Longitud De Arco 346155

Longitud de arco Al hablar de longitud de arco decimos que es un número sin unidades de medición; está mal si decimos “medida de longitud”, lo correcto sería “longitud”. Consideremos la función 𝑓 continua y derivable en el intervalo cerrado [𝑎, 𝑏]. La curva definida entre 𝐴(𝑎, 𝑓(𝑎)) hasta el punto 𝐵(𝑏, 𝑓(𝑏)) es denominada arco. Se tiene la partición 𝑃 = {𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4 , … , 𝑥𝑛 } del intervalo [𝑎, 𝑏] que define una poligonal formada recta que va desde (𝑥1 , 𝑦1 ) hasta el punto (𝑥2 , 𝑦2 ). Para definir la

distancia

entre

estos

puntos

utilizamos

la

formula

general

√(𝑥1 − 𝑥2 )2 + (𝑦1 − 𝑦2 )2. “Si ‖∆‖ es la norma de la partición ∆, cada ∆𝑖 𝑥 ≤ ‖∆‖”.1 Definimos los segmentos rectilíneos desde 𝑃𝑖−1 (𝑥𝑖−1 , 𝑓(𝑥𝑖−1 )) hasta 𝑃𝑖 (𝑥𝑖 , 𝑓(𝑥𝑖 )), la longitud del iésimo intervalo esta denotado por: 2 2 ̅̅̅̅̅̅̅̅ |𝑃 𝑖−1 𝑃𝑖 | = √(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 ) + (𝑦𝑖 − 𝑦𝑖−1 ) , por lo tanto la sumatoria de las longitudes

̅̅̅̅̅̅̅̅ de los segmentos seria ∑𝑛𝑖=1|𝑃 𝑖−1 𝑃𝑖 | Definición: “Suponga que la función 𝑓 es continua en el intervalo cerrado [𝑎, 𝑏]. Además considere que existe un número 𝐿 que tiene a siguiente propiedad: Para cualquier 𝜖 > 0 existe una 𝛿 > 0 tal que para cada partición ∆ del intervalo ̅̅̅̅̅̅̅̅ [𝑎, 𝑏] es cierto que si ‖∆‖ < 𝛿 entonces |∑𝑛𝑖=1|𝑃 𝑖−1 𝑃𝑖 | − 𝐿| < 𝜖. Entonces se escribe ̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝐿 = lim ∑𝑛𝑖=1|𝑃 𝑖−1 𝑃𝑖 | y 𝐿 se denomina la longitud de arco de la curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) ‖∆‖→0

desde el punto 𝐴(𝑎, 𝑓(𝑎)) hasta el punto 𝐵(𝑏, 𝑓(𝑏)).”2 Teorema 1: “Sea 𝑓: [𝑎, 𝑏] → 𝑅 una función con la derivada continua en [𝑎, 𝑏], entonces la longitud del arco de la curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) desde el punto cuya abscisa es 𝐴 hasta el punto cuya abscisa es 𝐵 es expresado por:”3

1 2

3

Leithold, Louis, “EL CÁLCULO” (Séptima Edición), México, OXFORD, 1998. Pág. 509. Leithold, Louis, “EL CÁLCULO” (Séptima Edición), México, OXFORD, 1998. Pág. 510. Espinoza Ramos, Eduardo, “ANÁLISIS MATEMÁTICO II” (Quinta Edición), Lima – Perú, s/e, 2010. Pág. 489

Longitud de arco

Página 1

𝑏

𝐿 = ∫ √1 + ( 𝑎



∆𝑦 2 ) ∆𝑥 ∆𝑥

Demostración: Consideremos 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 = ∆𝑖 𝑥 y 𝑦𝑖 − 𝑦𝑖−1 = ∆𝑖 𝑦 tenemos: 2 2 ̅̅̅̅̅̅̅̅ |𝑃 𝑖−1 𝑃𝑖 | = √(∆𝑖 𝑥) + (∆𝑖 𝑦)

