Calculo Vectorial Aplicada A La Ingeniería Civil 3f1l1f

CÁLCULO VECTORIAL APLICADO A LA INGENIERÍA CIVIL

En la ingeniería civil, una de las principales aplicaciones del cálculo vectorial se encuentra en la rama del diseño de vías y carreteras, más específicamente, en la curvatura de estas construcciones. En primer lugar hay que saber que toda carretera se compone de tres tipos de curvaturas, estos son: las rectas, las curvas de transición y la curva como tal. En las rectas, la curvatura es igual a cero; en las curvas de transición, la curvatura es variable y en la curva como tal, la curvatura es constante. En este blog, se intentara explicar y hacer un especial énfasis en las curvas de transición, es decir, con curvatura variable. Dentro de las aplicaciones del cálculo vectorial a la ingeniería civil, es posible encontrar numerosos ejemplos en Latinoamérica, en especial en la parte geométrica. A manera de ejemplo, se puede nombrar la optimización del área agrícola en los andenes incas, donde se presenta claramente un ejemplo de curvas de contorno y de maximización del área. También se puede nombrar el establecimiento de poblaciones en valles y la construcción de caminos a través de pasos de montañas, aquí se puede ver una clara influencia y utilización de los mínimos locales y de puntos de ensilladura. Es bueno e importante saber y tener en cuenta que las matemáticas son una creación de la humanidad y por lo tanto sus usos están completamente dirigidos al provecho de la humanidad. A manera de ejemplo, podemos recalcar la importancia que tuvo la matemática en la civilización egipcia para la construcción de inmensos e imponentes monumentos. En el continente americano, especialmente en las culturas prehispánicas utilizaron la geometría en gran cantidad por ejemplo en la construcción o creación de los andenes incas o las pirámides mayas. En la realidad de nuestra cotidianidad las matemáticas en general tienen innumerables aplicaciones pero el problema radica en que en las cátedras donde se enseñan las matemáticas, se hace desde una realidad muy lejana de la local. Aun así como en todo no se debe generalizar en ningún momento y hay numerosos ejemplos de educadores que hacen un muy gran esfuerzo por aterrizar al educando a una realidad muy cercana a él. Como ejemplo, los estudiantes que se encuentran ubicados en las zonas rurales deben aprender sobre aplicaciones relativas a su realidad, como por ejemplo, aprender a medir la tierra o aproximar el volumen de troncos cortados. Estos ejemplos no deben ser exclusivos de localidades como estas sino que deben hacer parte de un núcleo general de aplicaciones que deben hacer parte de la enseñanza de las matemáticas en cualquier lugar del mundo. Las matemáticas que son impartidas en Latinoamérica están muy influenciadas por bibliografías extranjeras, alejando de esta manera al estudiante de la realidad que debería interesarle. Estos paradigmas se deben romper con el fin de que el estudiante

pueda sentirse cada vez más motivado hacia el estudio de las matemáticas y que así pueda desempeñarse mucho mejor en las asignaturas correspondientes. Es muy común encontrar en varios textos de enseñanza de las matemáticas, que los enunciados de la mayoría de los ejercicios, hacen referencia a una realidad a veces muy lejana como naves espaciales o maximización de lucros en grandes empresas. Obviamente, los textos no se deben hacer a un lado e ignorar la revolución científicotecnológica que ha tenido lugar en la raza humana, pero los temas que se deben tratar, deben enfrentar al estudiante con problemas de su propia realidad, y deben tratar temas desde los más simples hasta los más complejos. El cálculo vectorial puede llegar a ser muy atractivo para un estudiante al cual se le presenten una serie de problemas relacionados con su cotidianidad. Dentro de los numerosos ejemplos del uso del cálculo vectorial en Latinoamérica, podemos destacar los andenes incas, que fueron una serie de terrazas que sirvieron para mejorar considerablemente la agricultura de la cultura inca en épocas prehispánicas. La catedral de Maringa en Brasil y su forma cónica son otro gran ejemplo del uso del cálculo y de la geometría en la realidad latinoamericana. También podemos encontrar aplicaciones al cálculo vectorial en las montañas, cumbres, lagos y en general en toda la parte de la orografía que sirvió de mucha ayuda a todas las civilizaciones para tomar decisiones críticas a la hora de construir sus creaciones. La aproximación de los espejos de una bahía nos ofrece otra gran muestra de aplicaciones del cálculo vectorial. En las siguientes imágenes podemos observar diversas aplicaciones de la curvatura en la vida real.

Puente Juscelino Kubitschek, Brasilia (Brasil). Aquí se puede observar una calada con curvas consecutivas muy complicadas, donde su diseño tuvo que haber tenido en cuenta las numerosas curvaturas en la calzada de tal manera que no se excedan los valores máximos planteados por la reglamentación.

Las altas velocidades de los automóviles, unidas a unas curvaturas en las carreteras muy inapropiadas, conllevan a un muy alto riesgo de accidentalidad en estos trazados.

