Modelo De Hotelling 635f2u

El modelo de la ciudad Lineal – Modelo de Hotelling Organización Industrial PU

La Ciudad Lineal – El modelo de Hotelling

1

Modelo de Hotelling El modelo: 1. 2. 3.

4. 5.

6.

“Ciudad lineal” es el intervalo [0,1] Los consumidores están distribuidos uniformemente a lo largo de este intervalo. Hay 2 empresas, localizadas a cada extremo que venden el mismo bien. La única diferencia entre las empresas es su localización. c= coste de 1 unidad del bien t= coste de transporte por unidad de distancia al cuadrado. Este coste es soportado por los consumidores cuando eligen una empresa o la otra. Representa el valor del tiempo, gasolina, etc. Los consumidores tienen demandas unitarias o compran 1 unidad o ninguna {0,1} La Ciudad Lineal – El modelo de Hotelling

2

Modelo de Hotelling Gráficamente

Masa de consumidores 1 =1dz  z 1  1  0  1



1

0

0

0

1

x

Localización de la empresa B

Localización de la empresa A La Ciudad Lineal – El modelo de Hotelling

3

Modelo de Hotelling Los costes de transporte del consumidor x:  De comprar en la empresa A son tx 2 2   1 x t De comprar en la empresa B son 





s ≡ excedente bruto del consumidor - (es decir su máxima disponibilidad a pagar) Supongamos que s es lo suficientemente grande para que el mercado esté cubierto, es decir para que todos los consumidores del intervalo puedan comprar. La utilidad de cada consumidor es por tanto dada por: U = s-p-td2 La Ciudad Lineal – El modelo de Hotelling

4

Modelo de Hotelling Tomamos las localizaciones de las empresas como dadas y compiten en precios. 1.

2.

Derivación de las curvas de demanda Problema de optimización en precios y equilibrio

La Ciudad Lineal – El modelo de Hotelling

5

Modelo de Hotelling El consumidor indiferente entre comprar en la x% en tienda A o B se sitúa x%se define como el punto donde U x%( A)  U x%( B) 2  s  p A  tx%  s  pB  t (1  x% )2 2  p A  tx%  pB  t (1  x% )2 2 2  p A  tx%  pB  t  tx%  2tx%  2tx% pB  p A  t

 x%

pB  p A  t 2t

Compran a A A

Compran a B B x%

Si (pB-pA)↑ el consumidor indiferente se mueve hacia la derecha, es decir aumenta la demanda de la empresa A y disminuye la demanda de la empresa B La Ciudad Lineal – El modelo de Hotelling

6

Modelo de Hotelling s Ui

Coste total para el consumidor x: pA+tx2

pB+t(1x)2

pA pB 0 A

i

x%

El consumidor indiferente

La Ciudad Lineal – El modelo de Hotelling

1 B

7

Modelo de Hotelling Una vez que sabemos cual es el consumidor indiferente podemos definir las funciones de demanda de las empresas A y B. x%

x%

DA ( p A , pB )   1dz  z 0  x% 0

1

pB  p A  t 2t

DB ( p A , pB )   1dz  z x% 1  x% 1  x%

1

pB  p A  t p A  pB  t  2t 2t

La demanda de la empresa A por ejemplo depende positivamente de la diferencia de precios (pB-pA) y negativamente de los costes de transporte. Si las dos empresas colocan el mismo precio pB=pA entonces se reparten el mercado en partes iguales (el consumidor indiferente se situa en ½). La Ciudad Lineal – El modelo de Hotelling

8

Modelo de Hotelling Decimos que el mercado está cubierto cuando el consumidor indiferente quiere comprar, es decir: 2

 p  p A  t s  pA  t  B  0 2t  

Los beneficios de las empresas son:  A ( p A , p B )   p A  c  DA ( p A , p B )   p A  c 

pB  p A  t 2t

La Ciudad Lineal – El modelo de Hotelling

9

Modelo de Hotelling El problema de la empresa A, por ejemplo, es: Max  A ( p A , pB )   p A  c  DA ( p A , pB )   p A  c  pA

pB  p A  t 2t

 A p  pA  t 1 O: 0 B   pA  c   0 p A 2t 2t  pB  2 p A  t  c  0  p A 

pB  t  c 2

Curva de reacción de la empresa A

Como el problema es simétrico pA=pB=p* p*  t  c p* t  c p     p*  t  c 2 2 2 *

La Ciudad Lineal – El modelo de Hotelling

Cuando t=0 volvemos a Bertrand p*=c; *=0 10

Modelo de Hotelling Una vez que tenemos los precios de equilibrio podemos calcular todas las cantidades de equilibrio: * x% 