Como ∆𝑖 𝑥 ≠ 0, entonces: √ ̅̅̅̅̅̅̅̅ |𝑃 𝑖−1 𝑃𝑖 | = 1 + (

∆𝑦 2 ) (∆𝑥) ∆𝑥

Como anteriormente ya teníamos la condición de que la función f es continua en ese intervalo, cumple con la hipótesis del teorema de valor medio de tal modo que: 𝑓(𝑥𝑖 ) − 𝑓(𝑥𝑖−1 ) = 𝑓 ′ (𝑧𝑖 )(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 ) ∆𝑖 𝑦 = 𝑓(𝑥𝑖 ) − 𝑓(𝑥𝑖−1 ) 𝑦 ∆𝑖 𝑥 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 ∆𝑦

De donde tenemos ∆𝑖 𝑥 = 𝑓 ′ (𝑧𝑖 ), donde se tiene: 𝑖

2 ̅̅̅̅̅̅̅̅ |𝑃 𝑖−1 𝑃𝑖 | = √1 + [𝑓′(𝑧𝑖 )] ∆𝑖 𝑥

Como debemos ir sumando cada uno de los intervalos entonces: 𝑛

𝑛

′ 2 ̅̅̅̅̅̅̅̅ ∑|𝑃 𝑖−1 𝑃𝑖 | = ∑ √1 + [𝑓 (𝑧𝑖 )] ∆𝑖 𝑥 𝑖=1

𝑖=1

Si tomamos el límite en los dos mientras ‖∆‖ se aproxime a cero, obtenemos: 𝑛

𝑛

′ 2 ̅̅̅̅̅̅̅̅ lim ∑|𝑃 𝑖−1 𝑃𝑖 | = lim ∑ √1 + [𝑓 (𝑧𝑖 )] ∆𝑖 𝑥

‖∆‖→0

‖∆‖→0

𝑖=1

𝑖=1

Como se condiciono que 𝑓’ sea continua, por consiguiente se tiene el límite de una suma de Riemann, la cual es una integral definida, de esta manera: 𝑛

𝑏

′ 2 ̅̅̅̅̅̅̅̅ lim ∑|𝑃 𝑖−1 𝑃𝑖 | = ∫ √1 + [𝑓 (𝑥)] 𝑑𝑥

‖∆‖→0

Longitud de arco

𝑖=1

𝑎

Página 2

Teorema 2: si la función 𝑔 y su derivada 𝑔’ son continuas en el intervalos cerrado [𝑐, 𝑑], entonces la longitud de arco de la curva 𝑥 = 𝑔(𝑦) a partir del punto (𝑔(𝑐), 𝑐) hasta el punto (𝑔(𝑑), 𝑑) esta dada por: 𝑑

𝐿 = ∫ √1 + [𝑓 ′ (𝑦)]2 𝑑𝑦 𝑐

Función de longitud de arco: “Sea 𝑓 alisada en [𝑎, 𝑏] y 𝑠 la función longitud de arco de la gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥) en [𝑎, 𝑏]. Si 𝑑𝑥 y 𝑑𝑦 son los diferenciales de 𝑥 y 𝑦, entonces:”4 𝑑𝑠 = √1 + [𝑓 ′ (𝑥)]2 𝑑𝑥 𝑦 𝑑𝑠 2 = 𝑑𝑥 2 + 𝑑𝑦 2 Demostración: 𝑥

