Matemáticas 1 (álgebra En Acción)_joaquín Ruiz Basto 1a5c2b

Joaquín Ruiz Basto

Matemáticas Álgebra en acción

4

Sistema de aprendizaje en línea

1:33

MATEMÁTICAS 1 Álgebra en acción Serie integral por competencias Joaquín Ruiz Basto

segunda edición ebook 2016

o Patria correo:

teléfonos: Renacimiento # 180, Col. San Juan Tlihuaca, Azcapotzalco, 02400, Cd. de México

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www.editorialpatria.com.mx

fax pedidos: 5354 9109 (0155) 5354 9102

Grupo Editorial Patria® División Bachillerato, Universitario y Profesional Dirección editorial: Javier Enrique Callejas Coordinación editorial: Alma Sámano Castillo Elaboración de rúbricas: Alex Polo Velázquez, páginas: 16-18, 48, 49, 64, 65, 84, 85, 106, 107, 126, 127, 142, 143, 154, 155, 170, 171, 186, 187 Diseño de interiores y portada: Juan Bernardo Rosado Solís Supervisor de producción editorial: Miguel Ángel Morales Verdugo Diagramación: Gustavo Vargas Martínez, Jorge Antonio Martínez Jiménez Ilustraciones: José Luis Mendoza Monroy, Perla Alejandra López Romo, Leopoldo Trejo Fotografías: Thinkstock Se incluyeron reproducciones autorizadas por el Instituto Nacional de Antropología e Historia, México. Representación de las esculturas Reloj de Sol de Almussafes y Reloj de Sol de Ontiyent, autorizadas y proporcionadas por los escultores Joao Olivares Alfonso y Rafael Amorós. Agradecemos las facilidades que otorgó el Zoológico de Chapultepec a esta casa editorial.

Matemáticas 1 Álgebra en acción Serie integral por competencias Derechos reservados: ©2014, 2016, Joaquín Ruiz Basto ©2014, 2016, Grupo Editorial Patria, S.A. de C.V. ISBN ebook: 978-607-744-472-5 (Segunda edición) ISBN ebook: 978-607-438-995-1 (Primera edición)

Renacimiento 180, Col. San Juan Tlihuaca, Delegación Azcapotzalco, Código Postal 02400, Cd. de México Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Registro núm. 43

Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presente obra en cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor. Impreso en México / Printed in Mexico Primera edición ebook: 2004 Segunda edición ebook: 2016

Dedicatoria A Estela, Rodrigo, Leonardo, Christian y Ricardo. A todos los que contribuyeron para la realización de esta obra.

IV

Contenido

Contenido

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1

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3

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4

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5

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6

Parte 1

Desarrollo de competencias . . . . . . .

1

Resuelves problemas aritméticos y algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Utilizas magnitudes y números reales

22

Realizas sumas y sucesiones de números . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

Realizas transformaciones algebraicas I . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

Realizas transformaciones algebraicas II . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

Resuelves ecuaciones lineales I . . . .

108

Grupo Editorial Patria® V

Resuelves ecuaciones lineales II . . . .

128

8

Resuelves ecuaciones lineales III . . .

144

9

Resuelves ecuaciones cuadráticas I .

156

10

Resuelves ecuaciones cuadráticas II .

172

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7

Parte 2

Material de consulta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

189

Sección 1. Potencias y raíces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

190

Sección 2. Determinantes de sistemas lineales 2 × 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

194

Apéndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

199

Soluciones a ejercicios impares de autoevaluación para la Parte 1 . . . . . . . . . .

209

Soluciones a ejercicios impares de la Parte 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

231

Materiales de apoyo en SALI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

235

VI

Contenido

Grupo Editorial Patria® VII

Competencias genéricas del Bachillerato General Las competencias genéricas son aquellas que todos los bachilleres deben estar en la capacidad de desempeñar, y que les permitirán a los estudiantes comprender su entorno (local, regional, nacional o internacional) e influir en él, contar con herramientas básicas para continuar aprendiendo a lo largo de la vida, y practicar una convi-

vencia adecuada en sus ámbitos sociales, profesional, familiar, etc., por lo anterior estas competencias construyen el Perfil del Egresado del Sistema Nacional de Bachillerato. A continuación se enlistan las competencias genéricas:

1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros. 3. Elige y practica estilos de vida saludables. 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva. 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. 9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo. 10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la inculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales. 11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables.

Competencias disciplinares básicas del campo de las Matemáticas Competencias disciplinares básicas

Bloques de aprendizaje 1

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1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

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2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

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3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

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4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.

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5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

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6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.

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7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia. 8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

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Contenido

Competencias genéricas del Bachillerato General Las competencias genéricas son aquellas que todos los bachilleres deben estar en la capacidad de desempeñar, y que les permitirán a los estudiantes comprender su entorno (local, regional, nacional o internacional) e influir en él, contar con herramientas básicas para continuar aprendiendo a lo largo de la vida, y practicar una convi-

vencia adecuada en sus ámbitos sociales, profesional, familiar, etc., por lo anterior estas competencias construyen el Perfil del Egresado del Sistema Nacional de Bachillerato. A continuación se enlistan las competencias genéricas:

1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros. 3. Elige y practica estilos de vida saludables. 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva. 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. 9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo. 10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la inculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales. 11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables.

Competencias disciplinares básicas del campo de las Matemáticas Competencias disciplinares básicas

Bloques de aprendizaje 1

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1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

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2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

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3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

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4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y comunicación. 5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. 6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean. 7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia. 8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

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Grupo Editorial Patria® IX

Presentación MATEMÁTICAS 1 Álgebra en acción Es el primer libro de la Serie integral por competencias, que ayudará a profesores y estudiantes a organizar y desarrollar experiencias de aprendizaje a lo largo del primer semestre escolar del bachillerato general. Esta obra se apega al programa oficial de la asignatura y pone el centro de la actividad en el propio estudiante. Así, cada uno de los 10 bloques que lo integran inicia exponiendo una situación práctica al estudiante, de su entorno social, familiar o personal, que requiere la búsqueda de explicaciones o soluciones. La obra propone, en seguida, una secuencia didáctica de actividades, que conduce al alumno a la solución de la situación propuesta y que puede realizarse individualmente o en forma colectiva de modo que, a través del análisis, la reflexión, el estudio, la investigación y el trabajo personal y colaborativo, el estudiante desarrolle habilidades cognitivas, haciendo y aplicando sus conocimientos, mismos que podrá ampliar en los segmentos informativos de cada lección, que incluyen ejercicios de autoevaluación con solución para los impares. Cada bloque contiene, después de cada situación didáctica, un proyecto de trabajo cuyo objetivo es que el estudiante desarrolle sus conocimientos y habilidades, y consolide la autonomía en su quehacer. Otra fuente complementaria de consulta de contenidos matemáticos para el estudiante se proporciona en la segunda parte del libro e incluye soluciones a ejercicios de orden impar. La distribución de los contenidos del curso en 10 bloques permitirá al profesor disponer de variados problemas de aplicación práctica para organizar su trabajo en el aula. Esta cuarta edición se enriquece con nuevos e interesantes problemas y con modelos de instrumentos para la evaluación: rúbricas analíticas, listas de cotejo, guías de observación y lineamientos para la organización y uso de un portafolio de evidencias, elementos que, sin duda, serán de gran utilidad para el alumno y el profesor.

Joaquín Ruiz Basto

Problema propuesto Conocimientos

Situación didáctica

Secuencia didáctica

Rúbrica de evaluación Comentarios adicionales

Consulta

Análisis de la situación

Segmento informativo Parte teórica

Aplicaciones

Proyecto de trabajo Ejemplos

Autoevaluaciones

Sugerencias para los ejercicios

Parte 1 Desarrollo de competencias Contenido BLOQUE 1 Resuelves problemas aritméticos y algebraicos A. Cambios climáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B. Tu computadora personal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 10

BLOQUE 2 Utilizas magnitudes y números reales A. Husos horarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B. Afluencia turística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24 38

BLOQUE 3 Realizas sumas y sucesiones de números A. Apertura de un restaurante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B. Bienes raíces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52 58

BLOQUE 4 Realizas transformaciones algebraicas I A. Embalaje de piezas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B. Cultivo y venta de pescado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68 74

BLOQUE 5 Realizas transformaciones algebraicas II A. Alimento para ardillas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 B. Venta de churros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 C. Limpieza de albercas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

BLOQUE 6 Resuelves ecuaciones lineales I A. Mezcla de dulces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 B. Banco de ostiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

BLOQUE 7 Resuelves ecuaciones lineales II A. Matrimonios y divorcios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 B. Esencias para perfumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

BLOQUE 8 Resuelves ecuaciones lineales III A. Selección deportiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 B. Distribución y venta de quesos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

BLOQUE 9 Resuelves ecuaciones cuadráticas I A. Víveres para damnificados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 B. Pantalla de plasma PDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

BLOQUE 10 Resuelves ecuaciones cuadráticas II A. Preservación de pandas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 B. Amigas y pulseras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

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Resuelves problemas aritméticos y algebraicos

8 horas

Objetos de aprendizaje Representación de relaciones entre magnitudes Modelos aritméticos o algebraicos

Competencias a desarrollar n

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n

Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos y geométricos, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Formula y resuelve problemas de porcentajes, descuentos e intereses, etc., e interpreta los resultados obtenidos. Analiza las relaciones entre dos o más variables de diferentes fórmulas matemáticas (área, volumen, etc.) para determinar su comportamiento y lo interpreta utilizando tablas y gráficas.

n

Elabora modelos aritméticos o algebraicos sencillos de diversas situaciones, a través del trabajo colaborativo con una actitud constructiva y aportando sus puntos de vista.

n

Resuelve los problemas aritméticos o algebraicos que el docente plantea proponiendo la manera de solucionarlos, utiliza como apoyo la calculadora.

¿Qué sabes hacer ahora? La aritmética es la reina y la esclava de las matemáticas. Esta singular descripción de la grandeza y utilidad de la aritmética se inspira en una frase del famoso matemático alemán Karl F. Gauss, quien vivió en los siglos XVIII y XIX. Un viejo cuento ruso desafía al escucha afirmando cosas inverosímiles acerca de una peculiar venta de huevos crudos realizada por una campesina, quien, sin romper ninguno, se quedó al final con un huevo luego de vender al primer cliente la mitad de todos los que llevaba más medio huevo y, más tarde, a una segunda persona, la mitad de los que quedaron de la primera venta más medio huevo. ¿Podría alguien hacer algo similar al vender de la misma forma cachorritos y mitades de ellos y entregarlos vivos? ¿Es aritméticamente posible tal cosa? ¿Podría ayudarte el Álgebra a responder esto?

Desempeños del estudiante al concluir el bloque n

n n

Identifica formas diferentes de representar números positivos, decimales en distintas formas (enteros, fracciones, porcentajes) y de los demás números reales. Jerarquiza operaciones numéricas al realizarlas. Realiza operaciones aritméticas, siguiendo el orden jerárquico al efectuarlas.

n

Calcula porcentajes, descuentos e intereses en diversas situaciones.

n

Emplea la calculadora como instrumento de exploración y verificación de resultados. Representa relaciones numéricas y algebraicas entre los elementos de diversas situaciones. Soluciona problemas aritméticos y algebraicos.

n

n

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1

BLOQUE

Resuelves problemas aritméticos y algebraicos

1

A

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Conocimientos Números positivos Enteros y/o fracciones mayores que 0. Fracción común 1 6 7 4 2 5

Fracción mixta 2 1 5

Notación decimal 0.25 3 1.4

Porcentajes 25% 300%

Situación didáctica

Cambios climáticos

Diversas historias, mitos y leyendas antiguas, provenientes de civilizaciones de diferentes lugares del mundo —Mesopotamia, Israel, India, América y otros sitios— relatan la ocurrencia de catástrofes causadas por inundaciones pluviales. Algunos científicos consideran que tales fenómenos, acontecidos en épocas diferentes, tuvieron alcance local o regional y fueron originados por cambios meteorológicos y/o geológicos, como erupciones volcánicas, terremotos y tsunamis.

Volumen y altura de un prisma Volumen = área de la base × altura h volumen Altura = _____________ área de la base

Vapor atmosférico Una columna de aire atmosférico de 1 m2 de base contiene entre 15 kg y 25 kg de agua. Un conocido relato bíblico, en el cual se refiere el origen del mundo, narra que en épocas remotas ocurrió un diluvio universal que cubrió todas las montañas del mundo en un lapso de 40 días.

Equivalencias métricas 1 kg 1,000 g 1 m2 100 cm 100 cm 10,000 cm2 Para agua destilada, a 4 °C:

Considerando los conocimientos científicos y los cambios climatológicos actuales, ¿es factible que pueda ocurrir una catástrofe así?

= 1g

1 cm 3

Peso

Volumen

Consulta En libros de aritmética y de álgebra: Números positivos Sistema métrico decimal Variables numéricas En Internet: terraeantiqvae.blogia.com/2006/120701-untsun... www.librosmaravillosos.com/

Análisis de la situación 1. La lluvia proviene del vapor de agua atmosférico cuando éste se condensa (es decir, pasa del estado gaseoso al líquido). 2. En sitios distintos —incluso cercanos—, la lluvia alcanza volúmenes diferentes debido a que el viento desplaza al vapor atmosférico de un lugar a otro. 3. Si lloviera simultáneamente en todo el planeta, ningún sitio podría prestar su humedad a otro, puesto que se condensaría en su totalidad el vapor de agua existente en la atmósfera.

Grupo Editorial Patria® 5

Secuencia didáctica

Rúbrica de evaluación

1. Durante una lluvia simultánea, toda el agua de la atmósfera caería a la vez sobre el planeta, descargando cada columna atmosférica (de 1 m2 de base), una cantidad máxima promedio de ______________________ (15 kg/25 kg) de agua. 2. Suponiendo que la tierra no absorbiera el agua, la altura de la capa de agua sobre la superficie terrestre sería ______________________ (la misma/diferente) en todos los lugares del planeta. 3. Para conocer la altura que alcanzaría la capa de agua por cada columna de aire atmosférico, debe dividirse el volumen de agua que contiene la columna entre el área de su base (1 m2). Volumen máximo de agua:

Área de la base: h"

25 kg " ___________ g " ___________ cm3. 1 m2 " (

cm) w (

cm) " __________ cm2. cm2 " cm2

Volumen máximo de agua " Área de la base

cm.

4. Así, por cada columna atmosférica del planeta, es decir, en cada m2 de superficie, el agua alcanzaría una altura máxima de ___________ cm. 5. El Monte Everest, la cumbre más elevada del mundo (9 km de altura), rebasaría la altura de esta capa de agua, Altura del Monte Everest " Altura de la capa de agua

cm " cm

veces.

Proyecto de trabajo 1. Envases ¿Cabe lo mismo en una lata de harina de 12.5 cm de alto y base circular de 25 cm de ancho, que en otra con altura doble y la mitad de ancho? a) Analiza casos de recipientes sencillos con base cuadrada donde la altura y ancho sean números enteros y representa la información en diagramas. Haz lo mismo para recipientes cilíndricos. ¿Cómo se relacionan ambos casos?

HARINA

HARINA

b) Realiza los cálculos para la situación descrita inicialmente. ¿Qué relación observas? Generaliza los resultados usando variables para expresar las magnitudes (altura: h y diámetro: d); aplícalos al caso de peso de troncos, en vez de capacidad de latas, y de depósitos de agua, en lugar de recipientes para harina.

Elabora un resumen que incluya: Un cuadro de equivalencias en el sistema métrico decimal, para medidas de capacidad, peso y volumen. El desarrollo de la secuencia didáctica con las respuestas y operaciones solicitadas. Una reflexión y conclusiones sobre los resultados obtenidos en la secuencia didáctica y en la evaluación sumativa.

6

1

BLOQUE

Resuelves problemas aritméticos y algebraicos

1A

Segmento informativo

Recuerda 1. Los dígitos son los números que se escriben con una sola cifra.

Variables y números reales Aritmética y números positivos En la aritmética ordinaria se usan sólo números positivos, además del cero. Por estar escritos en base diez (sistema de numeración decimal), a todos se les llama números decimales. 2, 1.25, 0.333…, 1.4142, … Muchas veces el nombre de un número depende de cómo está escrito,

2. Un numeral es el símbolo que representa a un número.

Fracción común:

Algunos numerales para el dos:rr **

Fracción decimal:

Verifica tu avance 1. ¿Cuáles son los dígitos en base 10? ¿Y en base 2? 2. ¿Cuál es el origen de la palabra dígito? 3. ¿A qué sistemas de numeración corresponden estos numerales del dos?

Fíjate en lo siguiente... En un número decimal, tal como 2.15, a las cifras después del punto decimal se les llama fracción decimal, cola decimal o cifras decimales.

Recuerda 1. Cuando operamos con números los términos reciben nombres especiales: Adición:

2 0.5 2.5 Sumandos

Sustracción:

2 0.5

Minuendo Sustraendo

Las operaciones con que se combinan estos números son cuatro: adición, sustracción, multiplicación y división. Junto con los números y signos de operación, se emplean signos de agrupación (paréntesis) a fin de construir expresiones numéricas para indicar las operaciones. (3 4) 2 Expresión numérica Para evitar ambigüedades en expresiones numéricas, se siguen las siguientes reglas al operar con los números: Orden de las operaciones 1 Se efectúan las operaciones entre paréntesis, de adentro hacia fuera. 2o Se calculan las potencias. 3o De izquierda a derecha se sigue con multiplicaciones y divisiones. 4o Al último, de izquierda a derecha, se ejecutan sumas y restas. o

Así, 3 4 2 14 y (3 4) 2 14, en tanto que 3 (4 2) 18.

Ejemplo 1 Valuando expresiones numéricas

b) 12 ((4 4) 2)

1.5 Resta o diferencia

Solución a)

Producto

2 Numerador 2 0.5 4 0.5 Denominador Divisor

Veinticinco centésimos

Porcentaje: 25% Veinticinco por ciento O también de la clase o conjunto a la cual pertenece: Enteros: 0, 1, 2, 3, … Naturales o enteros positivos: 1, 2, 3, … 1 Fraccionarios: 0.25, , … 4

División:

Dividendo

Un cuarto

Obtén el valor de las siguientes expresiones numéricas. a) 2 7 3 2

Suma

Multiplicación: 2 0.5 1 Factores

1 4 0.25

Cociente

b)

2732 276 96



12 ((4 4) 2) 12 (8 2) 12 4



3

Multiplica primero 3 2 Halla la suma 2 7 Obtén la resta 9 6

8

Del paréntesis interior obtén 4 4 Divide 8 2 en el paréntesis Halla la resta 12 4

Grupo Editorial Patria® 7

2. La raíz y la potencia de un número se definen mediante multiplicación repetida.

Ejemplo 2 Aritmética en acción: descuento comercial

Tercera potencia de 4: 43 4 4 4 64

Compras cinco camisas en promoción, con 20% de descuento. ¿A cuánto ascenderá tu pago si el precio de $143.56 mostrado en cada etiqueta no tiene incorporado el descuento, ni 15% de impuesto?

Raíz cúbica de 64: 64 4, pues 43 64 3

Exponente

Solución

Base

1. Se halla el costo inicial de todas las camisas Número de camisas



Costo por camisa



Costo inicial

5



143.56



717.80

2. Le aplicas el descuento

717.80



20% del costo inicial



Costo con descuento



0.20 717.80



574.24

Costo con descuento



15% de este costo



Costo final

574.24



0.15 574.24



660.376

Así, el importe total que pagarás por las cinco camisas será $660.38. El proceso completo puede resumirse con la expresión numérica: 0.15 (5 143.56 0.20 (5 143.56)).

Costo de las camisas con descuento 15% de impuesto

Ejemplo 3 Ilusión aritmética

Potencia

Radicando Raíz

Potencias especiales: _____________________________________ Primera potencia Potencia cero (excepto para el cero) 41 4 1001 100 (0.25)1 0.25

20 1 (3.5)0 1

Recuerda 1. 20%

20 0.20 pues 0.20 100 20. 100

Al operar con potencias de 10 Mueves el punto decimal a la izquierda si divides, a la derecha si multiplicas Tantos lugares como ceros posee la potencia de 10. (101 10, 102 100, 103 1,000, etc.)

Estás de vacaciones con dos amigos y entre los tres pagan $300 por una habitación, aportando cada uno $100. El hotel les devuelve $50, pero el mozo con que los envía guarda para sí $20 y les regresa $10 a cada uno.

2. Por el contexto del problema, $660.376 se redondeó a $660.38 Redondeo de cifras decimales La última cifra decimal que se deja: Queda igual si la que sigue es menor a 5 Aumenta 1 si la que sigue es 5 o mayor a 5

Así, cada uno pagó $90, lo cual hace $270 por los tres; más $20 del mozo, dan un total de $290. ¿Qué sucedió con los $10 restantes?

Solución

Verifica tu avance

Pago total



Ingreso hotel



Retención mozo



Devolución

300



250



20



30

Comparamos ahora el argumento dado, contra este modelo: Argumentación presentada Modelo correcto

3

Ejemplo 2

3. Hallas el costo final sumándole el impuesto

(5 143.56) 0.20 (5 143.56)

8 2

25 32

Descomponemos el problema en tres partes:

Costo inicial

Índice o grado

1. ¿Es 660.37 un redondeo de 660.376? 2. ¿Tu calculadora redondea o corta las cifras decimales?

270 20 250 20 20

3. Con la misma estrategia, aplica el plan: costo final por camisa número de éstas.

300 250 20 30

4. ¿Es correcto razonar: si ahorro 20% y pago 15% de impuesto, al final mi pago es el costo inicial menos 5%?

En ambos casos, los $250 del hotel y los $20 del mozo están incluidos dentro de los $270. Por esto, en la argumentación presentada, en vez de sumar los $20 del mozo a los $270, debieron sumarse los $30 devueltos.

8

1

BLOQUE

Resuelves problemas aritméticos y algebraicos

Ejemplo 4 Observaciones importantes 1. Muchos problemas iten distintos procedimientos (aritméticos, geométricos, algebraicos, etc.) y distintas formas (estrategias) para hallar su solución. En este ejemplo se muestran dos estrategias para resolverlo. 2. Para transformar a meses la fracción de año, basta multiplicarla por 12: 4.16666666666… años 4 años 12 (0.1666666…) meses 4 años 1.9999… meses 4 años 2 meses. 3. Las fracciones decimales como 0.1666666666… que poseen una o varias cifras que se repiten indefinidamente (periodo) se llaman fracciones periódicas. Se escriben en forma abreviada con un periodo y una línea encima de éste:

Ejemplo 4 Duración del cabello Se calcula que en la cabeza de una persona hay en promedio 180,000 cabellos y que mensualmente se caen 3,600 de ellos. ¿Cuánto tiempo permanecerá cada nuevo cabello en tu cabeza?

Solución a) Una solución mediante un modelo verbal es la siguiente: Total de cabellos



Cabellos que caen en un año



Años que tarda en caerse todo el cabello

180,000



(3,600 12)



4.1666666666…

Cada cabello nuevo durará, aproximadamente, 4 años en tu cabeza. b) Otra forma de abordar el problema es elaborando una tabla, como sigue: Tiempo 1 mes

Pérdida de cabello 3,600 3,600

2 meses

2 3,600

7,200

3 meses

3 3,600

10,800 43,200

0.16 0.16666666...

1 año

12 3,600

4. Por lo regular el trabajo con fracciones comunes es más preciso y sencillo que con fracciones decimales, ya que sus componentes son dos números enteros:

2 años

24 3,600

86,400

3 años

36 3,600

129,600

4 años

48 3,600

172,800

5 años

60 3,600

216,000

180,000 1,800 (se cancelan dos ceros) 12 3,600 432 Para simplificar al máximo esta fracción hallamos el mayor divisor común para 1,800 y 432, mediante descomposición en factores primos: 1,800 432 3 Los divisores comunes se 600 144 2 escriben a la derecha. Los 300 72 3 cocientes debajo a la izquierda. El proceso termina al no haber 100 24 2 divisores comunes. 50 12 2 Su producto es el máximo 25 6 común divisor. mcd 23 32 8 9 72 Dividiendo ambos números entre 72: 4 1,800 25 1 1 6 | 25 432 6 6 6 1 1 1 años 4 años 12 meses 6 6 4 años 2 meses

Podemos observar que en 4 años se pierden 172,800 cabellos, cifra muy cercana a 180,000. Agregándole la cantidad del segundo mes se tiene 172,800 7,200 180,000. Esto dice que la respuesta son 4 años 2 meses.

Autoevaluación 1A 1. Agrega paréntesis para que a) 2 7 3 2 10;

b) 15 6 6 3 45.

En los ejercicios 2 a 4 haz las operaciones y redondea fracciones a centésimos. 2. 967.42 1,000 3. 0.1631 100 4. (14.02 23.19) (13 6)

Grupo Editorial Patria® 9

En los ejercicios 5 a 7: a) escribe cada fracción común en forma decimal; b) identifica el periodo en cada número decimal y abrevia su escritura. 5.

1 3

6.

3 5

7.

7 4

En los ejercicios 8 a 10 asocia cada fracción con su nombre: a) Fracción propia, b) Fracción impropia, c) Fracción mixta. 8.

27 3

8 9. 1

12 10. 16

11. Pasatiempos numéricos a) Acomoda los dígitos positivos en el triángulo, de modo que en cada lado la suma sea igual a 20. b) Escribe cada dígito usando sólo 4 cuatros y algunas de las cuatro operaciones básicas. c) Expresa el 30 con tres cifras iguales y algunas de las seis operaciones. d) ¿Cuál es el menor entero positivo que puedes escribir con dos cifras?

Sugerencias para la autoevaluación 1A 1. Prueba varias opciones hasta obtener la correcta. 2 y 3. Revisa Operaciones con potencias de diez y Redondeo de cifras decimales en el margen del ejemplo 2. 4. Los números con fracciones decimales se suman en columna alineando el punto. Revisa en el margen: Potencias especiales. 5 a 7. Divide en cada caso el numerador entre el denominador. 11. Prueba acomodos. Hay varias soluciones. b) Ejemplo: 3

444 ; 4 4 4 (4 4) 4

c) Más de una solución: 30 5 5 5 d) Escríbelo (no puede ser el 0, ¿por qué?) 12. Utiliza la siguiente equivalencia:

10 cm

12. Aguacero Se calcula que la zona metropolitana de la ciudad de México abarca una superficie aproximada de 900 km2. Si lloviera en toda esta zona y el agua alcanzara en promedio 1 cm de altura, ¿qué cantidad de agua habría (en litros) y cuál sería su peso (en kg)?

1 litro

10 cm

1 kg

10 cm 1 dm3

10

1

BLOQUE

Resuelves problemas aritméticos y algebraicos

1

B

BLOQUE

Situación didáctica

Tu computadora personal

Un almacén informa que a partir de la siguiente semana aumentará 10% el precio de una computadora portátil, al tiempo que anuncia una rebaja de 10% en todos los artículos para esos días.

Conocimientos Tanto por ciento 1. Las siguientes expresiones indican lo 25 mismo: 25% 100 1 2. También, 25% . ¿Por qué? 4 3. Para obtener 25% de 48, multiplica ambos números. Así, (25%)(48) 12, ya que 1 (25%)(48) (0.25)(48) (48) 4 Datos variados ¿Cuál valor tomarías como precio de un kilogramo de limón? Día

1

2

3

4

5

Kg($)

6.50

6.75

8

7.30

7

El promedio suele ser un buen valor: 6.50 6.75 8 7.30 7 ? 5

Consulta En libros de álgebra y otras fuentes. En la segunda parte del libro: Aritmética y números positivos Números y variables En Internet: www.aaamatematicas.com/equ.htm

¿Me conviene comprar el equipo antes de que aumente de precio, o cuando aplique la rebaja? ¿Cómo podría predecir cuál será el nuevo precio para cualquier computadora, bajo estas condiciones?

Análisis de la situación 1. ¿Cuánto cuesta una computadora portátil? ¿De qué depende esto? 2. ¿Cuántos años, en promedio, duran tales equipos? ¿Cuál sería el costo anual de tu inversión? 3. ¿Son iguales los precios durante la rebaja que antes de ésta, en virtud de que el porcentaje de aumento es el mismo que el de descuento? 4. Para un precio particular efectúa los cálculos del nuevo precio con aumento y descuento de 10% y compara ambos resultados.

Grupo Editorial Patria® 11

Secuencia didáctica

Rúbrica de evaluación

1. Si la computadora cuesta en este momento $10,000, en la siguiente semana se tendrá: Nuevo precio: 10,000 10%(10,000) " 10,000 (

)w(

) "

10%

" ________________ " $ ________________ .

Como este precio es _________________ (mayor/menor) que el precio actual, ___________________ (conviene/no conviene) esperar para comprar el equipo en oferta la próxima semana. 2. Para cualquier precio P (en $) que tuviera actualmente el equipo, su nuevo precio, con aumento y descuento de 10%, se obtendrá así: Nuevo precio: P 10%P " P __________ P " __________ P Nuevo precio con descuento: __________ P 10% __________ P " _________________ " __________ P 3. Este modelo muestra que, en estas condiciones, el nuevo precio de la computadora en oferta es una _________________ (décima/centésima) menor que el precio inicial. Aplicado a un precio P de $10,000 anticipa que el nuevo precio en oferta será de $( de $(

El manejo de porcentajes en forma decimal y de fracción común. El uso de variables en la elaboración de modelos algebraicos.

Nuevo precio con descuento:

1. El desarrollo de la secuencia didáctica y de la evaluación sumativa, debe mostrar:

)(10,000) " $ _____________ y para un precio P " $15,000, será )(15,000) " $ ______________ .

Proyecto de trabajo 1. Calorías y ejercicio Cuando caminas durante 15 minutos tu cuerpo quema 60 calorías. En cambio, montando bicicleta quemas 90 calorías. a) ¿Cuántas calorías pierdes por minuto al realizar cada una de estas actividades? b) Escribe un modelo verbal y uno algebraico para saber cuántas calorías quemas al realizar ambas actividades. c) Si caminas una hora y después andas media hora en bicicleta, ¿cuántas calorías quemas? d) Elabora una tabla para diversas combinaciones de ambos ejercicios hasta completar una hora y media, en intervalos de quince minutos. e) Describe las regularidades que observes en renglones y columnas de la tabla y predice el dato para 15 minutos a pie y 105 minutos en bicicleta.

La aplicación de los modelos para predecir o anticipar resultados. El empleo de tablas para organizar información en forma sistemática y para examinar regularidades. 2. Trabajo optativo de investigación. Hallar un modelo algebraico para la situación descrita, reemplazando el 10% de aumento y descuento por: a) 25%, b) a%. Establecer conclusiones para estos casos.

12

1

BLOQUE

Resuelves problemas aritméticos y algebraicos

Segmento informativo

1B

Observaciones importantes

Números y variables Una variable es una letra que representa a un número. Los números son los valores de la variable. Una expresión que contiene signos de operación, de agrupación, números y variables es una expresión algebraica. 3(x 5) 2

Expresión algebraica

1. En matemáticas las variables pueden representar diversas cosas (conjuntos, funciones, matrices, números, etcétera).

Al sustituir la variable por un número y efectuar las operaciones indicadas se está evaluando la expresión algebraica. El resultado es el valor de la expresión algebraica y depende del número reemplazado.

2. Cuando representan números (como en álgebra básica) se les llama variables numéricas (o simplemente variables).

El valor de 3(x 5) 2 para x 10 es 3(10 5) 2 17

Verifica tu avance ¿Podrías decir que una expresión algebraica es una expresión numérica que contiene variables?

Las expresiones algebraicas, al igual que las expresiones numéricas, pueden ser utilizadas para representar situaciones reales. Las expresiones constituyen el modelo matemático (aritmético o algebraico) de la situación. Expresión algebraica 2x x5

Situación que modela El doble de un número Un número menos 5

Al escribir modelos es útil identificar las operaciones aritméticas involucradas: Situación descrita

Al evaluar expresiones algebraicas Debes sustituir el valor de la variable cada vez que ésta aparezca escrita.

Adición

5 más un número 2 más que y

5x y2

Sustracción

Un número disminuido en 6 2 menos que y

a6 y2

Multiplicación

El producto de 5 y un número 3 veces un número

5x 3y

División

El cociente de un número y 9 La quinta parte de un número

x/9 x/5

Fíjate en lo siguiente... Al usar paréntesis y/o variables se omite el signo de multiplicación. También puede reemplazarse por un punto a mitad de altura entre los símbolos. 5 x 5x 5 x 5(x) (5)x (5)(x)

Es conveniente también aplicar la siguiente secuencia: Haz un modelo verbal

Verifica tu avance

Introduce variables

Escribe la expresión algebraica

Ejemplo 1 Valuando expresiones algebraicas

1. La expresión disminuido en de la sustracción, ¿a cuál corresponde en la adición?

Evaluar

2. ¿Son iguales las expresiones:

b) (x 1)/5y, cuando x 4, y 5

2 menos que y, y 2 menos y?

Modelo algebraico

a) 2(7x 8) 3(5 x), cuando x 2 c) x2 4x 5, cuando x 10

Solución Observaciones importantes En la sustracción el orden es importante, lo mismo que en la división. No es lo mismo a 6 que 6 a, ni x/5 que 5/x.

a) 2(7x 8) 3(5 x)

Escribe la expresión

2(7(2) 8) 3(5 2)

Sustituye x por 2

2(14 8) 3(3)

Realiza operaciones y simplifica

21

Valor de la expresión

Grupo Editorial Patria® 13

b) (x 1) /5y

Escribe la expresión

Ejemplo 1

(4 1)/5(5)

Sustituye x por 4 y y por 5

5/25

Realiza operaciones y simplifica

1/5 0.20

Valor de la expresión

c) x2 4x 5

1. Cuando en una expresión algebraica reemplazas la(s) variable(s) por un valor, obtienes una expresión numérica.

Escribe la expresión



10 4(10) 5

Sustituye x por 10



100 40 5

Realiza operaciones y simplifica



135

Valor de la expresión

2

Fíjate en lo siguiente...

expresión algebraica

expresión numérica

2. El valor de una expresión algebraica puede ser un número entero o con fracciones.

Ejemplo 2 Álgebra en acción: Fuente de sodas Trabajas en una fuente de sodas y vendes helados de yogur a $15.00, y de crema a $12.50.

3. En una expresión algebraica una misma variable puede aparecer con diversas potencias.

Verifica tu avance

a) Escribe un modelo para calcular el precio de las ventas de ambos productos.

Escribe un modelo para el doble y otro para el cuadrado de un mismo número.

b) ¿Cuánto te pagarán por 4 helados de yogur y 3 de crema?

a) ¿Son iguales o distintos? ¿Por qué? b) Comprueba con diversos números.

c) Haz una lista de cobros hasta un máximo de cinco helados de ambos tipos.

Solución Ejemplo 2

a) Modelo verbal: Número de helados de yogur

Precio del helado de yogur



Número de helados de crema



Precio del helado de crema

Introduce variables: x Número de helados de yogur; y Número de helados de crema

Recuerda 1. El orden de los términos en las sumas y multiplicaciones puede cambiarse sin que afecte el resultado. Así, es lo mismo 5x que x(5); 12.50y que y(12.50); 5x 12.50 y que 12.50 y 5x

Escribe la expresión algebraica: 15x 12.50y

Modelo algebraico

b) Calcula el valor de la expresión algebraica para x 4, y 3. 15x 12.50y 15(4) 12.50(3) 97.50. El pago será de $ 97.50. c) Halla el valor del modelo para cada combinación de valores de la tabla.

2. Puedes usar cualquier letra como variable (a, m, n, s, t, v, z…) no necesariamente x, y.

Verifica tu avance ¿Por qué se requieren dos variables distintas en el modelo del ejemplo 2?

x Helados de yogur

y Helados de crema 0

1

2

3

4

5

0

0

12.50

25

37.50

50

62.50

1

15

27.50

40

52.50

65

77.50

2

30

42.50

55

67.50

80

92.50

3

45

57.50

70

82.50

95

107.50

4

60

72.50

85

97.50

110

122.50

5

75

87.50

100

112.50

125

137.50

Observaciones importantes Los valores en el interior de la tabla están dados en pesos ($). Así, el valor 55 indica un monto de $55.00 y corresponde a 2 helados de yogur y 2 de crema. Es el valor del modelo 5x 12.50y para x 2, y 2.

14

1

BLOQUE

Resuelves problemas aritméticos y algebraicos

Ejemplo 3

Ejemplo 3 Fórmulas como modelos matemáticos Los trenes de alta velocidad, como el tren de levitación magnética, han logrado desarrollar velocidades de hasta 500 kilómetros por hora. Un tren convencional alcanza, a lo sumo, 180 km/h.

Fíjate en lo siguiente... 1. Las fórmulas de las distintas ciencias son modelos ya hechos para ciertas situaciones. 2. d vt significa: distancia velocidad tiempo 3. Puedes hallar el valor de cualquiera de estas variables conociendo el de las otras dos.

Recuerda 60

1.

Horas

60

Minutos

4 h 60 20 1 4 h 1 h h. 1 h 20 min 1 h 60 3 3 4 min (4 60) h

2. Puedes multiplicar o dividir* ambos lados de cualquier igualdad por un mismo número (*no cero) y la igualdad permanece.

a) El tren de alta velocidad que une el aeropuerto de Pudong con la ciudad de Shangai hace 8 minutos de recorrido. ¿Qué distancia cubre el tren, si yendo a 450 km/h haría 4 minutos de recorrido? b) ¿Cuánto tiempo tomaría el recorrido anterior en un tren convencional? c) ¿Qué velocidad promedio mantiene un tren europeo de alta velocidad que cubre en 1 hora 20 minutos un trayecto de 400 km entre dos ciudades?

Solución a) d v t km 4 d 450 h h 60

Sustituye v por 450

d 30 km

Simplifica

km 4 ; t por h h 60

La distancia entre el aeropuerto y el centro de Shangai es de 30 km. b) Omitimos las unidades (sabiendo que son km, km/h y h). d vt 30 180 t

Ampliando el conocimiento 1. Los trenes de alta velocidad iniciaron con las lentas locomotoras de carbón y vapor que cambiaron después a trenes rápidos de diesel y derivaron en los actuales vehículos aerodinámicos con tecnología eléctrica y levitación magnética. 2. Los trenes eléctricos recientes, originados con el tren bala en Japón en la segunda mitad del siglo pasado, han alcanzado velocidades de hasta 300 kph. 3. Los trenes de levitación magnética (como el Maglev-Transrapid que opera en China) se deslizan flotando de 1 a 10 cm sobre la vía, mediante un sistema de suspensión y propulsión electromagnética. 4. El principio físico con que opera este tren es la repulsión entre polos magnéticos iguales, mediante electroimanes en el tren y en los muros laterales de la pista, que alternan su polaridad. 5. Al igual que los aviones revolucionaron el transporte en el siglo xx, se considera que los trenes de alta velocidad serán el transporte del siglo xxi.

Escribe el modelo

0.17 t

Escribe el modelo Sustituye d por 30; v por 180 Divide ambos lados por 180

Tardaría 0.17 horas, es decir, 0.17 60 minutos 10 minutos. c)

d vt 4 400 v 3 1,200 4v 300 v

Escribe el modelo Sustituye d por 400; t por

4 3

Multiplica ambos lados por 3 Divide ambos lados por 4

La velocidad promedio de este tren de alta velocidad es de 300 km/h.

Autoevaluación 1B En los ejercicios 1 a 4 asocia cada expresión con su descripción. 8a 6 x 6/a x 8 1. La suma de un número y 8

2. La diferencia de 6 y un número

3. Un número multiplicado por 8

4. 6 dividido entre un número

En cada ejercicio del 5 al 10 escribe una expresión algebraica. 5. El doble de un número

6. El triple de un número

7. Un tercio de un número

8. La quinta parte de un número

9. Tres veces un número

10. Un número entre 3

Grupo Editorial Patria® 15

En los ejercicios 11 a 14, asocia ambas columnas. 11. x 2x 3x

a) El cuadrado de la suma de dos números

12. 4(x/3)

b) La suma de un número con su doble y con su triple

13. (x y)

c) La diferencia de los cuadrados de dos números

14. x2 y2

d) Cuatro veces la tercera parte de un número

2

En los ejercicios 15 a 17 evalúa la expresión para el valor dado. 15. (x 9)(x 4); x 4 16. (5x3 1)/x2; x 2

Francisco Vieta 1540 – 1603

17. x 2xy y ; x 2, y 2.5 2

2

18. Juegos ganados en el beisbol Obtén el valor del modelo para la variable TC 2 indicada. G 2 ; G 25, C 63, c 51. C c2 19. Pares e impares Al multiplicar un entero por el número 2 se obtiene un número par. El entero que sigue a un par es un número impar. Si n es un número entero, escribe un modelo algebraico para números a) pares; b) impares; c) calcula seis valores numéricos para cada expresión.

Abogado francés, es recordado por descifrar códigos secretos españoles durante la guerra sostenida entre Francia y España en el siglo xvi, y reconocido como el padre del álgebra moderna por introducir signos para las operaciones y letras para representar números (variables).

20. Área Escribe la expresión algebraica.

x−1

π veces el radio por el radio

21. Autos Escribe un modelo algebraico que indique la relación entre la velocidad máxima promedio de un auto de carreras (350 km/h) y la de un auto ordinario (240 km/h).

Sugerencias para la autoevaluación 1B 18. Reemplaza los valores dados. Simplifica el denominador y multiplica por este valor ambos lados de la igualdad. (G = juegos ganados, T = juegos jugados, C = carreras anotadas y c = carreras permitidas.) 19. Escribe el producto de n por dos. ¿Qué entero le sigue? 20. Revisa al inicio de la sección las expresiones para las operaciones. ¿Qué produce el producto de un número por él mismo?

22. Patines Describe con un modelo verbal y otro algebraico lo siguiente: El costo de unos patines menos 20% de éste es igual a $825.

21. Usa una variable distinta para cada velocidad. Relaciona los datos numéricos mediante restas, sumas o multiplicaciones. Hay varias alternativas (p. ej., y x 110).

16

1

BLOQUE

Resuelves problemas aritméticos y algebraicos

Instrumentos de evaluación Rúbrica

Rúbrica para evaluar el reporte de la situación didáctica “Tu computadora personal” del Bloque 1B. Nombre del alumno:

Acerca de las rúbricas de evaluación Las rúbricas son instrumentos que describen las características que deben tener los elementos que se considerarán para la evaluación. Cuando son de carácter general se denominan “holísticas” y cuando son específicas se llaman “analíticas”. Las rúbricas que acompañan cada situación didáctica del libro son holísticas y describen de manera general las actividades que se realizarán para efectos de evaluación. Las rúbricas que aquí se presentan, al final de cada bloque, son analíticas e ilustran la forma como pueden evaluarse aspectos particulares por niveles de desempeño de los alumnos. Nivel

Presentación

Aspecto a evaluar

Desarrollo

Dominio del tema

Iniciativa

Resultados y conclusiones

Excelente (4)

Bueno (3)

Satisfactorio (2)

Deficiente (1)

Elabora el reporte a mano con buena caligrafía (o bien usando un procesador de texto con una impresión bien hecha), bien redactado y sin faltas de ortografía.

Elabora el reporte a mano con buena caligrafía (o bien usando un procesador de texto con una impresión bien hecha), redacción regular y sin faltas de ortografía.

Elabora el reporte a mano con regular caligrafía (o bien usando un procesador de texto con una impresión regular), redacción regular y pocas faltas de ortografía.

Elabora el reporte a mano con mala caligrafía, mal redactado y con muchas faltas de ortografía.

Reporta el precio actual de las computadoras portátiles en su localidad.

Reporta el precio actual de las computadoras portátiles en su localidad.

Reporta el precio actual de las computadoras portátiles en su localidad.

No reporta el precio actual de las computadoras portátiles en su localidad.

Indica el promedio de duración de las computadoras portátiles y el costo anual de la inversión en dichos equipos.

No indica el promedio de duración de las computadoras portátiles o el costo anual de la inversión en dichos equipos.

No indica el promedio de duración de las computadoras portátiles ni el costo anual de la inversión en dichos equipos.

No indica el promedio de duración de las computadoras portátiles ni el costo anual de la inversión en dichos equipos.

Presenta todos los pasos para calcular el precio de la computadora personal con el aumento y la rebaja especificados para los tres casos indicados.

Presenta todos los pasos para calcular el precio de la computadora personal con el aumento y la rebaja especificados para los tres casos indicados.

Omite algunos pasos para calcular el precio de la computadora personal con el aumento y la rebaja especificados para los tres casos indicados.

Sólo presenta resultados del precio de la computadora sin dar ninguna justificación.

Maneja correctamente porcentajes en forma decimal y de fracción común.

Maneja correctamente porcentajes en forma decimal y de fracción común.

Maneja correctamente porcentajes en forma decimal y de fracción común.

No maneja correctamente porcentajes en forma decimal ni de fracción común.

Usa correctamente variables en la elaboración de modelos algebraicos y aplica éstos para predecir resultados.

Usa correctamente variables en la elaboración de modelos algebraicos pero no sabe aplicar éstos para predecir resultados.

No usa correctamente variables en la elaboración de modelos algebraicos, pero sí sabe aplicar éstos para predecir resultados.

No usa correctamente variables en la elaboración de modelos algebraicos y no sabe aplicar éstos para predecir resultados.

Determina el modelo algebraico para los casos de un aumento y descuento de 25% y de a% justificando todos los pasos de su procedimiento.

Determina el modelo algebraico para los casos de un aumento y descuento de 25% y de a% pero no justifica algunos pasos de su procedimiento.

Determina el modelo algebraico para los casos de un aumento y descuento de 25% y de a% pero no justifica su procedimiento.

No determina el modelo algebraico para los casos de un aumento y descuento de 25% y de a%.

Determina correctamente el precio de la computadora con el aumento y el descuento especificados para las tres situaciones indicadas.

Determina correctamente el precio de la computadora con el aumento y el descuento especificados para dos de las tres situaciones indicadas.

Determina correctamente el precio de la computadora con el aumento y el descuento especificados sólo para una de las situaciones indicadas.

No determina correctamente el precio de la computadora con el aumento y el descuento especificados para las tres situaciones indicadas.

Concluye correctamente si es mejor comprar la computadora antes de que aumente de precio o cuando aplique la rebaja.

Concluye correctamente si es mejor comprar la computadora antes de que aumente de precio o cuando aplique la rebaja.

Concluye correctamente si es mejor comprar la computadora antes de que aumente de precio o cuando aplique la rebaja.

No concluye correctamente si es mejor comprar la computadora antes de que aumente de precio o cuando aplique la rebaja.

Grupo Editorial Patria® 17

Lista de cotejo

Lista de cotejo para el reporte de la situación didáctica “Cambios climáticos” del Bloque 1A.

Presentación

SÍ

NO

Observaciones

SÍ

NO

Observaciones

SÍ

NO

Observaciones

SÍ

NO

Observaciones

SÍ

NO

Observaciones

1. Cuenta con una carátula que incluye al menos el nombre del trabajo que se realiza, el nombre de la materia, la fecha de entrega, el nombre del alumno y su matrícula. 2. La redacción es buena o por lo menos satisfactoria. 3. Tiene pocos o ningún error de ortografía. 4. Elaboró el trabajo con un procesador de texto como Word, o bien, lo hizo a mano con buena caligrafía o por lo menos entendible. Desarrollo 5. Presenta todos los pasos requeridos para determinar las cantidades pedidas siguiendo una secuencia coherente y ordenada. 6. Elaboró un cuadro de equivalencias en el sistema métrico decimal, para medidas de capacidad, peso y volumen. Iniciativa 7. Investiga sobre el Diluvio Universal y otras catástrofes en la antigüedad causadas por inundaciones pluviales. 8. Confirma en libros de Física o por Internet el contenido de agua de una columna de 1 m2 de aire atmosférico e indica la fuente. Dominio del tema 9. Sabe obtener equivalencias entre múltiplos y submúltiplos de medidas de capacidad, peso y volumen en el Sistema Métrico Decimal. 10. Sabe calcular la altura de un prisma sabiendo su volumen y su área. 11. Sabe calcular el peso de un volumen dado de agua y viceversa. Resultados y conclusiones 12. Calculó correctamente la altura en cm que alcanzaría el agua por cada m2 de superficie. 13. Comparó correctamente la altura calculada de la capa de agua con la altura del Monte Everest. 14. Concluyó correctamente si es posible que ocurra una catástrofe como el Diluvio Universal.

Comentarios generales: __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ Nombre del estudiante: _______________________________________________

Fecha: ____________________

18

1

BLOQUE

Resuelves problemas aritméticos y algebraicos

Guía de observación para el proyecto de trabajo “Calorías y ejercicio” del Bloque 1B

Nombre de la materia:

Grado y grupo: Plantel:

Profesor:

Clave:

Alumno:

Fecha de aplicación:

Desempeño a evaluar: Resolución de problemas aritméticos y algebraicos básicos. INSTRUCCIONES: Observe si la ejecución de las actividades que se enuncian las realiza el capacitando que se está evaluando y marcar con una “X” el cumplimiento o no en la columna correspondiente; asimismo, es importante anotar las observaciones pertinentes.

No.

Acciones a evaluar

REGISTRO DE CUMPLIMIENTO SÍ

1

Calcula cuántas calorías se pierden por minuto al caminar.

2

Calcula cuántas calorías se pierden por minuto al andar en bicicleta.

3

Obtiene un modelo algebraico para determinar el número de calorías quemadas al caminar y andar en bicicleta.

4

Calcula correctamente el número de calorías quemadas al caminar por una hora y después andar media hora en bicicleta.

5

Elabora una tabla con diversas combinaciones de ambos ejercicios (caminar y andar en bicicleta) que sumen una hora y media en intervalos de quince minutos.

6

Describe las regularidades que observas en renglones y columnas de la tabla.

7

Calcula correctamente el número de calorías quemadas para 15 minutos de caminata y 105 minutos de andar en bicicleta.

*No aplica.

NO

NA*

Observaciones

Grupo Editorial Patria® 19

Portafolio de evidencias

El portafolio de evidencias es un método de evaluación que consiste en: r

Recopilar los diversos productos que realizaste durante cada bloque (investigaciones, resúmenes, ensayos, síntesis, cuadros comparativos, cuadros sinópticos, el reporte de prácticas de laboratorio, talleres, líneas de tiempo, entre otros), que fueron resultado de tu proceso de aprendizaje en este curso.

r

No vas a integrar todos los instrumentos o trabajos que realizaste; más bien, se van a integrar aquellos que tu profesor(a), considere son los más significativos en el proceso de aprendizaje;

r

Te permiten reflexionar y darte cuenta de cómo fue tu desempeño durante el desarrollo de las actividades de aprendizaje realizadas.

Etapas para realizar tu portafolio de evidencias

Instrucciones para seleccionar las evidencias

1. Comenta con tu profesor(a) el propósito de tu portafolio y su relación con los objetos de aprendizaje, competencias a desarrollar, desempeños esperados, entre otros elementos; acuerden el periodo de compilación de los productos (por bloque, bimestre, semestre). 2. Haz un registro de los criterios que debes considerar al seleccionar tus evidencias de aprendizaje.

1. Realiza todas las evidencias y así podrás incluir las que elaboraste de manera escrita, audiovisual, artística, entre otras. 2. Selecciona aquellas que den evidencia de tu aprendizaje, competencias y desempeños desarrollados, y que te posibiliten reflexionar sobre ello. 3. Todas las evidencias seleccionadas deben cumplir con el propósito del portafolio en cantidad, calidad y orden de presentación.

3. Comentar con tu profesor(a) todas las dudas que tengas.

Propósito del portafolio de evidencias

Semestre

Observa los resultados del proceso de formación a lo largo del semestre, así como el cambio de los procesos de pensamiento sobre ti mismo y lo que te rodea, a partir del conocimiento de los distintos temas de estudio, en un ambiente que te permita el uso óptimo de la información recopilada. Asignatura

Nombre del estudiante:

Criterios de reflexión sobre las evidencias

Comentarios del estudiante:

¿Cuáles fueron los motivos para seleccionar las evidencias presentadas? ¿Qué desempeños demuestran las evidencias integradas en este portafolio? ¿Qué competencias se desarrollan con las evidencias seleccionadas? ¿Las evidencias seleccionadas cumplieron las metas establecidas en el curso? ¿Qué mejoras existen entre las primeras evidencias y las últimas? Monitoreo de evidencias

Núm. 1 2 3 4 5

Título

Fecha de elaboración

Comentarios del profesor/a:

Números de bloques del libro

20

1

BLOQUE

Resuelves problemas aritméticos y algebraicos

Tabla o lista de cotejo

Con base en el documento Lineamientos de Evaluación del Aprendizaje (DGB, 2011), el objetivo de las listas de cotejo es determinar la presencia de un desempeño, por lo tanto, es necesario identificar las categorías a evaluar y los desempeños que conforman cada una de ellas. Instrucciones: Marcar con una X, en cada espacio en donde se presente el atributo. Estructura

1. Cuenta con una carátula con datos generales del estudiante. 2. Cuenta con un apartado de introducción. 3. Cuenta con una sección de conclusión. 4. Cuenta con un apartado que señala las fuentes de referencia utilizadas. Estructura interna

5. Parte de un ejemplo concreto y lo desarrolla hasta generalizarlo. 6. Parte de una situación general y la desarrolla hasta concretizarla en una situación específica. 7. Los argumentos a lo largo del documento se presentan de manera lógica y son coherentes. Contenido

8. La información presentada se desarrolla alrededor de la temática, sin incluir información irrelevante. 9. La información se fundamenta con varias fuentes de consulta citadas en el documento. 10. Las fuentes de consulta se contrastan para apoyar los argumentos expresados en el documento. 11. Jerarquiza la información obtenida, destaca aquella que considera más importante. 12. Hace uso de imágenes o gráficos de apoyo, sin abusar del tamaño de los mismos. Aportaciones propias

13. Señala en las conclusiones lo aprendido a través de su investigación y su aplicación a su vida cotidiana. 14. Las conclusiones desarrolladas son de autoría propia. 15. Elabora organizadores gráficos para representar de manera sintética grandes cantidades de información. Interculturalidad

16. Las opiniones emitidas en el documento promueven el respeto a la diversidad. Total

Grupo Editorial Patria® 21



La escala de clasificación sirve para identificar la presencia de determinado atributo y la frecuencia que presenta. (Lineamientos de evaluación del Aprendizaje. DGB, 2011). Este instrumento puede evaluar actividades de aprendizaje, ejercicios, talleres, prácticas de laboratorio, cualquier tipo de exposición, podrá ser adaptado a las necesidades específicas de cada tema. Instrucciones: Indica con qué frecuencia se presentan los siguientes atributos durante la dinámica a realizar. Encierra en un círculo el número que corresponda si: 0 no se presenta el atributo; 1 se presenta poco el atributo; 2 generalmente se presenta el atributo; 3 siempre presenta el atributo. Contenido

1. Desarrolla los puntos más importantes del tema.

0

1

2

3

2. Utiliza los conceptos y argumentos más importantes con precisión.

0

1

2

3

3. La información es concisa.

0

1

2

3

4. Relaciona los conceptos o argumentos.

0

1

2

3

5. Presenta transiciones claras entre ideas.

0

1

2

3

6. Presenta una introducción y conclusión.

0

1

2

3

7. Utiliza ejemplos que enriquecen y clarifican el tema.

0

1

2

3

8. Incluye material de elaboración propia (cuadros, gráficas, ejemplos) y se apoya en ellos.

0

1

2

3

0

1

2

3

10. La información la presenta sin saturación, con fondo y tamaño de letra idóneos para ser consultada por la audiencia.

0

1

2

3

11. Se apoya en diversos materiales.

0

1

2

3

12. Articulación clara y el volumen de voz permite ser escuchado por todo el grupo.

0

1

2

3

13. Muestra constante o visual.

0

1

2

3

14. Respeta el tiempo asignado con un margen de variación de más o menos dos minutos.

0

1

2

3

Coherencia y organización

Aportaciones propias

Material didáctico

9. El material didáctico incluye apoyos para presentar la información más importante del tema.

Habilidades expositivas

Total Puntaje total

2

BLOQUE

Utilizas magnitudes y números reales

6 horas

Objetos de aprendizaje Números reales, representación y operaciones Tasas Razones Proporciones Variaciones

Competencias a desarrollar n

n

n

Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de tasas, razones, proporciones y variaciones, situados en situaciones reales. Formula y resuelve problemas matemáticos relacionados con los números reales, aplicando diferentes enfoques. Interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con situaciones reales, tales como problemas sobre la discriminación en México.

n

Analiza las relaciones entre los diferentes tipos de números.

n

Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos relacionados con la representación y operación de los números reales. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades que emplea al trabajar en equipo para la elaboración de materiales didácticos en donde identifican los números reales.

n

¿Qué sabes hacer ahora? Un número real no es otra cosa que un cociente de magnitudes. A. Kolmogorov

Un mito del antiguo Egipto refiere una lucha entre Horus y Seth, ambos hijos de Osiris e Isis, cuya consecuencia es que Toth, dios de la ciencia y de la magia, le restituye a Horus un ojo perdido en el combate. El Ojo de Horus es aún hoy un amuleto en el mundo musulmán y, en la antigüedad, sirvió también como medio de numeración en el que cada parte del ojo constituía una fracción de heqat (4.8 litros), medida de capacidad empleada para el comercio de volúmenes de cereales como el trigo y la cebada.

1 8

1

1

4

16

1 32

Desempeños del estudiante al concluir el bloque n

Ubica en la recta numérica números reales y sus respectivos simétricos.

n

Combina cálculos de porcentajes, descuentos, intereses, capitales, ganancias, pérdidas, ingresos, amortizaciones, utilizando distintas representaciones, operaciones y propiedades de números reales. Utiliza razones, tasas, proporciones y variaciones, modelos de variación proporcional directa e inversa.

n

n

1 2

1 64

Construye modelos aritméticos, algebraicos o gráficos aplicando las propiedades de los números reales.

24

2

BLOQUE

Utilizas magnitudes y números reales

2

A

BLOQUE

Situación didáctica

Husos horarios

Existen veinticuatro zonas horarias (husos) en el mundo, que se numeran a partir del Meridiano de Greenwich (0). De una a otra, difieren en una hora. 0°

Conocimientos

La distancia de un número al origen, es su valor absoluto.

Línea internacional de cambio de fecha

Valor absoluto Océano Atlántico Trópico de Cáncer

4 2.5

0

2.5

Ecuador

4

Océano Índico Trópico de Capricornio 9:30

€4€ " 4 €0€ " 0 €2.5€ " 2.5

€4€ " 4 €2.5€ " 2.5

O

Sumas o restas

ESTADOS UNIDOS DE AMÉRICA

Suma valores absolutos

pon signo común

E S

La tabla muestra el número de huso para algunos países o regiones. Nuestro país posee tres zonas horarias.

Números con signo

y

N

Océano Pacífico

País 35"8 3 5 " 8

País

Hora local

N O

E S

OC

ÉA

Recuerda: 3 5 " 3 (5)

Hora local

Centro

NO

Golfo de México PA

CÍF

ICO

Perú

5

México

6

Italia

1

EUA

8

India

5

Japón

9

Brasil

3

Australia

10

Montaña Pacífico

Multiplicaciones o divisiones Signos iguales: producto positivo Signos distintos: producto negativo

4(5) " 20 (4) (5) " 20 4 (5) " 20 (4) (5) " 20

Consulta En libros de álgebra y otras fuentes: Los números reales Adición y sustracción de números reales Multiplicación y división de números reales En Internet: www.aaamatematicas.com/equ.htm

¿Cuántas horas de diferencia hay entre México y Greenwich? ¿Y entre México y Japón? ¿Y entre Perú y EUA? ¿Cuál es la hora en nuestro país, cuando en Londres son las 10:00 a.m.? ¿Y en los demás países que aparecen en la tabla? ¿Qué hora es en Los Mochis y en Mérida, cuando en Ensenada son las 9:45 a.m.? Sin mirar el mapa de husos horarios, ¿cuál es el huso de Alaska, si el número de huso de Perú es la mitad de aquél? ¿Qué hora es en Alaska, cuando en Perú son las 8:12 p.m.?

Análisis de la situación 1. Los husos horarios son 24 divisiones en forma de gajo o huso de hilar, centrados en meridianos de 15° de longitud. 2. El huso horario centrado en el meridiano de Greenwich, en Londres, es el referente para el Tiempo Universal Coordinado (UTC). Se suma 1 hora de un huso al siguiente en la dirección en que gira la Tierra (Oeste-Este) y se resta en la dirección contraria. 3. ¿Qué signo tienen los husos horarios de países al Este y al Oeste de Greenwich? ¿Qué indica el número del huso horario de un lugar?

Grupo Editorial Patria® 25

Secuencia didáctica

Rúbrica de evaluación

1. El huso horario del Centro de México, 6, indica que la hora en esa zona del país es 6 horas menos que la de Greenwich. Los husos horarios de la Montaña y del Pacífico son ____________ y ____________ e indican que están ____________ y ____________ horas antes que la hora de Greenwich. 2. En términos absolutos, entre México y Japón existen €6 9€ " €15€ " _______ horas de diferencia. Contadas desde cada país, de México a Japón hay 9 (6) " __________ horas de diferencia, y de Japón a México (6) 9 " _________ horas de diferencia. Entre Perú y EUA existen €5 ( )€ " €

€ " _______ horas

de diferencia. 3. Siendo las 10 a.m. en Londres, en México (hora central) son las 10 (6) " 4 a.m.; en Perú:10 ( ) __________ " __________ a.m.; en Italia: 10 ( ) "________ a.m.; en Brasil: 10 ( ) " _________ a.m.; en EUA: 10 ( ) " _________ a.m.; en Japón: 10 ( ) " __________ horas; en Australia: __________ horas.

1. Elabora un reporte sobre el desarrollo de la secuencia didáctica y acompaña cada respuesta con las operaciones realizadas con números reales. 2. Explica por qué se suman o restan horas hacia el Este o el Oeste; el significado de los signos en los husos horarios y el del valor absoluto de un número. 3. Ejemplifica cómo emplear los husos horarios para determinar la hora local de un lugar a partir de la de otro. 4. En la evaluación sumativa debes mostrar tu dominio al operar números con signo y fracciones comunes y/o decimales.

4. Ensenada, Baja California, zona Pacífico: 9:45 horas; Los Mochis, Sinaloa, zona de la Montaña: 9:45 (/) __________ (1;2) "__________ horas; Mérida, Yucatán, zona __________ , 9:45 (/) __________ (1;2) " __________ horas. 5. Usos horarios: Perú: ( ); Alaska: 2 w ( ) "__________ . La diferencia de Perú a Alaska es ( )( )" horas. Siendo las 8:12 p.m. en Perú, en " __________ (p.m./a.m.). Alaska serán las 8:12

Proyecto de trabajo 1. Hora local de arribo Saliste a las 7:35 a.m., en avión, de Tijuana a la ciudad de Campeche. ¿Cuál fue la hora local de arribo a esta ciudad, si tu viaje registró los tiempos mostrados en la tabla? Tiempo de vuelo Tijuana-México 1

Espera en el aeropuerto de la ciudad de México

3 hora 4

Tiempo de vuelo México-Campeche

20 minutos

1

1 hora 4

País

Capital

Austria

Viena

España

Madrid

a) ¿Cuál país es más frío?

Estonia

Tallin

b) ¿Hace más frío en Austria que en Polonia?

Francia Grecia

c) Representa las temperaturas mínimas de menor a mayor en una gráfica de barras y en una recta numérica

2. Temperaturas en Europa La tabla muestra las temperaturas (°C) mínima (mes de enero) y máxima (mes de julio) en las capitales de algunos países europeos.

d) ¿Cuál es la diferencia entre las temperaturas bajo cero? e) ¿Cuánto difieren las temperaturas extremas en cada país?

Mínima

Máxima

4 2

31

25

París Atenas

10 0.8 6

25 33

Noruega

Oslo

7.3

21

Polonia

Varsovia

6

24.5

Reino Unido

Londres

2

22

20

26

2

BLOQUE

Utilizas magnitudes y números reales

2A

Segmento informativo

Los números reales Los números que se utilizan en álgebra son los números reales. Éstos son el cero y todos los números positivos y negativos.

Inicial

2,

Fíjate en lo siguiente...

2. Es posible distinguir un racional de un irracional mediante su escritura decimal: Un número Racional: tiene fracción decimal periódica 125 " 1.250 " 1.249,

4 " 4.0 " 3.9

Irracional: su fracción es no periódica

™ 2 " 1.41421...,

π " 3.14159...

Verifica tu avance



2 1 5

4

3

2

1

0

1

2

3

4 0.3

4

3 y 3, ™ 2 y ™ 2 , 0.4 y 0.4

El valor absoluto €€ del número es su distancia al origen.

€3€ "3, €3€" 3, €0€ " 0

5

Los números reales están formados por dos tipos de números: 7 8 5 , 2 " , 5 " , 2 4 1 que se escriben como razón de dos enteros.

Números como 3.5 "

Números racionales

Números como ™ 2 ,

™ 5 ,

1

™2

,

que no pueden escribirse como razón de dos enteros.

Observaciones importantes

Todo punto a la derecha de otro representa un número mayor (#).

3 0.5

Los números simétricos: tienen igual distancia al origen.

Números irracionales

1. El punto es la gráfica del número, y éste es la coordenada del punto. 2. Punto y número se usan como sinónimos. 3. Graficar el número es ubicar el punto. 4. Los números se ordenan como sigue:

™ 2 , π " 3.14159...

0.16,

Mediante divisiones iguales se sitúan los enteros y entre éstos, las fracciones

Dos números simétricos: ¿Poseen signos distintos? ¿Tienen igual valor absoluto?

En la recta numérica:

1.25,

Los números reales pueden dibujarse como puntos sobre una recta llamada recta numérica. Los puntos representan números negativos si están a la izquierda del punto marcado 0 (origen), y positivos si están a su derecha.

1. Los números reales se pueden describir como: a) Todos los números con signo (enteros o con fracciones). b) Los números racionales e irracionales.

7,

Los racionales contienen a los naturales y a los enteros y, por supuesto, a todas las fracciones comunes.

Ejemplo 1 Ordenando números reales Grafica los siguientes números y determina el orden entre ellos. 3 4 b) ™ 2 , 1 , 2.5, 4 5

a) 1, 2, 0, 6

Solución −1 es mayor que −3 −1 > −3 −3

−2

−1

2 es mayor que −1 2 > −1 0

1

2

a)

−6

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

1 # 0 # 2 # 6

3

Verifica tu avance ¿Por qué todo número positivo es mayor que cualquier número negativo?

_ −√2 = −1.4

3

3

1–4 = 1 + –4

b)

1 −3 −2 2.5

−1

0

1 4 –5 = 0.8

2

3 4 # # ™ 2 # 2.5 4 5

Grupo Editorial Patria® 27

Ejemplo 2 Simétricos y distancias al origen

Ejemplo 1b)

Encontrar el simétrico de cada número y su distancia al origen. a) 4

Observaciones importantes

22 c) 7

b) 2.5

1. Mediante divisiones de la unidad (de 10 en 10 en el sistema decimal —sucesivas—, u otras divisiones: cuartos, tercios, etc.) ubicas racionales que consideras como un irracional (1.4, 1.41, 1.414 son aproximaciones a ™ 2 ).

Solución Simétrico

Distancia al origen

a) 4;

€4€ " 4

b) 2.5;

€ 2.5 € " 2.5

c)

22 ; 7

€ 7 € " 7 22

22

3.1

" 3.1

−4

−2.5

3.1

0

2.5

4

2. A veces las fracciones decimales sólo aproximan fracciones comunes ¹ ©1 ª ~ 0.3º . » «3

Ejemplo 3 Identificando números reales Determinar cuáles números son racionales y cuáles irracionales. a) ™ 25

b)

4.9 3

™ 25 " 5

b) Racional 49 4.9 " 30 3

El simétrico de un número se obtiene cambiándole el signo al número.

c) ™ 5

Solución a) Racional

Simétricos

c) Irracional

™ 5 " 2.23607…

Ejemplo 4 Modelando con desigualdades y variables

Verifica tu avance Escribe una lista de cinco enteros sucesivos a partir del cero, y sus simétricos. Ordénala.

Ejemplo 4 Fíjate en lo siguiente...

Decir 4 es mayor que 3, equivale a decir 3 es menor que 4. Usando variables y los signos de desigualdad mayor que ( # ) y menor que (! ), indica cuándo:

Todo número negativo está a la izquierda del 0, es decir, es menor que 0: x ! 0.

a) Un número es negativo.

Un número es mayor que otro si al restarle este último se obtiene un número positivo:

b) Un número es positivo.

7 # 3 porque 7 3 # 0.

c) Un número es mayor que otro.

Verifica tu avance

Solución a) x ! 0

b) x # 0

c) x # y. También: x y # 0.

Ejemplo 5 Temperaturas en el país Una de las regiones más frías del país se localiza en el estado de Chihuahua, en el municipio de Temósachic donde la temperatura llega a alcanzar en invierno mediciones bajo cero, como muestra el registro de normales climatológicas. a) Ordénalas de menor a mayor. b) ¿Cuál fue la menor temperatura registrada? c) ¿Cuál la mayor?

¿Cuál es el simétrico de x?, ¿y el de x? Evalúa cada una de estas expresiones para valores positivos y negativos de la variable. ¿Qué observas sobre el signo ? ¿Cuál es el simétrico del 0? ¿Por qué?

Observaciones importantes 1. Un signo delante de una variable no indica necesariamente un valor negativo. Si x " 5 entonces su simétrico x " 5. 2. Para indicar que una variable x representa un número positivo, o uno negativo, lo correcto es ubicarlo respecto a 0: x # 0 ( positivo); x ! 0 (negativo)

28

2

BLOQUE

Utilizas magnitudes y números reales

Ejemplos 5 y 6

9.8

6.4

3.8

0.5

0.5

Jul

Ago

Sep

Oct

Nov

Dic

10.7

9.6

6.6

2.3

6.9

9.1

a) 10.2 ! 9.8 ! 9.1 ! 6.9 ! 6.4 ! 3.8 ! 2.3 ! 0.5 ! 6.6 ! 9.6 ! 10.7. b) La temperatura promedio más baja en 30 años fue 10.2 °C, en enero. c) En los meses de julio se obtuvo la temperatura promedio más alta: 10.7 °C.

Ejemplo 6 Viaje en globo aerostático Durante un viaje promocional de media hora en globo aerostático, el piloto les indica cuánto suben o descienden para encontrar las corrientes apropiadas de aire. La gráfica muestra tales fluctuaciones.

100

1. Los globos aerostáticos iniciaron en el siglo xviii en Francia con los hermanos Montgolfier, que hicieron ascender con gas un globo de papel. Los primeros pasajeros, al año, fueron un gallo, un pato y una oveja, colocados en un cesto. 2. Introduciendo gas caliente con un quemador, se logra que el peso del globo sea menor que el del aire que desplaza (fuerza de flotación) y que suba, según el principio de Arquímedes. 3. Los globos aerostáticos viajan con las corrientes de aire; para ello varían su altura activando o desactivando el quemador de gas. 4. Constituyen el antecedente de los dirigibles con motor que en el siglo xx iniciaron los vuelos aéreos de pasajeros (1900-1937). 5. Actualmente los globos aerostáticos se usan para diversión, deporte, publicidad y televisión. Importantes compañías planean adaptarlos como transporte y grúas de carga.

10.2

Solución

Altura (metros) 1

Ampliando el conocimiento

Jun

Ene

Fíjate en lo siguiente... 1. En problemas prácticos los números con signo sirven para denotar sentidos o direcciones opuestas (pérdida/ganancia, etc.). 2. Se aplica valor absoluto a una cantidad si nos interesa su magnitud (no su sentido). Así, en física, el valor absoluto de la velocidad es la rapidez, y en matemáticas, el valor absoluto de la longitud es la distancia.

Periodo: 1961-1990 (ºC) Fbo Mar Abr May

y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

9 6.5 4

0

4

7.5

7.25

7 5.5 5.5

4.5 4.5 3

5

10

11 13

19.5

20

22

24 25 27

30

x

Tiempo (minutos)

a) Describe la variación vertical en cada intervalo de ascenso o descenso del globo, distinguiendo la dirección. b) Ordena los datos por tipo de movimiento vertical. En las fluctuaciones, ¿cuál ascenso fue mayor? ¿Cuál el mayor descenso? c) En todo el viaje, ¿qué hiciste más: subir o bajar?

Solución a) Ascenso: 400, 600, 75, 300. Descenso: 100, 250, 275, 50, 150, 550. b) 75 ! 300 ! 400 ! 600; 550 ! 275 ! 250 ! 150 ! 100 !50. Mayor ascenso: €600€ metros. Mayor descenso: €550€ " 550 metros. c) Descendiste más veces, pero subiste en total 1,375 metros y bajaste 1,375. Como €1,375€ " €1,375€, descendiste lo mismo que ascendiste.

Autoevaluación 2A

Arquímedes de Siracusa

287 212 a.C. Considerado uno de los más grandes inventores y científicos de la historia, descubrió el principio de flotación de los cuerpos:

En los ejercicios 1 a 6 responde cada pregunta, argumentando. 1. ¿Los números enteros son 2. ¿Podrías decir que un número irracional números racionales? es un número que no es racional? 6.03 ? 4. ¿Es ™ 36 un número irracional? 3. ¿Es racional 2.7 6. ¿Es todo número positivo mayor 5. ¿Es posible que x # x2? que 0?

Grupo Editorial Patria® 29

En los ejercicios 7 a 12 ubica en una recta los números y halla el simétrico. 7. 10

8. 3

9.

1 4

10. 6

1 5

11. 7.3

12. ™ 4

13. ¿Cuántas veces debes subdividir de 10 en 10, para representar 7/4 mediante una fracción decimal? Hazlo. En los ejercicios 14 a 16 obtén el resultado de cada operación. 14. €6€ €5€

15. €6€ €5€

16. €6€ €5€

En los ejercicios 17 a 20 expresa cada racional como razón de dos enteros. 17. 11

19. 4.753

18. 0.75

20. 6.2323…

21. Ordena los siguientes números y ubícalos en la recta numérica. a) 0. 72

b)

8 3

c) 5

2 3

d) ™ 3

22. Ubica en una recta los números reales a) no negativos, b) no positivos, c) mayores que 2, d) mayores o iguales que 2. 23. Ártico Los icebergs son grandes bloques de hielo que flotan a la deriva parcialmente sumergidos en las frías aguas de los polos y alcanzan dimensiones de varios kilómetros. El iceberg de la fotografía muestra sobre la superficie del océano la décima parte de su altura de 127 m. Mediante números con signo distingue las longitudes de las partes a) exterior y b) sumergida. 24. Flotación Aunque tengan el mismo peso, la forma de los objetos determina el nivel de flotación de los mismos, como muestra la caja de vidrio. Para una escala de flotación el 0 es el nivel del agua.

El peso que pierden al sumergirse es igual al del líquido que desalojan. Inventó tornillos, grúas con poleas y palancas, y artefactos bélicos (catapultas; espejos incendiarios) y aportó estudios sobre el cálculo de volúmenes y áreas de cuerpos redondos, como la esfera y el cilindro.

Sugerencias para la autoevaluación 2A 1 a 6. Revisa el inicio de este segmento informativo y el ejemplo 3. 5. Prueba con negativos y con fracciones. 9. Dos formas: 1. divide la unidad en cuartos; 2. escríbelo en forma decimal. 10. Tres formas 1. pásala a fracción común y divide en quintos; 2. divide en quintos la unidad entre 6 y 7; 3. pásala a decimal. 13. Conviértelo a fracción decimal. Revisa el Apéndice al final del libro. 14 a 16. Obtén primero los valores absolutos. 18 a 20. Revisa conversión de fracciones en el Apéndice al final del libro. 21. Compara su forma decimal. (Para otras formas, consulta el Apéndice al final del libro.) 22. No negativos: son el 0 y los positivos. 23. a) Divide entre 10; b) Resta lo anterior de 127 m. Asigna sentidos y signos. 24. b) y c) La escala en la regla es auxiliar.

Expresa las medidas de: a) La altura del agua en el recipiente. b) Las alturas sobre el nivel de flotación. c) La longitud de la parte sumergida. 40 30

20

10 0

Pitágoras de Samos

582 507 a.C. Fundó una secta místico-religiosa, basada en la aritmética y la geometría, que descubrió —y prohibió divulgar— que había segmentos que no podían ser medidos exactamente por otros segmentos, por más que éstos se subdividieran en partes muy pequeñas. Les llamaron inconmensurables y dieron origen, siglos más tarde, a los modernos números irracionales.

30

2

BLOQUE

Utilizas magnitudes y números reales

Segmento informativo

2A

Intermedio

Adición y sustracción de números reales En la recta numérica puedes sumar números con signo. Ubica uno de los puntos. De allí avanzas una longitud igual a la del otro número, a la derecha si éste es positivo o a la izquierda si es negativo. (−3) + 5

Fíjate en lo siguiente... 1. El orden en que ejecutas la suma no afecta el resultado (es la propiedad conmutativa), es decir, a b " b a.

−5 −4 −3 −2 −1 0

3. La propiedad de cerradura indica que la suma y los sumandos pertenecen al mismo conjunto o tipo de números.

Verifica tu avance 3 5 es un natural, lo mismo que 3 y 5. ¿Ocurre lo mismo con 3 5? ¿Y con 3 3?

4 5

Sustracción Para sustraer b de a, suma el simétrico de b a b " a (b) Así, toda sustracción es en realidad una suma: 5 2 " 5 (2); 8 (3) " 8 3;

10 (1) " 10 1

Las sumas en la recta numérica conducen a las dos siguientes reglas:

¿Qué ocurre si sumas dos simétricos? (propiedad del inverso aditivo). Describe con una expresión algebraica estas otras dos propiedades de la adición.

3

Si vas a sustraer dos números procedes igual:

a b c " (a b) c " a (b c).

¿Qué ocurre cuando sumas el 0? (propiedad del neutro aditivo).

2

5 + (−3)

2. Para sumar varios números, los asocias de dos en dos (ésta es la propiedad asociativa).

Verifica tu avance

1

Suma de números con signo 1. Si los números poseen signos iguales se suman sus valores absolutos y se pone el signo común. 2. Si poseen signos distintos se restan sus valores absolutos y se pone el signo del que tiene mayor valor absoluto. Así: En cambio,

3 4 " 7;

3 4 " 7

Regla 1

3 (2) " 1;

3 2 " 1

Regla 2

Ejemplo 1 Sumando en la recta numérica Realiza las siguientes adiciones en la recta numérica. a) 2 (6)

b) 1.5 3.5

c) 5 (4) −6

Solución

Ejemplo 1 Fíjate en lo siguiente...

a) 2 (6) " 4

−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1

2 3 4 5 6

+2

1. La resta se interpreta como suma en los incisos b) y c). 2. Esto equivale, cuando hay dos signos seguidos, a cambiarlos por un signo (como ocurre en el inciso c). 3. Si hay un solo signo entre ambos números (como en el inciso b), puede considerarse, por la misma razón anterior, como signo del segundo número.

−3.5

b) 1.5 3.5 " 1.5 ( 3.5) " 5

−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1

2 3 4 5 6

−1.5 +4

c) 5 ( 4) " 5 4 " 1

−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 −5

2 3 4 5 6

Grupo Editorial Patria® 31

Ejemplo 2 Usando reglas y propiedades de la adición

Ejemplo 2a)

Efectúa las sumas siguientes.

