Kunci Jawaban Rpp Pr Mat 11 A Wajib 2014 445x2f

Setelah mempelajari bab ini siswa: 1. mampu mendeskripsikan konsep sistem pertidaksamaan linear dua variabel; 2. mampu menerapkan konsep sistem pertidaksamaan linear dua variabel dalam menentukan nilai optimum dan memecahkan masalah program linear; 3. mampu merancang model matematika permasalahan program linear dan menyelesaikannya. Berdasarkan pengetahuan dan keterampilan yang dikuasai, siswa jeli dan kreatif dalam mencari solusi suatu permasalahan.

Materi • •

Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV) Menyelesaikan Permasalahan Program Linear

Pembelajaran Kognitif • • • •

Pengertian pertidaksamaan linear dua variabel (PtLDV) dan Penyelesaiannya. Pengertian SPtLDV dan penyelesaiannya. Nilai optimum fungsi objektif. Model matematika permasalahan program linear.

Pengetahuan yang Dikuasai • • • •

Mendeskripsikan konsep SPtLDV. Menentukan daerah penyelesaian SPtLDV. Menentukan nilai optimum fungsi objektif. Merancang model matematika permasalahan program linear dan menyelesaikannya.

Kegiatan Psikomotorik Menggambar daerah penyelesaian SPtLDV dan permasalahan program linear pada koordinat kartesius.

Keterampilan yang Dikuasai Terampil menggambar daerah penyelesaian SPtLDV dan permasalahan program linear pada koordinat kartesius.

Kemampuan dan Sikap yang Dimiliki • •

2

Merancang model matematika berupa SPtLDV dari masalah program linear dan menyelesaikannya. Jeli dan kreatif dalam mencari solusi permasalahan.

Program Linear

A.

Pilihan Ganda

1. Jawaban: b Garis 3x – 5y = 15 memotong sumbu X di titik (5, 0) dan memotong sumbu Y di titik (0, –3). Uji titik (0, 0) ke dalam 3x – 5y ≤ 15. 3 · 0 – 5 · 0 ≤ 15 ⇔ 0 ≤ 15 (benar). Dengan demikian, daerah Y penyelesaian 3x – 5y ≤ 15 dibatasi garis 3x – 5y = 15 X dan memuat titik (0, 0). 0 5 Jadi, grafik himpunan –3 penyelesaiannya seperti grafik di samping. 2. Jawaban: c Persamaan garis yang melalui titik (–2, 0) dan titik (0, 1) sebagai berikut. y−0 1− 0

y 1

⇔

=

x+2 0+2

=

x+2 2

3. Jawaban: b Garis x – y = 3 melalui titik (0, –3) dan (3, 0). Daerah penyelesaian x – y ≤ 3 di kiri garis penuh x – y = 3. Garis 2x + 3y = 12 melalui titik (0, 4) dan (6, 0). Daerah penyelesaian 2x + 3y < 12 di kiri garis putus-putus 2x + 3y = 12. Daerah penyelesaian x ≤ 0 di kiri dan pada sumbu Y. Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan sebagai berikut. Y

x–y=3

4

–3

y−3 0−3

4)

x−0

= −5 − 0

y+4 4

⇔

x

= −5 ⇔ –5(y – 3) = –3x ⇔ –5y + 15 = –3x ⇔ 3x – 5y = –15 Daerah penyelesaian di kiri garis putusputus 3x – 5y = –15, maka PtLDV-nya 3x – 5y < –15. Persamaan garis yang melalui titik (–2, 0) dan (0, –4) sebagai berikut. y+4 0+4

⇔ 2y = x + 2 ⇔ 2y – x = 2 Titik (–1, 0) pada daerah penyelesaian. Uji titik (–1, 0) ke dalam 2y – x. 0 – (–1) = 1 < 2 (benar) Garis digambar putus-putus sehingga tanda ketidaksamaannya <. Jadi, PtLDV-nya 2y – x < 2.

0

4. Jawaban: c 1) Daerah penyelesaian di kiri dan pada sumbu Y maka x ≤ 0. 2) Daerah penyelesaian di atas dan pada sumbu X maka y ≥ 0. 3) Persamaan garis yang melalui titik (–5, 0) dan (0, 3) sebagai berikut.

x−0

= −2 − 0

y+4 4

⇔

x

= −2 ⇔ y + 4 = –2x ⇔ 2x + y = –4 Daerah penyelesaian di kanan garis penuh 2x + y = –4, maka PtLDV-nya 2x + y ≥ –4. Jadi, sistem pertidaksamaannya x ≤ 0, y ≥ 0, 3x – 5y < –15, 2x + y ≥ –4. 5. Jawaban: c 1) Garis x + 2y = 12 melalui titik (0, 6) dan (12, 0). Daerah penyelesaian x + 2y ≥ 12 dibatasi garis x + 2y = 12 dan tidak memuat titik (0, 0). 2) Garis x – y = –2 melalui titik (0, 2) dan (–2, 0). Daerah penyelesaian x – y ≥ –2 dibatasi garis x – y = –2 dan memuat titik (0, 0). 3) Garis 2x + y = 24 melalui titik (0, 24) dan (12, 0). Daerah penyelesaian 2x + y ≤ 24 dibatasi garis 2x + y = 24 dan memuat titik (0, 0). 4) Daerah penyelesaian x ≥ 0 di kanan sumbu Y. 5) Daerah penyelesaian y ≥ 0 di atas sumbu X. Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan sebagai berikut. 2x + y = 24 Y 24

3

6

X 2x + 3y = 12

Jadi, daerah penyelesaiannya ditunjukkan oleh grafik pilihan b.

x – y = –2

6 2 –2

 →

Daerah penyelesaian

X 12

x + 2y = 12 Matematika Kelas XI

3

Jadi, himpunan penyelesaiannya ditunjukkan oleh daerah III.

c.

2

6. Jawaban: e Daerah penyelesaian x ≥ 2 di kanan garis x = 2. Daerah penyelesaian y ≤ 8 di bawah garis y = 8. Garis x – y = 2 melalui titik (0, –2) dan (2, 0). Daerah penyelesaian x – y ≤ 2 di kiri garis x – y = 2. Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan sebagai berikut. Y

–3

0

1

4

X

–4

x–y=2

8

2x – 3y = –6

Y

–6 2x – 3y = 20

3x + 2y = –9

3x + 2y = 4

Daerah penyelesaian berbentuk persegi panjang. 0 –2

2

10

d.

X

Y x – 4y = –16

x=2

4 3

Daerah penyelesaiannya berbentuk segitiga sikusiku sama kaki.

X

7. Jawaban: d a.

–4 –3

Y

Daerah penyelesaian berbentuk persegi.

y=2

e.

X 2

4x + y = 4

4x + y = –13

2

0

1

x – 4y = 1

4x + 3y = 14

–3

0 –1

5

2x + y = –6

2x – 3y = –6

Y

y=2

2 y = –2

–2

–3

0

2

5

X

4x + 3y = –6

Daerah penyelesaian berbentuk belah ketupat. b.

Y

x – 3y = –12

2x – 3y = 4 –6

4 3

Daerah penyelesaian berbentuk trapesium. X

–4 –3

3x – y = –12

0

–3

3

3x + 7y = –12 7x + 3y = 12

Daerah penyelesaian berbentuk layanglayang.

4

Program Linear

Jadi, sistem pertidaksamaan yang daerah penyelesaiannya berbentuk persegi adalah pilihan d. 8. Jawaban: d Garis 2x – y = 2 melalui titik (0, –2) dan (1, 0). Daerah penyelesaian 2x – y ≤ 2 di kiri garis 2x – y = 2. Garis x + y = 10 melalui titik (0, 10) dan (10, 0). Daerah penyelesaian x + y ≤ 10 di kiri garis x + y = 10.

Daerah penyelesaian x ≥ –2 di kanan garis x = –2. Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan sebagai berikut.

b.

Y A

Y 12

–2 B

10

D

3

0

y=3

1

C y = –2

–2 x = –2

2x – y = 2

X

4

5x + 3y = 14

x = –2

1

Luas ABCD = 2 × AB(AD + BC)

6

1

= 2 × 5(3 + 6)

x + y = 10

1

–2

0

1

4

X

10

= 22 2 satuan luas c.

Y

–2

A

4

3x – 2y = –14

3x – 2y = –2

B

–6

1 D

–4

–2

Daerah penyelesaian berbentuk segitiga dengan panjang alas = 12 – (–6) = 18 dan tinggi = 4 – (–2) = 6. 1

1

1

1

= 2 ×6×4 = 12 satuan luas d.

2x – 5y = –4

A –4

–1 0 –2

2

5

D

C

2

A

1

B

Y x – y = –6 D 4

Y x – y = –1

–3

X

Luas ABCD = 2 × AC × BD

= 2 × 18 × 6 = 54 satuan luas

3

3x + 2y = 2

–2 C 3x + 2y = –10

Lsegitiga = 2 × alas × tinggi

9. Jawaban: e a.

0

B –2

0

2x + 5y = 16 X

3

–2 x + y = –2

X y = –2

1

Luas ABCD = 2 × AC × BD

5x + 3y = 19

1

= 2 ×7×4 = 14 satuan luas

1

Luas ABC = 2 × BC × AD 1

= 2 ×8×5 = 20 satuan luas

C

e.

Y 2x – 3y = –13

5 A

–2

D

3 2 B 0

2x – 3y = 0 C 1

3x + 2y = 13 X 3

3x + 2y = 0

Matematika Kelas XI

5

Luas ABCD

= AB × BC

= 13 × 13 = 13 satuan luas Jadi, sistem pertidaksamaan yang daerah penyelesaiannya mempunyai luas 13 satuan luas adalah pilihan e. 10. Jawaban: b Daerah penyelesaian x – 2y ≤ –2 dibatasi garis x – 2y = –2 dan tidak memuat titik (0, 0). Daerah penyelesaian 3x + 4y ≥ 12 dibatasi garis 3x + 4y = 12 dan tidak memuat titik (0, 0). Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan di atas sebagai berikut.

y–0 1– 0 y 1

b.

8 7 6 5 4 3 2 1

x + 2y = +2

–5 –4 –3 –2–1 0

1 2 3 4 5 6 7

X

3x + 4y = 12

Jadi, titik (4, 4) dan (0, 6) termasuk himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan. Uraian B. Kerjakan soal-soal berikut.

1. a.

–x + y = 2

1)

2)

2 1 –2

X

0 x=1

6

3)

x+y=1

Daerah yang diarsir merupakan penyelesaian SPtLDV.

Program Linear

y−0 3−0 y 3

x −1

= 0 −1

x −1



3. a.

Y

4

x−3

= −1 ⇔ –y = 3x – 3 ⇔ 3x + y = 3 Daerah penyelesaian di kanan garis 3x + y = 3 maka pertidaksamaannya 3x + y ≥ 3. c. Persamaan garis yang melalui titik (5, 0) dan sejajar sumbu Y adalah x = 5. Daerah penyelesaian di kiri garis x = 5 sehingga pertidaksamaannya x ≤ 5. d. Persamaan garis melalui titik (0, 5) dan sejajar sumbu X adalah y = 5. Daerah penyelesaiannya di bawah garis y = 5 maka pertidaksamaannya y ≤ 5. e. Daerah penyelesaian di atas sumbu X dan di kanan sumbu Y, berarti x ≥ 0 dan y ≥ 0. Jadi, sistem pertidaksamaannya adalah: x + 3y ≥ 3 x + 3y ≥ 3 3x + y ≥ 3 atau 3x + y ≥ 3 x≤5 0≤x≤5 y≤5 0≤y≤5 x≥0 y≥0

Garis x + y = 1 melalui titik (0, 1) dan titik (1, 0). Daerah penyelesaian x + y ≥ 1 dibatasi garis x + y = 1 dan tidak memuat titik (0, 0). b. Garis –x + y = 2 melalui titik (0, 2) dan titik (–2, 0). Daerah penyelesaian –x + y ≤ 2 tidak memuat titik (0, 0). c. Daerah penyelesaian x ≤ 1 di kiri garis x = 1. Dari a, b, dan c diperoleh daerah penyelesaian sebagai berikut.

x–3

= 0–3

⇔ = −3 ⇔ –3y = x – 3 ⇔ x + 3y = 3 Daerah penyelesaian di kanan garis x + 3y = 3 maka pertidaksamaannya x + 3y ≥ 3. Persamaan garis yang melalui titik (1, 0) dan (0, 3) sebagai berikut.

⇔

Y

B.

2. a. Persamaan garis yang melalui titik (3, 0) dan titik (0, 1) sebagai berikut.

4)

Garis 2x + y = 10 melalui titik (5, 0) dan titik (0, 10). Daerah penyelesaian 2x + y ≤ 10 dibatasi garis 2x + y = 10 dan memuat titik (0, 0). Garis x + y = 6 melalui titik (6, 0) dan titik (0, 6). Daerah penyelesaian x + y ≤ 6 dibatasi garis x + y = 6 dan memuat titik (0, 0). Garis x + 2y = 10 melalui titik (10, 0) dan titik (0, 5). Daerah penyelesaian x + 2y ≤ 10 dibatasi garis x + 2y = 10 dan memuat titik (0, 0). Daerah penyelesaian x ≥ 0 di kanan sumbu Y dan daerah penyelesian y ≥ 0 di atas sumbu X.

Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan sebagai berikut.

c.

Persamaan garis yang melalui titik B(–4, 0) dan titik C(3, –3) sebagai berikut.

Y 10 2x + y = 10

⇔ 6 5

⇔ x + 2y = 10

0

b.

X

5 6 10 x+y=6

Luas daerah himpunan penyelesaian sebagai berikut. 5 4

d.

I II

3

V

III

1

VI 1

LI = LVI =

2

1 2

3

4

5

× 2 × 1 = 1 satuan

LII = LIII = LIV = 2 × 2 = 4 satuan

4.

4

–3

a.

b.

=

x − xD x C − xD x−0 3−0

x

= 3 ⇔ 3y – 12 = –7x ⇔ 7x + 3y = 12 Daerah penyelesaian di kiri garis 7x + 3y = 12 maka pertidaksamaannya 7x + 3y ≤ 12. Jadi, sistem pertidaksamaannya adalah y≤4 x ≥ –4 3x + y ≥ –12 7x + 3y ≤ 12

5. Daerah penelesaian SPtLDV sebagai berikut. Y

5x – y = 13

5

A

D 3x + 5y = 19

D

B –4

–2

0

5x – 2y = –20

3 C

Persamaan garis yang melalui titik A(–4, 4) dan D(0, 4) adalah y = 4. Daerah penyelesaian di bawah garis y = 4 sehingga pertidaksamaannya y ≤ 4. Persamaan garis yang melalui titik A(–4, 4) dan B(–4, 0) adalah x = –4. Daerah penyelesaian di kanan garis x = –4 sehingga pertidaksamaannya x ≥ –4.

2

3

X

–2

X 0

=

2

B –4

=x+4

y−4 −7

Y A

x − xB x C − xB x+4 −3 + 4



1

LV = 2 × 2 × 2 = 2 satuan Luas daerah himpunan penyelesaian. = LI + LII + LIII + LIV + LV + LVI = 3 LII + 2 LI + LV =3×4+2×1+2 = 12 + 2 + 2 = 16 satuan Jadi, luas daerah himpunan penyelesaiannya 16 satuan luas.

=

y − yD yC − yD y−4 −3 − 4

⇔

IV

=

⇔ y = –3x – 12 ⇔ 3x + y = –12 Daerah penyelesaian di kanan garis 3x + y = –12 maka pertidaksamaannya 3x + y ≥ –12. Persamaan garis yang melalui titik C(3, –3) dan titik D(0, 4) sebagai berikut.

⇔

2

y − yB yC − yB y−0 −3 − 0 y −3

–3

C

x + 2y = –4

Diagonal-diagonal daerah penyelesaian adalah AC dan BD. Panjang AC =

(x C − x A )2 + (yC − y A )2

=

(2 + 2)2 + (−3 − 5)2

=

42 + (−8)2

=

16 + 64

=

80 = 4 5

Matematika Kelas XI

7

Panjang BD =

A.

(xD − xB )2 + (yD − yB )2 2

2

=

(3 + 4) + (2 − 0)

=

72 + 22

=

49 + 4

=

53

Pilihan Ganda

1. Jawaban: d Persamaan garis yang melalui titik (4, 0) dan titik (0, 8) adalah 8x + 4y = 32 ⇔ 2x + y = 8. Persamaan garis yang melalui titik (6, 0) dan titik (0, 4) adalah 4x + 6y = 24 ⇔ 2x + 3y = 12. Titik potong garis 2x + y = 8 dan 2x + 3y = 12 dicari dengan cara sebagai berikut. 2x + y = 8 2x + 3y = 12 –––––––––––– – –2y = –4 ⇔ y=2 Substitusikan y = 2 ke dalam 2x + y = 8 sehingga diperoleh: 2x + 2 = 8 ⇔ x = 3 Dengan demikian, diperoleh titik potong garis 2x + y = 8 dan 2x + 3y = 12 yaitu (3, 2). Uji titik pojok daerah penyelesaian terhadap fungsi objektif f(x, y) = 5x + 4y. Titik Pojok

f(x, y) = 5x + 4y

(0, 0) (4, 0) (3, 2) (0, 4)

5(0) + 4(0) = 0 5(4) + 4(0) = 20 5(3) + 4(2) = 23 5(0) + 4(4) = 16

Diperoleh nilai maksimum bentuk objektif f(x, y) = 5x + 4y adalah 23. 2. Jawaban: b Garis BC, yaitu 3x – y = 18 memotong sumbu X di titik B. Garis memotong sumbu X jika y = 0, maka: 3x – 0 = 18 ⇔ x=6 Dengan demikian, diperoleh koordinat titik B(6, 0). Garis AF, yaitu x + y = 3 memotong sumbu X di titik A dan memotong sumbu Y di titik F. Garis memotong sumbu X jika y = 0, maka: x+0=3 ⇔ y=3 8

Program Linear

Jadi, panjang diagonal-diagonal daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan adalah 4 5 dan 53 .

Dengan demikian, diperoleh koordinat titik A(3, 0). Garis memotong sumbu Y jika x = 0, maka: 0+y=3 ⇔ y=3 Diperoleh titik F(0, 3). Uji titik pojok daerah penyelesaian terhadap fungsi objektif f(x, y) = 5x + 6y. Titik Pojok

f(x, y) = 5x + 6y

A(3, 0) B(6, 0) C(7, 3) D(5, 6) E(2, 5) F(0, 3)

5 · 3 + 6 · 0 = 15 5 · 6 + 6 · 0 = 30 5 · 7 + 6 · 3 = 53 5 · 5 + 6 · 6 = 61 5 · 2 + 6 · 5 = 40 5 · 0 + 6 · 3 = 18

Diperoleh nilai maksimum 61 dan nilai minimum 15. 3. Jawaban: b Garis x + 3y = –4 dan 2x – y = 6 berpotongan di titik Q. Koordinat titik Q dicari dengan cara sebagai berikut. x + 3y = –4 ×2 2x + 6y = –8 2x – y = 6 ×1 2x – y = 6 –––––––––––– – 7y = –14 ⇔ y = –2 Substitusikan y = –2 ke dalam persamaan 2x – y = 6 sehingga diperoleh: 2x – (–2) = 6 ⇔ 2x = 4 ⇔ x = 2 Dengan demikian, diperoleh koordinat titik Q(2, –2). Garis 2x – y = 6 dan x + 2y = 8 berpotongan di titik R. Koordinat titik R dicari dengan cara sebagai berikut. 2x – y = 6 ×1 2x – y = 6 x + 2y = 8 ×2 2x + 4y = 16 –––––––––––– – –5y = –10 ⇔ y = 2

Substitusikan y = 2 ke dalam persamaan 2x – y = 6 sehingga diperoleh: 2x – 2 = 6 ⇔ 2x = 8 ⇔ x = 4 Dengan demikian, diperoleh koordinat titik R(4, 2). Uji titik pojok daerah penyelesaian terhadap fungsi objektif f(x, y) = 3y – 2x.

Substitusikan y = 6 ke dalam persamaan x – y = 6 sehingga diperoleh: x – 6 = 6 ⇔ x = 12 Dengan demikian, diperoleh koordinat titik C(12, 6). Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 10x – 6y.

Titik Pojok

f(x, y) = 3y – 2x

Titik Pojok

f(x, y) = 10x – 6y

P(–4, 0) Q(2, –2) R(4, 2) S(0, 4) T(–4, 4)

3 · 0 – 2(–4) = 8 3 · (–2) – 2 · 2 = –10 3 · 2 – 2 · 4 = –2 3 · 4 – 2 · 0 = 12 3 · 4 – 2(–4) = 20

A(0, 20) B(4, 12) C(12, 6) D(20, 14)

10 · 0 – 6 · 20 = –120 10 · 4 – 6 · 12 = –32 10 · 12 – 6 · 6 = 84 10 · 20 – 6 · 14 = 116

Dari uji titik pojok diperoleh nilai minimum –10 yang dicapai di titik Q(2, –2). 4. Jawaban: b Fungsi objektif: f(x, y) = 10x – 6y. Persamaan garis yang melalui titik (a, 0) dan (0, b) adalah bx + ay = ab. Persamaan garis yang melalui titik (10, 0) dan (0, 20) adalah 20x + 10y = 200 ⇔ 2x + y = 20. Persamaan garis yang melalui titik (20, 0) dan (0, 15) adalah 15x + 20y = 300 ⇔ 3x + 4y = 60. Persamaan garis yang melalui titik (6, 0) dan (20, 14) sebagai berikut. x−6 20 − 6

y−0

x−6

y

= 14 − 0 ⇔ = 14 14 ⇔ x–6=y ⇔ x–y=6 Persamaan garis yang sejajar sumbu Y dan melalui titik (20, 0) adalah x = 20. Garis 2x + y = 20 dan 3x + 4y = 60 berpotongan di titik B. Koordinat titik B dicari dengan cara sebagai berikut. 2x + y = 20 × 4 8x + 4y = 80 3x + 4y = 60 × 1 3x + 4y = 60 –––––––––––– – 5x = 20 ⇔ x =4 Substitusikan x = 4 ke dalam persamaan 2x + y = 20 sehingga diperoleh: 2 · 4 + y = 20 ⇔ 8 + y = 20 ⇔ y = 12 Dengan demikian, diperoleh koordinat titik B(4, 12). Garis x – y = 6 dan 3x + 4y = 60 berpotongan di titik C. Koordinat titik C dicari dengan cara sebagai berikut. x–y =6 ×3 3x – 3y = 18 3x + 4y = 60 × 1 3x + 4y = 60 –––––––––––– – –7y = –42 ⇔ y =6

Nilai minimum fungsi objektif f(x, y) = 10x – 6y adalah –120 sehingga persamaan garis selidik yang menyebabkan f(x, y) minimum adalah 10x – 6y = –120. 5. Jawaban: c Garis x + 3y = 9 melalui titik (0, 3) dan (9, 0). Daerah penyelesaian x + 3y ≤ 9 di kiri dan pada garis x + 3y = 9. Garis 2x + y = 8 melalui titik (0, 8) dan (4, 0). Daerah penyelesaian 2x + y ≤ 8 di kiri dan pada garis 2x + y = 8. Daerah penyelesaian x ≥ 0 dan y ≥ 0 di kanan dan pada sumbu Y, y ≥ 0 di atas dan pada sumbu X. Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan sebagai berikut. Y

8

3

O

C B 4

A 2x + y = 8

9

X x + 3y = 9

Titik B merupakan perpotongan garis 2x + y = 8 dan x + 3y = 9. Koordinat titik B dicari dengan cara sebagai berikut. x + 3y = 9 ×2 2x + 6y = 18 2x + y = 8 ×1 2x + y = 8 ––––––––––––– – 5y = 10 ⇔ y = 2 Substitusikan y = 2 ke dalam persamaan 2x + y = 8 sehingga diperoleh: 2x + y = 8 ⇔ 2x + 2 = 8 ⇔ 2x = 6 ⇔ x=3 Dengan demikian, diperoleh koordinat titik B(3, 2).

Matematika Kelas XI

9

Titik pojok daerah yang diarsir adalah O(0, 0), A(4, 0), B(3, 2), dan C(0, 3). Uji titik pojok ke f(x, y) = 2x + 3y. Titik Pojok

f(x, y) = 2x + 3y

O(0, 0) A(4, 0) B(3, 2) C(0, 4)

2(0) + 3(0) = 0 + 0 = 0 2(4) + 3(0) = 8 + 0 = 8 2(3) + 3(2) = 6 + 6 = 12 2(0) + 3(3) = 0 + 9 = 9

8. Jawaban: a Diketahui: x = banyak sepatu jenis I yang dibeli y = banyak sepatu jenis II yang dibeli

Nilai maksimum f(x, y) = 2x + 3y adalah 12. Jadi, nilai maksimumnya 12. 6. Jawaban: a Uji setiap titik pojok ke dalam fungsi tujuan. 2x + y

x+y

3x – 2y

x + 2y

2x + 3y

A(2, 4)

8

6

–2

10

16

B(4, 2)

10

6

8

8

14

C(6, 2)

14

8

14

10

18

D(3, 8)

14

11

–7

19

30

f(x, y)

Fungsi objektif f(x, y) = 5.000 – x – y mempunyai nilai maksimum 5.000 dan mempunyai nilai minimum 4.996. Jadi, fungsi f mempunyai nilai minimum dan nilai maksimum.

Jadi, fungsi tujuan yang memiliki nilai sama di titik C dan D adalah f(x, y) = 2x + y.

Y

Jenis I Jenis II Pembatas

x – 2y + 2 = 0 C(2, 2) B 3

X

2x + y –6 = 0

Uji titik pojok ke f(x, y) = 5.000 – x – y. Titik Pojok A(0, 1) O(0, 0) B(3, 0) C(2, 2)

10

f(x, y) = 5.000 – x – y 5.000 – 0 – 1 5.000 – 0 – 0 5.000 – 3 – 0 5.000 – 2 – 2

Program Linear

= = = =

4.999 5.000 4.997 4.996

x y

60.000 80.000

80

3.000.000

9. Jawaban: e Misalkan: x = banyak tablet I yang dikonsumsi y = banyak tablet II yang dikonsumsi Jenis

Banyak

Vitamin A (unit)

Vitamin B (unit)

Harga

Tablet I

x

5

3

4.000

Tablet II

y

10

1

8.000

25

5

Model matematika permasalahan tersebut sebagai berikut. Meminimumkan f(x, y) = 4.000x + 8.000y dengan kendala: 5x + 10y ≥ 25 ⇔ x + 2y ≥ 5 3x + y ≥ 5 x≥0 y≥0

A 1O –2 0

Harga

Kios hanya cukup ditempati 80 pasang sepatu. Pertidaksamaan yang memenuhi x + y ≤ 80 . . . (1) Modal yang dimiliki hanya Rp3.000.000,00. Pertidaksamaan yang memenuhi 60.000x + 80.000y ≤ 3.000.000 ⇔ 3x + 4y ≤ 150 . . . (2) Banyak sepatu jenis I tidak boleh negatif. Pertidaksamaan yang memenuhi x ≥ 0 . . . (3) Banyak sepatu jenis II tidak boleh negatif. Pertidaksamaan yang memenuhi y ≥ 0 . . . (4) Dengan demikian, diperoleh SPtLDV: 3x + 4y ≤ 150 x + y ≤ 80 x≥0 y≥0

Pembatas 6

Banyak



7. Jika fungsi f(x, y) = 5.000 – x – y dengan syarat x ≥ 0, y ≥ 0, x – 2y + 2 ≥ 0, dan 2x + y – 6 ≥ 0 maka .... a. fungsi f mempunyai nilai minimum dan nilai maksimum b. fungsi f tidak mempunyai nilai minimum maupun nilai maksimum c. fungsi f mempunyai nilai minimum dan tidak mempunyai nilai maksimum d. fungsi f mempunyai nilai maksimum dan tidak mempunyai nilai minimum e. nilai minimum dan nilai maksimum fungsi f tidak dapat ditentukan Jawaban: a Daerah penyelesaian SPtLDV sebagai berikut.

Sepatu

Daerah penyelesaiannya sebagai berikut. X

Y 45 A 40

5 C(0, 5) 1

22

Daerah penyelesaian SPtLDV sebagai berikut.

B

B(1, 2) A(5, 0)

0

5 3

5 3x + y = 5

Y x + 2y = 5

Titik B merupakan titik potong antara garis 3x + y = 5 dan x + 2y = 5. Koordinat titik B dicari dengan cara sebagai berikut. 3x + y = 5 ×2 6x + 2y = 10 x + 2y = 5 ×1 x + 2y = 5 ––––––––––––– – 5x = 5 ⇔ x=1 Substitusikan x = 1 ke dalam persamaan x + 2y = 5 sehingga diperoleh: 1 + 2y = 5 ⇔ 2y = 4 ⇔ y = 2 Dengan demikian, diperoleh koordinat titik B(1, 2). Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 4.000x + 8.000y. Titik Pojok

f(x, y) = 4.000x + 8.000y

A(5, 0) B(1, 2) C(0, 5)

4.000 × 5 + 8.000 × 0 = 20.000 4.000 × 1 + 8.000 × 2 = 20.000 4.000 × 0 + 8.000 × 5 = 40.000

Nilai minimum f(x, y) = 4.000x + 8.000y adalah 20.000. Jadi, pengeluaran minimum untuk pembelian tablet per hari Rp20.000,00. 10. Jawaban: d Misalkan: x = banyak pupuk jenis I y = banyak pupuk jenis II

Titik B merupakan perpotongan garis 3x + 2y = 90 dan x + y = 40. Koordinat titik B dicari dengan cara sebagai berikut. 3x + 2y = 90 × 1 3x + 2y = 90 x + y = 40 × 3 3x + 3y = 120 ––––––––––– – –y = –30 ⇔ y = 30 Substitusikan y = 30 ke dalam persamaan x + y = 40 sehingga diperoleh: x + 30 = 40 ⇔ x = 10 Dengan demikian, diperoleh koordinat titik B(10, 30). Uji titik pojok daerah penyelesaian ke fungsi objektif f(x, y) = 40.000x + 30.000y. Titik

Banyak

Isi (gram)

Harga/bungkus

Jenis I Jenis II

x y

300 200

40.000 30.000

40

9.000

40.000 × 0 + 30.000 × 45 = 1.350.000 40.000 × 10 + 30.000 × 30 = 1.300.000 40.000 × 40 + 30.000 × 0 = 1.600.000

Nilai minimum f(x, y) = 40.000x + 30.000y adalah 1.300.000. Jadi, biaya minimum yang dikeluarkan Rp1.300.000,00. 11. Jawaban: b Misalkan: x = banyak kapsul yang dibeli y = banyak tablet yang dibeli

Kapsul Tablet Pembatas

Banyak x y

Kalsium (gram)

Zat Besi (gram)

Harga Satuan

5 2

2 2

1.000 800

60

30

Model matematika permasalahan tersebut adalah meminimumkan fungsi objektif f(x, y) = 1.000x + 800y dengan kendala: 5x + 2y ≥ 60 2x + 2y ≥ 30 ⇔ x + y ≥ 15 x≥0 y≥0



Model matematika permasalahan tersebut adalah meminimumkan fungsi objektif f(x, y) = 40.000x + 30.000y dengan kendala. x + y ≥ 40 300x + 200y ≥ 9.000 ⇔ 3x + 2y ≥ 90 x≥0 y≥0

f(x, y) = 40.000x + 30.000y

A(0, 45) B(10, 30) C(40, 0)

Jenis

Pupuk

Pembatas

C X 30 40 x + y = 40 3x + 2y = 90

0

Matematika Kelas XI

11

Daerah penyelesaian SPtLDV sebagai berimut.

Daerah penyelesaian SPtLDV sebagai berikut.

Y 30

Y A 200

15

x + 5y = 440 B

Titik B merupakan perpotongan garis 5x + 2y = 60 dan x + y = 15. Koordinat titik B dicari dengan cara sebagai berikut. 5x + 2y = 60 × 1 5x + 2y = 60 x + y = 15 × 2 2x + 2y = 30 ––––––––––––– – 3x = 30 ⇔ x = 10 Substitusikan x = 10 ke dalam persamaan x + y = 15 sehingga diperoleh: 10 + y = 15 ⇔ y=5 Dengan demikian, diperoleh koordinat titik B(10, 5). Uji titik pojok daerah penyelesaian ke fungsi objektif f(x, y) = 1.000x + 800y. Titik Pojok

f(x, y) = 1.000x + 800y

A(0, 30) B(10, 5) C(15, 0)

1.000 × 0 + 800 × 30 = 24.000 1.000 × 10 + 800 × 5 = 14.000 1.000 × 15 + 800 × 0 = 15.000

Nilai minimum f(x, y) = 1.000x + 800y adalah 14.000. Jadi, biaya minimum yang harus dikeluarkan untuk memenuhi kebutuhan anak balita tersebut Rp14.000,00. 12. Jawaban: c Misalkan: x = banyak mobil kecil y = banyak mobil besar Jenis

Banyak

Mobil kecil Mobil besar

x y

Pembatas

200

Luas (m2) 4 20

A 200 440 x + y = 200

X

Titik B merupakan perpotongan garis x + y = 200 dan x + 5y = 440. Koordinat titik B dicari dengan cara sebagai berikut. x + y = 200 x + 5y = 440 ––––––––––– – –4y = –240 ⇔ y = 60 Substitusikan y = 60 ke dalam persamaan x + y = 200 sehingga diperoleh: x + 60 = 200 ⇔ x = 140 Dengan demikian, diperoleh koordinat titik B(140, 60). Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = (x + 2y) ribu Titik Pojok O(0, 0) A(200, 0) B(140, 60) C(0, 88)

f(x, y) = (x + 2y) ribu (0 + (200 (140 (0 +

2 × + 2 + 2 2 ×

0 = 0) ribu × 0 = 200) ribu × 60 = 260) ribu 88 = 176) ribu

Nilai maksimum fungsi objektif f(x, y) = (x + 2y) ribu adalah 260.000. Jadi, penghasilan maksimum tempat parkir sebesar Rp260.000,00.

Biaya Parkir Jenis Pisang

1.000 2.000

Cokelat Goreng

1.760

Pembatas

Banyak

Harga Beli

Keuntungan

x y

1.000 400

500 300

400

250.000

Model matematika permasalahan tersebut adalah memaksimumkan fungsi objektif f(x, y) = 500x + 300y dengan kendala: x + y ≤ 400 1.000x + 400y ≤ 250.000 ⇔ 5x + 2y ≤ 1.250 x ≥ 0, y ≥ 0



Program Linear

B

13. Jawaban: c Misalkan: x = banyak pisang cokelat yang dijual y = banyak pisang goreng yang dijual

Model matematika permasalahan tersebut adalah memaksimumkan f(x, y) = (x + 2y) ribu dengan kendala: x + y ≤ 200 4x + 20y ≤ 1.760 ⇔ x + 5y ≤ 440 x≥0 y≥0

12

C

O

C X 12 15 x + y = 15 5x + 2y = 60

0

88

Daerah penyelesaian sebagai berikut.

Jenis

Banyak

Karung

Ongkos

Truk

x

14

400.000

Kol

y

8

300.000

Pembatas

25

224

Y 625

400

D



C

0

A

B 250

400

5x + 2y = 1.250

X x + y = 400

Titik C merupakan perpotongan garis 5x + 2y = 1.250 dan x + y = 400. Koordinat titik C dicari dengan cara sebagai berikut. x + y = 400 ×2 2x + 2y = 800 5x + 2y = 1.250 × 1 5x + 2y = 1.250 ––––––––––––– – –3x = –450 ⇔ x = 150 Substitusikan x = 150 ke dalam persamaan x + y = 400 sehingga diperoleh: 150 + y = 400 ⇔ y = 250 Dengan demikian, diperoleh koordinat titik C(150, 250). Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 500x + 300y. Titik Pojok A(0, 0) B(250, 0) C(150, 250) D(0, 400)

Model matematika permasalahan tersebut adalah meminimumkan f(x, y) = 400.000x + 300.000y dengan kendala: x + y ≥ 25 14x + 8y ≥ 224 ⇔ 7x + 4y ≥ 112 x≥0 y≥0 Daerah penyelesaian x + y ≥ 25 di kanan dan pada garis x + y = 25. Daerah penyelesaian 7x + 4y ≥ 112 di kanan dan pada garis 7x + 4y = 112. Daerah penyelesaian SPtLDV sebagai berikut.

f(x, y) = 500x + 300y 500(0) + 300(0) 500(250) + 300(0) 500(150) + 300(250) 500(0) + 300(400)

= = = =

0 125.000 150.000 120.000

Nilai maksimum fungsi objektif f(x, y) = 500x + 300y adalah 150.000. Jadi, keuntungan maksimumnya Rp150.000,00. 14. Seorang pedagang menyewa paling sedikit 25 kendaraan jenis truk dan kol dengan jumlah barang yang diangkut 224 karung. Sebuah truk dapat mengangkut 14 karung dan kol 8 karung. Jika ongkos sewa truk Rp400.000,00 dan kol Rp300.000,00, banyak kendaraan tiap-tiap jenis yang harus disewa agar ongkos minimum adalah .... a. 15 truk dan 10 kol d. 4 truk dan 21 kol b. 12 truk dan 13 kol e. 2 truk dan 28 kol c. 8 truk dan 17 kol Jawaban: d Misalkan: x = banyak truk yang disewa y = banyak kol yang disewa

Y 28 C 25

O

B

16 25 7x + 4y = 112

A

X x + y = 25

Titik B merupakan perpotongan garis 7x + 4y = 112 dan x + y = 25. Koordinat titik B dicari dengan cara sebagai berikut. 7x + 4y = 112 ×1 7x + 4y = 112 x + y = 25 ×4 4x + 4y = 100 ––––––––––– – 3x = 12 ⇔ x=4 Substitusikan x = 4 ke dalam persamaan x + y = 25 sehingga diperoleh: 4 + y = 25 ⇔ y = 21 Dengan demikian, diperoleh koordinat titik B(4, 21). Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 400.000x + 300.000y. Titik A(25, 0) B(4, 21) C(0, 28)

f(x, y) = 400.000x + 300.000y 400.000 · 25 + 300.000 · 0 = 10.000.000 400.000 · 4 + 300.000 · 21 = 7.900.000 400.000 · 0 + 300.000 · 28 = 8.400.000

Nilai minimum fungsi objektif f(x, y) = 400.000x + 300.000y adalah 7.900.000 dicapai di titik (4, 21). Jadi, pedagang tesebut harus menyewa 4 truk dan 21 kol agar ongkos sewa kendaraan minimum.

Matematika Kelas XI

13

15. Jawaban: e Daerah yang menyatakan banyak karyawan sebagai berikut. Y

y=

Y 7x – 3y = –21

24

7x – 3y = –1 7x – 3y = 19

3 x 2

7x – 3y = 84

x

–

y

=

–3

500

2x + y = 24

x + 2y = 12 10

B(200, 300)

6 5 3

A

–3 0

2

P(400, 100) A Q X 400 500 y = 500 – x

T

O

Luas ∆OAB menyatakan banyak karyawan seluruhnya. L∆OAB =

1 2

× OA × BT

=

1 2

× 500 × 300

= 75.000 L∆APQ menyatakan banyak karyawan berpenghasilan lebih dari 400 ribu. L∆APQ = = L ∆APQ L ∆OAB

=

1 2 1 2

b.

× AQ × PQ × 100 × 100 = 5.000

5.000 75.000

=

1 15

Jadi, banyak karyawan yang berpenghasilan di atas Rp400.000,00 sebanyak

1 15

bagian.

B. Uraian 1. a. Garis 2x + y = 24 melalui titik (12, 0) dan titik (0, 24). Daerah penyelesaian 2x + y ≤ 24 dibatasi garis 2x + y = 24 dan memuat titik (0, 0). Garis x + 2y = 12 melalui titik (12, 0) dan titik (0, 6). Daerah penyelesaian x + 2y ≥ 12 dibatasi garis x + 2y = 12 dan tidak memuat titik (0, 0). Garis x – y = –2 melalui titik (–2, 0) dan titik (0, 2). Daerah penyelesaian x – y ≥ –3 dibatasi garis x – y = –3 dan memuat titik (0, 0). Misalkan garis selidik awal yang digunakan adalah 7x – 3y = –21. Daerah penyelesaian SPtLDV beserta garis selidiknya sebagai berikut.

C

12

7

B

X

Garis putus-putus pada gambar tersebut merupakan garis selidik. Oleh karena meminimumkan fungsi objektif f(x, y) = 7x – 3y dan koefisien x fungsi objektif positif, dipilih garis selidik yang melalui titik pojok paling kiri, yaitu persamaan 7x – 3y = –1. Jadi, nilai minimumnya adalah –1. Garis 3y – x = 12 melalui titik (0, 4) dan titik (12, 8). Daerah penyelesaian 3y – x ≥ 12 di kiri garis 3y – x = 12. Garis y – x = 20 melalui titik (0, 20) dan titik (24, 44). Daerah penyelesaian y – x ≤ 20 di kanan garis y – x = 20. Garis y + 2x = 32 melalui titik (0, 32) dan titik (16, 0). Daerah penyelesaian y + 2x ≥ 32 di kanan garis y + 2x = 32. Daerah penyelesaian x ≤ 24 di kiri garis x = 24. Garis y – x = 20 dan garis y + 2x = 32 berpotongan di titik (4, 24). Garis 3y – x = 12 dan garis y + 2x = 32 berpotongan di titik (12, 8). Daerah penyelesaian SPtLDV dan garis selidiknya sebagai berikut. x = 24

Y 44

4y + x = 200 32 4y + x= 100 24 20

3y – x = 12

12 8 y – x = 20

4y + x = 72

4 4

14

Program Linear

12 16 24 y + 2x = 32

X 4y + x = 44

Garis putus-putus pada gambar merupakan garis selidik. Oleh karena memaksimumkan fungsi objektif f(x, y) = 4y + x dan koefisien x fungsi objektif positif, maka dipilih garis selidik yang paling kanan. Garis selidik yang paling kanan mempunyai persamaan 4y + x = 200. Jadi, nilai maksimumnya adalah 200. 2. a.

Misalkan: x = banyak minyak goreng kemasan 1 liter yang diproduksi y = banyak minyak goreng kemasan 2 liter yang diproduksi Jenis

Banyak

Laba

1 liter 2 liter

x y

x

Pembatas

120

30

y

3.000 5.000

50

Makanan

Karbohidrat

Lemak

Harga

2 1

6 1

1 3

8.500 4.000

Kendala

8

12

9

Model matematika permasalahan tersebut adalah meminimumkan fungsi objektif f(x, y) = 8.500x + 4.000y dengan kendala: 2x + y ≥ 8 6x + y ≥ 12 x + 3y ≥ 9 x≥0 y≥0 Daerah penyelesaiannya sebagai berikut. Y 12 D(0, 12)

8 C(1, 6) B(3, 2)

A(9, 0) X 2 0 4 9 x + 3y = 9 2x + y = 8 6x + y = 12

120

c.

Protein

Jenis A (x) Jenis B (y)

3

Y

90

C

50

A

0

3. Misalkan: x = banyak makanan jenis A y = banyak makanan jenis B



Model matematika permasalahan di atas adalah memaksimumkan fungsi objektif f(x, y) = 3.000x + 5.000y dengan kendala: x + y ≤ 120 x ≥ 30 y ≥ 50 Daerah penyelesaian x + y ≤ 120 terletak di kiri garis x + y = 120. Daerah penyelesaian x ≥ 30 di kanan garis x = 30. Daerah penyelesaian y ≥ 50 di atas garis y = 50. Daerah penyelesaian dari model matematika tersebut sebagai berikut.

b.

Nilai maksimum f(x, y) = 3.000x + 5.000y adalah 540.000 dicapai di titik (30, 90). Jadi, agar memperoleh keuntungan maksimum, pabrik tersebut harus membuat 30 botol minyak goreng kemasan 1 liter dan 90 botol minyak goreng kemasan 2 liter. Keuntungan maksimum per hari Rp540.000,00.

  →

30 x = 30

Daerah penyelesaian

B

70

Titik Pojok

y = 50

120

Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 8.500x + 4.000y.

X

A(9, 0) B(3, 2) C(1, 6) D(0, 12)

f(x, y) = 8.500x + 4.000y 8.500(9) 8.500(3) 8.500(1) 8.500(0)

+ + + +

4.000(0) 4.000(2) 4.000(6) 4.000(12)

= = = =

76.500 33.500 32.500 48.000

x + y = 120

Uji titik pojok Titik Pojok

f(x, y) = 3.000x + 5.000y

A(30, 50) B(70, 50) C(30, 90)

3.000 · 30 + 5.000 · 50 = 340.000 3.000 · 70 + 5.000 · 50 = 460.000 3.000 · 30 + 5.000 · 90 = 540.000

Nilai minimum f(x, y) = 8.500x + 4.000y adalah 32.500. Jadi, orang tersebut harus mengeluarkan uang paling sedikit Rp32.500,00 per minggu agar kebutuhan protein, karbohidrat, dan lemak terpenuhi.

Matematika Kelas XI

15

4. a.

Misalkan: x = banyak kue isi cokelat yang dibuat y = banyak kue isi keju yang dibuat

Jenis Kue

Banyak

Tepung

Mentega

Harga

Isi cokelat Isi keju

x y

200 g 100 g

50 g 75 g

8.500 6.000

Pembatas

180

30.000 g

12.000 g

Substitusikan x = 120 ke dalam persamaan x + y = 180 sehingga diperoleh: 120 + y = 180 ⇔ y = 60 Diperoleh koordinat titik C(120, 60). Garis x + y = 180 dan 2x + 3y = 480 berpotongan di titik D. Koordinat titik D dicari dengan cara sebagai berikut. 2x + 3y = 480 × 1 2x + 3y = 480 x + y = 180 × 2 2x + 2y = 360 ––––––––––– – y = 120 Substitusikan y = 120 ke dalam persamaan x + y = 180 sehingga diperoleh: x + 120 = 180 ⇔ x = 60 Diperoleh koordinat titik D(60, 120). Garis x = 30 dan 2x + 3y = 480 berpotongan di titik E. Koordinat titik E dicari dengan cara sebagai berikut. Substitusikan x = 30 ke dalam persamaan 2x + 3y = 480 sehingga diperoleh: 2 · 30 + 3y = 480 ⇔ 3y = 420 ⇔ y = 140 Diperoleh koordinat titik E(30, 140). Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 8.500x + 6.000y.



Model matematika permasalahan di atas: memaksimumkan fungsi f(x, y) = 8.500x + 6.000y dengan kendala: x + y ≤ 180 200x + 100y ≤ 30.000 ⇔ 2x + y ≤ 300 50x + 75y ≤ 12.000 ⇔ 2x + 3y ≤ 480 x ≥ 30 y ≥ 20 Daerah penyelesaian x + y ≤ 180 dibatasi garis x + y = 180 dan memuat titik (0, 0). Daerah penyelesaian 2x + y ≤ 300 dibatasi garis 2x + y = 300 dan memuat titik (0, 0). Daerah penyelesaian 2x + 3y ≤ 480 dibatasi garis 2x + 3y = 480 dan memuat titik (0, 0). Daerah penyelesaian x ≥ 30 di kanan garis x = 30. Daerah penyelesaian y ≥ 20 di atas garis y = 20. Daerah penyelesaian SPtLDV sebagai berikut.

Y 180 160 140 120

E

D

20 0

b.

C

60

2x + 3y = 480 A 30

60 80

x = 30

B 120 150 180 2x + y = 300

y = 20 240

X

x + y = 180

16

Program Linear

f(x, y) = 8.500x + 6.000y 8.500 · 30 + 6.000 · 20 = 375.000 8.500 · 140 + 6.000 · 20 = 1.310.000 8.500 · 120 + 6.000 · 60 = 1.380.000 8.500 · 60 + 6.000 · 120 = 1.230.000 8.500 · 30 + 6.000 · 140 = 1.095.000

Nilai maksimum f(x, y) = 8.500x + 6.000y adalah 1.380.000 dicapai di titik C(120, 60). Jadi, pedagang tersebut harus membuat 120 kue isi cokelat dan 60 kue isi keju agar memperoleh pendapatan maksimum. Pendapatan maksimum yang diperoleh pedagang sebesar Rp1.380.000,00.

5. Misalkan: x = banyak kuesioner yang disebar di daerah pedesaan y = banyak kuesioner yang disebar di daerah perkotaan Ongkos dari TV Oke Per Responden

Biaya Per Responden

Keuntungan

Pedesaan

6.000

4.000

2.000

Perkotaan

6.000

5.000

1.000

Daerah

a.

Model matematika permasalahan tersebut adalah meminimumkan fungsi objektif f(x, y) = 4.000x + 5.000y dengan kendala: x ≥ 500 y≥x x + y ≤ 1.500

Garis y = 20 dan 2x + y = 300 berpotongan di titik B. Koordinat titik B dicari dengan cara sebagai berikut. Substitusikan y = 20 ke 2x + y = 300 diperoleh: 2x + 20 = 300 ⇔ 2x = 280 ⇔ x 140 Diperoleh koordinat titik B(140, 20). Garis 2x + y = 300 dan x + y = 180 berpotongan di titik C. Koordinat titik C dicari dengan cara sebagai berikut. 2x + y = 300 x + y = 180 ––––––––––– – x = 120

Titik Pojok A(30, 20) B(140, 20) C(120, 60) D(60, 120) E(30, 140)

Daerah penyelesaian x ≥ 500 di kanan dan pada garis x = 500. Daerah penyelesaian y ≥ x di kiri dan pada garis y = x. Daerah penyelesaian x + y ≤ 1.500 di kiri dan pada garis x + y = 1.500. Daerah penyelesaian SPtLDV sebagai berikut.

Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 4.000x + 5.000y Titik Pojok A(500, 1.000) B(500, 500) C(750, 750)

Y y=x

1.500

b.

1.000 500

B

0

----------------

A 750 ---------------- C

500 750

1.500

X

x + y = 1.500

Garis x + y = 1.500 dan garis x = 500 berpotongan di titik A(500, 1.000). Garis y = x dan garis x = 500 berpotongan di titik B(500, 500). Garis x + y = 1.500 dan garis y = x berpotongan di titik C(750, 750).

A. Pilihlah jawaban yang tepat. 1. Jawaban: d Garis x – 2y = –8 memotong sumbu X di titik (–8, 0) dan memotong sumbu Y di titik (0, 4). Daerah penyelesaian x – 2y ≥ –8 di kanan garis x – 2y = –8. Jadi, daerah penyelesaian dari x – 2y ≥ –8 adalah pilihan d. 2. Jawaban: e Persamaan garis yang melalui titik (–3,5, 0) dan titik (0, 7) sebagai berikut.

⇔

x + 3,5

=

Nilai minimum f(x, y) = 4.000x + 5.000y adalah 4.500.000. Jadi, biaya minimum yang dikeluarkan LSM untuk melakukan survei Rp4.500.000,00. Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 2.000x + 1.000y f(x, y) = 2.000x + 1.000y

A(500, 1.000) B(500, 500) C(750, 750)

2.000 · 500 + 1.000 · 1.000 = 2.000.000 2.000 · 500 + 1.000 · 500 = 1.500.000 2.000 · 750 + 1.000 · 750 = 2.250.000

Nilai maksimum f(x, y) = 2.000x + 1.000y adalah 2.250.000,00. Jadi, keuntungan maksimum yang diperoleh LSM dari survei Rp2.250.000,00.

3. Jawaban: d Garis –2x + y = 4 melalui titik (0, 4) dan (–2, 0). Daerah penyelesaian –2x + y ≤ 4 dibatasi garis –2x + y = 4 dan memuat titik titik (0, 0). Garis 3x – 4y = 12 melalui titik (0, –3) dan (4, 0). Daerah penyelesaian 3x – 4y ≤ 12 dibatasi garis 3x – 4y = 12 dan memuat titik (0, 0). Daerah penyelesaian x ≤ 7 di kiri garis x = 7. Daerah penyelesaian y ≥ 0 di atas garis y = 0 atau di atas sumbu X. Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan sebagai berikut. Y

= 0 + 3,5 y 7

4.000 · 500 + 5.000 · 1.000 = 7.000.000 4.000 · 500 + 5.000 · 500 = 4.500.000 4.000 · 750 + 5.000 · 750 = 6.750.000

Titik Pojok

x = 500

y−0 7−0

f(x, y) = 4.000x + 5.000y

2x + y = 4

x + 3,5 3,5

⇔ y = 2x + 7 ⇔ –2x + y = 7 Daerah penyelesaian memuat titik (0, 0) maka pertidaksamaannya –2x + y ≤ 7.

3x – 4y = 12

4 –2 0 –3

4 7

X

x=7

Jadi, daerah penyelesaiannya pilihan d. Matematika Kelas XI

17

4. Jawaban: b Garis 2x – y = 6 melalui titik (0, –6) dan (3, 0). Daerah penyelesaian 2x – y ≤ 6 di kiri garis 2x – y = 6. Garis –x + 2y = 10 melalui titik (0, 5) dan (–10, 0). Daerah penyelesaian –x + 2y ≤ 10 di kiri garis –x + 2y = 10. Daerah penyelesaian y ≥ 3 di atas garis y = 3. Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan sebagai berikut.

6. Jawaban: d Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan x + y ≤ 8, x + y ≥ 5, dan 0 ≤ x ≤ 6 sebagai berikut. Y C

D

x=6 T

8

5

2x – y = 6

B

Y –x + 2y = 10 0

5

6 A

5 y=3

3 –10

0

3

X

–6

X x+y=8 x+y=5 8

Daerah yang diarsir berbentuk jajargenjang dengan panjang alas CD = 8 – 5 = 3 satuan dan tinggi CT = 6 – 0 = 6 satuan. Luas daerah yang diarsir = alas × tinggi =3×6 = 18 satuan Jadi, luas daerah penyelesaiannya 18 satuan.

Jadi, daerah penyelesaiannya ditunjukkan oleh daerah II.

7. Jawaban: a a. Y

5. Jawaban: c Persamaan garis yang melalui titik (0, 4) dan (–8, 0) adalah 4x – 8y = –32 ⇔ x – 2y = –8 ⇔ –x + 2y = 8. Daerah penyelesaian di kanan dan pada garis –x + 2y = 8, maka pertidaksamaannya –x + 2y ≤ 8 . . . (1) Persamaan garis yang melalui titik (0, 7) dan (7, 0) adalah 7x + 7y = 49 ⇔ x + y = 7. Daerah penyelesaian di kiri dan pada garis x + y = 7, maka pertidaksamaannya x + y ≤ 7 . . . (2) Persamaan garis yang melalui titik (0, –6) dan (3, 0) adalah –6x + 3y = –18 ⇔ –2x + y = –6 ⇔ 2x – y = 6. Daerah penyelesaian di kiri dan pada garis 2x – y = 6, maka pertidaksamaannya 2x – y ≤ 6 . . . (3) Daerah penyelesaian di atas dan pada sumbu X, maka pertidaksamaannya y ≥ 0 . . . (4) Dari (1), (2), (3), dan (4) diperoleh sistem pertidaksamaan –x + 2y ≤ 8, x + y ≤ 7, 2x – y ≤ 6, y ≥ 0. Jadi, sistem pertidaksamaannya pilihan c.

A4 B –2

2y – 3x = 8

3x – 2y = 18

1 0

D X 6 2x + 3y = 12

4

–3

C 2x + 3y = –1

Luas ABCD = AB × BC = 13 × 2 13 = 26 satuan Luas daerah penyelesaian 26 satuan. b.

Y 3x + 2y = –2 B

5 A

3x – 2y = 2

2

D

–2 0 2y – 3x = 10 –1 C

2

X 3x + 2y = 10

1

Luas ABCD = 2 × AC × BD 1

= 2 × 6 × 4 = 12 satuan Luas daerah penyelesaian 12 satuan.

18

Program Linear

c.

Y

2y – x = 12

8 6

D A 2y – x = 2

4

Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan berbentuk jajargenjang. 9. Jawaban: e a.

Y

C

2

B

0

6 5 4

2x + y = 16

2 3 4 6 2x + y = 6

5y – 3x = 15

3

X

2 1

Luas ABCD = AB × BC

X

–5 –4 –3 –2 –1 0

1 2 3 4 5

= 20 × 20 = 20 satuan Luas daerah penyelesaian 20 satuan. d.

2x + y = 4

Titik (1, 3) dan (2, 1) di luar daerah penyelesaian.

Y 4

A

E –5

0

D

y=4

b.

y – 2x = 4

Y 6 5 4

B C X 1 2x + 3y = 2 6 2x + 3y = 12

3 2 1

Luas ABCD = alas × tinggi = BC × AE = 5 × 4 = 20 satuan Luas daerah penyelesaian 20 satuan. e.

–4 –3 –2 –1 0

X 1 2 3 4 5 6 7 3x + 5y = 15

–4

Y

x=9

A

D

B

0

6

y=4

Titik (1, 3) di luar daerah penyelesaian. c.

Y

C X 9 2x + 3y = 12

5 4 3 2 1

1

Luas ABCD = 2 × CD(AD + BC) 1

= 2 × 4(9 + 3) = 24 satuan Luas daerah penyelesaian 24 satuan. Jadi, sistem pertidaksamaan yang daerah penyelesaiannya mempunyai luas 26 satuan adalah pilihan a. 8. Jawaban: b Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan sebagai berikut. Y

–3 –2 –1 0

x + 2y = 4

Titik (0, 3), (1, 2), dan (1, 3) di luar daerah penyelesaian. d.

Y 2y – x = 4

y–x=2

3 2 X

2

0

3 4

3y – 5x = 15

4

–2

X 1 2

x–y=4 2

4

–4 –3 –2 –1

1

2 3

4 5 3x + 5y = 15

X

y + 2x = 8

Titik (0, 3) dan (1, 3) penyelesaian.

di luar daerah

–4 y + 2x = –4 Matematika Kelas XI

19

e.

Uji titik pojok daerah penyelesaian ke fungsi objektif f(x, y) = 4x – 2y – 1.

Y

5 4 3 2 1 –2 –1 0 y – 2x = 4

X 1

2 3 5x + 3y = 15

Titik (–1, 1), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 1), (1, 2), (1, 3), dan (2, 1) di dalam daerah penyelesaian. Jadi, himpunan titik P merupakan penyelesaian pertidaksamaan pada pilihan e. 10. Jawaban: a Garis 2x + y = –2 dan –x + y = 4 berpotongan di titik A(–2, 2). Garis 2x + y = –2 memotong sumbu X di titik B(–1, 0). Garis 3x + 2y = 18 memotong sumbu X di titik C(6, 0). Garis 3x + 2y = 18 dan –x + y = 4 berpotongan di titik D(2, 6). Uji titik pojok ke setiap fungsi tujuan. 10x – 15y –10x + y

f(x, y)

–3x – 9y

8x + 2y

7x + 12y

A(–2, 2)

–12

–12

10

–50

22

B(–1, 0)

3

–8

–7

–10

10

C(6, 0)

–18

48

42

60

–60

D(2, 6)

–60

28

86

–70

–14

Angka yang dilingkari dalam tabel di atas menunjukkan nilai maksimum fungsi tujuan. Perhatikan kolom kedua. Dari kolom kedua terlihat f(x, y) = –3x – 9y mencapai maksimum di titik B. Jadi, fungsi tujuan yang mencapai maksimum di titik B adalah f(x, y) = –3x – 9y. 11. Jawaban: a Garis AB melalui titik (–3, 0) dan B(–2, –2). Persamaan garis AB sebagai berikut. y−0 −2 − 0

=

x − (−3) −2 − (−3)

y −2

=

x+3 1

⇔

⇔ y = –2x – 6 Koordinat titik A(–4, b). Titik A terletak pada garis AB, maka: 2xA + yA = –6 ⇔2(–4) + b = –6 ⇔ –8 + b = –6 ⇔ b=2 Diperoleh koordinat titik A(–4, 2).