𝑠 ′ (𝑥) = 𝐷𝑥 [𝑠(𝑥)] = 𝐷𝑥 [∫ √1 + [𝑓 ′ (𝑡)]2 𝑑𝑡] = √1 + [𝑓 ′ (𝑥)]2 𝑎

𝑑𝑠 = 𝑠 ′ (𝑥)𝑑𝑥 = √1 + [𝑓 ′ (𝑥)]2 𝑑𝑥 Para demostrar el segundo ítem, elevamos al cuadrado cada lado y tenemos: (𝑑𝑠)2 = {1 + [𝑓 ′ (𝑥)]2 }(𝑑𝑥)2 = (𝑑𝑥)2 + [𝑓 ′ (𝑥)𝑑𝑥]2 = (𝑑𝑥)2 + (𝑑𝑦)2 Si le damos una interpretación gráfica, nos da una visión más útil e interesante. Sea 𝑦 = 𝑓(𝑥) y sea ∆𝑥 un incremento de 𝑥. Sean ∆𝑦 el cambio en 𝑦 y ∆𝑠 el cambio en la longitud de arco correspondientes a ∆𝑥. Mismo que se detalla en la siguiente imagen, donde notaremos que 𝑑𝑦 es el ascenso o descenso verticales de la tangente cuando la variable independiente cambia de 𝑥 a 𝑥 + ∆𝑥. Puesto que (𝑑𝑠)2 = (𝑑𝑥)2 + (𝑑𝑦)2, 𝑑𝑠 puede considerarse como la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo con lados |𝑑𝑥| y |𝑑𝑦|. Se ve que si ∆𝑥 es pequeño, 4

Swokowski, Earl, “Cálculo con Geometría Analítica (Segunda Edición), México, Grupo Editorial Iberoamérica, 1989. Pág. 308.

Longitud de arco

Página 3

entonces 𝑑𝑠 puede ser una buena aproximación al incremento ∆𝑠 de la longitud de arco.

Fuente: Swokowski, Earl, “Cálculo con Geometría Analítica (Segunda Edición), México, Grupo Editorial Iberoamérica, 1989. Pág. 309.

Longitud de arco

Página 4

Áreas de una superficie de Revolución. Tenemos la función que no es negativa en el intervalo [𝑎, 𝑏]. Si esta función gira alrededor del eje x, se genera una superficie de revolución. Por ejemplo,

si 𝑓(𝑥) =

√𝑟 2 + 𝑥 2 donde supondremos que 𝑟 es una constante positiva, entonces la gráfica de 𝑓 en [– 𝑟, 𝑟] es la mitad superior de la circunferencia 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑟 2, y al girarla en x, tenemos una esfera con radio r cuya superficie tiene un valor de 4𝜋𝑟 2. Analizando el siguiente caso tenemos que: “Sea 𝑓 una función alisada que no es negativa en [𝑎, 𝑏]. Consideremos la gráfica de la función 𝑓 girada en torno al eje x, donde obtenemos una fórmula para el área 𝑆 de esta superficie. Para ello, sea 𝐴 una partición de [𝑎, 𝑏] determinada por 𝑎 = 𝑥0 , 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 = 𝑏 y, para cada 𝑖, sea 𝑃𝑖 el punto (𝑥𝑖 , 𝑓(𝑥𝑖 )). Si la norma ‖∆‖ tiende a cero, entonces la línea poligonal 𝑙𝑃 que se tiene al unir 𝑃𝑖−1 con 𝑃𝑖 para cada 𝑖, se aproxima a la gráfica de 𝑓; entonces el área de la superficie generada ̅̅̅̅̅̅̅̅ por 𝑙𝑃 debe tender a 𝑆. Este segmento |𝑃 𝑖−1 𝑃𝑖 | generan un cono truncado con radios de las bases 𝑓(𝑥𝑖−1 ) y 𝑓(𝑥𝑖 ) y la longitud de generatriz 𝑑(𝑃𝑖−1 , 𝑃𝑖 ). Si tenemos que: Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑜 𝑡𝑟𝑢𝑛𝑐𝑎𝑑𝑜 = 2𝜋(𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜)(𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑡𝑟𝑢𝑛𝑐𝑎𝑑𝑜)

Y esto asociado a lo anteriormente expuesto, obtenemos que el área de la superficie de la función 𝑓 es: 2𝜋

𝑓(𝑥𝑖−1 ) + 𝑓(𝑥𝑖 ) 𝑑(𝑃𝑖−1 , 𝑃𝑖 ) 2

Áreas de una superficie de revolución.

