Modulo Matrices 323ro

Walter Orlando Gonzales Caicedo

TEMA: OPERACIONES CON MATRICES

Gonzales Caicedo Walter Orlando

CHICLAYO – PERÚ

www.goncaiwo.wordpress.com

Walter Orlando Gonzales Caicedo CAPÍTULO I MATRICES 1.1 Introducción Un empresario tiene tres máquinas que son empleadas en la fabricación de cuatro productos diferentes. El número de horas que cada máquina es usada en la producción de una unidad de cada uno de los cuatro productos está dado por:

Prod 1 Maq 1 Maq 2

Prod 2

Prod 3

Prod 4

1

2

1

2

2

0

1

1

1

2

3

0

Maq 3

Así, por ejemplo, en la producción de una unidad del producto 1 la maquinaria 1 se usa 1 hora y la máquina 2 se usa 2 horas. A este arreglo de la información en filas y columnas se le denomina matriz y para designarlas se utilizan letras mayúsculas (A, B, C,…). Si al arreglo anterior le llamamos matriz A, tendríamos: 1 2 1 2 A

2 0 1 1 1 2 3 0

Siendo A una matriz de 3 filas (horizontales) y 4 columnas (verticales). Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. Sylvester El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853 En 1858, A. Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas. Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc...


Walter Orlando Gonzales Caicedo La utilización de matrices (arrays) constituye actualmente una parte esencial de los lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas: hojas de cálculo, bases de datos, etc... 1.2 Definición: Una matriz es un arreglo rectangular de números en filas y columnas, encerrados entre corchetes o paréntesis. 1.3 Orden de una Matriz: Dada una matriz se denomina orden de la matriz al producto indicado del número de filas por el número de columnas. Considerando la matriz anterior esta sería de orden 3 4 (3 filas por 4 columnas). 1.4 Matriz cuadrada: Se llama así a la matriz que tiene el mismo número de filas y columnas. Así, 1 B

2

2

2

1

3

1

5

1

es una matriz cuadrada de orden 3 3 o simplemente diremos que tiene orden 3. 1.5 Elementos de una matriz: De manera general un elemento cualquiera de la matriz A se representa mediante la notación a ij donde los subíndices i, j nos indica la fila y la columna donde está ubicado el elemento en cuestión. Así el elemento de la fila 2 y columna 4 de la matriz A, sería: a 24

1

De igual manera, se tiene que a33

3

a34

0

¿Cuál será el elemento ubicado en la fila 3 y columna 2 de la matriz B? b32

1.6 Forma general de una matriz: Generalizando la notación de una matriz A de orden m n será:

A

a11

a12

a13



a1n

a21

a22

a23



a2 n

a31 

a32 

a33 

 

a3n 

am1 am2

am3  amn

Considerándose el elemento genérico aij esta representación se podría abreviar así:


Walter Orlando Gonzales Caicedo A (aij ) m

n

si el número de filas y columnas está sobrentendido o no tiene importancia se escribe simplemente A (aij ) . 1.7 igualdad de matrices: Dos matrices son iguales si tienen el mismo orden y los 4 5 elementos correspondientes iguales. Por ejemplo, las matrices A y 0 - 3 1/4 B

4

5

-

0 - 3 1/4

son iguales, pues:

1) Son de igual orden 2 3 2) Sus elementos correspondientes son iguales: a11

b11

4

a12

b12

a 21

b21

0

a 22

b22

Ejercicio: Sean las matrices A

5 3

2

3

5

-4

-7

2

9

a13

b13

a 23

b23 1 / 4

y B

3.14 1/8

2

3

5

-4

7

2

9

¿Es A=B?

1/8 3.14

Explique su respuesta. Solución: Las matrices no son iguales, pues aunque tienen el mismo orden no todos sus elementos correspondientes son iguales, por ejemplo, a 22 b22 . 1.8 Algunos tipos de matrices Hay algunas matrices que aparecen frecuentemente y que según su forma o sus elementos reciben nombres diferentes: 1.8.1 Matriz transpuesta Dada una matriz A, se llama transpuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas. Se representa por A t . Ejemplo.

Sea a) A

1 3

2 5 , entonces A t 4 7

1

b) B

4

6 2

3 2

1 2 5

3 4 7

8 1 7

, entonces B

t

1

4

6

2

8 1

3 2 7


Walter Orlando Gonzales Caicedo 1.8.3 Matriz nula. Si todos sus elementos son cero. También se denomina matriz cero y se denota por 0m n . Por ejemplo, la matriz 0 3

4

sería la matriz: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1.8.4 Matriz identidad. Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales a 1. También se le denomina matriz unidad y normalmente se le representa por la letra I, así tenemos que la matriz identidad de orden 3 3 se escribe de la siguiente forma: 1 0 0 I

0 1 0 0 0 1

1.8.5 Matriz escalar. Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales. Por ejemplo, la siguiente matriz es una matriz escalar: 7 0 0 A

0 7 0 0 0 7

1.8.6 Matriz triangular superior. En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros. Son de la forma:

A

Ejemplo.

A

a11

a12

... a1n

0 ...

a 22 ...

a 2n ... ...

0

0

... a mn

5

2

4

0 0

1 0

6 1

a ij

0 si i

j


Walter Orlando Gonzales Caicedo 1.8.7 Matriz triangular inferior. En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros. Son de la forma:

A

2

Ejemplo:

A

a11

0

...

0

a 21 ...

a 22 ...

...

0 ...

a m1

am2

... a mn

aij

0 si i

j

0 0

3 2 0 9 4 1

CAPÍTULO II

OPERACIONES CON MATRICES 2.1.

Introducción. Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. Sylvester. El desarrollo inicial de la teoría de matrices se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas. Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, istración, en la teoría de las comunicaciones, etc... La utilización de matrices (arrays) constituye actualmente una parte esencial de los lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas: hojas de cálculo, bases de datos.

2.1.1 Multiplicación de una matriz por un escalar: Sea

un escalar y A (aij ) una

matriz de orden m n . El producto del escalar por la matriz A (denotado como A ) es la matriz que se obtiene al multiplicar cada uno de los elementos de A por el escalar . Ejemplo: Sea la matriz:

A

-1 3 4

5

Entonces el producto de la matriz A por el escalar

3 será:


Walter Orlando Gonzales Caicedo -3

3A

9

12 15

2.1.2 Adición de matrices: Sean A (aij ) y B (bij ) dos matrices de orden m n . Entonces la suma de A y B, denotada como A B , es la matriz de orden m n que se obtiene al sumar los elementos correspondientes de A y B. Ejemplo 1 Calcular la matriz C=A+B, si 4 5 3 A 7 6 3 Solución: C

4 5 3 7 6 3

2 3

C

4 2 5-4 3 5 7-3 6 2 3 2

C

6 1 8 4 8 5

2 -4 5 -3 2 2

y B

4 5 2 2

Nota: La suma de dos matrices es posible sólo si ambas matrices tienen el mismo orden. Por ejemplo, no es posible sumar las matrices 7 0 5 4 3

y

1

4 5 6 3 6 9

ya que no tienen el mismo orden.

