Metodo Distribucion De Momentos Cross 4o6j67
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RESISTENCIA DE MATERIALES II
UNIVERSIDAD PRIVADA DE TACNA
RESISTENCIA DE MATERIALES II METODO DISTRIBUCION DE MOMENTOS En 1930, el profesor Hardy Cross expuso en su obra Analysis of continuous frames el método de aproximaciones sucesivas que lleva su nombre. El método de cross es un procedimiento ideado para resolver el problema de las estructuras reticulares. El cálculo es relativamente sencillo, sin que aparezcan en su desarrollo integraciones complejas ni sistemas de ecuaciones complicados.
Es más, una vez comprendido el mecanismo del método, las operaciones matemáticas se reducen a sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. Además, no exige recordar nada de memoria. Si se dispone de unas tablas de momentos, rigideces y factores de transmisión, puede resolverse cualquier estructura. Si, como es frecuente, se trata de estructuras con piezas de sección constante en cada vano y con cargas uniformemente distribuidas, ni siquiera es necesario el empleo de tablas.
El método de Cross es un método de aproximaciones sucesivas, que no significa que sea aproximado. Quiere decir que el grado de precisión en el cálculo puede ser tan elevado como lo desee el calculista.
El método permite seguir paso a paso el proceso de distribución de momentos en la estructura, dando un sentido físico muy claro a las operaciones matemáticas que se realizan.
PROPIEDADES DE LOS APOYOS Cuando una pieza termina en un apoyo aislado se la considera unida a otra de rigidez nula, por lo que el factor de distribuciòn vale la unidad ki Fd = = 1 ki + 0
Cuando una pieza termina en un empotramiento perfecto se supone que está unida a otra de rigidez infinita. El factor de distribuciòn es nulo
GUIDO F. RODIGUEZ MOLINA
2 011
RESISTENCIA DE MATERIALES II
UNIVERSIDAD PRIVADA DE TACNA
ki Fd = = 0 ki + ∞
En realidad, se puede decir que una articulación no absorbe nada, todo lo transmite (K=0, β=1). De igual modo, un empotramiento perfecto lo absorbe todo, no transmite nada (K=∞, β=0). METODO DE CROSS PASO A PASO Para la aplicación del método de cross deben seguirse los siguientes pasos:
1) .-
Calculo de los momentos de empotramientos en extremos fijos: Son los momentos producidos al extremo del miembro por cargas externas cuando las juntas están fijas
2) .-
Calculo de la rigidez a la flexión: La rigidez a la flexión (EI/L) de un miembro es representada como el producto del Modulo de Elasticidad (E) y el segundo momento de área, también conocido como Momento de Inercia (I) dividido por la longitud (L) del miembro, que es necesaria en el método de distribución de momentos, no es el valor exacto pero es la razón aritmética de rigidez de todos los .
3) .-
Calculo de los factores de Distribución: Pueden ser considerados como las proporciones de los momentos no balanceados llevados por cada uno de sus .
4) .-
Calculo de los factores de acarreo o transporte: Los momentos no balanceados son llevados sobre el otro extremo del miembro cuando la junta es liberada. La razón de momento acarreado sobre el otro extremo, al momento en el extremo fijo del extremo inicial es el factor de acarreo.
GUIDO F. RODIGUEZ MOLINA
2 011
RESISTENCIA DE MATERIALES II
UNIVERSIDAD PRIVADA DE TACNA
Ejemplo: Analizar la viga estáticamente indeterminada mostrada en la figura. Donde P= 10Kn,
w=1
Kn/m y L= 10 m, a = 3 m. rigideces a flexión: AB=EI, BC= 2EI, CD = EI
Paso I. Se procede a realizar los cálculos preliminares de los momentos en extremos fijos para cada caso tal y como se muestra
Caso (a) − MA =
MB =
VA =
GUIDO F. RODIGUEZ MOLINA
P a b2
− MA =
10 (3) (7)2
L
102
P a2 b
10 (3)2 (7)
2
L2
Pb L
MB =
VB =
102
= 14.70 Tn − m
= 6.30 Tn − m
Pa L
2 011
RESISTENCIA DE MATERIALES II
UNIVERSIDAD PRIVADA DE TACNA
Caso (b)
− MA =
w L2 12 w L2
MB =
VA =
12 wL 2
1 (10)2
− MA =
12
MB =
1 (10)2
VB =
12
= 8.33 Tn − m
8.33 Tn − m
wL 2
Caso (c)
− MA = MB = VA =
PL
8 PL 8 P 2
− MA = MB =
VB =
10 (10)
8 10 (10) 8
= 12.50 Tn − m = 12.50 Tn − m
P 2
Paso II Se procede a la construccion de la tabla de calculo, una vez determinados los factores de distribución. Para el calculo de estos factores de distribucion debe considerarse la rigidez Rotacional a un giro (k) en los casos en que sea la misma el del ejemplo donde son distintas y seria
EI ,y tambien cuando sea un caso como L
3EI en esa tabla tambien se procedera a realizar lo L
aprendido en ESTATICA sobre los diagramas de Corte y Momento, los cuales nos serviran para el diseño de elementos mas adelante en CONCRETO ARMADO.
