Lezioni Di Meccanica Razionale A 1b652

<+1, ¡1 <+1 : ogni configurazione è di tipo interno. ii) punto vincolato a muoversi all’interno di una stanza, 0 · x · a, 0 · y · b, 0 · z · c : ogni configurazione relativa alle pareti è di confine, tutte le altre sono interne. Nota bene La scelta di particolari sistemi di coordinate può portare a configurazioni per le quali il valore di qualche coordinata è estremale senza che la configurazione sia di confine. Un esempio in cui si può banalmente incorrere in errore si ha quando si utilizza un angolo θ per descrivere una rotazione, senza che alcun vincolo fisico ponga delle limitazioni. 80

Chiaramente, se si assume θ variabile tra 0 e 2π, θ = 0 e θ = 2π non sono configurazioni di confine. Per ovviare a questo inconveniente è sufficiente considerare θ variabile tra ¡1 e +1 (anche se in questo modo si perde la biunivocità della corrispondenza fra configurazioni del sistema e valori del parametro θ).

4.10 Forze attive Definizione

Una forza (P, F ) si dice attiva se il suo vettore F è noto in funzione di

x, y, z, x, ˙ y, ˙ z, ˙ t, essendo x, y, z le coordinate di P . Le forze attive possono essere distinte in due tipi: a) le forze dovute a corpi, quali le forze Newtoniane, elettriche, elastiche, etc.; b) le forze dovute al sistema di riferimento, quali le forze di trascinamento e di Coriolis. Per quanto concerne le forze dovute a corpi sottolineiamo il fatto che sono forze assolute, cioè forze che non dipendono dall’osservatore. Le altre, invece, variano a seconda dell’osservatore e sono collegate ovviamente alle accelerazioni che intervengono nel moto relativo rispetto ad un osservatore assoluto inerziale. Nota bene

Il vettore F = F (x, y, z, x, ˙ y, ˙ z, ˙ t) di una forza attiva (P, F ) deve essere noto

in funzione di x, y, z, x, ˙ y, ˙ z. ˙ Ciò non significa affatto che questi parametri siano noti in funzione del tempo ! Se cos`ı fosse il moto di P sarebbe già noto, mentre il nostro problema è proprio quello di determinarlo ! Le forze attive dovute all’azione di altri corpi possono essere distinte in interne ed esterne a seconda che siano dovute a punti materiali facenti parte del sistema materiale considerato oppure no. Nel caso di forze interne vale ovviamente il Principio di azione e reazione. Su ogni punto Ps di un sistema meccanico si possono dunque pensare applicate una forza attiva interna (Ps , F is ) ed una esterna (Ps , F es ). Volendo, nel caso in cui intervengono anche forze non assolute dovute ad un sistema di riferimento non inerziale, queste si possono includere fra le forze attive esterne. In realtà su ciascun punto Ps agiscono in generale pi` u forze interne e pi` u forze esterne. Ovviamente, (Ps , F es ) è la risultante delle forze esterne, (Ps , F is ) è la risultante di quelle interne.

4.11 Reazioni vincolari Le reazioni vincolari, differentemente dalle forze attive, sono forze pi` u o meno incognite, dovute ai vincoli, la cui natura è sancita dal postulato che segue.

81

Postulato delle reazioni vincolari

Un sistema meccanico comunque vincolato può essere

reso libero, senza alterarne lo stato di quiete o di moto, sopprimendo i vincoli e sostituendo ad essi “opportune forze” dette reazioni vincolari. L’azione di un vincolo può essere rappresentata o da una singola reazione o da un sistema di pi` u reazioni. Nella maggior parte dei casi, tuttavia, è sufficiente considerare una sola reazione il cui punto di applicazione coincide col punto su cui il vincolo agisce. Definizione

Un vincolo si dice liscio o senza attrito se la sua azione è rappresentata da un’u-

nica reazione vincolare (P, Φ) avente la direzione di uno spostamento totalmente proibito e verso opposto. Altrimenti il vincolo è detto scabro o con attrito. Spesso, anziché coinvolgere gli spostamenti totalmente proibiti, si dice pi` u semplicemente che un vincolo è liscio quando esplica un’unica reazione normale al vincolo stesso. Vediamo ora alcuni esempi di vincoli lisci: - punto vincolato ad un piano liscio : Φ = Φn

(n versore normale al piano);

- punto appoggiato ad un piano liscio : Φ = Φn ,

Φ¸0

(n versore normale al piano,

diretto nel verso in cui può avvenire il distacco); - punto vincolato ad una curva liscia : Φ = Φn n + Φb b

(n e b versori lungo la normale

principale e la binormale). L’attrito si manifesta quando un punto materiale, muovendosi (o tentando di muoversi) su un altro corpo, ne modifica lievemente la superficie (che guardata al microscopio non è poi cos`ı liscia come sembra), generando forze non solo normali alla superficie ma anche tangenti. Nella realtà i vincoli sono tutti pi` u o meno scabri, per cui i vincoli lisci rappresentano essenzialmente delle situazioni ideali. In molti problemi, tuttavia, le superfici sono abbastanza levigate, per cui si può assumere che il vincolo sia liscio. Limitandoci a questo caso, (il problema dell’attrito sarà ripreso e trattato in maniera pi` u ampia in seguito) e ricordando la definizione di vincolo liscio, si possono fare le seguenti considerazioni circa il vettore Φ della reazione vincolare. Pur rimanendo il suo modulo in ogni caso incognito, ne conosciamo: - la direzione, se vi sono solo due spostamenti totalmente proibiti uno opposto all’altro; - la direzione ed il verso, quando c’è un unico spostamento totalmente proibito. Come nel caso delle forze attive, anche le reazioni vincolari possono distinguersi in interne ed esterne, e ciò a seconda che il vincolo è di tipo interno od esterno. Di conseguenza, su ogni punto Ps di un sistema meccanico, oltre alle forze attive interna (Ps , F is ) ed esterna (Ps , F es ), potremo sempre pensare che ci siano le reazioni vincolari interna (Ps , Φis ) ed esterna (Ps , Φes ). 82

4.12 Vettori caratteristici di un sistema di forze Su ogni sistema meccanico agiscono sempre delle forze, in generale sia forze attive che reazioni vincolari. Consideriamo per il momento delle forze generiche, senza specificarne la natura, ed andiamo ad introdurre alcune nozioni che ci torneranno poi utili in seguito. Al momento in cui queste nozioni saranno utilizzate, potremo facilmente circoscriverci o alle sole forze attive o alle sole reazioni vincolari o ad un qualunque altro insieme di forze. Consideriamo dunque un generico sistema di forze agenti sul sistema meccanico; lo indicheremo enumerando le forze: (As , F s ), s = 1, . . . , N . Ovviamente, pi` u forze possono avere lo stesso punto di applicazione, per cui i punti As , che naturalmente sono punti del sistema meccanico, non sono necessariamente distinti. Un sistema di forze (As , F s ), s = 1, . . . , N , è caratterizzato dai due vettori seguenti : a) il vettore R somma dei vettori delle forze, R=

N

F s,

(4.13)

s=1

che chiamiamo vettore risultante o pi` u semplicemente il risultante, e b) il vettore Ω(O) =

N

Ωs (O) =

s=1

N

F s £ (O ¡ As ),

s=1

che chiamiamo momento risultante del sistema di forze rispetto al polo O. Si noti che il vettore Ωs (O) = F s £ (O ¡ As ) , cioè il momento della singola forza (As , F s ), è ortogonale al piano individuato dal polo O e da (As , F s ). Il suo modulo vale Fs jO ¡ As j sin αs = Fs rs , dove rs è la distanza di O dalla linea d’azione della forza. Qualche volta la distanza rs è detta braccio della forza rispetto ad O. Ovviamente, se F s 6 = 0, Ωs (O) è nullo se e solo se O appartiene alla retta (As , F s ). In particolare, Ω(As ) = 0. Nota bene: R e Ω(O) sono vettori liberi (cioè non applicati) !

83

(4.14)

Proprietà dei vettori caratteristici a) In generale il momento risultante di un sistema di forze dipende dal polo. Vediamo la relazione che intercorre fra Ω(O) ed Ω(O1 ). Si ha: Ω(O1 ) =

N

F s £ (O1 ¡ As ) =

s=1

=

N

N

F s £ [(O1 ¡ O) + (O ¡ As )] =

s=1

F s £ (O ¡ As ) +

s=1

N

F s £ (O1 ¡ O) = Ω(O) +

s=1

N s=1

F s £ (O1 ¡ O) ,

ossia Ω(O1 ) = Ω(O) + R £ (O1 ¡ O). b) Teorema

(4.15)

C.N.S. affinché il momento risultante di un sistema di forze sia indipendente

dal polo è che sia R = 0. C.N.

Se il momento risultante è indipendente dal polo, si ha Ω(O) = Ω(O1 ), qualunque

siano O ed O1 . Dalla relazione (4.15) segue R £ (O1 ¡ O) = 0 per qualunque O ed O1 . Ciò implica R = 0. C.S.

Se R = 0, la tesi segue in modo ovvio dalla (4.15).

Nel seguito la scrittura di un momento senza l’indicazione del polo, ne implicherà automaticamente l’indipendenza. Introduciamo infine le nozioni di invariante e di momento assiale. Si chiama invariante del sistema di forze (As , F s ), s = 1, . . . , N , la grandezza scalare I = R ¢ Ω(O) .

(4.16)

Il nome è giustificato dal fatto che questa grandezza non dipende dal polo rispetto al quale è calcolato il momento risultante. Infatti, considerato un secondo polo O1 ed utilizzando la (4.15), si ha R ¢ Ω(O1 ) = R ¢ Ω(O) + R £ (O1 ¡ O) = R ¢ Ω(O) + R ¢ R £ (O1 ¡ O) = R ¢ Ω(O) . Si chiama momento assiale del sistema di forze (As , F s ), s = 1, . . . , N , rispetto alla retta (O, r), r versore, la grandezza scalare Ωr = Ω(O) ¢ r =

N s=1

84

F s £ (O ¡ As ) ¢ r.

Tale grandezza dipende dalla retta, ma non dal punto O. Infatti, qualunque sia O1 2 (O, r), per cui r k (O1 ¡ O) , si ha: Ωr (O1 ) = Ω(O1 ) ¢ r = Ω(O) + R £ (O1 ¡ O) ¢ r = Ω(O) ¢ r + R £ (O1 ¡ O) ¢ r = = Ω(O) ¢ r = Ωr (O).

4.13 Sistemi equivalenti di forze Diamo ora una definizione il cui significato fisico apparirà chiaro nel seguito del corso. Definizione

′

Due sistemi di forze S : (As , F s ), s = 1, . . . , N , e S ′ : (A′ s , F s ), s = 1, . . . , N ′

si dicono equivalenti se R=R Teorema

′

′

e

Ω(O) = Ω (O).

C.N.S. affinché due sistemi di forze siano equivalenti è che essi abbiano lo

stesso momento risultante qualunque sia il polo. In virt` u della (4.15), qualunque siano i punti O ed O1 , valgono le seguenti relazioni: Ω(O1 ) = Ω(O) + R £ (O1 ¡ O) Ω′ (O1 ) = Ω′ (O) + R′ £ (O1 ¡ O) C.N.

(4.17)

Hp.: i due sistemi di forze sono equivalenti. Th.: i due momenti sono gli stessi per

qualunque altro polo O1 . Ciò è evidente dalle relazioni (4.17): l’uguaglianza dei secondi membri comporta anche quella dei primi. ′

C.S.

Hp.: Ω(O) = Ω (O) qualunque sia O. Th.: i due sistemi sono equivalenti, cioè ′

R = R . L’ipotesi e le (4.17) comportano ′

R £ (O1 ¡ O) = R £ (O1 ¡ O)

=)

da cui consegue, per l’arbitrarietà di (O1 ¡ O), la tesi.

85

′

(R ¡ R ) £ (O1 ¡ O) = 0,

4.14 Sistemi elementari di forze Si definiscono i seguenti sistemi elementari di forze: a) sistema nullo, quando non c’è nessuna forza. Ovviamente R = 0,

Ω = 0,

I = 0.

b) una forza (A, F ), per cui R = F,

Ω(A) = 0,

I = 0.

c) una coppia (A, F ), (B, ¡F ), con F non parallelo a (B—A), per cui R = 0,

Ω = F £ (B ¡ A) 6 = 0,

I = 0.

Si chiama braccio della coppia la distanza fra le linee d’azione delle due forze. Osserviamo che l’ipotesi fatta di non parallelismo tra F e (B—A) implica un braccio non nullo. Osserviamo anche che, essendo R = 0, il momento di una coppia non dipende dal polo. d) una forza (A, F ) ed una coppia (B, F 1 ), (C, ¡F 1 ), di braccio non nullo, con F parallelo al momento della coppia Ω = F 1 £ (C ¡ B). Chiaramente: R = F,

Ω(A) = Ω,

I6 = 0.

Osserviamo che la definizione di sistemi elementari di forze è del tutto analoga a quella di stati cinetici elementari introdotta in cinematica. 4.15 Teorema di equivalenza sui sistemi di forze Teorema

Un qualunque sistema di forze è equivalente ad un sistema elementare di forze.

Dimostrazione

Considerato un sistema di forze S : (As , F s ), s = 1, . . . , N , siano R ed

Ω(O) i suoi vettori caratteristici, con il polo O arbitrariamente scelto. Distinguiamo due casi: a) I = 0; b) I 6 = 0. Caso a). Sono possibili quattro sottocasi. a1 ) R = 0,

Ω = 0 : il sistema S è equivalente al sistema nullo.

a2 ) R = 0,

Ω 6 = 0 : il sistema S è equivalente ad una qualunque coppia di forze di

momento Ω. 86

a3 ) R 6 = 0,

Ω(O) = 0 : il sistema S è equivalente ad una forza (A, R), con A punto

qualunque della retta (O, R). Tale retta, che rappresenta il luogo dei punti dello spazio rispetto ai quali il momento risultante è nullo, si chiama asse centrale del sistema di forze. a4 ) R 6 = 0,

Ω(O) 6 = 0,

R ? Ω(O): se avessimo un polo O1 tale che Ω(O1 ) = 0,

ricadremmo nel caso precedente. Facciamo vedere che un tale O1 esiste. Essendo Ω(O1 ) = Ω(O) + R £ (O1 ¡ O) , perché Ω(O1 ) sia nullo, O1 dovrà essere soluzione dell’equazione Ω(O) = R £ (O ¡ O1 ) .

(4.18).

Essendo R ? Ω(O), si tratta di un problema di divisione vettoriale (x1.7) che ammette infinite soluzioni: tutti i punti di una certa retta parallela a R. Si può dunque affermare che il sistema S è equivalente ad una forza (A, R), con A punto qualunque della retta (O1 , R) formata dai punti O1 soluzione dell’equazione (4.18). = 0, Ω(O) 6 = 0, con i due vettori non ortogonali. Sono Caso b). Ora I 6 = 0, per cui R 6 dunque possibili due sottocasi. b1 ) R k Ω(O) : il sistema S è equivalente ad una forza (A, R), con A punto qualunque della retta (O, R), ed una qualunque coppia di momento Ω(O). Anche in questo caso la retta (O, R) è detta asse centrale del sistema di forze. b2 ) R ed Ω(O) sono obliqui, per cui, scomponendo Ω(O) lungo le direzioni rispettivamente parallela e perpendicolare a R, si può scrivere Ω(O) = Ω (O) + Ω⊥ (O) . Osserviamo che se avessimo un polo O1 tale che Ω(O1 ) = Ω (O) ci troveremmo nelle stesse condizioni del punto b1 ). Perchè un siffato O1 esista deve essere Ω(O1 ) = Ω(O) + R £ (O1 ¡ O) = Ω (O) + Ω⊥ (O) + R £ (O1 ¡ O) = Ω (O) ovvero Ω⊥ (O) + R £ (O1 ¡ O) = 0

o, equivalentemente,

Ω⊥ (O) = R £ (O ¡ O1 ) .

Essendo Ω⊥ (O) perpendicolare ad R, esistono infiniti punti O1 che soddisfano questa condizione. Scelto un tale O1 , si può dunque affermare che il sistema S è equivalente ad una forza (A, R), con A punto qualunque della retta (O1 , R) ed una qualunque coppia di momento Ω (O). La retta (O1 , R) è l’asse centrale del sistema di forze. Si impongono ora alcune osservazioni. a) La prima osservazione riguarda il fatto che spesso, impropriamente, si parla di un sistema nullo anzichè di un sistema equivalente ad un sistema nullo. A tale proposito 87

anticipiamo fin d’ora che, mentre questa distinzione non è rilevante quando il sistema di forze è applicato ad un corpo rigido, lo è invece nel caso di un corpo deformabile. b) Il pi` u semplice sistema equivalente ad un sistema nullo è una coppia di braccio nullo. Esempio significativo: la coppia di forze che due punti materiali esercitano l’uno sull’altro in virt` u del principio di azione e reazione. c) L’asse centrale è definito quando il sistema di forze è equivalente ad una sola forza e quando è equivalente ad una forza ed una coppia. Nel primo caso l’asse centrale è il luogo dei punti rispetto ai quali il momento risultante è nullo; nel secondo caso è il luogo dei punti rispetto ai quali Ω è parallelo ad R. Ebbene, poiché in entrambi i casi un polo non appartenente all’asse centrale comporta una componente di Ω ortogonale all’asse medesimo, è chiaro che l’asse centrale è il luogo dei punti dello spazio rispetto ai quali il modulo del momento risultante del sistema di forze è minimo. Nel caso di equivalenza ad una forza ed una coppia il momentorispetto adun punto P dell’asse centrale vale R R I Ω(P ) = Ω(O) ¢ = 2R. jRj jRj R d) L’invariante I di un sistema di forze complanari è sempre nullo. Infatti, se Π è il piano delle forze, R è parallelo a tale piano, mentre Ω(O), con O 2 Π, è ortogonale a Π. Se poi R6 = 0, il sistema è equivalente ad una forza con asse centrale che sta, come le forze, su Π. e) L’ultima osservazione concerne la possibilità di formulare i tre corollari che seguono: Corollario 1 :

C.N.S. affinché un sistema di forze sia equivalente ad una forza ed una

coppia è che si abbia I 6 = 0. Corollario 2 :

C.N.S. affinché un sistema di forze sia equivalente ad una sola forza è che

si abbia I = 0, R 6 = 0. Corollario 3 :

C.N.S. affinché un sistema di forze sia equivalente ad una coppia è che si

abbia R = 0, Ω 6 = 0. Infine, una considerazione molto importante. Nel caso in cui il sistema è equivalente ad una forza, e solo in questo caso, ha senso parlare di forza risultante o, pi` u semplicemente, della risultante, intendendo con ciò una forza equivalente al sistema. Sottolineiamo la differenza tra il risultante e la risultante: il primo, cioè il vettore risultante, è un vettore libero ed esiste sempre; la seconda, ossia la forza risultante, esiste solo nel caso di sistemi particolari (Corollario 2), il pi` u semplice dei quali è quello in cui tutte le forze hanno lo stesso punto di applicazione A. Ovviamente in questo caso A costituisce il punto d’applicazione “naturale” della risultante, come assunto nella definizione di forza risultante data nel x4.1.

88

4.16 Operazioni elementari sulle forze Con le forze si possono compiere tre operazioni elementari che trasformano il sistema di forze dato in un sistema equivalente. a) Composizione di due o pi` u forze applicate allo stesso punto. Tale operazione consiste M nel sostituire al sistema di forze (A, F s ), s = 1, ..., M , la risultante (A, F = F s ). s=1

b) Scomposizione di una forza in due o pi` u forze con lo stesso punto d’applicazione ed aventi direzioni assegnate as . Tale operazione consiste nel sostituire alla forza (A, F ) il sistema di forze (A, F s = Fs as ), s = 1, ..., M , con s Fs as = F .

c) Scorrimento di un forza lungo la sua retta d’azione. Questa operazione consiste nel sostituire alla forza (A, F ) la forza (A′ , F ), con A′ punto qualunque della retta (A, F ). Teorema

Le operazioni elementari trasformano un sistema di forze in un sistema equi-

valente. La facile dimostrazione è lasciata per esercizio. Dimostriamo invece l’importante teorema che segue: Teorema

Un sistema di N forze qualunque si può sempre ridurre, mediante operazioni

elementari, ad un sistema di due forze. Dimostriamo il teorema per N = 3. Siano (As , F s ), s = 1, 2, 3, le tre forze in questione che, volendo stare nel caso generale, supponiamo sghembe. Sia r la retta inter sezione del piano A1 , (A2 , F 2 ) col piano A1 , (A3 , F 3 ) . Sia A un qualunque punto

di r. Scomponiamo la forza (A2 , F 2 ) lungo le rette A2 A1 e A2 A: otterremo due nuove ′

′′

forze (A2 , F 2 ) e (A2 , F 2 ). Analogamente scomponiamo la forza (A3 , F 3 ) lungo le rette A3 A1 e A3 A ottenendo le ′

′′

due nuove forze (A3 , F 3 ) e (A3 , F 3 ). A questo punto facciamo scorrere ciacuna di queste ′

′

quattro forze lungo la propria linea d’azione in modo da portare i vettori F 2 ed F 3 in A1 e ′′

′′

′

′

F 2 ed F 3 in A. Eseguite queste operazioni ci sono tre forze di vettori F 1 , F 2 , F 3 applicate ′′

′′

in A1 e due forze di vettori F 2 e F 3 applicate in A. Componendo le prime tre ottengo la ′

′

′′

′′

forza (A1 , F 1 + F 2 + F 3 ), mentre componendo le altre due si ha (A, F 2 + F 3 ). Dunque il sistema di tre forze è stato trasformato in un sistema equivalente di due forze. 89

Ovviamente, se il sistema è costituito di N > 3 forze, se ne prendono tre e ci si riduce ad N ¡ 1 forze, poi se ne prendono ancora tre e ci si riduce ad N ¡ 2, e cos`ı via fino a che non ci si riduce a due soltanto. Se le tre forze sono parallele, la dimostrazione è ancora valida prendendo come retta r la linea d’azione di (A1 , F 1 ). Se delle tre forze due sono complanari ed incidenti, mediante scorrimento queste due si riducono immediatamente ad una sola forza, per cui il teorema è subito provato. Se tutte le forze sono complanari, il sistema si riduce ad una sola forza (caso generale) o ad una coppia (caso particolare). 4.17 Sistemi di forze interne In base a quanto detto in precedenza, le forze che agiscono su un sistema meccanico possono essere distinte in forze attive e in reazioni vincolari. A loro volta, sia le une che le altre, possono essere distinte in interne ed esterne. Dunque, su qualunque sistema meccanico, si può sempre ritenere che agiscano quattro sistemi di forze: i sistemi delle forze attive esterne (As , F es ), s = 1, . . . , N , delle forze attive interne (Bs , F is ), s = 1, . . . , M , delle reazioni vincolari esterne (Cs , Φes ), s = 1, . . . , N ′ , e delle reazioni vincolari interne (Ds , Φis ), s = 1, . . . , M ′ . Essendo le forze interne dovute soltanto all’azione di punti appartenenti al sistema meccanico in questione, per il III principio della Meccanica (principio di azione e reazione) esse compaiono sempre a coppie di braccio nullo. Pi` u precisamente, se (Br , F s→r ) è la forza attiva che agisce sul punto Br dovuta a Bs , allora c’è anche la forza (Bs , F r→s ) dovuta a Br . Queste due forze costituiscono una coppia di braccio nullo e di conseguenza, oltre ad avere risultante nullo, hanno anche momento risultante nullo. Ne consegue che Ri =

M

F is =

s=1

Ωi (O) =

M M

F r→s = 0 ,

s=1 r=1 r =s

M s=1

F is £ (O ¡ Bs ) =

M M

F r→s £ (O ¡ Bs ) = 0 .

s=1 r=1 r =s

Vale dunque il seguente Teorema

Il sistema delle forze attive interne (Bs , F is ), s = 1, . . . , M , è equivalente al

sistema nullo.

