Iniciacion Matematica Pdf 4u3sx

erecortlar (pre, en este ¡reríoclo, para el niño es tan importante lo r¡tre delle aprender (los conocirnierttos)conlo el méto
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Y oRGANrznclóN z. SELECCToN DE,CONTENIDOS

2.1. ¿QUEENSENAR nN UernUÁUCe¡ La sociedad, a través de los programas de estudio, selecciona explícitamente del "saber docto" al¡;unos "oQjetos cle.saber"para llevarlos a ser "objetos cle enseñar". Se configura así el problerna principal, c¡uedornina tocloslos dernásproblernzs cle la errser-ranza de la maternática, el clel contenido
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INICTACIóN MATEMÁ'I'ICA

- La importancia asignada a los principios y concepciones generales que permiten sistem alizar ios ionocimienros matemáticos acumulados. Todo ello hace eüdente y necesario la búsqueday trazad,ode un nuevo camino que conduzca a los niños haéia el pensamiento matemático. Para preguntas fundamentales, como cuáres creben ser los contenidos abordados en clases,cómo deben situarse dentro de la estructura clel curso,. cuál es el grado de profundidad y de generalidad con- que deben estudiarie y cuál es el punro de vista desde el que deben presentarse a Íos alumnoi, no existen respuestas únicas. Además, estas preguntas siempre esarían influidas por la orientación general áe iá educación Ln el país de que se üare y por la forma de concebir la educación. A modo de ejemplo, basra decir que es evidente la cliferencia ^ fundamental entre un Dunto cle üsta matemático que cree que su ciencia no dene nada que ver con la realidacl'(a clecir cle Bronwer: "Las matemáticas pura; son una creación libre ctel espíritu y no están ligadas a la experiencia"), y la concepción de la maternática como ciencia de las reracionei cuantiaüvas más generales del nlunclo real (corno a.firmaEngels). Al respecto, interesante destacar uno de los puntos propuestos en el-parece manifiesto publicado en American Muthsrnútical Mortthly urul' the rrmtherrutticstencher,que dice: "saber es hacer". ..En matemática, un conocirrúento valioso no supone ninguna posesión cle infbnnación, sino 'saber hacer'. saber matemática s"ignifiia pocler hacer maremática; uar el lengu4ie matemático con a(una fluiclez, resolver problemas, criticar argumentos, brrscar demoJtraciones, y, lo que puede ser urásimportante, reconocer un concepm matemático en una siftración concreta o extr¿erlo de ella". (an-the rnutherlatics curricu,l,u,,rn, Jin the sch.ool,1962. ) Por tanto, introducir nuevos conceptos sin un fonclo suficiente de hechos concretos;.o conceptos unificaclores,cuando no hay experiencia que unificar; o insistir constantemente en los conceptos introclucidos sin aplicaciones concretas que estimulen a los estudiantes, es trabajo inútil y la formalizacién prematura puede llevar a la esterilidacl. La introducción prematura cle absracciones encuentra resistencia especialmente en las mentes críticas, porque éstas,antes de aceptai una absüacción, quieren saber por qué es inrporranre y cómo podría usarse. si clebe enseñar maremática no para obtener áprendiz4ies mecánicos, sino para llevar a una persona a pensar como un matemático, a enjuiciar. y a tonrar parte en el proceso creativo cle acrecentar el conocrmrento.

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2.2. CRITERIOS PARA SELECCIONAR, ORDENARY JERARQUIZAR LOS CONTENIDOS DE UN MODELO INSTRUCCIONAL Consideramos los contenidos como una descripción de las capacidades esperadasde los niños en un dominio específico de laáctividacl humana. Este enfoque permite concebir el contenido como proceso, es decir, como un conjunto de diferentes operaciones que lleva a la adquisición y utilización del cónocimiento y <¡ue lo emplea no sólo como cantidad de infonnación, sino conlo un sistema para aprender. Esta perspecdva visualiza el contenido en ttna doble dimensión: - Como cornpendio de información dada por conceptos, principios, leyes,teorelnas, generalizaciones, hechos. - Como operaciones lógicas, capacidades, destrezas y habiliclaclescon que se utiliza la información. Si no se toma en cuenta la estructura del conocimiento que se desea enseñar, se corre el riesgo de tener problemas de conteniclo y secuencia, los que se revelan en omisiones tanto de conteniclos como de requisitos en las primeras fases del aprendizaje. Es importante, entonces, visualizar la asignatura como un sistema. En efecto, ver un conjunto de elementos como un sistema es reconocer que está constituido por partes interactuantes e interclependientes;por otra parte, para crear o mejorar un sistema es necesario conocer y coflrprender sus componentes y cómo ellos interactrian. así como el contexto dentro del cual se encuentra. No se ptrecle acttrar sobre un compolrente cle un sistema sin tracer carnbiosen él Inismo. La matemática forma ttn sistema unificado de conceptos y de operaciones que explicatr algttnos patrones y relaciones existentes en el universo. Ader¡rás cle conceptos y operaciones hay
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MATEMÁ'I'ICA

presentación formal, sean actiüdades reconocidas y validadas en el ámbito de esta disciplina. Por estasrazones, el contenido seleccionado en un programa debe: - Representar la estructura conceptual. Est.o es, el ordenamiento de las ideas más imporrantes de la disciplina, considerando que ella es siempre dinámica y, por lo tanto, que está en permanente evolución; porque aprender una estructura es aprender cómo los entes se relacionan, es hacer un contenido más comprensible, es lograr rerenerlo por más tiempo, es facilitar la transferencia y permitir el desde el conocimiento básico al más avanzado,posibilitando acrecentar el pensamiento intuitivo y progresar en el aprendizqje. - Representar la esffuctura sintáctica, esto es, el modo en que la disciplina comprueba la validez de sus conocimientos. - Tener validez clesdeel punto de vista cientffico, recordando que laselección nunca serádefinitiva, porque la ciencia estáen perrnanente reüsión de sus conclusiones, y el programa debe permanecer actualizado; adernás, debido al ritmo vertiginoso de aumento del conocimiento los programas requieren de constantes 4jtstes. - Posibilitar la elaboración o manejo intelectual por los estudiantes, quienes deben organizarlo y aprender a aplicarlo. - Posibilitar la internalización de valores y ser formativos, proporcionando al alumno instancias para que desarrolle actitucles e intereses que le permitan situarse y actuar en la vicla con dignidad, respetando y solidarizando con las personas y naciones en una convivencia armónica. - Ser significativo, despertando el interés del nirio al esrar relacionado con sus necesidadesmotivaciones e intereses. - Tener el nivel adecuado al desarrollo del niño, tanto cognitivo como afectivo y psicomotor, y darle la posibilidad de reelaborarlo. - Ser útil, entregánclole la oportunidad de aplicar el conocimiento adc¡uirido en la escuela a situaciones nuevas. - Prornover la irnaginación, excitando su fantasía y estimulanclo su creatiüdad. - Tener conexión con la realidad, siendo significativo y úrtil. Se complementan las consicleraciones prececlentes con el hecho que, en uratemática, hay unanimidad para reconocer el número como su elemento fi.lndante, lo que conlleva la necesidad de constituirlo como el centro organizador de un programa cle iniciación natemática. Así, en el nivel preescolar, la fuerza de requisito del aprendizaje de la asignatura se coloca en la adquisición del 19

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concepto cle número. Para n¡estro propósito, partiremos de una definición adulta del ente que se va a conocer y graficar, en este caso "el núlnlero", y se estructttrarán los parsosque se van a seguir para que, finalmente, coincidan los criterios clel niño y clel educador. Es iurportante tener presente que la noción numérica no es sólo reductible a la clisciplina de la matemática; en su conquista contribuyen también la lingúística, la múrsica,la educación física y los trabajos manuales, entre otras, comprobándose con ello la unidad interdisciplinaria.

2.3. CRITERIOS PARA SECUENCIAR, INTEGRARY ORGANIZAR LOS CONTENIDOS - Secun¿cia La secue¡cia, eje longitudinal del c¡rrícttlo, se refiere al orden en que se clesarrollan los conteuidos y a la continui(lacl de los aprendizajes. En la secuencia se tleben considerar dos tipos cle factores: - Lógicos, propios del cotrtenido, que deben resPetar las relaciones lógicas eñtre los conceptos ttnificadores cle la
IMCI.ACIÓN MATE}T./I1'ICA

alumno lograr su personal y particular integración conocimiento.

del

- (hgaraizu,ci(trt. En la organización de los contenidos es necesario considerar un equilibrio, esto es, una relación armoniosa entre: - Las materizx que se estudian por sí mismas, como los casos de castellano y matemática que aportan lengu4je se¡nánrico o simbólico para rnanejarse en las o¡ras. - Las rnateri¡rs forrnativas y lzu informativas. - Los contenidos teóricos y los prácticos. - El nrarco o extensión cle un contenido y la profundidad co¡r que se aboc¡ueel terna. Este ec¡trilibrio debe clarseen forma dinámica,jamás en forma fija y definidva. A continuación se propondrán algunas consideraciones puntuales sobre secuenciay organización de un conteniclo a través rlel análisis de tarea para elaborar una.jerarqtría de aprendizaje, objetivo e.specíficode este libro.

2.4. JERARQUÍA DE APRENDIZAJE YANÁLISIS DE TAREA C¿da nuevo aprenclizaje rle¡>encle,en cierto grado, de conocer alto previarnente. El conocimiento se organiza como una estnlctura coherente rn (lue llint¡tin concepto existe aislado; por el contrario, él se basay estíl constnrirlo solrre rrna red cornpleta de otros conceptos anteriores.Estosconclcinrientosanteriores ca¡racitanal niño para inter¡tretar los siguientes.El aprendizaje correcto clepende, así, rle la ca¡racitlarl y habilidad para relacionar lo nuevo con los conocinrientos previos en su particular nivel de desarrollo. El análisi.s
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Usanclo los objetivos y descripción de la tarea para hacer el análisis de la misma, se está en mejores condiciones para especificar el contenido y secuencia del curso. En matemática, los conceptos de orden más bajo deben estar presentes antes de la próxima etapa de abstracción. Ello implica que, antes de intentar enseñar un nuevo concepto, se cleben encontrar, para cada uno de ellos, sus conceptos contributarios sucesivos,hasta alcanzar los conceptos primarios o experiencias que se suponen dadas. Si en cierto nivel de la construcción mental de una estructura de abstraccionessucesivas se produce una comprensión defectuosa,cualquier conocimiento posterior clerivado cle ella se encuentra en peligro, porque los conceptos requisitos requieren estar disponibles en las nuevas etapas de abstracciones posteriores. Así, al presentar un plan idóneo de enseiranza, el que aprende se enconrará con una tarea posible y gratificante de realizar. Basta recordar que uno de los principios generales del aprencliz4je establece que es más probable que un aluurno aprenda algo si cumple todos los requisitos para ello. De este modo se genera unajerarquía considerando la tareaobjetivo y preguntando: ¿qué tendría que saber hacer el niño para realizar esta tarea? La respuesta a esta pregunta serían las subtareas que se identifican y que se interconectan con flechas que apunten la direccionalidad, desde el requisito previo hacia la tarea final, reconociendo el origen como componente de la tarea, cle tal forma c¡uesería imposible realizarla sin saber ejecutar previamente la anterior. Caclatrna de l¿u habilidades y subhabilidades que se identifican es una capacidad de realización. Es decir, es algo que una persona sabe hacer. En otras palabras, las habilidades quedan definidas como conductas, sean ellas "habilidades intelectuales", para el caso del concepto de núlmero, o "habilidades psicomotoras", para la estructura del numeral asociado a ese concepto. Dado entonces que las jerarquías se definen de forma conductual, se supone que sus componentes de procedimientos guarclan ciertas relaciones entre sí, reconociendo una organización del conocimiento general que subyace en este procedimiento, y que la naturaleza de lajerarquía de aprendizaje es tal que las tareas suborclinadasquedan incluidas en la tarea de mayor nivel. Aun cuando la; jerarquías no explican todos los tipos de transferencias del aprenclizaje, resultan sin embargo útiles para explicarlo en muchos campos, especiahnente en matemática. Por ende, son convenientes para proponer una secuencia lógica en 22

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la enseñanza con estr?rtegiascoordinadas y organizadil.sen procura de un fin irltirno. Un análisis conceprual así elaborado implica mucho más trabajo que dar una definición. Hay temas considerados elementales por los legos y, sin embargo, quien los analiza se encuentra con que conllevan conceptos que, muchas veces, incluso aquellos que los enseñanjamás habían observaclo. En el aprendiz4je de la matemática cada uno, en su propia mente, debe crear de nuevo todos los conceptos, desde los más simples. Y podemos lograr esto mediante el empleo de los múltiples conceptos desarrollados por matemáticos anteriores. De aquí se deriva que su aprendizaje, especialmenre en el inicio, sea muy dependiente de una muy buena enseñanza. De allí, también, la necesidad de combinar una óptima calidad y variedad de medios, una mayor comprensión, por parte del profesor, de los procesos mentales y de las relaciones subyacentes en el aprendizaje de cada concepto. La teoría del aprendizaje acumulativo supone -como lo expresa su enunciado- que el aprendizaje del contenido consiste en una acumulación de ele¡nentos cada vez más complejos. En otras palabras, parten de conexiones sencillas y pasan por conceptos y reglas para llegar a la resolución de problemas de orden superior. Basa
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3. FIACIA Ij. CONSTRUCCIÓN DEL CONCEPTO DE NÚMERO

Nos ocuparemos de un modelo instruccional que propone una jerarquía de enseñanza que secuencia, organiza y graclúa un conjunto de conceptos, nociones, habilidades y destrezas básicasen la formación de importántes conceptos matemáticos. Estos, luego de ser conocidos, deben comunicarse a través del lenguqie, tazón por la cual nos referiremos brevemente a los fenómenos del conocimiento, la percepción, el concepto y el lengu4je.

3.T. CONOCIMIENTO En pedagogía se entiende por conocimiento tanto el saber como el conjunto de los saberes que constituyen el currículo de cada una de las ciencias. Sin embargo, desde la perspectiva de la psicología, el conocimiento se concibe como un "proceso" que recibe el nombre de cognición o proceso cognitivo. En dicho proceso se transforma el material sensible que se recibe del entorno, se codifica, se almacena y queda así disponible para recuperarlo posteriormente y usarlo en comportamientos adaptativos. I-as características principales del conocimiento en la psicología cognitiva son: - Q.,. representa la recuperación del plano de la experiencia indiüdual, inmediatamente viüda por el sujeto. - Q,re representa una renovación del paradigma EstímuloOrganismoRespuesta. - Que restablece la consideración del organismo como una realidad activa, esto es, como un ente capaz de procesar la información que recibe, orientando así al sqjeto hacia un determinado tipo de conducta. En el desarrollo de esta corriente, han influiclo especialmente los aportes de Piaget con su psicología genética. Piaget define 24

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el conocimiento como "una relación enüe el sujeto y los objetos" interviniendo en él elementos diversos, tales como ios puramente biológicos, los adaptativos, y los elementos de tipo Lógico-formal qtre enrrañan funciones psíquicas cognirivas. Piaget propugna una "posición genética del conocimiento",r segúrnla cual éste se halla constantemente enlazaclo con acciones u operaciones; entencliendo por operación la acción interiorizada, componible y reversible qtre puede coorclinarse a un conjunto. De allí que para él lo nrás importante es el esttrclio del clesarrollo cognitivo. Piaget categoriza tipos de conocimiento, clasificándolos segrin str fuente de origen en internos o externos, y segirn su fornra de estnlcturación por abstracción empírica o sinrple, a ¡rartir d-e-laspropieclaclesde los objetos, o abstrácción refleiiva, prod.cirla por relacionesentre los olrjetos. Es así corno se ptreden establecer diferentes ti¡rclscle conocirnielttos: cnrncitn,i,snt,Jísico: Es el conocinriento cle los objetos rle la realidad externa, prochrcto de la observación por párte tle trn sr{eto. La abstracción cle propieclades hecha poi el sujeto, a pirrtir de los objetos y concentrándose en sólo una détennirñda propieclacl de ellos (ignoranclo las otras, conro por ejenr¡tlo, el color, peso, etc.), es llaurada por piaget abstraciión érnpirica o sirnl>le. crtrutci'm,i,en,to lítgico-'rrute'rnútico : consiste en la coordinación rle las relaciones. En é1, el origen
I L:rlrirrrrwloz,

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E,J., húroduat:ión

u Piugd,

Fondo

Educrtivo

Intera¡rcr-ic:r19,

Méxice,

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pues, más que una cenüación en algo que existe en los objetos, es una verdadera constnrcción mental. Desde la perspectiva piagetiana los números no están fuera, en el mundo físico, no se aprenden por abstracción empírica. Ellos son elaborados a rravés de las absracciones reflexivas hechas por el conocimiento lógico-matemático. Es decir, los números no se aprenden por abstracción empírica de con-juntos ya formados, sino por abstracción reflexiva, elaboraclos sobre relaciones creadas por la mente bzxadas en los pri meros números concep tualizados por relaciones empíricas. La abstracción reflexiva no puede producirse independiente de la alxtracción empírica en el estado sensomotor y preoperatorio. Posteriormente se hace posible que la abstracción reflexiva tenga lugar inclependienremente;ejemplo de ello es que luego de construir el concepto de núrmero 6 por medio de la abstracción reflexiva, es posible operar con él y hacer relaciones del tipo 6 + 6 y 6 x 2, por abstracción reflexiva. La clistinción entre los dos tipos de abstracción es muy imPortante cuando se e.stánaprendiendo núrrnerosmayores, como el 9{)9. Sería prácticarnenre inrposible aprender cacla núurero ¡ror alxtracción ern¡ríricacle coniuntos rasrrno, {los, tres, cuatro, son ejemplos tle co¡rocirniento .social.()aclalengtra tiene un conjtrnt.odiferente
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represente llamado numeral 1,2, 3, 4...; sin embargo, la idea subyacente en el número pertenece al conocimiento universal lógico-matemático.

3.2. PERCEPCIÓN En psicología, la percepción se refiere a la fornra personal en que el incliüduo organiza e interpreta la información que le llega a través de los diversos sentidos. Es un proceso cognitivo básico; una condición necesaria para un desarrollo subsiguiente. I;r percepción es un área particularmente dificil porque se trata de un proceso interno. Es un análisis interpretativo de un conjunto de datos, a partir del cual el sujeto obtiene información. Cuando los estímulos del mundo externo, visuales, sonoros, táctiles u olfativos son captados por los órganos sensoriales y desde allí enüados -vía sistema nervioso central- al cerebro, son sometidos a un proceso de filtración o discriminación; algo como una selección de estímulos. Los factores que intervienen y determinan esa selección parecen ser la naturaleza de los propios estímulos, la probabilidarl de que aparezc n y cierras condiciones relativas al sujeto, corno intensidad con que espera su recepción, sus necesidades,etc. Luego de esa selección, los estímulos llegan a la corteza cerebr¿rl y a las áreas conexas del cerebro medio. En ese nomento se experimentan ciertas sensaciones. La perce¡rción es la "interpretación" que se da a los estímulos del rnundo externo, de allí que ella puede resultar engañosa. No depende solaurente de las sensaciones qr.le llegan a la corLeza cerebral y al nresencéfalo; resulta del refuerzo de esassensaciones con experienci:ls anteriores, ideas, imágenes, expectación y actitud. Es susceptible de verse afectada por nuestros modos de pensar, por nuestrirs actitudes, estadosemocionales, apetencias o deseos, en un nlomento puntual de tal forma que muchas veces percibimos lo que deseamos. Para comprender el proceso perceptivo es necesario considerar el papel del estímulo y el papel del organisrno. La percepción no puede entenderse como un proceso pasivo de la extracción de información exclusivamente guiado por los datos. Los esquemas cognitivos, experiencia preüa y memoria entran en juego en el proceso, en la medida en que clirigen la exploración perceptiva y determinan conjuntamente los procesos de búsqueda del objeto como los de extracción de información a partir de é1. 27

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La percepción se puetle clefinir también como una actividad guiada por unas expectativas que son modificacla$, a sll vez' por la inforrnación obtenicla como consecuencia cle esa actiüdad. Esa actividacl puecle entenderse como un proceso de decisión de respuestas,consistente en la formulación y comprobación cle hi pótesis sucesivits. En la percepción etttran en jtrego factores cognitivos, variables e¡nocionales y tnotivacionales conjtlntamente con el sistema cle valores del indiüchro clue percibe. Diversos expertos han llegaclo incltno a establecer tipologías de estilos pe rceptivos: analizacloresversussintetizadores, precavidos versus conliaclos, nivelacloresverslls distinguidores, rápidos versus lentos, firerza cle claruur¿ versus flexibilidacl de claustlra y, especialrrlellte, rincipalesclimensionestlel espacio: horizontal y vertical. b) Tarnairo relativo: A igualtlatl de otras concliciones, el área estinlular rnás peclueria tiencle a convertirse en figura. c) Areas envolventesy envueltas: Lix prirneras tien
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d) Ley de la flexibilidad del conr.orno: Las partes derivan sus propiedades de su posición o función en el todo. 3. kyes que regulan la agrupación de estímulos en toralidades. a) Proximidad: En igualdad de circunstancias, los estímulos más próximos tienden a percibirse como formando parte de un mismo objeto.

