álgebra Linear 1s396x

Disciplina

Álgebra Linear e Geometria Analítica Vetorial Coordenador da Disciplina

Prof. Marcelo Ferreira de Melo 3ª Edição

Copyright © 2010. Todos os direitos reservados desta edição ao Instituto UFC Virtual. Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, transmitida e gravada por qualquer meio eletrônico, por fotocópia e outros, sem a prévia autorização, por escrito, dos autores. Créditos desta disciplina Realização

Autor Prof. José Robério Rogério

Sumário Aula 01: Sobre Demonstração ................................................................................................................. 01 Tópico 01: Introdução ............................................................................................................................ 01 Tópico 02: Demonstração Direta, Indireta e por contradição (ou absurdo) ........................................... 03 Tópico 03: Princípio de Indução Finita (PIF) ........................................................................................ 06 Aula 02: Matrizes ...................................................................................................................................... 11 Tópico 01: Definições e Exemplos ........................................................................................................ 11 Tópico 02: Adição e Multiplicação de Matrizes .................................................................................... 14 Tópico 03: Potência, Transposta e Inversa de uma Matriz .................................................................... 18 Aula 03: Sistema de equações lineares e determinantes ........................................................................ 24 Tópico 01: Generalidades....................................................................................................................... 24 Tópico 02: Resolução de sistemas ......................................................................................................... 26 Tópico 03: Determinantes ...................................................................................................................... 30 Tópico 04: Sistemas Lineares Homogêneos .......................................................................................... 32 Aula 04: O espaço tridimensional ℜ3 ...................................................................................................... 37 Tópico 01: Representação Cartesiana .................................................................................................... 37 Tópico 02: Distâncias em ℜ3.................................................................................................................. 40 Tópico 03: As operações em ℜ3 ............................................................................................................. 42 Tópico 04: Interpretação Geométrica ..................................................................................................... 44 Aula 05: O Produto Escalar em ℜ3 ......................................................................................................... 47 Tópico 01: Produto Escalar e Norma ..................................................................................................... 47 Tópico 02: Interpretação Geométrica ..................................................................................................... 50 Aula 06: O Produto Vetorial .................................................................................................................... 53 Tópico 01: Propriedades......................................................................................................................... 53 Tópico 02: Interpretação Geométrica ..................................................................................................... 57 Aula 07: Retas e Planos ............................................................................................................................ 60 Tópico 01: Retas..................................................................................................................................... 60 Tópico 02: Plano .................................................................................................................................... 63 Aula 08: O espaço vetorial ℜX.................................................................................................................. 69 Tópico 01: Preliminares ......................................................................................................................... 69 Tópico 02: Dependência Linear e Base.................................................................................................. 71

ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA VETORIAL AULA 01: SOBRE DEMONSTRAÇÃO TÓPICO 01: INTRODUÇÃO

Sejam bem vindos! A disciplina que ora iniciamos é uma continuação da disciplina Geometria Analítica Plana, onde vocês tiveram um primeiro contato com a extraordinária criação de Descartes e Fermat. Tendo como base a correspondência biunívoca entre os pontos de uma reta e os números reais, podemos olhar os pontos do plano como pares de números reais e as curvas são dadas por equações. Isso tornou possível tratar problemas geométricos por via algébrica. Aqui vamos colocar mais um eixo e obter o espaço tridimensional estão definidas uma soma e um produto por números reais, Em naturalmente: • • para cada Observou-se que uma porção de objetos matemáticos, tais como matrizes, funções e soluções de sistemas lineares homogêneos, também têm operações semelhantes e que satisfazem às mesmas propriedades das . Essa abstração deu origem aos espaços vetoriais, que é o operações em principal objeto de estudo em Álgebra Linear. Sobre notação, lembramos que usaremos a notação usual da linguagem dos conjuntos. Por exemplo: •

- números reais

•

- números inteiros

•

- números racionais

•

- números naturais

•

- a é elemento de A

•

- a não é elemento de A.

IMPORTANTE • Aprendemos por imitação e prática. • Estudamos matemática com lápis e papel, sempre aparece algum detalhe para o leitor preencher. 1

• As listas de problemas são partes essenciais do curso. Em cada aula será oferecida uma lista. O aluno deve tentar resolver todos os problemas. É através da resolução de problemas que consolidamos a aprendizagem, não aprendemos ivamente.

• Não atrasem as tarefas. Procurem imprimir as aulas, para que vocês possam ler nas horas vagas. Principalmente, aqueles alunos que trabalham. Não podemos perder tempo.

FONTES DAS IMAGENS 1. http://www.denso-wave.com/en/ Responsável: Marcelo Ferreira de Melo Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual

2

ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA VETORIAL AULA 01: SOBRE DEMONSTRAÇÃO TÓPICO 02: DEMONSTRAÇÃO DIRETA, INDIRETA E POR CONTRADIÇÃO (OU ABSURDO)

Nesta aula ainda não trataremos de Geometria Analítica ou Álgebra Linear. Tendo em vista que qualquer teoria matemática tem como base de sustentação o método dedutivo, no qual alguns conceitos são aceitos sem definição (conceitos primitivos), outros são definidos, algumas proposições são aceitas sem necessidade de comprovação (axiomas) e a partir daí todos os resultados (teoremas) precisam ser demonstrados. Considero demonstração uma palavra-chave e na disciplina que ora iniciamos, ela estará bastante presente. De modo que é fundamental que conheçamos desde logo o funcionamento do processo de demonstração de teoremas. Teorema é uma proposição verdadeira do tipo: “P

Q” (se P então

Q). Veja alguns conceitos importantes: A DEMONSTRAÇÃO DIRETA de um teorema consiste em usar a hipótese P como verdadeira e através de raciocínio lógico dedutivo, obter a tese Q verdadeira. Chama-se LEMA a um teorema preparatório para a demonstração de outro teorema. COROLÁRIO é um teorema cuja demonstração segue como conseqüência de outro. É claro que um teorema também pode se Q. Neste caso, são verdadeiras P implica Q e apresentar na forma: P reciprocamente Q implica P. EXEMPLO DE DEFINIÇÃO - Dizemos que algum .

EXEMPLO DE TEOREMA - Se

é par, se n = 2m para

é par, então n2 é par.

é par", e a tese: " n2 é par".

Neste teorema temos como hipótese:

. Logo

Vamos à demonstração, sendo par, então n = 2m para algum , onde demonstração está concluída.

.

Donde

n2

é

par

A simples verificação de alguns ou muitos casos particulares em que a hipótese e tese são verdadeiras NÃO é um argumento adequado para se provar um teorema. A menos que o teorema seja uma afirmação sobre casos específicos. Como mostra o exemplo abaixo: Existe um número real

3

tal que

e

a

Neste caso, para demonstrar basta considerar

=1

DEMONSTRAÇÃO INDIRETA Algumas vezes não encontramos argumentos para concluir a validade da tese a partir da hipótese. Nesses casos, podemos utilizar a equivalência:

onde

denotam a negação da proposição P e Q, respectivamente.

A equivalência acima é garantida pelos dois princípios lógicos. • PRINCÍPIO DA NÃO CONTRADIÇÃO - Uma proposição P não pode ser verdadeira juntamente com ~P. • PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO - Qualquer proposição é verdadeira ou falsa.

EXEMPLO A seguir um exemplo de Demonstração indireta: Se

é tal que n2 é par, então n também deve ser par.

PROVA

Aqui, temos como hipótese par algum Q: para algum . Suponha ~Q verdadeira, isto é, algum . Assim .

e a tese para onde

Isto mostra que ~P é verdadeira. Logo ~Q

~P e portanto, P

Q é verdadeiro e a demonstração

está concluída.

OBSERVAÇÃO 1. De um modo geral, os autores de livros de matemática não comunicam aos leitores quando utilizam demonstração indireta. Devemos ler com bastante atenção para compreender a demonstração. 2. É preciso saber negar uma proposição, por exemplo; P:

que

(o símbolo significa “para todo”). A negação . (o símbolo significa “existe”).

tal

DEMONSTRAÇÃO POR CONTRADIÇÃO (OU ABSURDO) Q, É outra alternativa da demonstração indireta. Para provar P podemos negar Q, isto é, itir ~Q verdadeira. Assim, temos P e ~Q verdadeiras. Desenvolvemos raciocínios lógicos dedutivos para chegarmos a uma contradição A e ~A verdadeiras. Portanto Q deve ser verdadeira e o teorema estará provado.

4

EXEMPLO Teorema: Hipótese: P: Tese PROVA

Suponha que

Então

possíveis fatores comuns, podemos escrever

Reduzindo onde mdc(c,d) = 1.

Assim, portanto Pelo exemplo anterior, podemos concluir que c é par. Isto é, c = 2k, para algum . Substituindo c = 2k na equação , obtemos Donde Novamente, pelo exemplo anterior, segue-se que d é par. Mas, então O que é uma contradição, já que tínhamos Portanto


5

ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA VETORIAL AULA 01: SOBRE DEMONSTRAÇÃO TÓPICO 03: PRINCÍPIO DE INDUÇÃO FINITA (PIF)

O Princípio de Indução Finita é uma ferramenta extremamente útil aos matemáticos, quando precisam provar resultados envolvendo números inteiros maiores ou iguais que um certo inteiro. PIF: Uma proposição P(n) dependendo de onde , se:

é verdadeira para todo

(i) P(a0) é verdadeira (ii) Para todo verdadeira.

se P(k) for verdadeiro então P(k+1) também será

Para provar o Princípio de Indução Finita, podemos usar algo evidente, a saber: AXIOMA DA BOA ORDENAÇÃO: Todo subconjunto nãovazio de números inteiros maiores ou iguais a um dado inteiro tem um primeiro elemento, isto é, existe um número inteiro do subconjunto menor ou igual que todos os outros elementos do subconjunto.

