Kumpulan Soal Barisan Dan Deret (aritmatika) 682a1t

Barisan dan Deret

Pilihan Ganda 1. 27, 64, 18, 48, 12, 36, ..... a. 8, 27 b. 8, 25 c. 6, 27 d. 6, 25 Penyelesaian : Suku ganjil, dibagi 3 kemudian dikali 2 (12 : 3 x 2 = 8) Suku genap, dibagi 4 kemudian dikali 3 (36 : 4 x 3 = 27) Jawaban A. 8, 27

:

2. Suatu jenis bakteri, setiap detik akan membelah diri menjadi dua. Jika pada saat permulaan ada 5 bakteri, waktu yang diperlukan bakteri supaya menjadi 320 adalah ..... a. 5 detik b. 6 detik c. 7 detik d. 16 detik e. 20 detik Penyelesaian : Deret geometri r = 2 dan a = 5 Un = arⁿ 320 = 5. 2ⁿ => 64 = 2ⁿ 2⁶ = 2ⁿ => jadi n=6 detik Jawaban B. 6 detik

:

3. Sebuah bola jatuh dari ketinggian 10 m dan memantul kembali dengan ketinggian ¾ kali tinggi sebelumnya, begitu seterusnya hingga bola berhenti.

Jumlah seluruh lintasan bola adalah ..... a. 65 m b. 70 m c. 75 m d. 77 m e. 80 m Penyelesaian : Deret geometri a = 10 m, r = ¾ Lintasan bola bolak balik kecuali saat jatuh pertama => maka jumlah seluruh lintasannya ialah : S = 2. Sn-a a = 2. ( )–a 1 r 10 = 2. ( ) – 10 1 3/ 4 = 70 m Jawaban B. 70 m

:

4. Suku ke-5 sebuah deret aritmatika adalah 11 dan jumlah nilai suku ke-8 dengan suku ke-12 sama dengan 52. Jumlah 8 suku pertama deret tersebut ialah ….. a. 68 b. 72 c. 76 d. 80 e. 84 Penyelesaian :  U₈ + U₁₂ = 52 (a+7b)+(a+11b) = 52 2a+18b = 52 1a+9b =26………………(1)  U₅ = a + 4b =11……………………..(2)  1a + 9b = 26  1a + 4b = 11 5b = 15 => b = 3 1a + 4b = 11  1a + 4.3 = 11  a = -1 n Maka : Sn = (2a + (n-1)b) 2

S₈ = 4 (2(-1)+(8-1)3) = 4 (-2+21) = 76 Jawaban C. 76

:

5. Jika tiga bilangan q,s, dan t membentuk barisan geometri, maka a.

q qt

c.

s qs

b.

s st

d.

q st

qs = ….. q  2s  t

Penyelesaian : Un = a. r n 1 , q, s, t  geometri s = qr t = qr 2 = sr t r = s q  qr qs 1 r  = = = 2 q  2s  t q  2qr  qr 1  2r  r 2

1 r 1 = = 2 (1  r ) 1 r Jawaban s B. st

1 1

t s

=

1 (s  t )

= s

s st

:

6. Jumlah tak hingga dari deret geometri adalah 81 dan suku pertamanya adalah 27. Jumlah semua suku bernomor genap deret tersebut adalah ….. a. 32 2 c. 18 9 5 13 b. 21 3 d. 12 6 5 13 Penyelesaian : Deret geometri bernomor genap adalah : ar, ar³, ar⁵, ….. 27. 2 ar 3 S~ = = 2 1 r 1  (2 )2 3

=

Jawaban A. 32 2 5

162 = 32 2 5 5 :

7. Pada sebuah deret geometri diketahui bahwa suku pertamanya adalah 3 dan suku ke-9 adalah 768. Suku ke-7 deret itu adalah ….. a. 36 b. 72 c. 192 d. 256 Penyelesaian : a=3 U₉ = 768 Un = ar n 1 U₉ = 3r⁸ = 768 r⁸ = 256 r =2 U₇ = 3. 2⁶ = 3. 64 = 192 Jawaban C. 192

:

8. Pada suatu ulangan matematika, terdapat soal mengenai jumlah barisan aritmatika. Pada berkas soal yang diterima Adam, rumus tidak tercetak sempurna sehingga hanya terbaca “ Sn = n² + ”, tetapi Adam masih bias menjawab soal tentang beda barisan tersebut. Nilainya adalah ….. a. 1 b. -1 c. 2 d. -2 e. 3 Penyelesaian : Missal Sn = n² + an Maka

