Formulas Probabilidade E Estatística 25283o

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Probabilidade e Estat´ıstica: Laborat´ orio 2 Luiz Antonio de Freitas1

Probabilidade Palavras-chaves: experimento aleat´orio, espa¸co amostral, evento, probabilidade.

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Probabilidade ∙ 𝜖: experimento aleat´ orio. ∙ 𝑆: espa¸co amostral. ∙ 𝐸: evento. 1. 𝜙: evento imposs´ıvel. 2. 𝑆: evento certo. 3. 𝐸1 ∪ 𝐸2 : evento uni˜ ao. 4. 𝐸1 ∩ 𝐸2 ∕= 𝜙: eventos simultˆ aneos. 5. 𝐸1 ∩ 𝐸2 = 𝜙: eventos exclusivos. 6. 𝐸 ∩ 𝐸 = 𝜙, 𝐸 ∪ 𝐸 = 𝑆: eventos complementares. 7. parti¸c˜ oes: generaliza¸c˜ ao de eventos complementares. 8. eventos dependentes e eventos independentes (veja Se¸c˜ao 2, probabilidade condicional). ∙ Defini¸c˜ oes 1. Axiom´ atica. (a) 0 ≤ 𝑃 [𝐸] ≤ 1. (b) 𝑃 [𝑆] = 1. (c) se 𝐸1 ∩ 𝐸2 = 𝜙, 𝑃 [𝐸1 ∪ 𝐸2 ] = 𝑃 [𝐸1 ] + 𝑃 [𝐸2 ] . 2. Cl´ assica. 𝑃 [𝐸] =

a ´rea de 𝐸 a ´rea de 𝑆

ou

𝑃 [𝐸] =

(1) 𝑛(𝐸) 𝑛(𝑆) ,

em que

(a) 𝑛 (𝐸) = n´ umero de elementos do evento 𝐸, (b) 𝑛 (𝑆) = n´ umero de elementos do espa¸co amostral 𝑆. 3. Intuitiva. 𝑃 [𝐸] = lim𝑛→∞

𝑓 𝑎(𝐸) 𝑛 ,

em que

(a) 𝑓 𝑎(𝐸) = frequˆencia absoluta do evento 𝐸 (b) 𝑛 = tamanho da amostra. 1 Faculdade de Computa¸ ca ˜o, Universidade Federal de Mato Grosso do Sul, 549, CEP 79070-900, Campo Grande, Mato Grosso do Sul, Brasil. E-mail: [email protected] (L.A. Freitas).

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Teoremas do C´ alculo das probabilidades ∙ 𝑃 [𝜙] = 0. ∙ 𝑃 [𝑆] = 1. [ ] ∙ 𝑃 𝐸 = 1 − 𝑃 [𝐸]. ∙ se 𝐸1 e 𝐸2 s˜ ao dois eventos quaisquer de 𝑆, 𝑃 [𝐸1 ∪ 𝐸2 ] = 𝑃 [𝐸1 ] + 𝑃 [𝐸2 ] − 𝑃 [𝐸1 ∩ 𝐸2 ] .

(2)

Note-se que (1) ´e um caso particular de (2). ∙ probabilidade condicional (eventos dependentes) 𝑃 [𝐸2 ∣𝐸1 ] =

𝑃 [𝐸1 ∩ 𝐸2 ] , 𝑃 [𝐸1 ] ∕= 0 𝑃 [𝐸1 ]

𝑃 [𝐸1 ∣𝐸2 ] =

ou

𝑃 [𝐸1 ∩ 𝐸2 ] , 𝑃 [𝐸2 ] ∕= 0. 𝑃 [𝐸2 ]

(3)

∙ regra do produto. De (3), se 𝐸1 e 𝐸2 s˜ao simultˆaneos e dependentes, 𝑃 [𝐸1 ∩ 𝐸2 ] = 𝑃 [𝐸1 ] 𝑃 [𝐸2 ∣𝐸1 ]

𝑃 [𝐸1 ∩ 𝐸2 ] = 𝑃 [𝐸2 ] 𝑃 [𝐸1 ∣𝐸2 ] .

ou

(4)

∙ regra do produto. Se 𝐸1 e 𝐸2 s˜ ao simultˆaneos e independentes, 𝑃 [𝐸1 ∩ 𝐸2 ] = 𝑃 [𝐸1 ] 𝑃 [𝐸2 ] .

