Como Hacer Una Gráfica Lineal En Una Hoja Milimetrada 11av

Tema: Trazado de Gráfica Lineales Objetivos: • • • • •

Aprender el uso adecuado de una hoja milimetrada Seleccionar adecuadamente la escala a utilizarse para graficar Aprender a trazar adecuadamente la gráfica de una relación lineal entre dos variables físicas presentadas como un conjunto de datos tabulados Aprender a determinar la pendiente de una gráfica Aprender a determinar la incertidumbre de la pendiente de una gráfica

Equipos y materiales • • •

Una hoja de papel milimetrada Una calculadora científica básica Una regla de 30 cm con mínima división de un milímetro

Fundamento teórico: 1. Uso adecuado de la hoja de papel milimetrada: a) Trazar sendos ejes perpendiculares entre sí, los cuales se dibujan a un centímetro del borde izquierdo (eje Y o variable dependiente) y a un centímetro del borde inferior (eje X o variable independiente), extendiéndose ambos ejes hasta un centímetro antes de sus bordes extremos correspondientes (Fig.1).

1 cm

1 cm

1 cm 1 cm

Fig. 1

b) Marcando sobre cada eje sus correspondientes saetas, darles los nombres a los ejes (nomenclatura) con sus respectivas unidades, según corresponda a la Práctica desarrollada (Fig.2).

V (m/s)

t (s)

Fig. 2 c) Habiendo escogido la escala adecuada (ver sección 2.b) y 2.c) sobre selección de escala), señalar cantidades cada dos, cuatro o cinco centímetros en cada eje hasta un centímetro antes de la saeta que indica el final del eje. Como se puede observar en la Fig. 3 en el eje de las X se ha señalado valores cada dos centímetros, de donde se deduce que cada centímetro de la hoja en el eje de las X representa 4 s.

Fig. 3

2. Selección de escala: Para una mejor comprensión de como seleccionar una escala, tomaremos de ejemplo los siguientes datos tabulados para un cuerpo con aceleración constante: Tiempo ± 1 (s) 10 20 30 40 50 60 70 80

Velocidad ± 0.1 (m/s) 1,8 2,1 2,8 3,5 4,1 4,6 5,1 5,6

En donde para la tabla dada, el tiempo es la variable independiente por lo que se la representará en el eje X, mientras que la velocidad sería la variable dependiente la cual se representará en el eje de las Y. a) Seleccionar el rango de valores tabulados a representar en cada eje. De acuerdo al conjunto de datos tabulados y a la importancia o no de encontrar el intercepto de la gráfica, podemos seleccionar el rango de valores a representar en cada uno de nuestros ejes, de la siguiente manera: a. Si el intercepto no es de interés: Restar el valor más grande con el valor más pequeño en la tabla. Ej: i. Eje X : 80 – 10 = 70 segundos ii. Eje Y : 5.6 – 1.8 = 3.8 m/s b. Si el intercepto si es de interés: Escoger el valor más grande en la tabla. i. Eje X : 80 segundos ii. Eje Y: 5.6 m/s b) De acuerdo a los centímetros disponibles en cada eje, generalmente en el eje X son 25 cm disponibles y en el eje Y 15 cm disponibles, dividimos el rango de valores a graficar para el número de centímetros disponibles en los correspondientes ejes. Si para nuestro ejemplo a desarrollar es de importancia el intercepto para poder determinar la ecuación empírica, nuestras escalas preliminares serían: a. Eje X: = 3.2

lo que nos indica que cada cm en el eje X equivale a 3.2 s de tiempo.

Es recomendable que las escalas sean tomadas de modo tal que sean de fácil representación, de ahí que se aconseja que cada centímetro sea igual a 1, 2, 5 unidades (eventualmente 4) o cualquier múltiplo de ellos.

Por lo anterior expuesto el 3.2 lo llevaremos a 4, de tal forma que nuestra escala en centímetros correspondiente quedaría; 4.0

lo que nos indica que cada cm en el eje X equivale a 4.0 s de tiempo.

b. Eje Y: .