PROVA DO PIF: Seja elemento de

. Então

falsa}. Suponha e seja o primeiro pois P(a0) sendo verdadeiro, segue-se que

. Agora, como obtemos , pois é o menor elemento de . Donde, é verdadeira; desse modo,o segundo item da hipótese nos dá verdadeira. Assim, é verdadeira. O que é absurdo, pois . Portanto, concluímos que é verdadeira para todo .

EXEMPLO 1 Prove que

, para todo

SOLUÇÃO

Com efeito, a fórmula vale para n=1, visto que 1=1(1+1)/2. Agora, suponha K > 1 e que Então

Isso mostra que a fórmula vale para k+1, sempre que vale para k. Logo, pelo PIF, segue o resultado. 6

EXEMPLO 2 Prove que SOLUÇÃO

Para n = 3, temos firmação.Suponha agora que

e portanto vale a , onde

. Devemos

mostrar que a afirmação é verdadeira para k + 1, isto é, que . De fato, . Até aqui,o procedimento foi muito natural.Para o golpe final,precisamos relacionar a última equação com a nossa hipótese de indução: Agora,um pouco de criatividade se faz necessário.Observe. Como k + 1 > k, obtemos e assim Isso nos permite concluir que

. Mas,temos como hipótese

. Portanto, . Assim, por indução

O Princípio de Indução Finita pode ser visto de outra forma: PIF (2ª. FORMA): Uma proposição P(n) dependendo de verdadeira para todo , onde se:

é

(i) P(a0) for verdadeira;

para

(ii) Para cada .

, P(m) é verdadeira sempre que P(k) for verdadeira

Observe que existe uma pequena diferença do PIF explicada no texto. Esta versão do PIF também é muito útil. PROVA Seja elemento de

e P(m) é falsa}. Suponha e seja o primeiro . Por (i), . Agora como é o menor elemento de X,

isto é, P(k) é verdadeira. Logo, segue que, para todo k tal que por (ii), P(x0) é verdadeiro. O que é absurdo, já que . Portanto, concluímos que

e P(m) é verdadeira para todo

.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Nesta seção apresentaremos alguns problemas resolvidos. Sabemos que aprendemos por imitação e prática. Portanto a resolução de problemas é parte essencial do processo de aprendizagem. Vejamos alguns exemplos:

7

INDUÇÃO

Demonstrar que

é múltiplo de 3 para qualquer

natural .

SOLUÇÃO Para

, temos

Suponha

agora

e portanto vale a afirmação. que

De .

vemos mostrar que Com efeito, onde

Assim, por indução

é múltiplo de 3 para

qualquer n natural. FUNÇÃO QUADRÁTICA

A função quadrática

é bastante conhecida.

Sabemos que podemos escrever

que é a sua

forma canônica e todo o estudo do sinal e das raízes pode ser obtido a partir dela. A determinação de mínimo ou máximo também pode ser facilmente conseguida conforme o seguinte problema: prove que e SOLUÇÃO Da

forma

canônica,

obtemos Sendo

segue-se

que

e

Como queríamos mostrar. APLICAÇÃO DE 2

João tem uma fábrica de sorvetes. Ele vende, em média, 300 caixas de picolé por R$20,00 a caixa. Entretanto, percebeu que, cada vez que diminuía R$1,00 no preço da caixa, vendia 40 caixas a mais. Qual deveria ser o preço da caixa para que sua receita fosse máxima? SOLUÇÃO Temos aqui uma boa oportunidade de ressaltar para os nossos alunos que a Matemática tem aplicações interessantes no cotidiano das pessoas. Observe que a receita é dada pela quantidade de caixas vendidas vezes o preço de uma caixa. Agora, se for a quantia que devo diminuir no preço de cada caixa, teremos , que é uma função quadrática e do problema 2, sabemos que ela atinge o seu valor máximo quando Portanto, para que a receita seja a maior possível o preço da caixa deve ser de R$13,75 PRINCÍPIO DA CASA DO POMBO

Trata se de um poderoso instrumento de resolução de problemas, não obstante a sua facilidade de compreensão. Imagine que existem pombos (ou objetos) para serem colocados em casas gavetas), então pelo menos uma casa deve abrigar no mínimo 2 pombos . Caso contrário, existiriam no máximo pombos. Mais geralmente, se existem pombos 8

para serem colocados em casas, então pelo menos uma casa deve abrigar, no mínimo, pombos, onde denota o menor inteiro menor ou igual a

Com efeito, se a afirmação fosse falsa, isto é, se cada casa

abrigasse no máximo

pombos, então existiriam no máximo

pombos. Mas,

Portanto, existiriam no máximo

pombos, o que é falso, já que existem pombos. Assim a afirmação é verdadeira. Aplicaremos este princípio para resolver as seguintes questões: 4.1 - EM UMA REUNIÃO COM 30 PESSOAS, NO MÍNIMO QUANTAS PESSOAS FAZEM ANIVERSÁRIO NO MESMO DIA DA SEMANA?

Aqui temos 30 pombos (pessoas) para serem colocados em 7 casas (dias da semana). Pelo exposto acima, sabemos que no mínimo uma casa deve abrigar, pelo menos,

pombos, ou seja,

pessoas (no

mínimo) fazem aniversário no mesmo dia da semana. 4.2 - DO CONJUNTO ESCOLHEMOS AO ACASO 51 DEMONSTRAR QUE ENTRE OS NÚMEROS ESCOLHIDOS SEMPRE EXISTEM DOIS QUE SÃO CONSECUTIVOS. NÚMEROS.

Solução: vamos colocar os elementos de A em 50 gavetas Agora fazemos as 51 retiradas. É claro que dois devem sair da mesma gaveta, já que existem apenas 50 gavetas. Portanto, estes que saíram da mesma gaveta são consecutivos. 4.3 - QUAL DEVE SER A QUANTIDADE MÍNIMA DE PESSOAS EM UMA REUNIÃO PARA QUE SE TENHA CERTEZA DE QUE, PELO MENOS,

40 PESSOAS FAZEM ANIVERSÁRIO NO MESMO MÊS. Solução: podemos pensar nas pessoas como pombos e a quantidade de meses como as casas. Assim, precisamos ter Daí, ,portanto

Ou

seja,a

quantidade mínima de pessoas é 469 Isso é apenas uma pequena amostra do poder do P (princípio da casa do pombo).

FÓRUM Para consolidar a aprendizagem sobre demonstrações: Use os dois princípios lógicos (princípio da não contradição e o princípio do terceiro excluído) para provar a equivalência: , isto é, mostre que .

reciprocamente,

(você pode anexar um arquivo ao Fórum com a sua solução)

ATIVIDADE DE PORTFÓLIO

9

e

Resolva os exercícios 1, 3, 5, 7 e 9 da lista de exercícios (Visite a aula online para realizar deste arquivo.) e coloque no seu portfólio. CONTANDO HISTÓRIA

Os gregos foram os primeiros europeus que mantiveram contato com o Oriente Médio, de onde levaram os conhecimentos matemáticos que já existiam no Egito e na Mesopotâmia, especialmente a Geometria (medida da terra). O primeiro grande matemático grego foi Tales, da cidade de Mileto, que viveu por volta de 600 A.C.. Tales visitou o Egito e a Babilônia e de lá trouxe para a Grécia o estudo da Geometria. Além disso, introduziu um conceito revolucionário: “As verdades matemáticas precisam ser demonstradas”.


10

ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA VETORIAL AULA 02: MATRIZES TÓPICO 01: DEFINIÇÕES E EXEMPLOS

Chamamos de matriz uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas. Por exemplo, ao recolhermos os dados referentes a altura, peso e idade de um grupo de três pessoas, podemos dispô-los na tabela: Altura(m)

Peso(kg)

Idade(anos)

Pessoa 1

1,51

51

24

Pessoa 2

1,90

100

18

Pessoa 3

1,60

57

40

Ao omitirmos os significados das linhas e colunas, temos a matriz:

Também são exemplos de matrizes:

Os elementos de uma matriz são números reais ou complexos. CONTANDO HISTÓRIA...

O termo matriz foi utilizado pela primeira vez pelo matemático e advogado inglês James Sylvester, que o definiu em 1850 como um "arranjo oblongo de termos". Sylvester comunicou seu trabalho sobre matrizes para seu colega advogado e matemático inglês Arthur Cayley, que então introduziu algumas operações básicas de matrizes num livro intitulado Memoir on the Theory of Matrices que foi publicado em 1858. É curioso observar que Sylvester, que era judeu, não conseguiu seu diploma universitário pois se recusava a o requerido juramento à Igreja Anglicana. Ele ocupou uma cátedra na Universidade de Virgínia, nos EUA, mas renunciou ao cargo depois de espancar com uma bengala um aluno que estava lendo um jornal em sala de aula. Sylvester, pensando que havia matado o aluno, fugiu de volta para a Inglaterra no primeiro navio disponível. Felizmente, o aluno não morreu, só ficou em estado de choque! Representaremos uma matriz com m linhas e n colunas por:

Utilizaremos letras maiúsculas para denotar matrizes, e quando quisermos especificar a ordem de uma matriz A (isto é, o número de linhas e 11

colunas) escreveremos Amxn . O elemento aij é o termo da matriz que está localizado na i-ésima linha e j-ésima coluna. Por exemplo, na matriz:

Quando a matriz tem ordem N X N os elemenos a11, a22, ..., anm constituem a chamada diagonal principal. A outra diagonal é chamada diagonal secundária. TIPOS DE MATRIZES

MATRIZ QUADRADA: São matrizes AMXN cujo número de linhas é igual ao número de colunas, isto é, m=n.