1 2

* DA ( p*A , pB* )  x% 

1 2

* DB ( p*A , pB* )  1  x% 

1  DA ( p*A , pB* ) 2

*  A*   B*   p*  c  DA*   t  c  c  x% 

t 2

Nota: cuanto mayor es t , más diferenciado está el bien desde el punto de vista de los consumidores, mayor es el poder de mercado, los clientes que están más cerca están más cautivos porque les sale muy caro irse hasta la otra empresa. Esto permite aumentar el precio de equilibrio y los beneficios. Cuando t=0 (no hay diferenciación) 11 La Ciudad Lineal – El modelo de Hotelling volvemos a Bertrand

Modelo de Hotelling Observaciones:  Cada empresa sirve a medio mercado D*A=D*B=1/2 

La paradoja de Bertrand desaparece p A=pB>c



Un aumento de t implica más diferenciación de productos. Por lo tanto las empresas compiten con menos vigor y obtienen beneficios mayores. t=0 volvemos a Bertrand



La Ciudad Lineal – El modelo de Hotelling

12

Modelo de Hotelling s Ui

pA+tx2

pB+t(1x)2

pA=t +c

0 A

pB=t +c

i

½

1

x%

B

El consumidor compra al vendedor que le salga más barato incluyendo el coste de transporte La Ciudad Lineal – El modelo de Hotelling

13

Modelo de Hotelling Como cambian los precios cuando cambian las localizaciones de A y B?  Si A=0 y B=1 hay máxima diferenciación 

Si A=B=xˆ Todos los consumidores comprarán al que tenga el precio más barato, volvemos a Bertrand, pA=pB=c y A=B=0.

La Ciudad Lineal – El modelo de Hotelling

14

Modelo de Hotelling Caso General – localizaciones endógenas: 2 periodos: En el primer periodo las empresas seleccionan localización 

En el segundo periodo las empresas compiten en precios dada su localización 

Se resuelve hacia atrás. Empezamos por el segundo periodo.

La Ciudad Lineal – El modelo de Hotelling

15

Modelo de Hotelling Segundo periodo: • La localización de la empresa A está en a  • La localización de la empresa B está (1-b)  •

•

Por si acaso: La máxima diferenciación sería con a=0; y 1-b=1 (es decir b=0), y la mínima diferenciación (sustitutos perfectos) sería con a=1-b a+b=1

La Ciudad Lineal – El modelo de Hotelling

16

Modelo de Hotelling U x%( A)  U x%( B ) 1. El consumidor indiferente: p A  t ( x% a ) 2  pB  t ( x% (1  b)) 2 2 2 %  pB  tx%  p A  tx%  ta 2  2txa  t (1  b) 2  2tx% (1  b)

 2tx% 1  b  a   pB  p A  t (1  b) 2  ta 2

2 2 pB  p A  t (1  b)2  ta 2 pB  p A  t  (1  b)  a   x%  2t  1  b  a  2t  1  b  a 

 x%  x%

 1 b  a  1 b  a pB  p A  2t  1  b  a  2 1 b  a

1 b  a 1 b  a   pB  p A pB  p A    a 2t  1  b  a  2 2t  1  b  a  2

Si pA=pB, entonces la demanda de A es a+(1b-a)/2 La Ciudad Lineal – El modelo de Hotelling

17

Modelo de Hotelling Las demandas son: 1 b  a  pB  p A DA ( p A , pB )  x%  a 2t  1  b  a  2

1 b  a  pB  p A DB ( p A , pB )  1  x% 1   a 2t  1  b  a  2 p A  pB 1 b  a   b 2t  1  b  a  2

La Ciudad Lineal – El modelo de Hotelling

18

Modelo de Hotelling Interpretación de las funciones de demanda: si p A  pB

DA ( p A , p B ) 

a{



consumidores cautivos, a su izquierda

DB ( p A , pB ) 

 1 b  a 14 22 43

mitad de los consumidores entre a y 1-b

1 b  a 14 22 43

mitad de los consumidores entre a y 1-b

si p A  pB DA ( p A , p B )  a 

 1 b  a  2



b{

consumidores cautivos, a su derecha

pB  p A 2t (1  b  a) 1 42 43

sensibilidad de la demanda frente a la diferencia de precios La Ciudad Lineal – El modelo de Hotelling

