Gamut Logica-lenguaje-y-significado -2.pdf 486f3t

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n/ip es un esquema argumentativo válido’ escribimos 0 i , . . . , 0 n |= 'ip. Las negaciones de estos dos son 0 y 0 i , . . . , 0 n y= xp, respectivamente. La semántica de la lógica de predicados se presenta en términos de modelos (M , M ', y así sucesivamente), que consisten en un dominio D junto con una función de interpretación /m , la cual asigna valores adecuados para las cons tantes y las letras predicativas. Así, por medio de la definición de verdad de Tarski, cualquier modelo M dado tiene su propia función de valuación Vm? la cual asigna para cada sentencia en el lenguaje un valor de verdad 1 (si la sentencia es verdadera) o un valor de verdad 0 (si la sentencia es falsa), y una variedad de funciones de valuación Vm,3 para las fórmulas. Las valuacio nes dependen de cuál asignación g se escoja, estas asignaciones son funciones que vinculan las variables del lenguaje en cuestión en D. Una sentencia 0 es ‘verdadera en el modelo M ’ sólo si V m (0)=1. Con relación a las asignaciones, la siguiente notación es útil: g[x/d] hace referencia a la asignación que señala el valor d a la variable x y que en cualquier otro caso concuerda con g. Dada esta semántica, nociones com o la validez universal de las fórmulas, la validez de los esquemas argumentativos, la equivalencia de las sentencias y (vía asignación) la equivalencia de fórmulas pueden introducirse. Principios com o x x ' f= 0 [xVx]0, s = t (= 0 <-> [t/s\(j> y Vx (A (x ) <-> B ( x ) ) |= 0 <-» [B/Á\<¡) se llaman principios de extensionalidad. Alguna familiaridad con la noción de derivabilidad sintáctica 0 i, ..., 0 nHip (tp es derivable a partir de 0 i , ..., (pn) es útil pero no esencial. Una noción de derivabilidad axiomática funcionaría tan bien com o el sistema de deducción natural que se introdujo en el volumen 1. Un entendimiento de los significados de teoremas metalógicos, com o el de completitud y su converso, el teorema de validez, es igualmente deseable pero no esencial para el lector de este volumen. Entre las notaciones usadas en Teoría de Conjuntos tenemos: 0 para el conjunto vacío; D para intersección, y U para la unión de conjuntos; {1 ,2 }

PREFACIO

XXV

para el conjunto que contiene únicamente 1 y 2; y ( a i , . . . ,a „ ) para una ntupla ordenada. A x B se refiere al producto cartesiano {(a , b) : a € A&¿b € B } de A y B\ A C B significa lA es un subconjunto de (no necesariamente uno propio). El conjunto {A : A C B } de todos los subconjuntos de un conjunto B es llamado el conjunto potencia de B, y para su notación se utiliza p(B). Propiedades de relaciones como (ir)reflexivilidad, simetría y transitividad se asumen como familiares. Descripciones definidas tx ) normalmente se analizan en la forma “russelliana” : una fórmula ip que contenga una descripción definida ix (j) se lee como 3x(\/y([y/x\(/> <-> x = y) A [x/ix

), asumiendo que y es libre para x en cf>. Finalmente, se debe mencionar la forma en la cual se presentan las tra ducciones del lenguaje natural al lenguaje de la lógica de predicados y propo sicional. El siguiente ejemplo hará esto lo suficientemente claro: Todos los profesores aman a Andrés, pero él no ama a todos los profesores. Traducción en la lógica proposicional: p A q Claves: p: Todos los profesores aman a Andrés; q: Andrés no ama a todos los profesores. Traducción en la lógica de predicados: \/x(Tx —>Axa) A -¡ix(T x Claves: a: Andrés; Tx: x es un profesor; Axy: x ama a y.

>Aax)

Estas traducciones son importantes principalmente para los ejercicios.

Capítulo 1

Orígenes de la lógica intensional

1.1.

Introducción •?

En este volumen introduciremos la lógica intensional con cierta profundidad. La lógica intensional es probablemente la extensión más importante de la lógica estándar, es decir, la lógica proposicional y la lógica de predicados (ver el vol. 1). La lógica intensional tiene múltiples aplicaciones, tanto en el análisis de los problemas filosóficos, com o en la investigación de la semántica de los len guajes naturales. Así pues, antes de embarcarnos en una exposición de la lógica intensional misma, vamos a esbozar el trasfondo lógico y filosófico sobre el cual ésta fue desarrollada. La lógica intensional tiene más de una raíz. Una de éstas es el intento por resolver los problemas que surgen cuando uno trata de extender los métodos semánticos, apropiados para la interpretación de los sistemas de la lógica es tándar, a la interpretación de lenguajes que son ‘más ricos’ que aquellos de la lógica proposicional y de la de predicados. No todas las extensiones de la lógica estándar requieren nuevos métodos semánticos. Algunas, com o la lógica de segundo orden (ver vol. 1, cap. 5) no requieren más que una adaptación de los métodos por medio de los cuales se ha establecido la semántica de la lógica proposicional y de predicados. Pero para otras extensiones esto es diferente. Un ejemplo de esta clase de sistema es la lógica modal proposicional, que es

2

L ó g ic a ,

l e n g u a j e y s ig n if ic a d o

el tema del capítulo 2. En la lógica modal proposicional se añade la expresión □ que es interpretada como necesariamente o es necesario que. Una semántica adecuada para estos sistemas lógicos requiere una extensión real de los métodos semánticos estándar. Un lenguaje natural como el español es, por supuesto, un segundo ejemplo de un lenguaje más rico. La simple transferencia de la semántica de la lógica de predicados a la semántica del español da lugar a toda clase de problemas, lo cual sugiere que es necesario usar métodos semánticos más ricos. Con el fin de ver este punto claramente, es importante entender justamente qué clase de teoría del significado es inherente a la semántica de la lógica estándar.

1.2.

La Teoría del Significado por Correspondencia

Existe una familia de teorías del significado que surgen del siguiente princi pio: el significado es una relación entre los símbolos de un lenguaje y ciertas entidades que son independientes de ese lenguaje. Estas teorías pueden ser colectivamente designadas com o Teorías del Significado por Correspondencia. La ‘independencia’ de las entidades significa, entre otras cosas, que las entida des postuladas son independientes de quien usa el lenguaje en cuestión y de las circunstancias en que éste es usado. Este punto de partida difícilmente puede ser considerado universal. Exis ten, por ejemplo, teorías que dicen que el significado de un símbolo reside en el uso que se hace de éste. La teoría según la cual ‘el significado es uso’ , defendida por el segundo Wittgenstein, es un ejemplo de una teoría de este esti lo. Existen también teorías que identifican el significado de un símbolo con el conjunto de todos los estímulos que causan com o respuesta el uso de dicho símbolo. Aquí, el significado es definido en términos de la disposición de los s del lenguaje para exhibir ciertas clases de comportamiento. Como ejemplos tenemos las teorías conductistas del significado de Bloomfield, Morris y Skinner. Finalmente, existen teorías que aceptan el significado por corres pondencia com o una explicación parcial del significado, en el sentido en que se piensa que la correspondencia de las entidades da cuenta sólo de un aspecto del significado total de los símbolos. La teoría de Grice de las implicaturas (ver vol. 1 cap. 6) es un ejemplo de tal teoría. El punto de partida común de las Teorías del Significado por Correspon dencia, com o se formuló anteriormente, se puede desarrollar en dos direcciones divergentes. Estas direcciones difieren en dos puntos principales: la naturaleza de la relación entre símbolos y entidades y la naturaleza de las entidades mis

ORÍGENES DE LA LÓGICA INTENSIONAL

3

mas. El segundo punto parece más controvertido que el primero, que ahora pa rece haber sido aceptado por todo el mundo con mayor o menor satisfacción. Sin embargo, vamos a ver brevemente el primer punto.

1.3.

Naturalismo versus convencionalismo

El debate tradicional sobre la relación entre símbolos y entidades se centra en si la relación es una relación natural o si es puramente convencional. Éste parece no ser un debate muy animado en estos días, pero la disputa entre naturalismo y convencionalismo persistió desde los tiempos clásicos hasta bien entrado el siglo XVIII. En su forma más ingenua, el naturalismo establece que el significado de una palabra es inherente a su sonido. La relación entre símbolo y entidad es, en este caso, más bien extremadamente ‘natural’ . Es claro que esta forma ingenua de naturalismo no es viable. Si esto fuera cierto, por ejemplo, nosotros no tendríamos ninguna dificultad en aprender un lenguaje extranjero: presumible mente lo entenderíamos inmediatamente (al menos en su forma hablada). Otro problema para el naturalismo ingenuo es la existencia de homónimos; palabras que tienen el mismo sonido y significado diferente. Incluso el fenómeno de la onomatopeya, tan apreciado por el naturalismo, presenta problemas: ¿debe la diferencia entre el francés cocorico y el inglés cock-a-doodle-do ser tomada com o indicación de que los gallos ses y otros de su es pecie en el otro lado del canal cacarean diferente al iniciar el día? Platón defiende una forma menos ingenua de naturalismo en su diálogo Crátilo. Él supone que existe alguna afinidad entre ciertos sonidos y propieda des, por ejemplo, entre el sonido de la letra r y la propiedad de moción (movimiento). De acuerdo con Platón, las palabras caracterizan la esencia de aquello a lo que ellas refieren, en virtud de esta clase de relaciones. Algunas palabras obtienen su significado directamente de esta forma, otras palabras, por vía de la composición de significados, relaciones etimológicas o transfe rencias metafóricas de significado. Pero esta forma de naturalismo, como la anterior, enfrenta problemas insuperables. Por ejemplo, ninguna afinidad natu ral entre los sonidos y las propiedades parece ser evidente si se comparan lenguajes diferentes en familias lingüísticas diferentes. Además, ¿cóm o se expli can los sinónimos en la teoría? El debate entre naturalismo y convencionalismo se desarrolló posteriormen te, en una controversia entre anomalistas y analogistas, acerca de si el lenguaje es regular o no. Se supuso que la irregularidad producía un argumento a favor

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L ó g ic a ,


del naturalismo. Después de todo, si el lenguaje es puramente una cuestión de convención, entonces el lenguaje no tendría necesidad de irregularidades. En última instancia, la idea de que el significado es convencional resultó victoriosa. La relación de los significados obtenidos entre una palabra y una cosa no es natural, sino convencional. Existen, por supuesto, limitaciones a la convencionalidad, ya que uno no tiene la libertad de cambiar el significado de las palabras a voluntad. Estos cambios se dan en virtud de la conveniencia, familiaridad o por otras razones de tipo práctico.

1.4.

Variaciones de la Teoría del Significado por Correspondencia

Al interior de la Teoría del Significado por Correspondencia se han desarrollado diferentes variantes con ideas divergentes sobre la naturaleza de las entidades que forman el segundo argumento de la relación de significado. Aquí vamos a considerar brevemente tres de estas variantes. La primera puede ser llamada conceptualismo. De acuerdo con esta varian te, el significado es una relación entre símbolos y contenidos de conciencia. Los conceptos, que son expresados por medio de predicados, y las proposiciones, que son expresadas por medio de oraciones, son entidades mentales; el len guaje funciona, entonces, com o un sistema de símbolos observables que media entre individuos, lo que hace posible la comunicación. Locke ha defendido esta posición: “El uso de las palabras es el de ser marcas sensibles para las ideas, y las ideas que ellas representan son su significación propia e inmediata” 1 (Es say Concerning Human Understanding, 1689, cap. 2, libro 3). La concepción conceptualista del significado se encuentra aún en la lingüística moderna: En rasgos generales, la comunicación lingüística consiste en la producción de cierto fenómeno acústico que es públicamente observable y externo, y cuyas estructura fonética y sintáctica codifica los pensamientos o ideas interiores de un hablante2 Katz (1966) (note que Katz cambió a la posición de un platónico en su libro de 1981).

Una segunda variante de la Teoría del Significado por Correspondencia puede ser llamada platonismo. De acuerdo con esta variante, los conceptos y las proposiciones no son entidades mentales, sino cosas reales; sólo que éstos no pertenecen al mundo de los fenómenos observables, sino al mundo de las ideas. Los símbolos lingüísticos se refieren a cosas en el mundo observables sólo de 1N. de T .: la traducción es nuestra. 2N. de T .: la traducción es nuestra.


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una manera indirecta, es decir, por medio del reflejo del mundo de las ideas en el mundo observable. La tercera variante es lo que podemos llamar realismo. De acuerdo con el realismo, las entidades con las cuales los símbolos lingüísticos mantienen la relación de significación pertenecen a la realidad concreta y observable que nos rodea: ellas son individuos, propiedades, relaciones y estados de cosas. Un ejemplo típico de esta posición es la Teoría Pictórica del Significado, que fue presentada por Wittgenstein en el Tractatus Logico-Philosophicus. La rela ción entre símbolos y cosas es de referencia. Esta teoría, que fue abandonada posteriormente por Wittgenstein, tiene el presupuesto fundamental de que ca da símbolo en un lenguaje ideal debe referirse a alguna cosa única, y que cada cosa sería la referencia de un único símbolo. Extrayendo de esta teoría sólo la idea de que la relación de significado es de referencia, nosotros arribamos a lo que podría ser llamada una Teoría Referencial del Significado. Esta teoría es fácilmente compatible con cualquiera de las tres perspectivas sobre la naturaleza de las entidades, ya que establece que el significado de un símbolo es lo que éste refiere. Así que el hecho de que una teoría del significado sea en sí misma referencial no dice nada acerca de la naturaleza de las entidades a las que los símbolos refieren.

1.5.

Semántica lógica como una Teoría Referencial del Significado

La semántica de la lógica estándar se puede ver como una Teoría Referen cial del Significado — y, por consiguiente, como una Teoría del Significado por Correspondencia— . Tomemos, por ejemplo, la forma en que se enseña la semántica de la lógica de predicados (véase vol. 1, cap. 3). Cuando definimos un modelo para la lógica de predicados, lo primero que hacemos es escoger algún conjunto de entidades como nuestro dominio. El conjunto es indepen diente de las expresiones que colectivamente forman un lenguaje para la lógica de predicados. Nosotros, entonces, especificamos una relación entre el len guaje de la lógica de predicados en cuestión y el dominio. Por medio de una función de interpretación, a los símbolos constantes se les asignan com o su referencia elementos individuales en el dominio y a los símbolos de predicado conjuntos de elementos en el dominio (o conjuntos de sucesiones ordenadas de n elementos en el dominio, en el caso de letras predicativas n-arias). Con esto com o base, estamos en posición de definir la referencia relativa a este modelo de todas las oraciones de nuestro lenguaje (es decir, sus valores de verdad),

L ó g ic a ,

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en la así llamada definición de verdad. Así que este m étodo de interpretación semántica evidentemente sigue un principio, del cual dijimos en el §1.2. que es característico de la Teoría del Significado por Correspondencia: el significado es una relación entre los símbolos de un lenguaje y ciertas entidades que son independientes de ese lenguaje. La semántica de la lógica de predicados es indiferente a la clase de cosas que nosotros ponemos en el dominio de nuestros modelos. Conjuntos de personas, números o puntos matemáticos servirán igualmente com o dominios. En efecto, cualquier conjunto servirá. Cualquiera que sea el dominio, la Teoría del Signi ficado es siempre referencial: los significados de los símbolos son siempre sus referentes. Esta identificación entre referencia y significado y la forma en que la inter pretación semántica procede son suficientes para atribuir a la lógica estándar una propiedad especial que veremos brevemente a continuación. Una carac terística importante del proceso de interpretación semántica, que también es compartida por los sistemas no estándar que nos hemos encontrado, es que se mantiene un estricto paralelismo entre las construcciones sintácticas y sus interpretaciones semánticas. La definición de verdad refleja la definición sintáctica de las fórmulas del lenguaje en cuestión. Existe una considera ción metodológica subyacente a esta práctica, una que puede ser invocada desde Frege. Frege, lógico y matemático alemán, en su Begriffsschrift, de 1879, realizó el primer análisis satisfactorio de oraciones con predicados relaciónales y cuantificación múltiple. El punto fundamental de su solución a estos viejos problemas es que cada oración, sin importar cuán compleja sea, es el resulta do de un proceso de construcción sintáctico sistemático que se realiza paso a paso y en el cual cada paso puede recibir una interpretación semántica. Esto es bien conocido com o el principio de composicionalidad semántica. Una consecuencia de todo esto es que la lógica proposicional y la lógica de predicados estándar son sistemas lógicos extensionales. Se dice que un sistema lógico es extensional si expresiones con la misma referencia (o extensión) pue den ser sustituidas libremente entre sí. Así, el teorema que se presenta a continuación, conocido como el principio de extencionalidad, se puede probar para la lógica proposicional y la lógica de predicados (véase §4.2.2. en el vol.l, una formulación precisa de este principio y de los que siguen a continuación):

x

x' h 0 <-*■[x7 x]

Este teorema establece que si x y x ' tienen el mismo valor de verdad, entonces x' puede ser sustituido por x en 0 sin ningún cambio de su valor de verdad. Decimos, entonces, que x y x' son intercambiables salva veritate (‘con

O r íg e n e s

7

d e l a l ó g ic a in t e n s io n a l

del valor de verdad’). L a lógica de predicados también satisface algunos otros principios de extensionalidad. Así por ejemplo, tenemos:

c o n s e r v a c ió n

V x( A( x)

B ( x )) f= 0 <-> [B/A]

Este teorema dice que si A y B expresan propiedades que tienen la misma extensión (propiedades que tienen las mismas entidades), entonces estas expre siones podrían ser intercambiadas en fórmulas (j) salva veritate. Otro ejemplo de extensionalidad de la lógica de predicados es lo que se llama la Ley de Leibniz de Indiscemibilidad de los Idénticos: s = t \= 4>

[t/s]

En esta ley s y t son términos, es decir, constantes individuales o variables (si no existen símbolos funcionales en el lenguaje). La extensionalidad es tanto la fortaleza, com o la debilidad de la lógica pro posicional y la lógica de predicados estándar. Esto muestra que al estudiar la validez de las inferencias en cualquiera de estos dos sistemas, es suficiente con siderar las referencias de las expresiones y el principio de composicionalidad (que aquí se enuncia así: la referencia de una expresión compuesta está en fun ción de la referencia de sus partes constitutivas). Por otra parte, com o veremos, existen también leguajes más ricos, que no son extensionales, para los cuales los métodos semánticos de los sistemas de lógica estándar no son adecuados. Como ya hemos indicado, los lenguajes naturales no son los únicos que son esencialmente más ricos en este aspecto. Adicionar una sola expresión o una sola construcción a alguno de los sistemas estándar puede ser suficiente para crear un sistema que necesita una semántica esencialmente más rica. En los capítulos siguientes trataremos muchos de estos sistemas. Pero antes de pasar a ellos, vamos primero a considerar brevemente algunas de las dificultades que surgen si la semántica referencial se aplica al lenguaje natural, dado que, prin cipalmente, estos problemas son los que dieron lugar al desarrollo de la lógica intensional.

1.6.

Problemas con la Teoría Referencial del Significado

La Teoría Referencial del Significado establece, a grandes rasgos, que el sig nificado de una expresión es idéntico a su referencia. Como una teoría del significado para el lenguaje natural, ésta enfrenta dificultades insuperables.

L ó g ic a ,

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Esta teoría nos conduce a concluir que, ya que el significado es la misma refe rencia el nombre propio Odiseo nunca ha significado nada y que el nombre pro pio Sócrates significó algo una vez, pero no volvió a significar nada. Nos fuerza a concluí1-, también, que una descripción definida como el presidente de los Estad&s Unidos de América cambia de tiempo en tiempo su significado. La£ aplicaciones de la Teoría Referencial del Significado a los lenguajes na turales entrañan una cierta cantidad de realismo, ya que los lenguajes naturales se utilizan para decir cosas acerca de la realidad. Pero seguir la línea de una teoría referencial realista del significado parecería forzar un vínculo muy fuerte entre significado y la realidad. Sería preferible que los significados de los símbolos fueran en algún sentido más independientes de la realidad, sin renun ciar a la idea de que existe una relación de referencia que se mantiene entre símbolos y entidades. Un ejemplo famoso que ilustra esto muy bien es la paradoja del lucero matutino/el lucero vespertino, formulada por Frege en So bre sefitido y referencia (Frege, 1892b), la cual evidencia que el hombre que podría ser considerado como creador de los sistemas de lógica (extensional) estándar, fue consciente del carácter no extensional de los lenguajes natura les. C om o Frege señala, las siguientes dos oraciones tienen diferente contenido cognitivo: ( 1)

£1 lucero matutino es el lucero matutino

(2)

£1 lucero matutino es el lucero vespertino

La oración (1) es una tautología y una verdad analítica a priori, mien tras que la (2) expresa un descubrimiento astronómico significativo y, como tal, es una oración sintética a posteriori. Sin embargo, ambas expresiones, el lucero matutino y el lucero vespertino, refieren a la misma cosa, a saber, el pla neta Venus. Así que si el significado y la referencia coincidieran, entonces tendríamos que aceptar que las dos oraciones tienen el mismo significado, lo cual obviamente no es el caso. E s ta es una situación verdaderamente paradójica. Si (2) es verdadera (lo cual e? cierto) y el significado coincide con la referencia, entonces (2) expresa lo mismo que (1). Pero, mientras que (1) debe ser siempre aceptada por cualqüier persona que elija considerar la cuestión, (2) no fue considerada verdadera por un largo tiempo. La conclusión que Frege esboza desde este argumento es que significado y referencia no son lo mismo, sino que son, en algún# medida, independientes uno del otro. Es muy posible saber lo que una expresión significa sin estar familiarizado con su referencia, y viceversa.

O

r íg e n e s

de l a ló g ic a in te n s io n a l

9

Esto no quiere decir que no exista ninguna relación entre significado y referen cia. Dos expresiones que tienen el mismo significado deben también tener la misma referencia. Así que, en este sentido, el significado determina la referen cia. Pero, com o hemos visto, lo contrario podría no ser cierto: dos expresiones, en nuestro ejemplo el lucero matutino y el lucero vespertino, podrían tener la misma referencia sin tener exactamente el mismo significado. Es la diferencia del significado entre las dos expresiones lo que da cuenta de la diferencia del significado entre (1) y (2). Parecería, entonces, que cualquier teoría semántica apropiada para los lenguajes naturales tendrá que distinguir entre significado y referencia. Otros problemas que tienen que ver con la identificación entre significa do y referencia surgen en conexión con lo que se ha llamado construcciones (de oraciones) intensionales. Si el significado de una expresión es sólo su refe rencia, entonces nosotros esperaríamos que una expresión B , con la misma referencia (y así, con el mismo significado) que una expresión A, pueda ser siempre sustituida por A en cualquier oración, sin alterar el significado de esta última oración. Existen, sin embargo, oraciones cuyo significado es afectado por una sustitución de este estilo. Compare las siguientes dos oraciones: (3)

Juan está buscando al comandante supremo de las Fuerzas Armadas de EE.UU.

(4)

Juan está buscando al presidente de los Estados Unidos de América

Las expresiones comandante supremo de las Fuerzas Armadas de EE.UU. y presidente de los Estados Unidos de América, siempre refieren a la misma persona, pero (3) y (4) no tienen el mismo significado: (3) puede ser verdadera, aunque (4) sea falsa, y viceversa. Aquí, com o en el ejemplo anterior, la solu ción obvia es distinguir entre significado y referencia y estipular que sólo las expresiones con el mismo significado (y no sólo la misma referencia) pueden ser libremente sustituidas entre sí. El propio Frege fue el primero en proponer una solución en esta línea. En una serie de artículos, entre los cuales “Sobre sentido y referencia” es el más conocido, él desarrolló una teoría del significado, que ha sido incorporada en gran medida a la lógica intensional moderna. Discutiremos algunos pocos aspectos de esta teoría en §1.7. Debe notarse que ni la solución bosquejada aquí ni los problemas para los cuales fue diseñada están vinculados necesaria mente con el realismo, tal como es aparente a partir del hecho de que Frege es generalmente visto com o un platonista.

10

1.7.

L ó g ic a ,


La Teoría del Significado de Frege

La distinción fundamental trazada en la Teoría del Significado de Frege es entre sentido (Sinn) y referencia (Bedeutung). De acuerdo con Frege, hay más cosas en el significado com pleto de una oración, aparte de su sentido; existe también fuerza (Kraft) y tono (Färbung). La fuerza de una oración es algo parecido a lo que actualmente se denomina su “fuerza ilocucionaria” ; es decir, aquella parte de su significado que determina qué función tiene la oración. Esta indi ca si nosotros estamos tratando con una aserción, una pregunta, etc. Por el tono de una expresión, Frege hace referencia a las ideas ( Vorstellungen) que un del lenguaje asocia con una expresión. Frege enfatiza que estas aso ciaciones mentales son subjetivas y que, por tanto, pueden no jugar un papel en la comunicación; proceso en el cual nosotros sólo podemos transmitir cosas objetivas, cosas que son comunes a cualquiera con el cual nos comuniquemos. Es esta parte objetiva del significado lo que Frege llama sentido. Así pues, la Teoría del Significado de Frege distingue entre sentido y refe rencia. Hemos visto ya un ejemplo que puede motivar la distinción, pues lo que la paradoja de el lucero m atutino/el lucero vespertino muestra es que sentido y referencia son dos cosas diferentes; no que la referencia no importa en la Teoría del Significado de Frege. Aunque sentido y referencia se distinguen entre sí, esto no significa que no tengan nada que ver el uno con el otro. La referencia, podemos decir, es lo que explica la función del sentido: las expresiones tienen un sentido sólo en virtud del hecho de que ellas también tienen una referencia y su sentido, en efecto, no es más que la forma com o se presenta su referencia. De esta manera, el sentido determina la referencia. Dos expresiones con el mismo sentido tienen ipso facto la misma referencia, aunque esto no es válido de ma nera recíproca. Frege desarrolló la distinción entre sentido y referencia en numerosos artículos e intentó decir cuál era exactamente el sentido y la referencia de cierta clase de expresiones. En lo que sigue, vamos a discutir brevemente su perspectiva sobre el sentido y la referencia de nombres propios y oraciones. En el trabajo de Frege los nombres incluyen no solamente nombres propios, com o Amsterdam y Sócrates, sino también descripciones definidas, com o el lucero matutino, el presidente de los Estados Unidos de América y la segunda potencia de 2. Ellos son, aproximadamente, lo que en lógica es llamado término: expresiones que refieren a una entidad. Así, para Frege, la referencia de un nombre es una entidad. Por su parte, el sentido es lo que este autor denomina el modo de presentación ( die Art des Gebenseins) de la entidad, es la manera com o la referencia se presenta. Esto se ilustra en la figura (5):

O r íg e n e s


11

(5)

En (5), las líneas a, b y c se intersecan en un punto común P. Este punto P podría ser caracterizado mediante diferentes formas: com o la intersección de a y b, com o la intersección de a y c, como la intersección de b y c y, finalmente, com o la intersección de a, b y c. Vemos entonces que una entidad singular, el punto P, es la referencia de cuatro nombres diferentes. Estas cuatro descrip ciones tienen sentidos diferentes, pero la misma referencia. Cada una pre senta la misma entidad de maneras distintas. Es muy importante notar que es posible estar muy familiarizado con el sentido de un nombre sin conocer cuál es su referencia. Cualquiera con una competencia mínima en el español entiende el sentido de el ciudadano más rico de los Estados Unidos, pero esto no significa que conozca cuál individuo es lo suficientemente afortunado para ser el referente de la expresión. El sentido es “el modo de presentación” , pero la familiaridad con la referencia de una expresión dada es solamente una posibilidad y podría no ser asumida. El sentido es solamente el criterio por medio del cual la referencia puede ser determinada bajo varias circunstancias. ¿Cóm o resuelve Frege la paradoja del lucero matutino/el lucero vespertino en su Teoría del Significado? Los sentidos de el lucero matutino y el lucero ves pertino son diferentes y las dos expresiones determinan su referencia. Para el lucero matutino esto puede explicitarse como ‘el cuerpo celeste más brillante en el cielo del este al amanecer’ , y para el lucero vespertino puede ser ‘el cuerpo celeste más brillante en el cielo del oeste al atardecer’ . Una vez más, es muy posible estar familiarizado con los sentidos de los dos nombres sin saber a qué cuerpo celeste se refieren. Esto nos da una explicación simple de la diferen cia cognitiva entre (1) (El lucero matutino es el lucero matutino) y (2) (El lucero matutino es el lucero vespertino). La oración (1) es verdadera sólo en caso de que la referencia de el lucero matutino sea la misma que la refe rencia de el lucero matutino. Que esto es así es claro, independientemente de cuál sea de hecho la re ferencia (estrictamente hablando, ni siquiera es necesario estar familiarizado

12

L ó g ic a ,


con el sentido de el lucero matutino, con tal de que uno sepa el significado de es). Así, saber que (1) es verdadera es una cuestión a priori. En cambio, la oración (2) es verdadera sólo en caso de que la referencia de el lucero matu tino sea la misma que la referencia de el lucero vespertino. Que esto sea el caso no puede ser determinado solamente con base en el significado de los dos nombres. Es necesario saber exactamente cuál es la referencia de las dos ex presiones, por lo que la verdad de (2) fue aparente sólo cuando los astrónomos descubrieron que las dos expresiones se referían al mismo objeto celeste, a saber, el planeta Venus. B ajo el punto de vista de Frege los nombres pueden tener sentido sin tener automáticamente referencia. Un ejemplo de esto es la descripción el primer hombre en Marte. En el momento en que este libro es publicado, esta expresión no tiene referencia, aunque tiene un sentido. Nosotros sabemos qué propiedades tendría que tener una cosa para responder a esta descripción. Este es un caso especial de un fenómeno más general, a saber, que la referencia de un nombre puede variar de situación a situación. Un ejemplo de esto es la expresión la reina de Holanda, expresión que cambió su referencia recientemente en 1980. Pero las situaciones temporalmente diferentes no son las únicas que tenemos en mente. Podemos, por ejemplo, imaginar situaciones en las cuales el lucero matutino tiene una referencia diferente. Existen situaciones imagi narias en las cuales no es Venus sino Marte el cuerpo celeste más brillante al amanecer (manteniendo aún que Venus es el más brillante al atardecer). En tal situación posible, aunque no actual, el nombre de el lucero matutino podría tener una referencia diferente a la del nombre el lucero vespertino y, com o resultado, (2) sería falsa. Que existan situaciones en las cuales (2) pueda ser falsa es la razón por la cual (2) no expresa una proposición necesaria sino contingente. Este último aspecto de la Teoría del Sentido de Frege y la referencia de los nombres ha sido muy criticado en los años recientes, al menos en lo que con cierne a nombres propios reales com o Dukakis y Sócrates. Actualmente, la perspectiva prevalente parece ser que los nombres propios difieren de las des cripciones definidas en que los primeros siempre se refieren al mismo individuo, bajo cualquier circunstancia. Se supone que su referencia es absoluta e inmuta ble. La diferencia podría ser ilustrada por medio de oraciones ‘contrafácticas’ com o la presentada en el ejemplo (6):

(6)

Si Dukakis hubiera ganado las elecciones presidenciales en 1988, entonces el presidente de los Estados Unidos habría sido un demócrata


13

Esta oración introduce una situación distinta a la situación actual, una situa ción que es al menos parcialmente determinada por la condición ‘Dukakis gana las elecciones de 1988’ . La diferencia entre el nombre propio Dukakis y la des cripción definida el presidente de los Estados Unidos es que la referencia del último en la situación distinta no es la misma que su referencia en la situación actual; esta es Dukakis y no Bush, mientras que la referencia del nombre pro pio Dukakis es la misma en ambas situaciones: el hombre Dukakis. Esta tesis acerca del comportamiento semántico de los nombres propios se conoce como designación rígida. Volveremos sobre esto más extensamente en §3.2. Con esto concluimos nuestra discusión de la teoría de los nombres de Frege y pasamos a su perspectiva sobre las oraciones. De acuerdo con Frege, una oración tiene tanto sentido como referencia, tal como ocurre en el caso de los nombres. Su análisis está restringido a oraciones que expresan aserciones, aunque como hemos notado, él era consciente de otras funciones que el lenguaje puede cumplir. Cada oración, dice Frege, corresponde a cierto pensamiento ( Gedanke), cada oración expresa un pensamiento o una proposición. Aunque nos parece que el término pensamiento tiene un ‘tono’ subjetivo, se sigue de las ideas de Frege sobre la naturaleza del significado que el pensamiento expresado por una oración es un pensamiento de algo objetivo. Una y la misma proposición es transmitida a todos los s del lenguaje que entienden la misma oración. ¿Podemos ahora establecer que la referencia de una oración es la proposi ción que ésta expresa? Frege no piensa así y sus razones se pueden parafrasear en los ejemplos que siguen. Compare las siguientes dos oraciones: (7)

El comandante supremo de las Fuerzas Armadas de hombre

(8)

El presidente de los Estados Unidos de América es un hombre

EE.UU.

es un

Claramente estas oraciones expresan proposiciones diferentes. Pero entonces, asumiendo el principio de acuerdo con el cual la referencia de una expre sión compuesta esta en función de la referencia de sus partes componentes, la referencia de una oración no puede ser la proposición que ésta expresa; pues, de acuerdo con este principio, (7) y (8) tienen la misma referencia, aun cuando estamos de acuerdo en que expresan proposiciones diferentes. Frege concluye que si la proposición expresada por una oración no es su referencia, entonces esta debe ser su sentido.

14

L ó g ic a ,


Así, Frege considera si la oración debe o no tener una referencia adicional a su sentido. El razonamiento de que las oraciones tienen referencia se ejemplifica a continuación. Considere la oración: (9)

Ulises arribó a ítaca

Nosotros sabemos que el nombre Ulises no tiene referencia. Entonces, en vista del principio de la composicionalidad de la referencia (véase atrás), la oración completa (9) tam poco puede tener una referencia. Al respecto, Frege señala dos puntos: primero, la proposición expresada por (9) es independiente de si el nombre Ulises tiene o no referencia; segundo, si alguien quiere aseverar que (9) es una oración verdadera o falsa, entonces tendrá que asumir que existe algo que es la referencia de Ulises. Así que la referencia de Ulises importa, incluso aunque ésta no afecte el sentido de la oración (9). Aparentemente, concluye Frege, esto es importante en la determinación de la referencia de esta oración. La referencia de la oración debe ser su valor de verdad, ya que es la verdad o falsedad de la oración la que es determinada por la referencia de las expresiones que aparecen en ella. El sentido de una oración es, entonces, la proposición que ésta expresa y su referencia es su valor de verdad. Como con los nombres, una oración puede perfectamente tener un sentido sin tener una referencia. La oración (9), por ejemplo, expresa una proposición, pero no tiene un valor de verdad. Y com o en el caso de los nombres, el sentido de una oración es un criterio para determinar su referencia; pues una oración es verdadera sólo en caso de que la proposición que ésta expresa sea verdadera. En otras palabras, el sentido de una oración determina lo que debe ser válido si la oración es verdadera. Esto concuerda con la afirmación de Wittgenstein en el Tractatus 4.024: “Entender una propo sición significa conocer qué es el caso si es verdadera” (Wittgenstein, 1921).3 Frege también tiene una teoría acerca del sentido y la referencia de las expresiones predicativas. No describiremos esta teoría aquí, ya que es un poco más complicada y no ha tenido la misma influencia sobre la semántica de la lógica intensional que la anterior teoría. Concluimos nuestra discusión sobre la Teoría del Significado de Frege con dos principios que el autor usa en su razonamiento y que son colectivamente referidos com o “principios de Frege” . Estos pueden ser formulados com o sigue: (10) La referencia de una expresión compuesta está en función de la referencia de sus partes componentes 3N. de T .: la traducción es nuestra.

O r íg e n e s


15

(11) El sentido de una expresión compuesta está en función del sentido de sus partes componentes Estos dos principios pueden presentarse también como reemplazo de los si guientes principios: (12) Si dos expresiones tienen la misma referencia, entonces la substitución de una por la otra en una tercera expresión no cambia la referencia de esta última (13) Si dos expresiones tienen el mismo sentido, entonces la substitución de una por la otra en una tercera expresión no cambia el sentido de esta última Hemos encontrado el principio (12) numerosas veces en la argumentación de Frege. Existe una diferencia de opinión acerca de si el principio (13) puede ser adscrito a Frege mismo, pero la opinión general es que éste es al menos “fregeano” , incluso si no es de Frege. Los dos principios se conocen también como principios de composicionalidad, de la referencia y del sentido, respecti vamente. El primero (12), es precisamente el principio de extensionalidad que es válido en la lógica estándar. Como vimos en §1.6., el primer principio no es válido para construcciones intensionales, com o es claro en la siguiente oración: (14) Juan dijo que el barbero de Pedro es el esposo de María Si Juan no está equivocado en sus creencias, y si el barbero de Pedro y el esposo de María son en efecto la misma persona, entonces el barbero de Pedro y el esposo de María tienen la misma referencia. Pero (14) seguramente no tiene la misma referencia (el mismo valor de verdad) que (15): (15) Juan dijo que el esposo de María es el esposo de María Esto no corresponde con el principio (12). Este problema con las construc ciones intensionales podría ser abordado de varias formas. Uno podría, por ejemplo, tratar de restringir ( 12) a la construcción extensional en la cual la substitución pueda hacerse libremente. Pero Frege deseaba mantener (10) y (12) incondicionalmente, así que escogió otra solución. Propuso que las expre siones no tuvieran su referencia normal en construcciones intensionales, sino que se refirieran más bien a sus sentidos. Dijo que en tales casos las expresio nes tienen una referencia indirecta ( ungerade Bedeutung), la cual es lo que es

16

L ó g ic a ,


normalmente su sentido. Un par de oraciones como (14) y (15) no son entonces contraejemplos de (9) y (12). La expresión el barbero de Pedro sólo se puede remplazar por una expresión con la misma referencia, y en el contexto de decir que, esto significa que ellas deben tener el mismo sentido. Oraciones como la (14) tienen el mismo valor de verdad que oraciones como la (16): (16) Juan dijo que el peluquero de Pedro es el esposo de María El análisis intensional moderno es tal que los dos métodos para lidiar con las dificultades del principio de composicionalidad de la referencia no pueden dis tinguirse. Facetas de ambas aproximaciones han tomado forma en los análisis modernos. El lector habrá notado que estos principios (10) y (11) implícitamente pre suponen un análisis sintáctico. Que una expresión com o mujeres y hombres viejos se refiera a personas de edad de cualquiera de los dos sexos o a las mujeres y a los hombres viejos, no puede ser determinado solamente con ba se en el significado de los elementos léxicos viejo, hombres, y, y mujeres. Aquí surge una de las preguntas más importantes que debe ser afrontada si deseamos aplicar la semántica lógica al lenguaje natural: ¿qué nivel de análisis sintáctico presuponen el principio (10) y (11)? Volveremos a esta cuestión en el capítulo 6.

1.8.

Dependencia del contexto

Como hemos visto, uno de los problemas que condujeron al desarrollo de la lógica intensional fue lo inapropiado de la semántica extensional de la lógica estándar para las construcciones intensionales. Otro problema fue el hecho de que la lógica estándar se restringe a proposiciones que no son dependientes del contexto, y este problema proporciona una buena ilustración de la im portancia de la noción de contexto en la lógica intensional. Esta noción es importante no sólo en el análisis de proposiciones dependientes de contexto, pues, com o veremos, también hace posible una explicación formal de la dife rencia entre sentido y referencia. En lógica, tradicionalmente se supone que las proposiciones no dependen ni del tiempo ni del lugar, de tal manera que puede decirse incondicionalmente que son verdaderas o falsas. Y proposiciones lógicas com o el conocimiento implica creencias, proposiciones matemáticas com o 5 + 7 = 12 y proposiciones teológicas com o las creencias implican conocimiento son claramente ejemplos de oraciones cuya verdad o falsedad no depende de la situación en la cual son

ORÍGENES


17

evaluadas. Pero con respecto a esto, ellas son excepcionales. La mayoría de las proposiciones, com o (17) por ejemplo, no tienen esta propiedad: (17) La reina está pronunciando un discurso Se han hecho intentos para adaptar proposiciones com o (17) de tal forma que su verdad y falsedad ya no cambie de situación a situación. Esto se ha lo grado al construir dentro de las oraciones mismas una especificación de las situaciones en las cuales las oracións se pueden proferir. Oraciones como (17) podrían, por ejemplo, expandirse en algo com o (18): (18) El 9 de junio a las 8 p.m., la reina de Holanda está pronunciando un discurso Podría argüirse que (18) es situacional, pues aunque el lugar no es mencionado, el tiempo si lo es. Una elaboración com o ‘en el Palacio Noordeinde’ se nece sitaría para remediar esto. Pero incluso presumiblemente esto podría no ser suficiente, pues ¿en cuál de las muchas salas, cámaras y mazmorras del palacio fue dado el discurso?, ¿y entre cuáles puntos exactos del tiempo? Obviamente podríamos seguir elaborando esta oración más allá de todo reconocimiento. En vez de hacer esto, sería más natural interpretar la oración sobre la base del trasfondo del contexto en el cual es usada. Este contexto provee el aquí y el ahora del cual depende la verdad de una oración situacional. Así que una oración com o está lloviendo será verdadera en un contexto situacional dado si es el caso que está lloviendo en ese contexto. Una oración en tiempo pasado, como llovió, se refiere a un momento en el tiempo anterior al actual, provisto por el contexto en el cual es proferida, y de esta manera es un poco más compli cada. Requiere no de uno, sino de dos contextos. Una oración com o quizá está lloviendo introduce un estado de cosas concebible que ciertamente no necesita estar presente en el contexto dado. Así que al interpretar una oración en cual quier contexto dado, es necesario, con frecuencia, tomar otros contextos en consideración. El nombre semántica intensional, que se da a la semántica lógica en la que el proceso de interpretación es com o el esbozado arriba, se deriva de la distin ción entre intensión y extensión. La intensión de una expresión puede jugar el papel de contenido conceptual, mientras que su extensión comprende todo aquello que ejemplifica ese contenido conceptual. Tomemos la expresión dígito, por ejemplo. La intensión de la palabra (al menos en el sentido que tiene en la aritmética) es el concepto ‘símbolo singular que refiere a un número’ , y su

18

L ó g ic a ,


extensión es el conjunto de símbolos {0 ,1 , 2,3, 4, 5, 6, 7 ,8,9 }. La extensión es, entonces, lo que hasta el momento hemos llamado referencia. La idea que hemos introducido aquí es que las expresiones podrían tener diferentes referencias (extensiones) en diferentes contextos. La expresión el pre sidente de los Estados Unidos, por ejemplo, tuvo a Cárter com o su referencia en 1979, a Reagan en 1980 y a Bush en 1989. Otro ejemplo es el lucero matutino, el cual bajo otras circunstancias astronómicas concebibles podría haberse refe rido a cualquiera entre un número de cuerpos celestes y no a Venus. La lógica intensional tiene, com o la versión formal de la noción de intensión de la lógica tradicional, el fenómeno de referencia múltiple. Una intensión es una función que da la referencia de una expresión en cada uno de los contextos bajo consideración. Esta noción formal de intensión parece capturar la esencia de la noción de sentido de Frege como un criterio para la determinación de la referen cia de las expresiones. La intensión de la expresión el presidente de los Estado Unidos es, por ejemplo, la función que a cada contexto (momento en el tiempo) le asigna la persona que ocupa la oficina del presidente en ese momento. Tal función de contextos aplicada a individuos se llama también un concepto individual. Los predicados pueden también cambiar su referencia de contex to en contexto. Por ejemplo, actualmente la referencia del predicado hombre americano ya no incluye al individuo Elvis Presley, aunque aún lo hacía en el año 1976. La intensión de un predicado es, entonces, una función que asigna a cada contexto dado el conjunto de individuos que forman la referencia de ese predicado en ese contexto particular. Como argumentamos ampliamente antes, la referencia de una oración como está lloviendo puede también cam biar de contexto (tiempo y lugar) a contexto. La intensión de una oración es, entonces, una función que asigna a cualquier contexto dado el valor de verdad de la oración en ese contexto particular. La intensión de una oración también se llama una proposición. Las siguientes son las dos nociones simples que conforman los fundamentos de la lógica intensional moderna: contexto y referencia múltiple. Mostraremos ahora el aparato técnico de la lógica intensional en su forma más simple: la lógica proposicional con la adición de operadores intensionales. Sólo después de haber completado esto en el capítulo 2, volveremos al caso relativamente com plicado de la lógica de predicados intensional en el capítulo 3. Allí, varios problemas surgirán de la interacción entre cuantificadores y operadores inten sionales. Después de una introducción a la Teoría de los Tipos en el capítulo 4, seguiremos con la Teoría de Tipos Intensional en el capítulo 5. Esta teoría juega un papel importante en la gramática lógica, que se introduce en el capítulo 6.

Capítulo 2

Lógica proposicional intensional

2.1.

Introducción

Como vimos en el capítulo 1, hay muchas clases diferentes de construcciones intensionales. Entre éstas, las construcciones modales y temporales son las que más atención han recibido en la lógica filosófica. Es por esta razón que hemos escogido trabajar aquí con la lógica proposicional modal y la lógica temporal proposicional, y con la combinación de las dos. Otros ejemplos de contextos intensionales que han sido estudiados formalmente son el conocimiento y la creencia ( lógica epistémica) y el permiso y la obligación (lógica deóntica). Co menzamos con una sección sobre el enfoque semántico que es común a todos estos sistemas. Este surgió en los años cincuenta con el trabajo de autores como Carnap, Kanger, Hintikka y Kripke.

2.2.

La semántica de mundos posibles

Por razones de conveniencia, comenzamos con el siguiente lenguaje extre madamente simple. Una expresión O se añade al vocabulario de la lógica proposicional, la cual, cuando se coloca en frente de una fórmula cf>, resulta en una nueva fórmula O
20

L ó g ic a ,


ta manera, obtenemos fórmulas com o O p. O p —>p. O p—>OOp, O p—>q, q—>Op. O /O q —>Op), etc. La idea intuitiva es que O haga las veces de una construcción intensional com o debe ser el caso que, yo sé que, siempre será el caso que, hubo un tiempo en el que, es necesario que, es posible que. B ajo la segunda interpre tación, por ejemplo, las tres primeras fórmulas dicen: Yo sé que p; Si yo sé que p, entonces p es el caso, y si yo sé que p, entonces yo sé que yo sé esto. Debe ser claro que la extensionalidad de la lógica proposicional estándar se pierde si se introduce este tipo de construcciones. Claramente, puede ser cierto que dos proposiciones p y q tengan el mismo valor de verdad, de tal manera que p <-> q sea verdadero, a pesar de que yo sé que q no se siga de yo sé que p, es decir, sin que O p +-* O q sea verdadero. Los aspectos del contexto que deben tomarse en cuenta dependerán de la interpretación que se escoja para el operador O. Si sólo estamos interesa dos en construcciones temporales com o siempre será el caso que y hubo un tiempo en el que, entonces los contextos se reducen a momentos en el tiempo. Si sólo estamos interesados en construcciones modales com o es necesario que y es posible que, entonces podemos identificar los contextos que deben tenerse en cuenta con todas las situaciones posibles. Y si estamos tratando con construc ciones modales y temporales al mismo tiempo, entonces los contextos serán situaciones posibles en ciertos instantes de tiempo. El punto es que el conjunto K de contextos con el que escojamos trabajar depende, en gran medida, de lo que queramos que signifique el operador O. En vista de lo anterior, parecería ser necesaria una noción de signifi cado dependiente del contexto, es decir, una en la cual los valores de verdad de las proposiciones no sean absolutos, sino relativos a los contextos en los que su verdad sea evaluada. En términos formales, esto significa reem plazar la semántica simple de la lógica proposicional, en donde las fórmulas reciben valores de verdad absolutos, por un sistema en el que las funciones de evaluación asignan valores de verdad relativos a algún contexto k (que se toma de un conjunto K de tales contextos). Las cláusulas para los conectivos de la lógica proposicional estándar permanecen esencialmente iguales. Por ejemplo, una fórmula recibirá el valor de verdad 1 en un contexto dado sólo en el caso en el que la fórmula (j) reciba el valor de verdad 0 en dicho contexto. En efecto, el conjunto K de todos los contextos entra en juego únicamente cuando comenzamos a evaluar sentencias de la forma O 4> en un contexto dado k. La razón de esto es que la verdad de cualquier fórmula como ésta en un contexto k depende de la verdad de (¡), no sólo en ese mismo contexto k, sino también en otros contextos k' en K . Esto es lo que hace que el sistema sea intensional.

LÓGICA PROPOSICIONAL INTENSIONAL

21

Por ejemplo, la verdad de la construcción hubo un tiempo en el que p depende de la existencia de algún contexto (punto en el tiempo) k! , anterior al presente contexto (punto en el tiempo) k en el cual p es verdadero. A su turno, para que yo sé que p sea verdadero en un contexto k, es necesario no sólo que p sea verdadero en k , sino también en todos los contextos k! que son compatibles con el conocimiento que yo tengo en k: con todas las, así llamadas, alternativas epistémicas que yo tengo en el contexto k. ¿Son relevantes los valores de verdad de 0 en todos los contextos k! en K para la determinación del valor de verdad de O ó en cualquiera de estos contextos? Esto depende de cuál concepto intensional O estemos modelando. Si estamos interpretando a O como es lógicamente necesario que, entonces es plausible estipular que 0 sea verdadera en cualquier contexto k únicamente en el caso en que sea verdadera en aquellos contextos k' donde valen las mismas leyes físicas que en A;. Y si O hace las veces de la construc ción temporal hubo un tiempo en el que, entonces importarían únicamente los contextos (puntos en el tiempo) anteriores a k. Así, para establecer el caso general, los contextos que deben tomarse en cuenta para evaluar la fórmula O (j) en algún contexto k dependerán de la interpretación dada a O. Según sea la interpretación, los contextos dependerán también de ciertas característi cas del mismo contexto k. El conjunto de puntos anteriores a k en el tiempo obviamente será diferente para distintos puntos en el tiempo k. Lo mismo puede verse en las construcciones epistémicas. Las alternativas epistémicas que tenemos que considerar al evaluar una sentencia dependen de nuestro contexto, com o es evidente a partir del siguiente ejemplo concre to. Consideremos un jugador de ajedrez que está en la mitad de un juego. El conoce dónde están todas las piezas en el tablero y está familiarizado con las reglas del juego, así que, en principio por lo menos, está en posición de cal cular todas sus alternativas epistémicas: aquellas posiciones que pueden ser alcanzadas al continuar el juego. Pero las alternativas epistémicas variarán con el estado del juego. En efecto, el conjunto de alternativas epistémicas del jugador se reduce a medida que el juego progresa, debido a que cada jugada excluye todo un árbol previo de posibles desarrollos alternativos. De esta ma nera, la afirmación conozco que las negras no ganarán puede ser falsa en cierto contexto, es decir, en cierto estado dado del juego, al haber continuaciones Posibles del juego en las cuales las negras hagan jaque mate a las blancas;

mientras que esta afirmación en un estado posterior del juego se vuelve ver dadera, cuando las negras pierden todas las piezas excepto el rey. Así pues, los contextos que deben tomarse en consideración al evaluar una fórmula 0 (¡> pueden depender no solamente de la interpretación que se tenga en mente para O, sino también del contexto particular en el cual la evaluación ha de tener lugar. Aquellos contextos k' que son relevantes cuando evaluamos dentro de un contexto k se llaman accesibles desde k. De esta manera, el valor de verdad de O (f> en k depende de los valores de verdad que toma

p son verdaderas en W3 . Nuestro segundo ejemplo de un modelo se representa en (10). Al interpretar las W , R y V características del diagrama tenemos que W = { ^ 1, ^ 2}; R = { ( w i , w i ) , { w i , w 2 ) , { w 2 , w i } } y Vm (p) = 0, VW2 (p) = 1. Se puede calcular ahora el valor de verdad de varias fórmulas, al igual que en el primer ejemplo. A manera de ilustración, determinaremos el valor de verdad de dos fórmulas con operadores modales apilados, es decir, DOp y OCIHp-

¿□O p es verdadera en w {! Esto es así sólo en el caso en que para todo w' tal que w\Rw' tengamos Vm.w'ÍOp) = 1. Sabemos que w\Rw\ y w\Rw2, así que <)p tendría que ser verdadera tanto en w\ com o en w2. Ahora, 0 p es verdadera en wi, puesto que w\Rw 2 y p es verdadera en w2. Pero 0 P no es verdadera en w2, ya que sólo w\ es accesible desde w2, y allí p es falsa. Luego, la respuesta es no: DOp es falsa en w\. ¿Tal vez DOp es verdadera en w2? Para esto, Op tendría que ser verdadera en todos los mundos accesibles desde w2. Hay sólo uno de esos, que es w\, y Op es en efecto verdadera allí, puesto que w\ Rw 2 y p es verdadera en w2- Así que la respuesta es sí: CHOp es verdadera en w2. La segunda fórmula que vamos a considerar es Od^P- ¿Esta fórmula es verdadera en w \? Lo será sólo en el caso en que haya algún w' con w\ Rv/ en el cual □ ~>p sea verdadera, puesto que w\Rw\ y w\Rw2, podemos decir que w\ y w 2 son ambos candidatos. Pero resulta que C]-

p es falsa en w2. Así que w\ no es el w' que estamos buscando. Pero EHp es verdadera en w2, dado que sólo w 2 Rw\ y ->p es verdadera en w\. De esta manera, w 2 es el w' que estamos buscando, y OD^P es verdadera en W\. Podemos verificar rápidamente que esta fórmula es falsa en w2: dado que sólo w 2 Rw] , la fórmula D-ip tendría que ser verdadera en w\: sin embargo este no es el caso, puesto que w iR w 2 y p es verdadera en w2; en consecuencia OCHp es falsa en w 2 (podríamos haber anticipado este resultado, en vista de las equivalencias dadas arriba, OD^P es justamente la negación de DOp)Para cualquier modelo M dado, siempre hay algunas fórmulas que son verdaderas en cada uno de los mundos posibles de M . Por ejemplo, 0 P A 0 -ip y □ p —>p son verdaderas en cada mundo posible del modelo ( 11):

(u)

0•

W1 ,

P

0•

* W2

P

Decimos que las fórmulas que son verdaderas en cada uno de los mundos del modelo son válidas en dicho modelo, y lo escribimos como Vm(^) = 1. Entre las fórmulas válidas en M podemos distinguir aquellas cuya validez depende de la valuación V particular en el modelo M , de aquellas cuya validez es independiente de dicha V . El primer tipo de fórmulas es válido en M en virtud de los hechos que suceden allí, pero el segundo tipo parece ser indiferente a ellos. Aparentemente, las fórmulas del segundo tipo son válidas puramente en virtud de la estructura básica del modelo, es decir, de su marco. La fórmula Op A 0 ~>p es un ejemplo del primer tipo. Si fuéramos a cambiar el modelo en

(11) al hacer que VW2 (p) = 1, en lugar de O, entonces esta fórmula no sería v á lid a ; sin embargo, Clp —» p aún sería válida. En efecto, no importa cuál V e s c o j a m o s en ( 1 1 ) , Dp —* p siempre será válida en todos los mundos posibles. Claramente este es el ejemplo del segundo tipo de fórmulas. Su validez puede perderse sólo si la estructura subyacente del modelo se cambia, com o se ve a partir del modelo dado en (12), donde Clp —>p no es válida:

(12)

0 •

•

w1

W2

P

-«P

Mientras □ p es verdadera en w-¿, p es falsa en dicho mundo, así que \3p —> p es falsa allí también. Decimos que el modelo (12) es un contraejemplo de (la validez de) Dp —> p. Lo que esto significa es que hay una relación entre los marcos y las fórmulas válidas en los modelos construidos con base en ellos. S i una fórmula 0 es válida en todo modelo construido a partir del marco F, entonces decimos que 0 es válida en F . De cierta manera, cualquiera de estas fórmulas expresa una propiedad de F ; a menudo resulta ser una propiedad de una clase completa de marcos. Comparemos, por ejemplo, el marco del modelo (11) con los tres marcos del (13): F i:

Q Wi

F3:

F 2:

0 Wl

0 W2

0 Wl

0 *

W2

La fórmula Dp —» p e s válida en todos estos marcos (y muchos más además de estos). Ellos, tienen una propiedad en común que es responsable de su validez, a saber, la reflexividad de sus relaciones de accesibilidad. En efecto, esta es la propiedad expresada por Dp —♦ p, dado que puede demostrarse que Dp —♦ p caracteriza la clase de los marcos reflexivos: Dp —►p es válida en cualquier marco con una relación de accesibilidad reflexiva. De manera recíproca, si □ p —> p es válida en un marco, entonces el marco tiene que tener una re lación de accesibilidad reflexiva. Esto puede verse fácilmente de la siguiente manera. Primero debemos mostrar que Dp —> p es válida en cualquier marco con una relación de accesibilidad reflexiva. Así, supongamos que M tiene un marco F con una relación de accesibilidad R que es reflexiva y que en algún vo tenemos V\ijU,(D 0) = 1. Entonces, en todo w' tal que wRw\ Vm ,w'(4>) = 1-

Ahora, dado que R es reflexiva, tenemos que wRw, así que en particular te nemos V m = 1- Esto significa que Vm,iu(D0 —*•(f>) = 1 y puesto que w es arbitrario, □ <j> —* es verdadera en todo w en M , así que □ —* es váli da en M . Y puesto que M era un modelo arbitrario con un marco reflexivo, □ 0 —> (f) es válida en cualquier modelo M , que tenga un marco F , con una relación R reflexiva. Ahora, sólo resta mostrar que si □(/> —> <j) es válida en un marco, entonces este marco debe tener una relación de accesibilidad refle xiva o, equivalentemente, que un contraejemplo a □<£ —> puede construirse en cualquier marco que no tenga una relación reflexiva. Así, sea F un marco cuya relación de accesibilidad no es reflexiva. Esto significa que hay algún w en F tal que no se tiene wRw. Ahora, obtenemos nuestro contraejemplo al construir un modelo M con F como su marco, y con una valuación V tal que Vw(p) = 0, mientras que Vwi(p) = 1 para todos los demás mundos w' en este marco. Entonces tenemos que l /,„(D p )= l y Vw(p )= 0, así que Vw(\3p —>p)= 0. De esta manera, □

(p no es válida en M . La figura (12) es un ejemplo de ello. Esto nos trae a una de las principales ocupaciones de los lógicos modales, que es establecer relaciones entre la validez de fórmulas y las propiedades de los marcos. Se ha prestado atención de manera particular a los principios mo dales com o (2) a (7). Resulta que el principio (5), □(<£ —►ip) —> ( □ —> Oip), es válido en todos los marcos, sin importar qué relación de accesibilidad tengan. Pero muchos otros principios modales resultan corresponder a características particulares de las relaciones de accesibilidad. Acabamos de ver que el prin cipio (4), □$> —> (p, corresponde a la reflexividad de R, y que el principio (6), D —> □□(/>, corresponde a la transitividad de R. No daremos una prueba completa de este hecho aquí, pero haremos una demostración del hecho de que un contraejemplo de □ —> □□<¿> siempre puede construirse en un marco no transitivo. En cualquier marco de este tipo siempre habrá tres mundos (no necesariamente distintos) w\, y W3 tales que W] Riu?, w^Rw^, pero no w\R 2 ^. Esta situación puede representarse com o en (14): (14)

Si ahora escogemos una VW3 tal que VWl(p) = 0 y Vw(j>) = 1 para todos los demás w , entonces tenemos que Vu¡1 (d p ) = 1 y VWl (□□?>) = 0, puesto que VW2(Dp) = o.

El principio (7), 0n —► , expresa la simetría de R. La prueba de este hecho la dejamos al lector (ver ejercicio 3a). Este no es el lugar para entrar en detalles sobre estas correspondencias y las implicaciones que ellas tienen sobre las numerosas axiomatizaciones divergentes que han sido desarrolla das para la lógica proposicional modal. Hemos ilustrado aquí estos asuntos para enfatizar la flexibilidad de la semántica de los mundos posibles, que es ciertamente de importancia para su aplicación en las investigaciones sobre lenguaje natural. Es esta flexibilidad la que nos permite representar distintas interpretaciones de las nociones modales, al imponer distintos requerimientos en la re lación de accesibilidad R. Esto no significa que esta flexibilidad sea ilimitada. Resulta que hay propiedades bastante simples de los marcos que no pueden ser caracterizadas por medio de una fórmula. Por ejemplo, no hay fórmula que caracterice la irreflexividad de los marcos, lo cual es una restric ción clara en el poder expresivo de la lógica proposicional modal. Ejercicio* 2.2. (a) A partir del siguiente modelo:

W\ P

Decida si cada una de las siguientes cuatro fórmulas es verdadera en w\, en w -2 y en todo el modelo. (i) Dp —> COp (ii) - O p (iii) p —> DOp (b) A partir del siguiente modelo W = {iui, w2, w3, w^}; R = { ( w i , w 2), {w2, W3), (w3, Wi), (w3, w4), {w4, w2)}\ VWl(p )= V W3 ( p ) = V Wl(q)= Vw2 (q) = 1, VW2 (p) = VW4 (p) = VW3 (q) = VW4 (q) = 0. (i) Dibuje un diagrama del modelo (ii) Determine: 1) VWl(Dq) 2) VW2( D - ( p - > 9 ) ) 3) VW3 ( n ( ( p A q ) V (-ip A -ig )))

4) VWl(0Oq)

5) VWl(0p/\0q) (iii) Decida si las siguientes formuléis son válidas en el modelo: 1) O D p V O O D p

2)

Dp —►->p

3) (p -*■ 0 p) A (q -> 0 q) 4) 0 (p V ->p) - > D(p V -.q) (iv) Decida si las siguientes fórmulas son válidas en el marco del modelo: 1) Dp —> 0 p 2) 0 0 Dp -► P Ejercicio* 2.3. (a) Muestre que OD0 —> 0 es válida en todo marco con relación simétrica R y construya un contraejemplo para esta fórmula en un marco no simétrico (b )

¿Qué clase de marcos es caracterizada por 0 0 0 0 0 0 0 —>■0 ? Y en general, ¿por 0 i •••0 n4> ~ >0?

—► 0 ?

¿Qué clase por

Ejercicio 2.4. (a) Interprete □ com o creo que. ¿Qué significa 0, dado que mantenemos los principios (2) y (3) de §2.3.1.? ¿Cuál de los principios del (4) al (7) es plausible para esta interpretación de □ ? (b) Ahora responda la misma pregunta para es obligatorio que com o la in terpretación de □ (c) ¿Qué restricciones en la relación de accesibilidad harían válida la expre sión Si no creo que 0, entonces creo que no creo que 0 sea el caso? (d) ¿Qué propiedades de los marcos es caracterizada por D 0 —» 0 0 ? ¿Ésta es una propiedad razonable si interpretamos □ com o es obligatorio que? Ejercicio 2.5. Una relación R se dice conectada si para todo w, w'\ si w^ui', entonces wRw' o w'Rw, y universal si para todo w , w w R w ' . Muestre que para todo marco F cuya relación R es reflexiva y simétrica se sigue que R es universal si y sólo si R es conectada.

2.3.3.

El enfoque sintáctico de la noción de validez

Nuestro enfoque de la lógica intensional es completamente semántico. Sin embargo, puede ser instructivo mencionar el aspecto sintáctico, aunque sea brevemente. Con este propósito, presentaremos ahora una discusión corta de la manera en que el sistema de deducción natural, que fue introducido en el vol. 1 como una explicación sintáctica de la validez en la lógica proposicional y de predicados, puede ser extendido a la lógica proposicional modal. En el resto de nuestra discusión de la lógica intensional y de la teoría de tipos no entrare mos a considerar en ningún momento enfoques sintácticos de la validez, así que los lectores que no están familiarizados con la deducción natural pueden omitir esta sección, sin riesgo de quedar estancados más adelante. La siguiente regla de introducción para □ es bastante aceptable: si (p puede ser derivada sin hacer ninguna suposición en absoluto, entonces aparentemente $ es necesaria, así que podemos obtener la conclusión □ . Esta regla, emitida en la forma que presentamos a continuación com o ID, m, puede ahora añadirse a nuestro sistema de deducción natural de la lógica proposicional: 1.

m.

cj)

n.

D

ID, m

La restricción en esta regla consiste en que en el paso m no puede haber suposiciones no eliminadas. El hecho de que esta restricción sea necesaria es inmediatamente obvio del hecho de que sin ella siempre derivaríamos p —> Op. Por otro lado, no es posible dar una regla de eliminación para □ que sea simple e intuitivamente llamativa. En lugar de ello, podemos dar axiomas, que pueden ser vistos com o suposiciones de trasfondo o como postulados de significado. Los axiomas pueden introducirse en la deducción natural como fórmulas que siempre pueden escribirse en cualquier lugar de una derivación, sin que sean defendidas en forma alguna. Si tomamos como nuestros axiomas todas las fórmulas que tienen la forma general de (5) (repetida a continuación), obtenemos la lógica proposicional modal minimal (algunas veces llamada K ): (5)

D(4> -

xl>) -

(U<)>

DVO

Toda sustitución de y ip por fórmulas en (5) da com o resultado un axioma. Decimos que (5) es un esquema de axiomas. Como ejemplo, damos la siguiente derivación de D(p A q) —> Dp, en la lógica proposicional modal minimal K : 1 -p Aq 2. p 3- (p A q) -*• p 4. D ( ( p A g ) - » p ) 5. D ((p A q) —* p)—> (ü (p A q) 6. □ (p A q) —* Clp

Qp)

Suposición EA, 1 I-> ID, 3 Axioma E—>, 5, 4

Es posible dar pruebas de validez y de completitud para esta lógica minimal K. Hay una prueba de validez que establece que si h 0 en K , entonces es válida en todos los modelos M , y una prueba de completitud que establece que las fórmulas que son válidas en todos los modelos son derivables en K (la prueba del teorema de validez viene siendo poco más que el comentario hecho anteriormente, en el sentido de que (5) es válida independientemente de la relación de accesibilidad del modelo). Com o se ha mencionado anteriormente, hay interpretaciones de □ para las que no todos los modelos son adecuados, sino sólo aquellos cuyas relaciones de accesibilidad satisfagan ciertos requerimientos. Puede ser, por ejemplo, que se requiera que esta relación sea reflexiva, transitiva y simétrica. Estos reque rimientos han sido ligados anteriormente a las fórmulas (4), (6) y (7), las cuales repetimos a continuación: (4)

Uct> -

0

(6)

n

□□

(7)

<>□ —>

El sistema obtenido al añadir (4), (6) y (7) como esquemas de axiomas a la lógica proposicional modal minimal se conoce com o S5. Para este sistema tam bién se pueden demostrar teoremas de validez y de completitud. Si hay una derivación de una fórmula 4> en S5, entonces <j) es válida en todo modelo en el cual R es reflexiva, transitiva y simétrica, es decir, una relación de equivalencia (validez), y si es válida en todos estos modelos, entonces también hay una derivación en S5 (completitud). Demostrar la completitud de toda clase de sistemas axiomáticos distintos es algo que le gusta más a los lógicos modales, que mostrar que una fórmula dada caracteriza una clase particular de marcos,

un asunto que consideramos más arriba brevemente. También es considerable mente más difícil. El hecho de que las cosas no sean tan simples com o pueden parecer resulta claro de la siguiente consideración: puede argumentarse que si □ se interpreta com o es lógicamente necesario, entonces sólo debemos tener en cuenta aquellos modelos en los que cada mundo es accesible desde todos los otros mundos (incluyendo él mismo), es decir, en el cual la relación de accesi bilidad R es universal. Lógicamente necesario significaría, entonces, verdadero en todos los mundos posibles. Pero resulta que el sistema correspondiente a esta restricción en los modelos coincide con S5. Las observaciones anteriores deben haber ilustrado sumariamente los prin cipios del enfoque sintáctico de la lógica intensional. Como lo habíamos men cionado anteriormente, no volveremos a tratar sobre este tema. Ejercicio 2.6. Más arriba se afirmó que (¡>es derivable en S5 si y sólo si (f) es válida en todos los modelos en los que R es una relación de equivalencia. También, fue dicho que el sistema S5 es completo con respecto a la clase de modelos en los cuales R es universal. ¿Qué puede deducirse de estos dos hechos acerca de la posibilidad de caracterizar modalmente a la propiedad de que una relación R sea conectada?

2.3.4.

Modalidades aléticas y epistémicas

En esta sección consideraremos brevemente si las expresiones modales en len guaje natural corresponden siempre a las modalidades filosóficas de la lógica modal. Estas modalidades filosóficas también se conocen como modalidades aléticas (término derivado de la palabra griega alétheia, “verdad” ). Ellas ver san sobre la verdad de las oraciones. Por supuesto, hay construcciones en el lenguaje natural en las cuales las expresiones modales son aléticamente sig nificantes. Algunos ejemplos de éstas pueden encontrarse en el ejercicio 1 de §2.3.2. Pero también hay expresiones modales com o (15) y (16) que no parecen ser aléticas: (15) Tal vez está lloviendo en California del Sur (16) Juan debe estar en su cuarto Estas afirmaciones no parecen versar más sobre la verdad de Está lloviendo en California del Sur y Juan está en su cuarto, que sobre la información que

está disponible a quien quiera que las profiera. Si el tal vez en (15) fuera una modalidad alética, entonces (17) tendría sentido: (17) Tal vez está lloviendo en del Sur, pero no está lloviendo en California del Sur Entonces podríamos representar (15) com o ()p y así (17) correspondería a la fórmula (}pA~>p. Pero mientras que esta última fórmula tiene sentido, lo mismo no puede decirse de (17). Aparentemente, (15) no expresa una modalidad alética, sino lo que puede llamarse una modalidad epistémica: lo que (15) expresa es el hecho de que la información que está disponible al hablante no le permite decidir si está lloviendo en California del Sur o no. La segunda parte de (17) niega justamente esto, lo cual hace imposible interpretar la oración. La modalidad en la oración (16) también parecería ser epistémica: (16) no significa que es un hecho necesario que Juan se encuentre en su cuarto, sino que la información disponible a quien quiera que esté profiriendo la oración sugeriría que él está ahí. Una continuación típica de (16) sería algo como (18): (18) Juan debe estar en su cuarto; él siempre está ahí a esta hora Si (18) fuera interpretada com o una modalidad alética y bajo la suposición bastante razonable de que la relación de accesibilidad es reflexiva, de tal ma nera que □(/> — <j) es válida, entonces se seguiría de (16) que (19): (19) Juan está en su cuarto Pero esto no es correcto de acuerdo con el significado de (16), dado que la modalidad epistémica expresada en (16) es esencialmente más débil que la mo dalidad alética representada por □ .

2.3.5.

Una aplicación

El verdadero poder de los operadores modales en los argumentos se pone en evidencia sólo cuando los operadores se combinan con la lógica de predicados. Pero aquí también hay algunos problemas que pueden ser clarificados al nivel elemental de la lógica proposicional modal. Un ejemplo de esto es la discusión de Tomás de Aquino sobre el argumento de que la Providencia de Dios implica el fatalismo. De acuerdo con este argumento, el hecho de que yo esté de pie aquí ahora mismo es necesario (en otras palabras, mi libre albedrío no tie ne que ver en el asunto). Esto se explica de la siguiente manera: durante la

Creación, Dios vio todo, incluso el que yo esté parado aquí. Y si Dios me vio parado aquí durante la Creación, entonces es necesariamente verdadero que yo e sté parado aquí. Este argumento, formalizado en lógica proposicional modal, tiene la forma del siguiente esquema argumentativo válido: (20)

p, P ~ > q , <7 -► Up/Up Claves: p: Yo estoy parado aquí; q: Dios me vio parado aquí durante la Creación

Tomás de Aquino nos hace notar que la última premisa es la más crucial: ¿a qué se le está aplicando la cualificación de necesariamente? En la formalización de (20), la cualificación sólo se aplica al consecuente de la implicación en la última premisa. Pero esta premisa parecería plausible sólo si la cualificación se aplicara a la implicación como un todo. Esto significaría que la premisa debería ser D(q —>p), en lugar de q —►Dp, caso en el cual el argumento tiene la forma del esquema argumentativo inválido (21): (21) p , p - + q , □(V->. Fue este argumento el que dio lugar a las lógicas multi-valuadas, en donde se introdujeron otros valores de verdad distintos a 0 y 1 (el lector puede consultar el capítulo 5 del volumen 1 para una discusión de este tema). Este enfoque permitía escapar de las conclusiones fatalistas al declarar que <j> V -*<j) es inválida. Esos valores de verdad múltiples y tablas de verdad extendidas fueron muy populares en los años veinte y treinta, y se buscó en ellos una semántica para la lógica proposicional intensional; la cual nunca fue encontrada. Tampoco se necesita ninguna, puesto que las con sideraciones basadas en la lógica modal que aquí se presenta son casi siempre suficientes para inhabilitar los argumentos como los de Aristóteles sobre la batalla naval. Cualesquiera sean las virtudes de la lógica multi-valuada, su motivación original no es convincente. 1N. de T.: Cf. P erl Hermeneias, cap. IX.

2.4.

Lógica temporal proposicional

2.4.1.

Sintaxis y semántica

Hablando técnicamente, la lógica temporal está estrechamente relacionada con la lógica modal. En lógica temporal, los contextos se convierten en momen tos en el tiempo, con anterior a com o su relación de accesibilidad (esta es la manera tradicional de proceder, pero esto no significa que sea la única. Ac tualmente, muchos semanticistas prefieren analizar los contextos por medio de intervalos de tiempo en vez de momentos). La lógica temporal se originó a partir de la observación de que los tiem pos verbales manifiestan un comportamiento bastante regular, el cual parecía susceptible a ser formalizado. Se introdujeron dos operadores, G y H, co mo análogos del operador □ de la lógica modal. El operador G se interpreta com o siempre será el caso que, y el operador H como siempre ha sido el caso que. Ahora, com o tales, G y H son difíciles de interpretar com o tiempos co munes y corrientes, pero así como □ está complementado por 0 , G y H tienen sus propios complementos, F y P . que se leen como será en algún momento en el futuro el caso que y fue en algún momento en el pasado el caso que, res pectivamente. Así, el operador F sirve com o una contraparte formal aceptable por lo menos de algunas formas del tiempo verbal futuro, mientras que P hace lo mismo para el tiempo pasado. Los cuatro operadores de tiempos verbales se resumen en (22): (22)

G(¡)\ siempre va a ser el caso que 0 H 0: siempre ha sido el caso que (f> F
fue en algún momento en el pasado el caso que 0

Si añadimos los operadores G . F, H y P a la lógica proposicional, obtene mos la lógica temporal proposicional. Si p se interpreta ahora como María está cantando, por ejemplo, entonces (23) muestra cóm o algunos tiempos ver bales pueden ser representados en lógica temporal proposicional: p Fp Pp PPp FPp PFp

María María María María María María

está cantando cantará cantó había cantado habrá cantado cantaría

gg claro que no toda combinación de F y P qUe ocurra en lenguaje natural. Tam poco es pos verbales por medio de esos operadores. el pasado simple y el pasado perfecto no se suficiente para comenzar.

corresponde a un tiempo verbal posible expresar todos los tiem Por ejemplo, la diferencia entre puede representar. Pero esto es

Ejercicio* 2.7. Traduzca las siguientes oraciones en fórmulas de la lógica temporal proposi cional. Represente la estructura lógica tan bien como se pueda y establezca la clave de traducción que se utilice.

(a) Ahora usted todavía esté joven, pero un día no lo será más (b) Te soy fiel y siempre lo seré (c) Juan leyó La guerra y la paz y Carlos también (d) Cuando María entró, Juan había puesto la botella de whiskey en la

nevera (e) Cuando María entró, Juan estaba a punto de poner la botella de whiskey en la nevera (f) Una batalla naval tendrá lugar o no. Y si tiene lugar, éste siempre ha sido el caso (g) Sólo si tú siempre estás conmigo, yo seré feliz Un modelo M de la lógica temporal proposicional consiste de un conjunto no vacío T de momentos en el tiempo, una relación R anterior a, una valuación V, la cual asigna un valor de verdad Vt(p) a p en t para cada letra proposicional p y cada momento en el tiempo t G T. Tal com o en lógica modal, T y R forman un marco, que en lógica temporal algunas veces se llama un eje temporal. A continuación presentamos la definición de verdad que corresponde a los operadores intensionales: Definición 2.4. Sea M un modelo que tiene a T com o su conjunto de momentos en el tiempo y R com o su relación anterior a; entonces V m s e define de la siguiente manera:

(i)

W G ¿) = 1

sii para todo í ' g T tal que tRt': Vm ,v (4>) = 1

(ü)

^M,t(F0) = 1

(iii)

y M,í(H ^) = 1

sii para todo í ' e T tal que t'Rt: Vm.í'Í^) = 1

(iv)

Vm,í(P) = 1

sii para al menos un t' G T tal que t'Rt: y M,í'W ) = 1

sii para al menos un t' e T tal que tR t’ : Vjyi.t'W»)= 1

Hasta ahora no hemos puesto requerimientos especiales en el eje temporal. Tam poco hemos dicho nada acerca de las propiedades que debe tener la rela ción R para que pueda hacer las veces de una interpretación de la relación anterior a. Una de las líneas de investigación en lógica temporal conside ra cuáles principios lógico-temporales son plausibles y cuáles requerimientos deben colocarse en el eje temporal para asegurar su validez. Otro enfoque complementario ha intentado averiguar cuáles principios son válidos, dadas ciertas restricciones particulares en el eje temporal. Com o en el caso de la lógica modal, la noción de validez en un marco ha jugado un papel importante en esto. Discutiremos ahora unos pocos principios lógico-temporales plausibles y miraremos cuáles propiedades del eje temporal son expresados por ellos, si es que hay alguna. Claramente, (24) y (25) (24) G (

(Gcf) -► Gi¡>)

(25) H (0 - » %¡f) -> (H <j) -» Hip) serán válidos en cualquier eje temporal, puesto que tanto G com o H son ver siones del operador modal □ , y el principio modal correspondiente es válido independientemente de la relación de accesibilidad. Debemos notar, sin em bargo, que los principios lógico-temporales (26) y (27) que corresponden al principio modal (4) no tienen la plausibilidad intuitiva de este último: (26) G(f) —►<j) (27) H —> c ¡) Estos dos principios son equivalentes a 4> —* F (si es el caso, entonces —> Pe?) (si fue el caso), respectivamente. Ahora, si suponemos que R sea irreflexiva, lo cual es una restricción bastante razonable puesto que esto significa que ningún momento en el tiempo puede ser anterior a sí mismo, (26) y (27) resultan inválidos. Pero como en el caso de

la lógica modal, este requerimiento de irreflexividad no puede ser expresado por medio de una fórmula. Además de (24) y (25), tenemos los siguientes principios intuitivos válidos: (28) 0

HF0

(29) (p -> G P 0 (30) P --> H (F 0 V <j>V P 0 ) (31) F 0 - -» G (P 0 V V F 0 ) (32) P 0 -» G P 0 (33) F<¿>--» H F <j) El principio (28) dice que lo que ahora es el caso, siempre ha sido en el pa sado algo que pasaría. Por su parte, (29) dice que lo que ahora es el caso siempre será algo que ha pasado. El principio (30) establece que si (J) fue una vez el caso, entonces siempre ha sido el caso de que o bien cf) pasaría, o bien (¡> estaba pasando, o bien que 4> ya había pasado. La fórmula (31) dice algo análogo a la (30) acerca del futuro. El principio (32) establece que cualquier cosa que haya pasado, siempre será algo que ha pasado. Finalmente, la fórmula (33) hace la afirmación análoga a la (32) acerca del futuro. Es bastante fácil verificar que los principios (28) y (29) son verdaderos en cualquier marco. De esta manera, ellos no establecen ningún requerimiento sobre el eje temporal. Los principios (30) y (31) son válidos en todos los marcos cuya relación R es conectada (marcos en los cuales para cualquiera de los dos momentos distintos en el tiempo, uno es anterior al otro). Si R no es conectada, entonces una configuración como la (34) es posible:

Si suponemos que Vt3 (p) = 1 y que Vt(p) = 0 para todos los demás t, tenemos un contraejemplo para (31). La razón es que Fp son verdaderas en ti, puesto

que p es verdadera en í,3- Pero G(P<¿> V (f> V F ) es falsa en ti, puesto que P 0 V (j) V F

A ~¡4>) es verdadera en t sólo cuando <j) A ~><j> es verdadera en todos los instantes t' que vienen después de t, y esos momentos t' no existen si t es el último. El principio (38) expresa, de manera similar a la anterior, el hecho de que el tiempo no tiene un comienzo. Una tercera conceptualización del tiempo la encontramos en la física, donde los números reales se toman com o modelo del eje temporal. Esta conceptuali zación se necesita para describir situaciones como la de (39):

Asumiendo que usted camina 1 kilómetro por hora, le tomará \Í2 horas ca minar desde A hasta B. Esto se sigue del teorema de Pitágoras, que dice que c2 = a2 + b . Pero desde los antiguos griegos sabemos que y/2 no es un número racional, lo que significa que no puede expresarse com o una fracción. Por lo tanto, no podríamos ni siquiera estar seguros de que habría un momento en el que llegaríamos al punto B si el eje temporal consistiera sólo de números racionales. Los principios de la lógica temporal que corresponden a esta ter cera clase de estructura temporal son mucho más complicados que los otros principios que hemos visto. Ejercicio* 2.8. (a) Considere el siguiente modelo: ^2) ¿35^45^5j ^6} j R — {(^lí ¿2), (¿2, ¿3), (¿3, h )i

(Í4, ¿ó), (Í5, ¿6)};

VtÁP) = Vt2(p) = vt3(p) = vt6(p) =

1; vu (p) =

VtB(p) =

0

(i) Dibuje el diagrama del modelo (ii) Decida si las siguientes fórmulas son válidas en el modelo:

1) -ip -+ FGp 2) F~

)

-yp) —> Hp

(b)

Decida cuál propiedad del eje temporal es caracterizada por cada uno de los siguientes principios: i) F G <j) -> GF<¿> ii) G( A

V FG(<^> A

iii) P P (p —* P 4> Ejercicio

2.9.

Proporcione un marco que consista en tres puntos y en el cual F p —> G (p V P p V F p) sea válida, y uno con la misma cantidad de puntos en el que no lo éea.

2.4.2.

'Ahora’: una extensión

Muchas investigaciones sobre la lógica temporal con orientación lingüística han tratado de adaptar y extender los lenguajes de la lógica temporal y su

semántica para poner en consideración más aspectos del comportamiento de los verbos y otras expresiones temporales, tales com o los adverbios. A manera de ilustración, describiremos brevemente una de esas extensiones de la lógica temporal, el operador A (A de ahora), introducido por Kamp. A primera vista, podría parecer que ahora es un término redundante. Después de todo, (40) ciertamente significa la misma cosa que (41): (40) Ahora Juan está durmiendo (41) Juan está durmiendo Esto sugeriría la siguiente definición para la interpretación del operador A : (42) VM,t(A 0) = 1 si y sólo si VM, M ) = 1 Si suponemos que p remplace a Juan está durmiendo, entonces (42) aseguraría que A p es equivalente a p. lo cual es justamente lo que (40) y (41) parecen sugerir. Pero las cosas no son ni cercanamente tan simples como esto, lo cual es evidente si consideramos (43): (43) Algún día tú estarás agradecido por lo que estoy haciendo ahora

El ahora en (43) se refiere al momento en el que la oración es proferida. La oración es en tiempo futuro, lo que significa que su traducción formal será de la forma F ( tú estás agradecido por lo que estoy haciendo ahora). Si evaluamos dicha fórmula en el momento t , será verdadera sólo en el caso en el que haya otro momento t' posterior a t en el cual tú estás agradecido por lo que es toy haciendo ahora sea verdadera. Pero entonces, de acuerdo con la definición de ahora dada en (42), (43) será verdadero en el momento t sólo en el caso en el que haya un momento t' posterior a t, en el cual es verdadero que tú estás agradecido por lo que estoy haciendo, entonces, en t'. Pero esto no es lo que (43) significa. Así que la interpretación de ahora en (42) no funciona. Apa rentemente, necesitamos una manera de referirnos otra vez a los momentos originales de la proferencia, incluso si el proceso de interpretación nos lleva a otros momentos. Esto puede hacerse al añadir un momento fijo ío a las estruc turas: el momento ahora. El operador A puede entonces ser interpretado de la siguiente manera: (44) FM,t(A 0) = 1 si y sólo si VM,to{ ) = 1 Dada esta interpretación, el ahora en (43) se referirá, en efecto, otra vez al momento de la proferencia to, incluso si ocurre dentro del alcance del tiempo futuro. Ahora podemos dar cuenta de la diferencia entre dos ejemplos bien cono cidos de Kamp: (45) Nació un niño que gobernaría el mundo (46) Nació un niño que gobernará el mundo La oración (45) puede ser representada com o (47), (47) P ( 3 x ( C x A B x A F R x ) ) en donde C x reemplaza a x es un niño, B x a i ha nacido y R x a x gobernará el mundo. Obsérvese que el momento en el que x gobierna el mundo puede ser o bien anterior o posterior al momento de la proferencia,puesto que el ope rador temporal F ocurre dentro del alcance del operador P . Esto encaja bien con el gobernaría en (45). El gobernará en (45), por otra parte, establece que el momento en el que x gobernará el mundo ocurre después del momento de la proferencia. De esta manera, (46) puede ser analizada con la ayuda del opera dor A y puede ser representada como (48):

(48) P ( B x ( C x

A

Bx

A

AFRx))

Dada la interpretación de A en (44), el operador F en (48) determina algún momento en el futuro que tenemos ahora, incluso si ocurre dentro del alcance de POtra aplicación de la técnica de Kamp para lidiar con el comportamiento s e m á n tic o de ahora se presenta en §3.4. 2.4.3.

Otros enfoques

El tratamiento que presentamos arriba sobre las expresiones temporales por medio de los operadores temporales se debe a Prior. El suyo es ciertamente el enfoque más conocido, pero no es el único, e incluso puede no ser el mejor. Por lo tanto, mencionaremos brevemente otros dos enfoques distintos. El primero fue desarrollado por Reichenbach, quien asocia tres puntos tem porales contextúales con cada expresión temporal: un punto de discurso S (que es comparable con el ¿o de Kamp), un punto de evento E (el tiempo en el cual el evento descrito en la expresión tiene lugar; anteriormente incorporado a la de finición de verdad) y un punto de referencia R (el cual representa, podríamos decir, la posición de ventaja temporal adoptada por el hablante). Entonces, los tiempos verbales pueden ser representados por medio de diagramas simples. A manera de comparación, véase (49): (49)

E , R, S S— E , R E, R— S E — R— S S— E — R R— E — S

María María María María María María

canta cantará cantó había cantado habrá cantado cantaría

Esto nos da las representaciones de los mismos tiempos verbales que fueron tratados por medio de los operadores temporales en (22). Un aspecto intere sante de este enfoque es que nos permite dar cuenta de las diferencias entre el pasado simple María cantó y el pasado compuesto María ha cantado, como la diferencia en la posición de ventaja temporal adoptada por el hablante, la cual puede ser representada por la posición de R: (50)

E — 5, R E. R- -S

María ha cantado María cantó

El hecho de que esta teoría tam poco dé cuenta completa de todas las cons trucciones temporales se vuelve evidente cuando tratamos de encontrar una representación para María habría cantado. Esto no puede hacerse con un único punto de referencia R. Sin embargo, sí hay un análisis de este tiempo verbal en términos de operadores temporales, a saber, P F P p . Una integración de esos dos enfoques está aún en proceso de desarrollo. El segundo enfoque alternativo asume que las construcciones temporales en lenguaje natural son tan complejas que es necesaria una maquinaria lógica más poderosa: lógica de predicados multi-sorteada con cuantificación explícita sobre momentos de tiempo (el lector es referido a §5.3. en el volumen 1). Hemos mencionado ya que los operadores temporales se comportan en gran medida com o cuantificadores y que lo mismo aplica para los adverbios tempo rales com o siempre, algunas veces, nunca, frecuentem ente, raramente, y así en adelante. En este enfoque, las letras de predicados reciben una variable extra para momentos en el tiempo (í, t', t " , etc.) y las letras proposicionales se vuel ven predicados unarios. El lenguaje también incluye la relación anterior a < . Las construcciones que ya tratamos en (22) y en (49) las rehacemos en (51): (51)

P to 3t(to < t A P t ) 3t(t < to A P t) 3t3t'(t' < to A t < t' A 3t3t'{to < t' A t < t' A 3t3t'(t' < to A t' < t A 3 t3 t'3 t"(t" < to A t" <

P t) P t) P t) t' A t < t!

A

María canta María cantará María cantó María había cantado María habrá cantado María cantaría P t) María habría cantado

Aquí, cuantificamos explícitamente sobre momentos en el tiempo. Un mo mento especial to aparece una vez más como la representación del momento actual de evaluación (‘ ahora’). Las fórmulas en (51) son relativamente comple jas y difíciles de interpretar, en comparación con las fórmulas correspondientes de la lógica temporal. Ellas se vuelven un poco más legibles, sin embargo, si se introduce además de to otro momento fijo en el tiempo t\, com o una repre sentación del punto de referencia, una jugada que también tiene la ventaja de permitirnos expresar la diferencia entre el pasado simple y el pasado compues to. Una teoría que desarrolla estas ideas es la de Paul Needham. Lógicas de predicados temporales com o estas dan lugar a representaciones de construc ciones simples relativamente complicadas, pero debemos decir en su defensa que por lo menos proveen un aparato técnico que es capaz de representar una variedad tremendamente amplia de construcciones temporales, construcciones

para las cuales la lógica temporal necesitaría un nuevo conjunto completo de operadores (la Teoría de Tipos Di-sorteada, un sistema lógica que será dis cutido en §5.8., puede usarse com o una herramienta formal en este tipo de enfoques).

2.5.

Tiempo y modalidad combinados

Construcciones contrafácticas como las que encontramos en (52) parecen com binar tiempo y modalidad: (52) Si hubiera ido, habría encontrado la felicidad En efecto no fui, pero podría haberlo hecho. Aquí vemos diferentes clases de intensionalidades interfiriendo entre sí. Muy a menudo el resultado completo no es más que la suma de sus diferentes partes, pero en algunos casos nuevos enigmas emergen a partir de esta combinación, la cual requiere de nuevas y creativas soluciones semánticas. Una lógica modal y temporal combinada se obtiene si añadimos no sólo □ , sino también los operadores G y H a la lógica proposicional. Varias estructuras semánticas pueden escogerse, pero para no permitir que las cosas se vuelvan como de ciencia ficción, tomaremos simplemente un conjunto W de mundos posibles, cada uno con el mismo eje temporal fijo. Podemos, entonces, hablar en términos del valor de verdad de una fórmula en un mundo w en un tiempo t. Hay una relación anterior a < en el conjunto T de momentos en el tiempo y una relación de accesibilidad R en W . Las cláusulas clave en la definición de verdad son entonces: (53) Vm,u),«(□) = 1 si y sólo si para todo w' tal que w R w Vm,w',t{4>) = 1 (54)

VM,u,,t(G0) = 1 si y sólo si para todo t! tal que t < t

= 1

La cláusula para □ expresa una necesidad temporalizada: □ es verdadera en w en t si y sólo si 0 es verdadera en t en cada mundo w' accesible desde w. Tendremos que decir algo para permitir que la accesibilidad de los mun dos cambie de tiempo en tiempo. Esto puede hacerse al proveer a R de un parámetro temporal, de esta manera se obtiene un conjunto de relaciones de accesibilidad Rt , una para cada t e T . La cláusula para □ entonces se vuelve: (55) Vm,io,í(n) = 1 si y sólo si para todo w 1 tal que wRtw': Vm,tu',t(0) — 1

Parafraseando, 'C\

La línea gruesa representa la historia actual del mundo. Supongamos que es el año 1978 y que estamos mirando los partidos del mundial de fútbol, que en ese año fueron en Argentina. La primera ronda se jugó entre los tiempos ío y ¿i, los cuartos de final se jugaron entre t\ y t?, las semifinales entre t-¿ y £3, y las finales en Í4. El resultado actual de toda la cadena de eventos, 2, fue que Argentina le ganó a Holanda en la final. Otro resultado posible habría sido 1, en el cual Holanda le gana a Argentina en la final. Este resultado aún era posible en ¿3, el momento en el que las semifinales acababan de jugarse. La cadena de eventos que resulta en 3 es una en la cual Brasil no fue eliminado en las primeras rondas debido a un promedio de gol más bajo que el de Argentina (que fue lo que en efecto sucedió), y subsecuentemente termina ganando la copa. Por su parte, 4 establece la cadena de eventos que se parece a 3 hasta el punto en el que Brasil llega a la final, pero en la cual Brasil es derrotado por Alemania Occidental. Las cadenas de eventos que terminan en 3 y en 4 fueron posibilidades al comienzo del torneo, pero no después de la primera ronda. Esta concepción del tiempo, en la cual cada punto en el tiempo es seguido por una cantidad de ‘futuros’ posibles divergentes, parecería la más apropiada para lidiar con el contrafáctico en (52): Yo en efecto no fui, pero fue en el momento un hecho necesario que si hubiera ido, habría encontrado la felicidad. La formalización obvia de (52) parecería ser entonces P (-ipA D (p—>Fq)), en la cual p reemplaza a voy y q a encuentro la felicidad. Esta fórmula se vuelve verdadera en situaciones como la de (57):

Pero las cosas no pueden ser tan simples como esto. Dado que es claro que □ ((<M x)—►V’) siempre se sigue de □((?!>—►V’)> 1° Que significa que P (->pA D ((pA r) —» Fp A D(p —> Fg)). Ahora, supongamos que r reem plaza a muero. Entonces (58) se sigue de (52): (58) Si hubiera ido y hubiera muerto, habría encontrado la felicidad Esta inferencia es, por lo menos, poco probable. Pero ya sea que (58) es ver dadera o no, parece extraño que ella deba seguirse de (52), com o es evidente en (59):

Así pues, esta formalización del contrafáctico no es completamente satisfacto ria. Parecería que (52) debería interpretarse como (60): (60) Si hubiera ido, y nada más cambia, habría encontrado la felicidad Así pues, tendremos que encontrar alguna interpretación semántica para la cualificación nada más cambia. En este caso particular, la cualificación significa algo como: Fui, pero aparte de esto, el mundo permaneció tan cercano como es posible a lo que en realidad es. En general, entonces, en una construcción

contrafáctica, □(<£ —> x¡j) no debe interpretarse como: vale en todo mundo posible donde (f> vale, sino más bien como: i p vale en todo mundo posible donde <j) vale, y que en todos los demás aspectos se parece al mundo real de la manera más cercana posible. Si vamos a hacer precisa esta idea, entonces tendremos que introducir algunos nuevos elementos en la semántica. Una posible solución, com o hace Lewis, es asumir no sólo una relación de accesibilidad entre mundos posibles, sino una relación de similitud. Esta relación fijaría el grado en el cual los distintos mundos posibles se parecen entre sí. Dada esta relación de similitud, no es difícil ver que D(<^ —►tp), bajo la interpretación cualificada que hemos dado arriba, puede ser verdadera sin que □ ((^ A x ) —* ip) sea verdadera. La razón de esto es que es de suponer que los mundos posibles, que se parecen al mundo real tanto com o es posible y que hacen (f>A x verdadera, son menos parecidos al mundo real que los mundos posibles que se parecen al mundo real tanto com o es posible y que sólo hacen verdadera a
Capítulo 3

Lógica de predicados ¡ntensional

3.1. Contextos opacos: modalidades de dicto y de re Para introducir la lógica intensional de predicados, retornaremos a un tema de §1.6. En esta sección introdujimos las construcciones intensionales como construcciones para las cuales no son válidos ciertos principios de sustitución de la lógica de predicados, relacionados con el principio de extensionalidad. Si guiendo a Quine, dijimos que estas construcciones intensionales crean contex tos opacos. Estos contextos se deben distinguir de los contextos transparentes, en los cuales los principios de sustitución son válidos. Presentaremos a conti nuación algunas construcciones que dan origen a contextos opacos, junto con ejemplos que muestran que ellas violan el principio de extensionalidad ( 1): (1)

s = t \= 4><-> [t/s\(j) Citación: la oración (4) no se sigue de las (2) y (3):

(2)

El gladiador pronunció las palabras Ave Caesar

(3)

Caesar es Gaius Julius

(4)

El gladiador pronunció las palabras Ave Gaius Julius1

Discurso indirecto: la oración (7) no se sigue de las (5) y (6): ( 5)

Julián dijo que Juan besó

a María

(6)

Juan es el muchacho más inteligentede laclase

(7)

Julián dijo que el muchacho más inteligente de la clase besó a María

Construcciones con verbos que expresan actitudes proposicionales, tales com o descubrir, creer, sospechar y conocer, la oración ( 10) no se sigue de la (8) y la (9): (8)

El detective sabe que el ladrón entró através

(9)

Biggles es el ladrón

de la claraboya

(10) El detective sabe que Biggles entró a través de la claraboya Construcciones con verbos que expresan intenciones, tales como buscar, desear, etc. (vimos un ejemplo de esto en §1.6.): (11) Juan está buscando al comandante supremo de las Fuerzas Armadas de los Estados Unidos de América (12) El presidente de los Estados Unidos de América es el comandante supremo de las Fuerzas Armadas de los Estados Unidos 1N. de T .: para que el verbo pronunciar cree un contexto opaco, se requiere que el prin cipio de extensionalidad (1) falle en casos tales como el conformado por los ejemplos (2) a (4). Sin embargo, podría argumentarse que dicho caso no es un contraejemplo de dicho prin cipio, por lo siguiente: en primer lugar, la expresión Caesar ( Gaius Julius) es usada en (3), mientras que sólo es mencionada en (2) (resp. (4)). Segundo, por esta razón, el antecedente del principio de extensionalidad (1) aplicado a (2) y (4) debe ser “ Caesar es Gaius Julius” y no (3). Pero, a diferencia de (3), “ Caesar es Gaius Julius” es falsa, luego los ejemplos (2) a (4) no pueden conformar un contraejemplo del principio (1). Esto demostraría que el verbo pronunciar no crea contextos opacos. No obstante, el argumento en cuestión no es sólido. En efecto, las expresiones Caesar y Gaius Julius son mencionadas en (2) y (4) precisamente como resultado del contexto creado por el verbo pronunciar. La falla del principio (1) es creada precisamente por la distinción entre uso y mención, originada gracias al verbo pro nunciar. Por varias razones, las expresiones en cursivas, es decir, mencionadas, deben estar sistemáticamente relacionadas a las expresiones usadas. Esto significa que (3) es, en efecto, el legítimo antecedente del principio de extensionalidad aplicado a (2) y (4). Para una discusión sobre la citación [quotation], ver Davidson (1979).