Observaciones importantes

1 1 b) 6 2

a) 3 (12) 7 10

1. En la práctica, para sumar números con signo es útil sumar por un lado positivos y por otro negativos.

Solución a) 3 (12) 7 10

Escribe la expresión

3 12 7 10

" 15 17

Suma positivos y suma negativos

"2

Resta; signo negativo (17 # 15)

1 1 b) 6 2

`

Cambia (12) por 12

`

" 3 12 7 10

15

17

2. Este proceso puede realizarse mentalmente o por escrito. En este último caso puede optarse por abreviar pasos (como se hizo) o por explicitar las reglas y propiedades:

Escribe la expresión

©1 1¹ "ª º «6 2»

Suma valores absolutos; antepón signo común

2 " 3

Suma fracciones y simplifica

3 12 7 10 " 3 12 (7) (10)

" (3 12) (7 (10)) Asociatividad

Ejemplo 3 Piñatas navideñas En un negocio familiar de piñatas navideñas, las producciones y ventas en las últimas cinco semanas del año presentaron los movimientos que se muestran en la tabla.

Semanas

Piñatas

Sustracción

1

2

3

4

5

Elaboradas

33

24

61

40

38

Vendidas

19

37

62

43

31

a) ¿Qué existencias hubieron al final de cada semana? b) ¿Hubo alguna semana donde la demanda superó las existencias? c) ¿Quedaron piñatas al final de la temporada?

" 15 (17)

Regla 1

" 2

Regla 2

Ejemplo 2b) Fíjate en lo siguiente... 1 1 © 1¹ © 1¹ 1. Como "ª º ª º , 6 2 « 6» « 2» 1 1 es la suma de dos negativos. 6 2 2. Por esta razón usas la regla 1 al sumarlos.

Recuerda

Solución a)

Piñatas elaboradas



Piñatas

Saldo anterior



Saldo semanal

"

Vendidas

2

3

4

5

Elaboradas

33

24

61

40

38

Vendidas

19 14

37 1

62 0

43

31 4

3

b) En la cuarta semana quedaron pendientes de entregar tres piñatas. c) Cuatro piñatas.

1 1 1 3 4 " " 6 2 6 6 6

Semanas 1

Saldo

Para sumar fracciones iguala denominadores:

r p Fracción equivalente

Simplifica el resultado:

4 2/ w 2 2 " " . 6 2/ w 3 3

32

2

BLOQUE

Utilizas magnitudes y números reales

Ejemplo 4

Ejemplo 4 Industria camaronera Fíjate en lo siguiente...

En la captura de 1 kilogramo de camarón se pescan incidentalmente, en promedio, 10 kg de otras especies de crustáceos, peces y moluscos.

1. Suma en cada columna. Para el barco 1: 632 1,090 1,907 " 185

La gráfica muestra la captura realizada por tres barcos camaroneros.

2. La pesca total es la suma de los valores absolutos de cada especie.

b) ¿Cuántas toneladas de camarón y otras especies pescó cada uno, y a cuánto ascendió la captura total?

a) ¿Cuántos kilogramos de camarón capturó cada embarcación?

3. En el concepto Otros, se suman las cantidades de peces y moluscos.

CAPTURA DIARIA Peces Moluscos Peso total

1. Cerca de 300 especies marinas son capturadas en la pesca de camarón, algunas en peligro de extinción (como la vaquita marina en el Golfo de California). 2. En la pesca del camarón se emplean redes de fondo de varios kilómetros, con forma de embudo que, debido al arrastre, erosionan en ocasiones zonas de vegetación marina, refugio de diversas especies. 3. El equipo ultrasónico de los barcos y los sensores electrónicos en las redes ubican los bancos y la posición de la red respecto a éstos y al fondo marino. La mayoría dispone bajo cubierta de grandes frigoríficos para llevar a procesar el producto a las plantas de congelado, enlatado y reducción. 4. La industria camaronera representa 44% de la producción pesquera del país pues aporta cerca de 140 mil toneladas anuales (30% de cultivo y 70% por pesca en altamar, bahías y esteros), de las que se exportan 50 mil toneladas (98% a EUA). 5. La importancia social y económica de esta actividad productiva es muy alta por la generación de miles de empleos directos y a lo largo de las cadenas de servicio en la industria y el comercio.

2,262 1,907

2,000 1,500

1,348

1,090

1,000 632

650

55

500

620

747

0 1

2 Embarcación

3

Solución a) Las especies distintas al camarón se registran con cantidades negativas. Embarcación Peces Peso kg

Ampliando el conocimiento

Captura (en kg)

2,500

Moluscos Pesca total Camarón

1

2

3

632

650

55

1,090 1,907 185

1,348 2,262 264

620 747 72

b) Divide entre mil, para toneladas. Suma cantidad de peces y moluscos.

Peso Ton

Barco Camarón Otros

1 0.185

2 0.264

3 0.072

Totales 0.521

1.722

1.998

0.675

4.395

Autoevaluación 2A En los ejercicios 1 a 3 suma en la recta numérica, de dos formas distintas. 1. 7 10

2. 5 1

3. 6 ( 4.5)

En los ejercicios 4 a 6 suma en la recta numérica, de tres maneras distintas. 4. 7 6 5

5. 1 (7) 8

6. 9 (1 3)

En los ejercicios 7 a 10 simplifica usando las reglas y propiedades de la adición. 7. 8 ( 4 3) (1 22) 9. 4 7 12 (1 3 10)

8. 6 0.5 9 40 2.2 1.8 10. ( 5 6) ( 2 8)

Grupo Editorial Patria® 33

En los ejercicios 11 a 14, halla las sumas de fracciones con signo. © 1¹ 11. 3 ª º « 4»

© 2¹ 12. 5 ª º « 3»

13.

4 © 3¹ 1 ª º 5 « 2» 9

1 1 1 14. 6 3 2

Perdidos

Juegos jugados

Ganados

15. Eliminatorias La gráfica muestra el desempeño de tu equipo de voleibol durante la actual temporada. Para calificar deben tener 5 juegos a favor y no tener saldo negativo más de tres veces. ¿Calificará tu equipo a la final? 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 −1 −2 −3 −4 −5 −6

Sugerencias para la autoevaluación 2A 1 a 3. Utiliza la propiedad conmutativa. Revisa el ejemplo 1 de este segmento informativo. 4 a 6. Propiedades asociativa y conmutativa. Revisa el ejemplo 1 de este segmento informativo. 7 a 10. Revisa el ejemplo 2a) de este segmento informativo.

1

2

3

4

5

6

7

Mes

11 a 14. Revisa el ejemplo 2b) de este segmento informativo. Consulta el Ápendice al final del libro para operar fracciones. 12. Agrupa negativos y por otro lado positivos.

16. Recorrido en ascensor De tu oficina, en el primer piso, subes al quinto piso. De allí bajas al tercero y vuelves a tu oficina por unos datos que no localizas. Bajas por ellos al archivo, ubicado en el sótano. Regresas al tercer piso y vas a la cafetería en el octavo, por un jugo, antes de volver a tu sitio de trabajo. La distancia entre pisos es de 2.70 m.

2 1 # por estar a la derecha en la recta 3 3 numérica. O bien, porque: 2 w 3 # 1 w 3. Ordenación de fracciones a n # b s

si y sólo si as # nb

15. Elabora una tabla. Suma por mes. Suma juegos ganados y suma juegos perdidos y después ambos. 16. Considera ascensos (), descensos (). a) ¿A qué altura equivale tu recorrido en un solo viaje del ascensor? b) ¿Adónde te moviste más: hacia arriba o hacia abajo? 17. Alimento contaminado La tabla muestra la cantidad, en toneladas, de espinaca retirada de los almacenes por la Secretaría de Salud debido a que el agua con que se lavó en la industria procesadora se contaminó con la bacteria Escherichia coli, causante de enfermedades gastrointestinales. Ciudad

V

R

México

0.72

1.46

Guadalajara

0.51

0.82

Puebla

0.45

0.63

Monterrey

0.41

1.77

Querétaro

0.35

1.70

V-vendida R-retirada

a) ¿Cuánta espinaca contaminada se surtió? b) ¿Cuánta se recuperó y cuánta se vendió?

17. a) Incorpora una columna para la espinaca adquirida (A) por los almacenes de cada ciudad, donde A " €V€ €R€. b) Suma en cada columna; verifica restando del total adquirido.

34

2

BLOQUE

Utilizas magnitudes y números reales

2A

Segmento informativo

Multiplicación y división de números reales Puedes multiplicar un número positivo con uno negativo mediante una suma.

Final

2(4) " (4) (4) " 8

Observaciones importantes 1. Como el cero no tiene recíproco, la división entre 0 no está definida. Intenta dividir por 0: 0 3 " 2, 0, 1, 0.5, ™ 2 , , ... etc. 0 4 4 " No existe resultado. b) 0

3(3) " (3) (3) (3) " 9 Cuando uno de los factores es negativo notamos que el producto es negativo. ¿Qué ocurrirá si ambos factores son negativos? Veamos productos en tablas:

a)

2. En el primer caso hay infinitas soluciones (pues todo número multiplicado por 0 da 0) y en el segundo ninguna. Toda operación debe producir un único resultado.

Verifica tu avance El producto de un número y su recíproco debe dar 1. ¿Por qué 0 no posee recíproco? La multiplicación posee propiedades análogas a la adición. Enúncialas (son cinco) e ilustra cada una con tres ejemplos.

Seguiría:

3(4) "

12

2(4) "

8

1(4) "

4

0(4) "

0

(1)(4) "

4

(2)(4) "

8

Se suma 4 al anterior

Seguiría:

3(3) "

9

2(3) "

6

1(3) "

3

0(3) "

0

(1)(3) "

3

(2)(3) "

6

Multiplicación de números con signo 1. Si los dos números poseen signos iguales el producto es positivo. 2. Si poseen signos distintos el producto es negativo. 1 Al dividir dos números en realidad multiplicas: 3 { 2 " 3 w . El divisor 2 lo cambias 2 1 2 1 por su recíproco (“invierte” el número y tienes su recíproco ). 2 1 2 El producto de recíprocos es 1. Todo número real tiene recíproco, excepto el 0.

División

Fíjate en lo siguiente...

Para dividir a entre b, multiplica por el recíproco de b ¿Cómo multiplicar si un factor es una suma? La siguiente propiedad dice cómo hacerlo:

a 1 "a w b b

Distribución del producto En la división aplicas las reglas de los signos de la multiplicación.

a(b c) " ab ac Ejemplo: 6(10 5) " 6(10) 6(5) 6(10 5) " 6(10) 6(5)

Ejemplo 1

Producto de fracciones a n an w " b s bs Si un factor es entero: 3 w

Ejemplo 1 Productos con dos factores Efectúa las siguientes multiplicaciones. a) (2)(8)

Recuerda

1 3 1 3 " w " 4 1 4 4

Se suma 3 al anterior

b) (4)x

Solución a) (2)(8) " (2 w 8) " 16 b) (4)x " (4x) " 4x © 6 ¹ 6x 6x " c) ( x) ª º " 7 7 «7» © 1¹ © 2¹ 1 2 2 d) ª º ª º " w " « 5 » « 3 » 5 3 15

©6¹ c) ( x) ª º «7»

© 1¹ © 2¹ d) ª º ª º « 5» « 3»

Grupo Editorial Patria® 35

Ejemplo 2 Productos con varios factores

Ejemplo 2 Observaciones importantes

Efectúa las siguientes multiplicaciones. ©1¹ © 2¹ b) ª º ª º (7) «3» « 5»

a) (4)(2)(3)

© 1¹ c) ª º « 2»

3

d) (x)3

e) (x)4

1. Determina el signo del producto antes de multiplicar.

Solución

El producto tendrá signo

a) (4)(2)(3) " 4(2)(3) " 24

si hay un número par de factores con signo . si hay un número impar de factores con signo .

©1¹ ©2¹ ©1¹ © 2¹ 14 b) ª º ª º (7) " ª º ª º (7) " 15 «3» «5» «3» « 5» © 1¹3 © 1¹ © 1¹ © 1¹ 1 c) ª º "ª º ª º ª º " 8 « 2» « 2» « 2» « 2»

2. Exponente par factores

d) (x)3 " (x)(x)(x) " x3 e) (x)4 " (x)(x)(x)(x) " x4

Número par de

Verifica tu avance ¿Por qué cualquier número elevado a un exponente par da una potencia positiva?

Ejemplo 3 Distribuyendo factores

¿Expresan lo mismo x2 y (x)2?

Utiliza la propiedad distributiva y simplifica. a) 5(6 2)

b) 8(12 27)

c) 3(4 x)

d) x(5 7)

Ejemplo 3

Solución

Fíjate en lo siguiente...

Distribución del producto

Simplificación

a) 5(6 2) " 5(6) 5(2)

30 10 " 40

b) 8(12 27) " 8(12) 8(27)

96 216 " 120

c) 3(4 x) " 3(4) (3)x

12 3x

d) x(5 7) " (x)(5) (x)(7)

5x 7x

1. Aunque 3(4 x) " 3(4) (3)x " 12 3x por lo regular el primer paso se hace mentalmente, y sólo se escribe el último. 2. La distribución a(b c) " ab ac, leída de derecha a izquierda, nos permite simplificar: 5x 7x " x (5 7) " 12x

Ejemplo 4 Cambiando divisiones a multiplicaciones Ejemplo 4

Expresa cada división como una multiplicación. © 1¹ b) 8 {ª º « 2»

a) 14 { 2

c)

15 7

d)

3 2 { 4 5

Observaciones importantes Números recíprocos

Solución a) 14 w

Tienen igual signo. Uno es el inverso del otro.

1 2

b) 8 w (2) c) (15) w d)

3 5 w 4 2

1 7

o

© 1¹ 15 w ª º « 7»

15 " (15 { 7). Por las reglas para dividir 7 15 15 15 " , es decir: números con signo " 7 7 7

(15 { 7) " (15) { 7 " 15 { (7).

36

2

BLOQUE

Utilizas magnitudes y números reales

Ejemplo 5

Ejemplo 5 Dulces de chocolate Un centro de distribución de dulces de chocolate vende a $45 cada cajita con piezas surtidas, más un cargo adicional por costo de la envoltura, igual a 8% de la diferencia entre 100 y la cantidad de cajitas adquiridas.

Fíjate en lo siguiente... 1. Simplificación del modelo algebraico: 45x 0.08(100 x)

" 45x 0.08(100) (0.08)x



" 45x 8 0.08x



" (45 0.08)x 8



" 44.92x 8

2.

Este cargo se hace si la compra es inferior a 100 cajitas; no se cobra para 100 y constituye un descuento en compras superiores a este número. a) Escribe un modelo para el pago por cajas compradas. b) ¿Cuánto pagarás por: 12; 100; 300, cajas?

Si alteras el orden en una sustracción, cambias el signo al resultado. 52"3

5 2 " (2 5)

2 5 " 3 10 x " (x 10)

3. Para todo número real a: a " (1)a. (x 10) " (1)(x 10) " 10 x También, para todo real a: a " 1a. (10 x) " 1(10 x) " 10 x 4. En términos prácticos, lo anterior significa: Quitar y poner paréntesis

c) Sin cargo extra, ¿en cuánto saldrían 12 cajas?, ¿y 300, sin descuento?

Solución a) Modelo verbal "

Pago

Precio w Núm. de cajas



Introduce variables x " cantidad de cajitas de chocolate 100 x " excedente sobre 100 cajas P(x) " pago por comprar x cajitas de chocolate Modelo algebraico P(x) " 45x 0.08(100 x); o simplificando: 44.92x 8 b) Valuamos la expresión P(x) para x " 12, x " 100, x " 300.

Signo antepuesto

Signo de las cantidades





Se conserva

P(100) " 45(100) 0.08(100 100) " $4,500





Cambia

P(300) " 45(300) 0.08(100 300) " $13,484

5 (2 x y) " 5 2 x y 5 (2 x y) " 5 2 x y Quitar Poner

Verifica tu avance

P(12) " 45(12) 0.08(100 12) ~ $547

c) 45 w 12 " $540; 45 w 300 " $13,500

Autoevaluación 2A En los ejercicios 1 a 5, efectúa cada multiplicación.

¿Podrías haber utilizado el modelo P(x) " 45x 0.08(x 100)? Explica.

8% excedente sobre 100

1. (7)(6)

2. 5(12)

©1¹ 3. (10) ª º «5»

5. (x)2

4. (x)(10)

En los ejercicios 6 a 13, obtén cada producto.

Recuerda 1. Los términos en una expresión algebraica están separados por signos y . 2. Los términos semejantes poseen iguales letras y sus exponentes: 3xy2; 5xy2. 3. Simplificación de términos semejantes: 3x 4x 7x " (3 4 7)x " 6x

6. (1)2 © 3¹ 10. ª º « 4»

7. (1)3 3

© 1¹ 11. (3)(2) ª º « 2»

8. (10)(2.5)(4) 12. (3)(x)4

9. (1)(32) 13. (1)(x)5

En los ejercicios 14 a 17, aplica la propiedad distributiva. 14. 9(3 15)

15. 10(2.4 3.8)

16. 1(x 14)

17.

1 (1 x) 2

Grupo Editorial Patria® 37

En los ejercicios 18 a 22, obtén cada cociente mediante multiplicación. © 2 ¹ © 3 ¹ ª º ª º « 5 » « 4 » 1 1 21. 18. 1 { 10 19. 22. 20. 3 { 4 3 ©3¹ ©1¹ ª º ª º «7» «2»

Sugerencias para la autoevaluación 2A 1 a 5. Revisa el ejemplo 1. 6 a 9. Anticipa el signo. Revisa el ejemplo 2.

En los ejercicios 23 a 26, obtén el resultado de cada operación.

14 a 17. Revisa el ejemplo 3 y sus comentarios.

© 1¹ 2 23. ª º « 2»

18 a 22. Revisa el ejemplo 4.

24. 8

1 4

25. 5

4 7

1 2 1 26. 4 3 6

En los ejercicios 27 a 29, simplifica los términos semejantes. 27. x x 2x

28. 3y y 4 13

Generaliza. (Establece un patrón.)

29. 2x x 4x 3x 6 2

2

En los ejercicios 30 a 32, a) elimina los paréntesis y simplifica; b) agrupa dentro de paréntesis los números con barra. 30. a) 3 (4 6 1)

31. a) 5 (4 7)

b) 3 4 6 1

32. a) 1 3(x 8 2x)

b) 4 3 1 9

19, 22. Revisa otros cocientes similares.

b) 5x 3 x 5

33. Geometría a) Comprueba la validez de la propiedad distributiva para 4(x 1) calculando de dos formas distintas las áreas. b) Haz un modelo similar para 4(x 1).

4

23. Signo del producto: cantidad de factores. 8 w4 . 1 w4 Consulta el Ápendice al final del libro.

24. Fracción equivalente: 8 "

4 (5) 7) 4 25. Una forma: 5 " . 7 7 También: © 4¹ © 4 ¹ 4 5 " 5 ª º "5 ª º ; 7 7 « » « 7 » convierte 5 w7 . Revisa el Ápendice al final 5 " 1 w7 del libro. 26. Asocia. Sugerencias para ejercicios 24 y 25.

1 x 34. Helicóptero a) ¿Con qué velocidad desciende (en km/h) un helicóptero que baja 50 m cada segundo? b) ¿Cuánto se aleja en 15 minutos de otro helicóptero que desciende a 25 km/h?

27 a 32. a) Usa propiedades distributiva, asociativa y conmutativa. Revisa el ejemplo 3. b) Dos opciones: una con y otra con . 33. b) Aquí x es la longitud del largo total. (Lados: a, b c; a, b c.) 34. a) Convierte a km/h dividiendo respectivamente entre 1,000 y entre 3,600. b) Utiliza la fórmula de la Física d " vt. 15 min " ? h

d1 d2

35. Montacargas La expresión T(x) " 4(22.5 15x) permite saber la carga x, en toneladas, que puede soportar un montacargas (de 2 toneladas de peso y centro de gravedad a 45 cm de la horquilla), sin que éste se voltee, ya que esto ocurrirá al obtener valores negativos. a) ¿Qué sucederá con x " 250 kg, x " 1.5 ton, x " 2 ton? b) ¿Cuál es el máximo peso que puede alzar sin voltearse?

d=?

35. Elabora una tabla. (Prueba para más valores de x.) Haz una conjetura. (Límite entre valores positivos y negativos.)

38

2

BLOQUE

2

Utilizas magnitudes y números reales

B

BLOQUE

Situación didáctica a)

Afluencia turística

Entre 3 y 4 millones de turistas visitaron una zona de playa durante los siete días de Semana Santa.

Conocimientos

Tasa y razón La tasa y la razón son cocientes para comparar cantidades y números: 10 " 2. 1. La razón de 10 a 5 es: 5 2. La tasa promedio de $400 a 25 litros es: $400 $16 " 25 l 1l ¿Qué expresa cada tipo de cociente? Lectura de grandes números Derecha a izquierda: en grupos de tres cifras alterna comas y números. cada coma se lee mil; 1: millón, 2: billón,…

La erogación económica que realizaron fue la siguiente. Hospedaje

Comida

Propinas

$11,204,105,000

$13,130,102,000

$5,030,000,000

a) 3, 4511266, 034 3 mil 451 millones 266 mil 34 b) 7,2382104,0051000,000 7 mil 238 billones104 mil 5 millones Gasto promedio Tres personas pagan en conjunto $6,300 por hospedaje durante una semana.

¿Cuál fue la erogación diaria promedio de los turistas en cada uno de estos rubros durante la semana? ¿Y por persona? ¿Cuánto, en promedio, gastó diariamente cada turista en comida? b) Un hotel, por otra parte, previó alimentos en esa semana para 1,200 huéspedes, pero la ocupación fue 7% menor de lo previsto. ¿Cuántos días más duró la despensa del hotel? Si fueras el gerente, ¿cómo anticiparías la duración de la despensa para cualquier cantidad de huéspedes?

1. El pago promedio de cada uno por la semana de hospedaje fue 6,300 { 3 2. El pago promedio conjunto por día de hospedaje fue 6,300 { 7 3. El pago promedio de cada uno por día de hospedaje fue (6,300 { 3) { 7

Consulta En libros de álgebra y otras fuentes: Razones, tasas y proporciones Variación directa e inversa En Internet: www.aaamatematicas.com/equ.htm

Análisis de la situación Parte a) 1. ¿Por qué es apropiado considerar como número de turistas el valor medio entre 3 y 4 millones? ¿Cuál es éste? 2. ¿Qué obtienes al dividir el monto de dinero de cada rubro entre la cantidad de turistas?, ¿y entre el número de días de la semana? ¿Y entre ambas cantidades, sucesivamente? Parte b) 1. ¿Cómo sabrías cuántos huéspedes se alojaron en el hotel? 2. Si el consumo promedio se considera igual para todos los huéspedes, ¿qué ocurre con la despensa al aumentar los huéspedes? ¿Y si disminuyen? ¿Varían en forma inversa o directa estas cantidades? ¿Con cuál proporción determinarías cuántos días duró la despensa con los huéspedes recibidos? (suponiendo que todos continuaron alojados durante ese tiempo.)

Grupo Editorial Patria® 39

Secuencia didáctica

Rúbrica de evaluación En tu resumen del desarrollo de la secuencia didáctica debes incluir, además de las operaciones y resultados, lo siguiente:

Parte a) 1. Por cada rubro, la erogación diaria de los turistas fue: Hospedaje $ 7 días

"

Comida $ 13,130,102,000 " ___ días

Propinas

Parte a)

$

"

___ días

Una explicación acerca de la diferencia entre tasa y razón.

2. La erogación por persona en esa semana fue: Hospedaje $ " 3,500,000 turistas

Comida $

Una justificación del uso del promedio de 3 y 4 millones de turistas.

Propinas "

$

"

Una argumentación de por qué los cocientes obtenidos describen cantidades promedio.

3. Para hallar el gasto diario por turista en comida, hay dos opciones: dividir el cociente obtenido en el punto 1 entre _________________ (3,500,000;7) o el obtenido en el punto 2 entre __________________ (3,500,000;7). En cualquier caso el resultado es: $ __________________ por persona, diariamente.

Una explicación de la relación y diferencias entre proporciones y variaciones, y de los criterios para distinguir directas e inversas.

Parte b) 1. Huéspedes alojados en el hotel: 1,200 7%(1,200) " . d 1,200 , que es __________________ (directa/inversa), La proporción " 7

Parte b) La comprobación del modelo en el caso expuesto y su aplicación para otra cantidad de huéspedes; una reflexión de por qué debes suponer igual consumo promedio de alimentos.

resuelve que, para esos huéspedes, la despensa duró d "_____________ días. 2. El modelo de variación inversa para los datos de la tabla es xy "____________ .

Días

x

7

Personas

y

1,200

De aquí se establece cuántos días x durará la despensa para y personas: 7w( ) x" .

Proyecto de trabajo 1. Alimento para aves Una granja posee comida para alimentar 5,400 pollitos durante 15 días. Si el total de pollitos aumenta en 4%, a) ¿cuánto durará el alimento para la nueva población? b) Halla un modelo predictivo de la duración del alimento para cualquier cantidad de pollitos (iguales condiciones de consumo y aumento). Úsalo en otra situación similar. 2. Tarjeta áurea Deseas elaborar una tarjeta de cumpleaños para una amiga. Si la construyes de modo que la razón de sus lados sea igual a la del modelo, obtendrás una tarjeta con proporción áurea, muy agradable a la vista.

– √5

2

a) Elabora tu tarjeta a partir del modelo. b) Haz una tarjeta 2.5 veces mayor, en alto y largo, que el modelo. c) ¿Cuál sería el largo de una tarjeta áurea de 7.5 cm de alto?

1

– √5

40

2

BLOQUE

Utilizas magnitudes y números reales

2B

Segmento informativo

Razones, tasas y proporciones Es posible comparar dos números, o dos cantidades, mediante un cociente. Números:

8 "2 4

Cantidades:

2 kg 1 " 10 kg 5

Inicial Recuerda Las cantidades son números acompañados de una unidad de medida. Cuantifican magnitudes. Cantidad

8 es el doble de 4

2 kg es la quinta parte de 10 kg

$60 $20 " 3h 1h

Promedio de $20 por hora

Los dos primeros cocientes son llamados razones, y el último, tasa. 3.2 km

Magnitud Distancia

60 km/h

$100

Velocidad

Precio

Razón Si a, b, son números, o cantidades con igual unidad de medida, a es la razón de a a b. (a, b | 0). b

Términos de una proporción 1o q a c o 3o " 2o q b d o 4o

Tasa

Extremos a, d; Medios b, c.

Si a, b, son cantidades con distinta unidad de medida, a es la tasa promedio de a por b. (a, b | 0) b

Fíjate en lo siguiente... En esta proporción:

Pero escrita así:

3 6 " 4 8

6 3 " 8 4

Extremos: 3 y 8 Medios: 4 y 6

Extremos: 4 y 6 Medios: 3 y 8

Cuando dos razones o dos tasas son iguales, se forma una proporción. 8 2 " 4 1

y

$60 $20 " 3h 1h

son proporciones porque 8 w 1 " 4 w 2 y 60 w 1 " 3 w 20.

Proporción

Verifica tu avance ¿Cómo se llama al primero y al último término de una proporción? ¿Y a los intermedios?

La igualdad

a c " es una proporción b d

ad " bc

(a, b, c, d | 0).

¿De qué dependen estos nombres?

Ejemplo 1

Ejemplo 1 Escribiendo razones Fíjate en lo siguiente...

a), b) La razón de a a b compara el tamaño de a respecto al de b. 6 "2 3 6 es el doble de 3

Halla e interpreta: a) La razón de 6 a 3

b) La razón de 3 a 6

c) La razón de ™ 5 cm a 2 m

Solución

3 1 " 6 2 3 es la mitad de 6

a)

Razón

Interpretación

6 "2 3

6 es dos veces mayor que 3.

Grupo Editorial Patria® 41

b)

c)

3 1 " " 0.5 6 2

™ 5 cm /

200 cm /

c) Usas la misma medida en las cantidades (cm) para compararlas mediante una razón.

3 es un medio de 6

" 0.011

™ 5 es aproximadamente 11 milésimos de 2 m Puedes también expresarlas en metros:

Ejemplo 2 Interpretando tasas

™ 5 cm 2

Interpreta cada una de las tasas siguientes: a) Rendimiento de tu auto 22.3 km 1 L

b) Velocidad de descenso 5 m 1 s

c) Efectividad de un antibiótico 50,000 bacterias 3 h

Solución a) Tu auto recorre en promedio 22.3 km por cada litro de gasolina. b) El objeto desciende 5 metros cada segundo. c) El antibiótico destruye 50 mil bacterias cada 3 horas.

m

"

2.236 cm 0.02236 m / " 0.011 " 2 m 2 m /

Observaciones importantes 1. Una tasa o razón no siempre es una fracción común (como muestra el ej. 1c). Razones y fracciones a Razón, tasa, si a y b son reales b Fracción común, si a y b son enteros (a, b | 0 )

Ejemplo 3 Resolviendo una proporción Obtén el término que falta en la proporción

Solución

2 14 " . 3 x

2 14 " 3 x 2x " 42

Productos cruzados 2(x) " 3(14)

x " 21

Dividiendo ambos lados entre 2

Verifica tu avance ¿Indica unidad de medida la razón de dos números o dos cantidades? ¿Y la tasa?

Proporción dada

¿Por qué las razones de números reales incluyen a los racionales?

2. Resolver una proporción significa hallar el valor desconocido de un término.

Ejemplo 4 Turismo y promedios La tabla muestra cuánto gastan los turistas en vacaciones. Los datos corresponden a 2,427,000 turistas durante 12 días de un año.

Resolución de una proporción Productos cruzados a c " b d

a) ¿Cuánto gastó en promedio cada persona en transporte? b) ¿Cuál fue la tasa diaria de erogación en alimentos?

ad " bc

c) ¿Cuál fue el gasto promedio diario, por persona, en hospedaje? Transporte $1,840,758,150

Alimentos $11,027,802,600

Solución

Ejemplo 3 Fíjate en lo siguiente... Se comprueba tomando productos cruzados:

$1,840,758,150 $758.45 " a) Transporte. 2,427,000 personas 1 persona b) Alimentos.

Hospedaje $ 9,967,689,000

$11,027,802,600 $918,983,550 " 12 días 1 día

2 14 " ya que 2(26) " 3(14) (" 52) 3 26

42

2

BLOQUE

Utilizas magnitudes y números reales

c) Hospedaje.

Ejemplo 4

En el periodo: Cómo leer grandes números o cantidades 1) Separa las cifras de derecha a izquierda en grupos de tres, alternando comas y naturales: 32 451, 6971 500, 000 2) Donde haya una coma lee: mil; donde haya un 1: millones; un 2: billones, etc.

En un día:

Gasto promedio por persona: $9,967,689,000 $4,107 " 2,427,000 personas 1 persona

$4,107 $342.25 " (una persona) 12 días 1 día

Ejemplo 5 Tiendas de autoservicio ¿Qué te conviene más en la promoción de dos artículos en una tienda de autoservicio: comprar los que se ofertan al 2 w 1, o los que están al 3 w 2?

Solución

Verifica tu avance

Hay que comparar el costo por oferta respecto al costo normal, para conocer el beneficio que se obtiene en cada caso. Costo " Cantidad w precio

¿Cómo se lee el número anterior? ¿Cómo lees cada número de la tabla?

Fíjate en lo siguiente... a) Aquí la tasa expresa el gasto diario en alimentos efectuado por el total de turistas. b) Los dos cocientes del gasto promedio diario, por persona, pueden reducirse a uno: ©a¹ Monto ª º Personas « b » c Monto " c bc Personas w Días Días

Costo con oferta Costo normal

1 w P/ 1 " " 0.50 " 50% 2 w P/ 2

2 w p/ 2 " " 0.6 " 66.66% 3 w p/ 3

Al 2 w 1, cada artículo te sale al 50% de su valor (la mitad). Al 3 w 2 pagas el 66.66% (dos tercios) de su valor. Te convienen más las ofertas al 2 w 1.

Autoevaluación 2B

Ejemplo 5 Recuerda

En los ejercicios 1 a 4, el primer número es a y el segundo es b. a) ¿Qué tanto es a de b?

1. Artículos al 2 w 1 significa que adquieres dos artículos por el precio de uno. 1 2 2. También: ! , ya que 1 w 3 ! 2 w 2. 2 3 3. Los porcentajes son fracciones decimales. Indican cuántas partes tomas de cien en que divides al número o cantidad. 50 50% " "0.50 100

Fíjate en lo siguiente... Las variables P, p, representan el precio de cada clase de artículos. Observa que no interesa su valor, pues se cancelan.

1. 1 de 4

2. 2 de 10

b) ¿Qué tanto por ciento es a de b? 3. 29.25 de 6.5

4. 55 de 25

En los ejercicios 5 a 8, interpreta cada cociente sucesivo. 5. Crecimiento de una planta cm 7 3.5 : " día 2 1

6. Costo de camisas Costo $ 1,000 500 250 : " " camisas 4 2 1

7. Depreciación de un equipo Valor (miles) $ 45 9 4.5 : " " 10 2 1 años

8. Pérdida de peso Kilos 1.8 0.9 0.45 : " " Semanas 4 2 1

En los ejercicios 9 a 12, escribe cada expresión como una razón o una tasa. 9. 12 es el cuádruplo de 3 11. Un crecimiento semestral de 0.12 cm3

10. 5 es la sexta parte de 30 12. Un interés del 0.4% bimestral

Grupo Editorial Patria® 43

En los ejercicios 13 a 16, resuelve cada proporción. 13.

1 x " 6 48

14.

x 15 " 18 6

15.

12 1 " x 4

16.

x 2 " 8 5

En los ejercicios 17 y 18, a) ¿Cuántas proporciones puedes escribir a partir del producto indicado? b) Describe cada propiedad. 17. 2 w 15 " 3 w 10

18. ab " cd (a, b, c, d | 0)

Sugerencias para la autoevaluación 2B 1 a 4 a) Obtén la razón de a a b. b) ¿Qué tanto por ciento es a de b?: a w 100. b 5 a 8. Revisa el ejemplo 2.

19. Ventas ¿Cuáles descuentos son más convenientes para un almacén: ventas al 2 w 1, 3 w 2, 4 w 3 o 5 w 4?

9 a 12. Revisa ejemplos 1 y 2. Halla la tasa para 1 mes. Ejercicio 12: en economía y finanzas se llama rédito o interés la tasa Porcentaje Tiempo 13 a 16. Revisa el ejemplo 3. 17. Sistematiza. (Fija numeradores; invierte.) Son cuatro posibilidades. 18. Particulariza/generaliza. (Prueba con diferentes valores; busca un patrón.) 19. Revisa el ejemplo 5. ¿Por qué casi no hay ofertas al 4 w 3 o 5 w 4?

20. Flujo sanguíneo La tasa promedio de sangre en el cuerpo humano es de 5 L por persona. Tu cerebro requiere de 1 L de sangre para funcionar. a) ¿Qué tanto es esta cantidad del total? b) Con cada latido tu corazón bombea 0.005 L de sangre. ¿Qué tanto representa de lo que bombea en un minuto?

20. a) Halla la razón entre 1 y 5 litros. Escríbela como porcentaje. b) Determina con tu pulso cuántos latidos efectúa tu corazón en 1 minuto. Generaliza. Con un modelo para x latidos. 21. Revisa el ejemplo 4.

21. Deporte La tabla muestra los totales obtenidos en la temporada 2006 por los Yankees de New York. a) ¿Qué indican las tasas siguientes: G/J, P/G, T/H, H/T? b) ¿Qué promedio de bateo obtuvo el equipo de 39 jugadores? c) ¿Cuántos turnos al bat, en promedio, tuvo por juego cada jugador? Juegos J 162

Ganados G 97

Perdidos P 65

Turnos bat T 5,651

Hits H 1,608

44

2

BLOQUE

Utilizas magnitudes y números reales

2B

Segmento informativo Final

Variación directa e inversa Las magnitudes pueden tener valores cambiantes o fijos. Los primeros se expresan con variables y los otros mediante constantes. Por ejemplo: 1. El tiempo es una magnitud variable; sus valores se denotan con la letra t.

Observaciones importantes 1. En la variación directa ambas cantidades aumentan o disminuyen por el mismo factor (“si una aumenta —o disminuye— la otra también”). 2. En la variación inversa una cantidad se multiplica por un factor y la otra se divide entre este factor (“al aumentar una la otra disminuye —o viceversa—”). 3. Estos comportamientos de aumento y disminución se observan sólo si ambas cantidades son positivas (o ambas negativas). 4. En las aplicaciones las variables toman casi siempre valores positivos (con lo cual k # 0).

2. La aceleración de la gravedad es una magnitud constante; su valor es 9.8 m/s2. Dos magnitudes variables pueden estar relacionadas de modo que, sin importar sus valores, sus cocientes o productos resultan siempre iguales. Variación directa x y

2 10

3 15

Cocientes iguales 10 15 20 " " "5 2 3 4

Proporción directa

15 9

2 100 " "2 1 50

3. Para cada proporción, este cociente por renglones es su razón de proporcionalidad. 4. Constituyen el factor por medio del cual pasas, por renglones, de una columna a otra. w2

Directa:

w1.5

x

1

2

3

y

50

100

150

w2

w1.5

w3

Inversa:

w2

3 3

Productos iguales 1 w 9 " 2 w 4.5 " 3 w 3 " 9

2 3 " 10 15

Proporción inversa

1 2 " 4.5 9

Las variables x y y varían Directamente Si

45 3

45 9 " " 3 15 3

2 4.5

Modelos de variación proporcional

Inversa:

2 100

1 9

Tales igualdades permiten escribir una proporción entre los valores de dos columnas, tomándolos directamente en el primer caso, y en cruz en el segundo.

1. Los cocientes o productos por columna dan la constante de variación k, de toda la tabla. 2. También puedes formar proporciones con los términos de los renglones, así: 1 50

x y

4 20

Fíjate en lo siguiente...

Directa

Variación inversa

Inversamente

y " k o y " kx. x

Si xy " k o y "

k x

k | 0 es la constante o tasa de variación. Estas variaciones se llaman proporcionales porque generan proporciones.

Ejemplo 1 Identificando variaciones Identifica en las siguientes tablas cuál variación es directa y cuál inversa. a)

x y

1 50

2 100

3 150

b)

x y

15 9

45 3

90 1.5

x " Horas laboradas

x " Rapidez de tu auto en km/h

y " Pago en pesos

y " Tiempo en horas

w2

Solución a) Directa.

x

15

45

90

180

y

9

3

1.5

0.75

50 100 150 " " " 50. Constante de variación k " 50. 1 2 3

{2

b) Inversa. 15 w9 " 45 w3 " 90 w1.5 " 180 w0.75 " 135. Constante k " 135.

{3

{2

180 0.75

Grupo Editorial Patria® 45

Ejemplo 2 Estableciendo proporciones

Ejemplo 2

A partir de la información, halla los valores que faltan en cada tabla. a) x varía directamente con y x y

8 10

4 5

Fíjate en lo siguiente...

b) x varía inversamente con y x y

3 b

a 20

12 10

1. Al escribir las proporciones puedes tomar los cocientes por renglón (razón) o por columna (tasa), en cualquier orden: de abajo a arriba; derecha a izquierda, o a la inversa.

4 b

x " Número de gorras

x " Horas de viaje

y " Costo (cientos de pesos)

y " Reserva de gasolina (L)

2. En la variación directa las proporciones se escriben por renglones o columnas siguiendo el mismo orden o sentido.

Solución 4 3 " . De aquí: 4b " 15, b " 3.75. Tres gorras cuestan $375. 5 b 12 a " , se tiene 20a " 120; a " 6 h. b) De la proporción cruzada 20 10 12 4 " ; 4b " 120, b " 30 L. Para hallar b escribimos b 10 a) Escribimos

Renglón:

4 5 " , 3 b

3 b " , 4 5

Columna:

4 3 " , 5 b

5 b " , 4 3

Ejemplo 3 Construyendo modelos de variación

Aunque de una proporción a otra los cocientes son distintos, en todas 4b " 15.

a) Escribe un modelo algebraico para cada tabla del ejemplo 2. b) Predice y para x " 10. Interpreta y agrega los valores a la tabla.

3. En la variación inversa las proporciones se escriben con renglones en sentidos opuestos, o columnas cruzadas.

Solución

y " 1.25. El modelo es y " 1.25x. x 120 . Variación inversa. En las columnas, xy " 120. El modelo es y " x 120 . b) Modelo y " 1.25x Modelo y " x 120 " 12 x " 10: y " 1.25(10) " 12.5 x " 10: y " 10

a) Variación directa. En cualquier columna,

x y

10 12.5

8 10

4 5

10 gorras costarán $1,250

3 3.75

x

12

10

6

4

y

10

12

20

30

Renglón:

12 20 " , a 10

a 10 " , 12 20

Columna:

12 a " , 20 10

10 20 " , a 12

Aunque de una proporción a otra los cocientes son distintos, en todas 20a " 120.

Ejemplo 3

Reserva en 10 horas: 12 litros

Ejemplo 4 Computadoras y rapidez de captura Deseas salir al cine con una amiga, pero antes debes escribir un trabajo en la computadora, que te tomará 50 minutos. Tu amiga te ofrece ayuda con su computadora portátil, mientras tú trabajas en la tuya. ¿En cuánto tiempo concluirán ambos el trabajo, si tu amiga lo haría sola en 30 minutos?

Observaciones importantes 1. En los modelos de variación directa, la constante de variación es el cociente y k " (en ese orden). x 2. El modelo y " kx permite hallar y cuando se conoce el valor de x (basta multiplicar éste por la constante k). 3. En el ejemplo 3a), la constante de variación k " y/x es el precio individual de cada gorra: k " 1.25 " $125. 4. Los modelos evitan calcular proporciones y permiten efectuar predicciones.

46

2

BLOQUE

Utilizas magnitudes y números reales

Solución

Ejemplo 4 Fíjate en lo siguiente... P d 1. La fórmula R " es análoga de v " . t t P 2. Para hallar el tiempo puedes usar t " . R En este caso: 75 P " " 18.75 min t" 4 © 4P ¹ ª º « 75 min » (Esto evitaría la tabla y la proporción.) 3. Lo anterior muestra que los problemas de obtención del tiempo de operación conjunta (variación directa), se resuelven en dos pasos: a) Se suman las rapideces b) Se toma su recíproco (éste es el tiempo) Usas la ley distributiva para simplificar ©1 P P 1¹ " Pª º R" 50 30 « 10 30 » ©3 5¹ © 8 ¹ 4P º" " Pª º " Pª 150 75 min « » « 150 » (150 es el mcm de 30 y 50. Para fracciones consulta el Ápendice al final del libro.)

Ejemplo 5

Modelos verbales Rapidez de trabajo

"

producción tiempo

Rapidez conjunta

"

rapidez de uno

R1 " tu rapidez de captura

R2 " rapidez de captura de tu amiga

P " producción total (palabras)

R " rapidez conjunta

Modelos algebraicos P ; R1 " 50 min

2. Con los datos de una columna y el tipo de variación puedes hallar el modelo general. Esto evita escribir proporciones. Ejemplo: Con 300 y 7 escribes xy " 300(7) " 2,100. 2,100 2,100 " " 6.25 días. Si x " 336, y " x 336

R2 "

P ; 30 min

R"

4P P P " 50 30 75 min

Esta tasa indica que, escribiendo simultáneamente, producirían cuatro de estos trabajos en 75 minutos. ¿Cuánto tiempo requerirá producir un trabajo? Proporción directa

Tabla de datos Producción P

4

1

Tiempo minutos

75

T

4 1 " ; 4T " 75; T " 18.75 minutos 75 T

Les tomará cerca de 19 minutos concluir el trabajo, antes de poder ir al cine.

Ejemplo 5 Consumo de alimentos Un hotel estima una provisión de alimentos suficiente para un total de 300 huéspedes durante una semana. Sin embargo, la demanda del servicio aumenta 12% sobre lo previsto. a) ¿Cuántos días antes de que termine esta semana deberá el hotel reabastecer su despensa? b) Encuentra un modelo para determinar, bajo el mismo estándar de consumo, el número de días que durará la despensa del hotel para cualquier cantidad x de comensales. ¿Cuánto durará con 250 huéspedes?

Usas la ley distributiva para simplificar: 300 0.12(300) " 1(300) 0.12(300) " 300(1 0.12)

1. d es una variable con un solo valor (desconocido, pero fijo). En tal caso se dice que representa una constante. (Al contrario de x, y, que son variables con diversos valores.)

rapidez del otro

Identifica variables

Recuerda

Observaciones importantes



Solución a) La cantidad real de huéspedes será 300 0.12(300) " 300(1.12) " 336. Huéspedes x

300

336

Tiempo que dura la reserva de alimentos y (días)

7

d

Proporción inversa:

300 336 " ; 336d " 2,100; d " 6.25 días. d 7

El hotel deberá reabastecer su despensa un día antes, el sexto día. b) Modelo de variación inversa: xy " 300(7) " 2,100, o bien, y " Para 250 comensales la reserva duraría: y "

2,100 " 8.4 días. 250

2,100 . x

Grupo Editorial Patria® 47

Autoevaluación 2B En los ejercicios 1 a 3, a) Identifica los modelos de variación directa o inversa; b) Elabora para cada caso una tabla con cinco columnas.

x " Pulgadas

x 6 x " Peso en la Tierra

y " Centímetros

y " Peso en la Luna

1. y " 2.54x

2. y "

30 x x " Tiempo

3. y "

y " Longitud de una vela

En los ejercicios 4 a 7, a) ¿Cuáles tablas corresponden a una variación directa y cuáles a una variación inversa? b) Completa los datos faltantes. 4.

6.

Peso w Distancia d

5 8

10 4

Temperatura Volumen

12 5

33 13.75

5. Días Flores no marchitas 7.

2 18

Grado del bloqueador % absorción rayos UV

b 9

3 a a 60

15 40

50 b

8. Obtén el modelo de variación para cada tabla en los ejercicios 4 a 7. Si en cada tabla x denota los valores del primer renglón, obtén y para x " 6, 9. En los ejercicios 9 y 10, explica por qué cada tabla no corresponde a una variación directa o inversa, a pesar del comportamiento aumento-disminución. 9.

Vueltas rpm Ruido dBA

1,300 17

5,000 10. 48

Aire ventilador m3 Temperatura °C

0.58 55

Pies Metro

1 5 0.304 1.52

b)

Gal Litros

12. Geometría La gráfica muestra cómo varían los lados en los rectángulos. a) Calcula el área de cada uno. b) Escribe un modelo algebraico que relacione los lados x, y, con el área.

1 3.785

1 a 3. Compara con los modelos al inicio de la lección. Revisa el ejemplo 3. 4 a 7. Revisa los ejemplos 1 y 2. En 5 y 7 asocia con la columna de datos conocidos. 8. Obtén cada constante. Revisa el ej. 3. 9 y 10. ¿Son iguales los cocientes o los productos en todas las columnas? Observa que no obstante las relaciones de aumento-disminución, no hay variación proporcional. Revisa el margen izquierdo específico al inicio de este segmento informativo. 11. Ambos son modelos de variación directa. 12. Los números en los ejes (¿deben ser sólo enteros?) dan la longitud de los lados y las coordenadas del vértice superior derecho. ¿Qué curva forman estos puntos? ¿Se aplica este modelo a cualquier variación inversa? Lado x

2

Lado y

15

k " xy

30

13. Aplica el procedimiento utilizado en el ejemplo 4. Hazlo después siguiendo los dos pasos señalados en el margen. Ejemplo: Una llave llena un depósito P en 2 horas. Otra lo llena en 3 horas. Ambas llaves: P P 5 Rapidez: " P. 2 3 6 6 Tiempo: h " 1.2 h. 5

2.14 20

11. Sistemas de medida. Halla un modelo de conversión para cada tabla. a)

Sugerencias para la autoevaluación 2B

0.5 1.892 15

10 6 5 3 2 0

2 3 56

10

15

13. Línea de producción En una planta automotriz un nuevo equipo automático pintará una serie de autos en una hora. El equipo anterior tarda 1.5 horas en realizar dicha tarea. ¿Cuánto les tomará pintar la serie a ambos?

Eudoxio de Cnido

408 355 a.C. A partir de los trabajos de los pitagóricos y de Zenón de Elea, creó en la antigua Grecia la Teoría de las Proporciones para estudiar las razones de cantidades no conmensurables (base de los actuales números irracionales). Usó el método de exhaución para calcular áreas y volúmenes mediante subdivisiones en partes más pequeñas, ideas que utilizó Arquímedes y fueron el origen del cálculo integral.

48

2

BLOQUE

Utilizas magnitudes y números reales

Instrumentos de evaluación Rúbrica

Rúbrica para evaluar el reporte de la situación didáctica “Afluencia turística” del Bloque 2B. Nombre del alumno:

Nivel Presentación

Desarrollo

Excelente (4)

Bueno (3) Elabora el reporte a mano con buena caligrafía (o bien usando un procesador de texto con una impresión bien hecha), redacción regular y sin faltas de ortografía.

Elabora el reporte a mano con regular caligrafía (o bien usando un procesador de texto con una impresión regular), redacción regular y pocas faltas de ortografía.

Elabora el reporte a mano con mala caligrafía, mal redactado y con muchas faltas de ortografía.

Explica la diferencia entre tasa y razón.

Presenta todos los pasos con las justificaciones solicitadas para calcular todas las cantidades y expresiones pedidas.

Presenta todos los pasos para calcular todas las cantidades y expresiones pedidas pero sin las justificaciones solicitadas.

Sólo presenta resultados sin dar ninguna justificación.

No explica la diferencia entre tasa y razón.

No explica la diferencia entre tasa y razón.

No explica la relación y las diferencias entre proporciones y variaciones y los criterios para distinguir entre directas e inversas.

No explica la relación ni las diferencias entre proporciones y variaciones y los criterios para distinguir entre directas e inversas.

Maneja correctamente tasas y razones.

Maneja correctamente tasas y razones.

No maneja correctamente tasas ni razones.

Calcula correctamente cantidades promedio y porcentajes.

Calcula correctamente cantidades promedio y porcentajes.

No calcula correctamente cantidades promedio y porcentajes.

Distingue entre variaciones directas e inversas.

No sabe distinguir entre variaciones directas e inversas.

No sabe distinguir entre variaciones directas e inversas.

No sabe obtener expresiones que relacionan cantidades que varían directa o inversamente.

No sabe obtener expresiones que relacionan cantidades que varían directa o inversamente.

No sabe obtener expresiones que relacionan cantidades que varían directa o inversamente.

Calcula correctamente las siguientes cantidades:

Calcula correctamente las siguientes cantidades:

Calcula correctamente sólo dos de las siguientes cantidades:

Calcula correctamente sólo una de las siguientes cantidades:

t - BFSPHBDJØOEJBSJBQSPNFEJPEFMPT turistas por rubro y por persona en una semana. t &MHBTUPQSPNFEJPEJBSJPQPSUVSJTUB en comida. t -BEVSBDJØOEFMBEFTQFOTBDPOMB información proporcionada.

t - BFSPHBDJØOEJBSJBQSPNFEJP t -BFSPHBDJØOEJBSJBQSPNFEJP t -BFSPHBDJØOEJBSJBQSPNFEJP de los turistas por rubro y por de los turistas por rubro y por de los turistas por rubro y por persona en una semana. persona en una semana. persona en una semana. t &MHBTUPQSPNFEJPEJBSJPQPS t &MHBTUPQSPNFEJPEJBSJPQPS t &MHBTUPQSPNFEJPEJBSJPQPS turista en comida. turista en comida. turista en comida. t -BEVSBDJØOEFMBEFTQFOTBDPO t -BEVSBDJØOEFMBEFTQFOTBDPO t -BEVSBDJØOEFMBEFTQFOTBDPO la información proporcionada. la información proporcionada. la información proporcionada.

Obtiene la expresión matemática correcta que relaciona el número de días que durará la despensa con el número de personas.

Obtiene una expresión matemática incorrecta que relaciona el número de días que durará la despensa con el número de personas.

Explica la relación y las diferencias entre proporciones y variaciones y los criterios para distinguir entre directas e inversas.

Aspecto a evaluar

Maneja correctamente tasas y razones. Calcula correctamente cantidades promedio y porcentajes. Distingue entre variaciones directas e inversas. Sabe obtener expresiones que relacionan cantidades que varían directa o inversamente.

Resultados y conclusiones

Deficiente (1)

Elabora el reporte a mano con buena caligrafía (o bien usando un procesador de texto con una impresión bien hecha), bien redactado y sin faltas de ortografía.

Presenta todos los pasos con las justificaciones solicitadas para calcular todas las cantidades y expresiones pedidas.

Dominio del tema

Satisfactorio (2)

Obtiene una expresión matemática incorrecta que relaciona el número de días que durará la despensa con el número de personas.

No explica la diferencia entre tasa y razón. No explica la relación ni las diferencias entre proporciones y variaciones ni los criterios para distinguir entre directas e inversas.

Obtiene una expresión matemática incorrecta que relaciona el número de días que durará la despensa con el número de personas.

Lista de cotejo

Lista de cotejo para el reporte de la situación didáctica “Husos horarios” del Bloque 2A. Presentación 1. Cuenta con una carátula que incluye al menos el nombre del trabajo que se realiza, el nombre de la materia, la fecha de entrega, el nombre del alumno y su matrícula. 2. La redacción es buena o por lo menos satisfactoria. 3. Tiene pocos o ningún error de ortografía. 4. Elaboró el trabajo con un procesador de texto como Word, o bien, lo hizo a mano con buena caligrafía o por lo menos entendible.

SÍ

NO

Observaciones

Grupo Editorial Patria® 49

Desarrollo

SÍ

NO

Observaciones

SÍ

NO

Observaciones

SÍ

NO

Observaciones

5. Presenta todos los pasos requeridos para determinar las cantidades pedidas siguiendo una secuencia coherente y ordenada. 6. Explica por qué se suman o restan horas hacia el Este o el Oeste, así como el significado de los signos en los husos horarios. 7. Da varios ejemplos de cómo emplear los husos horarios para determinar la hora local de un lugar a partir de la de otro. Dominio del tema 8. Calcula correctamente el valor absoluto de un número real. 9. Realiza correctamente operaciones de suma y resta de números reales con signo. Resultados y conclusiones 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.

Calculó correctamente la diferencia en horas entre México y Greenwich. Calculó correctamente la diferencia en horas entre México y Japón. Calculó correctamente la diferencia en horas entre Perú y Estados Unidos. Calculó correctamente la hora en los países que aparecen en la tabla cuando en Londres son las 10:00 a.m. Calculó correctamente la hora en Los Mochis y en Mérida cuando en Ensenada son las 9:45 a.m. Calculó correctamente el huso horario de Alaska sin ver el mapa. Calculó correctamente la hora en Alaska cuando en Perú son las 8:12 p.m.

Comentarios generales: __________________________________________________________________________ Nombre del estudiante: _______________________________________________

Fecha: ____________________

Guía de observación para el proyecto de trabajo “Hora local de arribo” y “Temperaturas en Europa” del Bloque 2A

Profesor:

Grado y grupo: Plantel: Clave:

Alumno:

Fecha de aplicación:

Nombre de la materia:

Desempeño a evaluar: Resolución de problemas que requieren realizar operaciones de números reales con signo. INSTRUCCIONES: Observe si la ejecución de las actividades que se enuncian las realiza el capacitando que se está evaluando y marcar con una “X” el cumplimiento o no en la columna correspondiente; asimismo, es importante anotar las observaciones pertinentes. No. 1 2 3 4 5 6 7 8

Acciones a evaluar Calcula correctamente la hora de arribo a Campeche a partir de la información presentada en la tabla. Determina cuál de los países de Europa que aparecen en la tabla es el más frío. Determina si hace más frío en Austria que en Polonia. Elabora una gráfica de barras de las temperaturas mínimas de menor a mayor. Elabora una gráfica de barras de las temperaturas mínimas de mayor a menor. Ubica las temperaturas mínimas en una recta numérica. Calcula la diferencia entre las temperaturas bajo cero. Calcula la diferencia entre las temperaturas extremas para cada país.

*No aplica.

REGISTRO DE CUMPLIMIENTO SÍ NO NA*

Observaciones

3

BLOQUE

Realizas sumas y sucesiones de números

8 horas

Objetos de aprendizaje Representación de relaciones entre magnitudes Modelos aritméticos o algebraicos

Competencias a desarrollar n

n

n

Construye e interpreta series y sucesiones numéricas aritméticas y geométricas, para la comprensión y análisis de situaciones reales. Formula y resuelve problemas aritméticos y algebraicos de complejidad creciente utilizando la calculadora. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos propuestos por el docente y elabora ejemplos utilizando modelos establecidos.

n

Analiza las relaciones entre dos o más variables de una serie o sucesión, relacionados a un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

n

Interpreta tablas, gráficas, diagramas y textos relacionados con series y sucesiones y utiliza para ello los símbolos matemáticos correspondientes. Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva al resolver los problemas planteados y los propuestos por ellos mismos a través del trabajo en equipo.

n

¿Qué sabes hacer ahora?

El álgebra es generosa: a menudo da más de lo que se le pide. D’Alembert Dentro de nuestro organismo, la vida media de la cafeína es de seis horas. Esto significa que al cabo de seis horas de haber ingerido una taza de café express, la cantidad inicial de cafeína presente en tu cuerpo disminuirá a la mitad. Esta nueva cantidad se volverá a reducir a la mitad al término de otras seis horas, y así sucesivamente. La gráfica permite visualizar rápidamente la cantidad de cafeína que cada hora subsiste en tu organismo, desde que bebiste una taza de esta infusión.

240

Miligramos

200 160 120 80 40 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Horas

Desempeños del estudiante al concluir el bloque n

n n n

Identifica y diferencia las series y sucesiones numéricas así como sus propiedades. Clasifica las sucesiones numéricas en aritméticas y geométricas. Determina patrones de series y sucesiones aritméticas y geométricas. Construye gráficas para establecer el comportamiento de sucesiones aritméticas y geométricas.

n

n

n

Emplea la calculadora para la verificación del resultado en los cálculos de obtención de términos de las sucesiones. Realiza cálculos obteniendo el enésimo término y el valor de cualquier término en sucesión aritmética y geométrica tanto finita como infinita mediante las fórmulas correspondientes. Soluciona problemas aritméticos y algebraicos usando series y sucesiones aritméticas y algebraicas.

52

3

BLOQUE

Realizas sumas y sucesiones de números

3

A

BLOQUE

La gráfica muestra la proyección de las ganancias anuales que, en una década, producirá un restaurante a partir de su inauguración.

Conocimientos

n " Lugar del término (n " 1, 2, 3, ...) a1 3

a2 8

a3 13

a4 18

... ...

a10 ?

La diferencia (d) entre dos términos consecutivos es constante. (Aquí d " 5). Fórmula de la sucesión El término en el lugar n se halla con:

2 Ganancia ($) (1 ↔ 1 millón)

Sucesión aritmética (an)

Apertura de un restaurante

Situación didáctica

1

0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

−1 −2 −3

Años (0 ↔ 2009)

an " a1 (n 1)d En este caso a10 " 3 (10 1)(5) " 48. Si se cuenta desde 0, se utiliza: an " a0 nd a0

a1

a2

a3

...

a10

3

8

13

18

...

?

Aquí, a10 " 3 (10)(5) " 53. Serie aritmética Es la suma de n términos de la sucesión: ¿En cuál año la ganancia ascenderá a un millón de pesos? Sn "

n(a1 an)

¿Cuál modelo algebraico posibilitaría predecir las ganancias anuales? ¿Cuál sería la ganancia en el año 2015, aplicando este modelo? ¿Es posible predecir con éste las ganancias para el año 2020?

2

Así, en el ejemplo que inicia con a1: S4 "

4(3 18) 2

" 42.

Análisis de la situación Consulta

En libros de álgebra y otras fuentes: Sucesiones y series aritméticas En Internet: www.ematematicas.net

¿A cuánto ascenderán las ganancias en esa década?

1. Explora la gráfica ¿Qué representa el número 1 en cada eje de la gráfica? ¿Qué significado tiene el signo negativo en las ganancias? ¿Y el signo positivo? ¿A qué año corresponde el valor 2 del eje vertical? ¿Qué representa la pareja (7, 0.5)? 2. Interpreta la gráfica ¿Aumentan en forma constante los valores de las ganancias en el eje vertical? ¿Indican estos valores la ganancia obtenida en ese año? ¿O la ganancia acumulada hasta ese año? ¿Influye esta interpretación en el cálculo de la ganancia obtenida durante esa década?

Grupo Editorial Patria® 53

Secuencia didáctica 1. La ganancia de 1 millón de pesos se representa en el eje vertical con el número __________ y se asocia mediante un punto de la gráfica con el número _________ del eje horizontal. Este número corresponde al año 2009 _______ " ________. 2. El valor inicial 3 en el eje vertical, correspondiente al año de apertura del negocio, 2009, indica un ______________ (ingreso/egreso) por la inversión económica. A partir de allí, de un punto a otro de la gráfica se aumenta verticalmente _________ (0.5; 1; 1.5) unidades. Por esta razón los valores 3, 2.5, 2, 1.5, …, 1.5, forman una sucesión aritmética en la que a0 " _____________________ , d " _________________. 3. La fórmula para la sucesión anterior, an " a0 nd " _________ n( _______ ) constituye el modelo algebraico para conocer la ganancia an del restaurante en el año n, donde n " 0, 1, 2, …, 9. Para conocer la ganancia en el año 2015, se sustituye en esta fórmula el valor de n " 2015 ______________ " _______________ y se obtiene _________________ pesos, que indica que hasta ese año se recupera la inversión inicial. Para el año 2020, n " ___________ ; este valor __________ (es/no es) isible en este modelo. 4. Como en el eje vertical se consignan las ganancias _________________________ ___________________ (obtenidas en el año/acumuladas hasta ese año), la última pareja de la gráfica, (9,

) indica que la ganancia en esa década fue de

w 1,000,000 " $ _________________.

Proyecto de trabajo 1. Pulseras artesanales Por elaborar pulseras con jade, un artesano cobra una tarifa Cn " 13 1.2n, de acuerdo al número de piedras n " 10, ..., 30 que éstas tengan. a) ¿Cuánto costará una pulsera con 20 piedras? b) Dibuja una gráfica que relacione el costo de la pulsera con el número de piedras que posee. c) Determina en la gráfica el costo de una pulsera con 28 piedras. Obtén el costo con el modelo algebraico y compara ambos. d) ¿Cuánto pagarías en total por un lote de pulseras, que incluya una con 17 piedras, otra con 18 y así sucesivamente hasta una con 30 piedras? ¿Cuál sería a1 en este caso? e) ¿Cuál es la diferencia en pesos, entre una pulsera y otra con una piedra de más?

Rúbrica de evaluación Haz un resumen en tu cuaderno, en el cual: 1. Respondas en forma de cuestionario las preguntas formuladas en el análisis de la situación, poniendo especial atención en la respuesta a la última pregunta. 2. Interpretes en el contexto del problema (ganancias) el significado de la diferencia d de la serie aritmética en relación con el valor en el eje vertical. Considera en tu análisis la última respuesta sobre la interpretación de la gráfica y el hecho de que Ganancia " ingreso inversión. 3. Agregues, al término de tus respuestas a la secuencia didáctica, una nota con una reflexión acerca de por qué la serie aritmética para los 10 términos de la sucesión no proporciona las ganancias del restaurante en esa década.

54

3

BLOQUE

Realizas sumas y sucesiones de números

Segmento informativo

3A

Sucesiones y series aritméticas Las sucesiones aritméticas son secuencias ordenadas de números que tienen todos con su antecesor la misma diferencia (d). Sucesión

1,

Observaciones importantes 1. Los números de la sucesión son sus términos. 2. La diferencia común es la resta de un número con el anterior 3 1 " 2; 5 3 " 2; etc. 3. Una sucesión es finita si tiene n términos. En caso contrario es infinita.

2

(n 1 es el lugar n que ocupa el término, menos 1).

2. Sabiendo que an " a1 d (n 1) ¿Cómo obtendrías la segunda fórmula para Sn a partir de la primera?

2

11, … 2

Diferencia

Tercero

Cuarto

1 2(1) " 3,

1 2(2) " 5,

1 2(3) " 7, …

a5 " 1 2(4) " 9

es el quinto término

an " 1 2(n 1)

es el n-ésimo término

Sucesión aritmética Sus términos tienen la forma: a1 ,

a2 ,

a3 ,

a4 , …

an , …

a1 ,

a1 d,

a1 2d,

a1 3d, … ,

a1 (n 1)d, …

Si sumas los términos de una sucesión finita obtienes una serie. Se denota Sn. Sucesión 1,

2,

3,

Serie

4,

5.

1 2 3 4 5 " 15 " S5

Es posible hallar el valor de una serie aritmética sin efectuar la suma:

Serie aritmética Su valor Sn se calcula con: a) El primer término y el último

b) El primer término y d

(a1 an )n

(2a1 (n 1)d)n

2

2

Ejemplo 1 Fíjate en lo siguiente...

2

9,

Al denotar los términos con una variable, un subíndice indica su lugar: primer término a1, segundo término a2, n-ésimo término an (n natural).

Verifica tu avance 1. ¿Forman los números pares una sucesión aritmética? Explica.

2

7,

Segundo

Término n-ésimo de una sucesión aritmética

Un término " el primero diferencia n 1 veces

5,

Sumando la diferencia a cada número obtienes el siguiente; sumándola varias veces al primero, obtienes cualquiera de ellos:

4. El término en el lugar n se llama n-ésimo término. La expresión para obtenerlo es:

an " a1 d (n 1)

3,

Ejemplo 1 Escribiendo sucesiones aritméticas

1. Los valores aumentan si d es positivo y disminuyen si d es negativo.

A partir del primer elemento y la diferencia común, escribe los cinco primeros términos de cada sucesión.

2. Cualquier número real puede ser un término en una sucesión.

a) a1 " 1, d " 3.

b) a1 " 2, d " 1

Solución Verifica tu avance ¿De qué depende que una sucesión aritmética sea creciente o decreciente?

a) 1, 4, 7, 10, 13,… b) 2, 1, 0, 1, 2, … c) 23.5, 25, 26.5, 28, 29.5, …

c) a1 " 23.5, d " 1.5

Grupo Editorial Patria® 55

Ejemplo 2 Obteniendo el n-ésimo término

Ejemplos 2 y 3

Halla la fórmula para el n-ésimo término de cada sucesión. a) Primer término a1 " 1, d " 3.

Observaciones importantes

b) Tercer término a3 " 15, d " 4.

Solución a) an " a1 d (n 1)

Fórmula



" 1 3(n 1)

Sustituyendo a1 por 1 y d por 3



" 1 3n 3

Propiedad distributiva



" 3n 2

Simplificando

Los términos de la sucesión son: 1, 4, 7, 10, 13,…, 3n 2,…

1. La expresión para el n-ésimo término es la fórmula que describe a la sucesión. 2. Dando a n los valores naturales de 1 en adelante generas los términos de la sucesión. 3. En la fórmula para el n-ésimo término figuran cuatro números: a1 Primer término, an n-ésimo término, n Número del término, d Diferencia común Para obtener uno de ellos, debes conocer los otros tres (como en el ejemplo 2b).

b) Para escribir el n-ésimo término se requieren a1 y d. Se desconoce a1. an " a1 d (n 1)

Fórmula

a3 " a1 4 (3 1)

Sustituyendo n por 3 y d por 4

15 " a1 4(2)

Sustituyendo a3 por 15 y restando

7 " a1

Verifica tu avance ¿Es mejor sumar la diferencia o usar la fórmula del n-ésimo término para obtener términos de una sucesión aritmética?

Restando 8 en ambos lados

Por tanto an " 7 4(n 1) " 4n 3. Los términos de la sucesión son: 7, 11, 15, 19, … , 4n 3, …

Ejemplo 3 Utilizando el n-ésimo término

Fíjate en lo siguiente... La fórmula para el n-ésimo término ite cualquier valor real, pero genera sucesiones sólo con números naturales.

a) Halla el octavo término de la sucesión cuyo n-ésimo término es an " 3n 2. b) Escribe los primeros tres términos de la sucesión an " 4n 3.

Solución a) En la expresión an " 3n 2 se sustituye n por 8. Así, a8 " 3(8) 2 " 22. b) Se reemplaza n por 1, 2, 3, en la fórmula de la sucesión an " 4n 3. a1 " 4(1) 3 " 7, a2 " 4(2) 3 " 11, a3 " 4(3) 3 " 15.

Ejemplo 4 Determinando el valor de una serie Obtén la suma de los términos de la sucesión 1, 2, 3, …, 100.

Solución La sucesión es aritmética pues los términos difieren en 1; n " 100, an " 100. S100 " 1 2 3 … 100 " "

(a1 an )n 2 (1 100)100 2

" (101)(50) " 5,050 Escribimos 1 2 3 … 100 " 5,050.

Fórmula Sustituyendo

Karl Friedrich Gauss 1777-1855 De humilde origen alemán, Gauss es considerado uno de los más grandes matemáticos (se le llama el Príncipe de las matemáticas) por sus abundantes e importantes aportaciones, como la demostración del Teorema fundamental del álgebra en la teoría de ecuaciones. Muy sagaz desde niño, halló en su escuela la suma del 1 al 100 con un razonamiento que, en esencia, resume la fórmula de la serie aritmética: 1

2

3

...

98

99 100

101

Simplificando

50 pares suman 101 50 veces 101 " 50 w 101 " 5,050.

56

3

BLOQUE

Realizas sumas y sucesiones de números

Ejemplo 6

Ejemplo 5 Acomodo de productos En un almacén acomodas botes de refrescos formando un prisma triangular truncado, con 24 botes en la base de la cara vertical, 30 escalonados a lo largo y 8 capas de alto.

Fíjate en lo siguiente... 1. Los productos y los cocientes son distintos en las columnas de la tabla, por lo que el modelo no es de variación proporcional.

¿Cuántos refrescos utilizaste en total?

2. En la tabla, el primer nivel (1) corresponde a la planta baja, el segundo nivel al primer piso, etc. Esto se aplica al modelo. 3. Se usa la segunda fórmula de una serie porque evita hallar el último término a13 (basta con a1). 4. De la fórmula general Sn "

(2a1 (n 1)d)n

2 obtienes el modelo particular 75n2 425n.

Solución

17 18 19 20 21 22 23

S8 "

30

2. Obtén el valor de la serie para n " 13 términos, con el modelo 75n2 425n.

Información histórica 1. Las series y sucesiones han sido estudiadas desde épocas muy antiguas. En Grecia, los pitagóricos se ocuparon de los números que se representan con figuras geométricas: 1 3 6 T Triangulares

1 6 12 Rectangulares

1 4 9 Cuadrados

2

"

(17 28)(8) " 164 2

Como hay 30 secciones verticales, utilizaste en total 30 w 164 " 4,920 botes de refrescos.

Ejemplo 6 Limpieza de cristales en edificios Una compañía que realiza limpieza de ventanas en edificios cobra una cuota fija de $500 por el servicio en planta baja y aumenta este costo $150 por cada nivel hacia arriba. a) Escribir un modelo para determinar el costo por limpieza de las ventanas de un piso, según el nivel en que éste se encuentre. ¿Cuánto costará la limpieza en el piso 15? b) ¿Cuánto cobrará la compañía por un edificio de 12 pisos? Obtener un modelo para el costo por limpieza de un edificio con n niveles.

Solución a) Pisos n Costo $

1 2 3 4 500 650 800 950 La diferencia entre el costo por un piso y el anterior es $150. Siendo una sucesión aritmética, el n-ésimo término da el costo para el piso n:

1 5 12 Pentagonales

2. Existen relaciones y propiedades de los números figurados (o poligonales) que pueden estudiarse geométrica o algebraicamente. Un cuadrado es la suma de dos triangulares. Un pentagonal: suma de triangular y cuadrado. Las diferencias sucesivas de triangulares son los naturales. 3. Ninguna de estas sucesiones es aritmética.

(a1 an )n

24

Verifica tu avance 1. Calcula el término a13 y halla el valor de la serie con la fórmula (a1 an )n/2.

En cada sección vertical hay una sucesión aritmética de botes cuya suma es 17 18 … 24, es decir:

30

an " 500 150(n 1) " 150n 350. El piso 15 se halla en el nivel 16. El costo será a16 " 150(16) 350 " $2,750. b) El costo total es la suma de los costos por nivel. Se halla la serie aritmética:

S13 " Sn "

(2a1 (n 1)d )n 2 (2a1 (n 1)d )n 2

" "

(2 w 500 12 w 150)13 " $18,200. 2

(2 w 500 (n 1)150)n " 75n2 425n. 2

Grupo Editorial Patria® 57

Autoevaluación 3A En los ejercicios 1 a 3, a) indica cuáles sucesiones son aritméticas; b) obtén la diferencia común d. 2. 5, 8, 11, 14

1. 5, 9, 13, 21

3. 1, 4, 9, 16

En los ejercicios 4 a 6 escribe los cinco primeros términos de la sucesión. 4. an " 4n 1

5. an " 3n 2

6. an " 5n

En los ejercicios 7 a 12, a) halla la fórmula para el n-ésimo término; b) obtén los cuatro primeros términos de cada sucesión, y su suma. 7. a1 " 7, d " 3 10. a6 " 4, d "

12.

n an

1 1.5

8. a1 " 5, d " 5

1 a 3. Compara las restas sucesivas de dos términos consecutivos. 4 a 6. Revisa el ejemplo 3. Generaliza. ¿Quién es d en la fórmula? 7 a 12. a) Revisa el ejemplo 2. b) Revisa el ejemplo 3 y usa las fórmulas para una serie. En 11 y 12 obtén d (en el 12 usa an " a1 d (n 1)). 13. Usa la primera fórmula para una serie.

1 2

2 ?

9. a4 " 10, d " 2

Sugerencias para la autoevaluación 3A

11.

3 ?

n

1

2

3

4

an

?

13

22

?

4 3

14. Halla el primer término y el último. 15. a) Halla la fórmula del n-ésimo término. Inicia con n " 0; n es natural. A veces conviene que los naturales inicien en 0. b) Haz una tabla.

En los ejercicios 13 y 14, obtén la suma de los términos de cada sucesión. 13. 2, 4, 6, 8, …, 100.

14. an " 2n 1; 30 primeros términos.

16. Usa cualquiera de las fórmulas para una serie aritmética. Revisa el ejemplo 4.

15. Telefonía celular Por el primer minuto de una llamada la compañía te cobra $ 5; por cada minuto adicional hace un cargo extra de $ 0.65. Obtén:

17. a) n es el lugar del término. Así, n " 3 indica el tercer número triangular:

a) Un modelo para el pago de una llamada con n minutos adicionales.

S3 " 1 2 3 " 6.

b) Una lista de pagos por llamada con 0 hasta 10 minutos adicionales.

b) Ejemplo: el tercer número cuadrado es: S3 " (1 2) (1 2 3) " 9. c) Utiliza la fórmula para una serie aritmética (número triangular n: 1 2 … n). El número cuadrado n-ésimo es la suma de los números triangulares n y n 1.

16. Sala de conciertos ¿Cuántos lugares posee la sala de conciertos, si cada fila aumenta dos asientos? 124 asientos

20 filas

86 asientos

17. Números figurados Asigna valores a la fórmula Sn para la serie de los naturales y comprueba que: a) S1, S2, S3, S4, S5, …

son los números triangulares.

b) S1, S1 S2, S2 S3, S3 S4, …

son los números cuadrados.

c) Escribe el n-ésimo término de los números triangulares y cuadrados.

58

3

BLOQUE

Realizas sumas y sucesiones de números

3

B

BLOQUE

Situación didáctica

Bienes raíces

El valor comercial de una casa suele aumentar con el paso del tiempo, debido al aumento del valor tanto de la construcción como del terreno.

Conocimientos Sucesión geométrica (an) n " Lugar del término (n " 1, 2, 3, ...) a1 2

a2 4

a3 8

... ...

a4 ?

La razón (r) entre dos términos consecutivos es constante. (Aquí r " 2). Fórmula de la sucesión El término en el lugar n se halla con:

an " a0 rn

Precio

En este caso, a4 " 2(24 – 1) " 2(23) "16. Para conteos desde 0, se utiliza:

(1 ↔ 1,000)

2,000

an " a1 rn 1

La tabla consigna los valores que alcanzó una casa durante el periodo 2007-2009 mediante un incremento promedio de 12% anual. Esta misma información se muestra en la gráfica adjunta.

1,600 1,200 800 400 0

a0

a1

a2

1

3

9

a3

...

a4

27

...

?

1

2 3 4 Años (0 ↔ 2007)

5

Aquí, r " 3; a4 " 1(3 ) " 1(81) " 81.

Año 2007

Incremento del precio (miles de $) 925

925

Serie geométrica finita

2008

925 0.12(925)

925(1 0.12)

925(1.12)1

2009

925 0.12(925) 0.12(925 0.12(925))

925(1 0.12)

925(1.12)2

4

Es la suma de n términos de la sucesión: © 1 rn ¹ Sn " a1 ª º «1r»

r|1

Así, en el ejemplo que inicia con a1: © 1 24 ¹ © 15 ¹ S4 " 2 ª º " 2ª º " 30 «12» « 1 »

Consulta En libros de álgebra y otras fuentes: Sucesiones y series geométricas En Internet: www.ematematicas.net

Valor 925(1.12)0 2

Escribe un modelo algebraico para determinar el valor de la casa en cualquier año n. Suponiendo que este modelo proporciona los valores para una década, ¿cuánto valdrá la casa en 2017?

Análisis de la situación 1. Interpreta los datos y la gráfica ¿Qué significa un incremento promedio de 12% anual? ¿Qué cantidad de dinero representa 925? ¿Cuál fue el precio de la casa al inicio del periodo? 2. Explora la tabla ¿Por qué en el primer renglón de la tabla se consideran iguales 925 y 925(1.12)0? ¿Cómo se obtuvo 925(1 0.12), a partir de 925 0.12(925)? ¿Cómo se obtuvo 925(1 0.12)2 de la expresión que le antecede? ¿Observas un patrón de comportamiento, en la última columna? Si en la tabla reemplazas los años por 0, 1, 2, ¿observas alguna relación entre la primera y última columnas? ¿Sugieres algún modelo algebraico?

Grupo Editorial Patria® 59

Secuencia didáctica Método 1 1. Si en la tabla aplicamos la equivalencia entre números y años utilizada en la gráfica, se observa una regularidad en los tres primeros renglones. De acuerdo con ésta, para los dos siguientes años (2010 y 2011) se tendrá:

Rúbrica de evaluación Año 0 1 2

Valor 925(1.12)0 925(1.12)1 925(1.12)2

2. Generalizando esta regularidad, se obtiene el patrón de comportamiento: para el año n, el valor an de la casa será: an" 925( ___________ ) . Éste constituye nuestro modelo algebraico. Método 2 1. Si exploramos los cocientes de los términos sucesivos de la última columna de

Elabora un reporte, en el cual: 1. Respondas las preguntas formuladas en el análisis de la situación. 2. Escribas la secuencia didáctica con las respuestas y operaciones correspondientes. 3. Expliques las características y diferencias de las sucesiones aritméticas y geométricas. 4. Describas la forma en que se distribuyen gráficamente los puntos de una sucesión geométrica y los de una sucesión aritmética, y por qué son puntos aislados.

la tabla, observamos que éstos son ______________ (iguales/distintos) y que la 925(1.12) sucesión es ______________ (aritmética/geométrica): " ___________ 925 2 3 925(1.12) 925(1.12) " ___________ . " ___________ 925(1.12) 925(1.12)2 2. Aplicando la fórmula del n-ésimo término para esta sucesión, con a0 " _______ , r " ________ obtenemos an " ________ ( _________ ) (n " 0, ... ,9). Para el año 2017, n " 2017 ___________ " ___________ . Usando este valor en la fórmula anterior, sabremos que la casa costará $ ___________ .

