La Geometria Espontanea 416t10

LA GEOMETRIA ESPONTANEA La geometría espontanea se da de manera natural y para ello estos conocimientos se adquieren desde la infancia y tienen su origen en las necesidades de los seres humanos y observando los fenómenos del exterior. Desde muy pequeño se adquiere la noción de distancia y se aprende que el camino más corto entre dos puntos es la línea recta. Se reconoce la conveniencia de que ciertas superficies estén limitadas por líneas rectas, lo que conduce a las primeras figuras geométricas, como son los cuadrados, rectángulos y otros polígonos. Otras situaciones de la vida cotidiana conducen a nociones como las de líneas verticales y horizontales, líneas paralelas y perpendiculares; a distinguir entre líneas curvas y rectas, o entre los cuerpos redondos y aquellos que tienen sus caras planas. Vemos como del universo aparentemente desorganizado se extrajeron las figuras más ordenadas de la geometría. No cabe duda de que junto con las necesidades de orden práctico, el arte primitivo contribuyó notablemente al desarrollo de la geometría. También se observa que ocurrió cuando se dieron cuenta de que había grupos de problemas que podían resolverse con el mismo procedimiento y aprendieron a extraer reglas generales de una multitud de casos particulares. LA GEOMETRIA EMPIRICA El ser humano enfrenta problemas cada vez más complejos, relacionados con la agricultura y la construcción, esto sucedió aproximadamente 2000 0 3000 mil años antes de nuestra era esto condujo a los hombres de la antigüedad a descubrir que ciertos hechos responden a una misma ley. Entonces de la geometría espontánea de las primeras culturas a una geometría sistemática, de naturaleza fuertemente empírica. Se cree que esto sucede de manera independiente en las cuencas de los ríos Nilo en Egipto, Tigris y Éufrates en la antigua Mesopotamia, Indo y Ganges en la India y Hoang Ho y Yang Tsé Kiang en China. Los registros de la actividad del hombre en el campo en la geometría datan aproximadamente de 3000 a.C. y estas consisten en unas tabletas de arcilla cocidas al sol descubiertas en Mesopotamia y en las que se encuentran grabados caracteres cuneiformes. Estos desarrollaron una geometría íntimamente ligada a las necesidades de la medición práctica y estaban familiarizados con las reglas para calcular el área de rectángulos, triángulos rectángulos e isósceles y, quizá, triángulos generales; además podían obtener el volumen de un paralelepípedo y algunos prismas. La circunferencia se tomaba como tres veces el diámetro y el área del círculo como un dozavo del cuadrado de la circunferencia, lo que en términos modernos quiere decir que tomaban el área igual a tres veces el cuadrado del radio. En el antiguo Egipto, la geometría también tuvo un fuerte desarrollo, sobre todo en lo concerniente al conocimiento de las fórmulas de medición necesarias para computar superficies de terrenos y capacidad des de graneros. Pero su

conocimiento más notable fue la fórmula correcta para el volumen de un tronco de pirámide recta de base cuadrada:

Los egipcios y los mesopotámicos usaron la forma incorrecta para calcular el área de un cuadrilátero de lados consecutivos.

La matemática egipcia y mesopotámica parecen haber sido el resultado de numerosas observaciones y tanteos sobre casos especiales, lo que con frecuencia produjo fórmulas incorrectas. LA GEOMETRIA DEDUCTIVA Al decaer las civilizaciones egipcia y mesopotámica, gran parte de la geometría desarrollada por estos pueblos pasó a los griegos, los cuales transformaron el conjunto de resultados empíricos a una ciencia deductiva, es decir, en una disciplina donde las reglas y leyes geométricas no se inducen de la observación de una multitud de casos particulares, sino que se establecen deductivamente mediante un razonamiento lógico. El primer individuo a quien se atribuye haber utilizado el método deductivo para demostrar un hecho geométrico es Tales de Mileto (alrededor de 600 a.C.), demostró, entre otros resultados, que el diámetro divide un círculo a la mitad y que el ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto. A Tales se le atribuyen aplicaciones de la geometría en la solución de problemas prácticos. Como el cálculo de la altura de una pirámide por medio de sombras. Pitágoras, quien nació alrededor del año 572 a.C. en la isla de Samos en Grecia, continuó el trabajo de sistematización de la geometría sobre bases deductivas iniciado por Tales 50 años antes. Pitágoras, y luego sus discípulos y seguidores, contribuyeron dando a conocer las propiedades de las paralelas y las utilizaron para probar que la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es igual a dos rectos. Impulsaron notablemente el álgebra geométrica y desarrollaron una teoría de la proporción bastante completa, aunque limitada a las cantidades conmensurables, es decir, a las cantidades que están entre sí en la misma razón que dos enteros. Se les atribuye el descubrimiento independiente y la demostración por métodos deductivos del teorema que hoy lleva el nombre de Pitágoras. Asimismo se acredita a los pitagóricos el haber introducido el estudio de los números figurados. El desarrollo que los pitagóricos dieron a la geometría condujo a que hubiera cadenas cada vez más largas de resultados demostrados a partir de otros resultados.

LA GEOMETRIA AXIOMATICA El texto de geometría organizado axiomáticamente lo constituyen los Elementos de Euclides. Los Elementos no es sólo uno de los más grandes tratados en toda la historia de las matemáticas y el pensamiento humano, también ejerció una influencia que todavía es sensible en el desarrollo de la ciencia moderna. Euclides distinguió entre: a) los axiomas o nociones comunes, que son suposiciones iniciales válidas para todo el discurso; y b) los postulados, que se refieren sólo a una parte del mismo. LOS POSTULADOS Y AXIOMAS DE EUCLIDES

Los axiomas o nociones comunes 1. Las cosas que sean iguales a la misma cosa también son iguales entre sí. 2. Si a cantidades iguales se suman otras también iguales, los totales serán iguales. 3. Si se restan cantidades iguales de otras también iguales, los residuos serán iguales. 4. Las cosas que coinciden entre sí son iguales entre sí. 5. El todo es mayor que una parte. Los postulados 1. Una recta puede trazarse desde un punto cualquiera hasta otro. 2. Una recta finita puede prolongarse continuamente y hacerse una recta ilimitada o indefinida. 3. Una circunferencia puede describirse con un centro y una distancia. 4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí. 5. Si una recta que corte a otras dos forma con éstas ángulos interiores del mismo lado de ella que sumados sean menores que dos rectas, si se prolongan indefinidamente, se cortarán del lado en que dicha suma de ángulos sea menor que dos rectos.