19

Modelo de Hotelling 2. Encontrar las funciones de reacción  1 b  a  pB  p A  A Max    p A  c  DA ( p A , pB )   p A  c   a    p 

A

2

2t (1  b  a)

1 b  a     A pB  p A 1 O: 0 a    pA  c     0 p A 2 2t (1  b  a )  2t (1  b  a ) 1 b  a  2 pA pB  c  a  2t (1  b  a ) 2 2t (1  b  a ) 1 b  a  pA pB  c  a  t (1  b  a ) 2 2t (1  b  a )  p A  at (1  b  a ) 

t 1 b  a 2

2

p c  B 2

Función de reacción

La Ciudad Lineal – El modelo de Hotelling

20

Modelo de Hotelling 2. Encontrar las funciones de reacción 

Max    pB  c  DB ( p A , pB )   pB  c   B



pB

1 b  a  b  2

p A  pB   2t (1  b  a)

 B O: 0 pB

1 b  a   b  2

  p A  pB 1   pB  c     0 2t (1  b  a)  2t (1  b  a)

1  b  a  p A  2 pB  c   b  0 2

2t (1  b  a )

La Ciudad Lineal – El modelo de Hotelling

21

Modelo de Hotelling 2. Encontrar las funciones de reacción (cont.)  1  b  a   2 p B  c  1  a  1  b  a  p B  c   0 b 2

2t (1  b  a )

2 

2

2t (1  b  a ) 

1 b  a 1  3 pB  3c 1 b  a  b  a 0 4t (1  b  a ) 2 2 4 3 pB 3c b 3 a      4t (1  b  a ) 4t (1  b  a ) 4 4 4

t  3  b  a  (1  b  a )  pB  c  3 b  a a  b    c  t (1  b  a )  1  y p  c  t (1  b  a ) 1  A    3  3    La Ciudad Lineal – El modelo de Hotelling

22

Modelo de Hotelling 2. Encontrar las funciones de reacción b  a a  b (cont.)   p* (a, b)  c  t (1  b  a ) 1  y p* ( a, b)  c  t (1  b  a) 1  B







3 

A





3



Los precios son máximos cuando la diferenciación es máxima (a=b=0; pA=pB=c+t) y mínimos cuando la diferenciación es mínima (a+b=1 (misma localización) y pA=pB=c) La Ciudad Lineal – El modelo de Hotelling

23

Modelo de Hotelling 3. 1er periodo, elección simultanea de a y b Los beneficios son:

 A (a, b)   p*A (a, b)  c  DA (a, b, p*A (a, b), p B* (a, b))  (a, b)   p (a, b)  c  DB (a, b, p (a, b), p (a, b)) B

* B

* A

* B

p*A (a, b), pB* (a, b), DA* (a, b), DB* ( a, b)

Se sustituye y nos quedamos con una función solamente de a y b. Sacamos las O como siempre.

La Ciudad Lineal – El modelo de Hotelling

24

Modelo de Hotelling 3. 1er periodo, elección simultanea de a yb a b   pB*  p*A 1 b a   ( a, b )   c  t  1  a  b   1   c   a   3  2     2t (1  a  b)   b  a * * pero pB  p A  2t (1  a  b)    3  lo que simplifica: 



A

   ( a, b )  



A







     2  3  b  a   a  b  b  a 1  b  a  t  1 a  b  1   t 1  a  b     3 18  1 4 2 43  1 34 4 2 4 243    3 b  a    3 a  b    6   3    La Ciudad Lineal – El modelo de Hotelling

25

Modelo de Hotelling 3. 1er periodo, elección simultanea de a yb Max  (a, b)  t  1  a  b  A

a

 3  b  a

2

18

3  b  a 2 3  b  a   (a, b) O:  t  t  1 a  b a 18 18 t    3  b  a   1  b  3a   0  a*  0 18 A

2

La Ciudad Lineal – El modelo de Hotelling

26

Modelo de Hotelling 3. 1er periodo, elección simultanea de a yb Max  B (a, b)  t  1  a  b  b

 3  b  a

2

18

3  b  a 2 3  b  a   (a, b) O:  t  t  1 a  b b 18 18 t    3  b  a   1  3b  a   0  b*  0  1  b*  1 18 B

2

La Ciudad Lineal – El modelo de Hotelling

27

Modelo de Hotelling Conclusiones: • Las empresas se colocan en los extremos, eligen máxima diferenciación. En el caso de la empresa A, un aumento de a (movimiento hacia la derecha) :

•

• • •

Tiene un efecto positivo (efecto demanda) Tiene un efecto negativo (efecto competencia) Si los costes de transporte son cuadráticos el efecto competencia es más fuerte que el efecto demanda y las empresas prefieren máxima diferenciación.