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b) Semejanza: En igualdad de circunstancias, los estímulos más semejantes tienden a percibirse corno formando parte de un mismo objero.

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c) Continuidad: En igualclad de circtrnstanci¿ls,los estímulos que guardan entre sí una continuidacl de forma tienden a percibirse como constituyendo parte de una misnta figura.

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cl) Sirnetría o ley de la buena figura: Los estímtrlos tienden a organizarse de forma sirnétrica. 3.2.1. I-A p¡ncrpcróNIúEDTANTE ELLIBRo Percibir mecliante el libro, es clecir, percibir mediante la lectura de sigrros, es acceder a la realidad a través de signos dos ue.ccs ya que las letras y numerales de la escritura son signos altslractos, 29

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de sonido en el alfabeto siriofenicio. En este alfabeto hay signos que remiten a sírnbolos y éstos a su vez a la realidad concreta, en oposición, por ejemplo, al jeroglífico, que es un símbolo que remite directamente a la realidacl, lo que quiere decir que es urm, uezabstntcto.En el caso del numeral, es un signo que remite a un concepto, el de número, que a su vez es altammte abstru.cto,loque tanrbién hace el dt¡blznmteabstnrcto. La palabra en la qúe se fija la mirada y a la que se acomoda la visión, destaca sobre un fondo que no se percibe con precisión, pero que se presenta alavez que aquélla. La lectura, en general, sitúrapor sobre el medio, es clecir el libro, incluso de una lnanera física, de tal forma c¡ue leer, en definitiva, es avanzar de manera lineal hasta llegar a entender las cos¿sal final cle la frzue o clel párrafo. En la lecttrra, cada palabra t.iene su importancia, aunque sea reclundante, y ésta queda unicla a otras palabras por si¡¡nos jetofísico o htrrnano, un sistemao una idea. Cuanto mayor sea la preci.siónpara expresar lo que se desea sin arnbigüerlad, rnenor es la clportrrnitlacl
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lector para ampliar su imaginación y encarnarse en lo que se expresa. En otras palabras, cuanto más unívoco es el mens{e escrito, más expone y menos resonanciá dene en la persona. Esta característica es altamente significativa como una posibilidad de comunicación humana del mayor nivel de objetividad en la información y, por ende, muy abstracta. En la escritura en prosa, el lector percibe en progresión regularlineal. El autor explica, impone, controla, ofrece información y, a veces, su opinión como un producto acabado y elaborado. La percepción del discurso se háce a partir de un espacio de dos dinrensiones y de izquierda a derecha, siguiendo la intención del autor en su demostración. El lector camina sobre un vector orientaclo a la velocidad escogicla ¡ror el autor en ftrnció¡r del ritmo de sus palabras. El desarrollo sucede en el tiempo. En la percepción de la cosa escrita, el tiempo rle o con el medio puede suspenderse. El lector ¡necle Avarlzar,parar o seguir. Puede de-iarde mirar.

3.2.2. I-A,pencrpclóNAUDrrrvA En el sonirlo, el oyente no está encima sino dentro, no supervisa, sino c¡ue se siente innrerso en é1.La realidad lo penetra hasta el fondo clel ser, porque el oí ciórtrnu.sical.La realicladvisible en el sonirlo es el presente y el nlovinriento hacia atlelante es rul permanente abanclono del ¡rre.sente. En el cirsn osibleclestacar: to
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- El scuridoy nroviurientose asocianal color. - Se restringe el margen de la imaginación. - Se reduce la posibilidad de trn mensaje, de tener sentidos diferentes (polisernia). . - Cada elemenro del montQje riene un gran papel en el prodtrcto final (selecciónde imágenes,color, secuenciá,sonido). El clesarrollo perceptivo es un componente necesario para la inteligencia en el desarrollo cognitivo. El pensamiento de una persona está influido por su percepción y lo que percibe esrá influido en mayor o menor grado por lo que pieñsa. Cuanto nrás macluro es el pensador, más capaz es, a través cle sus colrceptos, de seleccionar lo importante e ignorar el resto. La capacicla
3,3. CONCEPTOS A partir clel nacirniento, el mundo del niño se integra por un conjunto de esúmulos desorganizados que sólo gradtralmente van teniendo orclen y significado. Una forma importante de organizar las percepciones es clasificarlasy darles un nombre. Allí .se forrnan los conceptos; se presentan entonces los conceptos como conjtrnro de atributos que constituyen los valores específicos cle las dimensiones del estímulo. Airn es poco lo que se conoce del modo en que los niños conceptúan; al parecer habría vías diferentes. La cliscriminación exige que el niño reconozca y aprecie cualidades comunes y las distinga
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dad se aísla rnentalmente y se considera por separado, se abstrae y se generaliza, originando ixí el concepto. Desde la infancia se comienza a discriminar, se¡_rarar,distinguir, diferenciar, abstraer y generalizar a partir de los clatos de la realidad circundante obtenidos a rravés de la percepción del entorno. Con el tiempo, el mundo del niño, dominado por la percepción, se conüerte en el rnundo conceptual del adulto, es decir, se desarrolla la capacidad de ordenar los estímulos perceptivos. Un modo de hacerlo es categorizar tales impulsos en varias clases o series. De esta forma se constituye el desarrollo conceptual en el clesarrollo de un sister¡raclasificatorio y concurrentenlente, en la capacidad de aplicar dicho sistema al entorno. Se conforma así el concepto coülo una regla que permite que una (leterminada clase de elementos pueda diferenciarse de otras y relacionarse entre sí. Los conceptos pueden ser concretos o abstractos.Los concretos o primarios derivan de experiencias sensoriales motoras, tienen ejemplos concretos, como rojo, auto, etc. En cambio, los conceptos abstractos o secundarios, tales como verdad, belleza, número, democracia, pueden usarse sólo para describir aquellos entes que, aunque distintos, tienen ciertos aspectosen común, es decir, aspectos que se designan con el término conceptual abstracto. Un concepto es una generalización a partir de datos relacionados. Posiblemente se apoya en recuerclos e irnágenes. En el nirio no se desarrollan repentinamente en su forrna definitiva; ellos se ensanchan y profundizan a lo largo de la üda, mientras la rnente peruranece en actividad y los prejuicios no reducen la capacidad de categorizar. El pensarniento conceptual confiere al un poder mayor para adaptar su conducta al ambiente y conformar su entorno para acomodarlo a sus propias necesidades.Ello es resultante, parcialurente, de la posibilidad de separar los concepros, ranro de la conducta como de los datos sensoriales presentes, y de la manipulación independienre de ellos. El poder de los concepros proviene tanrbién de la posibilidad de combinarlos y relacionar muchas experiencias diferentes y clasesde experienci:ls. Cuanto más abstracto es un concepto, mayor es su posibilidad de relacionarlo con otros. El presentar los conceptos b4jo diferentes formas, de acuerdo a las diversas posibilidades de expresión, de asociación y de información, permite desarrollar una movilidad de pensamiento que se adquiere por la fleúbilidad de las relaciones y adquisicio33

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nes que finalmente posibilitan la superación de la rigidez de lo perceptivo-concreto y alcanzar lo formal. A medida que avanza la edad del sujeto cognoscente se produce un mayor grado de conciencia y deliberación. Las abstracciones y generalizaciones prosiguen con mayor facilidad y rapidez, especialmente al encontrar experiencias diversas y estimulantes. La gente lee en conceptos, se comunica en conceptos, piensa en conceptos... Los conceptos son regularidades en los acontecimientos o en los objetos;si no fuera porque hombres y animales forman conceptos iería clifícil tratai con la complejiáad de los estímulos que encontramos día a día. Los conceptos nos ayudan a organizar y clasificar las experiencias, ellos son abstracciones que el sujeto realiza sobre la base de sus experiencias con cosasy acontecinrientos particulares; ellos surgen al agnrpar los distintos obj etos, fenómenos, acontecimientos, procesos, etc., considerando solamente sus característicascomunes. El concepto no es el estírnulo ni tampoco la experiencia que se tiene al tocar y ver el objeto, sino que es el resultado del proceso de clasificación de un conjunto de objetos que poseen caracterísúcascomunes; él se forma cuando la clasificación puede aplicarse por sobre una sola experiencia o acontecimiento y se llegan a percibir las semejanzas y rasgos esencialesdel ente. Se adquiere el concepto cuando se es capaz de reconocer la esencia del objeto y diferenciarlo de sus accidentes, esto es cuanclo se discrimina lo que es de lo que no es el concepto. Los animales pueden aprender conceptos pero no pueden nominarlos. Los humanos, en cambio, pueden nombrarlos, hablar sobre ellos, describir sus propiedades, usar otros conceptos para describirlos e identificar ejemplos de ellos. La aptitud para formar conceptos, bajo condiciones de muchos clatosirrelevantes (mido), es un arributo de una alta inteligencia. Sin ernbargo, Llna vez que se posee un concepto se lo puede ver ejenr¡rlificado en rnúltiples siruaciones donde antes no se percibía. Sólo al ser separables cle las experiencias sensoriales, clescle l¿ls cuales han sido originaclos, ptreden los conce¡rtos reunirse conro ejern¡rlos a partir de los cuales es posible formar nuevos conceptos de mayor abstracción. La separabilidad cle los conceptos desde larsexperiencias que los hacen surgir, y su fijación independiente del lenguaje, es una muestra de la superioridad del hombre sobre otras especies. La construcción efectiva de un sistema conceptual es algo que cada niilo ha de hacer por sí misnio; sin embargo, el proce34

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so puede acelerarsesi se le facilitan y estructuran los medios y las experiencias. I-os conceptos se constituyen, entonces, como abstracciones de nuestras experiencia.s en el mundo, como generalizaciones sobre una serie de datos relacionados; en consecuencia, ellos esrán ligados a la abstracción. La abstracción es una actividad mediante la cual nos hacemos conscientes de similitudes en nuesu:rs experiencias; es un cambio mental duradero que nos capacita para reconocer nuelas experiencias, como poseedoras de similitudes con una clase ya formada; es algo aprendido que nos posibilita la clasificación; es la propiedacl definidora de una clase. El concepto es el producto final de esa absrracción; de ahí que, para su formación, rec¡uiere de un cierto número de experienci¿ls con algo en común. Cuando reconocemos alguna cosa corlo ejernplo de un concepto, llegamos a ser conscientes de ello a dos niveles:en sí nrismo y conro rniembro de una clase. Al "clzr.sificAr"se reírnen experiencias sobre la bzxe de las sinriliturles. A su vez, la forrnación de cl¿lsesurás ampli:ls, se basa nuevarnente sobre otras sirnilitucles rnás generales. La aclquisición o fonnación del concepto hace referencia a su propia génesis a lo larco clel proceso evolutivo. En la base cle esta génesis están las operaciones de clasificación. La identificación rlel concepto se refiere a Ia extracción de la característica conlún a varios objetos. Henros visto c¡ue, en cuanto generalizaciones, los conceptos estáll ligado.s a la abstracción. Por ende, aquí es válicla nuevarnente la categnrizaciónque se establecióen el conocimiento de dos ti¡ros de abstracción (cfr. pág. 25): - Altstracción sirnple: se e-jectrtaa partir de l¿¡"s pro¡tiedades que e.stánen los objeto.s. - Ab.stracciórrreflexiva: se logra a partir de l¿lsrelaciones r¡ue el strjeto esftiblece sobre las ¡rro¡rieclaclesde los objetos. Este tipo rle abstracción es la c¡ue interviene en la elaboración de los conceptos lóeico-nrateuráticos. La caracterí.sticarnás no¡able del bagaje concepftlal, c¡ue ha perrnitirkl tan espectacular transformación en l¿u condiciones nlaterialc.srlel honrlrre actual, ha siclo el progresivo reenrplazo rle cont:e¡rto.s crralitativospor conceptos cuantitativoso nrétricos. Aterrrlien
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chosa al manejar la situación presente. Una de esasmaneras es la posibilidad de recordar conceptos. Hay clos modos cle evocar un concepto: mediante un ejemplo-y en este caso el concePto entra en acción como nuestro modo de clasificar y nuesga experiencia subjetira es de reconocimiento; o bien, por escuchar, leer o hacer consciente de ouo modo el nombre o hgr.rn símbolo asociacloal concepto; esto posibilita el control voluntario, la comunicación y el registro de conocimiento. Algunos atributos de los concePtos son:2 - Aprendizaje: la cantidad de aprendiz4je de conceptos es una función clel grado de clificultad de ellos. - Utilización: el grado de utilidad y aplicabiliclacl en la comprensión y formación cle principios, así como en la resolución de problernas. - V¿üitlez: un concepto es válido en la metlida en c¡tre los expertos del área llegan a un acuerdo sobre su definición. - Generaliclacl: el nútnrero cle atribtrtos necesarios para tlefinir un Concepto se increnrenta en la rneclidaen que tliclto concepto se hace más específico. - Poder: el grado en que uu detenninado concepto facilita o es esencial para la obtención de otros conceptos. - Estnrétura: la interrelación entre los atributos tlefinitorios del concel>to. - Capacitlad perceptual: los cotrceptos varían en lo c¡trerespecta a la rnedicla en que ellos ¡rtreden ser ¡rercibitlos; por eso, los nrás abstr¿ctosno poseen eielnplos susce¡ltlblescle percepción. - Nrinrero: el nti¡nero de c¿lsoso ejern¡llos c¡tte prtecle darse acerca cle trn concepto varía entre tltlo e infinito. Un cotrcepto es tlna itlea; el ltombre tle tttr collccl)to es stl soniclo o ulta Inarca sobre papel asociaclacon é1. Esta ¿tsociaciónptrecle lograrse después cle c¡tte el conce¡rto ha sido foruraclo o durante el proceso de fonnarlo. Si cada vez que se encuerltra trn e.iemplode rtn concepto, se escuchao se ve el mismo norttbre, cuanclcl el concepto se constrttye, el trombre se ha asocia
2Dimioutrio dt ktsOinteiu d¿ b Edreacüín,tonlos I y II. f)i:rgonirl .S;urtillirn;r,Esp:rri:r, 1983.

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IMCLA.CIÓN MATEMÁTICA

- expresar sus propiedades - sacar ejernplos y decir cuáles no lo son - resolver problenrzrsque lo incluyen.

3.3.1. Tlpos DEcoNcr,PTos Los conceptos varían en su graclo de complejiclad, y según esta característicase ptteden clasificar en distintos niveles. o Prim.crniuel: refenclos a objetos, lugares, momentos; se forman por nreclio cle la experiencia directa e inmediata' Ej.: silla, dtrro, rojo, ahora . Segu,rtdrt r¡iue.l:refe.ndos a todos los de una clase cle ente^sque posee una característica comfin. Ej.: delincuentes' aluntnos, chilenos, etc. ¡ Ttrcer rúue.l:refendos a una clase que requiere mayor grado de abstracción para su elaboración. Ej.: democracia, belleza, honor. bondad, etc. . Cuu.rtr¡rñael: aquellos que requieren de una elaboración teórica, tsados por los científicos y producto de investigaciones. Son muy abstractos y rec¡uieren de alto grado de conceptualización; se construyen a partir de fórmulas, hipótesis y otros conceptos. Ej.: masa, aceleración, máximo comtin divisor, mínimo cornúrnmúrltiplo, tangente, etc. El concepto es una capaciclad que permite Co'nrtptosco'ncrekts: iclentifrcár un estímulo como miembro de una clase, aun cuando éste clifiera en otros aspectos.El significado fundamental de concepto concreto es el de identificar una propiedad o atributo particular del ohieto. Se le llama así porque la ejecución que iec¡uiere es la cle señalar un objeto concreto. La capacidad de identificar este tipo cle conceptos es fundamental para aprendizajes rnás complejos. Aprender un concepto definido significa deJ'irfutos: Corrceptos expresar el significado de cierta clase de objetos, acontecimientos o relaciones. Se dice "dentostrar el concepto" para expresar c¡ue el alurnno debe entender realmente el concepto definido y no sólo verbalizar una nlera cadena verbal.

3.3.2. M¡pes coNc.EPTUALES El clocente necesita profundizar la trama conceptual de los "objetos cle erxeñar" para po{er tr¿nsfOrmarlos pOsteriorTnenteen "Objeto

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de enseñanza".Paraesteproceso,c¡uerecibe el nombre de transposición didáctica, es fundamental pensar la estmctura lósica del conteniclo de erxeñanza antes cle contemplar la planificación. T a trama o estmctura conceptual del saber que se enseñará está centrada en las relaciones lógicas entre las subnociones constitutir,asdel concep to; ellas derivan posteriormente en la sucesión cronológica posibilitando luego elaborar una buenajerarquía de enseñanzaque prG ponga un orden de presentación con progresión óptima para entender las relacionesentre los conceptos. Por eso es que la nueva perspectiva de la didáctica se cenrra en el campo conceptual que conlleva a reflexionar profunclamente sobre las característicasconceptuales particulares de cada objeto de enseñanza. Se presenta así entonces el mapa conceptual corno un organizaclor gráfico de la infomnación c¡ue consiste en trn cliagrama jarárquico que muestra la estructura del conocirniento ubicando los diferentes conceptos en una red que establececonexiones y jerarc¡uí:x con respecto a otras nociones; cada concepto qtrecla así integrado dentro de esta trama o ürapa nominanclo o expresando claramente el nexo <¡treIo une a los otros, se posibilita con ello esbozar un enunciado nrás completo y no proponerse corrlo un illero conjunto de palabras. Desde la perspectiva del aprendizaje significativo, cada nueva información debe relacionarse con un aspecto de la estructura de conocimientos ant.eriores,porque en cada nivel de enseñanza los alumnos disponen de un conjunto de ideas previas que han elaborado y que les permite analizar y entender lo real que hay alrededor de ellos: su cuerpo, su entorno físico y tecnológico, etc. Estas nociones constituyen lo que se llama e,l aura conceptrral que se conforma con el conjunto de ideas periféricas necesarias para acceder a una mejor comprensión del tenra tratado, constituyéndose con los elementos cognitivos necesarios para estudiar y aprender un tema. Estos conceptos preexistentes, llamados anclas constitutivos del aura conceptual se consideran base de una nuevajerarquía. Los conceptos de mayor amplitud, llamados incltrsores, son la base a partir de la cual comienza a construirse la escala jerárquica; son con)o organizadores preüos, en los cuales se apoya la nueva información estructurada en una interacción de diferenciación progresiva y reconciliación integrativa. Los mapas conceptuales sirven para aclarar al profesor el objeto de enseñar al ayuclar a organizar en red las nociones aprencliclzrsen torno a un número limitado de conceptos ancla u organizadores en vez cleacurnularlos linealmente. 38

IMCI.ACIÓN MATEMÁ'I'ICA

Los estudios sobre la gestión de los conocimientos memorizados insisten sobre la importancia de las redes semánticas y conceptuales, y sobre el número limitado de unidades de sentido que pueden movilizarse simultáneamente. Las tramas conceptuales permiten entonces concebir momentos de estructuración que posibilitan organizar y reorganizar la información, rompiendo el desfile lineal de ella, en el cual cada nuevo dato corre al anterior al igual que en una pantalla terminal de un computador. En un mapa conceptual se visualiza y comprende que un saber se construye estableciendo puentes entre los diversos contenidos estudiados, retomándolos desde una perspectiva diferente, lo que contribuye a desarrollar una üsión sinóptica más enriquecida del saber (efecto helicóptero). Son importantes los esfuerzos que los propios docentes hagan para construir una trama conceptual a priori de los contenidos, centrada en las relaciones lógicas entre nociones y subnociones constitutivas del concepto de progresión, diferente a una sucesión cronológica de ellos que sólo responde al orden de presentación. Dicha trama permite analizar la estructura conceptual del saber que se está aprendiendo o enseñando de tal forma que sus diferentes elementos e informaciones no aparecen sólo como una secuencialineal. Para el caso de este libro, el mapa conceptual del concepto de núrmero (véasepá9. 55r)será un buen instrumento
DEcoNCEPTos 3.3.3. ATnENDTzAJE Para aprender un concepto se requiere la comprensión de las ide¿x fundamentaües del concepto que será enseñado, lo que se conoce con el nombre de conocirniento requisito. Estos conocinrientos básicos son en reaüidad conceptos tanrbién pero de nivel más bajo. Luego se unirán a tr¿vés cle una relación de enlace y así, sucesilarnente, irán dando origen a la constmcción del conocirniento del sujeto en lo que se designa con el nombre cle mapas conceptuales. Existen dos forrnas básicas de estrategia de aprendizaje de conceptos: inductiva y deductiva. - Irulu,ctiaa:el nraestro presenta primero ejemplos seguidos de una definición que a menudo es descubierta por los altrmnos; de esta forrna, éstos llegan al aprendiz4je del concepto a través 39

