Apostila De Matemática Básica - 1 1k2a6

Programa CIEE de Educação a Distância

MATEMÁTICA BÁSICA I SUMÁRIO Introdução ............................................................................................................ 02 Aula 1 – Números naturais ................................................................................... 03 Aula 2 – Números Primos, MMC e MDC .............................................................. 10 Aula 3 – Números inteiros e racionais .................................................................. 15 Aula 4 – Sistema de numeração decimal ............................................................. 25 Aula 5 – Medidas de comprimento e área ............................................................ 29 Aula 6 – Medidas de tempo, massa, capacidade e volume .................................. 37 Referências .......................................................................................................... 44

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INTRODUÇÃO Seja bem-vindo ao curso de Matemática Básica I. Nele, compartilharemos muitas informações interessantes e fundamentais para utilização em qualquer situação, seja em casa, na rua, no mercado, na feira, na escola, no estágio etc. Este curso foi elaborado para que você se sinta mais preparado para resolver situações que exigem o uso da matemática, em qualquer situação! A ideia inicial é revisar alguns conceitos fundamentais para que você tenha um bom embasamento e consiga acompanhar com facilidade as aulas seguintes.

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AULA 1 – NÚMEROS NATURAIS Muitas vezes nem percebemos, mas os números estão presentes em muitas situações do dia a dia, na identificação da nossa casa, na placa do carro, no telefone, em horas, no dia do mês, nos documentos, entre outros... Esses números são conhecidos como números naturais e será o primeiro assunto que abordaremos no curso. Observe o bilhete abaixo: Bom dia Matheus! Não se esqueça do nosso encontro referente ao trabalho da Professora Lúcia, hoje às 17 horas, em frente ao 3º portão da universidade. Até lá! Beijos Mariana Qualquer problema me ligue 234-5678 Percebeu que em um simples bilhete tivemos que utilizar por três vezes os números naturais? Ao fazer referência às horas, na identificação do portão e o número do telefone. E já que estamos falando sobre números naturais devemos lembrar que a sequência desses números é infinita, acompanhe a sequência: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13,... Com base nos números naturais podemos realizar uma série de atividades utilizando as quatro operações básicas, para revê-las vamos acompanhar um pouco da história de Matheus, um jovem de 20 anos, está na faculdade e estagia em uma empresa na área de Arquitetura. Para realização do trabalho de hoje, teve de 3


comprar alguns materiais: esquadro, régua, como, papéis, lápis e canetas hidrográficas e utilizou nesse processo as quatro operações básicas, observe que o valor total da compra realizada pelo Matheus foi de R$ 27,00. Para chegar a esse valor foi utilizada a primeira operação fundamental na Matemática: a adição. Acompanhe o cálculo: Esquadro

R$ 2,98

Régua

R$ 0,79

Como

R$ 7,99

Papéis

R$ 3,86

Lápis

R$ 1,55

Canetas hidrográficas

R$ 9,83

TOTAL

R$ 27,00

+

Suponhamos que Matheus pensasse melhor e resolvesse não ficar com o como. Por meio da subtração é possível chegar ao resultado. Veja: Total da compra

R$ 27,00

Como

R$ 7,99

TOTAL

R$ 19,01

-

Ainda utilizando o mesmo exemplo, imagine que Matheus estivesse somente com o cartão de crédito para pagar a conta e por isso resolveu dividir em 3 vezes, utilizando o conceito de divisão, então vamos ao cálculo: Total da compra

R$ 27,00 3

TOTAL

quantidade de parcelas

R$ 9,00

O exemplo apresentado é de uma divisão exata, mas uma divisão nem sempre é exata, é o que chamamos de divisão com resto. Acompanhe o exemplo: 118

5

18 23 resto

3 4


Para que a divisão seja realizada, é preciso que o dividendo seja maior ou igual ao divisor, além disso, fique atento, pois não existe divisão por zero. Imagine que Matheus quisesse acrescentar à sua compra mais dois comos e três lápis. Nesse caso teremos de usar a multiplicação. Acompanhe: Como

R$ 7,99 x 2 = R$ 15,98

Lápis

R$ 1,55 x 3 = R$ 4,65

Total das compras extras

+

R$ 20,63

Cálculo final Compra inicial

R$ 27,00

Compra extra

R$ 20,63

Total

R$ 47,63

+

Continuando nosso estudo, observe que o guarda-roupa de Matheus possui 4 portas, com 4 gavetas e 4 camisetas em cada uma delas. Utilizando o conceito de potenciação, como poderemos saber a quantidade total de camisetas que Matheus possui.

armário fechado

5


Disposição das camisetas em uma das gavetas.

Armário aberto

Lembrando que potenciação é a multiplicação repetida de “a” por ele mesmo um número “n” de vezes, ou seja:

ou 2³ = 2x2x2 = 8 34 = 3x3x3x3x= 81 Relembrando que o guarda-roupa roupa de Matheus possui 4 módulos, s, com 4 gavetas e 4 camisetas em cada uma delas, utilizando o conceito de potenciação ficaria assim: 43 = 4 x 4 x 4 = 64 módulos

camisetas

gavetas

Logo, Matheus possui 64 camisetas. Simples, não? Acompanhe algumas dicas. • toda potência ncia de base diferente de zero com expoente zero é igual a 1,, veja: -30 = 1 -60 = 1 -80 = 1 6


• toda potência com expoente 1 é igual à própria base, acompanhe: -171 = 17 - 281 = 28 -21= 2 • para realizar a leitura de potências, acompanhe algumas regras: 62: lê-se seis elevado ao quadrado; 73: lê- se sete elevado ao cubo; 24: lê-se: dois elevado à quarta potência; 810: lê-se: oito elevado à décima potência; 1520:lê-se quinze elevado à vigésima potência, assim, com todos os demais expoentes. Temos também o conceito de radiciação que é bem parecido com a potenciação. A radiciação é a operação inversa da potenciação, ou seja, para acharmos a raiz quadrada, cúbica, quinta potência de um número, a pergunta que se deve fazer é: qual número que multiplicado por ele mesmo um determinado número de vezes resulta no número que temos. Acompanhe este exemplo: Qual número que multiplicado por ele mesmo uma determinada quantidade de vezes resultam nos números 8 e 256? A resposta é 2 e 4, pois 2 x 2 x 2 = 8 e 4 x 4 x 4 x 4= 256. Então, podemos dizer que 23 = 8 e 44 = 256. Outro conceito importante é a raiz quadrada. Para compreendê-lo melhor, vamos utilizar algo prático. Observe esse quadro, que interessante: é um quebra-cabeça! Se contarmos as peças na horizontal e as peças na vertical, descobrimos 13 de cada lado, observe:

7


13 peças

13 peças Para descobrir a quantidade de peças do quebra-cabeça, basta realizar o seguinte cálculo: √ ? = 13 132 = ? 132 = 169 √ 169 = 13 Logo, se contarmos o quebra-cabeça encontraremos 169 peças. O conceito utilizado foi o da raiz quadrada. Quando descobrimos que o número 13 ao quadrado é igual a 169, encontramos a raiz quadrada de 169. Para saber a quantidade de peças que há em cubo mágico, devemos utilizar o mesmo conceito utilizado para contar as peças do quebra-cabeça, porém com um detalhe importante, ao invés de utilizarmos a raiz quadrada, utilizaremos a raiz cúbica. Imagine que cada lado do cubo mágico possui 3 peças.

8


Quantas peças temos ao todo neste cubo mágico?

3 3

√ ? = 33 = 3 . 3 . 3 = 27 3

Logo = √27 = 3

3

Por meio do cálculo identificamos que o cubo tem 27 peças. A operação usada para encontrar a raiz quadrada ou cúbica é a radiciação, que estudamos há pouco. Veja: • √ 25 = 5 pois 5² = 5 X 5 = 25 • √ 36 = 6 pois 62 = 6 x 6 = 36 3

• √ 8 = 2 pois 23 = 2 x 2 x 2 = 8 3

• √64 = 4 pois 43 = 4 x 4 x 4 = 64

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Aula 2 – Números Primos, MMC e MDC Seja bem-vindo à 2ª aula do curso! Iniciaremos o estudo pelos números primos, que nada mais são que números que possuem apenas dois divisores: o número 1 e ele próprio. Para encontrá-los de maneira organizada e precisa utilizaremos o Crivo de Eratóstenes. 1º) Escreva os números naturais de 1 a 50. 2º) Elimine o número 1 e os múltiplos de 2, exceto ele mesmo. 3º) Elimine os múltiplos de 3, exceto ele mesmo. 4º) Elimine os múltiplos de 5 e 7, exceto eles mesmos. Os números que sobraram são os números primos. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47... Os números podem ser decompostos em fatores primos. Você sabe o que isso significa? Isso quer dizer que um número pode ser decomposto com utilização de dois ou mais fatores e existem várias formas de se fazer isso, observe: 180 = 2 x 90 ou 180 = 2 x 2 x 3 x 3 x 5 O que você vê são dois modos de fatorações do número 180. Você ainda pode escrever a multiplicação de fatores iguais em forma de potência, veja: 180 = 2 x 2 x 3 x 3 x 5 180 =

22 x

32 x 5

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É isso mesmo! Com base nessas informações podemos realizar cálculos por meio do MMC – Mínimo Múltiplo Comum e do MDC – Máximo Divisor Comum. Exatamente, mas antes é importante saber sobre os múltiplos de um número natural. Se um número é divisível por outro número qualquer e diferente de zero, dizemos que ele é múltiplo desse número. Acompanhe o exemplo: 24 é um número divisível por 3, logo 24 é múltiplo de 3. Ele também é múltiplo de 1, 2, 4, 6, 8, 12 e o próprio 24.

Importante saber que um número pode ter infinitos múltiplos e que o zero é múltiplo de qualquer número natural. Agora que já sabemos como calcular o múltiplo de um número ficará bem mais fácil compreender o MMC e o MDC. Acompanhe o exemplo: no final do ano ado, Dona Carolina colheu 15 goiabas e 20 mangas das árvores que tem em seu quintal. Na época, ela gostaria de organizá-las em sacos plásticos sem misturar os tipos de fruta, ocupando o mínimo de sacos possível. Quantas frutas Dona Carolina deveria ter colocado em cada saco? Para que as frutas ocupem a menor quantidade de sacos plásticos, precisamos encontrar a quantidade máxima de frutas que devem ser colocadas em cada um deles. Existem duas maneiras de encontrarmos o resultado. Por meio do cálculo do MDC – Máximo Divisor Comum de 15 e 20. D (15) = {1, 3, 5, 15} D (20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20} MDC (15, 20) = 5

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O máximo divisor comum de (15, 20) é o número 5, pois é o único fator comum que aparece no cálculo. Se existisse outro fator comum maior que o número 5, esse fator seria o máximo divisor comum. D é a abreviatura de divisores. No exemplo apresentado, os divisores de 15 são 1, 3, 5 e 15.

Por meio da decomposição em fatores primos. 15, 20 2 15, 10 2 15, 5 3 5, 5 5 fator comum 1, 1 5 é o fator comum, pois foi o único número primo que decompôs simultaneamente os números 15 e 20.

Muito bom! Por meio do MDC ou pela decomposição em fatores primos, chegamos à resposta do problema de Dona Carolina que deveria ter colocado 5 frutas em cada saco plástico. Agora, acompanhe o cálculo do MDC (420, 700) pela decomposição em fatores primos. 420, 700

2 fator comum

210, 350

2 fator comum

105, 175

3

35, 175

5 fator comum

7, 35

5

7,

7

7 fator comum

1,

1

Feita a decomposição, multiplique os fatores primos comuns: 2 . 2 . 5 . 7 = 140, logo o MDC (420, 700) é 140.