Página 5

Realizando una sumatoria para 𝑖 = 1 hasta 𝑖 = 𝑛, conseguimos el área 𝑆𝑃 de la superficie generada por la poligonal 𝑙𝑃 . Si remplazamos 𝑑(𝑃𝑖−1 , 𝑃𝑖 ) por el concepto que ya tenemos de longitud de arco; entonces se tiene: 𝑆𝑃 = 2𝜋

𝑓(𝑥𝑖−1 ) + 𝑓(𝑥𝑖 ) √1 + [𝑓 ′ (𝑥𝑖 )]2 ∆𝑖 𝑥 2

Donde 𝑥𝑖−1 < 𝑤𝑖 < 𝑥𝑖 . El área S de la superficie de revolución se define como: 𝑆 = lim 𝑆𝑃 . Haciendo este límite mostraremos su equivalente así:

‖∆‖→0

𝑏

𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑥) √1 + [𝑓 ′ (𝑥)]2 𝑑𝑥 2

∫ 2𝜋 𝑎

O también 𝑏

∫ 2𝜋𝑓(𝑥)√1 + [𝑓 ′ (𝑥)]2 𝑑𝑥 𝑎

Definición: “Si 𝑓 es alisada y no es negativa en [𝑎, 𝑏], entonces el área 𝑆 de la superficie generada al girar la gráfica de 𝑓 alrededor del eje x es “5 𝑏

𝑆 = ∫ 2𝜋𝑓(𝑥)√1 + [𝑓 ′ (𝑥)]2 𝑑𝑥 𝑎

Observaciones: 1. Si 𝑓 es negativa para algún 𝑥 en [𝑎, 𝑏] entonces, para calcular el área de la superficie 𝑆, puede usarse la siguiente generalización 𝑏

𝑆 = ∫ 2𝜋|𝑓(𝑥)|√1 + [𝑓 ′ (𝑥)]2 𝑑𝑥 𝑎

2. Si la curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) se hace rotar alrededor de la recta 𝑦 = 𝑐 se obtiene una superficie de revolución, cuya área es expresado por la fórmula:

5

Swokowski, Earl, “Cálculo con Geometría Analítica (Segunda Edición), México, Grupo Editorial Iberoamérica, 1989. Pág. 311.

Áreas de una superficie de revolución.

Página 6

𝑏

𝑆 = ∫ 2𝜋|𝑓(𝑥) − 𝑐|√1 + [𝑓 ′ (𝑥)]2 𝑑𝑥 𝑎

3. Si la ecuación del arco de una curva está dado por la ecuación 𝑥 = 𝑔(𝑦), ∀𝑦 ∈ [𝑐, 𝑑] en donde g es una función con derivada continua en [𝑐, 𝑑] entonces el área de la superficie engendrada por la rotación alrededor del eje Y del arco de la curva 𝑥 = 𝑔(𝑦) entre los pundos 𝑦 = 𝑐, 𝑦 = 𝑑 es expresado por la fórmula: 𝑏

𝑆 = ∫ 2𝜋𝑓(𝑦)√1 + [𝑓 ′ (𝑥)]2 𝑑𝑦 𝑎

4. Si la curva 𝑥 = 𝑔(𝑦) se hace girar alrededor de la recta 𝑥 = 𝑘, el área de la superficie de revolución esta expresada por la fórmula: 𝑏

𝑆 = ∫ 2𝜋|𝑓(𝑦) − 𝑐|√1 + [𝑓 ′ (𝑥)]2 𝑑𝑦 𝑎

Áreas de una superficie de revolución.

Página 7

Página 8

Bibliografía 

Leithold, Louis, “EL CÁLCULO” (Séptima Edición), México, OXFORD, 1998.



Espinoza Ramos, Eduardo, “ANÁLISIS MATEMÁTICO II” (Quinta Edición), Lima – Perú, s/e, 2010.



Swokowski, Earl, “Cálculo con Geometría Analítica (Segunda Edición), México, Grupo Editorial Iberoamérica, 1989.



http://ed21.webcindario.com/CalculoIntegral/longitud_de_arco_de_la_grafic a_de_una_funcion.htm



http://www.inetor.com/definidas/integral_longitud.html



http://www.matap.uma.es/~garvin/05Ca07/node3.html



http://www.slideshare.net/WARRIOR2278/area-de-una-superficie-de-revo lucion

Página 13