Interpolacion Segmentaria z102n

Alumno: Jonathan Cronque Jimenez

Materia: Análisis Numérico

Tema: Interpolación Segmentaria. Escuela: Instituto Tecnológico De Estudios Superiores De Zamora

Maestro: Javier Barajas Aceves

Grupo: 5B

Carrera: Ing. Electrónica

INDICE Introducción…………………………………………………....3 Desarrollo…………………………………………………….. 4-11 Conclusiones………………………………………………….. 12 Bibliografías……………………………………………………. 12

INTRODUCCIÓN

Interpolación. En el sub campo matemático del análisis numérico, se denomina interpolación a la obtención de nuevos puntos partiendo del conocimiento de un conjunto discreto de puntos.

En ingeniería y algunas ciencias es frecuente disponer de un cierto número de puntos obtenidos por muestreo o a partir de un experimento y pretender construir una función que los ajuste.

Otro problema estrechamente ligado con el de la interpolación es la aproximación de una función complicada por una más simple. Si tenemos una función cuyo cálculo resulta costoso, podemos partir de un cierto número de sus valores e interpolar dichos datos construyendo una función más simple. En general, por supuesto, no obtendremos los mismos valores evaluando la función obtenida que si evaluamos la función original, si bien dependiendo de las características del problema y del método de interpolación usado la ganancia en eficiencia puede compensar el error cometido.

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DESARROLLO

Interpolación segmentaria o splines. En el sub campo matemático del análisis numérico, un spline es una curva diferenciable definida en porciones mediante polinomios. En los problemas de interpolación, se utiliza a menudo la interpolación mediante splines porque da lugar a resultados similares requiriendo solamente el uso de polinomios de bajo grado, evitando así las oscilaciones, indeseables en la mayoría de las aplicaciones, encontradas al interpolar mediante polinomios de grado elevado. Para el ajuste de curvas, los splines se utilizan para aproximar formas complicadas. La simplicidad de la representación y la facilidad de cómputo de los splines los hacen populares para la representación de curvas en informática, particularmente en el terreno de los gráficos por ordenador .

Tipos Interpolación con splines de grado 1. Los splines de grado 1 son funciones polinomiales de grado 1 (Rectas de la forma f(x)=ax+b) que se encargan de unir cada par de coordenadas mediante una recta. Dados los n+1 puntos:

Una función spline de grado 1 que interpole los datos es simplemente unir cada uno de los puntos (Par coordenados) mediante segmentos de recta, como se ilustra en las siguientes figuras:

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Interpolación con splines de grado 2. Los polinomios P(x) a través de los que construimos el Spline tienen grado 2. Esto quiere decir, que va a tener la forma P(x) = ax² + bx + c Como en la interpolación segmentaria lineal, vamos a tener N-1 ecuaciones (donde N son los puntos sobre los que se define la función). La interpolación cuadrática nos va a asegurar que la función que nosotros generemos a trozos con los distintos P(x) va a ser continua, ya que para sacar las condiciones que ajusten el polinomio, vamos a determinar cómo condiciones: 

Que las partes de la función a trozos P(x) pasen por ese punto. Es decir, que las dos Pn(x) que rodean al f(x) que queremos aproximar, sean igual a f(x) en cada uno de estos puntos.

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Que la derivada en un punto siempre coincida para ambos "lados" de la función definida a trozos que pasa por tal punto común.

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Esto sin embargo no es suficiente, y necesitamos una condición más. ¿Por qué? Tenemos 3 incógnitas por cada P(x). En un caso sencillo con f(x) definida en tres puntos y dos ecuaciones P(x) para aproximarla, vamos a tener seis incógnitas en total. Para resolver esto necesitaríamos seis ecuaciones, pero vamos a tener tan sólo cinco: cuatro que igualan el P(x) con el valor de f(x) en ese punto (dos por cada intervalo), y la quinta al igualar la derivada en el punto común a las dos P(x).

Se necesita una sexta ecuación, ¿de dónde se extrae? Esto suele hacerse con el valor de la derivada en algún punto, al que se fuerza uno de los P(x).

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Interpolación con splines de grado 3 Cada polinomio P(x) a través del que construimos los Splines en [m, n] tiene grado 3. Esto quiere decir, que va a tener la forma P(x) = ax³ + bx² + cx + d En este caso vamos a tener cuatro variables por cada intervalo (a, b, c, d), y una nueva condición para cada punto común a dos intervalos, respecto a la derivada segunda: 

Que las partes de la función a trozos P(x) pasen por ese punto. Es decir, que las dos Pn(x) que rodean al f(x) que queremos aproximar, sean igual a f(x) en cada uno de estos puntos.