(13) Juan está buscando al presidente de los Estados Unidos de América Designación temporal: la oración (16) no se sigue de la (14) y la (15): (14) George Bush es el presidente de los Estados Unidos (15) En 1963, el presidente de los Estados Unidos fue asesinado en Dallas, Texas (16) En 1963, George Bush fue asesinado en Dallas, Texas Modalidad: es una verdad necesaria que nueve excede a siete: dado el sig nificado de nueve, siete y excede, la oración nueve excede a siete es una verdad necesaria. Pero ciertamente (17) no es una verdad necesaria: (17) El número de planetas excede a siete. La verdad o falsedad de (17) no se determina solamente sobre la base de las expresiones que contiene. En efecto, (17) expresa un hecho astronómico contingente; que existen más de siete planetas es algo que fue descubierto a través de observación e inferencia. Así pues, (20) no se sigue de (18) y (19): (18) Nueve necesariamente excede a siete (19) Nueve es el número de planetas (20) El número de planetas necesariamente excede a siete Además de las anteriores construcciones, existen muchas otras que también dan lugar a contextos opacos. En efecto, casi todas las categorías de expresiones contienen elementos que pueden crear contextos opacos; por ejemplo, adjetivos como sospechoso, presunto, adverbios como aparentemente, etc. Los filósofos han mostrado diferentes reacciones con respecto a la invalidez del principio de sustitución (1) en el caso de contextos opacos. Retornemos a la oración (20). Puede argumentarse que existe una lectura de (20) en la cual la oración se sigue efectivamente de (18) y (19). Esta lectura puede ser parafraseada de la siguiente manera: el número que es de hecho el número de planetas es necesariamente mayor que siete. Mientras que esta lectura se traduce com o (21), la lectura de (20) en la cual (20) no se sigue de (18) y (19) se traduce com o (22):

(21) 3 x (x = el número de planetas AD (x > 7)) (22) C B x(x = el número de planetas Ax > 7) La lectura de (22) dice que en toda situación posible, el número de planetas excederá a siete, cualquiera que sea este número. Las lecturas (21) y (22) de (20) conllevan una distinción trazada tradicionalmente en lógica modal entre modalidades de re y de dicto. Esta distinción se puede expresar en un lenguaje para la lógica de predicados que contenga un operador adicional □ en térmi nos del alcance de □ . Consideremos ejemplos un poco más simples com o (23) y (24) y sus traducciones, (25) y (26): (23) Necesariamente existe algo que es mayor que siete (24) Existe algo que es necesariamente mayor que siete (25) \23x(x > 7) (26) 3 xD (x > 7) En (25) el alcance de □ es 3 x(x > 7) mientras que en (26) es (x > 7 ). El alcance de una ocurrencia de □ puede ser considerado com o el contexto opaco creado por este operador. Si todas las variables que caen dentro del alcance de □ están ligadas también por cuantificadores que caen bajo su alcance, entonces se dice que □ es una modalidad de dicto. Como ejemplos, entonces, tenemos (22) y (25). Si, por otra parte, hay una variable libre dentro del alcance de □ , es de cir, una variable acotada por un cuantificador fuera del alcance de □ , entonces se dice que es una modalidad de re. Com o ejemplos, entonces, tenemos (21) y (26). Tradicionalmente, una modalidad de dicto era vista como una atribución de verdad necesaria (o posible) a una proposición ( dictum) y una modalidad de re era vista com o 7 de una propiedad necesaria (o posible) a una entidad (res). La distinción tradicional se corresponde con la distinción formal. Al aseverar la verdad de (25), uno asevera que la proposición 3 x(x > 7) es nece sariamente verdadera, mientras que al aseverar la verdad de (26) uno asevera la existencia de una entidad que necesariamente tienen la propiedad de ser mayor que siete. Algunos filósofos tienen objeciones sobre esta última modalidad. Para ellos, ?1 reconocimiento de modalidades de re conduce a un resurgimiento del esen cialismo, posición filosófica que distingue entre propiedades accidentales de las :osas y propiedades esenciales. Estos filósofos tienen objeciones contra esta

posición y por ello rechazan las modalidades de re, com o carentes de signifi cado y consecuentemente com o inútiles; a lo sumo ellos sugieren reducir las modalidades de re a modalidades de dicto. Uno de los oponentes vigorosos a las modalidades de re ha sido el filósofo y lógico Quine. Incluso si dejáramos a un lado la cuestión de si el reconocimiento de las modalidades de re real mente conduce al esencialismo, a nosotros nos parecería que una posición como la suya es particularmente inapropiada para nuestros propósitos. En nuestra opinión, no debe permitirse nunca que las objeciones filosóficas pesen mucho si el objetivo es la descripción del lenguaje natural. Nosotros buscamos descrip ciones de cóm o hablamos, no de cóm o tendríamos que hablar con el objetivo de ganarnos la aprobación de los filósofos. Es muy posible que los hablan tes de los lenguajes naturales hagan presuposiciones filosóficamente dudosas, pero este es un hecho de la vida que no debería esconderse debajo de la al fombra de una reformulación filosóficamente más sofisticada. Sin embargo, nos parece un hecho indiscutible que las modalidades de re ocurren en los lenguajes naturales. Un ejemplo es (27): (27) Cualquiera de los presentes pudo haber cometido el asesinato Es claro lo que esto significa. La oración (27) podría formalizarse como VxOM x. Claramente esta no significa lo mismo que la fórmula OVxAíx, la cual es la traducción de (28): (28) Es posible que alguno de los presentes haya cometido el asesinato No es claro cóm o una modalidad de re como (27) podría reducirse a una modalidad de dicto. Además, nosotros creemos que la semántica de los mundos posibles provee una interpretación clara de las modalidades de re. Al añadir operadores modales o temporales a la lógica de predicados, obtenemos un sistema de lógica intensional de predicados. Los operadores temporales tienen la misma clase de ambigüedades que las que hemos visto con respecto a los operadores modales. La oración (29), por ejemplo, tiene dos lecturas distintas: (30) y (31). La clave de la traducción se presenta en (32): (29) El presidente recibió una condecoración (30) P 3x(\/y(Py +-> y = x) A D x) (31) 3x(V y(P y

V = x) A P D x )

(32) P x : x es presidente; D x: x recibió una condecoración La misma distinción de las modalidades se puede trazar aquí: se dice que (30) es la lectura de dicto y (31) la lectura de re. El lector puede practicar trabajando con el alcance de los cuantificadores, los operadores modales y los operadores temporales en la traducción de los siguientes ejercicios: Ejercicio* 3.1. Traduzca las siguientes oraciones a fórmulas de la lógica intensional de predi cados: (a) Lendl podría ganar el Wimbledon algún día (b) Quizá todo el mundo se ha percatado siempre de algo (c) Quizá existe algo acerca de lo cual todo el mundo se ha percatado (d) Si cualquiera puede ser más inteligente que alguien más, entonces cual quiera puede ser el más inteligente (e) Puedes engañar a algunas personas todo el tiempo y a todas las personas en algún momento, pero no puedes engañar a todas las personas todo el tiempo (f) El presidente siempre será un demócrata (trate de encontrar dos traduc ciones para esta oración) (g) Todo estudiante de colegio cree que un matemático escribió Alicia a través del espejo (trate de encontrar tres traducciones para esta oración, representando ‘x cree que 0 ’ com o D(x, cf>)) Ejercicio 3.2. Busque algunos ejemplos de expresiones intensionales (es decir, expresiones que no permiten la sustitución de expresiones materialmente equivalentes que 3e encuentren bajo su alcance) en cada una de las siguientes categorías: (a) adjetivos; (b) adverbios; (c) conjunciones; (d) preposiciones; (e) determinantes. La exposición de la semántica de la lógica de predicados dada en §3.2. se enfoca :asi exclusivamente en el caso especial de la lógica modal de predicados. La ogica modal de predicados es el miembro más antiguo de la familia intensional

y del que se tiene mayor comprensión; y sirve com o guía de lo que pasa en

la lógica de predicados temporal, la lógica de predicados epistémica y otros sistemas relacionados.

3.2.

Nombres propios y descripciones definidas: designación rígida

Como veremos en el resto del capítulo, no existe una sola semántica para la lógica modal de predicados. Diferentes elecciones de dominios y diferen tes interpretaciones de las constantes y de los cuantificadores dan origen a interpretaciones semánticas divergentes. Presentaremos a continuación algu nas definiciones de verdad diferentes, que surgen a partir de estas elecciones, comparando sus ventajas y desventajas. Además de un marco, el cual se constituye por un conjunto W de mundos posibles y una relación de accesibilidad R, un modelo para la lógica modal de predicados requiere de un dominio sobre el cual se decide el rango de los cuantificadores. Aquí enfrentamos, entonces, dos elecciones posibles: (1) todo mundo w tiene su propio dominio D w\el modelo tendrá entonces una familia { D w\w G W } de dominios; o (2) consideramos un dominio fijo D compartido por todos los mundos posibles. Ya que (2) es un caso especial de (1) (aquel en el cual para todo w ,w ' G W, D w = D w>), comenzaremos con una discusión sobre ( 1), pero veremos también que algunas consideraciones podrían llevarnos, finalmente, a preferir la aproximación (2). Sin embargo, antes de ofrecer una definición general de la interpretación de un lenguaje de la lógica modal de predicados, nos concentraremos primero en la interpretación de las constantes, enmarcándonos en el debate sobre el significado de los nombres propios y de las descripciones definidas. Al interpretar las constantes tenemos nuevamente que enfrentar una elec ción posible entre dos alternativas. Una vía sería escoger alguna entidad fija com o la interpretación de una constante c; en este caso tendríamos una función de interpretación I que asigna entidades a constantes. La otra vía sería hacer que la interpretación de las constantes dependa del mundo: para cada w G W, I w(c) sería algún miembro de D w. Decimos que c se interpreta como un individuo (entidad) en el primer caso y como un concepto individual en el segundo. Así pues, com o lo señalamos en §1.8., un concepto individual es una función que va de mundos a individuos. Los conceptos individuales abren toda clase de posibilidades interesantes. Una persona, por ejemplo, desde la pers pectiva de los conceptos individuales, no necesita ser identificada como algún

elemento de un dominio, sino que podría ser vista (en la lógica temporal) co mo una función que va de momentos en el tiempo a entidades biológicas, una transición conceptual que podría brindarnos alguna luz sobre el hecho de que los individuos pueden ‘cambiar’ . No podemos hacer una pausa aquí para seguir esta línea de pensamiento; sin embargo, el lector interesado podría remitirse a Stevenson 1886, por ejemplo. Es quizá sorprendente el hecho de que la primera forma de interpretar cons tantes sea la preferida. Nosotros preferimos interpretarlas com o individuos. La razón de esto es que el lenguaje natural contiene expresiones que funcionan de esta forma: los nombres propios. Más adelante nos extenderemos sobre este punto. Los lenguajes naturales también contienen expresiones de otra clase, las cuales se refieren a entidades; sin embargo, podrían tener referencias diferentes en mundos posibles diferentes: descripciones definidas. Esto se muestra, por ejemplo, en la oración (20), en la cual el número de planetas funciona como una descripción definida. Si la referencia de el número de planetas fuera la misma en todo mundo posible, el referente en todos los casos sería nueve y la oración (22) sería verdadera, contrario a nuestras conclusiones sobre (20). Una descripción puede funcionar de muchas formas diferentes en el contex to de una oración, dependiendo de su alcance. ¿Es necesario que el ganador gane? Esto depende del alcance de los operadores en U W ( i x W x ) . La descrip ción ix W x puede ser reescrita de forma “russelliana” de dos maneras distintas, dentro y fuera del alcance de □ . En consecuencia, se obtienen (33) y (34): (33) D 3x ( V y ( W y <-> x = y)

A

(34)

UWx)

3 x(\/y(Wy

<-*• x = y)

A

Wx)

Ahora bien, (33) siempre es verdadera (siempre que el juego se juegue), pero presumiblemente (34) es falsa: el ganador actual podría haber sido vencido. Note que la primera lectura es de dicto y que la segunda es de re: existe una variable libre x dentro del alcance de □ . En el ejemplo anterior de los planetas, as cosas siguieron el curso contrario; la lectura de dicto era falsa y la lectura de ~e menos obvia era verdadera. La distinción entre de dicto y de re desaparecería ¡i las descripciones definidas tuvieran una interpretación fija, es decir, la misma nterpretación en cualquier mundo. Los filósofos han dedicado una cantidad de energía considerable a las disrencias y similitudes entre nombres propios y descripciones definidas. Una regunta de central importancia ha sido siempre si los nombres propios tienen no significado, y si lo tienen, cóm o ha de representarse. Frege, com o vimos en

§1.7., consideraba que cada nombre, incluyendo cada nombre propio, tiene un sentido, que puede ser expresado com o una descripción definida. De acuerdo con Frege, es un defecto lamentable de los lenguajes naturales el hecho de que no todo el mundo asocie la misma descripción definida con el mismo nombre propio. Algunos ven a Aristóteles com o el descubridor de la lógica silogística, mientras que otros lo ven com o el Estagirita que era tutor de Alejandro Magno. De acuerdo con Frege, esto nunca debería permitirse en un lenguaje lógica mente ideal: cada nombre propio debería ser introducido explícitamente por medio de una sola descripción definida. Considerar las descripciones definidas como los significados de los nombres propios resuelve un número considerable de dificultades. Primero, existe el pro blema de cóm o los nombres propios refieren a los individuos, o de cóm o identi ficamos el individuo al cual un nombre propio refiere. Necesitamos saber a qué aludimos con un nombre; con el fin de escoger algún individuo en particular como la referencia de un nombre, tenemos que explotar cualquier propiedad que distinga este individuo de otros en el dominio. Si los nombres propios no son realmente más que una abreviación para descripciones definidas, entonces el problema desaparece: el significado de la descripción definida indica propie dades que distinguen al individuo en cuestión de todos los demás. Segundo, existen problemas con los nombres propios que son com o la paradoja del lu cero matutino y el lucero vespertino, la cual fue discutida en extenso en §1.6. Hesperus y Phosphorus son dos nombres propios que, com o lucero matutino y lucero vespertino refieren el mismo objeto, es decir, el planeta Venus. Si los significados de los nombres propios Hesperus y Phosphorus son descripciones, entonces es claro por qué Hesperus es Hesperus y Hesperus es Phosphorus tie nen significados totalmente distintos. Un tercer problema concierne a oraciones com o Pegaso no existe. Una representación formal com o ->3x(p = x) no podría nunca ser verdadera en la clase anterior de modelo, asumiendo que Pegaso es representado en el lenguaje por medio de una constante p. Más aún, existe un argumento filosófico de acuerdo con el cual cualquiera que asevere la verdad Pegaso no existe está forzado a conceder que existe un individuo no existente, a saber, el referente del nombre propio Pegaso (este acertijo filosófico es conocido com o ‘la barba de Platón’). Si los nombres son analizados com o descripción, los dos problemas desaparecen. Entendiendo que Pegaso significa el caballo volador y, reescribiendo esto siguiendo a Russell, Pegaso no existe se reduce a No existe un único caballo volador, que tiene a ->3x(Vy((Hy A F y ) x = y)) como su representación formal. Esta fórmula podría bien ser verdadera en un modelo y, además, no contiene nombres que puedan ser explotados en un tipo de argumento com o el de la barba de Platón.

Estas ideas acerca de los nombres propios resuelven ciertos problemas, pero también dan lugar a otros. Hemos visto que en el lenguaje natural no todo el mundo asocia la misma descripción con el mismo nombre propio. Esto implica que la gente podría asignar diferentes significados al mismo nombre propio, y también que algunos podrían asociar un significado erróneo a éste. Podría suceder que una descripción esté asociada con un nombre que no se aplique al individuo al cual éste se refiere y esto, de alguna manera, es una consecuencia contraintuitiva. Se ha sugerido que se logra una mejor explicación de los significados de los nombres propios si los consideramos como descripciones complejas. Para el nombre Agamenón, por ejemplo, podríamos tener algo com o lo siguiente: el rey de Micenas que lideró una expedición de todos los griegos contra Troya, des truyó la ciudad depués de diez años de guerra y a su retorno fue asesinado por su esposa y su amante. Ahora bien, supongamos que existió un rey de Micenas que hubiese logrado tod o lo que se supone que Agamenón logró, pero que al retornar a casa vivió felizmente. Entonces, bajo la perspectiva anterior ten dríamos que decir que nunca existió un Agamenón. La reacción normal, sin embargo, sería decir que Agamenón ciertamente existió, pero de él se asu mió erróneamente que había sido asesinado. Lo mismo se aplica a toda la otra información que tenemos acerca de la historia personal de Agamenón: esta también podría resultar errónea. Esta dificultad podría, quizás, ser evitada de la siguiente forma: suponga que 0 i , . . . , 0 n son fórmulas, cada una de las cuales tiene una variable libre x y expresa una de las propiedades que creemos que tuvo Agamenón. Ahora bien, sería posible afirmar acerca de cada una de estas propiedades tomadas individualmente que Agamenón podría no haberlas teni do. Pero entonces Agamenón podría aún responder a la siguiente descripción disyuntiva: 35)

A 0 2 A . . . A 0 n ) V ( 4>\ A -1 0 2 A . . . A 0 n ) V . . . V ( 0 j A 0 2 A . . . A V ( 0 i A 02 A . . . A 0 „ ) )

ísto, sin embargo, no es del todo satisfactorio. Quizá estaríamos preparados a madir disyunciones a la fórmula en la cual más de sólo una de las fórmulas 0 istá negada, pero ¿dónde trazaríamos el límite?, ¿diríamos que Agamenón is el único individuo que tiene, digamos, un 50 % de las propiedades listadas i?, ¿no podría ser el caso que algunas propiedades pesaran más que otras? )arecería que debemos concluir que, al menos en su forma presente, esta teoría rea más problemas de los que soluciona y que no ofrece una interpretación atisfactoria para los nombres propios.

El filósofo y lógico Kripke introdujo una aproximación muy diferente a la gemántica de los nombres propios y las descripciones definidas (ver Kripke, 1972). Mientras que las últimas pueden cambiar su referencia de mundo a inundo, de acuerdo con Kripke los primeros refieren a la misma cosa en to do mundo en el cual tienen referencia. Esto es lo que Kripke denomina designadores rígidos. Ya hemos ilustrado esta diferencia en el comportamiento de los nombres propios y las descripciones definidas en §1.7., con un contrafáctico: (36) Si Dukakis hubiese ganado las elecciones presidenciales en 1988, entonces el presidente de Estados Unidos habría sido un demócrata En todos los mundos posibles introducidos por el antecedente de esta impli cación Dukakis refiere a la misma persona que refiere en el mundo actual, mientras que la persona referida com o el presidente de Estados Unidos en ca da uno de estos mundos es diferente de la persona a la cual esta expresión se refiere en el mundo actual. De esta manera, Kripke reduce el, así llamado, problema de la identidad transmundana al estatus de un pseudo problema. Este es un problema bien conocido, originado por la semántica de mundos po sibles: ¿qué quiere decir que un individuo en un mundo dado es el mismo que un individuo en otro mundo? De acuerdo con Kripke, carece de sentido tratar de determinar si dos entidades en dos mundos diferentes son, en efecto, una y la misma, comparando sus propiedades. Por el contrario, esto es algo dado previamente. Al expresar una oración como (36), introducimos otros mundos posibles en los cuales la presencia de Dukakis no es problemática, aunque el Dukakis en estos mundos podría diferir del real en varios aspectos. Entonces, ¿cóm o responde la posición de Kripke con respecto a los otros tres problemas que hemos mencionado? La explicación general que da sobre cómo los nombres propios se relacionan con las descripciones es que los nom bres son con frecuencia asignados a los individuos por medio de descripciones. Esto ocurre, por ejemplo, en Llamaré a la cabra más pequeña Jenny. Una vez la referencia ha sido establecida de esta manera, el nombre Jenny continua aplicándose al mismo individuo, incluso si la descripción original no se ajusta más (porque Jenny ha crecido). La cabra en cuestión seguirá siendo llamada Jenny cuando ella tenga sus propios hijos y el descubrimiento de que ella no era realmente la cabra más pequeña en el momento de su ‘bautismo’ no cam biará el hecho de que ese es su nombre. Esto también explica cóm o los nombres propios llegan a referir. La referencia del nombre es determinada no por el sig nificado del nombre, sino por la descripción por medio de la cual el nombre fue originalmente fijado en el bautismo inicial. El segundo problema será discutido

en §3.3.2., cuando lleguemos al tema de la identidad. Una solución al tercer problema que es compatible con la posición de Kripke tendrá que esperar hasta que la noción del predicado de existencia sea introducida en §3.3.4. Las ideas de Kripke acerca del significado y los roles de los nombres propios son bastante atractivas. Si estas ideas se proyectan sobre la semántica formal de la lógica modal de predicados, entonces las constantes individuales, como versiones formales de los nombres propios, tendrán que ser interpretadas co mo individuos, más que com o conceptos individuales.

3.3.

La semántica de la lógica de predicados modal

3.3.1.

Fórmulas sin variables

Inicialmente, es de gran ayuda omitir los cuantificadores cuando se explica la semántica de la lógica modal de predicados, para posponer las complicaciones resultantes de la interferencia entre cuantificadores y operadores modales. Hemos decidido que la interpretación de las constantes será independiente de los mundos. Pero ya que ciertamente queremos que los valores de ver dad de las oraciones y la referencia de las descripciones definidas sea relativa a los mundos posibles, debemos interpretar las letras predicativas en cada mundo de forma separada. Así, una letra predicativa n-aria se interpreta en cada mundo w com o un subconjunto IW(P) de ( D w) n. Para recapitular, veamos la siguiente definición: Definición 3.1. Un modelo M para el lenguaje L de la lógica de predicados modal consiste en: (i) un conjunto no vacío W de mundos posibles, (ii) una relación de accesibilidad R sobre W , (iii) una función dominio D que le asigna un dominio D w a cada mundo w € W, (iv) una función de interpretación I le que asigna una entidad / ( c ) a cada constante c de L y para todo mundo w G W un subconjunto IW( P ) de ( D iü) a cada letra predicativa 7varia P de L \hora bien, queremos saber qué significa, en un modelo M , que una fórmula :arente de variables es verdadera en un mundo w. Como veremos pronto,

no existe una única definición de verdad para la lógica de predicados modal que sea claramente superior al resto. En varios puntos tendremos que escoger entre diferentes alternativas y las elecciones que hagamos serán guiadas por las aplicaciones que tengamos en mente para el lenguaje natural. Los lectores con otras aplicaciones en mente podrían estar de acuerdo o diferir. Lo importante es que los motivos tras nuestras elecciones sean revelados. El primer problema al que nos tenemos que enfrentar al dar una definición de verdad es que las entidades que la función de interpretación I le asigna a las diferentes constantes no necesariamente existen en todo mundo posible donde las evaluemos. ¿Cuál, por ejemplo, es el valor de verdad de la oración (37) en este nuestro mundo real (asumiendo que ninguno ha existido alguna vez)?: (37) Eva era más rubia que Adán Parecería que la opción más natural que podemos tomar es no entender (37) com o falsa, sino dejar su valor de verdad indeterminado. Debemos, sin embargo, ser cuidadosos cuando escribimos la definición de verdad: -i0 sólo podría tener un valor de verdad si 0 tiene uno. Por ejemplo, una oración como (38) podría terminar con un valor de verdad y (37) sin uno: (38) Eva no era más rubia que Adán También privaremos a 0 —> xp de un valor de verdad si 0 o ■0 carecen de uno. La definición a la que arribamos con estas consideraciones, dada a continuación como definición 3.2, aún tiene algunos inconvenientes. Retornaremos a ella en breve y sugeriremos algunas mejoras: Definición 3.2. Sea M un modelo, 0 una fórmula de la lógica de predicados modal carente de variables y w E W . Entonces, el valor de verdad de 0 en w dado M , denotado por VmiUi(0 )> se define de la siguiente manera: (i)

(ii)

Vm ,w{ P c\ ■■■Cn)

Vm,id(^0 )

= 1 si y sólo si 7 (ci) G D w, I(cn) G D w y ( / ( c 1) , . . . / ( c n) ) G J tt(P ) = 0 si y sólo si J(ci) G D W: . . . I(cn) G D w, y ( I ( c l ) , . . . I ( c n) ) t I v, {P)

= 1 si y sólo si Vm,u;(0 ) = 0 = 0 si y sólo si Vm,«j(0 ) = 1

(iii)

V m ,w(

(iv)

Vm,w(C0)

VO

=

= o si y sólo = 1 si y sólo o V m = o Vm,w(0 ) =

si Vm ,w( ) = l y Vm .w W O = 0 si Vm,w{<j>) = 1 y VMtW(^) = 1, 0 y Vm ,w( iP) = 1, 0 y Vm ,w (4>) = 0

1 si para cada w' £

Vm.ib' {4>) — 1 = 0 si hay un w'

£

W

W

tal que wRw

tal que wRw' y

Vm,«;' (0 ) = 0 Las cláusulas para los otros conectivos y para 0 se siguen de las cláusulas anteriores, junto con las definiciones de dichos conectivos en términos de —> y -i, y la definición de 0 en términos de -> y □ . Todos los comentarios hechos anteriormente acerca de la interpretación de las constantes y los predicados y acerca de algunas fórmulas que tienen valores de verdad indefinidos tienen cabida en esta definición. Pero existen aún algunos problemas. Resulta que la cláusula (iv), que trata acerca de □ 0 , es demasiado estricta. Los requisitos que ella pone para que oraciones de la forma 0(¡) sean verdaderas son demasiado estrictos. De acuerdo con es ta cláusula, cualquiera de estas oraciones puede ser verdadera en un mundo sólo si todas las constantes que ocurren en ésta refieren a entidades que están presentes en todos los mundos accesibles desde ese mundo. De otra forma, el valor de verdad de 0

es verdadera en todos los mundos accesibles desde w, en los :uales (j) tiene un valor de verdad (es decir, en todos los mundos que contienen as entidades referidas por las constantes en (f>). En consecuencia, la cláusula iv) para el valor de verdad de 0 <¡> se convierte en (iv’): 0 V’)

VmiU)(D 0 )

= 1 si Vm,u/(0) = 1 para cada w' £ W tal que wRw' y tal que Vm,«/() está definido = 0 si Vm,w' W = 0 para por lo menos un w' £ W con wRw'

Al reemplazar (iv) por (iv’) en la definición 3.2 eliminamos las complicaciones anteriores, pero nuevas complicaciones surgen en su lugar. Por ejemplo, (39) se vuelve verdadera en el mundo actual sin que (40) se vuelva verdadera: (39) Es necesario que Adán sea mortal (40) Adán es mortal La cláusula (iv’) tiene el efecto de que no todos los mundos accesibles desde w tengan que ser tomados en cuenta al evaluar el valor de verdad de una fórmula de la forma □<£. Esto puede conducir a que el mismo w no sea tomado en cuenta, incluso si w es, en efecto, accesible desde sí mismo. En otras palabras, la reflexibilidad de R no continúa siendo garantía suficiente para la validez del principio lógico H(p —>

es verdadera en w (asumiendo que R es reflexiva). Reemplazaríamos entonces la cláusula (iv’) por la (iv” ): (iv” )

Vm,«;(□(/>)

= 1 si Vm,w( ) = 1 y V m = 1 Para cada w' G W tal que wRw' y tal que Vm,uj'(0) está definido = 0 si Vjvi.tt/() = 0 para algún w' G W con wRw'

Sin embargo, ésta sigue siendo una solución ad hoc que deja muchos otros problemas sin resolver. Otros principios que eran válidos en la lógica propo sicional modal quedan en peligro. Un ejemplo: D( A ip) —> O ya no sería válida. La razón es que para que □( A tp) sea verdadera sólo se requiere que 4> A ip sea verdadera en todos los mundos que tienen en su dominio los re ferentes de las constantes que ocurren en 0 o en xp. Podría haber una me nor cantidad de dichos mundos que la cantidad de mundos que contienen los referentes de las constantes que sólo ocurren en
Se define la función dominio de la siguiente manera: D Wl = {a, b}; I) W2 = {a, 6}; D W3 = {a }. La interpretación de una letra predicativa A en este mo delo se define por: I Wl (A) = {a, b}, IW2 {A) = {a, b}, I W3( A ) = 0, y la de

as constantes c\ y C2 se define com o I(c\) = a; I ( c 2) = b. Ahora bien, en VI tenemos VWl ( 0 ( A c i A A 02)) = 1, de acuerdo con (iv” ) (y, también, de tcuerdo con (iv’)), dado que VWl( A c x A A c 2 ) = VW2 (Ac\ A A c 2 ) = 1; mientras iue VW3 (Aci A A c 2 ) es indefinido. Pero, por otra parte, VWl(n A c i) = 0, da lo que VW3 (Ac\) = 0. Problemas com o este parecen sugerir que una interpretación ‘fuerte’ de los onectivos sería preferible a la interpretación ‘débil’ dada en la definición 3.2. lajo la interpretación débil, el valor de verdad de una conjunción es indefinido alguno de sus conjuntos está indefinido, incluso si el otro conjunto es falso, or otra parte, bajo la interpretación fuerte, una conjunción es falsa si uno de is conjuntos lo es, incluso si el otro de los conjuntos no es ni falso ni verdadero, e esta manera, volvemos a los problemas de la lógica multi-valuada, como lo scutimos en §5.5. del volumen 1. Esto no es una coincidencia. Aunque antes «calificamos la lógica multi-valuada como un modelo serio de modalidad, ta se está volviendo cada vez más importante en la investigación actual bre parcialidad de la interpretación. Volviendo al ejemplo y recalculando los valores de verdad bajo la interetación fuerte de los conectivos, vemos que VW3 (Ac\ A AC2 ) = 0, en lugar ser indefinido, ya que VW3 (Aci) = 0. Como resultado, tenemos entonces que ! (D (A ci A AC2)) = 0, en lugar de VWl ( □ ( J4ci A Ac 2 )) = 1. De m odo que este idelo ya no es más un contraejemplo de la validez de D( □<£. Es muy íible que la aproximación esbozada arriba, dadas estas modificaciones, re te en una semántica satisfactoria. Pero la definición de verdad aún parece ecer de un sustento intuitivo coherente, así que mencionaremos algunas as posibilidades. Una respuesta enteramente diferente a los problemas de lefinición 3.2 es imponer las siguientes restricciones en la función dominio: ) Si wRw', entonces D w C D w> 3 significa, en otras palabras, que durante las transiciones a otros munaccesibles nada se podría perder. Es decir, el dominio solamente podría erse más grande. Esta restricción tiene el efecto de que la referencia de quier constante en un mundo posible dado también se encuentra en el inio de cualquier mundo accesible desde ese mundo. Así pues, dado (42), 3mos introducir la cláusula original (iv) en la definición 3.2. sin caer en omplicaciones que ya hemos discutido; pues dada la restricción (42), po os estar seguros de que Amsterdam, y el Sol se encontrarán en cualquier do posible que sea accesible desde éste, así que el hecho de que Ám stersea Amsterdam y que el Sol salga si el Sol sale se vuelven verdades

necesarias. Más aún, (39) y (40) se vuelven indefinidos, de tal forma que no constituyen más un contraejemplo a □<£ —> . Puede verse fácilmente que los problemas que teníamos con principios com o □(<¿> A ip) —* □ tam bién se resuelven de esta forma. Parece probable, sin embargo, que el requisito de dominios crecientes ten ga ramificaciones que son menos que enteramente aceptables. Una de estas es que no sigue siendo verdadero que Amsterdam y el Sol puedan no haber exis tido: ambos existen en cada mundo posible que es accesible desde éste. Debe notarse que una objeción relacionada puede hacerse a las cláusulas (iv’ ) y (iv” ): dado que Amsterdam está presente en nuestro mundo, estas cláusulas implican que es necesario que Amsterdam exista en nuestro mundo, y así con lo demás.

3.3.2.

Identidad

Nuestra decisión de tratar a las constantes com o designadores rígidos tiene consecuencias inesperadas para la validez de ciertos principios concernientes a la identidad. No tenemos mucha libertad al interpretar el predicado de iden tidad: (43) En cada mundo w, Iw( = ) = {{d,d) \d G D w} Dada la definición de verdad y el requisito de dominios crecientes de (42) o la cláusula modificada (iv” ), (44) será un principio válido: (44) 6 = c —> □(& = c) Com o lo mencionamos en §3.2., el planeta Venus es la referencia de dos nom bres propios: Hesperus (el lucero vespertino) y Phosphorus (el lucero matutino). Parecería que tratar los nombres propios como designadores rígidos inevitablemente conduce a la conclusión de que (45) es una verdad necesaria: (45)

Hesperus es Phosphorus

Kripke está dispuesto a aceptar esta conclusión. Para él, el estatus de una proposición com o necesaria no tiene nada que ver con cóm o llegamos a re conocer su verdad, sino que sólo se sigue del hecho de que ésta no podría haber sido de otra forma más que verdadera. Kripke distingue entre verda des necesarias y verdades a priori. Una proposición es a priori si el estatus de su verdad puede establecerse solamente razonando, independientemente

de la experiencia (sensible). Esto hace de a priori una noción epistémica. Por su parte, una proposición es necesaria si describe una situación que no podría haber sido diferente de lo que es. Esto hace de necesariamente una noción ontológica. Con frecuencia, se ha argumentado que las dos nociones coinciden, pero de acuerdo con Kripke esto es un error: existen ejemplos de proposiciones necesariamente verdaderas que no son a priori. La oración (45) es un ejemplo de esto. Aunque (45) es una verdad necesaria, su verdad no puede ser establecida independientemente de la experiencia sensible. Esto dis tingue a (45) de (46): (46) Hesperus es Hesperus La oración (46) es necesaria y a priori. Así, el problema original de Frege sobre la diferencia entre estas dos oraciones puede tratarse adecuadamente con la Teoría de los Designadores Rígidos. Com o otro ejemplo de proposiciones necesariamente verdaderas que no requieren ser a priori, Kripke menciona verdades matemáticas que aún no han sido probadas. O bien la conjetura de Goldbach (‘todo número par más grande que 2 es la suma de dos primos’), o bien su negación, son un ejemplo de una proposición de este estilo, dependiendo de cuál de las dos sea verdadera. Cualquiera de las dos que sea verdadera es necesariamente verdadera. Pero ya que la verdad de la conjetura de Goldbach aún no ha sido decidida, ésta no es una verdad acerca de la cual tengamos un conocimiento a priori. Quizá tengamos un conocimiento a priori de esto algún día, si alguien tiene éxito en probar o refutar la conjetura de Goldbach. Pero no tenemos garantía de que esto se pueda hacer. Así pues, aunque sea una verdad necesaria, no podemos concluir que también sea una verdad a priori. Parece que Kripke ha dado una solución satisfactoria a los problemas con los nombres propios que discutimos en §3.2. (ver §3.3.4. para el problema de la no existencia de Pegaso). Debe notarse, sin embargo, que surgen complica ciones al tratar contextos de creencia en una semántica de mundos posibles con designación rígida. Si la creencia se analiza como una relación entre indi viduos y proposiciones, como hemos propuesto, y si los nombres propios son interpretados como designadores rígidos, la oración (48), en vista de (45), se seguirá de (47): (47) Los babilonios creían que Hesperus es Hesperus (48) Los babilonios creían que Hesperus es Phosphorus

No es del todo claro si tenemos aquí un problema con la Teoría de la Designación Rígida o un problema con el análisis propuesto de creencia

en la semántica de mundos posibles (también ver los comentarios al final de

§3.5.)Ejercicio 3.3. Aplique la definición 3.2., con (iv” ) en vez de (iv). Considere un mundo en el

cual Adán exista, pero Eva no. Determine el valor de verdad de las siguientes fórmulas en ese mundo: (a) [H3a;(x = Adán) (b) D3a;(x = Eva) ¿Cuál es la relación entre (iv” ) y el requisito de dominios crecientes?

3.3.3.

Variables y cuantificadores

Encontramos el mismo problema en la semántica de la cuantificación que el que teníamos en la semántica de constantes: ¿el rango de los cuantificadores son individuos o conceptos individuales? Una vez más, nuestra preferencia es por los individuos. La razón de esto es que los lenguajes naturales contienen una clase de expresiones, denominadas descripciones definidas, que podrían pensarse com o designadoras de conceptos individuales. Ahora bien, si el rango de los cuantificadores fuera de conceptos individuales en la lógica de predicados modal, los principios (49) y (50) terminarían siendo válidos:

(49)

\/x4>

—> [ryxj)/ x](¡)

(50)

[ry-ip/x](f) —►3 xcj)

Si

en particular, y si 0 es verdadera para el concepto particular ryxp, entonces existe al menos un concepto individual para el cual 0 es verdadera. Aquí tenemos algunos ejemplos para ilustrar esto. La oración (52) no se sigue de (51): (51) Todo el mundo puede perder este juego (52) El ganador puede perder este juego

Tam poco (55) se sigue de (53) ni (54): (53) Todos los números más grandes que siete son necesariamente más grandes que siete (54) El número de planetas es un número más grande que siete (55) El número de planetas es necesariamente más grande que siete Y, finalmente, otro ejemplo que realmente pertenece a la lógica deóntica. L; oración (57) no se sigue de la (56): (56) El presidente de Estados Unidos debe haber nacido en los Estados Unidos (57) Existe alguien que debe haber nacido en Estados Unidos En la definición de verdad, entonces, utilizaremos asignaciones g que asignan un individuo a cada variable. El rango de los cuantificadores son individuos, pues parece razonable que al evaluar oraciones cuantificadas en un mundo dado w, tomemos en cuenta sólo individuos en (el dominio de) ese mundo. Rem plazaremos ahora la definición 3.2 por una definición de valuaciones Vm,iu,g, basada en modelos M , mundos w en estos modelos, y asignaciones g para to do el lenguaje modal de la lógica de predicados modal. Primero definiremos la interpretación de los términos:

(58)

[íJm,3 1

I(t)

si t es una constante

g(t)

si t es una variable

En consecuencia, la definición completa es la siguiente:

'Definición 3.3. lea M un modelo, 4> una fórmula de la lógica de predicados modal y w G W . ’ntonces, Vm ,w,g( ), el valor de verdad de i siguiente manera:

vi)

Vm,w,g(Pt\ . . . t n)

é en w dados M y g, se define de

= 1 si y sólo si [íiJm.s £ D w, ••• , [ínjM ,g G D w Y (líljM ,* , ••• i|[ínjM,ff) e Iw(P) = 0 si y sólo si [íl]M .g £ Dwi " ' y (P ljM .g , ••• , [ínlM.g) ^

Iw {P )-

>PnjM.g G D w

= 1 si y sólo si Viv[,w,g(0) = 0

(ii)

= 0 si y sólo si VM,w,g( ) — 1 (Üi)

Vm,id , g (->■0)

=

o

si y sólo si

V m , w , g{ )

=

= 1 si y sólo si VM,w,g(<¡>) = o VM ,W,g{ ) = 0 y V M ,w ,g W

O ^M,tu,p(0) = 0 y (iv)

UM,w,g(D0)

,u/,g(0)

VM,w,g(Vx(j))

1 y

=

0

,w,g(Í’ ) = 1)

- 1,

0

= 1 si y sólo si para cada w'G W tal que wRw ^M,u)',g(0) = 1 = 0 si hay un w'

(v)

,w,g(.1p')

1 y VM,w,g{tp)

G W , tal que wRw' y

0

= 1 si para cada d G D w : VM,w,g[x/d\( ) = 1 = 0 si hay un d G D w tal que V-M,w,g[x/d\( ) = 0

Las cláusulas para los otros conectivos y para 0 y 3 se siguen de las anteriores cláusulas, junto con las definiciones de dichos conectivos en términos de —* y -i; la definición de 0 , en términos de □ y -i, y 3, en términos de V y Como en la lógica estándar, los valores de verdad de las sentencias, es decir, fórmulas que carecen de variables libres, son independientes de la asigna ción g. Así, para las sentencias (j) podemos escribir simplemente Vm ,w { )Si esta definición de verdad fuera aplicada sin asumir dominios crecientes (o sin remplazar la cláusula (iv) por una versión apropiadamente adaptada de (iv” )), entonces caeríamos en los problemas de fórmulas con valores de verdad indefinidos, que ya hemos encontrado. Pues si alguna de las entidades en un mundo w falta en alguno de los mundos accesibles desde w, entonces yM,w(yxD(¡)) siempre sería indefinido ahí. Asumiremos, entonces, que o bien el requisito de dominios crecientes se satisface, o bien la cláusula (iv) ha sido remplazada por una versión apropiadamente adaptada de (iv” ). En la semántica de la lógica de predicados modal se ha prestado mu cha atención a las interacciones entre operadores modales y cuantificadores. Esto ha puesto de relieve la distinción entre modalidades de dicto y modalida des de re. Al estudiar las interacciones entre □ y los cuantificadores, la validez de los siguientes cuatro principios puede ser revisada:

(59) DVx<¿> -> (60) VxD4>—> 0 \/x4>

(61) 0 3 x 0 —> 3xD 0 (62) 3XD0 —» D 3x0 El más conocido de estos esquemas es el (60): la fórmula Barcan, la cual fue bautizada de este m odo en honor a Ruth Barcan, quién demostró que es problemática. Se puede obtener una equivalencia con 0 en vez de □ para cada una de estas fórmulas, al aplicar contraposición (esto es, por medio de la equivalencia de 0 —> x Y -1X (63)

3x0 - > 0 3 x 0

(64) 0 3 x 0 —> 3 x 0 0 (65) VxO4> —> OVx0 (66) 0 Vx0 —►VxO 0 Com o ejemplo mostraremos cóm o (63) se puede derivar de (59): DVx0 —* VxD0 implica -V x!3 0 —> - O Vx0, entonces, 3 x ~ 0 0 —> 0 -V x 0 , de esta manera, 3 x 0 _l—> O3x->0. Pero si el esquema D\fx

VxD0 es verdadero para todas las fórmulas 0 , entonces es verdadero en particular para todas las fórmulas ->0. Así, 3 x 0 —> O 3x-i-i0, lo cual inmediatamente implica 3 x 0 0 —> 0 3 x0 . A diferencia de (60) y (64), parece que (59) y (63) son válidas. Es claro, por ejemplo, que (67), que puede simbolizarse com o 3 x0 0 , es una oración mucho nás fuerte que (68), que puede simbolizarse com o 0 3 x0 ; en otras palabras, es ;laro que (67) implica (68): 67) Existe alguien que posiblemente lo haga mejor que yo 58) Es posible que alguien lo haga mejor que yo (ue (68) es más débil que (67) es claro, por ejemplo, a partir del hecho de que 58) puede estar seguida de (69), mientras que esto es absurdo para (67): 9) Pero es improbable que exista alguien que lo vaya a hacer mejor que yo ¡to se explica en la semántica que hemos dado: (63), y con ello (59), es válida, entras que (64), y con ello la fórmula Barcan (60), es inválida. La validez de 0 (f> —►0 3 x 0 puede ser probada de la siguiente manera: si Vm,u;,p(3xO0) = 1, ;onces ^M,u),g[x/dj(O0) = 1 para algún d € D w. Así, Vm ,w',g\x/d\{ ) = 1 para

algún w' con wRw'. En este w' tenemos, entonces, V^.w' ,a{3x<¡>) — 1, de tal manera que VM,w,g(03x) = 1. Que 0 3 x 0 —* 3 x 0 no es válida para cada fórmula <j) es claro a partir del contraejemplo dado a 0 3 A r —►3 0 A x en (70), en el cual D Wl= { a } 1D W2= { a , b}; / w (A )= 0 ,7 W2(A )= {6 }:

(7°)

0

•

W\

0

•

* W2

Dado que, por una parte, Vm ,w2(3 x A x ) =1, tenemos que V m ,»](03xA x)=1; por otra parte, tomando g (x ) = a , vemos que V m ^ ^ O A x) = 0 y, en consecuen cia, Vm ,wi(3x0A x ) = 0, dado que a es el único valor de g(x) que se encuentra en w\. El principio (61) y su equivalente (65) son extremadamente implausibles. De acuerdo con (65), por ejemplo, (72) se sigue de (71): (71) Todo el mundo puede ganar en este juego (72) Es posible que todo el mundo gane en este juego Es evidente que algo en estos principios no funciona y que (61) y (65), en efecto, se vuelven inválidos en la semántica que hemos dado. A primera vista, (62) y (66), los recíprocos de (61) y (65), parecen mucho más plausibles. Vale la pena notar que aceptar la validez de (62) y (66) prácticamente conduce a aceptar el requisito de dominios crecientes. Esto último puede mostrarse de forma muy sencilla. Supongamos que todos los dominios en un modelo M se incrementan y que Vfo)1ü>ff(3xlH) = 1. Entonces, debe existir un d G D w tal que Vm,iUi9[z/¿] (□) = 1. Supongamos ahora que wRw\ es decir, w' es accesible desde w. Entonces, dado que se requieren dominios crecientes, tenemos que d G D w’ y VM.,w',g[x/d\( ) = 1) de tal modo que VjvitW>!g(3x<j>) = 1. Como este argumento se aplica a todos los mundos w' que son accesibles desde w, tenemos ahora Vm)W)9(D3x<£) = 1- De este modo, queda demostrado que (62) es válido en este modelo. Que (62) y (66) no sean válidos si el requisito de dominios crecientes no se satisface puede mostrarse de la siguiente manera. Sea M un modelo que no satisface el requisito de dominios crecientes. Entonces, existen dos mundos posibles, w y w\ tales que vjR.uA y existe una entidad d tal que d G D v¡ y d ^D w' . Ahora bien, (62) puede ser falseado en w haciendo que (/>sea tal que d

satisface 0 en w y en todo mundo accesible desde w y que tenga a d en su dominio, mientras ninguna entidad en w' satisface 0. Ya que dada dicha 0 y asumiendo que ésta tiene una variable libre x, tenemos que Vm = 1, pues de acuerdo a la cláusula (iv” ), V-M,w,g[x/d\{D 0) — 1- Sin embargo, Vm,w,g(D3x0) = 0, dado que Vm,«/,g(3x0) = 0. En consecuencia, tenemos que Vm,íü,9(3 xD 0 - » □ 3x0) = 0. Ejemplos com o este señalan una correspondencia más general entre los principios propuestos para la lógica de predicados modal y las condiciones estructurales sobre marcos de mundos posibles con dominios de individuos adjuntos. Este tema puede ser desarrollado com o en lógica proposicional modal (cf. §2.3.2.) pero no lo haremos acá. Aunque (62) y (66) podrían parecer plausibles a primera vista, es aún posi ble imaginar situaciones en las cuales, al violarse (66), se quisiera aceptar (72) sin tener que aceptar automáticamente (71). Es concebible que exista un juego en el cual todo el mundo puede ganar (esto es, uno en el cual todo el mundo puede terminar exactamente con el mismo puntaje), sólo bajo la con dición de que José, que es un jugador particularmente malo, no participe. Pe ro este requisito no quiere decir que todo el mundo pueda ganar el juego, ya que José siempre será superado. Será claro que este problema sólo podrá ser resuelto a través de un análisis en el que los aspectos modales, temporales, epistémicos y deónticos de la intensionalidad sean tomados en cuenta. Para concluir, vale la pena retornar brevemente a una opción que anterior mente habíamos rechazado: fijar el rango de los cuantificadores sobre conceptos individuales y no sobre individuos. Esta opción era extremadamente mala bajo el test propuesto por los principios discutidos anteriormente: todos estos prin cipios se vuelven válidos, lo cual es suficiente para remover completamente la distinción entre modalidades de dicto y modalidades de re. Ejercicio* 3.4. (a) Pruebe que (65) es inválida. (b) Demuestre que aceptar la fórmula Barcan (64) implica asumir dominios decrecientes, es decir, asumir que si wRw', entonces D w¡ C D w.

3.3.4.

Un dominio: el predicado de existencia

En la semántica de la lógica de predicados modal dada en las últimas seccioíes, no hemos asumido que todas las fórmulas deban tener valores de verdad :n todos los mundos posibles. Esto da lugar a varios problemas con la validez

de los principios modales, algunos de los cuales hemos visto que son solucio n a b a s . Pero aún no es claro si alguno de tales problemas permanece, lo que genera una situación insatisfactoria. Más aún, argumentos de principio pueden ser erigidos en contra de la idea de fórmulas que no son ni verdaderas ni falsa, ya que esto viola el principio de bivalencia. Es posible hacer arreglos de tal forma que el principio de bivalencia sea válido, lo cual significa que a cada fórmula atómica P e r - ■Cn se le debe asig nar un valor de verdad en todo mundo posible. Una forma obvia de hacer esto consiste en asegurar que todas las constantes individuales tengan referentes en todos los mundos posibles. Esto viene a ser lo mismo que crear un único dominio para todos los mundos posibles. Desde el punto de vista de cada uno de estos mundos, entonces, existen dos clases de entidades: las que realmente existen en el mundo y las entidades que realmente existen en cualquiera de los otros mundos. En cada mundo, la pertenencia de los predicados tendrá que ser definida para todas las entidades en ese mundo (incluso para aquellos que no existen realmente ahí). Esta parecería ser una solución bas tante radical para todos los problemas con valores de verdad indefinidos. Al interior de esta aproximación, parece deseable tener alguna manera de distinguir entre individuos que realmente existen en algún mundo dado y to das las otras cosas allí. Hacemos esto por medio de un predicado de existencia E. Este predicado señala en cada mundo posible los individuos que realmente existen allí. Al introducir este predicado obtenemos una solución para algunos de los problemas con la no existencia de Pegaso que mencionamos anterior mente. No es del todo claro cóm o una oración como (73) podría ser verdadera en la aproximación de designadores rígidos: (73) Pegaso no existe La traducción natural de (73), -G x(p = x), se vuelve falsa o indefinida en todas las variantes de la semántica dadas anteriormente. Pero usando el predi cado de existencia, (73) puede ser considerado como -*Ep, una fórmula que es verdadera sólo en aquellos mundos en los cuales p se refiere a un individuo no existente. Una semántica con un dominio común y un predicado de existencia tam poco padece las desventajas de que una entidad existe necesariamente si esta entidad existe, la cual sí se presenta en otros sistemas que hemos visto. Es muy posible encontrar objeciones filosóficas a un dominio que contenga todos los individuos posibles, o a analizar la existencia como un predicado. Pero com o señalamos en §3.1., no tenemos que darle la última palabra a las

consideraciones filosóficas si nuestro objetivo es la aplicación de los méto dos lógicos en la descripción del lenguaje natural. Además, oraciones como (73), en las cuales la existencia de cierta clase de individuos es aseverada o negada, no son las únicas para las cuales disponer de individuos no existentes parecería ser una ventaja. Considere (74), por ejemplo: (74) Juan está hablando acerca de Pegaso Obviamente podría no permitirse que la verdad de esta oración dependiera de la existencia de Pegaso. Ahora bien, el análisis natural de (74) es uno en el cual hablar acerca de es visto com o una relación entre Juan y Pegaso. Pero esto significa que, si (74) es verdadera, deben permitirse entidades no existentes que entren en la relación. Esta aproximación conduce a la siguiente definición de un modelo, alter nativa de la definición 3.1.: Definición 3.4. Un modelo para un lenguaje L de la lógica de predicados modal consiste en: (i) un conjunto no vacío W de mundos posibles (ii) una relación de accesibilidad R en W (iii) un dominio D (iv) una función de interpretación I que asigna: (a) un elemento / ( c ) de D a cada constante c en L (b) un subconjunto no vacío IW(E) de D en E, para todo mundo w G W (c) el conjunto identidad {{d,d) \deD} al símbolo = , para todo mundo w (d) un subconjunto I W( P ) de D n para cada letra predicativa n-aria P en L, para cada w G W 'Sta definición conduce a la siguiente alternativa de la definición 3.3. de verad, presentada en §3.3.3.: )efinición 3.5. ea M un modelo, w G W , y g una asignación. Entonces VM,w,g( ), el valor 3 verdad de

(i) VM,w,g(Ptl . . . t n) (ii)

,w,g(~'4>) = 1 Si

= 1 si y sólo si ( p l ] M)9, ••■M m , 9) € Iw{P) y sólo si VM,w,g{(t>) = 0

(iii) Vm ,w,g(4> —>■Í>) = 1 si y sólo si Vm,w,g( ) = 0 O V¡VI,w,sW0 = (iv)

,iu,g (^^0 ) — 1

y solo si para cada

uj

tal que

ujR uj

.

1 (¿ ) = 1

(v) Vm,™,9(Vx0) = 1 si y sólo si para todo d e D : VMtW,g[x/d\W = 1 La fórmula Barcan es verdadera en cualquiera de estos modelos con un dominio común, ya que ésta satisface el requisito de dominios crecientes mencionado en el ejercicio 3.4.(b). Las objeciones que fueron originalmente planteadas en conexión con la fórmula Barcan, sin embargo, ya no son válidas, pues ahora el rango de los cuantificadores no son sólo individuos existentes, sino también individuos posibles. La lectura original de la fórmula Barcan puede, con la ayuda del predicado de existencia, reconstruirse como: (75) V x ( E x —►□) —►\Jix(E x —> (p) Restringir el cuantificador a £ e n (75) tiene el efecto de restringir su rango sobre los individuos existentes. Pero, a diferencia de la fórmula Barcan original, (75) no es universalmente válida bajo la definición 3.5 de verdad. En efecto, los cuantificadores en la mayoría de representaciones de oraciones del lenguaje natural de la forma todos los A son B y algunos A son B terminarán siendo restringidos a E. Esto es, que estas oraciones serán representadas com o Wx(Ex —> ( A x —> B x ) ) y 3 x ( E x A ( Ax A B x )), respec tivamente. Así que la validez de la fórmula Barcan no tiene efectos adversos sobre la aplicabilidad de esta semántica. Otro principio más escurridizo que ya no será válido si sus cuantificadores se restringen a i? es el (59), converso de la fórmula Barcan. Esto debe ser así, pues de lo contrario (76) conduciría a (77) después de la sustitución de E x por , lo que a su vez implicaría (78): (76) UNx(Ex ->) -> V x ( E x -+ U<j>) (77) ÜNx(Ex —* E x ) —y Wx(Ex —> D E x ) (78) \ / x ( E x ^ D E x ) Además, con (78) nos enfrentaríamos nuevamente con el espectro de que todos los individuos que existen en un mundo existen necesariamente.

E jercicio* 3 .5 .

(a) Demuestre que (75) no es válido. (b) ¿B ajo qué condición (78) sería válida en un modelo? Ejercicio 3.6. Proporcione un ejemplo de una expresión que pueda ser vista como un predi cado unitario P , para el cual se cumple el requisito de que para todo mundo: I W(P ) C IW(E) no es válido. ¿Puede usted pensar en una expresión que deba ser considerada com o una relación binaria Q para la cual el requisito para todo mundo w : {x| hay un y tal que (x, y) € IW( Q ) } Q Iw(E) no sea válida?

3.4.

Otras clases de contextos

En la anterior exposición de la lógica intensional de predicados nos hemos concentrado casi exclusivamente en la lógica de predicados modal. Pero otros >peradores intensionales, por ejemplo los operadores temporales, también se >ueden añadir a la lógica de predicados. Toda la discusión anterior sobre cómo as constantes y los cuantificadores son interpretados y sobre la escogencia de ominios podría repetirse más o menos de la misma manera. Los principios (59) a (62), discutidos en §3.3.3., tienen variantes en la lógia, temporal. Las siguientes dos fórmulas son, por ejemplo, versiones de la lógica imporal de la fórmula Barcan (60) para el futuro y el pasado, respectivamente: r9) \/xG(¡) —* G Vx0

0) VxH —>HVx0 il y com o están formulados, no estamos inclinados a aceptar la validez de 3) y (80) más que la de la fórmula Barcan. Y lo mismo se aplica, mutatis itandis, a los otros principios en lógica temporal correspondientes a (59), 0 y (62). Al adoptar momentos de tiempo como nuestros contextos, encontramos ívamente varias formas alternativas de formular la semántica. Podemos dar ada momento en el tiempo su propio dominio, o podemos introducir un ninio único que sea común a todos los momentos en el tiempo. Las ventajas y desventajas de las diferentes alternativas son las mismas las de la lógica modal. Además, el estatus de principios com o el (79)

y el (80) en las diferentes alternativas es análogo también al estatus de los correspondientes principios modales. Las consideraciones con respecto a cómo las constantes y variables individuales son interpretadas son las mismas que en la lógica modal. Ejercicio 3.7.

(a) Traduzca las siguientes dos oraciones al lenguaje de la lógica de predi cados modal: (i) Un día todo el mundo será feliz por siempre. (ii) Existe siempre alguien que es feliz sólo si alguien más no lo es. (b) Demuestre que si asumimos que todo punto en el tiempo es seguido de otro y que la relación ‘ser anterior temporalmente a’ es transitiva, no puede haber un modelo M y un punto en tiempo t en el cual (i) y (ii) sean verdaderos. (c) Considerar el predicado de existencia E. ¿Es razonable diseñar requisitos especiales sobre I ( E ) en una lógica temporal de predicados? En caso afirmativo, ¿cuáles serían? Cuando lidiamos con los operadores temporales y modales al mismo tiempo, nuestros contextos serán mundos en momentos de tiempo, com o lo explicamos en §2.5. Así pues, tenemos diferentes interpretaciones alternativas disponibles para los operadores modales. En lo que concierne a los operadores tempora les, la combinación con operadores modales no parece introducir nuevas po sibilidades en la discusión. En el capítulo 5 encontraremos un sistema lógico intensional con operadores modales y temporales y en el cual el rango de los cuantificadores es único. Esta es, entonces, una semántica que sigue las líneas de §3.3.4. Otras extensiones de la lógica intensional pueden obtenerse al incluir tam bién más factores diferentes en los contextos. Los contextos que hemos visto hasta ahora — mundos posibles, momentos en el tiempo y la combinación de los dos— podrían usarse también en el análisis de expresiones epistémicas y deónticas. Pero estas no son las únicas clases de expresiones con interpretacio nes dependientes de contexto. Pronombres personales com o yo, el, nosotros, y usted/ustedes, expresiones locativas com o aquí y allí, y pronombres deícticos com o esto y aquello son otros ejemplos. Consideremos los pronombres yo y usted. Así com o el estatus de verdad de (81) depende del tiempo del contexto, los valores de verdad de (82) y (83) dependen del contexto:

(81) Está lloviendo (82) Yo vivo en Ámsterdam (83) Usted trabaja en París La oración (82) es verdadera en un contexto dado sólo en caso de que el individuo que esté hablando en ese contexto viva en efecto en Ámsterdam. Por su parte, (83) es verdadera en un contexto dado sólo en caso que quien quiera que sea señalado en ese contexto en efecto trabaje en París. El punto es que, con el fin de representar esto, los contextos necesitan más que un mundo y un tiempo: se requiere un hablante y alguien con quién se esté hablando, un destinatario. Las expresiones locativas com o aquí y allí requieren más extensiones a la noción de contexto: con el fin de interpretar (84) los con textos tendrán también que especificar un lugar (realmente una oración como (81) también depende de un lugar): (84) Yo vivo aquí Podemos ahora imaginar un contexto como una secuencia de parámetros: un mundo posible w, un momento en el tiempo t, un hablante s, un destinatario a y un lugar p. Por supuesto existen siempre otras especificaciones que pueden ser añadidas a esta lista. Los parámetros hablante, destinatario y lugar son con frecuencia tratados al interior de marcos en el mundo en momentos de tiempo. Una distinción es entonces trazada entre índices, o mundos en momentos de tiempo, y contextos de uso, la cual especifica hablantes, destinatarios y lugares. Así se torna posible trazar una línea entre expresiones cuya interpretación depende del contexto de uso. El primero en explorar sistemáticamente esta distinción fue Kaplan (1978, 1979). Algunos autores, Cresswell notablemente, objetan el carácter ‘ abierto’ de la noción de contexto. De acuerdo con ellos, no existe un límite para los parámetros posibles, por lo que prefieren una aproximación en la que los contextos sean conceptos no-analizados que puedan iener ciertas clases de propiedades. En vez de especificar un contexto como entre otras cosas) un individuo a que es el hablante y un individuo b que es ;1 destinatario, ellos dirían que existe un contexto que tiene la propiedad de ontener un hablante a y un destinatario b. El estatus de verdad de oraciones orno (82) en cualquiera de estos contextos ya no depende entonces de algún 'arámetro en ese contexto, sino más bien de las propiedades de ese contexto. No es claro aún si esta aproximación conduce a resultados distintos a la tra. Para ilustrar esto, utilizaremos el resto de esta sección para mostrar

¿istintas formas de representar pronombres personales de primera y segunda persona. Un primer intento de explicación del carácter contextual de yo y usted podría ser algo com o lo siguiente: un modelo M se compone de un conjunto de mundos posibles W , con una relación de accesibilidad R , un conjunto T de momentos en el tiempo con una relación de ser anterior temporalmente a > , un dominio D de entidades, y una función de interpretación I. Un contexto k es considerado com o una secuencia (w , í, s, a) en la cual w £ W , t £ T y s a £ D (no existe necesidad de asegurar que s y a sean elementos diferentes de D ). Así pues, un contexto k fija un mundo posible w. un momento en el tiempo í, un hablante s y un destinatario a. Los símbolos s y a 110 deben pensarse com o nombres de individuos; ellos son ‘metanombres’ . Un contexto tendría la siguiente forma (w \,ts,d 2 ,dg). Deseamos representar la expresión yo y usted en nuestro lenguaje por medio de constantes individuales, por lo que reservamos las constantes i e y, respectivamente, con este propósito. Estas constantes pueden, por supuesto, no ser tratadas com o designadores rígidos, pues la idea es precisamente la contraria: sus referencias dependen esencial mente de los contextos en los cuales se interpretan. Las expresiones yo y usted no son en todo caso nombres de individuos particulares. Así, haremos una excepción de la regla de que las constantes son designadores rígidos para i e y, exigiendo que la función de interpretación I en un modelo cumpla con lo siguiente: Ik(i) = «fe e I k (y) = ak, para todo k Así, dado un contexto k, I asigna el hablante en k, sk, a la constante i, y el destinatario en k, ak, a la constante y. La función de interpretación I inter preta i e y, en otros mundos, com o conceptos individuales. Un concepto indivi dual, subrayamos, es una función de contextos a individuos. La interpretación de i podría ser vista com o el concepto de un hablante y la de y como el con cepto de un destinatario. En vez de Ik{i) = «fe, podríamos también escribir /(z)(/c)=Sfe, la cual se lee como: el concepto individual /( i ) , el cual I le asigna a i cuando es aplicado al contexto k, toma el valor sk. Esta aproximación da cuenta del carácter contextual de yo y usted y, con esto, de oraciones com o (82) y (83). Pero es aún ingenuo en algunos aspectos. Considere las oraciones (85) y (86): (85) Yo soy el hablante (86) Yo seré siempre el hablante

Incluso si estas oraciones son un poco extrañas, ellas ilustran un punto gene ral que queremos hacer. La oración (85) expresa una verdad necesaria: yo se refiere, en todo contexto, a quienquiera que sea el hablante en ese contexto; así pues, (85) nunca puede ser falsa. La oración (86), por otra parte, puede ser falsa. Incluso aunque (85) siempre es verdadera, (86) es ciertamente falsa en cualquier situación realista. Pero en la aproximación que acabamos de esbozar, ambas se vuelven verdaderas en todos los contextos. Las oraciones (85) y (86) pueden representarse com o (87) y (88), respectivamente: (87) Si (88) G Si Aquí, el predicado S funciona como una representación de es el hablante. La interpretación de S en esta aproximación es, por supuesto, fija: S tiene sólo un individuo en su extensión en cualquier contexto k: s^, es decir: I s( S ) = {sfc}, para todo k Ahora bien, puede fácilmente confirmarse que (85) es verdadera en todo con texto k : tenemos que Ik{i) = «fc para todo k y, entonces, que Ik(i) € Ik{S) para todo k. Esto significa que V m ^ íu ) = L para todo k. Pero esto tam bién significa que (88) es verdadera en todo contexto k , pues (88) sólo pue de ser falsa en un contexto k si existe algún contexto k' en el futuro de k esto es, para el cual tk < t*/) en el cual Si sea falsa. Pero hemos visto que Si es verdadera en todo contexto, así que no puede existir tal k!. Así pues, los resulados que esta aproximación da son consistentes con el significado de oraciones orno la (85), pero ciertamente no con aquellos de oraciones com o la (86). Y stas no son las únicas oraciones problemáticas. La solicitud expresada por la ración (89), por ejemplo, se vuelve extremadamente difícil de satisfacer: 59) ¿Me recordarías mañana que [yo] debo llamar a María? asiblemente, una solución se encuentra a lo largo de las siguientes líneas. ) que (86) expresa es que quienquiera que sea ahora el hablante (yo), éste rá en todos los estados del futuro el mismo hablante. El pronombre personal exhibe así la misma clase de comportamiento que el modificador temporal ora, el cual se refiere al tiempo en el cual la oración fue proferida, incluso si urre en una cláusula anidada (ver §2.4.2.). Exactamente de la misma forma, hace referencia al mismo individuo al hace referencia ahora, al momento de

la proferencia, es decir, al hablante. Esta es la razón por la cual (86) puede ser falsa incluso aunque (85) sea siempre verdadera. Existen formas diferentes de dar cuenta de este aspecto del comportamiento semántico de yo (y por supuesto de usted). Una posibilidad es la siguiente: restringimos nuestros con textos a momentos en el tiempo (el parámetro de mundos posibles no importan en este contexto). En vez de incluir s y a como parámetros en nuestros con textos, añadimos dos funciones s y a al modelo. Estas funciones dicen quién es el hablante y quién el destinatario en cada momento en el tiempo. Entonces, introducimos un momento fijo en el tiempo to, justo com o hicimos cuando nos enfrentamos con ahora en §2.4.2. El único problema es que varios momentos en el tiempo pueden funcionar com o el momento de la proferencia, así que parecería aconsejable generalizar el método dado en §2.4.2. Obtenemos así el método de doble indexación desarrollado por Kamp (1971): la idea es que las oraciones son interpretadas con respecto a dos momentos en el tiempo t y t1. El primero es denominado el momento de proferencia y el segundo, el momen to de la evaluación. Comenzamos evaluando una oración hecha en el tiempo t con respecto a este tiempo t. Pero el proceso de evaluación podría conducirnos a considerar momentos en tiempos distintos a t. Un ejemplo: con el fin de determinar si P() es verdadera en un modelo dado en un tiempo t debemos tratar de encontrar un momento anterior a t, en el cual sea verdadera. Ahora bien, si contiene expresiones como ahora y yo que necesariamente hacen re ferencia al punto t original, entonces necesitaremos alguna forma de seguirle la pista a este t. Hacemos esto considerando siempre dos momentos en el tiempo. En consecuencia, las valuaciones son las siguientes: Vm es el valor de verdad de cf) en M en el momento t!, dado t com o el momento de proferencia. No desarrollaremos todos los detalles de este método de interpretación aquí, pero estableceremos una indicación de cómo éste soluciona los problemas an teriores con (85) y (86). La función de interpretación I funcionará también con dos momentos t y t!. Para casi todas las expresiones, sólo el momento de evaluación tiene alguna importancia, pero para algunas com o i e y, es sólo el momento de proferencia el que cuenta: V W

= s(t)

V ( 5 ) = {s(t')} La interpretación del pronombre personal yo es la siguiente: el hablante en el momento de la proferencia; y la interpretación del predicado S es: el conjunto de todos los individuos que son el hablante en el momento de la evaluación. Bajo esta interpretación (87), la representación de (85), es, como se requiere,

siempre verdadera. Pero esto ya no implica que (88), la representación de (86), deba ser siempre verdadera. Podemos construir un modelo en el cual (87) es siempre verdadera, pero en el cual (88) es falsa, al menos en un momento en el tiempo. De ninguna manera hemos agotado los rompecabezas interesantes que sur gen del comportamiento semántico de yo y usted. Lo anterior fue sólo un in tento por ilustrar cóm o podemos tratar uno de estos problemas. Sin embargo, esto también muestra la importancia de mantener una cierta flexibilidad con respecto al aparato semántico disponible. Ocasionalmente sucede que ciertas ideas, com o nuestras ideas originales acerca de la estructura de los contex tos, se traducen directamente a otros reinos y a otros fenómenos nuevos. Sin embargo, esto no sucede con mucha frecuencia.

3.5.

Una nota metodológica

A pesar de su origen relativamente reciente, a finales de los cincuenta y prin cipios de los sesenta, la lógica intensional se ha convertido en uno de los más importantes campos de la lógica filosófica. Esta también ha demostrado ser una herramienta valiosa en la semántica de los lenguajes naturales. Pero el estatus de la lógica intensional no es inexpugnable. Deseamos concluir este capítulo con algunas de las objeciones que se le han hecho y que aún se le hacen. Estas objeciones son de dos clases. Algunas son objeciones de principio, objeciones de una naturaleza metodológica y filosófica. Otras son de natura leza empírica y conciernen a los límites de la aplicabilidad de la semántica intensional. No estamos en capacidad de hacer justicia a todas las objeciones que mencionaremos en esta corta sección, así que el lector será remitido a la literatura para una explicación más completa. Las objeciones de principio levantadas en contra de la lógica intensional se encuentran usualmente dirigidas a su aparato conceptual. Los mundos po sibles y los individuos posibles son los objetivos principales. Se argumenta que estos conceptos son fundamentalmente oscuros. No sabemos exactamen te qué es un mundo posible, y no tenemos ninguna forma de hallarlo. La noción de un mundo posible es puramente metafísica, es arbitraria y carece completamente de contenido empírico. Todo lo que es analizado en términos de mundos posibles — el concepto de intensionalidad, el concepto de necesidad y posibilidad, las modalidades de dicto y de re, entre otros— consecuentemente continúa siendo tan oscuro com o antes. Aunque podría parecer como si ellos

hubiesen sido aclarados, la lógica intensional realmente sólo consiguió sustituir una noción oscura por otra. Más aún, se supone que las nociones intensionales conducen a posiciones filosóficas dudosas. Para algunos, como mencionamos en §3 .1., reconocer modalidades de re conduce a un esencialismo embarazoso. Además, algunas veces se piensa que la semántica intensional va acompañada de más problemas de los que resuelve. Entre estos, el ‘problema de identidad transmundana’ es uno de los más notorios (ver §3.2.). Este problema de de terminar si una entidad en un mundo es la misma que una entidad en otro se supone que eclipsa los problemas que la lógica intensional resuelve. Du das similares se mantienen acerca de los mundos posibles. ¿Cuántos de estos existen?, ¿qué cuenta com o un mundo posible y qué no? Las reacciones a estas objeciones en la literatura son bastante divergentes. Por ejemplo, la reacción de Kripke al problema acerca de qué son los mundos posibles es la siguiente: argumenta que es incorrecto pensar los mundos po sibles com o cosas acerca de las cuales podemos descubrir algo por medio de observaciones. Estos deben ser más bien pensados en términos epistemológi cos, com o determinados por los términos descriptivos que asociamos a ellos. Entre estos términos tenemos, por ejemplo, contrafácticos com o si Dukakis hubiese ganado las elecciones presidenciales en 1988, entonces el presidente de Estados Unidos habría sido un demócrata (cf. (6) en §1.7.). Esta oración tiene el efecto de introducir un mundo posible, uno en el cual Dukakis gana las elecciones presidenciales en 1988. Así, de acuerdo con Kripke, los mundos posibles no son cosas que puedan ser descubiertas, sino cosas que deben ser introducidas, que deben ser estipuladas. Desde este punto de vista, el proble ma de la identidad transmundana no es un problema genuino: no necesitamos averiguar si un individuo en un mundo dado es el mismo que un individuo en otro mundo (así que no importa que no podamos realizar esta hazaña). No necesitamos nunca averiguar esto porque los únicos mundos con los que tra tamos son aquellos que hemos introducido y que contienen uno o más de los individuos que se encuentran en este mundo o en otros mundos posibles ya introducidos. Los individuos podrían ser muy diferentes, en los mundos esti pulados, de lo que son en el mundo real, pero no tenemos que preocuparnos nunca por sus identidades. Por su parte, la interpretación ontológica de Lewis es diametralmente opuesta a la interpretación semántica de Kripke. Lewis defiende una concep ción puramente realista de los mundos posibles. Para él, los mundos posibles existen en la misma medida en que existe el mundo actual. El mundo actual no ocupa un lugar excepcional en la perspectiva de Lewis; este es sólo uno de

l o g ic a

,

le n g u a je

y

s ig n if ic a d o

los muchos mundos posibles, justo com o este momento es uno de los muchos momentos posibles en el tiempo. Esto arrojo, una luz completamente diferen te sobre el problema de la identidad transmundana. El que los individuos en mundos posibles diferentes puedan ser idénticos a otros está fuera de cuestión. En vez de la relación de identidad, Lewis introduce su relación de contrapar tida. Dos individuos en mundos diferentes pueden asemejarse tanto que ellos son contrapartes en sus respectivos mundos. Otra forma de lidiar con las objeciones a la lógica intensional es de natura leza más bien metodológica. Toda teoría, se argumenta, hace uso de conceptos que no analiza y que son considerados primitivos y los conceptos primitivos usados en la semántica intensional son las nociones de mundos posibles y de individuos posibles. El contenido de los conceptos primitivos de la teoría queda totalmente determinado por el rol que éstos juegan en la teoría. En el caso de la lógica intensional, esto da cuenta de lo siguiente: consideremos a la lógica mo dal proposicional, por ejemplo, una de las cosas que queremos de la semántica es una forma de dar cuenta de la validez intuitiva de □( —> ip) —> (□(/> —> Hip) como un principio de inferencia. Resulta que esto puede explicarse asumiendo un conjunto W y luego estableciendo definiciones de verdad tales que la ver dad sea relativa a elementos de este conjunto, pues con la definición usual de verdad para fórmulas de la forma 0<j>, el principio es en efecto válido. Además, imponiendo una estructura particular sobre este conjunto W , por medio de una relación R, otros principios se vuelven también válidos. En ningún punto de esta historia tenemos que tomar en cuenta la naturaleza de W (o R ). Ni si quiera tenemos que pensar acerca de W com o un conjunto de mundos posibles o de R com o una relación de accesibilidad. Cualquier conjunto de objetos y cualquier relación con las propiedades correctas podría servir igual. Así pues, por lo que concierne a la teoría semántica de la lógica intensional, desde este perspectiva, el significado de los elementos de W no necesita ir más allá del rol que ellos juegan com o parámetros en la definición de verdad dada por esta teoría. En consecuencia, la discusión filosófica sobre la naturaleza de los mun dos posibles podría ser vista como parte del debate general en la filosofía de la ciencia acerca del rol de los términos teóricos en la ciencia. Desde el punto de vista de las aplicaciones de la semántica intensional en as investigaciones sobre lenguaje natural, estas objeciones podrían o no ser 'orrectas, pero ellas son en todo caso irrelevantes, pues, como hemos argunentado en §3.1., la argumentación filosófica está fuera de lugar si el interés irincipal es la descripción del lenguaje natural. Después de todo, lo que esamos tratando de describir no es cóm o deberíamos hablar si queremos com

LÓ G IC A D E P R E D IC A D O R IN i tiMîwiMML

placer a los filósofos, sino cómo en efecto hablamos. Las objeciones hechas a la lógica intensional no son refutadas desde el punto de vista de la lingüística, simplemente se dejan de lado. Un comentario final que puede ser hecho en conexión con estas objecio nes de principio es que es al menos debatible si posiciones com o el esencialis mo son realmente tan objetables como ha sido alegado por algunos filósofos. Otros son de la opinión de que estas son doctrinas filosóficas fértiles e in teresantes y ven a la lógica intensional com o una ayuda apropiada para más investigaciones en dichas doctrinas. Suficiente de objeciones filosóficas y metodológicas. Las otras objeciones que se han hecho son de tipo empírico; aquí sólo discutiremos brevemente dos de ellas. La primera concierne a si una teoría semántica completa y empíri camente adecuada puede desarrollarse sobre la base de la lógica intensional. Un problema serio en conexión con esto es la existencia de contextos hiperintensionales. Estos difieren de los contextos intensionales normales en que incluso las expresiones lógicamente equivalentes no pueden ser sustituidas en ellos salva veritate. El contexto creado por □ es un ejemplo de un contexto intensional normal. Si 0 y tp son fórmulas lógicamente equivalentes (y así, tie nen el mismos valor de verdad en todos los mundos), entonces Oip se sigue de □ 0 . El contexto creado por creer, por otra parte, se podría decir que es hiperintensional. Incluso si (f> y ip son lógicamente equivalentes, la verdad de Juan cree que 0 no implica la verdad de Juan cree que ip, ya que podría muy bien ser el caso que Juan no fuera consciente de esta equivalencia. El mismo punto puede ser hecho usando los designadores rígidos. Asumiendo que el verbo creer crea contextos intensionales normales, y dado que Heperus y Phosphorus son designadores rígidos que refieren a la misma entidad, se seguiría de Juan cree que Hesperus es Hesperus que Juan cree que Hesperus es Phosphorus, lo cual claramente no es el caso. Así pues, es evidente que la semántica intensional tiene complicaciones cuando se aplica al verbo creer. No se ha alcanzado ningún consenso sobre cómo resolver esto. Se ha pro puesto que la solución reside en una semántica intensional más refinada. Los anteriores ejemplos indican que se requiere algo más que sólo la equivalencia lógica, es decir, la igualdad de intensión, para la intercambiabilidad salva veri tate en contextos hiperintensionales. Aparentemente las expresiones necesitan tener más propiedades semánticas en común que sólo las propiedades de tener la misma referencia en todos los mundos posibles. Quizá las formas en que las intensiones de las expresiones son construidas desde las intensiones de sus partes componentes también deben ser tomadas en cuenta.

Igualmente, se ha propuesto que los contextos hiperintensionales yacen más allá de los límites de la semántica (intensional) y que una solución satisfactoria significaría ir más allá de estos límites. Se argumenta que la semántica debe unir fuerzas con la pragmática, con el fin de dar un tratamiento adecuado a contextos hiperintensionales, com o aquellos creados por el verbo creer. Las relaciones entre lenguaje y s del lenguaje pueden, en gran parte, ser abstraídas en la semántica, pero no enteramente, y se piensa que el análisis de los contextos de creencia constituye un área en la cual la interpretación semántica debe tomar en cuenta a los s del lenguaje. Sea com o sea, si los contextos hiperintensionales deben yacer dentro o fuera de los límites de la semántica intensional, esto de ninguna forma disminuiría su utilidad en la investigación sobre la semántica del lenguaje natural. Más aún, incluso con los refinamientos propuestos y las extensiones añadidas, la semántica intensional todavía tendría una parte esencial que jugar. Otras dudas acerca de la adecuación empírica de la semántica intensional conciernen a qué tan adecuada es la noción de intensión en la explicación del concepto de significado. Dada una aproximación metalingüística al significado, parecería un error hacer la ecuación intensión=significado. La intensión de una función es una función que indica su referencia en varios contextos. Pero la familiaridad con el significado de una expresión no siempre es suficiente para permitir a alguien determinar su referencia. Así pues, intensión y significado no pueden ser simplemente igualados. En consecuencia, algunos ven en la noción de intensión una explicación de la competencia semántica de un ideal del lenguaje. Otros distinguen entre un componente psicológico individual del concepto de significado y un componente social. De esta forma, la noción de intensión que se originó en las semánticas intensionales puede funcionar com o una explicación abstracta de la función del lenguaje como instrumento común por medio del cual una comunidad lingüística puede hablar acerca del mundo. Estas indicaciones no disminuyen la utilidad de las semánticas intensionales más de lo que lo hicieron las indicaciones filosóficas y metodológicas. Sin em bargo, hacen un llamado a un poco de modestia. El fenómeno del lenguaje tiene facetas que yacen más allá del alcance de las semánticas intensionales.

Capítulo 4

Teoría de Tipos y Gramática Categorial

4.1.

Introducción

El tema de este capítulo es la Teoría de Tipos, un sistema lógico más poderoso que la lógica de predicados estándar. Puede ser considerado com o una exten sión de la lógica de segundo orden, la cual es un sistema lógico que permite que los cuantificadores tengan rango no sólo sobre individuos, sino también sobre propiedades (ver vol. 1. cap. 5 para una introducción). La sección 4.2. contiene una exposición de la Teoría de Tipos y algunos comentarios sobre su aplicabilidad en lingüística. La 4.3. se consagra a la Gramática Catego rial, un modelo para descripciones sintácticas que encaja muy bien con la Teoría de Tipos y que a menudo se utiliza en modelos de gramáticas que usan técnicas lógicas, también llamadas gramáticas lógicas. Uno de tales modelos es la Gramática de Montague, el cual es el tema del capítulo 6. El operador A se añade a la Teoría de Tipos en §4.4. Con la adición del A-operador se incre menta mucho la capacidad de la Teoría de Tipos para ayudar en la descripción de la semántica del lenguaje natural. En el capítulo 5, la Teoría de Tipos y la Lógica Intensional se fusionan en la Teoría Intensional de Tipos.

4.2.

La Teoría de Tipos

4.2.1.

Distinción de tipos en el lenguaje natural

Además de los conectivos y los cuantificadores (y algunas veces la identidad y los símbolos de funciones), los lenguajes de la lógica de predicados contienen sólo dos clases de símbolos. Hay constantes individuales y variables, que son expresiones que hacen referencia a las entidades de un dominio dado. Además, están las constantes de predicados, que son expresiones que hacen referencia a conjuntos de entidades, en el caso de las constantes de predicados monádicos, y a conjuntos de sucesiones ordenadas de n entidades, en el caso de constantes de predicados n-ádicos. Esto significa que en lógica de predicados únicamente se puede hablar acerca de las propiedades de las entidades y de las relaciones entre ellas. En un lenguaje natural com o el español, por otro lado, podemos hablar acerca de mucho más que eso. Podemos hablar acerca de las propiedades mismas, por ejemplo. El punto es que cualquier sistema lógico que sea un instrumento apropiado para el análisis del lenguaje natural necesita una estructura más rica que la lógica de predicados. Consideremos ahora varias clases de oraciones que carecen de traducción directa en la lógica de predicados e intentemos pensar en nuevos tipos de expresiones que necesitaríamos para expresarlas adecuadamente en un formalismo lógico. Nuestros primeros ejemplos conciernen oraciones con cuantificación sobre propiedades. Además de oraciones que atribuyen alguna propiedad fija a una o más entidades, hay, por ejemplo, oraciones que hablan sobre la exis tencia de una propiedad común a dos entidades, sin decir explícitamente cuál es esta propiedad común. Consideremos (1): (1)

Si Juan está satisfecho de sí mismo, entonces hay por lo menos una cosa que él tiene en común con Pedro

La oración ( 1) contiene cuantificación sobre propiedades. Otro ejemplo es (2), la cual afirma que una entidad particular tiene todas las propiedades que tipifican una clase particular de entidades: (2)

Papá Noel tiene todos los atributos de un sádico

r-*a oración (2) dice de cada propiedad que si ella es una propiedad de sadismo, entonces también es una propiedad de Papá Noel. Si fuéramos a cuantificar no ólo sobre entidades, sino también sobre propiedades de entidades, entonces

necesitaríamos extender la lógica de predicados introduciendo variables distin tas a las que ya tenemos, que sólo toman valores en el conjunto de entidades. Además de las letras de predicados, necesitamos variables de predicados, de tal manera que podamos cuantificar sobre este tipo de variables en la sintaxis. Si X es una de tales variables, (1) y (2) pueden representarse com o (3) y (4): (3) (4)

Zj -

3X ( X j A X p )

V X ( V x ( S x —* X x ) —> X s )

El sistema lógico con cuantificación, tanto sobre entidades como sobre pro piedades de entidades, se llama lógica de predicados de segundo orden. La lógica de predicados estándar se llama algunas veces lógica de predicados de prim er orden. Dado que no hay un teorema de completitud para ella, la lógica de predicados de segundo orden ha sido estudiada menos intensamente por los lógicos (ver vol. 1, cap. 5). Este hecho, no obstante, no parece tener mucha importancia para su utilidad en lingüística. Pero la lógica de predicados de segundo orden no agota el poder expresivo del lenguaje natural mucho más de lo que lo hace la lógica de primer orden. La razón es que en el lenguaje natural no sólo tenemos oraciones que cuantifican sobre propiedades de entidades, sino que también tenemos oraciones que a su vez atribuyen propiedades a esas propiedades. El predicado rojo, a manera de ilustración, expresa una propiedad de los individuos, así que el predicado color expresa una propiedad de propiedades de individuos. Así, en una oración como El rojo es un color, la cual representamos con C(R), el predicado de segundo orden color se aplica al predicado de primer orden rojo. También podemos cuantificar sobre propiedades de propiedades, como en El rojo tiene algo en común con el verde. Esta oración puede representarse con 37í('H(R) A 7í(G)). Así que no sólo debemos introducir constantes de predicados para esta clase, com o C, sino que también debemos introducir variables de predicados, com o Tí, para ser capaces de cuantificar sobre propiedades de propiedades de entidades que son representadas por esos predicados. En principio no hay límite para esta jerarquía de predicados de orden cada vez mayor. Esto tiene como resultado que la lógica de predicados deba extenderse con constantes y variables de predicados de orden arbitrario. En lenguaje natural, los órde nes cuarto y superiores de la jerarquía se usan raramente, si es que alguna vez lo son. Además de predicados de orden superior, hay otra clase de expresiones que por razones lingüísticas son muy útiles al añadirse a la lógica de predicados.

Los siguientes ejemplos ilustran este punto. El primer ejemplo es conformado por expresiones con adverbios predicativos: (5)

Juan está caminando rápido

En la oración (5), la expresión rápido es, desde un punto de vista lingüístico, un modificador que actúa sobre el verbo está caminando. Desde una pers pectiva lógica, la propiedad de caminar rápido se le atribuye a la entidad Juan. Esta propiedad no puede ser vista com o una conjunción de dos propiedades, ‘ser rápido’ y ‘caminar’ , dado que la oración (5) no significa la misma cosa que la oración (6): (6)

Juan está caminando y Juan es rápido

En términos lógicos, rápido es una expresión que cuando se aplica al predicado de primer orden caminando, se vuelve un nuevo predicado de primer orden: caminando rápido. Desde un punto de vista lógico, los adjetivos relativos son expresiones de la misma clase. La oración (7) puede representarse en lógica de predicados de primer orden por medio de la fórmula (8): (7)

Jumbo es un elefante rosado

(8)

E j A Rj

En otras palabras, el adjetivo rosado puede representarse como un predicado de primer orden estándar. Pero lo mismo no aplica para adjetivos relativos tales com o pequeño. La oración (9) es de la misma clase que la oración (7): (9)

Jumbo es un elefante pequeño

Pero la oración (9) no puede analizarse com o una conjunción de dos predicados de primer orden. La fórmula (10), que obtendríamos, expresa algo que es falso generalmente: (10) E j A S j Bien puede ser el caso que Jumbo sea pequeño (para un elefante), pero in cluso los elefantes pequeños son criaturas de tamaño considerable. El adjeivo relativo pequeño funciona de la misma manera que el adverbio predicativo apido. Cuando se aplica al predicado elefante, resulta en el nuevo predicado lefante pequeño.

Los adverbios predicativos y los adjetivos relativos no son la misma cla se de expresiones que los predicados de segundo orden, com o color. Cuando se aplica a un predicado de primer orden un predicado de este último tipo, e l resultado no es un nuevo predicado de primer orden, sino una oración. Color, cuando se aplica a rojo, resulta en la oración El rojo es un color. Pero rápido, a l aplicarse a caminando, resulta en el nuevo predicado caminando rápido. Las expresiones que a su vez modifican los adverbios predicativos y los ad jetivos conforman un categoría de expresiones distinta a las anteriores. Como ejemplos tenemos muy, com o en Juan está caminando muy rápido, y terrible mente, como en Jumbo es un elefante terriblemente pequeño. Una expresión como terriblemente, cuando se aplica a adjetivos relativos como pequeño, resul ta en un nuevo adjetivo relativo compuesto: terriblemente pequeño. Otra clase distinta de expresiones ha de encontrarse en las preposiciones. En la oración María está sentada junto a Juan, la preposición junto a es una expresión que cuando se aplica al término Juan resulta en el adverbio predicativo junto a iJuan. Esos ejemplos deben dejar claro que un lenguaje lógico tiene que contener una gran diversidad de expresiones para ser un instrumento útil en el análisis del lenguaje natural. Un sistema lógico que satisface este requerimiento fue desarrollado a comienzos del siglo veinte, aunque su motivación original no era lingüística sino puramente lógica. Este sistema, que se llama la Teoría de Tipos o la Teoría de Tipos Finitos, fue desarrollado por Russell como una respuesta a las paradojas que habían sido descubiertas en la Teoría de Con juntos. Una de las paradojas más conocidas es la Paradoja de Russell, la cual él mismo descubrió. Esta paradoja surge tan pronto como asumimos que para toda propiedad P hay un conjunto {x \P x } , conformado por todas y sólo aque llas entidades que tienen P. Bajo esta suposición, por ejemplo, existe el conjun to { x |x = x }: este es el conjunto universal que contiene todo lo que existe, da do que todo es igual a sí mismo. Y dado que este conjunto contiene todo, tam bién debe contenerse a sí mismo com o un elemento: {x |x = x } € { x \x = x }. Ahora, consideremos esta propiedad de auto-pertenencia: algunos conjuntos especiales com o {x |x = x } tienen esta propiedad x £ x, pero las entidades más familiares no la tienen. El número 0, por ejemplo, no es un miembro de sí mismo, dado que él ni siquiera es un conjunto. Y {0 } ^ {0 }, dado que {0 } tiene un sólo elemento, el número 0, y 0 7^ {0 }. Tam poco el conjunto N de los números naturales es un elemento de sí mismo. N ^ N, dado que este conjunto únicamente contiene números, mientras que N no es en sí mismo un número sino un conjunto de números. Así pues, consideremos el conjunto R de todas

las entidades que no pertenecen a sí mismas: R — { x \ x x}. La paradoja de Russell aparece ahora si intentamos decidir si el conjunto R pertenece a sí mismo o no. Supongamos, para comenzar, que R G R. R debe satisfa cer su propio requerimiento de pertenencia x £ x, así que R ^ R. Luego, R G R es imposible. Pero si, por otro lado, R ^ R. entonces R satisface su propio requerimiento de pertenencia, así que R G R. Vemos, entonces, que R ^ R también es imposible. La Teoría de Tipos soluciona esta paradoja al localizar las entidades en niveles claramente distintos. La relación de pertenencia se permite sólo entre entidades que están separadas exactamente un nivel. Esta distinción entre ni veles tiene paralelo en el lenguaje de la Teoría de Tipos por medio de una distinción entre diferentes tipos de expresiones. Dos expresiones a y B que hacen referencia a entidades de distintos niveles se clasifican en tipos diferen tes. El símbolo G, el cual expresa la relación de pertenencia, puede aplicarse a dos símbolos a y B sólo si B es una expresión de un tipo que hace refe rencia a conjuntos de entidades que son referidas por expresiones de tipo a. Esto hace que sea imposible crear una paradoja de Russell, dado que a £ a no es una expresión bien formada. Esta solución explícita al problema de las paradojas basada en tipos no es la más favorecida hoy en día. Hay formalizadones axiomáticas de la Teoría de Conjuntos en las que se integra la Teoría de Tipos, aunque ésta no está presente de manera explícita en el lenguaje. Estos formalismos no sólo evitan la paradoja de Russell, sino que también tienen la ventaja de ser más fáciles de trabajar que la Teoría de Tipos. Sin embargo, en lo que concierne a las aplicaciones en análisis lingüísticos, la Teoría de Tipos sigue siendo una herramienta útil.