90

Un analogo teorema vale ovviamente anche per le reazioni vincolari: Teorema

Il sistema delle reazioni vincolari interne (Ds , Φis ), s = 1, . . . , M ′ , è equivalente

al sistema nullo. 4.18 Sistemi di forze parallele Consideriamo ora il caso particolare di un sistema di forze tutte parallele. Indicato con a un versore con la direzione delle forze, il sistema in questione può essere scritto nel modo seguente: (As , Fs a), s = 1, ..., N . Ovviamente lo scalare Fs , che rappresenta la componente del vettore F s lungo a, è positivo o negativo a seconda che F s è concorde o discorde con a. Se gli Fs hanno tutti lo stesso segno, le forze sono tutte concordi. Teorema

L’invariante di un sistema di forze parallele è nullo.

Infatti, essendo R=

N

Fs =

s=1

Ω(O) =

N

Fs a =

s=1

N

N s=1

F s £ (O ¡ As ) =

s=1

Fs a = Ra,

N

Fs a £ (O ¡ As ) = a £

s=1

N

Fs (O ¡ As ),

s=1

ne consegue I = R ¢ Ω(O) = Ra ¢ a £

N

Fs (O ¡ As ) = 0 .

s=1

Questo teorema implica dunque che un sistema di forze parallele non è mai equivalente ad una forza ed una coppia. In particolare implica che un sistema di forze parallele con R6 = 0 è sempre equivalente ad una sola forza, in altre parole ammette la risultante. In questo caso vale l’importante Teorema

Per ogni sistema di forze parallele con R 6 = 0 esiste, ed è unico, un punto C

dell’asse centrale che è indipendente dalla direzione a delle forze. Tale punto, che si chiama centro delle forze parallele, è dato da C ¡O =

N

Fs (As ¡ O) . N s=1 Fs

s=1

(4.19)

Dunque, un qualunque sistema di forze parallele con R 6 = 0 ammette sempre il centro delle forze parallele, vale a dire un punto C, indipendente dalla direzione delle forze, in cui si pu` o applicare la risultante. L’indipendenza di C da a comporta la sua invarianza 91

rispetto ad una qualunque rotazione delle forze, lasciandone fermi i punti d’applicazione e invariate le intensità. Assunto un sistema di coordinate cartesiane Oxyz, indicate con (xs , ys , zs ) le coordinate di As e con (xC , yC , zC ) quelle del centro C, la relazione (4.19) proiettata sugli assi fornisce le coordinate cartesiane di C: N Fs xs xC = s=1 , N s=1 Fs

yC =

N

s=1 Fs ys , N s=1 Fs

N

zC = s=1 N

Fs zs

s=1

Fs

.

(4.20)

` immediato verificare che se tutti i punti d’applicazione delle forze stanno su una retta, E anche C sta sulla retta. Analogamente, se tutti i punti As stanno in un piano, anche C sta nel piano. Consideriamo a titolo di esempio il pi` u semplice sistema di forze parallele: quello costituito = 0. Assunto come di due sole forze. Siano (A1 , F1 a) e (A2 , F2 a) le due forze, con F1 + F2 6 asse Ox la retta congiungente i punti A1 ed A2 , essendo A1 ´ (x1 , 0, 0) e A2 ´ (x2 , 0, 0), le (4.20) forniscono immediatamente yC = zC = 0, per cui C sta sulla congiungente A1 con A2 . Inoltre xC =

F1 x1 + F2 x2 F1 + F2

=)

F1 (xC ¡ x1 ) = ¡F2 (xC ¡ x2 ).

Ciò significa che C è interno al segmento A1 A2 se le due forze sono concordi, esterno se sono discordi (dalla parte della forza di modulo maggiore). Inoltre, in ogni caso, le distanze di C dai punti A1 ed A2 sono inversamente proporzionali a jF1 j e jF2 j.

4.19 Forza peso Definizione

Si chiama peso del punto materiale (P, m) la forza che occorre equilibrare

perché il punto sia in equilibrio rispetto ad un osservatore solidale con la terra. La forza peso, che indichiamo con (P, p), è la risultante delle forze dovute all’attrazione Newtoniana ed ai moti della terra. Essa risulta principalmente dalla composizione di due forze: la forza d’attrazione esercitata dalla terra e la forza centrifuga (che sarà definita pi` u avanti) dovuta alla rotazione uniforme della terra attorno al proprio asse. Pi` u precisamente, indicati rispettivamente con n e N i versori radiali e normali all’asse terrestre 92

orientati come in figura, si ha p ' G

mM n ¡ mρ cos ϕω2 N , ρ2

(4.21)

dove G è la costante di gravitazione universale, ρ è la distanza di P dal centro della terra, M la massa della terra, ϕ è la latitudine di P e ω è la velocità angolare della terra. Poichè la forza Newtoniana è diretta verso il centro della terra e la forza centrifuga è normale all’asse, ne consegue che, eccetto che all’equatore e ai poli, la forza peso non a per il centro della terra (anche se vi a molto vicino). Nel seguito il vettore p della forza peso agente su (P, m) sarà scritto come p = mg = ¡mgk ,

(4.22)

dove g, che è detta accelerazione di gravità, è indipendente da m e variabile con la latitudine e con l’altezza (rispetto al livello del mare). Il versore k, che definisce punto per punto la direzione verticale (direzione del filo a piombo), e quindi il piano orizzontale, è il versore verticale ascendente. Osserviamo che in un problema ha senso parlare di “verticale” solo se tra le forze che agiscono sul sistema ci sono anche le forze peso. Consideriamo ora un sistema di N punti materiali (Ps , ms ). Ad esso sarà associato il sistema delle forze peso (Ps , ps = ms g s ), s = 1, ..., N . Supponendo che le distanze fra i punti Ps siano molto piccole rispetto al raggio terrestre, come è ragionevole supporre per ogni sistema meccanico con cui abbiamo a che fare, si può assumere ps = ms g = ¡ms gk. Dunque, il sistema delle forze peso applicate ad un sistema meccanico può considerarsi un sistema di forze parallele. Essendo queste equiverse si ha R 6 = 0, e quindi il sistema delle forze peso è equivalente ad una sola forza (A, ¡M gk), dove A è un punto qualunque N dell’asse centrale, M = s=1 ms è la massa totale e k è il versore verticale ascendente. A tale forza ci si riferisce come al peso del sistema materiale.

In particolare, la forza peso può sempre essere applicata nel baricentro G del sistema ` infatti facile verificare che il baricentro è il centro delle forze peso. materiale. E 4.20 Misura della massa Come si calcola la massa di un punto materiale (P, m) ? Assunta come massa unitaria quella di un punto campione (P0 , m0 ), si ha: m0 g = ¡m0 gk = p0 k,

mg = ¡mgk = pk 93

(p0 < 0, p < 0),

da cui la relazione m0 = 1:

m p = . Per ottenere la massa m fornita dalla bilancia basta porre m0 p0 m=

p . p0

4.21 Lavoro reale infinitesimo Definizione

Si definisce lavoro reale infinitesimo della forza (P, F ) il prodotto scalare dL = F ¢ dP.

(4.23)

Posto, come al solito, P ¡ O = xi + yj + zk dP = dxi + dyj + dzk F = Fx i + Fy j + Fz k, l’espressione cartesiana di dL è la seguente: dL = Fx dx + Fy dy + Fz dz.

(4.24)

Nel caso di un sistema meccanico ad n gradi di libertà con parametri lagrangiani q1 , q2 , . . . , qn , il lavoro dLs della forza (Ps , F s ), tenendo conto della (4.12), sarà dato da: n ∂Ps dLs = F s ¢ dPs = F s ¢ dqi . ∂qi i=1

Definizione

Si definisce lavoro reale infinitesimo compiuto dal sistema di forze (Ps , F s ), s =

1, . . . , N , la somma dei lavori dLs compiuti da ciascuna forza, ossia dL =

N

dLs =

s=1

N

F s ¢ dPs .

(4.25)

s=1

Quando il sistema delle forze in questione è quello delle forze attive, è molto conveniente rappresentare dL in una forma che ora andiamo a ricavare. N N n n N ∂Ps ∂Ps dL = F s ¢ dPs = Fs ¢ dqi = Fs ¢ dqi ∂qi ∂qi s=1 s=1 i=1 i=1 s=1

Ponendo

Qi =

N s=1

si ha

Fs ¢

∂Ps , ∂qi

i = 1, ..., n ,

dL = Q1 dq1 + Q2 dq2 + ¢ ¢ ¢ + Qn dqn =

n

Qi dqi .

(4.26)

(4.27)

i=1

Le Qi sono dette forze generalizzate di Lagrange. In un certo senso, esse generalizzano il concetto di componenti cartesiane delle forze. Infatti, nel caso di un punto libero, posto q1 = x, q2 = y, q3 = z, si ha Q1 = Fx , Q2 = Fy , Q3 = Fz . 94

4.22 Lavoro finito Si definisce lavoro compiuto dalla forza (P, F ) nell’intervallo di tempo (t1 , t2 )

Definizione

l’integrale curvilineo

L = (γ)

P2

F ¢ dP,

(4.28)

P1

dove P1 = P (t1 ), P2 = P (t2 ) e γ è la curva percorsa dal punto P per andare da P1 a P2 . Poiché, in generale, F = F (x, y, z; x, ˙ y, ˙ z; ˙ t), questo integrale, in generale, dipende: a) dalla curva γ (a causa della dipendenza da x, y, z); b) dalla legge oraria con cui P percorre γ (a causa della dipendenza da x, ˙ y, ˙ z); ˙ c) direttamente dal tempo, cioè dall’intervallo (t1 , t2 ). Consideriamo ora il caso di un sistema ad n gradi di libertà soggetto ad un sistema di N forze. Supponiamo che il sistema nell’intervallo di tempo (t1 , t2 ) si sposti dalla configurazione C1 =C(t1 ) alla configurazione C2 =C(t2 ), percorrendo, nello spazio n-dimensionale dei parametri lagrangiani qi , la curva Γ. Definizione

Si definisce lavoro compiuto dal sistema di forze (Ps , F s ), s = 1, . . . , N sul

sistema meccanico nell’intervallo di tempo (t1 , t2 ) l’integrale curvilineo L = (Γ)

N C2

C1

F s ¢ dPs .

(4.29)

s=1

Analogamente al lavoro di una singola forza, anche questo integrale dipende, in generale, dalla traiettoria Γ, dalle modalità con cui il sistema si sposta da C1 a C2 (attraverso le velocità generalizzate q˙i ) e dal tempo. 4.23 Lavoro virtuale Definizione

Si definisce lavoro virtuale, ovviamente infinitesimo, della forza (P, F ) il pro-

dotto scalare δL = F ¢ δP = Fx δx + Fy δy + Fz δz.

(4.30)

Nel caso di un sistema ad n gradi di libertà su cui agisce un sistema di N forze attive (Ps , F s ), si ha δL =

N s=1

δLs =

N s=1

Fs ¢

n ∂P

n N n ∂Ps δqk = Fs ¢ δqk = Qk δqk . ∂qk ∂qk s=1 s

k=1

k=1

(4.31)

k=1

Questa relazione esprime il lavoro virtuale delle forze attive. Osserviamo che (4.31) coincide formalmente con l’espressione (4.27) del lavoro reale infinitesimo. Ciò non sarebbe vero se il sistema meccanico non fosse scleronomo. 95

4.24 Lavoro infinitesimo delle forze applicate ad un corpo rigido Se il sistema materiale è un corpo rigido C, il lavoro virtuale delle forze ad esso applicate assume una semplice espressione, di particolare importanza, che deriva dalla formula fondamentale della cinematica rigida dO1 dPs = + ω £ (Ps ¡ O1 ). dt dt ˙ ed essendo dθ = θdt, ˙ Posto ω = θa, lo spostamento infinitesimo reale di un punto Ps 2 C in corrispondenza allo spostamento reale dC = dO1 , (O1 , dθa) (naturalmente compatibile coi vincoli esterni), è dato da

dPs = dO1 + dθa £ (Ps ¡ O1 ) .

(4.32)

Ne consegue che il lavoro infinitesimo reale di un generico sistema di forze (Ps , F s ), s = 1, . . . , N , è dato da dL =

N

F s ¢ dPs =

s=1

=

N s=1

=

N s=1

N s=1

F s ¢ dO1 +

F s ¢ dO1 +

F s ¢ dO1 + dθa £ (Ps ¡ O1 ) =

N

F s ¢ (O1 ¡ Ps ) £ dθa =

s=1

N

F s £ (O1 ¡ Ps ) ¢ dθa .

s=1

Ricordando la definizione di vettore risultante e di momento risultante, si ottiene la seguente espressione: dL = R ¢ dO1 + Ω(O1 ) ¢ dθa .

(4.33)

L’espressione del lavoro virtuale è formalmente la stessa. Osservazioni: — Il lavoro infinitesimo, sia reale che virtuale, delle forze interne (attive e vincolari) che agiscono su un corpo rigido, è sempre nullo. — L’espressione trovata per dL (o δL) ci dice che due sistemi di forze equivalenti, se applicati ad un corpo rigido, compiono lo stesso lavoro. Ciò non è vero se il corpo è deformabile, in quanto la formula (4.32) non vale pi` u. — Sottolineiamo che l’espressione di dL ottenuta vale qualunque sia il punto O1 del corpo rigido e qualunque sia lo spostamento infinitesimo dO1 , (O1 , dθa) (analogamente per δL).

96

4.25 Forze posizionali Definizione

Una forza attiva (P, F ) si dice posizionale quando il suo vettore F dipende

solo dalla posizione del suo punto d’applicazione P ´ (x, y, z), ossia se F = F (x, y, z). Il vantaggio pi` u immediato che deriva da questa proprietà consiste nel fatto che il lavoro finito di una forza posizionale, dato dall’integrale (4.28), dipende solo dalla traiettoria γ percorsa per andare da P1 a P2 , mentre è indipendente sia dalla legge oraria che dal tempo. Osserviamo che nel caso di una forza (Ps , F s ) applicata ad un sistema con parametri lagrangiani qi , il fatto che sia posizionale implica F s = F s (q1 , q2 , . . . , qn ). Ovviamente, se tutte le forze applicate al sistema sono posizionali, anche il lavoro finito L espresso dalla (4.29) dipende soltanto dalla “traiettoria”.

4.26 Sistemi conservativi di forze Consideriamo un punto materiale (P, m), libero e soggetto ad un’unica forza posizionale (P, F ). Siano x, y e z le coordinate di P rispetto ad un sistema di riferimento Oxyz rispetto al quale sia F (x, y, z) = Fx (x, y, z) i + Fy (x, y, z) j + Fz (x, y, z) k. Definizione

(4.34)

La forza posizionale (P, F ) si dice conservativa se esiste una funzione U (x, y, z)

tale che Fx =

∂U , ∂x

Fy =

∂U , ∂y

Fz =

∂U . ∂z

La principale proprietà che caratterizza una forza conservativa consiste nel fatto che il lavoro da essa compiuto quando il punto P si sposta dalla posizione P1 alla posizione P2 dipende solo dalle posizioni iniziale e finale, e non dalla traiettoria γ percorsa. Si ha infatti P2 L = (γ) dL = U (P2 ) ¡ U (P1 ). P1

In particolare, se la curva è chiusa (quando P1 ´ P2 ), il lavoro è nullo. La definizione appena data si può generalizzare ad un sistema di forze, purchè applicato ad un sistema meccanico olonomo e scleronomo (ipotesi in cui ci siamo messi una volta per tutte, ma che è opportuno ricordare). 97

Definizione

Un sistema di forze attive posizionali si dice conservativo se esiste una funzione

U = U (q1 , q2 , . . . , qn ) tale che Qi =

∂U , ∂qi

i = 1, . . . , n ,

(4.35)

essendo le Qi le forze generalizzate. La funzione U si chiama funzione potenziale o, pi` u semplicemente, potenziale. Chiaramente, U è definita a meno di una costante additiva arbitraria U ∗ . Qualche volta l’arbitrarietà di U ∗ è sfruttata ai fini di far assumere ad U un valore desiderato in una data posizione del sistema. La principale proprietà dei sistemi conservativi di forze è che il lavoro da esse compiuto sul sistema meccanico quando questo si sposta dalla configurazione C1 = q1 ´ (q11 , q21 , ¢ ¢ ¢ , qn1 ) alla configurazione C2 = q2 ´ (q12 , q22 , ¢ ¢ ¢ , qn2 ) non dipende dalla traiettoria Γ percorsa (nello spazio delle configurazioni), ma solo dai suoi punti estremi C1 e C2 . Infatti, si ha C2 L = (Γ) dL = U (C2 ) ¡ U (C1 ) = U q2 ) ¡ U (q1 ) . C1

Osserviamo che, se una forza è conservativa, essa rimane tale qualunque sia il sistema meccanico a cui la si applichi. Ne consegue che, se un sistema è costituito di forze tutte conservative, è certamente conservativo. Possono però esistere dei sistemi conservativi di forze senza che tutte le forze componenti, prese singolarmente, lo siano. Sia (P, F ) una forza conservativa e sia U (x, y, z) il suo potenziale. Quando la forza viene applicata ad un sistema meccanico di parametri lagrangiani qi , il suo potenziale diventa U (q) = U x(q), y(q), z(q) .

Di conseguenza, se si considera un generico sistema di N forze Ps , F s (q) tutte conser vative, per cui esistono gli N potenziali Us (q) = Us xs (q), ys (q), zs (q) , allora anche il

sistema di forze è conservativo e il suo potenziale è dato dalla somma dei potenziali delle singole forze, ossia U (q) =

s

Us (q) .

Osservazione. Il fatto che un sistema di forze sia conservativo ha un’importante implicazione: il lavoro infinitesimo dL delle forze attive è uguale al differenziale dU del potenziale. Infatti, riprendendo l’espressione (4.27) di dL e sostituendovi le uguaglianze (4.35), si ha dL = Q1 dq1 + Q2 dq2 + ¢ ¢ ¢ + Qn dqn =

∂U ∂U ∂U dq1 + dq2 + ¢ ¢ ¢ + dqn = dU . ∂q1 ∂q2 ∂qn 98

Dunque, per un sistema conservativo di forze attive, si ha dL = dU .

(4.36)

In Analisi Matematica questo fatto si esprime dicendo che dL è una forma differenziale esatta. La condizione (4.35) della definizione equivale dunque alla richiesta che dL sia un differenziale esatto.

Nella pratica la verifica che un dato sistema di forze posizionali è conservativo si ri duce a verificare che il corrispondente lavoro infinitesimo dL = ni=1 Qi dqi è una forma differenziale esatta.

A tal fine, date per soddisfatte alcune condizioni sulle funzioni

Qi (q1 , q2 , . . . , qn ) e sul loro dominio di esistenza, è sufficiente verificare che dL è una forma chiusa, ossia che valgono le uguaglianze ∂Qk ∂Qh = , ∂qk ∂qh

h, k = 1, . . . , n .

Consideriamo in particolare il caso di una singola forza della forma (4.34). Volendo verificare che è conservativa, essendo dL dato dalla (4.24), dovranno essere soddisfatte le relazioni

∂Fx ∂Fy = , ∂y ∂x

∂Fx ∂Fz = , ∂z ∂x

∂Fy ∂Fz = . ∂z ∂y

Per quanto riguarda il calcolo del potenziale, ne diamo un’espressione nel caso particolare in cui la forza è piana, rinviando ad un testo di Analisi Matematica per il caso di una forza non piana. Sia dL = Fx dx + Fy dy = A1 (x, y) dx + A2 (x, y) dy = dU la forma differenziale. Comunque scelto P0 ´ (x0 , y0 ), la funzione potenziale U (x, y), cioè la funzione avente come differenziale la forma appena scritta, è la seguente: y x U (x, y) = A1 (ξ, y0 ) dξ + A2 (x, ξ) dξ . (4.37) x0

y0

Si noti che questa formula corrisponde al calcolo del lavoro compiuto dalla forza (P, F ) quando il punto P si sposta da P0 a P muovendosi prima parallelamente all’asse x fino a raggiungere il punto Q ´ (x, y0 ), e poi parallelamente all’asse y. Una formula equivalente si può ottenere percorrendo l’analogo cammino parallelo prima all’asse y e poi all’asse x.

99

4.27 Esempi significativi di sistemi conservativi di forze a) Forza costante Consideriamo la forza (P, F ) di vettore F = ai + bj + ck costante. Questa forza è conservativa ed il suo potenziale U è dato da U (x, y, z) = ax + by + cz + U ∗ ,

(4.38)

con U ∗ costante arbitraria. Quando la forza è applicata ad un punto di un sistema meccanico ad n gradi di libertà, il suo potenziale vale U (q) = ax(q) + by(q) + cz(q) + U ∗ . Tra le forze costanti va annoverata la forza peso. In tal caso, assunto un sistema di riferimento Oxyz con z verticale ascendente, il peso ha vettore ¡mgk. Dalla (4.38) consegue quindi che il potenziale della forza peso che agisce sul punto materiale (P, m) è dato da U (x, y, z) = U (z) = ¡mgz + U ∗ . Nel caso di un sistema materiale di N punti (Ps , ms ), si ha ¡ms gzs + Us∗ = ¡g ms zs + U ∗ = ¡g M zG + U ∗ , U= cioè

s

s

U = ¡M gzG + U ∗ .