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Escrevendo a fatoração do número na forma de potência temos: 420 = 22 x 3 x 5 x 7 700 = 22 x 52 x 7 Continuando nosso estudo, lanço outro desafio. Imagine que um eclipse só pode ser visto da região nordeste do Brasil a cada 9 anos e outro a cada 7 anos. Se eles foram vistos este ano, daqui a quantos anos os veremos novamente ao mesmo tempo? Primeiro precisamos verificar em que intervalo de tempo os dois eclipses serão vistos simultaneamente e existem duas formas de chegarmos ao resultado. Um dos caminhos para resolver o problema é identificando os múltiplos comuns de 9 e 7, selecionando o menor deles, com exceção do 0. M (9) = {0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81...} M (7) = {0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70...} MMC (9, 7) = 63 M é a abreviatura de múltiplos. No exemplo apresentado, os múltiplos de 7 são 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63...

Outra estratégia é por meio da decomposição em fatores primos. 9, 7 3 3, 7 3 1, 7 7 1, 1 MMC (9, 7) = 3 . 3 . 7 = 63 O resultado do MMC será obtido por meio da multiplicação de todos os fatores primos.

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Nesse caso, usando o MMC ou a decomposição de fatores primos, concluímos que o eclipse acontecerá daqui a 63 anos. CURIOSIDADE Existem alguns números que são primos entre si, pois o resultado do MDC é igual a 1, por exemplo os números 35 e 24. Faça o cálculo e comprove!

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Aula 3 – Números inteiros e racionais Os números Inteiros são frequentemente utilizados em nosso dia a dia, já que são constituídos pelos números naturais {0, 1, 2...} e seus opostos {0, - 1, - 2...}. Quer ver um exemplo? Toda geladeira ou freezer são controlados por temperatura que pode ser positiva ou negativa. Determinadas câmaras frigoríficas chegam a registrar - 45º C, dependendo do tipo de alimento armazenado. Importante lembrar que quando a temperatura é positiva (acima de 0) não precisamos colocar o sinal de +, já que é opcional. Também usamos esse conceito em relação aos extratos bancários, por exemplo, imagine que foi debitado R$ 235,00 de sua conta, esse débito é representado pelo sinal de – (menos), aparecendo da seguinte forma em sua conta: - 235,00. Outro dado interessante é que não utilizamos nenhum sinal para representar o número 0 (zero) já que ele não é nem positivo nem negativo. Por meio dos números inteiros, podemos realizar várias operações, acompanhe: Adição de inteiros Veja o que fazer com os sinais na adição com números Inteiros. Sinal dos números + + - -

Operações entre os números SOMA

Sinal do Resultado + -

Na adição, podemos encontrar duas situações: • parcelas com o mesmo sinal: para somar dois números inteiros de mesmo sinal, somamos os valores e atribuímos ao resultado o sinal comum a eles:

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(+ 6) + (+ 4) = + 10 (– 4) + (– 10) = – 14

• parcelas com sinais diferentes: para somar dois números inteiros de sinais diferentes, devemos subtrair os valores e atribuir ao resultado o sinal do número de maior valor. (– 16) + (+ 8) = - 8 Subtração de inteiros Veja o que fazer com os sinais na subtração com números Inteiros. Sinal dos números + - +

Operações entre os números SUBTRAÇÃO

Sinal do Resultado VALE O SINAL DO MAIOR

A subtração dos números inteiros acontece da seguinte forma: • com sinais diferentes: subtraímos os números e conservamos o sinal do maior. Acompanhe os exemplos: - 10 + 12 = 2

Como o maior número é positivo o resultado também será.

- 34 + 12 = - 22

Como o maior número é negativo o resultado também será.

• com sinais iguais: somam-se os números e conserva-se o sinal. Ex.: - 23 - 9= - 32 + 7 + 4 = +11 Multiplicação de inteiros Entenda os sinais na multiplicação de inteiros. Sinal dos números + + - + - +

Operação entre os números

Sinal do resultado +

MULTIPLICAÇÃO -

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Veja os exemplos: 10 x 70 = 700

(sinais iguais → produto positivo)

10 x - 70 = - 700

(sinais diferentes → produto negativo)

Divisão de inteiros Na divisão são usadas as mesmas regras de sinais da multiplicação. Sinal dos números + + - + - +

Operação entre os números

Sinal do resultado +

MULTIPLICAÇÃO -

Veja alguns exemplos: - 50 ÷ - 2 = 25 50 ÷ - 2 = - 25

(sinais iguais → produto positivo) (sinais diferentes → produto negativo)

É possível utilizarmos o conceito de potenciação e radiciação com números inteiros? Sim! A única diferença é que encontramos números negativos nas operações. Estudamos há pouco que 53 = 5 x 5 x 5 = 125, mas qual é o resultado da potência 53 ? Primeiramente precisamos ter em mente duas regras: - quando a base é positiva a potência também é positiva. - quando a base é negativa temos duas possibilidades: 1ª) Expoente par = potência positiva 72 = 7 x 7 = 49 (-4)² = (- 4).(-4) = 16 (-2)6 = (-2).(-2).(-2).(-2).(-2).(-2) = 64

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2ª) Expoente ímpar = potência negativa (-2)³ = (-2).(-2).(-2) = - 8 (-5)5 = (-5).(-5).(-5).(-5).(-5) = - 3125 (-3)³ = (-3).(-3).(-3) = - 27 Obs.: todo número elevado a zero é igual a um. 30 = 1 (-1000) 0 = 1 Já na radiciação podemos encontrar situações como ³√-8 , onde o radicando é negativo. Nesse caso, temos duas situações: 1) Se o índice for ímpar, teremos uma raiz negativa: ³√-8 = - 2 pois (-2)3 = (-2) . (-2) . (-2) = (+4) . (-2) = -8 5

√-243 = -3 pois (-3)5 = (-3) . (-3) . (-3) . (-3) . (-3) = -243

2) Se o índice for par, não existirá raiz, acompanhe: √-4 = ? Nesse caso não existe raiz, pois não existe nenhum número que elevado ao quadrado seja igual a -4. Você deve estar se perguntando, se o 22 é igual a 4, será que (- 2)2 não resolveria o problema? Vamos realizar o cálculo detalhadamente, veja: (- 2)2 = (- 2) . (- 2) = + 4. Notou? O resultado obtido foi +4 e não -4 como o problema pede, justamente por isso, não

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existe raiz. Outro exemplo que não possui raiz é 4√-16 16 , pois não existe nenhum número multiplicado 4 vezes que resulta em -16. Agora, falaremos de um assunto muito interessante que está presente em nosso dia a dia: os números racionais! Dona Carolina preparará um bolo, por isso alguns ingredientes estão dispostos sobre a mesa. A capacidade desta garrafa de leite é de 1 litro,

porém

neste

momento

há

aproximadamente 330ml. Se dividirmos a garrafa em três partes iguais, somente uma estará completa. Nesse caso podemos dizer que a garrafa tem 1/3 de leite. Para fazer a calda do bolo Dona Carolina utilizará chocolate ao leite. Observe que sobre re a mesa há 3 barras de chocolate divididas em 4 partes.