4.2.2.

Sintaxis

Consideraremos ahora la manera en que se construyen los lenguajes utilizados en la Teoría de Tipos. Comenzaremos por determinar los tipos de expresiones que debe tener cualquiera de estos lenguajes. Resulta que podemos comenzar con sólo dos tipos básicos en el análisis de los ejemplos del lenguaje natural, presentados anteriormente. Todos los demás tipos restantes que se necesitan pueden construirse a partir de ellos. Nuestros dos tipos básicos serán e, que es el tipo de aquellas expresiones que hacen referencia a entidades, y t. que es el tipo de aquellas expresiones que hacen referencia a valores de verdad. Ejemplos de expresiones de tipo e son las constantes y variables individuales que nos son familiares de los lenguajes de la lógica de predicados estándar, y las fórmulas son ejemplos de expresiones

de tipo t. El conjunto de todos los tipos puede definirse en términos de estos dos tipos básicos, de la siguiente manera: Definición 4.1.

T, el conjunto de tipos, es el conjunto más pequeño tal que: (i) e ,í £ T (ii) si a, b € T , entonces (o, 6) 6 T El requerimiento de que T sea el conjunto más pequeño que satisface (i) y (ii tiene el mismo efecto que la clausura usual o cláusula de inducción: ‘ (iii) ñadí es un elemento de T excepto con base en (i) y (ii)’ . La cláusula (ii) en est¡ definición genera, comenzando con e y t, un suministro de tipos en principie ilimitado. La idea general detrás de un tipo (a, b) es la siguiente: una expresiói de tipo (a, b) es una expresión que cuando se aplica a una expresión de tip< a resulta en una expresión de tipo b. En otras palabras, si a es una expre sión de tipo (a, b) y (3 es una expresión de tipo a, entonces a(/3) será un, expresión de tipo b. Este proceso de aplicar un a de tipo (a, 6) a un ¡3 de tip> a se llama aplicación (funcional) de a a (3. Un ejemplo de un tipo derivado es (e, t). Cuando una expresión de este tip se aplica a una expresión de tipo e, resulta en una expresión de tipo t. La letras de predicado monádicas pertenecen a este tipo, dado que el resultado d aplicar un predicado monàdico a una constante o variable individual, que so expresiones de tipo e, es una fórmula y ellas son de tipo t. Un segundo ejempl de un tipo derivado es ((e, t), t). Las expresiones de este tipo son aquellas qu cuando se aplican a predicados monádicos resultan en una fórmula. Así, estí expresiones son predicados de predicados monádicos sobre individuos, es deci predicados de segundo orden. El tipo ((e, t), (e, í)) contiene expresiones que cuando se aplican a pred cados monádicos resultan de nuevo en un predicado monàdico. Los adverbi« predicativos y los adjetivos relativos corresponden ambos a expresiones de es' tipo. Un tipo que merece una mención especial es (e, (e,t)). Una expresión c este tipo, cuando se aplica a una expresión de tipo e, resulta en un prec cado monàdico. Los predicados diádicos se considerarán expresiones de ti¡ (e, (e,t)) en la Teoría de Tipos. Una oración com o Juan ama a María se tr duce en la lógica de predicados com o la fórmula L jm , en la cual el predica< diàdico L es una expresión, la cual en combinación con las dos constantes •

Tipo e (e,t) t (t,t) (e,e) ((e, t), (e,t)) {e, (e, í » (e, (e,(e,t))) {{e , t ) , t ) <(e, t), « e , t),t)) < e,((e,í),i)> {((e,t),t),t)

Clase de expresión Expresión de entidades Predicados monádicos de pri mer orden Oración Modificadores de oraciones Funciones de entidades en enti dades Modificador de predicados Relaciones binarias de primer orden Relación ternaria de primer or den Predicado monádico de segundo orden Relación binaria de segundo or den Relación binaria entre entidades y predicados de primer orden Predicado monádico de tercer orden

Ejemplo Juan Camina, Rojo, Ama a María Juan camina, Juan ama a María No El padre de Rápido, Maravillosamente Amar, Está entre Ámsterdam y Está entre (y) Es un color Es un color más brillante que Es una propiedad de Es un predicado de segundo orden

Cuadro 4.1. Tipos y expresiones individuo j y m resulta en la fórmula L jm . En un lenguaje de la Teoría de Tipos, L es tratado com o una expresión que, cuando se aplica a una constante de individuo m, resulta en un predicado monádico L(m), una expresión de tipo (e, t). Este predicado monádico L (m ) expresa la propiedad de amar a María. Este predicado puede, a su vez, aplicarse a la constante de individuo j , como resultado de lo cual obtenemos la fórmula (L (m ))(j). La fórmula dice que el individuo Juan tiene la propiedad de amar a María. La proposición es equi valente a la proposición de que Juan conlleva la relación de ‘amar’ a María, com o resultará evidente a partir de la interpretación semántica de la Teoría de Tipos. Este tratamiento de letras de predicado diádicas como L se gene raliza fácilmente a letras de predicado n-ádicas. Com o ilustración, el cuadro 4.1. resume algunos tipos, junto con sus glosas y ejemplos. Hemos obtenido de esta manera una definición que fija los tipos tratados por la Teoría de Tipos y una indicación de cóm o deben funcionar las expresiones de tipos derivados. Así que podemos continuar y definir el lenguaje de la Teoría de Tipos, como mostraxemos a continuación. El vocabulario de un lenguaje L de la Teoría de Tipos contiene algunos ’ímbolos que son compartidos por todos los lenguajes de esta teoría y alguios símbolos que son característicos de L. La parte compartida consiste en:

(i) Para cualquier tipo a, un conjunto infinito V A R a de variables de tipo a (ii) Los conectivos usuales A, V, —»,

<->

(iii) Los cuantificadores V y 3 (iv) Dos paréntesis ( y ) (v) El símbolo de identidad = La parte del vocabulario que es característica de L contiene: (vi) Para cada tipo a, un conjunto (posiblemente vacío) C O N ¿ de constantes de tipo o Obviamente, las constantes y las variables de distintos tipos deben mantenerse separadas. Escribiremos va para variables de tipo a y ca para constantes de tipo a (aunque omitiremos los subíndices cuando esto no sea motivo de confusión). En la práctica, trataremos de volver a las notaciones familiares de la lógica de predicados estándar cuando ello sea posible. Así pues, intentaremos repre sentar las distinciones entre tipos de manera tipográfica, escribiendo x, y , . . . para variables sobre entidades; X. Y . . . . para variables de predicados de primer orden; y X , y , . . . para variables de predicados de segundo orden. Las cons tantes individuales las escribiremos como letras minúsculas a , b , c , . . . , l , m , n y así en adelante; las constantes de predicados n-ádicos de primer orden las es cribiremos com o letras mayúsculas A, B , C , . . . , L, M, R , y así; y las constantes de predicados de segundo orden, com o C. H. M , T > , . . . Cualquier desviación de esta práctica será mencionada de manera explícita. La definición inductiva de las fórmulas es más complicada que en la lógica de predicados. La razón de esto es que se debe hacer una definición general de lo que significa ser una expresión de tipo a G T; las fórmulas serán entonces aquellas expresiones que son del tipo particular t. Una característica especial de las expresiones de este tipo, sin embargo, es la manera en que pueden formarse. Inicialmente, las expresiones se forman por medio de constantes y variables, utilizando la aplicación funcional. Entonces, a partir de expresiones de tipo t se pueden formar nuevas expresiones, por medio de los conectivos y los cuantificadores, mientras que la inserción del símbolo de identidad = entre dos expresiones cualquiera del mismo tipo también resulta en una expresión de tipo t. Aquí está la definición precisa que fija la sintaxis de los lenguajes de la Teoría de Tipos:

Definición 4 .2 .

(i) Si a es una variable o una constante de tipo a en L, entonces a es una expresión de tipo a en L (ii) Si a es una expresión de tipo (a, b) en L y (3 es una expresión de tipo a en L, entonces (£*(/?)) es una expresión de tipo b en L (iii) Si 0 y V’ son expresiones de tipo t en L (es decir, fórmulas en L), entonces también lo son -i0, (0 A ■0), (0 V ip), (0 —> ip) y (0 <-> ip) (iv) Si 0 es una expresión de tipo t en L y v es una variable (de tipo arbitrario a), entonces Vi>0 y 3v

(i) (iii) (v) (vii)

J(M) S(M) C (M ) C{ S( M) )

(ü) (iv) (vi) (viii)

S ( M ( j )) (S(M))(j) ( C( M) ) ( j ) (,S ( S { M ) ) ) { j )

(b) Determine los tipos a y 6 en las siguientes expresiones, dado que todas ellas son de tipo t: (i) (iii) (v)

(ca(M ))(j) (S (M ))(c a)(iv) Cb((Ca(S))(M))

(ii) Ca(M(j )) Cb({S(M))(ca))

E jercicio* 4.2.

Traduzca las siguientes oraciones en fórmulas de la Teoría de Tipos. Represente las descripciones el salami y el sofá mediante constantes de tipo e. Establezca la clave de traducción y dé los tipos de las distintas expresiones: (a) Juan duerme apaciblemente (b) Juan duerme, aparentemente (c) Alberto rebana el salami cuidadosamente (d) Si no haces nada, no harás nada malo (e) María está sentada en el sofá (f) María está sentada entre Juan y Alberto (g) María está sentada en el sofá entre Juan y Alberto Ejercicio 4.3. ¿Es posible asignar tipos a a, (3 y 7 de tal manera que tanto (a (/3) ) ( 7 ) como a (/?(7 )) sean expresiones bien formadas?

4.2.3.

Semántica

Como de costumbre, la interpretación semántica de las expresiones bien for madas de un lenguaje de la Teoría de Tipos se basa en la definición de aquellas expresiones bien formadas dadas en la sintaxis. Por ejemplo, si W es una ex presión bien formada de tipo (e, t) que hace las veces de camina, y j es una

expresión bien formada de tipo e, entonces W ( j ) es una expresión bien forma da de tipo t. Ahora bien, dado que las expresiones de tipo t hacen referencia a valores de verdad y que las expresiones de tipo e hacen referencia a entidades, la interpretación de las expresiones de tipo (e, t) tiene que ser algo que retorne un valor de verdad cuando se aplique a entidades. Esto significa que la inter pretación del predicado monádico W es una función de entidades en valores de verdad, a saber, una función que produce el valor de verdad 1 cuando se aplica a una entidad d que tiene la propiedad de caminar, y 0 cuando se aplica a una entidad d que no tiene esta propiedad. Es decir, dado un dominio conformado por personas, el predicado W no se interpreta com o el conjunto de todas las personas que caminan, sino como la función que asigna el valor de verdad 1 a los elementos de dicho conjunto (las personas que caminan), y el valor de verdad 0 a las demás personas en el dominio. Cualquier función que asigne 1 a los elementos de un conjunto A que sean elementos de un subconjunto B de A y asigne 0 a los demás, se llama la función característica de B (sobre A). Veamos un ejemplo: si A = { a , b , c , d} y B = { a, b} , entonces la función característica de B sobre A, escrita com o / g , puede definirse com o / s ( a ) = / s ( 6 ) = 1 y ffí(c) = f s { d ) = 0. La función f u tiene com o dominio el conjunto A, su rango es el conjunto de valores de verdad { 0 ,1 } y asigna el valor de verdad 1 a todos los elementos de A que están en B y el valor de verdad 0 a todos los elementos de A que no lo están. Los conjuntos y sus funciones características resultan ser la misma cosa. Dado cualquier subconjunto X de un conjunto Y, podemos construir la función característica de X sobre Y. Recíprocamente, dada cualquier función f de Y a {0 ,1 } podemos determinar el subconjunto X de Y del cual esa función es la función característica. Si X C Y, entonces f x es aquella función de Y en {0 ,1 } tal que para todo y G Y: f x ( y ) = 1 si y sólo si y G X . Y si f x es una función de Y en {0 ,1 }, entonces X = { y | f x ( y ) = 1}- En otras palabras, las afirmaciones ‘y G X ' y ‘ f x ( y ) = 1’ son equivalentes, así que los conceptos función característica de un conjunto X y un conjunto X son intercambiables. Dado un dominio D, los predicados monádicos son interpretados como las funciones características de los subconjuntos de ese dominio. En vista de la intercambiabilidad antes mencionada, esta situación no es diferente a la de la lógica de predicados estándar. Predicados monádicos distintos se interpretan com o funciones características distintas. La interpretación de un predicado monádico es un elemento del conjunto de todas las funciones carac terísticas de subconj untos del dominio D. La notación para este conjunto de funciones es { 0 , 1 } ° . Así, para todo subconjunto X de D, {0, \ }D contiene la

función característica f x - Dado que los conjuntos y sus funciones característi cas son intercambiables, el conjunto de todas las funciones características de los subconjuntos de D y el conjunto de todos los subconjuntos de D tam bién son intercambiables. En resumen, { 0 , 1 }D es intercambiable por p( D) , el conjunto potencia de D. La interpretación de las expresiones de la Teoría de Tipos sigue este patrón funcional de manera general. Una expresión de tipo (a, b) es tratada como una función de ‘cosas de tipo a' en ‘cosas de tipo b\ La notación general para el conjunto de todas las funciones que vinculan un conjunto X con un conjunto Y es Y x . Así pues, este conjunto contiene todas las funciones que asignan un elemento de y a cada elemento de X . El conjunto de funciones { 0 , 1 }D que mencionamos arriba es un caso particular. Los conjuntos X y Y pueden también ser conjuntos de funciones, así que también tenemos, por ejemplo, ( { 0 , 1} D)D, el conjunto de todas las funciones de D en el conjunto de todas las funciones de D en {0 ,1 }, y { 0 , 1 }(D \ el conjunto de todas las funciones de funciones de D en D en el conjunto {0 ,1 }. Obsérvese como los paréntesis son importantes para resolver ambigüedades en estos casos. Por medio de esta notación, podemos representar para todo tipo a el do minio dentro del cual cualquier expresión de ese tipo ha de ser interpretada. Las expresiones de tipo e han de ser interpretadas como elementos de D. Las expresiones de tipo i, las fórmulas, han de ser interpretadas como elementos del conjunto {0 ,1 } de los valores de verdad. Y tal como en la definición de los tipos, construiremos ahora los dominios en los cuales esos tipos derivados han de ser interpretados a partir de D y {0 ,1 }. El dominio de interpretación de expresiones de tipo a, dado un dominio D, se escribe como D a¡D y se define de la siguiente manera: Definición 4.3. (i) D e,D = D (ii) D¿ £) = {0 ,1 } (iii) D D = D ^ “' d Omitiremos el subíndice D siempre que esto no sea motivo de confusión. Pre sentamos a continuación dos ejemplos a manera de ilustración. En la Teoría de Tipos, un predicado diádico L (ama) es una expresión de tipo (e, (e,t)). El dominio de interpretación correspondiente Dêê t^ es el conjunto de fun ciones

es decir, (D P e)De, es decir, ( { 0 , 1} D) D. El dominio de interpre

tación de los predicados diádicos es, de esta manera, el conjunto de las fun ciones que vinculan entidades con (funciones características de) conjuntos de entidades. En términos concretos, esto significa lo siguiente: el predicado diàdi co L se interpreta com o una función de entidades en conjuntos de entidades. Esta función vincula una entidad d con el conjunto de todas las entidades que están relacionadas por L con d, es decir, en el conjunto de todas las entidades que aman a d. La función característica de este conjunto puede, entonces, apli carse a una entidad para obtener un valor de verdad. Como había sido mencio nado anteriormente, no hay diferencia esencial entre esta manera de interpretar los predicados diádicos y la manera estándar: hay una correspondencia uno a uno entre las funciones en ( { 0 , 1 }D)D y los subconjuntos del conjunto D 2, el conjunto de todos los pares ordenados de elementos de D. La razón es que si / es un elemento de ( { 0 , 1 } ° ) ° , entonces, para todo di G D , f(d\) G { 0 , 1 }D y para cada d2 £ D tenemos que (f(d.¡ ))(e?2) G {0 ,1 }. El conjunto A que corresponde a / puede definirse así: A = {{di, d2) |(f(d\))(d2) = 1}. Recípro camente, si A es un subconjunto de D 2, entonces la función / correspondiente a A puede definirse así: para todo d\ G D, f(d\) es la función para la cual, para todo <¿2 G D , (f( d\))(d2) = 1 si y sólo si (di, (¿2) G A. Un segundo ejemplo es el siguiente: consideremos el predicado de segun do orden C (color), el cual es de tipo (( e, t) , t ) . El dominio de interpretación es el conjunto de funciones { 0 , 1 } fí0’ 1} /J). Así pues, el dominio de in terpretación de los predicados de segundo orden es el conjunto de funciones que vinculan (funciones características de) conjuntos de entidades con valores de verdad, es decir, el conjunto de funciones características de conjuntos de funciones características de conjuntos de entidades. Cualquiera de tales fun ciones caracteriza un subconjunto del conjunto potencia del dominio D. En la lógica de segundo orden, tales subconjuntos son la interpretación de predica dos de segundo orden. La interpretación de la Teoría de Tipos no introduce nada nuevo en esta parte tampoco. El cuadro 4.2. presenta un resumen de las interpretaciones de las expresiones incluidas en el cuadro 4.1. Por razo nes de legibilidad, la frase ‘funciones características de un conjunto’ ha sido reemplazada por ‘conjunto’ en todos los lugares menos en el primero. Un modelo M para un lenguaje L de la Teoría de Tipos consiste en un dominio no vacío D junto con una función de interpretación I. Por medio de D y de los valores de verdad, los dominios de interpretación para expresio nes de tipos arbitrarios se definen com o en la definición 4.3. La función de interpretación I asigna a cada constante en L algún elemento del dominio de interpretación, que corresponde al tipo de la constante. Es decir, para cada

Tipo e t (e, t) (í, t) (e, e) ((e ,í), (e, í)) (e, (e, t)) (e, (e, (e, í})) ({e,t),t) ((e, t), ((e , t),t)) (c, {(e,t),t)) (((e,t), t),t)

Interpretación Entidad Valor de verdad Funciones de entidades en valores de verdad, es decir, (funciones características de) conjuntos de entidades Funciones de valores de verdad en valores de verdad Funciones de individuos en individuos Funciones de conjuntos de entidades en conjuntos de entidades Funciones de entidades en conjuntos de entidades, es decir, con juntos de pares ordenados de entidades Funciones de entidades en funciones de entidades a conjuntos de entidades, es decir, conjuntos de triplas ordenadas de entidades (Funciones características de) Conjuntos de conjuntos de enti dades Funciones de conjuntos de entidades en conjuntos de conjuntos de entidades, es decir, conjuntos de pares ordenados de conjuntos Funciones de entidades en conjuntos de conjuntos de entidades (Funciones características de) Conjuntos de conjuntos de con juntos de entidades

Cuadro 4.2. Tipos e interpretaciones

tipo a, I es una función de C O N ¿ en D a,D- Además de esto, necesitamos asignaciones que interpretarán las variables. Una vez más, si v es una variable de tipo a, la interpretación de v es un elemento del dominio correspondiente. En otras palabras, para cada tipo a, las asignaciones son funciones de V A R a en D Ü)D. Hemos definido de esta manera la interpretación de las expresiones simples (no compuestas) de L , dado un modelo M y una asignación g. Resta proveer una definición de la interpretación de las expresiones compuestas de L. Esto se hace, de acuerdo con el principio de composicionalidad, en términos de las expresiones de las cuales ellas se componen. La situación es diferente, sin embargo, a la de la lógica de predicados, dado que no todas las expresiones compuestas son fórmulas. Por esta razón, necesitamos más que sólo una definición de verdad, es decir, una definición de VM,g. Debemos definir el concepto general de interpretación de a con respecto a un modelo M y una asignación g , que denotaremos con [ ckJm ,^- A s í como una valuación Vm .g puede ser considerada como una función de fórmulas en valores de verdad, la función de interpretación [[Jm,9 puede ser considerada como una función que para todos los tipos a vincula W E a con D a £). Para a = t, entonces, |m.o funciona como una valuación. La definición de [a]M.g corre, com o es usual, paralela a la construcción sintáctica de las fórmulas bien formadas de L, la cual fue dada en la definición 4.2.

Definición 4 .4 . (i) Si

a £ C O N q , entonces [a jM ,9 = I ( a )

Si a

£ V A R a , entonces [o:1m,9 = g(&)

(ii) Si a € WEâ by (iii) Si

p £ WE%, entonces [c*(/3)jM,g = W m , 9 (|[/31m,9)

<j>, rp £ W E f , entonces

[-'0jM ,g = 1 sii [01m ,9 = 0

[0 A 4>}M,g = 1 sii 101 M,g = W m ,j = 1 10 V V’Jm.p = 1 SÜ [01m,9 = 1 O

= 1

10 -> V’lM ,g = 0 SÜ [0 ]m ,9 = 1 y M m , 9 = 0 [0 (iv) Si 0

-01m ,9 = 1 SÜ 101 M,g = H m , 9

£ W E f', v £ V A R a, entonces

|Vu0lM,g = 1 sii para todo d

£ D ajD:|[0lMi9[v/d] = 1

p u 0 ]M ,g = 1 sii existe por lo menos un d

£ D Qi£) tal que:|[0lM,g[v/
(v) Si a, (3 £ W Ej¿, entonces |a = /3]M ,g = 1 sii I a ]M ,g = I/?1m >9 Ahora, la definición de verdad puede extraerse de esta definición general de la interpretación de una expresión arbitraria con respecto a un modelo M y asignación

g. Una sentencia 0 se dice verdadera con respecto a

una

M sólo en el

en que |0Jm = 1 (como en la lógica de predicados, dado que las sentencias carecen de variables libres, sus valores de verdad son independientes de las asignaciones. Como resultado de ello, estas últimaspueden

omitirse). Una

sentencia 0 se dice umversalmente válida sólo en el caso en que [01 m , — 1 para todo modelo apropiado M , y una vez más la notación es |= 0 . También decimos

tp son equivalentes sii |= 0 <-► ip. es decir, sii [01 m, = xp se dicen equivalentes sii para todo modelo M y toda g, [0]M ,g = M ivi.g- En la Teoría

que dos sentencias 0 y

HV’Jm, para todo M . De manera más general: las fórmulas 0 y

de Tipos no hay razón para restringir la noción de equivalencia sólo a fórmulas. Cualesquiera dos expresiones a y /3 (del mismo tipo) se dicen equivalentes sii para todo modelo M y toda

g, [c*1m,9 = [/?1m,9 - Para expresiones que carecen

de variables libres, esto se reduce a que a y fü sean equivalentes sólo en el caso

en Que H a = P ’ Debemos dejar claro en este punto que para las fórmulas 0 ytp, (f><-+'4>y(P = 'tP significan exactamente la misma cosa. Ambas dicen que (f) y tp hacen referencia al mismo valor de verdad. Ilustraremos ahora la definición de verdad aplicándola a algunos ejemplos concretos. La cláusula (ii) asigna, entre otras cosas, la definición de verdad a fórmulas de la forma a(/3). La fórmula W (j), nuestra representación de la oración Juan está caminando, es un ejemplo de ello. Aquí W es una cons tante de tipo (e, t), mientras que j es una constante de tipo e. La fórmula W ( j ) es de tipo t. La cláusula (ii) define la interpretación de esta fórmula con respecto a un modelo M y una asignación g, de la siguiente manera: ella es el resultado de aplicar la interpretación con respecto a M y g del predicado W a la interpretación con respecto a M y g de la constante j . De manera más sucinta: [W (j)J M,g = P^lM.gdb'jM,;?)- De acuerdo con la cláusula (i), tenemos que = I ( W ) y {jjM.g = I(j)> Y de acuerdo con la defini ción de la función de interpretación I , sabemos que I [ W ) es un elemento del conjunto de funciones D ^ e — { 0 , 1 }D. Esta es la función característica del con junto de entidades en D que poseen la propiedad expresada por W , la cual es, por supuesto, el conjunto de entidades que caminan. La interpretación de la constante I ( j ) es un elemento de D e, lo que significa que ella es un elemento del dominio D. Ella es, entonces, una entidad. La interpretación, es decir, el valor de verdad, de la fórmula W ( j ) ha de obtenerse ahora al aplicar I ( W ) a I ( j ) . Ella es 1 cuando I ( j ) es un elemento del conjunto caracterizado por y 0 de lo contrario. La cláusula (ii) también establece la definición de verdad para las sen tencias que atribuyen propiedades a propiedades. Por ejemplo, tomemos la sentencia C(R), la cual es la representación de la oración El rojo es un co lor. La cláusula (ii) define la interpretación de C(R) de la siguiente manera: De acuerdo con la cláusula (i), esto es igual a I(C) ( I( R) ) . La función de interpretación I establece que I(C) S d| D( ^ = {0, l } « 0-1) ). La interpretación del predicado de segundo orden C es, enton ces, (la función característica de) un conjunto de (funciones características de) conjuntos de entidades. Los últimos son las denotaciones de aquellas propieda des que en sí mismas tienen la propiedad de ‘ser un color’ . Más aún, tenemos que I( R) 6 D P e = { 0 , 1 }D: la interpretación de R es (la función característica de) un conjunto de entidades, a saber, aquellas que tienen la propiedad de ‘rojez’. La predicación de segundo orden C(R) es verdadera en un modelo M sólo en el caso en que el resultado de aplicar I(C) a I ( R) sea 1. Es decir, sólo en el caso en el que el conjunto de entidades que forma la interpretación de R

en M sea en sí misma un elemento del conjunto de los conjuntos que forman la interpretación de C en M . La cláusula (ii) de la definición 4.4. también es responsable de la inter pretación de sentencias atómicas con relaciones. Por ejemplo, consideremos la fórmula la cual es nuestra representación de la oración Juan ama a María en la Teoría de Tipos. Aplicando la cláusula (ii), obtenemos que [L (m )(j)]M l9 = P'C^'OjM^dbjM.a)- Obsérvese que esto es claramente análogo a los ejemplos anteriores: la interpretación de una sentencia atómica se obtiene al aplicar la interpretación de los predicados a la interpretación de las constantes. La cláusula (i) define |?]M,g como J (j), es decir, como una entidad en el dominio D. Pero, ¿cóm o se determina la interpretación de los predicados en este caso? L (m ) es una expresión compuesta y no una constante, así que la cláusula (i) no será de mucha ayuda. La respuesta es que la cláusula (ii) de la definición 4.4. también determina la interpretación de esta clase de expresiones. En efecto, es responsable de la interpretación de todas las expre siones que se obtienen por medio de la aplicación funcional, es decir, la aplicación de una expresión de tipo (a, b) a una expresión de tipo a. Tales expresiones incluyen no sólo fórmulas, sino también expresiones de tipos distin tos a t. El predicado compuesto L( m) es uno de estos casos. Es una expresión de tipo (e, í), formada al aplicar la expresión L. que es de tipo (e, (e,t)), a m, que es de tipo e. Su interpretación se obtendrá, una vez más, por medio de la clausula (ii): [L (m )]M ,5 = I¿]|m ,j ( H

m ,j ).

Hemos llegado nuevamente a las constantes: = HL) ( J( rn))I ( m) es un elemento de D. e I ( L ) es un elemento del conjunto de funciones: (Dpe)De _ (|q, i}D)£> c omo tal, ella es una función que, cuando se aplica a una entidad, produce (la función característica de) algún conjunto de enti dades. Aplicando I ( L) a una entidad d, obtenemos el conjunto de entidades que aman a d. Así que aplicando I ( L) a obtenemos (la función ca racterística de) el conjunto de entidades que aman a María. Esta función es [[í/(m)]M,g, la interpretación del predicado compuesto L(m). Cuando se le aplica a el resultado es el valor de verdad 1 si Juan en efecto ama a María, y 0 en caso contrario. Vemos que L(m )(jf), la representación de la oración Juan ama a María en la Teoría de Tipos, tiene exactamente las mismas condiciones de verdad que L jm , la presentación estándar en lógica de predicados. Desde la perspectiva de la semántica del lenguaje natural, sin embargo, la Teoría de Tipos tiene una ventaja en comparación con la lógica de predicados. Esta última interpreta los nombres propios Juan y María y el verbo amar al

combinar l°s tres en Ia interpretación de la oración completa en un sólo paso. El «ritagrna nominal ama a María no recibe ninguna interpretación independiente Esto es distinto en la Teoría de Tipos: allí, la interpretación del predicado c0inpuesto L( m) es una representación de la interpretación del sintagma no minal ama a María. En esta medida, la Teoría de Tipos es más apropiada para la estructura sintáctica y semántica de la oración Juan ama a María. Regresamos ahora a la definición de verdad número 4.4. La cláusula (ii) da la definición de verdad de las fórmulas atómicas. Hemos discutido tres ejemplos distintos a este respecto. Hay, por supuesto, muchas otras clases de formuláis atómicas, pero se interpretan de manera análoga. Las condiciones de verdad para las negaciones, disyunciones, conjunciones y demás se dan en la cláusula (iii). Ellas son las mismas que en lógica están dar y no necesitan de elaboración posterior. Los cuantificadores existencial y universal son manejados por la cláusula (iv). En particular, ella incluye la cuantificación sobre entidades de la lógica de predicados que nos es familiar y que llamaremos ahora cuantificación de pri mer orden. Esta clase de cuantificación se interpreta exactamente como en la semántica de la lógica de predicados. Pero además de cuantificación de primer orden, la cláusula (iv) también maneja la cuantificación sobre otros tipos de co sas además de entidades. Como un ejemplo de esta cuantificación de orden su perior, consideremos la fórmula 37í (H(R) A7í (G)), la representación de la ora ción El rojo y el verde tienen algo en común. R y G son constantes de tipo (e, t) y Tí es una variable de tipo {{e, t), t). La interpretación de 37i(7í(R ) AH( G) ) se determina de la siguiente manera: \^H{J~L(R) A 7í(G ))]m ,9 = 1 si y sólo si exis te un d € D ((eit))t> tal que p i { R ) A H { G ) } Mtg[n/d] = 1. D<<eit)>t) es el conjunto de funciones d|D< ^ = { 0 , 1}Í0,1^D. Este es el conjunto de propiedades de pro piedades de entidades. Así que la fórmula 3Ti{7í(R) A H( G ) ) es verdadera sólo en el caso en que haya alguna propiedad d de las propiedades de entidades tal que p i ( R ) A H { G ) lM,s[H/rf] = 1- Este es el caso si lH(R)¡M,g[n/d\ = 1 y [[W(G)|mtg[n/d\ = 1- La interpretación de esas dos fórmulas atómicas es una vez más el deber de la cláusula (ii). Así que tenemos P~í{R)}M,g[n/d\ — 1 sü MM,g[«/d](|[-RlM,íf['H/d]) = 1A partir de (i) sabemos que lR}M ,g[n/d\ = H R ) Y que 1^1 M,g[n/d\ = g[H/d\(H) = d. Así que 'H(R) es verdadera con respecto a M y g[H/d] sii I { R) tiene la propiedad d. La fórmula completa 3H( 7i ( R) A 7i(G)), entonces, es verdadera si hay alguna propiedad de propiedades de entidades que sea compartida por el rojo y el verde. Tal propiedad puede encontrarse fácilmente: la propiedad de segundo orden ‘color’ es un ejemplo, así que la oración (10) es

otras cosas, se explica por qué no puede haber un teorema de completitud p ., ra la lógica de segundo orden. Un argumento muy similar aplica para la TeJ ría de Tipos, la cual incluye a la lógica de segundo orden. En vista del hech0 de que ninguno de esos asuntos tiene relación directa con la aplicación de Iq. sistemas lógicos en lingüística, la cual es nuestra preocupación principe] no los trataremos en profundidad aquí. Ejercicio* 4.4. Considere el modelo que se muestra más adelante en la figura. Su dominio consiste en tres puntos, P\, P% y P 3 , los cuales se denotan por las constantes individuales ei, e2 y <23. La propiedad ‘rodeado’ se expresa por la constan te de predicado C, de tipo (e, t) ; la relación que existe entre dos puntos, si hay una flecha apuntando del primero al segundo, se representa por la constante diàdica de predicado A, de tipo ( e, ( e, t ) ) . La propiedad de segundo orden, de ser una propiedad que se aplica a los puntos que satisfacen ‘ro deado’, se representa por la constante £, de tipo ((e, t), (e, t)). Finalmente, la operación que vincula propiedades con sus complementos (la operación de ‘ negación de predicados’) se denota por T, una constante de tipo ((e, t), (e, t)).

P3 (a) Escriba la función de interpretación I. (b) Determine para cada una de las siguientes fórmulas si es verdadera o no en este modelo y explique su interpretación: (i) 3 x 3 y 3 z ( A( y ) ( x ) A C{ y) A A( z ) ( x ) A ~^C(z)) (ii)

V z (j4 (x )(x )

<-> -•C ( x ))

(iii) V x (A (x )(x ) -► 3y( A( y) ( x) A C { y ) ) ) (iv) V X 3 x X ( x ) (v) V X (V y (C (y ) ->■ ~^X(y)) (vi) 3 X { £ { X ) A £ { T ( X ) ) )

( 3 y ( X ( y ) A A( y) ( y) ) V ~^3yX(y)))

¿g

31

Gramática Categorial Introducción

sintaxis de la Teoría de Tipos es muy parecida a la Gramática Categorial. También hay algunas diferencias, de las cuales hablaremos en §4.3.4. La for mulación original de una Gramática Categorial fue hecha por el lógico polaco Lesniewski, quien desarrolló en 1929 lo que él llamaba ‘ una teoría de cate gorías semánticas’ . Su sistema fue desarrollado posteriormente por otro lógico polaco, Ajduciewicz. El vínculo entre la Gramática Categorial y la descripción sistemática de la sintaxis de los lenguajes naturales fue fundada por Bar-Hillel en los cincuentas. Para el análisis de la sintaxis de los lenguajes naturales, BarHillel propuso entender una gramática categorial como un sistema mecánico de aceptación. Er los cincuentas y los sesentas, esta idea fue sacada de primer plano por la expansión de la Gramática Transformacional-Generativa. John Lyons fue el primero en proponer que se añadiera un componente transformacional a la Gramática Categorial, pero esta propuesta tam poco fue acogida en los círcu los lingüísticos. Las cosas no cambiaron mucho hasta el comienzo de los setentas, que vieron un creciente interés en las preguntas semánticas y en la aplicación de métodos lógicos a la semántica. Alrededor de este tiempo, la idea de emplear una Gramática Categorial fue adoptada por varios filósofos y lógicos que estaban interesados en el análisis del lenguaje natural, entre ellos Lewis, Montague, Cresswell, Bartsch y Vennemann y Geach. La razón de este renovado interés fue que la Gramática Categorial se presta muy bien para el tipo de semántica que se hace en lógica, especialmente para la de la Teoría de Tipos.

4.3.2.

Características de la Gramática Categorial

Una Gramática Categorial Pura tiene las siguientes cuatro características: (a) Hay un conjunto finito (y en la práctica pequeño) de categorías básicas (b) A partir de esas categorías básicas, se construye un conjunto de cate gorías derivadas (c) Hay una o dos reglas sintácticas que describen la operación sintáctica de concatenación y que determinan la categoría que resulta de esta opera ción

(d) Todo elemento léxico es asignado a una categoría Aquí hay un ejemplo simple de una Gramática Categorial (com o de costumbre, omitimos los paréntesis exteriores): (i) Las categorías básicas son n (para ‘nombres’) y o (para ‘oraciones’) (ii) Las categorías derivadas pueden obtenerse de la siguiente manera: si 4 y B son categorías, entonces (A \ B ) también es una categoría (iii) La regla sintáctica es: si a es una expresión de categoría A y (3 es una expresión de categoría (A \ B ), entonces a(3 es una expresión de categoría B (iv) Juan es de categoría n; camina es de categoría n\o, y rápido es de cate goría ((n\o)\(n\o)) Una expresión de categoría A \B junto con una expresión de categoría A for man una expresión de categoría B. La regla sintáctica es la responsable de esto: ella decreta que si primero escribimos una expresión de categoría A y después seguida a ella una expresión de categoría A \ B , entonces la expresión completa es una expresión de categoría B. Obsérvese que la categoría de una expresión compuesta a (3 se obtiene al ‘borrar’ la categoría de a en la categoría (derivada) de ¡3. Si esto no es posible, entonces la expresión compuesta no es gramatical. El asunto de ‘borrar’ es reminiscente de la manera com o el denominador es borrado al simplificar una expresión como 2 x 1/2. En efecto, otras notaciones para categorías deriva das que nos muestran esta analogía con fracciones se pueden encontrar en la literatura, com o A ¡B o B: A. De acuerdo con esta gramática rudimentaria, las expresiones en (14) y (15) son de categoría o; ellas son, en otras palabras, oraciones: (14)

Juan n

camina n\o l o

l 1'3;

Juan n

camina n\o

rápido (n\o)\(n\o) n\o

o

En general, entonces, una gramática categorial nos permite determinar si el resultado de combinar expresiones de cualquier categoría dada es en sí misma

una expresión gramatical, y si lo es, determinar su categoría. Recíprocamen te también nos permite encontrar si una expresión compuesta dada está en

la categoría o o no. En otras palabras, una gramática categorial provee un procedimiento automático para determinar cuáles expresiones son oraciones y cuales no. El ejemplo anterior es de una gramática unidireccional. Sólo se puede tra bajar en una dirección, en el sentido en que si se tiene una expresión de categoría A\B, entonces se tiene que escribir una expresión de tipo A al lado izquierdo, para obtener una expresión de tipo B. Por supuesto, hay muchas expresiones que resultarían en una nueva expresión si algo fuera escrito a su derecha. Tomemos, por ejemplo, un adjetivo com o el pobre. Junto con Juan, obtenido de la categoría n, obtenemos el pobre Juan, así mismo en la categoría n. La definición de las categorías derivadas puede modificarse, de la siguiente manera, para permitir expresiones com o esta: (v) Si A y B son categorías, entonces tanto (A \ B ) com o (A /B ) son cate gorías. De esta manera obtenemos una gramática categorial bidireccional. Aquí, la di rección de la barra diagonal indica si la concatenación ocurre al lado izquierdo o al derecho. Tal gramática categorial necesita dos reglas sintácticas: (vi)

(1) Si a está en la categoría A y (3 está en la categoría A\B, entonces a 0 está en la categoría B (2) Si a está en la categoría A/B y ¡3 está en la categoría B , entonces a ¡3 está en la categoría A

Ambas reglas manejan la misma operación sintáctica, a saber, concatenación. En el ejemplo dado en (16), ambas clases de categorías derivadas están involucradas: (16)

El-pobre n/n

Juan n

ama-a la afortunada María (n\o)/n n/n n

^ -------r n

n n\o

T o

En otra variante de la Gramática Categorial, las expresiones en categorías derivadas pueden concatenarse con varias otras expresiones de manera si multánea. En tal Gramática Categorial hay una nueva regla para construir ca tegorías derivadas: (vii). La regla sintáctica correspondiente es entonces (viii). ' (vii) Si A, B y C son categorías, entonces A\B/C es una categoría (viii) Si a está en la categoría A, ( 3 está en la categoría A\B/C y 7 está en la categoría C, entonces a / 3 " f está en la categoría B De esta manera, el verbo transitivo ama-a puede ser categorizado como n\o/n, en lugar de (n\ó)/n. Esto significa analizar la oración Juan ama-a María en la manera indicada en (17), en lugar de (18): (17)

Juan n

ama-a n\o/n

María n

o (18)

Juan n

ama-a (n\o)/n

María n n\o

1

o

^

El análisis representado en (17) atribuye menos estructura a la oración de este ejemplo que el análisis de la figura (18). En (18), ama-a María es tra tado com o un constituyente único, pero no así en (17). Hablando de manera general, un análisis com o el presentado en (18) será preferido, de tal mane ra que las categorías de la forma A\B/C no serán necesarias. Una excepción es, por ejemplo, formada por las conjunciones coordinativas, para las cua les la categorización o\o/o se prefiere sobre o\ (o/o) u (o\ o)/o. Compárense los análisis dados en (19) y (20): (19)

María n

canta n\o

y o\o/o

T o o

Juan n

baila n\o

(20)

canta n\o

María

n

V o\(o/o)

Juan n

baila n\o o

o o/o o

El análisis de y dado en (20) predice que María come y es un componente de la oración entera, mientras que de acuerdo con (19), la oración tiene a María come, y, y Juan bebe com o sus tres componentes. El último análisis es ciertamente el más realista. Debemos observar que nuestras intuiciones acerca de qué componentes tiene una expresión y a qué categorías pertenecen dichas expresiones no son independientes de las funciones semánticas atribuidas a las expresiones en cuestión. Esta es precisamente la razón por la cual las gramáticas categoriales figuran, en particular, en modelos de la gramática orientados a la semántica. En 1960 fue demostrado por Bar-Hillel, Gaifman y Shamir que una gramá tica categorial pura es equivalente a una gramática independiente del contexto (para la definición de una gramática independiente del contexto, véase vol. 1, cap. 7). Esto se aplica tanto a la gramática unidimensional como a la bidireccional. La equivalencia aquí es una equivalencia débil: todos los tres tipos de gramática pueden ser usados para generar el mismo lenguaje. Ellos, sin em bargo, no generan el lenguaje de la misma manera; ellos no son fuertem ente equivalentes. En consecuencia, ellos no atribuyen la misma estructura a todas las expresiones de ese lenguaje. En el caso de una gramática unidireccional y una bidireccional esto se puede ver fácilmente. Una gramática categorial unidireccional siempre distinguirá más elementos léxicos que una gramática bidireccional, dado que cualquier elemento léxico sencillo que pueda aparecer en distintas posiciones tendrá, necesariamente, que ser colocado en más de una categoría. Esto se ilustra en la expresión (21), la cual representa un análisis de Juan ama-a María en una gramática unidireccional (izquierda): (21)

Juan n

ama-a n\o

María (n\o)\(n\o)

Los nombres propios pueden aparecer tanto a la izquierda como a la derecha de un verbo transitivo. En una gramática bidireccional, los nombres en am bas posiciones pueden pertenecer a la misma categoría, com o resulta aparente en (17) y (18). En una gramática unidireccional, por otro lado, los nombres propios que aparecen en esas posiciones deben ser de categorías distintas, dado que el análisis sólo se puede hacer en una dirección. Así es que en la figura (21), por ejemplo, María está en la categoría (n\o)\(n\o), mientras que Juan está en la categoría n. Pero com o el nombre María también pue de, por supuesto, aparecer a la izquierda del verbo, como en María ama-a Juan, es claro que María tendrá que ser colocada en al menos dos categorías distintas. Lo mismo aplica para todas las expresiones que puedan aparecer en lugares diferentes de una oración. La diferencia entre una gramática categorial bidireccional y una gramática ndependiente del contexto es en esencia la siguiente: una gramática categorial bidireccional siempre indica cuál entre dos componentes dados es dependiente iel otro, mientras que una gramática independiente del contexto no siempre jrovee esta información. Aquí hay un ejemplo de una gramática independiente del contexto sencilla r una gramática categorial bidireccional equivalente: dramática independiente del contexto: 1. S = > N P

VP

2. N P = > N 3. V P => V N P 4. Aclj =>• el-pobre, la-afortunada 5. N => Juan, María 6. N =>■ Adj N

7. V => besa-a, ama-a ramática categorial bidireccional: 1. Expresiones de categoría n: Juan, María 2. Expresiones de categoría (n \ o )/n : besa-a, ama-a

3.

Expresiones de categoría n /n : el-pobre, la-afortunada

Ejercicio* 4 .5 .

(a) Convierta la siguiente gramática independiente del contexto (‘ |’ distin gue, com o de costumbre, opciones distintas para la reescritura de un símbolo) en una gramática categorial bidireccional, que tenga como ca tegorías básicas S (para oraciones), C N (para nombres comunes) y T (para sintagmas nominales completos):

a) S = > N P V P b) V P => Víntrans \Vtrans N P c) N P =4> PropN \Det N d) N = > N

Adj

e ) D et =>• el, un / ) P rop N => Juan, Pedro g) N =>■ hombre, caballo h)

’ifitrciTis —r* camma, suda

0 Vtrans => ira a, maldice a, persigue a j ) Adj => verde, grande, honesto (b) Intente encontrar expresiones que puedan servir como ejemplos de ex presiones de las siguientes categorías: (i) (T\S)\(T\S) (ii) ((T \S)\(T\S))/T (iii) (T \ S)/(C N /C N ) ¿Qué reglas deben añadirse o modificarse en la sintaxis independiente de contexto dada en (a) para que tales expresiones sean incorporadas? E je r c ic io 4.6. ¿De qué categoría son las expresiones casi y a lo sumo, tal como ocurren en frases com o casi todos y a lo sumo dos? Especifique el tipo correspondiente y proporcione una descripción de la clase de objetos semánticos denotados por esas expresiones.

jercicio 4 .7 .

iponga que todos los elementos léxicos de un cierto lenguaje pertenecen a ía sola categoría. ¿Es posible que una gramática categorial unidimensional -oduzca expresiones complejas del lenguaje que sean estructuralmente ambiras? ¿Qué sucede a este respecto en el caso de una gramática bidireccional?

.3.3.

La adecuación descriptiva de la gramática categorial

lomo lo mencionamos anteriormente, las gramáticas categoriales puras son quivalentes a las gramáticas independientes del contexto. Este resultado se emostró a comienzos de los años sesenta, durante los buenos tiempos de la ramática transformacional, cuando la creencia de que se necesitan gramáticas e capacidad generativa superior al de las gramáticas independientes del conexto para la descripción del lenguaje natural estaba firmemente establecida. ]sta es, ciertamente, una de las razones por las cuales la gramática categorial labia tenido tantas dificultades para adquirir un estatus respetable entre los ingüistas orientados a la sintaxis. La situación ha cambiado, pero sólo recienemente. Algunos desarrollos nuevos que ayudaron a provocar este cambio se >resentarán en el capítulo 7. ¿Por qué se creía que las gramáticas independientes del contexto, y por correspondencia las gramáticas categoriales puras, eran descriptivamente inade cuadas? Las razones tienen que ver, principalmente, con la existencia de varias construcciones que tales gramáticas supuestamente no pueden manejar, por lo menos de una manera intuitivamente adecuada. Para ilustrar este caso, discu tiremos brevemente tres de estos fenómenos. En primer lugar, en el lenguaje natural hay componentes discontinuos. Compare las oraciones (22) y (23): (22) La situación fue completamente solucionada (23) La situación fue solucionada completamente En (22), el componente fue solucionada ocurre de manera discontinua, es decir, es interrumpido por otra expresión. Esto contrasta con su continuidad en (23). En una gramática categorial en su forma pura, esta discontinuidad representa un problema. Las reglas no permiten que ninguna parte de un componente esté separada del resto, dado que la única operación que se permite es la concatenación sencilla entre dos cadenas de símbolos. Por lo tanto, nos vemos forzados a considerar fue y solucionada como elementos léxicos separados y

a colocar cada uno de ellos en (por lo menos) dos categorías distintas, de tal manera que puedan formar componentes tanto continuos, como discontinuos. La oración (24) proporciona otro ejemplo de este fenómeno: (24) Juan se P°ne el sombrero negro si María no se lo pone

Aquí tenemos la ocurrencia tanto de un componente continuo, com o de uno discontinuo de se pone, en la primera y en la segunda cláusula, respec tivamente. Aquí tam poco hay más opción para la gramática categorial, sino la de clasificar se pone, pone y se de manera separada, com o tres elementos léxicos distintos. Mientras que esto no constituye ningún problema formal, ciertamente parece no acomodarse a la intuición de que el mismo componente aparece en las dos cláusulas de (24), incluso si es continuo en la primera y discontinuo en la segunda. Un segundo fenómeno que presenta problemas para las gramáticas categoriales puras y las gramáticas independientes del contexto se centra alrede de la intuición de que la oración (25) significa lo mismoque la oración (26 (25) Juan ama a María y Jorge a Julia (26) Juan ama a María y Jorge ama a Julia Esta relación entre (25) y (26) puede explicarse de varias maneras. Una posibilidad es que (25) se deriva de (26), al suprimir la palabra ama en la frase de la derecha. Otra conjetura es que la ‘parte faltante’ de (25) se introduzca durante el proceso de interpretación. De cualquier manera, suprimir un com ponente o introducir uno pone en el panorama una dependencia del contexto, dado que el pedazo a ser suprimido o introducido debe estar siempre presente en otra parte de la estructura (por supuesto, esta no es la única condición). Tales procesos tan sencillos que dependen del contexto caen fuera del alcance de las gramáticas independientes del contexto y de las gramáticas categoriales puras. Obsérvese, sin embargo, que las explicaciones anteriores acerca de lo que está ocurriendo no son las únicas: no hay una demostración de que una descripción adecuada del fenómeno en cuestión deba involucrar alguna dependencia del contexto de este tipo. Un tercer fenómeno que ilustra el hecho de que la limitada capacidad ge nerativa de las gramáticas independientes del contexto y de las gramáticas categoriales puras puede llevar a resultados poco intuitivos es el orden de las palabras. Ambas clases de gramática decretan un orden fijo y, por lo tanto, parecen fallar en su papel de herramientas descriptivas adecuadas para los

lenguajes en los cuales no es el orden de las palabras sino, por ejemplo, un sistema de casos el que determina las relaciones gramaticales, o incluso para lenguajes en donde el orden de las palabras en las cláusulas principales difie re del orden de las palabras en las cláusulas subordinadas, com o en algunos lenguajes germánicos. Objeciones com o estas han convencido a mucha gente, por un largo tiem po, de que las gramáticas independientes del contexto son inadecuadas para dar una descripción adecuada de los lenguajes naturales, que esté acorde con nuestras intuiciones acerca de los componentes de las oraciones y demás. Este veredicto ha sido extendido a las gramáticas categoriales puras, la clase de gramáticas introducidas en §4.3.2. Por un largo tiempo esas conclusiones no han sido desafiadas. Sin embargo, las gramáticas categoriales siguen siendo atractivas para aquellas personas que están interesadas en la semántica, dado que ellas proveen una explicación sencilla de la correlación entre las categorías sintácticas de las expresiones y sus funciones semánticas. Es por esta razón que la Gramática Categorial funciona de manera prominente en varios modelos de ‘gramática lógica’ (ver capítulo 6), la primera de las cuales fue desarrollada en los setenta. Se han propuesto varias maneras de tratar los problemas mencionados anteriormente. Una manera, que continúa por el camino de la gramática transformacio nal, es la de incluir una gramática categorial como el punto de partida de un componente transformacional. El componente básico de una gramática trans formacional generalmente es una gramática independiente del contexto, y la idea es reemplazarlo por una gramática categorial. Esta sugerencia fue hecha por John Lyons (1968) y David Lewis (1972) la elaboró en detalle. La idea es que los fenómenos discutidos anteriormente puedan explicarse por medio de transformaciones. Pero obsérvese que si hacemos esto, todas las objeciones que se han hecho acerca del excesivo poder generacional de las gramáticas transformacionales aplicarían también en este caso. Una segunda posibilidad es incrementar el poder generativo de la misma gramática categorial. En las gramáticas categoriales puras, la concatenación es la única operación sintáctica que puede ser aplicada. Es posible incrementar la producción, por así decir, de las reglas sintácticas al incluir otras operaciones sintácticas. Esta segunda opción fue la seguida por Richard Montague (1970a; 1973). Regresaremos a esto en el capítulo 6. Estos dos enfoques aceptan la sabiduría tradicional concerniente a la po ca adecuación descriptiva de las gramáticas independientes del contexto. Pero últimamente, algunas personas han comenzado a cuestionar los hechos alega

dos: ¿acaso no son los lenguajes naturales realmente independientes del con texto? Es decir, ¿no pueden describirse los lenguajes naturales por medio de mecanismos independientes del contexto? Esta discusión ha desenmascarado más de un argumento poco sólido y en el momento el asunto es considera do com o abierto (véase Pullum y Gazdar (1982) y Savitch et al. (1987) para una visión general de varios argumentos, tanto nuevos como viejos). Más aún, el sentimiento general entre muchos lingüistas, hoy en día, es que cualquiera que sea la respuesta final a esta pregunta, tratar de definir una gramática in dependiente del contexto para un lenguaje natural es en sí mismo una empresa valiosa y significativa, aunque sea sólo para precisar en dónde aparece la depen dencia del contexto, si es que la hay. Además, el interés creciente en modelos computacionalmente adecuados y eficientes del lenguaje natural y la ausencia significativa de éxito por parte de las personas que trabajan con las gramáticas transformacionales para encontrar alguna restricción real en su poder genera tivo han sido influencias estimulantes. Varios modelos de gramáticas han sido concebidos con este espíritu, el más influencial de todas es la ‘Gramática de Estructura de Frase Generalizada’ (Gazdar, 1982; Gazdar et al., 1985) y la ‘ Gramática Funcional Léxica’ (Kaplan y Bresnan, 1982). En lo que respecta a la gramática categorial, desarrollos similares han te nido lugar en este campo. En este contexto es importante llamar la atención sobre el hecho de que los argumentos en contra de la adecuación descripti va de las gramáticas categoriales puras involucran a menudo un llamamiento, implícito o explícito, a las intuiciones acerca de la estructura de los componen tes de las expresiones y acerca de las categorías de las expresiones del léxico, entre otros. Resulta que las gramáticas categoriales pueden enriquecerse de tal manera que les permite tratar los fenómenos mencionados anteriormente, pero a menudo de una manera poco ortodoxa. Según algunas personas, esto sólo muestra que, por ejemplo, la noción de estructura de los componentes es una noción más teórica de lo que se ha reconocido y que, por lo tanto, los argumentos que hacen uso de dicha noción también son sesgados por la teoría. Algunas de las técnicas que han sido introducidas en la Gramática Categorial a lo largo de los últimos años serán discutidas en detalle en §7.3. Las referencias a la literatura relevante se presentarán en la misma sección.

4.3.4.

La Gramática Categorial y la Teoría de Tipos

En esta sección haremos algunas observaciones acerca de las relaciones entre la sintaxis de los lenguajes de la Teoría de Tipos y la Gramática Categorial.

En primer lugar, llama la atención la similitud entre la definición de los tipos y la manera en que las categorías son definidas en la Gramática Categorial. Se especifica un número finito de tipos básicos y una regla dice cóm o los tipos derivados pueden construirse a partir de ellos. La notación de los tipos derivados difiere de la que le hemos dado a las categorías derivadas, pero com0 resulta claro a partir de (27), la diferencia no es esencial: (27)

Juan n

nada n\o

{N(e¿)(je))

^--------1-------o

Nadar n\o

es saludable (n\o)\o

(H({e,t),t)(S{e,t)))

o Sin embargo, existen algunas diferencias esenciales entre los otros dos princi pios de la Gramática Categorial. La Teoría de Tipos hace uso de otras ope raciones sintácticas además de la concatenación, a saber, una operación que introduce paréntesis. Esta operación sirve para fijar el alcance de las relaciones entre varias clases de expresiones. Como resultado del uso de estos paréntesis, las expresiones de los lenguajes de la Teoría de Tipos carecen de la ambigüedad que se encuentra en muchas expresiones de los lenguajes naturales. Hay otro aspecto en el cual la sintaxis de la Teoría de Tipos difiere de la producida por una Gramática Categorial. No todas las expresiones en el lenguaje de la Teoría de Tipos se colocan en una categoría particular, en es te caso un tipo particular. Los cuantificadores, los conectivos y la relación de identidad se introducen sincategoremáticamente. Es decir, estas expresio nes no son tratadas como elementos léxicos de un tipo particular. En el caso de los conectivos, debe observarse que tal introducción sincategoremática no es necesaria (este asunto se discute en §2.7. del volumen 1). La negación -> puede, por ejemplo, introducirse com o una expresión de tipo (t, t), dado que resulta en una nueva fórmula cuando se aplica a una fórmula. De manera análoga, la conjunción A puede introducirse com o una expresión de tipo (i, (t,t)). De esta manera, las expresiones pueden generarse por una notación en donde los conectivos se escriben como operadores en frente de sus argumentos, en lugar de estar entre ellos, com o es usual. Un ejemplo: la fórmula (j>A (tp V x) apare cería en esta notación com o A(^)(V('¡/’)(x ))- El árbol de construcción para la última fórmula se da en (28) (cada expresión está seguida por su tipo):

(28)

A(<¿)(V(VO(x))> * A(), (í,í)

v(VO(x), * , t

v(V»), (M)

Ip, t En esta notación, los paréntesis son superfluos. Podríamos igualmente escribir A0 V ,¡/,X- Esta variante sin paréntesis en la notación se conoce com o notación polaca. Las cosas se vuelven un poco más complicadas en el caso de la iden tidad. La razón es que dos expresiones de cualquier tipo pueden ligarse por medio de la relación de identidad = y dar como resultado una fórmula, por lo tanto, el símbolo = tendría que tratarse com o una expresión de todos los tipos de la forma (a, (a ,t )). Lo que esto quiere decir es que se debe introducir para cada tipo (a, (a,t)) una relación de identidad de este tipo. En el caso de los cuantificadores, la introducción categoremática enfrenta dificultades conside rables. La manera obvia sería tratar los cuantificadores como expresiones que convierten fórmulas en otras fórmulas. Pero este enfoque falla, com o veremos ahora. De acuerdo con esta idea, los cuantificadores se tratan como expresio nes de tipo (t,t). En este caso, sin embargo, la correspondencia entre el tipo de una expresión y su interpretación semántica conlleva dificultades insuperables. Como ya hemos visto, una expresión de tipo (a, b) se interpre ta como una función de D a en D/;. En el caso especial de las expresiones de tipo (í, t), la interpretación semántica es, entonces, una función de valo res de verdad en valores de verdad. Ahora bien, aquí está una lista de las cuatro funciones de { 0 , 1} en { 0, 1}: (i) La función que vincula ambos valores de verdad con 1 (ii) La función que vincula cada valor de verdad en el otro (iii) La función que vincula ambos valores de verdad con 0 (iv) La función que vincula cada valor de verdad consigo mismo La interpretación de una fórmula com o V xP (x) sería, entonces, el resultado de aplicar la interpretación de Vx a la interpretación de P ( x ) . Ahora bien, la interpretación de P ( x ) es un valor de verdad. La interpretación de Vx de bería ser, en vista de su tipo sintáctico, una de las cuatro funciones anteriores

de valores de verdad en valores de verdad. Lo que esto quiere decir es que el valor de verdad de una fórmula \/xP(x) dependería sólo del valor de verdad de P( x ) . El valor de verdad de P( x ) , es decir, una fórmula con una variable libre x , depende de si g(x), la entidad particular que la asignación g le asigna a x, tiene la propiedad expresada por el predicado P o no. Pero, por supuesto, de esto no depende la verdad de la afirmación de que todas las cosas tienen la propiedad P. Para esto debemos saber, en otras palabras, si P ( x ) es verdad o no con respecto a toda asignación g. El valor de verdad de P ( x ) con respecto a una única asignación no es suficiente. La conclusión que debe sacarse de esto es que la interpretación semántica de una expresión cuantificadora como Vr no puede ser identificada con ninguna de las cuatro funciones posibles de tipo (t, t ) . Y esto significa que sintácticamente la expresión Vr no puede ser tratada com o una expresión de tipo (t, t). Así que la manera obvia de introdu cir los cuantificadores de manera categoremática no es factible. Esto no quiere decir, sin embargo, que no hay manera alguna de introducir los cuantificadores de manera categoremática. Regresaremos a este asunto en §4.4.3.

4.4.

A-abstracción

4.4.1.

El A-operador

Ahora extenderemos la Teoría de Tipos descrita en §4.2. al añadir una nue va clase de expresión: el operador A. Este operador nos permite formar nue vas expresiones a partir de expresiones, al abstraer sobre variables. Al hacer esto, incrementamos el poder expresivo de la Teoría de Tipos de una manera que resultará de especial interés en el análisis del lenguaje natural. Antes de continuar introduciendo el A-operador, consideremos brevemente al gunas de las formas y construcciones de un lenguaje natural como el español que hacen deseable tal operador. Comencemos discutiendo la traducción de la siguiente oración en la Teoría de Tipos: (29) Trotar es saludable Una traducción de esta oración en la Teoría de Tipos puede obtenerse de la siguiente manera: dado que trotar expresa una propiedad de individuos, la expresión puede ser traducida como una constante de predicado J de tipo (e, t ) . Saludable expresa, por lo menos en este contexto, una propiedad de propiedades de individuos y, com o tal, debe ser traducida com o una constante de tipo (( e, t ), t ). La oración (29) debe traducirse com o la fórmula 'H.(J), la cual expresa la proposición de que trotar es una actividad saludable.

Miremos ahora una oración aparentemente análoga y consideremos cóm o la traduciríamos: (30) No fumar es saludable Una vez más tenemos una oración en la cual una propiedad, la de ser salu dable, se atribuye a una propiedad de individuos, la de no fumar. La tradu cción de saludable no presenta ningún problema nuevo; com o en (29), se traduce com o una constante Tí de tipo (( e, t), t ). El problema reside en la traducción de no fumar. Comencemos por traducir fumar com o una constante S de tipo (e, t). Ahora, el problema es que la negación no puede ser aplicada a esta constante 5, dado que el símbolo de negación -i sólo puede aplicarse a fórmulas y no a expresiones de otros tipos. La expresión no fumar podría, por supuesto, ser traducida en su conjunto com o una constante N de tipo (e,t). Pero esto ignoraría el hecho de que el significado de no fumar se compone del significado de las palabras no y fumar. En el español hay un proceso produc tivo que permite que la palabra no sea combinada con expresiones de varios tipos, lo que da com o resultado nuevas expresiones compuestas. De manera paralela, el significado de las expresiones compuestas se construye a partir del significado de las expresiones que las componen. Quisiéramos ahora construir un proceso similar en la Teoría de Tipos, de tal manera que obtengamos una mejor correspondencia con el lenguaje natural. Aquí hay un segundo ejemplo de un proceso productivo de este tipo que funciona en el lenguaje natural: la coordinación de predicados. Consideremos el ejemplo (31): (31) Beber y conducir es imprudente En (31) encontramos una expresión compuesta, beber y conducir, que expresa una propiedad de individuos. Esta expresión se forma a partir de la conjunción y, junto con los predicados beber y conducir. Al traducir (31), encontramos dificultades similares a las que encontramos en (30). Dado que la conjunción A sólo puede ser utilizada para unir fórmulas, no puede ser uti lizada en predicados. Podríamos, por supuesto, decidir simplemente traducir beber y conducir com o una constante sencilla no analizada de tipo (e, t), pero, una vez más, esto sería ignorar el hecho de que el significado de la expresión compuesta se construye a partir de los significados de las expresiones conducir, y, y beber, de las cuales se compone. El mismo comentario se aplica tanto a

imprudente com o a no fumar en (30). Imprudente es un predicado compues to de segundo orden, el cual es el resultado de un proceso productivo que se aplica al predicado de segundo orden prudente. Otro ejemplo más se encuentra en los predicados reflexivos, com o se ad miró. Si este predicado fuera a tratarse independientemente del predicado iró, entonces perderíamos la posibilidad de explicar los vínculos cercanos entre las propiedades que expresa. No podríamos, por ejemplo, dar cuenta de la equivalencia entre (32) y (33): (32) Juan iró a Juan (33) Juan se iró El proceso mediante el cual el predicado compuesto se iró se obtiene a par tir del predicado iró es, aparentemente, aquel en el cual se iró puede ser predicado de una entidad d sólo en el caso en que iró pueda ser predi cado del par (d, d ). Esos son algunos cuantos ejemplos que sugieren la necesidad de extender la Teoría de Tipos. Para dar cuenta de estas construcciones, se añade la siguiente regla a la definición 4.2. de §4.2.2.: (vii) Si a es una expresión de tipo a en L y v es una variable de tipo b, entonces Ava es una expresión de tipo (b, a) en L Consideremos un ejemplo. Sea W una constante de tipo (e, t) y x una variable de tipo e. En consecuencia, W ( x ) es una fórmula en la cual x aparece como una variable libre. De acuerdo con la cláusula (vii), podemos formar la expresión Ax ( W ( x ) ) a partir de W( x ) . Dado que W ( x ) es de tipo t y x es de tipo e, esta nueva expresión Ax ( W ( x ) ) es de tipo (e,t). Decimos que la expresión Ax(W (®)) ha sido formada a partir de la expresión W ( x ) , por abstracción sobre la variable libre x. Decimos que las ocurrencias libres de la variable x en a están acotadas en Ax a por el A-operador Xx. Es importante hacer en este punto un comentario con respecto a los parén tesis. Recordemos que los paréntesis alrededor de W ( x ) en X x ( W( x ) ) se introducen por la aplicación de W a x (véase la cláusula (ii) de la definición 4.2.). Aquí no pueden omitirse, dado que el resultado de hacerlo, que sería Ax W ( x ) , es una expresión con una estructura sintáctica diferente. Ella es lo que obtendríamos si primero abstraemos (vacíamente) sobre x en W y des pués aplicamos el resultado de esto, Ax W , a x. Ahora bien, resulta que en este caso particular el omitir los paréntesis no es dañino en términos semánticos,

como se verá más adelante, a partir de la interpretación de la A-abstracción, dado que Ax W ( x ) y Ax ( W ( x ) ) son equivalentes. Sin embargo, generalmente no es el caso que si aplicamos A-abstracción a una expresión compleja for mada por aplicación funcional, los paréntesis exteriores alrededor de la segun da puedan ser omitidos sin causar ningún daño semántico. Un caso en cuestión es Ax ( A ( x ) ( x ) ) , que será discutido más adelante. Omitir los paréntesis alre dedor de ( A( x ) ( x ) ) generaría Ax A ( x ) ( x ) , y esta expresión tiene un significado distinto. Ahora bien, ¿qué interpretación debe darse a las expresiones formadas de esta manera por medio de (vii)? Consideremos el ejemplo de A x(W (x)) una vez más. Com o ya hemos visto, esta expresión compuesta es de tipo (e, t). Una expresión de este tipo se interpreta como una función de entidades en valores de verdad. En consequencia, la interpretación de A x(W (x)) es del mismo tipo que la interpretación de la constante W. Resultará aparente, a partir de la cláusula que define las interpretaciones de las expresiones formadas por Aabstracción, que las interpretaciones de Ax(VF(x)) y W 110 sólo son del mismo tipo, sino que también son idénticas. Para ponerlo de manera general, la interpretación de una A-abstracción AX(,Qa (los subíndices se refieren a los tipos de las expresiones) es una función, a saber, una perteneciente al conjunto de funciones D ^ 6. Por esta razón, la Aabstracción también se conoce como la abstracción funcional. Obsérvese que si a es de tipo t , entonces la interpretación de Ax ba t es un elemento del conjunto de funciones {0, l } Db. Ella es, en otras palabras, la función característica de un conjunto. Dado que los conjuntos pueden ser identificados con sus funciones características, Ax bat puede servir para denotar un conjunto. En estos casos, el A-operador también se conoce com o el abstractor de conjuntos. Añadimos ahora la siguiente cláusula a la definición 4.4. de §4.2.3., la cual determina cóm o las expresiones de un lenguaje L de la Teoría de Tipos deben ser interpretadas con respecto a un modelo dado M y una asignación g: (vi) Si a G W Eq y v G V A R b, entonces [Am]M ,g es aquella función h tal que para todo d G D 5 : h(d) = [a]M.g[i>/d]

G

A manera de ilustración, volvamos al ejemplo de Ax(W/ (x)), en el cual W es una constante de tipo (e, t) y x es una variable de tipo e. La cláus dice que [Ax(VF(x))]M,g es la función h derivada del conjunto de funciones D P e tal que para todo d G D e tenemos: h(d) = [VK(x)jM,3[x/d]- Sabemos que ü P e = { 0, 1} ° = el conjunto de funciones características de conjuntos de entidades. Así que h es la función característica de un conjunto de entidades.

Esta función está definida de la siguiente manera: para todo d € D tenemos h(d) = \W(x )\M,g[x/d\- De esta manera, h(d) = 1 sii \W{x)hA,g[x/d\ = 1. Sabemos que [W (x )]Mi9[as/ S(x). Aplicando A-abstracción sobre la variable x, obtenemos la expresión Xx^S( x) . Esta última es de tipo (e, t), dado que hemos abstraído sobre una variable de tipo t en una expresión de tipo t. La expresión Xx->S(x) es, por lo tanto, un predicado de entidades, tal y com o lo es S. Para encontrar cuál propiedad es expresada por este predicado, debemos determinar su interpretación: [A2:-iS(x)]m ,s es la función h € DP® tal que para todo d € D e tenemos que h(d) = [-,<S,(x)jM ,0[®/d]- Esto es: h(d) = 1 sii I-l‘S'(x)]iî,g[i/c¡] 1 SÜ |5(x)]M,g[x/d] 0 SU [S']m,
la propiedad de beber y conducir es evidente a partir de su interpretación: [Ax { D i ( x ) A D 2(x ))]m ,9 es la función h 6 T>f>e tal que para todo d e D tenemos h(d) = 1 sii [L>i(x) A D 2 (x ) } M,g[x/d\ = 1 sii P i(*)lM ,ff[*/d] = 1 y |i?2(®)1m,j[x/<Í] = 1 sii I ( D l )(d) = / ( D 2)(<¿) = 1. Una traducción del predi cado compuesto de segundo orden imprudente se obtiene por A-abstracción sobre una variable del mismo tipo de los predicados de primer orden. Co mo anteriormente, sea W la traducción de prudente. Esta constante es de tipo ((e, t) , t ) . Sea X una variable de tipo (e,t). Entonces, -'W (A ’ ) es una formula que expresa el hecho de que X no tiene la propiedad de propieda des de ‘ser (una propiedad) prudente’ . Abstraer sobre X da com o resultado la expresión A-X’-iW (X ). Esta expresión es de tipo ((e ,í), i), dado que he mos abstraído sobre una variable de tipo (e, t) en una fórmula. Este predi cado compuesto de segundo orden expresa una propiedad de propiedades, a saber, la propiedad de ‘ser una propiedad imprudente’. Esto, debido a que [A X - 'V'V(X)Jm,9 es aquella k e d [ D‘ ^ = { 0, l } ^ 0’1} 0 ) tal que para todas las funciones h € D ^ 6 : k(h) = 1 sii I-,W ( X ) ] M,g[x/Ji] = 1 sii ^ (W )(/i) = 0; es decir, sii h no pertenece al conjunto de propiedades prudentes. Ahora bien, la traducción de la oración (31) puede obtenerse aplicando la traducción de im prudente a la traducción de beber y conducir. X X ( X ) ( X x ( D i ( x ) A D 2 (x))). Una estrategia general para traducir predicados compuestos por no, y, o y demás puede extraerse de estos ejemplos. Dado que en la Teoría de Tipos los conectivos y la negación sólo pueden aplicarse a fórmulas, las fórmulas se consiguen aplicando primero los predicados originales a una o más variables. Los conectivos y /o la negación pueden aplicarse a esas fórmulas y abstraer sobre las variables en cuestión genera el predicado compuesto requerido. Ahora bien, también es posible, por supuesto, tratar la composición de predicados sin el A-operador. Indicaremos brevemente cómo se puede realizar este proceso en el caso de la negación. En primer lugar, se debe retirar la restricción en la definición 4.2. de que la negación deba ser aplicada sólo a expresiones de tipo t, es decir, a fórmulas. En su lugar, estipulamos que si a es una expresión de tipo (a, t), entonces -ic* también es una expresión de este tipo (por ejemplo, fumar y no fumar son de tipo (e ,í); prudente e imprudente son de tipo ( ( e, t ), t )). La definición 4.4. también debe exten derse, definiendo a la interpretación de ->a, com o aquella función en D (a,t> = {0, l } Da tal que para todo d e D a : |H*Jm,9(gO = 1 si H ]m ,9(cO = 0 y = 0 si [a]M ,g(d) = 1. De esta manera, por ejemplo, -<S se inter preta com o aquella función que devuelve el valor 1 cuando se aplica a d sólo en el caso en que la función que interprete a S devuelva el valor 0 para d, es decir,

sólo en el caso en que d no fume; este es el resultado correcto. Modificaciones similares a las definiciones 2 y 4 darían cuenta de la composición de predicados con los otros conectivos. Entonces, ¿por qué necesitamos el A-operador? La ventaja de un A-operador es que provee un tratamiento uniforme no sólo de estos ejemplos, sino también de muchos otros. Por esta razón, no abordaremos con más detalle la posibilidad de no utilizar un A-operador.

( I 1 1 i

Otro ejemplo de lo que el A-operador permite manejar hábilmente son los predicados reflexivos, com o se iró en (33), Juan se iró. Aquí también debemos volver primero a las fórmulas. Sea A una constate de tipo (e, (e,t)) la cual es la traducción de iró, y sea x una variable de tipo e. A( x) ( x) es, entonces, una fórmula. A partir de ésta, la expresión Xx ( A( x) ( xj ) se puede obtener por abstracción sobre x. Aquí, ambas ocurrencias de la variable x son acotadas por el A-operador. Esta nueva expresión es de tipo (e, í), por lo tanto, no es del mismo tipo que A. Su interpretación se hace de la siguiente manera: [[Ax(j4(x)(x))|M,g es la función h € ü P e tal que para todo d € D tenemos que h(d) = 1 sii I ^ (x )(x ) ]Mig[a;/d]= l sii IA (x )]M,9[a/(fl([(z)jM ¿[z/d ])= l sii M M , 9[x/d](I(^)lM,g[x/d])(I(^)lM>g[x/d])=l sii I ( A ) ( d ) ( d ) = 1. Es decir, una entidad d tiene la propiedad expresada por \ x ( A( x ) { x ) ) sólo en el caso en que el par de entidades (d, d) satisfaga la relación expresada por el predicado A.

I I ] |

-Como lo mencionamos anteriormente, omitir los paréntesis exteriores de (t4 (x)(x)) resultaría en la expresión Ax^4(x)(x), que no sólo tiene una estruc tura sintáctica diferente, sino también una interpretación diferente. La razón de esta diferencia es que Ax A ( x ) ( x ) es equivalente a A( x) y el significado de A ( x ) y de A x (A (x )(x )) obviamente no son idénticos. No sólo las variables sobre las cuales abstraemos sino también las expre siones en las cuales ellas ocurren pueden ser de cualquier tipo. Sea A como anteriormente y sean x e y variables de tipo e. Podemos abstraer ahora sobre la variable y en la fórmula A( y) { x) . El resultado, \y( A( y) ( x) ) , es de tipo (e, t) y expresa la propiedad de ‘ser irado por x ’ . Entonces, podemos abstraer sobre x en esta nueva expresión para obtener la fórmula AxAy ( A( y) ( x) ) , que es de tipo (e, (e ,i)), dado que está formada por abstracción sobre una varia ble de tipo e en una expresión de tipo (e, t). Obtenemos, de esta manera, un predicado binario que expresa la relación ‘ser irado por’ . Es importante notar que cuando hay varias variables, el orden en el cual la abstracción tiene lugar sí importa. Si primero abstraemos sobre x en A ( y ) ( x ), obtenemos la expresión Ax ( A( y ) ( x ) ) , que expresa la propiedad de ‘irar a y'- Si entonces abstraemos sobre la variable y , obtenemos el predicado binario AyAx(^4(y)(x)), el cual, tal com o la constante A, expresa la relación ‘irar’ .

I

pero si comenzamos con la misma fórmula A( y ) ( x ) y primero abstraemos sobre y y luego sobre x, lo que obtenemos es XxXy( A( y) ( x) ) , la cual, com o lo vimos arriba, expresa una relación diferente, aquella de ‘ser irado por’ . El hecho de que Ay( A( y) ( x) ) y Xx( A( y) ( x) ) expresen propiedades distintas es evidente a partir de la comparación de sus interpretaciones: '[\y(A(y)(x))}M.g es la función h 6 D P e tal que para todo d € D : h(d) = 1 sii IA (y )(x )]M,g[j//d]=1 sü ( I ( A ) ( d ) ) ( g { x ) ) = 1, esto es, sii g( x) ira a d; [Ax(A(y)(x))]]M.g es la li e D ^ e tal que para todo d E D : h(d) = 1 sii IA (y )(x )]M,g[i/d] = 1 sii ( I(A)(g{ y)))( d) = 1, esto es, sii d ira a g(y).

Ejercicio* 4.8. Determine cuáles de las siguientes sucesiones de símbolos son expresiones bien formadas, si j una constante de tipo e; M , de tipo (e, í); S, de tipo ((e,t), (e, í)); y C, de tipo ((e, t), í); más aún, x es una variable de tipo e, e Y , una variable de tipo (e, í). Si una expresión es bien formada, proporcione su tipo:

(i) (iü)

(v) (vü) (ix) (xi) (xiii)

Ax ( M( x ) ) ( C) X x M( j ) XY ( Y ( j) ) ( M ) Ax ( M ( x ) ) A M ( j) (S (A Y (Y (x ))))(M ) A x (A Y (Y (x ))(M ))(j) XxXY (Y ( x ) ) ( j ) ( M )

(viii)

Ax ( M ( x ) ) ( j ) S ( Xx M( x ) ) XxXY ( Y( x) ) X x ( M( x ) A M ( j ) )

(x)

AY(C(A x ( Y ( x ) ) ) ) ( M )

(xii) (xiv)

A x (A Y (Y (x ))(j))(M ) A Y (( 5 (A x (M (x ))))(j)A C (Y ))(M )

(ü) (iv) (vi)

Ejercicio* 4.9. Traduzca las siguientes expresiones en la Teoría de Tipos. Establezca la clave de traducción: (a) Bañarse apropiadamente es importante (b) Es saludable amar a alguien (c) Adelante o atrás (d) Mover a la reina adelante o atrás resulta en jaque mate (e) Todo crece y brilla y siempre nos restaura de nuevo (f) Haber olvidado algo es haber sabido algo pero no saberlo ahora

(g) Siempre ser uno mismo es imposible (h) Ser perfecto es tener todas las propiedades buenas (i) Compartir todas sus malas propiedades con María (j) Ser o no ser

4.4.2.

A-conversión

Una A-abstracción com o Ax->(S'(x)) de tipo (e,t) se com porta exactamente igual que cualquier otra expresión del mismo tipo. Esto significa que este predicado puede ser utilizado no sólo para representar predicaciones de orden superior, com o en H(Xx->(S(x))), sino también para representar predicación de primer orden. De esta manera, ella puede ser aplicada a una constante de tipo e, por ejemplo j , de donde resulta la fórmula Ax~<(S(x))(j) que expresa la proposición de que la entidad referida por j tiene la propiedad de ‘no fumar’. Esto es lo mismo que la proposición de que esta entidad no fuma, la cual puede representarse por medio de la fórmula equivalente -i( S( j ) ) . Lo que hemos hecho aquí es omitir el Ax en Ax->(5(x)) y reemplazar las ocurrencias libres de x en la parte restante, -i(S (x )), por j . La notación general para el resultado de reemplazar todas las ocurrencias libres de una variable v en una expresión ¡3 por una expresión 7 es [7 /v\(3. Así que en esta terminología, lo que hemos hecho es formar \j/x]-*(S(x)) a partir de A x-> (5 (x))(j). Surge entonces la pregunta de si una expresión de la forma Xvf3(^) siempre puede reducirse a [7 /v]f3, preservando el significado. Este proceso de reduc ción se conoce com o A-conversión. Así que la pregunta a ser respondida aquí es si la A-conversión siempre resulta en una expresión equivalente, esto es, si (34) puede responderse afirmativamente o no: (34) Pregunta: ¿Es cierto que para todo v, (3, y 7 se tiene que Xv(3{^) es equivalente a [7 /v\(3 ? Anteriormente hemos visto varios casos particulares que confirman (34). Al ilustrar la cláusula que trata sobre la interpretación de la A-abstracción, por ejemplo, hemos visto que Ax ( W ( x ) ) y W son equivalentes. Esto implica que Ax { W ( x ) ) { c e) y W { C e ) son equivalentes para cualquier constante individual ce. En efecto, [ce/x ] W( x ) y W ( c e) son la misma expresión. También se sigue a partir de la interpretación de Xx ( A( x ) ( x ) ) que A x (y l(x )(x ))(ce) es equivalente a ¿ ( c e)(ce), es decir, a [ce/x]( A( x)(x) ).

Sin embargo, (34) no puede afirmarse incondicionalmente. Esto puede evi denciarse por medio de una situación similar que aparece en la lógica de primer orden. No es cierto que para todo , |= Vx —» Vy[y/x]0. La razón de esto es que puede suceder que la variable y que reemplaza a x en puede estar acotada en (p, por un cuantificador Vy o 3y que ya existía en (¡>. Com o ejemplo de una (p en la que esto ocurre, considere 3yR xy. Puede verse fácilmente que \y/x](p es la fórmula 3Ryy, de donde Vy[y/x] es Vy3yi?yy, la cual es equiva lente a 3 Ryy- El hecho de que Vx3y Rx y y 3yRyy no sean, en general, fórmulas equivalentes resulta obvio al considerar el caso particular en el cual R es la relación ^ . La fórmula Vx3y ( x ^ y) claramente no es equivalente a 3y(y ^ y), dado que la primera es verdadera en cualquier modelo cuyo dominio contiene más de un solo elemento, mientras que la segunda no es verdadera en ningún modelo: 3y(y ^ y) es una contradicción. Si tomamos ahora 3y(x ^ y) como nuestra fórmula ¡3, entonces \x(3 (y) es Ax3 y [x ^ y) (y) y [y/x]/3 es 3 y (y ± y). Ciertamente, Ax3 y (x ^ y) (y) y 3 y (y ^ y) no son expresiones equivalentes. La expresión Ax3y(x ^ y) expresa la propiedad ‘ hay alguien además de x ’ (la pro piedad de no estar sólo), dado que |Ax3y(x ^ y)]M.g es la función que asigna el valor l a d, sólo en el caso en que haya algún d' ^ d en el dominio, y el valor 0 cuando no sea así. En consecuencia, si D contiene más de un elemento, entonces la función [Ax3y(x ^ y)]]M,g asigna el valor 1 a cada elemento de D. Ahora bien, |[Ax3y(x ^ y )(y )jM ,3 es el valor asignado por |Ax3y(x ^ 2/)lM,g a y (y), así que este valor también será 1 si el dominio contiene más de un sólo elemento. Esto contrasta con |3y(y ^ y)]M.£, la cual, ciertamente, será 0. De esto se sigue que Ax3y(x ^ y) (y) y 3y(y ^ y) no son fórmulas equivalentes. En lógica de predicados hay, sin embargo, una condición bajo la cual Vx0 y Vyiy/x]^ resultan equivalentes: la condición de que y sea libre para x en 4>. Esta condición puede ser usada para nuestros propósitos, aunque aquí debe ser generalizada, debido a la capacidad del A-operador para acotar variables. Veamos la definición 4.5.: D e fin ició n 4.5. Una variable v' es libre para v en la expresión (3 si y solamente si ninguna ocurrencia libre de v en f3 está dentro del alcance de un cuantificador 3v' o V i/, o de un A-operador Xv'. Resulta que Av/3(v') y [v'/v\f3 son equivalentes si v' es libre para v en ¡3. Como hemos visto, sin embargo, algunas de las expresiones 7 con las que hemos trabajado son más complejas que una simple variable v '. En tales casos, la

A-conversión se permite sólo si todas las variables libres en 7 son libres p^ v en (3. De esta manera tenemos el teorema 4.1. Teorema 4.1.

I

Si todas las variables libres de 7 son libres para v en f3, entonces A /v]¡3 son equivalentes.

1 1

No demostraremos este teorema aquí. La demostración es por inducción en ¡3. El teorema 4.1. es particularmente útil, dado que permite reducir expre siones largas y complejas a expresiones cortas y más legibles que significan lo mismo. También facilita una demostración simple de cóm o el orden en el que una expresión se aplica a otras dos puede ser importante. Si, por ejem plo, XxXy( A( y) ( x) ) se aplica primero a j y después a m, entonces obtenemos XxXy( A{ y) ( x) ) ( j ) ( m) . Esto determina el orden en el cual la A-conversión debe tener lugar. El functor XxXy( A( y) ( x) ) se aplica primero al argumento j , y el resultado, XxXy( A( y) ( x) ) ( j ) , que es de nuevo un functor, se aplica al argumen to m (si escribimos los paréntesis exteriores de XxXy( A( y) ( x) ) ( j ) obtenemos ( XxXy( A(y)( x))( j ) )(rn), lo cual hace que la expresión sea más clara; pero, da do que A ( y ) ( x ) es de tipo t, no es necesario hacer esto). El primer paso en la reducción, entonces, es aplicar A-conversión en XxXy{ A{ y) ( x) ) ( j ) , lo cual reduce la expresión Xx Xy ( A( y) ( x) ) ( j ) ( m) a Ay( A( y) ( j ) ) ( j n) . El siguiente paso es substituir m por y , y com o resultado se obtiene A(rn)( j ) . Dicha expresión es adecuada para el significado de XxXy( A( y) ( x) ) . Esta última expresión, com o lo vimos anteriormente, se debe interpretar com o la relación ‘es irado por’. La aplicación a la constante j resulta en \y( A( y) ( j ) ) , que expresa ‘ser ira do por j \ La aplicación de esta última expresión a m resulta en A ( m) ( j ) , que significa lo mismo que ‘j ira a m\ Si, por otro lado, XxXy( A( y) ( x) ) se apli ca primero a m y después a j , el resultado es XxXy(A(y)(x) )(rn)(j ). La primera A-conversión tiene com o resultado Ay ( A( y ) ( m) ) ( j ) , y la segunda, A(j)(rn). Hay casos en los cuales el teorema 4.1. no es aplicable directamente, pero incluso allí la situación tiene solución. Regresemos, por ejemplo, a la fórmula Ax 3 y ( x y)(y), sobre la cual la A-conversión no es sancionada directamente por el teorema 4.1. El problema radica en el cuantificador 3y. Podemos desha cernos de este cuantificador reemplazando 3y( x ^ y) por la fórmula 3z ( x 7^ z), que tiene el mismo significado. Esto es así dado que 2 es libre para y en x / y. De esta manera, obtenemos Xx3z( x 7^ z){y) y, por consiguiente, y es libre para x en 3z ( x ^ z ), así que la A-conversión resulta ahora en 3z( y ^ z ). Es claro que la última fórmula tiene el significado correcto.

pos preguntas teóricas pueden hacerse en relación con la A-conversión en • teínas lógicos com o este. Primero, ¿será cierto que al aplicar A-conversiones

Sl manera sucesiva a una fórmula compleja se llega siempre a un estado en el ûal ya no es posible aplicar más la A-conversión? La respuesta es sí; la A°onversión no puede aplicarse de manera indefinida. Este resultado no es para nada trivial. Hay expresiones — aunque la verdad no pueden formularse en la versión de la Teoría de Tipos con A-abstracción que trabajamos aquí— en las cuales serían posibles ilimitadas A-abstracciones. Un ejemplo de tal expresión es A x (x (x ))(A x (x (x ))), la cual es una suerte de paradoja de Russell en forma de lambdas: [A x (x (x ))/x ](x (x )) es A x (x (x ))(A x (x (x ))). La segunda pregunta surge del hecho que en expresiones complejas la Aconversión, a menudo, pueda aplicarse en distinto orden. A partir del resul tado mencionado arriba, sabemos que la A-conversión debe parar en algún punto, así que la pregunta sería: ¿será cierto que este punto es independien te del orden con que arranquemos y acaso diferentes series de A-conversiones siempre dan el mismo resultado? La respuesta a esta pregunta es afirmati va, pero condicionada. Se debe permitir que las variables acotadas sean re emplazadas por otras variables, tal como lo hemos hecho anteriormente al sustituir z por y en 3z ( x ^ y). El resultado final siempre es único cuando no se lleve cuenta de tales variaciones de variables acotadas. El resultado, también, está lejos de ser trivial. Este resultado no es válido, por ejemplo, para la teoría intensional de tipos que discutiremos en el capítulo 5. Ejercicio* 4.10. Sea j una constante de tipo e; M , de tipo (e, t), y A de tipo (e, (e, í}). Más aún, x e y son variables de tipo e, y Y es una variable de tipo (e, t). Reduzca las siguientes expresiones por medio de la A-conversión tanto com o sea posible: (i) A x (M (x ))(j) (ii) AY ( Y ( j ) ) ( M ) (iii) A x A Y (Y (x ))(j)(M ) (iv) Ax Vy { A( x ) ( y ) ) ( j ) (v) Ax Vy( A( x) ( y) ) ( y) (vi) X Y ( Y ( j ) ) X x ( M (x)) (vii) XY\/x(Y(x))Xy(A(x)(y))

E jercicio 4 .1 1 .

Es posible definir los conectivos y cuantificadores usuales utilizando sólo ]a identidad y el A-operador. Presentamos la definición de la tautología T ) la cual es una noción auxiliar útil, donde p es una variable de tipo t: 1 T ~def Ap(p)

|

Provea las definiciones de negación, conjunción y del cuantificador universal. 1

4.4.2.1.

El A-operador y la composicionalidad

Hemos visto cóm o el A-operador nos permite hacer una traducción formal de varias expresiones y construcciones del lenguaje natural. Ahora indicaremos, de manera breve, cóm o este operador permite que el proceso de traducción se realice más sistemáticamente. El propósito principal de traducir un len guaje natural en un lenguaje formal es obtener una interpretación semántica del primero, vía la semántica del segundo. Esto se logra ya que el significa do de una traducción correcta es igual al significado de lo que es traducido. Para que la interpretación semántica sea satisfactoria, sin embargo, es nece sario que el proceso de traducción cumpla con ciertos requerimientos. Entre ellos, dos importantes son que el proceso sea explícito y que pueda ser especifi cado de una manera finita. Tal como en el caso de la sintaxis, el requerimiento de que el proceso de traducción sea explícito significa que no debe recaer de manera alguna en el conocimiento o creatividad del traductor: el proceso debe ser tal que podría, por lo menos en principio, ser automatizado. Más aún, el proceso de traducción, aunque esencialmente finito, debe traducir un número potencialmente infinito de oraciones. Una manera de hacer esto es seguir el camino de las reglas sintácticas del lenguaje natural en cuestión, de las cuales hay un número finito. Aquí asu mimos que hay traducciones disponibles para todos los elementos léxicos del lenguaje, los que también son un número finito. Entonces, para cada regla sintáctica que dice cóm o se pueden usar las expresiones para formar expre siones complejas, formulamos una regla paralela, que dice cóm o la traducción de dichas expresiones pueden ser combinadas para traducir las expresiones complejas. Esto guarda una gran semejanza con el principio de composiciona lidad del significado y en efecto la semejanza no es sólo una coincidencia. Dado que las traducciones forman representaciones semánticas de lo traducido, la composicionalidad del significado trae consigo la composicionalidad de la traducción.

Ahora bien, debe ser claro que la manera en que hemos traducido hasta las oraciones del lenguaje natural en lógica de predicados estándar no ni explícita, ni composicional. Consideremos la oración (35), por ejemplo, cual se traduciría de manera más natural como (36): (35) Juan fuma y bebe (36) S j A D j Esta manera de traducir no es muy explícita, pues hace uso esencial de nuestro conocimiento del significado de (35), en particular, de nuestro conocimiento de que (35) expresa la conjunción de dos oraciones. Además, no es composicional, dado que no ofrece ninguna explicación de cómo la traducción (significado) de (35) se construye a partir de las traducciones (significados) de Juan y fuma y bebe, o de cómo la traducción de fuma y bebe se construye a partir de las traducciones de fuma y bebe. De hecho, en el lenguaje de la lógica de predicados no es posible dar cuenta de esto, dado que la expresión fuma y bebe no puede traducirse en tal lenguaje. Como hemos visto, sin embargo, si añadimos un Aoperador, dicha traducción se hace posible, pues los elementos léxicos de (35) son representados de la siguiente manera: Juan: j , fuma: S, bebe: D. La frase fuma y bebe puede ser representada por (37), mientras que la oración (35) se traduce com o (38):

(37) Xx(S(x) A D( x ) ) (38) Xx(S(x) A D ( x ) ) ( j ) Aplicando A-conversión a (38) obtenemos la oración más familiar (36) (qui tando o poniendo algunos paréntesis). Así que el resultado es el mismo, pero la manera en que fue obtenido es preferible. Un segundo ejemplo es el de la traducción de las oraciones que contienen términos cuantificados. La oración (39), por ejemplo, se traduce como (40): (39) Todo hombre camina (40) V x ( M( x ) - » W { x ) ) Esta traducción en lógica de primer orden estándar tampoco es composicional. No tenemos términos separados para todo hombre. Utilizando el A-operador, sin embargo, es posible darle una traducción (y por lo tanto su significado propio) en la Teoría de Tipos. Todo hombre se traduce como (41):

(41) A Y V x(M (x) - » F (x )) Aquí, Y es una variable de tipo (e, t), así que (41) es una expresión de t i p 9 ((e, t) , t ) . Com o tal, su interpretación es (la función característica de) alg^ 1 conjunto de conjuntos de individuos. En otras palabras, (41) es un predicado segundo orden que expresa ÍY es una propiedad que es verdadera de todos 1<9 hombres’ . Aplicando (41) al predicado W , la traducción de camina, obteneiQqJ (42) com o nuestra traducción de (39): (42) A F V x(M (x) - » Y ( x ) ) ( W ) Esta fórmula expresa la proposición de que la propiedad de ser algo que cami na es una de las propiedades de todos los hombres, lo que significa que ‘todo hombre camina’ . Una vez más, (42) se reduce por A-conversión a la versión más familiar (40). Así que no es el resultado de la traducción el que es mejor, sino la manera de llegar a ella. E l A-operador nos permite traducir (39) composicionalmente, a partir de las traducciones de todo hombre y camina. Incluso, el determinante todo puede traducirse de manera separada, a saber: (43) A X A F V x (X (x ) - » Y( x ) ) De esta manera, el determinante se traduce como una expresión de tipo ((e, t), ((e, t), t)). Su interpretación puede considerarse com o una relación bi naria de segundo orden, es decir, una relación entre conjuntos de individuos. Según esta relación, un conjunto A se relacionará con un conjunto B solamente cuando todos los elementos de A sean elementos de B. Aplicando (43) a un predicado monádico de primer orden, por ejemplo M , obtenemos el predicado monádico de segundo orden (44): (44) A X A F V x (X (x ) - » Y ( x ) ) ( M ) Esta es la traducción composicional del término cuantificado todo hombre. La expresión (41) puede recuperarse al aplicar A-conversión a (44). El procedimiento delineado anteriormente también puede aplicarse a otros términos cuantificados, como una mujer, tres muchachos, el rey de Francia, y a otros determinantes com o un, el, todo, dos, etc. Regresaremos a este tema con mayor profundidad en el capítulo 6. Allí daremos un procedimiento de traducción para un fragmento del idioma español, trabajando dentro de la gra mática de Montague.