(5)

∙ Teorema de Bayes 𝑃 [𝐸𝑖 ] 𝑃 [𝐵∣𝐸𝑖 ] 𝑃 [𝐸𝑖 ∣𝐵] = ∑𝑛 , 𝑗=1 𝑃 [𝐸𝑗 ] 𝑃 [𝐵∣𝐸𝑗 ]

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𝑖 = 1, 2, .., 𝑛.

(6)

Generaliza¸ co ˜es ∙ generaliza¸c˜ ao da equa¸c˜ ao (1). Se 𝐸1 , 𝐸2 , . . . , 𝐸𝑛 s˜ao dois a dois mutuamente exclusivos, 𝑃 [𝐸1 ∪ 𝐸2 ∪ . . . ∪ 𝐸𝑛 ] = 𝑃 [𝐸1 ] + 𝑃 [𝐸1 ] + . . . + 𝑃 [𝐸𝑛 ] .

(7)

∙ generaliza¸c˜ ao da equa¸c˜ ao (2). Se 𝐸1 , 𝐸2 , . . . , 𝐸𝑛 s˜ao eventos quaisquer, 𝑃 [𝐸1 ∪ 𝐸2 ∪ . . . ∪ 𝐸𝑛 ] =

𝑛 ∑

𝑃 [𝐸𝑖 ] −

𝑖=1

+

𝑛 ∑

𝑃 [𝐸𝑖 ∩ 𝐸𝑗 ]

𝑖<𝑗=2 𝑛 ∑

𝑃 [𝐸𝑖 ∩ 𝐸𝑗 ∩ 𝐸𝑘 ] −

𝑖<𝑗<𝑘=3

− . . . (−1)

𝑛−1

𝑃 [𝐸𝑖 ∩ 𝐸𝑗 ∩ 𝐸𝑘 ∩ . . . ∩ 𝐸𝑛 ] .

(8)

∙ generaliza¸c˜ ao da equa¸c˜ ao (4). 𝑃 [𝐸1 ∩ 𝐸2 ∩ . . . ∩ 𝐸𝑛 ] = 𝑃 [𝐸1 ] 𝑃 [𝐸2 ∣𝐸1 ] 𝑃 [𝐸3 ∣𝐸1 ∩ 𝐸2 ] ×𝑃 [𝐸4 ∣𝐸1 ∩ 𝐸2 ∩ 𝐸3 ] . . . 𝑃 [𝐸𝑛 ∣𝐸1 ∩ 𝐸2 ∩ . . . ∩ 𝐸𝑛−1 ] .

(9)

∙ generaliza¸c˜ ao da equa¸c˜ ao (5). Se 𝐸1 , 𝐸2 , . . . , 𝐸𝑛 s˜ao eventos independentes, 𝑃 [𝐸1 ∩ 𝐸2 ∩ . . . ∩ 𝐸𝑛 ] = 𝑃 [𝐸1 ] 𝑃 [𝐸2 ] 𝑃 [𝐸3 ] 𝑃 [𝐸4 ] . . . 𝑃 [𝐸𝑛 ] .

(10)

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Algumas Considera¸ co ˜es ∙ Apresentamos neste Laborat´ orio 2 a mat´eria de Probabilidade (item 2 do Plano de Ensino), na forma de t´ opicos. O objetivo ´e facilitar a fixa¸c˜ao do conte´ udo pelo aluno. ∙ Note-se que algumas equa¸c˜ oes apresentam uma enumera¸c˜ao na margem direita, entre parˆentes. Veja, por exemplo, generaliza¸c˜ ao da equa¸c˜ao (4). Essa enumera¸c˜ao ´e uma referˆencia que facilita o linkamento entre as equa¸c˜ oes.

Referˆ encias Guerra, M. J.; Donaire, D. (1982). Estat´ıstica Indutiva: Teoria e Aplica¸c˜ oes. Livraria Ciˆencia e Tecnologia Editora, S˜ ao Paulo, segunda edi¸c˜ ao. Morettin, P. A.; Bussab, W. O. (2006). Estat´ıstica b´ asica. Saraiva, S˜ao Paulo, 5a edi¸c˜ao. R Development Core Team (2009). R: A Language and Environment for Statistical Computing. R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria. ISBN 3-900051-07-0.