Gauss.acatlan.unam.mx_pluginfile.php_40306_mod_resource_content_1_tarea 5 Consecuencias De La Derivada.pdf y384v

TAREA -TEMA 5 1. Encuentre el máximo y el mínimo de la función en el intervalo i) f ( x ) = 3 x 4 + 4 x 3 − 12 x 2 + 10 en [− 3,2] ii) g ( x ) = x − 4 en [3,7] 2. Una ventana normanda consta de un rectángulo con un semicírculo arriba. Encuentre las dimensiones de la ventana con área máxima si su perímetro mide 10m. 3. Determine los extremos locales de las funciones i) f ( x ) = senx + cos x

ii) g ( x ) =

x2 − 4x + 1 4− x

4. Se va a construir una tubería desde una refinería a través de un río hasta unos tanques de almacenamiento. El costo de construcción es $250 000 por milla bajo el agua y $200 000 por milla sobre tierra. ¿Cúal debe ser la longitud x para que el costo de construcción sea el mínimo? tanques de almacenamiento

x

4 millas

4 millas

refinería

5. Encontrar c ∈ (1,4) que satisfaga el teorema del valor medio para x en [1,4] x+2 6. Encontrar c ∈ (0,3) que satisfaga el teorema del valor medio para f ( x) =

g ( x ) = e −2 x en [0,3]

1 en el intervalo [2,6], pruebe que no x−4 f ( 6) − f ( 2) existe c ∈ (2,6) que satisfaga f ′(c) = . Analice si 6−2

7. Dada la función f ( x) =

contradice el teorema del valor medio y por qué. 8. Determine los intervalos donde la función es creciente y aquellos donde la función es decreciente y sus extremos locales i) f ( x ) = 3 x − 4 ( x + 5) 2 ii) g ( x ) = cos 2 3 x 9. Determine los intervalos donde la gráfica de la función es cóncava hacia arriba y aquellos donde es cóncava hacia abajo y los puntos de inflexión i) f ( x ) = x 4 − x 2 ii) g ( x ) = senx − x cos x 10. Grafique las funciones con todas sus características

f ( x) =

i)

x2 x+7

ii) g ( x ) = 3 x 3 + 1

11. Calcule los siguientes límites aplicando la regla de L`hopital x + x →0 1 − e 2

i) lim

cos x − 1 + ( x 2 / 2) x →0 x2 ln(1 + x) − x + ( x 2 / 2) iv) lim x →0 x2 3x + 1 1 vi) lim+ − x → 0 senx x

ii)

x

iii) lim(1 + 2 x)1 / 2 ln x x →∞

1 x →0 x

v) lim −

1 ln( x + 1) 2x

x − 1 vii) lim   x→∞  x  log x ix) lim 3 x→∞ x 2 e x − e2x 0 xi) lim = = 2e 4 x→2 x−2 0

lim

1 / x2

senx  viii) lim  x →0  x  x2 x) lim − x x → −∞ e

xii) lim x (e1 / x − 1) = ∞.0 = 1 x→∞

12. Grafique las funciones con todas sus características. ii) f ( x ) = 2 x 2 ln x − x 2 i) f ( x) = x − e x iii) iv) f ( x ) = −3 x 2 ln x f ( x ) = e −1 / x 13. Use el teorema del valor medio para demostrar que para cualesquiera a , b ∈ R , sen2b − sen2a ≤ 2 b − a 14. Encuentre c ∈ (a, b) que satisfaga el teorema del valor medio para f ( x ) = Ax 2 + Bx + C en [a, b ] 15. Sea f ′( x ) ≤ M para todo x ∈ (a, b) , use el teorema del valor medio para demostrar que para cualesquiera x1 , x2 ∈ (a, b) se satisface 2

f ( x2 ) − f ( x1 ) ≤ M x2 − x1

16. Use el teorema del valor medio para demostrar que para cualesquiera 0 < a < b se satisface

b− a<

b−a 2 a

17. Hallar el polinomio de Taylor de orden 4, centrado en c = 0 para i) g ( x ) = xe x

ii) f ( x ) =

x x +1

18. Hallar el polinomio de Maclaurin de orden 4, para g ( x ) = ln(1 + x ) para aproximar el valor de ln(1.1) 19. Hallar el polinomio de Taylor de orden 4, centrado en c = 1 para g( x) =

x