplicando la regla tenemos: 5 3 ÷ = 4 2
5 2 x = 4 3 inverso
Efectuando la multiplicación y luego simplificando:
÷2
5 2 10 x = 4 3 12
10 12
=
5 6
÷2
Recuerde que el inverso de una fracción se obtiene al invertir el numerador y el denominador de la fracción.
Ejemplo
1 4 , su inverso es . 4 1 6 7 , su inverso es . 7 6 2 9 , su inverso es . 9 2 102
OPERACIONES CON FRACCIONES
Ejemplo
3
La señora Olivia cobró en su cremeria $76.50 por 12 kilos de crema. ¿A cómo 4 dio el kilo de crema? Para conocer el precio por kilo, necesita dividir lo que cobró entre el número de kilos de crema que vendió.
76.50 ÷ 12 3 = ? 4
Observe que se está dividiendo una cantidad con decimales entre una cantidad con fracciones. También se podría haber planteado la división de fracciones de la siguiente manera: 76
1 3 ÷ 12 2 4
=?
Sin embargo, esto no es común, por lo que se continuará con el planteamiento original. 76.50 ÷ 12 3 = ? 4 Para hacer una división de fracciones, se debe obtener el inverso de la fracción y luego multiplicar, por lo que en este caso se obtendrá la fracción impropia de 12
3 . 4
Es conveniente que esta fracción se obtenga con denominador 4 porque se tienen cuartos. 3
?
Para convertir 12 4 a 4 , primero se convierte el entero (12) a cuartos. Se busca un número que multiplicado por 1 dé 4. Éste es 4.
x4 12 ? = 1 4
12 1
48 4
= x4
48 3 48 + 3 51 Se suman los 3 que ya se tenían: + = = 4
4
4
4
4
103
NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA
Con lo que se obtiene que: 3 51 12 = 4 4 Con lo anterior, la división de la señora Olivia quedará de la siguiente forma:
76.50 ÷ 12
3 51 = 76.50 ÷ =? 4 4
Para hacer la división de fracciones, se debe multiplicar al primer número por el inverso de la fracción que divide, la señora Olivia hace lo siguiente: El inverso de
51 4 es , por lo que: 4 51
76.50 ÷
51 4 306 = 76.50 x = 4 51 51
Haciendo la reducción de la fracción, la señora Olivia obtuvo lo siguiente: 306 = 306 ÷ 51 = 6 51
○○○○○○○○○○○○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
Con lo anterior, la señora Olivia sabe que el kilo de crema lo dio en 6 pesos.
104
Ejercicios 1. Resuelva las siguientes divisiones de fracciones. a)
9 4 ÷ = 3 6
f)
2 3 ÷ = 5 4
b)
6 2 ÷ = 5 3
g)
6 3 ÷ = 2 5
c)
8 4 ÷ = 4 2
h)
8 ÷ 4 = 9
d)
5 3 ÷ = 8 7
i)
5 ÷
e)
9 6 ÷ = 2 5
3 = 7
OPERACIONES CON FRACCIONES
Se pueden comprobar las divisiones de fracciones, convirtiendo las fracciones a decimales y efectuando las operaciónes con ayuda de una calculadora.
Ejemplo Divida los números decimales:
Convierta las fracciones a decimales:
2
÷
5
=
0.4
3
÷
4
=
0.75
0.4 ÷ 0.75 = 0.5333 Compare los resultados en números decimales: 8 = 8 ÷ 15 = 0.5333 15
Problemas 1. Doña Aurora tiene 1
1 2
kg de arroz sin preparar; desea saber si le alcanza
para preparar 25 órdenes de arroz para llevar. Doña Aurora sabe que de
1 3
de taza de arroz sin preparar sale una orden de arroz para llevar y que una taza de arroz (sin preparar) pesa 200 gramos ó
1 de kg. 5
2. Doña Aurora pagó en la carnicería 90 pesos por un lomo de puerco que pesó 3
2 4 de kg y desea saber a cómo le cobraron el kg. 3. Doña Aurora tiene
3 de una pizza grande que quiere compartir, para la cena, 4
con sus tres hijas en partes iguales. ¿Cuántas fracciones de la pizza le tocan a cada una?
