Modul3 Getbebas 2 (resmi Bestari Muin) 652yq

Daftar Isi Getaran Bebas Getaran Bebas Tanpa Redaman Getaran Bebas Dengan Redaman Ringkasan

Rekayasa Gempa GETARAN BEBAS Dosen : Resmi Bestari Muin Prodi Teknik Sipil FTSP UMB

April 10, 2010

(Modul-3) GETARAN BEBAS

Rekayasa Gempa


Daftar Isi Getaran Bebas Getaran Bebas Tanpa Redaman Getaran Bebas Dengan Redaman Redaman Kritis Kaidah Matematik Redaman Lemah Redaman Kuat

Ringkasan (Modul-3) GETARAN BEBAS

Rekayasa Gempa


Getaran Bebas Jika tidak ada beban luar yang bekerja pada sistim, maka sistim akan bergerak bebas menurut persamaan m¨ y + c y˙ + ky = 0

(1)

yakni dengan memberikan nilai 0 pada ruas kanan persamaan (4) di Modul 1. Secara matematis pers. 1 disebut sebagai pers. pers. differensial linier homogen dengan konstanta m (massa), c (redaman) dan k (kekakuan) yang sudah diketahui terlebih dahulu.


Rekayasa Gempa


Getaran Bebas Tanpa Redaman Jika tidak ada redaman (c = 0), maka pers. (1) menjadi m¨ y + ky = 0

(2)

Misalkan solusi pers. (2) adalah berupa persamaan ekponensial sbb : y = z e st

dimana

t = waktu

(3)

Turunan pertama dan kedua terhadap t persamaan (3) menghasilkan y˙ = z s e st

dan

y¨ = z s 2 e st

Substitusi pers. (4) ke dalam persamaan (2), diperoleh k z e st = 0 m z s 2 e st + k z e st = 0 atau s2 + m

(4)

(5)

Nilai eksponensial e 6= 0, untuk berapapun nilai s dan t, sedangkan z juga 6= 0, karena merupakan amplitudo simpangan. (Modul-3) GETARAN BEBAS

Rekayasa Gempa


Sehingga yang mungkin sama dengan nol dari pers. (5) adalah : k s2 + = 0 atau s 2 + ω 2 = 0 m dimana

(6)

r

k m ω : frekuensi getar alami struktur (rad/det). ω=

(7)

Sehingga dari pers. 6 diperoleh : s 2 = −ω 2

atau

s1 = +iω

dan

s2 = −iω

(8)

Substitusi nilai s dari pers. (8) ke pers. simpangan (3), dihasilkan y = z1 e +iωt + z2 e −iωt

(9)

Menurut Euler e +iωt = cos (ωt) + i sin (ωt)

dan

GETARAN BEBAS

e −iωt = cos (ωt) − i sin (ωt) Rekayasa Gempa

(10) (Modul-3)


Substitusi pers. Euler (10) ke dalam pers. (9) y (t)

=

z1 [cos (ωt) + i sin (ωt)] + z2 [cos (ωt) − i sin (ωt)]

y (t)

=

(z1 + z2 ) cos (ωt) + i (z1 − z2 ) sin (ωt)

y (t)

=

A cos (ωt) + B sin (ωt)

(11)

Nilai konstanta A dan B pada pers. (11) dapat dicari, jika diketahui kondisi awal/syarat batas sistim (pada saat t = 0), yakni 1. y (0) →

simpangan sistim pada saat t = 0.

2. y˙ (0) →

kecepatan sistim pada saat t = 0.

Jika kondisi awal yang pertama di substitusi pada persamaan (11) di atas, diperoleh nilai konstanta A sbb : t = 0 → y (0) = A cos (ω.0) + B sin (ω.0)

→ A = y (0)

(12)

Turunan pertama pers. (11) menghasilkan y˙ (t) = −Aω sin (ωt) + Bω cos (ωt) GETARAN BEBAS

Rekayasa Gempa

(13) (Modul-3)


Substitusi syarat batas ke dua ke pers. (13) diperoleh nilai konstanta B : y˙ (0) = −Aω sin (ω.0) + Bω cos (ω.0) y˙ (0) sehingga → B= ω

(14)