Para fazer o bolo ela precisará de 10 partes dessas barras. Como podemos representá-la la por meio dos números racionais? Nesse caso, o denominador deve indicar a quantidade de partes de cada barra barra de chocolate e o numerador o número total de partes que será utilizado, logo o resultado ficaria assim: 10 .4

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Legal! Uma coisa importante que devemos nos atentar é em relação à nomenclatura. Observe que na fração o número de cima é chamado numerador e o número debaixo de denominador.

Imagine uma pizza cortada em quatro pedaços. Imagine que Matheus tenha comido 1 pedaço, logo ele comeu ¼ da pizza. Se mais ninguém comer, sobrará ¾ da pizza. Agora, imagine que a mesma pizza tenha sido cortada em 8 partes, se Matheus comer dois pedaços, ele comerá 2/8. Se mais ninguém comer, sobrará 6/8 da pizza. Note que apesar de apresentar valores diferentes, Matheus comeu a mesma quantidade de pizza. Isso é o que chamamos de frações equivalentes. Observe outros exemplos:

Logo ½ equivale a 2/4 que equivale a 3/6. Para saber qual fração é equivalente a outra, basta multiplicar ou dividir o numerador e o denominador pelo mesmo número. Acompanhe: Fração 2 3 9 3

Multiplicação ou divisão

Mesmo número

x

2

:

3

Resultado

Status

4 6 3 1

4 é equivalente a 2 6 3 3 é equivalente a 9 1 3

Também podemos simplificar as frações, ou seja, dividir o seu numerador e o seu denominador pelo mesmo número natural até que não tenha mais possibilidades de se dividir, chega-se a uma fração chamada irredutível. Veja o exemplo: 20


12 6 3 : 2 = : 2 = Fração irredutível 16 8 4 As frações também podem ser comparadas. Para testar seus conhecimentos, identifique a fração que julga menor. a)

b)

A alternativa “a” ¼ é menor que a alternativa “b” ¾, pois quando os denominadores são iguais, a menor fração é a que tiver menor numerador. Teste mais um pouco os seus conhecimentos, identificando a fração que julga maior. b)

a)

Resposta: a alternativa “a” ¼ é maior do que a alternativa “b” 1/8, pois quando os numeradores são iguais, a maior fração é a que tiver menor denominador. Você acabou de comparar frações com denominadores ou numeradores iguais, veja: 1e3 4

4

Denominadores iguais. O maior numerador indicará a fração maior.

1e1 4

8

Numeradores iguais. O menor denominador indicará a fração maior.

Você sabe como funciona o sistema de comparação de frações quando os numeradores e denominadores são diferentes, por exemplo, 2/3 e 5/7? Nesse caso precisamos primeiramente encontrar o denominador comum entre eles, para isso utilizaremos o MMC.

21


3, 7 3 1, 7 7 1, 1 MMC (3, 7) = 3 . 7 = 21 O resultado do MMC corresponderá aos denominadores comuns das frações apresentadas. Agora, acompanhe o a o o procedimento: 1º) Divida o resultado do MMC pelo denominador das frações que se deseja comparar: 5 21 / 7 = 3

2 21 / 3 = 7

2º) Multiplique o resultado da divisão pelo numerador e denominador: 2 3

X

7

=

14 21

5 7

X

3

=

15 21

3º) Compare os resultados apresentados: 2 equivale a 14 3 21

5 equivale a 15 7 21

Logo, a fração 5 é maior que 2. 7 3 Adição e subtração de frações: Frações com denominadores iguais: conserve o denominador e some ou subtraia os numeradores. 1 + 2 =3 4 4 4

5 - 3 = 2 2 2 2

Frações com denominadores diferentes: primeiramente devemos encontrar as frações equivalentes e os denominadores iguais, por meio do MMC. Após o cálculo, seguimos utilizando o mesmo procedimento para denominadores iguais.

22


2+5= 3 2

3, 2

3

1, 2

2

1, 1 MMC (3, 2) = 3 . 2 = 6 5 6/ 2=3

2 6/3 =2 2 3

X

5 2

4 6

=

2

X

3

=

15 6

4 + 15 = 19 6 6 6 Multiplicação de frações Para multiplicar números fracionários, você deve multiplicar numerador por numerador, e denominador por denominador, acompanhe: 6 x 5 = 30 3 2 6 Divisão de frações Na divisão de números fracionários, você deve multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda, veja: 8 : 4 = 8 x 3 = 24 = 2 3 3 3 4 12 Potência de frações Potenciação de fração é quando se eleva a um determinado expoente o numerador e o denominador de um número fracionário. 5 3

²

= 5² = 25 3² 9

3 4

²

= 3² = 9 4² 16 23


Radiciação de fração É quando aplicamos a raiz quadrada ao numerador e ao denominador de um número fracionário. 81 64

=

81 64

= 9 8

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Aula 4 – Sistema de numeração decimal Observe os produtos abaixo: 2 litros de amaciante para roupas

1 sabão em barra

R$ 3,90 R$ 0,80

1 litro de água sanitária

2 caixas de sabão em pó SABÃO

R$ 2,50

R$ 10,95

EM PÓ

Todo os números apresentados possuem vírgula v Note os preços desses produtos. Todos e recebem o nome de decimais. No sistema de numeração decimal os agrupamentos são feitos de 10 em 10 unidades. Nesse caso, quando uando dividimos um número inteiro:

•

por 10, temos o décimo desse número: 1/10 = 0,1

•

por 100, temos o centésimo desse número: 1/100 = 0,01

•

por 1000, 000, temos o milésimo desse número:: 1/1000 = 0,001, e assim, sucessivamente.