MATRIZ COLUNA: São as matrizes que possuem uma única coluna, isto é, N = 1

Analogamente. MATRIZ LINHA: São as matrizes que possuem uma única linha, isto é, M=1

MATRIZ DIAGONAL: São as matrizes quadradas tais que AIJ = 0 para , isto é, os únicos elementos não-nulos pertencem a diagonal todo principal.

MATRIZ IDENTIDADE: São as matrizes diagonais tais que AII = 1 para todo

. Denotamos por IN.

MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR: São as matrizes quadradas onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são nulos, isto é,

12

MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR: Neste caso, todos elementos acima ). da diagonal principal são nulos (isto é,

MATRIZ SIMÉTRICA: São as matrizes onde M = N e AIJ = AJI.

Note que, no caso de uma matriz simétrica, a parte superior é uma "reflexão" da parte inferior, em relação a diagonal principal. Vejamos como podemos trabalhar a noção de igualdade para matrizes. DEFINIÇÃO

são iguais, e denotamos A =

Duas matrizes

B , se elas possuem o mesmo número de linhas (m = r) e o mesmo número de colunas (n = s), e AIJ = BIJ para todo i,j. Por exemplo,


13

ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA VETORIAL AULA 02: MATRIZES TÓPICO 02: ADIÇÃO E MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES

ADIÇÃO DE MATRIZES DEFINIÇÃO:

A

adição de duas matrizes de mesma ordem, e , é uma matriz MXN, denotada por A + B, cujos elementos são as somas dos elementos correspondentes de A E B. Isto é:

EXEMPLO

Considere

. Então, por definição, a

matriz A + B é dada por:

Há situações cotidianas onde a adição de matrizes se faz presente, vejamos: Exemplo: Consideremos as tabelas, que descrevem a produção de grãos em dois anos consecutivos. Soja

Feijão

Arroz

Milho

Região A

4000

400

350

130

Região B

500

800

450

200

Região C

1300

250

900

300

Produção de grão (em milhares de toneladas) durante o primeiro ano Soja

Feijão

Arroz

Milho

Região A

2000

100

700

280

Região B

1500

800

230

330

Região C

7000

1000

900

350

Produção de grão (em milhares de toneladas) durante o segundo ano

DESAFIO Como faríamos para montar uma tabela que dê a produção por produto e por região nos dois anos consecutivos conjuntamente? SOLUÇÃO

Para isso, teremos que somar os elementos correspondentes das duas tabelas, ou seja:

14

Portanto soja

feijão

arroz

Milho

Região A

6000

500

1050

410

Região B

2000

1600

680

530

Região C

8300

1250

1800

650

Produção de grãos (em milhares de toneladas) durante os dois anos

ATENÇÃO A adição de matrizes está definida somente para matrizes de mesma ordem.

TEOREMA 1 Sejam A, D e C raízes de ordem mxn. Então:

No que segue, definiremos a operação multiplicação de uma matriz por um escalar(número). e K um número(real ou complexo), então

Definição: Seja definimos a matriz KA por :

EXEMPLO

Para a matriz

, temos

TEOREMA 2 Sejam A, B raízes de ordem mxn e

15

escalares. Então:

OBSERVAÇÃO Se onde

então

. Portanto,

é a matriz nula.

Outra operação natural com matrizes é a multiplicação. Como podemos multiplicar matrizes?

MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES e

DEFINIÇÃO: Sejam multiplicação de

matrizes. Definimos a

, como sendo a matriz de ordem

, denotada por

, onde

1) A multiplicação de duas matrizes só é possível se o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda matriz. Ademais, a matriz resultante tem ordem mxp. 2) O elemento cij é obtido, multiplicando os elementos da i-ésima linha da primeira matriz com os elementos correspondentes da j-ésima coluna da segunda matriz, e somando estes produtos.

EXEMPLO Calcule AB, dados

Como

tem ordem

e será uma matriz

e

tem ordem

. A primeira linha do produto

fazendo-se o produto da primeira linha de cada uma das colunas de

A segunda linha de de

, o produto

está definido é calculada

com os correspondentes com

e somando-os. Assim,

é calculada fazendo-se o produto da segunda linha

com os correspondentes com cada uma das colunas de

e somando-os:

Assim, a matriz produto é OBSERVAÇÃO: Em geral, AB ≠ BA (ou seja, o produto de matrizes não é comutativo). Por exemplo, se temos

16

TEOREMA 3 Desde que sejam possíveis as operações, as seguintes propriedades são válidas: (a) A . In = In . A = A; (b ) A (B + C) = AB + AC< (c) ( A + B).C = AC + BC (d) (AB)C = A(BC); (e) 0.A = A.0 = 0


17

ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA VETORIAL AULA 02: MATRIZES TÓPICO 03: POTÊNCIA, TRANSPOSTA E INVERSA DE UMA MATRIZ

MATRIZ TRANSPOSTA DEFINIÇÃO , obtemos outra matriz

Dada uma matriz

cujas linhas são as colunas de , ou seja,

A matriz

, é chamada a

(ou transposta de ).

matriz transposta de

EXEMPLOS 1) Se

então

2) Se

então

TEOREMA 4 Sejam A e B matrizes (com ordens tais que as operações indicadas podem ser realizadas) e um escalar. Então: (a) (b) (c) (d)

PROVA As propriedades (a), (b) e deixaremos como exercício!

(c)

são relativamente fáceis de provar,

Provaremos a propriedade (d), já que essa é uma propriedade que você não deve ter esperado. poderia ser verdadeira?).

(Você achou que Primeiro, se produto

for

e

está definido e é

for

,

, e

. Como

Portanto, o e, assim,

têm a mesma ordem. Devemos provar que os elementos correspondentes são iguais. Denotemos a i-ésima linha de uma matriz coluna, por

por

. Usando essas convenções, vemos que

18

e sua j-ésima

Como i e j são arbitrários, concluímos que

OBSERVAÇÃO As propriedades (b) e (d) do Teorema 4 podem ser generalizadas para somas e produtos de um número finito de matrizes:

itindo que as ordem das matrizes são tais que as operações indicadas podem ser realizadas.

EXEMPLO 3) Considere Então

4) Se

então

5) Sejam

então

Com a definição de transposta, poderíamos definir matriz simétrica da seguinte forma: Uma matriz é simétrica se, e somente se,

INVERSA DE UMA MATRIZ Na aritmética usual, cada número com a propriedade

tem um recíproco . O número

é o inverso

multiplicativo de . Nosso objetivo é procurar um análogo desse resultado na aritmética matricial. Para isso é conveniente introduzir a seguinte definição:

DEFINIÇÃO Se que

é uma matriz quadrada e se existe uma matriz

tal que

singular) e que

, dizemos que

de mesma ordem

é uma matriz invertível (ou não-

é uma inversa de . Se não existir uma matriz

propriedade, dizemos que

EXEMPLO 6) Sejam

19

com tal

é uma matriz não-invertível (ou singular).

Note:

Assim,

são invertíveis e cada uma é a inversa da outra.

TEOREMA 5 é uma matriz invertível então a sua inversa é única.

Se

PROVA Suponhamos que

tenha duas inversas, digamos

Então,

Logo,

NOTAÇÃO Motivados pela notação não-nulo

do inverso multiplicativo do número real

, denotaremos a inversa de uma matriz invertível

por

Assim,

Na aula sobre determinantes, discutiremos um método geral para encontrar a inversa de uma matriz invertível. Contudo, no caso de uma matriz invertível 2x2, podemos obter a inversa pela fórmula do próximo teorema.

TEOREMA 6 é invertível se , e somente se,

A matriz

. Nesse

caso, a inversa é dada por

PROVA: DEIXAMOS COMO EXERCÍCIO TEOREMA 7 (a) Se

é uma matriz invertível, então

é invertível e

(b) Se

é uma matriz invertível e k é um escalar não-nulo, então

é

uma matriz invertível e c) Se

(d) Se

são matrizes invertíveis, então

é invertível e

é uma matriz invertível, então

é invertível e

20

PROVA Vamos provar as propriedades (a) e (c). Para mostrar que invertível, devemos procurar uma matriz matriz

x

tal que

certamente satisfaz essas operações, por isso

uma inversa de

Agora,

é . A

é invertível e

é

. Como inversas são são únicas, temos que

devemos mostrar que existe Consideremos a matriz

uma .

matriz

x

tal

que

Note:

Assim,

é uma inversa de

e é a única. Portanto,

OBSERVAÇÃO Podemos generalizar a propriedade (c) do Teorema 7 para produtos de um número finito de matrizes invertíveis: se invertíveis de mesma ordem, então

são matrizes é invertível se:

POTÊNCIAS DE UMA MATRIZ DEFINIÇÃO Se

é uma matriz quadrada, então definimos as potências inteiras não-

negativas de

E se

por

é invertível, então definimos as potências inteiras negativas de

por

As leis de expoentes não-negativos valem para matrizes: , para todo

.