12 10 Ejemplo 2. Sea; A = 8

9

7

5

11 15 y B= 9

8

6

5

3x2

. Calcular A + B y A - B. 3x2

Solución:

12 10 A+B= 8

9

7

5

12 A+B=

11 15 + 9

8

6

5

3x2

11 10

15

8 9

9

8

7

5

5

6

12 10

3x2

A–B= 8

9

7

5

12 A–B= 8 3x2

7

11 15

3x2

11 9 6


- 9

8

6

5

10

15

9

8

5

5

3x2

3x2

Walter Orlando Gonzales Caicedo 23

25

A + B = 17

17

13

10

A–B= 3x2

2

2x

x 3y

Ejemplo 3. Si A =

x

y

y

4

5

11

12

8

y

B=

3 x3

1

5

1

1

1

0

3x2

2

11

4

17

5

11

7

12

8

3 x3

¿Qué valor toma x+y; si la matriz, A + B es una matriz nula? Solución:

2 A+B= x

2x 3y 3y

5

11

y

12

8

x

0 =

4 +

0

0

x

0

0

0

0

= 0

0

0

0

0

0

= 0. 3 x3

4

17

5

11

7

12

8

3 x3

0

x 3 y 17

0

11

3 x3

2 x 3 y 11 y 7

2

3 x3

2 x 3 y 11 0 De donde: x 3 y 17 0 x y 7 0

Solucionando el sistema anterior, se obtiene: x = 2, y = 5; por lo que: x + y = 7.

1 2 Ejemplo 4. Dadas matrices A = 3 4

5 6 p

q

D= r

s

t

u

y B= 3x2

3

2

1

5

4

3

; hallar: 3x2

de manera que A + B – D = 0 3x 2

Solución:



2

p

q

1

5

- r

s

4

3

1 2 A+B–D= 3 4

+

5 6

3x2

1

3

p

2

2

q

= 3

1

r

4

5

s

5

4

t

6

3

u

0

0

= 0

0

0

0

t

3x2

u

= 3x2

3x 2

2

p

q

4

r

1

s

9

t

9

v

3x2

3x2

2 q De la definición de matrices iguales, se tiene:

4

p 0 r

1

0 0

s

0

9 t 0 9 v 0 p 2 q 0 de donde:

r

4

s 1 t 9 v 9

.

Ejemplo Práctico.

En consecuencia:

D=

2

0

4

1

9

9

3x2

(Matriz de Costos de Suministros) Un contratista calcula que los Costos en dólares) de adquirir y transportar unidades determinadas de concreto, madera y acero desde tres diferentes localidades están dados por las siguientes Tablas. Tabla 01.

Localidad A Costos de material Costos de transporte

Concreto 20 22

Madera 35 10

Acero 25 6

Tabla 02. Localidad B Costos de material

Concreto 22

Madera 36


Acero 24

Walter Orlando Gonzales Caicedo Costos transporte

de

9

9

8

Tabla 03. Localidad C Costos de material Costos de transporte

Concreto 18 11

Madera 32 8

Acero 26 5

a. Determinar las matrices de Costos de Suministros de las localidades A, B y C. b. Escriba la matriz que representa los Costos Totales de material y de transporte por unidades de concreto, madera y acero desde cada una de las tres localidades. Solución: a.- Matriz de Costos de Suministros de la localidad A. A=

20 35 25 22 10 6

2 x3

Matriz de Costos de Suministros de la localidad B. B=

22 9

36 24 9 8

2 x3

Matriz de Costos de Suministros de la localidad C. C=

18 10

32 26 8 5

2 x3

b. La matriz que representa los Costos Totales es la matriz suma A + B + C. A+B+C=

=

=

20 35 25 22 10 6

22 9

+ 2 x3

20 22 18 22 9 10 60 103 75 42 27 19

36 24 9 8

35 36 32 10 9 8

+ 2 x3

18 10

32 26 8 5

25 24 26 6 8 5

2 x3

2.1.3 Propiedades de la suma de matrices.


2 x3

2 x3

Walter Orlando Gonzales Caicedo Sean A, B y C matrices del mismo orden y cumplen las siguientes propiedades:

un escalar cualquiera. Entonces se

a) A B B A (Propiedad conmutativa de la adición matricial) b) A (B C) (A B) C (Propiedad asociativa de la adición matricial) c) (A B) A B (Propiedad distributiva de la adición por un escalar) 2.1.4 Producto de dos matrices. Sean A (aij ) m

n

y B (bij ) n r , el producto A B es otra matriz C (cij )m

r

donde el

elemento cij se obtiene aplicando la siguiente fórmula:

cij

ai1b1 j

ai 2 b2 j

 ainbnj

donde ai1 , ai 2 ,  ain son los elementos de la fila i de la matriz A y los b1 j , b2 j , , bnj son los elementos de la columna j de la matriz B a11

a12

 a1n

a21

a22

 a2 n









ai1

ai 2



ain









am1

c11

c12

 c1 j

 c1r

 c2 j

 c2 r

 b1 j

 b1r

c21

c22

b21 b22  b2 j

 b2 r















ci1

ci 2



cij



cir

 bnr













b11 

b12 





bn1 bn 2  bnj



cm1 cm 2  cmj  cmr

am 2  amn

Un procedimiento mecánico para calcular cij consiste en usar un dedo de la mano izquierda para señalar los elementos de la fila i de A y usar un dedo de la mano derecha para recorrer los correspondientes elementos de la j ésima columna de B, y así calcular la suma de los productos a medida que se avanza por la fila i de A y la columna j de B. 4 3

Ejemplo: Sean, hallar la matriz producto C=AB si A

3 4 2 1

, B 3 2

Solución: 4 3 C

3 4 2 1

10 11 8 2 4 1

c11

c12

c13

c 21 c 22

c 23

c31 c32

c33


10 11 8 2

4

1

2 3

Walter Orlando Gonzales Caicedo donde c11

a11b11

a12b12

c11

4 10

3 2 1ª fila de A por 1ª columna de B

c11

46

c12

a11b12

c12

4 11 3 4 1ª fila de A por 2ª columna de B

c12

56

c13

a11b13

c13

4 8 3 1

c13

35

a12b22

a12b23 1ª fila de A por 3ª columna de B

y nuestra matriz producto va quedando así: 46 C

56

35

c21 c22

c23

c31 c32

c33

Luego, para obtener los elementos de la 2ª fila de la matriz C, se trabaja la 2ª fila de A con cada una de las columnas de B, es decir: c 21

a 21b11

a 22b21

c 21

3 10 4 2

c 21

38

C

2ª fila de A 1ª columna de B

46

56

35

38

c 22

c 23

c31 c32

c33

Luego sigue “2ª fila de A por 2ª columna de B” y “2ª fila de A por 3ª columna de B” así hasta obtener todos los elementos de la matriz producto C: 46 56 35 C

38 49 28 22 26 17

Nota: Dadas dos matrices A y B, el producto sólo se puede efectuar si el número de columnas de A es igual al número de filas de B. En este caso se dice que las matrices son conformes para la multiplicación.



