Ondas Electromagneticas Guiadas 1r1n42

Ondas electromagnéticas guiadas José Luis Mañanes Castro Cálculo de R, G, L y C para una línea: a- Bifilar b- De tira o cinta (strip-line) En ambos casos tenemos que para: Conductores: -

μ≈μ0 conductividad muy elevada

Dieléctricos: -

μ0 conductividad muy baja.

Caso de la línea bifilar: Tenemos una línea con la geometría:

d 2a l De manera que a<
X

Entonces, observamos que en caso de a<
Ondas electromagnéticas guiadas José Luis Mañanes Castro A su vez, por definición de autoinducción: Para el campo de una línea conductora cilíndrica tenemos:



De todo esto, la autoinducción por unidad de longitud será: ! " 2 %&

2

# $ ' & Y, dada la suposición hecha desde el principio, de a<
# $ ' ( # $ ' & & Con lo que "



# $ ' & 2- Capacidad Dado que por definición )

* +

Calculemos V entre las líneas y obtendremos la capacidad. Para calcular V calculamos primero el campo eléctrico E mediante el teorema de Gauss (pero ojo aplicada a cada uno por separado, si no la carga encerrada es cero y lleva a error) y posteriormente por integración obtenemos V: Superficies gaussianas, cilindros con el mismo eje que los conductores

y +q

x

,

2./" 2./" . /"

+0 Y finalmente obtenemos que

-q



/

# $ ' ./" ." &

)

* ." + # 12 &

2

Ondas electromagnéticas guiadas José Luis Mañanes Castro 3- Impedancia característica Una vez hemos calculado la capacidad y la autoinducción externa, podemos calcular la impedancia característica utilizando: ;<

"

7 # 1& 2 : 3 4 6 9 ." ) 5 # 1& 2 8

.

# $ ' & =

Que sustituyendo los valores de la permitividad y permeabilidad del vacío (esto es he considerado ϵ=ϵ0):

4- Velocidad de propagación:

Sin más que utilizar la formula: AB

unidad de longitud, tenemos:

AB

1

√ )

3 120 # $ ' & ;

√DE



, y considerando la autoinducción y la capacidad por 1

4 # 1& 2

.

# 1& 2



1

F .

Donde observamos que para ϵ=ϵ0 se obtiene la velocidad de la luz en el vacío. 5- Conductancia. Dado que entre dos conductores cualesquiera se cumple: G)

entonces:

y por tanto:

1 . ) I H I

Que por unidad de longitud es.

. H

H ." . # 12 &

3

Ondas electromagnéticas guiadas José Luis Mañanes Castro I

H

# 1 2 &

6- Resistencia Para este cálculo consideramos una frecuencia elevada y por tanto δ (profundidad de penetración de Skin) muy pequeño. La resistencia para un único hilo será:

1 " H 2&J Como son dos tendremos una resistencia total de: 1 " G H &J G;

7- Autoinducción interna.

Conociendo ya la resistencia podemos calcular la autoinducción interna como:

KLM

G 1 " N NH &J

Caso de la strip-line: En este caso la estructura de la línea es la siguiente:

L

a b

Donde asumiré que a<
4

Ondas electromagnéticas guiadas José Luis Mañanes Castro 1- Autoinducción externa. Si consideramos que a<
De manera que integrando en el contorno dibujado tenemos que

O

Para calcular el flujo, consideremos un punto del conductor superior (1) y otro del inferior, entonces, el flujo vendrá dado por: 1 n

a

B 2

#P/ 0 ;

Como

Tenemos que por unidad de longitud



2- Capacidad.

& O

& O

Debido a la geometría de la línea, dicha capacidad no es otra que la de un condensador de placas plano paralelas, que expresada por unidad de longitud: ).

O &

3- Impedancia característica. Igual que en el caso anterior, podemos calcular la impedancia característica como. &

& 3 4 Q O = O . O ) .& 5

Ondas electromagnéticas guiadas José Luis Mañanes Castro Si aproximamos, como hice en el caso anterior, ϵ=ϵ0, se tiene que: 3 120

4- Velocidad de propagación. De nuevo se calcula como: AB

1

√ )



1

& O

= & . O O &



1

F .

E igual que para la otra línea, en el caso de ϵ=ϵ0 obtenemos la velocidad de la luz en el vacío. 5- Conductancia.

Por el mismo procedimiento que para la otra línea: I H 6- Resistencia.

O &

Con las consideraciones hechas para la línea bifilar salvo que aquí para cada hilo 1 " H OJ Tenemos una resistencia por unidad de longitud de: 2 GM HOJ 7- Autoinducción interna. G;

Y conociendo ya la resistencia podemos calcular la autoinducción interna como:

KLM

G 2 N NHOJ

Finalmente, a modo de resumen esquemático, podríamos plasmar todos estos resultados, junto con los obtenidos para la línea coaxial en una tabla como la de la página siguiente.

6

Ondas electromagnéticas guiadas José Luis Mañanes Castro

(todos ellos vienen dados por unidad de longitud)

AUTOINDUCCION EXTERNA

AUTOINDUCCION INTERNA

COAXIAL Radio conductor interior a, conductor exterior (parte interna) b



R

RESITENCIA

CONDUCTANCIA

IMPEDANCIA CARACTERISTICA

1 1 1 $ ' 2HJN & O

)

CAPACIDAD

G

O

# 2 &

2. O

# &

1 1 1 $ ' 2HJ & O

I

BIFILAR Con a el radio de los conductores y d la separación de los mismos. Se considera a<





# $ ' &

R )

.

# 1& 2

G

H2 O

# &

I

1 &JNH

1 H&J

H

# 1& 2

= . 3

# $ ' &

1 O 3

# = 2 & .

7

STRIPLINE Con b el ancho de los conductores y a la separación entre ambos Se considera a<



R

2 NHOJ

). G

& O

O &

2 HOJ

I H

O &

& 3 = . O