Ejercicios Resueltos De Magnitud Y Dirección De Un Vector i3u

Ejercicios Resueltos de Magnitud y Dirección de un Vector Ejemplo 1.- Calcule la magnitud y dirección de los siguientes vectores qué están en los incisos, asumiendo que parten del origen. a) v = (4, 4); b) v = (2, -4); v = (3,-3); v = (0, -4); Solución: Inciso a) v = (4, 4) Vamos a graficar nuestro vector y a partir de la gráfica haremos nuestros cálculos correspondientes a la magnitud y dirección:

Aplicando el teorema de pitágoras para poder calcular la magnitud del vector:

Y pasamos a calcular el ángulo, o sea la dirección:

En degradianes tenemos 45° grados, si queremos expresarlo en radianes , esto sería:

Que sería la solución al problema uno Inciso b) v = (2, -4) Nuevamente vamos a graficar el vector y realizar los cálculos

Aplicando el teorema de pitágoras, tenemos que:

Ahora, calculando el ángulo o la dirección, tenemos:

Pero ojo, esos -45°no corresponde a la sección del ángulo theta, sino que es la sección restante para llegar a cerrar el ciclo, entonces como éste vector se encuentra en el cuarto cuadrante, vamos a tener que restarle los 360°.

Convirtiendo a radianes, tenemos:

Bien, ahora veamos el siguiente ejemplo: Inciso c) v = (-3, -3) Volvemos a graficar, para darnos cuenta en qué cuadrante se encuentra nuestro vector y al momento de calcular la direccion, no tengamos ningún problema.

Bien, procedemos a calcular la magnitud o módulo de nuestro vector, así que esto nos daría lo siguiente:

Una vez obtenido el módulo, es momento de calcular el ángulo o sea la dirección.

Pero en esta ocasión nos encontramos con 45° en el tercer cuadrante, lo que haremos será sumar 180° grados.

Recordemos que éste ángulo es el que está en el tercer cuadrante donde la función tangente es positiva. Por eso es que sumamos. Convertimos a radianes.

Inciso d) v = (0, -4) Realizamos, nuestra gráfica correspondiente.

Si observamos, nuestra coordenada en x = 0, por lo que nuestro teorema de pitágoras para realizar el cálculo de el módulo será muy fácil.

Ahora calculamos la dirección

Ufff, aquí nos topamos con un detalle ¿cierto? pues la división por cero no está definida, entonces debemos hacer uso de nuestro sentido común, basta con observar en que parte está nuestra dirección, y asumimos entonces que el ángulo es de 270°.

Ejercicios Resueltos de Magnitud y Dirección de un Vector Ejemplo 1.- Calcule la magnitud y dirección de los siguientes vectores qué están en los incisos, asumiendo que parten del origen. a) v = (4, 4); b) v = (2, -4); v = (3,-3); v = (0, -4); Solución: Inciso a) v = (4, 4) Vamos a graficar nuestro vector y a partir de la gráfica haremos nuestros cálculos correspondientes a la magnitud y dirección:

Aplicando el teorema de pitágoras para poder calcular la magnitud del vector:

Y pasamos a calcular el ángulo, o sea la dirección:

En degradianes tenemos 45° grados, si queremos expresarlo en radianes , esto sería:

Que sería la solución al problema uno Inciso b) v = (2, -4) Nuevamente vamos a graficar el vector y realizar los cálculos

Aplicando el teorema de pitágoras, tenemos que:

Ahora, calculando el ángulo o la dirección, tenemos:

Pero ojo, esos -45°no corresponde a la sección del ángulo theta, sino que es la sección restante para llegar a cerrar el ciclo, entonces como éste vector se encuentra en el cuarto cuadrante, vamos a tener que restarle los 360°.

Convirtiendo a radianes, tenemos:

Bien, ahora veamos el siguiente ejemplo: Inciso c) v = (-3, -3) Volvemos a graficar, para darnos cuenta en qué cuadrante se encuentra nuestro vector y al momento de calcular la direccion, no tengamos ningún problema.

Bien, procedemos a calcular la magnitud o módulo de nuestro vector, así que esto nos daría lo siguiente:

Una vez obtenido el módulo, es momento de calcular el ángulo o sea la dirección.

Pero en esta ocasión nos encontramos con 45° en el tercer cuadrante, lo que haremos será sumar 180° grados.

Recordemos que éste ángulo es el que está en el tercer cuadrante donde la función tangente es positiva. Por eso es que sumamos. Convertimos a radianes.

Inciso d) v = (0, -4) Realizamos, nuestra gráfica correspondiente.

Si observamos, nuestra coordenada en x = 0, por lo que nuestro teorema de pitágoras para realizar el cálculo de el módulo será muy fácil.