TEOREMA 8 (PROPRIEDADE): (i) (ii) Se

para todo é invertível, então

; é invertível e vale

PROVA: DEIXAMOS COMO EXERCÍCIO

21

e

EXERCÍCIO 1 Prove a lei associativa da multiplicação de matrizes, isto é, prove que onde

SOLUÇÃO Em primeiro lugar, vemos que são matrizes são iguais. Seja a entrada

é

e assim

Precisamos mostrar agora que suas de . Então . Portanto

a entrada de é isto é, uma mudança na ordem dos somatórios, obtemos

Depois de

Aqui é permitido mudar a ordem de dois somatórios, pois isso corresponde a somar os números em uma ordem diferente. Finalmente, procedendo de análogo, vemos que o último somatório é a entrada da matriz Portanto

EXERCÍCIO 2 Em uma certa cidade existem

10000

pessoas em idade de

trabalhar. No presente 7000 estão empregadas e o restante está fora do mercado de trabalho. A cada ano 10% das pessoas empregadas perdem o emprego, enquanto 60% acham trabalho. Assumindo que o total das pessoas fica inalterado, qual será o número de pessoas empregadas no final de três anos?

SOLUÇÃO Sejam respectivamente o número de pessoas empregadas e o número de pessoas desempregadas depois de anos. Então as informações dadas nos permite concluir que

e

Vamos agora escrever o sistema em forma matricial. Com efeito, Sejam e

Então o sistema acima pode ser escrito como Agora (em

geral

e

então

). Temos

empregadas e

, ou seja, no final de 3 anos teremos pessoas estarão desempregadas.

22

estarão

FORUM Para consolidar a aprendizagem sobre Matrizes: Comente sobre alguma dúvida que você teve ao ler a aula 2 (pode ser algum teorema ou algum exercício, qualquer dúvida)

ATIVIDADE DE PORTFÓLIO Resolva os exercícios 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10 da lista de exercícios (Visite a aula online para realizar deste arquivo.) e coloque no seu portfólio.


23

ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA VETORIAL AULA 03: SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES E DETERMINANTES TÓPICO 01: GENERALIDADES

Um sistema de equações lineares com m equações e n incógnitas é um conjunto de equações (1)

, onde

,

,

e

Uma solução do sistema acima é uma seqüência de n números reais que satisfaz a todas as equações do sistema. EXEMPLOS EXEMPLO 1

tem como solução o terno

O sistema

Na verdade qualquer terno da forma

.

;

; é

solução do sistema dado. EXEMPLO 2

tem única solução que é o par

O sistema

.

SISTEMAS E MATRIZES , onde

O sistema (1) pode ser escrito na forma matricial e .

A matriz é chamada matriz do sistema, X é matriz das incógnitas e B a matriz dos termos independentes. Se conhecemos a inversa sistema

por

da matriz

, então, multiplicando o

, obtemos a única solução que é

.

EXEMPLO 3

O sistema

que na forma matricial é

como única solução

.

24

tem

Vamos matriz

denominar .

de

matriz

ampliada

do

sistema

(1)

OBSERVAÇÃO A matriz A acima tambem pode ser denominada a matriz associada ao sistema (1).


25

a

ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA VETORIAL AULA 03: SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES E DETERMINANTES TÓPICO 02: RESOLUÇÃO DE SISTEMAS

SISTEMAS EQUIVALENTES Dois sistemas de equações lineares são equivalentes se item as mesmas soluções. EXEMPLO: OS SISTEMAS

(2)

(3)

e (4)

.

São dois a dois equivalentes, note que (4) nos fornece imediatamente a única solução dos sistemas (2), (3), e (4). Podemos resolver um sistema, substituindo sucessivamente o sistema por outro equivalente até obtermos um sistema equivalente conveniente que nos forneça as soluções, caso existam, de forma imediata. Vejamos como proceder para obter o sistema conveniente equivalente no exemplo (2)

.

Para tornar mais claro o processo ao lado de cada sistema vamos escrever sua matriz ampliada

OS PARA RESOLUÇÃO DO SISTEMA O 1

Eliminaremos x da 2ª equação: Substituímos a 2ª equação por outra, obtida somando-se a ela a 1ª equação multiplicada por -2:

O 2

Tornemos o coeficiente de y na 2ª equação igual a 1: substituímos a : 2ª equação por outra obtida multiplicando-se ela por

O 3 26

Eliminemos y da 1ª equação: substituímos a 1ª equação por outra, obtida somando-se a ela a 2ª equação multiplicada por -2:

Note que o sistema

é o mesmo sistema (4) do último exemplo.

OBSERVAÇÃO 1. As operações que usamos para obter sistemas equivalentes a um sistema dado, são chamadas operações elementares. 2. As operações elementares são reversíveis. 3. Podemos resolver o sistema apenas usando “operações elementares sobre as linhas” da matriz ampliada do sistema inicial. 4. O método usado no exemplo anterior é chamado “Método da Eliminação de Gauss”.

OPERAÇÕES ELEMENTARES SOBRE AS LINHAS DE UMA MATRIZ As operações elementares sobre as linhas de uma matriz são: 1ª) Permutação da i-ésima com a j-ésima linha. E será representada por

2ª) Multiplicação da i-ésima linha por um escalar (número real) nulo. E será representada por

não

3ª) Substituição da i-ésima linha pela sua soma com k vezes a j-ésima . E será representada por

linha,

EXERCÍCIO RESOLVIDO Resolver o sistema

A matriz ampliada do sistema é

.

Obtenha a partir de A, usando operações elementares, uma matriz A’, matriz ampliada de um sistema equivalente ao sistema dado, e cujas soluções sejam imediatamente determinados. SOLUÇÃO

O sistema que tem A’ como matriz ampliada é cuja solução é

27

e

.

MATRIZ NA FORMA ESCADA Uma matriz

está na “forma escada” se:

1. O primeiro elemento não nulo de cada linha não nula é 1. 2. Cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma linha tem todos os outros elementos nulos. 3. Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas. são as linhas não nulas e se o primeiro elemento não nulo de 4. Se ocorre na coluna

, então

UMA

LINHA OU COLUNA COMPONENTES SÃO NULOS.

É

NULA

SE

TODOS

SEUS

EXEMPLO EXEMPLO

é uma matriz na forma escada.

Dadas duas matrizes

,

e

, dizemos que B é linha-equivalente a A

se B foi obtida de A após um número finito de operações elementares sobre . linhas. Neste caso, usamos a notação Note que

implica

.

TEOREMA. Sistemas de equações lineares que possuem matrizes ampliadas linha-equivalentes são equivalentes. TEOREMA. Toda matriz é linha-equivalente a uma única matriz na forma escada.

RESOLUÇÃO DE SISTEMAS POR ESCALONAMENTO Para resolver um sistema de m equações lineares a n incógnitas podemos proceder do seguinte modo: 1º) Determinamos a matriz ampliada do sistema. 2º) Usando operações elementares sobre as linhas da matriz ampliada obtemos sua matriz linha-equivalente na forma escada. 3º) Escrevemos o sistema associado á matriz obtida, chegando assim à solução do sistema dado.

EXERCÍCIO RESOLVIDO Resolver o sistema

SOLUÇÃO 28

Matriz ampliada do sistema é

. Sua matriz linha-

equivalente na .

forma escada é

O sistema associado à matriz B é

imediatamente a solução do sistema inicial.


29

que nos dá

ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA VETORIAL AULA 03: SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES E DETERMINANTES TÓPICO 03: DETERMINANTES

Dada uma matriz quadrada ordem

, indicamos por

a matriz quadrada de

obtida de A suprimindo-se a i-ésima linha e a j-ésima coluna.

A toda matriz quadrada

está associado um número real, o

determinante de A, que será denotado por

, ou

, ou

, e

será definido como segue: ,

Se

,

.

,

Se conjunto

,

, onde i é fixo e pertence ao

.

A expressão acima é denominada desenvolvimento de Laplace. CASOS PARTICULARES N=2

Fixando-se i=2,

Obtemos o mesmo valor se fixamos i=1, j=1 ou j=2. N=3

Fixando i=1:

Fixando qualquer outro valor de i, ou j, obtemos o mesmo resultado.

30

DISPOSITIVOS PRÁTICOS PARA CALCULAR DETERMINANTE NOS CASOS N=2 E N=3 N=2

1º) n=2

N=3

2º) n=3

Este dispositivo é chamado regra de Sarrus.

PROPRIEDADES DETERMINANTES 1ª) Se uma matriz A tem uma linha (coluna) nula, seu determinante é nulo. 2ª) Permutando-se duas linhas (colunas) de uma matriz A, o determinante da matriz obtida é igual a

.

3ª) Se uma matriz tem duas linhas (colunas) iguais, seu determinante é nulo. 4ª) Multiplicando-se uma linha(coluna) de uma matriz A por uma . constante k, o determinante da matriz obtida é igual a 5ª)

6ª)

.


31

ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA VETORIAL AULA 03: SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES E DETERMINANTES TÓPICO 04: SISTEMAS LINEARES HOMOGÊNEOS

Um sistema de m equações lineares a n variáveis é dito homogêneo quando todos os termos independentes são nulos, isto é,

Matricialmente, temos

.

Um sistema homogêneo ite pelo menos uma solução(a solução . trivial) TEOREMA. Se

, então o sistema (I)

Tem solução não-trivial. PROVA

Se

, então qualquer seqüência

não-nula

é

solução do sistema. Suponhamos agora que

para algum par

Vamos usar indução sobre

(o número de equações).

