Demostración En Geometría 6g3x73

Demostración en geometría La demostración de la validez de una proposición a través del razonamiento se fundamenta en otras proposiciones ya demostradas, o bien, en otras proposiciones que sin haber sido demostradas las aceptamos como verdaderas. Existen varios métodos de demostración: 

Método de superposición,



Método directo o deductivo y



Método indirecto por reducción al absurdo.

MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN Consiste este método en colocar una figura sobre otra y demostrar por el razonamiento que, dadas las condiciones supuestas, así como la verdad de ciertas proposiciones previamente establecidas, las dos figuras deben coincidir en todas sus partes y ser por tanto iguales.

MÉTODO DIRECTO Por demostración directa, entendemos el encadenamiento lógico de las proposiciones, de manera que, de las hipótesis es posible llegar a la tesis. La demostración en geometría generalmente consta de: a) Figura b) Hipótesis c) Tesis d) Razonamiento e) Conclusión

a) La FIGURA ilustra la proposición que desea demostrar y está constituida por trazos fundamentales y trazos auxiliares que se indican con líneas no continuas. La claridad de la figura ayuda a la demostración pero de ninguna manera constituye la demostración. b) La HIPÓTESIS es el supuesto que se acepta como cierto y que sirve de base para el razonamiento. c) La TESIS es lo que se desea demostrar. d) El RAZONAMIENTO es el conjunto de afirmaciones y razones que en orden lógico relacionan la hipótesis con la tesis y permite la deducción de ésta a partir de la hipótesis. e) La CONCLUSIÓN es la tesis o proposición deducida mediante el

razonamiento. Independientemente del grado de dificultad que tenga la demostración de una proposición siempre se llevará el camino "hipótesis - tesis". Es también muy conveniente prefijar un "PLAN de desarrollo de la demostración" con el objeto de tener claro el camino que a nuestro juicio es el más conveniente para ligar lo que suponemos cierto (la hipótesis) con lo que deseamos demostrar (la tesis).

MÉTODO INDIRECTO El método indirecto, también llamado por reducción al absurdo, es un encadenamiento lógico de proposiciones que parten de SUPONER CIERTO lo contrario de lo que se quiere demostrar (tesis) y a partir de esa suposición llegar a una contradicción, que hace evidente que la suposición de que se partió es falsa y por lo tanto, lo contrario (lo que se quiere demostrar) es verdadero.

RECÍPROCA. Si dos proposiciones son tales que lo que se supone en la una es lo que debe demostrarse en la otra, cada una de ellas se llama proposición recíproca, o brevemente recíproca, de la otra. 

Si es una proposición se supone que AC = BC, y es preciso demostrar que A = B.



La proposición recíproca será suponer que AC= BC

Obsérvese muy especialmente que "de que una proposición sea verdadera no se sigue necesariamente que su recíproca lo es". Así, de la proposición: "si dos ángulos son rectos, son iguales", su recíproca es: "si dos ángulos son iguales, son rectos", no necesariamente es cierta. EJEMPLO DE DEMOSTRACIÓN DIRECTA Teorema: “Si dos ángulos son opuestos por el vértice, entonces, dichos ángulos son congruentes” Hipótesis:

ay

Tesis:

b

a

b son ángulos opuestos por el vértice.

Demostración: Paso

Afirmaciones

Razones

1

a + c = 180º

Por ser a y c suplementarios

2

b + c = 180º

Por ser b y c suplementarios

3

a+c=b+c

Igualando 1) y 2)

4

a=b

Si a cantidades iguales se restan cantidades iguales, los resultados son iguales

Relación de equivalencia

Saltar a: navegación , búsqueda

ClasiBinaEs 004.svg Acerca de esta imagen

En teoría de conjuntos y álgebra la noción de relación de equivalencia sobre un conjunto, permite establecer una relación entre los elementos del conjunto que comparten cierta característica o propiedad. Esto permite reagrupar dichos elementos en clases de equivalencia, es decir, «paquetes» de elementos similares. Esto posibilita la construcción de nuevos conjuntos «añadiendo» todos los elementos de una misma clase como un solo elemento que los representará y que define la noción de conjunto cociente.