Jika kedua nilai konstanta A dan B menurut pers. (12) dan pers. (14) disubstitusi kembali ke pers. (11), diperoleh pers. simpangan getaran bebas tanpa redaman sbb : y (t) = y (0) cos (ωt) +

y˙ (0) sin (ωt) ω

Pers. (15) dapat juga ditulis dalam bentuk y (0) y˙ (0) y (t) = C cos (ωt) + sin (ωt) C ωC r y˙ (0) dimana C = y (0)2 + (lihat Gambar 3.1) ω

(15)

(16)


Rekayasa Gempa


Gambar 3.1 : Amplitudo Getaran Berdasarkan Gambar 3.1, maka pers. (16) menjadi y (t) = C [sin α cos (ωt) + cos α sin (ωt)] y (t) = C sin (ωt + α)

(17)

Dari persamaan (17) terlihat bahwa C merupakan amplitudo getaran bebas tanpa redaman. (Modul-3) GETARAN BEBAS

Rekayasa Gempa


Redaman Kritis Kaidah Matematik Redaman Lemah Redaman Kuat

Getaran Bebas Dengan Redaman Sebagaimana telah tertulis pada pers. (1), bentuk persamaan gerak dengan redaman adalah m¨ y + c y˙ + ky = 0 Sama seperti pada getaran bebas tanpa redaman, misalkan solusi pers. (1) adalah berupa persamaan ekponensial : y = z e st

dimana

t = waktu

Dengan turunan pertama dan kedua terhadap t persamaan ekponensial tersebut, y˙ = z s e st dan y¨ = z s 2 e st

(18)

(19)

Substitusi bentuk turunan pertama dan kedua fungsi y (t) ini ke dalam persamaan (1), diperoleh c k s2 + s + z e st = 0 (20) m z s 2 e st + c z s e st + k z e st = 0 atau m m Nilai eksponensial e 6= 0, untuk berapapun nilai s dan t, sedangkan z juga 6= 0, karena merupakan amplitudo simpangan. (Modul-3) GETARAN BEBAS

Rekayasa Gempa



Sehingga yang mungkin sama dengan nol dari pers. (20) adalah : c k s2 + s + =0 m m

(21)

Akar-akar dari pers. (21) adalah s1,2

c =− ± 2m

r c 2 − ω2 2m

dimana ω2 =

k m

(22)

(23)

Sehingga solusi pers. (1) menjadi : y = z1 e s1 t + z2 e s2 t

(24)

Ada 3 kemungkinan kondisi nilai suku di bawah tanda akar pada pers. (22). I = 0. Pada kondisi ini redaman yang ada disebut redaman kritis. I < 0. Redaman pada kondisi ini disebut redaman lemah/Under Damped. I > 0. Redaman pada kondisi ini disebut redaman kuat/Over Damped. (Modul-3) GETARAN BEBAS

Rekayasa Gempa



Redaman Kritis Redaman kritis ditandai dengan nilai suku di bawah tanda akar pada pers. (22) = 0. Pada kondisi ini redaman struktur : c = ccr , sehingga r c 2 ccr 2 cr − ω 2 = 0 atau − ω2 = 0 2m 2m sehingga ccr2 = 4m2 ω 2 r karena ω =

ccr = 2mω

atau

(25)

k , maka nilai ccr dapat juga ditulis dalam bentuk m r ccr = 2m

r k km2 =2 m m √ ccr = 2 km

(26)

Pada kondisi redaman kritis ini nilai-nilai akar persamaan (21) menjadi s1,2 = − GETARAN BEBAS

ccr 2m

Rekayasa Gempa

(27)

(Modul-3)



Secara matematis, jika nilai akar persamaan hanya satu, maka solusi pers. (21) yang memenuhi syarat adalah y (t) = z1 e st + z2 t e st

(28)

Nilai konstanta z1 dan z2 dapat dicari kondisi awal diketahui, yakni : t = 0 → y (0) = z1 e s.0 + z2 .0. e s.0 sehingga

y (0) = z1 .e 0 = z1 .1

atau

z1 = y (0)

(29)

Dan pada saat t = 0, kecepatan sistim = y˙ (0). Kecepatan, adalah turunan pertama dari fungsi simpangan, yakni y˙ (t)

=

z1 s e st + z2 t s e st + z2 e st = z1 s e st + z2 t s e st + z2 e st

=

z1 s e st + z2 e st (t s + 1)

(30)

Substitusi nilai y˙ (0) pada saat t = 0 ke pers. (30), menghasilkan y˙ (0) = z1 s e s.0 + z2 e s.0 (0.s + 1) = z1 s.1 + z2 .1 (1) = z1 s + z2