(4.39)

Dunque, il potenziale delle forze peso agenti su un sistema materiale è uguale a quello della risultante purché applicata nel baricentro. Esprimendo zG in funzione di q1 , q2 , . . . , qn , si ottiene U (q). Osserviamo che la relazione (4.39) mette in evidenza, per la prima volta, l’importanza del baricentro. Se andiamo a calcolare il lavoro finito L delle forze peso nell’intervallo (t1 , t2 ) quando il sistema meccanico si sposta dalla configurazione C1 ´ C(t1 ) a C2 ´ C(t2 ) , si ottiene: L = U (C2 ) ¡ U (C1 ) = ¡M gzG2 + U ∗ ¡ (¡M gzG1 + U ∗ ) = M g(zG1 ¡ zG2 ) , essendo G1 ´ G(t1 ) e G2 ´ G(t2 ) . Dunque, il lavoro delle forze peso è positivo se il baricentro del sistema si abbassa, negativo se si alza, nullo se rimane alla stessa quota (indipendentemente da tutte le posizioni intermedie). Osserviamo infine che l’espressione (4.39) di U rimane valida anche per un corpo continuo in quanto si ricava allo stesso modo sostituendo la somma con il corrispondente integrale. 100

b) Forza d’attrazione Newtoniana Consideriamo il punto materiale (P, m) e la forza d’attrazione Newtoniana (P, F ) che agisce su P dovuta al punto materiale (O, M ). Come è ben noto, il vettore F è il seguente: F = ¡G

mM r, ρ2

essendo G la costante di gravitazione universale (positiva), ρ la distanza di P da O e r =

P −O ρ

il versore avente la direzione della retta congiungente P con O, orientato da O verso P (il che spiega il segno meno). Si può dimostrare che questa forza è conservativa ed il potenziale U , espresso in funzione di ρ, è il seguente: U (ρ) = G

mM + U∗ . ρ

(4.40)

c) Forza elastica esterna Data una molla di lunghezza a riposo nulla, avente un estremo nel punto fisso O e l’altro nel punto P , il punto P è soggetto alla forza di vettore F = ¡k2 ρr , con k2 costante elastica della molla, e ρ ed r con lo stesso significato visto in b). La forza (P, F ) è conservativa ed il suo potenziale vale 1 U (ρ) = ¡ k2 ρ2 + U ∗ , 2 Se invece la molla a riposo ha lunghezza ℓ, allora

(4.41)

F = ¡k2 (ρ ¡ ℓ)r , e quindi

1 U (ρ) = ¡ k2 (ρ ¡ ℓ)2 + U ∗ . 2

(4.42)

d) Coppia di forze elastiche interne Siano (P1 , k2 ρa) e (P2 , ¡k2 ρa) le due forze elastiche, con P2 ¡ P1 = ρa. In questo caso P1 e P2 sono due punti di un sistema meccanico, entrambi mobili, collegati tra di loro da una molla. Si può dimostrare che il sistema costituito da questa coppia di forze elastiche interne è conservativo e vale 1 U (ρ) = ¡ k2 ρ2 + U ∗ , 2 esattamente come nel caso di una singola forza elastica esterna. 101

Osserviamo che questo costituisce un esempio di un sistema conservativo di due forze, senza che ciascuna delle due forze sia conservativa. Risulta infatti impossibile scrivere separatamente il potenziale di ciascuna delle due forze. I risultati ottenuti ai punti c) e d) permettono di affermare che una molla di costante elastica k2 , sia che agisca come forza esterna, sia che agisca come coppia di forze interne, ha potenziale U = ¡ 12 k2 ξ 2 + U ∗ , essendo ξ la sua elongazione. 4.28 Potenza Definizione

Si chiama potenza della forza (P, F ) lo scalare P (t) t d d d W (t) = L(t) = F ¢ dP = F ¢ vdτ = F ¢ v. dt dt P (t0 ) dt t0

Il lavoro finito L della forza può essere riscritto utilizzando la potenza: t2 L= W (t)dt. t1

Osserviamo che ci sono dei testi di Meccanica Razionale nei quali viene prima introdotta la nozione di potenza, e poi attraverso questa la nozione di lavoro.

4.29 Vincoli perfetti Concludiamo questo capitolo con alcune nozioni, molto importanti, riguardanti il lavoro delle reazioni vincolari per una classe molto importante di sistemi meccanici, che adesso definiamo. Definizione

Un sistema meccanico vincolato si dice a vincoli perfetti o ideali se, per qua-

lunque configurazione C0 compatibile coi vincoli, e per qualunque spostamento virtuale a partire da C0 , il lavoro δρ delle reazioni vincolari è non negativo, ossia δρ =

N

Φs ¢ δPs ¸ 0 .

(4.43)

s=1

Si impongono immediatamente alcune considerazioni. Nella (4.43) vale il segno di uguaglianza in corrispondenza ad ogni spostamento invertibile. Infatti, se la (4.43) vale per lo spostamento invertibile (δP1 , δP2 , ..., δPN ), essa deve valere anche per il suo opposto, per cui, dovendo essere δρ ¸ 0 e ¡δρ ¸ 0, necessariamente si ha δρ = 0. 102

La relazione (4.43), e di conseguenza la nozione di vincolo perfetto, costituisce una relazione sintetica dedotta, con metodo induttivo, dall’esame di una vasta gamma di casi concreti : essa riassume tutte le proprietà delle reazioni vincolari nel caso, sia pure limite, di assenza di attrito. In altre parole, i vincoli lisci sono anche perfetti. Ricordiamo che i vincoli lisci pi` u comuni sono quelli di un punto P a) vincolato ad una curva liscia; b) vincolato ad una superficie liscia; c) appoggiato ad una superficie liscia. L’utilità di introdurre la nozione di vincolo perfetto è giustificata dal fatto che ci sono anche vincoli scabri che sono perfetti. Infatti, il vincolo di puro rotolamento, che può realizzarsi solo in presenza di attrito, è un vincolo perfetto. Rientrano infine tra i vincoli perfetti i vincoli di rigidit` a e i fili. Un’importante proprietà, che contraddistingue i vincoli perfetti da quelli che non lo sono, è la seguente: Il lavoro reale, sia infinitesimo che finito, della reazione vincolare associata ad un vincolo scleronomo perfetto è sempre nullo.

103

5. MECCANICA DEL PUNTO

5.1 I problemi della Meccanica Quali sono i problemi che si possono affrontare con la Meccanica ? Sia dato un sistema meccanico, ossia sia dato un sistema di punti materiali soggetto ad un sistema noto di forze attive ed ad un certo numero di vincoli di cui è nota la natura. Supponiamo poi che in un dato istante siano noti la posizione e lo stato cinetico del sistema meccanico. Pi` u precisamente, siano C0 = C(t0 ) = (q10 , q20 , ..., qn0 ) ´ q0 e C˙0 = (q˙10 , q˙20 , ..., q˙n0 ) ´ q˙ 0 la posizione e “la velocità” all’istante t0 . Sia poi (As , F s ), s = 1, . . . , N , il sistema delle forze attive e (Bs , Φs ), s = 1, . . . , M , il sistema delle reazioni vincolari che rappresentano l’azione dei vincoli. La Meccanica si pone innanzitutto il seguente problema: determinare il moto del sistema, vale a dire determinare n funzioni qk (t) tali che qk (t0 ) = qk0 e q˙k (t0 ) = q˙k0 . Un secondo problema che la Meccanica può risolvere è quello di determinare le reazioni vincolari durante il moto. Tale problema può però essere risolto in modo univoco solo se il numero delle reazioni scalari introdotte è il numero minimo necessario per rappresentare l’azione dei vincoli. In questo caso le reazioni vincolari Φs si determinano in funzione dei parametri qk (t) e quindi potranno essere note in funzione di t solo dopo che il moto è stato determinato. A volte particolari condizioni iniziali possono dar luogo a soluzioni costanti (o stazionarie). Ciò è possibile quando esistono particolari posizioni nelle quali il sistema meccanico, postovi in quiete in un dato istante, vi rimane per sempre. Ebbene, la ricerca di siffatte soluzioni, o per dirla con linguaggio pi` u appropriato, la ricerca delle configurazioni d’equilibrio, costituisce un altro problema che la Meccanica insegna ad affrontare e risolvere. Osserviamo che una configurazione d’equilibrio è rappresentata da una n-pla (q1∗ , q2∗ , ..., qn∗ ) di numeri. C’è dunque una differenza sostanziale tra la determinazione del moto e quella delle configurazioni d’equilibrio. Nel primo caso si deve determinare una n-pla di funzioni, nel secondo caso, ammesso che il problema abbia soluzione, una o pi` u n¡ple di numeri. Nel primo il problema ammette sempre soluzione e questa è unica; nel secondo caso il problema può avere o non avere soluzione, e in caso positivo, le soluzioni possono essere 1,2, ... ,m (anche infinite).

104

Il problema del calcolo delle reazioni vincolari nelle configurazioni d’equilibrio è un problema successivo a quello di determinare le suddette configurazioni. Analogamente al caso dinamico, esso può essere affrontato e risolto (in modo univoco) solo se le reazioni vincolari non sono in numero sovrabbondante (pi` u avanti diremo “solo se il problema è staticamente determinato”). Determinare le reazioni vincolari significa associare ad ogni configurazione d’equilibrio le rispettive reazioni. Sottolineiamo il fatto che il problema del moto (o dell’equilibrio) viene sempre prima di quello delle reazioni (che può anche non interessare). Vedremo metodi per scrivere le equazioni che governano il moto (o le equazioni per l’equilibrio) che prescindono completamente dalle reazioni vincolari ed altri che, al contrario, le contemplano. In ogni caso per determinare il moto di un sistema ad n gradi di libertà dovremo scrivere un sistema di n equazioni differenziali in cui non compaiono altre incognite se non le qk (t). Associando a queste equazioni le condizioni iniziali e risolvendo il problema di Cauchy cos`ı ottenuto, si determinerà il moto. Per quanto concerne invece il problema dell’equilibrio, esso comporta la scrittura di un sistema di n equazioni (non pi` u differenziali !) nelle sole incognite qk . Ciascuna n-pla soluzione di questo sistema costituisce una configurazione d’equilibrio per il sistema meccanico (purchè nel dominio di variabilità dei parametri e purchè le relative reazioni vincolari siano compatibili con i vincoli). Tradizionalmente la Meccanica viene suddivisa in Statica e Dinamica, l’una concernente il problema dell’equilibrio di un sistema meccanico, l’altra concernente il problema del moto. Un’ipotesi molto importante, da tenere ben presente, che contraddistingue la Statica dalla Dinamica è la seguente : in statica i vincoli si assumono indipendenti dal tempo e le forze si assumono posizionali. Ciò è giustificato dal fatto che in statica le velocità sono sempre tutte nulle e dal fatto che si vogliono configurazioni d’equilibrio, e quindi anche reazioni vincolari, che non dipendano dal tempo. La premessa appena fatta riguarda la Meccanica di tutti i sistemi. In questo capitolo, però, ci occuperemo della Meccanica del punto, vale a dire la Meccanica del pi` u semplice sistema meccanico.

105

5.2 La legge di Newton Lo studio del moto di un punto si basa sulla legge di Newton. Come abbiamo già visto, essa postula che, rispetto ad un osservatore inerziale, un punto si muova in modo tale che la sua accelerazione a e il vettore risultante R di tutte le forze ad esso applicate, siano legate dalla relazione ma = R(P, v, t)

(5.1)

Ricordiamo che le forze o sono dovute ai corpi (forze newtoniane, elastiche, elettriche, viscose, convettive, reazioni vincolari) o sono dovute al sistema di riferimento (forze di trascinamento e forze di Coriolis, che vedremo in seguito). Spesso tornerà utile evidenziare nella (5.1) la distinzione fra il vettore risultante F delle forze attive (noto in funzione di P, v(P ) e t) ed il vettore risultante Φ delle reazioni vincolari (sempre incognito, totalmente o parzialmente): ma(P ) = F (P, v(P ), t) + Φ(P, v(P ), t).

(5.2)

L’equazione di Newton non è sufficiente, da sola, a determinare il moto del punto P. Occorre associarle le condizioni iniziali, vale a dire la posizione e la velocità di P in un dato istante t0 , istante che chiamiamo istante iniziale e che spesso assumeremo uguale a zero (senza con ciò perdere di generalità). Ciò porta alla formulazione di un problema di Cauchy la cui risoluzione permette di determinare il moto di P. 5.3 Moto di un punto libero Il problema di Cauchy è il seguente:       

ma = F (P, v, t) P (t0 ) = P0

(5.3)

v(t0 ) = v 0 .

L’Analisi Matematica insegna che, se F è una funzione sufficientemente regolare dei suoi argomenti, allora il problema di Cauchy ammette soluzione e questa è unica. Di conseguenza il moto di P è determinato da questa soluzione. Assunto P = P (x, y, z), scalarmente l’equazione di Newton equivale ad un sistema di tre equazioni differenziali del 2◦ ordine in forma normale (cioè esplicitato rispetto a x ¨, y¨, z¨). Queste equazioni, che chiamiamo equazioni differenziali del moto,  m¨ x = Fx (x, y, z, x, ˙ y, ˙ z, ˙ t),    m¨ y = Fy (x, y, z, x, ˙ y, ˙ z, ˙ t),    m¨ z = Fz (x, y, z, x, ˙ y, ˙ z, ˙ t), 106

(5.4)

assieme alle condizioni iniziali x(t0 ) = x0 , x(t ˙ 0 ) = v0x ,

y(t0 ) = y0 ,

z(t0 ) = z0 ,

y(t ˙ 0 ) = v0y ,

z(t ˙ 0 ) = v0z ,

(5.5a) (5.5b)

forniscono il problema di Cauchy da risolvere per ottenere il moto di P. Risolverlo significa: a) Determinare l’ integrale generale del sistema di equazioni differenziali (5.4) (coi metodi dell’Analisi Matematica). Ciò porta a determinare tre funzioni  x = x(t, C1 , C2 , C3 , C4 , C5 , C6 ),    y = y(t, C1 , C2 , C3 , C4 , C5 , C6 ),    z = z(t, C1 , C2 , C3 , C4 , C5 , C6 ),

(5.6)

essendo C1 , ..., C6 sei costanti arbitrarie. Le 16 funzioni P (t) date dalle (5.6) rappresentano gli 16 moti di P che sarebbero possibili sotto l’azione di un qualunque sistema di forze avente come vettore risultante F . b) Determinare le costanti Ci imponendo le condizioni iniziali. A tal fine si deve risolvere il sistema di sei equazioni nelle sei incognite Ci dato da  x(t0 , C1 , C2 , C3 , C4 , C5 , C6 ) = x0 ,       y(t0 , C1 , C2 , C3 , C4 , C5 , C6 ) = y0 ,       z(t0 , C1 , C2 , C3 , C4 , C5 , C6 ) = z0 ,

  x(t ˙ 0 , C1 , C2 , C3 , C4 , C5 , C6 ) = v0x ,       y(t ˙ 0 , C1 , C2 , C3 , C4 , C5 , C6 ) = v0y ,     z(t ˙ 0 , C1 , C2 , C3 , C4 , C5 , C6 ) = v0z .

(5.7)

Ovviamente, determinate le costanti Ci e sostituite nelle (5.6) si ottengono le tre funzioni x = x(t), y = y(t) e z = z(t) che rappresentano il moto del punto P. 5.4 Moto di un punto vincolato senza attrito Esaminiamo ora alcuni possibili casi di punto soggetto a vincolo liscio. Nel caso di punto vincolato od appoggiato ad una superficie, per semplificare le cose, si considera un piano. a) Punto vincolato ad un piano liscio Π. In questo caso il problema ha due gradi di libertà: siano x e y le coordinate del punto P rispetto ad un sistema Oxyz con il piano xy coincidente con Π. Essendo il vincolo liscio, la reazione vincolare è normale al piano e quindi è 107

diretta lungo k, per cui Φ = Φk. Posto F = Fx i+ Fy j + Fz k ed a(P ) = x ï + y¨j, l’equazione di Newton, proiettata su i, j e k fornisce il seguente sistema di tre equazioni scalari:  ˙ y, ˙ x, y, t) (5.8a) x = Fx (x,   m¨  m¨ y = Fy (x, ˙ y, ˙ x, y, t) (5.8b)    0 = Fz (x, ˙ y, ˙ x, y, t) + Φ . (5.9)

Chiaramente le due equazioni (5.8), non contenendo la reazione vincolare Φ, costituiscono le equazioni differenziali del moto. Abbinando ad esse le condizioni iniziali x0 = x(t0 ), y0 = y(t0 ), x˙ 0 = x(t ˙ 0 ), y˙ 0 = y(t ˙ 0 ), si ottiene il problema di Cauchy la cui soluzione fornisce il moto di P, vale a dire x = x(t), y = y(t). L’equazione (5.9) fornisce la reazione vincolare Φ. Una volta che il moto di P è stato determinato, Φ è nota in funzione del tempo. b) Punto appoggiato ad un piano liscio Π. Le equazioni (5.8) sono ancora le equazioni del moto, mentre la (5.9) fornisce sempre la reazione vincolare. In questo caso, però, preso il versore k orientato nel verso in cui può avvenire il distacco, si deve aggiungere la condizione Φ ¸ 0, che deve essere verificata in ogni istante in cui il punto P è appoggiato a Π. Se accade che Φ(t∗ ) = 0 e Φ(t) < 0 per t > t∗ , ciò significa che all’istante t∗ P si stacca da Π. Di conseguenza, per t > t∗ il problema non è pi` u lo stesso: ora P è libero ! c) Punto vincolato ad una curva liscia γ. Ora il problema ha un grado di libertà: sia s l’ascissa curvilinea di P su γ. Considerata la terna di versori t, n e b intrinseca a γ, essendo la reazione vincolare normale a γ, si ha Φ = Φn n + Φb b. Posto F = Ft t + Fn n + Fb b, l’equazione di Newton, proiettata su t, n e b fornisce le seguenti tre equazioni scalari:  m¨ s = Ft (s, s, ˙ t) (5.10)     2 s˙ ˙ t) + Φn (5.11) m = Fn (s, s,  ρc    0 = Fb (s, s, ˙ t) + Φb . (5.12)

L’equazione (5.10), non contenendo le reazioni vincolari scalari Φn e Φb , costituisce l’equazi-

one differenziale del moto. Associando ad essa le condizioni iniziali s0 = s(t0 ), v0 = s(t ˙ 0 ), si ottiene il problema di Cauchy la cui soluzione fornisce il moto di P, cioè la legge oraria s = s(t). Le equazioni (5.11) e (5.12), nota s(t), forniscono Φ(t). 108

5.5 Equilibrio di un punto libero o vincolato senza attrito Si dice che P0 è posizione d’equilibrio per il punto P , se P , posto in quiete

Definizione

in P0 all’istante t0 , vi rimane per ogni t > t0 . Osserviamo subito che dire che P0 è posizione d’equilibrio di P equivale ad affermare che l’equazione del moto di P ammette la soluzione costante (o stazionaria) P (t) ´ P0 . Chiediamoci ora quanto segue: posto il punto P in una generica posizione P0 con velocità v 0 = 0, cosa fa P ? Teorema

(noto come legge del “moto incipiente”).

= 0 il punto si mette in moto nella direzione e verso di R(P0 ). Se R(P0 ) 6 Questo teorema, che non dimostriamo, dice che un punto in quiete in un dato istante si mette in moto concordemente con la forza risultante agente su di esso in quell’istante (purchè non nulla). Teorema

C.N.S. perché P0 sia posizione d’equilibrio per un punto P libero o soggetto a

vincolo liscio è che si abbia R(P0 ) = F (P0 ) + Φ(P0 ) = 0 .

(5.13)

Dimostrazione. C.N.

Sia P0 posizione d’equilibrio per P . Dunque, posto P in P0 con velocità v 0 nulla,

vi rimane. Di conseguenza, si ha v(t) ´ 0 per t > t0 , e quindi anche a(t) ´ 0. L’equazione di Newton comporta allora R(P0 ) = 0, o equivalentemente, F (P0 ) + Φ(P0 ) = 0. C.S.

Sia R(P0 ) = 0. Per sapere se P , posto in P0 all’istante t0 con velocità nulla, vi

rimane, andiamo a studiare il relativo problema di Cauchy. Se esso ammette la soluzione costante P (t) ´ P0 , essendo questa unica in virt` u del fatto che il punto è libero oppure soggetto a vincolo liscio, avremo dimostrato che il punto rimane in P per ogni t > t0 . Il problema di Cauchy (5.3) ora è il seguente:  ma = R(P )    P (t0 ) = P0    v(t0 ) = 0.

(5.14)

Chiaramente, essendo R(P0 ) = 0, P (t) = P0 è soluzione.

Commento:

Questo teorema è molto importante in quanto dice che le posizioni d’equilibrio

di un punto P libero o soggetto a vincolo liscio sono date da tutte e sole le soluzioni P0 dell’equazione F (P ) + Φ(P ) = 0 . 109

5.6 Possibili casi di equilibrio di un punto L’equazione vettoriale (5.13) è sempre equivalente a tre equazioni scalari in tre incognite scalari : gli n parametri che determinano la posizione di P , n · 3, e le (3 ¡ n) componenti della reazione vincolare. Esaminiamo il problema dell’equilibrio di un punto in alcuni casi specifici, già studiati, per quanto concerne il moto, nei paragrafi (5.3) e (5.4). Teniamo presente che ora, dovendoci occupare d’equilibrio, le forze sono posizionali. a) Punto libero. In questo caso l’equazione (5.13) proiettata sugli assi fornisce il seguente sistema di tre equazioni scalari nelle incognite x, y e z :  Fx (x, y, z) = 0    Fy (x, y, z) = 0    Fz (x, y, z) = 0.

(5.15)

Tutte e sole le soluzioni (x∗ , y∗ , z ∗ ) di questo sistema costituiscono le posizioni d’equilibrio del punto P . Se il punto non è libero, ma è soggetto a vincoli unilaterali (per esempio un punto in una stanza), allora sono posizioni d’equilibrio solo le soluzioni che appartengono al dominio di variabilità delle coordinate. Naturalmente, ad esse vanno poi aggiunte eventuali altre posizioni d’equilibrio di confine. b) Punto vincolato ad un piano liscio. L’equazione (5.13) proiettata sui versori i, j e k fornisce il seguente sistema di tre equazioni scalari nelle incognite x, y e Φ:  Fx (x, y) = 0    Fy (x, y) = 0    Fz (x, y) + Φ = 0 .