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de su experiencia directa en una variedad de casos,produciéndose lo que se conoce con el nombre de aprendiz4ie por descubrimiento; requiere más tiempo pero facilita la transferencia. Al trab4jar con este método, surge una duda: ¿cuántassituaciones se requieren para desarrollar el concepto? Para ello no hay respuesta,pues el aprendiz4je es personal e idiosincrásico. - Deductiaa.'consisteen una definición proporcionada por el medio y segrrida de ejemplos, que pueden ser clados o buscados por los alunrnos y que clarifican la definición. La elección del métoclo queda determinada por las consicleraciones de tiempo y por los resultados cleseados.Es conveniente equilibrar ar¡rbos rnétodos cle enseñanza de acuerclo con el tipo cle aprendizaje c¡ue se cleseeobtener y con el nivel de madurez del alumno. L¿ls concüciones cle la instrucción que se deben ¡rlanificar para que el aluuuro aprenda conceptos sorl: l) Planificación de los objetivos y de los conce¡rtos que constituyen el conocinriento re<¡uisito: - Expresar los objetivos cognitivos para los conceptos listados. - Por caclauno de los conceptos listados,especificarlos conceptos requisitos. 2) Planificación de la evaluación cliagnóstica: - Elaborar un insrumento que deuruestre que el iilurnno conoce los conceptos requisitos. * Elaborar una estrategia qtre permita reüsar los conceptos que los alumnos no supieron en la prueba previa. 3) Planificación de la pre.sentacióndej la información: - Seleccionar el rnéto
IMCTACIóN MATETí]iTICA

- Elaborar un instnrmento que incluya ejemplos de alto grado de dificultad que aseguren logros que a la mayoría de la gente costará clasificar.

matenóticos 3.3.3.f . Principios ib aprmdizaja dz conceptos - Los conceptos de orden más elevado que aquellos que una persona ya tiene, no deben ser comunicados mediante una definición, sino solamente preParándola para enfrentarse a una co' lección adecuada de ejemplos. - En matemática, estos ejemplos son invariablemente otros conceptos; por eso es necesario, en principio, asegurarsede que ellos sé encuentran ya formados en la mente del que aprende. Los ejemplos han de tener en comútn las propiedades que forman el concepto, y eütar en lo posible el exceso de ruido, ya que cuanto mayor es el ruido, más dificil es formar el concepto. Aproximaciones básicasPara enseñar el concepto: - d¿ductiao:definición seguida de ejemplos. - induct;iao:ejemplos segr.ridosde una definición, generalmente descubierta por los alumnos. Dienes sostiene que el desarrollo de los conceptos matemáticos se consigue mejor mediante una serie de patrones cíclicos, cacla uno de los cuales supone una secuencia de actiüdades de aprenclizaje que van de lo concreto a lo simbólico. El ciclo de aprentlizaje es una interacción planificada entre un segmento de un cuerpo de conocimientos estructurados y un estudiante activo, y se ileva a cabo con la aprda de medios especialmente diseñados.3

3.3.4. Ev¡runclóN DEcoNcEPTos Si un alumno ha logrado el aprendizaje de un concepto, puede desarrollar a lo menos ctratro acciones sobre él: - Al verlo, citar ejemplos cle é1. - Expresar srtspropieclacles. - Sacar ejemplos y clecir cuáles no lo son. - Resolver problemas qtre lo incluyan.

tLowell. K, ob. cit

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Al conocer y aprender un concepto se puecle r.esponclera las propiedacles absracas de un conjunto de eventos u objetos y no sólo a sus característicaspeculiares, porque el conocer un concepto implica ser capaz de clasificar objetos o sucesos. La mejor forma de probar el conocimiento de un alumno con respecto a un concepto es preguntarle cuál de los muchos ejemplos perrenece a la categoría en cuestión. Cuanclo elige los ejemplos entre los que no lo son, se encuentra clemostranclo su conocimiento de la clase. El haber aprendido un concepro implica ser capaz de cliscriminarlo clentro de un contexto aunque varíen otra-rclimensiones de él; es decir, es reconocerlo en situaciones variaclas. es ser capazcle establecerdiscriminacionesnrúltiples c¡uepenniian probar la extensión del límite del concepto. Es necésario observár er concepto de límite por cuanr.oun concepto inadecuado no es lo mismo que un concepto incorrecto. La adquisición definitiva de un concepto se prueba mecliante la presentación de una situación estímulo que no intervino en el aprendiz4je. Debe haber una demostración de que el sujeto es capaz de generalizar el concepto para extenderlo a una varieclacl de casosespecíficos en una situación referente. Sólo en ese caso se puede decidir r¡ue hubo aprendizaje del conce¡rto.

3.4. EL r-ENGUAJE En los humanos,el lengu4leesrámuy ligado a los conceprosy a su formación. La discontinuidásevidenteenrre el hómbre y los animales estriba en el uso humano del lengu4je. Nuestra capacidadde verbalizarnos permite hablar sobre uñ concepro, describir sus atributos y propiedades.También es posible usar otros para describirlo. Ello irnplica que al elegir una palabra al azar,se encuenrra que el concepto que la palabra denomina o el significaclocle la palabra,no es un objeto específicoo una experiéncia,sino una clase. Es fundamental establecerla diferencia entre el nornbre cle las cosasy las cosasmismas,y no consiclerarel nornbre como una etiquetaque se pega.Se debe tener en cuenta,además,que cacla nombre, cada morfema, "representa"a la realidacl.Toclo nombre o acción se expresaa ravés de la palabra o signo verbal, el cual esrácompuestopor un significantesonoro que contiene un significadoobtenido sobrela basede su acción. 42

INICIACIÓN MATEMÁTICA

Sin el lenguaje, cada individuo clebería formar sus propios conceptos directarnente clescleel entorno, y sin é1,estos conceptos prirnarios no poclrían reunirse para forrnar conceptos cle orden más elevado. Mediante el lenguaje, en cambio, los conceptos primarios se relacionan más expeditamente y se hace posible formar conceptos más abstractos. El lenguaje también permite c¡ue los conceptos del pasado, t.rabajosamenteabstraídos y acumulados de manera sucesivapor generaciones anteriores, se aprovechen para a¡rdar a que cada nuevo individuo forme su propio sistema conceptual. Las verbalizaciones cle los niños son uno de los indicadores c¡ue permiten evalttar sus aprendizajes; sin embargo, ellas no necesariamente reflejan todo el alcance de la comprensión cle las relaciones establecidas.Los defensores de los medios concrelos para la enseñanzade la matemática parecen estar de acuerdo en que los niltos pueden "saber" más de lo que son capaces de explicar con palabras. Sin embargo, aun cttando el lenguaje no es el pensamiento mismo, es una buena manera de expresar el pensamiento. Es un instntmento o medio de comunicación entre organisrnos o cle una especie. Los progresos en el lenguaje permiten consecuentemente progresos en el razonamiento y repercuten en el desarrollo de las relaciones y pensamiento que expresan. Constituyen la primera etapa hacia la realización del potencial que su mayor inteligencia proporciona al niño. La inteligencia hace posible el lengu{e, pero el habla, que ha de aprentlerse, es esencial para la formación y uso de conceptos de orden superior que, en conjunto, forman nuestra herencia científica y cultural. Sin un lenguaje apropiado, gran parte cle la inteligencia humana queda sin desarrollarse. Una lengua es un conjunto de signos regidos por regla; que se relacionan coll los hechos; para generar correctamente esos signos, el que habla debe tener un conocimiento implícito de la gramática y de los significados de la gramática codificacla. Por su parte, el oyente debe tener un conocimiento parecido para clecoclificar los signos. De esta forma, desarrollar una lengua no es sólo clesarrollar un aspecto lingúístico, sino varios, y coordinarlos de forma apropiada. Una lengua, en primer lugar, se compone de sonidos que al juntarse forman palabras, las que a su vez se unen en frases. Esto significa que el lengu4je tiene un sistema sintáctico que rige el moclo en (ue un signo se relaciona con otro y tiene un significado o un siitema semántico, que regula la relación entre los signos y sus significados.

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Un niño debe aprender las reglas fonológicas, sintácticas y semánticas para desarrollar el proceso de la adquisición del lenguaie. Hay diversas teorías que, procurando explicar la adquisición del lengu4ie, se ocupan principalmente del desarrollo de la sintaxis. - Conductista: Asociada a Skinner, afirma que el niño aprende el lenguaje en respuestaal estímulo de los adultos. - Estructural: Chomsky supone una especie de idea innata de lo que se debe buscar, de modo que pone más atención a un tipo de expresiones que al otro. Sugiere que cada niño tiene un dispositivo de adquisición del lengu{e que le permite atender y abstraer lo que es necesario de las conversaciones que escucha en su entorno, procesar lo que escucha y producir su propia competencia gramadcal.a - Biológica: Linnenberg sostiene que no es científicamente provechoso buscar una "causa" del desarrollo del lenguaje, sino más bien pensar en la maduración, incluyendo crecimiento y desarrollo de ciertas conductas, tales como el lenguaje, como recorridos de estados muy inestables, que finalmente llegarían a una relativa estabilidad en la madurez.5 - Del significado: Halliday sugiere que la adquisición del lenguaje es un desarrollo de la "función" o del "uso" del lengu4je, de tal modo que cada una tenga asociado un "significado potencial". Supone tres fases: - un período de adquisición de funciones básicasdel lengu4je - un período de avances en uso de vocabulario y desarrollo de nuevos grupos estructurales - un período de acercamiento al lengu{e adulto.6 Ya que el modo simbólico de representación es considerado como el más avanzado,y puesto que el lenguaje es la forma más usual de simbolizar, Bruner lo considera importante y determinante en el desarrollo cognitivo. Bnrner describió el lenguaje y la matemática como "un cálclrlo de pensauliento", y son sus sistemas simbólicos los que se lo permiten. El argtunentó c¡uesi la persona puede usar el lenguaje para codificar estímulos, "lo libera del mundo de la apariencia y da mayor estabiliclacla su cognición, con tal que los niveles lin-

t't' Dicciotut¡iod¿lzu Cie¡tciasdeIa Edutaciót4tomos I y II. Diagonal Santillana, España, 1983. o Dicciomio

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¿lc kx Ciencias de b &hurciút,

citado.

rMCrAcróNMATEwú¡ca

güísticos sean apropiados a la tarea y ofrezcan un modo de codificar información relevante'. El lenguqje, además de ser un sistema para nominar las cosas,está organizado jerárquicamente. Tiene palabras "superordenadas", como color y forma. Ellas pueden facilitar el desarrollo de los conceptos que encierran. El hecho de ser cap z de usar símbolos libera al del aquí y ahora, es decir, de un contexto actual. Por eso, el lenguaje es un importante aspecto de la cultura.T En el momento en que el preescolar descubre por sí mismo que así como se pueden dibujar objetos se pueden dibt{ar palabras, esá preparado para escribir. El secreto de la enseñanza del lengu4je escrito es la preparación y organización adecuaclade esa transición natural. Una vez realizacla,el niño domina el principio del lengu4je escrito y tan sólo le resta perfeccionar esa etapa. Existe sin duda un aspecto innato en la escritura, pero una gran parte de ella ha cle ser aclquirida a través clel ensayo y rle la experiencia. La escrittrra clebe ser inrportante para la üda, y cle igtral rnanera necesitarnos una firatemática üvicla. No se debe esperar a c¡ue los niiros experimenten
lGá,lvcz, dc Educrción

Mutetuitictt Greclt. l!)7. CIDE. Chile.

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Superada esta primera etapa, la acción sola se torna insuficiente, y el lengu{e debe acompañarla, ya que la acción y el lenguaje se apoyan mutuamente. Ello permite que el niño aprenda el vocabulario elemental del lengu4je matemático, simplemente describiendo las acciones que realiza. Cada expresión verbal toma su verdadero sentido asociada a una acción real y las diferentes acciones ejecutadas con materiales disúntos comienzan a agruparse, pues se expresan de forma similar. La conrprensión matemática se traduce así en la posibilidad de establecer relaciones entre ciertas acciones concretas y su expresión lingüística, en un lengu{e similar al que tiene el mismo nirio en otrils áreix. Posteriormente el niño podrá recordar y contar las diferentes acciones que ha ejectrtado sin hacerlas en forrna nranual. Las descripciones de la etapa pueden ser enriquecidas y llevadas al plano de la representación y del pensamiento matemático, surgienrlo la posibilidad de una forma de abstracción representativa de la situación rnecliante un dibujo o situación gráfica. Las acciones colrcretils empiezan a perder su contingencia, y lzu análogas parecen más eüdentes al aparecer el uso de un material idéntico en todas las situaciones. Cuando las eta¡rasclescritasestán logradas, es posible pasar a la traducción sirnbólica de la operación, v. gr., 3 + 4 = 7. Se presenta así un resunren sorprendente: la acción viva y concreta anterior se reduce a una expresión por medio de signos separa
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4. ELCoNCEpTo DE NúurRo YSU FüpRESENrecróN

4.r. ELNúrr{gno se puede considerarque la noción de cantidadha sido utilizada espontáneamenre desdesiemprepor el hombre; sin embargo,el conceptode número_com9objeto de enseñarha sido propuesto sólo en los últimos años.Por eso es que para llevarlo de bu¡eto de enseñara objeto de enseñanzase lo debe estudiaren susmás profundas redesconceptuales,, pues no se aprenden los concep tos a partir de repetir susdefiniciones. Aun cuando algunosanimalesson capacesa vecesde recono. cer hastacuatro elementos,pareceque üna de las prerrogativas del entendimiento humano es la dellegar a obtenér un cónocimiento real de los números. Desdeuna perspectivamássencillase pueden considerarlos conceptoscomo regularidades.sin embargo es necesariotener presenteque el conceptode número esun conceptomatemático y como tal es un constructo teórico que forma paite del universo formal del conocimienroicleal;como ente matémáticoes inaccesible a nuestrossentidos,sólo se ve con los ojos de la mente, pudiendo representarseúrnicamentea travésde signos.se estima que la "capacicladde ver" estosobjetosinüsibles es uno de los componentesclela habiliclatemática. El núrmeroesIa propiedad común de los conjuntoscoordinables,estoes,equivalentesen cantidadde elementos. Cada núrmero es el representante de una familia cle conjuntos equipotentes,y no tiene una existenciacomo los objetosque vemosa nuestroalrededor.Son propiedad de los conjuntos,des prendidos de la percepciónde lo cuantitativocomo acualidades numéricas". Sólo los conjuntos tienen la propiedad numérica: un objeto puede ser rojo, grande, bonito, largo, pero ningún objeto tiene la propiedad de ser rres. El nfimero no es una cualidad del objeto físico mismo, sino que se logra cuando se lo trasciendey 47

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se lo considera un elemento. El concepto de núrnero emerge así como característica del conjunto de objetos, conro una clase. Esta cl:xe se conforma por un elenrento que ocupa un lugar determinado, único en la sucesión de clasesnuméricas. En definitiva, al distinguir la clase se conoce el número cardinal. por ende, el construir la noción de número como clase es una actiüdad operatoria que, partiendo de la realidad concreta, alcanzalo formal. Por ejemplo, si se tiene un conjunto con seis llaves, un conjunto con seis mesas,un conjunto con seis autos, se dice que son equivalentes en cantidad de elementos. Todos ellos pertenecen a una clase, la clase o familia del seis, ya que la propiedad común cle esos conjuntos coordinables es la de tener seis elernentos. Todos ellos tienen cardinal 6. El cardinal es "la canticlacl de elementos qlle tiene un con-junto",en este caso,seis. Surge entonces c¡ue el nirmero seis es el concepto que representa a los infinitos con-juntosc¡uetienen seis elementos. Hay datos teóricos y ernpíricos que rnuestran que las raíces del número son muy generalesen su naturaJeza.Lamanera exacta en que el niño constn¡ye el número, sigue siendo un misterio. Desde la perspectiva de Piager, cada niño construye el número a partir de todos los tipos de relaciones que crea entre los objetos. De allí la necesidad de estimularlo a establecer todo tipo de relaciones entre toda clase de objetos, acontecimientos y acciones. El niño interioriza y constmye el conocimiento al crear y coordinar relaciones, aprestándose así al número que es una relación creada rnentalmente por cada sujeto Al desarrollar el niño la capacidad de agnrpar por lils semejanzas y ordenar por las diferencias, aclquiere 1a pbsibilidacr cle clasificar y seriar simultáneamente. Allí, segfin piaget, se origina el concepto de núrnero como síntesisde similitucles v cliferenlias cuandmtivas La etapa prenumérica es un tiempo de "tránsito" hacia el número; en ella se elaboran los conceptos y nociones lógicas constitutivas del concepto. En la etapa de iniciación o prenumérica, el niño consiclera el núr¡rero conro "at{etivo nurneral"; él dice: "dos porotos", ..dos rnanzanas"... En los años posteriores, en la etapa numérica, ya concibe al núrmero conro sustandvo, dice "dost' como nombre. del signo que representa la propiedad común de toclos los conjuntos coordinables a los cuales pertenecen una y otra unidacl, independiente de la clase de unidades que intervienen. Cada número también tiene un nombre que se escribe por medio de signos y que existe por sí mismo, tomando un caráéter sustantivo. 48

IMcLACTóNlttATn¿(nce

El nombre del número seis no sólo hace referencia a la clase (6) que representa, sino que expresa un lugar determinado en la sucesión numérica, tiene un rango y es en este sentido de cardinal-ordinal que un número es una cantidad extensiva. De esta manera, el "seis" ya no es 6 pinos, o 6 niños, sino el 6. También allí surge el concepto de número como medida de una cantidad continua. Se construye la noción de número cuando se trasciende las notas físicas de la realidad de los seis elementos pertenecientes al conjunto y se lo considera como elemento o unidad, con el cual es posible operar y conformar conjuntos. El número, así concebido, es un esfuerzo de razón, una actiüdad de la mente, una categoría que aprehende la realidad bajo el aspecto de la cantidad. Pero si bien es cierto que todas las categorías son aspectos formales o nociones b4jo las cuales se abarca la realidacl, toda la categoría número, conjuntamente con la de clase, son las nrás fornrales, ya que clepenclen del funcionanriento de asinrilación que realiza la mente. Los números intuitivos o perceptivos son los núrmerosdel 1 al 4 y a veces hasu el 5. Se llanran así, porque cada uno cle ellos es percibido como una cualidad o propiedad peculiar de los conjuntos de pocos elementos, de la misma forma que se percibe globalmente el color o el tamaño, es decir, como una cualidad numérica desprendida de la propiedad de los conjuntos. En esre ámbito nunrérico no es necesario contar uno a uno los elementos de cada agrupamiento para determinar el cardinal asociado y colgarle su numeral. Por eso Piaget no considera la habilidad para retener h¿lsta cinco obietos como concepto de núrnrero, dado que ello es posible perceptualmente sin el uso de la lógica. Es decir, los números pueden distinguirse con facilidad de un üstazo, perceptivarnente. Sin embargo, si bien es cierto que se puede tener un conocinriento intuitivo o perceptivo cle 3, ello no es váliclo para núrmerosmayores o muy grandes, como, por ejemp(o,97.623, de los cnales se puede tener sólo un conocimiento simbólico. Los grandes números naturales son más abstractos que los cuatro o cinco primeros de la sucesión numérica. Que el concepto cle número es algo que se desarrolla, se denruestra por el hecho de que un niño va ampliando el ámbito nunrérico en el cual se maneja y entiende relaciones, a partir de los núr¡neros perceptivos, lentarnente al principio: de 5 a 10, y Itrego cle l0 a lÍr, antes cle c¡ue puecla hacerlo con nirmeros más altos. Ltrego c¡ue el niño ha comenzaclo a comprender la noción de orclen en su urtrndo físico, ptrede empezar a observar el orden 49

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de números abstractos. Se debe tener presente que el concepto de ntimero es independiente en su origen de los términos y siLgnosusados para su representación, aun cuando posteriorment,r, fruto de un conocimiento social, ellos se relacionen y lleguen a constituirse en sinónimo. Se da así cuenta de qtte, al contar, cada elemento de la sucesrón es uno más qtre el precedente y uno menos que el siguiente; (rstáoperanclo en el conjunto de los núnleros naturales. Los números naturales son los números 7,2, 3, 4, 5, ... etc., (lue se trsan frecuentemelrte en la üda diaria. Se acepta qtte ;ienen, en un sentido filosófico, una existencia natural independiente del ser humano. Atrn cuando el concepto de núrmero natural es más asequible que el de los otros ntimeros, no deja cle ser un concepto abstracto. Kronecker dijo: "Dios creó los números naturales, toclos los demás son obra del hombre".8 Es decir, los otros con-jttntos numéricos: carclinales,enteros racionales, cornplejos y reales se consideran prodtrcto cle la mente humana. El conjunto cle los nirmeros naturales se collstrtlye a partir del concepto intuitivo tle rtno (1) por abstracciórrreflexionante, a través de la operación + l. Esto significa: 1;

1+1=2;

2+l=3;

3+1=4,

etc.

El nirnrero no es sólo ttn ttontbre, v. Sr., cinco. Represetrta tantbién tura relación cle inchsión. El citrco irnplica tttra relaciórt cle uno nrás que cuatro, que a su vez es urto Inás <¡ttetres, el cttal tarnbiért es rlno mis qtte dos, etc. Por eso los nútmerosno deberl presentarse corno fornra y valor aislatlo. Ellos deben presentarse corr rura existencia cort rostro, la forlna del signo o nttnteral, v. Sr., !>i cort nombre (cinco); con ordetralniento: tles¡nés clel 4 y ante.sclel 6; con lugar en la recta nrtmérica:

r2345 Cada núrrnero así constittticlo es irnico y se define Por stl origen a partir clel que le precetle inurecliatanlente, tlestacatrtlo el ltrgar c¡tte ocupa en la strcesiónntrmérica entre $¡ alltecesory su sucesor.De estafornra aclc¡trierensentido la ntuneración y el cálctrlo.

