Geometria 6i7129

B : y n ---+ ][(n, B, : W rispettivamente a l3 e !3') .

1/2 -3/2 ( 3/2

m

---+

][(m

O

T

O

<1>51 : ][(n ---+

][(m

indicano, come d 'uso, gli isomorfismi associati

vn 1 <1>5 t ][(n

T --t

wm .J,. B,

TB,B 1

][(m

--t

sono

Infatti, se, per ogni j E Nn, aj (risp. bJ) indica la j-esima colonna di A (risp. di MB,B' (T)), posto l3 = (e1, . . . ) en), si ha:

yl = ~x 1 + 3x 2 y2 =-~xl +x2 {

B e !3'.

T : ][(n ---+ ][(m una trasformazione lineare standard e siano B = (e 1, ... ,en), B' le basi naturali rispettivamente di ][(ne Km. Se A E Mm xn (K) è la matrice associata a T relativamente a B e B', la sua jesima colonna aj è il trasformato T(eJ) del j -esimo vettore di B. Si dice allora che A è la matrice canonicamente associata alla trasforma zione lineare standard i', sottintendendo le basi (naturali) rispetto a cui risulta ottenuta. In tal caso, infatti, le equazioni di T forniscono direttamente il trasformato (y 1, ... , ym) = T(x 1 , .. . , xn) E ][(m della generica n-pla (x 1, ... , xn ) E ][(n. Si osservi inoltre che, se T : yn ---+ wm è una trasformazione lineare e !3 , !3' sono basi ordinat e rispettivamente di vn e wm) allora la matrice MB,B' (T) coincide con la matrice A canonicamente associata alla trasformazione lineare standard TB ,B' = B'

e le equazioni di T relativamente a l3 e

2x 1 - 2x 2 .

~ Osservazione 5.5. Sia, in particolare,

4 -2

o fl

y

= 2x2 = -4x 1 + 3x 2

risultano pertanto -1

o, equivalentemente,

-y1 2 -y 3

sono

Si determini la matrice associata a T relativamente a

(2 o)

iJ1 ) ( flil

B e B'

aJ

Y3 = ~xl - 3x2 .

Infine, per determinare la matrice (e le equazioni) associata_a T relativamente a occorre determinare i trasformati dei vettori e1 = (1, O) ed e2 = (O , 1). Poiché e1 =B (O , -1) ed e 2 =B (1 , 1), si ha: T(e 1) = T(O. (1 , 1) + (- 1) · (- 1, O)) = O· T(l, 1) + (-1) · T(-1, O) =

B e B',

= TB,B'(eJ) = B' o To <1>5 1(eJ)

= B' o T(eJ)

Il seguente teorema prova la rilevanza che assume l'operazione di prodotto righe per colonne nella teoria delle matrici.

• Teorema 5.11. Siano s : UP ---+ vn' T : vn ---+ w m trasformazioni lineari. Fissate le basi ordinate l3' !3'' !3" rispettivamente di UP' v n' wm e posto

O. (2 , -1, O)+ (-1) ·(O, 4, -2) =(O, -4, 2), T(e 2) = T(l · (1, 1) + l · (-1,0)) = l · T(l , 1) + l · T(-1,0) = 1 . (2, -1, O)+ 1 ·(O,4, -2) = (2 , 3, -2).

si ha:

C=B·A.

Si ha dunque

M;;,;;.(T)

~ ( ~4 -2~

)

)

= bJ.

Dimostrazione. Sia u un generico vettore di U P. Posto: u =-B (x 1 ,

...

,xP),

92

5. TRASFORMAZIONI LINEARI

e posto:

si ha:

(y) =A· (x) e (z) = B · (y) Ciò prova che la matrice C coincide con B · A.

= (B ·A)· (x). o

• Corollario 5.12. Sia T: yn ---+ wn un isomorfismo e siano B, B' basi ordinate rispettivamente di yn e wn. La matrice A E Mn(lK) associata a T relativamente a B e B' è regolare e la sua inversa A- 1 è la matrice associata a r- 1 : wn ---+ yn relativamente a B' e B. Dimostrazione. Se infatti A' denota la matrice associata a r- 1 relativamente a B' e B, essendo r- 1 o T = Id v n' To r- 1 = Id W", per l'Osservazione 5.3 e per il Teorema precedente, si ha A'· A .= A· A'= In e quindi A'= A- 1.

o Si è già visto che una matrice quadrata A è regolare (o invertibile) se e solo se detA i- O (Teorema 3.19). Si ha inoltre: • Proposizione 5.13. Se A E Mn(lK), sono equivalenti le seguenti affermazioni: (1) A è regolare. (2) La n-pla costituita dalle colonne di A è linearmente indipendente. (3) La n-pla costituita dalle righe di A è linearmente indipendente. (4) Ogni trasformazione lineare avente A come matrice associata è un isomorfismo .

Dimostrazione. Proveremo l'equivalenza delle affermazioni secondo lo schema seguente:

(3)

~

(1)

====>

(2)

====>

2. MATRICI ASSOCIATE AD UNA TRASFORMAZIONE LINEARE

93

per il Teorema 4.11 (a), una base di ImT = W. Per il Corollario 5.7 (b), Tè pertanto un isomorfismo. (4) =} (1). È conseguenza immediata del Corollario 5.12. (3) =} (1). Se le righe di A sono linearmente indipendenti, allora le colonne di tA sono linearmente indipendenti. Si ha allora, avendo già provato che (1) è equivalente a (2): det A = det(tA) i- O. Dunque A è regolare.

o .,.. Osservazione 5.6. Dalla Proposizione 5.13 e dal Teorema 4.11 (a) segue che una n-pla (v1, ... , vn) di vettori di yn è una base ordinata di yn se e solo se la matrice delle componenti di (vi, . . . , vn) rispetto ad una qualunque base ordinata di yn è regolare. La seguente proposizione fornisce un metodo per trovare le equazioni di una trasformazione lineare definita mediante le immagini di una qualunque base del suo dominio. • Proposizione 5.14. Sia T : yn ---+ wm una trasformazione lineare e sia A E Mmxn(lK) la matrice associata a T relativamente alle basi ordinate B di yn e B' di wm . Se X E Mn(lK) è la matrice (regolare) delle componenti della base ordinata (v1, . . . , vn) di yn rispetto a B e Y E Mmxn(lK) è la matrice delle componenti di (T(v1), . .. , T(vn)) rispetto a B', si ha:

A= Y

.x- 1 .

Dimostrazione. Se, per ogni j E Nn, Xj (risp. 1j) denota la j-esima colonna di X (risp. di Y), si ha infatti:

1j = A · Xj e dunque Y = A · X. Dalla regolarità di X, moltiplicando a destra per la sua inversa x- 1, segue pertanto

A=

y.x- 1 .

(4)

e dimostrando infine che (4) =} (1) e che (3) =} (1). (1) =} (2), (1) =} (3). Infatti, se, per assurdo, le righe o le colonne di A fos~ero line~r mente dipendenti, allora una di esse sarebbe combinazione lineare delle nmanenti e dunque, per la Proprietà V dei determinanti (Capitolo 3), si avrebbe det A= O. (2) =} (4). Siano V e W spazi vettoriali su lK aventi dimensione n. Fissata una base ordinata B = (e 1, . .. , en) di V e una base ordinata B' di W, sia T : V ---+ W la trasformazione lineare avente A come matrice associata relativamente a B e B'. In altri termini, si interpreti la j-esima colonna aj di A, per ogni j E Nn, come la n-pla delle componenti di T( ej) rispetto a B'. Indicato con 8 , : W---+ ocn l'isomorfismo associato a B', poiché, per ipotesi, la n-pla (ai, .. . ,~) è linearmente indipendente in ocn, la n-pla ( 5,1(a1), .. . , <1>5,1(~)) = (T(e1), ... , T(en)) è linearmente indipendente in W . Pertanto, l'insieme {T(e1), .. . , T(en)} è un sottoinsieme linearmente indipendente di W costituito da n vettori distinti ed è dunque,

o Se, ad esempio, f3 e B' sono le basi naturali rispettivamente di R 2 e di R 3 e se T : R 2 ---+ R 3 è ancora la trasformazione lineare definita da: T(l,1)

=

(2,-1,0)

T(-1, O)= (O, 4, -2),

la matrice associata a T relativamente a f3 e B', determinata in precedenza, si può riottenere, mediante la Proposizione 5.14, nel modo seguente. Se v 1 = (1, 1), v 2 = (-1,0), allora, essendo

X=

(~

-1 )

Y=

o

,

x-1

= ( o

(~I ~

-2

si ha -1

1 1

)

)

'


94

e dunque:

~

-2

)

.

3. RANGO DI UNA MATRICE

95

Si ha pertanto, per ogni i E Nm, ai E L( o: 1, ... , ah) e dunque: k = dim L(a1, ... , am) ::; dimL(a 1, . .. , o:h) ::; h. Ripetendo il procedimento, partendo dalla ipotesi che siano le prime k righe di A ad essere linearmente indipendenti, si prova analogamente che h ::; k e dunque il teorema.

o ... Osservazione 5.7. Se A E Mm xn (IK), si ha Q(A) ::; min{m, n}. Inoltre per la Proposizione 5.13, se A E Mn(IK), allora A è regolare se e solo se Q(A) = n .

3. Rango di una matrice Nel presente paragrafo, i simboli yn, wm indicheranno spazi vettoriali sullo stesso campo lK aventi dimensione finita n, m rispettivamente.

+ Definizione 5.5.

Data una matrice A E Mm xn(IK), si dice rango o caratteristica di A , e si indica con Q(A), la dimensione del sottospazio vettoriale L(a1 , ... ,an) di ocm generato dalle colonne a1, . .. , an di A.

In altre parole, il rango di A è il numero massimo di colonne linearmente indipend~nti di A. La proposizione seguente prova che tale numero coincide con il numero massimo di righe linearmente indipendenti di A.

Q(A) = QeA). Dimostrazione. Se (a1, ... ,an) ed (a1, ... ,am) sono rispettivamente la n-pla delle colonne e la m-pla delle righe di A, occorre provare che, posto Q(A) = dim L(a1, ... , an) = h, l>( tA) = dim L(a1, ... , am) = k, si ha h = k. Poiché, evidentemente, per ogni permutazione p E 6n, si ha dim L(a1, ... , an) = dim L(a,,(1), .. ·,
s= l

dove, per ogni j E Nh, o:j = oj. Poiché a 1 = (a] , . . . , aj), si ha quindi: h

aj

(5.3)

=

~

s

~ o:j

i

· a5 .

s=l · · d" ,,,h Ponendo, per ogni s E Nh , 0: = ( a 1, ... , o:n E li> ossia, m 1cando con a 1 , ... , ..... le righe della matrice dei coefficienti (o:j)sENdENJ l'uguaglianza (5 .3) risulta eqmvalerite a h 8

s

a i -_

s )

( i

a 1 , ...

TITn (

i ) _

, an

-

~ ai . o:s ~ s ·

s=l

Dimostrazione. Se l3 = (e 1, ... , en) , si ha Im T = L(T(e 1), ... , T(en)) (Proposizione 5.4 (a)) . D'altra parte, per ogni j E Nn, la j-esima colonna aj di A è, per definizione, la m-pla delle componenti di T(e1 ) rispetto !3', cioè l'immagine di T(ej) mediante l'isomorfismo <J>B, : wm ~ ocm associato a !3'. Pertanto, Im T = L(T(e1), . .. , T(en)) è isomorfo a L(a1, ... , an) e dunque si ha: dim(ImT)

= dimL(a1, . .. ,an) = Q(A) o

Al fine di pervenire ad un risultato estremamente utile per il calcolo del rango di una matrice (Teorema di Kronecker), premettiamo il seguente lemma. • Lemma 5.17. Se A' è una sottomatrice di A E Mm xn(lK), allora Q(A') :S Q(A) .

h

= Z::>:tj ·as,

i

• Teorema 5.16. Sia T : yn ~ wm una trasformazione lineare e sia A E Mm xn(IK) la matrice associata a T relativamente alle basi ordinate !3, !3' rispettivamente di yn e wm . Si ha allora:

Q(A) = dim( Im T)

•Proposizione 5.15. S e A E Mm xn (IK) , si ha:

aj

... Osservazione 5.8. Se A E Mm xn (IK) è una matrice ridotta di rango h, nel senso della Definizione 3.12, si ha evidentemente Q(A) = h, in quanto nessuna delle prime h righe di A può essere combinazione lineare delle successive. Inoltre, i tre tipi di trasformazioni elementari descritti' nella Definizione 3.13 non alterano il rango di una matrice.

Dimostrazione. Posto Q(A') = k, siano I, J gli insiemi degli indici rispettivamente di riga e di colonna della sottomatrice A' E Mrxs(lK) e sia 1 = {i 1, ... , ik} ç I tale che le righe di A' aventi come indice gli elementi di 1 risultino linearmente indipendenti. Se A" E Mkxs(.IK) è la sottomatrice di A' costituita da tali righe, si ha evidentemente Q(a") = k. Esiste dunque un insieme J = {j 1, ... ,jk} ç J tale che le colonne Cj 1 , • . . , Cjk di A" aventi come indice gli elementi di J risultino linearmente indipendenti. Sia B E Mk xn (JK) la sottomatrice di A costituita dalle sue righe ai 1 , . . . , a ik; le colonne c 11 , .. . , c1k di A" sono anche colonne di B e dunque si ha Q(B) = k. Le righe a i 1 , • . . , aik sono pertanto linearmente indipendenti e si ha dunque Q(A) : :'.'. k.

o


96

t

Definizione 5.6. Sia M un minore (Definizione 3.20) di ordine k estratto dalla matrice A E Mmxn(]!{). Si dice minore orlato di M un minore di ordine k+ 1 estratto da A avente M come minore. • Proposizione 5.18. (Teorema di Kronecker) Se A E Mmxn(]!{), sono equivalenti le seguenti affermazioni: (1) l?(A) = k. (2) Esiste in A un minore M di ordine k tale che det M =/::.O e tutti i minori di A aventi ordine maggiore di k hanno determinante nullo. (3) Esiste in A un minore M di ordine k tale che det M =/::.O e tutti i minori di A orlati di M hanno determinante nullo.

Dimostrazione. (1) => (2). Poiché l?(A) = k, esistono in A k righe linearmente indipendenti; sia A' la sottomatrice di A costituita da tali righe. Avendosi evidentemente l?(A') = k, esistono in A' k colonne linearmente indipendenti, sia M la sottomatrice (quadrata) di A', e dunque di A, costituita da tali colonne. Poiché le colonne del minore M di A sono linearmente indipendenti, per la Proposizione 5.13, si ha det M =/::. O. Inoltre, l'esistenza di un minore di A avente ordine h > k e determinante non nullo implicherebbe, per il Lemma 5.17, l?(A) = h > k, contro l'ipotesi (1 ). (2) => (3). È ovvia. (3) => (1). Proviamo che non può aversi, nella ipotesi (3), né l?(A) < k, né l?(A) > k. Infatti, se fosse l?(A) < k, allora, poiché (1) => (2), ogni minore di ordine maggiore di l?(A), in particolare M, avrebbe determinante nullo, contro l'ipotesi det M =/::.O. Supponiamo invece l?(A) > k e supponiamo che {i 1, ... , ik} (risp. {ji, . .. ,jk}) siano gli insiemi degli indici di riga (risp. di colonna) del minore M. Per il Lemma 5.17, le righe ai 1 , . . . , aik di A sono allora linearmente indipendenti. Poiché l?(A) > k, esiste almeno un ulteriore riga aio di A tale che (aio, ai 1 , ••• , aik) risulti linearmente indipendente. Sia A' E M(k+l )xn la sottomatrice di A costituita dalle righe aio, a i1 , . •. , a ik. Evidentemente l?(A') = k+l; inoltre M è un minore di A'. Per il Lemma 5.17, le colonne aj , . • • , ajk di A' sono dunque linearmente indipendenti e, poiché l?(A') = k+ l, esiste 1 almeno una ulteriore colonna aj 0 di A' tale che (aj 0 , aj 1 , ••• , ajk) risulti linearmente indipendente. Se M' è la sottomatrice (quadrata) di A', costituita dalle colonne aj 0 aj 1 , .• • , ajk, si ha allora l?( M') = k + 1 e dunque det M' =/::. O. Poiché, per costruzione, M è un minore di M', si perviene dunque ad un minore M' di A, orlato di M, con det M' =/::. O, contro l'ipotesi (3). Pertanto l?(A) = k.

o

Applichiamo, ad esempio, il Teorema di Kronecker al calcolo del rango della seguente matrice

1 -1 1

2 4

-1

4. CAMBIAMENTI DI BASE

97

Si ha, intanto, l?(A) :S: 3; inoltre, poiché il determinante del minore

( ~ -;1 ) è non nullo, si ottiene 2 ::;: l?(A) ::;: 3. Il calcolo del determinante dei due minori orlati di M dà poi

3 3

o

1 -1 1

si conclude quindi che l?(A)

2 4 -1

3 3

= O,

1 -1 1

o

-1 -5 2

= O;

= 2.

4. Cambiamenti di base Nel presente paragrafo, il simbolo yn indicherà uno spazio vettoriale su campo ]!{ avente dimensione finita n . Definizione 5. 7. Siano 81, 82 basi ordinate di vn e siano 131 , 132 : vn --+ ]l{n · gli isomorfismi associati rispettivamente alle basi 8 1 e 8 2 . 1 Si dice cambiamento di base da 8 1 a 8 2 l'automorfismo 13 i , 13 2 = 13 2 o B 1 su ]l{n •

t

B1 ,B2 ]l{n 1

B1

Se

V =B1

(x 1 , ... , xn) e

V =B2

]l{n

'\i

yn

/' B2

(y 1 , . . . , yn), si ha pertanto:

(yl' ... 'yn) =

B1,B2 (xl'

... ' xn).

Il cambiamento di base da 81 a 82 fa dunque corrispondere alla n-pla delle componenti, rispetto a 81, di un vettore v di vn la n-pla delle sue componenti rispetto a 82. . La matrice regolare E E GLn(]I{) associata a 13 1 , 132 relativamente alla base naturale di ]!{n è detta matrice del cambiamento di base da 8 1 a 8 2 . Pertanto, posto

(x)

~

e: )'

le equazioni del cambiamento di base sono:

13 1 ,13 2

(y)

~

e)'

(relativamente alla base naturale di ]!{n)

(y)=E·(x) La seguente proposizione consente di ottenere la matrice E direttamente dalle basi 81 e 82.


98

•Proposizione 5.19. La matrice E del cambiamento di base da Bi a B2 è la matrice delle componenti di B1 rispetto a B2.

Dimostrazione. Sia B = (e1) ... ) en) la base naturale di !Kn. Posto Bi = (e1 '.... ) ~n) ed E = (a;), ricordando che, per ogni j ~ Nn, la j~esi~a colonna aj d1 E e il trasformato di ej mediante Bi,B2 (Osservaz10ne 5.5), SI ha.

aj = B 1 ,B2(ej) = B2 o, equivalentemente, ej

=B 2

o

Bè

(1, 2)

Sistemi Lineari

(a}, ... , aj) ·

o

..,. Osservazione 5 .9. Se E è la matrice del cambiamento di base da Bi a B2, allora la matrice del cambiamento di base da B2 a Bi è F = E- 1 . Infatti, si ha evidentemente '1>B 1 ,B2 = <1>5;, 81 ; d'altra parte, da (y) = E· (x) segue subito, moltiplicando a sinistra per E- 1, (x) = E- 1 · (y). Se, ad esempio, B 1 = avendosi owiamente

CAPITOLO 6

i311(ej) = B2( 8:(ej)) = B2(ej)

la base naturale di IR 2 e B2 è la base ((1, 2), (2, -2)) di IR 2, =.B 1

(1, 2)

e

. si ha subito che F

= (;

(2, - 2)

=:.B 1

(2, -2)

1. Sistemi lineari e loro risolubilità

• Definizione 6.1. Diremo sistema lineare di m equazioni in n incognite, a coefficienti nel campo IK, una coppia S = (A, b), dove A = (aj) E Mmxn(IK) e b = ( bl' ... ' bm) E !Km. La1 matrice A è detta ~~Qmu"{éfjj]o matrice dei coefficienti; la m-pla b (b , ... , bm) E !Km e la[Q!9;tri~ill!}i.

!2)

(b)

è la matrice del cambiamento di base da B2 a B1. Dunque se (xl, x2) e (yl, y2) indicano rispettivamente le componenti di uno stesso vettore di IR 2 rispetto a B1 e a B2, si ottiene

G~) = (

;

! (~~)

F -1 --

1/3 1/3 ) 1/3 - 1/6 '

2 )

~

c. ) E

=

Mm"(OC)

sono dette rispettivamente m -pla e colonna dei termini noti. La trasformazione lineare standard T : JKn -+ JKm, avente A quale matrice associata relativamente alle base naturali di JKn e JKm, sarà detta, a sua volta, ass~ciata al sistema lineare S. 1 Se (x , ... , xn) è una n-pla di simboli, detti incognite, posto

e, conseguentemente, essendo (

(~~) = F-l. G~) = ( ~~~

!06 ) G~).

.

.

Allo stesso risultato si perviene ricercando direttamente la matrice E del cambiamento d1 base da B1 a B2. Infatti, poiché

(1, O) si ottiene:

=B2

(~ ,~)

e

E=( 1/3 1/3

(0, 1)

=.B 2

(~ ,-~),

1/3 ) -1/6 .

il sistema lineare S equivalenti:

= (A, b)

è, di solito, rappresentato da una delle seguenti scritture

atx

(6.1) {

1

+ ···+ a;,xn = b1

~f x 1 + ·· ·+ a;xn = b~

n

(6.2)

'°'ai.xi = bi ~

J

'

j=l

Dal Teorema 5.11 segue inoltre che, se E è la matrice del cambiamento di base da B 1 a B2 e G è la matrice del cambiamento di base da B2 a B3, allora la matrice del cambiamento di base da B1 a B3 è G · E.

(6.3)

A . (x) = (b).

Per ogni i E Nm, l'espressione:

a'1. xl+ .. . + ain xn -- bi

l. SIST EMI LINEARI E LORO RISOLUBILITÀ

6. SISTEMI LINEARI

100

t a;x

o, in forma compatta, (

1 =

101

Esso ha equazioni:

bi) ,

J,>ç_..-A-'I I t 3-JJ-l9 =-t.

x+y=l { 3x- 2y = -4 che possono anche essere espresse come segue:

j=l

è detta i-esima equazione (lineare) del sistema lineare S . Si dice anche che S ha . i equazioni (6.1), (6 .2) o (6.3). Si dice poi matrice completa del sistema lineare S = (A, b) la matnce C = (ck) E Mmx (n+i)(OC), le cui n + 1 colonne c 1 , . . . , Cn, Cn+l sono nell'ordine ai, . . . , an, b. In altre parole: aln

! ,,. ,, L -s1::-+ lJ-· ,~ X~

(~

k=-lfs

+ Definizione 6.2.

Se S' e S" sono due sistemi lineari, rispettivamente di h e di k equazioni, nello stesso numero n di incognite, si dice sistema unione di S' e S" il sistema lineare di h + k equazioni in n incognite S = S' U S" tale che S(l , ... , h) = S' e S(h + 1,. . ., h + k) = S".

Si osservi che la i-esima riga della matrice completa C fornisce i "coefficienti delle incognite" ed il "termine noto" della i-esima equazione del sistema S .

Ad esempio, se S' ed S" hanno equazioni Un sottosistema di S è un sistema lineare le cui equazioni sono un sottoinsieme delle

{ 3x +4y =

S(i1,. . ., ih)·

2 '

rispettivamente, allora S' U S" ha equazioni:

X+ 2y = 1 3x +4y = 2 5x + 6y = 3 7x +By= 4 9x + lOy = 5 .

!

Esempio 6 .1. Se

~-©= (~I i2) EMa : . A:

5x + 6y = 3 7x +By= 4 { 9x + lOy = 5

X+ 2y = 1

. , . . equazioni di S . Il sottosistema di S costituito dalle equazioni di indice ii , . . . , ih sara md1cato con

(Q)

la coppia S = (A , b) è un sistema lineare di

b~ (1,0,-4) EQ'

e"

ff

..

equazion'. in 2 ~n~ogn~te, a coe 1c1ent1

in

~(J.. Ql, avente A quale matrice incompleta, b quale terna dei termini noti e

'~~\Q..

" e ~I = (

~~

i2

~

V +Definizione 6.3. Se S = (A, b) è un sistema lineare di m equazioni in n incognite

) E

~

of;,_ ' /fjMA"-."

quale matrice completa . \..1 . . Indicata con (x, y) la coppia delle incognite, il sistema S ha equazioni :

VvJ1

1 ) CJ~ ~JLJ: ) ~ (1) ~4 A=

( 1

3

e

r- (b) = {x = (x 1

1

' ...

'xn)

E

si dice spazio

ocn I T (x) = b}.

. _ 5

l

lf

1t .

b = (1, -4).

J e,-

- -

Il sottosistema costituito dalla prima e dalla terza equazione di S è S(l , 3) = (A, b), dove -

Sol (S) =

s,

Si dice poi che S è possibile o compatibile ris:rettivamente fijjij)ossibile] o fij_compalib''f!!/'/} se Sol (S) =I- 0 (rispettivamente s = . Se S è compatibile, si dice ~di Sogni elemento di Spl '~ · 11- ~ In altre parole, S è impossibile se non ammette alcuna soluzione, çjaè..~; ..,..o S è, invece, possibile se ammette almeno una soluzione, cioè se b E Im T. J(S Una n-pla x = (x1 , . . . , xn) E ocn è una soluzione per ilsistema lineare compatibile ~ ~6_ 1.., T S = (A , b) se e solo se, posto

x+ y = l -x + 2y =o { 3x- 2y = -4 o equivalentemente:

e i' : ocn -+ ocm è la trasformazione lineare standard associata ad delle soluzioni di S l'insieme:

M a(Q)

.(!.,

('G}A/,,, t__

s~ tw-

-T

] SaR{S)

,.l+f)

(X)~(:),

si ha: A · (x) = (b), essendo (b) la colonna dei termini noti. In altre parole, una n-pla x = (x1, .. . , xn) di elementi di ]!( è una soluzione di S se e

1. SISTEMI LINEARI E LORO RISOLUBILITÀ

6. SISTEMI LINEARI

102

103

t~'tf +Definizione 6.5.

solo se:

n

L a;xi =bi,

Vi E Nm,

' ' /,.a.

d Si osservi che un sistema lineare omogeneo S = (A, O) di me uazioni in n incognite)

j=l

cioè, come si usa dire, se e solo se, sostituita alla n-pla delle incognite, "soddisfa" tutte le equazioni di S. Ad esempio, il sistema S dell'Esempio 6.1 è impossibile, in quanto, come è facile verificare, Sol S = 0. Invece il sottosistema S(l, 3) è possibile e la sua unica soluzione è

(-2/5, 7/5).

Un sistema lineare S = (A, O), avente la m-pla nulla quale m-pla dei termini noti, è detto/omogene~ J

:i~kj sempre c~mpatibiLe, in q~anto ar;imette sempre la n- la nulla

I

4~··1 l

,'I/

unica equazione è la i-esima equazione di S, si ha evidentemente: Sol (S) =

n

E

ocn

Dimostrazione. Se T : ocn -+ ocm è la trasformazione lineare standard associata ad allora, per la Definizione 6.3, Sol (S)

~ Osservazione 6.1. Se, per ogni i E Nm, S(i) denota il sottosistema di S la cui

o = o ... o

quale soluzione. Tale soluz10ne sara detta soluzion nale \/IJ. . propos1z1one .. 6.1. Lo spazio Sol (S) delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo -~ ~ S =(A, O) in n incognite è un sottospazio vettoriale di ocn di dimensione n - g(A).

= f-

1

(0)

=

s '

Kerf.

D'altra p~rte, per il Teorema 5.6, si ha: dim( Ker T) + dim( Im T) = n. Ricordato che dim( Im T) = g(A) (Teorema 5.16), si ottiene allora dim(Sòl (S)) + g(A) = n. Ciò conclude la prova.

o

Sol (S(i)).

iENm

Se ne deduce immediatamente che, se X: = (x 1 , ... , xn) è una soluzione del sistema lineare S, allora X: è anche soluzione di tutti i sottosistemi di S . pertanto, se S = S' U S", allora Sol (S) = Sol (S') n Sol (S"). + Definizione 6.4. Due sistemi lineari S' e S", nello stesso numero di incognite si dicono equivalenti se Sol (S') =Sol (S"). Si noti che, permutando le equazioni di un sistema lineare S, si ottiene un sistema equivalente ad S. ~

Osservazione 6.2. Lo spazio delle soluzioni dell'equazione lineare: O· x 1

+ O· x 2 + · · · + O· xn

= b

è ocn se b =o, mentre è 0 se b =I- o. Pertanto, se in un sistema S compare almeno una equazione siffatta, con b =f. O, allora S è impossibile; se invece, b = O, allora il sottosistema ottenuto da S "cancellando" tale equazione è equivalente a S. Lo studio di un sistema lineare S pone innanzitutto il seguente problema:

S è compatibile o incompatibile?

Si us~ an.ch~ enunciare la Proposizione 6.1 dicendo che S ammette esattamente n-g(A) soluzioni linearmente indipendenti e tutte le altre soluzioni sono loro combinazioni lineari. ~ Osservazione 6.3. È facile rendersi conto che un sistema lineare S ammette la soluzione banale se e solo se è omogeneo. Per la Proposizione 6.1, ciò consente di affermare che Sol (S) è un sottospazio vettoriale di ocn se e solo se S è un sistema lineare omogeneo (in n incognite).

Affrontiamo ora lo studio di un sistema lineare arbitrario S = (A, b), di m equazioni in n incognite. Indicata con C la matrice completa di S, il problema della compatibilità di S è completamente risolto dalla seguente: • Proposizione 6.2. (Teorema di Rouché 1 possibile se e solo se g(A) = g( C).

-

Capelli 2 )

Un sistema lineare S è

Dimostrazione. Avendo C esattamente una colonna in più rispetto ad A, per la definizione di rango, si ha

= g(A) oppure g(C) = g(A) + 1. Inoltre l'uguaglianza g(C) = g(A) vale se e solo se la m-pla b dei termini noti è combig(C)

nazione lineare delle colonne a 1 , ... , an di A, cioè se e solo se esiste x ocn tale che

=

(x 1 , ... , xn)

E

n

Laixi =b. Nel caso in cui S sia compatibile, lo studio prosegue con la risoluzione del sistema S, cioè con la determinazione effettiva dello spazio delle soluzioni Sol (S). Affronteremo preliminarmente lo studio di una classe di sistemi lineari, per i quali il problema della compatibilità è banale e la struttura dello spazio delle soluzioni particolarmente semplice. Tale studio ci servirà di o per determinare la struttura dello spazio delle soluzioni di un sistema lineare compatibile arbitrario.

j=l

Dunque g(A) = g(C) se e solo se esiste X: E ocn che sia soluzione di S .

1Eugène Rouché: matematico se (Soummières, 1832 - Lune!, 1910). 2 Alfredo Capelli: matematico italiano (Milano, 1855 - Napoli , 1910).

o

6. SISTEMI LINEARI

104

2. METODI DI RISOLUZIONE PER SISTEMI LINEARI

.,.. Osservazione 6.4. Il teorema di Rouché-Capelli vale, in particolare, per i sistemi omogenei; in tal caso tuttavia, dal momento che b = O, si ha subito e(A) = e(C) e quindi esso non fornisce alcuna ulteriore informazione oltre a quella, evidente e già sottolineata, che ogni sistema omogeneo ammette sempre almeno la soluzione banal,e . Al fine di determinare la struttura dello spazio delle soluzioni di un generico sistem\ lineare compatibile, premettiamo la seguente

\j + Definizione 6.6. Dato il sistema lineare S = (A, b), si dice sistema lineare omogeneo associato ad S il sistema So = (A, O), ottenuto sostituendo la m-pla nulla alla m-pla b dei termini noti.

• Teorema 6.3. Se S = (A, b) è un sistema lineare compatibile (in n incognite)' e X E Sol (S), allora si ha che Sol (S) ={:X E ocn I X - X E Sol So}.

Dimostrazione. Se :X E rispettivamente, ·si ha:

ocn,

105

2. Metodi di risoluzione per sistemi lineari

. . 6.7.. U~ sistema lineare S =(A, b) si dice normal + Defimz1one

f

r;~

;

di JPymerj}(di ~ ordin.e n) se la matnce.mcor:ipleta A è quadrata (di ordine n e regolare. ~ yn sis~em~ normale di ordme n ha dunque lo stesso numero n di equazioni e di lh A. mcogmte; i.n~ltre detA =f. O, ovvero e:A) = n. e:~

• Propos1z10ne 6.5. (Teorema d1 Cramer) Ogni sistema lineare normale S = ~ (A, b) di ordine n ammette una ed una sola soluzione X:= (x1, .. . , xn). Con le usuali •Pf~ notazioni, si ha inoltre: ~ ~ ~ x ~ ( ~., -.,) P A~ (x) = A- 1 · (b), ..:~.• x ~ ~u,.,l.j.

(')

*

j (") (Formula di Leibniz 5 ,

dette (x) e (x) le colonne delle componenti di :X .e X:

-

.J

Cramer):

xi=

. Vi E Nn,

~ }~ f)l: {A(x l)= ~ {1;,: . /:Jjf .

(detDi). (detA)- 1 ,

dove Di e la matrice ottenuta da A sostituendo alla sua i-esima colonna la colonna dei termini noti.

X E Sol (S) {::}A. (x) = (b) = A . (x) {::}A. (x - x) = (O){::} X - X E Sol (So).

o

Dimostrazione. Se C E Mnx (n+l) (OC) è la matrice completa di S, si ha evidentemente: e( C) .= e( A) = n. Il Teorema di Rouché-Capelli ed il Corollario 6 .4 (a) provano allora

Si può anche enunciare il Teorema 6.3 affermando che le soluzioni di un sistema lineare possibile si ottengono sommando ad una sua particolare soluzione, arbitrariamente fissata, le soluzioni del sistema lineare omogeneo associato.

la pnma parte del Teorema. S_i ~a inoltre,.A · (x) =~\b). Moltipl~cando entrambi i membri di t,l\i~ uguaglianza a smistra per 1 mversa A della matrice (regolare) A, si ottiene (') .1' Pe.r provare(") si ricordi (Teorema 3.19 (b)) che, se Alt= (k) E Mn(OC) è la matrice 1 dei complementi algebrici degli elementi di A, si ha

.,.. Osservazione 6.5. L'applicazione Tx. : ocn --+ ocn, definita ponendo, per ogni u E ocn, Tx. (u) = u + :X è una biiezione, detta traslazione di ampiezza :X. Per il Teorema 6.3, se :X E Sol S, si ha Tx.(Sol S 0 ) =Sol S. Ciò giustifica la locuzione: lo spazio delle soluzioni Sol S si ottiene traslando Sol So m ediante :X. Si osservi che, di conseguenza, Sol S e Sol So sono in corrispondenza biunivoca. Ricordando (Proposizione 6.1) che Sol S 0 è un sottospazio vettoriale di dimensione n - e(A), si usa anche dire che un sistema lineare possibile S ammette oon-e(A) soluzioni.

A- 1 = (detA)- 1 . t(Alt). Da (x) = A- 1 · (b) segue allora, per ogni i E Nn,

x'

~ t,(det A)- A{IJ ~

in quanto

Il rango e(A) della matrice incompleta A (che, per il Teorema di Rouché-Capelli, coincide con il rango e( C) della matrice completa C) sarà anche detta rango del sistema possibile S. Dalla Osservazione 6.5 si ottiene immediatamente il seguente: l)~-Wl/11Jtt1-0

>~G

o

dett~ermin~ In

caso

(t

iJ A{) · (det A)- 1

~ (det D;). (det A)-1,

I:7=l bi A{ è lo sviluppo di Laplace di det Di secondo la i-esima colonna. o

Ad esempio, il sistema S di equazioni

3'. ~'1"'4. S.~ n""f(e)

•Corollario 6.4. (a) Un sistema lineare possibile ammette una ed una sola soluzione 3 se e solo se il numero delle incognite coincide col ucu:.ango. (b) Un sistema lineare omogeneo ammette soluzioni diveue dalla soluzione banale se e solo se il numero delle inPfgpitfi Jtrettamente m aggiore del suo ran!J!!.

3Un sistema lineare possibile che ammette una sola soluzione è contrario esso è detto indeterminato.

1

3x -y+ 7z = 1 y + 2z = 3 { -x+z = -2 è normale, in quanto

~ ~ l> s~1

-1 1

o

= 12.

:Gabriel Cramer:. matematico izzero (Ginevra, 1704 - Bagnoles, 1752). Gottjried W. Leibniz: filosofo e matematico tedesco (Lipsia, 1646 - Hannover, 1716).

J

6. SISTEMI LINEARI

106

La sua (unica) soluzione (x,


107

intendendo, dunque, che:

y, z) è:

h

1 10

1

== - . 12

d= L

detD1 = detA

1 3 -2

X= - - -

-1 1

o

Ad esempio, l'equazione lineare 3x - y del sistema S:

3

7

o

2 1

3

o z=

=

2 1

-1 1

o

-1

1 3 -2

12

22 12

+Definizione 6.8. Un sistema lineare S si dice minimo se il rango della sua matrice 40

10

12

3'

2 12

==--

=

completa C coincide con il numero delle sue equazioni. · In altri termini, S è minimo se le sue equazioni sono linearmente indipendenti. • Proposizione 6.6. Ogni soluzione di un sistema lineare S = (A , b) è anche soluzione di tutte le equazioni che sono combinazioni lineari delle equazioni di S. Dimostrazione. È un semplice calcolo.

1 6

D

• Corollario 6. 7. Se un sistema lineare S contiene una equazione che è combinazione lineare delle rimanenti, il sottosistema di S ottenuto eliminando tale equazione è equivalente ad S . D

• Corollario 6.8. Dato un sistema lineare S , esiste sempre almeno un sistema lineare minimo equivalente ad S .

dove a- 1 è l'elemento inverso di a in OC. La soluzione di un sistema lineare normale fornita dal Teorema di Cramer "imita" tali semplici considerazioni, sostituendo il calcolo matriciale alle operazioni tra elementi di oc.

xl, ...

D

Ad esempio, il sistema lineare S di equazioni :

4x+z=ll 5x + y + z = 21 { 3x -y + z = 1

(A, b) un generico sistema lineare di m equazioni nelle n incognite

,xn.

Se k E Nm, si dice che k equazioni di S sono linearmente dipendenti (rispettivamente indipendenti) se tali risultano le corrispondenti righe della matrice completa di s. Se E è l'equazione lineare c1x 1 + · · · + CnXn = d (nelle stesse incognite x 1, . . . , xn), si dice che E è combinazione lineare delle h equazioni S(ii) , .. ., S(ih) del sistema S , mediante gli scalari a1, .. . , ah E OC, se la (n + 1)-pla (c1, ... , Cn, d) E ocn+l è combinazione lineare delle righe della matrice completa C aventi per indici ii, ... , ih, mediante gli scalari a 1, ... , ah· Scriveremo in tal caso,

e

h

E= L r= l

ar S(ir)

11

6'

x = a- 1 · b

=

=

+ z = 21

mediante gli scalari 2, -1 E R

11

..,.. Osservazione 6.6. Se ax = b è una equazione lineare nell'incognita x (a coefficienti in OC), con a-/=- O, allora l'unica soluzione è evidentemente data da:

Sia ora S

+ z = 1 è combinazione lineare delle 2 equazioni

4x + z { 5x + y

7

12 1 3 -1 -2 12

detD3 --detA

e

1

owero, mediante la formula di Leibniz-Cramer:

_

arbir

r=l

non è minimo, in quanto la terza equazione è combinazione lineare delle prime due e pertanto li( C) ::; 2. Il sottosistema formato dalla prima e dalla seconda equazione di S è minimo ed equivalente ad S.

+Definizione 6.9.

Si dice che un sistema lineare S' è ottenuto da S mediante una trasformazione elementare di riga di tipo T1, T 2 , T~, T3 se la matrice completa C' di S' è ottenuta applicando alla matrice completa C di S la corrispondente trasformazione elementare di riga (Definizione 3.13) .

6. SISTEMI LINEARI

108

• Corollario 6.9. Sia S un sistema lineare. Il sistema lineare S' ottenuto da S mediante una arbitraria trasformazione di riga è equivalente ad S. Dimostrazione. L'equivalenza per trasformazioni elementari T 1 (scambio di due equazioni) è evidente. L'equivalenza per trasformazioni elementari T 2 (o T~) e T 3 si ottiene applicando la Proposizione 6.6 e il Corollario 6.7. D

Descriviamo ora due algoritmi che consentono di determinare lo spazio Sol (S) delle soluzioni di un generico sistema lineare S =(A, b) di m equazioni in n incognite. Il primo di tali algoritmi fa uso del Teorema di Rouché-Capelli e del Teorema di Cramer; il secondo è basato sulla possibilità di trasformare la matrice completa C di S in una matrice completamente ridotta, mediante trasformazioni elementari di riga (si veda § 3 del Capito o 3 e, in particolare, il Teorema 3.9).


essendo, per ogni i E Nh e j E Nn-h, a} e [Ji opportuni scalari di JK. Si osservi che, se h = n allora S'è normale, coincide con S" e la n-pla ({3 1, ... , {Jn) E ocn è la sua unica soluzione. 4) Lo spazio Sol (S) =Sol (S') è dunque costituito da tutte e sole le n-ple (x 1, .. . , xn) E in cui xq(h+l), .. . , xq(n) sono arbitrari scalari t 1, ... , tn-h di OC, mentre xq(l), . .. , xq(h) si ottengono come loro funzioni, mediante le formule (6.4).

ocn,

~ Osservazione 6. 7. L'algoritmo A dipende in maniera essenziale dalla scelta del minore M.

Esempio 6.2. Sia S il sistema lineare, a coefficienti in JR, di equazioni :

5x 1 - 2x 2 - 7x3 - x 4 = 3 3x 1 - 2x 2 + x 3 - x 4 = 7 1 3 { x 1- 4x 2= -2 3 2x - 2x + 5x - x 4 = 9.

Algoritmo A 1) Si calcoli il rango {!(A) della matrice incompleta A ed il rango {!(C) della matrice completa C di S . Per il Teorema di Rouché-Capelli, si ha Sol (S) = 0 se e solo se {!(A) i- {!(C). Supponiamo dunque {!(A)= {!(C) = h :'.S min{m, n}. Se h = m = n, allora il sistema S è normale e la sua unica soluzione è ottenibile mediante il Teorema di Cramer. 2) Si fissi un minore M di A di ordine h, con det M i- O. Poichè una permutazione delle equazioni di S trasforma tale sistema in uno equivalente, si può sempre supporre che l'insieme degli indici di riga di M sia I = {1,2, . . . ,h}. Esisterà inoltre una permutazione q E Sn, tale che l'insieme degli indici di colonna di M sia J = {q(l), q(2), ... , q(h)}. Per il Lemma 5.17, le prime h righe di C sono linearmente indipendenti e, poichè {!( C) = h, le restanti righe sono combinazioni lineari delle prime h. Per il Corollario 6.7, il sottosistema S' costituito dalle prime h equazioni di S è minimo ed equivalente ad S . Si osservi che, se h = m, allora S è già un sistema minimo e pertanto S' coincide con S . 3) Posto

al

= t 1, ... , xq(n) = xq(l) + ... +al

...

.. .

xq(h+l)

q(l)

{

ah xq(l) q(l)

q(h)

tn-h, xq(h)

+ ... +ahq(h) xq(h)

si riscriva il sistema S' nel modo seguente: _ bl _al tl _ ... _al tn-h

-

. ..

q(h+l)

q(n)

.. .

_ bh _ ah tl q(h+l)

_ ... _

..

ah tn-h q(n) ·

In altre parole, si interpreti S' come un sistema lineare normale S" di ordine h, avente M quale matrice incompleta, nelle h incognite xq(l), ... , xq(h), considerando le rimanenti n - h incognite xq(h+l), . .. , xq(n) di S' come "parametri indipendenti". Risolvendo il sistema S" con la Formula di Leibniz-Cramer si ottiene allora: xq(l) = a~tl + . . . + a~_htn-h + [Jl (6.4) {

xq(h)

= a~tl + . .. + a~_htn-h +

[Jh

109

Dal momento che {!(A) = {!(C) = 2, S è possibile ed ammette M

= (

00 2

soluzioni . Il minore

~ ~2)'

avente I = {3, 4} e J = {1, 2} quali indici di riga e di colonna ha det M = -2 Pertanto S è equivalente al sottosistema minimo S' di equazioni : x 1 - 4x 3 = -2 { 2x 1 - 2x 2 + 5x 3 - x 4 = 9.

-f.

O.

Posto x 3 = t 1, x 4 = t 2, il sistema S' può essere riscritto come segue: x 1 =-2+4t 1 { 2x 1 - 2x 2 = 9 - 5t 1 + t 2, che dà :

x 1 =-2+4t 1 { x2 = - 13 + 13 tl - ~t2. 2 2 2

Quindi Sol(S) = { (x 1 ,x2 ,x3 ,x4 ) E JR4 I x 1 =-2+4t1, = - 13 + 13 tl - ~t2 x3 = t1 x4 = t2} 2 2 2 ' ' . Si osservi che lo spazio vettoriale delle soluzioni del sistema lineare omogeneo S 0 associato ad S è il sottospazio vettoriale di JR 4 : x2

U =Sol (So)= { (u1,u 2 ,u3 ,u4 ) E IR 4 I u 1 = 4t1, u2

= 13 tl 2

~t2 u3 = tl u4 = t2} 2 , ' ,

avente dimensione 2. Infatti, assegnando alla coppia (t 1, t 2) rispettivamente i valori (1, O) e (O, 1), si ottiene la base B = {(4, 13/2, 1, O) , (O, -2, O, 1)} di U.

110

6. SISTEMI LINEARI

Inoltre una soluzione particolare per S è X:= (-2, -13/2, O, O) (ottenuta per t 1 = t 2 =O). Ciò conferma che Sol S è ottenuto traslando U mediante X:.

Esempio 6.3. Sia s il sistema lineare dell'Esempio_6.2. Scambia_ndo tr.a loro la prim'a· e la terza equazione, si ottiene un sistema lineare equivalente, la cui matrice completa e.

e~ U~~ ~: ~t T)

Algoritmo B (Procedimento di Gauss-Jordan 6 )

1) Si consideri la matrice completa C di S e la si muti, mediante una successione di trasformazioni elementari di riga, in una matrice C' ridotta a gradini. Per il Corollario 6.9, il sistema lineare S' avente C' quale matrice completa è equivalente ad S. Sia e(C') = h. Se l'h-esimo elemento speciale cjh di C'appartiene alla sua ultima colonna (cioè alla colonna dei termini noti di S') , allora la h-esima equazione lineare di S' ha tutti i coefficienti delle incognite nulli ed il termine noto non nullo. Ciò prova (Osservazione 6.2) che S' , e dunque S , è impossibile. Del resto le ultime m - h righe di C' sono tutte nulle e pertanto, in tal caso, e(A') = h - 1 f:. h = e(C'); l'impossibilità di S' è quindi provat a anche dal Teorema di Rouché-Capelli. Supponiamo ora jh < n + 1, cioè che cjh non sia un t ermine noto di S' . 2) Sia e' E Mhx(n + l)(JK) la sottomatrice di C' costituita _ , dalle sue prime h righe. Sia poi C" la matrice completamente ridotta ottenuta da C mediante trasformazioni elementari di riga ed S" il sistema lineare avente C" quale matrice completa. S" è equivalente ad S' (e dunque S); si ha inoltre e(C") = e(C') = h (Osservazione 5.8). Dalla Definizione 3.12 di matrice completamente ridotta segue che il sist~a lineare S" assume la forma seguente: { x'(' )

+.X1 xq( h+l)

+ . .. +

+.Xixq(h+l)

+ ... + À~-h xq(n) = µ2

Operando su C mediante operazioni elementari di riga (di tipo T1 e T2 ) , si ottiene la matrice ridotta a gradini :

C'

~

u~2 ~f ~l -2 ) 13

o o

Poiché il secondo (ed ultimo) elemento speciale di C' non appartiene all'ultim~ . go d1ran 2 · , ·b·I Q · d' h I uin 1 anc e 1 colonna, il sistema S' avente C' quale matrice completa e poss1 1e. sistema S è possibile. Per risolverlo, basta considerare le prime due righe di C' e_d ottenere, mediante una

opemiooe e(emen1'<e di :,o

:J(,(: m~"ic~~mpt"'-~te)ndott• o

1

Posto

x3 = tl, x4 =

x1

-

{ x2

-

4x 3 = -2 13 3 1 4 - X + - X 2 2

{

= - À1~1

À~~htn-h

+ ~l

xq(h)

=

- À~ tl - ... - À~ - htn-h

+ µh

_ . .. _

{

Lo spazio Sol (S) si ottiene quindi operando come nel o 4 dell'Algoritmo A .

2

Jordan: matematico se (Lione, 1838 - Parigi, 1922).

2

_

~t 2 . 2

s = (A, o) un sistema lineare omogeneo minimo di n-1 equazioni in n ·incogni't e (ovvero·. A E M (n - 1) xn (JK) con "'n(A) = n-1). Allora, detta Mj . E Mn- 1(lK), . Il · E 1M la matrice ottenuta cancellando la j-esima colonna d1 A, una soluzione non nu a

Esempio 6.4. Sia J

l'ln,

del sistema è

x=

(det M 1 , - det M 2 , ... , (-l)j+l det Mj, . .. , (-lt+l det Mn)

e Sol (S) = L(x). Infatti, considerata, per i E Nn- 1, la matrice Ni =

(~j) E Mn(lK) le

SI ha banalmente cui n nghe sono - a , - a , ... , , • . . detNi =o per ogni i E Nn- l (dato che la matrice contiene due nghe_ uguah) . ~un~ue'. :X è soluzione di s in quanto, dallo sviluppo di Laplace secondo la pnma nga d1 N , s1

.

.

ottiene: 6 Camille

13 2

= --

1

x 2 = _ 13 + 13 t 1

essendo q E 6n una opportuna permutazione (applicata alle colonne di C ") . Si osservi che S" è un sistema minimo.

xq('.l)

-2

t 2 , si ottiene, come già nell 'Esempio 6.2: x 1 =-2+4t

(6.5)

2

2

Il sistema lineare S" avente C" quale matrice completa ha equazioni :

À~-hxq(n) = µl

3) Considerando ora le n - h incognite xq(h+l), ... , xq(n) come parametri, posto xq(h+l) = t 1 , ... , xq(n) = tn-h, si ottengono subito le seguenti formule, analoghe alle formule (6.4) dell'Algoritmo A:

111


dl _

i

d2 _

n

n

j=l

j=l

1

ds = as - 1 . . . dn = an-l,

.

L ajxi = L aj(-l)i+l det Mi= detN' =O

Vi E Nn-1·

6. SISTEMI LINEARI

112

Il fatto che tale soluzione sia non nulla e che generi Sol (S) è conseguenza diretta di

e(A)

=n-

1.

determinante nullo. Il sistema lineare omogeneo S di n - h equazioni in n incognite:

~:~z::~

:~

detMn

=O

{ 3. Rappresentazioni dei sottospazi vettoriali Nel presente paragrafo, considereremo solo sottospazi di uno spazio vettoriale v n di dimensione finita n sul campo K B indicherà una fissata base ordinata di vn. Ci poniamo ora il problema di rappresentare tramite "sistemi di equazioni" i sottospazi di v n . Esistono fondamentalmente due tipi di rappresentazioni: cartesiane e parametriche.

(I)

Rappresentazione cartesiana.

Diremo che un sistema lineare omogeneo S = (A, O) di m equazioni in n incognite rappresenta un sottospazio vettoriale Uh di v n, relativamente alla base B , se Uh coincide con l'insieme

113

3. RAPPRESENTAZIONI DEI SOTTOSPAZI VETTORIALI

rappresenta dunque Uh, rispetto alla base B. Si osservi che S è necessariamente un sistema lineare minimo per la Proposizione 6.1 , in quanto dim(Sol S) = dim Uh = h .

o

..,. Osservazione 6.8. La Proposizione 6.1 e l'Osservazione 5.1 permettono di affermare che il Teorema 6.10 è invertibile, nel senso che, fissata una base B di v n, ogni sistema lineare omogeneo S di m equazioni in n incognite e rango e(A) = n - h rappresenta un sottospazio vettoriale uh di vn. ..,. Osservazione 6 .9. La rappresentazione di Uh (rispetto alla base B) mediante il sistema lineare S non è unica, in quanto S dipende dalla scelta della base { u1, . . . , u h} di Uh e dal minore M nella' matrice H.

o, 1, O) =B (x, y, z, w) E V 4 appartiene ad U 2 se e

Esempio 6.5. Nello spazio vettoriale V 4 su JR siano U1 =B (1, 1, 1, 2), U2 =B (-1,

ovvero se l'insieme delle componenti dei vettori di Uh, rispetto a B, coincide con Sol (S) . In tal caso, si ha necessariamente e(A) = n - h. Le equazioni A· (u) = (O) del sistema S si dicono equazioni cartesiane o, più semplicemente, equazioni del sottospazio U h (relativamente a B ).

J • Teorema 6.10.

Ogni sottospazio vettoriale h-dimensionale Uh di vn (O< h < n ) può essere rappresentato, relativamente a B, da un sistema lineare omogeneo minimo di n - h equazioni in n incognite.

Dimostrazione. Sia { U1 , ... ' uh} una base di uh. Se V =B (x 1' . . . 'xn) è un generico vettore di v n e se, per ogni i E Nh, U i =B (u}, . .. 'ui), sia ul 1

e U 2 = L(u1, u2) . Un generico vettore solo se la matrice:

H= ha rango 2. Scelto il minore M

= (

~ ~1

) '

con det M = 1 =f. O, basterà imporre che i due orlati di M abbiano determinante nullo. Ciò porta al sistema lineare omogeneo minimo S di equazioni: X

y z la matrice delle componenti della (h + 1)-pla (v, u 1 , ... , uh), rispetto a B. Si osservi che la lineare indipendenza di (u 1 , ... , uh) implica la lineare indipendenza delle ultime h colonne di H. Pertanto, h :::; e(H) :::; (h + 1). Inoltre esiste un minore Mdi H individuato da un opportuno insieme di h indici di riga e dall'insieme {2, 3, ... , h + 1} di indici di colonna avente determinante non nullo. Poiché v E Uh = L(ui, ... , uh) se e solo se (x1, ... , xn) E L((uL ... , uf ), .. ., (uh, . . . , uh)), si ha dunque v E U h se e solo se e(H) = h, ovvero, per il Teorema di Kronecker, se e solo se gli n - h orlati Mh+i, .. . , Mn del minore M in H hanno

V

1 1 1

-1

o

=0

1 e cioè

X

y w

1 1 2

-1

o o

che rappresenta U 2 rispetto a B. Scelto invece il minore

{

=0

1 M'= ( 2

1

o

),

2y+ Z = 0 2y-w =O

X -

114

6. SISTEMI LINEARI

lo stesso procedimento produce il sistema S' di equazioni:

x+z-w=O { 2y-w =O equivalente ad S. Si osservi che U 2 = L(w1, w2). dove W1 =B (O, 1, 2, 2) e W2 =B (2 , 1, o, 2) .

(I I)

Rappresentazione parametrica.

Si noti che, come gia osservato nella dimostrazione del Teorema 6.10, se il sottospazio U1 =.B ( U~, ... , uì_'), ... , uh =B (u}., ... , uh), allora un vettore generico v =B (x 1 , ... , xn) E Uh se e solo se v E L(u1 , ... , uh); ci6 equivale ovviamente alla esistenza di h scalari t 1, . . . , th E lK tali che v = t 1 u 1 + · · · + thuh. Pertanto, tutti e soli i vettori v E Uh ammettono, rispetto a B, componenti (x 1 , ... , xn) che si ottengono, al variare dei parametri t 1 , .. . , th E JK, da Uh di Vn é generato dai vettori linearmente indipendenti

Le corrispondenti equazioni ovvero {

~1 = u~tl .. ..

xn

=

+ . .. +u}.t.h ..

uì_'t + · · · + uhth, 1

sono dette equazioni parametriche di Uh (relativamente a B). Si osservi che, fissata B, le equazioni parametriche non sono uniche, in quanto dipendono dalla scelta della base (u 1 , . . . , uh) di Uh. Esempio 6.6. Se U 2 = L(u 1, u 2) è ancora il sottospazio di V 4 , generato dai vettori. u1 =B (1, 1, 1, 2) e u2 =B (-1, O, 1, O) (Esempio 6.5), allora le equazioni parametriche di U 2 sono: X= tl - t2 y = tl owero z = tl + t2 {

w Se, invece, si considera U 2 allora si ottiene:

= L(w1 , w2)

{

= 2t 1

con W1 =B (0, 1, 2, 2) e W2

X=

2s 2

Y=

sl

+ s2

z = 2s 1

w = 2s 1 +2s 2 .

=.B

(2, 1, 0, 2),

3 . RAPPRESENTAZIONI DEI SOTTOSPAZI VETTORIALI

115

.,. Osservazione 6.10. Se il sottospazio Uh è rappresentato, rispetto alla base B di yn dal sistema lineare omogeneo minimo S, allora per ottenere un sistema di equazio~i parametriche di Uh, basta determinare una base di Uh (cioè h vettori linearmente indipendenti) ed applicare poi il metodo appena descritto. Viceversa, data una rappresentazione parametrica di Uh, rispetto alla base B di vn, i coefficienti degli h parametri forniscono le componenti, rispetto a B, di h vettori (linearmente indipendenti) che generano U\ il metodo descritto nella dimostrazione del Teorema 6.10 produce allora un sistema lineare omogeneo minimo S che rappresenta Uh. Si osservi ancora che gli Algoritmi A e B di risoluzione dei sistemi lineari descritti nel § 2, producono entrambi particolari sistemi di equazioni parametriche per uh.

CAPITOLO 7

Autovalori ed autovettori 1. Autovalori ed autospazi di un operatore lineare

Nel presente paragrafo V indicherà uno spazio vettoriale Se À E lK e Tè un operatore lineare su V, poniamo: UÀ

= UÀ(T) = {v E V I T(v) =

• Proposizione 7 .1. Per ogni scalare

À

~ul

campo OC.

