Metodo Di Somiglianza 1y573r

Il "metodo di somiglianza" per la ricerca di una soluzione particolare delle equazioni differenziali lineari del second'ordine non omogenee: +Cww € ,Cw € -C œ 0 aBb

(*)

Ðcon +ß ,ß - costanti, + Á !Ñ Forma di 0 aBb Forma in cui si cerca CaBb Eventuali eccezioni e osservazioni _________________________________________________________________________________________________________________ CASO 1 polinomio di grado 8 polinomio di grado 8 Se nella (*) - œ !, cercare un polinomio di grado 8 € "; se - œ , œ !, cercare un polinomio di grado 8 € #. ESEMPI CASO 1 Cww € #C œ B$ € # CaBb œ !B$ € "B# € # B € $ ww w C  $C œ #B € " CaBb œ !B# € "B € # _________________________________________________________________________________________________________________ CASO 2 esponenziale E/-B esponenziale -/-B Se non c'è soluzione di questo tipo (ciò accade perché +-# € ,- € - œ !, (lo stesso -, e - da determinarsi) ossia perché /-B è soluzione dell'eq. diff. omogenea)ß cercare CaBb œ -B/-B ; se nemmeno questo tipo di soluzione esiste, cercare CaBb œ -B# /-B ESEMPI CASO 2 Cww € #Cw € $C œ #/$B CaBb œ -/$B Cww € #Cw  $C œ $/B CaBb œ -B/B (Spiegazione 2° es.: - œ " è soluzione dell'eq. caratteristica -# € #-  $ œ !; equivalentemente: /B è soluzione dell'eq. diff. omogenea Cww € #Cw  $C œ !; perciò occorre moltiplicare per B) ________________________________________________________________________________________________________________ CASO 3 Ecos=B € F sin=B -" cos=B € -# sin=B Notare che anche se 0 ha uno solo dei due addendi (seno o coseno), (lo stesso =, e -" ß -# da determinarsi) in generale la soluzione li ha entrambi. Se , œ ! può accadere che -" cos=B € -# sin=B sia soluzione dell'omogenea: in tal caso, cercare soluzione Ba-" cos=B € -# sin=Bb. ESEMPIO CASO 3 Cww € #Cw  C œ $sin#B CaBb œ -" cos#B € -# sin#B

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Forma di 0 aBb Forma in cui si cerca CaBb Eventuali eccezioni e osservazioni _________________________________________________________________________________________________________________ CASO 4 Se D œ - € 3= è soluzione di +D # € ,D € - œ !, sostituire /-B con B/-B Þ /-B aEcos=B € F sin=Bb /-B a-" cos=B € -# sin=Bb (gli stessi =ß - e Notare che anche se 0 ha uno solo dei due addendi (seno o coseno), -" ß -# da determinarsi) in generale la soluzione li ha entrambi. ESEMPI CASO 4 Cww € #C œ $/B sin#B CaBb œ /B a-" cos#B € -# sin#Bb Cww %Cw €&C œ $/#B cosB CaBb œ B/#B a-" cosB € -# sinBb (Spiegazione 2° es.: D œ # € 3 è soluzione dell'eq. caratteristica D #  %- € & œ !, ossia /#B cosBß /#B sinB sono soluzioni dell'eq. omogenea Cww  %Cw € &C œ !, perciò si introduce il fattore B). (Nel caso 4 può essere più comodo effettuare i calcoli utilizzando i numeri complessi, come illustrato a lezione. Per sinteticità, qui non si riporta l'illustrazione di quel metodo). _________________________________________________________________________________________________________________ CASO 5 /-B :aBbß dove :aBb è /-B ; aBb, con lo stesso -, e Se - è soluzione dell'eq. caratteristica +-# € ,- € - œ !, cercare una un polinomio di grado 8 ; aBb polinomio di grado 8, da soluzione CaBb œ /-B † apolinomio di grado 8 € "b determinarsi ESEMPI CASO 5 Cww €#Cw C œ /$B aB€#b CaBb œ /$B a+B€,b Cww  C œ /B aB€#b CaBb œ /B a+B# €,B € - b (Spiegazione 2° esempio: - œ " è soluzione dell'eq. caratteristica -#  - œ !, ossia /B è soluzione dell'equazione omogenea Cww  C œ !; perciò il polinomio che compare in C si alza di grado). OSSERVAZIONE. QUANDO IL TERMINE NOTO E' SOMMA DI DUE FUNZIONI DEI TIPI PRECEDENTI Se il termine noto è del tipo 0 aBb œ 0" aBb € 0# aBb, con 0" ß 0# dei tipi descritti in precedenza, è sufficente cercare (separatamente): una soluzione particolare C" dell'equazione PC œ 0" ; una soluzione particolare C# dell'equazione PC œ 0# ; a questo punto (per la linearità dell'equazione differenziale), la funzione C" € C# sarà una soluzione particolare di PC œ 0" € 0# . Esempio: Cww € #C œ $/B € B# € " Si cerca una soluzione C" œ -" /B dell'equazione Cww € #C œ $/B ; si cerca una soluzione C" œ +B# € ,- € - dell'equazione Cww € #C œ B# € "; la funzione C" € C# sarà allora una soluzione particolare dell'equazione di partenza.

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