Índice [ocultar] 1 Definición 1.1 Clase de equivalencia o Relación de equivalencia

1.2 Conjunto cociente 1.3 Partición

2 Ejemplos 3 Véase también 4 Referencias

Definición[editar]

Sea K un conjunto dado no vacío y \mathcal{R} una relación binaria definida sobre K. Se dice que \mathcal{R} es una relación de equivalencia si cumple las siguientes propiedades: Reflexividad: Todo elemento de K está relacionado consigo mismo. Es decir, \forall x\in K \; : \quad x \mathcal{R} x .Simetría: Si un elemento de K está relacionado con otro, entonces ese otro elemento también se relaciona con el primero. Es decir, \forall x,y\in K \; : \quad x \mathcal{R} y \; \Rightarrow \; y \mathcal{R} x .Transitividad: Si un elemento de K está relacionado con otro, y ese otro a su vez se relaciona con un tercero, entonces el primero estará relacionado también con este último. Es decir, \forall x,y,z\in K \; : \quad x \mathcal{R} y \land y \mathcal{R} z \quad \Rightarrow \quad x \mathcal{R} z . Notación: En aritmética modular la relación de equivalencia entre dos elementos x e y se denota x = y (mod R) que se lee « x es equivalente a y módulo R ».Una relación de equivalencia \sim sobre un cuerpo K puede denotarse con el par (K,\sim)\,. Clase de equivalencia o Relación de equivalencia[editar] En lógica de clases y análisis matemático, la relación de equivalencia \mathcal{R} define subconjuntos disjuntos en K llamados clases de equivalencia:

Dado un elemento a\in K, el conjunto dado por todos los elementos relacionados con a definen la clase: Al elemento a se le llama representante de la clase.

Se llama orden al número de clases que genera una relación de equivalencia; si éste es finito, se dice que la relación es de orden finito.

El concepto de clase de equivalencia tiene importancia en ciencia, dado un conjunto de objetos o entidades abstractas (potencialmente infinitas), pueden establecerse relaciones de equivalencia en base a algún criterio, las clases resultantes son los "tipos" en los que se puede clasificar toda la gama de objetos. Conjunto cociente Al conjunto de todas las clases de equivalencia se denomina conjunto cociente y se lo suele denotar como:

K/\mathcal{R} o K/\sim

Partición[editar] Una relación de equivalencia sobre un conjunto induce una partición del mismo, es decir, un conjunto en el que se ha definido una relación de equivalencia puede ser dividido en varios subconjuntos de elementos equivalentes entre sí y tales que la reunión de esos subconjuntos coincide con el conjunto entero. El siguiente teorema expresa en términos más formales esa misma idea: Proposición: Una relación de equivalencia en el conjunto no vacío K determina una partición de este, y toda partición de K determina una relación de equivalencia en este.

PITÁGORAS

Pitágoras nació en la isla de Samos (Grecia), en el 570 a. C. y murió en Metaponto en el 469 a. C., hijo de Mnesarco. Fue discípulo de Tales y de Fenecidas de Siria, estudió en la escuela de Mileto. Viajó por Oriente Medio (Egipto y Babilonia). Sufrió el exilio para escapar de la tiranía del dictador Samio Polícrates, por lo que vagabundeó hasta establecerse en el 531 a. C. en las colonias italianas de Grecia donde fundó su famosa escuela pitagórica en Crotona al sur de Italia. Se cree que inventó (si no él sus discípulos), las tablas de multiplicar y que fue el primero en demostrar el conocido Teorema de Pitágoras sobre la relación entre los lados de un triángulo rectángulo, aunque ya los egipcios y los babilonios lo usaban en sus cálculos, construcciones, etc..., pero sin haberlo demostrado.