F A o p era d or también hace posible introducir cuantificadores de maneW t oremática en lugar de sincategoremática. Aquí, nos restringiremos a Cü antifica d ° res de primer orden. El tratamiento categoremático de cuanl°s 0 , g de orden superior es completamente análogo. Introduciremos los ti .e cadores de primer orden 3 y V de manera categoremática, tratándolos CU o predicados de segundo orden, es decir, com o expresiones de tipo ((e, t), t). ^C SX ° iQ ge aplican a los predicados de primer orden, entonces, los cuantifica dores resultan en una fórmula. Los cuantificadores siguen siendo constantes lógicas Por lo tanto, debemos añadir cláusulas a la definición de la función de in te r p r e ta c ió n que establezcan cuáles elementos de D ^ e>í)it) deben tomarse como interpretaciones de los cuantificadores: 1. 7(3) es la función /g G {0 ,1 }í° 1 tal que si h e f 3 (h) = 1 sii hay un d e D tal que h(d) — 1

{ 0 , 1 }D. entonces

2. /(V ) es la función /v G { 0 , 1}Í011D tal que si h fy(h) = 1 sii para todo d G D: h(d) = 1

{0 ,1 }-°, entonces

G

En palabras más sencillas: 1(3) es (la función característica de) el conjunto de subconjuntos no vacíos de D. es decir, (la función característica de) { A \A C D&A 7^ 0}. /(V ) es (la función característica de) el conjunto de subconjuntos de D que contienen todos los elementos de D. es decir, el conjunto con D como su único elemento: { D } . Para un predicado monádico de primer orden P, la fórmula 3 (P ) es verdadera sólo cuando por lo menos una cosa en el dominio es un P . Y la fórmula V (P ) es verdadera solamente cuando todo en el dominio es un P. El A-operador se necesita, ahora, para convertir las fórmulas con una variable libre v (es decir, precisamente la clase de fórmulas a las cuales normalmente le aplicaríamos el cuantificador 3v o Vt>) en predicados monádicos a los cuales se les pueda aplicar los cuantificadores 3 y V, que hemos introducido de manera categoremática. Así que escribimos V A x(A (x)(z)) en lugar de Vx(^4(x)(x)), y 3\xV\y( A( x) ( y) ) en lugar de 3xVy( A( x) ( y) ) . Para ponerlo de manera general: 3Ax0 debe escribirse en lugar de 3xtj), y VAx0 en lugar de Vx<£. Hemos interpretado 3 com o el conjunto de todos los conjuntos no vacíos de D. Esto significa que el cuantificador 3 es equivalente a la expresión A K 3x(Y (x)) en la Teoría de Tipos, que contiene el cuantificador normal 3x. De la misma manera, V es equivalente a A F V x(F (x)). La expresión 3 y la expresión equivalente X Y 3 x ( Y (x)) pueden verse como representaciones lógi

cas del término cuantificado algún (o alguien, si el dominio en cuestión coq í siste sólo de personas). La expresión V, y por lo tanto \ Y V x (Y (x )), repre l senta de manera similar el término cuantificado todo. Por ejemplo, el vínClQ con la manera en que el término todo hombre fue representado en (41) es obvi0 También es posible dar un tratamiento categoremático de las expresiones en U Teoría de Tipos que corresponden a determinantes. Sin embargo, los determi. nantes no crean problemas nuevos, así que no lo haremos aquí. Tal vez es importante resaltar que aunque ahora tenemos dos maneras aparentemente distintas de traducir algún, a saber, 3 y X Y3 x ( Y( x ) ) , las dos son en efec to equivalentes, así que no hay razón para preferir una en lugar de la otra Ambas expresiones representan el mismo significado, así que la diferencia es puramente notacional. Un último punto que queremos resaltar concierne a la representación de las expresiones cuantificadas como muchos, la mayoría, pocos, más de la mitad, etc. Estas expresiones no pueden representarse por medio de los cuantificadores familiares de la lógica de predicados estándar. Sin embargo, ellos pueden representarse en la Teoría de Tipos con A-abstracción. Pero incluso aquí hay una diferencia esencial entre, por una parte, aquellas expresiones cuantifica das que pueden representarse en términos de cuantificadores estándar, tales com o todos, un, exactamente uno, tres a lo sumo, más de cuatro, y similares, y, por otra, las expresiones que acabamos de mencionar, que no pueden ser representadas de esta manera. Esta diferencia se puede ilustrar de la siguiente manera: las oraciones con cuantificación restringida com o un hombre o to dos los muchachos siempre pueden parafrasearse usando el cuantificador no restringido correspondiente: (45) Un hombre está caminando (46) Todos los muchachos están durmiendo (47) Alguien (es un hombre y camina) (48) Todo (duerme, si es un muchacho) En el caso de los cuantificadores restringidos como muchos hombres y la ma yoría de muchachos, sin embargo, las parafrases de este tipo son bastante extrañas, com o se puede ver claramente en los siguientes ejemplos: (49) Muchos millonarios son felices (50) Muchos (son millonarios y felices)

iJua parafrase u tiliza n d o el cu an tificad or u n iv e rsa l no re su lta m ejor: (51) Muchos millonarios son pobres (52) Muchos (son pobres, si son millonarios) Mientras que (51) es sencillamente falsa, (52) es verdadera dado que hay rela tivamente pocos millonarios (y dado el significado de la implicación material). £1 punto es este: las oraciones con cuantificadores estándar restringidos siem pre pueden reducirse a oraciones en las cuales un cuantificador, que es un predicado monádico de segundo orden, se aplica a algún predicado de primer orden compuesto. Sin embargo, esto no es cierto para oraciones con cuantifi cadores com o muchos, la mayoría y similares, los cuales son cuantificadores restringidos. Tales oraciones no pueden reducirse a oraciones en las cuales el cuantificador se vuelve un predicado m onádico de segundo orden que se apli ca a un predicado compuesto. Los cuantificadores com o muchos y la mayoría son esencialmente binarios. Esto puede demostrarse rigurosamente, pero no lo haremos aquí. Tales expresiones deben ser, entonces, interpretadas como ex presiones de tipo ((e, t), ((e, t), t)), esto es, com o relaciones binarias de segundo orden. Permítasenos dar un ejemplo: un conjunto A de individuos se relaciona con un conjunto B, por medio de la relación más de la mitad sii más de la mitad de los elementos de A también están en B. Una complicación adicional ocurre con expresiones como muchos, pocos y la mayoría. Estas expresiones también deben ser interpretadas com o relaciones binarias de segundo orden, pero no es obvio exactamente a cuáles relaciones binarias de segundo orden se refieren. La proporción de As que deben ser Bs para que la oración muchos A s son B s sea verdadera es un asunto, en gran medida, dependiente del contexto. El análisis de las expresiones cuantificadas esbozado anteriormente juega un rol muy importante en el marco de la Gramática de Montague, que será in troducida en detalle en el capítulo 6. Recientemente, este análisis ha inspirado muchas investigaciones sobre la naturaleza de las expresiones cuantificadas que se conoce como la ‘Teoría de los Cuantificadores Generalizados’ . Esta teoría se introduce en el capítulo 7.

Capítulo 5

Teoría de Tipos Intensional

5.1.

Introducción

Este capítulo consiste, principalmente, en una exposición de la Teoría de Ti pos Intensional, un sistema obtenido al enriquecer la Teoría de Tipos con una semántica intensional. La semántica intensional particular usada aquí difiere en muchos aspectos de la que se presentó en la sección 3.3.4. para la lógica de predicados modal. Volveremos sobre las diferencias y similitudes dentro de poco. Una razón para tratar esta teoría particular de tipos intensional es que la necesitaremos más adelante cuando lleguemos a la Gramática de Monta gue (en el capítulo 6). La última sección de este capítulo contiene algunas observaciones sobre la Teoría de Tipos Di-sorteada. Así com o la Teoría de Ti pos Intensional, aquella es una extensión de la teoría de tipos extensional que tratamos en el capítulo 4.

5.2.

Construcciones y conceptos intensionales

Hay mucho por decir sobre la Teoría de Tipos Intensional como un interdiario entre el lenguaje natural y su interpretación semántica. Como argumentamos en la sección 4.2.1., los lenguajes naturales contienen expresiones de muchos

tipos divergentes. Por consiguiente, es apropiado utilizar un lenguaje lógico con una estructura de tipos. Además, los lenguajes naturales son intesionales, pues

contienen expresiones y construcciones que crean contextos opacos. Hemos vigto muchos ejemplos de esto en el capítulo 3, en particular en la sección 3.1. Los contextos opacos son también conocidos com o contextos intensionales, y las expresiones y construcciones a las que dan lugar, en cuanto tal, se dice que son intensionales. La intensionalidad de los lenguajes naturales es relevante en muchos aspec tos. Para comenzar, los lenguajes naturales contienen expresiones temporales, modales y deónticas, las cuales involucran intensionalidad. Un sistema lógi co adecuado debería contener expresiones que correspondan a las anteriores. Además de esto, sin embargo, debería contener expresiones que refieran direc tamente a entidades intensionales com o proposiciones, conceptos individuales y propiedades; dado que los lenguajes naturales contienen también estas ex presiones. Com o ejemplo de expresiones de este estilo, considere lo siguiente: (1)

Juan afirma que la reina de Holanda reside en La Haya

La expresión afirma en (1) no puede reemplazarse por una relación entre un individuo, en este caso Juan, y una oración, en este caso (2): (2)

La reina de Holanda reside en La Haya

La razón es que (1) podría ser verdadera sin que Juan sostenga una relación con esta u otra oración en español. El no necesita haberla escrito, pronunciado o algo parecido. Juan podría ser un galés iletrado que no reconocería una ora ción en español si la viera, y aún así podría seguir afirmando que la reina de Holanda reside en La Haya. El podría afirmar esto, por ejemplo, pronunciando las palabras Mae brenhines yr Isalmaen yn byw’n yr Hág, que corresponden a la traducción galés de (2). Esto último sugiere fuertemente que afirmares una relación, no entre individuos y oraciones, sino entre individuos y proposicio nes. En particular (1) dice que Juan mantiene la relación con la proposición expresada no solamente por (2) sino también por su traducción galés y por la siguiente oración: (3)

La mujer monarca de Holanda vive en La Haya

En la oración (1), entonces, la expresión Juan hace referencia a un individuo y la reina de Holanda reside en La Haya hace referencia a una proposición,

mientras que afirma hace referencia a la relación entre el individuo y la pf ■ posición. Esto, por supuesto, no implica decir que la verdad de (1) ex clu iiJ que Juan mantuviera cierta relación con oraciones particulares. Típicamente I al afirmar una proposición, uno debe decir, escribir, gritar o proferir alg^^’ oración que exprese la proposición. El punto es sólo que (1) no es acerca ^ 3 proferir sino de afirmar. Si una teoría lógica consiste en proveer representaciones de oraciones qnj hacen referencia a entidades intensionales como proposiciones, entonces se re-l querirá de expresiones que correspondan a esas entidades. La expresión la reina de Holanda reside en La Haya hace referencia a una proposición, y una tra ducción composicional del significado de (1) requerirá de una teoría lógica con la capacidad para hacer referencia a proposiciones. Ejemplos similares a (1) pueden construirse para mostrar que también se requieren expresiones lógicas que hagan referencia a conceptos individuales y a propiedades. Vimos en la sección 1.8. que las proposiciones, los conceptos individuales y las propiedades son las intensiones de oraciones, términos y predicados, res pectivamente. El concepto de intensión, que podría ser definido en términos de referencia múltiple, es la contraparte formal de la noción “fregeana” de Sinn. Esta noción se encuentra en el núcleo del concepto de significado; allí donde la semántica intensional nos permite definir conceptos intensionales, la actual Teoría de Tipos Intensional nos provee de expresiones por medio de las cua les podemos hacer referencia a estos.

5.3.

Sintaxis

Al definir la sintaxis de la Teoría de Tipos Intensional, comenzamos, como de costumbre, presentando los tipos posibles: Definición 5.1. El conjunto T de tipos en la Teoría de Tipos Intensional es el conjunto más pequeño tal que: (i) e , t e T (ii) Si a, b G T , entonces (a, b) (iü) Si a

G

T , entonces (s, a)

G

G

T

T

. y corno en la Teoría de Tipos Extensional, tenemos a e y t como nuestros tipos básicos, e, una vez más, es el tipo de aquellas expresiones que hacen Í&rencia a entidades, y t, el tipo de aquellas expresiones que hacen referencia a ^ oreS Je verdad. La cláusula (ii) también permanece como es usual; lo que es uevo es la cláusula (iii). Esta cláusula nos permite formar un nuevo tipo (s , a) ¿ado un tipo arbitrario a. Obsérvese que s no es un tipo; su único propósito ^perm itirnos formar nuevos tipos compuestos. No existen, entonces, expresioes de “tipo” s. Esta restricción es eliminada en la Teoría de Tipos Di-sorteada, la cual se trata brevemente en la sección 5.8. Un tipo {s, a) puede ser usado en la construcción de otro nuevo tipo compuesto, de acuerdo con las cláusulas (¡i) y (iii). Expresiones del tipo (s , a ) serán usadas para hacer referencia a funciones desde mundos posibles a entidades de tipo a; esas expresiones hacen referencia a entidades intensionales. El vocabulario de cualquier lenguaje L de la Teoría de Tipos Intensional particular está conformado por una parte compartida por todos los lenguajes de la Teoría de Tipos Intensional, junto con un número de símbolos que son peculiares a este lenguaje. La parte compartida es: (i) Para cada tipo a, un conjunto infinito V A R a devariables de tipo (ii) Los conectivos A, V, —»,

a

<->

(iii) Los cuantificadores V y 3 (iv) El símbolo de identidad = (v) Los operadores □ , 0 , A y v (vi) Los paréntesis ( y ) La parte que es peculiar a L consiste en: (vii) Para cada tipo a, un conjunto (posiblemente vacío) C O N de constantes de tipo a Así como en la Teoría de Tipos ordinaria, aquí debemos tener cuidado de no confundir las constantes y las variables de tipos diferentes. Con este fin usaremos convenciones notacionales ya introducidas e introduciremos otras nuevas donde sea necesario. La sintaxis podría definirse, ahora, siguiendo las líneas de la Teoría de Tipos ordinaria. En comparación con la definición 4.2. desde la sección 4.2.2. las cláusulas (vi), (vii), (viii) y (ix) son nuevas:

Definición 5.2. (i) Si a (ii) Si a

GVARa

o a

G W E ( a bj y

G

CON j¿, entonces a

WE%

G

, entonces (a(¿3))

¡3 G

G

WÜ^

(iii) Si ,ip G W -E f, entonces -., (0 A ), ( V ^ ), ( ij>) y ( G WE% (iv) Si <j) G W E t y v (v) Si a, /? (vi) Si a

G

(vii) Si ^

G

(viii) Si a (ix) Si a

G

G

entonces Aa

G WE^gay

G

W -Ef

V ARb, entonces Ava

W E ^ entonces □, 04>

G WE%,

T|

V A R a, entonces W 0 , 3?;<jí> G W E ^

WE%, entonces (a = (3) y¡)G

J

G

entonces va

G

G

V A R (b,a)

W E^

WE^g ^ G

W E^

(x) Todo elemento de WE%, para cada a, se construye en un número finito de pasos usando (i)-(ix) La cláusula (vii) introduce los operadores modales □ y 0 en la forma usual. No entraremos en el problema de introducir también operadores temporales, ya que esto complicaría las cosas innecesariamente. Más tarde volveremos sobre ello. La cláusula (vii) sirve para introducir un operador A, leído como ‘cap’ o ‘ arriba’, el cual cuando se aplica a una expresión de cualquier tipo a se convierte en una nueva expresión dé tipo (s , a). Como se verá cuando entremos a la parte semántica, una expresión Aa hace referencia a la intensión de a. Por ejemplo, si G W E ^ , entonces A(p G WE^s ^ . Así, cuando (f) hace referencia a un valor de verdad, A(p hace referencia a una función de mundos posibles a valores de verdad, es decir, a una proposición. El operador v , introducido en la cláusula (ix) y que se lee ‘cup’ o ‘abajo’, sólo puede aplicarse a una expresión si ésta es de algún tipo intensional (s, a). Si a G W E ^ s a j, entonces '"Ja G W E la . Veremos que para cualquier mundo posible dado w, va hace referencia al resultado de aplicar la referencia de a en w a w. Obviamente, esto solamente tiene sentido si a es de algún tipo intensional y, com o tal, hace referencia a una función de mundos posibles en algún dominio cualquiera. Dos ejemplos: si a G C O N ^ s ey entonces v a G W E g (y AVQí G W E ^ g e^).

Además, si

< \ > E W E [,

entonces

A(f> €W E ^s

^ y así

v /V>gW/ E í¿ .

Ejercicio* 5.1 .

las siguientes oraciones de símbolos son expresiones bien formadas del lenguaje de la Teoría de Tipos Intensional? (i) (iv) (vii) (x) (xiii)

(b)

* Í (A¿) M ( v; ) M ( VAj ) V**X7') A/V

(ü) (v) (viii) (xi) (xiv)

M( *j ) * Í (AM ) M ( AVj ) A(* í ( /) ) * í ( VAAj )

(iii) (vi) (ix) (xii)

M ( A; ) ítf(AV; ) A{ M( j ) ) A(M (/))

¿Cuál es el tipo de a en cada uno de los siguientes cuatro casos? (i) p G W E [ y a ( Ap) G W E [ (ii) j G W E L e y a ( Aj ) G W E \ (iii) j G WE% y A a(va ( j) ) ( a ) G W E (J (iv) p G W E [Ls t) y va ( AVp) G W E eL

5.4.

Semántica

El primer paso para dotar la Teoría de Tipos Intensional de una semántica, nuevamente, consiste en especificar dominios de interpretación apropiados pa ra los diferentes tipos que tenemos a nuestra disposición. Lo que es nuevo es que estamos ahora tratando con tipos intensionales, es decir, con tipos de la forma (s, a). Una expresión de cualquier tipo intensional (s, a) será interpreta da com o una función definida desde mundos posibles a elementos del dominio de interpretación correspondiente al tipo a. Así, definimos los dominios de in terpretación para expresiones de los varios tipos sobre la base de algún dominio de individuos D y un conjunto de mundos posibles W. Esta definición del do minio de interpretación de expresiones de tipo a con respecto a un dominio D y un conjunto W de mundos posibles, que escribimos D a.D.w, se presenta de la siguiente forma: D e fin ició n 5.3. (i) (iii)

L) e_D,W = D

(ii)

T>t,D,w = {0 ,1 }

D (a,b),D,W = I\ d ,vÍ^

(iv)

D(s,a),r>,w = D ^ DW

Siempre que sea posible, los subíndices D y W serán omitidos. Las tres p j meras cláusulas, que ya son familiares, establecen que aquí también las presiones de tipo e refieren entidades, mientras que las expresiones de tipo ' ■ refieren valores de verdad y expresiones de tipos funcionales (o, b) se refieren J funciones definidas desde cosas de tipo o a cosas de tipo b. Es sólo en la nue\3 cláusula (iv) donde el conjunto W de mundos posibles se encuentra realmente! involucrado. = D ^ , que es el conjunto de todas las funciones con ty como dominio y D a com o rango. Por ejemplo: ^ = {0,1}™ = j l conjunto de todas las funciones que van desde mundos posibles hasta valo-1 res de verdad. Una expresión de tipo (s, t) se refiere, entonces, a una función que va desde mundos posibles hasta valores de verdad. Funciones de este tipo 1 serán llamadas proposiciones. Así, D (S)t) es el conjunto de proposiciones. Un segundo ejemplo: D( s<e

= (0, l D)w: el conjunto de funciones desde

mundos posibles hasta (funciones característica) de conjuntos de individuos. Una expresión de tipo (s, (e,t)) se refiere, entonces, a funciones desde mundos posibles a conjuntos de individuos. En este caso, los conjuntos de individuos sirven com o interpretaciones de predicados y un predicado hace referencia en diferentes mundos a diferentes conjuntos. Esta referencia múltiple de un predicado puede ser vista com o una función que va desde mundos posibles a conjuntos de individuos, y esta función podría ser vista com o la intensión del predicado. Cualquiera de estas intensiones será llamada una propiedad. Así, es el conjunto de propiedades de individuos, y expresiones del ti po (s, (e, t)) se refieren a propiedades de individuos. Tendremos más que decir sobre la relación entre predicados y propiedades y más sobre la relación entre referencia e intensión, una vez que hayamos tratado los modelos de la Teoría de Tipos Intensional. El cuadro 5.1. contiene más ejemplos de interpretación de expresiones de tipos que involucran s (ejemplos de tipos que no involucran s se encuentran en el cuadro 4.2.). Los términos en itálica en el cuadro 5.1. son expresiones comúnmente usadas para las entidades intensionales en cuestión. Un modelo M para un lenguaje de la Teoría de Tipos Intensional L con siste en un conjunto no vacío D , su dominio, un conjunto no vacío de mundos posibles W y una función de interpretación I. Al igual que en la sección 3.3.4., hemos decidido tratar con un dominio único. Este no es el único camino que tenemos, puesto que también debemos introducir una relación de accesibilidad entre los mundos. Asumiremos que todo mundo es accesible desde sí mismo y desde cualquier otro mundo; sin embargo, elegiremos a R com o la relación universal que incluye todos los pares de mundos en W. Así pues, la semántica puede ser definida evitando toda mención de R (como en efecto será definí-

s,t) s, (e, t)) s,(e, (e, <)))

s ,« e ,í),í»

(s,e),t)

s,((s,e),t)) (s,t),t)

Interpretación Funciones de mundos en entidades, es decir, conceptos indivi duales Funciones de mundos en valores de verdad, es decir, proposicio nes Funciones de mundos en conjuntos de entidades, es decir, pro piedades de primer orden Funciones de mundos en funciones de entidades en conjuntos de entidades, es decir, relaciones diádicas de primer orden Funciones de mundos en conjuntos de conjuntos de entidades Funciones de conceptos individuales en valores de verdad, es decir, (la función característica de) un conjunto de conceptos individuales Funciones de mundos en conjuntos de conceptos individuales, es decir, una propiedad de conceptos individuales Funciones de proposiciones en valores de verdad, es decir, (la función característica de) un conjunto de proposiciones

Cuadro 5.1. Tipos e interpretaciones intensionales

da), de donde se obtiene el sistema modal S5 (ver la sección 2.3.2.). Pero, obviamente, R podría también haberse escogido de forma distinta. A continuación, la función de interpretación I asigna una interpretación a cada constante en el lenguaje de la teoría de tipos L. En sistemas lógicos extensionales com o la teoría de tipos tratada en el capítulo 4, la interpreta ción de una constante de tipo a es siempre un elemento de D a. En un sistema intensional com o el presente, sin embargo, esto no será así. Queremos que las interpretaciones de expresiones, por ejemplo el valor de verdad de una fórmula dada, sean capaces de variar de mundo a mundo. Así pues, las refe rencias de las constantes deben ser capaces de variar de mundo a mundo. Para este fin, la función de interpretación I asigna a cada constante una función que produce, para cada mundo, la interpretación de esa constante en ese mundo. Es decir, si a es una constante del tipo a, entonces 7 (a ) G D ^ , i . e . , / ( a ) es una función definida desde mundos posibles hasta elementos de D a. I ( a) ( w) es, entonces, un elemento de D a, a saber, la referencia de a en w. Obsérvese cómo difiere esto de la forma como fueron presentadas las cosas en la lógica de predicados modal, en la sección 3.3. Allí, sólo se permitió a los predicados que variaran su interpretación de mundo a mundo y las constantes individua les fueron tratadas com o designadores rígidos, con la misma referencia para todo mundo. Aquí, este no es el caso: en la Teoría de Tipos Intensional se permite que constantes del tipo e refieran a diferentes entidades en diferentes mundos. Por supuesto, las constantes individuales podrían ser tratadas como

designadores rígidos, simplemente estipulando que para cada constante a de tipo e, I ( a ) es una función que toma el mismo valor en cada mundo, es decir una función constante. Además de interpretar las constantes de esta forma también hacemos uso de asignaciones g para interpretar las variables. Como de costumbre, si v es una variable de tipo a, entonces g(v) es un elemento de D

Dada esta definición de modelos M y asignaciones g, podemos definir en Ia forma inductiva usual. Nos referimos a [c*Jm,u>,3 como la exten sión (la referencia) de a en w, dado M y g. La definición es la siguiente: Definición 5.4. (i) Si a E C O N q , entonces [aJM,u;,g = I ( a )(w ) Si a E VARai entonces [a]M,w,s = 0(<*) (ii) Si a € W E fafi) y p e W E ¿ , entonces [a (/3)JM, A

= 1 SÜ

= 1 sii

=

= 1

\(j) V 1pJtA,w,g = 1 sii [[<^jM,iu,g = 1 O |(j)

►V’Im ,w,g ~ 0 SÜ

= 0

= 1

=1

| (f) <— * í/’JMjIüjS = 1 SÍÍ |0Jm,iü,5 = M

V= 0 m ,w,9

(iv) Si (/> E W E y v E V A R a, entonces

d E D a : \4>\M,w,g[v/d\ = 1 [3v0¡M,w,ff = 1 sii para algún d E D a : [ 0 ] M ,w,g[v¡d\ = 1

IW]m,w>9 = 1 sii para todo

(v) Si a,/3 E W E ^ i entonces {a = /?]M ,w,g = 1 sii

= 1

(vi) Si a € W E q y v E V A R entonces ([A'uajM.iu.j es la función h E D ? 6 tal que para todo d E D¿ : h(d) = [a]M.tu,g[i;/d] (vii) Si 4> E W E[\ entonces [□0Jm,u>,3 = 1 sii para todo w' E W : = 1 IO01m,w,9 = 1 sii para algún w'E W : [0]m,u/,3 = (viii) Si a € W E{¿, entonces todo w' E W : h(w') = [ajM.u/.s

es la función h E

(ix) Si a € WE^s a), entonces t'ajM.iu.g = Ia ]M,™,9(w)

1 tal que para

Xal como en la definición 4.4. de la sección 4.2.3., estamos ahora en posición ¿e definir los conceptos de verdad relativa a M , validez universal y equivalen cia. Las mismas observaciones se aplican aquí, como allí. Lo que es nuevo en comparaci°n con la interpretación de la Teoría de Tipos Extensional son las cláusulas (i), (vii), (viii) y (ix). En (i), la extensión de una constante a en un mundo w es definida com o el resultado de aplicar la interpretación ¿e a a este mundo w. La cláusula (vii) define el valor de verdad de fórmulas con operadores modales: □ (j> es verdadera en w sólo en caso de que
sea verdadera en al menos algún mundo. Por su parte, la cláusula (viii) define las extensiones de expresiones de la forma Aa . Cada una de las expresiones es de algún tipo intensional (s,a) y su dominio de interpretación es, de acuerdo con la definición 5.3., el conjunto de funciones D ^ , el cual consiste en todas las funciones definidas desde mun dos a cosas del tipo a. En algún mundo dado w, Aa es interpretado com o la función de mundos a extensiones que, cuando es aplicada a algún mundo w', toma la extensión de a en w' como su valor. Un ejemplo hará esto más claro. Si cj) es una fórmula, entonces A

en ese mundo como su valor: es la función h G { 0 , 1 } W tal que: h(w') = [[]] para todo w' G W . La expresión A(p es, entonces, interpretada com o la pro posición expresada por
es la misma en todo mundo w. Esto significa que AAé es una función constante que va desde mundos a proposiciones expresadas por (f>: la proposición expresada por 0 no varía de mundo a mundo. Tomemos un segundo ejemplo. Si M es un predicado constante de primer orden unitario, es decir, si es del tipo (e, í), entonces AM es de tipo (s, (e, t)). La extensión de AM es la función que va desde mundos a conjuntos de entidades que, cuando es aplicada a un mundo w', toma com o valor la extensión de M en w': [aM]m,w,s es entonces ese h G L )''^ tal que para todo mundo w' G W. h(u/) = En consecuencia, la expresión AM se refiere a la propiedad expresada por la letra predicativa M . La cláusula La expresión a es siempre una su extensión es, extensión de va

(ix) define las extensiones de expresiones de la forma J'a. es siempre de algún tipo intensional (s, a) y su extensión función de mundos a D a. La expresión va es de tipo a y por lo tanto, algún elemento de D a. En (ix) se estipula que la en w es aquel elemento de D a que podría obtenerse aplicando

la extensión de a en w a w: [[v«]M,tu,g = I£*1m u>g(^)- Entendamos esto de nuevo con un ejemplo: sea m una constante de tipo (s, e); su extensión es una, función de mundos a individuos; supongamos que para un cierto w se tiene que ( = I ( m) ( w) de acuerdo con la cláusula (1)) es la función qUe indica el individuo más poderoso en cada mundo posible; llamaremos a esta, la función “mandamás” . La extensión de vm en w se obtiene por la aplicación de a w: [vm]M,iu,g = IMlM.tu.gíw). La extensión de vm en w es el “mandamás” de w. Obsérvese que la extensión de m podría variar de mundo a mundo. Esti pulamos que m hace referencia a la función mandamás en w, pero esto no dice nada acerca de la extensión de m en algún otro mundo w'\ podría allí haber algún otro concepto individual, digamos, el concepto individual que indica el individuo más rico en cada mundo.

Aquí tenemos un segundo ejemplo. La expresión AM es de tipo (s , (e, t)) ¡ y tiene com o su referencia, como hemos visto, la propiedad expresada por M. La expresión VAM es de tipo (e,t). Su extensión en algún mundo w se ob tiene aplicando la extensión de AM en w a w: [[vaMJm,u;,9 = IAAíjM/«j,g(w). ] La extensión de AM es aquella función cuyo valor en cualquier mundo es la extensión de M en ese mundo; así [AM|M,íu,g (u>) = I M ]Mi«,i9. Una diferencia entre este ejemplo y el precedente es que mientras la extensión de m puede depender de tu, la extensión de AM es independiente de w. La afirmación de que la propiedad AM pertenece a un individuo j en un mundo w equivale a decir que j pertenece a aquel conjunto de entidades que es el valor de AM en w. Ahora, la referencia de VAM en w es precisamente ese conjunto, así que la afirmación anterior podría traducirse com o VAM ( j) , equivalente a la fórmula más simple M ( j ) , com o veremos en la sección 5.5., donde retornaremos a la interacción entre Ay v. La definición 5.4. define las extensiones de las expresiones; ahora definire mos sus intensiones. Debe ser claro de ahora en adelante que la intensión de a puede ser definida en términos de su referencia múltiple, es decir, las varias denotaciones que tiene en diferentes mundos. Esto significa que la intensión de a puede ser definida en términos de su extensión. Así, la intensión de a en M relativa a g , que se escribe IntM,g(a), es definida de la siguiente forma: D e fin ició n 5.5. Si a 6 W E¡¿, entonces IntM,g(oi) es aquel h G DgV tal que para todo w' G W '■ h(w') - [q|m>iu/i9

La definición 5.5. afirma que la extensión de a en un mundo w es el resultado de aplicar Ia intensión de a a ese mundo w. Es decir, IntM,g{oi)(w) = [a]M,uj,gp e acuerdo con la cláusula (i) de la definición 5.4., para una constante a se tiene |a]M,iu,s = I ( a )(w )- Esto significa: I n t Mt9 (a) — / ( a ) . Vemos que las constantes son interpretadas intensionalmente. Comparando la definición de intensiones con la cláusula (viii) de la defini ción 5-4., vemos que la extensión de Aa es precisamente la intensión de a. Es decir, [AajM,tu,s e I n t M,g(a) han sido definidos de tal manera que ellos son una y la misma función. Lo que esto significa es que dada una expre sión a el A-operador nos capacita para formar una expresión Aa cuya extensión es la intensión de a. Esto significa que el A-operador provee expresiones que refieren a las diferentes clases de objetos intensionales que son la intensión de expresiones diferentes. Así pues, hemos cumplido con el requisito mencionado en la sección 5.2. Vale la pena mencionar el siguiente hecho: por definición, los principios familiares de extensionalidad no son válidos en la lógica intensional. Es decir, en un sistema intensional no tenemos (4): (4)

a = f3 |= 7 = \(5/a] 7

(En la teoría de tipos, poner el signo de identidad = entre dos expresiones cual quiera del mismo tipo produce como resultado una fórmula. Así, (4) expresa el principio de extensionalidad de forma muy general, abarcando substitución de fórmulas, predicados, etc.). En la lógica intensional, expresiones con la misma intensión podrían ser sustituidas por otras, sin afectar el valor de verdad de una fórmula. La Teoría de Tipos Intensional provee expresiones que, como su nombre lo indica, denotan intensiones y podría suceder que dos expresiones denotaran la misma intensión. Si Aa y A/3 denotan la misma intensión, en tonces a y (3 podrían ser sustituidas libremente entre sí. En consecuencia, el siguiente teorema puede demostrarse: T eo re m a 5.1. Aa = A / ? h 7 = [/ J/ a]7 El cuadro 5.2. ilustra las extensiones e intensiones de varias clases de expre siones. Obsérvese la siguiente regularidad: la extensión de una expresión de «P o (s, a) es la intensión de alguna expresión de tipo a. Obsérvese también la forma en que las intensiones y las extensiones de varias expresiones con y sin A y v están relacionadas.

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Ejercicio* 5.2. idere el siguiente modelo M : D = {a ,b ,c ,d } y W = {w\,u)2 , W3 }. Sean 9 ° m c o n s t a n t e s de tipo e. En w\ y w2, j denota a; en W3 denota b; m j t a c en todo w . M es una constante de tipo (e, t ) . En wi, M es verdadero a y b; en para c y d, y en W3 para ningún individuo. M es una constante P ^ ipo ( s ,( e ,t )). En w\ y w2, M denota la propiedad que expresa M , en ^3 se refiere a Ia propiedad que es verdadera para todas las entidades. Con base en lo anterior: (a) Escriba la función de interpretación I de M

(b) Determine los siguientes valores: IÍ1m ,U)2,S [Aj 1m ,iu3,9

(i) (iii)

(v) (vii) (ix)

|Ví\f (j ) ] m ,u;2,S [V* í = M j M,w3,g

(ü) (iv) (vi) (viii)

[aÍJm,«n ,3 [^(Í)lM ,u;2,g (VíW(j)]M,tüi,s = A M]M,tui,g

(c) Decida si las siguientes fórmulas son válidas en M : (i) 0 ( * Í = A M ) (ii) m (víW = M ) ( ii i )

3xD (m = x )

Ejercicio 5.3. Sean y variables de tipo (s, e) y j , m constantes del mismo tipo. Además, sea x una variable de tipo e y j una constante de ese tipo. Determine cuáles de las siguientes fórmulas son válidas: (i) (iii) (v) (vii)

5.5.

V*Vy(;t = y -> □ ( * = y)) 3 * □ ( * = ; ') 3xü\(Ax = j ) 3xD (x = v ;') -»•3 * P (* = j )

(ii) (iv) (vi)

; = m -> □ ( / = 3^D (^ = A j ) 3xD (x j)

m)

Los operadores A y v

Com o hemos visto, Aa denota la intensión de a. Es decir, para cualquier M , iv y g tenemos:

(5)

IAa]M,™,g - I n t M ,g(at)

La denotación de va en cualquier mundo w es la extensión de a en w apliCa(J a w: IvalM,w,9 = M m ,«>,$(«>). Así que ahora la pregunta que surge es córnQ| los operadores A y v interactúan entre sí. Primero consideramos VA . La expresión VAa denota, en w, el resultado d<J aplicar la intensión de a a w. Esto es así porque [va&Jm,iu,g = Iaí*Jm,u;,9(h>) j el cual, dado (5), es precisamente igual a IntM,g{oi)(w). Al aplicar la intensión de a a w, obtenemos la extensión de a en w. En consecuencia, IntM,g(ct)(w) = Mm.w,;?- Así, hemos demostrado que [VA)a]M,u>,9 = Ya que el argu mento anterior se aplica a cualquier a, M , w y g, hemos probado el siguiente teorema: Teorema 5.2. VAfct: es equivalente a a Esto significa que a podría ser escrita siempre en lugar de V/Y*. Sin embargo, lo mismo no aplica para AVa . Esto puede demostrarse por medio del siguiente ejemplo abstracto: sea M un modelo con dos mundos, W\ y w?. Considere la constante p de tipo (s, t). La extensión de p es una proposición. Se puede asumir que la extensión de p en w\ es la proposición k, que tiene el valor de verdad 1 cuando es aplicada a W\ y el valor de verdad 0 cuando es aplicada a w2. Podemos ir más allá y estipular que la extensión de p en es la proposición k', que tiene el valor de verdad 0 cuando es aplicada al mundo w\ y el valor de verdad 1 cuando es aplicada a i « 2. Es decir: I (p)(wi) = k k(u¡\) = 1 k(w 2) = 0

1 {p)(w 2) = k'

k'{w\) k (w2)

= 0 = 1

Ahora tenemos que [vapJm.um,g ^ Esto puede verse de las siguiente forma (en virtud de la claridad los subíndices M y g han sido omitidos): r PU

= Ia función h £ 0, l™ tal que para todo w' € W : h(w') = [vp]|u/

La proposición h se determina de la siguiente manera: h(w i) = [vp]Wl = M U M

= I(p )(w i)(w i) = k(w i) = 1; y

h(w 2 ) = [vp]W2 = W ^ í ^ ) = I(p )(w 2 )(w 2) = k'(w2) = 1;

roposieión h es, entonces, aquella función de mundos en valores de verdad ^ ^torna 1 com o su valor en cada mundo. Ella siempre es verdadera. Pero nG es esta proposición invariablemente verdadera; es l(p)(w \) = k. j\dernás, k y h son diferentes proposiciones. Así, i¿ H ® n 1° CU&1 irve como un contraejemplo a la equivalencia entre AVa y a. E s t e ejemplo abstracto puede hacerse un poco más claro. Supongamos que la oración María viene es verdadera en w\ y falsa en w2. La proposición k podría, entonces, verse com o la proposición expresada por esta oración; es decir, la proposición de que María viene. La proposición k' es expresada por la oración María no viene. Es decir, la proposición de que María no viene. De acuerdo con nuestra anterior estipulación, la extensión de la constante p en wi, el mundo en el cual ella viene, es la proposición de que María viene, m ie n tra s que la extensión de la constante en w2, el mundo en el cual ella no v ie n e , es la proposición de que María no viene. Esto hace de p una represen tación apropiada de la expresión si María viene o no, tal como aparece en ( 6 ):

(6)

Juan sabe si María viene o no

Pues considere los dos argumentos válidos siguientes: (7)

Juan sabe si María viene o no María viene Juan sabe que María viene

(8)

Juan sabe si María viene o no María no viene Juan sabe que María no viene

La validez de (7) y (8) muestra que, si suponemos que María viene, la exten sión de María viene o no es la proposición de que María viene, es decir, k-, mientras que si suponemos que ella no viene, la expresión tiene como su ex tensión la proposición de que ella no viene, es decir, k!. Por lo tanto, p es una representación adecuada para la expresión María viene o no. Esta expresión sirve, entonces, com o un ejemplo en el lenguaje natural de una expresión a para la cual AVa ^ a. Existen, por supuesto, expresiones a para las cuales AVa y a son equiva lentes. Los contraejemplos que hemos visto explotan precisamente el hecho de que las expresiones podrían tener diferentes extensiones en diferentes mundos.

En efecto, si a es una expresión que no permite tal variación en su ext4 sión, entonces AVa y a resultan ser equivalentes. Un tipo de expresiones cuj extensión no puede variar de mundo a mundo son las variables: su extensto depende sólo de la asignación que se encuentra bajo consideración.Otro eje^ pío, com o hemos visto, es cualquier expresión de la forma A/3: así AVA/3 l siempre equivalente a A/3 (un hecho que también se sigue del teorema 5.2.1 De manera más general, podemos definir una clase de expresiones cuya extej sión no varía de mundo a mundo: las expresiones intensionalmente cerradas'1 Definición 5.6.

I C E L, la clase de expresiones intensionalmente cerradas en L, es el subcon-j junto más pequeño de W E L tal que: I (i) Si v e V A R a, entonces v € I C E L (ii) Si a € WE%, entonces Aa € I C E L (iii) Si (p e W E 4¿ , entonces □, 0 (p e I C E L (iv) Si a es construido con elementos de I C E L usando sólo conectivos, cuantificadores y A-operadores, entonces a e I C E L Debe observarse que donde se permitan otras relaciones de accesibilidad R distintas a la universal, las extensiones de □ (p y 0
y 0 (p serán invariantes de mundo a mundo sólo si la extensión de (p lo es. La definición 5.6. estará, entonces, sujeta a las modificaciones apropiadas. Podemos establecer ahora los siguientes teoremas: Teorema 5.3. Si a e I C E L, entonces

para todo M , w ,w '

No demostraremos este teorema aquí. Como una consecuencia inmediata del teorema 5.3., tenemos el teorema 5.4.: Teorema 5.4. Si

a e I C E L, entonces AVa es equivalente a a

I

alíñente, obsérvese que los teoremas 5.3. y 5.4. son válidos en una sola

rCión: pertenecer a I C E L en ambos casos es una condición suficiente, pero necesaria. Por ejemplo, las propiedades relevantes son ciertas para todas las fámulas válidas, pero no todas las fórmulas válidas son elementos de I C E L. Ejercicio 5.4.

que tíJM .un.sM = 1 para todo w, y lq}M,w2,g(w) = 0 para todo w. •Es \q\w una función constante?, ¿son Avq y q equivalentes?

Suponga

Ejercicio* 5.5. Demuestre el teorema 5.4. si a es una variable (de algún tipo intensional (s ,a )).

E jercicio 5.6. Suponga que definimos una relación de accesibilidad R en W de la siguiente manera: para todo w, w w R wq y si wRw', entonces w' = wq. ¿Se requiere de una modificación en la definición 5.6. para que el teorema 5.3. continúe siendo válido? Si es así, ¿cuál sería esta modificación? Si no, ¿por qué no?

5.6.

A-conversión

Una cuestión final que tenemos que examinar concerniente a la Teoría de Tipos Intensional es la determinación de las condiciones bajo las cuales la aplicación de A-conversiones conduce a resultados equivalentes. Recordemos que la condición correspondiente en el caso de la Teoría de Tipos Extensional era que ninguna variable libre resultara acotada en el proceso de conversión (ver teorema 4.1., en la sección 4.4.2.). Claramente esta condi ción permanece vigente. Sin embargo, para la Teoría de Tipos Intensional es necesario formular una nueva condición que tiene que ver con el hecho de que estamos lidiando con expresiones cuya extensión podría variar de mundo a mundo. El siguiente ejemplo informal servirá como ilustración. Considere la ex presión Xx3y[J(x = y) (en la cual x e y son variables de tipo e). Ésta ex presa una propiedad de entidades, a saber, la propiedad que una entidad d tiene si existe alguna entidad que es necesariamente (es decir, en todos los mundos posibles) idéntica a d. Por supuesto, todas las entidades tienen esta propiedad, ya que todas ellas son necesariamente idénticas a sí mismas.

Esto significa que la fórmula X x3yO (x = y ) ( j) (en la cual j es una constan*] de tipo e) es siempre verdadera. Al aplicar A-conversión a ella obtenemos l ] fórmula 3y O (j = y). Esta fórmula es verdadera sólo en caso de que exista w entidad que, en cualquier mundo dado, sea idéntica a la entidad que j tenga como su extensión en ese mundo. Esto es así sólo si j es un designador rígi^M en otras palabras, si j denota la misma entidad en cada mundo. Pero eslJ« no está garantizado: la extensión de j podría muy bien variar de mundo a f mundo en un modelo, lo cual significa que la verdad de 3y O (j = y) no está ga- | rantizada tam poco. Así pues, este es un caso en dónde la A-conversión n0 conduce a un resultado equivalente. Acabamos de ver cóm o pueden surgir problemas si una expresión que no está intensionalmente cerrada es ubicada por la A-conversión dentro del al cance de un operador intensional, tal com o □ , 0 o A (tratar a las constantes individuales com o designadores rígidos evitaría el ejemplo anterior, pero otros contraejemplos que involucren, digamos, constantes predicativas podrían gene rarse fácilmente). El teorema 5.5. brinda dos condiciones bajo las cuales la Aconversión puede aplicarse libremente: T e o re m a 5.5.

\v(3{p¡) es equivalente a [y/v]/3 si: (i) Todas las variables libres en 7 son libres para v en ¡3 (ii) O bien 7 € I C E L, o bien ninguna ocurrencia libre de v en /? cae dentro del alcance de □ , 0 o A Obsérvese que, nuevamente, el teorema sólo establece una condición suficien te, exactamente por la misma razón que ocurre en los teoremas 5.3. y 5.4. Por razones mencionadas en la sección 4.4., la A-abstracción tiene un papel importante que jugar si la Teoría de Tipos Intensional es aplicada como un formalismo para la representación del lenguaje natural. El proceso de A-conver sión, entonces, nos capacita para reducir algunas fórmulas largas y complejas y convertirlas en fórmulas relativamente cortas y simples. El teorema 5.5. nos asegura que, por ejemplo, Xx 'X ( x ) ( j ) y yX ( j ) representan el mismo signifi cado. Ejercicio* 5.7. Sea j una constante de tipo e; j de tipo (s ,e ); M de tipo (e, t); M de tipo (s ,( e ,t )) y i de tipo ((s, e), ((s, e), t}). Sean x e y variables de tipo e; x_,y,z

• o (Sie ) y * ^S' ê’ A d u z c a las siguientes expresiones tanto ¿e tipo osible usando los teoremas 5.2., 5.4. y 5.5.: coioo sed v r\ 1 L (vü)

\X {VX (j)){ M ) (ii) X x X X a C x (x ))( j)(AM ) (iv) XxA(M (x ) Av M {x ))(y ) (vi) At/(AÂ3x(l(a:) ( y ) AA x = y ) (AYe) ( Ax )

AxAx ( vJC (x))(j)(AM ) AxAxQ (vX (x ))(AM ) ( j) XzXyC\(m(¿)(y))(Aj ) ( j )

Ejercicio 5.8. Asuma que las descripciones son analizadas, no en la forma “russelliana” , sino

por medio de i-operador (ver vol. 1, §5.6.). Suponga que se quiere expresar la afirmación de re de que el único individuo que tiene la propiedad F nece sariamente tiene la propiedad G. ¿Qué está mal con la fórmula n G (ix F x )? Trate de dar una formalización mejor, usando tanto el A-operador como el i-operador.

5.7.

Operadores temporales

La Teoría de Tipos Intensional expuesta en las páginas precedentes es prácti camente idéntica al sistema I L de Montague, que se aplica en su gramática. La diferencia es que I L también incluye operadores temporales. En efecto, I L es una extensión sencilla de nuestro formalismo en la cual los operadores temporales P , F , H y G son añadidos a la sintaxis. La semántica es adaptada añadiendo a los modelos un conjunto de momentos temporales T, linealmente ordenados por la relación < (ver la sección 2.4.). Los dominios de interpre tación dependen de T. Sólo en la cláusula (iv) de la definición 5.3. (sección 5.4.), sin embargo, aparece una diferencia real. Esta cláusula se convierte en la siguiente:

(V)

D

( s ,a),D ,W ,T

=

D ^ D ,M /,T

W x T es el conjunto de todas las parejas ordenadas (w ,t), en el cual w es un mundo y í un momento en el tiempo. Ahora, los contextos no son mundos

posibles; se han convertido en mundos posibles en momentos particulares del tiempo (ver sección 2.5.). Expresiones de un tipo intensional (s,a ) denotan, entonces, funciones de mundos en momentos de tiempo a cosas de tipo a. Para una constate, la función de interpretación I asigna una función que, para cada

mundo en un tiempo, produce la denotación de esa constante en el mund ! ese tiempo. Si a es una constante de tipo a, entonces / ( a ) G D ^ x r . 11 Ahora, la definición de la extensión presenta parejas (w ,t), en vez de síqS pies mundos w. La única diferencia real que existe está en las cláusulas (y u 9 (viii) y (ix) de la definición 5.4., en la sección 5.4. Las nuevas versiones dé estas cláusulas son las siguientes: (vii’) Si
,9 = 1 t GT : |0]t'),g 1

Para todo w' G W y to<M

(viii’) Si a G W E ¿ , entonces [Aa]M,(w,t),g es la función h G D ^ xT tal qUe para todo w' G W y todo í ' g T : h ((w ',t')) = IM Im ,«*'}.» (ix’) Si a G

entonces

(«;,*>,» = W

m ,(w,í ),s ( ( ^

*))

Obsérvese que, de acuerdo con la cláusula (vii’), □ significa ahora necesaria mente en todos los tiempos. La interpretación es diferente de la dada en la sección 2.5., en la cual la modalidad era relativizada a un momento en el tiem po. Com o hemos señalado, hay un amplio campo de libertad para definir las cosas com o uno desea. La definición 5.4. requiere aún de algunas modificacio nes para las cláusulas sobre operadores temporales, pero ya que son sencillas las dejaremos de lado. La definición de intensión, finalmente, necesita la siguiente adaptación: las intensiones tienen ahora que ser funciones de mundos y tiempos en extensio nes. Además de esta, otras extensiones son posibles, algunas de ellas fueron discutidas en la sección 3.4.

5.8.

Teoría de Tipos Di-sorteada

Esta sección, que no es requerida para un entendimiento completo del capítulo 6, abarca el tema de la Teoría de Tipos Di-sorteada. Así com o la Teoría de Ti pos Intensional, la de Tipos Di-sorteada es una extensión de la Teoría de Tipos Extensional estándar, que tratamos en el capítulo 4. Aquí también los mun dos posibles jugarán un papel importante, pero ellos serán introducidos de forma diferente: com o una segunda clase de entidad que puede ser tratada de la misma manera com o las entidades ‘normales’ en el dominio (así, la Teo ría de Tipos Di-sorteada es una lógica multi-sorteada, en el sentido del volu men 1, capítulo 5). A pesar del papel esencial jugado por los mundos posibles, la Teoría de Tipos Di-sorteada, a diferencia de la de Tipos Intensional, es un

exten sional, pues cumple con los principios de extensionalidad familia-

^^de^la lógica de predicados y la Teoría de Tipos Estándar. La razón principal m en cion arla aquí es que puede conducirnos a un mejor entendimiento de ^Teoría de Tipos Intensional. En la Teoría de Tipos Intensional s, a diferencia de e y í, no es un tipo báes s o l a m e n t e un dispositivo técnico que nos permite construir tipos ^^'puestos de la forma (s, a). Por su parte, en la Teoría de Tipos Di-sorteada e s t r a t a d o com o un tipo básico al igual que e y t. Para esta teoría, el conjunto de tipos T 2 es definido de la siguiente forma: Definición 5.7.

T2 es el menor conjunto tal que: (i) e . t , s € T2 (ii) Si a, b £ T2, entonces (a, b) € T2 El conjunto de tipos T de la Teoría de Tipos Intensional es un subconjunto propio de T2. Así, por ejemplo, ambos s y (e, s) están contenidos en T2, pero no en T. Expresiones del tipo s denotan mundos posibles. Los domi nios de interpretación correspondientes a los varios tipos, dado un dominio D de entidades y un conjunto W de mundos posibles, pueden ser definidos de la siguiente manera: D efin ició n 5.8. (i)

De,D,W = D

(iii)

D s,d ,w

=

w (iv)

D t,D,W = {0, 1} B {afi)tDtW = D fa üD ww

(ii)

Obsérvese que el dominio de interpretación correspondiente a un tipo inten sional (s , a) no está determinado en una cláusula separada, tal y como apa rece en la Teoría de Tipos Intensional (ver definición 5.3)., sino que cae ba jo la cláusula (iv). Tales tipos están ahora garantizados por la cláusula (ii) de la definición 5.7., ya que s es ahora en sí mismo un tipo. Dado que, de acuerdo con la cláusula (iii) de la definición 5.8, D S= W , la cláusula (iv) da D (sa) = D ^ . En consecuencia, el resultado es exactamente el mismo que en la Teoría de Tipos Intensional. Ahora que s es sólo un tipo normal, podemos tener variables y constantes de tipo s, que denotan mundos posibles. También se posibilita cuantificar y

abstraer sobre mundos posibles. La sintaxis de la Teoría de Tipos Di-sorteaJ es análoga a la de la Teoría de Tipos Extensional. La única diferencia es que J vocabulario ahora contiene variables y constantes de tipo s y de tipos construí dos usando s. Como veremos, los operadores modales □ y 0 y los operador^ A y v , ahora familiares por la Teoría de Tipos Intensional, son completaraeny prescindibles en la Teoría de Tipos Di-sorteada. El rol que antes jugaban fot malmente ha sido asumido por la cuantificación, la abstracción y la aplicación sobre mundos posibles. 1 En la Teoría de Tipos Di-sorteada, tal y como en la de Tipos Extensional! las extensiones de expresiones son relativas a modelos y asignaciones. La fun-1 ción de interpretación de un modelo asigna un elemento de D a a constantes 1 de tipo a, las asignaciones hacen lo mismo para las variables, y la defini- I ción de la extensión de una expresión relativa a un modelo y asignación es, j entonces, la misma que la definición correspondiente para la Teoría de Tipos I Extensional (ver definición 4.4. en la sección 4.2.2.). Nuevamente, esto diverge de la situación presentada en la Teoría de Tipos Intensional, donde la inter pretación no vincula una constante, digamos, de tipo a, con una extensión, es decir, con un elemento de D a, sino con una intensión, es decir, con un elemento de D (s ay La extensión de una expresión era relativa a mundos posibles, dando cuenta del carácter dependiente del contexto de las expresiones. Esto se logra de forma distinta en la Teoría de Tipos Di-sorteada: equipando expresiones cuya extensión varía de mundo a mundo con una variable de tipo s. La in terpretación de una de estas fórmulas llega a ser relativa a un mundo posible asignado por la asignación de esa variable. Esto puede ilustrarse por medio de un ejemplo. El verbo caminar es una expresión cuya extensión varía de contexto a contexto. En la Teoría de Tipos Intensional este verbo fue representado por medio de una constante C de ti po (e, t). La función de interpretación I asigna a C una intensión, es decir, I ( C ) G D<s,(e,t))- La extensión de C en cualquier mundo dado w puede obte nerse a partir de esta intensión como el valor tomado por la intensión en w. En la Teoría de Tipos Di-sorteada caminar se representa por medio de una expresión compuesta C(m ), donde C es una constante de tipo (s , (e , t)) y m es una variable de tipo s. El resultado es que caminar vuelve a ser representado por una expresión de tipo (e, t). La función de interpretación vincula C con una extensión, es decir, con un elemento D ^ g t^. La extensión de C[m) se obtiene al aplicar la extensión de C a la extensión de m. Esta última es g(m ), el mundo que la asignación g asigna a m. La extensión de esta representación de cami nar, C(m), depende, entonces, de lo que el mundo g asigne a m. Vemos que la

íiencia de contexto de caminar aparece aquí como una dependencia las asignaciones. La r e l a c i ó n entre C y C(rri) podría hacerse más precisa, comparando los délos de la Teoría de Tipos Intensional y de la de Tipos Di-sorteada. Sea M 111 modelo para la Teoría de Tipos Intensional, ambos basados en los mismos conjuntos D y W . Luego, M consiste e n D y W junto con /m , donde 7m vin cula constantes de tipo m con elementos de D (s a). M >2 consiste en el mismo D y W junto con Im 2, donde 7m2 vincula constantes de tipo a con elementos de Da- Además, sea C una constante en la Teoría de Tipos Intensional, cu yo tipo es (e,<), y sea C una constante en la Teoría de Tipos Di-sorteada, cuyo tipo es (s, (e ,t)). Asuma que Im (C )= I m 2 (C) ■ Se sigue que la extensión de C relativa a M , w, y g, es precisamente la extensión de C(rri) relativa a M 2 yg[rn/w\' La demostración es la siguiente. Escoja un w y un g arbitra rios. IC]m,u;,9 — Im (C )(w ) (ver la definición 5.4. en la sección 5.4.). Además, tenemos tC (m )]M2,u>,9[m/u>] = 2 (C){g[m/w\(m)) = I m 2 { C ) ( w ) (compare es to con la definición 4.4. en la sección 4.2.2.). De acuerdo con nuestro su puesto, Im (C ) = Im 2 (C) del cual se sigue inmediatamente que Im (C )(w ) = Im 2 (C){w)- Finalmente, dado que w y g fueron escogidos arbitrariamente, te po

nemos que |CJm,u),9 [C(?Tl)]]M2 ,g[m/iü]La relación entre C y C(m) podría generalizarse: expresiones de la Teoría de Tipos Intensional pueden siempre traducirse a fórmulas di-sorteadas que tienen el mismo significado. Mostraremos esto definiendo una traducción de expresiones de la Teoría de Tipos Intensional a expresiones de la Teoría de Tipos Di-sorteada que preserve las interpretaciones en el sentido discu tido anteriormente. No es sorprendente que las constantes ca sean siempre traducidas com o nuevas constantes C(s a), que son entonces aplicadas a m. La traducción de una expresión compleja a será realizada de la misma manera en que a es construida, excepto cuando □ , 0 ,Aov entren en a. Intuitivamente debe ser claro que □ corresponde a Vm y 0 a 3m, A a Am y v a la aplicación a m. Así, □ , 0 y A corresponden a ligar ocurrencias libres de m, mientras que v introduce dichas ocurrencias. Damos ahora una definición inductiva precisa de la traducción, escrita com o trans—a: D e fin ició n 5.9. (i) trans—ca = cM (m) trans—va = va (ii) trans—(a(/3)) = (trans—a(trans—/3))

(iii) trans—-<(f) = -"trans—<j) trans—(0 A x¡j) = (trans—<¡) A trans—■0); de igual forma para

V,

—», <-►

(iv) trans—Vu <j) — Vv trans—0 ; de igual formai para 3v(¡> (v) trans—(a = ¡3) = (trans—a = trans—/?) (vi) trans—Xv a = Xv trans—a (vii) trans—□ = Vm trans—4> (viii) trans- 0 0 =

tra n s-^

(ix) trans—Aa = Am trans—a (x) trans—va = (trans—a (m )) Es posible convertir cualquier modelo M de la Teoría de Tipos Intensional en un modelo M 2 de la Teoría de Tipos Di-sorteada tal que para toda expresión q, para todo w € W y para toda asignación g tenemos el teorema 5.6.: Teorema 5.6. [trans Ol\M2,g[Tn/w\

M 2 puede obtenerse de M . tomando el dominio D y el conjunto de mundos W e n M y definiendo /m 2(c) >para cada constante c, com o 7m (c) . Requerimos una prueba inductiva con el fin de mostrar que el teorema 5.6. es, en efecto, válido. Trataremos solamente los pasos no triviales de la prueba (asumiendo en la inducción que el teorema 5.6. es válido para todo w' € W ). Las cláusulas han sido numeradas de tal manera que correspondan con la numeración en la definición 5.4. Definición 5.10. (i)

[trans—c] M2 9[m/u,j = [c(m )JMaiS[ m/w] =

I m {c ) ( w )

=

[ c 1 m ,w ,p

/ .... | t (traducción) [trans-D0J)M2!g[m/u)] = 1 ^ [Vm t r a n s -0 ]M2,g[m/H = 1

( v il)

(definición de verdad) .. n ri ^ para todo u; : J = [trans—a jM 2,g[m/tu] • ” or hipótesis de inducción, esto significa que para todo w' : []M,u>',g = 1 ^ [□]

= 1

(viii) |trans £*jM2,<7[m/u>] — [[Atti trans (y]]jv i.g[m/ w], que es la función h tal que para todo w' : h(w') = [ a ] M,iu',5, lo que significa que h — (ix)

[trans ®lM2,9[m/tu] |trans (hipótesis de inducción) =

[[trans—£*jM2,g[m/uj] (^0 v ,

N M , !»,!/W = r a j M , I1,,5

Es asombroso que el proceso de traducción haga uso sólo de una variable m con rango sobre mundos posibles. El poder expresivo de la Teoría de Tipos Di-sorteada es claramente más grande que el de la Teoría de Tipos Intensional. Esta traducción de una teoría a otra nos arroja más luz sobre la de Ti pos Intensional. Así, por ejemplo, la equivalencia de J,\\ y a en esta teoría reaparece en la Teoría de Tipos Di-sorteada simplemente com o un caso de A-conversión válida. La fórmula correspondiente a VAn es Am a (m ), y esta, en vista del hecho de que el teorema 4.1. de la sección 4.4.2. también es válido para la Teoría de Tipos Di-sorteada, es equivalente a a. También llega a ser más claro por qué AVa no siempre es equivalente a a. El contraejemplo dado en la sección 5.5. podría reconstruirse en este nuevo marco de la siguiente manera: en vez de la constante p que apareció allí, hacemos uso de la expresión Aw(q(w) = q(m)), en la cual w y m son variables de tipo s, mientras que q es de tipo (s ,t). Si se toma q para representar la proposición de que María viene, entonces q(w) es verdadera en g(w ) si María viene es verdadera en g(w ), y q(w) es falsa en g(w ) si María viene es falsa en g(w ). Así, la expresión Aw (q(w ) = q{rri)) denota la proposición de que María viene en aquellos mundos en los cuales es verdadero que ella viene, y la proposición de que María no viene en aquellos mundos en los cuales es falso que ella viene. Es decir, \w(q{w) = q(m )) representa María viene o no. Así como Avp y p no eran equivalentes, tenemos ahora que Xm(\w(q(w) = q(m ))(m )) y \w(q(w) = q(m )) no son equivalentes, pues \m (Xw(q(w) = q (m ))(m )) se reduce a Am (q(m ) = q(m )) y esta expresión hace referencia a una proposición diferente de aquella referida por Aw(q(w) = q(m )). De la misma forma que Avp en la sección 5.5., Am (q(m ) = q{m )) hace referencia a la proposición que es verdadera en cada mundo. En la sección 5.5. observamos que existen circunstancias bajo las cuales AVa es equivalente a a, entre otros, donde a es intensionalmente cerrado. ¿Cuál es ahora la caracterización en la Teoría de Tipos Di-sorteada de las expresiones

intensionalmente cerradas? Dado que la dependencia de contexto es capturad^ | aquí y da a las expresiones contexto-dependientes una variable m com o argn_ mentó extra, la clausura intensional de una expresión en la Teoría de Tip0s Intensional equivale a la expresión di-sorteada correspondiente que no contiene ninguna ocurrencia libre de m. De acuerdo con la definición 5.6. en la sección 5.5., □<£, 0 0 y A4> son todos ejemplos de expresiones intensionales cerradas. Puede verse que las expresiones di-sorteadas correspondientes Vm trans—^ 3m trans—<¡) y Am trans—a no contienen ocurrencias libres de m. No es difícil ver ahora a qué equivale en este marco la condición (ii) del teorema 5.5. de la sección 5.6. Este teorema, repetido a continuación, concierne a la isibilidad de la A-conversión en la Teoría de Tipos Intensional. Teorema 5.5. Aw/3(7 ) es equivalente a ['y/v\¡3 sii (i) todas las variables en 7 son libres para v en /3; y (ii) o bien 7 € I C E L o bien ninguna ocurrencia libre de v en 3 cae dentro del alcance de □ , 0 o A . En la Teoría de Tipos Di-sorteada la condición (ii) equivale a la condición de que si 7 contiene una ocurrencia libre de m, entonces 7 no podría caer por sí mismo dentro del alcance de Vm, 3m o Am, com o resultado de la sustitución. Pero esto ya es requerido en la condición (i). Así pues, en la Teoría de Tipos Di-sorteada, com o en la de Tipos Extensional, la condición (i) es suficiente por sí misma. Así, vemos cóm o ciertas cuestiones que surgieron en la Teoría de Tipos Intensional ahora reaparecen, en este marco di-sorteado, en una forma que ya nos es familiar desde la Teoría de Tipos Extensional. La Teoría de Tipos Di-sorteada nos permite referir a mundos posibles y cuantificar sobre ellos (y sobre momentos en el tiempo si elegimos introducirlos). Ahora bien, una obje ción que podría surgir contra tal lenguaje es que este tiene más compromisos ontológicos que un lenguaje con operadores intensionales; esta objeción nos parece infundada. Por sí mismo un lenguaje no tiene compromisos ontológi cos. Lo que tiene compromisos ontológicos es un lenguaje con su semántica, y la semántica de un lenguaje con operadores intensionales, en la forma de una definición de verdad que se sirve de los mundos posibles, claramente hace referencia a mundos posibles y cuantifica sobre ellos absolutamente, así co mo la semántica de un lenguaje di-sorteado. Los compromisos ontológicos son

bastante similares en ambos casos. Otra razón para preferir un lenguaje con operadores intensionales sobre un lenguaje di-sorteado tiene que ver con la diferencia en su poder expresivo. Un lenguaje con operadores intensionales tiene la ventaja de que se le puede dar exactamente el poder expresivo que se requiere para una aplicación particular. Teniendo en mente aplicaciones como la semántica de un lenguaje natural, se vuelve una pregunta empírica cuán expresivo es este poder. Para dar un ejemplo, ¿necesitamos o no nece sitamos la cuantificación sobre momentos en el tiempo con el fin de traducir las expresiones temporales del lenguaje natural en una forma satisfactoria? Esta es una pregunta compleja, pero a la vez fascinante. En §2.4.3. notamos que en el curso del tiempo, los formalismos temporales han sido equipados con más y más operadores, con el fin de lidiar con las expresiones y cons trucciones temporales, y que algunos de ellos han dado razones para utilizar lenguajes que permiten cuantificación sobre momentos. Es difícil resolver un asunto com o este; la pregunta no es sólo si teorías diferentes capturan todos los fenómenos. Su simplicidad y elegancia también está en juego.

Capítulo 6

Gramática de Montague

6.1.

Introducción

En este capítulo estudiaremos extensivamente la Gramática de Montague. Esta gramática, desarrollada por el lógico americano Richard Montague a comienzos de los setenta, busca definir una semántica modelo-teórica para el lenguaje na tural. La versión más común de la Gramática de Montague, que presentaremos en este capítulo, logra este objetivo al relacionar de una manera explícita y sistemática las expresiones de un lenguaje natural con las expresiones de un sistema lógico de la Teoría de Tipos Intensional, de tal manera que las inter pretaciones de las segundas sirvan también como interpretaciones de las primeras. El modelo de Montague no fue el único intento que se realizó en aquel momento de utilizar los métodos semánticos de la lógica en la descripción de los significados de las expresiones del lenguaje natural. Otros, por ejemplo, Creswell, Bartsch y Nennemann, y Lewis, hicieron propuestas que iban en la misma dirección. Un denominador común para tales modelos es el de ‘gramáti cas lógicas’ . En este capítulo nos preocuparemos exclusivamente por el modelo de Montague. Esto, debido a que la Gramática de Montague todavía sirve como el modelo estándar de una Gramática Lógica. De esta manera, la introducción exhaustiva que haremos a continuación le permitirá a los lectores, si así lo

desean, dominar relativamente rápido las particularidades de otros modelos. También, los desarrollos más recientes en semántica formal, que serán discuti dos en el capítulo 7, sólo pueden entenderse apropiadamente dentro del marco de la Gramática de Montague. Lo mismo sucede con las corrientes actuales como la semántica situacional, la cual, por lo menos en sus comienzos, cobró su momentum al comenzar com o un minucioso ataque a algunos de los puntos esenciales de la Gramática de Montague. La idea de la empresa de una Gramática Lógica para el lenguaje natural no es ni obvia ni improvisada. En el capítulo 1 del volumen 1 discutimos bre vemente los desarrollos históricos de la lógica y la lingüística y sus relaciones. La discusión trató de dejar claro que la idea de un objetivo común cierta mente tiene sus raíces en la historia, pero al mismo tiempo se hace plausible sólo con ciertos desarrollos relativamente recientes en ambas disciplinas. Este capítulo comienza con una corta discusión de tres suposiciones metodológicas de la Gramática Lógica, tres principios generales que subyacen casi todos los intentos de aplicación sistemática de la semántica modelo-teórica al lenguaje natural. Ellos tratan sobre el principio de composicionalidad del significado y sus consecuencias para la sintaxis, el problema de la clausura semántica y la relación entre verdad y significado.

6.1.1.

La composicionalidad del significado y la sintaxis

El principio de composicionalidad del significado tiene consecuencias impor tantes para la relación entre sintaxis y semántica. Usualmente, en un sistema lógico la definición de la interpretación semántica de las expresiones sigue de manera cercana el camino de su construcción sintáctica. La razón para esto es que la semántica debe especificar la interpretación de un número infinito de expresiones, pero de manera finita. La manera obvia de proceder, entonces, es que la definición de la semántica sea paralela a la definición finita y recur siva de la sintaxis. Este método asegura que a toda regla sintáctica que per mita construir cierto tipo de expresión a partir de una o más expresiones, le corresponda una regla semántica, la cual establece cómo la interpretación de la expresión recientemente formada debe obtenerse a partir de la interpretación de sus partes componentes. Para ponerlo de manera sucinta, los lenguajes lógicos satisfacen el siguiente principio: la interpretación de una expresión compleja es una función del significado de sus partes. Este es el principio de composicionalidad del significado, también conocido como el ‘principio de Frege’.

La formulación real de un sistema lógico no siempre exhibe su composic¡„ ' nalidad, pero todos estos sistemas, en efecto, están en conformidad, o pueden reformularse para que estén en conformidad, con el principio de composicioQaJ lidad. Por ejemplo, en el volumen 1, §2.7., se da una definición alternativa del 1 sistema de la lógica proposicional que es equivalente a la definición usual, peroj muestra su composicionalidad de manera explícita. Compare también los co mentarios hechos anteriormente, en §§4.3.4. y 4.4.3., acerca de la posibilidad de introducir los cuantificadores existencial y universal de manera categoremática, en lugar de hacerlo de manera sincategoremática. En efecto, la composi cionalidad es un punto de partida tan básico para la manera lógica de hacer semántica, que en la lógica com o tal siempre pasa desapercibida. Sin embargo, si consideramos el lenguaje natural, la composicionalidad del significado requiere de más cuidado por las siguientes razones: es evidente que la composicionalidad brinda un m étodo finito para la interpretación semántica de un número infinito de expresiones de un lenguaje determinado. Dado que un modelo especifica la interpretación de los componentes básicos, las reglas semánticas que corresponden a las reglas sintácticas determinan de manera única la interpretación de todas las expresiones complejas. Pero debe prestarse atención a que, en efecto, la composicionalidad pone restricciones complejas sobre la sintaxis, la semántica y la relación entre ellas. Por un lado, toda regla sintáctica debe tener una interpretación semántica; y por otro, todos los aspectos de la semántica que no están relacionados con la interpretación de las expresiones básicas deben vincularse a una operación sintáctica. En un sistema lógico cumplimos con estos requerimientos simplemente construyendo la semántica de acuerdo con la sintaxis. Pero el lenguaje natural no es algo que construyamos; es algo que es dado. En efecto, la suposición de que la semántica del lenguaje natural puede definirse de manera composicional no está libre de controversia. Tarski, uno de los fundadores de la semántica modelo teórica moderna, no tenía mucha fe en la posibilidad de aplicar sus métodos al lenguaje natural. La razón es que ellos requieren mínimamente que la sintaxis del lenguaje sea especificada de manera exacta, rigurosa y formal, y Tarski creía que esto era un fin inalcanzable para el lenguaje natural.

Esta visión prevaleció por mucho tiempo entre los filósofos y los lógicos. No fue sino hasta el desarrollo de la Gramática Generativa, al final de los años cincuenta y comienzos de los sesenta, que comenzó a emerger una actitud diferente. Debido al enorme impacto de la lingüística generativa, creció la convicción de que la descripción exacta de la sintaxis del lenguaje natural

dría darse y que la posibilidad de una semántica lógica para el lenguaje ^tural sería real. Irónicamente, la idea de utilizar los métodos de la semántica lógica en el estudio del lenguaje natural no fue acogida calurosamente entre la mayoría de lingüistas de la tradición “chomskiana” , y todavía no lo ha sido, por lo menos de manera oficial, aunque algunos resultados y métodos sí han sido adoptados, por otra parte, personas como Katz han argumentado a favor de una versión de la composicionalidad de la siguiente manera: un competente es capaz de interpretar un número teóricamente infinito de oraciones. La interpretación del del lenguaje se basa en su conocimiento del significado de un número finito de elementos léxicos y su conocimiento (implícito) de las reglas sintácticas, también en número finito. La hipótesis de la composicionalidad, que requiere que a toda regla semántica corresponda una regla sintáctica, parece ofrecer una explicación para este hecho (esta línea de argumentación se encuentra en varios autores: cf., por ejemplo, Frege 1923. Debemos notar que el argumento no demuestra que el lenguaje natural es composicional; sólo muestra que debe haber algún método efectivo para computar significados. Y la composicionalidad es sólo uno de los candidatos). Probablemente hay dos razones grandes por las cuales los partidarios de la Gramática Generativa son escépticos con respecto a la empresa de la Gramáti ca Lógica. Una es su compromiso con el mentalismo, una doctrina que no parece encajar con el enfoque basado en la noción de verdad del que parten las gramáticas lógicas (véase §6.1.3. más adelante). La otra es que la Gramática Lógica, con su principio de composicionalidad del significado, va en contra de la tan querida autonomía de la sintaxis de la tradición generativa, pues la com posicionalidad no sólo requiere de una sintaxis bien definida en la cual basar una interpretación semántica; también pone algunas restricciones sobre ella. Como lo hemos mencionado arriba y sobre lo cual hablaremos detalladamente más adelante, en §6.2., se sigue de la composicionalidad que todos los aspectos no léxicos del significado deben estar basados en la sintaxis (aquí debemos te ner en cuenta que sólo estamos considerando una gramática de oraciones que consta de una sintaxis y una semántica, la cual no hace referencia al discurso, la entonación, el contexto extralingüístico, ni nada similar). Esto significa, por lo menos en principio, que consideraciones semánticas pueden influenciar a la sintaxis, rompiendo con la supuesta autonomía de la segunda. Qué rol juega el principio de composicionalidad en el marco general de la Gramática Lógica es algo que discutiremos en §6.2. En §6.5. discutiremos con cierto detalle su estatus metodológico y su relación con el contraste entre

La formulación real de un sistema lógico no siempre exhibe su compos¡pifJ nalidad, pero todos estos sistemas, en efecto, están en conformidad, o p u e < W l reformularse para que estén en conformidad, con el principio de composición^ : lidad. Por ejemplo, en el volumen 1, §2.7., se da una definición alternativa del sistema de la lógica proposicional que es equivalente a la definición usual, perol muestra su composicionalidad de manera explícita. Compare también los co- ¡ mentarios hechos anteriormente, en §§4.3.4. y 4.4.3., acerca de la posibilidad de introducir los cuantificadores existencial y universal de manera categoremática, en lugar de hacerlo de manera sincategoremática. En efecto, la composi cionalidad es un punto de partida tan básico para la manera lógica de hacer semántica, que en la lógica como tal siempre pasa desapercibida. Sin embargo, si consideramos el lenguaje natural, la composicionalidad del significado requiere de más cuidado por las siguientes razones: es evidente que la composicionalidad brinda un m étodo finito para la interpretación semántica de un número infinito de expresiones de un lenguaje determinado. Dado que un modelo especifica la interpretación de los componentes básicos, las reglas semánticas que corresponden a las reglas sintácticas determinan de manera única la interpretación de todas las expresiones complejas. Pero debe prestarse atención a que, en efecto, la composicionalidad pone restricciones complejas sobre la sintaxis, la semántica y la relación entre ellas. Por un lado, toda regla sintáctica debe tener una interpretación semántica; y por otro, todos los aspectos de la semántica que no están relacionados con la interpretación de las expresiones básicas deben vincularse a una operación sintáctica. En un sistema lógico cumplimos con estos requerimientos simplemente construyendo la semántica de acuerdo con la sintaxis. Pero el lenguaje natural no es algo que construyamos; es algo que es dado. En efecto, la suposición de que la semántica del lenguaje natural puede definirse de manera composicional no está libre de controversia. Tarski, uno de los fundadores de la semántica modelo teórica moderna, no tenía mucha fe en la posibilidad de aplicar sus métodos al lenguaje natural. La razón es que ellos requieren mínimamente que la sintaxis del lenguaje sea especificada de manera exacta, rigurosa y formal, y Tarski creía que esto era un fin inalcanzable para el lenguaje natural. Esta visión prevaleció por mucho tiempo entre los filósofos y los lógicos. No fue sino hasta el desarrollo de la Gramática Generativa, al final de los años cincuenta y comienzos de los sesenta, que comenzó a emerger una actitud diferente. Debido al enorme impacto de la lingüística generativa, creció la convicción de que la descripción exacta de la sintaxis del lenguaje natural

¿ría darse y que la posibilidad de una semántica lógica para el lenguaje Natural sería real.

rrónicamente, la idea de utilizar los métodos de la semántica lógica en el tudio del lenguaje natural no fue acogida calurosamente entre la mayoría de Hngüistas de la tradición “chomskiana” , y todavía no lo ha sido, por lo menos Je manera oficial, aunque algunos resultados y métodos sí han sido adoptados,

por otra parte, personas com o Katz han argumentado a favor de una versión de la composicionalidad de la siguiente manera: un competente es capaz de interpretar un número teóricamente infinito de oraciones. La interpretación del del lenguaje se basa en su conocimiento del significado de un número finito de elementos léxicos y su conocimiento (implícito) de las reglas sintácticas, también en número finito. La hipótesis de la composicionalidad, que requiere que a toda regla semántica corresponda una regla sintáctica, parece ofrecer una explicación para este hecho (esta línea de argumentación se encuentra en varios autores: cf., por ejemplo, Frege 1923. Debemos notar que el argumento no demuestra que el lenguaje natural es composicional; sólo muestra que debe haber algún método efectivo para computar significados. Y la composicionalidad es sólo uno de los candidatos). Probablemente hay dos razones grandes por las cuales los partidarios de la Gramática Generativa son escépticos con respecto a la empresa de la Gramáti ca Lógica. Una es su compromiso con el mentalismo, una doctrina que no parece encajar con el enfoque basado en la noción de verdad del que parten las gramáticas lógicas (véase §6.1.3. más adelante). La otra es que la Gramática Lógica, con su principio de composicionalidad del significado, va en contra de la tan querida autonomía de la sintaxis de la tradición generativa, pues la com posicionalidad no sólo requiere de una sintaxis bien definida en la cual basar una interpretación semántica; también pone algunas restricciones sobre ella. Como lo hemos mencionado arriba y sobre lo cual hablaremos detalladamente más adelante, en §6.2., se sigue de la composicionalidad que todos los aspectos no léxicos del significado deben estar basados en la sintaxis (aquí debemos te ner en cuenta que sólo estamos considerando una gramática de oraciones que consta de una sintaxis y una semántica, la cual no hace referencia al discurso, la entonación, el contexto extralingüístico, ni nada similar). Esto significa, por lo menos en principio, que consideraciones semánticas pueden influenciar a la sintaxis, rompiendo con la supuesta autonomía de la segunda. Qué rol juega el principio de composicionalidad en el marco general de la Gramática Lógica es algo que discutiremos en §6.2. En §6.5. discutiremos con cierto detalle su estatus metodológico y su relación con el contraste entre

forma lógica y forma gramatical. Por ahora es suficiente haber mencionada «s papel importante que juega en la empresa de la Gramática Lógica. 1

6.1.2.

1

Lenguaje objeto y metalenguaje: clausura semántica

Hay una condición técnica que debe ser cumplida por un lenguaje para qu 1 sea posible definir su semántica siguiendo la manera de un sistema lógico a I saber, la relación entre el lenguaje al cual queremos darle una semántica, se llama el lenguaje objeto, y el lenguaje en el cual formulamos la semántica*! que se llama el metalenguaje. Esos dos lenguajes pueden ser en efecto diferen- i tes; por ejemplo, en los capítulos anteriores hemos usado el español como un 1 metalenguaje con el cual se ha formulado la semántica de varios lenguajes lógi cos, que en este caso cumplen el papel de lenguaje objeto. Pero es posible que el lenguaje objeto sea parte del metalenguaje. De esta manera, la semántica de un fragmento del español puede presentarse en español. Los términos ‘len guaje ob jeto’ y ‘metalenguaje’ , entonces, se refieren más bien a las distintas funciones del lenguaje, que pueden ser desempeñadas por distintos lenguajes, pero también por uno solo. La pregunta que ahora surge es si es posible que el lenguaje objeto y el metalenguaje sean idénticos. A primera vista, nada parece hablar en contra de la suposición de que este sea el caso, pero un escrutinio detallado mostrará que esto lleva a problemas inesperados. Al describir la semántica de un lenguaje objeto, entre otras cosas, tenemos que establecer en el metalenguaje las condiciones de verdad de las oraciones del lenguaje objeto. Trabajando al estilo familiar “tarskiano” , esto significa que en el metalenguaje hay nombres disponibles para las oraciones del lenguaje objeto. Usualmente utilizamos las mismas oraciones, transformándolas en nom bres al poner comillas o escribiéndolas en cursivas. Com o resultado, es posible definir en el metalenguaje un predicado de verdad, es decir, un predicado del metalenguaje de una oración del lenguaje objeto que es cierto si y sólo si la oración es verdadera. En otras palabras, dar las condiciones de verdad de las oraciones del lenguaje objeto se reduce a especificar la extensión del predicado de verdad. T odo esto está muy bien, excepto cuando el lenguaje objeto y el metalenguaje son idénticos. La razón es que el predicado de verdad ipso fa d o hace parte también del lenguaje objeto, al igual que los nombres de las oraciones del lenguaje objeto; esto da lugar a paradojas semánticas. Por ejemplo, su pongamos que el español es nuestro lenguaje objeto y nuestro metalenguaje. En ese caso, el español contendría al mismo tiempo su propio predicado es

■ Jndera y l ° s nombres para todas sus oraciones; lo que significaría que es 1)6 ¡ble formular oraciones tales como (1):

oración (1) no es verdadera gsta oración produce una paradoja. Para que (1) sea verdadera, (1) no debe

r verdadera, dado que eso es lo que (1) significa. Pero si (1) no es verda dera entonces la afirmación expresada por (1) es verdadera y, por lo tanto,

(1) también lo es. Podemos concluir que no es posible formular una teoría semántica para un lenguaje objeto en un metalenguaje que es idéntico al len guaje objeto sin que nos metamos en problemas. Pero, el problema es aún más serio, dado que en una situación en la cual el lenguaje objeto y el lenguaje son diferentes también puede ocurrir el mismo resultado poco placentero. Por ejemplo, si describiéramos el significado de la oración (1) en un lenguaje dis tinto a' español, digamos en holandés, la paradoja no desaparecería, sino que sencillamente tendría distintas palabras. El problema radica en un lenguaje objeto que permite autoreferencia, por ejemplo, al contener nombres para sus propias oraciones y al contener su propio predicado de verdad. Tales lenguajes se llaman cerrados semánticamente. Debemos concluir que una semántica consistente, aquella que no produzca paradojas tales com o la indicada an teriormente, sólo puede definirse para aquellos lenguajes que no sean cerrados semánticamente. Como lo muestra el ejemplo (1), el español es cerrado semánticamente, por lo que no es posible darle una teoría semántica consistente. Dado que esto es cierto de manera general para todos los lenguajes naturales, parece que debe mos concluir que la empresa de la Gramática Lógica va por mal camino desde el puro comienzo. Hay varias maneras de evitar esta conclusión. Tal vez la más común sea trazar un curso seguro al formular la semántica, no para todo el lenguaje, sino sólo para los fragmentos que no sean cerrados semánticamente. La pérdida de generalidad parece más bien pequeña. Por supuesto, si seguimos este enfoque, resulta posible formular de nuevo la semántica en el mismo len guaje. En este caso, el lenguaje objeto pertenece al metalenguaje pero no es idéntico a él, y de aquí no se sigue ninguna paradoja. Esta manera de resolver el problema es esencialmente la de Tarski (1935; 1944). Como resultado, obte nemos una jerarquía de lenguajes cada vez más inclusivos en la cual el lenguaje de nivel n + 1 funciona como metalenguaje para el lenguaje de nivel n. Desde un punto de vista empírico, se arguye, la restricción que esto implica no es importante, pero hay varias condiciones formales que deben cumplirse en una teoría semántica así definida.

Además de este enfoque más bien formal, se han propuesto algunos otro8 que toman la paradoja más seriamente. Observemos que si seguimos el enfoqê de Tarski, las oraciones paradójicas no reciben el significado que parecen tener intuitivamente, pues estos dan lugar a paradojas. Si en el lenguaje natura] solamente hubiera oraciones autoreferenciales, tales com o (1), esto parecería un pequeño precio a pagar, pero las paradojas semánticas también son generadas por otros ejemplos más naturales. Compárense las dos afirmaciones en (2) (sj substituyéramos, por ejemplo, la A y la B por los nombres de dos políticos que aspiran al mismo puesto, podríamos obtener ejemplos más naturales): (2)

A: Todo lo que diga B acerca de mí es falso B: Todo lo que diga A acerca de mí es verdadero

Ahora, suponga que en efecto A y B dicen sólo una cosa acerca del otro, a saber, las afirmaciones en (2). ¿Lo que dice A es verdadero? Si esto es así, la afirmación de B de que todo lo que A diga acerca de B es cierto, debería ser falsa. Dado que, por hipótesis, la única cosa que A dice acerca de B es que cualquier cosa que B diga acerca de A es falsa, esto implica que la afirmación de A es falsa. De manera similar, la afirmación de A es verdadera si es falsa. La paradoja surge nuevamente. Ejemplos como los de (2) pueden multipli carse y pueden hacerse más naturales describiendo mejor las circunstancias. Para muchos esto sugiere que las paradojas semánticas son un asunto menos marginal de lo pensado y que en lugar de evitarlas — que es lo que finalmente hace el enfoque de Tarski— deben ser abordadas de frente. Varias soluciones han sido propuestas para el problema de establecer una teoría semántica que haga frente a estas paradojas, por ejemplo por Kripke, Herzberger, Gupta y, recientemente, por Barwise y Etchementdy en el contexto de la semántica situacional. En conclusión, podemos decir que cualquiera que sea la posición que to memos aquí, la existencia de paradojas semánticas no excluye la posibilidad de una semántica modelo teórica para el lenguaje natural. Pero, por supuesto, debemos tomar medidas. Ya sea que nos restrinjamos describiendo el lenguaje natural en la manera sugerida por Tarski, o que adoptemos un enfoque más directo, pero también más complejo, com o los que proponen Kripke y demás.

6.1.3. La semántica y la teoría de la verdad No parece haber obstáculos formales o metodológicos para la aplicación de los métodos de la semántica lógica y modelo teórica al lenguaje natural. Sin em-

puede argumentarse que aunque tal vez sea posible describir los signi ficados de las expresiones del lenguaje natural de manera similar a los de las expresiones lógicas, no es obvio en lo más mínimo que sea provechoso aproxiarse al significado del lenguaje natural por este medio. Aquí llegamos a un asunto fundamental. hargo,

Como se explicó en el capítulo 1, la semántica modelo teórica puede verse como una Teoría Referencial del Significado. El significado se explica en términOS de la relación de referencia, o denotación, que ocurre entre expresiones y algún conjunto independiente de entidades. Esto vale tanto para una semán tica intensional, com o para una extensional: la referencia múltiple, en términos de la cual se define la intensión, también es una relación de referencia, con un parámetro extra. Por lo tanto, las nociones de referencia y verdad deben consi derarse com o las nociones clave de la semántica modelo teorética. Y si intenta mos utilizar los métodos de esta última en nuestra descripción del significado en el lenguaje natural, asumimos, implícita o explícitamente, que por lo me nos una parte sustancial del significado de las expresiones del lenguaje natural puede ser capturada en términos de las nociones de referencia y verdad. En otras palabras, uno de los puntos de partida de la Gramática Lógica es la idea de que la teoría semántica para un lenguaje natural debe contener por lo menos una definición de verdad para dicho lenguaje.

Exactamente en este punto hay una marcada oposición entre los proponen tes de la Gramática Lógica y los que se adhieren a la Gramática Generativa. Mientras que los primeros ven el significado esencialmente como una relación entre las expresiones de un lenguaje y algo más, ‘allá afuera’ , que es a lo que se refieren las expresiones, o sobre lo que hacen afirmaciones o preguntas; la última sostiene que el significado consiste en las representaciones mentales que acompañan una expresión lingüística. La controversia puede ser muy grande, entre un gramático lógico que considera que las representaciones mentales no juegan ningún papel y un mentalista que niega que el lenguaje tenga alguna función referencial. O puede ser menos dramática, puesto que un gramático lógico puede reconocer la existencia de representaciones mentales y el menta lista puede itir que el lenguaje de alguna manera, indirectamente, también se relaciona con lo no mental. Pero en cualquier caso, la diferencia es de princi pio, porque mientras puede haber acuerdo en otras cosas, esto representa una diferencia de opinión fundamental acerca de lo que constituye el significado: su relación con el ‘mundo’ o su relación con lo ‘mental’. No podemos detallar los argumentos que han sido propuestos a favor de la primera posición. Simplemente llamamos la atención sobre la tradición, que

__..„v, nace mucho tiem po en filosofía y en lógica, que sume que cualqUje ® teoría semántica debe contener por lo menos una teoría de la verdad. Acer«^ 1 de ello ha habido acuerdos y todavía los hay. Y desde finales de los sesentas §e 1 han hecho varias propuestas para aplicar los métodos de la semántica modela 1 teórica en el análisis del lenguaje natural. Sin embargo, debe tenerse en cuenta 1 que aquí debemos distinguir entre dos corrientes de pensamiento principales ' Todas las propuestas toman la formulación de las condiciones de verdad ' de las oraciones o, más generalmente, de las condiciones de denotación de las expresiones, com o una parte esencial de la teoría, pero no todas las propuestas 1 están de acuerdo ni con respecto al m étodo para llevar a cabo esto, ni con respecto a si la definición de las condiciones de verdad es suficiente en sí misma para un análisis del significado del lenguaje natural. Con respecto al último aspecto, podemos distinguir entre los ‘extensionalistas’ y los ‘ intensionalistas’ . Un extensionalista prominente es Davidson, quien sostiene que es posible y necesario hacer semántica para un lenguaje natural solamente en términos de condiciones de verdad. Davidson comparte esta opi nión con Quine, quien por razones filosóficas y metodológicas siempre se ha opuesto al uso de nociones tales com o ‘ significado’ , ‘sinonimia’ , y otras por el estilo, incluso en lógica. La posición de que una explicación de los hechos semánticos que utilice tales nociones sería una explicación de obscurum per obscurior ha sido promovida y defendida enérgicamente por Quine en nume rosos lugares. De acuerdo con Quine y Davidson, entonces, el uso de nociones teóricas com o aquellas de mundos posibles, intensión, y por consiguiente de la semántica intensional com o tal, deben ser evitadas, puesto que no podemos esperar ninguna ganancia conceptual sobre el significado del lenguaje natural a partir de ellas. Ellos consideran que la semántica teórica debe ser formulada en términos puramente extensionales. La corriente de pensamiento intensionalista sostiene que tal posición está de masiado inspirada en motivos filosóficos y que presta muy poca atención a los requerimientos de una teoría semántica del lenguaje natural que sea empíri camente adecuada. De acuerdo con los intensionalistas, el carácter intensional del lenguaje natural es obvio. Muchas expresiones y construcciones son pro blemáticas para una semántica estrictamente extensional (Cf. los ejemplos en §§1.6. y 3.1.). Una semántica extensional no puede remontar esas dificulta des. Si nuestro objetivo es una semántica para el lenguaje natural que sea adecuada empíricamente, más que una teoría semántica que cumpla algunas restricciones filosóficas independientes, la manera obvia de proceder es utili zando una semántica intensional. Esta opinión ha sido propuesta tanto teórica

I 0 prácticamente por varios autores, notablemente por Montague, Lewis y ^rggwell- Los modelos que ellos han desarrollado realmente apuntan a proveer U marco de trabajo para una teoría semántica del lenguaje natural que sea mpíricamente adecuada. Por esta razón, estos modelos pueden ser realmente caracterizados com o ‘gramáticas lógicas’ . E s t e capítulo está dedicado a la exposición de una de esas gramáticas ló g ic a s y, por las razones indicadas en §6.1., el modelo que hemos escogido es el desarrollado por Richard Montague.

6.2.

La organización de una Gramática de Montague

E s t a sección trata la organización de una Gramática de Montague. Adoptamos e l modelo de Montague com o fue propuesto en “The Proper Treatment of

Quantification in Ordinary English” (1973): el modelo PTQ. Este modelo es una de las versiones posibles de la teoría general sobre sintaxis y semántica que

Montague formuló en su “Universal Grammar” (1970b). Esta teoría general ha llevado a varios modelos organizados de maneras un poco diferentes; por ejem plo, el enfoque de Montague en “English as a Formal Language” (1970a) difiere en varios aspectos del modelo PTQ, por lo que sería equivocado presentar, es trictamente hablando, el modelo PTQ como la Gramática de Montague. Por otra parte, el modelo PTQ es la implementación de las ideas de Montague más conocida y más extensamente utilizada, e incluso cuenta como la formulación paradigmática de la Gramática Lógica com o tal. Así pues, con estas reservas en la cabeza, nos concentramos en el modelo PTQ en el resto de este capítulo. Metodológicamente, la noción de Montague más importante es la siguien te: la tarea principal de una teoría lingüística debe ser sentar las bases para una teoría semántica. Esta presuposición tiene consecuencias para la organi zación de la gramática. Una semántica composicional requiere de una teoría sintáctica. En otras palabras: interpretar una expresión compleja de mane ra composicional no es simplemente interpretar la expresión como tal, sino interpretarla dado un análisis sintáctico. El análisis sintáctico nos dice qué subexpresiones componen la expresión compleja, qué reglas se utilizaron para formar esta expresión y en qué orden se compuso la expresión. Necesitamos esta información si queremos construir el significado de la expresión a partir de los significados de sus partes componentes, como lo requiere la composicionalidad. La interpretación semántica se realiza no sobre expresiones com o tal, sino únicamente sobre expresiones dado un análisis sintáctico. En este sentido, una teoría semántica presupone una teoría sintáctica.