8 Pardcr dc Sanrle, Innzr. Didítctiut de Lt rutt¿ruitícu pam la ucuela prímutia, El Atetteo, Argentin:r, ll)fX).

50

IMCIACIóNMATEMÁTICA

I-a categoría número, al igual que las otras categorías, alcanza el nivel de noción abstracta a través de un largo proceso evolutivo, que se desarrolla desde el nacimiento hasta que el sujeto se mueve con plasticidad y solidez en el terreno reflexivo. Ef número se constituye así como una de las formas de aprehender la realidad, o sea, es una categoría. La noción de número, en cuanto categoría formal, se obtiene por un proceso de abstracción de las ácciones realizadassobre la realidad; este proceso de abstracción tiene secuencias de trabajo didáctico: - Trabajo del aprendiente con materiales concretos en una determinada situación que permita intuir, a través de relaciones, el manejo del concepto. Las experiencias comprom€ten la-observación. La observación, como actiüdad del pensamiento, detecta relaciones entre conjuntos y estas relaciones, a su vez' suministran lo necesario para las operaciones futuras. - Expresar la actiüdad, lo que implica verbalizar el concepto, nominañdo y graficando las situaciones resulnnrcs de las acciones sobre el medio. Por ello es importante estimular en la enseítanza la "visualización", esto es, el proceso que permite a los alumnos construir gráficamente diversos modelos visuales que describan parte de las estntcturas matemáticas subyacentes al concepto. Este proceso de formación de imágenes mentales o materiales puedé producirse como una habilidad para traducir a imágenes visuales una información recibida en forma simbólica o uña interpretación y comprensión de modelos üsuales. La "visualización" permite al aprendiente constn¡ir mejor su propio esquema o trama conceptual; esto es, la estructura personal asociada al concepto en estudio que incluye imágenes mentales y propiedacles con procesos asociados a los.conceptos o, lo que es ló mismo, el conjunto cle todas las imágenes mentales asociadasal concepto, prodttcto de su experiencia con ejemplos y contraejemplos del concepto; ello permitir.á trabajar en situaciones futuras aplicando el concepto. - Luego de abstraer el concepto, usar el símbolo que lo represente, és decir, simbolizar el concepto usando el signo correspondiente. En la constmcción de este concepto de número' se pasa por diferentes niveles antes de llegar al formal. Se pueclen clistinguir tres períodos en el proceso evolutivo del concepto de número, en el niño: - El primero es sensomotor: en él sólo hay acciones realizadas sobre los objetos. - El segundo, simbólico: en él hay cantidad intensiva y se distinguen los niveles q'e van clesclela forma cuántica más glo-

5l

M. DELC. RENCORET

bal, en la que casi no se puede hablar de número, a un nivel en que comieñzala discriminaciónen cuaritola percepciónda paso a la intuición. - Un tercer período: el de la cantidad extensivao del número propiamente tal, en cuanto el sujeto trasciende lo intuitivo y alcznzálo formal. En este nivel de pensamiento las accionesse interiorizan pues se trasciendeel límite de lo espacialy sensible' la reversibilidad,es decir, la cualidadde la menestableciéndose te que permite la realización simultánea de una operación y su inversa. Sin embargo, el número se constituyeno como una operación sino como un sistemade cinco operaciones,que se pueden enunciar de la siguienteforma: 1) De composiciónaditiva,pero que también puede ser multiplicativa. Ej .: 4+2 =6; 3x2= 6 (3veces2c o mo s u ma n d2o+; 2 + 2 \ . L¿ acliciónes una función matemáticaasociadaa la unión de conjuntos disjuntos.El resultadode esta operación (suma o to' tal) es la carclinalidaddel conjunto resultante.Relaciona las partes con el todo: (4 + 2 = 6) síntesis;mientras renombra el todo en función de suspartes:(6 = 4 + 2) análisis. Los niños muchas vecesmemorizan los resultadosde la adición sin un concepto real de número, desconectadoen general con situacionesde la üda real. Es el peligro que tiene observar sólo el resultado. 2) De reversibilidadcle la composición:sustraccióno división. del 2; G2-2-2) Ej.' 6-2= 4; 6 :2=3 (restaiterada I-a reversibilidad,noción que permite invertir mentalmentelas operacionesfísicas,da a la sustracción,como la inversade la adición;y a la división,como la inversade la multiplicación. 3) De asociatiüdadde la composición.

$ .:

4 +2 6 3 +3 :6 5 +1 -6

4) De identidad: toda operación de adición o multiplicación combinacla con su inversa quecla anulada y el número se conserva idéntico.

Ej.:4 +2 =64'l=8 62=48:2=4 62

INrcrecIóN ru,rrrmrr¡c¡ 5) De iteración: una trnidad agregada a sí misma o a un núrmero cle uniclacles,cla lugar a trn número por aplicación de la composición aclitiva. Ej.:

1

I

9

3

3 4

4

f,

O

6

y sERrE 4. 1.1. CoNCEproDENúrrlenocor'ro sfxmsrs DEcL.A,sE El concepto de número comprende la habilidad para clasificar y seriar, y, conjuntamente, de unir estasoperaciones para expresar relaciones. Por ejemplo, el núrmero 8 expresa al representante de una clase de equivalencia compuesta de ocho unidades, también expresa a esa clase como mayor que la del 7, es decir, que la clase del 7 está incluida en la del 8, y ésta a su vez en la del 9, lo que hace que la clase del 8 sea menor que la del 9. Es decir, se deben entender tanto las relaciones entre los objetos de una clase, como la posición relativa de esa clase hacia las otras. Para una clase de 8 unidades, el número cardinal ocho (signo 8) representa la clase,pero para llegar a este número hay que contar uno a uno en sucesión los objetos, y en este sentido difieren; la orclenación, es decir, el relacionarlos entre sí como primero, segunclo, tercero, hasta octavo es necesario para el desarrollo clel concepto. Por lo tanto, el "cardinal" se refiere a clase y la "ordenación" a las relaciones u ordinal. Estas dos operaciones deben fundirse antes de que se forme el concepto de número. Piaget insiste en que, para tener el concepto de número, se debe ser capaz de clasificar y seriar, y entender la cardinalidad y la ordenación. En definitiva, desarrollar la habilidad para seriar y luego establecer correspondencia entre dos series.e Formar clases es realizar la separación de los elementos de un conjunto, organizando colecciones de acuerdo con un mismo criterio: el de la cualidad o cualidades que representan en común los objetos por la que se los agrupa, sin tomar en cuenta en ese instante otras cualidades que los puedan diferenciar, por ejemplo: juntar todos los elementos verdes, sin considerar diversasformas que ellos tengan.

eKarnii, Corrstance, El númtto m b educaciónpreescolar,Visor, España, 1985.

53

M. DELC. RE,NCORET

Una clase no se configura solamente por la unión de entes que tienen una misma característica o propiedad, sino. por las zubclês que se incluyen en otra más extensa y que les da Pertenencia por la cualidad que tienen en común. Se ciefine así la clasé, por la propiedad en común o la similitucl que posibilita la perténenciá a ella de los elementos que la poseen. Estas subclasesse relacionan por las similitudes que comparten, dejando de lado las diferencias que las separan Emerge, entonces, la noción de clase como el atributo en común que hace posible la pertenencia a ella de los elementos que la poseen. Esos elemeñtos o subclases se reúner por las propiecñdes que comparten, es decir, por las similiudes, dejan¿o áe lado las difereniias que enrre sus elementos puedan darse. Inclepenclienre cle las difeiencias, se agrupa por la característica en común que presentan. Al tenei claia la noción cle clase es posible, trascendiendo del plano concrero, descubrir las unidades de cada conjunto y perciLrir en el medio que se utiliza una nueva clase, la que agn¡pa a toclos los infinitof conjuntos que tienen la misma cardinaliclad o canticlaclcle elementoi. Pasaasí cada conjunto en particular a ser una expresión de la clase de su cardinal asociado. Toáos los conjuntos que pertenecen a una misma clilse, por estar fonnados por la misma canddad de elementos, tienen una cualidacl etr cotnún, algo igual entre ellos: es esa composición o propiedad que ya no es del objeto sino del conjunto de objetos' ^ At modificar el orden entre los conjuntos, no se altera la composición cle las clases,pues ellos son equivalentes y se puede sustiiuir uno por orro. Cualquiera sea el conjunto de seis unicla
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M. DELc. RT,NCORET

Aparece u;í el núrnero' a la vez como clase y serie' Agrupa elemánros o unidades y esa clase ocupa un lugar específico y único en la sucesión numérica. Emerge como producto cle la síntesis, de la clase y la serie' indepentente de ia clasificación y la seriación, aun cuando coexiste con estasnociones, como estructuras simultáneas y paralelas. Ninguno es causa del otro, se constmyen por un mismo p.ocesoluolutivo; atraviesan los mismos niveles desde un punto cle vista genético, son sincrónicos y solidarios. Si bién enronces el núrmero implica la clase y la serie, existe fuera cle ella, por sí mismo, cle tal iorma que es posible afirmar que las clases son núrmeros no seriados, y las series son cl¿xes numeraclix. si se entiende el nirnrero conro clixe y serie, clestle Ia perspectiva de la cl¿rse,se tienelr los números carcliuales,y clesde la es a la vez cardillal ierie, los orclinales. pór eso es q.e el 'úrmero y ordinal. Los núrrneroscarclinalesexpresan la cantidacl cle elementos o uniclaclesq¡e coutponell stl clase. Los nútmeros ordinales se originan al atencler al orclen o lugar que el cardinal octtpa en la sucesióntrttnrérica. En resurlten, el ttirrnero es la coorditración cle clilse y serie' Cclnstit¡ye ¡n ellte inclepe¡tliente a la vez qrle paralelo y sinlrrltírneo cle ellos. Se apoyan recí¡lrocanlerlte.

4.1.2. Coxr¡n Aun ctranclo Aristóteles creía c¡treel honrbre es trn animal racional porque puecle colltar, hoy parece tln arguurellto.poco convincinte_.., sin embargo, hay c¡ue consiclerar q¡e la aritnrédca es ahora más fácil de lo c¡ue era én tiempos antigtlos. El sisterna tle numeración ha progresatlo y se han inventaclo ure.ioresnrétodos cle cálctrlo. contar clebe inrplicar algo nrás q¡e recitar ¡onrbres,
IMCIACIONMATEMATIA{

en la percepción, ocupando los dedos de la mano o los elementos de conjuntos de baja cardinalidad que estén a su alcance. Es una mernorización apoyada en el objeto concreto. Un número es algo más que un nombre. Un número expresa una relación. Sin embargo, no se debe olüdar que las relaciones no existen en los objetos reales, son abstracciones, un escalón sacado de la realidad fisica, son construcciones de la mente impuestas sobre los objetos. Para Piaget, el número es la síntesis de dos tipos de relaciones que se establecen sobre los objetos a través de la abstracción reflexiva. Ell¿u son el orden y la inclusión jerárquica. Para c¡ue el niño, al contar los elementos de un conjunto, asocie realmente el concepto de número correspondiente y no sea sólo trna reciación mecánica, debe discriminar con claridad en la ordenación de los elementos del conjunto en referencia. Esta orclenación implica clasificar en forma permanente los elernentos ya conrados y los c¡uequedan por contar. La cl¿uificación asegura que no se salte ningún elemento y que no se cuente más de uno alavez. Pero concurrefltenlerlte se debe cuiclar que al enumerar los elenrentos cle un conjunto (esto es, decir el nombre de los núr[leros ordenada y sucesivamente, asignando el último nombre pronunciaclo al úrltimo elemento), en el proceso de contar, el nírrnero verbalizado al final no esté representando la nominación cle un elemento punttral, sino a la claseincluicla-jerárquicarnente. Est.oes: el uno se incltrye en el clos, el clos en el tres, el t.resen el crratro, el ctratrclen el cinco, etc.

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Al contar objeto.s tli.sírniles,se hace abstracción de sus diferencias
M. DELG RENCORET

quinto' el lugar que ocupa: primero, segrrndo,tercero' cuarto' etc. DEL CONCEPTO DE NÚITMRO: 4.2. I-A.REPRESENTACIÓN EL NUMERAL e invisiUn concepto es un ente puramente mental, es inaudible para observardirectamenteel no ha1'-aún^medios ;*,;ttde iontá,"i¿b clela mente de otras personas,ni para permitir requiere se á" áitát a la propia. Para represe-ntarun cóncepto palabras como visibles o audibles medios á; i" utilización'de habladaso escritas,u otras marcassobre papel' y Piaget hace una inrcresantediscriminación entre símbolo semees un significado que tiene una signo. Fara é1,tn sírnbol'o repiesentado ¡ U¡repuede ser inobjeto el ianza fizurativa con .,;;ffil;"i poi to tañto, los símbolos no necesitan "ino. enseñarse

(00000000);

[ilfi]

lJn signoes un significante convencional' Los signos no tieparte ,r"rr r.-"]"nza alguni con el obje-torepresentadoy forman icleadospara comunicar mens{es a otras Personas' de sistem"as ; ;;l"bt; "ocho" y el grafismo "8" son signos ql: ^l:-q"ittt" socialya que han sido creadospor convencton' tranimisión -*Ú; tig"o es algo isibte, asociadoa uñ sonido y conectado una idea menalmente a una idea, que es su significado' Sin un signo esvacío, carente de significado' lisada, ^'"Til;;ñ; al mismb conceptoen la mente de el con"r,a.or,".tado diversaspersonas'entonces'al expresarlose puede evocar consigue uno la memoria de uno-al otro; es decir' ..pro de^sde la oue el otro "piense" en ese concepto' Una vez establecida perciben se 1"""-i0", *.ig.tin.uOo se proyectasobreél y ambos como una unidad. dos Si se acepta que un signo y el concepto asociado son ditútttión no bs triüal' sino' por el entes diferentes,y que a "r,i conrario, es la qire Lxiste enúe un objeto y su denominación' camno nombre otro por iJf"tt,o'q"e si un objeto es--llamado válido incluso para un conc,eptoabs üu'J ou.¡"'t'oen sí, "t "rio veudo para tracto, oL¡"to de pensamiento. En nuestro caso es y su signo número de una iáea iratemática como es el concepto 58

INICTACIÓNMATEMI|]'ICA

asociado; es decir, "ocho", "eight", "8", "VIII", todos son signos que se refieren al mismo número en diferentes notaciones' Los unos son signos verbales, por ejemplo "oclto", que se presentan como palabras escritas u oíclas; son más colectivas y iáciles cle comuuicar. Los otros, presentados conlo signos visuales (8), son más indiüduales y difíciles de comunicar. El signo usaclo para comunicar un número por escrito se clenomina numeral. El niño debe desarrollar las habiliclades psi comotoras involucradas en la escritura para poder escribirlo. Ello será analizado en mayor profundidad en el punto 4.2.2. Posteriormente, los numerales se pueden combinar en tln sistema de "nunteración" que permite escribir diferentes nitmeros con una cantidad de dígitos reducidos. Nttestro si.stelnaes decimal posicional, esto es, agrupa los elementos en cor{untos de carclinalidadcliez,utiliza diez dígitos (0, 1, 2, 3,4,5,6, 7, 8, 9) y el valor de cada dígito depende de su ubicación en el contexto.

4.2.1. Nutrlpne¡El numeral es un signo gráfico que se a*sociaa caclaconcepto de nirmero carclinal; cotno signo gráfico debe ser conrrllticado a través de un acto de escritura, para lo cual es necesario una habilidacl psicomotora. Para escribir un numeral se requiere cle una serie cle conductas gráficas que serán desglosadasyjerarquizaclasen el Inodelo instruccional que proponemos (pag. 110). Los niños no aprenden a escribir el numeral mediante el solo hecho clever su modelo y practicar el trazado de línezu aleatorias con un lápiz. Necesitan aprender la rutina ejecutoria que organiza los Lrazosindiüduales, verticales y horizontales que integran clicho símbolo. Para ello se deben utilizar diversos tipos cle estímulos exterrlos que gr.ríenel aprendizaje' Aproximatlamente desclelos cuatro años,las habilidades motoras que clesarrolla el niño comienzan a tener ttna finaliclacl predispuesta. En esa etapa, conjuntamente con los patrones motores cle comunicación oral y gestual, se aprenden habilidades psicomotoras finas en las qtle se incluye el uso y manipulación cle instrurnentos necesarios Para la comuniCación escrita tales como lápiz,lapicera, ttza. Para ello se requiere la integración cle actos mbtores más simples, que posteriormente se utilizan como parte de actiüclades más globales que se relacionan con el clesarrollo intelectual. Ello confinna, una vez rnás, la interdependencia entre lils funciones cle la vida psíquica y la esfera nlotriz, la interacción 59

M. DELC RX,NCORf,T

permanente entre la actiüdad cognitivoafectiva mo[ora.

y la actividad

4.2.2. HIúILIDADPsIcoMoroRA La habilidad es una disposición que muestra el individuo Para realizar tareas o resolver problemas en un área determinada, basada en la adecuada percepción de los estímulos externos y en una respuesa acdva que redunda finalmente en una actuación eftcaz. Se refuerza con la concurrencia de las capacidades, el hábito y el conocimiento del proceso a seguir. Hay clistintos tipos de habilidades, desde las intelectuales hasta las motoras. I-as habilidades psicomotor¿N o perceptivo-motoras son moümientos musculares voluntarios y coordinados, empleados para llevar a cabo con éxito una tarea o acto deseado. Su denominación connota el hecho de que la mente esté involucrada en un deterrninado movimiento, lo que significa que éste se hace voluntariamente y debe tener un propósito; por otra parte, está relacionada con la percepción, esto es, la forma en que el indiüduo organiza e interpreta la información llegada a través de sus sentidos. Estos sentidos transmiten al sistema nerüoso central los estímulos, que son datos no procesados. Como resultado del aprendizaje, nttestras impresiones o datos no procesadosdel rnundo constantemente sufren cambios. Las percepciones brindan la información necesaria para coordinar los movimientos illotores, dando origen al concepto de habilidad psicoilrotora o perceptivo-motora. No necesariamente estamos conscientes de toda la información que usa nuestro ctlerpo para desempeñar una habiliclad cle este tipo. Al desglosar una tarea psicorlotora, en este caso la escritura clel numeral, es posible descubrir diferentes tipos de aprenclizaie dentro cle ella. La mayoría de estashabilidades fue aprendida de niho, y su desempeño es tan automático que difícilmente de aclulto se toma cotrciencia de que alguna vez fue necesario aprenderlas. Sólo lo ¡rercibimos cuando observamos a un principiante tratar por primera vez de adquirir dicha habilidad. En realidad, muchas habilidades psicomotoras son silnples en apariencia, pero complejas y dificiles de aprencler, pues implican movimientos lnusculares coordinados por nuestras percepciones de los eventos externos. Sin embargo, no tocla la infornación perceptiva procecle del exterior. Existe un inrportan60

IMCIACIÓN MATE,I\T]{TICA

te sentido interno llamado cinestesia que permite sentir la propia tensión muscular y el movimiento sin verlos; es la capacidad sensorial de percibir el propio movimiento muscular, peso, posición, etc., de las diferentes partes de nuestro cuerpo. Esta sensibilidad nos permite conocer, en cada momento, la posición estática y dinámica de cada parte de nuestro cuerpo. Gracias a ella, es posible coordinar eficazmente los diferentes movimientos del cuerpo. El aprendizaje motor avanza a través de etapas que se diferencian entre el novato y el experto por el grado de precisión, armonía y sincronización que adquiere este último. La más obüa de las característicasde las habiliclades psicomotoras es que nrejora con la práctica, es clecir, los moüurientos que integran la actiüclad cleseaclaartlnentan str precisión y sincronización a Ineclida c¡trese practica dicha actiüclad. Practicar inrplica la repetición clel procedimiento con la intención, por parte clel sujeto, de lograr ttn buetr
6r

M. DELC. RENCOR.ET

dinámica, la manual, necesaria para la escritura, se educa por ejercicios destinados a obrener precisión, rapidezy fuerza. ró¿o acto de coordinación dinámico-manual llevá implícita una coordinación visornotriz, que pone en juego tanto lá atención sostenida y el control de movimientos voluñtarios, como la capaciclacl de disociación bimanual. El grafismo de numerales, como actividacl de escritura, se produce por la coordinación de un moümienro distal y un moümie.nro-tr¿xlático proximal. El aspecto cursivo aparece daclo por el desplazamienro del brazo: es et moümiento proximal. Ei aspecto caligráfico viene dado por la mano y los déclos a través clel moürniento distal. La escritura de numeriles es una importante actiüclad visomotora c¡ue puecle clesarrollarse alredeclor cle los seis años a partir cle la integración cle los variados procesos cle clesarrollo que emergen y se encaclenan a partir clel óontrol cefálico inicial. E' esr.osprocesos, el acto piensor necesario para sqietar el lápiz y escribir c'mple un irnpórtante papel. La oposiciór clel ¡lrlgar a los denás cledos puecle consiáeiarse como el prinrer organizador cle esta conductá prensora. Todos lns movimientos de la mano se basan en la integración cle palrna y derlos, r¡ue conüerten a ésta en la herramieñta más podero-sacltorgarla al hornbre. sin embargo, dicha conclucta no -se¡rrodrrce hasta c¡ue no se er cornenzaclo a clesarroilar el freno (i2

TNICIACI()N MATET{IITICA

inhibitorio, que posteriormente, alrededor de los tres, permite regular a voluntad la amplitud de sus moümientos e imponerles un fin adecuado. El cálculo correcto de tiempo y distancia ayuda al mejor logro de esta regulación creciente. El freno inhibitorio se activa progresivamente en función de la atención qtre cada clía debe ser estable y se desarrolla con las estimulaciones que se le ofrecen, lo que permite obtener cada vez movimientos nrás coordinados a ritmo impuesto; ello significa que alrecledor cle los cinco años el niño se encuentra, en general, maduro para conseguir el control voluntario de moümientos manuales. Por eso es importante que en las últirnas etapas de la educación preescolar, el niño realice moümientos disociados que lo ayuden a localizar los gestos manuales y le otorguen la precisión necesaria para abordar el principio disociativo de la escritura: "un brazo y mano se mueven mientras la otra permanece inmóvil". Se preparará tarnbién así para aclquirir la capaciclaclde mover separaclamentecada uno de los dedos con nitidez y flexibili clad. Debe recordarse que la consigna para el trabajo en esta edad es "conseguir precisión, no rapidez". Ello se logrará a través de actiüdades bien planificadas y secuenciadas que permitan desarrollar el control de la actiüdad voluntaria, transformando el moümiento espontáneo en movimiento consciente.