20

Program Linear

Titik Pojok

f(x, y) = 4x – 2y – 1

A(–4, 2) B(–2, –2) C(4, –4) D(0, 4)

4(–4) – 2(2) – 1 = –21 4(–2) – 2(–2) – 1 = –5 4(4) – 2(–4) – 1 = 23 4(0) – 2(4) – 1 = –9

Nilai minimum fungsi objektif f(x, y) = 4x – 2y – 1 adalah –21 dicapai di titik A(–4, 2). 12. Jawaban: b 7

Garis 2x + y = 7 melalui titik (0, 7) dan ( 2 , 0). Daerah penyelesaian 2x + y ≥ 7 di kanan dan pada garis 2x + y = 7. Garis x + y = 5 melalui titik (0, 5) dan (5, 0). Daerah penyelesaian x + y ≥ 5 di kanan dan pada garis x + y = 5. Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan sebagai berikut. Y

A

7 5

B C O

7 2

2x + y = 7

X x+y=5

Garis 2x + y = 7 dan x + y = 5 berpotongan di titik B. Koordinat titik B dicari dengan cara berikut. 2x + y = 7 x+y=5 –––––––––– – x=2 Substitusikan x = 2 ke dalam persamaan x + y = 5 diperoleh: 2+y=5⇔y=3 Diperoleh koordinat titik B(2, 3). Titik pojok daerah yang diarsir adalah A(0, 7), B(2, 3), dan C(5, 0). Uji titik pojok ke f(x, y) = 4x + 5y. Titik Pojok

f(x, y) = 4x + 5y

A(0, 7) B(2, 3) C(5, 0)

4(0) + 5(7) = 35 4(2) + 5(3) = 23 4(5) + 5(0) = 20

Nilai minimum dari f(x, y) = 4x + 5y adalah 20.

13. Jawaban: d Persamaan garis selidik: 2x + 3y = k. Garis g pada gambar berikut merupakan garis selidik. Persamaan garis g: 2x + 3y = 6. Oleh karena koefisien fungsi objektif f(x, y) = 2x + 3y positif, maka nilai minimum fungsi objektif f(x, y) dicapai di titik pojok daerah penyelesaian yang dilalui garis selidik paling kiri. a. Y

g

d.

Y 2y – 3x = 10

5

g

2 X –2

0

x + 3y = 12 2 3 4

6

x + 4y = 6 5x + 6y = 30

Garis selidik paling kiri mempunyai persamaan 2x + 3y = 2, maka nilai minimum f(x, y) = 2x + 3y adalah 2.

2 0

6

2x + 3y = 2

x–y=4

4

3

X

–2

e.

Y

–4 3x + y = 4 2x + 3y = –2

Garis selidik paling kiri mempunyai persamaan 2x + 3y = –2 maka nilai minimum f(x, y) = 2x + 3y adalah –2. b.

2x – 3y = 0

d g

5 4 x + 6y = 30 2

Y

X 3

5 6 2x + 3y = 12

x+y=7

x+y=5 7

x + 3y = 9

Garis selidik paling kiri mempunyai persamaan 2x + 3y = 12, maka nilai minimum f(x, y) = 2x + 3y adalah 12.

3 2 X 3

7 g

9

2x + 3y = 9

Garis selidik paling kiri mempunyai persamaan 2x + 3y = 9, maka nilai minimum f(x, y) = 2x + 3y adalah 9. c.

Y

a

g

5 3 2 X 0

2 3

6

3x + 2y = 6 2x + 3y = 4 5x + 6y = 30

Garis selidik paling kiri mempunyai persamaan 2x + 3y = 4, maka nilai minimum f(x, y) = 2x + 3y adalah 4.

14. Jawaban: c Diketahui x = banyak barang A yang diproduksi per minggu dan y = banyak barang B yang diproduksi per minggu. Jumlah barang yang diproduksi dalam seminggu 220 unit, maka x + y ≤ 220 . . . (1) Biaya produksi barang A per unit Rp30.000,00 dan biaya produksi barang B per unit Rp25.000,00, sedangkan biaya produksi kedua barang dalam seminggu Rp6.000.000,00, maka 30.000x + 25.000y ≤ 6.000.000,00. ⇔ 6x + 5y ≤ 1.200 . . . (2) Banyak barang A dan B yang diproduksi masingmasing tidak kurang dari 10 unit dan 20 unit, maka x ≥ 10 dan y ≥ 20 . . . (3) Dari (1), (2), dan (3) diperoleh model matematika x + y ≤ 220, 6x + 5y ≤ 1.200, x ≥ 10, y ≥ 20. Jadi, model matematika yang sesuai adalah pilihan c.

Matematika Kelas XI

21

15. Jawaban: e Jumlah gaun dan rok yang dibeli paling sedikit 40 potong, maka x + y ≥ 40 . . . (1) Banyak rok yang dibeli tidak kurang dari tiga kali gaun, maka y ≥ 3x . . . (2) Harga gaun Rp60.000,00 per potong dan harga rok Rp30.000,00 per potong, sedangkan modal untuk membeli kedua pakaian tersebut 1,8 juta rupiah, maka 60.000x + 30.000y ≤ 1.800.000 ⇔ 2x + y ≤ 60 . . . (3) Banyak gaun dan rok yang dibeli masing-masing selalu nonnegatif sehingga x ≥ 0 dan y ≥ 0 . . . (4) Dari (1), (2), (3), dan (4) diperoleh model matematika x + y ≥ 40, y ≥ 3x, 2x + y ≤ 60, x ≥ 0, y ≥ 0. Jadi, model matematikanya adalah pilihan e. 16. Jawaban: c Diketahui: x = banyak kue donat y = banyak kue sus Model sistem pertidaksamaanya sebagai berikut. Berdasarkan biaya pembuatan kue dan modal yang dimiliki: (1) 1.000x + 1.250y ≤ 1.000.000 ⇔ 4x + 5y ≤ 4.000 Berdasarkan banyak kue yang diproduksi: (2) x + y ≤ 700 Jadi, model matematika dari permasalahan tersebut adalah x + y ≤ 700, 4x + 5y ≤ 4.000, x ≥ 0, y ≥ 0.

Daerah penyelesaian x ≥ 0 dan y ≥ 0 adalah kuadran I. Daerah penyelesaian SPtLDV sebagai berikut. Y 40

B

Banyak

Modal

Keuntungan

Rasa cokelat Rasa keju

x y

10.000 15.000

2.500 3.000

40

500.000

Pembatas



Model matematika yang sesuai permasalahan di atas adalah memaksimumkan fungsi objektif f(x, y) = 2.500x + 3.000y dengan kendala: x + y ≤ 40 10.000x + 15.000y ≤ 500.000 ⇔ 2x + 3y ≤ 100 x≥0 y≥0 Garis x + y = 40 melalui titik (40, 0) dan (0, 40). Daerah penyelesaian x + y ≤ 40 dibatasi garis x + y = 40 dan memuat titik (0, 0). 100

Daerah penyelesaian 2x + 3y ≤ 100 dibatasi garis 2x + 3y = 100 dan memuat (0, 0).

22

Program Linear

X 2x + 3y = 100

Garis x + y = 40 dan 2x + 3y = 100 berpotong di titik B. Kordinat titik B dicari dengan cara sebagai berikut. x + y = 40 ×2 2x + 2y = 80 2x + 3y = 100 ×1 2x + 3y = 100 ––––––––––– – –y = –20 ⇔ y = 20 Substitusikan y = 20 ke dalam x + y = 40 sehingga diperoleh: x + 20 = 40 ⇔ x = 20 Diperoleh koordinat titik B(20, 20). Uji titik pojok daerah penyelesaian ke fungsi objektif f(x, y) = 2.500x + 3.000y. Titik

f(x, y) = 2.500x + 3.000y

O(0, 0) A(40, 0) B(20, 20)

2.500 · 0 + 3.000 · 0 = 0 2.500 · 40 + 3.000 · 0 = 100.000 2.500 · 20 + 3.000 · 20 = 110.000

C(0,

100 3

)

2.500 · 0 + 3.000 ·

100 3

= 100.000

Nilai maksimum f(x, y) = 2.500x + 3.000y adalah 110.000. Jadi, keuntungan maksimum yang dapat diperoleh Rp110.000,00. 18. Jawaban: b Misalkan: x = banyak pakaian wanita yang dibuat y = banyak pakaian pria yang dibuat Jenis

Banyak

Pakaian wanita Pakaian pria

x y

Pembatas

Bahan Bahan Garis (m) Polos (m) 2 1

1 2

36m

30m

Harga 150.000 100.000

Model matematika yang sesuai permasalahan tersebut adalah memaksimumkan fungsi objektif. f(x, y) = 150.000x + 100.000y dengan kendala: 2x + y ≤ 36 x + 2y ≤ 30 x≥0 y≥0



Garis 2x + 3y = 100 melalui (50, 0) dan (0, 3 ).

A 40 50 x + y = 40

O

17. Jawaban: a Misalkan: x = banyak keripik pisang rasa cokelat y = banyak keripik pisang rasa keju Keripik

C

100 3

Daerah penyelesaian SPtLDV sebagai berikut.

36

Persamaan garis x + 2y = 80 melalui titik (80, 0) dan (0, 40). Daerah penyelesaian x + 2y ≤ 80 dibatasi garis x + 2y = 80 dan memuat titik (0, 0). Daerah penyelesaian SPtLDV sebagai berikut.

15

Y 4x + 3y = 180 x + y = 50 60 x + 2y = 80 50 40 D

Y

C B

0

C A

18

X 30 x + 2y = 30

0

B A 45 50

80

X

2x + y = 36

Titik B merupakan perpotongan garis x + 2y = 30 dan 2x + y = 36. Koordinat titik B dicari dengan cara sebagai berikut. x + 2y = 30 ×2 2x + 4y = 60 2x + y = 36 ×1 2x + y = 36 –––––––––––– – 3y = 24 ⇔y=8 Substitusikan y = 8 ke dalam 2x + y = 36 sehingga diperoleh: 2x + 8 = 36 ⇔ x = 14 Diperoleh koordinat titik B(14, 8). Uji titik pojok penyelesaian ke fungsi f(x, y) = 150.000x + 100.000y Titik Pojok O(0, 0) A(18, 0) B(14, 8) C(0, 15)

f(x, y) = 150.000x + 100.000y 150.000 · 0 + 100.000 · 0 = 0 150.000 · 18 + 100.000 · 0 = 2.700.000 150.000 · 14 + 100.000 · 8 = 2.900.000 150.000 · 0 + 100.000 · 15 = 1.500.000

Nilai maksimum f(x, y) = 150.000x + 100.000y adalah 2.900.000. Jadi, pendapatan maksimum yang diperoleh penjahit Rp2.900.000,00.



19. Jawaban: c Misalkan: x = banyak barang A y = banyak barang B Model matematika yang sesuai dengan permasalahan di atas adalah memaksimumkan f(x, y) = 4x + 3y dengan kendala: 4x + 3y ≤ 180 x + y ≤ 50 x + 2y ≤ 80 y≥0 x≥0 Garis 4x + 3y = 180 melalui (45, 0) dan (0, 60). Daerah penyelesaian 4x + 3y ≤ 180 dibatasi garis 4x + 3y = 180 dan memuat titik (0, 0). Garis x + y = 50 melalui (50, 0) dan (0, 50). Daerah penyelesaian x + y ≤ 50 dibatasi garis x + y = 50 dan memuat titik (0, 0).

Garis 4x + 3y = 180 dan x + y = 50 berpotongan di titik B. Koordinat titik B dicari dengan cara sebagai berikut. 4x + 3y = 180 ×1 4x + 3y = 180 x + y = 50 ×3 3x + 3y = 150 ––––––––––– – –x = –30 ⇔ x = 30 Substitusikan x = 30 ke dalam persamaan x + y = 50 sehingga diperoleh: 30 + y = 50 ⇔ y = 20 Diperoleh koordinat titik B(30, 20). Garis x + y = 50 dan x + 2y = 80 berpotongan di titik C. Koordinat titik C dicari dengan cara sebagai berikut. x + y = 50 x + 2y = 80 ––––––––– – –y = –30 ⇔ y = 30 Substitusikan y = 30 ke ke dalam persamaan x + y = 50 sehingga diperoleh: x + 30 = 50 ⇔ x = 20 Diperoleh koordinat titik C(20, 30). Uji titik pojok penyelesaian ke f(x, y) = 4x + 3y. Titik Pojok O(0, 0) A(45, 0) B(30, 20) C(20, 30) D(0, 40)

f(x, y) = 4x + 3y 4·0+3·0=0 4 · 45 + 3 · 0 = 180 4 · 30 + 3 · 20 = 180 4 · 20 + 3 · 30 = 170 4 · 0 + 3 · 40 = 120

Nilai maksimum f(x, y) = 4x + 3y adalah 180 dicapai di titik A(45, 0) atau B(30, 20). Jadi, agar diperoleh laba maksimum maka harus dibuat 30 barang A dan 20 barang B.

Matematika Kelas XI

23

20. Jawaban: a Misalkan: x = banyak motor A y = banyak motor B Banyak

Harga Beli (juta)

Keuntungan (juta)

x y

12 14

2,4 2,6

25

336

Motor A Motor B Pembatas



Model matematika permasalahan tersebut adalah memaksimumkan f(x, y) = (2,4x + 2,6y) juta dengan kendala: x + y ≤ 25 12x + 14y ≤ 336 ⇔ 6x + 7y ≤ 168 x≥0 y≥0 Daerah penyelesaian SPtLDV sebagai berikut.



Jenis

Model matematika permasalahan tersebut adalah memaksimumkan f(x, y) =(10x + 6y) × 10.000 dengan kendala: x + y ≤ 30 800.000x + 400.000y ≤ 16.000.000 ⇔ 2x + y ≤ 40 x≥0 y≥0

Uji titik (0, 0) untuk menentukan daerah penyelesaian. Pertidaksamaan

Substitusi (0, 0)

Penyelesaian

x + y ≤ 30 2x + y ≤ 40

0 + 0 ≤ 30 (Benar) 0 + 0 ≤ 40 (Benar)

Memuat (0, 0) Memuat (0, 0)

Daerah penyelesaian SPtLDV sebagai berikut. Y 40 30 C

Y

B(10, 20) 25 24

C B(7, 18)

A 20

O

25

O

A

28 x + y = 25

X 6x + 7y = 168

Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = (2,4x + 2,6y) juta Titik Pojok

f(x, y) = (2,4x + 2,6y) juta

O(0, 0) A(25, 0) B(7, 18) C(0, 24)

2,4(0) + 2,6(0) = 0 juta 2,4(25) + 2,6(0) = 60 juta 2,4(7) + 2,6(18) = 63,6 juta 2,4(0) + 2,6(24) = 62,4 juta

Nilai maksimum f(x, y) adalah 63,6 juta yang dicapai pada saat x = 7 dan y = 18. Jadi, agar diperoleh keuntungan maksimum Pak Ridwan harus membeli 7 motor A. 21. Jawaban: d Misalkan: x = banyak sepeda merek A y = banyak sepeda merek B Jenis

Banyak

Harga

Laba

x y

800.000 400.000

100.000 60.000

30

16.000.000

Sepeda A Sepeda B Kendala

24

Program Linear

30

X x + y = 30

2x + y = 40

Uji titik pojok ke fungsi objektif (10x + 6y) × 1.000. Titik Pojok

f(x, y) = (10x + 6y) × 10.000

O(0, 0) A(20, 0) B(10, 20) C(0, 30)

(10 × 0 + 6 × 0) × 10.000 = 0 (10 × 20 + 6 × 0) × 10.000 = 2.000.000 (10 × 10 + 6 × 20) × 10.000 = 2.200.000 (10 × 0 + 6 × 30) × 10.000 = 1.800.000

Nilai maksimum f(x, y)= (10x + 6y) × 10.000 adalah 2.200.000 dicapai di titik B(10, 20). Jadi, agar memperoleh pendapatan maksimum maka pedagang harus menjual 10 sepeda merek A dan 20 sepeda merek B. 22. Jawaban: e Misalkan: x = banyak pupuk A (bungkus) y = banyak pupuk B (bungkus) Zat N

Zat P

Harga

Pupuk A Pupuk B

1 3

3 1

2.500 3.000

Kendala

12

12

Uji titik (0, 0) untuk menentukan daerah penyelesaian. Pertidaksamaan

Substitusi (0, 0)

Penyelesaian

x + 3y ≥ 12 3x + y ≥ 12

0 + 0 ≥ 12 (Salah) Tidak memuat (0, 0) 0 + 0 ≥ 12 (Salah) Tidak memuat (0, 0)

Daerah penyelesaian SPtLDV sebagai berikut. Y

Model matematika dari permasalahan tersebut adalah meminimumkan fungsi objektif f(x, y) = 2.000.000(x + y) dengan kendala: x + 2y ≥ 80 4x + 3y ≥ 240 12x + 5y ≥ 480 x≥0 y≥0





Model matematika permasalahan tersebut adalah meminimumkan f(x, y) = 2.500x + 3.000y dengan kendala: x + 3y ≥ 12 3x + y ≥ 12 x≥0 y≥0

Uji titik (0, 0) untuk menentukan daerah penyelsaian. Pertidaksamaan

Substitusi (0, 0)

Penyelesaian

x + 2y ≥ 80 4x + 3y ≥ 240 12x + 5y ≥ 480

0 + 0 ≥ 80 (Salah) Tidak memuat (0, 0) 0 + 0 ≥ 240 (Salah) Tidak memuat (0, 0) 0 + 0 ≥ 480 (Salah) Tidak memuat (0, 0)

Daerah penyelesaian SPtLDV sebagai berikut. 12x + 5y = 480 Y 4x + 3y = 240

12 C

96 D 4

B(3, 3)

0

4

80 C

60 A 12

40

X x + 3y = 12

3x + y = 12

f(x, y) = 2.500x + 3.000y

A(12, 0) B(3, 3) C(0, 12)

2.500(12) + 3.000(0) = 30.000 2.500(3) + 3.000(3) = 16.500 2.500(0) + 3.000(12) = 36.000

Nilai minimum f(x, y) = 2.500x + 3.000y adalah 16.500 dicapai di titik B(3, 3). Biaya minimum pemupukan satu pohon jeruk Rp16.500,00. Jadi, biaya minimum pemupukan 1.000 pohon jeruk = 1.000 × Rp16.500,00 = Rp16.500.000,00 23. Jawaban: e Misalkan: x = lama pengoperasian penambangan I (hari) y = lama pengoperasian penambangan II (hari) Tinggi

Menengah

Rendah

Biaya

Tambang I Tambang II

1 2

4 3

12 5

2.000.000 2.000.000

Kendala

80

240

480

A 15 40 48 60 80

0

Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 2.500x + 3.000y. Titik Pojok

B

16

X x + 2y = 80

Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 2.000.000(x + y). Titik Pojok A(80, 0) B(48, 16) C(15, 60) D(0, 96)

f(x, y) = 2.000.000(x + y) 2.000.000(80 + 0) = 160.000.000 2.000.000(48 + 16) = 128.000.000 2.000.000(15 + 60) = 150.000.000 2.000.000(0 + 96) = 192.000.000

Dari tabel diperoleh nilai minimum f(x, y) = 2.000.000(x + y) adalah 128.000.000 dicapai di titik B(48, 16). Jadi, agar biaya pengoperasian minimum maka lama penambangan I dan II dioperasikan berturutturut 48 hari dan 16 hari. 24. Jawaban: d Misalkan: x = banyak barang jenis I y = banyak barang jenis II Barang

Bahan A

Bahan B

Bahan C

Harga

Jenis I Jenis II

1 3

3 4

2 1

40.000 60.000

480

720

360

Pembatas

Matematika Kelas XI

25

Pertidaksamaan x + 3y ≤ 480 3x + 4y ≤ 720 2x + y ≤ 360

Uji (0, 0) 0 + 0 ≤ 480 (Benar) 0 + 0 ≤ 720 (Benar) 0 + 0 ≤ 360 (Benar)

Model matematika permasalahan tersebut adalah memaksimumkan fungsi objektif f(x, y) = 1.300.000x + 200.000y dengan kendala: x + y ≤ 15 8.000.000x + 800.000y ≤ 48.000.000 ⇔ 10x + y ≤ 60 x≥0 y≥0 Daerah penyelesaian SPtLDV sebagai berikut.



Model matematika permasalahan tersebut adalah memaksimumkan f(x, y) = 40.000x + 60.000y dengan kendala: x + 3y ≤ 480 3x + 4y ≤ 720 2x + y ≤ 360 x≥0 y≥0 Uji titik (0, 0) untuk menentukan daerah penyelesaian.

Y

Penyelesaian

60

Memuat titik (0, 0) Memuat titik (0, 0) Memuat titik (0, 0)

Daerah penyelesaian SPtLDV sebagai berikut. Y

x + y = 15 10x + y = 60

360 15 10

180 160 D C(48, 144) B(144, 72) A X 0 180 240 480 x + 3y = 480 2x + y = 360 3x + 4y = 720

0

O

Uji titik pojok ke f(x, y) = 40.000x + 60.000y: Titik Pojok O(0, 0) A(180,0) B(144, 72) C(48, 144) D(0, 160)

f(x, y) = 40.000x + 60.000y 40.000(0) + 40.000(180) + 40.000(144) + 40.000(48) + 40.000(0) +

60.000(0) 60.000(0) 60.000(72) 60.000(144) 60.000(160)

=0 = 7.200.000 = 10.080.000 = 10.560.000 = 9.600.000

Dari tabel tersebut diperoleh nilai maksimum f(x, y) = 10.560.000. Jadi, pendapatan maksimum yang diperoleh Rp10.560.000,00. 25. Jawaban: d Misalkan: x = banyak sapi y = banyak kambing Jenis Hewan

Banyak

Harga Beli

Sapi Kambing

x y

8.000.000 800.000

Pembatas

15

48.000.000

Keuntungan 1.300.000 200.000

Program Linear

B A 5 6 15

X

Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 1.300.000x + 200.000y. Titik Pojok

f(x, y) = 1.300.000x + 200.000y

O(0,0)

1.300.000(0) + 200.000(0) = 0

A(6, 0)

1.300.000(6) + 200.000(0) = 7.800.000

B(5, 10)

1.300.000(5) + 200.000(10) = 8.500.000

C(0, 15)

1.300.000(0) + 200.000(15) = 3.000.000

Nilai f(x, y) terbesar 8.500.000 dicapai di titik B(5, 10) atau pada saat x = 5 dan y = 10. Jadi, pendapatan terbesar diperoleh jika Pak Mahmud membeli 5 ekor sapi dan 10 ekor kambing. 26. Jawaban: b Misalkan: x = banyak menu dengan lauk ayam goreng y = banyak menu dengan lauk bebek goreng Menu

Banyak

Porsi

Ayam goreng Bebek goreng

x y

x

100

50

Pembatas

26

C

Porsi

Harga

y

15.000 20.000

40



Model matematika dari permasalahan tersebut adalah memaksimumkan f(x, y) = 15.000x + 20.000y dengan kendala: x + y ≤ 100 x ≥ 50 y ≥ 40

27. Jawaban: c Misalkan: x = banyak feri A yang dioperasikan x = banyak feri B yang dioperasikan

100

40

A

0

50

B

y = 40

X 100

x + y = 100

B merupakan perpotongan garis x + y = 100 dengan y = 40. Koordinat titik B dicari dengan cara sebagai berikut. Substitusikan y = 40 ke ke dalam persamaan x + y = 100 sehingga diperoleh: x + 40 = 100 ⇔ x = 60 Diperoleh koordinat titik B(60, 40). C merupakan perpotongan garis x = 50 dengan x + y = 100. Koordinat titik C dicari dengan cara sebagai berikut. Substitusikan x = 50 ke dalam x + y = 100 sehingga diperoleh: 50 + y = 100 ⇔ y = 50 Diperoleh koordinat titik C(50, 50). Uji titik pojok daerah penyelesaian ke dalam ke fungsi objektif f(x, y) = 15.000x + 20.000y: Titik Pojok A(50, 40) B(60, 40) C(50, 50)

f(x, y) = 15.000x + 20.000y 15.000(50) + 20.000(40) = 1.550.000 15.000(60) + 20.000(40) = 1.700.000 15.000(50) + 20.000(50) = 1.750.000

Nilai maksimum f(x, y) = 15.000x + 20.000y adalah 1.750.000 dicapai di titik C(50, 50). Jadi, warung tersebut harus menyediakan 50 porsi menu dengan lauk ayam goreng dan 50 porsi menu dengan lauk bebek goreng.

Biaya (ribuan) 800 1.000

x y

60 80

6 3

Pembatas

14

600

45

Model matematika yang sesuai permasalahan adalah meminimumkan fungsi objektif f(x, y) = (800x + 1.000y) ribu dengan kendala: x + y ≤ 14 60x + 80y ≥ 600 6x + 3y ≥ 45 x≥0 y≥0 Garis x + y = 14 melalui titik (0, 14) dan titik (14, 0). Daerah penyelesaian x + y ≤ 14 di kiri garis x + y = 14.

C

Bagasi (ton)

A B

Daerah penyelesaian SPtLDV sebagai berikut. Y

Banyak Penumpang

Jenis Feri

1

Garis 60x + 80y = 600 melalui titik (0, 7 2 ) dan titik (10, 0). Daerah penyelesaian 60x + 80y ≥ 60 di kanan garis 50x + 80y = 600. 1

Garis 6x + 3y = 45 melalui titik (0, 15) dan (7 2 , 0). Daerah penyelesaian 6x + 3y ≥ 45 di kanan garis 6x + 3y = 45. Daerah penyelesaian x ≥ 0 di kanan sumbu Y dan daerah penyelesaian y ≥ 0 di atas sumbu X. Garis 6x + 3y = 45 dan garis x + y = 14 berpotongan di titik A(1, 13). Garis 60x + 80y = 600 dan garis 6x + 3y = 45 berpotongan di titik B(6, 3). Daerah penyelesaian sebagai berikut. Y

6x + 3y = 45 15 14

A(1, 13)

60x + 80y = 600 1

72

B(6, 3) C 0

7

1 2

10

D 14

Matematika Kelas XI

X x + y = 14

27

Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = (800x + 1.000y) ribu. Titik Pojok A(1, 13) B(6, 3) C(10, 0) D(14, 0)

f(x, y) = (800x + 1.000y) ribu (800 · 1 + 1.000 · 13) · 1.000 (800 · 6 + 1.000 · 3) · 1.000 (800 · 10 + 1.000 · 0) · 1.000 (800 · 14 + 1.000 · 0) · 1.000

= = = =

13.800.000 7.800.000 8.000.000 11.200.000



28. Jawaban: b Misalkan: x = banyak kue kukus yang terjual y = banyak kue lapis yang terjual Model matematika permasalahan tersebut adalah meminimumkan fungsi objektif f(x, y) = 1.500x + 1.200y dengan kendala: x + y ≤ 100 0 ≤ x ≤ 50 y ≥ 30 Garis x + y = 100 melalui titik (0, 100) dan (100, 0). Daerah penyelesaian x + y ≤ 100 di kiri garis x + y = 100. Daerah penyelesaian 0 ≤ x ≤ 50 di kanan sumbu Y dan di kiri garis x = 50. Daerah penyelesaian y ≥ 30 di atas garis y = 30. Y

Ponsel

Banyak

Harga Beli

Keuntungan

Jenis A Jenis B

x y

1.000.000 2.000.000

200.000 350.000

40

50.000.000

Pembatas

Model matematika permasalahan tersebut adalah memaksimumkan f(x, y) = 200.000x + 350.000y dengan kendala: x + y ≤ 40 1.000.000x + 2.000.000y ≤ 50.000.000 ⇔ x + 2y ≤ 50 x ≥ 10 y≥5



Nilai minimum f(x, y) = (800x + 1.000y) ribuan adalah 7.800.000 dicapai di titik B(6, 3). Jadi, banyak feri A yang harus dioperasikan 6 unit dan feri B sebanyak 3 unit agar biaya pengoperasian feri minimum.

29. Jawaban: d Misalkan: x = banyak ponsel jenis A y = banyak ponsel jenis B

Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan sebagai berikut. Y

x = 10

40 25 20 10 5 0

D C A 10

y=5 X x + 2y = 50 x + y = 40

Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 200.000x + 350.000y

100 A

Titik Pojok A(10, 5)

D(50, 50) B 30

y = 30

C

0

50

100

x = 50

X x + y = 100

Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 1.500x + 1.200y. f(x, y) = 1.500x + 1.200y

Titik Pojok A(0, 100) B(0, 30) C(50, 30) D(50, 50)

1.500 · 0 + 1.200 · 100 1.500 · 0 + 1.200 · 30 1.500 · 50 + 1.200 · 30 1.500 · 50 + 1.200 · 50

= = = =

120.000 36.000 111.000 135.000

Nilai minimum f(x, y) = 1.500x + 1.200y adalah 36.000. Jadi, pendapatan minimum toko roti dari penjualan kue kukus dan kue lapis per hari ratarata Rp36.000,00.

28

B 30 35 40 50

Program Linear

f(x, y) = 200.000x + 350.000y 200.000 · 10 + 350.000 · 5 = 3.750.000

B(35, 5)

200.000 · 35 + 350.000 · 5 = 8.750.000

C(30, 10)

200.000 · 30 + 350.000 · 10 = 9.500.000

D(10, 20)

200.000 · 10 + 350.000 · 20 = 9.000.000

Nilai maksimum f(x, y) 200.000x + 350.000y adalah 9.500.000 dicapai di titik C(30, 10). Jadi, penjual tersebut harus menjual 30 ponsel jenis A dan 10 ponsel jenis B agar keuntungan yang diperoleh maksimum. 30. Jawaban: c Misalkan: x = banyak saputangan jenis A yang dibuat y = banyak saputangan jenis B yang dibuat Saputangan

Banyak

Biaya Pembuatan

Laba

Jenis A Jenis B

x y

7.500 10.000

1.500 2.000

Pembatas

45

375.000

Model matematika yang sesuai permasalahan di atas adalah memaksimumkan fungsi objektif f(x, y) = 1.500x + 2.000y dengan kendala: x + y ≤ 45 y ≤ 3x 7.500x + 10.000y ≤ 375.000 ⇔ 3x + 4y ≤ 150 y≥ 9 Daerah penyelesaian SPtLDV sebagai berikut.

Substitusikan y = 3x ke dalam persamaan 3x + 4y = 150 sehingga diperoleh: y + 4y = 150 ⇔ 5y = 150 ⇔ y = 30 Substitusikan y = 30 ke dalam persamaan y = 3x sehingga diperoleh: 30 = 3x ⇔ x = 10 Diperoleh koordinat titik D(10, 30). Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 1.500x + 2.000y.

Y

y = 3x

45 37

1 2

30

D C

15 9

A

0 3 10

y=9

B 30 36 45 50 x + y = 45

X

Substitusikan y = 15 ke dalam persamaan x + y = 45 sehingga diperoleh: x + 15 = 45 ⇔ x = 30 Diperoleh koordinat titik C(30, 15). Garis y = 3x dan 3x + 4y = 150 berpotongan di titik D. Koordinat titik D dicari dengan cara sebagai berikut.

f(x, y) = 1.500x + 2.000y

A(3, 9) B(36, 9) C(30, 15) D(10, 30)

1.500 · 3 + 2.000 · 9 = 22.500 1.500 · 36 + 2.000 · 9 = 72.000 1.500 · 30 + 2.000 · 15 = 75.000 1.500 · 10 + 2.000 · 30 = 75.000

Nilai maksimum f(x, y) = 1.500x + 2.000y adalah 75.000. Jadi, laba maksimum yang diperoleh jika semua saputangan terjual adalah Rp75.000,00.

3x + 4y = 150

Garis y = 9 dan y = 3x berpotongan di titik A. Koordinat titik A dicari dengan cara sebagai berikut. Substitusikan y = 9 ke dalam y = 3x sehingga diperoleh: 9 = 3x ⇔ x=3 Diperoleh koordinat titik A(3, 9). Garis y = 9 dan x + y = 45 berpotongan di titik B. Koordinat titik B dicari dengan cara sebagai berikut. Substitusikan y = 9 ke dalam persamaan x + y = 45 sehingga diperoleh: x + 9 = 45 ⇔ x = 36 Diperoleh koordinat titik B(36, 9). Garis x + y = 45 dan 3x + 4y = 150 berpotongan di titik C. Koordinat titik C dicari cara sebagai. x + y = 45 ×3 3x + 3y = 135 3x + 4y = 150 × 3 3x + 4y = 150 –––––––––––– – –y = –15 ⇔ y = 15

Titik Pojok

B.

Uraian

1. a.

Persamaan garis yang melalui titik (0, 6) dan titik (6, 0) adalah x + y = 6. Daerah penyelesaian di kiri dan pada garis x + y = 6, maka pertidaksamaannya x + y ≤ 6 . . . (1) Persamaan garis yang melalui titik (0, 6) dan titik (–2, 0) adalah 6x – 2y = –12 ⇔ 3x – y = –6. Daerah penyelesaian di kanan dan pada garis 3x – y = –6, maka pertidaksamaannya 3x – y ≥ –6 . . . (2) Persamaan garis yang melalui titik (0, –2) dan (6, 0) adalah –2x + 6y = –12 ⇔ –x + 3y = –6. Daerah penyelesaian di kiri dan pada garis –x + 3y = –6, maka pertidaksamaannya –x + 3y ≥ –6 . . .(3) Dari pertidaksamaan (1) sampai dengan (3) diperoleh SPtLDV: x+y≤6 3x – y ≥ –6 –x + 3y ≥ –6

b.

Persamaan garis yang melalui titik (–4, 2) dan titik (4, 5) sebagai berikut. y−2 5−2

⇔

x+4

= 4+4 y−2 3

=

x+4 8

⇔ 8y – 16 = 3x + 12 ⇔ 8y – 3x = 28

Matematika Kelas XI

29

Luas ABCD = Luas ABD + luas BCD

Daerah penyelesaian di kanan dan pada garis 8y – 3x = 28 maka pertidaksamaannya 8y – 3x ≤ 28 . . . (1) Persamaan garis yang melalui titik (0, 1) dan titik (2, 0) adalah x + 2y = 2. Daerah penyelesaian di kanan dan pada garis x + 2y = 2 maka pertidaksamaannya x + 2y ≥ 2 . . . (2) Persamaan garis yang melalui titik (4, 5) dan titik (5, 0) sebagai berikut. y−0 5−0

x−5

1 1

3.

Y

B

x−5



= −1 ⇔ –y = 5x – 25 ⇔ 5x + y = 25 Daerah penyelesaian di kiri dan pada garis 5x + y = 25 maka pertidaksamaannya 5x + y ≤ 25 . . . (3) Daerah penyelesaian di atas sumbu X dan di kanan sumbu Y maka pertidaksamaannya y ≥ 0 dan x ≥ 0 . . . (4) Dari pertidaksamaan (1) sampai dengan (4) diperoleh SPtLDV: 8y – 3x ≤ 28 x + 2y ≥ 2 5x + y ≤ 25 y≥0 x≥0 2. a. E

y=2 –8

–3

y = –2

0 –2

4. a.

2x + y = 2

1

Luas ABCD = 2 × BE × (AD + BC) 1

x + 2y = 6

B –4

y – 2x = 8

Banyak

Bagasi

Harga

Ekonomi Utama

x y

20 30

450.000 600.000

Pembatas

60

1.500

b.

Daerah penyelesaian: Y 60 50

C B(30, 30)

O 0 –3

D 6

C 3x + 4y = –12

30

Tiket

4 3 E

–2

3

Misalkan: x = banyak tiket kelas ekonomi y = banyak tiket kelas utama

Y A

X

D

1

Model matematika yang sesuai permasalahan di atas adalah memaksimumkan fungsi objektif f(x, y) = 450.000x + 600.000y dengan kendala: x + y ≤ 60 20x + 30y ≤ 1.500 ⇔ 2x + 3y ≤ 150 x≥0 y≥0

X

= 2 × 4(8 + 5) = 2 × 13 = 26 satuan Jadi, luas daerah penyelesaian 26 satuan.

–2

Misalkan garis selidik awal 4x – 2y = –8. Fungsi objektif f(x, y) = 4x – 2y mempunyai koefisien x positif maka nilai minimumnya dicapai di titik pojok yang dilalui garis selidik paling kiri. Garis selidik paling kiri melalui titik pojok B(–2, 2) mempunyai persamaan 4x – 2y = –12, maka nilai minimum fungsi objektif f(x, y) = 4x – 2y adalah –12.

D

1 2 C

2



B

2

A

2x + y = 6

Y

A

4x – 2y = –8 3y – 2x = 10

C –5

4x + 5y = –22

b.

6

2x + 3y = 2

4

y 5

1

= 2 × 10 × 4 + 2 × 10 × 3 = 20 + 15 = 35 satuan Jadi, luas daerah penyelesaian 35 satuan.

= 4−5

⇔

1

= 2 × BD × AE + 2 × BD × OC

Program Linear

x – 2y = 6 X

O

A 60

75

X

Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 450.000x + 600.000y. Titik Pojok

f(x, y) = 450.000x + 600.000y

O(0, 0) A(60, 0) B(30, 30) C(0, 50)

450.000 · 0 + 600.000 · 0 = 0 450.000 · 60 + 600.000 · 0 = 27.000.000 450.000 · 30 + 600.000 · 30 = 31.500.000 450.000 · 0 + 600.000 · 50 = 30.000.000

5. Misalkan: x = banyak pupuk jenis A y = banyak pupuk jenis B Jenis

Banyak Phospor

Nitrogen

Kalium

Harga

6. Misalkan: x = banyak guru yang mengikuti pelatihan Power Point y = banyak guru yang mengikuti pelatihan Excel Model matematika permasalahan tersebut adalah memaksimumkan fungsi objektif f(x, y) = (100x + 200y) ribu dengan kendala: 0 ≤ x ≤ 10 x + y ≤ 15 0 ≤ y ≤ 2x Daerah penyelesaian SPtLDV sebagai berikut.

Dari tabel di atas diperoleh nilai maksimum f(x, y) = 450.000x + 600.000y adalah 31.500.000 dicapai di titik B(30, 30). Jadi, pesawat tersebut harus membawa 30 penumpang kelas ekonomi dan 30 penumpang kelas utama agar diperoleh keuntungan maksimum.

Nilai minimum f(x, y) = 1.500x + 1.600y adalah 13.800 dicapai di titik C(6, 3). Jadi, Pak Gani harus mencampur 6 pupuk jenis A dan 3 pupuk jenis B dengan pengeluaran biaya minimum Rp13.800,00.

Y y = 2x

A

x

3

1

3

1.500

B

y

1

6

2

1.600

15

24

24

Pembatas



O 0

A

C(6, 3) D 8

X x + 6y = 24

24 3x + 2y = 24

Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 1.500x + 1.600y. Titik Pojok A(0, 15) B(2, 9) C(6, 3) D(24, 0)

15 x + y = 15

X

f(x, y) = (100x + 200y) ribu (100 · 0 + 200 · 0) ribu = 0 (100 · 10 + 200 · 0) ribu = 1.000.000 (100 · 10 + 200 · 5) ribu = 2.000.000 (100 · 5 + 200 · 10) ribu = 2.500.000

Nilai maksimum fungsi objektif f(x, y) = (100x + 200y) ribu adalah 2.500.000. Jadi, pendapatan maksimum lembaga pendidikan komputer dari pelatihan Rp2.500.000,00.

B(2, 9)

3x + y = 15

A x = 10

A(0, 0) B(10, 0) C(10, 5) D(5, 10)

5

5

Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = (100x + 200y) ribu. Titik Pojok

12

0

B

5

Y

4

C

10

Model matematika permasalahan tersebut adalah meminimumkan f(x, y) = 1.500x + 1.600y, dengan kendala: 3x + y ≥ 15 x + 6y ≥ 24 3x + 2y ≥ 24 x, y ≥ 0 Daerah penyelesaiannya sebagai berikut.

15

15

f(x, y) = 1.500x + 1.600y 1.500(0) 1.500(2) 1.500(6) 1.500(24)

+ + + +

1.600(15) 1.600(9) 1.600(3) 1.600(0)

= = = =

24.000 17.400 13.800 36.000

7. Garis x + y = 12 melalui titik (0, 12) dan titik (12, 0). Daerah penyelesaian x + y ≥ 12 dibatasi garis x + y = 12 dan tidak memuat titik (0, 0) . . . (1) Garis x + 2y = 16 melalui titik (0, 8) dan titik (16, 0). Daerah penyelesaian x + 2y ≥ 16 dibatasi garis x + 2y = 16 dan tidak memuat titik (0, 0) . . . (2) Daerah penyelesaian x ≥ 0 di kanan sumbu Y. . . (3) Daerah penyelesaian y ≥ 0 di atas sumbu X. . . (4)

Matematika Kelas XI

31

Dari (1), (2), (3), dan (4) diperoleh daerah penyelesaian sebagai berikut.

Daerah penyelesaian SPtLDV sebagai berikut. Y

Y 12

3x + 3y = 27

C(0, 12)

9 y = 2x C

8 5

B(8, 4)

A

A(16,0)

X 12 16 x + 2y = 16 x + y = 12

0

B 9 10

Titik pojok daerah penyelesaian adalah A(16, 0), B(8, 4), dan C(0, 12). Agar f(x, y) = ax + 4y minimum hanya di titik (8, 4) maka harus dipenuhi f(8, 4) < f(0, 12) dan f(8, 4) < f(16, 0). f(x, y) = ax + 4y f(8, 4) = a(8) + 4(4) = 8a + 16 f(0, 12) = a(0) + 4(12)= 48 f(16, 0) = a(16)+ 4(0) = 16a Syarat pertama f(8, 4) < f(0, 12), maka: 8a + 16 < 48 ⇔ 8a < 32 ⇔ a <4 . . . (1) Syarat kedua f(8, 4) < f(16, 0), maka: 8a + 16 < 16a ⇔8a – 16a < –16 ⇔ –8a < –16 ⇔ a >2 . . . (2) Dari (1) dan (2) diperoleh 2 < a < 4. Jadi, nilai a yang memenuhi 2 < a < 4. 8. Misalkan: x = banyak paket A yang dipesan y = banyak paket B yang dipesan Banyak

Ensiklopedi

Kamus

Laba

A B

x y

4 8

3 3

350.000 750.000

40

27

Pembatas



Model matematika permasalahan tersebut adalah meminimumkan fungsi objektif f(x, y) = 350.000x + 750.000y dengan kendala: 4x + 8y ≥ 40 3x + 3y ≤ 27 y ≤ 2x x≥0 y≥0

32

Program Linear

4x + 8y = 40

Garis y = 2x dan garis 4x + 8y = 40 berpotongan di titik A(2, 4). Garis 3x + 3y = 27 dan garis 4x + 8y = 40 berpotongan di titik B(8, 1). Garis y = 2x dan garis 3x + 3y = 27 berpotongan di titik C(3, 6). Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 350.000x + 750.000y. Titik Pojok A(2, 4) B(8, 1) C(3, 6)

f(x, y) = 350.000x + 750.000y 350.000(2) + 750.000(4) = 3.700.000 350.000(8) + 750.000(1) = 3.550.000 350.000(3) + 750.000(6) = 5.550.000

Nilai minimum f(x, y) = 350.000x + 750.000y adalah 3.550.000. Jadi, biaya minimum yang dikeluarkan perpustakaan Rp3.550.000,00. 9. Misalkan: x = banyak kain lurik yang dibeli Pak Rudi (meter) y = banyak kain batik yang dibeli Pak Rudi (meter) a.

Model matematika permasalahan tesebut adalah memaksimumkan fungsi objektif f(x, y) = 20.000x + 20.000y dengan kendala: 40.000x + 50.000y ≤ 13.000.000 ⇔ 4x + 5y ≤ 1.300



Jenis Paket

X

x ≤ 2y x + y ≥ 150 x≥0 y≥0

Daerah penyelesaian SPtLDV sebagai berikut.



Y

260

Sistem pertidaksamaan linear permasalahan tersebut adalah: y – x ≤ 60 3

y ≥ 5x x + y ≤ 160 x≥0 y≥0

A

212

Daerah penyelesaian: Y

150 B D

100 90

0

y – x = 60 160

C 60 100

150 200 x + y = 150

110 90

X

325 4x + 5y = 1.300

60 42

Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 20.000x + 20.000y. Titik Pojok

f(x, y) = 20.000x + 20.000y

A(0, 260) B(0, 150) C(100, 50) D(200, 100)

20.000 · 0 + 20.000 · 260 = 5.200.000 20.000 · 0 + 20.000 · 150 = 3.000.000 20.000 · 100 + 20.000 · 50 = 3.000.000 20.000 · 200 + 20.000 · 100 = 6.000.000

Nilai maksimum fungsi objektif f(x, y) = 20.000x + 20.000y adalah 6.000.000. Jadi, keuntungan maksimum yang akan diperoleh Pak Rudi Rp 6.000.000,00. b.

Pak Rudi membeli kain lurik 60 meter maka x = 60. Dari grafik terlihat, untuk x = 60 maka y1 = 90 dan y2 = 212. Keuntungan minimum = f(60, 90) = 20.000 · 60 + 20.000 · 90 = 3.000.000 Keuntungan maksimum = f(60, 212) = 20.000 · 60 + 20.000 · 212 = 5.440.000 Jadi, keuntungan minimum dan keuntungan maksimum saat Pak Rudi membeli 60 meter kain lurik berturut-turut Rp3.000.000,00 dan Rp5.440.000,00.

10. Misalkan: x = banyak karyawan asing y = banyak karyawan lokal

0

y=

-----------------------

50

x = 2y

50 70 100

3 5

x

X

160

x + y = 160

a.

b.

Dari grafik terlihat karyawan lokal yang dipekerjakan maksimum 110 orang dan karyawan asing yang dipekerjakan maksimum 100 orang. Fungsi objektif f(x, y) = (1.500x + 2.500y) ribu. Karyawan asing yang dipekerjakan 70 orang maka x = 70. Dari grafik terlihat, untuk x = 70 maka y1 = 42 dan y2 = 90. Jumlah uang minimum = f(70, 42) = (1.500 · 70 + 2.500 · 42) ribu = 210.000.000 Jumlah uang maksimum = f(70, 90) = (1.500 · 70 + 2.500 · 90) ribu = 330.000.000 Jadi, jumlah uang minimum yang dikeluarkan perusahaan untuk menggaji karyawan pada saat perusahaan mempekerjakan 70 karyawan asing Rp210.000.000,00 per bulan dan jumlah maksimumnya Rp330.000.000,00 per bulan.

Matematika Kelas XI

33

Setelah mempelajari bab ini, siswa mampu: 1. mendeskripsikan dan menganalisis konsep dasar operasi matriks dan sifat-sifat operasi matriks serta menerapkannya dalam pemecahan masalah; 2. memadu berbagai konsep dan aturan operasi matriks dan menyajikan model matematika dari suatu masalah nyata dengan memanfaatkan nilai determinan atau invers matriks dalam pemecahannya. Berdasarkan pengetahuan dan keterampilan yang dikuasai, siswa: 1. memiliki motivasi internal, kemampuan bekerja sama, konsisten, sikap disiplin, rasa percaya diri, dan sikap toleransi dalam perbedaan strategi berpikir dalam memilih dan menerapkan strategi menyelesaikan masalah; 2. mampu mentransformasi diri dalam berperilaku jujur, tangguh menghadapi masalah, kritis dan disiplin dalam melakukan tugas belajar matematika; 3. menunjukkan sikap bertanggung jawab, rasa ingin tahu, jujur, dan perilaku peduli lingkungan.

Materi Matriks

Pembelajaran Kognitif • • •

Kegiatan Psikomotorik

Operasi matriks Determinan matriks Invers matriks

• •

Pengetahuan yang Dikuasai • • • • • • •

Menjelaskan bentuk dan sifat operasi matriks. Menganalisis sifat operasi matriks. Membuktikan sifat operasi matriks. Menentukan hasil operasi matriks. Menganalisis dan membuktikan sifat determinan matriks. Menganalisis dan membuktikan sifat invers matriks. Menentukan determinan dan invers matriks.

Membuat model matematika berbentuk matriks. Menggunakan sifat operasi, determinan, dan invers matriks untuk menyelesaikan masalah.

Keterampilan yang Dikuasai • •

Terampil mengubah masalah nyata menjadi model matematika berbentuk matriks. Terampil menggunakan sifat operasi, determinan, dan invers matriks untuk menyelesaikan masalah.

Kemampuan dan Sikap yang Dimiliki • •

•

• •

34

Matriks

Mendeskripsikan dan menganalisis konsep dasar operasi matriks dan sifat-sifat operasi matriks. Memadu berbagai konsep dan aturan operasi matriks dan menyajikan model matematika dari suatu masalah nyata dengan memanfaatkan nilai determinan atau invers matriks dalam pemecahannya. Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerja sama, konsisten, sikap disiplin, rasa percaya diri, dan sikap toleransi dalam perbedaan strategi berpikir dalam memilih dan menerapkan strategi menyelesaikan masalah. Mampu mentransformasi diri dalam berperilaku jujur, tangguh menghadapi masalah, kritis, dan disiplin dalam melakukan tugas belajar matematika. Menunjukkan sikap bertanggung jawab, rasa ingin tahu, jujur, dan perilaku peduli lingkungan.

A. Pilihan Ganda 1.

5.

−  T Q =   ⇒Q = − −  + 

Jawaban: c

      C=   +   =    −      2.

− T R =   ⇒R =  

Jawaban: a

   −  B–A=  –         −  ⇔   =  −  Diperoleh: 2 – a = –2 ⇔ a=4 2b – 1 = b ⇔ b=1

⇔

 T K =  ⇒K =  

6.

     

   T M =   ⇒ M =  −   −         KT + L – MT =   +  −  –  − 

      + − + −  =    − − + − −   =   −   4.

Jawaban: b M = KT – L     =   –      

 − −  =    − −   − =    

  −      −  +  − − +  =  −       

−   +   − − − +  =  −    Dari kesamaan matriks di atas diperoleh: a–1=1 ⇔ a=1+1 ⇔ a=2 –a + d = 2 ⇔ –2 + d = 2 ⇔ d=2+2 ⇔ d=4 Jadi, nilai d adalah 4.

 −    =   +      

Jawaban: c

   −   

⇔

 −    2A + B = 2   +      

3.

−    − − +   

P + QT = RT

−   − −   

 − =    

Jawaban: d

 

Jawaban: b C+D=O

  − − −    ⇔   +   =    −   −    + − + − −    ⇔  = + + −     − + −     − =  +     Dari kesamaan matriks diperoleh: 2x – 4 = 0 ⇔ 2x = 4 ⇔ x=2 3y + 9 = 0 ⇔ 3y = –9 ⇔ y = –3 5z – 5 = 0 ⇔ 5z = 5 ⇔ z=1 Dengan demikian: x + y – z = 2 + (–3) – 1 = –2 Jadi, nilai x + y – z = –2. ⇔

Matematika Kelas XI

35

7.

Jawaban: e X+Y–Z=I  ⇔     ⇔   

  =  −   +Y=  −  −   −  + Y = ⇔    −     −  ⇔ Y =   –  −         −   − −  ⇔ Y =  − −     − 

8.

   + Y –  −        –  −    

       

               

9.

Matriks

 − +   −   + −  =  − −     

⇔

Diperoleh: x + 6 = 20 ⇔ x = 14 3 + y = –8 ⇔ y = –11 x + y = 14 – 11 = 3 Jadi, x + y = 3.

A = 2BT

 − 

    − ⇔   = 2  + +     

 − 

    − ⇔   =  + +     

 − 

Dari kesamaan matriks diperoleh: 4 = 2a ⇔ a=2 2b = 4a + 2 ⇔ 2b = 4 × 2 + 2 ⇔ 2b = 10 ⇔ b=5 3c = 2b + 14 ⇔ 3c = 2 × 5 + 14 ⇔ 3c = 24 ⇔ c=8 Jadi, nilai c yang memenuhi adalah 8.

      + =  −   −   −       ⇔ =  −   −   Diperoleh: 5a + 10 = 20 ⇔ 5a = 10 ⇔ a=2 2a + b + 5 = 10 ⇔ 2×2+b=5 ⇔ 4+b=5 ⇔ b=1

36

 −   −   −  + =    −   − −  

  − +   − T B=   ⇒ B =  + +  +

   

Jawaban: e P+Q=R ⇔

10. Jawaban: a

11. Jawaban: d

Jawaban: e

  A+B–C=    − −       − −  ⇔   + –   =  −  −  −      + + + +   ⇔  − − − + −  =     − + +    ⇔  − −  =  −  Dari kesamaan matriks diperoleh: 6+x=8 ⇔ x=2 2 – y = –x ⇔ 2 – y = –2 ⇔ y=4 Nilai x + 2xy + y = 2 + 2 · 2 · 4 + 4 = 22

a+b=2+1 =3 Jadi, nilai a + b = 3.

12. Jawaban: e  − −  Q =  −    ⇔

 −  QT =  −     − 

 −   −    PQT =   −  −  −   

 + − − − +  =  −  =      − + + − −   − 

s

13. Jawaban: b

  ABT =  + −  

 −    −     ⇔     =  + −  −      −      + − − +   ⇔  − + + −  =  + −      Diperoleh: 2 – 4a = –2 ⇔ –4a = –4 ⇔ a=1 –4 + 3a = b ⇔ –4 + 3 = b ⇔ b = –1  A=   −  B=   −

 A+B =   −  =   −

−   −   =     −    −   =   −   − − −   −   +     − − −  

14. Jawaban: c 2A – B = CD  − 2   − ⇔  

   −      –   =     −     −      − −   –   =     −   − 

 − − −   − −    =      − −  − Dari kesamaan matriks diperoleh: –2c – 4 = –10 ⇔ –2c = –6 ⇔ c = 3 –3 – b = –4 ⇔ b=1 4 – a = –b + 9 ⇔ 4 – a = –1 + 9 ⇔ a = –4 Nilai a + b + c = –4 + 1 + 3 = 0.

⇔

15. Jawaban: a

 −  M=   ⇒ MT =     MT   = 5N    ⇔    −  ⇔

   −   

      = 5        +    − +  =      

Dari kesamaan matriks diperoleh: 2a + 6b = 0 ×1 2a + 6b = 0 –3a + b = 10 × 6 –18a + 6b = 60 ––––––––––––– – 20a = –60 ⇔ a = –3 a = –3 ⇔ –3a + b = 10 ⇔ (–3)(–3) + b = 10 ⇔ 9 + b = 10 ⇔ b = 10 – 9 ⇔ b=1 Jadi, nilai a dan b berturut-turut adalah –3 dan 1. 16. Jawaban: e –

BA =

 − − −  ( − )  − −     

–

= – ( )

= ( − − ) 17. Jawaban: e   

( ) 

   = (3)  

 ⇔ (2x + 2 3x)   = (3)   2 ⇔ (2x + 2x + 3x) = (3) ⇔ (2x2 + 5x) = (3) Dari kesamaan matriks diperoleh: 2x2 + 5x = 3 ⇔ 2x2 + 5x – 3 = 0 ⇔ (2x – 1)(x + 3) = 0 ⇔ 2x – 1 = 0 atau x + 3 = 0

⇔

x=



Jadi, nilai x =

atau

x = –3

atau x = –3.

18. Jawaban: d

   C2 = C ⋅ C =         + +  =    + +   =     C2 = xC + yI

Matematika Kelas XI

37

⇔   ⇔  

   = x   + y 

        = +

   

4)

 

    =          =    

 

  +  ⇔  =  +     Dari kesamaan matriks diperoleh: x=6 4x + y = 19 ⇔ 4 × 6 + y = 19 ⇔ 24 + y = 19 ⇔ y = 19 – 24 ⇔ y = –5 Nilai x – y = 6 – (–5) = 11 Jadi, nilai x – y = 11.  A2 =    =  

    2B2 = 2          = 2      =     Pernyataan BAB = 2B2 benar Jadi, pernyataan 1), 2), 3), dan 4) benar.

20. Jawaban: d

19. Jawaban: a 1)

  

      −     =   –    −       

     

+ +  − −   −  =   − + − +   − −  

  

⇔ 

      =       Dari kesamaan matriks diperoleh: 5a = 10 ⇔ a = 2 7c = 7a ⇔ c=a ⇔ c=2 7c = 14b ⇔ 14 = 14b ⇔ b=1 Diperoleh a = 2, b = 1, dan c = 2 Nilai a + b + c = 2 + 1 + 2 = 5.

  = 2    = 2A Pernyataan A2 = 2A benar

2)

 AB =    =  

  

 BA =  

 =  

  

 AB =    =  

        

  

Matriks

B. Uraian 1.

a.

          

  = 2    = 2B Pernyataan AB = 2B benar

38

⇔

     

Pernyataan AB = BA benar 3)

BAB = B(AB)

  −  BA =       −   − −  =    − 

b.

 −    −    AC =    −   − −     − −  =   −  −

c.

 BC =    

b.

 −       − −   

ordo 2×2

   –  −  =      + 2    −   − 

 −   −  –  −  =   + 2       −   

ordo 3×3

 −   −  –  −  =   +          − 

Oleh karena banyak kolom matriks B (= 2) tidak sama dengan banyak baris matriks C (= 3) maka matriks B tidak dapat dikalikan dengan matriks C. Jadi, BC tidak terdefinisi.

 −   −  =   –      



d.

−    ATB =      −     −     =  −         

 −  =    

3.

 −    =  − −      2.

a.

 +  2A + B =    − 

⇔

    =  +  2  +      −   −   − 

  A=    −    =    − −    =    − 

⇔

      +   – MT =    

     

⇔

    – MT =  

     

⇔

    MT =   –      

⇔

  MT =    

  Jadi, matriks M adalah  .  

  +   +   =    − − +   − 

Diperoleh: 6 + 2a = a + 3 ⇔ a = –3 7b = 14 ⇔ b=2 4+c=8 ⇔ c=4

K + L – MT = I

  M = (MT)T =    

    =  +  ⇔   +     −    −   − 

⇔

AT + 2B – C

4.

   − −  A2 – B =   –  −     − 

⇔

 −   − −   − −      –   =    −   −   −   − 

⇔

    −   −  –   =    −   − − +   − 

⇔

  −   −   =   −   − − − + 

Diperoleh: 1 – 5x = –9 ⇔ 5x = 10 ⇔ x=2

Matematika Kelas XI

39

–4x – y = –5 ⇔ –8 – y = –5 ⇔ –y = 3 ⇔ y = –3 3x + y = 3 × 2 – 3 =3 Jadi, nilai 3x + y = 3. 5.

 −  M =   ⇔ MT =  

b.

 −      =   + 2  – 11    −   −     −     −  =   +   +  

− −      −   =    

   −   

M2 = M × M

 −   −  =       

7.

⇔

 −    M2 – I =   –      

⇔

(M2 + I) – 2MT   −      =    +    – 2  −       

 −  =      A2 =    =   −

⇔ ⇔ ⇔

    −   −  −   

2c – 8 = –28 2c = –28 + 8 2c = –20 c = –10 2d + 20 = 42 ⇔ 2d = 42 – 20 ⇔ 2d = 22 ⇔ d = 11

f(x) = 2x3 – 4x + 5I f(A) = 2A3 – 4A + 5I  −      = 2  – 4  + 5   −   −      −     =   –   +    −   −      − =    − 

40

Matriks

2b + 16 = –14 2b = –14 – 16 2b = –30 b = –15

⇔ ⇔ ⇔

   −  A3 = AA2 =     −   −   −  =    − 

a.

 + +   −   − +  =  −     

Dari kesamaan matriks tersebut, diperoleh: 2a + 12 = 14 ⇔ 2a = 14 – 12 ⇔ 2a = 2 ⇔ a=1 . . . (1)

 −    =   –  −     

6.

     −  2   +  −  =  −       

     −  ⇔   +  −  =  −       

 −  =     b.

  Misalkan: Matriks X =        −  2X + 4  −  = 7  −     

 −  =     a.

g(x) = x2 + 2x – 11I g(A) = A2 + 2A – 11I

8.

−  Jadi, matriks X =  .  −  A = matriks segitiga atas   Misalkan: A =      −  A3 =    

. . . (2)

. . . (3)

. . . (4)

⇔

     −      =        

⇔

   

 ⇔   

⇔

   

− − −  −   − ⇔   =  + −  − − −    

+     −   =        

⇔

+ +   −   =       + +   −   =     

=8⇔x=



z3 = 27 ⇔ z =

a + 7b = –20 ⇔ a + 7(–3) = –20 ⇔ a – 21 = –20 ⇔ a = –20 + 21 ⇔ a=1 Jadi, nilai a = 1 dan b = –3.

=2

= 3

x2y + zy(x + z) = –57 ⇔ 22y + 3y(2 + 3) = –57 ⇔ 4y + 15y = –57 ⇔ 19y = –57 ⇔ y = –3 Diperoleh nilai x = 2, y = –3, dan z = 3.

10. a.

a.

  ← Kualitas I P =   ← Kualitas II     ← Kualitas III   Misalkan matriks Q = matriks harga sepatu Q = (100.000 80.000 75.000)

    =              ⇔

 + +  =    + +       

⇔

 + +  =    +      

Dari kesamaan matriks di atas diperoleh: 2a + 32 = 38 ⇔ 2a = 38 – 32 ⇔ 2a = 6 ⇔ a=3 6 + 5b = 41 ⇔ 5b = 41 – 6 ⇔ 5b = 35 ⇔ b=7 Jadi, nilai a = 3 dan b = 7.