La interpretación m odelo teorética usual de los lenguajes lógicos cumple con este requerimiento. Los lenguajes lógicos se caracterizan por el hecho de que las expresiones y sus análisis sintácticos no pueden distinguirse: una expre sión muestra su análisis sintáctico en su estructura. Para cada expresión hay exactamente un árbol de construcción, el cual puede deducirse sin ambigüedad a partir de la expresión, gracias al uso de los paréntesis. En el lenguaje na tural hay oraciones sintácticamente ambiguas, donde una expresión puede ser el resultado de distintos procesos sintácticos y, por lo tanto, puede tener más de un análisis sintáctico. Algunas veces, análisis sintácticos distintos pueden dar lugar a diferencias en significados. Com o resultado, podemos determinar el significado de una expresión solamente con base en su análisis sintáctico. Los siguientes tres ejemplos ilustrarán este punto. Considere la oración (3): (3)

Juan ve mujeres y hombres ancianos

La oración (3) tiene dos lecturas: en una, Juan ve mujeres y hombres, es tos últimos ancianos; en la otra, Juan ve mujeres ancianas y hombres ancia nos. La expresión componente mujeres y hombres ancianos es la fuente de la ambigüedad. El alcance del adjetivo ancianos determina a cuál conjunto de personas se retire la expresión. Cuando el alcance es solamente el nombre común hombres, la referencia es la de la primera lectura, mientras que la se gunda lectura de (3) es aquella en la cual ancianos se aplica a la expresión compuesta mujeres y hombres. Las dos maneras correspondientes de construir mujeres y hombres ancianos pueden representarse de la siguiente forma: (4)

a. [mujeres y [hombres ancianos]] b. [[mujeres y hombres] ancianos]

Los dos significados de (3) pueden construirse utilizando los análisis sintácticos (4a) y (4b). Así pues, el proceso de interpretación funciona mejor sobre repre sentaciones com o (4a) y (4b), que sobre expresiones desestructuradas como mujeres y hombres ancianos. La ambigüedad de (3) es estructural: ella reside en las dos estructuras distintas que pueden asignarse a mujeres y hombres an cianos. Pero no todas las ambigüedades sintácticas pueden reducirse a tales ambigüedades estructurales. Considere las oraciones (5) y (6): (5)

Todos en este cuarto hablan un idioma

(6)

Juan busca un tesoro

Cada una de estas oraciones también tiene dos lecturas. En una lectura de (5) hay un idioma que todos hablan en el cuarto, por ejemplo, español, mien tras que otras personas pueden también hablar otros idiomas; la otra lectura ¿ice que todos hablan solamente un idioma, posiblemente distinto para cada persona. Una ambigüedad de dicto/de re ocurre en (6). La interpretación de re establece que hay un tesoro que es buscado por Juan, pero la interpretación de dicto no implica la existencia de un tesoro.1 Tales ambigüedades no pueden reducirse a ambigüedades estructurales, com o sí era el caso para (3), dado que oraciones com o (5) y (6) sólo tienen una estructura componente. Aparente mente, para oraciones como éstas hay distintas maneras de derivarlas, aunque todas resulten en la misma expresión con la misma estructura pero con distinto significado. Las dos maneras de derivar (5) difieren en el orden en el cual se introducen los términos cuantificados todos en este cuarto y un idioma. Si in troducimos un idioma primero, obtenemos la segunda lectura; si comenzamos con todos en este cuarto obtenemos la primera lectura. Algo similar sucede con (6), com o mostraremos más adelante. La ambigüedad de (5) o (6) es el resul tado de la existencia de más de una derivación sintáctica; de aquí que sea frecuentemente llamada ambigüedad derivacional. La ambigüedad estructural de (3) puede considerarse com o un caso especial de ambigüedad derivacional. Podemos concluir que la derivación de una expresión es la que determi na su significado. Utilizaremos el término análisis sintáctico en este sentido, refiriéndonos a la historia derivacional de una expresión, distinguiéndola de la noción de análisis estructural. Una teoría semántica composicional no sólo presupone una teoría sintácti ca, también impone ciertas condiciones sobre ella. Toda ambigüedad que no sea léxica, es decir cualquier ambigüedad que no pueda reducirse a la ambigüedad de un elemento del léxico, debe corresponder a una ambigüedad derivacio nal. Otra condición requiere que toda operación sintáctica sea semánticamen te interpretable; su efecto semántico debe ser expresable explícitamente y en términos generales. Todo esto significa que la sintaxis de la Gramática de Montague no es autónoma, o por lo menos no se requiere que así sea. Consideraciones semánti cas pueden ser de suma importancia en la formulación de la sintaxis. Una 1N. de T .: este fenómeno de ambigüedad derivacional no ocurre en español cuando el objeto directo de buscar (y de la gran mayoría de verbos transitivos) es animado y definido. Por ejemplo, si en lugar de un tesoro, lo que Juan busca fuera una secretaria, la oración Juan busca una secretaria sólo tiene una lectura de dicto — como si esta frase fuera la de un aviso en un periódico— , mientras que la lectura de re sólo puede ser expresada por Juan busca a una secretaria. La preposición a debe ir antes del objeto directo cuando éste es animado y definido.

ambigüedad sintáctica puede construirse, por así decirlo, sólo por razones semánticas; similarmente, consideraciones semánticas pueden forzar a escoger entre análisis sintácticos alternativos, cuya escogencia no puede basarse sólo en consideraciones sintácticas. Todavía es una pregunta abierta si esta transgreción potencial de la semántica a la autonomía de la sintaxis se encuentra en la realidad, es decir, en la descripción actual de algún lenguaje natural. Aunque impone condiciones en la forma y contenido de la sintaxis, la semántica nos permite explicar ciertas características semánticas sin depender de consideraciones sintácticas. Dos oraciones con el mismo significado pueden diferir considerablemente en su sintaxis, incluso hasta el extremo de que a par tir de un punto de vista sintáctico no sea plausible relacionarlas. Por ejemplo, consideremos las oraciones en sus formas activa y pasiva. Una teoría semánti ca explícita nos permite dar cuenta de la conformidad en significado sin tener que suscribirnos a las hipótesis de que las oraciones son iguales en algún nivel sintáctico. Es suficiente que sus análisis sintácticos determinen la misma inter pretación semántica. En este sentido, la naturaleza y el poder de la semántica composicional equilibra la transgresión a la autonomía de la sintaxis al permi tirnos eliminar de esta última consideraciones irrelevantes, es decir, semánticas. La organización del modelo PTQ no sólo es dictada por los principios ante riormente expuestos, sino también por su m étodo característico de vincular la sintaxis y la semántica. Es posible definir directamente una semántica modelo teórica para un lenguaje natural. El análisis sintáctico de una expresión pro vee la base para una interpretación directa en un modelo, de la misma manera en que esto se hace para las expresiones de los lenguajes lógicos. Montague adoptó este m étodo de interpretación directa en su “English as a Formal Language” (1970a). Sin embargo, en el modelo PTQ utilizó un método indirecto. En este modelo, las expresiones del lenguaje natural se traducen primero a expresiones de un lenguaje lógico, com o se muestra en (7). Las expresiones lógicas se interpretan de la manera modelo teórica usual. De ello se sigue que las expresiones del lenguaje natural se interpretan indirectamente a través de la interpretación de las expresiones lógicas en las cuales son traducidas.

(7)

Com o de costumbre, el lenguaje lógico no es ambiguo; por lo tanto, la semánti ca asigna un significado a cada expresión lógica. Si la interpretación semántica

de una expresión lógica debe funcionar indirectamente como la interpretación ixiántica de una expresión del lenguaje natural, algunas condiciones deben re querirse para el proceso de traducción. Si una expresión del lenguaje natural es ambigua, necesitamos asignarle más de un significado. En el modelo PTQ, esto implica que una expresión ambigua deba traducirse en expresiones lógicas dis tintas y no equivalentes. El principio de composicionalidad requiere que toda ambigüedad no léxica se corresponda con una ambigüedad derivacional, como ge explicó anteriormente. Dado que el proceso de traducción no es más que un proceso indirecto de interpretación, él también debe adaptarse al análisis sintáctico. Una tra ducción no se obtiene para la expresión com o tal, sino únicamente para una expresión dado su análisis sintáctico. Si hay distintas formas de analizar, es decir, de derivar una expresión, debe haber traducciones distintas, que re presenten los distintos significados (com o lo veremos más adelante, no toda ambigüedad derivacional corresponde a una ambigüedad semántica genuina, mientras que lo contrario sí es cierto). Así que en el modelo PTQ, la composicionalidad juega un papel en dos niveles distintos. El primero es el nivel de la interpretación del lenguaje lógico, el cual satisface la composicionalidad como de costumbre. Pero la composi cionalidad también está involucrada en el segundo nivel, el de la traducción del lenguaje natural al lenguaje lógico. Esto es necesario si queremos asegu rar la composicionalidad del proceso de interpretación del lenguaje natural: debemos, por lo tanto, hacer que el proceso de traducción sea un proceso composicional. Todos los elementos léxicos del lenguaje natural se traducen en ex presiones del lenguaje lógico y de esta manera se les asigna significados únicos. Las reglas sintácticas nos dicen cóm o construir nuevas expresiones a partir de expresiones existentes; a cada una de estas reglas se asocia una regla de tra ducción, la cual especifica la traducción de las expresiones complejas, dada la traducción de sus partes componentes. Al final, toda expresión se construye a partir de las expresiones básicas, por medio de la aplicación de un número finito de reglas sintácticas. La construcción suministra el análisis sintáctico, el cual determina una traducción única y, de esta manera, con un significado único. Si una expresión puede analizarse sintácticamente de más de una forma, entonces tiene más de una traducción y, por lo tanto, posiblemente más de un significado. La estructura general del modelo p t q queda así definida. En las siguientes secciones daremos un ejemplo de una gramática acorde con el modelo PTQ pa ra un pequeño fragmento del español, que cubre más o menos la misma área

cubierta por el mismo Montague en el modelo p t q . Esta descripción no busca dar más que una ilustración tangible de los principios y nociones anteriormente mencionados, para permitirle al lector entender el trabajo de Montague y ei trabajo de otros en la tradición que él fundó. Algunas construcciones serán 1 examinadas más detenidamente que otras; nos limitaremos a un análisis deta llado de aquellas construcciones y análisis que forman el núcleo del fragmento ' del modelo PTQ. Nuestra exposición procederá paso por paso. Para facilitar la exposición, y esperamos que también su entendimiento, nuestro fragmento se construirá de una manera que inicialmente se desvía en un aspecto importante del mode lo PTQ. En un estadio posterior añadiremos las complicaciones adicionales y así obtendremos un fragmento que es sustancialmente del modelo PTQ. Com parado con la riqueza y vastedad del lenguaje natural, este fragmento es muy restringido. Sin embargo, contiene el análisis de varios fenómenos que deben ser explicados por toda teoría semántica adecuada. El limitado rango descriptivo del fragmento no debe tomarse com o una indicación de que las posibilidades para la aplicación de la Gramática de Montague también son limitadas. Una gran variedad de fenómenos, interesantes sintáctica y semánticamente, han sido descritos y estudiados dentro del marco de trabajo de la Gramática de Montague; algunos ejemplos serán mencionados en §6.5.

6.3.

Una Gramática de Montague para un fragmento del español

6.3.1.

Categorías y expresiones básicas

El modelo PTQ utiliza una sintaxis categorial para generar las expresiones de un lenguaje natural. Como lo indicamos en §4.3., una sintaxis categorial pura consiste en cuatro cosas: (i) una enumeración de las categorías básicas; (ii) una definición de las categorías derivadas; (iii) un lexicón; es decir, una espe cificación de los elementos léxicos de cada categoría; y (iv) una especificación del comportamiento de la operación sintáctica de concatenación. Esta forma de sintaxis categorial es equivalente a un sistema sencillo de reglas de reescritura independientes del contexto y, por lo tanto, sabemos que tendrá dificultades para dar cuenta de algunos fenómenos tales com o el orden de las palabras, su presión, constituyentes discontinuos, características morfológicas, entre otras; la mayoría de estas serán tratado más adelante. Con el transcurso de los años se han hecho varias propuestas para solucionar la falta de adecuación de la

•jitaxis categorial pura. Una sugerencia temprana, hecha por Lyons y Lewis,

- e usar una sintaxis categorial pura com o un componente base y añadir un

im p on en te transformacional para tratar esos fenómenos. Hoy en día, otras estrategias son más populares, una de ellas es introducir cierta flexibilidad sistem ática en la asignación de categorías a las expresiones. Este enfoque será abordado en el capítulo 7. En el modelo PTQ, Montague en efecto solucionó los contratiempos que acabamos de referir de manera más bien cruda y ad hoc, a saber, simple mente permitió el uso de toda clase de operaciones sintácticas en las reglas sintácticas. En una sintaxis categorial pura y unidimensional, la única ope ración sintáctica permitida para formar expresiones es la concatenación (ya sea a la derecha o a la izquierda). Por consiguiente, tal sintaxis tiene sólo una regla sintáctica. En el modelo PTQ, expresiones complejas pueden obtenerse mediante otros métodos además de la simple concatenación de dos expresiones de categorías convenientes y, por consiguiente, el número de reglas sintácticas crece de manera proporcional. Así mismo, el poder generativo de la sintaxis se incrementa. Las operaciones sintácticas utilizadas en las reglas sintácticas del frag mento del modelo PTQ son más bien un conjunto heterogéneo. Encontramos la operación sencilla de concatenación (derecha e izquierda), pero también operaciones que introducen sincategoremáticamente expresiones que cambian el orden de las palabras, que regulan la forma morfológica de las expresiones, e incluso encontramos operaciones que desempeñan varias de esas tareas al mis mo tiempo. Desde un punto de vista lingüístico moderno, la manera obvia de hacer las cosas es buscar restricciones sobre las operaciones isibles. Varias propuestas se han hecho en esta dirección. Definamos ahora una sintaxis categorial para un fragmento pequeño del español, comenzando con una definición de las categorías: Definición 6.1. C A T , el conjunto de las categorías, es el menor conjunto tal que: (i) O, N C , V I G C A T (ii) Si A, B G C A T , entonces A/B G C A T La sintaxis contiene tres categorías básicas: O , la categoría de las oraciones; NC, la categoría de los sustantivos; y VI. la categoría de sintagmas verbales intransitivos. Las categorías derivadas A/B son categorías functoriales: una

cubierta por el mismo Montague en el modelo p t q . Esta descripción no busca dar más que una ilustración tangible de los principios y nociones anteriormente mencionados, para permitirle al lector entender el trabajo de Montague y ej trabajo de otros en la tradición que él fundó. Algunas construcciones serán examinadas más detenidamente que otras; nos limitaremos a un análisis deta llado de aquellas construcciones y análisis que forman el núcleo del fragmento del m odelo p t q . Nuestra exposición procederá paso por paso. Para facilitar la exposición, y esperamos que también su entendimiento, nuestro fragmento se construirá de una manera que inicialmente se desvía en un aspecto importante del mode lo p t q . En un estadio posterior añadiremos las complicaciones adicionales y así obtendremos un fragmento que es sustancialmente del modelo PTQ. Com parado con la riqueza y vastedad del lenguaje natural, este fragmento es muy restringido. Sin embargo, contiene el análisis de varios fenómenos que deben ser explicados por toda teoría semántica adecuada. El limitado rango descriptivo del fragmento no debe tomarse com o una indicación de que las posibilidades para la aplicación de la Gramática de Montague también son limitadas. Una gran variedad de fenómenos, interesantes sintáctica y semánticamente, han sido descritos y estudiados dentro del marco de trabajo de la Gramática de Montague; algunos ejemplos serán mencionados en §6.5.

6.3.

Una Gramática de Montague para un fragmento del español

6.3.1.

Categorías y expresiones básicas

El modelo PTQ utiliza una sintaxis categorial para generar las expresiones de un lenguaje natural. Como lo indicamos en §4.3., una sintaxis categorial pura consiste en cuatro cosas: (i) una enumeración de las categorías básicas; (ii) una definición de las categorías derivadas; (iii) un lèxicon; es decir, una espe cificación de los elementos léxicos de cada categoría; y (iv) una especificación del comportamiento de la operación sintáctica de concatenación. Esta forma de sintaxis categorial es equivalente a un sistema sencillo de reglas de reescritura independientes del contexto y, por lo tanto, sabemos que tendrá dificultades Para dar cuenta de algunos fenómenos tales com o el orden de las palabras, su presión, constituyentes discontinuos, características morfológicas, entre otras; la mayoría de estas serán tratado más adelante. Con el transcurso de los años se han hecho varias propuestas para solucionar la falta de adecuación de la

sintaxis categorial pura. Una sugerencia temprana, hecha por Lyons y Lewis, fue usar una sintaxis categorial pura como un componente base y añadir un

componente transformacional para tratar esos fenómenos. Hoy en día, otras estrategias son más populares, una de ellas es introducir cierta flexibilidad sistemática en la asignación de categorías a las expresiones. Este enfoque será abordado en el capítulo 7. En el modelo PTQ, Montague en efecto solucionó los contratiempos que acabamos de referir de manera más bien cruda y ad hoc, a saber, simple

mente permitió el uso de toda clase de operaciones sintácticas en las reglas sintácticas. En una sintaxis categorial pura y unidimensional, la única ope ración sintáctica permitida para formar expresiones es la concatenación (ya sea a la derecha o a la izquierda). Por consiguiente, tal sintaxis tiene sólo una regla sintáctica. En el modelo PTQ, expresiones complejas pueden obtenerse mediante otros métodos además de la simple concatenación de dos expresiones de categorías convenientes y, por consiguiente, el número de reglas sintácticas crece de manera proporcional. Así mismo, el poder generativo de la sintaxis se incrementa. Las operaciones sintácticas utilizadas en las reglas sintácticas del frag mento del modelo PTQ son más bien un conjunto heterogéneo. Encontramos la operación sencilla de concatenación (derecha e izquierda), pero también operaciones que introducen sincategoremáticamente expresiones que cambian el orden de las palabras, que regulan la forma morfológica de las expresiones, e incluso encontramos operaciones que desempeñan varias de esas tareas al mis mo tiempo. Desde un punto de vista lingüístico moderno, la manera obvia de hacer las cosas es buscar restricciones sobre las operaciones isibles. Varias propuestas se han hecho en esta dirección. Definamos ahora una sintaxis categorial para un fragmento pequeño del español, comenzando con una definición de las categorías: Definición 6.1. C A T , el conjunto de las categorías, es el menor conjunto tal que: (i) O, N C , V I G C A T (ii) Si A, B G C A T , entonces A/B G C A T La sintaxis contiene tres categorías básicas: O. la categoría de las oraciones; NC, la categoría de los sustantivos; y VI, la categoría de sintagmas verbales intransitivos. Las categorías derivadas A/B son categorías functoriales: una

Definición Categorial_______Descripción_________

Expresiones

Oraciones

O

Sustantivos

NC

VI

T = O/VI

Hombre, mujer, lenguaje, tesoro, elefante, reina, parque, yate, anillo

Sintagmas verbales intransitivos

Fumar, dormir, hablar, caminar, pasear

Términos

Juan, María, Carlos, Elisa, e/o, él\, . . .

Sintagmas verbales transitivos

Añorar, amar, conocer, buscar, encontrar, ser, besar

VI/O

Verbos de complementos de oraciones

Creer que, afirmar que

VI/VI

Verbos de complementos infinitivos

Intentar, desear

VT = VI /T (= VI/(O/VI))

NC/NC

O/O

Adjetivos prenominales

Verde, grande, rosado, cuadrado, imaginario

Adverbios modificadores de oraciones

N ecesariamente

Cuadro 6.1. Categorías y expresiones expresión de categoría A/B toma una expresión de categoría B como argumento y produce una expresión nueva de categoría A. En efecto, la cláusu la (ii) de la definición 1 determina un número infinito de categorías derivadas; sin embargo, sólo usaremos algunas cuantas de ellas. Para algunas categorías derivadas introduciremos abreviaciones especiales. El cuadro 6.1. resume las categorías que se utilizarán, da una definición si el nombre de la categoría es una abreviación de una categoría derivada y presenta una caracterización lingüística más familiar. El cuadro también presenta el léxico de nuestro frag mento: al lado de cada una de las categorías se listan los elementos léxicos de esa categoría. En las siguientes secciones, designaremos a menudo los ele mentos léxicos (también llamados expresiones básicas) de una categoría A com o B a . De acuerdo con el cuadro 6.1., entonces, B ^ c es el conjunto {hombre, m u jer, lenguaje, tesoro, elefa n te, reina, parque}. Obsérvese que el número de expresiones básicas de la categoría T es infinito. Para cada número natural n, éln 6 B t . La función de esas expresiones, llamadas variables sintácticas, será clara más adelante.

Hasta ahora hemos definido tres de los cuatro componentes de una sintaxis

categorial- las categorías básicas, las categorías derivadas y el lexicón. Falta dar la enumeración de las reglas sintácticas que definen cómo crear nuevas expresiones a partir de otras ya existentes. Las reglas sintácticas para el frag mento serán el tema de las siguientes secciones. Sus definiciones se presentarán una por una: primero, unas pocas para mostrar cómo se traduce el subfragmento resultante; después, añadiremos gradualmente más reglas sintácticas y de traducción.

6.3.2.

Térm inos, verbos intransitivos, oraciones

Una regla sintáctica debe proveer tres tipos de información: (i) las categorías de las expresiones a las cuales se puede aplicar, (ii) la categoría a la cual pertenecen las nuevas expresiones que resultan después de la aplicación de la regla, y (iü) la operación sintáctica que debe aplicarse para obtener una nueva expresión. Juntas, las reglas sintácticas nos proporcionan una definición de las expresiones del lenguaje. Por consiguiente, podemos considerar una enu meración de las reglas sintácticas como una definición que determina para cada categoría A las expresiones que pertenecen a ella. En otras palabras, si denotamos com o P¿\ al conjunto de todas las expresiones que pertenecen a A, se puede considerar que el conjunto de las reglas sintácticas proporciona una definición recursiva de PA para todo A € C A T . En esta sección daremos las reglas para la generación de oraciones simples tales como: (8)

Juan camina

(9)

Todo hombre duerme

(10) El elefante fuma (11) Una mujer pasea (12) Un solo elefante habla Nuestra primera preocupación aquí es el análisis de los términos, tanto nom bres propios com o expresiones cuantificadas. El punto de partida de toda la sintaxis es la siguiente regla básica: SI:

B a C PA i para toda categoría A

Esta regla establece que todo elemento léxico de una categoría A es una ex presión de categoría A: las expresiones básicas están incluidas en el conjunto de todas las expresiones. La siguiente regla es una regla de aplicación funcional, que son aquellas que describen cóm o las expresiones de ciertas categorías functoriales, es decir categorías de la forma A/B, se combinan con expresiones de categoría B para producir expresiones de categoría A. La regla S2 establece cóm o los términos y los sintagmas verbales intransitivos se combinan para formar oraciones. La ca tegoría de los términos, T , es una categoría functorial: T se define como O/VI La categoría de las frases verbales intransitivas, VI, es una categoría básica así com o la categoría de las oraciones O. La regla es la siguiente: S2:

Si 6 G P v i y a € P t , entonces F i ( a , 8 ) £ P o y F\(a, 8 ) = aó', donde 8 ' es el resultado de reempla zar el verbo principal en 5 por su forma en tercera persona singular

Por ejemplo, el término Juan y el verbo intransitivo cam inar se combinan por S2 para formar la oración Juan camina, ya que J u a n eP r (gracias a la regla Si, dado que Juan G B t ) y cam inar G P y i (por la misma razón). Si aplicamos F\ a Juan y cam in ar, el resultado es una oración: F\(Juan, cam inar) G Pq- La función de la operación sintáctica Fi tiene dos propósitos: conjugar el verbo principal en la VI y concatenar el T y el VI conjugado. En este ejemplo cam inar es el único verbo y, por lo tanto, F\ (Juan, cam inar) = Juan camina. Algunas VI contienen más de un verbo principal: cam inar y hablar,dormi o amar a María. Esas VI se forman por medio de reglas para la conjunción la disyunción, las cuales se estudiarán en §6.3.10. El aplicar F\ a T y a dicha VI coordinada resulta en la declinación de todos los verbos principales en la VI: F\( Juan, cam inar y hablar) = Juan camina y habla. Para contrastar, con sideremos la expresión intentar hablar, la cual también contiene dos verbos no declinados, pero de los cuales sólo uno es un verbo principal: F\(Juan, intentar hablar) = Juan intenta hablar. El fragmento no contiene términos plurales; por lo tanto F\ no necesita ha cer más que declinar el verbo principal. Y sólo lo necesita hacer para la tercera persona, dado que pronombres en primera o segunda persona no aparecen en el fragmento. Más aún, F\ asume un procedimiento para reconocer un verbo prin cipal en una VI. El modelo PTQ no provee dicho procedimiento, aunque varios métodos se han propuesto en trabajos posteriores. También, la definición de F\ asume que para cada verbo se conoce su forma presente singular de la tercera

Desde el punto de vista de la organización lingüística, sería preferible tratar dichos detalles morfológicos en un componente morfológico separado, en lugar de hacerlo en la sintaxis. Pero ciertamente tal componente no es esencial para el modelo PTQ. Considerando el objetivo restringido del modelo PTQ, es claro por qué Montague no se preocupó con ese tipo de detalles. Su objetivo principal era mostrar cómo se pueden relacionar sistemáticamente la sintaxis y la semántica modelo teórica; los detalles sintácticos y morfológicos, aunque interesantes por derecho propio, fueron puestos de lado por el momento. En las siguientes secciones nos encontraremos con instancias similares, pero no las discutiremos de manera explícita; simplemente asumiremos que ciertos procedimientos están disponibles y no negaremos que ciertas funciones de las operaciones sintácticas puedan ser tratadas de una mejor manera en otra parte de la gramática. Las reglas SI y S2 nos proporcionan un procedimiento para formar ora ciones con nombres propios (o variables sintácticas) en la posición del sujeto. En oraciones como las (9) a (12), el sujeto es un término cuantificado. Para producir este tipo de oraciones necesitamos reglas que formen términos cuantificados de categoría T a partir de N C , sustantivos, al introducir de manera sincategoremática las expresiones todo, el/la, un(a), un solo: person a.

S3: S4: S5: S6:

Si Si Si Si

Q6 C£ £ € £ €

Pn c , Pn c , Pn c , Pn c -

entonces i*2(C) entonces F3{¿) entonces F ^ ) entonces F^(Q

£ 6 £ e

Pr y PT y Pt y Pt y

^MC) = F3(Q = F a{C) = i's(C) =

todo ( el/la ( un(a) £ un solo £

Las reglas S3 a S6 proporcionan cuatro formas distintas de producir términos cuantificados. Cada una de las operaciones F-¿ a F?, toman un N C como ar gumento e introducen de manera sincategoremática un determinante distinto, combinándolo con el NC para producir un T. Podemos darnos cuenta de que estas reglas toman elementos de P n c como entrada, no sólo elementos de B n c Hasta ahora, sólo hemos visto expresiones básicas de la categoría NC, pero N C también contiene expresiones complejas: por ejemplo, frases nominales que consisten en un adjetivo y un nombre común, tales como mujer alta o elefante rosado, o un sustantivo con una cláusula relativa restrictiva, como hombre que duerme, mujer que mira a Carlos. En §6.3.11. retomaremos este lema. El método empleado aquí, el cual introduce los determinantes de manera sincategoremática, tal como los cuantificadores se introducen en los lenguajes lógicos, es el que Montague usó en el modelo PTQ. Esto significa que se debe

proveer una regla aparte, o una operación aparte, para cada determinan. Podríamos elegir tratar los determinantes de manera categoremática. En t^vl caso, consideraríamos todo, el/la, un(a), un solo com o elementos de la categ0r T/N C. Una regla de aplicación funcional sería suficiente para combinar deter 1 minantes y N C en T(las reglas y las operaciones que no son parte del fragmen. to, sino que se introducen para mostrar opciones alternativas se marcan con uqJ comilla. que se lee ‘prima’ , para distinguirlas de sus contrapartes ‘actuales’)S3’ ::

Si

o

G

Pt / n

F£(a, C)

c

y (

e Pn

c

,

entonces

F ^ (a ,

C) G

Pt , y

1

= <

El término todo hombre se forma al aplicar F!¿ al T / N C todo y el N C hombre. La operación F!¿ los concatena. Si nos restringimos a determinantes simples, no hay ninguna razón convincente para preferir un método en lugar del otro. Pero una vez que tomamos en cuenta determinantes complejos, la situación cambia. Por ejemplo, podríamos considerar que la construcción posesiva el/la ... de Juan, com o en la madre de Juan, es un determinante. Un NC, madre, se combina con éste para formar un término, la madre de Juan. Para tales determinantes, la introducción sincategoremática ya no es plausible. Más bien, el/la ... de Juan debe considerarse com o un elemento complejo de P t / n c ■Y tal vez otra razón para preferir el enfoque categoremático viene del hecho de que hay un número (potencialmente) infinito de numerales que actúan como determinantes. Utilizando las reglas SI a S6, o SI, S2 y S3’, podemos construir las oracio nes (8) a (12). En la Gramática de Montague, la derivación de una expresión se representa por un árbol de análisis. La figura (13) muestra dos árboles de análisis para la oración (9): el árbol de análisis (a) muestra la derivación uti lizando S3, y el árbol de análisis (b), la derivación usando S3’ . (13)

a.

Todo hombre duerme, O, S2 Todo hombre, T, S3

duerme, VI

I

hombre, NC b.

Todo hombre duerme, O, S2 Todo hombre, T, S3’ Todo, T/NC

hombre, NC

duerme, VI

j n0do de un árbol de análisis se rotula con una expresión, su categoría y el jxibre de la regla que se usa para formarla (SI nunca se menciona. El modelo da el número de la operación sintáctica en lugar del nombre de la regla • táctica, que es como lo hacemos aquí). Antes de añadir más reglas a la sintaxis, las cuales nos permitirán tratar con ¿s construcciones y expresiones, miraremos primero cuál es la organización del proceso de traducción utilizado en este sencillo fragmento. La traducción de jos términos es especialmente importante. Los nombres propios y los términos cuantificados son tratados igual por las reglas sintácticas: ellos pertenecen a la misma categoría sintáctica. Como veremos, esto tiene consecuencias más bien de largo alcance para la traducción del fragmento.

6.3.3-

La organización del proceso de traducción

En el modelo PTQ, se asigna un significado a las expresiones del español por me dio de una traducción en expresiones de un lenguaje lógico. Este lenguaje es el lenguaje de la Teoría de Tipos Intensional, que se definió en el capítulo 5. En varios momentos hemos argumentado que para representar adecuadamente los significados de las expresiones del lenguaje natural necesitamos por lo me nos un lenguaje con una estructura de tipos y una semántica intensional (cf. §§3.1., 4.2.1., 5.2.). Antes de continuar con la especificación del proceso de traducción, primero debemos introducir algunas convenciones notacionales (cf. también el cuadro 5.2.). j, m, b, e son constantes de tipo e x , y , z , x o , . . . , x n son variables de tipo e X, Y , Z, 5X n son variables de tipo (s, (e, t)) X , Y , Z, X o, - ••, X n son variables de tipo (s, ({s, (e, t )), t)) En el proceso de traducción, cada expresión del español se asocia con una expresión lógica del tipo adecuado, es decir, de un tipo que se ajuste a la significación semántica de su categoría. Así que, primero que todo, establece remos una correspondencia sistemática entre las categorías de nuestra sintaxis categorial y los tipos de la Teoría de Tipos Intensional. Dada esta correspon dencia, el proceso de traducción debe producir para cada expresión de alguna categoría, una expresión lógica del tipo correspondiente. Para las expresiones léxicas la traducción puede darse por medio de una lista finita. Para las ex presiones derivadas (infinitas en número), el proceso de traducción seguirá los lincamientos de las reglas sintácticas; dado que, como lo observamos en §6.2., si

queremos que la semántica de nuestro fragmento del español sea composición;,] e proceso de traducción también debe ser composicional. Por lo tanto, la tral ucción de las expresiones derivadas debe hacerse especificando una regla h tra ucción para cada regla sintáctica, la cual define cuál será la traduccir^ resu tante, según las traducciones de las expresiones de entrada de la reo-i*1 sintáctica. Comencemos por definir la correspondencia entre las categorías y los tinos Uno de los principios líderes detrás de la sintaxis categorial es que la categoría sintáctica de una expresión refleja su función semántica. En la Gramátic de Montague esta idea se incorpora por medio de la correspondencia entr! categorías y tipos. En la Teoría de Tipos, el tipo de una expresión concuerda directamente con su función semántica: la extensión de una expresión de tipo e es un individuo, una de tipo t denota un valor de verdad, la interpretación de una expresión de tipo (a, b) es una función que asigna objetos de tipo b a objetos de tipo a, y así en adelante. Si definimos una correspondencia entre las categorías y los tipos obtenemos, indirectamente, una relación entre las categorías sintácticas de expresiones en español y sus funciones semánticas. Por consiguiente, definimos una función / que vincula categorías con tipos de la siguiente manera: Definición 6.2. / es una función de C A T en T tal que: (i) / ( O ) = t (ii) f ( N C )

(iü)

=

f(VI)

=

{e ,t)

f ( A / B ) = ((s,f(B )),f(A ))

La categoría O de las oraciones corresponde al tipo t de las fórmulas. Tanto la a egona VI de los sintagmas verbales intransitivos, com o la categoría N C de ios sustantivos corresponden al tipo de los predicados monádicos de primer or en \e> )• Esto ultimo ilustra que si dos categorías son distintas, ellas no necesariamente corresponden a tipos distintos. Aunque dos expresiones per tenecientes a la misma categoría sintáctica necesariamente tienen la misma mncion semántica, la recíproca no es cierta. Por ejemplo, hombre y caminar enen Ja rnj fundón semántica! pero pertenecen a categ0nas distintas. aecir, las diferencias sintácticas entre ellas no son determinantes para su

Ta cláusula (iii) de la definición 2 define el tipo correspondiente a las caterías derivadas. De manera general, una categoría functorial A/B correspon e na función de intensiones de objetos de tipo /(-B ) en objetos de tipo / *rUdecir una expresión de una categoría functorial opera semánticamente Sh e las intensiones de sus argumentos. La razón para determinar as cosas Í S a manera es que algunas expresiones crean contextos in te n sio n e s (c . la Hsta elaborada, aunque incompleta, en §3.1.). Por ejemplo, el verbo transitivo ^ s c a r crea un contexto intensional, com o es evidente a partir del hecho e

que (16) no se sigue de (14) y (15): (14) Juan busca al comandante supremo de las Fuerzas Armadas de EE.UU. (15) El presidente de EE.UU. es el comandante supremo de las Fuerzas Armadas de EE.UU. (16) Juan busca al presidente de EE.UU. Dos términos con la misma extensión pero distinta intensióncom o elcoman dante supremo de las Fuerzas Armadas de EE.UU.y el presidente de E E .U U ., no pueden sustituirse salva veñtate en el contexto Juan busca... En la Gramatica de Montague esto se toma en cuenta al estipular que buscar opera semánti camente sobre la intensión de sus objetos. Note que dos expresiones con la misma intensión pueden sustituirse entre sí en un contexto intensional, como es evidente a partir del hecho de que (18) se sigue de (17). (17) Juan busca al barbero de Pedro (18) Juan busca al peluquero de Pedro En §6 3 5 regresaremos al tema de la representación de la naturaleza mtensional de algunos verbos transitivos. El hecho de que en toda categoría functorial se puedan encontrar expresiones que crean un contexto intensional es una justificación para asociar toda categoría functorial con un tipo de la forma ((s, b),a).

El segundo paso para determinar el proceso de traducción consiste en espe cificar la traducción de los elementos léxicos del fragmento. La mayoría de los elementos serán asociados a constantes del lenguaje lógico, pero otras serán asociadas a expresiones lógicas complejas. Al anterior grupo pertenecen los elementos de BT, el verbo transitivo ser y el adverbio modificador oracional necesariamente. Todos los demás elementos léxicos se traducen com o constan tes del tipo apropiado. Nos aseguraremos de que no ocurra que dos elementos

queremos que la semántica de nuestro fragmento del español sea composicional el proceso de traducción también debe ser composicional. Por lo tanto, la tra ducción de las expresiones derivadas debe hacerse especificando una regla de traducción para cada regla sintáctica, la cual define cuál será la traducción resultante, según las traducciones de las expresiones de entrada de la regla sintáctica. Comencemos por definir la correspondencia entre las categorías y los tipos. Uno de los principios líderes detrás de la sintaxis categorial es que la categoría sintáctica de una expresión refleja su función semántica. En la Gramática de Montague esta idea se incorpora por medio de la correspondencia entre categorías y tipos. En la Teoría de Tipos, el tipo de una expresión concuerda directamente con su función semántica: la extensión de una expresión de tipo e es un individuo, una de tipo t denota un valor de verdad, la interpretación de una expresión de tipo (a, b) es una función que asigna objetos de tipo b a objetos de tipo a, y así en adelante. Si definimos una correspondencia entre las categorías y los tipos obtenemos, indirectamente, una relación entre las categorías sintácticas de expresiones en español y sus funciones semánticas. Por consiguiente, definimos una función / que vincula categorías con tipos de la siguiente manera: Definición 6.2. / es una función de C A T en T tal que: (i) / ( O ) = t

(ii) f ( N C ) = f ( V I ) = (e,t) (iii) f ( A / B ) = ( { s J ( B ) ) , f ( A ) ) La categoría O de las oraciones corresponde al tipo t de las fórmulas. Tanto la categoría VI de los sintagmas verbales intransitivos, com o la categoría NC de los sustantivos corresponden al tipo de los predicados monádicos de primer orden (e, t). Esto último ilustra que si dos categorías son distintas, ellas no necesariamente corresponden a tipos distintos. Aunque dos expresiones per tenecientes a la misma categoría sintáctica necesariamente tienen la misma función semántica, la recíproca no es cierta. Por ejemplo, hombre y caminar tienen la misma función semántica, pero pertenecen a categorías distintas. Es decir, las diferencias sintácticas entre ellas no son determinantes para su función semántica.

La cláusula (iii) de la definición 2 define el tipo correspondiente a las cate gorías derivadas. De manera general, una categoría functorial A/B corresponde a una función de intensiones de objetos de tipo f ( B ) en objetos de tipo f ( A ) . gs decir, una expresión de una categoría functorial opera semánticamente sobre las intensiones de sus argumentos. La razón para determinar las cosas de esta manera es que algunas expresiones crean contextos intensionales (cf. la lista elaborada, aunque incompleta, en §3.1.). Por ejemplo, el verbo transitivo buscar crea un contexto intensional, como es evidente a partir del hecho de que (16) no se sigue de (14) y (15): (14)

Juan busca al comandante supremo de las Fuerzas Armadas de EE.UU.

(15)

El presidente de EE.UU. es el comandante supremo de las Fuerzas Armadas de EE.UU.

(16) Juan busca al presidente de EE.UU. Dos términos con la misma extensión pero distinta intensióncom o elcoman dante supremo de las Fuerzas Armadas de EE.UU. y el presidentede EE.UU., no pueden sustituirse salva veritate en el contexto Juan busca... En la Gramática de Montague esto se toma en cuenta al estipular que buscar opera semánti camente sobre la intensión de sus objetos. Note que dos expresiones con la misma intensión pueden sustituirse entre sí en un contexto intensional, como es evidente a partir del hecho de que (18) se sigue de (17): (17) Juan busca al barbero de Pedro (18) Juan busca al peluquero de Pedro En §6.3.5. regresaremos al tema de la representación de la naturaleza intensio nal de algunos verbos transitivos. El hecho de que en toda categoría functorial se puedan encontrar expresiones que crean un contexto intensional es una justificación para asociar toda categoría functorial con un tipo de la forma El segundo paso para determinar el proceso de traducción consiste en espe cificar la traducción de los elementos léxicos del fragmento. La mayoría de los elementos serán asociados a constantes del lenguaje lógico, pero otras serán asociadas a expresiones lógicas complejas. Al anterior grupo pertenecen los elementos de B'p, el verbo transitivo ser y el adverbio modificador oracional necesariamente. Todos los demás elementos léxicos se traducen como constan tes del tipo apropiado. Nos aseguraremos de que no ocurra que dos elementos

léxicos se vinculen con la misma constante y daremos cuenta de la sinonim^l de expresiones léxicas por otros medios (ver §6.3.6.). Para incrementar la legibilidad de las traducciones, es una práctica cornún en la Gramática de Montague utilizar constantes que reflejen los elementos léxicos correspondientes. Por supuesto, éstos deben ser distinguibles: en este libro incluimos las constantes en versales. Por ejemplo, el VI caminar se aso cia con la constante CAM INAR de tipo (e,t). Formalmente, la asociación de elementos léxicos con constantes se realiza por una función g, que cumple con los siguientes requerimientos: (i) g es una función de B a (con la excepción de B t , ser y necesariamente) en c o r r f a (ii) Si a

¡3, entonces g( a) ± g(/3)

La cláusula (i) determina que g asigna constantes de tipo f ( A ) a las expresiones básicas de categoría A, con las excepciones establecidas, las cuales tienen un tratamiento por separado. Por ejemplo, gihom bre) = HOMBRE. La cláusula (ii) garantiza que dos elementos léxicos no sean vinculados con la misma constante. La función g es la fundamentación del proceso de traducción. Así, la primera regla de traducción se formula de la siguiente manera: T I (a):

Si a está en el dominio de g, entonces a se traduce com o g(a)

Con excepción de los elementos de B t , ser, y necesariamente, los elementos léxicos de la categoría A se traducen, por medio de T I, en constantes de tipo f ( A ) . T I será extendida con las traducciones de otros elementos léxicos. Entonces funcionará de manera análoga a su contraparte sintáctica SI, la cual comienza el proceso de traducción. El tercer paso del proceso de traducción consiste en la definición de las re glas de traducción que corresponden a las reglas sintácticas. Una regla sintácti ca opera sobre una o más expresiones para producir una expresión nueva. La regla de traducción correspondiente define la traducción de la expresión nueva en términos de las traducciones de las expresiones que son sus partes compo nentes. Daremos ejemplos de esto en las siguientes secciones.

6.3.4.

La traducción de los términos

Esta sección trata principalmente de las reglas de traducción que le corres ponden a las reglas S3 a S6, las reglas sintácticas que construyen los términos cuantificados a partir de N C .

La composicionalidad de la semántica requiere la composicionalidad de ,

traducción y, por consiguiente, los términos deben tener una traducción r separado. Se pueden considerar algunos términos, tales como los nombres

ropi°s y âs descripciones definidas, que hacen referencia a individuos: Juan ge refiere a cierto individuo Juan, el primo más pequeño al número 2. Pero los

términos cuantificados son distintos, y esto complica la historia. Por ejemplo, consideremos el término cuantificado Todo hombre. No se puede considerar que este término hace referencia a un individuo, puesto que no hay ningún individuo que sea todo hombre. En §4.4.3., mostramos cóm o se puede obtener una traducción por separado de los términos cuantificados. Consideremos por ejemplo: (19) Todo hombre duerme La oración (19) se interpreta com o la afirmación de que la acción de dormir tiene la propiedad de ser verdadera para todo hombre. El término cuantificado todo hombre se considera com o un predicado de segundo orden que es verdadero de una propiedad de individuos si todo individuo que es un hombre tiene esa propiedad. Al final esta es justamente la lectura familiar en primer orden de (19), la cual se lee com o que para todo individuo es cierto que si es un hombre, él duerme. Así que semánticamente todo hombre se considera como una función aplicable a una propiedad. Note que esto concuerda con el hecho de que los tér minos también se comportan sintácticamente com o functores. La categoría T se define com o la categoría functorial O/VI. Sintácticamente, la aplicación de un término a un VI resulta en una oración; semánticamente, la aplicación de la interpretación de un término a una propiedad, expresada por un VI, resulta en un valor de verdad (de dicha oración). El tipo que corresponde a la categoría T refleja esto: (20) f ( T ) = f ( 0 / V I ) = « s , f ( V I ) ) , f ( 0 )) = ((s, ( e, t) ) , t ) Las expresiones de este tipo hacen referencia a (las funciones características de) conjuntos de propiedades de primer orden (cf. tabla 5.2.). El término todo hombre se traduce en la expresión (21), la cual hace referencia al conjunto de propiedades que son verdaderas de todo hombre: (21) A X V x ( h o m b r e ( x ) —>v X ( x ) ) En (21), X es una variable de tipo ( s, ( e, t ) ) y x es una variable de tipo e. Con respecto a una asignación de valores, la variable X hace referencia

a una función de mundos posibles en conjuntos de entidades, es decir, v hace referencia a una propiedad. Aplicada a un mundo posible, una propiedad produce el conjunto de entidades que tienen la propiedad en ese mundo. Con respecto a una asignación de valores, y X hace referencia en un mundo posible al conjunto de entidades que en ese mundo tienen la propiedad a la cual X hace referencia: VX es de tipo (e, t) y JX (x) es una fórmula que es verdadera en un mundo si el individuo referido por x tiene la propiedad referida por X es decir, pertenece al conjunto de entidades referidas por VX en ese mundo. La constante HOMBRE, la traducción del N C hombre, es de tipo f ( N C ) = (e,t). La expresión H O M B R E (x) es verdadera en w sii x pertenece al conjunto de los hombres en w. La fórmula (22) afirma, con respecto a una asignación, que todos los individuos que son hombres tienen la propiedad referida por X : (22) Vx ( h o m b r e —>v X ( x )) Aplicando A-abstracción sobre la variable X obtenemos (21), la traducción de todo hombre. Esta expresión es de tipo ((s , (e, t)), t), que se refiere en un mundo w al conjunto de todas esas propiedades que todo hombre en w tiene, lo cual es exactamente lo que queríamos para la traducción del término cuantificado todo hombre. Cuando aplicamos (21) a una expresión de tipo (s, (e, t)). una expre sión que denota propiedades, obtenemos una fórmula que es verdadera en w si la propiedad en cuestión es un elemento del conjunto de propiedades a las cua les (21) hace referencia en w. Por ejemplo, el VI dormir se traduce en la cons tante DORMIR de tipo f ( V I ) = ( e , t ) . La expresión ADORMIR se refiere a la propiedad expresada por DORMIR y es de tipo (s, (e,t)). Si aplicamos (21) a a DORMIR, el resultado es la fórmula (23): (23) AArVx(HOMBRE(x) —>v X ( x )) ( ad o r m i r ) Esta fórmula es verdadera en w sii dormir es una de las propiedades que todo hombre tiene en w. Por medio de la A-conversión (teorema 6.5. en §5.6.), podemos reemplazar (23) por (24), la cual, a su vez, puede reducirse a (25) por el teorema de VA-eliminación (teorema 6.2. en §5.5.): (24) Vx ( h o m b r e ( x ) -^ va

d o r m i r ( x ))

(25) Vx ( h o m b r e ( x ) —*■d o r m i r (x )) Esto nos lleva de nuevo a la representación en la lógica de predicados estándar de la oración (19).

gin embargo, dos puntos deben tenerse en cuenta. Primero, a diferencia de la lógica de predicados, la traducción de (19) se obtiene de manera composicional- Segundo, las transiciones de (23) a (24) y de (24) a (25) son isibles precisamente porque (23) es lógicamente equivalente a (24) y (24) a (25). Con r e s p e c t o a ser una representación del significado de (19), no hay ninguna dife rencia entre (23), (24) y (25): todas ellas son lógicamente equivalentes y, por consiguiente, representan el mismo significado. Podemos considerar a (23), (24) y (25) como tres notaciones diferentes para el mismo objeto semántico. Hemos convertido a (23) en (25) sólo porque (25) es una notación más corta y más

común. La traducción composicional de los términos cuantificados se ilustró por medio de la traducción del ejemplo todo hombre. Ahora daremos la regla de traducción T3, que corresponde a la regla sintáctica S3. La regla S3 toma un N C arbitrario £ y produce el término todo £; T3 define la traducción de todo C en términos de la traducción de (. De ahora en adelante, abreviaremos la frase ‘ a se traduce com o (3’ por ‘a t-> (3\ T3:

Si C £ P n c y

( ^ entonces ^ (C )

XXWx( (' (x) —>v X ( x ) )

Dado que hombre t—» HOMBRE por la reglaT l(a ), todo hom bre{= F 2 (hom bre)) se traduce com o (21) por la regla T3. Las reglas de traducción correspondientes a S4, S5 y S6 siguen el mismo patrón: T4: T5: T6:

c

Si ( € P n c y ^ entonces FÁQ ^ 3 x (V j/( C '(y ) <-*■ x = y) Av A (x )) Si £ £ P n c y C ^ C;> entonces F4(C) A X 3x(C '(x) Av X { x ) ) Si Q G P n c y ( entonces ^ 5 (0 ^ AA3xVy((C/ (y) Av X ( y ) ) ^ x = y)

Por la regla T5, el término cuantificado una mujer se traduce com o (26): (26) A A 3 x (m u je r(x ) Av X (x)) En un mundo w, la expresión (26) se refiere a un conjunto de propiedades. Una propiedad pertenece a este conjunto si hay una mujer en w con esa pro piedad. Diferentes mujeres tienen distintas propiedades. Si María duerme en w, entonces la propiedad de dormir pertenece a la extensión de (26) en w.

y si Elisa está despierta, la propiedad de estar despierto también pertengi cerá a la extensión de (26). El conjunto de propiedades al que hace referencia ! una mujer contendrá propiedades mutuamente excluyentes tan pronto corri0 exista más de una mujer. T4 proporciona un análisis “russelliano” de las descripciones definidas tales com o el tesoro, la cual traduce así: (27) AJí3x(Vy(TESORO(y) <-> x = y) Av X ( x ) ) En un mundo w, (27) se refiere al conjunto de aquellas propiedades que son ciertas de un único individuo que es un tesoro en w. La existencia y la unicidad se afirman en este análisis, mas no se presuponen (para una discusión de estos asuntos, véase §§5.2. y 5.5. en el volumen 1. El análisis presentado aquí no es el único posible dentro del marco de trabajo de la Gramática de Montague, pero es el utilizado en el modelo p t q ). Dada T6, la traducción de un solo elefante se refiere al conjunto de propiedades para las cuales hay precisamente un elefante (no necesariamente el mismo siempre) que tiene esa propiedad. El análisis de los términos cuantificados, delineado anteriormente, afecta el análisis de los nombres propios. Los nombres propios pertenecen a la misma categoría sintáctica que los términos cuantificados. Sintácticamente no hay nin guna diferencia entre los dos. Su distribución, es decir, la posición que pueden tomar en una oración, es virtualmente la misma; el considerarlos como perte necientes a categorías sintácticas diferentes sería muy poco natural y, más aún, complicaría la sintaxis enormemente. Toda regla aplicable tanto a los térmi nos cuantificados, com o a los nombres propios tendría que ser duplicada. Otra razón para analizar los nombres propios de la misma manera que los términos cuantificados es que a ese nivel se vuelve posible dar una interpretación di recta de los nombres propios com o elementos en una conjunción, tal como en Juan y Carlos, Carlos o una mujer, los cuales no pueden obtenerse si nos acogemos a un análisis que los considera com o expresiones que denotan indi viduos (véase §6.3.10.). Hay razones suficientes, por lo tanto, para considerar que los nombres propios y los términos cuantificados pertenecen a la misma categoría. Com o resultado, los nombres propios se traducirán en expresio nes de tipo / ( T ) = ( ( s , ( e, t ) ) , t) y no com o constantes de tipo e, com o en el capítulo 5. Ahora, esto parece más problemático de lo que realmente es. La razón es que los nombres propios también pueden hacer referencia a conjuntos de propiedades. En la oración (8), Juan camina, se puede interpretar que la propiedad de caminar pertenece al conjunto de las propiedades de Juan. Por supuesto, esta es sólo una manera más elaborada de decir que Juan tiene la

piedad de caminar. Así como un nombre propio se analiza sintácticamente Qino un functor que toma un VI para producir una O, también puede verse semánticamente com o una función que, aplicada a una propiedad (expresada el Vi), produce un valor de verdad (expresado por la O ). El nombre projo Juan, entonces, se traduce com o (28), donde X es una variable de tipo ls

¿)) y j una constante de tipo e:

(28) \ X VX ( j ) La fórmula "'JX ( j ) es verdadera en w con respecto a una asignación si el in dividuo al que se refiere j en w pertenece al conjunto de entidades a las que se refiere yX en w, el cual es el conjunto de entidades que tienen la propiedad a la cual X se refiere bajo esa asignación. El tipo de (24) es ((s, (e , t)),t), y su referencia en w es el conjunto de las propiedades que son verdaderas del indi viduo j e n w . La traducción del nombre propio Juan se utiliza en la traducción de la oración (8) de la misma manera en la que se usaron los términos cuantificados. El VI camina se traduce com o la constante CAMINA de tipo (e,t), y ACAMINA se refiere a la propiedad expresada por camina. Aplicando (28) a aCAMINA producimos la fórmula (29): (29) AA"vJí (j')( a CAMINa ) Ella afirma que la propiedad de caminar pertenece al conjunto de propiedades de Juan. Por medio de la A-conversión y de la VA-eliminación, (29) se reduce a

(30): (30) CAMINA(j) En este caso también obtenemos la representación estándar de la lógica de predicados de primer orden. Este tratamiento de los nombres propios ha sido posible gracias al hecho de que el conjunto de propiedades de un individuo y el individuo mismo están relacionados de manera única. Dos individuos son idénticos sii ellos tienen las mismas propiedades, es decir, sii sus conjuntos de propiedades son idénticos. La fórmula (31) es una formalización de esto: (31) VxVy(x = y <-> A X vX (x ) = AX y X ( y ) ) El principio (31) es un principio válido de la Teoría de Tipos Intensional. No todo conjunto de propiedades corresponde a un individuo, por supuesto.

Por ejemplo, (21) y (26) se refieren a conjuntos de propiedades que, except0 > en casos excepcionales, no definen un individuo. La traducción de las expresiones básicas de la categoría T , de los nombres propios Juan, María, Carlos, Elisa y de las variables sintácticas ¿Iq, . . . , ¿in j proporciona en la siguiente adición a la regla T I : T l(b ):

Juan ^ X X vX ( j ) María * A X VX (m) C arlos i—►AX yX ( c ) éln ^ X X vX ( x n)

Las variables sintácticas, al igual que los nombres propios, se traducen como expresiones que se refieren a conjuntos de propiedades de individuos: con res pecto a una asignación g, éln se refiere al conjunto de propiedades de g( xn), el individuo denotado por x n. Volveremos a las variables sintácticas en §6.3.8. Ahora tenemos una definición uniforme de la traducción de todos los términos en nuestro fragmento. Lo que falta por definirse para completar la tra ducción del fragmento de §6.3.2. es la traducción de la regla sintáctica S2, la cual combina T y VI para formar oraciones. En vista de lo anterior, la regla de traducción parece obvia. Una oración de la forma T + V I afirma que la pro piedad expresada por el VI pertenece al conjunto de propiedades a las que se refiere el T. Un VI ó se traduce en la expresión 6' de tipo (e, i). La expresión Aó, de tipo (s , (e, t)), se refiere a la intensión de 5', una función de mundos posibles a conjuntos de individuos, es decir, la propiedad expresada por 5'. El resultado deseado se obtiene al aplicar la traducción del T a la intensión de la traducción del VI. La regla de traducción T2, entonces, dice así: T2:

Si ¿ G P y i y a £ P t y ¿ h Fi(a,<5) ^ a ' ( AS')

á' y a h

a ', entonces

Veremos este patrón en todas las reglas de traducción correspondientes a una regla sintáctica de aplicación funcional: un functor opera en la intensión de su argumento. El tipo correspondiente a una categoría functorial A/B es f ( A / B ) = « s , / ( £ ) ) , f ( A ) ) . El tipo correspondiente a la categoría del argumento es f ( B) . Si la categoría de S es B, y ¿i—><5', entonces Aó' es de tipo (s, f ( B ) ) y, por lo tanto, es un argumento apropiado para la traducción a' de una expresión a de categoría A/B. No traducimos expresiones en sí mismas, sino las expresiones dado un análi sis sintáctico, pues, com o lo observamos en §6.2., sólo así podemos garantizar la composicionalidad de la traducción y, por lo tanto, de la interpretación.

La razón es que hay expresiones ambiguas que deben recibir más de una traducción. Así pues, el proceso de traducción opera sobre árboles de análisis jntáctico que representan la derivación de las expresiones. Comenzamos por la arte d e abajo del árbol, con la traducción de los elementos léxicos, y subimos nodo tras nodo, aplicando en cada paso la regla de traducción que le corres p o n d e a la regla sintáctica nombrada por el nodo. Utilizando este método, construimos una traducción única que proporciona el significado que corres p o n d e al análisis codificado en el árbol. La traducción en sí misma también p u e d e representarse en un árbol estructural. La figura (32) muestra un árbol d e análisis y el árbol de traducción correspondiente para la oración (10), El elefante fuma: (32)

a.

El elefante fuma, O , S2 El elefante, T , S4

fuma, VI

I elefante, NC

b.

AX3x(\/2/(ELEFANTE(y) <-> x = y) A v A '(a :))(AFUMAR), í, T2

\ AX3x(Ví/(ELEFANTE(y) <-> x = y) A v X ( x ) ) ,

FUMAR, (e,t)

\ ( s , ( e , t ) ) , t ) , T4

ELEFANTE, (e,t)

La figura (33) muestra cóm o se puede reducir el resultado por medio de Aconversión y VA -eliminación. (33) 3 x ( V í /( e le f a n t e ( j/) «-» x = y) A f u m a r ( x ) ) , VA-elim inación

$ 3 x ( V j/( e l e fa n t e ( j/) h j : = y) A v a FUMAR(x)) , A-conversión

$ A X 3 x ( V j/( e le f a n t e ( í/)

x = y) A v X ( x ) ) ( afu m a r ), í, T 2

A X 3 z (V 2 /(e le fa n t e (« /) *-> x = y) A v X ( x ) ) , « * ,(e ,t » ,t ),T 4

ELEFANTE, (e,t)

fu m a r , (e, í)

En §6.3.2. sugerimos una introducción categoremática de los determj. ■ tes. En dicho enfoque, los determinantes serían expresiones de categQK T /N C y sus traducciones serían de tipo f ( T / N C ) = ((s, f ( N C ) ) , f ( T) ) ^ ((s, (e, £)), ((s, ( e, t ) ), t )). Las expresiones de este tipo se refieren a relacioné entre propiedades de individuos. Podemos traducir el determinante todo (34): (34) AYAA¡:Vx(vY (x ) -^ v X ( x ) ) Esta expresión se refiere a la relación entre propiedades que es verdadera para dos propiedades Y y Ai en un mundo w sii todos los individuos que tienen la propiedad Y en w tienen la propiedad X en w (cf. la discusión en §4.4.3.) Aplicando (34) a AHOMBRE, una expresión que se refiere a la propiedad de ser un hombre, resulta (35): (35) AYAX V x(vY (x ) -^ v X ( x ) ) ( ah o m b r e ) Esta expresión se refiere al conjunto de propiedades X que satisfacen descrita por (34) con respecto a la propiedad de ser un hombre. reducida por medio de A-conversión y VA-eliminación; el resultado, traducción del término todo hombre, y es idéntica a la traducción por el m étodo sincategoremático (21): (36)

la relación Puede ser (36), es la producida

A X V x (h o m b r e (x ) - > v X ( x ) )

En este enfoque, la traducción de los determinantes todo, el/la, un (a) y un solo se definen por la regla T I, dado que son considerados como expresiones básicas: T l ( c ’):

todo i—►AYAXVx(vY (x ) X (x )) el/la i ►A y AAT3x(Vy(vY (y) <-+ x = y) Av X (x)) un(a) i—* A Y A X 3 x(vY (x ) Av X ( x ) ) un solo i—> A y X X 3xVy((vy (y) Av X (y)) x = y)

Es predecible la traducción de la regla de aplicación funcional S3’ , la cual combina determinantes y N C para producir términos: T 3 ’:

Si

a

€

P t /n c y C

F '(a , O H a ' r O

£

P n c y o-

y C

C,

entonces

1enf°(lue categoremático, la traducción de expresiones complejas que conP 1 términos se construye de manera análoga. El lector puede verificar que bos enfoques producen los mismos resultados. Ejercicio* 6 .1 .

(a) Construya el análisis y el árbol de traducción para la oración Una mujer pasea, utilizando las definiciones categoremáticas y sincatcgoremáticas de los determinantes (b) Proporcione una traducción para el determinante ningún

g 3.5.

Verbos transitivos

En esta sección añadimos a nuestro fragmento la regla sintáctica S7, la cual combina un verbo transitivo con un término para formar un verbo intransiti vo complejo y no-léxico. Tales VI no-léxicos se combinan con términos para formar oraciones por medio de la regla S2, tal como lo hacen los elementos léxicos de dicha categoría. Esto nos permite proporcionar un análisis de las oraciones con predicados relaciónales que preserve el análisis tradicional sujetopredicado. Para la nueva regla sintáctica S7 hay una regla de traducción correspondiente que define la interpretación de VI complejos. El tratamiento de verbos transitivos nos llevará a un segundo aspecto im portante del modelo PTQ: el análisis de verbos intensionales y de ambigüedades de alcance. Nos interesa encontrar un análisis correcto y composicional de ora ciones como: (37) Juan encuentra un tesoro (38) Juan busca un tesoro (39) Toda mujer añora un solo anillo Varios aspectos que ofrece el análisis del modelo PTQ serán discutidos de ma nera separada en las siguientes subsecciones. La traducción de las oraciones en las cuales aparece el verbo transitivo ser no serán tratadas hasta §6.3.9. Allí demostraremos cóm o su uso, tanto en afirmaciones de identidad, como (40), y en afirmaciones predicativas, com o (41), pueden tratase de manera uniforme. (40) Juan es María (41) Juan es una mujer

La regla sintáctica S7, que combina V T y T en VI, es una regla de apli(:ac¡ . l funcional, dado que V T se define com o VI/T. Los verbos transitivos son, p 9 lo tanto, functores cuya entrada es un término y cuya salida es un VI: S7:

Si a G P v t y o¡ G Pt , entonces Fe(a, a ) G P y i y _ . . i a'a, F&(c, a ) = < I oca,

si a es una variable sintáctica; .

en cualquier otro caso

donde o! es la forma acusativa de a Obsérvese que la regla sintáctica S7 puede tener un efecto morfológico. Si el término en el que la regla opera es una variable sintáctica, su forma morfológica debe ajustarse. También es importante observar el orden inverso entre el verbo y la variable sintáctica.2 La figura (42) muestra un árbol de análisis de (37): (42)

Juan encuentra un tesoro, O, S2 Juan, T

encontrar un tesoro, VI, S7 encontrar, VT

un tesoro, T, S5 tesoro, NC

Este ejemplo muestra que a las oraciones con predicados relaciónales se les asigna la estructura tradicional sujeto-predicado. Nuestro fragmento contiene únicamente expresiones básicas de categoría VT. Si fuéramos a añadir un verbo triàdico, tal com o dar (a), éste se combi naría, por ejemplo, con el objeto indirecto María para producir la expresión compleja dar a María, de categoría VT. La regla de traducción correspondiente a S7 sigue el patrón de otras reglas de aplicación funcional. El tipo que se asocia con la categoría V T es f ( V T ) = f ( V I / T ) = ( ( s , /(T )> , f ( V I ) ) = ( ( s , f(S / V / ) ) , f ( V I ) ) = ( ( s , ((s, (e, í)>, f » , (e, t)). De manera semántica, un V T es una función que, cuando se aplica a una propiedad de segundo orden, produce un conjunto de individuos. Así que su referencia puede ser vista com o una relación entre individuos y propiedades de segundo orden. Estas últimas son propiedades de propiedades de primer 2N. de T .: esta inversión no ocurre en idiomas como el inglés. Compare John seeks Juan lo busca. La regla S7 que presentamos aquí es una adaptación para el español.

it

y

es decir, funciones de mundos posibles en conjuntos de propiedades 01 'ndividuos. La referencia de un término es un conjunto de propiedades de •idividuos, así que su intensión es una propiedad de segundo orden. Como costumbre, el V T , al ser un functor, opera semánticamente sobre la intensión del T, el cual es su argumento. Hay varias razones para preferir esta reducción de los V T con respecto a una traducción que los trate com o rela ciones entre individuos, es decir, com o expresiones de tipo (e, (e,t)). Primero, nos permite considerar a los V T de manera general com o functores, toman do como argumentos términos en posición de objetos directos, ya sea que esos términos sean nombres propios o términos cuantificados. Segundo, hace posible dar cuenta de la naturaleza intensional de verbos com o buscar. Más adelante trataremos con más detalle este tema, pero primero formularemos la regla de traducción: T7:

Si <5 G P v t y a G i r y o H ^ y ^ H Fe(ó, a) >->• á'(Aa ')

entonces

El efecto de T 7 se ilustra por medio del árbol de traducción en la figura (43), el cual muestra la traducción de la oración (37), dado el árbol de análisis de la figura (42): (43)

ENCONTRAR(AAX3a;(TESORO(a;) Av X(x)))(j), A-conversión y VA-eliminación

t

AXvX (j)(AENCONTRAR(AAX3a:(TESORO(x) Av X(z)))), t, T2 AX

VX ( j ) ,

ENCONTRAR(AAX3a:(TESORO(a;) Av X(a:))),

((s, (e, t)), t), T l(b )

ENCONTRAR,

((a, {{s, (e ,í)),í)> , (e, í)),T l(a )

(e, t),

T7 AX3x(TESORO(x) AV X

( x )),

{(s, (e ,t)),t),T 5

t e s o r o , (e ,í),

T l(a )

La traducción del VT encontrar se aplica a la intensión de la traducción del término un tesoro, de acuerdo con la regla T7. El resultado, e n c o n t r a r ( a A X 3 x ( t e s o r o ( x ) Av X ( x ) ) ) es de tipo (e,t). En un mundo, la denotación de esta expresión es un conjunto de individuos, a saber, aquellos que encuentran un tesoro en ese mundo. La propiedad expresada por encontrar un tesoro es refe rida como a e n c o n t r a r ( a A X 3 x ( t e s o r o ( x ) Av X ( x ) ) ) y es de tipo (s , (e,t)).

La fórmula (37) afirma que esta propiedad de individuos es una propj^Bj de Juan. Esta afirmación se expresa por medio de la fórmula XX AX c o n t r a r ( a A X 3 x ( t e s o r o ( x ) A v X ( x ) ) ) ) . Por medio de la A-conversión VA-eliminación, ella se reduce a ENCONTRAR(AAX3x(TESORO(x)^VI (a ;))jH El modelo PTQ tiene una notación para relaciones binarias que guarda semejanza con la de la lógica de predicados estándar, también adoptar^® esta convención que exponemos a continuación:

Convención notacional 1

1

Si 7 es una expresión de tipo (a, (b, i)), a una expresión de tipo a, y /} llTJ expresión de tipo b, entonces escribiremos 7 (/5, a ) en lugar de (7 (a ))(jM Esta convención notacional, que llamaremos de ahora en adelante CN1, nos] dice que podemos tratar funciones de objetos de tipo a en conjuntos de objetos 1 de tipo b com o relaciones entre objetos de tipo b y objetos de tipo a. La traducción de (37) ahora puede escribirse también de la siguiente manera: (44) ENCONTRAR^',A AX3x(TESORO(x)

A V X(x)))

Ejercicio* 6.2. Construya los análisis y los árboles de traducción de las oraciones Juan conoce a María3 y Toda mujer añora un solo anillo. Reduzca el resultado de la traducción, utilizando A-conversión, VA-eliminación y la CN1. Ahora bien, ¿hasta qué punto son adecuados los resultados de la aplicación de las reglas? Intentaremos responder esta pregunta considerando primero otro ejemplo: (45), la traducción de la oración (38): (45)

BUSCAR(j,A A I 3 x ( t e s o r o ( x ) Av X ( x ) ) )

Esta traducción se obtiene exactamente de la misma manera en que (44) se obtiene a partir de la oración (37), sólo que usa un verbo transitivo distinto. La fórmula (45) afirma que la relación de buscar se obtiene entre el individuo Juan y la propiedad de segundo orden de ser una propiedad de un tesoro. ¿Acaso podemos considerar esta fórmula com o una representación adecuada del signi ficado de (38)? Al responder esta pregunta debemos tener en mente cuáles son 3N. de T .: al realizar la traducción, no se preocupe por la preposición

a.

bjetivos. Deseamos encontrar una representación correcta del signilas oraciones de nuestro fragmento. El significado de una oración grad° otras cosas, en sus relaciones lógicas con otras oraciones. Debeapaiece, lo tanto, asignar una interpretación lógica a una oración de tal manera ííl° S’ ^gXplique el hecho de que ella conlleva unarelacióndeimplicación lógica Que Sêrtas oraciones y no con otras. En el casode la oración (38). debemos 0011 lar los hechos semánticos relevantes de la siguiente manera: (46) no se sif° e d e (38) (Juan busca un tesoro.), (48) no se sigue de (38) y (47), y (38) y (49) fcfson equivalentes: (46) Los tesoros existen

(47) Los tesoros y los barcos fantasmas no existen (48) Juan

busca un barco fantasma

(49) Juan busca todos los tesoros Obviamente la oración (38) tiene otras relaciones lógicas con otras oraciones, pero si queremos asegurarnos de que (45) es una representación correcta de una parte importante del significado de (38), debemos ser capaces de dar cuen ta, por lo menos, de las relaciones de implicación mencionadas anteriormente. Así que queremos construir buscar como una relación entre un individuo y cier to objeto semántico de tal manera que demos cuenta de los hechos semánticos que acabamos de mencionar. Es evidente que no podemos considerar a buscar como una relación entre dos individuos. Si lo hiciéramos, el significado de (38) sería que Juan conlleva la relación de buscar con cierta entidad que es un tesoro, pero esto implicaría que (46) se seguiría de (38), lo cual contradice los hechos. En lo precedente, hemos resuelto analizar los términos de manera bastan te general como conjuntos de propiedades de individuos, teniendo en cuenta que no es necesario que todos esos conjuntos definan un individuo único. Por ejemplo, com o observamos en §6.3.4., no hay un individuo con todas las pro piedades en el conjunto A A 3 x (m u je r(x ) Av X ( x ) ) (a menos que sólo exista una mujer). Y todo individuo que es un hombre tiene más propiedades que aquellas en el conjunto A X V x(h om b re(x) —>v X (x)) (de nuevo, a menos que sólo haya un hombre): por ejemplo, tomemos la propiedad de ser igual a Juan, la cual es una propiedad de Juan, pero no de Jorge. Un análisis que considera a buscar com o una relación entre un individuo y un conjunto de propiedades de primer orden debe preferirse a uno que la considera como una

relación entre dos individuos, dado que la primera, pero no la segunda danl cuenta del hecho de que (46) no se sigue de (38). Ík! Obsérvese que la relación de buscar puede darse entre Juan y el conjunt Á propiedades de primer orden denotadas por AX3x(TESORO(x)AvX ( x ) ) ) so en aquellas situaciones en las que no haya tesoros. En esas situaciones i j j relación de buscar es verdadera del individuo Juan y el conjunto vacío. Si en u ' cierto mundo el conjunto de propiedades en cuestión es vacío, dado que no ha 1 tesoros, esto significa que en dicho mundo Juan nunca encontrará lo que estál buscando, pero esto no implica que Juan no pueda buscar lo que en efecto no 1 existe. Para ponerlo en otras palabras, (46) no se sigue de (38), y la negación de (38) no se sigue de (46). Esos resultados son bastante satisfactorios. Pero si miramos a (45), veremos que buscar no se considera como una relación entre un individuo y un conjunto de propiedades de primer orden, sino com o una relación entre un individuo y una función de mundos posi bles a conjuntos de propiedades de primer orden. Buscar no opera sobre el término mismo, sino sobre su intensión. ¿Por qué? La razón es que buscar no permite substitución de expresiones que sólo son equivalentes extensionalmente. Con respecto a (38) la razón de esto es bastante evidente. Suponga mos que (47) es verdadera. En tal situación X X 3 x ( t e s o r o ( x ) Av X ( x ) ) y AX3x(BARCO-FANTASMA(x) Av X ( x ) ) serían equivalentes extensionalmente, dado que ambas denotarían el conjunto vacío. Sin embargo, (48) no se sigue de (38), incluso si (47) es verdadera. Pero nótese que aunque en esta situación los términos un tesoro y un barco fantasmatienen la misma extensión, ellos tienen distintas intensiones. Hay mundos donde los tesoros existen pero no los barcos fantasmas, y viceversa. En un mundo en el cual existan ambas entida des de cuentos de piratas, sus conjuntos de propiedades serán diferentes. Estos hechos semánticos, tanto com o el hecho de que (38) y (49) no son equivalentes, se explican perfectamente al considerar a buscar com o una relación entre un individuo y una propiedad de segundo orden. Con respecto a los hechos semánticos observados anteriormente, el análisis del modelo PTQ sobre los verbos transitivos y sus objetos directos es satisfac torio. Una propiedad de segundo orden, aunque tal vez no sea la primera cosa que viene a la mente, es semánticamente adecuada com o el segundo argumento de la relación de buscar. Pero, ciertamente, el análisis que hemos desarrollado hasta ahora deja sin explicar varios aspectos del significado de buscar. Para poner esto de manera más precisa, hasta ahora hemos especificado únicamen te aquellos aspectos que hacen de buscar un verbo transitivo intensional, es decir, hemos explicado lo que todos los verbos transitivos intensionales tienen

F pero no lo que diferencia a uno del otro. Veremos en §6.3.7. cómo un etl c rnás específico del significado de buscar se explica en el modelo p tq . ^Pûestro análisis de los verbos transitivos, entonces, es satisfactorio para verbos transitivos intensionales, pero en efecto trata todo verbo transitivo ^ el fuera intensional. Si regresamos a la traducción (44) de la oración (37), remos por qué esto es así. En (44) encontrar también es tratado como una relación entre un individuo y una propiedad de segundo orden, por lo cual (37) no i jjca ja existencia de tesoros. Pero esto no es correcto; uno simplemente o puede encontrar cosas que no existen. Así que encontrar expresa una relación entre individuos. A diferencia de la relación de buscar, esta relación es extensional, y (52) se sigue de (50) y (51): (50) Juan encuentra al comandante supremo de las Fuerzas Armadas de EE.UU.

(51) El presidente de los Estados Unidos de América es el comandante supremo de las Fuerzas Armadas de EE.UU. (52) Juan encuentra al presidente de los Estados Unidos de América Aunque los verbos extensionales e intensionales tienen distintas propiedades semánticas, ellos pertenecen a la misma categoría sintáctica. El análisis de los verbos intensionales parece requerir de un análisis similar al de los verbos extensionales. En §6.3.7. veremos que podemos explicar la naturaleza exten sional de ciertos verbos transitivos al poner mayores restricciones sobre sus

interpretaciones, sin perder la ventaja ganada por el análisis con respecto a los verbos intensionales. Además, esto proveerá una solución al siguiente pro blema: queremos que buscar exprese una relación entre individuos en casos

como: (53) Juan busca a María De acuerdo con (53) la relación de buscar se obtiene entre dos individuos, a saber, Juan y María, y en este caso se pueden sacar conclusiones existenciales, dado que (54) se sigue de (53): (54) Hay alguien a quien Juan está buscando Un segundo problema es la explicación de ambigüedades de alcance. El ejercicio 2 ilustra que al derivar la oración (39), Toda mujer añora un solo anillo, con los

medios sintácticos a disposición hasta ahora sólo obtenemos la lectura cual el alcance de toda mujer es más amplio que el alcance de un solo o La otra lectura no puede producirse todavía, lo cual es insatisfactorio AiHj similar ocurre con la representación de la ambigüedad de dicto/ de re prodi j j l por oraciones con verbos intensionales. Hasta este punto sólo hemos e s t a « preocupados por la representación adecuada de la lectura de dicto de oración com o Juan busca un tesoro. Pero, de manera general, las oración ! en las cuales ocurren expresiones que crean un contexto intensional tienen además de una lectura de dicto, una lectura de re, com o vimos en §3.1 / j lectura de re de (38) puede parafrasearse de la siguiente manera: (55) Hay algo que es un tesoro y que Juan está buscando Dedicaremos la sección 6.3.8. al tratamiento de este fenómeno; dicha sección trata sobre la introducción en nuestra gramática de otro método de construc ción de oraciones. Pero primero debemos tratar los problemas mencionados anteriormente. Los postulados de significado juegan un papel central en este tratamiento y, por lo tanto, en §6.3.6. discutiremos la función de los postulados de significado en general.

6.3.6.

La función de los postulados de significado

En el modelo PTQ la interpretación semántica de la Teoría de Tipos Intensional sirve com o la interpretación indirecta de un fragmento del español. La interpre tación determina cuáles modelos son adecuados para dicha teoría. Pero no todo modelo que es adecuado para una Teoría de Tipos Intensional será ipso fado un modelo adecuado para el español. Esto es así, dado que dichos modelos con tienen muy poca información acerca de los significados de las expresiones del español. Los significados de las constantes lógicas, es decir, los conectivos, los cuantificadores, el predicado de identidad, el A-operador, los operadores A y v, y los operadores modales se definen exactamente, pero para todas las demás expresiones sólo se describe la naturaleza general de sus significados. Por ejemplo, para la constante lógica -i la semántica no sólo establece que su interpretación es una función de valores de verdad en valores de verdad, sino que además especifica cuál función es: la que vincula 0 con 1 y 1 con 0. Pero el significado de una expresión que no es una constante lógica no es completa mente especificado de la misma manera. Para tales expresiones la semántica sólo establece qué tipo de interpretación tiene, es decir, a cuál dominio perte nece su interpretación, pero no especifica cuál elemento de este dominio es su

retación. Por ejemplo, la semántica determina que la constante j de tipo ¡pterp terpreta com o una función de mundos en individuos, I ( j ) G D w , pero £ ^ ggpecifica la función exacta de D en W . Similarmente, sabemos de las n° SâI1tes SOLTERO y CÉLIBE que sus significados son funciones de mundos 00108 nj untos de individuos, pero nada más. 6 0 g¡ traducimos el español en el lenguaje de la Teoría de Tipos, heredaremos a distinción. El significado de algunas expresiones se especifica exactamente*, nichas expresiones son las que se traducen en constantes lógicas o en expre siones en las cuales sólo aparecen constantes lógicas y variables acotadas. Los ejemplos en nuestro fragmento son los determinantes. Esto debe ser así dado que toda teoría semántica del idioma español debe contener por lo menos una interpretación fija de las constantes lógicas. Esta es la única manera de explicar las inferencias válidas en español que dependen del significado de las contra partes en este idioma de las constantes lógicas. Por otra parte, también queremos que nuestra teoría semántica explique aquellas inferencias cuya validez depende de algo más que la interpretación de las constantes lógicas. Por ejemplo, queremos explicar el hecho de que (57) se sigue de (56): (56) Juan camina rápidamente (57) Juan camina Se puede considerar que la validez de esta inferencia se debe a una propiedad semántica del adverbio rápidamente. Hay una clase grande de adverbios con la misma propiedad, pero no todo adverbio la tiene: por ejemplo, (57) no se sigue de (58):

(58) Juan camina frecuentemente Otro ejemplo de una derivación válida que depende del contenido semántico de las expresiones que no son constantes lógicas es provisto por (59) y (60): (59) Juan es soltero (60) Juan no está casado Como lo mencionábamos anteriormente, los modelos de la Teoría de Tipos Intensional sólo nos dan la información de que SOLTERO y CASADO (las tra

ducciones de las expresiones en español soltero y casado) son interpretados

com o propiedades de primer orden. Pero si vamos a explicar la relación eny (59) y (60), esas constantes deben conllevar una relación específica entre siV.j. cualquier modelo la función de interpretación debe asignarles interpretacifw B tales que la extensión de soltero y la de CASADO sean disyuntas para w f l mundo. La semántica de la Teoría de Tipos Intensional permite tanto m o d e l® en los cuales este es el caso y modelos en los que no. Para esta teoría ambas clases de modelos son isibles. Pero, si queremos utilizar la teorf»* para dar una semántica para el español, claramente el segundo caso debe ser« excluido. Queremos que la teoría semántica ita sólo aquellos modelos en loa 1 cuales SOLTERO y CASADO sean interpretados de tal manera que se relacionen ' como se indicó anteriormente. La función de los postulados de significados es la de restringir la clase de todos los modelos a una cierta subclase. La subclase debe consistir en aquellos modelos en los cuales algún tipo de relación semántica entre (clases de) predicados sea válido, ciertas subclases de expresiones tengan propiedades semánticas específicas, y así en adelante. Para los ejemplos que acabamos de mencionar preferiríamos solamente aquellos modelos que validan las siguientes fórmulas: (61) V xV X D (( 7 (X ))(x ) —>v X ( x ) ) , para 7

= RÁPIDAMENTE, LENTAMENTE, . . . (pero no: USUALMENTE, . . . )

(62) Vx D ( so lter o ( x ) —> -iCASADo(x)) El postulado de significado (61) nos dice algo acerca de la interpretación de una subclase de adverbios; lo encontramos antes en §4.2.1. En todo modelo en el cual (61) sea válido, se tiene que (57) se sigue de (56). El postulado de significado (62) explica el hecho de que (59) implica (60), porque en todo modelo en el cual (62) es válido, las extensiones de SOLTERO y de CASADO son disyuntas para todo mundo. Los postulados de significado son fórmulas de nuestro lenguaje lógico. Las usamos para imponer restricciones sobre los modelos para nuestro lenguaje lógico y, por lo tanto, indirectamente, para el lenguaje natural, al estipu lar que solamente consideramos aquellos modelos en los cuales los postulados son válidos (algunas veces este tipo de información semántica también puede inducirse en un modelo de otras maneras, es decir, sin utilizar un postulado de significado. Véase §6.3.9. para un ejemplo). Al utilizar postulados de significado entramos en la dimensión desconocida entre la semántica de las oraciones y la semántica de las palabras. Los postu lados de significado se usan para capturar parte del significado léxico de las

ggiones; pero hay un límite para la cantidad de información que podemos i n d u c i r , o que quisiéramos introducir, en nuestros modelos, por medio de A r tillados de significado. Por ejemplo, (62) sólo establece que el significado soltero se relaciona manera especificada con el significado de casado. ^6 „ p\ ciertamente, no proporciona el contenido semántico completo de este PgíO ’ / . . ustantivo. Si es posible y para qué propósitos sería necesario representar el sig•ficado completo de un elemento léxico, es una pregunta difícil de responder. £1 problema más complicado es cóm o hacer una distinción entre implicacio nes que dependen del significado de las expresiones y aquellas que se deben a circunstancias fácticas. Queremos que la teoría semántica explique la pri mera, pero no la segunda (lo cual, en cualquier caso, probablemente no lo lograría). Este problema es, en efecto, el mismo con el cual todo lexicógrafo se las tiene que ver: distinguir entre información semántica y la información fáctica cargada por un elemento léxico. No hay una solución simple para este problema.

6.3.7.

Postulados de significado para el fragmento

Antes de formular un postulado de significado para verbos transitivos, que explique la extensionalidad de un verbo com o encontrar, formularemos primero un postulado de significado acerca de los nombres propios. Como se discutió en §3.2., los nombres propios, a diferencia de las des cripciones definidas, son designadores rígidos. En cada mundo posible ellos hacen referencia al mismo individuo. Hemos considerado todas las constan tes individuales com o designadores rígidos en la lógica de predicados modal, pero no lo hemos hecho así en la Teoría de Tipos Intensional. La extensión de una constante de tipo e puede diferir entre mundo y mundo. Recuérdese que el nombre propio Juan se traduce com o \ X JX (j). En un mundo w esta expresión se refiere al conjunto de propiedades que (en este mundo w ) son ver daderas del individuo que es el referente de j en ese mundo. En diferentes mun dos, \ X JX ( j ) puede referirse no sólo a diferentes conjuntos de propiedades, sino también a diferentes conjuntos de propiedades de diferentes individuos. Asumiendo que Juan es un designador rígido, esto no es lo que queremos: AX vX ( j ) se debe referir a conjuntos (posiblemente distintos) de propieda des del mismo individuo, a saber, Juan, para cada mundo. Al requerir que la referencia de la constante j sea el mismo individuo en todos los mundos, cap turamos el hecho de que el nombre propio Juan funciona como un designador rígido. No imponemos esta restricción en todas las constantes de tipo e, sino sólo en aquellas que son usadas en la traducción de los nombres propios. En

el fragmento, estas son las constantes j , m, b y e . Así pues, formulamos los siguientes postulados de significado: PS1

3 xG (x — a ), donde a = j, m,b, o e

Para cada una de las constantes j , m, b y e , PS1 afirma que hay un indivi duo que es idéntico a la extensión de la constante en cada mundo posible, es decir, que es un designador rígido. Si permitimos únicamente aquellos modelos de la Teoría de Tipos Intensional en los cuales PS1 es válido, aseguramos que Juan, María, Carlos y Elisa sean designadores rígidos. Un resultado inmediato de PS1 es que si dos nombres propios se refieren a un mismo individuo en un mundo, así lo harán en todos los mundos. En otras palabras, (63) es un principio válido: (63) a = (3 es equivalente a Aa = A (3, donde a, (3 es j , m, b, o e Un principio equivalente (véase la discusión en el §3.3.2.) es el (64): (64) a = (3 es equivalente a D (a = ¡3), donde a, ¡3 es j , m, b, o e Otra consecuencia de PS1 concierne a la relación entre expresiones que se re fieren a individuos y la expresión correspondiente que se refiere a conjuntos de propiedades de individuos. Un individuo se caracteriza por el conjunto de sus propiedades; esto significa que si dos expresiones a y (3 se refieren al mismo individuo en un mundo w, las dos expresiones X X ' X ( a ) = XX JX (¡3) se refie ren al mismo conjunto de propiedades en ese mundo. En otras palabras, (65) es un principio válido (Compare el principio (31) que se discutió en §6.3.4.): (65) a ~ ¡3 es equivalente a X X vX ( a ) = X X vX(/3), donde a, (3 son expresiones de tipo e Ahora, si además a y (3 son designadores rígidos, es decir, a y (3 se refieren al mismo individuo en cada mundo, entonces A X vX ( a ) y XX^X(¡3) se refieren al mismo conjunto de propiedades en todos los mundos. Por lo tanto, el prin cipio (66) y su equivalente (67) son también válidos: (66) ot. = f3 es equivalente a AX X wX ( a ) = A X X WX((3), donde a y ¡3 son designadores rígidos (67) q = (3 es equivalente a □ (A X vX ( a ) = A X vX (/3 )), donde a y (3 son designadores rígidos

jsjo solamente las constantes j, rn.b y e son designadores rígidos, lo son tam bién las variables. La extensión de una variable en un mundo no depende del mundo sino de la asignación. Para designadores no rígidos el principio (65) eS válido, pero (66) y (67) no lo son. Por ejemplo, si c y d se refieren ambos al mismo individuo en w\ pero no en w2, entonces AX wX ( c ) y \X' JX( d) se refieren al mismo conjunto de propiedades sólo en w\ y no en w 2 . Por lo tanto, AAX VX (c ) = A \ X yX (d) no es cierto. Así pues, para designadores rígidos a, y sólo para designadores rígidos a, se tiene que a y AX X VX ( a ) son maneras enteramente equivalentes de iden tificar un cierto individuo. Si a es un designador rígido, entonces cualquier expresión en la cual AAX vX ( a ) ocurre puede convertirse en una expresión equivalente en la cual a ocurre, dado que a y AAX vX ( a ) están ambas nece sariamente ligadas al mismo individuo. El segundo postulado de significado que se va a discutir aquí formula una propiedad de ciertos verbos transitivos. Observábamos en §6.3.5. que algunos verbos transitivos, tales com o buscar, pueden considerarse como relaciones entre individuos y propiedades de segundo orden. Tal enfoque explica hechos semánticos importantes acerca de esos VT intensionales, tal com o el hecho de que la oración Juan busca un tesoro no implica la existencia de tesoros. Por otro lado, este análisis falla para un VT extensional como encontrar, queremos que la existencia de los tesoros sea implicada por Juan encuentra un tesoro. En consecuencia, debemos ser capaces de considerar estos VT extensionales como una relación entre individuos. En el postulado de significado PS2 establecemos que las propiedades de segundo orden que se relacionan con individuos por medio de la relación expresada por un V T extensional están determinadas por una relación entre individuos: PS2

3 S V x V X D (á (x ,X ) <->v X ( aAy wS ( x , y ) ) \ donde S = AMAR, CONOCER, O ENCONTRAR

La variable S en PS2 es de tipo (s, (e, (e,t))), una relación binaria de pri mer orden, y X es una variable de tipo (s, {(s, (e, t ) ) , t ) ) , una propiedad de segundo orden. El PS2 expresa que para cada <5 para el cual está definido hay una relación S entre individuos tal que 5(x, X ) es verdadera sii VX ( AAy wS(x, y)), o en otras palabras, la propiedad de estar en la relación S con x pertene ce al conjunto de propiedades VX . Veremos que para cada ó para el cual PS2 está definido existe exactamente un S que satisface esta condición. Primero introduzcamos algunas convenciones. Siempre que digamos que la oración es umversalmente válida (\= (fi) queremos decir que —1

para cada modelo M en el cual los postulados de significado son v erd a d ^ J Tales modelos se llaman ‘ isibles’ . Más aún, diremos que las fórmulas ip son equivalentes si |0]m.9 = M m , 9 para toda asignación g y todo iq0a ! 9 isible M ; y decimos que (p y xp son equivalentes por PS2 si en todos los modelos isibles para cada asignación g que satisface PS2 Co® respecto a S, es decir, que asigna un valor a S tal que |[VxVXD(á(x, X ) <^v X ( AAyv5 (x , y) ) ) } M,g — 1, donde 6 es com o en PS2. Consideremos un ejemplo 1 La traducción de (68) (= (3 7 )) es (69) (= (4 4 )): (68) Juan encuentra un tesoro (69)

ENCUENTRA(j¡,A AX3x(TESORO(x) AV X ( x )))

Por PS2 se tiene que existe una relación S entre individuos tales que (69) es equivalente a (70): (70) VAA X 3 x ( t e s o r o ( x ) Av X ( x ) ) ( aAy vS( j , y) ) La fórmula (70) se reduce a (71) por A-conversión y VA-eliminación, y (71) es a su vez equivalente a (72): (71)

3 x ( t e s o r o (x) Av a AyvS ( j , y ) ( x ) )

(72)

3 x ( t e s o r o ( x ) A v S ( j , x))

En otras palabras, debido a PS2 existe una relación 5 entre individuos tal que (69) es equivalente a (72); en donde (72) es la afirmación de que hay un tesoro que tiene la propiedad de estar en la relación S con j . La convención notacional CN2 provee una expresión para cada VT, la cual jugará el papel de la relación S. C o n v e n c ió n n o ta cio n a l 2 Si S es una expresión de tipo ((s , ((s, (e , t ) ) , t )), (e ,í)), entonces podemos escribir 5* en lugar de \y\x 8 ( x A X X wX ( y ) ) La expresión <5* se refiere a la relación entre individuos que es verdadera para individuos x e y sii la relación S es verdadera entre x y la intensión del con junto de todas las propiedades de y, es decir, AAX wX ( y ) . Gracias a esta con vención notacional, VxVy(á* (x, y)<-+S(x,A X X ^ X { y ) ) ) es válida universalmen te, lo cual implica que podemos escribir <5*(x, y) en lugar de la afirmación S ( x A X X ^ X( y ) ) .

pjo toda afirmación de la forma S(x, X ) se puede cambiar por una, a,^_ ¿00 equivalente con ó*, dado que no toda expresión de tipo (s, ((s, ( e, t ) ) , t ) ) refiere a una propiedad de segundo orden que se relaciona con un indivi s o e s p e c ífic o . Por ejemplo, A X 3 x (t e s o r o (x ) Av.X (x)) no define un individuo ^necífico, porque si hay más de un tesoro o si no hay tesoros, entonces \ X (T E S O R O (x) AvX (x ) ) no hace referencia a un conjunto de propiedades que s e a el conjunto de propiedades de un individuo específico. Aunque la CN2 ge d e fin e para todas las expresiones de tipo ( ( s , ( { s , ( e , t ) ) , t ) ) , { e , t ) ) , lo que a c a b a m o s de decir muestra que la CN2 es meramente una convención notacional y que ella no implica que 6* pueda siempre reemplazar a S en PS2. La relación BUSCAR puede ser verdadera de un individuo, por ejemplo j , y de una propiedad de segundo orden, por ejemplo a A X 3 x (t e s o r o (x ) Av A '(x )), sin que sea cierto que la relación BUSCAR* sea verdadera de j y un cierto individuo en e s a situación. La conexión que nos interesa entre 5 y ó* sólo se obtiene en a q u e lla s situaciones donde <5 es verdadera de un individuo x y una relación de se g u n d o orden que corresponde a un individuo específico y , es decir, la propie d a d de segundo orden que se refiere en todo mundo al conjunto de propiedades d e y (en ese mundo). Un ejemplo de dicha propiedad de segundo orden es la propiedad a la que AAX vX ( m ) hace referencia. Gracias a PS1, m es un designador rígido y, por lo tanto, AX X VX (m ) se refiere a la función que para cada mundo posible proporciona el conjunto de propiedades del mismo individuo, María. Gracias a CN2 podemos escribir <5*(x, m) en lugar de 5(x, A X X yX (m )), y de esta manera tenemos una relación entre individuos siempre que un nombre propio ocurra en el segundo argumento de un verbo intensional com o buscar. Así (74), la traducción de (73) (= (5 3 )), es equivalente a (75): (73) Juan busca a María (74)

BUSCA

(j,A X X vX ( m ) )

(75)

b u s c a * (j,

m)

Esto no elimina la intensionalidad de buscar. La equivalencia de (74) con (75 se debe simplemente al tratamiento de los nombres propios y a la convenció notacional. Más aún, obtenemos una explicación del hecho de que (73) implic a (76) (= (5 4 )), puesto que (75) implica a (77): (76) Hay alguien a quien Juan está buscando (77)

3x BUSCAR* (j , X)

Para aquellos ó para los cuales PS2 postula su extensionalidad, toda afir^.. . 9 f de la forma S(x, X ) es equivalente a una afirmación acerca de individuos ejemplo, como vimos anteriormente, por PS2, S(j/' XX3./ ( t e s o r o ( j :| a v i es equivalente a la afirmación de que hay una entidad x que es un tesoro y 1* está en la relación s con j. De la misma manera, PS2 asegura que Vx(TESORO(x) —>v X(x))) es equivalente a la afirmación de que para todaenB tidad x, si es un tesoro, está en la relación S con j . La extensión de 5, ya q ^ J su existencia está garantizada por PS2, no es más que ó*. Podemos demostrar I que PS2 y CN2 implican el teorema 6.1.: T e o re m a 6.1. |= V x V X D (5 (x ,X ) <->v X ( AAy<5*(x,y))), donde <5 os igual AMAR, CONOCER o ‘ ENCONTRAR.