/

/

= 0.37

lo que nos indica que cada cm en el eje Y equivale a 0.37 m/s de velocidad.

El 0.37 es llevado a 0.40, de tal forma que nuestra escala en centímetros correspondiente quedaría; 0.40

/

lo que nos indica que cada cm en el eje X equivale a 0.40 m/s de velocidad.

c) Como la hoja de papel milimetrado, como su nombre lo indica, tiene como mínima división al milímetro, conviene también interpretar las escalas anteriores en milímetros, así sabremos qué medida representa nuestra mínima división. a. Mínima división en el eje X: corresponde a la escala en el eje X dividida entre 10 (1 cm = 10 mm), así: 4.0

∗

= 0.40

de tal forma que la mínima división (el milímetro) en el eje de las X corresponde a 0.40 segundos de tiempo.

b. Mínima división en el eje Y:

0.40

/

∗

= 0.04

/

corresponde a la escala en el eje Y dividida entre 10 (1 cm = 10 mm), así: de tal forma que la mínima división (el milímetro) en el eje de las Y corresponde a 0.04 m/s de velocidad.

3. Trazo de los puntos en el papel milimetrado: De acuerdo con las escalas escogidas para cada uno de los ejes, éstas serán utilizadas como factores de conversión para determinar el lugar que le corresponde en cada eje a un par ordenado de la tabla de valores. Así por ejemplo para el primer par ordenado de la tabla:

-

Tiempo ± 1 (s) 10

Velocidad ± 0.1 (m/s) 1,8

Los 10 s corresponde a: 10 ∗

.

= 2.5

a partir del origen del eje de las X

-

Mientras que los 1,8 m/s corresponden a : 1.8

/ ∗

.

/

= 4.5

a partir del origen del eje de las Y

Como se observa en la Fig. 4.

Fig. 4

Representemos el segundo par ordenado de la tabla:

-

Velocidad ± 0.1 (m/s) 2,1

Los 20 s corresponde a: 20 ∗

-

Tiempo ± 1 (s) 20

.

= 5.0

a partir del origen del eje de las X

Mientras que los 2.1 m/s corresponden a : 2.1

/ ∗

.

= 5.25 cm o interpretado como 52.5 mm a partir del origen del eje de las Y

Como se observa en la Fig. 5.

Fig. 5

Representemos por último el tercer par ordenado de la tabla:

-

Velocidad ± 0.1 (m/s) 2,8

Los 30 s corresponde a: 30 ∗

-

Tiempo ± 1 (s) 30

.

= 7.5

a partir del origen del eje de las X

Mientras que los 2.8 m/s corresponden a : 2.8

Como se observa en la Fig. 6.

/ ∗

.

= 7.0

a partir del origen del eje de las Y

Fig. 6 De la misma forma con los demás pares ordenados hasta obtener lo que se observa en la Fig.7.

Fig. 7

4. Criterios para graficar la recta a) Trazar la recta que pasa por la mayor cantidad de puntos experimentales. b) Trazar la recta tal que existan tantos puntos experimentales por encima como por debajo de ella, sin que exista demasiada dispersión con respecto a la recta. En los criterios anteriores excluir datos aberrantes. En nuestro caso se ha utilizado el criterio b), dejando 3 puntos por encima como por debajo de la recta, como se observa en la Fig. 8.

Fig. 8 5. Determinación del intercepto En la gráfica realizamos la lectura correspondiente del punto intercepción con el eje de las ordenadas (Eje Y), ya sea en centímetro o en milímetro, de acuerdo con el ejemplo desarrollado, la intercepción se ha estimado en 25.7 mm, con lo que utilizando la escala correspondiente al eje Y, tenemos: 25.7

∗

.