1 3 0

Ejemplo 1: Si A

y B

4 2 1

5 . Calcular A B 6

Solución: Verificamos que el número de columnas de la matriz A es igual al número de filas de la matriz B, luego, las matrices son conformes para la multiplicación, entonces

A B

1 3 0 4 2 1

2 3

4 5 6

3 1

1 4 3 5 0 8 4 4 2 5 1 8 19 34

2 1

2 1

10

4 3 2 Ejemplo 2. Sean las matrices A = 3 4 1

y B = 11 2 x3

8

. Calcular A.B 3 x1

Solución:

4 3 2 A.B = 3 4 1

=

=

=

4 x10 3 x10 40 30

89 82

10 . 11 2 x3

8

3 x11 2 x8 4 x11 1x8 33 16 44 8

3 x1

2 x1

2 x1

2 x1

2 Ejemplo 3. Si A =

y B = (3

2 4

3

6) ; calcular el producto A.B

3 x1


Walter Orlando Gonzales Caicedo 2 Resolución. A.B =

. (3

2 4

3

6)1x3

3 x1

2(3)

2( 3)

= ( 2)(3)

2(6)

( 2)( 3)

( 2)(6)

4(3)

4( 3)

4(6)

6

6

12

6

6

12

12

12

24

=

3 x3

3 x3

2.1.5 Propiedades del producto de matrices Sean A (aij ) una matriz de orden n m , B (bij ) una matriz de m

p y C (cij )

una matriz de p q , entonces se cumplen las siguientes propiedades: a) A(BC) (AB)C (Propiedad asociativa) b) A(B C) AB AC (Propiedad distributi va) c) (A B)C AC BC (Propiedad distributi va)

10 Ejemplo 1. Sean las matrices A =

y B = (6

8 6

8

10)1x3 . Calcular A.B y B.A y

3 x1

compruebe que A.B es diferente a B.A. Solución:

10 A.B =

(6 8

8 6

=

10

10)1x3

B.A = (6

8

10)1x3

8 6

3 x1

10 x6

10 x8

10 x10

8 x6

8 x8

8 x10

6 x6

6 x8

6 x10

60

80

100

= 48

64

80

36

48

60

= (6 x10

3 x1

8 x8 10 x6)1x1

3 x3

= (184 )1x1 3 x3

Conclusión. Las matrices A.B y B.A no son iguales; primero porque tiene diferente orden y segundo porque no tienen elementos iguales.



Ejemplo 2. Sean las matrices A =

1

1

1

3

2

1

2

1

0

y

1

2

3

B= 2

4

6

1

2

3

3 x3

3 x3

Compruebe que A.B = 0; con lo que se observaría que A.B = 0, no implica que A = 0, o B = 0. Solución:

A.B =

1

1

1

1

2

3

3

2

1

2

4

6

2

1

0

1

2

3

3 x3

1x1 ( 1)(2) 1x1 = ( 3)(1) 2 x 2 ( 1)(1) ( 2)(1) 1x 4 0 x 2

=

1x 2 ( 1)(4) 1x 2 ( 3)(2) 2 x 4 ( 1)(2)

1x3 ( 1)(6) 1x3 ( 3)(3) 2 x6 ( 1)3

( 2)(2) 1x 4 0 x 2

( 2)(3) 1x6 0 x3

1

2 1

2

4

2

3 6

3

3

4

1

6

8

2

9

12

3

2

4

0

4

4

0

6

6

0

0

0

= 0

0

0

0

0

0

A.B = 0; sin embargo A

B=

1

1 0 1 1 2 1

2

0

3 x3

=0 3 x3

0, y B

0.

Ejemplo 3. Dadas las matrices: A =

1 4 2 1

3 x3

, y C= 3x4

Compruebe que A.B = A.C; pero B

1 2

3 1

2 3

4

3

1

, 3 x3

2 1 3 2

1 1

2 1

2

1

0

5

3x4

C.

Solución: A.B =

1 2

3 1

2 3

4

3

1

1 4 2 1 3 x3

1

1 0 1 1 2 1

2

3x4


Walter Orlando Gonzales Caicedo 3 1

3 0 15 0

1 5

3

15

0

5

1 2

3 1

2 3

4

3

1

=

A.C =

=

3x4

2 1 3 2

1 1

2 1

2

1

0

3 x3

3 1

3 0 15 0

1 5

3

15

5

0

5

3x4

3x4

2.1.6 Aplicaciones de la multiplicación de matrices Análisis de precios de comestibles. Suponga que se quiere comparar el costo total de ciertos comestibles. La siguiente tabla que puede ser vista como una matriz, da el costo en soles de un kilo de cada uno do los productos en tres supermercados.

Carne

pan

papas

manzanas

café

7 8.5 7.5

4 3.8 4.2

1.3 1 1.2

3 2.8 3

33 31 32.5

Supermercado 1 Supermercado 2 Supermercado 3

Si se compran 5 kilos de carne, 3 kilos de pan, 10 kilos de papas, 4 kilos de manzanas y 2 kilos de café, podremos representar las cantidades compradas por la matriz 5 3 B

10 4 2

El costo total está dado por el producto 7 AB

4

1.3

3

33

5 3

8.5 3.8 1 2.8 31 10 7.5 4.2 1.2 3 32.5 4

138 137.1 139.1

2

Vemos que el costo total en el supermercado 2 es S/.0.90 más bajo que en el supermercado 1 y S/.2.00 menor que en el supermercado 3. Aunque este problema se puede resolver sin matrices, estas brindan una forma conveniente y resumida de enunciar y resolver el problema.


Walter Orlando Gonzales Caicedo Interés compuesto anualmente. Supóngase que queremos calcular la cantidad de dinero que se tiene al cabo de n años si invertimos $100 a un interés compuesto anual del 5, 6, y 7%. Si colocamos $P durante un año a un interés r, entonces el valor que se obtiene al final del año es: Capital final

P

rP

(1 rP )

El producto: AB

1.05

0

0

100

105

0

1.06

0

100

106

0

0

1.07 100

107

da la cantidad que se tiene al invertir US$100 por un año a los intereses de 5, 6 y 7% respectivamente. En general, el monto al final de n años está dado por An B. El proceso de calcular AB, A2 B A(AB), , An B es un proceso iterativo que puede programarse en un computador. Ejemplo Práctico. (Comercio Internacional) El Comercio entre tres países I, II y III durante 1 986 (en millones de dólares Estadounidenses) está dado por la matriz A = (aij )3 x 3 ; en donde el elemento

aij representa las exportaciones del país i hacia el país j.

A=

0 17

16 0

19 18

21 14

0

3 x3

El comercio entre estos tres mismos países durante el año 1 987 (en millones de dólares estadounidenses) está dado por la matriz B.

