Gauss Y El Teorema De Gauss 2n286e

GAUSS Y EL TEOREMA DE GAUSS

CARL FRIEDRICH GAUSS Nació en Brunswick el 30 de abril de 1777-Gotinga y murió el 23 de febrero de 1855, fue un matemático, astrónomo, geodesta y físico alemán que contribuyó significativamente en muchos campos, incluida la teoría de números, el análisis matemático, la geometría diferencial, la estadística, el álgebra, la geodesia (divisiones geográficas de la tierra), el magnetismo y la óptica.

Considerado «el príncipe de los matemáticos» y «el matemático más grande desde la antigüedad», Gauss ha tenido una influencia notable en muchos campos de la matemática y de la ciencia, y es considerado uno de los matemáticos que más influencia ha tenido en la historia. Fue de los primeros en extender el concepto de divisibilidad a otros conjuntos. Gauss pronto fue reconocido como un niño prodigio, pese a provenir de una familia campesina de padres analfabetos; de él existen muchas anécdotas acerca de su asombrosa precocidad. Hizo sus primeros grandes descubrimientos mientras era apenas un adolescente en el bachillerato y completó su magnum opus, Disquisitiones arithmeticae a los veintiún años (1798), aunque fue publicado en 1801. Fue un trabajo fundamental para que se consolidara la teoría de los números y ha moldeado esta área hasta los días presentes.

HISTORIA TEOREMA DE LA DIVERGENCIA • El teorema fue descubierto originariamente por Joseph Louis Lagrange en 1762, e independientemente por Carl Friedrich Gauss en 1813, por George Green en 1825 y en 1831 por Mikhail Vasilievich Ostrogradsky, que también dio la primera demostración del teorema.

• El teorema de la divergencia, también es llamado teorema de Gauss, teorema de Gauss-Ostrogradsky, teorema de Green Ostrogradsky o teorema de GaussGreen-Ostrogradsky.

•

Gauss . Teoría de atracción magnética.

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Ostrogradsky. Teoría del calor.

Green. Electricidad y Magnetismo.

Poisson y Sarrus. Cuerpos Elásticos y cuerpos flotantes.

TEOREMA DE GAUSS O DE LA DIVERGENCIA DE GAUSS

• Relaciona el flujo de un campo vectorial a través de una superficie cerrada con la integral de su divergencia en el volumen delimitado por dicha superficie.

• La

idea intuitiva es que la divergencia mide el flujo hacia afuera en puntos individuales, mientras que el flujo mide la cantidad de fluido que sale de toda una región. Así que al sumar todos los trozos de divergencia se obtiene el mismo valor que el flujo.

Visión global de la corriente hacia afuera: flujo

• Cuando un campo vectorial tridimensional F (x,y,z) se considera como la representación de la corriente de un fluido, el flujo de F a través de una superficie S, es una medida de cuánto líquido pasa a través de esa superficie por unidad de tiempo. Se mide con la siguiente integral:

ENUNCIADO • Sean 𝐻 y 𝑈 dos subconjuntos abiertos en ℝ3 donde H ⊂ 𝑈 es simplemente conexo y el borde de 𝑈, 𝑆 = 𝜕𝑈 es una superficie regular o regular a trozos y cerrada.

• Sea 𝐹: 𝐻 → ℝ3, un campo vectorial de clase 𝐶1, es decir, 𝐹 cuenta con derivadas parciales de primer orden continuas.

ර 𝐹Ԧ ∙ 𝑑𝑠 = ඾ 𝐹Ԧ ∙ 𝑛𝑑𝑠 ො = ම 𝛻 ∙ 𝐹Ԧ 𝑑𝑉 𝑛ො : Vector normal a la superficie apunta hacia el exterior del volumen 𝑉.

𝐹Ԧ : Campo vectorial tridimensional. 𝑉 : Volumen tridimensional. 𝑆 : Superficie de 𝑉.

Condición Superficie Cerrada • El teorema de la divergencia solo se aplica a superficies cerradas, lo que significa superficies sin fronteras. Por ejemplo, un hemisferio no es una superficie cerrada, tiene un círculo como frontera, por lo que no se puede aplicar el teorema de la divergencia.

• Sin embargo, si añadimos un disco en la parte inferior de este hemisferio y consideras al disco y al hemisferio como una sola superficie, ya se tiene una superficie cerrada cuyo volumen interior es la mitad de una bola. En este caso, dado un campo vectorial, el teorema de la divergencia puede utilizarse en esta superficie de dos partes y esta media esfera.

ESTRATEGÍA PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS •

•

El teorema de la divergencia permite traducir entre integrales de superficie e integrales triples, pero esto solo es útil si una resulta más simple que la otra. Toma nota del hecho que el volumen de la región correspondiente es más simple de describir que la superficie de la región. En general, cuando te enfrentas con una integral de superficie sobre una superficie cerrada, considera si sería más fácil integrar sobre el volumen encerrado por esa superficie. Si es así, es una señal clara de que el teorema de la divergencia será muy útil.

Ejercicio Sea 𝐹Ԧ = 4𝑥𝑦𝒊 − 𝑦 2 𝒋 + 𝑦𝑧𝒌. Evalúe ‫𝐹 𝑠׭‬Ԧ ∙ 𝑛ෝ 𝑑𝑆, donde S es la superficie del cubo acotado por x=0, x=1, y=0, y=1 & z=0, z=1. Representado en la siguiente figura.

Por Integral de superficie z

y

x

z

y

x

Por Integral de volumen

𝜕 𝜕 𝜕 Ԧ න 𝛻 ∙ 𝐹𝑑𝑣 = න ( 𝒊 + 𝒋 + 𝒌 ) ∙ 4𝑥𝑧𝒊 − 𝑦 2 𝒋 + 𝑦𝑧𝐤 dv 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

𝑉

𝑣

= න 4𝑧 − 2𝑦 + 𝑦 d𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = න 4𝑧 − 𝑦 d𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑣

𝑣

= න 4𝑧 d𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 − න (y)d𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑣 1 ‫׮‬0

4𝑧 d𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

𝑣 1 − ‫׮‬0

𝑦 d𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝑥 𝑦

2𝑧 2

= 1 1 2(1)

− 𝑥 2

𝑦2 2

− 1

(𝑧) 12 2

1 =

3 2