=

1.028 m/s

Sin embargo ésta no es la forma adecuada de presentar el intercepto, ya que hay que dejarlo con igual número de decimales dela incertidumbre que corresponde en esta caso al eje Y. En nuestro ejemplo el eje Y tiene una incertidumbre igual a 0.02 m/s, ya que por definición es igual a la mínima división (1mm del eje Y = 0.04 m/s) dividida entre dos, por lo tanto el intercepto es 1.03 m/s.

6. Cálculo de la pendiente a) Seleccionamos dos puntos alejados entre sí que pertenezcan a la recta graficada; para lo cual hay que visualizar estos dos puntos, uno de abajo hacia arriba (P1) y el otro de arriba hacia abajo (P2). b) Cualquiera de los dos puntos a escoger deben ser tal que coincidan con la intercepción de dos líneas de la hoja papel milimetrado, de tal manera que sea fácil la interpretación o conversión al momento de utilizar la escala que corresponda. En nuestro ejemplo: a. El punto uno (P1); corresponde en X a 16 mm con respecto al origen, mientras que en Y a 35 mm, de tal forma que usando las escalas respectivas tenemos: Coordenada X; 16

.

∗

=

6.4 s

En donde al igual que el intercepto, la forma adecuada de presentar la coordenada X es con igual número de decimales de la incertidumbre que corresponde en esta caso al eje X. En nuestro ejemplo el eje X tiene una incertidumbre igual a 0.2 s, ya que por definición es igual a la mínima división (1mm del eje X = 0.4 s) dividida entre dos. Coordenada Y; 35

∗

.

/

=

1.40 m/s

Por lo tanto el primer punto es P1(6.4, 1.40)

b. El punto uno (P2); corresponde en X a 191 mm con respecto al origen, mientras que en Y a 140 mm, de tal forma que usando las escalas respectivas tenemos: Coordenada X; 191

∗

Coordenada Y; 140

∗

.

.

/

=

76.4 s

=

5.60 m/s

Por lo tanto el primer punto es P2(76.4, 5.60) La gráfica de los puntos escogidos para calcular la pendiente, se muestran en la Fig.9.

Fig.9

c) Finalmente se calcula la pendiente analíticamente, empleando para ello las reglas correspondiente para operaciones con cifras significativas: =

∆ ∆" 5.60 − 1.40 4.20 = = = = 0.0600 ∆! ∆# 76.4 − 6.4 70.0

7. Cálculo dela incertidumbre de la pendiente a) Utilizando el criterio de propagación de errores por derivadas parciales, y realizando los cambios de variables a = ∆Y y b =∆X , tenemos: =

'

'

=

=(

∆ % = ∆! &

) 1 % ) ( . '% + ( ( . '& = ( ( . '% + +− + . '& )& & & )%

∆!. '(∆ ) + ∆ . '(∆!) &. '% + %. '& = (∆!) &

(∗)

b) Considerando que la incertidumbre en cada eje corresponde a la mínima división dividida entre dos: a. '! =

í/.012 3/ 343 5

→ '(∆!) = 2'! → '(∆!) =

í7. 89: ;7 ;<; !

∴ '(∆!) = 0.4

b. ' =

í/.012 3/ 343 >

→ '(∆ ) = 2'

→ '(∆ ) =

∴ '(∆ ) = 0.04

í7. 89: ;7 ;<;

/

c) Reemplazando en la expresión (*): '

=

(70.0). (0.04) + (4.20). (0.4) ∆!. '(∆ ) + ∆ . '(∆!) = (70.0) (∆!)

'

(∗)

= 0.0009

Como se observa, la incertidumbre de la pendiente se la deja con igual número de decimales que el de la pendiente calculada.

d) Presentamos el resultado de la pendiente con su correspondiente incertidumbre: ±'

= (0.0600 ± 0.0009)

La siguiente Fig.10 muestra la gráfica final en donde aparece además el título de la gráfica y también la ecuación empírica determinada a partir de la obtención del intercepto y de la pendiente.

Gráfica V vs t

Ecuación empírica: V = (0.0600 t + 1.03) m/s

Fig. 10