(31)

Substitusi nilai z1 dari pers. (29) ke pers. (31), diperoleh nilai konstanta z2 : y˙ (0) = y (0)s + z2

atau

GETARAN BEBAS

z2 = y (0)s − y˙ (0)

Rekayasa Gempa

(32) (Modul-3)



Substitusi z1 dan z2 dari pers. (29) dan pers. (32) ke pers. (33), diperoleh persamaan gerak bebas sistim dengan redaman kritis sbb : y (t) = y0 e st + {y (0) s − y˙ (0)} t e st dimana s=−

ccr 2m

(33)

(34)


Rekayasa Gempa



Kaidah Matematik


Rekayasa Gempa




Rekayasa Gempa




Rekayasa Gempa




Rekayasa Gempa




Rekayasa Gempa



Redaman Lemah

Redaman lemah, jika r

c 2 − ω2 < 0 2m

c 2 − ω2 < 0 2m

atau

(35)

atau c < 2m ω

(36)

Karena suku di bawah tanda akar pada persamaan (35) < 0, berarti suku tersebut merupakan bilangan imajiner, maka persamaan (22) dapat ditulis dalam bentuk r c 2 c s1,2 = − ± i ω2 − 2m 2m | {z } ωd

s1,2 = − GETARAN BEBAS

c ± iωd 2m

Rekayasa Gempa

(37)

(Modul-3)



dimana r ωd =

ω2 −

r c 2 c 2 r c 2 = ω2 − ω2 =ω 1− 2m 2mω 2mω ωd = ω

p 1 − ξ2

(38)

dan ξ=

c c = 2mω ccr

= damping ratio (%)

(39)

Selanjutnya substitusi persamaan (37) ke dalam pers. simpangan (24), diperoleh c c y = z1 e (− 2m +iωd )t + z2 e (− 2m −iωd )t n o c y = e − 2m t z1 e +iωd t + z2 e −iωd t

(40)

Seperti pada penyelesaian getaran bebas tanpa redaman, substitusi pers. Euler e +iωd t = cos (ωd t) + i sin (ωd t) GETARAN BEBAS

dan

e −iωd t = cos (ωd t) − i sin (ωd t)(Modul-3) Rekayasa Gempa



ke dalam pers. (40), dihasilkan c

y (t)

=

e − 2m t [z1 {cos (ωd t) + i sin (ωd t)} + z2 {cos (ωd t) − i sin (ωd t)}]

y (t)

=

e − 2m t [(z1 + z2 ) cos (ωd t) + i (z1 − z2 ) sin (ωd t)]

y (t)

=

c

e

c t − 2m

[A cos (ωd t) + B sin (ωd t)]

(41)

Dengan memasukkan nilai simpangan awal ke pers. simpangan (41), didapat t

=

0 → y (0) = e 0 [A cos (0) + B sin (0)]

sehingga diperoleh A

=

y (0)

(42)

Kecepatan gerak bebas sistim adalah turunan pertama dari pers. (41), yakni n c o c y˙ (t) = Ae − 2m t − cos (ωd t) − ωd sin (ωd t) n 2m o c t c − 2m +Be − sin (ωd t) + ωd cos (ωd t) (43) 2m n c o n c o t = 0 → y˙ (0) = Ae 0 − cos (0) − 0 + Be 0 − 0 + ωd cos (0) (Modul-3) 2m 2m GETARAN BEBAS

Rekayasa Gempa



Sehingga y˙ (0) + A

c = Bωd , sedangkan A = y (0) 2m c y˙ (0) + y (0) 2m maka B = ωd y˙ (0) + y (0)ξω atau B = ωd

(44)

Substitusi nilai konstanta A dan B dari pers. (42) dan pers. (44) ke pers. (41), diperoleh pers. simpangan gerak bebas sistim dengan redaman, y˙ (0) + y (0)ξω y (t) = e −ξωt y (0) cos (ωd t) + sin (ωd t) ωd

(45)

Seperti pada sistim tanpa redaman, jika s C =

y (0)2 +

GETARAN BEBAS

y˙ (0)ξω 2 ωd

Rekayasa Gempa

(Modul-3)



yang diilustrasikan pada Gambar 3.2

Gambar 3.2 Ilustrasi C pada Getaran Bebas dg Redaman Pers. simpangan gerak bebas sistim dengan redaman dapat juga ditulis dalam bentuk

y (t) = Ce −ξωt [sin (ωd t + α)] GETARAN BEBAS

Rekayasa Gempa

(46)

