Matriks 216p5d

MATRIKS

A

Pengertian Matriks

Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan bilangan. Bilangan-bilangan dalalm susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks .Jika A adalah sebuah matriks, maka akan meggunakan aij untuk menyatakan entri yang terdapat di dalam baris dan i kolom dari matriks A. Secara umum matriks dituliskan sebagai berikut:

Matriks di atas disebut matriks berukuran m kali n (ditulis m x n) karena memiliki baris dan kolom. Contoh: [

B

] , matriks berukuran 2 x 3

Penjumlahan Matriks

Jika A dan B adalah sebarang dua matriks yang ukurannya sama, maka jumlah A+B adalah matriks yang diperoleh dengan menambahkan bersama-sama entri yang bersesuaian dalam kedua matriks tersebut. Matriks-matriks yang ukurannya berbeda tidak dapat dijumlahkan. Contoh: Misalkan

[

]

[

]

Maka, [

C

]

[

]

Perkalian Matriks

Jika A adalah matriks m x n d a n B adalah matriks m x n, maka hasil kali AB adalah matriks m x n yang entri-entrinya ditentukan sebagai

berikut . Untuk mencari entri dalam baris-i dan kolom- dari AB, pilihlah baris- i dari matriks A dan kolom- dari matriks Kalikanlah entri-entri yang bersesuaian dari baris dan kolom tersebut bersama-sama dan kemudian tambahkanlah hasil kali yang dihasilkan. Contoh: [

Diketahui:

]

[

]

Tinjaulah perkalian matriks A d a n B . Karena A adalah matriks berukuran 2 x 3 dan adalah B matriks berukuran 3 X 2 maka hasil kali AB adalah matriks 2 X 2 .Perhitungan- perhitungan untuk hasil kali adalah: (1x2) + (3x3) + (4x1) = 15 (1x4) + (3x6) + (4x3) = 34 (3x2) + (2x3) + (5x1) = 17 (3x4) + (2x6) + (5x3) = 39 [

Jadi, diperoleh

D

]

Perkalian Matriks dengan Bilangan

Jika A adalah suatu matriks dan c adalah suatu bilangan, maka hasil kali (product) cA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan masing-masing entri dari A oleh c. Dalam hal ini ditulis cA = (caij). Khususnya dengan –A yang disebut negatif dari A, diartikan matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengalikan setiap elemennya dengan -1 atau cukup dengan mengubah tanda semua elemennya. Contoh: [

Diketahui: Maka, E

[

] ]

Operasi Dalam Matriks

[

]

Seperti halnya pada bilangan, matriks juga dapat dioprasikan. Misalnya, di jumlahkan ,dikalikan, dikurangkan,dikalikan dengan skalar, dan dikalikan dengan matriks dengan aturan tertentu,namun matriks tidak dapat dibagi dengan matriks lain. Dua buah matriks dikatakan sama apabila matriks-matriks tersebut mempunyai ordo yang sama dan setiap elemen yang seletak sama. Jika A dan B adalah matriks yang mempunyai ordo sama, maka penjumlahan dari A + B adalah matriks hasil dari penjumlahan elemen A dan B yang seletak. Begitu pula dengan hasil selisihnya. Matriks yang mempunyai ordo berbeda tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan. Jumlah dari k buah matriks A adalah suatu matriks yang berordo sama dengan A dan besar tiap elemennya adalah k kali elemen A yang seletak. Didefinisikan: Jika k sebarang skalar maka kA = A k adalah matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengalikan setiap elemennya dengan k. Negatif dari A atau -A adalah matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengalikan semua elemennya dengan -1. Untuk setiap A berlaku A + (-A) = 0. Hukum yang berlaku dalam penjumlahan dan pengurangan matriks : 1. komutatif sehingga A + B = B + A 2. asosiatif sehinggaA + ( B + C ) = ( A + B ) + C 3. k ( A + B ) = kA + kB = ( A + B ) k , k = skalar 4. unsur identitasnya O sehingga A+O=O+A=A 5. Invers pejumlahan A adalah –A sehingga A+(-A)=-A+A=O Hasil kali matriks A yang ber-ordo m x p dengan matriks B yang berordo p x n dapat dituliskan sebagi matriks C = [ cij ] berordo m x n dimana cij = ai1 b1j + ai2 b2j + ... + aip bpj F

Matriks Balikan (Invers)

Jika A dan B matriks bujur sangkar sedemikian rupa sehingga A B=B A=I, maka B disebut balikan atau invers dari A dan dapat dituliskan B = A − 1 ( B sama dengan invers A ). Matriks B juga mempunyai invers yaitu A maka dapat dituliskan A = B − 1. Jika tidak ditemukan matriks B, maka A

dikatakan matriks tunggal (singular). Jika matriks B dan C adalah invers dari A maka B = C. Jika eliminasi Gauss-Jordan diterapkan dalam matriks persegi, metode tersebut dapat digunakan untuk menghitung invers dari matriks. Eliminasi Gauss-Jordan hanya dapat dilakukan dengan menambahkan dengan matriks identitas dengan dimensi yang sama, dan melalui operasi-operasi matriks. Matriks

[

] dapat di-invers apabila ad-bc ≠ 0

Dengan Rumus

Apabila A dan B adalah matriks seordo dan memiliki balikan maka AB dapat di-invers dan (AB) − 1 = B − 1A – 1 Contoh 1: Matriks