Se

e

, então

.

.

Fazendo uma reenumeração das incógnitas, se necessário, podemos .Assim .De modo que uma solução nãosupor trivial é obtida atribuindo valor diferente de zero a pelo menos uma variável

.

Suponha, por hipótese de indução, que qualquer sistema com equações e com mais incógnitas que equações tenha solução não-trivial. Podemos supor

(depois de uma possível reenumeração dos

índices ). .

Então

Substituindo no sistema (I), obtemos o sistema (II)

32

(II)

Com

equações e

- 1 incógnitas.

Portanto, por hipótese de indução, (II) tem uma solução não-trivial . Então

é solução não-trivial do sistema(I).

Por indução

o sistema (I) tem solução não-trivial.

OBSERVAÇÃO 01

, a matriz do sistema, e seja Seja A a matriz quadrada , onde matriz equivalente na forma escada. Temos que

A’ sua .

OBSERVAÇÃO 02

, então

Se

, e portanto

, já que

está na

forma escada. Então o sistema dado e equivalente ao sistema

, ou seja,

é a única solução do sistema dado. OBSERVAÇÃO 03

Se já que

, . E portanto tem pelo menos uma coluna nula, está na forma escada, digamos que a i-ésima coluna seja nula.

Então o sistema dado é equivalente ao sistema , ou seja, o sistema dado tem uma infinidade de soluções. Uma

solução do sistema dado é do tipo

EXEMPLO RESOLVIDO 1 Resolva o sistema

SOLUÇÃO

33

,

.

a matriz do sistema é

.

, logo o sistema tem solução única

.

EXEMPLO RESOLVIDO 2 Resolva o sistema

SOLUÇÃO

A matriz do sistema é

, cujo determinante é igual a

zero. Logo o sistema ite infinitas soluções. A matriz

é a matriz na forma escada linha-equivalente

a matriz A. Portanto o sistema dado é equivalente ao sistema solução geral é

e

;

cuja

.

PROBLEMAS RESOLVIDOS 1) Em uma corrida de d metros os atletas A, B e C competiram aos pares. A venceu B com 20m de frente; B venceu C com 10m de frente e A venceu C com 28m de frente. Supondo que em cada disputa a velocidade de cada atleta se manteve constante, determine d. SOLUÇÃO

Seja

respectivamente as velocidades dos atletas A, B e C.

Sabemos que o tempo de percurso é dado pelo quociente entre a distância e Para a velocidade. Assim as condicionantes do problema nos dão

facilitar

a

resolução,

.Portanto

façamos

Da segunda equação acima, obtemos Substituindo este valor de Donde, concluímos que

Y

na primeira equação chegaremos a Como e daí

2) Um par de tênis, duas bermudas e três camisetas custam juntos R$100,00. Dois pares de tênis,cinco bermudas e oito camisetas custam 34

.

juntos R$235,00. Quanto custam juntos um par de tênis, uma bermuda e uma camiseta? SOLUÇÃO

Sejam

respectivamente a quantidade de pares de tênis,

bermudas e camisetas. Então

e queremos saber o valor

de . Observe que três vezes a primeira equação menos a segunda equação resolve o nosso problema. Continue! 3) Bronze é uma liga de cobre e zinco, na qual a porcentagem de cobre

50% e 70% . Usando dois tipos de bronze, um com 62% e outro com 70% de cobre, deseja-se obter uma tonelada de bronze com exatamente 65% de cobre. Quantos quilos do primeiro tipo varia geralmente entre

de bronze e quantos quilos do segundo devem ser usados? SOLUÇÃO

Seja X a quantidade (em quilos) do primeiro tipo e Y a quantidade do Resolvemos o segundo tipo. Então devemos ter sistema para encontrar Exemplo 4) (usando determinante para garantir a existência da inversa ) SOLUÇÃO

Solução: Seja

uma matriz

submatriz de obtida eliminando a linha é o número

. Denotamos por e a coluna

, que é denotado por

a

de . O cofator

. Enquanto,

éa

matriz dos cofatores de A e finalmente a matriz ( transposta da matriz dos cofatores ) é chamada a matriz adjunta de . Vejamos um exemplo. então

Consideremos

Portanto,

Observe

que

Na verdade essa igualdade vale sempre. Ou seja,

Faremos a prova para o caso Onde

Com efeito, .Então e

. Assim,

Agora, Agora,

35

(desenvolvemos o determinante pela segunda linha). Mas,como a matriz tem

duas

linhas

Analogamente,

iguais,segue-se mostra-se

que

que .

observamos que se

(c

.q.d)

Portanto Finalmente,

então Reciprocamente,

ou seja se

existe

,

então

ATIVIDADE DE PORTFÓLIO Resolva os exercícios 1, 3, 5, 7 e 9 da lista de exercícios (Visite a aula online para realizar deste arquivo.) e coloque no seu portfólio.


36

ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA VETORIAL AULA 04: O ESPAÇO TRIDIMENSIONAL ℜ3 TÓPICO 01: REPRESENTAÇÃO CARTESIANA

Como foi visto na disciplina Geometria Analítica Plana, o espaço bidimensional ² que é o conjunto de pares ordenados u = (a , b), onde a, b e cuja representação cartesiana consiste em um sistema de dois eixos ortogonais, conforme a figura abaixo:

Diz-se que Ae B são as coordenadas de u. Lembramos também que se e são dois elementos de ², então a distância entre u e v é obtida pelo teorema de Pitágoras. Com efeito, consideremos a representação cartesiana.

O

teorema

de

Pitágoras

aplicado

fornece

ao

triângulo

nos

e assim

. Agora vamos colocar mais um eixo. DEFINIÇÃO:

O

espaço

tridimensional

é

o

conjunto

. A sua representação cartesiana é um sistema de três eixos ortogonais.

37

Dizemos que e são as coordenadas de dividido em 8 partes (octantes). está no 1º octante e

Por exemplo,

. Vemos que o espaço fica

está no segundo

octante. Temos três planos coordenados: os planos , pontos do plano

e .Observe que os pontos do plano xy têm ; Já os são caracterizados por e é a equação do plano

. Agora,

,

e

são as equações dos eixos

,

e

respectivamente.

Em

O que representa a equação

em

Sabemos que em , ou , os pontos que verificam

é a bissetriz do 1º e 3º quadrantes. são todos os pontos do tipo e

formam o plano que contém a reta

?

no plano

e o eixo .

EXERCÍCIO RESOLVIDO i) Esboce o gráfico da reta

,

ii) Descreva e esboce o lugar geométrico de todos os pontos tais que

e

. 38

INTRODUÇÃO DA DIDÁTICA MAGNA, DE COMÊNIO

ii) Os pontos que verificam as condições do item ii) são todos da forma onde

, ou seja, a circunferência

levantada para o plano

.


39

no plano

foi

ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA VETORIAL AULA 04: O ESPAÇO TRIDIMENSIONAL ℜ3 TÓPICO 02: DISTÂNCIAS EM ℜ3

. Podemos encontrar a distância de

Seja

à origem,

raciocinando com a figura abaixo:

Mas,

e

, portanto,

.

DESAFIO Agora, dados encontrar

e

, como podemos proceder para

?

Ora, se transladarmos o sistema inicial origem , podemos encontrar coordenadas de

em relação ao novo sistema

e

para o sistema onde , ,

com são as

. Por outro lado, se

são as coordenadas de P em relação a

e

respectivamente. Então

e assim

,

e

Desse modo

,

. e

. .

Logo EXEMPLO – A EQUAÇÃO DA ESFERA

A esfera de centro tais que

e raio

é o lugar geométrico dos pontos

. Portanto,

é a

equação da esfera. Seja

agora

40

.

Então

, pois apenas somamos e subtraímos

.

Assim,

.

Logo a equação centro

e raio 3.


41

representa uma esfera de

ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA VETORIAL AULA 04: O ESPAÇO TRIDIMENSIONAL ℜ3 TÓPICO 03: AS OPERAÇÕES EM ℜ3

Em

estão definidas duas operações fundamentais: a soma e a multiplicação por escalar onde

.

Reunimos as propriedades das operações em

gozam das seguintes propriedades:

TEOREMA 1. As operações em

Nota: Aqui,

no seguinte teorema.

é o elemento nulo de

. Este abuso de

linguagem é permitido, pois simplifica a notação.

A demonstração do teorema segue das definições e das propriedades de . Faremos as demonstrações de e . Com efeito, seja Então prova

e

. Quanto à

. Isso

, sejam

e

números reais e

. Então .

PARADA OBRIGATÓRIA A prova dos demais itens seguem a mesma linha de raciocínio.

FÓRUM Para consolidar a aprendizagem do teorema 1 a) Mostre que no item b) Prove que

o vetor

tal que

é único.

(é claro que o primeiro zero é o número

real zero e o segundo é o elemento nulo de

).

c) Apresente uma demonstração de mais dois itens do teorema 1.

42


43

ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA VETORIAL AULA 04: O ESPAÇO TRIDIMENSIONAL ℜ3 TÓPICO 04: INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA

Dados

e

localizado em

em

, o segmento orientado

e com extremidade em

Dizemos que os vetores Neste caso escrevemos

é chamado o vetor

.

e

são equivalentes, se

.

.