Proyecto de trabajo 1. Mercadotecnia En las ventas multinivel las compañías reclutan personal pidiendo a cada una que consiga, por ejemplo, cuatro promotores, sucesivamente. a) Elabora un diagrama de árbol para una red de cuaternas, similar al que se muestra para ternas y registra la información en una tabla.

Nivel 0

Socios 30

1

31

2

32

b) Construye un modelo algebraico para predecir la cantidad de personas que habrá en el n-ésimo nivel de desarrollo de la red. c) ¿Cuántos socios distribuidores contendrá la red en el nivel 20? ¿Superaría esta cantidad a los habitantes de tu ciudad? 2. Niveles de cafeína La vida media de la cafeína en tu organismo es de seis horas. Una taza de café express contiene 200 mg de cafeína.

Ciclos

0

1

2

3

Horas

0

6

12

18

Cafeína (mg)

a) Completa la tabla de valores de la derecha; a0 " ________ , r " ________ .

200

b) ¿Cuántas horas hay entre un ciclo y otro? Escribe un modelo algebraico (an " ?) para saber cuánta cafeína retienes después de n ciclos de haber tomado una taza de café.

150

c) ¿Cuánta cafeína subsiste en tu cuerpo después de 24 horas (n " 4 ciclos)? Verifícalo con la gráfica, la tabla y el modelo algebraico. d) En la gráfica: ¿cuántos miligramos de cafeína retienes en 15 horas?

200

50

100 50 0

1

2

3

4

5

6

60

3

BLOQUE

Realizas sumas y sucesiones de números

3B

Segmento informativo

Sucesiones y series geométricas Las sucesiones geométricas son secuencias ordenadas de números que tienen todos con su antecesor la misma razón (r | 0). Sucesión

4,

Fíjate en lo siguiente... 1. La razón común es el cociente de un número y el anterior:

2



w2 4

w2 8

w2 16

w2 32

16, 2

2

Razón

Tercero

Cuarto

(4)(2) " 8,

(4)(2)(2) " 16,

(4)(2)(2)(2) " 32 …

En general, la razón aparece como factor en el n-ésimo término, n 1 veces. es el tercer término

n 1

an " (4) 2

64 ...

es el n-ésimo término

Sucesión geométrica

Término n-ésimo de una sucesión geométrica

Sus términos tienen la forma:

an " a1r n1

a2 ,

a1 , a1 ,

a3 , 2

a1r ,

a1 r ,

a4 , … ,

an , … a1 rn1, …

3

a1 r , … ,

La suma Sn de los términos de una sucesión geométrica es una serie.

Verifica tu avance ¿Forman una sucesión geométrica los múltiplos de un número? Obtén cocientes.

2

64 …

Segundo

a3 " (4) 22 " 16

Un término " El primero por la razón a la n 1. (n 1 es el lugar n que ocupa el término, menos 1.)

32,

Multiplicando cada número por la razón obtienes el siguiente; multiplicándola varias veces por el primero, obtienes cualquiera de ellos:

4 { 2 " 2; 16 { 8 " 2, … 2. Multiplicando sucesivamente por la razón obtienes la sucesión geométrica:

8,

Sucesión

Serie

3, 6, 12, 24, 48

3 6 12 24 48 " S5 " 93

Las sucesiones geométricas y sus series pueden ser finitas o infinitas.

Series geométricas Se obtienen con el primer término y la razón. © a1 ¹ ª º (1 rn) «1 r»

Finitas r | 1

Ejemplo 1

Infinitas

a) Como r " 2 , es decir, r # 1, la sucesión aumenta de valor (es creciente).

si €r€ < 1

Ejemplo 1 Escribiendo sucesiones geométricas

b) Aquí la razón r " 1 es negativa (r ! 0); la sucesión es alternante (en signo).

Escribe los cinco primeros términos de cada sucesión.

c) La sucesión es decreciente porque r ! 1.

a) a1 " 1, r " 2

¿De qué depende que una sucesión geométrica sea creciente o decreciente?

1r

La suma infinita no existe si €r€ ≥ 1.

Fíjate en lo siguiente...

Verifica tu avance

a1

b) a1 " 2.5, r " 1

Solución a) 1, 2, 4, 8, 16, … b) 2.5, 2.5, 2.5, 2.5, 2.5, … c) 5,

5 5 5 5 , , , , ... 2 4 8 16

c) a1 " 5; r "

1 2

Grupo Editorial Patria® 61

Ejemplo 2 Obteniendo y usando el n-ésimo término

Ejemplo 2

Halla la fórmula para el n-ésimo término de cada sucesión. Escribe los primeros cuatro términos y el n-ésimo. a) Primer término a1 " 2, r " 1.5.

b) Cuarto término a4 " 81, r " 3.

Solución

" 2(1.5)

1. Con a1 y r también puedes hallar términos multiplicando sucesivamente por la razón: a) 2, 2 w 1.5 " 3, 3 w 1.5 " 4.5, …

an " a1 r n 1

a)

Fíjate en lo siguiente...

b) 3, 3 w 3 " 9, 9 w 3 " 27, …

Fórmula

n 1

2. Puedes simplificar: an " 3(3n 1) " 3n.

Sustituyendo a1 por 2 y r por 1.5

Los términos de la sucesión son:

Verifica tu avance

2, 2(1.5)1, 2(1.5)2, 2(1.5)3, …, 2(1.5)n 1, …

Con la fórmula para an obtén el valor del término a8 en cada sucesión del ejemplo 2.

b) Para escribir el n-ésimo término se requieren a1 y r. Se desconoce a1. an " a1 r n 1 a4 " a1 (3

Fórmula

4 1

)

81 " a1 (33) 3 " a1 Por tanto an " a1r

Sustituyendo n por 4 y r por 3

Ejemplos 3 y 4

Sustituyendo a4 por 81 y restando

Estas expresiones son equivalentes:

Dividiendo entre 27 en ambos lados n 1

a1

n 1

" 3(3 1

1r

). Los términos de la sucesión son: 2

3

n 1

4

3, 3(3) , 3(3) , 3(3) , 3(3) , …, 3(3)

,…

b)

Solución

Información histórica

1 1 1 1 "? 2 4 8 16

4

©1¹ 1ª º n «2» © 1 r ¹ ©1¹ 15 " S4 " a1 ª º"ª º 1 16 « 1 r » «2» 1 2

© a1 ¹ 1(1 27) S7 " ª º (1 rn) " " 128 12 «1 r»

Ejemplo 4 Determinando series geométricas infinitas a) 1 2 4 8 16 32 64 … " ? 1 1 1 1 ... " ? 2 4 8 16

En 1851, Bolzano publicó un libro titulado Las paradojas del infinito, donde comentaba los resultados contradictorios de series geométricas infinitas como a a a a a a … , que, según se agrupara, daba tres resultados distintos:

3. S " a (a a a a …) " a S

a) a1 " 1, r " 2. No existe la suma porque €2€ v 1.

1 1 ,r" 2 2

Las paradojas que planteó Zenón de Elea en la antigua Grecia involucraban series infinitas. Todavía en la segunda mitad del siglo xix éstas no estaban resueltas.

1. (a a) (a a) (a a) …. " 0 2. a (a a) (a a) (a a) …. " a

Solución

b) a1 "

1r

© 1 rn ¹ º " a1 ª «1r»

1 1 b) a1 " ; r " 2 2

a) a1 " 1, r " 2

b)

a1 (1 rn)

Sn " Suma finita; S∞ " Suma infinita

Ejemplo 3 Hallando series geométricas finitas a) 1 2 4 8 16 32 64 " ?

(1 rn) "

Sh "

a1 1r

"

©1¹ ª º «2» 1

1 2

"1

S " a/2

En 1854, el matemático alemán Riemann aclaró muchos aspectos de la convergencia de las series. Series como la anterior se denominan oscilantes porque no tienen un valor fijo. Actualmente se acepta que tales sumas no existen, pues no están definidas.

62

3

BLOQUE

Realizas sumas y sucesiones de números

Zenón de Elea

Ejemplo 5 Juegos infantiles

490-430 a.C. Discípulo del filósofo Parménides, fundamentó con paradojas (razonamientos que encierran una contradicción) las tesis de que el movimiento es ilusorio y por tanto la realidad es invariable.

Alzas a tu hermanita en el columpio lo más alto posible y la sueltas una sola vez para evitar impulsarla a cada momento. En cada 3 regreso el columpio recorre de la distan4 cia anterior, hasta que, con el enojo de tu hermanita, lo detienes después de 15 oscilaciones. Si en el primer envío recorrió 4.8 m:

Sus tres más famosas paradojas son: 1. Aquiles y la tortuga Si ésta sale con una ventaja, aquél no la alcanzará nunca, ya que a) deben recorrer los mismos puntos del camino; b) cada vez que Aquiles llega a un punto donde pasó la tortuga ésta ya pasó a otro debido a que se está moviendo (aunque acorte la distancia).

a) ¿Cuáles fueron las primeras cinco distancias recorridas por el columpio? b) ¿Cuánto avanzó el columpio en el décimo vaivén? c) ¿Cuántos metros viajó en total tu hermanita?

Solución a) Movimiento Distancia m 2. La flecha en movimiento En cada instante debe estar en un sitio. Si en todos los instantes está en un sitio fijo, ¡está inmóvil!

3. La dicotomía Para recorrer un tramo primero debes alcanzar su mitad. Como esto ocurre para cada nuevo tramo, ¡el movimiento nunca inicia! A

FE D

C

1 4.8

2 3.6

w 0.75

w 0.75

3 2.7

4 2.03

w 0.75

5 1.52

w 0.75

b) Modelo para el n-ésimo movimiento: an " a1r n 1 " 4.8 (0.75)n 1 Por tanto: a10 " 4.8 (0.75)9 " 0.36 m. En el décimo vaivén avanzó 36 cm. c) La sucesión es finita, con a1 " 4.8, r " 3/4 " 0.75, n " 15. © a1 ¹ 4.8(1 0.7515) S15 " ª º (1 rn) " " 18.94 m. Viajó cerca de 19 metros. 1 0.75 «1 r»

Ejemplo 6 Fibras ópticas

B

La luz que conduce una fibra óptica se refleja miles de veces en su interior y pierde a lo largo de un kilómetro 25% de su intensidad. Las superficies más brillantes, como los espejos planos, conservan en cada reflexión externa 97% de la intensidad de la luz. a) ¿Cuánta luz transmiten después de 100 reflexiones dos filas de espejos planos colocados frente a frente?

¿Punto inicial?

Ampliando el conocimiento 1. Las fibras ópticas son filamentos transparentes de unas 10 micras de diámetro, hechos con vidrio y plástico especial, que transmiten la luz mediante reflexiones en su interior. 2. Un haz de fibras de 1 cm2 de diámetro puede contener cerca de 50,000 fibras, que se recubren con una película especial para evitar la transmisión entre ellas. 3. Por su aislamiento, ligereza y flexibilidad las fibras ópticas han extendido su uso a la telefonía y a la iluminación decorativa y de fibroscopios para sitios recónditos. 4. Para transmitir imágenes unas fibras mandan un haz luminoso al objeto y otras recogen su reflexión formando en una pantalla una imagen por puntos (uno por cada fibra). 5. En medicina, los endoscopios, artroscopios, cardioscopios, etc., son fibroscopios a los que se adicionan dispositivos para exploración, toma de muestras y cirugías.

b) Haz un modelo algebraico para la intensidad de luz que conserva una fibra óptica de n kilómetros de longitud. Calcula ésta para n " 2 km.

Solución

I

I1

I2

0.97I 0.972I

I3 0.973I

a) I1 " 0.97 I, r " 0.97. La intensidad In después de n reflexiones en los espejos es: In " (0.97 I) (0.97)n 1 " I (0.97)n. Por tanto, I100 " I (0.97)100 " 0.048 I. Después de 100 reflexiones, sólo hay una transmisión del 0.048 " 4.8%. b) La intensidad In de la luz en la fibra óptica al recorrer n kilómetros es: In " (0.75I)(0.75)n 1 " I (0.75)n. Para n " 2 km: I2 " I (0.75)2 " 0.56 I. Después de miles de reflexiones en la fibra de 2 km, la transmisión es de 56%.

Grupo Editorial Patria® 63

Autoevaluación 3B En los ejercicios 1 a 4, determina cuáles sucesiones son geométricas. 1 3 9 27 , , , ... 4. 1, 4, 9, 16, ... 1. 2, 4, 6, 8, ... 2. 3, 9, 27, 81, ... 3. , 2 10 50 250 En los ejercicios 5 a 7, obtén los primeros cinco términos de cada sucesión. 5. an " 6(1)

n

6. an " 1(0.5)

7. an " 1.5(2)

n

n

En los ejercicios 8 a 10, a) Halla la fórmula para el n-ésimo término y obtén el séptimo término de cada una. b) Escribe los primeros cinco términos. 3 10. a4 " 2, r " 0.5 9. a1 " 2, r " 8. a1 " 15, r " 1 2 En los ejercicios 11 a 13 halla la suma Sn de la serie finita. 11. 8 8 8 8

12. an " 6(1.8)n, S3 " ?

13. 4, 8, 16, 32

En los ejercicios 14 a 16, halla la suma S ∞ de la serie infinita (si existe). 1 1 1 1 , ,… 15. 9, 3, 1, , … 16. an " 6(1.8)n 14. 1, , 4 16 64 3 17. Notación decimal Encuentra la suma de la serie infinita (n " 1, 2, 3,…). 9 9 9 2 3 ... b) an " 3(0.1)n c) an " 27(0.01)n a) 0.999 " 10 10 10 18. Antepasados Se dice que antes había más gente porque cada persona tiene dos padres, cuatro abuelos, ocho bisabuelos, etc. a) Halla un modelo para la cantidad de antepasados; b) ¿cuántos tenías hace ocho generaciones?

Sugerencias para la autoevaluación 3B 1 a 4. Halla las razones sucesivas. ¿Coinciden? 5 a 10. Revisa los ejemplos 1 y 2. 11 a 13. En 11 no se aplica la fórmula ¿Por qué? 12 y 13, revisa los ejemplos 2 y 3. 14 a 16. Revisa ejemplo 4 y recuadro inicial. 17. En los tres casos puedes usar la fórmula ¿Por qué? En b y c escribe unos términos. Generaliza. ¿Cómo son los periodos? 18. Haz un diagrama.

4a 3a 2a 1a

19. En cada etapa los arcos se dividen en dos. Explora más lados y divisiones de los arcos. 20. Una cámara de aire separa las paredes interior y exterior. a) Serie infinita columna 1. b) y c) Revisa el ejemplo 6. 1/4 1/16 1/64

1/2 / 1/4 /4 1/ 1/8 1/16 16 1 1/32

1 1/2 1/16 1/32 /

19. Geometría Obtén una fórmula para el número de lados según la etapa n. a)

b)

Ejercicios adicionales 1. Usa el modelo del ejercicio 18 para explicar la difusión de un rumor.

20. Temperatura Las paredes interior y exterior de un termo reflejan la mitad de la onda de calor (o frío) que choca contra ellas y dejan escapar la otra mitad. a) ¿Cuánto calor (o frío) dejan salir ambas paredes al exterior? b) Escribe un modelo para la n-ésima reflexión y otro para la n-ésima radiación exterior.

2. Usa la serie del ejemplo 4b) para resolver la paradoja de la dicotomía de Zenón. 3. Fractal Copo de nieve Comprueba para n " 3, 4, 5, … que an " 24(3)n 1, cuantifica los “dedos” entrantes y salientes en la etapa n.

1

2

24

72

3

4

64

3

BLOQUE

Realizas sumas y sucesiones de números

Instrumentos de evaluación Rúbrica

Rúbrica para evaluar el reporte de la situación didáctica “Bienes raíces” del Bloque 3B. Nombre del alumno:

Nivel

Presentación

Aspecto a evaluar

Desarrollo

Excelente (4)

Bueno (3) Elabora el reporte a mano con buena caligrafía (o bien usando un procesador de texto con una impresión bien hecha), redacción regular y sin faltas de ortografía.

Elabora el reporte a mano con regular caligrafía (o bien usando un procesador de texto con una impresión regular), redacción regular y pocas faltas de ortografía.

Elabora el reporte a mano con mala caligrafía, mal redactado y con muchas faltas de ortografía.

Explica las características y diferencias de las sucesiones aritméticas y geométricas.

Presenta todos los pasos con las justificaciones solicitadas para calcular todas las cantidades y expresiones pedidas.

Presenta todos los pasos para calcular todas las cantidades y expresiones pedidas pero sin las justificaciones solicitadas.

Sólo presenta resultados sin dar ninguna justificación.

Explica las características y diferencias de las sucesiones aritméticas y geométricas.

No explica las características y diferencias de las sucesiones aritméticas y geométricas.

No describe la forma de distribución gráfica de los puntos de una sucesión geométrica y una aritmética.

No describe la forma de distribución gráfica de los puntos de una sucesión geométrica y una aritmética.

Identifica correctamente sucesiones y series aritméticas y geométricas.

Identifica correctamente sucesiones y series aritméticas y geométricas.

No identifica correctamente sucesiones y series aritméticas y geométricas.

Calcula correctamente la diferencia o la razón de sucesiones aritméticas y geométricas.

No calcula correctamente la diferencia o la razón de sucesiones aritméticas y geométricas.

No calcula correctamente la diferencia o la razón de sucesiones aritméticas y geométricas.

No calcula correctamente porcentajes.

No calcula correctamente porcentajes.

No calcula correctamente porcentajes.

Obtiene la expresión matemática correcta del valor de la casa para cualquier año n y con ella calcula incorrectamente el valor que tendrá la casa en el año 2017.

Obtiene una expresión matemática incorrecta del valor de la casa para cualquier año n debido a que calculó mal a0 o r y con ella calculó incorrectamente el valor que tendrá la casa en el año 2017.

Obtiene una expresión matemática incorrecta del valor de la casa para cualquier año n debido a que calculó mal a0 y r y con ella calculó incorrectamente el valor que tendrá la casa en el año 2017.

Describe la forma de distribución gráfica de los puntos de una sucesión geométrica y una aritmética.

Identifica correctamente sucesiones y series aritméticas y geométricas. Calcula correctamente la diferencia o la razón de sucesiones aritméticas y geométricas. Calcula correctamente porcentajes.

Resultados y conclusiones

Deficiente (1)

Elabora el reporte a mano con buena caligrafía (o bien usando un procesador de texto con una impresión bien hecha), bien redactado y sin faltas de ortografía.

Presenta todos los pasos con las justificaciones solicitadas para calcular todas las cantidades y expresiones pedidas.

Dominio del tema

Satisfactorio (2)

Obtiene la expresión matemática correcta del valor de la casa para cualquier año n y con ella calcula correctamente el valor que tendrá la casa en el año 2017.

No explica las características y diferencias de las sucesiones aritméticas y geométricas. No describe la forma de distribución gráfica de los puntos de una sucesión geométrica y una aritmética.

Lista de cotejo

Lista de cotejo para el reporte de la situación didáctica “Apertura de un restaurante” del Bloque 3A. Presentación

SÍ

NO

Observaciones

SÍ

NO

Observaciones

1. Cuenta con una carátula que incluye al menos el nombre del trabajo que se realiza, el nombre de la materia, la fecha de entrega, el nombre del alumno y su matrícula. 2. La redacción es buena o por lo menos satisfactoria. 3. Tiene pocos o ningún error de ortografía. 4. Elaboró el trabajo con un procesador de texto como Word, o bien, lo hizo a mano con buena caligrafía o por lo menos entendible. Desarrollo 5. Contesta correctamente las preguntas de las secciones “Explora la gráfica” e “Interpreta la gráfica”. 6. Presenta todos los pasos requeridos para determinar las cantidades pedidas siguiendo una secuencia coherente y ordenada.

Grupo Editorial Patria® 65

7. Explica el significado de la diferencia d de la serie aritmética en el contexto del problema. 8. Explica claramente por qué la serie aritmética para los 10 primeros términos de la sucesión no proporciona las ganancias del restaurante en la década indicada. Dominio del tema

SÍ

NO

Observaciones

SÍ

NO

Observaciones

9. Calcula correctamente el enésimo término de una sucesión aritmética. 10. Calcula correctamente la serie aritmética para los n primeros términos de la sucesión aritmética. 11. Interpreta correctamente la escala de los ejes coordenados en una gráfica. Resultados y conclusiones 12. Determinó correctamente en qué año la ganancia es de un millón de pesos. 13. Determinó correctamente el modelo algebraico para predecir las ganancias anuales. 14. Calculó correctamente la ganancia en el año 2015. 15. Calculó correctamente la ganancia en el año 2020. 16. Calculó correctamente la ganancia para la década indicada en la gráfica.

Comentarios generales: __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ Nombre del estudiante: _______________________________________________

Fecha: ____________________

Guía de observación para el proyecto de trabajo “Pulseras artesanales” del Bloque 3A

Profesor:

Grado y grupo: Plantel: Clave:

Alumno:

Fecha de aplicación:

Nombre de la materia:

Desempeño a evaluar: Cálculo de sucesiones y series aritméticas. INSTRUCCIONES: Observe si la ejecución de las actividades que se enuncian las realiza el capacitando que se está evaluando y marcar con una “X” el cumplimiento o no en la columna correspondiente; asimismo, es importante anotar las observaciones pertinentes. No.

Acciones a evaluar

1

Calcula correctamente el costo de una pulsera con 20 piedras.

2

Grafica el costo de la pulsera contra el número de piedras que posee.

3

Determina a partir de la gráfica el costo de una pulsera con 28 piedras.

4

Determina a partir del modelo algebraico el costo de una pulsera con 28 piedras y verifica que es igual al obtenido en el punto 3.

5

Determina el costo de un lote de pulseras, que incluye una con 17 piedras, otra con 18 y así sucesivamente hasta una con 30 piedras e indica cuánto vale a1 en este caso.

6

Indica cuál es la diferencia en pesos en el precio entre una pulsera y otra con una piedra de más.

*No aplica.

REGISTRO DE CUMPLIMIENTO SÍ NO NA*

Observaciones

4

BLOQUE

Realizas transformaciones algebraicas I

10 horas

Objetos de aprendizaje Representación de relaciones entre magnitudes Modelos aritméticos o algebraicos

Competencias a desarrollar n

Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales utilizando para ello el lenguaje algebraico.

n

n

Formula y resuelve operaciones básicas con polinomios de una variable, productos notables y factorizaciones, aplicando diferentes enfoques. Explica e interpreta los resultados obtenidos en la factorización y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

¿Qué sabes hacer ahora? La vista siempre debe aprender de la razón. Johannes Kepler La astronomía y la matemática siempre han ido de la mano. Los relojes de Sol son un ejemplo de ello: datan de fechas muy antiguas y se conservan hasta nuestros días en forma de bellas piezas de ornato, tanto en casas particulares como en museos, lo mismo que en modernas y majestuosas formas escultóricas ubicadas en espacios urbanos abiertos. Su construcción requiere diversos conocimientos, además de cuidadosos cálculos matemáticos.

Desempeños del estudiante al concluir el bloque n

n n

Identifica las operaciones de suma, resta y multiplicación de polinomios de una variable. Ejecuta sumas, restas y multiplicaciones con polinomios de una variable. Emplea productos notables para determinar y expresar el resultado de multiplicación de binomios.

n

Comprende las diferentes técnicas de factorización como de extracción de factor común y agrupación de trinomios cuadrados perfectos y de productos notables a diferencia de cuadrados perfectos.

n

Formula expresiones en forma de producto, utilizando técnicas básicas de factorización. Utiliza los productos notables de diferencia de cuadrados y de trinomios cuadrados perfectos.

n

68

4

BLOQUE

Realizas transformaciones algebraicas I

4

A

BLOQUE

Situación didáctica

Embalaje de piezas

Para resguardar las piezas de cristal y hacer seguro su transporte, en cada caja se usan separadores que las protegen de choques entre ellas y de golpes externos.

Conocimientos

Las dimensiones de los separadores se relacionan con las del interior de la caja, como muestran los diseños de embalaje.

Términos semejantes Poseen igual parte literal. x2

5x2

2 2 x 3

3x2

Con estas relaciones pueden construirse cajas de distinto tamaño.

Suma de polinomios Sumar términos semejantes. (4x2 7x 13) (12x 5) " (4x2) (7x 12x) (13 5) " 4x2 5x 8 Resta de polinomios Cambiar signo al sustraendo y sumar los polinomios. (10x2 9) (2 8x 15x2) " 10x2 9 2 8x 15x2 " 25x2 8x 7 Multiplicación de polinomios Cada término de un polinomio se multiplica por todos los del otro. (2 5x)(3x2 x 6) " 2(3x2) 2(x) 2(6) 5x(3x2) 5x(x) 5x(6) Realizando estos productos se obtiene: " 6x2 2x 12 15x35x2 30x Al sumar:

4x + 1.5

0.5 cm

3x + 0.5

3x

3x + 2

3x + 1

4x + 2.5

Si x representa 5 cm, ¿cuáles serían las dimensiones de la caja? ¿Cuál expresión, simplificada, posibilita obtener el volumen del separador? ¿Y el de la caja? ¿Y el del espacio libre en ésta? Calcula con estas expresiones algebraicas, para x " 10 cm, el volumen total de la caja y su espacio libre.

Análisis de la situación 1. Información Los embalajes son empaques hechos de diversos materiales, que contienen elementos individualizados ajustados a piezas específicas para preservarlas dentro de un recipiente general. 2. Exploración Determina el espacio libre en el interior de la caja para las piezas de cristal, en los casos siguientes:

" 5x3 11x2 28x 12

Consulta En libros de álgebra y otras fuentes: Suma, resta y multiplicación de polinomios En Internet: www.juntadeandalucia.es/averroes/ iesdiegogaitan/departamentos/ departamentos/departamento_de_matemat/ recursos/algebraconpapas/index.php

Valor de x (cm) 4 6 10

Volumen (cm3) Separador

Interior caja

444 9,805

Espacio libre

Grupo Editorial Patria® 69

Secuencia didáctica

Rúbrica de evaluación

1. Para x " 5 cm, las dimensiones de la caja serían: Largo:

4x 2.5 " 4(

) 2.5 " ____________ cm

Alto:

3x 0.5 " 3(

) 0.5 " ____________ cm

Ancho:

3x 2 " 3(

)2

Realiza un reporte de la actividad en el que incluyas: 1. El cálculo de los valores faltantes en la tabla para el análisis de la situación.

" ____________ cm

2. Los desarrollos y simplificaciones de las operaciones algebraicas efectuadas en la secuencia didáctica para la obtención de los modelos para los volúmenes de l separador, de la caja y del espacio libre dentro de ésta.

2. El volumen del separador es la suma de los volúmenes que ocupan las cinco hojas que lo forman: 2 hojas largas 3 hojas cortas 2(0.5)(3x)(4x 1.5) 3(0.5)(

)(

) "

3. Un análisis comparativo de los cálculos particulares realizados en la tabla del análisis de la situación, con el cálculo de estos volúmenes con los modelos obtenidos en la secuencia didáctica.

3. El volumen de la caja se obtiene mediante el producto: Largo w alto w ancho (4x 2.5)(

) "

)(

4. El espacio libre en la caja se obtiene mediante la diferencia: Volumen de la caja volumen del separador



"

5. Sustituyendo el valor x " 10 cm en las expresiones anteriores para el volumen, se determina que la caja ocupa un volumen de ____________ cm3 y que el espacio libre que deja el separador es de ____________ cm3. El volumen de la caja puede corroborarse obteniendo, para x " 10, su largo, alto y ancho, y el producto de estas tres dimensiones.

1. Consumo de frutas La gráfica muestra el consumo de fresas y el de manzanas durante un año. a) ¿Cuál fue el consumo de cada fruta en junio? b) Asocia cada curva con su modelo algebraico:

Miles de ton

Proyecto de trabajo 300 200 100

M " 1.5x2 10.3x 132; F " 0.7x2 12.8x 61. c) Halla un modelo algebraico similar para el consumo de ambas frutas y verifícalo para el mes de junio.

0

1

2

3

2. Venta de postres El modelo T " 0.08x2 x 21, (x " 1n día 1) indica la venta acumulada de sorbetes y merengues en una pastelería, al día x de un mes, y S " 0.60x 17, la venta de sorbetes. a) ¿Cuántos sorbetes y merengues vendieron hasta el día 10? ¿Cuántos sorbetes únicamente? ¿Cuántos merengues? b) Halla un modelo algebraico para la venta de merengues al día x. c) Con este modelo, ¿cuántos merengues vendieron al día 10? ¿Y al 31? d) ¿Cuál gráfica corresponde a cada modelo algebraico?

4

5

6

7

0 n enero

8

9

10

11

70

4

BLOQUE

Realizas transformaciones algebraicas I

4A

Segmento informativo

Suma, resta y multiplicación de polinomios Las siguientes expresiones algebraicas de sumas son polinomios.

Recuerda

5x3 2x 7

6x4

x2

1 x 2

3x 1

1. La sustracción es una suma con el simétrico.

En cada una, los sumandos o términos tienen la forma axn.

2. Los enteros no negativos son los naturales y el cero: 0, 1, 2, 3, 4,….

Polinomio en una variable Es cualquier suma de términos de la forma axn (a número real —no todos cero—; n entero no negativo)

3. Los términos semejantes tienen la misma parte variable. Así, son semejantes: x2,

4x2,

™ 3 x2,

1 x2. 2

Nombres de polinomios Monomios Un término Binomios Dos términos Trinomios Tres términos

a es el coeficiente y n el grado del término. Para 5x3 2x 7 se tiene: Término Coeficiente Grado

5x3 5 3

7 7 0

2x 2 1

El término con mayor grado indica el coeficiente principal y el grado del polinomio. Así, el grado de 5x3 2x 7 es 3 y su coeficiente principal es 5. Al sumar, restar o multiplicar polinomios se aplica la propiedad distributiva.

Suma, resta y multiplicación de polinomios

Observaciones importantes 1. Un polinomio escrito en forma estándar, tiene sus potencias en forma decreciente. Forma estándar No estándar 3 2x 5x3 7 5x 2x 7 2. Cuando se escriben TODOS los coeficientes, los de potencias faltantes son cero: 5x3 2x 7 " 5x3 0x2 2x 7

Suma Asocia términos semejantes Suma (4x) (3x 5) " (4x 3x) 5 " (4 3)x 5 " 7x 5.

Resta Suma el simétrico del sustraendo

Multiplicación Distribuye uno de los factores

Resta (4x) (3x 5) " (4x) (3x 5) " (4 3)x 5 " x 5.

Multiplicación (4x)(3x 5) " 4x (3x) 4x(5) " 12x2 20x.

El resultado está simplificado cuando NO contiene términos semejantes.

Verifica tu avance

Ejemplo 1 Identificando polinomios

Explica por qué: a) El grado del término constante es 0. b) El coeficiente principal no puede ser 0.

Clasifica cada polinomio e identifica el grado y el coeficiente principal. 1 e) x2 3x 4 a) 6 b) 6x c) 3x 1 d) x2 x 2

Solución Polinomio

Ejemplo 1 Fíjate en lo siguiente... a) 6 " 6(1) " 6x0. e) x2 " (1)(x2).

a) b) c) d) e)

6 6x 3x 1 1 x2 x 2 2 x 3x 4

Nombre

Coeficiente principal

Grado

Monomio Monomio Binomio

6 6 3

0 1 1

Binomio

1

2

Trinomio

1

2

Grupo Editorial Patria® 71

Ejemplo 2 Sumando polinomios

Ejemplo 2

Obtén la suma de x2 3x 4 y 5x2 x 1.

Solución

Ampliando el conocimiento Alineando términos semejantes puedes usar un arreglo vertical para sumar polinomios.

(x2 3x 4) (5x2 x 1) " (x2 5x2) (3x x ) (4 1)

Ejemplo: sumar x3 3x2 x 8 y x2 10. x3 3x2 x 8 x2 10

" 4x2 2x 3.

x3 2x2 x 2

Ejemplo 3 Restando polinomios

Ejemplo 3

Resta x3 6x2 x 1 de 4x3 x2 11.

Fíjate en lo siguiente... Solución

Sustracción de un polinomio Para sustraer un polinomio debes restar cada uno de sus términos (cambia el signo a cada término del sustraendo).

(4x3 x2 11) (x3 6x2 x 1) " 4x3 x2 11 x3 6x2 x 1 " (4x3 x3) (x2 6x3) x (11 1) " 5x3 5x2 x 12.

Ampliando el conocimiento Ejemplo 4 Multiplicando polinomios

Puedes restar en un arreglo vertical. Ejemplo: Sustraer 2x3 x 5 de 4x3 x2 x 8.

Halla el producto (x 4)(x 6).

4x3 x2 x 8 4x3 x2 x 8 3 x5 (2x x 5) q 2x3

Solución

2x3 x2

(x 4)(x 6) " x(x 6) 4 (x 6)

Distribuye el factor (x 6)

" x 6x 4x 24

Distribuye x y 4

" x2 2x 24

Suma términos semejantes

2

3

Cada término se multiplica por todos los del otro factor. Puedes distribuir (x 4) también: (x 6)(x 4) " x(x 4) 6(x 4) " x2 2x 24.

Ejemplo 5 Multiplicando binomios conjugados

Ejemplo 4 Ampliando el conocimiento Puedes usar un arreglo vertical tipo numérico. Escribe ambos polinomios en forma estándar. 7x3 x2 5x 2 x 3

w

21x3 3x2 15x 6 x3 5x2 2x

Obtén el producto (x 4)(x 4).

7x

(Dos binomios conjugados difieren en el signo que une los términos.)

7x4 22x3 8x2 17x 6

4

En el primer renglón escribes el producto 3 (7x3 x2 5x 2).

Solución (x 4)(x 4) " x(x 4) 4(x 4) " x 4x 4x 4

En el segundo renglón escribes el producto x(7x3 x2 5x 2).

" x2 16.

En el tercer renglón sumas ambos productos.

2

2

72

4

BLOQUE

Realizas transformaciones algebraicas I

Ejemplo 6 1. Área de las asas: A " x(4x) x(4x) " 8x2.

Ejemplo 6 Bolsas de papel reciclado Un modelo de bolsa de papel reciclado que produce una compañía de productos orgánicos se obtiene de una lámina con el diseño mostrado en la figura.

2. El área de la lámina de papel puedes obtenerla de dos formas: L " 56 w 96 " 5,376 cm2; L " 480x 24x2 " 480(8) 24 (64).

Ampliando el conocimiento 1. La piedra y la arcilla fueron los primeros soportes de escritura usados por el hombre. La fibra vegetal del papiro fue incorporada para tal fin, en 3000 a.C. por los egipcios.

Los recortes —indicados en verde— se utilizan para elaborar las asas. a) Describe el área del papel y de las caras de la bolsa con expresiones algebraicas. b) ¿Cuáles son las dimensiones de la lámina y la bolsa si x " 8 cm? c) En este caso, ¿cuánto papel consumen las caras de la bolsa? 2x

2. En Pérgamo (Asia Menor, 300 a.C.) se creó el pergamino con piel seca o curtida de animales. En el siglo ii d.C. China elaboró con fibra vegetal hojas de papel muy similares a las actuales.

4x

2x

4x

40 cm

x x

2x

3. El secreto de su fabricación se conservó 600 años, hasta que lo obtuvieron los árabes y lo difundieron en África, Asia y Europa, donde la imprenta y el avance tecnológico modificaron la producción artesanal. 4. La actual escasez de materias primas (disminución de reservas forestales a 50%) y los procesos químicos contaminantes han conducido al reaprovechamiento de recursos. 5. El reciclaje del papel economiza energía y evita la contaminación de aguas y la deforestación: 1 ton de papel ahorra 3 m3 de madera y preserva 15 árboles medianos.

Solución a)

Área de la lámina (L) " Largo w Ancho " 2(2x 4x) (40 2x) " 12x (40 2x) " 480x 24x2. Área de las caras de la bolsa (C) " Área de la lámina (L) Área de las asas (A) " (480x 24x2) 8x2 " 480x 16x2.

b) Para x " 8 cm el papel tendrá 56 cm de alto y 96 cm de largo; para esta lámina las dimensiones de la bolsa serán 16 w 32 w 40 cm. c) 4,864 cm2. C " 480(8) 16(64), o bien, C " L A " 5,376 512.

Grupo Editorial Patria® 73

Autoevaluación 4A 1. Describe un polinomio en una variable.

1. Revisa el primer recuadro del inicio.

2. Identifica los términos de: 3x3 2x2 5. 3. Escribe todos los coeficientes de: a) 4x2 x 10

b) x3 6x 9.

4. Escribe en forma estándar 24x 8 x x . 2

3

c) 9x 4x 35

4

2

b) x /3

6. ¿Por qué (x 4x 5) (2x 7x 35) | x 4x 5 2x 7x 35? 3

2

3

2

11. (x4 7) (x4 7)

12. (x2 2x x3) (x4 x)

13. (0.2x2 18) 0.4x2

6. Revisa el ejemplo 3 y el recuadro en el margen.

14 al 19. Revisa el ejemplo 3. Usa arreglos horizontales y también verticales. Cambia el signo de cada término del sustraendo.

9. (8x 7) (1 3x)

10. (x3 9x) (x2 2x x3)

5. Revisa el ejemplo 1.

8 al 13. Revisa el ejemplo 2. Haz las sumas en forma horizontal y vertical.

En los ejercicios 8 al 13 obtén las sumas indicadas.

20 a 22. Distribuye el monomio.

Ejercicios 14 a 19. Efectúa las restas indicadas. 14. (4x 3) (8x 1) 15. (8x 7) (1 3x)

3b) Escribe las potencias faltantes.

7. ¿Cómo deben ser los exponentes?

7. ¿Por qué razón x4 x3 x2 18 NO es un polinomio?

8. (4x 3) (8x 1)

2. Los términos están separados por o .

4. Ordena potencias en forma decreciente.

5. Nombra cada polinomio e indica su grado y su coeficiente principal. a) 12x 1

Sugerencias para la autoevaluación 4A

16. (x3 9x) (x2 2x x3)

23 a 25. Distribuye los términos del primer binomio (o los del segundo). Ejemplo 4.

17. (x4 7) (x4 7) 18. (x2 2x x3) (x4 x) 19. 0.4x2 (0.2x2 18)

26 y 28. Multiplica cada binomio por sí mismo. Simplifica términos.

Ejercicios 20 a 34. Obtén cada producto.

27. Recuerda: (x 5)3 " (x 5)2(x 5).

20. 6(3x 2)

21. 5x(x 2x 9)

22. x (x 2x 1)

23. (x 1)(x 5)

24. (x 7)(8x 3)

25. (18 x2)(x 2)

26. (x 5)2

27. (x 5)3

28. (6x 3)2

29. (x 10)(x 10)

30. (x ™ 2 )(x ™ 2 )

31. (2x2 1)(2x2 1)

32 y 33. Multiplica cada término de uno de los factores, por todos los del otro.

32. (x 1)(2x3 x2 x)

33. (x2 6x 15)(x2 x)

34. (x2 x 5)2

35. Resta áreas. Revisa el ejemplo 6.

2

2

2

35. Marco para fotografía Escribe un modelo algebraico para el área que debe tener un marco de pewter para una foto con las medidas indicadas.

x

12 cm

x x

9 cm

x

29 al 31. Los binomios son conjugados. Revisa el ejemplo 5. En el ejercicio 30 recuerda: (™ 2 )(™ 2 ) = (™ 2 )2 = ?

74

4

BLOQUE

Realizas transformaciones algebraicas I

4

B

BLOQUE

Cultivo y venta de pescado

Situación didáctica

El estado de México posee lugares propicios para el cultivo de truchas, debido al clima en esas regiones. La venta en dicho estado, de esos pescados ya preparados, puede modelarse con I " 120x 0.04x2 " xp.

Conocimientos Productos notables Binomios con un término común (x 5)(x 6) " x2 x(5 6) 5(6) (a 3)(a 2) " a2 a(3 2) (3)( 2) Binomios conjugados (x 4)(x 4) " x2 42 (2x 1)(2x 1) " (2x)2 12 Binomios al cuadrado (x 5)2 " x2 2(5)(x) 52 (x 5)2 " x2 2(5)(x) 52

En estos modelos, I es el ingreso generado por las ventas (en cientos de pesos); x representa la cantidad de truchas vendidas (en cientos) y p es el precio promedio de venta de cada una. La gráfica muestra la relación entre los precios y los ingresos.

Factorizaciones básicas a) Factor común

b) Diferencia de cuadrados x2 42 " (x 4)(x 4) (2x)2 12 " (2x 1)(2x 1) c) Trinomios cuadrados perfectos x2 2(5)(x) 52 " (x 5)2 x2 2(5)(x) 52 " (x 5)2 Volumen de cilindros h Base

V = área de la base × altura πr 2 × h

Ingreso I (en cientos)

Venta de truchas

x2 2x " x(x 2) 12x3 6x2 3x " 3x(4x2 2x 1)

96,000 64,000 I = 3,000p − 25p2

32,000 0

8

24

40

56

72

88

104

120

Precio p (pesos)

¿Cuál es el ingreso por la venta de 20 cientos de truchas? ¿Cómo obtendrías el precio promedio de venta de cada trucha? ¿Para cuántas truchas funciona este modelo? ¿Podrías determinar el ingreso conociendo únicamente el precio de venta promedio de cada trucha? ¿Cuál fue éste, cuando el precio promedio por trucha preparada fue de $90?

Análisis de la situación Consulta En libros de álgebra y otras fuentes: Productos de binomios Factorización de expresiones algebraicas En Internet: Op. cit. Bloques 3A, 4A

1. Explora los modelos ¿De qué depende el ingreso I en la expresión I " 120x 0.04x2? ¿Qué expresa la igualdad I " xp? ¿Cómo obtendrías el precio promedio p, conociendo I y x? 2. Interpreta la gráfica ¿Qué variables están relacionadas en la gráfica? ¿Cuál sería el mejor precio promedio para una trucha? ¿Puedes determinarlo con precisión? ¿Por qué la gráfica desciende a la derecha después de ese punto? ¿A qué atribuyes la fluctuación en los precios?

Grupo Editorial Patria® 75

Secuencia didáctica

Rúbrica de evaluación

1. Sustituyendo x por 20 en I 120x 0.04x2 se halla el ingreso por la venta de 20 cientos de truchas: I 120(

) 0.04(

)2

2. El modelo I xp permite obtener el precio promedio por trucha: p caso, p

120x 0.04x2 x

20

1 . Para este x

$ ______________ .

3. Una expresión sencilla para p puede hallarse simplificando el cociente anterior, o bien escribiendo I 120x 0.04x2 en la forma de producto: I xp 120x 0.04x2 x(120 ). El segundo factor debe ser p, es decir, p (120 ). 4. El número máximo de truchas para el cual aplica el modelo es cuando p 0 (las truchas son gratis, el ingreso es 0). Al resolver (120 ) 0, x _________ , es decir, ____________ × 100 ____________ truchas. 5. Para expresar el ingreso I en términos del precio p, se despeja la variable x en p (120 ) y se obtiene x 3,000 _________ . Se sustituye esta expresión en el modelo I 120x 0.04x2. Al simplificar, resulta I 3,000p ________ 25p( ). 6. Sustituyendo en este modelo p por $90 se obtiene como ingreso I _________ (en cientos de pesos), es decir, _________ × 100 $ _________ .

Proyecto de trabajo 1. Venta de flores La ganancia en cualquier negocio se calcula restando a los ingresos netos los costos de operación. Una boutique de arreglos florales estima sus ganancias con la fórmula G I C (725x 0.04x2) (250x 0.01x2) donde x es la cantidad de arreglos vendidos.

a) Obtén una expresión para el precio promedio de venta de cada arreglo. ¿Cuál fue el precio promedio de venta de 350 arreglos? b) Expresa la ganancia sólo en términos del precio. ¿Cuál fue ésta para un precio promedio de venta de $230? ¿Y de $300?

x + 15

2. Tinacos de agua Un catálogo indica la relación entre el radio de un tinaco y la altura que alcanza el agua en su interior (ambos en cm).

x − 15

a) Halla una expresión para el volumen de agua en los tinacos. b) ¿Equivale el modelo anterior a V π(x 15)(x2 225)? Explica. c) Obtén el diámetro, la altura y la capacidad de un tinaco, si x 60 cm.

Haz un resumen de la actividad realizada, en el cual: 1. En forma de cuestionario, proporciones las respuestas a las preguntas formuladas en el análisis de la situación. 2. Desarrolles la secuencia didáctica con todas las operaciones indicadas y las transformaciones algebraicas solicitadas. 3. Escribas los tres modelos algebraicos utilizados: el del ingreso en términos sólo de x; el del precio promedio en términos de x; el del ingreso en términos sólo de p. Explica a cuál de ellos corresponde la gráfica presentada al inicio.

76

4

BLOQUE

Realizas transformaciones algebraicas I

4B

Segmento informativo Inicial

Observaciones importantes

Productos de binomios (Productos notables) Los productos de algunos polinomios siguen un patrón fijo en cuanto al resultado, de modo que éste puede obtenerse sin efectuar la multiplicación. Los binomios siguen los siguientes patrones:

Productos de binomios

1. El requisito para no realizar la multiplicación es memorizar el patrón. 2. El adjetivo notable significa que destaca (por su utilidad y simplicidad). 3. En las fórmulas, las letras x, a, b, son símbolos numéricos (variables, constantes, expresiones numéricas o algebraicas).

Con término común (x a) (x b)

(x a) (x a)

" x2 (a b)x ab.

(x t a)2

" x 2 a 2.

(x 5) (x 3)

(x a)3 " x3 3x2a 3xa2 a3

(x 2)3 " x3 3x2(2) 3x(2)2 23

Al cuadrado " x2 t 2ax a2.

De esta forma:

Cubo de un binomio (x a)3 " x3 3x2a 3xa2 a3

Ejemplos:

Conjugados

(x 5) (x 5)

(x 6)2

" x2 (5 3)x (5)(3)

" x2 52

" x2 2(6x) 36

" x2 8x 15

" x2 25

" x2 12x 36

Estos patrones derivan del procedimiento general:

(x 2)3 " x3 3x2(2) 3x(2)2 23

(A B) (a b) " Aa Ab Ba Bb

Verifica tu avance

Por ejemplo: (5x 2)(4x 1) " 20x2 5x 8x 2 " 20x2 3x 2.

Interpreta el cubo de un binomio mediante volúmenes. Utiliza el modelo:

Los siguientes modelos geométricos de áreas ilustran los productos.

a

a

b

b

(x a)(x a)

x

b

x

x

x2

bx

x

a

ax

ab

−a

(x a)2

a

x

a

a

a a

(x a)(x b)

a b

b

b

x2

ax

x

− a2

a

x2

ax

a

b a

b

b

−ax

ax

Ejemplo 1 Multiplicando binomios con término común Ejemplo 1

Obtén los productos siguientes sin efectuar las multiplicaciones.

Fíjate en lo siguiente...

a) (x 2)(x 0.5)

b) (5x 4)(5x 1)

c) (x2 1)(x2 3)

1. Al sumar o multiplicar los segundos términos debes considerar los signos. En b) el término común es 5x. En c) es x2.

Solución

2. Con la práctica, el primer paso (en color azul) lo haces mentalmente y escribes directamente el resultado final.

b) (5x 4)(5x 1) " (5x)2 (4 1)(5x) (4)(1) " 25x2 15x 4.

a) (x 2)(x 0.5) " x2 (2 0.5)x 2(0.5) " x2 2.5x 1.

c) (x2 1)(x2 3) " (x2)2 (13)x2 (1)(3) " x4 4x2 3.

a2

Grupo Editorial Patria® 77

Ejemplo 2 Multiplicando binomios conjugados Sin multiplicar los binomios, obtén cada producto. a) (x 1) (x 1)

b) (2x 3) (2x 3)

Ejemplo 2 Observaciones importantes

c) (™ 3 x 7) (7 ™ 3 x)

Solución

1. Los binomios conjugados sólo difieren en el signo que une los términos. 2. Interpreta con modelos verbales:

a) (x 1) (x 1) " x2 1. Producto de binomios conjugados (x a) (x a) " x2 a2

b) (2x 3) (2x 3) " (2x)2 32 " 4x2 9. c) (™ 3 x 7) (7 ™ 3 x) " 72 (™ 3 x)2 " 49 3x2.

es igual a la diferencia de cuadrados.

Ejemplo 3 Elevando un binomio al cuadrado Sin multiplicarlos, eleva al cuadrado los siguientes binomios. a) (x 3)2

b) (x 3)2

c) (6x 4)2

Solución a) (x 3)2 " x2 6x 9.

3. (™ 3 x 7) " (7 ™ 3 x). (™ 3 x)(™ 3 x) = (™ 3 x)2 = (™ 3 )2x2 = 3x2 4. El orden de los términos en el resultado es el mismo del factor que contiene la resta.

Ejemplo 3

b) (x 3)2 " [(1)(x 3)]2 " (x 3)2 " x2 6x 9.

1. Memoriza visual y verbalmente el modelo:

c) (6x 4)2 " (6x)2 2(6x)(4) 42 " 36x2 48x 16.

Ejemplo 4 Obteniendo el cubo de un binomio

Binomio al cuadrado (x t a)2 " x2 a2 t 2ax

Eleva al cubo los siguientes binomios, sin multiplicarlos. b) (2x 1)3

a) (x 5)3

c) (x 4)3

Solución a) (x 5)3 " x3 3(5)x2 3x(52) 53 " x3 15x2 75x 125. b) (2x 1)3 " (2x)3 3(2x)2(1) 3(2x)(1)2 13 " 8x3 12x2 6x 1. c) (x 4)3 " (4 x)3 " 43 3(42)x 3(4)x2 x3 " 64 48x 12x2 x3.

Ejemplo 5 Multiplicando binomios

Es igual a la suma del cuadrado de los términos más (o menos) su doble producto. 2. También: (x 3)2 " [(x) ( 3)]2 " (x)2 2(x)(3) (3)2 " x2 6x 9.

Ejemplo 4 Binomio al cubo (x a) " x3 a3 3xa2 3ax2 3

Obtén el resultado de: a) (x 3) (x 1) (x 1)

b) (2 x y)2

El cubo de cada término más el triple producto de cada uno por el cuadrado del otro. En (x a)3 alterna signos , .

Solución a) (x 3) (x 1) (x 1) " (x 3)(x2 1) " x3 x 3x2 3. b) (2 x y)2 " [(2 x) y]2 " (2 x) y 2y (2 x) 2

2

" 4 x2 4x y2 4y 2xy.

De esta forma, en el inciso a) se tiene: (x 5)3 " x3 53 3x(52) 3(5)x2 " x3 125 75x 15x2 " x3 15x2 75x 125

78

4

BLOQUE

Realizas transformaciones algebraicas I

Ejemplo 5

Ejemplo 6 Pirámide de Cuicuilco

a) Puedes escribir el resultado en forma estándar: x3 3x2 x 3. b) Éste es un polinomio en dos variables. Puedes ordenarlo de esta forma: x2 2xy y2 4x 4y 4.

El área cubierta con pasto en la plataforma circular superior de la pirámide de Cuicuilco —incluido el paso al círculo de los altares—, puede obtenerse con la expresión π(15x 7)(15x 7), donde x es la altura de esa plataforma sobre la precedente, en el interior del círculo. a) Escribe en forma simplificada este modelo para el área. b) Halla la cantidad de metros cuadrados de tal superficie, si x " 2 m.

Ejemplo 6

c) ¿Cuál es el ancho de esa plataforma? ¿Y del círculo de los altares?

Recuerda El área de un círculo es A " πr2.

Ampliando el conocimiento 1. Cuicuilco significa “lugar de cantos y colores”. Esta zona, al sudoeste de la ciudad de México, albergó a la cultura más antigua de Mesoamérica (800-150 a.C.).

Solución a) π(15x 7)(15x 7) " π[(15x)2 72]

Expresión dada Producto de binomios conjugados

b) Sustituye x por 2: π[(15x)2 72] " π[302 72] " π(900 49) " 2,673.5 m2. 2. La pirámide de Cuicuilco forma parte del centro cívico ceremonial construido en dicha zona. Ésta y otras construcciones dan cuenta del alto grado de organización social y económica alcanzado por sus pobladores. 3. Las dimensiones de la pirámide (110 m en la base; 25 m de alto) y su forma cónica truncada, con cuatro plataformas circulares sobrepuestas, la hacen única en el mundo. 4. Las erupciones del volcán Xitle (del nahuatl Xictli: ombligo) situado en el Ajusco, cubrieron Cuicuilco e hicieron emigrar a sus antiguos habitantes. 5. Las capas de lava y las modernas edificaciones urbanas han limitado el estudio de esta cultura que antecedió el desarrollo de Teotihuacán.

c) Área en color " área círculo mayor área círculo menor " πR2 πr2. Pero el área en color es igual a π[302 72] " π302 π72. Por tanto R " 30 y r " 7. El diámetro de la plataforma es 2 w 30 " 60 m; para los altares 2 w 7 " 14 m.

R

r

Grupo Editorial Patria® 79

Autoevaluación 4B Ejercicios 1 a 6. Efectúa las multiplicaciones usando productos notables. 1. 15 w 18 " (10 5)(10 8)

2. (50 5)(50 2)

3. 24 w 26

4. (49 3)(49 3)

5. 722 " (70 2)2

6. 172

Sugerencias para la autoevaluación 4B 1 y 2. Binomios con término común. 3 y 4. Usa binomios conjugados (25 1)(25 1) o con un término común (20 4) (20 6).

Ejercicios 7 a 12. Completa cada desarrollo. 7. (x 9) " x 9

8. (x 9) " x 9

9. (2x 1) " (2x) 1

5 y 6. Binomio al cuadrado; (10 7)2 o (20 3)2.

10. (x 5) " x 5

11. (x 4) " x 4

12. (3x 2)3 " (3x)3 23

7 a 9. Falta el doble producto. Cuida su signo.

2

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

2

10 a 12. Falta el triple producto de cada término por el cuadrado del otro. En la resta alterna signos. (Guíate por el orden de los términos.)

Ejercicios 13 a 15. Desarrolla cada potencia sin multiplicar los binomios. 14. (a b)3

13. (a b)2

15. (a b)2

Ejercicios 16 a 18. Obtén de dos maneras la potencia, sin hacer el producto. 16. (6x 4)2

17. (x 12)2

18. (8x 7)2

13 y 14. El término con signo dará este signo cuando tenga potencia impar. 15. Usa ((a) b)2 o [(1)(a b)]2. Ejemplo 3b.

Ejercicios 19 a 24. Obtén cada producto sin efectuar la multiplicación. 19. (3x 2) (3x 1)

20. (x 6)(x 7)

21. (x 9)(x 3)

22. (4 x)(4 x)

23. (x ™ 5 )(x ™ 5 )

24. (7x 1)(7x 1)

16 a 18. Usa la propiedad conmutativa de la suma.

Ejercicios 25 a 27. Eleva al cuadrado, sin multiplicar los trinomios.

19. Revisa el ejemplo 3b y el ejercicio 15.

25. (x y 3)2

20 y 21. Revisa el ejemplo 1.

26. (2x y 3)2

27. (x 3y 8)2

22 a 24. Revisa el ejemplo 2.

Geometría Ejercicios 28 a 33. Calcula de dos formas el área en azul. 28.

x

25 a 27. Asocia términos. Revisa el ejemplo 5b.

29.

3

28 a 33. Obtén: 1) áreas más grandes posibles, 2) sumas de áreas parciales. Compara ambas.

x

x

x

x

1

1

x

30.

31.

5

x

x

x

x

1

1

4

4

32.

33.

x 1

1

5

x 1

1

x

x

3

1

1

80

4

BLOQUE

Realizas transformaciones algebraicas I

Segmento informativo

4B

Final Observaciones importantes

Conversión a productos (Factorización) Factorizar es escribir una expresión como producto. 35 " 5 w 7 Factores

10 15 " 5 (2 3) Factores

2x 3x " x (2 3) Factores

La técnica más simple para factorizar es hallar un factor común en los términos. 1. Factorizar y multiplicar son procesos inversos (a b)(a b) " a2 2ab b2 q o Multiplicas Factorizas Factorizar un polinomio Es escribirlo como un producto. 2. La factorización se utiliza para:

Factor común Escribe el factor común de los términos y aplica propiedad distributiva ab ac " a(b c) 2x 8 " 2(x 4)

Así,

Cada factor común se extrae con el menor exponente. Observa: 21

a) Simplificar fracciones (los factores comunes se eliminan). 8x2 2 (4)x x " " 4x 2x 2 x

4. Visualiza y verbaliza los modelos: Diferencia Producto a2 b2 " (a b)(a b) de cuadrados de binomios conjugados

x1

2x 8 " 2x 2(22)

6x2 5x " 6xx 5x

Otra técnica sencilla para factorizar es reconocer patrones de productos notables.

Factorización con productos notables

b) Resolver ecuaciones x 5x " 12 (aplicando propiedades x(1 5) " 12 de productos). 6x " 12 x"2 3. A menos que otra cosa se indique, se buscarán como factores coeficientes reales.

6x2 5x " x(6x 5)

a b " (a b)(a b)

a2 t 2ab b2 " (a t b)2

Diferencia de cuadrados

Trinomio cuadrado perfecto

2

2

Se restan

Dos cantidades al cuadrado

5 x " (5 x)(5 x) 2

2

dos cantidades al cuadrado

x2 2x 12 " (x 1)2 más (menos) su doble producto

Verifica tu avance Completa el modelo verbal. Trinomio cuadrado perfecto " ?

Ejemplo 1 Obteniendo un factor común Expresa como producto: a) x3 x2 x

b) 6y4 12y2 9y

Ejemplo 1 Fíjate en lo siguiente...

Solución a) x3 x2 x " x(x2 x 1).

1. 6y 12y 9y " (3y)2y3 (3y)4y 3(3y)

b) 6y4 12y2 9y " 3y(2y3 4y 3).

2. Comprueba la factorización multiplicando. Así, x(x2 x 1) " x3 x2 x.

c) 5x(x 4) 7(x 4) " (x 4)(5x 7).

4

2

c) 5x(x 4) 7(x 4)

Grupo Editorial Patria® 81

Ejemplo 2 Factorizando diferencia de cuadrados

Ejemplo 2

Escribe como producto:

Recuerda

a) 9x 16

b) x 25x

2

4

2

c) (3 x) 1 2

Solución a) 9x2 16

" (3x)2 42 " (3x 4) (3x 4)

b) x4 25x2

" (x2)2 (5x)2 " (x2 5x) (x2 5x)

c) (3 x)2 1 " [(3 x) 1][(3 x) 1] " (2 x) (4 x)

Binomios conjugados Simplificando

Ejemplo 3 Factorizando trinomios cuadrados perfectos

1. En toda identidad algebraica, las variables son símbolos numéricos, es decir, representan números o expresiones aritméticas o expresiones algebraicas. 2. Así, en este ejemplo, los símbolos a, b en a2 b2 " (a b)(a b) se sustituyen por: Inciso

Símbolo a

Símbolo b

a)

3x

4

b)

x2

5x

c)

3x

1

Expresa como un producto: a) x 12x 6 2

Fíjate en lo siguiente...

b) 9x 18x 1

2

2

c) 4x 20x 25 4

2

Solución

x4 " (x2)2

a) x2 12x 62 " (x 6)2. Procedimiento:

1. Toda potencia par puedes expresarla como una potencia al cuadrado: x10 " (x5)2

2. Todo número cuadrado perfecto puedes escribirlo como el cuadrado de un entero.

(x + 6)

Raíces

(x 6)

Signo del doble producto

(x 6)

Cuadrado

2

x6 " (x3)2

b) 9x8 18x 1 " (3x 1)2.

1 " 12

16 " 42

25 " 52

100 " 102

Verifica tu avance

c) 4x4 20x2 25 " (2x2 5)2.

¿Qué expresa la identidad x2m " (xm)2? (m es un número natural)

Ejemplo 4 Factorizando trinomios cuadrados perfectos Ejemplos 3 y 4

Expresa como un producto a) x2 8x 42

b) 16x2 8x 1

c) 9x2 100 60x

Observaciones importantes 1. El signo del doble producto es el signo que une los términos del binomio.

Solución a) x2 8x 42 " (x 4)2. Procedimiento: (x + 4)

Raíces

(x 4)

Signo del doble producto

(x 4)2

Cuadrado

Verificar trinomio cuadrado perfecto Antes de factorizar, revisar que existan: dos cantidades al cuadrado; su doble producto.

b) 16x 8x 1 " (4x 1) . 2

2

c) 9x2 100 60x " (3x 10)2.

2. No importa el orden de los términos: 9x2 100 60x " 9x2 60x 102

82

4

BLOQUE

Realizas transformaciones algebraicas I

Ejemplo 5

Ejemplo 5 Moderno reloj solar Recuerda

1. Longitud de la circunferencia: L " 2πr; Área del círculo: A " πr2.

El moderno reloj de Sol en el polígono industrial de Almussafes, en Valencia, España, elaborado por los artistas Joan Olivares y Rafael Amorós, incluye en su diseño un gran aro de metal de 5 m de diámetro exterior, 50 cm de ancho y 25 cm de grosor. ¿Cuál es el área de la superficie de metal empleado por los artistas en la construcción de este elemento?

2. Existen diversas opciones para simplificar: A2 A3 " (0.5)[2π(2)] (0.5) [2π(1.5)]

" (0.5)(2π)[2 1.5] " π(2 1.5).

A " 2π(2 1.5) (2 1.5) π(2 1.5) " π(2 1.5)[2(2 1.5) 1] " π(3.5)(2).

Solución Área total " área de ambas caras área de ambos cantos

Ampliando el conocimiento

A " 2A1

1. Los relojes de Sol son los más antiguos instrumentos usados para medir el tiempo. Su principio básico es la proyección de las sombras según la región y época del año.

(A2 A3)

Área de una cara " Área círculo exterior área círculo interior A1 " π2.52 π22 Área de cada canto " grosor w longitud de la circunferencia A2 " 0.25 (2π2.5) " 1.25π

2. Su construcción requiere amplios conocimientos en matemáticas y astronomía (solsticios, latitud, longitud, meridianos, constelaciones, lemniscatas, conos, etcétera).

A3 " 0.25 (2π2) " 1π Área total A " 2(π2.52 π22) π(1.25 1) " 2π(2.52 22) 2.25π

3. Esta milenaria tradición se une hoy en día a la creación estética de auténticas y estilizadas obras de arte escultóricas.

" 2π(2.5 2)(2.5 2) 2.25π " 2π(0.5)(4.5) 2.25π

" 4.5π 2.25π



" 6.75π ~ 21.21 m2.

2m 0.5 m 2.5 m

0.25 m

2.5 m

2m

Grupo Editorial Patria® 83

Autoevaluación 4B Ejercicios 1 a 3. Identifica el mayor factor común de los términos. 1. 15x2, 3x4

2. 16x, 4x2, 8x4

3. 18y3, 24y, 42y2

Ejercicios 4 a 6. Identifica cuáles trinomios son cuadrados perfectos. 4. 25x2 70x 49

5. x2 6x 4

6. 81x2 4 36x

Ejercicios 7 a 10. Escribe cada polinomio como un producto. 7. 5x2 x 8. 5(7 x) x(7 x)

9. (2x2 x) (2x 1) 10. 8x2 2x2 4x

Ejercicios 11 a 14. Factoriza cada diferencia de cuadrados. 11. 81x2 1

12. 64 x2

13. (x 3)2 (x 3)2

14. (x 1)2 4

Ejercicios 15 a 20. Factoriza cada trinomio cuadrado perfecto. 15. x2 10x 52

16. 100x2 20x 1

18. 64x2 16x 1

19. x2 24x 144

1 2 x 3x 9 4 20. 36x2 24x 4 17.

Ejercicios 21 a 23: a) Calcula las áreas remarcadas para obtener el área en azul; b) Expresa ésta como producto. 22. 23. 21. x x x 1 1 1

x

x 1 1

1 1

24. Geometría a) Halla una expresión algebraica para los lados del cuadrado y otra para su perímetro. b) Calcula de dos formas el área de la región en color. a) 9x2 30x 25

x

Área

10

25. Cortes en madera a) Suma las áreas en la cara de la sección de corte del tronco; b) expresa esta suma como un producto; c) obtén el área de toda la sección cuadrada. 4

2x 2x 4

4

7 a 10. Revisa el ejemplo 1. 11 a 14. Revisa el ejemplo 2 y su margen. 15 a 20. Revisa los ejemplos 3 y 4. Elige signo. 21 a 23. Factoriza mediante factor común. Compara los productos de binomios con los desarrollos de sumas o restas de áreas. 24a) Factoriza la expresión. 24b) Suma el área de los trapecios; resta el área de cuadrados. (b + B)h A=− 2

h B

25a) Para cada sección utiliza:

25b) Suma y factoriza el trinomio resultante.

x x + 10

2 2 2x

4 a 6. Verifica que existan dos cantidades al cuadrado y su doble producto.

largo w ancho.

10

x + 10

b)

1 a 3. Factor común con el menor exponente. Revisa inicio de la lección y el ejemplo 1.

b

x 1 1

Sugerencias para la autoevaluación 4B

2x

26. Piedra del Sol ¿Cuál es el área de la superficie labrada de piedra, si excluyes el Sol en el calendario azteca?

25c) Área del cuadrado general: lado w lado.

Ampliando el conocimiento 1. La Piedra del Sol fue hallada en el siglo xviii, durante la edificación de la catedral sobre la antigua Tenochtitlán. 2. Fue un calendario de registros astronómicos y de festividades para los aztecas, ligado a su concepción del universo. 3. Este calendario solar (Xihuitl) de 18 meses y 365 días, coincidía cada 52 años con el calendario de los destinos (13 meses, 260 días) para la fiesta ritual del Fuego nuevo.

0.66 m

3.60 m

4. Consta de ocho regiones circulares concéntricas en las que el Sol ocupa el lugar central, seguido de cinco planetas, uno en cada anillo.

84

4

BLOQUE

Realizas transformaciones algebraicas I

Instrumentos de evaluación Rúbrica

Rúbrica para evaluar el reporte de la situación didáctica “Cultivo y venta de pescado” del Bloque 4B. Nombre del alumno:

Nivel

Presentación

Aspecto a evaluar

Desarrollo

Dominio del tema

Resultados y conclusiones

Excelente (4)

Bueno (3)

Satisfactorio (2)

Deficiente (1)

Elabora el reporte a mano con buena caligrafía (o bien usando un procesador de texto con una impresión bien hecha), bien redactado y sin faltas de ortografía.

Elabora el reporte a mano con buena caligrafía (o bien usando un procesador de texto con una impresión bien hecha), redacción regular y sin faltas de ortografía.

Elabora el reporte a mano con regular caligrafía (o bien usando un procesador de texto con una impresión regular), redacción regular y pocas faltas de ortografía.

Elabora el reporte a mano con mala caligrafía, mal redactado y con muchas faltas de ortografía.

Presenta de manera ordenada todos los pasos para calcular las cantidades y expresiones pedidas.

Presenta de manera ordenada todos los pasos para calcular las cantidades y expresiones pedidas.

Presenta de manera ordenada todos los pasos para calcular las cantidades y expresiones pedidas.

Sólo presenta resultados sin dar ninguna justificación.

Contesta correctamente todas las preguntas de las secciones “Explora los modelos” e “Interpreta la gráfica”.

Contesta incorrectamente algunas de las preguntas de las secciones “Explora los modelos” e “Interpreta la gráfica”.

Contesta incorrectamente algunas de las preguntas de las secciones “Explora los modelos” e “Interpreta la gráfica”.

Escribe los tres modelos algebraicos utilizados e indica a cuál de ellos corresponde la gráfica presentada.

Escribe los tres modelos algebraicos utilizados e indica a cuál de ellos corresponde la gráfica presentada.

Escribe los tres modelos algebraicos utilizados pero no indica a cuál de ellos corresponde la gráfica presentada.

Factoriza correctamente polinomios.

Factoriza correctamente polinomios.

Factoriza correctamente polinomios.

Determina correctamente las raíces de polinomios factorizados.

Determina correctamente las raíces de polinomios factorizados.

Determina incorrectamente las raíces de polinomios factorizados.

Contesta incorrectamente más de la mitad de las preguntas de las secciones “Explora los modelos” e “Interpreta la gráfica”. No escribe los tres modelos algebraicos utilizados ni indica a cuál de ellos corresponde la gráfica presentada. No factoriza correctamente polinomios. Determina incorrectamente las raíces de polinomios factorizados.

Interpreta correctamente gráficas considerando la escala de los ejes coordenados.

Interpreta incorrectamente gráficas Interpreta incorrectamente gráficas por no considerar la escala de los por no considerar la escala de los ejes coordenados. ejes coordenados.

Calcula correctamente las siguientes cantidades:

Calcula correctamente las siguientes cantidades:

Calcula correctamente las siguientes cantidades:

Calcula incorrectamente más de dos de las siguientes cantidades:

t & MJOHSFTPQPSMBWFOUBEF cientos de truchas. t &MQSFDJPQSPNFEJPEFWFOUBEF cada trucha. t &MOÞNFSPNÈYJNPEFUSVDIBT para las que funciona el modelo. t &MJOHSFTPTJFMQSFDJPQSPNFEJP QPSUSVDIBFTEF

t & MJOHSFTPQPSMBWFOUBEF DJFOUPTEFUSVDIBT t &MQSFDJPQSPNFEJPEFWFOUBEF cada trucha. t &MOÞNFSPNÈYJNPEFUSVDIBT para las que funciona el modelo.

t & MJOHSFTPQPSMBWFOUBEF DJFOUPTEFUSVDIBT t &MQSFDJPQSPNFEJPEFWFOUBEF cada trucha.

Determina correctamente el ingreso en función del precio de WFOUBQSPNFEJPQPSUSVDIB

Calcula incorrectamente:

t & MJOHSFTPQPSMBWFOUBEF DJFOUPTEFUSVDIBT t &MQSFDJPQSPNFEJPEFWFOUBEF cada trucha. t &MOÞNFSPNÈYJNPEFUSVDIBT para las que funciona el modelo. t &MJOHSFTPTJFMQSFDJPQSPNFEJP QPSUSVDIBFTEF

Determina correctamente el ingreso en función del precio de WFOUBQSPNFEJPQPSUSVDIB

Calcula incorrectamente el ingreso si el precio promedio por trucha FTEF

Determina correctamente el ingreso FOGVODJØOEFMQSFDJPEFWFOUB promedio por trucha. t & MOÞNFSPNÈYJNPEFUSVDIBT para las que funciona el modelo. t &MJOHSFTPTJFMQSFDJPQSPNFEJP QPSUSVDIBFTEF

Interpreta incorrectamente gráficas por no considerar la escala de los ejes coordenados.

Determina incorrectamente el ingreso en función del precio de WFOUBQSPNFEJPQPSUSVDIB

Lista de cotejo

Lista de cotejo para el reporte de la situación didáctica “Embalaje de piezas” del Bloque 4A. Presentación 1. Cuenta con una carátula que incluye al menos el nombre del trabajo que se realiza, el nombre de la materia, la fecha de entrega, el nombre del alumno y su matrícula. 2. La redacción es buena o por lo menos satisfactoria. 3. Tiene pocos o ningún error de ortografía. 4. Elaboró el trabajo con un procesador de texto como Word, o bien, lo hizo a mano con buena caligrafía o por lo menos entendible.

SÍ

NO

Observaciones

Grupo Editorial Patria® 85

Desarrollo 5. Elaboró la tabla con los volúmenes de la caja, el separador y el espacio libre en cm3 para x = 4, 6 y 10 cm. 6. Presenta todos los pasos requeridos para determinar las cantidades pedidas siguiendo una secuencia coherente y ordenada. 7. Verificó que los volúmenes que obtuvo en la tabla son los mismos que los obtenidos con las expresiones algebraicas simplificadas de los volúmenes.

SÍ

NO

Observaciones

Dominio del tema Reconoce términos semejantes en polinomios. Suma y resta correctamente polinomios. Multiplica correctamente polinomios. Calcula correctamente el volumen de prismas.

SÍ

NO

Observaciones

8. 9. 10. 11.

Resultados y conclusiones Determinó correctamente las dimensiones de la caja para x = 5 cm. Obtuvo la expresión algebraica simplificada del volumen del separador. Obtuvo la expresión algebraica simplificada del volumen de la caja. Obtuvo la expresión algebraica simplificada del espacio libre en la caja. Calculó correctamente el volumen de la caja y su espacio libre para x = 10 cm.

SÍ

NO

Observaciones

12. 13. 14. 15. 16.

Comentarios generales: __________________________________________________________________________ Nombre del estudiante: _______________________________________________

Fecha: ____________________

Guía de observación para el proyecto de trabajo “Consumo de frutas” y “Venta de postres” del Bloque 4A Nombre de la materia: Profesor: Alumno:

Grado y grupo: Plantel: Clave: Fecha de aplicación:

Desempeño a evaluar: Realización de operaciones de suma y resta de polinomios. INSTRUCCIONES: Observe si la ejecución de las actividades que se enuncian las realiza el capacitando que se está evaluando y marcar con una “X” el cumplimiento o no en la columna correspondiente; asimismo, es importante anotar las observaciones pertinentes. No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Acciones a evaluar Calcula correctamente el consumo de fresas en junio. Calcula correctamente el consumo de manzanas en junio. Obtiene el modelo algebraico para el consumo de ambas frutas y lo verifica para el mes de junio. Calcula correctamente cuántos sorbetes y merengues se vendieron hasta el día 10. Calcula correctamente cuántos sorbetes se vendieron hasta el día 10. Calcula correctamente cuántos merengues se vendieron hasta el día 10. Obtiene un modelo algebraico para la venta de merengues al día x. Determina con el modelo algebraico obtenido cuántos merengues se vendieron al día 10 y verifica que la cantidad sea igual a la obtenida en el punto 6. Determina con el modelo algebraico obtenido cuántos merengues se vendieron al día 31. Identifica en la gráfica cuál curva corresponde a cada modelo.

*No aplica.

REGISTRO DE CUMPLIMIENTO SÍ NO NA*

Observaciones

5

BLOQUE

Realizas transformaciones algebraicas II

8 horas

Objetos de aprendizaje Representación de relaciones entre magnitudes Modelos aritméticos o algebraicos

Competencias a desarrollar n

Construye e interpreta los trinomios que no son cuadrados perfectos, mediante la aplicación de procedimientos algebraicos, para la comprensión y análisis de algunas situaciones reales.

n

Formula y resuelve ejercicios de factorización, aplicando diferentes técnicas.

n

Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos.

¿Qué sabes hacer ahora? Algo he aprendido en mi larga vida: que toda nuestra ciencia, contrastada con la realidad, es primitiva y pueril; y, sin embargo, es lo más valioso que tenemos. Albert Einstein La presión atmosférica fuera del agua (1 atm) ejerce sobre el cuerpo de una persona una enorme fuerza de 3.5 toneladas. Asombrosamente, nuestros fluidos celulares equilibran esta fuerza. Debido a las presiones hidrostática y atmosférica, un buzo soporta, a 90 m bajo el mar, una fuerza diez veces superior.

PRESIÓN OCEÁNICA Presión (atm)

12 9 6 3 0

Desempeños del estudiante al concluir el bloque

n

n n

n

n

Reconoce trinomios que no son cuadrados perfectos de la forma x 2 bx c y ax 2 bx c con a | 0, 1 como un producto de factores lineales y polinomios que requieren combinar técnicas. Expresa trinomios de la forma x 2 bx c y ax 2 bx c como un producto de factores lineales. Identifica expresiones racionales con factores comunes y no comunes susceptibles de ser simplificadas.

n

n

n

20

40 60 80 Profundidad (m)

100

Utiliza una o varias técnicas de transformación para descomponer un polinomio en varios factores. Reconoce expresiones racionales en forma simplificada a partir de factores comunes y la división de polinomios. Obtiene factores comunes factorizando con las técnicas aprendidas y reduce éstos. Escribe expresiones racionales de forma simplificada utilizando factores comunes y la división de polinomios. Soluciona problemas aritméticos y algebraicos.

88

5

BLOQUE

Realizas transformaciones algebraicas II

5

A

BLOQUE

Conocimientos Factorización de trinomios

Situación didáctica

Alimento para ardillas

El costo total de cacahuates proporcionados a las ardillas en una área de un par-

que de reserva natural, puede calcularse (en pesos) con C " x2 24x 23, para la semana x (no superior a 10). Si la cantidad promedio de ardillas alimentadas en la semana x se estima en x 1,

a) De la forma x2 bx c (su coeficiente cuadrático es 1) Procedimiento: busca dos factores de c que sumen b y suma cada uno con x para formar los dos factores lineales. Ejemplos: 1. x2 7x 12 " (x 3)(x 4) ya que 3 w 4 " 12; 3 4 " 7 2. x2 8x 9 " (x 9)(x 1) ya que 9 w 1 " 9; 9 1 " 8 b) De la forma ax2 bx c, a | 0 (su coeficiente cuadrático no es 1) Procedimiento: multiplica y divide la expresión por a; reagrupa y aplica la técnica anterior. Ejemplo: 3x2 7x 2 "

3 (3x2 7x 2) 3

a) ¿Cuál expresión permite calcular el costo promedio por alimentar semanalmente cada ardilla? b) ¿Cuál fue la inversión inicial del programa?, ¿cuánto se gastó al término de la primera semana y en las semanas 5 y 10?, ¿a cuánto ascendió el costo diario de alimento por ardilla en cada una de estas semanas? c) Propón una posible explicación acerca de la variación en los costos, en función de la población de ardillas y de factores económicos. Apoya tu argumento con la información de la gráfica: 400

1 " ((3x)2 7(3x) 6) 3 1 (3x 6)(3x 1) 3

Costo ($)

"

300

" (x 2)(3x 1)

200 100

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Semana

Consulta En libros de álgebra y otras fuentes: Factorización de trinomios División de polinomios Simplificación de fracciones algebraicas

Análisis de la situación 1. Cuando pagas una cuenta de varias personas, por consumo de alimentos en un restaurante, a) ¿Cómo determinas el importe total de la cuenta? Describe el procedimiento. b) ¿Qué operación realizas para saber cuál fue el costo promedio del consumo por persona? 2. ¿Cómo aplicarías estos procedimientos al problema de las ardillas?

Grupo Editorial Patria® 89

Secuencia didáctica

Rúbrica de evaluación

1. Si tres personas pagan cada una en promedio $150.00 por un desayuno, entonces: Costo total = w $150.00, es decir, Costo total " Número de individuos w

.

En el caso del costo total del alimento (semanal) de las ardillas, x2 24x 23 " (x 1) w (costo individual). ¿Por qué se multiplica por x 1?

.

2. Es claro que si expresas x 24x 23 como el producto de x 1 y otro factor lineal, este último indicará el (costo individual, costo total) del alimento de las ardillas en la semana x. Puedes hallar este factor de dos maneras. 2

3. Método 1, factorizando. Si un factor de x2 24x 23 es x 1, el otro debe tener la forma x a. El número a que hace falta debe cumplir con a w 1 " 23 y a 1 " ; por tanto, a " y el factor buscado es x . Éste representa el costo . Método 2, dividiendo. Divide x2 24x 23 entre x 1 para obtener el otro factor lineal. El cociente de esta división es (igual, distinto) al factor obtenido antes e indica el costo semanal del alimento por ardilla.

|

x 1 x2 24x 23

4. Sustituye x por 0, 5, y 10: a) en la expresión x2 24x 23 para hallar el costo total: inicial: en la semana 5: ; en la semana 10:

; ;

b) en x a " x para conocer el costo por alimentar una ardilla en cada una de esas tres semanas: $ ;$ ;$ . 5. Es posible que, al observar la dotación de cacahuates, cada semana acudan (más, menos) ardillas al área de alimentación, (aumentando, reduciendo) el consumo y que el costo del insumo (aumente, disminuya) por temporada.