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RESISTENCIA DE MATERIALES II
GUIDO F. RODIGUEZ MOLINA
UNIVERSIDAD PRIVADA DE TACNA
2 011
RESISTENCIA DE MATERIALES II
UNIVERSIDAD PRIVADA DE TACNA
Los numeros en amarillo son los momentos balanceados; las flechas ( → / ← ) representan el acarreo de momento desde un extremo al otro extremo de un miembro. Momentos en articulaciones, determinados por el método de distribución de momentos. MA = 0 Kn-m MB = - 11.569 Kn-m
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RESISTENCIA DE MATERIALES II
UNIVERSIDAD PRIVADA DE TACNA
MC = -10.186 Kn-m MD = - 13.656 Kn-m
DEC
5.14
4.65
3.84 A
+ B
+
+
C
D 0.0
_ _
_ 4.86 6.16
5.34
DMF
13.66
11.58 10.20
A
B
1.62
C
D 13.09
19.20
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RESISTENCIA DE MATERIALES II
UNIVERSIDAD PRIVADA DE TACNA
METODO DISTRIBUCION DE MOMENTOS PORTICOS
Hallar por el mètodo de Cross los diagramas de momentos flectores y esfuerzos cortantes, asi como las reacciones de todas las barras del pòrtico de la figura.
Determinamos las rigideces
k A −C =
1 = 0.143 7
k C −D =
1 = 0.143 7
k D −B =
1 = 0.2 5
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RESISTENCIA DE MATERIALES II
UNIVERSIDAD PRIVADA DE TACNA
Nudo C
Fd =
0.143 = 0.5 0.143 + 0.143
Fd =
0.143 = 0.5 0.143 + 0.143
Nudo D
Fd =
0.143 = 0.417 0.143 + 0.2
Fd =
0.2 = 0.583 0.2 + 0.143
Càlculo de los momentos de empotramiento
− MA =
MB =
P a b2 L2
P a2 b L2
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RESISTENCIA DE MATERIALES II
UNIVERSIDAD PRIVADA DE TACNA
Ejemplo Aplicación del Mètodo de Distribuciòn de Momentos del pòrtico de dos niveles 400 Kg/m P = 300 Kg
Càlculo de Rigideces: K A −D = K D−G = K B −E = K E−H = K C −F = K D −E = K E−F = K G−H =
1 = 0.333 3
3 = 0.500 6
Càlculo de Factor de Distribuciòn. En los nudos A,B Y C tienen una rigides infinita, por lo tanto el factor de distribuciòn de las barras es cero:
Fd A −D = FdB −E = FdC −F = 0
Nudo D llegan tres barras. FdD−A =
0.333 = 0.286 0.333 + 0.500 + 0.333
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RESISTENCIA DE MATERIALES II
FdD−G =
0.333 = 0.286 0.333 + 0.500 + 0.333
FdD−E =
0.500 = 0.429 0.500 + 0.333 + 0.333
UNIVERSIDAD PRIVADA DE TACNA
Nudo G llegan dos barras. FdG−D =
0.333 = 0.400 0.333 + 0.500
FdG−H =
0.500 = 0.600 0.500 + 0.333
Nudo E llegan cuatro barras. FdE−B =
0.333 = 0.200 0.333 + 0.500 + 0.500 + 0.333
FdE−D =
0.500 = 0.300 0.500 + 0.333 + 0.333 + 0.500
FdE−H =
0.333 = 0.200 0.333 + 0.500 + 0.500 + 0.333
FdE−F =
0.500 = 0.300 0.500 + 0.500 + 0.333 + 0.333
Nudo H llegan dos barras. FdH−G =
0.500 = 0.600 0.500 + 0.333
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UNIVERSIDAD PRIVADA DE TACNA
0.333 = 0.400 0.333 + 0.500
FdH−E =
Nudo F llegan tres barras. FdF−E =
0.500 = 0.600 0.500 + 0.333 + 0
FdF−C =
0.333 = 0.400 0.333 + 0.500 + 0
Càlculo de los Momentos de empotramiento perfecto.