Ahora calculamos la dirección

Ufff, aquí nos topamos con un detalle ¿cierto? pues la división por cero no está definida, entonces debemos hacer uso de nuestro sentido común, basta con observar en que parte está nuestra dirección, y asumimos entonces que el ángulo es de 270°.

Problemas con la dirección del vector Pudimos observar que hay un problema cuando tenemos la coordenada de la siguiente forma: (0, -b) ; puesto que el arco tangente no está definido para un cero abajo, entonces ocurre lo mismo para el caso de (0, b), solamente debemos usar el sentido común para darnos cuenta del resultado.

Definición Algebraica de un Vector Bien, así como hemos podido representar a un vector mediante la definición geométrica de un segmento de recta dirigida de un punto a otro, es vital el saber que un vector al estar en un plano xy es un par ordenado de números reales (a,b). Qué es a lo que se le llama componentes de un vector. Por ejemplo el caso anterior que mencionábamos del vector cero, sus componentes serían (0, 0). Bien, imaginemos un vector que parte del origen o sea su punto inicial está en las coordenadas (0,0) y que el punto final sea en cualquier lado del plano con coordenadas (a,b), entonces tendríamos lo siguiente en gráfica.

Fórmula para encontrar la magnitud de un vector Pues bien, la forma en como nosotros encontramos la magnitud de un vector es a partir del famoso teorema de pitágoras, donde solo nos importa conocer dos lados del triángulo rectángulo (cateto adyacente y cateto opuesto), dos lados que se forman en el vector, teniendo ese dato, solo aplicamos nuestro teorema de pitágoras, y estaremos obteniendo la magnitud. Ahora para el caso de la dirección.

Fórmula para encontrar la dirección de un vector Para hallar la dirección, lo hacemos a partir de la función trigonométrica tangente ya que nuevamente nos relaciona el cateto opuesto y el adyacente, de tal forma que tendremos algo así:

Es importante recordar que lo que vamos a obtener será una expresión en radianes, nosotros tendremos que pasarlo a grados. Eso lo haremos mediante el factor de conversión:

Bien, ahora es momento de practicar.

Ejercicios Resueltos de Magnitud y Dirección de un Vector Ejemplo 1.- Calcule la magnitud y dirección de los siguientes vectores qué están en los incisos, asumiendo que parten del origen. a) v = (4, 4); b) v = (2, -4); v = (3,-3); v = (0, -4); Solución: Inciso a) v = (4, 4) Vamos a graficar nuestro vector y a partir de la gráfica haremos nuestros cálculos correspondientes a la magnitud y dirección:

Aplicando el teorema de pitágoras para poder calcular la magnitud del vector:

Y pasamos a calcular el ángulo, o sea la dirección:

En degradianes tenemos 45° grados, si queremos expresarlo en radianes , esto sería:

Que sería la solución al problema uno

Inciso b) v = (2, -4) Nuevamente vamos a graficar el vector y realizar los cálculos

Aplicando el teorema de pitágoras, tenemos que:

Ahora, calculando el ángulo o la dirección, tenemos:

Pero ojo, esos -45°no corresponde a la sección del ángulo theta, sino que es la sección restante para llegar a cerrar el ciclo, entonces como éste vector se encuentra en el cuarto cuadrante, vamos a tener que restarle los 360°.

Convirtiendo a radianes, tenemos:

Bien, ahora veamos el siguiente ejemplo: Inciso c) v = (-3, -3) Volvemos a graficar, para darnos cuenta en qué cuadrante se encuentra nuestro vector y al momento de calcular la direccion, no tengamos ningún problema.

Bien, procedemos a calcular la magnitud o módulo de nuestro vector, así que esto nos daría lo siguiente:

Una vez obtenido el módulo, es momento de calcular el ángulo o sea la dirección.

Pero en esta ocasión nos encontramos con 45° en el tercer cuadrante, lo que haremos será sumar 180° grados.

Recordemos que éste ángulo es el que está en el tercer cuadrante donde la función tangente es positiva. Por eso es que sumamos. Convertimos a radianes.

Inciso d) v = (0, -4) Realizamos, nuestra gráfica correspondiente.

Si observamos, nuestra coordenada en x = 0, por lo que nuestro teorema de pitágoras para realizar el cálculo de el módulo será muy fácil.

Ahora calculamos la dirección

Ufff, aquí nos topamos con un detalle ¿cierto? pues la división por cero no está definida, entonces debemos hacer uso de nuestro sentido común, basta con observar en que parte está nuestra dirección, y asumimos entonces que el ángulo es de 270°.

Problemas con la dirección del vector Pudimos observar que hay un problema cuando tenemos la coordenada de la siguiente forma: (0, -b) ; puesto que el arco tangente no está definido para un cero abajo, entonces ocurre lo mismo para el caso de (0, b), solamente debemos usar el sentido común para darnos cuenta del resultado.