álgebra Lineal Independencia Lineal 555x2

Dependencia e independencia lineal

16/12/2015

1

 Dependencia e independencia lineal

 

Un conjunto de vectores es linealmente independiente

si ninguno de ellos puede ser escrito con un una combinación lineal de los restantes . Ejemplo:

(1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) linealmente independiente (2, −1, 1), (1, 0, 1) y (3, −1, 2) no lo es, ya que el tercero es la suma de los dos primeros. 16/12/2015

2

 Dependencia e independencia lineal

Dado un conjunto finito de vectores V1,V2,….Vn se dice que estos vectores son linealmente independientes si existen números

a1,a2,an.... , tales que: a1v1+a2v2+………….+anvn=O La única posibilidad que se cumpla esta ecuación es que dichos escalares sean todos nulos. caso contrario, se dice que son linealmente dependientes 16/12/2015

3



Dependencia e independencia lineal

Utilizando conceptos de espacios vectoriales podemos redefinir la independencia lineal así:

Esta idea es importante porque los conjuntos de vectores que son linealmente independientes, generan un espacio vectorial y forman una base para dicho espacio. Propiedades

16/12/2015

4

 Dependencia e independencia lineal

1.Un

conjunto de vectores es linealmente dependiente si y solamente si alguno de los vectores es combinación lineal de los demás. 2. Si un conjunto de vectores es linealmente independiente cualquier subconjunto suyo también lo es. Obviamente, si tenemos un conjunto de vectores tales que ninguno de ellos es combinación de los demás, escogiendo solamente unos cuantos, no podrán ser combinación de los otros. 3. Si un conjunto de vectores es linealmente dependiente, también lo es todo conjunto que lo contenga. 4. Un conjunto de vectores son linealmente dependientes si y sólo si son

paralelos. 5. Un conjunto de vectores son linealmente dependientes si los componentes entre ellos son proporcionales, bien sea directa o inversamente proporcional.

16/12/2015

5

Significación geométrica Geométricamente, dos vectores son independientes si no tienen la misma dirección

Tres vectores son independientes si y solo si no están contenidos en el mismo plano vectorial, o sea si ninguno de ellos es una combinación lineal de los otros dos (en cuyo caso estaría en el plano generado por estos vectores) en otras palabras este debe

.

generar un volumen

El espacio generado por un sistema de vectores es el conjunto de todas las combinaciones lineales de estos vectores. Es un espacio vectorial. El espacio generado por un vector no nulo es la recta vectorial dirigido por este vector.

16/12/2015

6



 u y j son dependientes por tener la misma dirección.



u y v son independientes y definen el plano P.



u, v y w son dependientes por estar los tres contenidos en el mismo plano



u, v y k son independientes por serlo u y v entre sí y no ser k una combinación lineal de ellos o, lo que es lo mismo, por no pertenecer al plano P. Los tres vectores definen el espacio tridimensional



Los vectores o (vector nulo, cuyas componentes son iguales a cero) y k son dependientes ya que o = 0 ·k 16/12/2015

7

 

Ejemplo del uso de la fórmula f:

¿Son los tres vectores siguientes independientes?

 Buscamos

tres valores x, y y z que satisfagan la ecuación:

16/12/2015

8

16/12/2015

9

 

 Ejemplo II Sea V = y consideremos los siguientes elementos en V:

16/12/2015

10

Propiedades 

1. Si varios vectores son linealmente dependientes, entonces al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás



También se cumple el reciproco: si un vector es combinación lineal de otros, entonces todos los vectores son linealmente dependientes.

 

2. Dos vectores del plano son linealmente dependientes si, y sólo si, son paralelos. 3. Dos vectores libres del plano u = (u1, u2) y v = (v1, v2) son linealmente dependientes si sus componentes son proporcionales. 16/12/2015

11

16/12/2015

12

16/12/2015

13

16/12/2015

14

16/12/2015

15

16/12/2015

16