Misalkan matriks P = matriks banyak sepatu yang diproduksi per hari. Jenis Sepatu A B C

   −  A=   =        −  Jadi, matriks A =  .  

9.

−   − −  =  −  − −   + −     

Dari kesamaan matriks di atas diperoleh: b – 2 = –5 ⇔ b = –5 + 2 ⇔ b = –3

Dari kesamaan matriks diperoleh: x3

−     −  =  −    − −  + −      

b.

↑ Kualitas I

b.

↑ ↑ Kualitas II Kualitas III

Jumlah uang hasil penjualan per hari = QP

  = (100.000 80.000 75.000)         = ( ) Jadi, jumlah uang yang diperoleh pabrik setiap hari: = Rp15.500.000,00 + Rp23.250.000,00 + Rp24.925.000,00 = Rp63.675.000,00

Matematika Kelas XI

41

A. Pilihan Ganda 1.

4.

Jawaban: e

   −  A+B =   +      

Jawaban: c − det (A) =

  =    





⇔ p = –2 × 4 – × 6 ⇔ p = –8 – 3 ⇔ p = –11

det (B) =

− −

5.

 − =    − −  det P =

⇔ 7 = –3 – (2x + 4y) ⇔ 2x + 4y = –10 Jadi, nilai 2x + 4y = –10. 3.

Jawaban: c

+ =3 − ⇔ ((x + 1)(2x – 1)) – 3x = 3 ⇔ 2x2 + x – 1 – 3x = 3 ⇔ 2x2 – 2x – 1 – 3 = 0 ⇔ 2x2 – 2x – 4 = 0 ⇔ x2 – x – 2 = 0 ⇔ (x – 2)(x + 1) = 0 ⇔ x = 2 atau x = –1 Jadi, nilai c yang memenuhi x = 2 atau x = –1.

42

Matriks

− − −

= 1 × (–3) – (–3) × (–1) = –3 – 3 = –6 Jadi, det P = –6.

 −  −  A+B=   +    −   −

det (A + B) = + −

Jawaban: a P=B–D

    =   –    −   

Jawaban: b

  =  + −  



=1×4–5×3 = 4 – 15 = –11 Jadi, det (A + B) = –11.

−

⇔ q = × (–16) – (–2) × (–5) ⇔ q = –4 – 10 ⇔ q = –14 2p – q = 2 × (–11) – (–14) = –22 + 14 = –8 Jadi, nilai 2p – q = –8. 2.

det (A + B) =

6.

Jawaban: d

−    A – kl =   – k   −     −    =   –    −    − −  =    − −  Matriks (A – kI) adalah matriks singular sehingga |A – KI| = 0. | A – kI | =

− − − −

⇔ (6 – k)(5 – k) – 12 = 0 ⇔ 30 – 6k – 5k + k2 – 12 = 0 ⇔ k2 – 11k + 18 = 0 ⇔ (k – 9)(k – 2) = 0 ⇔ k = 9 atau k = 2 Jadi, nilai k adalah k = 2 atau k = 9.

7. Jawaban: a C=B–A

(AB)–1 =

   − =   –      −   −  =    

− − −

 − −  =  − −         

− −   −  (AB)–1 – AT =   –      − −  =   −   11. Jawaban: a AC = B ⇔ C = A–1B ⇔ C –1 = (A–1B)–1 ⇔ C–1 = B–1A

det C = –1 × 4 – 2 × 2 = –8

−   C–1 =  − −   −  =–    − −  −  =    

8. Jawaban: a   Matriks   tidak mempunyai invers jika   determinannya nol. =0

⇔ 5x2 – 20 = 0 ⇔ 5(x2 – 4) = 0 ⇔ (x + 2)(x – 2) = 0 ⇔ x + 2 = 0 atau x – 2 = 0 ⇔ x = –2 x=2 Jadi, nilai x adalah –2 atau 2.

−

   −   

⇔

C–1 =  −   

⇔

   C–1 =     −   − 

⇔

−  C–1 =    − 

⇔

  C–1 =  



−   −   

Determinan matriks C –1:  − 



 − 



| C –1| = ×   −   ×    

= – = –2 12. Jawaban: b

9. Jawaban: d  −   AB – C =       − −  =   –  

    –           

 − −  =    −  − − det (AB – C) = −

= (–6) × (–1) – (–6) × 0 =6 10. Jawaban: d

−   −  T A =   ⇒ A =  − −     −      AB =    =    −    − −

  A=      −  A–1 = × − ×    −   −  =    − 

CA = B ⇔ CAA–1 = BA–1 ⇔ C = BA–1 ⇔

   −   −  C=    =      −   − 

  +   +  −  A+B+C =      −         −  =    − 

Matematika Kelas XI

43

B. Uraian

13. Jawaban: c

   −  P =  

−   ⇔    P = −    − 

 − −   

1.

−    −  −  −       −   − P = ⋅ − −      − 

⇔ ⇔



− −  P = +    − − + 

⇔

 − P =   − 

⇔

 −  P=    − 

⇔ –4 = 3(x – 1) – (–1)(2) ⇔ –4 = 3x – 3 + 2 ⇔ –4 = 3x – 1 ⇔ 3x = –3 ⇔ x = –1 −   −  − +  T N=   ⇔ N =   −   + −   − − + det NT = − −

 −  Jadi, matriks P adalah  .  − 

⇔ 26 = –2 × (–3) – (–5)(3y + 1) ⇔ 26 = 6 + 15y + 5 ⇔ 15y = 15 ⇔ y=1 Jadi, nilai x = –1 dan y = 1.



14. Jawaban: b Sistem persamaan linear dari permasalahan tersebut sebagai berikut. 3x + 5y = 3.050.000 2x + 3y = 1.950.000 Diperoleh matriks sebagai berikut.

  M=    − −  det M = − −

2.

a.

 − = 2   − =  

          =        15. Jawaban: e

 −    =              ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

  =  −                     =   × − × −  −          =    

     −      

  =      −     

 =      −     Diperoleh x = 3, y = –1. Persamaan garis ketiga sebagai berikut. y = mx + c ⇔ –1 = –2 × 3 + c ⇔ c=5 Jadi, persamaan garis ketiga adalah y = –2x + 5.

⇔

44

Matriks

  −   +     −    −   +     − 

 −  =     − det C =

−



C = 2A + B

= –9 × 4 – 8 × 0 = –36 b.

D = A – BT  −   −  =   –      −   −  =    − − det D = −

= –9 × (–1) – 9 × 4 = 9 – 36 = –27

3.

    T P=   ⇔ P =    −   − 

det PT =

y=

−

    Diperoleh P =   =    −     −  P–1 = × − ×    − 

5.

a.

 −  = −    − 



−  =   −      −  

  . − 

=

=



=9

Misalkan: harga 1 kg beras = x harga 1 kg telur = y Sistem persamaan linear dari permasalahan di atas: 2x + 3y = 52.000 x + 2y = 32.000 Bentuk persamaan matriks:

=

+ +

=



b.

= 35

−

⇔

  =                

⇔

 =    

⇔

  =  −       −        

−

 −     −      

⇔

. . . (2)

−      Bentuk matriksnya:     =         x=

− +

  =           Diperoleh x = 8.000 dan y = 12.000. Jadi, harga 1 kg beras Rp8.000,00 dan harga 1 kg telur Rp12.000,00.

. . . (1)



Misalkan: x = umur ayah sekarang y = umur adik sekarang Kalimat matematikanya: x – y = 26 (x – 5) + (y – 5) = 34 ⇔ x + y = 34 + 5 + 5 ⇔ x + y = 44 Sistem persamaan linearnya: x – y = 26 x + y = 44

− −

=

    =             

Jadi, invers matriks P adalah



=



 −  =–    − 

4.



−

Umur ayah dua tahun yang akan datang =x+2 = 35 + 2 = 37 tahun Umur adik dua tahun yang akan datang =y+2 =9+2 = 11 tahun

⇔ –2 = 4(x – 1) – 10 ⇔ 8 = 4x – 4 ⇔ 4x = 12 ⇔ x=3





Harga 3 kg beras dan 4 kg telur = 3x + 4y = 3 × Rp8.000,00 + 4 × Rp12.000,00 = Rp24.000,00 + Rp48.000,00 = Rp72.000,00 Jadi, harga 3 kg beras dan 4 kg telur Rp72.000,00.

Matematika Kelas XI

45

4.

Jawaban: a

Jawaban: d B–C=A

  −  –  −  =  −  −   −   − −       

  −   −   − ⇔   –  −  =  − − −  −      

− − − +   −  ⇔   =  − −  − − + −    

⇔

A. Pilihan Ganda 1.

Diperoleh: p – 9 = –2p ⇔ 3p = 9 ⇔ p=3

    −  −  =  − −     

⇔

Dari kesamaan matriks di atas diperoleh: 4x – 1 = 3 ⇔ 4x = 3 + 1 ⇔ 4x = 4 ⇔ x=1 . . . (1) 2y – 3 = 1 ⇔ 2y = 1 + 3 ⇔ 2y = 4 ⇔ y=2 . . . (2) Jadi, nilai (x, y) adalah (1, 2). 2.

⇔ ⇔

3 – q = –3q – 1 2q = –4 q = –2

p – 2q = 3 – 2 × (–2) =7 5.

Jawaban: b

 −  (A + B – 2C)T =    − − 

Jawaban: e

⇔

 −    A + B =   + 2      

A + B – 2C =  −   − − 

⇔

 − − A + B – 2C =    − 

 −    =   +      

⇔

 − + +  =  + +   

Jawaban: a

 −  +  −  =  −    − −    −     ⇔

46

Matriks

−   −    − − +     

⇔

−   −   − −   − −  –  +  =  −       

⇔

−   − −  +  − − − −  =  −     

Diperoleh: y + 2 = –1 ⇔ y = –3 –5 – x = –3 ⇔ x = –2 x + y = –2 + (–3) = –5

 − +   −   −  =  − −     

Diperoleh: x + 6 = 20 ⇔ x = 14 3 + y = –8 ⇔ y = –11 x + y = 14 + (–11) =3



  − −  − – 2 = +   −  

 −  =     3.

  −   −  − −  =  − − −     

6.

Jawaban: e

 A =   −  −      A2 = A × A =  =       − −   − −   − −  −  Jadi, transpos (A2) =  . −  

7.

p – 2q = –2 ⇔ p – 0 = –2 ⇔ p = –2 Nilai p + q + r = –2 + 0 – 1 = –3.

Jawaban: c B – A = CT  +   − 

⇔   –   =        

 + − ⇔   = −   

 

Jawaban: a  −   = 3B –2A +     − 

⇔

 −   = 3B –2(2B) +     − 

⇔

 −   = 3B –4B +     − 

⇔

9.

   T A =   maka A =      

  

Dari kesamaan matriks diperoleh: y–4=1⇔y=5 x+y–2=7 ⇔x+5–2=7⇔x=4 Nilai x · y = 4 · 5 = 20 8.

10. Jawaban: c

 −   7B =     − 

⇔

 −   B= 

   − 

⇔

 −  B =      − 

Jawaban: b

       p   + 2q  − – r   =  −           −  −          ⇔   +  −  –   =  −            −     −   −        ⇔  −  =  −     −     Dari kesamaan matriks diperoleh: r = –1 2q – r = 1 ⇔ 2q – (–1) = 1 ⇔ 2q + 1 = 1 ⇔ q=0

. . . (1) . . . (2)

     2A – AT + I = 2   –   +              =   –   +         − + − +  =    − + − +   =     11. Jawaban: b M2 = M × M  −   −  =        − +   + =  − + +      =       Jadi, M2 =   .   12. Jawaban: c

+    −  = I + P  +       ⇔  −  =   +    +     ⇔  −  =    Dari kesamaan matriks di atas diperoleh: 3x + 2 = 8 ⇔ 3x = 8 – 2 ⇔ 3x = 6 ⇔ x=2 7–y=6 ⇔ y=7–6 ⇔ y=1 5x2 + 2y = 5(2)2 + 2(1) = 20 + 2 = 22 Jadi, nilai 5x2 + 2y adalah 22.

Matematika Kelas XI

47

13. Jawaban: e (PQ)T = QTPT    T  − − = Q      

⇔

     − −     

−

=

  ⇔ QT =    − − −

         

−

QT 

 −  −   

   − ⇔ QT =     − −  −   − − +  ⇔ QT =  − + −   

 −  ⇔ QT =  −     −  ⇔ Q =  −   

14. Jawaban: e

 A + B – C =   −  −      − −   ⇔   +   –   =    −  −     − −   + + + +  =    − − − + −   − −     

⇔

 + +  =   ⇔  − −   − −      Berdasarkan kesamaan matriks diperoleh: 6+x=8 ⇔ x=2 2 – y = –x ⇔ 2 – y = –2 ⇔ y=2+2 ⇔ y=4 x + 2xy + y = 2 + 2 · 2 · 4 + 4 = 22 Jadi, x + 2xy + y adalah 22. 15. Jawaban: c 2A – B = CD  − ⇔ 2   − ⇔ 

⇔

48

Dari kesamaan matriks diperoleh: –2c – 4 = –10 ⇔ –2c = –6 ⇔ c=3 –b – 3 = –4 ⇔ –b = –1 ⇔ b=1 4 – a = –b + 9 ⇔ 4 – a = –(1) + 9 ⇔ 4–a=8 ⇔ a = –4 Diperoleh a = –4, b = 1, dan c = 3 Jadi, nilai a + b + c = (–4) + 1 + 3 = 0 16. Jawaban: e  −  −    M =             −  Misalkan A =      

 −   B=      A matriks berordo 3 × 4, B matriks berordo 4 × 1 sehingga M = A3 × 4 × B4 × 1 merupakan matriks berordo 3 × 1.

17. Jawaban: c P–Q=R  !"#   !"#     –   =  ⇔    !"#   !"#   −     

⇔

⇔ ⇔ ⇔

    − − +   –   =     + −    −

⇔

Matriks

    =    −  !"# − 

!"#

Dari kesamaan matriks diperoleh: 2log 4ab – 2log 6 = 3

    −     –   =      + −     − 

 − − −   − − +    =      − −  −

 !"# −    !"# −

3log

⇔ ⇔

2log



= 2log 8 =8

ab = 12

. . . (1)

3ab – 3log a = 2 3log



= 3log 9 =9

b=3

. . . (2)

Substitusikan b = 3 ke dalam persamaan ke (1). a · 3 = 12 ⇔ a = 4 Jadi, nilai a2b = 42 · 3 = 48. 18. Jawaban: b       P + Q – 2R =   +   – 2   −           =   +   –    −    

21. Jawaban: c   −   −   $ + =  A2 =  $ +    $   $     

A2 + B–1 = C ⇔ B(A2 + B–1) = BC ⇔ BA2 + BB–1 = BC ⇔

 + − + −  =    − − −    =    − − 

det (P + Q – 2R) =

 $ −   $  =  −  −     ⇔

− −

= 4 · (–8) – (–4) · 5 = –32 + 20 = –12

⇔

+

–

+

Dari kesamaan matriks diperoleh: 2m + 1 = 2 ⇔ 2m = 1

+

= (1 · 1 · 1) + (2 · 1 · 2) + (3 · 4 · 2) – (3 · 1 · 2) – (1 · 1 · 2) – (2 · 4 · 1) = 1 + 4 + 24 – 6 – 2 – 8 = 13 20. Jawaban: e BT

 −   ⇔ B= =     − − 

 −   −     − 

C =A–B  −   −  =  −  –  −       −   −   − −  =  −     − − 

det C = –

–

+

+



⇔

m=



Jadi, nilai m yang memenuhi adalah . 22. Jawaban: a −  −    B =    −   −  −

−   − ⇔ B =      −   −  ⇔ B=



− × − − ×

−  − −       − −   − 

−   ⇔ B = −    − − 

 −  ⇔ B =      

− − − − − − − − − –

 $ + $ + −$ −    −$  $ +    =  $ + $ −  $ −  

det A = –

 $ + $ −$ −      +   + − − $ $      $ + $ −   =  $ −  

19. Jawaban: d

–

  $ −   $ +  −  $ +  + I  

−

Det (B) = +

= –48 – 21 – 12 + 24 – 21 – 24 = –102









−

= (–1) × – 1 × = = –4 Jadi, determinan matriks B adalah –4.

Matematika Kelas XI

49

23. Jawaban: b −

  =    − +      ⇔ − × − − ×   =    −   − + 

 − −     

  −  

⇔

 −

 

  =    − + 

Dari kesamaan matriks diperoleh: −

=1 ⇔

b=a–b

⇔ 2b = a

⇔ −

⇔



⇔



− −   +  A + B =  +   −   ⇔

=a



⇔

  −  −   −  =  −     Dari kesamaan matriks di atas diperoleh: 1 – x = –1 ⇔ –x = –1 – 1 ⇔ –x = –2 ⇔ x=2 Jadi, nilai x adalah 2.

⇔

26. Jawaban: b

b=

=a



⇔

 −  −    ⇔   –  − +  = −  −      

=a

−

25. Jawaban: b A – B = C–1

⇔

=a

+  (A + B)T =    +  (A + B)T = C–1

a2 = 2

⇔

+ +  A + B =   

a=±

Untuk a =

Nilai ab =

 +  = C–1  +   

⇔

 +  =  +   

diperoleh:

b= =

⇔

=







×

−

=

=1



−

Nilai ab = – ×

−

24. Jawaban: b det P = det Q

− = − −

⇔ 3x – 2 – 0 = –5 – (–6) ⇔ 3x – 2 = 1 ⇔ 3x = 1 + 2 ⇔ 3x = 3 ⇔ x=1 Jadi, nilai x adalah 1.

50

Matriks

 × −  − ×  −  



           

⇔

 +  =  +   

⇔

 +  =  +   

⇔

 +  = 10   +     

=1

Jadi, nilai ab = 1.

⇔





Untuk a = – diperoleh: b= =



−

            

     

 +  =    +        Diperoleh: x+1=2 ⇔ x=1 Jadi, x = 1. ⇔



           

27. Jawaban: c

Diperoleh x = 2.000 dan y = 1.000. Harga 4 bolpoin dan 3 spidol dapat ditulis: 4x + 3y = 4(2.000) + 3(1.000) = 8.000 + 3000 = 11.000 Jadi, harga 4 bolpoin dan 3 spidol Rp11.000,00.

 det  =1   ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

=1 2–a=1 a=2–1 a=1



 Jadi, matriks tersebut  .   Bentuk persamaan matriks:

30. Jawaban: d Misalkan panjang tanah = x dan lebar tanah = y. Sistem persamaan linear dari permasalahan di atas: x=y+6 ⇔x–y=6 2(x + y) = 52 ⇔ x + y = 26 Bentuk persamaan matriks:

    =              ⇔ ⇔ ⇔

 −   =             

−

  =                 =  −    −  −    

⇔

     

⇔

  =  −      −        

  =      −      Diperoleh x = 12 dan y = –4. Jadi, x + y = 12 – 4 = 8.

⇔

     

⇔

  =        −     

⇔

  =        

  =           Diperoleh x = 16 dan y = 10. Panjang = x = 16 m Lebar = y = 10 m Luas tanah = 16 × 10 = 160 m2 Harga jual tanah tersebut = 160 × Rp100.000,00 = Rp16.000.000,00 Jadi, harga jual tanah tersebut Rp16.000.000,00.



        =       

B. Uraian



1.

a.

Bentuk matriks dari SPLDV tersebut:

    =              −  ⇔   =           −    ⇔   = −  −        ⇔   =      ⇔   =      

    

⇔

28. Jawaban: c Diperoleh SPLDV: 3x + 5y = 9.500 2x + 4y = 6.800 Persamaan matriksnya:

29. Jawaban: d SPLDV dari permasalahan tersebut: 3x + 5y = 11.000 2x + 4y = 8.000

−

  =  −          =    +  −  

   A + B =   +        =      (A + B)T =    

b.

   C – 2A =   – 2          =   –       − −  =    −  Matematika Kelas XI

51

c.

 =     ABT =   

     BC =    =        

BT

(BC)2 = (BC)(BC)

   =         =     2.

Diketahui:

x:y=5:4⇔x= y

. . . (1)

b.

     ( )    = (1.360)         ⇔ ( + + + + )   = (1.360)  

( +

⇔

det (AB) = –

⇔ ((2x + 70) × 5 + (2y + 75) × 10) = (1.360) ⇔ (10x + 350 + 20y + 750) = (1.360) ⇔ (10x + 20y + 1.100) = (1.360) Dari kesamaan matriks diperoleh: 10x + 20y + 1.100 = 1.360 ⇔ 10x + 20y = 260 . . . (2) Substitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan (2).



⇔



4.

a.

y = 260



x = y = (8) = 10 Jadi, nilai x = 10 dan y = 8. 3.

a.

B = A2 =A×A

52

Matriks

+

  X =           −

     

 −    −      

⇔ X =

−

⇔ X =



 −    −      

⇔ X =



     

 ⇔ X =    

    =              =      

+

–

 ⇔ X =    

⇔ y=8 Substitusikan nilai y = 8 ke dalam persamaan (1).

–

+

= (6 · 0 · 48) + (32 · 0 · 16) + (48 · 0 · 32) – (48 · 0 · 16) – (16 · 0 · 32) – (32 · 0 · 48) =0+0+0–0–0–0 =0 Oleh karena determinan matriks (AB) = 0 maka matriks (AB) merupakan matriks singular.

y + 20y = 260

⇔

             =           AB =              =      

  + )   = (1.360)  

10( y) + 20y = 260

   

 Jadi, matriks X adalah  .   b.

− −    X   =         − −  ⇔ X =       

−

 ⇔ X =   − +  

   − −   

− (A + B)–1 = × − ×    − 

   ⇔ X =       − − 

− =    − 

 ⇔ X =   

=

 Jadi, matriks X adalah  .   5.

b.

    (1 x)     = (0)   



−  (BT – C)–1 = × − ×   −   −  = −   −    −  −   =  =   −   −   

7.



⇔

x2 2 =

x=

⇔

x2 = ±



Untuk x2 = maka x1 = 4 × = 2.

=

− +

x1 + x2 =



y=

− +

⇔ –2 –



=

−

− − − −

−



= − + = =

−

Untuk x2 = – maka x1 = 4 × (– ) = –2. x1 + x2 =



−

− −



⇔ 2+ = ⇔ 5 = –1 – p ⇔ p = –6

=

−     =   +   =        

− − −

−



= − + =

8.

a.



,



)}.

Dari persamaan garis g dan A diperoleh sistem persamaan: 3x – 4y = –17 2x + 5y = 4 Diperoleh matriks:

− A + B =  +       



Jadi, himpunan penyelesaiannya {(

− −

⇔ –5 = –1 – p ⇔ p=4 Jadi, nilai p = –6 atau p = 4. a.

Bentuk matriks sistem persamaan tersebut:

 −    =    −     −      

⇔ 4x2 · x2 = 1

6.

  − −  BT – C =   –  −      =    

  ⇔ (2 + px 1 + 2x)   = (0)   ⇔ (2 + px + x + 2x2) = (0) Dari kesamaan matriks diperoleh: 2 + px + x + 2x2 = 0 ⇔ 2x2 + (1 + p)x + 2 = 0 Dari persamaan kuadrat yang memiliki akar-akar x1 dan x2 diperoleh:

x1x2 =

   −     −    

 −    =  −            

Matematika Kelas XI

53

b.

 −    =  −             −

 −     

  =  −         

⇔

 =    

⇔

  =  − +     +     

⇔

  =  −         

⇔

  =  −         

× − × −

   −   −      

Diperoleh x = –3, y = 2 sehingga titik potong garis g dan A adalah (–3, 2). Persamaan garis k sebagai berikut. y = mx + c ⇔ 2 = –3 × (–3) + c ⇔ 2=9+c ⇔ c = –7 Jadi, persamaan garis k adalah y = –3x – 7.



9. Misalkan: x = banyak permen dalam kemasan A y = banyak permen dalam kemasan B Sistem persamaan linear dari permasalahan tersebut sebagai berikut. 2x + 5y = 45 6x + 4y = 80 Bentuk persamaan matriksnya:

    =              −

⇔

  =                

⇔

 =    

⇔

  = –  −       −     

⇔

  = –  −     −   

⇔

  =          

−

 −     −      

Diperoleh x = 10 dan y = 5.

54

Matriks

10. Misalkan: harga sebuah buku tulis = x harga sebuah pensil = y Sistem persamaan linear dari permasalahan di atas: 5x + 7y = 14.500 3x + 4y = 8.500 Bentuk persamaan matriks:

⇔

Vina membeli 3 kemasan A dan 2 kemasan B sehingga jumlah permen yang dibeli Vina = 3x + 2y = 3(10) + 2(5) = 30 + 10 = 40 Jadi, Vina memperoleh permen sebanyak 40.

    =              −

⇔

  =          

⇔

 =    

⇔

  =  −       −        

⇔

  =          

−

     

 −     −      

Diperoleh x = 1.500 dan y = 1.000. Harga 8 buah buku tulis dan 5 buah pensil = 8x + 5y = 8 × Rp1.500,00 + 5 × Rp1.000,00 = Rp12.000,00 + Rp5.000,00 = Rp17.000,00 Jadi, harga 8 buah buku tulis dan 5 buah pensil Rp17.000,00.

Setelah mempelajari bab ini, siswa: 1. mampu menjelaskan konsep fungsi; 2. mampu menentukan sifat fungsi; 3. mampu menerapkan operasi aljabar (penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian) pada fungsi,; 4. mampu menentukan sifat fungsi sebagai hasil operasi dua atau lebih fungsi yang lain; 5. mampu menyelesaikan permasalahan dengan menerapkan aturan operasi dua fungsi atau lebih; 6. mampu menjelaskan konsep komposisi fungsi; 7. mampu menentukan komposisi fungsi; 8. mampu menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan komposisi fungsi; 9. mampu menjelaskan konsep invers fungsi dan fungsi invers; 10. mampu menentukan invers fungsi dan fungsi invers; 11. mampu menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan fungsi invers dan invers fungsi. Berdasarkan pengetahuan dan keterampilan yang dikuasai, siswa berperilaku konsisten, kritis, disiplin, bertanggung jawab, jujur dan mempunyai rasa ingin tahu yang besar sebagai dampak mempelajari konsep komposisi fungsi dan fungsi invers.

Materi • • •

Fungsi dan Operasi Fungsi Invers Fungsi dan Fungsi Invers Komposisi Fungsi

Pembelajaran Kognitif • • • • •

Konsep fungsi. Sifat suatu fungsi. Operasi aljabar pada fungsi. Konsep komposisi fungsi. Konsep invers fungsi dan fungsi invers.

Kegiatan Psikomotorik • • •

Pengetahuan yang Dikuasai • • • • • • • •

Mampu menjelaskan konsep fungsi. Mampu menentukan sifat fungsi. Mampu menerapkan operasi aljabar (penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian) pada fungsi. Mampu menentukan sifat suatu fungsi sebagai hasil operasi dua atau lebih fungsi yang lain. Mampu menjelaskan konsep komposisi fungsi. Mampu menentukan komposisi fungsi. Mampu menjelaskan konsep invers fungsi dan fungsi invers. Mampu menentukan invers fungsi dan fungsi invers.

Menyelesaikan permasalahan dengan menerapkan aturan operasi dua fungsi atau lebih. Menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan komposisi fungsi. Menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan fungsi invers dan invers fungsi.

Keterampilan yang Dikuasai • • •

Terampil menerapkan aturan operasi dua fungsi atau lebih dalam menyelesaikan permasalahan. Terampil menerapkan komposisi fungsi dalam menyelesaikan permasalahan. Terampil menerapkan fungsi invers dan invers fungsi dalam menyelesaikan permasalahan.

Kemampuan dan Sikap yang Dimiliki Berdasarkan pengetahuan dan keterampilan yang dikuasai, siswa berperilaku konsisten, kritis, disiplin, bertanggung jawab, jujur dan mempunyai rasa ingin tahu yang besar sebagai dampak mempelajari konsep fungsi, komposisi, dan invers fungsi.

Matematika Kelas XI

55

− − −

A.

Pilihan Ganda

Rumus fungsi g adalah g(x) =

1.

Jawaban: b Fungsi adalah relasi yang mengawankan setiap anggota daerah asal (A) dengan tepat satu anggota daerah kawan(B). 1) Bukan fungsi karena ada anggota daerah asal A yang tidak mempunyai kawan di B. 2) Fungsi karena setiap anggota daerah asal A tepat mempunyai satu kawan di B. 3) Bukan fungsi karena ada anggota daerah asal A yang mempunyai dua kawan di B. 4) Bukan fungsi karena ada anggota daerah asal A yang tidak mempunyai kawan di B. Jadi, diagram panah yang menggambarkan fungsi hanya 2).

g(x) terdefinisi jika x2 – 2x – 15 ≠ 0. x2 – 2x – 15 ≠ 0 ⇔ (x + 3)(x – 5) ≠ 0 ⇔ x + 3 ≠ 0 dan x – 5 ≠ 0 ⇔ x ≠ –3 dan x≠5 Jadi, daerah asal alami fungsi g adalah {x | x ≠ 5, x ≠ –3, x ∈ R}.

2.

Jawaban: b Perhatikan gambar pada Y pilihan b berikut. Dari gambar terlihat tidak O ada garis tegak yang memotong grafik lebih dari sekali. Jadi, grafik pada pilihan b merupakan grafik fungsi.

3.

⇔

–4



X

+ 4

⇔ x ≤ –4 atau x ≥ 4 Jadi, daerah asalnya = {x | x ≤ –4 atau x ≥ 4, x ∈ R}. 5.

Jawaban: c Suatu fungsi rasional/pecahan terdefinisi jika penyebut tidak sama dengan nol. Fungsi g : x

56

− − −

.

Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers



x ≠

Untuk x bilangan real dan x ≠ akan diperoleh suatu bilangan y = f(x) bilangan real positif. Jadi, daerah hasil fungsi f(x) adalah {y | y > 0, y ∈ R}. 7.

Jawaban: c Grafik (1) dan (4) merupakan grafik fungsi surjektif karena untuk setiap y ∈ Y dapat ditemukan satu x ∈ X yang merupakan prapeta dari y. Cara lain: Suatu fungsi merupakan fungsi surjektif jika daerah kawan sama dengan daerah hasil. Grafik 1) dan 4) mempunyai daerah kawan = daerah hasil = {y | y ∈ R}. Jadi, grafik yang menunjukkan fungsi surjektif adalah 1) dan 4).

8.

Jawaban: a Grafik 1) dan 2) menunjukkan fungsi bijektif atau berkorespondensi satu-satu karena setiap garis tegak bertemu tepat satu titik dengan grafik dan setiap garis mendatar bertemu tepat satu titik dengan grafik.

9.

Jawaban: e h(x) = 2x2 – 3x + 1 ⇔ h(x – 2) = 2(x – 2)2 – 3(x – 2) + 1 ⇔ h(x – 2) = 2(x2 – 4x + 4) – 3x + 6 + 1 ⇔ h(x – 2) = 2x2 – 8x + 8 – 3x + 7 ⇔ h(x – 2) = 2x2 – 11x + 15 Jadi, rumus fungsi h(x – 2) = 2x2 – 11x + 15.

x2 – 16 ≥ 0 ⇔ (x + 4)(x – 4) ≥ 0 –

terdefinisi jika

≠0 (1 – ⇔ 1 – 2x ≠ 0

− bernilai real, syaratnya:

+

−

2x)2

Jawaban: d Agar f(x) =

Jawaban: b Fungsi f(x) =

f(x)

Jawaban: c Fungsi f: x –x3 + 1. Rumus fungsi f adalah f(x) = –x3 + 1. Daerah asal = {x | 1 ≤ x ≤ 4, x bilangan bulat} = {1, 2, 3, 4} f(1) = –(1)3 + 1 = –1 + 1 = 0 f(2) = –(2)3 + 1 = –8 + 1 = –7 f(3) = –(3)3 + 1 = –27 + 1 = –26 f(4) = –(4)3 + 1 = –64 + 1 = –63 Jadi, daerah hasil fungsi f adalah {0, –7, –26, –63}.

4.

6.

.

10. Jawaban: a Misalkan t = 2x + 1 ⇔ x =

−









( )(x) = =

−

Substitusikan t = 2x + 1 dan x = pada g(2x + 1) = 6x – 7.

−

g(t) = 6( ) – 7 ⇔ g(t) = 3(t – 1) – 7 ⇔ g(t) = 3t – 3 – 7 ⇔ g(t) = 3t – 10 ⇔ g(x) = 3x – 10 Jadi, rumus fungsi g(x) = 3x – 10.

( )(x) = =

   (x)  

− − + −

=

− −

Jadi, (f + g)(x) =

− ; −

x ≠ 2.

−

= − + − =

+ + − −

=

+ − −





=

+ − +

=

+ − +

−

=

+ − + −

=

+ −



= − · =



= x – 1 ⇔   (a) = a – 1  

14. Jawaban: d f(x) = x2 + 8x + 7 Daerah asal alami fungsi f: Df = {x | x ∈ R} g(x) = x + 1 Daerah asal alami fungsi g: Dg = {x | x ∈ R}    (x)  

=



=

+ + +

f(x) ≠ 0 ⇔ x2 + 8x + 7 ≠ 0 ⇔ (x + 1)(x + 7) ≠ 0 ⇔ x ≠ –1 atau x ≠ –7 = {x | x ∈ R} ∩ {x | x ∈ R} ∩ {x | x ≠ –1, x ≠ –7} = {x | x ≠ –1, x ≠ –7, x ∈ R}

Jadi, daerah asal fungsi ( )(x) adalah {x | x ≠ –1 atau x ≠ –7, x ∈ R}. 15. Jawaban: c

Diketahui p(x) = 2x dan q(x) = + . (p – q)(x) = p(x) – q(x)

(u · v)(x) = u(x) · v(x)

+ −

   (x)  



= − – −

+

−

=x–1



= − – +

−

= Dg ∩ Df dengan f(x) ≠ 0

(u – v)(x) = u(x) – v(x) +

+ −



= − + +

=

Jadi, rumus fungsi   (a) = a – 1.  

12. Jawaban: a (u + v)(x) = u(x) + v(x) +

= + = +

=



=

+ −

+ −

13. Jawaban: c

= (2x + 1) + ( − ) =

=

Jadi, pernyataan yang benar pada pilihan a.

11. Jawaban: c (f + g)(x) = f(x) + g(x)

+ − + −

+ −

= 2x – + =

+ − +

=

+ − +

=

− + +

Matematika Kelas XI

57

Fungsi (p – q)(x) =

− + +

b.

, x ≠ –1´merupakan

g(x) = + terdefinisi jika x + 1 tidak negatif, yaitu: x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ –1 Jadi, daerah asal alami fungsi g adalah {x | x ≥ –1, x ∈ R}.

fungsi tidak injektif karena untuk x1 = 1 dan x2 = –2(x1 ≠ x2), diperoleh (p – q)(1) = (p – q)(–2) = 0. Fungsi (p – q)(x) =

− + +

, x ≠ –1 merupakan

fungsi surjektif karena untuk setiap y ∈ R, akan terdapat nilai x1 yang memenuhi y = Jadi, fungsi (p – q)(x) =

− + +

− + +

c.

.

1.

2x + 5y = 10 ⇔ 5y = 10 – 2x ⇔ y =

i(x) =

akan terdefinisi jika 4x – 1 tidak

nol dan tidak negatif, yaitu:

−

{x | x > , x ∈ R}.

x + y2 = 4 ⇔ y2 = 4 – x ⇔ y = ± − Perhatikan untuk setiap nilai x akan dihasilkan dua nilai y yaitu y = − atau y = – − . Oleh karena untuk setiap x ∈ R, mempunyai dua kawan y ∈ R maka relasi R3 = {(x, y) | x + y2 = 4} bukan fungsi. 9x2 + 25y2 = 225 ⇔ 25y2 = 225 – 9x2 y2 =



y=±

−

dihasilkan dua nilai y yaitu y = −

3.

a.

b.

4.

a.

−

Perhatikan untuk setiap nilai x akan

y=–



.

c.

⇔

−

b.

atau

. Oleh karena untuk setiap

x ∈ R, mempunyai dua kawan y ∈ R maka relasi R4 = {(x, y) | 9x2 + 25y2 = 225} bukan fungsi.

c.

Pada grafik f(x), f(x) terdefinisi untuk semua x bilangan real kecuali di x = 4. Jadi, daerah asal fungsi f(x) adalah {x | x ≠ 4, x ∈ R}. Pada grafik g(x), g(x) terdefinisi untuk semua x bilangan real x ≥ 5. Jadi, daerah asal fungsi f(x) adalah {x | x ≥ 5, x ∈ R}. Fungsi f(x) = 20 tidak injektif karena untuk x1 = 2 dan x2 = 5 berlaku f(x1) = f(x2) = 20. Fungsi f(x) = 20 tidak surjektif karena untuk y = 10 tidak ada x1 yang memenuhi sehingga y = f(x1) = 10. Oleh karena fungsi f(x) = 20 tidak injektif dan tidak surjektif maka fungsi f(x) = 20 tidak bijektif. Jadi, fungsi f(x) = 20 tidak injektif, tidak surjektif dan tidak bijektif. Fungsi f(x) = 3x – 1 injektif karena untuk setiap nilai x1 ≠ x2 berlaku (f(x1) ≠ f(x2)). Fungsi f(x) = 3x – 1 surjektif karena untuk setiap nilai y terdapat nilai x1 yang memenuhi y = f(x1). Oleh karena fungsi f(x) = 3x – 1 injektif dan surjektif maka fungsi f(x) = 3x – 1 bijektif. Jadi, fungsi f(x) = 3x – 1 bijektif. Grafik fungsi f(x) = 4 – x2 Y

f(x) = x2 + 2x + 1 selalu ada nilainya untuk setiap x anggota bilangan real. Jadi, daerah asal alami fungsi f adalah {x | x ∈ R}.

4

–2

58

−

4x – 1 > 0 ⇔ 4x > 1 ⇔ x > Jadi, daerah asal alami fungsi i adalah

x2 + y = 9 ⇔ y = 9 – x2 Relasi R2 = {(x, y) | x2 + y = 9} merupakan fungsi karena untuk setiap x ∈ R, mempunyai tepat satu kawan y ∈ R dengan nilai y = 9 – x2.

a.

terdefinisi jika 2x – 4 ≠ 0.

Relasi R1 = {(x, y) | 2x + 5y = 10} merupakan fungsi karena untuk setiap x ∈ R, mempunyai tepat satu kawan y ∈ R dengan nilai y =

⇔

2.

d.

−

b.

d.

+ −

2x – 4 ≠ 0 ⇔ 2x ≠ 4 ⇔ x ≠ 2 Jadi, daerah asal alami fungsi h adalah {x | x ∈ R, x ≠ 2}.

Uraian a.

Bentuk pecahan terdefinisi jika penyebutnya tidak nol. h(x) =

, x ≠ –1

merupakan fungsi surjektif, tetapi tidak injektif. B.

Suatu bentuk akar terdefinisi jika bilangan di dalam akar tidak negatif.

Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers

0

2

X

d.

Fungsi f(x) = 4 – x2 tidak injektif karena untuk x1 = –2 dan x2 = 2 berlaku f(x1) = f(x2) = 0. Fungsi f(x) = 4 – x2 tidak surjektif karena untuk y > 4 tidak ada x1 yang memenuhi sehingga y = f(x1). Oleh karena fungsi f(x) = 4 – x2 tidak injektif dan tidak surjektif maka fungsi f(x) = 4 – x2 tidak bijektif. Jadi, fungsi f(x) = 4 – x2 tidak injektif, tidak surjektif dan tidak bijektif. Grafik fungsi x – 4 untuk x < 0 f(x) = x2 – 4 untuk 0 ≤ x ≤ 3 2x – 1 untuk x > 3 tampak seperti gambar berikut.

b.

Untuk setiap daerah asal tersebut, setiap nilai x yang berbeda (x1 ≠ x2) berlaku (f1(x1) ≠ f2(x2)). Grafik fungsi f2(x) = sin x untuk 0 ≤ x ≤ 2π tampak seperti gambar berikut.

Agar fungsi f2(x) = sin x untuk 0 ≤ x ≤ 2π menjadi fungsi injektif daerah asalnya π

harus dibatasi yaitu {x | 0 ≤ x ≤ , x ∈ R} atau

Y

π

0

2

X

6.

–4

a.



a.

Agar fungsi f(x) = x2 – 9 menjadi fungsi injektif daerah asalnya harus dibatasi yaitu {x | x ≤ 0, x ∈ R} atau {x | x ≥ 0, x ∈ R}. Untuk setiap daerah asal tersebut, setiap nilai x yang berbeda (x1 ≠ x2) berlaku (f(x1) ≠ f(x2)). 2) Daerah hasil fungsi f(x) = x2 – 9 adalah {y | y ≥ –9, y ∈ R}. Setiap y ∈ {y | y ≥ –9, y ∈ R} akan mempunyai kawan paling sedikit satu di daerah asal. Agar f(x) = x2 – 9 menjadi fungsi surjektif daerah kawan harus dibatasi menjadi {y | y ≥ –9, y ∈ R). Jadi, agar f(x) = x2 – 9 menjadi fungsi bijektif daerah asalnya harus dibatasi menjadi {x | x ≤ 0, x ∈ R) atau {x | x ≥ 0, x ∈ R} dan daerah kawan harus dibatasi menjadi {y | y ≥ –9, y ∈ R}.

b.

1)

Agar fungsi g(x) = − menjadi fungsi injektif daerah asalnya harus dibatasi yaitu {x | x ≥ 1, x ∈ R}. Untuk setiap daerah asal tersebut, setiap nilai x yang berbeda (x1 ≠ x2) berlaku (g(x1) ≠ g(x2)).

2)

Daerah hasil fungsi g(x) = − adalah {y | y ≥ 0, x ∈ R}. Setiap y ∈ {y | y ≥ 0, y ∈ R} akan mempunyai kawan paling sedikit satu di daerah asal. Jadi, agar g(x)

Fungsi f(x) merupakan fungsi injektif karena untuk setiap nilai x yang berbeda (x1 ≠ x2) berlaku (f(x1) ≠ f(x2)). Fungsi f(x) surjektif karena untuk setiap nilai y terdapat nilai x1 yang memenuhi y = f(x1). Oleh karena fungsi f(x) injektif dan surjektif maka fungsi f(x) bijektif. x – 4 untuk x < 0 Jadi, fungsi f(x) = x2 – 4 untuk 0 ≤ x ≤ 0 2x – 1 untuk x > 3 merupakan fungsi bijektif. 5.

π

{x | ≤ x ≤ , x ∈ R} atau {x | x ≥ π, x ∈ R}. Untuk setiap daerah asal tersebut, setiap nilai x yang berbeda (x1 ≠ x2) berlaku (f1(x1) ≠ (f2(x2)).

Grafik fungsi f1(x) = x 2 – 2x – 6 tampak seperti gambar berikut.

Y

–2 –1 0 –1

1

2

3

1)

X

–2 –3 –4 –5 –6 –7

Agar fungsi f(x) = x2 – 2x – 6 menjadi fungsi injektif daerah asalnya harus dibatasi yaitu {x | x ≤ 1, x ∈ R} atau { | x ≥ 1, x ∈ R}.

= − menjadi fungsi surjektif daerah kawan harus dibatasi menjadi {y | y ≥ 0, y ∈ R}. Jadi, agar g(x) = − menjadi fungsi bijektif daerah asalnya harus dibatasi yaitu {x | x ≥ 1, x ∈ R} dan daerah kawan harus dibatasi menjadi {y | y ≥ 0, y ∈ R}. Matematika Kelas XI

59

c.

1)

2)

−

Agar fungsi h(x) = − menjadi fungsi injektif daerah asalnya harus dibatasi yaitu {x | x ≠ 4, x ∈ R}.Untuk setiap daerah asal tersebut, setiap nilai x yang berbeda (x1 ≠ x2) berlaku (h(x1) ≠ h(x2)).

c.

= (x2 – 2x + 4)( ) = x2 – 2x + 4 Daerah asal fungsi (g · h) = D(g · h) = Dg ∩ Dh = {x | x ∈ R} ∩ {x | x ≥ 0, x ∈ R} = {x | x ≥ 0, x ∈ R}.

−

Daerah hasil fungsi h(x) = − adalah {y | y ≠ 1, y ∈ R}. Setiap y ∈ {y ≠ 1, y ∈ R} akan mempunyai kawan paling sedikit

d.

−

satu di daerah asal. Jadi, agar h(x) = − menjadi fungsi surjektif daerah kawan harus dibatasi menjadi {y | y ≠ 1, y ∈ R}.



Daerah asal fungsi ( ) =

f(t) =

− −

⇒ f(2) =

−

e.

8.

= x2 + x + 6 + Daerah asal fungsi (f + g + h) = D(f + g + h) = D f ∩ Dg ∩ Dh = {x | x ∈ R} ∩ {x | x ∈ R} ∩ {x | x ≥ 0, x ∈ R} = {x | x ≥ 0, x ∈ R}.

60

Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers







( + )(x) = + = + =

f.

− + + +

Fungsi (f + h)(x) = 3x + 2 + terdefinisi untuk x ≥ 0 dan mempunyai nilai minimum 2 untuk x = 0. Dengan demikian 3x + 2 + tidak pernah bernilai nol.

Daerah asal fungsi ( + ) = 

    + 



= Dg ∩ Df

∩ D h ∩ {x | (f + h)(x) ≠ 0} = {x | x ∈ R} ∩ {x | x ≥ 0, x ∈ R} ∩ {x | x ∈ R} = {x | x ≥ 0, x ∈ R}. 9.

2

x–4

2 2

Daerah asal alami fungsi f(x) = 3x + 2 adalah Df = {x | x ≥ 0, x ∈ R}. Daerah asal alami fungsi g(x) = x2 – 2x + 4 adalah Dg = {x | x ≥ 0, x ∈ R}. Daerah asal alami fungsi h(x) = adalah Dh = {x | x ∈ R}. a. (f + g)(x) = f(x) + g(x) = (3x + 2) + (x2 – 2x + 4) = x2 + x + 6 Daerah asal fungsi (f + g) = D(f + g)= Df ∩ Dg = {x | x ∈ R} ∩ {x | x ∈ R} = {x | x ∈ R}. b. (g – f)(x) = g(x) – f(x) = (x2 – 2x + 4) – (3x + 2) = x2 – 5x + 2

−

{x | x ≠ , x ∈ R} = {x | x ≠ , x ∈ R}. (f + g + h)(x) = f(x) + g(x) + h(x) = (3x + 2) + (x2 – 2x + 4) + ( )

− −

= Dg ∩ Df ∩

{x | f(x) ≠ 0} = {x | x ∈ R} ∩ {x | x ∈ R} ∩

− −

=–





f(x) + 2f(1 – x) = 2x Misalkan x = t maka berlaku f(t) + 2f(1 – t) = 2t . . . (1) Misalkan 1 – x = t ⇔ x = 1 – t. Substitusikan t = 1 – x dan x = 1 – t pada persamaan f(x) + 2 · f(1 – x) = 2x ⇔ f(1 – t) + 2f(1 – (1 – t) = 2(1 – t) ⇔ f(1 – t) + 2f(t) = 2 – 2t . . . (2) Eliminasi f(1 – t) dari persamaan (1) dan (2). f(t) + 2f(1 – t) = 2t × 1 f(t) + 2f(1 – t) = 2t f(1 – t) + 2f(t) = 2 – 2t × 2 2f(1 – t) + 4f(t) = 4 – 4t –––––––––––––––––– – –3f(t) = 6t – 4 f(t) =

− + +

−

−

⇔





( )(x) = =

f(x) ≠ 0 ⇔ 3x + 2 ≠ 0 ⇔ x ≠

Jadi, agar h(x) = − menjadi fungsi bijektif daerah asalnya harus dibatasi yaitu {x | x ≠ 4, x ∈ R} dan daerah kawan harus dibatasi menjadi {y | y ≠ 1, y ∈ R}. 7.

Daerah asal fungsi (g – f) = Dg – f = Dg ∩ Df = {x | x ∈ R} ∩ {x | x ∈ R} = {x | x ∈ R}. (g · h)(x) = g(x) · h(x)

2

x–4 x–4

x–

4

2

a.

b.

Volume kotak: V(x) = panjang × lebar × tinggi = (x – 4) × (x – 4) × 2 = 2x2 – 32 Jadi, volume kotak = V(x) = (2x2 – 32) cm3. x merupakan panjang sehingga nilai x ≥ 0 . . . (1) x – 4 merupakan panjang sehingga nilai x–4≥0⇔x≥4 . . . (2)

V(x) = 2x2 – 32 merupakan volume sehingga 2x2 – 32 ≥ 0 ⇔ 2(x + 4)(x – 4) ≥ 0 ⇔ x ≤ –4 atau x ≥ 4 . . . (3) Irisan (1),(2) dan (3) adalah x ≥ 4. Jadi, daerah asal fungsi V(x) = 2x2 – 32 adalah {x | x ≥ 4, x ∈ R}. 10. a.

Jumlah gula yang dibutuhkan perusahaan = (f + g)(x) = f(x) + g(x)





= x Jadi, fungsi banyak gula yang dibutuhkan perusahaan untuk x bungkus roti isi selai

adalah (f + g) (x) = x. Jumlah gula yang dibutuhkan perusahaan untuk membuat 1.000 bungkus roti isi selai:

b.



(f + g)(1.000) = · 1.000 = 280 kg.



= x + x

A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: b Fungsi komposisi (f g)(x) = f(g(x)) g 0 1 2

f 1 2 3 4



= x + x

2 4 6 8

Jadi, f g = {(0, 2), (1, 4), (2, 6)}. 2. Jawaban: e Jika a dan b fungsi serta Ra ∩ Db ≠ Ø maka fungsi komposisi b a ada. a. Fungsi komposisi f g Rg ∩ Df = {6, 7, 8} ∩ {1, 2, 3} = Ø Oleh karena Rg ∩ Df = Ø maka f g tidak ada. b. Fungsi komposisi f h Rh ∩ Df = {8, 9, 10} ∩ {1, 2, 3} = Ø Oleh karena Rh ∩ Df = Ø maka f h tidak ada. c. Fungsi komposisi g h Rh ∩ Dg = {8, 9, 10} ∩ {4, 5, 6} = Ø Oleh karena Rh ∩ Dg = Ø maka g h tidak ada. d. Fungsi komposisi h f Rf ∩ Dh = {3, 4, 5} ∩ {7, 8, 9} = Ø Oleh karena Rf ∩ Dh = Ø maka h f tidak ada. e. Fungsi komposisi h g Rg ∩ Dh = {6, 7, 8} ∩ {7, 8, 9} ≠ Ø Oleh karena Rg ∩ Dh ≠ Ø maka h g ada. Jadi, pernyataan yang benar pada pilihan e.

3. Jawaban: a Fungsi komposisi (g f)(x) = g(f(x)) A

B∪C

1 2 3 4

5 6 7 8 10

D 11 12 13

g f = {1, 13}, (2, 13}, (3, 11)} Daerah asal g f = {1, 2, 3} 4. Jawaban: c (f g)(x) = f(g(x)) = f(x + 2) = 2(x + 2)2 – 3(x + 2) + 4 = 2(x2 + 4x + 4) – 3x – 6 + 4 = 2x2 + 8x + 8 – 3x – 2 = 2x2 + 5x + 6 Jadi, (f g)(x) = 2x2 + 5x + 6. 5. Jawaban: e (g f)(x) = g(f(x)) = g(x – 5) = (x – 5)2 – 3(x – 5) – 4 = x2 – 10x + 25 – 3x + 15 – 4 = x2 – 13x + 36 Jadi, (g f)(x) = x2 – 13x + 36. 6. Jawaban: c (g f)(x) = g(f(x)) = g(3x + 2) (g f)(–1) = g(3 × (–1) + 2) = g(–1) =

− + − −

=–



Matematika Kelas XI

61

7. Jawaban: b (f g)(x) = 4 ⇔ f(g(x)) = 4 ⇔ f(2x2 + 1) = 4 ⇔ 3(2x2 + 1) – 5 = 4 ⇔ 6x2 + 3 = 9 ⇔ 6x2 = 6 ⇔ x2 = 1 ⇔ x = ±1 Jadi, nilai x = –1 atau x = 1. 8. Jawaban: a Misalkan t = x – 2 ⇒ x = t + 2 g(x – 2) = 2x + 7 ⇔ g(t) = 2(t + 2) + 7 ⇔ g(t) = 2t + 4 + 7 ⇔ g(t) = 2t + 11 ⇔ g(x) = 2x + 11 (h g)(x) = h(g(x)) ⇔ 4x2 + 44x + 1 = h(2x + 11) ⇔ (2x + 11)2 – 121 + 1 = h(2x + 11) ⇔ (2x + 11)2 – 120 = h(2x + 11) ⇔ h(x) = x2 – 120 2 h(10) = (10) – 120 = 100 – 120 = –20 Jadi, h(10) = –20. 9. Jawaban: e + + f(g(x)) =

(f g)(x) = ⇔ ⇔

−

=

+

⇔ 2g(x) – 3 = 20x + 9 ⇔ 2g(x) = 20x + 12 ⇔ g(x) = 10x + 6 (h g)(x) = h(g(x)) = h(10x + 6) = (10x + 6) – 7 = 10x – 1 (h g)(x + 1) = 10(x + 1) – 1 = 10x + 10 – 1 = 10x + 9 Jadi, (h g)(x + 1) = 10x + 9. 10. Jawaban: e

g(x) = + ; x ≠ –1 (g h)(x) = x – 2 ⇔ g(h(x)) = x – 2 ⇔

62

+

=x–2

Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers

⇔ 5h(x) = (x – 2)(h(x) + 1) ⇔ 5h(x) = xh(x) – 2h(x) + x – 2 ⇔ 5h(x) – xh(x) + 2h(x) = x – 2 ⇔ 7h(x) – xh(x) = x – 2 ⇔ h(x)(7 – x) = x – 2 −

⇔

h(x) = − ; x ≠ 7

(h f)(x) = h(f(x)) = h(2x – 1) − −

= − − −

= − + ; x ≠ –4 11. Jawaban: b Misalkan (g f)(x) = k(x). k(x) = (g f)(x) = g(f(x)) = g(x2 + 6x + 5) =

+ + +

=

+ +

= + =x+3 (g f h)(x) = ((g f) h)(x) = (k h)(x) = k(h(x)) = k(x2 – 5x + 1) = x2 – 5x + 1 + 3 = x2 – 5x + 4 Jadi, (g f h)(x) = x2 – 5x + 4.

12. Jawaban: c (f g h)(x) = f((g h)(x)) = f(g(h(x))) = f(g(3x – 4)) = f((3x – 4)2 – 1) = f(9x2 – 24x + 15) = 10(9x2 – 24x + 15) + 9 = 90x2 – 240x + 159 13. Jawaban: a Untuk x = –1 digunakan rumus f(x) = –x sehingga f(–1) = –(–1) = 1 Untuk x = 1 digunakan rumus f(x) = x + 3 sehingga f(1) = 1 + 3 = 4 Untuk x = 4 digunakan rumus f(x) = –x2 sehingga f(4) = –42 = –16 (f f f)(–1) = (f f)(f(–1) = (f f)(1) = f(f(1)) = f(4) = –16 Jadi, nilai (f f f)(–1) = –16.

14. Jawaban: e (f g h)(4) = (f g)(h(4)) = (f g)(2) = f(g(2)) = f(4) = 6 Jadi, nilai (f g h)(4) adalah 6. 15. Jawaban: b Banyak kain yang dihasilkan sesuai dengan fungsi (g f)(x) (g f)(x) = g(f(x)) Untuk x = 100, diperoleh: (g f)(100) = g(f(100)) = g(0,8(100) – 30) = g(80 – 30) = g(50) = 0,02(50)2 + 10 = 50 + 10 = 60 kg Jadi, kain yang dihasilkan 60 kg.

c.

h

b.

2. a.

4 pada interval x ≥ 3 maka f(4) = –2 2 pada interval –1 < x < 3 maka f(2) =2–1=1 –2 pada interval x ≤ –1 maka f(–2) = 1 f(4) – 2f(2) + f(–2) = –2 – 2 · 1 + 1 = –3 Jadi, nilai f(4) – 2f(2) + f(–2) = –3. (f f)(5) = f(f(5)) = f(–2) = 1 (f f)(–3) = f(f(–3)) = f(1) = 1 – 1 = 0 (f f)(0) = f(f(0)) = f(0 – 1) = f(–1) = 1 (f f)(5) + (f f)(–3) – (f f)(0) = 1 + 0 – 1 =0 Jadi, nilai (f f)(5) + (f f)(–3) – (f f)(0) = 0.

3. a.

1 2 3 5

1 2 3 4 6

1 2 3 5

b.

g(x) = x2 – 4 Dg = {x | x ∈ R} Rg = {y | y ≥ –4, y ∈ R} h(x) = − Dh = {x | x ≥ 2, x ∈ R} Rh = {y | y ≥ 0, y ∈ R} 1) Fungsi komposisi g h Rh ∩ Dg = {y | y ≥ 0, y ∈ R] ∩ {x | x ∈ R} = {y ≥ 0, y ∈ R} ≠Ø Oleh karena Rh ∩ Dg ≠ Ø maka fungsi g h ada. 2) Fungsi komposisi h g Rg ∩ Dh = {y ≥ –4, y ∈ R} ∩ {x | x ≥ 2, x ∈ R} = {x | x ≥ 2, x ∈ R} ≠Ø Oleh karena Rg ∩ Dh ≠ Ø maka fungsi h g ada. (g h)(x) = g(h(x)) = g( − ) = ( − )2 – 4 =x–2–4 =x–6 (h g)(x) = h(g(x)) = h(x2 – 4)

f 1 2 3 4 6

1 2 3 5

1 2 3 4 5

f

(f g h)(x) = {(1, 3), (2, 2)}

(f g)(x) g

g

1 2 3 4

B. Uraian 1. a.

(f g h)(x)

4. a.

1)

=

− −

=

−

f(x) = x – 1 Y f(x) = x – 1

b.

(f g)(x) = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)} (g h)(x) h 1 2 3 4

g 1 2 3 4 5

1 2 4 6

(g h)(x) = {(1, 6), (2, 1), (4, 2)}

0

X

1

–1

Daerah hasil fungsi f: Rf = {y | y ∈ R}

Matematika Kelas XI

63

g(x) = x2

2)

Y g(x) = x2 4

b.

b.

X

0

–2

2

Daerah hasil fungsi g: Rg = {y | y ≥ 0, y ∈ R} (f g)(x) = f(g(x)) = f(x2) = x2 – 1

6. a.

Y y = x2 – 1

–1

0

Daerah asal fungsi (f g)(x). Df g = {x | x ∈ R} Daerah hasil fungsi (f g)(x): Rf g = {y | y ≥ –1, y ∈ R} (g f)(x) = g(f(x)) = g(x – 1) = (x – 1)2 = x2 – 2x + 1 Y

b.

7. a.

y = x2 – 2x + 1

1

0

1

X

Daerah asal (g f)(x): Dg f = {x | x ∈ R} Daerah hasil fungsi (g f)(x): Rg f = {y | y ≥ 0, y ∈ R} 5. a.

64

(f g)(x) = 35x + 50 ⇔ f(g(x)) = 35x + 50 ⇔ f(5x + 8) = 35x + 50 ⇔ p(5x + 8) – 6 = 35x + 50 ⇔ p(5x + 8) = 35x + 56

(f g h)(x) = f(g(h(x))) = f(g(2x + 2)) = f(6 – (2x + 2)2)

Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers

b.

+

⇔

p = +

⇔

p = + p=7

X 1

–1

c.

= f(6 – (4x2 + 8x + 4)) = f(–4x2 – 8x + 2) = –(–4x2 – 8x + 2) = 4x2 + 8x – 2 Jadi, (f g h)(x) = 4x2 + 8x – 2. (h g f)(x) = h(g(f(x))) (h g f)(–3) = h(g(f(–3))) = h(g(–(–3))) = h(g(3)) = h(6 – 32) = h(6 – 9) = h(–3) = 2(–3) + 2 = –6 + 2 = –4 Jadi, (h g f)(–3) = –4.