(5.16)

Chiaramente, mentre le prime due equazioni forniscono le posizioni d’equilibrio (x∗ , y ∗ ), la terza equazione fornisce la reazione vincolare Φ. Sottolineiamo il fatto che Φ va calcolata in ciascuna posizione d’equilibrio (ovviamente dopo che queste sono state determinate). c) Punto appoggiato ad un piano liscio. Il sistema che fornisce l’equilibrio del punto è ancora (5.16), però con l’aggiunta della condizione Φ ¸ 0, condizione che assicura che il punto non sia distaccato dal piano. Ciò implica che fra tutte le soluzioni (x∗ , y ∗ ) del sistema costituito dalle prime due equazioni di (5.16), soltanto quelle per le quali Fz (x∗ , y ∗ ) · 0 rappresentano posizioni d’equilibrio. Se fosse Fz (x∗ , y∗ ) > 0 il punto si solleverebbe dal piano. 110

d) Punto vincolato ad una curva liscia. L’equazione (5.13) proiettata sui versori della terna intrinseca t, n e b dà le tre seguenti equazioni scalari nelle incognite s, Φn e Φb :  Ft (s) = 0    Fn (s) + Φn = 0    Fb (s) + Φb = 0

La prima equazione fornisce le posizioni d’equilibrio s∗ , la seconda e la terza equazione forniscono la reazione vincolare Φ in corrispondenza di ogni posizione d’equilibrio. e) Punto fisso. In questo caso non ci sono posizioni d’equilibrio da calcolare. L’equazione (5.13) permette tuttavia il calcolo della reazione vincolare. Se il punto è fissato in P0 di coordinate (x0 , y0 , z0 ), posto Φ = Φx i + Φy j + Φz k, si ha il sistema  Fx (x0 , y0 , z0 ) + Φx = 0    Fy (x0 , y0 , z0 ) + Φy = 0    Fz (x0 , y0 , z0 ) + Φz = 0,

di immediata soluzione rispetto alle incognite Φx , Φy e Φz . 5.7 Punto vincolato con attrito: relazioni di Coulomb Consideriamo un punto soggetto ad un vincolo con attrito. Ora, differentemente dal caso di vincolo liscio, la reazione vincolare Φ ha anche una componente tangente al vincolo. Il vettore Φ può dunque scriversi come Φ = Φt + Φn , cioè come somma di due componenti l’una tangente al vincolo e l’altra normale. L’esperienza ha portato Coulomb a formulare due relazioni, una valida in statica, l’altra in dinamica, che legano Φt a Φn . Relazione statica: jΦt j · fs jΦn j

(5.17)

v jvj

(5.18)

Relazione dinamica: Φt = ¡fd jΦn j

(se v 6 = 0)

I coefficienti fs e fd , che sono detti coefficienti d’attrito statico e d’attrito dinamico, sono legati dalla relazione fd · fs e dipendono dalla natura del punto materiale e del vincolo. Le relazioni (5.17) e (5.18) vanno aggiunte rispettivamente all’equazione dell’equilibrio (5.13) o all’equazione di Newton a seconda che si voglia determinare l’equilibrio o il moto del punto. Osserviamo che mentre la relazione statica fornisce semplicemente una disuguaglianza fra i 111

moduli delle due componenti, la relazione dinamica non solo lega il modulo di Φt a quello di Φn , ma ne fornisce la direzione (quella della velocità) ed il verso (opposto a quello in cui il punto si muove). La diseguaglianza (5.17) porta, in generale, ad infinite posizioni d’equilibrio. Fra queste ci sono ovviamente quelle che si avrebbero se il vincolo fosse liscio. 5.8 Oscillazioni libere Uno tra i comportamenti temporali pi` u significativi che un sistema fisico può esibire è quello che comporta delle oscillazioni. Questo fenomeno può nascere sotto forma di vibrazioni meccaniche, fluttuazioni di carica elettrica sulle armature di un condensatore in un circuito elettrico, il moto in cima ad una colonna di fluido nel tubo di un manometro, ed in molti altri modi. Tuttavia, per rimanere in argomento con la dinamica del punto, consideriamo un punto materiale (P, m) vincolato a muoversi su una retta liscia, che assumiamo come asse Ox. In ogni caso il punto è soggetto ad una forza elastica (P, ¡k2 xi). Può poi essere soggetto anche ad una forza viscosa (P, ¡2mpxi), ˙ con p > 0, e ad una forza periodica di tipo sinusoidale (P, N cos(Ωt + α)) i. A delle forze agenti su P , si parla di a)

oscillazioni libere non smorzate, se su P agisce solo la forza elastica;

b)

oscillazioni libere smorzate, se su P agiscono la forza elastica e la forza viscosa;

c)

oscillazioni forzate non smorzate, se su P agiscono la forza elastica e la forza periodica;

d)

oscillazioni forzate smorzate, se su P agiscono tutte tre le forze.

Esaminiamo da vicino i due casi di oscillazioni libere. Oscillazioni libere non smorzate L’equazione del moto di P è la seguente: m¨ x = ¡k2 x . 2 k Posto ω 2 = , questa equazione differenziale del 2◦ ordine, lineare, omogenea, a coefficienti m costanti, si può riscrivere nella forma x ¨ + ω2 x = 0 .

(5.19)

Abbiamo cos`ı ritrovato l’equazione differenziale (3.18) che, come già sappiamo, è caratteristica dei moti oscillatori armonici. L’Analisi Matematica insegna che il suo integrale generale è dato da x(t) = C cos(ωt + γ) ,

(5.20)

che rappresenta appunto un moto oscillatorio armonico di ampiezza C e di fase iniziale γ. Le costanti C e γ si determinano imponendo le condizioni iniziali x0 = x(0) e v0 = x(0), ˙ 112

il che porta al sistema seguente: x0 = C cos γ v0 = ¡ω C sin γ . Risolvendolo si ottiene

C=

"

x20 +

v02 , ω2

v  0  arctan ¡   ω x   v 0     arctan ¡ 0 + π ω x0 γ= π    ¡   2     +π 2

se

x0 > 0

se

x0 < 0

se

x0 = 0 e v0 > 0

se

x0 = 0 e v0 < 0 .

(5.21)

Oscillazioni libere smorzate.

In questo caso, l’equazione di Newton per il punto P , proiettata sull’asse x, fornisce l’equazione scalare m¨ x = ¡k2 x ¡ 2mpx˙ .

(5.22)

k2 , questa equazione differenziale, anch’essa del 2◦ ordine, lineare, m omogenea, a coefficienti costanti, si può riscrivere nella forma Posto, come prima, ω 2 =

x ¨ + 2px˙ + ω2 x = 0 .

(5.23)

Il suo integrale generale può assumere tre diverse forme a seconda del segno del discriminante ∆ = p2 ¡ ω 2 dell’equazione caratteristica associata: λ2 + 2pλ + ω 2 = 0 .

(5.24)

Distinguiamo dunque i tre casi, e per ciascuno di essi diamo l’integrale generale e i valori delle costanti C e γ in funzione delle condizioni iniziali. a) Caso p2 > ω 2 . Le radici λ1 = ¡p ¡ p2 ¡ ω 2 e λ2 = ¡p + p2 ¡ ω2 di (5.23) sono reali ed entrambe negative. Di conseguenza, posto β1 = ¡λ1 e β2 = ¡λ2 si ha x(t) = C1 e−β1 t + C2 e−β2 t ,

(5.25)

che rappresenta l’equazione oraria di un moto aperiodico smorzato. Le costanti C1 e C2 si determinano risolvendo il sistema C1 + C2 = x 0 ¡β1 C1 ¡ β2 C2 = v0 , 113

che fornisce C1 =

β2 x0 + v0 , β2 ¡ β1

C2 =

β1 x0 + v0 . β1 ¡ β2

b) Caso p2 = ω 2 . Le radici di (5.24) sono λ1 = λ2 = ¡p, per cui x(t) = C1 + C2 t e−pt ,

(5.26)

che rappresenta l’equazione di un moto aperiodico con smorzamento critico. Imponendo le condizioni iniziali si ottiene immediatamente C1 = x 0 ,

C2 = px0 + v0 .

c) Caso p2 < ω 2 . Le radici di (5.24) sono complesse coniugate e valgono λ1 = ¡p¡iq, λ2 = ¡p + iq, con q = ω 2 ¡ p2 . Ciò porta all’integrale generale seguente : x(t) = Ce−pt cos(qt + γ) ,

(5.27)

che costituisce l’equazione di un moto oscillatorio smorzato. Le costanti C e γ sono le soluzioni del sistema

C cos γ = x0 ¡pC cos γ ¡ qC sin γ = v0 ,

da cui, se x0 > 0, C=

#

x20 +

v + px 0 0 . γ = arctan ¡ qx0

v + px 2 0 0 , q

Osservazioni : — Nei casi a) e b) l’uso del termine “oscillazioni” per descrivere i moti associati alle soluzioni dell’equazione (5.23) è improprio in quanto il moto non è oscillatorio. — Caratteristica comune delle oscillazioni libere smorzate è il fatto che asintoticamente esse tendono a “smorzarsi”, vale a dire limt→∞ x(t) = 0. — Un punto materiale che si muove su una retta liscia sotto la sola azione di una forza elastica è spesso detto oscillatore armonico. Un oscillatore armonico ha la notevole proprietà di esibire solo moti periodici aventi tutti lo stesso periodo indipendentemente dalla loro ampiezza (proprietà dell’isocronismo, caratteristica delle piccole oscillazioni del pendolo semplice, che vedremo pi` u innanzi). — Se il punto è soggetto anche ad una forza viscosa, allora si parla di oscillatore armonico smorzato. 114

5.9 Quantit` a di moto ed energia cinetica di un punto Definizione

Si definisce quantità di moto del punto materiale (P, m) rispetto ad un dato

sistema di riferimento il vettore Q = mv . Nell’ipotesi di massa costante, siccome ma = essere cos`ı riscritta:

d(mv) dQ = , l’equazione di Newton può dt dt

dQ = F + Φ. (5.28) dt Questa equazione, a cui ci si riferisce come all’equazione della quantità di moto, vale però anche nel caso di massa variabile. Concettualmente essa è molto diversa dalla legge di Newton: infatti, mentre quest’ultima esprime il legame tra forze e variazione istantanea di velocità, la (5.28) lega le forze alla variazione istantanea della quantit` a di moto. Molti autori interpretano la legge di Newton come caso particolare dell’equazione della quantità di moto, ma qui si preferisce non entrare in disquisizioni circa quale delle due venga prima. Definizione

Si definisce energia cinetica di un punto materiale (P, m) rispetto ad un dato

sistema di riferimento Oxyz la grandezza scalare 1 1 T = mv 2 = ms˙ 2 . 2 2 Ovviamente v è la velocità di P rispetto all’osservatore Oxyz.

(5.29)

L’energia cinetica T , che non è mai negativa, può essere scritta immediatamente anche usando le coordinate cartesiane: T =

1 m(x˙ 2 + y˙ 2 + z˙ 2 ) . 2

5.10 Teoremi delle forze vive e di conservazione dell’energia Teorema delle forze vive (o dell’energia cinetica):

Il lavoro infinitesimo (o finito) compiuto

da tutte le forze applicate ad un punto è uguale alla variazione infinitesima (o finita) di energia cinetica. Sia dL ´ dL + dρ il lavoro infinitesimo di tutte le forze applicate al punto, sia attive che vincolari. Dimostriamo che dL = dT . Si ha infatti

dv dv ¢ v dt = dL = F ¢ dP + Φ ¢ dP = R ¢ dP = ma ¢ dP = m ¢ v dt = m dt dt 1 d 1 mv 2 d v2 =m dt = 2 dt = d mv 2 = dT . dt 2 dt 2 115

(5.30)

Consideriamo ora uno spostamento di P finito relativo ad un intervallo di tempo (t0 , t). Il lavoro finito L si ottiene integrando la (5.30) sull’intervallo suddetto. Si ha quindi t P (t) dL = dT , L = (γ) P (t0 )

t0

ossia, essendo dT il differenziale della funzione T (t), posto T = T (t) e T0 = T (t0 ), L = T ¡ T0 ,

(5.31)

col che il teorema è dimostrato. Definizione

Si chiama energia potenziale di un punto materiale soggetto ad una forza

attiva (risultante) conservativa la funzione V (x, y, z) = ¡U (x, y, z) . Definizione

Si chiama energia meccanica totale di un punto materiale soggetto ad una forza

attiva (risultante) conservativa la somma dell’energia cinetica T e dell’energia potenziale V. Vale il seguente importantissimo Teorema di conservazione dell’energia

L’energia meccanica totale di un punto materiale

libero, oppure vincolato con vincolo scleronomo liscio, soggetto ad una forza attiva (risultante) conservativa, rimane costante durante il moto, ossia T ¡U =T +V =E. Dimostrazione.

(5.32)

Sia U (P ) il potenziale delle forze applicate al punto P . Osserviamo che dL = R ¢ dP = F ¢ dP + Φ ¢ dP = dL + dρ = dL ,

in quanto il lavoro dρ della reazione vincolare, se c’è, è nullo (come si è visto alla fine del precedente capitolo nel caso di vincoli scleronomi perfetti). In virt` u della (5.30) si ha quindi dL = dT e, grazie al fatto che la forza attiva applicata a P è conservativa, si ha anche dL = dU . Ne consegue perci` o dT = dU , e quindi, integrando,

ossia

d(T ¡ U ) = 0 ,

T ¡ U = cost = E .

La costante E è determinata dalle condizioni iniziali: E = T0 ¡ U0 ,

T0 =

1 mv 2 , 2 0

U0 = U (P0 ) .

(5.33)

Osservato che questo teorema giustifica il nome di forze “conservative”, sottolineiamo il fatto che la relazione (5.32), poiché esprime un legame fra le funzioni x(t), y(t), z(t) e le 116

loro derivate x(t), ˙ y(t), ˙ z(t), ˙ costituisce un’equazione differenziale del I◦ ordine. Avendo le stesse incognite di una equazione del moto, se ci farà comodo, potremo utilizzarla al posto di una delle equazioni del moto. Ritorneremo sull’argomento un po’ pi` u avanti quando si parlerà degli integrali primi. Se alcune delle forze applicate al punto fanno si che la forza risultante non sia conservativa, allora indicando con Lr il lavoro finito compiuto da tali forze, si ha (T + V ) ¡ (T0 + V0 ) = Lr .

(5.34)

Se Lr < 0, le forze si ”oppongono” al moto e per questo sono dette resistenti. Pertanto, in questo caso, la (5.34) equivale ad affermare che se un punto è soggetto a forze resistenti, durante il moto la sua energia meccanica totale diminuisce di una quantità uguale a quella dissipata da tali forze. 5.11 Momento della quantit` a di moto di un punto Definizione

Si chiama momento della quantità di moto (o momento angolare) di un punto P

di massa m rispetto al polo O1 (e ad un dato osservatore Oxyz) il vettore K(O1 ) = mv £ (O1 ¡ P ) ,

(5.35)

essendo v la velocità di P rispetto ad Oxyz. Se O1 ´ O la forma cartesiana di K(O) è la seguente: K(O) = m(xi ˙ + yj ˙ + zk) ˙ £ (¡xi ¡ yj ¡ zk) = + m(z x˙ ¡ zx)j ˙ + m(xy˙ ¡ xy)k ˙ . = m(y z˙ ¡ yz)i ˙

(5.36)

Vale il seguente Teorema

Se il polo O1 è fisso rispetto ad Oxyz, si ha

dK(O1 ) = Ω(O1 ) + Ψ(O1 ) , (5.37) dt con Ω(O1 ) e Ψ(O1 ) momento risultante rispetto ad O1 rispettivamente delle forze attive e delle reazioni vincolari agenti su P . Dimostrazione : dO1 dK(O1 ) d dP = mv £ (O1 ¡ P ) = ma £ (O1 ¡ P ) + mv £ ¡ , dt dt dt dt e ricordando la legge di Newton, ed essendo O1 fisso e v ´ dP dt , dK(O1 ) = (F + Φ) £ (O1 ¡ P ) = Ω(O1 ) + Ψ(O1 ) . dt 117

5.12 Integrali primi del moto di un punto Definizione

Si definisce integrale primo del moto del punto P una funzione ϕ delle sue

coordinate x, y, z, delle componenti x, ˙ y, ˙ z˙ della sua velocità, e del tempo t, che rimane costante durante il moto. In altre parole, in ogni istante t si ha ϕ x(t), y(t), z(t), x(t), ˙ y(t), ˙ z(t), ˙ t =C ,

(5.38)

dove C è una costante, x(t), y(t), z(t) sono le leggi del moto di P e x(t), ˙ y(t), ˙ z(t) ˙ le corrispondenti derivate. La costante C si determina attraverso le condizioni iniziali. Un integrale primo del moto è a tutti gli effetti equivalente ad una equazione del moto, col vantaggio di essere un’equazione differenziale del I◦ ordine anziché del II◦ . Per questa ragione gli integrali primi, quando esistono, possono tornare molto utili ai fini dello studio del moto. Vediamo due esempi significativi di integrali primi collegati con le nozioni di energia totale, di quantità di moto e momento della quantità di moto introdotte in precedenza. a) Integrale primo dell’energia. La relazione (5.32), che esprime la conservazione dell’energia totale per un punto, fornisce l’integrale primo 1 m(x˙ 2 + y˙ 2 + z˙ 2 ) + V (x, y, z) = E . 2 b) Integrali primi assiali. Si ottengono dall’equazione della quantità di moto (5.20) quando il vettore risultante di tutte le forze applicate al punto ha componente sempre nulla lungo uno degli assi. Per esempio, (F + Φ) ¢ i = 0

)

dQ ¢i=0 dt

)

dQx =0, dt

per cui Qx = Cx ,

vale a dire

mx˙ = Cx = mv0x .

In questo caso si può parlare di conservazione della quantità di moto lungo l’asse x. Analogamente Q può conservarsi lungo gli assi y oppure z. In tali casi si avrebbe my˙ = Cy = mv0y

oppure

118

mz˙ = Cz = mv0z .

5.13 Pendolo semplice Definizione

Si chiama pendolo semplice o ideale o matematico un punto materiale, soggetto

solo al peso, vincolato senza attrito ad una circonferenza non orizzontale. Indicato con π il piano della circonferenza e con α l’angolo che π forma col piano orizzontale, assumiamo come sistema di riferimento il sistema Cxyz, con C centro della circonferenza, Ck normale a π ed orientato verso l’alto, Ci e Cj paralleli alle rette di π rispettivamente orizzontali e con la massima pendenza (anche j orientato verso l’alto). , levogiro rispetto a k (O punto pi` Assumiamo poi come parametro l’angolo θ = O u basso della circonferenza).

Volendo scrivere l’equazione di Newton ma = mg + Φ rispetto alla terna intrinseca t, n, b, b ´ k, scriviamo il peso prima rispetto a Cxyz e poi rispetto alla terna intrinseca. mg = ¡mg sin α j ¡ mg cos α k = ¡mg sin α sin θt ¡ mg sin α cos θn ¡ mg cos α k . Pertanto, indicato con ℓ il raggio della circonferenza e tenuto conto che Φ è normale al vincolo, l’equazione di Newton, proiettata su t, n e k, fornisce le tre equazioni scalari seguenti:  ¨   m ℓ θ = ¡mg sin α sin θ m ℓ θ˙ 2 = ¡mg sin α cos θ + Φn .   0 = ¡mg cos α + Φb

(5.39)

L’equazione (5.39) costituisce l’equazione del moto. Associandole le condizioni iniziali si ottiene il problema di Cauchy relativo al moto del pendolo semplice:  θ¨ + ω 2 sin θ = 0    θ(0) = θ0   ˙ θ(0) = θ˙0 , 119

(5.40)

dove si è posto

g sin α . ℓ

ω2 =

(5.41)

Osservazione: 0 < α · π2 . Se fosse α = 0, la circonferenza sarebbe orizzontale ed il moto sarebbe uniforme (θ˙ = costante), per cui non avremmo pi` u un “pendolo”. Lo studio delle soluzioni del problema di Cauchy (5.40) risulta alquanto complicato in quanto esse non sono esprimibili in termini di funzioni elementari. Per via analitica sono facilmente studiabili solo dei particolari moti approssimati detti piccole oscillazioni, ossia dei moti tali che il punto si mantenga sempre cos`ı vicino alla posizione θ = 0 per cui siano lecite le approssimazioni sin θ ' θ ,

cos θ ' 1 .

(5.42)

Osserviamo che la posizione θ = 0 non è una posizione qualunque, ma rappresenta una delle due posizioni d’equilibrio del pendolo. Infatti, l’equazione che fornisce le posizioni d’equilibrio, che si ottiene semplicemente uguagliando a zero il secondo membro di (5.39), è data da ¡mg sin α sin θ = 0 , da cui le due posizioni d’equilibrio θ1 = 0 e θ2 = π. Ma non è tutto: θ1 è posizione d’equilibrio stabile, mentre θ2 è posizione d’equilibrio instabile. Pi` u innanzi si vedrà cosa questo significhi da un punto di vista matematico. Fisicamente, nel caso di una posizione d’equilibrio stabile le forze tendono a far rimanere il punto in un intorno di tale posizione, mentre nel caso di una instabile le forze tendono ad allontanarlo. Dunque, nell’ipotesi di piccole oscillazioni attorno alla posizione di equilibrio stabile θ = 0, l’equazione del moto, “linearizzata” apportando la prima delle approssimazioni (5.42), diventa θ¨ + ω 2 θ = 0 , il cui integrale generale è dato, come abbiamo visto nel x5.8, da θ(t) = C cos(ωt + γ) . Le costanti C (ampiezza) e γ (fase iniziale), determinate imponendo le condizioni iniziali, sono date, come abbiamo visto, dalle (5.21) (ovviamente con θ0 e θ˙0 al posto rispettivamente di x0 e v0 ). Abbiamo dunque trovato che il punto, spostato di “poco” dalla posizione di equilibrio stabile θ = 0 e con una velocità “sufficientemente piccola”, descrive delle oscillazioni periodiche di ampiezza C intorno a tale posizione. Il periodo di queste oscillazioni, ricordando 120

la posizione (5.41), vale 2π T = = 2π ω

#

ℓ . g sin α

(5.43)

Osserviamo che T non dipende dall’ampiezza C. Questo fatto, che si esprime dicendo che le piccole oscillazioni del pendolo sono isocrone, fu osservato per la prima volta da Galileo ed è noto come legge dell’isocronismo del pendolo. I moti generici del pendolo semplice possono essere studiati qualitativamente mediante il teorema di Weierstrass, che in questo corso non trattiamo. Ci limitiamo solo a riportare i risultati di un tale studio. Il tipo di moto del pendolo semplice dipende dalle condizioni iniziali. Pi` u precisamente, dipende dal valore E dell’energia meccanica totale e dal suo rapporto con il valore massimo Vmax dell’energia potenziale. Prescindendo dai possibili casi di quiete, si hanno i tre casi seguenti: a) E > Vmax : il punto si muove sulla circonferenza sempre nello stesso verso con velocità che non si annulla mai. Per questa ragione spesso si parla di moto rivolutivo. b) E = Vmax :

il moto è asintotico verso la posizione (d’equilibrio instabile) θ = π.

c) E < Vmax : il moto è periodico. Si può dimostrare che il potenziale del pendolo semplice vale U (θ) = ¡mgl sin α(1 ¡ cos θ)

(5.44)

dove la costante arbitraria U ∗ è stata posta uguale a ¡mgl sin α in modo che U (0) = 0. Da (5.44) è facile verificare che Vmax = ¡U (π) = 2mgl sin α.