À · v} .

E JK, U À è un sottospazio vettoriale di V .

Dimostrazione. È facile verificare che U À è linearmente chiuso.

o

+Definizione 7.1.

Uno scalare À E lK è detto autovalore dell'operatore lineare T su V se il sottospazio U À(T) di V non si riduce al solo vettore nullo O di V. In tal caso, UÀ(T) è detto autospazio di T, relativo all'autovalore À; gli elementi di UÀ(T) sono detti autovettori di T relativi all'autovalore À.

In altre parole,

À

E lK è un autovalore di T

~e

esiste un vettore v

=

À ·

v.

(7.1)

T(v)

Gli autovettori di T relativi a nullo O) soddisfacenti (7.1). Si osservi che, per

À

À

~

O di V tale che:

sono tutti e soli i vettori v E V (compreso il vettore

=O, si ha Uo(T) = KerT.

Pertanto, O E lK è un autovalore di T se e solo se T non è iniettivo (Proposizione 5.2

(c) ). Esempio 7.1. Sia T : JK 2 --+ JK 2 l'operatore lineare definito da T(x, y) = (ax, by), con a, b E lK - {O}, a~ b. Allora gli autovalori di T sono a e b ed i relativi autospazi sono:

Va= {(x,y) E lK 2 I y =O}, vb

= {(x,y)

E

lK 2

I X= O}.

Esempio 7.2. Sia T: --+ IR. l'operatore lineare definito da T(x, y) = (3x-2y, 2x-y). Lo scalare À E JR è un autovalore di T se e solo se esiste un vettore (x, y) E IR. 2 -{(O, O)}, tale che 3x - 2y = Àx { 2x -y = Ày.

IR. 2

2

7. AUTOVALORI ED AUTOVETTORI

118

In altre parole, À è un autovalore se e solo se il sistema lineare omogeneo

1. AUTOVALORI ED AUTOSPAZI DI UN OPERATORE LINEARE

119

Si ha allora:

(.X - 3)x - +2y =O { -2x + (.X+ l)y = O = 01À1V1 + · · · + OhÀhVh·

ammette soluzioni diverse da quella banale. Per il Teorema di Cramer ciò avviene se e solo se

3 det ( .x_2

2 O ) .X+l = '

cioè se e solo se À = 1. Quindi 1 è l'unico autovalore di T. Il relativo autospazio U 1 è l'insieme di tutti i vettori (x, y) E JR. 2 tali che: (1 - 3)x + 2y = O

{ -2x+(l+l)y=0 ovvero U1 = {(x,y) E JR.

2

I X= y}.

Sottraendo a quest'ultimo termine il primo membro della (7.2) moltiplicato per Àh, si ottiene quindi

Per l'ipotesi induttiva, i vettori v 1, ... , vh-l sono linearmente indipendenti, per cui tutti i coefficienti 01 (..\1 - Àh) , ... , Oh- l (Àh-l - Àh) devono essere tutti nulli. Dal momento che, per ipotesi, per ogni i E Nh-l, Ài i- Àh, se ne deduce che 01 = · · · = Oh-1 = O. Sostituendo nella (7.2) si ottien.e infine Oh vh = O, da cui, essendo vh i- O, segue Oh = O. Ciò prova che i vettori v 1, . . . , vh sono linearmente indipendenti. D

Vedremo in seguito che il procedimento sopra illustrato è valido, in generale, per la ricerca degli autovalori (e degli autospazi) di un qualsiasi operatore lineare su uno spazio vettoriale di dimensione finita .

La Proposizione 7.2 viene di solito enunciata brevemente dicendo che autovettori non

nulli relativi ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti.

Esempio 7.3. Esistono anche operatori lineari privi di autovalori. Ad esempio, se T :

JR. 2 -+ JR. 2 è definito da T(x, y) = (y , -x), allora ripetendo il procedimento già visto nell'Esempio 7.2, si ottiene che À è autovalore di T se e solo se det ( ovvero se e solo se ..\ 2

+1 =

~ ~l

) =O,

Esempio 7.5. Siano ..\ 1 , ... , Àn n numeri reali distinti, interpretati come n autovalori distinti per l'operatore lineare D su C00 (JR.; JR.) dell'Esempio 7.4. Poichè, Vi E Nn. eÀ;X è un autovettore non nullo relativo all'autovalore Ài, dalla Proposizione 7 .2 si ricava che le funzioni eÀix, • •. , eÀnx sono linearmenti indipendenti .

O. Dunque T non ha autovalori (reali) .

Esempio 7.4. Sia C00 (JR.;JR.) l'insieme delle funzioni "lisce" (cioè infinitamente derivabili)

f : JR. -+JR..

Evidentemente C00 (JR.; JR.) è un sottospazio vettoriale dello spazio di tutte le funzioni da JR. ad JR.. Sia ora D l'operatore lineare su C00 (JR.; JR.) che ad ogni funzione f associa la sua funzione derivata D f = f'. Per ogni À E JR., si ha : D(eÀx)

= ÀeÀx.

Se ne deduce che ogni numero reale À è un autovalore di D. Si può inoltre provare che l'autospazio UÀ ha dimensione uno; pertanto UÀ = L(eÀx) .

• Corollario 7.3. Gli autospazi relativi ad un numero finito di autovalori distinti sono sottospazi indipendenti.

Dimostrazione. Siano U Ài , ••. , U Àh gli autospazi relativi agli autovalori distinti Ài, . .. , Àh · Se, per i E Nh,

si ha Vi = V1 + · · · + Vi- 1 + Vi+l + · · · + Vh,

•Proposizione 7.2. Siano ..\ 1 , ... , Àh h autovalori distinti di T e, per ogni i E Nh, sia Vi E UÀ; - {O} . Allora i vettori vi, ... , vh sono linearmente indipendenti.

Dimostrazione. Applichiamo il Principio d'induzione. Per h = 1 l'affermazione è banalmente vera, essendo V1 i- O. Supponiamo ora che la Proposizione sia vera per h - 1 autovalori e dimostriamone la validità nel caso di h autovalori. A tale scopo supponiamo che si abbia (7.2)

dove, per ogni j E Nh,

Vj

E U À j. Quindi

V1 + · · · + Vi-1 - Vi+ Vi+l + · · · + Vh = 0 e ciò implica, per la Proposizione 7.2, che ogni Vj (in particolare, v i) è il vettore nullo. Pertanto gli autospazi U ).. 1 , ••. , U Àh sono sottospazi indipendenti. D


120

2. MATRICI SIMILI 121

2. Matrici simili

Se E E GLn(lK) è la matrice del cambiamento di base da Ba B' (§ 4 del Capitolo 5), si ha inoltre:

Sia lK un campo.

(x') =E· (x),

+Definizione 7.2. A~ s

Diremo che due matrici A, BE Mn(lK) sono simili, e scriveremo B , se esiste una matrice regolare E E GLn(lK) tale che

Ad esempio, le matrici

= E- 1 · (y') = E- 1 ·A'· (x') = E- 1 · A'· E· (x).

Sia B' = (fi, ... , fn) una arbitraria base ordinata di yn e sia T l'operatore lineare su vn avente A' quale matrice associata, relativamente a B'. Per ogni v E vn, se (x') (risp. (y')) è la colonna delle componenti di v (risp. di T(v)) rispetto a B', si ha dunque:

A=(~{J6 ~% ), B=(~l -; )EM2(~) 3

(y)

Ciò prova che A= E- 1 ·A' · E, cioè che A e A' sono simili. (b) Supponiamo ora che A e A' siano simili, cioè che esista E= (e] ) E GLn(lK) tale che A = E- 1 · A' · E.

A= E- 1 . B·E.

(7.3)

(y') =E. (y).

Si ottiene quindi:

1

sono simi li, in qu anto esiste

(y') =A' · (x'). Sia B la n-pla (e1, ... , en) di vettori di yn definita ponendo, per ogni j E Nn, n

per cui (7.3) è verificata . ej

=I>; .ri. i=l

• Proposizione 7.4. La similitudine tra matrici è una relazione di equivalenza su Mn(lK). Dimostrazione. Se A, B, C E Mn(lK), ricordando che ( GLn(lK), ·) è un gruppo (Teorema 3.6), si ha infatti: . . , (R) A= J;; 1 ·A·In, dove In E GLn(lK) è la matrice identica d'ordme n (propneta riflessiva) ; _ _ -1 (S) se A = E- 1 . B . E, con E E GLn(lK), allora B = (E 1 ) 1 · A· E , con E- 1 E GLn(lK) (proprietà simmetrica); (T) se A = E-1 . B. E e B = F - 1 . C. F , con E, F E GLn(lK), allora A = E-1 . F-1 . C. F . E = (F . E)- 1 . C. (F · E), con F · E E GLn(lK) (proprietà transitiva).

o

La matrice delle componenti di B rispetto alla base ordinata B' è quindi la matrice regolare E: pertanto B è una base ordinata di yn (si veda l'Osservazione 5.6). Indicata con (x) (risp. (y)) la colonna delle componenti div (risp. di T(v)) rispetto a B, si ha inoltre:

(x') =E· (x),

(y') =E. (y).

Si ottiene quindi: 1

1

(y) = E- · (y') = E - ·A' · (x') =;= E- 1 ·A'· E· (x) =A· (x). Dunque MB(T) =A. Ciò conclude la prova del Teorema 7.5.

o Ricordando che, se A = MB(T), allora e(A) = dim( Im T) (Teorema 5.16), come conseguenza del Teorema 7.5, si ottiene il seguente: • Corollario 7.6. Matrici simili hanno lo stesso rango.

o

Sia ora yn uno spazio vettoriale di dimensione n sul campo lK. • Teorema 7.5. Due matrici A , A' E Mn(lK) sono simili se e solo se esistono un operatore lineare T su yn e due basi ordinate B, B' di vn, tali che A = MB(T), A'= MB1(T) . Dimostrazione. (a) Sia T un operatore lineare su yn e sia~o ~ , ~' due basi di -yn , t l. h A= M (T) A'= M 8 ,(T). Per ogni vettore v E V , md1cata con (x) (nsp. a1c e B , . ') d · d · t ( ) (x')) la colonna delle componenti div rispetto a B (nsp. B . e m ica.a con Y 1 (risp. (y')) la colonna delle componenti di T(v) rispetto a B (nsp. B ), SI ha allora (Teorema 5.10): (y') =A'· (x') . (y)=A · (x),

Si ha inoltre: • Proposizione 7. 7. Matrici simili hanno lo stesso determinante. Se A, A' E Mn(lK) sono simili, sia E E GLn(lK) tale che A = Dimostrazione. 1 E- · A' ·E. Dal Teorema di Binet (Proposizione 3.15) e dal Teorema 3.19 (a) si ricava allora: detA

= det(E- 1 ·A' · E)= det(E- 1 ) =

(det E)-

1

·

·

detA' · detE

=

det A'· det E= det A'.

o

122


3. POLINOMIO CARATTERISTICO

123

Data una matrice A= (a; ) E Mn(lK), la matrice:

Sia, ad esempio, T l'automorfismo sullo spazio vettoriale V 2 (su JR), di equazioni:

-a~ a~

yl =xl_ x2 { y2 =-xl + 3x2

-a!; -a;,

t-

rispetto alla base B' = (e 1 ,e 2 ) di V 2 . Se B = (f1 ,f2 } è un 'altra base di V 2 , con f 1 = e 1 + 2e 2 , f 2 = 2e 1 - 2e 2 , allora la matrice del cambiamento di base da Ba B' è

E= ( ;

~2) .

)

t - a~

viene comunemente detta matrice caratteristica di A.

+

Definizione 7.3. Si dice polinomio caratteristico della matrice A E Mn(lK) il polinomio

Dal momento che

-1 ) 3 ,

~A(t)

= det(tin -A)

E lK[t].

Si dicono poi autovalori di A le radici del suo polinomio caratteristico ~A(t) .

si ha :

MB(T)=A=E Si osservi che: det A'

- 1

/

AE=

_4/3

(

716

-4/3) 8/3

..,. Osservazione 7.1. Il polinomio caratteristico di una matrice A E Mn(lK) è un polinomio manico (cioè con coefficiente principale = 1) di grado n, a coefficienti in

.

= det A = 2.

JK .

Posto: ~A(t)

3. Polinomio caratteristico Nel presente paragrafo mostreremo che gli autovalori di un operatore lineare T su uno spazio vettoriale yn di dimensione finita n (sul campo JK) sono le radici di un polinomio di grado n (a coefficienti in JK), univocamente associato a T . Le nozioni fondamentali relative alle equazioni algebriche, utilizzate nel seguito del capitolo, sono raccolte nella Appendice A.

• Proposizione 7.8. Sia B una base ordinata di yn ed A la matrice associata a T relativamente a B. (a) Per ogni À E JK, detta (x) la colonna delle componenti di un generico vettore v E yn rispetto a B, il sottospazio U À (T) ha equazioni:

(7.4)

(Hn - A) · (x)

=

= tn + On-ltn-l + · · · + Oo ,

ricordando che ogni addendo dello sviluppo del determinante contiene quale fattore uno ed un solo elemento di ciascuna riga e di ciascuna colonna, si ottiene subito che il coefficiente di grado n - 1 è: On - l = - (at + ··· +a~)

=-

7r (A) ,

dove 7r (A) indica la traccia della matrice A (si veda l'Esempio 5.5). Inoltre il coefficiente di grado zero è . Oo

= ~A(O) = det(-A) =

(- lrdetA.

Esempio 7.6. Consideriamo le matrici :

(0) .

Si ha pertanto: dim UÀ(T) = n - g(Hn -A). (b) Lo scalare À E lK è un autovalore di T se e solo se det(Hn - A) particolare, O E lK è un autovalore di T se e solo se det A= O.

=

O.

In

3

Dimostrazione. Si ha T(v) = Àv se e solo se A· (x) = À · (x ), ovvero se e solo se (Hn - A)· (x) =(O) . Pertanto, le (7.4) sono le equazioni di UÀ(T) , relativamente a B (si veda§ 3). Ciò prova (a). Inoltre, À E lK è un autovalore di T se e solo se

A3 =

(

o o

I relativi polinomi caratteristici sono: ~A1

dim UÀ(T) = n - g(Hn - A)> O,

(t) =

cioè se g(Hn - A) < n . Poichè Àin - A E M n (lK) , ciò accade se e solo se il suo determinante è nullo. Ciò prova (b).

o

o

O 3

~A 2 (t) =

o o

t-1 -3 -7

-1 t-3

t- 3

-1 o t-3 o -1 t-2

o

-4

o

= t(t - 2)(t - 4);

t-2

=

(t - 2)(t - 3) 2 ;


124 t-3 ÒAa (t)

Ò A 4 (t)

=

=

o

-1

o

o o

t-3

o

t-2

t-3 5 -7

-2 t+3

o o

o

Dimostrazione. Se A, B E Mn(K) sono simili, sia E E GLn(K) tale che B = E- 1 ·A· E. Si ha allora:

= (t - 2)(t - 3) 2;

òB(t) =

= (t - 2)(t 2 + 1) .

t-2

Ne consegue che gli autovalori di A 1 sono O, 2 e 4, gli autovalori di A2 e di A3 sono 2 e 3, mentre l'un ico autovalore (reale) di A4 è 2. Si osservi che la stessa matrice A 4 , considerata in M 3 (C), ha tre autovalori (complessi): 2, i e -i. Esempio 7 . 7. Sia On(lR) l'insieme delle matrici ortogonali di ordine n su JR (Definizione 3.11). Se n è dispari, allora l'unità 1 di JR è autovalore di ogni matrice A E On(lR) avente

determinante uguale ad 1.

Da det(A- 1) = (detA)- 1 = 1 segue infatti:

= det(A- 1 - In) = det( t A - In)= det( t ( t A - In)) = = det(A - In)= (-1) -n · det(In - A) = - det(In - A), e quindi 2 · det(In - A) = O, da cui si ottiene det(In - A) =O. Ciò prova che 1 è radice del polinomio caratteristico ÒA(t) = det(tin -A) di A e pertanto che 1 è un autovalore di A.

(a~+ a~+ a~)t2 + (\ :t :~

I+ I

:~

:1 :i :i \) I+ I

La Proposizione 7.9 consente di formulare la seguente:

+Definizione 7 .4. Sia T un operatore lineare su y n. Si dice polinomio caratteristico di T, e si indica con òr(t), il polinomio caratteristico della matrice A = M 6 (T), associata a T relativamente ad una qualunque base di y n.

Dimostrazione. Per la Definizione 7.4 e per la Proposizione 7.8 (b), si ha che>. E][{ è un autovalore di T se e solo se òr(>.) = O, cioè se e solo se >. è radice del polinomio òr(t) .

o

+ Definizione

. Esempio 7.8. Sia A= (a;) E M 3 (K). Il polinomio caratteristico di A è

-

o

• Teorema 7 .10. Gli autovalori di un operatore lineare T su y n sono tutte e sole le radici del polinomio caratteristico òr (t). Pertanto, gli autovalori di T coincidono con gli autovalori di una qualunque matrice associata a T.

1 = det(A- 1 · (In -A) ) = det((A- 1 ·In) - (A- ·A))=

3

det(tln - B) = det(tln - E- 1 ·A· E) = det(E- 1 · (tin) ·E - E- 1 ·A · E) = det(E- 1 · (tln - A) ·E) = det(E- 1) · det(tln - A) · det E= (det E)- 1 · det E · det(tln - A) = det(tln -A)= ÒA(t).

Risulta ora immediato il seguente:

det(In - A) = det(A- 1) · det(In - A) =

òA(t) = t

125

3. POLINOMIO CARATTERISTICO

t - detA.

Più in generale, se A E Mn(K), si può dimostrare che il coefficiente Om di grado m < n del polinomio caratteristico di A è la somma dei determinanti dei minori principali di ordine n - m, moltiplicata per ( -l)n-m. Esempio 7.9. Se A= (a;) E Mn(K) è una matrice triangolare alta o bassa (Definizione

7.5. Sia >. un autovalore dell'operatore lineare T di y n. Si dice molteplicità algebrica ma(>.) di >. la molteplicità di >. quale radice del polinomio caratteristico ò r(t). Si dice molteplicità geometrica mg(>.) di >. la dimensione del relativo autospazio U.x(T). Si osservi che, se A E Mn(K) è una matrice associata a T, allora la Proposizione 7.8 (a) implica che: mg(>.)= dim U.x = n - e(>-In - A)

3.10), allora il polinomio caratteristico di A è ÒA(t)

=

(t - ai)(t - a~) .. . (t - a~).

• Proposizione 7.11. P er ogni autovalore >. di T, si ha: 1 ::; mg(>.) ::; ma(>.).

• Proposizione 7.9. Matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico e, di conseguenza, gli stessi autovalori e la stessa traccia.

Dimostrazione. Poichè dim U.x > O, si ha mg(>.) = h 2: l. Sia poi B.x = (ei, . .. , eh) una base ordinata di U >. e B = (e 1, . . . , eh, fi, ... , fn -h ) una base ordinata di yn ottenuta per completamento della base B.x (Proposizione 4.12) .


126

Dal momento che, per ogm tivamente a B sarà del tipo:

i

E Nh, T(ei) = Àei, la matrice A associata a T rela-

o

À

o

o o

A=

B

3) T3 ha autovalori À1 = 2 e À2

= ~A(t) = (t - À)hp(t),

essendo p(t) un opportuno polinomio di grado n - h. Se ne deduce che la molteplicità algebrica di À è :'.'.: h .

o

.,.. Osservazione 7.2. Se >. 1, . . . , Àh sono gli autovalori (distinti) dell'operatore lineare T su vn , allora per l'Osservazione A.3 e la Proposizione 7.11 si ha: h :::;

h

L

mg(>.i) :::;

L

ma(>.i) :::; n.

i=l

i=l

mentre

= 3, con ma(2) =

mg(2) = 1, mg(3) Si osservi che, in questo caso, si ha

o

h

= 3,

L

mg(>.i) = 2.

1, ma(3)

= 2.

Si ha inoltre

essendo B e C opportuni blocchi di tipo h x (n - h) e (n - h) x ( n - h) rispettivamente. Il polinomio caratteristico di T sarà dunque

~r(t)

ma(>.i)

Le stesse relazioni continuano a valere anche considerando T 2 come operatore lineare su

e o o

L

C3.

o

o o

Si osservi che

127

i

o o

À

4 . DIAGONALIZZAZIONE DI MATRICI ED OPERATORI LINEARI

L

= 3 - Q(3J3 - A) = 3 - 1 = 2.

mg(>.i)

=

L

ma(>.i)

= 3.

4) T4 ha il solo autovalore reale ,\ 1 = 2, con ma(2) Si ha pertanto

L

mg(>.i)

=

= mg(2) =

1.

L

=1<3

ma(Ài)

(si ricordi che, come provato nella Osservazione A.5, ~ non è algebricamente chiuso) . Gli autovalori di T4, considerato come operatore lineare su C3, sono invece 2, i e -i. Avendo in questo caso T 4 tre autovalori complessi distinti, se ne deduce che ciascuno ha molteplicità algebrica 1 e molteplicità geometrica 1.

Se il campo OC su cui vn è definito è algebricamente chiuso (Definizione A.5), allora il Teorema A.3 implica che h

L

ma(>.i) = n

4. Diagonalizzazione di matrici ed operatori lineari

i=l

Anche in tal caso, però, la somma delle molteplicità geometriche può essere strettamente minore di n (si veda il successivo Esempio 7.6 bis). 3

Esempio 7.6 bis. Per r = 1, 2, 3, 4 sia Tr l'operatore lineare su ~ avente la matrice Ar E M 3 (~) dell'Esempio 7.6 quale matrice associata , rispetto alla base naturale.

Per ogni r E N4 , il polinomio caratteristico e gli autovalori di Tr coincidono con il polinomio caratteristico e con gli autovalori della corrispondente matrice Ar. Calcoliamo ora le molteplicità algebriche e geometriche dei singoli autovalori. 1) T 1 ha tre autovalori distinti : O, 2 e 4 (ciascuno di molteplicità algebrica 1). Per la Proposizione 7.11, si ha pertanto mg(O)

2) T 2 ha autovalori >. 1

= mg(2) = mg(4) =

1.

ma(2) = 1, ma(3) = 2. Si ha inoltre

= 1, mg(3) = 3 - Q(3h - A) = 3 - 2 =

+ Definizione

7.6. Si dice base spettrale relativa all 'operatore lineare T una base B 8 di v n, formata da autovettori di T.

.,.. Osservazione 7.3. Se la matrice M13(T), associata all'operatore lineare T su y n relativamente alla base ordinata B di v n, è la matrice diagonale A= diag(a 1, ... , an), allora B è una base spettrale (ordinata) di v n. Posto B = (e1 , ... , en), si ha infatti:

= 2 e À2 = 3 con

mg(2)

Nel presente paragrafo studieremo il problema di determinare le condizioni affinchè un dato operatore T su vn sia rappresentabile mediante una matrice diagonale o, equivalentement e, affinchè una data matrice A E Mn (OC) sia simile ad una matrice diagonale. Ricordiamo che per matrice diagonale si intende una matrice A E Mn(OC), i cui elementi >.j , con i f= j, sono tutti nulli (Definizione 3.9). Spesso indicheremo con diag(ai, ... , an) la matrice diagonale avent e la n-pla (a 1, .. . , an) quale diagonale principale.

1.

T(ei) =ai · ei.


128

In altre parole, ei è un autovettore non nullo di T relativo all'autovalore ai. Supponiamo viceversa che v n ammetta una base spettrale B 8 relativa a T e che >. 1, .. . , Àh siano gli autovalori (distinti) di T. Allora è possibile ordinare i vettori di B 8 in modo da ottenere una base spettrale ordinata

Bs

1 1 2 2 h h ) = (el' . . . 'er1' el' ... 'er2' .. . 'el' ... 'erh

tale che, per ogni i E Nh, i vettori ei, . . . , e~, appartengono all'autospazio U >., relativo a Ài· Dal momento che, per ogni i E Nh,

e che h

i=l

129

Dimostrazione. Proveremo l'equivalenza delle affermazioni secondo il seguente schema:

(a)

(b)

{o?

{o?

(c)

{o?

(d)

(a) {o? (b). La dimostrazione si ottiene direttamente dall'Osservazione 7.3, facendo uso della caratterizzazione delle matrici simili come associate allo stesso operatore lineare relativamente a basi diverse (Teorema 7.5). (b) :::::> (e). La dimostrazione è contenuta nell'Osservazione 7.3. (c) :::::> (b). Se h

L

mg(>.i) = n, i=l posto ri = mg(>.i) = dim U >.., per ogni i E Nh, sia B>., = {ei, · · · , e~J una base di U >.,. In virtù della Proposizione 7.2, l'insieme di n vettori (non nulli e distinti)

Bs

Lri =n,

=

{el, 1 1 2 h · h } ... 'er1' e 2l, . . . , er2' . . . 'el' ... , erh

è linearmente indipendente e costituisce quindi, per il Teorema 4.11 (a), una base (spettrale) di v n. (c) {o? (d). È conseguenza immediata del Corollario 7.3 e della Proposizione 4.20.

per l'Osservazione 7.2 si ricava h

L

4. DIAGONALIZZAZIONE DI MATRICI ED OPERATORI LINEARI

D

mg(>.i) = n .

i=l

Pertanto, per ogni i E Nh, (ei, .. . eU è una base {ordinata) per V>., e la matrice associata a T relativamente alla base spettrale B 8 è la matrice diagonale A= diag( >.1 , ... >.1 , >.2 . .. >.2, (r 1 volte) (r2 vo lte)

.. . '

Àh,···Àh ), (rh volte)

• Corollario 7.13. Se l'operatore lineare T su yn ammette n autovalori distinti, allora V ammette una base spettrale relativa a T.

Dimostrazione. Poichè ogni autovalore ha molteplicità geometrica 2:: 1, per l'Osservazione 7.2, si ha n

dove ogni autovalore

Ài

è ripet'fto

Ti =

L

mg(>.i) volte.

mg(>.i)

= n.

i=l D

+Definizione 7. 7. Una matrice A E Mn(lK) è detta diagonalizzabile per similitudine se esiste una matrice diagonale A E Mn(lK) simile ad A.

Abbiamo ora tutti gli ingredienti per provare la seguente: • Proposizione 7.12. (Teorema spettrale) Sia A la matrice associata all'operatore lineare T : yn , y n, relativamente ad una qualunque base B di y n. Siano poi >. 1 , ... , Àh gli autovalori (distinti) di T (o, equivalentemente, di A) e U >. 1 , • . . , U >.h i relativi autospazi. Le seguenti affermazioni sono equivalenti:

(a) A è diagonalizzabile per similitudine; (b) v n ammette una base spettrale relativa a T 1; (c) L~= l mg(>.i) = n; h

(d) y n =

E9U>-,· i= l

Esempio 7.6 ter. Verifichiamo se esistono basi spettrali relative agli operatori lineari Ti : IR 3 , IR 3 dell'Esempio 7.6 bis. 1) T1 ha tre autovalori distinti O, 2, 4 e quindi ammette una base spettrale per il Corolla rio 7.13; la matrice A 1 è simile alla matrice diagonale A1

= (

~ ~ 4~ )

o o

2) T2 non ammette una base spettrale, in quanto la somma delle molteplicità geometriche dei suoi autovalori 2 e 3 è 1 + 1 = 2 < 3. Quindi la matrice A 2 non è diagonalizzabile per similitudine. 3) T 3 ammette una base spettrale, in quanto la somma delle molteplicità geometriche dei suoi autovalori 2 e 3 è 1 + 2 = 3 . La matrice A3 è simile a ll a matrice diagonale

o 3

1In tal caso T è spesso detto semplice.

o •


130

4) T 4 , definito su JR.3, non ammette una base spettrale, in quanto il ~uo_ ~nic? autovalore (reale) 2 ha molteplicità 1. Pertanto A 4 non è diagonalizzabile per s1mtl1tudme (su JR.). T 4 ammette una base spettrale, se è, invece, definito su C 3, in quanto ammette tre autovalori distinti 2, i, -i. In tal caso A 4 è simile alla matrice diagonale

~i )

E

M,(C).

Spazi vettoriali euclidei

Esempio 7.10. Determiniamo una base spettrale relativa all'operatore lineare T3 considerato nell'esempio precedente. Ricordando la Proposizione 7.8 (a), poichè la matrice associata a T 3 relativamente alla base naturale di lR. 3 è A3, U 2 = {(x, y,z)EJR. 3 lx+ z= 0, y = O}, U 3 = {(x,y,z) E JR. 3 I z =O}. Basi per U 2 e U 3 sono rispettivamente

B 2 = {(1,0, - 1)} Una base spettrale di quindi :

JR. 3 ,

B3 = {(1,0,0), (O , 1,0)}.

e

relativa a T3 , ordinata come indicato nell'Osservazione 7.3, è

88

= ((1,0,- l),(1,0, 0),(0, 1,0)).

Si osservi che la matrice del cambiamento di base da 8 8 alla base naturale

B di

In tutto il presente capitolo, il simbolo V indicherà semp~e uno spazio vettoriale reale. Per ogni a E JR., lai denoterà il valore assoluto di a.

+Definizione 8.1.

Si dice prodotto scalare su V una applicazione <·,·>: VxV-+lR.

(PSl) < u, v + w > = < u, v > + < u, w >; < u, av > = a; (PS2) < u, V>=< v, u >; ,.A-O. °'~"'°' (PS3) < v, v > ~ O; ( < v, v > = O) <=? (v = O).

-1

E-'~

1. Prodotti scalari e norme

tale che, per ogni u, v, w E V e per ogni a E JR., risultino soddisfatte le seguenti proprietà:

3

lR. è

E = (~~~) o o Si ha inoltre

CAPITOLO 8

o

La coppia (V, < ., · >) è detta spazio vettoriale euclideo (reale).

~ ~I)

Ovviamente, la proprietà (PSl) equivale a richiedere che, per ogni u, v, w E V e per ogni a, f3 E JR., si abbia:

e

(PSI) < u, av + (3w > = a +(3 < u, w > . D 'altra parte, in virtù dell'assioma (PS2), la proprietà (PSl) può essere sostituita, nella definizione 8 .1, dalla proprietà (PSl') < v + w, u > = < v , u > + < w, u >; Concludiamo il capitolo con il seguente importante risultato, che assicura la diagonalizzabilità per similitudine di tutte le matrici simmetriche reali. La dimostrazione sarà effettuata nella Appendice B (Teorema B.1), utilizzando nozioni che saranno introdotte nel successivo Capitolo 8. • Teorema 7.14. Sia A E Sn(lR.) una matrice simmetrica reale. Allora, esiste una matrice ortogonale E E On(lR.) tale che

E - 1 . A · E = tE · A · E = D ,

< av, u > = a< v, u >,

così come la proprietà (PSI) può essere sostituita dalla proprietà (PSI') < av+f3w,u >=a< v,u > +(3 < w,u >.

È poi immediato verificare che, se (V, < ., · >) è uno spazio vettoriale euclideo e x E V, si ha:

< x, o > = < o, X > = O; inoltre, (ND) se u E V è tale che, Vx E V , < u, x > = O (risp. < x, u > = O), allora • u=O.

con D matrice di tipo diagonale.

o

Si usa esprimere il fatto che ogni prodotto scalare gode delle proprietà (PSl)-(PSl ' )(o, equivalentemente, (PSI)-(PSI')), (PS2) , (PS3) e (ND) dicendo che ogni prodotto scalare è bilineare, simmetrico, definito positivo e non degenere.

8. SPAZI VETTORIALI EUCLIDEI

132

..,.. Osservazione 8.1. Sia (V,< ., · >) uno spazio vettoriale euclideo e sia V un sottospazio vettoriale di V . La restrizione di < ·, · > a V x V è, come è facile verificare, un prodotto scalare sullo spazio vettoriale (reale) U . In altri termini, ogni sottospazio vettoriale di V eredita una struttura di spazio vettoriale euclideo e viene anche detto, pertanto, sottospazio vettoriale euclideo di (V, < ., · >).

133

1. PRODOTTI SCALARI E NORME

Poichè il trinomio in (3 contenuto nell'ultimo termine della relazione (*) ha il coefficiente del termine di secondo grado sempre positivo, segue: ~

4

2 2 = (< u,v > ) - llul l · llvll2 ::; O.

Sia ora (V,< ., · > ) uno spazio vettoriale euclideo. Poichè < ., · > è definito positivo (assioma (PS3), è possibile introdurre la seguente

Tenuto conto che si ha llull >O, llvll >O, segue subito (d) . (e) Sostituendo (3 = ±1, la relazione(*) fornisce direttamente la proprietà (e): 2 2 llu±vll = = llull ±2 +llvll 2.

+ Definizione 8.2.

(c)

Sia (V,< ., · >) uno spazio vettoriale euclideo. Per ogni v E V , si dice lunghezza o norma (euclidea) di v il numero reale non negativo llvll = ../ . L'applicazione li · li : V -+ JR v-+ ll vl l si dice norma indotta dal prodotto scalare. Un vettore v con Ilvi I = 1 sarà detto versore. • Proposizione 8.1. Sia (V, < ., · > ) uno spazio vettoriale euclideo. La norma indotta dal prodotto scalare gode, per ogni u , v E V e per ogni et E JR, delle seguenti proprietà: 1 (a) (b) (c) (d) (e)

llvll 2: O; (l lv ll = O) <=:? (v =O) ll av ll = ln l · llvll 2 llu +vll ::; llull + llvll (disuguaglianza di Minkowski ) I I ::; llull · llvll (disuguaglianza di Schwarz3) llu ± vll2 = llull 2 ± 2 < u, v > +llvll 2

Dimostrazione . (a) La proprietà (a) discende banalmente dalla Definizione 8.2 e dall'assioma (PS3) . (b) Per dimostrare la proprietà (b), basta utilizzare la definizione di norma e la bilinearità del prodotto scalare: IIn vii = ../< av, a v > = et 2 < v , v > = ~../< v, v > = lnl · llvll·

J

Prima di dimostrare le altre proprietà osserviamo che, per ogni (3 E JR, per la bilinearità del prodotto scalare si ha: 2 = < u, u > +2(3 +(3 < v , v > = 2 2 2 = llull + 2(3 < u, v > + f3 ll v ll · (d) Si osservi che, se almeno uno dei vettori u , v è nullo, la disuguaglianza di Schwarz è banalmente verificata; possiamo dunque supporre u , v i- O. Essendo il prodotto scalare definito positivo, per ogni (3 E JR si ha 2: O.

Applicando le proprietà (e) e (d), si ottiene: 2 2 2 2 2 llu + vll = llul l + 2 < u, v > +l lvl l ::; llull + 2 I I + llvll < 2 2 2 ::; llu ll + 2 llu ll · llvll + llvl l = (llul l + llvll) . Poichè si ha Ilu +vi 12 2: O, 1 lul I + Ilvi I 2: O, dalla precedente disuguaglianza tra i loro quadrati segue subito: , llu +vii ::; llull + llvll·

o

Esempio 8.1. (Lo spazio vettoriale euclideo standard n-dimensionale) L'applicazione < ., · >: JRn x JRn -+JR definita ponendo, per ogni a= (a1, . . ., an ), b = (b1, .. ., bn) E JRn '

n

< a , b >= l:aibi i=l

è un prodotto scalare sullo spazio vettoriale standard n-dimensionale JRn; esso è detto prodotto scalare naturale su JRn . La coppi~ (JRn, < ., · > ) è detta spazio vettoriale euclideo standard n-dimensionale. Si noti che il prodotto scalare naturale su JRn è un caso particolare del prodotto naturale di due n-ple di un generico ocn, definito nel § 1 del Capitolo 3 ed indicato con lo stesso simbolo < ., · >. La norma indotta (in base alla Definizione 8.2) su JRn dal prodotto scalare naturale è la applicazione li · li : JRn-+ JR definita, per ogni a= (a1, ... , an), da : n

llall =

L(ai)2 i=l

Essa viene detta norma euclidea naturale su JRn. Esempio 8.2. Sia JR[t] lo spazio vettoriale reale dei polinomi nella indeterminata t, a coefficienti in JR. Se •

p(t) = ao + a1 t + · · · + antn,

q(t) =bo+ bit+ ···+ bmtm,

l'applicazione< .,·> : JR[t] x JR[t]-+ JR che alla coppia (p(t), q(t)) associa

z= n

1Si noti che le proprietà (a), (b), (c) della presente Proposizione caratterizzano, in generale, la

nozione di norma in uno spazio vettoriale reale. 2 Hermann Minkowski: matematico lituano (Aleksotas, 1864 - Gottinga, 1909). 3 Karl Hermann Schwarz: matematico tedesco (Hermsdorf, 1843 - Berlino, 1921).

< p(t), q(t) > =

i=O

è un prodotto scalare su JR[t].

aibi

n::; m,

134


135

1. PRODOTTI SCALARI E NORME

Evidentemente, per ogni n E N, (JRn[t], < ., · >) è un sottospazio vettoriale euclideo di (JR[t], <" · > ). Ad esempio, se p(t) = 1 - t 2, q(t) = t + 3t3, allora < p(t) , q(t) >=o.

il sostegno dello "spazio vettoriale dei vettori applicati" , considerato nell ' Esempio 4.1; sia poi < ., · >: F(O) x F(O) -+ JR la applicazione definita mediante

Es~m~io 8.3. Un secondo esempio di prodotto scalare, molto importante per le applicazioni, sullo spazio JR[t] si ottiene come segue. Fissate arbitrariamente una coppia (a, fJ) di elementi distinti di JR, con a < fJ, sia

<(O, P), (O, Q) >= d(O, P) · d(O, Q) · cos(PoQ).

< "· >: JR[t)

X

JR[t] -+ JR

(p(t), q(t)) -+< p(t), q(t) >=

1{3 p(t). q(t) dt

(x1,x2 , x3) , v = (y1,y2,y3) E JR3 ,

l'applicazio~e che associa ad ogni coppia (p(t), q(t)) di polinomi l'integrale definito da a a fJ del polinomio prodotto p(t) · q(t); le proprietà dell'integrale provano che < ., . > è un prodotto scalare su JR[t]. Ad esempio, se a= O, fJ = 1, p(t) = 1 - t 2, q(t) = t < p(t), q(t) > = Inoltre, se

11 · 11

+ 3t3,

allora :

{I (1 - t 2) (t + 3t3) dt = {I (t + 2t3 - 3t 5 ) dt =

lo

lo

! +! - ! 2

Non è difficile verificare che tale applicazione è un prodotto scalare sullo spazio vettoriale reale F(O) ; (F(O) , < ., · >) risulta pertanto uno spazio vettoriale euclideo di dimensione tre . Esempio 8.7. L'applicazione ~ ., · >-: JR 3 x JR 3 -+ JR definita ponendo , per ogni u =

2

2

=

!

~

+ 2x2y2 _

x1y2 _ x2y1

+ x3y3

è un prodotto scalare (non standard) sullo spazio vettoriale standard JR 3 : infatti, esso gode banalmente delle proprietà (PSl) e (PS2) , mentre la proprietà (PS3) si verifica osservando che ~ u , u >-= (x 1) 2 + 2(x 2 ) 2 - 2x 1x 2 + (x 3) 2 = .(x 1 -x 2 ) 2 + (x 2 ) 2 + (x3) 2 . La coppia (JR 3 , ~ ., · >-) è quindi uno spazio vettoriale euclideo di dimensione tre, diverso dallo spazio vettoriale euclideo standard di dimensione tre, ma avente lo stesso sostegno.

2

indica la norma euclidea indotta da < ., . >, si ha :

Esempio. 8.4. Considerazioni analoghe a quelle dell'esempio precedente possono essere

fat~e.sost1t~~ndo JR[t] con lo spazio vettoriale C 0 ([a , fJ]; JR) delle funzioni continue reali, definite sull intervallo [a, fJ] = {t E JR/ a :::; t :::; fJ}, e definendo allo stesso modo il

Nel seguito del capitolo indicheremo spesso, con abuso di linguaggio e per brevità di notazioni, lo spazio vettoriale euclideo (V, < ., · >) semplicemente con V , sottintendendo, come già fatto per le operazioni + e ., il prodotto scalare < ., · > che ne completa la struttura. Denoteremo inoltre con lo stesso simbolo < ., · > i prodotti scala ri definiti nei vari spazi vettoriali euclidei considerati, anche se, in generale, tali prodotti risulteranno distinti. Analogamente, il simbolo 11 · 11 indicherà sempre la norma euclidea indotta d al prodotto scalare < ., · > su un qualunque spazio vettoriale euclideo.

p.r odotto. scal~re. Si osservi che, identificando ogni polinomio con la corrispondente funzione polinomiale, lo spazio (JR[t], < "· > )definito nell'Esempio 8.3 può essere considerato un sottospazio euclideo di (C 0 ([a, fJJ; JR),< ., . > ).

+ Definizione 8.3.

Esempio 8.5. Sia

< u,v >=o.

< "· >: Mmxn(JR)

X

Mmxn(JR) -+

(A , B)

-+ = Tr(A. tB)

m

m

< A,B >= Tr(A· tB) = L,::C~ = i=l

{(O,P)

I

v , se

• Proposizione 8.2. Per ogni u , v E V, si ha: ( =O)

~

(llull2

+ llvll 2

= llu + vll

2

) .

Dimostrazione . È conseguenza immediata della Proposizione 8.l(e). D

L L a;bj . i=l j=l

Sia F lo "spazio euclideo elementare" . Fissato un punto O E F, sia

=

J_

n

È dun~ue semplice verificare che l'applicazione < ., · > è un prodotto scalare sullo spazio vettoriale reale M mxn(JR).

F(O)

Due vettori u , v E V si dicono ortogonali, e si scrive u

Si osservi che il vettore nullo O è ortogonale ad ogni altro vettore di V ed è inoltre 1'unico vettore ortogonale a se stesso.

JR

l'app~icazione che_ ad ogni coppia (A , B) di matrici di tipo m x n, fa corrispondere la tracci.a della ma~ric~ (quadrata di ordine m) A· tB, ovvero la somma degli elementi della sua d1agon_ale principale (Esempio 5.5) . Se A= (aj) , B = (b; ), A· t B = (cU, allora:

Esempio 8.6.

u , v >- = x1y1

p E F}

.,.. Osservazione 8.2. Le due implicazioni::::} e{::: della precedente proposizione sono note rispettivamente come Teorema di Pitagora4 e suo inverso. Tenuto conto della Definizione 8.2, si usa enunciare tale risultato dicendo che due vettori sono ortogonali se e solo se la somma dei quadrati delle loro lunghezze coincide con il quadrato della lunghezza della loro somma. 4 Pitagora di Samo: matematico e filosofo greco (Samo, 580 a. C. - Metaponto, 504 a. C.) .

•


136

+Definizione 8.4.

Siano u, v vettori non nulli di V . Si dice coseno dell'angolo tra u e v il numero reale < u,v> cos(u, v) = \\u\\ · \lvi\ Si osservi che, per la simmetria del prodotto scalare, il coseno dell'angolo tra due vettori non dipende dall'ordine dei vettori.

... Osservazione 8.3. Dalla disuguaglianza di Schwarz \ subito I < u,V > I < 1

I ::;

\lui I·\\v\ \ segue

137

2. BASI ORTONORMALI

Dimostrazione. Sia (v 1 , v 2 , ... , vh) una h-pla di vettori distinti di X, tale che h

'L::aivi =O. i=l Per ogni j E Nh, posto< Vj, Vj >= f3J, si ha allora: h

h

h

O=< 0 ,vj >=< 'L::aivi,Vj >=Lai< vi , Vj >= 2:ai/3jOij = aj/3j . i=l i=l i=l Essendo 131 =f. O, ciò prova che aJ = O. X è dunque linearmente indipendente.

o

\\u\\ · \\v\\ e quindi -1 ::; cos(u , v) ::; l. Supponendo nota la funzione trigonometrica coseno e ricordando che la sua restrizione all'intervallo chiuso [O, 7r] è biunivoca (Esempio 1.5), risulta pertanto naturale definire misura dell'angolo (convesso) tra u e v il numero reale iiV E [O, 7r] univocamente determinato dalla condizione ( ) cosuv = \\u\\ · \\v\\ = cos u, v. Tenuto conto della Definizione 8.4, si ha quindi che due vettori u e v sono ortogonali se e solo se la misura dell 'angolo tra u e v è ~. ... Osservazione 8.4. L'uguaglianza \lu - v\12 = \\u\\

2

-

2 < u, v > +\\v\\

2

(Proposizione 8 .1)

può essere espressa, tenendo conto della Definizione 8.4, nel modo seguente: \lu - v\\ 2 = l\u\\ 2 + \\v\\

2

-

+Definizione 8.6. male) di V se:

Dalla Proposizione 8.3 e dal Teorema 4.11 segue subito il seguente • Corollario 8.4. Ogni sottoinsieme ortogonale X di yn non contenente il vettore nullo ha cardinalità h ::; n. Inoltre, X è una base ortogonale di y n se e solo se h = n.

Esempio 8.8. Nello spazio vettoriale euclideo standard !Rn (Esempio 8.1) , la base naturale è ortonormale. Esempio 8.9. Nello spazio vettoriale euclideo standard JR2 , la base (ordinata) B ((1 , 1), (2, -2)) è ortogonale, ma non ortonormale, in quanto < (1, 1), (2, -2) > = '1. 2 + 1 . (-2) =

2\\u\\ · \\v\\ cos(u , v) .

In tale forma, l'uguaglianza è nota come Teorema di Carnot

5

.

Nel presente paragrafo, il simbolo V indicherà sempre uno spazio vettoriale euclideo; il simbolo v n indicherà invece uno spazio vettoriale euclideo di dimensione finita n.

+ Definizione 8.5.

Un sottoinsieme X di V si dice ortogonale se, per ogni coppia (u, v) di vettori distinti di X, si ha =O. Un sottoinsieme ortogonale X di V si dice ortonormale se, per ogni u E X, si ha \lu\\ = l.

In altre parole, X è ortonormale se i suoi vettori sono versori a due a due ortogonali. Si osservi che un sottoinsieme finito {v 1 , ... , vh} di V è ortonormale se e solo se, per ogni i,j E Nh, si ha< vi , Vj >= Oij· • Proposizione 8.3. Ogni sottoinsieme ortogonale X di V non contenente il vettore nullo è linearmente indipendente. 5 Sadi Carnot: fisico se (Parigi, 1796 - 1832).

o

ma 1\(1 , 1)11 = J2,

La base B- -

2. Basi ortonormali

Un sottoinsieme B di V è detto base ortogonale (risp. ortonor(i) B è una base di V; (ii) B è ortogonale (risp. ortonormale).

1\(2, -2) 11 = 2J2.

(( 2v'2 , 2v'2 ) , (fl fl )) e' ·invece orto norma Ie. 2 ,-

2

Esempio 8.10. Nello spazio vettoriale euclideo IR[t] dell'Esempio 8.2, l'i nsieme {1, t, t 2 , . . . , tr} (Esempio 4.10 bis) è una base ortonormale per il sottospazio !Rr[t], per ogni r ~O. Esempio 8.11. Sia Mm x n(IR) lo spazio vettoriale eucl ideo descritto nell'Esempio 8.5. La base f3 = {Ej I i E Nm,j E Nn} costruita negli Esempi 4.9 e 4.9 bis è ortonormale.

Il seguente risultato prova l'esistenza di basi ortonormali in ogni spazio vettoriale euclideo di dimensione finita v n; il procedimento utilizzato nella sua dimostrazione (noto come procedimento (di ortonormalizzazione) di Gram6 - Schmidt7) riveste una 6 Joryen Pedersen Gmm: matematico danese (Nastrup, 1850"- 1916) . 7 Erhard Schmidt: matematico estone (Dorpat, 1876 - 1959).


138 .

notevole importanza, perchè consente di ottenere - in modo costruttivo - una base ortonormale di vn a partire da una sua qualunque base ordinata. • Proposizione 8.5. Ogni spazio vettoriale euclideo di dimensione finita vn ammette una base ortonormale. Dimostrazione. Sia B = (v1, ... , Vn) una qualunque base ordinata di vn. A partire da B, costruiamo la n-pla B' = (e 1, ... ,en) di v n, nel seguente modo induttivo:

e = (3 , O, 2 ) _ < (3, O, 2), (2, O, O) > . (2 O O)_ < (3, O, 2) , (O , 1, 1) > . (O l l) = 3 ' ' < (O, 1, 1), (O, 1, 1) > ' ' < (2, O, O) , (2 , O, O) > = (3, O, 2) -

< < < e3 = v 3 < _ en - Vn -

V2 , e1 e1 , e1 v 3, e1 e1,e1

> · e1 , > > < v 3,e2 > · e1 · e2 , > < e2,e2 >

~

i=l < ei, ei >

4

2

(o, 1, 1) =(O, - 1, 1)

2

11::11

= (1, O, O),

f2 =

11:~11 =

(O ,

v'2,

v;, V:: )'

Esempio 8.13. Se (IR 3,-< ·, · >-) è lo spazio vettoriale euclideo di dimensione tre definito nell'Esempio 8.7, e se (v 1 = (2, O, O) , v 2 = (1, 1, 1) , v 3 = (3, O, 2)) è la base di JR 3

già considerata nell 'Esempio precedente, applicando il procedimento di Gram-Schmidt, si ottiene: e1 =(2, O, O)

· ei

Poichè, per costruzione, si ha eh E L( {vi, ... , vh}) (h E Nn), è facile verificare che ognuno degli n vettori eh (h E Nn) è non nullo: infatti, eh = O implicherebbe vh E L({e1, ... ,eh_i}) ç L({v 1, . .. , vh-1}) , che è ovviamente un assurdo, per la lineare indipendenza di B. D 'altra parte, il principio di induzione (pag. 8) permette di dimostrare che, per ogni h E Nn, il vettore eh è ortogonale ad ej, con j ~ h - 1. Infatti, l'affermazione è banalmente vera nel caso h = 1, e risulta vera per il generico vettore eh, una volta supposta vera per ogni vettore e k, con k ~ h - 1 : h-1 ~ < ej, eh > = < ej, vh - ~ · ei > = i=l < ei,ei > h-1 ~ < vh ,ei > =< ej, vh > -~ < ej , ei> =<ej,vh> i=l < ei , ei >

(2, O, O) -

è una base ortonormale di JR 3.

n-1

~ < vn ,ei>

6

B' = (e1 , e2, e 3) è una base ortogonale di IR3. Poichè lle1l l = 2, lle2ll = lle3ll = ne consegue che B" = (f1, f 2, f3), dove

f1 = e2 = v 2 -

139

2. BASI ORTONORMALI

e =(l 1 l) _ -< (1, 1, 1), (2, O, O)>- . ( _ _ -<(200)(200) 2,0,0)-(1,1,1)-0·(2,0,0)-(1,1,1) 2 , ,

' ' ' ' '

=(3, O, 2) -

3

Esempio 8.12. Sia (v 1, v 2, v 3) la base dello spazio vettoriale euclideo standard JR , cos-

tituita dai vettori v 1 = (2, O, O) , v 2 = (1 , 1, 1), v 3 = (3, O, 2). Applicando il procedimento di Gram-Schmidt, si ottiene: < (1 , 1,1) , (2,0 , 0) > ( . ) ( ) 2( ) ( ) e2= ( 1, 1,1 ) - < ( , 0,0),( ,0,0) > · 2,0,0 = 1,1 , 1 - 4 2,0,0 = 0,1 , 1 2 2

2

(-1, -1, 1)

f 2 = e2 = lle2l l

(v'2 v'2 v'2) 2 ' 2 ' 2

'

-3 = f

e 3 _ ( - v'2 lle3ll 2 '

_

y'22 ' y'22)

è una base ortonormale dello spazio vettoriale euclideo (non standard) (JR 3,-< ·, . >- ).

o

e1 =(2, O, O)

6

4(2, O, O) - 2(1, 1, 1) =

B' = (e1 , e2, e3) è quindi una base ortogonale dello spazio vettoriale euclideo (non standard) (JR3,-< ·, · >- ). Poichè, rispetto al prodotto scalare considerato, i vettori di B' hanno norma ll e1l l = 2, lle2ll = lle3ll = v'2, ne consegue che !311 = (t'i,f2, f3), dove e1 f 1 = lle1ll = (l, O, O),

< v h,ej > <ej,ej>=O. < ej , ej >

Quindi, per il Corollario 8.4, B' = (e 1, . .. , e n) è una base ortogonale di v n. A questo punto, per ottenere una base ortonormale di v n basta considerare B" (f1, ... , fn), dove, per ogni i E Nn,

>-

e3 =( 3 , O, 2 ) _ -< (3, O, 2), (2, O, O) >- . (2 O O)_ -< (3, O, 2), (O , 1, 1) >- . (l l 1) _ -< (2, O, O) , (2, O, O)>' ' -< (O, 1, 1), (O, 1, 1) >' ' -

Studiamo ora alcune notevoli proprietà delle basi ortogonali e ortonormali. • Proposizione 8.6. S~ B = (ei, ... , en) è una base ordinata ortonormale di y n e u = B (u 1 , . .. ,un), v =B (v1 , ... , vn), si ha: (a) u i = < ei, u >; (b)

< u,v > =

"'n

~i = l

uivi.,


140

3. TRASFORMAZIONI ORTOGONALI

3. Trasformazioni ortogonali

Dimostrazione. Per verificare le formule (a) e (b), basta osservare che

n n n < ei, u >=< ei , L u1e1 >= L u1 < ei,ej >= L u1oij = ui j=l

j=l

Nel presente paragrafo, i simboli V, W indicheranno spazi vettoriali euclidei; i simboli vn) wn indicheranno invece spazi vettoriali euclidei di dimensione finita n.

j=l

e

~

.

~

.

=<~u'ei,~v1e 1

i=l

>=

j=l

~~ i j ~~uv

<ei,ej >=

i=l j=l

~~ i ji;: - ~ i i ~~uv Uij- ~uv i=l j=l

141

i=l

Le formule (c) e (d) sono invece immediata conseguenza della formula (b) e della definizione di norma euclidea e coseno dell'angolo tra due vettori.

+Definizione 8. 7. Una traformazione lineare T: V-+ W sarà detta trasformazione ortogonale di V in W se T conserva il prodotto scalare, ovvero se, per ogni u , v E V, si ha: < T(u) , T(v) > = < u, v > .

D

Due spazi vettoriali euclidei V e W si dicono isomorfi se esiste una trasformazione ortogonale biunivoca di V in W .

• Teorema 8. 7. Sia wn uno spazio vettoriale reale n-dimensionale e sia B una sua qualunque base ordinata. Esiste uno ed un solo prodotto scalare < ·, · > su wn 1 rispetto al quale B risulti ortonormale. Inoltre, se u, V E wn e u =B (u ) ... ) un), v =B ( v 1 , ... , vn), si ha:

Si noti che, come diretta conseguenza della precedente Definizione e delle Definizioni 8.2 e 8.4, ogni trasformazione ortogonale T conserva anche la norma dei vettori8 ed il coseno dell'angolo:

n

< u,v >= Luivi. i=l Dimostrazione. E' facile verificare che l'applicazione< ". >: wn X wn-+ ~definita da (*) è bilineare, simmetrica e definita positiva ed è quindi un prodotto scalare su wn. Posto B = (e 1 , ... ,en), da(*) segue, in particolare, che, per ogni i,j E Nn, < ei, e 1 > = Oij. Pertanto, B è ortonormale in (Wn, < ·, · >). L'unicità di tale prodotto scalare è conseguenza immediata della Proposizione 8.6 (b).

\fu, v E V ,

llT(v)ll = llvll

e

cos (T(u), T(v)) = cos(u, v) .

Inoltre, ogni trasformazione ortogonale T : V -+ W risulta essere iniettiva, perchè il suo nucleo si riduce al solo vettore nullo: infatti, se v E Ker T, allora Ilvi I = = llT(v)ll = llOll = O, da cui segue v =O, per la Proposizione 8.l(a). In particolare, nel caso di spazi vettoriali euclidei aventi la stessa dimensione finita n, ogni trasformazione ortogonale T : yn -+ wn risulta essere biunivoca, in virtù del Corollario 5. 7.

D

Esempio 8.14. Il prodotto scalare naturale su ~n (Esempio 8.1) è l' unico prodotto scalare su ~n rispetto al quale risulti ortonormale la base naturale di ~n.

Esempio 8.15. Fissato cf> E ogni (x ,y) E ~ 2 ,

[O, 27r[. l'applicazione pq, : ~ 2 -+

~ 2 definita ponendo, per

pq, (x,y) = (x coscf>+ysencf>,-xsencf>+y cose/>), è una trasformazione ortogonale sullo spazio euclideo standard ~ 2 . Infatti:

llPq,(x, y)ll = J(x cose/>+ ysenc/>) 2 + (-x sene/>+ y cos c/>) 2 = Jx 2 + y 2 = ll(x, y)ll• Proposizione 8.8. Sia B una base ordinata ortonormale di yn. Una base ordinata B' di yn è ortonormale se e solo se la matrice E E Mn(OC) delle componenti di B' rispetto a B è ortogonale.

Dimostrazione. Ricordando la Definizione 5.3, se B' =(e~, ... ,e~), per ogni j E Nn, si ha ej =B' (a}, ... , aj), dove a1 = (a}, ... , aj) è la j-esima colonna di E. Essend~ B ortogonale, per la Proposizione 8.6 (b), B' risulta ortonormale se e solo se, per ogm h,k E Nn, si ha: n

Lahai =<e~,e~ >= Oij; i=l per la caratterizzazione delle matrici ortogonali data nella Proposizione 3.20, ciò accade se e solo se A E On(~). D

Si noti che pq, "ruota" dell'angolo cf> il vettore (x, y) intorno all'origine (O, O).

• Proposizione 8.9. Se T : vn -+ wn è una trasformazione ortogonale, e B, B' è una coppia di basi ordinate ortonormali di yn e wn rispettivamente, allora le equazioni di T relativamente a B e B' sono del tipo

(y) = A (x),

con A E

On(~)

8In realtà, non è difficile dimostrare che la proprietà di conservare la norma dei vettori equivale, per le trasformazioni lineari, alla condizione di ortogonalità.