+

⇔ Jadi, p = 7. (h k)(x) = 6x + 2 ⇔ h(k(x)) = 6x + 2 ⇔ h(2x + p) = 6x + 2 ⇔ 3(2x + p) – 7 = 6x + 2 ⇔ 3(2x + p) = 6x + 9 ⇔ 2x + p = 2x + 3 ⇔ p=3 Jadi, p = 3. (g f)(a) = 6 ⇔ g(f(a)) = 6 ⇔ g(a2 – 2a – 4) = 6 ⇔ 3(a2 – 2a – 4) + 9 = 6 ⇔ 3a2 – 6a – 12 + 9 = 6 ⇔ 3a2 – 6a – 9 = 0 ⇔ a2 – 2a – 3 = 0 ⇔ (a – 3)(a + 1) = 0 ⇔ a = 3 atau a = –1 Diambil a = 3 karena a berupa bilangan positif. Jadi, nilai a adalah 3. (f g)(x) = f(g(x)) (f g)(2) = f(g(2)) = f(3 × 2 + 9)) = f(15) = 152 – 2 × 15 – 4 = 225 – 30 – 4 = 191 Jadi, (f g)(2) = 191.

9. a.



8. f(x) = − , x ≠ 1 (f f f)(x) = (f f)(f(x))

= (f f)( − )

b.

= f(f( − )) = f(



− −

)



= f( − − ) −

= = =

− f( −

)

−

− −

10. a.



(y x)(h) = y(x(h)) = y(g(h)) = y(100.000 – 0,02h2) = 20(100.000 – 0,02h2) + 1.000.000 = 2.000.000 – 0,4h2 + 1.000.000 = 3.000.000 – 0,4h2 Besar upah yang diterima salesman jika harga produk h rupiah per unit z(h) = (y x)(h) = 3.000.000 – 0,4h2 Untuk h = 1.000 z(1.000) = 3.000.000 – 0,4(1.000)2 = 3.000.000 – 400.000 = 2.600.000 Jadi, besar upah yang diterima salesman tersebut Rp2.600.000,00. (y x)(t) = y(x(t))

−

− −+ −

= y( )

−

= − = x Misalkan h(x) = (f f f)(x) = x. (f (f f f))(x) = (f h)(x) = f(h(x)) = f(x)

= − ((f f f) f) = (h f)(x) = h(f(x))

=

b.







= − (Dapat ditunjukkan)

−



− − ×

−

. . . (1)

= h( − ) = − Dari (1) dan (2) diperoleh: (f (f f f))(x) = (f f f) f)(x)

−

=

= Banyak uang euro yang diterima Fandi = (y x)(20.000.000) =

. . . (2)

−

= = 1.244,17 euro Jadi, banyak euro yang yang diterima Fandi 1.244,17 euro.

Matematika Kelas XI

65



A.

Pilihan Ganda

1.

Jawaban: d Invers fungsi f dalam bentuk diagram panah: 3)

f–1(x) B

•1

1•

•2



•

•3

2•

•4



4)



f–1(x) =

5)



Jadi, invers dari f(x) = 10x adalah f–1(x) = . Pernyataan 1) benar.



⇔

x=





+

⇔ f–1(x) =

+

+

.

.



y= x–1

⇔ y+1= x +

⇔

x=

⇔

x = (y + 1)

⇔

f–1(y) = (y + 1)

⇔

f–1(x) = (x + 1)







y



⇔ f–1(y) = y

⇔ f–1(x) = x.

66

⇔ f–1(y) =

x

Misalkan y = f(x)

x=

+

Diketahui f(x) = x – 1 Misalkan y = f(x) ⇔



⇔

adalah

Pernyataan 4) benar.

⇔ f–1(x) =

y= x

−

Jadi, invers dari fungsi f(x) = 3x – 5 adalah



⇔

⇔ 4y = x – 3

f–1(x) = 4x + 3. Pernyataan 3) salah. Diketahui f(x) = 3x – 5 Misalkan y = f(x) ⇔ y = 3x – 5 ⇔ y + 5 = 3x ⇔x=



Diketahui f(x) =

−

Jadi, invers dari fungsi f(x) =

x =

⇔ f–1(y) =

2)

.

⇔ 4y + 3 = x ⇔ 4y + 3 = f–1(y) ⇔ f–1(x) = 4x + 3.

Jawaban: e 1) Diketahui f(x) = 10x. Misalkan y = f(x). ⇔ y = 10x ⇔

−

Misalkan y = f(x) ⇔ y =

Jadi, f–1(x) = {( , 1), (1, 2), ( , 3), (2, 4)}. 2.

Diketahui f(x) =

A •



Jadi, invers dari f(x) = x adalah f–1(x) = x. Pernyataan 2) salah.

Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers

Jadi, invers dari fungsi f(x) = x – 1 adalah

f–1(x) = (x + 1). Pernyataan 5) benar. Jadi, pernyataan yang benar 1), 4) dan 5).

3.

Jawaban: d Grafik invers suatu fungsi f(x) dapat diperoleh dengan mencerminkan grafik fungsi f(x) terhadap garis y = x. Y

f(x)

6.

Jawaban: c +



f(x) = − ; x ≠ Misalkan y = f(x).

y=x

+

⇔

y = − ⇔ 5xy – 2y = 3x + 4 ⇔ 5xy – 3x = 2y + 4 ⇔ x(5y – 3) = 2y + 4

X

+

⇔

x = −

⇔

f–1(y) = −

⇔

f–1(x) = −

+

+

+

Grafik di atas menunjukkan grafik fungsi f(x) dan hasil pencerminannya terhadap garis y = x. Jadi, grafik yang menunjukkan grafik fungsi f(x) dan hasil fungsi f(x) dan invers fungsinya adalah gambar pilihan d. 4.

x=

⇔

− −

⇔ g–1(x) =

− −

⇔ ⇔

3y = 2x + 11 2x = 3y – 11 x=

−

⇔

f–1(y) =

−

⇔

f–1(x) =

−

Jadi, invers fungsi f(x) adalah f–1(x) =



+ = h–1(y) h–1(x) =



+

+ .

Jawaban: a Diketahui fungsi f(x) = x2 – 4x – 5. Misalkan y = f(x) ⇔ y = x2 – 4x – 5 ⇔ y = (x – 2)2 – 9 ⇔ y + 9 = (x – 2)2

+

⇔

⇔

9.

.

+

y=

+ = x

Jawaban: e Diketahui fungsi g(x) = 5x + 7 untuk daerah asal Dg = {x | 3 ≤ x ≤ 8, x ∈ R}. Untuk x = 3, g(3) = 5(3) + 7 = 22. Untuk x = 8, g(8) = 5(8) + 7 = 47. Daerah hasil fungsi g adalah Rg = {y | 22 ≤ y ≤ 47, y ∈ R}. Pada fungsi invers, daerah hasil fungsi yang diinverskan menjadi daerah asal fungsi inversnya. Daerah asal fungsi invers = daerah hasil fungsi yang diinverskan = {x | 22 ≤ x ≤ 47, x ∈ R} Jadi, daerah asal fungsi g–1 adalah Dg–1 = {x | 22 ≤ x ≤ 47, x ∈ R}.

Misalkan y = f(x) ⇔



8.

Jawaban: c f(x) =

⇔

Jadi, invers fungsi h(x) adalah h–1(x) =

2x = 10 – y

⇔ g–1(y) =

Jawaban: d Diketahui fungsi h(x) = x3 – 27. Misalkan y = h(x) ⇔ y = x3 – 27 ⇔ y + 27 = x3

⇔

Jadi, invers g(x) = 10 – 2x adalah g–1(x) = 5.

7.

Jawaban: c Diketahui g(x) = 10 – 2x. Misalkan y = g(x) ⇔ y = 10 – 2x ⇔



Jadi, f–1(x) = − ; x ≠ .

⇔ ± + = x – 2 − .

⇔

x = 2 ± +

Matematika Kelas XI

67

⇔

f–1(y) = 2 ± +

⇔

f–1(x) = 2 ± +

11. Jawaban: b (f g)(x) = f(g(x)) +

= f( − )

Jadi, invers fungsi f(x) adalah f–1(x) = 2 ± + .

+

= 2( − ) – 1

10. Jawaban: c Sketsa grafik fungsi f(x) = x2 + 6x + 5. Y

+

−

= − – −

f(x)

+

= − , x ≠ 2 Misalkan y = (f g)(x) +

X

–3 0

⇔ ⇔ ⇔

–4

Agar invers fungsi f(x) merupakan fungsi invers, daerah asal fungsi f(x) harus dibatasi sehingga fungsi f(x) merupakan fungsi bijektif. Fungsi f(x) merupakan fungsi bijektif untuk daerah asal Df = {x | x ≤ –3, x ∈ R} atau Df = {x | x ≥ –3, x ∈ R} dan daerah kawan Kf = {y | y ≥ –4, y ∈ R}. Untuk daerah asal {x | x ≤ –3, x ∈ R} diperoleh fungsi invers berikut. Y

y=x

y = − (2 – x)y = 3x + 4 2y – xy = 3x + 4 2y – 4 = 3x + xy

⇔

− +

=x

⇔

− +

= (f g)–1(y) −

⇔ (f g)–1(x) = + , x = –3 −

Jadi, invers dari (f g)(x) adalah (f g)–1(x) = + , x ≠ –3. 12. Jawaban: a (f g)–1(x) = (g–1 f–1)(x)

X

0

f–1(x)

Untuk daerah asal {x | x ≥ –3, x ∈ R}, diperoleh fungsi invers berikut. Y

y=x

f(x)



f(x) = − Misalkan y = f(x).

⇔

y = − ⇔ 3xy – y = 2x ⇔ 3xy – 2x = y ⇔ x(3y – 2) = y

⇔

x = −

⇔ f–1(x) 0

X



= g–1( − ) = Jadi, daerah asal fungsi harus dibatasi {x | x ≤ –3, x ∈ R}.

68

Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers



f–1(x) = − ; x ≠ (f g)–1(x) = (g–1 f–1)(x) = g–1(f–1(x))

=

+ 

   −     −  − 

+

−

−

−

− + − − − −

=

−

= − + −

f(x)(–2x – 6) = x + 10

⇔

f(x) = − −

⇔

f(8) = − − = − = –

+

+

−

= − + −



Jadi, (f g)–1(x) = − + ; x ≠ . 13. Jawaban: c (f g)(x) = f(g(x))

⇔

x=

−

⇔

f–1(x) =

−

⇔ f–1(48.100.000) =

+ ) +

=

= 2log Misalkan (f g)(x) = y y = 2log 2log

⇔

2y

=

+

+

B.

Uraian

1.

a.

⇔ 2x + 6 = 4(2)y ⇔ 2x = 4(2)y – 6 ⇔

x=

−

+

f(x) = + Misalkan y = f(x). +

⇔

y = + ⇔ 2xy + 5y = 7x + 1 ⇔ 2xy – 7x = 1 – 5y ⇔ x(2y – 7) = 1 – 5y

−

⇔ x = 2(2)y – 3 Jadi, (f g)–1(x) = 2(2)x – 3. 14. Jawaban: c Perhatikan sifat invers fungsi komposisi (h g f)–1(x) = (f–1 g –1 h–1)(x) = 2x – 4 Misalkan y = (h g f)–1(x) ⇔ y = 2x – 4 ⇔

x=

+

⇔

((h g f)–1)–1(x) =

+

⇔

(h g f)(x) =

+

⇔

((h g ) f)(x) =

⇔

(h g)(f(x)) =

⇔



= 800 Jadi, banyak tiket yang terjual 800 lembar.

+

2y = 2log



15. Jawaban: c f(x) = 60.000x + 100.000 Misalkan y = 60.000 + 100.000

= − +

= f(

⇔

− +

=

+ + +

⇔ 2(f(x) – 3) = (x + 4)(2f(x) + 1) ⇔ 2f(x) – 6 = 2xf(x) + 8f(x) + x + 4 ⇔ 2f(x) – 2xf(x) – 8f(x) = x + 4 + 6 ⇔ –2xf(x) – 6f(x) = x + 10

−

⇔

x = −

⇔

f–1(y) = −

⇔

f–1(x) = −

−

−

−



Jadi, f–1(x) = − ; x ≠ . b.

f(x) = 2x +

−

Misalkan y = f(x). ⇔

y=

+ −

⇔

y=

+

⇔ x = 3y – 6 ⇔ f–1(y) = 3y – 6 ⇔ f–1(x) = 3x – 6 Jadi, f–1(x) = 3x – 6.

Matematika Kelas XI

69

c.





f(x) = − – − Misalkan y = f(x). −

⇔

y=

⇔

y = −

⇔

y = −

–

c.

−

(f–1)–1(x) = − ; x ≠ 3 Jadi, f(x) = (f–1)–1(x).

−

−

3.





2.

a.

x = +

⇔

x=

+

⇔ f–1(y) =

+

⇔ f–1(x) =

+ + ;









= cx jika dan hanya jika = c ⇔ ac = 1.

x ≠ 0. 4.

1)

⇔

− −

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

y(x – 3) = 4x – 2 xy – 3y = 4x – 2 xy – 4x = 3y – 2 x(y – 4) = 3y – 2

f(x) =

−

Misalkan y = f(x) y=

−

⇔ 4y = 5x – 2 ⇔ 4y + 2 = 5x ⇔

+

=x

− −

⇔

+

= f–1(y)

−

⇔

+

= f–1(x)

−

Pada f–1(x) =

⇔

f–1(y) = −

⇔

f–1(x) = − ; x ≠ 4

+ , untuk setiap x ∈ daerah

asal mempunyai satu kawan di daerah kawan.

−

f–1(x) = − ; x ≠ 4

Jadi, f–1(x) =

−

Misalkan y = f(x) ⇔ y = − ⇔ y(x – 4) = 3x – 2 ⇔ xy – 4y = 3x – 2 ⇔ xy – 3x = 4y – 2 − − −

⇔ (f–1)–1(y) = −

−

⇔ (f–1)–1(x) = − ; x ≠ 3

70



Jadi, hubungan a dan c adalah = c ⇔ ac = 1.

y=

x=





⇔

⇔



Diketahui f–1(x) = g(x) ⇔ – = cx + d sehingga

−

x=

−

⇔ f–1(x) = –

f(x) = − ; x ≠ 3 Misalkan y = f(x)

⇔

b.





⇔

x=

⇔ f–1(y) = –

3x = 1 +

Jadi, f–1(x) =

f(x) = ax + b Misalkan y = ax + b ⇔ ax = y – b ⇔



⇔ 3x – 1 = ⇔

−

f(x) = − ; x ≠ 3

Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers

2)

+

merupakan fungsi invers.



g(x) = − ; x ≠ 2 Misalkan y = g(x)

⇔

y = − ⇔ y(2 – x) = 10 ⇔ 2y – yx = 10 ⇔ 2y – 10 = yx ⇔

Y

−

–3

0

=x –9

3

X

⇔

−

= g–1(y)

⇔

−

= g–1(x), x ≠ 0

Pada g–1(x) =

Pada f–1(x) = ± + , untuk setiap x ∈ daerah asal mempunyai dua kawan di daerah kawan.

− , x ≠ 0, untuk

Jadi, f –1(x) = ± + bukan merupakan fungsi invers. (Dapat ditunjukkan) Fungsi f(x) = x2 – 9 harus dibatasi daerah asal dan daerah kawannya sehingga menjadi fungsi bijektif. 1) Untuk daerah asal Df = {x | x ≤ 0, x ∈ R} dan daerah kawannya Kf = Rf = {y | y ≥ –9, x ∈ R}, f(x) = x2 – 9 merupakan fungsi bijektif. f(x) = x2 – 9 ⇔ f–1(x) = ± + Oleh karena f(x) = x2 – 9 mempunyai daerah asal x ≤ 0 dan daerah kawan y ≥ –9 maka f–1(x) akan mempunyai daerah asal x ≥ –9 dan daerah kawan y ≤ 0. Daerah kawan y ≤ 0 hanya diperoleh dari rumus f–1(x) = – + . Untuk invers

setiap x ∈

daerah asal mempunyai satu kawan di daerah kawan. Jadi, g–1(x) = 3)

− ; x ≠ 0 merupakan fungsi

invers. h(x) = 3x2 – 6x Misalkan y = h(x) ⇔ y = 3x2 – 6x ⇔ y = 3(x – 1)2 – 3 ⇔ 3(x – 1)2 = y + 3 ⇔ ⇔

(x – 1)2 =

+

x–1= ±

+ +

⇔

x=1±

⇔

h–1(y) = 1 ±

+

⇔

h–1(x) = 1 ±

+

Pada h–1(x) = 1 ±

+

2)

, untuk setiap x ∈

daerah asal mempunyai dua kawan di daerah kawan. Jadi, h–1(x) = 1 ±

+

bukan merupakan

fungsi invers. 4)

i(x) = − Misalkan y = g(x) ⇔ y = − ⇔ y2 = x – 1 ⇔ x = y2 + 1 –1 ⇔ i (y) = y2 + 1 ⇔ i–1(x) = x2 + 1 Pada i–1(x) = x2 + 1, untuk setiap x ∈ daerah asal mempunyai satu kawan di daerah kawan. Jadi, i–1(x) = x2 + 1 merupakan fungsi invers.

5.

a.

f(x) = x2 – 9 Misalkan y = f(x) ⇔ y = x2 – 9 ⇔ x2 = y + 9 ⇔

x = ± +

⇔ f–1(y) = ± + ⇔ f–1(x) = ± +

fungsi f –1(x) = – + , setiap daerah asal mempunyai tepat satu kawan di daerah asal sehingga f–1(x) merupakan fungsi. Akibatnya f –1 (x) = – + merupakan fungsi invers. Untuk daerah asal Df = {x | x ≥ 0, x ∈ R} dan daerah kawan Kf = Rf = {y | y ≥ –9, y ∈ R}, f(x) = x2 – 9 merupakan fungsi bijektif. Oleh karena f(x) = x2 – 9 mempunyai daerah asal x ≥ 0 dan daerah hasil y ≥ –9 maka f–1(x) akan mempunyai daerah kawan x ≥ –9 dan daerah kawan y ≥ 0. Daerah kawan y ≥ 0 diperoleh dari rumus f–1(x) = + . Untuk invers fungsi f–1(x) = + , setiap daerah asal mempunyai tepat satu kawan di daerah asal sehingga f–1(x) merupakan fungsi. Akibatnya f–1(x)

b.

= + merupakan fungsi invers. f(x) = –x2 + 12x – 20 Misalkan y = f(x) ⇔ y = –x2 + 12x – 20 ⇔ y = –(x – 6)2 + 16 ⇔ (x – 6)2 = 16 – y ⇔ x – 6 = ± − ⇔

x = 6 ± −

⇔

f–1(y) = 6 ± −

⇔

f–1(x) = 6 ± −

Pada f–1(x) = 6 ± − , untuk setiap x ∈ daerah asal mempunyai dua kawan di daerah kawan.

Matematika Kelas XI

71

Daerah kawan y ≥ 6 diperoleh dari rumus f–1(x) = 6 + − . Untuk invers fungsi

Jadi, f–1(x) = 6 ± − bukan merupakan fungsi invers.(Dapat ditunjukkan) Fungsi f(x) = –x2 + 12x – 20 harus dibatasi daerah asal dan daerah kawannya sehingga f(x) menjadi fungsi bijektif.

f–1(x) = 6 – − , setiap daerah asal mempunyai tepat satu kawan di daerah asal sehingga f–1(x) merupakan fungsi. Akibatnya f–1(x) = 6 – − merupakan fungsi invers.

Y 16

6.

0

X

6

f(x)

1)

Untuk daerah asal Df = {x | x ≤ 6, x ∈ R} dan arah daerah kawan Kf = {y | y ≤ 6, x ∈ R}, f(x) = –x2 + 12x – 20 merupakan fungsi bijektif. f(x) = –x2 + 12x – 20 ⇔ f–1(x) = 6 ± − Oleh karena f(x) = –x 2 + 12x – 20 mempunyai daerah asal x ≤ 6 dan daerah kawan y ≤ 16 maka f –1 (x) akan mempunyai daerah asal x ≤ 16 dan daerah kawan y ≤ 6. Daerah kawan y ≤ 6 diperoleh dari rumus

Pada fungsi invers, daerah hasil fungsi yang diinverskan menjadi daerah asal fungsi inversnya dan daerah asal fungsi yang diinverskan menjadi daerah hasil fungsi inversnya. a. Diketahui fungsi f1(x) = 16 – 3x dan Df = A = 1 {x | 2 ≤ x ≤ 10, x ∈ R}. Nilai-nilai fungsi di ujung interval: Untuk x = 2, f(2) = 16 – 3(2) = 10 Untuk x = 10, f(10) = 16 – 3(10) = –14 Daerah hasil fungsi f(x) Df = {y | –14 ≤ y ≤ 10, y ∈ R} 1 Daerah asal fungsi invers: Df –1 = {x | –14 ≤ x ≤ 10, x ∈ R} 1 Daerah hasil fungsi invers: Rf–1 = {y | 2 ≤ y ≤ 10, y ∈ R} b. Diketahui A = {x | 2 ≤ x ≤ 10} dan fungsi f(x) = x2 – 8x – 12. Nilai-nilai fungsi di ujung interval: Untuk x = 2, f(x) = 22 – 8(2) – 12 = –24 Untuk x = 10, f(x) = 102 – 8(10) – 12 = 8 Nilai maksimum/minimum fungsi: −

f–1(x) = 6 – − . Untuk invers fungsi f–1(x) = 6 – − , setiap daerah asal mempunyai tepat satu kawan di daerah asal sehingga f–1(x) merupakan fungsi.

2)

Akibatnya f–1(x) = 6 – − merupakan fungsi invers. Untuk daerah asal Df = {x | x ≥ 6, x ∈ R} dan daerah kawan Kf = {y | y ≤ 16, y ∈ R}, f(x) = –x2 + 12x – 20 merupakan fungsi bijektif. Oleh karena f(x) = –x 2 + 12x – 20 mempunyai daerah asal x ≥ 6 dan daerah kawan y ≤ 16 maka f –1 (x) akan mempunyai daerah asal x ≤ 16 dan daerah kawan y ≥ 6.

c.

−−

x = = = 4 y = f(4) = 42 –– 12 = –28 Daerah hasil fungsi: Rf = {y | –28 ≤ x ≤ 8, x ∈ R} 2 Daerah asal fungsi invers: D(f –1) = {x | –28 ≤ x ≤ 8, x ∈ R} 2 Daerah hasil fungsi invers: R(f –1)= {y | 2 ≤ y ≤ 10, y ∈ R} 2 Diketahui A = {x | 2 ≤ x ≤ 10} dan fungsi f(x) = − . Nilai-nilai fungsi di ujung interval:

Untuk x = 2, f(x) =

− = − =

Untuk x = 10, f(x) = Daerah hasil fungsi: Rf = {y | 2

≤y≤

, y ∈ R}

Daerah asal fungsi invers: D(f

–1 2 )

= {x |

≤x≤

, x ∈ R}

Daerah hasil fungsi invers: R(f –1) = {y | 2 ≤ y ≤ 10, y ∈ R} 2

72

Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers



7.

a.

(g f)–1 = f–1 g–1 g–1

Misalkan y = 20.000 + 0,02x2 ⇔ 0,02x2 = y – 20.000

f–1

⇔ –3

1

–2

–1

2

–1

2

3

0

3

4

2

x2 =

⇔

x=±

−

⇔

C–1(y) = ±

−

⇔

C–1(x) = ±

−

–1

(g f)

b.

8.

a.

Dari diagram panah di atas diperoleh (g f)–1 = {(–3, –2), (–1, 2), (2, –1), (3, 0)}. f = {(–1, 1), (–2, 2), (2, 3), (0, 4)} g = {(2, –3), (3, –1), (1, 2), (4, 3)} (g f)–1(2) + 2f(2) – 3g(2) = –1 + 2 · 3 – 3 · (–3) = –1 + 6 + 9 = 14 Jadi, nilai (g f)–1(2) + 2f(2) – 3g(2) = 14. (g h)(x) = g(h(x)) = g(2log x) = 2 · 2log x + 1 Misalkan y = (g h)(x). y = 2 · 2log x + 1 2 ⇔ 2 · log x = y – 1 ⇔

2log

⇔

2log

⇔

−

x= x=

2log

x=

⇔ (g h)–1(x) =

(g h)–1(p) = ⇔ ⇔ ⇔

20 = −

−

.

C →

y

= C–1(x) = a.

.

−

Untuk x = 40.000 Banyak barang yang diproduksi = C–1(40.000) −

=

= = 1.000 Jadi, banyak barang yang diproduksi 1.000 unit. Untuk x = 100.000 Banyak barang yang diproduksi = C–1(100.000) −

=

= = 2.000 Jadi, banyak barang yang diproduksi 2.000 unit.

−

10. Banyak gula (kg) yang diperlukan untuk membuat

−



x liter sirop = f(x) = x.

f(x) = x Misalkan

=0



x = banyak barang yang diproduksi C(x) = biaya untuk memproduksi x barang x

−

Banyak barang yang diproduksi untuk biaya sebesar x

b.

−

⇔ p=1 Jadi, nilai p adalah 1. 9.

=

−

−

1=

Daerah asal C(x) = 20.000 + 0,002x2 adalah x ≥ 0 karena banyak produk tidak boleh negatif dan daerah kawannya adalah y ≥ 0. Dengan demikian daerah asal C–1(x) adalah x ≥ 0 dan daerah kawan y ≥ 0. Agar diperoleh daerah kawan y ≥ 0, invers fungsi C(x) harus dipilih C–1(x)

−

Jadi, (g h)–1(x) = b.



−

y

C–1 →

x

C–1(x) = banyak barang yang diproduksi untuk biaya sebesar x C(x) = 20.000 + 0,02x2

y = x ⇔ x = 3y f–1(y) = 3y ⇔ f–1(x) = 3x Banyak sirop (liter )yang dapat dibuat jika ada x kg gula = f–1(x) = 3x a. Banyak sirop (liter )yang dapat dibuat jika ada 120 kg gula = f–1(120) = 3 · 120 = 360 liter b. Banyak sirop (liter )yang dapat dibuat jika ada 300 kg gula = f–1(300) = 3 · 300 = 900 liter c. Banyak sirop (liter )yang dapat dibuat jika ada 1.000 kg gula = f–1(1.000) = 3 · 1.000 = 3.000 liter Matematika Kelas XI

73

Fungsi f(x) = x3 untuk daerah asal A dan daerah kawan B merupakan fungsi surjektif karena untuk setiap y ∈ B mempunyai kawan di A. 5) Fungsi f(x) = x4 untuk daerah asal A dan daerah kawan B bukan merupakan fungsi surjektif karena ada y ∈ B (yaitu y < 0) yang tidak mempunyai kawan di A. Jadi, fungsi yang merupakan fungsi surjektif adalah 1) dan 4). 4)

A.

Pilihan Ganda

1.

Jawaban: b Grafik suatu relasi merupakan fungsi jika tidak ada garis tegak yang memotong grafik lebih dari sekali. Perhatikan gambar pada pilihan b berikut. Y X

0

4.

Jawaban: d (f + g)(x) = f(x) + g(x)

Dari gambar terlihat tidak ada garis tegak yang memotong grafik lebih dari sekali. Jadi, grafik pada pilihan b merupakan grafik fungsi. 2.

= (10x + 11) + ( − )

Jawaban: d Grafik suatu fungsi merupakan fungsi injektif jika tidak ada garis horizontal yang memotong grafik lebih dari sekali. Perhatikan gambar pada pilihan d berikut.

+ − + −

=

+ − ; −



= (10x + 11) – ( − ) =

+ − − −

=

− − ; −

=

+ − − − − −

X

+ −

+

Dari gambar terlihat tidak ada garis mendatar yang memotong grafik lebih dari sekali. Artinya untuk setiap nilai x1 ≠ x2, nilai f(x1) ≠ f(x2) sehingga fungsi tersebut merupakan fungsi injektif. Jadi, grafik pada pilihan d merupakan grafik fungsi injektif. 3.

Jawaban: c 1) Fungsi f(x) = x untuk daerah asal A dan daerah kawan B merupakan fungsi surjektif karena untuk setiap y ∈ B mempunyai kawan di A. 2) Fungsi f(x) = 1 untuk daerah asal A dan daerah kawan B bukan merupakan fungsi surjektif karena ada y ∈ B (yaitu y ≠ 1) yang tidak mempunyai kawan di A. 3) Fungsi f(x) = x2 untuk daerah asal A dan daerah kawan B bukan merupakan fungsi surjektif karena ada y ∈ B (yaitu –1 < y < 0) yang tidak mempunyai kawan di A.

74

Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers

x≠1

(f – g)(x) = f(x) – g(x)

Y

0

=

=

x≠1 + − − −

+ −

Jadi, − = ; 10x2 – x – 11 ≠ 0. − − 5.

Jawaban: a



( )(x) = = = = 6.

− +

− − +

− +

+ +

; x ≠ –1

Jawaban: d −

Fungsi f(x) = − mempunyai daerah asal alami Df = {x | x ≠ 10, x ∈ R} dan g(x) = − mempunyai daerah asal alami Dg = {x | x ≤ 0 atau x ≥ 5, x ∈ R}.

Jika h(x) = (f · g)(x), daerah asal fungsi h(x) adalah Dh = Df ∩ Dg = {x | x ≠ 10, x ∈ R} ∩ {x | x ≤ 0 atau x ≥ 5, x ∈ R} = {x | x ≤ 0 atau x ≥ 5, x ≠ 10, x ∈ R}. 7.

Jawaban: a Perhatikan grafik fungsi f(x) = x2 + 2x – 8 berikut. Y f(x) = x2 + 2x – 8

–3 –1

X

2

11. Jawaban: a +

f(x) = + Misalkan y = f(x). +

⇔

y = + ⇔ 6xy + y = x + 4 ⇔ 6xy – x = 4 – y ⇔ x(6y – 1) = 4 – y −

⇔

x = −

⇔

f–1(x) = −

−

−



Jadi, f–1(x) = − ; x ≠ . 12. Jawaban: b

–8

−

g(x) = + Fungsi f(x) = x2 + 2x – 8 merupakan fungsi injektif jika daerah asalnya dibatasi menjadi {x | x ≤ –1, x ∈ R atau {x | x ≥ –1, x ∈ R}. Oleh karena {x | –5 ≤ x ≤ –2, x ∈ R} ⊂ {x | x ≤ –1, x ∈ R}, f(x) = x2 + 2x – 11 merupakan fungsi injektif pada daerah asal {x | –5 ≤ x ≤ –2, x ∈ R}. 8.

9.

Jawaban: e Pada fungsi 1), 2), 4), dan 5), setiap x1, x2 ∈ daerah asal dan x1 ≠ x2 mempunyai kawan berbeda. Jadi, 1), 2), 4), dan 5) merupakan fungsi injektif. Jawaban: e Invers fungsi f dalam bentuk diagram panah: f–1

B

a

3

b c

4

d

f–1(x) = {(1, a), (1, b), (2, d), (4, c)}



Diketahui g(x) = 8 – x. Misalkan y = g(x)

⇔ ⇔



x=8–y x=

x = −

⇔

g–1(x) = −

⇔

g–1(x) = −

− − +

+



Jadi, g–1(x) = − , x ≠ .

⇔

⇔

y=8– x

− −

⇔

x=

−

Dengan demikian, f–1(x) = f–1(a) = 3

10. Jawaban: a

⇔

⇔ ⇔ ⇔

−

y = + 2xy + y = x – 1 2xy – x = –y – 1 x(2y – 1) = –y – 1

13. Jawaban: d Cara 1 Dengan menentukan f–1(x) terlebih dahulu f(x) = 5x + 1 Misalkan y = 5x + 1 ⇔ 5x = y – 1

A

1 2

⇔

−



⇔ g–1(y) = (8 – y)

⇔ g–1(x) = (8 – x)

Jadi, invers g(x) adalah g–1(x) = (8 – x).

−

−

=3

⇔ a – 1 = 15 ⇔ a = 16 Cara 2 Dengan pengertian fungsi invers f(x) = y ⇔ f–1(y) = x f–1(a) = 3 maka f(3) = a f(3) = a ⇔ 5(3) + 1 = a ⇔ a = 15 + 1 ⇔ a = 16 Jadi, nilai a = 16.

Matematika Kelas XI

75

14. Jawaban: e f(x) = ax + 3 Misalkan y = ax + 3. ⇔ ax = y – 3 ⇔

x=

−

⇔

f–1(x) =

−

17. Jawaban: a Suatu fungsi mempunyai fungsi invers jika fungsi tersebut merupakan fungsi bijektif. Fungsi f(x) pada gambar akan menjadi fungsi bijektif jika daerah asalnya dibatasi menjadi: 1) {x | x ≤ –1, x ∈ R} 2) {x | –1 ≤ x ≤ 0, x ∈ R} 3) {x | 0 ≤ x ≤ 1, x ∈ R} 4) {x | x ≥ 1, x ∈ R} Jika daerah asal fungsi dibatasi menjadi {x | x ≤ –1, x ∈ R}, fungsi tersebut merupakan fungsi bijektif sehingga mempunyai fungsi invers. Jadi, batas daerah asalnya {x | x ≤ –1, x ∈ R}.

f–1(f–1(9)) = 3

⇔

f–1( ) = 3

⇔

−



⇔

=3

– 3 = 3a

⇔

0 = 3a + 3 – ⇔ 0 = 3a2 + 3a – 6 ⇔ 0 = 3(a2 + a – 2) ⇔ 0 = 3(a + 2)(a – 1) ⇔ a = –2 atau a = 1 Untuk a = –2: a2 + a + 1 = (–2)2 + (–2) + 1 = 4 – 2 + 1 = 3 Untuk a = 1 a2 + a + 1 = 12 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 = 3 15. Jawaban: e f(x) = 3x – 1 Misalkan y = f(x) ⇔ y = 3x – 1 3 ⇔ log y = 3log 3x – 1 ⇔ x – 1 = 3log y ⇔ x = 3log y + 1 –1 ⇔ f (x) = 3log x + 1 f–1(81) = 3log 81 + 1 = 3log 34 + 1 = 4 · 3log 3 + 1 = 5 16. Jawaban: d Grafik invers fungsi f(x) dapat diperoleh dengan mencerminkan fungsi ke f(x) ke garis y = x. Perhatikan gambar Y

y=x

X

0 f(x)

Grafik tersebut merupakan hasil pencerminan grafik fungsi dengan garis y = x. jadi, grafik fungsi dan inversnya ditunjukkan oleh gambar pada pilihan d. 76

Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers

18. Jawaban: a (f g)(x) = f(g(x) = f(x2 – 2x – 1) = (x2 – 2x – 1) + 3 = x2 – 2x + 2 Jadi, komposisi (f g)(x) = x2 – 2x + 2. 19. Jawaban: c (g f)(x) = g(f(x)) = g(2x – 1) = 3(2x – 1)2 – (2x – 1) + 5 = 3(4x2 – 4x + 1) – 2x + 1 + 5 = 12x2 – 12x + 3 – 2x + 6 = 12x2 – 14x + 9 Jadi, (g f)(x) = 12x2 – 14x + 9. 20. Jawaban: c (f g)(x) = x2 – 3x + 3 ⇔ f(g(x)) = x2 – 3x + 3

⇔ f( x2 – x – 2) = x2 – 3x + 3



⇔ f( x2 – x – 2) = 3( x2 – x – 2) + 9 ⇔ f(x) = 3x + 9 Jadi, rumus fungsi f(x) = 3x + 9. 21. Jawaban: b (f g)(x) = f( − ) = 2( − )2 + 9 = 2(3x – 1) + 9 = 6x + 7 ((f g) h)(x) = (f g)(h(x)) = (f g)(4x + 3) = 6(4x + 3) + 7 = 24x + 18 + 7 = 24x + 25 Jadi, ((f g) h)(x) = 24x + 25. 22. Jawaban: c (f g h)(x) = f(g(h(x))) (f g h)(–1) = f(g(h(–1))) = f(g(–(–1)))

= f(g(1)) = f(4 – 2(1)) = f(2) = + = =3 Jadi, nilai (f g h)(–1) = 3. 23. Jawaban: c Misalkan t = x + 1 ⇒ x = t – 1 h(x + 1) = 3x – 1 ⇔ h(t) = 3(t – 1) – 1 ⇔ h(t) = 3t – 3 – 1 ⇔ h(t) = 3t – 4 ⇔ h(x) = 3x – 4 Misalkan h(x) = y. y = 3x – 4 ⇔

x=

+

⇔

h–1(x) =

+

(g

h–1)(x)

=

=

= f–1( + ) = 3( + )2 + 2 = 3(x + 1) + 2 = 3x + 3 + 2 = 3x + 5 Jadi, (g f)–1(x) = 3x + 5. 26. Jawaban: c (g f)(x) = g(f(x)) = g(2x – 3)

= − +

= − +

= − y=

⇔

 + 

   +   +  

+ ++

−

⇔ 6xy – 8y = 1 ⇔ 6xy = 8y + 1

+ )

= g(

25. Jawaban: a (g f)–1(x) = (f–1 g–1)(x) = f–1(g–1(x))

x=

+

+

⇔ (g f)–1(x) = +

= +

× +



(g f)–1(x – ) =



(g h–1)(4) = + =

=



Jadi, (g h–1)(4 ) = . 24. Jawaban: c Misalkan f(x) = y. −

y= ⇔ 3y – xy = 2x ⇔ 2x + xy = 3y ⇔ x(2 + y) = 3y ⇔ ⇔

(

)+ ( − )

−





− + −

=–

− − −



Jadi, (g f)–1(x – ) = − ; x ≠ . 27. Jawaban: a g(x) =



⇔



⇔ ⇔

x = + f–1(x) = + ; x ≠ –2

(f g)–1(1) = (g–1 f–1)(1) = g–1(f–1(1)) ×

= g–1( + ) = g–1(1)

= + = 2

+

y=

+

3y = 2x + 1 2x = 3y – 1 x=

−

⇔ g–1(x) =

−

⇔

(f g h)–1(–2) = (h–1 g–1 f–1)(–2) = h–1(g f–1)(–2) = h–1(g–1(f–1(–2))) = h–1(g–1(4 × (–2) + 5)) = h–1(g–1(–3))

Jadi, (f g)–1(1) = 2. Matematika Kelas XI

77

= h–1(

× − − )

(h g f)–1(1 – x) =

= h–1(–5) = –5 – 6 = –11 Jadi, (f g h)–1(–2) = –11. 28. Jawaban: e f(x) = 2x – 13 ⇔ y = 2x – 13 x=

+

⇔ f–1(x) =

+

⇔

− + − −

=

− −

+

+

= 5( ) + 7 = x + 11 (f (g h))–1(3) = ((g h)–1 f –1)(3) = (g h)–1(f–1(3)) = (g h)–1(

+

⇔

)

x ≠ 2.

−

x=

−

Dengan demikian, (f g h)–1(x) = (f g h)–1(k) = 2

= (g h)–1(8) = 8 + 11 = 19

⇔

−

=2

⇔ 1–k=4 ⇔ k = –3 Cara 2 Dengan pengertian fungsi invers f(x) = y ⇔ f–1(y) = x (f g h)–1(k) = 2 maka (f g h)(2) = k (f g h)(2) = k ⇔ 1 – 2(2) = k ⇔ k=1–4 ⇔ k = –3 Jadi, nilai k adalah –3.

29. Jawaban: b (h g f)(x) = h(g(f(x)))

= h(g( + )) +

− ; −

30. Jawaban: c (f g h)(x) = f(g(h(x))) = f(g(x – 4)) = f((x – 4) + 6) = f(x + 2) = 5 – 2(x + 2) = 5 – 2x – 4 = 1 – 2x Cara 1 Dengan menentukan (f g h)–1(x) terlebih dahulu. y = 1 – 2x ⇔ 2x = 1 – y

= h–1( )

)



= + – 1 =

=

Jadi, (h g f)–1(1 – x) =

(g h)–1(x) = (h–1 g–1)(x)

= h(

− − − − +

−− + − −

= + Dengan rumus praktis: Jika f(x) = f–1(x)

=

+ +

− + −



, x ≠ – maka

,x≠

B.

Uraian

1.

a.

f(x) =

.

Daerah asal f(x) adalah Df = {x | x ≠ 4, x ∈ R}.



g(x) =

Dengan demikian, − −

−

− −

(h g f)(x) = + maka (h g f)–1(x) = +

=

+ + + + + +

= + Daerah asal g(x) adalah Dg = {x | x ≠ –6, x ∈ R}.

78

Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers

b.

Oleh karena fungsi f(x) = x2 – 3x – 10 tidak injektif dan tidak surjektif maka tidak bijektif. Jadi, fungsi f(x) = x2 – 3x – 10 tidak injektif, tidak surjektif dan tidak bijektif.

h(x) = g(x) – f(x) =

+

=

− − + + −

=

− − − + −

=

−

–

c.

− − − − +

Jadi, rumus fungsi h(x) =

− − − − +

Fungsi f(x) = − untuk x ≥ 5 tidak surjektif karena untuk setiap nilai y < 0 tidak ada nilai x1 yang memenuhi y = f(x1).

dan

Y

d.

X

0

X

Fungsi f(x) = − untuk x ≥ 5 injektif karena untuk setiap nilai x yang berbeda (x1 ≠ x2) berlaku (f(x1) ≠ f(x2)).

daerah asalnya {x | x ≠ –6, x ≠ 4, x ∈ R}. a.

−

f(x) =

0

Dh = Dg ∩ Df = {x | x ≠ –6, x ∈ R} ∩ {x | x ≠ 4, x ∈ R} = {x | x ≠ –6, x ≠ 4, x ∈ R}

2.

Y

Jadi,fungsi f(x) = − untuk x ≥ 5 hanya bersifat injektif. Grafik fungsi x – 2 untuk x < –1 f(x) = x2 + 2x – 2 untuk –1 ≤ x ≤ 1 2x – 1 untuk x > 1 tampak seperti gambar berikut. Y

f(x) = 1 – 2x

Fungsi f(x) = 1 – 2x injektif karena untuk setiap nilai x yang berbeda (x1 ≠ x2) berlaku (f(x1) ≠ f(x2)). Fungsi f(x) = 1 – 2x surjektif karena untuk setiap nilai y terdapat nilai x1 yang memenuhi y = f(x1). Oleh karena fungsi f(x) = 1 – 2x injektif dan surjektif maka fungsi f(x) = 1 – 2x bijektif. Jadi,fungsi f(x) = 1 – 2x bijektif. b.

Y

0

Fungsi f(x) merupakan fungsi injektif karena untuk setiap nilai x yang berbeda (x1 ≠ x2) berlaku (f(x1) ≠ f(x2)). Fungsi f(x) surjektif karena untuk setiap nilai y terdapat nilai x1 yang memenuhi y = f(x1). Oleh karena fungsi f(x) injektif dan surjektif maka fungsi f(x) bijektif. Jadi, fungsi x – 2 untuk x < –1 f(x) = x2 + 2x – 2 untuk –1 ≤ x ≤ 1 2x – 1 untuk x > 1 merupakan fungsi bijektif.

f(x) = x2 – 3x – 10

3

X

–10 –12

3.

Fungsi f(x) = x2 – 3x – 10 tidak injektif karena untuk x1 = 0 dan x2 = 3 berlaku f(x1) = f(x2) = –10. Fungsi f(x) = x2 – 3x – 10 tidak surjektif karena

untuk y > 12 tidak ada x1 yang memenuhi

X

0 1 –2



Daerah asal alami fungsi f(x) = − adalah Df = {x | x ≠ 2, x ∈ R}. Daerah asal alami g(x) = 10x 2 – 4 adalah D g = {x | x ∈ R}. Daerah asal alami fungsi h(x) = − adalah Dh = {x | x ≤ –5 atau x ≥ 5, x ∈ R}.

sehingga y = f(x1). Matematika Kelas XI

79

a.

(f + g)(x) = f(x) + g(x)



g(x) = +



= − + (10x2 – 4)

y = + ⇔ xy + 2y = 2x ⇔ 2x – xy = 2y ⇔ x(2 – y) = 2y

−



= − + (10x2 – 4) − = =

b.

+ − − + − − − + −

Daerah asal fungsi (f + g) = D(f + g) = Df ∩ Dg = {x | x ≠ 2, x ∈ R} ∩ {x | x ∈ R} = {x | x ≠ 2, x ∈ R}. (f · g · h)(x) = f(x) · g(x) · h(x)

b.



− −

x = −

⇔

g–1(x) = −





( )(x) = =

untuk ⇔

=

− −

 − 

  − − − +

−

−

= − 5.

a.

Fungsi tersebut merupakan fungsi injektif. 1)

−



−

= g–1( ) =

−

Fungsi ( )(x) = =



(f g)–1(x) = (g–1 f–1)(x) = g–1(f –1(x))

−

Daerah asal fungsi (f · g · h) = D(f · g · h) = Df ∩ Dg ∩ Dh = {x | x ≠ 2, x ∈ R} ∩ {x | x ∈ R} ∩ {x | x ≤ –5 atau x ≥ 5, x ∈ R} = Dh = {x | x ≤ –5 atau x ≥ 5, x ≠ 2, x ∈ R] c.



⇔

= ( − )(10x2 – 4)( − ) =



⇔



Grafik fungsi f(x) = − ; x ≠ 4 tampak seperti gambar berikut.

terdefinisi

Y

− ≠ 0.

f(x) =

−

− ≠ 0

⇔ x2 – 25 > 0 ⇔ (x + 5)(x – 5) > 0 ⇔ x < –5 atau x > 5

X

0



Daerah asal fungsi ( ) =   = Dg ∩ Dh dan   

{h(x) ≠ 0} = {x | x ∈ R} ∩ {x | x ≤ –5 atau x ≥ 5, x ∈ R} ∩ {x | x ≠ –5 atau x ≠ 5, x ∈ R} = {x | x < –5 atau x > 5, x ∈ R}. 4.

a.

f(x) = 7x + 6 ⇔ y = 7x + 6 ⇔ 7x = y – 6 x=

−

⇔ f–1(x) =

−

⇔

80

Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers



Fungsi f(x) = − ; x ≠ 4 merupakan fungsi injektif karena untuk setiap nilai x yang berbeda (x1 ≠ x2) berlaku (f(x1) ≠ f(x2)).

Jadi, fungsi f(x) = − ; x ≠ 4 merupakan fungsi injektif.

2)

Grafik fungsi f(x) = x2 – 4x tampak seperti gambar berikut. Y

2)

f(x) = x2 – 4x

f(x) = x2 – 4x Misalkan y = x2 – 4x ⇔ y = (x – 2)2 – 4 ⇔ (x – 2)2 = y + 4 ⇔

x – 2= ± +

⇔ ⇔

3) Fungsi f(x) = x2 – 4x bukan merupakan fungsi injektif karena ada nilai x yang berbeda (x1 ≠ x2) tetapi berlaku (f(x1) ≠ f(x2)). Jadi, fungsi f(x) = x 2 – 4x bukan merupakan fungsi injektif. 3)

f–1(x) = 2 ±

⇔ ⇔

0

= 3x – 4 3x = y2 + 4 +

⇔ f–1(y) =

+

−

⇔ f–1(x) =

+

X

Jadi, fungsi inversnya f–1(x) =



− ; x ≥ merupakan fungsi injektif karena untuk setiap nilai x yang berbeda (x1 ≠ x2) berlaku (f(x1) ≠ f(x2)).

Y

f(x)



⇔

.

16



Fungsi f(x) = − ; x ≠ 4 Misalkan y = f(x)

+

Suatu fungsi mempunyai rumus invers jika fungsi tersebut bersifat bijektif. a. Grafik fungsi f(x) = –x2 + 2x + 15 tampak seperti gambar berikut.

Jadi, f(x) = − ; x ≥ merupakan fungsi injektif. 1)

−

y2

⇔

6.

Fungsi f(x) =

y=

x=



− ; x ≥ tampak seperti gambar berikut.

Grafik fungsi f(x) =

f(x) =



− ; x ≥ Misalkan y = f(x)

Fungsi f(x) =

⇔

Y

b.

+

Jadi, invers fungsinya f–1(x) = 2 ± + .

X

0

x = 2 ± +

0 1

X



⇔ ⇔ ⇔ ⇔

y = − y(x – 4) = 4x xy – 4y = 4x xy – 4x = 4y x(y – 4) = 4y

⇔

x = −

⇔

f–1(y) = −

⇔

f–1(x) = − ; x ≠ 4

Agar fungsi f(x) = –x2 + 2x + 15 menjadi fungsi bijektif daerah asalnya harus dibatasi yaitu {x | x ≤ 1, x ∈ R} atau {x | x ≥ 1, x ∈ R} dan daerah kawan {y | y ≤ 16, y ∈ R}. Jadi, daerah asal fungsi f(x) = –x2 + 2x + 15 dibatasi menjadi {x | x ≤ 1, x ∈ R} atau {x | x ≥ 1, x ∈ R} dan daerah kawan {y | y ≤ 16, y ∈ R}.







Jadi, invers fungsinya f–1(x) = − ; x ≠ 4.

Matematika Kelas XI

81

b.

Grafik fungsi f(x) = (x – 2)2 – 6 tampak seperti gambar berikut.

(f g)(

Y



– 1) =

f(x)

( −( −



) − ) −



= =

−

− − −

−

= − −





Jadi, (f g)( – 1) = − , x ≠ . –2 0 –2

b.

X



a.

b.

9.

a.

82

Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers

− − −

−

= −

f–1(x) =

⇔ f–1(x) = Misalkan y = f–1(x) y=

−

⇔ x = 3y + 1 ⇔ f(x) = 3x + 1 Jadi, f(x) = 3x + 1.

(f g)(x) = f(g(x)) = f(4 – x)

−

−

g(f–1(x)) = −

⇔

= g(3) = –3 – 2 = –5 Jadi, nilai (g h)(–5) = –5.

= −

−

(g f–1)(x) = −

⇔ f–1(x) · 3x – 6 · f–1(x) = 3f–1(x) · x – 3f–1(x) –x+1 ⇔ f–1(x) · 3x – 3x · f–1(x) – 6f–1(x) + 3f–1(x) = –x + 1 ⇔ –3f–1(x) = –x + 1



− − −



⇔

= g( )

=

−



=4–3

⇔

(f g)(x) = f(g(x)) = f(–x – 2) = 3(–x – 2)2 + 1 = 3(x2 + 4x + 4) + 1 = 3x2 + 12x + 12 + 1 = 3x2 + 12x + 13 Jadi, rumus fungsi (f g)(x) = 3x2 + 12x + 13. (g h)(–5) = g(h(–5)) − −

a.

⇔



=3

= ⇔ k = 2k – 2 ⇔ k=2 Jadi, nilai k = 2.

= g( − + )

8.

⇔

− −

⇔ 4–

Agar fungsi f(x) = (x – 2)2 – 6 menjadi fungsi bijektif daerah asalnya harus dibatasi yaitu {x | x ≤ –2, x ∈ R} atau {x | x ≥ –2, x ∈ R} dan daerah kawan {y | y ≥ –6, y ∈ R}. Untuk setiap daerah asal tersebut, setiap nilai x yang berbeda (x1 ≠ x2) berlaku (f(x1) ≠ f(x2). Jadi, daerah asal fungsi f(x) = (x – 2)2 – 6 menjadi {x | x ≤ –2, x ∈ R} atau {x | x ≥ –2, x ∈ R} dan daerah kawan {y | y ≥ –6, y ∈ R}.

−

(g f)(k) = 3

–6

7.

−

(g f)(x) = g(f(x)) = g( ) = 4 –

b.

g(x) = ⇔

−

y=

−

⇔ xy = 3x – 1 ⇔ xy – 3x = –1 ⇔ x(y – 3) = –1 −

⇔

x = −

⇔

g–1(x) = −

−

− + − −

(f g)–1(x) = (g–1 f–1)(x) = g–1(f–1(x))

)=

−

⇔

g( − ) =

−

⇔

g( − ) =

−

−

⇔

g(x) =

−

Jadi, rumus fungsi g(x) = . (g f)(x) = g(f(x)) = g(6 – 3x)

⇔

 − 

= g–1     =

=

− − −

−−

b. −

Jadi, (f g)–1(x) = − , x ≠ 10. (g h f)–1(x) = 5 – 5x ⇔ y = 5 – 5x ⇔ 5x = 5 – y ⇔

x=

−

⇔ ((g h f)–1)–1(x) =

−

⇔

(g h f)(x) =

−

⇔

g(h(f(x))) =

−

⇔

g(h(6 – 3x)) =

⇔

g(

− +

−



= −

10. a.

g(

)=

=

−

=

− +

Dengan pengertian fungsi invers f(x) = y ⇔ f–1(y) = x (g f)–1(n) = 2 maka (g f)(2) = n (g f)(2) = n ⇔

− +

=n

−

⇔

− +

=n

−

⇔

n=



⇔ n=0 Jadi, nilai n = 0.

Matematika Kelas XI

83

A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: e Persamaan garis yang melalui titik (0, 0) dan (2, 2) adalah y = x. Daerah penyelesaian di kiri garis y = x maka x ≤ y. Persamaan garis yang melalui titik (0, 4) dan (4, 0) adalah x + y = 4. Daerah penyelesaian di kanan garis x + y = 4 maka x + y ≥ 4. Persamaan garis yang melalui titik (0, 8) dan (4, 0) adalah 8x + 4y = 32 ⇔ 2x + y = 8. Daerah penyelesaian di kiri garis 2x + y = 8 maka 2x + y ≤ 8. Daerah penyelesaian di kanan sumbu Y maka x ≥ 0. Jadi, sistem pertidaksamaan dari daerah penyelesaian tersebut adalah x ≤ y, x + y ≥ 4, 2x + y ≤ 8, x ≥ 0. 2. Jawaban: d Garis x + 3y = 6 melalui titik (6, 0) dan (0, 2). Oleh karena x + 3y ≤ 6, berarti daerah penyelesaiannya di kiri garis x + 3y = 6. Garis 5x + y = 5 melalui titik (1, 0) dan (0, 5). Oleh karena 5x + y ≥ 5, berarti daerah penyelesaiannya di kanan garis 5x + y = 5. Garis 5x + 3y = 15 melalui titik (3, 0) dan (0, 5). Oleh karena 5x + 3y ≤ 15, berarti daerah penyelesaiannya di kiri garis 5x + 3y = 15. Oleh karena x ≥ 0, berarti daerah penyelesaiannya di kanan sumbu Y. Oleh karena y ≥ 0, berarti daerah penyelesaiannya di atas sumbu X. Irisan daerah penyelesaian dari kelima pertidaksamaan dapat digambarkan sebagai berikut. Y 5

3. Jawaban: a Daerah penyelesaian 0 ≤ x ≤ 4 di kanan sumbu Y dan di kiri garis x = 4. Garis 3x – 4y = 12 memotong sumbu X di titik (4, 0) dan memotong sumbu Y di titik (0, –3). Daerah penyelesaian 3x – 4y ≤ 12 di kiri garis 3x – 4y = 12. Garis x + 4y ≤ 16 melalui titik (0, 4) dan titik (4, 3). Daerah penyelesaian x + 4y ≤ 16 di kiri garis x + 4y = 16. Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan sebagai berikut. Y x + 4y = 16 4 3 4

0 3x – 4y = 12

–3

x=4

Daerah penyelesaian berbentuk trapesium. 4. Jawaban: d Daerah penyelesaian y ≤ 4 di bawah garis y = 4. Daerah penyelesaian x ≥ –6 di kanan garis x = –6. Garis x + 2y = –6 memotong sumbu X di titik (–6, 0) dan memotong sumbu Y di titik (0, –3). Daerah penyelesaian x + 2y ≥ –6 di kanan garis x + 2y = –6. Garis 4x + y = 4 memotong sumbu X di titik (1, 0) dan memotong sumbu Y di titik (0, 4). Daerah penyelesaian 4x + y ≤ 4 di kiri garis 4x + y ≤ 4. Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan sebagai berikut. Y 4 A

D

y=4

2 B X 0

1 5x + y = 5

3

6

x + 3y = 6

5x + 3y = 15

Jadi, daerah penyelesaiannya adalah daerah IV. 100

Ulangan Tengah Semester

X

–6 x = –6

0 1 2

X

–3 C –4 x + 2y = –6 4x + y = 4

Garis x + 2y = –6 dan garis 4x + y = 4 berpotongan di titik C(2, –4). Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 10y – 8x. Titik Pojok

f(x, y) = 10y – 8x

A(–6, 4) B(–6, 0) C(2, –4) D(0,4)

10 · 4 – 8(–6) = 88 10 · 0 – 8(–6) = 48 10(–4) – 8 · 2 = –56 10 · 4 – 8 · 0 = 40

6. Jawaban: b Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan sebagai berikut.

4

5. Jawaban: b Gambar tersebut adalah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear 2x + y ≤ 4; 3x + 4y ≤ 12; x, y ≥ 0. B adalah titik potong garis 2x + y = 4 dan garis 3x + 4y = 12. Menentukan koordinat titik B. 2x + y = 4 × 4 8x + 4y = 16 3x + 4y = 12 × 1 3x + 4y = 12 –––––––––– – 5x = 4

x=

  

2 + y = 4

y=

 

Diperoleh koordinat titik B     Akan dicari fungsi objektif yang memiliki nilai maksimum di B. Fungsi Objektif

Titik Pojok O(0, 0)

A(2, 0)

15x + 10y

0

30

–20x + 15y

0

–40

4x + 5y 6x – 4y

0 0

8 12 (maks)





B( ,

)

C(0, 3)

36 (maks)

30

20

45 (maks)

15



(maks)

–4



B

1 0 –2

y=6 D

C 2 34

6

X x+y=4

x–y=2

Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 4x – 2y. Titik Pojok A(0, B(0, C(3, D(6, E(6,

6) 4) 1) 4) 6)

f(x, y) = 4x – 2y 4 · 0 – 2 · 6 = –12 4 · 0 – 2 · 4 = –8 4 · 3 – 2 · 1 = 10 4 · 6 – 2 · 4 = 16 4 · 6 – 2 · 6 = 12

Nilai minimum f(x, y) = 4x – 2y adalah –12 dicapai di titik A(0, 6).



Substitusi x = ke 2x + y = 4 diperoleh:

⇔

E

6 A

Jadi, nilai maksimum f(x, y) = 10y – 8x adalah 88.

⇔

x=6

Y

15 –12

Jadi, fungsi objektif yang mencapai maksimum di B adalah 15x + 10y dan 4x + 5y.

7. Jawaban: d Misalkan x= banyak bolpoin merek A yang dibeli y= banyak bolpoin merek B yang dibeli Banyak bolpoin merek A yang dibeli tidak lebih dari tiga kali banyak bolpoin B sehingga diperoleh pertidaksamaan: x ≤ 3y . . . (1) Harga beli bolpoin merek A Rp1.000,00 per buah dan harga beli bolpoin merek B Rp1.500,00 per buah, sedangkan modal untuk membeli kedua merek bolpoin hanya Rp100.000,00 sehingga diperoleh pertidaksamaan: 1.000x + 1.500y ≤ 100.000 ⇔ 2x + 3y ≤ 200 . . . (2) Keuntungan penjualan bolpoin merek A Rp500,00 per buah dan keuntungan penjualan bolpoin merek B Rp600,00 per buah, sedangkan keuntungan yang diperoleh paling sedikit Rp30.000,00 sehingga diperoleh pertidaksamaan: 500x + 600y ≥ 30.000 ⇔ 5x + 6y ≥ 300 . . . (3) Banyak bolpoin merek A dan merek B yang dibeli tidak mungkin negatif sehingga diperoleh pertidaksamaan: x ≥ 0 dan y ≥ 0 . . . (4) Dari pertidaksamaan (1) sampai dengan (4) diperoleh sistem pertidaksamaan: x ≤ 3y, 2x + 3y ≤ 200, 5x + 6y ≥ 300, x ≥ 0, y ≥ 0

Matematika Kelas XI

101

8. Jawaban: b Jenis

Banyak Papan Tebal (m2) Papan Tipis (m2)

Meja Rak Buku

x y

2 1

Pembatas

1 3

160

Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 30.000x + 20.000y. Titik Pojok A(0, 180) B(0, 160) C(64, 32) D(120, 60)

180



Diperoleh sistem pertidaksamaan: 2x + y ≤ 160 x + 3y ≤ 180 x≥0 y≥0 Daerah penyelesaian adalah daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan tersebut. Daerah penyelesaian sebagai berikut. Y 160

f(x, y) = 30.000x + 20.000y 30.000 30.000 30.000 30.000

10. Jawaban: b a. Misalkan: x = banyak unsur A (ons) y = banyak unsur B (ons) Unsur

Nitrogen (bagian)

Kalium (bagian)

Harga (rupiah/ons)

A

3

2

1.500

B

2

4

2.000

7

10

X 80

180

Model matematika permasalahan tersebut adalah meminimumkan f(x, y) = 1.500x + 2.000y dengan kendala: 3x + 2y ≥ 7 2x + 4y ≥ 10 x ≥ 0, y ≥ 0

Jadi, gambar yang sesuai ada pada pilihan b.