Proyecto de trabajo Gabinete para U El volumen de un gabinete para la unidad de procesamiento central (U) de diversos modelos de computadora personal, puede obtenerse con la expresión V " 32x3 48x2 10x. a) ¿Cuáles expresiones algebraicas (con coeficientes enteros) proporcionan las dimensiones del gabinete? b) ¿Qué dimensiones posee uno de los gabinetes cuando x " 10 cm?

1. Desarrolla cada punto de la secuencia didáctica y elabora un reporte escrito que, además de dichos puntos, contenga una descripción, con ejemplos, acerca de: a) los procedimientos para factorizar trinomios que no son cuadrados perfectos. b) los pasos para efectuar una división de polinomios. 2. Haz un reporte escrito con el desarrollo del proyecto de trabajo y entrégalo a tu maestro en los tiempos acordados para ello.

90

5

BLOQUE

Segmento informativo

Realizas transformaciones algebraicas II

5A

Factorización de trinomios Al multiplicar binomios de una variable se obtiene un trinomio. Producto

Observaciones importantes 1. Algunos trinomios no pueden factorizarse con coeficientes enteros. En x2 5x 2 los factores de 2 no suman 5; en 2x2 6x 1, los de 2(1) no suman 6.

Desarrollo

(x 2)(x 3)

"

x 3x 2x 2(3)

x2 5x 6

Factorización de x2 bx c Factores de c que suman b

x2 bx c " (x

Factores enteros de ax2 bx c Existen si b2 4ac es cuadrado perfecto.

) (x

)

Factores de 6 que suman 5

Así, x2 5x 6 " (x 2) (x 3)

2

b2 4ac " 25 4(1)(2) " 17,

"

El trinomio puede escribirse como producto, invirtiendo el proceso. Es claro en el desarrollo que 2 y 3 son factores de 6 cuya suma es 5.

2. Una prueba sencilla permite anticipar esto.

3. Así, x 5x 2 no puede factorizarse con coeficientes enteros, pues

Trinomio

2

Cuando el coeficiente de x2 no es 1, el proceso varía en un aspecto: antes de factorizar, multiplicas y divides por a.

no es cuadrado perfecto (es decir, no es el cuadrado de un entero).

Factorización de ax2 bx c Factores de ac que suman b

ax2 bx c "

Fíjate en lo siguiente... 1. En el ejemplo ilustrativo puedes proceder así: 6 6x2 32x 10 " (6x2 32x 10) 6 (6x)2 32(6x) 60 " 6 (6x 30)(6x 2) " 6 (6x 30) (6x 2) " 6 2. La clave en este proceso es dejar indicados los productos donde aparece x, y factorizar con el modelo para x2 bx c. 3. Es posible descomponer el divisor 6 así: (6x 30) (6x 2) " (2x 10)(3x 1) 3 2

(ax +

) (ax + a

)

Factores de 60 que suman 32

ac " 60 b

6x2 32x 10 "

(6x 30)(6x 2) " (x 5) (6x 2) 6

Ejemplo 1 Factorizando x 2 + bx + c, con c positivo Escribe cada trinomio en forma de producto. a) x2 8x 12

b) x2 7x 12

c) x2 22x 21

Solución a) x2 8x 12 " (x 2) (x 6)

Factores de 12 que suman 8

b) x2 7x 12 " (x 3) (x 4)

Factores de 12 que suman 7

c) x2 22x 21 " (x 1) (x 21)

Factores de 21 que suman 22

Grupo Editorial Patria® 91

Ejemplo 2 Factorizando x 2 + bx + c, con c negativo Escribe como producto cada uno de los siguientes trinomios. a) x2 3x 4

b) x2 x 6

Observaciones importantes 1. Cuando c es negativo sus factores tienen signos opuestos. a) 4 " 4(1); 4 (1) " 3 b) 6 " (3)(2); 3 2 " 1

Solución a) x 3x 4 " (x 4) (x 1) 2

b) x2 x 6 " (x 3) (x 2)

Factores de 4 que suman 3 Factores de 6 que suman 1

2. Prueba diversas combinaciones de factores hasta dar con la adecuada. 3. Si dudas que exista una combinación de enteros, confirma con el discriminante b2 4ac.

Ejemplo 3 Factorizando ax 2 + bx + c, con c positivo

Verifica tu avance x2 bx c " (x p) (x q) implica pq " c y p q " ?

Expresa cada trinomio como un producto. a) 2x2 13x 15

b) 10x2 41x 21

Solución ac " 30 b

Factores de 30 que suman 13

a) 2x2 13x 15 "

ac " 210 b

Ejemplo 3

(2x 3) (2x 10) " (2x 3) (x 5) 2

Fíjate en lo siguiente... 3a)

(2x 3) (2x 10) (2x 3) (2x 10) " 2 1 2

3b)

(10x ) (10x 6) (10x 35) (10x 6) " 10 5 2

Factores de 210 que suman 41

b) 10x2 41x 21 "

(10x 35) (10x 6) " (2x 7) (5x 3) 10

Ejemplo 4 Factorizando ax 2 + bx + c, con c negativo Ejemplo 4

Factoriza cada trinomio. a) 3x2 2x 1

b) 4x2 13x 3

Solución ac " 3 b

a) 3x2 2x 1 "

Fíjate en lo siguiente... 4a) 3 " (3)(1); (3) 1 " 2

Factores de 3 que suman 2

(3x 3) (3x 1) " (x 1) (3x 1) 3

ac " 12 b

Factores de 12 que suman 13

b) 4x2 13x 3 " (1)(4x2 13x 3) "

(1)(4x 12) (4x 1) 4

" (3 x) (4x 1)

4b) Cuando a es negativo conviene extraer factor común 1 y cambiar el signo a todo el trinomio. Uno de los dos binomios se multiplica por 1 cambiando el signo de sus términos. Al simplificar, el divisor se adjudica a uno o ambos binomios. 12 " (12)(1);12 (1) " 13.

5

92

BLOQUE

Realizas transformaciones algebraicas II

Ejemplo 5 Combinando técnicas para factorizar

Ejemplo 5 Fíjate en lo siguiente... a) Antes de intentar cualquier factorización, deben buscarse factores comunes. b) Cuando agrupas términos, intentas hallar un factor común. En este ejemplo puedes simplificar antes, y después factorizar un trinomio: 12x2 18x 2x 3 " 12x2 16x 3

Expresa cada polinomio como un producto. a) 5x3 10x2 15x

b) 12x2 18x 2x 3

c) x2 1 10x 25

Solución a) 5x3 10x2 15x

" 5x(x2 2x 3)

Factor común 5x

" 5x(x 3) (x 1)

Trinomio x2 bx c

b) 12x2 18x 2x 3 " (12x2 18x) (2x 3)

c) Agrupar pares de términos para hallar un factor común, no da buen resultado aquí:

Agrupando términos

" 6x(2x 3) (2x 3)

Factor común 6x

" (2x 3) (6x 1)

Factor común (2x 3)

" (x2 10x 25) 1

Agrupando términos

" (x 5)2 1

Trinomio cuadrado perfecto

" ((x 5) 1)((x 5) 1)

Diferencia de cuadrados

" (x 4)(x 6)

Simplificando

x 1 10x 25 " (x 10x) (25 1); 2

2

x2 1 10x 25 " (x2 1) (10x 25)

c) x2 1 10x 25

Sin embargo, agrupar tres términos para dejar una diferencia resulta exitoso. Ensayo y error Prueba diversas combinaciones cuando no identifiques un patrón para factorizar. A veces existen varias formas de factorizar una expresión; otras veces, ninguna produce una factorización entera.

Ampliando el conocimiento 1. El parque zooMAT es una reserva de selva semihúmeda, de 140 has de extensión, con exuberante vegetación de árboles perennifolios (como zapote y chicozapote) y caducifolias (higo, copal y nangañales). 2. Alberga sólo especies propias de la región (como jabalíes, jaguares, pumas, tapires) algunas en peligro de extinción y poco comunes en cautiverio (pavón, guacamaya y quetzal) que viven en su ámbito natural. 3. Situado al sur de la capital del estado, es considerado uno de los mejores centros de conservación, educación ambiental e investigación en América Latina.

Ejemplo 6 Preservación ecológica La guacamaya roja es una especie en peligro de extinción debido a la desaparición de su hábitat y a su lento proceso de reproducción: una pareja procrea uno o dos polluelos que tardan dos años en dejar a los padres. El hábitat de estos animales en el parque zooMAT, en el estado de Chiapas, de 2002 a 2006, puede modelarse (en m2) con 45x2 45x 8190 (x " 0 n 2002). Si en 2002 había 14 guacamayas rojas, y cada año el total aumentó en 1. a) Halla un modelo para la dimensión del hábitat por guacamaya cada año. b) Determina el tamaño del hábitat individual en 2002 y en 2006.

Solución a) Modelos verbal y algebraico. Hábitat total " cantidad de guacamayas w hábitat individual 45x2 45x 8,190 "

(14 x)

w

H

Como 45x2 45x 8,190 " 45(14 x) (13 x), resulta H " 45(13 x). b) En 2002 cada guacamaya tuvo 45(13 x) " 45(13 0) " 585 m2, en promedio, para desarrollarse. Para 2006, debido al incremento de la población de guacamayas, este espacio disminuyó a 45(13 4) " 405 m2.

Grupo Editorial Patria® 93

Autoevaluación 5A Ejercicios 1 a 6. Factoriza cada trinomio. 1. x2 9x 8

2. x2 7x 12

3. x2 15x 54

4. x2 6x 7

5. x2 6x 16

6. x2 7x 30

Ejercicios 7 a 12. Factoriza cada trinomio. 7. 2x2 25x 12

8. 12x2 31x 20

9. 5x2 22x 24

10. 2x2 23x 12

11. 3x2 20x 32

12. 6x2 17x 10

Ejercicios 13 a 18. Expresa cada trinomio usando tres factores. 13. 4x2 20x 24

14. 6x2 26x 8

15. 10x2 15x 10

16. 2x2 16x 30

17. x2 9x 20

18. 10x2 40x 50

Ejercicios 19 a 24. Factoriza cada expresión combinando diversas técnicas. 19. 10x2 6x 35x 21 22. 45x3 5x

20. 16x2 24x 10x 15

23. (3x 1)2 x2 4x 4

21. 2x3 4x2 2x

24. x(x2 25) 3(x2 25)

25. Geometría a) Usa el modelo geométrico para factorizar el trinomio; b) y c) obtén una expresión algebraica para los lados del rectángulo a) 3x2 5x 2

x

Sugerencias para la autoevaluación 5A 1 a 6. Revisa los ejemplos 1 y 2 de este segmento informativo. 7 a 12. Revisa los ejemplos 3 y 4 de este segmento informativo. En el ejercicio 11 escribe (1)(3x2 20x 32). 13 a 18. Extrae un factor común numérico y después factoriza cada trinomio. 19 y 20. Agrupa por pares de términos y busca un factor común. Este ejercicio muestra una variante para factorizar ax2 bx c: 10x2 41x 21 " 10x2 (6x 35x) 21. Observa que 6 y 35 son los factores de ac " 10(21) que suman b " 6 35 " 41. 21 a 24. En el ejercicio 23 usa –(x2 4x 4). Extrae factor común en los otros ejercicios. En el 21 usa trinomio cuadrado perfecto y en 22, 23 y 24, diferencia de cuadrados. 25a) Forma un rectángulo, como aquí:

x x

1

1 x

1

x

1 1

1

b) x2 2x 15

x+2 x+1

Área

x2 3x 2

"

(x 2)(x 1)

c) 8x2 14x 15 25b) y c) Factoriza cada trinomio. Área

1 2 ) por ( ) y asigna cada 5 2 parte a un factor binomio.

26. Multiplica ( 26. Venta de chocolate Si el precio semanal por una taza de chocolate fue p " 10 x/10, y T " (1/5)(x2 30x 7,000) es el ingreso por la venta semanal, a) ¿Cuántas tazas de chocolate se vendieron en la semana x? b) ¿Y en las semanas 0, 1, 2, 10 y 12? c) ¿Cuál fue, en esas semanas, el precio de cada taza de chocolate?

94

5

BLOQUE

Realizas transformaciones algebraicas II

5

B

BLOQUE

Situación didáctica a)

Venta de churros

Abres una cafetería con venta de churros. En la primera semana de invierno vendes 1,750 churros. En las siguientes 11 semanas tus ventas aumentaron 450 piezas cada semana.

Conocimientos Fracciones algebraicas Simplificar

x2 3x 2 . 6x 12

Método 1 a) La división entera no es posible. b)

x2 3x 2 6(x 2)

Factorizas abajo

c) Divides x2 3x 2 entre x 2 x1 x 2 x2 3x 2 x2 2x x2 x 2 0

b) Tu socio, quien estableció la política de precios, explicó que puede determinar los ingresos semanales (en pesos), con el modelo I " 9x2 865x 3,500, en donde x " 0 representa la primera semana.

d) Cancelas factores comunes x2 3x 2 (x 1)(x 2) x 1 " " 6(x 2) 6 6(x 2)

Tú sabes que los precios se ajustaron cada semana y deseas ahora conocer cuál fue el precio promedio en cada una, además de tener una idea general del comportamiento de los precios, ventas e ingresos durante ese periodo. ¿Cómo utilizarías la información que posees?

Análisis de la situación Método 2

Parte a) Ventas

Factorizas arriba y abajo, como en d). (En el caso del problema se requiere un arreglo que puedes consultar en la segunda parte del libro.)

Consulta

1. Registra las ventas semanales de churros en una tabla: Semana

0

1

2

3

Venta

1,750

1,750 1(450)

1,750 2(450)

1,750 ?

¿Observas alguna regularidad en el comportamiento de las ventas? Descríbela con palabras.

En libros de álgebra y otras fuentes: Factorización de trinomios Simplificación de expresiones racionales División de polinomios En Internet: Op. cit. Bloque 4A

Parte b) Precios 1. El ingreso (I) de la venta de churros es igual al producto de las cantidades vendidas de churros (v) por el precio (p) de cada churro: I " pv. De aquí que, con el ingreso y las cantidades vendidas, puede obtenerse el precio de cada churro: I p= v

Grupo Editorial Patria® 95

Secuencia didáctica

Rúbrica de evaluación

Parte a) 1. A partir de la regularidad observada en la tabla, el modelo algebraico para describir las cantidades vendidas de churros v en la semana x es: v 1,750 _______ x, . donde x 0, 1, … , Parte b) 2. Para conocer el precio promedio de los churros en cada semana, reemplazamos I en p = las anteriores expresiones de I y v: v I 9x2 . p= = v + 1,750. 3. Al factorizar y cancelar factores comunes, se logra una expresión más simple ( )( ) = . para el precio: p = 50( ) 50

1. Escribe en tu cuaderno de matemáticas el desarrollo detallado de cada uno de los puntos de la secuencia didáctica. 2. Pon especial atención a las transformaciones y operaciones algebraicas del punto 3. Una estrategia para localizar el factor común es observar el factor lineal del denominador y dividir entre éste el numerador para obtener su otro factor. 3. Explica el comportamiento de cada gráfica y la relación entre ellas (precios-venta). 4. Procede de forma similar para el proyecto de trabajo.

4. Para visualizar el comportamiento de los precios p cada semana x, puede construirse una tabla: Semana

0

Precio

3.60

1

2

3

4

5

… …

3.54

10

11 3.38

5. Otra forma de visualizar el comportamiento de estos registros es mediante una gráfica. Identifica y completa cada una. 8,000 7,000 6,000 5,000 4,000 3,000 2,000 1,000 0

3.66 3.33 3.00 2.67

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

0

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Proyecto de trabajo 9x

1. Empaque para televisión Una compañía de aparatos electrónicos desarrolla modelos de televisión como el mostrado en el diseño, cuyas proporciones requieren cajas con el volumen indicado. a) ¿Cuáles expresiones algebraicas corresponderían a las dimensiones de cada caja? b) ¿Cuáles serían dichas dimensiones cuando x 5 cm? c) ¿Cuáles podrían ser el ancho y el largo de las televisiones que irían en tales cajas? d) ¿Cuáles valores para x serían plausibles? Haz una tabla para cuatro de estos posibles valores y las dimensiones de las cajas.

Volumen 9x(10x2 + 441x + 44)

96

5

BLOQUE

Realizas transformaciones algebraicas II

Segmento informativo

5B

Simplificación de expresiones racionales (Fracciones algebraicas) Una expresión racional es el cociente de dos polinomios.

Recuerda am a y son equivalentes. Las fracciones bm b 18 3 es equivalente a . 24 4

6x2 7x 5 2x2 x

Expresión racional

Simplificar una expresión racional es eliminar los factores comunes al numerador y al denominador. Esto se logra factorizando.

Simplificación de expresiones racionales

18 (6)(3) 3 " " . 24 (6)(4) 4

1. Factorizas numerador y denominador. 2. Cancelas los factores comunes.

Observaciones importantes

Expresión racional 6x2 7x 5 2x2 x

1. En una expresión racional el denominador nunca es cero, ni una constante.

Verifica tu avance ¿Es

Factorización =

(2x 1)(3x 5) x(2x 1)

Expresión simplificada =

3x 5 x

Una expresión racional que no contiene factores comunes es irreducible.

x2 5x 7 una expresión racional? 10

10x 5 5(2x 1) = x2 2x x(x 2)

Expresión irreducible

La simplificación de fracciones se basa en la siguiente propiedad: 2.

3x 5 es irreducible (el numerador y el x denominador no tienen factores comunes)

3x 5 3. No puedes cancelar así porque x x NO es factor de 5.

Principio para simplificar fracciones

v

am bm

Ejemplo 1 Simplificando expresiones racionales de monomios Fíjate en lo siguiente...

Puedes simplificar monomios fácilmente usando los criterios de divisibilidad para los coeficientes y las leyes de la división de exponentes para las variables. Observa: a) b)

10x 2x

m|0

(En esta identidad, a, m, b, son símbolos numéricos, es decir, son constantes, variables o expresiones numéricas o algebraicas.)

Ejemplo 1

3

a , b

"

" 5x3 1 " 5x2.

12x 4 . " 4x1 " 2 3x x

Elimina los factores comunes en cada expresión racional. a)

10x3 2x

Solución a)

10x3 10 x x2 " " 5x2. 2x 2x

b)

12x (4)(3)x 4 " . " 3x2 x 3xx

b)

12x 3x2

Grupo Editorial Patria® 97

Ejemplo 2 Simplificando expresiones racionales con monomio Suprime los factores comunes en

20x4 4x3 16x . 2x

Solución 20x4 4x3 16x 2x "

2x (10x3 2x2 8) 2x

" 10x 2x 8 3

2

Factor común 2x

Eliminando factores comunes

Ejemplo 3 Simplificando expresiones racionales con monomio Elimina los factores comunes en

x2 7x . 3x

Ejemplo 2 Fíjate en lo siguiente... 1. El factor común para el numerador y el denominador debe ser el mayor posible para ambos. 2. Debido a esto, aunque 20x4 4x2 16x tiene como mayor factor común 4x, sólo extraes 2x, por ser el que coincide con el factor del denominador. 3. Cuando la expresión racional es de la forPolinomio puedes aplicar la ley disma Monomio tributiva y simplificar monomios. 20x4 4x3 16x 1 " (20x4 4x3 16x) 2x 2x 20x4 4x3 16x " 2x 2x 2x " 10x3 2x2 8.

Solución

(Generalmente se omite el primer paso.)

x 7x 3x 2

"

x (x 7) 3x

Factor común x

"

x7 3

Eliminando factores comunes

Ejemplo 3 Fíjate en lo siguiente... 1. Puedes aplicar la propiedad distributiva al resultado racional para obtener un polinomio

Ejemplo 4 Simplificando expresiones racionales de polinomios Simplifica la expresión racional

7x3 28x . x2 2x

x7 x 7 " 3 3 3 2. Los coeficientes de este polinomio no son enteros.

Solución 7x3 28x x2 2x "

7x (x2 4) x (x 2)

Ejemplo 4 Factor común 7x y x

7x (x 2)(x 2) " x (x 2)

Factorizando x2 4

= 7(x 2)

Eliminando factores comunes

Fíjate en lo siguiente... También puedes expresar el resultado como un polinomio: 7(x 2) " 7x 14

98

5

BLOQUE

Realizas transformaciones algebraicas II

Ejemplo 5

Ejemplo 5 Simplificando expresiones racionales de polinomios Fíjate en lo siguiente...

Simplifica la siguiente expresión racional:

1. Consideras x como factor común por estar presente en todos los términos del numerador y el denominador.

Solución

2. Factorizas el trinomio cuadrado perfecto

"

x3 2x2 x . 5x2 5x

x3 2x2 x 5x2 5x

x2 2x 1 " (x 1)2 " (x 1)(x 1).

x (x2 2x 1) x (5x 5)

Factor común x

(x 1)(x 1) 5(x 1) (x 1) = 5 "

3. Extraes 5 como factor común en el denominador. 4. Puedes expresar el resultado como un polinomio con coeficientes fraccionarios:

Factor común x 1 Eliminando factores comunes

Ejemplo 6 Decoración de interiores

x1 x 1 " 5 5 5

Trabajas en una empresa que se dedica a la decoración de interiores. La instalación de ornamentos y lámparas de iluminación, tienen un costo de O " 5x3 350x2 4,125x, L " 2,500(x 55) por x metros cuadrados, respectivamente, donde x indica decenas de m2.

Ejemplo 6 Observaciones importantes

a) ¿Cuál es el costo de cada tipo de instalación en 200 m2 de superficie de un restaurante?

1. El significado de la expresión “x indica decenas de m2” queda claro si asignas valores a x:

b) Compara los costos mediante una razón numérica y generaliza con una expresión algebraica. c) Utiliza este modelo para comparar los costos para 200 m2.

Valor real de x en m2

208,000

1

1 w 10 " 10

160,000

2

2 w 10 " 20

10

10 w 10 " 100

20

20 w 10 " 200

Costo en $

Valor de x en el modelo

3. Debes tener cuidado de considerar estas conversiones cuando se indique una equivalencia. Si vas de los valores de la gráfica al valor real debes multiplicar por el factor. Para pasar del valor real a la gráfica, debes dividir entre dicho factor. 4. Estas equivalencias a veces se enuncian en expresiones verbales tales como: “x en decenas de m2”, “x en miles de pesos”, etcétera.

112,000 64,000 16,000

Es decir, 1 en el modelo representa 1 decena; 2 representa 2 decenas, etcétera. 2. La indicación en la escala horizontal de la gráfica 1 n 10 precisa esta situación para los valores de esa escala.

ORNAMENTOS

1

Solución

5

10 15 20 Área en m 2 (1 ↔ 10)

25

a) Cada expresión se valúa para x " 20. O " 5(20)3 350(20)2 4,125(20) " $ 262,500. L " 2,500 (x 55) " 2,500 (20 55) " $ 187,500. b)

O 262,500 " " 1.4. El costo de los objetos ornamentales es casi una vez y media L 187,500 el costo de la instalación de lámparas. O 5x3 + 350x2 4,125x 5 x(x 55)(x 15) x(x 15) " . " " 2,500(x 55) 5 (500)(x 55) 500 L

c) Para 200 m2,

O 20(20 15) 700 7 " " " " 1.4. 500 5 500 L

Grupo Editorial Patria® 99

Autoevaluación 5B Ejercicios 1 a 4. Simplifica los siguientes monomios. 32x2 1. 4x

25x4 2. 5x2

7x 3. 10x2

2x5 4. 5x2

Ejercicios 5 a 7. Elimina los factores comunes en cada expresión. 5.

4x2 8x 2x

6.

15x3 45x2 40x 5x

12x4 16x3 60x2 4x

7.

8.

x 11x 24 x3

11.

81x 16 9x 4

10.

9x 18x x2 2x

6x3 12x2 6x 3x 3

13.

x2 5x x

2

9.

169x3 13x

12.

2

Ejercicios 14 a 20. ¿Cuáles expresiones racionales son irreducibles? 14.

x1 6

17.

3x2 2x 1 x2

15.

18.

x 3

(x 5)(x 6) x 19.

x2 10x 25 x5

16.

x2 10x 25 x5

20.

24x(x 2) 3x

a) ¿Cuál fue el ingreso cuando se vendieron 16,000 libros? b) ¿Cuál expresión algebraica indica el precio promedio p de venta de cada libro? Ingreso $ (1 ↔ 100)

5 a 7. Divide cada término entre el divisor. Revisa los ejemplos 2 y 3. Atiende signos. 8 y 12. Factoriza el trinomio. Ejemplos 4 y 5. 10 y 13. Extrae factor común. 14 a 20. ¿Puedes factorizar y obtener un factor común para los dos polinomios? 21. Para convertir valores: 1) Del modelo al valor real: Multiplica por 100 el valor de I, por 1,000 el de x; el de p por 1/10: 100I 1 ©1¹ 1 " ª º" p) (p real " 1,000x 10 « x » 10 2) Del valor real al modelo: Haz la operación inversa en cada caso. a) Calcula para el valor x " 16 (en el modelo, x representa miles). El valor que obtengas al sustituir x " 16 en I, multiplícalo por 100 para obtener la cantidad en pesos.

21. Venta de libros Los ingresos de una librería al vender x ejemplares en un mes (1 n1,000 libros), pueden modelarse con I " 0.02x4 10x2 2,000x (1 n 100 pesos).

c) Simplifica esta expresión y determina cuál fue el precio promedio de cada libro cuando la venta alcanzó 32,000 ejemplares en un mes.

1 a 4. Simplifica, si es posible, coeficientes con sus signos. Divide potencias. Ejemplo 1.

9. Factoriza la diferencia de cuadrados.

Ejercicios 8 a 13. Simplifica las siguientes expresiones racionales. 2

Sugerencias para la autoevaluación 5B

65,536 32,768 0 8 16 24 32 40 Libros (1 ↔ 1,000)

22. Precios de pantalones y sacos Hasta 15 piezas, el precio de un traje de vestir puede modelarse con T " 0.9(x2 x 1,980). El precio al vender por separado el saco y el pantalón se halla con S " 0.6(x2 5x 1,800) y P " 0.4(x2 5x 1,800). a) Obtén razones algebraicas que indiquen qué parte del costo total del traje representa el pantalón y el saco.

b) p "

Ingresos 1 " "? Libros vendidos x

c) Sustituye x " 32 en la expresión que obtuviste para p. Multiplica al final por 1/10. 22. Similar al ejemplo 6. No hay necesidad de conversiones (pues no se especifican equivalencias): la sustitución directa proporciona los precios en pesos. Un factor común para T, S y P es x 45. Halla el otro factor para cada trinomio dentro del paréntesis. a) Obtén y simplifica P/T y S/T.

b) Compara el precio del saco respecto al del pantalón.

b) Haz lo mismo con S/P.

c) Calcula los precios para x " 1; sustituye este valor en las expresiones anteriores que los comparan.

c) Sustituye x " 1 en las expresiones. Comprueba y utiliza estas factorizaciones: T " 0.9 (x 44) (x 45) S " 0.6 (x 40) (x 45) P " 0.4 (x 40) (x 45).

100

5

BLOQUE

Realizas transformaciones algebraicas II

5

C

BLOQUE

Conocimientos

Situación didáctica

Limpieza de albercas

En un centro recreativo se cambia el agua de las albercas cada tres días. El volumen de agua que se requiere para llenar cada una nuevamente (en m3) se determina con V " 48x3 72x2 24x, donde x es la longitud del trampolín en cada alberca, superior a 1 m, pero no mayor a 2.5 m.

División larga de polinomios Ordena ambos polinomios en forma ascendente o descendente Repite dos pasos cíclicamente: 1. Divide sólo primeros términos. 2. Multiplica el resultado por el divisor y réstalo al dividendo. Paso 1 x x 1 x2 1

Al dividir x2 entre x obtienes x

Paso 2 x1

x Multiplicas x por x 1 x2 1 x2 x y restas este producto x 1

Continúas repitiendo el ciclo:

Mediante la expresión 6x 3 se obtiene el ancho de cada alberca, las cuales poseen forma rectangular. ¿Qué otros datos pueden obtenerse acerca del tamaño y la limpieza de las albercas? ¿Es posible determinar, por ejemplo, las restantes dimensiones de cada alberca y la superficie de cada una? ¿Cuáles podrían ser para un trampolín de 2.5 metros de largo? ¿Y de 2 metros?

Paso 1 x1 Divides x entre x 2 y obtienes 1 x 1 x 1 2 x x x 1 Paso 2 Multiplicas 1 por x 1 y restas...

Análisis de la situación 1. Existen diversas posibilidades para el ancho y el volumen de las albercas, por ejemplo: x (m) Ancho (m)

Consulta En libros de álgebra y otras fuentes: Factorización de trinomios Simplificación de expresiones racionales División de polinomios En Internet: Op. cit. Bloque 4A

3

Volumen (m )

1.10

1.50

2.00

3.6

6

9

3.2

36

144

¿Pueden utilizarse otras medidas para el trampolín? Menciona algunas. Ciertas medidas carecen de sentido. ¿Cómo cuál? ¿Por qué? 2. ¿Podrías averiguar, a partir de los datos de la tabla, cuáles son las dos dimensiones faltantes de cada alberca? Intenta auxiliarte con la fórmula para el volumen de V ? ¿Cuánto las albercas: V " largo × alto × ancho. ¿Qué te daría el cociente ancho mediría el largo y el alto de cada una de las albercas examinadas en la tabla?

Grupo Editorial Patria® 101

Secuencia didáctica 1. La fórmula para el volumen, V " largo × alto × ancho, muestra que al dividir V entre el ancho se obtiene el producto largo × alto. Así, V 48x3 72x2 24x " 8__ ____ " ancho 6x 3 2. Escribiendo 8 ______ ______ como producto de dos expresiones algebraicas, una sería el largo y la otra el __________ (alto/ancho/largo). Por ejemplo, puede escribirse 8 ______ ______ " 8x( ). 3. ¿Cuál de estos factores correspondería al largo y cuál al alto (profundidad) de la alberca? ¿Cuál dimensión es usualmente mayor en las albercas? ¿Cuál expresión sería mayor en este caso? ¿Por qué? Para x " 2.5 m se tendría: largo ________ ; ancho ________ ; profundidad ________ . 4. Otras posibilidades para descomponer 8 ______ ______ en dos factores, son: 8(x2 ); 4x( 2); x( ); 16x( ). No todas son isibles en el contexto del problema, pues algunas producen dimensiones absurdas. 5. Siendo el ancho 6x 3, las tres primeras expresiones anteriores darían, para una alberca con un trampolín de 2 m de longitud, las siguientes dimensiones: largo __________ , ancho __________ , profundidad __________ , la cuarta expresión daría: largo _________ , ancho _________ , profundidad __________ . Aceptando que en las albercas: largo v ancho # profundidad, ¿serían isibles las tres primeras medidas? 6. Para otras medidas del trampolín, entre 1 m y 2.5 m (1 ! x f 2.5), ¿qué dimensiones producirían estas expresiones? ¿Cuáles resultan más costosas para el mantenimiento de la limpieza?

Proyecto de trabajo 1. Cajas para regalo Una caja para regalo con base cuadrada tiene volumen V " 16x3 40x2 25x cm3 y altura x.

a) Obtén una expresión para los lados de la caja. b) Encuentra la razón del volumen al ancho. c) ¿Proporciona la razón anterior el área superficial de la base de la caja? ¿Por qué sí o por qué no? d) Halla las dimensiones, el volumen y el área de la base de la caja cuando x " 12 cm.

Rúbrica de evaluación El desarrollo de la secuencia didáctica en tu cuaderno de matemáticas deberá incluir las transformaciones algebraicas requeridas para las respuestas: 1. La división de polinomios (punto 1). 2. Las factorizaciones del cociente, y la comprobación de que son correctas (puntos 2 y 4). 3. El cálculo del valor de las expresiones algebraicas para los valores considerados para x (puntos 3 y 5). 4. Los resultados de la exploración de valores, organizados en tablas: T

A

L

P

x

6x 3

16x

x 1 2 2

1.5

6

24

0.25

2.2

10.2

35.2

0.6

T

A

L

P

x

6x 3

8x

x1

1.5

6

12

0.5

2

9

16

1

(Longitudes: T " trampolín, A " ancho, L " largo, P " profundidad)

102

5

BLOQUE

Realizas transformaciones algebraicas II

5C

Segmento informativo

Recuerda 1. Un polinomio está escrito en forma estándar si las potencias son decrecientes. Forma estándar

No estándar

x 2x 15

–15 2x x

2

2

2. Nombres de los términos en una división: x2 3 2 Divisor x 1 x x 3 2 x x 0

Cociente Dividendo Residuo

3. La regla (o algoritmo) de la división puede expresarse de dos maneras: Dividendo " divisor w cociente residuo Dividendo Residuo " Cociente Divisor Divisor x x " x2 x1 3

Así, x3 x2 " (x 1)x2 o

2

4. La división es exacta cuando el residuo es cero (como aquí). En tal caso el divisor es un factor del dividendo. 5. El grado de cualquier constante es cero. La división concluye si el residuo es una constante o un polinomio con menor grado que el divisor.

División de polinomios Al dividir polinomios puede presentarse alguno de estos casos: Monomio entre monomio

Polinomio entre monomio

Polinomio entre polinomio

5x 2x2

6x3 16x2 10x 2x

x2 2x 3 x1

Las divisiones se efectúan simplificando factores comunes, cuando estos existen y resulta fácil obtenerlos. En los casos anteriores: 5x 5 5x " " 2x2 2xx 2x 6x3 16x2 10x 6xxx 16xx 10x " " 3x2 8x2 5 2x 2x 2x 2x x2 2x 3 (x 1)(x 3) " "x3 x1 (x 1) La división larga de polinomios se usa cuando se dificulta simplificar. Los polinomios deben estar escritos en forma estándar.

División larga de polinomios 1. Divide el primer término del dividendo entre el primero del divisor. 2. El producto de este cociente y el divisor réstalo del dividendo. Después usa cada residuo como dividendo y aplica 1 y 2. El proceso termina cuando el residuo tiene menor grado que el divisor. Paso 1 x3 x 1 x3 x2

Paso 2

Divides x3 { x

x2 Multiplicas x2(x 1) 3 2 x1 x x x3 x2 y lo restas (cambia signos) 0

Ejemplo 1 Dividiendo polinomios en dos pasos

Ejemplo 1 Fíjate en lo siguiente... Puedes comprobar la división con el algoritmo. Una forma: 2(x 5) 3 " 2x 10 3 " 2x 7 Otra forma: 3 2(x 5) 3 2x 7 " " 2 x5 x5 x5

a) Divide 2x 7 entre x 5.

b) ¿Es x 5 un factor de 2x 7?

Solución 2 a) x 5 2x 7 2x 10 3

Divides 2x { x y obtienes 2 Multiplicas 2(x 5) y cambias el signo para restar

b) No. El residuo es distinto de 0. Se escribe 2x 7 " 2(x 5) 3.

3 2x 7 "2 , o bien, x5 x5

Grupo Editorial Patria® 103

Ejemplo 2 Dividiendo polinomios en dos pasos

Ejemplo 2

a) Divide 8x4 2x2 x entre 4x2 1.

Fíjate en lo siguiente...

b) ¿Es 4x2 1 un factor de 8x4 2x2 x?

Solución a)

2x2 4x2 1 8x4 2x2 x 8x4 2x2 x

Divides 8x4 { 4x2 y obtienes 2x2 Multiplicas 2x2 (4x2 1) y cambias signos

1. El proceso de la división larga de polinomios es similar al de la división entre números. 9 5 47 45 2

Divides 47 { 5 Multiplicas 9(5) y lo restas

2. Al dividir 8x4 { 4x2 considera los signos. x 8x4 2x2 x , " 2x2 2 2 4x 1 4x 1 o bien, 8x4 2x2 x " 2x2 (4x2 1) x.

b) No. El residuo NO es cero. Se escribe

Ejemplo 3 Dividiendo polinomios en varios pasos

3. La división concluye al obtener x como residuo, ya que su grado es menor que el del divisor 4x2 1.

Ejemplo 3 Fíjate en lo siguiente...

a) Divide 3x2 7x 6 entre x 3. b) ¿Es x 3 un factor de 3x2 7x 6?

1. Al concluir los dos primeros pasos termina el primer ciclo. El residuo es 2x 6.

Solución

2. Como este residuo tiene igual grado que el divisor (x 3), la división prosigue.

a) Usas los pasos 1 y 2 (1er ciclo). 3x x 3 3x2 7x 6 3x2 9x 2x 6

Divides 3x2 { x y obtienes 3x Multiplicas 3x(x 3) y cambias signos Bajas 6

3. En el siguiente ciclo el residuo 2x 6 es el nuevo dividendo y reinicia así el proceso de los dos pasos. Después de los dos primeros pasos Cada nuevo residuo se toma como dividendo, hasta concluir la división.

Repites los pasos 1 y 2 con el residuo (2do ciclo). 3x 2 x 3 3x2 7x 6 3x2 9x 2x 6 2x 6 0

b) Sí. El residuo es 0. Se escribe 3x2 7x 6 " (x 3) (3x 2).

Divides 2x { x y obtienes 2 Multiplicas 2(x 3) y cambias signos

3x2 7x 6 " 3x 2, o bien, x3

Verifica tu avance 1. ¿Cuáles términos debes dividir para continuar la división? x x 1 x2 1 x2 x x 1 2. ¿Podrías haber escrito 1 x en el último renglón mostrado? Explica.

104

5

BLOQUE

Realizas transformaciones algebraicas II

Ejemplo 4

Ejemplo 4 Dividiendo polinomios en varios pasos Fíjate en lo siguiente...

1. Para cada término en el cociente realizas un ciclo en la división.

Obtén el cociente de x3 1 entre x 1.

Solución Usas los pasos 1 y 2 (1er ciclo). Divides x3 { x y obtienes x2

x2 x 1 x3 1 x3 x2 x2 1

2. Cada ciclo consta de los dos pasos básicos: – Divides primeros términos – Multiplicas y restas

Multiplicas x2(x 1) y cambias signos

3. Cada residuo se escribe en forma estándar. Repites los pasos 1 y 2, con el residuo (2do ciclo). x2 x x 1 x3 1 x3 x2 x2 1 x2 x x1

Recuerda 1. Puedes escribir las potencias faltantes asignándoles coeficiente cero. x2 x 1 x 1 x3 0x2 0x 1 x3 x2 x2 0x 1 x2 x x 1 x 1 2

Multiplicas x(x 1) y cambias signos

Repites los pasos 1 y 2 con el nuevo residuo (3er ciclo). x2 x 1 x 1 x3 1 x3 x2 x2 1 x2 x x 1 x 1 2

2. Si no deseas usar coeficientes cero, debes sólo acomodar los términos semejantes al restarlos, y bajar los que no tengan pareja.

Divides x { x y obtienes 1

Multiplicas 1(x 1) y cambias signos

Ejemplo 5 Fábrica de calzado deportivo 16,384 Ingreso (miles $)

3. Un mismo término puede continuar bajando varias veces, hasta obtener uno semejante en algún momento. Si esto último no ocurre, tal término quedará en el residuo.

Divides x2 { x y obtienes x

Durante su primer año de operación, una fábrica de zapatos deportivos obtuvo ingresos calculados en I " 0.25x2 120x 130 (1 n1,000 pesos) al vender al mayoreo en x días, x 10 pares de tenis (1 n100).

12,288 8,192 4,096

Ejemplo 5

0

Fíjate en lo siguiente...

64

256 128 Tiempo (días)

365

a) Halla una expresión para el precio promedio de cada par de zapatos.

b) Simplifica y obtén su precio (cientos de pesos) al concluir el primer año. 0.25x 120x 130 x 10 0.25(x2 480x 520) " x 10 2

1.

2.

0.25(x2 480x 520) x 10 © x2 480x 520 ¹ " 0.25 ª º x 10 « »

Solución a) Como Ingreso " cantidad w precio, el precio p"

0.25x2 120x 130 . x 10

© 4,380 ¹ b) p " 0.25 ª(x 490) º . Para x " 365, el precio fue p " $283.30. x 10 » «

Grupo Editorial Patria® 105

Autoevaluación 5C Ejercicios 1 a 6. Obtén el cociente de cada división simplificando factores. 18x 9x

2.

4x3 6x2 32x 2x

5.

3

1.

4.

3x 2x2

3.

5x3 20x x2

6.

5

9x 24x 6x 3x 3

2

3x2 5x 2 3x 1

Ejercicios 7 a 9. Realiza en dos pasos las siguientes divisiones. 7. (x3 1) { (x2 1)

8. (5x3 6) { (x2 8)

9. (12x3 x 7) { (4x2 7)

Ejercicios 10 a 15. Efectúa las siguientes divisiones. 10. (x2 1) { (x 1)

Sugerencias para la autoevaluación 5C 1 a 6. Revisa el inicio de este segmento. 7 a 9. Revisa los ejemplos 1 y 2. 10 a 14. Revisa los ejemplos 3 y 4. 15. Si no son divisibles los coeficientes de los 23 x polinomios, los cocientes se expre- 2x 1 3x2 x san con fracciones 3x2 23 x comunes. 23 x 3x2 3 © 3x ¹ 3x 2x 3x x " x; ª º 2x " 3x2; x " " 2 2x 2 « 2 » 2 2

11. (x3 4x2 4x 1) { (x2 5x 1)

16 a 18. Escríbelos en forma estándar.

12. (3x 7x 6) { (x 1)

13. (x 2) { (x x 1)

19 y 20. Divide entre el factor conocido.

14. (x 1) { (x 1)

15. (5x 2x 6) { (2x 2)

21. a) E " Cociente residuo ÷ divisor

2

2

4

3

2

2

Ejercicios 16 a 18. Ordena los polinomios y efectúa cada división. 16. (x 4) { (1 x)

17. (12 10x2 29x) ÷ (x 3)

18. (1 x2) ÷ (x 1)

b) Sustituye. Multiplica al final por 100. c) Halla x para E " 0 en el modelo. d) 1 lux " 1.1 watts/m2.

Ejercicios 19 y 20. Halla el factor que se indica. 19. (7x2 12x 4) " (7x 2)(?)

21. Luminosidad submarina Al aumentar la profundidad océanica, los rayos solares pierden su intensidad, disminuyendo la temperatura y la visibilidad en el agua. El modelo mostrado permite determinar la luminosidad E del océano (1 n 100 luxes) a x metros de profundidad. (La visibilidad es nula si E es 0 o negativa.) E"

Ampliando el conocimiento

20. (5x3 14x2 7x 2) " (x 2)(?)

1,000 6x 3x 100

a) Simplifica este modelo. b) ¿Cuál es la luminosidad a 25 m de profundidad? ¿Y a 200 m?

1. La energía luminosa que llega del Sol a la atmósfera superior de la Tierra (constante solar) es de cerca de 1,360 W/m2. 2. Después de 150 a 200 m de profundidad oceánica, inicia la oscuridad total. Las especies abisales se iluminan por bioluminiscencia; en las zonas hadales los seres son ciegos o carecen de ojos. 3. La profundidad media del océano es de 4,000 m. La mayor es de 11,000 m, en las Fosas Marianas del Pacífico, en Filipinas.

c) ¿Hasta cuántos metros de profundidad existe visibilidad?

10 Luminosidad (1 ↔ 100 luxes)

d) ¿A cuántos watts por m2 equivale cada iluminación anterior?

8 6 4 2

0

32

64

96

128

Profundidad (metros)

160

106

5

BLOQUE

Realizas transformaciones algebraicas II

Instrumentos de evaluación Rúbrica

Rúbrica para evaluar el reporte de la situación didáctica “Limpieza de albercas” del Bloque 5C. Nombre del alumno:

Nivel

Aspecto a evaluar

Presentación

Desarrollo

Dominio del tema

Excelente (4)

Satisfactorio (2)

Deficiente (1)

Elabora el reporte a mano con buena caligrafía (o bien usando un procesador de texto con una impresión bien hecha), bien redactado y sin faltas de ortografía.

Elabora el reporte a mano con buena caligrafía (o bien usando un procesador de texto con una impresión bien hecha), redacción regular y sin faltas de ortografía.

Elabora el reporte a mano con regular caligrafía (o bien usando un procesador de texto con una impresión regular), redacción regular y pocas faltas de ortografía.

Elabora el reporte a mano con mala caligrafía, mal redactado y con muchas faltas de ortografía.

Presenta de manera ordenada todos los pasos para calcular las cantidades y expresiones pedidas.

Omite algunos pasos para calcular las cantidades y expresiones pedidas pero los presenta de manera ordenada.

Presenta de manera ordenada todos los pasos para calcular las cantidades y expresiones pedidas.

Sólo presenta resultados sin dar ninguna justificación.

Organiza en tablas las dimensiones de la alberca (columnas) para los diversos valores presentados de altura del trampolín.

Organiza en tablas las dimensiones de la alberca (columnas) para los diversos valores presentados de altura del trampolín.

No organiza en tablas las dimensiones de la alberca (columnas) para los diversos valores presentados de altura del trampolín.

No organiza en tablas las dimensiones de la alberca (columnas) para los diversos valores presentados de altura del trampolín.

Realiza correctamente la división entre polinomios.

Realiza correctamente la división entre polinomios.

Realiza correctamente la división entre polinomios.

Realiza incorrectamente la división entre polinomios.

Factoriza correctamente polinomios.

Factoriza correctamente polinomios.

Factoriza incorrectamente polinomios.

Factoriza incorrectamente polinomios.

Evalúa incorrectamente expresiones algebraicas.

Evalúa incorrectamente expresiones algebraicas.

Evalúa incorrectamente expresiones algebraicas.

Determina correctamente las dimensiones razonables de la alberca (largo, ancho y profundidad) para tres alturas del trampolín entre 1 m y 2.5 m.

Determina correctamente las dimensiones razonables de la alberca (largo, ancho y profundidad) sólo para alturas del trampolín de 2 m y 2.5 m.

Determina incorrectamente las dimensiones razonables de la alberca (largo, ancho y profundidad) para las alturas empleadas.

Evalúa correctamente expresiones algebraicas.

Resultados y conclusiones

Bueno (3)

Determina correctamente las dimensiones razonables de la alberca (largo, ancho y profundidad) para al menos cuatro alturas del trampolín entre 1 m y 2.5 m.

Lista de cotejo

Lista de cotejo para el reporte de la situación didáctica “Venta de churros” del Bloque 5B. Presentación

SÍ

NO

Observaciones

SÍ

NO

Observaciones

1. Cuenta con una carátula que incluye al menos el nombre del trabajo que se realiza, el nombre de la materia, la fecha de entrega, el nombre del alumno y su matrícula. 2. La redacción es buena o por lo menos satisfactoria. 3. Tiene pocos o ningún error de ortografía. 4. Elaboró el trabajo con un procesador de texto como Word, o bien, lo hizo a mano con buena caligrafía o por lo menos entendible. 5. Dibujó las gráficas pedidas en papel milimétrico o bien por computadora en un formato bien presentado indicando claramente las variables que se grafican y sus unidades. Desarrollo 6. Elaboró una tabla de ventas semanales de churros e indicó la regularidad que observó. 7. Presenta todos los pasos requeridos para determinar las cantidades pedidas siguiendo una secuencia coherente y ordenada.

Grupo Editorial Patria® 107

Dominio del tema

SÍ

NO

Observaciones

SÍ

NO

Observaciones

8. Factoriza correctamente polinomios. 9. Realiza correctamente la división entre polinomios. 10. Conoce la relación entre ingreso, cantidad vendida de un producto y el precio de dicho producto. Resultados y conclusiones 11. Obtuvo la expresión algebraica para el precio por churro por semana. 12. Elaboró una tabla de precio por churro para las once semanas indicadas. 13. Graficó correctamente las ventas de churros en función de la semana e interpretó correctamente dicha gráfica. 14. Graficó correctamente el precio de los churros en función de la semana e interpretó correctamente dicha gráfica.

Comentarios generales: __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ Nombre del estudiante: _______________________________________________

Fecha: ____________________

Guía de observación para los proyectos de trabajo “Gabinete para U”, “Empaque para televisión” y “Cajas para regalo” de los bloques 5A, 5B y 5C

Profesor:

Grado y grupo: Plantel: Clave:

Alumno:

Fecha de aplicación:

Nombre de la materia:

Desempeño a evaluar: Factorización de polinomios. INSTRUCCIONES: Observe si la ejecución de las actividades que se enuncian las realiza el capacitando que se está evaluando y marcar con una “X” el cumplimiento o no en la columna correspondiente; asimismo, es importante anotar las observaciones pertinentes. No.

Acciones a evaluar

1

Obtiene las expresiones algebraicas (con coeficientes enteros) para las dimensiones del gabinete para U.

2

Calcula las dimensiones del gabinete para U para x = 10 cm.

3

Obtiene las expresiones algebraicas para las dimensiones de las cajas de televisores.

4

Calcula las dimensiones de las cajas de televisores para x = 5 cm.

5

Indica cuáles podrían ser el ancho y el largo de los televisores que podrían caber en las cajas.

6

Indica qué valores de x son físicamente posibles para las cajas de televisores.

7

Elabora una tabla para cuatro valores plausibles de x y las correspondientes dimensiones de las cajas de televisores.

8

Obtiene las expresiones algebraicas para las dimensiones de las cajas para regalo.

9

Determina la razón del volumen al ancho para las cajas para regalo.

10

Explica si la razón volumen a ancho es igual al área superficial de la base de la caja.

11

Halla las dimensiones, el volumen y el área de la base de la caja para regalo para x = 12 cm.

*No aplica.

REGISTRO DE CUMPLIMIENTO SÍ NO NA*

Observaciones

6

BLOQUE

Resuelves ecuaciones lineales I

8 horas

Objetos de aprendizaje Representación de relaciones entre magnitudes Uso de calculadora graficadora y/o una computadora Modelos aritméticos o algebraicos

Competencias a desarrollar n

n

n

Construye e interpreta la ecuación y función lineal, mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Formula y resuelve problemas sobre ecuaciones y funciones lineales con una incógnita, aplicando diferentes técnicas. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante las técnicas para la elaboración de gráficas (intersección con los ejes pendiente-ordenada al origen y tabulación) y los contrasta con modelos establecidos.

n

Argumenta la solución obtenida de un problema de ecuación lineal o función lineal con una incógnita, con el método gráfico, con el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.

n

Analiza las relaciones entre dos variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento utilizando la función de tipo lineal. Cuantifica y representa matemáticamente, las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean en los problemas planteados. Interpreta tablas, gráficas, y textos con símbolos matemáticos y científicos. Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.

n

n n

¿Qué sabes hacer ahora? Lo último que uno sabe es por dónde empezar. Blaise Pascal En la industria se elaboran muchos productos con diferentes presentaciones y calidades, en razón de su costo y de las opciones para su comercialización. En la industria de procesamiento de productos lácteos, por ejemplo, es común combinar diferentes clases de un producto para ofrecer otros con precios y características intermedias (cantidad de grasa incorporada, consistencia, nutrientes, etcétera). En muchas ocasiones, estas combinaciones se establecen con la ayuda de funciones y ecuaciones lineales.

Desempeños del estudiante al concluir el bloque n

n n

n n

Identifica lo que es una ecuación lineal en una variable y una función lineal, así como la relación entre ellas. Usa diferentes técnicas para resolver ecuaciones lineales en una variable. Reconoce a y " mx + b como una ecuación de dos variables como la forma de una función lineal. Aplica diversas técnicas para graficar una función lineal. Modela situaciones para escribirlas como una ecuación lineal y/o una función lineal.

n

Redacta y resuelve problemas relativos a situaciones que requieren el uso de ecuaciones lineales en una variable y/o funciones lineales. Describe el comportamiento de las variables y/o resultados al solucionar problemas de ecuaciones y/o funciones lineales; tanto algebraica como gráficamente.

n

Aplica diferentes técnicas para construir la gráfica de una función lineal.

n

Describe el comportamiento de la gráfica de una función lineal. Representa relaciones numéricas y algebraicas entre los elementos de diversas situaciones.

n

n

110

6

BLOQUE

Resuelves ecuaciones lineales I

6

A

BLOQUE

Conocimientos Simplificación de ecuaciones

Mezcla de dulces

Situación didáctica

Eres el gerente de la dulcería Sweet Candy que, entre otros productos, ofrece bolsitas de 100 g con dulces de chocolate a $12.00, y otras, con dulces de mejor calidad, a $35.00. Algunos clientes de la dulcería te sugieren que también ofrezcas estas bolsitas con combinaciones de las dos calidades de dulces de chocolate, a un precio intermedio.

12 x " 4(x 2) 12 x " 4x 8

Quita paréntesis

12 8 " 4x x

Agrupa variables

4 " 5x

Realiza operaciones

4 "x 5

Divide entre 5

0.8 " x

Fracción decimal

Ecuaciones con decimales Convierte a enteros multiplicando por una potencia de 10. 1. 0.6 0.07x " 0.35x 0.08 Mayor cantidad de cifras decimales: 2 Multiplica por 102 " 100: 60 7x " 35x 8.

Consideras que $24.00 podría ser un buen precio y que podrías disponer 3 kg del dulce de chocolate más caro, para experimentar. Unos minutos después de haberlo comentado con tu ayudante, éste te informa que, para tal propósito, deberás agregar 2 kg del dulce de chocolate más barato. ¿Cómo sabes que es correcto el dato que te dio tu ayudante? ¿Qué cálculos consideras que hizo para obtener ese resultado?

2. 0.2x " 0.006x 4.5 Mayor cantidad de cifras decimales: 3 Multiplica por 103 " 1,000:

Resuelve esta situación utilizando un modelo algebraico.

200x " 6x 4,500

Análisis de la situación Productos con potencias de 10 El exponente dice cuántos lugares a la derecha mueves el punto decimal.

1. Sin álgebra Tu ayudante pudo haber hecho una tabla a partir del precio de un kilogramo de cada tipo de chocolate.

Consulta En libros de álgebra y otras fuentes: Solución de ecuaciones lineales En Internet: www.aaamatematicas.com/equ.htm www.juntadeandalucia.es/averroes/ iesdiegogaitan/departamentos/ departamentos/departamento_de_matemat/ recursos/algebraconpapas/index.php www.librosmaravillosos.com/

Dulce caro ($)

Dulce barato ($) kg

0

0.5

1

1.5

2

0

0

60

120

180

240

0.5

175

1

350

355 470

2. Cálculos La fila y la columna en color amarillo registran pesos que aumentan en medio kilo a partir de 0 kg. En el cruce de cada fila y columna, en el cuerpo de la tabla (en color naranja), se suman los precios para esa combinación de ambos tipos de dulce (p. ej. con 1 kg de cada dulce: $350 $120 " $470). Llena la tabla hasta 3 y 2 kg. ¿Obtienes lo que dijo tu ayudante?

Grupo Editorial Patria® 111

Secuencia didáctica

Rúbrica de evaluación

1. Para escribir un modelo algebraico en problemas de mezclas, es útil elaborar un diagrama como se ilustra a continuación. Si desconoces una cantidad, represéntala con una variable. Dulce caro Cantidad (kg) Precio kg ($) Costo total ($)

3 350 ________ 3(350)

Dulce barato

x ( ) ________ ( )x

Mezcla (3 x) 240 ________ 240( )

"

Observa que la suma de los componentes es igual a la mezcla, con excepción del precio (pues éste fue estipulado de antemano).

En el registro de la actividad en tu cuaderno de matemáticas: 1. Completa la tabla con los cálculos realizados en el análisis de la situación. Mejora el resultado con subdivisiones de 100 g (0.1 kg) para valores entre 2 y 3 kg. 2. Consigna los desarrollos y cálculos efectuados en la secuencia didáctica. 3. Compara los dos métodos utilizados (numérico y algebraico), en simplicidad y precisión. 4. Comprueba tu resultado:

2. La última línea, la del costo total, es el modelo buscado: 3(350) (

)x " 240(

a) Suma los costos de cada cantidad de dulce para la mezcla.

).

b) Divide este costo entre la suma de ambas cantidades.

Para resolver esta ecuación: Efectúa los productos ______________________________________________

c) Divide el resultado entre 100 g.

Agrupa x en un lado _______________________________________________ Divide ambos lados entre el coeficiente de x ____________________________________________ 3. El resultado de esta ecuación es x " _________________ . Esto significa que, a los 3 kg del dulce más caro, debes agregar _________________ kg del otro dulce para obtener una mezcla que cueste $24 la bolsita de 100 g.

Proyecto de trabajo 1. Avena con chocolate Vendes bolsitas de 250 gramos de chocolate en polvo a $8.50, y de avena en polvo a $ 7.00. ¿Cuánta avena debes agregar a 6 kg de chocolate para obtener una mezcla de ambos productos que puedas vender a $7.50 la bolsa de 250 gramos? a) ¿Qué representa 7 w 4? ¿Y 8.50 w 4?

6 kg $34 ________

b) Elabora una tabla para aproximar el resultado. c) Continúa el diagrama y obtén el modelo algebraico. d) Resuelve la ecuación y comprueba tus resultados.

2. Productos lácteos Un productor desea obtener crema con 60% de grasa mezclando 2 kg de crema que contiene 40% de grasa, con otra crema que tiene 70% de grasa. ¿Cuánta crema al 70% debe usar? a) Expresa cada porcentaje en forma decimal. b) Obtén un modelo algebraico con el diagrama. c) Resuelve el modelo y comprueba tus resultados.

2 kg 40% ________ 2( )



x kg 70% ________ x( )

"

(2 x) kg 60% ________ (2 x)( )

112

6

BLOQUE

Resuelves ecuaciones lineales I

Segmento informativo

6A

Observaciones importantes

Ecuaciones lineales Solución de ecuaciones lineales Las ecuaciones son igualdades que son ciertas sólo para algunos (o ninguno) de los valores de la variable. Las identidades se cumplen para todos. Identidad 2x " (1 1)x

1. El propósito de las transformaciones es aislar la variable en un solo lado. 2. Cada transformación debe producir una ecuación más simple, equivalente a las anteriores. (Es decir, tienen las mismas soluciones, como x 2 " 5, x " 3.) 3. Cualquier ecuación lineal (primer grado) en x, puede escribirse en forma estándar.

Ecuación 4x " 8

Resolver una ecuación es determinar cuáles valores de la variable hacen que se cumpla la igualdad. Estos valores son sus soluciones o raíces. Ecuación

Raíz o solución

4x " 8

x"2

Una ecuación se resuelve para una variable x, de la manera siguiente.

Resolución de una ecuación 1. Transformas la ecuación hasta obtener una igualdad del tipo x " s.

Ecuación lineal en una variable

2. Utilizas para ello propiedades de la igualdad y operaciones inversas.

Su forma estándar es ax b " 0, a | 0. Su solución única es x " b/a.

x2"5

4x " 8

x22"52 x"3

Recuerda Propiedades aritméticas de la igualdad: ¯ ac"bc

4x 8 = 4 4

Sustraes 2

Divides entre 4

x"2

Algunas ecuaciones contienen variables en ambos lados. En tales casos las variables semejantes se concentran en un mismo lado, de preferencia en aquel donde está el mayor coeficiente.

a " b n°

± ac " bc, c | 0.

Operaciones en igualdades Sumar o multiplicar el mismo número se hace en ambos lados de la igualdad. El factor-divisor nunca debe ser cero.

Ejemplo 1 Sumando o restando en ambos lados Resuelve las ecuaciones siguientes. a) x 10 " 1

b) x 4 " 0

Solución a)

x 10 " 1 x 10 10 " 1 10 x " 11

Verifica tu avance 1 ¿Es " 4 una ecuación lineal? Explica. x

Ecuación original Restas 10 en ambos lados Simplificas

Comprobación: x 10 " 11 10 " 1. b)

x4"0 x44"04 x"4 Comprobación: x 4 " 4 4 " 0.

Ecuación original Sumas 4 en ambos lados Simplificas

Grupo Editorial Patria® 113

Ejemplo 2 Multiplicando o dividiendo en ambos lados

Ejemplo 2

Despeja la variable x en cada ecuación. a) 5x " 42.5

b)

Observaciones importantes x "5 12

2. Las soluciones se comprueban usando: Un solo lado: debes obtener el otro.

Solución a) 5x " 42.5

b)

1. Despejar la variable es lo mismo que resolver la ecuación para dicha variable.

Ecuación original a) 5x " 5(8.5) " 42.5 b)

x 60 " "5 12 12

5x 42.5 " 5 5

Divides ambos lados entre 5

x " 8.5

Simplificas

Ambos lados: debes obtener una identidad.

x "5 12

Ecuación original

a) 5x " 42.5;

12x " 5(12) 12

Multiplicas ambos lados por 12

x " 60

Simplificas

Ejemplo 3 Combinando varias transformaciones

a) 3x 24 " 18

b)

5x 20 " 5 3

x "5 12

5(8.5) " 42.5;

60 "5 12

42.5 " 42.5

5"5

3. Si el coeficiente de x es una fracción, puedes multiplicar por su recíproco. Ejemplo: 2x " 6, 7

Obtén la solución para cada ecuación.

b)

7 2

©2 x¹ 7 ª º " (6), «7 » 2

x"

42 " 21. 2

Verifica tu avance ¿Cómo iniciarías la resolución de

Solución 3x 24 " 18

a)

3x 24 24 " 18 24 3x " 6 x " 2

b)

Ecuación original

2x 9 " 5? Explica por qué. 3

Restas 24 en ambos lados Simplificas Divides ambos lados entre 3

Ejemplo 3 1. Cada transformación constituye un paso.

5x 20 " 5 3

Ecuación original

5x 20 20 " 5 20 3

Sumas 20 en ambos lados

5x " 15 3

Simplificas

5x " 45

Multiplicas ambos lados por 3

45 x" 5

Divides ambos lados entre 5

x"9

Simplificas

2. Algunos pasos sencillos pueden hacerse mentalmente (como 24 24 " 0, 3x 3x " x, etc.) y abreviar así la es0 " 3x, critura. 3

Verifica tu avance Al iniciar la resolución, ¿podrías multiplicar 5x 20 " 5? por 3 todos los términos de 3

114

6

BLOQUE

Resuelves ecuaciones lineales I

Ejemplo 4

Ejemplo 4 Simplificando para resolver la ecuación Fíjate en lo siguiente...

Resuelve cada ecuación. a) 10 " 4(x 1) x

Simplificar la ecuación significa: – Eliminar denominadores

b)

5 1 x (x 2) " 7 2 2

Solución

– Quitar paréntesis

a) 10 " 4(x 1) x

– Sumar los términos semejantes 1. El orden de ejecución depende de la ecuación. En a) inicias quitando paréntesis y en b) comienzas eliminando denominadores. 2. Multiplicar o dividir ambos lados significa hacerlo en cada término de la ecuación.

b)

10 " 4x 4 x

Propiedad distributiva

10 " 3x 4

Simplificas términos semejantes

6 " 3x

Restas 4 en ambos lados

2"x

Divides ambos lados entre 3

5 1 x (x 2) " 7 2 2 5x (x 2) " 14

3. Muchos errores al simplificar ecuaciones provienen de dividir inadvertidamente entre cero, cuando x interviene en el denominador.

Ecuación original

5x x 2 " 14 4x 2 " 14 4x " 16 x"4

Verifica tu avance

Multiplicas ambos lados por 2 Propiedad distributiva Simplificas términos semejantes Sumas 2 en ambos lados Divides ambos lados entre 3

Para resolver x " 2x divides ambos lados entre x. ¿Qué obtienes? ¿Qué se hizo mal?

Ejemplo 5 Resolviendo ecuaciones con distintos denominadores Ejemplo 5

Obtén la solución de las siguientes ecuaciones.

Para eliminar denominadores distintos.

a)

Denominadores diferentes Obtén su mínimo común múltiplo y multiplícalo por cada término.

1 3 x x x " 5 2 5

El mínimo común múltiplo (mcm) se obtiene con el producto de todos los factores primos: 2 1

5 5 1

2 w 5 " 10

2 5

6 2 1

4 4 2 1

3 2 2

3 w 2 w 2 " 12

7 3 xx" 6 4

Solución a) Halla el mínimo común múltiplo de 2 y 5: mcm (2, 5) " 10. 1 3 x x x " 5 2 5

Recuerda

b)

Ecuación original

5x 6x 10x " 50

Multiplicas ambos lados por 10

x " 50

Simplificas términos semejantes

b) Halla el mínimo común múltiplo de 6 y 4: mcm (6, 4) " 12. 7 3 xx" 6 4 14x 12x " 9 2x " 9 x " 4.5

Ecuación original Multiplicas ambos lados por 12 Simplificas términos semejantes Divides ambos lados entre 2

Grupo Editorial Patria® 115

Ejemplo 6 Resolviendo ecuaciones con la variable en ambos lados

Ejemplo 6

Resuelve 4x 30 " 10x 2.

Recuerda 1. En ecuaciones con la variable en ambos lados, reúne éstas en un mismo lado.

Solución 4x 30 " 10x 2

Ecuación original

4x 10x 30 " 2

2. Aunque puedes usar cualquier lado de la ecuación, es recomendable aquél donde está el mayor coeficiente de la variable para evitar coeficientes negativos.

Sumas 10x en ambos lados

4x 10x " 2 30

Restas 30 en ambos lados

14x " 28

Simplificas términos semejantes

x " 2

Divides ambos lados entre 14

Ejemplo 7 Resolviendo ecuaciones que incluyen decimales Resuelve 0.15x 0.35 " 0.05 (x 3).

3. Si se requiere, simplifica antes la ecuación. Así, en (x 3) " 5(1 x) 6x: x 3 " 5 5x 6x x 3 " 5 x 3 " 5 2x 8 " 2x 4"x Aplicando simetría de la igualdad: x " 4.

Solución

Ejemplo 7

Multiplicas ambos lados por 100 para eliminar el punto decimal. 0.15x 0.35 " 0.05 (x 3) 15x 35 " 5(x 3)

Ecuación original

Fíjate en lo siguiente...

Multiplicas la ecuación por 100

x"5

1. Al multiplicar por 10 corres el punto decimal un lugar a la derecha; por 100 dos lugares, etcétera.

Simplificas y resuelves

2. Elige la potencia de 10 conforme al mayor número de cifras decimales.

Ejemplo 8 Tarifas y cuotas por membresía

Verifica tu avance

Practicar el ping pong en un centro recreativo le cuesta a tu amiga $35 la hora. El club al que asistes cobra $15 la hora a los socios. Si el pago anual por la membresía del club es de $600, ¿le conviene a tu amiga inscribirse al club, o pagar la tarifa del centro recreativo?

Escribe sin decimales 0.02x 6.3 " 0.001x. ¿Es x " x 5 una ecuación lineal? Explica.

Ejemplo 8

Solución Conviene averiguar para qué cantidad de horas el pago en el centro sería el mismo que en el club y de allí determinar cuál aumentaría más el costo. Costo en centro recreativo

Costo en el club

Tarifa w no. de horas

"

Tarifa w no. de horas



Membresía

35x

"

15x



600

Resolviendo esta ecuación se obtiene x " 30. Así, después de 30 horas, el alquiler de la mesa y el equipo de ping pong resulta más barato en el club. Sólo si tu amiga juega más de 30 horas al año le convendría hacerse socia del club.

Fíjate en lo siguiente... 1. No es difícil percatarse que para menos de 30 horas, el valor de 35x es inferior al de 15x 600. Por ejemplo, para x " 10: 35x " 35(10) " 350 15x 600 " 15(10) 600 " 750. 2. Para x " 30, 15(30) 600 " 450 600 " 1,050 y también 35(30) " 1,050.

116

6

BLOQUE

Resuelves ecuaciones lineales I

Ejemplo 9

Ejemplo 9 Combinación de alimentos para mascotas

En problemas de mezclas de dos productos:

Trabajas en Petcat, un centro de venta de artículos y alimentos para mascotas. El gerente te pide combinar 60 kg de alimento cuyo precio es de $45 el kilogramo, con otro que se vende a $30 el kilogramo. Su propósito es obtener una mezcla que pueda ofrecer al precio intermedio de $37 el kilogramo. ¿Cuánto debes agregar del segundo producto para obtener este precio?

1. Haz siempre un diagrama para los dos artículos que combinas y su mezcla.

"

2. Anota en la parte superior la cantidad y el precio (o porcentaje). Escribe su producto en la parte inferior. Lo que no conozcas denótalo con una variable. Recuerda que:

Solución Alimento 1 60 kg $45

Total una parte " otra parte

3. Aunque la cantidad total de la mezcla es la suma de las que se combinan, su precio (o porcentaje) NO es la suma de los otros dos.



60 (45)

Por ejemplo, si de $100 restas $20, obtienes la otra parte: $80. Si divides 100 en dos partes y una es x, la otra parte será 100 x.

Alimento 2

Ejemplo 10

Viaje de vacaciones Después de cinco horas de viaje hacia las Bahías de Huatulco, te detienes una hora para desayunar y repostar gasolina en la ciudad de Oaxaca. Al reiniciar el viaje disminuyes en 25 kph tu velocidad anterior, debido al tráfico. Llegas a Huatulco 10 horas después de salir de casa y de recorrer 755 km. ¿A qué velocidad manejaste en cada tramo?

Solución Distancia "

v

d

4. Comprueba siempre la solución para la ecuación y tu respuesta al problema. (Aquí, 5(95) 4(70) " 755 km)

velocidad

w

tiempo

Tiempo de viaje " tiempo total 1 hora de descanso

Misma dirección

t

37(60 x)

Resolviendo esta ecuación se obtiene x ~ 68.5; es decir, debes añadir 68.5 kg del segundo alimento para obtener la mezcla con el precio deseado.

1. Utiliza siempre la fórmula d " vt. (v es la velocidad promedio; escríbela de preferencia en kilómetros por hora y el tiempo en horas.)

3. Haz siempre una tabla para t-v-d, con la columna para d al final, pues la llenarás con el producto tv. Establece una igualdad.

60 x $37

"

La suma de los costos parciales es el costo total: 60(45) 30x " 37(60 x).

En problemas de distancia, velocidad y tiempo:

Direcciones opuestas

x kg $30 30x

Ejemplo 10

2. Indica en un diagrama la dirección del movimiento anotando los datos conocidos.

Mezcla

755 km 5 hrs Casa

Oaxaca

4 hrs Huatulco

t 5

v x

d 5x

4

x 25

4(x 25)

La suma de los dos tramos del viaje es la distancia total: 5x 4(x 25) " 755. Resolviendo esta ecuación se obtiene x " 95. Así, tu velocidad promedio hasta la ciudad de Oaxaca fue de 95 kph; de allí a Huatulco, fue de 70 kph.

Grupo Editorial Patria® 117

Autoevaluación 6A Ejercicios 1 a 17. Halla la solución de cada ecuación y comprueba el resultado. x " 51 1. x 7 " 3 2. x 8 " 1 3. 2 4. 12x 3 " 9 5. 7x 31 " 10 6. 4 " 23x 11 7. 6(x 2) " x 3 x 10. 1 " 19 2 4x 6 2x 13. " 3 5

8. x 8(x 2) " 5 x 3 11. x 8 " 1 4 8 4 14. x 2 " (x 1) 3 5

16. x 0.32 " 0.45(x 9)

9. x 3x 13 " 7(x 9) x1 " 5 12. 3 3 1 15. x (x 1) " 4 2 6

18. Multiplica en cruz (es una proporción).

25. Números impares ¿Cuáles tres impares consecutivos suman 99? 3x − 2

5

x

30

20. Factoriza primero C (factor común). 21 y 23. Comienza quitando denominadores. 24. Problemas de enteros consecutivos Los enteros consecutivos difieren en 1. 1, 2 " 1 1, 3 " 2 1, 4 " 3 1, etc. Si un entero es x el siguiente es x 1. Iguala su suma con 107. 25. Problemas de números impares

x+1

3x − 2

7 a 9. Revisa los ejemplos 4 y 6.

16 y 17. Revisa el ejemplo 7.

24. Enteros consecutivos ¿Cuáles dos enteros consecutivos suman 107?

27. Geometría Calcula el lado de cada triángulo, sabiendo que éstos son semejantes entre sí.

4 a 6. Revisa el ejemplo 3.

13 a 15. Revisa el ejemplo 5 (el ejercicio 13 hazlo después usando productos cruzados).

Ejercicios 18 a 23. En cada fórmula, despeja la variable que se indica. P P 18. P " 2a 2b; a 19. 1 " 2 ; d1 20. T " C Crt; C d2 d 1 a n ;r 22. M " P(1 r)t; P 23. S " (2a (n 1) d); a 21. S " 1r 2

x+1

1 a 3. Revisa los ejemplos 1 y 2.

10 a 12. Revisa el ejemplo 3.

17. 0.09x 0.1 " 0.5(x 12)

26. Geometría Obtén cada lado del paralelogramo, si su perímetro mide 12 cm.

Sugerencias para la autoevaluación 6A

Los impares (o pares) consecutivos difieren en 2:

x+6

28. Física y juegos infantiles ¿A qué distancia del centro del sube y baja debes sentar a tu hermanito para equilibrar el balancín, si él pesa 30 kg y su pequeño amiguito 22 kg?

1, 3 " 1 2, 5 " 3 2, etc. Si un impar es x los dos siguientes son x 2 y x 4. 26. Haz un modelo verbal. Perímetro " suma de todos los lados.

22 kg

27. Los lados correspondientes de triángulos semejantes son proporcionales. Así, 5 x " " 5. Utiliza productos cruzados. 30 x 6

30 kg d

28. En problemas de palancas: Aplica la fórmula: P1 1.50 m

35 kg

1.50 m

29. Labores de jardín Para mover una roca de 42 kg ejerces una fuerza de 35 kg en el extremo de una barreta de 2.10 m de largo, apoyándola en otra piedra. ¿A qué distancia de la punta debes situar ésta?

P2 d1

d2

P1d1 " P2 d2

29. Las distancias a partir del fulcro (punto de apoyo) son d y 210 d (en cm). (Total una parte " otra parte). 2.10 m

d

42 kg

118

6

BLOQUE

Resuelves ecuaciones lineales I

30. En problemas de edades: Haz una tabla. a) Suma o resta años a la edad actual para ir al futuro o al pasado (aquí sumas 5). Edades Presente Yuri x

Futuro

Marisa

3x 5

3x

x5

b) Relaciona con una igualdad los datos. (En este caso: (x 5) (3x 5) " 26.) 31. Sólo tienes una columna (para el presente). Llénala y establece después una igualdad. 32. Haz una tabla. Escribe la edad actual de cada uno. Réstale un año. Establece la igualdad: 20x 5 " 70(x 1).

30. Edad futura Marisa tiene el triple de la edad de Yuri. Dentro de cinco años sus edades sumarán 26 años. ¿Qué edad tiene cada niña?

31. Edad actual El Árbol del Tule en Oaxaca es tres veces y media más antiguo que el Árbol de la Noche Triste. Si sumamos 300 a la edad de éste y restamos 1,200 a la del primero, sus edades serían iguales. ¿Cuál es la edad de cada árbol? 32. Edad anterior La edad de Iván es 20 veces la de su hijo Santiago, más seis años. Sin embargo, hace sólo un año, Iván era ¡70 veces mayor que el pequeño Santiago! ¿Qué edad tiene cada uno? 33. Hospitales ¿Cuánto yodo puro debes agregar a 2 litros de una solución al 12% para obtener yodo a 15%?

Ampliando el conocimiento 1. El Árbol del Tule, con 14.36 m de diámetro, es el árbol más grueso del mundo. Se halla en Santa María del Tule, Oaxaca, a 12 km de su capital.

34. Tasa de interés ¿Qué tasa promedio te pagó una cuenta de ahorros en dos años, si los $50,000 que depositaste inicialmente te generaron $1,200 de interés simple en ese lapso?

2. Es un ahuehuete o sabino (huéhuetl " árbol viejo de agua), del género Taxodium mucronatum, árboles perennifolios muy longevos, que crecen en lugares donde abunda el agua. 33. Haz un diagrama. Revisa ejemplos 9 y 7. (Aquí usas porcentajes en vez del precio.) x 100 % 1x



2 12 % 2(0.12)

"

x2 15 % 0.15(x 2)

Igualdad: x 0.24 " 0.15(x 2) x es la cantidad de yodo puro (100%) que agregas (en litros) (100% " 1). 34. En interés simple: Aplica la fórmula: I " interés; C " capital; I " C r t r " rédito o tasa (%); t " tiempo (años) 35. Utiliza: Total una parte " otra parte. 12% " 12/100 " 0.12. Revisa ejemplo 7. 36. x " peso de la maleta mayor (kg).

35. Finanzas Colocas una parte de $10,000 en una cuenta bancaria que genera intereses a 10% anual, y otra parte en bonos que pagan 12% al año. ¿Cuánto dinero invertiste en cada una, si obtuviste $1,140 de intereses por ambas cuentas en un año? 36. Equipaje Para salir de viaje divides tu ropa y enseres personales en tres maletas. La más chica pesa la cuarta parte de la mayor y ésta el doble que la mediana. Si en total pesan 84 kg, ¿cuál es el peso de cada equipaje?

Grupo Editorial Patria® 119

37. Cajero automático Según la norma del banco, los cajeros automáticos deben tener igual cantidad de billetes de $100 que de $200; la cantidad de billetes de $50 debe ser cinco veces la cantidad de billetes de $100, y la cantidad de billetes de $500 debe ser el doble de los de $50. ¿Cuántos billetes de cada denominación existen en un cajero que fue surtido con $499,500?

38. En problemas de valor y cantidad: Producto Valor

Melón

Pera

Piña

Sandía

12

14

5

4

Cantidad

x

3x

x

1.5x

Importe

12x

14(3x)

5x

4(1.5x)

Forma una igualdad usando un renglón. Así, 12x 14(3x) 5x 4(1.5x) " 78.

38. Compra de frutas Vas de compras al almacén y adquieres sandía a $4 el kg, melón a $12, piña a $5 y pera a $14. Si la pera pesó lo triple que el melón, éste lo mismo que la piña, y la rebanada de sandía pesó la mitad que la pera, ¿cuánto compraste de cada fruta, si pagaste $78 en total?

39. El tiempo en encontrarse es el mismo. La suma de ambas distancias es 0.9 km.

39. Ejercicio en el bosque Corres en el bosque de Tlalpan todas las mañanas. Tú y dos amigos se alejan en dirección opuesta al grupo que corre en el mismo circuito de 900 m. ¿Cuánto tardarán en cruzarse con ellos, si partieron de la salida al mismo tiempo, ustedes con una velocidad promedio de 10 kph, y el grupo con una velocidad promedio de 8 kph?

40.

40. Vuelo con viento Tu tiempo de vuelo en avión, de la ciudad de México a Villahermosa, fue de 52.5 minutos, con viento a favor. De regreso, con el viento en contra, el tiempo de viaje fue de 1 hora. ¿A qué distancia se hallan ambas ciudades, y a qué velocidad respecto a tierra voló el avión, si durante los dos viajes la velocidad del viento fue de 60 kph?

41. Navegación con corriente En las cercanías de San Blas, Nayarit, realizas un paseo en lancha por La Tovara. Para llegar al ojo de agua haces 1 hora 10 minutos con la corriente a favor, pero de regreso haces 1 hora 45 minutos debido a la corriente en contra. ¿Cuál fue la velocidad de la corriente, si la de la lancha fue de 20 kph en aguas tranquilas?