142

4. COMPLEMENTO ORTOGONALE

143

Dimostrazione. Per la definizione stessa di trasformazione ortogonale, se B = (e1, ... , en) è una base ortonormale di vn, allora (T(e 1), .. . , T(en)) è una base ortonormale di wn . La matrice A associata a T relativamente a B , B' risulta essere pertanto la matrice delle componenti di una base ortonormale (la n-pla (T(e1), ... , T(en))) rispetto alla base ortonormale B'; la tesi è dunque una conseguenza diretta della Proposizione 8.8.

Dimostrazione. (a) La proprietà di bilinearità del prodotto scalare (proprietà (PSI)) permette di verificare direttamente che .l X è linearmente chiuso (e quindi è un sottospazio vettoriale). Infatti, per ogni v, w E .l X e per ogni a E JR, si ha:

In realtà, non è difficile verificare che, se una trasformazione lineare T : yn -+ wn ammette, rispetto ad una coppia di basi ordinate ortonormali, una matrice associata ortogonale, allora T è una trasformazione ortogonale.

.l U, sia v E .l X e sia u un arbitrario vettore di U = L(X) '· posto u = con xi E X, si ha allora:

o

... Osservazione 8.5. Sia Buna base ordinata di vn e B : yn -+ !Rn l'isomorfismo associato a B (Proposizione 5.8). Si osservi che B trasforma B nella base naturale di !Rn, che risulta ortonormale rispetto al prodotto scalare naturale (Esempio 8.1). Pertanto, se B è una base ortonormale di vn' allora B è una trasformazione ortogonale (biunivoca) di vn nello spazio vettoriale euclideo standard !Rn. Ne consegue che due spazi vettoriali euclidei di dimensione finita sono isomorfi se e solo se hanno la stessa dimensione.

4. Complemento ortogonale N~l presente paragrafo, il simbolo V indicherà sempre uno spazio vettoriale euclideo; il simbolo vn indicherà invece uno spazio vettoriale euclideo di dimensione finita n.

+ Definizione 8.8.

Se X è un sottoinsieme di V, si dice complemento ortogonale di X in V il sottoinsieme .l X = {v E V

I

'v'x E X,

< v , x >= O}.

In altri termini, .l X è costituito dai vettori di V ortogonali a tutti i vettori di X. Si noti che, essendo il prodotto scalare non degenere, si ha .ly = {O}

e

.l{O} = V .

... Osservazione 8.6. Se X e Y sono sottoinsiemi di V , si ha: (a) X ç .l(.l X); (b) (X ç Y) {::}

(.lY

ç .LX).

Per provare (a) , basta osservare che, se x E X, allora, per ogni v E .l X, si ha < v, x >= O e quindi x E .l(.l X). Per provare (b), basta osservare che, se v E .l Y, allora v è ortogonale a tutti i vettori di Y e dunque, nell'ipotesi X ç Y, a tutti i vettori di X. • Proposizione 8.10. Sia U = L(X) la chiusura lineare di X in V. Si ha allora:

(a) .l X è un sottospazio vettoriale di V; .(b) .i U = .i X; (c) un .Lu = {O} .

'v'x E X,

< v + w, x > = < v, x > + < w, x > = O+ O = O;

< a · v, x > = a < v, x > = a · O = O. (b) Dalla Osservazione 8.6(b) segue subito che .LU e .l X. Per provare che .l X e 'v'x E X,

h

h

i=l

i=l

"h L-ti=l aix.

i,

Quindi v E .LU. (c) Essendo U e .l U sottospazi vettoriali, si ha banalmente O E U n .l U. Se V E Un .lU, allora, per ogni U E U, si ha < v, u >= 0, e quindi in particolare < v, v >=O. Poichè il prodotto scalare è definito positivo, ciò implica v =O. Pertanto, un .Lu = {O}.

o ... Osservazione 8. 7. Dalla Proposizione 8.10 (b) segue che un vettore v E V è ortogonale a tutti i vettori di un sottospazio vettoriale U di V se e solo se è ortogonale a tutti i vettori di un qualsiasi sistema di generatori (in particolare, di una qualunque base) di U. • Teorema 8.11. Se U è un sottospazio yettoriale h-dimensionale di yn, si ha: (a) dim(.lU) = n - h; (b) vn = U EB .LU;

(c) U =

.i( .i U).

Dimostrazione. Data una base ortogonale B1 = (e 1, ... ,eh) di U, tramite il Teorema del completamento ad una base (Proposizione 4.12) ed il procedimento di Gram-Schmidt, è possibile completare B1 ad una base ortogonale B = 8 1 U B2 = (e1, ... , eh, f1, ... , fn-h) di vn. Poichè B è ortogonale, si ha B2 = (f1, ... , fn-h) ç .lB1 = .LU; da questo segue L(B2) ç .LU, per cui dim(.lU) ~ n - h. Essendo Un .LU = {O} (Proposizione 8.lO(c)), la relazione di Grassmann (Teorema 4.19) implica dim(U + .l U) ~ n; ciò dimostra sia la affermazione (a) che la affermazione (b). La affermazione (c) si verifica poi osservando che

o Si noti che la dimostrazione del Teorema 8.11 fornisce un metodo costruttivo per ottenere una base del complemento ortogonale di un generico sottospazio vettoriale di vn . Un metodo alternativo è dato dalla seguente


144

145

5. MATRICI DI GRAM E PROIEZIONI ORTOGONALI

- w2 - <w2,e1> · ei - <w2,e2> · e2 - <w2,f1> · f i -- (o , - -1o1) , , < ei,e1 > < e2,e2 > < f1 ,f1 > 2 2 Quindi (in virtù della dimostrazione del Teorema 8.11) (f1, f2) è una base ortogonale di 1- U 2. Si noti che un sistema lineare omogeneo minimo rappresentante U 2 si ottiene imponendo che il rango della matrice u1 u2 e -

• Proposizione 8.12. Sia

~2

(•} {ru'++ : ::_":u. : : un sistema lineare omogeneo minimo, rappresentante il sottospazio vettoriale h-dimensionale U" di yn, rispetto ad una fissata base ortonormale B di yn . Posto, per ogni i E Nn-h, a; =B (ai, ... ,a~) ed H = {a1, . .. ,an-d, si ha:

(

= L(H)

1-Uh

u3

u4

sia 2. Per il Teorema di Kronecker, il sistema cercato ha equazioni u 1 - u 2 - 3u 3 =O

Dimostrazione. uIl vettore ii =B ( u1' . . . 'un) di vn appartiene ad uh se e solo se la n-pla (u 1, .. . , un) è soluzione del sistema (*). Essendo Buna base ortonormale, per la Proposizione 8.6 (b), ciò equivale a dire che ii E Uh se e solo se w· lM i -n _ O vi E Hn-h, < a;,u- >= a i u-1 + ... + anu , 1

1- H

= 1-(L(H))

e quindi

1-Uh

= L(H).

o 8.12, poichè le righe al, a 2, ... , an-h della matrice incompleta del sistema minimo che rappresenta Uh sono linearmente indipendenti, si conclude che H è una base, non necessariamente ortogonale, di J_ uh .

Esempio 8.16. Se U 2 ha, rispetto ad una base ortonormale B di V 3 , equazione allora U 2 = 1-{a}, dove a 1-U2.

=B

-

u 3 =O,

(3, 0, -1); {a} è dunque una base (non ortonormale) di _,

Esempio 8.17. Sia U 2 = L(u1, u2) il sottospazio di IR4 generato dai vettori U1 = (1, 1, O, 1), u 2 = (3, O, 1, O). Applicando alla base (ui, u2) il procedimento di GramSchmidt, si ottiene la base ortogonale (ei, e2) di U 2, dove e1 = U1 = (1, 1, 0, 1),

) e 2 =u 2 - < u2 , e1 > ·e1= (2,-1,1,-1. < e1,e1 >

Posto w 1 = (O, O, 1, O), w 2 = (O, O, O, 1), la quaterna (e1, e2, w1, w2) è una base (non ortogonale) di JR4. Applicando il procedimento di Gram-Schmidt, si ottiene la base ortogonale (ei,e2,fi,f2) di IR4, dove f1 = W1 -

L

< W1, e1 > < w1, e2 > . _ (- ~ ~ ~ ~) . e1 e2 7' 7' 7' 7 < ei, e 1 > < e 2, e2 >

u 4 =O.

La Proposizione 8.12 assicura allora che {a1 = (1,-1,-3,0), a 2 = (0,1,0,-1)} è una base per 1-U 2. Si osservi che tale base non è ortogonale. Il procedimento di Gram-Schmidt, applicato ad {ai, a 2}, dà

10 g2 = a2 - - < a 2,g 1 > · g 1 = (-~, ,-i_,-1); < g1' g1 > 11 11 11 2 (gi, g 2) è dunque una (diversa) base ortogonale di 1- U . Una base ortonormale di 1- U 2 si ottiene facilmente dividendo ciascun vettore di (g 1,g 2) (o di (f1,f2)) per la sua norma.

rJo

Il> Osservazione 8.8. Con le notazioni della Proposizione

3u 1

-

g1 = a1 = (1,-1,-3,0),

cioè se e solo se ii E 1- H . La tesi segue allora dalla Proposizione 8.10 (b) e dal Teorema 8.11 (c): Uh =

{ u2

Xs.

Matrici di Gram e proiezioni ortogonali

Nel presente paragrafo, il simbolo di dimensione finita n 2: 1.

vn

indicherà sempre uno spazio vettoriale euclideo

t

Definizione 8.9. Si dice matrice di Gram della h-pla (v 1, . . . , vh) di vettori di la matrice G = (gij) E Mh(IR) definita ponendo, per ogni i,j E Nh, gij = <

Vi, Vj

vn

>.

Il determinante di G è detto determinante di Gram della h-pla (vi, .. . , vh) e si indica con Q(v1, . .. , vh)·

Si noti che, per la simmetria del prodotto scalare, ogni matrice di Gram è simmetrica.

p E 6h è una permutazione su Nh, si ha Q(v 1, . . . , vh) = Q(vp(l)> ... , Vp(h))· Infatti, ogni trasposizione produce sulla matrice di Gram contemporaneamente uno scambio di righe ed uno di colonne, lasciando quindi invariato il determinante.

Il> Osservazione 8.9. Se

Il> Osservazione 8.10. La matrice di Gram della h-pla (vi, . . . , vh) è la matrice identica (di ordine h) se e solo se l'insieme {vi, ... , vh} è ortonormale.


146

• Proposizione 8.13. La matrice di Gram G di una h-pla linearmente indipendente (v 1, . . . , vh) di vettori di yn è una matrice regolare (di ordine h}, con determinante positivo. Inoltre, per ogni fissata base ortonormale B (risp . B) di yn (risp. di L(v 1, . . . , vh) ), detta A E Mnxh(IR) (risp. A E Mhxh(IR)) la matrice delle componenti dei vettori (v 1, . . . , vh) rispetto a B (risp. B), si ha

G=tA·A=t_A . .A Dimostrazione. Sia Buna fissata base ortonormale di vn. Posto A= (a~), si ha, per ogni s E Nh, v 8 =: 6 (a!, ... a~); quindi, per la Proposizione 8.6(b), se G = (9iJ), si ottiene: n

r= l

Essendo Cli = (at, ... ai) la i-esima riga di t A ed essendo aj = (a}, . . . aj) la j-esima colonna di A, resta così dimostrato che G = t A · A. Sia ora t3 una fissata base ortonormale di L(vi, ... , vh), e sia Buna base ortonormale di vn ottenuta da t3 tramite il Teorema del completamento ad una base ed il procedimento di Gram-Schmidt. La matrice A delle componenti dei vettori (v1, . .. , vh) rispetto a B ha le ultime n - h righe nulle, mentre la sottomatrice costituita dalle prime h righe coincide con la matrice A delle componenti dei vettori (vi, .. . , vh) rispetto a B. Pertanto, resta provato che

147

.,.. Osservazione 8.12. Il coefficiente di Fourier di· v rispetto ad u è caratterizzato dal fatto di essere l'unico numero reale a tale che v = au + w , con w ortogonale ad u (o, equivalentemente, ad au). Si ha infatti:

O = < u, w > = = -a se e solo se

a=

< u,v > < u,u >

Ciò giustifica il termine di proiezione ortogonale di v su u assegnato al vettore au. Si noti infine come, nel procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt, il k-esimo vettore ek della base ortogonale B' costruita a partire dalla base B di yn si ottenga sottraendo al k-esimo vettore di B le sue proiezioni ortogonali sui vettori e1 di B' , per ogni j < k. ' Sia ora U un sottospazio vettoriale h-dimensionale (con 1 :=:; h :=:; n - 1) dello spazio vettoriale euclideo vn. In virtù del Teorema 8.ll(b) e della Proposizione 4.18, ogni vettore di vn si può decomporre in modo univoco nella somma di un vettore di U e di un vettore di J. U. Ciò giustifica la seguente:

+

G=tA · A=t_A.A. La prima parte dell'enunciato segue ora direttamente dal Teorema di Binet, osservando che, per la lineare indipendenza della h-pla (v 1, ... , vh), la matrice A è regolare (di ordine h): detG = det(t_A . .A) = (det.A) 2 >0.

o .,.. Osservazione 8.11. Una verifica diretta prova che, se la h-pla di vettori (v1, ... , vh) è linearmente dipendente, allora il determinante di Gram ç(v1, ... , vh) è uguale a zero. Pertanto, (v 1, ... , vh) è linearmente dipendente.

se e solo se

5. MATRICI DI GRAM E PROIEZIONI ORTOGONALI

Definizione 8.11. Dato il sottospazio h-dimensionale U di yn (con 1 :=:; h. :=:; n - 1), si dice proiezione (ortogonale) del vettore v E vn su U il vettore pu(v) EU, univocamente determinato dalla condizione V -

Pu(v) E

J_u.

La applicazione Pu: yn-+ yn (la cui immagine coincide con U) che associa ad ogni vettore v E vn la sua proiezione ortogonale Pu (v) su U si dice proiezione ortogonale sul sottospazio U . • Proposizione 8.14. La proiezione ortogonale sul sottospazio U è un operatore lineare su yn; inoltre, fissata una base ortonormale B di yn, ed una base Bu di U, le equazioni di pu rispetto a B sono

(y) = [A ·c- 1 . tA](x),

+

Definizione 8.10. Se u, v E rispetto ad u il numero reale

)

vn

e

a=

u

=/=-

O, si dice coefficiente di Fourie~ di v

< u,v> < u,u>

Il vettore au si dice proiezione (ortogonale) div su u. Si osservi che, se u è un versore, allora il coefficiente di Fourier di v rispetto ad u è il prodotto scalare < u, v > . 9 Jean Baptiste Joseph Fourier: matematico se (Auxerre, 1768 - Parigi, 1830).

dove A E Mnxh(IR) è la matrice delle componenti di Bu rispetto a B e G la matrice di Gram dei vettori di Bu .

=

t A· A è

Dimostrazione. Verifichiamo direttamente che, per ogni V E vn, con V =B (x), il vettore w E yn tale che w =:B [A· c- 1 · t A] (x) (la cui definizione risulta ben posta in quanto, per la Proposizione 8.13, G = t A· A E GLh(IR)) è la proiezione ortogonale div su U; ciò dimostra completamente l'enunciato, perchè la linearità di pu discende banalmente dalle equazioni di tipo (y) = M(x) (con ME Mn(IR)). Il fatto che il vettore w =B (y) appartenga al sottospazio U deriva dalla relazione

(y) =A· [c- 1 · tA · (x)],


con A matrice delle componenti rispetto a l3 dei vettori di una base di U e con 1 · tA · (x) E Mhxi(IR) (si ricordino le equazioni parametriche dei sottospazi vettoriali, presentate nel §3 del Capitolo 6). Rimane quindi da verificare che v - w E 1- U, ovvero che, \fu' EU,

c-

-

1

w, U > = 0.

Utilizzando le equazioni parametriche del sottospazio U , si ha che u' =BA· (z), con (z) E M h x 1 (JR). Il calcolo del prodotto scalare si può allora effettuare tramite le componenti rispetto alla base ortonormale E, mediante la Proposizione 8.6(b) (espressa nella forma matriciale< u, v >= t(u) · (v)):

< v - w, u' > = t(A · (z)) · [(x) - (y)J

=

6. ORIENTAZIONE DI UNO SPAZIO VETTORIALE EUCLIDEO

Esempio 8.18. Fissata in V 3 una base ortonormale E, per determinare la pro1ez1one ortogonale del vettore v =B (1, 3, 1) sul sottospazio U: x 1 -4x 2 -x 3 =O, è conveniente costruire una base ortonormale (u~, u~) di U: presa ad esempio la base (ui, u 2) di U, con u 1 =B (1 , O, 1) e u2 =B (4, 1, O), il procedimento di ortonormalizzazione di Gram Schmidt produce:

Le componenti (Y1,fJ2,fJ3) rispetto a l3 della proiezione ortogonale Pu(v) si ottengono allora dalla matrice A delle componenti di (u~, u~):

(il)

= t ( z) . t A . (X) - t ( z) . t A . [A . (t A . A )- 1 . t A . (X) J = = t ( z) . t A . (X) - t ( z) . A . A) . (t A . A) - l J . t A . (X) =

w

y2 y3

2/3) . ( 1!v'2 o l/v'2\ 1/3 2/ 3 1/3 -2/3) . l/v'2 -2/3

=A · tA. (1) 3 = (l/v'2 o

1

= t(z) · tA · (x) - t(z) · tA · (x) = O

o ~ Osservazione 8.13. È facile verificare che la matrice M associata all'operatore lineare Pu relativamente alla base ortonormale l3 di yn è simmetrica e gode della proprietà M . M = M. io

149

= owero pu(v)

=.B

17/18 2/9 ( 1/18

2/9 1/9 -2/9

1/18) . (1) -2/9 3 17 /18 1

5/3) ' (1/3 1/3

rn, ~' ~).

~

Osservazione 8.14. La matrice M associata all'operatore lineare pu relativamente alla base ortonormale l3 di vn è ovviamente indipendente dalla base Bu fissata in U , e quindi dalla matrice A delle sue componenti. In particolare, se nel sottospazio U si fissa una base ortonormale Bu, allora la matrice di Gram dei vettori di Bu coincide con la matrice identica h (si ricordi la Osservazione 8.10). Pertanto, detta A la matrice delle componenti di Bu rispetto a E, la matrice M associata a pu rispetto a l3 (e, di conseguenza, le equazioni di pu) possono essere agevolmente calcolate tramite M=À· tA_

Osservazione 8.15. Nel caso h = 1, la proiezione ortogonale di un vettore v E yn su U coincide con la proiezione ortogonale del medesimo vettore su qualunque vettore u tale che U = L(u) . Infatti, in questo caso particolare, la matrice A si identifica con la colonna (u) delle componenti del vettore u rispetto alla base ortonormale fissata l3; si ha quindi

~

(y) = [(u) · (t(u) · (u))- 1 · t(u)] (x) = (u) · ( < u, u > )- 1 · [t(u) · (x)] =

= . (u), < u,u> ovvero

 u = au, con a coefficiente di Fourier di v rispetto ad u. pu(v) =

10 Una matrice con tale proprietà

è usualmente detta

idempotente.

6. Orientazione di uno spazio vettoriale euclideo Nel presente paragrafo, il simbolo yn indicherà sempre uno spazio vettoriale euclideo di dimensione finita n 2: l. Il simbolo B denoterà l'insieme delle basi ordinate di yn. Ricordiamo che la matrice del cambiamento di base tra due basi ordinate di B (Proposizione 5.19) è regolare ed ha quindi determinante non nullo.

+

Definizione 8.12. Due basi ordinate E, E' E B si dicono concordi, e si scrive l3::::::: E' , (risp. discordi) se la matrice E E GLn(IR) del cambiamento di base da l3 a E' ha determinante positivo (risp. negativo). Si ha pertanto:

(B:::::::B')

{::}

(detE>O).

~ Osservazione 8.16. Si noti che, se l3 = (ei, ... , en) è una base ordinata arbitrariamente fissata di yn, allora la base ordinata E' = (-e 1 , e 2, ... , en) è una base discorde a E, in quanto la matrice del cambiamento di base da l3 a E' è la matrice diagonale E= diag(-1, 1, ... , 1), con det E= -1
det H = det(K ·E) = det(K) · det(E) = - det K.


i50

+ Definizione 8.13.

Si dice spazio vettoriale euclideo orientato (di dimensione n) una coppia (Vn, B), dove vn è uno spazio vettoriale euclideo di dimensione finita n 2: 1 e B E B è una base ordinata di vn. Se (Vn, B) è uno spazio vettoriale euclideo orientato, allora la base B e tutte le basi ad essa concordi si dicono basi positive, mentre tutte le basi discordi con B si dicono basi negative.

In pratica, dunque, orientare uno spazio vettoriale euclideo vn significa scegliere una sua base ordinata come base positiva (insieme a tutte le basi ad essa concordi). La Osservazione 8.16 permette di affermare che ogni spazio vettoriale euclideo vn può essere orientato in due soli modi possibili. ..,. Osservazione 8.17. Se n = 1, l'insieme B può essere identificato con l'insieme dei vettori non nulli di vi. In questo caso, quindi, se e, f E vi - {O}, si ha: (e~f)

{::} (f=Àe, À>O)

Esempio 8.19. Lo spazio vettoriale euclideo standard !Rn si considera orientato in modo naturale scegliendo come base positiva la base naturale.

7. PRODOTTO VETTORIALE E PRODOTTO MISTO

i5i

..,. Osservazion.e 8.18. In realtà, è possibile introdurre la nozione di orientazione, in modo del tutto simile a quanto fatto nel presente paragrafo, considerando vn come un generico spazio vettoriale reale (e non, necessariamente, come uno spazio vettoriale euclideo) . Analogamente, è possibile parlare di isomorfismi di uno spazio vettoriale reale in sè che conservano (risp. rovesciano) l'orientazione, anche nel caso non si tratti di trasformazioni ortogonali, e caratterizzarli attraverso il segno positivo (risp. negativo) del determinante di una qualunque matrice associata.

7. Prodotto vettoriale e prodotto misto

Nel presente paragrafo, (V3 , i3) indicherà uno spazio vettoriale euclideo orientato di dimensione tre. • Lemma 8.16. Dati due vettori linearmente indipendenti u , v E V 3 , per ogni k E JR+, esiste uno ed un solo vettore w E V 3 tale che: (a) w è ortogonale ad u ed a v; (b) la base ordinata (u, v, w) è positiva;

(c) llwll = k . Dimostrazione. Dal Teorema 8.11 (a) segue che il complemento ortogonale W = L(u, v) di { u, v} in V 3 è un sottospazio vettoriale di dimensione uno. Se W = L(z), allora gli unici due vettori soddisfacenti (a) e (b) sono _1_

Sia ora T : vn -+ vn un isomorfismo dello spazio vettoriale euclideo orientato vn in sè (ovvero, secondo la Definizione 8.7, una trasformazione ortogonale biunivoca di vn in sè). Non è difficile verificare che, se T trasforma una base positiva i3 di vn in una base positiva di vn, allora T trasforma ogni base B di vn in una base concorde di vn . Infatti, l'ipotesi assicura che la matrice A= M13(T) E GLn(IR) associata a T rispetto alla base f3 ha determinante positivo; inoltre, la matrice A è simile alla matrice A = M5(T) E GLn(IR) associata a T rispetto alla base B (Teorema 7.5) e dunque A e A hanno lo stesso determinante. Ciò consente di dare la seguente definizione, e contemporaneamente di provare - grazie alle Proposizioni 8.9 e 3.20 - la successiva affermazione.

+Definizione 8.14.

Sia vn uno spazio vettoriale euclideo orientato. Si dice che un isomorfismo T di vn in sè conserva l'orientazione se trasforma basi positive in basi positive; nel caso opposto si dice che T rovescia l'orientazione.

• Proposizione 8.15. Sia vn uno spazio vettoriale euclideo orientato e T un isomorfismo di vn in sè. Allora, T conserva (risp . rovescia) l'orientazione se e solo se, rispetto ad una qualunque base ortonormale di vn, la matrice A E On(IR) associata a T ha detA = 1 (risp. detA = -l) .

o

k

±~z. Il lemma segue quindi facilmente, osservaJ!.dO che ( u, v, : z) e ( u, v, 11 11

basi discordi di

-

: z) sono 11 11

V 3.

o

+Definizione 8.15. V

Dati due vettori u, v E V 3 , si dice prodotto vettoriale di u per il vettore U /\ V E V 3 definito come segue: (i) se u e v sono linearmente dipendenti, allora u /\ v = O; (ii) se u e v sono linearmente indipendenti, allora u/\v è il vettore univocamente determinato dalle seguenti condizioni: (a) u /\ v è ortogonale a u e a v; (b) la base ordinata (u, v , u /\ v) è positiva; (c) llu /\vi i = llull · llvll · sen (u, v), dove si è posto sen (u, v)

=

Jl - cos 2 (u, v).

• Proposizione 8.17. Sia B = (i,j, k) una base ordinata ortonormale positiva di (V3 ,B). Posto u =. 8 (ui,u 2 ,u3 ) e v =.5 (v1,v 2 ,v3 ), si ha:

u/\v=-B(I~~ ~~ 1, - 1~~ ~~ 1 , 1~~ ~~I).

152


Dimostrazione. Poniamo w=B

(I::

• Proposizione 8.18. Sia B = (i,j, k) una base ordinata ortonormale positiva di (V3,B). Posto u = 8 (u 1,u2,u 3), v =B (v 1,v 2,v 3) e w =B (w1,w 2,w 3), si ha:

~: 1 ,- 1:~ ~~ 1 , 1:~ ~~I)

ul

e proviamo che u /\ v = w. (i) Se u e v sono linearmente dipendenti, allora (u1,u 2,u3) è proporzionale a (v 1, v2, v3), e si ha quindi w 8 (O, O, O). Pertanto, w =O = u /\ v. (ii) Se u e v sono linearmente indipendenti, poichè B è ortonormale, si ha

=

2

vl v2 l =O

=u 1 lu u3

2

1 < v, w > = v luu3

2 1 1 v 1- v 2 lu v 1+ v 3 lul v3 u3 v3 u2

vl v2 l =O

2 2 2 u2 v2 1 + lul vl l + lul vll = llwll u3 v3 u3 v3 u2 v2 l J((ul )2 + (u2)2 + (u3)2)((vl )2 + (v2)2 + (v3)2) _ (ulvl + u2v2 2 2 = V11ull · llull - < u, v > 2 = llu /\v ii·

A =

u

2

u3

v

2

v3

V(\

k (\i= j .

.,. Osservazione 8.20. Si noti che il prodotto vettoriale gode, per ogni u, v, w E V 3 e per ogni a E JR, delle seguenti proprietà: "\ , 1) u/\v = -(v/\u); f:»J'J'."\\)\IMM.fl, ''~ ,, ~- ·\~ 2) u /\ (v + w) = (u /\ v) + (u /\ w); JJ:;'Y\R>oXJ """' 3) a(u /\ v) = (au) /\ v = u /\ (av).

(u, v, w) di vettori di

W

3

evt ~

A

I Tlf.

_.....

, tOCÌCVI"

-1

ti

c.'> I.o v- \I> .a,.,.

-rr

/\V>=< V, W

/\ U

w

=B

=B

(I~ ~I) -I~ ~I) I~ ~I)

=

si dice prodotto misto della terna il numero reale< u, v /\ w > .

=B

(O, 1, 1), essendo

(3, -1, 1); 1

A

V f\W

>;

(1, 3, O), e w

· }

y€.,ltl 01("ra...~

"

o

.,. Osservazione 8.19. Se B = (i,j, k) è ortonormale positiva, 4 si ha, come caso particolare della Proposizione 8.1'7:

3,

3

=<(0,l,0),(3,-1,1)>= -1

D

V3

W, U

Esempio 8.20. Ad esempio, se u =B (O, 1, O), v B una base ordinata ortonormale positiva, si ha

~:1 -1:~ ~3 1 1:~ ~~ 1

+Definizione 8.16. Dati tre vettori u, v, w E V

V

Lo- r

2) < u, v /\ w > = O se e solo se u, v, w sono linearmente dipendenti.

+ u3v3)2

1::

j (\ k =i;

3

w2 .

Dimostrazione. Si ottiene subito ricordando la Proposizione 8.17, la Proposizione 8.6 (b) e sviluppando il determinante secondo la prima colonna, mediante il Teorema di Laplace.

< u, V/\ W > = <

Lo sviluppo di Laplace di det A secondo la terza colonna prova che det A = 2 llwll >O; ciò dimostra che (u, v, w) è una base positiva. Si ha pertanto w = u /\ v.

i(\ j = k;

U

wl

.,. Osservazione 8.21. Il prodotto misto è una applicazione di V 3 x V 3 x V 3 in JR che gode delle seguenti proprietà: 1) scambiando fra loro due vettori, il prodotto cambia di segno; pertanto, per ogni u, v, w E V 3 , si ha:

Infine, la matrice del cambiamento di base da (u, v, w) a B = (i,j, k) è:

vl

vl

< u, v /\ w > = u 2 v2

D

Ciò prova che w è ortogonale ad u e a v. si ha poi:

ul

153

7. PRODOTTO VETTORIALE E PRODOTTO MISTO

1 3

o o

o 1 1

CAPITOLO 9

Spazi euclidei 1. Definizioni ed esempi

Nel presente capitolo, il simbolo

f

indicherà sempre urto spazio vettoriale euclideo

(E, <·,·>).

+

Definizione 9.1. Diremo spazio euclideo una terna (E,[, 7r), costituita da uno spazio vettoriale euclideo f, da un insieme [ e da una applicazione 7r : [ x [ --t f, che associa ad ogni coppia (P, Q) di elementi di [ il vettore 7r(P, Q) = PQ, soddisfacente i seguenti assiomi: ,

AP =

(SEi) \IA E [, \la E f, esiste uno ed un solo P E [, tale che (SE2~ \IP, Q, RE&, PQ + = (relazione di Chasles 1).

QR PR

a.

Si noti che dall'assioma (SEI) segue che l'applicazione 7r è suriettiva. L'insieme [ è detto sostegno dello spazio euclideo (E,&, 7r) ed i suoi elementi sono detti punti. Un elemento (P, Q) di [ x [ è _detto segmento orientato, avente P quale primo estremo e Q quale secondo estremo. Gli elementi di f sono detti vettori liberi; il vettore libero nullo sarà indicato con O. Se (E,&, 7r) è uno spazio euclideo, diremo spesso, per brevità e con abuso di linguaggio, che [ è uno spazio euclideo, avente f quale spazio dei vettori liberi. Si osservi che, in ogni caso, come già visto per gli spazi vettoriali, lo stesso insieme [ può essere sostegno di differenti spazi euclidei. Quali conseguenze dirette degli assiomi (SEI) ed (SE2), si verificano poi, per ogni spazio euclideo [ e per ogni Q, R E [, le seguenti proprietà:

0 (QR=O) (ii~ QR = -RQ.

{=}

(Q=R)

+Definizione 9.2.

Uno spazio euclideo [sarà detto di dimensione finita se lo spazio dei vettori liberi f ha dimensione finita. In tal caso porremo dim [ = dim f .

Uno spazio euclideo di dimensione (finita) n sarà solitamente indicato con t;n . Se lùm& =O, allora f = {O} e dunque - per la precedente proprietà (i) - &0 si riduce ad un singolo punto. Se dim [ = I, 2, 3, allora [ è detto rispettivamente retta euclidea, piano euclideo spazio euclideo ordinario. 1Michel Chasles: matematico se (Èpernon, 1793-1880). \

'V

l

f} '-- V

·~{O \

l :

.<e '(~ '("-1-"'