Roti I (x)

Roti II (y)

Pembatas

A (gram) B (gram)

200 100

100 100

16.000 18.000

Harga

30.000

20.000



Model matematika permasalahan tersebut adalah memaksimumkan fungsi objektif f(x, y) = 30.000x + 20.000y dengan kendala: 200x+ 100y ≥ 16.000 ⇔ 2x + y ≥ 160 100x + 100y ≤ 18.000 ⇔ x + y ≤ 180 x ≤ 2y x≥ 0 y≥ 0 Daerah penyelesaian SPtLDV sebagai berikut. Y A 180 160 B

0

Daerah penyelesaian SPtLDV sebagai berikut. Y



3



(1 ,2)

0



2

X 2

3x + 2y = 7

5

2x + 4y = 10

Uji titik pojok ke fungsi objektif: f(x, y) = 1.500x + 2.000y

D

x = 2y

C 64 80 120 180

X x + y = 180

2x + y = 160

102

b.



f(0, 3 ) = 1.500(0) + 2.000(3 ) = 7.000

60 32



9. Jawaban: d Misalkan x= banyak roti I yang dibuat y= banyak roti II yang dibuat Bahan

0 + 20.000 · 180 = 3.600.000 0 + 20.000 · 160 = 3.200.000 64 + 20.000 · 32 = 2.560.000 120 + 20.000 · 60 = 4.800.000

Nilai maksimum f(x, y) = 30.000x + 20.000y adalah 4.800.000 dicapai di titik D(120, 60). Jadi, banyak roti I yang harus dibuat 120 dan banyak roti II yang harus dibuat 60 agar diperoleh pendapatan maksimum.

60 0

· · · ·

Ulangan Tengah Semester

f(1, 2) = 1.500(1) + 2.000(2) = 5.500 f(5, 0) = 1.500(5) + 2.000(0) = 7.500 Nilai minimum f(x, y) = 1.500x + 2.000y adalah 5.500 dicapai di titik (1, 2). Jadi, biaya pembuatan pupuk akan minimum jika 1 ons unsur A dan 2 ons unsur B dicampurkan.

11. Jawaban: d Dari kesamaan matriks diperoleh: 1) 2) 3)





y= ⇔y=4=2 2log z = 4 ⇔ z = 24 = 16 xlog y = 4log z ⇔ xlog 2 = 4log 16 ⇔ xlog 2 = 2 ⇔ 2 = x2 ⇔ x = atau x = – 4log

Oleh karena bilangan pokok harus positif maka x=

.

Jadi, nilai x =

.

12. Jawaban: d −     −     –   =  



 −      − −  −      =     − −   − Dari kesamaan matriks diperoleh: y–x–2=x–y ⇔ 2y – 2x = 2 ⇔ y–x=1 . . . (1) x–y–1=1–x ⇔ 2x – y = 2 . . . (2) Eliminasi y dari persamaan (1) dan (2). y– x=1 –y + 2x = 2 –––––––––– + x=3 Substitusikan x = 3 ke dalam y – x = 1 sehingga diperoleh: y–3=1⇔y=4 Jadi, nilai x – y = 3 – 4 = –1.

⇔

13. Jawaban: b A2 + pA – qI = qB  −   −   −    ⇔    + p  – q             = q          −    ⇔   +   –   =               − − ⇔   =  

+ −     Dari kesamaan matriks diperoleh q = 2p.

q = 2p ⇔ ⇔



3p = 3p =



⇔ p=1 p=1⇒q=2 Jadi, nilai 2p + q = 4.

14. Jawaban: e BA = C + 2AT  − −   ⇔       − −  ⇔   =  

  − −     +2   =  + 

      − −      +  

  +  

 − −   − − +  ⇔   =      + 

Dari kesamaan matriks diperoleh: 19 = n + 12 ⇔ n=7 –7 = 2m – n + 10 ⇔ –7 = 2m – 7 + 10 ⇔ 2m = –10 ⇔ m = –5 Jadi, nilai 4m + n = 4(–5) + 7 = –13. 15. Jawaban: c S = PR + 2QT

   − −   − =     + 2  −         − −   −  =   +  −       −  =  −     −  Jadi, matriks S =  −  .   16. Jawaban: b

 −   −  −  AB – A =    −  –         −   −  =   –     −  =    Determinan matriks (AB – A): | AB – A | =

− = 28 – 0 = 28

17. Jawaban: b −     A – B =  −  –  −       − −  =  − −    |A – B| = –2(4 – x) – (x – 3)(2x – 4) ⇔ –2 = –2((4 – x) + (x – 3)(x – 2)) ⇔ 1 = (4 – x) + (x – 3)(x – 2) ⇔ 1 = 4 – x + x2 – 5x + 6 ⇔ x2 – 6x + 9 = 0 ⇔ (x – 3)2 = 0 ⇔ x=3 Matematika Kelas XI

103

18. Jawaban: b det (A) = det (B)

=

⇔

⇔ 3x – 4 = 6x2 – 2 2 ⇔ 6x – 3x + 2 = 0 Oleh karena x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat maka x1 + x2 =

−

=



=



x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2



= ( )2 – 2 ·





dan x1x2 = = .



= –

21. Jawaban: d Suatu fungsi merupakan fungsi surjektif jika setiap anggota daerah kawan mempunyai kawan di daerah asal atau dapat dikatakan daerah kawan sama dengan daerah hasil. Gambar 1) menunjukkan daerah kawan sama dengan daerah hasil namun relasi tersebut bukan merupakan fungsi (ada x anggota daerah asal yang mempunyai kawan lebih dari satu). Gambar 2) dan 4) menunjukkan suatu fungsi dengan daerah kawan sama dengan daerah hasil. Gambar 3) dan 5) menunjukkan suatu fungsi tetapi daerah hasil fungsi (R+) tersebut tidak sama dengan daerah kawannya (R). Jadi, grafik 2) dan 4) menunjukkan suatu fungsi surjektif. 22. Jawaban: c f(x) = 5x – 2 ⇔



= –

f(5) = 5(5) – 2 = 25 – 2 = 23



Jadi, x12 + x22 = – . 19. Jawaban: d

 −    A – kI =  −  – k        −    =  −  –      





g(x) = ⇔ g(5) = h(x) =

− ⇔ h(5) =

− − − − = 0

⇔ (4 – k)(3 – k) – (–2)(–1) = 0 ⇔ 12 – 7k + k2 – 2 = 0 ⇔ k2 – 7k + 10 = 0 ⇔ (k – 2)(k – 5) = 0 ⇔ k = 2 atau k = 5



= 2 + 23 –

= 25 –

= 24 23. Jawaban: b f(x) =

−

  A=    

10x – 2 ≥ 0 ⇔

⇔ X =

 −   −   −   −    

    ⇔ X =  =   − −    − −

104

10x ≥ 2

⇔

x ≥

⇔

x≥





Df = {x | x ≥ , x ∈ R }

 −   −  ⇔ A–1 = −   =  −  −     AX = B ⇔ X = A–1B



− adalah

Daerah asal alami f(x) =

Jadi, k = 2 atau k = 5. 20. Jawaban: c

=2

(h + f – g)(5) = h(5) + f(5) – g(5)

 − −  =  − −    A – kI matriks singular jika |A – kI| = 0 ⇔

− =

Ulangan Tengah Semester

g(x) = +

Daerah asal alami g(x) = + adalah 2x + 5 ≠ 0 ⇔ 2x ≠ –5 ⇔



x≠ –

Dg = {x | x ≠ – , x ∈ R}

Daerah asal (f + g) = D(f + g)

⇔

x = 2( – y)

= Df ∩ D g

⇔

x = – 2y

⇔

f–1(y) = – 2y

⇔

f–1(x) = – 2x





= {x | x ≥ , x ∈ R} ∩ {x | x ≠ – , x ∈ R}

= {x | x ≥ , x ∈ R}

+

+

⇔

f–1(x) = ±

+

Jadi, f–1(x) = ±

+

, x ≥ –4.

+

f(x) = −

⇔

x= ±

⇔

f–1(x) = ±

Jadi, f–1(x) = ± bukan fungsi invers. +

Misalkan y = −

3)

+

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

y= − y(x – 3) = 2x + 1 xy – 3y = 2x + 1 xy – 2x = 3y + 1 x(y – 2) = 3y + 1

⇔

x=

⇔

Jadi, f–1(x) = – 2x merupakan fungsi invers. f(x) = x2 Misalkan y = x2

f–1(x) = ± bukan merupakan fungsi karena semua x ∈ daerah asal mempunyai lebih dari satu kawan di daerah kawan. Contoh untuk x = 4 akan diperoleh f–1(4) = ± ⇔ f–1(4) = 2 atau f–1(4) = –2.

25. Jawaban: d

⇔





2)

x=±





= x2

⇔



f–1(x) = – 2x merupakan fungsi karena untuk setiap x ∈ daerah asal mempunyai tepat satu kawan di daerah kawan.

24. Jawaban: a f(x) = 3x2 – 4 Misalkan y = 3x2 – 4 ⇔ y + 4 = 3x2 ⇔



f–1(x)

=

f(x) = x3 Misalkan y = x3 ⇔ ⇔

x= f–1(x)

+ −

Jadi, f–1(x) =

+ −

4)

− +

=

− + −

=

− − −



Misalkan y = – x ⇔

x



= –y

merupakan fungsi invers.

⇔

x= ±

⇔

f–1(x) = ±

Jadi, f–1(x) = ± bukan merupakan fungsi invers. 5)



f(x) = – x



f(x) = x4 Misalkan y = x4

26. Jawaban: c





f–1(x) = ± bukan merupakan fungsi karena semua x ∈ daerah asal yang mempunyai lebih dari satu kawan di daerah kawan.

Jadi, f–1(x – 2) = − , x ≠ 4.





f–1(x) = merupakan fungsi karena untuk setiap x ∈ daerah asal mempunyai tepat satu kawan di daerah kawan.

⇔ f–1(x – 2) = − −

1)

=



f(x) =

−

Misalkan y = − ⇔ y2 = 2 – x ⇔ x = 2 – y2 –1 ⇔ f (x) = 2 – x2

Matematika Kelas XI

105

f–1(x) = 2 – x2 merupakan fungsi karena untuk setiap x ∈ daerah asal mempunyai tepat satu kawan di daerah kawan. Jadi, f–1(x) = 2 – x2 merupakan fungsi invers. Jadi, fungsi yang mempunyai fungsi invers adalah 1), 3), dan 5).

= g(h(4x + 7))  − +   

= g 

+

= g–1(2) +

=2 Nilai (f–1 D g–1)(10a) = f–1(g–1(20))

= =

106

+ )

f–1(8)



Ulangan Tengah Semester

= g(

−

)

= 2(

−

)–1

= 4 – 4x – 1 = 3 – 4x Misalkan y = 3 – 4x ⇔ 4x = 3 – y ⇔

x=

−

Jadi, (g D h D f)–1(x) =

−

.

B. Uraian 1. Garis 3x + 7y = 21 melalui titik (7, 0) dan (0, 3). Daerah penyelesaian 3x + 7y ≥ 21 di kanan garis 3x + 7y = 21. Garis 2x + 7y = 42 melalui titik (7, 4) dan (0, 6). Daerah penyelesaian 2x + 7y ≤ 42 di kiri garis 2x + 7y = 42. Daerah penyelesaian 0 ≤ x ≤ 7 di kanan garis x = 0 dan di kiri garis x = 7. Daerah penyelesaian SPtLDV sebagai berikut.

= g–1( )

= f–1(

−

= g(h(f(x)))

a = (g–1 D f–1)(8) = g–1(f–1(8))

=

−

(g D h D f)(x) = g((h D f)(x))

29. Jawaban: b

g(x) = 3x – 4 ⇔ g–1(x) =

x=

Diperoleh h(x) =

28. Jawaban: d g(x) = x – 1 (f D g)(x) = 2x2 – 4x + 3 ⇔ f(g(x)) = 2x2 – 4x + 3 ⇔ f(x – 1) = 2x2 – 4x + 3 ⇔ f(x – 1) = 2(x2 – 2x + 1) + 1 ⇔ f(x – 1) = 2(x – 1)2 + 1 Misalkan t = x – 1. ⇔ f(t) = 2t2 + 1 ⇔ f(x) = 2x2 + 1 ⇔ f(x + 1) = 2x2 + 1 = 2(x + 1)2 + 1 = 2(x2 + 2x + 1) + 1 = 2x2 + 4x + 2 + 1 = 2x2 + 4x + 3 Jadi, f(x + 1) = 2x2 + 4x + 3.

30. Jawaban: b h–1(x) = –2x + 11 Misalkan y = –2x + 11 ⇔ 2x = 11 – y ⇔

27. Jawaban: c (f D g)(x) = f(g(x)) = f(3x + 4) = 4(3x + 4) – 1 = 12x + 15 (f D g)(p) = 51 ⇔ 12p + 15 = 51 ⇔ 12p = 36 ⇔ p=3 Jadi, nilai p = 3.

f(x) = x3 ⇔ f–1(x) =

=2 Jadi, nilai (f–1 D g–1)(10a) = 2.

Y A

6 5 4 3 2B 1 O

x=7

D 2x + 7y = 42 C X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3x + 7y = 21

Daerah penyelesaian berbentuk trapesium dengan sisi sejajar AB dan DC serta tinggi OC.

Luas ABCD =



· OC (AB + CD)

=



· 7(3 + 4)

= 24



3. a.

Misalkan: x = lama pengoperasian mesin I y = lama pengoperasian mesin II

satuan luas

Jadi, luas daerah penyelesaiannya 24



satuan

luas.

Biaya Operasi

Mesin I Mesin II

x y

10 20

40.000 50.000

Pembatas

18

220



Waktu Laba Pengolahan

Banyak Barang

Model matematika permasalahan tersebut adalah meminimumkan fungsi objektif f(x, y) = 40.000x + 50.000y dengan kendala: x + y ≤ 18 10x + 20y ≤ 220 ⇔ x + y ≤ 22 y–x≤2

2. Misalkan: x = Banyak boneka yang diproduksi y = Banyak mobil-mobilan yang diproduksi Jenis Mainan

Lama Operasi

Jenis Mesin

Pemasangan Pengepakan

Boneka (x) Mobilmobilan (y)

6

4

5

6.000

3

6

5

5.000

Persediaan waktu

54

48

50

Daerah penyelesaian SPtLDV sebagai berikut. Y

18 x + y = 18

Model matematika permasalahan tersebut adalah memaksimumkan fungsi objektif f(x, y) = 6.000x + 5.000y dengan kendala: 6x + 3y ≤ 54 ⇔ 2x + y ≤ 18 4x + 6y ≤ 48 ⇔ 2x + 3y ≤ 24 5x + 5y ≤ 50 ⇔ x + y ≤ 10 x ≥ 0, y ≥ 0

y–x=2

11 10



8 6 4

Daerah penyelesaian SPtLDV sebagai berikut.

0

A

B

2

Y

6 8 10

Titik Pojok A(6, 8) B(14, 4) C(8, 10)

10 8 A D(6, 4) O

C(8, 2) B X 9 10 12 2x + 3y = 24 2x + y = 18 x + y = 10

b.

Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 6.000x + 5.000y. Titik Pojok A(0, 8) O(0, 0) B(9, 0) C(8, 2) D(6, 4)

14

18

22

X x + 2y = 22

Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 40.000x + 50.000y.

18

0

C

f(x, y) = 6.000x + 5.000y 40.000 · 6 + 50.000 · 8 = 640.000 40.000 · 14 + 50.000 · 8 = 960.000 40.000 · 8 + 50.000 · 10 = 820.000

Nilai minimum f(x, y) = 40.000x + 50.000y adalah 640.000. Jadi, biaya minimum pengoperasian kedua mesin per hari Rp640.000,00. Jumlah barang yang diproduksi per hari adalah B(x, y) = 10x + 20y. Uji titik pojok ke B(x, y) = 10x + 20y

Fungsi Objektif f(x, y) = 6.000x + 5.000y

Titik Pojok

B(x, y) = 10x + 20y

6.000 · 0 + 5.000 · 8 = 40.000 6.000 · 0 + 5.000 · 0 = 0 6.000 · 9 + 5.000 · 0 = 54.000 6.000 · 8 + 5.000 · 2 = 58.000 (maksimum) 6.000 · 6 + 5.000 · 4 = 56.000

A(6, 8) B(14, 4) C(8, 10)

10 · 6 + 20 · 8 = 220 10 · 14 + 20 · 8 = 220 10 · 8 + 20 · 10 = 280

Dari tabel diperoleh nilai maksimum 58.000 dicapai di titik C(8, 2). Jadi, pabrik tersebut harus memproduksi 8 unit boneka dan 2 unit mobil-mobilan per minggu agar memperoleh laba maksimum.

c.

Perhatikan bahwa nilai maksimum B(x, y) = 10x + 20y adalah 280. Jadi, jumlah barang maksimum yang diproduksi pabrik per hari 280 unit. Mesin I dioperasikan selama 10 jam per hari, berarti x = 10.

Matematika Kelas XI

107

Dari daerah penyelesaian SPtLDV diperoleh untuk x = 10, nilai y1 = 6 dan y2 = 8. Jumlah minimum barang yang diproduksi = B(x, y1) = B(10, 6) = 10 · 10 + 20 · 6 = 220 Jumlah maksimum barang yang diproduksi = B(x, y2) = B(10, 8) = 10 · 10 + 20 · 8 = 260 Jadi, jumlah minimum dan maksimum barang yang diproduksi jika mesin I dioperasikan selama 10 jam berturut-turut 220 unit dan 260 unit.

⇔ ⇔

Dari kesamaan matriks diperoleh: 2x + 4y + 35 = 30 ⇔ (2x + 4y) = –5 x : y = 1 : 2 ⇔ y = 2x Substitusikan y = 2x ke 2x + 4y = –5. 2x + 4(2x) = –5 ⇔ 10x = –5

(ABC)T = CT(BTAT)

4.

⇔ ⇔ ⇔

    CT = –  −   − −    

⇔

−   CT = –  −   

⇔

 −  CT =    

A = 2BT ⇔

−  −    −  +  = 2  +     

 

= 2  −  = –1

Jadi, diperoleh x = – dan y = –1. 6. a.

S = PQ – R

      =    –               =   –   =         Invers matriks S:

b.

 −  S–1 = −    − 

b.

(

    )     = (30)     

  ⇔ ( + + + + )   = (30)  

=

Ulangan Tengah Semester

 −   −   −  =  −     

7. Misalkan: x = umur Andi sekarang y = umur Budi sekarang z = umur Tini sekarang Diperoleh SPL: x+y=7+z⇔x+y–z=7 (x – 2) + (z – 2) = 24 ⇔ x + z = 28 (y + 3) + (z + 3) = 3(x + 3) ⇔ –3x + y + z = 3

D = –

−

− –

–



− +

+

+

= 1 · 0 · 1 + 1 · 1 · (–3) + (–1) · 1 · 1 – (–3) · 0 · (–1) – 1 · 1 · 1 – 1 · 1 · 1 =0–3–1–0–1–1 = –6

−

Dx = –

108

−



−  −    −  +  =  +      Dari persamaan matriks diperoleh: x = –2y 6 = 4x + 2y ⇔ 3 = 2x + y ⇔ 3 = 2(–2y) + y ⇔ 3 = –3y ⇔ y = –1 x = –2y = –2(–1) = 2 Jadi, nilai x = 2 dan y = –1. ⇔

x =–

y = 2x

|C| = |CT| = –2 · 0 – 1 · 3 = –3 Jadi, determinan C adalah –3. 5. a.



⇔

   −  ⇔  −  = CT       −    −  CT =  −            CT =  −  · –  − −     

  + )   = (30)  (2x + 13 + 4y + 22) = (30) (2x + 4y + 35) = (30)

( +

⇔









–

–

+

+

+

= 7 · 0 · 1 + 1 · 1 · 3 + (–1) · 28 · 1 – 3 · 0 · (–1) – 1 · 1 · 7 – 1 · 28 · 1 = 0 + 3 – 28 + 0 – 7 – 28 = –60



− +

−

− +

+ =

−

⇔

+ =

⇔

+ =



⇔

+ =

− −

⇔

(g(x))2 + 1 =

− +

⇔

(g(x))2 =

− +

−

−

–

–

–

+

+



–



–

–



+

+

− + − +

+

= 1 · 28 · 1 + 7 · 1 · (–3) + (–1) · 1 · 3 – (–3) · 28 · (–1) – 3 · 1 · 1 – 1 · 1 · 7 = 28 – 21 – 3 – 84 – 3 – 7 = –90

Dz =

f(g(x)) = −

⇔

Dy =

⇔

+

= 1 · 0 · 3 + 1 · 28 · (–3) + 7 · 1 · 1 – (–3) · 0 · 7 – 1 · 28 · 1 – 3 · 1 · 1 = 0 – 84 + 7 + 0 – 28 – 3 = –108



− + +

− +

+

− +

+1

⇔

g(x) = ±

− +

⇔

g(x) = ±

−

⇔

g(x) = ±

z = = − = 18

⇔

g(x) =

Jadi, umur Andi, Budi, dan Tini sekarang berturutturut 10 tahun, 15 tahun, dan 18 tahun.

Jadi, g(x) =



−

x = = − = 10 y =





−

= − = 15 −

8. f(x) = 2x – 3 g(x) = x2 – 4 a.

b.

c.

d.

10. a.

(f D g)(x) = f(g(x)) = f(x2 – 4) = 2(x2 – 4) – 3 = 2x2 – 8 – 3 = 2x2 – 11

atau g(x) = –

atau g(x) = –

+ + ⇔ (g D f)–1(x) = + Jadi, (g D f)–1(x) =

b.

−

−

x=

.

+ − =

f(x) = 2x – 7 ⇒ f–1(x) = g(x) = 3x + 2 ⇒ g–1(x)

(g–1 D f –1)(x) = g–1(f –1(x))

(g D f)(x) = 12x + 5 (g D f)(4) = 4(4)2 – 12(4) + 5 = 4(16) – 48 + 5 = 64 – 48 + 5 = 21

9. f(x) =

−

(g D f)(x) = g(f(x)) = g(2x – 7) = 3(2x – 7) + 2 = 6x – 21 + 2 = 6x – 19 Misalkan y = 6x – 19 ⇔ 6x = y + 19 ⇔

(g D f)(x) = g(f(x)) = g(2x – 3) = (2x – 3)2 – 4 = 4x2 – 12x + 9 – 4 = 4x2 – 12x + 5 (f D g)(x) = 2x2 – 11 (f D g)(3) = 2(32) – 11 = 2(9) – 11 = 18 – 11 = 7

−

−

−

4x2 –

= g–1( ) =

+

+

−



+ − + = + f –1)(x) = .

=



(f D g)(x) = −

− +

Jadi, (g–1 D

Matematika Kelas XI

109

Setelah mempelajari bab ini siswa: 1. mampu menentukan persamaan garis dan menggambar grafiknya; 2. mampu menggunakan sifat garis sejajar dan sifat garis tegak lurus dalam menyelesaikan permasalahan garis. Berdasarkan pengetahuan dan keterampilan yang dikuasai, siswa jeli dan kreatif dalam mencari solusi suatu permasalahan.

Materi • •

Garis dan Gradien Hubungan Antargaris

Pembelajaran Kognitif • • • •

Persamaan garis. Gradien garis. Dua garis saling sejajar. Dua garis saling tegak lurus.

Menggambar grafik dari persamaan garis.

Pengetahuan yang Dikuasai • • • • •

Kegiatan Psikomotorik

Menentukan penyelesaian persamaan garis. Menentukan gradien garis. Menentukan persamaan garis. Menyelesaikan masalah yang berhubungan dengan garis sejajar. Menyelesaikan masalah yang berhubungan dengan garis tegak lurus.

Keterampilan yang Dikuasai Terampil dalam menggambar grafik garis.

Mampu menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan persamaan garis secara jeli dan kreatif.

84

Persamaan Garis Lurus

A. Pilihan Ganda 1. Diketahui koordinat titik-titik P(6, 2), Q(2, 1), dan Jawaban: a Persamaan garis: 2x + 4y – 6 = 0 Koordinat titik P(6, –2). Substitusi x = 6 dan y = –2 ke persamaan garis diperoleh pernyataan 2(6) + 4(–2) – 6 = 0 yang bernilai salah. Artinya, (6, –2) bukan penyelesaian persamaan garis dan titik P tidak dilalui garis 2x + 4y – 6 = 0. Koordinat titik Q(2, 1). Substitusi x = 2 dan y = 1 ke persamaan garis diperoleh pernyataan 2(2) + 4(1) – 6 = 0 yang bernilai salah. Artinya, (2, 1) bukan penyelesaian persamaan garis dan titik Q tidak dilalui garis 2x + 4y – 6 = 0. Koordinat titik R(–3, 3). Substitusi x = –3 dan y = 3 ke persamaan garis diperoleh pernyataan 2(–3) + 4(3) – 6 = 0 yang bernilai benar. Artinya, (–3, 3) penyelesaian persamaan garis dan titik R dilalui garis 2x + 4y – 6 = 0. Jadi, titik P dan Q tidak dilalui garis 2x + 4y – 6 = 0, sedangkan titik R dilaui garis tersebut. 2. Jawaban: a

+2=0+2=2

y=0 ⇒

⇔

mg =

− −

−

= − −



= − = –

5. Jawaban: e Garis dengan persamaan y = mx + n bergradien m. Persamaan garis h: 2x + 3y – 2 = 0 ⇔ 3y = –2x + 2

⇔



y = –x +



Diperoleh gradien garis h adalah mh = – .

– (0)

Diperoleh koordinat titik potong dengan sumbu Y(0, 2).

⇔

4. Jawaban: d Garis g melalui titik (2, 0) dan (–2, 1), maka gradien garis g:

Jika besar sudut kemiringan garis h adalah α, nilai



y = –x + 2 x=0⇒y=

⇔ q – 28 = 0 ⇔ q = 28 Jadi, nilai q = 28.

0= –x + 2

tan α = mh = – .

Nilai tan α = – < 0 berarti nilai α di kuadran dua yaitu 90° < α < 180°.

r =

x=2

x=2×

r





Gambar yang sesuai ada pada pilihan a. 3. Jawaban: b Persamaan garis: x + py – 15 = 0 Garis tersebut melalui titik M(2, –1), maka: x + py – 15 = 0 ⇔ (2) + p(–1) – 15 = 0 ⇔ 2 – p – 15 = 0 ⇔ –p – 13 = 0 ⇔ p = –13 Diperoleh persamaan garis x – 13y – 15 = 0. Garis tersebut melalui titik N(q, 1), maka: x – 13y – 15 = 0 ⇔ (q) – 13(1) – 15 = 0 ⇔ q – 13 – 15 = 0

+

=



α

Diperoleh koordinat titik potong dengan sumbu X (1 , 0).

=

2

=1

+

3

Nilai cos α = –



=–





= – .

6. Jawaban: c Gradien garis g:

mg = –2 ⇔ ⇔

− −−

− −



–

=– =

⇔ 2(5 – a) = (–3)(–5) ⇔ 10 – 2a = 15 ⇔ –2a = 5 ⇔



– .

a=–

Jadi, nilai a =

Matematika Kelas XI

85

7. Jawaban: c Sudut kemiringan garis 30° , maka gradien garis:

sumbu X adalah y = 3. Perhatikan gambarnya berikut ini.

m = tan α = tan 30° =

Y

Persamaan garis yang melalui titik (2, 0) dan ber-

5

gradien m = yaitu:

4

y – y1 = m (x – x1)

2





y – 0 = (x – 2)

⇔

1



⇔ ⇔

–3 –2 –1 0 –1

y = x – 2

x–

Persamaan garis yang bergradien m =

–

dan

melalui titik (–2, 4): y – y1 = m (x – x1)

⇔

y – 4 = – (x + 2)

⇔ 2(y – 4) = –1(x + 2) ⇔ 2y – 8 = –x – 2 ⇔ x + 2y – 6 = 0 Garis memotong sumbu X, berarti y = 0. x + 2y – 6 = 0 ⇔ x + 2(0) – 6 = 0 ⇔ x+0–6=0 ⇔ x=6 Diperoleh koordinat titik potong garis dengan sumbu X adalah (6, 0).

− −

3

4

X

10. Jawaban: a Garis g: x + 2y – 5 = 0 Garis g melalui titik A(–1, q), maka: x + 2y – 5 = 0 ⇔ –1 + 2q – 5 = 0 ⇔ 2q – 6 = 0 ⇔ 2q = 6 ⇔ q=3 Diperoleh koordinat titik A(–1, 3), sehingga persamaan garis h yang melalui titik A dan sejajar

Persamaan Garis Lurus



⇔

y = x + 3



a.

Gradien garis y = x + 3 adalah m = .

b.

y = x + 3 Untuk x = 0 diperoleh:





y = (0) + 3 = 0 + 3 = 3 Garis g melalui titik (0, 3). Untuk x = 4 diperoleh:

y = (4) + 3 = 5 + 3 = 8 Garis g melalui titik (4, 8). Untuk x = 8 diperoleh:

−

= − − = = –2 Persamaan garis melalui titik (–2, 2) dan bergradien m = –2: y – y1 = m(x – x1) ⇔ y – 2 = –2(x + 2) ⇔ y – 2 = –2x – 4 ⇔ 2x + y + 2 = 0 Jadi, persamaan garisnya 2x + y + 2 = 0.

86

2

B. Uraian 1. Persamaan garis g: 5x – 4y + 12 = 0 ⇔ 4y = 5x + 12

9. Jawaban: a Gradien garis yang melalui titik (–2, 2) dan (1, –4) adalah: − −

1

y – 2 = 0

8. Jawaban: a

m=

y=3

3



c.

y = (8) + 3 = 10 + 3 = 13 Garis g melalui titik (8, 13). Tiga titik yang dilalui garis g diantaranya (0, 3), (4, 8), dan (8, 13). Grafik garis g: Y 14 12 10 8 6 4 2 –4 –2 0

2

4

5

8 10

X

2. Persamaan garis: 8x + 5y + p = 0 Garis tersebut melalui titik B(–5, 3), maka: 8x + 5y + p = 0 ⇔ 8(–5) + 5(3) + p = 0 ⇔ –40 + 15 + p = 0 ⇔ p – 25 = 0 ⇔ p = 25 Diperoleh persamaan garis 8x + 5y + 25 = 0. Garis tersebut melalui titik A(0, q), maka: 8x + 5y + 25 = 0 ⇔ 8(0) + 5(q) + 25 = 0 ⇔ 0 + 5q + 25 = 0 ⇔ 5q = –25 ⇔ q = –5 Garis tersebut melalui titik C(r, –13), maka: 8x + 5y + 25 = 0 ⇔ 8(r) + 5(–13) + 25 = 0 ⇔ 8r – 65 + 25 = 0 ⇔ 8r – 40 = 0 ⇔ 8r = 40 ⇔ r=5 Diperoleh nilai p = 25, q = –5, dan r = 5 sehingga: p + 2q + r = 25 + 2(–5) + 5 = 20 Jadi, nilai p + 2q + r = 20. 3. a.

Garis h melalui titik A(–6, 4) dan B(5, –1), maka gradien garis h: mh =

b

− −

− −

−



= − − = = – Garis h melalui titik A(–6, 4) dan bergradien

mh = – , maka persamaan garis h: y – y1 = mh (x – x1)

⇔

y – 4 = – (x + 6)

⇔ 11(y – 4) = –5(x + 6) ⇔ 11y – 44 = –5x – 30 ⇔ 5x + 11y – 14 = 0 Jadi, persamaan garis h adalah 5x + 11y – 14 = 0. 4. a.





sin α = 0,6 = =

−

x = =

−

=

= 4

m = tan α =

b.

Jadi, gradien garis tersebut m = . Garis melalui titik O(0, 0) dan bergradien

m = , persamaannya: y – y1 = m(x – x1)

⇔

y – 0 = (x – 0)

⇔

y = x ⇔ 4y = 3x ⇔ 3x – 4y = 0 Jadi, persamaan garis tersebut 3x – 4y = 0. 5. Gradien garis g yang melalui titik A(2, –4) dan B(–1, 8) adalah: m=

− −

=

− − − −



= − = –4 Persamaan garis g yang melalui titik A(2, –4) dan bergradien m = –4: y – y1 = m(x – x1) ⇔ y + 4 = –4(x – 2) ⇔ y + 4 = –4x + 8 ⇔ 4x + y – 4 = 0 Garis g memotong sumbu Y, berarti x = 0. 4x + y – 4 = 0 ⇔ 4(0) + y – 4 = 0 ⇔ 0+y–4=0 ⇔ y=4 Diperoleh koordinat titik potong garis g dengan sumbu Y adalah (0, 4). Garis g dan garis h berpotongan pada sumbu Y yaitu pada koordinat (0, 4), berarti garis h juga melalui titik (0, 4).

Garis h melalui titik (0, 4) dan bergradien m = , maka persamaannya: y – y1 = m(x – x1)

5 3

⇔ ⇔

α x



y – 4 = (x – 0)

y – 4 = x ⇔ 2y – 8 = x ⇔ x – 2y + 8 = 0 Jadi, persamaan garis h adalah x – 2y + 8 = 0.

Matematika Kelas XI

87

A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: e

Gradien garis ax + by + c = 0 adalah m = – . (i)





→ mi = – − =

2x – 5y + 8 = 0









(ii) 5x – 2y + 5 = 0

→ mii = – − =

(iii) 4x – 10y – 5 = 0

→ miii = – =





(iv) 4x + 10y – 15 = 0 → miv = – = –

 





mii × miv =   ×  −  = –1     Oleh karena mii × miv = –1 maka garis (ii) dan (iv) saling tegak lurus. 2. Jawaban: b Garis g: 4x + 2y – 9 = 0 ⇔ 2y = –4x + 9



y = –2x + Diperoleh gradien garis a = ma = –2. Garis b: 3x – y = 8 – 7y ⇔ 6y = –3x + 8 ⇔







Diperoleh gradien garis g = mg = . Garis h tegak lurus garis g berarti:

⇔ mh = –5 Jadi, gradien garis h adalah –5. 4. Jawaban: a Garis: 3x – 6y + 5 = 0 ⇔ –6y = –3x – 5

⇔



y = x +



Diperoleh gradien garis = m = . Garis AB sejajar garis 3x – 6y + 5 = 0 maka gradiennya sama, yaitu:



⇔

Garis c: 2x + 5y= 15 – 8x ⇔ 5y = –10x + 15 ⇔ y = –2x + 3 Diperoleh gradien garis c = mc = –2. Garis d: 8x + 3y = 2x – 6 ⇔ 3y = –6x – 6 ⇔ y = –2x – 2 Diperoleh gradien garis d = md = –2. Garis e: 2(4x – 5) = 4(3 – y) ⇔ 8x – 10 = 12 – 4y ⇔ 4y = –8x + 22

⇔

88



y = x +

mAB =

y = –x +

Diperoleh gradien garis b = mb = – .

⇔



⇔



y = –2x + Diperoleh gradien garis g = mg = –2. Garis a: 9y = 4 – 18x ⇔ 9y = –18x + 4 ⇔

3. Jawaban: d Garis g: 3(x + 2y) + 4(y – 2) = 5x – 3 ⇔ 3x + 6y + 4y – 8 = 5x – 3 ⇔ 3x + 10y – 8 = 5x – 3 ⇔ 10y = 2x + 5

mh × mg = –1 ⇔ mh × ( ) = –1



⇔

Diperoleh gradien garis e = me = –2. Gradien garis a, c, d, dan e sama dengan gradien garis g, berarti garis-garis tersebut sejajar garis g. Gradien garis b tidak sama dengan gradien garis g, berarti garis b tidak sejajar garis g.



y = –2x +

Persamaan Garis Lurus

⇔

− −

− + − − −



=



=



= ⇔ 2 – 2p = p – 7 ⇔ –3p = –9 ⇔ p=3 Jadi, koordinat titik A(7, p + 2) = A(7, 5). 5. Jawaban: d Garis g: 6x + (5 – 2a)y – 8 = 0 ⇔ (5 – 2a)y = –6x + 8 ⇔

−



y = − x + − −

Diperoleh gradien garis g = mg = − .

7. Jawaban: a Garis: 2x – 4y – 6 = 0 ⇔ 4y = 2x – 6

Garis h: (a + 1)x – 2y + 15 = 0 ⇔ 2y = (a + 1)x + 15 ⇔

+ x

y=



+

Diperoleh gradien garis h = mh =

⇔ ⇔

×

 +   =  

− +

−





garis tersebut bergradien m = . Persamaan garis

–1



melalui titik (3, 2) dan bergradien m = : y – y1 = m(x – x1)

= –1

⇔ ⇔ ⇔

–3(a + 1) = –1(5 – 2a) –3a – 3 = –5 + 2a –5a = –2

⇔

a=

y – 2 = (x – 3) ⇔ 2y – 4 = x – 3 ⇔ x – 2y + 1 = 0 Jadi, persamaan garisnya x – 2y + 1 = 0.

Jadi, garis g tegak lurus garis h jika nilai a = . 6. Jawaban: c Garis g: 2(x – 3y) + n(3x – 2y) – 8 = 0 ⇔ 2x – 6y + 3nx – 2ny – 8 = 0 ⇔ (2 + 3n)x – (6 + 2n)y – 8 = 0 ⇔ –(6 + 2n)y = –(2 + 3n)x + 8 y=

+ +

x–

+

+

Diperoleh gradien garis g yaitu mg = + . Garis h: 2n(x – y + 1) – (y – 1) = 0 ⇔ 2nx – 2ny + 2n – y + 1 = 0 ⇔ 2nx – (2n + 1)y + (2n + 1) = 0 ⇔ –(2n + 1)y = –2nx – (2n + 1) ⇔

y=

x +

+1



Diperoleh gradien garis h yaitu mh = + . Garis g sejajar garis h, maka: mg = mh ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

+ +



= + (2 + 3n)(2n + 1) = (6 + 2n)(2n) 4n + 2 + 6n2 + 3n = 12n + 4n2 6n2 + 7n + 2 = 4n2 + 12n 2n2 – 5n + 2 = 0 (2n – 1)(n – 2) = 0 2n – 1 = 0 atau n – 2 = 0

n = atau



⇔



⇔



y = x –

Diperoleh gradien garis m1 = . Garis yang sejajar

Garis g tegak lurus garis h, maka: mg × mh = –1  −     − 



⇔

+ .

8. Jawaban: d Garis: 6x – 4y + 11 = 0 ⇔ 4y = 6x + 11

⇔



y = x + Diperoleh gradien garis 6x – 4y + 11 = 0 adalah

m = . Garis h tegak lurus garis 6x – 4y + 5 = 0 maka: mh × m = –1

⇔ mh × = –1

⇔

mh = –

Persamaan garis h melalui titik (5, –1) dan bergradien

m = –: y – y1 = m(x – x1) ⇔



y + 1 = – (x – 5)

⇔ 3(y + 1) = –2(x – 5) ⇔ 3y + 3 = –2x + 10 ⇔ 2x + 3y – 7 = 0 Jadi, persamaan garis h: 2x + 3y – 7 = 0. 9. Jawaban: b Garis g melalui titik (–6, 0) dan (0, 2). Gradien garis g: mg =

− −

−





= + = =



Garis h sejajar garis g, maka mh = . Garis h

n=2

Jadi, garis g sejajar garis h jika nilai n = atau n = 2.



melalui O(0, 0) dan mh = , persamaan garis h:

Matematika Kelas XI

89

y – y1 = m(x – x1) ⇔

⇔



⇔ a=6 Jadi, kedua garis saling tegak lurus jika a = 6.

y – 0 = (x – 0)

⇔

y = x ⇔ 3y = x ⇔ x – 3y = 0 Jadi, persamaan garis h: x – 3y = 0.

2. Garis g: 2n(3y – x) + 6x – 5n = 0 ⇔ 6ny – 2nx + 6x – 5n = 0 ⇔ (6 – 2n)x + 6ny – 5n = 0 ⇔ 6ny = –(6 – 2n)x + 5n

10. Jawaban: b Garis h melalui titik (–4, 0) dan (0, 2). −

− −







− Diperoleh gradien garis h = mh = – − .

a.

b.



y = –x + 5

Diperoleh gradien garis kedua = m2 = . a. Kedua garis saling sejajar jika: m1 = m2 ⇔





⇔

2 = –3a

⇔

a=–

=–

Jadi, kedua garis saling sejajar jika a = – . b.

Kedua garis saling tegak lurus jika: m1 × m2 = –1 ⇔

90





× (– ) = –1

Persamaan Garis Lurus

y = – −x –

Garis g sejajar garis h, maka: mg = mh ⇔



⇔

.



⇔

y = x + 2

−

Garis h: 2(2x – y) + ny + 9 = 0 ⇔ 4x – 2y + ny + 9 = 0 ⇔ 4x + (n – 2)y + 9 = 0 ⇔ (n – 2)y = –4x – 9

B. Uraian 1. Garis pertama: x – 3y + 6 = 0 ⇔ –3y = –x – 6

Diperoleh gradien garis pertama = m1 = . Garis kedua: ax + 2y – 10 = 0 ⇔ 2y = –ax + 10



y = – x +

Diperoleh gradien garis g = mg = –

⇔ mg × = –1 ⇔ mg = –2 Garis g melalui titik (0, 2) dan bergradien mg = –2. Persamaan garis g: y – y1 = mg(x – x1) ⇔ y – 2 = –2(x – 0) ⇔ y – 2 = –2x ⇔ 2x + y – 2 = 0 Jadi, persamaan garis g: 2x + y – 2 = 0.

⇔

−

⇔

= + = = Garis g tegak lurus garis h, maka: mg × mh = –1 Gradie



– = –1

–

−



= –−

⇔ –(6 – 2n)(n – 2) = –(6n)(4) ⇔ –(6n – 12 – 2n2 + 4n) = –24n ⇔ 2n2 – 10n + 12 = –24n ⇔ 2n2 + 14n + 12 = 0 ⇔ n2 + 7n + 6 = 0 ⇔ (n + 1)(n + 6) = 0 ⇔ n = –1 atau n = –6 Jadi, nilai n = –1 atau n = –6. Untuk n = –1 diperoleh: Garis g: 2n(3y – x) + 6x – 5n = 0 ⇔ 2(–1)(3y – x) + 6x – 5(–1) = 0 ⇔ –6y + 2x + 6x + 5 = 0 ⇔ 8x – 6y + 5 = 0 Garis h: 2(2x – y) + ny + 9 = 0 ⇔ 2(2x – y) + (–1)y + 9 = 0 ⇔ 4x – 2y – y + 9 = 0 ⇔ 4x – 3y + 9 = 0 Untuk n = –6 diperoleh: Garis g: 2n(3y – x) + 6x – 5n = 0 ⇔ 2(–6)(3y – x) + 6x – 5(–6) = 0 ⇔ –36y + 12x + 6x + 30 = 0 ⇔ 18x – 36y + 30 = 0 ⇔ 3x – 6y + 5 = 0

Garis h: 2(2x – y) + ny + 9 = 0 ⇔ 2(2x – y) + (–6)y + 9 = 0 ⇔ 4x – 2y – 6y + 9 = 0 ⇔ 4x – 8y + 9 = 0 Jadi, pasangan garis g dan h berturut-turut 8x – 6y + 5 = 0 dan 4x – 3y + 9 = 0 atau 3x – 6y + 5 = 0 dan 4x – 8y + 9 = 0.

b.

Grafik garis g dan garis h:

⇔

y=

+

h

8 7 6 5 4 3

3. garis h: 6x + 4y – 15 = 0 ⇔ 4y = –6x + 15 –x

g

Y

2 1 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1





1

2

3

X



Diperoleh gradien garis h = mh = – . Garis g melalui titik P(–5a, 2) dan Q(3, 2a), maka: mg = a.

− −

⇔ ⇔

b.

−

−

= − − = + Garis g tegak lurus dengan garis h, maka: mg × mh = –1  −     + 

×

–

  −  =  

− +

–1



y – 2 = (x – 15) ⇔ 3(y – 2) = 2(x – 15) ⇔ 3y – 6 = 2x – 30 ⇔ 2x – 3y – 24 = 0 Jadi, persamaan garis g: 2x – 3y – 24 = 0. Garis g: 3x – y + 6 = 0 ⇔ –y = –3x – 6 ⇔ y = 3x + 6 Diperoleh gradien garis g = mg = 3. Garis h sejajar garis g, maka mh = mg = 3. Persamaan garis h melalui titik (3, 8) dan bergradien mh = 3: y – y1 = m(x – x1) ⇔ y – 8 = 3(x – 3) ⇔ y – 8 = 3x – 9 ⇔ 3x – y – 1 = 0 Jadi, persamaan garis h: 3x – y – 1 = 0.

y = – x – 2

Diperoleh gradien garis g = mg = – . a.



Garis h sejajar garis g, maka mh = mg = – . Persamaan garis h yang melalui titik (2, 3)

⇔ 6a – 6 = 6 + 10a ⇔ –4a = 12 ⇔ a = –3 Jadi, nilai a = –3. Koordinat titik P(–5a, 2) = P(15, 2).

⇔



⇔

= –1

− − − mg = − = − = − = + Persamaan garis g: y – y1 = m(x – x1)

4. a.

5. Garis g: 2x + 5y + 10 = 0 ⇔ 5y = –2x – 10

dan bergradien m = – : y – y1 = m(x – x1)

⇔

b.

y – 3 = – (x – 2) ⇔ 5(y – 3) = –2(x – 2) ⇔ 5y – 15 = –2x + 4 ⇔ 2x + 5y – 19 = 0 Jadi, persamaan garis h: 2x + 5y – 19 = 0. Garis g memotong sumbu Y jika x = 0, yaitu: 2x + 5y + 10 = 0 ⇔ 2(0) + 5y + 10 = 0 ⇔ 0 + 5y + 10 = 0 ⇔ 5y = –10 ⇔ y = –2 Diperoleh koordinat titik potong garis g dengan sumbu Y yaitu (0, –2). Garis yang tegak lurus dengan garis g bergradien m dengan syarat: m × mg = –1

⇔ m × (– ) = –1 ⇔



m= Persamaan garis yang melalui titik (0, –2) dan

bergradien m = : y – y1 = m(x – x1) ⇔ ⇔



y – (–2) = (x – 0)

y + 2 = x ⇔ 2y + 4 = 5x ⇔ 5x – 2y – 4 = 0 Jadi, persamaan garis l: 5x – 2y – 4 = 0. Matematika Kelas XI

91

A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: c Garis x + ay – 3 = 0 melalui titik (2, –1), berarti: (2) + a(–1) – 3 = 0 ⇔ 2–a–3=0 ⇔ –a – 1 = 0 ⇔ a = –1 Diperoleh persamaan garis x – y – 3 = 0. Garis tersebut melalui titik (4, b), berarti: (4) – (b) – 3 = 0 ⇔ 4–b–3=0 ⇔ –b + 1 = 0 ⇔ b=1 Nilai a + b = –1 + 1 = 0. 2. Jawaban: d Persamaan garis g: 5x – 2y – 20 = 0 x = 0 ⇔ 5(0) – 2y – 20 = 0 ⇔ –2y = 20 ⇔ y = –10 Diperoleh titik potong dengan sumbu Y (0, –10). y = 0 ⇔ 5x – 2(0) – 20 = 0 ⇔ 5x = 20 ⇔ x=4 Diperoleh titik potong dengan sumbu X (4, 0). Gambar yang sesuai ada pada pilihan d. 3. Jawaban: a Persamaan garis: 2mx + 3y – m + 3 = 0 Agar supaya garis tersebut melalui titik P(–1, 2), maka: 2mx + 3y – m + 3 = 0 ⇔ 2m(–1) + 3(2) – m + 3 = 0 ⇔ –2m + 6 – m + 3 = 0 ⇔ –3m + 9 = 0 ⇔ –3m = –9 ⇔ m=3 Jadi, nilai m = 3. 4. Jawaban: b Persamaan garis: 2(4y + 3) – 3(2x – y) + 2x + 9 = 0 ⇔ 8y + 6 – 6x + 3y + 2x + 9 = 0 ⇔ –4x + 11y + 15 = 0 ⇔ 11y = 4x – 15

⇔



y = x – Dari persamaan tersebut diperoleh gradien garis

adalah . 5. Jawaban: e Gradien garis g yang melalui titik (–3, 4) dan (2, –1) adalah:

92

Persamaan Garis Lurus

m=

− −

− −

−

= − − = = –1 Misalkan α menyatakan besar sudut antara garis g terhadap sumbu X positif, maka: tan α = m = –1 ⇔ α = 135° Jadi, besar sudut antara garis g terhadap sumbu X positif adalah 135°.

6. Jawaban: a Garis dengan persamaan y = mx + n bergradien m. Persamaan garis: x – 2y – 4 = 0 ⇔ –2y = –x + 4

⇔

y = x – 2

Diperoleh gradien garis adalah m = . Jika besar sudut kemiringan garis h adalah α, nilai

tan α = m = .

Nilai tan α = > 0 berarti nilai α di kuadran satu yaitu 0° < α < 90°. r =

+

=

+

=



1



Nilai sin α = =



r

α



2

= .

7. Jawaban: d Persamaan garis: p(x – 3y) – (p + 12)y – 8 + 3p = 0 ⇔ px – 3py – py – 12y – 8 + 3p = 0 ⇔ px – 4py – 12y – 8 + 3p = 0 ⇔ px – (4p + 12)y – 8 + 3p = 0 ⇔ –(4p + 12)y = –px + 8 – 3p −

−

⇔ y = − + x + − +

−

⇔ y = + x – +

Diketahui gradien garis adalah – , maka: +

⇔



=–

p = – (4p + 12)

⇔ p = –2p – 6 ⇔ 3p = –6 ⇔ p = –2 Jadi, nilai p = –2.

8. Jawaban: e Sudut kemiringan garis 60°, maka gradien garis: m = tan α = tan 60°= Misalkan garis tersebut memotong sumbu Y di titik (0, a). Oleh karena garis tersebut melalui titik ( , –1), maka: m= ⇔

− −

=

⇔

− − − − −

= ⇔ 3 = –1 – a ⇔ a = –4 Jadi, garis tersebut memotong sumbu Y di titik (0, –4). 9. Jawaban: a Garis g membentuk sudut α terhadap sumbu X

positif, maka mg = tan α =

–.

Persamaan garis g melalui titik (2, –1) dan ber

gradien mg = – adalah: y – y1 = mg(x – x1) y + 1 = – (x – 2)

⇔ 3(y + 1) = –4(x – 2) ⇔ 3y + 3 = –4x + 8 ⇔ 4x + 3y – 5 = 0 Jadi, persamaan garis g: 4x + 3y – 5 = 0. 10. Jawaban: a Gradien garis yang melalui titik (–4, 2) dan (5, –1) adalah: m=

− −

− −

−



= − − = = – Persamaan garis melalui titik (–4, 2) dan bergradien m=

–:

y – 2 = – (x + 4)

− −

−

− −

−



= − = – Persamaan garis melalui titik (4, 0) dan bergradien

m = – adalah: y – y1 = m(x – x1)

⇔

y – 0 = – (x – 4)

13. Jawaban: d Dua garis sejajar mempunyai gradien yang sama. Gradien garis ax + by + c = 0 dan garis ax + by = c

adalah m = – , sehingga: (i)

4x – 3y – 4 = 0





→ mi = – − =







(ii) 12x + 9y + 5 = 0 → mii = – = – (iii) 8x + 6y = 7

→ miii = – = –

(iv) 3x + 4y = 8

→ miv = –



⇔ 3y – 6 = –x – 4 ⇔ x + 3y – 2 = 0 Garis memotong sumbu X jika y = 0, sehingga diperoleh: x + 3(0) – 2 = 0 ⇔ x+0–2=0 ⇔ x–2=0 ⇔ x=2 Jadi, garis memotong sumbu X di titik (2, 0). 11. Jawaban: e Gradien garis yang melalui titik (2, 4) dan (1, 2) adalah: m=

m=

Garis (ii) dan garis (iii) bergradien sama yaitu – .

y – y1 = m(x – x1) ⇔

12. Jawaban: b Garis melalui titik (4, 0) dan (1, 2), maka gradien garis:

⇔ 3y = –2x + 8 ⇔ 2x + 3y – 8 = 0



⇔

Persamaan garis melalui titik (1, 2) dan bergradien m = 2: y – y1 = m(x – x1) ⇔ y – 2 = 2(x – 1) ⇔ y – 2 = 2x – 2 ⇔ y = 2x Garis melalui titik (–3, a), maka: y = 2x ⇔ a = 2(–3) ⇔ a = –6 Jadi, nilai a = –6.

−

= − = − = 2

Jadi, pasangan garis yang saling sejajar adalah (ii) dan (iii). 14. Jawaban: e Dua garis saling tegak lurus jika hasil kali gradiennya sama dengan –1. Perhatikan pasangan garis 3x + 4y = 9 dan 4x – 3y = 2 pada pilihan e. 3x + 4y = 9 4x – 3y = 2 ⇔





y = –x +

m1 = –



⇔



y = x –

m2 =



Oleh karena m1 × m2 = – × = –1 maka kedua garis saling tegak lurus. Jadi, pasangan garis yang saling tegak lurus 3x + 4y = 9 dengan 4x – 3y = 2.

Matematika Kelas XI

93

15. Jawaban: b Dua garis yang memiliki gradien m1 dan m2 saling tegak lurus jika m1 × m2 = –1. Gradien garis yang menghubungkan titik (5, 3) dan (–1, 0): m=

− −

=

− − −

−

(–5, –3) dan (–3, –4) → m =

− − − − − −

=

–

− − −

−

(–5, –3) dan (–1, –11) → m = − − −

= = –2 − −



− − − −



=1

=





(–5, –3) dan (3, 1) → m = − −

= =

(–5, –3) dan (3, 13) → m =

=

− − − −

=2

Jadi, garis yang tegak lurus dengan garis yang menghubungkan titik (5, 3) dan (–1, 0) adalah garis yang menghubungkan titik (–5, –3) dan (–1, –11). 16. Jawaban: e Garis g: 2(x + 5y) – 3 = 3(3y – x + 1) + 2x ⇔ 2x + 10y – 3 = 9y – 3x + 3 + 2x ⇔ 2x + 10y – 3 = –x + 9y + 3 ⇔ 10y – 9y = –x – 2x + 3 ⇔ y = –3x + 3 Diperoleh gradien garis g = mg = –3. Garis h tegak sejajar g berarti: mh = mg = –3 Jadi, gradien garis h adalah –3. 17. Jawaban: a Garis g yang melalui titik (0, 6) dan (8, 0). Gradien garis g: mg =

− −

=

− −

−



= =– Misalkan garis yang tegak lurus garis g bergradien m, maka:

m × mg = –1 ⇔ m × (– ) = –1 ⇔



m= Jadi, gradien garis yang tegak lurus garis g adalah .

⇔



= − = Gradien garis yang tegak lurus dengan garis di atas harus bergradien m = –2. Gradien garis yang menghubungkan dua titik koordinat.

(–5, –3) dan (3, 5) → m =

18. Jawaban: c Garis: ax – 3y = 8 ⇔ –3y = –ax + 8



y = x –

Diperoleh gradien garis = m = . Garis AB sejajar garis ax – 3y = 8, maka gradiennya sama yaitu: mAB = m ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

− −

− − −



=

=

= =2

⇔ a=6 Jadi, nilai a = 6. 19. Jawaban: e Garis pertama: 2x + 3y – 14 = 0 ⇔ 3y = –2x + 14

⇔



y = –x +

Diperoleh m1 = – . Garis kedua: 2px – 3(x – 5y) + 6 – p = 0 ⇔ 2px – 3x + 15y + 6 – p = 0 ⇔ 15y = 3x – 2px + p – 6 ⇔ 15y = (3 – 2p)x + (p – 6) −

⇔ Diperoleh m2 =

−

.

Kedua garis saling tegak lurus, maka: m1 × m2 = –1 ⇔ ⇔



−

− –

– ×

= –1 = –1

⇔ ⇔

–6 + 4p = –45 4p = –39

⇔

p=–



20. Jawaban: c Garis g: (n + 3)x – 5y + 10 = 0 ⇔ –5y = –(n + 3)x – 10 ⇔

y=

+

x+2

Diperoleh gradien garis g yaitu mg =

94

Persamaan Garis Lurus

−

y = x +

+

.

Garis h: (4 – 3n)x + 2y – 6 = 0 ⇔ 2y = –(4 – 3n)x + 6 ⇔

y=

−

24. Jawaban: b ∆

x+3

Diperoleh gradien garis h yaitu mh =

−

.

Garis g sejajar garis h, maka: mg = mh ⇔

+

=

mk = –

Persamaan garis k melalui titik P(0, –4) dan ber

gradien mk = – adalah:

⇔ 2n + 6 = 15n – 20 ⇔ –13n = –26 ⇔ n=2 Jadi, nilai n = 2.



y – y1 = mk (x – x1) ⇔ ⇔ ⇔

21. Jawaban: b Garis h sejajar garis g maka mh = mg = 3. Garis h melalui titik (3, –1), sehingga persamaannya: y – y1 = mh(x – x1) ⇔ y + 1 = 3(x – 3) ⇔ y + 1 = 3x – 9 ⇔ 3x – y – 10 = 0



y + 4 = – (x – 0) 2y + 8 = –x x + 2y + 8 = 0

25. Jawaban: a mAB =



− −

= − = –3

Misalkan garis h melalui P(–6, 1) dan tegak lurus garis AB maka mh × mAB = –1 ⇔ mh =

−



= . Persamaan garis h yang melalui P(–6, 1) dan

⇔ 4y = –5x + 9 ⇔



⇔

−

22. Jawaban: b g: 5x + 4y = 9



Gradien garis : m = ∆ = = 2 Garis k tegak lurus maka: mk × m = –1 ⇔ mk × 2 = –1

bergradien mh = adalah: y – y1 = mh(x – x1)



y = –x +





Diperoleh m = – .

⇔ y – 1 = (x + 6)

Misalkan m1 merupakan gradien garis yang melalui titik (2, –3).

⇔

y = x + 2 + 1

⇔

y = x + 3



Oleh karena garis sejajar garis g maka m1 = m = – . Persamaan garisnya: ⇔



y + 3 = – (x – 2)









y = –x + –

⇔

y = –x – ⇔ 4y = –5x – 2 ⇔ 5x + 4y = –2





26. Jawaban: a Garis: 5x – 10y = 12 ⇔ 10y = 5x – 12

⇔



y = x –

Diperoleh gradien garis 5x – 10y = 12 adalah

m = . Garis yang sejajar garis 5x – 10y = 12

23. Jawaban: d

Gradien garis 3x + 4y = 8 adalah m1 = – . Gradien garis yang tegak lurus garis 3x + 4y = 8 adalah m2 =

.

Persamaan garis yang melalui (2, –4) dan tegak lurus garis 3x + 4y = 8: y + 4 = m2(x – 2) ⇔



y + 4 = (x – 2) ⇔ 3y + 12 = 4x – 8 ⇔ 4x – 3y = 20



bergradien m = . Persamaan garis melalui titik

(1, 2) dengan m = adalah: y – y1 = m(x – x1)

⇔ y – 2 = (x – 1) ⇔ 2y – 4 = x – 1 ⇔ x – 2y + 3 = 0 Diperoleh persamaan garis x – 2y + 3 = 0.

Matematika Kelas XI

95

Untuk y = 4 diperoleh: x – 2y + 3 = 0 ⇔ x – 2(4) + 3 = 0 ⇔ x–8+3=0 ⇔ x–5=0 ⇔ x=5 Jadi, garis berpotongan dengan garis y = 4 di titik (5, 4). 27. Jawaban: d Garis: 9x – 6y + 8 = 0 ⇔ 6y = 9x + 8

⇔



y = x + Diperoleh gradien garis 9x – 6y + 8 = 0 adalah

m = . Garis h tegak lurus garis 9x – 6y + 8 = 0, maka: mh × m = –1 mh × = –1

⇔

mh = –



Persamaan garis h melalui titik (4, –1) dan ber-



y + 1 = – (x – 4)

− −

−



= − = –



Garis h tegak lurus garis g, maka mh = . Garis h

⇔



y – 0 = (x – 0)

y = –− x –

−

+

Diperoleh gradien garis g yaitu mg = – − . Garis h: 2(2x + y) – 3(x – 2y) + 5 = 0 ⇔ 4x + 2y – 3x + 6y + 5 = 0 ⇔ x + 8y + 5 = 0 ⇔ 8y = –x – 5

⇔ 4y = 8 – 5x

⇔

y = –x + 2







y = –x –



Misalkan m1 adalah gradien garis yang melalui titik (4, 5).