40 y 41. Con corriente (de agua o de viento) a favor, se suma su velocidad; se resta si es en contra. t

v

d

7 – 8

x 60

7 ( – ) (x 60) 8

1

x 60

x 60

41. 1 h 10 min = 1

10 1 7 h"1 h= h 60 6 6

1 h 45 min " 1

45 3 7 h"1 h= h 60 4 4

t

v

d

7 6

20 x

7 ( ) (20 x) 6

7 4

20 x

7 ( ) (20 x) 4

6

120

BLOQUE

Resuelves ecuaciones lineales I

6

B

BLOQUE

Situación didáctica

Banco de ostiones

Existen en el país diversos sitios en los cuales se siembran bancos de ostiones, como en la Laguna de Mandinga, cercana al Puerto de Veracruz, donde se regula su producción y consumo con el fin de evitar su extinción.

Conocimientos Función lineal Forma estándar de la función lineal y " mx b Esta ecuación produce para cada valor de x un solo valor para y. Su gráfica es una recta que interseca siempre a ambos ejes coordenados. Pendiente de una recta Es el cociente m"

Avance vertical Avance horizontal

Hay, sin embargo, otros lugares donde la explotación se realiza sin cuidar la renovación de esta especie.

6

¿Ocurre esto con un banco de 6 toneladas de ostiones, del cual la extracción aumenta 0.4 toneladas respecto al año anterior y su población crece a un ritmo de 0.2 toneladas por año?

5 4 Avance vertical 4−2= 2

3 2 Avance horizontal 2 − (−2) = 4 −4

−3

−2

−1

1

2 m = −− 4 2

3

4

−1

¿En cuántos años la extracción alcanzará 2.8 toneladas? ¿Cuántas toneladas de ostiones habrán en 3.5 años? ¿Y en 7 años? ¿En cuánto tiempo quedarán 4.2 toneladas de ostiones? ¿Cuántos años durará este banco de ostiones?

−2

La pendiente indica una razón o tasa de cambio promedio, o constante. Si m es positiva la recta es creciente; cuando es negativa la recta decrece.

Consulta En libros de álgebra y otras fuentes:

Análisis de la situación 1. Cantidad inicial por año ¿Qué significa que la población de ostiones aumente a un ritmo de 0.2 toneladas por año? ¿Muestra la tabla siguiente esto? Continúala hasta el año número 10. Años

0

1

2

Cantidad inicial

6

6 0.2

6 2(0.2)

3

Funciones y ecuaciones lineales En Internet: Op. cit. Bloque 4A www.librosmaravillosos.com/

2. Cantidad final En otra fila escribe la reducción (extracción) del banco de ostiones cada año; en otra más, las toneladas que quedan (cantidad final). Busca una regularidad, escribiendo los datos en forma similar a como se hizo para la cantidad inicial.

Grupo Editorial Patria® 121

Secuencia didáctica

Rúbrica de evaluación 1. En el análisis de la situación completa cada renglón de la tabla mostrando su regularidad.

1. Los valores obtenidos para la tabla aumentada anterior, son: Años

0

1

2

…

Cantidad inicial

6

6.2

6.4

…

Extracción

0

0.4

0.8

…

Cantidad final

6

5.8

5.6

…

9

10

2. Desarrolla la secuencia didáctica con los datos, cálculos y procedimientos algebraicos solicitados o necesarios en cada punto. 3. Efectúa este ejercicio de visualización gráfica:

2. Si representas por x los años, y por y las toneladas de ostiones (inicial, extraídas o final), las regularidades observadas en cada renglón pueden expresarse con los modelos: Cantidad inicial y6

Extracción y

x

Cantidad final x

y6

x

3. Para conocer el valor de x cuando la extracción es de 2.8 toneladas, se resuelve la ecuación 28

x y se obtiene x __________ años. (3.5) __________ toneladas de

4. Al cabo de 3.5 años quedarán y 6 ostiones; y en 7 años, y 6

(7) __________ toneladas.

5. Para saber en cuántos años habrá 4.2 toneladas de ostiones, se sustituye este valor para y en el modelo y 6

x. Al resolver la ecuación 4.2 6

x,

se obtiene x __________ años. 6. El banco de ostiones se agotará cuando la cantidad final sea 0, es decir, cuando y 0 en el modelo y 6

x. Resolviendo la ecuación 0 6

se halla x __________ años.

Proyecto de trabajo Incremento de médicos La cantidad de médicos del país, en el periodo 2005 a 2010, se halla con la función M(t) 185,401 6,896t, donde M(t) es el número de médicos en el año t (t 0 2005). a) ¿Cuál fue la tasa de crecimiento anual del número de médicos? b) ¿Cuántos médicos hubo en 2007? ¿Y en 2005? c) ¿Qué valores puede tomar la variable t? d) Dibuja la gráfica de esta función lineal.

x,

8 7 6 5 4 3 2 1 0 −1 −2 −3 −4

2

3

4

5

6

7

8

9 10

a) ¿Qué fila de la tabla representa cada serie de puntos? b) Usa estos puntos para trazar los de la cuarta fila y la gráfica de cada modelo algebraico. ¿Serían segmentos de recta estas gráficas? (0 ≤ x ≤ 30).

122

6

BLOQUE

Resuelves ecuaciones lineales I

6B

Segmento informativo

Funciones y ecuaciones lineales La ecuación lineal ax b " 0 deriva de la función lineal y " ax b. En la función lineal existen dos variables que se relacionan de esta forma: Función lineal

Recuerda 1. Para graficar, haz una tabla de valores: y " 2x 3. x

2

0

1

y

1

3

5

Valor de x

Produce un valor de y

1

y " 2(1) 3 " 5

y " 2x 3

4 y = 2x + 3

y

3 2 1

Asignando distintos valores a x, se obtienen los de y. Las parejas (x, y) son puntos de la gráfica de la función lineal.

−3 −2 −1

0 −1

1

2

x

Función lineal

2. Sitúa los valores de x en el eje horizontal (positivos a la derecha del 0), y los de y en el eje vertical (positivos arriba del 0).

Para cada valor de x la función lineal y " ax b produce un solo valor de y. Su gráfica es una línea recta.

3. Para cada par de valores obtienes un punto de la gráfica, justo en el cruce de segmentos paralelos a los ejes (desde cada valor).

También puedes obtener el valor de x que corresponde a un valor específico de y: escribe éste en la función y soluciona una ecuación lineal.

y

( 1, 5)

5

1

x

Función

Valor de y

Ecuación

Valor de x

Pareja

y " 2x 3

1

1 " 2x 3

x " 2

(2, 1)

La gráfica de una función lineal corta siempre a ambos ejes coordenados.

Intersecciones con los ejes La gráfica de y " ax b interseca a los ejes en:

Observaciones importantes Para cualquier valor de y puedes hallar x. Si y " 5, la función lineal y " 2x 3 se convierte en la ecuación lineal 5 " 2x 3, cuya solución es x " 4. La pareja es (4, 5).

Eje x: b/a

3 Así, para y " 2x 3 su intersección-x es , y su intersección-y es 3. Estos valores 2 se obtienen de la función cuando y " 0 y x " 0. Los puntos de intersección de la gráfica son (3/2, 0) y (0, 3).

Fíjate en lo siguiente... 1. a | 0 en la ecuación y en la función lineal. 2. El valor de y depende del que toma x: x " Variable independiente y " Variable dependiente 3. Para enfatizar esta dependencia, a veces se utiliza la notación funcional y " f(x) (se lee: y igual a f de x), que muestra cuál valor de x conduce a un valor y. Ejemplo: para x " 1 resulta y " 2x 3 " 5. Escribiendo f(x) en vez de y, podemos decir: Para f(x) " 2x 3, f(1) " 2(1) 3 " 5. Análogamente, f(2) " 7, f(0) " 3, etcétera. 4. En vez de f(x) puedes usar g(x), h(x), etcétera.

Eje y: b

Ejemplo 1 Calculando valores y graficando una función lineal Asigna valores a x para trazar la gráfica de la función lineal y " x 2.

Solución Por ser lineal la función, su gráfica es una línea recta. Aunque bastarían dos puntos, por seguridad ubicamos tres. y " f(x) " x 2

x

y

3

1

0

2

f(0) " 0 2 " 2

1

3

f(1) " 1 2 " 3

f(3) " (3) 2 " 3 2 " 1

Trazas la recta que pasa por los tres puntos.

3 2 1 −5 −4 −3 −2 −1 0 −1 −2 y = −x − 2 −3 −4

y

1 2

x

Grupo Editorial Patria® 123

Ejemplo 2 Usando las intersecciones para graficar

Ejemplo 2

Traza la gráfica de cada función empleando sus intersecciones con los ejes. a) y " 2x 4

b) y " x 2

Solución a) Intersección-x:

4 " 2 2

2 "2 1 Intersección-y: 2 y 3

y 4 3

Intersección-x Haces y " 0 0 " 2x 4 4 x " " 2 2

y = −x + 2

2 1

2 1 −5 −4 −3 −2 −1 0 −1 −2

Puedes hallar las intersecciones haciendo y " 0 y x " 0 en la función. En y " 2x 4:

b) Intersección-x:

Intersección-y: 4

y = 2x + 4

Fíjate en lo siguiente...

1 x

−2 −1 0 −1 −2

1

2

3

4 x

Ampliando el conocimiento 1. El coeficiente a en y " ax b es llamado pendiente de la recta. Se designa con m.

−3

Pendiente e inclinación La recta sube o desciende a la derecha según si m es positiva o negativa.

Dibuja la gráfica de la función y " 3x 2, utilizando su pendiente. y

Solución

6 5

El coeficiente de x es su pendiente m.

A y = 3x + 2

3

A partir de la intersección-y avanzas 3 unidades hacia arriba y después 1 a la derecha para ubicar otro punto.

B

2 1 −3 −2

−1

Para y " 2x 4, m " 2. Sube a la derecha. y " x 2 tiene m " 1. Baja a la derecha.

1

3 4

3 Avance vertical " 1 Avance horizontal

0

2 x

1

2. La pendiente de una recta es la razón del avance vertical al horizontal, para cualquier par de puntos de la y −2 recta. Este valor es fijo. 5

A −3

3

Ejemplo 4 Asociando ecuaciones lineales con funciones lineales

−3

2 0 x

De A a B: m "

3 3 " 2 2

De B a A: m "

3 3 " 2 2

(El avance es el incremento o diferencia de las respectivas coordenadas.)

b) Halla el valor de x para y " 3. Comprueba en la gráfica.

Solución

Ejemplo 4

4 x 1; de aquí obtienes 3 4 4 4 4 " , m " , b " 1. Como m " " 3 3 3 3

a) Despeja y: y "

4 b) Resuelve 3 " x 1. Obtienes x " 3 1.5. El punto D (1.5, 3) está sobre la gráfica.

B

2 −5

a) Expresa 4x 3y " 3 como función lineal. Dibuja la recta.

puedes avanzar 4 unidades hacia abajo y 3 a la derecha de b, para ubicar otro punto, o bien, 4 hacia arriba y 3 hacia la izquierda.

y"4

Ejemplo 3

Ejemplo 3 Usando la pendiente para graficar

m"3=

Intersección-y Haces x " 0 y " 2(0) 4

Observaciones importantes A

y = −

4 x −1 3

−3 y 3 2 1

−5 −4 −3 −2 −1 0 −1 B−2 −4 −3 −4 −5 −6

Toda ecuación lineal en dos variables Ax By " C, con A, B | 0, es una función lineal: al despejar y obtienes y " ax b.

4 1

2

3 x 4x + 3y = −3

D 3

C

Así, de 4x 3y " 3, obtienes 3y " 4x 3 4x 1 y" 3

124

6

BLOQUE

Resuelves ecuaciones lineales I

Ejemplo 5

Ejemplo 5 Maremotos y tsunamis Fíjate en lo siguiente...

1. En el modelo lineal general y " ax b, x ite cualquier valor real. Por eso su gráfica es una línea recta.

En 2004, un maremoto de 9.2 grados en la escala de Richter, con epicentro a 4,000 metros de profundidad, produjo en las costas de Indonesia una serie de tsunamis que arrasaron islas y devastaron las costas de 10 países del sudeste asiático.

2. En un modelo lineal particular, x ite sólo valores que tienen sentido en el contexto. Su gráfica puede ser: una recta, semirrecta, segmento, o puntos aislados colineales. Dominio y rango Los valores isibles para x forman el dominio de la función. Los de y constituyen el rango (o contradominio). La distancia d (en km) que recorrió el agua del mar en gigantescas ondas expansivas, puede modelarse con la función d " 700t para las primeras 6 horas.

Ampliando el conocimiento 1. Los tsunamis son olas gigantescas que llegan a alcanzar hasta 35 m de altura.

a) Dibuja la gráfica del modelo lineal. b) ¿Qué distancia cubrió hasta Somalia, África, si en 6 horas impactó sus costas? c) ¿En cuánto tiempo alcanzó las costas de Tamil Nadu en India, ubicada a 1,400 km? d) ¿A qué velocidad promedio se desplazó el agua?

BANGLADESH INDIA MYANMAR (BIRMANIA)

KENIA

MALDIVES

SRI LANKA

TAILANDIA MALASIA INDONESIA

TANZANIA SEYCHELLES MADAGASCAR

Océano Índico

t (h) 0

d (km) 0

1

700

Distancia (km)

SOMALIA

Tsunami

d 4,800 4,000 3,200 2,400 1,600 800

SUDÁFRICA

t 0

2. El tsunami de Indonesia, en 2004, fue el más devastador en un siglo. El anterior en la zona, en 1883, lo causó el volcán Krakatoa. 3. El 26 de diciembre de 2004 perecieron 1 cerca de 300,000 personas ( fueron ni3 ños; 10% turistas). La geografía costera se modificó y desaparecieron 20 islas.

1

2 3 Tiempo (h)

Solución a) d " h(t) " 700t h(0) " 700(0) " 0 h(1) " 700(1) " 700 b) d " 700(6) " 4,200. Las enormes ondas de agua viajaron 4,200 km. c) 1,400 " 700t; t "

1,400 " 2. En dos horas llegó el tsunami a India. 700

d) En d " 700t, b " intersección-y " 0; m " 700. m"

Avance vertical d km " " v " 700 (la velocidad de un jet). Avance horizontal t h

4

5

6

Grupo Editorial Patria® 125

Autoevaluación 6B Ejercicios 1 a 3: a) Calcula el valor de cada función en x " 0, 1.5, 2, 3; b) dibuja la gráfica de cada una; c) escribe el valor de m y de b. 1 1. f(x) " x 2. g(x) " 4x 1 3. t(x) " x 9 2 Ejercicios 4 a 6. a) Halla el valor de x que produce el valor indicado para y. b) Comprueba algebraica y gráficamente el resultado. 1 4. y " 2x 15; y " 0 5. y " 0.5x 1; y " 9 6. y " x ; y " 10 5 Ejercicios 7 a 9. Traza cada gráfica hallando sus intersecciones con los ejes. 7. y " 5x 6

8. y " 4x 3

9. 16x 5y " 20

Ejercicios 10 a 12. Asigna a cada función la(s) característica(s) señalada(s). 10. y " 0.3x 5

11. y " 25x

12. y " 7x

II. Sube a la derecha

III. Desciende a la derecha

I. Pasa por el origen

Ejercicios 13 a 15. a) Obtén m y b. b) Asocia cada función con su gráfica. 13. y 5x " 0 I.

14. 3x y " 4

15. 3x 2y 6 " 0

II.

III.

5 4 3 2

5 4 3 2

1 −3 −2 −1 0 −1

−2 −1

1 1

2

−3 −2 −1 −10

1

2

0.02x

3 2

3 1 0

1

2

3

4

5

x

4 a 6. a) Reemplaza el valor de y. Resuelve la ecuación para x; b) Al sustituir el valor de x debes obtener el de y. El punto debe quedar sobre la gráfica. La solución de ax b " 0 es la intersección-x de la gráfica de y " ax b (cuando y " 0). 7 a 9. Revisa el ejemplo 2. En el ejercicio 9 no es necesario despejar y. Rectas y ecuaciones

2

y " ax b pasa por b en el eje y (b | 0)

1

(* Es el modelo de variación directa)

0 −1

16. Estaturas Soni creció hasta 1.67 m. Su hermanita menor mide 1.50 m de 2 alto y crece a razón de 6 cm por año. ¿En cuánto tiempo alcanzará a Soni? 3 17. Incremento de enfermeras En 2004 había 233,500 enfermeras en el país. En 2007 ascendió a 239,980. ¿Cuál fue la tasa de aumento anual?

TECHO

1 a 3. Sustituye cada valor. Revisa el ejemplo 1.

y " ax pasa por el origen (b " 0) *

−3

h (x)

Al graficar, si no se indica otra cosa, considera el dominio como todos los reales.

3

−2

18. Alquiler de autos Si pagas una cuota fija de $500 y $12 por cada km recorrido, ¿qué función expresa el pago del alquiler? 19. Arquitectura La altura del techo inclinado de una casa, a x metros de distancia del muro exterior, puede obtenerse con h(x) " 0.02x 3. a) ¿Cuál es ésta para x " 4 m? b) ¿Cuál es la tasa de cambio en la inclinación del techo? c) ¿Cuál es la altura del muro exterior?

Sugerencias para la autoevaluación 6B

13 a 15. Despeja y para obtener y " mx b. m es el coeficiente de x; b es el término constante en la ecuación. Recuerda que la recta asciende hacia la derecha si la pendiente m es positiva. Baja, si m ! 0. 16. Crecimiento en x años " 6

2 20 x" x. 3 3

Altura de la hermanita su crecimiento en x años " altura de Soni. Expresa 1.67 y 1.50 m en cm. 17. Refiere 6,480 enfermeras en tres años a: enfermeras en un año. 18. Utiliza el modelo y " ax b. 19. b) Calcula e interpreta m. c) b " Intersección-y

126

6

BLOQUE

Resuelves ecuaciones lineales I

Instrumentos de evaluación Rúbrica

Rúbrica para evaluar el reporte de la situación didáctica “Banco de ostiones” del Bloque 6B. Nombre del alumno:

Nivel

Presentación

Aspecto a evaluar

Desarrollo

Dominio del tema

Resultados y conclusiones

Excelente (4)

Bueno (3)

Satisfactorio (2)

Deficiente (1) Elabora el reporte a mano con mala caligrafía, mal redactado y con muchas faltas de ortografía. No hizo las gráficas pedidas.

Elabora el reporte a mano con buena caligrafía (o bien usando un procesador de texto con una impresión bien hecha), bien redactado y sin faltas de ortografía.

Elabora el reporte a mano con buena caligrafía (o bien usando un procesador de texto con una impresión bien hecha), redacción regular y sin faltas de ortografía.

Elabora el reporte a mano con regular caligrafía (o bien usando un procesador de texto con una impresión regular), redacción regular y pocas faltas de ortografía.

Dibuja las gráficas pedidas en papel milimétrico y usando regla, o bien, por computadora.

Dibuja las gráficas pedidas en hojas de cuadrícula chica y usando regla.

Dibuja las gráficas pedidas en hojas blancas y usando regla.

Presenta de manera ordenada todos los pasos para calcular las cantidades y expresiones pedidas.

Presenta de manera ordenada todos los pasos para calcular las cantidades y expresiones pedidas.

Elabora correctamente la tabla de cantidad inicial, extracción y cantidad final de ostiones por año. Grafica correctamente la cantidad inicial, la extracción y la cantidad final de ostiones por año.

Elabora correctamente la tabla de cantidad inicial, extracción y cantidad final de ostiones por año. Grafica correctamente dos de las siguientes: la cantidad inicial, la extracción y la cantidad final de ostiones por año.

Omite algunos pasos para calcular las cantidades y expresiones pedidas pero los presenta de manera ordenada.

Determina correctamente la función lineal que relaciona las variables del problema.

Determina correctamente la función lineal que relaciona las variables del problema.

Determina correctamente la función lineal que relaciona las variables del problema.

No determina correctamente la función lineal que relaciona las variables del problema.

Resuelve correctamente sistemas de ecuaciones simultáneas de dos variables. Grafica correctamente funciones lineales.

Resuelve correctamente sistemas de ecuaciones simultáneas de dos variables. No grafica correctamente funciones lineales.

No resuelve correctamente sistemas de ecuaciones simultáneas de dos variables. No grafica correctamente funciones lineales.

No resuelve correctamente sistemas de ecuaciones simultáneas de dos variables. No grafica correctamente funciones lineales.

Determina correctamente las siguientes cantidades: t &MUJFNQPSFRVFSJEPQBSBRVFMB extracción sea de 2.8 toneladas. t &MOÞNFSPEFUPOFMBEBTRVF habrá en 3.5 años. t &MOÞNFSPEFUPOFMBEBTRVF habrá en 7 años. t &MUJFNQPSFRVFSJEPQBSBRVF queden 4.2 toneladas de ostiones. t &MUJFNQPRVFEVSBSÈFMCBODPEF ostiones de 6 toneladas.

Determina correctamente sólo cuatro de las siguientes cantidades: t &MUJFNQPSFRVFSJEPQBSBRVFMB extracción sea de 2.8 toneladas. t &MOÞNFSPEFUPOFMBEBTRVF habrá en 3.5 años. t &MOÞNFSPEFUPOFMBEBTRVF habrá en 7 años. t &MUJFNQPSFRVFSJEPQBSBRVF queden 4.2 toneladas de ostiones. t &MUJFNQPRVFEVSBSÈFMCBODPEF ostiones de 6 toneladas.

Determina correctamente sólo tres de las siguientes cantidades: t &MUJFNQPSFRVFSJEPQBSBRVFMB extracción sea de 2.8 toneladas. t &MOÞNFSPEFUPOFMBEBTRVF habrá en 3.5 años. t &MOÞNFSPEFUPOFMBEBTRVF habrá en 7 años. t &MUJFNQPSFRVFSJEPQBSBRVF queden 4.2 toneladas de ostiones. t &MUJFNQPRVFEVSBSÈFMCBODPEF ostiones de 6 toneladas.

Determina correctamente menos de tres de las siguientes cantidades:

Elabora correctamente la tabla de cantidad inicial, extracción y cantidad final de ostiones por año. Grafica correctamente sólo una de las siguientes: la cantidad inicial, la extracción y la cantidad final de ostiones por año.

Sólo presenta resultados sin dar ninguna justificación. Elabora incorrectamente la tabla de cantidad inicial, extracción y cantidad final de ostiones por año. Grafica incorrectamente la cantidad inicial, la extracción y la cantidad final de ostiones por año.

t & MUJFNQPSFRVFSJEPQBSBRVFMB extracción sea de 2.8 toneladas. t &MOÞNFSPEFUPOFMBEBTRVF habrá en 3.5 años. t &MOÞNFSPEFUPOFMBEBTRVF habrá en 7 años. t &MUJFNQPSFRVFSJEPQBSBRVF queden 4.2 toneladas de ostiones. t &MUJFNQPRVFEVSBSÈFMCBODPEF ostiones de 6 toneladas.

Lista de cotejo

Lista de cotejo para el reporte de la situación didáctica “Mezcla de dulces” del Bloque 6A. Presentación 1. Cuenta con una carátula que incluye al menos el nombre del trabajo que se realiza, el nombre de la materia, la fecha de entrega, el nombre del alumno y su matrícula. 2. La redacción es buena o por lo menos satisfactoria. 3. Tiene pocos o ningún error de ortografía. 4. Elaboró el trabajo con un procesador de texto como Word, o bien, lo hizo a mano con buena caligrafía o por lo menos entendible.

SÍ

NO

Observaciones

Grupo Editorial Patria® 127

Desarrollo

SÍ

NO

Observaciones

SÍ

NO

Observaciones

SÍ

NO

Observaciones

5. Elaboró la tabla del precio de la mezcla para diversas combinaciones de dulce caro y barato indicada en la sección “Sin álgebra”. 6. Elaboró nuevamente la tabla del precio de la mezcla para diversas combinaciones de dulce caro y barato indicada en la sección “Sin álgebra” pero con subdivisiones de 100 g para valores entre 2 y 3 kg. 7. Presenta todos los pasos requeridos para determinar las cantidades pedidas siguiendo una secuencia coherente y ordenada. Dominio del tema 8. Plantea correctamente la ecuación lineal correspondiente al enunciado de un problema de mezclas. 9. Resuelve correctamente ecuaciones lineales con una incógnita. Resultados y conclusiones 10. Determinó correctamente de forma numérica cuántos kilogramos del dulce barato debe agregar para obtener la mezcla indicada. 11. Determinó correctamente de forma algebraica cuántos kilogramos del dulce barato debe agregar para obtener la mezcla indicada. 12. Comparó los dos métodos (numérico y algebraico) en cuanto a simplicidad y precisión. 13. Comprobó sus resultados siguiendo el procedimiento indicado.

Comentarios generales: __________________________________________________________________________ Nombre del estudiante: _______________________________________________

Fecha: ____________________

Guía de observaciones para los proyectos de trabajo “Avena con chocolate” y “Productos lácteos” del Bloque 6A

Profesor:

Grado y grupo: Plantel: Clave:

Alumno:

Fecha de aplicación:

Nombre de la materia:

Desempeño a evaluar: Solución de problemas de mezclas mediante ecuaciones lineales con una variable. INSTRUCCIONES: Observe si la ejecución de las actividades que se enuncian las realiza el capacitando que se está evaluando y marcar con una “X” el cumplimiento o no en la columna correspondiente; asimismo, es importante anotar las observaciones pertinentes. No.

Acciones a evaluar

1

Indica qué representa 7× 4 y 8.50 × 4 en el problema de la mezcla de avena con chocolate.

2

Elabora una tabla para aproximar la cantidad de avena que se debe agregar para obtener la mezcla deseada de avena con chocolate.

3

Obtiene el modelo algebraico del problema de la mezcla de avena y chocolate basándose en la continuación del diagrama presentado.

4

Resuelve la ecuación lineal del problema de la mezcla de avena y chocolate y verifica el resultado.

5

Obtiene el modelo algebraico del problema de la mezcla de cremas basándose en el diagrama presentado.

6

Resuelve la ecuación lineal del problema de la mezcla de cremas y verifica el resultado.

*No aplica.

REGISTRO DE CUMPLIMIENTO SÍ NO NA*

Observaciones

7

BLOQUE

Resuelves ecuaciones lineales II

8 horas

Objetos de aprendizaje Representación de relaciones entre magnitudes Modelos aritméticos o algebraicos

Competencias a desarrollar n

n

Construye e interpreta sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Formula y resuelve sistemas de ecuaciones lineales, aplicando diferentes métodos.

n

n

n n

Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Analiza las relaciones entre dos variables de un proceso social o natural para plantear un sistema de ecuaciones lineales y así determinar o estimar su comportamiento. Interpreta tablas, gráficas, y textos con símbolos matemáticos y científicos. Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.

¿Qué sabes hacer ahora?

El genio es un uno por ciento de inspiración y un noventa y nueve por ciento de transpiración. Thomas Alva Edison Tomar decisiones en la vida ordinaria, como elegir un empleo o seleccionar un plan de ingreso a un club deportivo, puede resultarnos más fácil si conocemos herramientas matemáticas que nos ayuden en nuestro análisis. La gráfica, por ejemplo, nos muestra con claridad que después de asistir a un club de tenis cierto número de horas, el costo en un plan de pago, más bajo en un principio que otro, se incrementa con mayor rapidez que el de mayor costo inicial. 1,200

Costo ($)

1,000 800

Plan B

600 400 Plan A

200 5

10

15

20

25

30

35 40

Horas

Desempeños del estudiante al concluir el bloque n

n

Reconoce el modelo algebraico de un sistema de ecuaciones con dos incógnitas. Resuelve e interpreta sistemas de ecuaciones con dos incógnitas mediante métodos numéricos: determinantes; Algebraicos: eliminación por igualación, reducción (suma y resta) y sustitución; Gráficos.

n

n

n

n

Expresa y soluciona situaciones utilizando sistemas de ecuaciones con dos incógnitas. Identifica gráficamente si un sistema de ecuaciones simultáneas tiene una, ninguna o infinitas soluciones. Resuelve problemas que se plantean en lenguaje algebraico utilizando métodos algebraicos, numéricos y gráficos. Elabora o interpreta gráficas, tablas y mapas, para resolver situaciones diversas que conllevan el uso de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas.

130

7

BLOQUE

Resuelves ecuaciones lineales II

7

Situación didáctica

Matrimonios y divorcios

A

Durante el periodo 2000 a 2009, los porcentajes de matrimonios con duración su-

Conocimientos

El porcentaje restante corresponde a los casos de divorcio.

BLOQUE

perior, o inferior, a 20 años, registraron el comportamiento mostrado en la gráfica.

Gráficas de funciones lineales 6

y mx b m pendiente b valor inicial (para x 0)

2 Avance vertical 1 Avance horizontal

5 4 b=3 3

Porcentaje

En y 2x 3: 2 m2 ;b3 1

100

2 m = −− 1

2

−1

0 0

1

2

1

3 Año

1

años

Más de 20 años

3

5 7 (0 ↔ 2000)

48.5

2

24 9

¿Cuáles fueron los porcentajes de divorcio al inicio y al término de este periodo?

Solución gráfica de sistemas 2 2 Una solución Secantes

¿Cuál fue el incremento de estos porcentajes en ese lapso?

4

¿Cuál es el ritmo promedio de aumento o disminución de casos en cada grupo estudiado?

3 2 1 −1 0

1

2

3

Coincidentes 3

Infinitas soluciones

Menos de 20

15

1 −2

62 50

Describe el comportamiento de cada grupo mediante un modelo algebraico. Traza e identifica sus gráficas en un mismo plano coordenado. Localiza en estas gráficas el año en el que el porcentaje de divorcios igualará al de matrimonios con menos de 20 años.

2 1 −2 −1 0 −1

1

2

Análisis de la situación

Paralelas 4

Ninguna solución

1. La información establece que la población de estos tres grupos constituye el 100% de la muestra estudiada.

3 2 1 −2 −1

0

1

2

2. Los porcentajes de la gráfica inicial se han representado en dos gráficas circulares. Utilízalas para obtener el porcentaje de divorcios al inicio y al término del periodo (sector naranja).

Consulta En libros de álgebra y otras fuentes:

62%

15%

48.5%

24%

Solución gráfica de sistemas lineales Solución de sistemas lineales 2 2 Determinantes de sistemas 2 2 En Internet: Op. cit. Bloque 4A www.librosmaravillosos.com/

Año 2000

Año 2009

Grupo Editorial Patria® 131

Secuencia didáctica

Rúbrica de evaluación

1. Calcula el porcentaje de divorcios con: 100% (% de matrimonios).

Realiza todos los cálculos y desarrollos solicitados en la secuencia didáctica, en particular:

Año 2000: 100% ( ________ % ________ %) ________ %. Año 2009: 100% ( ________ % ________ %) ________ %. 2. Los incrementos se hallan mediante una diferencia de valores. Para matrimonios %, y el del 20 años el incremento en los porcentajes fue: 48.5 62 años. Su cociente es el ritmo o tasa promedio m tiempo fue: 2009 2000 de crecimiento en dicho periodo. Grupo 1 Matrimonios 20 años

Grupo 2 Matrimonios 20 años

Grupo 3 Divorcios

% m1 = ___________ años

% m2 = ___________ años

% m3 = ___________ años

3. Simplifica y refiere a 1 año cada tasa m1 = ______ , m2 = ______ , m3 = ______ . Éstas son ________________ (positivas/negativas) cuando el incremento denota un aumento, y son ________________ (positivas/negativas) cuando decrece, como muestran los cocientes y las gráficas.

1. En el punto 2 efectúa la división para obtener denominador 1. También escribe e interpreta tasas equivalentes, por ejemplo 13.5% 1.5 3 ... 9 años 1 2 significa que estos matrimonios disminuyen a una tasa de 1.5% al año, o 3% cada 2 años, etcétera. 2. En el punto 4 justifica el procedimiento para cada renglón. 3. En el punto 5 asocia cada ecuación con su gráfica y diserta sobre la precisión del resultado.

4. Reescribe la tabla siguiente con el incremento de estos porcentajes: …

0

1

Grupo 1

62 1.5(0)

62 1.5 (1)

62 1.5(

)

…

62 1.5(

)

Grupo 2

15 1(0)

15 1 (1)

15 1(

)

…

15 1(

)

Grupo 3

m3(0)

m3(1)

%y

2

9

…

5. En el año x los porcentajes y de matrimonios o divorcios, serán: Grupo 1: y 62 _______ , Grupo 2: y 15 _______ , Grupo 3: y ________ ¿En qué punto coinciden la gráfica de divorcios y la de matrimonios menores a 20 años? ___________ ¿En qué año x ocurre esto? ___________ ¿Cuál es el porcentaje y para ambos grupos? ___________ .

Proyecto de trabajo Compra de impresoras Una impresora cuesta $1,850 y los cartuchos de tinta valen $300. Otra marca de impresora con características similares cuesta $2,200 y sus cartuchos de tinta valen $270. a) Elabora una tabla de costos para cada impresora sumando al precio de adquisición en cada entrada de la tabla, la compra de 1, 2, 3, etc. cartuchos. ¿Observas alguna regularidad para calcular los costos? b) Describe con una función lineal el comportamiento del costo de cada impresora más la compra de x cartuchos de tinta. c) Traza la gráfica de estas funciones en un mismo dibujo para obtener, o aproximar, la solución. ¿Qué tipo de valores ite x? d) Resuelve con un método algebraico el sistema de dos ecuaciones con dos variables. ¿Es plausible esta solución? ¿Concuerda con la que obtuviste utilizando las gráficas?

Porcentaje

Año x

64

32

8 0

3

6

9

12 15 18 21 Año

132

7

BLOQUE

Resuelves ecuaciones lineales II

Segmento informativo

7A Recuerda

1. Las soluciones de la ecuación en dos variables, y ax b, son parejas (x, y) que hacen cierta la igualdad. (2, 9) es una solución de y 4x 1 porque 9 4(2) 1. Puntos y soluciones Cada punto de la gráfica es solución de la ecuación, y viceversa. 2. Dado valores a x o y, en la ecuación y ax b, obtienes puntos de su gráfica.

Solución gráfica de sistemas lineales Al dibujar la gráfica de la función lineal y ax b (a 0) obtienes una recta. Las gráficas de dos funciones lineales (rectas) a veces comparten puntos.

y 3

Uno solo

Todos

x−y=1

y

y

2x + 2y = 2

3

2

2

1

1

x+y=5

2

x+y=1

1 0 −1

1

2

3

5 x

4

−4 −3 −2 −1 0

Ninguno

1

y=x+2

y=x−1

−2 −1 0

x

1

2

3

x

Concurrentes Coincidentes Paralelas Los puntos comunes son soluciones para ambas ecuaciones, que forman un Sistema de ecuaciones lineales 2 2 (dos ecuaciones, con dos variables). Resolver el sistema significa hallar los puntos de intersección de las rectas, o concluir que no existen tales puntos. Así, para los casos anteriores: (3, 2) es la solución común de x y 5 yxy1

yx2yyx1 no tienen ninguna solución en común

Todas las soluciones de x y 1 son soluciones de 2x 2y 2

Verifica tu avance ¿Por qué una ecuación lineal en dos variables y ax b tiene un número infinito de soluciones?

Solución gráfica de sistemas lineales 2 2 Gráficas

Puntos comunes:

Uno

Todos

Ninguno

Ecuaciones

Soluciones comunes:

Una

Infinitas

Ninguna

Ejemplo 1 Resolviendo un sistema con una única solución Ampliando el conocimiento A los Sistemas de ecuaciones también se les llama Sistemas de ecuaciones simultáneas, debido a que cualquier solución común satisface a todas las ecuaciones del sistema.

y 3x 7 Resuelve gráficamente el sistema de ecuaciones

y x 5

Solución y 3x 7

Corta al eje y en 7 y pasa por (1, 4).

yx5

Corta al eje y en 5 y pasa por (1, 6).

Dibujando las rectas se observa qué tienen en común el punto (3, 2). La solución del sistema es este punto.

Ejemplo 1

y

Recuerda 1. De la ecuación y 3x 7 obtienes la pendiente: m 3 y la intersección-y: b 7. 2. Interpretas 3 avance vertical m 3 1 avance horizontal y del punto (0, 7) avanzas 3 unidades hacia arriba y 1 a la izquierda; es decir, obtienes el punto (0 1, 7 3) (1, 4).

Comprobación:

5

Se evalúa x 3:

4 3 2 1 −5 −4 −3 −2 −1 −1 −2 −3 −4 −5 −6 −7

y 3x 7 3(3) 7 2. y x 5 3 5 2.

1 2

x

Grupo Editorial Patria® 133

Verifica tu avance

Ejemplo 2 Resolviendo un sistema con infinitas soluciones

¿Cómo obtendrías el punto (1, 10) a partir de m 3 y b 7?

6x 2y 4 0 Halla la solución gráfica del sistema de ecuaciones

y 3x 2

¿Cómo obtienes (1, 6) a partir de y x 5? ¿Y el punto (1, 4)?

Solución Para graficar 6x 2y 4 0 puedes calcular tres puntos, o usar la forma rápida y ax b (pendiente intersección-y) que requiere despejar y: Optando por esto último, se tiene:

Ejemplos 2 y 3

y y = 3x + 2 4 3 2 1

6x 2y 4 0 6x 4 2y y 3x 2

Fíjate en lo siguiente... 6x − 2y + 4 = 0

−3 −2 −1 0 1 2 3 x −1

Esto muestra que las ecuaciones iniciales son equivalentes: una se transforma en la otra. Las dos ecuaciones representan la misma recta. La solución del sistema son todos los puntos de la recta, es decir, las coordenadas de cualquiera de los puntos satisfacen ambas ecuaciones. Para dibujar la gráfica, a partir de la intersección-y, que es 2, ubicas otro punto usan3 do m 3 : avanzas tres unidades hacia arriba y una a la derecha. 1

Ejemplo 3 Resolviendo un sistema sin solución y 2x 3 Obtén la solución gráfica del sistema de ecuaciones .

y 2x 1

Solución y 2x 3. Corta al eje y en 3 y pasa por (1, 1).

y = 2x + 3

y 2x 1. Corta al eje y en 1 y pasa por (1, 1). La gráfica muestra que las rectas no tienen ningún punto en común. El sistema no tiene solución.

−3

1. Ax By C es función lineal si A y B

0. En tal caso la gráfica corta siempre a los dos ejes coordenados (recta oblicua). 2. La ecuación Ax By C, NO representa una función lineal si A o B son cero. Las rectas son horizontales o verticales. Horizontal si A 0

Vertical si B 0

Ejemplo: y 3

Ejemplo: x 2

−3 −2−1 0 −1 −2 −3 1 2 3 x y = 2x − 1

Ejemplo 4 Identificando rectas paralelas y coincidentes ¿Son paralelas o coincidentes las rectas representadas por estas ecuaciones? a) 5x 4y 8 0 5 y x 2 4

Ampliando el conocimiento

y 4 3 2 1

y 4 3 2 1

−1 0 −1 −2 −3

En cada caso, la igualdad de las pendientes indica que las rectas tienen la misma inclinación. En tal caso, o coinciden o son paralelas.

b) 2x y 4

6x 3y 9 0

Solución Compara las ecuaciones en la forma y ax b. a) Escribiendo 5x 4y 8 0 en la forma pendiente-ordenada al origen se observa que ambas ecuaciones coinciden.

y =3 1 2 3 x

y 4 x = −2 1 −3 −2−1 0 1 2 3 x −1 −2 −3

3. Toda ecuación lineal en la forma y ax b, (a 0) es una recta oblicua. Si indicas que a es la pendiente m de la recta, tendrás la: Forma pendiente-ordenada al origen y mx b m pendiente, b ordenada al origen (La intersección-y es la ordenada al origen) y m b 0

x

y 4 y=x+2 3 2 1 −4 −3 −2 −1 0 1 2 x −1 −2 −3

134

7

BLOQUE

Resuelves ecuaciones lineales II 5x 4y 8 0

Ejemplo 4

5x 8 4y

Fíjate en lo siguiente...

y

4a) También puedes verificar que las rectas coinciden calculando puntos sobre cada una de ellas. 4b) Las rectas que coinciden tienen la misma pendiente. Lo mismo si son paralelas. La forma de distinguir un caso del otro es mediante la intersección-y.

5 x4 4

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 x −1 5x − 4y + 8 = 0 −3 −4

Conclusión: las rectas son coincidentes. b) Transformamos despejando y: 2x y 4

6x 3y 3 0

y 2x 4

3y 6x 3

Ampliando el conocimiento 1. La característica principal de las rectas paralelas es que poseen pendientes (inclinación) iguales. 2. Como las rectas coincidentes son la misma recta y tienen, por tanto, la misma pendiente, se concluye que toda recta es paralela a sí misma.

y 2x 1 La pendiente m 2, igual en ambas ecuaciones, indica que sus gráficas tienen la misma inclinación. Sin embargo, son rectas distintas, pues cortan al eje y en puntos distintos. Sus intersecciones-y son diferentes: 4 y 1.

3. La definición ampliada de paralelismo establece (para abarcar ambos casos) que:

4. Las denominaciones: rectas paralelas, rectas coincidentes se usan sólo para distinguir los casos de rectas paralelas distintas y rectas paralelas iguales.

2. Al interpretar éste hay que considerar que el dominio de las funciones es el conjunto de números naturales. 3. La respuesta a la situación real debe ser: De 6 cartuchos en adelante conviene más comprar el equipo 2.

1 2

3 x

y = −2x − 1

−4 −5

Solución Inversión final

Costo del equipo



Impresora 1:

y 1,200 350x

Impresora 2:

y 1,600 275x



Costo de la tinta



Cantidad de cartuchos

Para determinar el punto donde la inversión es la misma para ambos equipos de impresión, resolvemos el sistema de ecuaciones simultáneas.

Inversión ($)

1. Por simplicidad se usa el modelo lineal general para aproximar el resultado.

−3 −2 −1 0 −1 −2 y = −2x − 4 −3

Una impresora tiene un costo de $1,200 y los cartuchos de tinta que utiliza valen $350. Otra marca de impresora, con similares características de funcionamiento, cuesta $1,600 y sus cartuchos de tinta valen $275. ¿Cuál de las dos impresoras te conviene adquirir en cuanto a la inversión final?

Dos rectas son paralelas si coinciden en todos sus puntos, o en ninguno.

Observaciones importantes

y 2 1

Ejemplo 5 Compra de impresoras

Rectas paralelas

Ejemplo 5

y 3 2 1

y= 5 x+2 4

4,000 y 3,600 3,200 2,800 2,400 2,000 1,600 1,200 0

1

2

Trazamos las gráficas de cada recta utilizando los valores de m y b en cada ecuación. La gráfica muestra que para x 5.3 cartuchos, la inversión es la misma para ambos equipos. Después de ese valor resulta más económico el segundo equipo. Es preferible invertir en éste.

1 2 3 4 5 6 7 8 x Cartuchos

Grupo Editorial Patria® 135

En los ejercicios 1 a 9: a) Identifica cuáles ecuaciones corresponden a funciones lineales, rectas horizontales, o rectas verticales; b) dibuja su gráfica. 1. y 6x 1

2. x 3

3. 4x y 1 0

4. 12x 4y 10 0

5. y 7

6. 15x 3y 6

7. 2y 9x 5

8. y 2x

9. 6x 30

En los ejercicios 10 a 13, asocia cada sistema de ecuaciones con su gráfica. y 4x 9 2y x 10 3x 2y 4 10. 11. 12.

y 2x 2

4y 20 2x

y 1.5x 3 I. II. III. y 3 2 1 −4 −3 −2 −1 0 1 2 x −1 −2 −3 −4

y 5 4 3 2 1 −5 −4 −3 −2 −1 0 −1

2x y 2 13.

x y 4 IV. y 10 8 6 4 2

y 10 8 6 4 2 1x

−6 −4 −2 0 −2

2 4 6x

−6 −4 −2 0 −2

2 4 6x

En los ejercicios 14 a 16, resuelve gráficamente el sistema de ecuaciones. 2x y 5 14.

x y 0

x – y 9 15.

2x y 13

y 5x 2 16.

y 6x 9

17. Califica como falsa o verdadera cada afirmación. Un sistema de ecuaciones 2 2: a) Tiene infinidad de soluciones si las rectas son paralelas. b) No tiene solución si las rectas son concurrentes. c) Tiene infinidad de soluciones si las ecuaciones son equivalentes. 18. Venta de revistas La venta promedio de revistas femeninas, de 2005 a 2007, puede modelarse con la ecuación 0.5y x 17.5 0 (y en miles de pesos, x 0 2005). En el año 2005, las revistas para caballeros alcanzaron una venta de 20 mil ejemplares y éstas se incrementaron a razón de 2 mil revistas cada año. a) Obtén un modelo algebraico para la venta de revistas para hombres. b) ¿Fueron iguales en algún año las ventas de ambos tipos de revista? c) Si el ritmo de ventas se mantiene igual, ¿coincidirán en algún año? 19. Obra teatral Organizas con tus amigos un espectáculo teatral para recaudar fondos. Los costos por insumos (alquiler de vestuario, actores, foro) ascienden a $5,000 y el costo por servicio de cafetería lo estiman en $15 por asistente. Si piensan cobrar $70 por espectador: a) ¿Con cuántos espectadores recuperan su inversión? b) ¿A cuánto ascenderá ésta en el punto de equilibrio? c) ¿Cuál será su ganancia si asisten 300 espectadores?

Sugerencias para la autoevaluación 7A 1 a 9. Para que la ecuación lineal en dos variables Ax By C represente: Una función:

AyB 0

Una recta horizontal:

A0

Una recta vertical:

B0

10 a 13. Utiliza la forma y ax b para graficar (despeja y). Revisa los ejemplos 1, 2, 3 y 4. 2x y 2 13.

x y 4 14 a 16. Utiliza la forma pendiente-ordenada al origen para obtener fácilmente las gráficas. Revisa los ejemplos 1, 2 y 3. 17. Revisa el inicio de la lección y los tres primeros ejemplos. 18. Para elaborar el modelo algebraico interpreta la razón de cambio como la pendiente. El valor inicial es la ordenada al origen. Usa y mx b. No olvides las equivalencias. 19. Revisa el ejemplo 5. El punto donde el ingreso es igual al costo se denomina en economía punto de equilibrio. 10,000 Ingresos ($)

Autoevaluación 7A

y

8,000 6,000 4,000 2,000 x 0

Espectadores

La ganancia es igual al ingreso menos el costo.

136

7

BLOQUE

Resuelves ecuaciones lineales II

7

Situación didáctica

Esencias para perfumes

B

Preservar los aromas agradables ha requerido muchos ensayos, estudios e investi-

Conocimientos

Las esencias naturales, sus imitaciones o las sustancias sintéticas actuales, rivalizan todas en la preferencia de los consumidores de perfumes.

BLOQUE

gaciones desde épocas antiguas hasta nuestros días.

Solución algebraica de sistemas 2 2 ¿Cuándo emplear un método? Suma y resta

Esencia

Existen, o se crean, términos simétricos.

Narciso

Gardenia

900 ml

5%

9%

8%

xy1 xy3 2x

Total

4 x2

Sustitución Una variable despejada en una ecuación. xy2 y 2x 5

Las proporciones y tipos de esencia son los que caracterizan la fragancia de cada marca. La tabla adjunta, por ejemplo, indica el total requerido de dos esencias distintas y las concentraciones requeridas para la elaboración de un perfume. Si tú fueras responsable de producir los 900 ml de este perfume, con los porcentajes indicados para cada esencia, ¿qué cantidad agregarías de cada una de ellas?

x (2x 5) 2 x3 Igualación Una variable despejada en 2 ecuaciones.

Análisis de la situación

y 2x 5 yx2

1. Prueba valores Explora en una tabla diversas cantidades de esencia. Éstas deben sumar 900 ml, mientras que los mililitros correspondientes a su porcentaje (5% y 9%) deben sumar 72 ml (es decir, 8% de 900 ml).

2x 5 x 2 x3

Consulta En libros de álgebra y otras fuentes:

ml

%

ml

%

Narciso 5%

500

25

400

200

Gardenia 9%

400

36

500

700

Total

900

61

900

65

ml

%

900

Solución de sistemas lineales 2 2 Determinantes de sistemas 2 2 En Internet: Op. cit. Bloque 4A www.librosmaravillosos.com/

Combinación 1: 5%(500) 25; 9%(400) 32; 25 32 57 ml. 2. Revisa el método El método utilizado (ensayo y error) permite ajustar y aproximar resultados mediante cálculos numéricos. ¿Podría algún método algebraico abreviar este proceso?

Grupo Editorial Patria® 137

Secuencia didáctica

Rúbrica de evaluación

1. Asigna una variable a la cantidad de mililitros de cada esencia y organiza los datos en un diagrama. x ml de esencia de narciso; y ml de esencia de gardenia Cantidad de ml Porcentaje Total de ml

x 5% ________



y 9% ________

0.05 x

900 8% ________



0.09 y

0.08(900)

2. La primera línea, x y 900, y la última, 0.05 x __________ __________ , conforman el modelo algebraico (describen las condiciones del problema). Los valores donde ambas se cumplen es el punto de y 1,000 intersección de sus gráficas. Identifica éstas: 875

Gráfica 1: ______________________________

2

500 125 0

100

2. En el desarrollo de la secuencia didáctica explica el criterio que utilizaste en el punto 2 para identificar las gráficas y, en el punto 4, escribe el proceso algebraico elegido para resolver el sistema de ecuaciones. 3. Resuelve los sistemas de ecuaciones de esta actividad utilizando determinantes 2 2. 4. Exploración adicional: completa el diagrama siguiente y resuelve con una sola variable el problema.

750 625

Gráfica 2: ______________________________

1

1. En el análisis de la situación, completa y continúa la tabla para aproximar la solución.

200

300

x

3. Las coordenadas de este punto son x __________ ; y __________ , es decir, para este perfume debes utilizar, aproximadamente, __________ ml de esencia de narciso y __________ ml de esencia de gardenia.

900 x 9% ________ 0.09( )

x 5% ________ 0.05x

900 ________ 8%

4. El valor preciso de estas cantidades se halla con métodos algebraicos. Eligiendo ( ) suma y resta ( ) sustitución ( ) igualación, y resolviendo: ______________________________________ ______________________________________ se obtiene x __________ , y __________ .

Proyecto de trabajo 1) 1. Cumpleaños Para una fiesta de cumpleaños tú y tus amigos necesitan comprar hielo y refrescos. Por cinco paquetes de refresco y una bolsa de hielo la cuenta sería de $170, pero si compran cuatro paquetes de refresco y tres bolsas de hielo, deben pagar $158.

40 1

30 2 20 10

a) Representa cada opción con una función lineal. b) ¿Cuánto cuesta cada paquete de refresco y cada bolsa de hielo? c) Obtén la solución con las gráficas de las funciones. 2. Eligiendo empleo Deseas trabajar como representante de ventas para la exportación de productos. Una compañía te ofrece un sueldo base de $4,600 más el 1% por el importe de tus ventas. Otra te ofrece $3,900 más el 2% sobre las ventas. a) ¿Cuánto debes vender para percibir lo mismo en ambos empleos? b) ¿Cuál empleo te conviene más, si tus ventas alcanzan $100,000? c) Justifica lo anterior interpretando las gráficas de las funciones.

10

0

2)

20

6,000 5,500 5,000 4,500 4,000

1 2

500 0 20,000

70,000

30

40

138

7

BLOQUE

Resuelves ecuaciones lineales II

Solución de sistemas lineales 2 2

7B

Los métodos algebraicos para resolver sistemas de ecuaciones lineales 2 2 consisten en reducir el sistema a una ecuación con una variable.

Recuerda

Existen tres tipos de transformaciones algebraicas para lograr la reducción. El criterio para utilizar alguno de ellos se ilustra en estos ejemplos:

Segmento informativo

1. Los términos simétricos difieren en signo:



Término

Simétrico

y

y

4x

4x

2. La suma de términos simétricos es 0. y (y) y y 0 4x (4x) 4x 4x 0

2x

6

2. 3x (2x) 1 proviene de reemplazar el valor y 2x en la ecuación 3x y 1. 3. Por transitividad de la igualdad, al ser y 4x 1 y y x 2, puedes escribir 4x 1 x 2.

Sustitución

Igualación

xy5

y 2x

y 4x 1

xy1

3x y 1

yx2

Los términos de una variable son simétricos

Una variable despejada en una ecuación

Una variable despejada en ambas ecuaciones

Suma las ecuaciones

Sustitúyela en la otra

Iguala las expresiones

2x 6

3x (2x) 1

Fíjate en lo siguiente... 1. 2x 6 proviene de la suma: x y 5 xy1 __________

Suma y resta

4x 1 x 2

Al resolver esta última ecuación hallas el valor de una variable. Sustituyéndolo en una de las ecuaciones del sistema, obtienes el valor de la otra. Por ejemplo, al resolver 4x 1 x 2 obtienes x 1. Con este valor de x, encuentras el de y en cualquier ecuación: y x 2 1 2 3. Si no existe ninguna de las situaciones descritas anteriormente, tú eliges el método de reducción. Para sustitución o igualación sólo debes despejar. Si deseas utilizar suma y resta, debes multiplicar por un factor adecuado una, o incluso ambas, ecuaciones. Esto se ilustrará en los ejemplos.

Verifica tu avance A los métodos de reducción también se les llama de eliminación. ¿Por qué?

Ejemplo 1 Resolviendo un sistema por suma y resta Resuelve cada sistema de ecuaciones.

Ejemplo 1a)

a) 5x 2y 1 5x y 7

b) 4x 2y 6 2x 5y 9

Observaciones importantes 1. No importa cuál variable se elimine en la suma. Lo relevante es que esté su simétrico. 2. Verifica siempre que la solución obtenida sea la correcta: debe satisfacer ambas ecuaciones. Así, en este caso, para (1, 2): 5x 2y 5(1) 2(2) 5 4 1 5x y 5(1) 2 5 2 7

Solución a) Los términos con la variable x son simétricos.



Suma las ecuaciones

Resuelve para y

Obtén x

5x 2y 1

3y 6

5x 2y 1

5x y 7 ___________ 3y 6

y2

5x 2(2) 1

La solución del sistema es el punto (1, 2).

x 1

Grupo Editorial Patria® 139

b) No hay términos simétricos en x o en y. Sin embargo, puedes obtener el simétrico de 4x multiplicando la segunda ecuación por 2 (se indica: 2 ). Indica el factor

Reescribe y suma las ecuaciones

4x 2y 6 2x 5y 9 2 Resuelve para y 12y 24 y2

4x 2y 6

Obtén x:

2. El factor debe ser negativo cuando requieres cambiar el signo (como en este caso).

2x 5y 9 2x 5(2) 9 10 9 1 2 2

1 La solución del sistema es la pareja o punto ( , 2). 2

Resuelve cada uno de los siguientes sistemas. y x 1

b) y 6x 12 y 2x 8

Solución a) Está despejada una variable en una ecuación.

b) Está despejada la misma variable en ambas ecuaciones.

Usa sustitución.

Usa igualación.

Sustituye y por x 1.

Iguala las expresiones.

5x 3(x 1) 35

6x 12 2x 8

Resuelve para x. Obtienes x 4.

Resuelve para x. Obtienes x 1.

Obtén y. Usando el valor x 4:

Obtén y. Usando el valor x 1:

y x 1 (4) 1 5.

y 2x 8 2(1) 8 6.

La solución del sistema es (4, 5).

La solución del sistema es (1, 6).

Ejemplo 3 Resolviendo sistemas cuyas gráficas son rectas paralelas

6x 6y 30

6x 6y 30 6x 6y 30 ____________ 00

20x 10y 30

2x 5 y 9 2

4x 10y 18

Suma y resta Si los coeficientes no son múltiplos uno del otro, intercámbialos como factores de las ecuaciones. Ajusta los signos.

Ejemplo 2a) Fíjate en lo siguiente... 1. Puedes obtener y sustituyendo el valor x 4 en cualquiera de las ecuaciones. Así, 5x 3y 35; 5(4) 3y 35; y 5. 2. Por lo regular se escoge la ecuación más simple (con coeficientes más pequeños, y positivos, de preferencia). Por esto se utilizó y x 1 en vez de 5x 3y 35.

b) y 5x 2

Fíjate en lo siguiente...

20x 4y 1 Infinitas soluciones y no solución

Solución a) Por suma y resta:

4x 2 y 6 5

Ejemplo 3

Resuelve algebraicamente cada sistema de ecuaciones. a) x y 5

3. Si un coeficiente es múltiplo del otro, divide para obtener el factor. En caso contrario, cruza los coeficientes. Ajusta el signo de cada factor, si es necesario. Ejemplo. Para eliminar y:

Ejemplo 2 Resolviendo un sistema por sustitución o igualación a) 5x 3y 35

Observaciones importantes 1. La notación 2x 5y 9 2 expresa que debes multiplicar cada uno de los términos de la ecuación por 2.

4x 10y 18 ______________ 12y 24

x

Ejemplo 1b)

b) Por sustitución: 20x 4(5x 2) 1 09

Las variables desaparecen y queda una igualdad. La identidad indica que hay infinitas soluciones. La igualdad falsa indica que no existe solución.

Si obtienes

Concluye

Una identidad

Infinitas soluciones

Una igualdad falsa No hay solución

7

BLOQUE

Resuelves ecuaciones lineales II

Ejemplo 4

Ejemplo 4 Consumo de alimentos Sales con tu amiga y deciden cenar tacos al carbón. Estando allí, se les antojan también los tacos al pastor. Tu cuenta, por cinco tacos al pastor y tres al carbón es de $46.50, y la de tu amiga es de $47.50 por siete tacos al pastor y dos al carbón. ¿Cuánto pagaron por cada taco?

Fíjate en lo siguiente... 1. Obtención de y, conocido el valor x 4.5, usando cualquiera de las ecuaciones: Primera ecuación

Segunda ecuación

5x 3y 46.5 5(4.5) 3y 46.5

7x 2y 47.5 7(4.5) 2y 47.5

22.5 3y 46.5

31.5 2y 47.5

3y 24

2y 16

y8

y8

2. En este sistema tú eliges el método de resolución. En este caso se usó suma y resta, pero puede usarse cualquier otro: a) Sustitución. Hay cuatro opciones para iniciar, según se despeje x o y en cualquiera de las dos ecuaciones. Despejando x en la primera ecuación 46.5 3y , y sustituyendo en x 5 7x 2y 47.5 se tiene:

Solución Cantidad

Reemplazas este valor y obtienes x 4.5. b) Igualación. Hay dos opciones para iniciar: despejar x, o y, en ambas ecuaciones. Despejando x e igualando las expresiones: Multiplicando en cruz y resolviendo, y 8. Reemplazas este valor y hallas x 4.5.

Ejemplo 5

a) m razón de cambio b) Forma y mx b. c) Usa igualación. El sistema y 2x 53, y x 12 tiene por solución 41 2 77 13 ; y 25.66. x 3 3 3



precio tacos al carbón



pago

10x 6y 93 21x 6y 142.5 ______________ 49.5

Resolviendo se obtiene x 4.5. Al sustituir este valor en cualquiera de las ecuaciones originales se tiene y 8. Así, cada taco al pastor tuvo un costo de $4.50 y cada taco al carbón, un costo de $8.00.

Ejemplo 5 Divorcios y matrimonios La gráfica muestra los cambios en el porcentaje de matrimonios y divorcios del año 2000 al 2007 (x 0 2000). El matrimonio abarca dos categorías: los que duran más, y los que duran menos de 10 años. a) Dibuja la gráfica faltante. b) Escribe sus ecuaciones. c) ¿Igualarán los divorcios a los matrimonios? Si es así, ¿cuándo ocurrirá esto?

56 48 40 32 24 16 8

42

Divorcios

0

Solución

19

1 2 3 4 5 6 7 8 Años

a) Restas de 100% ambos porcentajes en el eje y, y obtienes el porcentaje, en 2000, de matrimonios con menos de 10 años: 100 35 12 53%. En forma similar obtienes el porcentaje de este grupo en 2007: 39%. En este periodo, la razón de cambio promedio para cada grupo fue: Casados menos de 10 años m1 =

Fíjate en lo siguiente...

cantidad

11x

7(46.5 3y) 10y 237.5 88 8 11



5x 3y 46.5 2 7x 2y 47.5 3

Modelo algebraico:

46.5 3y 7 2y 47.5 5 y

precio tacos al pastor

Porcentaje

140

39 53 2 7

b) En ese orden: y 2x 53;

Casados más de 10 años m2 =

42 35 1 7

Divorcios m3 =

y x 35;

c) Resolviendo cada par de ecuaciones, se encuentra que el grupo de matrimonios con menos de 10 años igualará al de divorcios 4 meses antes del año 2014, con 25.66% del total de casados y divorciados.

19 12 1 7

y x 12 56 48 40 32 24 16 8 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Grupo Editorial Patria® 141

Autoevaluación 7B En los ejercicios 1 a 9: a) Indica cuál método es más apropiado para resolver cada sistema de ecuaciones; b) resuelve cada uno por el método elegido. 1. y x 10

2. 7x 2y 4

y 2x 5

7x 2y 3

4. 16x y 30

5. 4x y 22

yx

3. y x 2

8. 2x 3y 5

2 x y1 3

6. y 2x 20 9. 7x y 10x 5

0.5x 4y 2

10x 3y 36

14x y y 3x 2

5x y 9

x 4y 8

13. Buffet Un restaurante ofrece para el desayuno un buffet con precios distintos para adultos y niños. Por el desayuno, un matrimonio con dos niños paga $194. Otra pareja con un niño paga $162 por el buffet. ¿En cuánto sale éste para un adulto y en cuánto para un niño? 14. Producción de gorras De 2008 a 2013 una compañía produjo y 2x 1 gorras (en decenas de miles), (x 0 2008). La producción de otra compañía se muestra en la tabla.

x y

2008 0 3

Suma y resta

Existen términos simétricos o se obtienen con un factor.

Sustitución

Una variable está despejada en una ecuación.

Igualación

Una variable está despejada en ambas ecuaciones.

xy8

Ejercicios 10 a 12: a) Resuelve cada sistema lineal empleando los tres métodos algebraicos. b) Comprueba gráficamente la solución. x 10. 3x y 12 11. 3x 7y 13 12. y2 4

1 a 6. Aplica estos criterios:

5x 3y 0

x 2y 5

7. x 4y

Sugerencias para la autoevaluación 7B

2013 5 5

a) ¿A qué ritmo aumentó la producción en cada caso? b) ¿En algún momento fue igual su producción? c) ¿Igualarán la producción 4x 4y 28 de la compañía líder? 15. Bisquets La ecuación 2.5x y 195 modela el ingreso anual y durante los últimos cinco años de una sucursal de venta de bisquets (en miles de pesos). Otra sucursal registra para el mismo periodo un ingreso anual y 180 0.5x. a) ¿Coincidieron en algún año los ingresos de las sucursales? b) ¿Requiere alguna sucursal mejorar sus ventas?

7. Multiplica la segunda ecuación por 3 para eliminar el denominador. 8. Multiplica por 4 la segunda ecuación. 9. Simplifica primero las ecuaciones (multiplica ambos términos de la segunda ecuación por 2, o usa productos en cruz). Igualación y sustitución El método de igualación es un caso particular del de sustitución: puedes sustituir la variable despejada en la otra ecuación. 10. Inicia con el método de sustitución, despejando y en la primera ecuación. 11. Puedes iniciar con sustitución despejando y en la segunda ecuación. Para suma y resta, multiplica la segunda ecuación por 4. 12. Simplifica la primera ecuación multiplicándola por 4. Inicia con suma y resta. 13. Si x es el precio por adulto, una pareja paga 2x. Designa con y el precio del buffet para niño. 14. a) Obtén la pendiente para cada caso. b) Escribe la ecuación y mx b para los datos de la tabla. Resuelve el sistema de ecuaciones. c) Resuelve esta ecuación con cada una de las anteriores. Haz la gráfica.

142

7

BLOQUE

Resuelves ecuaciones lineales II

Instrumentos de evaluación Rúbrica

Rúbrica para evaluar el reporte de la situación didáctica “Esencias para perfumes” del Bloque 7B. Nombre del alumno:

Nivel

Presentación

Aspecto a evaluar

Desarrollo

Dominio del tema

Resultados y conclusiones

Excelente (4)

Bueno (3)

Satisfactorio (2)

Deficiente (1)

Elabora el reporte a mano con buena caligrafía (o bien usando un procesador de texto con una impresión bien hecha), bien redactado y sin faltas de ortografía. Dibuja la gráfica de las dos líneas rectas en papel milimétrico y usando regla, o bien, por computadora. Prueba varias combinaciones de cantidades de esencias antes de resolver el sistema.

Elabora el reporte a mano con buena caligrafía (o bien usando un procesador de texto con una impresión bien hecha), redacción regular y sin faltas de ortografía. Dibuja la gráfica de las dos líneas rectas en hojas de cuadrícula chica y usando regla. Prueba varias combinaciones de cantidades de esencias antes de resolver el sistema.

Elabora el reporte a mano con regular caligrafía (o bien usando un procesador de texto con una impresión regular), redacción regular y pocas faltas de ortografía. Dibuja la gráfica de las dos líneas rectas en hojas blancas y usando regla. Sólo prueba la combinación de cantidades de esencias señalada en el libro antes de resolver el sistema.

Elabora el reporte a mano con mala caligrafía, mal redactado y con muchas faltas de ortografía. No hizo la gráfica de las dos líneas rectas.

Presenta de manera ordenada todos los pasos para determinar las ecuaciones y cantidades pedidas. Identifica las líneas rectas en la gráfica y luego las gráfica en una hoja aparte para determinar con mayor precisión el punto de intersección de las mismas. Resuelve el problema usando una sola variable. Plantea correctamente sistemas de ecuaciones lineales con base en la información del problema.

Presenta de manera ordenada todos los pasos para determinar las ecuaciones y cantidades pedidas. Identifica las líneas rectas en la gráfica y luego las gráfica en una hoja aparte para determinar con mayor precisión el punto de intersección de las mismas. No resuelve el problema usando una sola variable. Plantea correctamente sistemas de ecuaciones lineales con base en la información del problema. Resuelve correctamente sistemas de ecuaciones lineales sólo por dos de los siguientes métodos: t (SÈmDP t %FUFSNJOBOUFT t 4VNBZSFTUB TVTUJUVDJØOP igualación.

Presenta de manera ordenada todos los pasos para determinar las ecuaciones y cantidades pedidas. Sólo identifica las líneas rectas en la gráfica.

Omite algunos pasos en el cálculo de las ecuaciones y cantidades pedidas. Sólo identifica las líneas rectas en la gráfica.

No resuelve el problema usando una sola variable.

No resuelve el problema usando una sola variable.

No prueba ninguna combinación de cantidades de esencias antes de resolver el sistema.

Plantea incorrectamente sistemas de ecuaciones lineales con base en la información del problema. Resuelve correctamente sistemas de Resuelve correctamente sistemas ecuaciones lineales sólo por uno de ecuaciones lineales por los de los siguientes métodos: siguientes métodos: t (SÈmDP t (SÈmDP t %FUFSNJOBOUFT t %FUFSNJOBOUFT t 4VNBZSFTUB TVTUJUVDJØOP t 4VNBZSFTUB TVTUJUVDJØOP igualación. igualación. Calcula incorrectamente Calcula correctamente porcentajes. Calcula correctamente porcentajes. porcentajes. Determina correctamente la cantidad Determina correctamente la cantidad Determina correctamente la cantidad Determina incorrectamente la de esencia de narciso y de gardenia de esencia de narciso y de gardenia de esencia de narciso y de gardenia cantidad de esencia de narciso y de que debe utilizarse para producir el que debe utilizarse para producir el que debe utilizarse para producir el gardenia que debe utilizarse para perfume indicado por los siguientes perfume indicado sólo por dos de los perfume indicado sólo por uno de los producir el perfume indicado por los tres métodos: siguientes tres métodos: siguientes tres métodos: siguientes tres métodos: t (SÈmDP t (SÈmDP t (SÈmDP t (SÈmDP t %FUFSNJOBOUFT t %FUFSNJOBOUFT t %FUFSNJOBOUFT t %FUFSNJOBOUFT t 4VNBZSFTUB TVTUJUVDJØOP t 4VNBZSFTUB TVTUJUVDJØOP t 4VNBZSFTUB TVTUJUVDJØOP t 4VNBZSFTUB TVTUJUVDJØOP igualación. igualación. igualación. igualación. Plantea correctamente sistemas de ecuaciones lineales con base en la información del problema. Resuelve correctamente sistemas de ecuaciones lineales sólo por uno de los siguientes métodos: t (SÈmDP t %FUFSNJOBOUFT t 4VNBZSFTUB TVTUJUVDJØOP igualación. Calcula correctamente porcentajes.

Lista de cotejo

Lista de cotejo para el reporte de la situación didáctica “Matrimonios y divorcios” del Bloque 7A. Presentación 1. Cuenta con una carátula que incluye al menos el nombre del trabajo que se realiza, el nombre de la materia, la fecha de entrega, el nombre del alumno y su matrícula. 2. La redacción es buena o por lo menos satisfactoria. 3. Tiene pocos o ningún error de ortografía. 4. Elaboró el trabajo con un procesador de texto como Word, o bien, lo hizo a mano con buena caligrafía o por lo menos entendible. 5. Dibujó las gráficas pedidas en papel milimétrico o bien por computadora en un formato bien presentado indicando claramente las variables que se grafican y la escala empleada.

SÍ

NO

Observaciones

Grupo Editorial Patria® 143

Desarrollo

SÍ

NO

Observaciones

SÍ

NO

Observaciones

SÍ

NO

Observaciones

6. Elaboró una tabla con el incremento/decremento porcentual por año para cada grupo. 7. Presentó todos los pasos requeridos para determinar las cantidades y ecuaciones pedidas siguiendo una secuencia coherente y ordenada. Dominio del tema 8. Calcula correctamente la pendiente (ritmo de aumento o disminución) de una recta dados dos puntos de ella. 9. Escribe correctamente la ecuación de una recta dada su pendiente (ritmo de aumento o disminución) y su ordenada al origen (valor inicial para x = 0). 10. Determina gráficamente la intersección de dos rectas. Resultados y conclusiones 11. Calculó correctamente los porcentajes de divorcio al inicio y término del periodo indicado. 12. Calculó correctamente el ritmo promedio de aumento o disminución de los porcentajes de los tres grupos estudiados. 13. Obtuvo la ecuación de la recta que describe a cada uno de los tres grupos y la graficó en un mismo plano coordenado. 14. Calculó gráficamente el año en el que el porcentaje de divorcios es igual al de matrimonios con menos de 20 años y el valor de dicho porcentaje. 15. Concluyó sobre la precisión del resultado del método gráfico.

Comentarios generales: __________________________________________________________________________ Nombre del estudiante: _______________________________________________

Fecha: ____________________

Guía de observación para el proyecto de trabajo “Compra de impresoras” del Bloque 7A

Profesor:

Grado y grupo: Plantel: Clave:

Alumno:

Fecha de aplicación:

Nombre de la materia:

Desempeño a evaluar: Solución gráfica y algebraica de sistemas de ecuaciones lineales simultáneas de dos incógnitas. INSTRUCCIONES: Observe si la ejecución de las actividades que se enuncian las realiza el capacitando que se está evaluando y marcar con una “X” el cumplimiento o no en la columna correspondiente; asimismo, es importante anotar las observaciones pertinentes. No. 1 2 3 4 5 6

Acciones a evaluar Elabora una tabla de costos para cada una de las impresoras sumando al precio de adquisición la compra de los cartuchos. Obtiene la función lineal que permite calcular el costo de la impresora más la compra de x cartuchos de tinta. Gráfica correctamente las dos funciones lineales que dan el costo de las impresoras más los cartuchos de tinta. Resuelve gráficamente el sistema de dos ecuaciones lineales correspondientes a las dos impresoras. Resuelve algebraicamente el sistema de dos ecuaciones lineales correspondientes a las dos impresoras. Compara en cuanto a precisión las soluciones obtenidas con el método gráfico y el algebraico e indica si la solución obtenida es plausible.

*No aplica.

REGISTRO DE CUMPLIMIENTO SÍ NO NA*

Observaciones

8

BLOQUE

Resuelves ecuaciones lineales III

8 horas

Objetos de aprendizaje Representación de relaciones entre magnitudes Modelos aritméticos o algebraicos

Competencias a desarrollar n

n

n

Construye e interpreta sistemas de ecuaciones con tres incógnitas mediante la aplicación de diferentes métodos, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Formula y resuelve sistemas de ecuaciones con tres incógnitas, aplicando diferentes métodos (numéricos, algebraicos y gráficos). Explica e interpreta los resultados obtenidos a través de los diferentes métodos y los contraste con modelos establecidos o situaciones reales.

n

n n

Analiza las relaciones entre tres variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento mediante la aplicación de los métodos. Interpreta tablas, gráficas, y textos con símbolos matemáticos y científicos. Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.

¿Qué sabes hacer ahora?

Investigar es ver lo que todo el mundo ha visto y pensar lo que nadie más ha pensado. Albert Szent-Györgi Un trastorno frecuente en las personas es la apnea del sueño, que consiste en el cese de la respiración mientras se duerme, debido a una obstrucción de las vías aéreas superiores. En la gráfica se aprecia cómo varía el porcentaje de quienes sufren esta enfermedad, según grupos de edad y gravedad del padecimiento. Un sistema de ecuaciones lineales permite a los investigadores establecer el tamaño de la muestra poblacional estudiada en cada grupo, a partir de la información proporcionada por la gráfica.

50% 40% 25%

49 Edad 1-15 Severo

40% 40% 30%

45% 20% 10%

48 16-30

33 31-80

Moderado

Leve

0.25x 0.40y 0.50z 49 0.30x 0.40y 0.40z 48 0.45x 0.20y 0.10z 33

Desempeños del estudiante al concluir el bloque

n

n n

n

Reconoce el modelo algebraico de un sistema de ecuaciones con tres incógnitas. Resuelve e interpreta sistemas de ecuaciones de tres incógnitas mediante métodos: Numérico: Determinantes Algebraicos: Eliminación por reducción (suma y resta), sustitución; Gráficos.

n

Expresa y soluciona situaciones utilizando sistemas de ecuaciones con tres incógnitas. Resuelve problemas que se plantean en lenguaje algebraico utilizando métodos algebraicos, numéricos y gráficos. Elabora o interpreta gráficas, tablas y mapas, para resolver situaciones diversas que conllevan el uso de sistemas de ecuaciones con tres incógnitas.

146

8

BLOQUE

Resuelves ecuaciones lineales III

8

A

BLOQUE

Situación didáctica

Selección deportiva

Para integrar la selección de futbol tres equipos aportan en total siete, cinco y ocho jugadores, respectivamente.

Conocimientos Números y porcentajes 2 es el 50% ¿de qué número? 2 4 50% x 2; 0.50x 2; x 0.5 (50% es la mitad; 2 es la mitad de 4) Sustitución para sistemas 3 3 x 2y 2z 11 2x y 2z 1 3x 3 Paso 1 Despeja una variable en una ecuación y sustitúyela en las otras ecuaciones. De 3x 3, x 1.

Delanteros

Porteros

Defensas

Total

Equipo 1

60%

50%

30%

7

Equipo 2

40%

100%

10%

5

Equipo 3

20%

0%

70%

8

De su planta de jugadores para cada posición, los equipos enviaron el porcentaje indicado en la tabla. Los tres equipos poseen igual cantidad de jugadores para cada una de estas tres posiciones.

1 2y 2z 11 2 y 2z 1 Paso 2

¿Cuántos delanteros, porteros y defensas tiene cada equipo?

Simplifica y resuelve el sistema 2 2:

¿Cuántos de estos jugadores fueron seleccionados por equipo?

2y 2z 10 y___________ 2z 1 Por suma y resta:

3y

9;

¿Cuántos delanteros, porteros y defensas aportaron los tres equipos? ¿Cuántos jugadores en total? y3

Análisis de la situación

Paso 3

10 6 2 2

1. Interpreta la información ¿Indica 60%, en la primera entrada de la tabla, un porcentaje respecto al total de jugadores de la selección o un porcentaje del total de jugadores que son delanteros en el Equipo 1? ¿Qué significa 0%? ¿Es por esta razón que la suma de los porcentajes, en columnas o en renglones, resulta distinta de 100%?

Consulta

2. Prueba valores Existen varias maneras de distribuir los 7 jugadores del Equipo 1; una de ellas es, por ejemplo,

En una ecuación que tenga a la variable restante, sustituye los valores conocidos: 2y 2z 10; 6 2z 10; z

En libros de álgebra y otras fuentes: Solución de sistemas lineales 3 3

Delanteros

Porteros

Defensas

2

1

4

En Internet: Op. cit. Bloque 4A http://club.telepolis.com/luisroche/ www.educasites.net/matematicas.htm

¿Será ésta la correcta? Comprueba: 2 es 60% de 3.3; 1 es 50% de 2; 4 es 30% de 13.3; en este equipo habrían 3.3 2 13.3 18.6 jugadores. ¿Es isible este valor? ¿Por qué? Aún así, ¿funciona esta terna (2, 1, 4) para los otros dos equipos? Argumenta.

Grupo Editorial Patria® 147

Secuencia didáctica

Rúbrica de evaluación

1. La solución del problema con un modelo algebraico es más simple y precisa. Asigna variables a las cantidades buscadas: x número de delanteros; y número de porteros; z número de ________________ .

El desarrollo de esta actividad en tu cuaderno de matemáticas debe incluir:

2. Para el Equipo 1 debe cumplirse: 60%x 50%y 30%z ____________ ; para el Equipo 2, 40% ___________ 100% ___________ ___________ ___________ y para el Equipo 3, ___________ ___________ ___________ ___________ . Expresando cada porcentaje en forma decimal este sistema se reescribe:

1. La respuesta a los cuestionamientos reflexivos en el análisis de la situación y, al menos, la prueba de otra terna de valores.

0.6x ___________ y ___________ z 7 _______ x ___________ y ___________ z 5 _________ _____________ _____________ ___________ 3. Multiplicando los términos por ____(10;100) conseguimos un sistema equivalente con coeficientes enteros, más fácil de resolver:

2. Todas las respuestas con los cálculos y transformaciones algebraicas requeridas en la secuencia didáctica, en particular: la verificación de que la terna obtenida como solución satisface el sistema de ecuaciones y genera el número correcto de jugadores que poseen los equipos en cada posición.

6x ___________ y ___________ z 7 _________ _______ x ___________ y ___________ z ___________ _________ _____________ _____________ ___________ 4. Para resolver este sistema conviene despejar ___ o ___ en la ________________ (primera/segunda/tercera ecuación) y sustituir este valor en las dos restantes. Se consigue así un sistema de ecuaciones de 2 × 2: _______ _______ _______ _______ _______ _______

Resolviendo este sistema se halla el valor de las variables: _____ _____ ; _____ _____ .

5. Al sustituir estos dos valores en la ecuación despejada en el punto 4, se obtiene el valor de la tercera variable: _______ _______ . Cada equipo tiene _______ delanteros, _______ porteros, _______ defensas y, de cada posición, aportó la siguiente cantidad de jugadores: JUGADORES APORTADOS POR LOS EQUIPOS Equipo Delanteros Porteros Defensas Total 1 2 3 Total

3 1 0 20

Proyecto de trabajo 1. Vacaciones familiares Un fin de semana tú y tu familia salen de paseo. En el sitio donde se hospedan les ofrecen los alimentos en forma opcional. Los seis comen a veces juntos en el hotel, o fuera de él. La tabla registra las comidas realizadas en el hotel en sus tres días de estancia. La cuenta del hotel por cada concepto ascendió a: desayunos: $150; comidas: $850; cenas: $1,090. a) ¿Qué significan los ceros en la tabla?