(Modul-3)


dimana tan α =


ωd y (0) y˙ (0) + y (0)ξω

atau y (t) = Ce −ξωt [cos (ωd t − β)] dimana tan β =

(47)

y˙ (0) + y (0)ξω ωd y (0)

Jika T merupakan perioda getar struktur tanpa redaman, dimana T =

2π ω

maka perioda getar struktur dengan redaman TD =

2π 2π = p ωD ω 1 − ξ2 T TD = p 1 − ξ2

(48)


Rekayasa Gempa



Redaman Kuat

Kondisi redaman kuat kebalikan dari redaman lemah, yakni : c > 2m ω, atau

c >ω 2m

(49)

Sehingga akar-akar persamaan karakteristiknya mempunyai nilai positif, yakni r c c 2 ± − ω2 (50) s1,2 = − 2m 2m Dan persamaan simpangan sistim seperti pada pers. (24), yakni y (t) = z1 e s1 t + z2 e s2 t

(51)

Seperti pada peyelesaian sebelum-sebelumnya, nilai z1 dan z2 diperoleh dengan memperhatikan kondisi awal. t = 0 → y (0) = z1 e 0 + z2 e 0 , atau y (0) = z1 + z2 GETARAN BEBAS

Rekayasa Gempa

(52) (Modul-3)



Kecepatan, y˙ (t)

=

z1 s1 e s1 t + z2 s2 e s2 t

t = 0 → y˙ (0)

=

z1 s1 e 0 + z2 s2 e 0 , atau y˙ (0) = z1 s1 + z2 s2 (53)

Penyelesaian pers. simultan (52) dan (53), menghasilkan z1 =

y (0)s2 − y˙ (0) y (0)s1 − y˙ (0) , dan z2 = s2 − s1 s1 − s2

(54)

Substitusi persamaan (54) ke pers. (51), menghasilkan persamaan simpangan sistim dengan redaman kuat sbb : y (t) = e s1 t

y (0)s2 − y˙ (0) s2 − s1

+ e s2 t

y (0)s1 − y˙ (0) s1 − s2

(55)

dimana c s1 = − + 2m

r r c 2 c c 2 2 − ω dan s2 = − − − ω2 2m 2m 2m (Modul-3) GETARAN BEBAS

Rekayasa Gempa


Ringkasan Persamaan simpangan sistim, dengan I Redaman Kritis :

y (t) = y0 e st + {y (0) s − y˙ (0)} t e st I Redaman Lemah :

y (t) = Ce −ξωt [sin (ωd t + α)] dimana tan α =

atau

y (t) = Ce −ξωt [cos (ωd t − β)]

y˙ (0) + y (0)ξω ωd y (0) dan tan β = y˙ (0) + y (0)ξω ωd y (0)

I Redaman Kuat :

y (t) = e s1 t

s1 = −

c + 2m

y (0)s2 − y˙ (0) s2 − s1

+ e s2 t

y (0)s1 − y˙ (0) s1 − s2

r r c 2 c c 2 − ω 2 dan s2 = − − − ω2 2m 2m 2m (Modul-3) GETARAN BEBAS

Rekayasa Gempa



Rekayasa Gempa

Modul3 Getbebas 2 (resmi Bestari Muin) 652yq

Overview 5o1f4z

More details 6z3438

Related Documents c2h70

Modul3 Getbebas 2 (resmi Bestari Muin) 652yq

Modul4_getaran Paksa (resmi Bestari Muin) 4p156p

Modul2_gerak Dinamik (resmi Bestari Muin) z2e6c

Modul3 1q5255

Lagu Bestari - Web 2 5q61h

More Documents from "Afif Hamdani" 5o1l6u

Modul3 Getbebas 2 (resmi Bestari Muin) 652yq

Modul4_getaran Paksa (resmi Bestari Muin) 4p156p

Dokumen.tips_kisi-kisi-soal-ujian-kompetensi-dokter-gigi-indonesia-ukdgi-bagian-1-dentist2011.pdf 4vk6o

Modul2_gerak Dinamik (resmi Bestari Muin) z2e6c

Tugas Kwu Kgiatan Pecinta Alam 6i1bu

Cbr Ekologi Dan Lingkungan Kelompok 6 4k592o