Observe no quadro a representação de frações decimais decimais através de números decimais. Fração Decimal Números Decimais

1 10

1 100

1 1000

1 10000

5 10

5 100

5 1000

5 10000

117 10

117 100

117 1000

117 10000

0,1 0,01 0,001 0,0001 0,5 0,05 0,005 0,0005 11,7 1,17 0,117 0,0117 25


Note que a quantidade de zeros da fração decimal corresponde as casas após a vírgula (contadas da direita para a esquerda) que número decimal deverá conter. Verifique que a vírgula separa a parte inteira da parte decimal.

Agora, acompanhe algumas transformações de decimais em frações decimais. Note que a quantidade de “zeros”, indica a quantidade de números após a vírgula. Veja: 0,1 =

1 10

0,2 =

2 10

0,01 =

1 100

0,35 =

35 100

0,001 =

1 1000

0,425 =

425 1000

Agora, veja a operação inversa, transformar frações decimais em números decimais. Para isso, escrevemos o numerador. A vírgula deve ser colocada da direita para a esquerda tantas casas quanto forem os zeros do denominador. a) 35 = 10

3,5

uma casa após a vírgula um zero

b) 47 = 100

0,47

duas casas após a vírgula dois zeros

c) 42 = 1000

0,042

três casas após a vírgula três zeros

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Adição e subtração de decimais Para realizar a adição ou subtração de decimais, temos duas possibilidades, acompanhe os exemplos. Cálculo I

Cálculo II

Coloque dezena embaixo de dezena,

Transforme os números em frações

unidade embaixo de unidade, vírgula

decimais, adicione ou subtraia os

embaixo de vírgula, e assim por

valores e depois o retorne para

diante. As casas vazias podem ser

decimal.

completadas com zeros. 0,45 + 2,32 = 45 + 232 = 0,45 + 2,32 = 0,45

100 100

+2,32 2,77

277 = 2,77 duas casas após a vírgula 100

dois zeros

2,3 + 12,47 = 02,30 + 12,47 A multiplicação de decimais pode ser realizada de duas formas. Cálculo I

Cálculo II

Multiplique os fatores como se não

Transforme em frações decimais,

houvesse vírgula, verifique quantas

multiplique e depois volte para

casas decimais há nos fatores e as

decimais.

coloque no produto. 4,2 . 2,5 = 42 . 25 = 1050 = 10,50 4,2

1 casa decimal

x2,5

1 casa decimal

10 10

100

210 _84 + 10,50

2 casas decimais

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Divisão de decimais Agora, acompanhe o procedimento para divisão de decimais, para isso realizaremos a seguinte divisão: 22,5 / 0,15. Procedimento para o cálculo: 1º) igualar as casas decimais

22,50 / 0,15

2º) eliminar a vírgula

2250 / 15

3º) dividir normalmente 2250 15 75 150 00

Quando houver resto podemos dar continuidade na divisão até a casa decimal que nos interessar. Acompanhe o cálculo de 458/7. Procedimento para o cálculo: 1º) calcule a parte inteira: 458 7 38 65 3 2º) Agora calcule a primeira casa decimal, para isso coloque a vírgula no quociente e um zero no décimo do dividendo, sem alterá-lo; 458,0

7

38

65,4

30 2 3º) Acrescente a quantidade de zeros necessária para o cálculo desejado:

28


Aula 5 – Medidas de comprimento e área Nessa aula estudaremos medidas de comprimento e área, mas antes, você sabia que a necessidade de medir surgiu ainda na antiguidade, nas mais antigas civilizações, e por um longo período cada região desenvolveu seu próprio sistema de medida. Porém, com tantas maneiras diferentes de medir, o comércio entre as cidades ficava prejudicado, pois havia imprecisão nas medidas, uma vez que uns mediam com os pés, outros com as mãos e outros com o cúbito (medida de distância entre o cotovelo e a ponta do dedo médio). Justamente por isso foi criado um sistema único de medida para cada grandeza. Assim, em 1791, representantes de vários países se reuniram para discutir a adoção de um sistema único de medidas, foi então que surgiu o sistema métrico

decimal, portanto ficou determinado que o metro seria a unidade padrão para medir comprimentos. Matheus chegou da escola com duas atividades: descobrir a distância da sua casa até o trabalho de seu pai e o comprimento da frente do terreno da sua casa. Ele descobriu que há 12 km no percurso realizado pelo seu pai e que a frente da sua casa tem 5 metros. Observe que somente nesse exercício algumas medidas foram apresentadas, o quilômetro (km) e o metro (m). Agora vamos estudar os múltiplos e submúltiplos do metro. Observe o esquema: Unidade Padrão

Múltiplos

Submúltiplos

Unidade

quilômetro

hectômetro

decâmetro

metro

decímetro

centímetro

milímetro

Símbolo

km

hm

dam

m

dm

cm

mm

Relação com o metro

1.000 m

100 m

10 m

1m

0,1m

0,01 m

0,001 m

29


Note que o metro tem seus múltiplos e submúltiplos. submúltiplos O quilômetro (km), hectômetro(hm) e decâmetro (dam) são múltiplos do metro e usados para medir grandes distâncias e correspondem a 1.000, 1 000, 100 e 10 metros respectivamente. Já os submúltiplos compreendem o decímetro (dm), o centímetro (cm) e o milímetro (mm) e são usados para medir pequenos comprimentos. Eles possuem 0,1; 0,01 e 0,001 metro respectivamente. Você sabia que... • para medidas milimétricas, em que se exige precisão, utiliza-se: utiliza mícron (µ) = 10-6 m e angstrom (Å) = 10-10 m; • para distâncias cias astronômicas utiliza-se utiliza o “ano-luz” (distância percorrida por um raio io de luz em um ano e equivale a, aproximadamente, nove trilhões e quinhentos bilhões de quilômetros: Ano-luz = 9,5 · 1012 km; • pé, polegada, milha e jarda são unidades não pertencentes ao sistema métrico decimal e são utilizadas em países de língua inglesa. inglesa Observe no quadro as igualdades. igualdade 1 pé 1 polegada 1 jarda equivale a 1 milha terrestre 1 milha marítima

30,48 cm 2,54 cm 91,44 cm 1.609 m 1.852 m

Observe o esquema utilizado para transformar unidades de medida de comprimento. Note que cada ada unidade unidade corresponde a 10 vezes a unidade imediatamente inferior e da unidade imediatamente superior, ou seja, para fazer as transformações, basta multiplicar ou dividir sucessivamente por 10. Vamos praticar um pouco!