Viernes

Sábado

Domingo

b) Asigna una variable para el costo unitario de cada tipo de alimento.

Desayuno

0

0

3

c) Utiliza el modelo verbal: Costo precio unitario cantidad, para escribir un modelo algebraico para el gasto total en los tres días, por cada tipo de alimento.

Comida

6

4

1

Cena

3

6

5

d) Resuelve el sistema por sustitución y comprueba tus resultados.

148

8

BLOQUE

Resuelves ecuaciones lineales III

8

Distribución y venta de quesos

Situación didáctica

B

Una granja produce y distribuye, en tres tiendas diferentes, queso a, queso asadero y queso manchego.

Conocimientos

La cantidad que semanalmente surte de cada tipo de queso, es la misma en todas las tiendas.

BLOQUE

Regla de Cramer para sistemas 3 3 Paso 1 Determinante del sistema Con los coeficientes de las variables escribes el determinante del sistema Determinante Δ x y z 1 2 1

Sistema

x 2y z

1

xyz

3

|

||

Δ 1

x 3y z 1

1

1

3 1

1

|

||

a

Asadero

Manchego

Total

Paso 2 Determinante de las variables

Tienda 1

50%

80%

60%

74 kg

En vez de los coeficientes de la variable, escribe los términos constantes. 1 2 1

Tienda 2

20%

60%

10%

38 kg

Tienda 3

30%

40%

20%

36 kg

Ejemplo. Para x,

Δx

|

||

|

3

1

1

1

3

1

||

En la última semana, las tiendas reportaron los porcentajes y montos de venta señalados en la tabla.

En forma análoga se obtienen Δy, Δz.

¿Qué cantidad de cada tipo de queso surtió la granja a cada tienda?

Paso 3 Valor de las variables

¿Cuánto vendió cada tienda de los distintos tipos de queso?

Divide sus determinantes entre Δ. (Δ0) x y z , y , z . x Calorías, kilocalorías y calorías La caloría (cal) mide la cantidad de energía calorífica necesaria para elevar la temperatura de un gramo de agua, de 14.5 C a 15.5 C. La caloría expresa el poder energético de los alimentos. 1 cal 1 kcal 1,000 cal 4,184 Joules.

Análisis de la situación 1. Interpreta la información ¿Qué representa cada porcentaje de la tabla? ¿Por ejemplo, 50%? ¿Y cada dato en la última columna? 2. Prueba valores Distribuye como gustes los 74 kilogramos que, de los tres tipos de queso, vendió en esa semana la Tienda 1; por ejemplo: Tienda 1 (kg) %

10

40

24

50%

80%

60%

Consulta En libros de álgebra y otras fuentes: Solución de sistemas lineales 3 3. En Internet: Op. cit. Bloque 4A

¿Será ésta la correcta? Comprueba: 10 es 50% de 20; 40 es 80% de 50; 24 es 60% de 40; en este caso la cantidad surtida para la Tienda 1 sería: 20 kg, 50 kg y 40 kg. Para la Tienda 2 debe cumplirse, de acuerdo con la tabla de porcentajes, que: 20%(20) 60%(50) 10%(40) 38 kg, lo cual es correcto; sin embargo, para la Tienda 3, con estos datos no se obtienen 36 kg, sino 23.8 kg, lo cual es incorrecto pues debería dar 36 kg. Prueba con otras combinaciones.

Grupo Editorial Patria® 149

Secuencia didáctica

Rúbrica de evaluación

1. Designa con: x cantidad de queso a surtido a cada tienda (en kg), y con y, z, la cantidad de quesos asadero y manchego, respectivamente.

En tu cuaderno de matemáticas, incluye el desarrollo de:

2. Con base en el modelo verbal: Cantidad vendida porcentaje vendido cantidad surtida, se tiene el modelo algebraico para las ventas de queso en cada tienda:

1. La respuesta a las preguntas en el análisis de la situación y, al menos, una prueba para otra combinación de valores.

0.8 y



0.6z



74

Tienda 2: ________ x

________ y



________ z



________

Tienda 3:





________

Tienda 1:

0.5x

________



________

________ .

3. Multiplicando los términos por ________ (10;100) conseguimos un sistema equivalente con coeficientes enteros, más fácil de resolver: 5x ___________ y ___________ z 7 _________ _______ x ___________ y ___________ z ___________ _________ _____________ _____________ ___________ 4. Para resolver este sistema mediante determinantes se calculan: Δ

|5

||

8 6

|

||

28

Δx

|740

8 6

||

Se obtienen x y y con los cocientes: x

|

||



x

Δy

,

y

| 5 740 6 |

||

y

||



.

5. Al sustituir estos dos valores en cualquier ecuación del punto 3 se encuentra el valor para z _______ . Cada tienda recibió la siguiente cantidad de quesos: _______ kg de queso a, _______ kg de queso asadero y _______ kg de queso manchego. Cada una vendió en esa semana: Tienda 1 2 3 Total

a

Asadero

Manchego 18

Total

27 12 148

Proyecto de trabajo 1. Calorías en alimentos En el desayuno, tú y tus padres toman jugo de naranja, yogur natural y papaya, en una copa con raciones de 100 gramos. Tú tomas dos copas de jugo de naranja, una de yogur y media de papaya. Tu papá, en cambio, toma una copa y media de jugo de naranja, una de yogur y una de papaya. Tu mamá consume una de jugo, dos de yogur y una de papaya. La cantidad de Calorías ingerida por cada uno, al consumir estos alimentos, es de 173, 181 y 220 Calorías respectivamente. a) Organiza en una tabla la información dada. b) Designa con una variable la cantidad de Calorías que contiene una copa de cada tipo de alimento y escribe un modelo algebraico. c) Resuelve por determinantes el sistema obtenido. Verifica la solución.

2. El cálculo de los determinantes y el valor de x, y, z, requeridos en la secuencia didáctica, así como la verificación de que la terna obtenida como solución satisface el sistema de ecuaciones y genera las cantidades correctas de cada tipo de queso que vendió cada tienda.

150

8

BLOQUE

Resuelves ecuaciones lineales III

8B

Segmento informativo

Solución de sistemas lineales 3 3 Un sistema de ecuaciones lineales de 3 3 consta de tres ecuaciones de primer grado con tres variables. Estos sistemas se resuelven por sustitución algebraica, o usando determinantes.

Fíjate en lo siguiente... 1. Para despejar, elige la variable que tenga el menor coeficiente (positivo, de preferencia). 2. Se escogió la primera ecuación porque allí el término constante es 0. 3. Sustituyendo z 3x y en las otras ecuaciones, el sistema se reduce a uno de 2 2:

Resolución de un sistema 3 3 por sustitución 1. Despeja una variable en una ecuación y sustitúyela en las otras. 2. Resuelve el nuevo sistema 2 2. Obtenido el valor de una variable, hallas el de las restantes por sustitución. Sistema 3 3

Despeja una variable

3x y z 0

z 3x y

En la ecuación x 2y z 1

x 2y z 1

x 2y (3x y) 1

x 3y z 2

4x 3y 1 En la ecuación x 3y z 2 x 3y (3x y) 2 x 3y 3x y 2 2x 4y 2 4. En ocasiones es posible resolver un sistema de 3 3 por suma y resta, o igualación. El inconveniente es que las ecuaciones deben asociarse por pares, y entonces el trabajo se amplía a cuatro ecuaciones.

Resuelve un sistema 2 2 4x 3y 1 2x 4y 2

Sustituyendo en las otras ecuaciones

Al resolver el sistema 2 2 obtienes x 1, y 1. Sustituye estos valores en z 3x y 3(1) 1 2. La solución es (x, y, z) (1, 1, 2). Resolver un sistema 3 3 por determinantes es similar a resolver uno de 2 2: los determinantes se obtienen de idéntica forma; su valor se halla de manera parecida, como se verá en el ejemplo 1.

Resolución de un sistema 3 3 por determinantes 1. Encuentra Δ, Δx, Δy, Δz. x , 2. Obtén los cocientes x

y

y ,

z

z .

Ejemplo 1 Resolviendo un sistema 3 × 3 por determinantes Verifica tu avance

Resuelve por determinantes el sistema 3x y z 0 x 2y z 1

Resuelve el sistema 3 3 del ejemplo ilustrativo, eliminando z por suma y resta.

x 3y z 2

Solución Ejemplo 1

Escribe el determinante del sistema Δ

Observaciones importantes 1. Para emplear determinantes, los términos constantes deben estar aislados en un lado de la ecuación, en la forma ax by cz d.

|

||

x y z 3 1 1 1 2 1

1

3 1

|

||

Para cada variable, cambia su columna por la de términos constantes. Δx

|0

||

1 1

1 2 2

1

3 1

|

||

Δy

|3

||

0 1

1

1

1

1

2 1

|

||

Δz

1

0

1 2

1

1

2

|3

||

3

|

||

Grupo Editorial Patria® 151

Obtienes ahora el valor de cada determinante. 1) Repite al final los dos primeros renglones

Δ

|

||

3 1 1 1 2 1

1

3 1

|

||



|

| | ||

3 1 1 1 2 1

1

3 1

3 1 1 1 2

1

2) Multiplica en cada diagonal

|

|

| | ||

Δ

| | ||

3 1 1 1 2 1

1

3 1

3 1 1 1 2

1

|

| | ||

2 9 1 6 3 1

3) Suma estos resultados por tipo de diagonal y resta uno de otro.

(6 3 1) Diagonales descendentes

Menos

(2 9 1) Diagonales ascendentes

Cálculo del determinante de 3 3 A la suma de La suma de productos de productos de Resta diagonales diagonales descendentes ascendentes Esta técnica se conoce como Regla de Sarrus.

10

Procediendo de la misma forma obtienes los valores Δx 5 5 10, Δy 11 1 10, Δz 22 2 20. Al dividir cada uno entre el determinante del sistema, obtienes la solución (x, y, z) (1, 1, 2).

Ejemplo 2 Resolviendo un sistema por sustitución

2. Para hallar el valor de un determinante de 3 3 debes repetir los dos primeros renglones al final.

Fíjate en lo siguiente... 1. Hay tres diagonales ascendentes y tres descendentes. 2. En cada diagonal hay tres términos. 3. El proceso inicia con las diagonales descendentes.

Resuelve por el método de igualación x y z 2 2x y z 5 x 4y z 4

Observaciones importantes

Solución Paso 1. Despeja una variable en cualquiera de las tres ecuaciones. Elegimos x en la primera ecuación: x y z 2. Paso 2. Sustituye este valor en las otras ecuaciones: 2x y z 5

x 4y z 4

2(y z 2) y z 5

(y z 2) 4y z 4

2y 2z 4 y z 5

y z 2 4y z 4

3y 3z 9

3y 2z 6

Paso 3. Resuelve el sistema 2 2:

3y 3z 9 1 3y 2z 6

Por suma y resta:

2. Si falta una variable en una ecuación, su coeficiente es cero. Escribe TODOS los coeficientes al obtener el determinante. 3. Los ceros en los determinantes simplifican su cálculo, pues anulan diagonales. Soluciones Comprueba siempre que tus resultados sean la solución del sistema.

3y 3z 9 3y 2z 6 ___________ 5z 15 z3

Paso 4. Con este valor de z obtenemos x y y por sustitución: 3y 2z 6

xyz2

3y 6 6

x032

y0

1. Procede con mucho cuidado con los signos. Un solo error nulifica el proceso.

x1

La solución del sistema es (x, y, z) (1, 0, 3).

Verifica tu avance Calcula el determinante de x y 10 2x y z 9 y 2z 5

152

8

BLOQUE

Resuelves ecuaciones lineales III

Ejemplo 3

Ejemplo 3 Viáticos en una excursión Con un grupo de nueve amigos viajas en una excursión al puerto de Veracruz. Durante su estancia de tres días, algunos toman sus alimentos en el restaurante del hotel donde se hospedan. El monto diario de estos gastos por alimentos puede modelarse con una ecuación lineal, donde x, y, z, representan el costo en pesos, de cada desayuno, comida y cena, respectivamente.

Fíjate en lo siguiente... 1. Cómo se obtiene el valor de Δx:

| Δx

| | ||

880 10 8 685

4 5

|

| | ||

1,005 10 0 105,050 76,160 28,890 880 10 8 685

4 5

Primer día

10y 8z 880

Segundo día

6x 4y 5z 685

Tercer día

9x 10y 1,005

2. Las calculadoras programables y computadoras actuales realizan estos cálculos rápidamente utilizando estas reglas.

a) ¿Qué representan los coeficientes en cada ecuación?

3. También puedes utilizar sustitución:

b) ¿Qué significado tienen los términos constantes?

1,005 9x a) En la tercera ecuación: y 10

c) ¿Cuál fue el costo de cada desayuno, comida y cena? d) ¿A cuánto asciende su cuenta en el hotel, por consumo de alimentos?

b) Reemplaza en las otras ecuaciones: 10y 8z 880

1,005 9x 8z 880 10 10 9x 8z 125 6x 4y 5z 685

1,005 9x 5z 685 6x 4 10 24x 50z 2,830 c) Resuelve 9x 8z 125

50

24x 50z 2,830 8 Por suma y resta: 450x 400z 6,250 192x 400z 22,640 ___________________ 642x 28,890 x 45 d) Sustituyendo en: y

1,005 9x 1,005 9(45) 60 10 10 9x 8z 125 9(45) 8z 125 405 8z 125 z 35.

Solución Modelo verbal: Costo alimentos diarios en hotel



Precio personas desayuno



Precio personas comida



Precio personas cena

a) Este modelo muestra que en cada ecuación los coeficientes indican el número de comensales en cada tipo de alimento. b) El costo de los tres alimentos tomados en un día por el grupo, en el hotel. c) La solución del sistema indicará el costo de cada tipo de alimento. Por determinantes:

0x 10y 8z 880 6x 4y 5z 685 9x 10y 0z 1,005 0 10 8 Δ

|

||

6

4

9 10

|

||

5 642 0

Realizando el cálculo, Δx 28,890, Δy 38,520, Δz 22,470. Dividiendo entre el determinante del sistema, x 45, y 60, z 35. El costo por alimento fue: desayuno $45, comida $60, cena $35. Comprobación: 10y 8z 10(60) 8(35) 880. 6x 4y 5z 6(45) 4(60) 5(35) 685. 9x 10y 9(45) 10(60) 1,005. d) El total por consumo de alimentos es la suma de los montos diarios, es decir, la suma de los tres términos constantes: $2,570.

Grupo Editorial Patria® 153

Sugerencias para la autoevaluación 8B

Autoevaluación 8B Ejercicios 1 a 3. Asocia cada sistema con su determinante. 1. 2x y z 2 x y z 1 x 3y z 5 a) Δ

|

||

2. x 2y z 1 xyz3 x 3y z 1

2 1

1

1 1

1

1 3 1

|

|

b)

||

||

Δ

1 1

2

1 a 3. Usa los coeficientes de las variables.

3. 2x y z 1 x y z 4 x 3y z 2

1 1 1 1 3

1

|

|

c)

||

||

4. Columna de términos constantes. Ejemplo 1.

2 1

Δ 1

1

1 1

1

3

|3

1

4

1

1

|

5 a 8. Revisa el ejemplo 1.

||

9 a 12. a) Revisa el ejemplo 1. Escribe 0 para los coeficientes de las variables que falten. Si resulta Δ 0, interpreta como antes:

|

Infinitas soluciones y ninguna El sistema 3 3 tiene infinitas soluciones si todos los determinantes son cero; o ninguna, si sólo Δ 0.

4. Completa cada determinante y halla la solución del sistema. 1

|

3x y z 8 x 2y 2z 2 x

4x y z 8

| || ||

1

2 2 1

1

3 1

1

1 2 2

|4

1

1

|3

|

| || ||

y

|

| || | ||

1

1

2

4

1

3 1 1 1 2 2 4

1

1

|

| || | ||

z

| || ||

1 2 3 1

1

1 2 2

|4

1

1

| || || |

Ejercicios 5 a 8. Calcula el valor de cada determinante. 5.

|

||

1

2

3

4

1

0

1

2

1

| 6. |

|| ||

0

1

2

4

3

3

1

5

1

| | 7.

|| ||

3

1

5

1

1

1

2

7

9

| |

8. 6

0

9

1

5

1

4

1

0

|| ||

|

||

Ejercicios 9 a 12. Resuelve cada sistema por a) determinantes; b) sustitución.

9. 2x y z 2 x y z 1 x 3y z 5

10. x 2y z 1 xyz3 x 3y z 1

11. 2x y z 1 x y z 4 x 3y z 2

12. x y 7 x y 3z 0 2y z 1 13. Arreglos florales Tú y dos de tus amigas compran rosas, crisantemos y claveles para hacer cada una un arreglo, repartiéndose los gastos. ¿Cuánto les costó cada tipo de flor? Arreglo

Claveles

Crisantemos

Rosas

Costo

1

8

5

10

$149

2

10

4

10

$150

3

5

10

8

$145

9 a 12. b) Despeja la variable que tenga coeficiente 1 o 1. Revisa el ejemplo 2. 13. Asigna las variables: x Costo de un clavel y Costo de un crisantemo z Costo de una rosa Revisa el ejemplo 3.

154

8

BLOQUE

Resuelves ecuaciones lineales III

Instrumentos de evaluación Rúbrica

Rúbrica para evaluar el reporte de la situación didáctica “Distribución y venta de quesos” del Bloque 8B. Nombre del alumno:

Nivel

Presentación

Aspecto a evaluar

Desarrollo

Dominio del tema

Conclusiones

Excelente (4)

Bueno (3)

Satisfactorio (2)

Deficiente (1)

Elabora el reporte a mano con buena caligrafía (o bien usando un procesador de texto con una impresión bien hecha), bien redactado y sin faltas de ortografía.

Elabora el reporte a mano con buena caligrafía (o bien usando un procesador de texto con una impresión bien hecha), redacción regular y sin faltas de ortografía.

Elabora el reporte a mano con regular caligrafía (o bien usando un procesador de texto con una impresión regular), redacción regular y pocas faltas de ortografía.

Elabora el reporte a mano con mala caligrafía, mal redactado y con muchas faltas de ortografía.

Presenta de manera ordenada todos los pasos para determinar las ecuaciones y cantidades pedidas.

Presenta de manera ordenada todos los pasos para determinar las ecuaciones y cantidades pedidas.

Presenta de manera ordenada todos los pasos para determinar las ecuaciones y cantidades pedidas.

Omite algunos pasos en el cálculo de las ecuaciones y cantidades pedidas.

Sólo prueba la combinación de cantidades de cada queso señalada en el libro antes de resolver el sistema.

No prueba ninguna combinación de cantidades de cada queso antes de resolver el sistema.

Plantea correctamente sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas con base en la información del problema.

Plantea correctamente sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas con base en la información del problema.

Plantea correctamente sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas con base en la información del problema.

Resuelve correctamente sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas por el método de determinantes.

Resuelve correctamente sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas por el método de determinantes.

Resuelve incorrectamente sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas por el método de determinantes.

Calcula correctamente porcentajes.

Calcula incorrectamente porcentajes.

Calcula incorrectamente porcentajes.

Determina correctamente:

Determina correctamente:

t - BDBOUJEBEEFDBEBUJQPEFRVFTP que surtió la granja a cada tienda. t -BDBOUJEBERVFWFOEJØDBEBUJFOEB de los distintos tipos de quesos.

t - BDBOUJEBEEFDBEBUJQPEF queso que surtió la granja a cada tienda. t -BDBOUJEBERVFWFOEJØDBEB tienda de los distintos tipos de quesos.

Determina correctamente sólo uno de los puntos siguientes:

Prueba varias combinaciones de cantidades de cada queso antes de resolver el sistema.

Verifica por sustitución sus resultados.

No verifica por sustitución sus resultados.

Plantea incorrectamente sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas con base en la información del problema. Resuelve incorrectamente sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas por el método de determinantes. Calcula incorrectamente porcentajes.

t - BDBOUJEBEEFDBEBUJQPEF queso que surtió la granja a cada tienda. t -BDBOUJEBERVFWFOEJØDBEB tienda de los distintos tipos de quesos. No verifica por sustitución sus resultados.

No prueba ninguna combinación de cantidades de cada queso antes de resolver el sistema.

Determina incorrectamente: t - BDBOUJEBEEFDBEBUJQPEF queso que surtió la granja a cada tienda. t -BDBOUJEBERVFWFOEJØ cada tienda de los distintos tipos de quesos. No verifica por sustitución sus resultados.

Lista de cotejo

Lista de cotejo para el reporte de la situación didáctica “Selección deportiva” del Bloque 8A. Presentación 1. Cuenta con una carátula que incluye al menos el nombre del trabajo que se realiza, el nombre de la materia, la fecha de entrega, el nombre del alumno y su matrícula. 2. La redacción es buena o por lo menos satisfactoria. 3. Tiene pocos o ningún error de ortografía. 4. Elaboró el trabajo con un procesador de texto como Word, o bien, lo hizo a mano con buena caligrafía o por lo menos entendible.

SÍ

NO

Observaciones

Grupo Editorial Patria® 155

Desarrollo

SÍ

NO

Observaciones

SÍ

NO

Observaciones

SÍ

NO

Observaciones

5. Explicó de manera convincente por qué la suma de los porcentajes de columnas o renglones no es igual a 100%. 6. Probó algunas combinaciones de delanteros, porteros y defensas que satisfagan el total de una de las ecuaciones para confirmar que entendió el problema. 7. Presentó todos los pasos requeridos para determinar las cantidades y ecuaciones pedidas siguiendo una secuencia coherente y ordenada. Dominio del tema 8. Calcula correctamente porcentajes. 9. Plantea correctamente el sistema de ecuaciones lineales simultáneas que permite resolver un problema definiendo claramente las variables requeridas. 10. Resuelve correctamente sistemas de ecuaciones lineales simultáneas por el método de sustitución. Resultados y conclusiones 11. Calculó correctamente el número de jugadores con los que cada equipo contribuyó. 12. Calculó correctamente cuántos delanteros, porteros y defensas tiene cada equipo y elaboró una tabla para presentar los resultados. 13. Comprobó que la solución obtenida satisface los enunciados del problema.

Comentarios generales: __________________________________________________________________________ Nombre del estudiante: _______________________________________________

Fecha: ____________________

Guía de observaciones para los proyectos de trabajo “Vacaciones familiares” y “Calorías en alimentos” de los Bloques 8A y 8B

Profesor:

Grado y grupo: Plantel: Clave:

Alumno:

Fecha de aplicación:

Nombre de la materia:

Desempeño a evaluar: Solución de sistemas de ecuaciones lineales simultáneas de tres incógnitas por sustitución y determinantes. INSTRUCCIONES: Observe si la ejecución de las actividades que se enuncian las realiza el capacitando que se está evaluando y marcar con una “X” el cumplimiento o no en la columna correspondiente; asimismo, es importante anotar las observaciones pertinentes. No.

Acciones a evaluar

1

Explica qué significan los ceros en la tabla del problema de vacaciones familiares.

2

Obtiene un modelo algebraico para el gasto total en los tres días en el que las variables son los costos unitarios de cada tipo de alimento para el problema de las vacaciones familiares.

3

Resuelve el sistema de tres ecuaciones lineales simultáneas con tres incógnitas correspondiente al problema de las vacaciones familiares por el método de sustitución y verifica sus resultados.

4

Elabora una tabla para organizar la información presentada en el problema de las calorías en alimentos.

5

Obtiene un modelo algebraico para la cantidad de calorías ingeridas por cada miembro de la familia en el que las variables son las cantidades de calorías que contiene una copa de cada tipo de alimento para el problema de calorías en alimentos.

6

Resuelve el sistema de tres ecuaciones lineales simultáneas con tres incógnitas correspondiente al problema de calorías en alimentos por el método de determinantes y verifica sus resultados.

*No aplica.

REGISTRO DE CUMPLIMIENTO SÍ NO NA*

Observaciones

9

BLOQUE

Resuelves ecuaciones cuadráticas I

8 horas

Objetos de aprendizaje Representación de relaciones entre magnitudes Modelos aritméticos o algebraicos

Competencias a desarrollar n

n

Interpreta el modelo matemático propio de la ecuación cuadrática con una variable mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones hipotéticas o formales. Resuelve problemas que involucran a la función cuadrática, aplicando diferentes métodos tales como: completar el trinomio cuadrado perfecto, factorización y fórmula general.

n

n

n

n

Interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos algebraicos y los contrasta con modelos establecidos. Analiza las relaciones entre dos variables para determinar su comportamiento y estimar si su solución es real o compleja. Interpreta la función cuadrática con tablas, gráficas y textos, y su relación con las ecuaciones y resultados, utilizando símbolos matemáticos algebraicos y científicos. Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.

¿Qué sabes hacer ahora? Un matemático que no es también algo de poeta, nunca será un matemático completo. Karl Weierstras La trayectoria parabólica que siguen los objetos que se lanzan con cierta inclinación, puede ser modelada mediante funciones cuadráticas. De igual forma, el tiempo que tarda en llegar a un punto un objeto que se arroja —por ejemplo una pulsera que se lanza desde o hacia un balcón— puede determinarse con una ecuación cuadrática si se conoce la velocidad inicial con la cual se lanza.

Desempeños del estudiante al concluir el bloque n

n

n

Identifica el modelo algebraico de una ecuación cuadrática con una variable: Completa: ax 2 bx c 0, con a 0, 1 o: x 2 bx c 0 Incompleta: ax 2 bx 0, con a 0, 1 o: ax 2 c 0 Comprende los métodos para resolver ecuaciones cuadráticas con una variable completa e incompleta. Resuelve ecuaciones cuadráticas con una variable completa e incompleta por los métodos:

n

n n

n

Por extracción por factor común y fórmula general para ecuaciones incompletas. Por factorización, completando trinomio o cuadrado perfecto y fórmula general para ecuaciones cuadráticas con una variable completa. Interpreta la solución de la ecuación cuadrática completa e incompleta para reales, complejas e imaginarias. Interpreta situaciones con ecuaciones cuadráticas con una variable. Resuelve o formula problemas de su entorno por medio de la solución de ecuaciones cuadráticas. Interpreta la solución de los problemas para cuando tiene soluciones inisibles.

158

9

BLOQUE

Resuelves ecuaciones cuadráticas I

9

A

BLOQUE

Situación didáctica

Víveres para damnificados

Después de una inundación, el fango dejado por las aguas impide a una avioneta descender con ayuda para los afectados.

Conocimientos Movimiento vertical uniforme Caída libre: y distancia recorrida hacia abajo, al soltar el objeto y

y 5t

2

Objeto que cae de una altura inicial h: – Soltado

y distancia al suelo

y 5t 2 h – Lanzado con velocidad v:

h y

y 5t 2 vt h Movimiento parabólico Ocurre un desplazamiento horizontal y otro vertical: x vxt x0

vy = 0 = vx

y 5t2 vyt y0

= vy

=v

La velocidad total v se descompone en vx, vy.

Si la avioneta deja caer los paquetes cuando está justo encima de los pobladores, ¿dónde caerán los víveres: más atrás, donde ellos están o más adelante? Indica la distancia. ¿Qué sucede si los paquetes se lanzan en la dirección en que viaja la avioneta? Si esto se hace justo encima de los pobladores, lanzándolos con una velocidad de 10 km/h, ¿a qué distancia de ellos caerán?

Análisis de la situación

Ecuaciones cuadráticas Puras: despeja x 2x2 72 0 x2 36 x 36 x 6

Luego de circunvolar el área, el piloto decide dejar caer los paquetes a los damnificados. La avioneta sobrevuela la localidad a una altura de 500 m, con una velocidad de 100 km/h.

Mixtas: factoriza x 3 x2 x 0 x(x 1) 0 x 0 o x 1 0 x 0 o x 1

Consulta En libros de álgebra y otras fuentes: Solución de ecuaciones cuadráticas incompletas En Internet: Op. cit. Bloque 4A www.sectormatematica.cl/software.htm

1. Explora Sujeta suavemente entre tus dedos índice y medio una pequeña bolita de papel y suéltala desde cierta altura en la mesa, de dos formas: a) con la mano fija b) moviendo tu mano hacia adelante. ¿Siguen la misma trayectoria?; en el segundo caso, ¿cae hacia adelante o hacia atrás de la mano? ¿Por qué? 2. Reflexiona En un auto en movimiento, ¿los pasajeros avanzan con alguna velocidad? ¿Cuál? ¿En qué dirección? ¿Es lo mismo soltar (dejar caer) un objeto, que lanzarlo? Si se suelta un objeto desde un avión en vuelo, ¿caerá verticalmente al piso? ¿Y si es desde un helicóptero suspendido en el aire? ¿Influye el movimiento del avión en la caída del objeto? ¿Es correcto el siguiente diagrama?

Grupo Editorial Patria® 159

Secuencia didáctica

Rúbrica de evaluación

1. Si la avioneta está en movimiento, el paquete seguirá una trayectoria __________ __________________ (vertical/parabólica), independientemente de que el objeto se lance o se deje caer. 2. La velocidad de la avioneta y la fuerza de la gravedad actúan sobre el paquete. El desplazamiento horizontal lo imprime ______________ (la avioneta/la gravedad) y el vertical ______________ (la avioneta/la gravedad). 3. El tiempo que tarda en caer el paquete influye en la distancia a la cual caerá. El desplazamiento vertical permite conocer este tiempo: Altura inicial de la avioneta:

y0 500 metros

.

Velocidad del paquete al soltarlo:

vy 0 km/h

.

Altura del paquete al tocar el piso:

y

metros.

Sustituyendo en y 5t2 vy y0, y resolviendo,

t

s.

4. El desplazamiento horizontal del paquete, desde que se dejó caer, se obtiene con la fórmula x ___________ y con los datos: Desplazamiento inicial: Tiempo de descenso:

x0 0 metros t

. m/s.

vx

km/h

Al sustituir estos datos se obtiene x

metros.

Velocidad de la avioneta:

m/s.

El paquete caerá _______ metros ________ (adelante/atrás) de los pobladores. 5. Al lanzar el paquete en la dirección en que viaja la avioneta, la componente horizontal de la velocidad se incrementa; así, en el punto 4, se tendrá vx (100 ___________) km/h ___________ km/h ___________ m/s. En tal caso, la distancia del paquete a los pobladores será de x ___________ metros.

Proyecto de trabajo 1. Caída de un objeto Del borde de una ventana de un edificio de departamentos, desde una altura de 12 m cae una maceta. Una muchacha situada debajo advierte inmediatamente este percance. a) ¿Cuál fórmula de la física utilizarías para modelar esta situación de caída libre? ¿Por qué? b) ¿De cuáles variables conoces su valor en esta situación: el tiempo de caída o la distancia vertical recorrida? c) ¿Cuánto tiempo tuvo la muchacha para quitarse y evitar un accidente, si su estatura es de 1.65 m? d) Si tú hubieras estado en el lugar de la muchacha, ¿de cuánto tiempo hubieras dispuesto para apartarte de la trayectoria de la maceta? e) ¿En cuánto tiempo chocó la maceta contra el piso?

En tu cuaderno de matemáticas debes anotar: 1. Un resumen con los resultados de los experimentos propuestos en el análisis de la situación, junto con las respuestas a las preguntas formuladas. 2. Un registro de las operaciones, y desarrollos numéricos y algebraicos, al responder cada punto de la secuencia didáctica; en particular, escribe la resolución de la ecuación cuadrática en cada uno de los puntos 3 y 5, y una justificación de la elección del signo en las soluciones.

160

9

BLOQUE

Resuelves ecuaciones cuadráticas I

9A

Segmento informativo Verifica tu avance

Ecuaciones cuadráticas Solución de ecuaciones cuadráticas sencillas La ecuación cuadrática en una variable adopta la forma ax2 bx c 0 (a 0). x2 x 2 0

¿Sería cuadrática la ecuación ax2 bx c 0 si a 0?

Recuerda

2x2 6x 0

Completa

Incompletas

Las ecuaciones completas tienen los términos: cuadrático, lineal y constante. En las incompletas falta alguno de estos dos últimos. Para distinguir ambos tipos de ecuaciones incompletas, basta observar los términos con la variable: Pura: 3x2 27 0

1. La expresión “extrae raíz” significa extracción de raíz cuadrada. 2. La raíz cuadrada de un número positivo tiene dos valores que son simétricos.

9 3

Mixta: 2x 6x 0 2

Pura: Mixta:

x = 3 x = 3 significa: x = 3 x = 3 5. El conectivo “o” en x 0 o x 2 tiene un sentido inclusivo (es decir, ite la posibilidad x 0 y x 2). Propiedad del producto cero Si ab 0 entonces a 0 o b 0.

Aísla x2 y extrae raíz cuadrada. Factoriza x y aplica propiedad del producto cero.

La propiedad del producto cero indica que si un producto es cero, entonces alguno de los factores es cero. 3x2 27 0

x2 = x = 2

Sólo términos cuadrático y lineal.

Resolución de ecuaciones cuadráticas incompletas

3. Lo anterior se indica en forma abreviada escribiendo: 9 3

x x

Sólo aparece el término cuadrático.

Las ecuaciones incompletas se resuelven fácilmente.

9 3

4. Al extraer raíz a un número al cuadrado obtienes su valor absoluto. Para una variable, esto conduce a dos valores simétricos:

2x2 4x 0

x2 9

Aísla x2

x 9 3

Extrae raíz

x 3 o x 3

Soluciones

x (2x 4) 0 x 0 o 2x 4 0 x 0 o x 2

Producto 0 Soluciones

Ejemplo 1 Resolviendo una ecuación cuadrática pura Obtén las soluciones de la ecuación x2 1 15.

x2 1 15

Fíjate en lo siguiente...

2x(x 2) 0 2x 0 o x 2 0 x 0 o x 2

Factoriza

En las ecuaciones mixtas siempre resolverás una ecuación lineal, que proviene de igualar con cero el factor lineal obtenido al factorizar.

Solución

Al factorizar 2x2 4x 0, puedes extraer no sólo x, sino incluso el máximo factor común. 2x2 4x 0

3x2 27 0

x2 16

Aísla x2

x 16 x 4 o x 4

Extrae raíz Soluciones

Comprobación Para

x 4:

x2 1 42 1 16 1 15.

x 4:

x2 1 (4)2 1 16 1 15.

Grupo Editorial Patria® 161

Ejemplo 2 Resolviendo una ecuación cuadrática pura

Ejemplo 2

Obtén las soluciones de 6x2 12 0.

1. La solución puede dejarse indicada en forma de radical o expresarse en forma decimal.

Solución 6x2 12 0 x2 2

Recuerda

Aísla x2

x 2

Extrae raíz

x 2 o x 2

Soluciones

2. Como ( 2 )2 = 2: 6( 2 )2 12 6(2) 12

12 12

Como ( 2 )2 ( 2 )( 2 ) ( 2 )2 2

Comprobación Para

x 2 :

6( 2 )2 12 6(2) 12

6( 2 )2 12 12 12 0



12 12

x 2 : 6( 2 )2 12 12 12 0

Observaciones importantes Ejemplo 3

Ejemplo 3 Resolviendo una ecuación cuadrática mixta Halla las soluciones de la ecuación cuadrática x2 10x 0.

2. Como esto ocurre en todas las ecuaciones cuadráticas mixtas se concluye que todas estas ecuaciones tienen como una de sus soluciones al número 0.

Solución x2 10x 0 x (x 10) 0 x 0 o x 10 0 x 0 o x 10

1. Al factorizar x y aplicar la propiedad del producto cero se obtiene como una de las opciones x 0.

Extrae x como factor Propiedad del producto cero Soluciones

Una solución de cuadráticas mixtas Todas las ecuaciones mixtas tienen como una solución x 0.

Ejemplo 4 Fíjate en lo siguiente...

Ejemplo 4 Resolviendo una ecuación cuadrática mixta Encuentra las soluciones de 7x2 3x 0.

1. La ecuación lineal 7x 3 0 tiene una solución que no es un número entero.

Solución

2. Esta solución puede dejarse indicada en forma de fracción común o como fracción decimal.

7x2 3x 0 x(7x 3) 0 x 0 o 7x 3 0

Extrae x como factor Propiedad del producto cero

3. Para comprobar las soluciones es preferible utilizar la forma de fracción común, pues los cálculos son más simples y exactos: 2

3 x0 o x 7

Soluciones

7

3

3 3 9 2 7 7 7

3 3 3 0 7 7 7

162

9

BLOQUE

Resuelves ecuaciones cuadráticas I

Ampliando el conocimiento

Ejemplo 5 Diseño estructural

1. Las carpas, domos, naves, toldos, cúpulas o cubiertas geodésicas están soportadas por una estructura poliédrica de metal, ensamblada con formas triangulares.

Estudias arquitectura y en una práctica del taller de diseño de estructuras, trabajas con tus compañeros en la construcción de una carpa geodésica de forma semiesférica. Si el área de la cubierta de nailon que irá sobre la estructura metálica es de 38 m2, ¿cuál será el diámetro que tendrá la carpa?

2. Son estructuras ligeras y resistentes que se usan en pabellones de ferias y exhibiciones, comedores, tiendas para acampar, viveros para plantas, planetarios, etcétera.

Solución Puedes aproximar el resultado suponiendo totalmente esférica la cubierta. El área superficial de una esfera se obtiene con la fórmula A 4πr2. El área de la semiesfera es entonces la mitad: S 2πr2. Sustituye y resuelve la ecuación para el radio r de la semiesfera:

3. En sus cubiertas se utilizan materiales de diversos tipos: rígidos, flexibles, translúcidos u opacos, etc., dependiendo del uso y costo.

2 (3.14) r2 38 6.28 r2 38 r2 6.05 r 6.05 2.46

Fíjate en lo siguiente... Ejemplo 5 1. La fórmula para el área superficial de una esfera es un ejemplo de función cuadrática: a cada valor del radio corresponde un área específica. 2. Al despejar r no se consideró el valor negativo de la raíz porque carece de sentido en el contexto del problema. 3. La solución de la ecuación no es la solución del problema. Debe multiplicarse por 2 para responder a lo solicitado.

La carpa tendrá un diámetro igual a 2(2.46) 4.92 metros.

Autoevaluación 9A Ejercicios 1 a 4. Clasifica cada ecuación como completa o incompleta. 1. 4x2 64

2. x2 2x 1 0

3. 5x2 7x2 12

4. x2 2x 0

Ejercicios 5 a 7. Identifica si la ecuación es cuadrática pura o mixta. 5. x2 2x

6. 4x2 x x2 15

7. 9x2 x 2 x2 x

Ejercicios 8 a 13. Resuelve cada ecuación y comprueba las soluciones.

Sugerencias para la autoevaluación 9A 1 a 7. Simplifica cada ecuación y escríbela en la forma ax2 bx c 0. 8 a 13. Revisa los ejemplos 1 y 2. 10. Agrupa los términos cuadráticos.

8. x2 100 0 11. 6x2 9 0

9. 2x2 72 12. 12x2 8 0

10. x2 4 2x2 12 13. 5x2 25

Ejercicios 14 a 19. Obtén las soluciones de cada ecuación. Comprueba las soluciones. 15. 2x2 6x 0 16. 3x2 5x 0 14. x2 x 0 17. 3x2 x x2 25x

18. x2

x 0 3

19. 5x2

x 0 2

Grupo Editorial Patria® 163

20. Béisbol Las bases de un campo de béisbol están situadas a 30 m de distancia una de otra. ¿Cuántos metros recorre un lanzamiento de un jugador, de la almohadilla de tercera base a la almohadilla de la primera base?

14 a 19. Revisa los ejemplos 3 y 4. 17. Simplifica términos semejantes antes de despejar la variable. 18. Inicia la resolución de la ecuación de dos formas y compara procedimientos: 1) Extrayendo x como factor común.

x

30 m

2) Eliminando el denominador. 19. Análogo al anterior.

30 m

20. Aplica el Teorema de Pitágoras.

21. Futbol soccer a) ¿Qué dimensiones posee un campo de futbol que tiene el doble de largo que de ancho y ocupa un área de 4,050 m2? b) ¿Qué distancia hay en diagonal de una esquina a la opuesta?

(La suma del cuadrado de los lados menores es igual al cuadrado del lado mayor). Escribe una ecuación cuadrática pura. Comprueba tu resultado. ¿Cuál valor no es factible para el problema? 21. Utiliza el área de un rectángulo. Aplica el Teorema de Pitágoras.

d

x

a) Escribe una ecuación cuadrática. b) Desecha un resultado. 22. Utiliza el modelo A 4πr2.

22. Basquetbol ¿Cuál es el diámetro de un balón de basquetbol que tiene una superficie de 2,640.74 cm2?

Escribe una ecuación cuadrática pura.

164

9

BLOQUE

Resuelves ecuaciones cuadráticas I

9

B

BLOQUE

Conocimientos

Situación didáctica

Pantalla de plasma PDP

Las

modernas pantallas de cristal líquido (LCD Liquid Crystal Display) y de plasma (PDP Plasma Display ) cada día desplazan por su tamaño, nitidez y ahorro energético, a las pantallas comunes de rayos catódicos (CRT Cathode Ray Tube).

Completando trinomios Una técnica algebraica para resolver ecuaciones cuadráticas completas consiste en construir trinomios cuadrados perfectos (T).

x+8

Caso 1 El coeficiente de x2 es 1 x2 6x 40 0

x

x2 6x 40

Aísla la variable

x2 6x 32 40 32

6 2 Suma: = 3 2 2



Ahora éste es un T

(x 3)2 49

Factoriza el T

x 3 49

Extrae raíz

x 3 7

Despeja x

x 4 o x 10

Soluciones

El tamaño de estos equipos se especifica en términos de su diagonal, en pulgadas.

Caso 2 El coeficiente de x2 es distinto de 1

Para una pantalla de plasma de 40 pulgadas, su ancho y su alto se relacionan como indica la figura.

2x 20x 50 0 2

x2 10x 25 0

Divide entre 2

x 10x 25

Aísla la variable

x2 10x 52 25 52

10 2 Suma: = 5 2

(x 5)2 0

Factoriza el T

x50

Extrae raíz

x5

Despeja x

2

¿Cuáles son las dimensiones comerciales de esta pantalla, en pulgadas? ¿Y en centímetros? ¿Podría variar la relación entre el largo y el ancho? Ejemplifica, relacionándolas con variables.

2

Consulta En libros de álgebra y otras fuentes: Solución de ecuaciones cuadráticas mediante factorización En Internet: Op. cit. Bloque 4A www.sectormatematica.cl/software.htm

Análisis de la situación 1. Información adicional Las pantallas de plasma son delgadas, con mayor tamaño y definición que las de rayos catódicos; poseen mayor ángulo de visión que las de cristal líquido pero consumen más energía eléctrica. Este tipo de pantalla se ilumina por los fotones que se desprenden al ionizar, mediante diferencias de voltaje, los gases neón y xenón contenidos entre dos pantallas de cristal. ¿Cómo funcionan las de cristal líquido? 2. Relaciona los datos ¿Qué figura geométrica forman la diagonal y dos lados consecutivos de la pantalla? ¿Cuál propiedad geométrica permite relacionar estos elementos?

Grupo Editorial Patria® 165

Secuencia didáctica

Rúbrica de evaluación

1. La figura que forman el largo, el ancho y la diagonal de una pantalla rectangular de plasma, es un triángulo _______________________ (acutángulo/rectángulo). Su diagonal mide 40 pulgadas. 2. Aplicando el teorema ______________________ (de Pitágoras/de la bisectriz), )" se relacionan sus tres lados y se obtiene la expresión algebraica: x2 ( ____________ . Desarrollando y simplificando se llega a la ecuación cuadrática: x2 ( )x __________ " 0. 3. Para encontrar el alto x de la pantalla, se requiere resolver esta ecuación. Utilizando el método de completar y factorizar trinomios cuadrados perfectos (T): Aísla términos en x:

____________ " 768

Completa el T en x:

x (

Factoriza el T y simplifica:

(

Extrae raíz y despeja x:

x " _________ , o bien, x " _________

2

© ¹ © ¹ )x ª º " 768 ª º «2» «2»

2

2

)2 " ____________

4. De estos valores sólo es isible el ____________ (primero/segundo). Por tanto, el alto de la pantalla es x " _________ pulgadas y el ancho es x 8 " _________ pulgadas. Multiplicando ambas cantidades por _________________ se obtiene: alto " ____________ cm, ancho "____________ cm. 5. Una pantalla con 26 pulgadas de alto y 36 pulgadas de largo tiene una relación distinta a la anterior, pues en este caso 36 | 26 8. Su relación podría expresarse mediante: alto " x, largo " ____________ , o bien con otras expresiones, como: alto " x 4; largo " x 6.

Proyecto de trabajo Cuernos rellenos de queso Elaboras y vendes a $6.00 cada cuernito relleno con queso. Has considerado que tus ventas, establecidas en 20 piezas diarias, aumentarían una pieza por cada diez centavos ($0.10) que disminuyeras el precio. a) Explora con la tabla las cantidades de cuernos que venderías aplicando los descuentos. Precio

6

5.90

5.80

Venta

20

20 1

20 2

5.70

b) Denota con x el número de veces que descuentas $0.10. (x " 0, 1, 2, ...) ¿Cómo expresarías en cada casilla el precio, usando esta variable? ¿Cómo indicarías la venta diaria? c) Para escribir un modelo algebraico utiliza el modelo verbal: Ingreso " precio por pieza w número de piezas vendidas d) ¿Para qué precio(s) tu ingreso ascendería a $150? ¿Cuál escogerías?

Elabora un reporte escrito en el cual: 1. Describas el funcionamiento de una pantalla LCD y sus ventajas o desventajas en relación con las pantallas PDP y CTR. 2. Anotes el desarrollo de la secuencia didáctica con las operaciones y transformaciones requeridas. 3. Inventes dos problemas similares al de la situación didáctica inicial, basados en los datos del punto 5 de la secuencia didáctica. 4. Consignes el ahorro de consumo eléctrico de tu familia si utilizara una pantalla LCD (economiza 30%), considerando sus hábitos televisivos y la amortización mensual del costo del aparato.

9

166

BLOQUE

Resuelves ecuaciones cuadráticas I

9B

Segmento informativo

Recuerda

Las ecuaciones cuadráticas completas se resuelven mediante factorización. Una técnica simple consiste en completar trinomios cuadrados perfectos. En esta técnica se suma un mismo número en ambos lados de la ecuación: x2 2x 3

x2 2x 1 3 1

(x 1)2 4

Agrupa en x

Suma 1

Factoriza



1. La mitad de un número se obtiene al dividirlo entre 2. 10 3 = 5; mitad de 3 es . Mitad de 10 es 2 2 (Se indica la división si ésta no es exacta.)

Solución general de ecuaciones cuadráticas

El número que se suma es la mitad del coeficiente del término lineal, al cuadrado. x2 2x 1

2. Factorizar un trinomio cuadrado perfecto:

Mitad de 2, al cuadrado 12 1

x2 2x 12 (x 1)2

Resolución completando trinomios 1. Completa un trinomio cuadrado perfecto agrupando términos en x.

Observaciones importantes

2. Factoriza el trinomio y extrae raíz cuadrada en ambos lados. 1. La expresión completar un trinomio significa: completar un trinomio cuadrado perfecto.

Así, de (x 1)2 4 x12

Cómo completar un trinomio 2

b

b x2 bx x2 bx 2 2

2

2. El término que se resta, es el que luego se suma en el otro lado en una ecuación: x2 2x 3

Extrae raíz en ambos lados

x 1 2 o x 1 2

Separa las opciones

x 1 o x 3

Simplifica cada una

Toda ecuación cuadrática en una variable tiene exactamente dos soluciones. Estas soluciones pueden ser ambas números reales o números complejos. La forma de estos últimos números se revisará en los ejemplos.

x2 2x 12 12 3 x2 2x 12 3 12

Ejemplo 1 Resolviendo ecuaciones que tienen soluciones reales Obtén las soluciones de cada ecuación.

Ejemplo 1a)

a) x2 6x 8 0

Fíjate en lo siguiente... 1. En el lado donde está x deja indicado el cuadrado del término que sumas. x 6x 3 2

2

No lo desarrolles

2. Escrito así, es fácil hallar su raíz para factorizar el trinomio (lo mismo para x2). Raíz de x2 Raíz de 32 (x 3)2

b) x2 6x 9 0

Solución a)

x2 6x 8 0 x2 6x 8 x2 6x 32 8 32 (x 3) 1 2

x 3 1 x 3 1 o x 3 1 x 2 o x 4

Agrupa x en un lado Suma la mitad de 6 al cuadrado Factoriza un lado; simplifica el otro Extrae raíz Separa opciones Simplifica

Grupo Editorial Patria® 167

b) x2 6x 9 0

Ejemplo 1b)

(x 3) 0 2

Factoriza el trinomio cuadrado perfecto

x30

Observaciones importantes

Extrae raíz

x3

Despeja x

Si en vez de extraer raíz, escribes (x 3) (x 3) (x 3) 0 y aplicas la propiedad del producto cero, notarás que la ecuación posee dos soluciones que son iguales. 2

Ejemplo 2 Resolviendo ecuaciones que tienen soluciones reales Obtén las soluciones de las ecuaciones siguientes. a) 3x2 12x 15 0

1. Para completar el trinomio con la técnica descrita, el coeficiente de x2 debe ser 1 (cuando no es 1, debes factorizarlo como se muestra en el ejemplo 2). 2. Si el cuadrado de la mitad del coeficiente de x es igual al término constante, el trinomio es cuadrado perfecto y no requieres completarlo. Factorizas directamente. En este ejemplo ocurre tal situación.

b) 2x2 3x 2 0

a) 3x2 12x 15 0 3x 12x 15

Agrupa x en un lado

3(x 4x) 15

Extrae como factor el coeficiente de x2

2

2

3(x2 4x 22) 15 3(22)

3. El cuadrado de cualquier número siempre es positivo. Por esto, el término que completa el trinomio (cuadrado de la mitad del coeficiente de x) siempre se suma.

Suma la mitad de 4 al cuadrado

3(x 2) 27 2

Factoriza un lado; simplifica el otro

(x 2) 9 2

Divide entre 3

x 2 3

Ejemplo 2 Observaciones importantes

Extrae raíz

x 5 o x 1

1. El coeficiente de x2 es distinto de 1.

Separa opciones y simplifica

Coeficiente de x2

2x 3x 2 0 2

2x 3x 2 2

2

3

3 3 2(x x ) 2 2 2 4 4 2

Si el coeficiente de x2 NO ES 1, extráelo como factor para completar el trinomio.

Agrupa x en un lado

3 2(x2 x) 2 2

Extrae como factor el coeficiente de x2 2

Suma el cuadrado de la mitad de

3 2

2

3 25 2x 4 8

Factoriza un lado; simplifica el otro

2

3 25 x 4 16 3 5 x 4 4 x

2

(Podrías completar el trinomio para resolver la ecuación pero el proceso se alarga.)

Solución

b)

6 9 2

5 3 5 3 o x 4 4 4 4 x

1 o x 2 2

Divide entre 2

2. Si ocurre que el coeficiente de x2 no es un factor del coeficiente de x, factoriza así: 2 x2 3x 2x2

Multiplica y divide por él

Simplifica

Extráelo

3. La MITAD de cualquier fracción se obtiene DUPLICANDO su denominador. 3 3 2 2 4

Extrae raíz Separa opciones

2(3x) 3 2 x2 x 2 2

4. La raíz de una fracción se obtiene extrayendo raíz a cada término:



25 25 5 16 4 16

168

9

BLOQUE

Resuelves ecuaciones cuadráticas I

Ejemplo 3

Ejemplo 3 Resolviendo una ecuación que tiene soluciones complejas

Ampliando el conocimiento 1. Debido a que los cuadrados de todos los números reales son positivos, ningún número real al cuadrado es igual a 1. 2. Por esto se crea un nuevo tipo de números, llamados imaginarios, cuya unidad es el número i, con la propiedad i2 1. De esta forma 1 i, y de aquí,

Obtén las soluciones de la ecuación x2 4x 5 0.

Solución Completando el trinomio y factorizando obtienes (x 2)2 1. De aquí, al extraer raíz, x 2 1 . Separando opciones: x 2 1 o x 2 1 . Ninguna de estas dos soluciones es real ya que 1 no existe en los reales. Los números 2 1 , 2 1 son números complejos.

2 2(1) 2 1 2 i,

Ejemplo 4 Escribiendo la ecuación a partir de las soluciones

5 5 i, 16 16 i 4i, etcétera. 3. Los números complejos incluyen a los reales y a los imaginarios. Tienen la forma a bi donde a, b son números reales. 5 4i Parte real Parte imaginaria 4. Los números complejos a bi y a bi son conjugados. Ejemplo: 2 1 2 i y 2 1 2 i

Escribe tres ecuaciones cuadráticas con x 2 y x 3 como soluciones.

Solución Siendo x 2 y x 3, entonces x 2 0 y x 3 0. Por la propiedad del producto cero, como ambos son cero, (x 2)(x 3) 0. Desarrollando el producto se obtiene la ecuación: x2 x 6 0. Multiplicando esta ecuación por cualquier número no cero, obtienes ecuaciones x2 x 2 0. equivalentes a ésta, como 5x2 5x 30 0 o 3 3

Las soluciones complejas se presentan siempre en pares conjugados.

Ejemplo 4

Ejemplo 5 Precios al consumidor Entre septiembre de 2006 y enero de 2007, el índice nacional de precios al consumidor en nuestro país tuvo una variación porcentual anual que puede ser descrita con

Recuerda 1. Las ecuaciones equivalentes tienen las mismas soluciones; x2 x 6 0 está escrita en la forma general. ax2 bx c 0 Es la forma general de toda ecuación cuadrática en una variable (a 0).

1 2 7 (x x) 4.3 (x 0 septiembre de 2006). 10 2

a) ¿En qué mes alcanzó 4.5% la variación de precios? b) ¿Con qué variación porcentual de precios inició este periodo?

Solución a)

Forma no general 2x2 3x 2

2. Puedes factorizar trinomios con las técnicas vistas en el bloque 2 y usar la propiedad del producto cero para resolver ecuaciones: 3x2 2x 1 (x 1) (3x 1) 0. 1 De aquí x 1 o x . 3 Estas técnicas son prácticas para factores enteros; no funcionan para hallar soluciones complejas.

1 2 7 (x x) 4.3 4.5 10 2 (x2

x

% Variación

Forma general 2x2 3x 2 0

y

Agrupas y simplificas

2

7 81 = 4 16

x 4 o x 0.5

ÍNDICE DE PRECIOS

4.6 4.4 4.2 4.0 3.8

7 x) 2 2

Completas el trinomio Escribes soluciones

El valor negativo no tiene sentido y se desecha; x 4 es enero de 2007.

0.2 0

1 2 3 x = 0 ↔ Sep 2006

4

b) Si x 0, y 4.3. En septiembre de 2006 la fluctuación fue de 4.3%.

Grupo Editorial Patria® 169

Sugerencias para la autoevaluación 9B

Autoevaluación 9B Ejercicios 1 a 4. Completa en cada caso un trinomio cuadrado perfecto. 1. x2 4x

2. x2 5x

3. 2x2 6x

4. x2 10x

1 a 4. Suma y resta el tercer término para no alterar la expresión. Revisa el inicio de la lección.

Ejercicios 5 a 7. Resuelve cada ecuación. 5. x2 2x 1 0

6. x2 10x 25 0

7. x2 x

1 0 4

3. Extrae 2 como factor. 4. Extrae 1 como factor. Cuida los signos.

Ejercicios 8 a 10. Obtén las dos soluciones de cada ecuación. 8. x2 9x 10 0

9. x2 2x 15

10. (x 9)(x 2) 0

Ejercicios 11 a 13. Halla las soluciones de las ecuaciones siguientes.

5 a 7. No hay necesidad de completar el trinomio pues éste es cuadrado perfecto. Factoriza directamente.

Ejercicios 14 a 19: a) Halla las soluciones de cada ecuación; b) indica si son reales o complejas; c) describe si las soluciones reales son iguales o distintas.

8 y 9. Aísla los términos en x y completa el trinomio (suma en ambos lados). Resuelve de otra forma, factorizando los trinomios como se explicó en el bloque 2.

14. x2 16x 64 0

15. x2 2x 3 0

16. x2 9x 14 0

10. Aplica la propiedad del producto cero.

17. 2x2 10x 12 0

18. 4x2 20x 25 0

19. x2 6x 12 0

11 a 13. Extrae como factor el coeficiente de x2. Revisa el ejemplo 2.

11. 5x2 25x 30 0

12. 2x2 2x 24 0

13. 3x2 2x 1 0

20. ¿Es posible que los números complejos 5 2 i y 4 i sean soluciones de la misma ecuación cuadrática? Argumenta tu respuesta.

14 a 19. Revisa los ejemplos 1 a 3.

21. Escribe en cada caso dos ecuaciones cuadráticas que tengan por solución:

20. Revisa el margen en el ejemplo 3.

a) x 3, x 4

b) x 2, x 2

c) x 2i, x 2i

d) x 1 3i

22. Geometría Determina si existen figuras con las dimensiones y el área o volumen indicados. a) Área: 32 cm2

21. Revisa el ejemplo 4 y el margen del ejemplo 3. Observa lo siguiente: Debido a que i i i2 1: (5i)(4i) (20)(i2) (20)(1) 20.

b) Volumen: 100 cm3

(x (6 i))(x (6 i))

2 x+2

x+6

x

x+5

23. Puentes y alturas Para estimar la altura de un puente sobre el agua, tu amigo lanza una piedra verticalmente hacia abajo, con una velocidad de 36 km/h y una amiga mide el tiempo hasta que ésta choca contra la superficie del agua. Poco después concluyen que la altura es de 6.25 m. ¿Qué tiempo cronometró tu amiga? ¿Cómo llegaron a esa conclusión?



(x 6 i))(x 6 i)

Simplifica



((x 6) i))((x 6) i)

Reagrupa



(x 6) i

Multiplica



x2 12x 36 1

Desarrolla



x 12x 37

Simplifica

2

2

2

22. a) Utiliza A largo ancho b) Usa V largo ancho alto 23. Utiliza y

gt2 vt y0 2

Considera positivos g y v; emplea el valor g 10 m/s2. Convierte 36 km/h a m/s de esta forma: 36 km 36 1,000 m m = 10 1 h s s 3,600

170

9

BLOQUE

Resuelves ecuaciones cuadráticas I

Instrumentos de evaluación Rúbrica

Rúbrica para evaluar el reporte de la situación didáctica “Pantalla de plasma PDP” del Bloque 9B. Nombre del alumno:

Nivel Presentación

Aspecto a evaluar

Desarrollo

Dominio del tema

Resultados y conclusiones

Excelente (4)

Bueno (3)

Satisfactorio (2)

Deficiente (1)

Elabora el reporte a mano con buena caligrafía (o bien usando un procesador de texto con una impresión bien hecha), bien redactado y sin faltas de ortografía.

Elabora el reporte a mano con buena caligrafía (o bien usando un procesador de texto con una impresión bien hecha), redacción regular y sin faltas de ortografía.

Elabora el reporte a mano con regular caligrafía (o bien usando un procesador de texto con una impresión regular), redacción regular y pocas faltas de ortografía.

Elabora el reporte a mano con mala caligrafía, mal redactado y con muchas faltas de ortografía.

Presenta de manera ordenada todos los pasos para determinar las ecuaciones y cantidades pedidas. Diseña problemas similares pero con relaciones alto a ancho diferentes. Describe el funcionamiento de una pantalla LCD y sus ventajas y desventajas en relación con las PDP y CTR. Calcula el ahorro en energía eléctrica al usar pantallas LCD en su casa.

Presenta de manera ordenada todos los pasos para determinar las ecuaciones y cantidades pedidas. Diseña problemas similares pero con relaciones alto a ancho diferentes. Describe el funcionamiento de una pantalla LCD y sus ventajas y desventajas en relación con las PDP y CTR. No calcula el ahorro en energía eléctrica al usar pantallas LCD en su casa.

Presenta de manera ordenada todos los pasos para determinar las ecuaciones y cantidades pedidas. Diseña problemas similares pero con relaciones alto a ancho diferentes. No describe el funcionamiento de una pantalla LCD y sus ventajas y desventajas en relación con las PDP y CTR. No calcula el ahorro en energía eléctrica al usar pantallas LCD en su casa.

Omite algunos pasos en el cálculo de las ecuaciones y cantidades pedidas. No diseña problemas similares. No describe el funcionamiento de una pantalla LCD y sus ventajas y desventajas en relación con las PDP y CTR. No calcula el ahorro en energía eléctrica al usar pantallas LCD en su casa.

Plantea correctamente ecuaciones cuadráticas con base en la información del problema. Completa trinomios cuadrados perfectos. Resuelve correctamente ecuaciones cuadráticas. Identifica la solución isible de una ecuación cuadrática. Aplica correctamente el teorema de Pitágoras.

Plantea correctamente ecuaciones cuadráticas con base en la información del problema. Completa trinomios cuadrados perfectos. Resuelve correctamente ecuaciones cuadráticas. Identifica la solución isible de una ecuación cuadrática. Aplica incorrectamente el teorema de Pitágoras.

Plantea correctamente ecuaciones cuadráticas con base en la información del problema. Completa trinomios cuadrados perfectos. Resuelve correctamente ecuaciones cuadráticas. No identifica la solución isible de una ecuación cuadrática. Aplica incorrectamente el teorema de Pitágoras.

Plantea incorrectamente ecuaciones cuadráticas con base en la información del problema. No sabe completar trinomios cuadrados perfectos. Resuelve incorrectamente ecuaciones cuadráticas. No identifica la solución isible de una ecuación cuadrática. Aplica incorrectamente el teorema de Pitágoras.

Determina correctamente:

Determina correctamente:

Determina correctamente:

Determina incorrectamente:

t & MBMUPEFMBQBOUBMMB-$%FO pulgadas. t &MBMUPEFMBQBOUBMMB-$%FO centímetros. t &MBODIPEFMBQBOUBMMB-$%FO pulgadas. t &MBODIPEFMBQBOUBMMB-$%FO centímetros.

t & MBMUPEFMBQBOUBMMB-$%FO pulgadas. t &MBODIPEFMBQBOUBMMB-$%FO pulgadas.

t & MBMUPEFMBQBOUBMMB-$%FO pulgadas. t &MBODIPEFMBQBOUBMMB-$%FO pulgadas.

Determina incorrectamente uno de los dos puntos siguientes:

Determina incorrectamente los dos puntos siguientes:

t & MBMUPEFMBQBOUBMMB-$%FO centímetros. t &MBODIPEFMBQBOUBMMB-$%FO centímetros.

t & MBMUPEFMBQBOUBMMB-$%FO centímetros. t &MBODIPEFMBQBOUBMMB-$%FO centímetros.

t & MBMUPEFMBQBOUBMMB-$% en pulgadas. t &MBMUPEFMBQBOUBMMB-$% en centímetros. t &MBODIPEFMBQBOUBMMB-$% en pulgadas. t &MBODIPEFMBQBOUBMMB-$% en centímetros.

Lista de cotejo

Lista de cotejo para el reporte de la situación didáctica “Víveres para damnificados” del Bloque 9A. Presentación 1. Cuenta con una carátula que incluye al menos el nombre del trabajo que se realiza, el nombre de la materia, la fecha de entrega, el nombre del alumno y su matrícula. 2. La redacción es buena o por lo menos satisfactoria. 3. Tiene pocos o ningún error de ortografía. 4. Elaboró el trabajo con un procesador de texto como Word, o bien, lo hizo a mano con buena caligrafía o por lo menos entendible.

SÍ

NO

Observaciones

Grupo Editorial Patria® 171

Desarrollo

SÍ

NO

Observaciones

SÍ

NO

Observaciones

SÍ

NO

Observaciones

5. Realizó y reportó los resultados de los experimentos con la bolita de papel indicados en la sección “Explora”. 6. Contestó las preguntas de la sección “Reflexiona” auxiliándose de un libro de Física. 7. Presentó todos los pasos requeridos para determinar las cantidades y ecuaciones pedidas siguiendo una secuencia coherente y ordenada. Dominio del tema 8. Aplica correctamente las ecuaciones del movimiento parabólico. 9. Determina correctamente las raíces de ecuaciones de segundo grado. 10. Selecciona correctamente la raíz de una ecuación cuadrática que tiene significado físico para el problema en cuestión. Resultados y conclusiones 11. Calculó correctamente la distancia a la que caerán los paquetes indicando si es atrás, adelante o exactamente donde se dejaron caer. 12. Calculó correctamente la distancia a la que caen los paquetes que se lanzaron con la velocidad indicada.

Comentarios generales: __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ Nombre del estudiante: _______________________________________________

Fecha: ____________________

Guía de observación para el proyecto de trabajo “Caída de un objeto” del Bloque 9A

Profesor:

Grado y grupo: Plantel: Clave:

Alumno:

Fecha de aplicación:

Nombre de la materia:

Desempeño a evaluar: Solución de ecuaciones de segundo grado. INSTRUCCIONES: Observe si la ejecución de las actividades que se enuncian las realiza el capacitando que se está evaluando y marcar con una “X” el cumplimiento o no en la columna correspondiente; asimismo, es importante anotar las observaciones pertinentes. No.

Acciones a evaluar

1

Identifica la fórmula de caída libre que debe usarse en esta situación.

2

Indica si se conoce el valor del tiempo de caída o de la distancia vertical recorrida.

3

Determina de cuánto tiempo dispone la muchacha para quitarse y evitar un accidente.

4

Determina de cuánto tiempo dispondría para quitarse si fuera él el que está en la trayectoria de la maceta usando como dato su estatura.

5

Calcula cuánto tiempo tarda la maceta en chocar contra el piso.

*No aplica.

REGISTRO DE CUMPLIMIENTO SÍ NO NA*

Observaciones

10

BLOQUE

Resuelves ecuaciones cuadráticas II

8 horas

Objetos de aprendizaje Representación de relaciones entre magnitudes Modelos aritméticos o algebraicos

Competencias a desarrollar n

Construye e interpreta ecuaciones cuadráticas completas mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

n

Formula y resuelve problemas matemáticos, utilizando la fórmula general, completando cuadrados o utilizando el método gráfico y analizando la naturaleza de sus raíces.

n

n

n

n

Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante los procedimientos matemáticos estudiados y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Analiza las relaciones entre dos variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento mediante las funciones cuadráticas que le corresponde. Interpreta tablas, gráficas, ecuaciones y textos con símbolos matemáticos y científicos. Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.

¿Qué sabes hacer ahora?

La ciencia son hechos; de la misma manera que las casas están hechas de piedras, la ciencia está construida de hechos; pero un montón de piedras no es una casa y una colección de hechos no es necesariamente ciencia. Henri Poincaré La iguana es uno de los reptiles más antiguos del planeta que vive en zonas húmedas tropicales y subtropicales desde hace más de 7,000 años. Su captura y la continua destrucción de su hábitat natural (manglares, selvas y aguas) han disminuido de manera alarmante su población, como muestra la gráfica de un modelo cuadrático, cuya intersección-x correspondería al momento de su extinción. EXTINCIÓN DE IGUANAS 80 y = 0.70x2 − 14x + 71.70

% Población inicial

64 48 32 16

0

1

2

3

4

5

6

7

Décadas (0 ↔ 1980)

Desempeños del estudiante al concluir el bloque n n

n

n

Identifica la relación entre ecuaciones y funciones cuadráticas. Reconoce la ecuación cuadrática en dos variables y ax 2 bx c como una función cuadrática. Identifica que toda función cuadrática es una parábola, que puede ser cóncava hacia arriba o abajo. Transforma la función cuadrática y ax 2 bx c a la forma estándar y a(x h)2 k, obteniendo así las coordenadas del V(h, k), para trazar su gráfica.

n

Interpreta que las intersecciones de la parábola con el eje de las “x” son la solución cuadrática, y que dependen de la naturaleza del discriminante √b2 4ac tienen soluciones reales, imaginarias o complejas.

n

Visualiza que al cambiar los parámetros de “a, b, c ” en la función cuadrática cambia el ancho, el vértice y el sentido de la parábola vertical. Elabora o interpreta gráficas y tablas a partir de situaciones diversas e interpretando sus soluciones para cuando son o no isibles..

n

174

10

BLOQUE

Resuelves ecuaciones cuadráticas II

10

A

BLOQUE

Conocimientos

Preservación de pandas

Situación didáctica

El panda es la especie en mayor peligro de extinción en el planeta. La gráfica muestra el esfuerzo por su preservación, iniciado en China desde la década de 1960, cuando sólo quedaban 1,050 pandas en todo el mundo.

Gráficas de funciones cuadráticas Toda función cuadrática y ax2 bx c tiene por gráfica una parábola vertical. Una forma de obtener la gráfica es reescribir la ecuación cuadrática en la

SUPERVIVENCIA DEL PANDA

20 Cientos de pandas

Forma estándar y a(x h)2 k

15 10 5 0

De aquí se obtienen los datos siguientes:

0

1

1. Vértice de la parábola: V(h, k). 2. Amplitud: a grande: la parábola abre poco. a pequeño: la parábola abre mucho. 3. Concavidad: a positivo (a 0 ) abre hacia arriba. a negativo (a 0) abre hacia abajo.

2

3

4

5

Décadas (x = 0 ↔ 1960) 1 unidad = 10 años

¿Cuál fue el mayor número de pandas en cinco décadas? ¿En qué año comenzó a aumentar la población? Obtén, con ayuda de la gráfica, un modelo algebraico. ¿Podrías conocer con este modelo la cantidad de pandas en a) 2010, b) 2004 y c) cuándo se extinguirían los pandas?

4. Simetría: a izquierda y derecha del vértice cada punto tiene su simétrico.

Análisis de la situación

Ejemplo La función y 0.5x2 2x 3 completando T se reescribe como y 0.5(x 2)2 1.

8 7 6 5 4 3 2 V(2, 1) 1 0 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6

1. Información adicional Los osos panda son la especie más protegida en el mundo, debido a su reducida población, a su apatía sexual, a su dieta limitada al bambú y a que procrean una sola cría al año. 2. Explora la gráfica ¿Qué representa cada número entero en el eje x; el número 4, por ejemplo? ¿Qué cantidad de pandas indica el número 10 en el eje vertical? ¿En qué año fue menor la cantidad de pandas? 3. Elabora una tabla Registra la población de pandas al inicio de cada década.

Consulta En libros de álgebra y otras fuentes: Funciones y ecuaciones cuadráticas En Internet: Op. cit. Bloque 4A platea.pntic.mec.es/~jescuder/fra_mate.htm

x

0

1

2

3

4

5

Año

1960

1970

1980

1990

2000

2010

Pandas

1,050

1,000

1,050

y

10.50

10

10.50

¿Sugieren la gráfica y la tabla algún modelo algebraico?

Grupo Editorial Patria® 175

Secuencia didáctica

Rúbrica de evaluación Registra en tu cuaderno de matemáticas:

1. Los datos de las tres primeras columnas de la tabla y la forma de la gráfica, sugieren una ________________ (circunferencia/parábola) pues alrededor del punto más bajo, en ( , ), hay dos puntos simétricos:( , 10.5) y (2, ) y, además, la gráfica asciende.

1. Las respuestas a las preguntas del análisis de la situación, poniendo especial atención a la conversión de unidades en ambos ejes y en el llenado de la tabla.

2. La forma estándar y " a(x h)2 k de la ecuación cuadrática, representa una parábola con vértice en el punto (h, k) que, en este caso, sería el punto más ________________ (bajo/alto), es decir, sería el punto (1, ). Al sustituir estos valores en la ecuación se tiene: y " a(x

2. El desarrollo de la secuencia didáctica con todas las respuestas, cálculos y transformaciones aritméticas y algebraicas, incluyendo la solución detallada de la ecuación cuadrática del punto 5 y la interpretación de sus soluciones.

)2

3. Se requiere el valor del parámetro a en la ecuación anterior para completar el modelo algebraico. Para ello se toma otro punto de la curva, como (3, ); al . El modelo reemplazar x " 3, y "__________ en dicha ecuación, resulta a " buscado es: y"

(x

)2

4. El año 2010 corresponde a x " ________________ ; este valor se obtiene al dividir 2010 1960 " __________ entre __________ (10;100) pues en el eje horizontal de la gráfica cada entero representa una __________ (década/centuria); para este valor, y " __________ , es decir __________ w __________ " __________ pandas. El año 2004 corresponde al valor x " (2004 1960) { __________ " __________ ; para este valor, y " __________ , es decir __________ w __________ " __________ pandas. 5. El modelo no predice la extinción de los pandas, pues al resolver la ecuación cuando y " 0, se obtienen para x __________ .

Proyecto de trabajo 15 2 x 15 256 modela el arco parabólico bajo un puente. El eje x representa el nivel del agua.

1. Arco bajo un puente La función cuadrática y "

a) Obtén el vértice de esta parábola.

y

0

x

b) Desde el nivel del agua, ¿qué altura tiene el arco, en metros? c) Haciendo y " 0, obtén las intersecciones x de esta parábola. d) ¿Cuál es el ancho del arco, a ras del agua? 2. Sky line/Art Deco En Manhattan, Nueva York, fue construido en 1929 el que entonces fue el edificio más lujoso y más alto del mundo, el Edificio Chrysler. Su diseño, en estilo Art Deco, remata en una cúpula con arcos parabólicos. Tres de ellos pueden modelarse con y " 1.2x2 12x 10; y " 3.5x2 35x 57.5; y " 0.4x2 4x.

y

1 2 3

a) ¿Cuál ecuación corresponde a cada arco parabólico? ¿Por qué? b) Comprueba dibujando las gráficas respectivas.

0

x

176

10

BLOQUE

Segmento informativo

Resuelves ecuaciones cuadráticas II

10A

Funciones y ecuaciones cuadráticas La ecuación cuadrática 0 ax2 bx c proviene de la función cuadrática y ax2 bx c (a 0), cuyas dos variables están relacionadas así: y

Función cuadrática

Observaciones importantes 1. La parábola es una curva en forma de U, con un eje de simetría que pasa por su vértice. Una parábola vertical tiene su eje vertical. 2. Concavidad de una parábola vertical: Abre hacia arriba y 5 4 3 2 1 −3 −2 −1 0 1 2 x

Abre hacia abajo y −3 −2 −1 0 1 2 x −1 −2 −3 −4 −5

Valor de x

Produce un valor de y

1

y 1 4(1) 5 8

y x 4x 5 2

−2 0

2

4

6 x

2

Asignando distintos valores a x, se obtienen los de y. Las parejas (x, y) son puntos de la gráfica de la función cuadrática.

−4 −6 −8

Función cuadrática Para cada valor de x la función cuadrática y ax2 bx c produce un solo valor de y. Su gráfica es una parábola vertical. Para un valor de y es posible obtener el, o los de x, resolviendo la ecuación. Función

Valor de y

Ecuación

Valor de x

Pareja

9

9 x 4x 5

x2

(2, 9)

y x 4x 5 2

2

Si escribes la ecuación general en forma estándar, puedes hallar el vértice de la parábola (su punto más bajo, o más alto) y saber hacia dónde abre ésta.

3. Para cada valor de y obtienes una ecuación cuadrática en x, que puede tener dos soluciones reales, o una, o ninguna.

Forma estándar de la función cuadrática y a (x h)2 k Parábola vertical. a 0, abre hacia arriba. a 0, hacia abajo. V(h, k).

Ejemplo 1 Fíjate en lo siguiente... 1. Al obtener las coordenadas del vértice V (2, 9) ten en cuenta que: a) 2 es el simétrico del número junto a x. b) 9 es el término constante (con su signo).

Con el vértice de la parábola, y dos puntos más (uno a su izquierda y otro a su derecha) puedes trazar fácilmente la gráfica de la parábola. La forma estándar se obtiene de la forma general completando un trinomio en x.

Ejemplo 1 Graficando una función cuadrática Traza la gráfica de la función y x2 4x 5.

Solución

2. Para obtener los puntos situados a los lados del vértice, proporciona valores a x que estén a izquierda y derecha del 2.

Como el coeficiente de x2 es 1 0, la parábola abre hacia arriba. Hallas la forma estándar.

A la izquierda del 2 x0 y 02 4(0) 5 5

y (x2 4x 22) 5 22

Trinomio en x

y (x 2) 9

Forma estándar

Punto A (0, 5)

A la derecha del 2 x5 y 5 4(5) 5 0 Punto B (5, 0). 2

2. Los valores para x se escogen libremente. La única condición es que estén uno a cada lado de la abscisa del vértice.

y x2 4x 5 2

V(2, 9). Puntos a ambos lados: A(0, 5) y B(5, 0). y −2 0 y = x2 − 4x − 5

2

4

−4 A −6 −8

V

B 6 x

Grupo Editorial Patria® 177

Ejemplo 2 Comparando el ancho de las parábolas

Ejemplo 2

Traza la gráfica de cada función. Compara su ancho en términos de a. a) y 4 (x 5) 3

b) y (x 5) 3

2

Fíjate en lo siguiente...

c) y 0.25 (x 5) 3

2

2

1. La magnitud de a indica cuánto abre una parábola:

Solución Las tres parábolas tienen el mismo vértice V(5, 3). Tabula otros puntos. a)

b)

y

c)

y

3

3 y = 4(x − 5)2 + 3

0

5

a pequeño, la parábola abre mucho.

y

a grande, la parábola abre poco.

0

2. Para un mejor trazado de la gráfica calcula puntos simétricos respecto al vértice (es decir, con abscisas a igual distancia del vértice; en tales casos sus ordenadas resultan iguales). Por ejemplo:

3 y = (x − 5)2 + 3

x

Ancho de una parábola

5

y = 0.25 (x − 5)2 + 3 x

0

x

5

Cuanto más pequeño es el coeficiente a, más abre la parábola.

V Inciso a)

Ejemplo 3 Graficando funciones con ecuaciones cuadráticas

x y

4 7

b) y 2x2 8x 8

Inciso b)

c) y x2 6x 11

x y

4 4

Dos soluciones reales

Solución a) Forma estándar y (x 4) 1; V(4, 1). Las intersecciones-x corresponden a los puntos con ordenada y 0. Al resolver (x 4)2 1 0 se obtienen las intersecciones x 3 y x 5. 2

Inciso c) 2

5 3

6 4 V

y 1 0

6 7

V

Con el vértice y las intersecciones-x traza la gráfica de cada función. a) y x2 8x 15

5 3

x y

4 3.25

5 3

6 3.25

6 x

4

−2

Ejemplo 3

−4

Una solución real

Fíjate en lo siguiente...

y

b) Forma estándar y 2(x 2)2 0; V(2, 0). Al resolver 2(x 2)2 0 se obtiene la intersección x 2, del vértice de la parábola. Se requieren puntos a ambos lados: A(1, 2), B(3, 2).

1. Qué representan las soluciones reales de una ecuación cuadrática en x:

3 2

A

B

Soluciones reales de ax2 bx c 0

1 0

1

2

3

x

Son las intersecciones-x de la gráfica de la función y ax2 bx c.

Ninguna solución real c) Forma estándar y (x 3)2 2; V(3, 2). No hay intersecciones-x pues las soluciones de (x 3)2 2 0 no son números reales. Se requieren puntos a ambos lados: A(1, 6), B(5, 6).

2. Correspondiendo a estas soluciones, la parábola puede cortar al eje x en dos puntos, en uno o en ninguno.

y 6 A

B

4 2

0

2

4

6 x

3. Los puntos A y B a ambos lados del vértice se calculan dando valores a x en la ecuación. Así, en el inciso b), para x 1: y 2(x 2)2 2(1 2)2 2(1) 2. El punto es A(1, 2).