Oleh karena garis sejajar garis g maka m1 = m = – .

Persamaan Garis Lurus

+

⇔

Diperoleh m = – .

96

mg =

30. Jawaban: a Garis g: 4(x – y) + p(x + y) + 8 = 0 ⇔ 4x – 4y + px + py + 8 = 0 ⇔ (4 + p)x + (p – 4)y + 8 = 0 ⇔ (p – 4)y = –(4 + p)x – 8

⇔ 3(y + 1) = –2(x – 4) ⇔ 3y + 3 = –2x + 8 ⇔ 2x + 3y – 5 = 0 Diperoleh persamaan garis h: 2x + 3y – 5 = 0. Garis h melalui titik (a, 11), berarti: 2x + 3y – 5 = 0 ⇔ 2(a) + 3(11) – 5 = 0 ⇔ 2a + 33 – 5 = 0 ⇔ 2a + 28 = 0 ⇔ 2a = –28 ⇔ a = –14 Jadi, nilai a = –14.

⇔

29. Jawaban: d Garis g melalui titik (3, 0) dan (0, 2). Gradien garis g:

y = x ⇔ 2y = 3x ⇔ 3x – 2y = 0 Jadi, persamaan garis h: 3x – 2y = 0.

y – y1 = m(x – x1)

28. Jawaban: b g: 5x + 4y = 8

⇔ 4y – 20 = –5x + 20 ⇔ 5x + 4y = 40 Garis memotong sumbu Y jika x = 0. 5x + 4y = 40 ⇔ 5(0) + 4y = 40 ⇔ 0 + 4y = 40 ⇔ 4y = 40 ⇔ y = 10 Jadi, garis memotong sumbu Y di titik (0, 10).

⇔



gradien m = – : ⇔



y – 5 = – (x – 4)

melalui O(0, 0) dan mh = , persamaan garis h: y – y1 = m(x – x1)



⇔

Persamaan garisnya:

Diperoleh gradien garis h = mh = – . Garis g tegak lurus garis h, maka:

mg × mh = –1 ⇔

+ (– −

b.

) × (– ) = + −

⇔ ⇔ ⇔

–1

= –1

4 + p = –8p + 32 9p = 28

⇔ α = 135° Garis h: x –



⇔

p= Persamaan garis g: 4(x – y) + p(x + y) + 8 = 0 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

Garis g: x + y – 4 = 0 Gradien garis g = mg = –1 Jika α menyatakan besar sudut antara garis g dengan sumbu X positif maka: tan α = mg = –1 y = 0



4(x – y) + (x + y) + 8 = 0 36(x – y) + 28(x + y) + 72 = 0 36x – 36y + 28x + 28y + 72 = 0 64x – 8y + 72 = 0 8x – y + 9 = 0



tan β = mh = ⇔ β = 30° α – β = 135° – 30° = 105° Oleh karena α – β > 90°, besar sudut antara garis g dan h adalah: ∠(g, h) = 180° – (α – β) = 180° – 105° = 75° 3. a.

Garis melalui titik pusat koordinat dan titik (–5, 3) yaitu: Y 4 B

3 2 1

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1

8 7 5 4 3

b.

1

2 3

4

−

−

X







y = mx ⇒

y = – x ⇔ –5y = 3x ⇔ 3x + 5y = 0 Jadi, persamaan garisnya 3x + 5y = 0. 4. a.

Y h

1 4

4

gradien m = – :

Grafik garis g dan garis h:



3

Gradien garis yang melalui (0, 0) dan (–5, 3): ∆

–4 –5 –6

0

2

= –

m = ∆ = − = − − Persamaan garis melalui (0, 0) dan ber-

2 1

4

1

–2

6

–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3

X

A

3x – 2y + 12 = 0

Y



= Jika β menyatakan besar sudut antara garis h dengan sumbu X positif maka:

B. Uraian 1. a. Titik (–6, b) terletak pada garis 3x – 2y + 12 = 0 maka: 3(–6) – 2b + 12 = 0 ⇔ –18 – 2b + 12 = 0 ⇔ –2b = 18 – 12 ⇔ –2b = 6 ⇔ b = –3 Jadi, nilai b yang memenuhi –3. b. Gambar garis 3x – 2y + 12 = 0:

2. a.



Gradien garis h = mh =

X

Gradien garis h adalah 3, sehingga diperoleh hubungan: m=3=

− −

⇔

3=

−

−

⇔ 3(a – 1) = –2 ⇔ 3a – 3 = –2 ⇔ 3a = 1 ⇔



a=

g

Matematika Kelas XI

97

b.

5. a.

Persamaan garis h: y – y1 = m(x – x1) ⇔ ⇔

y – 5 = 3(x – 1) y = 3x + 2

(i)

m=

− −

Grafik P = –30 + 5B:

− − −

⇔ 2=

−

⇔ p=0

P

(ii) m = 0

⇒ 2=

B

6

− −

⇒ 2=

− −

⇔ 2=

−

⇔ q=5 Jadi, nilai p = 0 dan q = 5. 8. a.

2x + 3y – 6 = 0 ⇔ 3y = –2x + 6

⇔ –30

y =–x + 2



Gradien: m1 = – Misal gradien garis yang sejajar 2x + 3y – 6 = 0

b.

c.

6. a.

adalah m2 maka m2 = m1 = – .

Diketahui B = 12 P = –30 + 5(12) = –30 + 60 = 30 Jadi, pendapatannya 30. Agar memperoleh keuntungan maka P > 0. P > 0 ⇒ –30 + 5B > 0 ⇔ 5B > 30 ⇔ B>6 Jadi, barang yang harus dijual minimum 6 buah. Garis g melalui titik A(–4, –9) dan B(8, 6), maka gradien garis g: mg = mAB = =

Persamaan garis yang melalui titik (6, –8) dan

bergradien m2 = – : y – y1 = m2(x – x1)

⇔

b.

y – (–8) = – (x – 6)

⇔ 3(y + 8) = –2(x – 6) ⇔ 3y + 24 = –2x + 12 ⇔ 2x + 3y + 12 = 0 Jadi, persamaan garisnya 2x + 3y + 12 = 0. Grafik garis g dan garis h: Y

− − = − =

b.

Garis h sejajar garis g, maka gradien garis h:

c.

mh = mg = Garis k tegak lurus garis g, maka: mk × mg = –1

3 2 1 X



⇔

mk = –

⇔

mk = –

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1



2

4

5

–3 –4

= –4

7. Sebuah garis yang sejajar garis y = 2x – 5 memiliki gradien m = 2. Titik-titik A, B, dan C dilalui sebuah garis bergradien m = 2 maka:

9. a.



Garis y = – x + 5 mempunyai gradien

m1 = – . Misal gradien garis g yang tegak lurus

y = – x + 5 adalah m2 maka:

98

3

–2



1

Persamaan Garis Lurus



m1 × m2 = –1 ⇔ – × m2 = –1 ⇔

m2 =



Persamaan garis g yang melalui titik (–4, –1)

dan bergradien m2 = : y – y1 = m2(x – x1) ⇔

y – (–1) =



(x – (–4))

⇔ 2(y + 1) = 3(x + 4) ⇔ 2y + 2 = 3x + 12 ⇔ 3x – 2y + 10 = 0 Jadi, persamaan garis g: 3x – 2y + 10 = 0. b. Garis g: 3x – 2y + 10 = 0 memotong sumbu Y jika x = 0. 3(0) – 2y + 10 = 0 ⇔ 0 – 2y + 10 = 0 ⇔ –2y + 10 = 0 ⇔ –2y = –10 ⇔ y=5 Jadi, garis g memotong sumbu Y di titik (0, 5).

10. Gradien garis yang melalui titik (–4, 9) dan (2, –3) adalah m1 =

− − − −

−

= = –2. Garis yang tegak lurus dengan garis yang melalui

kedua titik tersebut mempunyai gradien m2 = –



=

– −

=



.

Persamaan garis yang melalui titik (6, –4) dan

bergradien m2 = adalah: y – y1 = m2(x – x1) ⇔



y – (–4) = (x – 6) ⇔ 2(y + 4) = 1(x – 6) ⇔ 2y + 8 = x – 6 ⇔ x – 2y – 14 = 0 Jadi, persamaan garisnya x – 2y – 14 = 0.

Matematika Kelas XI

99

Setelah mempelajari bab ini siswa: 1. mampu mendeskripsikan konsep barisan tak hingga sebagai fungsi dengan daerah asal himpunan bilangan asli; 2. mampu menentukan unsur-unsur pembentuk barisan dan deret geometri tak hingga; 3. mampu menentukan deret geometri tak hingga; 4. mampu menerapkan konsep barisan dan deret tak hingga dalam penyelesaian masalah sederhana. Berdasarkan pengetahuan dan keterampilan yang dikuasai, siswa mampu menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan barisan dan deret geometri tak hingga secara cermat, teliti, dan dengan rasa percaya diri.

Materi Barisan dan Deret Tak Hingga

Pembelajaran Kognitif • • •

Barisan dan deret tak hingga. Barisan geometri tak hingga. Deret geometri tak hingga.

Membuat model matematika tentang barisan dan deret tak hingga

Pengetahuan yang Dikuasai • • • • •

Kegiatan Psikomotorik

Menjelaskan konsep deret tak hingga. Menjelaskan jumlah deret tak hingga. Menjelaskan suku pertama deret tak hingga. Menjelaskan rasio deret geometri tak hingga. Menjelaskan konsep deret geometri tak hingga dalam kehidupan nyata.

Keterampilan yang Dikuasai Terampil dalam membuat model matematika tentang deret tak hingga dan menyelesaikannya.

Kemampuan dan Sikap yang Dimiliki Mampu mendiskripsikan dan menerapkan konsep barisan dan deret tak hingga secara cermat, teliti, dan rasa percaya diri.

110

Barisan dan Deret Tak Hingga

A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: d U1 + U2 + U3 + U4 + U5 + . . . dikatakan deret Un Un − 1

konvergen apabila r = –1 < r < 1. (I)

1 32 1 16

1

1

mempunyai nilai

1

+ 16 + 8 + 4 + . . . mempunyai r =

1 16 1 32

=

=

1 2

× 32 = 2 (tidak konvergen).

(II) 32 + 16 + 8 + 4 + . . . mempunyai r =

16 32

(konvergen) 3

(III) –1 + 3 – 9 + 27 – 81 + . . . mempunyai r = −1 = –3 (tidak konvergen) −12

(IV) 24 – 12 + 6 – 3 + . . . mempunyai r = 24 = 1

– 2 (konvergen)

2. Jawaban: a a = 15, S∞ = 45 a

45 =

1

atau

–2 <x< 2

>x>–2 1

1 1

1

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah – 2 < x < 2 . 5. Jawaban: c Syarat konvergen: –1 < r < 1, r = 3log (2x – 1) –1 < 3log (2x – 1) < 1 ⇔ 3log 3 < 3log (2x – 1) < 3log 3 1

⇔ 3 < 2x – 1 < 3

2

2

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah 3 < x < 2.

15

1

1

6. Jawaban: e a

2

S∞ = 1 − r

r=1– 3 = 3 ⇔

3. Jawaban: e 2

2

10 = 1 − r 2

⇔ 1 – r = 10

S∞ = –6, r = – 3 ⇔ –6 = ⇔ –6 = ⇔

1 2

⇔ 3 <x<2

15 1− r

1 – r = 45 = 3

⇔

a

⇔

4

⇔ 45(1 – r) = 15

S∞ = 1 − r

1 = 1− r ⇔ 1 – r = 2x + 1 ⇔ r = –2x Syarat konvergen: –1 < r < 1 ⇔ –1 < –2x < 1

⇔ 3 < 2x < 4

⇔

⇔

2x + 1

⇔

1

Jadi, deret bilangan yang konvergen adalah (II) dan (IV).

S∞ = 1 − r

a

S∞ = 1 − r

1

⇔ 1–r= 5

a 2

1 − (− 3 ) a 2

13

2

a = –6 × 1 3 = –10

4. Jawaban: c Jumlah deret geometri tak hingga = S ∞ = 1 (mempunyai jumlah) sehingga dikatakan deret konvergen.

1

⇔

r=1– 5

⇔

r= 5

4 4

8

3

U2 = ar = 2 × 5 = 5 = 1 5 3

Jadi, suku keduanya 1 5 .

Matematika Kelas XI

111

7. Jawaban: c U1 + U2 = 5 ⇔ a + ar = 5 ⇔ a(1 + r) = 5

a

S∞ = 1 − r =

a

10. Jawaban: c a=

5 1+ r

⇔

9 = 1− r

⇔

9 =

⇔

9 =

a

4 2

=

1 3+r 1− 1 3+r

=

1 3+r 3 +r −1 3+r

2 3

.

1

1

81 = 1 − r ⇔ 81 – 81r = 27 ⇔ –81r = –54 ⇔ 81r = 54

B.

Uraian

1. a.

54

diperoleh a = 60 dan r = 2 .

2

r= 3 Deret suku genap: U2 + U4 + . . .

a

S∞ = 1 − r =

b.

2

U4 = ar3 = 27( 3 )3 = 8

4 9

a

S∞ = 1 − r = =

18 5 9

162

1

tan 30° = 3 3 1

Barisan dan Deret Tak Hingga

1 10

=

500 9 10

=

5.000 9

5

= 555 9

5

2. a.

Un = 34 – n U1 = 34 – 1 = 33 = 27 U2 = 34 – 2 = 32 = 9 U3 = 34 – 3 = 31 = 3 r =

r = –( 3 3 )2 = – 3

112

= 120

Jadi, 500 + 50 + 5 + 0,5 + 0,05 + . . . = 555 9 .

2

9. Jawaban: c a=1 r = –tan2 30°

500 1−

2

= 5 = 32 5

Jadi, jumlah suku genapnya 32 5 .

1

1 2

Jadi, 60 + 30 + 15 + 2 + . . . = 120. Pada deret bilangan 500 + 50 + 5 + 0,5 +

4

18

60

=

0,05 + . . . diperoleh a = 500 dan r = 10 .

= 18 = 9 1−

1 2

1

r deret suku genap:

a

60 1−

15

2

U2 = ar = 27( 3 ) = 18

S∞ = 1 − r =

15

Pada deret bilangan 60 + 30 + 15 + 2 + . . . 1

r = 81

8

1

⇔ 1 > S > 3 atau 3 < S < 1

27

⇔

⇔

U4 U2

1

⇔ 1 >S> 3

⇔

r=

1

–1 < r < 1 ⇒ 2 − 1 > S > 2 + 1

8. Jawaban: a S∞ = 81, a = 27 a

1

= 2+r 1

Jadi, rasio positif deret tersebut adalah

S∞ = 1 − r

1 3+r

S = 1− r

⇔ 9 – 9r2 = 5 ⇔ 9r2 = 4

r = 3

1 3+r

r = rasio =

5 (1 + r)(1 − r) 5 1 − r2

⇔

= 4

4 3

3

S∞ = 1 − r ; S∞ = 9

r2 = 9

3

1

+ tan4 30° + . . . + (–1)n tan2n 30° + . . . adalah 4 .

a = 1+ r

⇔

1 − (−

=

1 ) 3

Jadi, jumlah deret tak hingga dari 1 – tan2 30° 5

⇔

1

U2 U1

=

konvergen)

U3 U2

9

1

= 27 = 3 (deret bilangan

4. Diketahui deret geometri tak hingga dengan

a

S∞ = 1 − r = = =

2

U2 = ar = 2 dan S∞ = 10 3

27

2

ar = 2 ⇔ a = r

1 3

1−

2 3

⇔

81 2

⇔ 1

= 40 2 b.

⇔

2

U3 = 2 · 52 – 3 = 2 · 5–1 = 5 r = r =

2 10

=

U3 U2

=

1 5

=...

=

(deret bilangan konvergen)

3. a.

64

log2 (x − 2) log (x − 2)

64

4 5

1

= 64log (x – 2)

⇔1<

=

1

a

64

1−

log (x − 2) log (x − 2)

64

<2 n

Misalkan: n = 64log (x – 2) ⇔ 1 < 1 − n < 2

Jumlah suku-suku ganjil (Sganjil) = 18 Jumlah deret geometri tak hingga (S∞) = 24 Diperoleh jumlah suku-suku genap = 24 – 18 =6 Sgenap

6

1

Rasio = S = 18 = 3 ganjil

S∞ = 24 ⇔ ⇔ ⇔

a 1−

1 3

a 2 3

n 1− n

<2 ⇔

n < –2n + 2

⇔ 3n < 2 2

⇔ n 1− n

n < 3

>1 ⇔

. . . (i)

n < –2n + 2

⇔ 3n < 2

Jadi, rasio deret tersebut adalah b.

3

1 < S∞ < 2 ⇔ 1 < 1 − r < 2

10

1 12 2

=0

Agar jumlahnya terletak antara 1 dan 2, berarti:

1 5

=

=

Jadi, rasionya 4 atau 4 . 5. a = 64log (x – 2) r =

10

50 4

=

1− r 2 r 2 r

r = 4 atau r = 4 3

a

1−

2 10 3 (1 – r) 32 (1 – r) 3 32 32r 2 – 3 – r 3

⇔

S∞ = 1 − r =

10 3 =

––––––––––––––––– × 3r ⇔ 32r – 32r2 – 6 = 0 ⇔ 16r – 16r2 – 3 = 0 ⇔ 16r2 – 16r + 3 = 0 ⇔ (4r – 3)(4r – 1) = 0

Un = 2 · 52 – n U1 = 2 · 52 – 1 = 2 · 5 = 10 U2 = 2 · 52 – 2 = 2 · 50 = 2 U2 U1

2 r

2

a

S∞ = 1 − r ⇔

27

1 3

.

1

⇔

n < 2

. . . (ii) 1

2

Irisan (i) dan (ii) menghasilkan 2 < n < 3 .

= 24

1 2

= 24 2

a = 24 · 3 ⇔ a = 16 Jadi, suku pertama deret tersebut adalah 16.

⇔

2

< 64log (x – 2) < 3 64log

1

2

64 2 < 64log (x – 2) < 64log 64 3

1

2

⇔ 64 2 < (x – 2) < 64 3 ⇔ 8 < x – 2 < 16 ⇔ 10 < x < 18 Jadi, batas-batas nilai x adalah 10 < x < 18. Matematika Kelas XI

113

A.

Pilihan Ganda

a

1. Jawaban: b Permasalahan deret geometri tak hingga dengan

S∞ = 1 − r 14 π

=

1

1−

a = 8 dan r = 2 . a

S∞ = 1 − r = =

8 1−

Jadi, jumlah keliling lingkaran sampai tak hingga adalah 28π.

1 2

2

=8× 1 = 16 Jadi, panjang tali mula-mula 16 meter. 2. Jawaban: a Permasalahan deret geometri tak hingga dengan 4

S∞ = 90 dan r = 5 . a

S∞ = 1 − r ⇔ 90 =

1−

4. Jawaban: e Perhatikan pola jarak setiap pantulan bola tersebut. 2

90, 60, 40, 26 3 , . . . 60

a

4 5

⇔ 90 = ⇔

a = 5 × 90

1

⇔

a = 18

1 5

r = = 4 ( 5 )2

=

288

= 25 = 11,52 cm2

Rasio =

=

1

1 4 3

3

= 4

⇔ 640 =

a

a 1−

3 4

a 1 4

1

⇔

a = 640 × 4 ⇔ a = 160 U3 = ar2 3

=

= 160 × ( 4 )2

1 2

9

Jumlah deret keliling lingkaran: 7

7

L1 + L2 + L3 + . . . = 14π + 7π + 2 π + 4 π + . . . 114

U2 1 3 U2

⇔ 640 =

1 d 2 1 1 · 14 2

7π 14π

U2 U1

S∞ = 1 − r

3. Jawaban: d Keliling L1 = πd1 = π · 14 = 14π

= 7π

2 3

=

90 1 3

= 270 cm = 2,7 m

5. Jawaban: b Luas persegi-persegi tersebut membentuk barisan geometri dengan S∞ = 640.

= ar2 = 18 ·

90 1−

Jadi, jarak antara pantulan I hingga bola berhenti tidak memantul lagi adalah 2,7 m.

Jadi, luas persegi III = U3

L2 L1

2

Rasio = r = 90 = 3 Deret tak hingga: S∞ = 1 − r ⇒ S∞ =

a

1

=π·

1 2

= 28π

1 2

8

Keliling L2 = π ·

14π

=

Jumlah deret tak hingga:

1 2

Barisan dan Deret Tak Hingga

= 160 × 16 = 90 U3 = luas persegi ketiga

Sisi persegi ketiga = s3 s3 =

U3 =

1

90 = 3 10 cm

Jadi, ukuran sisi persegi ketiga adalah 3 10 cm. 6. Jawaban: c 5

a

90 1−

5 8

=

90 3 8

1

1

3

B1B3 = 2 B1C = 2 × 3 2 = 2 2 ∆B1B2B3 adalah segitiga sama kaki sehingga 3

Diketahui a = 90 cm, r = 8 S∞ = 1 − r =

1

B1B2 = 2 AB = 2 × 6 = 3

B2B3 = B1B3 = 2 2 . 8

= 90 × 3 = 240

Jadi, panjang lintasan seluruhnya 240 cm. 7. Jawaban: d

Terdapat dua barisan geometri: Barisan I : AB, B1B2, B3B4, B5B6, . . . Barisan II : BB1, B2B3, B4B5, . . . BB

1 2 Rasio barisan I = r1 = AB =

Rasio barisan II = r2 = 20

= 6 2 + 1− r + 1 =6 2 +

16 4 5

6

1 5

1 2

1−

=6 2 +

16

= 20 + 2 × (16 × 5) = 20 + 2 × 80 = 20 + 160 = 180 Jadi, panjang lintasan bola seluruhnya adalah 180 m.

2

3 2

1

= 2

6 1 2

+

+

3 2 1−

1 2

3 2 1 2

= 6 2 + 12 + 6 2 = 12 + 12 2 = 12( 2 + 1) Jadi, jumlah semua panjang sisi miring adalah 12( 2 + 1).

8. Jawaban: b AC =

A

B1 B3 B2

3 2

BB1 1 − r2

AB

B

=

+ (BB1 + B2B3 + B4B5 + . . .)

Panjang lintasan bola = 20 + 2S∞

= 20 + 2 ×

B 4B 5 B 2B 3

= AC + (AB + B1B2 + B3B4 + B5B6 + . . .)

64 5

1−

=

1

= 6 = 2

AC + AB + BB1 + B1B2 + B2B3 + . . .

16

= 20 + 2 ×

B 2B 3 BB1

3

B 3B 4 B1B 2

AB2 + BC2

=

62 + 62

=

36 + 36

9. Jawaban: c Permasalahan di atas dapat diilustrasikan seperti gambar berikut. Bola

=6 2 B5

1

AB1 = 2 AC

B4 B C 6

5m

=3 2 BB1 = AB1 = 3 2 AB = =

AB12 + BB12 2

2

(3 2) + (3 2)

= 36 =6

Lintasan bola membentuk deret geometri. Lintasan bola turun: 5,

15 4

45

, 16 , . . .

Matematika Kelas XI

115

a = 5; r = a 1− r

S∞ =

Jumlah deret tak hingga:

3 4

=

5 1−

=

3 4

5 1 4

a

S∞ = 1 − r

= 20

=

Lintasan bola naik: 45 135 , 16 , 64 , 3 15 = 4 ;r= 4

15 4

a

a 1− r

S∞ =

=

=

15 4

1−

=

3 4

15 4 1 4

3

=

1−

=

3 4

8 1 4

144 3 9 11

= 144 3 × 9

rasio = r = 4 . Jumlah deret tak hingga: 8

25 36

11

= 15

10. Jawaban: a Permasalahan deret geometri tak hingga 8 + 6 + 4,5 + . . . Berdasarkan deret tersebut diperoleh a = 8 dan

S∞ =

1−

...

Total lintasan = 20 + 15 = 35 m Jadi, panjang lintasan bola 35 m.

a 1− r

144 3

= 176 3 Jadi, jumlah luas segitiga-segitiga yang terbentuk adalah 176 3 cm2. 2. Permasalahan deret geometri tak hingga dengan S∞ = 2 menit 8 detik = 128 detik dan suku awal a = 8 detik. Jumlah deret tak hingga: a

⇔

S∞ = 1 − r

= 32

Jadi, jarak yang ditempuh bola adalah 32 meter. B. Uraian 1. Rumus luas segitiga sama sisi: s

s

1

L = 4 s2 3

s

1

1

L1 = 4 s2 3 = 4 · 242 ·

3 = 144 3

5

s2 = 6 × s1 = 6 × 24 = 20 cm 1

1

L2 = 4 s22 3 = 4 · 202 · 3 = 100 3 dan seterusnya. Berdasarkan pola deret geometri luas segitiga diperoleh: a = 144 3 dan r =

116

⇔ ⇔

120

r = 128 15

r = 16 Lama waktu pada saat ayunan ke-3: U3 = ar2 15

Mari kita hitung satu per satu.

5

8

128 = 1 − r ⇔ 128(1 – r) = 8 ⇔ 128 – 128r = 8 ⇔ –128r = 8 – 128 ⇔ –128r = –120 ⇔ 128r = 120

100 3 144 3

25

= 36

Barisan dan Deret Tak Hingga

= 8 · ( 16 )2 225

= 8 · 256 225

= 32

1

= 7 32 detik = 7,03125 detik Jadi, lama waktu pada ayunan ketiga adalah 1

7 32 detik. 3. Ingat! Jarak yang ditempuh seseorang dengan kecepatan v dalam waktu tempuh t dirumuskan dengan s = v · t. Mari menghitung jarak yang ditempuh seorang tersebut setiap jam.

Jumlah deret geometri tak hingga:

s1 = v1 · t1 = 12 · 1 = 12 km s2 = v2 · t2 =

1 v 3 1

1 3

· t2 =

1

· 12 · 1 = 4 km

4

4

s3 = v3 · t3 = 3 v2 · t3 = 3 · 1 = 3 km dan seterusnya. Dengan demikian, diperoleh deret tak hingga sebagai berikut.

p2

a

S∞ = 1 − r = 1 = 1− 2

p2 1 2

= 2p2

Jadi, jumlahan luas persegi-persegi sampai yang terkecil adalah 2p2. 5. Ingat! Debit air (Q) yang mengalir dalam setiap waktu (t) sebanyak (V) dirumuskan: V

4

12 + 4 + 3 + . . . 1

Diperoleh a = 12 dan r = 3 . 12

a

S∞ = 1 − r = 1 = 1− 3

12

3

= 12 × 2 = 18

2 3

Jadi, jarak terjauh yang dapat ditempuh orang tersebut selama perjalanan adalah 18 km. 4. Misalkan persegi-persegi dari yang terluar mempunyai luas L1, L2, L3, L4, . . . dan seterusnya. L1 = p × p = p2 1

1

L2 = 2 × p × p = 2 p2 1

1

1

L3 = ( 2 p) × ( 2 p) = 4 p2 Dengan demikian, diperoleh deret sebagai berikut. 1

Q = t atau V = Q · t Menentukan volume air yang mengalir setiap menit. Volume air yang mengalir pada menit pertama Q1 = 24 liter/menit V1 = Q1 · t1 = 24 · 1 = 24 liter Volume air yang mengalir pada menit kedua 4

4

4

4

Q2 = 5 Q1 = 5 · 24 = 19,2 V2 = Q2 · t2 = 19,2 · 1 = 19,2 liter Volume air yang mengalir pada menit ketiga, Q3 = 5 Q2 = 5 · 19,2 = 15,36 V3 = Q3 · t3 = 15,36 · 1 = 15,36 liter dan seterusnya. Diperoleh deret geometri sebagai berikut. 24 + 19,2 + 15,36 + . . . 4

1

p2 + 2 p2 + 4 p2 + . . . Suku awal = a = p2.

dengan suku awal = a = 24 dan rasio = r = 5 Jumlah deret tak hingga 24

a

1

Rasio = r = 2 .

S∞ = 1 − r = 4 = 1− 5

24 1 5

= 120 liter

Jadi, banyak air di penampungan air mula-mula sebanyak 120 liter.

A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: b Deret geometri tak hingga dengan suku awal

S∞ =

=

4 1−

1 2

=

4 1 2

a

S∞ = 1 − r =

1

= a = 4 dan rasio = r = 2 . Jumlah deret tak hingga: a 1− r

Jumlah deret geometri tak hingga:

=4×

2 1

=8

=

24 3 4

1 − (− ) 24 7 4

4

2. Jawaban: a Deret geometri tak hingga dengan suku awal 3

= a = 24 dan rasio = ar = – 4 .

= 24 × 7 96

= 7

5

= 13 7

Matematika Kelas XI

117

Suku ketiga = U3 = ar2

3. Jawaban: a a=

9

U2 U1

r=

3

= 2 · ( 4 )2

2 3 2 9 2 3

=

= 2 · 16

1

= 3

9

1

2 3

a

S∞ = 1 − r =

1−

Jadi, suku ketiganya adalah 1 8 . 7. Jawaban: b

=1

1 3

Jadi, jumlah deret geometri tak hingga di atas adalah 1.

=

x + 1

1 2

·

2log

1

x +

1 4

·

2log

=

1 1−

1 2

x

1

x

U2 U1

⇔ S∞=

n=0

⇔

⇔ ⇔

50 =

4 1− r

46

r = 50 r = 0,92

6. Jawaban: c Deret geometri tak hingga dengan S∞ = 8 dan a = 2. Jumlah deret tak hingga: a

S∞ = 1 − r

2

= 3. Jumlah deret geometri tak hingga:

∞

⇔ 50(1 – r) = 4 ⇔ 50 – 50r = 4 ⇔ 50r = 50 – 4

118

Rasio =

3 1−

=

2 3

3 1 3

=9

n

2 Jadi, hasil dari Σ 3   = 9.

5. Jawaban: d Deret geometri tak hingga dengan S∞ = 50 dan a = 4. Jumlah deret tak hingga: S∞ =

 

⇔ U2 = 2

a

= 2 2log x

a 1− r

 

2 Untuk n = 1 ⇒ U2 = 3 ·   3

S∞ = 1 − r

1 2 log

0

1

) 2log x

1 2

n

⇔a=3

= (1 + 2 + 4 + 16 + . . . ) 2log x =(

∞

Σ 3  2  n=0 3

2 Untuk n = 0 ⇒ a = 3 ·   3

4. Jawaban: e 2log x + 4log x + 16log x + . . . 1 2 4 = 2 log x + 2 log x + 2 log x + . . . 2log

1

= 8 =18

2

⇔

8 = 1− r ⇔ 8(1 – r) = 2 ⇔ 8 – 8r = 2 ⇔ 8r = 6

3

8. Jawaban: c 0,51515151. . . = 51(0,01) + 51(0,01)2 + 51(0,01)3 + . . . = 51(0,01 + 0,012 + 0,013 + . . .) 0,01

= 51( 1 − 0,01 ) 0,01

= 51( 0,99 ) 51

= 99 17

= 33 17

Jadi, 0,51515151. . . = 33 . 9. Jawaban: a 63,636363. . . = 63 + 0,63 + 0,0063 + 0,000063 + 0,0000063 + . . . = 63(1 + 0,01 + 0,0001 + 0,000001 + . . .) = 63(1 + 0,01 + (0,01)2 + (0,01)3 + . . .) 1

= 63( 1 − 0,01 ) 1

= 63 · 0,99 6.300 99

700

6

=

3

Jadi, 63,636363. . . = 11 .

⇔

r= 8

⇔

r= 4

Barisan dan Deret Tak Hingga

= 11

700

10. Jawaban: d Deret geometri tak hingga dengan a = 2 2 dan r=

2 – 1. a

S∞ = 1 − r

2 2

⇔ S∞ = 1 − ( 2 − 1) 2 2

= 2− 2 2+ 2

2 2

= 2− 2 · 2+ 2 =

4 2+4 4−2

=

4 2+4 2

1

1

3 2 < x < 5. 14. Jawaban: e Diketahui deret geometri tak hingga berjumlah 1 dan suku awalnya 2x + 1.

11. Jawaban: c Deret geometri tak hingga dengan a =

2 dan

2 – 1.

S∞ =

2

⇔ S∞ = 1 − 2 = = =

2 1−

1 2

2

·

1+ 1+

1 2 1 2

2 2

2 +1 1

12 − ( 2 2)2 2 +1 1−

1 2

= 2( 2 + 1) 12. Jawaban: c Deret geometri tak hingga dengan a = log 2 dan rasio = r = 3log x, dengan x > 0. Deret geometri dikatakan konvergen apabila rasionya –1 < r < 1. –1 < r < 1 ⇔ –1 < 3log x < 1 ⇔ 3log 3–1 < 3log x < 3log 3 ⇔ 3–1 < x < 3 ⇔

1 3

<x<3

Oleh karena x > 0, batas-batas nilai x adalah 1 3

< x < 3.

+3<x<5

⇔ 32 <x<5 Oleh karena x > 3, batas-batas nilai x adalah

=2+2 2

a 1− r

1 2

⇔

=2 2 +2

r=

13. Jawaban: b Deret geometri tak hingga dengan rasio = r = 2log (x – 3), dengan x > 3. Syarat konvergen suatu deret geometri adalah –1 < r < 1. Dengan demikian, diperoleh: 1 < 2log (x – 3) < 1 ⇔ 2log 2–1 < 2log (x – 3) < 2log 2 ⇔ 2–1 < x – 3 < 2 ⇔ 2–1 + 3 < x < 2 + 3

a

S∞ = 1 − r

⇔

2x + 1 1− r

1=

⇔ 1 – r = 2x + 1 ⇔ r = 2x Syarat kekonvergenan suatu deret geometri adalah rasionya –1 < r < 1. Dengan demikian diperoleh: –1 < r < 1 ⇔ –1 < 2x < 1 1

1

⇔ –2 <x< 2

1

1

Jadi, batas-batas nilai x adalah – 2 < x < 2 . 15. Jawaban: a r rasio dari deret konvergen, maka –1 < r < 1. 1 4+r

S =1+ =

1 1−

1 4+r

=

+

1 (4 + r)2

+...+ =

4+r 3+r

4 −1

3

4+r (4 + r) − 1

1 (4 + r)n

+...

1

Untuk r = –1 ⇒ S = 3 − 1 = 2 = 1 2 4+1

5

1

Untuk r = 1 ⇒ S = 3 + 1 = 4 = 1 4 1

1

Jadi, 1 4 < S < 1 2 . 16. Jawaban: a Diketahui deret geometri tak hingga dengan S∞ = 16 dan Sgenap = 6. Dengan demikian, Sganjil = 16 – 6 = 10.

Matematika Kelas XI

119

Sgenap

Rasio = r = a

Sganjil

6

⇔ 16 =

S∞ = 1 − r

21. Jawaban: b Permasalahan deret geometri tak hingga dengan

3

= 10 = 5

5

a 1−

a = keliling P1 dan r = 7 . a = KP = 4 × 70 cm = 280 cm

3 5

1

2

⇔

a = 16 · 5

⇔

a=65

a

S∞ = 1 − r

2

=

Jadi, suku pertama deret tersebut adalah

2 65

.

17. Jawaban: d Deret geometri tak hingga dengan S∞ = 24 dan Sganjil = 18. Diperoleh Sgenap = 24 – 18 = 6. Sgenap

Rasio = r = S∞ =

a 1− r

Sganjil

6

⇔ 24 = ⇔ Suku ketiga:

5 7

280 2 7

7

= 280 × 2 = 980 cm Jadi, jumlah keliling persegi adalah 980 cm.

4

a 1−

1−

22. Jawaban: b Permasalahan deret geometri tak hingga dengan

1

= 18 = 3

⇔ 24 =

=

280

a = L1 dan r = 5 , dan S∞ = 3.080.

1 3

a

S∞ = 1 − r

a 2 3

2

a = 24 · 3 = 16

⇔

3.080 =

⇔

3.080 =

1−

4 5

πr 2 1 5

1

2

⇔ 3.080 · 5 = πr2

16 7 1 U3 = ar2 = 16 ·   = 9 = 1 9 3

7

Jadi, suku ketiga deret tersebut adalah 1 9 .

⇔

18. Jawaban: c Deret geometri tak hingga dengan a = 32 dan

⇔

24

L1

3

r = 32 = 4 . a 32 S∞ = 1 − r = = 32 = 128 3 1 1− 4 4

Jadi, baling-baling kipas tersebut sebanyak 128 kali.

22

616 = 7 r2 r2 =

616 × 7 22

⇔ r2 = 28 × 7 ⇔ r2 = 196 ⇔ r = 14 cm Jadi, jari-jari lingkaran L1 adalah 14 cm. 23. Jawaban: e Perhatikan ilustrasi pantulan bola berikut.

19. Jawaban: d 3

Deret geometri dengan a = 10 meter dan r = 5 . S∞ =

a 1− r

⇒ S∞ =

10 1−

3 5

=

10 2 5

= 10 ·

50

20. Jawaban: e Permasalahan deret geometri tak hingga dengan 3

a = 4 dan r = 4 . 4

S∞ = 1 − r ⇒ S∞ = = 41 = 16 3 1− Jadi, total waktu 4bola4 di udara adalah 16 detik. 120

Barisan dan Deret Tak Hingga

1,5 m

5 2

= 2 meter = 25 meter Jadi, jarak maksimum yang dapat ditempuh adalah 25 meter.

a

2m 0,375 m

...

S∞ = 2 + 2  1,53    

1−

4



 = 2 + 2  1,5 1   

4

 

=2+2·6 = 2 + 12 = 14 meter Jadi, panjang lintasan bola adalah 14 meter.

24. Jawaban: d Permasalahan deret geometri tak hingga dengan r=

7 8

S∞ =

2. a.

3

dan r = 5 .

dan S∞ = 56 detik. a 1− r

⇔ 56 = ⇔

a

1−

7 8

⇔ 75 =

a 1 8

1

n−1

7 = 7  

−1

8

 

b.

n

SB =

a 1 − rB

⇒ SB =

6 1−

2 3

8 1−

1 2

= =

2 5

2

9

n

= 30 · 25 270

= 25

6

20

= 10 25 4

= 10 5

= 18 m

1 3

4

Jadi, suku ketiga adalah 10 5 .

8

= 16 m

1 2

3. a.

Kesimpulan: Jarak yang ditempuh bola A lebih jauh daripada bola B dengan selisih jarak 2 meter.

0,16161616 . . . = 16 · 0,01 + 16 · 0,0001 + 16 · 0,000001 + . . . = 16(0,01 + (0,01)2 + (0,01)3 + . . .) 0,01

= 16( 1 − 0,01 )

B. Uraian 1. a. Deret geometri tak hingga dengan a = 56 dan

0,01

0,16

16

= 16 0,99 = 0,99 = 99

1

r= 4.

16

a

56

S∞ = 1 − r ⇔ S∞ = = 1 1− 4

56

b.

3 4

4

2

= 56 · 3 = 74 3 b.

a

 

25. Jawaban: a Permasalahan deret geometri tak hingga. Jarak yang ditempuh bola A dan bola B. ⇒ SA =

3 5

⇔ a = 30 Jadi, suku pertama deret tersebut adalah 30. Un = arn – 1 U3 = ar2 3 = 30 ·   5

7   8

n

a 1 − rA

1−

2

8 7 7 = 7 · 7 ·   = 8 ·   8 8

SA =

a

⇔ a = 75 · 5

a = 56 · 8

⇔ a = 7 detik Misalkan waktu pada ayunan ke-n dirumuskan dengan tn = arn – 1. Dengan demikian, 7 tn = 7 ·   8

⇔ 75 =

S∞ = 1 − r

a

⇔ 56 =

Deret geometri tak hingga dengan S∞ = 75

1 32

Jadi, 0,16161616 . . . = 99 . 2,297297297. . . = 2 + 297(0,001 + 0,000001 + . . .) = 2 + 297(0,001 + (0,001)2 + (0,001)3 + . . .) 0,001

2 74 3

Jadi, 56 + 14 + +...= . Deret geometri tak hingga dengan a = 80 dan

= 2 + 297( 1 − 0,001 ) 0,001

= 2 + 297( 0,999 ) 0,297

3

r=–4.

= 2 + 0,999

a

80

S∞ = 1 − r ⇔ S∞ = = 3 1 − (− ) 4 =

32 7

=

4 47 4

Jadi, 80 – 60 + 45 – . . . = 4 7 .

8 7 4

4

=8· 7

297

= 2 + 999 297

2.295

= 2 999 = 999

2.295

Jadi, 2,297297297. . . = 999 .

Matematika Kelas XI

121

4. Deret geometri tak hingga mempunyai jumlah apabila batasan rasionya adalah –1 < r < 1. Pada permasalahan di atas diketahui bahwa r = 5log

2

(3x + 2), dengan x > – 3 .

–1 < r < 1 ⇔ –1 < 5log (3x + 2) < 1 ⇔ 5log 5–1 < 5log (3x + 2) < 5log 5 ⇔

5log 1

5 1 5

⇔ ⇔ ⇔

1 5

Rasio = r =

< 3x + 2 < 5

– 2 < 3x < 5 – 2 9

– 5 < 3x < 3 9

– 15 < x < 1

⇔

–5 <x<1

3

2 Berdasarkan syarat I: x > – 3 , 3 yang memenuhi adalah – 5 <

batas-batas nilai x x < 1.

5. Deret geometri tak hingga dengan a = 4x + 6 dan S∞ = 24. a

24 = 4x + 6

S∞ = 1 − r ⇔

1− r

⇔ 24 – 24r = 4x + 6 ⇔ –24r = 4x + 6 – 24 ⇔ –24r = 4x – 18

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

=

= 3(2x + 2) – (x + 2) = 3x

log 1

⇔

x < log 3 ⇔ x<0 Jadi, batasan nilai x adalah x < 0. 7. Diketahui deret geometri tak hingga dengan Sganjil = 24 dan S∞ = 40. Dengan demikian, diperoleh suku-suku genap sebagai berikut. Sgenap = S∞ – Sganjil = 40 – 24 = 16

–r =

4x − 18 24

Rasio = r =

⇔

r=

18 − 4x 24

Jumlah deret geometri tak hingga:

–1 < –24 –24 – 18 –42 42 –6

18 − 4x 24

a

S∞ = 1 − r

6

42

3

21

–4 <x< 4

⇔

–2 <x< 2

Jadi, batas-batas nilai x adalah

Sgenap Sganjil

⇔ 40 =

2

a 1− a

2 3

1 3

1

⇔

a = 3 · 40

⇔

a= 3

⇔

a = 13 3

40 1

Jadi, rasio dan suku pertama deret tersebut 2

3 –2

< 4x <

21 . 2

1

adalah 3 dan 13 3 . 8. Permasalahan deret geometri tak hingga dengan 5

a = 72 dan r = 8 .

Barisan dan Deret Tak Hingga

16

= 24 = 3

⇔ 40 =

<1

< 18 – 4x < 24 < –4x < 24 – 18 < –4x < 6 < 4x < –6 < 4x < 42

⇔

122

32x + 2 3x + 2

⇔

Syarat deret geometri mempunyai jumlah (konvergen) adalah rasionya –1 < r < 1. –1 < r < 1 ⇔

U2 U1

Syarat konvergen –1 < r < 1 ⇔ –1 < 3x < 1 ⇔ –1 < 3x dan 3x < 1 Oleh karena 3x selalu lebih besar dari –1, maka –1 < 3x adalah benar untuk setiap x. Dengan demikian, hanya menentukan batasan x untuk 3x < 1. 3x < 1 ⇔ log 3x < log 1 ⇔ x log 3 < log 1

< 5log (3x + 2) < 5log 5

⇔

6. Syarat barisan geometri tak hingga konvergen adalah rasionya –1 < r < 1. Un = 3(nx + 2) U1 = 3(1 · x + 2) = 3x + 2 U2 = 3(2x + 2)

a

72

72

S∞ = 1 − r ⇔ S∞ = = 5 1− 8

3 8

a.

8

= 72 · 3

Perhatikan bahwa luas daerah segitiga T1, T2, T3, . . . mempunyai pola sebagai berikut. 1

= 24 × 8 = 192 Jadi, banyak putaran baling-baling kipas angin sampai dengan berhenti adalah 192 kali.

Luas segitiga T2 = 4 × sisi segitiga T1

9. Permasalahan deret geometri tak hingga. Misalkan jarak yang ditempuh setiap detik yang berjalan setelah pengereman sebagai berikut.

Luas segitiga T4 = 4 × sisi segitiga T3

4

4

Detik ke-1 ⇒ S2 = 7 · 50 = (50 · 7 ) m 4

4

2

Detik ke-2 ⇒ S3 = 7 · (50 · 7 ) = 50   m 7 4

4

2

1

Luas segitiga T3 = 4 × sisi segitiga T2 1

dan seterusnya. Mari menghitung luas segitiga T1 terlebih dahulu. C

3

Detik ke-3 ⇒ S4 = 7 · 50   = 50   m 7 7 4

4

60 cm

60 cm

t = 30 3

dan seterusnya Jarak yang ditempuh mobil = 50 · =

4 7

4 50( 7

+

4   7

+

1−

2

2

+

4 50   7

4 50   7

+

3

4 7

3

A

+...

+ . . .) 4

7

200

2

= 66 3

2

Permasalahan deret geometri tak hingga. Perhatikan bahwa: 1 2

= 900 3 cm2 Dengan demikian, jumlah luas segitiga T1, T2, T3, T4,. . . sebagai berikut. LT + LT + LT + LT + . . . 1

1 1

Sisi segitiga T4 = 2 × sisi segitiga T3 dan seterusnya. Dengan demikian, sisi-sisi segitiga T1, T2, T3, T4,. . . berturut-turut 60 cm, 30 cm, 15 cm, 7,5 cm, . . . . Jumlah keliling segitiga T1, T2, T3, . . . = KT + KT + KT + . . .

2

= 900 3 + =

× sisi segitiga T1

Sisi segitiga T3 = 2 × sisi segitiga T2

2

B

1

pengereman adalah 66 3 meter.

1

30 cm

1

) = 50( 73 ) = 50 × 3 = 3

Sisi segitiga T2 =

D

Luas segitiga T1 = 2 × a × t

Jadi, jarak yang ditempuh mobil setelah

10. a.

30 cm

= 2 × 60 × 30 3

4

4 7

= 50(

4 50   7

=

3

225 4

4

225

2 + 16

2 +...

900 3 1−

1 4

900 3 3 4

4

= 900 3 · 3 = 1.200 3 Jadi, jumlah luas segitiga-segitiga tersebut adalah 1.200 3 cm2.

3

= 180 + 90 + 45 + 22,5 + . . . =

180 1−

1 2

=

180 1 2

= 360

Jadi, jumlah keliling seluruh segitiga adalah 360 cm.

Matematika Kelas XI

123

Setelah mempelajari bab ini, siswa: 1. mampu menentukan unsur-unsur yang terdapat pada aturan sinus dan kosinus; 2. mampu menentukan luas segitiga dan segi-n beraturan. Berdasarkan pengetahuan dan keterampilan yang dikuasai, siswa: 1. menunjukkan sikap kritis dan teliti dalam menerapkan aturan sinus dan kosinus; 2. menunjukkan sikap percaya diri dan toleran dalam menyelesaikan permasalahan luas segitiga.

Materi • •

Aturan Sinus dan Kosinus Luas Segitiga

Pembelajaran Kognitif • • •

Kegiatan Psikomotorik

Aturan sinus. Aturan kosinus. Luas segitiga.

Menggambar segitiga beserta unsur-unsurnya.

Pengetahuan yang Dikuasai • • •

Menjelaskan dan menerapkan aturan sinus. Menjelaskan dan menerapkan aturan kosinus. Menentukan luas segitiga dan segi-n beraturan.

Keterampilan yang Dikuasai Terampil menggambar segitiga beserta unsurunsurnya.

Kemampuan dan Sikap yang Dimiliki • • •

124

Mampu menerapkan aturan sinus dan kosinus untuk menentukan unsur-unsur segitiga. Mampu menentukan luas segitiga dan segi-n beraturan. Berpikir disiplin dan kritis menerapkan rumus-rumus segitiga dalam kehidupan sehari-hari.

Rumus-Rumus Segitiga dalam Trigonometri

⇔ sin ∠P = sin 45° Jadi, besar ∠P = 45°.

A. Jawaban: e Aturan sinus: C

4. Jawaban: b ∠PRQ = 180° – (105 + 30)° = 45° Berlaku aturan sinus:

a

b

60°

A

45°

c

a sin ∠A

= sin ∠B

a b

= sin ∠B

⇔

a b

=

sin 60° sin 45°

⇔

a b

=

1 2 1 2

⇔

a:b=

⇔

B

⇔

3 2

=

3 :

1 2

2

5. Jawaban: a

2

A 12 cm

10 cm

2.

2. Jawaban: c Aturan sinus:

⇔

464 2 cm Q

464 2

=

1 2

P

⇔ Q R = 464 Jadi, panjang QR = 464 cm.

Jadi, perbandingan antara sisi a dan b adalah 3 :

QR

105°

30°

464 2 sin 45°

⇔ sin 30° =

sin ∠A

2

PQ

= sin ∠PRQ

QR

b

3

QR sin ∠RPQ

R

C

AC sin ∠B

= sin ∠A

BC

AC sin 30°

=

⇔

AC

⇔

AC =

1 2

=

AC sin ∠B

=

AB sin ∠C

⇔

12

=

4 2

⇔

15 =

1 2

⇔ sin ∠C =

10 sin ∠C 10 sin ∠C 2 3

4 2 sin 45°

2

PQ

= sin ∠R

⇔ sin ∠P = QR ⋅ sin ∠R PQ

1 2

1

Oleh karena sin ∠C = 3 maka: 1 5 cos ∠C = 5 = 3

3

1

Jadi, nilai cos ∠C = 3 5 . 6. Jawaban: c Aturan sinus: a sin ∠A

= sin ∠B

⇔

3 2 sin 30°

= sin ∠B

⇔

3 2 1 2

b

6

·

= 2 2

2 2

⇔ sin ∠B = ⇔

6

= sin ∠B

⇔ sin ∠B =

2

1 2

5

1 6( 2 ) A

C m 6c

30°

cm

=

2 ⋅ sin 30° 2 2⋅

C

2

2

=

3

3

=

4 5

2

4 2 2

⇔ AC = 4 Jadi, panjang AC = 4 cm. 3. Jawaban: b Aturan sinus: QR sin ∠P

B

Aturan sinus:

B

3 2

1 2

2

∠B = 45°

Matematika Kelas XI

125

tan ∠B = tan 45° = 1 Jadi, tan ∠B = 1. 7. Jawaban: c Perhatikan ∆ABD.

10. Jawaban: d

ab = c2 – a2 – b2 ⇔ ab + + b2 = c2 ⇔ c2 = a2 + b2 + ab Perhatikan segitiga ABC berikut. a2

AD sin ∠B

= sin ∠A

⇔

2 sin 30°

= sin 45°

⇔

2 1 2

⇔

BD

C

BD

=

A

BD = 2 2 BD sin ∠C

= sin ∠D

⇔

2 2 sin ∠C

= sin 60°

⇔

2 2 sin ∠C

=

BC

1

⇔ cos ∠C = – 2

4

⇔ ∠C = 120° Jumlah sudut segitiga = 180° ⇔ ∠A + ∠B + ∠C = 180° ⇔ ∠A + ∠B + 120° = 180° ⇔ ∠A + ∠B = 180° – 120° ⇔ ∠A + ∠B = 60° Jadi, pernyataan yang benar adalah ∠A + ∠B = 60°.

4 3 1

(2 2)( 2 3)

⇔

sin ∠C =

⇔

sin ∠C = 4 6

4

1

11. Jawaban: c

1

C

Jadi, sin ∠C = 4 6 .

2 cm

8. Jawaban: b Aturan kosinus: AC2 = AB2 + BC2 – 2(AB)(BC) cos ∠B = 42 + 62 – 2(4)(6) cos 120° 1 2

= 16 + 36 + 24 = 76

1

sin θ = 3, diperoleh:

cos2 θ = 1 – sin2 θ 1

⇔ cos2 θ = 1 – 9

2

9. Jawaban: c Pada ∆ABC berlaku aturan kosinus: a2 = b2 + c2 – 2bc cos ∠A Pada soal berlaku: a2 – b2 = c2 – bc ⇔ a2 = b2 + c2 – bc sehingga: 2bc cos ∠A = bc 1 2

⇔ ∠A = 60° Jadi, besar ∠A = 60°.

126

Q

8

Jadi, panjang AC = 2 19 cm.

cos ∠A =

B

2 2 cm

⇔ cos2 θ = 9

76

= 2 19

⇔

θ

A

= 16 + 36 – 48(– ) AC =

B

c

Pada ∆ABC berlaku aturan kosinus: c2 = a2 + b2 – 2ab cos ∠C . . . (2) Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh: ab = –2ab cos ∠C ⇔ 1 = –2 cos ∠C

2

Perhatikan ∆BCD.

1 2

a

b

BD 1 2

. . . (1)

Rumus-Rumus Segitiga dalam Trigonometri

⇔ cos θ = 3 2 AC2 = AB2 + BC2 – 2AB · BC · cos θ 2

⇔ AC2 = (2 2 )2 + 22 – 2(2 2 ) · 2 · 3 2 2

=8+4–8 2 ·3 2 32

= 12 – 3 4

= 3 ⇔ AC =

2 3

=

2 3

3 3

· 2

2

= 3 3

Jadi, panjang AC = 3 3 cm.

12. Jawaban: c cos ∠A = –cos (180 – ∠A) = –cos (∠B + ∠C)

10

cm

9

cm

8

= – 40

p =

A

=

80

p

α° 1

4 5

tan a° = 1 = = 4 5 1 Jadi, nilai tan a° = 4 5 .

9

= 64 + 100 – 2 · 8 · 10 · (– 40 )

15. Jawaban: b Pada segi empat tali busur lingkaran, jumlah dari besar sudut yang berhadapan adalah 180°. ∠ABC + ∠ADC = 180° → ∠ADC = 180 – θ Aturan kosinus pada ∆ABC dan ∆ACD: AC2 = AB2 + BC2 – 2AB · BC · cos θ . . . (1) AC2 = AD2 + CD2 – 2AD · CD cos(180° – θ) = AD2 + CD2 + 2AD · CD · cos θ . . . (2) Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh: AB2 + BC2 – 2AB · BC · cos θ = AD2 + CD2 + 2AD · CD · cos θ ⇔ 1 + 4 – 4 cos θ = 16 + 9 + 24 cos θ ⇔ 28 cos θ = –20

= 164 + 36 = 200 BC = 200 = 10 2

Jadi, panjang sisi BC = 10 2 cm. 13. Jawaban: a

A O

81 − 1

p

Pada ∆ABC berlaku aturan kosinus: BC2 = AB2 + AC2 – 2 · AB · AC · cos ∠A

6 30°

=

9

= 4 5

C

B

92 − 12

B

20

⇔

5

cos θ = – 28 = – 7 5

Jadi, nilai cos θ = – 7 . B. Uraian

Pada ∆AOB berlaku aturan kosinus: AB2 = OA2 + OB2 – 2 · OA · OB · cos ∠AOB = 62 + 62 – 2 · 6 · 6 · cos 30° = 36 + 36 – 2 · 36 ·

1 2

AB sin ∠C

1. a.

3

⇔

= 72 – 36 3

AB =

⇔

3)

= 36(2 –

36(2 − 3)

= 6 2− 3 Jadi, panjang sisi segi-12 beraturan adalah

6 2 − 3 cm. 14. Jawaban: b AB2 = OA2 + OB2 – 2(OA)(OB) cos α° ⇔ 42 = 32 + 32 – 2(3)(3) cos α° A ⇔ 16 = 9 + 9 – 18 cos α° 3 ⇔ 16 = 18 – 18 cos α° ⇔ –2 = –18 cos α° 1

⇔ cos α° = 9

O α°

4 3 B

3 sin 60° 3 1 2

3

=

AC sin ∠B

=

2 3 sin ∠B

=

2 3 sin ∠B

⇔ sin ∠B =

C 60°

B

2 3 cm A

3 cm

1

( 2 3)(2 3) 3

⇔ sin ∠B = 1 ⇔ ∠B = 90° ∠A + ∠B + ∠C = 180° ⇔ ∠A + 90° + 60° = 180° ⇔ ∠A + 150° = 180° ⇔ ∠A = 30° BC

AC sin ∠B

= sin ∠A

⇔

2 3 sin 90°

= sin 30°

⇔

2 3 1

BC

=

BC 1 2

⇔

BC =

1 (2 2

⇔

BC =

3

3)

Matematika Kelas XI

127

Jadi, ∠A = 30°, ∠B = 90°, ∠C = 60°, AB = 3 cm, ∠A + ∠B + ∠C = 180° ⇔ 120° + 30° + ∠C = 180° ⇔ 150° + ∠C = 180° ⇔ ∠C = 30° Oleh karena ∠B = ∠C = 30° (segitiga ABC sama kaki) maka AB = AC = 44 cm.

⇔

cm 44

3. a. C

⇔

4 + 2 15 sin ∠ACB 2 + 15 6

AB sin C 44 sin 30° 44

= = =

1 2

=

BC sin A BC sin 120° BC 1 3

2

44 1

=

PQ sin ∠R

⇔

10 sin ∠P

=

⇔

10 sin ∠P

=

⇔ sin ∠P =

BC = 44 3

.

15

15 sin 30°

AB = 44 cm, BC = 44 3 cm, dan AC = 44 cm.

=

9 −1

=

8

10

1 (10) 2

15

5 15

3

1 3

=

P

1

a

= 2 2

AC2 − AD2

a

2 2 3

=

62 − 42

cos ∠P = 3 =

=

36 − 16

Jadi, nilai cos ∠P = 3 2 . QR2 = PQ2 + PR2 – 2(PQ)(PR) cos ∠P ⇔ 52 = 32 + 72 – 2(3)(7) cos ∠P ⇔ 25 = 9 + 49 – 42 cos ∠P ⇔ –33 = –42 cos ∠P P

2

= 20 = 2 5 Perhatikan ∆BDC.

b.

CD

tan ∠B = BD ⇔ tan 30° = 1 3

3 =

2 5 BD 2 5 BD

BD =

2 5

=

2 5

1 3

1 3

33

7

3

11

Jadi, nilai cos ∠P = 14 . 4. a.

3

3

11

⇔ cos ∠P = 42 = 14

·

3 3

Q

5

Besar ∠ABC D

C

2 19

= 2 15

4 cm

AB = AD + BD = 4 + 2 15

A

6 cm

B

Perhatikan ∆ABD. BD2 = AB2 + AD2 – 2 · AB · AD · cos ∠A

128

R

1 2

32 − 12

a =

30°

Q

15

⇔ sin ∠P =

BC 3

2 + 15 6 P

Jadi, ∠A = 120°, ∠B = 30°, ∠C = 30°,

CD =

⇔

=

QR sin ∠P

2. Perhatikan ∆ADC.

⇔

4 + 2 15 sin ∠ACB

⇔ sin ∠ACB =

30°

⇔

1 2

=

120°

B

⇔

6

⇔

AB

= sin ∠ACB

Jadi, nilai sin ∠ACB =

A

⇔

AC sin ∠B 6 sin 30°

3 cm, dan AC = 2 3 cm.

BC = b.

Perhatikan ∆ABC.

Rumus-Rumus Segitiga dalam Trigonometri

R

⇔

b.