OBSERVAÇÕES: tem a direção da reta que a por e , o sentido do 1. O vetor vetor é de para e o módulo ou comprimento do vetor é dado pela distância de até . Os vetores têm muitas aplicações em Física.Por exemplo,vetores são utilizados para descrever grandezas que são caracterizadas por uma direção, um sentido e uma intensidade. Exemplos de tais grandezas são força e velocidade. pode ser visto como vetor o localizado na origem 2. Todo ponto . Além disso para quaisquer e , e dizemos que

,

e

são as coordenadas (ou componentes) de

.

3. A figura abaixo ilustra a multiplicação por escalar.

EXEMPLO – O PONTO MÉDIO DO SEGMENTO AB

Sejam

e tal que

. Queremos encontrar as coordenadas de .

Ora,

e e

. Logo,

. Tirando

. Portanto

,

e

, obtemos

, ,

.

Podemos agora justificar a regra do paralelogramo. Sejam

e

44

e consideremos o paralelogramo:

e

Afirmamos que . De fato, a Geometria Euclidiana, nos garante que as diagonais de um paralelogramo têm o mesmo ponto médio. Logo se

Portanto

, então

,

,

. Donde concluímos que

Mais geralmente, se

e

são os

vértices do paralelogramo abaixo,então o ponto médio do segmento . ponto médio do segmento Logo

éo

e portanto

Por outro lado,

.Assim,

EXEMPLO – USO DE VETORES PARA PROVAR PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS

Provaremos que o segmento que une os pontos médios dos lados nãoparalelos de um trapézio é a semi-soma das medidas das bases. Com efeito, consideremos o trapézio abaixo:

Temos

e

Logo,

.,pois .

Mas,

.

Portanto,

.

PROBLEMAS RESOLVIDOS Exemplo 1) (usando coordenadas para obter propriedades geométricas ) Podemos obter propriedades geométricas através coordenadas. Por exemplo,seja o triângulo hipotenusa BC e M o ponto médio de

ABC

retângulo com

BC .Prove que o comprimento da

mediana AM é igual à metade do comprimento da hipotenusa.

45

SOLUÇÃO

Solução: escolha um sistema de coordenadas de modo que .Então e portanto , como queríamos mostrar.

Exemplo 2) Sejam que . Exprima

Seja x um ponto tal

pontos distintos e em função de e de

SOLUÇÃO

Solução: pela regra do paralelogramo, temos , segue-se que . Também Mas,

Exemplo

3)

A

e

. Como , daí assim

superfície

é

denominada parabolóide de revolução.Determine

, onde é a esfera de

centro na origem e raio 1 SOLUÇÃO

Solução: com efeito, seja . Daí, então

.Então

e portanto

. Mas,

. Portanto,

(condição

e , ou seja,

uma circunferência de centro 4)

e

e raio de

é

situada no plano

ortogonalidade)

Dados

qual deve ser a condição para que os vetores

e

sejam ortogonais ?

SOLUÇÃO

Solução: o triângulo deve ser retângulo com hipotenusa e catetos e Portanto, . Agora, desenvolvendo e simplificando,obtemos ortogonalidade.

,

que

é

a

condição

de



46

ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA VETORIAL AULA 05: O PRODUTO ESCALAR EM ℜ3 TÓPICO 01: PRODUTO ESCALAR E NORMA

DEFINIÇÃO: Dados (ou interno) de

por

em

, o produto escalar

é o número real

.

TEOREMA 2. *

e

(1)

Nota: O primeiro zero é o número real zero, enquanto o segundo zero é o elemento nulo (0,0,0) de . Esse abuso de linguagem é permitido, pois simplifica a notação. (2) (3) (4) A demonstração do teorema 2 segue diretamente das definições e das propriedades dos números reais. Vejamos a primeira igualdade do item (4). em

Sejam

e

seja

.

Então

c.q.d. (Nota: -- c.q.d. são as iniciais de como queríamos demonstrar.)

PARADA OBRIGATÓRIA A prova dos demais itens é feita de modo semelhante. Dado

. Vimos que o comprimento de

até a origem) é dado por Definimos

. Observe que

como sendo a norma de

(Usamos o símbolo

(ou a distância de .

e denotamos

.

para norma, que também é usado para módulo de

número real. O contexto deve indicar o significado de

).

DEFNINIÇÃO: Dizemos que e são ortogonais, se . O termo ortogonais será justificado mais tarde. Agora, se para algum , diz-se que

e

são paralelos.

TEOREMA 3. (1) Seja

. Então para qualquer

. 47

é ortogonal

(2)

para qualquer

e qualquer

. (e é claro que o

significam norma, enquanto o segundo

primeiro e o terceiro

significa

módulo ou valor absoluto de número real). e

(3) (PITÁGORAS) Se

são ortogonais, então

.

(4) (SCHWARZ) Para quaisquer

.

(5) (DESIGUALDADE TRIANGULAR)

.

FAREMOS A PROVA DO TEOREMA 3

(1) Temos

.

(2)

,

Seja

então .

(3) Por definição e pelas propriedades do produto escalar, , pois sendo ortogonais, (4) Se

e

.

= 0, então onde

. Seja

. Então, pelo item (1),

. Agora, o item (3), nos dá

Assim,

.

Portanto, , pois

e

. pelo

item

(2),

. Concluímos que

(5) Por definição e propriedades,

EXERCÍCIO RESOLVIDO 1 Seja

= (1,1,0)

e

= (1,2,3).

Vamos aplicar o Teorema 3 para construir um vetor

ortogonal a

.

SOLUÇÃO

O item (1) do teorema 3 sugere contas,

onde

. Fazendo as é

obtemos

o

vetor

procurado.

EXERCÍCIO RESOLVIDO 2 Qual será a condição necessária e suficiente para ocorrer a igualdade no item (4): ? SOLUÇÃO 48

Com efeito,suponha que ) é ortogonal a

e que

. Logo

. Então

. Por outro lado, como

, segue-se que

e

Portanto, se que

. Comparando a igualdade

= 0 e assim

. , segue-

.

Reciprocamente, seja . Donde, algum

(onde

. Então . Portanto,

e para

.

FÓRUM Para consolidar a aprendizagem e completar a prova dos teoremas 2 e 3. (1) Apresentamos a prova do item 4 do teorema 2. Agora o aluno é convidado a fazer uma demonstração de mais dois itens do teorema 2, escolhidos dentre os três restantes. (2) No item 5 do teorema 3 foi provado que Agora, mostre que se

, então

. para algum

. (3) Aproveite também para tirar eventuais dúvidas das aulas anteriores com o seu tutor. O fórum é a nossa sala de aula. (anexe um arquivo no fórum com a sua solução).


49

ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA VETORIAL AULA 05: O PRODUTO ESCALAR EM ℜ3 TÓPICO 02: INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA

nos dá

Sejam u e v. A lei dos cossenos aplicada ao triângulo

OBSERVAÇÃO A lei dos cossenos diz que em qualquer triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados menos o produto destes lados vezes o cosseno do ângulo formado por estes lados.

. Assim

.

Por outro lado, Portanto

e aí

Daí

.

PARADA OBRIGATÓRIA e

Isso justifica a definição:

são ortogonais, se

Suponha agora que são dados e encontrar o vetor projeção ortogonal de Considere a figura abaixo

Ora,

Mas ,

.

. Logo,

50

.

.

em e estamos interessados em sobre .

Assim,

é o vetor projeção ortogonal de , então

que quando

sobre . Observemos

e conforme a figura abaixo, temos e assim também nesse caso,

.

EXERCÍCIO RESOLVIDO Vamos usar o produto escalar para mostrar que um ângulo inscrito em um semicírculo é reto. De fato, considere a figura abaixo:

SOLUÇÃO

Calculando

. Logo o ângulo

entre os vetores

.

PROBLEMAS RESOLVIDOS Exemplo 01) Sejam onde

vetores do

tais que

.

Prove que i) ii)

e portanto para algum

SOLUÇÃO

Solução: i) basta desenvolver ii) sabemos que (Pitágoras),

é ortogonal a

. Assim, pelo Teorema 3 .

obtemos . Agora, pelo i)

51

e simplificar.

Se

então ,o

que é uma contradição. Portanto,

onde

, (c.q.d)

Exemplo 2) Decida se a afirmação dada é sempre verdadeira ou às vezes é falsa. i)se , então são ortogonais. ii)se

é ortogonal a

iii)se

é ortogonal

ea

, então é ortogonal a , então é ortogonal a

ea

.

SOLUÇÃO

Solução: basta desenvolver a igualdade do item i) para concluir que a afirmação

i)

é

verdadeira. Portanto,

Para

ii)

temos,

por

hipótese que e assim

a afirmação ii) também é verdadeira. Agora, não é difícil encontrar um contra-exemplo para iii). Veja se você consegue. 3) Sejam

. Mostre que o vetor

bisseciona

o ângulo entre Sugestão: mostre que

e, portanto os cossenos

dos os ângulos dos vetores em questão são iguais.



52

ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA VETORIAL AULA 06: O PRODUTO VETORIAL TÓPICO 01: PROPRIEDADES

e

DEFINIÇÃO: Sejam por

em

é o vetor

. O produto vetorial de

.

Uma maneira prática de obter na forma de matriz:

é colocar as coordenadas de

por

A primeira componente de é obtida pelo determinante da matriz sem a primeira coluna; a segunda componente de é o simétrico do determinante de sem a segunda coluna e a terceira componente de é o determinante de onde foi deletada a terceira coluna. Ou seja:

.

EXEMPLO

TEOREMA 4. Sejam ,

e

em

. Então:

1. 2. 3. 4.