Construcción de una carretera. Antes de iniciar un proceso constructivo de una carretera, es necesario que se lleven a cabo una gran cantidad de estudios que conllevaran posteriormente a un diseño preliminar. En este diseño la curvatura juega un papel muy importante para garantizar la suficiente seguridad al conductor.

Andenes incas ubicados de forma circular donde se puede observar el estudio geométrico que debió tener lugar durante su diseño y construcción.

En este caso se ve un claro ejemplo de curvatura en una carretera (esta es la carretera de Covadonga - mollepata ubicada en nuestra ciudad)

Esta curva es conocida como clotoide la cual es fundamental para el diseño de carreteras y sus aplicaciones

Clotoide, la curva que rige la seguridad en carreteras y ferrocarriles Los primeros trazados de carreteras y vías férreas encadenaban tramos rectos con arcos de circunferencia. Pero, cuando coches y trenes alcanzaron velocidades más altas, se producía una incómoda y peligrosa sacudida al entrar en la curva. Los ingenieros comenzaron a buscar una solución, y la encontraron en las matemáticas y la física. Imaginemos que se tiene que diseñar una autovía o una vía férrea de alta velocidad. Seguro que se intentará que haya todas las rectas posibles, pero también se tendrá que hacer alguna curva. Y como la más sencilla de todas es la circunferencia, lo más fácil es ir empalmando tramos rectos con arcos de circunferencia. Algo parecido a una cinta transportadora.

Parece que así fueron los primeros trazados y, como los primeros carros y trenes no iban a mucha velocidad, todo iba como la seda. Pero la cosa cambió cuando los vehículos fueron capaces de alcanzar velocidades mayores. Al entrar en la curva, en las uniones entre tramos, se notaba una súbita sacudida. Así que los ingenieros comenzaron a estudiar qué pasaba y cómo se podía solucionar. La respuesta es fácil de entender y sólo se necesita dos componentes. El primero viene de la geometría y es el radio de curvatura, un concepto bastante intuitivo. Para una circunferencia, el radio de curvatura es simplemente el radio de la circunferencia. Para una recta puedes pensar que ésta es una circunferencia muy grande, de radio infinito. Así el radio de curvatura de una recta será infinito. El segundo componente viene de la física y es la fuerza centrífuga, cuyo significado es aún más intuitivo. Además se sabe que la fuerza es "masa por aceleración" y, simplificando un poco, la fuerza centrífuga resulta ser lo siguiente: F=m⋅v2/r Donde m es la masa, v es la velocidad y r es el radio de curvatura. Por un lado tienes la masa y la velocidad, que en la fórmula aparecen multiplicando. Así que cuanto más grandes sean, mayor será la fuerza centrífuga. Lo cual tiene lógica; puesto que si se va más deprisa, la fuerza centrífuga será mayor, lo mismo que si se tiene mayor masa. Por otro lado se tiene el radio de curvatura, que en la fórmula aparece dividiendo. Así que cuanto más grande sea, menor será la fuerza centrífuga. Tiene lógica; en una recta el radio de curvatura es infinito, así que ("dividiendo entre infinito") en una recta la fuerza centrífuga es cero. También se sabe que, a igual velocidad, la fuerza centrífuga es menor en una curva "más abierta" (con mayor radio) que en otra "más cerrada".

Ahora veremos qué pasa en las uniones entre recta y circunferencia. En esos puntos el radio de curvatura r pasa de ser infinito a ser un número más o menos pequeño (el radio R de la circunferencia). Así que en el denominador de la fórmula había un descenso brusco y por eso se producía un aumento brusco de la fuerza centrífuga. Repasando la fórmula F=m⋅v2/r se tiene: La masa m, multiplicando. Disminuir ésta requeriría adelgazar el vehículo y sus ocupantes y es algo que difícilmente puede ocurrir. La velocidad v, multiplicando (además al cuadrado). Se podría ir más despacio, pero entonces se tardarías más y eso es algo desfavorable. El radio de curvatura r, dividiendo. El de la recta es infinito, no se puede cambiar. Se podría aumentar el radio de la circunferencia, pero entonces (como en la imagen anterior) las rectas serían más cortas y tampoco es favorable. Por lo tanto se tiene que introducir una curva de transición entre la recta y la circunferencia. Además sería óptimo que, en esa transición, el radio de curvatura r fuera disminuyendo suavemente desde el infinito de la recta hasta el radio R de la circunferencia. Según la fórmula, eso haría que la fuerza centrífuga cambiara de manera suave, en lugar de hacerlo bruscamente.

El radio de curvatura r y la distancia d recorrida son inversamente proporcionales. Eso significa que su producto siempre el mismo número. Justo esta propiedad es la que define a la curva clotoide, donde su ecuación es precisamente d⋅r=C2 (donde C es una constante, que se pone al cuadrado para facilitar el proceso del dibujo).

Por eso en las carreteras y ferrocarriles las curvas suelen encadenar tramos de recta – clotoide – circunferencia – clotoide – recta. De ese modo la fuerza centrífuga va cambiando gradualmente y puedes girar el volante de forma progresiva, en vez de tener que hacerlo bruscamente.