1 2

OA

cos ∠A = –

∠A = 120° ∠ABC + ∠BAD = 180° ⇔ ∠ABC + 120° = 180° ⇔ ∠ABC = 60° Jadi, besar ∠ABC = 60°. Panjang AC Perhatikan ∆ABC. AC2 = AB2 + BC2 – 2 · AB · BC · cos ∠ABC = 62 + 42 – 2 · 6 · 4 · cos 60°

O

60°

Kapal motor pertama berangkat dari O ke A. Jarak OA setelah 1 jam = 60 · 1 = 60 mil. Kapal motor kedua berangkat dari O ke B. Jarak OB setelah 1 jam = 65 · 1 = 65 mil. Jarak AB: AB2 = OA2 + OB2 – 2 · OA · OB · cos ∠AOB = 602 + 652 – 2 · 60 · 65 · cos 60° 1

= 3600 + 4225 – 2 · 60 · 65 · 2 = 3600 + 4225 – 3900 = 3925 AB =

28

=

= 2 7

B

VOB = 65 mil/jam

1 2

= 36 + 16 – 2 · 6 · 4 · = 52 – 24 = 28 AC =

A

V

⇔

5. =6 0m il/j am

⇔ ( 2 19 )2 = 62 + 42 – 2 · 6 · 4 · cos ∠A ⇔ 76 = 36 + 16 – 48 cos ∠A ⇔ 48 cos ∠A = 36 + 16 – 76 ⇔ 48 cos ∠A = –24

3925

25 ⋅ 157

= 5 157 Jadi, jarak kedua kapal motor setelah 1 jam adalah

Jadi, panjang AC = 2 7 cm.

5 157 mil atau sekitar 62,65 mil.

A. Pilihan Ganda

cos ∠A =

1. Jawaban: a Luas =

1 2

R

· p · q · sin 120°

1

15

1

3 = 2 · 8 · 15 · 2 = 30 3

cm

120°

8 cm

Jadi, nilai cos ∠A =

C

L = = B

Diketahui dua sisi dan akan dicari nilai kosinus sudut yang diapit dua sisi tersebut. L= ⇔

24 =

⇔

sin ∠A =

· b · c · sin ∠A · 8 · 12 · sin ∠A

1 2

2

3.

1

A

8 cm

1 2 1 2 1 2

3

3. Jawaban: c Diketahui ∠B = 120° dan ∠C = 30°, maka ∠A = 30°. Dari segitiga ABC diketahui dua sudut dan satu sisi di antara sudut tersebut, sehingga:

cm2.

12 cm

1 2

3

2. Jawaban: e

A

=

Q

P

Jadi, luas ∆PQR = 30 3

3 2

b2 sin ∠A sin ∠C 2 sin ∠B (8 3)2 ⋅ sin 30° ⋅ sin 30° 2 sin 120° 1 1

192 ⋅ 2 ⋅ 2

D

= 2⋅ 1 3 2 =

48 3

C 7

A

5

4 B

= 16 3 Jadi, luas segitiga ABC = 16 3 cm2.

Matematika Kelas XI

129

4. Jawaban: c AD = BC = 4 Perhatikan segitiga ABD.

Luas belah ketupat ABCD = 2 · luas ∆ACD = 2 · 36 3

1

= 72 3

1

Jadi, luas belah ketupat ABCD = 72 3 cm2.

s = 2 (AB + BD + AD) = 2 (5 + 7 + 4) 1

= 2 (16) = 8 LABD =

s(s − AB)(s − BD)(s − AD)

=

8(8 − 5)(8 − 7)(8 − 4)

=

8(3)(1)(4)

=

96

7. Jawaban: d Bidang empat beraturan yaitu limas yang semua bidang sisinya berbentuk segitiga sama sisi yang kongruen. Luas salah satu bidang sisi = L. 1

s = 2 (10 + 10 + 10) = 15 L = s(s − AB)(s − BD)(s − AD)

LABCD = 2 · LABD =2· 4 6 = 8 6 Jadi, luas jajargenjang tersebut 8 6 cm2. 5. Jawaban: b Misalkan: ∠A = 19x maka ∠B = 60x dan ∠C = 11x. ∠A + ∠B + ∠C = 180° ⇔ 19x + 60x + 11x = 180° ⇔ 90x = 180° ⇔ x = 2° ∠B = 60x = 60(2°) = 120° Luas ∆ABC = = =

1 2 1 2 1 2

· AB · BC · sin ∠B · 12 · 20 · sin 120° · 12 · 20 ·

1 2

3

=

15(15 − 10)(15 − 10)(15 − 10)

=

15 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5

=

1875

= 25 3 Luas bidang empat = 4 · L = 4 · 25 3 = 100 3 Jadi, luas bidang empat 100 3 cm2. 8. Jawaban: b Segitiga SPQ siku-siku di P: 1

LI = 2 · PQ · PS 1

= 2 · 12 · 5 = 30

= 60 3 Jadi, luas segitiga ABC = 60 3 cm2. 6. Jawaban: d

=

D 120° A

30° 30°

30°

12 3

C

B

1

AC2 ⋅ sin∠DAC ⋅ sin∠DCA 2 sin∠ADC (12 3)2 ⋅ sin 30° ⋅ sin 30° 2 ⋅ sin 120° 1 1

=

130

1

= 2 · QS · QR · sin ∠SQR = 2 · 13 · 8 · sin 150°

Perhatikan ∆ACD.

=

25 + 144

= 169 = 13 Luas segitiga SQR: LII

Luas ∆ACD =

PS2 + PQ2

QS =

432 ⋅ 2 ⋅ 2 1

2⋅ 2 3

= 36 3

Rumus-Rumus Segitiga dalam Trigonometri

1

= 52 · 2 = 26

Luas PQRS = LI + LII = 30 + 26 = 56 Jadi, luas PQRS = 56 cm2.

C

A

s(s − a)(s − b)(s − c) dengan

L=

= 4 6

D

B

9. Jawaban: c Perhatikan ∆PQS. ∠PQS = 180° – (∠SPQ + ∠QSP) = 180° – (90° + 60°) = 180° – 150° = 30° L∆PQS = =

QS2 ⋅ sin∠PQS ⋅ sin∠QSP 2 sin∠SPQ 202 ⋅ sin 30° ⋅ sin 60° 2 ⋅ sin 90° 1 1

=

400 ⋅ 2 ⋅ 2 3 2 ⋅1

12. Jawaban: a Segi-12 beraturan maka n = 12. 1

360

L = n · 2 R2 sin ( n )° 1

360

= 12 · 2 · 82 · sin ( 12 )° 1

= 12 · 2 · 82 · sin 30° 1

1

= 12 · 2 · 82 · 2 = 192 Jadi, luas segi-12 tersebut 192 cm2. 13. Jawaban: b

= 50 3

F

E

Luas layang-layang = 2 · luas ∆PQS = 2 · 50 3

O

A

D

= 100 3 Jadi, luas layang-layang PQRS = 100 3 cm2. 10. Jawaban: e Segi-8 beraturan maka n = 8. 1

360

Luas = n · 2 R2 sin ( n )° 1

= 8 · 2 r2 sin 45° 1

1

= 8 · 2 r2 · 2 2 = 2r2 2 Jadi, luas segi-8 tersebut 2r2 2 . 11. Jawaban: d L = s(s − a)(s − b)(s − c) K = 43 → c = K – a – b = 43 – 18 – 10 = 15 s=

1 2

K

=

1 2

· 43

= 21,5 L = =

21,5(21,5 − 18)(21,5 − 10)(21,5 − 15) 21,5 ⋅ 3,5 ⋅ 11,5 ⋅ 6,5

= 5624,94 = 74,9996 ≈ 75 Jadi, luas segitiga ABC = 75 cm2.

B

C

AB = BC = CD = DE = EF = AF = 7 cm ∠AOB =

360° 6

= 60°

Perhatikan segitiga AOB. AO = BO ∠A + ∠B + ∠O = 180° ⇔ 2∠A + 60° = 180° ⇔ 2∠A = 120° ⇔ ∠A = 60° ∠A = ∠B = ∠O = 60° (segitiga sama sisi) sehingga AO = BO = 7 cm. 1

LAOB = 2 · AO · BO · sin ∠AOB =

1 2 1

O

· 7 · 7 · sin 60° 1

= 2 ·7·7· 2 3 A = 21,19 Lsegi enam = 6 · LAOB = 6 · 21,19 = 127,14 22

B

22

Llingkaran = π × r2 = 7 · AO = 7 · 72 = 154 Larsiran = Llingkaran – Lsegi enam = 154 – 127,14 = 26,86 Jadi, luas daerah arsiran 26,86 cm2.

Matematika Kelas XI

131

14. Jawaban: a

B. C

Uraian

1. a.

Sin ∠M M

D

3

5 cm

6 cm

A

4

KL2 = KM2 + LM2 – 2 · KM · LM · cos ∠M ⇔ 32 = 62 + 52 – 2 · 6 · 5 · cos ∠M ⇔ 9 = 36 + 25 – 60 · cos ∠M ⇔ 60 cos ∠M = 61 – 9

∠BAC = 60° → ∠BAD = ∠CAD = 30° L∆ABC = L∆ABD + L∆ACD ⇔

1 AB 2

1

· AC · sin 60° = 2 AB · AD · sin 30° + 1 AC 2

⇔

1 2

1

· AD · sin 30°

1

1

52

⇔

1

· 4 · 3 · 2 3 = 2 · 4 · AD · 2 + 2 · 3 · AD ·

L

3 cm

K

B

1− cos2 ∠M

sin ∠M =

1 2

⇔

3 3 = AD + 4 AD

13 = 1 −    15 

⇔

7 AD 4

169 = 1−

3

= 3 3

AD = 3 3 · 7 12

= 7 Jadi, panjang AD =

12 7

3

2

= 15 14

3 cm.

2

cos ∠B = = = = ⇔

b. 2

∠B = 120° 1

L∆ABC = 2 · AB · BC · sin ∠B 1

= 2 · 5 · 5 · sin 120° 1

25 = 2 · 2 3

=

25 4

Luas = 2 · KM · LM · sin ∠M 1

3

25

= 4

Jadi, luas ∆KLM = 2 14 cm2. 2.

∠A + ∠B + ∠C = 180° ⇔ 30° + 105° + ∠C = 180° ⇔ 135° + ∠C = 180° ⇔ ∠C = 45° L∆ABC =

=

3·8

= 50 3 Jadi, volume prisma 50 3 cm3.

Rumus-Rumus Segitiga dalam Trigonometri

2

= 2 · 6 · 5 · 15 14 = 2 14

=

Volume prisma = L∆ABC · tinggi

132

Jadi, besar sin ∠M = 15 14 . Luas ∆KLM 1

2

BC + AB − AC 2BC · AB 25 + 25 − 75 2 ⋅ 5 ⋅ 5 25 – 50 1 –2

56 225

=

15. Jawaban: e Perhatikan ∆ABC. 2

2

225

4

⇔

13

cos ∠M = 60 = 15

=

AC2 ⋅ sin ∠A ⋅ sin ∠C 2 sin ∠B 42 ⋅ sin 30° ⋅ sin 45° 2 sin 105°

16 ⋅ 2 ⋅ 1( 4 1 ( 2

1 2

⋅

1 2

2

6 + 2)

4 2 6 + 2)

=

8 2 6+ 2

=

8 2 − 16 6−2

9 cm Luas ∆ABC =Eluas ∆AQB + luas ∆BQCD+ luas ∆CQA. 30° 30° Oleh karena ∆AQB, ∆BQC, dan ∆CQA saling 120° 120° 120° = luas ∆BQC = luas kongruen maka luas ∆AQB 30° 30° 30° 30° A∆CQA, sehingga: 9 cm 9 cm B C luas ∆ABC = 3 · luas ∆AQB

6− 2 6− 2

·

= 8(2 3) − 16 =4 3 –4

p

p

1

3

p

s

· 3 · 3 · =3· 2 · 3 · 3 2 6s 3

= 3s ⇔ p =

·

3 3

= 2s 3

Jadi, p = 2s 3 .

C

D

p 3 2

⇔

Jadi, luas ∆ABC = 4( 3 – 1) cm2. 5.

6 cm

A

1 2

⇔

= 4( 3 – 1) 3.



1

1

⇔ 2 · AB · CA · sin 60° = 3  2 · AB · QD  

4

120° B

8 cm

Perhatikan ∆ABE.

BC = AD = 6 cm. LABCD = LABC + LACD = 2 · LABC

Luas ∆ABE = =

1

= 2 · 2 · AB · BC · sin ∠ABC

=

1

AB2 ⋅ sin ∠EAB ⋅ sin ∠EBA 2 ⋅ sin ∠AEB 92 ⋅ sin 30° ⋅ sin 30° 2 ⋅ sin 120°

81 ⋅ 2 ⋅

= 2 · 2 · 8 · 6 · sin 120° 1

1

=2· 2 ·8·6· 2 3

=

= 24 3

=

Jadi, luas jajargenjang ABCD = 24 3 cm2. 4. AB + BC + CA = p Oleh karena ∆ABC sama sisi diperoleh:

=

27

a.

AB = BC = CA =

b.

QD + QE + QF = s;

c.

QD = QE = QF = 3 .

s

F

Q

=3· 4

E

A

B

D

2 sin ∠B

=

⇔

2 sin ∠B

=

BC

⇔

2 sin ∠B

= 2 2

6 sin 60° 1 2

81 4

3

81 3 · 4 3 3 81 3 12 27 3 4

3

6

6 3 60° A

2

C

81

Jadi, luas trapesium 12 3 cm2.

⇔

1. Jawaban: d

⇔

3

=

81

B

= sin ∠A

1 2

= 12 3

A. Pilihan Ganda AC sin ∠B

⋅

Luas trapesium = 3 · luas ∆ABE

C

p ; 3

1 2 1 2

1

sin ∠B = 2 ⇔ ∠B = 30° ∠A + ∠B + ∠C = 180° ⇔ 60° + 30° + ∠C = 180° ⇔ ∠C = 90° (siku-siku) 2 2 2 AB = AC + BC = ( 2 )2 + ( 6 )2 =2+6 =8

Matematika Kelas XI

133

8

AB =

Jadi, panjang sisi AB = 2 2 cm. 2. Jawaban: c =

⇔

10 sin ∠C

= sin 30°

⇔

10 sin ∠C

=

10 sin ∠C

= 30

a sin ∠A

15

15 1 2

=

=

8

1 p

C

= 2 2 p

2 2 3

Jadi, nilai cos ∠C = 3 =

2

8 cm

45°

AB sin 45°

= sin 60°

AB 1 2

B

BC sin ∠BAC

= sin ∠ABC

3

4 2 sin ∠BAC

8 sin 45°

2

4 2⋅

C 45°

AC

75°

=

⇔

AB AC

=

⇔

AB AC

=

AC 1 2

3

1 2 1 2

2 3 2 3

Jadi, perbandingan antara sisi AB dan AC adalah

1 2

2

8

1

= 2

∠BAC = 30°

tan ∠BAC = tan 30° =

1 3

3

Jadi, nilai tan ∠BAC =

1 3

3.

4. Jawaban: d ∠C = 180° – (∠A + ∠B) = 180° – (30° + 60°) = 90°

2 :

3.

6. Jawaban: b Perhatikan ∆ABC. AC =

AB2 + BC2

=

22 + 42

=

4 + 16

=

20

= 2 5 AD

AD

AB

AB

c

sin ∠ABD = AB ⇔ sin a° = AB

sin ∠A

sin ∠ACB = AC ⇔ sin a° = AC

a sin ∠A

= sin ∠C

⇔

a c

= sin ∠C

⇔

a c

= sin 90°

B

A

AC

AC

⇔ sin ∠BAC =

134

= sin ∠B

⇔

4 2 cm

Pada ∆ABC berlaku aturan sinus:

⇔

AB sin ∠C

⇔

C

=

1 2 1 2

5. Jawaban: d ∠A + ∠B + ∠C = 180° ⇔ 75° + ∠B + 45° = 180° ⇔ ∠B + 120° = 180° ⇔ ∠B = 60° Aturan sinus:

= 3 2.

3. Jawaban: b

⇔

2⋅

Jadi, panjang sisi b = 2 3 cm. 3

A

2 ⋅ sin 60° sin 30°

= 2 3

32 − 12 9 −1

a sin ∠B

b

= sin ∠B ⇔ b = sin ∠A =

1

=

2

a = 3 · 6 = 2 cm dan c = 3 · 6 = 4 cm.

AC sin ∠B

sin ∠C = 3

p =

1

1

1

AB sin ∠C

⇔

=

1 2

= 2 ⇔ a:c=1:2 Diperoleh a : c = 1 : 2.

= 2 2

⇔

a c

⇔

sin 30°

Rumus-Rumus Segitiga dalam Trigonometri

. . . (1) . . . (2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh: AD AB

= AC

AD 2

=

2 2 5

⇔ AD = ⇔ AD =

⇔

9. Jawaban: d

AB

AC sin ∠B

=

BC sin ∠A

⇔

AC =

sin ∠B sin ∠A

· BC

2(2) 2 5

⇔

=

sin 60° sin 30°

· BC

2 5

⇔

=

⇔

=

1 2

2

⇔ AD = 5 5 Jadi, panjang AD = 7. Jawaban: c

a + b = 10 ⇔ a = 10 – b

a 45°

30°

B

c

a sin ∠A a sin 30°

⇔

= =

10 − b

⇔

5 cm.

C

b A

2 5

=

1 2

⇔ 10 2 – b

b sin ∠B b sin 45° 2

· BC

3 BC

Misalkan: vA = kecepatan orang yang berjalan dari A vB = kecepatan orang yang berjalan dari B Mereka sampai di titik C bersamaan berarti waktu tempuhnya (t) sama, sehingga: tA = tB ⇔

AC vA

=

BC vB

⇔

3 BC vA

=

BC vB

⇔

b 1 2

3 1 2

vA =

3 vB

Jadi, kecepatan berjalan orang dari A haruslah 3 kali kecepatan berjalan orang dari B.

2 =b

⇔

10 2 = b(1 +

⇔

b=

⇔

b = 10 2 − 20

⇔

b = 20 − 10 2

⇔

b = 20 – 10 2

10 2 1+ 2

2) 1− 2 1− 2

·

10. Jawaban: d Aturan kosinus: AC2 = AB2 + BC2 – 2 · AB · BC · cos ∠B = 122 + 92 – 2 · 12 · 9 · cos 120° 1

1− 2 1

Jadi, panjang sisi b = 20 – 10 2 . 8. Jawaban: a

= 144 + 81 – 2 · 12 · 9 · (– 2 ) = 144 + 11 + 108 = 333 AC = 333 = 9 ⋅ 37 = 3 37

C

Jadi, panjang sisi AC = 3 37 cm. 11. Jawaban: b

45°

⇔ ⇔

p

A

B

⇔

C

30°

BC sin ∠A BC sin 30° BC 1 2

BC AC

= = = =

AC sin ∠B AC sin 45° AC 1 2

2

1 2

Jadi, perbandingan antara sisi BC dan AC adalah 1: 2.

2p 120°

A

B

Berlaku aturan kosinus: AB2 = AC2 + BC2 – 2 · AC · BC · cos 120° 1 = p2 + (2p)2 – 2 · p · 2p ·  −   2

= p2 + 4p2 + 2p2 = 7p2 AB =

7p

Jadi, panjang AB =

7 p. Matematika Kelas XI

135

12. Jawaban: b

QS = 64 = 8 Menentukan panjang QR menggunakan aturan sinus.

B a

2 cm 60° A

a2

C

3 cm

⇔

= + – 2bc cos ∠A = (3)2 + (2)2 – 2(3)(2) cos 60° b2

c2

= 13 – 12 · ⇔

1 2

⇔

=7

(2)2

)2

=( 7

=

8 1 2

QR = 8 3

+

(3)2

16. Jawaban: a A

– 2( 7 )(3) cos ∠C

5

3

C

2

cos ∠C = 7 7

13. Jawaban: b Q

2a

⇔

3 cm

a cm

17. Jawaban: a Dimisalkan panjang sisi segitiga 2a, 3a, dan 4a. Sudut terbesar berada di depan sisi terpanjang yaitu ∠B.

R

PQ2 = PR2 + QR2 – 2 · PR · QR · cos ∠R = a2 + ( 2a 3 )2 – 2 · a · 2a 3 · cos 30° 1

cos ∠B =

= a2 + 12a2 – 4a2 3 · 2 3 = 13a2 – 6a2 = 7a2 PQ =

=

7a2 = a 7

Jadi, panjang PQ = a 7 cm. 14. Jawaban: c QR2 = PQ2 + PR2 – 2 · PQ · PR · cos ∠P ⇔ 62 = 52 + 72 – 2 · 5 · 7 · cos ∠P P ⇔ 36 = 25 + 49 – 70 cos ∠P 25 + 49 − 36 70 38 19 ⇔ cos ∠P = 70 = 35 19 Jadi, nilai cos ∠P = 35 .

cos ∠P =

=

+ (8 2

)2

(AB)2 + (BC)2 − (AC)2 2(AB)(BC)

C

(2a)2 + (3a)2 − (4a)2 2(2a)(3a) 2

2

=

4a + 9a − 16a 12a2

=

−3a2 12a2

4a 3a

2

1

=–4

A

2a

1

A 7 cm

Q 6 cm

– 2 · 8 · 8 2 · cos 45° 1

= 64 + 128 – 128 2 · 2 2 = 192 – 128 = 64 Rumus-Rumus Segitiga dalam Trigonometri

R

B

Jadi, nilai kosinus sudut terbesar adalah – 4 . 18. Jawaban: d

5 cm

15. Jawaban: b Menentukan panjang QS pada ∆PQS. QS2 = PQ2 + PS2 – 2PQ · PS · cos ∠QPS 82

1

cos ∠A = – 2

⇔ ∠A = 120° Jadi, besar sudut ∠A = 120°.

30°

P

B

7

a2 = b2 + c2 – 2bc · cos ∠A ⇔ 72 = 52 + 32 – 2 · 5 · 3 cos ∠A ⇔ 49 = 25 + 9 – 30 cos ∠A ⇔ 30 cos ∠A = 34 – 49 ⇔ 30 cos ∠A = –15

2

Jadi, nilai cos ∠C = 7 7 .

136

3

QS sin 30°

4 = 7 + 9 – 6 7 cos ∠C

⇔

⇔

QR 1 2

=

Jadi, panjang QR adalah 8 3 cm.

a= 7 c2 = a2 + b2 – 2ab cos ∠C

⇔

⇔

QR sin 60°

20 120° O

B 10

Jarak OA = kecepatan × waktu = 60 mil/jam × 20 menit = 20 mil

Jarak OB = kecepatan × waktu = 30 mil/jam × 20 menit = 10 mil AB2 = OA2 + OB2 – 2(OA)(OB) cos ∠O = 202 + 102 – 2(20)(10) cos 120° 1

= 400 + 100 – 2(20)(10)(– 2 ) = 400 + 100 + 200 = 700 AB =

700 = 10 7

Aturan kosinus: BC2 = AB2 + AC2 – 2 · AB · AC · cos ∠A = 122 + 162 – 2 · 12 · 16 · cos 60° 1

= 144 + 256 – 2 · 12 · 16 · 2 B = 400 – 192 12 cm = 208 A BC = 208 = 4 13 16 cm Jadi, panjang sisi BC = 4 13 cm.

Jadi, jarak kedua kapal 10 7 mil.

23. Jawaban: b E

19. Jawaban: b 1

L = 2 · AB · AC · sin ∠A =

1 2

=

1 2

· 14 · 12 ·

10 O

F

2

1

Luas ∆KLM = 2 · KM · LM · sin ∠M 1

⇔

80 = 2 · 20 · LM · sin 150°

⇔

80 = 10 · LM · 2 80 = 5 · LM LM = 16

1

1 2

⇔

40 =

⇔

40 = 80 sin ∠C

⇔ ⇔

40

1

Jadi, besar ∠C = 30°. 22. Jawaban: d L=

1 2 1 2

1

1

1

= 6 · 2 · 10 · 2 3 = 150 3 Jadi, luas segi enam tersebut 150 3 cm2. 24. Jawaban: c cos ∠B =

AB2 + BC2 − AC2 2AB ⋅ BC

=

4a2 + 4a2 − a2 2 ⋅ 2a ⋅ 2a

=

7a2 8a2

7

B

= 8

82 − 72 8

sin ∠B =

8

=

64 − 49 8

7

1 = 8 15

1

L∆ABC = 2 · AB · BC · sin ∠B 1 1 = 2 · 2a · 2a · 8 15 1

· AB · AC · sin ∠A

⇔

48 3 =

⇔

48 3 = 96 sin ∠A 1

B

= 6 · 2 · AB · AO sin 60°

· 10 · 16 · sin ∠C

sin ∠C = 80 = 2 ∠C = 30°

60°

Luas segi enam ABCDEF = 6 · L ∆ABO

1

L∆ABC = 2 · AC · BC · sin ∠C

10

10

A

Jadi, panjang sisi LM = 16 cm. 21. Jawaban: b

10

60°

Jadi, luas segitiga ABC = 42 2 cm2. 20. Jawaban: b ∠K + ∠L + ∠M = 180° ⇔ 10° + 20° + ∠M = 180° ⇔ ∠M = 150°

C

10

10

= 42 2

⇔ ⇔

D

10

10

· 14 · 12 · sin 45° 1 2

C

· 12 · 16 · sin ∠A

⇔ sin ∠A = 2 3 ⇔ ∠A = 60°

= 4 a2 15 Volume prisma = L∆ABC · AD 1

= 4 a2 15 · 4 = a2 15 Jadi, volume prisma adalah a2 15 cm3.

Matematika Kelas XI

137

25. Jawaban: d s=

1 (AB 2

+ BD + AD)

A

1

6

= 2 (6 + 14 + 10) 1

10

= 2 3 +2

C

=2·

15(9)(1)(5)

=2·

15(45)

=2·

(15)(15)(3)

Jadi, panjang AB = 2( 3 + 1) cm. 2.

60°

30°

⇔

B

60 m

AC sin ∠CBA

=

AC = =

B. Uraian

AC sin ∠ACB AB ⋅ sin ∠CBA sin ∠ACB 60 ⋅

1 2

1

= 30

Panjang AC AC sin ∠B AC sin 45°

AC 1 2

2

= =

AD

sin ∠ACD = AC

BC sin ∠A

⇔

1

= 30 · 2 3 = 15 3

= 2 16 2

Jadi, lebar sungai 15 3 m.

⇔

AC 2

⇔

AC = 2 12

3. ∠A + ∠B + ∠C = 180° ⇔ ∠A + ∠B = 180° – ∠C

= 2 6

9

cos (∠A + ∠B) = 40

Jadi, panjang AC = 4 3 cm. Panjang AB ∠A + ∠B + ∠C = 180° ⇔ 30° + 45° + ∠C = 180° ⇔ ∠C = 105°

⇔

AB sin ∠C

=

BC sin ∠ A

AB sin 105°

=

2 2 sin 30°

AB 2 2 = 1 sin 75°

⇔

2

AB 1 ( 4

AD = AC · sin ∠ACD = 30 · sin 60°

2 6 sin 30°

= 4 3

138

E

60°

Jadi, luas jajargenjang tersebut 30 3 cm2.

⇔

C

D

A

= 30 3

b.

2

2)·

= 12 + 2

s(s − AB)(s − BD)(s − AD) 15(15 − 6)(15 − 14)(15 − 10)

⇔

=( 6 +

= 2( 3 + 1)

=2·

⇔

2)· 4 2

D

= 2 · 15 5

1. a.

AB = 4 ( 6 +

14

B

= 2 (30) = 15 LABCD = 2 · LABD =2·

1

⇔

6 + 2)

=

2 2 1 2

Rumus-Rumus Segitiga dalam Trigonometri

9

⇔ cos (180° – ∠C) = 40 9

⇔

–cos ∠C = 40 9

⇔

cos ∠C = – 40

AB2 = AC2 + BC2 – 2(AC)(BC) cos ∠C 9

= 82 + 102 – 2(8)(10) (– 40 ) = 64 + 100 + 36 = 200 AB =

200 = 10 2

Jadi, panjang sisi AB = 10 2 cm.

4.

∠P + ∠Q + ∠R = 180° ⇔ ∠P + 80° + 55° = 180° ⇔ ∠P = 45°

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

1

L∆ABC = 2 · PQ · PR · sin ∠P 1

= 2 · 15 · 18 · sin 45° 1

PQ2 = PR2 + QR2 – 2PR · QR · cos ∠P 122 = 162 + 262 – 2 · 16 · 26 · cos ∠P 144 = 256 + 676 – 832 · cos ∠P 144 = 932 – 832 · cos ∠P 832 cos ∠P = 788

⇔

cos ∠P =

788 832

=

197 208

1

= 2 · 15 · 18 · 2 2 135

2

= 2

Jadi, luas segitiga PQR = 5. a.

135 2

2 cm2.

b.

AC sin ∠B

=

BC sin ∠A

20 sin 60°

=

BC sin 45°

⇔ ⇔

20 1 2

=

3

BC =

1 2

1 2

20 2 3

=

20 6 3

Jadi, panjang BC = Luas ∆ABC L∆ABC

= = =

L =

2

3

=

1 2 1 2

1

= 2 (12 + 26 + 16) = 27

2

20 ⋅

20 6 3

200 6 3

20 6 3

27(27 − 12)(27 − 26)(27 − 16)

=

27 ⋅ 15 ⋅ 1 ⋅ 11

=

9 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 11

=

92 ⋅ 5 ⋅ 11

7. ∠BCA = 180° – (30° + 90°) = 60° cm.

Luas persegi panjang ABCD = 36 3

· sin 75°

· 0,96

= 64 6

⇔

2 · luas ∆ABC = 36 3

⇔

Luas ∆ABC = 18 3

Luas ∆ABC =

BC2 ⋅ sin ∠ABC ⋅ sin ∠BCA 2 sin ∠CAB

⇔

18 3 =

BC2 ⋅ sin 90° ⋅ sin 60° 2 sin 30°

⇔

18 3 =

⇔

18 3 =

⇔

BC2 2

1

Jadi, luas segitiga ABC = 64 6 cm2. 6. a.

=

Jadi, luas ∆PQR = 9 55 cm2.

· AC · BC · sin ∠C · 20 ·

s(s − PQ)(s − QR)(s − PR)

= 9 55

3 3

·

.

s = 2 (PQ + QR + PR)

BC 1 2

Luas ∆PQR

197 208

1

Panjang BC ∠B = 180° – 55° – 75° = 60° Pada segitiga ABC berlaku:

⇔

b.

Jadi, nilai cos ∠P =

Cos ∠P R

⇔ ⇔

26 cm 16 cm

BC2 ⋅ 1⋅ 2 3 2⋅ BC2 2

1 2

3

= 18

BC2

= 36 BC = 6

Luas ABCD = 36 3 P

12 cm

Q

⇔

AB · BC = 36 3

⇔

AB · 6 = 36 3

⇔

AB = 6 3

Jadi, ukuran panjang 6 3 cm dan lebar 6 cm.

Matematika Kelas XI

139

8.

b.

T

L∆ABO : Llingkaran O 1 1 22 = ( 2 · OA2 · 2 3 ) : ( 7 · OA2) 1

22 = 4 3 : 7 C

A

= 7 3 : 88 Jadi, perbandingan luas ∆ABO dan luas

18 cm

lingkaran O adalah 7 3 : 88.

B

10. Oleh karena panjang AC = BC maka segitiga ABC sama kaki dengan ∠BAC = ∠ABC = 30°. ∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = 180° ⇔ 30° + 30° + ∠ACB = 180° ⇔ ∠ACB = 120° Segitiga ABC sebangun dengan segitiga OBE, sehingga:

Perhatikan ∆ABC. ∠A = ∠B = ∠C ⇔ ∠A + ∠B + ∠C = 180° ⇔ 3∠A = 180° ⇔ ∠A = 60° 1

LABC = 2 · AB · AC · sin ∠A

DE AC

= BC

⇔

DE 6

= 1+ 2

⇔

DE 6

1

= 2 · 18 · 18 · sin 60° 1

1

= 2 · 18 · 18 · 2 3

C

A

= 81 3 LT.ABC = 4 · LABC = 4 · 81 3

B

= 324 3

Jadi, luas bangun T.ABC = 324 3 cm2. 9. a.

Perhatikan bahwa ∆ABO merupakan segitiga sama kaki, sehingga: ∠BOA = 180° – 2 · ∠OAB = 180° – 2 · 30° = 120° L∆ABO =

1 2

· OA · OB · sin 120°

1

1

= 2 · 702 · 2 3 =

1 4

· 4.900 3

= 1.225 3 Jadi, luas ∆ABD = 1.225 3 cm2.

140

Rumus-Rumus Segitiga dalam Trigonometri

BE

1

1

= 3 ⇔ DE = 2 ∠BED = ∠ACB = 120° (sehadap) LADEC = LABC – LBED 1

1

= 2 · AC · BC · sin ∠ACB – 2 · DE · BE · sin ∠BED 1

1

= 2 · 6 · 6 · sin 120° – 2 · 2 · 2 · sin 120° 1

1

= 18 · 2 3 – 2 · 2 3 = 9 3 –

3

= 8 3 Jadi, luas segi empat ADEC = 8 3 cm2.

A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: b Persamaan garis yang melalui titik (0, 3) dan (4, 0) adalah 3x + 4y = 12. Daerah penyelesaian di kanan dan pada garis 3x + 4y = 12 maka pertidaksamaannya 3x + 4y ≥ 12. Persamaan garis yang melalui titik (0, 3) dan (4, 4) sebagai berikut. − −

⇔

−

= −

x=



=y–3

2. Jawaban: b Garis 3x + 2y = 24 melalui titik (0, 12) dan (8, 0). Daerah penyelesaian 3x + 2y ≥ 24 di kanan garis 3x + 2y = 24. Garis 3x + 4y = 48 melalui titik (0, 12) dan (16, 0). Daerah penyelesaian 3x + 4y ≤ 48 di kiri garis 3x + 4y = 48. Daerah penyelesaian y ≥ 4 di atas garis y = 4. Daerah penyelesaian SPtLDV sebagai berikut. Y 12

X 16 3x + 4y = 48 3x + 2y = 24

Titik Pojok (0, 5) (0, 2) (3, 0) (

,

5)

f(x, y) = 10x – 3y 10 · 0 – 3 · 5 = –15 10 · 0 – 3 · 2 = –6 10 · 3 – 3 · 0 = 30 10 ·



– 3 · 5 = 40 (maksimum)

Jadi, nilai maksimumnya 40. 4. Jawaban: d Diketahui: x = banyak ikan lele yang dibeli (kg) y = banyak ikan kakap yang dibeli (kg) Harga pembelian ikan lele dan ikan kakap tidak boleh melebihi modal yang dimiliki penjual ikan, maka: 10.000x + 15.000y ≤ 600.000 . . . (1) ⇔ 2x + 3y ≤ 120 Jumlah berat ikan lele dan ikan kakap yang dibeli tidak lebih dari 50 kg, maka: ⇔ x + y ≤ 50 . . . (2) Banyak ikan lele yang dibeli tidak kurang dari 8 kg maka x ≥ 8 . . . (3) Banyak ikan kakap yang dibeli tidak kurang dari 5 kg maka y ≥ 5 . . . (4) Dari pertidaksamaan (1), (2), (3), dan (4) diperoleh sistem pertidaksamaan: 2x + 3y ≤ 120 x + y ≤ 50 x≥8 y≥5 Jadi, model matematika yang sesuai adalah pilihan d.

4 8



⇔

Garis y = 5 dan 2x – y = 6 berpotongan di titik ( , 5). Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 10x – 3y.

⇔ x = 4y – 12 ⇔ 4y – x = 12 Daerah penyelesaian di kanan dan pada garis 4y – x = 12 maka pertidaksamaannya 4y – x ≤ 12. Daerah penyelesaian di kanan dan pada sumbu Y dan di kiri garis x = 4 maka 0 ≤ x ≤ 4. Jadi, sistem pertidaksamaannya 3x + 4y ≥ 12, 4y – x ≤ 12, 0 ≤ x ≤ 4.

0

3. Jawaban: b Persamaan garis yang melalui titik (0, 5) dan sejajar sumbu X adalah y = 5. Mencari titik potong garis 2x – y = 6 dan y = 5. Substitusikan y = 5 ke dalam persamaan 2x – y = 6 diperoleh: 2x – 5 = 6 ⇔ 2x = 11

Jadi, daerah penyelesaiannya ditunjukkan oleh daerah II.

Matematika Kelas XI

141

a2 + b2 + c2 = (–4)2 + (–2)2 + 12 = 16 + 4 + 1 = 21 Jadi, a2 + b2 + c2 = 21.

5. Jawaban: c Misalkan: x = banyak bus y = banyak minibus Kendaraan

Banyak

Daya Angkut

Harga Sewa

Bus Minibus

x y

50 30

900.000 500.000

Pembatas

8

300



Model matematika permasalahan tersebut adalah meminimumkan fungsi objektif f(x, y) = 900.000x + 500.000y dengan kendala: x+y≥8 50x + 25y ≥ 300 ⇔ 2x + y ≥ 12 x≥2 y≥2 Daerah penyelesaian SPtLDV sebagai berikut. x=2

Y 12

C

8

B

4

A

y=2

2

2

0

4

8

6

X x+y=8

2x + y = 12

Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 900.000x + 500.000y. Titik A(6, 2) B(4, 4) C(2, 8)

f(x, y) = 900.000x + 500.000y 900.000 × 6 + 500.000 × 2 = 6.400.000 900.000 × 4 + 500.000 × 4 = 5.600.000 900.000 × 2 + 500.000 × 8 = 5.800.000

Nilai minimum f(x, y) = 900.000x + 500.000y adalah 5.600.000 Jadi, biaya sewa minimum yang dikeluarkan sekolah Rp5.600.000,00. 6. Jawaban: b

 −      =  −      Berdasarkan kesamaan matriks diperoleh: a = –4 3b = –6 ⇔ b = –2 5c = 5 ⇔ c = 1

142

Ulangan Akhir Semester

7. Jawaban: b

    3P – 2Q = 3   – 2  −   − −       =   –  −  − −      −  =    − −  8. Jawaban: e PQT = R

   −    −   =      −    ⇔  − −  =     Diperoleh: 12x = 96 ⇔ x=8 4x – 22y = 10 ⇔ 4 · 8 – 22y = 10 ⇔ –22y = –22 ⇔ y=1 2x + 3y = 2(8) + 3(1) = 19 ⇔

−  −  −  − 

9. Jawaban: a

 −    P = 2  – 3  − −   −     −    =   –  − −   −     − −  =     Determinan matriks P: |P| =

− − = –45 – (–28) = –17

10. Jawaban: b

 −   − − X   =       − −  −   −   − −  −  ⇔ X   =             

 − − ⇔ XI =   ·   − − ⇔

X=–



 −   − −  

 − −  −     − −   

=–



+   − +  − − −   

=–



 −   − −  

14. Jawaban: e (f D g)(x) = f(g(x)) = f(2x – 1) − +

+

Misalkan y = (f D g)(x)

11. Jawaban: e 1) f(x) = 5 bukan fungsi bijektif karena untuk y ≠ 5 tidak mempunyai kawan dengan x di daerah asal. Jadi, f(x) = 5 bukan fungsi bijektif 2) f(x) = 3 – 4x merupakan fungsi bijektif karena untuk setiap y ∈ daerah kawan mempunyai tepat satu kawan di daerah asal. Jadi, f(x) = 3 – 4x merupakan fungsi bijektif 3) f(x) = 10 – x2 bukan fungsi bijektif karena untuk y > 10, tidak mempunyai kawan dengan x di daerah asal. Jadi, f(x) = 10 – x2 bukan fungsi bijektif. f(x) = − bukan fungsi bijektif karena untuk y < 0 tidak mempunyai kawan dengan x di daerah asal.

Jadi, f(x) = − bukan fungsi bijektif. 5) f(x) = x3 merupakan fungsi bijektif karena untuk setiap y ∈ daerah kawan mempunyai tepat satu kawan di daerah asal. Jadi, f(x) = x3 merupakan fungsi bijektif. Jadi, fungsi yang termasuk fungsi bijektif 2) dan 5). 12. Jawaban: b f(x)=

+ , −

+

⇔ y = − ⇔ 2xy – 7y = 2x + 3 ⇔ 2xy – 2x = 7y + 3 ⇔ x(2y – 2) = 7y + 3 ⇔



Misalkan y = f(x) ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

+

y = − y(2x – 1) = 3x + 4 2xy – y = 3x + 4 2xy – 3x = y + 4 x(2y – 3) = y + 4

+

+

Jadi, (f D g)–1(x) = − untuk x ≠ 1. 15. Jawaban: c 1) f(x) = 4x Misalkan y = f(x) ⇔ ⇔



x=

⇔ f–1(x) = 2)



g(x) = x

Misalkan y = h(x) ⇔

y= x ⇔ 8y = x ⇔ x = 8y ⇔ g–1(x) = 8x

h(x) = x – 4 Misalkan y = h(x) ⇔ y=x–4 ⇔ x=y+4 ⇔ h–1(x) = x + 4 (h–1 D g–1 D f–1)(x) = (h–1 D g–1)((f–1)(x))



= (h–1(g–1( ))

+





f–1(x) = − , x ≠

13. Jawaban: d (h D g D f)(x) = h(g(f(x))) = h(g(2x2)) = h(2x2 + 9) = 3(2x2 + 9) = 6x2 + 27 (h D g D f)(x – 1) = 6(x – 1)2 + 27 = 6(x2 – 2x + 1) + 27 = 6x2 – 12x + 33

y = 4x

= (h–1 D g–1)( )

x = − +

+

x = −

⇔ (f D g)–1(x) = − , x ≠ 1

3) x≠



(f D g)(x) = − , x ≠

 −  =    

4)

+

= − − = −

= (h–1(8( )) = (h–1(2x) = 2x + 4 –1 –1 –1 (h D g D f )(–6) = 2(–6) + 4 = –12 + 4 = –8 Jadi, nilai (h–1 D g–1 D f–1)(–6) = –8. 16. Jawaban: d Gradien garis yang melalui titik A(x1, y1) dan B(x2, y2) dirumuskan dengan mAB =

− . −

Matematika Kelas XI

143

Diketahui koordinat titik A (12 – 2p, 5) dan B(8, 6p – 3) serta mAB = 5. mAB =

− −

⇔

5=

− −

− −

⇔

5=

− − +

19. Jawaban: b Persamaan garis m: (x – 2y) + a(x + y) = 6 ⇔ x – 2y + ax + ay = 6 ⇔ x + ax + ay – 2y = 6 ⇔ (a + 1)x + (a – 2)y = 6

⇔ –20 + 10p = 6p – 8 ⇔ 10p – 6p = 20 – 8 ⇔ 4p = 12 ⇔ p=3

+

Gradien garis m = mm = – −

17. Jawaban: c Diketahui garis A: 4x – 6y + 18 = 0



tan α = mA = = . Jika digambarkan pada segitiga siku-siku sebagai berikut. C

3

+ +

= = sin α =

Syarat garis m dan garis n sejajar adalah gradien kedua garis tersebut sama.

=





=



Jadi, nilai sin α adalah .

mk · m = –1 ⇔ mk · ⇔



= –1



y – 5 = – (x – (–1)) ⇔ ⇔ 144

= – −

−

20. Jawaban: a Kedua garis tersebut dapat digambarkan sebagai berikut. Y 3x – 5y = –15 180 – (α1 – α2)

–3

(180 – α1)

α2 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1

1

2

3

4

α1 5

X

6

–2

mk = –

Persamaan garis k yang melalui (–1, 5). y – y1 = mk(x – x1)

⇔

+ −

2x + 3y = 12

Gradien garis = m = − = . Dua garis bergradien m1 dan m2 dikatakan tegak lurus apabila m1 : m2 = –1. Misalkan gradien garis k = mk. Garis k tegak lurus dengan garis 4x – 7y + 28 = 0. Dengan demikian diperoleh hubungan:

−

⇔ (a + 1)(5 – 2a) = (2 – 2a)(a – 2) ⇔ –2a2 + 3a + 5 = –2a2 + 6a – 4 ⇔ 3a + 5 = 6a – 4 ⇔ 3a – 6a = –4 – 5 ⇔ –3a = –9 ⇔ a=3 Jadi, nilai a yang memenuhi adalah 3.

18. Jawaban: e Menentukan gradien garis 4x – 7y + 28 = 0. −

+

– − = – −

⇔

B

+ =



−

Gradien garis n = mn = – −

2

α

AC =

Persamaan garis n (5y + 2x) – 2a(x + y) = 12 ⇔ 5x + 2x – 2ax – 2ay = 12 ⇔ 2x – 2ax + 5y – 2ay = 12 ⇔ (2 – 2a)x + (5 – 2a)y = 12

mm = mn ⇔

A

A

⇔ 4y + 7x = 13 ⇔ 4y + 7x – 13 = 0



y – 5 = – (x + 1) 4y – 20 = –7x – 7 4y + 7x = –7 + 20 Ulangan Akhir Semester

Sudut α1 adalah sudut yang dibentuk antara garis 2x + 3y = 12 dan sumbu X. Sudut α2 adalah sudut yang dibentuk antara garis 3x – 5y = –15 dan sumbu X. Garis 2x + 3y = 12 dan garis 3x – 5y = –15 membentuk sudut 180 – (α1 – α2)

Substitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan (2):



m1 = tan α1 = –

m2 = tan α2 = tan (180° – (α1 – α2)) = –tan (α1 – α2) =

α − α – α α

− −

=–



+  −     

− −

=– =–





− −

50 dan rasio = r =

.

r2 =

⇔

r2 =

⇔

r2 =

⇔

r=

2







ar = 30

⇔ a · = 30

a = 30 · a = 48

S∞ = −



=



= 250

=

−

Jadi, 50 + 40 + 32 + 25,6 + . . . = 250 22. Jawaban: d Deret geometri tak hingga dengan S∞ = 120 dan

r= . S∞ =

−

⇔ 120 = ⇔ 120 = ⇔ ⇔ ⇔



−







a= a = 72

"





= =

" !



−

⇔ 112 =





⇔







U4 = . U2 = 30 ⇒ ar = 30 =

= 48 × = 128

⇔ 112 =

S∞ = −

23. Jawaban: c Deret geometri tak hingga dengan U2 = 30 dan

⇒



24. Jawaban: a Deret geometri tak hingga dengan Sgenap = 48 dan Sganjil = 64.

Rasio = r =

a = 120 ·



U4 =



= 48 + 64 = 112

= 72   = 

ar3

=



Diperoleh: S∞ = Sgenap – Sganjil

Suku ke-4 = U4 = ar3



25

⇔

⇔

−

30r2 =

⇔

S∞ = − = −

=



⇔



=

21. Jawaban: b Deret geometri tak hingga dengan suku awal a =



ar3 = ar · r2 =

a = 112 · ⇔ a = 28 Jadi, suku pertama deret geometri tersebut adalah 28. 25. Jawaban: e #

. . . (1)

. . . (2)

r = = 0,85

S∞ = −





= − # = = # Jadi, lama waktu bola sudah tidak memantul adalah 40 detik. Matematika Kelas XI

145

26. Jawaban: c Aturan sinus:

L∆PQR =



· PQ · QR · sin ∠Q

$∠

=

$∠

=



· 9 · 6 · sin 120°

⇔

$°

=

$ °

=



·9·6·

⇔



⇔





⇔



= =

BC =





=

Jadi, luas segitiga PQR =





cm2.

30. Jawaban: c Perhatikan alas prisma.

⋅

C

=2 · =6

Jadi, panjang BC = 6 cm.

9 cm

7 cm

27. Jawaban: e Aturan kosinus: %& + &' − %' %&&'

A

=

+ − ⋅ ⋅

s =

=

+ −

cos ∠L =



=

B

8 cm

=

(8

+ 7 + 9)

(24)

= 12

$$ − $ − $ −

Jadi, nilai cos ∠L = .

L∆ABC =

28. Jawaban: b Perhatikan segitiga ABD.

=

− − −

=

⋅ ⋅ ⋅ =

* $∠

=

* $∠*

⇔

* $ °

=

$°

⇔

*

⇔



=



Aturan kosinus: CD2 = BC2 + BD2 – 2 · BC · BD · cos ∠CBD = (8 )2 + (12 )2 – 2(8 )(12 ) cos 60° = 192 + 432 – 288 = 336 =

Volume = Lalas · tinggi = 12 · 12 = 144 Jadi, volume prisma 144 cm3.



BD = 12

CD =

⋅ ⋅ = 12

⋅

= 4

B. Uraian 1. Daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan sebagai berikut. Y

6

x + 4y = 24 2 X 0

Jadi, panjang CD = 4 cm. 29. Jawaban: b Jumlah sudut segitiga = 180° ⇔ ∠P + ∠Q + ∠R = 180° ⇔ 25° + ∠Q + 35° = 180° ⇔ ∠Q + 60° = 180° ⇔ ∠Q = 120°

x – 2y = 0

4

4

6

8 x+y=6

Uji titik pojok fungsi objektif f(x, y) = 6x + 5y. Titik (4, 2) (8, 4) (0, 6)

f(x, y) = 6x + 5y 6 · 4 + 5 · 2 = 34 6 · 8 + 5 · 4 = 68 ← maksimum 6 · 0 + 5 · 6 = 30

Jadi, nilai maksimumnya 68.

146

Ulangan Akhir Semester



2. Jawaban: a. Misalkan: x = banyak sarung bantal y = banyak taplak meja Model matematika permasalahan tersebut adalah meminimumkan f(x, y) = 2.000x + 1.500y dengan kendala: 15x + 10y ≤ 480 ⇔ 3x + 2y ≤ 96 10x + 10y ≤ 300 ⇔ x + y ≤ 30 Daerah penyelesaiannya sebagai berikut. 3x + 2y = 96

Y

48

 − −  =  −    −    −  Jadi, DT =  − − .    −  4. det (A) = a(3a – 4) – (a + 1) = 3a2 – 4a – a – 1 = 3a2 – 5a – 1

det (B) = (1 + x)(1 – x) + x2 = 1 – x2 + x2 =1

x + y = 30 30 18

B–1 =

10 0

20 30 32

X

(0, 30) (30, 0) (32, 0) (0, 48)

b.

f(x, y) = 2.000x + 1.500y 2.000 · 0 + 1.500 · 30 2.000 · 30 + 1.500 · 0 2.000 · 32 + 1.500 · 0 2.000 · 0 + 1.500 · 48

= = = =

45.000 ← minimum 60.000 64.000 72.000

Jadi, upah minimum yang diterima Bu Sofi Rp45.000,00. Bu Sofi menjahit 20 potong sarung bantal, berarti x = 20 untuk x = 20 maka 20 + y = 30 ⇔ y = 10 dan 3 · 20 + 2y = 96 ⇔ y = 18 Diperoleh nilai minimum f(20, 10) dan nilai maksimum f(20, 18). f(20, 10) = 2.000 · 20 + 1.500 · 10 = 55.000 f(20, 18) = 2.000 · 20 + 1.500 · 18 = 67.000 Jadi, upah minimum dan upah maksimum yang akan diterima Bu Sofi berturut-turut adalah Rp55.000,00 dan Rp67.000,00

3. D = 2AB – C  −   −   −  –   = 2  −         − −     −   − − + −   −  = 2  + − − +  –        + − + +   −   − −   −  = 2  −  –        −   − 

 − −     + 

−   −  − −  =   =    +   + 

Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 2.000x + 1.500y. Titik

/

 − −   − −  (B–1)2 =     +   + 

 − − − − + + −   =  − + +  − + +    − + − =   − + + 

−− + +   − + + + 

 − −  =   +  

det (B–1)2 = (1 – 2x)(1 + 2x) – (2x)(–2x) = 1 – 4x2 + 4x2 =1 det (A) = det (B–1)2 ⇔ 3a2 – 5a – 1 = 1 ⇔ 3a2 – 5a – 2 = 0 ⇔ (a – 2)(3a + 1) = 0 ⇔



a = 2 atau a = –



Jadi, nilai a = 2 atau a = – . 5. a.

(g D f)(x) = 4x2 – 16x + 18 ⇔ g(f(x)) = 4x2 – 16x + 18 ⇔ g(2x – 3) = 4x2 – 16x + 18 Misalkan 2x – 3 = t ⇔ 2x = t + 3 ⇔ x=

+

 − −   −  =  −  –       −    −  Matematika Kelas XI

147

Substitusikan t = 2x – 3 dan x =

+

Jadi, model permasalahannya adalah

pada



y = x + 44 di mana x adalah biaya (dalam juta) dan y adalah banyak barang.

g(2x – 3) = 4x2 – 16x + 18. +

b.

+

g(t) = 4( )2 – 16( ) + 18 = t2 + 6t + 9 – 8t – 24 + 18 = t2 – 2t + 3 Jadi, g(x) = x2 – 2x + 3. g(x) = x2 – 2x + 3 g(x – 1) = (x – 1)2 – 2(x – 1) + 3 = x2 – 2x + 1 – 2x + 2 + 3 = x2 – 4x + 6

b.



Kemiringan grafik adalah . Gambar persamaan garis/model. Y (Banyak Barang)

100

6. Diketahui f(x) = 5x.

51



Misalkan y = 5x ⇔

x=

⇔

f–1(x) =



0

80

150

200

Diketahui g(x) = x – 1. Misalkan y = x – 1 ⇔ x=y+1 ⇔ g–1(x) = x + 1 a. (g D f)–1(x) = (f–1 D g–1)(x) = f–1(g–1)(x)) f–1(x

+ 1) =

Jadi, (g D f)–1(x) =

+ .

=

b.

+

(g–1 D f–1)(x) = g–1(f–1(x))

= g–1( )

+ + .

= +1= Jadi, (g–1 D f–1)(x) = 7. a.

Pada permasalahan di atas dapat dituliskan. x = 80 juta → y = 51 dapat ditulis (80, 51). x = 150 juta → y = 100 dapat ditulis (150, 100). Model permasalahan dari permasalahan di atas dapat ditentukan dengan cara berikut. Misalkan (x1, y1) → (80, 51) (x2, y2) → (150, 100) − −

=

− −

⇔ ⇔

−

⇔

(x adalah biaya dalam juta dan y adalah banyak barang)

Menentukan banyak barang yang diproduksi apabila tersedia biaya Rp200 juta. Misalkan x = 200

y = x + 44

= · 200 + 44 = 140 + 44 = 184 Jadi, untuk biaya Rp200 juta dapat diperoleh hasil produksi 184 barang. 8. Sebuah bandul diayunkan dan didiamkan hingga berhenti. Panjang lintasan pada ayunan pertama adalah 96 cm. Panjang lintasan pada ayunan ketiga adalah 84,375 cm. Begitu seterusnya membentuk deret geometri. a. Tentukan panjang lintasan yang ditempuh sampai berhenti. b. Tunjukkan bahwa lintasan yang ditempuh

mencapai dari panjang lintasan seluruhnya yaitu pada ayunan yang ke-n =

!?# !?#

.

Jawaban: a. Permasalahan deret geometri dengan

− − −

⇔ ⇔ ⇔

148

=

− −

c.

X (Biaya dalam juta)



a = 96 cm dan r = = .

=

−

S∞ = −

=

−

=

10y – 510 = 7x – 70 10y = 7x – 70 + 510 10y = 7x + 440

y = x + 44

Ulangan Akhir Semester



−

=



= 96 × 16 = 1.536

Jadi, panjang lintasan yang ditempuh hingga berhenti adalah 1.536 cm.

b.



AD =

Panjang lintasan yang ditempuh adalah dari panjang lintasan seluruhnya. Sn =



Jadi, panjang AD = 2 cm.

· 1.536

b.

= 384 Misalkan ayunan yang dimaksud adalah ayunan yang ke-n. Menggunakan rumus jumlah n suku pertama pada deret geometri. Sn =

= 2

Panjang CD Aturan sinus: * $ ∠*

*

= $ ∠*

*



⇔ $ ° = $ °

− −

⇔



CD = $ ° · sin 60°



⇔

384 =

−   −

=

 



⇔

−

=

 



=7

10.

 

⇔



⇔

     



O

 





20 cm

=1–    



A

=1–



 

log   = log    



∠AOB = = 30°

⇔ n log 0,975 = log 0,75 ⇔

n=

!?# !?#

9.

B

°

⇔ n log   = log      



(Terbukti)

Luas ∆OAB = · OA · OB · sin ∠AOB

= · 20 · 20 · sin 30°

D



14

A 120°

cm

60°

B 45° C

a.

·



24 = 96(1 –   )  

10 cm



Jadi, panjang CD = 7 cm.



 

· 384 = 96(1 –   )  

⇔

⇔



·

20 cm

⇔

384 =

−  





Panjang AD Aturan kosinus: AD2 = AB2 + BD2 – 2AB · BD cos 120°



= · 20 · 20 · = 100 Luas segi dua belas beraturan = 12 · luas ∆AOB = 12 · 100 = 1.200 Jadi, luas segi dua belas beraturan 1.200 cm2.



= 102 + 142 – 2 · 10 · 14 · (– ) = 100 + 196 + 140 = 436

Matematika Kelas XI

149

Matematika Kelas XI

285

: : : :

2.1 Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerja sama, konsisten, sikap disiplin, rasa percaya diri, dan sikap toleransi dalam perbedaan strategi berpikir dalam memilih, dan menerapkan strategi menyelesaikan masalah.

•

•

Memiliki sikap konsisten, teliti dan cermat, disiplin, dan percaya diri dalam menghadapi dan menyelesaikan permasalahan tentang program linear.

Menghayati dan menggunakan konsep program linear dalam perannya membantu menyelesaikan masalah keseharian.

Indikator Program Linear • Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (PtLDV) • Menggambar Daerah Penyelesaian PtLDV • Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV) • Menggambar Daerah Penyelesaian SPtLDV • Menyusun SPtLDV dari Suatu Daerah Penyelesaian • Menentukan Nilai Optimum • Menyelesaiakan Permasalahan Program Linear

Materi Pokok

•

•

•

•

•

•

•

Mengamati peristiwa atau fenomena yang berkaitan dengan konsep program linear. Mendeskripsikan konsep PtLDV dan bentuk umum PtLDV disertai contohcontohnya. Menjelaskan penyelesaian PtLDV disertai contohcontohnya. Menentukan penyelesaian PtLDV menggunakan metode uji titik. Menentukan penyelesaian PtLDV dengan memperhatikan tanda ketidaksamaan. Mengambar daerah penyelesaian PtLDV. Menyusun PtLDV dari suatu daerah penyelesaian.

Pembelajaran

Pengamatan Sikap • Saat berlangsung pembelajaran

Pengamatan Sikap • Saat berlangsung pembelajaran

Penilaian

15 jp

Alokasi Waktu

1. Buku Matematika SMA/MA Kelas XI, Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia 2. Buku Guru Matematika SMA/MA Kelas XI, Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia 3. Buku PR Matematika Kelas XIA, PT Intan Pariwara 4. Buku PG Matematika Kelas XIA, PT Intan Pariwara

Sumber Belajar

Matematika SMA/MA XI 1. Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya. 2. Menghayati dan menghargai perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli (gotong royong, kerja sama, toleran, damai), santun, responsif dan proaktif, dan menunjukkan sikap sebagai bagian dari solusi atas berbagai permasalahan dalam interaksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta dalam menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan dunia. 3. Memahami, menerapkan, menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya dan humanioran dengan wawasan kemanusian, kebangsaan, kenegaraan dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah. 4. Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, bertindak secara efektif dan kreatif, serta mampu menggunakan metode sesuai kaidah keilmuan.

1.1 Menghayati dan mengamalkan agama yang dianutnya.

Kompetensi Dasar

Mata Pelajaran Satuan Pendidikan Kelas Kompetensi Inti

SILABUS Program Linear

286

Silabus

3.3

3.2

3.1

Mendeskripsikan konsep sistem persamaan dan pertidaksamaan linear dua variabel dan menerapkannya dalam pemecahan masalah program linear. Menerapkan prosedur yang sesuai untuk menyelesaikan masalah program linear terkait masalah nyata dan menganalisis kebenaran langkah-langkahnya. Menganalisis bagaimana validitas argumentasi logis yang digunakan dalam matematika yang sudah dipelajari terkait pemecahan masalah program linear.

2.2 Mampu mentransformasi diri dalam berperilaku jujur, tangguh menghadapi masalah, kritis, dan disiplin dalam melakukan tugas belajar matematika. 2.3 Menunjukkan sikap bertanggung jawab, rasa ingin tahu, jujur, dan perilaku peduli lingkungan.

Kompetensi Dasar

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

Mampu mendeskripsikan konsep PLDV dan PtLDV disertai contohcontohnya. Mampu menjelaskan penyelesaian PLDV dan PtLDV disertai contoh-contohnya. Mampu mengambar daerah penyelesaian PtLDV. Mampu menyusun PtLDV dari suatu daerah penyelesaian. Mampu menjelaskan konsep SPtLDV disertai contoh-contohnya. Mampu mengambar daerah penyelesaian SPtLDV. Mampu menghitung luas daerah penyelesaian SPtLDV. Mampu menyusun SPtLDV dari suatu daerah penyelesaian. Mampu menerapkan konsep SPtLDV dalam pemecahan masalah program linear.