10

BLOQUE

Resuelves ecuaciones cuadráticas II

Ejemplo 4a)

Ejemplo 4 Rebotes de un balón Recuerda

Los últimos tres botes de un balón de basquetbol, antes de detenerse, se muestran en la gráfica. La trayectoria del balón puede describirse con las funciones

1. Mientras mayor es el valor absoluto del coeficiente de x2, más cerrada es la gráfica de la parábola.

2 y (x 65)2 50, 9

2. En este caso resulta:

14 (x 25)2 70, y 125

0.3



0.2



0.112

Tercer salto

Segundo salto

Primer salto

más estrecho

mediano

más amplio

3. Aunque puedes comparar las fracciones comunes, es más simple en este caso comparar las fracciones decimales: 2 14 porque 2(125) 9(14) 9 125 3 2 porque 3(9) 10(2) 10 9

y

3 2 14 10 9 125

80 48 16 0

3 (x 90)2 30. 10

24

48 72 Longitud (cm)

96

a) Asocia cada función con su gráfica. b) Determina la altura máxima de cada salto del balón. c) ¿Qué distancia horizontal recorrió en cada uno?

Solución a) Compara el ancho de las tres parábolas utilizando a :







2 14 3 0.2, 0.112, 0.3. El primer salto está descrito con la se9 125 10 gunda ecuación; el segundo salto con la primera y el tercer salto corresponde a la tercera ecuación.

Por transitividad de la igualdad concluyes:

Altura (cm)

178

b) La ordenada del punto más alto confirma el resultado del inciso anterior: La segunda ecuación tiene vértice en (25, 70), la primera en (65, 50) y la tercera en (90, 30). La altura máxima en cada salto fue, respectivamente, de 70 cm, 50 cm y 30 cm.

Ejemplo 4b)

c) Obtén las intersecciones-x de cada parábola:

Fíjate en lo siguiente... 1. Como el coeficiente a es negativo en las tres ecuaciones, sus gráficas son parábolas que abren hacia abajo. 2. En este tipo de parábolas su vértice es el punto más alto de la gráfica, es decir, el que tiene la mayor ordenada.

14 (x 25)2 70 0 equivale a 14(x 25)2 70(125) 0 cuyas soluciones son 125 2 x 0 y x 50. La distancia es 50 0 50 cm. Análogamente, (x 65)2 50 0 9 conduce a x 80 y x 50, por lo que la longitud del segundo salto es 80 50 30 cm. Las soluciones x 100 y x 80 de la tercera ecuación, dan 100 80 20 cm.

Autoevaluación 10A Ejercicios 1 a 4. A partir del coeficiente a de cada ecuación, indica:

Ejemplo 4c)

a) Hacia adónde abre su gráfica.

Recuerda 1. Las intersecciones-x son los puntos de la gráfica de la función cuya ordenada es 0. Por esta razón cambias y por 0 para hallar tales intersecciones. 2. Lo anterior conduce a una ecuación cuadrática en la variable x.

b) Cuáles parábolas son más cerradas y cuáles más abiertas. 1. y 3(x 3)2 2 2. y (x 3)2 2 3. y 0.5 (x 3)2 2 4. y 1(x 3)2 2

Grupo Editorial Patria® 179

Ejercicios 5 a 7: a) Escribe cada ecuación en la forma estándar; b) obtén el vértice de cada parábola; c) indica cuál gráfica abre más rápidamente. 5. (x 5)2 4(y 2)

Sugerencias para la autoevaluación 10A 1 a 4. Revisa el ejemplo 2.

6. (x 3)2 (y 1)

5 a 7. Simplifica y despeja y.

7. (x 1) 12 (y 1) 2

8. Considera lo siguiente:

8. Describe las características de cada gráfica particular del ejemplo 4: ¿Son parábolas completas; o puntos aislados de alguna parábola; o…? Gráficas de funciones cuadráticas Ejercicios 9 a 14. Obtén la gráfica de las siguientes funciones cuadráticas, escribiéndolas en forma estándar. 9. y x2 6x 12. y x2 2x 1

10. y 2x2 8x

11. y 3x2 9

13. y x2 12x 33

14. y 2x2 4x 6

En el modelo general es una parábola. En un modelo particular puede ser una parábola, o una porción, o puntos de ésta. 9 a 14. Revisa el ejemplo 1.

Ejercicios 15 a 17. Asocia la ecuación con su gráfica. Halla intersecciones-x.

15 a 17. Forma estándar. Ejemplos 1, 2 y 3.

15. y 1(x 3)2 2

16. y x2 2x

17. y 2x2 16x 32

18 a 21. Sustituye el valor dado de y.

I.

II.

III.

22 a 24. Sustituye y por 0. Revisa el ejemplo 3.

y 5 4 3 2 1 −2 −1−1

y

5 4 3 2 1

−5 −4 −3 −2 −1 x −1 −2 −3 −4 −5

1 2 3 4 x

0

y

25. Interpreta la gráfica a) Halla el vértice y su ordenada k. 1 2 3 4 5 x

Ejercicios 18 a 21. Obtén los valores de x que dan el valor indicado de y. 18. y 3x2 18x 20; y 4

19. y 2x2 12x 14; y 2

20. y 2x2 20x 48; y 0

21. y 4x2 16x 15; y 0

Ejercicios 22 a 24. Obtén la intersección-x de la gráfica de cada función. 22. y x2 x 35

23. y 2x2 4x 3

24. y x2 10x 25

Ingreso (millones $)

25. Ganancias comerciales La gráfica muestra el comportamiento de las ganancias obtenidas por una compañía comercializadora de loza y vajillas, de 2002 a 2006. (x 0 2002; y en millones de pesos). a) ¿En qué año su ganancia fue la más alta del periodo, y a cuánto ascendió ésta? b) Halla un modelo cuadrático para la gráfica. 16 15 14

13.65

13 1 0

1

2

3

Año (x = 0 ↔ 2002)

4

5

b) Sustituye los valores del vértice en la forma estándar. Sustituye allí las coordenadas del punto de intersección-y y obtén el valor de a.

180

10

BLOQUE

Resuelves ecuaciones cuadráticas II

10

B

BLOQUE

Conocimientos

Situación didáctica

Amigas y pulseras

Una amiga tuya se encuentra en un balcón y pide que le lances una pulsera que se le cayó al saludarte. Lanzas verticalmente la pulsera hacia ella, pero no puede atraparla mientras asciende; logra sujetarla sólo cuando baja de regreso.

La fórmula cuadrática Es útil para resolver ecuaciones cuadráticas completas ax2 bx c 0. x

b b2 4ac 2a

4 y D C 3 2 1 B E t 0 1 1 2 3 1 2 3 4 F 5 A 6

Ejemplo Resolver 2x2 x 1 0. a 2, x

b 1,

c 1.

1 12 4(2)(1) 1 3 2(2) 4

Por tanto: 1 3 1 x 4 2

o

x

1 3 1 4

Calculas que la velocidad que le imprimiste al lanzarla fue de 12.5 m/s. Tu distancia hasta tu amiga es de 4.5 m. ¿Cuánto subió la pulsera por arriba de tu amiga antes de llegar a sus manos?

Discriminante cuadrático El signo de la cantidad dentro del radical permite anticipar las raíces.

Describe mediante un modelo algebraico la relación entre el tiempo y la distancia que recorre la pulsera.

b2 4ac

Utiliza este modelo para: a) verificar la respuesta a la primera pregunta; b) determinar si la pulsera, lanzada a 27 km/h, hubiera llegado a tu amiga.

Valor

Soluciones

Positivo Cero Negativo

Dos raíces reales distintas. Una raíz real. Dos raíces complejas.

2x2 x 1 0 tiene discriminante b2 4ac 12 4(2)(1) 9 0. Por tanto posee dos raíces reales distintas.

Consulta En libros de álgebra y otras fuentes: Funciones y ecuaciones cuadráticas La fórmula cuadrática En Internet: Op. cit. Bloque 4A platea.pntic.mec.es/~jescuder/fra_mate.htm

Análisis de la situación 1. Estudia la gráfica Como la pulsera siguió una trayectoria vertical, su movimiento fue rectilíneo; por tanto la gráfica no representa su recorrido; muestra la relación entre las alturas y alcanzadas por la pulsera en cada momento t. ¿Por qué inician las alturas con un valor negativo (4.5) en el eje y? ¿Qué indica el punto más alto de la gráfica? ¿Qué significa que en dos puntos (del eje x) las alturas sean 0? 2. Examina modelos Una de las fórmulas en el margen de la situación didáctica en el Bloque 9A corresponde al tipo de movimiento seguido por la pulsera, y relaciona las variables t, y. ¿Cuál es?

Grupo Editorial Patria® 181

Secuencia didáctica

Rúbrica de evaluación

1. Al iniciar tu envío la pulsera está 4.5 m ______________ (arriba/debajo) de tu . Cuando amiga, es decir, cuando t 0 segundos, su altura inicial es h la pulsera pasa frente a tu amiga, la separación vertical entre la pulsera y tu amiga es 0, es decir, y _____ ; esto ocurre ______________ (una/dos/tres) veces. 2. La ordenada del vértice indica la ______________ (mayor/menor) distancia que alcanzó la pulsera por arriba de tu amiga; aproximadamente, fue de y ______________ m y se alcanzó a los t _____ segundos. 3. La distancia y recorrida en el tiempo t por un objeto con movimiento rectilíneo uniforme, es y 5t2 vt h. Al sustituir en este modelo la velocidad de la pulsem/s, y su altura inicial h se obtiene la ecuación cuadrática ra v t y 5t2

1. Elabora un resumen en el cual escribas las respuestas a las preguntas del análisis de la situación y de la secuencia didáctica, mostrando en ésta los cálculos, operaciones y desarrollos algebraicos requeridos. 2. Realiza un trabajo extra clase de consolidación, consistente en aplicar el modelo del punto 3 de la secuencia didáctica, A. Para calcular valores de y:

4. La forma estándar de esta ecuación dará el vértice de la parábola: Extrae 5 como factor de t2 y t: y 5(t2

5

0

y

4.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

B. Obtener las intersecciones x de la gráfica y su punto medio (la abscisa del vértice).

t)

C. Explicar la igualdad de distancias para tiempos distintos.

Completa el T en t: y 5(t2

t

5

Factoriza el T: y 5(t

t

)

5(

)

)2 _____________ . El vértice es (

,

).

t=1

t = 1.5

t = 0.5

t=2

La pulsera subió 3.31 m por arriba de tu amiga.

Balcón

5. Para v 27 km/h m/s, el modelo sería y 5t2 t . El 2 2 4(5)( ) ______________ discriminante cuadrático, b 4ac indica que esta ecuación tiene raíces ______________ (reales/complejas), y por tanto, que con esta velocidad, la pulsera ________________ (no llegaría/llegaría) hasta tu amiga.

t=0

a) ¿A qué altura del piso hizo o el jugador con el balón? b) Obtén las intersecciones x de la parábola y determina cuántos metros adelante del jugador cayó el balón. c) ¿A qué altura máxima se elevó el balón después de que el delantero hizo o con él? d) ¿Qué altura alcanzó el balón en esta jugada, cuando estuvo 2 m adelante del jugador?

y

0

t = 2.5

0.5 m 0m

− 4.5 m Suelo

Proyecto de trabajo Recorrido parabólico La ecuación y 0.25x2 x 2 indica la trayectoria que sigue un balón de futbol momentos después de que un centro delantero brinca y lo impulsa con la cabeza.

3m

x

182

10

BLOQUE

Resuelves ecuaciones cuadráticas II

La fórmula cuadrática

10B

Una característica importante del álgebra es la elaboración de modelos que describen patrones o procesos generales.

Fíjate en lo siguiente...

Al aplicar a la ecuación cuadrática general ax2 bx c 0 la técnica de completar un trinomio en x, obtienes un modelo para sus soluciones.

Segmento informativo

1. Con la fórmula cuadrática no requieres completar trinomios para resolver la ecuación (sólo usas los coeficientes a, b, c de los términos).

Fórmula cuadrática La ecuación ax bx c 0 (a 0), tiene por soluciones: 2

x

2. Es indispensable considerar lo siguiente:

b b2 4ac 2a

Para aplicar la fórmula cuadrática La ecuación debe estar escrita en la forma general ax2 bx c 0.

Así, las soluciones de 2x2 4x 6 0 las obtienes considerando: a 2, b 4, c 6 y calculando:

Ejemplo

x

NO puedes aplicar la fórmula si las ecuaciones están escritas así: x 3x 10; 2

2x 4x 6. 2

4 42 4(2)(6) 2(2)

Al realizar estas operaciones, x 1 y x 3. Es posible anticipar el tipo de soluciones que tendrá una ecuación cuadrática. Si el número dentro del radical es positivo o cero, las soluciones serán reales; si es negativo, serán complejas.

3. Cuando falta algún término en la ecuación general, su coeficiente es 0.

Discriminante cuadrático El número b2 4ac se llama discriminante cuadrático.

Ejemplo Para resolver 2x2 4x 0 con la fórmula cuadrática debes escribir: a 2, b 4, c 0.

Ejemplo 1 Observaciones importantes 1. Para obtener los coeficientes a, b, c y aplicar la fórmula cuadrática, debes simplificar e igualar con cero la ecuación. 2. Considera los signos de cada término. Coeficientes Cada coeficiente incluye el signo que le antecede.

b2 4ac 0

b2 4ac 0

Dos soluciones reales

Dos soluciones complejas

Como caso particular, cuando el discriminante es cero, las dos soluciones reales resultan ser iguales.

Ejemplo 1 Identificando los coeficientes a, b, c en una ecuación Escribe los coeficientes a, b, c, de cada ecuación cuadrática. a) 4x2 8x 3 0

b) 2x2 12x 10

Solución a) a 4, b 8, c 3. b) 2x2 12x 10

Ecuación

2x2 12x 10 0

Forma general

a 2, b 12, c 10

Coeficientes

Grupo Editorial Patria® 183

Ejemplo 2 Usando la fórmula cuadrática

Ejemplo 2

Resuelve cada ecuación con la fórmula cuadrática. a) x2 2x 3 0

Observaciones importantes

b) 2x2 9x 5 0

1. Al sustituir los valores haz esto:

Solución

Significado de b

a) x2 2x 3 0

Ecuación

a 1, b 2, c 3

Interpreta b como: simétrico de b.

Coeficientes

x

b b2 4ac 2a

Fórmula cuadrática

x

2 22 4(1)(3) 2(1)

Sustituyendo a por 1, b por 2, c por 3

x 1 o x 3 b) 2x 9x 5 0

4. Siempre que sea posible simplifica la ecuación antes de aplicar la fórmula, pues reduces los cálculos a números más pequeños. (Las soluciones son las mismas pues las ecuaciones son equivalentes.)

Ecuación con a 2, b 9, c 5

9 92 4(2)(5) 2(2)

x

3. Si divides entre 2 la ecuación del ejemplo ilustrativo 2x2 4x 6 0, obtienes la ecuación simplificada x2 2x 3 0.

Simplificando

2

x

2. Puedes calcular b2 tomando b positivo. Razón: el cuadrado de un número y su simétrico son iguales. (2)2 22 4.

Sustituyendo en la fórmula cuadrática

1 o x5 2

Simplificando

Ejemplo 3

Ejemplo 3 Anticipando resultados

Recuerda

Determina el tipo de soluciones de cada ecuación y obtén éstas. a) x2 4x 0

b) x2 6x 9 0

1. El discriminante b2 4ac es la cantidad que va dentro del radical.

c) 2x2 8x 9 0

Solución

2. Al conocer su valor, sólo lo reemplazas

a) x2 4x 0 0 tiene dos soluciones reales: b2 4ac 42 4(1)(0) 16 0. 4 16 4 4 0 x 2 2 4

y −4 −3 −2 −1 0 −1 −2 −3 −4

b) x2 6x 9 0 tiene una solución real: b 4ac 6 4(1)(9) 0. 2

2

x

6 0 6 3 2 2

c) 2x 8x 9 0 tiene soluciones complejas: 2

b2 4ac (8)2 4(2)(9) 8 0. 8 8 2 0.5 2 i x 4 2 0.5 2 i

x

en la fórmula cuadrática, en b2 4ac . 3. Decir que una ecuación cuadrática tiene una solución real equivale a decir que tiene dos soluciones reales iguales. 4. El valor 2 0.5 2 i se obtiene así:

y 4 3

8 8 4

2 1



8 4(2)(1) 4



8 4 2 1 4



8 2 2 i 8 2 2 i 2 0.5 2 i 4 4 4

−5 −4 −3 −2 −1 x y 4 3 2 1 0

1 2

3 4 x

El otro valor es su conjugado 2 0.5 2 i.

184

10

BLOQUE

Resuelves ecuaciones cuadráticas II

Ejemplo 4 Observaciones importantes 1. Cuando hay dos sentidos opuestos en problemas de movimiento, es necesario distinguirlos con signos y

Ejemplo 4 Grutas de la Estrella Visitas con un grupo de amigos las Grutas de la Estrella en el Estado de México. En uno de los andadores se detienen a observar a otro grupo que realiza un descenso con cuerdas y equipo de montañismo. Al extraer la cámara fotográfica cae tu cartera 8 metros abajo, donde está el otro grupo. En línea recta te la lanzan, con una velocidad inicial de 36 km/h.

2. En este caso, como la aceleración de la gravedad siempre actúa hacia abajo, se considera negativa: g 9.8 m/s2 3. La dirección de la velocidad de la cartera es hacia arriba. Por esto se considera positiva. 36 km 36,000 m m 10 1 h 3,600 s s

Ampliando el conocimiento 1. Los puentes colgantes se sostienen mediante tirantes verticales de los cables que cuelgan de las torres. 2. El puente Akashi-Kaikyo (conocido también como Pearl Bridge —Puente Perla— por sus destellos nocturnos) se concluyó en 1998, después de 12 años de construcción, y une las islas de Honshu, Shikoku y Awaji. 3. En 1995, durante su construcción, el terremoto de Osaka de 8.5 grados, separó un metro las bases de sus torres, por lo que el proyecto inicial se alargó esta distancia. 4. Sus torres, casi igual de altas que la torre Eiffel, se separan 9.3 cm más en la parte superior, debido a su altura y a la curvatura terrestre. Debajo de la plataforma hay 59 m para el paso de barcos más una base de 14 m. 5. El puente Akashi-Kaikyo tiene una longitud total de 3,911 metros.

b) ¿En cuántos segundos habría llegado a ti, lanzada a 54 km/h?

Solución El modelo y g t2/2 vt te permite hallar la altura vertical y, alcanzada por un objeto lanzado con una velocidad v (inicial) que aumenta (o disminuye) por acción de la gravedad, g 9.8 m/s2 10 m/s2. Cambiando 36 km/h a 10 m/s, obtienes el modelo particular 8 5t2 10t. a) Como la distancia decrece, ésta será cero al llegar a ti (y 0). Pero las soluciones de 5t2 10 t 8 0 son números complejos. Esto significa que la distancia que sube la cartera no es suficiente para que la alcances. b) Al lanzarla más fuerte, la nueva velocidad conduce al modelo 8 5t2 15t, que tiene dos soluciones reales: t 0.7 s y t 2.3 s. Esto significa que la cartera llegará a ti en 0.7 segundos. Si no la tomas, subirá más y volverá a estar frente a ti al bajar y totalizar 2.3 segundos.

Ejemplo 5 El puente colgante más grande del mundo El puente Akashi-Kaikyo, en Japón, es en la actualidad el puente colgante más largo del mundo. Los cables que sostienen su tramo principal describen parábolas que pueden modelarse con la ecuación cuadrática y 0.00023x2 0.46x 2 (x, y en metros, enteros). a) ¿Qué longitud tiene su tramo principal? b) ¿Cuál es la altura de las torres principales?

Solución a) La longitud del tramo principal es igual a la distancia entre las torres. La abscisa de cada una es la del punto de intersección-x de la gráfica. Resolviendo con la fórmula cuadrática y usando enteros, obtienes x 4 y x 1,995. La distancia entre las torres es 1,995 4 1,991 metros. b) El vértice de la parábola se halla en el punto V (1,000, 228). Desde la plataforma del puente, las torres se elevan 228 metros cada una. Puente Akashi-Kaikyo y Altura (metros)

4.

a) ¿Alcanzará a llegar la cartera a tus manos?

−80

80

800

−240 Longitud (metros)

1,600

x

Grupo Editorial Patria® 185

Autoevaluación 10B Ejercicios 1 a 3. Identifica los coeficientes a, b, c de cada ecuación. 1. x2 5x 6 0

2. 2x2 6x 4 0

3. 3x2 19x 14

Ejercicios 4 a 6. Anticipa el tipo de soluciones de cada ecuación. 4. 2x2 x 5 0

5. x2 20x 100 0

6. x2 7x 12 0

Ejercicios 7 a 9. Obtén las soluciones de cada ecuación cuadrática a) utilizando la fórmula cuadrática, b) factorizando, c) comparando ambas técnicas. 7. x2 12x 0

8. x2 49 0

9. 3x2 27x 0

10. x2 8x 16 0

11. 3x2 30x 75 0

12. x2 3x 4 0

13. x2 8x 7 0

14. 5x2 4x 1

15. 4x2 6x 4

16. 5x2 10x 1 0

17. 2x2 6x 1 0

18. 2x2 x 3 0

Ejercicios 19 a 21. Asocia cada ecuación con su gráfica, utilizando sus raíces o soluciones. 19. x2 2x 4 0

20. x2 2x 3 0

21. 3x2 x 10

I.

II.

III.

−2 0 −2 −4 −6 −8

2

1 −2 −1 0 −1 −2 −3 −4 −5

x

−10

y 1 2 3 4 x

4 3 2 1 −2 −1 0 −1 −2

y

1 2 3 4 x

% Variación anual

22. Construcción residencial La variación porcentual anual del costo de los materiales de construcción entre abril y noviembre de 2006 puede apreciarse 1 en la gráfica de la función y ( )(5x2 40x 55). ¿En qué meses fue de a) 9 6%, b) 10% y c) 15%? y 15 12 9 6 3 0

1

2 3 4 5 x = 0 ↔ Abril

6

7

a) ¿Cuáles ciudades rebasaron la norma oficial de 0.03 microgramos por m3? b) ¿Qué ciudad tuvo una norma anual de 0.0072 μg/m3 de bióxido de azufre?

(1 ↔ 0.01) Microgramos /m3

4 a 6. Revisa el ejemplo 3. 7 a 9. Revisa el ejemplo 3a) y la nota 3 en el margen al inicio de este segmento. 10 a 18. Revisa el ejemplo 2. 14 y 15. Escribe la forma general. 16 y 18. Multiplica por 1 antes de aplicar la fórmula para que a sea positivo. 10 a 21. Las raíces son las intersecciones-x. 22. Sustituye y por 6, 10 y 15 y resuelve cada ecuación. Redondea x a valores enteros. 23. Interpreta la gráfica. a) En la gráfica se observan cuatro casos. Sustituye x en la ecuación y obtén y. b) Como y está en escala 1 0.01, divide 0.0072 entre 0.01 y sustituye después este valor en la ecuación (x debe ser entero).

Ampliando el conocimiento 1. El bióxido de azufre se genera en su mayoría al quemar combustibles. 2. El bióxido de azufre y el nitrógeno, al combinarse con el vapor de agua, forman los ácidos sulfúrico y nítrico.

23. Contaminantes atmosféricos La gráfica de y 0.32x2 2.1x 4 muestra el promedio anual de bióxido de azufre presente en nueve ciudades del país.

11 10 8 6 4 2

1 a 3. Escribe la forma general. Ejemplo 1.

11 y 15. Simplifica antes de aplicar la fórmula.

Ejercicios 10 a 18. Resuelve cada ecuación con la fórmula cuadrática.

y 2

Sugerencias para la autoevaluación 10B

Bióxido de azufre

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Ciudades

0. México 1. Guadalajara 2. Monterrey 3. Aguascalientes 4. Tijuana 5. Toluca 6. Querétaro 7. San Luis Potosí 8. – – – – – – – – – 9. Cananea

3. Ambas sustancias producen la lluvia ácida que daña suelos, plantas, personas y animales, y corroe edificios y materiales.

186

10

BLOQUE

Resuelves ecuaciones cuadráticas II

Instrumentos de evaluación Rúbrica

Rúbrica para evaluar el reporte de la situación didáctica “Amigas y pulseras” del Bloque 10B. Nombre del alumno:

Nivel

Presentación

Aspecto a evaluar

Desarrollo

Dominio del tema

Excelente (4)

Bueno (3)

Deficiente (1)

Elabora el reporte a mano con buena caligrafía (o bien usando un procesador de texto con una impresión bien hecha), bien redactado y sin faltas de ortografía.

Elabora el reporte a mano con buena caligrafía (o bien usando un procesador de texto con una impresión bien hecha), redacción regular y sin faltas de ortografía.

Elabora el reporte a mano con regular caligrafía (o bien usando un procesador de texto con una impresión regular), redacción regular y pocas faltas de ortografía.

Elabora el reporte a mano con mala caligrafía, mal redactado y con muchas faltas de ortografía.

Presenta de manera ordenada todos los pasos para determinar las ecuaciones y cantidades pedidas.

Presenta de manera ordenada todos los pasos para determinar las ecuaciones y cantidades pedidas.

Presenta de manera ordenada todos los pasos para determinar las ecuaciones y cantidades pedidas.

0NJUFBMHVOPTQBTPTFOFM cálculo de las ecuaciones y cantidades pedidas.

Aplica el modelo algebraico determinado para:

Aplica el modelo algebraico determinado sólo para:

Aplica el modelo algebraico determinado sólo para:

t & MBSBSVOBUBCMBEFWBMPSFTEFy contra t. t 0CUFOFSMBTJOUFSTFDDJPOFTDPOFMFKFx. t 0CUFOFSMBBCTDJTBEFMWÏSUJDF t &YQMJDBSMBJHVBMEBEEFEJTUBODJBTQBSB tiempos distintos.

t & MBSBSVOBUBCMBEFWBMPSFTEFy contra t. t 0CUFOFSMBTJOUFSTFDDJPOFTDPOFM FKFx. t 0CUFOFSMBBCTDJTBEFMWÏSUJDF

t & MBSBSVOBUBCMBEFWBMPSFTEF y contra t. t 0CUFOFSMBBCTDJTBEFMWÏSUJDF

No aplica el modelo algebraico determinado para obtener lo solicitado.

Plantea correctamente la ecuación DVBESÈUJDBEFVOUJSPWFSUJDBM

Plantea correctamente la ecuación DVBESÈUJDBEFVOUJSPWFSUJDBM

Plantea correctamente la ecuación DVBESÈUJDBEFVOUJSPWFSUJDBM

Identifica correctamente el tipo de soluciones de una ecuación cuadrática con base en su discriminante.

Identifica correctamente el tipo de soluciones de una ecuación cuadrática con base en su discriminante.

Identifica correctamente el tipo de soluciones de una ecuación cuadrática con base en su discriminante.

Aplica correctamente la fórmula para SFTPMWFSFDVBDJPOFTDVBESÈUJDBT

Aplica correctamente la fórmula QBSBSFTPMWFSFDVBDJPOFT cuadráticas.

Aplica correctamente la fórmula para SFTPMWFSFDVBDJPOFTDVBESÈUJDBT Completa trinomios cuadrados perfectos. 0CUJFOFFMWÏSUJDFEFVOBQBSÈMB

Completa trinomios cuadrados perfectos. /PTBCFPCUFOFSFMWÏSUJDFEFVOB parábola.

Determina correctamente:

Resultados y conclusiones

Satisfactorio (2)

t - BBMUVSBRVFTVCJØMBQVMTFSBQPS BSSJCBEFMBBNJHBBOUFTEFRVFMB QVEJFSBTVKFUBS t 4JMBQVMTFSBIVCJFSBMMFHBEPBMBBNJHB de haber sido lanzada a 27 km/h.

No sabe completar trinomios cuadrados perfectos. /PTBCFPCUFOFSFMWÏSUJDFEFVOB parábola.

No plantea correctamente la ecuación cuadrática de un UJSPWFSUJDBM No identifica correctamente el tipo de soluciones de una ecuación cuadrática con base en su discriminante. No aplica correctamente MBGØSNVMBQBSBSFTPMWFS ecuaciones cuadráticas. No sabe completar trinomios cuadrados perfectos. /PTBCFPCUFOFSFMWÏSUJDFEF una parábola.

%FUFSNJOBDPSSFDUBNFOUFMBBMUVSBRVF Determina correctamente la altura subió la pulsera por arriba de la amiga RVFTVCJØMBQVMTFSBQPSBSSJCBEF BOUFTEFRVFMBQVEJFSBTVKFUBS MBBNJHBBOUFTEFRVFMBQVEJFSB TVKFUBS Determina incorrectamente si la

Determina incorrectamente MBBMUVSBRVFTVCJØMBQVMTFSB por arriba de la amiga antes EFRVFMBQVEJFSBTVKFUBS

pulsera hubiera llegado a la amiga de haberla lanzado a 27 km/h sólo QPSRVFSFBMJ[ØNBMMBDPOWFSTJØO a m/s.

Determina incorrectamente si la pulsera hubiera llegado a la amiga de haberla lanzado a 27 km/h.

Determina incorrectamente si la pulsera hubiera llegado a la amiga de haberla lanzado a 27 km/h.

Lista de cotejo

Lista de cotejo para el reporte de la situación didáctica “Preservación de pandas” del Bloque 10A. Presentación 1. Cuenta con una carátula que incluye al menos el nombre del trabajo que se realiza, el nombre de la materia, la fecha de entrega, el nombre del alumno y su matrícula. 2. La redacción es buena o por lo menos satisfactoria. 3. Tiene pocos o ningún error de ortografía. 4. Elaboró el trabajo con un procesador de texto como Word, o bien, lo hizo a mano con buena caligrafía o por lo menos entendible.

SÍ

NO

Observaciones

Grupo Editorial Patria® 187

Desarrollo

SÍ

NO

Observaciones

SÍ

NO

Observaciones

SÍ

NO

Observaciones

5. Contestó las preguntas de la sección “Explora la gráfica” y en particular determinó correctamente en qué año fue menor el número de pandas. 6. Elaboró una tabla de la población de pandas al inicio de cada década. 7. Presentó todos los pasos requeridos para determinar las cantidades y ecuaciones pedidas siguiendo una secuencia coherente y ordenada. Dominio del tema 8. Obtiene la forma estándar de una parábola vertical conociendo su vértice y un punto de ella. 9. Determina las raíces de una ecuación cuadrática y en el caso de que resulten números complejos interpreta su significado. 10. Interpreta correctamente la escala de los ejes coordenados en una gráfica. Resultados y conclusiones 11. Calculó correctamente el número máximo de pandas en las cinco décadas indicadas. 12. Calculó correctamente el año en que comenzó a aumentar la población de pandas. 13. Obtuvo la ecuación correcta de la parábola correspondiente a la gráfica presentada. 14. Calculó correctamente el número de pandas en el 2010. 15. Calculó correctamente el número de pandas en el 2004. 16. Determinó si los pandas se extinguirán y en su caso en qué año.

Comentarios generales: __________________________________________________________________________ Nombre del estudiante: _______________________________________________

Fecha: ____________________

Guía de observaciones para los proyectos de trabajo “Arco bajo un puente” y “Sky Line/Art Deco” del Bloque 10A

Profesor:

Grado y grupo: Plantel: Clave:

Alumno:

Fecha de aplicación:

Nombre de la Materia:

Desempeño a evaluar: Graficación de funciones cuadráticas. INSTRUCCIONES: Observe si la ejecución de las actividades que se enuncian las realiza el capacitando que se está evaluando y marcar con una “X” el cumplimiento o no en la columna correspondiente; asimismo, es importante anotar las observaciones pertinentes. No.

Acciones a evaluar

1

Obtiene el vértice de la parábola correspondiente al arco del puente.

2

Calcula la altura del arco del puente en metros.

3

Obtiene las intersecciones con el eje x de la parábola correspondiente al arco del puente.

4

Determina el ancho del arco del puente al ras del agua.

5

Identifica qué ecuación corresponde a cada uno de los arcos parabólicos del Edificio Chrysler presentados y explica en qué se basó.

6

Grafica las ecuaciones de las parábolas que modelan los arcos parabólicos del Edificio Chrysler para comprobar si los identificó correctamente.

*No aplica.

REGISTRO DE CUMPLIMIENTO SÍ NO NA*

Observaciones

188

10

BLOQUE

Resuelves ecuaciones cuadráticas II

Parte 2 Material de consulta Contenido Sección 1

Potencias y raíces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

Sección 2

Determinantes de sistemas lineales 2 w 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

190

Potencias y raíces

1

Sección Observaciones importantes

Polinomios Potencias y raíces Algunas identidades algebraicas importantes se refieren a potencias y raíces. Una potencia con exponente natural indica una multiplicación repetida:

1. En las potencias indicadas: Base

32

Exponente

23 " 2 w 2 w 2

Índice

1

(5)0, 23, 4 2 , 4π, 2™ 2 ? Significado de exponentes reales (x | 0, n real, m natural # 1) Cero

Negativos

Radical

™x 3

4. En raíces cuadradas se omite el índice 2. El índice siempre es un natural m # 1.

m impar 1 raíz

m par y a # 0 2 raíces

5. NO existe raíz real si m es par y a < 0. La raíz principal tiene el mismo signo que a.

™8 " 2

2 " 8;

™ 8 " 2

(2)3 " 8.

3

n m

3. x m " ™ xn n, m sin factores comunes; raíz real

23 "

Así, (5)0 " 1,

1

1 1 " " 0.125, 23 8

42 " ™4 " 2

En el caso de exponentes irracionales, como π, ™ 2 , su valor es el límite de las sucesiones de racionales que los aproximan. Así, 4π " 77.8802... se obtiene usando valores de π: 3.1, 3.14, 3.141,…, como exponentes: 43.1, 43.14, 43.141,... Se hace lo mismo para 2™ 2 . Al operar expresiones con exponentes es útil aplicar algunas propiedades.

Ejemplo: m impar: una raíz real 3

Fraccionarios

1 xn

2. xn "

1. x0 " 1

Raíz m–ésima real m ™a " b b es una raíz m-ésima de a, si bm " a

(–5)4 " (5)(5)(5)(5)

¿Qué indican exponentes reales cualesquiera, en expresiones como

2. El exponente natural 1 no indica multiplicaciones repetidas. Se define como x1 " x. 3. El símbolo para la raíz se llama radical.

42 " 4 w 4

Propiedades operativas de los exponentes

3

Producto xnxm " xn m

22 " 4 y (2)2 " 4.

™ 4

No existe raíz real (índice par; 4 < 0)

Fíjate en lo siguiente... Ejemplo 1d) 1. ™ 2 ~ 1.4142... . Se tomó ™ 2 ~ 1.4. 14 7 " . 2. Se transformó el racional 1.4 " 10 5

xn " xn m xm

Potencias

m par: dos raíces reales o ninguna

™4 " t 2

Cociente

n

(xn)m " xnm

(xy)n = xnyn

©x¹ xn ª º " n y «y»

De una potencia

De un producto

De un cociente

Aquí x, y, n, m, son reales y x, y, no son cero si son divisores.

Ejemplo 1

Interpretando exponentes

Obtén el valor de las siguientes potencias indicadas. 3

a) (2.17)0

b) 5–1

d) 2™ 2

c) 4 2

Solución a) (2.17)0 = 1 3

c) 4 2 " ™ 43 " ™ 64 " 8 2

b) 51 "

1 " 0.2 5 7

d) 2™ 2 ~ 21.4 " 2 5 " ™ 27 " ™ 128 ~ 2.64 5

5

Grupo Editorial Patria® 191

Ejemplo 2

Calculando productos que contienen exponentes

Ejemplo 2

Obtén o simplifica los siguientes productos. 2

3 8

3

c) x(x 6) (x 6)

2

b) x x

a) (4) (4)

Solución

a) (4)2 " 16; (4)3 " 64; (16)(64) " 1,024. b) Debe ser x | 0 para concluir 1 x5 " 5 . x

a) (4)2(4)3 " (4)2+3 " (4)5 " 1,024. b) x3x8 " x3 + (8) " x5 "

Recuerda

1 . x5

Ejemplos 2 y 3

c) x(x 6) (x 6)2 " x(x 6)1+ 2 " x(x 6)3.

La base debe ser la misma.

Ejemplo 4 Ejemplo 3

Calculando cocientes que contienen exponentes

Determina el valor de cada cociente. 1020 a) 1017

a3 c) 5 , a | 0 a

(5x)7 b) ,x|0 (5x)7

Solución

a) El signo en 3 está afectado por el exponente. c)

2 2 " 7 7

n

1 ©1¹ d) La identidad x " n " ª º indica: x «x» n

xn es igual a: el recíproco de la base a la n.

20

a)

10 " 1020 17 " 103 " 1,000. 1017

b)

(5x)7 " (5x)7 7 " (5x)0 " 1. (5x)7

c)

a3 1 " a3 5 " a2 " 2 . 5 a a

Ejemplo 4

© 5a ¹ ª º « b »

Desarrolla las potencias indicadas. © 2¹ c) ª º « 7»

b) (4x)3

3

© b ¹ " ª º . « 5a » recíproco

Otra forma de obtener el mismo resultado: 1 3 3 3 © 5a ¹ (5a)3 (5a) (b)3 © b ¹ º " " " ª . ª º " 1 (b)3 (5a)3 « 5a » « b » (b)3

Hallando potencias de productos y de cocientes

a) (3 w 5)2

3

2

3

© 5a ¹ d) ª º , a, b | 0 « b »

Ampliando el conocimiento 1. La elevación a una potencia tiene DOS operaciones inversas: raíz y logaritmo. 2. Con éstas obtienes la base o el exponente (conocido uno de ellos y la potencia).

Solución

Operación Obtienes _____________________________________

a) (3 w 5)2 " (3)2 w 52 " 9 w 25 " 225.

Potencia Raíz

b) (4x)3 " 43x3 " 64x3. 2

2

3

2

3

"b

La potencia La base o raíz

En la expresión 32 " 9:

© 5a ¹ © b ¹ b (b) b d) ª º " ª º " 3. 3 " 3 " 125a (5a) 125a b « » « 5a » 3

?

n

Logaritmo a? "b El exponente _____________________________________

© 2 ¹ © 2 ¹ (2) 4 c) ª º " ª º = = . 72 49 « 7» « 7 » 3

an " ?

3

9 es la segunda potencia de 3 3 es la raíz cuadrada de 9: ™ 9 " 3 2 es el logaritmo de 9 en base 3

192

Potencias y raíces

3. Las operaciones inversas se nulifican al ser aplicadas sucesivamente: Número Operación x

x5

x

6x

x

™x

1 6

Resultado

x55 6x 6

x

Solución

x

a) (22)3 " 22 w 3 " 26 " 64.

x

b) (x3)2 " (x)3 w 2 " (x)6 " x6.

3

a) (22)3

Determina:

[ ]

Potencia de una raíz real m

( ™ x )n " ™ xn

Ejemplo 6



4. Todas las raíces de índice impar son reales; las de índice par sólo si x es positivo.

n

1. Si n " m hay factores comunes y x | ™ x ; n n

1 1

n

10 5

2 1

misma razón, x " x | ™ x .) 5

10

2. Para el caso especial en que n " m, se define: Raíz de potencia n " m si m es impar si m es par

™ xm " x

c) 8(8 3 ) " ?

d) ™ 64 6

3 5

"x

3 5

" ™x 5

3

"

™ 5

™1 1 1 " 5 3 " 5 . 3 x ™x ™ x3 5

b) ™ (3)2 " a3a " 3.

n

es decir, x " x 1 " x " x | ™ xn . (Por la

1

b) ™ (3)2

Solución a) x

Observaciones importantes

3

a) x 5 , x | 0



n n

Interpretando exponentes fraccionarios y raíces

Convierte exponentes y radicales y halla la raíz m-ésima principal.

Así, (™ 4 )3 = ™ 43 , pero (™ 4 )3 | ™ (4)3 .

m

c) (7a) 2

1 1 " . (7a)3 343a3

" (7a) 2 " (7a)3 "

c) (7a) 2

[ ]

b) (x3)2

6

1 6

m

Hallando potencias de potencias

Inversa

(™ x )3

3

Ejemplo 5

1

1

c) 8(8 3 ) " 8

1 3 1

4

" 8 3 " ™ 84 " ( ™ 8 )4 " 24 " 16. 3

1 1

3

d) ™ 64 " (64) 6 " (64 2 ) 3 " ™ ™ 64 " ™ 8 " 2. 6

Ejemplo 7

3

3

Aguas termales La fórmula P " Tm4 T4)(Aeσ) te permite conocer la cantidad P(en Watts) —o velocidad, en Joules por segundo— con que un cuerpo irradia calor. (e es la emisividad del material —entre 0 y 1—; σ " constante " 5.67(10–8); A " área superficial del cuerpo; Tm , T, temperaturas del medio y el cuerpo en grados Kelvin: K " 273 °C).

m

™ xm " ­x½

Fíjate en lo siguiente... Ejemplo 5 b) x3 " (x)3 (en cambio x2 | (x)2 " x2).

Para la piel humana e "

0.7.

Te introduces en aguas termales cuya temperatura es de 45 °C. Si tu cuerpo se halla a 37 °C, y 90% de tu piel entra en o con el agua,

c) Puedes iniciar interpretando la potencia 6.

a) ¿Cuánto calor absorbes de las aguas termales y con qué velocidad?

Ejemplo 6

b) ¿Qué temperatura tiene el agua de la alberca en la que al final te refrescas, si al sumergirte tienes 38 °C y pierdes 100 joules de calor cada segundo?

c) Es más simple calcular (™ 8 )4 que ™ 84 . 3

3

d) En raíces que son exponentes fraccionarios usa propiedades de exponentes y fracciones. Comprueba con una calculadora científica.

Solución a) En promedio posees 2 m2 de piel. De ésta, 0.9(2) " 1.8 m2 tocan el agua. Sustituyendo: P " (3184 3104)(1.8)(0.7)(5.67)(10–8) ~ 70.8 W " 70.8 J/s. b) Se despeja Tm y sustituyes valores: Tm " ™ T 4 P(Aeσ)1 4

Tm " ™ (311)4 (100)[(1.8)(5.67)(108)]1 " 298.7 K " 25.7 °C. 4

Grupo Editorial Patria® 193

Ejercicios. Sección 1 En los ejercicios 1 a 5, clasifica cada afirmación como falsa o verdadera

Sugerencias para los ejercicios de la Sección 1

1

1. (5)2 " 52

2. (250)(7)(7–1) " 1

3. (16)(16 4 ) " 32 5. 42 43 " 45

4. La raíz es el factor que se repite en una potencia.

En los ejercicios 6 a 13, obtén el resultado de cada operación. 6. 2



1.4 2

7. 2™ 2

10. (™ 5 )2

11. ™ (33)(56) 3

© 3¹ 8. ª º « 4»

5. ¿Existe alguna propiedad para sumas? 6 y 7. Interpreta el exponente negativo. En el ejercicio 7 usa el resultado del ejemplo 1c).

0

9. ™ 81 4

12. 5x2(x 3)

3. Escribe 16 como (–1)(16).

13. –x(x x2 – 5x3)

9. Escribe ™ 81 " ™ ™ 81 . Justifica la igualdad. 4

En los ejercicios 14 a 17, simplifica cada expresión. 14. 3(65)(9)–2 16.

1.73(10)3(10)6 10,000,000

15. 100(10–8)–1

11. Interpreta con exponentes fraccionarios.

3x3y2 x2y

12 y 13. Aplica propiedades distributiva y de exponentes en productos.

17.

Ejercicios 18 a 21. ¿Cuáles igualdades son verdaderas y cuáles no? 2

©2¹ ©3¹ 18. ª º " ª º «3» «2»

2

x2 x2x3 x5 " 20. " 5x3 5 5

3

© 5a ¹ © b ¹ 1 19. ª º " "ª º 3 « b » « 5a » © 5a ¹ ª º « b »

3

21. ™ 3 4 = ™ 3 ™ 4 . 2

2

2

2

1

3

3

1

2

26. 2 " (2) 2 " ™ (2)2 " ™ 4 " 2.

™ ™a n m

23. Revisa la observación 1, margen izquierdo.

25. (x3)2 " (x3)(x3) " (x)6 " x6.

En los ejercicios 26 a 29, identifica el error en el razonamiento presentado.

28.

21. Revisa la sugerencia para el ejercicio 5.

26 a 29. Revisa en el margen: Potencia de una raíz real y raíz de potencia n " m.

23. x3 " x 1 " ™ x3

24. ™ x " x 3

15 y 16. Emplea potencias de 10.

2

En los ejercicios 22 a 25 clasifica como falsa o verdadera cada igualdad. 22. ™ x " x 2

14. Escribe 6 " 3(2), 9 " 3(3); usa potencia de productos y exponentes en productos.

Ejercicios adicionales

2

27. ™ (3)2 " (3) 2 " 3.

1. Calcula:

nm

| ™a .

29. Como (–5)2 " 52 entonces ™ (5)2 " ™ 52 . Nulificando la raíz y la potencia por ser operaciones inversas, se tiene 5 " 5. 30. Pelotas de tenis Los recipientes para venta contienen tres pelotas de tenis de 6.6 cm de diámetro. a) ¿Qué parte del volumen interior del recipiente ocupa cada pelota? b) ¿A cuántas pelotas de tenis equivale el espacio vacío del recipiente? c) Generaliza para un diámetro igual a 2r. (Resuelve con propiedades de exponentes.)

© 2 ¹ a) ª º «™ 3 »

2

b)

2 ™3

™3 ™3

2. ¿Son iguales las siguientes expresiones? 1

a) y " x 2

b) y " x ™ x

c) y " x1.5

194

Determinantes de sistemas lineales 2 w 2

2

Sección Observaciones importantes

Determinantes de sistemas lineales 2 w 2 Con cada par de ecuaciones lineales se asocian tres arreglos numéricos llamados determinantes, que constan de renglones y columnas. El determinante del sistema (Δ) se forma con los coeficientes de x y y: Sistema

1. Para hallar los determinantes es necesario:

Determinante del sistema

a) Simplificar la ecuación.

3x 1y " 5

b) Aislar en un lado el término constante.

4x 2y " 8

2. Determinante de 2 w 2 significa que tiene dos renglones y dos columnas.

Valor de un determinante 2 w 2

|a |d

c b

| " ab dc |

Δx "

|5 |8

1 2

|5 |8

1 2

| " 2 se obtuvo así: |

Δx "

Δ"

|3 |4

| 2 | 1

| " 3(2) 4(1) = 2; 2 | 1

Δy "

|3 |4

5 8

| |

Δx "

|5 |8

| " 2; 2 | 1

Δy "

|3 |4

5 8

|"4 |

Dividiendo el determinante de cada variable entre el determinante del sistema, obtienes la solución de éste. Δx 2 Δy 4 " " 1; y " " " 2. En este caso la solución es (1, 2) ya que x " Δ 2 Δ 2 Esta técnica de resolución por determinantes se llama Regla de Cramer. Solución de un sistema por determinantes Si Δ | 0, la solución del sistema es:

Verifica tu avance

|3 |4

|5 |8

Cada uno de estos arreglos numéricos tiene un valor. Para obtenerlo resta al producto de la diagonal descendente el de la diagonal ascendente:

| " 5(2) 8(1) " 10 8 " 2 |

¿Cómo se calculó? Δy "

2

Este procedimiento es válido para todos los determinantes de 2 w 2.

Fíjate en lo siguiente... El valor de Δx "

| |

1

Sustituyendo aquí los coeficientes de x por la columna de términos constantes, se escribe el determinante de x. Análogamente para y.

Para escribir los determinantes Las ecuaciones del sistema deben estar escritas en la forma ax by " c.

|3 |4

Δ"

5 8

|"4 |

Ejemplo 1 Fíjate en lo siguiente... 1. Restar el producto de la segunda diagonal (ascendente) equivale a cambiarle el signo al producto que resulta en esta diagonal. 2. Revisa signos. Verifica siempre la solución.

x"

Ejemplo 1

Δx , Δ

y"

Δy Δ

Resolviendo un sistema por determinantes

Obtén por determinantes la solución del sistema

x y " 2 x 4y " 17

Solución Δ"

|1 | 1

Δy "

| | 1 1

| " 4 (1) = 5 4 |

1

2 17

| " 17 2 " 15 |

© 25 15 ¹ , º " (5, 3). La solución es ª « 5 5»

Δx "

| 2 | 17

1 4

| " 8 17 " 25 |

y 4 3 2 1 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 x −1

Grupo Editorial Patria® 195

Ejemplo 2

Ejemplo 2

Resolviendo un sistema por determinantes x 7y 6 " 0

Resuelve por determinantes:

y"

Recuerda

5x 15 2

5x 15 en la for1. Cómo reescribir y " 2 ma ax by " c:

Solución ax by " c:

Reescribe las ecuaciones en la forma

x 7y " 6

y"

5x 2y " 30 Δ"

|1 |5

| " 37 2 | 7

Δx "

|6 | 30

| " 222 2 | 7

y 4 3 2 1

La solución del sistema es © 222 0 ¹ , º " (6, 0). ª « 37 37 »

0 −1

1 2 3 4 5 6 7 8 x

5x 15 2

Ecuación original

2y " 5x 30

Multiplica por 2

5x 2y " 30

Aísla el término constante

Ejemplo 3 Fíjate en lo siguiente...

Ejemplo 3

Usando determinantes en un sistema con infinitas soluciones

Resuelve por determinantes:

15x 3y " 24 10x 2y " 16

Solución 3

| | " 30 30 " 0 | 10 2 | 15 24 | " 240 240 " 0 Δy " | | 10 16 | Δ"

15

Δx "

3

| | 16 24

2

1. Si todos los determinantes son cero, las ecuaciones son equivalentes, es decir, una puede transformarse en la otra multiplicándola por un factor. 2. Al eliminar ese factor los coeficientes coinciden y se evidencia que los determinantes darán cero:

| " 48 48 " 0 |

15x 3y " 24 {3 10x 2y " 16 {2

y 4

5x y " 8 5x y " 8

3 2 1

No es posible dividir entre cero.

−3 −2 −1 0 −1 −2

Si son cero todos los determinantes, hay infinitas soluciones.

1 2

3 x

|5 |5

1

|"| 8 1 | | 8

|"| 5 1 | | 5 1

8 8

|"0 |

0 se excluye 0 porque tiene infinitas soluciones:

3. Recuerda que la división

Ejemplo 4

Usando determinantes en un sistema sin solución

Resuelve por determinantes:

4x 2y " 5 2x y " 1

0 " 1, 4, 10, 2.5, 0.3, ... 0

Solución

| 4 2 | " 0 | 2 1 | 4 5 | Δy " | | 2 1 | " 14 Δ"

Δx "

|5 |1

NO es posible dividir entre cero. Si sólo es cero el determinante del sistema, éste NO tiene solución.

| " 7 1 |

Ejemplo 4

2

Recuerda y 4 3 2 1 −3 −2 −1 0 −1

1 2

3 x

a La división , cuando a es distinto de 0, no 0 12 no tiene sotiene solución. Por ejemplo, 0 lución porque ningún número multiplicado por 0 es igual a 12.

196

Determinantes de sistemas lineales 2 w 2

Ejemplo 5

Ejemplo 5

¿Es verdaderamente de 18 quilates de oro un collar con liga de plata que pesa 128 g y tiene un volumen de 8 cm3?

Fíjate en lo siguiente...

|19.3 10.5 | |1 1| 19.3 128 | Δy " | |1 8|

Δ"

x"

Δx "

|128 |8

10.5 1

Joyas genuinas y falsificaciones

| |

1 cm3 de oro pesa 19.3 g y de plata pesa 10.5 g

Solución El oro de 18 quilates tiene 75% de oro puro. El collar debe tener 0.75(128) " 96 g.

44 26.4 " 5; y " "3 8.8 8.8

Volumen de oro volumen de plata " volumen total xy"8

Ampliando el conocimiento 1. El oro de 24 quilates (1 k " 0.2 g) es 100% puro. El de 14 k tiene 58.3% de oro puro. 2. El oro se mezcla con otros metales para darle dureza y bajar su costo. También cambia su color: plata-verdoso; cobrerojizo, zinc y platino-blanco; hierro-azul.

Información histórica 1. Se dice que Arquímedes descubrió el principio de flotación al tratar de averiguar si era de oro puro una corona del rey de Siracusa. 2. Exclamó ¡eureka! (lo tengo) al entender que peso del agua desalojada " fuerza de flotación " volumen del cuerpo sumergido w peso específico del agua.

Ejemplo 6

| 1 1 | | 6 14 |

" 14 6;

Peso específico w volumen peso específico w volumen " peso total del oro de la plata Resolviendo por determinantes: Δ " 8; Δx " 210; Δy " 90. De aquí: x " 5, y " 3 (cm3). La cantidad de oro en el collar es 19.3(5) " 96.5 g. Éste es realmente de 18 quilates, e incluso, contiene 1/2 gramo más de oro.

Ejemplo 6

Rescate en alta mar

Cerca de las costas de Manzanillo, Colima, un temporal inesperado provoca que un buque pesquero comience a hundirse al golpear su casco contra unas rocas. Un guardacostas y un crucero, situados a 14 km y 6 km del sitio del percance, reciben la petición de auxilio y, aunque la velocidad del guardacostas superó en 15 nudos a la del crucero, coinciden al llegar al sitio del accidente. a) ¿A qué velocidad se desplazó cada nave? b) ¿Alcanzaron a rescatar a los tripulantes del buque, si éstos estaban a 2 m del agua sobre la cubierta, y el casco se hundía 4 cm cada minuto?

Solución

Fíjate en lo siguiente... Δ"

19.3x 10.5y " 128

Δx "

| 15 1 | | 0 14 |

" 210 0;

Δy "

|1 |6

15 0

| |

" 0 90

Ampliando el conocimiento 1. Para medir la velocidad de un barco antiguamente se contaban los nudos de una cuerda que al irla soltando arrastraba el barco en determinado tiempo. Su medida se uniformó. 2. En la actualidad, 1 nudo ~ 1.85 km/h y es útil por su relación con la latitud y la longitud en las cartas de navegación.

a)

t 12 x 5 y

v

d

x

14

y

6

Velocidades: x y " 15 14 6 Tiempos iguales: " x y

x y " 15 6x 14y " 0

Calculando determinantes: Δ " 8; Δx " 210; Δy " 90. De aquí: 210 90 " 26.25 nudos; y " " 11.25 nudos. Expresado en km/h: x" 8 8 x " (26.25)(1.85) " 48.56 km/h; y " (11.25)(1.85) " 20.81 km/h. 14 14 " h " 0.288 h ~ 17.28 min. x 48.56 En este tiempo el barco se hundió 17.28 w 4 cm = 69.12 cm ~ 70 cm. Los tripulantes estaban 1.30 m arriba del agua. El tiempo para el hundimiento del buque fue: d 200 " 50 min. Se tuvieron 32.72 min para el rescate. t" = v 4

b) El tiempo en llegar el auxilio fue:

Grupo Editorial Patria® 197

Sugerencias para los ejercicios de la Sección 2

Ejercicios. Sección 2 En los ejercicios 1 a 3, prepara las ecuaciones para utilizar determinantes. 1. y " 2x 11 x 3y " 19

2. 3x 5y " 12 x 3y 1 " 4

3. y " 4x 7 5x 1 y" 2

2. Multiplica la segunda ecuación por 4.

En los ejercicios 4 a 6, escribe el determinante del sistema y obtén su valor. 4. x 12y " 4.

5. –x + 3y " 19

3x 5y " 12

6. –5x 2y " 1

2x y " 11

4x y " 7

En los ejercicios 7 a 9, escribe el determinante de x y obtén su valor. 7. 5x 2y " 1

8. x 12y " 4

4x y " 7

9. x 3y " 19

3x 5y " 12

2x y " 11

|5 |4

1

| 7 |

11.

|2 | 1

11

| 19 |

12.

|1 | 3

4 12

| |

En los ejercicios 13 a 18, halla la solución del sistema usando determinantes. 13. x + y " 12 x 7y " 4 16. 3x 2y " 2

6x 4y " 1

14. x 5y " 10 2x 7y " 3 17. x 5y " 3x 2y 5 6x y 7 " 7x y 8

3. Multiplica la segunda ecuación por 2. 4 a 6. Utiliza los coeficientes de x y y. 7 a 9. En el determinante del sistema reemplaza los coeficientes de x por la columna de términos constantes.

|a |d

c

| |

" ab dc. b 13 a 16. Revisa los ejemplos 1 a 4. 10 a 12. Utiliza

17. Simplifica primero. Aísla las variables.

En los ejercicios 10 a 12, obtén el valor de cada determinante. 10.

1 a 3. Cambia a la forma ax by " c.

18. Multiplica la primera ecuación por 2 y la segunda por 4. Aísla las variables. 19. Asigna variables y usa determinantes. 20. Completa despejando t en d " vt:

15. 12x 10y " 2

t

v

d

6x 5y " 1

?

650

x

?

850

10x 1 18. y " 4 5 y " 2x 2

y

19. Coles y lechugas Si en un sembradío se duplica la cantidad de áreas sembradas de col y se triplica la de lechuga, la superficie total aumenta a 16 áreas, pero si se cuadruplica la cantidad de áreas sembradas de col y se disminuye a la mitad la de lechuga, la superficie baja a 7.5 áreas. ¿Cuántas áreas ocupa cada sembradío?

Gabriel Cramer 20. Vuelos comerciales Un avión A-318 sale de Mérida hacia México y vuela a 6,000 m de altura a una velocidad de 650 kph. Simultáneamente, un B-767 despega de la Ciudad de México hacia Mérida y vuela a 8,000 m con una velocidad de 850 kph. Si la distancia entre las dos ciudades es de 1,600 km, ¿En cuánto tiempo se cruzarán ambos aviones?

1704-1752 En 1750 en Suiza, su país de origen, Cramer dio a conocer la regla para resolver ecuaciones lineales mediante determinantes. Aunque ya existían variantes de esta técnica, su mérito consistió en usar una notación precisa que permitió su comprensión y uso. Esta regla se publicó en el apéndice de su obra Clasificación de las curvas algebraicas según el grado de la ecuación.

198

Polinomios

Sección

1

Apéndice

200

Apéndice

1.

Apéndice 1.

a) Los números primos son naturales que tienen sólo dos factores distintos: el mismo número y la unidad.

Recuerda

a) La palabra primo proviene del latín y significa “primero”. Con ellos se expresan los demás números naturales. b) La segunda afirmación es el Teorema Fundamental de la Aritmética. c) Factor y divisor son sinónimos. Los números que no son primos se denominan compuestos. d) No se requieren primos negativos porque todo entero negativo es el producto de un número natural n y –1: –n = (–1)n.

2.

Algunos números primos

Algunos números no primos

2 " 2 w 1, 5 " 5 w 1

1 " 1 w 1, 10 " 1 w 2 w 5

b) Todo número natural mayor que 1 se escribe en forma única como producto de primos: 10 " 2 w 5, 8 " 2 w 2 w 2, 20 " 2 w 2 w 5, etcétera.

2.

¿Cómo se averigua si un número es primo?

a) Identificándolos. Los primeros son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. b) Aplicando una prueba. Un número es primo si no lo divide ningún otro primo cuyo cuadrado es menor o igual al número. Ejemplo: El número 59 es primo. Ninguno de 2, 3, 5, 7, lo divide. Se prueba hasta el 7 porque 72 f 59. 39 no es primo. De 2, 3, 5, el 3 lo divide. Se prueba hasta el 5 porque 52 f 39.

Ampliando el conocimiento

Un método muy antiguo para encontrar números primos es la Criba (colador o cedazo) del matemático griego Eratóstenes. De una lista de naturales se eliminan el 1 y los múltiplos sucesivos de cada natural. Los números primos quedan sin tachar. 1

¿Por qué son importantes en aritmética los números primos?

2

3

4

5

6

7

8

3.

¿Cuáles son los criterios más comunes de divisibilidad con primos? Por 2 3 5

9 10

7

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 11

(Puedes iniciar con el cuadrado del número.) Un número es divisor de (o divide a) otro si el cociente es entero y el residuo es cero.

4.

Criterio Si el número es par Suma de cifras es múltiplo de 3 Termina en 0 o 5 Dividir entre 7 Suma cifras de lugar impar Suma cifras de lugar par " 0 o múltiplo de 11.

Ejemplos 4, 32 69 (6 9 " 15) 10, 115 315 { 7 " 45 297 (9 9 " 0) 968 (17 6 " 11)

¿Cómo se obtienen y cuántos son los divisores de un número?

a) Sus divisores. El número 1, los factores primos del número y sus productos.

3.

Observaciones importantes

A veces es mejor dividir entre 7 que usar el criterio de Divisibilidad entre 7 a) El doble de la última cifra se resta de las cifras a su izquierda. b) Repetir sucesivamente y verificar si en algún momento es 0 o múltiplo de 7. Ejemplo: 315 es divisible entre 7 ya que 31 5 w 2 10 10 21 Múltiplo de 7

231 11 21 7 3 3 1

A la derecha se escribe el divisor primo. A la izquierda los cocientes. Si éste es 1, acaba el proceso.

Divisores: 1; factores primos: 3, 7, 11; sus productos: 21, 33, 77, 231. b) Total de divisores. Ejemplo: 72 " 23 w 32. Por tanto, 72 tiene (3 1)(2 1) " 4 w 3 " 12 divisores. Si los factores primos del número N son N " p1a1 w p2a2 w ... w pnan, el total de divisores de N es: (a1 1)(a2 1) ... (an 1). Así, 231 " 111 w 71 w 31, tiene (1 1)(1 1)(1 1) " 2 w 2 w 2 " 8 divisores.

Grupo Editorial Patria® 201

5.

¿Qué son el mcm y el mcd de dos o más números?

a) El producto de los naturales por un número genera los múltiplos de éste. Múltiplos de 2

2 w 1, 2, 3, 4, 5, …

Múltiplos de 3

Múltiplos de 6

3 w 1, 2, 3, 4, 5, …

2, 4, 6, 8, 10, ….

6 w 1, 2, 3, 4, 5, …

3, 6, 9, 12, 15, …

b) Ocurre lo mismo con los divisores de algunos números. Por ejemplo, 6, 12 y 15 tienen al 3 como máximo común divisor (mcd ). Divisores de 6

Divisores de 12

Divisores de 15

1, 2, 3, 6

1, 2, 3, 4, 6, 12

1, 3, 5, 15

Ejemplo. Son primos relativos: 15 y 8,

7 y 16, 2 y 3.

b) El mcm (o mcd ) de dos números no es necesariamente el mismo cuando se agregan más números. (Se identifican los números escribiéndolos entre paréntesis.) mcm (4, 12) " 4; mcd (18, 24) " 6;

mcm (2, 4, 12) " 2 mcd (5, 18, 24) " 1

¿Cómo se obtienen el mcm y el mcd de dos o más números? 6.

Se descomponen simultáneamente en factores primos. El mcm es el producto de todos éstos; el mcd sólo de los comunes. Ejemplo. Obtener el mcm y el mcd de 18, 126 y 84. 18 126 9 63 9 9 3 3 1 1 1 1

7.

Recuerda

a) Cuando el mcd de dos números es 1, se llama a éstos primos relativos (aunque no sean números primos).

6, 12, 18, 24, 30, …

Algunos números comparten múltiplos. El menor de éstos se denomina mínimo común múltiplo (mcm). En el caso anterior, mcm = 6.

6.

5.

84 42 6 2 2 1

2 7 3 3 2

1. Se distinguen con

sólo los divisores comunes.

2. Se baja el número si no lo divide el factor primo. 3. Se termina con 1 en todas las columnas.

mcm " 2 w 7 w 3 w 3 w 2 " 252; mcd " 2 w 3 " 6

¿Para qué se usan el mcd y el mcm en las fracciones?

Para obtener fracciones equivalentes. Dos fracciones son equivalentes (") si: 1 2

a) Geométricamente: su gráfica es el mismo punto. 0 b) Aritméticamente: multiplicando por un factor los términos de una, obtienes la otra.

2 4

1

84 Ejemplo. Para simplificar hallas el mcd (84, 126) " 42 y divides cada término 126 2 entre 42 para obtener la fracción equivalente: . 3 5 7 1 hallas: mcm (3, 10, 2) " 30 y lo usas 3 10 2 como denominador de fracciones equivalentes: Ejemplo. Para sumar las fracciones

5 50 7 21 " ; " ; 3 30 10 30 5 7 1 50 21 15 56 " " . De esta forma: 3 10 2 30 30 30 30

a) Se escribe el factor primo en la columna de la derecha cuando divide a alguno de los números (no necesariamente a todos). b) Sólo se encierran en un círculo aquellos factores que dividen a todos los números

7.

1 15 " . 2 30

Recuerda

a) Simplificar una fracción significa escribirla en su forma más simple, es decir, sin factores comunes entre sus términos. (Es decir, escribirla como una fracción cuyos términos sean primos relativos.) b) Dividir entre 42 equivale a multiplicar por su recíproco: 1 42 84 { 42 2 84 " = " 1 126 { 42 3 126 126 w 42 84 w

1 1w2 2 " " . 2 2w2 4

Las fracciones equivalentes se usan para simplificar o sumar fracciones.

Fíjate en lo siguiente…

c) Las fracciones equivalentes se forman así: a na " ; n | 0. b nb d) Para sumar fracciones con denominadores distintos debes convertirlas a fracciones equivalentes con igual denominador. e)

50 21 15 50 21 15 56 28 " " . ; 30 30 30 30 30 15

f) 30 ÷ 3 " 10 es el factor con el cual 5 50 5 5 w 10 50 " . " , es decir: " 3 30 3 3 w 10 30

202

Apéndice

8.

8.

Recuerda

a) Suma de fracciones con igual denominador: a b c abc " d d d d 6 3 1 631 8 " Ejemplo: " 7 7 7 7 7 (Justificación: distribución del producto y definiciones de resta y división:

¿Cómo se suman fracciones con signo?

a) Adjudica el signo al numerador en las fracciones negativas: 3 1 3 1 " 5 2 5 2 b) Aplica las reglas comunes para la suma de fracciones: Suma fracciones equivalentes con un denominador común: 3 1 3 1 3(2) 1(5) 1 " mcm (5, 2) = 10; " " 10 10 5 2 5 2 10

6 3 1 1 1 1 "6w 3w 1w 7 7 7 7 7 7 1 " (6 3 1) 7 631 8 " . " 7 7

a) Adjudica el signo – al numerador en las fracciones negativas:

En la práctica omites los dos pasos iniciales.)

b) Aplica las reglas comunes para el producto de fracciones:

b)

1 1 1 " " 10 10 10

9.

3 1 3 1 w w " 5 2 5 2

Multiplica numeradores y multiplica denominadores:

c) Suma con denominadores distintos. Procedimiento abreviado (algoritmo). El denominador común se divide entre cada denominador original; su cociente se multiplica por el numerador respectivo.

3 1 3 1 3 w 1 3 w " " w " 5w2 10 5 2 5 2 5 4 5 3 15 c) Las divisiones conviértelas a productos: { " w " . 28 7 3 7 4 d) Potencias: 3

© 2 ¹ 2 2 2 (2)(2)(2) (2)3 8 w w " " ª º " " (5)3 5 5 5 5w5w5 125 « 5»

12 { 3 12 { 2 12 { 1 w w w

4(2) 6(1) 3(3) 2 1 3 5 " " 12 3 2 4 12

9.

División: procedimiento abreviado. En las divisiones multiplicas en cruz si no deseas escribir el recíproco. 5 4 15 " 28 7 3

¿Cómo se efectúan operaciones con fracciones y enteros?

a) Adjudica denominador 1 al entero y opera con las fracciones. Sumas: 3

2 3 2 5(3) 1(2) 13 " " " 5 1 5 5 5

Restas: 3

2 3 2 5(3) 1(2) 17 " " " 5 1 5 5 5

Productos y cocientes: (8) {

10. Recuerda Las restas son de izquierda a derecha.

CORRECTO

Eleva cada término por separado

10.

Recuerda

ERROR

¿Cómo se multiplican fracciones con signo?

10 3 7 3 " 2" 5 5 5 3 10 7 3 " 2" 5 5 5

5 3 8 3 24 w " " (8) w " 5 3 5 1 5

b) Algoritmo (procedimiento abreviado): suma de entero y fracción: w2

3 10 3 13 " " 5 5 5

w2

3 10 3 7 " " 5 5 5

c) Procede igual con el entero a la derecha; en restas conserva el orden.

Grupo Editorial Patria® 203

11.

¿Qué son las fracciones mixtas y cuál es su utilidad?

a) La suma de un entero y una fracción se abrevia con una fracción mixta. Suma 1 5 2

Abreviatura 1 5 2

Para convertir una fracción mixta a fracción común efectúas la suma:

5

1 1 11 "5 " 2 2 2

Fracciones con numerador mayor que el denominador son impropias. Para convertir una fracción impropia a fracción mixta efectúas la división:

5 11 1 = 2 11 " 5 2 2 1

b) Las fracciones mixtas son útiles por su economía al comunicar algunos resultados prácticos, como los siguientes: “Tres horas y media de viaje” 1 3 h 2

“Diez toneladas y cuarto de peso” 1 10 ton 4

También son útiles para graficar puntos, pues evitan muchas subdivisiones (se sitúa el entero y después la fracción). 26 2 "8 2 3

12.

8

2 3

8

9

¿Cómo expresar racionales como cocientes de enteros? 25 o El número completo quitando el punto decimal 100 o Un 1 con tantos 0’s como cifras decimales hay

4.83 "

1.236 "

Número completo sin punto decimal número sin periodo 9’s por cifras del periodo y 0’s por cifras del anteperiodo

1,236 12 1,224 68 " " 990 55 990

3.506 "

3,506 350 3,156 263 " " 900 75 900

5.72 "

572 5 567 63 " " 99 11 99

0.1 "

10 1 " 9 9

0.06 "

6 1 60 " " 90 15 90

0.6 "

60 6 2 " " 9 3 9

1.9 "

19 1 18 2 " " 9 1 9

0.249 "

249 24 225 1 " " 900 4 900

1 1 10 1 11 " "5 " 2 2 2 2

b) Las fracciones propias son menores que 1 y las impropias, mayores que 1. Fracciones propias 1 , 2

5 , 8

Fracciones impropias

12 25

8 , 7

5 , 3

11 2

Lo anterior depende de si el numerador es menor o mayor que el denominador (con ambos números positivos).

11.

Fíjate en lo siguiente…

a) El término fracción denota comúnmente una fracción propia (menor que 1). b) El término fracción común alude indistintamente a una fracción propia o impropia.

d) Las fracciones mixtas negativas son la suma de un entero negativo y una fracción negativa: 4

© 1¹ 1 1 " 4 ª º " 4 3 3 « 3»

12. Recuerda

Caso 2. Racionales periódicos 483 48 o 90 o

a) 5

Recuerda

c) El término fracción mixta alude a la suma de un entero y una fracción (propia).

Caso 1. Racionales exactos 0.25 =

11.

a) Anteperiodo: cifras entre el punto decimal y el periodo: 1.031, 0.436, 9.0254 b) Si el periodo está formado por ceros (como en 0.25 " 0.25000…) se dice que: – No existe periodo (de cifras significativas) – El número es exacto, o – El periodo es de 9’s (0.25 " 0.24999...) c) El proceso inverso (pasar una fracción común a decimal) es muy simple: divide. 1 " 0.25 4

8 " 1.6 5

5 " 0.83 6

204

Apéndice

13. Fíjate en lo siguiente…

13.

1. De notación decimal a escritura común.

Es una forma abreviada de escribir números pequeños o muy grandes (que tienen largas colas de ceros), mediante potencias de 10. La convención que se sigue es:

El exponente indica cuántos lugares mueves el punto decimal: a la derecha si es positivo, a la izquierda si es negativo. (Agregas ceros en caso necesario.)

¿Qué es la NOTACIÓN CIENTÍFICA y para qué se utiliza?

Notación científica El factor de la potencia de 10 debe ser un número entre 1 y 10.

4.35 w 10 5 " 435000 a) 435,000 " 435 w 1,000 " 4.35 w 100,000 " 4.35 w 105

¯² ° ²±

2.5 w 10 5 " 0.000025

Ejemplos:

¯ ² ² ² ° ² ² ² ±

Cinco lugares a la DERECHA

Cinco lugares a la IZQUIERDA Notación NO científica

Para pasar un número a notación científica: a) Sitúa el punto decimal de modo que obtengas un número entre 1 y 10. b) Cuenta cuántos lugares quedaron a la derecha o izquierda del punto decimal. Usa ese número como exponente (positivo o negativo, respectivamente). 435000 " 4.35000 " 4.35 w 105

Notación NO científica

Notación científica

Además de abreviar la escritura, esta notación es útil para realizar cálculos, pues las potencias de 10 se simplifican utilizando propiedades de los exponentes. Ejemplos: a) (1.3 w 105)(5.2 w 102) " (1.3 w 5.2)(105 2) " 6.76 w 103

Quedan CINCO lugares a la derecha

0.000025 " 00002.5 " 2.5 w 105

25 2.5 2.5 " " " 2.5 w 105 1’000,000 100,000 105

¯² ° ²±

b) 0.000025 "

¯ ² ² ° ² ² ±

2. De escritura común a notación científica.

Notación científica

b)

5 © 5 w 102 ª " 6 7.5 « 7.5 w 10

102 106

¹ º " 0.67 w 102 (6) " 0.67 w 108 »

Quedan CINCO lugares a la izquierda

14. Observaciones importantes 1. La clave de este proceso consiste en multiplicar y dividir el término no divisible, por el factor que extraes. 2. Esta técnica se emplea en geometría analítica para escribir ecuaciones ordinarias de parábolas. Conviene practicarla.

Revisa este otro ejemplo: 1 Extraer 7 como factor común en 7x . 3 7x

1(7) 1 1 " (7)(x ) " 7x 3(7) 3 21

14.

¿Es posible realizar factorizaciones con coeficientes no enteros?

Sí. La más simple y útil se refiere a la extracción de un factor común. Ejemplo: Extraer 4 como factor común en 4x 5. Es evidente que 4 y 5 no contienen factores comunes distintos a 1. ©4¹ Escribes 4x 5 " 4x 5 ª º . Ahora es posible factorizar el 4: «4» ©4¹ © 5¹ 4x 5 " 4x 5 ª º " 4 ªx º . 4» «4» « Observa que si multiplicas obtienes la expresión original, pues el divisor del 5 se cancela con el factor 4.

Grupo Editorial Patria® 205

15.

15. Observaciones importantes

¿Qué es la transposición de términos?

Transponer términos de un lado a otro de una ecuación es una forma abreviada de proceder escribiendo únicamente el resultado de aplicar operaciones inversas. Al escribir y justificar el proceso de resolución de 3x 24 " 18 se tiene: 3x 24 " 18 3x 24 24 " 18 24

Ecuación original Restas 24 en ambos lados

3x " 18 24

Suma de inversos igual a cero

3x " 6

Simplificas

3x 6 " 3 3

Divides ambos lados entre 3

x"

6 3

x " 2

Producto de recíprocos igual a 1 Simplificas

En el proceso abreviado de transposición se omiten los pasos anteriores marcados en azul. 3x 24 " 18

16.

Ecuación original

3x " 18 24

24 “pasa restando”

3x " 6

Simplificas

6 x" 3

3 “pasa dividiendo”

x " 2

Simplificas

3. Al usar estos procesos abreviados de transposición, hay que tener mucho cuidado al “mover” o “quitar” factores pues se afirma: un número que multiplica pasa dividiendo (y recíprocamente). Sí, siempre que se cuide lo siguiente: Supresión de factores o divisores Sólo puedes quitar un factor o divisor, si afecta a todos los términos donde se halla.

Correcto

Incorrecto

3(x 8) " 18

3x 24 " 18

x8"

No existe una forma única de resolver una ecuación. A veces hay varias alternativas. Seleccionar la más simple es una cuestión de criterio, experiencia y preferencia del solucionador. Por ejemplo: 2 x 4 " 6, puede iniciarse de tres maneras: 5

Sumando la fracción

Aislando x

Quitando el denominador

2x 20 "6 5

2 x"64 5

2x 20 " 30

Generalmente se usa la técnica que mejor se domina.

2. En realidad se omite la escritura de algunos pasos y con este lenguaje informal se describe el resultado de un proceso (de simplificación mediante operaciones inversas, que no se explicita).

(debe ser factor común a todos ellos)

¿Cómo debe iniciarse la resolución de una ecuación?

La resolución de

1. Cuando se transponen términos se dice que un término pasa al otro lado (como si se moviera o trasladara) escribiéndolo allí con la operación contraria (si suma, pasa restando; si divide, pasa multiplicando, etcétera).

18 3

x 24 "

18 3

206

Apéndice

17. Observaciones importantes 1. Como la fórmula contiene implícito el método de completar el trinomio, al usar ésta sólo quedan en realidad dos alternativas para resolver la ecuación: usar la fórmula o factorizar. 2. La expresión: “No conviene utilizar la fórmula”, significa que, para hallar las soluciones, es más simple o más rápido factorizar.

17.

¿Cuándo conviene factorizar y cuándo aplicar la fórmula cuadrática?

Por norma general conviene factorizar las ecuaciones incompletas y utilizar la fórmula en las ecuaciones completas (a menos que éstas sean fácilmente factorizables). Ejemplo. Conviene utilizar la fórmula: 5x 10x 8 " 0 0.32x2 2.1x 4 " 0 2

3 7 x2 x 0.25 " 0 4 5

18. Ampliando el conocimiento 1. Desde hace más de dos mil años los antiguos griegos descubrieron y estudiaron las cónicas. 2. En el siglo iv a.C., Menecmo introdujo estas curvas intentando solucionar el famoso problema de construcción geométrica de dividir un ángulo en tres partes iguales, sólo usando regla y compás. 3. El estudio de las propiedades de estas tres curvas se debe a otro matemático griego, Apolonio de Pérgamo (El Gran Geómetra), quien desde la época alejandrina (siglo iii a.C.) denominó a estas curvas con el nombre que actualmente poseen.

18.

x2 16x " 0 9x2 12.7 " 0

Porque es una curva que se obtiene al cortar un cono con un plano: Eje

Ejemplo: circunferencia Generatrices

Círculo

Dependiendo de la inclinación del plano respecto al eje del cono, pueden obtenerse las siguientes cónicas:

Plano paralelo a la generatriz

Apolonio de Pérgamo

x2 4x 5 " 0

¿Por qué se dice que la parábola es una cónica?

Parábola

Menecmo

Conviene factorizar:

Elipse Corta todas las generatrices

Hipérbola Corta ambos conos (o mantos)

(La circunferencia es un caso particular de la elipse, cuando el plano es perpendicular al eje.)

Grupo Editorial Patria® 207

19.

¿Cómo son las gráficas de las sucesiones aritméticas y geométricas?

a) Aritméticas Puntos sobre una línea recta. Valor inicial a0 en el eje y. Creciente d > 0

y 6 5 4 an 3 2 1

an = 1.5 + 0.5n

0

1

2

3

4

5

x

6

Decreciente d < 0

y 6 5 4 an 3 2 1 0

3. Para dibujar cada gráfica haz una tabla: an " 1.5 0.5n n 1

2

3

4

5

x

6

20.

0

an 1.5

1

2

3

4

5

6

7

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

n

an " 5 n

b) Geométricas Puntos de una curva exponencial. Valor inicial a0 en el eje y.