Demostración. Primero demostramos la equivalencia de á*(x, y) y wS(x,y) por PS2. De acuerdo con CN2, <5*(x, y) es equivalente a S(x, AXX '/X( y) ) . por PS2 esto es equivalente a VAA X vX ( y ) ( AAyv5 (x , y)), el cual por VA-eliminar ción y A-conversión equivale a VAAy vS( x , y ) ( y ) . Aplicando VA-eliminación y A-conversión una vez más, también es equivalente a vS (x, y). Entonces, al reemplazar 6 * por v5 en PS2 queda demostrado el teorema. El teorema 6.1. nos permite sustituir fórmulas VX ( AAy5*(x, y)) para todas las fórmulas 6(x, X ), si S es un verbo extensional. Veamos de nuevo la traducción de (68), Juan encuentra un tesoro. Ya hemos reducido (78) (= (44 ) y (69)), que es el resultado directo del proceso de traducción, a (79) (= (7 2 )): (78) ENCONTRAR^',A AX3x(TESORO(x) AV X (x))) (79) 3 x ( t e s o r o ( x ) A v S ( j , x)) También hemos demostrado que VS es equivalente a á*, y por esta razón po demos reducir (79) a (80) (= (6 6 )): (80)

3 x ( t e s o r o ( x ) A e n c o n t r a r * (j, x)

La fórmula (80) proporciona la representación de (68) que nos es familiar de la lógica de predicados de primer orden. Debe subrayarse que las fórmulas (78), (80) y todos los pasos intermedios son equivalentes por PS2 y que, en conse cuencia, todas representan el mismo significado. La reducción de (78) a (80) se

b0,06

gólo Por conveniencia. Obsérvese también que podemos obtener el mismo j n sin el paso intermedio (79), dado que, por el teorema 6.1., (78) es

Í c e n t e a (81): 81) vaA X 3 x ( t e s o r o ( x ) Av X ( x ) ) ( AXy e n c o n t r a r * (j, y))

teorema 6.1., por lo tanto, establece que la afirmación de que la relación N C O N T R A R es verdadera de j y la propiedad de segundo orden AAX3;r (TESORO , % X ( x ) ) es equivalente a la afirmación de que la propiedad de estar en la r e l a c i ó n ENCONTRAR* con j pertenece al conjunto de propiedades de un tesoro. La reducción de (81) a (80) procede siguiendo los pasos intermedios (82), (83) y (84): (82) A X 3 x ( t e s o r o ( x ) A v X ( x ) ) ( AXy ENCONTRAR*(j, y)) por VA-eliminación (83)

3 x ( t e s o r o ( x ) Ava Ay ENCONTRAR* (j, y) ( x

))

por A-conversión

(84) 3 x ( t e s o r o ( x ) A Ay e n c o n t r a r * (j, y )(x )) por VA-eliminación Todo esto muestra que restringir los modelos de la Teoría de Tipos Intensional por medio de PS2 nos da una semántica más satisfactoria para las expresiones del español. Los verbos extensionales se interpretan como relaciones entre individuos, mientras que, al mismo tiempo, la representación de los verbos intensionales continúa siendo como se definió en §6.3.5. El método mixto de postulados de significado y convenciones notacionales fue tomado del modelo PTQ. Nótese, sin embargo, que sería posible introducir el teorema 6.1. como un postulado de significado en lugar de PS2. En §6.3.9., en la discusión sobre el verbo transitivo ser, exploraremos este otro enfoque con un poco más de detalle. Ejercicio* 6.3. Reduzca las traducciones de las dos oraciones del ejercicio 2 utilizando CN2, P Sl y PS2. Para cada paso en la reducción, indique qué lo valida.

6.3.8.

Ambigüedades de alcance, lecturas de re y reglas de cuantificación

En §6.3.5. hemos mencionado dos problemas sobre el análisis de oraciones con sintagmas de verbos transitivos. En §6.3.7. dimos una solución para el primer problema, acerca el de cóm o representar la naturaleza extensional de ciertos

VT mientras conservamos una representación satisfactoria de la intens¡Q B lidad de otros. El segundo problema es cóm o explicar las ambigüedad^ 1 alcance y la representación de lecturas de re en oraciones con verbos inteiJ J nales. Para ilustrar el problema de las ambigüedades de alcance, considero^» la oración (85) (= (3 9 )): 081 (85) Toda mujer añora un solo anillo

■

Si analizamos esta oración utilizando las reglas que hemos definido hasta ahor» i obtenemos a (86) com o su traducción reducida: TB (86) Vx ^m u j e r ( x ) —> 3 í/V z (( a n i l l o ( z )

A a ñ o r a r *( x , ¿))

<-> y =

z)^

1

Esta fórmula establece que para cada mujer hay precisamente un anillo que ella añora, posiblemente diferentes anillos para diferentes mujeres. Ahora bien, también hay una lectura de (85) que puede parafrasearse com o (87): (87) Hay un solo anillo que toda mujer añora En esta lectura, es posible que alguna mujer añore más de un anillo, pero sólo un anillo es añorado por todas las mujeres. Nuestra teoría semántica debe proporcionar ambas interpretaciones para (85) y para oraciones ambiguas similares. La ambigüedad de (85) se debe a la ambigüedad del alcance de las expresiones todo y un solo. La distinción entre lecturas de dicto y de re también se puede formular en términos del alcance relativo de las expresiones. Por ejemplo, consideremos (88) (= (3 8 )): (88) Juan busca un tesoro Esta oración tiene dos lecturas; una, la lectura de dicto, resulta de la aplicación de las reglas que tenemos hasta ahora. La otra, la lectura de re, se puede parafrasear com o (89) (= (5 5 )): (89) Hay algo que es un tesoro y que Juan está buscando

A diferencia de la lectura de dicto, la lectura de re de (89) implica la exis tencia de tesoros. Como lo sugiere la formulación de (89), un tesoro tiene un alcance más amplio sobre el verbo intensional buscar en la lectura de re, mien tras que en la lectura de dicto, un tesoro ocurre dentro del alcance de bus car. Hay muchas ambigüedades que se basan en el alcance relativo de ciertas

g g ion es, tales como determinantes, expresiones temporales, expresiones e3C^ ajeS) verbos intensionales, negación y otros por el estilo. El principio de V o s i d ^ d a d requiere que toda ambigüedad semántica (no léxica) corres^üda a una ambigüedad derivacional. Siempre que una oración tenga más de ^dignificado, debe haber más de una manera de construirla. En el caso de amjylüedades de alcance, parece obvio que las distintas construcciones sintácticas el resultado del orden en que se introducen los elementos que involucran algún tipo de alcance. Sin embargo, las reglas sintácticas que hemos definido h a s t a ahora fuerzan un cierto orden. Aplicar un VT a un T y un T al VI resul ta n te es la única manera de formar una oración como (85) u (88). El functor siempre tendrá un alcance más amplio que el argumento. El sujeto, por lo ta n to , tiene el alcance más amplio, luego viene el verbo transitivo, y el alcance del objeto directo es el más estrecho. Para representar las ambigüedades de alcance, dentro de las cuales pode mos incluir ahora las ambigüedades de dicto/de re que acabamos de mencionar, introduciremos un segundo método de construcción de oraciones. Las variables sintácticas, es decir, las expresiones básicas de la forma éln, juegan un papel clave aquí. Las variables son de categoría T y, por lo tanto, pueden aparecer en la posición del sujeto o en la posición del objeto de un verbo transitivo. De esta manera obtenemos oraciones com o (90), (91) y (92):

(90) Él6 camina (91) Toda mujer I02 añora (92) Él* I07 busca Formularemos una regla que nos permita formar una nueva oración a partir de un término y de una oración que contenga una variable sintáctica, al sus tituir dicho término por la variable sintáctica. Esta regla se llama regla de cuantificación y se formula de la siguiente manera: S8, n:

Si a G P t y 4> G Poi entonces Fi^n(a, 4>) G P o y F j^ a t, ) — 4>'> donde 4>' es el resultado de la siguiente substitución en (p: (i) Si a no es una variable sintáctica élk, entonces reemplace la pri mera ocurrencia de éln, l°n o —lon por a y reemplace las demás ocurrencias de éln, lon o —lon por pronombres anafóricos o sufi jos apropiados. Asegúrese también de que a quede a la derecha del verbo (ii) Si a =élk, entonces reemplace todas las ocurrencias de éln Por élk, de lon por loy¡, y de —lon por —lok

La regla S8, n no es una sola regla sintáctica, sino un esquema de reglas. Es abreviación para un número infinito de reglas. Para todo número n tenei^J una regla sintáctica a partir del esquema de reglas S8, n. El índice n indica lJ variable sintáctica que sustituimos por el término a. Por ejemplo, si querern<JL que el término un tesoro sea sustituido por él\ en (92), aplicamos S8, 1 conJl se muestra en la figura (93): (93)

Un hombre lo7 busca, O, S8, 1 un tesoro, T

Élx lo7 busca, O

Si queremos sustituir el término I07 por todo hombre, entonces debemos usar S8,7: (94)

Un hombre busca todo tesoro, O, S8, 7 todo tesoro, T

Un hombre I07 busca, O

Si la misma variable sintáctica ocurre en una oración más de una vez, reem plazamos la primera ocurrencia por el término en cuestión y las demás por pronombres anafóricos apropiados. De esta manera, cuantificar el término una mujer en (95) resulta en (96): (95) Éli pasea y Juan loi busca (96) Una mujer pasea y Juan la busca (La construcción de oraciones con y tales com o (95) y (96) será tratada en §6.3.10.). La formulación de la regla de cuantificación, tomada esencialmente del modelo PTQ, tiene algunos inconvenientes. Por ejemplo, ella no maneja pronombres reflexivos, que son necesarios en algunos casos: si cuantificamos Juan en (97), obtenemos (98) y no (99), com o deberíamos: (97) Éli loi ama (98) Juan lo ama (99) Juan se busca a sí mismo

es el hecho de que S8, n permite cuantificaciones ‘vacías’, puede aplicarse a un término y a una oración en la cual no ocurra • ina v a r ia b le con índice n: el resultado sintáctico será bien formado, pero se ignara un significado incorrecto. Tales problemas han sido tratados en la "teratura y aquí no nos detendremos en ellos. Finalmente, obsérvese que S8, gracias a la cláusula (ii), permite la sustitución de variables por variables: 33te hecho no será tomado en consideración en adelante. La construcción de una oración por medio de una regla de cuantificación gerá llamada la manera indirecta de construcción. La vía directa de construc ción de la oración (85) y la manera indirecta se presentan en la figura (100): in c o n v e n i e n t e

(1 0 0 ) a.

Toda mujer añora un solo anillo, O, S2 toda mujer, T, S3 mujer, NC

b.

añorar un solo anillo, VI, S7 añorar, VT

un solo anillo, T, S6 I anillo, NC

Toda mujer añora un solo anillo, O, S8, 4 un solo anillo, T, S6 anillo, NC

Toda mujer I04 añora, O, S2 toda mujer, T, S6 mujer, NC

I04 añora, VI, S7 añorar, VT

éU, T

Ahora debemos demostrar que la construcción indirecta resulta en la lectura de (85) que nos hacía falta hasta ahora, la que parafraseamos en (87). La regla de traducción correspondiente a S8, n dice lo siguiente: T 8, n:

Si a G P t Y € Pn V cu 1—> o! y ó t—;> ó ', entonces F7,„ (a ,< ¿ > )^ a '(AAx„<¿>')

Un simple ejemplo demostrará cómo funciona T 8, n. Supongamos que hemos construido la oración (101) al sustituir Juan por e/3 en (102): (101) Juan camina (102) él3 camina

Por la regla T l(b ), que se describe en §6.3.4., las variables sintácticas se t r a ^ l ' cen en expresiones que se refieren a conjuntos de propiedades de primer o rcjJ S tal com o cualquier otro término. La variable e/3 se traduce com o XX^Xx*. 7 a traducción de (102) es (103), por la aplicación de T2; (103) se reduce a (lQÎ de la manera usual. (103)

A X v X ( x 3)( a c a m in a )

(104)

c a m i n a (x

3)

La fórmula (104), con la variable libre £ 3, se convierte en un predicado por medio de A-abstracción: Ax3CAMiNA(x3). Su intensión, presentada en (105)) se refiere a la propiedad de caminar: (105)

a Ax 3c a m i n a ( x 3)

De acuerdo con la regla T 8, 3, la cuantificación del término Juan en (102) se reduce semánticamente a la afirmación de que la propiedad que expresa la oración con la variable sintáctica é/3 es una propiedad de Juan. La fórmula (105) se refiere a dicha propiedad y la fórmula (106) la adscribe a Juan. Por medio de (107), la fórmula (106) se reduce a (108): (106) X X ^ X ( j ) ( aAx3c a m in a (x 3)) (107)

vaAx 3 c a m i n a ( x 3) (j)

(108)

C A M IN A (j)

La fórmula (108) da el significado de (101), que en este caso es el mismo tanto para la forma de construcción directa como para la indirecta. Este ejemplo simple ilustra concretamente el efecto semántico de la aplica ción de la regla S8, n. De manera general, la semántica de este proceso puede describirse de la siguiente manera: la substitución de una variable sintáctica éln por un término a en una oración se reduce a la afirmación de que la propiedad expresada por la oración con la variable libre éln pertenece al conjunto de propiedades a las que a se refiere. Al abstraer sobre x n y aplicar el A-operador, transformamos la traducción
'), la cual expresa la afirmación deseada. En el caso de (101), la manera de construcción indirecta produce el mismo resultado que la manera directa. Esto está muy bien, puesto que (101) no es

• .in Pero en otros casos, por supuesto, los distintos métodos de construc ____ t _ . _ _ j ___________ / o r \ — • n generan resultados distintos. La traducción de (85) mediante el método Cl°|n r-tn se muestra en (109), esta vez no con un árbol estructural, sino con ^ 'r' a 0 l b l g U £’"

iiidire^1'"

una lista: (109)

1.

ék >-> \ X vX ( x * )

2.

añorar

3. 4. 5.

m ujer

6.

Fi(toda mujer,Ioí añorar) i—> A X V x ( m u j e r (x )

i—» AÑ O R AR

Fe (añorarais)

►A Ñ o r a r ( a A X v X ( x 4 ) )

i—> m u j e r

F í^ m u jer) t—►A X V x (m u je r (x ) —»v X ( x ) )

T ía T3 T2

v X ( x ) ) ( a a ñ o r a r ( a A X v X ( x 4))) Vx ( m u j e r ( x ) —>v a a ñ o r a r ( a A X v X ( x 4) ) ( x )) Vx ( m u j e r ( x ) —►a ñ o r a r ( a A X v X ( x 4) ) ( x )) Vx Í m u j e r ( x ) —> a ñ o r a r ( x , a AATv X ( x 4))) Vx ( m u j e r ( x ) —> a ñ o r a r , ( x ,x 4 )) anillo i—> a n il l o

A-conv. VA -elimin. CN1 CN2 T ía

12.

F5( a n i l l o ) i-» \ X 3 z V y ( ( a n i l l o ( í / ) A v X (y )) <-> z = y')

T6

13.

F t^ (u u solo anillo, toda m u jer I04 añorar) 1—»

T 8, 4

7.

8. 9.

10 . 11.

= = = =

T lb T ía T7

A X 3 z V ? /^ (a n illo (j/) A v X ( y )) <-> 2 = y^j ^ A x 4V x ( m u j e r ( x ) —♦ a ñ o r a r , ( x , x 4 ) ) ^

14.

3 z Vj/ ^ ( a n il l o (2/) A v a Ax 4Vx ( m u j e r ( x ) —*

A-conv.

a ñ o r a r , ( x , x 4 ) ) (y )) <-► z = y\ 15.

3 z V ?/^( a n il l o (?/) A Ax 4Vx ( m u j e r ( x ) —*

' -elimin.

a ñ o r a r , (x ,x 4 ) ) (y )) *-*2 = y j 16.

32Vj/^(ANiLLO(y) A V x (m u je r ( x ) —> a ñ o r a r , ( x , y) ) ) <->

A-conv.

Un par de aclaraciones son necesarias. Los pasos 7 a 10 muestran que reducimos las subexpresiones tanto com o es posible durante el proceso de traducción. Por supuesto, no es necesario hacerlo, aunque sí hace las cosas más simples. La re ducción de 9 a 10 es posible simplemente por CN2, dado que la variable X4 es un designador rígido; PS2 no se necesita aquí todavía. Podemos escoger otra variable distinta a la utilizada en la descripción de la regla de traducción, como hicimos en el paso 12; de nuevo, esto no es necesario, pero sirve para evi tar confusiones. El patrón general de la traducción de una oración que se deriva por medio de una regla de cuantificación se muestra aquí en el paso 13. A partir de la traducción de toda mujer I04 añora, paso 10, se forma la expresión aAx4 Vx(mujer(:e) —> a ñ o r a r* (x, £ 4 )), la cual se refiere a la propiedad de ser añorado por todas las mujeres. La traducción del resultado de la cuantificación un solo anillo en toda mujer I04 ama, paso 13, establece que esta propiedad

pertenece al conjunto de propiedades para las cuales es verdadero que „ mente un anillo tiene esas propiedades, la cual es la misma que la afirmT^B de que existe exactamente un anillo que es añorado por todas las mujeres"^ cual es lo que expresa de manera más simple el paso 16. ‘r' Al comparar el final del proceso de traducción de la construcción in d ir«J de (85) — que es el paso 16 de (109)— con (86) — que es la traducción d e jl construcción directa- - vemos que las dos lecturas de (85) se representan ahorS de manera adecuada. Las maneras de construcción directa e indirecta son deri I vaciones distintas de la misma oración. Sin embargo, no hay una diferencia queB le corresponda en la estructura de los componentes. Si fuéramos a representar ■ la estructura de los componentes en la gramática, la oración (85) obtendría la 1 misma estructura, expuesta en (110), para ambos casos: (110) o[r[todo Nc[muj er]] vi[vT[añora ] r[un solo ] Nc[anillo]]] Este ejemplo ilustra lo que se ha establecido en §6.2.: es la historia derivacional de una oración, y no la estructura de sus componentes, la que determina su significado. La regla de cuantificación S8, n es un ejemplo de una regla sintáctica que es motivada primariamente por la semántica. Por supuesto, también desem peña cierta función sintáctica, generando pronombres anafóricos, pero la razón principal para su introducción es semántica, a saber, dar cuenta de las am bigüedades de alcance. Así que vemos aquí, de manera concreta, cómo el principio semántico de composicionalidad afecta los contenidos de la sinta xis. Obsérvese que el proceso de cuantificación nos proporciona un número infinito de maneras de derivar una oración: podemos utilizar otra variable sintáctica en cualquier momento. Dado que esas variantes no conllevan dife rencias semánticas (todas las fórmulas resultantes, a pesar de ser diferentes, son equivalentes), no las tendremos en cuenta. La regla de cuantificación también nos permite derivar la lectura de re de (88). La figura (111) muestra el árbol de análisis para esta lectura: (111)

Juan busca un tesoro, O, S8, 0 un tesoro, T, S5 tesoro, NC

Juan lo0 busca, O, S2 Juan, T

I04 buscar, VI, S7 buscar, VT

él0, T

m

pagos importantes en la traducción de este árbol son los siguientes: 1 9 ') 1

(1^ '

2.

3

k" 4 .

Juan loo busca

b u s c a r (j , A X v X

( xo ))

T lb

== B U S C A R » (j, x0)

CN2

F 7 ,o(un tesoro, Juan lo0 busca) i—> AX3a:(TESORO(a;) Av X (a ;))( AAxoBUSCAR»(j,a;o)) = 3 x ( t e s o r o ( x ) A b u s c a r » (j,x))

T 8, 0 A-conv., VA -elimin

La traducción de 1 a 2 depende del hecho de que xo es un designador rígido. La ración en la cual aparece xq, es decir, Juan loo busca, puede verse como la expresión de una propiedad de individuos, esto es, la propiedad de ser busca do por Juan. La traducción de (88) por medio de la manera indirecta de construcción se presenta en el paso 4 de (112), la cual afirma que hay algo que es un tesoro y que es buscado por Juan. Esta afirmación expresa la lectura

de re de (88). Ejercicio* 6.4.

(a) Construya tres árboles de análisis para la oración Todo hombre busca un tesoro que den lugar a tres traducciones lógicamente diferentes (b) Muestre que las construcciones directas e indirectas de la oración Juan encuentra un tesoro llevan a resultados equivalentes Haremos ahora algunas consideraciones finales. La primera concierne a la di ferencia entre las lecturas de re y de dicto de oraciones como la (88). Hemos observado que la lectura de dicto de (88) no implica la existencia de teso ros, mientras que la lectura de re sí lo hace. La pregunta ahora es si sus dos traducciones, (113) (= (4 5 )) y (114), expresan esta diferencia: (113) BUSCAR^',A AX3x(TESORO(x) AV X (x))) (114) 3 x ( t e s o r o (x )

a b u s c a r * (j , x ))

En efecto, la respuesta debe ser no; aunque esto todavía no se ha garanti zado. En la Teoría de Tipos Intensional, cuantificamos sobre individuos posibles y, por lo tanto, (114) sólo nos dice que es posible que una entidad sea un tesoro. Dicho sea de paso, en (116) — que es la traducción de (115)— no implica la existencia de mujeres: (115) Juan conoce a una mujer (116) 3x(m u jer(x) A c o n o c e r * ( j , x ) )

La introducción de un predicado existencial E nos permite varias manera« d tratar este problema. Por ejemplo, la información de que los elementos 1 ¿ j9 eos se relacionan con individuos que en efecto existen puede añadirse a 1 traducciones. T ía se podría reemplazar entonces por cláusulas como: m u jer >—►A x (m u je r(x ) A E( x ) ) Otro m étodo es la introducción de postulados de significado: Va£](<5(x) —►E( x) ) , para 6 = MUJER, TESORO, . . . Este postulado impone restricciones sobre las funciones de interpretación de los modelos, tales como: Para todo w: / ( t e s o r o ) (w) C I ( E) ( w) Cada solución afirma, no que los tesoros existen, sino sólo que si hay algo que es un tesoro, en efecto existe. Ahora bien, (114) implica la existencia de teso ros: si (114) es verdadera, hay una entidad que existe en efecto y que es un tesoro. Pero esta conclusión no puede obtenerse a partir de (113). La distinción de re/ de dicto se explica pues com o una distinción entre lecturas existenciales y no existenciales. Algunas veces la distinción entre (113) y (114) se describe com o la distinción entre las lecturas específicas y no específicas de (88). Cuando alguien está buscando un tesoro, puede estar buscando el tesoro que se le re galó en su cumpleaños y que ha desaparecido. Esto corresponde a la lectura específica de (88). Por otro lado, esta persona puede estar feliz con cualquier tesoro viejo que pueda encontrar: esto correspondería a la lectura no específica. No es claro que podamos tomar a (1 1 3 )y a (1 1 4 ) com o representaciones de las lecturas específica y no específica de (88), respectivamente. El problema aquí es que parece que las intensiones y convicciones de la persona que busca tam bién son importantes para establecer la distinción entre ambas lecturas. Por ejemplo, supongamos que Juan cree que hay tesoros y que en uno de esos teso ros hay una corona de oro. El quiere encontrar ese tesoro. En este caso Juan está buscando un tesoro específico. No podemos representar esta situación con (113), dado que se supone que ésta es la lectura no específica de (88). Por otro lado, (114) implica la existencia de tesoros, y a partir del hecho de que Juan está buscando un tesoro específico no quisiéramos concluir que ese tesoro existe. También, (114) establece que hay una entidad que es un tesoro que Juan está buscando, pero esto no implica que Juan sepa que la entidad que él está buscando sea un tesoro. Supongamos que, en efecto, él no lo sabe (él cree que

b u s c a n d o un barco fantasma); en dicho caso, no diríamos que Juan tiene la eSta "ón de encontrar un tesoro específico. Peor aún, (114) no implica que 6 tenga la intención de encontrar esa entidad específica que (114) dice Jua0£l egt¿ buscando. Si hay exactamente un tesoro y Juan sale a buscarlo, Que eg verdadera incluso si Juan, en efecto, cree que hay muchos más tesoros taría feliz con cualquiera de ellos. Pero a duras penas podríamos llamar a una situación en la cual Juan busca un tesoro específico. Por lo tanto. si queremos que fórmulas como (113) y (114) representen la distinción entre las le c tu ra s específicas y no específicas de oraciones como (88), preservando de esta m a n e r a la representación de las lecturas existencial y no existencial, parece que necesitamos profundizar más y que debemos someter a un escrutinio más detallado a verbos com o buscar, que no son sólo intensionales, sino también intencionales. Nuestro segundo comentario tiene que ver con las alternativas posibles que este método tiene para explicar las ambigüedades de alcance. Al considerar una oración com o Todo hombre añora un yate, uno podría dejarse llevar por la idea de que la representación (117) es suficiente, dado que la otra lectura, la presentada en (118), implica (117) y, por lo tanto, es sólo un caso especial:

(117) Vx(hOMBRE(x) —►3y(YATE(y) A AÑORAR*(x, y))^j (118) 3y^YATE(y) A Vx ( h o m b r e ( x ) —> AÑORAR*(x, y)) j El resultado de la construcción directa de la oración es (117) y es posible con

cluir que la construcción indirecta, (118), es superflua. Si siempre fuera cierto que el m étodo indirecto produce un caso especial de la situación descrita por la oración construida directamente, podríamos decir muchas cosas al representar únicamente la última. Sin embargo, este no es el caso. Primero, hay oraciones cuyas lecturas directa e indirecta son lógicamente independientes. Por ejemplo, consideremos nuestro ejemplo (85), Toda mujer añora un solo anillo. Sus dos lecturas (86) y (109) son lógicamente independientes; ninguna de las dos impli ca la otra. La ambigüedad de r e /de dicto de las oraciones también es un caso de lecturas lógicamente independientes. Segundo, incluso si una lectura implicara a la otra, no siempre es cierto que la construcción directa produzca la lectura más exhaustiva. Consideremos, por ejemplo, oraciones com o No es el caso que toda mujer añore un solo anillo y Un hombre añora un yate. Aquí, el méto do indirecto produce un caso especial de la lectura construida por medio del método indirecto. Una representación adecuada de las ambigüedades de alean-

ce, asi parece, presupone una sintaxis que provea varias maneras de cong^ una oración que muestre una ambigüedad de alcance. 1iir i;r

1

La regla de cuantificación nos garantiza un método para representar bigüedades de alcance. En esta sección hemos buscado los alcances rela t\ S de los términos cuantificados en posiciones de sujeto y objeto y los verbos intensionales y términos cuantificados. Pero hay muchas otras fu e n lS de ambigüedades de alcance que pueden ser tratadas de la misma manera N | encontraremos con algunos de estos casos en §6.3.10. y §6.3.11.

alcancejjyj

6.3.9.

El verbo transitivo ser

Hasta ahora no hemos discutido el verbo ser. Recuérdese que en §6.3.1. go '< introdujo ser como una expresión básica de categoría VT . En el modelo ptq el ser de identidad el de cópula se consideran como el mismo verbo transitivo. Esto es bastante notable, dado que la tradición lógica sostiene que es necesario distinguir, desde un punto de vista lógico, entre es en afirmaciones de identidad es en afirmaciones predicativas. Compare por ejemplo (121), la traducción lógica estándar de (119), con (122), la traducción de (120):

y

y

(119) Juan es María (120) Juan es un hombre (121) j = m

(122) hombre(j)

Es, tal com o aparece en (119), se presenta com o la relación de identidad en (121), mientras que la cópula es en (120) parece haber desaparecido en la tra ducción en cambio, se ha fusionado con la aplicación del predicado a la constante j . Así pues, parece que tenemos que distinguir entre dos verbos distintos. Sin embargo, com o veremos, es posible considerar las ocurrencias de es en (119) (120) como ocurrencias del mismo verbo, con el mismo signi ficado sin embargo, es posible brindar representaciones equivalentes de las oraciones respectivas y, en efecto, reducibles a (121) y (122). Dado que el verbo ser se considera com o un verbo transitivo ordinario, la derivación sintáctica de ambas oraciones es la misma, como lo ilustra la figura (123):

y,

y,

HOM BRE

y

„s

J u a n es M a ría , O , S2

Q

(123) a-

^

Juan, T

ser M aría, V I, S7 ser, V T

L u

M a ría , T

Ju an es un hom bre, O , S2 Ju an , T

ser un hom bre, V I, S7 ser, V T

un hom bre, T , S5

I hom bre, N C

Como se mencionó en §6.3.3., el verbo ser obtiene una traducción especial. Esta traducción es la siguiente: T l(c ): ser t-> AXAxvX ( aAj/(x = y)) Dado que ser es de categoría V T , su traducción es de tipo f ( V T ) = ((s , ((s , (e, t)), t)), (e, t) ). Semánticamente, expresa una relación entre individuos y pro piedades de segundo orden. T ic en efecto define qué relación es, a saber, la relación que es cierta en un mundo entre un individuo x y una propiedad de segundo orden X sii la propiedad de ser igual a x, es decir, AAy( x = y), per tenece al conjunto de propiedades que en ese mundo hacen referencia a X , es decir, sii vX ( AAy(x = y)). A primera vista, esta traducción parece brindar sólo el significado del ser de identidad, pero, com o veremos, también brinda el otro significado. Consideremos primero (124), la traducción de (119): 1.

10. 11. 12 .

María >—* \ X JX (m ) ser i—> A XA xvX ( AA?/(a: = y)) F6(ser, María) h-» A XA xvX ( aAy(x = y ))(A\ X vX (m )) = \ x VA\ X 'JX ( m ) C X y ( x = y)) = \ x \ X vX ( m ) ( A\ y(x = y)) = \ x WA\ y (x = y)(m) = \x \ y (x = y )(m ) = Xx(x = m) Juan AX vX ( j ) F\(Juan,ser María) i—> X X VX ( j ) ( AXx(x = m)) = VA Xx(x = m)(j) = Xx(x = m )(j)

13.

= (j = m)

2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

T lb T ic T7 A-conv. VA -elimin. A-conv. VA -elimin. A-conv. T lb T2 A-conv. VA-elimin. A-conv.

El VI ser María se refiere al conjunto de las entidades x para las cuales es ver dadero que la propiedad de ser idéntico a x es una propiedad de María, como lo establece la fórmula 5; com o es evidente a partir de la fórmula equivalente en 8, éste es el conjunto de entidades idénticas a María, el cual es, por supuesto, el conjunto singleton con María com o su único elemento. La oración completa afirma que la propiedad de pertenecer a este conjunto es una propiedad de Juan. Esta afirmación es equivalente a la afirmación realizada en el paso 13, que dice que Juan es idéntico a María. La traducción de (120) se da en (125); 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

12 . 13. 14. 15.

hombre i—> HOMBRE Fa( h o m b r e ) h-> A X 3 z ( h o m b r e ( z ) Av X (z )) ser i—►A X A x v X ( a Ay (x = y)) Fs(ser,un hombre) i—> A X A x v X ( a A?/(x = y)) ( a A X 3 z ( h o m b r e ( z ) Av X (z ))) = Aa:VAAAr3z(HOMBRE(z) Av X ( z ) ) ( AXy(x = y)) = A x A X 3 z (h o m b r e (z ) Av X ( z ) ) ( Xy(x = y)) = Ax 3 z ( h o m b r e ( z ) A v a Ay(x = y ) (z )) = A x 3 z (h o m b r e (z ) A Ay (x = y)(z)) = Ax 3 z ( h o m b r e ( z ) A (x = z )) Juan >-> AX vX ( j ) Fi(Juan, ser un hombre) >—> A X v X ( j ) ( AAx3z(HOMBRE(z) A (x = z))) = v a Ax 3 z ( h o m b r e ( z ) A (x = z))(j) = A x 3 z (h o m b r e (z ) A (x = z ) ) ( j ) = 3 z ( h o m b r e (z ) A (j = z )) = HOMBRE(j)

T ía T5 T ic T7 A-conv. VA -elimin. A-conv. VA -elimin. A-conv. T lb T2 A-conv. VA -elimin. A-conv. lógica de primer orden

Com o resulta claro a partir del paso 6, el VI ser un hombre se refiere al conjunto de las entidades x para las cuales es verdadero que la propiedad de ser igual a x pertenece al conjunto de aquellas propiedades X tales que hay un hombre que tiene X . La fórmula equivalente en 9 deja ver claramente que este es el con junto de entidades x tales que x es idéntico a un hombre. De acuerdo con el paso 12 de (125), (120) afirma que la propiedad de pertenecer a este conjunto es una propiedad de Juan; esta afirmación se reduce al paso 14, la afirmación de que hay un individuo que es un hombre y que es idéntico a Juan. Por supuesto, esto es equivalente al paso 15, la afirmación de que Juan es un hombre. Las fórmulas 14 y 15 son equivalentes en lógica de predicados estándar. En efecto, hay una vía más corta para este resultado. La traducción de ser un hombre es, después de todo, A x 32:( h o m b r e (2 :)A ( x = 2 ;) ) , y ella se refiere al conjunto de entidades x tales que hay un hombre que es idéntico a x. Por supuesto, esto es el conjunto de todos lo hombres, es decir, el mismo conjunto

gj que se refiere nuestra constante HOMBRE. Así que después de la línea 9, p o d r í a m o s haber continuado (125) de la siguiente manera: ( 126 )

10. 10. 11. 12.

= HOM BRE F\(Juan,ser un h o m b r e )^ X X ^ X ( j ) ( AHOMBRE) = HOM BRE ( j )

Teoría de Tipos

T2 A-conv.,v A -elimin.

que la traducción de ser, así com o se define en T ic , brinda la s e m á n t i c a correcta para su uso tanto en afirmaciones predicativas, como en afirmaciones de identidad. Como lo ilustran los resultados anteriores, el verbo ser es tratado como un verbo extensional. Com o cualquier verbo transitivo, se supone que expresa una relación entre individuos y propiedades de segundo orden. Pero nuestra traducción T ic , en efecto, define esta relación y además lo hace com o una relación extensional. Los mismos hechos también podrían haberse explicado de una manera distinta. Supongamos que no le hubiéramos dado una traducción por separado a ser, sino que la tradujéramos por una constante SER, com o cualquier otro VT. En vista de su extensionalidad, PS2 también habría sido aplicable a esta constante SER. Entonces, (127) y (128) habrían resultado ser las traducciones de (119) y (120): C o n c lu im o s

(127) SER*(j, m) (128) 3 x ( h o m b r e A SER*(j , m ))

Obsérvese, sin embargo, que estos resultados sólo explican la extensionalidad de ser, ellos no representan su significado completo. Por ejemplo, de acuerdo con (127), Juan es María afirma que existe una relación extensional entre Juan y María, pero no especifica cuál, a saber, la relación de identidad. Para dar cuenta de esto, debemos añadir otro postulado de significado: PS3

VxVyD ( s e r * (x, y) *-* (x = y))

Este postulado de significado define a SER» com o la relación de identidad. Utilizando PS3, (127) y (128) pueden reducirse a (124) y (125). Esto ilustra el hecho de que proporcionar la traducción especial T ic para la expresión ser no es la única manera de dar cuenta de su significado. Podemos obtener los mis mos resultados por medio de postulados de significado. También podemos com binar los efectos de PS2 y PS3 en un sólo postulado de significado para SER: PS4

IH(s e r

= AXAxvX ( AAy(x = y)))

Aquí tenemos un solo postulado de significado que expresa exactamente lo qUe había sido formulado en la regla de traducción. Este procedimiento también puede aplicarse en otros casos. Por ejemplo, podríamos haber traducido los determinantes en constantes, t o d o , EL, etc., explicando con un postulado de significado su relación con los cuantificadores lógicos (por supuesto, esto asume que introducimos los determinantes de manera categoremática). Esta habilidad para cambiar entre reglas de traducción y postulados de significado evidencia que los dos métodos tienen el mismo propósito: dar mayor especi ficación, y en algunos casos una especificación completa, para los significados de los elementos léxicos. En efecto, las cosas también funcionan al contra rio. En lugar de utilizar un postulado de significado, podríamos expresar la extensionalidad de los V T por medio de reglas de traducción especiales. Por ejemplo, en lugar de traducir encontrar por ENCONTRAR y luego relacionarlo con ENCONTRAR* por medio de PS2, podemos expresar la intensionalidad de kiss directamente en su traducción: T l ( a ’):

encontrar h-> AXAxvX ( AA ? /(e n c o n tr a r * (x , y)))

La similitud con la regla de traducción de ser es obvia. Sin embargo, obsérvese que hay una diferencia: T i c no sólo expresa el hecho de que ser es extensional, es decir, de que ser expresa una relación entre individuos, sino que también establece cuál relación se está expresando: la relación de identidad. T ía ’ dice que encontrar es una relación extensional, pero no la define mucho más preci samente que eso. Ejercicio 6.5. Muestre cómo la regla de traducción especial T l b para nombres propios puede reemplazarse por un postulado de significado. El siguiente ejercicio trata sobre las relaciones lógicas entre oraciones del lenguaje natural. Para las oraciones del lenguaje natural definimos la relación se sigue de a continuación: la oración B se sigue de las oraciones A i , . . . , An sii para cada análisis sintáctico de B y A i , . . . , A n se tiene que la traducción de B, en dicho análisis, se sigue de las traducciones de A i , . . . , A n (algunas veces también se puede utilizar la noción se sigue de un análisis . . . , la cual es una versión relativizada de la primera noción). Ejercicio* 6.6. Muestre que Juan busca a Elisa no se sigue de Juan busca a la reina y Elisa es la reina.

^ 3.10.

Reglas de conjunción, disyunción y negación

Comenzamos con la conjunción y la disyunción. Consideremos las siguientes oraciones:

(129) Juan duerme y María pasea (130) Un hombre camina y pasea (131) Todo hombre fuma o besa a una mujer (132) Todo hombre ama a María o a Elisa La oración (129) es un caso simple de coordinación copulativa (conjunción) de oraciones, a diferencia de (130), (131) y (132), que no se pueden reducir a ora ciones coordinadas por la cópula. La razón es que, ciertamente, las oraciones correspondientes, de (133) a (135), tienen un significado distinto: (133) Un hombre camina y un hombre pasea (134) Todo hombre fuma o todo hombre besa a una mujer (135) Todo hombre ama a María o todo hombre ama a Elisa Explicaremos dichos hechos al introducir no sólo reglas de conjunción y disyun ción de oraciones, sino también de conjunción y disyunción de VI y una regla de disyunción para términos (no introduciremos una regla de conjunción para estos últimos, dado que tendríamos que hacer un análisis de la pluralidad, lo cual está por fuera del alcance de esta introducción). Las reglas sintácticas y las reglas de traducción correspondientes se muestran a continuación: S9:

Si , i¡) 6 Po, entonces Fa(4>,ip) e Po y Fg(ct),ilj) =

T9: S10: TIO: S i l: T il: S12: T12: S13: T13:

Si (j), x¡j 6 Po y > 4>' y il>l—> V’/ i entonces Fs (4>, ip) i—> (' A ip1). Si 4>,rp € Po, entonces Fg((t>,rl>) € Po y F g ^ ,^ ) = <j> o ip. Si <j), ip 6 Po y * 4>' y ^ * 4>', entonces Fg(4¡,x¡;) n * ( <j>' V ip'). Si 7 , 5 € P v i, entonces Fs( 7 ,<5) € PviSi 7 ,á 6 Pvi y 7 •l ' y <5 ^ > 6', entonces F 8( 7 ,<5) >—►\ x (i'(x ) A S'(x)). Si 7,(5 € P v i, entonces Fg(7 ,á) £ PVI. Si 7 ,á G Pv i y 7 i—►7 ; y ¿ i—<•(5', entonces Fg(7 ,i5) i—> \x(^'(x) V <5'(x)). Si a, (3 G P t , entonces Fg(a,/3) € PT Si q, ¡3 e P t y a •—* a' y P P ', entonces Fg(a,/3) i—> A X ( a '( X ) V P'(X)).

Las operaciones sintácticas F% y Fg introducen y y o de manera sincategoremática entre oraciones, entre los VI y los términos. Las reglas sintácticas no necesitan mayor explicación. El efecto de las reglas de traducción T9 y TlO también es obvio. T i l y T12 hacen uso del A-operador para definir la conjun ción y la disyunción de los predicados en términos de los conectivos A y y, Este proceso se discutió en §4.4.1. La regla T13 produce la traducción de una disyunción de términos de manera similar. Por ejemplo, la traducción de María o Elisa procede de la siguiente manera: aplicamos la traducción de María y la traducción de Elisa a la variable X de tipo ( s, ( e, t ) ) (com o de costumbre, tomamos una variable Y en la traducción de María y de Elisa para evitar con fusiones, aunque esto no es estrictamente necesario). Tomamos las fórmulas resultantes y formamos su disyunción X YwY( m) ( X) \/\YwY ( e ) ( X ) , la cual puede reducirse a vX (m )V vX (e ). Esta fórmula es verdadera si X es una pro piedad de María o una propiedad de Elisa. El abstraer sobre X produce una expresión que en un mundo w se refiere al conjunto de aquellas propieda des que en w son propiedades de María o propiedades de Elisa (o ambas): AX ( y X ( m ) Vv X ( e ) ) . Para ilustrar cóm o funcionan las reglas S9 a S13, presentamos en (136) los pasos más importantes de la traducción de (130): (136) 1. 2.

Fg(fumar,pasear) > Ax (f u m a r (x ) A pasear (x )) F\(un hombre, fumar y pasear)

T il

3.

1—>AX3?/(h om bre (?/) AVAT(x)) (a Ax ( fu m ar (x ) Apasear (?/))) = 3(HOMBRE(y) A Ax ( fu m a r (x ) A pasear (x ))( j/))

4.

= 3(HOMBRE(y) A FUMAR(y) A PASEAR(y))

T2 A-conv., VA -elimin. A-conv.

Si comparamos (136) con (137), la traducción de (133), vemos que en efecto (133) tiene asignado un significado distinto al de (130): (137) 3 x ( h o m b r e ( x ) A

f u m a r (x

) ) A 3 x ( h o m b r e ( x ) A p a s e a r (x ))

Por su parte, la oración (135) se traduce como (138): (138) Vx ( h o m b r e ( x ) —> a m a r (x , m )) V Vx ( h o m b r e ( x ) A

a m a r ( x , e))

La oración (132) tiene otro significado, como lo muestra su traducción paso a paso en (139):

(139)

1.

Fg(María, Elisa) >-> XX{XYvY( m) (X)

2. 3.

= A X ( vX ( m ) V v X ( e ) )

4.

A A y vY ( e ) ( X ) )

A-conv.,

F6(amar, María o Elisa) h-> AMAR(aA X(vX(t7i) F\(todo hombre, amar a María o a Elisa) A F V x (h o m b r e (x ) —>v Y(x)) (aa m a r ( a A X ( vX ( m ) V v X(e))))

Vv

X ( e )))

T7 T2

5.

= V:e ( h o m b r e ( x ) —>a m a r (x , a A X ( vX ( m ) V v X ( e ) ) ) )

6.

= Vx (hombre (x ) —»-A A X (vX(ra) V v X(e)) (a Aj/AMAR,(x , y))) = Vx (h om bre (x ) —> (a m a r *(x , m ) V a m a r *(x , e )))

7.

T 13

A-conv., VA -elimin. CN1. PS2. A-conv., VA -elimin.

Esta traducción determina el significado adecuado de (132). El PS2 se necesita en la línea 6, dado que la CN2 aquí no es suficiente: X X X ( m ) \ / vX ( e ) ) no se refiere a un único individuo (asumiendo que m y e se refieren a individuos distintos), a diferencia de AX ^ X ( m ) y A X vX (e ). Otra cosa que ahora resulta evidente es que si cuantificamos un término en una oración con y en la cual la misma variable sintáctica ocurre más de una vez, obtenemos una coreferencia semántica de las distintas ocurrencias. Consi deremos (140) (= (9 6 )): (140) Una mujer pasea y Juan la ama En la oración (140), el pronombre anafórico la se refiere a una mujer, esta afirma que hay una mujer que pasea y que es amada por Juan. La figura (141) muestra las partes relevantes del análisis de la oración (140). Los pasos relevantes de la traducción se presentan en (142): (141)

Una mujer pasea y Juan la ama, O, S8 , 1

Una mujer, T

(142)

1.

Eli pasea y Juan loi ama, O

pasea y Juan lo\ ama*->p a s e a r ( x i ) A (j, X i ) F i:i(una m ujer, éli pasea y Juan lo\ ama)

é li

T9

AMAR*

2.

i—> A X 3 x ( m u j e r ( x ) A v X ( x ) )

3.

( a A x i ( p a s e a r ( x i ) A A M A R * ( j ,x i ) ) )

T8, 1

= 3x (M U J E R (x ) A PASEAR( x ) A A M A R * ( j ,x ) )

A -c o n v ., V A -e lim in .

El

m o d e lo PTQ tie n e reglas sep a rad a s p a ra c o m b in a r los térm in o s y los

VI con

el p ro p ó sito d e fo rm a r oracion es n eg a d a s:

S14:

Si a G P t y ó 6 P v i, entonces F\o(oc,S) G P o y Fio(a, S) — a5', donde 5' es el resultado de reempla zar el primer verbo por su forma negativa en tercera persona singular del tiempo presente

La regla de traducción correspondiente es la siguiente: T14:

Si a € P t y S G P v i y ot >—*• a 1 y 8 i—* 6 ', entonces Fi0(a ,ó ) i-» -ia '(A¿')

La figura (143) muestra el árbol de análisis de dos oraciones formadas por la regla S14. Sus traducciones se dan en (144) y (145): (143)

a.

Juan no fuma, O, S14 Juan, T

b.

fuma, VI

María no ama a todos los hombres, O, S14 María, T

amar a todos

los hombres, V I, S7

amar, V T

todos los hombres, T , S5

I hombre, NC

(144)

-iF U M A R (j)

(145)

-nV x(H O M B R E (x) —> A M A R * ( m ,x ) )

Utilizando esta construcción, la negación siempre obtiene elalcance más am plio. Para las oraciones (144) a (145) este análisis es correcto.Algunasveces, no obstante, un término en posición sujeto debe tener un alcance más amplio que la negación. Esto se logra al cuantificar sobre el término en una oración formada por S14. Por ejemplo, la derivación de la oración El elefante no pasea se presenta en la figura (146); los pasos relevantes de la traducción se presentan en (147): (146)

El elefante no pasea, O, S8 , 7 el elefante, T , S4 elefante, NC

él7 no pasea, O, S14 éb, T

pasear, VI

íl47)

12.

F w (éh ,p a sea ) h-> -iPASEAR^) elefa n te, é/7 no pasea) 1—» X X 3 x (Vj/(ELEFANTE(y) <->• x — y) Av X ( x ) )

3.

= 3 x (V y ( E L E F A N T E (y )-^ x = y ) A -iP A S E A R (x ))

T14 T8, 7

(a A x 7 ->PASEAR(x7)) A -c o n v ., V A -e lim in .

que, dada la manera en la que se formula arriba, la regla de negación adecuadamente sólo si se aplica a un VI que contenga exactamente un v e r b o principal. Es posible, sin embargo, formular una regla para el caso más gen eral. En el modelo p t q las reglas para la introducción de los tiempos v e r b a l e s s o n similares a las reglas de la negación. Tal com o sus contrapartes lógicas, la cópula (conjunción), la disyunción y la n e g a c i ó n (y los tiempos verbales) del lenguaje natural se introducen sincategoremáticamente. Esto no es necesario, así com o lo vimos para el caso de los determinantes. En §4.3. discutimos, en cierta medida, la introducción categoremática de la conjunción y similares. Un análisis categoremático similar al allí bosquejado ciertamente puede implementarse para el modelo PTQ. O bsérvese fu n c io n a

Ejercicio* 6.7. Elabore un árbol de derivación y una traducción para la oración Juan besa a María o a la reina y la ama.

6.3.11.

Complementos oracionales e infinitivos, adjetivos, cláusulas relativas y adverbios

En esta sección discutiremos brevemente algunas reglas que producen oracio nes como las presentadas de (148) a (153): (148) Juan afirma que la reina pasea (149) Juan intenta encontrar un tesoro (150) Elisa es un elefante rosado imaginario (151) María ama a un hombre que camina (152) Juan camina lentamente (153) Necesariamente, todo hombre es un hombre

Para la construcción de oraciones com o (148), es suficiente formula la regla de aplicación funcional que define cóm o una expresión de categoría VI/O se combina con una de categoría O para formar un VI (obsérvese que F u es simplemente la operación de concatenación): S15:

Si S E P yi/o y 4> £ P o, entonces F u ( 6 , (p) E P v i y û(¿> ) = H

La regla de traducción que le corresponde a S15 sigue el patrón de las demás reglas de aplicación funcional: T15:

Si 6 E P yi/o y € P o y

l—> 4>' y 0 l—* ', entonces

F n (M ) ^ ¿ '( V ) La traducción de la oración (148) en la construcción directa es la siguiente: (154) AFIRMAR(j,A 3x(Vy(REINA(í/) <-> X = y) A p a s e a r ( x ) ) ) De manera semántica, el functor afirmar que opera sobre la intensión de su argumento. El tipo que le corresponde a la categoría VI/O es {{s,t), (e,t)). Así pues, afirmar que se interpreta como una relación entre un individuo y una proposición; en (154) estos son Juan y la proposición de que la reina pasea. La expresión A3x(Vy(RElNA(y) <-> x = y) A P A SE A R (x)) se refiere a la proposición que es verdadera en un mundo w si el individuo que es la única reina en w está paseando en w. Esta proposición es la intensión de la oración La reina pasea. La traducción (154) presenta la lectura de dicto de (148). En esta lectura, (156) no se sigue de (148) y (155): (155) Elisa es la reina (156) Juan afirma que Elisa pasea En efecto, (154) y (157), las traducciones de (148) y (155) respectivamente, no implican (158), la traducción de (156): (157) 3x(Vy(RElNA(y) <-> x = y) A e = x) (158)

A FIRM AR( j , a PASE AR (e))

Además de la lectura de dicto de (148), también está la lectura de re, que se parafrasea de la siguiente forma: (159) De la reina, Juan afirma que ella pasea

Una representación de la lectura de re se obtiene al cuantificar el término

¡a reina en una oración con una variable sintáctica, a saber, la oración Juan afirma que éh pasea. Este es el resultado: (160)

3 ( V y ( R E lN A ( y ) <-*■ x

= y) A a f i r m a r ^ ' , A p a s e a r ( x ) ) )

Esta lectura de (148) implica (158), dada (157) com o premisa adicional. Para la construcción de oraciones con un complemento infinitivo, com o (149), es necesario añadir la siguiente regla de aplicación funcional: S16:

Si 7 E Pvi/vi Y S eP v i, entonces F i2(7 ,¿ )G P y / y ^ 12(7 , 5)=7<5', donde 6 ' se obtiene de 6 al reempla zar todas las ocurrencias de lon por sufijos —lon, para todo n

La regla de traducción que le corresponde a S15 es la siguiente: T16:

Si 7 G P vi/vi Y & £ P v i y 7 ^ 7 ' y í m ^ 12(7 ^ )

entonces

7 '( A¿0

La oración (149), Juan intenta encontrar un tesoro, también tiene dos lectu ras. La construcción directa resulta en la siguiente traducción: (161) INTENTAR(j,A ENCONTRAR(AAX3x(TESORO(x)

AV X (x ))))

Aunque la extensionalidad de encontrar no sea evidente en (161), ella está ga rantizada por PS2, así que no entraremos en detalles al respecto. En este punto todavía no podemos aplicar el teorema 6.1., dado que IN T E N T A R no tie ne un sujeto. La expresión E N C 0 N T R A R (AA X 3 x ( u N l C 0 R N l 0 ( x ) A v X ( x ))), sin embargo, es equivalente a (162), por lo que ahora es posible aplicar el teorema 6.1., que resulta en (163), la cual es a su vez reducible a (164):

ENCONTRAR(y,AA X 3 x ( t e s o r o ( x ) A v X ( x ) ) ) A í/(A X 3 x (t e s o r o (x ) Av X ( x ) ) ( aAz E NCONTRAR*(y,z))) Ay3x(TES0R0(x) A encontrar*(y, x))

(162) Ay (163) (164)

La fórmula (161) puede, entonces, reducirse a (165): (165) INTENTAR(j,A Ay3x(TESORO(x)

A ENCONTRAR*(y, x )))

Esta fórmula representa la lectura de dicto de (149) y, por lo tanto, no irripli^ la existencia de tesoros. Una vez más, la lectura de re se obtiene por medio de cuantificación: (166) 3x(TESORO(x)

A INTENTAR(j,A Ay ENCONTRAR* (y, x )))

El modelo PTQ introduce un postulado de significado para explicar la relación entre buscar e intentar encontrar.

PS5

Vx V X D ( b u s c a r ( x , X ) <->

i n t e n t a r ( x , a e n c o n t r a r ( X )))

Por medio de este postulado de significado (165) equivale a (167) (=(113)), la representación de la lectura de dicto de Juan busca un tesoro, y (166) es equivalente a (168) (= (11 4 )), la representación de la lectura de re: (167)

b u s c a r (j',a

A X 3 x ( t e s o r o ( x ) A v X ( x )))

(168) 3 x ( t e s o r o ( x )

A b u s c a r * (j , x ))

Obsérvese que el modelo PTQ considera que intentar es una relación entre un individuo y una propiedad. La oración (149) significa que Juan está en la relación de ‘intentar’ con respecto a la propiedad de encontrar un tesoro. Esto no afirma, com o debería hacerlo, que Juan no estará feliz a menos que sea él el que tiene esta propiedad. Si queremos explicar esto, debemos explicar lo que se conoce com o propiedades de control de los verbos que toman complementos infinitivos. Los siguientes ejemplos pueden clarificar este aspecto: (169) Juan le promete a María desenterrar un tesoro (170) Juan le pide a María desenterrar un tesoro En (169) Juan es el sujeto del verbo capturar, el de (170) es María. Los pos tulados de significado pueden dar cuenta de este tipo de diferencias. Por otro lado, podríamos analizar también los complementos infinitivos com o expresio nes que se refieren a proposiciones en lugar de propiedades, tal como en el caso de los complementos oracionales. Los adjetivos prenominales son expre siones que se combinan con un sustantivo para formar otro sustantivo: ellos pertenecen a la categoría NC/NC. La oración (150) ilustra cóm o se le aplica un adjetivo a un N C que ya consiste en un adjetivo y un sustantivo. La regla de aplicación funcional de un NC/NC a un N C y la regla de traducción co rrespondiente son las siguientes:

S17:

Si 7 G P n c /n c y ( 6 P n c , entonces F 13(C,7 ) G P n c

y *13(7,0 = C7 T17:

Si 7 G P n c /n c Y C € P n c y 7 ^ V y C •-» C'> entonces * 13(7 , 0 « v m

que la operación sintáctica F 13 concatena los dos argumentos en el orden i n v e r s o . De manera semántica, los adjetivos son funciones de propiedades de p r i m e r orden en conjuntos de individuos: f ( N C / N C ) = ( ( s , (e , t)), (e, t)). La oración (150) se traduce por medio de T17 como (171): O b sérvese

(1 71) IM AGINARIO(AROSADO(AE LE FA N TE ))(e)

Como de costumbre, los adjetivos, al ser functores, operan sobre la intensión de sus argumentos. La razón de esto es que hay adjetivos intensionales. Ima ginaria, por ejemplo, es uno de estos casos; nótese que (150) no implica (172): (172) Elisa es un elefante rosado Cuáles individuos son elefantes rosados imaginarios no depende de cuáles indi viduos son elefantes rosados. Así que la extensión de elefante rosado no juega ningún papel para establecer la extensión de elefantes rosados imaginarios. Más bien, es la propiedad de ser un elefante rosado, es decir, la función que asigna en cada mundo posible el conjunto de elefantes rosados en dicho mundo, la que determina cuál es el conjunto de elefantes rosados imaginarios en un mundo dado w. Para simplificar, podemos ponerlo así: algo es un elefante rosado imaginario en w si es un elefante rosado en un mundo w' que sea epistémicamente accesible desde w. Por lo tanto, un adjetivo tal como imagi nario es intensional; requiere la intensión completa de su argumento y no sólo su extensión. Otros ejemplos de adjetivos intensionales son posible, ex, futuro, presunto y supuesto. También hay adjetivos extensionales, por supuesto; (173) se sigue de (172): (173) Elisa es un elefante La extensión de elefante rosado depende de la extensión de elefante. Podemos expresar este aspecto del significado de los adjetivos intensionales en un pos tulado de significado: PS6

VXVxD (7 (X )(x )

—>v

X ( x )),

VERDE, LARGO, CUADRADO

donde 7 es

ROSADO,

Se pueden hacer más distinciones dentro de la clase de adjetivos extensionaleg ] Por ejemplo, rosado y cuadrado tienen la siguiente propiedad: siempre que alg0 sea un A rosado (cuadrado), no solamente es un A, sino también es rosado (cuadrado). Tales adjetivos se llaman a veces ‘intersectivos’ , dado que el con junto denotado por la combinación de uno de estos adjetivos y un N C puede considerarse com o la intersección entre el conjunto denotado por el adjetivo y el conjunto denotado por el NC. Los así llamados adjetivos relativos son extensionales, pero carecen de la propiedad de intersectividad. A partir de Jumbo es un elefante pequeño concluimos que Jumbo es un elefante, pero no que sea pequeño. Estas propiedades semánticas de las diferentes clases de adjetivos pueden explicarse también por medio de postulados de significado. Otra manera de formar N C complejos que se presenta en el modelo p t q es la de combinar sustantivos con cláusulas relativas restrictiva. El N C com plejo en la oración (151), María ama a un hombre que camina, consiste en un N C lexical simple, hombre, y una cláusula relativa restrictiva, que camina. Este N C expresa una propiedad compleja: ser un hombre y ser algo que camina. El modelo PTQ forma tales N C complejos al combinar un N C y una oración con una variable sintáctica. En el caso en cuestión estos son hombre y élo camina, respectivamente. La segunda oración expresa una propiedad, dado que se traduce en una fórmula que contiene una ocurrencia libre de una variable lógica, a saber, C A M IN A R (xo ). El resultado de abstraer sobre xq es el predicado A xo C A M IN A R (xo ). Unir hombre con élo camina de manera semánti ca consiste en la conjunción de los predicados HOMBRE y A xoC A M IN A R (xo): A x ( h o m b r e ( x ) A A x o C A M I N A r (x o )(x )), la cual se reduce a A x ( h o m b r e ( x ) A C A M IN A r (x )). Una manera más corta de obtener esta traducción es escribir directamente A x o ( h o m b r e ( x o ) A C A M I N A r (x o )). La formación de cláusulas re lativas es un proceso sintáctico más bien complicado, por lo que no entraremos en los detalles de la formulación de la operación sintáctica que ella involucra. La regla sintáctica y la regla de traducción tienen la siguiente forma general:

S18, n: T18, n:

Si C € P /vc y
) € P n c Si £ G P n c y G P o y C l—* C y l— 4>'i entonces ^14(C> ) *-* Ax„(C'(xn) A ')

Estas reglas, así com o las reglas de cuantificación, son esquemas de reglas; para cada n existe, en efecto, una regla. Para ilustrar este caso, daremos los pasos relevantes en la traducción de (151):

/i 74)

1- F u(hom bre, élo camina) >-> Ax o ( h o m b r e (x o ) A

2.

T18, O

c a m i n a r ( x o ))

F 4 (hombre que camina) t—>

T5

A X 3 x ( A x 0 ( h o m b r e ( x 0 ) A c a m i n a r ( x 0) ) ( x ) A v X ( x ))

3.

= A X 3 x ( h o m b r e ( x ) A c a m in a r ( x ) A v X (x ))

A -co n v .

La traducción final de (151) es (175): (1 7 5 ) 3 x (H O M B R E ( x ) A C A M IN A R ( x ) A A M A R » (m , x ) )

Los adverbios predicativos, tales como lentamente en (152), son expresiones que producen un VI cuando se aplican sobre un VI. Parece obvio considerarlos como pertenecientes a la categoría VI/ VI, pero ya hemos reservado esta cate goría para expresiones tales como intentar y desear. Los adverbios predicativos no pueden ser considerados como pertenecientes a la misma categoría, dado que su comportamiento sintáctico es diferente. Por otro lado, queremos que operen sobre Vis. El modelo P T Q resuelve este dilema introduciendo una nueva clase de categoría funcional A //B , además de A /B (y si es necesario, incluso A / / / B , y así en adelante). Sin embargo, estas categorías distintas son vin culadas al mismo tipo semántico: f ( A / / B ) = f ( A / B ) = ((s, f ( B ) ) , f ( A ) ) . Así pues, distinguimos lentamente de manera sintáctica de intentar al cate gorizarla com o un VI/ / VI. Pero no hay diferencia en la semántica: ambos verbos de categoría VIj VI y VI/ / VI son considerados semánticamente como funciones de propiedades de individuos en conjuntos de individuos. La regla de aplicación funcional y la regla de traducción que introducen los adverbios predicativos son: S19:

Si 7 G Pvi//vi Y ¿ £ P v i, entonces ¿<15(7 , 6 ) G P v i y

^15 (7> T19:

Si 7

G

= ¿7 Pvi//vi y ^ £ P v i y 7

7'

y 5

ó', entonces

^ 15 (7 , S) | - >7 '(a<5') La operación sintáctica F 15 concatena los dos argumentos en el orden inverso. Por su parte, la traducción de (152) es (176): (176)

L E N T A M E N T E (AC A M I N A R )(j)

Los adverbios predicativos se traducen en expresiones del mismo tipo que las de los adjetivos prenominales. La razón es que f ( V I ) = f ( N C ) , f ( V 1//VI) =

f ( N C / N C ) . La extensionalidad de algunas expresiones de este tipo se est^l blece por medio del PS6 . El PS6 es válido no sólo para las traducciones del algunos adjetivos prenominales, sino también para varios adverbios predica I tivos. Los últimos incluyen lentamente, pero no frecuentem ente, dado que ]_ ■ oración (152) implica (178), pero (177) no implica (178): (177) Juan camina frecuentemente (178) Juan camina Además de los adverbios predicativos, en el fragmento hemos incluido adver bios que modifican oraciones. La expresión Necesariamente en (153), Necesa riamente todo hombre es un hombre, produce otra oración cuando se aplica a una oración. La regla de aplicación funcional y la regla de traducción son las siguientes: S20:

Si 7 G Po/o y (t> e P o, entonces F ie i'íA ) G P 0 y

T20:

Si 7 G Po/o y 0 € P o y 7

*16(7, 0) = 70 7; y l—> r, entonces

*16 ( l A ) ^ 7 ' ( V ) La regla de traducción dice que un modificador de oraciones opera semánti camente sobre la proposición expresada por la oración que es su argumento. Es una función, no de valores de verdad en valores de verdad, sino de pro posiciones en valores de verdad. Ciertamente, casi todos los modificadores de oraciones son intensionales. El valor de verdad de necesariamente <¡) en un mundo w depende no sólo del valor de verdad de (/> en w; el valor de verdad de (f> en otros mundos también juega un papel importante. La expresión A(p' se refiere a la intensión de 4>', es decir, la función que asigna a cada mundo po sible el valor de verdad de 4>' en dicho mundo. Así pues, semánticamente el adverbio modificador de oraciones necesariamente es una función de mundos posibles en valores de verdad. Necesariamente se traduce com o la constante N E C E S A R IA M E N T E , de tipo f ( 0 / 0 ) = { ( s, t ) , t) y añadimos el siguiente postu lado de significado (la variable p es de tipo (s , t )): PS7

V p D (N E C E S A R IA M E N T E (p ) <-> D v p )

Un m étodo alternativo sería especificar la relación entre necesariamente y 0 en la regla de traducción. Esta traducción, que es la que encontramos en el modelo P T Q , es la siguiente:

T l(d ):

necesariam ente t-» \pC¡vp

La traducción de (153) en la manera directa de construcción es (179):

^

79)

□V x(hom bre(x) —►hom bre(x))

por supuesto que la construcción indirecta de (153) produciría un resultado distinto. Hemos afirmado que casi todos los modificadores de oraciones son intensio-

nales. De manera semántica, un modificador extensional de oraciones es una función de valores de verdad en valores de verdad. Hay exactamente cuatro de tales funciones (ver §4.3.4.); una de ellas es la negación. La negación de ora ciones vista com o modificador de oraciones es un adverbio extensional, el cual puede ser definido en términos de por medio de un postulado de significado. El modelo PTQ también contiene reglas para los tiempos verbales, para preposiciones, y para la cuantificación de términos en expresiones distintas a oraciones. Los tiempos verbales se tratan por medio de reglas que son similares a la regla S14 para la negación. Esta regla es problemática en varios aspectos y las objeciones que pueden elevarse en su contra son válidas también para las reglas de tiempos verbales en el modelo PTQ. No trataremos este asunto aquí. Las preposiciones se tratan com o expresiones de tipo (VI//VIJ/T. Ellas se combinan con un término para formar un adverbio predicativo (complejo). Entre las preposiciones también hay unas que son intensionales y otras que son extensionales. Compare (180) y (181): (180) Juan pasea por un jardín (181) Juan habla acerca de un tesoro Las reglas que introducen y que traducen preposiciones siguen el patrón fami liar de las reglas de aplicación funcional. La naturaleza extensional de ciertas preposiciones se explica por medio de un postulado de significado. Estas se dejan como ejercicio para el lector. Además de la regla de cuantificación S8, n, descrita en §6.3.8., la cual nos permitió cuantificar términos en oraciones, el modelo PTQ también introduce reglas para la cuantificación de términos en VI y NC. No es clara la razón para tener la segunda regla, la cual permite la cuantificación en NC. No hay ejemplos conocidos para los cuales esta regla sea esencial. La regla de cuantificación VI, Por otro lado, es un aditamento esencial. Por ejemplo, consideremos la oración (182). Su lectura de dicto sólo puede explicarse por medio de dicha regla:

^182) Juan intenta encontrar un tesoro y besarlo La cuantificación del término un tesoro en la oración Juan intenta encontrarij y besarloo produce la lectura de re de (182), mientras que la construccúf directa no explica la coreferencia entre lo y un unicornio. Por lo tanto, ne sitamos una tercera forma de construcción. Esta es provista por la regla S2j n y la regla de traducción correspondiente: S21, n: T21, n:

Si a £ Px y 6 £ P y i , entonces F 7ín(a,S) e P v i Si a £ Px y ó £ P y i y ol cu! y <5 > 5', entonces F 7 tTl( a , 6 ) (->■ \ ya '(A\ xn( 6 '(y)))

Estas reglas también son esquemas de reglas. La operación sintáctica Fl n es la misma qUe se usó en la regla de cuantificación S8, n. La derivación de (182) se representa en la figura (183) y los pasos relevantes en su traducción en (184); (183)

Juan intenta encontrar un tesoro y besarlo, O, S2

intentar encontrar un tesoro y besarlo, VI, S16

Juan, T

encontrar un tesoro y besarlo, VI, S21, 0

intentar, V I /VI

un tesoro, T , S5

tesoro, NC

loo encontrar y loo besar, VI, S21, 0

loo encontrar, VI, S7

/ encontrar, V T

(184)

1.

loo besar, VI, S7

\

/ \ é lo , T

besar, V T

Fj o(un tesoro, loo encontrar y Ioq besar) >—> A ? /A X 3 x (t e s o r o (x ) A v X ( x )) ( a A x o ( A z ( e n c o n t r a r „ ( z , x 0) A BESAH»(z,x0))(y ))) ~ A yA X 3x(T E S 0R 0 (x) A v X (x )) (aAx0( e n c o n t r a r » ( í /, x 0) A BESAR* (y, x 0))) = A?/3x ( t ESORO(x ) A ENCONTRAR»(y ,x ) A BESAR» (y, x))

é lo , T

T21, 0

A-conv. A-conv., VA-elimin., A-conv.

(intentar, encontrar un tesoro y besarlo) *—►i n t e n t a r (AAj/3x(TESORO(x) A ENCONTRAR»(y, x ) A BESAR* (y, x) ) ) F\( Juan, intentar encontrar un tesoro y besarlo) i—> i n t e n t a r (j,A A ? /3 x (t e s o r o (x ) A e n c o n t r a r » ( y, x) A B E SA R »(y,x)))

T16 T2, CN1

derivación resulta en la lectura de dicto de (182), con la correferencia rf# a a d a entre un tesoro y lo. Ejercicio* 6 .8 . 1 Elabore un árbol de análisis y una traducción reducida para cada lectura

de la oración Juan afirma que Elisa intenta encontrar un tesoro (b) Formule una regla sintáctica y una regla de traducción para preposiciones (c) Elabore dos árboles de análisis con dos traducciones que no sean equi valentes para Juan camina por un jardín

(d) Formule un postulado de significado para preposiciones extensionales como por, en las cuales, a pesar de (c), la oración Juan camina por un jardín no sea ambigua

6.4. Conceptos individuales 6.4.1. Argumentos para la introducción de conceptos individuales Un aspecto del modelo PTQ que no ha sido discutido hasta ahora es el uso que Montague hace de los conceptos individuales. En el fragmento tratado en §6.3., los sustantivos y los verbos intransitivos se analizan como propiedades de en tidades. En el modelo PTQ, sin embargo, los NC y los VI se analizan como propiedades de conceptos individuales. Ellos no expresan propiedades de enti dades, sino propiedades de funciones de contextos en entidades. El argumento de Montague para esta aproximación es que ella proporciona una explicación para la invalidez de inferencias com o las siguientes: (185) El porcentaje de holandeses en contra de la energía nuclear es 38 (186) El porcentaje de holandeses en contra de la energía nuclear aumenta (187) 38 aumenta (188) La población de Ámsterdam es igual a la población de Rotterdam (189) La población de Ámsterdam disminuye (190) La población de Rotterdam disminuye

Estos ejemplos requieren que los contextos se interpreten com o momentos en JB tiempo, o com o mundos en momentos en el tiempo. La invalidez de las oraciones (185) a (187) es innegable: en cualquier n J mentó en el tiempo 38 es igual a 38; 38 no puede ni disminuir ni aumentar« El valor de un concepto individual puede aumentar o disminuir. La oración 1 (185) establece que 38 es en este momento el valor de la función que para | cualquier momento en el tiempo devuelve un número que representa el p0N cent aje de holandeses en contra de la energía nuclear en ese momento. oración (186) establece que este concepto individual aumenta, lo cual es una afirmación acerca de la relación entre sus valores en cierto periodo. Aumentar disminuir y cambiar son propiedades características de funciones de momen tos en el tiempo en números. Las oraciones (185) y (186) hacen afirmaciones distintas acerca de los conceptos del individuo el porcentaje de holandeses en contra de la energía nuclear, el primero hace una afirmación acerca del va lor del concepto en este momento y el segundo le adscribe una propiedad al concepto. El argumento (188) a (190) tam poco es válido. A partir del hecho de que en este momento los dos conceptos de individuo la población de Amsterdam y la población de Rotterdam tienen el mismo valor no se sigue que si el concep to la población de Amsterdam disminuye, también lo hace la población de Rotterdam. Otros nombres que se refieren a conceptos individuales son precio, temperatura, tiempo de viaje, etc. Es de recalcar que aunque las propiedades de los conceptos de individuo tales com o aumentar, disminuir y cambiar pueden definirse en términos de los valores de los conceptos de individuo en varios mo mentos en el tiempo, ellos no son, en consecuencia, propiedades de esos valores. Aumentar, por ejemplo, no es una propiedad del valor de un concepto indivi dual en un momento dado en el tiempo, sino una propiedad del concepto en sí mismo. No todo el mundo está de acuerdo en que la introducción de conceptos de individuo es la manera más apropiada para explicar la invalidez de estas inferencias y otras similares. Una objeción que se escucha a menudo es que los números no deben considerarse com o entidades básicas y, por lo tanto, que temperatura, número y porcentaje no son funciones de momentos en el tiempo en entidades, es decir, ellos no son conceptos individuales. Sin embargo, la aproximación aquí desarrollada tiene ciertas ventajas apreciables. Primero, ella explica la invalidez de estas inferencias. Segundo, si los números se analizan no como entidades básicas sino como entidades de orden superior, un tratamiento uniforme de los sustantivos y los verbos ya no es feha

ciente . Tercero, hay otras ora<:¡ones y expresiones para las cuales parece que un análisis en términos de conc(,ptog (je individuo es particularmente apropiado. Consideremos lo siguiente: M91) El tesorero de la organización fje caridad es la presidenta del Comité de Entretenimiento (192) El tesorero de la organización de caridad renunció (193) La presidenta del Coinjté de Entretenimiento renunció Esta inferencia tam poco es válida. La invalidez se explica por la suposición de que (192) y (193) afirm ^ algo acerca de conceptos individuales. La ora ción (192) establece que el individuo que es ahora el valor del concepto de individuo ‘tesorero ya no scr¿ más su valor; en (193) lo mismo se afirma del concepto ‘presidenta’ . I<ero a partir del hecho de que ambos conceptos de individuo tengan el mismo valor en este momento, lo cual es expresado en la primera premisa, (191), y ej hecho de que este individuo ya no sea más el teso rero, lo cual es lo que e s t ^ e c e ( 192). no se sigue que este individuo ya no sea más la presidenta, 00% , lG diría (193). Otro ejemplo con un sustantivo ‘funcional’ es (194): (194) El presidente es un republicano, pero el año entrante será un demócrata Esta oración tiene dos lectilras La más improbable afirma que el mismo indiviuo que es ahora el presidente permanecerá en el cargo el próximo año pero que cambiará su color político para entonces. La lectura en la cual se afirma del concepto de individuo el presidente que su valor es ahora algún miembro e Partido Republicano pero qUe el próximo año será un individuo distinto, un miembro del Partido Derti¿craâ! eg ciertamente más probable. ^ No toda oración que contenga tal sustantivo funcional es una afirma ción acerca de un concept0 de individuo. Por ejemplo, en (195) se habla de la acción de un individuo y, por lo tantQj (196) se sigue de (191) y (195): (195) El tesoreroê la organización de caridad está huyendo (196) La presidenta del Comité de Entretenimiento está huyendo Las oraciones (185), (18¡J) y (191) —qUe se vieron atrás— también son afir maciones acerca de individuos.

Realizar un análisis utilizando los conceptos de individuo parece permita 1 nos explicar estos y otros fenómenos similares. La manera en que el model0 fl P T Q da cuenta del hecho de que algunos N C y VI expresan propiedades de I conceptos de individuo, mientras que otros expresan propiedades de entidades es interesante pero difícil de apreciar. Es por esta razón que no presentamos el 1 modelo en su forma final en las secciones anteriores. En §6.4.2. resumiremos los 1 cambios que deben ser hechos al modelo para permitir la introducción de con- ] ceptos individuales e indicar cóm o el resultado del modelo explica la invalidez I de inferencias, com o las que se discutieron en esta sección.

6.4.2. Consecuencias de la introducción de conceptos individuales Los conceptos individuales son objetos de tipo (s,e). NC y VI se refieren a conjuntos de conceptos individuales y deben ser traducidos en expresiones ló gicas de tipo (( s, e) , t ) . Esto hace posible tratar NC y VI no com o categorías básicas, sino com o categorías functoriales de tipo A /B y A / / B, donde f ( A ) = t y f ( B ) = e, loq u e produce f ( A / B ) = f ( A/ / B) = ((a, f ( B ) ) , f ( A ) ) = ((a ,e),t). Esto significa que A es O; para B escogemos crear E, una nueva categoría básica, y establecer que f ( E ) = e. Esto da lugar a las siguientes definiciones: D e fin ició n 6.3. C A T , el conjunto de categorías, es el conjunto más pequeño tal que: (i) O, £ G C A T (ii) Si A, B G C A T , entonces A/ B, A / / B G C A T D e fin ició n 6.4. / es una función de C A T en T tal que: (i) f ( 0 ) = t , f ( E ) = e (n) f ( A / B ) = f ( A / / B ) = ((s , f ( B ) ) , f ( A )) Dadas estas nuevas definiciones categoriales de N C y VI, la definición de las categorías definidas en términos de ellas (en nuestro fragmento estas son todas las categorías derivadas excepto O/O) se deben ajustar a este cambio. Tam bién, a ellas se les asigna otro tipo, com o resultado del nuevo tipo asignado a VI y a NC. En el cuadro 6.2. presentaremos las nuevas definiciones y los tipos

T ^ ffr ía

Definición

Tipo

O

t

E NC

O /E

e ({s,e ),t)

VI

0 //E

{{s,e),t)

T

VT

Nuevos elementos léxicos

« s , « s , e), t » , í)

O¡ V I 0 /{ 0 //E ) V I /T = V I /( 0 /V I )=

Número, tesorero, presidenta, temperatura, porcentaje, población Aumentar, disminuir, cambiar, renunciar

38

< ( s ,( ( s ,« s ,e ) ,í » ,t ) } ,( ( s ,e } ,í ) )

(0 //E )/(0 /(0 //E ))

C u a d ro 6.2. C a te g o ría s y exp resiones

correspondientes para las categorías más importantes. También introducimos varios nuevos elementos léxicos. Nótese que no hay elementos léxicos ni expresiones derivadas de categoría E. Una expresión de categoría E se referiría directamente a una entidad: f ( E ) = e. El único tipo de expresiones que se podrían considerar como perte neciente a esta categoría son los nombres propios, pero, según argumentamos en §6.3.4., hay buenas razones para tratarlos a la par con los términos cuantificados. Nótese también que no es estrictamente necesario introducir la nueva cate goría E\ en lugar de ello, podríamos haber retenido VI y NC como categorías básicas y haber cambiado sólo la definición de la / . Aparte de la definición de nuevas categorías y de la introducción de elementos léxicos adicionales, la sintaxis permanece como estaba. Los cambios en el proceso de traducción son menores; las principales diferencias conciernen al tipo de constantes y de variables utilizadas en las reglas de traducción. En el cuadro 6.3., que se en cuentra en la siguiente página, presentamos la descripción de tres tipos que serán usados regularmente en las secciones siguientes. La traducción de aquellas expresiones básicas que no se traducen por se parado se altera únicamente en que el tipo de las constantes que se relacionan

Tipo

Variable

((s,e),t) (s,({s,e),t))

U,V

(« ,« * , «a, e>,t»,t)>

U, V

U, V

Descripción de la extensión

Conjunto de conceptos individuales Propiedad de conceptos individuale Propiedad de segundo orden de conc individuales 1 ,|'

Cuadro 6.3. Variables e interpretación con ellas por medio de g se modifica. Por ejemplo, HOMBRE y NÚMERO son* ahora constantes de tipo f ( N C ) = ( 0 / E ) = ( ( s , e ) , t ) . Las traducciones de lo g l VI básicos, por ejemplo PASEAR y a u m e n t a r , son también constantes de estel tipo. La regla de traducción T I permanece igual: T l(a ):

Si a está en el dominio de g, entonces a i—>g(a)

Los términos se traducen ahora en expresiones lógicas de tipo f ( T ) = (/S) ( { s , e) , t ) ) , t ) . Estas se refieren a conjuntos de propiedades de conceptos indi viduales. Además de las propiedades usuales de los nombres propios, también tenemos com o elementos léxicos los nombres de los números, por ejemplo 38. En la traducción de este nombre propio utilizamos a 38 com o una constante de tipo e. La traducción de los nombres propios y de las variables sintácticas se define así: T l(b ):

Juan ^ AC/vC/(Aj ) María XUvU{ Am) E lisa • —►AUvU{ Ae) 38 ^ XUVU( A38) éln ^ AC/ví / ( fe )

La traducción de Juan, XUvU( Aj ) , se refiere en un mundo w al conjunto de propiedades de conceptos individuales que son las propiedades en w del con cepto individual que es la referencia de Aj en w. La referencia de Aj en w es la función de mundos en individuos que asigna a cada mundo w' el individuo que es la referencia de j en w'. Com o se observó en §5.4., la referencia de Aa es la misma en todo w , así que Aj se refiere siempre a la misma función. También retenemos el PS1; por lo tanto, j es un designador rígido y Aj se refiere a una función constante, una función que asigna los mismos valores a todos sus argumentos. Así pues, en cada mundo, Aj se refiere a la misma función cons tante, a saber, la función que en todos los mundos devuelve el único referente de j . Por supuesto, hay una relación uno a uno entre un individuo y la función constante de mundos posibles a dicho individuo. Similarmente, si a es un de signador rígido, entonces a y Aa se relacionan de manera única también: ellos

tifican al mismo individuo. Extenderemos el PS1 a las constantes como *ê°ias cuales figuran en la traducción de los nombres de los números; estas tantes también se consideran designadores rígidos. 0001La traducción de un término cuantificado también resulta en una expresión ' a que tiene com o extensión un conjunto de propiedades de conceptos • dividuales- Las reglas de traducción T3 a T6 se formulan de la siguiente

manera: T3: T4: T5: T 6:

Si C £ Pnc y C | - >C'> entonces F2( 0 i-> ^ Si C G P n c y C | - >C'. entonces F 3( C ) - » X U 3 ^ y ( C ( y ) ~ K = y) A v U ( k) ) Si C £ P n c y ( >-* ( ', entonces F4(C) •-* AC/3*(C'(t) Av U ( ¿ ) ) Si C 6 P n c y ( M entonces

Fb(c) -

xu s& y itfto ) aV u (s )) ~

Por ejemplo, el término la temperatura se traduce por medio de T4 en (197): (1 9 7 ) A í 7 3 ^ . ( V i / ( t e m p e r a t u r a ( i / ) <-► * = i/) A v

U { pc>)

La referencia de (197) en un mundo w es el conjunto de las propiedades de conceptos individuales que sean propiedades de un único concepto individual que tiene la propiedad TEMPERATURA en uj. La traducción del verbo transitivo ser se modifica de la siguiente manera: T l(c ):

ser i-> AUA^vU (aAi/(v^ = v y))

Como antes, la traducción da cuenta de la naturaleza extensional de ser. Ella expresa la relación entre conceptos individuales y propiedades de segundo orden de conceptos individuales que se define en términos de la identidad individual: v^c=vi/ es verdadera en w con respecto a una asignación g sii 9 {K.)(w)=g(y)(w) , es decir, sii el valor de g (¿ ) en w es idéntico al valor de g(y) en w. La expresión AAy(v x. = v y) se refiere a la propiedad de conceptos individuales de tener el mismo valor que g(?c). Así pues, la interpretación de ser es aquella relación que existe en un mundo w entre un concepto individual y una propiedad de segundo orden sii la propiedad de tener el mismo valor que dicho concepto individual es una propiedad que pertenece al conjunto de pro piedades de los conceptos individuales, que son el valor en w de la propiedad de segundo orden en w. La traducción de necesariamente, la última expresión básica que se traduce separadamente, se queda como estaba, dado que la definición categorial de O /O no ha cambiado en esta nueva aproximación.

No se necesitan cambios en las reglas de traducción que corresponden 1 reglas sintácticas de aplicación funcional. Sin embargo, en las reglas de V i ducción de las reglas de cuantificación y de la regla de las cláusulas relat' necesitamos hacer una pequeña modificación. En las reglas viejas cuantificáb ; mos sobre variables de tipo e, pero ahora cuantificamos sobre variables de ti *" (s, e). Por ejemplo, la nueva regla de cuantificación T8, n se formula de la l guiente manera: T8, n:

Si a E PT y (j> G P o y ce F 7 ¡n(a, 4>) c/(AX?^<j/)

a' y i-»
Ajustes similares han de hacerse para las reglas de conjunción y disyunción.

6.4.3. Algunos ejemplos Para ilustrar, daremos las traducciones de dos ejemplos discutidos en §6.4.1. Consideremos primero las traducciones (185) a (187). Por conveniencia, repre sentaremos el N C complejo el porcentaje de holandeses en contra de la energía n u c le a r com o PORCENTAJE. A s í, las traducciones de (185) a (187) son: (198) 3*(V z/(p orcen taje(i/) <-* ^ = y)

a v

* = 38)

(199) 3 *(V i/( po r c e n ta je ( z/) <-> * = y)

a a u m e n t a r (x ))

(200) a u m e n t a r (a 38)

Los pasos relevantes en la traducción de (198) son:

(201)

T7 A-conv., VA -elimin.

3.

= A*(Aj,(vt = v y ) C 3 8 » )

4. 5. 6.

= Xk. C k = v a 38)

A-conv., VA -elimin. A-conv., VA -elimin. T2

7.

oo CO II * >

Fe (ser, 38) AUA^vU ( aAí/(ví = v í/))(AA t/v(7(A38))) = \x_(\Uv U ( A3 8 )(AAi/(v ;t = v y)))

•< II

1. 2.

Fi(el porcentaje, ser 38) t—> Aí/3;t(Vy(PORCENTAJE(i/)<->;t = y) A v U( ¿ ) ) ( A = (198)

K. = 38)) A-conv., -elimin.

El VI ser 38 expresa la propiedad de que los conceptos de individuos tienen el valor 38. La oración (185) afirma que hay un único concepto que es igual al porcentaje de holandeses en contra de la energía nuclear y que tiene esta

"edad, es decir, que el valor de dicho concepto es 38. Es evidente que (200) Pr° ^ gigue de (198) y (199). La propiedad de aumentar puede ser verdadera 0 0 un concepto en cierto momento; el valor de este concepto puede ser 38 en de un _________ ______________________ , _______ ^ A; momento, pero esto no implica que el concepto A38 tenga la propiedad de n r el ni /contrario, ' n n f r o r i A oel l n n n / - » / - » al oí m í o A38 '' R en ta r. D Por concepto que se refiere es una función n g ta n te y, ciertamente, la especificación de la propiedad a la que AUMENTAR jjgce referencia requiere que los conceptos de la cual ella es verdadera tengan valores distintos en momentos distintos. La afirmación (200) nunca será verda dera Pero incluso sin dicha especificación de lo que significa que un concepto aumente, un contraejemplo puede construirse fácilmente. El segundo ejemplo que discutiremos es el brindado por las oraciones (191) a (193). Los N C tesorero de la organización de caridad y presidenta del Co mité de Entretenimiento serán representados por las constantes TESORERO y P R E S ID E N T A . Así, las oraciones (191) a (193) se traducen mediante las siguien tes foi muías: (202)

3 * (V z /(T E S O R E R O (i/)

<-> * = y)

A 3.z(Vy ( PRESIDENTA (l/)

(203)

3 * (V l/(T E S O R E R O (l/)

(204)

3 ^ ( V i/ ( p r e s i d e n t a ( i/)

<-> z = y)

<-> * = y) <-*■ £ =

AV

% = V z))

A R E N U N C I A R ^ ))
Los pasos relevantes de la traducción de (202) son: 1. 2. 3. 4.

Fe(ser,el tesorero ) AUA^vU (AAi/(va: = v y)) ( AA(/3.z(Vy (TESORERO ( z = y) A v U (z ))) í z i tesoreroi <-> z = y) A v U (z )) (AAy(V K y)) = <-> z = y)

—AÂ73 (V/( (/) A^3¿(Vi/(TESORERO(i/) AAy(v t = v y )(z )) = A ;<:3.z(Vi/(TESORERO(i/)<->z =

T7

A-conv., VA -elimin.

A-conv., VA -elimin.

y) A v x. = V ¿)

A-conv.

La fórmula (202) afirma que el único concepto que es el tesorero y el único concepto que es la presidenta tienen el mismo valor: ambas posiciones están ocupadas por la misma persona. Del hecho de que ambos conceptos tengan el mismo valor en ese momento y del hecho de que un concepto tenga la propiedad de renunciar en ese momento, sin embargo, no se sigue que el otro concepto también tenga esa propiedad. También en este caso, un contraejemplo es fácil de construirse; por lo tanto, el argumento no es válido.

Los otros ejemplos discutidos en §6.4.1. se explican He m Concluimos que en lo que concierne a la e x p l i c a d de * 7 “ * «««. nos. la mtroducción de conceptos de i n d i v l o p ^ d u t l u ^ ^ satisfactorios. Pero nnr , i lLe resultados ? pOi

S lip ilG S t O , IlO D odB TTlO S r i p i a r l o o

ahora toda expresión se considera com o una afirmación acer“ ' I individuos y ciertamente esto es mucho para ser b n en T í Z or„ Juan can,,„a y Todo hombre añora un „ate son, d e s p i de todo acerca de individuos. Ciertamente, com o ya lo hemos observarir oraciones que contienen nombres funcionales como tesorero acerca de conceptos de individuos. son v flT d « d^ r o Cno h l t ‘ m a t a d o ^ T implican ( 196). Junto con los N C ^

da* < J ^ ¿ maci°3| macionea

a Z “ “ 4“ ,? 6 <191) * <193) »» *' ^

a u m en ta r-, los cuales expresan propiedades de conceptos de m d i X ' T NC com o unicornio — v V I romn u ,in dades de individuos. La situación en huV ™ d o - que expresan propia que encontrábamos en el análisis de loT v I T e* C° ntramos refleJa el dilema V in te n ía le s , % dúos y propiedades de segundo orden Par« e relaciones entre indivialgunos V T se introdujo un postulado de s i ^ f i ^ ^ J t ' ’" “ ^ ^ * la misma manera. gnmcado. Aquí procederemos de

6.4.4.

Postulados de significado

otro para

PSS

s^

“

° de si®n¡fi“ do para VS y

W d f s ^ “ ” V •¥ (V t),! d° " de ¿ S ta distinto a aumentar, disminuir, eamb,ar y renunciar

*

un

c o r t a d “ : z z z : : i * ‘T : r p¡: dades de * ¡“ una propiedad de individuos tal n i,!''!.,'1,08,] e^ mplo> PS8 implica que hay dadero de un concepto de inHi vi

••

mundo posible,

duo que es el valor del concento 7 " ! r E1 modelo p t q introduce un anteriormente para verbos tranJtivos“

c a m in a r

es ver-

pr° piedad es verdadera del indivi-

m

U° ^

CUal CAMINAR es verdadera,

C° nVenCÍ° na1’ SÍmÍlar a la introducida

Convención notacional 3 eescribir t r i S r ó* T en T lugar 68“ "de* Ax(S(Ax)) “ f 0 <<"’ e>’ *>•

podemos

jf . Jjjplo, CAMINAR» es una expresión de tipo (e,t) que en cada mundo w P°TeêTC al conjunto de aquellas entidades de las cuales es verdadero que se r . constante de dicha entidad pertenece al conjunto de conceptos indiIa , nlie es la denotación de CAMINAR en w. Miremos ahora la traducción ¡duales H . Qj"3,cion Juan camina. (206) CAMINA(Aj )

Como lo observábamos anteriormente, se sigue del PS1, el cual establece que j un designador rígido y que Aj se refiere a una función constante. La función constante de un individuo y el individuo mismo están correlacionados de manea única. Toda función constante se relaciona con un individuo y para cada individuo hay una función constante cuyo valor es dicho individuo. En este sentido, (206) es una afirmación acerca de un individuo, en tanto que es una afirmación acerca de un concepto individual. La CN3 provee una notación más perspicua. Gracias a la CN3, (206) se escribe como: (207) CAMINA» (j) Esta es la representación que obtenemos de la oración Juan camina. Es una fórmula que expresa la afirmación de que el individuo Juan tiene la propie dad de individuos CAMINAR* (nótese que CAMINAR* es del mismo tipo que CAMINAR en el fragmento sin conceptos de individuo). Así pues, la introduc ción de conceptos de individuo no hace ninguna diferencia mientras estemos tratando con constantes de conceptos de individuos. Para aquellos VI 6 para los cuales está definido, el PS8 garantiza que existe una propiedad de indivi duos correspondiente. La última propiedad puede escribirse como <5*, dado que bajo la suposición de PS8, el siguiente teorema es verdadero para el 6 para el cual se postula el PS8: Teorema 6.2. <-> ¿*(v^)) No demostraremos este teorema, pues su demostración es análoga a la demos tración del teorema 6.1. en §6.3.7. Podríamos haber formulado el postulado de significado de manera diferente, por ejemplo, com o en el PS9 (para la misma expresión 6 ): PS9

VaúD(5(ac) <-*• 3 x(x = v ^ A <í(Ax )))

Formulado de esta manera, el postulado de significado e™ cualquier concepto de individuo * (constante o n o e l T u T “ qUe PJ , a a rmacion de que x tiene la propiedad S es equivalente™ !* ""»»fe c o n de que cierto concepto constante tiene dicha p Z w l “ “ concepto que es la función constaute que para todo m ™ ^ i “ “ H t valor el valor de x en w Y en i « ndo “ «ene J 51 , . A Y’ en eíecto> las afirmaciones acerca rU i C!°m0 tos constantes son afirmaciones acerca de individuos com o lo anteriormente. El modelo P S !0

pt q

da otros postulados de kgnificado p ^ T “ ' “ 41 Pdra |0g ^

u í w d - ) r t3 l ( , : = A x ) ) ’ d 0 n d e'5eSlatraducci
i

Este postulado de significado afirma que todo concepto de indiviH bajo un N C com o hombre, m ujer o un.com ,o es una t o coZ ^ V ^ es claro por que hay un postulados de significado para VI v t nstante- No pesar de la negativa del modelo p t q , el que haya una NC' A por el hecho de que el teorema 6 2 no p« t i a diferencia se establece N C Para los cuales el PS10 está definido. PoTotro fado los de Ios son válidos para los NC: ’ S18uientes teoremas Teorema 6.3. 3* ( W

Av U( K)) es equivalente a 3x { 8*(x) Av U ( \ ) )

Teorema 6.4. Vac(í(t)

C % )) es equivalente a Vx(ót (x) -+ v U( Ax))

Teorema 6.5. AvCffAx j f

^ ~ ^ A

U( ¿ ) ) es equivalente a 3x(V y(í*(y) x = y)

Teorema 6.6. K ^

^ A

-- -

¿

^

z

= y) es equivalente a 3xVy((ó*(y) Av U( Ay)) <_» x = y)

z

z

z

x

s

z

“

pjQ no

t e n d r á c o n s e c u e n c i a s . F in a l m e n t e , d a r e m o s a l g u n o s e je m p l o s

pafa '° SaCiones a c e r c a d e c o n c e p t o s d e i n d i v i d u o q u e , g r a c ia s a lo s t e o r e m a s afir®

e q u iv a l e n t e s a a f i r m a c io n e s a c e r c a d e i n d iv id u o s :

6.2. a 6

(208)

U n e l e f a n t e p a s e a >—►3 ^ ( e l e f a n t e ( ^ ) A p a s e a r ^ ) ) = 3 ^ (E L E F A N T E (a :) A PASEA R*

C x ) ) , p o r e l t e o r e m a 6 .2 .