La Ciudad Lineal – El modelo de Hotelling

28

Modelo de Hotelling •

•

La solución socialmente óptima es la que minimiza los costes de transporte y sería a=1/4 y 1-b=3/4. Por lo tanto, desde el punto de vista social existe demasiada diferenciación del producto cuando el mercado es privado.

La Ciudad Lineal – El modelo de Hotelling

29

Modelo de Hotelling El problema del planificador social se puede resumir en: Excedente del consumidor x es:

• • •

s-t(x-a)2-pA si compra en A s-t(x-(1-b))2-pB si compra en B

Por cada consumidor el vendedor gana

• • •

(pA-c) de la empresa A (pB-c) de la empresa B

Los precios son pura transferencia entre consumidores y productores, el excedente total asociado al consumidor x es:

•

• •

s-t(x-a)2-pA+pA-c= s-t(x-a)2-c si compra en A s-t(x-(1-b))2-pB+pB-c= s-t(x-(1-b))2-c si compra en B

La Ciudad Lineal – El modelo de Hotelling

30

Modelo de Hotelling •

Para conocer el máximo social tenemos que encontrar al consumidor indiferente:

s  t ( x% a ) 2  c  s  t ( x% (1  b)) 2  c  ( x% a ) 2  ( x% (1  b)) 2 2 2  x%  a 2  2ax% x%  (1  b) 2  2(1  b) x%

 a 2  2ax% (1  b) 2  2(1  b) x%  2 x%  1  b  a   (1  b)2  a 2  x%

(1  b  a)(1  b  a ) (1  b  a )   mitad de la distancia entre a y 1-b 2 1 b  a 2

La Ciudad Lineal – El modelo de Hotelling

31

Modelo de Hotelling El monopolista tiene que max el beneficio social que es lo mismo que minimizar los costes de transporte x% 

a

1b  a 2

1b

1

Min  t (a  z ) 2 dz   t ( z  a ) 2 dz   t ((1  b)  z ) 2 dz   t ( z  (1  b)) 2 dz a ,b 0 a 1b 1 4 4 4 4 42 4 4 4 4 4 3 x%1b2 a 14444444244444443 compran a A compran a B

0

a

x%

1-b

1

La Ciudad Lineal – El modelo de Hotelling

32

Modelo de Hotelling x% 

a

1 b  a 2

1 b

1

Min  t (a  z ) 2 dz   t ( z  a ) 2 dz   t ((1  b)  z ) 2 dz   t ( z  (1  b)) 2 dz a ,b 0 a 1 b 1 4 4 4 4 42 4 4 4 4 4 3 x%1b2 a 14444444244444443 compran a A compran a B



 Min   a ,b  

(a  z ) 3

3 a

0



( z  a) 3

3

1 b  a 2 a



(1  b  z ) 3

3 1b 1 b  a 2



( z  (1  b)) 3



3 1

  

1 b

 a 3 1  1  b  a 3  1 1  b  a 3 b3  Min          a ,b 2  2 3 3  3 3 

La Ciudad Lineal – El modelo de Hotelling

33

Modelo de Hotelling  a 3 1  1  b  a 3  1 1  b  a 3 b3 Min          a ,b 2  2 3 3  3 3 

La O:

2   2  0  4 a  1  b  a  0 (A)    a     0  4b 2   1  b  a  2  0 (B)  b (A)-(B):

4a 2  4b 2  0  a 2  b 2  a  b lo que sustituyiendo en (A) implica que: 4a   1  a  a  2

2

1 3 *  0  a  ;(1  b )  4 4 *

La Ciudad Lineal – El modelo de Hotelling

34

Modelo de Hotelling •

•

La conclusión básica del modelo de Hotelling es el principio de diferenciación: las empresas buscan diferenciarse lo máximo posible para así disminuir la competencia en precios. También existen factores que se oponen a la diferenciación y que incluso pueden llevar a diferenciación mínima: a. Las empresas pueden querer estar donde está la demanda (por ejemplo, en el centro) b. En caso de ausencia de competencia en precios (por ejemplo, cuando los precios están regulados) ésta puede llevar a las empresas a localizarse en el centro y así repartirse el mercado a medias.

La Ciudad Lineal – El modelo de Hotelling

35