30


Para transformar 14,284 hm (hectômetro) em metros (m) devemos multiplicar, acompanhe. X 10

X 10

14,284 km

hm

1428,4 dam

m

dm

cm

mm

Logo, 14,284 hectômetros correspondem a 1428,4 metros. Para transformar 1,262 dam em cm devemos multiplicar. X 10

X 10

1,262 km

hm

dam

X 10 1262

m

dm

cm

mm

Logo, 1,262 decâmetros correspondem a 1262 centímetros. Já para transformar 166,5m em dam devemos dividir: km

hm dam

m

dm

cm

mm

16,65 166,5 : 10

Logo, 166,5 metros correspondem a 16,65 decâmetros. E para finalizar, para transformar 866 m e km devemos dividir: 886 : 10 : 10 : 10 = 0,886

km

hm

dam

m

0,886 : 10

dm

cm

mm

886 : 10

: 10

31


Logo, 886 metros correspondem a 0,886 quilômetro. Agora, observe que na casa do Sr. Maurício (pai de Matheus) foi colocada uma cerca de madeira. Qual cálculo devemos realizar para saber quantos metros de cerca ele precisou para fazer esse trabalho? Para realizar esse cálculo foi preciso somar as medidas dos lados do terreno, portanto foi realizado o cálculo do “Perímetro”. Imagine que o terreno da casa possui as seguintes medidas: 5m Como havia falado, devemos somar as medidas de cada lado para encontrarmos o perímetro do 10 m

10 m

terreno: 5 m + 5 m + 10 m + 10 m = 30 m. Logo, Maurício precisou de 30 metros de cerca para colocar em volta do terreno.

5m Agora imagine que o terreno possui as seguintes medidas:

8,5 m

8,5 m

13,5 m

8,5 m

11,5 m

Nesse caso também somamos os lados do terreno: 8,5 m + 8,5 m + 8,5 m +11,5 m + 13,5 m = 50 m., portanto o perímetro do terreno é de 50 metros.

32


Importante saber que quando realizamos a soma das medidas de todos os lados, estamos calculando o perímetro de um polígono, ou seja, uma superfície plana limitada por linhas retas ou lados. Nesta figura temos lados com medidas em centímetro (cm) e decâmetro (dm). Nesse caso, como devemos calcular o perímetro?

2 cm 0,2 dm

3 cm

Em primeiro lugar, você deve transformar as medidas para a mesma unidade, utilizando a tabela de conversão estudada há pouco, portanto 0,2 dm = (0,2 . 10) cm = 2 cm. Agora, somamos as medidas dos lados: 2 cm + 2 cm + 3 cm = 7 cm. Logo o perímetro desse polígono é de 7 cm. Outro assunto interessante que estudaremos nessa aula é unidade de medida de superfície ou unidade de área, o metro quadrado. Para estudá-la imagine que Sr. Maurício queira pintar a parede da sala de sua casa, para determinar a quantidade de tinta, ele precisará medir as superfícies para encontrar a área da parede. 12 m

12 6m

X6 72

Logo, o Sr. Maurício terá de comprar tinta para pintar uma parede de 72m2 de área.

33


Note que vimos um novo sistema de medida, o metro quadrado (m2). Agora, acompanhe a explicação: se dividirmos a parede do Sr. Maurício em quadrados que medem 1 metro de cada lado, veremos que ao todo temos 72 quadrados, observe:

12 m 1m

6m

De acordo com o Sistema Internacional de Unidades o metro quadrado é a unidade padrão de medida para superfícies. O quadrado com todos os lados medindo 1 metro corresponde a 1 metro quadrado. O metro quadrado também tem seus múltiplos e submúltiplos. Observe no quadro o símbolo e a relação de cada múltiplo e submúltiplo com o metro quadrado.

Unidade

quilômetro quadrado

hectômetro quadrado

decâmetro quadrado

Unidade padrão metro quadrado

Símbolo

km2

hm2

dam2

m2

dm2

cm2

mm2

Relação com o metro quadrado

1.000.000 m2

10.000 m2

100 m2

1 m2

0,01 m2

0,0001 m2

0,00001 m2

Múltiplos

Submúltiplos decímetro quadrado

centímetro quadrado

milímetro quadrado

34


Observe que cada unidade corresponde a 100 vezes a unidade imediatamente

1 100

inferior da unidade imediatamente superior, ou seja, para fazer as transformações, basta multiplicar ou dividir sucessivamente por 100. Vamos praticar um pouco! Acompanhe as transformações de algumas medidas. 6 km2 em m2 X 1.000.000 2

km

x100

2

hm

x100

2

dam

2

m

x100

6 km2 = ( 6 x 1.000.000) m2 = 6.000.000 m2 ou 2

6 km = ( 6 x 100 x 100 x 100) m2 = 6.000.000 m2 Acompanhe outro cálculo. 20 mm2 em m2

: 1.000.000

m2

: 100

dm2

20 mm2 = (20 : 0,00001) m2 = 20 x

: 100

1 1.000.000

cm2

: 100

m2 =

20

mm2

m2 = 0,00002 m2

1.000.000

ou 2

20 mm = (20 : 100 : 100 : 100) m2 = 0,00002 m2 O cálculo de áreas rurais é um pouco diferente, para esses casos utilizamos o hectare, representado pelo símbolo ha ou 1hm2 (hectômetro), que equivale a dez mil metros quadrados (10.000 m2). Imagine que figura representa um terreno medindo 1hm de cada lado, logo o terreno possui 1 hectare.