U₁ = S₁ = 1 + a U₂ = S₂ - S₁ = (4+2a) – (1+a) = 3+a Jadi beda = U₂ - U₁ = 3 + a – (1+a) =2 Jawaban C. 2

:

9. Jumlah 101 bilangan genap berurutan adalah 13130 jumlah bilangan terkecil yang pertama dari bilangan-bilangan genap tersebut adalah ….. a. 96 b. 102 c. 108 d. 114 e. 120 Penyelesaian : Deret aritmatika : n = 101 b=2 maka : n Sn = (2a+(n-1)b) 2 101 13130 = (2a+100.2) 2 130 = a+100 a = 30

Sn = 13130

jadi 3 bilangan terkecil = 30 +32 + 34 = 96 Jawaban A. 96

:

10. Misalkan Un menyatakan suku ke-n suatu barisan geometri. Jika diketahui U₅ = 12 dan log U₄ + log U₅ - log U₆ = log 3, maka nilai U₄ adalah ….. a. 12 b. 10 c. 8 d. 6

e. 4 Penyelesaian : Un = suku ke-n suatu barisan geometri Log U₄ + log U₅ - log U₆ = log 3, maka : Log ar³ + log ar⁴ - log ar⁵ = log 3

ar 3 .ar 4 = log 3 ar 5  ar² = 3 Diketahui U₅ = 12  ar⁴ =12, sehingga ar².r² = 12  3r² = 12  r² = 4 sehingga r = 2 U 12 diperoleh U₄ = 5 = =6 r 2  log

Jawaban d. 6

:

11. Misalkan Un menyatakan suku ke-n suatu barisan geometri. Jika diketahui U₆=64 dan log U₂+log U₃+log U₄=9 log 2, maka nilai U₃ adalah ….. a. 8 b. 6 c. 4 d. 2 e. 1 Penyelesaian : Un = suku ke-n suatu barisan geometri Log U₂ + log U₃ + log U₄ = 9 log 2, maka Log ar + log ar² + log ar³ = 9 log 2  log a³r⁶ = log 2⁹  a³r⁶ = 2⁹  (ar²)³ = (2³)³ Sehingga ar² = 2³ = 8 atau U₃ = 8 Jawaban A. 8

:

12. Koefisien x 49 pada hasil perkalian (x-1)(x-2)(x-3)….(x-50) adalah ….. a. -49 b. -50 c. -1250

d. -1275 e. -1350 Penyelesaian : (x-1)(x-2)(x-3)….(x-50) Untuk n=1, koefisien x⁰ adalah -1 Untuk n=2, koefisien x adalah -3 Untuk n=3, koefisien x² adalah -6 Untuk n=4, koefisien x³ adalah -10 . . . Untuk n=50, koefisien x adalah -1 -3 -6 -10 ….. -2 -3 -4 ….. -1 -1 a= -1 b= -2 c=-1 b(n  1) c(n  1)(n  2) Un= a + + 1! 2!  2(n  1)  1(n  1)(n  2) Un= -1 + + 1 2 = -n+1+ ½ (-n²+3n-2) = -1/2 n(n+1) Jadi koefisien x⁴⁹ terjadi pada n= 50 Sehingga U₅₀ = -1/2. 50(51)= -1275 Jawaban d. -1275

:

13. Sebuah deret dengan suku ke-n adalah an memiliki jumlah suku pertama 5n² + 3n. Nilai a₂ + a₅ + a₈ + ….. + a₂₀ = …. a. 726 b. 736 c. 746 d. 756 e. 766 Penyelesaian : Sn = 5n² + 3n Un = 10 n-2, maka :

a₂ + a₅ + a₈ + ….. + a₂₀ = 18 + 48 + 78 + ….. + 198 7 = (18+198) 2 =756 Jawaban d. 756

:

14. Suku ke-n deret geometri adalah Un. Jika diketahui

U6 1 = 3 dan U₂.U₈ = , maka U8 3

nilai U₁₀ = ….. 1 a. 27 b. c.

3 27 1 9

3 9 1 e. 3 d.

Penyelesaian : Deret geometri, diketahui : U6 1 1 = 3  2 =3  r = U8 r 3

1 1  U₅ = a=3 3 3 3 1 1 1 1 . )= U₁₀ = ar⁹ = 3 3 ( )⁹ = 3 3 ( 27 3 81 3 U₂ . U₈ =

Jawaban 1 a. 27

:

15. Dari suatu deret aritmatika dengan suku ke-n adalah Un, diketahui U₃ + U₆ + U₉ + U₁₂ = 72. Jumlah 14 suku pertama deret ini adalah ….. a. 231

b. c. d. e.