B=

0 18

17 0

19 20

24 16

0

3 x3

a. Explique el significado de los 0 de las matrices A y B. b. Escriba una matriz que represente el Comercio Total entre los países en el período de los años, 1 986 y 1 987. c. Si en 1 986 y 1 987, 1 dólar estadounidense equivalía a 5 dólares de Hong Kong, escriba la matriz que representa el comercio total durante los 2 años en dólares de Hong Kong. Solución: a. Los 0 de la matriz A, corresponden a los elementos: a11, a22 y a33. cuyos significados son: a11 significa; exportación del país I hacia el país I (absurdo, ningún país exporta hacia su mismo país), de igual manera para los elementos a 22 y a33. Análoga explicación merecen los elementos 0 de la matriz B. b. La matriz que representa el Comercio Internacional total en los años, 1 986 y 1 987 es la matriz suma A+B.



A+B=

=

0 17

16 0

19 18

21 14

0

0 35

33 0

39 38

45

30

0

0 18

+ 3 x3

17 0

19 20

24 16

0

3 x3

3 x3

c. La matriz que representa el Comercio total durante los dos años 1 986 y 1 987 en dólares Hong Kong, es la matriz 5.(A + B).

5.(A + B) = 5.

=

=

0 35

33 0

39 38

45

30

0

3 x3

0 5(35)

5(33) 0

5(39) 5(38)

5(45)

5(30)

0

0 105

156 0

195 190

135

150

0

3 x3

3 x3

Ejemplo Práctico. (Gasto en compras) La señora Pepita ha realizado 4 compras en el mercado Modelo de Chiclayo, las cuales se detallan en la siguiente tabla 04. Tabla 04. Productos Naranjas Arroz Leche Pollo

Cantidad 4 Kgrs. 5 Kgrs. 7 tarros 2 Kgrs.

Costo por unidad en soles 0,70 1,80 2,10 4,30

a. Escriba las cantidades en una matriz de orden 1x4. b. Escriba los Costos de las unidades en una matriz B de orden 4x1. c. Compruebe que el gasto realizado por la señora Pepita es el producto de las matrices; A y B, cuyo orden es 1x1. Solución: a. La matriz de las cantidades es la matriz, A = (4

5

7

2)1x 4


Walter Orlando Gonzales Caicedo 0,70 b. La matriz de los Costos de las unidades, es la matriz, B =

1,80 2,10 4,30

4 x1

c. El gasto realizado por la señora Pepita será el producto de la matriz A por la matriz B. Veamos:

0,70 A.B = ( 4

5 7 2 )1x 4 .

1,80 2,10 4,30

4 x1

(4 x0,70 5x1,80 7 x2,10 2 x4,40)1x1 = (35,10)1x1 El gasto efectuado por la señora Pepita es S/. 35,10

Autoevaluación 02 I.

II.

Responde con V o F, según sea el caso. ( ( ( (

) ) ) )

( ( ( (

) ) ) )

Para sumar dos matrices, estas deben tener el mismo orden. La suma de matrices es conmutativa. La suma de matrices es asociativa. Para multiplicar dos matrices, A y B el número de columnas de la primera matriz (A), debe ser igual al número de filas de la segunda matriz (B). La multiplicación de matrices es asociativa. Si, A.B = 0, entonces A = 0, ó B = 0. La multiplicación de matrices es conmutativa. En matrices siempre se cumple: Si, A.B = A.C, entonces B = C.

Efectúa las operaciones que se indican a continuación. 2.1.

2.2.

5.

1 2

-4.

0 3 11 10 10 11

8 7


Walter Orlando Gonzales Caicedo 2.3.

1 0

4 2

5 1 + 0 0

3 0

2 2

2.4.

1 0

4 2

3 0

2 2

2.5.

2.

1 0

5 1 0 0 3 2 + 4. 0 2

2.6.

2.

1 0

3 0

2.7. 5. III.

8 7

2 11 10 - 4. 2 10 11

8 7

1 8 + 7. 0 7

11 10 10 11

3 0

2 2

Calcular el valor de las variables, para que las igualdades se cumplan.

3.1.

3.2.

3.3.

x

3

4

1

t

1

2

2 1

1 z

y 3

3 u

4 y

x 2

5 0

x 1 4

2 1

z 2

1

y

2 2 t 0

x

1

1

3 0 1

2 y

3 2

1 3.4.

IV.

11 10 10 11

2 0 z

3

2 z u

x 1 0

2

u

2 y 1 1 2

1

1 2

2 3

4

1

0

4

2

3 1 v 2 3 0 3 1

8

7

3 1 6 u 2 7 v 1 5 7 7

1 2w x 7

1

v 1

w 2 5

3 1

w 2

1 1 2 v

7

0

w

v 2v y 12 2v 2 z

u y 7 1 7z 4 w 11 t

(Matrices de Producción) Una empresa produce tres tamaños de cintas magnetofónicas en dos calidades diferentes. La producción (en miles de cintas) en su planta de Chilapito está dada por la siguiente tabla. Tabla Nº 05

Calidad 1 Calidad 2

Tamaño 1 27 18

Tamaño 2 36 26


Tamaño 3 30 21

Walter Orlando Gonzales Caicedo La producción (en miles de cintas) en su planta ubicada en la carretera a Lambayeque, está dada por la siguiente tabla.

Calidad 1 Calidad 2

Tamaño 1 32 25

Tamaño 2 40 38

Tamaño 3 35 30

a. Determine las matrices de producción de cintas magnetofónicas para cada una de las plantas de esta empresa. b. Escriba una matriz que represente la producción total de cintas en ambas plantas. c. El dueño de la empresa planea abrir una tercera planta en la ciudad de Piura, la cual tendría una vez y media la capacidad de la planta de la que está ubicada en la carretera a Lambayeque. Escriba la matriz que representaría la producción de esta nueva planta. d. ¿Cuál será la producción total de las tres plantas? V.

(Matrices de producción) Un fabricante de zapatos, los produce en color negro, blanco y café, para niños, damas y caballeros. La capacidad de producción (en miles de pares) en la planta de El Porvenir, está dada por la siguiente tabla.

Negro Gris Café

Hombres 30 45 14

Mujeres 34 20 26

Niños 20 16 25

La producción en la planta de Río Seco, está dada por la siguiente tabla.

Negro Gris Café

Hombres 35 52 23

Mujeres 30 25 24

Niños 26 18 32

a. Determine las matrices de producción para cada una de las plantas. b. Calcule la matriz de producción total de las dos plantas. c. Si la producción de El Porvenir se incrementa en un 50% y la de Río seco en un 25%, ¿Cuál es la matriz de producción de la nueva producción total? VI.

(Ecología) En un ecosistema, ciertas especies proveen de comida a otras. El elemento Cij de la matriz de consumo es igual al número de unidades de la especie j consumidas diariamente por un individuo de la especie i. Construya la matriz C = (Cij) para el siguiente ecosistema simple que consiste en tres especies. a. Cada especie consume en promedio 1 unidad de cada una de las otras especies. b. La especie 1 consume una unidad de la especie 2; la especie 2 consume ½ unidad de cada una de las especies 1 y 3; la especie 3 consume 2 unidades de la especie 1. c. La especie 1 consume 2 unidades de la especie 3; la especie 2 consume 1 unidad de la especie 1; la especie 3 no consume de ninguna de las otras especies.


Walter Orlando Gonzales Caicedo VII.