(identidade de Lagrange)

5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

53

Antes da demonstração do Teorema 4, vamos encontrar uma fórmula para calcular , o qual é denominado o produto misto de , e . Para isso, sejam

,

e

. Então,

Agora demonstraremos o teorema 4. USAREMOS AS PROPRIEDADES DE DETERMINANTES E AS DEFINIÇÕES DE PRODUTO ESCALAR E PRODUTO VETORIAL

54

OBSERVAÇÃO No teorema 4 estabelecemos as propriedades do produto vetorial. Os itens A) e B) afirmam que é ortogonal a e a . O item C) nos diz que o produto vetorial não é comutativo. Já o item D) será utilizado para a 55

interpretação geométrica de

. Os itens E) e F) nos dá as relações entre

produto vetorial e produto escalar.


56

ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA VETORIAL AULA 06: O PRODUTO VETORIAL TÓPICO 02: INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA

e

Sejam

dois vetores em

A identidade de Lagrange (item D) do teorema 4) afirma que . Por outro lado, sabemos que . Portanto, . Assim, pois

,

.

Por outro lado, a área do paralelogramo determinado por e é dada por . Mas, . Concluímos então que , isto é .

DICA é igual à área do paralelogramo determinado por Consideremos agora três vetores ,

e

em

e .

.

Observando a figura acima,vemos que projeção de

sobre

é o vetor

Logo,

. Sabemos que o vetor projeção de

.

e portanto

.

Mas, volume do paralelepípedo determinado por Concluímos que e

sobre

,

e

é

Volume do paralelepípedo determinado por

.

57

. ,

EXERCÍCIO RESOLVIDO 1 Área de um triângulo). A área do triângulo determinado pelos vetores

e

, é?

SOLUÇÃO

EXERCÍCIO RESOLVIDO 2 Supondo

, encontre:

a) b) SOLUÇÃO

PROBLEMAS RESOLVIDOS 1) Use a interpretação geométrica do módulo do produto vetorial para encontrar a distância entre o ponto e a reta determinada pelos pontos SOLUÇÃO

Solução: conforme foi visto na aula, a área do paralelogramo e é igual a . Mas esta mesma determinada pelos vetores área também pode ser vista como o produto da base pela altura, ou seja , onde é a altura do paralelogramo em relação à base , isto é,

é a distância de

à reta determinada por

Agora,faça as contas para encontrar

58

.

Daí,

.

2) Demonstre que para quaisquer , vale sempre:

em

, tais que

SOLUÇÃO

Solução:

com

efeito, (aqui nós aplicamos

as propriedades operatórias do produto vetorial dadas no Teorema 4). Também Portanto, (c.q.d)



59

ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA VETORIAL AULA 07: RETAS E PLANOS TÓPICO 01: RETAS

Dado um ponto por

e um vetor

na direção do vetor

,

da reta que a

são caracterizados por:

Ou seja, localizamos o vetor Se

. Os pontos

no ponto

e

onde

e “esticamos” .

, então

nos dá

,

isto é,

EXERCÍCIO RESOLVIDO Encontre a equação(ou equações) da reta que a pelo ponto na direção do vetor . SOLUÇÃO

Temos

ou

. Donde

e em coordenadas,

. Ou seja

Observemos que quando variamos , obtemos todos os pontos da reta. Por exemplo, para

, isto é,

Assim,

,

,

.

é um ponto da reta.

Agora, será que

é um ponto da reta acima?

Para responder a essa questão devemos encontrar Com efeito , em coordenadas:

60

tal que

Que evidentemente não tem solução, pois

na segunda equação e

na terceira. Portanto, concluímos que

não pertence à reta

EXERCÍCIO RESOLVIDO (DISTÂNCIA DE UM PONTO A UMA RETA) Encontre a distância do ponto

à reta

SOLUÇÃO

Sabemos que

área do paralelogramo =

distância do ponto .

à reta que a por

,onde

na direção do vetor

é a . Logo

Agora, . Portanto,

E

.

EXERCÍCIO RESOLVIDO (RETA PARALELA A UMA RETA DADA) Dada a reta

, encontre a reta paralela à

. SOLUÇÃO

61

e que a por

Precisamos encontrar um vetor paralelo a tal que

Para isso, basta encontrar . Portanto, equação (vetorial)

ou

Sendo à reta

e localizar em . Assim,

.

, ou seja

. A reta que procuramos tem . .Logo a equação da reta paralela

é dada por


62

ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA VETORIAL AULA 07: RETAS E PLANOS TÓPICO 02: PLANO

Em Geometria Analítica Plana, foi visto que podemos caracterizar uma reta a partir de um de seus pontos e da sua inclinação. Analogamente, no espaço tridimensional, um plano pode ser caracterizado por um de seus pontos e pela sua inclinação, que será dada por um vetor ortogonal ao plano, isto é, por um vetor n tal que e no plano.

Em coordenadas:

,

,

nos dá: que é a equação do plano com vetor normal

e que a pelo ponto

.

Desenvolvendo

, obtemos

onde

. Reciprocamente, uma equação . De fato, se vetor normal

representa um plano com e verificam a

equação

e

, então , isto é,

e assim

.

EXEMPLO - EQUAÇÃO DO PLANO POR TRÊS PONTOS

Dados

e . Então

não colineares, isto é,

determinam um plano e sua equação pode

ser encontrada sem dificuldade. Basta lembrar que o vetor ortogonal a ambos

e

plano determinado por

e portanto e

será o vetor normal ao

.

Vamos às contas: Sejam

,

e

e

Logo, a equação do plano é: ou

.

63

é

,

. Então

EXERCÍCIO RESOLVIDO (DISTÂNCIA ENTRE PONTO E PLANO) 1) Encontre a distância entre o ponto

e o plano

SOLUÇÃO

Seja

ponto do plano

ortogonal ao plano. Assim, para algum

, de modo que

é paralelo a

. Portanto,

seja

. Isso significa

, além disso,

, já que

é um ponto do plano. Tirando

e

em função de

, obtemos

e

. Agora,

substituindo .

Assim,

,

em Logo,

,

Dessa maneira,

e

ficamos

com

,

donde

.

e aí podemos aplicar a fórmula da

distância entre dois pontos. Felizmente, existe uma fórmula da distância entre um ponto e um plano, a partir da equação do plano e das coordenadas do ponto. Vamos à fórmula. Seja . Posicionemos o vetor normal

a equação do plano e

no ponto

do plano,

conforme a figura abaixo:

Então a distância do vetor projeção de sobre . 64

entre o ponto sobre . Seja

e o plano será dada pelo módulo vetor projeção de

Sabemos que

. Logo

.

Agora,

e portanto

. Concluímos que

DESAFIO Convidamos o aluno a encontrar a distância pelo método iniciado no problema e depois pela fórmula.

EXERCÍCIO RESOLVIDO (DISTÂNCIA ENTRE PLANOS PARALELOS) 2) Considere os planos Então

e

e são os vetores normais dos respectivos

planos. Observe que

, isto é, os vetores

normais são paralelos e

portanto os planos são paralelos. Como podemos encontrar a distância entre os planos? SOLUÇÃO

Basta encontrar um ponto de um dos planos e calcular a distância desse ponto ao outro plano. Seja

um ponto do plano

Agora aplicamos a fórmula encontrada no problema 1.

DESAFIO Agora, o aluno é convidado a pegar um outro ponto e calcular a sua distância ao plano verificar se a distância é também

do plano e

.

PROBLEMAS RESOLVIDOS 1) (Equação do plano contendo duas retas) Para encontrar a equação de um plano,necessitamos de um ponto do plano e um vetor normal ao plano. Sabemos também que dados dois vetores não paralelos, um vetor normal a esses dois vetores é obtido pelo produto vetorial. Vamos considerar agora as duas possibilidades. 65

CASO 01

A em das

As retas são paralelas. Neste caso, tomamos um ponto

retas e um ponto B na outra reta. Se é um vetor diretor (qualquer vetor na reta) de uma delas, então é um vetor normal ao plano que contém as retas. Assim, já temos um vetor normal e podemos pegar qualquer um ponto de uma das retas. Vejamos um exemplo. Determinar a equação

do

plano

formado

pelas

retas:

SOLUÇÃO

Solução: com efeito, um vetor diretor de

(e também de )

é . Então um vetor normal ao plano que procuramos é ,

plano

será

(observe

que

equação

do

isto

é,

,

então

CASO 02

As retas são concorrentes. Neste caso um vetor normal ao plano é ,onde são vetores diretores das respectivas retas. obtido por Por exemplo: Determinar a equação do plano que contém as retas

SOLUÇÃO

Solução:

Observe

resolvendo e

os

que

sistemas

Por são

pontos são

e

de pontos

obtemos

outro

lado,

,

enquanto

de

Daí

são os vetores diretores. Fazendo

o produto vetorial

é um vetor normal ao plano que procuramos. Para simplificar podemos pegar para vetor normal. Agora estamos em de

condições

66

obter

a

equação:

isto

é,

2) (Distância entre retas )Temos também dois casos a considerar: CASO 01

As retas são paralelas. Neste caso, a distância entre as retas é a retas distância entre um ponto qualquer de uma delas e a outra. Sejam paralelas (desenhe uma figura), e seja um vetor diretor da reta Calculando a área do paralelogramo determinado pelos vetores e de duas maneiras. Uma pela interpretação geométrica do módulo do produto vetorial e outra pela base vezes a altura (observe que a altura é a distância . Calcule agora a procurada). Temos então distância entre as retas do caso 1 do problema anterior. Lembrem-se: não aprendemos matemática ivamente. CASO 02

As retas são reversas, isto é, não são paralelas e não são concorrentes. Consideremos a seguinte questão: Determinar a distância entre as reta e

SOLUÇÃO

Solução: observe que um vetor diretor de e é paralela a

é o vetor

é um vetor diretor da reta . Portanto não

Agora, se existisse um ponto na interseção de

as coordenadas desse ponto devem ser da forma

e

para

também

então

certos

Mas

então

o que é evidentemente falso. Portanto, as retas não se intersectam. é ortogonal a ambas as retas De Agora, sabemos que modo que podemos localizar o vetor em um dos pontos da reta (por exemplo, em e projetar o vetor

pegar um ponto de sobre o vetor

( por exemplo O módulo desse

vetor projeção é exatamente a distância que procuramos. Vamos fazer as contas.

