Makalah Logaritma Dan Rumus Logaritma.docx 5d6u55

LOGARITMA  PENGERTIAN LOGARITMA Misalnya a adalah bilangan positif (a > 0) dan g adalah bilangan positif yang tidak sama dengan 1 (g > 0 dan g ≠ 1). Logaritma a dengan bilangan pokok g (ditulis: glog a) adalah eksponen yang akan dimiliki oleh a jika bilangan a ini dinyatakan dalam bentuk bilangan berpangkat dengan bilangan pokok g. Ditulis : glog a = x jika dan hanya jika a = gx dari definisi diatas jelas bahwa a = gx dan glog a = x merupakan dua buah hubungan yang ekuivalen atau setara. Ini berarti setiap betuk bilangan berpangkat dapat diubah kebentuk logaritma, dan sebaliknya. Bentuk a = gx dinamakan bentuk eksponen sial dan bentuk glog a = x dinamakan bentuk logaritma. Selain itu beberapa ketentuan yang harus dipahami dalam logaritma diantaranya adalah: Bilangan pokok atau basis logaritma g ditetapkan positif dan tidak sama dengan 1 (g > 0 dan g ≠ 1). Untuk g = 10, biasanya bilangan pokok ini tidak dituliskan, jadi log 5 yang dimaksud adalah 10log 5. Untuk g = e ( e bilangan irasional dengan e ≅ 2.71828. . .), elog a = ln a ( dibaca: logaritma natural dari a ) yaitu logaritma dengan bilangan pokok e. Bilangan yang dicari logaritmanya a disebut numerous, dengan a bernilai positif (a > 0) Hasil logaritma x dapat bernilai positif ,nol, ataupun negatif. Beberapa sifat dasar logaritma : glog gn = n, g log g = 1, dang log 1 = 0 bukti : misal alog m = x dan alog n = y. sehingga, ax = m dan ay = n dengan membagi ax = m dengan ay = n, diperoleh ax-y = m/n ↔ alog m/n = x – y = alog m – alog n [ terbukti ] Logaritma dari suatu bilangan berpangkat sama dengan hasil kali dari pangkat dan bilangan tersebut, yaitu : alogmn= n×alog m bukti : misal alog m = x. artinya ax = m. sehingga, (a^x )^n = mn ↔ anx = mn ↔ alog mn = n × x = n × alog m [ terbukti ] aalog b = b dan 〖a^n〗_(〖log⁡b〗^m ) = m/(n ) alog b

g log a × a log b = g log b  Logaritma adalah kebalikan dari suatu perpangkatan. Jika sebuah perpangkatan ac = b, maka dapat dinyatakan dalam logaritma sebagai: a

log b = c

dengan syarat a > 0 dan

Sumber gambar: careerarn.com Pada penulisan logaritma alog b = c, a disebut bilangan pokok dan b disebut bilangan numerus atau bilangan yang dicari nilai logaritmanya (b > 0) dan c merupakan hasil logaritma. Jika nilai a sama dengan 10, biasanya 10 tidak dituliskan sehingga menjadi log b = c. Jika nilai bilangan pokoknya merupakan bilangan e (bilangan eurel) dengan e = 2,718281828 maka logaritmanya ditulis dengan logaritma natural dan penulisannya dapat disingkat menjadi ln, misalnya elog b = c menjadi: ln b = c

Berikut ini sejumlah contoh logaritma: Perpangkatan

Contoh Logaritma

21 = 2

2

log 2 = 1

20 = 1

2

log 1 = 0

23 = 8

2

log 8 = 3

2-3 = 8

2

9

103 = 1000

log = – 3

log

log 1000 = 3

 FUNGSI LOGARITMA Fungsi logaritma dengan bilangan pokok a ( a> 0 dan a ≠ 1 ) adalah fungsi yang mempunyai bentuk umum : Y = f(x) = a log x Fungsi logaritma y = f(x) = a log x merupakan fungsi invers dari fungsi eksponen y = f(x) = ax.

Beberapa hal yang perlu diperhatikan pada fungsi logaritma y = f(x) = a log x. f(x) = a log x disebut rumus atau aturan bagi fungsi logaritma standar. a adalah bilangan pokok atau basis bagi fungsi f(x) = a log x, dengan ketentuan :a> 0 dan a ≠ 1 (0 < a < 1 atau a > 1). Daerah asal (domain) fungsi f(x) = a log x adalah Df = { x‫ ׀‬x > 0 dan x ϵ R }. Wilayah hasil (range) fungsi f(x) = a log x adalahWf = {y ǀ y ϵ R}.  PERSAMAAN LOGARITMA

Definisi persamaan logaritma Persamaan logaritma adalah persamaan yang numerusnya mengandung variable x dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga mengandung variable x. Dalam pasal-pasal berikut ini akan dibahas beberapa macam bentuk persamaan logaritma disertai cara-cara menentukan penyelesaiannya. Bentuk a log f(x) = a log p