Que la derivada en un punto siempre coincida para ambos "lados" de la función definida a trozos que pasa por tal punto común. Que la derivada segunda en un punto siempre coincida para ambos "lados" de la función definida a trozos que pasa por tal punto común.

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Como puede deducirse al compararlo con el caso de splines cuadráticos, ahora no nos va a faltar una sino dos ecuaciones (condiciones) para el número de incógnitas que tenemos.

La forma de solucionar esto, determina el carácter de los splines cúbicos. Así, podemos usar: Splines cúbicos naturales: La forma más típica. La derivada segunda de P se hace 0 para el primer y último punto sobre el que está definido el conjunto de Splines, esto son, los puntos m y n en el intervalo [m,n]. Dar los valores de la derivada segunda de m y n de forma "manual", en el conjunto de splines definidos en el intervalo [m, n]. Hacer iguales los valores de la derivada segunda de m y n en el conjunto de splines definidos en el intervalo [m, n]. Splines cúbicos sujetos: La derivada primera de P debe tener el mismo valor que las derivada primera de la función para el primer y último punto sobre el que está definido el conjunto de Splines, esto son, los puntos m y n en el intervalo [m, n].

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Ejemplos Ejemplo 1 Interpolación lineal. Interpolar con splines f(x) = 1 / x, en los puntos en los que x vale 1, 2 y 4 f (1) = 1 f (2) = 0.5 f (4) = 0.25 El primer segmento P1(x) = ax + b deberá unir los primeros dos puntos de coordenadas (1,1) y (2,0.5). Surge un sistema lineal de dos ecuaciones en dos incógnitas: (1) 1=a+b (2) 0.5=2a+b De (1) se obtiene: a=1-b (3) Reemplazando (3) en (2) se obtiene: 0.5=2(1-b)+b Luego b=1.5 Reemplazando el valor de (b) en (1), se obtiene: a = - 0.5 Por lo tanto, se concluye que: P1(x) = - 0.5x + 1.5 El segundo segmento P2(x) = ax + b deberá unir el segundo punto (2,0.5) con el tercer punto (4,0.25). Análogamente a lo hecho para P1(x), en el caso de P2(x) se obtiene: (1) 0.5 = 2a + b (2) 0.25 = 4a + b a = - 0.125, b = 0.75

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Luego P2(x) = - 0.125x + 0.75

Ejemplo 2 Interpolación Cuadrática. Calcular la interpolación por splines de grado 2:

Primero que nada, vemos que se forman tres intervalos: [3, 4,5], [4, 5,7], [7,9] En cada uno de estos intervalos, debemos definir una función polinomial de grado 2, como sigue: Hacemos que la spline pase por los puntos de la tabla de datos, es decir, se debe cumplir que: S (3)=2,5 s (4,5)=1 s (7)=2,5 s (9)=0,5 Así, se forman las siguientes ecuaciones:

Hasta aquí, tenemos un total de 6 ecuaciones con 9 incógnitas. El siguiente paso es manejar la existencia de las derivadas continuas. En el caso de las splines de grado 2, necesitamos que la spline tenga derivada continua de orden k-1=1, es decir, primera derivada continua. Calculamos primero la primera derivada:

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Vemos que esta derivada está formada por segmentos de rectas, que pudieran presentar discontinuidad en los cambios de intervalo. Es decir, las posibles discontinuidades son x = 5.4 y x = 7. Por lo tanto para que s′(x) sea continua, se debe cumplir que:

También debe cumplirse que:

Así, tenemos un total de 8 ecuaciones vs. 9 incógnitas; esto nos da un grado de libertad para elegir alguna de las incógnitas. Elegimos por simple conveniencia a1 = 0. De esta forma, tenemos un total de 8 ecuaciones con 8 incógnitas. Estas son las siguientes:

Este sistema de ecuaciones tiene la siguiente forma matricial:

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Ejemplo 3 Interpolación Cubica. Construir el spline cubico natural que interpola a partir de los datos:

El sistema es:

Por lo tanto:

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CONCLUSION En análisis numérico, la interpolación polinómica es una técnica de interpolación de un conjunto de datos o de una función por un polinomio. Es decir, dado cierto número de puntos obtenidos por muestreo o a partir de un experimento se pretende encontrar un polinomio que pase por todos los puntos.

BIBLIOGRAFIAS Chapra S. & Canales R. / Métodos numéricos para ingenieros. / Edit. Mc Graw Hill. N.Y. 1994, 641p 

A. Aubanell, A. Benseny, A. Delshams (1993). Útiles básicos de Cálculo Numérico. Labor/Publicaciones de la UAB. 

http://interpolacion.wikidot.com/spline-teoria

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