M= −
M=
M=
12
w L2 12
M= −
M=
w L2
PL 8
PL 8
w L2 2
M= −
M=
M=
12
400 6 2 12
M= −
M=
400 6 2
= 1200 Kg − m
300 (6) 8
300 (6) 8
400 2 2
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2
= −1200 Kg − m
= −225 Kg
= 225 Kg − m
= 800 Kg − m
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DIAGRAMA DE MOMENTOS
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UNIVERSIDAD PRIVADA DE TACNA
RESISTENCIA DE MATERIALES II METODO DISTRIBUCION DE MOMENTOS En 1930, el profesor Hardy Cross expuso en su obra Analysis of continuous frames el método de aproximaciones sucesivas que lleva su nombre. El método de cross es un procedimiento ideado para resolver el problema de las estructuras reticulares. El cálculo es relativamente sencillo, sin que aparezcan en su desarrollo integraciones complejas ni sistemas de ecuaciones complicados.
Es más, una vez comprendido el mecanismo del método, las operaciones matemáticas se reducen a sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. Además, no exige recordar nada de memoria. Si se dispone de unas tablas de momentos, rigideces y factores de transmisión, puede resolverse cualquier estructura. Si, como es frecuente, se trata de estructuras con piezas de sección constante en cada vano y con cargas uniformemente distribuidas, ni siquiera es necesario el empleo de tablas.
El método de Cross es un método de aproximaciones sucesivas, que no significa que sea aproximado. Quiere decir que el grado de precisión en el cálculo puede ser tan elevado como lo desee el calculista.
El método permite seguir paso a paso el proceso de distribución de momentos en la estructura, dando un sentido físico muy claro a las operaciones matemáticas que se realizan.
PROPIEDADES DE LOS APOYOS Cuando una pieza termina en un apoyo aislado se la considera unida a otra de rigidez nula, por lo que el factor de distribuciòn vale la unidad ki Fd = = 1 ki + 0
Cuando una pieza termina en un empotramiento perfecto se supone que está unida a otra de rigidez infinita. El factor de distribuciòn es nulo
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RESISTENCIA DE MATERIALES II
UNIVERSIDAD PRIVADA DE TACNA
ki Fd = = 0 ki + ∞
En realidad, se puede decir que una articulación no absorbe nada, todo lo transmite (K=0, β=1). De igual modo, un empotramiento perfecto lo absorbe todo, no transmite nada (K=∞, β=0). METODO DE CROSS PASO A PASO Para la aplicación del método de cross deben seguirse los siguientes pasos:
1) .-
Calculo de los momentos de empotramientos en extremos fijos: Son los momentos producidos al extremo del miembro por cargas externas cuando las juntas están fijas
2) .-
Calculo de la rigidez a la flexión: La rigidez a la flexión (EI/L) de un miembro es representada como el producto del Modulo de Elasticidad (E) y el segundo momento de área, también conocido como Momento de Inercia (I) dividido por la longitud (L) del miembro, que es necesaria en el método de distribución de momentos, no es el valor exacto pero es la razón aritmética de rigidez de todos los .
3) .-
Calculo de los factores de Distribución: Pueden ser considerados como las proporciones de los momentos no balanceados llevados por cada uno de sus .
4) .-
Calculo de los factores de acarreo o transporte: Los momentos no balanceados son llevados sobre el otro extremo del miembro cuando la junta es liberada. La razón de momento acarreado sobre el otro extremo, al momento en el extremo fijo del extremo inicial es el factor de acarreo.
GUIDO F. RODIGUEZ MOLINA
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UNIVERSIDAD PRIVADA DE TACNA
Ejemplo: Analizar la viga estáticamente indeterminada mostrada en la figura. Donde P= 10Kn,
w=1
Kn/m y L= 10 m, a = 3 m. rigideces a flexión: AB=EI, BC= 2EI, CD = EI
Paso I. Se procede a realizar los cálculos preliminares de los momentos en extremos fijos para cada caso tal y como se muestra
Caso (a) − MA =
MB =
VA =
GUIDO F. RODIGUEZ MOLINA
P a b2
− MA =
10 (3) (7)2
L
102
P a2 b
10 (3)2 (7)
2
L2
Pb L
MB =
VB =
102
= 14.70 Tn − m
= 6.30 Tn − m
Pa L
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RESISTENCIA DE MATERIALES II
UNIVERSIDAD PRIVADA DE TACNA
Caso (b)
− MA =
w L2 12 w L2
MB =
VA =
12 wL 2
1 (10)2
− MA =
12
MB =
1 (10)2
VB =
12
= 8.33 Tn − m
8.33 Tn − m
wL 2
Caso (c)
− MA = MB = VA =
PL
8 PL 8 P 2
− MA = MB =
VB =
10 (10)
8 10 (10) 8
= 12.50 Tn − m = 12.50 Tn − m
P 2
Paso II Se procede a la construccion de la tabla de calculo, una vez determinados los factores de distribución. Para el calculo de estos factores de distribucion debe considerarse la rigidez Rotacional a un giro (k) en los casos en que sea la misma el del ejemplo donde son distintas y seria
EI ,y tambien cuando sea un caso como L
3EI en esa tabla tambien se procedera a realizar lo L
aprendido en ESTATICA sobre los diagramas de Corte y Momento, los cuales nos serviran para el diseño de elementos mas adelante en CONCRETO ARMADO.