67

Temos

Então

SOLUÇÃO

Solução: conforme foi visto na aula, a área do paralelogramo é igual a

determinada pelos vetores

Mas esta mesma

área também pode ser vista como o produto da base pela altura, ou , onde a altura do paralelogramo em relação seja, isto é

à base

é a distância de

à reta determinada por

, Agora, faça as contas para encontrar

Daí

.

2) Demonstre que para quaisquer

em

, tais que

vale sempre : SOLUÇÃO

Solução:

com

efeito, (aqui nós

aplicamos as propriedades operatórias do produto vetorial dadas no Teorema

4

).Também Portanto,

(c.q.d)


DICA Não se aprende matemática sem sujar as mãos.


68

ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA VETORIAL AULA 08: O ESPAÇO VETORIAL ℜX TÓPICO 01: PRELIMINARES

Nas aulas anteriores estudamos o espaço tridimensional , definimos o espaço

de maneira semelhante ao .

. Para , isto é,

Agora não teremos uma representação geométrica para com , mas as operações e as propriedades algébricas permanecerão em . Também não podemos definir produto vetorial para . O produto vetorial é definido somente para

.

AS OPERAÇÕES SOMA, MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR E PRODUTO ESCALAR. Dados

,

e

, definimos

=

(norma de u) para soma, multiplicação por Todas as propriedades vistas em escalar, produto escalar e norma são mantidas para . Como em , dados u e v em , diz-se que u é ortogonal a v, se . Neste caso (se u é ortogonal a v), temos , pois

.

PARADA OBRIGATÓRIA Vamos relembrar agora a desigualdade de Schwarz. .

A prova é a mesma dada para Sejam

.Agora,

Donde,

e v quaisquer elementos de é ortogonal a u. Pois, e assim

, ou seja

. É claro que se

, então

.

.

EXEMPLO - UTILIZANDO VETORES EM ℜX

Suponha que uma loja vende em uma semana , 200 unidades do artigo A, 300 unidades do artigo B, 100 unidades do artigo C, 150 unidades do artigo D e 50 unidades do artigo E. Os preços de venda por unidade de 69

artigo são, respectivamente, R$ 10,00, R$ 15,00, R$ 20,00, R$ 30,00 e R$ 50,00. A quantidade total de artigos, na ordem A,B,C,D e E vendidos em . O uma semana pode ser representada pelo vetor vetor tomado

representa o preço de venda por unidade de artigo na

ordem

dada.

Enquanto o produto escalar representa o faturamento da loja com a venda dos artigos A, B, C, D e E.


70

ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA VETORIAL AULA 08: O ESPAÇO VETORIAL ℜX TÓPICO 02: DEPENDÊNCIA LINEAR E BASE

Dizemos que os vetores

, ...,

são linearmente dependentes

(LD) se existem números reais

nem todos nulos, tais que

.Agora,se

,dizemos

que

são linearmente independentes (escrevemos LI, para vetores linearmente independentes). EXEMPLO (LD E LI). são LI, pois, se

Os elementos e ,

Agora,

, então

. Logo, resolvendo o sistema, encontramos . e são LD. De fato, e assim,

. Portanto

e

são LD.

SUBESPAÇO temos interesse nos subconjuntos Entre os diversos subconjuntos de , é um que preservam as operações. Dizemos então que subespaço de

, se

i) ii) EXEMPLO - SUBESPAÇOS

Seja

. Considere

. De fato, se

e

É claro que S é um subespaço de

, então

Assim,

e

,

para certos

,

. O subespaço S é chamado o subespaço gerado por

subespaço de denotamos

. Mais geralmente, se

, denotamos

de por

.

. Isso prova que S é um e

são elementos , o subespaço gerado

.

EXERCÍCIO RESOLVIDO Se

,

e

, como podemos obter

?

SOLUÇÃO

Afirmamos que arbitrário em Então

. Com efeito, seja

.

. Logo

vemos

que

então

. Logo

.

Além disso, se e conjunto

um vetor

, isto é,

e

. Portanto

forma o que chamamos de base do 71

e .

são LI. O

DEFINIÇÃO: Um conjunto

é uma base de

, se:

i) ii)

for LI.

É fácil mostrar que os vetores formam uma base para , então

.De fato, se

é um vetor arbitrário em

.Além disso, se

onde

e

De

então

portanto

, modo

que

é LI. A base

é denominada a base canônica do

OBSERVAÇÃO Na aula 3,vimos um teorema sobre sistemas lineares, afirmando que todo sistema linear homogêneo com mais incógnitas do que equações, tem sempre uma solução não-trivial. Utilizaremos esse teorema para mostrar que toda base de tem o mesmo número de vetores. uma base de

TEOREMA. Seja onde

m vetores

. Então qualquer conjunto de

é necessariamente linearmente dependente.

DEMONSTRAÇÃO. , segue-se que Como Para

Por outro lado, o sistema linear homogêneo

tem

equações e m incógnitas, onde

todos nulos tais que

Mas,

Portanto

são LD.

72

. Assim, existem

nem

PARADA OBRIGATÓRIA Duas bases de

têm o mesmo número de

vetores e esse número

é n. DEMONSTRAÇÃO: e

Sejam

duas bases de

teorema acima garante que Analogamente Por

, pois se

e portanto

outro

. Ora, sendo

LI, o

, então

seriam LD.

.

lado,já

sabemos

} é uma base de

que . Assim,

,

{ .

O número de vetores de uma base é chamado a dimensão do espaço. é n. Portanto, a dimensão de uma base de

TEOREMA. Seja escreve de modo único na forma

, onde

e dizemos que

escrevemos

. Então todo

se

. Neste caso,

são as coordenadas de v em

relação à base B. DEMONSTRAÇÃO: , existem

Como se

e

tais que

. Agora,

. Então

e portanto

.Mas,como

são

LI,

segue-se

que

. EXEMPLO

(ENCONTRANDO AS COORDENADAS DE UM VETOR EM RELAÇÃO A UMA BASE) Considere a base . e

de

, onde

Seja

, .

. Assim,

e Então

.

.

Em particular, se

PROBLEMAS RESOLVIDOS 1)

(matriz

de

mudança de bases de ,

73

base ) Sejam . Determinemos onde

uma

base de

Seja

(é claro que existem e são únicos, pois é com é um vetor qualquer de

. O podemos concluir sobre ?

VEJAMOS:

Portanto,

M é chamada a matriz de mudança de base. É claro que para podemos proceder de forma inteiramente análoga. A coluna j da matriz

A matriz

M é obtida escrevendo o vetor isto é,

como combinação linear dos vetores

,

. Agora faça um exemplo particular, ou seja,

considere duas bases particulares e determine a matriz de mudança de base e verifique para um vetor específico. (lembre: se faço, aprendo). Também podemos mostrar que a matriz de mudança de base é sempre invertível. De fato, suponha que a matriz

tal que

M

seja não invertível. Então, existe

, pois a forma escada de uma matriz não invertível

tem no mínimo uma linha nula e daí o sistema é equivalente a um sistema com mais variáveis das equações e, portanto tem uma solução não tal que (aqui é a solução trivial. Agora considere um vetor ), então , ou seja, as coordenadas de não nula de em relação à base sã todas nulas e, portanto que é uma contradição. Portanto, a matriz

é invertível e da igualdade

2) Sejam vetores de

também

o

,obtemos

, . Descreva os e determine uma base de .

SOLUÇÃO

Solução: observe que

74

,logo

e portanto

.Uma base de geram

, pois

e são .

FÓRUM Pretendemos que o aluno encontre uma relação entre as matrizes de coordenadas e a matriz de mudança de base Dê exemplo de duas bases de

.

Sejam

as duas bases obtidas em (1). Agora,

e

escreva

Encontre

,

,

(a matriz

é chamada matriz de

mudança de base) Seja

. Encontre uma relação entre

,

eM.

ATIVIDADE DE PORTFÓLIO Resolva os exercício 1, 3, 5, 7 e 9 da lista de exercícios (Visite a aula online para realizar deste arquivo.) e coloque no seu portfólio.


75

álgebra Linear 1s396x

Overview 5o1f4z

More details 6z3438

Related Documents c2h70

Linear V Non-linear Thinking.docx 613541

Linear By Linear Association-ra 2s3j49

Linear Non Linear Data Structure 374n3t

Program Linear 2u6j5z

Linear Algebra s3k46

More Documents from "Messias" 2k4839

6g3p1u

Sangue De Princesa - Mayrluci Kappes.pdf 3zf55

229675592 Karl Kraus Aforismos 5v124d

Etiquetas E Tabela - Planejamento Familiar 2j14a

6g3p1u

Cabista De Sistema De Telecomunicaes-.pdf 18635e