Algu,rutslnescripci.onrs gr,n,erul,es relntiaus a,Imtrmarnimto de hs habili,dttdesp.si, corn,otoru.s De las condiciones de práctica: La conclición de práctica es la forma de manejar la decisión sobre lo que practicará el alumno y cómo lo hará. - Práctica total y práctica parcial Mientras más compleja es la tarea, más conveniente es dividirla en partes, y enseñar cada una de éstaspor separado. Si la tarea es sinrple y unitaria, es mejor hacerla por métoclo total. El análisis cle tarea deja claro si ésta debe dividirse para enseñarla en forma parcial. - Práctica conjunta y práctica espaciada Como regla general se establece que las sesionescle práctica más frecuenteillente interrumpidas por períodos de descanso son en general mejores para el aprendiz4je. 63

M. DELC RENCORET

- Práctica mental Existe cierta eviclencia que sugiere que la práctica mental a¡rda, es clecir el pensar en una tarea y-ensayarla err fa, mente puecle mejorar el clesempeño.No es tan bttena conlo el desarroilo mismo"de la acción, p"to aparenrcmente a¡rda'

Refericlasa la información que se debe proporcionar al alumno En general, y clescleuna perspectiva teórica, se pueden distinguir ,r.r",ipo, áá ittfot*ución que es conveniente proporcionar al alumno: de la práctica - lnformaciín a,ntes es irtil guiar dando una orientaentrenamiento el Al iniciar errores y destaque.stn-logros. sus minimice que ción verbal clara, con la gtría inicial del prpconjuntamente La orientación claia, errores' los que una vez de aprendizaje el fesor, ayrrclana eütar ensayosy exigen posteriores en aprenclíclos tienclen a repéti.se lograr posterior-para tádo un clifícil proceso cle clesaprendizaje niño comienel que de antes el aprencliz{e côrrecto.En síntesis' ce a desarrollar la tarea, debe conocer: o cuáles son sus objetivos, formulados clara y precisamente. . Los criterios cle desempeño; ellos deben ser suficientemente elevacloscomo para motivar al alumno a lograrlos, pero no tanto como para désalentarlo. Es conveniente que a-medida que progresa el áprencliz4ie,estos criterios se eleven gradualmente. ^ I Ut, panorama general de la tarea, como la desempeña un experto. Esto permite tettet una imagen total y un cônjunto de ,roi*"r para évaluar el desempeño. El mismo profesor, otros o que ya lo sepan, pueden proporcioalumnos más aventajaclos "general mostrando al alumno la forma de nar este pafrorama desenrpeño a ravés de películzu, cliapositivas-o fotografías' El purro.ir¡u ¿ebe ser breveJhay que eütar una información larga y tediosa. - Inforuraciín durunte la práctica Durante el desempeño cle la tarea se deben entregar "señales crídcas" que proporcioren información útil sobre el desempeño cle la habili¿á¿; son parte natural clel sucesoy deben ser introducidz¡sen su oportuniclad por el profesor. sin embargo, estasseñales o ildica¿ores clebenler mínimos y retirarse evenfltalmente, pues la mem de tocla capacitación,perceptivo-motora es liberar el aprenclizaje clel ¡naestró y lograr fiñalmente un desempeño autónorno. M

IMctAcIóN rvrATn¿(rcn

- Información dapuás de la práctica I-¿ información posterior a la tarea debe entregarse a través de la voz del adulto, quien puede estimular y dirigir las pequeñas acciones que se han desarrollado dentro de cada actividad. I-a retroalimentación que sigue a las actividades debe proporcionar al niño conocimieñto dé resultados después de terminar una tarea. Puede tener componentes informativos, esto es que den información sobre el desempeño, exactitud y regulación del tiempo y componentes motivacionales o de estímulos para trabajar mejor y procurar conocimiento de resultados positivos. Una recomendación importante para el profesor: Si no puede estimular, mejor calle. Los comentarios negativos proporcionan poca información, generan ansiedad, la que origina deterioro en el desempeño.

65

B. PROPUESTADE UN MODELO INSTRUCCIONAL PARALA INICIACIÓN MATEMÁTICA. EL MODELO 1. ALGUNAS NOCIONESSOBRELOS ELEMENTOS INVOLUCRADOS EN EL MODELO REFERIDASAL CONCEPTODE NÚMERO Y SECUENCIADE OBJETIVOSESPECÍFICOSPARA DESARROLIAR IAS NOCIONES 2. ALGUNAS NOCIONES SOBRELOS ELEMENTOS TNVOLUCRADOSEN EL MODELO REFERIDASA TA. ESCRITURADEL NUMERAL Y SECUENCIADE OBJETIVOSESPECÍFICOSPARA DESARROLIAR IA.S T{ABILIDADES

IMCTACIóN MATET]{TICA

MODELO INSTRUCCIONAL

PARALA INICIAOÓN trmrr,vlÁuce (M. del C. Rencoret)

-

EsquemacorPoral Comparación Espacio-temPoral Conjunto Cantidad

-

Picar Rasgar Recortar Ensartar Bordar

DESARROLLO DIGITAL

NOCIONES BÁSICAS

-

Correspondencia Clasificación Seriación Conservaciónde cantidad * Discontinua * Continua

- Patrón

NOCIÓNDE DE NOCIONES ORDEN ORDENLÓGICO. MATEMÁTICO SUBJETIVO

HABILIDAD COGNITIVA

- Modelar - Retorcer - Plegar

Puntear Marcaro mosquear Contornear Bordear Colorear Calcar * papeltransParente * papelde calco - Dibuiarlibremente - Copiarmodelo

-

HABILIDAD PSICOMOTORA

INICIACóNMATEMÁNCN qu-ese Este tliseño no presupone conceptos ya constmidos' sino inicia con las nocionis primariasl sin-'embargo, ellas no,cqnfirypor el contrario, van relacionán;;;t-p"rtimentos ".i^rr.ot, close dinhmicamenre clurante ei ptoceto de enseñanza-aprendiposibilitar zaie Dara llegar a constituir el concepto de número y asociado' la escritura clel signo cdnir',ntameñte -'--'AI a la práctica el mo¿eIo, se deberán contestar interroii;r santes 5ásicast^1", .á-o, ¿crrántosniños están implica¿os?'-¿cuál previdproporciona
1. ALGUNASNOCIONESSOBRELOS ELEMENTOS INVOLUCRADOSEN EL MODELO REFERIDAS AL CONCEPTODE NÚMERO Y SECUENCIADE

oBJETwosESpECÍucosrARADESARRoLLAR

LAS NOCIONES

1.r. NoclroNES eÁsrcA-s 1.1.1. EsquEMA coRpoRAL EI niño conoce el munclo a través de su cuerpo, y el moümiento es su nreclio de comunicación con el mundo exterior. La educación psicornorora, como parte básica de la educación preescolar, propone un conjunto de acciones, que a partir de movimientos sencillos clesarrollane integran hasta los más complejos, de acuerclo con el clesarrollo psicológico y motor del niño. La psicornotricidacl hace referencia al dominio de esos moümientos cle las diferentes partes del cuerpo, en cuanto ellos precisan un control coorclinaclo de los elementos involucrados. Generalmente conlleva una actiüdad intencional y progresa a medida que el niño madura fisica y psíquicamente. El niño pequeño organiza el mundo tomando como punto de referencia su propio cuerpo. Por ello debe aprender a conocerlo, a iclentificar y norninar sus partes, comprendiendo y verbalizan
IMCIACIóN

MATT.MÁTICA

El esquema corporal se configr.rra a partir de las experiencias que tiené cada sujeto con su propio cuerpo, en moümiento o eitático, en un cierto contexto espacio-temporal, y en sus relaciones con el mundo que lo rodea. Siempre se refiere al cuerpo como un todo. I-a integración en el campo de la conciencia del indiüduo, de las partes de su propio cuerpo, constituye la base para lograr diferenciarse de los demás, y luego tomar conciencia áe ser funo mismo" y desempeñar un papel en la creación de la noción de la realidad. Llega a configurarse como el resultado de la historia personal y de las relaciones que ese individuo logró establecer con su meclio. Esta noción se inserta en el ámbito neurofisiológico y de psicología genética. La suma de las representaciones y vivencias psíquicas del cuerpo y sus órganos, se interiorizan y llegan a constituir la base de la noción del "yo", en oposición al exterior o "no yo". Una de las primeras distinciones que un niño hace es esa entre "yo" y "no yo"; luego diferencia los variados aspectos del "no yo;. Uno de ellos es la presencia de los objetos (se-entiende por objeto todo lo que sr: Presenta a los sentidgs.y a la mente, ioda realidad material que puede ser manipulada) y su permanencia aun cuando no la vea. Piaget cree que el concepto de objeto madura gradualmente.roUñ recién nacido sigue mirando hacia donde había un objeto aun cuando éste se le esconda, no se esfuerza por buscarlo. Posteriormente, intenta btscarlo donde él ha visto que fue ocultado. Se dice así que se ha aclquirido la "constancia del objeto", cuando se posee la capacidad de descubrir que los objetos continúan existiendo, con indepen
r0 l,abinowicz,

Ed., Introiht¿cion a Piage\ Fondo Educativo

Interamericano,

México,

1982.

7r

M. DELG RENCORET

SECUENCIADE OBJETIVOSESPECÍFICOSPARA 'DESARROLI-AR I-A,NOCION DE ESQUEMA CORPORAL"

DESARROLLAR NOCIÓNDE ESOUEMA CORPORAL

y Reconocer la verbalizar funciónque ellascumplen

y ldentificar nominarlas principales partesde la figura numana.

72

y ldentificar las nominar posiciones delcuerpo en reposo

y ldentificar nominarlos desplazamientos delcuerpo

IMCIACIóN

MATf,,MÁT¡CA

EJEMrLoScnÁrrcos IARA DESARRoLLAR NOCTON DE ESQUEMA CORPORAL

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73

M. DEL c. RI,NCORET

1.1.2. Corr,tp¡necróN El o con los objetos a través de experiencias directas debe llevar al niño a la necesidad de nominar los elemenros. Esto le significará enriquecer su lenguaje y le mostrará también las propiedades de esos objetos. Además, para obtener una comunicación entre él y su ¡nedio surgirá la necesidad de verbalizar esas situaciones. Este conocinriento se obriene fácilmente de los objetos, ya que ellos han adquirido permanencia en el pensamiento del pequeño. A través de la manipulación, él los examina y ot> serva sus pro¡tiedades: color, tamaño, peso, textura, etc. Al verbalizar estascaracterísticasdeberá ser estimulado a establecer courparacionesentre ellos. Raths y Wassemen (Córnonxsñar u puuar) sostienen que comParar e.s"un proceso del pernantiento, que consiste en observar rlif-erencia.s y silnilitudes". A su vez, el Diccionario de la Real AcaclenriaE.s¡rarlola rlefine el ténnino corno "frjar la atención en rkrs <-lnrás clltjet<)s,para rle.scriltir str relaciones, o estirnar sus
ES BUSCAR

ORIGINAN AL NUMERO COMO:

PUEDEN SER RELACIONES

StM|LITUDES t clasiricar*, cuALtTATtvAS CARD|NAL I

/\^: l COMPAR

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74

INICIACION

MATEI!f,{TICA

- Las sinrilitudes cualitativzrsoriginan el concepto de tl:xe. - Las sirnilitudes cuantitativas entre cortjuntos se establecen por la correspon(lencia. - Las diferencias cualitativas permiten elaborar secuencias que establecen patrones. - Las diferencias cuantitativas constantes originan el concepto de serie.

DECOMPARAR ENTRE ELPROCESO RELACIONES Y ELCONCEPTO DENÚMERO

RELACIONES CUALITATIVAS .rl"

ér"' D IFER E NCI A S

lsERrEl

ORDINAL

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S IMILITU D E S

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CARDINAL

Las verbalizaciones de estas comparaciones cualitativas y cuantitativas entre los objetos deben efectuarse utilizando correctamente los términos de: igual - desigual; en tamaño: grantlechico; en longitrrd: largo-corto; en altura: alto-b4jo; en grosor: ancho-angosto; en color: rojGazul-amarillo-verde; en capacidacl: lleno.vacío; en textura: áspero-suave,y en consistencia: dt¡roblando.

t5

M. DELC. RENCORET

sEcuENCrADE OBJETTVOS ESpECÍrrCOS PARA'COMPARAR'

Discriminar conceplo ancho-angosto

Discriminar concepto lleno-vacio

Discriminar conceplo largo-corto

Discriminar concepto alto-bajo

Discriminar colores rojo-azulverde-amarillo

Discriminar concepto grande-chico

Discriminar concepto igual-desigual 76

IMCIACXÓN MAIE}&(TTCA

EJEMILoScnÁrrcos rARADESARRoLI-AR I-ÊNGUAJEQUE PERMITE COMPARAR

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igual- desigual Discriminar

grande- chico - ..7 Discriminar

Discriminar lleno- vacfo

largo- corto Discriminar

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M. DELC RX,NCORET

EJEMnLoScnÁncos rARADESARRoLT-AR LENGUAJE QUE PERMIIE COMPARAR

Determinar similitud cualilativa

Determinardilerenciascualilativas

78

Determinarsimililudcuantitativa

Determinardiferenciascuantilalivas

INICIACIóN MATEM{TICA

1.1.3. Espnclo-TIEMPo Viümos insertos en un continuo espaciotemporal (C.E.T.)' En él entenclemos por espacio aquel medio continuo, tridimensional (largo, ancho, alto), de límites indefinidos, que contiene todos los objetos y donde se desarrollan los moümientos y las actividades de los seres humanos y el espacio total con sus tres variantes: euclicliana, proyectiva, topológica' (Canals, M.A.' 1982). o moaimimfus m rnatemá,tic¿t R¿ktcirtnesespa,ci,a,lzs 1. Moümientos rígidos I-a geornetría euclidiana se ocupa de las relaciones concernientes a mágnittrtles tales como longitud, medida de ángulos, de áreasy voltimenes. En esta geometría se define la congruencia como una iclentidad de forrna y tamarlo. Una figura puecle superPonerue sobre la otr¿ congnlente, a través de un "moümiento rígido" en el espacio que origiria un cambio de posición de la prinrera cle ell¿ls, péro no irn cambio de r.amaño.En el espacio euclidiano ios obietos ion localizados por medio cle ejes de referencia (largo, ancho, alto) y allí se clesarrollan las ideas métrics. 2. Transfonnaciones proyectivzx Son moünrientos tle las figuras de carácter intermeclio: no son rígiclos, ni tampoco tan clrásticoscomo para incluir cleformaciones. En esürs transfonnaciortes, las longitudes y los ángulos s¡fren deforrnaciones de trna amplitucl qrte tlepende tle la posición relativa de los objetos clibt{aclos;sin embargo, se nlantienen en el dilt¡io las estnrcturas geornétricas originales, porqtre cieras relacioires y propieclades geométricas permanecen invariables ltajo lzu rransforrnaciones proyecdvas.un e-iemplo de esrc caso es la'pintura
M. DELC RENCORET

condición de que "no haya rompimiento,,. La Topología estuclia las relaciones y propiedades espácialesque subsisien y-se mantienen cuando las figrrras son sometidas a üolentas cleformaciones que pierden tod¿rslarspropiedades métric¿ls y proyectivas. Las propiedades que permanecen invariables a través cle la transformación se llaman propiedades topológicas. Tiempo Hay varias definiciones de tiempo tales como "inten¡alo entre d.os acontecimientos" y "duración de las cosassujetasa mudanza". un niño pueda leer la hora en un reloj y expresarla, no . Que implica necesariamente que posea el concepto áe tiempo, ya que puede no necesitar más que aprender a leér los númelos en un reloj digital o análogo, sin e'tender lo que representan, excepro el hecho de asociar ciertas horas con ciertos sucesos. En la primera infancia, el tiempo está marcaclo por acciones, acontecimientos aislaclosy distintos, muchos cle los cuales clespiertan fuertes emociones. Los niños pueden coordinar riempo, clistancia recorricla y . 1o velocidad, confunden tamaño con edad y no perciben la naturaleza continua del tigmpo. El concepto de tiémpo no es fácil y presenta pocos indicios específicos. Acerca del tiempo, san Agustín se preguntaba en sus confesiona: "¿Qué_esel tiempo? ¿euién poara exfticarlo breve y sencilla¡nente? ¿Quién podrá conrprenclerlo cle manera que ptreda expresarlo con palabras?" para el niño es muy difí¡il liace, .,na síntesis r.emporal, pues al parecer los concépros de espacio y tiempo nruy lenta elaboración y exigen la construc ción y :9" q" asimilacióll de ciertas relaciones esenciales.Es uno cle los conceptos fundamentales para la matemáticayla ciencia. A los tres o cuatro años los niños poseen senticlo clel tiempo, pero no el concepto de tiempo ni la conciencia del mismo. La percepción del tiempo Los acontecimientos corrientes de laüda diaria, llegan a integrarse cle atgur modo en estructumsperceptivas.Boring, psiólogo norteamericano, propone que la percepción temporal se apo)¿aen cinco puntos: l. se adquiere cierta percepción de la sucesiviclaclde esrímulos. 2 Se adquiere cierra percepción de la continuiclad. 3. Se desarrolla la idea de lapso temporal. 4. se aprende a responder a la presencia cle señales reales inmediatas. 80

INICIACIÓN MATE}'TITICA

5. Se adquiere la capacidad de percibir patrones complejos de estímr¡lossucesivos.rt Noción espuio-ttmporal. Temía de su daatrolln Es necesario distinguir entre el espacio como pe'rcepción, y el espacio como representación. Parece que el propio cuerpo es la fuente de los conceptos espaciales.Las ideas de espacio parecen tener sus raíces en situaciones personalesy concretas. El niño pequeño adquiere imágenes a través de st¡ actiüdad perceptiva, la cual consiste en exploraciones visuales y ráctiles, aunque no bien organizadas en un comienzo. Así, la actiüdad realizarJa ¡rara percibir l¿rsfonnas en el espacio se relaciona con la capacicladpara evocarlaspor medio de imágenes. El niño obtiene su primera noción espacial de un objeto al acercárseloa la boca, es decir, asociando la experiencia táctil. Lentamente ernpieza a diferenciar el espacio que circunda su propio cuerpo, y a conocer los objetos alcanzándolosy tocándolos. Para Piaget,r2los conceptos espacialesresultan de la interiorizaciín de las acciones o también de las imágenes resultantes de esasacciones,y no de imágenes de cosaso acontecimientos. Sostiene Piaget que a un sujeto que sólo posee un conjunto de imágenes estáticas le es imposible alcanzar un pensamiento geométrico superior. El lactante, dice Stern,rsconquista el espacio próximo gracias a sus movimientos y percepciones. Al principio se constituyen espacios de acción aislados, conocidos a través de la presión y sólo débilmente ligados entre sí; este es el caso por ejemplo del espacio de la boca. Sin embargo, para el niño su espacio sólo se reduce todavía a lo que ptrede tocar. Hacia el sexto mes la separación en el espacio del "yo" y el "no yo" se desarrolla rirás rápido, y el concepto espacial se amplía, pero durante largo tiempo aitn permanece ligado al propio cuerpo del niño. Cada sector espacial se forma al comienzo, por un sistema cle moümientos egocéntricosdirigidos a la propia actiüdad. lrntamente, las esfer¿sde acción aisladas,como chupar, coger, ver, oír, se ligan unas a otras. Estas,alrededor de los dos años, llegan a originar un sistema espacial sensomotor objetivo, en forma de grupos de movirr Lowell, ll, Dasarmllo ile los cotuQbs básins mat¿¡¡táticos cicntífu:;os c¡t cI niño, Ed. Morata, Espaúa, 1984. rzDiaiomrio ile las Cimcfux ile Ia Mzurción, ciado. rsLowell, K, obra citada.