Himpunan penyelesaian dari persamaan logritmaa log f(x) = a log p dapat ditentukan dengan menggunakan sifat berikut. Jika a log f(x) = a log p maka f(x) = p asalkan f(x) > 0 Bentuk a log f(x) = b log f(x) Himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma alog f(x) = b log f(x) (dengan a ≠ b) dapat ditentukan dengan menggunakan sifat berikut. Jika a log f(x) = b log f(x) (dengan a ≠ b) maka f(x) = 1 Bentuk a log f(x) = a log g(x)

Himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma alog f(x) = a log g(x) dapat ditentukan dengan menggunakan sifat berikut. Jika a log f(x) = a log g(x) makaf(x) = g(x) asalkan f(x) dan g(x) keduanya positif

 PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA

Definisi pertidaksamaan logaritma Pertidaksamaan logaritma adalah pertidaksamaan yang numerusnya mengandung variable x dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga mengandung variable x. Penyelesaian dari pertidaksamaan logaritma menggunakan sifat fungsi monoton naik dan sifat monoton turun pada fungsi-fungsi logaritma standar. Sifat-sifat ini sebagai berikut:

Sifat fungsi logaritma monoton naik (a > 1) Jika a log f(x) ≥ a log g(x) maka f(x) ≥ g(x) ; f(x) dan g(x) > 0 Jika a log f(x) ≤ a log g(x) maka f(x) ≤ g(x) ; f(x) dan g(x) > 0

Sifat fungsi logaritma monoton turun (0 < a < 1) Jika a log f(x) ≥ a log g(x) maka f(x) ≤ g(x) ; f(x) dan g(x) > 0 Jika a log f(x) ≤ a log g(x) maka f(x) ≥ g(x) ; f(x) dan g(x) > 0  SOAL-SOAL Misalkan diketahui 2log 3 = a dan 2log 5 = b. Nyatakan 6log 50 dalam a dan b…. Tentukan himpunan penyelesaian dari setiap persamaan eksponen berikut ! 〖10〗^(x^2-1)= √((100)^(x^3-4x^2+6x-1) ) Sederhanakan ! (7∜x + 12) – (8 - 3∜x ) Tentukan himpunan penyelesain berikut ! 2log x1+2log x = 2 Tentunkan himpunan penyelesaiannya 3√((1/27)^(2x-3) )= √243

PENYELESAIAN Diket: (1).................. 2log 3 = a log⁡3/log⁡2 =a log 3 = a x log 2 (2) ..................2log 5 = a log⁡5/log⁡2 =b log 5 = b x log 2 Mengetahui bentuk 6log 50 : (3)................... 6log 50 = log⁡50/(l0g 6)= (log⁡(25x2))/(log⁡(3x2))= (〖log5〗^2+log⁡2)/log⁡〖3+log⁡2 〗 =(2 x log 5+log⁡2)/log⁡〖3+log⁡2 〗

Dengan mensubtitusikan persamaan (1) dan (2) ke persamaan (3), diperoleh 6log 50 =(2 x (b x log⁡〖2)+log⁡2 〗)/((a x l0g 2)+log⁡2 )= ((2b+1)x log⁡2)/((a+1) x log⁡2)= (2b+1)/(a+1) Jadi 6log 50 = (2b+1)/(a+1)

〖10〗^(x^2-1) = √(〖(100)〗^(x^3-〖4x〗^2+6x-1) ) 〖10〗^(x^2-1) =〖10〗^((2(x^3-〖4x〗^2+6x-1))/2) x^2-1 = x^3 - 〖4x〗^2 + 6x – 1 x^3-〖5x〗^2+6x=0 x(x^2-5x + 6) = 0 x(x-2)(x-3) = 0 X = 0 atau x = 2 atau x = 3 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {0, 2, 3} (7∜x+12)-(8-3∜x )=7∜x+12-8+3∜x = (7+3) ∜x

+ (12-8)

= 10∜x +4

2log x1+2log x = 2 (1 + 2log x) 2log x = 2 {2log x}2 + {2log x} – 2 = 0 Misalkan y = 2log x, maka persamaan logaritma menjadi y2 + y – 2 = 0 (y +2)(y-1) = 0 y = - 2 atau y = 1 untuk y = -2 didapat 2log x = -2  x = 2-2 = 1/4 Untuk y = 1 didapat 2log x = 1  x = 21 = 2 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {1/4, 2} 3√((1/27)^(2x-3) ) = √243 3 x 3^((-6x+3)/2) = 3^(5/2) 3^((-6x+3)/2) = 3^(3/2) (-6x+3)/2 = 3/2 -6x + 3 = 3 6x = 0 x=0

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah 0

 SIFAT-SIFAT LOGARITMA

1. Sifat Logaritma dari perkalian Suatu logaritma merupakan hasil penjumlahan dari dua logaritma lain yang nilai kedua numerusnya merupakan faktor dari nilai numerus awal. Berikut modelnya: a

dengan syarat a > 0,

log p.q = alog p + alog q

, p > 0, q > 0.