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Los numeros en amarillo son los momentos balanceados; las flechas ( → / ← ) representan el acarreo de momento desde un extremo al otro extremo de un miembro. Momentos en articulaciones, determinados por el método de distribución de momentos. MA = 0 Kn-m MB = - 11.569 Kn-m
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RESISTENCIA DE MATERIALES II
UNIVERSIDAD PRIVADA DE TACNA
MC = -10.186 Kn-m MD = - 13.656 Kn-m
DEC
5.14
4.65
3.84 A
+ B
+
+
C
D 0.0
_ _
_ 4.86 6.16
5.34
DMF
13.66
11.58 10.20
A
B
1.62
C
D 13.09
19.20
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METODO DISTRIBUCION DE MOMENTOS PORTICOS
Hallar por el mètodo de Cross los diagramas de momentos flectores y esfuerzos cortantes, asi como las reacciones de todas las barras del pòrtico de la figura.
Determinamos las rigideces
k A −C =
1 = 0.143 7
k C −D =
1 = 0.143 7
k D −B =
1 = 0.2 5
GUIDO F. RODIGUEZ MOLINA
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UNIVERSIDAD PRIVADA DE TACNA
Nudo C
Fd =
0.143 = 0.5 0.143 + 0.143
Fd =
0.143 = 0.5 0.143 + 0.143
Nudo D
Fd =
0.143 = 0.417 0.143 + 0.2
Fd =
0.2 = 0.583 0.2 + 0.143
Càlculo de los momentos de empotramiento
− MA =
MB =
P a b2 L2
P a2 b L2
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RESISTENCIA DE MATERIALES II
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Ejemplo Aplicación del Mètodo de Distribuciòn de Momentos del pòrtico de dos niveles 400 Kg/m P = 300 Kg
Càlculo de Rigideces: K A −D = K D−G = K B −E = K E−H = K C −F = K D −E = K E−F = K G−H =
1 = 0.333 3
3 = 0.500 6
Càlculo de Factor de Distribuciòn. En los nudos A,B Y C tienen una rigides infinita, por lo tanto el factor de distribuciòn de las barras es cero:
Fd A −D = FdB −E = FdC −F = 0
Nudo D llegan tres barras. FdD−A =
0.333 = 0.286 0.333 + 0.500 + 0.333
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RESISTENCIA DE MATERIALES II
FdD−G =
0.333 = 0.286 0.333 + 0.500 + 0.333
FdD−E =
0.500 = 0.429 0.500 + 0.333 + 0.333
UNIVERSIDAD PRIVADA DE TACNA
Nudo G llegan dos barras. FdG−D =
0.333 = 0.400 0.333 + 0.500
FdG−H =
0.500 = 0.600 0.500 + 0.333
Nudo E llegan cuatro barras. FdE−B =
0.333 = 0.200 0.333 + 0.500 + 0.500 + 0.333
FdE−D =
0.500 = 0.300 0.500 + 0.333 + 0.333 + 0.500
FdE−H =
0.333 = 0.200 0.333 + 0.500 + 0.500 + 0.333
FdE−F =
0.500 = 0.300 0.500 + 0.500 + 0.333 + 0.333
Nudo H llegan dos barras. FdH−G =
0.500 = 0.600 0.500 + 0.333
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0.333 = 0.400 0.333 + 0.500
FdH−E =
Nudo F llegan tres barras. FdF−E =
0.500 = 0.600 0.500 + 0.333 + 0
FdF−C =
0.333 = 0.400 0.333 + 0.500 + 0
Càlculo de los Momentos de empotramiento perfecto.
M= −
M=
M=
12
w L2 12
M= −
M=
w L2
PL 8
PL 8
w L2 2
M= −
M=
M=
12
400 6 2 12
M= −
M=
400 6 2
= 1200 Kg − m
300 (6) 8
300 (6) 8
400 2 2
GUIDO F. RODIGUEZ MOLINA
2
= −1200 Kg − m
= −225 Kg
= 225 Kg − m
= 800 Kg − m
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DIAGRAMA DE MOMENTOS
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