8l

M. DELC RENCORf,T

mientos en sentido geométrico. El niño descubre que puede acce der a un lugar por diversos caminos y que una acción, por ejemplo audnzar,la puede anular con su opuesta, retroceder. No obstante, en el niño, hasta alrededor de los siete años, el espacio permanece ligado a los actos motores, como un "espacio concreto" que no está suficientemente interiorizado como para ser sometido a operaciones mentales. Permanece así mentalmente inmanejable. El espacio fisico se orienta en tres dimensiones, que se establecen a partir de una toma de referencia fundamental centrada en el propio cuerpo: arriba o ab4jo, derecha o izquierda, y delante o detrás. Esto explica el valor de los problemas relativos al conocimiento del propio cuerpo y posterior establecimiento de la lateralidad. De acuerdo con la teoría del desarrollo del conocimiento de Piaget, el concepto de espacio físico se elabora en diversasetapas según los períodos del desarrollo.ta Al nacer el niño carece de noción de espacio y orden temporal que englobe objetos y sucesos.Por el contrario, percibe un conjunto de espacios heterogéneos (bucal, táctil, visual) y algunas impresiones temporales, no coordinables objetivamente, que lttego se relacionan en forma para configurar un espacio práctico. Piaget e Inhelder,rs en su teoría explicativa de la concepción del espacio, estiman que los primeros conceptos infantiles sobre él son de carácter topológico. Es decir, las primeras relaciones espacialesque se pueden presentar mentalmente, serían aquellas que se refieren a características de la realidad inmediata; éstas son propiedades de carácter cualitativo y permanecen invariables al doblar o estirar el cuerpo, en tanto que la medida de él se transforma. Ellas son: proximidad o acercamiento; separación; orden o sucesión espacial; encerramiento o clausura; contintridad de líneas, y superficies. Al culminar este estadio, período sensomotriz, alrededor de los dos años, el universo deja de estar centrado en el cueryo y acción propia. Posteriormente estos conceptos topológicos irían transformándose de manera lenta en conceptos proyectivos y euclidianos. En el estadio preoperacional, entre los dos y los siete años, al aparecer la función simbólica, se produce una progresiva organización cle las posiciones y los desplazamientos en el espacio, y el niño puede llegrr a elaborar secuenciastemporales objetivzs. Los dibt{os sólo consideran relaciones topológicas proúmales, siendo las imágerrLowell, K, obra citad¿. ttÍdem.

82

IMCIACIÓN MATET,T/{TICA

nsi mentales esencialmente estáticas.Sería necesario superar la etapa imaginativa como base del pensamiento representativo, / s€r capaz de construir y transformar figuras espaciales para poder concebir un sistema coherente de relaciones en el espacio. Se llegaría a ello mediante el rnanejo de objetos y figuras, realizando a través del pensamiento la interionzación de las acciones realizadas.Desde esta perspectira, el pensamiento geométrico es en esencia un sistema de operaciones interiorizadas. Sostienen que el espacio proyectivo aparecería psicológicamente cuando un objeto empieza a ser mentalmente considerado, no en aislamiento sino en relación a un punto de vista, esto se produce al contemplarlo desde diferentes posiciones. En el período de las operaciones concretas, alredeclor de los siete años, surge el concepto de operación, es decir, cle la acción interiorizada, componible y reversible, que puede coorclinarse a un conjunto. Toda operación se relaciona con un sistenra cle operaciones y de ideas lógicas. Las operaciones espacio-teürporales se aplican a objetos continuos, y p¿Nan de las estructuras topológicas, basadasen las aproximaciones y separaciones, a las proyectivas y a la métrica euclidiana, llegando a relacionar espacio y tiempo en el concepto cle velocidacl. Este concepro cle velocidad a su vez rr-¡elvea relacionarse con el de espacio, para constituir el tiempo como relación objetiva. En el último estadio de clesarrollo, el sqjeto llega a ser capaz de desprenderse de lo real y razonar correctamente sobre proposiciones hipotéticas; no sólo se orienta e1r lo espacio-tenr¡roral, sino que lo estnrctura. Esta organización espacio-temporal clesenrpeña trn ¡rapel irnportante en la elaboración psicornotrizy eil el desarrollo del lengtraje. Tocl¿rslas acciones suceclen en un orclen temporal cletenninatlo y se trazan en un espacio rnental, el que se constituye como interiorización del espacio físico. En la organización espacio-temporal que elabora cacla niño, influyen clirectamente el conocimiento del propio cueq)o sobre la base de str representación, auropercepción y clenominación de sus partes; de allí surge la necesidad de transmitir y enseñar a usar correctamente un conjunto de términos que permitan al niño nominar su propio cue{po, verbalizar sus ¡rosiciones y clesplazamientos y orientarse en el espacio y en el tiernpo. No es posible saber con certeza si es correcta esta tesis general cle c¡ue la concepción del e.spacioen el niño ernpieza con los conceptos topológicos y que luego se tralxfonnan en conceptos espaciales proyectivos y euclidianos. Es ¡rrobable que lo r¡ue realmenre ha ocurrido en las experiencias, es que los niños percilten cierto tipo de relaciones del espacio euclidiano que pueden expresar ntejor y más precisamente, empleando relaciones topológicas. 83

M. DELC P.ENCoRET

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INICI,ACIóN MATEMT(TICA

EJEMplos-cnÁrrcos rARADESARRoLT-AR NOCION DE ESPACIO (Topologico)

ldentilicarabierto- cerrado

ldentificarinterior- exterior

ldenlificaradelante-atr¡ls

ldentificarencima - debajo

M. DELC RI,NCORET

EJEMPLOS.rlrlCOS PARI\ DESARROLIAR " NOCIÓN DE ESPACIO (Euclidiano)

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86

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DES{ffiO{.LAR : .IIOGiIÓNDEü TIEMPO':"

ldenüficsy veÉdizar aycr,lruyy" na

EstablecérsÉcr.gtrciae ¡Empordssdeson& instaneias

ldentificary nomínar antesdespués

Establecer sec.rléndias tenrporales cortas (2 instancias)

vÍ

M. DELc. RENCORET

EJEMPLOSCrulncos PARADESARROLIAR NocIóN DE TIEMPo

IMCIACION M/dllTEMd(TICA

1.1.4. CoN¡rJNTos Conjunto, segúnCantor, es el'agrupamiento en un todo, de obje tos bien definidosde nuestraintuición o de nuestroperuamiento".ro La teoría de conjuntos, creada por George Cantor (f8451918), ha venido a revolucionarla matemática,y su importancia radica en la cohesióny unificación que aporta a estadisciplina. En la iniciación matemática,los conjuntos constituyenun buen apoyo perceptivo para el niño, que puede así uabqiar con objetos concretos,que manipula y ve, estableciendorelacionessobre ellos. Puede también formar conjuntos,nominar n¡s elementos,formar subcoqjuntos,etc. Todas ellasson actiüdadesapropiadaspara niños pequeños aun cuando no sepan leer ni escribir. Permiten ejercitar las nociones de orden tanto lógicomatemático como los patronescon mediosconcretosen el inicio pma auanzar,luego de verbalizar,al nivel griifico, finalizandoen simbolizaciones. El niño también puede familiarizarsecon un lenguaje matemático preciso,que serála basede! lenguajeespecíficoposterior en la asignatura.Este lenguqje posibilita también emplear una metodología activa, adecuada al nivel de edad y desarrollo del niño. Al realizar actiüdadescon conjuntos de elementosconcretos, el niño apreciarásus cardinalidadesy emergeráel concepto de número como propiedad de los conjuntos.Los términosde "conjunto", "elemento"y la relación de "pertenencia"que se establece entre ambos, son conceptos intuitivos o primitivos y como talesno es necesariodefinirlos. Solamentees necesarioemplear estostérminos correctamenteen el lenguajediario. Posteriormente,luego que el niño se ha familiarizado con esosconceptos,se puede ampliar el lenguaje incorporando el uso de los sigr.rientes: - Conjuntos equivalentes:aquellosque tienen igual cardinalidad porque están en correspondenciauno a uno; por ende, tienen la mismapropiedad numérica. - Cardinalidad:número de elementosdel conjunto. - Conjunto vacío: aquel conjunto que no tiene elementos (por ende,su cardinalidades cero).

t6Babin. Histmia ih las iil¿as mdcnas

cn matñtica,

OEA.

89

M. DELC TEN@R,ET

SECUENCIADE OBJETTVOSESPECÍFICOSPARA "DESARROLIAR r¿. NOCION DE CONJUNTO"

DESARROLLAR

oe r.¡oclÓu

CONJUNTO

Formar conjuntos con elem€ntos concretos

Discriminar y usar conceptos conjunto, elemento,

Nominar conjunto vacfo

conjunto vacb

90

Reconocer relaciónde no partenencia

Nominar conjuntos equivalentes

Reconocer relaciónde pertenencia

Discriminar conjuntos equivalentes

Reconocery deteminar cardinalidad de un conjunto

IMCIACIÓN MATET,TÁTICA

EJEMrLoScnÁrlcos IARA DEsARRoLTaR ALGUNAS NOCTONESDE COT{JLTNTO

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Reconocerno perlenencia

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Wffn)\ \=::_JDl

Discriminar conjunto vacío

-JDiscriminarconjuntosequivalenles

) Reconocery determinarcardinalidad

M. DELG RENCORET

1.1.5. C¡Nno¡o. Cu¡NnFrcADoRLs Cantidad es "todo lo que es capaz de aumento o disminución,, y puede, por consiguiente, "medirse o numerarse" (Diccionario d,e In Rcal A cadeni a Espaín In). Los niños pequeños no rienen la noción de canticlad; ella debe irse desarrollando a través de acciones que cond.uzcan a comparaciones cuantitativas y conlleven el uso de los cuantificadores en su verbalización. Aun cuando el niño no haya desarrollado el concepto de número, puede formar conjuntos y subconjuntos ¡ así, deierminar perceptivamente aquel que tiene más elementos, menos elementos y tantos elementos como el modelo. En los términos "más que", ..ménos que" se encuentra el germen de la cantidad. Así se deben empezar a usar intuitir¿amente en el lengu4je diario los cuantificad.ores, términos que implican una noción de cantidad sin precisarla exactamente. Ellos indican cantidad, pero no cardinalidad. un cuantificala cantidad que "envuelve" un número sin que haya necesi9ol "j dad de precisarla: algunos, todos, mucho, poco. Piaget sostiene: "Desde el punto de üsta aditivo hay, necesariamente, más elementos en el todo que en una de las partes, de tal manera que los cuatro cleterminantes esencialesde iocla combinación de clase, uno, ninguno, algunos, todos, revisten una signifi cación cuantitativa evidente".17 SECUENCIA DE OBJETIVOS ESPECÍFICOS PARA "DESARROLTAR IA NOCION INTUITIVA DE CANTIDAD" DESARROLLAR N OC rÓN INTUITIVA DE CANTIDAD Discriminar y usar cuantificador N I NGUNO

Discriminar y usar cuantificador ALGUNOS

y Discriminar usar cuantificador POCOS

y Discriminar USAT cuantificador TANTOSCOMO

y Discriminar y Discriminar usar usar cuantificador cuantificadores MUCHOS MAsouE y MENOSQUE

rTLowell, K, obr¿¡citada.

92

IMCIACIÓN MATE},TT{TICA

EJEMPLOSGRÁFICOSPARA DESARROLIAR NOCION INTUITIVA DE CANTIDAD f,

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Discriminar cuantif icador

Discriminar cranlificador"másque" y'menosque"

ntantos Discriminar cuantilicador como'

M. DELC. R"ENCORET

1.2. NOCIONES DE ORDEN Piaget mostró que en el entendimiento humano hay toda una organización mental preüa al cálculo y que si ella no está, es en vano proseguir la enseñanza.rg En el concepto de número, se presentan ciertas ideas o nociones de orden interrelacionadas y sobrepuestas en desarrollo simultáneo. En estasnociones la ordenación se basa en la comparación, que permite relacionar unos elementos con otros. De allí que se haya estudiado en detalle la comparación en el punto 1.1.2. (pá9.7a) Todas las nociones que se considerarán a continuación se pueden catalogar como "nociones de orden". Por eso parece conveniente hacer una aproximación intuitiva al concepto de orden. Orden se define como: regla observada para hacer las cosas; disposición metódica de las cosas,colocación sucesivay armonio' sa de elementos, distribución, sucesión, colocación de las cosas en el lugar que les corresponde, regla establecida por la naturaleza. De estas definiciones logramos deducir que, en general, se pueden establecer dos categorías o clasesde orden: - un ord,mlógtco,implícito en nuestra naturaleza, en que cada elemento ocupa el lugar que le corresponde en forma objetiva, natural. A esta acepción del concepto se pueden asociar las nociones de orden lógico: correspondencia, clasificación, seriación y conservación de canti(lad. Estas relaciones de orden lógico no pueden ser aprendidas por transmisión verbal, ellas deben ser desarrolladas por el niño a través de su acción con objetos concretos, ya que é1, por sus característicasde clesarrollo cognitivo, es capaz de establecer relaciones sobre objetos concretos, no sobre ideas. - u,n,md¿n a,rbitrurioo subjetiaoen que cada elemento ocupa el lugar que le corresponde según una asignación preestablecida subjetivamente, a la que se asocia la noción de orclen como sectrencia, llamacla patrón. La fusión de todas estas nociones e ideas afines, fruto de procesos mentales comparativos en un marco de trabajo integraclo, desarrolla y genera el concepto de número.

18K¡mii, Constance,

94

obra citada.

INICIACIÓN MATENL{TICA

1.2.1. NocroNEsDEoRDEN r-ócrco¡rat¿¡rlÁnco 1.2.1.1. Coresporulmcia La acción de corresponder implica establecer una relación o vínculo que sirve de canal, de nexo o unión entre elementos. Significa que a un elemento de un conjunto se lo vincula con un elemento de otro conjunto, según alguna relación realmente existente o convencionalmente establecida. La forma más sencilla de comprobar que dos conjuntos poseen la misma canticlad de elementos es por la correspondencia, método que por su simplicidacl es más fácil cle eiplicar por la acción que aennirlo. Cuando se establece correspondencia entre conjuntos que tienen la misma cantidad de elementos, se dice que los conjuntos tienen el mismo cardinal. De esa manera surge el número como propiedad común de esosconjuntos equivalentes en cantidad cle elernentos. La correspondencia permite construir el concepto de equivalencia, y por su inrermedio sintetizar l¿s similitudes y llegar al concepto de cl¿sey de núrmero. De acuerclo con el grado o nivel de concretización con que se trabaje la noción de correspondencia, es posible determinar diversos grados de dificultad o abstracción: l. Correspondencia objeto a objeto con encaje: se ünculan los elementos de dos conjuntos mediante la relación o introducción de un elemento dentro de otro. Ej.: niñoabrigo, frascotapa, llave-cerradura, etcétera. 2. Correspondencia objeto a objeto: los objetos que se usan para establecer la relación poseen una afinidad natural. 81.: tazaplato, plato-cuchara, niño-bolsón, persona-asiento. 3. Correspondencia objeto a signo: establece vínculos entre objetos concretos y signos que la representan. Ej.: niñosu nombre, persona-iniciales de su nombre. 4. Correspondencia signo a signo: se ünculan signos con signos; representan el mayor grado de abstracción en el camino de la correspondencia. Ej.: cinco-5, pe-p, be-b, cu-q, etcétera. Este es el tipo de correspondencia que se establece entre el concepto de número, su nombre y su signo gráfico o numeral. 95

M. DELC RENCORI,T

Coraponilmciu, uníuoca, biuníaocu y rnúltiplz Correspondencia unívoca Esta forma cle corresponclencia es la que utiliza el hombre primidvo para estar segur-ode los objetos que posee' para saber que recibe lo ntismo que cla, cuando aún no sabe contar, y es el mismo recurso que utiliza el niño antes de la noción de nítmero. Uno y otro aseguran tener la misma cantidad en los dos conjuntoi q'e se comparan, empleando la correspondencia término a término. La corresponclencia término a término, por medio cle-la relación unívoca, permite asegurar igual cardinalidad de los dos conjuntos sobre li base de la percepción. El sujeto de pensamiento lntuitivo establece que hay la misma cantidad, que un conjunto es equivalente a otro, pero no puede precisar en qué consiste esa igualclad, no puecle déterminar si el número de elementos de un c-onjunto es igual al número de elementos del otro, si tlno y otro contienen el mismo número. Sólo se da una correspondencia global, basada en la buena forma. La correspondencia entre los elementos en tlno y otro conjunto clependé de la relación unívoca que se construye sobre la base de la percepción. Hacer corresponcler un objeto a otro "sensomotrizmente", significa colocar un objeto frente a otro; de esaforma se clercrminan por la acción perceptir.a dos cor¡juntos equivalentes o eqtripotentes. I;l corresponclencñ quecla establecidapor la percepción q.e aprehende globalmente los conj¡ntos, en forma sincrédca, sin cliscriminar las áimensiones y reatiiar la igualación de las diferenciils, deterlninanclo una "buena fonna" perceptiva. Ello, siempre que la canddad de elementos que se deseacomparar no \a.yamás allá de las posibilidacles perceptivas de cada obserr¡ador, o que los límites espaciales cle la pirceptiOn cle caclaconjunto no presenten diferencias, o bien sean éilas lévemente sensibles. Ese tipo de correspondencia es llamada término a término. En ella la relación entre los elementos de uno y otro conjunto se establece sobre la base de la percepción, determinando iomo correspondiente el elemento del otro conjunto que esráenfrente. A cadaelemento de un conjunto se le.asigna o hace corresponder un elemento en el otro conjunto, espacialmente cercano. Si se rompe esta relación, al ser afectada la buena forma por la expansiórr cle los límites de un conjunto o la supresión de adicién ¿e un elemento, ocupando la misma extensión que el 96

IMCTACIÓN MATEMÁTICA

otro conjunto, quien no tiene nivel operativo se deja impresio. nar por la menor o mayor extensión o la disposición espacial de los elementos, cae en error y dice que conjuntos de igual número de elementos son: desiguales, diferentes, o bien, iguales los que poseen diferente cardinal. I-a percepción, al ser estática y no itir cambios, aprehende lo que está presente, aquí y ahora. Es irreversible, unidimensional y sólo permite la relación directa entre los elementos de los conjuntos. No hay relación inversa, ya que ella requiere de persamiento reflexivo, reversible, que sustituye la percepción. Un zujeto colocado desde la perspectiva de A, establece la relación de sus elementos con los de B, pero no puede percibir o considerar al mismo tiempo la relación perceptira de éstos con los de A, ya que se trataía de otra percepción. Ello hace que sólo sea posible entonces la relación unívoca entre dos conjuntos A y B.