5.14 Moto ed equilibrio relativo Ci occupiamo ora di un argomento estremamente importante della Meccanica, argomento che va sotto il nome di Meccanica relativa del punto. Il problema da risolvere è il seguente: determinare il moto di un punto materiale (P, m) rispetto ad un osservatore O1 x1 y1 z1 , in moto rispetto ad un osservatore fisso Oxyz, noto il moto di O1 x1 y1 z1 rispetto ad Oxyz, nota la forza attiva agente su P rispetto ad Oxyz, e note le condizioni iniziali di P rispetto ad uno dei due osservatori. Nel seguito ci riferiremo a un problema di questo tipo come ad un problema di moto relativo del punto P . 121

Si può dimostrare (cosa che omettiamo) il seguente: Teorema

La legge di Newton vale qualunque sia l’osservatore.

Come si ricorderà, la validità della legge di Newton è stata postulata per i sistemi di riferimento inerziali. Questo teorema estende la sua validità a tutti i sistemi di riferimento. Ne consegue che se O1 x1 y1 z1 è un riferimento non inerziale, potremo sempre scrivere ma1 = R1 ,

(5.45)

con R1 , vettore risultante di tutte le forze agenti su P rispetto ad (O1 ), che è conveniente scrivere come R1 = F 1 + Φ1 , separando cos`ı le forze attive e le reazioni vincolari. Ora, mentre è chiaro che Φ1 = Φ in quanto le reazioni vincolari sono forze dovute a corpi e quindi assolute, non sappiamo quanto vale il vettore risultante F 1 delle forze attive agenti su P rispetto ad (O1 ). Ma F 1 è facilmente deducibile. Infatti, scritta l’equazione di Newton rispetto all’osservatore assoluto, ma = F + Φ , sfruttando il teorema di composizione delle accelerazioni, vi sostituiamo a con a1 + aτ + ac . Otteniamo cos`ı l’equazione m(a1 + aτ + ac ) = F + Φ , ossia, ma1 = F ¡ maτ ¡ mac + Φ .

(5.46)

Confrontando ora con ma1 = F 1 + Φ1 , e tenendo conto che Φ = Φ1 , si ha F 1 = F ¡ maτ ¡ mac .

(5.47)

Ebbene, posto F τ = ¡maτ e F c = ¡mac , le forze (P, F τ ) e (P, F c ) si chiamano rispetivamente forza di trascinamento e forza di Coriolis. Si può dunque affermare che la forza attiva risultante rispetto al sistema (O1 ) vale la forza attiva risultante rispetto al sistema (O) pi` u le forze di trascinamento e di Coriolis dovute al moto di (O1 ) rispetto ad (O). 122

Il concetto di forza da noi adottato è un concetto “relativo”: la forza agente su di un punto materiale dipende dall’osservatore. Esiste però anche una concezione “assoluta”, meno moderna (anche se adottata ancor oggi da molti autori di testi di Meccanica), secondo la quale le forze sono dovute solo a corpi e sono caratterizzate dal fatto di tendere a zero quando le reciproche distanze dei corpi tendono all’infinito. In base a questa seconda concezione, poiché l’accelerazione a(P ) varia con l’osservatore mentre F non cambia, la legge di Newton vale solo rispetto ad un osservatore inerziale. Per studiare il moto rispetto ad un osservatore non inerziale occorre ancora scrivere l’equazione (5.46), ma questa non è pi` u l’equazione di Newton. I termini ¡maτ e ¡mac , di cui bisogna sempre tenere conto, non sono pi` u dovuti a forze vere ma a forze fittizie, variabili con l’osservatore. Dunque, nelle due concezioni cambia l’interpretazione dei simboli, ma le formule rimangono inalterate. Osserviamo che se l’osservatore fisso (O) è un osservatore inerziale, allora il vettore F nella (5.47) è dovuto a tutte e sole le forze dovute a corpi, che sono le stesse per qualunque osservatore. Se invece (O) è un osservatore non inerziale, F è il risultante, oltre che delle forze dovute a corpi, anche di quelle di trascinamento e di Coriolis dovute al moto di (O) rispetto ad un osservatore inerziale. Dunque, è sempre conveniente assumere come osservatore fisso un osservatore inerziale. Ci si può porre anche il problema dell’equilibrio relativo di P . Ovviamente in questo caso il problema deve essere affrontato direttamente, imponendo che valga la condizione necessaria e sufficiente R1 = F 1 + Φ1 = 0 . In virt` u della (5.47) e tenendo conto che P in equilibrio rispetto ad (O1 ) significa v 1 = 0, e quindi ac = 2ω £ v 1 = 0, e di conseguenza anche F c = 0, l’equazione dell’equilibrio relativo è la seguente: F + Φ ¡ maτ = 0 .

(5.48)

Una considerazione importante è la seguente. Si supponga di dover determinare il moto (o l’equilibrio) di un punto P (soggetto ad un dato sistema di forze attive dovute a corpi) rispetto ad un assegnato sistema di riferimento (O) non inerziale. Ebbene, si tratta di un problema di dinamica (o statica) relativa. Infatti, per ottenere il risultante F 1 delle forze attive agenti su P rispetto ad (O), occorre considerare anche le forze di trascinamento e di Coriolis dovute al moto di (O) rispetto ad un osservatore inerziale. 123

Il caso pi` u semplice, ma nondimeno significativo, di moto relativo si ha quando il sistema relativo (O1 ) trasla. In questo caso la forza di trascinamento agente sul punto materiale (P, m) ha vettore F τ = ¡m

d2 O1 , dt2

mentre la forza di Coriolis, essendo ω = 0, è nulla. Se si considera un sistema di N punti materiali (Ps , ms ), allora le forze di trascinamento ` costituiscono un sistema di forze parallele concordi (Ps , ¡ms a(O1 )), e quindi con centro. E facile verificare che tale centro coincide col baricentro. Di conseguenza, posto M = s ms ,

vale il seguente Teorema

Il sistema delle forze di trascinamento agenti su un sistema di punti rispetto ad

un riferimento (O1 ) traslante è equivalente ad un’unica forza di vettore F τ = ¡M a(O1 ), con asse centrale parallelo ad a(O1 ) e ante per G. 5.15 Forza centrifuga Consideriamo ora la forza di trascinamento agente su di un punto P : (P, F τ = ¡maτ ). Indichiamo con γτ la curva di trascinamento descritta da P , cioè la curva percorsa da P pensato solidale con (O1 ). Indichiamo poi con sτ , ρcτ , tτ e nτ l’ascissa curvilinea, il raggio di curvatura, il versore tangente e il versore normale associati alla posizione di P su γτ . Possiamo quindi scrivere s˙ 2 s˙ 2 F τ = ¡m s¨τ tτ + τ nτ = ¡m¨ s τ tτ ¡ m τ n τ . ρcτ ρcτ La componente s˙ 2τ nτ , ρcτ si chiama forza centrifuga agente su P . F τ c = ¡m

Caso particolare significativo.

(5.49)

Consideriamo il caso in cui il sistema (O1 ) si muove rispetto

ad (O) di moto rotatorio attorno ad un asse fisso (A, a) con velocità angolare ω = ωa. In tal caso la curva di trascinamento di un punto P è una circonferenza di centro la sua proiezione P0 sull’asse. Di conseguenza la componente normale dell’accelerazione aτ vale ω 2 (P0 ¡ P ), da cui (5.50)

F τ c = mω 2 (P ¡ P0 ) . 124

Un esempio di forza centrifuga, e pi` u in generale, di problema di equilibrio relativo, è già stato visto quando si è definita la forza peso agente su un punto nel x4.19. Il peso di un punto materiale, infatti, è la forza F 1 = F ¡ maτ che deve essere compensata perchè P sia in equilibrio rispetto ad un riferimento solidale con la terra. F è la forza assoluta, cioè dovuta a corpi, e quindi è la risultante delle forze d’attrazione Newtoniana, che approssimiamo considerando solo l’attrazione della terra. La forza di trascinamento ¡maτ , dovuta al moto della terra rispetto ad un sistema stellare (riferimento inerziale), è invece approssimata dalla forza centrifuga agente su P per effetto della rotazione uniforme 2π della terra attorno al proprio asse, ed ha quindi l’espressione (5.50) con ω = g velocità 1 angolare della terra. Osservazione. L’unico caso in cui la forza centrifuga è nulla si ha quando il sistema (O1 ) trasla di moto rettilineo.

125

6. MECCANICA DEI SISTEMI

In questo ultimo e fondamentale capitolo tratteremo la Meccanica dei sistemi. A tal fine supporremo che il sistema meccanico considerato sia costituito dai punti Ps , s = 1, ..., N , e che su di esso agiscano i sistemi delle forze attive (Ps , F s ), con vettori caratteristici F e Ω(O) e delle reazioni vincolari (Ps , Φs ), con vettori caratteristici Φ e Ψ(O). Se poi si vorrà distinguere tra forze interne ed esterne, allora rappresenteremo le forze attive esterne con (Ps , F es ) e quelle interne con (Ps , F is ), le reazioni vincolari esterne con (Ps , Φes ) e quelle interne con (Ps , Φis ). I loro vettori risultanti saranno indicati con F e , F i , Φe e Φi e i momenti risultanti con Ωe (O), Ωi (O), Ψe (O) e Ψi (O), senza specificarne il polo quando non necessario. Occorre però avere ben presente che, essendo i sistemi delle forze attive e delle reazioni vincolari interne equivalenti al sistema nullo, si ha F = Fe + Fi = Fe ,

Ω(O) = Ωe (O) + Ωi (O) = Ωe (O) ,

Φ = Φe + Φi = Φe ,

Ψ(O) = Ψe (O) + Ψi (O) = Ψe (O) .

6.1 Equilibrio di un sistema meccanico Tra i possibili moti di un sistema meccanico ci può anche essere ”l’equilibrio”, che ha luogo quando il sistema rimane sempre fermo nella stessa configurazione C0 = q0 . In questo caso i parametri lagrangiani qi (t) si mantengono costanti (ovviamente qi (t) = qi0 ), e rappresentano una soluzione stazionaria delle equazioni differenziali del moto del sistema (di cui parleremo pi` u innanzi). Estendendo la definizione già data per un punto (vedi x5.5), diamo la seguente Definizione

Dato un sistema meccanico qualunque, una configurazione C0 si dice d’equilibrio

per il sistema se esso, posto in quiete in C0 all’istante t0 , vi rimane anche per ogni t > t0 . Spesso, anziché dire che il sistema è in quiete nella configurazione d’equilibrio C0 , si dice che esso è in equilibrio in C0 . Andiamo ora ad occuparci dei metodi che permettono di determinare le configurazioni d’equilibrio dei sistemi meccanici e, se interessano, le relative reazioni vincolari. In altre 126

parole, andiamo a trattare il capitolo della Meccanica che tradizionalmente va sotto il nome di STATICA. I metodi che vedremo sono due: il metodo dei lavori virtuali e il metodo delle equazioni cardinali. Nel caso di sistemi conservativi vedremo anche un terzo metodo, il metodo del potenziale, molto pratico, ma utile solo per il calcolo delle configurazioni d’equilibrio. Nota bene: essendo in Statica, come supposto alla fine del x5.1, le forze sono assunte posizionali. 6.2 Principio dei lavori virtuali Vale il seguente importantissimo Principio dei lavori virtuali: C.N.S. perché una configurazione C0 sia d’equilibrio per un sistema meccanico a vincoli perfetti è che il lavoro virtuale delle forze attive sia negativo o nullo per ogni spostamento virtuale del sistema a partire da C0 , ossia δL =

N

F s ¢ δPs · 0 ,

8δC .

(6.1)

s=1

Mentre la condizione necessaria pu` o facilmente essere dimostrata, la condizione sufficiente è postulata. Dimostriamo dunque la necessaria. Sia C0 = q0 ´ (q10 , q20 , ..., qn0 ) una configurazione d’equilibrio del sistema. Ciò significa che, posto il sistema in quiete in C0 all’istante t0 , vi rimane anche per t > t0 . Di conseguenza ciascun punto materiale Ps del sistema è in equilibrio per t ¸ t0 , e quindi il sistema di forze agenti su Ps è equivalente al sistema nullo. Si ha cioè F s + Φs = 0 ,

s = 1, ..., N .

(6.2)

Se si considera uno spostamento virtuale del sistema δC ´ (δP1 , δP2 , ..., δPN ), moltiplicando scalarmente (6.2) per δPs e sommando rispetto ad s, si ottiene s

F s + Φs ¢ δPs = 0 .

Ma in virt` u dell’ipotesi di vincolo perfetto vale la (4.43), ossia δρ =

N

Φs ¢ δPs ¸ 0 ,

s=1

e di conseguenza vale la (6.1). 127

Osservazioni importanti. a) La disuguaglianza (6.1), implica il segno di uguaglianza in corrispondenza ad ogni δC invertibile. Di conseguenza, se C0 è di tipo interno, ogni δC è invertibile e quindi ogni δL è nullo. Se invece C0 è di confine, allora δL è nullo per i δC invertibili e in generale negativo per i δC non invertibili. b) Nel caso di un corpo rigido la disuguaglianza (6.1), tenendo conto del fatto che il lavoro virtuale delle forze attive ha un’espressione formalmente uguale alla (4.33), diventa: δL = F e ¢ δO1 + Ωe (O1 ) ¢ aδθ · 0 ,

c)

8δC = δO1 , (O1 , δθa) .

(6.3)

Il principio dei lavori virtuali costituisce uno strumento estremamente utile ai fini

del calcolo delle configurazioni d’equilibrio in quanto coinvolge solamente le forze attive. Tuttavia esso permette anche il calcolo delle reazioni vincolari. A tal fine occorre : — eliminare i vincoli, uno o pi` u alla volta, sostituendoli con le relative reazioni vincolari; — riguardare le reazioni vincolari come forze attive, ed applicare il principio in corrispondenza di opportuni spostamenti virtuali, compatibili con i vincoli rimasti, che facciano “lavorare” le reazioni; — riscrivere la (6.1) tante volte fino ad ottenere un numero di equazioni (indipendenti) pari al numero delle reazioni vincolari che si vogliono calcolare; — risolvere infine il sistema di equazioni cos`ı ottenuto. Gli esempi che riporteremo pi` u avanti chiariranno meglio il senso di queste affermazioni. 6.3 Configurazioni d’equilibrio interne dei sistemi olonomi a vincoli perfetti La prima utile applicazione del principio dei lavori virtuali è rivolta alla determinazione delle configurazioni d’equilibrio, in particolare di quelle interne, di un sistema olonomo a vincoli perfetti. A tal fine supponiamo, come al solito, che il sistema abbia n gradi di libertà, con parametri lagrangiani qi . Ricordando l’espressione del lavoro virtuale delle forze attive mediante le forze generalizzate di Lagrange, (6.1) diventa δL =

Qk δqk · 0 ,

8δC ´ (δq1 , δq2 , ..., δqn ) .

(6.4)

k

Determiniamo le configurazioni d’equilibrio interne. In questo caso ciascun δqk ammette anche il suo opposto ¡δqk , e quindi ogni spostamento virtuale δC del sistema è invertibile. Di conseguenza la (6.4) vale col segno di uguaglianza. 128

Essendo poi il sistema olonomo, i δqk sono indipendenti, e quindi si possono considerare gli n spostamenti virtuali del tipo δCk ´ (δq1 = 0, ..., δqk−1 = 0, δqk 6 = 0, δqk+1 = 0, ..., δqn = 0) . In corrispondenza dello spostamento δCk la (6.4) fornisce Qk δqk = 0 ,

e quindi

Qk = 0 .

Debbono quindi essere soddisfatte le n equazioni  Q1 (q1 , q2 , ..., qn ) = 0       Q2 (q1 , q2 , ..., qn ) = 0

 ..................      Qn (q1 , q2 , ..., qn ) = 0 .

(6.5)

Le configurazioni d’equilibrio interne del sistema meccanico sono tutte comprese fra le soluzioni di questo sistema di n equazioni nelle n incognite qi . Si noti che eventuali soluzioni rappresentanti configurazioni di confine sono pure d’equilibrio. 6.4 Equilibrio dei sistemi conservativi Definizione

Un sistema meccanico conservativo è un sistema olonomo, scleronomo, a vincoli

perfetti e soggetto ad un sistema conservativo di forze attive. Teorema

Le configurazioni d’equilibrio interne di un sistema meccanico conservativo

sono tutte e sole quelle nelle quali il potenziale U è stazionario. Poiché il sistema delle forze attive è conservativo, esiste una funzione U = U (q1 , q2 , ..., qn ), che abbiamo chiamato potenziale, con la proprietà che Qk =

∂U , ∂qk

k = 1, ..., n .

Di conseguenza il sistema (6.5), che vale in quanto il sistema meccanico è olonomo, scleronomo e a vincoli perfetti, diventa ∂U = 0, ∂qk

k = 1, ..., n .

(6.6)

Ricordiamo che tra i punti di stazionarietà di una funzione ci sono i punti di minimo e di massimo. 129

A titolo di esempio consideriamo il pendolo semplice. Il potenziale è dato dalla (5.44): U (θ) = ¡mgl sin α(1 ¡ cos θ), con 0 · θ < 2π. Le posizioni d’equilibrio θi∗ coincidono con i punti di stazionarietà di U (θ), e quindi sono date dalle soluzioni dell’equazione U ′ (θ) = ¡mgl sin α sin θ = 0 . θ1∗ = 0, θ2∗ = π .

Si ha dunque:

6.5 Stabilit` a dell’equilibrio In questo paragrafo introduciamo un nuovo importante concetto: quello di stabilità dell’equilibrio. Definizione

Una configurazione d’equilibrio C0 si dice stabile se esiste un intorno di C0 ,

che indichiamo con I(C0 ), tale che il lavoro ∆L = (Γ)

C C0

dL = (Γ)

C

C0

F s ¢ dPs

s

sia negativo qualunque C 2 I(C0 ), e qualunque sia la “traiettoria” Γ 2 I(C0 ) da C0 a C. Invece, se ∆L > 0 8 C e 8 Γ appartenenti a I(C0 ) , C0 è detta di equilibrio instabile. Inoltre, se ∆L = 0 8 C e 8 Γ appartenenti a I(C0 ) , C0 è detta di equilibrio indifferente. Commento. Cosa significa affermare che ∆L è negativo per ogni spostamento da C0 ad una qualunque configurazione C all’interno di un intorno di C0 ? Significa che il sistema delle forze attive tende ad opporsi a che il sistema meccanico si allontani, in una qualunque ”direzione”, da C0 . Ciò giustifica l’attributo ”stabile”. Al contrario, l’equilibrio è ”instabile” se il sistema delle forze agisce sempre a favore di un allontanamento del sistema meccanico da C0 . Come esempi si considerino il pendolo semplice nel punto pi` u basso (equilibrio stabile) e nel punto pi` u alto (equilibrio instabile), oppure un punto materiale, sempre soggetto al solo peso, vincolato ad un piano orizzontale (equilibrio indifferente). Cos’è un intorno I(C0 ) ? Dato un sistema meccanico, ed una sua configurazione interna C0 = q0 , un intorno I(C0 ) è, ad esempio, il seguente: I(C0 ) ´ (q10 ¡ ǫ, q10 + ǫ) £ (q20 ¡ ǫ, q20 + ǫ) £ ¢ ¢ ¢ £ (qn0 ¡ ǫ, qn0 + ǫ) . Naturalmente I(C0 ) è contenuto nello spazio n¡dimensionale delle configurazioni.

130

Sistemi meccanici conservativi Nel caso di un sistema meccanico conservativo le definizioni appena date di equilibrio stabile e instabile si collegano immediatamente al potenziale attraverso il seguente Teorema

(senza dimostrazione):

Una configurazione interna C0 è di equilibrio stabile per un sistema meccanico conservativo se e solo se è un punto di massimo per il potenziale U , ed è di equilibrio instabile se e solo se è un punto di minimo. Sistemi meccanici conservativi con solo il peso Se il sistema delle forze esterne è costituito dalle sole forze peso, il potenziale è dato dalla (4.39), ossia U = ¡M gzG + U ∗ . Da ciò segue l’ovvio Teorema di Torricelli : in un sistema meccanico conservativo con solo la forza peso le configurazioni d’equilibrio stabile si hanno quando zG è minima e quelle di equilibrio instabile quando zG è massima. Osserviamo che se il sistema meccanico ha n gradi di libertà con parametri lagrangiani qi , allora zG = zG (q), e quindi il problema è ancora quello di determinare minimi e massimi di una funzione ad n variabili. Ovviamente, se questa funzione non ha minimi, allora non ci sono configurazioni d’equilibrio stabile, cos`ı come se non ci sono massimi, non ci sono neppure configurazioni d’equilibrio instabile. Un’applicazione immediata del teorema di Torricelli si ha nel caso del pendolo semplice. zG , che ovviamente coincide con zP , è minima per θ = 0 e massima per θ = π. Di conseguenza θ = 0 rappresenta la posizione d’equilibrio stabile e θ = π quella d’equilibrio instabile. Il principio dei lavori virtuali costituisce uno dei possibili strumenti utilizzabili per determinare le configurazioni d’equilibrio e le relative reazioni vincolari di un qualunque sistema meccanico, purché a vincoli perfetti. Attraverso una sua applicazione ai sistemi olonomi, abbiamo poi visto che le configurazioni d’equilibrio interne di un sistema conservativo corrispondono ai punti di stazionarietà del potenziale, con l’importantissima proprietà che nei punti di massimo l’equilibrio è stabile, mentre in quelli di minimo l’equilibrio è instabile. A questi due strumenti, principio dei lavori virtuali e metodo del potenziale, che abbiamo già a disposizione, andiamo ora ad aggiungerne un terzo: 131

le equazioni cardinali della statica. Procederemo ricavandole, anche se costituiscono un caso particolare delle equazioni cardinali della Dinamica che ricaveremo pi` u innanzi. Il ricavarle separatamente porta s`ı a qualche ripetizione e ad una leggera perdita di tempo, però permette una maggior chiarezza e una miglior organizzazione delle esercitazioni.

6.6 Equazioni cardinali della statica Teorema

Dato un sistema meccanico qualunque, condizione necessaria perché C0 sia

configurazione d’equilibrio è che

F e + Φe = 0

(6.7)

Ωe + Ψe = 0 .

Dimostrazione $ % Sia C0 = q0 ´ (q10 , q20 , ..., qn0 ) una configurazione d’equilibrio e (Ps , Φs ), s = 1, ..., N un sistema di reazioni vincolari che realizza i vincoli a cui il sistema meccanico è soggetto. Poiché C0 è configurazione d’equilibrio, il sistema posto in C0 in quiete all’istante t0 , vi rimane anche per t > t0 . Ne consegue che ciascun punto Ps del sistema materiale rimane in equilibrio nella posizione che occupa all’istante t0 . Di conseguenza deve essere F es + F is + Φes + Φis = 0 ,

s = 1, . . . , N .