o

~~~.)..~ l)~ t ~o'\~

..;

(;

l"t.Q..

.. .

Z., \'.A

r~;iOf'~

\

T"- ('

\JY\. \; \,

~

•

t. VI,,

~

•J ;;.'

\ .

~,,..._ 'v

. .i

9. SPAZI EUCLIDEI

156

+ Definizione 9.3.

157

2. SISTEMI DI RIFERIMENTO

2 . Sistemi di riferimento

Se E è uno spazio euclideo, diremo che élue 3menti orientati (P, Q) e (R, S) sono equipollenti, e scriveremo (P, Q) = (R, S), se PQ =

RS.

La proposizione seguente ci consente di affermare che il o V di ogni spazio vettoriale euclideo è anche o di uno spazio euclideo (avente V stesso quale spazio dei vettori liberi). • Proposizione 9.1. Se (V,< ·, · >) è uno spazio vettoriale euclideo e se si pone ft.l~t;, \lt.\-...o'(t V = V e T:VxV-+V

(v,w)-+~=w-v Lo spazio euclideo E(V) = (V, V, T) si dice associato allo spazio vettoriale euclideo (V,< .,. > ). .,.. Osservazione 9.1. In realtà, è possibile costruire una teoria analoga a quella esposta nel presente paragrafo, sostituendo lo spazio vettoriale euclideo E con un generico s·p azio vettoriale A su di un campo K: lo spazio (A, A, 7r) che ne deriva in base alla Definizione 9.1 si dice spazio affine su K In pratica, quindi, uno spazio euclideo può essere considerato come uno spazio affine su ~. il cui spazio dei vettori liberi è dotato di un prodotto scalare. Si noti che le nozioni introdotte nei successivi § 2, 3, 4, 5 possono essere introdotte, con le dovute modifiche, anche nel caso di uno spazio affine su OC, mentre le nozioni relative ai § 6, 7, 8, 9, 10 necessitano della presenza di un prodotto scalare definito sullo spazio dei vettori liberi, e pertanto possono essere introdotte esclusivamente nell'ambito degli spazi euclidei.

Esempio 9.1. (Lo spazio euclideo elementare) Sia F lo "spazio euclideo elementare" . Fissato un punto O E F, sia (F(O), < ·, · >) lo spazio vettoriale euclideo considerato nell'Esempio 8.6, avente come sostegno l'insieme

= {(O,P) I p

ed il cui prodotto scalare è definito mediante

+

Definizione 9.4. Diremo riferimento cartesiano su [" una coppia R = (O , B}, dove O è un punto di En, detto origine del riferimento R e f3 è una base ordinata ortonormale dello spazio vettoriale euclideo ({n, < . , . >). Dato un pun:o P E En, si dicono coordinate cartesiane (non omogenee) di P, rispetto ad R _= (O, B), le componenti del vettore libero rispetto alla base B. Se B = (e1, e2, ... , en) e = x 1 e1 + x 2 e2 + · · · + xne scriveremo P = 1 2 n) . . . n, -n x , x , · . . , x per md1care la n-pla delle coordmate cartesiane di P rispetto ad R ( Si ha, evidentemente, O =n (O, O, ... , O). ' . Si osservi che l'assioma (SEl) implica, per ogni i E Nn, l'esistenza di un unico punto pi E [n tale che ei =o Si ha inoltre pi =n (O, o, ... , o, 1, o, ... , O).

oP

allora la terna E(V) = (V, V, T) è uno spazio euclideo.

F(O)

Nel presente paragrafo, t:n indicherà sempre uno spazio euclideo di dimensione finita n >O.

A.

--

Se 1T: F x F--+ F(O) è l'applicazione che ad ogni coppia (R , S) associa l' unico vettore applicato in O che ha la stessa lunghezza, la stessa direzione e lo stesso verso del segmento orientato (R, S), allora è immediato verificare che la terna (F(O) , F, 7r) verifica gli assiomi (SEl) ed (SE2); F risulta pertanto uno spazio euclideo di dimensione tre. Esempio 9 .2. (Lo spazio euclideo standard ~n) Se, nella Proposizione 9.1 , si considera (V,< ·, · >) = (~n, < ·, · > ), spazio vettoriale euclideo standard n-dimensionale, allora lo spazio euclideo associato sarà detto spazio euclideo standard di dimensione n e sarà indicato con E(~n) o, più semplicemente, ancora con ~n.

i

Esempio 9.3. Sia F lo spazio euclideo elementare dell'Esempio 9.1. Un riferimento cartesiano su F è una coppia R = ('O, B), dove O E F e f3 è una base ordinata ortonormale dello spazio vettoriale euclideo F(O) . Pertanto, f3 risulta costituita da una terna (linearmente indipendente) ((O, P1), (O , P2), (O, P3 )) di versori applicati in O a due a due ortogonali . Esempio 9.4. (Riferimento cartesiano naturale su ~n) Se ~n è lo spazio euclideo standard di dimensione n (Esempio 9.2), allora il riferimento cartesiano ft = (O , B), dove_ O= (?,0, ... ,0) e B = (é~,é2, . . . ,én) è la base naturale (ortonormale) dello spazio vettoriale euclideo standard ~n = ~n (Esemp~ç,> ,8 . 1), è detto riferimento cartesiano naturale su ~n . Se P = (x 1 , x2 , .. . , xn) E ~n, aliora evidentemente = p - O = x 1-ei + x 2-e2 + · · · + xnén, per cui P =n (x 1 , x 2 , . .. , xn).

oP

E F}

<(O, P), (O, Q) >= d(O, P) · d(O, Q) · cos(POQ)

oP

Esempio 9.5. ( ~, allora

Se ~ 2 è il piano euclideo standard, O' = (-1 , 4) ,

~ )) , allora

R = (O', B) è un riferimento cartesiano su

O'P = (1,2)-(-1,4) = (2,-2) = 2J2

(~ , - ~) v'2 v'2

f3 =

~ 2 . Se +0

(( ___!__ ./2' _ ___!__ ./2 ) ,

P = (1, 2) E

(~ _l ) v'2 , v'2

~2,

.

Pertanto, P =n (2J2, O).

• Proposizione 9.2. Sia R = (O, B) un riferimento cartesiano su [n e siano P =n (x~, x~,, ... , x'f,), Q =n (xh, x~, ... , xQ ) punti di t:n .

.!4.llora,

PQ =fJ (xh - x~, x~ -

xi, .. . , xQ - xj:,).

158

Dimostrazione. Posto

9. SPAZI EUCLIDEI

f3 =

(e 1 , e 2 , ... , e 0

),

..,.. Osservazione 9.2. Le equazioni del cambiamento di riferimento inverso da R" a R' sono evidentemente

si ha, per definizione:

n

n

DP =L:x~e;; oQ = L:x~e; . i=l

(x ) = E - 1 (y) - E - 1 (b) = E - 1 (y - b) = tE(y - b) ,

i=l

come è facile verificare, moltiplicando a sinistra per E- 1 = ortogonale) le equazioni (*).

Per la relazione di Chasles si ottiene:

oQ-oP

n

= L(x~-x~)

i=l

Esempio 9.6.

o

n

= (o, i3)

è un riferimento cartesiano su t:n, l'applicazione n che ad ogni punto P =n (x 1 , x 2 , . .. , xn) E t;n associa n(P) = 1 (x , x 2 , . .. , xn) E !Rn è una biiezione; tale biiezione è detta sistema di coordinate cartesiane relativo al riferimento cartesiano R = (O, B). Supponiamo ora che R' = (O', B') ed R" = (O", B") siano due riferimenti cartesiani su t;n. La proposizione seguente permette di ricavare la n-pla delle coordinate cartesiane di un punto P E t;n rispetto ad R" quando sia nota la n-pla delle sue coordinate cartesiane rispetto ad R'.

•Proposizione 9.3. Se P =n' (x 1 ,x 2 ,. . .,xn) e P =n" (y 1 ,y 2 ,. . .,yn), allora si ha

(y)

(*)

R' = (O', B'), dove O'= (- 1, 4) e

= ( ( }z, -

E -- (

}z), ( }z, }z))

}z1

- .,/2

(si veda l'Esempio

B" =

((1 , O) , (O , 1)) .

}z). 1 ' .,/2

inoltre, O' =n" (- 1, 4). Pertanto, se P = n' (x1,x 2 ) e P =n" (y 1 , y 2 ), allora le equazioni (*) del cambiamento di riferimento cartesiano da R' ad R" sono:

cioè yl {

=

y2 =

Essendo E - 1 = tE =

(~

ed

.,/2

., ,.;e+ --+ --,-t O"P = O"O' + O'P.

le equazioni del cambiamento di riferimento inverso da R" a R' sono

Questa uguaglianza tra vettori liberi, espressa in termini di componenti rispetto alla base B", diventa:

(b)

B'

9.5), ed il riferimento cartesiano R" = (O" , B"), dove O" = (O , O) e La matrice delle componenti di B' rispetto a B" è

Dimostrazione. Per la relazione di Chasles, si ha:

=

(si ricordi che E è

Nel piano euclideo standard JR 2 , si considerino il riferimento cartesiano

= E(x) + (b)

dove E E On(IR) è la matrice delle componenti della base B' rispetto a B", e (À) E> Mnx-i(IR) è la colonna delle coordinate cartesiane del punto O' rispetto al riferim1nto R".

(y)

tE

e;.

Ciò prova l'asserto.

È poi immediato verificare che, se

159

3. SOTTOSPAZI EUCLIDEI

+ (x'), --,-t

dove (x') denota la colonna delle componenti del vettore libero O' P rispetto alla base B". Poichè la colonna (x) delle coordinate cartesiane del punto P rispetto al

xl = { X2 =

}zyl _ }zy2 + ~ 11

.j2 Y

+

12

.j2Y -

3·

.,/2

Utilizzando tali equazioni, si ha che, se P = n" (1 , 2), allora P =n (2~, O), come già provato direttamente nell'Esempio 9.5 . 1

--,-t

riferimento R' coincide con la colonna delle componenti del vettore libero O' P rispetto alla base B', le equazioni del cambiamento di base da B' a B" sono esattamente

(x') = E(x); 3. Sottospazi euclidei

la tesi segue quindi direttamente, sostituendo questa relazione nella uguaglianza precedente.

o

Sia (E, E, n) uno spazio euclideo, P E [ un suo punto ed X suo spazio dei vettori liberi; poniamo

Le equazio · (*) vengono dette equazioni del cambiamento di riferimento cartesiano da R' ad R" .

(P,X) = {QE[

taf ~:o-, t

'(°""

e~~ ~

•':ì<J

I

PQEX}

'1-'1'~~ ~~tr

ç E un sottoinsieme del

9. SPAZI EUCLIDEI

160

3. SOTTOSPAZI EUCLIDEI

161

+Definizione 9.5.

Un sottoinsieme 1i di [ si dice sottospazio euclideo dello spazio euclideo [ se esistono un punto P E [ ed un sottospazio vettoriale (euclideo) U di f tale che 1i = (P, U) .

.,. Osservazione 9.4. Quale immediata conseguenza del Teorema 4.11 (a) e della Definizione 9.6, i] massimo numero di punti affinemente indipendenti di uno spazio euclideo di dimensione finita n è n + 1.

Dalla definizione 9.5 e dagli assiomi (SEI), (SE2) discendono le seguenti proprietà:

La proposizione seguente permette di affermare che ogni sottospazio euclideo di dimensione finita h è univocamente determinato da h + 1 suoi punti affinemente indipendenti. Ciò fornisce una importante caratterizzazione dei sottospazi degli spazi euclidei di dimensione finita.

, Se 1i = (P, U) è un sottospazio euclideo di E, allora P E H. Se 1i = (P, U) è un sottospazio euclideo di [, allora U = {PQ E f I P, Q E H}; tale sottospazio vettoriale viene detto giacitura di H, e viene usualmente indicato con il.. • Ogni sottospazio euclideo è univocamente determinato dalla sua giacitura e da uno qualunque dei suoi punti. • Se 1i = (P, il.) è un sottospazio euclideo di (f, [, 7r), allora la terna (il., H, 7r1) è a sua volta uno spazio euclideo, ove 7rl : 1i x 1i -t il. è la applicazione ottenuta per restrizione dalla applicazione 7r : [ x E -t

f.

Si noti che l'intersezione di sottospazi euclidei è ancora un sottospazio euclideo. l sottospazi euclidei di dimensione O sono i punti di [, mentre i sottospazi euclidei di dimensione 1 e 2 sono detti rispettivamente rette e piani (euclidei) di€. La giacitura di una retta è anche detta direzione. Se t;n è uno spazio euclideo di dimensione finita n, quale conseguenza immediata della Proposizione 4.15, si ha che un sottospazio euclideo 1i di [ ha dimensione finita h ~ n; inoltre, 1-l = [ se e solo se h = n. I sottospazi euclidei di dimensione n - 1 sono detti. iperpian~ (euclid~i) di t;n. \ .,. Osservazione 9.3. Sia (V,< ., · >) uno spaz10 vettoriale euclideo ed E(V) ~ (V, V, T) lo spazio euclideo ad esso associato. Se U è un sottospazio vettoriale di V ed a E V, allora (a, U) = { v E V

I

•Proposizione 9.4. Dati h + 1 punti affinemente indipendenti Po, Pi, ... , Ph di[, esiste uno ed un solo sottospazio euclideo h-dimensionale Hh di [ che li contiene. Dimostrazione. Poichè i punti Po, P1 , ... , Ph sono affinemente indipendenti i vet. p,p ~ sono linearmente indipendenti, ed individuano dunque ' ton· 1·b i en o 1, . . . , PoPh un sottospazio vettoriale h-dimensionale Wh = L(PoPi, .. : , PoPh) di f. Il sottospazio euclideo Hh = (Po, Wh), individuato dal punto Po e dal sottospazio vettoriale Wh, per definizione ha dimensione h e contiene i punti P0 , Pi, . .. , Ph; inoltre, ogni altro sottospazio euclideo h-dimensionale contenente Po, P1 , ... , Ph ha come giacitura Wh e quindi coincide con Hh (si ricordi che ogni sottospazio euclideo è univocamente determinato dalla sua giacitura e da uno qualunque dei suoi punti). D

Il sottospazio 1-lh si dirà generato dagli h per Po, P1, ... , Ph.

Quindi, i sottospazi euclidei di E(V) si ottengono "per traslazione" (si veda l'Osservazione 6.5) dei sottospazi vettoriali di V . Introduciamo ora la nozione di indipendenza affine di punti, che permette di parlare di punti che generano un sottospazio euclideo.

+

Definizione 9.6. Una (h + 1)-pla (Po, P1, ... , Ph) di punti di E, con h > O, è ~ --=7 detta affinemente indipendente se la h-pla di vettori liberi (PoPi, ... , PoPh) è linearmente indipendente in f . In caso contrario, si dice che (Po, P1, ... , Ph) è affinemente dipendente. E' facile verificare che, se una (h + 1)-pla di punti è affinemente indipendente, allora risultano affinemente indipendenti anche tutte le (h + 1)-ple da essa ottenute permutan,done le componenti in tutti i modi possibili. Ciò giustifica la locuzione "i punti P0 , P 1 , ... , Ph sono affinemente indipendenti (risp. dipendenti)", che verrà spesso usata come sinonimo di "la (h + l)-pla (Po, Pi, ... , Ph) è affinemente indipendente (risp . dipendente)".

punti P0 , P1 , ... , Ph o anche ante

Concludiamo il paragrafo introducendo la nozione di parallelismo tra sottospazi euclidei di uno spazio euclideo [.

+Definizione 9 . 7.

Due sottospazi euclidèi 1-l, K di [ si dicono paralleli e si indica

il. ç fC o fC ç il.. <>w-<,\1-t t'\'l..~ '-"'~ric,;chv.lr~ t;,"1~\V ~o~Q. < • • "'°"-"l-V.t ..V\Mtl n .i t\"0\.ir. ~ 4>-. ,_"I, 'f'\ (d;\Q Si noti eh~ se 1j e K sono entrambi sottospazi di dimensione finita h, allora 1-l//K se

M//K,

v - a E U} = a+ U.

+1

se

..J.A./I/\

I .-,(

e solo se 1l-= K!. Inoltre è bene osservare che, in base alla Definizione 9.7, la nozione di parallelismo non esclude la possibilità che i sottospazi in questione abbiano punti in comune; anzi, è facile verificare che, se dim(H) < dim(K) (risp. dim(H) = dim(K)), allora (H//K e 1i n K -=f. 0) =? 1i e K (risp. 1i = K). In generale, detti incidenti (risp. sghembi) due sottospazi euclidei che hanno almeno un punto in comune (risp. che non sono nè paralleli nè incidenti), le possibili mutue posizioni di due sottospazi euclidei 1-lh e K,k di [ (con h ~ k) sono: ~I)

= ><

paralleli ed incidenti (nel qual caso 1i

ç K) -

(IL) paralleli e disgiunti (III) incidenti e non paralleli

. (~) sghembi ' _ -mo f ~t. n
\i. (..

t·

e,'\t

mente possibili può anche essere inferiore a quattro: ad esempio (come si vedrà nei successivi § 1 dei Capitoli 10 e 11), due rette del piano euclideo non possono mai essere sghembe, così come due piani (o una retta ed un piano) dello spazio euclideo di dimensione tre.

162

9. SPAZI EUCLIDEI

• Teorema 9.5. Dati comunque un sottospazio euclideo h-dimensionale Hh di [ ed un punto P E[, esiste uno ed un solo sottospazio euclideo h-dimensionale K,h di[, contenente P e parallelo a Hh. Dimostrazione. Basta porre K,h = ( P, i{h) .

o .,.. Osservazione 9.5. Per h = 1, il Teorema 9.5 è una riformulazione del famoso postulato delle parallele, noto anche come V 0 postulato di Euclide, che risulta pertanto, . nell'ambito della presente teoria, una conseguenza degli assiomi usati per definire gli spazi euclidei. Il postulato delle parallele fa parte del sistema di assiomi usatò da Euclide negli "Elementi", al fine di costruire una teoria deduttiva atta a descrivere le proprietà geometriche del "piano" e dello "spazio fisico" in cui viviamo, ormai noti come piano e spazio euclideo. Tale postulato apparve immediatamente poco "autoevidente" già ai più antichi commentatori del trattato euclideo, che tentarono invano di dedurlo dagli altri postulati. Allo scopo di provare la verità del V postulato, Saccheri 2 ebbe la geniale idea di sostituire tale postulato con la sua negazione, sperando di dedurne una conseguenza manifestamente assurda. Pur senza giungere in fondo al problema, tale lavoro lasciava intravedere la possibilità di costruire sistemi geometrici coerenti, basati su principi contrari al V postulato stesso: Saccheri fu dunque, suo malgrado, un precursore delle cosiddette "geometrie non euclidee" , che vennero successivamente elaborate - in indipendente, non senza reciproche polemiche - da Bolyai3 , Gauss 4 e Lobacevskij 5 . In particolare, sostituendo il postulato delle parallele con l'ipotesi che per un punto esterno ad una retta data non si possa tracciare alcuna retta (risp. si possa tracciare più di una retta) ad essa parallela, si ottiene la geometria ellittica (risp. la geometria iperbolica).

modo )

4. RAPPRESENTAZIONI DI SOTTOSPAZI EUCLIDEI

• Teorema 9.6. Fissato in [n un riferimento cartesiano R = (O, B), ogni sottospazio euclideo h-dimensionale Hh di [n (O < h < n) può essere rappresentato, relativamente ad R, da un sistema lineare minimo di n - h equazioni in n incognite S; inoltre, il sistema lineare omogeneo So associato ad S rappresenta, relativamente -e- y : O .é_ ~ -t~.Cf..(...-.t.tt~ alla base B, la giacitura if.h di Hh .

O...x

Nel presente paragrafo, consideremo solo sottospazi di uno spazio euclideo [n di dimensione finita n; R = (O, B) indicherà un fissato riferimento cartesiano su [n. In perfetta analogia a quanto fatto per i sottospazi di uno spazio vettoriale vn (§ 3 del Capitolo 6), ci poniamo il problema di rappresentare tramite equazioni (sia di tipo cartesiano che di tipo parametrico) i sottospazi euclidei, ovvero di trovare delle "condizioni" sulle coordinate cartesiane dei punti rispetto al riferimento fissato, che siano verificate da tutti e soli i punti che appartengono al sottospazio considerato. 2

Fra Girolamo Saccheri: matematico italiano (Sanremo, 1667 - Mila no, 1733). 3Janos Bolyai: matematico ungherese (Kolzvar, 1802 - Marosvarhely, 1860). 4Karl Friedrich Gauss: matematico, fisico e astronomo tedesco (Brunswick, 1777 - Gottinga, 1855). 5Nikolaj Ivanovic Lobacevskij: matematico russo (Ma karev , 1793 - Kazan, 1856).

iJ

Dimostrazione . Siano Po =n (xà, .. . , x 0), ... , Ph =n (x~, . .. , xl!) h + 1 punti affinemente indipendenti di Hh. Per definizione, ciò equivale a dire che i vettori liberi

- (X11 RoP1 =jj

-

1 Xo, ... , X1n

-

T,> =g - (xh1 - Xo,1 .. . 'xhn - Xon) Xon) , .. . , ROFh

sono linearmente indipendenti, e costituiscono dunque una base per if.h . Un generico punto P =n (x 1 , . .. , xn) di [n appartiene ad Hh se e solo se il vettore libero P0 =. 8 (x 1 - xà, ... , xn - x 0) appartiene ad if.h = L(PoPi, ... , PoP~). Ma ciò equivale a -:::-:ì =--=+ =--:::'-+ .. richiedere che la (h + 1)-pla (PoY, PoP1 , . . . , PoPh) sia linearmente dipendente e cioè che la matrice

P

M

xr-x'ò abbia rango h. Poichè le ultime h colonne sono per ipotesi linearmente indipendenti, al loro interno esiste sicuramente un minore M di ordine h con determinante non nullo; la condizione che P E Hh equivale dunque - per il Teorema di Kronecker - all'annullarsi dei determinanti di tutti gli n - h minori orlati Mh+Ii ... , Mn di M in M . Si ottiene così un sistema lineare minimo (non più necessariamente omogeneo) di n - h equazioni in n incognite, che rappresenta Hh : det {

4. Rappresentazioni di sottospazi euclidei

163

~h+l

o o.

det Mn

E ' poi immediato verificare, a partire dalla precedente matrice M, che il sistema lineare omogeneo associato coincide con la rappresentazione cartesiana della giacitura ~ ~ =--:::'-+ H h di H h, ottenuta a partire dalla sua base P0 P1 , . .. , Po Ph (si veda la dimostrazione del Teorema 6.10) .

o Posto S = (A, -b), si avrà quindi che

Hh={P=n(x 1 , . . . ,xn)

I

A · (x)+(b)=(O)};

le equazioni A · (x) + (b) = (O) si diranno equazioni cartesiane del sottospazio Hh (relative ad R). In realtà, non è difficile verificare che il Teorema 9.6 può essere invertito, ovvero che ogni sistema lineare possibile di rango n - h in n incognite rappresenta, relativamente ad un fissato riferimento cartesiano R = (O, B), un sottospazio euclideo h-dimensionale Hh di [n.

9. SPAZI EUCLIDEI

164

5. CONDIZIONI DI PARALLELISMO

.,.. Osservazione 9.6. Ponendo h = n - 1 nel Teorema 9.6, si ottiene in particolare che ogni iperpiano &n-l di &n può essere rappresentato da una equazione lineare in n incognite (e rango 1): con

5. Condizioni di parallelismo Nel presente paragrafo, il simbolo &n indicherà sempre uno spazio euclideo di dimensione finita n.

(ai, ... , an) =J: (O, ... , O).

+ Definizione

9.8. Sia & 1 una retta euclidea di &n e sia R = (O, B) un fissato riferimento cartesiano su &n. Se l =. 8 (l1, ... , ln) è un vettore libero non nullo della giacitura diremo che (l1, ... , ln) E JRn è una n-pla di coefficienti (o numeri o parametri) direttori della retta &1 , relativi al riferimento R .

Esempio 9.7. Se R = (O,B = (OP1 , ... ,0P~)) è un riferimento cartesiano su &n, si dice i-esimo iperpiano coordinato relativo ad R (i E Nn) l'iperpiano euclideo 1ri = 1ri(R) di &n generato dagli n punti affinemente indipendenti O, Pi, ... , Pi-1, Pi+l, ... , Pn. Poichè O =n (O, ... , O) e, per ogni i E Nn, Pi =n (O, . . . , O, 1, O, ... , O), l'i perpiano coordinato 1ri è rappresentato, relativamente ad R, dalla equazione Xi =O. Si osservi che l'intersezione degli n iperpiani coordinati è l'origine O di R.

Notiamo ora che - come già osservato nel corso della dimostrazione del Teorema 9.6 - se il sottospazio euclideo 1-lh è generato dai punti affinemente indipendenti Po =n (xb, ... , x 0), P 1 =n (xL . . . , xf ), ... , Ph =n (x~, . .. , xh), allora un punto generico -:::-:t -=---=+ -==----=-+ P =n (x 1, ... ,xn ) appartiene ad 1-lh se e soltanto se PoI' E L(PoPi, ... ,PoPh); ciò e~uivale ovviamente alla esistenza di h scalari t 1, ... , th E JR tali che PoP = l h-==----=-+ t PoP1 + · · · + t PoPh. Pertanto, tutti e soli i punti P E 1-lh ammettono, rispetto ad R, coordinate (x 1 , ... , xn) che si ottengono, al variare dei parametri t 1 , ... , th E JR, da:

xb

+t

1

&\

In altre parole, ricordando la Proposizione 9.2, una n-pla di coefficienti direttori della retta & 1 Si ottiene considerando due punti distinti p =.n (x},, X~, ... , Xp) e Q =.n (xb, x~, ... , xQ) di & 1 e ponendo l

= PQ =g (xb

- x},, x~ -

x~, ... , xQ -

x}>).

Si noti che, per definizione, una qualunque n-pla di coefficienti direttori di &1 è diversa dalla n-pla nulla. •Proposizione 9.7. Sia &1 una retta di &n e sia R =(O, B) un fissato riferimento cartesiano su &n. Si ha allora:

(a) Due qualunque n-ple di coefficienti direttori di & 1 (relative ad R) sono proporzionali.

)

~b~ Se & 1 ha (rispetto ad R) equazioni parametriche

xi

=

xb

+ li· t,

i E Nn

allora la n-pla (l1, ... ' ln) dei coefficienti del parametro t è una n-pla di coefficienti direttori di &1 (relativi ad R). (c Se & 1 ha (rispetto ad R) equazioni cartesiane

Le corrispondenti equazioni =

165

(x~ - xb)

+ · · · + th(x~ -

xb)

A(x) (t1, . .. ,th E JR)

vengono dette equazioni parametriche del sottospazio 1-lh (relativamente ad R). -=--=+ , ... , o-=-=+)) .s: . . Esempio 9.8. Se R = (O, B- = (OP Pn e' un n1enmento cartesiano su "cn , s1. 1 dice i-esimo asse coordinato, o asse Xi, relativo ad R (i E Nn) la retta generata dai due punti O, Pi. Le equazioni parametriche dell'asse Xi, rispetto ad R, sono:

t

= o

t/j =J: i

(t

E JR)

.,.. Osservazione 9 .1. Come già visto per gli spazi vettoriali, le rappresentazioni cartesiane e parametriche dei sottospazi euclidei di &n non sono uniche.

+ (b) =

(O)

con A E M(n-l)xn(JR) e g(A)

=n-

1,

allora ogni soluzione non nulla del sistema omogeneo A(x) =(O) è una n-pla di coefficienti direttori di & 1 (relativi ad R). Dimostrazione. (a) Se l =r3 (l1, ... , ln), m =r3 ( m 1 , ... , m n) sono due vettori liberi non nulli di &1, allora evidentemente m E &1 = L(l). Ciò prova che esiste). E JR- {O} tale che

(ml' . .. ' m n) = ). . (l 1, ... ' ln). (b) Se &1 ha - rispetto ad R - equazioni parametriche xi = xh + li· t, i E Nn, i punti Po =n (xà, x6, ... , x 0) e Pi =n (l1 + xà, l 2 + x6, ... , ln + x 0) sono distinti e appartengono ad &1 . Quindi, il vettore libero P0 P~ =. 8 (l1, l 2 , ... , ln) appartiene ad Ò. Ciò prova che (l1, l 2 , ... , ln) è una n-pla di coefficienti direttori di &1 . (c) Basta ricordare che il vettore libero l =r3 (l1, l 2 , ... , ln) appartiene alla giacitura della retta &1 se e solo se (l 1 ' l 2 ' ... 'ln) è soluzione del sistema lineare omogeneo A· (x) =(O) che rappresenta &1 (Teorema 9.6) . D

167

6. ORTOGONALITÀ TRA SOTTOSPAZI

9 . SPAZI EUCLIDEI

166 cl ha (rispetto ad R) equazioni parametriche .,.. Osservazione 9.8. Se la retta 0 xi = xt + li . t, . , ll allora, ricavando il parametro t da e se nessuno dei coefficienti direttori e nu o, ciascuna delle n equazioni si ottiene: xn -x(ì 2 x 1 - xb x - x6 = = ln l1 l2 (rispetto ad R). che è nota come equazione frazionaria della retta El

p)o~;~~7z:o:~8.necessaria

Esempio 9.9. Nello spazio euclideo E 5 , con un fissato riferimento cartesiano R, si considerino le rette r, s e t, dove

rx' -x' + r· ·

e sufficiente affinchè due rette El ed aventi . (ll ln) ed (ml ... mn) siano parallele e che esista . . d" coefficienti irettori ,···' ' ' _I'\ I\ .XEJR-{0} tale che: \<.\.\'l~(j)\,.N\.<> ~~~~lli~O'll.)(.,.J (l1, ... 'ln) = À. (ml' ... ' mn); 1 · e suffic•ente affinchè due iperpiani En- ed p-i • (b) Condizione necessaria aventi equazioni cartesiane /Il /ln+b" O a~xl + ... + a~xn + b' =O e a1X + .. . + anx =

. _ i zn) m = _ (m1 . . . , mn), si ha E1 = L(l) e Dimostrazione. (a) Se 1 =a (l , · · ·, e -13 ' ., fti = L(m). Allora, El = ft1 se e _:olo se 1 = >.m, con À E .JR - \O} : c10 prova (a). _ (b) Poichè le giaciture En-:..1 ed Fn-1 sono rappresentate nspett1vamente dalle equa

zioni lineari omogenee ' n -- O e a '1x 1 + · · · + anx il sistema lineare omogeneo

= O

a~x +···+a~xn

=0

1

( , a1 a1

)

+Definizione 9.9.

Due rette E 1 ed F 1 dello spazio euclideo En si dicono ortogonali, 1 1 e si indica E J_ F , se ogni vettore di f1 è ortogonale a tutti i vettori di f 1, ovvero se

fl, \iv

E

f1,

< u,v

>=o

+ . . . +"n-o anx - '

+ · · · + a~ xn

a~ x 1

/) an - 1 11-· . . . an 1 1 c Se (l1, ... , zn), si ha che E1 ed p- sono paralleli se e solo se E = L(l) C 1 13 (_) 1 t E fn-1 La affermazione (c) segue allora osservando p- , ovvero se e so1tan o se 1 · n _ 1 0 che jn-1 è rappresentato dalla equazione omogenea a1x + · · · + anx - · o (}Il

=_

(>. E JR)

Nel presente paragrafo tratteremo la nozione di ortogonalità tra sottospazi di un medesimo spàZ1n-eYdideo t;n (di dimensione finita n, in cui supporremo fissato un riferimento cartesiano R = (O, 8)), restringendo l'attenzione ad alcuni casi particolari, che vengono ritenuti i più significativi (oltre che i più semplici come trattazione). 6 Si noti che, in dimensione due e tre, i casi considerati nel presente paragrafo coprono tutti i casi possibili.

\fu E

a1111 X

cn-:..1 n F~1 La affermazione (b) segue allora osservando che En-l ed rappresent a 0 · . cn-1 n Fn-1 ha dimensione n - 1, ovvero se e Fn-1 sono paralleli se e soltanto se 0 soltanto se

s:

= 3+2.X = -1 +>. = 4.X 5+.X -2-À

À

(c) Condizione necessaria e sufficiente affinchè una retta El avente coeffici.enti . tt . (ll zn) ed un iperpiano p- 1 avente equazione cartesiana dire ori ,···, · bb · a x1 + . . . + anxn + b =O siano paralleli è che si a ia: 1 a1ll + ... + anzn = o.

{

~

x - 2x I x 1 + 2x 2 - 3x3 =O x1 - x2 + x 4 - x5 = 2 3x 2 + x 4 - 4x 5 = -1

xl x2 x3 x4 xs

6. Ortogonalità tra sottospazi

E JR - {O} tale che: I I ) \ ( Il (a1,. .. ,an =/\"al, .. ., a"). n'

siano paralleli è che esista

5

e t è generata dai punti P =n (O, 2, 3, -1, 5) e Q =n (2, 4, 5, 1, 7). Poichè r (risp. s) (risp. t) hanno coefficienti direttori (1, 1, 1, 1, 1) (risp. (2, 1, 4, 1, -1)) (risp. (1 ,' l, 1, 1, 1)), la Proposizione 9.8(a) consente di affermare che re t sono parallele, mentre r ed s ed s e t sono non parallele. ·

!1

• Pro( a

3

• Proposizione 9.9. Condizione necessaria e sufficiente affinchè due rette E 1 ed F 1 aventi coefficienti direttori (l 1, ... , ln) ed (m 1 , .. . , m n) siano ortogonali è che si abbia:

6Riportiamo qui, per completezza, anche la definizione più generale di ortogonalità tra sottospazi euclidei. Due sottospazi t;h ed Fk dello spazio euclideo t;n si dicono ortogonali, e si indica t;h J_ Fk, se: • i due sottospazi non sono paralleli; • la giacitura di uno dei due sottospazi contiene il complemento ortogonale della giacitura dell'altro, nel sottospazio vettoriale fh + :fk ç fn (ovvero: nel più piccolo sottospazio vettoriale di fn contenente entrambe le giaciture). Si osservi che questa definizione generale coincide con quelle date nei casi particolari trattati.

168

9. SPAZI EUCLIDEI

6. ORTOGONALITÀ TRA SOTTOSPAZI

Dimostrazione. Posto l =.fJ (l1, ... , ln) e m =fJ (m 1 , . .. , mn), dalla Definizione 9.8 segue che El = L(l) e :f1 = L(m). Allora, per ogni u = À · l E E\ e per ogni v = µ · m E :f1 , si ha:

169

• Proposizione 9.12. Condizione necessaria e sufficiente affinchè due iperpiani En-l ed Fn-l aventi equazioni cartesiane a~x 1 + · · · + a~xn + b' =O ed a~xl + · · · + a~xn + b" =O siano ortogonali è che si abbia: a~ a~

< u, v > = < À · l, µ · m > = Àµ < l, m > . >= O se e solo se < l, m >= O; la tesi segue dunque banalmente

Pertanto, < u, v dalla Proposizione 8.6 (b).

+ · · · + a~ a~

= O

Dimostrazione. In base alla Proposizione 9.11, (a~, ... ,a~) (risp. (a~, ... ,a~)) è una n-pla di coefficienti direttori per una qualunque retta r' (risp. r") ortogonale ad En-l (risp. ad Fn-l ). La tesi segue quindi direttamente dalla Proposizione 9.9.

o

o

+ Definizione 9.10.

Una retta E 1 ed un iperpiano Fn-l dello spazio euclideo En si dicono ortogonali, e si indica E 1 ..l Fn- 1, se la giacitura della retta coincide con il complemento ortogonale della giacitura dell'iperpiano.

Concludiamo il paragrafo introducendo la nozione di orientazione di una retta euclidea e di angolo tra due rette orientate di En.

+Definizione 9.12.

Si dice retta euclidea orientata una coppia (E 1 , 1), dove E 1 è una retta dello spazio euclideo En e 1 E E1 - {O} è un vettore non nullo della giacitura della 7 retta. Se (E 1 , l), è una retta orientata, si dice poi vettore positivo della giacitura della retta ogni vettore concorde con l; inoltre, si dice n-pla positiva di coefficienti direttori ogni n-pla costituita dalle componenti - rispetto ad un fissato riferimento cartesiano R = (O, B) di En - di un vettore positivo di t1.

Si noti che, per il Teorema 8.11, il complemento ortogonale della giacitura dell'iperpiano p-l è effettivamente un sottospazio vettoriale unidimensionale di [n (come la giacitura della retta E 1 ), che a volte viene detto "la direzione ortogonale all 'iperpiano"; il lemma seguente ci consente di ricavarne direttamente una base, a partire da una qualunque rappresentazione cartesiana di Fn- 1 . • Lemma 9.10. Se l'iperpiano p - l di En ha, rispetto ad R = (O, B), equazione cartesiana a 1x 1 + · · · + anxn + b = O, allora il vettore a =fj (a1, ... , an) è una base per il complemento ortogonale della giacitura di Fn- 1. Dimostrazione. Basta ricordare che, per il Teorema 9.6, la equazione omogenea a 1 x 1 + · ·+anxn = Oè una rappresentazione cartesiana (rispetto alla base ortonormale B di {n) della giacitura fn- 1 dell'iperpiano Fn- 1, e poi applicare la Proposizione 8.12 (nel caso particolare h = n - 1).

o

+Definizione 9 .13.

)

Date due rette orientate (E 1 , l) e (F1 , m) dello spazio euclideo En, si dice angolo tra E 1 ed F 1 , e si denota con flFi, l'angolo E [O, -rr] tra l e m.

Si ha dunque, per definizione, cos(flFi) = cos(l, m). Inoltre, poichè i vettori positivi della retta.orientata (E 1 , l) sono del tipo l' =>.I, con À E JR+ (si veda la Osservazione 8.17), si verifica banalmente che cos(flFi)

1

• Proposizione 9.11. Condizione necessaria e sufficiente affinchè una retta E di coefficienti direttori (l1, ... 'ln) ed un iperpiano p - l di equazione cartesiana aix 1 + · · · + anxn + b =O siano ortogonali è che esista À E JR - {O} tale che: (l1, .. . ,ln)

=

À · (a1, ... ,an)

=

1

\fu~ 1,

cos(u, v),

segue che El = L(l), mentre dal Lemma 9.10 segue che .!.f;,,- 1 = L(a). Allora, El = .l.. F-;,,- 1 (ovvero, per definizione, E1 ..l p-l) se e solo se l = Àa, con À E JR - {O} : ciò prova ovviamente la tesi.

o

~ m.

Si noti che, per definizione, E ed F sono parallele e concordemente orientate (risp. parallele e discordemente orientate) (risp. ortogonali) se e soltanto se flFi = O (risp. flFi = -rr) (risp. flFi = ~). • Proposizione 9.13. Se due rette E 1 ed F (l1, ... 'zn) ed (m1, ... 'mn), allora:

Dimostrazione. Posto l =.fJ (l1, .. . , ln) e a =.fJ (a 1 , . . . , an), dalla Definizione 9.8

Vv

1

--cos(ElFl)

ll m 1

= J(l1)2

1

hanno coefficienti direttori positivi

+ . . . zn m n

+ ... + (zn)2. J(ml)2 + ... + (mn)2

Dimostrazione. Basta osservare che, in base alla Definizione 9.8, I =. fJ (l1, ... , ln) e

m =fj (m 1 , ... , mn) sono due vettori (positivi) di El e di :f1 rispettivamente, e poi applicare la Proposizione 8.6 (d) per il calcolo del coseno dell'angolo tra due vettori, tramite le loro componenti rispetto ad una base ortonormale.

+Definizione 9.11.

Due iperpiani En-l ed p-l dello spazio euclideo En si dicono ortogonali, e si indica En-l ..l p - 1 , se sono ortogonali due qualunque rette ad essi ortogonali.

o 7 Si noti che orientare una retta equivale ad orientare la sua giacitura.

9. SPhZI EUCLIDEI

170

Osservazione 9.9. Supponiamo che, per -ogni i E Nn, l'i-esimo asse coordinato Xi del riferimento cartesiano R = (O, B) sia canonicamente orientato, ovvero orientato in modo che l'i-esimo versore della base f3 sia positivo. Se la retta E 1 ha - rispetto ad R - coefficienti direttori positivi (l1, .. . , ln), allora

11>-

7. DISTANZA EUCLIDEA .

171

. t razione · . P er 1a p ropos1z10ne · · 9 . 2, s1 .. h a~<..! p~ =13 · (xQ-x 1 1 xQ-x 2 2p, .. ·. , xQ-x n n) D zmos P> p . Poichè f3 è ortonormale in E-;.~ dalla Proposizfone 8.6 (c) segue subito: · n

d(P, Q) = ll PQ ll = -1cos(E xi)

=

= J(l1)2 + ... + (ln) 2 .

o

J(l1 )2 + l1... + (ln) 2 ' · · ·' J(l1 )2 +ln... + (ln)2 )

(

è una particolare n-pla di coefficienti direttori della retta E 1, che individua le componenti - rispetto a f3 - del versore positivo della giacitura della retta. Ciò giustifica il termine n-pla di coseni direttori della retta E1, usato per individuare la n-pla delle . componenti di un qualunque versore di E1.

+Definizione 9.15.

Dati due sottoinsiemi X, Y di E, si dice distanza di X da Y il numero reale non negativo

d(X,Y)

Nel presente paragrafo, il simbolo E indicherà sempre uno spazio euclideo. Il simbolo) En indicherà uno spazio euclideo di dimensione finita n; in tal caso, supporremo fissato in En il riferimento cartesiano R = (O, B). Se P, Q E E, si dice distanza (euclidea) di P da Q il numero

reale non negativo

d(P,Q)

11>-

=

llPQll

=

PQ = RS (Definizione 9.3), allora

dove P' indica la proiezione ortogonale di P su Eh ovvero il punto (unico!) di intersezione tra Eh ed il sottospazio euclideo (P, 1.fh) di En, ante per P ed avente come giacitura il complemento ortogonale di fh. In particolare, se h = n - 1, la distanza tra un punto P ed un iperpiano En-l si può calcolare direttamente, a partire dalle coordinate di P e da una equazione cartesiana di En-l, tramite la seguente: • Proposizione 9.15. Se un iperpiano é·- 1 ha, rispetto ad R = (O, B), equazione cartesiana a1x 1 + · · · + anxn + b =O e se P ='R. (x 1, ... , xn), allora 1 d(P, En-1) = la1x + · · · + anxn +bi

Jai +···+a~ Dimostrazione. Sia P' ='R. (x 1, ... , xn) la proiezione ortogonale di P su En- 1. Posto a =s (a1,. .. ,an), dal Lemma 9.10 segue che {a} è una base di l.En-:. 1, e quindi

d(P, Q) = llPQll = llRBll = d(R, S). Pertanto, gli estremi di segmenti orientati equipollenti hanno la stessa distanza. Si è soliti definire lunghezza del segmento orientato (P, Q) la distanza d(P, Q) tra i suoi estremi. Dalle precedenti considerazioni segue allora che segmenti orientati equipollenti hanno la stessa lunghezza, coincidente con la lunghezza del vettore libero ad essi associato. • Proposizione 9.14. Se P due punti di En, si ha:

='R.

(x~, x},, ... , x?) e Q n

d(P, Q)

~)xQ -x~)2. i=l

='R.

P E X, Q E Y}

= min{d(P, Q) I Q E Eh} = d(P, P')

Osservazione 9.10. Se i segmenti orientati (P, Q), (R, S) E Ex E sono equipollenti,

cioè se

I

inf{d(P,Q)

Si osservi che d(X, Y) = d(Y, X) e che, se X n Y =I= 0, allora d(X, Y) =O. Nel caso in cui X= {P}, scriveremo d(P, Y), anzichè d({P}, Y). Si dimostra facilmente (tramite il Teorema di Pitagora (Proposizione 8.2)) che, se X = {P} e Y =Eh (sottospazio euclideo di En), allora ·

d(P, Eh) 7. Distanza euclidea

+ Definizione 9.14.

x~)2.

i=l

Si noti che la n-pla costituita dai coseni degli angoli che la retta orientata E 1 forma con gli n assi coordinati canonicamente orientati -1. -1 - ) ( cos(E x1), ... , cos(E xn)

L(xk -

li

-t

PP'

=

À

·a; pertanto, ricordata la Proposizione 9.2, per ogni i E Nn, si ha:

xi - xi

=

À .

ai.

Moltiplicando per ai e sommando per i E Nn, si ottiene:

(x~, x~, ... , xQ) sono

Sommando e sottraendo b nel primo membro di tale uguaglianza, e ricordando che I:7= 1(ai) 2 = llall 2, si ottiene:

taixi

+

b-

(taixi

+

b) =

À ·

llall2,

;,

8. SIMPLESSI E VOLUMI

9. SPAZI EUCLIDEI

172

2-si~plesso < Ao, Ai'. A: > coincide con la usuale nozione di area del triangolo: infatti, detta H la pr01ez10ne ortogonale di A 2 sulla retta r contenente A O e A i , Sl· ha

da cui, poichè P' =n (x 1 , ... , xn) E t;n- 1, si ricava: '("'n -i+ b , __ ui=I aix ovvero "

n

L:aixi

+b=

2

À · llall

,

l!a1!2

i=l

=

d(P, P')

A questo punto, essendo d(P, t;n-l)

--t

ll PP' ll

= !!>.·al!, la tesi

direttamente:

I L:~= 1 aixi + bi !!ali

173

=~· det(<~,~> <~,~>)

segue

1 . I -:--:-+ -,----,-t -,----,-t -:--:-+ = 2 · V llA0A1ll 2 · llA0A2\ l2- < AoA1, A 0 A 2 >2 1 . I -:--:-+ -:--:-+ -,----,-t -:--:-+ = 2 ·V llA0A1ll 2 · llA0A2l l2 - llA0A1ll 2 · llA0A2 ll2 · cos2(AoA1,AoA2) 1 -:--:-+ -:--:-+ .I -:--:-+ -:--:-+ = 2 · llA0A1 ll · llA0A2l l · y 1- cos2(AoA1,A0A2)

I L:~=l aixi +bi JL:7=1(ai) 2

< AoA2, AoA1 > < AoA2, A 0 A 2 >

2

.

o

1

-,----,-t

-,-------,-+

1

-:--:-+

~

-:--:-+ -:--:-+

= 2 · llA0A1ll · llA0A2ll · sen (AoA1, AoA2)

8. Simplessi e volumi

= 2 · llA0A1ll · llA2H\ I = + Definizione 9 .16. Dati h + 1 punti affinemente indipendenti Ao, Ai, ... , Ah di t;n, si dice h-simplesso di vertici A 0 , A 1 , .. . , Ah la chiusura convessa dell'insieme {A 0, A 1, ... , Ah}, ovvero il più piccolo sottoinsieme convesso di t;n, contenente {Ao, A 1, ... , Ah}· Si può provare che l'h-simplesso di vertici Ao, Ai, ... , Ah coincide con il sottoinsieme di t;n :

~

-,----,-t

< Ao, Ai, . . . , Ah>= {P E &n I AoJ-' =

À1AoA1

-,----,-t

+ · · · + ÀhAoAh,

h

)

con LÀi ~ 1 e Ài 2: O,'v'i E Nh}

i=l

1

= 2 · d(Ao, A1) · d(A 2, r). La seguente proposizione consente - una volta fissato un riferimento cartesiano sul sottospazio euclideo h-dimensionale generato dai vertici di un h-simplesso _ di ef~are agevolmente il calcolo del volume, utilizzando o le componenti dei vettori AoA1, . . . , AoAh o direttamente le coordinate dei vertici Ao, Ai, ... , Ah ·

•Proposizione 9.16. Se r:rh =< Ao, Ai, ... , Ah > è un h-simplesso di t;n sia &h il s~tto~pazio euclideo h-dimensionale ante per i vertici Ao, A 1 , ... , Ah e' sia ft un riferimento cartesiano su &h. Posto, per ogni O< i< h ' Pi =n- (xl.,,, ... , xh) i ' s• ha· li

Si noti che la nozione di h-simplesso coincide, per h = 1, 2, 3, con le usuali nozioni di segmento, triangolo, tetraedro.

det

h

dove

.

G = (gj}i,jElllh,

=

1

1 ~ h! · vdet G, .

gj

=<

--:-+

h!

(I

1 xl1

;~)

X~

xhh

xl

det

:o

X~

-,----,-t

xhh -xho

AoAi, AoAj >

-,----,-t

~

è la matrice di Gram della h-pla di vettori (AoA1, ... , AoAh)· Si può verificare facilmente che) per h = 1, il volume dell' 1-simplesso < Ao, Ai > coincide con la lunghezza l!A0A 11! del segmento orientato (Ao,A1) definita nella _Osservazione 9.10, ovvero con la distanza d(Ao, A1). Inoltre, per h = 2, il volume del 8Si noti che la Definizione 9.17 presuppone che il determinante della matrice G sia sicuramente positivo, come assicurato dalla Proposizione 8.13 relativa alle proprietà delle matrici di Gram; in alternativa, la dimostrazione di questo fatto può essere agevolmente dedotta dalla dimostrazione della seguente Proposizione 9.16.

X~ ~x!)

xh1 - xho

+Definizione 9.17. Dati h+l punti affinemente indipendenti Ao,Ai, ... ,Ah di t:n, 8 si dice volume dell'h-simplesso r:rh = < A 0 , A 1 , ... , Ah> il numero reale positivo V(r:r )

x!

(xl~

•

Dimostrazione. Poichè la base f3 del riferimento cartesiano fissato è ortonormale si verifica facilmente che (come provato nella Proposizione 8.13) '

G

= tA·A,

dove

A=

(

X~~ xà

o xlh - xl)

Xh 1 -

xhh -xho

xho

Ciò prova - in virtù del Teorema di Binet (Proposizione 3.15) e della Proposizione 3.14 - la prima uguaglianza dell'enunciato. D'altra parte, si può verificare direttamente (sottraendo nella seconda matrice la prima colonna a tutte le successive, e poi

9. SIMMETRIE

9 . SPAZI ·EUCLIDEI

174

175

Il concetto di punto medio di un segmento si generalizza nel concetto di baricentro di un h-simplesso.

applicando il Teorema di Laplace alla prima riga) che:

+Definizione 9.19. Dato un h-simplesso ah=< P0 , Pi, ... , Ph > di t;n, con Pi =n (x}, ... , xi) (O:::; i:::; h), si dice baricentro di ah il punto H E t;n tale che H

D

dalla condizione Nel presente paragrafo, t;n indicherà uno spazio e~clideo di dimensione finita n ~ 1, in cui è fissato un riferimento cartesiano R = (O, B).

è detta simmetria (centrale) di centro C.

)

Dalla Definizione 9.20 segue che il simmetrico di P rispetto a C è l'unico punto P' tale che C risulti il punto medio del segmento < P, P' > . Si noti inoltre che l'unico punto lasciato fisso da una simmetria centrale è il suo centro

c.

AM =2AM-AM= AB-AM = (AM +MB)-AM= MB. ----+ ---t La unicità segue invece osservando che, se M' E t;n è tale che AM' = M' B, si ha:

= AM +M'A =

M'A+AM

PC= '. L'applicazione P-+ sc(P)

tale che AM = M H. Infatti, la esistenza è dimostrata prendendo (in virtù dell'assioma SEI) il puntq M E t;n tale che AM = ~AB e ricordando la relazione di Chasles:

MM'= MB+BM'

·

se: En-+ En

Si verifica facilmente che dati due punti A, B E t;n, esiste ed è unico il punto M E t;n

-=--=±

( I:7=o x} I:7=oxi ) h + 1 ' ···' h + 1

+ Definizione 9.20. Fissato un punto C E t;n, per ogni punto P E t;n, si dice simmetrico di P rispetto a C il punto P' = sc (P) E t;n univocamente individuato

9. Simmetrie

----+

=

-n

(

= M'M

..,. Osservazione 9.11. Se, rispetto al riferimento cartesiano R, si ha C =n (c 1 ,c2 , ... , cn), P =n (x 1 , x 2 , ... , xn) e P' =n (y 1 , y 2 , ... , yn), allora la Proposizione 9.17 implica che, per ogni i E Nn, si ha:

e dunque M = M'. Possiamo dare pertanto la seguente + Definizione 9.18. Dati due punti A, B E t;n, si dice punto medio del segmento

< A,B > l'unico punto ME t;n tale che AM =MB. 1

2

•Proposizione 9.17. Siano A,B E t;n due punti di En, con A =n (a ,a , ... ,an) e B =n (b1, b2 ,. •. , bn). Allora, il punto medio del segmento < A, B > è il punto ME< A,B >,con (al+bl a2+b2 an+bn) M =n --2-,--2-,. .. , 2 .

Dimostrazione. Essendo AB =B (b 1 - a 1 , b2 - a 2 , ... , bn - an), da AM = subito: --:-:-ì = - (bl - al b2 - a2 bn - an) AM -5 2 ' 2 ' ... ' 2 .

~AB segue

Pertanto, le coordinate del punto simmetrièo di un punto dato P rispetto a C possono essere direttamente ottenute dalle coordinate di P e di C, attraverso la relazione: yi = -xi+2ci,

ViENn.

Esempio 9.10. Ad esempio, nel piano euclideo E 2 , se C =n (1 , 2), allora il punto generico P =n (x,y) ha come simmetrico rispetto a C il punto P' =n (-x+2,-y+4). Se si desidera determinare la retta r', simmetrica della retta r : x + 2y - 1 = O rispetto a C, allora si può procedere nel modo seguente:

• si scelgono due punti A, BE r (ad esempio, A =n (-1, 1) e B =n (1, O)); • si determinano i due punti simmetrici A', B' di A, B rispetto a C (nel nostro caso, A' =n (3, 3) e B' =n (1, 4)); • la retta r' è la retta ante per A' e B' . Si ottiene dunque: r' : x + 2y - 9 = 0. 9 Esempio 9.11. Nello spazio euclideo E3 , se C =n (3 , 1, O), allora il punto generico P =n (x, y, z) ha come simmetrico rispetto a C il punto P' =n (-x + 6, -y + 2, -z). Operando nel modo descritto nell'esempio precedente, è possibile determinare la retta r',

D

9Si noti che la retta simmetrica in una simmetria centrale è sempre parallela a lla retta d ata.

10. ISOMETRIE

9. SPAZI EUCLIDEI

176

simmetrica della retta r :

X+ 2y- 3 = 0

Esempio 9.13. Nello spazio euclideo t: 3 , fissato il piano 7r : x + 2y - 3z - 7 = O, cerchiamo il punto simmetrico dell'origine rispetto a 7r. Poichè la retta ortogonale a 7r ante per l'origine ha equazioni parametriche

rispetto a C: scelti A =n (1, 1, 1) e

{ x-z=O

177

B =n (3, O, 3), si ha A' =n (5, 1, -1) e B' =n (3, 2, -3), da cui r':

= .>. = 2.>. = -3>.

X+ 2y- 7 = 0 { x-z-6=0

Analogamente, è possibile determinare il piano 7r1 , simmetrico del piano 7r : 3x + 2y- z 6 =O rispetto a C: scelti R =n (2, O, O), S =n (O, 3, O) e T =n (O, O, -6) (R , S, TE 7r), i loro simmetrici rispetto a C sono R' =n (4, 2, O), S' =n (6, -1, O) e T' =n (6, 2, 6), da cui 1 7r : 3x + 2y - z - 16 = O. 10

il punto di intersezione M =

M =n

(~ , 1, -~);

7r

n t è individuato dal valore

dell'origine O rispetto a

7r

è il punto O' =n (1, 2, -3).

10. Isometrie

PM = M P'. L'applicazione

Nel presente capitolo , i simboli t:n, Fn indicheranno sempre spazi euclidei della stessa dimensione finita n. Una applicazione a : t:n --+ Fn sarà detta compatibile se, per ogni P, Q, R, S E t:n, si ha:

univocamente determinato dalla condizione St;n-1 : Cn --+ [n

St;n-1 (P)

(PQ = RS)

è detta simmetria (ortogonale) rispetto ad t:n- 1 . Dalla Definizione 9.21 segue che il simmetrico di P rispetto ad t:n-l è l'unico punto P' tale che M = t:n-l n (P, .Lt:n-:..l) risulti il punto medio del segmento < P, P' > . Si noti inoltre che gli unici punti lasciati fissi da un simmetria ortogonale St;n - 1 sono tutti e soli i punti di t:n- 1 . Esempio 9.12. Ad esempio, consideriamo nel piano euclideo &2 la retta r avente, rispetto ad un fissato rifermento cartesiano R, equazione r: x-y - l =O. Per ogni punto P =n (x, y), la retta ortogonale ad r ante per P ha equazione t: x+y-x-fj =O; allora, le coordinate cartesiane del punto M da cui segue M =n

(

r

= nt

x + fi + l , x + Y -

verificano il sistema 1)

{xx+y-x-y= - Y - == ~ 0,

· d an do Ia P ropos1z1one . . 9 .17 s1. ha . R1cor

2 2 quindi che il simmetrico di P =n (x, y), rispetto ad r è il punto P' =n (y + 1, x - 1). Se si desidera determinare la retta s' , simmetrica della retta s : x = O rispetto alla retta r, si può procedere scegliendo, ad esempio, i punti A =n (O, 1) e B =n (O, 2) sulla retta s, e determinando i rispettivi punti simmetrici A' =n (2, -1) e B' =n (3, -1) rispetto ad r; pertanto, si ottiene che la retta cercata è

.>. = ~ del parametro, owero

mediante la Proposizione 9.17 otteniamo quindi che il simmetrico

+ Definizione 9.21. Fissato un iperpiano &n-l di t:n, con n ~ 2, per ogni punto P E t:n, sia M il punto di intersezione di t:n- l con la retta ( P, .L t:n-:.. 1 ) ortogonale ad t:n-l e ante per P. Si dice simmetrico di P rispetto a t:n-l il punto P' = St:n - 1 (P) E t:n

P --+

(.>. E JR),

)

=>

(a(P)a(Q) = a(R)a(S}).

Se a : t:n --+ Fn è compatibile, _:i-llora resta definita ~plicazione ii : t:-;. -: f n che associa al vettore libero PQ E t:n il vettore libero ii(PQ) = a(P)a(Q) E Fn. L'applicazione ii si dirà indotta da a. +Definizione 9.22. Una applicazione compatibile a : t:n --+ P sarà detta isometria di t:n in Fn se l'applicazione indotta ·a_ : t:-;. --+ fn è una trasformazione ortogonale (biunivoca) 12 di t:-;. in F°"'n . . Osservazione 9.12. Ogni isometria a : t:n --+ Fn tra due spazi euclidei t:n ed Fn è una applicazione biunivoca che conserva le distanze:

~

d(a(P), a(Q))

= d(P, Q)

Infatti, per la Definizione 9.14 e per le proprietà delle trasformazioni ortogonali (Definizione 8.7 e successive osservazioni), si ha:

d(a(P), a(Q)) = lla(P)a(Q) ll = llii(PQ)ll = llPOll = d(P, Q) VP, Q E t:n. La biunivocità è invece conseguenza immediata della analoga proprietà di ogni trasformazione ortogonale tra spazi vettoriali euclidei della stessa dimensione (Definizione 8.7 e successive osservazioni), unita all'assioma (SEl) (Definizione 9.1).

s': y = -1. u 1 0Si noti che anche il piano simmetrico in una simmetria centrale è sempre parallelo al piano

dato. 11 Si noti che la retta simmetrica nella simmetria ortogonale rispetto ad r ha la medesima

intersezione con r della retta data.

12 Nel caso in cui l'applicazione indotta ii : t:n - t Fn sia semplicemente un isomorfismo di spazi vettoriali, a llora la applicazione et si dice usualmente affinità di t;n in Fn. Si noti che la nozione di affinità può essere data anche supponendo che t;n ed Fn siano due spazi affini della stessa dimensione, e non necessariamente due spazi euclidei (si veda la Osservazione 9.1).

9. SPAZI EUCLIDEI

178

10. ISOMETRIE

• Proposizione 9 .18. Sia o : En -+ F n una isometria di En in F n, e siano R = (O, B) ed R' = (O' , B') due riferimenti cartesiani su En ed P rispettivamente. Indicate con: (x) E Mnx 1 (1R) la colonna delle coordinate cartesiane di un generico punto P E En rispetto ad R , (y ), (b) E M nx 1 (1R) le colonn e delle coordinate cartesiane dei punti a (P), o(O) E F n rispetto ad R' , A E On(IR) la matrice (ortogonale) associata alla trasf ormazione ortogonale indotta a : E-;,, -+ f n rispetto alle basi (ortonormali) B e B' ) si ha: (y) = A· (x) + (b).

Dalla Proposizione 9.18, unita alla Proposizione 8.15 che caratterizza le matrici associate alle t:asformazioni ortogonali che conservano (risp. rovesciano) l'orientazione, si deduce facilmente la seguente caratterizzazione delle isometrie dirette (risp. inverse): • Proposizione 9.19. Sia En uno spazio euclideo orientato ed o una isometria di En in sè. A llora, o è una isom etria diretta (risp. inversa) se e solo se, rispetto ad ·un qualunque rif erim ento cartesian o R = (O, B) di En, la m atrice A E On(IR) associata ad o ha detA = 1 (risp . detA = -1).

Esempio 9 .14. Nello spazio euclideo En, dotato di un riferimento cartesiano R = (O B) f 1ss1amo . ) ' 1·1 vettore v =s (a 1 , a 2 , . . . , an ); l'applicazione O v : En -+ En che al generico 2 1 1 2 punto P =n (x ,x , . .. ,xn ) associa il punto ov(P) = n (y ,y , . .. , yn) tale che

Dimostrazione . Per la relazione di Chasles e per la definizione di trasformazione lineare indotta da una isometria, si ha:

O' a(P)

yi =xi + ai

= O'o(O) + o(O)o(P) = O' o(O) + a(oP).

B', diventa:

(y) = (b ) + (x' ),

dove (x' ) denota la colonna delle componenti del vettore libero a(oP) rispetto alla base B' . Poichè la colonna (x) delle coordinate cartesiane del punto P rispetto al riferimento R coincide con la colonna delle componenti del vettore libero oP rispetto alla base B, le equazioni della trasformazione ortogonale indotta E-;,, -+ f n rispetto

a:

alle basi (ortonormali)

Be B' sono esattamente (x' ) = A (x),

con A E On(IR);

la t esi segue quindi direttament e, sostit uendo questa relazione nella uguaglianza precedente.

o

Le equazioni (*) vengono dette equazioni della isometria a, relativamente ai riferimenti cartesiani R ed R '; la matrice ortogonale A si dice associata ad o relativamente

a R ed R' . ..,.. O sservazione 9. 13 . Non è difficile verificare che ogni isometria trasforma sottospazi euclidei di dimensione h di En in sottospazi euclidei di dimensione h di F n: ciò può essere dedotto, ad esempio, sostit uendo una rappresentazione parametrica del sottospazio Eh e En nelle equazioni (*).

+ Definizione

9 .23. Uno spazio euclideo En di dice orientato se è orientata, come 13 spazio vettoriale euclideo, la sua giacitura E-;,, (Definizione 8.13).

+D efinizione 9.24.

Una isometria o di uno spazio euclideo orientato En in sè si dice diretta (risp. inversa) se conserva (risp . rovescia) l'orientazione di E-;,, (Definizione

a

8.14). 13La presente definizione estende agli spazi euclidei di dimensione arbitaria la definizione di orientazione di una retta euclidea gia anticipata nella Definizione 9.12.

Vi E Nn,

è una isomet~ia diretta di En in sè, la cui t rasformazione lineare indotta è la trasformazione identica di En. L' isometria O v è usualmente detta traslazione14 di ampiezza v E f n, perchè il corrispondente del punto P E En è l'unico punto P ' di En tale che P P' = v (si ricordi l'assioma (SEl)) .

Questa uguaglianza t ra vettori liberi, espressa in termini di component i rispetto alla base

179

)

Esempio 9 .15. Nel piano euclideo E 2 , dotato di un riferimento cartesiano R , fissiamo E [O, 2n[; l'applicazione oc/> : E2 -+ E2 che al generico punto P =n (x, y ) associa il punto ac/>(P) = n (x cos+ y sen , -xsen + y cos), è una isometria di retta del piano euclideo in sè, che lascia fissa l'origine del riferimento R ~ la cui _ trasforma~_ione lin_eare i~dotta è la trasformazione ortogonale Pc/> considerata ne~I ~s~mp10 8._ 15 .. L 1sometna oc/> e usualmente detta rotazione di ampiezza attorno all origine del nfenmento cartesiano.

~s~mpio. 9 .16. Nel~ spa~io ~uclideo En, do:ato di ~n riferimento cartesiano R =(O , B) , f1ss1am? il punto C = n (e , e , ... , cn); la simmetria (centrale) di centro C (Definizione 9.20) risulta essere una iso~etria , la cui t rasformazione lineare indotta è l'opposto della t rasform~~io~e identica di En (ovvero, associa ad ogni vet tore u il suo opposto - u) . Per quanto g1a dimostrato nel paragrafo precedente, le equazioni della simmetria centrale di centro sono: Yi = -xi+ 2ci, Vi E Nn.

e

~a sim~e~ ria centrale di centro C E En è quindi una isometria diretta per n pari ed una 1sometna inversa per n dispari .