Correspondencia biunívoca Desde el tipo de correspondencia básica, se evoluciona a una superior, que es realizada por el adulto y que permite comprender cómo la numeración posibilita la igualación de las diferencias entre dos conjuntos. Mientras la inteligencia se independiza del control perceptivo y motor para alcanzar lo formal, la correspondencia término a término se transforma en correspondencia cardinal. Ella a,riegura la igualdad numérica entre dos conjuntos por equivalencia. Así, la relación unívoca perceptiva, unidimensional, se sustituye por la biunívoca y recíproca, que hace establecer a cada elemento del conjunto A uno, y sólo uno en B, y su inversa: a cada elemento de B le corresponde uno, y sólo uno en A. En este caso la correspondencia no establece una relación perceptiva entre los elementos, donde a un elemento le corres¡ronde el de enfrente, sino una relación entre un elemento de un coniunto A y otro cualquiera de B, entre los que se da al mismo tienrpo una relación ya no ligada irreversiblemente a un senticlo único, sino constmido por un proceso operacional cle relación biunívoca. Es entonces posible que a un elemento de un conjunto corresponcla otro cualquiera en el segrrnclo,porqtre las características concretas y espacialesde los objetos que los forman, se han perdido por el proceso de abstracción, que transforma objetos en elementos o unidades, al abandonar las propiedades o característicasdiferenciales de lo concreto. Por esta vía de igualación de diferencias o correspondencia biunívoca se llega al 97

M. DT,LC. RENCORET

número, resulado de un proceso operacional que asegurala composicióncle cada conjunto y la equipotenciade los conjuntos que se comparan.Así, la correspondenciaevolucionadesde término a término (relaciónunívoca),a la por equivalen^qrráI" cia (relaciónbiunívoca). CorrespondenciamúltiPle La correspondenciapor equivalenciaentre dos conjuntos, da paso a la iorresponclénciamúltiple, que se cumple cuando hay irras¿e dos conjuntos que se van a comparar. En la corresponclenciaurúltiplel se clescártatoda posibilidadde correspondencia un nuevo tipo de relación por absperceptiva,estableciénclose Ella expresaque si a cadaelemento de iraccibn: la ransitiviclacl. un conjunto le correspondeuno en el segundoi f , a la vez' a caclaeiemento cle estesegundo,otro en el tercero, a cada elemento del primero le correspondeuno en el tercero.De ahí que de iguzücardinalidad. tocloslos cónjuntosresultanbquivalentes, a travésde un proceso se explica múltiple I-a correspondencia la composiciónmultide la base sbbre clife.encias, cle igualacióttcle y la de plicitiva. Es indepen<üente ¡rercepgig" Tegura la generalizamásallá de la que puede establede equivalenciá .iOn ¿" la nocióñ biunívoca.Sobre la base la relación po. cerueenr.reclosconjunlos pgsteriggente acce' permitirá se multiplicativa cle la composición la división. inversa, y a su clera la operaciónmultiplicación, PARA SECUENCIADE OBJETIVOSESPECÍFICOS .DESARROLI-ARtA. NÓCION DE CORRESPONDENCIA" DESARROLLAR DE NOCIÓN CORRES. PONDENCIA

Establecer Establecer Establecer Establecer correspondencia correspondencia correspondencia correspondernta múltipleentre biunfvocaentre unívocaenlrelos unfvocaobietoa los elementos con encale elementosde dos los elenBntosde de treso más qw dos conjuntos conjuntos coniuntos poseenafinidad natural

98

IMCIACIóN

MATEI,ú{TICA

EJEMPLOSg,RÁFICOSPARA DESARROLI-AR NOCION DE CORRESPONDENCIA

mKnd

ffiffiffi [___J fr fr(L.1] mñufl VVV Conespondenciaunívoca de objeloscon encaje

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#vw t -vw -lr -YJ

Conespondenciabiunívoca entreelemenlosde dos conjuntos

Correspondencia múltiple enlre €lemenlosde lres o más conjuntos

M. DELC. RENCORf,T

7.2.1.2. Cknif,cación El clasificar es una actiüclacl esencialmente humana. Es ordenar diversos elementos utilizando un criterio común. Por esto una clase se puede definir como un conjunto de elementos considerados como equivalentes, independientemente de sus diferencias. Por ende, se constituye en una noción que enfatiza las similitudes entre los entes, sin detenerse a considerar las diferencias. El concepto de clase se da, en general, a un conjunto homogéneo de elementos bajo algunos criterios. Por eso pasa a definirse "la clase" por esa propiedad en comúrn que posibilita la pertenencia a ella de esoselementosque la poseen. Por ejemplo, se puede formar la clase de los "lápices azules" y la clase de los "lápices rojos", y estasdos clasespueden pasar a formar parte de la clase más amplia de los "lápices", donde el color deja de ser significativo. El hombre clasifica para bien de sus propios fines, aunque es cierto que tales clases están presentes en la naturaleza. Desde esta perspectiva, una clase representa la observación del hombre de los atributos generales. Se ha observado que es más fácil para el niño clasificar objetos usando la percepción táctil y cinestésica (objetos "senticlos" pero no üstos) que la üsual. Investigaciones han dernostrado, al parecer, que la capacidad para la cl¿xificación y la discriminación es algo fund4menral en el organismo en desarrollo. Pese a que se ha investigado y discutido mucho sobre discriminación y generalización, en general se ite que no se conoce realmente cómo ellas tienen lugar. Ciertos autores iten la generalización; según ésta, a partir de los datos de la experiencia interior del indiüduo, las semejanzas y diferencias se separan automáticamente. Entonces se da un nombre a las semejanzas:cualidades o propiedades. Es interesante clestacarc¡ue algunos consideran que "generalización" y "transferencia" son dos ¿Npectosdel mismo tipo de proceso mental. Hay acuerclo en que la primera exige una investigación activa; sin embargo, la segunda no puede ser garantizacla solamente porque existan puntos de semejanza entre los clatos. Parece que la transferencia precisa exploración activa con búrsquedaexpresa de los caracteres más destacados;no la asegura el nrero hecho de producirse unida a ciertos ejemplos. Piaget e Inhelder (1959) estudiaron y expusieron el proceso de clesarrollo de la capacidad para clasificar objetos en niños de cuatro a diez años. Esa aptitud para clasificar parece depender 100

IMcIAcIóNMATn¿itcn

de la capacidad para-comparar dos juicios simultáneamente, y puede originarseen la crecientedisposicióndel niño desdelas primeras semanasde su vida, para coordinar operacionesde carácter retroactivo y procesosde anticipación. pueden arcanzarse formassencillasde clasificacióncon independenciaclelrenguaje, pero despuéséstese hace necesariopara formas de clasificáción más complejas,pues aclara la teoría y ayuda a concenrrar sobre ella la atención.re Piaget distingue tres erapasfundamentalesen lo que respecta a -las operacionesde clasificación.Ellas, además,estáñ en la base de la génesisde los concepros: a) Etapasde las coleccionesfiguraleso alineaciones El p"._-d9 la acción carece de plan, de tal forma que el "l* de distribución,seleccióny agrupacióncambia criterio a m-edida que se añaden objetoso elementosa la colección.La colección asílograda no constituyeuna clase,sino una figura compleja m:ís o menos significativa.Con frecuenciase colocanjuntos ob¡etos semejantes,como si se desarrollaseuna clase;sin émbargo, posteriormente se le asignauna configuracióny nominaciOnal ionjunto que lo desproveede su categoríade clase. b) Etapa de las coleccionesno figurales En esta etapa se forman clasesconforme a la semejanzade atributos, tratando de asignar los elementos nuevos a uno u otro conjunto, y llegando incluso a formar subclases.Sin embargo, aún no llega a asimilarpor completola idea de inclusión. Sólo comprende esta relación de inclusión cuando se concentra en el todo; cuando aíslaun elemento,pierde el todo. Ello demuestraque no poseeuna estructura operácional concreta cle clase,y que aún no se domina completamentela estructurade una jerarquía de clase,porque si el todo es momentáneamente inaccesiblecomo objeto de pensamiento,el niño compara la subclasecon su complementaria.Ej.: P.: ¿Haymásclaveleso más flores?R.: Hay más clavelesporque sólo hay pocasde las demás. c) Etapa de las clasificacionesgenuinas Al desarrollar la noción de clasecomplementaria,singular y nula, se logra la relación de inclusión y la discriminación enire los cuantifi cadores"algunos' y "todos". En general, al agregarun elemento más a una colección se obtiene la siguiente, consrituyéndoseasí la regla que hace la numeración,al construir el sucesor. rl-owell,

K, obra citada.

l0l

M. DELC RENCORET

P4!+ ESPECÍFICOS DE OBJETIVOS SECUENCIA I-A NOCIONDE CI..ASIFICACION" "DESARROLTAR DESARROLLAR NOCIÓNDE CLASIFICACIÓN

los Clasificar elementosde un conjunto utilizando criteriouso

los Clasificar elementosde un material estructurado un utilizando criterioa la vez

los Clasificar de elementos un conjunto un utilizando criterioa la vez (color,formao tamaño)

r02

Clasificarlos

material estructurado empleando diferentes criteriosa la vez

los Clasificar de elementos un material estructurado utilizando a dos criterios tavez

IMCIACIÓN MATEIVTT{TICA

EJEMILoScnÁrlcos IARA DESARRoLTaR NocroN DEcrAsrFlcecróN

Clasificarutilizandocriterioouso'

Clasificar material estruc-turado utilizando diferenles criterios

M. Df,Lc' REN@RET

1.2.1.3.Sñadan I-a seriación,como noción de orden, también se basaen la comparación. Los niños pequeñossólo son capacesde comparar el tamaño de dos objetos alavez, fa que al haber más elementostienen dificultadespara coordinar las relaciones.Paraque estépresenteel concepto de serie se requieren, a lo menos,tres elementosiguales en lo cualitativoy con diferenciascofistantesen lo cuantitativo.Eso lo llamamospreserie. Paraseriarcorrectamenteesnecesariovisualizarel elementodel medio como másgrande que el que le precede,y al mismo tiempo como más chico que el que le sucede.Piagetdefine seriar como la "capacidadde ordenar un elemento en una serie de tal modo que él seaal mismo tiempo el másgrande (o el máspequeño) de entre los que quedan por seriar,y el máspequeño (o el más grande) de entre los que f¿ se han colocado".eParaque estaacciónseaposible, se requiere tener una serie de elementos,es decir, un conjunto de semejantesen todaslas variablesde su elementoscualitatir¡amente diseño, que solamentese diferencien en lo cuantitativo,y que esa diferencia sea constanteentre cada uno de ellos. Esta diferencia similar y constantees la qtre se presentaráposteriormente en la conformación de los números naturales.Cada número natural a partir del 1, es 1 másque el que le antecedey uno menosque el que le sucede.Ej.: el 6 es 1 más que el 5 y 1 menos que el 7. Posteriormente, en forma gradual, se clesarrollaen el niño un sentido de orden que le permite ser capazde formar seriesdobles,por medio del ensayoy error, y establecercorrespondenciaentre ellas. P.ARA SECUENCIADE OBJETIVOSESPECÍFICOS .DESARROLLq,RI-q. NOCION DE SERIACION"

Ordenar los elementosde una seriede cualro elementosde menor a mayor y viceversa

Ordenarlos elementosde una seriede cinco y seis elementosde menor a mayor y viceversa

Ordenar los elementos de una preserie (3 elemenlos)de menor a mayor y vrceversa

Realizar correspondencia cruzada entre dos series

Realizar entre corresoondencia dos seriesordenadas en igualsentido

DESARROLLAR NOCIÓN DE SERIACIÓN

Designarel lugar que ocupa cada elementoen una serie

20Piaget y Szeminska, G4nesisdel nrimero en eI niño, Guadzhtpe, Argentina, 1975.

104

INICTACIóN MATI,MÁTCA

EJEMPLOSGRÁFICOSPARA DESARROLIAR NOCIÓN DE SERIACIÓN

Ordenar loselementos de la pre-sede

Ordenarlos elementosde cadaserie. EstaHecerconespondenciaenlre los elementosde dos series

105

M. DEL C. RENCORET

1.2.1.4. Curúithd. Noción,rJesu corumtación La noción de cantidad se clebe haber ido desarrollando a través de relaciones en las cuales se estimula al niño a usar los términos para comparar cualitativa y cuantitativamente, usando en especial los cuantificadores (ver pág. 90). Luego de tener la noción de cantidad se debe adquirir la noción cle conservación de esa cantidad, es decir, percibir que la cantidad de esos elementos que forman los conjuntos en referencia, permanece invariable a pesar de los cambios de disposición, forma o est.ructuraque se les haga o, en otras palabras, que la propieclacl nurnérica de los conjuntos no se modifica a pesar de l¿rscliversasdisposiciones de sus elementos, porque "un conjunto o una colección sólo son concebibles si su valor total permanece invariable cualesquiera sean los cambios introthrcidos en las relacionesde los elementos".2r Piaget utilizó este término de "conServación", para clesignar la capaciclaclde la persona para comprender que las cantidades permanecen constantes,a pesar de las transformaciones que tengan lugar en su apariencia externa, porque el número no cambia de valor, cualqtriera sea el agrupamiento o disposición de las unidades que lo conrponen. Sin embargo, este reconocimiento de valores igrrales no surge espontáneamente en el niño; él se siente conftrncliclo por las disposiciones de las unidaclesy por el diferente espacio que esos agrupamientos ocupan. Al dejarse llevar por la percepción, cree que la uniclad que cambia de lugar cambia también cle valor; el núlmero parece ser expansible en función del espacio. Aun cttanclo haya comprobado la equivalencia de dos conjuntos a través de la corresponclencia término a término, cree que ella no signifi ca necesariaurent.euna equivalencia pennanente. Par¿ los efectos de lzrsexperiencias y actiüdades que se realizan con los nihos en conservación,se diferencian dos tipos de cantidades: - cliscontinuas,aquellas cuandficables por ser numerables; es decir, c¡uepueden poner sus elementos en correspondencia biunívoca con los núrmerosnaturales. En síntesis,se pueden contar. - continuas, son cuantificables a través de la comparación con una unidad de mecüda como masa, líquido, áreas,etc. I-a noción de conservación se desarrolla lenta y grachralmente. La habiliclad para contar los elementos no garantiza que la equirralencia cle dos conjuntos sea duradera en el niño. Incluso cuando la 2tPiaget y Szeminska, obra citada.

106

IMCIACIÓN MATEMÁT]CA

reo{ganización de los objetos se haga a la üsta del niño, generalmente sólo se fija en el resultado final y no en el proceso. Para é1,la longitud de la hilera o el alto del líquido indican la cantidad o número implícito. I-a reversibilidad del persamiento sólo se inicia en el período de las operaciones concretas y ella posibilita la adquisición de la noción de consen¡ación. Piaget define dos tipos de reversibilidad: - Una es "la reversibilidad de compensación o de reciproci dad": se aplica a las relaciones o se configura como una capácidad de aplicar sobre una relación dada, una segunda condición que compensa a la anterior pero no la deshace. Esta se aplica para entender las conservaciones de área y volumen, en que se compensan las modificaciones de alto con las de ancho. - Otra es "la reversibilidad por inversión o negatiy¿": consiste en la capacidad de deshacer una acción realizando la opuesta. Es el caso cle la conservación en la cantidacl de materia en que se vuelve a la forma primitiva, deshaciendo la acción.22 El trabajo de la noción de conservación en cantidaclesdiscontinuas se relaciona estrechamente con el de correspondencia entre conjuntos equivalentes (desarrollado en página 93). Situémonos en el caso del niño que ya ha establecido y reconocido la igual propiedad numérica de los conjuntos equivalentes, entre cuyos elementos se ha producido una correspondencia. Al modificar la configuración espacial de los elementos de uno de esos conjuntos, el niño que se deja llevar por la percepción vistral -que le indica que ahora no son del mismo largo- clice que un conjunto tiene más elementos que el otro. Al lograr la noción de conserración a pesar del cambio configrrracional, f¿ no se esrá sólo b4io el predominio de la percepción, sino que se es capaz de relacionar simukáneamente diferentes datos, siendo posible operary encontrar la solución adecuacla. El método de investigación que se utiliza para saber si se ha desarrollado esta noción en las cantidades continuas -masa, greda, arcilla o plasticina- es utilizar dos esferasidénticas. Luego se amasa una cle ellas para alargarla y hacerla cambiar cle forma, y se pregurlta al niño si ahora, después de la transformación, poseen ambas la misma cantidad. El niño que no conserva, se cleia llevar por la percepción y responde que la cantidad cle masa es diferente ahora r¡ue tienen distinta forma. Para itir la conservación de la cantidad continua es necesario comprender que tocla moclificación en una dimensión se ve conlpensada por una 22Piaget y Szeminska, obra citada.

r07

M. DELG RENCORET

alteración en otra dimensión' Esto, en definitiva, produce una compensación, la que permire, aun cuando haya modificación en lá forma, mantener constante la cantidad. Cuando la experiencia se desarrolla con líquido, se llevan dos envases i¿énúcos hasta el mismo nivel y luego se trasv'asija uno cle ellos a otro recipiente de diferente forma. Aunque las activiclades sean aparentemente semejantes, la conservatión cle la cantidad de materia, p€so y volumen no se alcanza en el mismo tiempo. En general se logran en esa secuencia primero materia, luego peso y finalmente volumen. A pesa. de que la nocién cle conservación de cantidades discontinuas se logla con anterioridad a la de cantidades continuas, en general se puecle establecer que el concepto-de-''conseryación de óanticlad" ñtuesra una tendencia evolutiva similar en su desarrollo que se puede sintetizar en tres niveles: 1. No conservación. 2. Un tipo de conservación momenánea' en que ocasionalmente.sostiéne la consewación respecto de algunas üansformaciones, pero luego duda y lo niega en otras. 3. Una confirnración de la conservación, lógicamente segura, en tod¿x las ransforrnaciones que se establezcan, sean ellas en cantidades cclntinttas o discontintras.

PARA SECUENCIADE OBIETTVOSESPECIFICOS "DESARROLI-ART"q.ÑOCTÓN DE CONSERVACION DE I-A CAI{TIDAD" LA DESARROLLAR NOCIÓNDE CONSERVACIÓN DELA CANIIDAD

Reconocerla conservaciónde la cantidad discontinua

lOfl

Reconocerla conservaciónde la cantidad continua

TMCIACIÓN MATEI\'iTICA

EJEMrLoScnÁrrcos rARADESARRoLT-AR NocIoN DEcoNSERveclóNDEI¿. CANTTDAD

M. DELC. RENCORET

SUBJETIVo 1.2.2. NoclóN nr oRDEN l.2.2.L Pa,trón El término inglés es patbrn ysu raducción es modelo o estructtlra. ende En esta proprr"rt , h aóepción es en cuanto modelo' por acción-pre{iada sus connoraciones ron .ror-áti*r. Es una pafte de Es una e inr¡ariable en su formay orden de ejecución esrcreotipada' asignaha le se que secuencia en que cada elémento ocupa 1n lugSl do segfrn una iegla cleterminada con anticip"9.o"' . r,- , Pára seguirló, se deben observar detenidamente los elemenforma,o, q.r" lo"consúttyen; compararlos, descubrir leyes de ción y segtrir esasecuencia. Ello incluce a establecer múltiples relaciones que se deben neceencontrar o crear en el caso cle elaborarlos' No obedecen simplemente sariarnente a una secuencia de relaciones lógicas, p".á"" ser arbiüarias, fruto de la creatividad de qui-el lo diseñe' Êsinrportanteparaelniñoaprenderadescubrirestasseocacuencias, ieerlas y i."ut otras diversas, y? que en mr''rltiples con encontrará se ,iorr", en el trab4io matemático y tecnológico ordenamientos o secuenciaspara repetir y ejecutar'

SECUENCIADE OBIETIVOS PARA "DESARROLIAR IA NO"CTÓNDE PATRÓN"

Crearun Patrón de doselementos

un Completar patrónde dos elementos

un Reconocer patrónde dos elementos

ll0

ídempara patronesde tresy cuatro elementos

rMcrA¿róNMATEm{tc¡,

EJEMPLOSGRÁFICOSPARA DESARROLI-AR NOCIÓN DE PATRÓN

@ g

Crearpatrones

¡ !l

lr ,- - - - .1 - - - 1 I I

ttta

,"'"t,

,"'

patrones Completar

I I

I

2. ALGUNAS NOCIONES SOBRELOS ELEMENTOS INVOLUCRADOS EN EL MODELO REFERIDAS A IA ESCRITURADEL NUMERALYSECUENCIA DE OBJETTVOSESPECÍFICOSPARA DESARROLIAR TAS HABILIDADES

2.1. ACTIVIDADES PRENSORAS La primera unidad de esta parte del modelo está constituida por actividades que enfatizan el acto prensor correcto, esto es, el gesto de asir y soltar, acto posible por la interacción cle flexores y extensores. Varias son las habilidades que requieren de acto prensor correcto: 2.1.1. Prc¿n Es una actiüdad asociada a la prensión palrnar. Picar es agujerear o herir, leve y superficialnrente con instrurllento pttnzante. Se considera que es un ejercicio inicial en el desarrollo cle la coorclinación üsornotriz y sirve cle basepara ejercicios de mayor complejiclacl. Pennite desarrollar la atención sosteniclay el dominio voluntario del lápiz, ller¡anclo al niño a obtener precisión en rur gesto de
PARA SECUENCIADE OBJETIVOSESPECIFICOS .DE SARROLT-A,R I{AB ILIDAD PI CAR"

Picar espontáneamente en superficiesin lfm¡te

Picar en el interior de una figurade forma compleja

Prcaren el interiorde una figurade forma sim p le

112

Picar con orecisión el borde de una figura para desorendere iluminar

INICIACIÓN MATET4ÁTIAC,

EJEMrLoS cnÁrrcos rARADEsARRorraR FIABILIDAD PICAR

M. Df,,LG RENCORET

2.1.2. R¡coRTAR coN Los DEDoso MscAR

Rasgar o recortar con los cledos es hacer pedazos materiales de poca consistencia, como papel, tela, o fideos, sin el auxilio de ningirn instmmento. Esu actiüdad requiere de movimientos digitales de poca amplitud en los que interüenen los dedos pulgar e índice, desarrollando a través de ellos el acto prensor correc[o.

SECUENCIADE OBJETIVOSESPECÍFICOSPARA "DESARROLT.{RHABILIDAD RASGARO RECORTAR CON LOS DEDOS" DESARROLLAR HABILIDAD O RASGAR CON RECORTAR LOSDEDOS

Rasgar libremente trrasy pedazos pequeños de papel

Rasgarsobre líneasde borde en figuras complejas

Rasgarsobre líneasde bordeen figuras simples

114

IMCIACIÓN MATET&(TICA

EJEMrLoScnÁrlcos IARA DESARRoLTaR FIABILIDAD RASGARO RECORTARA DEDO

--l t€

Rasgar sobrelfneade borde de unafigurasimple

(,

Rasgarsobrelíneade borde de unafiguracompleja

M. DELG RENCORXT

2.1.3. R¡coRTAR coN TTJERA

Cortar el papel con uso de tijera es una actiüdad de carácterdinámico, que requiere de moümientos bimanualesde amplitud variable,y que desarrollaespecialmentela coordinaciónvisomotorafina.