Memiliki sikap dan berperilaku jujur, kritis dalam menghadapi permasalahan seharihari. Memiliki rasa keingintahuan mempelajari program linear.

Indikator

Materi Pokok

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

Mendeskripsikan konsep SPtLDV dan bentuk umum SPtLDV disertai contohcontohnya. Menjelaskan penyelesaian SPtLDV disertai contohcontohnya. Mengambar daerah penyelesaian SPtLDV. Menghitung luas daerah penyelesaian SPtLDV. Menyusun SPtLDV dari suatu daerah penyelesaian. Menerapkan konsep SPtLDV dalam pemecahan masalah program linear. Mendeskripsikan langkahlangkah menyelesaikan masalah program linear dan menganalisis kebenaran langkah-langkahnya. Menjelaskan pengertian fungsi objektif. Menjelaskan pengertian nilai optimum suatu fungsi objektif. Menjelaskan pengertian metode uji titik pojok. Menjelaskan langkahlangkah menentukan nilai optimum suatu bentuk objektif menggunakan metode uji titik pojok. Menghitung nilai optimum suatu bentuk objektif dengan menggunakan metode uji titik pojok. Menjelaskan pengertian garis selidik. Menjelaskan langkahlangkah menentukan nilai optimum suatu bentuk objektif menggunakan garis selidik.

Pembelajaran

Tes Tertulis • Pilihan Ganda • Uraian

Penilaian

Alokasi Waktu

5. Buku Swadidik Aljabar karangan P.Abbot, Pakar Raya 6. http://goo.gl/6whzk

Sumber Belajar

Matematika Kelas XI

287

4.1

Merancang dan mengajukan masalah nyata berupa masalah program linear, dan menerapkan berbagai konsep dan aturan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dan menentukan nilai optimum dengan menggunakan fungsi selidik yang ditetapkan.

Kompetensi Dasar

•

•

•

•

•

Mampu menentukan nilai optimum daerah penyelesaian SPtLDV. Mampu menyusun model matematika dari suatu masalah program linear. Mampu menentukan penyelesaian model matematika dari masalah program linear. Mampu menafsirkan penyelesaian model matematika dari masalah program linear.

Mampu mendeskripsikan langkah-langkah menyelesaikan masalah program linear dan menganalisis kebenaran langkah-langkahnya.

Indikator

Materi Pokok

•

•

•

•

•

•

Menghitung nilai optimum suatu bentuk objektif menggunakan garis selidik. Menjelaskan pengertian model matematika. Menjelaskan langkahlangkah membentuk model matematika dari suatu masalah program linear. Membuat model matematika dari suatu masalah program linear. Menyelesaikan model matematika dari masalah program linear dan menafsirkannya. Menafsirkan penyelesaian model matematika dari masalah program linear.

Pembelajaran

Tes Tertulis • Pilihan Ganda • Uraian • Tugas

Penilaian

Alokasi Waktu Sumber Belajar

288

Silabus

Mampu menghayati dan mengamalkan konsep sifat operasi, determinan, dan invers matriks dalam perannya membantu menyelesaikan masalah. Mampu menunjukkan sikap motivasi internal, kemampuan bekerja sama, konsisten, sikap disiplin, rasa percaya diri, dan sikap toleransi dalam perbedaan strategi berpikir dalam memilih dan menerapkan strategi menyelesaikan masalah.

•

2.1 Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerja sama, konsisten, sikap disiplin, rasa percaya diri, dan sikap toleransi dalam perbedaan strategi berpikir dalam memilih dan menerapkan strategi menyelesaikan masalah.

Indikator

•

• •

Sifat Operasi Matriks Sifat Determinan Matriks Sifat Invers Matriks

Materi Pokok

•

•

•

•

•

Mengamati peristiwa atau fenomena yang berkaitan dengan sifat operasi matriks. Mengamati peristiwa atau fenomena yang berkaitan dengan sifat determinan dan invers matriks. Mencermati dan menyelidiki ciri-ciri operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian matriks. Mengubah permasalahan yang berhubungan dengan operasi matriks menjadi model matematika berbentuk matriks. Memecahkan masalah menggunakan operasi matriks.

Pembelajaran

Pengamatan Sikap • Saat berlangsung pembelajaran

Pengamatan Sikap • Saat berlangsung pembelajaran

Penilaian

. . . jp

Alokasi Waktu

1. Buku Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XI, Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia 2. BukuGuruMatematika Peminatan SMA/MA Kelas XI, Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia 3. Buku PR Matematika Peminatan Kelas XIA, PT Intan Pariwara 4. Buku PG Matematika Peminatan Kelas XIA, PT Intan Pariwara

Sumber Belajar

Matematika SMA/MA XI 1. Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya. 2. Menghayati dan mengamalkan perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli (gotong royong, kerja sama, toleran, damai), santun, responsif dan proaktif, dan menunjukkan sikap sebagai bagian dari solusi atas berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta dalam menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan dunia. 3. Memahami, menerapkan, menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya dan humanioran dengan wawasan kemanusian, kebangsaan, kenegaraan dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah. 4. Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, bertindak secara efektif dan kreatif, serta mampu menggunakan metode sesuai kaidah keilmuan.

•

: : : :

1.1 Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya.

Kompetensi Dasar

Mata Pelajaran Satuan Pendidikan Kelas Kompetensi Inti

SILABUS Matriks

Matematika Kelas XI

289

4.2 Memadu berbagai konsep dan aturan operasi matriks dan menyajikan model matematika dari suatu masalah nyata dengan memanfaatkan nilai determinan atau invers matriks dalam pemecahannya.

•

3.4 Mendeskripsikan dan menganalisis konsep dasar operasi matriks dan sifat-sifat operasi matriks serta menerapkannya dalam pemecahan masalah.

•

•

•

•

•

•

•

•

2.2 Mampu mentransformasi diri dalam berpilaku jujur, tangguh menghadapi masalah, kritis dan disiplin dalam melakukan tugas belajar matematika. 2.3 Menunjukkan sikap bertanggung jawab, rasa ingin tahu, jujur dan perilaku peduli lingkungan.

Kompetensi Dasar

Medeskripsikan sifat determinan matriks. Mendeskripsikan sifat invers matriks. Membuat model matematika dari permasalahan yang berhubungan dengan invers dan determinan matriks. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan model matematika yang berhubungan dengan invers dan determinan matriks.

Memahami konsep dasar operasi matriks. Menganalisis sifat operasi matriks. Menentukan hasil operasi matriks. Membuat model dan menyelesaikan masalah yang berhubungan dengan operasi dan sifat operasi matriks.

Mampu menunjukkan sikap berpilaku jujur, tangguh mengadapi masalah, kritis dan disiplin dalam melakukan tugas belajar matematika.

Indikator

Materi Pokok

•

•

•

Mencermati dan menyelidiki ciri-ciri determinan dan invers matriks. Mengubah permasalahan yang berhubungan dengan determinan dan invers matriks menjadi model matematika berbentuk matriks. Memecahkan masalah menggunakan determinan dan invers matriks.

Pembelajaran

Tes Tertulis • Pilihan Ganda • Uraian

Tes Tertulis • Pilihan Ganda • Uraian

Penilaian

Alokasi Waktu Sumber Belajar

290

Silabus

Mampu menghayati dan mengamalkan konsep fungsi, invers dan komposisi fungsi dalam perannya membantu menyelesaikan masalah. Mampu menunjukkan sikap motivasi internal, kemampuan bekerja sama, sikap disiplin, rasa percaya diri, dan dalam menghadapi dan menyelesaikan permasalahan tentang fungsi, invers dan komposisi fungsi.

•

2.1 Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerja sama, konsisten, sikap disiplin, rasa percaya diri, dan sikap toleransi dalam perbedaan strategi berpikir dalam memilih dan menerapkan strategi menyelesaikan masalah.

Indikator Komposisi dan Invers Fungsi • Konsep Fungsi • Sifat-Sifat Fungsi • Operasi Aljabar Fungsi • Invers Fungsi • Fungsi Invers • Komposisi Fungsi • Invers Fungsi Komposisi

Materi Pokok

•

•

•

•

• •

•

Mengamati peristiwa atau fenomena yang berkaitan dengan konsep fungsi. Menjelaskan konsep fungsi. Menentukan daerah asal, daerah kawan, dan daerah hasil dari suatu fungsi. Menyelidiki suatu relasi termasuk fungsi atau bukan menggunakan konsep fungsi. Menyelidiki suatu relasi termasuk fungsi atau bukan menggunakan metode uji garis tegak. Menjelaskan sifat-sifat fungsi. Menentukan sifat-sifat suatu fungsi.

Pembelajaran

Pengamatan Sikap • Saat berlangsung pembelajaran

Pengamatan Sikap • Saat berlangsung pembelajaran

Penilaian

15 jp

Alokasi Waktu

1. Buku Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XI, Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia 2. BukuGuruMatematika Peminatan SMA/MA Kelas XI, Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia 3. Buku PR Matematika Peminatan Kelas XIA, PT Intan Pariwara 4. Buku PG Matematika Peminatan Kelas XIA, PT Intan Pariwara

Sumber Belajar

Matematika SMA/MA XI 1. Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya. 2. Menghayati dan mengamalkan perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli (gotong royong, kerja sama, toleran, damai), santun, responsif dan proaktif, dan menunjukkan sikap sebagai bagian dari solusi atas berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta dalam menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan dunia. 3. Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural, dan metakognitif berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah. 4. Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, bertindak secara efektif dan kreatif, serta mampu menggunakan metode sesuai kaidah keilmuan.

•

: : : :

1.1 Menghayati dan mengamalkan agama yang dianutnya.

Kompetensi Dasar

Mata Pelajaran Satuan Pendidikan Kelas Kompetensi Inti

SILABUS Komposisi dan Invers Fungsi

Matematika Kelas XI

291

4.3 Mengolah data masalah nyata dengan menerapkan aturan operasi dua fungsi atau lebih dan menafsirkan nilai variable yang digunakan untuk memecahkan masalah.

•

3.5 Mendeskripsikan konsep fungsi dan menerapkan operasi aljabar (penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian) pada fungsi. 3.6 Menganalisis konsep dan sifat suatu fungsi dan melakukan manipulasi aljabar dalam menentukan invers fungsi dan fungsi invers. 3.7 Mendeskripsikan dan menganalisis sifat suatu fungsi sebagai hasil operasi dua atau lebih fungsi yang lain. 3.8 Mendeskripsikan konsep komposisi fungsi dengan menggunakan konteks seharihari dan menerapkannya.

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

2.2 Mampu mentransformasi diri dalam berperilaku jujur, tangguh mengadapi masalah, kritis, dan disiplin dalam melakukan tugas belajar matematika. 2.3 Menunjukkan sikap bertanggung jawab, rasa ingin tahu, jujur, dan perilaku peduli lingkungan.

Kompetensi Dasar

Mampu menyelesaikan permasalahan dengan menerapkan aturan operasi dua fungsi atau lebih. Mampu menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan fungsi invers dan invers fungsi.

Mampu menjelaskan konsep fungsi. Mampu menentukan sifat suatu fungsi. Mampu menerapkan operasi aljabar (penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian) pada fungsi. Mampu menentukan sifat suatu fungsi sebagai hasil operasi dua atau lebih fungsi yang lain. Mampu menjelaskan konsep invers fungsi dan fungsi invers. Mampu menentukan invers fungsi dan fungsi invers. Mampu menjelaskan konsep komposisi. Mampu menentukan komposisi fungsi.

Mampu menunjukkan sikap berperilaku jujur, kritis, dan disiplin dalam melakukan tugas belajar matematika.

Indikator

Materi Pokok

•

•

•

•

•

•

• •

•

•

•

•

•

•

Menyelidiki suatu fungsi termasuk fungsi injektif atau bukan menggunakan metode uji garis horizontal. Menentukan hasil operasi aljbar dua fungsi atau lebih. Menentukan daerah asal suatu fungsi sebagai hasil operasi aljabar dua fungsi atau lebih. Menentukan sifat-sifat suatu fungsi sebagai hasil operasi dua atau lebih fungsi yang lain. Menentukan penyelesaian permasalahan berkaitan dengan fungsi dan operasi aljabar fungsi. Menjelaskan konsep invers fungsi dan fungsi invers. Menentukan invers fungsi. Menyelidiki fungsi invers suatu fungsi. Menentukan penyelesaian permasalahan berkaitan dengan invers fungsi dan fungsi invers. Membatasai daerah asal atau daerah hasil suatu fungsi agar fungsi mempunyai fungsi invers. Menjelaskan konsep komposisi fungsi. Menentukan komposisi dua fungsi atau lebih. Menentukan invers suatu komposisi fungsi. Menentukan penyelesaian permasalahan berkaitan dengan komposisi fungsi.

Pembelajaran

Tes Tertulis • Pilihan Ganda • Uraian

Tes Tertulis • Pilihan Ganda • Uraian • Tugas

Penilaian

Alokasi Waktu Sumber Belajar

292

Silabus

4.4 Memilih strategi yang efektif dan menyajikan model matematika dalam memecahkan masalah nyata terkait fungsi invers dan invers fungsi. 4.5 Merancang dan mengajukan masalah dunia nyata yang berkaitan dengan komposisi fungsi dan menerapkan berbagai aturan dalam menyelesaikannya.

Kompetensi Dasar •

Mampu menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan komposisi fungsi.

Indikator

Materi Pokok

Pembelajaran

Penilaian

Alokasi Waktu Sumber Belajar

Matematika Kelas XI

293

2.2 Memiliki rasa ingin tahu yang terbentuk dari pengalaman belajar dalam berinteraksi dengan lingkungan sosial dan alam. •

•

2.1 Menunjukkan sikap senang, percaya diri, motivasi internal, sikap kritis, bekerja sama, jujur dan percaya diriserta responsif dalam menyelesaikan berbagai permasalahan nyata. Mampu memiliki sikap konsisten, teliti dan cermat, disiplin, dan rasa ingin tahu dalam menghadapi dan menyelesaikan permasalahan masalah keseharian. Memiliki rasa ingin tahu dalam mempelajari persamaan garis lurus, serta memanfaatkannya.

Mampu menghayati dan mengamalkan konsep persamaan garis lurus dalam perannya membantu menyelesaikan masalah.

Indikator • •

Garis dan Gradien Hubungan Antargaris

Materi Pokok

•

•

Mengamati peristiwa atau fenomena yang berkaitan dengan persamaan garis lurus. Mengamati peristiwa atau fenomena yang berkaitan dengan garis sejajar dan garis tegak lurus.

Pembelajaran

Pengamatan Sikap • Saat berlangsung pembelajaran

Pengamatan Sikap • Saat berlangsung pembelajaran

Penilaian

8 jp

Alokasi Waktu

1. Buku Matematika Wajib SMA/MA/ SMK/MAK Kelas XI Semester 1, Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia 2. BukuGuruMatematika Wajib SMA/MA/ SMK/MAK Kelas XI Semester 1, Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia 3. Buku PR Matematika Wajib Kelas XI Semester 1, PT Intan Pariwara

Sumber Belajar

Matematika SMA/MA XI 1. Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya. 2. Menghayati dan menghargai perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli (gotong royong, kerja sama, toleran, damai), santun, responsif dan proaktif, dan menunjukkan sikap sebagai bagian dari solusi atas berbagai permasalahan dalam interaksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta dalam menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan dunia. 3. Memahami, menerapkan, menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya dan humanioran dengan wawasan kemanusian, kebangsaan, kenegaraan dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah. 4. Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, bertindak secara efektif dan kreatif, serta mampu menggunakan metode sesuai kaidah keilmuan.

•

: : : :

1.1 Menghayati dan mengamalkan agama yang dianutnya.

Kompetensi Dasar

Mata Pelajaran Satuan Pendidikan Kelas Kompetensi Inti

SILABUS Persamaan Garis Lurus

2.3 Berperilaku peduli, bersikap terbuka dan toleransi terhadap berbagai perbedaan di dalam masyarakat.

Silabus

3.10 Menganalisis sifat dua garis sejajar dan saling tegak lurus serta menerapkannya dalam menyelesaikan masalah.

Kompetensi Dasar

294 •

•

•

•

•

•

•

Memahami grafik garis sebagai penyelesaian persamaan garis. Menggambar grafik garis. Menentukan gradien garis. Menentukan persamaan garis. Menyelesaikan permasalahan dua garis sejajar. Menyelesaikan permasalahan dua garis tegak lurus.

Memiliki sikap terbuka, berperilaku peduli, dan toleransi dalam menghadapi masalah dalam mempelajari persamaan garis lurus.

Indikator

Materi Pokok

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

Mendeskripsikan konsep persamaan garis lurus dan grafiknya melalui contoh. Mendeskripsikan konsep gradien garis lurus. Menurunkan rumus persamaan garis lurus yang melalui titik tertentu dan dengan gradien tertentu. Mencermati dan menyelidiki persamaan garis lurus. Menjelaskan cara menggambar grafik garis lurus. Menjelaskan cara menentukan persamaan garis lurus. Mendeskripsikan hubungan dua garis. Menurunkan hubungan gradien dua garis yang sejajar. Menurunkan hubungan gradien dua garis yang tegak lurus. Menyelidiki dan membuktikan secara geometri dua garis saling tegak lurus. Menyelesaiakn masalah dua garis sejajar. Menyelesaikan masalah dua garis tegak lurus.

Pembelajaran

Tes Tertulis • Pilihan Ganda • Uraian

Penilaian

Alokasi Waktu

4. Buku PG Matematika Wajib Kelas XI Semester 1, PT Intan Pariwara

Sumber Belajar

Matematika Kelas XI

295

4.7 Menganalisis kurva-kurva yang melalui beberapa titik untuk menyimpulkan berupa garis lurus, garis-garis sejajar, atau garis-garis tegak lurus.

Kompetensi Dasar

•

•

•

Menentukan kedudukan tiga titik segaris. Menentukan kedudukan dua garis saling sejajar. Menentukan kedudukan dua garis saling tegak lurus.

Indikator

Materi Pokok

•

•

•

Menentukan kedudukan tiga titik segaris. Menentukan kedudukan dua garis saling sejajar. Menentukan kedudukan dua garis saling tegak lurus.

Pembelajaran Tes Tertulis • Pilihan Ganda • Uraian

Penilaian

Alokasi Waktu Sumber Belajar

296

Silabus

Mampu menghayati dan menggunakan konsep barisan dan deret tak hingga dalam perannya membantu menyelesaikan masalah. Mampu menunjukkan sikap motivasi internal, kemampuan bekerja sama, sikap disiplin, rasa percaya diri, dan dalam menghadapi dan menyelesaikan permasalahan tentang barisan dan deret tak hingga.

•

2.1 Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerja sama, konsisten, sikap disiplin, rasa percaya diri, dan sikap toleransi dalam perbedaan strategi berpikir dalam memilih dan menerapkan strategi menyelesaikan masalah.

Indikator Barisan dan deret Tak Hingga • Barisan Geometri Tak Hingga • Deret Geometri Tak Hingga

Materi Pokok

•

•

•

•

•

•

Mengamati peristiwa atau fenomena yang berkaitan dengan konsep barisan dan deret. Menjelaskan konsep barisan tak hingga dan barisan berhingga. Menjelaskan pengertian barisan dan deret geometri tak hingga. Menjelaskan unsur-unsur yang membentuk deret geometri tak hingga. Menjelaskan pengertian barisan dan deret geometri tak hingga konvergen. Menjelaskan pengertian barisan dan deret geometri tak hingga divergen.

Pembelajaran

Pengamatan Sikap • Saat berlangsung pembelajaran

Pengamatan Sikap • Saat berlangsung pembelajaran

Penilaian

10 jp

Alokasi Waktu

1. Buku Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XI, Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia 2. BukuGuruMatematika Peminatan SMA/MA Kelas XI, Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia 3. Buku PR Matematika Peminatan Kelas XIA, PT Intan Pariwara 4. Buku PG Matematika Peminatan Kelas XIA, PT Intan Pariwara

Sumber Belajar

Matematika SMA/MA XI 1. Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya. 2. Menghayati dan mengamalkan perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli (gotong royong, kerja sama, toleran, damai), santun, responsif dan proaktif, dan menunjukkan sikap sebagai bagian dari solusi atas berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta dalam menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan dunia. 3. Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural, dan metakognitif berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah. 4. Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, bertindak secara efektif dan kreatif, serta mampu menggunakan metode sesuai kaidah keilmuan.

•

: : : :

1.1 Menghayati dan mengamalkan agama yang dianutnya.

Kompetensi Dasar

Mata Pelajaran Satuan Pendidikan Kelas Kompetensi Inti

SILABUS Barisan dan Deret Tak Hingga

Matematika Kelas XI

297

•

3.9 Mendeskripsikan konsep barisan tak hingga sebagai fungsi dengan daerah asal himpunan bilangan asli.

•

•

•

•

•

2.2 Mampu mentransformasi diri dalam berperilaku jujur, tangguh menghadapi masalah, kritis dan disiplin dalam melakukan tugas belajar matematika. 2.3 Menunjukkan sikap bertanggung jawab, rasa ingin tahu, jujur, dan perilaku peduli lingkungan.

Kompetensi Dasar

Mampu menjelaskan konsep barisan dan deret tak hingga. Mampu menentukan unsur-unsur pembentuk barisan dan deret. Mampu menentukan jumlah deret tak hingga yang diketahui suku awal dan rasionya. Mampu menentukan rasio sebuah deret tak hingga yang diketahui suku awal dan jumlah deretnya. Mampu menentukan suku ke-n sebuah deret tak hingga yang diketahui jumlah deret dan rasionya.

Mampu menunjukkan sikap berperilaku jujur, kritis dan disiplin dalam melakukan tugas belajar matematika.

Indikator

Materi Pokok

•

•

•

•

•

•

Menentukan jumlah/deret tak hingga yang diketahui unsur-unsur suku awal dan rasionya. Menentukan rasio deret tak hingga yang diketahui suku awal dan jumlah deretnya. Menentukan hubungan jumlah deret suku genap dengan suku ganji dilihat dari rasionya. Membuat model matematika dari permasalahan nyata yang berhubungan dengan konsep barisan dan deret tak hingga. Menyelesaikan permasalahan sehari-hari menggunakan konsep barisan dan deret geometri tak hingga. Menggunakan konsep barisan dan deret geometri tak hingga dalam menyelesaikan permasalahan bentuk-bentuk geometri.

Pembelajaran

Tes Tertulis • Pilihan Ganda • Uraian • Tugas

Penilaian

Alokasi Waktu Sumber Belajar

Kompetensi Dasar

4.6 Menerapkan konsep barisan dan deret tak hingga dalam penyelesaian masalah sederhana.

298

Silabus

•

•

Mampu menerapkan konsep barisan dan deret tak hingga ke dalam permasalahan nyata. Mampu menyelesaikan permasalahan bentuk-bentuk geometri menggunakan konsep barisan dan deret tak hingga.

Indikator

Materi Pokok

Pembelajaran Tes Tertulis • Pilihan Ganda • Uraian

Penilaian

Alokasi Waktu Sumber Belajar

Matematika Kelas XI

299

: : : :

2.1 Menunjukkan sikap senang, percaya diri, motivasi internal, sikap kritis, bekerja sama, jujur, dan percaya diri serta responsif dalam menyelesaikan berbagai permasalahan nyata. 2.2 Memiliki rasa ingin tahu yang terbentuk dari pengalaman belajar dalam berinteraksi dengan lingkungan sosial dan alam. 2.3 Berperilaku peduli, bersikap terbuka dan toleransi terhadap berbagai perbedaan di dalam masyarakat. •

•

•

Memiliki rasa keingintahuan mempelajari sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel, serta kemanfaatannya. Memiliki sikap terbuka, berperilaku peduli, dan toleransi dalam menghadapi masalah dalam mempelajari rumusrumus segitiga dalam trigonometri.

Memiliki sikap konsisten, teliti dan cermat, disiplin, dan rasa ingin tahu dalam menghadapi dan menyelesaikan permasalahan.

Indikator Rumus-Rumus Segitiga dalam Trigometri • Aturan Sinus • Aturan Kosinus • Luas Segitiga

Materi Pokok

•

•

•

•

• • •

•

Mengingat kembali perbandingan sinus, kosinus, dan tangen. Membuktikan aturan sinus. Membuktikan aturan kosinus. Menghitung besar sudut pada segitiga menggunakan rumus sinus. Menghitung panjang sisi pada segitiga menggunakan rumus sinus. Menghitung besar sudut pada segitiga menggunakan rumus kosinus. Menghitung panjang sisi pada segitiga menggunakan rumus kosinus. Mempraktikkan cara menentukan tinggi bangunan atau pohon dengan aturan kosinus.

Pembelajaran

Pengamatan Sikap • Saat berlangsung pembelajaran

Pengamatan Sikap • Saat berlangsung pembelajaran

Penilaian

10 jp

Alokasi Waktu

1. Buku Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XI, Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia 2. BukuGuruMatematika Peminatan SMA/MA Kelas XI, Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia 3. Buku PR Matematika Peminatan Kelas XIA, PT Intan Pariwara 4. Buku PG Matematika Peminatan Kelas XIA, PT Intan Pariwara

Sumber Belajar

Matematika SMA/MA XI 1. Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya. 2. Menghayati dan menghargai perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli (gotong royong, kerja sama, toleran, damai), santun, responsif dan proaktif, dan menunjukkan sikap sebagai bagian dari solusi atas berbagai permasalahan dalam interaksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta dalam menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan dunia. 3. Memahami, menerapkan, menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya dan humaniorandengan wawasan kemanusian, kebangsaan, kenegaraan dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah. 4. Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, bertindak secara efektif dan kreatif, serta mampu menggunakan metode sesuai kaidah keilmuan.

1.1 Menghayati dan mengamalkan agama yang dianutnya.

Kompetensi Dasar

Mata Pelajaran Satuan Pendidikan Kelas Kompetensi Inti

SILABUS Rumus-Rumus Segitiga dalam Trigonometri

3.1 Mendeskripsikan dan menganalisis aturan sinus dan kosinus serta menerapkannya dalam menentukan luas daerah segitiga.

Silabus

4.1 Merancang dan mengajukan masalah nyata terkait luas segitiga dan menerapkan aturan sinus dan kosinus untuk menyelesaikannya.

Kompetensi Dasar

300 •

•

•

•

•

Mampu menentukan luas segitiga dengan aturan trigonometri.

Mampu menentukan besar sudut pada segitiga menggunakan rumus sinus. Mampu menentukan panjang sisi pada segitiga menggunakan rumus sinus. Mampu menentukan besar sudut pada segitiga menggunakan rumus kosinus. Mampu menentukan panjang sisi pada segitiga menggunakan rumus kosinus.

Indikator

Materi Pokok

•

•

•

Menghitung luas suatu segitiga menggunakan trigonometri. Menghitung luas suatu bangun datar menggunakan prinsip atau konsep trigonometri pada segitiga. Menghitung luas suatu segitiga segi-n menggunakan prinsip trigonometri pada segitiga.

Pembelajaran

Tes Tertulis • Pilihan Ganda • Uraian

Tes Tertulis • Pilihan Ganda • Uraian

Penilaian

Alokasi Waktu Sumber Belajar

Rencana Pelaksanaan Pembelajaran Mata Pelajaran Satuan Pendidikan Kelas/Semester Materi/Submateri Pokok Alokasi Waktu

A.

: : : : :

Matematika SMA/MA XI/1 Program Linear 12 × 45 menit

Kompetensi Dasar dan Indikator 1.1 Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya. Indikator: • Menghayati dan menggunakan konsep program linear dalam perannya membantu menyelesaikan masalah keseharian. 2.1 Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerja sama, konsisten, sikap disiplin, rasa percaya diri, dan sikap toleransi dalam perbedaan strategi berpikir dalam memilih, dan menerapkan strategi menyelesaikan masalah. 2.2 Mampu mentransformasi diri dalam berperilaku jujur, tangguh menghadapi masalah, kritis, dan disiplin dalam melakukan tugas belajar matematika. 2.3 Menunjukkan sikap bertanggung jawab, rasa ingin tahu, jujur, dan perilaku peduli lingkungan. Indikator: • Memiliki sikap konsisten, teliti dan cermat, disiplin, dan percaya diri dalam menghadapi dan menyelesaikan permasalahan tentang program linear. • Memiliki sikap dan berperilaku jujur, kritis dalam menghadapi permasalahan sehari-hari. • Memiliki rasa keingintahuan mempelajari program linear. 3.1 Mendeskripsikan konsep sistem persamaan dan pertidaksamaan linear dua variabel dan menerapkannya dalam pemecahan masalah program linear. 3.2 Menerapkan prosedur yang sesuai untuk menyelesaikan masalah program linear terkait masalah nyata dan menganalisis kebenaran langkah-langkahnya. 3.3 Menganalisis bagaimana validitas argumentasi logis yang digunakan dalam matematika yang sudah dipelajari terkait pemecahan masalah program linear. Indikator: • Mampu mendeskripsikan konsep PtLDV disertai contoh-contohnya. • Mampu menjelaskan penyelesaian PtLDV disertai contoh-contohnya. • Mampu mengambar daerah penyelesaian PtLDV. • Mampu menyusun PtLDV dari suatu daerah penyelesaian. • Mampu menjelaskan konsep SPtLDV disertai contoh-contohnya. • Mampu mengambar daerah penyelesaian SPtLDV. • Mampu menghitung luas daerah penyelesaian SPtLDV. • Mampu menyusun SPtLDV dari suatu daerah penyelesaian. • Mampu menerapkan konsep SPtLDV dalam pemecahan masalah program linear. • Mampu mendeskripsikan langkah-langkah menyelesaikan masalah program linear dan menganalisis kebenaran langkah-langkahnya. 4.1 Merancang dan mengajukan masalah nyata berupa masalah program linear, dan menerapkan berbagai konsep dan aturan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dan menentukan nilai optimum dengan menggunakan fungsi selidik yang ditetapkan.

Matematika Kelas XI

301

Indikator: • Mampu menentukan nilai optimum daerah penyelesaian SPtLDV. • Mampu menyusun model matematika dari suatu masalah program linear. • Mampu menentukan penyelesaian model matematika dari masalah program linear. • Mampu menafsirkan penyelesaian model matematika dari masalah program linear. B.

Tujuan Pembelajaran 1. Siswa mampu menjelaskan konsep PtLDV disertai contoh-contohnya. 2. Siswa mampu menjelaskan penyelesaian PtLDV disertai contoh-contohnya. 3. Siswa mampu mengambar daerah penyelesaian PtLDV. 4. Siswa mampu menyusun PtLDV dari suatu daerah penyelesaian. 5. Siswa mampu menjelaskan konsep SPtLDV disertai contoh-contohnya. 6. Siswa mampu mengambar daerah penyelesaian SPtLDV. 7. Siswa mampu menghitung luas daerah penyelesaian SPtLDV. 8. Siswa mampu menyusun SPtLDV dari suatu daerah penyelesaian. 9. Siswa mampu menerapkan konsep SPtLDV dalam pemecahan masalah program linear. 10. Siswa mampu menentukan nilai optimum daerah penyelesaian SPtLDV. 11. Siswa mampu menyusun model matematika dari suatu masalah program linear. 12. Siswa mampu menentukan penyelesaian model matematika dari masalah program linear. 13. Siswa mampu menafsirkan penyelesaian model matematika dari masalah program linear.

C.

Materi Pokok • Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (PtLDV) • Menggambar Daerah Penyelesaian PtLDV • Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV) • Menggambar Daerah Penyelesaian SPtLDV • Menyusun SPtLDV dari Suatu Daerah Penyelesaian. • Menentukan Nilai Optimum. • Menyelesaikan Permasalahan Program Linear.

D.

Metode Pembelajaran Pendekatan : Keterampilan Proses Model : Siklus Belajar (Learning Cycle) Metode : Problem Solving dan Diskusi

E.

Media, Alat, dan Sumber Pembelajaran 1.

Media Power point, CD interaktif

2.

Alat dan Bahan a. Penggaris, pensil, dan penghapus b. Kertas berpetak

3.

Sumber Belajar a. Buku Matematika SMA/MA Kelas XI, Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia b. Buku Guru Matematika SMA/MA Kelas XI, Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia c. Buku PR Matematika Kelas XIA, PT Intan Pariwara d. Buku PG Matematika Kelas XIA, PT Intan Pariwara e. Buku Swadidik Aljabar karangan P. Abbott, Pakar Raya f. http://goo.gl/6whzk

302

Rencana Pelaksanaan Pembelajaran

F.

Kegiatan Pembelajaran Pertemuan I (3 × 45 menit) 1.

Pendahuluan (15 menit) a.

Pemusatan perhatian: 1) Guru mengenalkan contoh permasalahan yang dapat diselesaikan menggunakan program linear. 2) Sebelum mulai mengajar, guru meminta siswa menyiapkan kertas berpetak, penggaris, pensil, dan karet penghapus.

b.

Apersepsi: 1) Guru menginformasikan kepada siswa bahwa materi SPtLDV dan model SPtLDV pernah dipelajari siswa di kelas X. 2) Guru mengingatkan siswa tentang materi SPtLDV dan model SPtLDV dengan membuat model matematika dari suatu permasalahan. Misalnya permasalahan proyek pembangunan perumahan di awal bab.

2.

Kegiatan Inti (110 menit) a. Guru mendeskripsikan konsep PtLDV dan bentuk umum PtLDV disertai contoh-contohnya. b. Siswa dengan bimbingan guru mencermati dan menyelidiki ciri-ciri PtLDV. c. Guru menjelaskan penyelesaian PtLDV disertai contoh-contohnya. d. Guru menginformasikan bahwa penyelesaian PtLDV dapat ditentukan menggunakan metode uji titik dan memperhatikan tanda ketidaksamaan pada PtLDV. e. Guru menjelaskan langkah-langkah menentukan penyelesaian PtLDV menggunakan metode uji titik. f. Siswa dengan bimbingan guru berlatih menentukan penyelesaian PtLDV menggunakan metode uji titik dan menggambarkannya pada koordinat kartesius. g. Guru menjelaskan cara menentukan penyelesaian PtLDV dengan memperhatikan tanda ketidaksamaan pada PtLDV. h. Siswa dengan bimbingan guru berlatih menentukan penyelesaian PtLDV dengan memperhatikan tanda ketidaksamaan pada PtLDV dan menggambarkannya pada koordinat kartesius. i. Guru menjelaskan cara menyusun PtLDV suatu daerah penyelesaian disertai contoh-contohnya. j. Siswa dengan bimbingan guru berlatih menyusun PtLDV suatu daerah penyelesaian.

3.

Kegiatan Penutup (10 menit) a. Guru bersama siswa menyimpulkan hasil pembelajaran serta mendorong siswa konsisten dan kritis dalam mengamati fenomena kejadian sehari-hari. b. Guru memberikan reward (berupa pujian atau bentuk penghargaan lain yang relevan) kepada siswa. Pertemuan II (3 × 45 menit)

1.

Pendahuluan (10 menit) a

Pemusatan perhatian: Sebelum guru mulai mengajar, siswa diminta menyiapkan kertas berpetak, penggaris, pensil, dan karet penghapus.

b.

Apersepsi: 1) Guru menginformasikan bahwa pertemuan kali ini membahas tentang SPtLDV dan penyelesaiannya. 2) Sebagai pengantar mengenal SPtLDV guru menggambar dua daerah penyelesaian PtLDV yang saling beririsan pada koordinat kartesius. Dari gambar tersebut guru menjelaskan tentang penyelesaian SPtLDV

Matematika Kelas XI

303

2.

Kegiatan Inti (115 menit) a. Guru menjelaskan pengertian SPtLDV disertai contoh-contohnya. b. Guru menjelaskan langkah-langkah menentukan daerah penyelesaian SPtLDV disertai contohcontohnya. c. Guru menuliskan beberapa SPtLDV, kemudian meminta siswa menggambarkan daerah penyelesaian SPtLDV tersebut pada kertas berpetak disertai langkah-langkahnya. d. Guru menjelaskan cara menghitung luas daerah penyelesaian suatu SPtLDV. e. Siswa dengan bimbingan guru berlatih menghitung luas daerah penyelesaian suatu SPtLDV. f. Guru menjelaskan langkah-langkah menyusun SPtLDV suatu daerah penyelesaian disertai contohcontohnya. g. Siswa dengan bimbingan guru berlatih menyusun SPtLDV suatu daerah penyelesaian. h. Guru menyuruh siswa mengerjakan Latihan 1 sebagai latihan sub A. Lembar Jawaban siswa dikumpulkan untuk dinilai.

3.

Kegiatan Penutup (10 menit) a. Guru bersama siswa menyimpulkan hasil pembelajaran serta mendorong siswa untuk tetap konsisten, teliti, dan cermat dalam menyelesaikan permasalahan-permasalahan tentang SPtLDV. b. Guru memberikan reward (berupa pujian atau bentuk penghargaan lain yang relevan) kepada siswa. Pertemuan III (3 × 45 menit)

1.

Pendahuluan (10 menit) a

Pemusatan perhatian: 1) Guru menyegarkan kembali pikiran siswa dengan yel-yel. 2) Sebelum guru mulai mengajar, siswa diminta menyiapkan kertas berpetak, penggaris, pensil, dan karet penghapus.

b.

Apersepsi: Guru menginformasikan bahwa pertemuan kali ini membahas tentang program linear.

2.

Kegiatan Inti (115 menit) a. Guru menjelaskan langkah-langkah menyelesaikan permasalahan program linear. b. Guru menjelaskan pengertian fungsi objektif dan nilai optimum fungsi objektif. c. Guru menginformasikan bahwa nilai optimum fungsi objektif dapat ditentukan menggunakan metode grafik, yaitu metode uji titik pojok dan metode garis selidik. d. Guru menjelaskan langkah-langkah menentukan nilai optimum fungsi objektif menggunakan metode uji titik pojok disertai contoh-contohnya. e. Siswa dengan bimbingan guru berlatih menentukan nilai optimum fungsi objektif menggunakan metode uji titik pojok. f. Guru menjelaskan langkah-langkah menentukan nilai optimum fungsi objektif menggunakan metode garis selidik disertai contoh-contohnya. g. Siswa dengan bimbingan guru berlatih menentukan nilai optimum fungsi objektif menggunakan metode garis selidik.

3.

Kegiatan Penutup (10 menit) a. Bersama siswa menyimpulkan hasil pembelajaran serta mendorong siswa untuk tetap konsisten, teliti, dan cermat dalam menyelesaikan permasalahan-permasalahan tentang SPtLDV. b. Guru memberikan tugas menentukan nilai optimum fungsi objektif suatu SPtLDV menggunakan metode garis selidik. Tugas dikerjakan di rumah dan hasilnya dikumpulkan untuk dinilai. c. Guru memberikan reward (berupa pujian atau bentuk penghargaan lain yang relevan) kepada siswa.

304

Rencana Pelaksanaan Pembelajaran

Pertemuan IV (3 × 45 menit) 1.

Pendahuluan (10 menit) a.

Pemusatan perhatian: Sebelum proses belajar mengajar dimulai guru memberikan pemanasan untuk menggugah semangat siswa dengan yel-yel.

b.

Apersepsi: 1) Guru menginformasikan kepada siswa materi yang akan dipelajari pada pertamuan ini adalah menyelesaikan permasalahan program linear. 2) Guru mengajak siswa untuk mengingat kembali langkah-langkah menyelesaikan permasalahan program linear.

2.

Kegiatan Inti (115 menit) a. Guru menjelaskan cara merancang model matematika suatu masalah program linear disertai contohcontohnya. b. Siswa dengan bimbingan guru berlatih merancang model matematika suatu masalah program linear. c. Guru menjelaskan cara menyelesaikan model matematika permasalahan program linear. d. Siswa dengan bimbingan guru berlatih menyelesaikan model matematika permasalahan program linear. e. Guru menjelaskan cara menafsirkan penyelesaian model matematika permasalahan program linear. f. Siswa dengan bimbingan guru berlatih menafsirkan penyelesaian model matematika permasalahan program linear. g. Guru menyuruh siswa mengerjakan Latihan 2 sebagai latihan sub B. Lembar Jawaban siswa dikumpulkan untuk dinilai.

3.

Kegiatan Penutup (10 menit) a. Guru bersama siswa menyimpulkan hasil pembelajaran serta mendorong siswa untuk tetap yakin dan percaya diri dalam menghadapi tantangan. b. Guru memberikan reward (berupa pujian atau bentuk penghargaan lain yang relevan) kepada siswa. Pertemuan V (3 × 45 menit)

1.

Pendahuluan (10 menit) a. Guru meminta siswa untuk menyiapkan bolpoin dan penggaris guna menghadapi ulangan harian. b. Guru membagikan kertas untuk lembar jawaban dan coret-coret.

2.

Kegiatan Inti (110 menit) a. Guru memimpin siswa berdoa sebelum mengerjakan soal ulangan harian. b. Siswa mengerjakan soal ulangan harian dengan teliti dan jujur, kemudian hasilnya dikumpulkan.

3.

Kegiatan Penutup (15 menit) a. Guru menginstruksikan kepada siswa untuk mengumpulkan pekerjaannya jika sudah selesai, serta memberikan penjelasan bahwa hasil ulangan merupakan indikator tingkat penguasaan siswa terhadap materi program linear. b. Guru memberi kesempatan kepada siswa untuk menanyakan soal-soal ulangan harian yang belum dibisa dikerjakan atau sulit dikerjakan.

Matematika Kelas XI

305

G. Penilaian 1.

Teknik dan Bentuk Instrumen Teknik

2.

Bentuk Instrumen

Penilaian Sikap

Lembar Pengamatan Sikap dan Rubrik

Tes Tertulis

Tes Pilihan Ganda dan Uraian

Contoh Instrumen a.

b.

Lembar Pengamatan Sikap No.

Aspek yang Dinilai

1.

Menghayati dan menggunakan konsep program linear dalam perannya membantu menyelesaikan masalah keseharian.

2.

Memiliki sikap konsisten, teliti dan cermat, disiplin, dan percaya diri dalam menghadapi dan menyelesaikan permasalahan tentang program linear.

3.

Memiliki sikap dan berperilaku jujur, kritis dalam menghadapi permasalahan seharihari.

4.

Memiliki rasa keingintahuan kegunaan mempelajari program linear.

3

2

1

Keterangan

Rubrik Penilaian Sikap No.

Aspek yang Dinilai

Rubrik

1.

Menghayati dan menggunakan konsep program linear dalam perannya membantu menyelesaikan masalah keseharian.

3 : Menunjukkan ekspresi kekaguman dan menghayati terhadap materi program linear serta sepenuhnya mengetahui peranan program linear dalam membantu menyelesaikan masalah nyata. 2 : Kurang menunjukkan ekspresi kekaguman dan menghayati terhadap materi program linear serta belum sepenuhnya mengetahui peranan program linear dalam membantu menyelesaikan masalah nyata. 1 : Tidak menunjukkan ekspresi kekaguman dan menghayati terhadap materi program linear dan tidak mengetahui peranan program linear dalam membantu menyelesaikan masalah nyata.

306

2.

Memiliki sikap konsisten, teliti dan cermat, disiplin, dan percaya diri dalam menghadapi dan menyelesaikan permasalahan tentang program linear.

3 : Menunjukkan sikap konsisten, teliti dan cermat dalam mengerjakan soal. Bersikap disiplin dan percaya diri dalam menghadapi tantangan tanpa ada rasa takut. Justru merasa yakin bisa menyelesaikan permasalahannya. 2 : Kurang menunjukkan sikap konsisten, teliti dan cermat dalam mengerjakan soal. Kurang bersikap disiplin dan kurang percaya diri dalam menghadapi tantangan. 1 : Tidak menunjukkan sikap konsisten, teliti, dan cermat dalam mengerjakan soal. Tidak bersikap disiplin dan tidak percaya diri dalam menghadapi tantangan. Sering merasa takut salah sehingga tidak bertindak menyelesaikannya.

3.

Memiliki sikap dan berperilaku jujur, kritis dalam menghadapi permasalahan seharihari.

3 : Menunjukkan sikap dan berperilaku jujur, kritis dalam menghadapi permasalahan sehari-hari. 2 : Kurang menunjukkan sikap dan berperilaku jujur, kritis dalam menghadapi permasalahan sehari-hari. 1 : Tidak menunjukkan sikap dan berperilaku jujur, kritis dalam menghadapi permasalahan sehari-hari.

Rencana Pelaksanaan Pembelajaran

No.

Aspek yang Dinilai

Rubrik

4.

Memiliki rasa keingintahuan kegunaan mempelajari program linear.

3 : Menunjukkan sikap rasa keingintahuan yang tinggi tentang kegunaan mempelajari program linear. Hal ini ditunjukkan dengan sering bertanya hal-hal yang belum diketahui. Memiliki pola pikir yang kritis terhadap sesuatu yang baru. 2 : Kurang menunjukkan sikap rasa keingintahuan tentang kegunaan mempelajari program linear. Hal ini ditunjukkan dengan kurang aktif dalam bertanya jawab. Kurang kritis terhadap sesuatu yang baru diketahui. 1 : Tidak menunjukkan sikap rasa keingintahuan tentang kegunaan mempelajari program linear. Hal ini ditunjukkan dengan tidak aktif dalam bertanya jawab. Tidak peduli terhadap sesuatu yang baru diketahui.

Mengetahui Kepala SMA/MA . . .

Guru Mata Pelajaran

......................... NIP_________________________

......................... NIP_________________________

Matematika Kelas XI

307

Rencana Pelaksanaan Pembelajaran Mata Pelajaran Satuan Pendidikan Kelas/Semester Materi/Submateri Pokok Alokasi Waktu

A.

: : : : :

Matematika SMA/MA XI/1 Barisan dan Deret Tak Hingga 10 × 45 menit

Kompetensi Dasar dan Indikator 1.1 Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya. Indikator: • Menghayati dan menggunakan konsep barisan dan deret tak hingga dalam perannya membantu menyelesaikan masalah. 2.1 Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerja sama, konsisten, sikap disiplin, rasa percaya diri, dan sikap toleransi dalam perbedaan strategi berpikir dalam memilih, dan menerapkan strategi menyelesaikan masalah. 2.2 Mampu mentransformasi diri dalam berperilaku jujur, tangguh menghadapi masalah, kritis, dan disiplin dalam melakukan tugas belajar matematika. 2.3 Menunjukkan sikap bertanggung jawab, rasa ingin tahu, jujur, dan perilaku peduli lingkungan. Indikator: • Memiliki kemampuan bekerja sama, sikap disiplin, rasa percaya diri, dan dalam menghadapi dan menyelesaikan permasalahan tentang barisan dan deret tak hingga. • Memiliki sikap dan berperilaku jujur, kritis dan disiplin dalam melakukan tugas belajar matematika. 3.9 Mendeskripsikan konsep barisan tak hingga sebagai fungsi dengan daerah asal himpunan bilangan asli. Indikator: • Mampu menjelaskan konsep barisan dan deret tak hingga. • Mampu menentukan unsur-unsur pembentuk barisan dan deret. • Mampu menentukan jumlah deret tak hingga yang diketahui suku awal dan rasionya. • Mampu menentukan rasio sebuah deret tak hingga yang diketahui suku awal dan jumlah deretnya. • Mampu menentukan suku ke-n sebuah deret tak hingga yang diketahui jumlah deret dan rasionya. 4.6 Menerapkan konsep barisan dan deret tak hingga dalam penyelesaian masalah sederhana. Indikator: • Mampu menerapkan konsep barisan dan deret tak hingga ke dalam permasalahan nyata. • Mampu menyelesaikan permasalahan bentuk-bentuk geometri menggunakan konsep barisan dan deret tak hingga.

B.

Tujuan Pembelajaran 1. Siswa mampu menjelaskan konsep barisan dan deret tak hingga. 2. Siswa mampu menentukan unsur-unsur pembentuk barisan dan deret. 3. Siswa mampu menentukan jumlah deret tak hingga yang diketahui suku awal dan rasionya. 4. Siswa mampu menentukan rasio sebuah deret tak hingga yang diketahui suku awal dan jumlah deretnya. 5. Siswa mampu menentukan suku ke-n sebuah deret tak hingga yang diketahui jumlah deret dan rasionya. 6. Siswa mampu membuat model matematika yang berkaitan dengan barisan dan deret tak hingga. 7. Siswa mampu menerapkan konsep barisan dan deret tak hingga ke dalam permasalahan nyata. 8. Siswa mampu menyelesaikan permasalahan bentuk-bentuk geometri menggunakan konsep barisan dan deret tak hingga.

C.

Materi Pokok • Barisan dan Deret Tak Hingga • Barisan Geometri Tak Hingga • Deret Geometri Tak Hingga

308

Rencana Pelaksanaan Pembelajaran

D.

Metode Pembelajaran Pendekatan : Keterampilan Proses Model : Siklus Belajar (Learning Cycle) Metode : Problem Solving dan Diskusi

E.

Media, Alat, dan Sumber Pembelajaran Sumber Pembelajaran 1. Buku Matematika SMA/MA Kelas XI, Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia 2. Buku Guru Matematika SMA/MA Kelas XI, Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia 3. Buku PR Matematika Kelas XIA, PT Intan Pariwara 4. Buku PG Matematika Kelas XIA, PT Intan Pariwara

F.

Kegiatan Pembelajaran Pertemuan I (2 × 45 menit) 1.

Pendahuluan (10 menit) a.

Pemusatan perhatian: 1) Guru menjelaskan beberapa contoh-contoh permasalahan sehari-hari yang berkaitan dengan barisan dan deret. 2) Guru memberikan beberapa contoh kejadian atau fenomena yang dapat membedakan antara bentuk barisan berhingga dan barisan tak berhingga.

b.

Apersepsi: 1) Guru menginformasikan kepada siswa bahwa kejadian-kejadian yang merupakan contoh tadi dapat diaplikasikan ke dalam bentuk model barisan bilangan. 2) Guru mengingatkan siswa tentang materi barisan geometri dan ciri-cirinya secara jelas.

2.

Kegiatan Inti (75 menit) a. Guru mendeskripsikan tentang berbagai bentuk barisan bilangan, baik bilangan berpola tertentu, barisan bilangan aritmetika dan barisan geometri. b. Guru menjelaskan dan disertai contoh-contoh yang akurat tentang barisan berhingga dan barisan tak hingga. c. Guru menjelaskan unsur-unsur pembentuk barisan tak hingga dan sifat-sifatnya berdasarkan nilai dari unsur-unsur pembentuknya, yaitu dari nilai rasio. d. Guru menginformasikan tentang perbedaan antara barisan konvergen dan barisan divergen. e. Guru menjelaskan syarat-syarat suatu barisan adalah barisan konvergen atau divergen serta diberikan contoh yang jelas. f. Siswa diberikan beberapa barisan bilangan yang memiliki berbagai sifat yang berbeda, kemudian siswa disuruh menyelidiki berbagai unsur-unsur yang terdapat di dalam barisan tersebut. Termasuk jenis yang mana barisan-barisan tersebut.

3.

Kegiatan Penutup (5 menit) a. Guru bersama siswa menyimpulkan hasil pembelajaran serta mendorong siswa selalu disiplin, teliti, jujur dan kritis dalam mengamati fenomena kejadian sehari-hari. b. Guru memberikan reward (berupa pujian atau bentuk penghargaan lain yang relevan) kepada siswa. Pertemuan II (3 × 45 menit)

1.

Pendahuluan (10 menit) a

Pemusatan perhatian: Sebelum guru mulai mengajar, guru melakukan sejenis simulasi menggunakan kertas. Selembar kertas dipotong menjadi dua bagian. Salah satu dari bagian itu dipotong lagi menjadi dua. Demikian seterusnya, setiap setelah kertas dipotong, salah satunya dipotong menjadi dua. Hal ini untuk menunjukkan proses jumlahan tak hingga yang diketahui hasilnya.

Matematika Kelas XI

309

b.

Apersepsi: 1) Guru menginformasikan bahwa pertemuan kali ini membahas tentang barisan dan deret geometri tak hingga yang konvergen. 2) Guru memberikan beberapa contoh fenomena yang merupakan bentuk deret geometri tak hingga, misalnya pantulan bola yang semakin lama akan berhenti.

2.

Kegiatan Inti (115 menit) a. Guru menjelaskan barisan gemetri tak hingga. b. Guru menjelaskan unsur-unsur pembentuk barisan dan deret geometri tak hingga disertai contohcontoh yang menjelaskan. c. Guru menjelaskan cara menentukan deret geometri tak hingga dari barisan bilangan yang diketahui suku awal dan rasionya. d. Guru bersama-sama siswa merumuskan jumlah atau deret geometri tak hingga (konvergen) yang diketahui suku awal dan rasionya. e. Guru menjabarkan barisan dan deret geometri tak hingga untuk menentukan rumus jumlahan sukusuku ganjil dan suku genap pada deret geometri tak hingga. f. Guru bersama-sama siswa menyelesaikan permasalahan-permasalahan tentang barisan dan deret geometri tak hingga. g. Siswa dengan bimbingan guru berlatih menyelesaikan soal-soal latihan.

3.

Kegiatan Penutup (10 menit) a. Guru bersama siswa menyimpulkan hasil pembelajaran serta mendorong siswa untuk tetap konsisten, teliti, dan cermat dalam menyelesaikan masalah-masalah tentang barisan dan deret tak hingga. b. Guru memberikan reward (berupa pujian atau bentuk penghargaan lain yang relevan) dan tugas rumah kepada siswa. Pertemuan III (3 × 45 menit)

1.

Pendahuluan (10 menit) a

Pemusatan perhatian: 1) Guru memberikan kuis atau tebakan ringan tentang barisan tak hingga yang bisa dikemas dalam cerita tertentu. 2) Guru memberikan jawaban dari kuis tersebut apabila sudah ada beberapa jawaban kuis dari siswa.

b.

Apersepsi: Guru menginformasikan bahwa pertemuan kali ini akan membahas tentang penerapan dan pemanfaatan konsep barisan dan deret tak hingga dalam menyelesaikan masalah geometri dan fenomena keseharian.

2.

Kegiatan Inti (115 menit) a. Guru menjelaskan tentang bentuk-bentuk dan ciri-ciri permasalahan yang dapat diselesaikan dengan barisan dan deret tak hingga. b. Guru menjelaskan cara membuat model matematika atau menerjemahkan dari soal cerita ke dalam bentuk matematika. c. Guru memberikan beberapa contoh permasalahan sehari-hari disertai dengan cara penyelesaiannya secara bertahap dan langkah-langkah jelas. d. Siswa bersama-sama dengan guru menyelesaikan masalah-masalah keseharian menggunakan konsep barisan dan deret tak hingga.

3.

Kegiatan Penutup (10 menit) a. Bersama siswa menyimpulkan hasil pembelajaran serta mendorong siswa untuk tetap konsisten, teliti, dan cermat dalam menyelesaikan permasalahan-permasalahan tentang barisan dan deret. b. Guru memberikan tugas kepada siswa yang berkaitan dengan barisan dan deret tak hingga. c. Guru memberikan reward (berupa pujian atau bentuk penghargaan lain yang relevan) kepada siswa.

310

Rencana Pelaksanaan Pembelajaran

1.

Pertemuan IV (2 × 45 menit) Pendahuluan (5 menit) a. Guru meminta siswa untuk menyiapkan bolpoin dan penggaris guna menghadapi ulangan harian. b. Guru membagikan kertas untuk lembar jawaban dan coret-coret.

2.

Kegiatan Inti (75 menit) a. Guru memimpin siswa berdoa sebelum mengerjakan soal ulangan harian. b. Siswa mengerjakan soal ulangan harian dengan teliti dan jujur dengan waktu yang sudah ditentukan. Kemudian hasilnya dikumpulkan.

3.

Kegiatan Penutup (10 menit) a. Guru menginstruksikan kepada siswa untuk mengumpulkan pekerjaannya jika sudah selesai, serta memberikan penjelasan bahwa hasil ulangan merupakan indikator tingkat penguasaan siswa terhadap materi barisan dan deret tak hingga. b. Guru memberi kesempatan kepada siswa untuk menanyakan soal-soal ulangan harian yang belum bisa dikerjakan atau sulit dikerjakan.

G. Penilaian 1.

Teknik dan Bentuk Instrumen Teknik

2.

Bentuk Instrumen

Penilaian Sikap

Lembar Pengamatan Sikap dan Rubrik

Tes Tertulis

Tes Pilihan Ganda dan Uraian

Contoh Instrumen a. Lembar Pengamatan Sikap

b.

No.

Aspek yang Dinilai

1.

Menghayati dan menggunakan konsep barisan dan deret tak hingga dalam perannya membantu menyelesaikan masalah keseharian.

2.

Memiliki sikap konsisten, teliti dan cermat, disiplin, dan percaya diri dalam menghadapi dan menyelesaikan permasalahan tentang barisan dan deret tak hingga.

3.

Memiliki sikap dan berperilaku jujur, kritis dalam menghadapi permasalahan seharihari.

4.

Memiliki rasa keingintahuan kegunaan mempelajari barisan dan deret tak hingga.

3

2

1

Keterangan

Rubrik Penilaian Sikap No.

Aspek yang Dinilai

Rubrik

1.

Menghayati dan menggunakan konsep barisan dan deret tak hingga dalam perannya membantu menyelesaikan masalah.

3 : Menunjukkan ekspresi kekaguman dan menghayati terhadap materi barisan dan deret tak hingga serta sepenuhnya mengetahui peranan barisan dan deret tak hingga dalam membantu menyelesaikan masalah nyata. 2 : Kurang menunjukkan ekspresi kekaguman dan menghayati terhadap materi barisan dan deret tak hingga serta belum sepenuhnya mengetahui peranan barisan dan deret tak hingga dalam membantu menyelesaikan masalah nyata. 1 : Tidak menunjukkan ekspresi kekaguman dan menghayati terhadap materi barisan dan deret tak hingga dan tidak mengetahui peranan barisan dan deret tak hingga dalam membantu menyelesaikan masalah nyata.

Matematika Kelas XI

311

312

No.

Aspek yang Dinilai

Rubrik

2.

Memiliki sikap konsisten, teliti dan cermat, disiplin, dan percaya diri dalam menghadapi dan menyelesaikan permasalahan tentang barisan dan deret tak hingga.

3 : Menunjukkan sikap konsisten, teliti, dan cermat dalam mengerjakan soal. Bersikap disiplin dan percaya diri dalam menghadapi tantangan tanpa ada rasa takut. Justru merasa yakin bisa menyelesaikan permasalahannya. 2 : Kurang menunjukkan sikap konsisten, teliti, dan cermat dalam mengerjakan soal. Kurang bersikap disiplin dan kurang percaya diri dalam menghadapi tantangan. 1 : Tidak menunjukkan sikap konsisten, teliti, dan cermat dalam mengerjakan soal. Tidak bersikap disiplin dan tidak percaya diri dalam menghadapi tantangan. Sering merasa takut salah sehingga tidak bertindak menyelesaikannya.

3.

Memiliki sikap dan berperilaku jujur, kritis dalam menghadapi permasalahan seharihari.

3 : Menunjukkan sikap dan berperilaku jujur, kritis dalam menghadapi permasalahan sehari-hari. 2 : Kurang menunjukkan sikap dan berperilaku jujur, kritis dalam menghadapi permasalahan sehari-hari. 1 : Tidak menunjukkan sikap dan berperilaku jujur, kritis dalam menghadapi permasalahan sehari-hari.

4.

Memiliki rasa keingintahuan kegunaan mempelajari barisan dan deret tak hingga.

3 : Menunjukkan sikap rasa keingintahuan yang tinggi tentang kegunaan mempelajari barisan dan deret tak hingga. Hal ini ditunjukkan dengan sering bertanya halhal yang belum diketahui. Memiliki pola pikir yang kritis terhadap sesuatu yang baru. 2 : Kurang menunjukkan sikap rasa keingintahuan tentang kegunaan mempelajari barisan dan deret tak hingga. Hal ini ditunjukkan dengan kurang aktif dalam bertanya jawab. Kurang kritis terhadap sesuatu yang baru diketahui. 1 : Tidak menunjukkan sikap rasa keingintahuan tentang kegunaan mempelajari barisan dan deret tak hingga. Hal ini ditunjukkan dengan tidak aktif dalam bertanya jawab. Tidak peduli terhadap sesuatu yang baru diketahui.

Mengetahui Kepala SMA/MA . . .

Guru Mata Pelajaran

......................... NIP_________________________

......................... NIP_________________________

Rencana Pelaksanaan Pembelajaran