35


1hm

1hm2 = 1hm

1hm

1 ha 1hm

Existe outro sistema de medida para áreas rurais? Existe sim, o are, representado pelo símbolo a ou 1dam2 (decâmetro), que equivale a cem metros quadrados (100 m2). Imagine que a figura representa um terreno medindo 1dam de cada lado, logo teremos um terreno com 1 are. 1dam

1 dam2 = 1dam

1 are

1dam

1dam

Existem ainda outras unidades populares de medidas agrárias, tais como: Alqueire paulista Alqueire mineiro ou goiano Alqueire do norte ou baiano

Que equivale à área de...

24.200m2 48.400m2 27.225m2

36


Aula 6 – Medidas de tempo, massa, capacidade e volume Bem-vindo à nossa ultima aula, um momento ideal para refletirmos sobre a importância do tempo em nossas vidas. Você alguma vez na vida já se deparou com frases do tipo: faz tempo que você está me esperando? Quanto demora a viagem até lá? Já faz tempo que o jogo começou? Qual a duração do curso? Pois bem, essas perguntas são respondidas com base em uma unidade padrão de medida de tempo, e a unidade escolhida como padrão pelo Sistema Internacional (SI) é o segundo. Por falar em tempo, observe que Matheus está tomando banho para ir à escola. Ele iniciou o banho às 6h30min e agora já são 6h45min. Note que quando falamos de tempo, utilizamos suas unidades de medida: o segundo(s), o minuto(min) e a hora(h). O segundo é a unidade padrão, porém, dependendo da situação, outras unidades podem ser usadas, como por exemplo, para fazer a indicação de 60 minutos, usamos 1 hora, ou ainda para indicar 60 segundos, usamos 1 minuto. Mas como podemos transformar horas em minutos? Você deve multiplicar a quantidade de horas por 60. Para transformar 5 horas em minutos, multiplique 5 por 60 e o resultado será 300. Logo, 5 horas correspondem a 300 minutos. Para transformar segundos em minutos devemos dividir a quantidade de segundo por 60. Para transformar 155 segundos em minutos, divida 155 por 60 e o cálculo será: 155 60 segundos

35

2

minutos

37


Logo, 155 segundos correspondem a 2 minutos e 35 segundos. Atenção! Nunca escreva 3,20min. para representar 3h20min. Lembre-se, o sistema de medida de tempo não é decimal. Agora, conheça outras medidas de tempo. Mês comercial = 30 dias

Bimestre = 2 meses

Ano comercial = 360 dias

Trimestre = 3 meses

Ano normal = 365 dias

Quadrimestre = 4 meses

Ano bissexto = 366 dias

Quinquênio= 5 anos

Semana = 7 dias

Década = 10 anos

Quinzena = 15 dias

Século = 100 anos Milênio = 1.000 anos

Agora que já conhece toda a família do Sr. Maurício, incluindo Dona Carolina e Matheus, partiremos para o próximo assunto. Observe as imagens: Sr. Maurício – 75 Kg. Dona Carolina – 63 Kg. Matheus – 52 Kg. Nesse caso, estamos nos referindo às unidades de medida de massa: o quilograma (kg), o grama(g) e o miligrama (mg). Agora, conheça os múltiplos e submúltiplos das unidades de medida de massa com ajuda do esquema. Observe que a unidade padrão é o grama. As unidades da esquerda são utilizadas para medir grandes massas e as unidades da esquerda são para medir pequenas massas.

38


quilograma kg

hectograma Hg

decagrama dag

grama g

decigrama dg

centigrama cg

miligrama mg

As unidades de massa podem ser transformadas de quilos para gramas, por exemplo. Observe o esquema e acompanhe os exemplos. X 10

kg

X 10

X 10

hg

X 10

dag

g

: 10

: 10

X 10

X 10

dg

cg

: 10

: 10

mg

: 10

: 10

Observe a transformação de 2 quilogramas em gramas. hg

kg

2 kg

X 10

dag X 10

g

= 2.000 g

X 10

Agora acompanhe a transformação de 120.000 miligramas em hectogramas.

hg 1,2 hg =

dag : 10

g : 10

dg : 10

cg : 10

mg : 10

120.000 mg

Note que quando transformamos uma unidade de massa da esquerda para direita, devemos multiplicar por 10 e quando transformamos da direita para a esquerda dividimos por 10. ATENÇÃO: • cada unidade de massa é dez vezes maior que a unidade imediatamente inferior; • o grama pertence ao gênero masculino, portanto devemos dizer duzentos gramas de algo e não duzentas gramas, nesse último caso estamos relacionando grama à vegetação; • também são usadas outras unidades de medida de massa: - tonelada = t que equivale a 1.000kg; - arroba =@ que equivale a aproximadamente 15kg. 39


Agora , observe bserve os produtos e as capacidades de cada um deles. Xampu

Desinfetante

500 ml

1l

As unidades de medidas de capacidade mais utilizadas em nosso dia a dia são o litro (l) e o mililitro (ml). Em nosso dia a dia, as unidades de medida de capacidade são muito utilizadas, utilizadas se estamos fazendo uma receita, receita precisamos de alguns ml de leite. Ao o escolhermos a capacidade que terá a caixa d’água que vamos colocar em casa, ao comprar uma bebida seja em lata ou garrafa, entre tantas outras outra situações que você com certeza deve estar se lembrando agora. A unidade padrão de medida de capacidade é o litro. Na tabela são apresentados seus múltiplos e submúltiplos,, além do símbolo e sua relação com o litro.. Múltiplos

Unidade Padrão

Submúltiplos

Unidade

quilolitro

hectolitro

decalitro

litro

decilitro

centilitro

mililitro

Símbolo

kl

hl

dal

l

dl

cl

ml

1.000 l

100 l

10 l

1l

0,1 l

0,01 l

0,001 l

Relação com o litro

Para transformar unidades de medida de capacidade, capacidade usa-se se o mesmo critério utilizado para transformar unidades de medidas de comprimento e de massa. Acompanhe alguns exemplos..