2. Perkalian Logaritma Suatu logaritma a dapat dikalikan dengan logaritma b jika nilai numerus logaritma a sama dengan nilai bilangan pokok logaritma b. Hasil perkalian tersebut merupakan logaritma baru dengan nilai bilangan pokok sama dengan logaritma a, dan nilai numerus sama dengan logaritma b. Berikut model sifat logaritma nya: a

dengan syarat a > 0,

log b x blog c = alog c

.

3. Sifat Logaritma dari pembagian Suatu logaritma merupakan hasil pengurangan dari dua logaritma lain yang nilai kedua numerusnya merupakan pecahan atau pembagian dari nilai numerus logaritma awal. Berikut modelnya: a

dengan syarat a > 0,

= alog p – alog q

log

, p > 0, q > 0.

4. Sifat Logaritma berbanding terbalik Suatu logaritma berbanding terbalik dengan logaritma lain yang memiliki nilai bilangan pokok dan numerus-nya saling bertukaran. Berikut modelnya: a

dengan syarat a > 0,

log b =

.

5. Logaritma berlawanan tanda Suatu logaritma berlawanan tanda dengan logaritma yang memiliki numerus-nya merupakan pecahan terbalik dari nilai numerus logaritma awal. Berikut modelnya: a

dengan syarat a > 0,

log

= – alog

, p > 0, q > 0.

6. Sifat Logaritma dari perpangkatan Suatu logaritma dengan nilai numerus-nya merupakan suatu eksponen (pangkat) dapat dijadikan logaritma baru dengan mengeluarkan pangkatnya menjadi bilangan pengali. Berikut modelnya : a

dengan syarat a > 0,

,b>0

log bp = p. alog b

7. Perpangkatan Bilangan Pokok Logaritma Suatu logaritma dengan nilai bilangan pokoknya merupakan suatu eksponen (pangkat) dapat dijadikan logaritma baru dengan mengeluarkan pangkatnya menjadi bilangan pembagi. Berikut modelnya:

dengan syarat a > 0,

.

8. Bilangan pokok logaritma sebanding dengan perpangkatan numerus Suatu logaritma dengan nilai numerus-nya merupakan suatu eksponen (pangkat) dari nilai bilangan pokoknya memiliki hasil yang sama dengan nilai pangkat numerus tersebut. Berikut model sifat logaritma nya: a

dengan syarat a > 0 dan

log ap = p

.

9. Perpangkatan logaritma Suatu bilangan yang memiliki pangkat berbentuk logaritma, hasil pangkatnya adalah nilai numerus dari logaritma tersebut. Berikut modelnya:

dengan syarat a > 0,

, m > 0.

10. Mengubah basis logaritma Suatu logaritma dapat dipecah menjadi perbandingan dua logaritma sebagai berikut:

dengan syarat a > 0,

, p > 0, q > 0

DAFTAR PUSTAKA

Wirodikromo.Sartono, Matematika, Erlangga, Jakarta, 2007. Chakrabarti.J, Mathematics1A, Quadra, Jakarta, 2011.

KATA PENGANTAR

Assalamualaikum Wr. Wb Puji syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa yang telah memberikan hidayahnya sehingga kami dapat menyelesaikan makalah ini sebagai bukti bahwa kami telah melaksanakan tugas logaritma. Serta untuk melatih kami membiasakan diri untuk memahami, menambah dan dapat memberikan wawasan yang lebih luas dan menjadi sumbangan pemikiran kepada pembaca. Kami berharap dengan terselesaikannya makalah ini, kami dapat mengetahui lebih dalam mengenai logaritma.

Kami sebagai penulis mohon maaf jika ada kekurangan maupun kesalahan dalam penulisan dan penyusunan makalah ini, kami mengharapkan saran dan kritik demi perbaikan dan penyempurnaan makalah ini. Semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi kita semua. Amiin. Wassalamualaikum Wr. Wb.

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR…………...…………………….....….....………… DAFTAR ISI ………………………...………………............................ BAB I PEMBAHASAN……………………..…………...……......... A. Pengertian Logaritma……........………….........………………… B. Sifat-Sifat Logaritma…………...........…….........………………….. C. Fungsi Logaritma………………………...........…......................... D. Persamaan Logaritma………………….….........……………….. E. Pertidaksamaan Logaritma............................................................. F. Sifat-Sifat Logaritma…………...........…….........…………………. G. Soai Dan Penyelesaian ………………………………………….. DAFTAR PUSTAKA…………………………..……................................