(6.8)

Sommando su tutti i punti del sistema, risulta N F es + F is + Φes + Φis = F e + F i + Φe + Φi = 0 , s=1

e tenendo conto del fatto che F i = Φi = 0 , si ottiene la prima delle (6.7). Moltiplicando poi vettorialmente a destra ciascuna delle relazioni (6.8) per (O ¡ Ps ), con O punto qualunque, si ha F es + F is + Φes + Φis £ (O ¡ Ps ) = 0 ,

s = 1, . . . , N ,

e sommando quindi su tutti i punti, si ottiene

N F es + F is + Φes + Φis £ (O ¡ Ps ) = Ωe (O) + Ωi (O) + Ψe (O) + Ψi (O) = 0 . s=1

Poiché Ωi (O) = Ψi (O) = 0, segue

Ωe (O) + Ψe (O) = 0 , che grazie alla prima delle (6.7) è indipendente dal polo. Risulta cos`ı dimostrata anche la necessarietà della seconda equazione cardinale della statica. 132

Osservazioni — Dalla dimostrazione appena fatta è evidente che il teorema vale anche scrivendo le equazioni (6.7) per tutte le forze attive e le reazioni vincolari sia esterne che interne, ossia

F +Φ=0 Ω +Ψ = 0.

(6.9)

Scrivere (6.7) anzichè (6.9) ha il pregio di mettere in evidenza la irrelevanza, nelle equazioni cardinali della statica, delle forze e delle reazioni vincolari interne. Pi` u avanti vedremo che ciò è vero anche per le equazioni cardinali della dinamica. — Scrivendo (6.7) o (6.9) si è omesso il polo in quanto irrilevante. Infatti, in virt` u della relazione (4.15) e della prima delle equazioni (6.7) o (6.9), l’equazione dei momenti, se verificata per un polo O, risulta verificata per qualunque altro polo O1 . Vale poi il seguente importantissimo teorema (che non dimostriamo): Teorema

Se il sistema materiale è un corpo rigido, soggetto a vincoli perfetti, le equazioni

(6.7) sono pure condizioni sufficienti perché una configurazione C0 sia d’equilibrio per il sistema. 6.7 Problemi staticamente determinati Le equazioni cardinali (6.7) rappresentano dunque delle condizioni necessarie e sufficienti per l’equilibrio di un corpo rigido. Quali sono le incognite di queste equazioni ? Ebbene, le incognite sono gli n parametri lagrangiani fqk g, che danno le configurazioni d’equilibrio, e le reazioni vincolari. In generale (cioè escludendo casi particolari quali i sistemi piani) le due equazioni vettoriali (6.7) sono equivalenti a 6 equazioni scalari. Tale sistema è dunque risolubile, in generale, solo quando anche le incognite sono esattamente 6. L’esperienza dimostra tuttavia che dalle (6.7) è sempre possibile dedurre n equazioni che non contengono le reazioni vincolari, per cui il problema dell’equilibrio (cioè il problema di determinare le configurazioni d’equilibrio) è sempre risolubile. Ogni n—pla (q1∗ , q2∗ , ..., qn∗ ) soluzione del sistema rappresenta una configurazione d’equilibrio, purchè le relative reazioni vincolari siano compatibili con la natura dei vincoli. Il senso di questa ultima affermazione risulterà pi` u chiaro dagli esempi che seguono relativi a dei vincoli d’appoggio. Supposto che i vincoli siano lisci, ogni reazione vincolare può essere totalmente o parzialmente incognita. Se è totalmente incognita, essa comporta tre incognite scalari. Se si sa 133

che la reazione vincolare sta in un piano, allora le incognite scalari sono due. Nel caso poi che la direzione sia nota, allora l’incognita è una sola. In quest’ultimo caso può essere noto anche il verso: ciò comporta che l’incognita soddisfi anche ad una disequazione. Dunque, ogni reazione vincolare implica, a seconda del tipo di vincolo, da una a tre incognite scalari. Il numero delle incognite dovute alle reazioni vincolari dipende dunque dal numero dei vincoli e dalla loro natura. Diremo che un problema di equilibrio per un corpo rigido è staticamente determinato se il numero di reazioni vincolari scalari è 6¡n, il che è equivalente ad affermare che il numero di reazioni vincolari è quello minimo sufficiente a rappresentare i vincoli a cui è soggetto il corpo rigido. Se il numero delle reazioni vincolari è maggiore di 6¡n, allora il problema è staticamente indeterminato, e non è possibile determinare tutte le reazioni vincolari. In quest’ultimo caso si dice anche che il sistema meccanico è iperstatico. Consideriamo ora il caso generale di un sistema meccanico qualunque ad n gradi di libertà, composto di punti e di corpi rigidi. In tal caso applicando a ciascun punto l’equazione dell’equilibrio (5.13) e a ciascun corpo rigido le equazioni (6.7) si scrive un sistema di m equazioni. Ebbene, il problema sar` a staticamente determinato se il numero delle reazioni vincolari scalari che compaiono nel sistema è esattamente m ¡ n. Ciò sarà verificato ogni volta che il numero (ed il tipo) di reazioni vincolari introdotte è quello minimo indispensabile a realizzare i vincoli del sistema. Sull’argomento dei sistemi composti si tornerà pi` u avanti con uno specifico paragrafo. Andiamo ora a considerare un paio di esempi significativi di corpi rigidi diversamente vincolati. Questi esempi, già interessanti di per se stessi, potranno anche essere utili ai fini di una miglior comprensione della teoria appena svolta. I vincoli saranno supposti lisci. Ciascun corpo rigido sarà supposto soggetto ad un dato sistema di forze attive esterne (As , F s ), s = 1, . . . , N , i cui vettori caratteristici saranno denotati con F e e Ωe . Risolveremo il problema dell’equilibrio e della determinazione delle reazioni vincolari (ovviamente nel caso di problema staticamente determinato) sia con le equazioni cardinali che col principio del lavori virtuali. Nell’applicazione di quest’ultimo faremo uso della condizione (6.3), tenendo conto che essa vale col segno di uguale se δC è invertibile.

134

6.8 Equilibrio di un corpo rigido con un asse fisso Un corpo rigido con un asse fisso ha un unico grado di libert` a rappresentato dall’angolo θ di rotazione del corpo. Assunto un riferimento Oxyz con Oz coincidente con l’asse fisso, l’angolo θ può essere definito come l’angolo solido che un semipiano solidale col corpo ed uscente dall’asse forma, per esempio, con il semipiano fisso Oxz (x > 0). Con le equazioni cardinali della statica Supponiamo che l’asse sia stato fissato in due punti: Q1 ´ O ´ (0, 0, 0) (la scelta di O è a nostra discrezione) e Q2 ´ (0, 0, h). Il sistema di reazioni vincolari esterne consta allora delle reazioni (Q1 , Φ1 = Φ1x i + Φ1y j + Φ1z k) e (Q2 , Φ2 = Φ2x i + Φ2y j + Φ2z k). Osserviamo che le reazioni vincolari, essendo applicate all’asse, hanno momento risultante normale all’asse stesso. Infatti Ψe (O) =

2

Φr £ (O ¡ Qr ) = Φ2 £ (O ¡ Q2 ) =

r=1

= (Φ2x i + Φ2y j + Φ2z k) £ (¡hk) = ¡hΦ2y i + hΦ2x j .

(6.10)

Andiamo dunque a scrivere le 6 equazioni scalari che si ottengono proiettando sugli assi le due equazioni (6.7). Posto F e = Fex i + Fey j + Fez k , si ottiene

Ωe (O) = Ωex i + Ωey j + Ωez k ,

 Fex + Φ1x + Φ2x = 0       Fey + Φ1y + Φ2y = 0      F + Φ + Φ = 0 ez

1z

2z

  Ωex ¡ hΦ2y = 0       Ωey + hΦ2x = 0     Ωez = 0 .

(6.11)

L’ultima equazione di questo sistema non contiene le reazioni vincolari. Poiché il problema ha un solo grado di libertà, si tratta dell’equazione che fornisce le configurazioni d’equilibrio. Riscriviamola mettendone in evidenza l’incognita θ: Ωez (θ) = 0 . 135

(6.12)

Le configurazioni d’equilibrio del corpo rigido sono tante quante le soluzioni θ ∗ di (6.12). Ci proponiamo ora di determinare le reazioni vincolari nelle configurazioni d’equilibrio. Ciò è possibile se il problema è staticamente determinato, ossia se il numero delle reazioni vincolari scalari è 5 (= 6 ¡ 1). Osserviamo subito che fissando due punti dell’asse abbiamo 6 reazioni vincolari scalari da determinare, il che rende il problema staticamente indeterminato. Ciò è dovuto al fatto che per fissare un asse del corpo, non è necessario fissarne due punti, ma basta fissarne uno e mettere un anello nell’altro, impedendo cos`ı gli spostamenti normali all’asse. Assumiamo dunque che in Q2 ci sia un anello. In questo caso, essendo Φ2 normale all’asse, si ha Φ2 = Φ2x i + Φ2y j. Le prime cinque equazioni del sistema (6.11) diventano quindi:  Fex + Φ1x + Φ2x = 0       Fey + Φ1y + Φ2y = 0    Fez + Φ1z = 0 (6.13)      Ωex ¡ hΦ2y = 0     Ωey + hΦ2x = 0 ,

dove le componenti di F e e Ωe (O) sono calcolate nelle configurazioni d’equilibrio. Il sistema (6.13) determina in modo univoco (ed immediato) le reazioni vincolari. Con il principio dei lavori virtuali Perché una configurazione C0 sia d’equilibrio occorre e basta che la condizione (6.3) sia soddisfatta per qualunque δC. Sia O1 un punto qualunque dell’asse fisso. Consideriamo l’unico spostamento consentito dai vincoli (assieme al suo opposto), che consiste in una rotazione infinitesima attorno all’asse fisso (O1 , k) :

δO1 = 0 , (O1 , δθk) ,

con δθ 6 = 0.

Essendo tale rotazione invertibile, la (6.3) comporta δL = Ωe (O1 ) ¢ kδθ = 0 ,

e quindi, essendo δθ 6 = 0,

Ωez (θ) = 0 .

Si è dunque ritrovata l’equazione (6.12). Poniamoci ora il problema di determinare le reazioni vincolari nelle configurazioni d’equilibrio nel caso che il problema sia staticamente determinato, cioè nel caso dei due vincoli seguenti: Q1 fissato e Q2 impedito tramite un anello nei suoi movimenti normali all’asse. Come prima, sia h = Q1 Q2 . 136

Sopprimiamo dapprima solo il vincolo in Q2 e lo sostituiamo con la reazione vincolare Φ2 = Φ2x i + Φ2y j, che riguardiamo come forza attiva. Ora il corpo rigido ha come unico vincolo il punto fisso Q1 . Sono dunque possibili le rotazioni (tutte invertibili) attorno ad un qualunque asse (Q1 , a). La (6.3) diventa perciò δL = Ωe (Q1 ) + Φ2 £ (Q1 ¡ Q2 ) ¢ aδθ = 0 ,

8a e 8δθ 6 = 0,

e per l’arbitrarietà di a ne consegue

Ωe (Q1 ) + Φ2 £ (¡hk) = 0 . Proiettando sugli assi x e y si ottengono le due ultime equazioni di (6.13), che forniscono le componenti di Φ2 . Infine, per calcolare la reazione vincolare dovuta al vincolo in Q1 , sopprimiamo anche questo e lo sostituiamo con la forza di vettore Φ1 = Φ1x i+Φ1y j+Φ1z k. Il corpo ora è libero, soggetto, oltre che al sistema di forze attive, anche a (Q1 , Φ1 ) e (Q2 , Φ2 ). Immaginiamo di far compiere al corpo, prima una traslazione infinitesima parallela all’asse x, δO1 = δxi, poi una parallela all’asse y, δO1 = δyj, ed infine una parallela all’asse z, δO1 = δzk. Ovviamente si tratta di spostamenti invertibili, per cui in tutti tre i casi deve essere δL = (F e + Φ1 + Φ2 ) ¢ δO1 = 0 . Si riottengono cos`ı le tre prime equazioni di (6.13). 6.9 Equilibrio di un corpo rigido appoggiato in un punto ad un piano Consideriamo ora un corpo rigido C appoggiato in un punto O1 ad un piano fisso Π liscio. Supposto che la superficie σ del corpo sia regolare, il piano tangente a σ in O1 coincide con Π. Si vuole studiare l’equilibrio di C rispetto ad un sistema di riferimento Oxyz, con il piano Oxy coincidente con Π e l’asse z orientato da Π verso C . Il problema ha cinque gradi di libertà. Assumiamo come parametri lagrangiani le due coordinate x e y di O1 su Π e i tre angoli di Eulero ψ, ϕ e θ di C , definiti mediante un sistema solidale con origine in un punto O2 di C (ovviamente distinto dal punto di contatto O1 che, in generale, varia). Ciò premesso, si abbia F e = Fex i + Fey j + Fez k. 137

Con le equazioni cardinali della statica La reazione vincolare (O1 , Φ) ha come direzione quella della normale a Π. Trattandosi poi di un vincolo di appoggio, il vettore Φ è diretto da Π verso C , ossia Φ = Φk, con Φ ¸ 0. Andiamo a scrivere le equazioni cardinali. La prima implica F e = ¡Φ = ¡Φk, la seconda Ωe (O1 ) = 0. Il sistema di equazioni scalari che forniscono le configurazioni d’equilibrio è perciò il seguente:

 F (x, y, ψ, ϕ, θ) = 0   ex     Fey (x, y, ψ, ϕ, θ) = 0    Ωex (x, y, ψ, ϕ, θ) = 0      Ωey (x, y, ψ, ϕ, θ) = 0     Ωez (x, y, ψ, ϕ, θ) = 0

(6.14)

La sesta equazione scalare comporta invece Φ = ¡Fez . Dovendo essere Φ ¸ 0, ne consegue che le configurazioni d’equilibrio sono date dalle soluzioni (x∗ , y ∗ , ψ ∗ , ϕ∗ , θ ∗ ) di (6.14) tali che Fez (x∗ , y ∗ , ψ ∗ , ϕ∗ , θ∗ ) · 0. Soluzioni di (6.14) che non soddisfano questa condizione non sono d’equilibrio: Φ < 0 implicherebbe che C si distacca dal piano Π. Quanto trovato permette di formulare il seguente Teorema

C.N.S. affinché una configurazione C0 sia d’equilibrio per un corpo rigido C

appoggiato in un punto O1 ad un piano, è che il sistema delle forze attive esterne sia equivalente ad un’unica forza ante per O1 , normale al piano in O1 ed orientata da C verso il piano, oppure al sistema nullo. Con il principio dei lavori virtuali Consideriamo dapprima una traslazione δO1 di C parallela al piano Π (che coincide con Oxy), e quindi invertibile. In tal caso (6.3) diventa δL = F e ¢ δO1 = 0

8δO1 k Π ,

e quindi deve essere Fe ? Π, per cui debbono valere le prime due equazioni di (6.14). Se la traslazione δO1 , anziché tangente a Π, è di distacco, allora δL = F e ¢ δO1 · 0 , il che implica che l’angolo tra δO1 e F e deve essere ottuso. In altre parole, F e deve essere diretta da C verso Π. Si ha quindi F e = Fez k, con Fez ·0. 138

Se consideriamo poi uno spostamento virtuale rotatorio (O1 , aδα) con a versore arbitrario, essendo anch’esso invertibile, si avr` a δL = Ωe (O1 ) ¢ aδα = 0

8a .

Di conseguenza deve essere Ωe (O1 ) = 0 , come già visto con le equazioni cardinali. Per determinare la reazione vincolare dovuta all’appoggio in O1 , supponiamo di sopprimere l’appoggio e di applicare in O1 la forza di vettore Φ. Applicando di nuovo (6.3) in corrispondenza di una traslazione δO1 qualunque, si ottiene δL = (F e + Φ) ¢ δO1 = 0

8δO1 ,

e quindi Φ = ¡F e . 6.10 Sistemi composti In generale un sistema meccanico risulta composto di uno o pi` u punti materiali e di uno o pi` u corpi, fra di loro variamente vincolati. Ciascun corpo può poi essere rigido o deformabile. La teoria svolta nel presente corso di Meccanica Razionale fornisce tutti gli strumenti necessari per risolvere il problema del moto o dell’equilibrio nel caso che tutti i corpi in questione siano rigidi. Muovendoci in questa ipotesi, facciamo ora alcune considerazioni circa la soluzione del problema dell’equilibrio mediante le equazioni cardinali della statica. Queste considerazioni potranno essere facilmente estese al problema del moto quando lo si affronti con le equazioni cardinali della dinamica (che vedremo pi` u avanti). Un qualunque sistema meccanico è in equilibrio in una configurazione C0 se e solo se in tale configurazione ogni suo punto è in equilibrio. Ne consegue che le configurazioni d’equilibrio di un sistema composto saranno quelle per cui ogni componente è in equilibrio. Per determinarle occorrerà quindi liberare ciascuna componente dagli eventuali vincoli, sia interni che esterni, sostituendoli con le relative reazioni vincolari, ed imporre che siano soddisfatte le equazioni necessarie e sufficienti per l’equilibrio. Occorrerà quindi che per ciascun punto materiale (non facente parte di un corpo rigido) sia soddisfatta l’equazione (5.13) e per ciascun corpo rigido siano soddisfatte le equazioni cardinali (6.7).

139

Nello scrivere le equazioni (5.13) e (6.7) è molto importante tener presente che le eventuali coppie di forze attive e di reazioni vincolari interne debbono essere tenute in considerazione, e ciascuna forza interna e ciascuna reazione vincolare deve apparire nella equazione (5.13) (se agisce su un punto) o nelle equazioni (6.7) se agisce su un corpo rigido. L’esempio che segue renderà pi` u chiara questa affermazione. Consideriamo due aste rigide AB e CD incernierate mediante una cerniera sferica negli estremi B e C (per cui B ´ C). Chiaramente le due aste esercitano l’una sull’altra un vincolo, che per il principio di azione e reazione implica una coppia di reazioni vincolari interne al sistema del tipo (B, Φ) e (C, ¡Φ), con Φ totalmente incognito e quindi del tipo Φ = Φx i + Φy j + Φz k. Ebbene, quando si scrivono le equazioni (6.9) per l’asta AB si deve includere la reazione vincolare (B, Φ), mentre quando si scrivono per l’asta CD occorre tener conto della reazione (C, ¡Φ). Per inciso, osserviamo che a volte, quando il sistema è piano e tutte le forze attive stanno in quel piano (per esempio il piano xy), si può anche avere una cerniera piana, rappresentabile perciò con una reazione di vettore Φ = Φx i + Φy j. Le considerazioni appena fatte valgono anche nel caso in cui, calcolate le configurazioni d’equilibrio col principio dei lavori virtuali, si vogliano determinare anche le relative reazioni vincolari. In alcuni testi si parla di sistemi articolati. Si tratta di sistemi composti di aste rigide, assimilabili a segmenti rettilinei, collegate tra loro mediante cerniere. Ciascuna di queste si suppone assimilabile ad un punto materiale e costituisce un nodo. Il sistema deve essere connesso, non deve cioè constare di parti scollegate tra di loro.

6.11 Attrito fra due corpi rigidi Nel paragrafo x5.7 si è considerato l’attrito nel caso di un punto. Ora si vedrà cosa significa dire che un corpo rigido C è in quiete o si muove appoggiato in un punto O1 ad un altro corpo rigido C 1 in presenza di attrito. Come si è già detto l’attrito è dovuto a forze, sia normali che tangenti, che si manifestano quando un corpo si muove o tenta di muoversi su un altro. Ebbene, dire che c’è attrito fra C e C 1 significa convenire che C 1 esplica su C un sistema di reazioni vincolari equivalente ad una forza di vettore Φ e ad una coppia di momento M . La forza (O1 , Φ) si oppone al moto di strisciamento, e quindi rappresenta l’attrito radente, mentre la coppia si oppone al moto di rotazione, e perciò rappresenta l’attrito volvente. 140

Al fine di formulare le leggi dell’attrito in statica ed in dinamica, poniamo

Φ = Φt t + Φn n = Φt + Φn M = Mt t + Mn n = M t + M n ,

(6.15)

con t versore parallelo al piano tangente e n versore normale. Osserviamo che nella terminologia della “Meccanica Applicata” la reazione (O1 , Φn ) è detta forza normale di contatto, mentre la reazione (O1 , Φt ) è detta forza d’attrito radente. Dal canto suo, la coppia di momento M t è detta coppia d’attrito di rotolamento, in quanto si oppone al moto di puro rotolamento, mentre quella di momento M n è detta coppia di attrito di giro, in quanto si oppone al moto di prillamento attorno alla normale. Noi, tuttavia, per semplificare le cose, supporremo sempre di poter trascurare la coppia, limitandoci perciò a considerare soltanto la reazione (O1 , Φ). L’attrito in statica L’equilibrio di C1 è garantito dalle equazioni cardinali (6.7) e dalla condizione seguente: jΦt j · fs jΦn j ,

(6.16)

La costante fs , che è positiva, dipende dalle caratteristiche dei materiali a contatto e si chiama coefficiente d’attrito statico radente. L’attrito in dinamica Durante il moto di C1 su C , oltre alle equazioni cardinali della dinamica (che vedremo pi` u innanzi), la reazione Φ deve soddisfare — nel caso di puro rotolamento, alla condizione (6.16); — nel caso di rotolamento e strisciamento, alla condizione Φt = ¡fd jΦn j

vτ , jv τ j

(6.17)

con v τ velocità di trascinamento del punto di contatto O1 . Dunque, quando C 1 si muove su C , occorre distinguere il caso in cui c’è strisciamento dal caso in cui non c’è. In quest’ultimo caso la relazione che riguarda l’attrito radente non cambia rispetto al caso statico in quanto il punto di contatto O1 è fermo rispetto a C . Se invece C 1 striscia su C la relazione statica (6.16) è sostituita dalla relazione dinamica (6.17). La costante fd , che è minore di fs , è detta coefficiente d’attrito dinamico radente.

141

6.12 Quantit` a di moto di un sistema Definizione

Si definisce quantità di moto di un sistema materiale discreto (Ps , ms ), s =

1, ..., N, rispetto ad un riferimento Oxyz il vettore Q= ms v s ,

(6.18)

s

essendo v s la velocità di Ps rispetto ad Oxyz. Per un corpo continuo C si definisce invece Q= ρ(P )v(P )dC . C

Vale l’importantissimo Teorema

La quantità di moto di un qualunque sistema meccanico è uguale alla quantità

di moto del baricentro qualora vi si attribuisca tutta la massa del sistema, ossia Q = M vG . Dimostrazione

Riscriviamo la formula (2.3) del baricentro, M (G ¡ O) = s ms (Ps ¡ O) ,

(6.19)

(6.20)

e deriviamola rispetto al tempo; si ha

M vG = Definizione

s

ms v s = Q .