Si A es una matriz de orden 3x4, B es de orden 4x3; C es de orden 2x3 y D es de orden 4x5; calcule los órdenes de los siguientes productos de matrices. 7.1. A.B 7.5. C.A.D

VIII.

7.2. B.A 7.6. C.B.A

7.3. C.A

7.4. A.D

Realizar las operaciones que a continuación se indican.

0 2

4 8.1. (10 5) 12

2 0 1 8.3. 1 0 2 1 2 3 8.5. 0 1 2 0 0 1 1 2 8.7. 0 1 0 0

0 2

2 3

1 2 3 8.4. 0 1 2 0 0 1

2 3 0 4

1 2 3 8.6. 0 1 2 0 0 1

2 0

4 2 1 3 0 4 4 0 5 5

2 0

1 2 3 8.9. 0 1 2 0 0 1 2 3 8.11. 1 2 0 1

8.2. (1 0 3) 2 0

1 2 3 8.8. 0 1 2

2 0 10 10

1 2 3 8.10. 0 1 2 0 0 1

0 2 3 0 4

3

0 5

0 2 3 1 0 0 4 0 1 0 5 1 0

2 3 0 4 0 5

2 0 1 1 0 2

2 3 0 4 1 0 . 0 1

IX.

Escriba una matriz de orden 2x2, y calcule: A2 + 2.A – 3.I, donde I =

X.

Escriba una matriz de orden 3x3, y calcule: A2 - 5.A + 2.I, donde I =

1 0 0 0 1 0 . 0 0 1 XI.

Escriba una matriz de orden 2x2, y compruebe si: A2 + 2.A + B2 = (A + B)2.

XII.

Escriba una matriz de orden 2x2, y compruebe si: A2 - B2 = (A + B).(A – B).


Walter Orlando Gonzales Caicedo XIII.

p q

Sean las matrices; A =

1 1 1 ,B= . Calcular p y q para que: 1 2 1

(A+B)2 = A2 + 2.A.B + B2

a)

b)

A2 - B2 = (A + B).(A – B)

Ejercicios Propuestos 1 1) Si las matrices son iguales determine x e y. a)

2 x y 5

2 2

3 5

b)

2 4 ; B 3 -1

2) Sean A

y 1 y

x 5 1 8

4 2 x 5 5 1 8

5 7 . Calcular a) A+B, b) A-B - 9 16

3) Sean las matrices: A

2

5

4 -1

,

B

5 -9 , 7 4

I

1 0 0 1

Halle las matrices a) A+B b) 3A-2B c) A+2B+3I 7 9

4) Sean las matrices A

4 6

5 6 ,

B

3 5

8 5 1 3

y

C

-2

8

5

-6

13 - 4

Comprobar que: a) A+B=B+A b) A+(B+C)=(A+B)+C

5) Si A

1 3 y B -2 4

3 -2 5 6

Calcule AB y BA. De acuerdo al resultado ¿que se puede decir del producto de matrices con respecto a la ley conmutativa?

6) Sean A

2 0 -3 y B 4 1 5

7

-1 4

7

2

5

0 - 4 . Calcule AB. ¿Está definido el

-3

1

2

3

producto BA? Explique su respuesta. 7) Efectúe el cálculo que se indica:


Walter Orlando Gonzales Caicedo a)

2

3

4 1

1 2

0 6

8) Halle una matriz A

3 1

b)

a

b

c

d

2 4

5 6 1 3

tal que A

c)

1

6

0

4

2 3

2 3

1 0

1 2

0 1

7 1 4 2 -3 5

9) Verifique la ley asociativa de la multiplicación con las matrices: A

2 -1 4 , B 1 0 6

1

0

1

1

6

2 -1 2 y C

-2 4

3 -2 0

0

5

10) La siguiente tabla da el costo en centavos de una lata de vegetales en tres diferentes supermercados. alverjas

fríjol

maíz

Supermercado 1

3.3

2.5

4.2

Supermercado 2

3.4

2.3

4.0

Supermercado 3

3.6

2.8

3.5

Si un comprador compra 6 latas de alverjas, 4 de fríjol y 5 de maíz encuentre el costo total en cada uno de los supermercados por medio de multiplicación de matrices. 11) Arriba, en el ejemplo de “interés compuesto anualmente” encuentre el monto al final del tercero y cuarto año de una inversión de $100 al interés de 5, 6, y 7%, respectivamente. Respuesta a los ejercicios propuestos 1: 1) a) x 2) a) A

3) a)

3 y

B 7 11

b)

2

10 11 6 15 4 3

b)

x 1

y 5

b) A B 4 2

33 11

c)

3

3

12

17

10 11

4 6

7 1 . Como se puede observar AB - 7 39 14 28 multiplicación de matrices no es conmutativa.

5) AB

18 16

BA

BA , por tanto la

23 - 5 2 5 , el producto BA no está definido pues el número de 15 6 26 39 columnas de B no es igual al número de filas de A.

6)

AB


Walter Orlando Gonzales Caicedo 8)

a

2 ,

b

3 ,

1,

c

d

2

26 44 43 71

9) (AB )C A(BC )

10) Los costos en cada uno de los 3 supermercados son los siguientes: Supermercado 1: 50.80 Supermercado 2: 49.60 Supermercado 3: 50.30 115.76

11)

a) monto al final del tercer año:

119.10 122.50 121.55

b) monto al final del cuarto año: 126.25 131.08

CAPÍTULO III DETERMINANATES E INVERSA DE UNA MATRIZ

3.1 Determinante de una matriz El determinante es una función que aplicada a una matriz cuadrada asigna a esta un valor numérico. Dada una matriz cuadrada su determinante se denota como:

det(A) ó A y se lee “determinante de A”. Por ejemplo: a) Sea A

1 -2 3 4

det(A) 10 , esto es, el determinante de la matriz A

es igual a 10. 1

b) Sea B

2

-2

2 -1

3

1

1

2

B

15 , esto es, el determinante de la matriz

B es igual a -15. Como se puede ver en los ejemplos anteriores el determinante de una matriz es un valor numérico único asociado a esa matriz.


Walter Orlando Gonzales Caicedo 3.1.1 Determinante de una matriz de orden 2 a11 a 21

Sea la matriz A

a12 , entonces: a 22

a11 a 21

A

a12 a 22

a11

a 22

1 -2

Ejemplo: Calcular el determinante de A

3

a 21

a12

.

4

Solución.

1

2

3

4

1 4 3

2

4 6 10 Luego, det(A)=10. Nota: Observe la diferencia de las notaciones, para denotar la matriz se emplean corchetes o paréntesis; mientras que para denotar su determinante se emplean barras.

3.1.2 Determinante de una matriz de orden 3 a11

Sea la matriz A

Ejemplo. Sea B

a13

a 21 a 22

a 23 , entonces

a31

a33

A

1

a12

2

a32 a11

a 22 a 32

a 23 a32

a12

a 21 a 31

a 23 a 33

2 1

1 2

a13

a 21 a 31

a 22 a 32

-2

2 -1

3 , calcule B .

1

2

1

2 3 1

1

1 3 2 1

Solución. 1 2 1

2 1 2

2

2 3 1 1

( 2)

1(-1 - 6) - 2(2 - 3) - 2(4 1) -7 2 - 10 - 15

Luego:

B

15 .


