Exposición Paraboloide Elíptico 4c416a

Superficies cuádricas: Paraboloide elíptico Danna Cárdenas-Luisa OrdoñezAndrea Dejoy-Gheraldynn LeitonEsteban Muñoz-Andrés Polo-Andrés Arboleda-Alejandra Villegas-Isabella Peña

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Descripción del paraboloide elíptico Las superficies cuádricas son los gráficos de cualquier ecuación que se puede expresar de la forma general: Ax2 + By2 + Cz2+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+J=0 Donde A, … , J son constantes. El paraboloide elíptico básico viene dado por la ecuación: Z = Ax2 + By2 Donde A y B tienen el mismo signo. Esta es probablemente la más simple de todas las superficies cuadráticas. Tiene un aspecto distintivo de “narizcono”. fp(x_, y_) := x2 + y2

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Plot3D[fp(x, y), {x, -20, 20}, {y, -20, 20}, BoxRatios → {1, 1, 3}, AxesLabel → {"Eje x", "Eje y", "Eje z"}] representación gráfica 3D

cocientes de caja

etiqueta de ejes

◆ Esta superficie se llama un paraboloide elíptico porque las secciones transversales

verticales son todas las parábolas, mientras que las secciones transversales horizontales son elipses. ◆ Una característica importante de las secciones transversales verticales es que todas las

parábolas se abren en la misma dirección.

Importante Note que en la gráfica que se muestra arriba, las secciones transversales horizontales son en realidad círculos, pero no siempre es así. De hecho, cuando A y B no son iguales, el paraboloide será más ancho en una dirección que en la otra, es decir, la parábola en el plano YZ será más amplia que la del plano XZ o al con-

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trario.

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Ejemplo Se tiene una función z = 16 - x 2 - y2 cuya gráfica se desconoce, se procede a analizar las trazas en los planos xy, xz y yz para construir la superficie. In[13]:=

fp1(x_, y_) := 16 - x2 - y2 FunctionDomain[fp1[x, y], {x, y}] dominio de función

Out[14]=

In[17]:=

True FunctionRangefp1[x, y], {x, y}, z rango de función

Out[17]=

z ≤ 16

Plano xz: Al hacer y=0, se obtiene z = 16 - x 2 cuya gráfica es una parábola cóncava hacia abajo: In[15]:=

ManipulatePlotfp1[x, y], {x, -5, 5}, {y, -5, 5}, FrameLabel → "Eje x", "Eje z" manipula

representación gráfica

etiqueta de marco

y

15

10

Out[15]=

Eje z

5

-4

2

-2

4

-5

-10

Eje x

Plano yz: haciendo x=0, se obtiene z = 16 - y2 cuya gráfica también es una parábola cóncava hacia abajo:

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ManipulatePlotfp1[x, y], {x, -5, 5}, {y, -5, 5}, manipula

representación gráfica

BoxRatios → {1, 1, 3}, FrameLabel → "Eje y", "Eje z" cocientes de caja

etiqueta de marco

y

15

10

Eje z

5

-4

2

-2

4

-5

-10

Eje y

Curvas de nivel-plano xy: al asignarle valores a z, se obtienen las curvas de nivel que en este caso son circunferencias (cuando el coeficiente de x e y son iguales, no se tiene una elipse, sino una circunferencia). In[46]:=

ContourPlotfp1[x, y], {x, -5, 5}, {y, -5, 5}, representación de contornos

Contours → 20, Axes → True, AxesLabel → "Eje x", "Eje y" contornos

ejes

verd⋯ etiqueta de ejes Eje y

4

2

Out[46]=

0

Eje x

-2

-4

-4

-2

0

2

4

Como se puede observar, las circunferencias más pequeñas se encuentran más arriba y las mayores están más lejos (tono oscuro), indica también que el paraboloide tiene un máximo. Por último, al analizar las tres gráficas, se tiene una idea más certera de cómo es el paraboloide del ejemplo.

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Al graficar en 3D se obtiene: Plot3D[fp1(x, y), {x, -5, 5}, {y, -5, 5}, BoxRatios → {1, 1, 3}, AxesLabel → {"Eje x", "Eje y", "Eje z"}] representación gráfica 3D

cocientes de caja

etiqueta de ejes

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Conclusiones ●Cualquier superficie cuadrática que contenga: solo términos lineales en una de las variables (z en nuestro ejemplo), términos cuadráticos en las otras dos variables con coeficientes del mismo signo (-x, -y ; en el ejemplo) es un paraboloide elíptico. ●No necesariamente las curvas de nivel deben ser elipses, también pueden ser circunferencias

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Referencias -http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcIII/QuadricSurfaces.aspx -http://mathworld.wolfram.com/Elliptiaraboloid.html -https://faculty.math.illinois.edu/~nmd/quadrics/ellparab.html -http://www.staff.city.ac.uk/o.castro-alvaredo/teaching/surfaces.pdf

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Muchas gracias

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