0

1. Para estas gráficas se consideró que los naturales inician en 0. Por esto el primer término es a0. 2. Para las sucesiones infinitas los puntos mostrados son una porción de la gráfica.

an = 5 − n

n

Creciente r > 1

y 8 7 6 5 an 4 3 2 1

19. Observaciones importantes

an = 0.25(2)

n

1 2 3 4 5 6 7 8 x n

y 8 7 6 5 an 4 3 2 1 0

Decreciente 0 < r < 1

n

0

1

2

3

4

5

an

5

4

3

2

1

0

an " 0.25(2)n

an = 8(0.5)n

n

0

an 0.25

1

2

3

4

5

0.5

1

2

4

8

an " 8(0.5)n 1 2 3 4 5 6 7 8 x n

n

0

1

2

3

an

8

4

2

1

4

5

0.5 0.25

6 0.125

¿Cómo son las gráficas de las variaciones directa e inversa? 20. Fíjate en lo siguiente…

a) Variación directa Rectas que pasan por el origen. Creciente k > 0 y y = 1.5x

Decreciente k < 0 y

4 3 2 1

−4 −3 −2 −1 −1 −2 −3 −4

y = −2x

1

2

3

4

x

1. En las gráficas de la izquierda se aprecia el comportamiento típico de las variaciones

4 3 2 1

−4 −3 −2 −1 −1 −2 −3 −4

Directas

aumenta x q aumenta y 1

2

3

4

x

xy = 1

Creciente k < 0 y

4 3 2 1

−4 −3 −2 −1 −1 −2 −3 −4

xy = −2

1

2

3

4

x

Directas

aumenta x q disminuye y

4 3 2 1

−4 −3 −2 −1 −1 −2 −3 −4

(al moverse de izquierda a derecha; o el opuesto, si es de derecha a izquierda). 2. No obstante, esto ocurre sólo si ambas variables son positivas, o negativas, ya que si tienen signos contrarios, como ocurre en las gráficas de la derecha, se cambian estos comportamientos:

b) Variación inversa Ramas de una hipérbola equilátera. Decreciente k > 0 y

Inversas

aumenta x q disminuye y

1

2

3

4

x

Inversas

aumenta x q aumenta y

3. En la mayoría de las aplicaciones prácticas las magnitudes y sus cantidades son positivas: los modelos se limitan al primer cuadrante de las gráficas de la izquierda. 4. En este caso, para la variación directa y la inversa, se tiene k # 0 (con x, y # 0).

208

Apéndice

Soluciones a ejercicios impares de autoevaluación para la Parte 1

210

Soluciones a ejercicios impares de autoevaluación para la Parte 1

AUTOEVALUACIÓN 1A 1. a) 2 7 3 w 2 " 2 (7 3) w 2 "24w2 "28

5"

4w44 4

6"

44 4 4

7"

44 4 4

8"4444 4 9"44 4

" 10. 1. b) 15 w 6 { 6 { 3

0"

" 15 w [6 { (6 { 3)] " 15 w [6 { 2]

4 4 4 4

(Prueba otras combinaciones)

" 15 w 3 " 45. 3. 0.1631 { 100

" 0.001631



~ 0.00.

AUTOEVALUACIÓN 1B 1. x 8.

1 " 0.333... " 0.3. 5. 3 7.

9.

3. 8a.

7 " 1.75 o también: 4 7 " 1.75000... " 1.750 o también: 4 7 " 1.74999... " 1.749 4 8 fracción impropia. 1

5. 2x. 1 a 7. a, o bien . 3 3 9. 3x. 11. b) 13. a) 15. 0

11. a)

5 7 6 2

17. 22 2(2)(2.5) 2.52

3

" 4 10 6.25 " 20.25.

4 9

1

8

Para obtener otras soluciones permuta los dos círculos interiores en cada lado. 11. b) Por ejemplo: 44 1" 44 4 4 2" 4 4 444 3" 4 4 " 4 4 w (4 4)

19. a) 2n. 19. b) 2n 1. 19. c) Por ejemplo, para n " 1, 2, 3, 4, 5, 6: 2n " 2, 4, 6, 8, 10, 12. 2n 1 " 3, 5, 7, 9, 11, 13. 21. x " velocidad de un auto ordinario. y " velocidad de un auto de carreras. x y " 590, o y x " 110, o y " 2x 130 (existen otras posibilidades).

Grupo Editorial Patria® 211

AUTOEVALUACIÓN 2A Inicial 1. Sí. Cualquier entero puede expresarse como un cociente de dos enteros. Ejemplo: 8 "

8 2 21. Representa como fracción común y 5 , y como fracción 3 3 decimal ™ 3 " 1.73 y 0.72.

8 16 64 32 " " " , etcétera. 1 2 8 4

−5

3. Sí, ya que puede expresarse como el cociente de dos enteros: 6.03 603 " . 2.7 270 5. Sí. Los números positivos menores que 1, son mayores que su cuadrado. Ejemplo: 0.5 # (0.5)2 ya que 0.5 # 0.25 2

1 ©1¹ 1 1 # ª º ya que # 4 «4» 4 16 (Fuera de este intervalo los números reales son menores o iguales que su cuadrado. Ejemplo: 02 " 0; 12 " 1; 22 # 2; (3)2 # 3.)

9.

11.

−10

−5

−1

0 1 −4

5

2

3

4

5

1.2

1.3

1.4

−10

6 7

8

1.6

1.7

1.8

1.9

2

−8

1.1

1.2

1.3

1.4

1.6

1.7 1.8 1.75

1.9

−4

15. |6| |5| " 6 5 " 1. 11 22 55 17. Por ejemplo: , , , etcétera. 1 2 5 4,706 2,353 4,753 47 " . " 990 495 990

−2

0

2

4

6

7 8

5.

−5

−4

−6 Forma 2 −3

−2

−1

0

1

2

3

4 4.5 5

1 (7) 8 " 1 7 8 " 2 −1

−8 Forma 2

2

7 (Ejercicio adicional: representa como fracción común, uti4 7 3 lizando " 1 .) 4 4

19. 4.753 "

−6

+7 Forma 1 1.5

2 8 ! ! ™ 3 ! 0.72. 3 3

−10 Forma 2

+4.5 Forma 1

2a. división en 10 partes 1

1

3. 6 (4.5) " 6 4.5 " 1.5

−6 1.5

0

7 10 " 3 +7 Forma 1

1a. división en 10 partes 1.1

−0.72

23. b) La parte sumergida es nueve veces mayor que la que sobre© 127 ¹ º m [es decir, nueve décimos del total]. Su longitud sale: 9 ª « 10 » se denota con un signo menos para indicar que esta porción del iceberg está dentro del agua: 9(12.7) m " 114.3 m.

1.

7 " 1.75. Como debes representar hasta centésimos, es nece13. 4 sario subdividir dos veces la escala inicial.

1

−1

−1.73

127 m " 12.7 m. Ésta es la 10 longitud de la parte del iceberg que sobresale de la superficie del océano y se considera positiva por estar arriba del agua.

7.3

−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1

−2

23. a) La décima parte de 127 m es

1

−7.3

−3

AUTOEVALUACIÓN 2A Intermedia 10

1 4

0

−4

2 3

Geométricamente se observa: 5

(x # x2 cuando 0 ! x ! 1).

7.

−5

−6

−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1

0

1

2 3 +7 −8 Forma 3

7. 8 (4 3) (1 22) " 8 (1) (21) " 8 1 21 " 9 21 " 12.

−1

4

5

6

7

212

Soluciones a ejercicios impares de autoevaluación para la Parte 1

9. 4 7 12 (1 3 10)

La primera condición la cumple tu equipo: tuvo tres saldos negativos únicamente (tercer mes, quinto mes y sexto mes). Sin embargo, sólo tuvo en total tres juegos a favor y no cumple la segunda condición. Tu equipo no califica para la final.

" 4 7 12 (6) " 4 7 12 6 " (4 7 6) 12

(Resuelve el problema sumando todos los juegos ganados y restando a éstos todos los juegos perdidos. Una de las dos condiciones no puede ser observada; ¿cuál de ellas es?)

" 17 12 " 5.

17.

© 1¹ 1 3(4) 1 12 1 11 " " . 11. 3 ª º " 3 " 4 4 4 4 « 4» 13.

a) Ciudad Espinaca adquirida (toneladas) ______________________________________________ México |0.72| |1.46| " |2.18| " 2.18

4 © 3¹ 1 ª º 5 « 2» 9

"

4 3 1 5 2 9

Guadalajara

|0.51| |0.82| " |1.33| " 1.33

Puebla

|0.45| |0.63| " |1.08| " 1.08

Monterrey

|0.41| |1.77| " |2.18| " 2.18

Querétaro |0.35| |1.70| " |2.05| " 2.05 ______________________________________________ Total de espinaca surtida: 8.82 _________________________________________________

©4 3¹ 1 "ª º «5 2» 9

b) Espinaca vendida:

© 2(4) 5(3) ¹ 1 "ª º 10 « » 9

(0.72) (0.51) (0.45) (0.41) (0.35) " 2.44 ton. Espinaca recuperada (retirada de los almacenes):

© 8 15 ¹ 1 "ª º « 10 » 9

(1.46) (0.82) (0.63) (1.77) (1.70) " 6.38 ton. Verificación:

"

23 1 10 9

"

23(9) 10(1) 90

"

207 10 90

"

197 . 90

8.82 2.44 adquirida vendida

6.38 " 0 retirada

AUTOEVALUACIÓN 2A Final 1. (7)(6) " 42. © 1 ¹ 10 " 2. 3. (10) ª º " «5» 5 5. (x)2 " (x)(x) " x2.

15. Sumando juegos ganados y perdidos en cada mes: Mes

1

2

3

4

5

6

7

Ganados

6

5

2

8

4

3

5

Perdidos

3

5

6

1

6

5

4

[6 (3)] [5 (5)] [2 (6)] [8 (1)] [4 (6)] [3 (5)] [5 (4)] "3047221

7. (1)3 " (1)(1)(1) " 1. 9. (1)(32) " 32. © 1¹ 6 11. (3)(2) ª º " " 3. 2 « 2» ¬ © 1¹ © 1¹ ¼ También: (3)(2)ª º " (3)­(2) ª º ½ " (3)(1) " 3. « 2» « 2» ¾ ®

" (3 7 1) (4 2 2)

13. (1)(x)5 " (1)(x5) " 1(x5) " x5.

" 11 (8)

15. 10 (2.4 3.8) " (10)(2.4) (10)(3.8)

" 11 8

" 24 38

" 3.

" 14.

Grupo Editorial Patria® 213

17.

T(0.25) " 4(22.5 15(0.25)) " 75

1 1 1 (1 x) " (1) x 2 2 2

T(1.5) " 4(22.5 15(1.5) " 0

1 x " . 2 2

T(2) " 4 (22.5 15(2)) " 30 Otros valores: T(0) " 90, T(1) " 30, T(1.6) " 6, T(2.5) " 60

©2¹ " 1 ª º " 2. 19. ©1¹ «1» ª º «2» 1

(Reescribe la tabla intercalando estos valores.)

AUTOEVALUACIÓN 2B Inicial

© 2¹ ª º « 5» © 2¹ ©1¹ 2 " ª º ª º " . 21. 3 15 « 5» «3»

1 1. a) ; 1 es la cuarta parte de 4. 4

© 1¹ © 1¹ © 1¹ 1 23. ª º " ª º ª º " . « 2» « 2» « 2» 4

1. b)

1 25 " 0.25 " " 25%. 1 es 25% de 4. 4 100

4 (5)(7) 4 35 4 39 39 " " " . 25. 5 " 7 7 7 7 7

3. a)

29.25 " 4.5; 29.25 es cuatro veces y media 6.5. 6.5

27. x x 2x " 1x 1x 2x " x(1 1 2) " 4x.

3. b)

29.25 450 " 4.5 " " 450%; 29.25 es 450% de 6.5. 6.5 100

2

29. 2x2 x 4x2 3x 6 5.

" (2x2 4x2) (x 3x) 6 " x2 (2 4) x(1 3) 6 " 6x2 4x 6. 31. a) 5 (4 7)

7. La tasa de depreciación del equipo es: b) 4 3 1 9 también 4 3 1 9

" 5 4 7

"4319

"4319

" (5 7) 4

"449

"449

" 12 4

" 4 (5)

"9

" 8

"9



1

4

4 x−1

x+1

Área rectángulo mayor: 4 (x 1) "4x 4(1)

1

Área rectángulo mediano: 4(x 1) "4x 4(1) Área rect. mayor

Área rect. Área rect. mediano menor

35. a)

Área rect. menor

35. b) 1.5 toneladas

(250 kg "

0.25 75

1.5 0

12 " 4. 3

11. Tasa de crecimiento:

4 x

4.5 : $4,500 cada año. 1

9. Razón: x

4

45 : $45,000 cada 10 años; o bien: 10

9 : $9,000 cada 2 años; o bien: 2

b)

33. a)

x (ton) T(x)

7 cm 3.5 cm " . La planta crece a un ritmo (o tasa) de 7 cm 2 días 1 día cada 2 días o, equivalentemente, 3.5 cm cada día.

2 30

250 ton " 0.25 ton) 1,000

0.12 cm3 0.02 cm3 ; o bien: . 6 meses 1 mes

13.

1 x 48 " ; 48(1) " 6x; " x; x " 8. 6 48 6

15.

12 1 " ; (12)(4) " x(1); 48 " x. 4 x

17. a) 2 w 15 " 3 w 10 2 10 15 10 " ; " 3 15 3 2 3 15 3 2 " ; " . 2 10 15 10 17. b) Intercambio de medios o extremos. Igualdad de recíprocos.

214

Soluciones a ejercicios impares de autoevaluación para la Parte 1

19.

AUTOEVALUACIÓN 2B Final Tipo de oferta

2w1

3w2

4w3

5w4

1. a) Modelo de variación directa. b) y " 2.54x.

Costo respecto al precio normal

1 " 0.5 2

2 " 0.6 3

3 " 0.75 4

4 " 0.8 5

" 50%

~ 66.67%

" 75%

~ 80%

x (pulg)

1

2

3

5

10

y (cm)

2.54

5.08

7.62

12.7

25.4

3. a) Modelo de variación inversa. Descuento aplicado

50%

33.33%

25%

20%

Convienen más al almacén las ofertas con mayor número de artículos. 21. a)

G 97 60 " ~ 0.6 " " 60% J 162 100

b) y "

30 . x

x (h)

1

2

3

5

10

y (cm)

30

15

10

6

3

5. a) Variación inversa: a mayor número de días, hay menor cantidad de flores no marchitas.

Porcentaje de juegos ganados.

5. b) Proporción cruzada:

P 65 67 " ~ 0.67 " " 67% G 97 100

Proporción cruzada:

Porcentaje de juegos perdidos respecto a juegos ganados. T 5,651 351 " ~ 3.51 " " 351% H 1,608 100 Cuántas veces fue mayor el número de turnos al bate, que el número de hits alcanzados por el equipo. H 1,608 28 " ~ 0.28 " " 28% T 5,651 100 Cuánto representa el total de hits, respecto del número de veces que bateó el equipo (efectividad de bateo).

H 1,608 " ~ 0.280 T 5,651 La cantidad promedio de hits producidos por jugador se halla con el cociente: Total de hits 1,608 hits 41 hits " ~ . Total de jugadores 39 jugadores 1 jugador

2 18

7. b) Proporción cruzada:

35 turnos 0.9 turnos ~ 39 jugadores 1 jugador

4 9

a 15 15 w 40 " 10. " . De aquí a " 40 60 60

15 50 15 w 40 " 12. " . De aquí b " b 40 50

Grado del bloqueador

10

15

50

% absorción rayos UV

60

40

12

9. No es variación directa porque los cocientes en las columnas son distintos 17 48 | 1,300 5,000 No es variación inversa porque los productos en las columnas son distintos: 1300 w 17 ≠ 5,000 w 48. 11. a) Como

0.304 1.52 " , existe variación directa. 1 5

Modelo de conversión: Por jugador:

3 12

7. a) Variación inversa: conforme aumenta el grado de protección del bloqueador solar, hay menor absorción de rayos ultravioletas (UV) a través de la piel.

21. c) Turnos al bate: 5,651 turnos 35 turnos Por juego: ~ 162 juegos 1 juego

2 b 2 w 18 " . De aquí b " " 4. 9 18 9

Días Flores no marchitas

Proporción cruzada: 21. b) El promedio de bateo del equipo se determina mediante el cociente del total de hits producidos, respecto al número de turnos al bate:

2 3 2 w 18 " . De aquí a " " 12. a 18 3

11. b) Como

y " 0.304, o bien, y " 0.304 x. x

3.785 1.892 ~ , existe variación directa. 1 0.5

Grupo Editorial Patria® 215 Modelo de conversión (de x galones a y litros): y " 3.785, o bien, y " 3.785x. x 13. P " Producción total

7. a) an " a1 d(n 1) an " 7 3(n 1) 7. b) a1 " 7 3(1 1) " 7 0 " 7

R1 " Rapidez del primer equipo

a2 " 7 3(2 1) " 7 3 " 10

R2 " Rapidez del segundo equipo

a3 " 7 3(3 1) " 7 6 " 13

R " R1 R2 (rapidez conjunta)

a4 " 7 3(4 1) " 7 9 " 16

R1 "

P 1.5

La suma de estos cuatro términos es:

R2 "

P 1

s4 "

R"

P P 2.5 P " 1.5 1 1.5

(7 16)4 " 23(2) " 46. 2

9. a) an " a1 d(n 1)

Producción

2.5

1

Tiempo

1.5

t

an " 10 2(n 1) 9. b) a1 " 10 2(1 1) " 10 a2 " 10 2(2 1) " 12

2.5 1 1(1.5) " ;t" " 0.6 horas 1.5 t 2.5

a3 " 10 2(3 1) " 14

(Es decir, 0.6 w 60 " 36 minutos.)

a4 " 10 2(4 1) " 16

Forma abreviada:

La suma de estos cuatro términos es:

P P 2.5 Suma de rapideces: " P. 1.5 1 1.5

s4 "

1.5 Tiempo trabajando simultáneamente: horas " 0.6 horas " 2.5 36 minutos.

AUTOEVALUACIÓN 3A 1. No es aritmética. Las diferencias no son todas iguales: 5

9

13

4

4

21

4 3

9 5

16 7

5. Reemplaza los valores n " 1, 2, 3, 4, 5, en an " 3n 2: a1 " 3(1) 2 " 3 2 " 5 a2 " 3(2) 2 " 6 2 " 8 a3 " 3(3) 2 " 9 2 " 11 a4 " 3(4) 2 " 12 2 " 14 a5 " 3(5) 2 " 15 2 " 17

11. a) Siendo aritmética la sucesión, d " 22 13 " 9. Como a2 " a1 9 se tiene 13 " a1 9 y de aquí a1 " 13 9 " 4. El término n-ésimo de esta sucesión es an " 4 9(n 1). 11. b) Sólo falta: a4 " 4 9(3) " 31. La suma de estos cuatro tér(4 31)4 " (35)(2) " 70. minos es s4 " 2 13. S100 "

8

3. No es aritmética. Las diferencias no se mantienen iguales: 1

(10 16)4 " 26(2) " 52. 2

(2 100)50 " (102)(25) " 2,550. 2

(n " 50 ya que del 2 al 100 hay 50 números pares). También, utilizando el primer término (2) y d " 2: S100 "

(2(2) 49(2))50 2(51)(50) " " 2,550. 2 2

14. Obteniendo el primer término y el último, con an " 2n 1: a1 " 2(1) 1 " 1; a30 " 2(30) 1 " 59 S30 "

(1 (59))30 2

15. a) an " 5 0.65n.

" (30)(30) " 900.

216

Soluciones a ejercicios impares de autoevaluación para la Parte 1

15. b) n " minutos adicionales

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

an " costo total ($)

5

5.65

6.30

6.95

7.60

8.25

8.90

9.55

10.20

10.85

11.50

(1 1)1 2 (1 2)2 3 " 1 2 " S2 " 2 (1 3)3 6 " 1 2 3 " S3 " 2 (1 4)4 " 10, etcétera. 10 " 1 2 3 4 " S4 " 2

17. a) 1 " 1 " S1 "

9 3 9 3 90 { " " " 50 10 150 15 5 27 9 50(27) 3 27 " { " " 250 50 250(9) 5(9) 5

a1 " 6, a2 " 6, a3 " 6, a4 " 6, a5 " 6.

4 " 1 3 " S1 S2

7. an " 1.5(2)n

9 " 3 6 " S2 S3

a1 " 1.5(2) " 3

16 " 6 10 " S3 S4, etcétera.

a2 " 1.5(2)2 " 6

17. c) Número triangular n-ésimo: (1 n)n n(n 1) " Sn " 1 2 ... n " 2 2 Número cuadrado n-ésimo: Cn " Sn1 Sn. El número

por el siguiente

n(n 1) Entre 2 El número por el siguiente

Observa que: Sn "

Por tanto: Sn1 " De aquí: Cn "

3 1 6 3 { " " 10 2 10 5

5. an " 6(1)n

17. b) 1 " 1 " S1



Comprobación:

(n 1)(n) 2

(n 1)(n) 2

Entre

a4 " 1.5(2)4 " 24 a5 " 1.5(2)5 " 48. n 1

9. a) an " a1 r

© 3¹ " ª º « 2»

© 3¹ a7 " 2 ª º « 2»

71

n1

6

© 3¹ © 729 ¹ 729 729 . " 2 ª º " 2 ª 6 º " " 5 2 32 « 2» « 2 »

0

n(n 1) n " (n 1 n 1) " 2 2

n (2n) " n2. 2

a3 " 1.5(2)3 " 12

© 3¹ 9. b) a1 " ª º " 2(1) " 2. « 2» 1

© 3¹ © 3¹ a2 " ª º " 2ª º " 3. « 2» « 2» 2

AUTOEVALUACIÓN 3B 1. No es geométrica. Los cocientes no son iguales. 2

4 2

6 1.5

8... 1.3

3. Si es geométrica. Los cocientes se mantienen iguales. 1 2

3 10 3 5

9 50 3 5

27 ... 250 3 5

© 3¹ ©9¹ 9 a3 " ª º " 2ª º " " 4.5. 2 « 2» «4» 3

© 3¹ © 27¹ 27 a4 " ª º " 2ª º " " . « 2» « 8» 4 4

© 3¹ © 81 ¹ 81 81 " 10.125. a5 " ª º " 2ª 4 º " 3 " 2 2 8 « » « » 2 11. Suma directa: 8 8 8 8 " 32 Con fórmula: no es posible utilizar la fórmula pues r " 1 y se obtendría cero como divisor. Observación: para evitar este problema, las sucesiones con r " 1 no se consideran geométricas. (De igual modo, no se consideran aritméticas las sucesiones con d " 0.)

Grupo Editorial Patria® 217 13. Suma directa: 4 8 16 32 " 20

19. a)

Con fórmula: obtenemos primero r "

Etapa Lados

8 16 32 " " " 4 8 16

©9¹ ª º « 10 »

1

an " 4(2

n 3(2n 1)

... ...

3

8 1

4(2 )

4

16

32

2

3

4(2 )

...

n

...

4(2n 1)

4(2 )

)

1

AUTOEVALUACIÓN 4A 1. Suma de términos axn donde a son números reales y los exponentes n son enteros no negativos. 3. a) 4, 1, 10

©9¹ ª º « 10 »

1 .) 10

9 w10 9 9 1 { " " 2 2 10 10 9 w 10 10

17. b) an " 3(0.1)

Aquí r " 0.1. Como |r| " 0.1 ! 1, podemos usar la fórmula. El primer término a1 " 3(0.1) " 0.3. 1

0.3 1 0.3 " " . Sh " 1 0.1 0.9 3 Algunos términos de la serie: 1 3 3 3 ..."0.333 ..." . 3 10 100 1,000

17. c) an " 27(0.01)n Aquí r " 0.01. Se aplica la fórmula pues |r| " 0.01 ! 1. a1 " 27(0.01)1 " 0.27 Sh "

4 24 3(23)

n1

n



4 4(2 )

9 9 9 2 3 ... " " " 1. 10 10 10 © 1¹ ©9¹ ª1 º ª º 10 » « 10 » «

(Observa que la razón r "



Lados

2 0

27 9 9 " " " . 4 © 1¹ ©4¹ 1 ª º ª º « 3» «3»

Se obtiene así:

1

€ 3 € " 3 < 1

Aplicamos la fórmula

17. a) 0.999... "

Etapa

3 1 1 3 " " " 9 3 3 1

Verificamos que | r | < 1; en este caso α1 " 1r

3 12 3(22)

19. b)

© 4 ¹ 4 4(15) º (1 (2)4) " (116) " " 20. S4 " ª 1 (2) 3 3 » «

Sn "

2 6 3(21)

an " 3(2n1)

© α ¹ Sn " ª 1 º (1rn) « 1r »

15. Obtenemos primero r "

1 3 3(20)

0.27 27 0.27 " " . 1 0.01 0.99 99

3. b) 1, 0, 6, 9 (0 corresponde a x2). Polinomio

Nombre

Coeficiente principal

Grado

a)

12x 1

Binomio

12

1

b)

1 4 x 3

Monomio

1 3

4

c) 9x2 4x 35

Trinomio

9

2

5.

7. El exponente en x3 es negativo. 9. (8x 7) (1 3x) " (8x 3x) (7 1) " 5x 8. 11. (x4 7) (x4 7) " (x4 x4) (7 7) " 0. 13. (0.2x2 18) 0.4x2 " 0.2x2 18. 15. (8x 7) (1 3x) " 8x 7 1 3x " 11x 6. 17. (x4 7) (x4 7) " x4 7 x4 7 " 2x4 14. 19. 0.4x2 (0.2x2 18) " 0.4x2 0.2x2 18 " 0.6x2 18. 21. 5x(x2 2x 9) " 5x(x2) 5x(2x) 5x(9) " 5x3 10x2 45x. 23. (x 1)(x 5) " x(x 5) 1(x 5) " x2 5x x 5 " x2 6x 5. 25. (18 x2)(x 2) " 18(x 2) x2(x 2) " 18x 36 x3 2x2 " x3 2x2 18x 36.

Algunos términos de la serie:

27. (x 5)3 " (x 5)(x 5)(x 5) " (x 5)[(x 5)(x 5)] " (x 5)(x2 10x 25) " x3 15x2 75x 125.

27 27 27 27 ..."0.272727 ..." . 99 100 10,000 1,000,000

29. (x 10)(x 10) " x(x 10) 10(x 10) " x2 10x 10x 100 " x2 100.

218

Soluciones a ejercicios impares de autoevaluación para la Parte 1

31. (2x2 1)(2x2 1) " 2x2(2x2 1) 1(2x2 1) " 4x 4 2x2 2x2 1 " 4x 4 1.

29. Forma 1: Área del rectángulo azul " área del rectángulo mayor área del rectángulo blanco: A " (x x 1)(x 3) x(x 3)

33. (x2 6x 15)(x2 x) " x (x x) 6x(x x) 15(x x)

" (x (x 1))(x 3) x(x 3)

" x x 6x 6x 15x 15x

" x(x 3) (x 1)(x 3) x(x 3)

" x 7x 9x 15x.

" (x 1)(x 3)

2

2

2

4

3

4

3

3

2

2

2

2

" x2 x(3 1) (1)(3)

AUTOEVALUACIÓN 4B Inicial

" x2 4x 3.

1. 15 w 18 " (10 5)(10 8) " 102 (8 5) 10 (5)(8)

Forma 2: Suma de las áreas de los cuatro rectángulos en azul:

" 100 130 40 " 270.

A " x(x) 1(x) 3(x) 1(3)

3. 24 w 26 " (20 4)(20 6) " 20 (4 6)20 (4)(6) 2

" 400 200 24 " 624. 2

" x2 4x 3.

31. Forma 1:

5. 72 " (70 2) " 70 2 (70)(2) 2 " 4900 280 4 2



2

2

" 5,184.

A " (x 1 4)(x 5) 1(x) 4(x) 4(5) [existen otras posibilidades]

7. (x 9)2 " x2 92 2(x)(9) " x2 81 18x " x2 18x 81.

" (x 5)(x 5) 5x 20

9. (2x 1) " (2x) 1 2(2x)(1) " 4x 1 4x

" (x 5)2 5x 20

2

2

2

2

" 4x2 4x 1.

" x2 2(5)x 25 5x 20

11. (x 4)3 " x3 43 3(x)(42) 3(x2)(4)

" x2 5x 5.

" x3 64 48x 12x2 " x3 12x2 48x 64. 13. (a b) " a 2ab b . 2

2

2

Forma 2: A " x(x) 5(x 1)

15. (a b) " [(1)(a b)] " (1) (a b) " (a b) 2

2

2

2

2

" a 2ab b . 2

2

17. (x 12) " [(1)(x 12)] " (1) (x 12) 2

2

2

2

" x2 5x 5. 33. Forma 1: A " x(x 1) 2x 1(x 1) [existen otras posibilidades]

" (x 12)2 " x2 24x 144.

" x2 x 2x x 1 " x2 2x 1.

También: (x 12)2 " [(x) 12]2 " (x)2 2(x)(12) 122

Forma 2: A " (x 1)(x 1)

" x 24x 144. 2

" (x 1)2

19. (3x 2)(3x 1) " (3x)2 3x(2 1) (2)(1)

" x2 2x 1.

" 9x 9x 2. 2

21. (x 9)(x 3) " x2 x(9 (3)) (9)(3) " x2 12x 27. 23.

(x ™ 5 ) (x ™ 5 ) " x

2

AUTOEVALUACIÓN 4B Final

2

(™ 5 ) " x2 5.

25. (x y 3)2 " [(x y) 3]2 " (x y)2 2(x y)(3) 32 " x2 y2 2xy 6x 6y 9. 27. (x 3y 8)2 " [x (3y 8)]2 " x2 2x(3y 8) (3y 8)2 " x2 6xy 16x (3y)2 2(3y)(8) 82 " x2 6xy 16x 9y2 48y 64 " x2 9y2 6xy 16x 48y 64. (También puedes desarrollar: [(x 3y) 8]2. Hazlo.)

1. 3x2. 3. 6y. 5. x2 6x 4. No es trinomio cuadrado perfecto: 2 Raíz

x 2(2x)

Doble producto es distinto de 6x

7. 5x2 x " x(5x 1).

Grupo Editorial Patria® 219 9. (2x2 x) (2x 1).

25. a)

x

x

x

1

1

" x(2x 1) (2x 1)(1) x

" (2x 1)(x 1). 11. 81x2 1 " (9x)2 12 " (9x 1)(9x 1).

1

13. (x 3)2 (x 3)2 " [(x 3) (x 3)][(x 3) (x 3)]

3x2 5x 2 " (3x 2)(x 1).

" (x 3 x 3)(x 3 x 3) " 6(2x) " 12x. 15. x2 10x 52 " (x 5)2. 1 2 1 x 3x 9 " ( x 3)2. 17. 4 2

25. b) x2 2x 15 " (x 5)(x 3)

x3

19. x2 24x 144 " x2 24x 122 " (x 12)2.

x5

21. A " A1 A2 " x(x 2) 1 (x 2) " (x 2)(x 1). 23. A " A1 A2 A3 " x(x 1) 2x 2 " x(x 1) 2(x 1) " (x 1)(x 2).

25. c) 8x2 14x 3 "

25. a) 2(4) 2(4) 2x(4) 2x(4) 2x(2x) " 16 16x 4x2. 25. b) 4x2 16x 16 " (2x)2 16x 42 " (2x 4)2 " (2x 4)(2x 4).



"

25. c) (2 2 2x)(4 2x) " (4 2x)(4 2x) " (4 2x)2.

(8x 12)(8x 2) 8 (8x 12) (8x 2) " 4 2

3. x2 15x 54 " (x 6)(x 9).

AUTOEVALUACIÓN 5B 1. 8x. 3.

7 . 10x

5.

4x2 8x 4x(x 2) " "2(x 2). 2x 2x

7.

12x4 16x3 60x2 4x2(3x2 4x 15) "x(3x2 4x 15). " 4x 4x

9.

81x2 16 (9x 4)(9x 4) "9x 4. " 9x 4 9x 4

5. x2 6x 16 " (x 8)(x 2). 7. 2x 25x 12 " (x 12)(2x 1). 2

9. 5x2 22x 24 " (5x 12)(x 2). 11. 3x2 20x 32 " (x 4)(3x 8). 13. 4x2 20x 24 " 4(x 2)(x 3). 15. 10x2 15x 10 " (2x 1)(x 1). 17. x2 9x 20 " (1)(x 4)(x 5).

11.

169x3 "13x2. 13x

13.

x2 5x x(x 5) " "x 5. x x

19. 10x2 6x 35x 21 " 10x2 41x 21 " (2x 7)(5x 3). 21. 2x3 4x2 2x " 2x(x 1)2. 23. (3x 1)2 x2 4x 4 " (3x 1)2 (x2 4x 4) " (3x 1)2 (x 2)2

15. Es irreducible. 17.

3x2 2x 1 (x 1)(3x 1) . Es irreducible. " x2 x2

19.

x2 10x2 25 (x 5)2 (x 5)(x 5) " . Es irreducible. " x5 x5 x5

" [(3x 1) (x 2)][(3x 1) (x 2)] " (3x 1 x 2)(3x 1 x 2) " (2x 1)(4x 3).

4x 1

" (2x 3)(4x 1).

AUTOEVALUACIÓN 5A 1. x2 9x 8 " (x 1)(x 8).

2x 3

220

Soluciones a ejercicios impares de autoevaluación para la Parte 1

21. a) Para x " 16: I " 0.02 (16 ) 10(16 ) 2,000(16) " 30,750.72. 4

2

Convirtiendo a pesos este resultado: I " 30,750.72 w 100 " $3’075,072.00



21. b) precio promedio p"

I 0.02x 10x 2,000x Ingreso . " " Libros vendidos x x 2

Convirtiendo a pesos: p "

2,335.36 " $233.54 cada libro. 10

AUTOEVALUACIÓN 5C 1. 2x2.

5x3 20x 5x(x2 4) 5x(x 2)(x 2) " " "5x (x 2). (x 2) x2 x2

x 7. x 1 | x 1 x3 x _______

x1 3 2 2 11. x 5x 1 | x 4x 4x 1 3 2 x 5x x _________________ x2 5x 1 x2 5x 1 ____________ 0

x2 2 19. 7x 2 | 7x 12x 4 7x2 2x ______________

14x 4 14x 4 _________ 0

Por tanto: 7x2 12x 4 " (7x 2)(x 2). 21. a) Antes de efectuar la división ambos polinomios deben escribirse en forma estándar. 2 3x 100 | 6x 1,000 6x 200 __________

Por tanto, E "



"

1,200 6x 1,000 " 2 3x 100 3x 100 1,200 2 3x 100

21. b) A 25 m de profundidad, la luminosidad existente es 1,200 2 ~ 4.86 cientos de luxes, es decir, E " 486 luxes. A 75 100 1,200 2 ~ 0.286 200 m de profundidad, la iluminación es 600 100 cientos de luxes. Por ser negativo este valor, la visibilidad es nula, es decir, E " 0 luxes. 6x 1,000 " 0 implica 6x 1,000 " 0, es decir, 3x 100 1,000 " 166.66. Más allá de 166.66 m de 6x " 1,000, x " 6 profundidad, la visibilidad es nula.

21. c) E "

x2 x 4 13. x2 x 1 | x 2 4 x x3 x2 ______________

x 12 x 3 ________ 15



1,200

20x 7







3x 9. 4x2 7 | 12x3 x 7 3 21x 12x ______________



10x 1 2 17. x 3 | 10x 29x 12 10x2 30x _______________

3

x1



13



3. 3x2 8x 2.

2



7x 6 7x 7 ________

2

21. c) p " 0.02x3 10x 2,000. Calculado para x " 32 se tiene: p " 0.02(323) 10(32) 2,000 " 655.36 320 2,000 " 2,335.36

5.

5 7 x 2 2 2 15. 2x 2 | 5x 2x 6 5x2 5x ___________

x3 x2 2 3 x2 x x____________ x2

21. d) 486 luxes " 486 × 1.1 W/m2 " 534.60 W/m2; es decir, cada metro cuadrado tiene una iluminación equivalente a casi 5.3 focos de 100 Watts de potencia. Para 0 luxes hay 0 Watts por m2, es decir, no existe iluminación.

Grupo Editorial Patria® 221

AUTOEVALUACIÓN 6A 1. x 7 " 3; x " 3 7 " 10. Comprobación: 10 7 " 3. 3.

x 2

" 51;

( 2)( x) 2

Comprobación:

" ( 2)(51); x " 102.

(102) 2

"

102 2

17. 0.09x 0.1 " 0.5 (x 12). Multiplica toda la ecuación por 100 para obtener coeficientes enteros: 610 . 9x 10 " 50(x 12); 9x 10 " 50x 600; 610 " 41x; x " 41 © 610 ¹ © 610 ¹ º 10 " 50 ª 12º ; Comprobación: 9 ª 41 41 » « » « © 118 ¹ 5,900 5,900 5,490 10 " 50 ª º; " . 41 41 « 41 » 41

" 51.

5. 7x 31 " 10; 7x " 10 31; 7x " 21; x "

21 7

" 3.

19.

Comprobación: 7(3) 31 " 21 31 " 10. 7. 6(x 2) " x 3; 6x 12 " x 3; 6x x " 12 3; 5x "15; 15 " 3. Comprobación: 6(3 2) " 3 3; 6(1) " 3 3. x" 5

21. S "

a Sa " r. ; S(1 r) " a; S Sr " a; S a " Sr; 1r S

23. S "

n n n (2a (n 1)d); S " (2a) (n 1) d; 2 2 2

9. x 3x 13 " 7(x 9); 4x 13 " 7x 63; 63 13 " 7x 4x;

S " na

© 50 ¹ © 50 ¹ 50 50 50 " 3x; x " . Comprobación: 3 ª º 13 " 7 ª 9º ; 3 3 «3» «3 » © 50 ¹ © 50 ¹ © 50 ¹ © 50 ¹ 50 50 3 ª º 13 " 7 ª º 63; 3 ª º 7 ª º " 13 3 3 «3» «3» «3» «3» 63;

11.

50 3(50) 7(50) 3

3

S

" 50; 50 " 50.

3 (12) 8 " 3(3) 8 " 1. 4

12x 18 " 10x; 12x 10x " 2x " 18;



x"

18 " 9. 2

Comprobación: x "

n S S (n 1) d n (n 1) d ;a" . (n 1) d " na; a " 2 n n 2n 2

Comprobación: 31 33 35 " 99. 27.

5 x " ; 5(x 6) " 30x; 5x 30 " 30x; 30 x6 30 " 30x 5x; 25x " 30; x " El lado x 6 " d

29. 4( 9) 6 2(9) 30 18 " ; " " 6. 5 3 5 3

©3¹ 6 25 5 " . 6 ª º x (x 1) " 24; 9x (x 1) " 24; 10x " 25; x " 6 10 2 «2» Comprobación: ¹ 15 1 © 3 ¹ 15 3 15 1 16 3 ©5¹ 1 ©5 ª º ª 1º " ª º" " " " 4. 2 «2» 6 «2 4 » 4 6 « 2 » 4 12 4 4

30 6 " . 25 5

6 36 6 " . 5 5 210 − d 35

42

3 1 15. x (x 1) " 4. Se multiplica la ecuación por 6 (m.c.m de 2 6 2 y 6) para eliminar denominadores:

99 6 93 " " 31. 3 3

Los otros dos números son: x 2 " 31 2 " 33; x 4 " 31 4 " 35.

4x 6 2x ; 3(4x 6) " 5(2x); " 5 3



n (n 1) d 2

25. x (x 2) (x 4) " 99; 3x 6 " 99; x "

©3¹ 3 3 36 x 8 " 1; x " 9; 4 ª º x " 9(4); 3x " 36; x " " 12. 4 4 3 «4» Comprobación:

13.

" 50;

3(50)

P1 P P d " 2 ; P1 d1 " P2 d2; d1 " 2 2 . d2 d1 P1

42d " 35(210 d); 42d " 7,350 35d; 77d " 7,350; 7,350 ~ 95.5 cm. d " 77 31.

3.5x 1,200 " x 300

Árbol N. Triste

Edad actual x

Tule

3.5x

2.5x " 1,500 x "

1,500 " 600 años. De aquí: 2.5

3.5x " 3.5(600) " 2,100 años.

222

Soluciones a ejercicios impares de autoevaluación para la Parte 1

33. x 0.24 " 0.15(x 2). Multiplica por 100 para eliminar decimales: 100x 24 " 15(x 2); 100x 24 " 15x 30; 85x " 6; 6 x " " 0.07 litros. 85 35. Si una parte de 10,000 es x, la otra parte será 10,000 x. 10%x 12%(10,000 x) " 1,140; 0.10x 0.12(10,000 x) " 1,140. Multiplicando por 100: 10x 12(10,000 x) " 114,000. Resolviendo: 10x 120,000 12x " 114,000; 6,000 " 3,000. Por tanto, 10,000 x " 10,000 3,000 " x " 2 7,000. Colocaste $3,000 a 10% y $7,000 a 12%. Comprobación: 10%(3,000) 12%(7,000) " 300 840 " $1,140. 37.

Valor

50

100

200

500

Cantidad

5x

x

x

2(5x)

Importe

5x(50)

100x

200x

2(5x)(500)

250x 100x 200x 5,000x " 499,500; 5,550x " 499,500; 499,500 " 90. x " 5,550

AUTOEVALUACIÓN 6B 1a. f(x) " x

1b.

x

0

1.5

2

3

2

f(x)

0

1.5

2

3

1 −2 −1

5x " 450 billetes de $50

39.

t

d

10

x

10x

8

x

8x

1

2

x

1c. m " 1,

3

6

x

b"0

1 3a. t(x) " x 9 2 x

0

1.5

2

t(x)

9

8.25

8

1 3c. m " , 2

y

3b.

9 6

3 10.50

3 −6 −3 0 −3

b"9

5. 9 " 0.5x 1; 0.5x " 9 1; x "

10 "20. 0.5

Comprobación algebraica: 0.5(20) 1 " 10 1 " 9 Comprobación geométrica: y " 0.5x 1

2(5x) " 900 billetes de $500. v

0 −1 −2

Solución al problema: x " 90 billetes de $100 y 90 billetes de $200.

y

y 3

900 m " 0.9 km

2 1

0.9 " 0.05 10x 8x " 0.9; 18x " 0.9; x " 18 Tardarán en encontrarse 0.05 horas " (0.05 w 60) minutos " 3 minutos. Comprobación: en 0.05 horas ustedes recorrieron d1 " 10(0.05) " 0.5 km " 500 m; el otro grupo recorrió en ese mismo tiempo d2 " 8(0.05) " 0.4 km " 400 m. Ambos grupos recorrieron d " 500 m 400 m " 900 m. 41. La distancia recorrida es la misma en ambos trayectos. Por tanto: 7 7 (20 x) " (20 x); 28(20 x) " 42(20 x); 6 4 560 28x " 840 42x; 70x " 280; x "

280 " 4. 70

Como x representa la velocidad de la corriente, ésta fue de km 4 en aguas tranquilas. h

−1

0 −1

1

2

3

4

5

x

−2 −3

6 7. y " 5x 6. Intersección-x: 0 " 5x 6; x " " 1.2. Intersec5 ción-y: y " 5(0) 6 " 6. y9 6 3 −6 −3 0

3

6

x

Grupo Editorial Patria® 223

9. 16x 5y " 20. Intersección-x: 16x 5(0) " 20; x "

20 " 1.25. 16

3. a) 4x y 1 " 0; y " 4x 1. Función lineal. 3. b)

y 2

20 Intersección-y: 16(0) 5y " 20; y " " 4. 5

1 y 4 −1

2 −4 −2 0 −2

2

4

x

−4

0

5. a) y " 7. Recta horizontal. y

5. b) −4 −2

0 −2

11. Descripciones I y III.

−4

13. a) y 5x " 0; y " 5x 0; m " 5; b " 0.

−6

13. b) La recta pasa por el origen y desciende a la derecha. Gráfica III. 3 3 x 3; m " ; b " 3. 15. a) 3x 2y 6 " 0; y " 2 2 15. b) La gráfica corta al eje y en 3 y desciende a la derecha. Gráfica I. 17. 239,980 233,500 6,480 enfermeras 2,160 enfermeras m" " " 3 años 1 año 2,007 2,004

19. b) La pendiente m " 0.02 expresada como razón, indica que m " 0.02 "

4

x

5 9 ; función lineal. x 2 2

7. a) 2y " 9x 5; y " 7. b)

y 2 1 −2 −1 0 −1

1

2

x

−2

9. a) 6x " 30; x "

30 ; x " 5. Recta vertical. 6

9. b)

2 cm Avance vertical " 100 cm Avance horizontal

y 4 2 −8 −6 −4 −2 0 −2

Es decir, el techo sube 2 cm por cada metro de avance horizontal (100 cm). 19. c) 3 m (cuando x " 0; intersección-y)

2

−8

Cada año el número de enfermeras aumentó, en promedio, en 2,160. 19. a) h(x) " 0.02x 3, h(4) " 0.02(4) 3 " 3.08 m " 3 m 8 cm.

x

x

−4

11. Gráfica IV. Las rectas coinciden. 13. Gráfica II. Se cortan en (2, 2).

AUTOEVALUACIÓN 7A 1. a) y " 6x 1. Función lineal. 1. b)

−6 −9

−2 0 −2 −6

3 −3

y 2

−4

y −6 −3 0

15.

−8 3

6 x

−10 −12 −14 −16 −18

2

4

6

8

10 x (4, −5)

224

Soluciones a ejercicios impares de autoevaluación para la Parte 1 5. b) 4x y " 22

17. a) Falso. No existe solución. 17. b) Falso. La solución es el punto donde concurren.

4x 8y " 20 7y " 42 42 " 6; de aquí, x " 2y 5 " 2(6) 5 " 7 y" 7

17. c) Verdadero. Las rectas coinciden en todos sus puntos si las ecuaciones son equivalentes. 19. a) x " cantidad de espectadores; y " monto ($) Costos: y " 5,000 15x; Ingresos: y " 70x. La inversión se recupera cuando el ingreso es igual al costo, es decir, cuando 70x " 5,000 15x. Resolviendo esta ecuación: 5,000 " 90.9 ~ 91 espectadores. 55x " 5,000; x " 55 19. b) Para 91 espectadores la inversión es 5,000 15(91) " $6,365. 19. c) Para 300 espectadores el costo será de 5,000 15(300) " $9,500 y los ingresos ascenderán a 70(300) " $21,000. La ganancia será de 21,000 9,500 " $11,500. El punto de intersección del sistema (90.9, 6,363.5) permite aproximar la solución real (91, 6,365).

7. a) x " 4y Igualación 2 x " y 1 3 7. b) 4y "

2 y1 3

12y " 2y 3 10y " 3 3 " 0.3; de aquí, x " 4y " 4(0.3) " 1.2. y" 10 © 6 3 ¹ La solución es la pareja (1.2, 0.3) o bien ª , º . « 5 10 » 9. a) 7x y " 10x 5 y 3x "

reso

8,000

y

Ing

Monto ($)

10,000

La solución es la pareja (7, 6).

Costo

14x y 2

Simplificando:

6,000 4,000 2,000 0

x 50 100 150 200 250 Espectadores

3x y " 5

3x y " 5

6x 2y " 14x y

8x y " 0

Suma y resta 9. b) 3x y " 5 8x y " 0 5x " 5

AUTOEVALUACIÓN 7B 1. a) y " x 10

Igualación

y " 2x 5.

x " 5; de aquí: y " x 10 " 5 10 " 15. La solución es la pareja (5, 15). Sustitución

5x 3y " 0.

Suma y resta 7

3x 7y " 13 35x 7y " 63 38x

" 76

x " 2; de aquí: 5(2) y " 9; y " 10 9 " 1. Resolviendo por sustitución: Despeja

5x 3x 6 " 0. x " 3; de aquí: y " x 2 " 3 2 " 5. La solución es la pareja (3, 5).

x 2y " 5

11. a) 3x 7y " 13

La solución es la pareja (2, 1).

3. b) 5x 3(x 2) " 0

5. a) 4x y " 22

La solución es la pareja (1, 8). 5x y " 9

1. b) 2x 5 " x 10

3. a) y " x 2

x " 1; de aquí, 8(1) y " 0, y " 8.

Suma y resta 4

y " 5x 9

Reemplaza 3x 7(5x 9) " 13 3x 35x 63 " 13 38x " 76 x " 2; de aquí: y " 5(2) 9 " 1. Se obtiene nuevamente la solución (2, 1).

Grupo Editorial Patria® 225 Resolviendo por igualación Ingreso (miles de $)

Despeja la misma variable en ambas ecuaciones: y " 5x 9 y"

BISQUETS

y

13 3x 7

195

Suc

urs

190

al 1

185

Sucursal 2

180

Iguala ambas expresiones 5x 9 "

1

0

13 3x ; 7(5x 9) " 13 3x; 35x 63 " 13 3x; x " 2. 7

2

3

4 Años

5

6

x

Reemplazando: y " 5(2) 9 " 1. La solución es (2, 1). 11. b) Comprobación gráfica.

AUTOEVALUACIÓN 8A

y 3 2 1 −3 0

(2, 1) 3

6

9

1. c)

x

−3

3. b)

−6

5. 20

−9

13.

7. 84 9. a)

Precio buffet para adulto

w

Número de adultos



Precio buffet para niños

w

Número de niños

"

y " precio buffet para niño 2x y " 162

1

3

1

2

2

1

|

||

2x 2y " 194 1

1

Δ " 1

x " precio buffet para adulto 2x 2y " 194

|2

||

Pago total

1

|

||

1 1 "4

|

||

Δy " 1 1 1 "4

2x y " 162 y " 32.

130 " 65. Por tanto, 2x 2(32) " 194; 2x " 194 64; x " 2 El buffet para niño cuesta $32 y para adulto $65. (Compruébalo.) 15. a) Debe examinarse cuándo coinciden los ingresos y igualando éstos.

1

5

1

||

2 1

Δx " 1

|

||

5

1

1

2 1

2

1

||

1 1 "4 3

Δz " 1

| |

||

1 1 "4 3

5

©4 4 4¹ La solución es la terna ª , , º " (1, 1, 1). «4 4 4» ¯ 2x y z " 2

²

9. b) ° x y z "1 q Despejamos: z " x y 1.

² ± x 3y z "5

sustituye en las otras ecuaciones y simplifica

2.5x y " 195

Por sustitución: 2.5x (180 0.5x) "195

y " 180 0.5x

3x " 15

2x y (x y 1) " 2

x " 5.

x1"2

A los cinco años el ingreso en ambas sucursales fue el mismo: y " 180 0.5(5) " 180 2.5 " 182.5, es decir, como y está expresada en miles de pesos, éste fue de $182,500 en cada una.

|

x"1 x 3y (x y 1) " 5 4y 1 " 5

15. b) La gráfica indica que en la primera sucursal las ventas han ido decayendo. (La pendiente de y " 2.5x 195 es negativa y la gráfica desciende.)

y"1 Por último, z " x y 1 " 1 1 1 " 1. Solución: (1, 1, 1).

226

Soluciones a ejercicios impares de autoevaluación para la Parte 1

11. a) Δ"

Δy "

1 1

|2

||

1 3

1

1 1

||

||

1

|

AUTOEVALUACIÓN 9A

||

Δx " 4 1 1 " 8

|

||

Δz "

1 4 1 "16 1 2

1 1

|1

1 1 1 " 8

|2

||

|

2 3

1

|2

1

||

1

1. Incompleta. 3. Incompleta.

|

||

1 1 4 " 24 1 3 2

5. x2 " 2x x2 2x " 0 Mixta

© 8 16 24 ¹ , , º " (1, 2, 3). La solución es la terna ª « 8 8 8 » ¯ 2x y z " 1

²

q

7. 9x2 x 2 " x2 x

Despejamos: z " 2x y 1

8x2 2 " 0

x y z " 4 11. b) °

Pura

² ± x 3y z " 2

9. 2x2 " 72 x2 " 36

Sustituimos en las otras ecuaciones y simplificamos: x y z " 4

x 3y z " 2

x y (2x y 1) " 4

x 3y (2x y 1) " 2

x 2y " 5

3x 2y 1 " 2

x"±6 11. 6x2 9 " 0 x2 "

3x 2y " 1

x 2y " 5

Resolvemos el sistema 2 w 2 para hallar x y y: x 2y " 5

x "t

De aquí: x 2y " 5

3x 2y " 1

2y " 4

x"1

y"2

x2 " 5 x " t™ 5

Por último, z " 2x y 1 " 2(1) 2 1 " 3. La solución es (1, 2, 3). 13.

Cantidad de w claveles

Costo del clavel

Costo del crisantemo

Cantidad de rosas





w

Cantidad de crisantemos Costo de la rosa

3

™2

13. 5x2 " 25

1 2y " 5

4x " 4

9 3 " 6 2

"

15. 2x2 6x " 0

2x(x 3) " 0 x"0ox"3

w

17. 3x2 x " x2 25x Costo total

¯ 8x 5y 10z " 149

² °x 4y 10z "150 ² ± x 10y 8z "145

La solución de este sistema es x " 3, y " 5, z " 10. (Utilizando determinantes: Δ " 106, Δx " 318; reemplazando el valor x " 3 en la primera y segunda ecuación puede continuarse la resolución por suma y resta y obtener más rápidamente y y z.) La solución del problema es: un clavel cuesta $3.00, un crisantemo $5.00 y una rosa $10.00.

4x2 " 24x 4x2 24x " 0 4x(x 6) " 0 x"0ox"6 19. 5x2

x "0 2

1 x(5x ) " 0 2 x " 0 o 5x

1 "0 2

x"0ox"

1 10

Grupo Editorial Patria® 227 2x

21. a) x

4,050

x(2x) " 4,050

(x2 2x 1) " 3 1

x2 " 2,025

(x 1)2 " 2

Ancho x " 45 m; largo 2x " 2(45) " 90 m.

d

45

Por el teorema de Pitágoras: d " 45 90 2

90

x2 2x 3 " 0

2x2 " 4,050 x " ™ 2,025 " 45.

21. b)

15.

2

2

d2 " 10,125 d "™ 10,125 " 100.62 m

x 1 " t™ 2 x 1 " t™ 2 i x " 1 t™ 2 i x " 1 ™ 2 i o x " 1 ™ 2 i. Dos soluciones complejas. 17. 2x2 10x 12 " 0 2(x2 5x 6) " 0 2(x 1)(x 6) " 0 x " 1 o x " 6.

AUTOEVALUACIÓN 9B 1. x2 4x " (x2 4x 22) 22 " (x 2)2 4. ©3¹ 2 © © 3 ¹ 2¹ 3. 2x2 6x " 2(x2 3x) " 2 ªx2 3x ª º º 2 ª º «2» « «2» » 2 © 3¹ 9 " 2 ªx º . 2» 2 «

Dos soluciones reales distintas. 19. x2 6x 12 " 0 x2 6x " 12 x2 6x 32 " 12 32 (x 3)2 " 3

5. x2 2x 1 " 0

x 3 " t™ 3

(x 1)2 " 0

x 3 " t™ 3 i

x " 1. 1 7. x2 x " 0 4 1 (x )2 " 0 2 1 x" . 2 x2 2x " 15

9.

x 2x 15 " 0 2

(x 5)(x 3) " 0 x " 5 o x " 3. 11. 5x2 25x 30 " 0 5(x2 5x 6) " 0 5(x 2)(x 3) " 0 x " 2 o x " 3. 13.

3x2 2x 1 " 0 (3x 1)(x 1) " 0 3x 1 " 0 o x 1 " 0 1 x " o x " 1. 3

x " 3 ™ 3 i o x " 3 ™ 3 i. 21. a) (x 3)(x 4) " 0 x2 x 12 " 0. También, por ejemplo: 3x2 3x 36 " 0. 21. b) (x 2)(x 2) " 0 x2 4x 4 " 0. También, por ejemplo: 2x2 8x 8 " 0. 21. c) (x 2i)(x 2i) " 0 x2 4 " 0. También, por ejemplo: 5x2 20 " 0. 23. En este problema g, v0, se dirigen ambas hacia abajo (tienen igual signo: ambas positivas o ambas negativas, según se estipule el sentido positivo). Método 1.

Utilizando y " at2 v0 t y0. v0 " 10 m/s

228

Soluciones a ejercicios impares de autoevaluación para la Parte 1 y0 " 6.25. La altura del puente es fija; no es la altura o posición de la piedra al desplazarse (por esto se toma positiva). Se mide respecto y desde el agua, hacia arriba. Su longitud se mide en sentido opuesto a la dirección del movimiento. La variable y designa la posición de la piedra.

7. a) (x 1)2 " 12(y 1) 12y 12 " (x 1)2 y"

y " 5t2 10t 6.25. Cuando la piedra toca el agua, y " 0: 5t2 10t 6.25 " 0. Resolviendo, t " 2.5 o t " 0.5. Como el valor negativo no tiene sentido en el problema, la respuesta es t " 0.5 segundos.

y"

1 1 ! . 12 4

Utilizando y " at v0 t.

Si se considera que la piedra recorre sólo la distancia desde el puente, entonces y0 " 0. La distancia recorrida al tocar el agua es y " 6.25 m (la altura del puente). En este caso ése es su desplazamiento y es hacia abajo (igual que a y v0). Si se considera positivo este sentido, la ecuación sería:

9. y " x2 6x. Completas un trinomio cuadrado perfecto en x: y " x2 6x 32 32; y " (x 3)2 32; y " (x 3)2 9. La parábola abre hacia arriba y su vértice es (3, 9). Tabulamos valores a la izquierda y derecha del vértice:

5t2 10t " 6.25 (las tres magnitudes tienen igual sentido y signo). Utilizando y " at2 v0 t.

Método 3:

1 (x 1)2 1. 12

5 y 7. b) Abre más rápidamente la parábola en 7 ya que

2

Método 2:

(x 1)2 12 12

Izquierda

Derecha

x

5

4

2

0

y

5

8

8

0

y

−6

−3

Igual que en el método anterior, sólo que ahora se considera negativo el movimiento hacia abajo. En tal caso, como las tres magnitudes tienen el mismo sentido, la ecuación sería:

−6

(Observa que no hay necesidad de considerar negativo el movimiento hacia abajo pues en el problema no hay que distinguir algún movimiento hacia arriba, contrario al que se efectúa.)

1. a) Abre hacia abajo

(coeficiente 3 negativo)

2. a) Abre hacia arriba

(coeficiente 1 positivo)

3. a) Abre hacia arriba

(coeficiente 0.5 positivo)

4. a) Abre hacia abajo

(coeficiente 1 negativo)

1, 2, 3 y 4. b) | 3 | # |1| " | 1| # | 0.5 |. La parábola en 1 es más cerrada que las otras tres; la más abierta es la parábola en 3. Las parábolas en 2 y 4 tienen la misma abertura.

x

−3

5t2 10t " 6.25. Esta ecuación es equivalente a la anterior.

AUTOEVALUACIÓN 10A

0

−9

11. y " 3x2 9. Escrita en forma estándar queda: y " 3(x 0)2 9. Esto muestra que su vértice es (0, 9) y que abre hacia abajo la parábola. Tabulamos a ambos lados del vértice: x

2

1

1

2

y

y

3

6

6

3

9 6

5. a) (x 5)2 " 4(y 2)

3

4y 8 " (x 5)2 y"

(x 5)2 8 4 y"

1 (x 5)2 2. 4

−3

0 −3

3

x

Grupo Editorial Patria® 229 13. y " x2 12x 33; y " (x2 12x 62) 33 62; y " (x 6)2 3. V (6, 3), abre hacia arriba. x y

3 6

4 1

8 1

1 9

x y

0

2

3

3

3

9

y 8

y

9 6

6

9 4 6

y " 2(x 1)2 1

2

V(1, 1)

3

−4 0

3

6

9

−2

0

2

4

x

x

−3

Como las soluciones no son números reales, la gráfica no interseca al eje x. y " 2(x 1)2 1

15. Gráfica II.

V(1, 2)

17. Gráfica III. 19.

2x2 12x 14 " 2

25. a) Para x " 3 se observa el punto más alto. Este valor corresponde a 2,005.

2x2 12x 16 " 0

25. b) V(3, 15). Otro punto de la gráfica es A(0, 13.65).

(2x 8)(2x 4) "0 2

y " a(x 3)2 15

Forma estándar

13.65 " a (0 3) 15

Sustituyendo y por 13.65 y x por 0.

2

(x 4)(2x 4) " 0 x " 4 o x " 2. 21. 4x2 16x 15 " 0 es equivalente a: 4x2 16x 15 " 0

13.65 " 9a 15 a"

1.35 " 0.15. 9

El modelo buscado es:

y " 0.15(x 3)2 15

(4x 6)(4x 10) "0 4 (2x 3)(2x 5) " 0

AUTOEVALUACIÓN 10B

3 5 ox" . 2 2

x"

23. y " 2x2 4x 3. La intersección-x se obtiene haciendo y " 0 en la ecuación. 2x2 4x 3 " 0. Resolvemos esta ecuación completando un trinomio cuadrado perfecto: 2(x 2x) " 3 2

2(x 2x 12) " 3 2 2

2(x 1)2 " 1

1

5 6

a

b

c

3. 3x2 19x 14 " 0 3

19 14

a

b

c

5. b2 4ac " 400 4(100) " 0

1 (x 1) " 2 2

x 1 " t

1. x2 5x 6 " 0

Dos soluciones reales, iguales. 1

™ 2

1 x "1 t . ™ 2

7. a) x2 12x " 0 12 t ™ 144 4(1)(0) x" 2

7. b) x2 12x " 0 x(x 12) " 0 x " 0 o x " 12

230

Soluciones a ejercicios impares de autoevaluación para la Parte 1 ¯

24 "12 ² 2 12 t 12 "° x" 2 0 ² "0 ±2

7. c) Es más simple factorizar si la ecuación es incompleta.

9. a) 3x2 27x " 0 x"

27 t ™ 272 6

54 "9 ¯ ² 6 27 t 27 "° x" 6 0 ² "0 ±6 9. b) 3x2 27x " 0 3x(x 9) " 0 x " 0 o x " 9.

19. Gráfica II. Sus raíces o soluciones (intersecciones-x) son: x "1 ™ 5 , x " 1 ™ 5 21. Gráfica III. Sus raíces o soluciones (intersecciones-x) son: x " 3, x " 1. 23. a) En la gráfica, los valores de x " 0, 6, 7 y 9 aparentan tener una ordenada mayor a 3. Corroboramos algebraicamente esto: Para 0: 0.32(02) 2.1(0) 4 " 4 6: 0.32(62) 2.1(6) 4 " 2.92 7: 0.32(72) 2.1(7) 4 " 4.98 9: 0.32(92) 2.1(9) 4 " 11.02 Multiplicando cada valor por 0.01 se obtienen microgramos/ m3 : 0.04,

0.0292,

0.0498,

0.1102

México

Querétaro

San Luis Potosí

Cananea

9. c) Resulta más fácil factorizar las ecuaciones mixtas. 11. 3x2 30x 75 " 0 Es equivalente a: x2 10x 25 " 0 x"

10 t ™ 100 4(1)(25) 2

10 t 0 x" " 5. 2 (Las dos soluciones son iguales a 5.) 13. x2 8x 7 " 0 x"

8 t ™ 64 4(1)(7) 2

x"

8 t ™ 36 2

86 "7 ¯ 8t6 ² 2 "° x" 2 86 ² "1 ± 2 17. 2x2 6x 1 " 0 x"

6 t ™ 36 4(2)(1) 4

x"

6 t ™ 28 4

x~

6 t ² "° ² 0.175 4 ±

¯

La ciudad de Querétaro estuvo muy cerca de rebasar la norma. Las otras tres ciudades rebasaron el límite establecido. 0.0072 " 0.72 " y, 0.01 resolvemos la ecuación 0.32x2 2.1x 4 " 0.72 para determinar los valores de x que hacen cierta la igualdad.

23. b) Como 0.0072 equivale en este modelo a

En forma general: 0.32x2 2.1x 3.28 " 0. Aplicando la fórmula: x"

¯

2.1 t ™ 4.41 4(0.32)(3.28) 2.1 t 0.46 ² " "° ² 2.56 0.64 0.64 ±

Desechamos x " 2.56 porque el modelo sólo es válido cuando x es entero. El valor x " 4 corresponde en la tabla a la ciudad de Tijuana.

Soluciones a ejercicios impares de la Parte 2

232

Soluciones a ejercicios impares de la Parte 2

EJERCICIOS SECCIÓN 1

3.

1. Falso. (5)2 " (5)(5) " 25; 52 " (5 w 5) " 25. 1 4

1 4

1

3. Verdadero. (16) (16 ) " (1)(16)(16 ) " (1)(16

1 4

)

5.

5 4

" (1)(16 ) " (1)™ 165 " (1)(™ 16 4

4

5

)

7. " (1)(25) " 32.

5. Falso. 42 43 " 80; 45 " 1,024 (sólo existen reglas para productos, cocientes y potencias de potencias). 7. 2

™ 2

"

1 2

™2

~

9.

1 ~ 0.378. 2.64

¯² 4x y " 7 °

²± x 2y " 1 ¯² x 3y " 19 ° ² 2x ±

y " 11

¯² 5x 2y "1 ° ² ±

¯ x ² ° ² 2x ±

4

Comprobación: 34 " 3 w 3 w 3 w 3 " 9 w 9 " 81. 1 3

3

1 3 3

1 6 3

3 3

11.

6 3

11. ™ (33)(56) " ((33)(56)) " (3 ) (5 ) " 3 5 " 3(52) " 3(25) " 75. 13. x(x x2 5x3) " xx xx2 5xx3 " x2 x3 5x4.

13.

|

|

° ²x ±

No existe una regla que establezca ™ a b " ™ a ™ b para a, b números reales cualesquiera. 3 2

3 1

23. Falsa. ™ x " x | x . 3

25. Verdadera. 27. ™ (3)2 " a3a " 3 ya que el exponente es par. 29. No pueden nulificarse la raíz y la potencia en ™ (5)2 ya que, por definición, ™ (5)2 " a5a " 5. (En ™ 52 sí puede hacerse porque ™ 52 " a5a " 5).

15.

7

1

| | |

" 1 14) " 1 14 "13

|

11 1

|

| "38 11 " 27

|

7y " 4

x"

en cambio ™ 32 ™ 42 " 3 4 " 7.

2

|"1 6 " 5

| 19 3 |" 19 33) " 19 33 " 14 19

19. Verdadera.

™ 32 42 " ™ 9 16 " ™ 25 " 5;

1

| | |

2 1

y " 11

1

Δy "

21. Falsa.

3

3y "19

2 11

Δ"

3x3y2 3x " 3 . y x2 y

|1

¯² x y " 12

15. 100(108)1 " 100(108) " 102(108) " 1028 " 1010. 17.

Δx "

4x y " 7

Δx "

9. ™ 81 " ™ ™ 81 " ™ 9 " 3.

Δ"

|1

| | |

1

1 7 1 12 1 4

|" 7 1 " 8;

| | |

|12

1

|

4 7

|" 84 4 " 80

|

" 4 12 " 16;

80 16 " 10; y " " 2. Sol(10, 2). 8 8

¯² 12x 10y " 2 ° ² ±

Δx "

Δ"

6x 5y " 1

Δx "

Δy "

|

| | |

2 10 1

5

12

2

6

1

| 12

10

6

5

|

|" 60 60 " 0;

|

|" 10 10 " 0;

| | |

" 12 12 " 0

El sistema está indeterminado porque las rectas coinciden. Existen infinidad de soluciones (cualquier pareja (x, y) que satisfaga una, satisface a la otra). 17. Sistema simplificado: ¯² 4x 3y "5

EJERCICIOS SECCIÓN 2 1.

¯ 2x y ² ° ² x 3y ±

" 11 " 19

° ² ±

Δ"

x 2y " 15

Δx "

|

|

5

3

15

2

|4

|

1

|" 10 45 " 55

|

3 2

|" 8 3 " 5;

|

Grupo Editorial Patria® 233

Δy "

x"

19.

|4

|

5

1 15

|" 60 5 " 65;

|

55 65 " 11; y " " 13. Sol (11, 13). 5 5

Superficie con col

Superficie con lechuga



Superficie total

"

x " áreas sembradas de col; y " áreas sembradas de lechuga

¯ 2x 3y "16 ² ¯ ² 2x 3y "16 y ° ° q ² 4x "7.5 ² 8x y "15 2 ± ± Δ"

Δy "

x"

|2

3

8

1

| | |

2 16 8 15

|" 22;

| | |

Δx "

|16

3

15

1

|

|" 29;

|

" 98

29 98 " 1.09; y " " 4.45. 22 22

Hay 1.09 áreas sembradas de col y 4.45 áreas de lechuga.

234

Soluciones a ejercicios impares de autoevaluación para la Parte 1

Grupo Editorial Patria® 235

Materiales de apoyo en SALI Si deseas profundizar en estos temas, visita nuestra página web www.sali.org.mx donde encontrarás el video:

Bloque 1A Título

Página

Concepto de fracciones (quebrados).

4

Suma y resta con números enteros.

6

Maneras de representar a una multiplicación.

6

Maneras de representar a una división.

6

Suma y resta de números enteros con paréntesis.

6

Descuento del 20% en un vestido.

7

Conversión de una fracción a decimal y viceversa.

8

Conversión a quebrado de 0.125.

8

Conversión de fracciones (mixta a impropia y viceversa).

8

Problemas cotidianos y aplicando operaciones básicas.

9

Problema 1 donde se aplica la suma y resta de números.

9

Problema 2 donde se aplica la suma y resta de números.

9

Problema donde se aplica la multiplicación de números.

9

Variación de la temperatura (suma/resta).

9

Gusano que resbaló (suma/resta).

9

Bloque 1B

Ordenar 3 números en el conjunto de los números reales.

27

Propiedades de los números reales.

30

Identificar una propiedad de los números.

30

Suma y resta de fracciones con mismo denominador.

31

Suma y resta de fracciones con diferente denominador.

31

Aplicaciones de las propiedades de los números reales.

32

Ejercicio donde se aplica la propiedad asociativa.

33

Ejercicio donde se aplica la propiedad distributiva.

33

Ejercicio donde se aplica la propiedad conmutativa.

33

Multiplicación de fracciones.

34

Obtener un factor de una multiplicación de fracciones.

34

Métodos para resolver una división de fracciones.

35

División de fracciones (método cruzado).

35

División de fracciones (volteando a la 2da fracción).

35

Dividir una fracción a la mitad.

35

Signos de agrupación.

36

Concepto de término.

36

Eliminación de signos de agrupación (ejercicios).

37

Ejercicio de simplificación de suma y resta de números.

37 37

Convertir una fracción a porcentaje.

10

Ejercicio de simplificación con 2 paréntesis.

Convertir un porcentaje a fracción.

10

Problema que genera una expresión con signos de agrupación. 37

Porcentajes (utilizando fracciones).

10

Ejercicio de una multiplicación con paréntesis.

37

Traducción del lenguaje verbal al lenguaje algebraico.

12

37

Traducir un enunciado a expresión matemática.

12

Ejercicio de simplificación de una expresión con signos de agrupación.

Examen 1

15

Simplificar una expresión racional con paréntesis.

37

Examen 2 (Bloque 2)

15

Ejercicio de traducir una ecuación a un lenguaje verbal.

15

Traducción + interpretación = ecuación.

15

Bloque 2A

Bloque 2B Concepto de razón.

38

Concepto de proporción.

40

Propiedades de las proporciones.

40

Valor absoluto.

24

Ejercicio de proporciones.

41

Simétrico de un número.

24

Variaciones directas e inversas.

44

Multiplicación y división de números enteros (ley de signos).

24

Variación compuesta (directa, inversa y mixta).

44

Clasificación de los números reales.

26

Regla de tres simple.

44

Relaciones de orden.

26

Ejercicio de una regla de 3 simple.

45

236

Materiales de apoyo en SALI Ejercicio 1 de regla de tres (variación directa).

45

Ejercicio 2 de regla de tres (variación directa).

45

Ejercicio de una regla de 3 entre los kilómetros y gasolina de un auto.

45

Ejercicio 1 de regla de tres (variación inversa).

45

Ejercicio de porcentaje de un pantalón utilizando la regla de 3. 46 Cantidad de alumnos que representa un porcentaje.

46

Examen razones y proporciones (bloque 3).

47

Ejercicio de una variación inversa, manguera que llena un tanque.

47

Bloque 3A

Ejercicio 3 de simplificación de una expresión algebraica con paréntesis.

73

Ejercicio de simplificación de una expresión algebraica con paréntesis y corchetes.

73

Ejercicio de multiplicar 2 binomios.

73

Ejercicio de multiplicación de 2 binomios.

73

Factor que cumple la igualdad.

73

Multiplicar una expresión de un monomio con un binomio.

73

Bloque 4B Binomio con término común.

74

Identificar el producto de 2 binomios conjugados.

74

Sucesiones aritméticas.

52

Binomio conjugado.

74

Serie aritmética.

52

Binomio al cuadrado (versión nueva).

74

Fórmula para suma de sucesiones aritméticas.

54

Identificar a un binomio al cuadrado.

74

Fórmula para calcular la suma de una serie aritmética.

54

Binomio al cubo.

76

Hallar la ecuación de una secuencia aritmética.

55

Ejercicio 1 (bloque 4).

79

Ejercicio de una sucesión aritmética (ejercicio 1).

55

Ejercicio 2 (bloque 4).

79

Ejercicio de una sucesión aritmética (ejercicio 2).

55

Ejercicio 1 (bloque 5).

79

Serie aritmética.

56

Ejercicio 2 (bloque 5).

79

Factor común.

80

Diferencia de cuadrado.

80

Bloque 3B Sucesiones 2.

58

Trinomio cuadrado perfecto.

80

Sucesión geométrica.

59

Ejercicio para extraer el factor común.

81

Serie geométrica.

59

Ejercicio de factorización por término común.

81

Ejercicio de factorización por factor común.

81

Obtener el área entre 2 figuras cuadradas.

83

Ejercicio 2 de razón con que cambia una sucesión de números. 63

Bloque 4A Conceptos importante de polinomios.

70

Identificar el concepto de polinomio.

70

Ejercicio para hallar el grado de un polinomio.

70

Suma/resta de polinomios.

71

Signos de agrupación en polinomios.

71

Reducción de términos semejantes.

71

Obtener el perímetro de una figura con variables.

72

Hallar la expresión del área de un rectángulo bajo condiciones dadas.

72

Ejercicio 1 de simplificación de una expresión algebraica con paréntesis.

73

Simplificar una expresión algebraica con dos paréntesis.

73

Bloque 5A Trinomio de la forma x2 + bx + c

88

Trinomio de la forma ax2 + bx + c

88

Hallar las longitudes de una cancha rectangular conociendo su área.

93

Bloque 5C División de polinomios.

100

Ejercicio de división de polinomios.

103

Bloque 6A Concepto de ecuación.

110

Propiedad de igualdad (método de transposición).

112

Grupo Editorial Patria® 237 Bloque 7B

Principio de resolver una ecuación de 1er grado (parte 1).

112

Principio de resolver una ecuación de 1er grado (parte 2).

112

Traducir un problema a un sistema 2 w 2 de plumas y lápices. 136

Introducción a las ecuaciones de primer grado.

112

Identificar el método utilizado en un sistema 2 w 2.

138

Despejes de una variable.

113

Método de suma/resta o reducción (sistemas lineales 2 w 2).

138

Ejercicio de despeje de una variable.

114

Método de sustitución (sistemas lineales 2 w 2).

139

Resolver ecuaciones lineales con fracciones (usando un múltiplo).

114

Método de igualación (sistemas lineales 2 w 2).

139

Hallar 2 números, bajo condiciones dadas.

140

Ejercicio de ecuación lineal racional (fracciones).

114

Ejercicio de un sistema 2 w 2, cantidad de boletos vendidos.

140

Ecuaciones lineales 1.

115

Ecuaciones lineales 2.

115

Ecuaciones lineales 3 (bloque 7).

115

Ecuaciones lineales 4 (bloque 7).

115

Ecuaciones lineales 5 (bloque 8).

115

Plantear las ecuaciones lineales de un problema de CDs.

115

Cramer o determinantes (sistemas lineales 2 w 2).

148

Plantear y resolver problemas que genere una ecuación de primer grado.

115

Obtener un determinante de un sistema 3 w 3.

150

Hallar un determinante de un sistema 3 w 3.

150

Ecuación para obtener el salario de Pedro.

116

Determinantes (sistemas lineales 3 w 3).

151

Encontrar el número de naranjas iniciales (parte 1).

116

Método de igualación (sistemas lineales 3 w 3).

151

Encontrar el número de naranjas iniciales (parte 2).

116

Aplicación de los sistemas lineales de 3 w 3.

152

Número de 2 cifras que se invierte al restar 9.

117

Ejercicios 3 w 3.

153

Resolución de ecuaciones de 1er grado (parte 1).

117

Resolución de ecuaciones de primer grado (parte 2).

117

La suma de 3 números consecutivos es 30.

117

Tipos de ecuaciones cuadráticas (segundo grado).

160

Problemas de basketball que genera una ecuación lineal.

118

Ejercicio para identificar una ecuación cuadrática completa.

160

Encontrar la expresión algebraica de un jardín rectángular.

118

Ejercicio de resolver una ecuación cuadrática mixta por factorización.

161

Ejercicio para resolver una ecuación cuadrática mixta.

161

Problemas que generan ecuaciones de 1er grado y ejercicios. 119

Bloque 6B

Problemas de un sistema 2 w 2, calorías en una hamburguesa. 140 Ejercicio: funciones.

141

Encontrar números (sistemas lineal 2 w 2).

141

Bloque 8B

Bloque 9A

Bloque 9B

Interpretación gráfica de la función lineal.

120

Ejercicios de resolver una ecuación cuadrática por T.

164

Hallar la gráfica, dada una ecuación lineal.

122

Problemas que generan ecuaciones cuadráticas.

165

Ejercicios.

125

Obtener el valor de x, dada el área de un rectángulo.

165

Ejercicio del área de un campo de futbol que genera una ecuación cuadrática.

165

Bloque 7A Introducción a las ecuaciones simultáneas lineales de 2 w 2.

130

Resolver ecuaciones cuadráticas por factorización.

168

Método gráfico (sistemas lineales 2 w 2).

132

Ejercicios: Ecuaciones de segundo grado 1.

169

Identificar la gráfica de un sistema de 2 w 2).

132

Ejercicios: Ecuaciones de segundo grado 2.

169

Problema de hallar un número que genera una ecuación cuadrática.

169

Problema de un triángulo que genera una ecuación cuadrática.

169

Método gráfico, caso líneas paralelas (sistemas lineales de 2 w 2).133 Problemas que generan un sistema lineal 2 w 2.

134

Ejercicio de encontrar la edad de Juan y Pedro (método gráfico). 135

238

Materiales de apoyo en SALI

Bloque 10A

Demostración de la fórmula general.

182

Aplicación de la función cuadrática

175

Ejercicios resueltos por fórmula general.

183

Hallar la gráfica del área de un rectángulo que genere una ecuación cuadrática.

175

Ejercicios de sustituir valores en la fórmula general.

183

176

Ejercicio para anticipar el tipo de raíces de una ecuación cuadrática.

183

Resolución por método gráfico (ecuaciones cuadráticas). Ejercicios de una ecuación cuadrática que representa el área de un triángulo.

178

Aplicación de la función cuadrática.

184

Radicalizar el resultado de una fórmula general.

184

Ejercicios: Ecuaciones de segundo grado 3.

185

Ejercicios: Ecuaciones de segundo grado 4.

185

Bloque 10B Discriminante de una ecuación cuadrática.

180

Ejercicio para hallar el discriminante de una ecuación cuadrática.

180