Walter Orlando Gonzales Caicedo A continuación se muestra un artificio par evaluar determinantes de matrices de orden 3 3

a11

a12

a13

a21 a31

a22 a32

a23 a33

1º Sumar los productos indicados por las flechas que se inician con círculos blancos (flechas descendentes) 2º Restar los productos indicados por las flechas que se inician con círculos negros. 1

Ejemplo. Halle el determinante de A

2 3

- 1 0 4 usando el artificio. -2 1 5

Solución. De acuerdo al artificio A

(1 0 5)

(2 4

2)

(3 1

1) ( 2 0 3) ( 1 2 5) (1 4 1)

0 - 16 - 3 0 10 - 4 -13

Luego, A

13

3.2 Determinante de una matriz de orden n Antes de pasar a definir los determinantes de orden n n es necesario estudiar los conceptos de menores y cofactores de una matriz. 3.2.1 Menor complementario Considérese la matriz de orden 3 3 2 A

1

0

1

6

3

4 5 4

A la matriz cuadrada se orden 2 2 que se obtiene de eliminar la fila 1 y la columna 1 de A se le llama menor del elemento a11 2 y se denota como M 11 , así M11

1 3

5 4

de igual forma se obtienen los menores complementarios correspondientes a los 1 y a13 4 elementos a12 M 12

0 6

5 , 4

M 13

0 1 6 3

Obsérvese que M 12 se obtiene al eliminar la 1ª fila y la 2ª columna de la matriz A y que M 13 se obtiene eliminando la 1ª fila y 3ª columna de A.


Walter Orlando Gonzales Caicedo Definición. Sean A una matriz de orden n n y M ij la matriz de orden (n-1) obtenida al eliminar de A su i

ésima fila y j

ésima columna. A M ij se le llamará menor del

elemento a ij de la matriz A. 3.2.2 Cofactores El cofactor del elemento a ij de la matriz A, el cual se denota por A ij se define como

( 1) i

A ij

j

M ij

es decir, el cofactor del elemento a ij de la matriz A se obtiene calculando el determinante de M ij y multiplicándolo por ( 1) i j . Obsérvese que A ij es positivo si

i

j es par y es negativo en caso contrario.

Ejemplo. Calcular A11, A12 y A13 de la matriz A del ejemplo anterior. Solución A11

( 1)1

A13

(-1)1

3

1

1 3

0 1 6 3

5 4

- 19

( 1)1

A 12

2

0 6

5 4

30

-6

3.3 Cálculo de determinantes por cofactores. El determinante de una matriz A es igual a la suma de los productos obtenidos de multiplicar los elementos de cualquier fila por sus respectivos cofactores. Es decir, det(A) ai1 A i1

ai 2 A i2

ai 3 A i3

 ain A in

a la expresión que aparece al lado derecho del signo igual se le llama desarrollo mediante cofactores. Ejemplo. Calcular el determinante por expansión a lo largo de la primera fila de A

2 -1

4

0

1

5

6

3

-4

Solución.

A

a11A11

A

a11 (-1)1 1 M11

A

2

0 1 6 3

a12 A12

( 1)

0 6

a13A13 a12 (-1)1

5 4

4

2

M12

a3 (-1)1 3 M13

0 1 6 3


Walter Orlando Gonzales Caicedo A

2(-19) (-30) 4(-6)

A

- 38 - 30 - 24

A

- 92 1

Ejemplo. Calcule el determinante de la matriz A, si A

3

5 2

0 -1 3 4 2

1

9 6

3

2

4 8

Solución: Desarrollando a lo largo de la 2ª fila, A

a 21A 21

a 22 A 22

a 23 A 23

A

3 5 2 01 9 6 2 4 8

A

0 - 20 - 3(4) 4(48)

A

160

1 5 2 12 9 6 3 4 8

a 24 A 24

1 3 2 32 1 6 3 2 8

1 3 5 42 1 9 3 2 4

Obsérvese que al seleccionar filas con el mayor número de ceros se ahorra trabajo ya que hay que calcular menos determinantes.

3.4 Inversas y Determinantes 3.4.1 Matriz inversa Sea A una matriz cuadrada, se define a la matriz inversa de A y la denotamos por A -1 a la matriz cuadrada del mismo orden tal que AA -1 I . 1 -2

Ejemplo. Sea A

5

3

4

-1

2

8

6

0.2105

y sea A

-1

0.3421

- 0.1184

- 0.1316 - 0.0263

0.1053 , entonces se

0.1053

0.0658

- 0.0789

cumple que

AA

-1

1 -2

5

0.2105

0.3421

- 0.1184

1 0 0

3

4

- 1 - 0.1316 - 0.0263

0.1053

0 1 0

2

8

6

0.0658

0 0 1

0.1053

- 0.0789


Walter Orlando Gonzales Caicedo Es decir:

AA -1 I 3 Donde: I 3 es la matriz identidad de orden 3. Una matriz cuadrada tiene inversa, es decir es invertible, sí y sólo sí su determinante es diferente de cero. Es decir, si una matriz cuadrada A es invertible, entonces det(A) 0 . Antes de empezar a calcular inversas mediante determinantes, es necesario definir la adjunta de una matriz. 3.4.2 Adjunta de una matriz. Sea A una matriz cuadrada de orden n y sea B la matriz de cofactores de A, entonces

B

A 12  A 1n A 22  A 2n    A n2  A nn

A 11 A 21  A n1

(Recuérdese que un cofactor es un número.) Se llama adjunta de la matriz A, y se denota por adj A , a la transpuesta de su matriz de cofactores B; es decir A 21  A n1 A 22  A n2    A n2  A nn

A 11 A 12  A 1n

adj A B t

(Recuérdese que la matriz transpuesta de A se obtiene intercambiando todas las filas por las columnas). 2 4

Ejemplo. Calcule la adjunta de la matriz A

3

0 1 -1 3 5

7

Solución: A 11

1 5

7 4 3 5 7

A 21

A 31

1

4 1

3 1

A 12

0 3

13

A 22

2 3 3 7

7

A 32

12

1 7

2 0

3

5 3 1

A 13

0 1 3 5 2 4

A 23

2

A 33

3

3 5 2 4 0 1


2

Walter Orlando Gonzales Caicedo Por tanto, la matriz de cofactores B será: B

12

-3 -3

- 13

5

2

-7

2

2

y transponiendo B, se obtiene la adjunta de la matriz A: 12 adj A

B

t

13

7

3

5

2

3

2

2

3.4.3 Cálculo de la inversa de una matriz 

Método de adjuntos:

Sea A una matriz invertible, entonces la matriz inversa A-1 está dada por:

1 adj A det(A)

A-1 Ejemplo. 2 4

Sea A

3

0 1 - 1 , determine si A es invertible y calcule su inversa, si existe. 3 5

7

Solución: Como A 3 , es decir su determinante es diferente de cero, entonces A es invertible. Del ejemplo anterior, se tiene que la matriz de cofactores B es igual a: B