Si definisce quantità di moto di un sistema materiale rispetto al baricentro la sua

quantità di moto rispetto ad una terna Gx′ y ′ z ′ traslante rispetto al sistema fisso Oxyz. Indicando tale grandezza con QG , nel caso di un sistema discreto si ha dunque QG =

s

ms v s′ ,

con v s′ velocità di Ps rispetto a Gx′ y ′ z ′ . Ebbene, vale il Teorema

La quantità di moto rispetto al baricentro di

un qualunque sistema materiale è sempre nulla, cioè QG = 0 .

(6.21)

Dimostrazione. Essendo v s′ = v s ¡ v τ (Ps ) = v s ¡ v G , e ricordando (6.19), si ha QG = s ms v s′ = s ms (v s ¡ v G ) = s ms v s ¡ s ms v G = M v G ¡ M v G = 0 . Osservazione In realtà il teorema ora dimostrato vale qualunque sia il sistema Gx′ y ′ z ′ . La dimostrazione si fa procedendo allo stesso modo, ma con v τ (Ps ) = v G + ω £ (Ps ¡ G). ` facile verificare che il termine ms ω £ (Ps ¡ G) porta un contributo nullo a QG . E s

142

6.13 Momento delle quantit` a di moto di un sistema Si definisce momento delle quantità di moto (o momento angolare) di un sistema

Definizione

materiale discreto (Ps , ms ), s = 1, ..., N, rispetto al polo O1 il vettore K(O1 ) = ms v s £ (O1 ¡ Ps ) ,

(6.22)

s

essendo v s la velocità del punto Ps rispetto ad un sistema di riferimento Oxyz. Naturalmente la grandezza cos`ı definita dipende, oltre che dal polo O1 , dal sistema di riferimento scelto. Per un corpo continuo C si definisce invece K(O1 ) = ρ(P )v(P ) £ (O1 ¡ P )dC . C

Dati K(O1 ) e K(O2 ), essi sono legati dalla relazione K(O1 ) = K(O2 ) + M v G £ (O1 ¡ O2 ) . Infatti: K(O1 ) =

ms v s £ (O1 ¡ Ps ) =

s

=

(6.23)

ms v s £ (O1 ¡ O2 + O2 ¡ Ps )

s

ms v s £ (O2 ¡ Ps ) +

s

ms v s £ (O1 ¡ O2 ) = K(O2 ) + M v G £ (O1 ¡ O2 ) .

s

In particolare, se O2 ´ G, si ha K(O1 ) = K(G) + M v G £ (O1 ¡ G) .

(6.24)

Quando il polo O1 è in moto rispetto ad Oxyz, il calcolo di K(O1 ) può essere facilitato coinvolgendo il momento relativo delle quantità di moto rispetto ad O1 , vale a dire K ′ (O1 ) = ms v s′ £ (O1 ¡ Ps ) , s

essendo v s′ la velocità di Ps rispetto ad una terna traslante O1 x′ y ′ z ′ . Andiamo a determinare la relazione che esiste tra K(O1 ), che potremo chiamare momento assoluto, e K ′ (O1 ). Tenendo conto che per il teorema di composizione delle velocità si ha v s = v s′ + v(O1 ), si ha: K(O1 ) =

ms v s £ (O1 ¡ Ps ) =

s

=

s

ms v s′

£ (O1 ¡ Ps ) +

s

′

= K (O1 ) + v(O1 ) £

ms v s′ + v(O1 ) £ (O1 ¡ Ps )

ms v(O1 ) £ (O1 ¡ Ps )

s

ms (O1 ¡ Ps ) ,

s

143

ossia K(O1 ) = K ′ (O1 ) + M v(O1 ) £ (O1 ¡ G) .

(6.25)

In particolare, se come polo O1 si sceglie G, si ha K(G) = K ′ (G) .

(6.26)

Analogamente, se O1 è un punto fisso, essendo v(O1 ) = 0, si ha K(O1 ) = K ′ (O1 ) .

(6.27)

Dunque, i momenti delle quantità di moto assoluto e relativo rispetto al baricentro, o rispetto ad un punto fisso, sono uguali. Di particolare importanza, ai fini pratici, è il momento delle quantità di moto di un corpo rigido. A questo riguardo è possibile ricavare una formula generale per K ′ (O1 ) che utilizza la matrice d’inerzia J del corpo relativa al punto O1 . Una volta ricavato K ′ (O1 ) mediante questa, utilizzando le formule (6.25) e (6.23), è possibile ricavare il momento rispetto ad un qualunque polo. Qui, tuttavia, prescinderemo da tale formula limitandoci a ricavare K(O1 ) in alcuni casi semplici, ma di grande utilità ai fini degli esercizi. Corpo rigido traslante con velocità v. ′

Poiché il corpo trasla, le velocità v s′ sono tutte nulle e quindi K (G) = 0. Di conseguenza, grazie alla (6.26), si ha anche K(G) = 0. Applicando poi la (6.24) si ottiene K(O1 ) = M v £ (O1 ¡ G) ,

8O1 .

(6.28)

Corpo rigido piano con asse fisso normale. Consideriamo un corpo rigido piano con un asse fisso normale al piano del corpo. Sia Oxyz il sistema di riferimento, con Oxy coincidente col piano del corpo e Oz asse fisso. Indicato con θ l’angolo di rotazione del corpo attorno all’asse ˙ fisso, si ha ω = θk. Ogni punto Ps del corpo descrive una circonferenza di centro O e raggio rs = Ps O. Indicato con ts il versore tangente a tale circonferenza in Ps e con ns il versore normale (diretto ˙ s . Inoltre, ts £ ns = k. verso O), si ha v(Ps ) = v s = rs θt Calcoliamo dunque K(O) sulla base della definizione (6.22): K(O) =

s

˙ s £ (O ¡ Ps ) = ms rs θt

˙ s £ (rs ns ) = ms rs θt

s

s

144

˙ = θ˙ ms rs2 θk

s

ms rs2 k ,

e quindi, ricordando la definizione (2.7) di momento d’inerzia, z ˙ K(O) = IO θk .

(6.29)

z Ovviamente IO rappresenta il momento d’inerzia rispetto all’asse fisso (O, k).

Corpo rigido piano in moto nel suo piano. Sia Oxyz il sistema di riferimento fisso, con Oxy coincidente col piano del corpo (e del moto) e Gx′ y ′ z ′ un sistema traslante baricentrico, con l’asse z ′ parallelo ad Oz. Il problema ha 3 gradi di libertà; assumiamo come parametri lagrangiani l’angolo θ di rotazione del corpo e le coordinate xG e yG del ˙ baricentro. Ovviamente ω = θk. Per calcolare K(O), possiamo calcolare prima K(G) e quindi utilizzare la (6.24). Essendo ′

K(G) = K (G), il conto è presto fatto. Rispetto al sistema traslante Gx′ y ′ z ′ il moto del ′

corpo è rotatorio con asse fisso. Dunque, per ottenere K (G) si può applicare la (6.29), ovviamente tenendo conto che in questo caso l’asse è (G, k). Si ha quindi: ′ z ˙ K(G) = K (G) = IG θk .

(6.30)

Applicando ora la (6.24), si ottiene z z ˙ K(O) = IG θk + M v G £ (O ¡ G) = IG θ˙ + M (xG y˙ G ¡ x˙ G yG ) k .

(6.31)

Corpo rigido con asse fisso. Sia Oxyz il sistema di riferimento fisso rispetto al quale vogliamo studiare il moto del corpo rigido, con Oz coincidente con l’asse fisso. Sia poi Ox1 y1 z1 un sistema solidale col corpo con Oz1 ´ Oz. L’unico parametro lagrangiano è rappresentato dall’angolo di 1 . rotazione θ del corpo, che può essere definito come θ = xOx

Consideriamo ora un generico punto Ps del corpo e indichiamo con (x1s , y1s , z1s ) le sue coordinate rispetto alla terna solidale. Ebbene, poiché Ps descrive la circonferenza di ˙ indicati con ts e ns i centro Qs (proiezione di Ps sull’asse) con velocità angolare ω = θk, versori tangente e normale a tale circonferenza in Ps , posto rs = Ps ¡ Qs , si ha 145

Ps ¡ O = x1s i1 + y1s j 1 + z1s k1 , Ps ¡ Qs = x1s i1 + y1s j 1 = ¡rs ns , Qs ¡ P s x1s i1 + y1s j 1 =¡ , rs rs ¡y1s i1 + x1s j 1 ts = , rs ˙ s. v s = rs θt ns =

Si può quindi calcolare K(O): ˙ s £ (O ¡ Ps ) = K(O) = ms v s £ (O ¡ Ps ) = ms rs θt s

= θ˙

s

= θ˙

s

s

ms (¡y1s i1 + x1s j 1 ) £ (¡x1s i1 ¡ y1s j 1 ¡ z1s k1 ) = 2 ms ¡x1s z1s i1 ¡ y1s z1s j 1 + (x21s + y1s )k1 =

2 = θ˙ ¡ ms x1s z1s i1 ¡ ms y1s z1s j 1 + ms (x21s + y1s ) k1 , s

ossia

s

s

˙ 1 ¡ C ′ θj ˙ + C θk ˙ 1. K(O) = ¡B ′ θi 1

(6.32)

Osserviamo che la formula (6.29) costituisce un caso particolare della (6.32). Infatti, se il corpo rigido è piano con asse fisso normale (come nell’esempio considerato in precedenza), ˙ 1 . Essendo k ´ k1 e C il utilizzando la (6.32), poiché B ′ = C ′ = 0, si ottiene K(O) = C θk z momento d’inerzia del corpo rigido rispetto all’asse Oz, per cui C = IO , la (6.32) fornisce

ancora la (6.29). Nota bene. Le formule (6.28), (6.29), (6.30), (6.31) e (6.32) sono molto utili ai fini degli esercizi. Nella stragrande maggioranza di questi, infatti, i corpi rigidi considerati sono piani e mobili nel loro piano o con asse fisso. Con le formule suddette è quindi possibile calcolare tutti i momenti delle quantità di moto che servono (per scrivere, come vedremo, la seconda equazione cardinale della dinamica). 6.14 Energia cinetica di un sistema Definizione

Si definisce energia cinetica di un sistema materiale discreto (Ps , ms ), s =

1, ..., N, rispetto ad un riferimento Oxyz la grandezza scalare 1 T = ms vs2 , 2 s 146

(6.33)

essendo v s la velocità di Ps rispetto ad Oxyz. Per un corpo continuo C si definisce invece 1 ρ(P )v 2 (P )dC . T = 2 C Vale il seguente importantissimo Teorema di König:

Per un qualunque sistema mec-

canico si ha 1 2 T = TG + M vG , 2

(6.34)

dove 1 2 ms vs′ , 2 s essendo v s′ la velocità del punto Ps rispetto ad una TG = T ′ (G) =

terna traslante Gx′ y ′ z ′ . Dimostrazione Poiché si ha v s = v s′ + v G , si ha 1 1 1 2 2 T = ms vs2 = ms vs′ + ms vG + ms v s′ ¢ v G 2 s 2 s 2 s s 1 2 = TG + M vG + QG ¢ v G . 2

Ma QG in virt` u della (6.21) è nullo. Dunque vale la (6.34). Corollari 2 — T = 12 M vG se e solo se il sistema materiale trasla;

— T = TG se e solo se il baricentro è fermo. 2 Osservazione. Nel caso di un corpo rigido, il termine 12 M vG rappresenta l’energia cinetica

che il corpo avrebbe nel caso di moto traslatorio. Ci si riferisce perciò a questa porzione di energia cinetica come alla energia cinetica di traslazione del corpo. Per quanto concerne invece TG , essa è dovuta al moto del corpo rigido rispetto al baricentro. Poiché tale moto è sempre rotatorio, ci si può riferire a TG come all’energia cinetica di rotazione del corpo. Il teorema di König permette il calcolo di T senza ricorrere alla definizione. Le difficoltà stanno eventualmente nel calcolo di TG . Tuttavia, nel caso di un corpo rigido C, è possibile ricavare per TG una formula assai semplice che sfrutta la matrice d’inerzia J del corpo rispetto al baricentro. Qui, però, come in precedenza per il momento delle quantità di moto, prescinderemo da tale formula limitandoci a prendere in considerazione solo casi semplici, ma utili ai fini degli esercizi. 147

Corpo rigido traslante con velocità v. T = 12 M v 2

Tutti i punti hanno la stessa velocità, per cui:

(6.35)

Corpo rigido con asse fisso. Siano (O, k) l’asse fisso e θ l’angolo di rotazione del corpo. Il generico punto Ps del corpo descrive una circonferenza di centro la proiezione Qs di Ps sull’asse di rotazione. Posto rs = Ps Qs , si ha v 2 = r 2 θ˙ 2 . Calcoliamo ora s

s

T rifacendoci alla definizione (6.33). T =

1 1 1 ms vs2 = ms rs2 θ˙ 2 = θ˙ 2 ms rs2 , 2 s 2 s 2 s

e quindi, ricordando ancora la definizione di momento d’inerzia, 1 z ˙2 I θ , 2 O

T =

(6.36)

con IO momento d’inerzia rispetto all’asse fisso. Corpo rigido piano in moto nel suo piano. Sia Oxyz il sistema di riferimento fisso, con Oxy coincidente col piano del corpo (e del moto) e Gx′ y ′ z ′ un sistema traslante con l’asse z ′ parallelo all’asse z. Assunti come parametri lagrangiani le coordinate xG e yG del baricentro e l’angolo θ di rotazione del corpo, osserviamo ˙ che si ha ω = θk. Applichiamo il teorema di König. A tal fine calcoliamo TG , che rappresenta l’energia cinetica del corpo rispetto al sistema Gx′ y′ z ′ . Rispetto a tale sistema il corpo si muove di moto rotatorio attorno all’asse fisso (G, k). Si può dunque applicare il risultato (6.36) ottenendo TG =

1 z ˙2 I θ . 2 G

(6.37)

Applicando ora il teorema di König, si ha 1 1 z ˙2 1 1 z ˙2 1 2 2 2 T = TG + M vG = IG θ + M vG = IG θ + M (x˙ 2G + y˙ G ). 2 2 2 2 2 148

(6.38)

Nota bene. I risultati (6.35), (6.36) e (6.38) sono utili alla risoluzione di quasi tutti gli esercizi che verranno proposti. Abbiamo ora a disposizione tutti gli elementi necessari per introdurre: a) le equazioni cardinali della dinamica, che costituiscono uno strumento essenziale che permette di determinare sia le equazioni differenziali del moto di un sistema sia le reazioni vincolari (purché il loro numero sia quello minimo necessario a realizzare i vincoli); b) le equazioni di Lagrange, che permettono di scrivere le equazioni differenziali del moto di un qualunque sistema olonomo (purché a vincoli perfetti e bilaterali).

6.15 Equazioni cardinali della dinamica Consideriamo un sistema meccanico qualunque, e supponiamolo costituito, come al solito, di N punti materiali (Ps , ms ). Durante il moto ciascun punto Ps si muove obbedendo alla legge di Newton, per cui, tenendo anche conto del fatto che ms è costante, si ha ms as =

dQs = F es + F is + Φes + Φis , dt

s = 1, ..., N .

Sommando su tutti gli N punti si ottiene dQ s

dt

s

=

F es + F is + Φes + Φis = F e + F i + Φe + Φi . s

Applicando il teorema della derivata di una somma e ricordando che F i = Φi = 0, si ha dQ = F e + Φe . dt Questa equazione esprime il Teorema della quantità di moto:

(6.39) La derivata della quantità di

moto di un qualunque sistema meccanico è uguale al vettore risultante delle forze attive e vincolari esterne. Ricordando poi che Q = M v G la (6.39) può essere messa in una forma equivalente di rilevante significato fisico. Risulta infatti M

d2 G = F e + Φe . dt2

(6.40)

In questa forma l’equazione esprime il Teorema del moto del baricentro: Il baricentro di un qualunque sistema meccanico si muove come se in esso fosse concentrata tutta la massa e ad esso fossero applicate tutte le forze attive e vincolari esterne. 149

Abbiamo cos`ı ricavato la prima equazione cardinale della dinamica, nelle due forme equivalenti (6.39) e (6.40). Osserviamo che in virt` u di questa equazione le forze attive e vincolari interne non hanno alcun effetto sul moto del baricentro, mentre le forze attive e vincolari esterne hanno effetto solo attraverso il loro risultante. Consideriamo ora un punto O1 qualunque, non importa se fisso o mobile rispetto al riferimento fissato. Il momento della quantità di moto del punto (Ps , ms ) rispetto al polo O1 per definizione è K s (O1 ) = ms v s £ (O1 ¡ Ps ) . Derivando si ha

dK s (O1 ) dO1 = ms as £ (O1 ¡ Ps ) + ms v s £ , dt dt dPs dove si è omesso di mettere il termine ¡ms v s £ in quanto evidentemente nullo. dt Tenendo di nuovo conto della legge di Newton e sommando quindi sugli N punti, si ottiene dO dK(O1 ) 1 F es + F is + Φes + Φis £ (O1 ¡ Ps ) + ms v s £ = dt dt s s = Ωe (O1 ) + Ωi (O1 ) + Ψe (O1 ) + Ψi (O1 ) + Q £

dO1 , dt

ovvero, ricordando che Ωi (O1 ) = Ψi (O1 ) = 0 e la (6.19), dK(O1 ) dG dO1 = Ωe (O1 ) + Ψe (O1 ) + M £ . dt dt dt

(6.41)

Questa equazione è detta seconda equazione cardinale della dinamica. Se il polo O1 è fisso, oppure coincide con G, oppure ha velocità parallela a quella di G, allora l’ultimo termine di (6.41) è nullo, e si ha dK(O1 ) = Ωe (O1 ) + Ψe (O1 ) . dt Questa equazione esprime il Teorema del momento delle quantità di moto:

(6.42) La derivata del

momento delle quantità di moto di un qualunque sistema meccanico, rispetto ad un punto fisso o al baricentro o ad un punto con velocità parallela a quella del baricentro, è uguale al momento risultante delle forze attive e vincolari esterne. Le due equazioni cardinali della dinamica (6.39) (o (6.40)) e (6.41) sono necessariamente soddisfatte durante il moto di un qualunque sistema meccanico. Supposto che il sistema abbia n gradi di libertà con parametri lagrangiani q1 , q2 , ..., qn , ciò significa che esiste almeno un sistema di reazioni vincolari esterne (Ps , Φes ), compatibili con i vincoli, che assieme alle n funzioni qi (t) soddisfano in ogni istante le due equazioni. 150

Osservazione.

Le equazioni cardinali della Statica (6.7) sono contenute in quelle della

Dinamica. Infatti, se il sistema è in equilibrio, allora tutti i punti Ps sono fermi, e le equazioni (6.39) e (6.41) si riducono alle (6.7). Si può dimostrare, cosa che non facciamo, che vale il seguente importantissimo Teorema

Se il sistema materiale è un corpo rigido, soggetto a vincoli perfetti, le equazioni

cardinali della dinamica sono sufficienti a determinarne il moto. Dunque, le equazioni cardinali delle dinamica sono necessarie e sufficienti a determinare il moto di un corpo rigido. Sottolineiamo il fatto che ai fini di tale moto le forze attive e vincolari interne non hanno alcuna rilevanza, e che quelle esterne intervengono solamente attraverso i loro vettori caratteristici. Conseguenza di quest’ultima osservazione è che se ad un corpo rigido si applicano due sistemi equivalenti di forze (ovviamente non simultaneamente!), essi producono gli stessi effetti meccanici. 6.16 Teoremi dell’energia Gli importantissimi teoremi dell’energia già visti per un singolo punto materiale (vedi x5.10) si estendono facilmente ai sistemi di punti. Sia, come al solito, (Ps , ms ), s = 1, . . . , N, il sistema materiale. Teorema dell’energia cinetica o (delle forze vive): Il lavoro infinitesimo (o finito) compiuto da tutte le forze applicate ad un sistema materiale è uguale alla variazione infinitesima (o finita) di energia cinetica. Dimostrazione:

Dal paragrafo 5.10 sappiamo già che per ogni punto Ps si ha dLs = dLs + dρs = dTs .

Sommando su tutti i punti, si ottiene dL = dL + dρ = dT ,

(6.43)

e ciò dimostra il teorema nella versione infinitesima. Per quanto concerne poi la dimostrazione della versione finita del teorema, occorre integrare la relazione (6.43) su un intervallo di tempo finito, ad esempio l’intervallo (t0 , t). Posto quindi T0 = T (t0 ) e T = T (t) e indicate con C0 la configurazione del sistema all’istante t0 e con C quella all’istante t, ricordando la definizione (4.29), si ha C t L = (Γ) dL = dT , C0

151

t0

essendo Γ la traiettoria percorsa dal sistema (nello spazio delle configurazioni) per andare da C0 a C. Ora, tenendo conto che dT è il differenziale della funzione T (t) e indicando con L il lavoro finito, si ha L = T ¡ T0 .

(6.44)

Con ciò il teorema è dimostrato completamente. Sottolineiamo il fatto che dL e L rappresentano il lavoro, rispettivamente infinitesimo e finito, di tutte le forze (e quindi sia attive che vincolari). Se poi i vincoli sono scleronomi perfetti, allora dρ = 0 (vedi x4.29, ultime righe) e di conseguenza si ha dL = dT

oppure

L = T ¡ T0

a seconda che lo spostamento del sistema sia infinitesimo o finito. Teorema di conservazione dell’energia (senza dimostrazione):

L’energia meccanica totale di

un sistema meccanico conservativo si mantiene costante durante il moto, ossia T +V =T ¡U =E.