40


Veja a transformação de 3,5 litros em mililitros.

dl

l

3,5 l

X 10

cl X 10

ml X 10

3.500 ml

Agora, veja a transformação de 200 mililitros em litro.

dl

l

0,2 l

: 10

cl : 10

ml : 10

200 ml

Muito bem! Até o momento estudamos as medidas de tempo, massa e capacidade. Agora, estudaremos as medidas de volume, mas antes observe as figuras abaixo:

paralelepípedo

cubo

Essas figuras correspondem a um paralelepípedo retângulo e a um cubo. O cálculo do volume desses elementos é diferenciado e é isso que vamos conhecer a partir de agora. Para que se possa determinar a quantidade de cimento que um caminhão comporta ou a quantidade de areia que se pode colocar dentro de um balde, precisamos calcular seus respectivos volumes, ou seja medir a quantidade de espaço que o cimento ocupa no caminhão e a quantidade de espaço que a areia ocupa no balde. Portanto, volume é a quantidade de espaço ocupado por um corpo. Para calcular o volume de um paralelepípedo, elegemos como unidade de volume 1 =

e, depois, contamos quantos

formam um paralelepípedo.

41


2

2 3

Contado os cubos, notamos que esse paralelepípedo é formado por 12

. Logo,

seu volume é 12. Para realizar o cálculo do volume de um paralelepípedo você deve considerar as unidades de medida volume (v), comprimento (a), largura (b) e altura (c) e o cálculo é realizado por meio da seguinte equação: V = a . b . c Observe o exemplo do paralelepípedo que estudamos há pouco e acompanhe o cálculo do volume.

2

altura (c)

=

2 3

3 = quantidade de cubos no comprimento

volume

2 = quantidade de cubos na largura 2 = quantidade de cubos na altura

largura (b)

V=a.b.c=?

comprimento (a)

Como havíamos falado, o volume desse paralelepípedo é 12. Para calcular o volume do cubo utilize a equação: V = l . l . l = l 3, sendo que V indica volume e l representa cada lado. Observe no esquema.

lado (l)

=

volume

lado (l) lado (l)

42


Outro assunto importante relacionado ao volume é o metro cúbico (m3), que nada mais é do que a unidade padrão de medida de volume. Ela corresponde ao cubo e aresta de medida igual a 1m. Conheça os múltiplos e os submúltiplos do metro cúbico m3. Múltiplos

Unidade Padrão

Submúltiplos

Unidade

quilômetro cúbico

hectômetro cúbico

decâmetro cúbico

metro cúbico

decímetro cúbico

centímetro cúbico

milímetro cúbico

Símbolo

km3

hm3

dam3

m3

dm3

cm3

mm3

Relação com metro cúbico

1.000.000.000m

3

1.000.000m

3

1.000m

3

1m

3

0,001m

3

0,000001m

3

0,000000001m

Atenção! Capacidade é um volume e pode ser medido com a unidade metro cúbico. Como em todas as unidades de medida vistas até aqui, vamos transformar 3 metros cúbicos em centímetro cúbico. 3

3

m

3

3

dm

cm

x 1000

x 1000

3.000.000

Logo 3m3 corresponde a 3.000.000 cm3. Já para transformar 4.000 milímetros cúbicos (mm3) em metro cúbico (m3).

3

3

m

0,000004

3

dm : 1000

3

cm : 1000

mm : 1000

4.000

Logo 4.000 mm3 corresponde a 0,000004 m3. Esperamos que a partir de agora, você não veja mais a matemática como um monstro que só veio para atrapalhar. Assim como qualquer outra disciplina, basta força de vontade e muita prática! Não perca mais tempo, exercite agora mesmo o que aprendeu até aqui. Até breve!

43

3


Referências BARROSO, Juliane Matsubara. Projeto Araribá: Matemática: ensino fundamental, Volumes 6 e 7 2. ed. – São Pulo : Moderna, 2007 BRASIL ESCOLA. Unidades de Medidas. http://www.brasilescola.com/química/unid ades-medida.htm Data de o: 24/11/08 KLICK

EDUCAÇÃO.

Conceito

de

número

Natural.

Disponível

em:

http://www.klickeducacao.com.br/2006/materia/20/display/0,5912,POR-20-88-95153 46,00.html Data de o: 17/11/08 MORI, Iracema, Dulce Satiki Onaga – Ideias e Desafios 6ª série. 11.ed. – São Paulo: Saraiva, 2002 NG HORTA. Conjuntos Numéricos. http://www.nghorta.com/2007/02/02/conjuntosnu mericos/ Data de o: 17/11/08 SERCOMTEL. Expressões Algébricas. http://pessoal.sercomtel.com.br/matemática/f undam/expralg/expralg.htm Data de o: 02/12/08 SÓ MATEMÁTICA. Medidas de Comprimento. http://www.somatematica.com.br/fun dam/comprimento/comprimento2.php Data de o: 5/12/08 _______________ Medidas de Superfície. http://www.somatematica.com.br/fundam /medsup.php Data de o: 5/12/08 _______________ Mínimo Múltiplo Comum. http://www.somatematica.com.br/funda m/mmc.php Data de o: 18/11/08 _______________ Números Primos. http://www.somatematica.com.br/fundam/prim os.php Data de o: 24/11/08 _______________ Radiciação. http://www.somatematica.com.br/fundam/radiciacao. php Data de o: 26/11/08 WIKIPÉDIA. Tabela de Conversão de Unidades. http://pt.wikipedia.org/wiki/Tabela_ de_convers%C3%A3o_de_unidades Data de o: 18/11/08 WWW.JULIOBASTTISTI.COM.BR. Matemática para Concursos– 10ª Parte http://www.juliobattisti.com.br/tutoriais/jorgeasantos/matematicaconcursos010.asp Data de o: 5/12/08

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