La Escuela Pitagórica La Escuela Pitagórica, al parecer fundada por Pitágoras, fue una asociación religiosa y política además de filosófica. Para acceder a ella era necesario abstenerse de ciertos alimentos y observar el celibato (permanecer soltero). En los grados más altos, los pitagóricos vivían en completa comunidad de bienes. Las enseñanzas de los pitagóricos se transmitían por vía oral y todo se atribuía al venerado Pitágoras, fundador

de la escuela. La escuela se fue transformando en una hermandad con ritos y ceremonias secretas de las que se sabe muy poco. Este secretismo se extendía a todo lo que rodeaba la escuela, incluidos sus trabajos y descubrimientos matemáticos, por eso no se tiene certeza sobre qué descubrieron y quién lo descubrió. La doctrina de los pitagóricos tenía esencialmente carácter religioso, fundamentalmente consistió en que la sustancia de las cosas era el número. La naturaleza, las estrellas, ... todo estaba basado en relaciones numéricas enteras o fraccionarias. La secta acabó teniendo un carácter político lo que provocó enfrentamientos, persecución y por fin su práctica ruina con el exilio y un cierto grado de dispersión. Las sedes de su escuela fueron incendiadas, y sólo tiempo después los desterrados pudieron volver a su patria. Es probable que Pitágoras se viese obligado por estos movimientos insurreccionales, a dejar Crotona para irse a Metaponto. Parece ser que fue el exilio lo que provocó que se abrieran en cierta medida y que se conocieran gran parte de sus conocimientos. En matemáticas fueron importantes: los números, sus relaciones, la aritmética, la geometría,... aunque también la música, en la que veían la influencia de los números al obtener diferentes sonidos relacionados entre sí al dar diferentes tamaños a las cuerdas de una lira. Pitágoras y los pitagóricos tuvieron gran influencia en el desarrollo posterior de las matemáticas. Las Matemáticas de los pitagóricos Como hemos dicho más arriba se les atribuyen numerosos e importantes descubrimientos en el terreno de las Matemáticas. Vamos a destacar algunos: El teorema de Pitágoras Se atribuye a la escuela pitagórica la demostración del Teorema de Pitágoras. Como hemos dicho más arriba, ya los babilonios y los egipcios, usaban con una eficacia asombrosa, la relación establecida en el Teorema de Pitágoras para resolver problemas prácticos, pero no conocían la demostración. Los números irracionales Como consecuencia del Teorema de Pitágoras, también se les considera descubridores de los números irracionales. Estos números contradecían la doctrina básica de la escuela: habían descubierto que existían números "inexpresables", como

, que no eran ni enteros ni fraccionarios.

Clasificaciones de los números La obsesión por los números y la adoración que les profesaban, condujeron a los pitagóricos a un estudio minucioso de los números. Establecieron diversas clasificaciones, entre otras la distinción entre pares e impares tal y como lo hacemos hoy, también otras más curiosas. Hemos elegido algunas de ellas y te proponemos que las pienses para divertirte un rato:

Números triangulares. Son números naturales que se pueden expresar en forma de triángulo, tal y como los de la figura siguiente:

¿Serías capaz de encontrar y dibujar los tres siguientes? Números cuadrados. De igual forma que los anteriores, son números que se pueden expresar en forma de cuadrados como en la figura siguiente:

¿Serías capaz de encontrar y dibujar los tres siguientes? Números perfectos. Son los números que son iguales a la suma de todos sus divisores excepto él mismo, por ejemplo, el 6 es un número perfecto puesto que 6=1+2+3. ¿Eres capaz de encontrar el siguiente? Los demás son más complicados. Prueba con el siguiente al 6. Los sólidos cósmicos Sólo existen cinco poliedros regulares, que los pitagóricos veneraban y que llamaban sólidos cósmicos aunque fue Euclides el que demostró que no hay más poliedros regulares. Estas cinco figuras geométricas fueron iradas, entre otros, por Platón que pensó que representaban los elementos fundamentales que constituían el mundo: AIRE, AGUA, FUEGO, TIERRA y COSMOS: OCTAEDRO, ocho caras que son triángulos equiláteros. Para Platón EL AIRE.

ICOSAEDRO, veinte caras que son triángulos equiláteros. EL AGUA para Platón.

TETRAEDRO, cuatro caras que son triángulos equiláteros. EL FUEGO para Platón.

CUBO, seis caras que son cuadrados. Según Platón LA TIERRA.

DODECAEDRO, doce caras que son pentágonos regulares. Platón lo identificó con EL COSMOS