12

-3 -3

- 13

5

2

-7

2

2

de donde: -1

A

-1

A

12 - 13 - 7 1 -3 5 2 3 -3 2 2 4 1 1

Comprobación, se debe cumplir que AA-1

13 / 3 5/3 2/3

7/3 2/3 2/3

I , en efecto:


Walter Orlando Gonzales Caicedo AA-1



2 4

3

4

0 1 3 5

1 -1 7 -1

- 13/3 - 7/3 5/3 2/3

2/3 2/3

1 0 0 0 1 0 0 0 1

I

Método de Gauss:

Este método consiste en realizar operaciones elementales, es decir: OE A  I n n

I

n

 A

1

Veamos un ejemplo. 1 1 0

Ejemplo: Calcular la inversa de

A

1 2 1 0 1 2

Solución:  Lo haremos primero por el método clásico o método de adjuntos, el que viene indicado por la definición: la traspuesta de la adjunta dividida por el determinante. Primero, calculamos el determinante; si el determinante es nulo, no existe matriz inversa; si no es nulo, seguimos: 1 1 0 A

1 2 1 0 1 2

4

0

0

0

1

2

1

Calculamos ahora la matriz adjunta, sustituyendo cada elemento por su adjunto; calculamos primero los adjuntos: A11 A22 A33

2 1 1 2 1 0 0 2 1 1 1 2

4 1 3 2 0

A12

2

A23

1 1 0 2

(2 0)

2 A13

(1 0)

1 A31

1 1 0 1

1 2

1 0 1 A21

0 1 1 0 2 1

1 0 1 A32

1 0 1 2 1 0 0 1

(2 0) (1 0)

2 1

2 1 1

Luego: formamos la matriz adjunta: A ad

3 2 1

2 2 1

1 1 1

Y finalmente hacemos la inversa, trasponiendo la matriz adjunta y dividida por el determinante: A

A

1

1 1 1

Aad A 3 2 1

t

2 2 1

1 1 1

3 2 1

2 2 1

1 1 1

 Ahora lo hacemos por el método de Gauss:


Walter Orlando Gonzales Caicedo Tenemos: 1 1 0

1 0 0

1 1 0

1 2 1

0 1 0

0 1 1

0 1 2

0 0 1

0 1 2

1

0 0

1 1 0

1 1 0

0 1 1

0

0 1

1 1

0 0 1

1

0

0

1 1 0

1

0

0 1 0

1 1

0 0 1

1

0

2 1

2 1

0 1 1

1 0 0 0 1 0 0 0 1

3

2

2

2

1

1

Es conveniente, se haga por el método que se haga, comprobar la inversa (multiplicada por la directa tiene que dar la identidad). Es decir:

A. A

1

In

Entonces: 3 2 1

2 2 1

1 1 1

1 1 0 1 2 1 0 1 2

1 0 0 0 1 0 0 0 1

Autoevaluación 03 I.

Responde con V o F, según sea el caso. ( ( ( (

(

II.

) El determinante de una matriz cuadrada es un número. ) El número de cofactores o adjuntos de una matriz de orden n, es igual a n2. ) Una matriz cuadrada tiene inversa sólo cuando su determinante es igual a 0. ) Si A es una matriz cuadrada que posee inversa entonces se cumple la condición siguiente: A-1A = Identidad. ) La matriz A =

1 0 2 0

2 3

1

3

0

no tiene inversa; porque su determinante

(

es igual a 0. ) El elemento

(

) Si una matriz tiene 3 filas y 3 columnas, entonces tiene 9 cofactores

23

se ubica en la segunda columna y en la tercera fila.

Determinar los valores de los siguientes determinantes. 2.1.

2 2 3 3

2.2.

2 12 3 8

2.2.

2 3

0 3


ij

.

1 1 1


2.3.

2.4.

2.5.

2.6.

III.

2 3

1 2 3 2 0 2 3

6 9

1 2

2 3 0 2

3

6

1 2

2 1

3 2

3

6

1

8

Calcular las inversas de las siguientes matrices, si las tuvieran. 3.1.

A=

1 2

1 2

3.2.

A=

1 2

1 0

3.3.

A=

1 2

1 2

3.3.

1 A= 2 1

1 0 2 1

2 A= 1 1

1 1 2 1

3 A= 2 3

1 2 2 1

3.4.

3.5.

IV.

7 3

1 2

1 2

1 1

Responde con V o F, según sea el caso.


Walter Orlando Gonzales Caicedo (

) Una matriz de orden mxn, tiene m filas y n columnas.

(

) El elemento aij se encuentra ubicado en la columna i y en la fila j.

(

) La matriz A =

(

1 3 4 5 es de orden 4x2. 2 3 3 0

) Si la matriz A =

2 x2 2x yB= 1 0

2 1

1 son iguales, entonces el 0

valor de x es 1 (

) Una matriz de orden nxn se llama cuadrada.

(

) La matriz nula es aquella que tiene m.n elementos diferentes de 0.

(

) Si, A, B y D son del mismo orden, entonces siempre es posible determinar una matriz D, tal que : A + D = B.

0; cuando i 1; cuando i

j . j

V.

Determina la matriz A = (aij ) 2 x 3 ; cuyos elementos aij =

VI.

Busca un ejemplo de dos matrices A y B de orden 2x2 que poseen inversa; pero su suma: A + B no posea.

VII.

Efectúa las siguientes operaciones indicadas.

1 0 2 3

7.1.

7.2.

1 13 3

7.3.

VIII.

Si, A =

2

2 0

3 1

3 5

3 1

2 2 1

x y 1 0

z 2

2 0 2 0 2 2

0

2

2 2 0

1

1 0 3 y B = 2 3 5

3 , analiza si se cumple la diferencia de 1

cuadrados. Es decir: (A – B)(A + B) = A2 – B2; donde: A2 = A.A y B2 = B.B XI.

Si, A =

1 0 3 yB= 2 3 5

3 , verifica que se cumple: (AB)-1 = B-1A-1 1


Walter Orlando Gonzales Caicedo XI.

Determinar la matriz de los adjuntos de las siguientes matrices.

11.1. A =

3 11.3. A = 5

11.5 A =

2 0 2 11.2. A = 0 2 2 2 2 0

1 0 2 3

2 1

3 1

3 11.4. A = 2 3

1 2 2 1

1 0

1 11.6. A = 2 1

1 0 2 1

1 1

1 2

XII.

Calcular las matrices inversas de las matrices del ejercicio XI anterior.

XIII.

(Valoración de Inventarios) Un comerciante de televisores a color tiene 5 televisores de 26 pulgadas, 8 de 20, 4 de 18 y 10 de 12. Los televisores de 26 pulgadas se venden en US$ 650 cada uno, los de 20 en US$ 350 cada uno, los de 18 en US$ 270 cada uno y los de 12 se venden en US$ 175 cada uno. Exprese el precio de venta total de su existencia de televisores como el producto de matrices.

4. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 4.1 Sistema de ecuaciones con dos variables Considérese el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales: a11 x

a12 y b1

a 21 x

a 22 y b2

la representación matricial de este sistema es AX

A

B donde:

a11 a12 , es la matriz de coeficientes a 21 a 22


Walter Orlando Gonzales Caicedo X

B

Si det(A)

x , es la matriz de las variables y b1 b2

, es la matriz de las constantes .