= 3 x (E L E F A N T E * (x ) A PASEA R* ( v V ) ) , = 3 x ( e l e f a n t e * ( x ) A PASEA R*

(x )),

p o r e l t e o r e m a 6 .3 .

p o r V A - e lim in a c ió n

Otra m a n e r a de obtener este resultado es esta: (209)

Un elefante pasea h-> 3 ^ ( e l e f a n t e ( ^ ) A

P A S E A R ^ ))

= 3 x ( e l e f a n t e * ( x ) A p a s e a r (ax )), por el teorema 6.3. = 3 x ( e l e f a n t e *( x ) A p a s e a r *( x )), por la CN3 Un segundo ejemplo es la representación (un poco simplificada) de (195): (210)

El tesorero de la organización de caridad está huyendo (-+ 3 ^ (V j/(te s o r e r o (i/)

pc = y) A e s t á

= 3 ^ (V í/(te s o r e r o (i/)

7c = y) A e s t á h u y e n d o * (v* ))

h u y e n d o ^ ))

Esta fórmula no se puede reducir más, dado que el PS10 no está definido para el NC tesorero: la fórmula (210) dice que el individuo que es el valor del concepto el tesorero tiene la propiedad de estar huyendo; la oración (196) recibe una traducción similar. Se sigue de (202), que es la traducción de (191), y de (210) que la presidenta del Comité de Entretenimiento ha dimitido. La fórmula (202) afirma que el valor del concepto tesorero y del concepto presidenta son el mismo individuo. La fórmula (210) afirma que ese individuo tiene la propiedad de estar huyendo. De esta manera, esta propiedad es verdadera del individuo que es el valor del concepto presidenta. Una última observación concierne a la reformulación del postulado de sig nificado PS2, la cual da cuenta de la extensionalidad de algunos VT y también concierne a la CN2. Los contenidos del PS2 no han cambiado: ahora vincula relaciones entre conceptos de individuo y propiedades de segundo orden de conceptos de individuos con relaciones entre individuos. El PS2, la CN2 y el teorema 6.1. se reformuían de la siguiente manera: PS2

35V*VUD ( ¿ k , U )

U (aAz/(v5 (v^,v y)

donde 6 es igual que antes

C onvención notacional 2

Si 6 es una expresión de tipo {{s, ( { s , ( ( s , e ) , t ) ) , t ) ) , ( { s, e) , t ) ) , entonces i podemos escribir <5* en lugar de Xy\x5(Ax ,A \Uv U( Ay)) Teorema 6.1. VacVUD(á(ac, U ) <->v U (Aái/(vá*(v;t,v y)))), donde 6 es igual que antes. Por medio del teorema 6.1., recién reformulado, podemos reducir (211) a (212) ! la cual es, a su vez, reducible a (213) gracias al teorema 6.3.: (211)

BESAR (Aj , A A í7 3 ^ (U N IC 0 R N I0 (a :) A V

(212)

3 * (U N I C 0 R N I 0 (;t ) A BESAR* (j , v

* ))

(213)

3 x ( u n i c o r n i o * ( x ) A B E S A R *(j,

x))

£ /(* )))

De esta manera, la introducción de los conceptos de individuo no afecta los re sultados del fragmento sin conceptos de individuo; ellos pasan sin restricciones y además permiten dar cuenta de los ejemplos dados en §6.4.1. y, por lo tanto, permiten también formular una semántica más adecuada para el español. Ejercicio* 6.9. ¿Cuál de las siguientes oraciones puede reducirse a fórmulas que tengan la notación *? ¿De qué depende la reducción? (i) Juan encuentra a María (ii) Juan encuentra un tesoro (iii) Juan busca a María (iv) Juan busca un tesoro

6.5. Composicionalidad, forma lógica y forma gramatical En esta sección retomaremos brevemente un tema de §6.1.1.: el estatus me todológico del principio de composicionalidad y su relación con el contraste entre forma lógica y forma gramatical. El término ‘forma lógica’ hoy en día puede significar dos cosas bien di ferentes (aunque tal vez relacionadas históricamente). Puede referirse a una

• i ampliamente utilizada y explorada en la Gramática Generativa desde n° Cletentas. En la Gramática Generativa, la ‘forma lógica’ representa un nivel ecífic° de descripción en la gramática, distinto de la estructura superficial de la estructura subyacente. El término ‘forma lógica’ también puede ser y ... a(j0 para denotar un concepto que es mucho más antiguo y que tiene un ^ filo s ó fic o . Para comenzar por el segundo significado, se ha hecho una distinción entre la forma gramatical y la forma lógica de una expresión en lógica y en filosofía en varios momentos de la historia. Especialmente desde el desarrollo de la lógi ca cuantificacional moderna a finales del siglo X IX , la idea de que la forma gramatical ‘observable’ de una oración puede inducir a error con respecto a su forma lógica real fue formulada con vigor y convicción por personajes tan notables com o Frege, Russell y Wittgenstein (ver capítulo 1, volumen 1, para más detalles). Esta ‘tesis de la forma que induce a error’ y la visión concomi tante del lenguaje natural como irregular, poco sistemático, vago y deficiente, ha dominado el pensamiento filosófico y lógico acerca del lenguaje hasta bien entrada la segunda mitad del siglo X X . Esta distinción entre forma lógica y forma gramatical es más bien extraña para la Gramática Lógica. La siguiente cita de ‘ Universal Grammar’ (1970b) de Montague puede servir como ilustración: En mi opinión no hay ninguna diferencia teórica importante entre los lenguajes naturales y los lenguajes artificiales de los lógicos; en efecto considero posible entender la sintaxis y la semántica de ambos tipos de lenguaje dentro de una única teoría natural y matemáticamente precisa. En este punto difiero de va rios filósofos pero concuerdo, creo, con Chomsky y sus asociados. Es claro, sin embargo, que no se ha construido aún una teoría semántica adecuada y comprehensiva y que no existe todavía una teoría sintáctica comprehensiva y semánticamente significativa.4

En esta cita es evidente que Montague siente que su convicción de que el len guaje natural puede describirse de manera rigurosamente formal es compartida por lingüistas de la tradición chomskiana. Sin embargo, — y esto nos conduce al segundo significado de la frase ‘forma lógica’ y al tema de la composicionafidad— también está convencido de que el trabajo en la tradición generativa no ofrece una teoría semántica y que la teoría sintáctica que ésta presenta probablemente falla en producir una base adecuada para la semántica. Con respecto a la primera afirmación, ‘semántica’ significa en el libro de Montague ‘semántica veritativo-condicional’ y, en efecto, esta clase de semánti ca nunca le ha interesado a los lingüistas generativos. Para ser precisos, c] 4N. de T .: la traducción es nuestra.

gramática. Es suficiente observar lo siguiente: el nivel de la forma ló g j| se considera com o un nivel de descripción que es distinto tanto de la estructu^ superficial, com o de la estructura subyacente (o ‘profunda’) de una expresión Ella sirve para explicar varios fenómenos, tales com o correferencia y alcance pero no a través de un proceso de interpretación. En efecto, no es siempre claro si la forma lógica es parte de la semántica o de la sintaxis. La forma lógica de una expresión sólo está parcialmente determinada por su estructura sintáctica superficial, y esta relación es de uno a muchos. Este último hecho significa que incluso si el nivel de la forma lógica fuera algo com o una representación o una interpretación modelo-teórica en todo el sentido de la palabra (lo cual no es cierto), todavía no encajaría con el principio más básico de la Gramática Lógica, a saber, la composicionalidad del significado. El desacuerdo entre la Gramática Lógica y la Gramática Generativa se ilustra claramente por la segunda afirmación atribuida arriba a Montague, ■ a saber, que las teorías sintácticas existentes no son ‘semánticamente signi ficativas’ . Para ponerlo crudamente, mientras que el punto de partida para Montague es la semántica, para Chomsky es la sintaxis. El primero adopta el principio de composicionalidad del significado y el segundo aboga por la auto nomía de la sintaxis. Como lo observamos en §§6.2. y 6.11., esos dos principios pueden estar en conflicto entre sí. Así pues, dos cosas deben observarse. Primero, ni la noción filosófica tradi cional ni la noción moderna de forma lógica, la cual se utiliza en la Gramática Generativa, parecen jugar un papel en la Gramática Lógica. Segundo, el pun to divisorio principal entre la Gramática Generativa y la Gramática Lógica parece ser el principio de composicionalidad. Esto genera varias preguntas: si queremos identificar un nivel de representación en la Gramática Lógica como un nivel de la forma lógica que aproxime el que se utiliza en la Gramática Generativa, ¿cuál nivel es éste? y ¿cuál es exactamente el estatus del principio de composicionalidad y, por lo tanto, del desacuerdo entre la Gramática Gene rativa y la Gramática Lógica? ¿Su estatus es fáctico o más bien metodológico? En el resto de esta sección intentaremos contestar estas cuestiones brevemente.

w S

ab°ra en adelante utilizaremos la frase ‘forma lógica’ para significar la tación de una expresión que determina su significado. En el modelo represen , g niveles de representación distintos. Podemos distinguir entre:

■ (i) Expresi° nes L ) Árboles de análisis (iii)

E x p r e s io n e s

lógicas

Tjna expresión es una cadena generada por la sintaxis, es decir, una sucesión de ¿nbolos que la gramática declara como bien formada. Por su parte, el árbol de análisis codifica la historia derivacional de una expresión. Contiene la infor mación que especifica cuáles expresiones básicas se usaron y cuáles reglas se emplearon para formar expresiones complejas. Finalmente, la expresión lógica es el resultado del proceso de traducción aplicado al árbol de análisis.

Consideremos ahora nuestro ejemplo, ya algo desgastado: (214) Juan busca un tesoro La oración (214), que es una cadena generada por la sintaxis, es decir, al nivel (i), se representa a sí misma. En el segundo nivel hay dos representaciones: los árboles de análisis correspondientes a las construcciones directas e indirectas. Las repetimos en la figura (215):

(215)

a.

Juan busca un tesoro, O, S2 Juan, T

buscar un tesoro, VI, S7 buscar, V T

un tesoro, T , S5

I buscar, V T

b.

Juan busca un tesoro, O, S8 , 0 un tesoro, T , S5 tesoro, NC

Juan loo busca, O, S2 Juan, T

loo buscar, V I, S7 buscar. V T

élo, T

Finalmente, en el tercer nivel encontramos de nuevo dos representaciones: las dos traducciones (reducidas) de (216) y (217) (ignorando de nuevo los conceptos individuales):

(216)

b u s c a r ( j', a

A X 3 x (t e s o r o ( x ) A v - X ( x ) ) )

(217)

3 x (t e s o r o (x )

a buscar,

( j , x) )

Con respecto a los árboles de análisis y las expresiones lógicas, debe que las representaciones a esos niveles no son únicas. Hemos acentuado < * ^ 1 . varias oportunidades para las traducciones: todos los pasos de reducción plificación que aplicamos ‘preservan el significado’ , en el sentido de que sienÜH procedemos de una expresión a otra que le es equivalente. Así que no sentido hablar, por ejemplo, de la expresión lógica que es la representaciój de la lectura de re de (214). Por razones prácticas obvias, utilizaremos (21tB com o representación en la mayoría de los casos y en ciertas circunstancias po¿I ejemplo cuando queramos aplicar un mecanismo sintáctico de prueba, incluso I puede ser necesario que así sea. Pero (217), al ser una representación de uno de * los significados de (214), no tiene un estatus privilegiado: cualquiera de un número infinito de expresiones equivalentes serviría. Lo mismo vale para los árboles de análisis. Esto tal vez sea más claro en el caso de (215b), donde una elección distinta de variable sintáctica habría resul tado en un árbol de análisis distinto, que obviamente determinaría el mismo significado, dado que habría resultado en una traducción que es equivalente a (217). Con respecto a la construcción directa ejemplificada en (215a), nótese que el modelo PTQ también nos permite utilizar el mecanismo de cuantificación de una manera ‘vacía’, es decir, sin efectos semánticos. El árbol de análisis en la figura (218) ilustra esto:

J

(218)

Juan busca un tesoro, O, S8 , 3 Juan, T

Élo busca un tesoro, O, S2 él3, T

buscar un tesoro, VI, S 7 buscar, V T

un tesoro, T , S5

I tesoro, NC

Este árbol conduce a una traducción que es equivalente a (216) y, por lo tanto, también representa el significado de dicto de (214). Ahora bien, ¿qué pasa con la forma lógica? ¿Cuál de estas representaciones determina el significado de (214)? Dado que (214) es ambigua, deben asignárse le dos formas lógicas distintas, y por lo tanto (214), es decir, la representación de nuestro ejemplo de una cadena generada por la sintaxis categorial, no puede

coin0 una de eâs‘ ^ sto era esperar, pues com o vimos en §6.2. la ^ptar .cjorialidad implica que el significado se determina dado un análisis. c°PiP°S êva a analizar el nivel de los árboles de análisis y de las traduccioggto * * ambos niveles podrían considerarse com o el nivel de la forma »es- ®nc0in0 pueden ayudar a aclararlo las siguientes consideraciones. lóg¡ca' ncemos con las traducciones. Debemos tener en mente que no es E / a d o hablar de una única expresión lógica com o la representación; más aPr°Pdebem0s contar como tal toda una clase de expresiones equivalentes. observar dos cosas. Primero que todo, dicha clase determina, por fi 'ción, un significado único. Pero en segundo lugar, no queda mucho de acerca de la noción resultante de forma lógica, dado que la equivalencia [ó ‘ca de dos expresiones no descansa sobre ninguna semejanza interesante entre sus formas. Con respecto a los árboles de análisis, lo importante que debemos notar es que éstos determinan una traducción única. Un árbol tiene expresiones bási cas en sus hojas, y en cada nodo tiene una única expresión derivada y una indicación de la regla sintáctica que se utilizó para formarla. Las expresiones básicas tienen una traducción única, que se da en la regla de traducción T I. Igualmente, cada expresión derivada tiene una única traducción, que está de terminada por la regla de traducción que le corresponde a la regla sintáctica. Dado que las expresiones lógicas no son ambiguas, se sigue que un árbol de análisis determina un significado único. Observábamos anteriormente que, al igual que con las traducciones, debemos tomar una clase de equivalencia de árboles de análisis y no un sólo árbol com o la representación del significado de una expresión. La relación de equivalencia relevante es la de generar una ex presión lógica equivalente como traducción. Aquí también observamos que no hay identidad formal entre los de una misma forma lógica, aunque es de esperar que las similitudes formales sean mayores que en el caso de las expresiones lógicas. Así pues, concluimos que tenemos dos candidatas para servir de formas lógicas. ¿Hay alguna razón para elegir una en lugar de la otra? En efecto, la composicionalidad nos proporciona una respuesta. Se puede observar que es el principio de composicionalidad del significado el que determina que nuestra gramática debe contener el nivel de representación de los árboles de análisis. La razón es que la composicionalidad establece que el significado de una expresión está determinado por, o más bien es una función del, significado de sus partes. El significado, debemos resaltarlo una vez más, son los objetos semánticos en el modelo, es decir, los individuos, las propiedades, proposiciones, propiedades de segundo orden y demás que asociamos con las expresiones. Las expresiones

lógicas sirven para representarlos, pero no debemos confundirlas con ellog punto es que esta descripción de la composicionalidad se refiere a la nrJ^B informal de las ‘partes’ de una expresión. De alguna manera, el punto p r¡n . / J para hacer sintaxis, o más bien una sintaxis semánticamente significativa explicar esta noción. Un simple ejemplo de una expresión ambigua es snfi^ - » para mostrar que las partes no se pueden identificar con los elementos lé x iH a partir de los cuales se construye una expresión. El ejemplo (214) tiene a J significados distintos, ambos expresados por el mismo conjunto de expresión i básicas. Y, com o lo observamos en §6.2., los componentes de una expresión! tam poco son los objetos semánticos relevantes, dado que una expresión puede ser ambigua sin tener dos estructuras componentes distintas. Pero la c o m p o s i. 1 cionalidad requiere simplemente que haya ‘partes’ distintas siempre que no ha ya ambigüedad léxica, y si ninguna de las nociones conocidas son suficientes, las partes deben ‘inventarse’ . En el marco del modelo P T Q esto ha conllevado a la noción de derivaciones codificadas en árboles de análisis y a la introducción de reglas de cuantificación, entre otros. Hay otras opciones disponibles, y se han desarrollado otras técnicas, pero lo importante a observar aquí es que la compo sicionalidad demanda un nivel de representación sin ambigüedad en la sintaxis. 1 Esto crea la necesidad del nivel de los árboles de análisis (o alguna cosa p a recida) , pero también muestra el carácter opcional del nivel de las expresiones lógicas. Esto se debe a que si los árboles de análisis determinan el significado, las traducciones no pueden añadirles nada: ellos deben ser superfluos; y en efecto lo son. Dado que un árbol de análisis determina una traducción única y que las expresiones lógicas no son ambiguas, siempre es posible eludir el nivel de traducción e interpretar los árboles de análisis directamente. Simplemente podemos asignarle directamente a las expresiones básicas los objetos semánti cos que son las interpretaciones de las traducciones de esas expresiones y, en lugar de reglas de traducción, podemos utilizar las operaciones semánticas que les corresponden para operar sobre objetos semánticos. Este es el método utilizado por Montague en “English as a Formal Language” (1970a). Así pues, concluimos que si debemos ponerle la etiqueta del nivel de forma lógica a uno de los tres niveles de representación en el modelo P T Q , la elección más razonable es la de los árboles de análisis. Ellos determinan el significado de manera única y son elementos necesarios de la gramática, de acuerdo con el principio de composicionalidad. Volvamos ahora a la segunda pregunta, que trata sobre el estatus de la composicionalidad. ¿Debemos considerarla una hipótesis empírica, o es más bien un principio m etodológico? Las consideraciones anteriores sugieren una respuesta. Hemos observado que el principio de composicionalidad requiere

un nivel sin ambigüedad en la sintaxis. Cuando se traía pa ra gUajes artificiales, simplemente configuramos la sintaxis de tal manera de reqUerimiento se cumpla. Por ejemplo, las expresiones de los lenguajes Que ajenen su historia derivacional codificada en su estructura, a través del jB P "T paréntesis o de dispositivos similares: a cada expresión le corresponde árbol de análisis único y, por lo tanto, puede interpretarse completamente Ul'inanera composicional. Para un lenguaje natural las cosas son distintas. Por * * tenemos una noción de estructura sintáctica (de los componentes), la cual puede asumirse que está motivada independientemente de conside raciones semánticas. Por otro lado, nos enfrentamos a la tarea de explicar la noción de ‘parte de’, de la cual habla la composicionalidad. Supongamos que nos encontramos con expresiones ambiguas que no son ‘ambiguas estructuralmente’, es decir, que no pueden dividirse en componentes de dos maneras distintas. Ante esta situación podemos proceder de dos maneras: o bien se pue de itir un nivel de representación sintáctica distinto a la estructura de los componentes, y de esta manera cumplir con la composicionalidad; o se puede estipular que los componentes son las ‘partes’ relevantes y que, por lo tanto, el significado del lenguaje natural no puede describirse composicionalmente. F ,a r e p r e s e n t a c ió n

El punto importante que debemos observar es que la primera alternativa siempre está abierta para nosotros, a menos que decidamos por adelantado lo que puede y lo que no puede hacer parte de nuestra sintaxis. Si comenzamos con la suposición de que nuestra sintaxis debe representar la estructura de los componentes y sólo la estructura de los componentes; entonces podemos, en efecto, decir que la hipótesis de que la semántica de un lenguaje natural como el español es composicional se puede ‘falsear’ por los hechos. Pero podemos observar que esta suposición inicial no es un hecho empírico, sino más bien una decisión metodológica. Así pues, parece razonable concluir que cualquiera que sea el enfoque que tomemos, la composicionalidad es un asunto metodológico: nosotros decidimos describir la semántica de nuestro lenguaje de manera com posicional, o decidimos que no; pero en ambos casos lo que está en discusión es, más bien, un asunto metodológico que de hechos.

6.6.

Observaciones finales

Las secciones anteriores se dedicaron a la introducción en profundidad de las peculiaridades de un modelo en particular de Gramática Lógica, el modelo PTQ de Montague. Las razones para escoger este modelo en lugar de otro se expusieron en §6.1. Una vez dominado el modelo PTQ, el lector encontrará que

es una tarea relativamente sencilla conocer otros modelos y enfoques que com parten sus principales suposiciones de fondo. Véase, por ejemplo, Bartsch y Vennemann (1972); Bartsch (1976b); Cresswell (1973, 1985); y Lewis (1972) También debe ser posible para el lector encontrar su camino a través de la enorme cantidad de literatura teórica, u orientada empíricamente, presentada en los artículos originales de Montague. Es virtualmente imposible dar aquí un sondeo del trabajo realizado en esta área y debemos limitarnos a señalar unas pocas contribuciones y colecciones individuales importantes. Comencemos por mencionar algunos otros textos introductorios y exegéticos. Dowty et al. (1981) proveen una extensiva introducción al modelo p t q en inglés; Link (1979) y Lóbner (1976) proveen una introducción en alemán. Partee (1975) presenta un artículo extenso que introduce el modelo p t q para los lingüistas generativos. La introducción a los trabajos de Montague, com pilados en Montague (1974), se concentra más en los aspectos filosóficos y lógicos de sus estudios. Halvorsen y Ladusaw (1979) desmenuzan y explican la teoría semiótica general de Montague, formulada en su “Universal Grammar” (1970a). Un estudio exhaustivo, orientado matemáticamente, del contenido y el pa pel del principio de composicionalidad, al cual esta introducción le debe mucho, puede encontrarse en Janssen (1986). Este documento también contiene va rias contribuciones a temas empíricos (cláusulas relativas, tiempos verbales y aspecto), y una aplicación de varias de las técnicas de Montague a problemas de la semántica de los lenguajes de programación. Un estudio más orientado empíricamente sobre la composicionalidad se halla en Partee (1984). La com posicionalidad fue descrita anteriormente como el punto divisorio entre la Gramática Generativa y la Gramática Lógica; pero estas empresas también pueden contribuir una a la otra. Varios autores se han preocupado por este tema; véase Partee (1973, 1979a); Cooper y Parsons (1976); Bach (1979b), y McCloskey (1979). Una semántica modelo teórica al estilo de Montague tam bién se emplea en otros modelos de gramática, notablemente en la gramática generalizada de las estructuras de frase: ver Klein y Sag (1985), y Gazdar et al. (1985). Uno de los principales defectos de la Gramática de Montague desde el punto de vista de la Gramática Generativa es la introducción en la sintaxis del nivel de los árboles de análisis. Cooper ha desarrollado un mecanismo de cuantificación alternativo al del modelo PTQ que, aunque depende ampliamen te de la disponibilidad de los árboles de análisis como una herramienta teórica, continúa siendo composicional. Véase Cooper (1984) para un análisis comple tamente desarrollado de su mecanismo de ‘almacenamiento’ . Una aplicación de estas ideas se puede encontrar en Partee y Bach (Mathematical Centre).

00

enfoque distinto al problema de representar ambigüedades de alcance, que

una cierta relajación del requerimiento de composicionalidad, es el (1988). El problema de la posibilidad de una ‘gramática monoestrato’, es decir, una gramática con sólo un nivel de representación, se encuentra e n el c e n t r o de varios desarrollos, por ejemplo, el de la gramática generalizada je estructura de frase (véase arriba). Véase también Hausser (1984). La aná fora se ha estudiado intensivamente tanto en la Gramática Generativa como en la Gramática Lógica. El análisis que el modelo PTQ ofrece, aunque es adecuado también para una clase de casos más grandes, requiere extensión y refinamien to. Tratamientos tempranos representativos son ofrecidos por Bartsch (1979); Cooper (1979); Partee (1979b), y Hausser (1979). Dos números especiales de Linguistics and Philosophy, 6 (1 ): (1983) y 7(3):(1984), contienen varias con tribuciones interesantes: la de Landman y Moerdijk merece mención especial en este contexto. Los problemas concernientes a la anáfora y los términos indefini dos generaron una teoría completamente nueva a comienzos de los años ochen ta: la Teoría de Representación de Discursos, la cual discutiremos en cierto detalle en §7.4. Las referencias a la literatura en esta área las daremos allí. Mencionemos brevemente algunas contribuciones en otros asuntos empíri cos particulares. El trabajo de Dowty sobre el análisis del aspecto de varios verbos y de los tiempos verbales se puede encontrar en Dowty (1979). Véase también Bennett (1977) y Verkuyl (1989). Kamp (1980) tiene un interés simi lar a este. Los verbos de control se tratan en Bach (1979a) y en Klein y Sag (1985). Los adjetivos y los adverbios se analizan en Bartsch (1976a); Cresswell (1976, 1979); Kamp (1975), y Klein (1980). Véase también Stalnaker y Thomason (1973). La pluralidad también es un asunto que ha sido objeto de varios estudios, véase especialmente Scha (1981); Verkuyl (1981); Link (1983), y Landman (1988). Otro tópico es el de la negación, para el que se pueden consultar Jacobs (1982) y Verkuyl (1987). Un análisis de los genéricos se presenta en Carlson (1977, 1982). Las preguntas se estudian en Hamblin (1973); Karttunen (1977); Hausser y Zaefferer (1979); Belnap (1982); Groenendijk y Stokhof (1982, 1984, 1988b); Hausser (1983); Engdahl (1985). La semántica de las construcciones nominalizadas ha llevado a propuestas intere santes sobre la clase de teoría semántica que mejor se acomoda al lenguaje natural; sobre este tema véase Turner (1983); Chierchia (1982, 1984), y Chierchia y Turner (1988). La lista anterior está lejos de ser completa. El lector puede dar un vistazo a muchos otros temas tratados en la tradición de Montague mirando entre colecciones como Davidson y Harman (1972); Keenan (1975); Partee (1976); Guenthner y Rohrer (1978); Guenthner y Schmidt (1979); Davis y Mithun e q u ie r e

¿e

H e n d r ik s

(1979); Rohrer (1980); Groenendijk et al. (1981, 1984); Báuerle et al. (I97g\. Báuerle et al. (1983); Landman y Feltman (1984); Groenendijk et al. (1987a bV 1 Klein y van Benthem (1988), y Groenendijk et al. (1988). Además de la Teoría de Representación de Discursos, en el capítulo 7 troduciremos otros dos desarrollos importantes en la semántica modelo teórica del lenguaje natural. Ellos son la Teoría de los Cuantificadores Generalizados y la Gramática Categorial flexible. Las referencias a la literatura relevante se 1 darán allí.

Capítulo 7

Desarrollos recientes

7.1.

Introducción

Este capítulo introducirá tres temas que actualmente están en el centro de in terés del campo de la semántica lógica. Los tres se desarrollan dentro del marco de la Gramática de Montague, com o se describió en el capítulo 6. aunque se desvían del camino trazado por ella en aspectos fundamentales. Estos tres temas son la Teoría de Cuantificadores Generalizados, la Gramática Categorial Flexible y la Teoría de Representación de Discursos. La Teoría de los Cuantificadores Generalizados puede ser vista como un desarrollo del análisis de Montague en el modelo PTQ sobre las expresiones cuantificadas, utilizando las herramientas de la Teoría de Modelos Abstrac ta. Sus objetivos son parcialmente descriptivos y su naturaleza, parcialmente teórica. El trabajo descriptivo involucra una variedad de tópicos, tales como la estructura semántica interna de los términos, la distribución de los ítems de polaridad negativa, la inserción (allí) hay y la reducción de la conjunción. La investigación más teórica se centra en las restricciones de los posibles signi ficados de los términos del lenguaje natural, en el poder expresivo de los lenguajes naturales con respecto a los significados posibles y en los universales semánticos, entre otros. Las referencias clave son Barwise y Cooper (1981); van

Benthem (1983, 1984b, 1987); Keenan y Moss (1984); Keenan y Stavi (1986) y Keenan (1987).

El marco de la Gramática Categorial se ha desarrollado en los años recien- 1 tes y se ha convertido en una herramienta flexible y adecuada para capturar varias generalizaciones de la sintaxis y la semántica del lenguaje natural. La, diferencia principal con el modelo PTQ de Montague reside en que la relación entre expresiones y categorías se hace más flexible; es decir, ya no se asume que una expresión (no ambigua) pertenece sólo a una categoría y se postulan varias reglas para permitir cambiar la categoría que el léxico le asigna inicial mente a una expresión, por un conjunto bien definido de otras categorías. De esta manera, varios fenómenos con los que la gramática categorial en su forma original no podía tratar, por ejemplo, los componentes discontinuos ahora pueden describirse adecuadamente. Más aún, el componente con el que se cam bia de categoría nos permite simplificar un poco la complejidad de la asignación de categorías y tipos del modelo PTQ de Montague. Además, el lazo estricta mente funcional entre las categorías sintácticas y los tipos semánticos se ha aflojado un poco. Trabajos importantes en este campo se pueden encontrar en Partee y Rooth (1983); Zwarts (1986); van Benthem (1986), y Moortgat (1988). Por su parte, la Teoría de Representación de Discursos es, de alguna ma nera, la más antagónica al marco de la Gramática de Montague. Uno de los motivos para su desarrollo fue encontrar alternativas para varios aspectos cen trales de la Gramática de Montague y uno de sus objetivos es trascender la restricción que esta última tiene de trabajar sólo con oraciones extendiendo el análisis a discursos o textos. La Teoría de Representación de Discursos fue desarrollada por Hans Kamp (1981) e Irene Heim (1982, 1983), pero se han propuesto ideas similares en marcos bastante diversos (véase, por ejemplo, Karttunen (1976); Seuren (1985)). Esta teoría tiene aspectos tanto descrip tivos, com o teóricos: en el lado descriptivo encontramos tópicos tales como la distinción entre términos referenciales y no referenciales, particularmente en conexión con la anáfora (por ejemplo las notorias oraciones burro); más aún, la teoría se ha probado con respecto al tratamiento de tiempos y aspectos verbales (por ejemplo, Partee (1984) y Kamp y Rohrer (1983)) y de actitudes proposicionales (Asher (1986) y Zeevat (1987)). La ambición más teórica es la posible síntesis de dos enfoques con respecto al significado: la concepción veritativo condicional y modelo teórica y el punto de vista procedimental y representacional. Otro objetivo importante ya ha sido mencionado: la extensión del dominio de las teorías semánticas de oraciones a textos (‘discursos’).

72.

La Teoría de los Cuantificadores Generalizados

72-1-

Objetivos principales

Un aspecto importante de una teoría semántica como la Gramática de Montague es la asociación de cierto tipo de objetos semánticos (valores de verdad, propiedades, etc.). En general, no se imponen mayores restricciones sobre la asociación que las que se requieran para explicar nuestras intuiciones acerca

de las relaciones semánticas, tales como la implicación. Cuando sea nece sario, las restricciones se formulan por medio de postulados de significado, las

cuales, en su mayoría, se aplican a expresiones individuales o a clases res tringidas de expresiones. Su función es aislar algunos elementos dentro de la totalidad de objetos semánticos de cierto tipo para considerarlos como los po

sibles significados para una (clase de) expresión (es). Pero, excepto por esta clase de restricciones, la Gramática de Montague se preocupa por una clase

completa de objetos semánticos de un tipo. La Teoría de los Cuantificadores Generalizados trata sobre los objetos semánticos que son la interpretación de los términos: conjuntos de propieda des. Dentro de esta teoría, un punto de interés principal es la estructura de dichos objetos semánticos: ¿qué propiedades formales tienen, cuáles subclases naturales se pueden distinguir y cuáles de esas se puede considerar que de hecho representan significados de los términos del lenguaje natural? La investigación de tales tópicos va más allá de la mera formulación de una relación entre una categoría sintáctica y un tipo semántico. Presentaremos a continuación algunos ejemplos. Una de las primeras líneas de investigación trata de lograr una clasificación de los cuantificadores generalizados en términos de sus propiedades formales, intentando dar una explicación de varios fenómenos lingüísticos. Un ejemplo sencillo de esto es la inserción (allí) hay. Algunos términos pueden ocurrir en el contexto (1): (1)

Hay . . . en el jardín

Otros no, com o lo muestra la diferencia entre (2a) y (2b): (2)

a. Hay alguien en el jardín No hay nadie en el jardín Hay dos unicornios en el jardín

b. *Hay todo el mundo en el jardín1 *Hay Juan en el jardín *Hay los dos unicornios en el jardín La pregunta que surge es la siguiente: ¿hay propiedades del significado d I términos que permitan distinguir entre los términos que pueden ocurrj^B el contexto de (1) de aquellos que no? ¿Acaso esas propiedades pueden exnlijH junto con un análisis semántico de la frase (allí) hay . . . , por qué esos térn| nos encajan o no? Para ejemplos de respuestas a dichas preguntas véase 9 ejemplo, Barwise y Cooper (1981); Zwarts (1981), y de Jong y Verkuyl (19»4\ I Otro ejemplo de investigación en esta dirección trata sobre la distribu c^M de las expresiones con ‘polaridad negativa’ . Compárense (3) y (4): (3)

Este niño no come en absoluto *Este niño come en absoluto

(4)

Nadie vio nada * Alguien vio nada

Tradicionalmente, la posibilidad de ocurrencia de expresiones con polaridad negativa, tales com o en absoluto y nadie, ha sido conectada con la ocurrencia de un elemento negativo en la oración (de aquí su nombre): la negación nadie en (3), versus alguien en (4). La explicación tradicional, sin embargo, es proble mática para la interpretación de oraciones tales com o (5) y (6): (5)

No salió nadie

(6)

*Nadie salió

El postulado de un elemento negativo abstracto en la estructura sintáctica profunda, que será fusionado con el elemento sobre el que opera en un estado posterior de derivación, no es una solución muy atractiva. Una explicación en términos de las propiedades semánticas de este tipo de expresiones (nadie versus alguien, más de n versus menos de n) parece preferible.2 1N. de T .: siguiendo la práctica lingüística usual, una oración que se considere mal formada en español irá precedida por el símbolo Si la oración no es claramente mal formada, pero tampoco es claramente bien formada, irá precedida del símbolo *?’. 2N. de T .: el tema se discute a profundidad en Zwarts (1981, 1986). Para una discusión de estos elementos en el idioma español, consúltese Bosque (1980).

f último ejemplo trata del fenómeno de la reducción de la conjunción (el * ce adopta de la gramática transformacional): compare (7) y (8): 0oi»bre bt ^ (g)

j uan

juega y Juan canta

Juan

juega y canta

dos oraciones son equivalentes. La tradición transformacional sostuvo en ' tiempo que (8) se deriva de (7), por medio de la transformación conocida ‘reducción de la conjunción’. Pero compare (9) y (10): ( 9)

Nadie juega y nadie canta

(10) Nadie juega y canta Las dos oraciones no son equivalentes: (9) implica (10), pero no al contrario, y la transformación propuesta no debería ser aplicable en este caso (asumien do que las transformaciones deben preservar el significado). Este problema es difícil de enfrentar para una perspectiva transformacional tradicional. Por otro lado, si renunciamos a la suposición de que la identidad del significado debe explicarse en términos de la identidad de la estructura sintáctica (profunda), la situación cambia. Si tenemos una semántica explícita, com o la de la Gramática de Montague, que nos permite dar cuenta de las relaciones semánticas, como la sinonimia y la implicación en términos de relaciones entre objetos semánticos (modelo teóricos), y no de relaciones entre estructuras sintácticas, la pregunta tiene que reformularse así: ¿qué propiedades de los tipos de los objetos semánti cos asociados a los términos garantiza tales relaciones de sinonimia? Debe ser claro a partir de esta corta exposición que incluso los resultados con una mayor orientación empírica siempre tendrán implicaciones teóricas o metodológicas. Discutiremos esto más adelante. Una segunda rama de investigación dentro de la Teoría de los Cuantificadores Generalizados consiste en la búsqueda de universales, es decir, la for mulación de regularidades universales significativas que gobiernen los objetos semánticos que son el significado de los términos. De manera característica, la lingüística “chomskyana” busca los principios gramaticales que aíslan la sub clase de todos los lenguajes humanos posibles de la clase de todos los lenguajes Posibles. Tales principios gramaticales formarían una gramática universal (paece obvio asociar tal gramática con principios universales del pensamiento humano. Esto es lo que Chomsky hizo al apelar a la tradición racionalista), m embargo, Montague procedió desde un punto de partida distinto, con un

objetivo diferente: él quería un marco uniforme y matemáticamente que contuviera tanto a los lenguajes naturales, com o a los lenguajes f0 Esta era su concepción de una ‘gramática universal’ (véase Montague cap. 4)).

■

^4,

La Teoría de los Cuantificadores Generalizados busca explorar los int J de la tradición “chomskyana” dentro del marco de la semántica modelo te ó rH el dominio semántico de los términos, el conjunto de todos los conjuntos de n 9 piedades de individuos, es extremadamente ‘grande’ . A priori, la suposición d que todos esos significados potenciales son adecuados, es decir, que en efecto expresan significados de términos del lenguaje natural, no parece plausibl • por lo tanto, debemos formular restricciones universalmente válidas. Las invesl tigaciones sobre las propiedades universales de los significados de los términos | del lenguaje natural han sido desarrolladas mayoritariamente por Barwise y Cooper (1981). Algunos ejemplos de este tipo de universales semánticos se discutirán en §7.2.4. Un tercer tópico en la Teoría de los Cuantificadores Generalizados es la búsqueda de restricciones, es decir, propiedades formales que definen ciertas clases de determinantes que tienen cierto interés particular debido a razones independientes. Este tipo de investigación está estrechamente relacionada con la anterior. Por ejemplo, van Benthem (1983) hace la pregunta sobre cuáles propiedades caracterizan la clase de determinantes lógicos (todos, algunos, ninguno, no todos, es decir, el cuadro aristotélico tradicional). Ciertamente, esta clase es interesante no sólo desde una perspectiva lógica, sino también desde el punto de vista de la semántica del lenguaje natural. La pregunta también puede hacerse de la manera contraria: dada una cierta restricción (o conjunto de restricciones) global, ¿cuál es la clase de expresiones del lenguaje natural que la(s) cumplen? Algunos resultados en este campo se discutirán en §§7.2.5. y 7.2.6. Otro tópico de investigación, que también se conecta con los mencionados anteriormente, es el del poder expresivo de los lenguajes naturales. Esta inves tigación busca restricciones que puedan reducir todos los objetos semánticos potenciales a un número expresable. La estrategia que más comúnmente se sigue asume restricciones intuitivamente plausibles y luego intenta demostrar que todos los significados en dichas clases restringidas pueden expresarse en el lenguaje natural. Cuanto más independiente es la motivación de las restriccio nes, más soportan los resultados de la estrategia el principio de expresibilidad de los lenguajes naturales (y, si uno lo desea, del pensamiento humano). La investigación en esta área no se discutirá aquí (véase Keenan y Moss (1984))-

«o2 7

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i

SN

como cuantificadores generalizados en la Gramática

L de Montague

fc sección repetiremos brevemente las carnet eríst icas más importantes del ©*eS a. qUe Montague da a los términos y desarrollaremos sus aplicaciotrftta la T e o r ía de los Cuantificadores Generalizados. Para asegurarnos de que DeS T a exp osición concuerda con la literatura sobre este tema, adoptaremos nUtermin°l°6 ia lingüística común de ahora en adelante. Así, 5W denota los sin18 as n o m in a le s, es decir expresiones com o nombres propios, descripciones y términos cuantificados. La abreviatura SN corresponde a la T de términos de Montague. Por su parte, S V denota los sintagmas verbales, tanto los V I como los VT y N denota todos los sustantivos, llamados N C en la Gramática de Montague. D E T se utiliza para referirse a la categoría de los determinantes, es d ecir, lo s artículos y las expresiones tales com o todo, algún. Además, utiliza remos E en lugar de D para referirnos al dominio y reservaremos la expresión D para la interpretación de los determinantes. El análisis de Montague de los SN, como fue descrito en el capítulo 6, depende de dos principios: uniformidad y composicionalidad. El efecto de uni formidad es doble. Primero, las expresiones que exhiben un comportamiento sintáctico similar, es decir, que obedecen las mismas leyes de distribución siempre que ellas sean determinadas sintácticamente, se consideran com o per tenecientes a la misma categoría sintáctica. Por esta razón, tanto nombres propios y descripciones, por un lado, com o SN cuantificados, por el otro, se cla sifican como SN, a pesar de que su comportamiento semántico sea diferente. Segundo, una categoría sintáctica corresponde a un tipo semántico, es decir, todas las expresiones de una categoría tienen la misma suerte de significado (recordemos que la gramática categorial fue concebida originalmente como un sistema de categorías semánticas). Esto significa en el caso de los SN, que el análisis de los SN cuantificados com o conjuntos de propiedades se extendió a los nombres propios. La composicionalidad implica que un SN tiene un significado indepen diente, son unidades sintácticas independientes y su significado son los bloques de construcción para los significados de unidades más grandes. La composicionalidad conlleva ‘naturalmente’ a un análisis semántico de los SN como cuantificadores generalizados y, por lo tanto, com o coniuntos de propiedades (véase §§4.4.3. y 6.3.4.). Podemos explicar esto último brevemente de la siguiente manera: conside remos la oración (lia ), su estructura sintáctica (11b), y su traducción (11c) en lógica de predicados:

(11)

a. Todo hombre camina b. o [sjv [todo hombre] s v [camina]]

l

c. Vx ( h o m b r e ( x ) —+ c a m i n a r ( x ))

I

El significado asignado a la expresión todo hombre en (11c,) no es indenpr^ j compare (12): (12)

a. Todo hombre duerme b. Vx ( h o m b r e ( x ) —> d u e r m e (x ))

En la comparación de los significados de ( l i a ) y (12a) se puede apreciar hay algo que es intuitivamente diferente en las dos oraciones (a saber, caminar 1 dormir) y algo que es igual (a saber, todo hombre lo hace). El procedimiento ahora es cambiar por una variable aquello que es diferente en ambos casos y 1 abstraer sobre dicha variable, reteniendo de esta manera el factor de signifi cado constante. Con la semántica intensional del modelo P T Q , obtenemos la siguiente representación: (13)

A X V x (h o m b re (x ) —>v X( x) ) , donde X es de tipo (s, (e, t)).

A pesar del análisis del modelo P T Q que discutimos en el capítulo 6, que es fuertemente intensional, la Teoría de los Cuantificadores Generalizados es extensional. Primero, utiliza sólo modelos extensionales M = (E , []), donde E es el conjunto de individuos y [] es una función de interpretación que asigna interpretaciones extensionales a las expresiones (es decir, que asigna a una expresión aquello que es la extensión de dicha expresión en la lógica intensional de p t q ) . Segundo, las extensiones son extensionales: individuos en lugar de conceptos individuales, conjuntos de individuos en lugar de propiedades, etc. En otras palabras, (14), y no (13), es la representación del significado asignado por la Teoría de los Cuantificadores Generalizados al SN todo hombre: (14)

A X V x (h o m b re (x ) —►X( x) ) , donde X es de tipo (e, t)

Sin embargo, es común escribir esos significados directamente en el metalenguaje, utilizando alguna notación de la Teoría de Conjuntos, sin un lenguaje lógico intermediario. Es decir, obtenemos representaciones tales com o (15): (15)

[todo hombre] = { X C E \[hombre]

C

La restricción a modelos extensionales parece más severa de lo que realmente es. En efecto, no hay muchos SN o determinantes intensionales.

^

Determinantes: dos perspectivas

de la Teoría de los Cuantificadores Generalizados podemos distinguir peotr° " e c t iv a s diferentes con respecto a los determinantes: una perspectiva dos Pe ^y una funcional. La segunda está estrechamente relacionada con el ftl0**0 lingüístico tradicional de las oraciones, en el que las oraciones están ^■LT^stas de Un sujeto y un predicado, o en otras palabras, de un S N y un SV. ^ ¡dgremos la siguiente oración sencilla (16a) y su estructura constituyente (1 6 b ):

(16)

a. Todo hombre duerme b. o[sN[DET[todo] 7v[hombre]]

[dormir]]

determinante todo se combina con el sustantivo hombre para formar el SN todo hombre. En términos de la sintaxis categorial, un determinante es de categoría SN/N. Semánticamente, esto implica que ella se interpreta como una función: aquella que le asigna la interpretación de un SN, un conjunto de conjuntos de individuos, a la interpretación de un N , un conjunto de indivi duos. Esta perspectiva funcional se refleja en el marco de la Gramática de Montague en el análisis de los SN (compárese §6.3.2. y la representación de todo hombre, (13), en §7.2.2.). Una manera distinta de ver los determinantes es considerarlos com o rela ciones. Según esta perspectiva, todo en (16a) es una expresión que relaciona un N con un S V para formar una O. Tanto hombre com o dormir se interpre tan como conjuntos de individuos y todo se considera com o una relación entre conjuntos, a saber, la relación que se obtiene entre dos conjuntos X e Y sii X C Y . Considerada de esta manera, la oración (16a) afirma que el conjunto de los hombres es un subconjunto del conjunto de los individuos dormidos. A primera vista, las dos perspectivas parecen ser muy distintas. Pero si con sideramos de nuevo la representación de los significados de los SN en el marco de la Teoría de Tipos, y en particular al tipo de esta representación, vemos que ambas perspectivas vienen a ser lo mismo. El tipo de un determinante en la perspectiva funcional es ({e ,t), ((e. t), t)). El dominio semántico correspon diente está formado por el conjunto de funciones que vincula (las funciones características de) los conjuntos de individuos con (las funciones característi cas de) conjuntos de conjuntos de individuos. En general, se tiene que una función que vincula objetos de un tipo a con un conjunto de objetos de ti po b puede identificarse con una relación entre objetos de tipo a y objetos El

correspondiente R f C E a x E\¡ se define de la siguiente manera:

en {0, l } Ea tal que para todo dae E a, ( f R(db))(d a) = l sii (da,db) e R. De ta manera, las ‘ funciones determinantes’ corresponden de manera única a |J ‘relaciones determinantes’ entre conjuntos de individuos.

los SN. La perspectiva funcional provee el marco para la descripción actual

com o en la Gramática de Montague. La perspectiva relacional es a menuda! más comprensible para un análisis de los determinantes como tal. En adelante discutiremos ambas perspectivas, comenzando con la funcional y dejando la perspectiva relacional para después. Una observación final concierne un posible malentendido. En §4.4.3., ob servábamos que los determinantes com o la mayoría y más de la mitad son esencialmente relaciónales, a diferencia de, por ejemplo, todo y algún. En vista de lo que hemos dicho anteriormente, esto podría llevar a un malentendido, dado que acabamos de establecer que las perspectivas relacional y funcional son intercambiables, es decir, vienen a ser lo mismo. El punto es que algunos determinantes, tales como los determinantes ‘lógi cos’ todo y algún, nos dan razones para un tercer análisis alternativo: podemos considerarlos com o predicados de segundo orden, es decir, com o expresiones de tipo ((e , t ) , t ). Por ejemplo, todo afirma acerca de una propiedad (compleja) que todo objeto en el dominio tiene dicha propiedad. Esto se define extensionalmente de la siguiente manera: (17)

[todo] = { E }

Lo mismo ocurre con algún, que afirma acerca de una propiedad que no es vacía: (18)

[algún] = { X \X C E & X ¿ Q)}

(19) Alguna mujer pasea

to es e s e n c i a l tener una manera de representar predicados complejos, P&ríi ser una mujer que pasea (por ejemplo, por medio de A-abstracción). 1.^ qO*** HSf sin embargo, que un determinante como la mayoría no permite ser gs claro, como un predicado de segundo orden; no podemos definir su inter30 t ción sin hacer referencia por separado a la interpretación del sustantivo, f o r a c ió n (19) puede parafrasearse com o (20): * El conjunto de las mujeres que pasean es no vacío / contiene a alguien (es decir, es un elemento de (18)) pero una paráfrasis similar de (21) no tiene sentido, como lo muestra (22): (21) La mayoría de hombres duerme (22) El conjunto de los hombres que duermen contiene la mayoría de las cosas Otras reducciones posibles también resultan igualmente inadecuadas. En otras palabras, la interpretación de la mayoría se refiere, esencialmente, tanto al conjunto que es la interpretación del SV, como al conjunto que es la interpre tación del sustantivo: ella expresa una relación entre los dos. En este sentido, la mayoría es un determinante esencialmente relacional. Sin embargo, se puede observar que en este último sentido del término ‘relacional’ , tanto la perspecti va relacional com o la perspectiva funcional que se describieron anteriormente presentan una interpretación ‘relacional’ de los determinantes.

7.2.4.

7.2.4.1.

Algunas propiedades fundamentales de los SN y de los cuantificadores Terminología, ejemplos e interpretación indefinida

Es importante hacer una distinción sistemática entre los SN y sus interpreta ciones. Un SN es un objeto lingüístico y sintáctico, una expresión del lenguaje natural. Por su parte, un cuantificador es un objeto semántico, un conjunto de conjuntos. Los modelos M son parejas ordenadas (E, |]), donde E es un conjunto de individuos, el dominio del modelo, y |] es una función de inter pretación que asigna interpretaciones a las expresiones del lenguaje natural. A diferencia del método utilizado en la Gramática de Montague, la Teoría de los Cuantificadores Generalizados no utiliza un nivel de traducción inter medio en un lenguaje lógico interpretado (como I L en PTQ; pero Montague

SN__________________ Interpretación Todo N { * X C E & [N] n i = 1NJ} Un N {* X C £ & [ N ] n I ^ 0 } No todo N lC £ & [N ]n J ^ [N ]} Ningún N X C E & ¡N] n X = 0} X C E 8¿ [N] n X = X } Sólo N Exactamente 2 N { * X C E & ¡N ¡ n X = 2} A lo sumo 2 N { * X C E 8¿ [N] f l l < 2 } X C E & |N] n i > 2 } Por lo menos 2 N Cuadro 7.1. Interpretación de SN

también usó la interpretación directa; véase “English as a Formal Langua ge” en Montague (1974)). Las interpretaciones se escriben directamente en el metalenguaje, el cual es español enriquecido con la notación de la teoría de conjuntos y de la lógica. A manera de ejemplo, daremos las interpretaciones de algunos SN en el cua dro 7.1, utilizando ca rd (X ) para referirnos a la cardinalidad de X . Obsérvese que la interpretación de un SN depende del modelo: en las interpretaciones del dominio de M , E ocurre com o un parámetro. En otras palabras, cuál es la in terpretación en particular del cuantificador depende del modelo. Por supuesto, estamos interesados principalmente en las propiedades de las interpretaciones de los STVsin importar el modelo (en adelante omitiremos X C E siempre que no haya lugar a confusión). Antes de discutir algunos ejemplos de dichas propiedades, debemos consi derar brevemente cuál tratamiento debemos darle a los SN ‘presuposicionales’, tales com o las descripciones definidas. La interpretación de el rey de Francia es el conjunto de conjuntos tales que el rey de Francia pertenece a X , si es que hay un único rey de Francia. Pero si dicho individuo no existe, ¿cuál será la interpretación? En principio, hay varias opciones entre las que podemos escoger y nuestra selección dependerá, entre otras cosas, de lo que conside remos que sea el estatus de oraciones en las cuales ocurran expresiones pre suposicionales, en el caso en que las presuposiciones no sean satisfechas. Si pensamos que (23) es falsa bajo las circunstancias presentes, podemos escoger (24) com o la interpretación de el rey de Francia: (23) El rey de Francia es calvo (24)

[el rey de FranciaJ={A’ |card([[rey de Francia]) = l 8¿ [[rey de Francia]] C X )

por otro lado, si consideramos que (23) no tiene ningún valor de verdad, es mejor que al SN en cuestión sólo lo interpretemos en una subclase de modelos y que consideremos la condición card(|AT]) = 1 com o una condición necesaria para que la interpretación esté definida: (25)

[el rey de Francia] = { X | [rey de Francia] C X } ,

{

indefinido,

si card{\rey de Francia]) = 1;

en cualquier otro caso

En general, la gente que trabaja en la Teoría de los Cuantificadores Gene ralizados escoge la segunda opción, sin mucha discusión. Como consecuencia de ello, la función de interpretación |] es parcial: algunas oraciones no tienen valor de verdad y esto genera la pregunta (abierta) sobre la manera, si es que es posible, en que se le asigna un valor de verdad a las oraciones compuestas, en las cuales ocurre una oración sin valor de verdad (véase el volumen 1 §5.5. para una discusión general y algunas referencias bibliográficas sobre el tema). A pesar de los problemas sin resolver con respecto al enfoque de ‘la in terpretación indefinida’ , será este tipo de interpretación la que emplearemos, dado que, com o ya lo hemos dicho, es la que generalmente se usa en la Teoría de los Cuantificadores Generalizados. Otros ejemplos de STVque obtienen sólo una interpretación condicional son (26) y (27):

(26) (los dos

[indefinido, en cualquier otro caso

(27) lalgún N ] - í ([X 1 I indefinido,

°£ 2 } '"* en cualquier otro caso

2 2;

Obsérvese que algún se interpreta como un determinante plural y no singular, en donde este último es la opción usual de los sistemas lógicos.

E je rcicio * 7.1. Elabore la interpretación de los siguientes SN: (i) Juan (ii) unos pocos N (iii) no todo N

(iv) ninguno de los dos N

(v) un número finito de N 7.2.4.2.

Monotonicidad

Una propiedad fundamental de los cuantificadores y de los SN que se trabaja en la Teoría de los Cuantificadores Generalizados es la monotonicidad ascen dente. Consideremos los ejemplos (28) a (33) (usamos aquí J= para denotar implicación entre oraciones del lenguaje natural): (28) Todos los hombres caminaron rápidamente f= Todos los hombres caminaron (29) Todas las mujeres caminaron \= Todas las mujeres se movieron (30) Un hombre fumó un cigarro |= Un hombre fumó (31) Un niño estaba soñando J= Un niño estaba dormido (32) Am bos niños jugaban en la calle (= Ambos niños jugaban (33) Más de la mitad de las niñas viven en Hoorn (= Más de la mitad de las niñas vive en una ciudad Claramente, todas esas implicaciones son válidas, lo cual se debe al significado de los SN en cuestión. Aparentemente, todo N, un N, ambos N, y más de la mitad de los ./Vtienen algo en común en sus interpretaciones, lo que da cuenta de estas inferencias. Un SN se interpreta como un cuantificador, es decir, como un conjunto de conjuntos. Los conjuntos que forman cuantificadores pueden tomarse como interpretaciones (parciales) de predicados: una oración de la forma [SN SV] es verdadera sii [S V ]g[S N ]. Ahora bien, si consideramos los ejemplos (28) a (33), vemos que el predicado en la premisa está necesariamente subordinado al pre dicado en la conclusión: [caminó rápidamente]C [cam inó], [estaba soñando] C [estaba dormido], [viven en Hoorn] C [viven en un pueblo], etc., en cada M adecuado. Aparentemente, la interpretación de los S N en (28) a (33) es tal que siempre que un conjunto le pertenezca, todos los conjuntos ‘más grandes’ también le pertenecen. Ellos expresan lo que se llama los cuantificadores monótonos ascendentes (también conocidos com o ‘monótonamente creciente’). Sea Q un cuantificador en M , es decir, un conjunto de conjuntos de individuos en E m : entonces podemos definir esta propiedad de la siguiente manera:

pefin*c*on q s e dice monótono ascendente en M sii para todo X , Y C. E: s\ X % C Y , entonces Y € Q

6

Q

y

(Es claro que la interpretación está determinada por M . en tanto que la cuantificación es sobre subconjuntos de E ). Un SN se dice monótono ascendente si expresa un cuantificador monótono ascendente en todo modelo en que su interpretación esté definida: Definición

7.2.

Un SN es monótono ascendente sii para todo M : si |S./V] está definido en M , entonces [S7V]m es monótono ascendente en M Otra manera de describir ‘a es m onótono ascendente’ es ‘a es cerrado bajo extensiones’ . La definición 7.1. nos da un test para monotonicidad ascendente: Test 1 de monotonicidad ascendente Si iS V i] C [SV2], entonces S N SV\ f= S N SV2 Con este test es claro por qué el SN ni un solo muchacho, presentado en el ejemplo (34), no es monótono ascendente: (34) Ni un solo muchacho caminó rápidamente ^ Ni un solo muchacho caminó

E je rcicio * 7.2. (a) ¿Cuál de los siguientes SN es monótono ascendente? (i) por lo menos n N (ii) los n N (iii) pocos N (iv) n N (v) María (vi) la mitad de los N

(b) Sea P un predicado tal que para todo M : [P ] = E m - Muestre que si SN es m onótono ascendente y |S7V] ^ 0, entonces para todo M :[PJ _ [SWJ. Muestre también que esta propiedad no es una condición suficiente 1 para la monotonicidad ascendente. Una definición equivalente de monotonicidad ascendente es la siguiente: Definición 7.3. Q es m onótono ascendente en M sii para todo X , Y C E: si X fl Y £ Q entonces X £ Q y Y £ Q . Esta definición también da lugar a un test: Test 2 de monotonicidad ascendente S N SVi y SV 2 \= S N SVí y S N SV2 La interpretación de una conjunción de dos SV es la intersección de las in terpretaciones de los dos SV. Los siguientes dos ejemplos ilustran este último test: (35) Todas las muchachas estaban fumando y bebiendo (= Todas las muchachas estaban fumando y todas las muchachas estaban bebiendo (36) Ni un solo muchacho estaba cantando y bailando ^ Ni un solo muchacho estaba cantando y ni un solo muchacho estaba bailando El conjunto de los SN que son monótonos ascendentes es cerrado bajo conjun ción y disyunción. En otras palabras, la conjunción o disyunción de dos SN que son monótonos ascendentes es un SN monótono ascendente. Compárese: (37) Todos los muchachos y una muchacha caminaron rápidamente (= Todos los muchachos y una muchacha caminaron (38) Dos hombres o ambas mujeres estaban soñando f= Dos hombres o ambas mujeres estaban dormidas Semánticamente, la conjunción de dos SN es la intersección de sus interpre taciones: ISNx y 57V21 = {S N i] n ¡S N 2j Es fácil ver que la monotonicidad ascendente se preserva bajo la intersección. Sean Q i y Q 2 m onótono ascendentes. Asumamos que para X e Y : X £ Qi(~)Q2

v C Y - Entonces, X e Q x y X E Q 2, y por la monot0rmici(lad i n d e n t e de <3i y ^ 2’ Y e

y Y E ^ 2’ de donde se sigue que Y $
Ejercicio 7.3.

pefina la disyunción de los SN y muestre que la m o n o to ^ ida(1 ascendente se preserva bajo la disyunción. Ejercicio* 7.4.

Muestre que la definición 7.1. es equivalente a la definicj^Q 7 3 La monotonicidad descendente es una propiedad de los SJV y de los cuantifi cadores que es, de alguna manera, la imagen recíproca die Ja m onotonicidad ascendente. Daremos una formulación exacta de ella adelante. Considere mos los ejemplos (39) a (42): (39) Ningún hombre caminó |= Ningún hombre caminó r ápidamente (40) No toda mujer estaba dormida f= No toda mujer estaba soñando (41) Menos de la mitad de las muchachas fumaban (% las muchachas fumaban cigarros

enoS de ja m ^ ad de

(42) Pocos muchachos estaban jugando (= Pocos muchachos estaban jugando en la calle Todas estas inferencias son válidas. Si las comparados CQn (28) a (33^ veremos que la implicación va de manera inversa. monotonicidad as cendente da cuenta de las inferencias en las que el Predicado (el SV) en la conclusión contiene el predicado en la premisa. En los ej empios anteriores el predicado en la premisa contiene el predicado en la C0nClusión- [caminó] 2 [caminó rápidamente], [estaba dormido] D [estaba soñando], etc., para todo M . Aparentemente, es cierto en (39) a (42) quesienipre que un COnjunto pertenece a la interpretación del SN, también lo hacen toados sus subconjuntos Estos SN son ‘cerrados bajo inclusión’ , que es otrarnar]era de decir que son monótonos descendentes. La definición es la siguiente; Definición 7.4. Q es monótono descendente en M sii para todo X , Y c jr. gj X E Q y X D Y entonces Y £ Q

Como se mencionó anteriormente, un SN se llama monótono descendente J su interpretación, siempre que esté definida, es un cuantificador monóton0 ] descendente: Definición 7.5.

1

Un SN es monótono descendente sii para todo M : si {SN^ está definido en Kfl entonces ¡STVJm es m onótono descendente en M ’ Los cuantificadores y los SN monótono descendentes también se llaman ‘monóto namente decrecientes’ . Existe un test para monotonicidad descendente que es similar al de monotonicidad ascendente: Test 1 de monotonicidad descendente Si ISVi] D ISV21 entonces S N SV1 (= S N SV 2 Este test muestra que, por ejemplo, todo hombre no es monótono descendente, com o se puede apreciar en (43): (43) Todo hombre caminó ^ Todo hombre caminó rápidamente Ejercicio 7.5. (a) ¿Cuál de los siguientes SN es monótono descendente? (i) muchos N (ii) la mitad de los N (iii) (pero) Juan no (iv) a lo sumo n N (v) exactamente n N (vi) tam poco N (b) ¿Las propiedades de monotonicidad ascendente y descendente se exclu yen mutuamente? Una definición equivalente para monotonicidad descendente en términos de uniones es la siguiente: D e fin ició n 7.6. Q es monótono descendente en M sii para todo X , Y entonces X e Q y Y e Q

C

E: si X U Y £ Q,

gj test correspondiente es: Test 2 de monotonicidad descendente S N SVi o SV 2 1= S N SVi y S N SV 2 la disyunción de dos S V se interpreta com o unión, mientras ue la conjunción se interpreta com o intersección:

S e m á n t ic a m e n t e ,

[SVi o SV21 = [ 5 Vi ] U 15Va] Algunos ejemplos que ilustran el test son los siguientes: (44) Ninguna de las dos muchachas estaba bebiendo o fumando |= Ninguna de las dos muchachas estaba bebiendo y ninguna de las dos muchachas estaba fumando (45) Todos los muchachos cantan o bailan ^ Todos los muchachos cantan y todos los muchachos bailan El conjunto de todos los SN monótonos descendentes es cerrado bajo disyun ciones y conjunciones, tal como su contraparte monótona ascendente. La interpretación de una disyunción de SN es, por supuesto, la unión de la inter pretación de los elementos que la constituyen: [SV: o SV21 = [SVi] U [SV2J Se puede argumentar que la monotonicidad descendente se preserva bajo unio nes de la siguiente manera: tomemos X e Y arbitrarios, tales que X U Y £ Qi U Q 2. Entonces, se tiene que X U Y £ Q\ o X U Y £ Q 2 y, por lo tanto, X ,Y £ Q i o X , Y £ Q 2, dado que Q\ y Q¿ son monótono descendentes. Por lo tanto, en cualquier caso X £ Q\ U Q 2 e Y £ Q\ U Q 2.

7.2.4.3.

Monotonicidad ascendente y descendente y la negación de los cuantificadores

Hemos observado que hay una relación especial entre la monotonicidad ascen dente y la descendente. Una es espejo de la otra: la monotonicidad ascendente involucra clausura bajo extensión y la monotonicidad descendente involucra clausura bajo inclusión. No sólo por las definiciones respectivas podemos apre ciar esta relación, sino también por medio de varios ejemplos. Consideremos los ejemplos en el cuadro 7.2., los cuales muestran, claramente, que los SN

Monótono ascendentes Todo N Muchos N Al menos n N Más de la mitad de los N Juan

M onótono descendentes No todo N Pocos N A lo sumo n N Menos de la mitad de los N Juan no Cuadro 7.2. SN monótonos

monótono descendentes son las negaciones de los SN monótonos ascendenj tes; algunas veces literalmente ( Juan vs. Juan no), otras veces implícitamente (muchos vs., pocos). Usualmente se distinguen dos tipos de negación de los cuantificadores a saber, una interna y una externa, las cuales se definen a continuación: Definición 7.7. La negación externa ->Q de Q en M es { X C| X 0 Q } Definición 7.8. La negación interna Q -> de Q en M es { X C| (E — X ) € Q } De acuerdo con una definición alternativa, aunque equivalente, la negación externa ~ Q = p( E) - Q Este cuantificador contiene exactamente aquellos subconjuntos de E (aquellos elementos de p{ E) ) que no están en Q. La negación interna de Q, Q->, también se puede obtener al tomar para cada elemento de Q su complemento con respecto al dominio E: Definición 7.10. Q-> = { F C E |existe un X £ Q : Y = E — X } Este cuantificador contiene exactamente aquellos subconjuntos de E cuyo complemento con respecto a E está en Q: de aquí que la definición 7.10. sea equivalente a la definición 7.8.

Veamos algunos ejemplos. Recordemos que la interpretación de todo N , un 0 todo N y de ningún N se dio en el cuadro 7.1. (cf. p. 288). La negación fgierna d e todo N es no todo N , lo cual puede mostrarse de la siguiente uianera: (46) - ’IIt o d o

I x & [todo N j } (utilizando la definición 7.7.)

= { X |[JV] n X ^ p V ]}= [n o todo N ] Su negación interna es ningún N : (47) [to d o N j-> = {X |(E - X )

G

[todo N ] } (definición 7.8.)

= { X I [iV] n {E - X ) = p V ] } = { X I {N j n X = 0 }= [n in g ú n N j La negación externa de un N es ningún N : (48) -i[u n N ] = { X |X £ [un N j } (utilizando la definición 7.7.) = { X | [TV] í~lX =0}=[ningún N j Y su negación interna es no todo N : (49) [un 7 V ]-i= {X \(E - X ) € [un N j } (definición 7.8.) = { X I [TV] n { E - X ) ¿ 0 } = { X I INI n X + [AT]}=[no todo Nj Tanto la negación interna como la externa ‘invierten’ la monotonicidad del cuantificador: Hecho 7.1. Si Q es m onótono ascendente, entonces ->Q y Q-> son monótonos descendentes Hecho 7.2. Si Q es m onótono descendente, entonces ->Q y Q~> son monótonos ascendentes A manera de ejemplo, demostraremos el hecho 7.1. Asumamos que Q es monótono ascendente. Tomemos X , Y arbitrarios, tales que X G -*Q y Y C X . Ahora bien, se tiene que X Q y, por lo tanto, Y ^ Q. De lo contrario, asu mamos que Y G Q. Entonces, dado que Y C X y Q es monótono ascendente, X G Q, lo que contradice la suposición. Así, Y G ~>Q y, por lo tanto de esta manera -iQ'es monótono descendente. De manera similar, asumamos que Q es monótono ascendente, X G Q~<, y Y C X . Entonces, tenemos que ( E —X ) G Q.

Dado que Y C X , se sigue que ( E - X ) C ( E - Y ) y, por lo tanto, (p0 r, 1 monotonicidad ascendente de Q) ( E — Y ) € Q , lo cual implica que Y £ Esto significa que Q —>es monótono descendente. La demostración del hec^'l 7.2. es similar. Am bos tipos de negación se cancelan a sí mismas: Hecho 7.3. -i-i Q = Q — Q-I-* No es generalmente válido que ->Q-> = Q. Lo que sí se tiene es que —iQ— , J| equivalente al dual de Q, escrito como Q *. que se define de la siguiente maneraDefinición 7.11. El dual Q* de Q en M es { X

C

E \(E — X ) £ Q }

Algunos cálculos con la definición 7.11. y las interpretaciones de un N y todo N muestran que el uno es el dual del otro. También hay cuantificadores que son equivalentes a su propio dual, los cuantificadores autoduales. Los nombres propios, por ejemplo, son autoduales: [Juan] = [Juan]* Dado que Q* — -
negación interna todo N <-----------------------» ningún N

dual

dual

un N <------------------------> no todo N negación interna

(

Los SN m onótono ascendentes y descendentes forman dos clases impor tantes de SN del lenguaje natural, los cuales están relacionados por medio de la aegaeión- En Seneral> la mayoría de los SN ascendentes no son marcados y la mayoría de los descendentes son SN ascendentes negados (implícita o explíci tamente) ■ Pero no hay razón para darle a esta negación un status sintáctico, dado que la relación en cuestión se puede formular en términos puramente semánticos. La clasificación de los SN en monótono ascendentes o descendentes no es exhaustiva; algunos no son ni lo uno ni lo otro. Por ejemplo, consideremos el SN de la forma exactamente n N : (51) Exactamente seis muchachos caminaron rápidamente seis muchachos caminaron

Exactamente

(52) Exactamente seis muchachos estaban dormidos ^ Exactamente seis muchachos estaban soñando El primer ejemplo muestra que exacatamente seis muchachos no es monótono ascendente y el segundo, que no es monótono descendente. Otro ejemplo de un SN no monotónico es unos pocos N : (5 3 )

Unos pocos muchachos estaban soñando ^ Unos pocos muchachos estaban dormidos

(5 4 )

Unos pocos muchachos caminaron ^ Unos pocos muchachos caminaron rápidamente

Un ejemplo final está dado por los SN de la forma sólo SN. Compárese: (5 5 )

Sólo Juan caminó rápidamente

Sólo Juan caminó

(5 6 )

Sólo Juan estaba dormido ^ Sólo Juan estaba soñando

(5 7 )

Sólo el hombre estaba soñando ^ Sólo el hombre estaba dormido

(58) Sólo el hombre caminó ^ Sólo el hombre caminó rápidamente Con respecto a (56), puede ser útil tener en mente que Sólo Juan significa algo como Juan y nadie más; un contraejemplo sería una situación en la cual Juan es el único dormido y no sueña.

Obsérvese que sólo, tal como ocurre en las oraciones (55) a (58), no es ll^H| determinante sino un modificador de SN. Más aún, debemos observar el estatus de determinante de pocos y de muchos es controversial. AlgUtlQg j argumentan que son adjetivos. Un análisis similar ha sido propuesto para logl numerales com o seis en seis muchachas. En §7.2.5. trataremos este análisjg más detalladamente.

j

Ejercicio* 7.6. ¿La interpretación de exactamente un muchacho es un cuantificador no monótonj en todo m odelo?

7.2.4.4.

Monotonicidad y universales semánticos

Haremos un breve desvío para mirar dos ejemplos, ambos tomados de Barwise y Cooper (1981), sobre los intentos de aplicar las nociones introducidas anteriormente. Barwise y Cooper están interesados en la formulación de uni versales semánticos, que son propiedades de los significados de las expresiones del lenguaje natural, en nuestro caso SN, y que pueden considerarse válidos para todo lenguaje natural, pero que no son simplemente verdades necesarias (lógica o matemáticamente). El primer ejemplo de dichos universales ilustra la importancia de la monotonicidad y es el siguiente: Restricción de monotonicidad En todo lenguaje natural, los SN que no son compuestos expresan cuantificadores monotónicos o conjunciones de cuantificadores monotónicos SN ‘no compuestos’ quiere decir: nombres propios, SN de la forma ‘determi nante simple + N\ y SN tales como alguien, todos, nada. Debemos aclarar que una restricción com o esta no es una verdad a priori. No hay leyes lógicas o matemáticas que le prohíban a un SN simple tener el mismo significado que el SN no monotónico (y compuesto) un número par de hombres. En otras palabras, no hay ninguna razón lógica por la cual un lenguaje natural no deba tener un determinante simple con el mismo significado de un número par de. Si todos los lenguajes satisfacen la restricción de monotonicidad, y hasta donde sabemos así es (aunque véase §7.2.5.), ella expresa una propiedad de los lenguajes que, por un lado, no es una necesidad lógica pero que, por otro, ís válida universalmente para los lenguajes naturales. Esta es una contribución significativa a la caracterización de la noción de ‘lenguajes humanos posibles’ .

f

restricción de monotonicidad no da ninguna pista de por qué esto ha

ger así. En general, esto es cierto para todos los universales. Una formu* una propiedad universal es una cosa; la explicación que se le de es tra En el chso de la restricción de monotonicidad, Barwise y Cooper inten taron dar una explicación (que no retomaron para otros universales). La idea que los SN monótonos son ‘más fáciles’ , es decir, es más fácil verificar o gjsear oraciones con SN monótonos que oraciones con SN no monótonos (este tópico se discutirá más generalmente en §7.2.5.). De cualquier manera, con o sin explicación, el hecho simple (si en efecto así es) formulado por la restricción de monotonicidad es sorprendente y la Teoría de los Cuantificadores Genera lizados nos brinda las herramientas necesarias para su formulación. El segundo ejemplo trata sobre la relación entre la monotonicidad y la conjunción de SN. Hemos observado anteriormente que, en lo que respecta a su semántica, la conjunción de SN viene a ser lo mismo que tomar la in tersección de las interpretaciones de los SN que se unen en la conjunción. A partir de esta perspectiva general, no hay razón para dudar que todo par (es decir, toda n-tupla) de SN puede unirse en conjunción. Sin embargo, aparen temente hay restricciones sobre la conjunción de SN en el lenguaje natural. Comparemos los siguientes ejemplos:

(59) un hombre y dos mujeres todos los muchachos y María el padre de Pedro y muchos niños (60) ningún hombre y pocas mujeres ninguna de las muchachas y a lo sumo tres muchachos menos de la mitad de los niños y ningún adulto (61) un hombre y pocas mujeres *Juan y ninguna mujer *dos cellos y pocos violines Ambos SN en las conjunciones de (59) son monótono ascendentes y los de las conjunciones en (60) son monótonos descendentes. En (61) se intenta hacer una conjunción de SN que tienen distintos tipos de monotonicidad y los resultados no son bien formados. Esos ejemplos, y otros similares que in volucran la disyunción, pueden llevar a la conclusión de que la coordinación por medio de y y o es posible sólo cuando ambos SN son ya sea monótono

ascendentes o descendentes. Esta restricción puede relacionarse con el he e que las propiedades de monotonicidad ascendente y descendente se n °1 servan bajo intersecciones y uniones, mientras que la intersección y la de un cuantificador ascendente y uno descendente no resulta normalmente0* un cuantificador monótono. (:H Ejercicio* 7.7. Muestre que la interpretación de Juan y ninguna mujer no es un cuantificaH monótono. daor

Resta ver hasta qué punto esta última observación explica la restricción. 0 mo lo indica la restricción de monotonicidad, los lenguajes naturales prefiere^ SN monotonos que sean simples; aunque ciertamente también hay SN com I puestos no monotónicos. El hecho de que la conjunción o la disyunción de W SN con monotonicidad contrastante resulten en un cuantificador no monotónico no es ninguna razón para que dichos SN coordinados no estén bien formados Dos observaciones más son suficientes para mostrar que no se ha dicho la ultima palabra en el tópico de la monotonicidad y la coordinación. La primera observación tiene que ver con el hecho de que un SN coordinado, que consiste de dos S7V con monotonicidad contrastada unidos por pero, está en efecto bien formado: (62) muchos hombres pero pocas mujeres Juan pero ninguna mujer muchos niños pero menos de la mitad de los adultos Incluso, parece que pero produce SN bien formados sólo si coordina SN con monotonicidad distinta. Comparemos: (63) *algunos muchachos pero dos mujeres *todos los muchachos pero mi hermana *nmguna de las muchachas pero a lo sumo tres muchachos Si nos atenemos al enfoque usual, que se viene desde Frege, en el semánticamente equivalente (es decir, en cuanto concierne a las ae verdad) a y, los ejemplos en (63) generan dudas acerca de la propuesta anteriormente sobre la restricción en la coordinación medio de y.

que pero es condiciones explicación de SN por

m T a segunda observación tiene que ver directamente con la restricción proen sí misma. Su explicación no sólo debería parecer sospechosa, sino pUgSlos siguientes ejemplos también crean dudas con respecto al fenomeno , i c0pio tal: (64) a lo sum° SGÍS muchachas y por lo menos cuatro muchachos el padre de Pedro y unas pocas mujeres ninguno de los muchachos y exactamente una mujer unos pocos hombres y un número par de mujeres

Tndos estos son SN bien formados, pero ninguno está compuesto por dos SN con igual monotonicidad. En el primer ejemplo se unen un SN monotono as cendente y un SN monótono descendente; en el segundo, un SN monotono ascendente y un SN no monotónico; en el tercero, un SN monotono descendente v un SN no monotónico, y en el cuarto, finalmente, dos SN no monotomcos. En todos los casos, el resultado es un SN bien formado no monotomco. Este fenómeno muestra que el universal propuesto por Barwise y ü o o Pe^ que dice que la coordinación de SN se restringe a SN con igual monotonicidad, no es válido y que debe ser reemplazado por un análisis más refinado. Sin em bargo, es bastante notable que la Teoría de los Cuantificadores Generalizados nos permita formular tales hipótesis falseables.

7.2.4.5.

Persistencia y antipersistencia

Las propiedades de persistencia y antipersistencia que discutiremos a continua ción se relacionan estrechamente, com o resultará evidente, con las propiedades de monotonicidad ascendente y descendente. La diferencia principal yace en e hecho de que la persistencia y la antipersistencia son propiedades, ya no de S completos, sino de determinantes. Esto implica que debemos considerar las cosas desde una perspectiva relacional (ver §7.2.3.). Un determinante D E se considerará como una expresión que toma u n J V y u n S V para formar un U. Semánticamente, la interpretación de un determinante D será tratada como una relación entre conjuntos (de ahora en adelante, quedaremos satisfechos con establecer definiciones, hechos, etc., únicamente para los objetos semánticos, confiando que el lector será capaz de proporcionar las definiciones correspon dientes para las expresiones sintácticas).

Definición 7.1 2 .

Un determinante D es persistente sii para todo X , Y, Z: si D ( X , Z) y X Q yl entonces D (Y , Z ) fl La persistencia es una propiedad del primer argumento de una relación d e t j minante. Si vemos a los determinantes com o expresiones lingüísticas, es u J propiedad que se le atribuye al N al que se le aplica el determinante, g g l resulta claro cuando convertimos la definición anterior en un test: Test de persistencia Si [JViJ c [7V2], entonces D E T N x V P

I \= D E T N 2 V P

]

Un determinante es persistente si es cerrado bajo la extensión de su primer argumento, es decir, el N al cual se aplica. Veamos unos pocos ejemplos: (65) Algunos hombres caminaron; los hombres son seres humanos J= Algunos seres humanos caminaron (66) Por lo menos cuatro muchachas estaban fumando; las muchachas son mujeres (= por lo menos cuatro mujeres estaban fumando (67) Todos los muchachos beben; los muchachos son hombres ^ todos los hombres beben Algunos y por lo menos n son determinantes persistentes; todo no es un deter minante persistente. La imagen espejo de la persistencia es la antipersistencia: Definición 7.13. D es antipersistente sii para todo X , Y , Z : si D( X. Z) y Y C X , entonces D(Y, Z) Un determinante antipersistente es un determinante cuyo primer argumento es cerrado bajo inclusión. El test correspondiente es, por supuesto, el siguiente: Test de antipersistencia Si [N 21 C [iVi], entonces D E T Ni V P

(= D E T N 2 V P

Los siguientes ejemplos muestran que todo, ningún y a lo sumo n son deter minantes antipersistentes:

i

(68)

I

(6

Todos los niños caminaron; los niños pequeños son niños |= todos los niños pequeños caminaron Ninguna mujer estaba fumando; las muchachas son mujeres f= ninguna muchacha estaba fumando

Í70) A 1° sumo tres ingleses se pusieron de acuerdo; los londinenses son ingleses (= a lo sumo tres londinenses se pusieron de acuerdo Muchos determinantes, incluyendo los léxicamente simples, no son ni persis tentes, ni antipersistentes: muchos, pocos, los n, ambos, exactamente n, más de la mitad de, menos de la mitad de. A este respecto, el par persistencia/antipersistencia es notablemente distinto del par monotonicidad ascendente/ descendente. Los determinantes persistentes y antipersistentes se vinculan por medio de la negación. Tanto la negación externa como la interna de un determinante transforma un determinante persistente en uno antipersistente, y viceversa; por lo tanto, tanto la negación externa como la interna de un determinante no persistente (es decir, un determinante que no es ni persistente ni antiper sistente) producen un determinante no persistente.

Ejercicio 7.8. Defina la negación externa e interna de los determinantes y demuestre las afirmaciones hechas anteriormente. Hemos observado, y las definiciones han ilustrado, que la persistencia y la monotonicidad están estrechamente relacionadas. La persistencia es la monotonicidad ascendente del primer argumento de una relación determinante y la antipersistencia es la monotonicidad descendente del primer argumento. De manera análoga, la monotonicidad (ascendente o descendente) de un SN es la monotonicidad (ascendente o descendente) del segundo argumento del deter minante en dicho SN. La terminología usual es ‘monotonicidad izquierda’ (ascendente o descendente) y ‘monotonicidad derecha’ (ascendente o descen dente). La notación usada frecuentemente es esta: |mon, para monotonicidad 'zquierda ascendente, y mon |, para monotonicidad derecha descendente, y 981 en adelante. En total, hay cuatro posibles combinaciones de dichas propie dades de monotonicidad de los determinantes. Algunos ejemplos de expresiones que exhiben las cuatro combinaciones posibles se presentan en (71):

Determinante Todo Algún Por lo menos k A lo sumo k Exactamente k

(71)

rificación n 1 k * -k n

Falsificación 1 n n — (k — 1) k+ 1 k+ 1

Total n+ 1 n+ 1 n+ 1 n+ 1 n + (k + 1)

]m on | [m on |

algunos todo

por i0 menos n

un número infinito

[m on [ Tmon [

ningún no todos

a lo sumo n

un número finito

Podemos considerar que los ejenip]os en ia primera y tercera fila tratan de manera progresiva, de izquierda a derecha, desde el caso más sencillo hasta el más general. Esto se refleja en su forma lingüística: las expresiones en la pri mera columna son simples (excepto por no todos), y las de la segunda y tercera columna son compuestas. 0 bsérvese también que en la primera columna teñemos ôs determinantes tradicionales del cuadro aristotélico de oposición. Estas observaciones muestran, una vez inás, que la monotonicidad y la persistencia son^ nociones fundamentales en la semántica de las expresiones cuantificadas (más tarde veremos cuál combinación de propiedades producirá exactamente el cuadro de oposición lógico). Una observación final acerca dc¡l ro[ central de la monotonicidad, tomada e van Benthem (1984a), tiene que ver con la ‘facilidad’ cuantitativa con la cual una oración de la forma (A , B ) fruede ser falseada o verificada. Conside remos el cuadro 7.3., el cual indica, para unos pocos determinantes, el número e elementos que tienen que comprobarse para verificar o falsear una afir mación de la forma D E T ( A , B). Por ejemplo, supongamos que ¡muchacha] contiene seis elementos (es decir, = 6). Entonces, la afirmación Algunas muchachas están bailando sólo necesita que una muchacha esté bailando para ser confirmada, pero para ser falseac]a debemos comprobar todos los seis ele mentos de ¡muchacha]]. Otro ejemplo es el siguiente: considerem0s la oración P or lo menos tres mu chachos están fumando, supongamos que hay diez muchachos (es decir n = 10). a afirmación será verificada si podamos encontrar tres muchachos fu m a n d o ( — 3). Será falseada si podemos concluir que ocho muchachos no están fu mando, es decir, n — (k — 1) = 10 — (3 _ i ) = g

úniero n + 1 resulta ser un mínimo demostrable: para cualquier deter■ D la suma de los números de las instancias de verificación o falsación es ! qUe n -1-1. También, es posible demostrar que todos los determi n o 1 ue tienen ‘complejidad contable minimal’ , es decir, para los cuales este 0aflteS ^ jgual a n + 1, son monótonos (ascendentes o descendentes). Esto ° servir para enfatizar de nuevo el rol fundamental de la monotonicidad Pu respecto a los determinantes y cuantificadores del lenguaje natural.

725. 7 2 5.1.

Restricciones globales Introducción

jjemos mencionado varios objetivos de la Teoría de los Cuantificadores Genera lizados, incluido la investigación de restricciones sobre los determinantes y los cuantificadores y la búsqueda de una caracterización de clases específicas de dichas expresiones, lo que puede ser interesante por otras razones no relacio nadas. En esta sección, discutiremos algunas restricciones globales que han sido propuestas en la literatura y esbozaremos cómo pueden usarse para carac terizar la clase de los determinantes lógicos (todo, algún, no todo, ningún). Nuestra exposición de este tema se basará, principalmente, en el trabajo de van Benthem (1983, 1984b). La búsqueda de restricciones globales no se limita a los determinantes y a los cuantificadores, dado que es generalmente válido, excepto para unos pocos tipos simples, que el conjunto de todos los objetos semánticos de un tipo sea ‘muy grande’ , en el sentido en que el lenguaje natural expresa sólo una parte (a veces muy pequeña) de tales objetos. Esto es particularmente llamativo si sólo contamos las expresiones realizadas léxicamente, pero también es válido si también tomamos en consideración expresiones compuestas. Además, en casi todos los tipos hay especímenes más bien ‘extraños’ , objetos semánticos que se comportan mal y que nunca serían clasificados com o significados de expre siones del lenguaje natural. Esto también es una razón para averiguar si tal vez hay restricciones globales en la clase entera de objetos de cierto tipo que ayudan a reducirla a un subconjunto más pequeño y preferible de expresiones que se ‘comportan bien’ . La búsqueda de restricciones globales no se restringe, por lo tanto, a los determinantes y cuantificadores. En efecto, los postulados de significado fami liares de la Gramática de Montague también pueden interpretarse com o clases de restricciones globales (por lo menos aquellos que se aplican a clases de Opresiones).

Verificación Falsificación Determinante Total ~~ Todo 1 re n+ 1 Algún n 1 n+ 1 Por lo menos k k n — (k — 1) re + 1 A lo sumo k re — k k+ 1 re + 1 Exactamente k re k+ 1 n + (k + 1) Cuadro 7.3. Complejidad contable de los determinantes (71)

fm on lm on [m on }m on

T | i i

algunos todo ningún no todos

por lo menos re

un número infinito

a lo sumo re

un número finito

Podemos considerar que los ejemplos en la primera y tercera fila tratan del manera progresiva, de izquierda a derecha, desde el caso más sencillo el más general. Esto se refleja en su forma lingüística: las expresiones en la prÜl mera columna son simples (excepto por no todos), y las de la segunda y tercera columna son compuestas. Obsérvese también que en la primera columna tene mos los determinantes tradicionales del cuadro aristotélico de oposición. Estas observaciones muestran, una vez más, que la monotonicidad y la persistencia son nociones fundamentales en la semántica de las expresiones cuantificadas (más tarde veremos cuál combinación de propiedades producirá exactamente el cuadro de oposición lógico). Una observación final acerca del rol central de la monotonicidad, tomada de van Benthem (1984a), tiene que ver con la ‘facilidad’ cuantitativa con la cual una oración de la forma (A , B ) puede ser falseada o verificada. Conside remos el cuadro 7.3., el cual indica, para unos pocos determinantes, el número de elementos que tienen que comprobarse para verificar o falsear una afir mación de la forma D E T ( A , B). Por ejemplo, supongamos que [muchacha] contiene seis elementos (es decir, n = 6). Entonces, la afirmación Algunas muchachas están bailando sólo necesita que una muchacha esté bailando para ser confirmada, pero para ser falseada debemos comprobar todos los seis ele mentos de |muchacha]. Otro ejemplo es el siguiente: consideremos la oración P or lo menos tres mu chachos están fumando, supongamos que hay diez muchachos (es decir re = 10)La afirmación será verificada si podemos encontrar tres muchachos fu m a n d o (k = 3). Será falseada si podemos concluir que ocho muchachos no están fu mando, es decir, re — (k — 1) = 10 — (3 — 1) = 8.

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Restricciones globales 7.2-5-

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7.2.5.2.

1

Conservatividad

Nuestra perspectiva continúa siendo relacional. La primera restricción globjj que consideramos tiene que ver con la propiedad de los determinantes qUe 1 llama conservatividad: 1 Definición 7.14. D es conservativo sii para todo X , Y : D ( X , Y) sii D ( X ,

X f l 7 )

La definición 7.14. establece que para verificar o falsear una afirmación de la I forma D E T ( A , B ) es suficiente mirar la interpretación de A y la intersección de las interpretaciones de A y B. En otras palabras, sólo lo que está en ([^J —[£?]) U ([A ] n IB})) es relevante; el contenido de \B} - [A ] no es relevante y tam poco lo es lo que está por fuera de [A ] y [£?], es decir, E — ([[A] U [£]), Una noción relacionada es la propiedad de ‘vivir en’ de los cuantificadores, definida por Barwise y Cooper: Definición 7.15. Q vive en X sii para todo Y : Y € Q sii X fl T & Q Un cuantificador puede vivir en varios conjuntos; todo hombre, por ejemplo, vive en E (el dominio) y en [hombre]. Intuitivamente, este último es un con junto interesante: es la restricción natural del determinante todo en el SN todo hombre. De acuerdo con Barwise y Cooper, el papel central que juega la restricción en la cuantificación en el lenguaje natural (‘toda cuantificación en el lenguaje natural es una cuantificación restringida’) se expresa en el si guiente universal: En todo lenguaje natural, los determinantes simples junto con un N producen un SN que vive en [JV] De acuerdo con este universal, el hecho de que D E T ( A ) viva en [A ] sería válido para todos los determinantes simples, es decir, \DET\ sería un determinante conservativo. Obsérvese que este universal es una restricción fuerte sobre la clase de relaciones que puede expresar un determinante simple. Ciertamente, hay determinantes no conservativos y no hay una razón lógica por la cual no puedan lexicalizarse en el lenguaje por medio de una expresión simple. Excepciones aparentes son sólo y muchos. Como de costumbre, se puede derivar un test a partir de la definición 7.14. (usaremos para denotar la

nlicación mutua entre oraciones del lenguaje natural. Es decir, ‘A O B Unifica lA\= B y B \= A ’). Test de conservatividad D E T N V P O D E T N son N que S V Com párense los siguientes ejemplos: (7 2 )

Todos los muchachos caminaron <& Todos los muchachos son muchachos que caminaron

( 73 )

Algunas muchachas están bailando <=> Algunas muchachas son muchachas que están bailando

(74) Sólo hombres fuman cigarros <£> Sólo hombres son hombres que fuman :igarros Es claro que sólo no es un determinante conservativo: sólo hombres no vive en [hombre]. La manera obvia de salvar el universal es considerar a sólo no como un determinante, sino como un modificador de SN (es decir, como una expre sión de tipo SN/SN) . Las construcciones como las de (75) parecen confirmar esta perspectiva; por lo tanto, el análisis de sólo hombres en (76), en el cual A representa un determinante plural morfológicamente ‘ nulo’ , parece razonable (compárese la discusión en la sección sobre monotonicidad en §7.2.4.): (7 5 )

Sólo Juan Sólo el vecino Sólo unas pocas muchachas

(76)

s w

[ s n /,s j v [ s ó 1o ] s i v [ D £ ; r [ A ]

^ [h o m b r e s ]]]

Esto explica sólo, pero ¿cómo explicamos muchos? Ejercicio

7 .9 .

De una interpretación de muchos que no sea conservativa. Aunque el ejercicio 7.9. tiene una solución, puede haber razones para dudar del estatus de determinante de muchos, dado que, al igual que con pocos, un análi sis de muchos com o un adjetivo (N /N ) parece plausible. En primer lugar, ambos pueden ocurrir en posición prenominal, precedidos por un determinante

( los muchos errores, los pocos resultados). En segundo lugar, ambón formas comparativas y superlativas (más/menos, la mayoría/la m i n o r '^ ^ ' tercer lugar, pueden ocurrir com o predicados ( los niños son muchos/po f l Ya sea que tratemos estas dos excepciones de esta o de otra manera °C°’S^ seguro decir que la propiedad universal propuesta por Barwise y válida, por lo menos para el español.3 ':>
Todas las supuestas

Usualmente, estos casos se excluyen por medio del siguiente razonamiento: la Teoría de los Cuantificadores Generalizados era extensional de todas maneras, y si quisiéramos “intensionalizarla” , tendríamos que modificar la noción de conservatividad. 3N. de T .: ciertam ente tam bién para el inglés, que es el idiom a original de los estudios de Barwise y Cooper.

I rimera vista esâ Parece ser una reacción más bien extraña, aún si se cuenta que hay una alternativa obvia: (81) no debe considerarse como tjefleen de ¡os componentes del SN en (80), sino (82): la estruC

det/ det[supuesto]] ^[mujeres]] (81) ^ g ' sN[det\ t ° d°] TVU/7V[supuesto] n[mujeres]]] I

tonces en lugar de (80), tendríamos la frase inobjetable (83): -podas las supuestas mujeres son hombres <=> Todas las supuestas mujeres son supuestas mujeres que son hombres por supuesto, si escogiéramos analizar el SN en (80) de la manera sugerida por (82), deberíamos hacerlo así también en general, es decir, no sólo para el caso de los adjetivos intensionales, sino también en el caso de los extensionales. En otras palabras, conjeturamos simplemente que no hay tal cosa com o la restricción adjetival de los determinantes; los adjetivos son modificadores de nombres de categoría N/N 4 Pero también hay buenas razones para escoger no tener que salvar de esta manera la universalidad de la conservatividad. Dado que si ignoramos la posi bilidad de la restricción adjetival con los adjetivos intensionales, podemos demostrar lo siguiente (cf. Keenan y Stavi (1986), donde se presenta una dis cusión cuidadosa de la conservatividad): Hecho 7.5. La clase de todos los determinantes conservativos es exactamente la clase de todos los determinantes generados por (i) todos y algunos, (ii) combinaciones “booleanas” y (iii) restricción adjetival extensional Ejercicio* 7.10. Muestre que las operaciones booleanas y la restricción extensional preservan la conservatividad. 4N. de T .: dado que en inglés el orden de los adjetivos con respecto a los sustantivos es, salvo algunos casos marginales, contrario que en español, el argumento en cuestión es más mteresante en el primer idioma que en el segundo. En español es mucho más claro que los ®djetivos no modifican al determinante, sino al sustantivo.

Gracias al hecho 7.5.. es atractivo retener la restricción adjetival de l0s minantes como un proceso sintáctico: puesto que puede decirse que el le natural es ‘expresivamente com pleto’, vis-à-vis las denotaciones posibles determinantes. ‘ 1 Un último contraejemplo potencial de la conservatividad como un UUcl T)iyv piedad universal de los determinantes del lenguaje natural es todos y Solo} Compare: (84) Todos y sólo los muchachos patinaban o - Todos y sólo los muchach son muchachos que patinaban

i

Obsérvese que la oración de la derecha de (84) es equivalente a (85): (85) Todos los muchachos son muchachos que patinan y sólo los muchachos ' son muchachos que patinan La oración del lado derecho de la ‘y ’ en (85) es una tautología y, por lo tanto, es equivalente a (86): (86) Todos los muchachos son muchachos que patinan Ciertamente, el significado de (86) es distinto al de la oración de la izquierda de (84). Sin embargo, este contraejemplo puede cuestionarse: su validez depende de que todo y sólo, com o ocurre en todos y sólo los muchachos, tenga el esta tus de determinante. Anteriormente hemos observado que puede haber razones para que sólo tenga el estatus de un modificador de SN. Sin embargo, todos y sólo no encaja fácilmente dentro de dicho análisis. En general, se asume que la coordinación no es (muy) ‘trans-categorial’ : la coordinación es posible sólo entre expresiones que pertenezcan a la misma categoría (principal). Esto pa recería sostener, después de todo, el estatus de sólo com o determinante, al menos com o aparece en esta construcción. Hemos prestado bastante atención a la conservatividad, dado que es la res tricción global más importante y poderosa que se ha propuesto en la literatura. 7.2.5.3.