Teniendo en cuenta la carretera Covadonga – mollepata se podría calcular el radio de curvatura con datos suficientes asumidos además de que es clara aplicación de la mecánica vectorial en la ingeniería civil

A continuación se mostraran los pasos para analizar el radio de curvatura en una carretera

1. Examinamos un ejemplo del mundo real relacionado con el radio de una curvatura (en este caso la carretera Covadonga - mollepata). Imaginamos que estamos conduciendo a través de este camino curvo, forzándonos a tomar el volante en una posición determinada. Si en el punto A del camino se mantuviera el volante en una posición fija, el automóvil viajaría en círculo. Dicho círculo es la curvatura de la función en el punto A, y su radio es el radio de la curvatura. 2. Derivar la ecuación del radio de una curvatura para una función f(x). Esta ecuación debe derivarse con cálculo diferencial y está dada por p(x) = (1 + f '(x) ^2) ^ (3/2)/f ''(x) Donde x es la coordenada x de un punto en la curva, f '(x) es la primera derivada de f(x) y f '' (x) es la segunda derivada de f(x).

3. Determinar las restricciones para f(x). Debe ser diferenciable, y su derivada también debe ser diferenciable. Debido a que el denominador es f '' (x), esta función también debe ser diferente de cero. 4. Calculamos el radio de la curvatura para una función específica. Si f(x) = x^2, entonces f '(x) = 2x y f '' (x) = 2. Por lo tanto, P(x) = (1 + f ' (x) ^2) ^ (3/2)/f '' (x) = (1 + (2x) ^2) ^ (3/2)/2 = (1 + 4x^2) ^ (3/2)/2. Por lo tanto, el radio de la curvatura para la curva y = x^2

Está dado por P = (1 + 4x^2) ^ (3/2)/2.

5. Interpretamos la ecuación P = (1 + 4x^2) ^ (3/2)/2. En el punto (0,0), p = (1 + 4x^2) ^ (3/2)/2 = (1 + 0)/2 = ½. El radio de la curvatura de la función y = x^2 en el punto (0,0) es ½ y su centro es (0,2). De esta manera visualizando carreteras en la vida real se puede calcular el radio de curvatura que es parte del estudio en el cálculo vectorial que se aprecia en el curso, además teniendo esta vez en cuenta como se generan estas carreteras a partir de una clotoide.

Las integrales dobles, triples, circulares, teoremas de Stokes y demás también son parte de las aplicaciones que tiene el cálculo vectorial en la ingeniería civil. El teorema de Stokes es una generalización de teorema fundamental del Cálculo para varias variables y se aplica principalmente en Física, aparte de la Mecánica de Fluidos también se puede aplicar en el campo eléctrico, que viene a ser parte, especialmente la mecánica de fluidos de nuestra carrera en sí.

Otro claro ejemplo relacionado con lo anterior, imaginemos una superficie circular que puede ser claramente la curvatura de una carretera o en 3d para la elaboración de una montaña rusa o las mismas carreteras en bajada y subida continua, entonces asumiendo datos sujetos a restricciones simples podemos verificar el teorema de Stokes en el cálculo integral vectorial:

Si F = (x, y, z) y S es la superficie z = x² + y², z ≤ 1.

Parametrizamos la superficie S1: X (u, v) = (u, v, 0), u² + v² ≤ 1 Calculamos n: Xu = (1, 0,0) Xv = (0, 1,0) E1 -E2 E3 n = Xu ∧ Xv =

1

0

0

0

1

0

n = (0, 0,1) n apunta hacia z > 0. Hallamos el rotF:

rot F =

E1

-E2

E3

∂/∂x

∂/∂y

∂/∂z

x

y

z

rot F = (∂y/∂y - ∂x/∂z,- ∂y/∂x + ∂z/∂z, ∂x/∂x + ∂z/∂y) = (1 - 0,-0 + 1,1 - 0) rot F = (1, 1,1) Planteamos la integral del segundo miembro: ∫∫SC rot F.dS = ∫∫S1 rot F.dS = ∫∫D (1, 1,1). (0, 0,1).du.dv = ∫∫D du.dv Pasando a sistema de coordenadas polares: u = r.cos θ 0≤r≤1 → |J| = r → v = r.sen θ 0 ≤ θ ≤ 2.π ∫∫D du.dv = ∫∫D´ r.dr.dθ

Para el primer miembro parametrizamos la frontera de S1, es decir ∂S: C = (cos t, sin t, 1), 0 ≤ t ≤ 2.π Preparamos las partes de la integral: C´ = (-sin t, cos t, 0) F(C (t)) = (1, cos t, sin t) Planteamos la integral del primer miembro:

Como vemos el teorema de Stokes nos ayuda a calcular superficies en el espacio. Espacios que pueden variar en forma infinita. Como apreciamos el cálculo vectorial es indispensable en la ingeniería civil ya que rige parte importante de la misma, centrándose más en las aplicaciones en carreteras que por obvias razones son las que más abundancia tiene en el campo de la construcción regido por el cálculo vectorial.