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
2 3 8 ÷ = 5 4 15
105
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Autoevaluación Unidad II: Operaciones con fracciones Ahora que terminó la Unidad II, vamos a recordar los temas que ya estudió: Suma de fracciones con igual denominador, Resta de fracciones con igual denominador, Suma de fracciones con diferente denominador, Resta de fracciones con diferente denominador, Multiplicación de fracciones y División de fracciones. Para conocer lo que aprendió, es importante que resuelva los siguientes ejercicios; recuerde que puede utilizar todo el material que considere útil. 1. Doña Sofía vende quesadillas; esta semana compró diferentes cantidades de masa, como se muestra en la siguiente tabla. Día
Cantidad de masa 1
Jueves
5 4 kg 28 kg
Viernes
4 6 3 kg 4 24 kg 4
Sábado Domingo a) ¿Qué cantidad de masa compró en total?
b) ¿Qué día de la semana compró más cantidad de masa? 2. Rosalinda compró 1 kg de papa, 1 de kg de zanahoria y 3 de kg de calabacitas. 2 8 4 ¿Qué cantidad de verdura compró en total? 3. Julieta compró las botellas de aceite que se muestran abajo. ¿Cuánto aceite compró?
1 litro 106
+
1 litro 2
+
1 litro 4
=
4. Azucena compró 3 1 kg de pollo para preparar 3 guisados diferentes. Si prepara 2 3 1 de kg en salsa verde y 1 4 kg en jitomate con papas, ¿con qué cantidad de pollo 4 va a praparar el guisado que le falta?
5. Don Leopoldo dio a su hijo mayor $2,000.00. De esa cantidad, le pidió que con un 1 pague el predial; con la mitad de lo que le quede pague la renta; con un 1 de 4 5 lo que le quede compre la comida; y que le regrese el cambio. ¿Qué cantidad de dinero va a devolver a don Leopoldo?
6. Josefa vende lentejas en bolsas de 1 de kilo y frijoles en bolsas de 1 kilo. Si en una 2 4 semana vendió 32 bolsas de lentejas y 24 bolsas de frijoles, ¿cuántos kilos de semilla vendió en total?
7. La maestra Alejandra va a repartir en partes iguales 8 2 kilos de caramelos y galletas 4 entre sus 34 alumnos. Si los quiere poner en bolsitas, ¿qué cantidad deberá poner en cada bolsita?
8. Reina va a hacer 20 flores de papel para adornar un salón de baile. Si para cada flor utiliza 1 del pliego de papel, ¿cuántos pliegos debe comprar para hacer las 4 20 flores? 107
9. Según la receta de Teresita, se necesitan los siguientes ingredientes para hacer pasteles: Tamaño grande
Tamaño mediano
1 kg de galletas “Marías” 4 1 kg de mantequilla 5 1 kg de queso 2
1 kg de galletas “Marías” 8 1 kg de mantequilla 10 1 kg de queso 4
a) Si Teresita quiere hacer 2 pasteles grandes y 3 pasteles medianos, ¿qué cantidad de cada ingrediente tiene que comprar? Galletas “Marías” Mantequilla Queso b) Si en la tienda venden los ingredientes en gramos, ¿cuántos gramos son de cada ingrediente? Galletas “Marías” gramos. Mantequilla gramos. Queso gramos. 10. En la fiesta de cumpleaños de doña Anita, sirvieron ensalada de frutas. Para 2 2 1 preparar la ensalada compraron 2 8 kg de melón, 3 4 kg de sandía, 2 2 kg de papaya y 3 14 kg de plátanos. a) ¿Cuántos kilos de fruta compraron? b) ¿Qué cantidad de ensalada le sirvieron a cada invitado si repartieron toda la fruta y eran 45 personas?
108
Hoja de respuestas Unidad II: Operaciones con fracciones Instrucciones Revise sus respuestas a los ejercicios. Si tuvo dificultad para responder las preguntas correctamente, identifique sus aciertos y fallas y vuelva a leer la unidad. Pregunta
Respuesta
1
a) 25 kg.
2
1 4 kg = 1 1 kg
3
1 3 litros.
4
1 2 kg.
5
$600.00.
6
20 kilos.
7
32
b) El viernes. 8
4 1
1 kg. 4
8
5 pliegos.
9
a) Galletas, 7 kg; mantequilla, 7 kg; queso,
10
8
1 3 kg. 4 b) Galletas = 875 gramos, mantequilla = 700 gramos, queso = 1,750 gramos. 1 a) 11 2 kg.
10
b) 255 gramos. Sugerencias Si usted respondió 4 preguntas correctamente, se le sugiere que continúe estudiando la siguiente unidad. Si obtuvo menos aciertos, es conveniente que se regrese a estudiar esta unidad para reafirmar los temas.
109
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