SECUENCIADE OBJETIVOSESPECÍFICOSPARA "DESARROLT-ARI-A FIABILIDAD RECORTAR CON TTJERA" DESARROLLAR HABILIDAD RECORTAR CON TIJERA

1r6

IMCIACIÓN MAT[,I\&(TICA

EJEMrLoScnÁrlcos IARA DEsARRoLIAR I{ABTLTDADRECORTARCON Trlrene

ffinffi a) > \\

ffib

q8'-ó

v-\

[\il

\) Recoilarformassimples

Recortar formascomplejas

M. DELc' RENCORX,T

2.1.4. ENsenrnnY ENHEBRAR

Ensartares pasarpor un hilo perlas,cuentas, anillos, etc. Enhebrar es hacerlo con una.aguja. Estasson actiüdadesque también requieren de acuidad en la percepción ocular y movimientos bimanuales de amplitud pequeña. Ellas precedeny preparan la ejecución del bordado.

SECUENCIADE OBJETIVOSESPECÍFICOSPARA "DESARROLT-A.RFIABILIDAD E¡f SARTAR Y ENHEBRAR" DESARROLLAR HABILIDAD Y ENSARTAR ENHEBRAR

Ensartarcon h iloplás t ic o fideoso canutones

118

Enhebrarcon hilo agujade ojo grande.

IMCIACIÓNMATE}TT{TCA

EJEMnLoS cnÁrlcos IARA DESARRoLTaR I{ABILIDADES DE ENSARTARY ENHEBRAR

Enhebrarcon hilo una aguja

M. DELC RENCORET

2.1.5.Bonoen Bordar es pasar hebras de un lado a ouo de una tela formando dibujos. Es una actividad de delicada coordinación dinámico-manual, que exige moümientos disociados de gran precisión y poca amplitud.

SECUENCIADE OBJETIVOSESPECÍFICOSPARA .DESARROLI-ARHABILIDAD BORDAR" DESARROLLAR HABILIDAD BORDAR

Bordarcon hiloy agujaen cartulina perforadauna figurade forma mixta

Bordarcon hiloy agujaen cartulina perforadauna figurade formas curvas

Bordarconhiloy agujaen cartulina perforada una figurade contorno rectilíneo

120

Bordarcon agujay otros materiales

IMCIACIÓN MATETT(TCA

EJEMrLoScru{rlcos rARADESARRoLTaR HABILIDAD BORDAR

Bordarfigurade conlomoredilfneo

Bordarfigura de conlomoq¡ryo

,,/^\ ¿-4/ \ *>

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aaaaaa aaaaa aaaaaa

Bordarfigurade bordemixto

Bordarcon olroemaleriales

M. Df,LC RX,NCORET

2.2. ACTTVIDAD DE DESARROLLO DIGITAL La segunda unidad está constituida por actividades de desarrollo digital.

2.2.1. MoosLa,R Modelar es formar a partir de cera, greda, plasticina, masa u otro material, una figura o adorno. Es una actiüdad de coordinación dinámicomanual que desarrolla la coorclinación motor-ocular y equilibra la tonicidad manual. En la ejecución de las formas básicas se utilizan moümientos dígito-palmares, y al confeccionar los detalles se ejercitan los moümientos digitales puros.

SECUENCIADE OBJETIVOSESPECÍFICOSPARA "DESARROLIAR HABILIDAD MODEI-AR'' DESARROLLAR HABILIDAD MODELAR

Modelar formas de uso cuadrangulares Modelarformas oe uso cilíndricas

122

INICIACIÓN MATEIVÍ]úICA

EJEMrLOScnÁrrcos IARA DEsARROLL-A,R FIABILIDAD MODEI¿,R

M. DELG RENCORf,T

2.2.2.Rrror,csn Retorcer es torcer mucho una cosa dándole vueltas alrededor.

SEC]UENCIADE OBJETIVOSESPECIFICOSPARA .DESARROLTÁ,RFIABILIDAD RETORCER'' DESARROLLAR HABILIDAD RETORCER

Retorcercintas de papel para nacer guirnaldas

124

Retorcerlos extremosde un papel para envolver

IMCIACIÓN MATT,Iú.¡I1'ICA

EJEMrLoScnÁrlcos rARADESARRoLTaR HABILIDAD RETORCER

-,tt

Retorc€r cintasparahacerguirnaldas

,tll

M. DELG RENCORET

2.2.3. Plscnn Plegar es cloblar e igualar pliegues con la El plegar es una lctiüdeÜida proporción. -carácter digital de gran precisión, dad de que requiere de moümientos disociados de poca amplitud y que conlleva una primera disociación digital. Piaget e Inhelder, en su teoría explicativa de lá concepción espacio, sostienen que la ejercitación-en la ejecución de plegados con papel y carrulina génera la capacidad para conceptualizar postériormente la noción de sólido.

SECUENCIADE OBJETIVOSESPECIFICOSPARA "DESARROII-AR HABILIDAD PLEGAR" DESARROLLAR HABILIDAD PLEGAR

Plegarpor superposición de ambas diagonales

Plegarpor superposición de ambas medianas

126

rMctACróNMATn¡rÁrrce

EJEMPLOSCnÁrrCOS PARADESARROLTAR HABILIDAD PLEGAR

Plegarpordoblezsimple

Plegarpor doblezen diagonal

Plegarpordoblezen mediana

Plegarporsuperposición deambasmedianas

M. DELC RENCORET

EJEMPLOSCruLrlcos PARADESARROLIAR HABILIDAD PLEGAR

PlegarporsuPerPosicón de ambasdiagonalee

'"'/"'t

"

\1,

IMCTACIÓNMATEMÁTICA

cnÁnces 2.9.AcrrvrDADES La tercera y última unidad agrupa las actividades que requieren de acto grafo. La integridad de variados procesos de desarrollo que emergen y se encadenan a partir del control cefálico inicial, permite posteriormente establecer la coordinación visomotora necesaria para el acto de la escritura. I.as actiüdades preüas que han exigido moümientos disociados, han proporcionado la precisión requerida para lograr el principio disociativo básico de la escrirura.

2.3.1. PUN-rSAR

t\

Puntear es dibujar puntos. El punto es la unidad más simple, irreductiblemente mínima, de comunicación üsual. Cualquier punto tiene una gran fuerza visual de atracción sobre el ojo. En gran cantidad y )ruxtapuestos,crean la ilusión de tono o color. Puntear es el primer ejercicio de grafismo, pues permite adquirir destreza en el manejo del lápiz.

rn

!d"DELC.,*BlrCOAs'I

PARA sEcuENCIA DE OBJETWS E$PECÍFICCI$ HABILIDAD PUNTEAR" "DESARROLTAR DESARROTI¡R HABILIDAD PUNTEAR

Puntear en libremente sin superficies llmite

Puntoarel interior defiguraade formhcompleja

Puntearel interior de figurasde formasimple

130

INICTACIÓN

MATEMÁ'NCA

EJEMPLOSGRÁFICOS PARA DESARROLI-AR HABILIDAD PUNTEAR

M. DELG RENCORET

2.3.2. MARCARo MoSQUEAR

oo o o o x x x xx x v'/

y.,/y'

Marcar o mosqueares dibujar pequeñostro zos,marcaso círculos sobre el papel. Es una actiüdad que permite adquirir precisión y lograr disciplina en el manejo del lápiz.

SECUENCIADE OBJETIVOSESPECÍFICOSPARA "DESARROLI.Á.RFIABILIDAD MARCAR" DESARROLLAR HABILIDAD MARCAR

Dibuiar pequeñostrazos o marcasen sin superficies límite

Dibujarcon precisión pequeñostrazoso marcasen el de formas interior complejas

Dibujarpequeños trazoso marcas en el interiorde formassimples el respetando contorno

r32

IMCIACIÓN MATEI\&{TICA

EJEMPLOSCn¡fulcos PARADESARROLIaR I{ABIIJDAD MARCAR xxXXX

xxxxx xxx oo o oo xxxxx'/

Dibujarpequeñas ma¡cas€n superlicie sinlfmite

,r;i ,'/%"F¡. i(t>)7,

?;/27'"

&

Dibujarpequeños lrazosen el intedorde figurassimples

QA

ño

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Dibujarpequeñas marcasen el interiordefigurascompleias

' r(\\1, ¿

M. DELC RENCORET

2.3.3. CoNToRNEAR

Contornear es pasar el lápiz por el interior de un patrón ó modelo confeccionado en maderá, plástico o cartón en el cual se ha calado la figura. Es una Íabor que requiere de movimientos disociados en el manejo de dos elemen-

tos: patrón y lá:Piz. Él manejodel molde o paffón exige una buena disociaciónmanual, ya que con.una mano se lo sujetapara qtle no se muevay con la otra se coge el lápiz con el qie sé AiUuJala forma. Sin embargo, los márgenes alt iarOn pasá.,a constituir una ayuda en el control iñ;;"* del trazado.

PARA SECUENCIADE OBIETIVOSESPECÍFICOS "DESARROLI-ARTIASil-TOADCONTORNEAR" DESARROLLAR HABILIDAD CONTORNEAR

con Contornear patrones precisión con figurascompleias

con Contornear patrones precisión con figurassimples

Contornear Patrones

t34

INICIACIÓNMATE¡¿iIcn

EJEMPLOS CnÁrrcos PARADESARROLTAR I{ABILIDAD CONTORNEAR Q

( .J

Contornoar patronesconfigurassimples

oo o oooo

o oo o oo

Conlornearpalfones oon fiftur¡¡scomplejas

135

M. DELC PJ,NCORET

2.3.4. BoRDEAR

Bordear es recorrer con el lápiz la parte externa de la forma recortada o dibujada. Lleva a que la inhibición del acto grafo se produzcavoluntariamentey a tiempo, )a que una prosecución del dibujo conduce a la deformacióndel mismo.

SECUENCIADE OBJETIVOSESPECÍFICOSPARA "DESARROLI-AR FIABILIDAD BORDEAR" DESARROLLAR HABILIDAD BORDEAR

Bordearcon precisiónpatrones configuras complejas

Bordearcon precisiónpatrones configuras simples

r36

rMcIACróNMATnr¿(nca

EJEMPLOScRÁncos PARADESARROLTAR HABIIJDAD BORDEAR

M. DELC R.ENCORET

2.3.5. Colon¡en Colorear es una actividad gráfica que consiste en aplicar un color, a veces indicado previamente, sobre una forma dada. Requiere de manejo disciplinado del lápizy ejercita el freno inhibitorio al habituar al niño a limitar los trazos dentro de un contorno dado. Se adquiere precisión si el trazo del lápiz de color no sobrepasa el contorno. Permite también trabaiar con el niño la discriminación de los colores básicos, al obedecer la instnrcción del color que se debe usar para rellenar la forma.

SECUENCIADE OBJETTVOSESPECÍFICOSPARA .DESARROLI-ARIA HABILIDAD COLOREAR" DESARROLLAR HABILIDAD COLOREAR

Colorear siluetas pequeñas y de sencillas contornos amplios

138

Colorear con precisión figuras geométr¡cas pranas

Colorear con precisión formas complejas

INICIACIÓN MATErVfrfi]CA

EJEMPLOSGRÁFICOS PARA DESARROLI-AR FIABILIDAD COLOREAR

Colorear figuraspequeñas y sencillas decontomos amplios

Colorearconprecisiónfigurasgeométricas planas

Colorearconprecisiónfigurasconplejas

M. DELC RENCORET

2.3.6. C¡rc¿r. Calcar es una actiüdad gráfica consistente en copiar un dibujo dado, pasando el lápiz sobre la forma. Se puede tealizat con dos materiales diferentej: papel transparente o papel c-arb.ón' Calcar requiere de disociación manual y crerto dominio del lápiz. Al hacerlo con papel ransparente se facilita el trazadol P|!s permite bbservar a través de él la coincidencia con el dibujo. El calcado con papel carbón requiere de.mayor piecisión dél moümiento, pues-nó hay transparencia en el ¡rabajo mientras dura la actiüdad.

SECUENCIADE OBIETIVOS ESPECÍFICOSPARA "DE.SARROLIAR-I/. HABILIDAD CALCAR" DESARROLLAR HABILIDAD CALCAR

Calcarcon papel transparente figuras complejas

Calcarcon papel transparente figurassimples

t40

Calcarcon papelcarbón figuras complejas

Calcarcon papelcarbón figurassimples

INICIACIÓN MATE,},(TICA

EJEMrLoScnÁrrcos rARADEsARRoL[aR I{ABILIDAD C.ALCAR

Calcarconpapeltransparente figurassimples

Calcarconpapellransparente figurascomplejas

CalcarconpapelcaÉónicofigurassimples

Calcar con papel carbónicofiguras complejas

M. DE,LC RENCORET

Y PINTAR 2.3.7. Dnu¡en LIBREME¡'{TE gráfica' que El dibujo tibre y creativo es una actividad no sólo mul.especialmeny también-' sino lápiz, dominio del ."q"l"i'.'¿t de la capa,",'""" actividad qrr" pettttite esdmu-lar el desarrollo pintar' con complementa Se niño' del cidad expresiva y cteudota forma la sobre tolor el y voluntariamenre á".ir, uplical übre ", preüamente dibujada.

SECUENCIA DE OBJETIVOS ESPECÍFICOS PARA .DESARROLIAR HABúIDAD DIBI{AR LIBREMENTE' DESARROLLAR HABILIDAD DIBUJAR LIBREMENTE

Dibujary pintarlibreY creativamente

t42

IMCIACIÓNMATEMT{TICA

EJEMrLoScnÁrrcos rARADESARRoLIAR FIABILIDAD DIBUJAR LIBRE Y CREATIVAMENTE

Ht

Dibujary pintaqlibre y crealivamente

M. DELc. R¡NCORET

2.3.8. Copnx MoDELo Esta ejercitación entrena los rasgoscontenidos en la escritura. Es una actiüdad preparatoria al grafismo de numerales. En este nivel el modelo tiene el valor de simple dibujo, y no logra el senddo del numeral mientras no se une a su significado a través de actiüdades que integran el concepto con su símbolo gráfico. La copia de modelo debe hacerse primero en hoja sin línea, posteriorrnente el niño debe trabajar sobre papel rayado, y finalmente en cuadriculado, técnicas que, aunque le sirven de guía, son al mismo tiempo una restricción a la libertad a que estaba acostumbrado durante el desplazamiento gráfico anterior y le exigen mayor precisión para poder considerar logrado el objetivo.

SECUENCIA DE OBJETTVOSESPECÍFICOS PARA .DESARROLT.-A.R FIAB ILIDAD C OPIAR ¡46¡F',I -O" DESARROLLAR HABILIDAD COPIAR MODELO

Copiarmodeloen hojacuadriculada

Copiarmodeloen hoja con líneas

Copiarmodeloen hoja sin lÍneas

t44

I NICIACIÓN

N{.{TET!L{TICC,

EJEMPLOSGRÁFICOSPARA DESARROLLAR T{ABILIDAD COPIAR MODELO

/14,i

/

/

!.-a....i: ,t _fl ii Ul/i,",r''

xló"'ii;t

Copiarmodelosen hoja sin lfnea

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J¿f¿-ir';:

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Copiarmodelosen hoja con línea

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7r

4 Copiarmodelosen holacuadriculada

22 Copiarconprecisión losnumerales l4r-t

REFLEXIONESFINALES

Este modelo instruccional se diseñó a partir de una concepción de la misión de la Educación y, dentio de ella, la mera ^de la asignatura de la matemática. Luego se seleccionó un contenido biásicoen matemática para el nivel preescolar, analizando estos elementos, el concepto cle nfimero y su simbolización, desde una perspectiva adulta, lo que posibilitó seleccionar, ordenar y jerarqui-za¡ los contenidos que se relacionaban en el mapa conceptual de ellos. Así fue posible proponer el modelo instruccional que secuen. cia tanto las habilidadrs cognitivas involucraclas en er concepto de número como las habilidades psicomotoras que hacen pbsible escribir los numerales. Luego de definir, explicitar y analizar cada noción de la propuesta, se ha entregado una secuencia de objetivos específicos para desarrollar cada concepto o habilidad. Sin embaigo, esto no es suficiente. Una experiencia educativa es un acontecimiento que debe considerar varios elementos que interactr.'randinámicamente en el proceso; el profesor, el alumno, el currículo y el meclio o contexto en el cual se clesarrolla la experiencia. úna propuesta curricular pa11 ll iniciación maremárica no debe olüdár que contenidos, objetivos y metodología constituyen un trío también interactuante, que debe planificarse en conjunto, ya que si se llevan a cabo modificaciones sólo en una o dos de estas dimensiones y no se considera la otra, los aprendizajes que se obtengan, en el mejor de los czlsos,posiblemente serán sélo receptivomemorísticos. Sabemos que nuestra misión de educadores es comprometer al alumno en su aprendizaje, de tal forma que él libremente desde pequeño 'opre" por aprender y logre así aprendizajes significativos y ojalá por descubrimiento aurónomo. El objetivo de este libro ha sido analizar las relaciones enre los diferentes conceptos claves involucrados en los .,objetos de

r47

M. Df,LG RENCON.ET

enseñar" de un programa de iniciación matemática y sus interconexiones e implicancias lógicas, p&ra luego proponer una secrrencia cronológica que corresponde al orden-de presentación y de progresión pensada como óptima para el apren-diente. Ahora bien, debemos recordar que los niñol aprenden los conceptos matemáticos más lehtamenrc de lo que creemos y lo hacen por obra sus propias actiüdades, lo que permite que los concep $e tos en cada persona crezcatr,se desarrollen y continúen perfeccio nando y ampliando su entendimiento a lo largo de la ücla.Parece haber consenso entre los teóricos clel aprendizaje que en el caso de la enseñanza de la matemática a niños peqireñbs, resulta improbable que rengan éxito las rentativas cle cléfinir conceptos' por el contrario, los enfoques concretos son a menuclo muy necesarios,aunqtre nada permite asegurar que se logre una total comprensión relacional. Nuestra intención ha sido proponer una herramienta abierta que permita al educador, actor importante clel proceso cle ensefanza-aprenclizaje, aclarar sus tomas de crecisión sin dictárselas y enriquerer sus potencialiclaclescle intervención sin presionarlo á usar medios o procedimientos, pues creemos que a las personas no se les deben dictar reglas sobre sus decisionés. El maesro
GLOSARIO

Acto prensgr: gesto consistente en asir y soltar, permitido por la interacción de los músculos flexores y extensores. capacidad: aptitud y habilidad; pocler para rearizarun acro físico o menral; innaro o alcanzable por el aprenclizaje. concepto: -"1-[rnto. de cle aclquisiciones disper-reagrupamiento s¿r^s que surgen de observaciones, experiencias y explicaciones recibidas y. cornprendiclas y que no pueclen eiaboiarse aislacl¿lsni por acuurulación" (Giordano yVecchi). -"descriptores de alguna regularidacl o relación dentro cle un g-rlrpo de hechos; se designan por algún signo o sínrbolo" (Novack, 1977). coordinación dinámico-manual: movimiento bimanual c¡ue se efectira con precisión sobre la base cle una impresión visuzrlo estereognóstica predamente establecida que le permite la armonía cle la ejecución con-junta. coordinación üsomotriz: tipo de coorclinación clinámica qtre se da e' .' lnoümiellt.o nlan'al o corporal c¡ue responcle a un estínnrlovisual y se aclecuapositivamentea é1. Cinestesia: habilidacl ¡>ara sentir la tensión mtrscular y el urovirnienro; es trn inrportante senti
M. DELC. RENCORET

Medios: recursos físicos utilizados con el fin de presentar estímulos al educando. Modelo instruccional: teoría que analiza, explica y norma el proceso clidáctico. Motora: refericla a los movimientos musculares. Noción: idea que se tiene de una cosa; conocimiento elemental. Nwneral: signo gráfico que representa el concepto de núrmero. Numero: representante de la clase de equivalencia. "Síntesis de la serie y la clase en un todo operativo" (Piaget). Percepción: en psicología, forma en que la persona organiza e interpreta la información que le llega a través de los diversos sentidos. Psicomotor: "la noción de psicomotor connota el hecho de que la nrente está involucrada en un detenninado moümiento, lo que significa que éste clebe ser voluntario y tener un propósito" (A. Hanon, 1978). Psicomotricidad: nrovimiento httmano con significaciones; activiclad voluntaria e intencional. Sistema de nurneración: con-junto de reglix y principios perfectarnente entrelazados que permiten contar ordenadamente y escribir el signo asociado al número.

150

BIBLIOGRAFIA

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M. DELG Rf,NCORET

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L F¿2

tsBN 9 5 6 - 13 - 12 0 4 - 2

.Ul|ilJruU La autora,de largay destacadatrayectoproponeun modelode jeria académica, rarquíade enseñanzapaÍa la iniciaciÓn quesecuencia lashabilidades matemática en el conceptode involucradas cognitivas n ú me ro , j u n to co n las habilidades que posibilitanla escritura psicomotoras esdel numeralasociado.A continuación adulta,elcontudia,desdeunaperspectiva gráceptode númeroy su representación fica; luego define,explicita,analizay ejemplificacada una de Ias nocioneso y finalbásicascomprometidas; d-estrezas mente,sugiereuna secuenciade objetiparael desarrollo de cada vos especíÍicos unade ellas.

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