(6.45)

La costante E, che rappresenta l’energia meccanica totale, si determina, come già sappiamo, attraverso le condizioni iniziali. 6.17 Integrali primi Definizione

Si definisce integrale primo del moto del sistema meccanico una funzione ψ dei

suoi parametri lagrangiani qi , delle sue velocità generalizzate q˙i e del tempo t, che rimane costante durante il moto, ossia ˙ ψ(q(t), q(t), t) ´ ψ(q1 (t), ..., qn (t), q˙1 (t), ..., q˙n (t), t) = C ,

(6.46)

dove C è una costante che si determina attraverso le condizioni iniziali. Un primo esempio di integrale primo è fornito dal teorema di conservazione dell’energia. Come abbiamo appena visto, esso esiste quando il sistema meccanico è a vincoli fissi e perfetti, e il sistema di forze è conservativo. In tal caso, abbreviando la notazione, si ha ˙ ¡ U (q) = T0 ¡ U0 . T (q, q) Altri integrali primi possono derivare dalle equazioni cardinali della dinamica. Se accade che il secondo membro di (6.39) oppure di (6.42) ha componente nulla lungo una direzione, questo comporta l’esistenza di un integrale primo. Per esempio, (F e + Φe ) ¢ k = 0

=)

dQ ¢k =0 dt

=) 152

dQz =0 dt

=)

Qz = Q0z = cost ,

comporta la conservazione della quantità di moto lungo l’asse z. Analogamente, se il secondo membro della seconda equazione cardinale della dinamica ha componente nulla lungo una direzione, ad esempio l’asse z, si ha dKz (G) = 0 =) Kz (G) = Kz0 = cost , dt il che implica la conservazione del momento delle quantità di moto lungo l’asse z. (Ωe (G) + Ψe (G)) ¢ k = 0

=)

Consideriamo ora alcuni esempi. — Il sistema solare, essendo (in buona approssimazione) un sistema isolato, cioè non soggetto a forze esterne, ha sia F e + Φe = 0, per cui Q = Q0 , sia Ωe (G) + Ψe (G) = 0, da cui K(G) = K 0 (G). Il primo integrale primo implica che il moto del baricentro del sistema solare sia rettilineo uniforme (rispetto alle stelle fisse), il secondo che il piano ante per G e normale a K 0 (G) conservi giacitura costante (sempre rispetto alle stelle fisse). — Una persona ferma su un piano orizzontale liscio non può muoversi parallelamente al piano se non lanciando un oggetto. In tal caso, se M ed m sono le masse rispettivamente della persona e dell’oggetto, e V e v le rispettive velocità dopo il lancio, essendo Q0 = m mv + M V = 0, si ha V = ¡ M v.

— Il baricentro di un proiettile che scoppia (a causa di forze interne), nel vuoto (e quindi in assenza di forze resistenti dovute al mezzo) continuerebbe a muoversi dopo lo scoppio come se niente fosse accaduto. — Si consideri una ballerina come un corpo rigido ruotante attorno ad un asse z verticale. Poiché il peso e la reazione vincolare hanno momento assiale (lungo z) nullo, ne consegue Kz = C θ˙ = Iz θ˙ = cost. Ciò significa che quando la ballerina apre le braccia, Iz aumenta e θ˙ diminuisce, mentre Iz diminuisce facendo aumentare θ˙ quando la ballerina porta le braccia in alto vicino all’asse. 6.18 Studio del moto e determinazione delle reazioni vincolari mediante le equazioni cardinali della Dinamica Le equazioni cardinali (6.40) e (6.42) della Dinamica, che in generale comportano 6 equazioni scalari indipendenti, permettono sempre di determinare il moto di un corpo rigido. Infatti, se n è il numero di gradi di libertà del corpo, è sempre possibile ricavare dal sistema delle 6 equazioni scalari n equazioni non contenenti le reazioni vincolari che costituiscono le equazioni differenziali del moto del corpo.

153

Se il numero delle reazioni vincolari scalari è 6¡n, il che significa che non ci sono reazioni ”superflue”, allora, dopo aver risolto il problema del moto, è possibile determinare ` importante sottolineare che un numero sovrabbondante di anche le reazioni vincolari. E reazioni vincolari scalari, sovrabbondante nel senso di maggiore rispetto a quello strettamente necessario per realizzare i vincoli, in ogni caso impedisce solamente di determinare completamente le reazioni vincolari, ma non di risolvere il problema del moto. Si consiglia di rileggere attentamente il x5.1 e il x6.7, facendo per quest’ultimo le dovute trasposizioni dal caso statico a quello dinamico. In vista dell’utilizzazione delle equazioni cardinali della dinamica ai sistemi composti, si consiglia di rileggere anche il x6.10, nonchè il x6.11 per i problemi con attrito.

6.19 Principio di D’Alembert Consideriamo un sistema meccanico costituito da N punti materiali (Ps , ms ). Qualunque siano i vincoli a cui esso è soggetto e qualunque sia il sistema delle forze attive che lo sollecita, ciascun punto Ps si muove obbedendo alla legge di Newton. Valgono dunque durante il moto le equazioni ms as = F s + Φs ,

s = 1, ..., N ,

che si possono anche scrivere F s ¡ ms as + Φs = 0 ,

s = 1, ..., N .

(6.47)

Interpretando ciascuno dei vettori ¡ms as come una forza (ne ha le dimensioni), che chiameremo forza d’inerzia relativa al punto Ps , le (6.47) dicono quanto segue: durante il moto di un qualunque sistema meccanico, in ogni istante le forze attive, le forze d’inerzia e le reazioni vincolari si fanno equilibrio. Poiché le reazioni Φs rappresentano le azioni dei vincoli, si può anche dire che durante il moto di un qualunque sistema meccanico, in ogni istante le forze attive e le forze d’inerzia si fanno equilibrio in virt` u dei vincoli. A questo enunciato si può dare un’altra forma osservando che si può scrivere F s = ms as + (F s ¡ ms as ) ,

s = 1, ..., N .

In base a questa osservazione la forza attiva agente su ciascun punto Ps può essere scomposta in due componenti: la prima, di vettore ms as , rappresenta la forza che sarebbe atta ad imprimere al punto Ps , qualora fosse libero, lo stesso moto che esso acquista sotto l’azione combinata dell’intera forza F s e dei vincoli; la seconda componente, il cui vettore

154

è F s ¡ ms as (e quindi somma dei vettori della forza attiva e della forza d’inerzia), rappresenta quella parte di F s che va perduta per compensare i vincoli. Ciò giustifica il nome di forze perdute che di solito si dà alle componenti F s ¡ ms as . Riprendendo ora le equazioni (6.47), riscritte in modo da evidenziare le forze perdute, (F s ¡ ms as ) + Φs = 0 ,

s = 1, ..., N ,

si può enunciare il Principio di D’Alembert:

Durante il moto di un qualunque sistema meccanico, in ogni

istante le forze perdute e le reazioni vincolari si fanno equilibrio. L’interesse del principio di D’Alembert consiste nel fatto che permette di ridurre ciascun problema di dinamica ad un problema di statica: a tal fine basta sostituire alle forze attive le forze perdute (o, equivalentemente, aggiungere alle forze attive le forze d’inerzia).

6.20 Equazioni di Lagrange Dato un sistema a vincoli perfetti e bilaterali, ad n gradi di libertà e con parametri lagrangiani qk , si può dimostrare che valgono le seguenti equazioni di Lagrange: d ∂T ∂T = Qk , ¡ dt ∂ q˙k ∂qk

k = 1, ..., n .

(6.48)

Si tratta di un sistema di n equazioni differenziali del 2◦ ordine nelle n incognite qk (t), che rappresentano le equazioni differenziali del moto del sistema. Osserviamo che per scriverle ˙ q) e le forze generalizzate Qk = Qk (q, ˙ q, t). occorre ricavare l’energia cinetica T = T (q, Associando poi alle equazioni (6.48) le condizioni iniziali fqk (0)g e fq˙k (0)g, e risolvendo il corrispondente problema di Cauchy, si determina il moto del sistema meccanico. Esempio: equazioni di Lagrange per un corpo rigido con asse fisso. A titolo di esempio andiamo a calcolare l’equazione differenziale del moto di un corpo rigido con un asse fisso. Sia θ, angolo di rotazione del corpo, il parametro lagrangiano. Come abbiamo visto nel x6.14 (formula (6.36)), l’energia cinetica vale 1 T = Iz θ˙ 2 , 2 con Iz momento d’inerzia del corpo rispetto all’asse fisso. Per poter scrivere l’equazione di Lagrange serve la forza generalizzata Qθ , per ricavare la quale occorre scrivere il lavoro infinitesimo dL delle forze attive.

155

Considerato un punto O1 del corpo appartenente all’asse, in virt` u della formula (4.33), tenendo poi conto che O1 è fisso, si ha dL = F e ¢ dO1 + Ωe (O1 ) ¢ adθ = Ωe (O1 ) ¢ kdθ = Ωez (O1 )dθ . Dunque: Qθ = Ωez , dove si è omessa l’indicazione del polo per l’indipendenza del momento assiale dalla scelta del polo sull’asse. Pertanto, scrivendo l’equazione di Lagrange si ha d ˙ Iz θ = Ωez , dt e quindi, mettendo in evidenza i parametri da cui dipende il secondo membro, ˙ θ, t) . Iz θ¨ = Ωez (θ,

(6.49)

6.21 Equazioni di Lagrange per un sistema conservativo Se il sistema meccanico è conservativo, allora le forze generalizzate di Lagrange si ottengono dal potenziale U = U (q1 , q2 , ..., qn ) mediante le relazioni ∂U Qk = , k = 1, ..., n . ∂qk Le equazioni di Lagrange diventano perciò d ∂T ∂U ∂T = , k = 1, ..., n , ¡ dt ∂ q˙k ∂qk ∂qk ∂U = 0, si pu` o scrivere ∂ q˙k d ∂T ∂U ∂T ∂U + ¡ + = 0, dt ∂ q˙k ∂ q˙k ∂qk ∂qk

e tenendo conto che

k = 1, ..., n ,

o, equivalentemente,

d ∂(T + U ) ∂(T + U ) = 0, ¡ dt ∂ q˙k ∂qk

k = 1, ..., n .

Allora, definita la funzione L = T + U , le equazioni di Lagrange assumono la seguente semplice forma

∂L d ∂L ¡ = 0, dt ∂ q˙k ∂qk

k = 1, ..., n .

(6.50)

La funzione L è detta funzione di Lagrange, o pi` u semplicemente, Lagrangiana. Essa risulta ˙ q), e riassume tutte le proprietà e le caratteristiche del sistema meccanico del tipo L = L(q, conservativo in questione. Infatti, nota L ed assegnate le condizioni iniziali, le equazioni (6.50) determinano il moto del sistema.

156

6.22 Pendolo fisico. Definizione

Si chiama pendolo fisico (o pendolo composto) un corpo rigido soggetto solo al

peso con un asse fisso nè baricentrico nè verticale. L’asse è detto asse di sospensione. Sia α l’angolo che l’asse fisso Oz del pendolo forma con la verticale ascendente, con O proiezione del baricentro G sullo stesso asse. Allora G descrive una circonferenza di centro O e raggio d = GO nel piano normale all’asse. Assumiamo tale piano come piano xy, con Ox orizzontale e Oy coincidente di conseguenza con la linea di massima pendenza (verso ascendente). Si tratta di scrivere l’equazione del moto, che come abbiamo visto è data dalla (6.49). A tal fine, indicato con θ l’angolo fra il vettore G ¡ O e la direzione negativa dell’asse y (in modo che a θ=0 corrisponde la posizione d’equilibrio stabile del corpo), si ha mg = ¡mg sin αj ¡ mg cos αk , G ¡ O = d sin θi ¡ d cos θj , Ωz = mg £ (O ¡ G) ¢ k = ¡mgd sin α sin θ . Indicato con Iz il momento d’inerzia rispetto all’asse fisso, l’equazione differenziale del moto è Iz θ¨ = ¡mgd sin α sin θ .

(6.51)

mgd sin α g sin α Iz e ω2 = = , si ritrova la (5.32), cioè l’equazione md Iz ℓ di un pendolo semplice di lunghezza ℓ:

Posto poi ℓ =

θ¨ + ω2 sin θ = 0 . Il pendolo fisico, avendo la stessa equazione del moto del pendolo semplice, dà luogo agli stessi moti di quest’ultimo. Naturalmente ciò va inteso nel senso che ciascun punto del corpo rigido (compreso il baricentro G) si muove come se fosse un pendolo semplice. Osservazioni. — Per α = 0 l’asse è verticale e l’equazione (6.51) fornisce θ¨ = 0, che implica rotazione uniforme oppure quiete. Chiaramente in questo caso il corpo non è pi` u un “pendolo”. — Se l’asse è baricentrico si ha di nuovo θ¨ = 0, e quindi si ha ancora rotazione uniforme oppure quiete. — Se l’asse è baricentrico o verticale ogni posizione è d’equilibrio (equilibrio indifferente). 157

Bibliografia

Testi teorici: Biscari Paolo, Tommaso Ruggeri, Saccomandi Giuseppe, Vianello Maurizio, Meccanica Razionale per l’Ingegneria, Monduzzi. Cercignani Carlo, Spazio Tempo Movimento, Zanichelli. Fabrizio Mauro, La Meccanica Razionale e i suoi Metodi Matematici, Zanichelli. Graffi Dario, Lezioni di Meccanica Razionale, Patron.

Eserciziari: Bampi Franco, Benati Mauro e Morro Angelo, Problemi di Meccanica Razionale, ECIG. Augusto Muracchini, Tommaso Ruggeri e Leonardo Seccia, Esercizi e Temi d’esame di Meccanica Razionale, Esculapio.

158

Indice analitico accelerazione, 35 assoluta, 54 centripeta (o normale), 36 di Coriolis (o complementare), 55 di gravit` a, 93 di trascinamento, 55 relativa, 54 tangenziale, 36 ampiezza del moto, 37 angoli di Eulero, 42 angolo, di nutazione, 42 di precessione, 42 di rotazione, 47 di rotazione propria, 42 angolo fra due vettori, 6 ascissa curvilinea, 31 asse, centrale di un sistema di forze, 87 di figura, 65 di istantanea rotazione, 47 di precessione, 65 elicoidale o di Mozzi, 49 assi, centrali d’inerzia, 29 principali d’inerzia, 28 atto di moto, 45 attrito, 111, 140 radente, 140 volvente, 140 autovalori di una matrice, 28 autovettori, 28

componente di un vettore lungo una direzione, 13 componenti cartesiane di un vettore, 11 composizione, degli stati cinetici, 51 di due o pi` u forze, 89 condizioni iniziali, 106 configurazione, 72 d’equilibrio di un punto, 109 d’equilibrio di un sistema meccanico, 126 di confine, 80 interna, 80 coordinate lagrangiane, 75 coppia, d’attrito, 141 di forze, 86 elastiche, 101 corpo, deformabile, 23 omogeneo, 21 rigido, 23, 40 costante, di gravitazione universale, 101 elastica, 101 curvatura, 32 curve polari, 58

baricentro, 21, 93 base, 58 binormale, 33 braccio, 83 di una coppia, 86

decomposizione di un vettore, 5 densit` a di massa, 21 derivata, di un punto, 18 di un versore, 18 di un vettore, 17 diagramma orario, 37 differenza di due vettori, 4 differenziale di un vettore, 17 direzione di un vettore, 1 divisione vettoriale, 14 doppio prodotto vettoriale, 14

centro, delle forze parallele, 91 di istantanea rotazione, 58 di massa, 21 cerchio osculatore, 32 cerniera, piana, 140 sferica, 140 cicloide, 60 coefficienti d’attrito, 111, 141

ellissoide d’inerzia, 26 centrale, 29 energia, cinetica, 115, 146 di un corpo rigido (esempi), 148 di un punto, 115 di un sistema di punti, 146 meccanica totale, 116 potenziale, 116 epiciclo, 60

159

equazione, della quantit` a di moto, 115 differenziale, 38 del pendolo semplice, 119 di Newton, 71, 106 vettoriale del moto, 33 equazioni, cardinali della dinamica, 149 cardinali della statica, 132 cartesiane del moto di un punto, 33 differenziali del moto, 106 di Lagrange, 155 per un sistema conservativo, 156 parametriche di base e rulletta, 61 equilibrio, 126 dei sistemi conservativi, 129 dei sistemi a vincoli perfetti, 128 di un corpo rigido, 133 appoggiato in un punto ad un piano, 137 con un asse fisso, 135 di un punto, 109 appoggiato ad un piano liscio, 110 libero, 110 vincolato ad una curva liscia, 111 vincolato ad un piano liscio, 110 indifferente, 130 instabile, 130 relativo, 123 stabile, 130 fase iniziale, 37 forma differenziale esatta, 99 formula fondamentale della cinematica rigida, 44 formule, di Poisson, 43 di trasformazione di coordinate, 53 forza, 68 assoluta, 70, 123 attiva, 81 centrifuga, 124 conservativa, 97 costante, 100 di Coriolis, 122 di trascinamento, 122 elastica, 101 esterna, 81 interna, 81 Newtoniana, 101 peso, 92, 125 posizionale, 97 resistente, 117 risultante, 69, 88 viscosa, 70 forze, d’inerzia, 154 fittizie, 123 generalizzate di Lagrange, 94 perdute, 155

160

frequenza, 38 funzione, di Lagrange, 155 potenziale, 98 geometria delle masse, 20 glifo, 60 grandezze, scalari, 1 vettoriali, 1 integrale generale, 38, 107 integrale primo del moto, di un punto, 118 di un sistema materiale, 152 invariante, di un sistema di forze, 84 di uno stato cinetico rigido, 46 ipociclo, 60 isocronismo del pendolo, 121 istante, di arresto, 46 iniziale, 106 Lagrangiana, 156 lavoro, finito, 95, 97 infinitesimo reale, 94 virtuale, 95 legge, dell’isocronismo del pendolo, 121 del moto incipiente, 109 di Newton, 71, 106 oraria del moto, 34 leggi fondamentali della Meccanica, 70 linea nodale, 42 massa, 20, 93 matrice, definita positiva, 26 d’inerzia, 26 modulo di un vettore, 1 momento, assiale, 84 centrifugo, 25 della quantit` a di moto (o angolare), 117, 143 di un corpo rigido (esempi), 144 di un punto, 117 di un sistema di punti, 143 di deviazione, 25 d’inerzia, 23 centrale , 29 polare, 28 principale, 28 di una coppia di forze, 86 di una forza, 83 risultante di un sistema di forze, 83

moto, cicloidale, 60 di un corpo rigido, 149 con asse fisso, 155 di precessione, 65 di piroettamento, 67 di puro rotolamento, 61, 67, 74 di rotolamento, 67 di strisciamento, 67 piano, 57 rispetto ad un suo punto, 64 rotatorio, 49 rototraslatorio, 50 traslatorio, 46 di un punto, 106, 107 accelerato, 37 aperiodico con smorzamento critico, 38 aperiodico smorzato, 38 appoggiato ad un piano liscio, 108 asintotico, 121 circolare, 39 diretto, 34 libero, 106 oscillatorio armonico, 37 oscillatorio smorzato, 38 periodico, 37, 121 relativo, 121 retrogrado, 34 rettilineo, 36 ritardato, 37 rivolutivo, 121 uniforme, 34, 36 uniformemente vario, 37 vincolato ad una curva liscia, 108 vincolato ad un piano liscio, 107 epicicloidale, 60 ipocicloidale, 60 rigido piano, 57

piano, orizzontale, 93 osculatore, 32 piccole oscillazioni del pendolo semplice, 120 polo, delle accelerazioni, 63 del momento della quantit` a di moto, 117 del momento di una forza, 83 posizione d’equilibrio di un punto, 109 postulato delle reazioni vincolari, 81 potenza di una forza, 102 potenziale, 98 precessione, 42, 65 principio, d’azione e reazione, 71 dei lavori virtuali, 127 d’inerzia, 70 di D’Alembert, 154 problema, di Cauchy, 106 di cinematica relativa, 53 di dinamica relativa, 121 di statica relativa, 123 staticamente determinato, 133 prodotto, d’inerzia, 25 di un numero per un vettore, 2 misto, 9 scalare (o interno), 6 vettoriale (o esterno), 8 profili coniugati, 59 pulsazione, 37 punto d’applicazione, 2, 68 punto materiale, 20

normale principale, 32 numero di gradi di libert` a, 74 nutazione, 42 operazioni elementari sulle forze, 89 ordine di un’equazione differenziale, 38 oscillatore armonico, 114 oscillazioni libere, 112

raggio di curvatura, 32 rappresentazione cartesiana dei vettori, 10 reazione vincolare, 81 esterna, 82 interna, 82 regola del cavatappi, 8 relazioni di Coulomb per l’attrito, 111 risultante, 83, 88 rotazione propria, 42 rotolamento senza strisciamento, 61, 67 rulletta, 58 scomposizione, di una forza, 89 di un vettore, 5 scorrimento di una forza, 89 simmetria geometrico-materiale, 22

parametri lagrangiani, 75 pattino, 77 pendolo, fisico (o composto), 157 semplice (o ideale o matematico), 119 periodo, 37 peso, 92

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quantit` a di moto, di un punto, 115 di un sistema di punti, 142

sistema, di forze, 83 conservativo, 98 elementare, 86 interne, 90 parallele, 91 di riferimento, assoluto (o fisso), 53 inerziale o Galileiano, 70 mobile (o relativo), 53 solare, 66 stellare, 66 terrestre-stellare, 66 sistema materiale, 71 sistema meccanico, 71 conservativo, 129 iperstatico, 134 libero, 72 olonomo, 76 reonomo, 73 scleronomo, 73 vincolato, 72 sistemi equivalenti, di forze, 85 di riferimento, 65 somma di vettori, 2 spazio delle configurazioni, 76 spostamento, 33 infinitesimo reale, 73 invertibile, 79 proibito, 79 virtuale, 78 stato cinetico, 45 elementare, 45 elicoidale, 45, 49 nullo, 45 rigido, 46 rotatorio, 45, 47 traslatorio, 45

teorema, di Coriolis, 55 di Huyghens (o di Steiner), 24 di K¨ onig, 147 di Mozzi, 49 di riduzione per un sistema di forze, 89 di Torricelli, 131 terna intrinseca, 33 traiettoria di un punto, 33 traiettorie polari, 58 trasformazioni di Galileo, 66 velocit` a, 34 angolare, 39, 47 assoluta, 54 di trascinamento, 55 generalizzate, 75 relativa, 54 scalare, 34 vettoriale, 34 verso di un vettore, 1 versore, 1 normale, 33 tangente, 32 verticale per un punto, 93 vettore, 1 applicato, 2 di una forza, 68 libero, 1 nullo, 1 opposto, 2 risultante, 3, 83 spostamento, 33 velocit` a angolare, 43 vettori, caratteristici di uno stato cinetico rigido, 46 caratteristici di un sistema di forze, 83 concordi, 2 discordi, 2 equipollenti, 1 paralleli, 2 vincolo, 72 bilaterale, 74 esterno, 73 finito, 74 interno, 73 liscio (o senza attrito), 82, 102 perfetto (o ideale), 102 reonomo (o mobile), 72 scabro (o con attrito), 82 scleronomo (o fisso o stazionario), 72 unilaterale, 74

tensore d’inerzia, 26 teorema, della quantit` a di moto, 149 delle forze vive (o dell’energia cinetica), per un punto, 115 per sistema di punti, 151 del momento della quantit` a di moto, 150 del moto del baricentro, 149 di composizione delle accelerazioni, 55 di composizione delle velocit` a, 54 di conservazione dell’energia, per un punto, 116 per un sistema, 152

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