Esempio 9.17. È possibile poi dimostrare che anche le simmetrie ortogonali rispetto ad un iperpiano En- l (Definizione 9.21) sono esempi di isometrie dello spazio euclideo En in sè, che lasciano fissi tutti e soli i punti dell'iperpiano considerato; tali isometrie sono sempre inverse, per ogni n. Infatti , se R = (O, B) è un sistema di riferimento cartesiano di En in cui l'origine O appartiene all ' iperpiano En -l ed i primi n - 1 vettori della base 14 La nozione di

traslazione era già stata introdotta, nel caso dello spazio vettoria le standard

!Kn , nella Osservazione 6.5.

9. SPAZI EUCLIDEI

180

ordinata (ortonormale) J3 appartengono a simmetria ortogonale sono:

tn- 1 , 1e equazioni

relativamente ad

n

della

=xl CAPITOLO 10

Il piano euclideo .,.. Osservazione 9.14. Si noti. che, se n I = (O' , B') e n" -- (O" , B") . .sono due riferimenti cartesiani di uno spazio euclideo n-dimensionale t;n, le equaziom.del ca~ biamento di riferimento da 'R' a 'R" (Proposizione 9.3) rappresentano u?a is?metna dello spazio euclideo standard ~n in sè. Tale isometria risulta diretta (nsp. mversa) se e solo se le basi ortonormali B' e B" sono concordi (risp. discordi) .

1. I sottospazi del piano euclideo: punti e rette

Nel presente capitolo, il simbolo &2 indicherà sempre un piano euclideo. Ovviamente, i sottospazi di [ 2 possono avere dimensione O (i punti di &2 ), 1 (le rette, che sono contemporaneamente iperpiani di &2 ) e 2 (il piano [ 2 stesso) . Fissato in [ 2 un riferimento cartesiano n = (O, B = (i,j)), se P =n (x, y) è un punto di [ 2 , allora le coordinate cartesiane x ed y sono dette rispettivamente ascissa ed ordinata di P (relativamente ad 'R). Le rette coordinate del riferimento n sono l'asse x (individuato dall'origine O e dalla direzione del versore i) e l'asse y (individuato dall'origine O e dalla direzione del versore j) (Figura 10.1) .

) y ------------ - ------

o

p

X

asse x

Figura 10.1 Per la Proposizione 9.4 (caso h = 1), ogni retta r di [ 2 è univocamente determinata da due qualunque suoi punti distinti A, BE r. Posto A =n (xA, YA) e B =n (xB, YB), poichè il vettore (non nullo) =g (xB -xA, YB -yA) genera la giacitura della retta r, un punto generico P =n (x, y) appartiene ad r se e soltanto se E L(AB), ovvero se (x - XA, y - YA) E L((xB - XA, YB - YA)). Da questa affermazione si ricavano entrambi i tipi di rappresentazione già visti in generale nel § 4 del Capitolo 9:

AB

1

AP

l. I SOTTOSPAZI DEL PIANO EUCLIDEO : PUNTI E RETTE

10. IL PIANO EUCLIDEO

182

det

(Xy-yA - XA

Si noti poi che, data una qualunque delle rappresentazioni della retta r, è possibile ricavare direttamente una coppia (l, m) di coefficienti direttori di r : • nel caso della rappresentazione cartesiana ax +by+ e = O, si ha (l, m) = (-b, a) : infatti, (-b, a) è soluzione della equazione omogenea associata (che rappresenta, rispetto alla base B, la giacitura della retta) . • nel caso della rappresentazione parametrica, (l, m) coincide con la coppia dei coefficienti del parametro t: infatti, tali coefficienti sono costituiti dalle componenti (xB-XA, YB-YA) del vettore libero che genera la giacitura della retta. • nel caso della rappresentazione frazionaria, (l, m) coincide con la coppia dei denominatori: infatti, tali denominatori sono costituiti dalle componenti (xB -xA, YB -yA) del vettore libero che genera la giacitura della retta. • nel caso della rappresentazione in forma esplicita, una coppia di coefficienti direttori è data da (1, m), dove m è il coeffiéiente angolare di r: infatti, la equazione esplicita y = mx + q corrisponde alla equazione cartesiana mx - y + q =O, in cui (-b, a)= (1, m) . Da queste osservazioni deduciamo il modo per ottenere le equazioni della retta s parallela ad una retta data e ante per un fissato punto P =n (x, y): • se r ha rappresentazione cartesiana ax +by+ c = O, allora s ha rappresentazione cartesiana a(x - x) + b(y - y) =O;

l

• la retta r ha equazione cartesiana

XB - XA) YB -YA

O

che, una volta sviluppata, risulta del tipo~ con (a,b)-=/= (0,0);

ax+by+c=O,

• la retta r ha equazioni parametriche {Y

=

YA

I

+

(XB - ; A) · t

+

(YB - YA) · t

X = XA

AB,

4--·

in cui i coefficienti del parametro reale t sono non entrambi nulli.

AB,

Nel caso in cui si abbia contemporaneamente XB - XA i= O ed YB - YA i= O (ovvero, quando i punti A e B hanno diversa ascissa e diversa ordinata), è possibile icavare il parametro t dalle equazioni parametriche, ottenendo la cosiddetta equazione frazionaria della retta r :

~"~ Infine, nel caso in cui x 8

XA

-

X -XA XB - XA

y-yA -~ YB - y~ ..,.._:..- ··~vvf A9 O, la retta r ammette una equazione del tipo

i=

=

y=mx+q YB -yA E JR e q E JR; tale equazione è nota come equazione esplicita XB -XA della retta r (rispetto ad y), e gli scalari m e q sono comunemente detti coefficiente angolare e ordinata all'origine dir.

con m

=

Esempio 10.1. La retta r ante per i punti (distinti) A =n (2, 1) e B =n (3 , -2) ha equazione cartesiana det

3-2) =o,

(Xy-1 -2

1

ed equazione esplicita y

X (

. . . h equazioni parametnc e

Y_

21 51 -2) _ 1

= -3x + 7.

{X y

= 2

=

+

1

non ammette equazione frazionaria.

3t

ovvero

= O,

(t

E

JR),

.

y -1

. {X

presentaz10ne parametrica

= x_ +

=

Yo

+ m ·t

, allora s ha rap-

l ·t

y=y+m·t

• se r ha rappresentazione frazionaria x - xo - l sentazione frazionaria x ~ x = Y : Y .

+ q,

y-yo - - - , allora s ha rapprem

allora s ha equazione esplicita

= y + m(x - x).

Infatti, in tutti i casi considerati, le equazioni scritte individuano una retta s con i medesimi coefficienti direttori di r (e quindi, per la Proposizione 9.7, si ha s//r) e risultano verificate dalle coordinate del punto P (e quindi, P E s); il risultato segue pertanto dal Teorema 9.5.

(t E JR),

La retta s ante per i punti A =n (2, 1) e B =n (5, 1) ha invece equazione cartesiana det

)

{X = Xo + l · t Y

• se r ha equazione esplicita y = mx

y-1 -3

x-2

. . • se r h a rappresentaz10ne parametrica

y

2 + t 1 - 3t

La retta r ha poi equazioni parametriche {: equazione frazionaria

3x +y - 7 =O.

ovvero

-2-1

183

Esempio 10.2. La retta r (risp. s) considerata nell'Esempio 10.1 ha coefficienti direttori (1, -3) (risp. (1, O)) e coefficiente angolare -3 (risp. 1).

=o,

equazione esplicita y

=

1, ma

La proposizione seguente ci permette di studiare la mutua posizione di due rette di E. 2 , a partire dalle loro equazioni cartesiane.

• Proposizione 10.1. Siano r' ed r" due rette di [ 2 e siano rispettivamente a' x + b' y + cI -- O ed a 11 x + b" y + cIl = 0 due loro equazioni . . cartesiane, . . relativamente ad un fissato riferimento cartesiano R . Allora:


184

1. I SOTTOSPAZI DEL PIANO EUCLIDEO: PUNTI E RETTE

Le seguenti proposizioni mettono a confronto le condizioni di parallelismo e le condizioni di ortogonalità tra due rette di E2 , l'una nel caso di rappresentazioni cartesiane, l'altra nel caso di equazioni esplicite; inoltre, ci forniscono le formule dirette per calcolare l'angolo formato da due rette date.

(i) r 1 ed r" coincidono se e soltanto se 1

{!

a ( a"

1

1

b b"

c ) c"

=

1

(ii) r 1 ed r" sono parallele disgiunte se e soltanto se {!

1 1 b) a a" b" = 1 (

e

{!

1 1 (a b a" b"

1 c)

c"

2

• Proposizione 10.2. Siano r 1 ed r" due rette di E2i e siano rispettivamente a1x + b1 y + c1 = O ed a" x + b" y + c" = O due loro equazioni cartesiane, relativamente ad un fissato riferimento cartesiano R. Allora: (i)' r 1 ed r" sono parallele se e soltanto se esiste À E JR - {O} tale che:

(iii) r 1 ed r" sono incidenti in un punto se e soltanto se

e (:: ~:1 ) 1

a1 = 2

(ovvero:

det ( a"

bi)

b"

(a 1 , b1 ) =

(iv) r ed r" non sono mai sghembe. 1

So:

À

· (a" , b")

1

(ii) r ed r" sono ortogonali se e soltanto se:

. (event ua1ment e vuot a ) tra le due rette r 1 ed r" è Dimostrazione. L'intersezione ovviamente rappresentata, relativamente al riferimento cartesiano R, dal sistema lineare 1 1 a 1x + b y + c =O S: { a"x + b"y + c" =O, mentre l'intersezione tra le due giaciture base B, dal sistema omogeneo associato

185

Ti

a1a"+ b1b11 =O (iii) se r 1 ed r" sono orientate in modo che i vettori di componenti ( -b1 , a1 ) e (-b", a") siano positivi, ;:;;:;-, è il numero reale (compreso tra O e 7f) tale che a 1 a" + b1 b" cos(r1 r 11 ) = y'(a1)2 + (b1)2. J(a")2 + (b")2

e r71 è rappresentata, relativamente alla

a1 x + b1y =O { a"x+b11 y=O.

La tesi segue allora facilmente, osservando che: (i) se r 1 ed r" sono coincidenti, r 1 nr" deve contenere tutti i punti ?i ~ (ovvero 1 _ di r"), e quindi il sistema S deve essere possibile con 00 soluz10m; _ 1 1 1 (ii) se r ed r" sono parallele disgiunte, deve essere r n r" = 0, mentre r n r" ) deve contenere tutti i vettori di Ti (ovvero di r71 ), e quindi il sistema S deve 1 essere impossibile mentre il sistema So deve avere 00 soluzioni; , I Il {P} . d" (iii) se r 1 ed r" sono incidenti in un punto P, deve essere r n r = , qum 1 il sistema S deve essere possibile e determinato; (iv) r 1 ed r" non possono essere sghembe, perchè tutti i .?asi c~e si ~oss~n~ presentare nella discussione dei sistemi S ed So sono g1a stati esammat1 a1 punti precedenti.

)

Dimostrazione. Basta ricordare che ( -b1 , a1 ) e ( -b", a") sono coppie di coefficienti direttori positivi per r 1 ed r", e poi fare uso, rispettivamente, della Prop. 9.8(a) (ovvero dalla Prop. 10.1 ((i) e (ii))), della Prop. 9.9 e della Prop. 9.13.

o

1

• Proposizione 10.3. Siano r 1 ed r" due rette di E2 e siano rispettivamente y = m 1 x + q1 ed y = m" x + q" due loro equazioni esplicite, relativamente ad un fissato riferimento cartesiano R. Allora: (i) r 1 ed r" sono parallele se e soltanto se m1

=

m"

(ii) r 1 ed r" sono ortogonali se e soltanto se: m 1 • m"

o

=

-1

1

(iii) se r ed r" sono orientate in modo che i vettori di componenti (1, m 1 ) e (1,m") siano positivi, ;:;;:;-, è il numero reale (compreso tra O e 7r) tale che Esempio 10.3. Nel piano euclideo f, 2 , dotato di un fissato riferimento cartesiano R, si

considerino le rette r : 2x - y + 3 = O,

r1

:

4x - 2y + 6 = O,

s : 6x - 3t - 2 = O, 1

t : 3x - 2y + 5 = O.

La Proposizione 10.1 consente di affermare che r ed r coincidono, che r ed s sono parallele disgiunte, e che re t (owero set) sono incidenti in un punto.

cos (;:;;:;-, )

m 1 m 11 +1

y'(m 1 ) 2 + 1·y'(m") 2 +1

Dimostrazione. Basta ricordare che (1, m 1) e (1 , m") sono coppie di coefficienti direttori positivi per r 1 ed r", e poi fare uso, rispettivamente, della Prop. 9.8(a) (ovvero dalla Prop. 10.1 ((i) e (ii))), della Prop. 9.9 e della Prop. 9.13.

o

l. I SOTTOSPAZI DEL PIANO EUCLIDEO: PUNTI E RETTE


186

• Proposizione 10.4. (i) Siano r' ed r" due rette non parallele di t: 2 e siano rispettivamente a'x+b'y+ +c' =O ed a"x+b"y+c" =O due loro equazioni cartesiane, relativamente ad un fissato riferimento cartesiano R. Allora, detto C il punto di intersezione di r' ed r", l'equazione

Esempio 10.4. Se le rette r ed sconsiderate nell'esempio 10.1 sono orientate in modo che le loro equazioni r : 3x + y - 7 = O ed s : y = 1 siano positive, allora la retta t parallela ad r ante per il punto P =n ( -1, 4) ha equazione t : 3(x + 1) + (y - 4) =O,

>.(a'x

t : (x - 3) - 3(y - O) = O, mentre l'angolo tra r ed s è E [O, 7r] tale che cos

ax+by+k=O

1

rappresenta, al variare del parametro k E ~' tutte e sole le rette del fascio (improprio) di direzione V E r (cioè tutte le rette parallele ad r).

v110·

Dimostrazione. (i) Poichè { C} = r' n r", le coordinate di C verificano entrambe le equ.azioni a'x + b'y + c' =O ed a"x + b"y + c" =O, e quindi verificano anche ogni equazione ottenuta da quelle tramite combinazione lineare. Ciò prova che tutte le rette di equazione

..,. Osservazione 10.1. Si noti che, se x e y denotano i due assi coordinati del riferimento R canonicamente orientati (ovvero orientati in modo che i versori i e j siano positivi), allora la retta r di equazione esplicita y =mx+ q, orientata in modo che il vettore di componenti (1, m) (risp. (-1, -m)) sia positivo, ha cos(rx)

=

(risp. cos(rx) =

1

v'm2 + l' -1

v'm + l' 2

+ b'y + c') + µ(a"x + b"y + c") =O

rappresenta, al variare dei parametri reali(>.,µ) i- (O, O), tutte e sole le rette del fascio (proprio} di centro C. (ii) Sia r una retta di t: 2 e sia ax +by+ c = O una sua equazione cartesiana relativamente ad un fissato riferimento cartesiano R. Allora la equazione '

la retta t' ortogonale ad r ante per il punto Q =n (3, O) ha equazione

3·0+1·1 =---;:::;;===o;;:---;:::;;===~ y'32+12.Jo2+12

187

cos(ry) = sin(rx) =

cos(ry) = sin(rx) =

>.(a'x + b'y + c')

m

)

v'm2 +1 -m

v'm 2 + 1

+ µ(a"x + b"y + c") =O,

al variare dei parametri reali (>., µ) i- (O, O), appartengono al fascio di centro C. Viceversa, ~e s è ~na retta d.el fascio di centro C, allora s n (r' n r") = {C} = r' n r"; pertanto, l equazione cartesiana ax +by+ c = O di s, relativamente al riferimento R, deve essere combinazione lineare delle due equazioni cartesiane di r' ed r". Ciò equivale ad affermare che deve esistere una coppia (>., µ) E~ - {(O, O)}, tale che

)

ax +by+ c = >.(a'x + b'y + c')

)

+ µ(a"x + b"y + c" ).

Da questo segue, qualunque sia l'orientazione assegnata ad r, che tg(rx) = m; per~ tanto, il coefficiente angolare m della equazione esplicita coincide con la tangente dell'angolo che la retta (arbitrariamente orientata) forma con l'asse x, canonicamente orientato, del riferimento R.

(ii) E' sufficiente osservare che ogni retta di equazione ax +by+ k = O, con k E~. è parallela ad r, e che ogni retta parallela ad r ha (per la Proposizione 10.2) equazione (>.a)x + (>.b)y + d =O, con À E~ - {O} e d E~, ovvero d ax +by+ k = O, con k = - E R

+Definizione 10.1. Dato un punto CE t: 2 , si dice fascio (proprio} di rette di centro C l'insieme costituito da tutte e sole le rette di t: 2 che contengono C.

Esempio 10.5. Dato nel piano euclideo t: 2 il punto C ==. (1, 2), il fascio di rette di centro può essere rappresentato dall'equazione

+ Definizione 10.2. Dato un vettore v E f2, si dice fascio (improprio} di rette di direzione v l'insieme costituito da tutte e sole le rette di t: 2 che sono parallele alla direzione individuata dal vettore v. Il seguente risultato ci fornisce le equazioni di tutte le rette appartenenti ad un fissato fascio proprio (risp. improprio), a partire dalla rappresentazione cartesiana di due elementi (risp. un elemento) del fascio stesso.

À

o

e

>.(x - 1)

+ µ(y

- 2) =O,

ottenuto scegliendo le rette r' di equazione x - 1 = O ed r" di equazione y - 2 = O. Scegliendo, invece, r' di equazione 2x -y = o ed r" di equazione X+ y - 3 = o si ottiene l'equazione ' >.(2x - y) + µ(x + y - 3) =O. 11 fascio di rette parallele alla retta r" ha equazione

x+y+k =O.

_)


188

2. DISTANZE

189

2. Distanze &2 ,

Nel piano euclideo in cui si suppone di avere fissato un riferimento cartesiano R = (O, B), la nozione di distanza tra due punti ed il relativo metodo di calcolo si specializza nella forma seguente.

Esempio 10.6. Lo studio delle mutue posizioni tra le rette considerate nell ' Esempio 10.3, di equazioni

r : 2x - y + 3 = O,

r' : 4x - 2y + 6 = O,

assicura che - per la Proposizione 10.7 - si ha: d(r, r') = d(r, t) = d(s , t) = O.

•Proposizione 10.5. Se P =n (x p,yp) e Q =n (xQ,yQ), allora: d(P,Q)

= llPQll =

Per calcolare la distanza tra le due rette parallele disgiunte r ed s, consideriamo P =n ( -1, 1) E r ed applichiamo la formula fornita dalla Proposizione 10.6:

J(xQ-XP) 2 +(YQ-YP) 2

Dimostrazione. Basta utilizzare la Proposizione 9.14.

Poichè le rette sono gli iperpiani di &2 , il calcolo della distanza tra un punto ed una retta si effettua utilizzando, nel caso n = 2, la Proposizione 9.15. • Proposizione 10.6. Sia r la retta di & 2 di equazione cartesiana, rispetto ad R, ax +by+ c =O e sia P =n (x, y). Allora: lax +by+ cl -'--==,-J + b2

+ Definizione

j

d(r',r")

=

d(Q,r")

\;/Q E r'

(risp. d(r',r")

=

d(P,r')

lax +by+ c"I Ja2 + b2

I - c' + c"I Ja2 + b2

A, ) C

V(< A,B,C >) = ÀABC = -1 · 2

><

det ( < A-:-:±, ~ A-:-:± ~ < AH,AC >

• Proposizione 10.8. Se A =n (xA , YA), B =n (xB, YB), e ÀABC =

~.2

det

(x~ x~ x~) ' = ~·I det (XB 2 YA

YB

<

Dimostrazione. È un caso particolare (per h sizione 9.16.

=

>)

AC,AC >

e =n (xc, Yc), XA

~-~

Yc

A-:-:± A--:--± AH,AG'

xc - XA) ~-~

allora:

I

2) della dimostrazione della Propo-

o

\:IP E r")

Dimostrazione. La prima parte dell'enunciato è banalmente vera. Nel caso in cui r' ed r" siano parallele, occorre verificare che la distanza d(Q, r") è indipendente dalla scelta del punto Q E r' (analoga dimostrazione sussiste per d(P, r'), con P E r") . In virtù della Proposizione 10.2 è possibile supporre che le due rette abbiano - rispetto ad un fissato riferimento cartesiano R di &2 - equazioni r' : ax +by+ c' =O, r" : ax +by+ c" =O. Allora, posto Q =n (x, y) e ricordato che Q E r', la tesi segue dalla Proposizione 10.6: d(Q, r") =

v'45

10.3. Dati tre punti non allineati A, B, C di &2 , si dice area del 1 il numero realre_p_os_i_ti_v_o__ _ _ _ _ _ _ _ __ triangolo di vertici

o

• Proposizione 10. 7. Siano r' ed r" due rette di &2 • • Se r' ed r" sono incidenti (in particolare, coincidenti), la loro distanza uguale a zero; • Se r' ed r" sono parallele, la loro distanza uguaglia la distanza tra r" (risp. r') ed un punto qualsiasi dir' (risp. dir"):

J62

11

In dimensione due, la nozione di volume di un 2-simplesso (ovvero di area di un triangolo) - vista in generale nel § 8 del Capitolo 9 - si specializza nel modo seguente.

a2

Il seguente risultato fornisce il metodo operativo per il calcolo della distanza tra due ) rette di &2 , in funzione della loro reciproca posizione.

l(-1)·6-3·(1)-21 + (-3)2

d(r, s) = d(P, s) =

o

d(P, r) =

t : 3x - 2y + 5 = O,

s : 6x - 3t - 2 = O,

o

Esempio 10.7. Se

A =n (-1,1), B =n (3,0) e C =n (2,-2), l'area del triangolo

ABCè 1 2

1 3

o

_ ~ ·I (3 O _ (-1) - 2 det -1

2-(-1))1 -2-1

9

-

2

1Si noti che la Definizione 10.3 presuppone che il determina nte della matrice presente sotto il segno di radice quadrata sia sicuramente positivo, come assicurato d alla Proposizione 8.13 relativa alle proprietà delle matrici di Gram; in alternativa, la dimostrazione di questo fatto può essere agevolmente d edotta dalla dimostrazione della Proposizione 9.16, nel caso h = 2.

190


4. LE CONICHE COME LUOGHI GEOMETRICI 191

3. Le isometrie del piano euclideo Nel presente paragrafo daremo alcune informazioni specifiche riguardo alle isometrie del piano euclideo &2, che specializzano le informazioni già fornite nel paragrafo 10 del Capitolo 9 sulle isometrie di un generico spazio euclideo n-dimensionale. In base alla Definizione 9.22, una isometria del piano euclideo &2 in sè è una applicazione compatibile D : &2 ---+ &2 tale che l'applicazione indotta a : t;2 ---+ t;2 è una trasformazione ortogonale (biunivoca) di t;2 in sè. Per la Proposizione 9.18, poi, ogni isometria D di &2 in sè si rappresenta, rispetto ad un fissato riferimento cartesiano R = (O, B) , attraverso equazioni di tipo

ove (x, y) è la coppia delle coordinate cartesiane di un generico punto P E &2 rispetto ad R, (x', y') (risp. (a, b)) è la coppia delle coordinate cartesiane del punto D(P) E &2 (risp. D(O) E &2) rispetto ad R, ed A E 0 2(1R) è la matrice (ortogonale) associata alla trasformazione ortogonale indotta a : t;2 ---+ t;2 rispetto alla base (ortonormale)

iJ. Ricordiamo infine (Definizione 9.24) che una isometria D di &2 in sè si dice diretta (risp. inversa) se a conserva (risp. rovescia) l'orientazione di &\ per la Proposizione 9.19, l'isometria D di equazioni (*) è diretta (risp. inversa) se e solo se det A = 1 (risp. detA = -1). )

+Definizione 10.4.

Dimostrazione. Per semplicità, proveremo compiutamente l'enunciato solt t d. · · · ano nel fi caso i una ISometna diretta. In tal caso, le equazioni di D rispetto ad ·~ . ' un ssato n1enmento cartesiano R = (O, B), sono

G;) =A. G) + (~)' ove A E 02(1R), detA = +1. Ricordato l'Esempio 3.2, si ha quindi:

A = ( cos -sen 'P

+ Definizione

10.5. Si dice glissorifiessione una applicazione D di &2 in sè ottenuta come composizione di una riflessione Sr rispetto ad una retta r di &2 con una traslazione Dv di ampiezza un vettore v i- O, con v "parallelo" ad r : '

Non è difficile verificare che, data la glissoriflessione D = Dv o sr, si ha anche D = o Dv· Inoltre, le glissoriflessioni sono isometrie inverse di &2 in sè, che non lasciano fisso alcun punto di &2. Il seguente classico risultato afferma che, nel piano euclideo &2, tutte le isometrie appartengono ad una delle quattro tipologie già descritte: traslazioni, rotazioni (si ricordi l'Esempio 9.15), riflessioni e glissoriflessioni.

con E [O, 2n[.

I punti fissi di D, che si trovano imponendo x' = x e y' hanno per coordinate le soluzioni del sistema lineare

= y nelle equazioni precedenti

Tal.e sistema ammette una ed una sola soluzione se e solo se (cos -1)2 + (sen )2 i- o, ossia se e solo se 'P i- O. In questo caso, quindi, D è una rotazione (di ampiezza 'P) attorno a tale punto fisso. Se invece =O, le equazioni di D diventano:

x' = x+a { y' = y+ b L'isometria

D

è quindi, in questa ipotesi, la traslazione di ampiezza v =fJ (a, b).

Il caso di a isometria inversa si tratta in modo simile, a partire dalle equazioni corrispondenti ad A _ (cos sen

sen ) - cos "

con E [O, 2n[

(Esempio ~:2, n~l caso di det A= -1), ma ricercando innanzitutto le rette fisse rispett~ ad ~: CIO puo essere fatto ricercando i punti su cui D agisce come una traslazione ?i am~ie~za un vettore v (che, se esistono, sono sempre 00 1 , ovvero sono tutti e soli i p~nt~ di una retta f). Se v = O, ogni punto della retta f è punto fisso per D, ed D _ si d~mos~ra essere la riflessione rispetto ad f; se invece v i- O, D risulta essere la ghss?nfless10ne ottenuta componendo la riflessione rispetto ad f con la traslazione di ampiezza v.

o

Sr

• Proposizione 10.9. (Teorema di classificazione delle isometrie piane Chasles, 1831) Una isometria D del piano euclideo &2 contenente punti fissi è una rotazione (attorno al suo unico punto fisso) o una riflessione, a seconda che sia diretta o inv_ersa. Una isometria priva di punti fissi è una traslazione o una glissoriflessione, a seconda che sia diretta o inversa.

'

(cos - 1) · x + sen · y + a =:= O { -sen · x + (cos - 1) · y + b = O

Le simmetrie (ortogonali) del piano euclideo &2 rispetto ad una retta r (Definizione 9.21) si dicono anche riflessioni di &2. Come provato nell'Esempio 9.17, le riflessioni sono isometrie inverse di &2 in sè.

sen) cos 'P

4. Le coniche come luoghi geometrici

~el prese~te par a~rafo daremo alc~ni cenni re~ativi alle coniche (non degeneri) del

2

piano euc~ideo & , m~ese come particolari luoghi geometrici. Elementi più dettagliati della teona delle comche verranno esposti nel Capitolo 12.

+Definizione 10.6.

Si dice circonferenza il luogo geometrico dei punti del piano t;2 che sono equidistanti da un punto fisso C, detto centro. La comune distanza tra il centro ed i punti della circonferenza si dice raggio della circonferenza.

4 . LE CONICHE COME LUOGHI GEOMETRICI


192

Fissato in E2 un riferimento cartesiano R, se il centro è C =n (a, {3) ed il raggio è r > o, allora la circonferenza = { p E [ 2 I d(P, C) = r} ha equazione cartesiana

Si noti che la circonferenza può essere considerata come una particolare ellisse, in cui i due fuochi coincidono.

e

+ Definizione 10.8.

x 2 + y 2 - 2ax - 2f3y + a 2 + {3 2 - r 2 = O

Si dice iperbole il luogo geometrico dei punti del piano [ 2 che hanno costante (uguale a 2a > O) la differenza - in valore assoluto - delle distanze da due punti fissi F 1 e F2, detti fuochi.

Infatti, P '=R (x, y) E C se e soltanto se (x-a) 2 + (y- {3) 2 = r 2 ; sviluppando i calcoli si perviene alla equazione considerata. In particolare, se si sceglie un riferimento cartesiano R' avente origine nel centro C, allora la circonferenza di centro C e raggio r > O assume equazione cartesiana: (x')2

Fissato in [ 2 il riferimento cartesiano R tale che F 1 =n (-c, O) e F 2 =n (e, O) (con d(Fi,F2) = 2c > 2a), allora la iperbole I= {P E E2 I ld(P,F1 ) - d(P,F2 )1=2a} ha equazione cartesiana:

+ (y')2 = r2

+ Definizione

10. 7. Si dice ellisse il luogo geometrico dei punti del piano [ 2 che hanno costante (uguale a 2a > O) la somma delle distanze da due punti fissi F1 e F2, detti fuochi.

x2 y2 a2 - b2 = 1

(2)

dove b =

x2 a2

+

y2 b2 = 1

dove b =

J a2 -

c2

J c2 -

a2

>O

(si veda la Figura 10.3).

Fissato in [ 2 il riferimento cartesiano R tale che F 1 =n (-c, O) e F2 =n (c, O) (con d(Fi,F2) = 2c < 2a), allora la ellisse E= {P E E2 I d(P,F1 ) + d(P,F2) = 2a} ha equazione cartesiana2 :

(1)

193

y

> O.

(si veda la Figura 10.2).

Fì =(-c,O)

ì

y W"= (O,b)

o V'=(-a,O)

V"= (a,O)

X

V"=(a,O)

V'=(-a,O)

o

Fì =(-c,O)

X

Figura 10.3

Infatti, P == (x, y) E I se e soltanto se

/ J(x

+ c) 2 + y 2 -

J(x - c) 2

+ y 2 / = 2a;

W'=(O,-b)

sviluppando i calcoli (isolando i radicali ed elevando al quadrato due volte), si perviene alla equazione considerata. Figura 10.2

Infatti, P == (x, y) E E se e soltanto se

J(x + c) 2 + y 2 + J(x - c) 2 + y 2 = 2a; sviluppando i calcoli (isolando i radicali ed elevando al quadrato due volte), si perviene alla equazione considerata. 2Per analogia, il luogo geometrico rappresentato dalla equazione 2

(1')

2

~+~=-1

(che risulta vuoto perchè la equazione scritta non può essere verificata dalle coordinate di alcun punto del piano euclideo), viene usualmente indicato come ellisse vuota (o immaginaria) di E2 .

+ Definizione

10.9. Si dice parabola il luogo geometrico dei punti del piano E2 che sono equidistanti da un punto fisso F, detto fuoco, e da una retta fissa 8, detta direttrice. Fissato in [ 2 il riferimento cartesiano R tale che F =n (O,~) e 8 abbia equazione y = -~ (dove p = d(F, 8)), allora la parabola P = {P E [ 2 I d(P, F) = d(P, 8)} ha equazione cartesiana:

(3) (si veda la Figura 10.4).

1 y= -x2

2p

194


4. LE CONICHE COME LUOGHI GEOMETRICI

195

• Proposizione 10.10. Fissato un riferimento cartesiano R = (O, B) del piano euclideo [ 2 , si consideri una generica equazione algebrica di secondo grado nelle coordinate x e y:

y

(4) P=(x, y)

Posto

V

X

- - - - -- - - + - - - -- - - - Y

A=

p

= -

ao2

2

= (x, y) E P

a12

a22

e M 00

=

a11

( a12

3

e supposto det A =I O, allora la eq·uazione (4) rappresenta - rispetto ad R - una conica e del piano euclideo [ 2 . In particolare: (i) se det Mao = O, allora C è una parabola; (ii) se det Mao < O, allora C è una iperbole; (iii) se det Mao > O, allora C è una ellisse (vuota se e solo se a22 · det A > O) .

Figura 10.4

Infatti, P

(:~~ :~~ :~~)

se e soltanto se

La dimostrazione di questo risultato è contenuta nel capitolo 12, dove è esposta una trattazione più esauriente della teoria delle coniche del piano euclideo.

sviluppando i calcoli (elevando al quadrato ambo i membri), si perviene alla equazione considerata. In realtà, è possibile provare che, a parte qualche caso particolare facilmente individuabile, ogni equazione algebrica di secondo grado nelle coordinate x e y rappresenta o una ellisse, o una iperbole, o una parabola del piano euclideo [ 2 . Tali curve vengono globalmente indicate con il termine coniche (non degeneri) del piano euclideo, poichè esse sono state storicamente considerate e studiate come intersezioni tra un piano ed un cono (si veda la Figura 10.5). Le equazione del tipo (1), (1'), (2), o (3) vengono usualmente dette equazioni canoniche delle coniche del piano euclideo.

Parabola

Circonferenza Figura 10.5

Ellisse

Iperbole

\

3Se det A =O, allora la equazione (4) rappresenta - rispetto ad n - o l' unione di due rette, o una sola retta (contat a due volte), o un solo punto; poichè anche questi sottoinsiemi di E2 si posssono ottenere come particolari intersezioni tra un piano ed un cono, essi vengono solitamente denominati coniche degen eri del piano euclideo E2 .

CAPITOLO 11

· Lo spazio euclideo 1. I sottospazi dello spazio euclideo: punti, rette e piani

Nel presente capitolo, il simbolo E3 indicherà sempre uno spazio euclideo ordinario (ovvero, di dimensione tre). Ovviamente, i sottospazi di E3 possono avere dimensione O (i punti di E3 ), 1 (le rette di E3 ), 2 (i piani, che sono gli iperpiani di E3 ) e 3 (lo spazio E3 stesso). Fissato in E3 un riferimento cartesiano R = (O,B = (i,j,k)), se P =R. (x,y,z) è un punto di E3 , allora le coordinate cartesiane x, y e z sono dette rispettivamente ascissa, ordinata e quota di P (relativamente ad R) . Le rette coordinate del riferimento R sono l'asse x (individuato dall'origine O e dalla direzione del versore i), l'asse y (individuato dall'origine O e dalla direzione del versore j) e l'asse z (individuato dall'origine O e dalla direzione del versore k), mentre i piani coordinati del riferimento R sono il piano xy (individuato dall'origine O e dai versori i e j), il piano yz (individuato dall'origine O e dai versori j e k) e il piano xz (individuato dall'origine O e dai versori i e k) (Figura 11.1).

...

."'

......

z-------------~::-~ ,

I I

p/

k

(.:_ - - - - - - - - ---- -- •"'

I

o

'Y asse y I

I

X

I

I

-

- -

- ·_ -

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-~,,."

"'

Figura 11.1 Per la Proposizione 9.4 (caso h = 1), ogni retta r di E3 è univocamente determinata da due qualunque suoi punti distinti A, B E r. Posto A =R. (xA, YA, zA) e B =R. (xB, YB, ZB), poichè il vettore (non nullo) =g (xB - XA, YB - YA, ZB - ZA) genera la giacitura della retta r, un punto generico P =R. (x, y, z) appartiene ad r se e

AB

198

11. LO SPAZIO EUCLIDEO

soltanto se APE L(AB), ovvero se (x - XA, y - YA, z - ZA) E L((xB - XA, YB - YA, ZB - ZA )). Da questa affermazione si ricavano entrambi i tipi di rappresentazione già visti in generale nel § 4 del Capitolo 9: • la retta r ha rappresentazione cartesiana

{} (~Z = :; ~~ =:;) - ZA ZB - ZA con {}

Y { Z

= = =

a'

+ (xB - XA) · t + (YtY~ · t + (zB - ZA) · t

XA YA ZA

b b'

e) =

e'

2. '

1

+t

y = 2 - 3t z = 3 - 3t

-

A'ò

x-l 1

(t E JR)

y-2

-3

z-3 -3

La retta s ante per i punti A =n (1, 2, 3) e B' =n (O, 2, 1) ha invece equazione cartesiana

r : { 2x - z + 1 = O y-2=0

(t E JR)

- ., .

r

Esempio 11.1. Fissato un riferimento cartesiano R nello spazio euclideo [ 3 , i punti A =n (1 , 2, 3) e B =n (2, -1, O) sono affinemente indipendenti (cioè distinti), in quanto il vettore libero AB =. 13 (1, -3, -3) è linearmente indipendente (essendo diverso dal vettore nullo). Per ottenere una rappresentazione cartesiana della retta r ante per A e B basta considerare un generico punto P =n (x, y, z) di [ 3 ed imporre che =. 13

AP

r=

O O.

ed equazione frazionaria

in cui i tre coefficienti del parametro t non sono tutti nulli. Nel caso in cui si abbia contemporaneamente XB - XA =f. O, YB -yA =f. O e ZB - ZA =f. O (ovvero, quando i punti A e B hanno diversa ascissa, diversa ordinata e diversa quota), è possibile ricavare il parametro t dalle equazioni parametriche, ottenendo la cosiddetta equazione frazionaria <:lella retta r : Z- ZA X-XA y-yA XB -XA ZB -ZA YB -yA \ c..i}:'('t ,fu 1'l,

(x - 1, y - 2, z - 3) appartenga ad

{3x + y- 5 3x + z- 6

La retta r ha poi equazioni parametriche

{

• la retta r ha equazioni parametriche~ <...oef ~ Je.\À»v t&\\~ X

r:

1

(a

199

Ciò porta al seguente sistema lineare minimo, che rappresenta la retta r:

X =

che, una volta sviluppata, risulta del tipo

{axa' x ++byb' y++cze'+z +d =d' O= O

l. I SOTTOSPAZI DELLO SPAZIO EUCLIDEO : PUNTI, RETTE E PIANI

ed equazioni parametriche {: :

~+t

(t E JR),

ma non ammette equazione

z = 3 + 2t frazionaria (perchè i due punti A e B' hanno la stessa ordinata) .

Si noti poi che, data una qualunque delle rappresentazioni della retta r, è possibile ricavare direttamente una terna (l, m , n) di coefficienti direttori dir: • nel caso della rappresentazione cartesiana

ax + by + cz + d =O {a' x + b' + e' z + d' = O y

si ha

L(AB). Ciò equivale ad imporre che

{} (: -3 =; -3 ~3)

= 1.

z

Essendo det(l) =f. O, basterà imporre che entrambi gli orlati del minore considerato abbiano determinante nullo:

Ciò deriva direttamente dalla risoluzione del sistema lineare omogeneo associato (che rappresenta, rispetto alla base B, la giacitura della retta): si veda l'Esempio 6.4. • nel caso della rappresentazione parametrica, (l, m, n) coincide con la terna dei coefficientrdel parametro t: infatti, tali coefficienti sono costituiti dalle componenti (xB - XA, YB - YA, ZB - ZA ) del vettore libero AB, che genera la giacitura della retta. • nel caso della rappresentazione frazionaria, (l, m, n) coincide con la terna dei denominatori: infatti, tali denominatori sono costituiti dalle componenti (xB - XA, YB - YA, ZB - ZA) del vettore libero AB, che genera la giacitura della retta.

200


1. I SOTTOSPAZI DELLO SPAZIO EUCLIDEO: PUNTI , RETTE E PIANI

201

• se r ha rappresentazione frazionaria Esempio 11.2. Le rette r ed sconsiderate nell'esempio 11.1 hanno rispettivamente coefficienti direttori (1, -3, -3) e (-1 , O, -2) (o anche (1, O, 2)), come si ricava direttamente

AB re

dalle componenti dei vettori liberi E AB' E s, o dai coefficienti del parametro nelle equazioni parametriche delle due rette. Nel caso della retta r, i coefficienti direttori si ricavano direttamente anche dai denominatori della equazione frazionaria; d'altra parte, considerando la rappresentazione cartesiana di r, la matrice incompleta è

M =

(33 1o O)1

e, pertanto, i coefficienti direttori di r risultano ancora

,-

(I~ ~I I~ ~I, I~ ~I)

=

(l, - 3 , - 3).

Analogamente, la matrice incompleta della rappresentazione cartesiana di s è

M' =

G~

~1)

s risultano ancora

e, pertanto, i coefficienti direttori di

x-xo

y-yo Z - Zo m n allora s ha rappresentazione frazionaria x-x y-y z-z m n Infatti, in tutti i casi considerati, le equazioni scritte individuano una retta s con i medesimi coefficienti direttori dir (e quindi, per la Proposizione 9.7, si ha s//r) e risultano verificate dalle coordinate del punto P (e quindi, P E s); il risultato segue pertanto dal Teorema 9.5. La proposizione seguente ci permette di studiare la mutua posizione di due rette di t: 3 , a partire dalle loro equazioni cartesiane. • Proposizione 11.1. Siano r' ed r" due rette di t: 3 e siano rispettivamente

ax +by+ cz + d =O { a' x + b' y + e' z + d' = O

{a"x + b"y + c" z + d" =O a"' x + b"' y + c"' z + d"' = O

due loro rappresentazioni cartesiane, relativamente ad un fissato riferimento cartesiano R. Allora, posto a a' A= a" ( a"'

Si noti che la retta s non ammette rappresentazione frazionaria proprio perchè uno dei suoi coefficienti direttori è nullo.

Da queste osservazioni deduciamo il modo per ottenere le equazioni della retta s parallela ad una retta r data e ante per un fissato punto P =n (x, fj, z): • se r ha rappresentazione cartesiana

ax +by+ cz + d =O { a' x + b' y + e' z + d' = O allora s ha rappresentazione cartesiana

b b' b"

b"'

c)

c' c" c"'

X

{

= =

Xo

+ [. t + m ·t

y Yo z =zo+n ·t

allora s ha rappresentazione parametrica

= i + l ·t y=y+m·t { . z = z +n ·t X

B

=

e a"'

si ha che:

c c' c" c"'

d)

d'

d"

d"'

(i) r' ed r" coincidono se e soltanto se e(B)

=

2

(ii) r' ed r" sono parallele disgiunte se e soltanto se e(A)

= 2

e

e(B)

= 3

(iii) r' ed r" sono incidenti in un punto se e soltanto se

a(x - x) + b(y - y) + c(z - z) = O { a'(x - x) + b'(y - y) + c'( z - z) =O • se r ha rappresentazione parametrica

e

b b' b" b"'

a' a"

e(A)

=

= 3

e(B)

(iv) r' ed r" sono sghembe se e soltanto se e(A)

= ,~

e

e(B) = 4

Dimostrazione. L'intersezione (eventualmente vuota) tra le due rette r' ed r" è ovviamente rappresentata, relativamente al riferimento cartesiano R, dal sistema lineare ax +by+ cz + d =O a'x + b'y + c' z + d' =O S: { a" x + b"y + c" z + d" =O a"' x + b"' y + c"' z + d"' = O,

)

~ \.~ <..oNV~

e

l'f\fò

1.• e. Se VVQ

202

mentre l'intersezione tra le due giaciture ? e r71 è rappresentata, relativamente alla base iJ, dal sistema omogeneo associato S 0 . La tesi segue allora facilmente, osservando che: (i) se r' ed r" sono coincidenti, r' nr" deve contenere tutti i punti dir' (ovvero di r"), e quindi il sistema S deve essere possibile con 00 1 soluzioni; (ii) se r' ed r" sono parallele disgiunte, deve essere r' n r" = 0, mentre ? n r7' deve contenere tutti i vettori di? (ovvero di r71 ), e quindi il sistema S deve essere impossibile, mentre il sistema So deve avere 00 1 soluzioni; (iii) se r' ed r" sono incidenti in un punto P, deve essere r' n r" = {P}, quindi il sistema S deve essere possibile e determinato; (iv) se r' ed r" sono sghembe, deve essere r' n r" = 0 ed? n r71 ={O}, e quindi il sistema S deve essere impossibile (cioè rango della matrice incompleta diverso dal rango della matrice completa), mentre il sistema So deve avere solo la soluzione ovvia. D

Esempio 11.3. Nello spazio euclideo [ 3 , dotato di un fissato riferimento cartesiano R, si considerino le rette

r:

X -

s' . ·

{

Z

X {

y-z=O

=3 =1

2y- 2z

-y = 1

s 11 :

s· .

X { X -

Z

=

{X+ Z= 1 y=O

(iii) se r' ed r" sono orientate in modo che (l', m', n') ed (l" , m", n") siano terne positive di coefficienti direttori, :;:;:;:;, è il numero reale (compreso tra O e 7r) tale che l'l" + m'm" + n'n" J(l')2 + (m')2 + (n')2. J(l")2 + (m")2 + (n")2

cos(;:t:;ìi)

Dimostrazione. Basta specializzare, per n = 3, gli enunciati rispettivamente della Prop. 9.8(a), della Prop. 9.9 e della Prop. 9.13. D

Esempio 11.4. Le rette r, s', s" ed s"' considerate nell'Esempio 11.3 .hanno rispettivamente coefficienti direttori (1, 1, 1), (1, 1, 1), (1, O, -1) e (O, O, 1), come si ricava facilmente risolvendo i sistemi lineari omogenei associati alle rappresentazioni cartesiane delle quattro rette. La Proposizione 11.2(i) consente di affermare che r ed s' sono parallele, mentre la Proposizione 11 .2(ii) consente di affermare che r ed s" sono ortogonali . Infine, la Proposizione 11.2(iii) consente di calcolare l'angolo tra le rette r ed s 111 , supponendo che esse siano orientate in modo che le terne di coefficienti direttori considerate risultino positive:

1

2y + Z

cos(r:?')

=1

s 111 :

203

l. I SOTTOSPAZI DELLO SPAZIO EUCLIDEO: PUNTI , RETTE E PIANI

ll. LO SPAZIO EUCLIDEO

{X -y = 0 y=O

La Proposizione 11.1 consente di affermare che r ed s coincidono, che r ed s' sono parallele disgiunte, che r e s" sono incidenti in un punto e che r e s'" sono sghembe.

1·0+1·0+1·1

1

Ji 2 + 12 + 12 . Jo2 + 02 + 12

V3

iamo ora ad esaminare le rappresentazioni dei piani di [ 3 . Per la Proposizione 9.4 (caso h = 2), ogni piano 7r di [ 3 è univocamente determinato da tre qualunque suoi punti, distinti e a due a due non allineati, A, B, CE 7r. Posto A ~n (~A , YA, ZA), .B ~n (xB'.YB, ZB) e C =.n (x~c, zc), poichè i vettori (non nulh e lmearmente md1pendenti) =g (xB - XA, YB - YA, ZB - zA) e =g (xc - XA,Yc - YA,zc - ZA) generano la giacitura del piano 7r, un punto generico P = n (x, y, z) appartiene a 7r se e soltanto se E L(AB, ovvero se

AB

La seguente proposizione mette a confronto la condizione di parallelismo e la condizione di ortogonalità tra due rette di [ 3 , nel caso in cui siano note due loro terne di coefficienti direttori; inoltre, ci fornisce la formula diretta per calcolare l'angolo formato da due rette date. 3

• Proposizione 11.2. Siano r' ed r" due rette di [ e siano rispettivamente (l', m', n') ed (l", m", n") due loro terne di coefficienti direttori, relativamente ad un fissato riferimento cartesiano R. Allora:

(i) r' ed r" sono parallele se e soltanto se esiste (l',m',n')

= À ·

(l",m",n")

(ii) r' ed r" sono ortogonali se e soltanto se l'l"

À E

+ m'm" + n'n" =O

R - {O} tale che

AC

lfP

AC),

(x- XA, y-yA, z -zA) E L((xB - XA, YB -yA, ZB - zA), (xc -xA, Yc -yA, zc - ZA)). Da questa affermazione si ricavano entrambi i tipi di rappresentazione già visti in generale nel § 4 del Capitolo 9: • il piano

7r

ha equazione cartesiana

det

X-XA Y - YA ( Z - ZA

XB-XA YB - YA ZB - ZA

XC - XA) Yc-YA zc - zA

o

che, una volta sviluppata, risulta del tipo ax + by + cz + d

= O,

con

(a, b, e)

'I

(O, O, O);


204

• il piano X

{

7f

• se

ha equazioni parametriche

= XA

y = YA ZA z

1. I SOTTOSPAZI DELLO SPAZIO EUCLIDEO: PUNTI, RETTE E PIANI

+ (xs - XA) . À + (xc - XA) . µ + (ys - YA) . À + (Yc - YA) . µ + (zs - ZA) . À + (zc - ZA) . µ

7r

ha rappresentazione parametrica

(À,µElR) {

X

=

Xo

Y

=

Yo

Z = Zo

XB - XA YB - YA ( zs-ZA

(!

XC -XA) YC -yA = 2. zc-zA

X

y {

= =

Z =

Fissato un riferimento cartesiano R = (O,B) nello spazio euclideo &3 , i punti A =n (1, 2, 3), B =n (2, -1, O) e C =n (O, 2, 1) sono affinemente indipendenti, in quanto i vettori liberi = 13 (1, -3, -3) e =13 (-1, O, -2) sono linearmente indipendenti (essendo non proporzionali) . Per ottenere una rappresentazione cartesiana del piano 7r ante per A, B e C basta considerare un generico punto P =n (x, y, z) Esempio 11.5.

AB

AC

AP =13 (x -

di &3 ed imporre che equivale ad imporre che (!

Il piano

7f

( z-3

+ U1 · À + VI · µ + u2·À + v2·µ + U3·À + V3·µ

allora a ha rappresentazione parametrica

in cui

x-1 y- 2

205

~3 ~ )

1, y - 2, z - 3) appartenga a if = L(AB,

1

-3

2,

=

owero

-2

1

AC).

Ciò

-1

x-1 y-2

-3

o

z-3

-3

-2

o.

1

y

7f:

{

=

(! 7r

1

e

7r

11

E

7r

1

e

7r

11

Si noti che, nella rappresentazione parametrica del piano 7r, le d':e terne di coefficienti dei parametri individuano le componenti, rispetto alla base B, di due vettori che generano la giacitura if del piano, così come la equazione omogenea associata alla rappresentazione cartesiana di 7f costituisce una rappresentazione cartesiana, rispetto a B, della medesima giacitura if (si veda il Teorema 9.6). Da queste osservazioni deduciamo il modo per ottenere le equazioni del piano a parallelo ad un piano 7f dato e ante per un fissato punto P =n (x, f), z): • se 7r ha rappresentazione cartesiana ax

+ by + cz + d = O,

allora a ha rappresentazione cartesiana a(x - x)

+ b(y -

y)

+ c(z -

z) =O;

+ U2·À + V2 ·µ Z + U3·À + V3·µ

f}

7r

1

e

7r

11

a' ( a"

b' b"

e' e"

d')

d"

= 1

=

e

1

(! (::,

e' e"

::,

d')

d"

2

sono incidenti in una retta se e soltanto se (!

(iv)

~:,)

::,

JR).

3 - 3t - 2t'

z

µ

sono paralleli disgiunti se e soltanto se

(! (::,

(t, t'

V1 ·

•Proposizione 11.3. Siano 7r 1 e 7r 11 due piani di &3 e siano rispettivamente a'x + b' y + e' z + d' = O ed a" x + b" y + e" z + d" = O due loro equazioni cartesiane, relativamente ad un fissato riferimento cartesiano R. Allora: 1 11 (i~ 7r e 7r coincidono se e soltanto se

~iii)

2 -3t

+

La proposizione seguente ci permette di studiare la mutua posizione di due piani di

~ìi)

+t -t'

U1 · À

& 3 , a partire dalle loro equazioni cartesiane.

La sua rappresentazione parametrica sarà invece X=

+

Infatti, in entrambi i casi, le equazioni scritte individuano un piano a con la medesima giacitura di 7r (e quindi, per definizione, si ha a// 7r) e risultano verificate dalle coordinate del punto P (e quindi, P E o"); il risultato segue pertanto dal Teorema 9.5.

sarà quindi rappresentato, rispetto ad R, dalla equazione cartesiana

6x + 5y - 3z - 7 = O.

X

a' ( a"

b' b"

e') (a'

e"

=

(!

a"

b' b"

e' e"

d')

d"

= 2

non sono mai sghembi, nè incidenti in un punto.

Dimostrazione. L'intersezione (eventualmente vuota) tra i due piani 7r 1 e 7r 11 è ovviamente rappresentata, relativamente al riferimento cartesiano R, dal sistema lineare

S:

a' x + b' y + e' z + d' = O { a"x + b"y + c"z + d" =O,

mentre l'intersezione tra le due giaciture ;i e 7f-;, è rappresentata, relativamente alla base B, dal sistema omogeneo associato So . La tesi segue allora facilmente, osservando che: (i) se 7r 1 e 7r 11 sono coincidenti, 7r 1 n7f" deve contenere tutti i punti di 7r 1 (ovvero di 7r 11 ), e quindi il sistema S deve essere possibile con 00 2 soluzioni; (ii) se 7r 1 e 7r 11 sono paralleli disgiunti, deve essere 7r 1 n 7r 11 = 0, mentre 7f-, n 7f-;, deve contenere tutti i vettori di 7r-, (ovvero di 7r71 ), e quindi il sistema S deve essere impossibile, mentre il sistema S 0 deve avere 00 2 soluzioni;

l. I SOTTOSPAZI DELLO SPAZIO EUCLIDEO: PUNTI, RETTE E PIANI


206

(iii) se 7r 1 e 7r 11 sono incidenti in una retta r, deve essere 7r 1 n 7r 11 = r, quindi il sistema S deve essere possibile con 00 1 soluzioni; (iv) 7r 1 e 7r 11 non possono essere nè sghembi nè incidenti in un punto, perchè tutti i casi che si possono presentare nella discussione dei sistemi S ed So sono già stati esaminati ai punti precedenti.

(iv) r e 7r non sono mai sghembi.

o .,. Osservazione 11.1. Si noti che, nel caso in cui i due piani 7r 1 e 7r 11 siano incidenti in una retta, il sistema costituito dalle due equazioni cartesiane di 7r 1 e 7r 11 individua 1 11 esattamente una rappresentazione cartesiana della retta intersezione r = 7r n 7r • 3 In realtà, ogni rappresentazione cartesiana di una qualunque retta r di E permette di interpretare la retta stessa come intersezione di due piani non paralleli che la contengono.

Dimostrazione. L'intersezione (eventualmente vuota) tra la retta r ed il piano 7r è ovviamente rappresentata, relativamente al riferimento cartesiano R, dal sistema lineare ax + by + cz + d =O S: a' x + b' y + c' z + d' = O { a"x + b"y + c"z + d" =O, mentr_: l'intersezione tra le due giaciture 72 e 7r/1 è rappresentata, relativamente alla base B, dal sistema omogeneo associato S 0 . La tesi segue allora facilmente, osservando che: (i) se r è contenuta in 7r, r n 7r deve contenere tutti i punti di r, e quindi il sistema S deve essere possibile con 00 1 soluzioni (si osservi che Q(A) 2: 2); (ii) se r e 7r sono paralleli disgiunti, deve essere r n 7r = 0, mentre n if deve contenere tutti i vettori di e quindi il sistema S deve essere impossibile, mentre il sistema So deve avere 00 1 soluzioni; (iii) se r e 7r sono incidenti in un punto P, deve essere r n 7r = {P}, quindi il sistema S deve essere possibile e determinato (ovvero, deve essere u:il sistema di Cramer); (iv) r e 7r non possono essere sghembi, perchè tutti i casi che si possono presentare nella discussione dei sistemi S ed S 0 sono già stati esaminati ai punti precedenti.

r

r,

Esempio 11.6. Nello spazio euclideo E. 3 , dotato di un fissato riferimento cartesiano R, si considerino i piani 7r1 :

+ 5y - 3z - 7 =O 12x + lOy - 6z - 3 =O

6x

7r2 :

12x + lOy - 6z - 14 =O

7r3 : 7r4 : 2x - 4y + z - 1 =O. La Proposizione 11.3 consente di affermare che 7r 1 e 7r 2 coincidono, che paralleli disgiunti, e che 7r 1 e 7r 4 sono incidenti in una retta.

7r 1

e

7r3

sono

o

Le rappresentazioni cartesiane permettono di studiare anche la mutua posizione di una retta e di un pianci di E. 3 , come indicato nel seguente risultato. • Proposizione 11.4. Siano r e 7r una retta ed un piano di E. 3 e siano rispettivament_e

ax + by + cz + d = O { a' x + b' y + e' z + d' = O

e

a" x

+ b" y + e" z + d"

= O

due loro rappresentazioni cartesiane, relativamente ad un fissato riferimento cartesiano R . Allora, pO'sto b c b e' d' B ( ; b' b' c' e d" b" c" a" a" b" c"

~

A~ U' ')

si ha che: (i) r appartiene a

7r

d)

se e soltanto se Q(B) = 2;

(ii) r e

7r

sono paralleli e disgiunti se e soltanto se

Q(A) = 2

e

Q(B)

=

3;

(iii) r e 7r sono incidenti in un punto se e soltanto se

Q(A)

= Q(B) = 3;

207

Esempio 11. 7. Nello spazio euclideo E. 3 , d0tato di un fissato riferimento cartesiano R, si considerino il piano 7r: x-y-l=O e le rette s, s', s" considerate nell'Esempio 11.3. La Proposizione 11.4 consente dì affermare che s è contenuta in 7r, che s' e 7r sono paralleli disgiunti, e che 7r e s" sono incidenti in un punto.

Nello spazio euclideo, è possibile introdurre, accanto alla nozione di angolo tra due rette orientate (la cui ampiezza può essere calcolata mediante la Prop. 11.2 (iii)), anche la nozione di angolo tra due piani e la nozione di angolo tra una retta ed un piano. + Definizione 11.1. Si dice piano orientato di E. 3 una coppia (7r, >.), dove 7r è un piano di E. 3 ed >. E ..Lif è un vettore libero ortogonale a 7r. Se (7r, >.) è un piano orientato, si dicono positivi tutti i vettori liberi µ E ..Lif concordi con >.; inoltre, si dice positiva ogni equazione cartesiana ax + by + cz + d = O di 7r tale che il vettore libero a = (a , b, e) sia positivo. +Definizione 11.2. Dati ~iani orientati tra 7r 1 e 7r 11 , e si denota con 7r 17r 11 , l'angolo E

>.')e (7r 11 , >.")di E. 3 , si dice angolo [0,7r] tra>.' e>.".

(7r',

208


Si ha dunque, per definizione,

(ii) r e 7r sono ortogonali se e soltanto se esiste p E JR. - {O} tale che -1 -11) cos( 7r 7r

=

(l,m,n) = p· (a,b,c);

cos( ÀI , ÀIl ) .

(i.i-) se r è orientata in modo che (l, m, n) sia una terna positiva di coefficienti

+ · Definizione 11.3. Dati un piano orientato (7r, À) ed una retta orientata (r, I) di 3 [ , si dice angolo tra 7r ed r, e si denota con 7ir, il numero reale E [- ~, ~] avente per seno il coseno dell'angolo tra À e I :

sen (iir)

=

_ sen (nr) =

• Proposizione 11.5. Nello spazio euclideo [ 3 , in cui è fissato un riferimento cartesiano R, siano 7r 1 e 7r 11 due piani aventi ·spettivamente equazioni cartesiane a'x + b'y + c' z + d' =O e a"x + b"y + c"z + d" =O. Allora: 7r

1

e

7r

11

(ii)

7r

e

7r

11

equazione

a·l+b·m+c·n

J a2 +

b2 + c2 . Jl2 + m2 + n2

Dimostrazione. (i) Per definizione, re 7r sono paralleli se e soltanto sere if; poichè v = (l, m, n) genera ciò equivale a richiedere v E if, che corrisponde esattamente alla condizione a · l + b · m + c · n = O. (ii) La seconda affermazione è un caso particolare della Proposizione 9.11. (iii) L'ultima affermazione discende direttamente dalla Definizione 11.3, ricordando che V= (l, m, n) è un vettore positivo dir e che - in virtù del Lemma 9.10 - il vettore a= (a, b, c) è un vettore positivo ortogonale a 7r .

r,

o

Esempio 11.8. Nello spazio euclideo [ 3 , dotato di un fissato riferimento cartesiano R,

sono ortogonali se e soltanto se a' · a"

+ b' · b" + c' · c" =

si considerino i piani

O

(iii) se 7r e 7r sono orientati in modo che a' x + b' y + c' z + d' = O e a" x + b" y + c" z + d" = O siano equazioni positive, H' è il numero reale E [O, 7r] tale che a' · a" + b' · b" + c' · c" cos(H') J(a')2 + (b')2 + (c')2 . J(a")2 + (b")2 + (c'')2 1

= O sia una

sono paralleli se e soltanto se esiste p E JR. - {O} tale che

(a', b', c') = p · (a", b", c") ; 1

direttori e 7r è orientato in modo che ax + by + cz + d positiva, r7r è il numero reale E [ -~, ~] tale che

cos(À, I)

Le seguenti proposizioni mettono a confronto le condizioni di parallelismo e di ortogonalità e forniscono la formula diretta per calcolare l'ampiezza dell'angolo compreso, l'una nel caso di due piani, l'altra nel caso di una retta e di un piano.

(f)

209

1. I SOTTOSPAZI DELLO SPAZIO EUCLIDEO: PUNTI, RETTE E PIANI

O" : X -

2y +

11

3x + y -

11

Dimostrazione. (i) Basta ricordare, come già osservato nel corso della dimostrazione della Proposizione 11.3, che 7r 1 e 7r 11 sono paralleli se e soltanto se ;,n7f71 ha dimensione a' b" b' c" ha rango uno . due, ovvero se e soltanto se la matrice a"

c')

( (ii) La seconda affermazione è un caso particolare della Proposizione 9.12. (iii) L'ultima affermazione discende direttamente dalla Definizione 11.2, ricordando che - in virtù del Lemma 9.10 - i vettori a' = (a', b', c') e a" = (a", b", c") sono vettori positivi ortogonali rispettivamente a 7r 1 e 7r11 •

0"

:

Z -

1=0 Z -

0"

4=0

1 :

0"

X 111

2y +

: X

Z

+ 5=0

+y-

1= 0

111

e le rette s', s" ed s considerate nell'Esempio 11 .3. La Proposizione 11.5 consente di affermare che O" e 0" 1 sono paralleli, che O" e 0" 11 sono ortogonali, e che (supponendo che i piani siano orientati in modo che le equaziòni scritte risultino positive) l'angolo tra O" e 111 0" è tale che -1 1 1·1-2·1+1·0 1

cos(a:? )

2y'3

Jl2 + (-2)2 + 12. Jl2 + 12 + 02

Analogamente, la Proposizione 11.6 consente di affermare che O" ed s' sono paralleli, che ed s" sono ortogonali, e che (supponendo anche che la retta s 111 sia orientata in modo che la terna di coefficienti direttori {O, O, 1) risulti positiva) l'angolo tra O" ed s"' è tale che

O"

1·0-2·0+1·1 sen(O"s"') = J12+(-2)2+12.Jo2+02+12 =

1

J6.JI

1

=

J6

o • Proposizione 11.6. Nella spazio euclideo [ 3 , in cui è fissato un riferimento cartesiano R, siano r una retta avente coefficienti direttori (l, m, n) e 7r un piano avente equazione cartesiana ax +by+ cz + d =O. Allora:

(i} r e 7r sono paralleli se e soltanto se a·l+b · m+c·n

O· '

•

+ Definizione 11.4. Data una retta r di [ 3 , si dice fascio (proprio) di piani di asse r l'insieme costituito da tutti e soli i piani di [ 3 che contengono Definizione 11.5. Dato un sottospazio vettoriale bidimensionale U di t3, si dice fascio (improprio) di piani paralleli di giacitura U l'insieme costituito da tutti e soli L piani di [ 3 aventi U come giacitura.


210

Il seguente risultato ci fornisce le equazioni di tutti i piani appartenenti ad un fissato fascio proprio (risp. improprio), a partire dalla rappresentazione cartesiana di due elementi (risp. un elemento) del fascio stesso.

l'equazione del fascio di piani di asse la retta r è:

>.(3x - y + z - 1) + µ(x - z) =O. Il fascio di piani paralleli al piano di equazione