238 245 252 259

Penyelesaian : Deret aritmatika diketahui : U₃ + U₆ + U₉ + U₁₂ = 72  U₆ + U₉ = 36 S₁₄ = 7. 36 = 252 Jawaban d. 252

:

16. Suatu barisan geometri mempunyai rasio positif. Jika suku ke-3 bernilai 2p dan suku ke-2 dikurangi suku ke-4 sama dengan p 2 , maka rasio barisan tersebut adalah ….. a.

2

b. 2 2 1 2 c. 2 d. 2 1 e. 2 Penyelesaian : Deret geometri Jika : U₃ = 2p dan U₂ - U₄ = p 2 ar² = 2p dan ar-ar³ = p 2

ar  ar 3 p 2 maka : = 2 ar 2p

2 1 r2 = 2 r 2 – 2r² = 2r 2r² +

2r -2 = 0

(2r -

2 )( r  2 )  0

1 2 atau r =  2 ™ 2 1 2 jadi r = 2 r=

Jawaban 1 2 c. 2

:

17. Tiga buah bilangan membentuk barisan geometri idan jumlahnya -48. Jika bilangan ke-2 dan ke-3 ditukar letaknya menghasilkan sebuah barisan aritmatika, maka nilai bilangan ke-2 dari barisan semula ialah ….. a. -32 b. -28 c. 28 d. 32 e. 36 Penyelesaian :  a + ar + ar² = - 48 a(1 + r + r²) = -48, dan  a + ar + ar² = DA ar² - a = ar - ar² r² - 1 = r – r² (r – 1)(r + 1) = r (1 – r) r + 1 = -1 1 1 1 r = -  a (1 - + ) = -48 2 2 4 a = -64 U₂ = ar 1 = (-64)(- ) 2 = 32 Jawaban d. 32

:

18. Jika dalam suatu deret berlaku ³log x + ³log² x + ³log³ x + …… = 1, maka nilai x adalah ….. 1 a. 3 b.

3 3

c.

3

d.

2 9

e.

1 9

Penyelesaian : D ~ = ³log x + ³log² x + ³log³ x + …… = 1 a S~= =1 1 r 3

log x =1 1 3 log x ³log x = 1 - ³log x 2. ³log x = 1 ³ log x = ½ X= Jawaban c.

3

:

3

19. Diketahui deret aritmatika dengan beda 1. Jika jumlah pangkat tiga dri tiga suku pertamanya adalah 18 lebih besar dari 3 kali pangkat 3 dari suku ke-2 maka jumlah tiga suku pertamanya adalah ….. a. 6 b. 9 c. 12 d. 15 e. 18 Penyelesaian : Deret aritmatika b=1 U₁³ + U₂³ + U₃³ = 18 + 3 U₂³ U₁³ - 2 U₂³ + U₃³ = 18 a³ - 2 (a+ 1)³ + (a+ 2)³ = 18 a=2 U₁ + U₂ + U₃ = 2 + 3 + 4 = 9 Jawaban b. 9

:

20. Suku ke-5 dari barisan geometri adalah 243, hasil bagi suku ke-9 dengan ke-6 adalah 27. Suku ke-2 adalah ….. a. 3

b. c. d. e.

5 7 9 11

Penyelesaian : Deret geometri U₅ = 243 = ar⁴ U9 = r³ = 27 U6 r=3a=3 Jadi U₂ = ar = 3 . 3 = 9 Jawaban d. 9

:

21. Suku pertama dari deret geometri adalah 4 dan jumlah 8 suku pertamanya 17 kali jumlah 4 suku pertama. Rasio deret geometri itu sama dengan ….. a. 5 b. 4 c. 3 d. 2 e. 1 Penyelesaian : Deret Geometri a=4 S₈ = 17 . S₄ a

r8 1 r 4 1 = 17 . a r 1 r 1

r8 1 = 17 r 4 1 r⁴ + 1 = 17  r⁴ = 16  r = 2 Jawaban d. 2

:

22. Suku pertama dan ke-2 dari suatu deret geometri berturut-turut ialah p⁴ dan p³ x . Jika suku ketujuh adalah p³⁴, maka nilai x adalah ….. a. 1 b. 2 c. 3

d. 4 e. 5 Penyelesaian : U2 p 3x r= = 4 = p 3 x 4 U1 p U₇ = ar⁶ = p⁴(p 3 x4 )⁶ p³⁴ = p⁴. p 18 x24 = p 18 x20 34 = 18x – 20 54 18x = 54  x = =3 18 Jawaban c. 3

:

23. Suku ke-2 dari suatu deret aritmatika adalah 5. Jika jumlah dari suku ke-4 dan suku ke6 dari deret terrsebut adalah 28, maka suku ke-9 adalah ….. a. 19 b. 21 c. 26 d. 28 e. 29 Penyelesaian : U₂ = a + b = 5 U₄ + U₆ = a + 3b + a + 5b = 28 2a + 8b = 28 a + 4b = 14 a+b = 5 3b = 9  b = 3 a+3=5a=2 U₉ = a + (9 – 1)b = a + 8b = 2 + 8(3) = 26 Jawaban c. 26

:

24. Diketahui suatu deret geometri tak hingga dengan suku awal a dan rasio r. jika jumlah suku awal dan rasio sama dengan 6 dan jumlah semua suku-sukunya sama dengan 5, a maka adalah ….. r a. -20

b. 25 5 c. 6 1 d. 25 e. -25 Penyelesaian : a+r=6a=6–r a =5 1 r a = 5 – 5r 6 – r = 5 – 5r 1 4r = -1  r = 4

1 1 a= 6 –(- ) = 6 4 4 a = r

1 4 = - 25 1  4 6

Jawaban

:

e. -25 25. Suku tengah suatu deret aritmatika adalah 23. Jika suku terakhirnya 43 dan suku ketiganya 13, maka banyaknya suku pada deret tersebut adalah ….. a. 5 b. 7 c. 9 d. 11 e. 13 Penyelesaian : 2 U t = U₁ + Un 2 (23) = a + 43 46 = a + 43  a = 3 U₃ = a + 2b = 13  b = 5 Un = a + (n - 1)b = 43 3 + (n – 1) 5 = 43 5n – 5 = 40 5n = 45  n = 9 Jawaban

:

c. 9

Essay 26. Agar deret geometri tak hingga dengan suku pertama a mempunyai jumlah 2, maka a memenuhi ….. Penyelesaian : a S∞ = =2 1 r a = 2  a = 2 – 2r 1 r -1 < a < 1 r=1a=0 r = -1  a = 4 maka 0 < a < 4 27. Diketahui suku ketiga dan suku kelima dari deret aritmatika berturut-turut adalah 18 dan 24. Jumlah tujuh suku pertamanya adalah ….. Penyelesaian : a + 2b = 18 a + 4b = 24 -2b = -6 b = 3  a = 12 7 S₇ = (2(12) + (7-1)3) 2 = 147 28. Dalam suatu deret aritmatika, jika U₃ + U₇ = 56 dan U₆ + U₁₀ = 86, maka suku ke-2 adalah ….. Penyelesaian : Deret aritmatika

56 = 28 2 86 U₆ + U₁₀ = 86  U₈ = = 43 2 U₈ - U₅ = 43 – 28  3b = 15  b = 5 b = 5  Un = 5n + 3 (karena U₅ = 28) U₂ = 10 + 3 = 13 U₃ + U₇ = 56  U₅ =

29. Jika suatu barisan geometri y + 1, 2y – 2, 7y – 1, ….. mempunyai rasio positif, maka suku ke-4 barisan tersebut adalah ….. Penyelesaian : y + 1, 2y – 2, 7y – 1, …..  barisan Geometri dengan r > 0 2y  2 (2y – 2)² = (y + 1)(7y – 1); r = y 1 4y² - 8y + 4 = 7y² + 6y -1 3y² + 14y – 5 = 0 (3y – 1) (y + 5) = 0 2 2 1 3 y= r= > 0 (tidak dipakai) 1 3 1 3  10  2  12 y=-5 r= = =3  5 1 4 U₁ = y + 1 = -5 + 1 = -4 U₄ = ar³ = -4 . 3³ = -108 30. Suatu deret aritmatika memiliki beda 2 dan jumlah 20 suku pertamanya 240. Jumlah tujuh suku pertamanya adalah ….. Penyelesaian : Deret aritmatika, b = 2 dan S₂₀ = 240 maka 20 (2a + 19b) = 240  2a + 19.2 = 24 2 7  a = -7, S₇ = (2. -7 + 6.2) = -7 2