[

]

[

]

AB =

=

= I (matriks identitas)

BA =

=

= I (matriks identitas)

Maka dapat dituliskan bahwa B = A − 1 (B Merupakan invers dari A). Contoh 2: Matriks

AB =

[

]

[

=

]

BA =

=

Karena AB ≠ BA ≠ I maka matriks A dan matriks B disebut matriks tunggal. Contoh 3: Matriks

[

], Tentukan Nilai dari A-1

[

]

Contoh 4: Matriks

[

]

[

]

Dengan menggunakan rumus, maka didapatkan

[

]

[

] (

)

]

[

[

]

Maka

[

][

Ini membuktikan bahwa (AB) − 1 = B − 1A − 1 G

Matriks Diagonal, Segitiga, dan Matriks Simetris  Matriks Diagonal

]

Sebuah matriks bujursangkar yang unsur-unsurnya berada di garis diagonal utama dari matriks bukan nol dan unsur lainnya adalah nol disebut dengan matriks diagonal. Contoh :

secara umum matriks n x n bisa ditulis sebagai

Matriks diagonal dapat dibalik dengan menggunakan rumus berikut :

D − 1= DD − 1 = D − 1D = I jika D adalah matriks diagonal dan k adalah angka yang positif maka

Dk=

Contoh :

[

]

Maka

[

]

 Determinan Determinan adalah suatu fungsi tertentu yang menghubungkan suatu bilangan real dengan suatu matriks bujursangkar. Sebagai contoh, kita ambil matriks A2x2 [

] tentukan determinan A. untuk mencari determinan matrik A

maka, detA = ad - bc Determinan dengan Minor dan kofaktor

[

], tentukan determinan A.

Pertama buat minor dari a11 [

]= detM= a22a33 x a23a32

Kemudian kofaktor dari a11 adalah c11 = (-1)1+1M11 = (-1)1+1 a22a33 x a23a32 kofaktor dan minor hanya berbeda tanda Cij=±Mij untuk membedakan apakah kofaktor pada ij adalah + atau - maka kita bisa melihat matrik dibawah ini

Begitu juga dengan minor dari a32

[

]=det M =a11a23 x a13a21

Maka kofaktor dari a32 adalah c32 = (-1)3+2M32 = (-1)3+2 x a11a23 x a13a21 Secara keseluruhan, definisi determinan ordo 3x3 adalah det(A) = a11C11+a12C12+a13C13 Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Baris Pertama Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom Pertama Pada dasarnya ekspansi kolom hampir sama dengan ekspansi baris seperti di atas. Tetapi ada satu hal yang membedakan keduanya yaitu faktor pengali. Pada ekspansi baris, kita mengalikan minor dengan komponen baris pertama. Sedangkan dengan ekspansi pada kolom pertama, kita mengalikan minor dengan kompone kolom pertama. Misalkan ada sebuah matriks A3x3

[

]

maka determinan dari matriks tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah, ( )

[

]- a12[

]+a13[

]

= a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31) = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a12a21a33 - a11a23a32 Contoh Soal:

[

]

tentukan determinan A dengan metode ekspansi kofaktor baris pertama Jawab:

( )

[

=1[

]

]- 2[

]+3[

]

(

)

(

)+3(-7)= - 8

Ad Matriks 3 x 3 Bila ada sebuah matriks A3x3

[

]

Kofaktor dari matriks A adalah C11 = -12 C12 = 6 C13 = -16 C21 = 4 C22 = 2 C23 = 16 C31 = 12 C32 = -10 C33 = 16 maka matriks yang terbentuk dari kofaktor tersebut adalah

[

]

untuk mencari adt sebuah matriks, kita cukup mengganti kolom menjadi baris dan baris menjadi kolom

( )

[

Metode Cramer

]

Jika Ax = b adalah sebuah sistem linear n yang tidak di ketahui dan det(A)≠ 0 maka persamaan tersebut mempunyai penyelesaian yang unik

dimana A j adalah matrik yang didapat dengan mengganti kolom j dengan matrik b Contoh soal: Gunakan metode cramer untuk menyelesaikan persoalan di bawah ini x1 + 2x3 = 6 -3x1 + 4x2 + 6x3 = 30 -x1 - 2x2 + 3x3 = 8 Jawab: bentuk matrik A dan b

[

]

[

]

kemudian ganti kolom j dengan matrik b

[

]

[

]

[

]

dengan metode sarrus kita dapat dengan mudah mencari determinan dari matrik-matrik di atas. maka,

Mencari determinan dengan cara Sarrus

[

]

Tentukan determinan A. Untuk mencari determinan matrik A maka, detA = (aei + bfg + cdh) - (bdi + afh + ceg) 

Metode Sarrus hanya untuk matrix berdimensi 3x3



Menghitung Inverse dari Matrix 3 x 3

[

]

kemudian hitung kofaktor dari matrix A C11 = 12 C12 = 6 C13 = -16 C21 = 4 C22 = 2 C23 = 16 C31 = 12 C32 = -10 C33 = 16 menjadi matrix kofaktor

cari adt dari matrix kofaktor tadi dengan mentranspose matrix kofaktor diatas, sehingga menjadi

( )

[

]

dengan metode Sarrus, kita dapat menghitung determinan dari matrix A det(A) = 64