• Proposizione 11. 7. {i?) Siano 7r 1 e 7r 11 due piani non paralleli di [ 3 e siano rispettivamente a' x + b' y + c' z + d' = O ed a" x + b" y + c" z + d" = O due loro equazioni cartesiane, relativamente ad un fissato riferimento cartesiano R . Allora, detta r la retta intersezione di 7r 1 e 7r 11 , la equazione >.(a'x + b'y +

c' z + d') + µ(a"x + b"y + c" z+ d") =O

rappresenta, al variare dei parametri reali (>., µ) =/= (O, O), tutti e soli i piani del fascio (proprio? di asse r. (i1) Sia 7r un piano di [ 3 e sia ax+by+cz+d =O una sua equazione cartesiana, relativamente ad un fissato riferimento cartesiano R . Allora, la equazione ax.+ by+ cz

+ k =O

rappresenta, al variare del parametro k E JR, tutti e soli i piani del fascio (improprio) di giacitura if (cioè tutti i piani paralleli a 7r). Dimostrazione. (i) Poichè r = 7r 1 n 7r 11 , le coordinate di un qualunque punto P E r verificano entrambe le equazioni a' x + b' y + c' z + d' = Oed a" x + b" y + c" z + d" = O, e quindi verificano anche ogni equazione ottenuta da quelle tramite combinazione lineare. Ciò prova che tutti i piani di equazione >.(a'x + b'y + c'z

2li

2. DISTANZE

+ d') + µ(a"x + b"y + c"z + d") =O,

al variare dei parametri reali (>., µ) =/= (O, O), appartengono al fascio di asse r. 1 11 Viceversa, se (j è un piano del fascio di asse r, allora (j n (7r' n 7r 11 ) = r = 7r n 7r ; pertanto, l'equazione cartesiana ax+by+cz+d =O di (j, relativamente al riferimento 11 1 R, deve essere combinazione lineare delle due equazioni cartesiane di 7r e 7r • Ciò equivale ad affermare che deve esistere una coppia (>., µ) E JR - {(O, O)}, tale che

+ d = >.(a'x + b'y + c'z + d') + µ(a"x + b"y + c"z + d"). (ii) E' sufficiente osservare che ogni piano di equazione ax +by+ cz + k = O, con

3x -y + z - l =O ha invece equazione

3x - y

+z +k

= O.

+Definizione 11.6. Dato un punto C E f 3 , si dice stella (propria) di piani di centro e (risp. stella (propria) di rette di centro e ) l'insieme costituito da tutti e soli i piani (risp. le rette) di f

3

che contengono C.

+ Definizione 11. 7.

Dato un vettore non nullo v E f3, si dice stella (impropria) di piani di direzione v (risp. stella (impropria) di rette di direzione v) l'insieme costituito da tutti e soli i piani (risp. le rette) di [ 3 che sono paralleli alla direzione individuata dal vettore v.

2. Distanze

Nello spazio euclideo f 3 , in cui si suppone di avere fissato un riferimento cartesiano R = (O, B), la nozione di distanza tra due punti ed il relativo metodo di calcolo si specializza nella forma seguente. • Proposizione 11.8. Se P =n (xp, yp, Zp) e Q =n (xQ, YQ, ZQ), allora: I

Dimostrazione. Basta utilizzare la Proposizione 9.14.

o

ax +by+ cz

k E JR, è parallelo a 7r, e che ogni piano parallelo a 7r ha (per la Proposizione 11.3) equazione (>.a)x + (>.b)y + (>.c)z +e= O, con À E JR - {O} ed e E JR, ovvero e ax +by+ cz + k = O, con k = );" E JR.

o

/

Poichè i piani sono gli iperpiani di f 3 , il calcolo della distanza tra un punto ed un piano si effettua utilizzando, nel caso n = 3, la Proposizione 9.15. • Proposizione 11.9. Sia 7r il piano di [ 3 di equazione cartesiana, rispetto ad R, ax +by+ cz + d =O e sia P =n (x, fj, .z). Allora:

d(P, 7r) =

lax + bfi + c.z +di ../a2+b2+c2

Esempio 11.9. Data nello spazio euclideo [

3 la retta

3x - y + z - 1 = O { x-z=O

r di equazioni

o

212


Esempio 11.10. Nello spazio euclideo E3 , dotato di un fissato riferimento cartesiano R, la distanza del punto P =n (1, 2, 3) dal piano 7r : 3x + 2y - z + 3 = O, si calcola di rettamente tramite la formula fornita dalla Proposizione 11.9: d(P

7r)

)

I seguenti risultati forniscono i metodi operativi per il calcolo della distanza tra due piani, tra una retta ed un piano e tra due rette di E3 , in funzione della loro reciproca posizione. • Propos izione 11.11. Siano 7r 1 e 7r 11 du e piani di E3 .

7

= '--13_·--::1=+=2=·=2=-=1=·=3+=-'31

• Se 7r 1 e 7r 11 sono incidenti (in particolare, coincidenti), la loro distanza è uguale a zero; • Se 7r 1 e 7r 11 sono paralleli, la loro distanza uguaglia la distanza tra 7r 11 ed un punto qualsiasi di 7r 1 : 1

V1A

J32+22 +(-1)2

213

2. DISTANZE

Il calcolo della distanza tra un punto ed una retta si effettua invece utilizzando la proiezione ortogonale del punto sulla retta, come indicato nel § 7 del Capitolo 9 (caso n = 3 ed h = 1) . • Proposizione 11.10. Sia r una retta di E3 avente coefficienti direttori (l, m, n) e sia P =n (x, y, z). Allora: d(P, r ) = d(P, P ') dove il punto P' (proiezione ortogonale di P su r') si ottiene intersecando r con il piano ortogonale ad r ante per P, che ha equazione cartesiana l(x - x)

+ m(y -

y)

+ n(z -

Dimostrazione. Occorre verificare che d(P, P') -;:::-:-t Px

----+ = PP'

=

z) = O. min{ d(P, X)

I

Dimostrazione. La prima parte dell'enunciato è banalmente vera, poichè, se esiste un punto p E 7r 1 n 7r 11 , si ha d(7r 1 , 7r 11 ) = d(P , P) =o. Nel caso in cui 7r 1 e 7r 11 siano paralleli, occorre verificare che la distanza d( Q, 7r 11 ) è indipendent e dalla scelta del punto Q E 7r 1 • In virtù della Proposizione 11.5 è possibile supporre che i due piani abbiano - rispetto ad un fissato riferimento cartesiano R di [ 3 - equazioni 7r 1 : ax + by + cz + d' = O, 7r 11 : ax + by + cz + d" = O. Allora, posto Q =n (x, y, z), e ricordato che Q E 7r 1 , per la Proposizione 11.9 si ottiene:

d( Q, 7r") X E r }. Poichè,

--+ con PP ----+, 1- P'X , i·1 l"T'.leorema d"i p·itagora + P'X, ----+ ---+ ----+

Per ogni X E r ) si ha (Propositione 8.2) implica llPXll 2 = llPP'll2 + llP' Xll2;::: llPP'll2; ciò assicura appunto che d(P, P') :::; d(P, X), per ogni X E r. D

•Proposizione 11.12. Siano r e

ovvero

2x - y - 1 =O.

La proiezione ortogonale A' di A su r ha coordinate che verificano il sistema X

+ 2y - 2z - 20

=0

z +6 = O {

da cui

A'

= (2, 3, -6)

2x -y- 1 = O

Per la Proposizione 11.10 si ha quindi che: d(A, r) = d(A, A') = .j(2 - 1) 2 + (3 - 1) 2 + (-6 + 4) 2 .

.

7r

una .retta ed un piano di E3 .

d(r, 7r) = d(P, 7r)

2(x - 1) - l(y - 1) + O(z + 4) =O,

\

V9

= 3.

yf a2 + b2 + c2'

• Se r è contenuta in 7r, o se r e 7r sono incidenti in un p1,m to, la loro distanza è uguale a zero; • Se r e 7r sono paralleli, la loro distanza uguaglia la distanza tra 7r ed · un punto qualsiasi di r :2

{x+ 2y - 2z - 20 =O

occorre determinare il piano 7r ortogonale ad r e contenente A; poichè (2, -1, O) è una terna di coefficienti direttori di r, 7r ha equazione:

+ d"I

D

z + 6 =0

7r :

yfa2 + b2 + c2

I - d'

che prova la tesi.

Esempio 11.11. Per calcolare la distanza del punto A= (1, 1, -4) dalla retta r:

lax +by+ ci+ d"I

VP E r

Dimostrazione. La prima parte dell'enunciato è banalmente vera, poichè - sia nel caso in cui r è contenuta in 7r che nel caso in cui r e 7r sono incidenti - esiste un punto P E r n 7r, e quindi d(r, 7r) = d(P, P) = O. Nel caso in cui re 7r siano paralleli, occorre verificare che la distanza d(P, 7r) è indipendente dalla scelta del punto P E r. Se il piano 7r ha - rispetto ad un fissato riferimento cartesiano R di E3 - equazione 7r : ax +by+ cz + d = O, allora la retta r ha coefficienti direttori (l , m, n) tali che al+ bm + cn =O (si ricordi la Proposizione 11.6); inoltre, posto P =n (x, y, z), per ogni altro punto X E r si ha X =n (x + pl , y+ pm, z + pn)), 1È evidente che i ruoli di rr' e rr" possono essere scambiati. 2

Si osservi che,_in questo caso - a differenza d elle Proposizioni 11.11 e 11.13 - i ruoli di re rr non possono essere scambiati.


214

con p E JR. Per la Proposizione 11.9 si ottiene allora che:

+ pl) + b(Y + pm) + c(z + pn) +di ,,/a2+b2+c2 +by+ cz + d + p ·(al+ bm + cn)I ,,/a2+b2+c2

d(X, 7r) = la(x lax

+ by + cz + di = va2+b2+c2

lax

d(P, 7r),

che prova la tesi. D

• Proposizione 11.13. Siano r' ed r" due rette di E 3 . • Se r' ed r" sono incidenti (in particolare, coincidenti), la loro distanza è uguale a zero; • Se r' ed r" sono parallele, la loro distanza uguaglia la distanza tra r" ed un punto qualsiasi di r' :3 d(r',r")

=

d(Q,r")

't:/Q E r'

• Se r' ed r" sono sghembe, la loro distanza uguaglia la distanza tra r' ed il piano 1f 11 parallelo ad r' e contenente r" :4 d(r',r") = d(r 1 ,7r11 ) = d(Q,7r")

't:/Q E r'

Dimostrazione. La prima parte dell'enunciato è banalmente vera. La seconda parte dell'enunciato è una conseguenza diretta della Proposizione 10.7, perchè due rette parallele sono sempre complanari. Dimostriamo infine che, nel caso in cui r' ed r" sono sghembe, allora d( r', r") = d(Q, 7r11 ), 't:/Q E r' (si veda la Figura 11.2).

2. DISTANZE

215

Poichè r" e 1f 11 , si ha ovviamente d(r', r") ;::: d(r', 7r 11 ); d'altra parte, essendo 7r 11 parallelo ad r', la Proposizione 11.12 implica d(r',7r") = d(Q,Q'), 't:/Q E r' (dove Q' denota la proiezione ortogonale di Q su 1f 11 ). Ora, fissato Q E r', sia rQ, la retta parallela ad r' e ante per Q' (proiezione ortogonale di Q su 7r 11 ). Poichè rQ, ed r" sono ovviamente non parallele (essendo sghembe r' ed r") e sono entrambe contenute in 1f 11 , esiste R E rQ, n r". Essendo rQ, ed r' due ~ette parallele, la seconda parte . dell'enunciato assicura che d(Q, Q') = d(R, R') (= d(rQ,, r')), dove R' è la proiezione ortogonale di R su r'. A questo punto, avendo trovato R E r" ed R' E r' tali che d(R,R') = d(Q,Q') = d(r',7r"), resta dimostrato che d(r',r") = d(r',7r"), da cui segue la tesi. D

Nel caso di due rette sghembe r' ed r" di E3 , il seguente risultato permette di ricavare, oltre alla distanza d( r', r"), ànche i punti H E r' e K E r" che realizzano tale distanza. • Proposizione 11.14. Siano r' ed r" due rette sghembe di E 3 . Allora, esiste una ed una sola retta t ortogonale ed incidente sia ad r' che a r"; inoltre, posto H = r' n t e K = r" n t, si ha che d(r',r") = d(H,K) Dimostrazione. (cenno) Se I' E i' ed I" E f"' sono due vettori (non nulli) che generano le giaciture delle rette, la ipotesi che r' ed r" siano sghembe implica dim(L(I', I")) = 2, e quindi dim(-1·L(I',I")) = 1 (per il Teorema 8.11). Scelto un vettore non nullo m E _L L(I', I"), la retta t si ottiene come intersezione tra il piano 7r 1 , appartenente al fascio di piani di asse r' e parallelo ad m, ed il piano 1f11 , appartenente al fascio di piani di asse r" e parallelo ad m. D

Esempio 11.12. Nello spazio euclideo E3 , le rette

r:

Q'

7t"

Figura 11.2 3È evidente che i ruoli di r' e r" possono essere scambiati. 4 È evidente che anche in questo caso i ruoli di r' e r 11 possono essere scambiati.

y-

3=0 y - 2z = 0

X {

s:

{y -

Z

+1= 0

X -

Z

= 0

sono sghembe (come si può facilmente verificare, utilizzando la Proposizione 11.1). Per calcolare la distanza tra r ed s tramite la Proposizione 11 .13, determiniamo il piano 7r parallelo ad r e contenente s. Poichè esso appartiene al fascio di piani di asse s, avrà equazione del tipo >.(y - z + 1) + µ(x - z) =O; inoltre, essendo parallelo ad r (che ha coefficienti direttori (2, 2, 1), dovrà essere verificata la condizione >.(2 - 1) + µ(2 - 1) =O, owero >.+µ=O. Il piano 7r ha quindi equazione cartesiana x-y-1 = O. Scelto il punto P =n (5, 2, 1) E r, la distanza tra r ed s risulta:

d(r, s) = d(r, 7r) = d(P, 7r) =

15Vl+T - 2 - 11 --

vln2. ,t,

216


Per calcolare invece la distanza tra r ed s tramite la Proposizione 11.14, determiniamo le componenti di un vettore non nullo v =fj (l , m, n) ortogonale sia ad r che ad s; poichè r ed s hanno rispettivamente coefficienti direttori (2, 2, 1) e (1, 1, 1), deve essere

2l + 2m+n = O { l+m+n=O

owero (l , m, n)

= p · (1, -1, O).

2. DISTANZE

217

V(< A,B,C,D >) =

~

det

·

1

X+ y - 4z - 3 = 0,

det

6

mentre l'equazione del piano (3 contenente s e parallelo al vettore v è

+y -

2z + 1 = 0.

La retta t = a n (3 (ortogonale ed incidente sia ad r che ad s), interseca r nel punto P =n (-1 , 4, -2) ed s nel punto Q =s (-2, -3, -2); pertanto, si ha che: d(r,s)

=

d(P,Q)

:! =~ x~)

(=~ ZA

L'equazione del piano a contenente r e parallelo al vettore v è

X

e =n (xc,yc,zc ),

• Proposizione 11.15. Se A =n (xA ,YA,ZA ), B =n (xs ,ys,zs ), D =n (xD , YD, zD), allora:

ZB

ZC

(~:ZB -ZA =~~

Dimostrazione. È un caso particolàre (per h

= 3)

YD ZD

Xc - XA Yc-YA zc - zA

XD - XA) YD -yA ZD-ZA

della Proposizione 9.16.

o

= J(-1+2) 2 +(-4+3) 2 +(-2+2) 2 = v'2. Esempio 11.13. Siano A =n (1, 1, -4), B =n (O, 4, -6) , C =n (4, 2, -6), D =n (1, 3, -4) quattro punti di & 3 (dove R = (O, B) è un fissato riferimento cartesiano) . Poichè =fj (-1, 3, 2), =fj (3, 1, -2), = fj (O, 2, O) e

AB

AC

AD

In dimensione tre, la nozione di volume di un h-simplesso - vista in generale nel § 8 del Capitolo 9 - si specializza nelle seguenti nozioni di area di un triangolo e di volume di un tetraedro. 5

+ Definizione

11.8. Dati tre punti non allineati A, B, C di &3 , si dice area del triangolo di vertici A, B , C il numero reale positivo

V( < A, B,

e > ) = AAsc

=

1

2.

det

>)

( < AB,11C < AB,11C > ·

-1 3 -2

o

3 1 -2

2

o

i- o,

i quattro punti sono affinemente indipendenti. Il volume del tetraedro a 3 =< A, B, C, D > è, per definizione: ( 3 1 Va)= -· 6

det

~) ~ ~6 . v'64 ~ ~.3

4

('4

14 2 4

:

Per la Proposizione 11.15, si ha anche:

+ Definizione 11.9.

Dati quattro punti non complanari e a tre a tre non allineati A, B, C e D di &3 , si dice volume del tetraedro di vertici A, B, C e D il numero reale positivo

V(< A,B,C,D >)

1

6

det

< AB,AB > < AB,11C > ( < AB,m >

>)

< AB,.AD

e jJ 1

1 Va)= -· 6 det ( 3

1 6

det

o

-4

4 -6

3 -2

3 1 -2

1 4 2 -6

e ~)

1 6

I -16/

8 3

-

L'area del triangolo a 2 = < A, B , C > è per definizione: 5Si noti che le Definizioni 11.8 e 11.9 presuppongono che i determinanti delle matrici presenti sotto il segno di radice quadrata siano sicuramente positivi, come assicurato dalla Proposizione 8.13 relativa alle proprietà delle matrici di Gram; in alternativa, la dimostrazione di questo fatto può essere agevolmente dedotta dalla dimostrazione della Proposizione 9.16, nei casi h = 2 ed h = 3 rispettivamente.

V(a

2 )

=

AABC

= ~ · v'18o = 3Vs.

Si noti che, in alternativa, l'area del triangolo a 2 può anche essere calcolata tramite la classica formula AABC

1

= 2 · d(A, r)

· d(B, C),

11 . LO SPAZIO EUCLIDEO

218

dove r denota la retta contenente B e C; poichè r ha equazione cartesiana

r:

{X+ 2y -

8

=Q

z +6=0 si ha d(A, r)

=3

CAPITOLO 12

(si veda l'Esempio 11.12), e quindi risulta : ÀABC

=

~ · 3 · d(B,C)

~ · 3 · 2Vs =

3Vs.

Elementi di teoria delle coniche e delle quadriche 1. Ampliamento proiettivo di uno spazio euclideo Nel presente paragrafo, En indicherà uno spazio euclideo di dimensione finita n > O, su cui è fissato un riferimento cartesiano R = (O, B). + Definizione 12.1. Si dice ampliamento proiettivo (o completamento proiettivo) dello spazio euclideo En l'insieme

pn =

EnuE~-1,

1

dove E~- , detto iperpiano improprio di En, è l'insieme delle direzioni delle rette di En (ovvero, i sottospazi vettoriali di dimensione uno della giacitura E-;,,). Gli elementi di En (ovvero, i punti dello spazio euclideo originario) si dicono punti propri dell'ampliamento proiettivo, mentre gli elementi di E~-l si dicono punti impropri dell 'ampliamento proiettivo. Per abuso di linguaggio, quando risulterà chiaro che lo spazio euclideo En è stato completato con l'aggiunta del suo iperpianq improprio, si parlerà più semplicemente di punti propri e punti impropri di En . ..,. Osservazione 12.1. Si noti che, per definizione di iperpiano improprio, ad ogni retta di En risulta associato un punto improprio di En, e che rette parallele individuano lo stesso punto improprio. Inoltre, poichè ogni vettore libero non nullo genera un sottospazio vettoriale di dimensione uno di E-;,, , si può dire che ogni vettore libero non nullo v individua un punto improprio di En, che corrisponde alla giacitura di tutte le rette parallele a v (ovvero, tutte le rette r di E2 tali che v ET). +Definizione 12.2. Dato un punto proprio P =n (y1, y 2 , ... , yn), si dice (n+ 1)-pla di coordinate omogenee di P rispetto ad R ogni (n + 1)-pla (x 0 , x 1 , . . . , Xn) tale che: X1

1

X2

2

Xn

n

- = y ' - = y , .. . , - = y

xo

xo

xo

Dato un punto improprio P00 individuato dalla direzione del vettore v E E-;,, - {O}, COn V =B (l 1, [ 2 , ... , zn), Si dice (n + 1)-pla di coordinate omogenee di p 00 rispetto ad R ogni (n + 1)-pla (xo,x1, ... ,xn) tale che: x 0 =O ed esiste p E R - {O}, per cui (xi, .. . , xn) = p ·

Sia per i punti propri che per i punti impropri di En, scriveremo P =n [xo, X1,

.. . , Xn]

(l1, ... , ln).

220

12. ELEMENTI DI TEORIA DELLE CONICHE E DELLE QUADRICHE

per indicare che la (n+l)-pla (x 0 , x 1 , ... , Xn) è una (n+l)-pla di coordinate omogenee del punto P. ..,. Osservazione 12.2. Si noti che, per la Definizione 12.2, la (n + 1)-pla di coordinate omogenee di un punto (proprio o improprio) di [n è individuata a meno di un coefficiente di proporzionalità non nullo, e che nessun punto di pn = [n U &-:;.,,- 1 ammette la (n + 1)-pla nulla quale (n + 1)-pla di coordinate omogenee.

1. AMPLIAMENTO PROIETTIVO DI UNO SPAZIO EUCLIDEO

alla rappresentazione cartesiana delle rette nel completamento proiettivo del piano euclideo. •Proposizione 12.1. Data una retta (propria) r di [ 2 avente, rispetto al riferimento cartesiano R = (O, B), equazione cartesiana ax +by+ c = O, con (a, b) =f. (O, O), si ha che: • nel completamento proiettivo di & 2 , la retta r è rappresentata - in coordinate omogenee rispetto ad R - dalla equazione omogenea

..,. Osservazione 12.3. Date due (n+l)-ple non nulle (xo, x 1 , ... , xn), (x~, x~, ... , x~) di numeri reali, poniamo (xo, xi, ... , Xn)"' (x~, x~, ... , x~) {::}

3.X

E JR - {O}, (x~, ... , x~)

=

>. · (xo,. .. , Xn)·

La relazione è una relazione di equivalenza sull'insieme JRn+l - {(O, . . . , O)}, come è facile verificare (si veda il § 4 del Capitolo 1). L'insieme quoziente (JRn+l - {(0, ... ,0)})/ "',usualmente indicato con JR!Pin, è detto spazio proiettivo reale standard n-dimensionale. Un punto di IRIP'n è dunque una classe [xo, xi, ... , xn] 1 di proporzionalità di (n + 1)-ple non nulle di numeri reali. Ogni fissato riferimento cartesiano R di [n induce quindi una biiezione c/>n : pn = [n U &-:;.,,- 1 ---+ IRIP'n, che ad ogni punto P di pn associa la classe [xo, x1, ... , Xn] delle (n + 1)-ple (tra loro proporzionali) delle coordinate omogenee di P rispetto ad R. Infatti, presa una qualunque (n + 1)-pla non nulla (x 0 , x 1 , ... , Xn) di numeri reali, a meno di proporzionalità, essa individua uno ed un solo punto P di pn = [n U &-:;.,,- 1 che ammette (x 0 , x 1 , ... , xn) come sua (n+l)-pla di coordinate omogenee rispetto al riferimento cartesiano R: • se xo =/.O, allora P è il punto proprio di coordinate cartesiane

(xi, x 2

Xn) ; x 0 xo x0 • se x 0 =O, allora P è il punto improprio individuato dalla direzione del vettore di componenti (xi, ... , Xn)· ~ , ... ,

..,. Osservazione 12.4. Si noti che i sottospazi euCiidei paralleli di [n risultano incidenti nel completamento proiettivo dello spazio euclideo [n, : infatti, se [h ed [k sono sottospazi paralleli, con h ::; k, allora - per definizione - l'insieme &:;,,- 1 dei punti impropri di [h è contenuto nell'insieme &~- 1 dei punti impropri di [k. Fissiamo ora l'attenzione sui casi n = 2 ed n = 3. Caso n = 2. Sia [ 2 un piano euclideo, su cui è fissato un riferimento cartesiano R =(O, B), e sia P 2 = [ 2 U r 00 il suo completamento proiettivo, dove r 00 - la retta impropria di [ 2 - indica l'insieme delle direzioni delle rette di [ 2 (ovvero, i sottospazi vettoriali di dimensione uno di [2). Denotata usualmente con (x, y) la coppia delle coordinate cartesiane dei punti (propri). di [ 2 rispetto ad R, indichiamo con [xo, xi, x2] la terna (a meno di proporzionalità) delle coordinate omogenee dei punti (propri ed impropri) di [ 2 rispetto ad R. Ricordando il fatto che un punto P =-n [xo, xi, x 2 ] è improprio se e soltanto se x 0 = O, è immediato verificare la validità della seguente proposizione, relativa 1Scriviamo [xo, xi, . .. , xnJ, anzichè [(xo, xi, . . . , xn)J, per indicare la classe rappresenta ta dalla (n + 1)-pla (xo, xi, . .. , xn), rispetto alla relazione~.

221

ax1

+ bx2 + cxo = O;

• l'unico punto improprio dir è P 00 =-n [O, b, -a]. Viceversa, data una equazione lineare omogenea ax1

+ bx2 + cxo =O,

con (a, b)

=f. (O, O),

l'insieme delle soluzioni diverse dalla ovvia fornisce le coordinate omogenee, rispetto ad R, dei punti (propri e impropri) di una retta (propria) r di [ 2 . Inoltre, l'equazione xo = O rappresenta - in coordinate omogenee rispetto ad R - la retta impropria di [ 2 .

o Con le medesime notazioni, si prova facilmente anche come ottenere una rappresentazione cartesiana o parametrica di una retta nel completamento proiettivo del piano euclideo, a partire da due qualunque suoi punti distinti. • Proposizione 12.2. Dati due punti distinti (propri o impropri} P e Q di [ 2 aventi, rispetto ad un riferimento cartesiano R = (O, r3), coordinate omogenee P =-n 2 [yo, Y1, Y2 ] e Q =-n [zo, zi, z2], la retta r di,[ ante per P e Q è rappresentata: (a) dalla equazione cartesiana (omogenea) Xo XI

Yo YI

Z1

zo

X2

Y2

Z2

=0;

(b) dalle equazioni parametriche

{"° XI

X2

ÀYo + µzo + µz1 .Xy2 + µz2 Ày1

(>.,µ)E IR 2

-

{(0,0)}. o

Si noti che la retta r di cui alla Proposizione precedente è la retta impropria se e solo se P e Q sono entrambi punti impropri di [ 2 . ..,. Osservazione 12.5. Le nozioni esposte in questo paragrafo chiariscono il significato del termine fascio improprio di rette di & 2 , usato per indicare l'insieme delle rette parallele alla direzione individuata da un fissato vettore v: esso è costituito da tutte e sole le rette di & 2 che contengono il punto improprio individuato dal vettore v, così come il fascio proprio di rette di centro C E [ 2 denota l'insieme di tutte e sole le rette di &2 contenenti il punto (proprio) C.

222

1. AMPLIAMENTO PROIETTIVO DI UNO SPAZIO EUCLIDEO


l'insieme delle soluzioni diverse dalla ovvia fornisce le coordinate omogenee, rispetto ad R, dei punti {propri e impropri) della retta (propria) r di E3 di equazione(**). Inoltre, il sistema lineare omogeneo

Caso n = 3. Sia E3 uno spazio euclideo di dimensione tre, su cui è fissato un riferimento cartesiano R = (O, B), e sia P 3 = E3 U 7r 00 il suo completamento proiettivo, dove 7r00 - il piano improprio di E3 - indica l'insieme delle direzioni delle rette di E3 (ovvero, i sottospazi vettoriali di dimensione uno di EJ). Denotata usualmente con ( x, y, z) la terna delle coordinate cartesiane dei punti (propri) di E3 rispetto ad R, indichiamo con [x 0 , x 1 , x 2, x 3 J la quaterna (a meno di proporzionalità) delle coordinate omogenee dei punti (propri ed impropri) di E3 rispetto ad R. Ricordando il fatto che un punto P =n [xo, xi, x2, x3] è improprio se e soltanto se xo = O, è immediato verificare la validità delle due proposizioni seguenti, relative alla rappresentazione cartesiana dei piani e delle rette nel completamento proiettivo dello spazio euclideo.

ax1 + bx2 { xo =o

• Proposizione 12.5. Dati tre punti non allineati (propri o impropri) P, Q ed R di E3 aventi, rispetto ad un riferimento cartesiano R = (O, B), coordinate omogenee P =n [yo,y1,y2,y3], Q =n [zo,z1,z2,z3] ed R =n [to,ti,t2,t3], il piano 7r di E3 ante per P, Q ed R è rappresentato:

(a) dalla equazione cartesiana (omogenea)

con (a, b, c) =/:- (O, O, O), Xo X1 X2 X3

l'insieme delle soluzioni diverse dalla ovvia fornisce le coordinate omogenee, rispetto ad R, dei punti (propri e impropri) del piano (proprio) 7r di E3 , di equazione cartesiana (*). Inoltre, x 0 = O rappresenta - in coordinate omogenee rispetto ad R - il piano improprio di E3 .

o

•Proposizione 12.4. Data una retta (propria) r di E 3 avente, rispetto al riferimento cartesiano R = (O, B), rappresentazione cartesiana

(**)

+ by + cz + d =O { a' x + b' y + c' z + d' = O ax

con

b b'

~)

+ cx3 + dxo = O + c'x3 + d'xo =O

• l'unico punto improprio di r è P 00 =n [O, l, m, n], con (l, m, n) terna di coefficienti direttori della retta r.

I

~)

Z3

t3

ti =O; t2

+ µzo + vt0 ÀY1 + µz1 + vt1 Ày2 + µz2 + vt2 Ày3 + µz3 + vt3 Àyo

(>.,µ,v) E IR 3

-

{(0,0,0)} .

o

• Proposizione 12.6. Dati due punti distinti (propri o impropri) P e Q di E3 aventi, rispetto ad un riferimento cartesiano R = (O, B), coordinate omogenee P =n 3 [yo, Y1, y2, y3] e Q =n [z o, z1, z2, z3], la retta r di E ante per P e Q è rappresentata:

(a) dalle equazioni cartesiane {omogenee) ottenute imponendo XO

X1

b b'

to


Viceversa, data un sistema lineare omogeneo

+ bx2 + cx3 + dxo =O { a'x1 + b'x2 + c'x3 + d'xo =O

Zo Z1 Z2

Si noti che il piano 7r di cui alla Proposizione precedente è il piano improprio se e solo se P, Q ed R sono tre punti impropri di E3 .

• nel completamento proiettivo di E3, la retta r è rappresentata - in coordinate omogenee rispetto ad R - dal sistema lineare omogeneo

ax1

Yo Y1 Y2 Y3

= 2,

si ha che:

ax1 + bx2 { a'x1 + b'x2

1T

Con le medesime notazioni, si prova facilmente anche come ottenere una rappresentazione cartesiana o parametrica di una retta (risp. di un piano) nel completamento proiettivo dello spazio euclideo tridimensionale, a partire da due (risp. tre) qualunque suoi punti distinti (risp. non allineati).

+ bx2 + cx3 + dxo = O.

+ bx2 + cx3 + dxo =O,

con (a,b,c) =/:- (0,0,0),

o

Viceversa, data una equazione lineare omogenea ax1

+ cx3 = O

rappresenta - in coordinate omogenee rispetto ad R - la retta impropria del piano di E3 di equazione ax + by + cz + d = O (o di ogni piano ad esso parallelo).

• Proposizione 12.3. Sia 7r un piano (proprio) di E 3 avente, rispetto al riferimento cartesiano R =(O, B), equazione cartesiana(*) ax +by+ cz + d =O, con (a, b, c) =/:(O, O, O) . Nel completamento proiettivo di E3 il piano 7r è rappresentato - in coordinate omogenee rispetto ad R - dalla equazione omogenea ax1

223

X

{!

= 2,

(

X~

Yo Y1 Y2 Y3

:~) = z2

Z3

2;

224

12.

+ Definizione

12.4. Data una conica C di &2 di equazione (*), si dice o proprio (o immagine propria) di C l'insieme Ip(C) dei punti del piano le cui coordinate - rispetto ad R - verificano una (e quindi tutte) le equazioni di C: 2 2 Ip(C) = {P =n (x, y) I aux + a22Y + 2a12xfJ + 2ao1x + 2ao2Y + aoo =O}.


+ µzo + µz1 ÀY2 + µz2 Ày3 + µz3 ÀYo ÀY1

(>..,µ)E IR 2 -{(0,0)}. D

E' importante osservare che - a differenza di quanto si potrebbe intuitivamente supporre - l'immagine propriaip(C) non è in generale sufficiente ad individuare la conica e : ad esempio, C1: x 2 +y 2 =-1 C2: x 2 +y 2 =-2 C3: 3x 2 +5y 2 =-1

Si noti che la retta r di cui alla Proposizione precedente è una retta impropria del completamento proiettivo dello spazio &3 se e solo se P e Q sono entrambi punti impropri di [3.

rappresentano, rispetto ad R, tre coniche diverse, ma ciascuna di esse ha immagine propria vuota: Ip(C1) = Ip(C2) = Ip(C3) = 0. Se si suppone di ampliare proiettivamente il piano euclideo &2, denotando con [x 0 , xi, x 2] una terna di coordinate cartesiane omogenee dei suoi punti (propri ed impropri) rispetto al riferimento cartesiano R, allora l'equazione (*) origina, in coordinate omogenee, la seguente equazione omogenea della conica C: (**) au(x1) 2+a22(x2) 2+2a12x1x2+2ao1xox1 +2ao2xox2+aoo(xo) 2 =O,

..,.. Osservazione 12.6. Le nozioni esposte in questo paragrafo chiariscono il significato del termine fascio improprio di piani di [ 3, usato per indicare l'insieme dei piani aventi per giacitura un fissato sottospazio vettoriale bidimensionale U di t;"""'3: esso è costituito da tutti e soli i piani di [ 3 che contengono la (comune) retta impropria di tutti i piani paralleli a U, così come il fascio proprio di piani di asse una data retta (propria) r di &3 denota l'insieme di tutti e soli i piani di &3 contenenti r. · Analogamente, la stella impropria di piani (risp. stella impropria di rette) di direzione un fissato vettore non nullo v di È3, essendo l'insieme dei piani (risp. delle rette) di &3 che sono paralleli alla direzione individuata dal vettore v, è costituito da tutti e soli i piani (risp. tutte e sole le rette) che contengono il punto improprio individuato dal vettore v, così come la stella propria di piani (risp. di rette) di centro C E [ 3 denota l'insieme di tutti e soli i piani (risp. tutte e sole le rette) di [ 3 contenenti il punto (proprio) C.

che si può scrivere sinteticamente nella forma 2

L

Sia &2 un piano euclideo, in cui è fissato un riferimento cartesiano R = (O, B).

aijXiXj =O.

i,j=O

+ Definizione 12.5. I

2. Le coniche del piano euclideo

+Definizione 12.3.

2.25

2. LE CONICHE DEL PIANO EUCLIDEO

ELEMENTI DI TEORIA DELLE CONICHE E DELLE QUADRICHE

Data una conica C di &2 di equazione omogenea (**), si dice o improprio (o immagine impropria) di C l'insieme I 00 (C) dei punti impropri dell'ampliamento proiettivo di & 2 le cui coordinate cartesiane omogenee - rispetto ad R - verificano una (e quindi tutte) le equazioni omogenee di C: Ioo(C) = {Poo =n [O, xi, x2] I au(x1) 2 + a22(x2) 2 + 2a12x1x2 =O}. Si dice poi o (o immagine) di C l'insieme I(C)

= Ip(C) u I

00

(C).

Considerata una generica equazione algebrica di secondo grado

nelle coordinate x e y: Nel seguito, con abuso di linguaggio e per semplicità di notazioni, identificheremo spesso la conica con il suo o. Definizione 12.6. Data una conica Cdi & 2 di equazione(*) (o di equazione omogenea(**)), si dice matrice associata a C (o discriminante di C) rispetto al riferimento cartesiano R la matrice simmetrica2

e

diremo che tale equazione rappresenta, rispetto al riferimento cartesiano R, una conica del piano euclideo & 2. Inoltre, diremo che due equazioni aux 2 + a 22 y 2 + 2a 12 xy+ +2ao1X + 2ao2Y + aoo = 0 e a~1X 2 + a~2Y 2 + 2a~2XY + 2ao1X + 2ao2Y + aoo = 0 rappresentano, rispetto ad R, la stessa conica di &2 se e soltanto se esiste À E JR- {O} tale che a~1 = À · % 'Vi,j E {O, 1, 2} . Si noti che, in base alla Definizione 12.3, ogni conica Cdi &2 è rappresentata - rispetto ad R - da infinite equazioni algebriche di secondo grado, tutte proporzionali tra di loro; usualmente, si dice che l'equazione di C rispetto ad R è definita a meno di un coefficiente di proporzionalità (non nullo).

+

2 Si noti che anche la matrice associata a C, come l'equazione e l'equazione omogenea,. risulta definita a meno di un coefficiente di proporzionalità non nullo.


12 . ELEMENTI DI TEORIA DELLE CONICHE E DELLE QUADRICHE

226

Tramite la matrice associata a C, è possibile scrivere in forma matriciale le equazioni (*) e (**) di C:

(>)

(«)

(! x y) A

( x,

G)

d

x, x,) · A · ( ~:)

~O

·' sm · t et.1cament e, (o, prn

t(u) ·A· (u) = O)·,

(o , più sinteticamente,

t(x) ·A· (x)

= O) .

Vediamo ora come cambia la matrice associata ad una conica (e quindi, anche la sua equazione e la sua equazione omogenea) al variare del sistema di riferimento fissato. • Proposizione 12. 7. Sia C una conica di E2 avente, rispetto al riferimento carte2 siano R, matrice associata A E S 3 (JR). Se R' è un altro riferimento cartesiano su [ ,

e

G'.) = (:~ :D. G) + G~),

con

E

=

(:~

:D

E 02(IR),

sono le equazioni del cambiamento di riferimento da R ad R', allora la conica C ha, rispetto ad R', matrice associata A' tale che

A

t.f;.A'

·E,

con

227

.,.. Osservazione 12.8. Se interpretiamo il discriminante A di una conica C, rispetto ad un riferimento cartesiano R, come la matrice (simmetrica) associata ad una forma quadratica q su lR.3 (si veda l'Appendice B), l'equazione omogenea di C ha come primo membro q(x) = t(x) ·A· (x), il valore che q assume su di un generico vettore 3 X= (xo,Xi,X2) di lR. . Un diverso discriminante di C, relativo ad R, dà evidentemente luogo ad una forma quadratica proporzionale a q. Se, invece, si considera un diverso riferimento R', come si è visto, il relativo discriminante di C è, a meno di proporzionalità, una matrice A' congruente ad A (si veda il§ 3 della Appendice B). Tali considerazioni inducono a ritenere che l'ambiente più opportuno per definire le coniche sia l'ampliamento proiettivo del piano euclideo e che, in tale contesto, una conica sia individuata da una classe di proporzionalità di forme quadratiche. Dalla Proposizione 12.7 si deduce la • Proposizione 12.8. Tutti i discriminanti di una stessa conica C hanno lo stesso rango. Dimostrazione. Se due matrici sono associate a C rispetto allo stesso riferimento cartesiano, allora sono proporzionali (e quindi hanno banalmente lo stesso rango). Se invece due matrici A e A' sono associate a C rispetto a differenti riferimenti cartesiani, allora per la Proposizione 12. 7 si ha A = t E· A' · E con E E G Ln (JR). L'affermazione segue allora osservando che, se F E GLn(IR), allora e(A · F) = e(F ·A)= e(A), per ogni matrice A E Mn(lR.) .

o Per rango e(C) di C si intenderà il rango di un suo qualsiasi discriminante. Dimostrazione. Sostituendo le equazioni del cambiamento di riferimento cartesiano da R ad. R', scritte come

ovvero

(u')

=E· (u),

Una conica C di E2 si dice non specializzata o non degenere se e( C) = 3. In caso contrario, si dice che C è una conica specializzata o degenere di E2 . Quindi, se A è un discriminante di C, si ha che C è degenere se e solo se det A= O.

.,.. Osservazione 12.9. Non è difficile verificare che noti sottoinsiemi del piano euclideo (in particolare: rette ed unioni di due rette) risultano essere il o di opportune coniche degeneri: • se r è una retta di [ 2 avente equazione omogenea ax 1+ bx 2+ cx 0 = O rispetto ad un fissato riferimento cartesiano R, allora

nella forma matriciale della equazione(*) di C rispetto ad R',

t(u'). A'· (u') =O, si ottiene l'equazione

t(u). t.E;. A'· E· (u) = O che, confrontata con la forma matriciale dell'equazione (*) t(u) . A. (u) = O, prova la tesi.

+Definizione 12. 7.

di C rispetto ad

o

.,.. Osservazione 12. 7. Con le notazioni della Proposizione 12.7, ricordando il teorema di Binet (J='.roposizione 3.15) , si ha det A = det A'. _I~fatti, d~lla ortogo nal~tà_ di E_ segue det E = det E = ± 1 e quindi det A = (det E) · det A = det A . Si ncord1 tuttavia che anche la matrice A' associata a C rispetto ad R' risulta definita a meno di un coefficiente di proporzionalità non nullo.

1

(ax1

R,

+ bx2 + cxo) 2 =O

è la equazione di una conica degenere Cdi E2 , il cui o I(C) è costituito da tutti e soli i punti della retta r (che si dice "contata due volte"); • se r ed s sono due rette distinte di E2 aventi rispettivamente equazioni omogenee a' x1 + b' x2 + c' xo = O e a" x 1 + b" x2 + c" xo = O rispetto al riferimento cartesiano R, allora (a'x1

+ b'x2 + c'xo) · (a"x1 + b"x2 + c"xo)

=O

è la equazione di una conica degenere Cdi [ 2 , il cui o I(C) è costituito da tutti e soli i punti delle rette r ed s.

228



In realtà (cbme già anticipato nella nota 3 di pag.195) tali sottoinsiemi, uniti ai singoli punti di E2 , esauriscono tutti i possibili i di una conica degenere del piano euclideo. È infatti possibile dimostrare che, se e è una conica degenere di [ 2 , allora è verificata una (ed una sola) delle seguenti affermazioni: • esiste una retta (propria o impropria) r di E2 tale che I(C) = r;

Ragionando in modo analogo a quanto fatto in (i), si ha che l'equazione(##) ammette due, una o zero soluzioni reali a seconda che = (a 12) 2 -a 11 ·a22 sia rispettivamente positivo, nullo o negativo. (iii) Infine, se il o di C contiene la retta propria (risp. impropria) r, allora i coefficienti aoo, ao1, a11 nell'equazione ( #) (risp. i coefficienti au, a 12, a 22 nell'equazione (##)) devono essere tutti nulli e dunque si ha det A = O.

-i

• esistono due rette distinte r ed s di [ 2 (di cui una eventualmente coincidente con la retta impropria), tali che I(C) = r U s; • esiste un punto (proprio o improprio) P E [ 2 tale che I(C) = {P}. Nel primo caso si ha e(C)

= 1,

mentre nel secondo e nel terzo caso si ha e(C)

o

+ Definizione 12.8.

= 2.

[

Le coniche si suddividono innanzitutto in reali, se I(C) =f. 0, o vuote (o immaginarie), se I(C) = 0. Si osservi che una conica degenere è sempre reale. Detto A un discriminante di C, si noti che C è reale se e solo se la matrice A è non definita (Definizione B .4); quindi, per distinguere le coniche reali da quelle immaginarie si può utilizzare il Criterio di Sylvester (Proposizione B.9). In alternativa, si può attendere la Proposizione 12.18.

(#) Poichè r non è contenuta in C, l'equazione ( #) non può essere identicamente soddisfatta (cioè i coefficienti a 00 , a 01 , a 11 non possono essere tutti nulli): dunque, supponendo di ricavare una incognita in funzione dell'altra, l'equazione ( #) ammette due, una o = (a01 ) 2 - aoo · a 11 sia rispettivamente positivo, zero soluzioni reali a seconda che nullo o negativo. (ii) Se r è la retta impropria r 00 di equazione omogenea xo = O rispetto a un qualunque riferimento cartesiano R, ed A è un discriminante di C rispetto ad R, allora i punti di intersezione di roo con hanno coordinate cartesiane omogenee [O,x1,x2] che verificano l'equazione di secondo grado:

-i

Si dice che: (a) r è tangente a e se l'intersezione di r con e è costituita da un solo punto oppure se r è contenuta nel o di C; (b) r è secante e se l'intersezione dir con e è costituita da due punti distinti; (c) r è esterna a e se l'intersezione dir con e è vuota.

Una conica non degenere Cdi E2 si dice: (a) parabola Se roo è tangente a C, OVVerO Se il o improprio di C Si riduce ad un solo punto (improprio); (b) iperbole Se r 00 è secante C, ovvero Se il o improprio di C è costituito da due punti (impropri) distinti; (c) ellisse Se r 00 è esterna a C, ovvero Se il o improprio di C è VUOto. 3

(

Dimostrazione. (i) Se r è una retta propria, si può supporre che r sia l'asse x di un riferimento cartesiano R, ovvero la retta di equazione omogenea x2 = O. Se A è un discriminante di C rispetto ad R, allora i punti di intersezione di r con C hanno coordinate cartesiane omogenee [x 0 , xi, O] che verificano l'equazione di secondo grado:

.

Sia C una conica di E2 ed r una retta (propria o impropria) di

+ Definizione 12.9.

•Proposizione 12.9. Se C è una conica di [ 2 ed r è una retta (propria o impropria) di [ 2 non contenuta nel o di e, allora l'intersezione dir con e è costituita da uno dei seguenti sottoinsiemi di [ 2 :

Inoltre, se C è non degenere, allora il o di C non contiene rette.

2

Ricordando che (il o di) una conica non degenere non contiene rette (Proposizione 12.9), si ottiene la seguente classificazione delle coniche non degeneri di [ 2 .

Una diversa classificazione delle coniche non degeneri si effettua esaminandone l'intersezione con la retta impropria r 00 di [ 2 .

- due punti distinti; - un solo punto; - l'insieme vuoto.

229

La seguente proposizione fornisce le semplici condizioni algebriche su Aoo (il complemento algebrico dell'elemento aoo nella matrice A) per distinguere parabole, iperboli ed ellissi. •Proposizione 12.10. Sia Cuna conica non degenere di t: 2 e sia A (con det A un suo discriminante rispetto al riferimento cartesiano R. Allora, si ha che: (a) C è una parabola se e soltanto se Aoo =O; (b) C è una iperbole se e soltanto se A 00 < O; (c) C è una ellisse se e soltanto se A 00 > O.

=f. O)

Dimostrazione. Ricordando il punto (ii) della dimostrazione della Proposizione 12.9, = (a 12 ) 2 - a 11 · a 22 si ha che r 00 è tangente, secante o esterna a C · a seconda che sia rispettivamente nullo, positivo o negativo. La tesi segue quindi immediatamente, osservando che

-i

ai21A a22 -

00·

o

e

(##)

3Si noti che le parabole e le iperboli sono sempre coniche reali, avendo I (C) 00 ellissi possono essere reali o immaginarie.

=I 0,

mentre le

12.

230

equazione ax 1 + bx2 + cxo = O coincide con la retta di equazione (%) se e solo se la terna (yo, Y1, Y2) soddisfa la condizione

Esempio 12.1. Consideriamo, nel piano euclideo E 2, dotato di un riferimento cartesiano R, le coniche aventi le seguenti equazioni: C1 : 3x 2 + 8xy - 3y 2 + 2 = O C2 : x 2 - 2xy + 3y 2 + lOx + 7 = O C3 : x 2 + 4xy + 4y 2 - 2y + 2 = O C4 : x 2 + xy - 2y 2 - x + y = O

A

A,~ (H -3~);

+ Definizione 12.10.

Sia Cuna conica non degenere di [ 2, avente A come matrice associata rispetto al riferimento cartesiano R. Se P =n [yo, Y1, Y2] è un punto (proprio od improprio) di E2, si dice retta polare 1f p di P rispetto alla conica la retta (propria o impropria) di equazione omogenea

In particolare, essendo

~}

(xo

poichè det A2 = -61 i- O, la conica C2 è non degenere. In particolare, essendo Aoo = 2 > O, la conica C2 risulta essere una ellisse. Un discriminante di C3, rispetto ad R, è

A3 =

(~-1 2~

-1) 2

4

poichè det A4

=

cl

=

O,

x,

O, la conica C4 è una conica degenere.

x,) ·k

(E) ~

(

Esempio 12.2. Rispetto alla conica C1 considerata nell'Esempio 12.1, la retta polare del punto P =n [1 , O, 1] ha , rispetto ad R, equazione omogenea :

~1 -4~);

.,. Osservazione 12.10. Si ricordi che, se A E GL 3(JR), il sistema lineare normale A· (y) = (O) ammette come soluzione solo la terna nulla. Pertanto, se C è una conica non degenere di E2, A è un suo discriminante rispetto ad R e P =n [yo, Y1, Y2] è un punto (proprio od improprio) di [ 2, l'uguaglianza

(3) (xo

Per l'Osservazione 12.10, l'applicazione 1f che a P associa 1fp è una biiezione tra i punti del completamento proiettivo P 2 del piano euclideo e le sue rette. In altri termini, per ogni retta r (propria od impropria) di [ 2 , esiste uno ed un solo punto P (proprio od improprio), la cui retta polare sia r. Tale punto è detto polo di r. Si osservi che P E 1fp se e solo se P E I(C) .

. '

poichè det A 3 = -1 i- O, la conica C3 è non degenere. In particolare, essendo Aoo la conica C3 risulta essere una parabola. Un discriminante di C4 , rispetto ad R, è

A,~

con p # O

p

L'Osservazione 12.10 consente di dare la seguente

poichè det A1 = -50 i- O, la conica C1 è non degenere. Aoo = -25 < O, la conica C1 risulta essere una iperbole. Un discriminante di C2, rispetto ad R, è 5 1

(E) G) ,

Tale condizione, fissato p i- O, costituisce un sistema lineare normale e ammette dunque una ed una sola soluzione (non nulla); inoltre, al variare di pi- O, si ottengono come soluzioni terne proporzionali.

Un discriminante di C1, rispetto ad R, è

-1

231



(aooYo+a.,y, +a,,y,) ·xo+(amYo+any, +a,,y,)-x, +

+(ao2Yo + a12Y1 + a22Y2) · x2 = O costituisce un'equazione lineare omogenea in cui i coefficienti delle incognite xo, X1, x2 non sono tutti nulli e rappresenta quindi una retta di E2. Inoltre, la generica retta di

2

x2) ·

(

o

O 3

o

4

cioè 2xo + 4x 1 - 3x2 = O. Se r è la retta avente, rispetto ad R, equazione omogenea 4x 0 + x 1 - 7x 2 = O, le coordinate omogenee del suo polo Q, rispetto alla conica C1, possono essere ottenute mediante il procedimento descritto nell'Osservazione 12.10. Posto infatti A1 ·

(~~) (~ 4~ -3~ (~~) Y2 Y2 =

)

·

= p (

O

~

) , - 7

e scegliendo, come valore non nullo di p, p = 1, si ottiene come soluzione del sistema lineare normale (usando ad esempio le formule di Leibniz-Cramer):

Yo

=

4 1 -7

o o

3 4 4 -3 -100 --50 - --2 detA1

12.

232

2

Yi

=

o o 2

o o

o

4 1

o

Nel primo caso, 1fp interseca I(C) esattamente nei punti di contatto tra la conica e le due rette tangenti alla conica anti per P (si veda la Figura 12.1) .

4

-7 -3 det A1

233



=~=

-1

-50

4

3 1 4 -7 = -50 Y2 = detA1 -50 Il polo dir è dunque il punto Q =n [2, -1, l] .

=

p

1.

I(C) 1tp

• Proposizione 12.11. Sia C una conica non degenere del piano euclideo, e siano P, Q due punti di &2 . Si ha che: • Q E 7fp se e solo se P E 1fQ· (Legge di reciprocità) • Se P è un punto del o I(C), allora la retta polare 1fp di P rispetto a e è l'unica retta tangente alla conica in p.

Figura 12.1 Infatti, se Q E 7fp n I(C), per la Legge di reciprocità si ha che P E 1fQ, che - per la Proposizione 12.11 - è la retta tangente in Q alla conica; ciò prova che la retta ante per P e Q è tangente alla conica. D'altra parte, se r è una retta ante per P e tangente alla conica in un punto Q E I(C), allora r è la retta polare di Q; per la Legge di reciprocità segue quindi che Q appartiene alla retta 7fp polare di P.

Dimostrazione. Se P =n [y0 , y 1, y2] e Q =n [zo, z1, z2], allora si ha che:

(Q

E 7rp <=:? t(z) ·A· (y)

= O)

e

(P E

1fQ

<=:?

t(y) · A· (z)

= O).

La Legge di reciprocità segue quindi dalla simmetria della matrice A. Supponiamo ora che P E I(C); la retta r per P e per un secondo punto Q =f. P risulta tangente alla conica in P se e solo se P è l'unico punto di intersezione trar e I(C). Se P =n [y0 , yi, y2] e Q =n [z0 , z 1, z2], allora tutti e soli i punti della retta r hanno, rispetto ad R, coordinate cartesiane omogenee [Àyo+µzo, Ày1 +µz1, Ày2+µz2], al variare dei parametri reali (non entrambi nulli) À, µ (Proposizione 12.2); i punti di intersezione tra r e I(C) corrispondono dunque alle soluzioni della equazione di secondo grado t(Ày + µz) ·A· (Ày + µz) = O, che equivale a À2

+ 2Àµ t(z) ·A· (y) + µ 2 t(z) ·A· (z) =

O. 2 La ipotesi P E I(C) assicura che il coefficiente di À è sempre nullo; quindi, la equazione ammette una sola soluzione (corrispondente alla coppia (À, µ) = (1, O), ovvero al punto di tangenza P) se e soltanto se anche il coefficiente di Àµ si annulla. Ciò implica che r è tangente alla conica se e soltanto se t(y) ·A· (y)

/

Esempio 12.3. Come visto nell'Esempio 12.2 la retta polare 1fp del punto P =n [1, O, 1] rispetto alla conica C1 considerata nell'Esempio 12.1 ha, relativamente ad R, equazione omogenea 2xo + 4x1 - 3x 2 = O, mentre la retta polare 1fQ del punto Q =n [2, -1, 1] ha, relativamente ad R, equazione omogenea 4x 0 + x 1 - 7x 2 = O. Si noti che si ha P tJ. 1fp, mentre Q E 1fQ; infatti, P tJ. I(C1), mentre Q E I(C1) {in accordo con la Proposizione 12.11). Si verifichi che la retta polare di un punto arbitrario di 1fp (risp. di 1fQ) a per P (risp. per Q).

t(z) ·A· (y) = O,

cioè se e soltanto se il punto Q appartiene alla polare

1fp

di P.

o

.,.. Osservazione 12.11. Si noti che, se P non appartiene al o I(C), allora la retta polare 1fp di p rispetto a può essere o secante o esterna a (se 1fp fosse tangente a C ip. un punto P, per la Proposizione 12.11 sarebbe anche la retta polare di P, che è assurdo essendo 7f una biiezione).

e

e

+Definizione 12.11.

Sia Cuna conica non degenere di &2. Si dice diametro di C ogni retta propria che sia retta polare di un punto improprio di & 2. Si dice centro di C il polo C ·della retta impropria r 00 • Come ovvia conseguenza della Proposizione 12.11 (Legge di reciprocità), si ha che tutti i diametri contengono il centro di e e costituiscono un fascio (proprio o improprio) di rette. • Proposizione 12.12. Sia C_una conica non degenere di &2 avente, rispetto al riferimento cartesiano R = (O, B), discriminante A E S 3 (1R). Allora:

C =n [Aoo, Ao1, Ao2]

=

[lau a12

a121,-1ao1 a12 1 1ao1 a22 ao2 · a22 ' ao2

234

12.


Dimostrazione. Basta verificare che la retta polare del punto C =n [Aoo, Ao1, Ao2] coincide con la retta impropria. Per definizione di retta polare, la equazione omogenea di 7rC si ottiene da: 7rC:

(xo

xi

x2 ) ·A·

(~~~) Ao2

=

O;

sviluppando il prodotto tra la matrice A e la matrice colonna delle coordinate d~ C, ed utilizzando il Teorema di Laplace generalizzato (Osservazione 3.5), tale equaz10ne diventa: 7rc : (detA)· xo=O. Poichè si è supposto C non degenere, sicuramente si ha det A =j=. O; pertanto, 7rC 2 coincide effettivamente con la retta impropria di [ .

o

Si osservi che, come conseguenza delle Proposizioni 12.10 e 12.12, si ha che: • se e è una parabola, il suo centro è il punto improprio individuato dalla direzione del vettore v


Si noti che, per la Definizione 12.9, le uniche coniche di [ 2 che ammettono asintoti sono le iperboli: infatti, il o improprio delle ellissi è vuoto, mentre l'unico punto improprio delle parabole (che coincide con il centro) ammette come retta tangente la retta impropria. Ogni iperbole ammette due asintoti, che si ottengono facilmente come rette polari dei due punti impropri dell'iperbole. D'altra parte, gli asintoti di una iperbole sono particolari diametri (perchè rette polari di punti impropri), e perciò contengono il centro della iperbole; pertanto, noto il centro Cedi punti impropri P00 e Q 00 dell'iperbole, gli asintoti coincidono con le rette 00 e CQ 00 •

t

Definizione 12.13. Si dice iperbole equilatera una iperbole del piano euclideo [ 2 avente per asintoti due rette ortogonali. Non è difficile verificare, ricavando direttamente dalla equazione omogenea le coordinate dei punti impropri ed imponendo la condizione di ortogonalità tra le direzioni da essi individuate, che le iperboli equilatere sono caratterizzate da una semplice condizione algebrica su qualunque matrice ad esse associata: • Proposizione 12.13. Sia C una iperbole di E2 avente, rispetto al riferimento cartesiano R, matrice associata A E S3 (JR) . L'iperbole C è equilatera se e soltanto se

=s (Ao1, Ao2),

ed i suoi diametri sono tutti paralleli a v; • se C è una iperbole o una ellisse, il suo centro è il punto proprio di coordinate cartesiane C =n (Ao1, Ao2).

Aoo Aoo

au

C2 =n ( - 125 ' -

o

3xf - 3x~ { Xo = Q

+ 8x1x2

=O

per cui i punti impropri di C1 sono P00 =n [O , -3, 1] e Q 00 =n [O , 1, 3]. Poichè il centro C di C1 coincide con l'origine del riferimento 'R, gli asintoti sono le due rette 00 , di equazione x + 3y =O, e CQ 00 , di equazione 3x-y =O. Si verifichi che esse coincidono con le polari 7r p e 7rQ rispettivamente. Si noti inoltre che i due asintoti di C1 risultano tra loro ortogonali : la equazione della iperbole C1 verifica infatti la condizione della Proposizione 12.13, che caratterizza le iperboli equilatere. 00

00

~) .

Nel caso della parabola C3 considerata nell'Esempio 12.1, il centro risulta aver~ co~rdinate omogenee c3 =n [O , 2, -1], cioè è il punto improprio individuato dalla d1rez1one del vettore V

+ a22 =O.

Esempio 12.5. Nel caso della iperbole C1 considerata nell'Esempio 12.1, il o improprio ha equazione

Le coniche aventi centro proprio (cioè le iperboli e le ellissi) sono usualmente dette coniche a centro. Esempio 12.4. Nel caso dell'iperbole C1 considerata nell'Esempio 12.1.' il ~entro ~isul ta avere coordinate omogenee C 1 =n [-25 , O, O], cioè è il punto proprio d1 coordinate cartesiane C1 =n (O, O) (origine del riferimento 'R) Nel caso dell'ellisse C2 considerata nell'Esempio 12.1, il centro risulta avere coordinate omogenee C2 =n [2, -15, -5], cioè è il punto proprio di coordinate cartesiane

235

=s (2, -1) .

Definizione 12.14. Sia C una conica non degenere di E 2. Si dice asse di C ogni diametro 7rp di C che sia ort ogonale alla direzione individuata dal suo polo P00 • Si dice vertice di C ogni punto di intersezione del o proprio Ip(C) con un asse di C.

t

00

Si noti che gli assi di C, essendo particolari diametri, contengono sempre il centro di C.

t Definizione 12.12. Sia C.una conica non degenere di [ 2 . Si dice asintoto di C ogni retta propria tangente a

e in un suo punto improprio.

La seguente proposizione fornisce il metodo operativo per trovare gli assi (e quindi i vertici) di una conica.

, 236


• Proposizione 12.14. Sia C una conica non degenere di [ 2 riferimento cartesiano R, matrice associata A E S3(JR.); sia M 00 mentare dell'elemento aoo in A. Gli assi di C sono le rette polari 2 di [ individuati dalle direzioni degli autovettori di M 00 , relativi nulli.

avente, rispetto al il minore compledei punti impropri ad autovalori non

In altre parole, la Proposizione 12.14 afferma che un punto P 00 =n [O, l, m] è polo di un asse di C se e soltanto se esiste >. E JR. - {O} tale che

(+)

Moo ·

(~)

>. · (~)

.

Si noti che, poichè Moo E S2(1R.), essa ammette sempre due autovalori, eventualmente coincidenti, con somma delle molteplicità geometriche uguale a due (Teorema 7.14). Dimostrazione. In base alla Definizione 12.10, la retta polare di un generico punto improprio Poo =n [O, l, m] del piano euclideo E2 ha, relativamente ad R, equazione (ao1l + ao2m) · xo + (aul + a12m) · x1 +(ad+ a22m) · x2

=

O


237

di C. Inoltre, poichè il punto improprio Q00 di 7rp1 00 individua la direzione ortogonale a P 100 , la sua retta polare 7rq 00 , per la legge di reciprocità, contiene P 100 . Dunque, 7rq 00 (che è una retta propria in quanto polare di un punto improprio rispetto ad una conica a centro) ha direzione ortogonale al suo polo Q 00 e coincide quindi con l'altro asse 7rp200 di C : ciò prova che i due assi sono tra loro ortogonali. Se invece M 00 ha un solo autovalore (non nullo) di molteplicità due, allora gli autovettori di M 00 ad esso associati individuano tutti i punti impropri di [ 2 ; tutti i diametri risultano quindi essere assi di e. In ogni caso, gli assi si intersecano ovviamente nel centro della conica, perchè il centro appartiene ad ogni diametro (e quindi, ad ogni asse) di e. • Nel caso che C sia una parabola, la matrice Moo (avendo det Moo = O) ammette sicuramente l'autovalore nullo, con molteplicità uno (perchè, se tale molteplicità fosse due, la matrice A non potrebbe essere regolare); esiste pertanto un unico autovalore 5. non nullo, e il punto improprio P 00 , individuato dagli autovettori di Moo, tutti tra loro proporzionali, relativi a 5., determina l'unico asse 7rp di C. Infine, poichè l'asse 7rp è una retta propria contenente il centro (improprio) della parabola C, esso non può essere tangente a C; pertanto, l'asse interseca il o I(C) in un ulteriore punto proprio V, che risulta essere l'unico vertice della parabola. 00