0 , entonces, el valor de la variable x se obtiene así:

x

x

s

b1 b2

a12 a 22

a11 a 21

a12 a 22

Obsérvese que x (determinante con respecto a x ) primera columna de la matriz A por la matriz B, y s sistema.

se obtiene reemplazando la det(A) es el determinante del

Para calcular el valor de la variable y se obtiene primero el determinante con respecto a y ( y ) remplazando la segunda columna de la matriz de coeficientes por la matriz B. Luego se divide este determinante entre el determinante del sistema:

y

y

s

a11 b1 a 21 b2 a11 a 21

a12 a 22

Ejemplo: Resolver el sistema 6x 5 y 9 4 x 3 y 13

Solución: La representación matricial del sistema es: 6 4

5 x 3

y

9 13

Entonces:

x

9 13 6 4

5 3 5 3

27 65 18 20

38 1 38



y

6 4

9 13

6 4

5 3

78 36 18 20

114 38

3

Luego, x 1 , y 3. 4.2 Sistema de ecuaciones con tres variables Consideremos el siguiente sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas: 2 x 4 y 6 z 18 4x 5 y 3x

6z

y

2z

24 4

Este sistema se escribe en forma matricial como sigue: 2 4

6

x

18

4 5

6

y

24

z

4

3 1

x

de donde: x

s

18 4 24 5 4 1

6 6 2

2 4 4 5 3 1

6 6 2

z

24 6

z s

Luego x 4 , y

2

4,

2 4 3 2 4 3

y

y

s

2 4 18 4 5 24 3 1 4 2 4 4 5 3 1

18 6

6 6 2

2 , z 3. Observe que

x

,

18 24 4 4 5 1

6 6 2 6 6 2

12 6

2

3

y

,

z

se obtienen reemplazando

sucesivamente la 1ª, 2ª y 3ª columna de la matriz de coeficientes por la matriz de las 18 constantes: 24 4


Walter Orlando Gonzales Caicedo Ejercicios Propuestos 2 1) Calcule el determinante que se indica

a)

d)

3 2

5 6

1 4

4 0

1 3

4

0

b)

3

e)

5

5

2

c)

1 0

4 6

3 5

f)

7 4

2) Calcule los siguientes determinantes de una matriz de orden 3. 1 0 3

1 1 0

a) 0 1 4

b)

2 1 0 1 0

d)

0

2

1

2

6 4

3

2

1 4

c) 6

1

5 6

2

1 4 3

5

1 6

2 3 1

e)

3

4

6 5

0

2 1

3) Una matriz cuadrada en la cual todas las componentes que están por encima de la diagonal principal son ceros se llama matriz triangular inferior. a) Demuestre que el determinante de la matriz triangular inferior

a 0

0

b

c

0

d

e

f

de

orden 3 es el producto de los elementos de su diagonal principal. b) Aplique el resultado anterior para calcular el determinante de la matriz triangular inferior 1 0 0 A

2 3 0 4 5 6

4) Una matriz cuadrada en la cual todos los elementos que quedan por debajo de la diagonal principal son ceros se llama matriz triangular superior. a) Muestre que el determinante de una matriz de una matriz triangular superior a b c 0 d e de orden 3 es el producto de los elementos de su diagonal principal. 0

0

f

b) Aplicando el resultado de la parte a), encuentre el determinante de la matriz triangular superior


Walter Orlando Gonzales Caicedo 1 2 3 B

0 4 5 0 0 6

5) Calcule los determinantes de las siguientes matrices, aplicando desarrollo mediante cofactores. (Recuerde que lo más recomendable es trabajar con la fila que contenga la mayor cantidad posible de ceros)

a) A

3 2

1

4 3

0

b) B

7 9 15 0 -1

c) C

0 0

0 3

0 4

5 5

-1 - 2

0

4

5

-1 - 2 - 3

0

1

2

2

3

1

0

-2

0

3 -1

1

-2

4 -3

0

2

1 0 0 2 0 1 -1 2

d) D

3 0

0 2

0

1 -2

5

2 1

1

0

0

-1 - 2 - 3 - 4 0

0 1

0

1

0

6) En los problemas que siguen determine si la matriz dada es invertible. En caso afirmativo calcule la inversa. a)

3 2

2

d)

b)

1 2

1 19

1 4 0

e)

5

7 3

7) ¿Para qué valores de

8) ¿Qué valores de

3 4

1 1 1

6 8

1

3

3

12

c)

0 0 1 0 2

2 6

2

10

2

5

1

6

1

3

la matriz

hacen que la matriz

0 1 1

no es invertible?

no tenga inversa?

9) En los problemas siguientes exprese el sistema en la forma AX=B. x y 3z 11 2x y 3 4 a) b) 4 x y z 4x y 7 2 x y 3z 10


Walter Orlando Gonzales Caicedo y

z 7 z 2

c) x

3x

2y

2x 3y

d)

4x

z

0

2y

z

7x 3y 9z

5

0 0

10) En los problemas siguientes resuelva el sistema usando determinantes 2x 3y 7x 4y

a)

2x

1 47

y

z

b)

f)

2x

2y

z

7

x

2y

z

0

x

y

3z 1

2x

y

3

3x

2y

5

y 0 2y 5

x

6

c) 3x 2 y 3z 5 8 x 2 y 5 z 11

e)

3x 4x

y

d)

4y 3x

y

x y

g)

z

2

2z

0

y

2x

f)

z 8

z

4

z

2

5z 1

2x

3y

z

5

x

2y

3z

0

4x

y

z

1

Respuesta a los ejercicios propuestos 2. 1) a) 28

c) -6

e) -8

2) a) 0

c) 47

e) 4

b) -131

c) 120

3) b) A

18

4) b) B

24

5) a) 30 0.5 0.25

6) a) 0

e)

1 0 2

7) Para

1 1

1

0. 5 0.75

0 2

d) -2

b) no es invertible

1

c) 0

1

0

0

0 1 1

2 2

1

3

3

2

3

2

y

8) No existe inversa si

es cualquier número real.


d) no es invertible


Bibliografía

Espinoza Ramos. (2 002). Vectores y Matrices. Editorial Servicios Gráficos JJ. Perú. Francis G. Florey. (1 979). Fundamentos de Algebra Lineal y Aplicaciones. Editorial Prentice Hall. México. Frank Ayres. (1 990). Matrices y Determinantes. Editorial Mc - Graw - Hill. México. Howard A. (1 998). Introducción al Álgebra Lineal. Editorial Limusa. México. Honh f. (1 992). Álgebra de Matrices. Editorial Trillas. México. Kurosh A. G. (1976). Algebra Superior. Editorial Mir. Moscú. Maltsev A. I. (1972). Fundamentos de Algebra Lineal. Editorial Mir. Moscú. Saal R. César. Matrices. Editorial Gómez. Perú. Stanley I. Grossman. (1 992). Algebra Lineal. Editorial Mc - Graw – Hill. México.


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