00

e pertanto i coefficienti direttori di una retta ortogonale ad essa sono proporzionali a (aul + a12m, a12l + a22m). Quindi, la direzione individuata da P 00 è ortogonale a 7rp se e soltanto se esiste >. E JR. - {O} tale che

o

00

(aul + a12m, a12l + a22m)

= >. · (l, m),

ovvero se e solo se vale la condizione ( +).

o Dalla Legge di reciprocità segue facilmente che la retta tangente ad una conica C in un suo vertice V è ortogonale all'asse contenente V: infatti, detto 7rp l'asse contenente V, la Legge di reciprocità (Proposizione 12.11) assicura che P00 E 7rv, e quindi che la polare di V (ovvero la tangente in V a C) ha la direzione ortogonale all'asse (che è individuata, per definizione di asse, dal suo polo P 00 ). Come conseguenza delle Proposizioni 12.10 e 12.14, si ottiene poi il seguente risultato, relativo alla esistenza di assi per i vari tipi di coniche non degeneri. 00

•Proposizione 12.15. Sia C una conica non degenere di t: 2. • Se C è una conica a centro, esistono sempre (almeno 4 } due assi di C, tra loro ortogonali, che si intersecano nel centro di e; • se C è una parabola, essa ammette un solo asse ed un solo vertice.

Esempio 12.6. Nel caso della iperbole C1 considerata nell'Esempio 12.1, gli autovalori della matrice M 00 sono >. 1 = 5 e >. 2 = -5, che si ottengono risolvendo la equazione caratteristica det ( t

Gli autovettori relativi all'autovalore

= t

2 -

25

= O.

>. 1 sono i· vettori (l, m) tali che l - 2m =O;

owero

gli autovettori relativi all'autovalore >. 2 sono invece i vettori (l, m) tali che

(=~ =~). (~)

(~) '

2l + m =O.

owero

I poli degli assi di C1 sono dunque i punti impropri P 100 =n [O, 2, 1] e gli assi di C1 sono allora le rette 7rp100 e 7r p 200 di equazione: 7r p 100

Dimostrazione. Per la Proposizione 12.14, ogni classe di proporzionalità di autovettori della matrice Moo E §2(JR.), relativi ad un autovalore non nullo, individua un asse della conica C. • Nel caso che C sia una conica a centro, la matrice M 00 non può ammettere l'autovalore nullo (essendo det M 00 :/:-O). Se Moo ha una coppia di autovalori distinti (non nulli), allora esistono esattamente due punti impropri P1 00 e P2 00 le cui rette polari 7rp100 e 7rp2 00 sono gli unici due assi

-=} t ~43 )

:

2x + y

=0

7rp200

:

X -

2y

P2 00

=n [O, 1, -2];

= 0.

Esempio 12. 7. Nel caso della ellisse C2 considerata nell'Esempio 12.1, gli autovalori della matrice M 00 sono >.1 = 2 + J2 e >. 2 = 2 - J2, che si ottengono risolvendo la equazione caratteristica det

(t ~

1


1 )

t-3

=

t 2 - 4t

+ 2 = o.

>. 1 sono i vettori (l, m) tali che

4

L'unica conica non vuota che ammette più di due assi è la circonferenza, per la quale tutti i dia metri risultano essere assi: si veda anche la successiva Proposizione 12.19.

owero

(J2+1)l+m =O;

12.

238


gli autovettori relativi all'autovalore

>. 2

sono invece i vettori (l, m) tali che ovvero

(-h+l)l+m =O.

I poli degli assi di C2 sono dunque i punti impropri P 100 =n [O, 1 - J2, 1] e P 200 =n [O, 1+J2,1]; gli assi di C2 sono allora le rette 7rp1 00 e 7rp2 00 di equazione: 7rP1 00

:

-V2x+(2+V2)y+5-5J2 =O

7rp200

:

V2x+(2-J2)y+5+5V2 =O.

Esempio 12.8. Nel caso della parabola C3 considerata nell'Esempio 12.1, l'unico autovalore non nullo della matrice M 00 è >. = 5, essendo

det (t _=-21

t -=_24) = t2 - 5t.

Gli autovettori relativi a tale autovalore>. sono i vettori

(l, m) tali che

ovvero

2l - m =O.

11 polo dell'(unico) asse di C3 è dunque il punto improprio P00 =n [O , 1, 2]; l'asse di C3 è allora la retta 7rp00 di equazione: 7rp00

5x+l0y-2 = 0.

Si noti che, in alternativa, la direzione del punto improprio P00 può essere determinata come la .direzione ortogonale al centro (improprio) C3 = n [0 ,2,-1] della parabola C3 : infatti, l'asse di C3 , essendo un particolare diametro, risulta necessariamente parallelo alla direzione individuata dal centro.

3. RIDUZIONE A FORMA CANONICA DELLE CONICHE

(ii) Se C è una parabola, sia R il riferimento cartesiano avente origine (J coincidente con il vertice V di C, ass e Y coincidente con l'asse di C ed asse X coincidente con la tangente in V a C. Allora, la matrice associata a C rispetto ad R risulta di tipo "anti-diagonale" . Dimostrazione. Sia A= (aij) E S3(!R.) il discriminante di e rispetto ad R . (i) Se C è una conica a centro, l'asse X (avente equazione x 2 = O rispetto ad R) è un asse della conica e quindi deve coincidere con la retta polare della sua direzione ortogonale P~ =n [O, O, 1] (avente equazione iio2Xo + a 12x 1 + a 22 x 2 = O rispetto ad R); pertanto si ha ao2 = a 12 = O. Analogamente, l'asse Y (avente equazione x 1 =O rispetto ad R) deve coincidere con la retta polare della sua direzione ortogonale P~ =n [O, 1, O] (avente equazione ao1Xo + aux1 + ii12x2 =O rispetto ad R) ; pertanto si ha ao 1 = a 12 =O. Dunque la matrice A è di tipo diagonale. (ii) Se e è una parabola, l'asse X (avente equazione X2 =o rispetto ad R) deve coincidere con la polare del vertice V =n [1 , O, O] (avente equazione a00 x 0 +a01 x 1 +a 02 x 2 = O rispetto ad R); pertanto si ha iioo = ao 1 = O. L'asse Y (avente equazione x 1 = O rispetto ad R) coincide con l'unico asse della parabola, cioè con la retta polare della sua direzione ortogonale P~ =n [O, 1, O] (avente equazione ao 1 x 0 + a 11 x 1 + a 12 x 2 = O rispetto ad R); si ha quindi ao 1 = a 12 = O. Infine, poichè il centro C00 =n [Aoo , Ao1, Ao2] della parabola è il punto improprio dell'asse X (avente coordinat e omogenee [0,0,l] rispetto ad R), si ha Aoo = au · a22 = O, con Ao2 = -a 11 · a 02 I= O, da cui segue ii22 =O.

o La proposizione seguente fornisce il metodo operativo per ottenere, a partire da una qualunque matrice associata alla conica non degenere C, una matrice di tipo diagonale o "anti-diagonale" associata a e.

• Proposizione 12.17. Sia C una conica non degenere di [ discriminante, rispetto al riferimento cartesiano R. 3. Riduzione a forma canonica delle coniche Nel presente paragrafo, C denoterà sempre una conica del piano euclideo E2 , dotato di un fissato riferimento cartesiano R = (O, B) . Le proprietà del centro, degli assi e dei vertici, ottenute nel paragrafo precedente, permettono, nei vari tipi di coniche non degeneri, di potere scegliere sempre un riferimento cartesiano rispetto al quale l'equazione della conica risulta particolarmente semplice. Infatti, la proposizione seguente afferma che, fissato opportunamente il riferimento, la matrice associata è o di tipo diagonale o di tipo "anti-diagonale" (ovvero, i suoi unici elementi non nulli appartengono alla diagonale secondaria) .

•Proposizione 12.16. Sia C una conica non degenere di E2 .

(i) Se C è una conica a centro, sia R il riferimento cartesiano avente origine

O coincidente con il centro di C, ed assi coordinati X e Y coincidenti con una coppia di assi, tra loro ortogonali, di C. Allora, la matrice associata a ad R risulta di tipo diagonale.

e rispetto

239

2

e sia A un suo

(i) Se C è una conica a centro, allora una matrice di tipo diagonale associata a

eè

JR. sono i due autovalori (eventualmente coincidenti) del minore E JR. - {O} si ricava imponendo det D = det A. (ii) Se C è una parabola, allora una matrice di tipo "anti-diagonale" associata a eè dove

Ài, À2 E

Moo di A ed

D'

=

(~d'

o À

o

~)

dove À E JR. è l'unico autovalore non nullo del minore M 00 di A ed' E IR.-{O} si ricava imponendo det D' = det A. Dimostrazione. In virtù della Proposizione 12.7, il discriminante A di C rispetto al riferimento R individuato nella Proposizione 12.16 (di tipo diagonale nel caso (i) , di

240


Si noti che, nel caso della ellisse, il segno di d coincide con il segno di det A (infatti, per la Proposizione 12.17(i), si ha det A= d · >.1 · >.2 = d · Aoo); quindi, una conica C è una ellisse (risp. una ellisse vuota) se e soltanto se, in qualunque matrice A associata a C, il minore M 00 ammette due autovalori, entrambi di segno discorde (risp . concorde} con det A. In realtà, esiste un criterio alternativo per riconoscere le coniche a o vuoto, anche senza determinare gli autovalori del minore Moo :

tipo "anti-diagonale" nel caso (ii)) è tale che

o d ei

con

e~)

ed E

e2 2

d ( ei

e, per l'Osservazione 12.7, si ha: det A = det A. D'altra parte, se M 00 (risp. M00 ) denota il minore complementare dell'elemento a 00 (risp. lioo) in A (risp. in A), si ha:

Moo = t E· Moo ·E, 1

Essendo t E = E- , ne consegue che M00 e M 00 sono simili, ovvero che Moo contiene, sulla sua diagonale principale, esattamente gli autovalori di M 00 . D

Nel caso della parabola, l'equazione indotta dalla matrice "antidiagonale" D' risulta 2 >.X + 2d'Y =O. Pertanto, moltiplicando per (-2d')- 1 e cambiando eventualmente orientazione all'asse Y del riferimento ft, la equazione di C rispetto ad R assume la forma della equazione (3) del§ 4 del Capitolo 10 (equazione canonica della parabola, intesa come particolare luogo geometrico del piano): Y

= ~x2 2p

'

p = /-

dove

~ I·

Nel caso delle coniche a centro, l'equazione di C rispetto ad R assume la forma di una delle equazioni canoniche delle coniche, viste nel § 4 del Capitolo 10. Infatti, moltiplicando per (-d)- 1 , la equazione indotta dalla matrice diagonale D risulta

~ -d

. x2

241


+ ~ . y2 = l.

• Proposizione 12.18. Una conica C di [ 2 ha o vuoto se e solo se, in qualunque matrice A associata a C, si ha Aoo > O e a22 · det A > O (o, equivalentemente, an · det A> O}. Dimostrazione. 5 È sufficiente provare che le condizioni scritte sono equivalenti a richiedere che >. 1 , >. 2 (autovalori del minore M 00 ) siano entrambi di segno concorde con det A. In effetti, essendo >.1 ·À2 = det Moo = Aoo, À1 e À2 sono concordi se e solo se >. 1 · >. 2 = Aoo >O (cioè C è un'ellisse) e, in tal caso, da Aoo = an · a22 - (a12) 2 > O segue che anche an e a22 sono concordi. Da au + 1122 = À1 + À2 (uguaglianza delle tracce di due matrici simili: si veda la Proposizione 7.9), si deduce perciò che, nél caso in cui C sia una ellisse, au, a22, À1 e À2 sono tutti concordi. La tesi risulta così provata. D

Si noti poi che la equazione canonica di una conica C ha i coefficienti di X 2 e di Y 2 coincidenti se e solo se, in qualunque matrice A associata a C, il minore Moo ammette due autovalori coincidenti; ciò permette di ottenere la seguente caratterizzazione delle circonferenze all'interno delle coniche del piano euclideo: • Proposizione 12.19. Una conica C di [ una qualunque matrice associata A, si ha '

Moo = ( ~

-d

~) ,

2

è una circonferenza se e soltanto se, in

>. · det A < O.

con

Allora:

D

• se À1 e À2 hanno segno opposto, la conica è una iperbole (essendo >. 1 · À2 = Aoo < O) e, scambiando eventualmente tra loro l'asse X e l'asse Y, la equazione assume la forma della equazione (2) del § 4 del Capitolo 10 (equazione canonica della iperbole, intesa come particolare luogo geometrico del piano): x2

y2

~

-l? =

D

1;

• se >. 1 e >. 2 sono entrambi di segno concorde (risp. discorde) con -d , allora la conica è una ellisse (essendo >. 1 · À2 = Aoo > O) e l'equazione assume la forma della equazione (1) (risp. (1')) del § 4 del Capitolo 10 (equazione canonica della ellisse (risp. della ellisse vuota), intesa come particolare luogo geometrico del piano): x2

~

y2

+ b2=1

x2

Esempio 12.9. In base alla Proposizione 12.17 (caso {i)), una matrice di tipo diagonale associata alla iperbole C1 considerata nell'Esempio 12.1 è

(risp. ~

y2

+ b2

= -1),

ove, scambiando eventualmente tra loro l'asse X e l'asse Y, si ha a 2: b.

~ (~ ~5

n,

con det D = -25d = det A= -50, da cui segue d = 2. Allora, una equazione canonica di C1 è -5X 2

+ 5Y 2 + 2 =

x2

O,

owero

- 25

y2 -

2

= l.

5

5Si noti che, in alternativa alla dimostrazione diretta qui presentata, la Proposizione 12.18 può essere dedotta immediatamente dal Criterio di Sylvester (Teorema B.9, con relativa nota), nel caso particolare n = 3.

242


~sempio 12.10. In base alla Proposizione 12.17 (caso (ii)), una matrice di tipo antidragonale associata alla parabola C3 considerata nell'Esempio 12.1 è

D' con det D' = -5d' canonica di C3 è

2

det A

o

)

D

- )s.

owero

y

=

Allora, una equazione

svs x2 2 .

• Proposizione 12.20. Sia C una conica non degenere di E 2 . Allora ogni asse di C è asse di simmetria6 per il o proprio Ip(C) . ' Inoltre:

e

e

e

e

• se è una conica a centro, il centro è centro di simmetria per il o proprio Ip(C); • se è una ellisse reale, ogni asse di contiene due vertici, e i fuochi di appartengono all'asse in cui la distanza tra i vertici è maggiore (detto asse maggiore o asse focale); • se C è una iperbole, un asse di C (detto asse trasverso o asse focale) contiene due vertici, mentre l'altro asse (detto asse non trasverso) non intersecaI(C)· i fuochi di appartengono all'asse trasverso. )

e

e

D

È eviden~e poi che, per quanto già visto nel§ 4 del Capitolo 10, le equazioni canoniche delle comche non degeneri permettono di ricavare facilmente le coordinate dei fuochi e, ~e! caso della parabola, la equazione della direttrice o. • Proposizione 12.21. Sia C una conica non degenere di E 2 e sia cartesiano in cui C assume equazione canonica. Allora:

e è una parabola di equazione canonica y = 2_ X2 2p ) F

=n (O,~),

o:

R

il riferimento

con p > O, si ha:

6

Il procedimento si svolge nei seguenti i, a partire dalla equazione della conica non degenere C rispetto al riferimento cartesiano R: 1) Se C è una conica a centro (risp. una parabola), si determinino, rispetto ad R , le coordinate del centro C (risp. del vertice V) e l'equazione dell'asse focale (risp. dell'asse) f di C; 2) si det ermini l'equazione canonica di C e si calcoli la distanza c = d(C, F 2 ) (risp. ~ = d(V, F)); 3) si scriva, rispetto ad R , l'equazione della circonferenza di centro C (risp. V) e raggio c (risp. ~), e si determinino le sue intersezioni H 1 ed H2 c;on l'asse f. A questo punto:

• Se C è una conica a centro, H 1 ed H2 sono esattamente i due fuo chi di C. • Se C è una parabola, i due punti H 1 ed H 2 sono uno il fuoco F di C, e l'altro l'intersezione H tra l'asse f e la direttrice di C : per distinguerli, basta osservare che la retta ortogonale ,a f ant e per F (risp. per H) ha due intersezioni distinte con I(C) (risp. non interseca I(C)).

o

Si noti infine che, nel caso delle iperboli equilatere, esiste una ulteriore scelta del sistema di riferimento, che porta ad una equazione di forma particolarmente semplice: • Proposizione 12. 22. Sia C una iperbole equilatera di [ 2 . Se R = (O, B) è il riferimento cartesiano avente origine nel centro di C ed avente assi coordinati co0cidenti con gli asintoti (tra loro ortogonali) di C, allora la equazione di C rispetto ad R risulta del tipo

con

k E JR - {O}. D

~

~

con a 2: b, )

Ciò signi~ca .eh~ p er o?ni asse r di C e per ogni punto P E I p(C) , a nche P' E Ip(C) , ove P = sr(P) md1ca 1! s1mmetnco di P rispetto a lla retta r (Definizione 9.21). ,

Poichè le distanze tra i punti notevoli del o di una conica (non vuota) non dipendono dal riferimento cartesiano scelto, è possibile risalire, attraverso la Proposizione 12.21, alle coordinate dei fuochi (e, nel caso della parabola, alla equazione della direttrice) rispetto a qualunque sistema di riferimento.

XY = k,

Y= _!!_. 2'

, . x2 y2 • se C e una ellisse (reale) di equazione canonica - + - = 1 ~ ~

x2 y2 • se C è una iperbole d·i equazione canon·ica 7}2 - b2 = 1, si ha:

o o

Le equazioni canoniche delle coniche non degeneri permettono di ricavare facilmente alcune proprietà del o proprio che, essendo indipendenti dal riferimento scelto possono essere formulate in termini generali. '

• se

243

d'o) )

5

-1, da cui segue d'

2 2 5X --Y=O

v'5

(~d'

=


La equazione descritta nella Proposizione 12.22 viene usualment e detta equazione canonica riferita agli asintoti della iperbole equilat era C, e può essere facilmente ott enuta a partire da una qualunque equazione associata a C, osservando che, se r 1 ed r 2 sono gli asintoti della iperbole equilatera C, allora d(P,r 1 ) · d(P,r2) = lkl, per ogni punto P E I(C) .

244

12.


245

4. FASCI DI CONICHE

4. Fasci di coniche

+ Definizione 12.15 .

Date due coniche distinte (degeneri o non degeneri) C1 e C2 del piano euclideo E2 , aventi rispettivamente equazioni omogenee 2

2

C1 :

L

a~1 xiXj = O

C2 :

L

a~jxiXj = O

i,j=O

i,j=O

rispetto ad un fissato riferimento cartesiano R, si dice fascio di coniche individuato da C1 e C2 l'insieme F(Ci, C2) di coniche aventi, rispetto ad R, equazioni omogenee

À

(.t a~jXiXj) (.t a~jxiXj) +µ

i,J=O

=

o,

con (>. , µ) E JR

X

JR - {O, O}.

Figura 12.2

i,J=O

Si noti che il fascio F(C1,C2) contiene infinite coniche (al variare degli scalari À eµ), ma che coppie (À, µ) proporzionali individuano la stessa conica. Ad esempio, ogni coppia (O,µ) (conµ E JR - {O}) individua la conica C2 E F(C1, C2). Inoltre, se C3 e C4 sono due coniche distinte del fascio F(C1,C2), si ha che F(C3,C4) = F(C1 ,C2). • Proposizione 12.23. Sia F(C1,C2) un fascio di coniche del piano euclideo E2 . Per ogni punto P ~ I(C1) nI(C2), esiste una ed una sola conica CE F(C1 ,C2), tale che P E I(C).

Dimostrazione. È sufficiente osservare che, sostituendo le coordinate cartesiane omogenee di P nella equazione omogenea del fascio, i coefficienti dei parametri À e µ non possono essere contemporaneament e nulli (perchè P ~ I(C1) n I(C2)); quindi, i parametri À e µ devono verificare una equazione lineare omogenea di rango uno, le cui soluzioni (che sono 00 1 , tutte multiple di una qualunque fissata) individuano tutte la medesima conica.

Esempio 12.11. Nel completamento proiettivo del piano euclideo E2 un riferimento cartesiano R - siano dati, ad esempio, i punti

A=n[l,1,0],

B=n[l,0,1],

C=n[l,-1,0],

-

in cui è fissato

D=n[l,0,-1].

Una volta verificato che tali punti sono a tre a tre non allineati, si considerino la conica (degenere) C1 di equazione omogenea

il cui o è costituito da CDUAB, e la conica (degenere) C2 di equazione omogenea

D

Le seguenti osservazioni consentono di scrivere con facilità l'equazione di un fascio di coniche individuato da particolari condizioni. Per semplicità, indicheremo con XY la retta (eventualmente impropria) del piano euclideo E2 ante per i punti distinti (propri o impropri) X, Y E f; 2 •

Fasci del 1° tipo. L'insieme delle coniche anti per quattro punti distinti A, B, C, D E E2 , a tre a tre non allineati, è un fascio di coniche F 1 di E2 . Inoltre , se C1 e C2 sono due delle tre coniche degeneri, il cui o è rispettivamente costituito da ABUCD,

allora F1

= F(C1,C2)

(Figura 12.2).

ACUBD,

ADUBC,

il cui o è costituito da BD U AC. Il fascio F 1 costituito dalle coniche anti per A, B, C, D ha quindi equazione omogenea:

Fasci del 11° tipo. L 'insieme delle coniche anti per tre punti distinti A, B, C, non allineati, di E2 ed aventi quale tangente in A una fis sata retta r, è un fa scio di coniche F 2 di t: 2 . Inoltre, se C1 (risp. C2) è la conica degenere il cui o è costituito da AB U AC (risp. r U BC), allora F2 = F(C1 , C2) (Figura 12.3) .

246


5. LE QUADRICHE DELLO SPAZIO EUCLIDEO

247

s

r

r Figura 12.4 Figura 12.3 Esempio 12.13. Nel completamento proiettivo del piano euclideo & 2 un riferimento cartesiano R - siano dati, ad esempio, i punti Esempio 12.12. Nel completamento proiettivo del piano euclideo [ un riferimento cartesiano R - siano dati, ad esempio, i punti

2 -

A =n [1, 1, O],

in cui è fissato

B =n [1, O, 1],

in cui è fissato

B =n [1,0,1]

e le rette r : Xo - X1

A =n [1, 1, O],

-

= o,

s : Xo - X2

= o.

Una volta verificato che A Er e BE s, si considerino la conica (degenere) C1 di equazione omogenea

C =n [1, - 1, O]

e la retta r : xo - x 1 = O. Una volta verificato che A, B, C non sono allineati e che A E r, si considerino la conica {degenere) C1 di equazione omogenea

il cui o è costituito da ACUAB, e la conica (degenere) C2 di equazione omogenea

(xo - x1)(xo - x2)

( -Xo + X1 + X2)

2

=

0,

il cui o coincide con la retta AB (co~tata due volte) . Il fascio F 3 costituito dalle coniche anti per A, B e tangenti in A ad r e in B ad s ha quindi equazione omogenea:

F3 : >.(xo - x1)(xo -

il cui o è costituito da r U BC. Il fascio F2 costituito dalle coniche anti per A, B, C e tangenti in A ad r ha quindi equazione omogenea :

o.

= O,

il cui o è costitu ito da r U s, e la conica (degenere) C2 di equazione omogenea

x2) + µ(-xo + x1 + x2)

2

= O.

5. Le quadriche dello spazio euclideo Nel presente paragrafo, estenderemo alla dimensione tre i concetti e i risultati esposti nel § 2 per la dimensione d ue. Supponiamo dunque che & 3 sia uno spazio euclideo di dimensione tre, in cui è fissato un riferimento cartesiano R = (O , B).

Fasci del Ill 0 tipo. L 'insieme delle coniche anti per due punti distinti A, B E [ 2 , ed aventi quale tangente in A una fi ssata retta r e quale tangente in Buna fissata retta s (con r i- s), è un fascio di coniche F 3 di [ 2 .

+Definizione 12.16. Considerata una generica equazione algebrica di secondo grado nelle coordinate x, y e z:

Inoltre , se C1 (risp. C2) è la conica degenere il cui o è costituito dalla retta AB, "contata due volte" (risp. dar U s), allora F 3 = F(C 1 , C2 ) (Figura 12.4) .

diremo che tale equazione rappresenta, rispetto al riferimento cartesiano R , una quadrica dello spazio euclideo [ 3 .

(*)

2 2 2 aux +a22y +a33 z + 2a12xy+2a13xz+2a23yz +2ao1 x+ 2ao2Y+2ao3z+aoo

=O,

248


Inoltre, diremo che due equazioni a 11 x 2 + a22Y 2 + a33Z 2 + 2a12XY + 2a13XZ + 2a23yz+ +2a01x+2ao2y+2a0 3z+a00 =O e a~ 1 x 2 +a~ 2 y 2 +a; 3 z 2 +2a~ 2 xy+2a~ 3 xz+2a~ 3 yz+ +2a~ 1 x + 2a~ 2 y + 2a~ 3 z + a~ 0 = O rappresentano, rispetto ad R, la stessa quadrica di [ 3 se e soltanto se esiste >. E JR. - {O} tale che a~i = >. · aii Vi, j E {O, 1, 2, 3}.


249

riferimento cartesiano R la matrice simmetrica7 ao1 ao2 a11 a12 a13 A= ao1 · ao2 a12 a22 a23 ao3 a13 a23 a33

"")

C"

E S4(JR.)

Si noti che, in base alla Definizione 12.16, ogni quadrica Q di [ 3 è rappresentata rispetto ad R - da infinite equazioni algebriche di secondo grado, tutte proporzionali tra di loro; usualmente, si dice che l'equazione di Q rispetto ad R è definita a meno di un coefficiente di proporzionalità (non nullo) . Le quadriche sono dunque il corrispondente tridimensionale delle coniche del piano euclideo [ 2 . Pertanto, possono essere estese alle quadriche molte delle definizioni date per le coniche nel § 2.

Tramite la matrice associata a Q, è possibile scrivere in forma matriciale le equazioni (*) e (**) di Q :

(*)

(1

+ Definizione 12.17. Data una quadrica Q di [ 3 di equazione (*), si dice o proprio (o immagine propria) di Q l'insieme Ip(Q) dei punti dello spazio [ 3 le cui coordinate - rispetto ad R - verificano una (e quindi tutte) le equazioni di Q : Ip(Q) = {P =n (x, y, z) I a 11 x 2 + a22Y 2 + a33z 2 + 2a12XY + 2a13xz + 2a23yz + + 2ao 1x + 2ao2Y + 2ao3z + aoo =O}.

(**)

(xo

Si noti che, come per le coniche, l'immagine Ip(Q) non è in generale sufficiente ad individuare la quadrica Q. Se si suppone di ampliare proiettivamente lo spazio euclideo E3 , denotando con [xo, x 1, x 2, x 3] una quaterna di coordinate cartesiane omogenee dei suoi punti (propri ed impropri) rispetto al riferimento cartesiano R, allora la equazione (*) origina, in coordinate omogenee, la equazione omogenea della quadrica Q, che si può scrivere sinteticamente come: aijXiXj

=

0.

i,j=O

3

+Definizione 12.18. Data una quadrica Q di [ di equazione omogenea(**), si dice o improprio (o immagine impropria) di Q l'insieme I 00 ( Q) dei punti impropri dell'ampliamento proiettivo di [ 3 le cui coordinate cartesiane omogenee - rispetto ad R - verificano una (e quindi tutte) le equazioni omogenee di Q : 2 2 2 Ioo(Q) = {Poo =n [O, X1,x2,x3] I a11(x1) + a22(x2) + a33(x3) + + 2a12X1X2 + 2a13X1X3 + 2a23X2X3 =O}.

Si dice poi o (o immagine) di Q l'insieme I(Q)

X1

y

z)

X2

m

A ~o x,)

t(u) ·A· (u)

(o, più sinteticamente,

A(~1) ~O

(o, più sinteticamente,

t(x)·A-(x)

O);

o) .

La proposizione seguente ci permette di sapere, in perfetta analogia a quanto visto per le coniche, come cambia la .matrice associata ad una quadrica (e quindi, anche la sua equazione e la sua equazione omogenea) al variare del sistema di riferimento fissato . • Proposizione 12.24. Sia Q una quadrica di [ 3 avente, rispetto al riferimento cartesiano R, matrice associata A E S4(JR.). Se R' è un altro riferimento cartesiano su [ 3 , e

(~;) (:~d :~ d:~) (~) + (~~) =

3

2.::::

X

z'

e~

·

z

b3

con

E =

(:~e~ e~:~ e~:~) E 03(lR.),

sono le equazioni del cambiamento di riferimento da R ad R', allora la quadrica Q ha, rispetto ad R', matrice associata A' tale che

o o A= tE·A' ·E,

d d

e~

e~ e~ e~

e~) e~ e~

Dimostrazione. Si procede in modo perfettamente analogo a quanto fatto per dimostrare la Proposizione 12. 7 D

= Ip(Q) Uioo(Q). ~

Nel seguito, con abuso di linguaggio e per semplicità di notazioni, identificheremo spesso la conica con il suo o.

Osservazione 12.12. Con le notazioni della Proposizione 12.24 e in totale analogia con l'Osservazione 12.7, dalla ortogonalità di E segue det A = det A'. Si ricordi tuttavia che anche la matrice A' associata a Q rispetto ad R' risulta definita a meno di un coefficiente di proporzionalità non nullo.

+ Definizione 12.19. Data una quadrica Q di E3 di equazione (*) (o di e uazione omogenea (**)), si dice matrice associata a Q (o discriminante di Q) rispetto al

7Si noti che anche la matrice associata a Q, come l'equazione e l'equazione omogenea, risulta definita a meno di un coefficiente di proporzionalità. non nullo.

e

250

12 . ELEMENTI DI TEORIA DELLE CONICHE E DELLE QUADRICHE

.,. Osservazione 12.13. Anche per le quadriche, come per le coniche, possono essere fatte le considerazioni riportate nella Osservazione 12.8, semplicemente sostituendo ~ 3 con ~4 . Pertanto, l'ambiente più opportuno per definire le quadriche appare essere l'ampliamento proiettivo dello spazio euclideo e, in tale contesto, una quadrica risulta individuata da una classe di proporzionalità di forme quadratiche. Dalla Proposizione 12.24 si deduce la seguente proposizione, la cui dimostrazione è perfettamente analoga a quella della Proposizione 12.8. • Proposizione 12.25. Tutti i discriminanti di una stessa quadrica Q hanno lo stesso rango.

o

Per rango e( Q) di Q si intenderà il rango di un suo qualsiasi discriminante.

+Definizione 12.20. Una quadrica Q di t: 3 si dice non specializzata o non degenere se e( Q) = 4. In caso contrario, si dice che Q è una quadrica specializzata o degenere di E3. Le quadriche di rango 1 o 2 sono anche dette riducibili. Quindi, se A è un discriminante di Q, si ha che Q è degenere se e solo se det A = O. .,. Osservazione 12.14. Non è difficile verificare che noti sottoinsiemi dello spazio euclideo (in particolare: piani e unioni di due piani) risultano essere il o di opportune quadriche riducibili: • se 7r è un piano di E3 avente equazione omogenea ax 1 + bx 2 + cx3 + dx 0 = O rispetto ad un fissato riferimento cartesiano R, allora (ax1 + bx2 + cx3 + dxo) 2 =O è la equazione di una quadrica riducibile Q di E3, il cui o I( Q) è costituito da tutti e soli i punti del piano 7r (che si dice "contato due volte"); • se 7r e 7r 1 sono due piani distinti di E3 aventi rispettivamente equazioni omogenee a' X1 + b' X2 + c' x3 + d' xo = O e a" x1 + b" x2 + c" X3 + d" xo = O rispetto al riferimento cartesiano R, allora

(a'x1

+ b'x2 + c'x3 + d'xo)

· (a"x1

+ b"x2 + c"x3 + d"xo)

=O

è la equazione di una quadrica riducibile Q di E3, il cui o I( Q) è costituito da tutti e soli i punti dei piani 7r e 7r 1 • In realtà tali sottoinsiemi, uniti alle singole rette di E3, esauriscono tutti i possibili i di una quadrica riducibile dello spazio euclideo. È infatti possibile dimostrare che, se Q è una quadrica riducibile di E3, allora è verificata una (ed una sola) delle seguenti affermazioni: • esiste un piano (proprio o improprio) 7r di E3 tale che I( Q) = 7rj • esistono due piani distinti 7r e 7r 1 di E3 (di cui uno eventualmente coincidente con il piano improprio), tali che I( Q) = 7r U 7r 1 ; • esiste una retta (propria o impropria) re E3 tale che I(Q) = r. Nel primo caso si ha e(Q) = 1, mentre nel secondo e nel terzo caso si ha e(Q) = 2. Se invece Q è una quadrica di E3 avente rango 3, allora è verificata una (ed una sola) delle seguenti affermazioni:


251

• I( Q) è una unione di rette, dette generatrici di Q, anti per un punto V (proprio o improprio) detto vertice di Q; • esiste un punto (proprio o improprio) V E E3, detto vertice di Q, tale che I(Q) = {V}. Le quadriche degeneri di E3 aventi rango 3 sono dette coni (risp. cilindri) se il vertice è proprio (risp. improprio). Si ricordi, in questo contesto, la genesi storica del termine "coniche" attribuito alle curve di un piano euclideo che risultano dall'intersezione di tale piano con un cono (§4 del Capitolo 10, Figura 10.5). Le quadriche si suddividono innanzitutto in reali, se I(Q) i- 0, o vuote (o immaginarie), se I(Q) = 0. Si osservi che una quadrica degenere è sempre reale. Come per le coniche di E 2, per distinguere le quadriche reali da quelle immaginarie si può osservare che Q è reale se e solo se un suo qualunque discriminante A è non definito (Definizione B.4) ed applicare quindi il Criterio di Sylvester (Proposizione B.9). In alternativa, si può attendere la Proposizione 12.35. Esaminiamo ora le intersezioni di I( Q) con rette e piani di E3. • Proposizione 12.26. Se Q è una quadrica di E3 ed r è una retta (propria o impropria) di E3 non contenuta nel o di Q, allora l'intersezione dir con Q è costituita da uno dei seguenti sottoinsiemi di E3 : - due punti distinti; - un solo punto; - l'insieme vuoto.

Dimostrazione. Se r è una retta propria, si può supporre che r sia l'asse x di un riferimento cartesiano R, ovvero la retta rappresentata dalle equazioni omogenee x 2 = Oe X3 = O. Se A è un discriminante di Q rispetto ad R, allora i punti di intersezione di r con Q hanno coordinate cartesiane omogenee [xo, x 1, O, O] che verificano l'equazione di secondo grado:

(#) Poichè r non è contenuta in Q, 1'equazione ( #) non può essere identicamente soddisfatta (cioè i coefficienti ao 0 , a 01 , a 11 non possono essere tutti nulli): dunque, supponendo di ricavare una incognita in funzione dell'altra, l'equazione (#) ammette due, una o = (ao 1) 2 - aoo · a 11 sia rispettivamente positivo, zero soluzioni reali a seconda che nullo o negativo. Un analogo ragionamento prova l'enunciato nel caso in cui r sia una retta impropria, scegliendo il riferimento cartesiano R in modo che r sia rappresentata dalle equazioni omogenee xo = O e X3 = O.

-i

o

+Definizione 12.21.

Sia Q una quadrica di E3 ed r una retta di E3. Si dice che: (a) r è tangente a Q se l'intersezione di r con Q è costituita da un solo punto oppure se r è contenuta nel o di Q; (b) r è secante Q se l'intersezione dir con Q è costituita da due punti distinti; (c) r è esterna a Q se l'intersezione dir con Q è vuota. ·

.252


• Osservazione 12.15. Data una quadrica Q di &3 , l'intersezione del o di Q con un qualsiasi piano (proprio o improprio) 7r di &3 è il o di una conica di 7r, che sarà indicata con Q n 7r. In particolare, il o improprio I 00 (Q) è o della conica Q 00 = Q n 7r00 , intersezione di Q con il piano improprio 7r 00 di &3 ; Q 00 sarà detta anche conica impropria o conica all'infinito di Q. Se 7r è un piano proprio, la proprietà può essere facilmente verificata scegliendo il riferimento in modo che l'equazione di 7r sia X3 = O; se infatti A è un qualunque discriminante di Q rispetto ad n, il o di Q n 7r è costituito dai punti di &3 le cui coordinate cartesiane omogenee [x 0 , x 1, x 2 , O] soddisfano l'equazione di secondo grado omogenea di pagina 225:

n

2

au (x1) +a22(x2) 2+2a12x1x2+2ao1xox1 +2ao2xox2+aoo(xo) 2 =O.

(**)

253


solo se la quaterna (y0 , y1, y2, y3) soddisfa la condizione

A

(~~)

p(

~).

oon p

i

O

Tale condizione, fissato p =f. O, costituisce un sistema lineare normale e ammette dunque una ed una sola soluzione (non nulla); inoltre, al variare di p =f. O, si ottengono come soluzioni quaterne proporzionali. L'Osservazione 12.17 consente di dare la seguente:

+Definizione 12.23. Sia Q una quadrica non degenere di &

3

Se invece 7r è il piano improprio 7r00 , avente equazione xo =O rispetto ad un qualunque riferimento cartesiano di & 3 , un analogo ragionamento prova che il o improprio Ioo ( Q) è o della conica impropria di Q, il cui discriminante è costituito dal minore complementare M 00 dell'elemento a00 nella matrice A.

+Definizione 12.22.

Sia Q una quadrica non degenere di & 3 e

7r

, avente A come matrice associata rispetto al riferimento cartesiano n. Se P =R [yo, yi, y2, y3] è un punto (proprio od improprio) di &3 , si dice piano polare 7r p di P rispetto alla quadrica il piano (proprio o improprio) di equazione omogenea

un piano di & 3 . Si

dice che: (a) (b) (c)

7r 7r 7r

è tangente a Q se Q n 7r è una conica degenere; è secante Q se Q n 7r è una conica non degenere reale; è esterno a Q se Q n 7r è una conica (non degenere) vuota.

• Osservazione 12.16. Se il piano 7r è tangente a Q, allora la conica (degenere) intersezione Q n 7r ha rango 2 : il suo o è pertanto costituito da un solo punto o dalla unione di due rette distinte. Infatti. con le notazioni dell'Osservazione 12.15, un discriminante di Qn7r è un minore di ordine tre del discriminante A di Q. Poichè Q è non degenere, si ha l?(A) = 4; d'altra parte, se M è un minore di ordine n - 1 in una matrice A di ordine n, si ha

Per l'Osservazione 12.17, l'applicazione 7r che a P associa 7rp è una biiezione tra i punti del completamento proiettivo P 3 dello spazio euclideo e i suoi piani. In altri termini, per ogni piano 7r (proprio o improprio) di &3 , esiste uno ed un solo punto P (proprio od improprio), il cui piano polare sia 7r. Tale punto è detto polo di 7r. Si osservi che P E 7rp se e solo se P E I(Q). Esempio 12.14. Consideriamo, nello spazio euclideo &3 , dotato di un riferimento cartesiano n, la quadrica avente equazione: Q1 :

t?(M) 2:: l?(A) - 2. Dunque la conica Q n 7r ha rango 2. • Osservazione 12.17. Si ricordi che, se A E GL4(IR), il sistema lineare normale A· (y) = (O) ammette come soluzione solo la quaterna nulla. Pertanto, se Q è una quadrica non degenere di &3 , A è un suo discriminante rispetto ad n e P =R [yo, Yi, Y2, y3] è un punto (proprio od improprio) di & 3 , l'uguaglianza

Un discriminante di Q1 , rispetto ad

n,

è

o o 1 o o -8 o 4

~);

-2

poichè det A 1 = 8 =f. O, la quadrica Q 1 è non degenere. Rispetto a Q 1 , il piano polare del punto p =.R [1, 1, 0, 1] ha, relativamente ad 1?,, equazione omogenea

(xo costituisce un'equazione lineare omogenea in cui i coefficienti delle incognite x 0 , x 1 , x 2 , X3 non sono tutti nulli e rappresenta quindi un piano di &3 . Inoltre, il generico piano di equazione ax 1 + bx 2 + cx 3 + dx 0 = O coincide con il piano di .equazione (%) se e

x 2 - 8y 2 + 8yz - 2z 2 + 2z = O

o o 1 o o -8 o 4

JJ m~o,

cioè

Se 7r è il piano avente, rispetto ad n, equazione omogenea X3 = O, le coordinate omogenee del suo polo P', rispetto alla quadrica Q 1 , possono essere ottenute mediante il

254


(E) (~ ~ ~8 ~ (~~) (~) = p

)

1 O

y3

4

-2

)

1

y3

e scegliendo, come valore non nullo di p, p = 1, si ottiene come soluzione del sistema lineare normale (usando ad esempio le formule di Leibniz-Cramer) :

Yo

= 1,

Y1

= O,

Y2

= O,

Il polo di 7r è dunque il punto P' =n [1, O, O, O]. Si noti che si ha P
Y3

= O.

(Q

E 7rp

[y0 , y 1 , y 2 , y 3 ]

<=> t(z) ·A· (y) = O)

e Q =n e

[zo, z1, z2,

(P E

Osservazione 12.19. Si noti che, se P non appartiene al o I(Q), allora il piano polare 7r p di P rispetto a Q interseca I( Q) nei punti di contatto tra la quadrica e le (eventuali) rette tangenti alla quadrica anti per P.

7rQ

+ µz)-

A· (>.y

<=> t(y) ·A· (z) = O).

+ µz) =

Le quadriche reali possono essere suddivise in base alla seguente


Un punto P E I(Q) è detto:

• iperbolico se il o della conica Q n 7rp è formato da due rette distinte la cui intersezione è P; • ellittico se il o della conica Q n 7rp è costituito dal solo punto P. ·

•Lemma 12.28. Se una quadrica non degenere Q di [ 3 ha almeno un punto ellittico (risp. iperbolico), allora tutti i punti di Q sono di tipo ellittico (risp. iperbolico).

z3], allora si ha che:

La Legge di reciprocità segue quindi dalla simmetria della matrice A. Supponiamo ora che P E I( Q); la retta r per P e per un secondo punto P' =/:- P risulta tangente alla quadrica in P se e solo se P è l'unico punto di intersezione trar e I( Q). Se P =n [yo, y1, Y2, y3] e P' =n [zo, z1, z2, z3], allora tutti e soli i punti della retta r hanno, rispetto ad R, coordinate cartesiane omogenee [>.y0 + µzo, ÀY1 + µz1, Ày2 + µz2, Ày3 + µz3], al variare dei parametri reali (non entrambi nulli) >., µ (Proposizione 12.6); i punti di intersezione tra r e I( Q) corrispondono dunque alle soluzioni della equazione di secondo grado tp,y

12.18. Il piano polare 7rp di un punto P del oI(Q) è l'unico piano tangente a Q ante per P. Infatti, per la Proposizione 12.27, il o della conica intersezione Qn7rp è costituito dal solo punto Po da un'unione di rette: dunque Q n 7rp è degenere e 7rp è un piano tangente a Q (Definizione 12.22(a)). Se . poi 7r 1 è un piano tangente a Q ante per P, allora la conica intersezione Q n 7r 1 è costituita da un solo punto o dall'unione di due rette r ed s (Osservazione 12.16). Sia dunque P' un punto di 7r 1 diverso da P: se P' E r U s la retta P P' è contenuta in I(Q), altrimenti PP' interseca I(Q) nel solo punto P, ed è dunque , in ogni caso, tangente a Q in P. Quindi 7r 1 = 7rp (Proposizione 12.27).

~

P
• Proposizione 12.27. Sia Q una quadrica non degenere dello spazio euclideo, e siano P, Q due punti di [ 3 . Si ha che: • Q E 7rp se e solo se P E 7rQ· (Legge di reciprocità) • Se P è un punto del o I(Q), allora il piano polare 7rp di P rispetto a Q è costituito da tutti e soli i punti P' di t: 3 tali che la retta per P e P' è tangente a Q in P. Dimostrazione. Se P =n

255

~Osservazione

procedimento descritto nell'Osservazione 12.17. Posto infatti

Ai .


O,

che equivale a

>. 2 \y)·A·(y)+2>.µt(z)·A·(y)+µ 2 t(z)·A·(z) =O. La ipotesi P E I( Q) assicura che il coefficiente di >. 2 è sempre nullo. Se l'equazione ha anche gli altri due coefficienti nulli, allora è soddisfatta per ogni coppia (>., µ), e dunque r è contenuta in I(Q); in caso contrario, l'equazione ammette una sola soluzione (corrispondente alla coppia (>., µ) = (1, O), ovvero al punto di tangenza P) se e soltanto se anche il coefficiente di >.µ si annulla. Ciò implica che r è tangente alla quadrica se e soltanto se t(z)·A·(y) =O, cioè se e soltanto se il punto P' appartiene al piano polare 7rp di P.

o

Dimostrazione. Supponiamo che Q ammetta un punto P di tipo ellittico ed un punto

Q di tipo iperbolico. Da ciò si ricava che I(Q) n7rp = {P}, mentre I(Q) n7rQ = rUs, essendo r ed s due rette distinte, aventi Q ·quale intersezione. Poichè Q
o

Come conseguenza del Lemma 12.28, le quadriche reali risultano suddivise in iperboliche o doppiamente rigate (in cui ogni punto è iperbolico) ed in ellittiche o non rigate (in cui ogni punto è ellittico). Proveremo in seguito (Proposizione 12.36) che il segno del determinante di qualunque matrice associata alla quadrica Q permette di distinguere direttamente a quale di queste due classi appartenga Q. Una diversa classificazione delle quadriche non degeneri di t: 3 si effettua - come per le coniche - in base al loro comportamento rispetto al piano improprio 7r 00 di E3 .


Una quadrica non degenere Q di [ 3 si dice:

(a) paraboloide se 7r 00 è tangente a Q, ovvero se la conica impropria Q 00 è una conica degenere (del piano improprio); (b) ellissoide se 7r 00 è esterno a Q, ovvero se la conica impropria Q 00 è una conica non degenere ma vuota (del piano improprio) ;

256

12.


(c) iperboloide se 7r00 è secante Q, ovvero se la conica impropria Q00 è una conica non degenere e non vuota (del piano improprio). 8 La seguente proposizione fornisce le condizioni algebriche su A 00 (il complemento algebrico dell'elemento a 00 nella matrice A) per distinguere paraboloidi, ellissoidi ed iperboloidi.

• Proposizione 12.29. Sia Q una quadrica non degenere di E3 avente, rispetto al riferimento cartesiano R, matrice associata A E S 4 (JR) {con det A i- O} . Si ha che: (a) Q è un paraboloide se e soltanto se Aoo =O; (b) Q è un ellissoide se e soltanto se Aoo è diverso da zero e concorde con a 33 , . ( a22 a23) h a d et erminante . . ed i.l suo minore posi.tivo; a23 a33 (c) Q è un iperboloide se e soltanto se Aoo i- O, ma non verifica contemporaneamente le ulteriori due condizioni richieste al punto {b).

Dimostrazione. Basta osservare che M 00 è il discriminant e della conica impropria Q n 7roo, e ricordare le condizioni che caratterizzano le matrici delle coniche degeneri (cioè il fatto di avere determinante nullo, in base alla Definizione 12. 7) e quelle delle coniche vuote (si veda la Proposizione 12.18) .

257


poichè det A 2 = -15 det Moo

=

3

> O,

a33

i=

O, la quadrica Q2 è non degenere . In particolare, essendo 22 2 > O e det ( a = > O, la quadrica Q2 a23

:~:)

I~

;1

risulta essere un ellissoide. Un discriminante di Q 3, rispetto ad R, è

o

o

1 -2

-2 1

o

o

poichè det A 3 = 24 i- O, la quadrica Q 3 è non degenere. In particolare, essendo det M 00 = -3 < O e a 33 = 1 > O, la quadrica Q3 risulta essere un iperboloide. Un discriminante di Q 4 , rispetto ad R, è

o o 1 4

4

16

o o poichè det A 4 = O, la quadrica Q 4 è una quadrica degenere (o specializzata) .

o

+Definizione 12.26. Esempio 12.15. Consideriamo, nel lo spazio euclideo E3 , dotato di un riferimento cartesiano R , le quadriche aventi le seguenti equazioni: 2 Q : x - 8y 2 + 8yz - 2z 2 + 2z = O

Sia Q una quadrica non degenere di E3 . Si dice piano diametrale di Q ogni piano proprio che sia piano polare di un punto improprio di E3 . Si dice centro di Q il polo del piano improprio 7r00 .

1

+ 2y 2 + 2yz + 2z 2 - 6y - 6z + 1 =O 2 2 2 x + y + z - 4xy + 6z + 1 = O 2 2 x + 16y + 4z 2 + 8xy + 4z + 2 =O

Q2 : x Q3 : Q4

:

2

Come già verificato nell'Esempio 12.14, la quadrica Q 1 è non degenere (perchè detA 1 8 i- O). In particolare, essendo

Aoo = det Moo

1

o

o

o o

-8 4

4 -2

=

A2

8

=

Dimostrazione. Si procede in modo perfettamente analogo a quanto fatto per dimostrare la Proposizione 12.12.

-3 -3

o

o

-3

1

o

o o

2 1

e o

• Proposizione 12.30. Sia Q una quadrica non degen ere di E3 avente, rispetto al riferimento cartesiano R , matrice associata A E S4(JR). Il centro di Q è il punto C avente come quaterna di coordinate omogenee la quaterna dei complementi algebrici della prima riga di A:

o,

la quadrica Q 1 risulta essere un paraboloide. Un discriminante di Q 2, rispetto ad R, è

.

Come ovvia conseguenza della Proposizione' 12.27 (Legge di reciprocità), si ha che tutti i piani diametrali contengono il centro di Q.

~l 1 2

'

Si noti che i paraboloidi e gli iperboloidi sono sempre quadriche reali, e si suddividono nelle due sottoclassi "ellittici" ed "iperbolici", mentre gli ellissoidi possono essere reali (se I( Q) f 0) o immaginari (se I(Q) = 0).

Si osservi che, come conseguenza delle Proposizioni 12.29 e 12.30, si ha che: • se Q è un paraboloide, il suo centro direzione del vettore

e il punto improprio individuato dalla

v =;J (Ao1, Ao2, Ao3), ed i suoi piani diametrali sono tutti paralleli a v ;

258

12. ELEMENTI DI TEORIA DELLE C ONICHE E DELLE QUADRICHE

·• se Q è un iperboloide o un ellissoide, il suo centro è il punto proprio di coordinate cartesiane

C =n

(Ao1, Ao2, Ao3 ) . Aoo Aoo Aoo

Le quadriche aventi centro proprio (cioè iperboloidi ed ellissoidi) sono usualmente dette quadriche a centro.

Esempio 12.16. Nel caso del paraboloide Q1 considerato nell'Esempio 12.15, il centro risulta avere coordinate omogenee C 1 =n [O , O, 4, 8], cioè è il punto improprio individuato dalla direzione del vettore V

=1dO, 1, 2) .

Nel caso dell'ellissoide Q2 considerato nell'Esempio 12.15, il centro risulta avere coordinate omogenee C 2 =n [3 , O, 3, 3], cioè è il punto proprio di coordinate cartesiane

C2 = n (O, 1, 1). Nel caso dell'iperboloide Q3 considerato nell'Esempio 12.15, il centro risulta avere coordinate omogenee C 3 = n [-3, O, O, 9], cioè è il punto proprio di coordinate cartesiane

C3 =n (O, O, -3).

+Definizione 12.27. Sia Q una quadrica non degenere di [ 3 . Si dice piano principale di Q ogni piano diametrale 7r p 00 di Q che sia ortogonale alla direzione individuata dal suo polo P00 . Si dice asse di Q ogni retta di [ 3 che sia intersezione di due piani principali di Q.9 Si dice vertice di Q ogni punto di intersezione del o proprio Ip ( Q) con un asse di Q. Si noti che i piani principali di Q, essendo particolari piani diametrali, contengono sempre il centro di Q; di conseguenza, anche gli assi di Q contengono il centro di Q. La seguent e proposizione fornisce il metodo operativo per trovare i piani principali (e quindi gli assi e i vertici) di una quadrica. • Proposizione 12.31. Sia Q una quadrica non degenere di [ 3 avente, rispetto al riferimento cartesiano R , matrice associata A E S 4 (!R) ; sia Mao il minore complementare dell 'elemento a00 in A. I piani principali di Q sono i piani polari dei punti impropri di [ 3 individuati dalle direzioni degli autovettori di M 0 o, relativi ad autovalori non nulli. 9Poichè due piani principali 7rp e 7rp2 00 non possono essere paralleli (dovendo essere rispet1 00 tivamente ortogonali a i due p unt i impropri· distinti P1 00 e P2 00 ), gli assi di una quadrica sono rette proprie di E 3 .


259

Dimostrazione. Si procede in modo perfettamente analogo a quanto fatto per dimostrare la Proposizione 12.14.

o Si noti che, poichè Mao E S3(!R), essa ammette sempre t re autovalori, eventualmente coincidenti, con somma delle molteplicità geometriche uguale a tre (Teorema 7.14). Inoltre, dalla Legge di reciprocità segue facilmente che il piano tangente ad una quadrica Q in un suo vertice V è ortogonale all'asse contenente V: infatti, detto r = 7rp1 00 n 7rp2 00 l'asse contenente V (con 7rp1 00 e 7r p 200 piani principali per Q) , la Legge di reciprocità assicura che P 100 , P2 00 E nv , e quindi che il piano polare di V (ovvero il piano tangente in V a Q) contiene nella sua giacitura le direzioni dei punti impropri P 100 e P2 00 (che, per definizione di piano principale, sono ortogonali alla direzione dell'asse). Come conseguenza delle Proposizioni 12.29 e 12.31, si ottiene poi il seguente risultato, relativo alla esistenza di piani principali e di assi per i vari tipi di quadriche non degeneri. • Proposizione 12.32. Sia Q una quadrica non degenere di [ 3 . • Se Q è una quadrica a centro, esistono sempre almeno tre assi (risp. tre piani principali} di Q, a due a due ortogonali, che si intersecano nel centro di Q; • se Q è un paraboloide, esso ammette almeno due piani principali tra loro ortogonali, un solo asse ed un solo vertice.

Dimostrazione. Per la Proposizione 12.31, ogni classe di proporzionalità di autovettori della matrice Mao E §3(JR), relativi ad un autovalore non nullo, individua un piano principale della quadrica Q. · • Nel caso che Q sia una quadrica a centro, la matrice M 00 non può ammett ere l'autovalore nullo (essendo det Mao i- O) . Se Mao ha una terna di autovalori distinti (non nulli), allora esistono esattamente tre punti impropri P100, P200 e ?300 i cui piani polari 7r p 100 , 7r p 200 e 7r p 300 sono gli unici piani principali di Q. Inoltre, scelta arbitariamente una coppia di tali punti impropri, ad esempio P1 00 e P2 00 , l'intersezione dei rispettivi piani polari 7r p 1 00 e 7r p 2 00 è un asse a di Q : il piano polare del suo punto improprio A 00 , per la Legge di reciprocità, contiene P1 00 e P2 00 (aventi ciascuno direzione ortogonale ad A 00 ) e quindi, essendo un piano proprio ortogonale alla direzione del suo polo, coincide con il terzo piano principale 7r p 3 00 • Ciò prova che i tre piani principali sono a due a due ortogonali e che la quadrica Q ha esattamente tre assi, a due a due ortogonali. Supponiamo invece che Mao abbia due autovalori distinti À1 e À2 , con À1 di molteplicità due. Se P 100 e P2 00 sono i punti impropri individuati da una coppia di autovettori indipendenti relativi a Ài, e 7rp100 e 7rp200 sono i loro piani polari (principali), allora ogni altro autovettore relativo a À1 determina un piano polare (principale) appartenente al fascio di piani di asse a= 7rp1 00 nnp200 (Definizione 11.4 e Proposizione 11.7) . Inoltre, il piano polare del suo punto improprio A 00 , per la Legge di reciprocità, contiene P 100 e P2 00 e quindi, essendo un piano proprio ortogonale alla direzione del suo polo, coincide con l'unico piano principale 7rp300 individuato dagli autovettori (tra

260


loro proporzionali) relativi a .X 2 . Scegliendo una coppia 7r 1 , 7r 11 di piani (principali) ortogonali nel fascio di asse a, i piani 7f 1 , 1f 11 e 7f p 300 costituiscono una terna di piani principali di Q a due a due ortogonali, le cui intersezioni forniscono una terna di assi di Q, a due a due ortogonali. Se infine Moo ha un unico autovalore di molteplicità tre, allora gli autovettori di M 00 ad esso associati individuano tutti i punti impropri di E3 : tutti i piani diametrali risultano quindi essere principali e tutte le rette per il centro sono assi di Q. •Nel caso che Q sia un paraboloide, la matrice Moo (avendo det M 00 =O) ammette sicuramente l'autovalore nullo, con molteplicità uno (perchè, se tale molteplicità fosse maggiore di uno, la matrice A non potrebbe essere regolare). Se Moo ammette due autovalori non nulli distinti, allora esistono esattamente due punti impropri P1 00 e P2 00 i cui piani polari 7fp100 e 1fp200 sono gli unici piani principali di Q. Inoltre, il centro improprio C00 di Q appartiene al piano 7fp100 (risp. 1fp200 ), per cui è ortogonale alla direzione ortogonale P 100 (risp. P 200 ). Detta P00 la direzione ortogonale a C00 su 7f p, 00 , il suo piano polare 7f p 00 , oltre a contenere C00 , contiene P1 00 (per la Legge di reciprocità) ed è dunque ortogonale al suo polo. P00 coincide quindi con P2 00 e i due piani principali sono ortogonali: la loro intersezione è l'unico asse del paraboloide. Se invece Moo ammette un unico autovalore non nullo di molteplicità due, allora gli autovettori di Moo ad esso associati individuano un fascio di piani principali, il cui asse è l'unico asse di Q. In ogni caso, quindi, un paraboloide ha un solo asse e almeno una coppia di piani principali tra loro ortogonali. Infine, poichè l'asse è una retta propria contenente il centro (improprio) di Q, esso non può essere tangente a Q (apparterrebbe, in tal caso, al piano improprio); pertanto, l'asse interseca il o I(Q) in un ulteriore punto proprio V, che risulta essere l'unico vertice del paraboloide.


Esempio 12.17. Nel caso del paraboloide Q1 considerato nell'Esempio 12.15, gli autovalori non nulli della matrice Moo sono 5.1 = -10 e 5.2 = 1, essendo

autovalori di molteplicità maggiore di uno. In particolare, la presenza di un autovalore di Moo di molteplicità due (risp. tre) implica l'esistenza di una retta r, detta asse di rotazione per Q (risp. di un punto e, coincidente con il centro della quadrica 10 ), con la proprietà che tutti i piani contenenti r (risp. C) sono piani principali per Q; in questo caso la quadrica Q si dice quadrica di rotazione, perchè ogni rotazione 11 attorno all'asse di rotazione (risp. attorno al centro) trasforma I(Q) in sè.

o

t-1

~

det ( Gli autovettori relativi a

(T

5.1 =

~4)

= t(t - l)(t + 10).

t+8 -4 t+2

-10 sono i vettori (l, m, n) tali che

o -2 -4

gli autovettori relativi a

5. 2 = 1 sono

invece i vettori (l, m, n) tali che

m=O { n=O.

owero

I poli dei piani principali di Q1 sono dunque i punti impropri P1 00 =n [O, O, -2, 1] e =n [O, 1, O, O]; i piani principali di Q1 sono allora i piani 7fp100 e 1fp200 di equazione:

P 200

7f P 100

:

20y - lOz + 1 = 0

1fp200

L'(unico) asse del paraboloide Q1 è dunque la retta r

{

20y - lOz X= 0,

X=

:

= 7fp

100

0.

n 7fp200

di equazione

+1= O

ed il vertice (unico) di Q1 è il punto V= r (ì Ip(Q1), di coordinate cartesiane

(O, - 2~0' l~O) .

V =n

Esempio 12.18. Nel caso dell'ellissoide Q2 considerato nell'Esempio 12.15, gli autovalori della matrice M 00 sono .X 1 = 3 e .X 2 = .X3 = 1, che si ottengono risolvendo la equazione caratteristica t-1 o

det (

~

~1 )

t-2 -1

= (t - 3)(t - 1) 2 =

o.

t-2

Gli autovettori relativi all'autovalore À 1 sono i vettori (l, m, n) tali che

o owero

1

-1 10In questo caso particolare (se il o di Q non è vuoto) la quadrica Q risulta essere una sfera: si veda anche la successiva Proposizione 12.39. 11 Si dice rotazione attorno ad una retta r, detta asse di rotazione (risp. attorno ad un punto C, detto centro di rotazione), una isometria diretta dello spazio euclideo E 3 che lascia fissi tutti e soli i punti dir (risp. che lascia fisso il solo punto C). Tali isometrie costituiscono l'analogo in dimensione tre della rotazione attorno ad un punto del piano euclideo E 2 (Esempio 9.15).

l =o { m+2n =O;

owero

o ..,. Osservazione 12.20. Dalla dimostrazione della Proposizione 12.32 segue che una quadrica a centro (risp. un paraboloide) Q ammette più di tre (risp. più di due) piani principali se e soltanto se, in ogni matrice A associata a Q, il minore Moo ha

261


À2

=

À3

l =o { m-n =O;

sono invece i vettori (l, m, n) tali che

o -1 -1

ovvero

m+n =O.

262


Sono dunque poli di piani principali di Q2 il punto improprio P 100 =-n [O, O, 1, l] e tutti i punti impropri del tipo P00 =-n [O , l, m, -m], al variare di l, m E JR, con (l, m) =I= (O, O) ; sono quindi piani principali di Q 2 il piano 7fp100 di equazione: 7fP100 :

e tutti i piani

7fp00

owero tutti i piani del fascio di piani di asse

r.· {xy-z=O =O

(asse di rotazione per Q2)·

Esempio 12.19. Nel caso dell'iperboloide Q 3 considerato nell'Esempio 12.15, gli autovalori della matrice Moo sono >. 1 = 1, >. 2 = 3 e >. 3 = - 1, che si ottengono risolvendo la equazione caratteristica

t-1

det (

~

~

2 t- 1

o

) = (t - l)(t + l)(t - 3) = o.

t-1


>. 1 sono i vettori (l , m, n) tali che ovvero


l =o { m=O;

Dimostrazione. Sia A= (iiij ) E S 4 (JR) il discriminante di Q rispetto ad

l +m =O { n=O;

ovvero

l -m =O { n =O.

I poli dei piani principali di Q3 sono dunque i punti impropri P 100 =-n [O, O, O, 1], P200 =-n [O, 1, - 1, O] e P300 =-n [O, 1, 1, O]; i piani principali di Q3 sono allora i piani 7fp100 , 7fp200 e 7fp300 di equazione: Z

+3= O

7f P200 :

X -

y

=Q

Gli assi di Q3 sono, evidentemente, le tre rette r = t = 7fp2oo n 7fp3 oo di equazioni : r:

{ z+3=0 x-y=O

7fp100

s: {z+ 3 =O

x+y=O

7f P 300 :

n 7fp200 , t:

X+ y = 0. s

= 7fp100 n 7fp300

{ ::

~.

R.

(i) Se Q è una quadrica a centro , i piani coordinati YZ, XZ, XY di R (aventi rispettivamente equazione x 1 =O, x2 =O, X3 = O rispetto ad R) sono piani principali della quadrica, e quindi devono coincidere con i piani polari delle loro direzione ortogonali P;, =-n_ [O, 1, O, O], PJ:, =-n_ [O, O, 1, O], P!, =-n_ [O, O, O, 1], aventi rispettivamente equazione iio1xo + ii11x1 + ii12X2 + ii13X3 = O, iio2xo + ii12x1 + ii22X2 + ii23X3 = O, iio3Xo + ii13X1 + ii23x2 + ii33X3 = O rispetto ad R. Ciò implica che la matrice A è di tipo diagonale.

gli autovettori relativi all'autovalore >. 3 sono infine i vettori (l , m, n) tali che

;

• Proposizione 12.33. Sia Q una quadrica non degenere di [ 3. (i) Se Q è una quadrica a centro, sia R il riferimento cartesiano avente origine O coincidente con il centro di Q, ed assi coordinati X, Y e Z coincidenti con una terna di assi, tra loro ortogonali, di Q. Allora, la matrice associata a Q rispetto ad R risulta di tipo diagonale. (ii) Se Q è un paraboloide, sia R il riferimento cartesiano avente origine O coincidente con il vertice V di Q, piano coordinato XY coincidente con il piano tangente nel vertice a Q, e piani coordinati XZ e YZ coincidenti con due piani principali, tra loro ortogonali, di Q. A llora, la matrice associata a Q rispetto ad R risulta di tipo "semi-diagonale".

>. 2 sono i vettori (l, m, n) tali che ovvero

1fp, 00

6. Riduzione a forma canonica delle quadriche

Le proprietà del centro, degli assi e dei vertici, ottenute nel paragrafo precedente, permettono, nei vari tipi di quadriche non degeneri, di potere scegliere sempre un riferimento cartesiano rispetto al quale l'equazione della quadrica risulta particolarmente semplice. Infatti, la proposizione seguente afferma che, fissato opportunamente il riferimento, la matrice associata è o di tipo diagonale o di tipo "semi-diagonale" (ovvero , una matrice D' = (d~.j ) E 5 4 in cui gli unici elementi non nulli sono d~ 1 , d~ 2 e d~ 3 = d; 0 ) .

l, m E JR, (l, m) =/= (O, O)

lx+m(y -z) =O,

263

Nel presente paragrafo, Q denoterà sempre una quadrica non degenere dello spazio euclideo [ 3 , dotato di un fissato riferimento cartesiano R = (O , B) .

y+z-2=0

di equazione:

7f p 00 :

6. RIDUZIONE A FORMA CANONICA DELLE QUADRICHE

e

(ii) Se Q è un paraboloide, i piani coordinati YZ e XZ di R (aventi rispettivamente equazione x 1 =O e x 2 =O rispetto ad R) sono piani principali della quadrica, e quindi devono coincidere con i piani polari delle loro direzione ortogonali =-n_ [O, 1, O, O] e PJ:, =-n_ [O, O, 1, O], aventi rispettivament e equazione iio1 xo + ii11x1 + ii12X2 + ii13X3 = O e iio2xo + ii12X1 + ii22X2 + ii23X3 = O rispetto ad R, mentre il piano coordinato XY di R (avente equazione X3 = O rispetto ad R) deve coincidere con il piano polare del vertice V =-n_ [1, O, O, O], avente equazione iiooxo + iio1x1 + iio2x2 + iio3X3 = O. Pertanto si ha:

P;,

o o

-

A=

(

ii~3

o

ii11

o o

o o

ii22

o


264

Infine, poichè il centro del paraboloide è il punto improprio dell'asse Z, P! =R [O, o, o, 1], da Aoo = au . ii22 . a33 = o e Ao3 = -au . ii22 . ao3 =I- o segue a33 = O; ciò prova che la matrice A è di tipo semi-diagonale.


(a 2 ) Se Q è un paraboloide e det A > O, allora esiste un riferimento cartesiano su E3 rispetto al quale Q assume equazione x2

Z

o La proposizione seguente fornisce il metodo operativo per ottenere, a partire da una qualunque matrice associata alla quadrica non degenere Q, una matrice di tipo diagonale o semi-diagonale associata a Q. • Proposizione 12.34. Sia Q una quadrica non degenere di E3 e sia A un suo discriminante, rispetto al riferimento cartesiano R.

D

= (

o

O

À1

x2

d'

x2

a2

o o

Come conseguenza delle Proposizioni 12.33 e 12.34, si ottengono le cosiddette equazioni canoniche delle quadriche non degeneri di E3 : • Proposizione 12.35. Sia Q una quadrica non degenere di [ 3 e sia A una sua matrice associata, rispetto al riferimento cartesiano R. Se Q è un paraboloide e det A < O, allora esiste un riferimento cartesiano su E3 rispetto al quale Q assume equazione y2

a~ b;

con a,b,c E JR+,

z2

1

a ~ b;

con a, b, c E JR+,

y2

z2

+ -b2 + 2c = 1

con a, b, c E JR+,

a ~ b ~ c;

(c 2 ) Se Q è un ellissoide e det A > O, allora esiste un riferimento cartesiano su [ 3

rispetto al quale Q assume equazione x2

y2

z2

-;;} + b2 +-;?

= -1

a~ b ~c.

con a,b,c E JR+,

o À1

o

x2

y2

-;;} + b2 - -;? =

x2

Dimostrazione. Si procede, in modo perfettamente analogo a quanto fatto per dimostrare la analoga Proposizione 12.17, utilizzando le Proposizioni 12.24 e 12.33 e l'Osservazione 12.12 (in sostituzione delle Proposizioni 12.7 e 12.16 e dell'Osservazione 12.7).

Z =a2- +b2 -

z2

(b 2 ) Se Q è un iperboloide e det A > O, allora esiste un riferimento cartesiano su E3 rispetto al quale Q assume equazione .

-

dove À1, À2 E JR sono i due autovalori non nulli (eventualmente coincidenti} del minore Mao di A ed' E JR - {O} si ricava imponendo det D' = det A.

(a1)

y2

-;;} + b2 - -;? = -1

o o o o

(~

con a,b E JR+;

(c 1 ) Se Q è un ellissoide e det A< O, allora esiste un riferimento cartesiano su [ 3 rispetto al quale Q assume equazione

dove À1, À2, .À3 E JR sono i tre autovalori (non necessariamente distinti} del minore Moo di A ed E JR - {O} si ricava imponendo det D = det A. (ii) Se Q è un paraboloide, allora una matrice di tipo ."semi-diagonale" associata a Q è

D' =

y2

= -a2 - -b2

(b 1 ) Se Q è un iperboloide e det A < O, allora esiste un riferimento cartesiano su [ 3 rispetto al quale Q assume equazione

(i) Se Q è una quadrica a centro, allora una matrice di tipo diagonale associata a Q è d

265

con a , b E JR+, a~ b;

Dimostrazione. Nel caso del paraboloide, innanzitutto si osservi (tramite la matrice semi-diagonale D' associata) che >. 1 , À2 sono concordi (risp. discordi) se e solo se det A< O (risp. det A> O). Si noti inoltre che, moltiplicando per (-2d')·- 1 , la equazione di Q indotta dalla matrice semi-diagonale D' (rispetto ad R) assume la forma:

Z=~-X2

~.y2_

-2d' + -2d' Ciò prova che, scambiando eventualmente tra loro l'asse X e l'asse Y e cambiando eventualmente orientazione all'asse Z del riferimento R, la equazione di Q rispetto ad R assume esattamente la forma del caso (a1) se À1, À2 sono concordi (ovvero se det A< O), e la forma del caso (a2) se >. 1 , À2 sono discordi (ovvero se det A> O). Nel caso delle quadriche a centro, innanzitutto si osservi (applicando alla matrice diagonale D associata il criterio contenuto nella Proposizione 12.29) che gli autovalori Ài, >. 2 , >. 3 di Moo sono tutti dello stesso segno (risp. sono non tutti dello stesso segno) se e solo se Q è un ellissoide (risp. un iperboloide).

Si noti inoltre che, moltiplicando per (d)- 1

=

Àl

~~2 ~ >.3 ,

la equazione di Q indotta

dalla matrice diagonale D (rispetto ad R) assume la forma: (>.1)

2

· >.2 · >.3 . x2

det A

+ (>.2) 2 · >.1 · >.3 det A

. y2

+ (À3) 2 · >.1 · >.2 det A

. z2

= -1.

266


Ciò prova che, scambiando eventualmente tra loro gli assi del riferimento R: • se Q è un iperboloide (ovvero se ,\ 1 , ,\ 2 e ,\ 3 non hanno tutti lo stesso segno) e det A O, la equazione di Q rispetto ad R assume esattamente la forma del caso (b2); • se Q è un ellissoide (ovvero se .Xi, ,\2 e ,\ 3 hanno tutti lo stesso segno) e det A < O, la equazione di Q rispetto ad R assume esattamente la forma del caso (ci); • se Q è un ellissoide (ovvero se .Xi, ,\ 2 e ,\3 hanno tutti lo stesso segno) e det A > O, la equazione di Q rispetto ad S assume esattamente la forma del caso (c2), che corrisponde chiaramente ad una quadrica a o vuoto.


267

Lo schema riportato in Figura 12.5 riassume il metodo di classificazione, a partire da una qualunque matrice A associata alla quadrica Q, mentre le Figure 12.6, 12.7, 12.8, 12.9 e 12.10 forniscono una rappresentazione del o (non vuoto) di tali quadriche, rispetto al riferimento in cui esse assumono equazione canonica.

Aoo=O

detA

o Le proprietà delle equazioni canoniche permettono di provare la seguente

• Proposizione 12.36. Sia Q una quadrica non degenere di &3 e sia A un suo discriminante, relativo al riferimento cartesiano R. • Se det A < O, allora Q è una quadrica reale di tipo ellittico; • se det A > O, allora Q è o una quadrica immaginaria o una quadrica reale di tipo iperbolico . Dimostrazione. Se det A < O, allora Q ha equazione canonica di tipo (ai), (bi) o (ci) (si veda la Proposizione 12.35). Nel caso (ai), l'intersezione di I(Q) con il piano Z = - 1 è vuota. Nel caso (bi), l'intersezione di I(Q) con il piano Z =O è vuota. Nel caso (ci), l'intersezione di I(Q) con il piano Z = 2c è vuota. Pertanto, in tutti e tre i casi, I(Q) non contiene rette e, di conseguenza, tutti i suoi punti sono ellittici. Se invece detA >O, allora Q ha equazione canonica di tipo (a 2), (b 2) o (c 2) (si veda la Proposizione 12.35). Nel caso (c2), come già rilevato, I(Q) = 0. Nel caso (a 2), il punto P =n [1, O, O, O] è iperbolico, come è facile verificare considerando I(Q) n 7rp. Analogamente, nel caso (b 2), il punto Q =n [O, a, O, e] è iperbolico. Il Lemma 12.28 assicura quindi che, in entrambi i casi, tutti i punti i punti di Q sono iperbolici.

o Quale corollario delle Proposizioni 12.35 e 12.36, si ha il seguente:

• Teorema 12.37. (Classificazione delle quadriche non degeneri di &3 ) Sia Q una quadrica non degenere di & 3 . Allora Q appartiene ad una ed una sola delle seguenti classi: (ai) paraboloidi ellittici (o non rigati); (a2) paraboloidi iperbolici (o doppiamente rigati o a sella) ; (bi) iperboloidi ellittici (o non rigati o a due fald e); (b2) iperboloidi iperbolici (o doppiamente rigati o ad una falda); (ci) ellissoidi reali; (c2) ellissoidi immaginari (o vuoti).

o

paraboloide ellittico

det A < O

det A < O

paraboloide iperbolico

ellissoide reale

ellissoide immaginario

iperboloide iperboloide ellittico iperbolico

Figura 12.5 (Algoritmo di classificazione per le quadriche non degeneri di &3 )

Esempio 12.20. In base alla Proposizione 12.35 - o all'algoritmo di classificazione riassunto in Figura 12.5 -, il paraboloide Qi considerato nell'Esempio 12.15 è a punti iperbolici (essendo det A= 8 >O). Per la Proposizione 12.34 (caso (ii)), una matrice di tipo semi-diagonale associata a Qi è

D'

o -10 =

(:

d'

con det D' = 10d' 2 = det A= 8, da cui segue d' = di Qi è 2

-10X 2 +Y +

~Z=O,

d')

oo o o 1 o , o o o

owero

Jg.

Allora, una equazione canonica

x2 y2 Z -. - 2./5- -4./5 25

-5-

268

12. ELEME NTI DI TEORIA DELLE CONICHE E DELLE QUADRICHE


269

~z

z

'

...

- - - - - - -:-' - - - - -'

y

y Paraboloide ellittico

Figura 12.6

Iperboloide ellittico

Figura 12.8

~z '

-------' ' '

'

'' '

Paraboloide iperbolico

'

-------:-&---y - - - + - - - - - -).- - - - - - t - - - - ,'

Figura 12.7

Esempio 12.21. In base alla Proposizione 12.35 - o all'algoritmo di classificazione riassunto in Figura 12.5 -, l'ellissoide Q2 considerato nell'Esempio 12.15 è non vuoto (essendo det A = - 15 < O) . Per la Proposizione 12.34 (caso (i)) , una matrice di tipo diagonale associata a Q 2 è

D=

(n H). o o o

con det D di Q2 è

= 3d = det x

2

A= -15, da cui segue d

+ Y + 3z 2

2

5=

o,

Figura 12.9

3

= -5. x2

-

Iperboloide iperbolico

owero

Allora , una equazione canonica y2

z2

-5+ -5+ - = 1. Q 3

Esempio 12.22. In base alla Proposizione 12.35 - o all'algoritmo di classificazione riassunto in Figura 12.5 -, l' iperboloide Q3 considerato nell'Esempio 12.15 è a punti iperbolici (essendo det A = 24 > O) .

270


y

X

Ellissoide reale

Figura 12.10

Per la Proposizione 12.34 (caso (i)), una matrice di tipo diagonale associata a Q3 è

(~

271

• se Q è un iperboloide iperbolico, du e assi di Q contengono du e vertici ciascuno, mentre l'altro asse non interseca I (Q); • se Q è un ellissoide reale, ogni asse di Q contiene due vertici. o

z

D


uI)

con det D = -3d = det A = 24, da cui segue d = -8. Allora, una equazione canonica di Q3 è x2 y2 z2 ovvero - + - - - = l . x 2 + 3y2 - 3z 2 - s = o, 8 §. 8 3

Inoltre, dalle equazioni canoniche delle quadriche non degeneri è possibile visualizzare facilmente la eventuale presenza di assi di rotazione (ovvero, di autovalori di molteplicità maggiore di uno per il minore Moo di qualunque matrice associata): • un paraboloide ellittico risulta di rotazione attorno al suo (unico) asse se e soltanto se, nella sua equazione canonica, si ha a = b; • un paraboloide iperbolico non può mai essere di rotazione; • un iperboloide ellittico risulta di rotazione attorno al suo asse contenente i vertici se e soltanto se, nella sua equazione canonica, si ha a = b; • un iperboloide iperbolico risulta di rotazione attorno al suo asse non contenente vertici se e soltanto se, nella sua equazione canonica, si ha a = b· ' • un ellissoide (reale o immaginario) risulta di rotazione attorno ad un suo asse se e soltanto se, nella sua equazione canonica, si ha o a = b, o b = c. Si noti infine che la equazione canonica di un ellissoide reale Q di E3 ha i coefficienti di X 2 ' di Y 2 e di Z 2 coincidenti (e quindi, il suo o è costituito da tutti e soli i punti equidistanti dal centro di Q) se e solo se, in qualunque matrice A associata a Q, il minore M 00 ammette tre autovalori coincidenti; ciò permette di ottenere la seguente caratterizzazione delle sfere 13 all'interno delle quadriche dello spazio euclideo. • Proposizione 12.39. Una quadrica Q di E3 è una sfera se e soltanto se, qualunque matrice associata A, si ha det A < O

e

Moo

~ (H

D

con

>.

E JR. -

in

una

{O}. o

Le equazioni canoniche delle quadriche non degeneri e non vuote permettono di ricavare facilmente alcune proprietà del o che, essendo indipendenti dal riferimento scelto, possono essere formulate in termini generali. • Proposizione 12.38. Sia Q una quadrica non degenere di E3 . Allora, ogni piano principale di Q è piano di simmetria12 per il o proprio Ip ( Q). Inoltre: • se Q è una quadrica a centro, il centro C è centro di simmetria per il o proprio Ip (Q); • se Q è un iperboloide ellittico, un asse di Q contiene due vertici, mentre gli altri due assi non intersecano I( Q) ; 12Ciò significa che p er ogni piano principale 7r di Q e per ogni punto P E Ip(Q) , anche P ' E Ip(Q), ove P ' = s7r(P) indica il simmetrico d i P rispetto a l piano 7r (Definizione 9.21).

La sfera risulta quindi l'unica quadrica non vuota di rotazione attorno al suo centro.

13 Come noto, si definisce sfem di centro Ce raggio r §

2

= {P E

t:

3

I

> O l' insieme

d(P, C) = r}.

Se si sceglie in t: 3 un riferimento cartesiano avent e origine coincidente con C, a llora l'equazione di § 2 diventa, ovviamente: §2 ; x2

+ y2 + z2

= r2.

APPENDICE A

Equazioni algebriche

1. Radici di un polinomio

Sia lK una campo e sia JK[t] l'anello dei polinomi nella indeterminata t, a coefficienti in lK (§ 6 del Capitolo 2). • Teorema A.I. (Algoritmo euclideo della divisione) Dati J(t), g(t) E JK[t], con g(t) -=I- O, esiste una ed una sola coppia (q(t), r(t)) E JK[t] x JK[t] tale che:

(i) J(t) = g(t) · q(t) + r(t); (ii) gr(r(t)) < gr(g(t)) .

Dimostrazione. Supponiamo J(t) = amtm+· · ·+ait+a0 , g(t) = bntn+· · ·+bit+bo, con gr(f(t)) = m, gr(g(t)) = n ~O. Esistenza. Se m < n (in particolare, se f (t) = O), basta porre q(t) = O, r(t) = f (t). Supponiamo allora m ~ n ~ O e dimostriamo l'esistenza della coppia (q(t), r(t)) applicando il Principio d'induzione (§ 1 del Capitolo 1) sul grado mdi f(t). Se m =O, allora f (t) = ao e g(t) = bo -=I- O, basta allora porre q(t) = a0 b0i, r(t) = O. Se m = 1, allora f(t) = ait + ao . Se g~t) = b0 -=I- O (risp. g(t) = bit+ b0 , con bi -=I- O) basta scegliere q(t) = aibi)it + aobi)i, r(t) =O (risp. q(t) = aib!i· r(t) = ao - aibob!i) . Supponiamo ora provata l'esistenza della coppia (q(t), r(t)) per tutti i gradi k < m. Il coefficiente di tm nel polinomio

p(t)

=

J(t) - (amtm-n)(b;;-i · g(t))

è am - amb;:;ibn =O; quindi gr(p(t)) < m. Per l'ipotesi induttiva, si ha dunque:

p(t) Posto q(t)

=

g(t) · s(t) + r(t),

con gr(r(t))

< n.

= s(t) + amb;:;itm-n, si ha allora: J (t) = p(t) + (amb;;-itm-n)g(t) = =

=

+ r(t) + (amb;;-itm-n)g(t) = = g(t)(s(t) + amb;;-itm-n) + r(t) = g(t) · q(t) + r(t), con gr(r(t)) < n, g(t) · s(t)

come richiesto. Unicità. Supponiamo

f(t) = g(t) · q(t)

+ r(t) = g(t) · q'(t) + r'(t),

A. EQUAZIONI ALGEBRICHE

274

con gr(r'(t) - r(t)) < gr(g(t)).

Per la Proposizione 2.3 (c), ciò implica q(t) - q'(t) = O. Quindi q(t) = q'(t), r(t) = r'(t).

o

Con le notazioni del precedente Teorema, i polinomi q(t) ed r(t) sono rispettivamente detti quoziente e resto della divisione di f(t) per g(t). Esempio A.1. Il seguente schema : 3t4 - 2t 3 -(3t 4 Il

-

-

t2 + t - 3

3t3 + 6t 2 )

t2

-

3t 2

-

4t + 3 = (t - 1) 2 (t 2 + 2t + 3) E IR[t]

= antn +

· · · + a1t + a0

p(a) = anan + · · · + a1a + ao =O.

Il -6t - t - 3 -(- 6t 2 + 6t - 12)

La scrittura (A.l)

-7t+9 2

illustra l'algoritmo euclideo per la determinazione del quoziente q(t) = 3t + t - 6 e del 2 resto r(t) = -7t + 9 della divisione di f (t) = 3t4 - 2t 3 - t 2 + t - 3 per g(t) = t - t + 2. Si .noti la completa analogia con l'algoritmo euclideo per il calcolo del quoziente e del resto della divisione in N tra due numeri naturali .

+ Definizione A.1. Se f(t) , g(t) E JK[t], con g(t) =/:-O, si dice che f(t) è divisibile per g(t) se il resto della divisione di f(t) per g(t) è il polinomio nullo O. Si dice anche, in tal caso, che f (t) è un multiplo di g(t) o che g(t) è un divisore di f (t). Ad esempio, i polinomi t - 1, (t -1) 2 , t 2 + 2t + 3, (t - l)(t 2 + 2t + 3) E IR[t] sono tutti divisori del polinomio t 4 - 4t + 3 E IR[t]. Si ha infatti: -

t4

+Definizione A.3. Si dice radice o zero del polinomio p(t) ogni elemento a E JK, tale che

2

t4

Ad esempio, il polinomio

6

t 3 - 7t 2 + t - 3 -(t 3 - t 2 + 2t)

Il

Si osservi che i polinomi di primo grado sono tutti irriducibili.

non è irriducibile. Invece, come si proverà in seguito (Corollario A.6), t 2 + 2t + 3 E IR[t] è un polinomio di secondo grado irriducibile (su JR).

t+ 2

+t -

275

+ Definizione A.2. Un polinomio f (t) E JK[t] di grado n ?: 1 si dice irriducibile (su JK) se è privo di divisori non banali. In altre parole, f (t) E JK[t], con gr(f (t)) ?: 1, è irriducibile se f (t) = g 1 ( t) · g2 ( t) implica gr(g 1 (t)) =O oppure gr(g 2 (t)) =O.

con gr(r(t)), gr(r'(t)) < gr(g(t)). Si ha allora:

g(t)(q(t) - q'(t)) = r'(t) - r(t),

l. RADICI DI UN POLINOMIO

4t + 3 = (t - l)(t - l)(t 2 + 2t + 3).

.,. Osservazione A.1. Ogni polinomio f(t) E JK[t] è divisibile per se stesso e per ogni polinomio di grado zero (cioè per ogni elemento non nullo di JK); inoltre, se f(t) è divisibile per g(t) =/:- O, allora, per ogni a E JK* = JK- {O}, f(t) è divisibile per a· g(t). Per tale motivo, per ogni a E JK*, i polinomi a, a · f (t) E JK[t] sono detti divisori banali di f (t) .

antn+···+a1t+ao=O

viene detta equazione algebrica associata a p(t); il grado ed i coefficienti di p(t) sono anche detti grado e coefficienti dell'equazione algebrica associata. Si usa anche dire che a E lK è una radice di p(t) se e solo se, sostituita alla indeterminata t, "soddisfa" l'equazione (A.l) . .,. Osservazione A.2. Ogni polinomio di ·grado O non ammette radici, mentre ogni elemento di lK è radice del polinomio nullo. Ogni polinomio di primo grado p(t) = a 1t + a0 E JK[t] ammette come unica radice a = -a! 1 ao. Quest'ultimo risultato, di immediata verifica, è una riformulazione dell'Osservazione 6.6, una volta rilevato che le equazioni algebriche di primo grado coincidono con le equazioni lineari in un'unica incognita (Definizione 6.1). • Proposizione A.2. (Teorema di Ruffini 1) Un elemento a E lK è radice del polinomio p(t) E JK[t] se e solo se p(t) è divisibile per (t - a).

Dimostrazione. Per il Teorema A.l, esiste una ed una sola coppia (q(t), r(t))

E

JK[t] x

JK[t] tale che:

p(t) = (t - a)q(t) + r(t), con gr(r(t)) < 1. Pertanto, il polinomio r(t) è identificabile con un elemento r E lK (Osservazione 2.3); si può quindi scrivere: p(t) = (t - a)q(t) + r . Supponiamo ora che a sia una radice di p(t). Si ha allora O= p(a) = (a - a)q(a)

+ r =O · q(a) + r = r

1 Paolo Ruffini: matematico e medico italiano (Valentano di Roma, 1765 - Modena, 1822).


276

e quindi p(t) = (t - a)q(t). Ciò prova che p(t) è divisibile per (t - a). Viceversa, se p(t) è divisibile per (t - a), si ha r =O e quindi p(a) = (a - a)q(a) O· q(a) =O.

= D

Si osservi che dal Teorema di Ruffini segue subito che un polinomio irriducibile di grado n > 1 non ammette radici.

+ Definizione

A.4. Un elemento a E lK si dice radice di molteplicità s E N del polinomio p(t) E JK[t] se p(t) = (t - a)

8

•

q(t),

Ad esempio, l'unità 1 di JR. è radice del polinomio p(t)

=1

-

4. 1+3

= 1-

= t4

4+ 3

-

4t + 3 E JR.[t]; infatti si ha:

=o.

D'altra parte, il risultato è conseguenza diretta del Teorema di Ruffini, avendosi , come già rilevato: p(t) = (t - 1) 2 (t 2 + 2t + 3). Poichè, posto q(t) = t 2 + 2t + 3 E JR.[t], si ha : q(l)

Dimostrazione. Applichiamo il Principio d'induzione sul grado n di p(t) . Se n = 1, il risultato è evidente. Supponiamo il Teorema dimostrato per tutti i polinomi di grado < n. Poichè lK è algebricamente chiuso, p(t) ammette almeno una radice a E lK e quindi, per il Teorema di Ruffini, si ha: p(t)

=

(t - a) · q(t),

con gr(q(t))

=n-

1.

Poichè, per l'ipotesi induttiva, la somma delle molteplicità delle radici di q(t) è n - 1, si ha allora:

= 1+

(n - 1) = n. D

Si osservi che 1 tenuto conto del Teorema di Ruffini, a è radice di molteplicità s di p(t) se e solo se p (t) è divisibile per (t - a) 8 , ma non per (t - 0) 5 + 1.

p(l)

277

con q(a) =f O.

Se s = 1, 2, 3, si dice rispettivamente che a è radice semplice, doppia, tripla di p(t); se s > 1, si parla, genericamente, di radice multipla.

4

2. EQUAZIONI ALGEBRICHE A COEFFICIENTI REALI O COMPLESSI

= 1+2+3 = 6 =t o,

tale uguaglianza prova inoltre che 1 è radice doppia del polinomio p(t).

..,. Osservazione A.3. Se n polinomi di primo grado e quindi avrebbe grado maggiore di n.

+Definizione A.5.

Un campo si dice algebricamente chiuso se ogni polinomio p(t) E JK[t] di grado n >O ammette almeno una radice. ..,. Osservazione A.4. Dal Teorema di Ruffini segue subito che gli unici polinomi irriducibili su un campo algebricamente chiuso sono i polinomi di primo grado.

• Teorema A.3. Sia lK algebricamente chiuso. Se p(t) E JK[t] ha grado n la somma
> O, allora

2. Equazioni algebriche a coefficienti reali o complessi

Nel presente paragrafo, riguardante i polinomi a coefficienti nel campo JR. dei numeri reali o nel campo C dei numeri complessi (Esempi 2.3, 2.3 bis, 2.8), JR. sarà sempre identificato con il sottocampo i= {z =a+ ib E e I b =O} di c. Si ricordi (Esempio 5.4) che l'applicazione coniugio, che associa ad ogni numero complesso z = a+ ib il suo coniugato z = a - ib, è un isomorfismo del campo C in sè e si osservi che JR. (o, più propriamente, i) è il sottocampo di C costituito dagli elementi z autoconiugati, cioè tali che z = z. ..,. Osservazione A.5. Sia p(t) = at 2 + bt + c un polinomio di secondo grado a coefficienti in JR. e sia D. = b2 - 4ac il suo discriminante. È noto che: -b± VE (i) se D.> O, allora p(t) ammette le due radici reali distinte - - - 2a . b se D.= O, allora p(t) ammette la radice reale ; (ii) 2a (iii) se D. < O, allora p(t) non ammette radici reali; tuttavia, pensato p(t) come polinomio a coefficienti in C, esso ammette le due radici complesse coniugate -b±iyCK 2a Il caso (iii) prova che il campo JR. dei numeri reali non è algebricamente chiuso.

È possibile dimostrare invece (si veda, ad esempio: S. Mac Lane, G. Birkhoff, Algebra, Mursia, Milano 1975) il seguente importante risultato: • Proposizione A.4. (Teorema fondamentale dell'algebra) Il campo C dei numeri complessi è algebricamente chiuso2 . Valgono quindi, per il campo C, l'Osservazione A.4 ed il Teorema A.3 . • Teorema A.5. Se z E C è radice del polinomio p(t) E JR.[t] coniugato z E C di z è radice di p( t).

ç C[t], allora anche il

2Più precisamente, IC è il più piccolo campo algebricamente chiuso contenente R quale sottocampo. Si usa esprimere tale proprietà dicendo che IC è la chiusura algebrica di R.

A . EQUAZIONI ALGEBRICHE

278

Dimostrazione. Essendo z radice di p(t) , si ha p(z) = O e quindi anche p(z) = O. Posto p(t) = antn + · · · + a1t + ao, per ogni i E N U {O}, si ha ai E JR e dunque ai = ai. Dal momento che il coniugio è un isomorfismo del campo e in sè, si ha allora:

2. EQUAZIONI ALGEBRICHE A COEFFICIENTI REALI O COMPLESSI

279

coppia di coefficienti consecutivi (ai, ai+i) si chiamerà permanenza (risp. variazione) se i due coefficienti hanno lo stesso segno (risp. segno opposto) . •Teorema A. 7. (Teorema di Harriot 3-Cartesio) fl numero di permanenze (risp. variazioni) del polinomio p(t) E JR[t] supera di un numero pari, positivo o nullo la somma delle molteplicità delle radici negative (risp. positive) di p(t).

O= p(z ) = anzn + · · · + a1z + ao = ZinZn + · · · + Zi1:Z +Zio= Ciò prova che anche

z

an:Zn + · · · + a1z + ao = p(z). è radice di p(t) .

Ad esempio, il pol inomio

o

• Corollario A.6. Gli unici polinomi irriducibili di JR[t] sono i polinomi di primo grado e i polinomi di secondo grado aventi discriminante negativo. Pertanto, se p(t) E JR[t] ha grado n > O, allora: (a) p(t) è prodotto di polinomi di primo grado e/o polinomi di secondo grado aventi discriminante negativo; (b) se n è dispari, p(t) ammette almeno una radice reale. Dimostrazione. Se f (t) E JR[t] è irriducibile e ha grado n > 1, allora f (t) non ammette radici reali. Per il Teorema fondamentale dell'algebra, f(t) ammette almeno una radice complessa z = a + ib, con b -f. O, e quindi, per il Teorema A.5, anche la radice z = a - ib. P ertanto, f (t) è divisibile per il polinomio di secondo grado g(t) = (t - z )(t - z ) = (t - a - ib)(t - a+ ib) =

t 2 - 2at + (a 2 + b2 ) E JR[t], avente discriminante~= -4b 2 < O. Si ha quindi, essendo f (t) irriducibile:

f (t)

= c · g(t),

con c E R

Ciò prova la prima parte dell'enunciato, di cui le affermazioni (a) (b) sono immediata conseguenza.

o

Ad esempio, poichè il discriminante del polinomio q(t) = t 2 +2t+3 E JR[t] è~= -8
q(t) = (t + 1 - iv'2) (t + 1 + iv'2).

Dato un polinomio p(t) E JR[t], p(t) = a 0 + a 1t + · · · + antn, con ao i- O, si assegni ad ogni eventuale coefficiente nullo un segno + o - in modo arbitrario ma fissato. Ogni

p(t) = 3J2 - 3t - J2t 2 + t 3 E JR[t],

avendo successione dei coefficienti (3.,,/2, - 3, -.,,/2, 1), ha 2 variazioni ed una permanenza; quindi, avrà sicuramente una radice negativa e zero o due radici positive. Per il polinomio q(t ) = -6 - t2 + t 4 E JR[t], la successione di coefficienti può essere considerata (-6, +0, -1, +0, + 1) (avendo assegnato arbitrariamente segno + ad entrambi i coefficienti nulli), che presenta tre variazioni ed una permanenza; quindi, q(t) ammette una radice negativa e una o tre radici positive. Si noti che, per quanto riguarda il polinomio q(t), una diversa assegnazione dei segni ai coefficienti nulli avrebbe cambiato il conteggio. Ad esempio, considerando la successione (-6, -0, -1, +0, + 1), otterremmo tre permanenze e una variazione, facendoci prevedere una rad ice positiva ed una o tre radici negative. Dal confronto con la deduzione precedente possiamo ricavare che sicuramente q(t) ammette esattamente una radice positiva ed una radice negativa, mentre le altre due (contate una volta come negative ed una volta come positive) sono in realtà complesse coniugate.

.,.. Osservazione A.6. Il problema della determinazione di procedimenti generali per trovare tutte le radici di un qualsiasi polinomio di grado n a coefficienti in JR (o in C), facendo uso unicamente delle operazioni elementari e della estrazione di radice (noto come problema della risolubilità per radicali di una equazione algebrica), ha influenzato, per molti secoli, lo sviluppo delle ricerche di "algebra". Mentre la formula risolutiva per le equazioni algebriche di secondo grado è sicuramente nota fin dal I secolo a .C. (Erone di Alessandria), solo intorno al 1500 sono state trovate formule generali di risoluzione "per radicali" di equazioni algebriche di grado tre (formule di Tartaglia-Cardano4) e quattro (formule di Ferrari5 ). Il problema fu poi completamente risolto, sia pure in senso negativo, nella prima metà del secolo scorso, grazie all'opera di Ruffini, Abel e Galois 6 , che provarono l'impossibilità di determinare procedimenti generali di risoluzione "per radicali" delle equazioni algebriche di grado ;:=: 5 (a coefficienti in JR o in C). Il problema della effettiva ricerca delle radici di un polinomio di grado n si presenta quindi, in generale, di non semplice soluzione. 3 Thomas Harriot: astronomo, etnografo e matematico inglese (Oxford, 1560-1621). 4 Gerolamo Cardano: matematico, medico e filosofo ita liano (Pavia, 1501 - Roma, 1576) . 5 Lodovico Ferrari: matematico italiano (Bologna, 1522-1565). 6 Evariste Calais: matematico se (Boug-La-Reine, 1811 - Parigi, 1832).


280

Il seguente risultato permette di determinare le eventuali radici razionali di un polinomio a coefficienti interi. • Teorema A.8. Sia f(t) E Z[t], f(t) = a 0 + a 1t + · · · + antn. Le eventuali radici razionali di f (t) sono della forma ~, dove p è un intero divisore di ao e q è un intero divisore di an.

APPENDICE B

Forme bilineari e quadratiche

Ad esempio, se

f(t) = 15 - 2t - 61t2 + 8t 3 + 4t le eventuali radici razionali di f (t) appartengono alla lista :

4

,

1 1 3 3 5 5 15 15 ±l, ±2, ±4, ± 3, ±2, ±4, ± 5, ±2, ±4 , ±l 5, ±2, ±4.

1. Matrici simmetriche

Una verifica diretta permette di affermare che, tra questi "candidati", sono radici + ~, -~. +3 e -5; essendo tante quanto il grado di f(t), queste sono dunque tutte (e sole) le radici di f (t). Se invece

Nel presente paragrafo, yn indicherà sempre uno spazio vettoriale euclideo di dimensione n; il simbolo Sn(IR) denoterà invece l'insieme delle matrici simmetriche reali sul campo JR dei numeri reali.

g(t) = 6 - 9t - 8t2 + 3t 3 + 2t4 , le eventuali radici razionali di g(t) appartengono alla lista : 1

3

±1, ±2, ±2, ±3, ±2, ±6. Una verifica diretta permette di affermare che, tra questi "candidati", sono radici solo+~ e -2; tramite il Teorema di Ruffini (Proposizione A.2) si ottiene poi 1 2

g(t) = (t- 2)(t + 2)(2t

da cui si ricavano le ulteriori radici (irrazionali reali):

-

6),

±J3.

• Teorema B.1. Sia A E Sn(IR) una matrice simmetrica reale e sia T: yn -+ yn l'operatore lineare 1 associato ad A rispetto ad una base ordinata ortonormale l3 di yn. Allora, T ammette una base spettrale ortonormale. ... Osservazione B.1. Il Teorema B.l è equivalente al Teorema 7.14 di diagonalizzazione delle matrici simmetriche per similitudine, mediante una matrice ortogonale. Infatti i3 è una base spettrale per T se e solo se MB(T) =A è diagonale (Osservazione 7.3). Pertanto i3 è una base spettrale ortonormale se e solo se esiste una matrice ortogonale E E On(IR), cambiamento di base da l3 a B, tale che

E- 1 ·A·E = tE·A·E =A. Dimostrazione del Teorema B.1 . P asso I - Siano >. 1 , ... , Àh gli "autovalori complessi" di A (o di T), ovvero le radici (complesse) del polinomio caratteristico ~A(t) = ~r(t) = t ·In - A. Mostriamo innanzitutto che gli autovalori >. 1 , ... , Àh sono reali. P er ogni i = 1, ... , h, se ui è un autovettore non nullo relativo all'autovalore Ài e (ui) è la colonna delle sue componenti rispetto alla base ortonormale fissata !3, vale ovviamente la relazione: (1) A(ui) = Ài(ui)· Applicando il coniugio 2 ad entrambi i membri della relazione (1) (ed osservando che A= A, poichè A E Sn(IR)), si ottiene : (2) A(ui) = ~i(ui) · Moltiplicando a sinistra la (1) per t(ui) e la (2) per (ui) , si ottengono poi le relazioni: 1Si noti che se un operatore T : y n -+ y n ammette come matrice associata, rispetto ad una fissata base (ordinata) ortonormale, una matrice simmetrica A, allor a ogni matrice associata a T rispetto ad una base ortonormale risulta simmetrica: infatti, se A' = E- 1 AE = t EAE, con E E On(R) ed A E Sn(R), allora tA' = t(tEAE) = tEtAE = tEAE =A'. G li operatori associati - rispetto a basi ortonormali - a matrici simmetriche vengono usualmente detti operatori simmetrici, e sono caratterizzati dalla seguente proprietà:

< T(u), v >=<

u, T(v) >,

'v'u , v E y n.

2a denota il complesso coniugato del numero complesso a, mentre A indica la matrice coniugata di A, ovvero la matrice avente per elementi i coniugati degli elementi di A.

B. FORME BILINEARI E QUADRATICHE

282

(l')

t(ui)A(ui)

=

Ài t(ui)(ui);

(2')

t(ui)A(ui) =>:i t(ui)(ui)·

Trasponendo (1') si ottiene la relazione (1") t(ui)A(ui) = Ài t_f ui)(ui)i infine, sottraendo membro a membro le relazioni (1") e (2'), si ottiene (.Xi -.Xi)· t(ui)_(ui) =O. Poichè t(ui)(ui) è sicuramente non nullo (essendo Ui ~O), ne consegue Ài = Ài, ovvero Ài E JR. o II - Mostriamo ora, per induzione sulla dimensione n dello spazio vettoriale yn (ovvero sull'ordine della matrice A), che T ammette una base spettrale ortonormale. Se n = 1, il risultato è banalmente vero. Supponiamo quindi che il Teorema sia vero per ogni spazio vettoriale euclideo di dimensione k - 1 e dimostriamolo per ogni spazio vettoriale di dimensione k (2 ::; k ::; n) . A tale scopo, sia À1 un autovalore (reale) di T ed u 1 un autovettore non nullo di U >." Si completi ora u1 ad una base B' = (ui, g 2 , ... , gk) di Vk; il procedimento di Gram-Schmidt (Proposizione 8.5) applicato a B' produce una base ortonormale B' = (e1, f2, .. . , fk), in cui e 1 = ~! è ancora un autovettore di U >. 1 . Il sottospazio J_ { ei} = L( f2, ... , fk) ha 11 11 dimensione k - l; inoltre, la matrice associata all'operatore T, ristretto a tale sottospazio, è ancora una matrice simmetrica. Per l'ipotesi induttiva, esiste quindi una base spettrale ortonormale (e 2 , . . . , ek) di J_ { e 1 } (relativa alla restrizione di T). La k-pla (e 1 , e 2 , . . . , ek) è dunque una base spettrale ortonormale di yk (relativa allo operatore T).

o

3. CONGRUENZA DI MATRICI SIMMETRICHE

• Proposizione B.2. Una applicazione q : V -t JR è una forma quadratica se e solo se: (i) Vv E V, V.X E JR, q(.Xv) = .X 2 . q(v); (ii) l'applicazione

Dimostrazione. Se q soddisfa le condizioni (i) e (ii), allora

o La forma bilineare simmetrica

2. Forme bilineari, quadratiche e matrici simmetriche associate

Una applicazione : V x V -t JR è detta forma bilineare su V se, Vu, v, w E V, V.X E JR, (u

+ v, w) = (u, w) + (v, w);

(w, u

+ v)

= (w, u)

(.Xv, w) = (v, .Xw) =

À ·

(v, w).

Una forma bilineare è detta simmetrica se, Vv, w E V,

Ad esempio, se n

=2

e QB(q)

+ (w, v); (v, w)

q(u)

=

=

A è anche detta matrice di Grarti della forma quadratica q o della forma bilineare
Nel seguito, V (risp. vn) indicherà uno spazio vettoriale (risp. uno spazio vettoriale di dimensione n) sul campo JR dei numeri reali. 3

+Definizione B.1.

283

=

(x1

Gn'

allora :

G n(~~) = GDG~) = xi+

x2)

x2)

=

q(u) = t(x)A(x).

X1Y1

+ 2x2y1 + 2x1y2 + 3x2y2;

4x1x2

+ 3x~.

(w, v).

Si osservi che ad ogni forma bilineare si può associare una forma bilineare simmetrica 8 , ponendo, Vu, v E V, 8 (u, v) = H(u, v) + (v, u)). 3. Congruenza di matrici simmetriche

+ Definizione B.2.

Una applicazione q : V -t JR è detta forma quadratic;a su V se esiste una forma bilineare simmetrica : V x V -t JR tale che, Vv E V, si abbia: q(v) = (v, v).

+ Definizione B.3.

Due matrici simmetriche A, A' E Sn(JR) sono dette congruenti se esiste una matrice regolare E E GLn(JR) tale che

A'= tEAE. 3La maggior parte delle considerazioni valgono anche in un qualunque campo IK di caratteristica =fa 2 (si veda la Definizione 2.6).

Si noti che la congruenza è una relazione di equivalenza su Sn(JR).


284

4. FORME CANONICHE

285

• Proposizione B.3. A, A' E Sn(JR) sono congruenti se e solo se esistono una forma quadratica q: vn -t JR e due basi B, B' di vn, tali che A= Q5(q), A'= Q51(q).

4. Forme canoniche

Dimostrazione. Sia q: vn -t JR una forma quadratica e siano B, B' due basi ordinate di vn, tali che A= Q5(q), A'= Q51(q). Per ogni V E vn, indicate con (x) e (x') le colonne delle componenti di v rispetto a B e B', si ha:

Data una matrice simmetrica A E Sn(JR), si dice indice (di positività) a+(A) di A la somma delle molteplicità algebriche degli autovalori positivi di A. Si dice invece sigla o indice di negatività a_ (A) di A la somma delle molteplicità algebriche degli autovalori negativi di A. Evidentemente, a+(A) + a_(A) = e(A). La coppia a(A) = (a+(A), a_(A)) è detta segnatura di A . 4

q(v)

= t(x) ·A· (x) = t(x') ·A'· (x').

Se E E GLn(JR) è la matrice del cambiamento di base da Ba B' (Definizione 5.7), si ha inoltre: (x') = E· (x) . Si ottiene quindi q(v) = t(x'). A'. (x') = t(E · (x)) ·A'· (E· (x)) = t(x)

• Teorema B.6. Se A E Sn(JR) ha segnatura (p, q), allora A è congruente alla matrice diagonale

·e E· A· E)· (x);

ciò dimostra che A' = t E · A· E, cioè che A e A' sono congruenti. Il viceversa si prova in modo analogo, invertendo il procedimento.

Dp,q=diag(+l, . .. ,+l,-1, ... ,-l, 0, ... ,0 ). p volte q volte n-p-q volte

o

• Proposizione B.4. Matrici congruenti hanno lo stesso rango. Dimostrazione. E' sufficiente osservare che, se F E GLn(JR), allora = e(F ·A)= e(A), per ogni matrice A E Mn(JR).

e(A · F)

Dimostrazione. Per il Teorema B.1, esiste una matrice ortogonale E E On(JR) tale che t E · A · E = A è diagonale, e A ha sulla diagonale gli autovalori di A, ciascuno contato con la sua molteplicità (algebrica e geometrica). La matrice A sarà quindi del tipo diag(>.i, ... , Àp, Àp+I, . . . , Àp+q, O, ... , O), con Ài > O, 1 :S i :S p, e Àj < O, p

+ 1 :S j :S p + q.

La matrice F = diag(

o

La Proposizione B.4 consente di definire rango e(q) di una forma quadratica q il rango di una qualsiasi matrice simmetrica associata a q. Una base B di vn è detta diagonalizzante per la forma quadratica q : vn -t JR se la matrice Q5(q) è diagonale. Una matrice simmetrica A E Sn(JR) è detta diagonalizzabile per congruenza se è congruente ad una matrice diagonale. Evidentemente, q ammette una base diagonalizzante se e solo se A= Q5(q) è diagonalizzabile per congruenza. • Teorema B.5. Ogni matrice simmetrica A E Sn(JR) è diagonalizzabile per congruenza. Dimostrazione. Per il Teorema B.l, per ogni matrice simmetrica A E Sn(JR) esiste una matrice ortogonale E E On(JR) tale che E- 1 ·A· E = t E· A· E è diagonale. Pertanto, lo stesso teorema dimostra contemporaneamente che A è diagonalizzabile per congruenza.

b, ... , vrb• 1, ... , 1) è regolare e si ha l>-1 I l>-,,+o I

tF·A·F = diag(+l, ... ,+l,-1, ... ,-1, 0, ... ,0 ). p volte q volte n-p-q volte

o Vale inoltre il seguente importante risultato: • Teorema B. 7. (Principio d'inerzia di Sylvester5 ) Due matrici simmetriche A, BE Sn(JR) sono congruenti se e solo se hanno la stessa segnatura. Dimostrazione. Supponiamo che A ed A' siano congruenti; allora, per la Proposizione B.4, A ed A' hanno lo stesso rango (!. Sia ora (p, q) (risp. (p', q')) la segnatura di A (risp. di A'), con p + q = p' + q' = (!. Sia poi Dp,q (risp. Dp' ,q') la forma diagonale di A (risp. di A') individuata nel Teorema B.6; poichè A ed A' sono congruenti, anche Dp,q e Dp' ,q' sono congruenti. Esiste pertanto una forma quadratica q e due basi ordinate B = (e 1 , .. . , en) e B' = (e~, ... ,e~) di vn tali che Dp,q = Q5(q), Dp' ,q' = Q81(q) . Per ogni V E vn, posto V =.5 (x 1 , .. . ,xn), V =.51 (y 1 , ... ,yn), si ha allora:

o

p

q(v) ..,. Osservazione B.2. Se vn è uno spazio vettoriale euclideo, lo stesso Teorema B.l assicura che q ammette una base diagonalizzante ortonormale. Infatti, se B è una base ortonormale di vn ed A= Q8 (q), il Teorema B.1 assicura l'esistenza di una matrice ortogonale E, per cui t E· A. E = A è diagonale. La base f3 tale che Q13(q) =A è la base ortonormale diagonalizzante cercata.

y

=

L i=l

q

(xi)2 - L (xP+J)2 j=l

4Si noti che la segnatura della matrice A E Sn(IR) può essere calcolata direttamente dal polinomio caratteristico LlA(t) mediante il Teorema A.7 di Harriot-Cartesio, in virtù del fatto che tutte le radici di LlA(t) sono reali (si veda la dimostrazione del Teorema B.l, o I). 5 James Jos eph Sylvester: matematico inglese (Londra, 1814-1897) .


286

Supponendo p 2: p'' si considerino i sottospazi U P = L( e1' ... 'ep) e wn-p' = = L( e~, +l' . . . 'e~) di vn. Se V E UP n wn-p'' allora:

O~

~

p

L

(xi)2

= q(v) =

i=l

-2::: (yP'+k)

2

5. FORME E MATRICI DEFINITE

287

Vale inoltre il seguente • Lemma B.8. Una matrice simmetrica A E Sn(JR) è definita positiva se e solo se esiste una matrice regolare F E GLn(JR), tale che

A= tF·F.

k=l

e quindi x 1 = · · · = xP = O. D'altra parte, da v E U P segue xP+l = · · · = xn =O. Si ha pertanto v =O e dunque UP n w n-p' ={O}. Per la relazione di Grassmann, ricordando che si è supposto p 2: p', si ha:

Dimostrazione. A è definita positiva se e solo se esiste F E GLn(JR), tale che A = t F · In · F = t F · F. D

n ~ n + (p - p') = p + (n - p') = dim(UP E9 w n-p') ~ n e quindi p = p'. Ciò prova che A ed A' hanno la stessa segnatura. Viceversa, se A ed A' hanno la stessa segnatura (p, q), allora A ed A' hanno la medesima forma diagonale Dp,q e pertanto sono tra loro congruenti. D

Il seguente risultato fornisce un utile algoritmo per verificare se una matrice (e, dunque, una forma quadratica) è definita positiva o negativa.

• Proposizione B.9. (Criterio di Sylvester) Sia A E Sn(JR) una matrice simmetrica reale e, per ogni k E Nn, sia Mk il minore di A formato dalle prime k righe e dalle prime k colonn e.7 (a) A è definita positiva se e solo se,

't:/k E Nn,

5. Forme e matrici definite

det Mk

> O;

(b) A è definita negativa se e solo se,

+

Definizione B.4. Una forma quadratica q e/; : yn X yn -t JR sono dette:

y n -t JR

e la sua forma polare det Mk è

{

>0

se k è dispari se k è pari

• definite positive se, 't:/v E yn , q(v) = c/;(v , v) 2: O e

((q(v) = cf>(v, v) = O)

<:-=>

(v =O)); 6

• definite negative se, 't:/v E y n, q(v) = cf>(v , v) ~O

e

((q(v) = cf>(v, v) =O)

<:-=>

(v = O)).

Inoltre, q e e/; sono dette non definite se non sono nè definite positive nè definite negative. Una matrice simmetrica A E Sn(JR) è detta definita positiva (risp. negativa) se è associata ad una forma quadratica q definita positiva (risp. negativa), relativamente ad una base B di vn. Risulta evidente che q è definita positiva (risp. negativa) se e solo se la sua segnatura è (n, O) (risp. (O, n)). Quindi, una matrice simmetrica A E Sn(JR) è definita positiva (risp. negativa) se e solo se A è congruente alla matrice identica In (risp. alla matrice -In)· 6 Per definizione, il concetto di forma bilineare simmetrica definita positiva coincide con quello di prodotto scalare (si veda la Definizione 8.1).

Dimostrazione. (a) Sia q : yn -t JR la forma quadratica associata ad A, relativamente alla base B = (e 1 , ... , en) di y n. Se A, e quindi q, è definita positiva, allora è definita positiva anche la forma quadratica q', restrizione di q al sottospazio L(e 1 , ... ,ek)· La matrice associata a q', relativamente alla base B = (e 1 , ... ,ek), è Mk. Pertanto, per il Lemma B.8, 3F E GLk(JR), tale che Mk = t F ·F. Ne consegue che det Mk = det(lF · F) = det(tF) · det F = (det F) 2 >O. Supponiamo, viceversa, che 't:/k E Nn, det Mk > O. Un calcolo diretto prova che, in tal caso, A è congruente alla matrice diagonale

Il Principio d'inerzia di Sylvester (Teorema B.7) implica allora che a(A) = (n, O), cioè che A è definita positiva. Ciò conclude la prova di (a). (b) Basta osservare che A è definita negativa se e solo se -A è definita positiva, e ricordare (a). D

711 criterio rimane valido anche sostituendo a l minore Mk> 'v'k E Nn, il minore ultime k righe e dalle ultime k colonne di A.

Nh

formato dalle


288

Esempio B.1. La matrice A

si ha :

det M1

5 >O,

det M2

51 311 1

=

( ~ !3 ~1)

14

>o,

det A

9

>o.

Indice analitico

5

La matrice A'

det M{

-5

o

- 1

det

E S 3 (JR.) è invece definita negativa, in quanto si ha :

-1

M~ = 1~5

! 31= 14 >O,

det

M~

det A'

-9

5

Infine, la matrice A"

=

(~ ~ ~1) o

-1

M~'

=

E S 3 (JR.) non è nè definita positiva nè definita

-1

negativa, in quanto si ha :

det M{'

= -5

det

1~5 ~I

-16

det M~'

det A"

21

>o.

a lgebra di Boole, 30

Algoritmo euclideo della divisione, 273 anello, 23 - commutativo, 23 - unitario, 23 angolo - tra due piani, 207 - tra due rette, 169 - tra due vettori, 136 - tra un piano e una retta, 208 applicazione, 12 - biiettiva, 13 - identica, 14 - iniettiva, 13 - invertibile, 14 - lineare, 81 - suriettiva, 13 asintoto di una conica, 234 asse - di una conica, 235 - di una quadrica, 258 automorfismo, 81 autospazio, 117 autovalore, 117 autovettore, 117 baricentro, 175 base, 72 - naturale di J[(n, 76 - ordinata, 75 - ortogonale, 137 - ortonormale, 137 - spettrale, 127 biiezione, 13 cambiamento di base, 97 campo, 23 caratteristica di un anello (o di un campo), 24 cardinalità di un insieme, 18 centro - di una conica, 233

- di una quadrica, 257 chiusura lineare, 66 circonferenza, 191 classe di equivalenza, 15 classe resto, 17 codominio, 12 coefficiente di Fourier, 146 coefficienti direttori di una retta, 165 combinazione lineare - di n-ple, 28 - di vettori, 66 - di matrici , 35 complemento a lgebrico, 55 complemento ortogonale, 142 componenti di un vettore, 76 composizione, 14 conica - degenere, 227 - non degenere, 227 - non specializzata, 227 - specializzata, 227 connettivi logici, 7 controimmagine, 13 coordinate - cartesiane, 157 - omogenee, 219 coppia, 11 - conformabile, 36 - in inversione, 45 Criterio di Sylvester, 287 determinante di Gram, 145 determinante di una matrice quadrata, 48 diagonale - principale, 38 - secondaria, 38 diametro di una conica, 233 differenza tra insiemi, 10 dimensione - di uno spazio euclideo, 155 - di uno spazio vettoriale, 73

290

discriminante - di una conica, 225 - di una quadrica, 248 distanza euclidea, 170 divisibilità di polinomi, 274 dominio, 12 elementi speciali, 42 ellisse, 192 ellissoide, 255 - immaginario, 266 - reale, 266 endomorfismo, 81 equazione algebrica, 275 Equazione dimensionale per le trasformazioni lineari, 85 equazione frazionaria di una retta, 182 equazioni cartesiane - dei sottospazi euclidei, 163 - dei sottospazi vettoriali, 112 equazioni parametriche - dei sottospazi euclidei, 164 - dei sottospazi vettoriali, 114 fascio - di coniche, 244 - di piani, 209 - di rette, 186 forma - bilineare, 282 - bilineare simmetrica, 282 - quadratica, 282 - definita negativa, 286 - definita positiva, 286 Formula di Liebniz - Cramer, 105 funzione, 12 fuoco - di una ellisse, 192 - di una iperbole, 193 - di una parabola, 193 giacitura di uno spazio euclideo, 160 grado di un polinomio, 29 gruppo, 22 - abeliano (o commutativo), 22 - additivo, 22 - lineare, 40 - moltiplicativo, 22 gruppoide, 21 identità, 14 immagine, 12 - di una trasformazione lineare, 83 - inversa, 13 indice - di colonna, 33

INDICE ANALITICO

- di riga, 33 indice di una matrice simmetrica, 285 insieme - complementare, 10 - delle parti, 9 - finito, 18 - numerabile, 18 - quoziente, 16 - soggiacente, 22 insiemi - disgiunti, 10 - equipotenti, 18 intersezione di insiem i, 10 iperbole, 193 - equilatera, 235 iperboloide, 256 - ellittico, 266 - iperbolico, 266 iperpiano improprio, 219 isometria, 177 isomorfismo - di gruppi (o anelli o campi), 26 - di insiemi, 13 - di spazi vettoriali, 81

Legge di annullamento del prodotto, 25 Legge di reciprocità, 232 Leggi di De Morgan, 11 mappa, 12 matrice, 33 - definita negativa, 286 - associata a una trasformazione lineare, 88 - completamente ridotta, 42 - definita positiva, 286 - delle componenti, 88 - diagonale, 38 - diagonalizzabile per similitudine, 128 - identica, 38 - ortogonale, 40 - prodotto, 34 - quadrata, 33 - triangolare alta, 39 - triangolare bassa, 39 - regolare, 40 - ridotta (a gradini), 41 - semi-diagonale, 263 - somma, 34 - trasposta, 34 - simmetrica, 34 matrice di Gram, 145 matrici - simili, 120 - simmetriche congruenti, 283 Metodo di Gauss, 54

INDICE ANALITICO

minore, 55 - orlato, 96 - complementare, 55 molteplicità - a lgebrica di un autovalore, 125 - di una radice, 276 - geometrica di un autovalore, 125 monomio, 28 n-pla - delle componenti di un vettore, 76 - linearmente dipendente, 69 - linearmente indipendente, 69 norma euclidea, 132 nucleo di una trasformazione lineare, 83 numero cardinale, 18 - transfinito, 18 omomorfismo - di anelli, 26 - di gruppi, 26 operatore lineare, 81 operazione binaria, 19 - interna, 19 parabola, 193 paraboloide, 255 - ellittico, 266 - iperbolico, 266 partizione, 16 permutazione, 13, 44 piano diametrale di una quadrica, 257 piano polare, 253 piano principale di una quadrica, 258 pivot, 42 polinomio, 28 - caratteristico, 123, 125 - irriducibile, 275 - nullo, 29 potenza del continuo, 18 Principio d'induzione, 8 Principio d'inerzia di Sylvester, 285 prodotto - cartesiano, 11 - di applicazioni, 14 - di uno scalare per un vettore, 61 - misto, 152 - naturale di n-ple , 36 - righe per colonne, 36 - scalare, 131 - vettoriale, 151 proiezione ortogonale, 146 punti - affinemente indipendenti, 160 - impropri, 219 - propri, 219

291

punto medio, 174 quadrica, 247 - degenere, 250 - di rotazione, 260 - doppiamente rigata, 255 - ellittica, 255 - iperbolica, 255 - non degenere, 250 - non rigata, 255 - non specializzata, 250 - riducibile, 250 - specializzata, 250 radice - di un polinomio, 275 - multipla, 276 rango, 42 - di una quadrica, 250 - di una con ica, 227 - di una matrice, 94 relazione, 12, 15 - di equivalenza, 15 - inversa, 12 - riflessiva, 15 - simmetrica, 15 - transitiva, 15 Relazione di Grassmann, 78 retta polare, 231 ricoprimento, 16 riferimento cartesiano, 157 rotazione, 179 scalare, 61 scambio di indici, 45 segnatura di una matrice simmetrica, 285 segno di una permutazione, 45 sfera, 271 sigla di una matrice simmetrica, 285 Simboli di Kronecker, 38 simboli logici, 7 simmetria - centra le, 175 - ortogonale, 176 simplesso, 172 sistema - lineare, 99 - minimo, 107 - normale (o di Cramer), 105 - omogeneo, 103 - unione, 101 sistema di generatori, 67 sistemi lineari - equivalenti, 102 somma - di sottoinsiemi, 77

INDICE ANALITICO

292

- di vettori, 61 - diretta, 78 sostegno di uno spazio vettoriale, 61 sostituzione, 13, 44 sottoanello, 26 sottocampo, 26 sottogruppo, 26 sottoinsieme - linearmente chiuso, 65 - linearmente dipendente, 69 - linearmente indipendente, 69 sottomatrice, 55 sottospazi euclidei, 160 - ortogonali, 167 - paralleli, 161 - sghembi, 161 sottospazi vettoriali, 65 - indipendenti, 78 spazi vettoriali - isomorfi, 81 spazio - delle soluzioni, 101 - euclideo, 155 - somma (o congiungente), 77 - vettoriale, 61 - finitamente generato, 67 - vettoriale euclideo, 131 - vettoriale euclideo orientato, 150 stella - di piani, 211 - di rette, 211 struttura algebrica, 21 o - improprio, 225 - proprio, 225

Sviluppo di Laplace, 56 Teorema del completamento a una base, 75 Teorema di Binet, 52 Teorema di Cramer, 105 Teorema di Harriot-Cartesio, 279 Teorema di Kronecker, 96 Teorema di Laplace, 54 Teorema di Rouchè - Capelli, 103 Teorema di RuHìni, 275 Teorema fondamentale dell'algebra, 277 Teorema fondamentale delle trasformazioni lineari, 84 Teorema spettrale, 128 trasformato, 12 trasformazione - lineare, 81 - standard, 81 - ortogonale, 141 trasformazioni elementari, 42 traslazione, 104, 179 trasposizione, 45 unione di insiemi, 10 versore, 132 vertice - di una conica, 235 - di una quadrica, 258 vettore, 61 - applicato, 62 vettori - ortogonali, 135 volume di un simplesso, 172 zero di un polinomio, 275

Finito di stampare nel Settembre 201 O dalla L.E.G.O SpA Stabilimento di Lavis (TN)

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