Variedad

Una restricción global sencilla sobre los determinantes, que es plausible intui tivamente, es que los determinantes tengan la propiedad de la variedad: 5N. de T .: el determinante en la expresión todos y sólo podría expresarse más c l a r a m e n t e por todos aunque únicamente. Hemos escogido l a primera opción por razones de comodidad-

p e fln i^ variedad sii existen X , Y tales que D ( X . Y) y existen X. Y tales

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oner la restricción de que los determinantes deben tener esta propiedad (¡luyen determinantes ‘sin interés’ , que son o bien siempre verdaderos o ^ nunca verdaderos: sólo entran en consideración las relaciones contingentes. Todos los determinantes simples tienen esta propiedad. Una excepción apa lé a t e e s por lo menos n en un modelo con dominio de cardinalidad < n. Pero este caso, com o lo decidimos anteriormente, la interpretación de los delipjiinantes es indefinida (ver §7.2.4.). Si tenemos esto en cuenta ( “en todo modelo donde D E T esté definido . . . ” ), todos los determinantes simples tienen la propiedad de la variedad. Los determinantes que no muestran variedad son combinaciones booleanas de determinantes, tales como uno o ninguno (que es válida para toda pareja (X, Y)), o por lo menos cuatro y a lo sumo tres (que no es válida para ninguna pareja (X , Y) ) . La existencia de este tipo de determinantes arroja una nueva luz sobre el estatus de la variedad com o una restricción global. Desde luego que los determinantes como los de los ejemplos anteriores no son muy útiles: en este sentido no son expresiones ‘significativas’ . Por otra parte, ellos existen y tienen significado. Por lo tanto, no podemos considerar la variedad com o una restricción que excluye sólo a las relaciones determinantes que son ‘antinatu rales’, en el sentido de que no se usan en el lenguaje natural.

7.2.5.4.

Continuidad

En la sección de aplicaciones, §7.2.4., discutimos la restricción de monotonicidad, la cual establece que todos los SN simples del lenguaje natural expresan cuantificadores monótonos o conjunciones de estos. Un argumento para mostrar que no todos los determinantes simples son monotónicos se puede derivar de un ejemplo com o un solo, que significa exac tamente uno. Este no es un determinante monotónico, como lo muestran los siguientes ejemplos:

(87) Un solo muchacho estaba soñando y= Un solo muchacho estaba dormido (88) Un solo muchacho estaba dormido ^ Un solo muchacho estaba soñando

Gracias al hecho 7.5., es atractivo retener la restricción adjetival de lr minantes com o un proceso sintáctico: puesto que puede decirse que el natural es ‘expresivamente com pleto’ , vis-à-vis las denotaciones posible¡ determinantes. Un último contraejemplo potencial de la conservatividad como \ u tla Pro. piedad universal de los determinantes del lenguaje natural es todos y sólo} Compare: (84) Todos y sólo los muchachos patinaban <=> Todos y sólo los muchachos« son muchachos que patinaban Obsérvese que la oración de la derecha de (84) es equivalente a (85): (85) Todos los muchachos son muchachos que patinan y sólo los muchachos son muchachos que patinan La oración del lado derecho de la ‘y ’ en (85) es una tautología y, por lo tanto, es equivalente a (86): (86) Todos los muchachos son muchachos que patinan Ciertamente, el significado de (86) es distinto al de la oración de la izquierda de (84). Sin embargo, este contraejemplo puede cuestionarse: su validez depende de que todo y sólo, com o ocurre en todos y sólo los muchachos, tenga el esta tus de determinante. Anteriormente hemos observado que puede haber razones para que sólo tenga el estatus de un modificador de SN. Sin embargo, todos y sólo no encaja fácilmente dentro de dicho análisis. En general, se asume que la coordinación no es (muy) ‘trans-categorial’ : la coordinación es posible sólo entre expresiones que pertenezcan a la misma categoría (principal). Esto pa recería sostener, después de todo, el estatus de sólo com o determinante, al menos com o aparece en esta construcción. Hemos prestado bastante atención a la conservatividad, dado que es la res tricción global más importante y poderosa que se ha propuesto en la literatura.

7.2.5.3.

Variedad

Una restricción global sencilla sobre los determinantes, que es plausible intui tivamente, es que los determinantes tengan la propiedad de la variedad: 5N. de T .: el determinante en la expresión todos y sólo podría expresarse más claramente por todos aunque únicamente. Hemos escogido la primera opción por razones de comodidad.

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•mponer Ia restricción de que los determinantes deben tener esta propiedad cluyen determinantes ‘sin interés’ , que son o bien siempre verdaderos o • nunca verdaderos: sólo entran en consideración las relaciones contingentes. Todos los determinantes simples tienen esta propiedad. Una excepción apa nte es por lo menos n en un modelo con dominio de cardinalidad < n. Pero en este caso, com o lo decidimos anteriormente, la interpretación de los de n om in an tes es indefinida (ver §7.2.4.). Si tenemos esto en cuenta ( “en todo modelo donde D E T esté definido . . . ” ), todos los determinantes simples tienen la propiedad de la variedad. Los determinantes que no muestran variedad son combinaciones booleanas de determinantes, tales como uno o ninguno (que es válida para toda pareja (.X , Y)) , o por lo menos cuatro y a lo sumo tres (que no es válida para ninguna pareja ( X , Y ) ) . La existencia de este tipo de determinantes arroja una nueva luz sobre el estatus de la variedad com o una restricción global. Desde luego que los determinantes com o los de los ejemplos anteriores no son muy útiles: en este sentido no son expresiones ‘significativas’ . Por otra parte, ellos existen y tienen significado. Por lo tanto, no podemos considerar la variedad com o una restricción que excluye sólo a las relaciones determinantes que son ‘antinatu rales’, en el sentido de que no se usan en el lenguaje natural.

7.2.5.4.

Continuidad

En la sección de aplicaciones, §7.2.4., discutimos la restricción de monotonicidad, la cual establece que todos los SN simples del lenguaje natural expresan cuantificadores monótonos o conjunciones de estos. Un argumento para mostrar que no todos los determinantes simples son monotónicos se puede derivar de un ejemplo com o un solo, que significa exac tamente uno. Este no es un determinante monotónico, como lo muestran los siguientes ejemplos: (87) Un solo muchacho estaba soñando

Un solo muchacho estaba dormido

(88) Un solo muchacho estaba dormido

Un solo muchacho estaba soñando

Debe añadirse que el estatus de un solo como determinante no es incontr 3 vertible. Por otro lado, si uno lo acepta como determinante, la monotoniciJ^B com o tal puede no ser una restricción global. En dicho caso, parece necesa^B formular una propiedad más débil que caracterice exactamente aquellos d e t a S minantes que son o bien monotónicos, o bien una conjunción de determinant!3 monotónicos. Esta propiedad más débil es la continuidad: ' Definición 7.17. D es continuo sii para todo X , Y\,Y2, Y : si D ( X , Yí) y D ( X , Y¿) y Y i c y c y entonces D ( X , Y)

!

En Thijsse (1983), donde se propone a la continuidad como la propiedad rele- 1 vante, encontramos el siguiente hecho: Hecho 7.6. El conjunto de todos los determinantes continuos es exactamente el conjunto de todos los determinantes monotónicos y sus conjunciones Ejercicio* 7.11. Muestre que todos menos uno puede tomarse com o la conjunción de determi nantes monotónicos, pero no así un número par de. 7.2.5.5.

Extensión

La última restricción global propuesta y defendida en la literatura que quere mos considerar aquí concierne una forma de independencia del contexto: Definición 7.18. D tiene extensión sii para todo X , Y, E , E': si E C E\ entonces D ( X , Y) en E sii D ( X , Y ) en E' Los determinantes que tienen extensión son independientes del contexto, pues si se extiende el número de elementos del dominio, no se produce ninguna diferencia en su interpretación. Estos son determinantes que no se refieren a la cardinalidad del dominio. Un ejemplo de una interpretación de un determi nante que no tiene extensión es el siguiente:

lmuchoSl = { ( x . r ) | í í g ^ p > i r g j }

interpretación, muchos significa algo como ‘ relativamente muchos o ^ s en comparación con el dominio entero’ . Esta interpretación es esen‘111110 te dependiente del contexto: si la cardinalidad del dominio se aumenta diminuye- el determinante puede hacer válidos algunos pares que no eran válidos anteriormente.

7 2 6.

Determinantes lógicos

P « t a última sección discutiremos brevemente el conjunto de restricciones *hre los determinantes que produce exactamente la clase de los determinan tes lógicos (todo, algún, ningún, no todo). Nuestra exposición se basa en van Benthem (1983, 1984b). ■ A diferencia de las discutidas anteriormente, estas restricciones no son (to das) restricciones globales, que expresan propiedades intuitivas y universales del significado de los determinantes del lenguaje natural. Más bien, nos preo cupan aquí los principios con los cuales, de alguna manera, se caracterizan los contenidos de estos determinantes lógicos, lo que explica qué es ser un determinante lógico. Por supuesto, las restricciones discutidas anteriormente todavía juegan un papel: ellas establecen el escenario.

7.2.6.1.

El árbol de números

En esta sección introduciremos una restricción sobre los determinantes que, en combinación con la conservatividad y la extensión, hace posible la repre sentación sencilla y transparente de los determinantes que satisfacen estas restricciones. Este método de representación, en forma de patrones que los determinantes le asignan a ‘árboles de números’ , permite comprender clara mente el carácter de varios determinantes y especificar más exactamente lo que distingue a un determinante lógico de uno no lógico. La restricción en cuestión concierne el caracter cuantitativo de ciertos de terminantes. Consideremos (89):

Y

---- - X

a = card(X — Y )

X

x r

VV a

^—

c

6

__

y ^ ----- y

)

b = card(Y — X ) c = card(X O Y ) d = card(E — ( X U Y ))

Determinante Todo Algún Ningún La mayoría Muchos“

Definición a= 0 C

0

c=

0

c C> a\ C+..Ò c+a — c + a + b + d

a L a interpretación de m u c h o s es la interpretación dependiente del con tex to presentada en §7.2.5.

|

Cuadro 7.4. Determinantes cuantitativos

Con la ayuda de los números a, b, c, y d, definidos de esta manera, mos definir la propiedad de cuantitividad. Un determinante cuantitativo es u* determinante que no es sensitivo a las propiedades de los elementos, ni tamil poco a las relaciones entre ellos, que pertenecen tanto al dominio, como a los conjuntos que dicho determinante relaciona: D e fin ició n 7.19. D es cuantitativo sii para todo X , Y : D ( X , Y) depende sólo de a, b, c y d De esta manera, los determinantes cuantitativos se pueden definir en términos de a, b, c, y d. únicamente. Presentamos algunos ejemplos en el cuadro 7.4. No todos los determinantes son cuantitativos. Algunos dependen de más factores además del número de elementos involucrados: por ejemplo, pueden ser sensitivos a propiedades de (algunos de) estos elementos o a las relaciones entre ellos. Dos ejemplos de determinantes no cuantitativos que se han discu tido frecuentemente son los determinantes de restricción adjetival, tales como todos los grandes, y los determinantes posesivos, tales como de María. La si guiente definición equivalente de la cuantitividad puede ser útil para decidir cuándo los determinantes son cuantitativos o no: D e fin ició n 7.20. D es cuantitativo sii para toda permutación n de E: D ( X , Y ) sii D(Tr(X),Tt(Y)M Una permutación de E no afecta los números relevantes a, b, c y d, pero puede afectar las propiedades de algunos de los elementos en el dominio y sus relaciones con otros elementos. Un determinante cuantitativo es insensitivo a tales permutaciones, pero todos los grandes, por ejemplo, no lo es:

te modelo M es verdadero que todos los grandes(X, Y ). pero 110 es cierto todos los pequ eñ os(X .Y ), antes de la permutación n. En efecto, si sus^'tuímos un elemento de los X grandes por un elemento de los X pequeños, ha cambiado cuantitativamente; 7r crea un modelo M ' en el cual a, b. c, d tienen el mismo valor que en M . Pero en M ' no es cierto que todos los ^grandes(X,Y): los X grandes no están sólo en la parte sombreada (menos el intruso pequeño), sino que también hay un elemento grande por fuera de Y . Así que el determinante todos los grandes es sensitivo a otras cosas distintas al número de elementos; su naturaleza (en este caso el que sea grande o n o), también es relevante. Esto es, por supuesto, lo que se supone que la restricción adjetival del determinante simple todo con grande debe hacer. Un ejemplo similar muestra que un determinante posesivo tal como de María tam poco es cuantitativo. En este caso, la relación de posesión es rele vante para la validez de las afirmaciones de la forma de Mar í a( X, Y) . Esta relación no se preserva bajo permutaciones de E. Casos com o este se pueden cubrir por medio de una noción más sutil, llamada ‘cualidad’ . Un dominio tiene cierta estructura, así que podemos limi tarnos a aquellas permutaciones que la preservan. Los mismos determinantes, tales como todos los grandes y de María, suministran la información acerca de la estructura relevante: todos los grandes es cualitativo con respecto a todas las 7r tales que x € [grande]] <=> 7 r ( x ) € [grande], y así en adelante. La cuantitividad es una noción muy poderosa y, combinada con la conservatividad y la extensión, produce el siguiente resultado: si un determinante es cuantitativo, sabemos que sólo a, b, c y d son relevantes para su interpreta ción. Si el determinante también satisface extensión, d ya no es relevante. Si también es conservativo, b tampoco juega ningún papel. En otras palabras, la interpretación de todos los determinantes que son cuantitativos, conserva tivos e independientes del contexto con respecto a E se puede formular sola mente en términos de los números a y c. Su significado queda completamente especificado sólo después de establecer el valor de verdad que produce el deter-

minante para cada par de números (a, c): verdadero o falso. En otras 1 un determinante cuantitativo, conservativo que satisface extensión siderarse com o una asignación de + o — para todos los pares de núm err ^ i La representación resultante utiliza el ‘árbol de números’ : ° S 'Q'c). 1 card(X)

= 0 =

1

=

2

= 3

0,0

1,0 2,0 3,0

0,1 1,1

2,1

0,2 1,2

0,3

etc.

Si X no tiene elementos, tam poco X —Y, ni X H Y . Por consiguiente, a = c = q 0,0. Si la cardinalidad de X es 1, entonces hay dos posibilidades para a y c- ei I elemento pertenece a X — Y y, por lo tanto, no pertenece a X 0 V: i q 1 o viceversa: 0,1. Si X tiene dos elementos obtenemos tres posibilidades distiiZl tas para a y c: ambos elementos pertenecen a X —Y y, por consiguiente. XfiY es vacío: 2,0; hay un elemento en 1 - 7 y uno en X fl Y : 1,1; y ambos 1 elementos pueden pertenecer a X fl Y, mientras que X — Y es vacío: 0,2. De esta manera se construye el árbol completo. Podemos caracterizar el significado de un determinante que sea cuantita tivo, conservativo y que satisfaga extensión en términos del árbol de números, simplemente al establecer a qué parte del árbol le asigna un más, es decir, para cuáles pares de números (a, c) es verdadero. Por ejemplo, todo es ver dadero en la rama de la derecha del árbol, ningún es verdadero en la rama izquierda; el es verdadero en (0,1) y no en otro lugar; y así sucesivamente. Varios determinantes monotónicos pueden ser caracterizados en términos de los árboles: un determinante es mon| si en la línea horizontal a la derecha de cualquier más sólo hay signos más. De manera análoga, un determinante es lm on si es verdadero para la línea a la izquierda de cualquier más. Para un determinante que sea ]m on es cierto que si hay un más en un cierto punto, hay sólo signos más en el triángulo que se extiende hacia abajo y que tiene como ápice dicho punto; lo mismo para [m on, pero con un triángulo que se extien de hacia arriba. Para muchos propósitos, el árbol de númferos es una herramienta útil y se utiliza frecuentemente en la literatura.

7.2.6.2.

Caracterización de los determinantes lógicos

¿Qué propiedades adicionales distinguen a los determinantes lógicos dentro de la clase de determinantes que satisfacen cuantitividad, conservatividad y

•' ? Ahora presentaremos un análisis con el propósito de revelar algunas g;C utenS'0nsenl¿ nticas que pueden ser interesantes en sí mismas. aciones J CÍ° n hem0s discutido las dos primeras propiedades: ellas son la continuidad ¡ 'edad. Los determinantes lógicos son rnon j o m o n i y, Por 1° tanto, y Ia . enos también satisfacen la variedad. c°nl‘ ¿ os propiedades adicionales que necesitamos tienen que ver con una . regularidad en el comportamiento de los determinantes y una indecâSência relativa con respecto a números específicos. Estas dos propiedades Pe” en ser características fundamentales de los determinantes lógicos (y de ¡ ^ c o n c e p t o s lógicos en general). La primera de estas dos propiedades es la siguiente (en adelante. 'D(a, c) '. te significa que D asigna un más al par (a ,c); y ‘-i.D(a, c )’ , etc., significa bt

r

que D asigna un menos al par (a, c)). Definición 7.21.

D tiene la propiedad del más sii: si D(a, c), entonces D( a + 1, c) o D ( a , c + l); si -iD(a, c), entonces -*D(a + 1, c) o ~^D(a, c + 1) Esta definición de la propiedad ‘del más’ establece que D no tiene ‘callejones sin salida’ : si asigna un cierto valor de verdad, entonces es posible preservar este valor de verdad si le añadimos un elemento a X . En particular, el número específico de elementos en X no influye en el comportamiento de D, mientras que, por el contrario, esto es esencial para un determinante com o los n. La segunda propiedad adicional, llamada uniformidad u homogeneidad, es más bien complicada de formular de manera exacta y general (además, varias formulaciones alternativas están disponibles). Esta propiedad hace que el patrón de valores de D sea ‘suave’ , al no permitir en el árbol aquellos deter minantes que muestran ‘patrones con saltos’ . Por ejemplo, si un determinante es uniforme y muestra un patrón a de valores de verdad en algún lugar en el árbol, entonces no tiene permitido tener otro patrón, digamos b, en otra parte en el árbol: a.

+

b.

+

+ Esta caracterización informal se utiliza en la siguiente definición: Definición 7.22. D es uniforme sii D sólo muestra un patrón de valores de verdad

Si consideramos, com o lo hace van Benthem (1987), que los cuantifir. 1 son ‘autómatas semánticos’ que calculan un valor de verdad cuando se les j 8 par de conjuntos com o entrada, la uniformidad viene a ser lo mismo ^ hecho de que un determinante siempre siga el mismo procedimiento. ^ Dadas estas dos propiedades adicionales, es claro cómo aparecen los r j minantes lógicos. ('r' Consideremos el ápice del árbol de números, dónde card( X) = fl Q i . J = 0

card(X)

=

1

0,0 1,0

0,1

Un determinante imprime un patrón de signos más o menos en él. Hay o^J patrones posibles: 1.

2.

+ +

+

+

+

+

+

5.

4.

+

7.

-

8.

-

+ La propiedad de variedad prohíbe 1 y 8: la segunda fila debería tener tanto más, com o menos. La propiedad del más elimina a 4 y a 5: el más y el menos de la primera fila, respectivamente, deberían ocurrir de nuevo en la segunda fila. Sólo quedan cuatro patrones, es decir, cuatro determinantes: 2.

+

3.

+

+

6.

+

7.

+

-

+

En efecto, estos son los patrones de ningún, todo, no todo y algún, respecti vamente. Para demostrarlo, debemos evidenciar que estos patrones persisten en el árbol completo de la manera adecuada. Podemos ver que esto es así al refleccionar sobre la uniformidad y la continuidad. La uniformidad asegura que obtendremos el mismo patrón en todo el árbol. Esto implica, por ejemplo, que las primeras cuatro líneas horizontales del árbol para todo se parecen a esto:

w

card(X)

= 0 = 1

+ -

+

2

=

= 3

...

trón de todo, dado anteriormente en 3. es el siguiente: ‘debajo de un más ^ ^tram os a la izquierda un menos y a la derecha un más’ . Esto nos da los eIlCOn la rama derecha, con los menos inmediatamente a la izquierda. Las más en i» posiciones en las líneas horizontales se determinan por la continuidad: otras Ha*dice qUe sólo puede haber menos hacia la izquierda (dado que entre dos , la continuidad sólo permite otros más): nías, =0

card(X)

=

1

=

2

+ -

+

-

= 3

-

-

+

-

-

+

Así pues, debido a la uniformidad y a la continuidad, el patrón 3, realizado en el ápice del árbol de números, sólo se puede extender en el patrón realizado por el determinante todo. Consideremos otro ejemplo: algún. El árbol de car d( X) = 0 ,1 ,2 y 3 tiene el siguiente esquema: card(X)

=0 1

=

-

= 2

+

-

= 3

-

+ +

En vista de la uniformidad, el patrón 7 es único y llena la rama izquierda del árbol, así como las posiciones inmediatamente adyacentes. El resto se completa de nuevo por la continuidad y consiste sólo de signos más: card(X)

=0 =

1

-

= 2 = 3

+

+ -

+

+ +

+

(Obsérvese que tener una tercera columna de la forma — + — llevaría a una cuarta columna que viola la continuidad). Con el mismo tipo de razonamiento, se puede mostrar que los patrones 2 y 6 se pueden expandir sólo en los de nin gún y no todo, respectivamente. Este es, por supuesto, sólo un esquema de la demostración. Para más detalles, debe consultarse la literatura mencionada anteriormente. También se pueden encontrar allí los resultados sobre el efecto de debilitar o borrar alguna de las propiedades involucradas.

Ejercicio 7 .1 2 .

¿Qué clase de determinantes resulta si no utilizamos la propiedad de la conf nuidad? 1

7.2.7.

Desarrollos posteriores

Debemos hacer énfasis en que la lectura de las secciones precedentes sólo da I una primera visión superficial del campo y de sus muchos conceptos y prin, j cipios. Por ejemplo, se han realizado muchas investigaciones empíricas que no hemos mencionado: ter Meulen (1983); van Benthem y ter Meulen (1984)Groenendijk et al (1987b) y Gárdenfors (1988) son colecciones en las que se pueden buscar tales trabajos. Tam poco hemos prestado atención a la investi gación de los determinantes por medio de conceptos de la Teoría de las Rela ciones (véase Zwarts (1983) y, especialmente, van Benthem (1984b), donde se estudia la conexión entre el último enfoque y el de las restricciones globales). Tampoco tratamos la investigación sobre cuestiones de ‘expresibilidad’ (véase, por ejemplo, Keenan y Moss (1984), Thijsse (1984) y Keenan (1987)). Otra falencia es que no le prestamos atención a las condiciones que tienen que ser satisfechas para incorporar la Teoría de los Cuantificadores Generalizar dos a la gramática. Es obvio que ciertas condiciones deben imponerse sobre los componentes semánticos de dicha gramática y que el componente semántico también necesita satisfacer ciertos requerimientos. Algunas discusiones sobre este tema son Zwarts (1986) y van Benthem (1986). El trabajo de Keenan y Faltz (1985) debe mencionarse también en este contexto, dado que intenta transferir el concepto de estructura booleana, como se observó en el dominio de las interpretaciones de SN, a otros componentes de la gramática.

7.3.

La Gramática Categorial Flexible y la Teoría de Tipos

En años recientes ha habido ciertos desarrollos interesantes en las investiga ciones sobre Gramática Categorial, parcialmente inspirados en la Gramática de Montague (véase el capítulo 6). Discutiremos algunos aspectos de este pro greso, dado que involucra más vínculos con la Teoría de Tipos.

7.3.1.

Cambio de categoría

Varias de las objeciones en contra de la sintaxis categorial clásica, menciona dos en el capítulo 4, conciernen la rigidez de la asignación de las categorías a las expresiones. El lenguaje natural es más bien flexible en el comportamiento

¿e la combinación categorial. Por ejemplo, la negación no, que usualmente se jggifica com o o/o, no sólo ocurre com o negación de oraciones (No es el caso e Arturo llore), sino también com o negación de predicados (La mayoría de tebés no lloran), como negación de SN (No todo bebé llora), com o negación j e adverbios (no cruelmente), entre otros. Ya desde 1972, Peter Geach pro puso explicar este fenómeno introduciendo reglas de cambio de categorías que-: operan sobre las categorías básicas asignadas a una expresión y así producir categorías isibles sucesivas. Para evitar el exceso de barras diagonales utilizaremos una notación dis tinta a la anterior: (a, b): ‘de la categoría a a la categoría V Esta notación no se interpretará direccionalmente, es decir, no indica cuál lado es el argumento que es tomado por el functor. Si se llega a requerir, el aspecto direccional se puede introducir en un estado posterior (obsérvese, sin embargo, que también hay otras razones lingüísticas de principio para preferir un enfoque no direccional; compárese Hoeksema (1984)). Con esta notación, las reglas de Geach para cambio de categoría se leen de la siguiente manera: Si una expresión tiene categoría (a, b), entonces también tiene categoría ((c, o), (c, b)), para todas las categorías c Por ejemplo, la negación de oraciones (o, o) también puede ocurrir como ne gación de predicados ((n, o), (n, o)), o cuando se usa la regla de Geach repeti damente, com o en ((n , (n, o)), (n, (n, o))), se obtiene la negación de un verbo transitivo. Otra aplicación de este mecanismo concierne al análisis categorial de los verbos transitivos que tienen SN complejos en la posición de objeto directo. Una expresión como canta todas las baladas produce las siguientes categorías: cantar (■n , ( n , o ))

todas las baladas ((n, o), o)

Estas categorías no se pueden combinar, por medio de la aplicación funcional, para formar la categoría final deseada, a saber, (n, o). La regla de Geach nos da una solución instantánea: ((n, o), o) se cambia por ((n , ( n , o ) ) , ( n , o )), y así la aplicación funcional es suficiente para producir el resultado deseado. Otra manera, en efecto equivalente, de describir lo que está ocurriendo es afirmar que hay un incremento en las posibilidades de combinación categorial.

Además del método de aplicación funcional (que consiste de dos reglas, nuestra aproximación no direccional): a + (a, b) =>■ b (‘a combinado con (a, b) produce í>’) (a, 6) + a =4> b también permitimos la composición funcional: (a,b) + (6, c) => (a, c) (‘ (a, 6) combinado con (6, c) produce (o, c )’) (6, c) + (a, 6) =>• (a, c) Para ver que esto viene a ser lo mismo, obsérvese que con a = n. b = (n, ó) yfl c — o, la derivación anterior del sintagma verbal es una instancia de la primera i regla de composición. Muchos lingüistas han (re) descubierto la regla de Geach com o una herrar mienta descriptiva. Daremos otro ejemplo, esta vez de carácter morfológico, que aparece en Moortgat (1988) y Hoeksema (1984). Los verbos pueden nominalizarse, com o en enseñar es una actividad gratificante. Parece natural que se categorice esta nominalización como ((n, o), n), en otras palabras: una propie dad se convierte en un objeto. Pero esto genera problemas con una expresión com o construyendo Versalles, donde el verbo nominalizado construyendo tiene un objeto directo. Una manera de explicar esto es por medio del siguiente análisis: construir (n, (n, o))

Versalles n

+ •U(n,o)

-yendo +

((n, o), n)

4 n Aquí, primero hemos combinado construir com o verbo transitivo con su objeto directo Versalles, nominalizando el resultado al combinarlo con la partícula yendo. El problema es, por supuesto, obtener la forma morfológica correcta, es decir, obtener la partícula en el verbo. Por lo tanto, el siguiente análisis, que usa la regla de Geach, sería más natural desde un punto de vista metodológico: construir (n ,(n ,o ))

-yendo + JJ. (n, n) + n

((n ,o ),n ) Versalles n

tipos de reglas de cambio se han propuesto en los años recientes. Un mpl° es la ‘reSla de Montague’: de categoría a a categoría ((a,b),b), para toda categoría b Este principio explica el fenómeno de la coordinación, como en el siguiente ejempl°: María

y

todo muchacho

A

((n,

n

a((n ,o ),o )

o ), o )

U ((n,o),o) Compárese el tratamiento de los términos y los nombres propios en §6.3.4.

Otras formas de flexibilidad en la Gramática Categorial se pueden encon trar, por ejemplo, en Partee y Rooth (1983); van Eyck (1985); Groenendijk y Stokhof(1 9 8 4 ,1988a).

7.3.2.

Un punto de vista lógico

No toda transición entre categorías debe considerarse como un tipo de regla de cambio bien motivado. En efecto, los ejemplos dados anteriormente muestran un patrón bien definido. Esto fue observado por Lambek (1958), quien hace una analogía con las implicaciones lógicas: en muchos aspectos, un tipo funcional como (a, b) se com porta como una implicación a —> b. Esta analogía nos da una explicación de los tipos de cambio anteriores en términos de implicaciones lógicas entre formulas implicacionales: a —> b |= (c —y a) —> (c —> b) (Regla de Geach) a \= (a —> b) —>b (Regla de Montague) Este test también es adecuado para otros tipos de flexibilidad. Por ejemplo, Partee y Rooth usan la ‘disminución del argumento’ : (((a, b) , b), c) => (a, c) que también es válida com o una ley de la implicación: ((a —►b) —> b) —►c )= a —> c Estas transiciones válidas se pueden describir como una lógica implicacional, tal com o lo hizo Lambek. Para este propósito, la deducción natural, como se

presenta en el volumen 1, capítulo 4, resulta ser muy útil. El ‘Lambek calculus' se puede describir com o una lógica implicacional intuicionista, con varias res- [ tricciones adicionales sobre las reglas de ‘contabilidad’ para las suposiciones que se usan en las derivaciones. Ejemplo: Una derivación de la regla de Geach 1 2

a --> b c —> a

3

c

4

a

=»E, 2, 3

5

b

=>E, 4, 1

6 7

c —> b (c - » a) —

=>I b)

=>I

No todas las leyes de la implicación del sistema presentadas en el volumen 1 son isibles aquí; por ejemplo, b —►a no se deriva de a. Esto, dado que el Lambek calculus sólo permite retirar las suposiciones que en efecto se usan. Y , ciertamente, en el lenguaje natural las transiciones com o o => (n, o) ( ‘una oración se vuelve un verbo intransitivo’ ) no parecen ocurrir. Incluso así, existen varias opciones lógicas defendibles para un sistema razonable de cambio de categoría. Por ejemplo, en la variante más estricta no es válido que: a —> ( a —> b) h a —y b La razón es que el uso múltiple de la misma suposición (que se necesitaría en esta derivación) tam poco es permitida en el Lambek calculus. Se podría argu mentar que este patrón ocurre ocasionalmente en el lenguaje natural, por ejemplo, en una transición com o la siguiente: lavar (n, (n, o))

lavarse (n ,o)

Pero no parece que haya una licencia lingüística general para perder argumen tos de esta manera. Sin embargo, la imagen general es esta: debajo de la lógica intuicionista, o incluso la lógica condicional minimal del volumen 1, yace un es pectro de lógicas implicacionales más débiles que pueden servir como ‘motores

categoriales’ para el cambio de categoría. Un sistema interesante de este tipo eS el Lambek calculus, que permite retirar sólo una ocurrencia de una suposi ción en la regla de introducción para la implicación. Es decir, es una lógica de ocurrencias de premisas. Pero para ciertas aplicaciones, también es prudente estudiar lógicas más fuertes que permitan usos múltiples de suposiciones. Una manera más sistemática de ver tales opciones para el cambio de ca tegoría tiene que ver con la siguiente pregunta más bien obvia: en el análisis que acabamos de presentar, las transiciones de categoría tomadas como impli caciones muestran un patrón sintáctico y deductivo interesante, pero ¿cuál es su significado semántico? Esta pregunta es fácil de responder en casos específicos. Por ejemplo, la re gla de Geach es atractiva precisamente por su ‘receta’ naturalsubyacente para convertir un significado de categoría (a, b) en uno de categoría ((c, a), (c. b)): de

a Ay(c a)A2c [i^f(a;6)(y(c a)(zc))]

Obsérvese cóm o el A-operador introducido en el capítulo 4 juega aquí un papel crucial. De manera análoga, aquí está la receta para la regla de Montague: de M a a Ay(a 6)[y(aj6)(M a)] La evaluación de expresiones procede, entonces, por medio de una interacción de cambio de categoría y aplicación funcional ordinaria, de la siguiente manera: María n

An

canta (n, (n, o))

todas las baladas ((n ,o ),o )

n,(n,o))

) aC ((n ,(n ,o )),(n ,o )) ^ 'E (n ,(n ,o ))^ y n [ C ((n ,o ),o ) (* ^ (n ,(n ,o )) ( ? m ) ) ]

+ (n,o) [ C ( ( n , o ) , o ) ( % ( n , ( n , o ) ) (? /n ))] (-^ (n ,(n ,o )))

que se reduce por A-conversión a: A^/n [C((n,o),o)(-^(n,(n,o))(yn))]

+ Ayn[C((ni0)t0)(5(n,(n,o)) (2/n))] {An) que se reduce a la lectura deseada:

Podríamos imponer la restricción general sobre las reglas de cambio de cate goría que dice que las reglas ‘razonables’ son las que tienen una explicación

tipo-teórica. Ahora, podemos hacer algunas observaciones lógicas sobre este tema (véase van Benthem (1986, cap. 7)). Todas las derivaciones en el Lambek calculus pueden recibir sistemáticamente tales términos tipo-teóricos: las tran siciones de categoría correspondientes son correctas en el sentido que acabamos de plantear. También hay resultados recíprocos que indican cóm o términos tipo-teóricos se pueden asociar, efectivamente, con derivaciones implicacionales. La situación general es diversa. Cálculos implicacionales distintos corres ponden a fragmentos distintos de un lenguaje tipo-teórico con A-operadores —en donde el cálculo intuicionista completo corresponde al lenguaje completo, pero el Lambek calculus utiliza sólo una parte— . Más aún, ha habido más inves tigaciones sobre restricciones adicionales a los cambios de categoría ‘naturales’, es decir, ‘ A-recetas’ , que pretenden asegurar que las ‘A-transformaciones’ de las denotaciones originales retengan aproximadamente el mismo comportamiento semántico que los originales. De esta manera, parece que hay una familia de gramáticas categoriales de cambios de categoría flexibles. Las investigaciones actuales se concentran sobre las propiedades técnicas de dichas gramáticas. Un asunto importante aquí es reconocer el poder de dichas gramáticas (véase vol. 1, cap. 8). Proba blemente, las gramáticas categoriales basadas en las reglas Lambek originales reconozcan sólo lenguajes independientes del contexto, pero esta cuestión no se ha resuelto aún. Resulta curioso que cálculos más poderosos puedan per der poder de reconocimiento, incluso al punto de que sólo puedan reconocer lenguajes regulares. Una segunda serie de preguntas concierne a las propiedades semánticas de los A-términos que las gramáticas flexibles le asignan a las expresiones. Por ejemplo, se ha demostrado que, sin importar cuántas lecturas de una expresión sean producidas por derivaciones en el Lambek calculus, las ‘recetas de significado’ relacionadas producen sólo un número finito de significados lógicos no equivalentes. En este sentido, la riqueza de los cambios de categoría se mantiene dentro de bordes razonables. Además, en este escenario se investigan varias generalizaciones de propie dades semánticas importantes, tales com o la monotonicidad (véase §7.2.). No sólo los SN y los determinantes pueden ser monótonos, también pueden serlo los adjetivos, las expresiones adverbiales y las preposiciones. Este es un ejemplo de una tendencia actual de formular de manera general observaciones semán ticas acerca de categorías especiales (cuantificadores, verbos, adverbios). Por ejemplo, la noción central de conservatividad encontrada en los determinantes resulta ser una instancia de un comportamiento restrictivo general de sintag-

pxas nominales a lo largo de expresiones enteras. Testigos de esto son patrones como los siguientes: ■ Todo A le teme a u n B ^ Todo A le (teme n (A x B )) a un B m Ningún A le dio un i? a todos los Cs

Ningún A le (dio n (^ x B x C ))

un B a todos los Cs efecto, podemos d er iv a r de manera sistemática tales formas más com plejas de conservatividad, a través de A-recetas que acompañan la derivación categorial de dichas oraciones. De esta manera, incrementamos nuestra com prensión del sistema categorial de lenguajes naturales como estos.

En

7.3.3.

Desarrollos adicionales

En este momento se están investigando varias extensiones y variantes del enfoque explicado anteriormente. Hemos mencionado la discusión acerca de la naturaleza precisa del vínculo entre el cambio semántico de tipos y el cambio sintáctico de categoría. Otros tópicos tratan sobre varias extensiones del enfoque tipo-teórico hasta ahora formulado. Una de tales extensiones trata sobre el siguiente fortalecimiento lógico: la Gramática Categorial estándar produce significados que pueden describirse al utilizar sólo aplicación funcio nal, los cambios de categoría introducidos en §7.3.1. y §7.3.2. también dan lugar a la A-abstracción. El siguiente paso puede ser la isión de identidad lógica entre términos tipo-teóricos. Un ejemplo lingüístico de esta característi ca es el que se presenta a continuación, el cual proviene del alemán: Der Heinrich El determinante d eres de categoría ((n, o), ((n, o), o)) y el nombre propio Hein rich es de categoría n. Si un SN, es decir ((n, o), o), es el resultado de la apli cación de uno al otro, la categoría de Heinrich debe convertirse a (n, o). Una receta posible podría ser utilizar la siguiente identidad: n =>• (n, o) de A n a Ayn [An = Vn] (la propiedad de ser A n) Otra extensión lleva a la adición de tipos intensionales (véase §5.6.), dado que los cambios de categoría también ocurren en contextos intensionales; has ta ahora, ningún sistema ha sido propuesto para este propósito. Finalmente,

mencionamos un asunto posiblemente más sorprendente: es posible proponer un mecanismo general para el lenguaje natural, tal com o el cambio de cate goría; sin embargo, no podemos dejar el asunto así no más, dado que este mecanismo expondrá comportamientos interactivos con otras características importantes del lenguaje natural. Por ejemplo, si podemos hacer deducciones lógicas a partir de cierta expresión, ¿qué pasa si esta expresión se expone a un cambio de categoría? ¿Se preservarán las conclusiones y, en dicho caso, de qué manera? En efecto, hay una línea de investigación actual que trata sobre la inferencia y el cambio de categoría en los cálculos combinados. Otros tipos de interacción todavía esperan ser investigados. Literatura adicional sobre estos temas se puede encontrar en Oehrle et al. (1988); Buszkowski et al. (1988) y Klein y van Benthem (1988).

7.4.

Teoría de Representación de Discursos

7.4.1.

Introducción

La Teoría de Representación de Discursos es una teoría semántica para el lenguaje natural desarrollada a comienzos de los ochenta por Hans Kamp (1981). Muchas ideas incorporadas en esta teoría estaban presentes de forma seminal en trabajos anteriores de varios autores. Aproximadamente al mismo tiempo se desarrollaron propuestas similares de manera independiente, entre otras, las presentadas por Irene Heim (1982, 1983) y Pieter Seuren (1985). Una de las características de la Teoría de Representación de Discursos, com o su nombre lo sugiere, es que se centra en la interpretación semántica de discursos, es decir, en sucesiones coherentes de oraciones, también llamadas ‘textos’ ; en lugar de oraciones aisladas, como en la Gramática de Montague. En la Teoría de Representación de Discursos, de ahora en adelante d r t (por su sigla en inglés), la unidad primaria semántica (y sintáctica) no es la oración, sino el discurso (o el texto). Otra característica de la DRT es que considera la interpretación semántica no com o una relación directa entre expresiones y (un modelo de) la realidad, sino que postula un nivel intermedio de representación semántica en donde se almacena la información expresada por un discurso. Esta característica se refleja también en el nombre de la teoría. A diferencia del nivel intermedio de la Gramática de Montague, en donde las estructuráis sintácticas se traducen en expresiones del sistema de la lógica intensional (véase §6.2.), el nivel correspondiente de la representación de discur-

gos en la DRT se considera un componente esencial de la gramática. Se asume que no es posible proceder sin este nivel de análisis, mientras que el nivel de traducción en la Gramática de Montague sólo está allí por conveniencia, lo que lo hace eliminable gracias a la composicionalidad de los procesos de traducción e interpretación. Así pues, el “representacionalismo” de la DRT la convierte en una teoría no composicional. La idea es que una representación de discurso refleja la información expre sada por un discurso. Como tal, debe ser considerada como una descripción parcial de la realidad. Ciertamente, un texto nunca da información sobre todo lo que es verdadero en alguna realidad (ficcional o de otro tipo); él sólo describe a lo sumo una parte de ella. El significado de una expresión será considerado primariamente com o la contribución de dicha expresión a la representación del discurso, dado por el todo mayor en el cual ella ocurre. Este concepto de sig nificad i difiere del concepto familiar de interpretación de una expresión en un modelo. En este último, una expresión es interpretada dentro de una imagen completa de la realidad. Sin embargo, este nivel más familiar de interpretación semántica también está presente en la DRT, en la forma de la definición de la verdad de un discurso, la cual se define en términos de si la información parcial representada puede imbuirse en el modelo completo. Hay varios motivos para el desarrollo de la DRT. Primero que todo, están en juego asuntos generales teóricos y metodológicos. Se asegura que la DRT salva la brecha entre la visión (psico-) lingüista del significado, en la cual las estruc turas sintácticas se relacionan con las representaciones mentales y la visión lógico-semántica, en la cual las estructuras sintácticas se relacionan con (un modelo de) la realidad. A este respecto, se dice que la DRT reconcilia la visión declarativa o estática del significado, con la visión procedimental o dinámica. La visión dinámica, que es dominante en ciencia cognitiva, sostiene que el signifi cado de una expresión debe considerarse como una instrucción para el oyente de ‘construir’ (parte de) una representación. La visión estática es defendida usualmente por lógicos y filósofos del lenguaje; ella conecta el significado con condiciones de verdad o, más generalmente, con condiciones de denotación. Por supuesto que los motivos detrás del desarrollo de la DRT no son sólo metodológicos; esta teoría también pretende dar cuenta de cuestiones empíri cas que otras teorías semánticas, por ejemplo la Gramática de Montague, no pueden explicar. Un grupo importante de dichos fenómenos trata sobre la in terpretación de pronombres y, en particular, de las relaciones anafóricas entre pronombres y términos indefinidos, tanto dentro, com o a través de las fronte

ras de la oración; la DRT provee una solución para varios problemas en este campo. Otras áreas en las que la DRT se ha aplicado incluyen la interpretación de tiempos y aspectos verbales, en particular el papel que estos juegan en es tablecer la coherencia de textos, y el análisis de oraciones de creencia y otros reportes de actitudes proposicionales. En esta introducción nos concentraremos en algunos problemas centrales del primer grupo de fenómenos. Lo hacemos así por razones de exposición, dado que aquí se puede mostrar más claramente el contraste entre la DRT y la Gramática de Montague. Alguna distorsión puede resultar de este enfoque. Ciertamente, no debe entenderse que la aplicación de la DRT a otros fenómenos empíricos es menos importante. El lector es referido a los trabajos de Heim, Kamp y Seuren y a la literatura mencionada en §7.4.6. Introduciremos la DRT desde el punto de vista de la Gramática de Monta gue. En §7.4.2. presentaremos ciertos problemas con las relaciones anafóricas y términos indefinidos que surgen en la Gramática de Montague. Luego, esbo zaremos la solución que la DRT ofrece para esos problemas. En §7.4.3. daremos una introducción informal a la DRT. En §7.4.4. daremos definiciones de la sin taxis y la semántica del lenguaje formal usadas en la DRT para representar la información expresada por un discurso. Com o lo indicamos anteriormente, el nivel intermedio de representación de discurso que la DRT postula va en contra del principio metodológico de la composicionalidad, que ocupa una posición central en la Gramática de Montague. En §7.4.5. trataremos este asunto y sostendremos que, a diferencia de lo que se sugiere usualmente, el “representacionalismo” no es esencial para la DRT, en el sentido de que su poder explicativo no lo presupone. El éxito empírico de la DRT descansa más bien sobre su visión procedimental y dinámica del signi ficado.

7.4.2.

Algunos problemas con las relaciones anafóricas y los términos indefinidos

En la Gramática de Montague, com o se presentó en el capítulo 6, los pronom bres anafóricos, es decir, los que se interpretan como ‘refiriéndose de nuevo’ a la denotación de un término, se analizan sistemáticamente com o variables acotadas. Los siguientes ejemplos ilustran esto: (91) Juan ama a María y él la besa (92) Toda mujer ama a un hombre que la ira

En la oración (91) se entiende que él se refiere de nuevo a Juan y la, a María; en (92), el pronombre la está acotado por el término cuantificado toda mujer. por supuesto, también hay lecturas de (91) y (92) en las que los referentes de los pronombres están determinados de manera distinta; pero este uso deíctico de los pronombres no nos concierne aquí, y en adelante ignoraremos sistemáticamente esta posibilidad. Las lecturas previstas de (91) y (92) se obtienen en la Gramática de Montague por medio de las reglas de cuantificación (véase §6.3.8.). Por ejemplo, la oración (91) se deriva de una estructura oracional en la que ocurren dos variables sintácticas distintas, él\ I02 ama y él\ I02 besa, en las cuales se intro ducen sucesivamente los términos Juan y María, por medio de la regla de cuantificación S8, n. El efecto de esta regla es el siguiente: el término en cues tión se sustituye por la primera ocurrencia de la variable sintáctica relevante y los pronombres adecuados, es decir, los que concuerdan en género, número y caso con el término en cuestión, toman el lugar de las otras ocurrencias. Dicho sea de paso, se puede observar que el uso de un tipo de pseudo-pronombre co mo una variable sintáctica puede llevar a confusiones: las variables sintácticas en sí mismas no son pronombres, pero pueden reemplazarse por ellos de ser necesario. Podríamos haber utilizado x e y en lugar de éli y éfo. Semánticamente, el proceso de cuantificación corresponde a lo siguiente: una variable sintáctica se traduce en una variable lógica. Luego, la fórmula que es la traducción de la oración en la cual ocurre la variable sintáctica se transforma en una expresión que se refiere a la propiedad por A-abstracción sobre la variable lógica. Los términos se traducen en expresiones que se refieren a conjuntos de propiedades y la traducción de la oración final, con el termino cuantificado, es el resultado de aplicar la traducción del término a la intensión de la A-expresión. El resultado es una fórmula que afirma que la propiedad expresada por la A-expresión pertenece al conjunto de propiedades que es la denotación de la traducción del término. Si éste es un término cuantificado, tal como toda mujer o un hombre, entonces por A-conversión el cuantificador que aparece allí acota las ocurrencias de las variables libres en la oración original. En la traducción de los nombres propios, todas las ocurrencias se reemplazan por la constante que aparece en la traducción del nombre propio. En este sentido, los pronombres anafóricos se consideran como variables acotadas en la Gramática de Montague. ¿Cuáles son las dificultades que surgen de este tratamiento de pronombres anafóricos, para los cuales la d r t intenta dar una solución? En esta sección nos restringiremos a la discusión de tres ejemplos que, aunque son aparentemente

simples, ilustran los problemas mayores. Por supuesto, hay más fenómenos re lacionados con los términos y las relaciones anafóricas. Para una revisión rigurosa y extensiva referimos a Heim (1982, cap. 1). El primer tópico se centra en el tratamiento de las relaciones anafóricas que cruzan los bordes de la oración. La Gramática de Montague no puede tratar efectivamente este tipo de relaciones anafóricas. Consideremos el ejemplo (93): (93) Un hombre camina por el parque. El silba El pronombre él, en la segunda oración, está acotado por el término un hombre de la primera oración. En otras palabras, esta sucesión de oraciones tiene el mismo significado que la oración simple (94): (94) Un hombre camina por el parque y silba Derivar (94) en la Gramática de Montague con la lectura deseada es fácil. El proceso de cuantificación, bosquejado en los párrafos anteriores y discutido extensivamente en §6.3.8., nos permite derivar (94) con la traducción reducida (95) (ignoraremos la estructura interna de camina por el parque y la traduci remos por la constante de predicado sencilla CAMINA POR EL PARQUE): (95)

3 x ( h o m b r e (x ) A c a m i n a

p o r el p a r q u e (x )

A s il b a (x ))

Esta fórmula no sólo expresa el significado correcto de (94), sino que también provee el significado de (93). A primera vista, extender la Gramática de Mon tague para obtener un tratamiento satisfactorio de ejemplos com o (93) parece ser un asunto sencillo. Podemos introducir una operación sintáctica de ‘secuenciar oraciones’ , que se interpreta semánticamente com o una conjunción, y aplicar también la regla de cuantificación a las sucesiones de oraciones. Si comenzamos con las oraciones Eli camina por el parque y Eli silba, forma mos, a partir de ellas, Eli camina por el parque. Eli silba, y en esta estructura cuantificamos el término un hombre. El resultado (reducido) es (95). Pero hay un problema. El discurso (93) se puede continuar con oraciones en las que el pronombre él ocurre de nuevo, con la intención de referir de nuevo a un hombre, tal com o ocurre en (96): (96) Un hombre camina por el parque. Él silba. Aparentemente [él] está de buen humor

Si derivamos las dos primeras oraciones de (96), es decir (93), com o se descri bió anteriormente, no es posible añadir la tercera oración de tal manera que la ocurrencia de él sea acotada por un hombre. En general — y también en el caso de (93)— esta manera de dar cuenta de la referencia anafórica que cruza los bordes de las oraciones presupone que primero se genere el texto completo, con variables sintácticas en los lugares adecuados, después de lo cual tiene lugar la introducción de los términos requeridos y sus pronombres anafóricos dependientes, por medio del proceso de cuantificación. Pero desde la perspectiva semántica, realizar este proceso implica que la interpretación de un término y de los pronombres anafóricos relacionados sólo tenga lugar cuando se esté seguro de que el discurso o texto no continuará, sino que está cerrado. Esto implica que el proceso de interpretación no proceda paso por paso, aunque así sea como percibimos el proceso intuitivamente. Cuando leemos u oímos un texto, analizamos e interpretamos primero la primera ora ción, después la segunda y así en adelante. En otras palabras, la interpretación es un proceso de incrementos: la interpretación de oraciones anteriores influen ciará la de oraciones posteriores, lo que presupone que la interpretación de las primeras oraciones estará disponible más adelante. Por otro lado, la manera que tiene la Gramática de Montague de explicar las relaciones anafóricas por medio de las reglas de cuantificación no concuerda bien con esto. Siempre que una relación anafórica cruce la frontera de una oración, la interpretación de la primera oración no puede determinarse hasta que el discurso esté completo, es decir, hasta que el texto completo esté disponible. En otras palabras, un texto sólo se puede interpretar holísticamente, no por incrementos. Uno podría considerar esto como un resultado un tanto contraintuitivo, como una de esas ocasiones inevitables en las que la explicación teórica y la intuición pre-teórica divergen. Pero un segundo ejemplo mostrará que el pro blema es más profundo. Consideremos la siguiente variación de (93): (97) Exactamente un muchacho camina por el parque. Él silba Si derivamos (97) de la misma manera que (93), cuantificando el término exactamente un muchacho en la sucesión abierta de oraciones Elo camina por el parque. Elo silba, el resultado es la traducción (reducida) presentada en (98): (98)

EkVy ((MUCHACHO(y) A CAMINA POR EL PARQUE(y) A S IL B A (y ))^ X = y )

Pero (98) no representa el significado de (97). Esta fórmula dice que hay exacta mente un individuo que tiene las propiedades de ser un muchacho, de caminar

por el parque y de silbar; en otras palabras, hay exactamente un muchacho caminando y silbando por el parque no excluye que otros muchachos caminen en el parque. Sin embargo, el significado de (97), por otro lado, es que hay exactamente un muchacho en el parque y que este muchacho está silbando. Por lo tanto, es (99), y no (98), la fórmula que proporciona la representación correcta del significado de (97): (99) 3x(Vy((MUCHACHO(y)ACAMINA POR EL PARQUE(y))<->X=y)ASILBA(x))

Esta observación muestra que el problema de extender la Gramática de Montague de la manera esbozada anteriormente no es sólo que explique las relaciones anafóricas que cruzan los bordes de las oraciones de una manera contraintuitiva; sino también que produce predicciones erradas. La diferencia entre los ejemplos (93) y (97) también hace que sea intuitiva mente claro por qué este m étodo es, en general, incorrecto. La idea subyacente es considerar un discurso o un texto como una descripción de una propiedad compleja adscrita subsecuentemente al término en cuestión. En el ejemplo (93), esto resulta en que la propiedad ‘caminar por el parque y silbar’ se aplica a un hombre, lo cual es correcto. Por otra parte, el resultado de la opera ción en el caso de (97) es que la propiedad ‘caminar por el parque y silbar’ se aplica a exactamente un muchacho, lo cual no es el significado de (97); mientras que (93) y (94) son equivalentes a (100), (97) no es equivalente a (101): (100) Un muchacho camina por el parque y silba (101) Exactamente un muchacho camina por el parque y silba En la sucesión de oraciones de (97), primero se afirma que hay exactamente un muchacho que está caminando por el parque y luego se afirma de este muchacho que está silbando. Esto también puede describirse de la siguiente manera: la primera oración introduce un individuo, el único muchacho que camina por el parque, y la segunda oración proporciona una descripción adicional de este individuo: él silba. Esto sugiere una manera bastante general de tratar la continuación de un texto. Por ejemplo, la sucesión en (97) se puede continuar como en (102): (102) Exactamente un muchacho camina por el parque. El silba. El tiene los ojos azules

Como lo observamos anteriormente, el enfoque de la cuantificación encuentra dificultades aquí. Sin embargo, si seguimos la sugerencia hecha anteriormen te, parece que hay una manera de evitar estas dificultades. Mientras el texto continúa, vamos atribuyéndole más propiedades al individuo introducido. Por supuesto, podemos tratar un ejemplo como (93) de la misma manera: la prime ra oración introduce un individuo (no necesariamente único) que es un hombre y que camina por el parque. Las oraciones subsecuentes adscriben más propie dades al individuo: silba, está de buen humor y así en adelante. Tales individuos, primero introducidos y después descritos en un discurso o texto, se llaman aveces referentes del discurso. Ellos son lugares para los indi viduos a los que se refiere el discurso o texto. Observamos anteriormente que un discurso dado casi siempre proporciona sólo una descripción parcial de cierto dominio. Ya sea que el discurso es verdadero o no, en un modelo dado depende de si se puede establecer una correspondencia entre los referentes del discurso introducidos por el discurso e individuos reales en el dominio del modelo, de tal manera que todas las afirmaciones hechas en el discurso acerca de los referentes del mismo sean verdaderas. Algunas veces hay una sola manera de obtener tal correspondencia y algunas veces hay más de una. Estas observaciones informales acerca de cómo interpretar un discurso yacen en el fondo del enfoque de la DRT. Pero antes de entrar en detalles quere mos discutir un tercer fenómeno que la Gramática de Montague no puede explicar y para el cual la DRT propone una solución. El problema en los ejemplos discutidos anteriormente trata sobre sucesiones de oraciones, donde un pronombre en una oración está relacionado anafóricamente con un término indefinido en una oración precedente. El tercer fenómeno también trata sobre términos indefinidos y pronombres anafóricos, pero esta vez dentro de las fronteras de la oración. Consideremos los siguientes ejemplos: (103) Si Juan tiene un burro, [él] lo golpea (104) Todo granjero que tenga un burro lo golpea En la oración (103) encontramos un término indefinido en el antecedente de una implicación y un pronombre en el consecuente; en la oración (104) encon tramos un término indefinido en una cláusula relativa que modifica un término cuantificado universalmente y un pronombre en la cláusula principal. Ambas oraciones ilustran el mismo problema, el cual se conoce en la literatura como el problema de las oraciones burro. El problema es el siguiente: un análisis

semántico correcto de los ejemplos (103) y (104) debe producir las sigUierit 1 traducciones (reducidas): (105) Vx (( b u r r o ( x )

á t e n e r ( j u a n , x ))

—►g o l p e a r ( j u a n , x))

(106) VxVy ((GRANJERO(x) A BURRO(y) A

t e n e r (x ,

y)) —►GOLPEAR(x, y)\

El problema, por supuesto, no es cuál es el significado de las oraciones (103) y (104) o cóm o debe representarse; las fórmulas de la lógica de predicados de primer orden (105) y (106) expresan sus significados adecuadamente. El núcleo del problema, com o en los ejemplos discutidos anteriormente, es cómo obtener las representaciones de (105) y (106). Veamos más de cerca el ejemplo (103). Notamos inmediatamente que el término indefinido un burro aparece de nuevo en (105), no com o un cuantificador existencial, sino com o uno universal que tiene alcance sobre toda la implicación. Esto es correcto en vista del significado de (103); la pregunta ahora es cóm o obtener este significado de una manera composicional. Parece razonable asumir que al término un burro, tal com o ocurre en oraciones como (103) y (104), se le asigna su significado usual, representado en IL por la ex presión familiar A X 3x [BURRO (x) A v X ( x ) ] . Pero si queremos derivar (103) de tal manera que el pronombre lo en el consecuente de la implicación esté acotado por el término un burro en el antecedente, nos vemos en dificultades. La única manera en podríamos obtener esta acotación sería cuantificando el término un burro en la oración Si Juan Ioq tiene, entonces [él] Ioq golpea. El resultado de esta operación es (107): (107) 3 x ( b u r r o (x ) A ( t e n e r ( j u a n , x ) —> g o l p e a r ( j u a n , x )))

Pero esta fórmula no expresa el significado de (103). La única alternativa que ofrece la Gramática de Montague es la introducción directa del término, es decir, una derivación sin ninguna cuantificación. El resultado de esto es (108): (108) 3 x [b u r r o ( x ) A

t e n e r (j u a n , x ) ]

—> g o l p e a r ( j u a n , x )

Aquí, la ocurrencia de x en el consecuente no está acotada por el cuantificador existencial en el antecedente y, por lo tanto, no hay explicación para la relación anafórica entre un burro y lo; en consecuencia, (108) no es equivalente a la tra ducción correcta (105). En general, una fórmula de la forma 3x0 —> xp es equivalente a V x (0 —> ip) sólo si tp no contiene ocurrencias libres de x. El con secuente de (108) contiene una ocurrencia libre de x y, por lo tanto, no es equi-

lente a (105). Encontramos el mismo problema, por supuesto, si tratamos ¿ e o b t e n e r de manera composicional a (106) como una traducción de (104). E s t o s ejemplos son similares a los que discutimos anteriormente en relación n jas relaciones anafóricas. Si no hay un pronombre anafórico, com o en (109), d e m o s arreglárnoslas con la representación estándar de un burro y el resul tado es la traducción adecuada (110): (109) Si Juan tiene un burro, entonces Javier se pone furioso (110) 3 x (BURRO(x ) A TENER(JUAN, x )) —> ESTAR FURIOSO( JAVIER) El problema específico creado por los ejemplos de oraciones burro es el de encontrar una manera semántica de tratar con los términos indefinidos que explique el hecho de que en una construcción su significado es existencial y en otra construcción es universal. En la sección 7.4.3. mostraremos que ana lizar utilizando referentes del discurso provee una solución adecuada para este problema. Ejercicio 7.13. Muestre que la oración (104) no puede tratarse satisfactoriamente dentro del fragmento de la Gramática de Montague del capítulo 6.

7.4.3.

Una introducción informal a la D R T

En la sección 7.4.2. discutimos varios fenómenos concernientes a los términos indefinidos y a los pronombres anafóricos que no se pueden resolver dentro del marco de la Gramática de Montague, tal com o se presentó en el capítu lo 6. Una de las afirmaciones empíricas de la DRT es que ofrece un marco semántico dentro del cual se puede dar una descripción uniforme y elegante de estos hechos. Esta sección introducirá este marco al mostrar cóm o tratar estos problemas. No hay realmente una formulación definitiva de la DRT a la cual adherirse. Las definiciones dadas a continuación difieren en diversos aspectos de la versión original de la DRT presentada en Kamp (1981). Sin embargo, confiamos en que los lectores serán capaces de explorar la literatura sobre el tema después de familiarizarse con la versión que aquí presentamos. Al igual que la Gramática de Montague, la DRT ofrece una interpreta ción semántica de (un fragmento) del lenguaje natural. La primera diferencia consiste en que la Gramática de Montague es una gramática de oraciones,

mientras que la DRT, en principio, intenta interpretar sucesiones de oración 1 nes. Para el tipo de ejemplos que discutiremos aquí, esta diferencia no resulta ser tan importante, dado que todas las instancias de sucesiones de oraciones con las que nos encontraremos pueden ser parafraseadas como conjunciones de oraciones. Sin embargo, la afirmación es que la manera en que se tratan las I sucesiones de oraciones provee una perspectiva fructífera para el tratamiento de casos más complicados.

La DRT ofrece una interpretación semántica, por lo cual se justifica espe- j rar una sintaxis com o punto de inicio para el análisis y un modelo como punto final. No entraremos en detalles con respecto a la sintaxis del fragmento aquí tratado, simplemente asumiremos que hay disponible una sintaxis que asigna estructuras constituyentes simples a las oraciones del fragmento. También asumiremos que el fragmento contiene: sintagmas verbales extensionales in transitivos y transitivos; sintagmas nominales comunes; nombres propiospronombres personales singulares; términos cuantificados de manera univer sal y existencial; cláusulas relativas restrictivas, y operaciones oracionales de negación, disyunción, implicación y secuenciadora de oraciones. Los modelos extensionales simples de la lógica de predicados de primer orden pueden servir de modelos para el fragmento. Una propiedad característica de la d r t es que, dada una estructura sintác tica, las (sucesiones de) oraciones están provistas de representaciones. Uno de los mecanismos de la DRT es un conjunto de reglas que convierten estructuras sintácticas en estructuras de representación de discursos, llamadas DRS por sus siglas en inglés. Estas reglas se llaman reglas de construcción de DRS. Las DRS son expresiones de un lenguaje formal no muy ortodoxo. Intro duciremos dos clases de notaciones para DRS, ambas pueden encontrarse en la literatura sobre la DRT: notaciones pictóricas y lineales. En esta sección dare mos un esbozo del proceso de construcción de las DRS y de la interpretación de las DRS resultantes de utilizar la notación pictórica. En §7.4.4. pasaremos a considerar una definición formal de la sintaxis y la semántica de las DRS, utilizando la notación lineal. Como primer ejemplo de construcción de una DRS para una oración del lenguaje natural, consideremos (111): (111) Juan ama a una muchacha que lo ira Asumimos una estructura constituyente de la oración (111). El primer paso en la construcción de la DRS es poner la oración en una caja:

(112)

Juan ama a una muchacha que lo ira

El segundo paso en la construcción conduce a la siguiente caja:

(113) Juan=x x ama a una muchacha que lo ira En la transición de (112) a (113) tres cosas han sucedido: (i) se introdujo una variable x en la caja, llamada un marcador de referencia en la DRT, que juega el papel de lo que hemos llamado, en §7.4.2., un referente de discurso; (ii) se reemplazó en la oración el término que es el sujeto de la oración, el nombre propio Juan, por el marcador de referencia x; (iii) se añadió una afirmación de identidad Juan = x. La aplicación de la regla que le corresponde a los nombres propios siempre hace que estas tres cosas ocurran. La regla se aplica siempre que nos encontremos con algo de la forma o [sjv[nombre propio] vi[- ■•]] (aunque no exclusivamente en este caso). Continuando con la construcción, el tercer paso conduce a la siguiente caja: (114)

x, y

Juan=x x ama a y muchacha(y) y lo ira En este paso se introduce un nuevo marcador de referencia y. Los marcadores se introducen no sólo para los nombres propios, sino también para los térmi nos indefinidos, com o una muchacha, o en este caso, una muchacha que lo ira. En lo que quedaba de la oración original en la caja (113), se reem plaza este término por el marcador y, recientemente introducido. El resultado es la fórmula x ama a y. Finalmente, se añade la formula m uchacha(y) y se aplica simultáneamente una reconstrucción a la cláusula relativa. En esencia, la reconstrucción viene a ser lo mismo que reemplazar el pronombre relativo Que por el marcador y. Si la oración original hubiese sido Juan ama a una muchacha, tendríamos la caja (114) menos la última línea y la construcción de la

drs

estaría completa.

Sólo resta hacer una cosa con nuestra oración: debemos hacernos cargo c]e¡ pronombre anafórico lo. La regla de construcción de DRS relevante substitu. ye el pronombre por un marcador apropiado introducido previamente. Dado que lo es masculino, el único marcador apropiado es la x, que fue introducida por Juan. En otras instancias podría haber más de un candidato y, por consi guiente, más de una d r s habría sido posible. En el caso actual, sin embargo el resultado no es ambiguo: (115)

x, y Juan=x x ama a y muchacha(y) y ira a x

De esta manera se alcanza el estado final del proceso de construcción de drs, no hay más reglas de este sistema que se puedan aplicar a la caja (115). El resultado es una caja que contiene dos tipos de cosas: (i) un conjunto de marcar dores de referencia: {x , y }; (ii) un conjunto de fórmulas: {Juan = x, x ama a y, muchacha(y), y ira a x } . Las fórmulas que ocurren en una DRS se llaman condiciones. En nuestro ejemplo, todas las condiciones son fórmulas atómicas. Tales DRS simples, que consisten en un conjunto de marcadores de referencia y un conjunto de condiciones atómicas, forman los bloques de construcción de DRS básicos. Más adelante veremos que las DRS también pueden contener condiciones complejas. Si la oración (110) fuera a continuarse con la oración (116), entonces esta oración debería añadirse a la caja (115) y el proceso de construcción conti nuaría. (116) Ella también lo ama El resultado final luciría de la siguiente manera: (117)

x, y Juan=x x ama a y muchacha(y) y ira a x y ama a x

£ ajas como esta están hechas para representar el significado de (sucesiones de) oraciones. Así pues, debemos considerar ahora la interpretación de las DRS.

fiemos observado que una DRS se considera com o una descripción parcial de (un modelo de) la realidad. Para ponerlo de otra manera, podemos considerar una DRS com o un modelo parcial de la realidad. En (117) y (115), este es un modelo con un dominio que contiene dos individuos cuyas propiedades están (parcialmente) especificadas por las fórmulas presentadas en los dos ejemplos. La idea ahora es que una DRS puede llamarse verdadera con relación a un modelo ordinario total M si el modelo parcial correspondiente a la DRS puede tomarse com o una parte de M , es decir, si puede imbuirse en M . La interpretación de una DRS procede de la siguiente manera. Un modelo M especifica un dominio D y una función de interpretación I. La función I interpreta los nombres propios, los nombres comunes y los verbos, de la misma manera en las constantes individuales y los predicados se interpretan en lógica de predicados. Definimos la noción de una imbuición verificadora de una DRS en un mo delo M . Dicha imbuición verificadora es una función / que asigna elementos de D a los marcadores de referencia en la DRS, de tal manera que todas las condiciones en la DRS sean verdaderas en M . En términos de esta noción de imbuición verificadora se define la noción de verdad de una DRS en un modelo M . Una DRS es verdadera en M sii hay por lo menos una imbuición verifica dora para la drs en M . Por ejemplo, la drs (117), la drs de la sucesión de oraciones (110) y (116), es verdadera sii hay una imbuición verificadora / que asigne individuos de D a los marcadores de referencia x e y, de tal manera que / ( x ) = Juan, y f ( y ) sea una muchacha amada por Juan quien a su vez lo ama y ira. En otras palabras, las condiciones de verdad de la DRS (117) tienen los mismos efectos que si el término indefinido una muchacha que lo ira fuera analizado como un término cuantificado existencialmente con el alcance amplio sobre la conjunción de (110) y (116), y los pronombres fueran analizados com o variables acotadas. Esto ocurre a pesar de que no se uti lizó ninguna cuantificación existencial para obtener dicho resultado. El efecto de la cuantificación existencial es el resultado de las condiciones de verdad Para las d r s , lo que requiere la existencia de por lo menos una imbuición verificadora de la DRS en el modelo. Pero vimos anteriormente que los términos indefinidos algunas veces corres ponden a la cuantificación universal. ¿Cóm o logra la DRT dar cuenta de esto? tratamiento de la drt a la oración (104), repetida a continuación como

(118), ilustra este punto:6 (118) T odo granjero que tenga un burro lo golpea El primer paso en la construcción de una drs para (118) es, de nuevo, poner la oración entera en una caja. La oración tiene la forma o[sN [todo jvc[a]] v/[/3]], es decir, su sujeto es un término universal. El segundo paso en la construc ción es la aplicación de la regla de construcción de drs para SN universales. Esta regla introduce algo nuevo, a saber, una relación de implicación —> entre las DRS. Después de estos dos pasos iniciales, el resultado luce de la siguiente manera: (119) x granjero(x) x tiene un burro

=>

x lo golpea

La DRS (119) está compuesta por tres cajas. La caja exterior, donde habíamos puesto la oración original, se llama la DRS principal. La relación de implica ción —*■ entre las dos sub-DRS las convierte en una condición compleja y esta condición compleja se coloca dentro de la DRS principal. El proceso también introduce una relación de subordinación entre las DRS. Las dos sub-DRS rela cionadas por —> están subordinadas a la DRS principal y la de la derecha de —►está subordinada a la de la izquierda.

En la caja de la izquierda se introduce un marcador de referencia x. En la caja de la derecha aparece una fórmula que resulta de reemplazar el SN universal en la oración por el marcador x introducido. Las fórmulas en la caja de la izquierda corresponden al N C y a su cláusula relativa, que se tratan de la misma manera com o se ilustró en el ejemplo (111), con un término indefinido. Las dos sub-DRS en (119) están sujetas a reglas de construcción de DRS adicionales. Así pues, dentro de las cajas de la izquierda y de la derecha, continuamos el proceso de construcción de DRS. En la caja de la izquierda aparece el término indefinido un burro y aplicamos la regla de construcción para términos indefinidos, como se discutió en el análisis de la oración (111). Esto significa que se introduce un nuevo marcador y en la caja de la izquierda, ®N. de T .: el ejem plo (118) se tradujo del inglés, don de no aparece el m od o subjuntivo de la oración. Ninguna de las discusiones en esta sección tienen relación con dicho m odo, así que p od em os obviarlo y concentrarnos en el problem a de la resolución de anáforas.

junto con una fórmula que afirma que y es un burro; el objeto SN un burro se reemplaza por el marcador y, recién introducido en la frase x tien e un burro. Finalmente, debemos encargarnos del pronombre lo que se encuentra en la caja de la derecha. En el ejemplo anterior sólo había una caja y allí describimos la regla de construcción para pronombres de la siguiente manera: sustituya el pronombre por un marcador de referencia adecuado. Sin embargo, esta regla debe extenderse mediante el uso de la relación de subordinación entre las DRS que introdujimos anteriormente, por lo que queda: sustituya el pronombre por un marcador de referencia adecuado, introducido en una de las cajas a las cuales está subordinada la caja en la cual aparece el pronombre. En este caso, ésta sólo puede ser la caja de la izquierda del signo de implicación, dado que no se ha introducido ningún marcador en la DRS principal y sólo y es adecuado. El resultado final del proceso de construcción es la siguiente DRS:

( 120) X granjero (x) x tiene a y burro (y)

=>

x golpea a y

Consideremos ahora la interpretación de este nuevo tipo de DRS. La DRS princi pal de (120) no contiene marcadores de referencia y sólo contiene una condición compleja. Así que la definición de la noción de imbuición verificadora introdu cida anteriormente requiere para esta DRS que la condición que consiste de las dos sub-DRS unidas por el signo de implicación sea verdadera. Esto último es el caso, por definición, si toda imbuición verificadora de la DRS antecedente da lugar a una imbuición verificadora para la DRS consecuente. Para (120), esto implica que toda asignación / de un granjero a x y de un burro a y, y de tal manera que el burro le pertenezca al granjero, debe verificar que el granjero golpea al burro. En otras palabras, las condiciones de verdad de (120), la representación del discurso de la oración (118), son exactamente las mismas que las de su traducción (106) en la lógica de predicados ordinaria, discutidas en §7.4.2., con el alcance amplio del cuantificador universal sobre x e y. Pero esta vez no encontramos el problema que mencionábamos allí. En la construcción de las DRS hemos tratado el término indefinido un burro, de la oración (118), de la misma manera en que tratamos el término indefinido en el ejemplo (111). Pero la interpretación de las DRS asegura que en el último caso se obtenga

la fuerza de un cuantificador existencial, mientras que en el primero se ad quiere la fuerza universal, dado que ocurre dentro del antecedente de una condicional. ^

Cerramos esta sección haciendo notar que la oración condicional (12;n resulta exactamente en la misma drs que la oración (118), que acabamos ri tratar: e (121) Si un granjero tiene un burro, lo golpea La construcción de una DRS asociada con una oración condicional consiste en la introducción de dos sub-DRS conectadas por —> en la DRS principal. En la drs antecedente continuamos con la reconstrucción del antecedente de la oración en este caso un granjero tiene un burro; en la DRS consecuente continuamos con el consecuente de la oración, en este caso él lo golpea.

Ejercicio* 7.14. Construya las

drs

para las siguientes (sucesiones de) oraciones:

(a) Un muchacho ama a todas las muchachas (b) Todo muchacho ama a todas las muchachas (c) Si Juan ama a María, entonces ella lo ama. Si ella lo odia, él la odia Ejercicio* 7.15. Formule una regla de construcción de drs para los SN sujetos que tengan el determinante exactamente uno y utilícela para construir una DRS para el ejemplo (97), discutido en §7.4.2.: Exactamente un muchacho camina por el parque. El silba.

7.4.4.

Definiciones formales

En esta sección daremos las definiciones formales de la sintaxis y la semántica de las drs en una notación lineal basada en la Teoría de Conjuntos.

En el vocabulario del lenguaje de las drs encontramos constantes indivi duales y marcadores de referencia (que juntos forman la clase de los términos), constantes predicativas n-árias, la identidad, la negación, disyunción e impli cación (así pues, si identificamos los marcadores de referencia con variables, el vocabulario del lenguaje de las drs forma realmente un subconjunto del lenguaje de la lógica de predicados de primer orden).

Como lo indicamos en §7.4.3., una DRS puede verse como un par (V ,C ), donde V es un conjunto (finito y posiblemente vacío) de marcadores de refexicia y C es un conjunto (finito y posiblemente vacío) de condiciones. Estas áttimas pueden ser atómicas complejas (hablando estrictamente, C no es un ;unto de fórmulas, sino más bien un conjunto de ocurrencias de fórmulas, o na agrupación o un conjunto múltiple de fórmulas. En el resto de esta sección ignoraremos este detalle técnico). Las condiciones complejas están formadas «•partir de DRS, así que las definiciones de las DRS y de las condiciones tie nen que hacerse de manera simultánea. Utilizaremos los caracteres griegos en minúsculas y V como metavariables que toman valores sobre condiciones y los caracteres griegos en mayúsculas $ y $ como metavariables que toman valores sobre las DRS.

Definición

7.23.

(i) Si P es una constante de predicado n-aria y t i , . . . , í n son términos,

entonces P ( ¿ i , . . . , tn) es una condición (ii) Si t y t' son términos, entonces t = t! es una condición (iii) Si $ es una DRS, entonces (iv) Si $ y

es una condición

son DRS, entonces ( $ —> 'J') es una condición

(v) Si $ y 'I' son DRS, entonces ($ V \I>) es una condición x i , . . . , x n son marcadores de referencia ( n > 0), y c/>i, • • •, m son condiciones (m > 0), entonces ( { x i , . . . , x „ } , { 4>i, •. •,^m}) es una DRS

(vi) Si

(vii) Únicamente los elementos que cumplen con las cláusulas (i) a (vi) son

una DRS o una condición Por medio de las cláusulas (i) y (ii) se pueden formar clausulas atómicas que no difieren en ningún aspecto de las fórmulas atómicas de la lógica de predica dos. Las cláusulas (iii) a (v) forman negaciones, implicaciones y disyunciones. Mientras que en la lógica de predicados esas operaciones convierten fórmulas en fórmulas más complejas, aquí convierten las DRS en condiciones complejas. Es sólo por medio de la cláusula (vi) que se pueden formar las DRS. En efecto, las operaciones en las cajas que se usan en las reglas de construcción de DRS, tales como añadir marcadores de referencia y condiciones a las DRS, se pueden ver com o tales operaciones de la Teoría de Conjuntos.

El conjunto de marcadores de referencia en una DRS cumple el papel de un mecanismo de cuantificación. Las ocurrencias libres de los marcadores de refe rencia en las condiciones (atómicas o complejas) de las DRS son acotadas por dicho conjunto. La fuerza de acotación de los conjuntos de marcadores de refe rencia es más poderosa que la de los cuantificadores en la lógica de predicados. Los cuantificadores sólo pueden acotar variables dentro de su alcance. Si identificamos el alcance de un conjunto de marcadores V en una d r s (V ,C ) con las condiciones en C , entonces el conjunto V puede acotar mar cadores por fuera de su alcance. Esto ocurre en el caso en que {V, C) sea el antecedente de un condicional (V, C ) —> (V ',C '). En el caso en que un mar cador x £ V ocurra libremente en el consecuente ( V ' , C ) , dicha ocurrencia queda acotada por el conjunto V en el antecedente. Esta noción más general de acotación de variables es una característica esencial de la DRT; ella constituye el núcleo del tratamiento de las oraciones burro por parte de la DRT, en las cuales un término indefinido dentro del antecedente de una estructura implicacional puede vincularse anafóricamente a un pronombre por fuera de su alcance en el consecuente. En el lenguaje de las DRS definido anteriormente, esta noción más relajada de acotación se restringe a las implicaciones. En una disyunción no es posible que el conjunto de marcadores de uno de los componentes de la disyunción acote marcadores en el otro componente. Similarmente, un conjunto de mar cadores bajo el alcance de la negación no tiene fuerza para acotar por fuera de la negación. Por supuesto que las propiedades de acotación de las DRS, discutidas aquí informalmente, son efectuadas por su semántica, sobre lo cual volveremos más adelante. A manera de ilustración, presentamos las DRS de los dos ejemplos discutidos en §7.4.3. en la notación lineal de la definición 7.23. En la notación pictórica de cajas, la sucesión de oraciones Juan ama a una muchacha que lo ira. Ella (también) lo ama se representó com o (122) (= (117)):

(122) x, y

Juan=x x ama a y muchacha (y) y ira a x y ama a x En el formalismo de la definición 7.23., (122) corresponde a la siguiente DRS:

(123) ({x ,y }, { juan =

x , a m a r ( x , y), muchacha (y), a d m ir ar ^

,

x ), a m ar (y,

x )} )

Muestro segundo ejemplo es la DRS de la oración burro Todo granjero que tenga

un burro lo golpea (= (12 0 )): (124)

X granjero (x) x tiene a y burro (y)

=>■

x golpea a y

La DRS principal de (124) consiste en un conjunto vacío de marcadores de referencia y un conjunto de condiciones con un elemento: una condición com pleja que tiene la forma de una implicación. La caja a la izquierda del signo de implicación, la DRS antecedente, se escribe como (125) en la notación lineal de la definición 7.23.: (125) ({x , y }, { granjero ( x ), BURRo(y), te n e r ( x , y )}) La caja de la derecha del signo de implicación, la DRS consecuente, se escribe ahora com o (126): (126) (0, { g o lpear ( x ,?/)}) Las DRS (125) y (126) juntas forman la condición compleja (127): (127) (({ x , y }, { granjero ( x ), BURRo(y), te n e r ( x , y ) } ) —» ( 0, { g o lpear ( x , y ) } ) ) La DRS (124) como un todo corresponde, entonces, a (128): (128) (0, (({x , y }, { granjero ( x ), BURRo(y),

ten er ( x ,

y )}) —►

( 0, { g o lpear ( x , y ) } ) ) )

Por razones de legibilidad, algunas veces escribiremos (0, { 0 i , . . . , 4>n}) como { 0 1 , . . . , 0 „ } y { 0 } como 0 y omitiremos los paréntesis exteriores. Con estas convenciones, (128) se puede escribir como (129): (129) ({x , y }, { g r a n j e r o ( x ), BURRo(y), t e n e r ( x , y )}) —> g o l p e a r ( x , y)

E jercicio* 7.1 6.

Escriba en la notación lineal de la definición 7.23. la DRS para las (sucesio de) oraciones (a) a (c) y la DRS para (d): ' nes (a) Un muchacho ama a una muchacha (b) Todo muchacho ama a todas las muchachas (c) Si juan ama a María, entonces ella lo ama. Si ella lo odia, él la odia (d) Exactamente un muchacho camina por el parque. Él silba Ahora, consideraremos la interpretación semántica de las DRS utilizando un modelo, tal com o se hace con las fórmulas de cualquier lenguaje lógico Para el lenguaje de las DRS que tratamos aquí, los modelos extensionales de primer orden son adecuados. De esta manera, un modelo M = (D , I) consiste en un dominio D y una función de interpretación / , que interpreta las constantes individuales y las constantes de predicado de la manera usual. Dado que la definición sintáctica define tanto las condiciones como las drs la definición semántica también tiene que establecer las interpretaciones para las dos clases de expresiones. Se definen simultáneamente dos nociones: N m i£í , que significa que la condición 0 es verdadera en el modelo M con respecto a la asignación g ^ Que significa que la asignación h es una imbuición verificadora para la drs <E> en el modelo M con respecto a la asignación g En términos de estas dos nociones daremos la interpretación de las condiciones y as DRS, por medio de una definición recursiva simultánea. Utilizaremos la siguiente convención notacional: PJm.3 = /m (¿) si t es una constante individual W m,s = g(t) si t es una variable h\xi , . . . . x n]g significa que la asignación h difiere a lo sumo de la asignación g en los valores que le asigna a los marcadores de refer en cia x i , . . . , x n (para n = 0, esto viene a ser lo mismo que h = g) Definición 7.24.

■■' ’ * ") SÍÍ

(i)

(ii) H m ,5 * = ^ SÜ W M'3 =

p i)

9^

•••, PnlM.g) € / m ^ )

M’9

S" n0 hay nin§una ^ tal que h

,.y) |^M g ($ —> V^) sii para toda h, si h ]=M,g

^ entonces existe una k tal

que k |=m,/i ^

(v) (=M9 ($ V q u e h |=M,g (v i)

sii existe al§una h tal que h ^ M’9 $ ° eXÍSte alguna h tal ^

( = M jfl < { * ! , . . . , X n } , {
h

&

^

&

H M .h ¿ 1 &

•••

4>m

Definimos la noción de verdad en una DRS en términos de la noción de una imbuición verificadora para una DRS: D efin ición

7.25.

DRS $ es verdadera en un modelo M con respecto a una asignación g,

Una

t=M,g

sü existe una asignación h tal que h |=M,g $

O bsérvese

que la noción de verdad de una DRS juega un papel implícito en la

en las cláusulas (iii)-(v). Utilizando la noción de verdad de una DRS d e f i n i d a en 7 .2 5 ., estas cláusulas se pueden escribir de manera más económi

d e fin ic ió n 7 .2 4 .,

c a a sí:

(Üi’) t=M,p (iv ’ ) (v ’)

Sii

,g $

f=Mifl ($ -► $ ) sii para toda h, si h t=M,g )= M ,g ( $ v ’í ' ) sii N , g

entonces |=M,h V

^ ° I= m ,j ^

En palabras: una condición -<$ es verdadera con respecto a una asignación g sii la DRS $ es falsa con respecto a g-, una condición es verdadera con respecto a g sii \I> es verdadera con respecto a toda asignación hquesea una imbuición verificadora para $ con respectoa g, y una condición $ V ^ es verdadera con respecto a g sii $ es verdadera con respecto a g o í e s verdadera con respecto a g. La definición de verdad también deja claro que el conjunto de marcadores de

referencia en una DRS cumple el papel de un mecanismo de cuantificación.

Una d r s ( { # 1, . . . , xn}, {(¡)X, . . . , 4>m}) es verdadera con respecto a g sii % alguna asignación h que difiere a lo sumo de g con respecto a los valoreg^J le asigna a x \ , . . . , x n y tal que (j)\,. . . , i, •••, 0 m } ) sii (=M,9 & . . . & |=M g m. Para ilustrar la manera en que funcionan las definiciones 7.24. y 7.25., consideraremos de nuevo las DRS de la sucesión de oraciones Juan ama a una muchacha que lo ira. Ella lo ama (también), presentadas en (123), y la D R S d e l a o r a c i ó n b u r r o Todo granjero que tenga un burro lo golpea, presentada en (128). Primero la interpretación de (130) (= (123)): (130) ({a:,í/}, {JUAN=X, AMAR(x, y), MUCHACHA(y), IRAR(y, x), AMAR(y, x)}) De acuerdo con la definición 7.25., la DRS (130) es verdadera (podemos omitir la referencia a una asignación dado que (130) no contiene variables libres) sii hay una asignación h que sea una imbuición verificadora para (130). De acuerdo con la cláusula (vi) de la definición 7.24., este es el caso sii hay una asignación h tal que \=h juan= x , |=/j am ar (x , y), |=h muchacha (y), (=*. iRAR(y, x) y 1=^ AMAR(y, x). De acuerdo con las cláusulas (i) y (ii), este es el casa sii hay una asignación h tal que / i (x ) = / ( juan), {h (x), h (y )) 6 / ( amar ), h ( y ) e l ( muchacha), (h(y), h (x )) 6 / ( irar ) y (h(y), h (x ))e / ( amar ). En otras palabras, la DRS (130) es verdadera bajo exactamente las mismas circunstancias que la fórmula de la lógica de predicados (131), que a su vez es equivalente a (132): (131) 3x3y(juAN =x

A muchacha (y) A am ar (i ,?/)

A irar ^ , x)

A am ar (?/,i ))

132)

3z[MUCHACHA(y) A AMAR(j> y) A IRAR(y, j ) A AMAR(y,j)]

uestro segundo ejemplo, consideraremos la interpretación de la DRS (133)

^°(128)) que corresponde a la oración burro (104): 13 3

1

) (0, « { x , y } , {GRANJER0(x),BURR0(y),TENER(x,y)}) -»• (0, {g o lp e a r (x , y)})))

pado que el conjunto de marcadores de la DRS principal de (133) es vacío, sus condiciones de verdad coinciden con las de su única condición (134) (=(127)): (134) (({x, y }, ( granjero(x ) , BURRo(y), tener (x , y)}) -> (0,{GOLPEAR(x,y)}))

De acuerdo con la cláusula (iv) de la definición 7.24., la oración (134) es ver dadera sii la DRS consecuente (0, { golpear (x , y)}) es verdadera con respecto a todas las asignaciones h que sean imbuiciones verificadoras de la DRS ante cedente ({x , y }, ( granjero(x ), BURRo(y), tener (x , y )}). La verdad de la DRS consecuente (0, { golpear (x , y )}), que tiene un conjunto vacío de marcadores, viene a ser la verdad de su condición golpear( x , y). Esto significa que las con diciones de verdad para (134), y por lo tanto para (133), vienen a ser las siguientes: para toda asignación h, si h (x ) G / ( granjero), h(y) £ / ( burro) y (h (x ),h (y )) € / ( tener ), entonces (/i(x ), /i(y)} € / ( golpear). En otras pa labras, la verdad de las condiciones de la DRS (133) para la oración burro (118) son las mismas que las de su traducción (135) (= (10 6 )) en la lógica de predicados: (135) VxVy (( granjero (x ) A burro(x ) A tener (x , y)) —> golpear ( x , y)) Es esta interpretación de la implicación en la drt la que se hace cargo de que cualquier conjunto de marcadores en el antecedente pueda acotar ocurrencias de variables en el consecuente y la que le da fuerza universal. Ejercicio 7.17. Determine las condiciones de verdad de la DRS de las (sucesiones de) oraciones (a) a (c), y (d), del ejercicio 7.16., aplicando las definiciones 7.24. y 7.25.:

(a) Un muchacho ama a una muchacha (b) Todo muchacho ama a todas las muchachas

(c) Si juan ama a María, entonces ella lo ama. Si ella lo odia, él la odia (d) Exactamente un muchacho camina por el parque. El silba Hasta ahora no le hemos prestado casi atención a la negación y a la disyunción de las DRS. Cerraremos esta sección con unas pocas observaciones acerca de estas operaciones. Primero, veamos la negación. Consideremos las siguientes dos sucesiones de oraciones: (136) No es cierto que un hombre camine por el parque. Él silba (137) Ningún hombre camina por el parque. Él silba En ambos casos observamos que el pronombre en la segunda oración no puede ser vinculado anafóricamente a los términos un hombre o ningún hombre de la primera oración. Este hecho se explica en la DRT. Utilizando una vez más la notación de cajas, la construcción de DRS de la primera oración daría como resultado la DRS (138): (138)

hombre (x) camina por el parque(x) Esta DRS tiene un conjunto vacío de marcadores de referencia y contiene una única condición, la negación de la DRS que corresponde a un hombre camina por el parque. Si añadimos la segunda oración a esta DRS, no podemos ir más allá de lo siguiente:

X —1

hombre (x) camina por el parque(x)

él camina No podemos resolver el pronombre. En la DRS principal no se han introducido marcadores de referencia. El conjunto de marcadores dentro de la negación no es accesible. También podemos ver esto de la siguiente manera: tomemos la representación lineal (140) de la DRS (139), en donde reemplazamos el pro nombre por el marcador x:

(1 4 0 )

(0 , { " ' ( { x } , { H O M B R E ( x ) , C A M IN A P O R E L P A R Q U E ( x ) } ) , S IL B A R ( x ) } )

t a ocurrencia del marcador x en la condición SILBAR(x) es libre. El conjunto . marCadores de la DRS a la cual pertenece es vacío, pero no lo es en el con secuente de la implicación. El ejemplo es una instancia del hecho general de que l°s términos en una oración negada no pueden tener una relación anafó rica con los pronombres en oraciones subsiguientes. En el segundo ejemplo, (137), obtenemos un resultado equivalente. En la notación de cajas obtendríamos la siguiente DRS como su interpretación:

X

=¿*

camina por el parque (x)

hombre(x) él camina Una vez más, el pronombre no se puede resolver. De manera correspondiente, en la representación lineal (142) encontramos una ocurrencia del marcador x en la condición SILBAr (x ) que no está acotada: (142) (0, { « { x } , { h o m b r e (x )) -> —.<0, { c a m in a POR EL p a r q u e ( x )})),

silb ar (x )})

Bajo esta representación no es la negación como tal la que bloquea la relación anafórica en (137), sino más bien el hecho de que los términos dentro de una oración condicional no pueden entrar en una relación anafórica con pronom bres en oraciones subsiguientes del discurso. Esto significa que en el caso de los discursos (143) a (145), la DRT predice correctamente que los pronombres en la segunda oración no pueden estar relacionados anafóricamente con térmi nos de la primera oración: (143) Todo hombre camina por el parque. El camina (144) Si un granjero tiene un burro, él lo golpea. El lo odia (145) Ningún hombre camina por el parque. El silba Sin embargo, algunas veces discursos estructuralmente similares son correctos: (146) Todo jugador escoge un peón. Él lo pone en el primer cuadrado

(147) Si un cliente entra, lo tratas bien. Le ofreces una taza de café y le dice8 que espere En (146) y (147), la primera oración corresponde a una DRS que contiene una condición que tiene la forma de una implicación. Para obtener una repre sentación correcta de los significados de (146) y (147) necesitaríamos que la condición que corresponde a la segunda oración estuviera incluida en el conse cuente de la implicación que corresponde a la primera oración. Así pues, no es imposible construir una DRS para estos discursos, pero el proceso de construc ción de las DRS para la segunda oración tiene que tener una forma diferente a la del procedimiento normal, en el cual las segundas oraciones entrarían en la DRS principal, en estos casos, las segundas oraciones deben entrar en la drs consecuente de la representación de la primera oración. Más aún, tendríamos que explicar por qué este procedimiento no está permitido para (143) y para muchos otros casos. Se pueden hacer observaciones similares con respecto a la doble negación. En algunos casos, aunque no en todos, obtenemos relaciones anafóricas: (148) No es cierto que Juan no tenga un carro. Es rojo y está parqueado en frente de esta casa La DRT no puede explicar esto fácilmente; la negación bloquea las relaciones anafóricas y esta característica de la negación no es aniquilada por la doble negación. Se pueden observar limitaciones similares en la explicación de las relaciones anafóricas con disyunciones. La interpretación de las disyunciones como se da en la definición 7.24. prohíbe relaciones anafóricas entre un pronombre que esté en la oración de la derecha de la disyunción y un término que esté en la de la izquierda. Por consiguiente, las oraciones como (149) y (150) no pueden ex plicarse simplemente tomando la disyunción de las dos oraciones componentes: (149) O bien no hay baño aquí o bien éste es un lugar curioso (150) O bien Juan no tiene un burro o bien lo golpea Este hecho es sorprendente, dado que estas disyunciones parecen ser simples variaciones de oraciones burro ordinarias; la disyunción burro (150) es equiva lente a nuestro ejemplo anterior (103). Pero no hay una manera fácil y directa de mejorar el lenguaje de las DRS y su interpretación para obtener mejores resultados para estos ejemplos problemáticos.

Ejercicio* 7.1 8. proporcione las DRS que representen correctamente el significado de los ejem plos (144) a (147).

74.5.

D R T y la composicionalidad

los puntos de partida de la semántica modelo-teórica es que el signi f ic a d o reside en las condiciones de verdad. La noción de verdad de las DRS, d e fin id a en §7.4.4., nos proporciona condiciones de verdad para las DRS y, d e u n a manera indirecta, por medio de su reconstrucción en DRS, nos brin d a condiciones de verdad para las oraciones y discursos del lenguaje natural. C o n s i d e r e m o s el siguiente par de ejemplos: U no de

(1 5 1 )

Un hombre camina por el parque

(152) No todo hombre no camina por el parque Las DRS correspondientes a (151) y (152) son (153) y (154), respectivamente: (1 5 3 )

({x }, {HOMBRE(x), CAMINA POR EL PARQUE(x)})

(1 5 4 )

(0, { - '( ( { x } , { h o m b r e (x )}) —>•-.(0, { ca m in a

por el parq u e (x )}))})

Utilizando nuestras convenciones de abreviación, esta última puede escribirse de la siguiente manera: (155) ->(({x},HOMBRE(x)) —> -"CAMINA POR EL PARQUE(x)) En efecto, algunos cálculos muestran que (153) y (154) tienen las mismas condiciones de verdad en la DRT, tal com o las fórmulas correspondientes en la lógica de predicados. Por consiguiente, si identificamos el significado lógico con las condiciones de verdad, debemos concluir que (151) y (152) tienen el mismo significado lógico. Por otro lado, consideremos lo que pasa si continuamos cada una de las oraciones (151) y (152) con la oración El silba. Tenemos, entonces, los siguien tes dos discursos (el primero de los cuales ya lo encontramos anteriormente; (156)=(93)): (156) Un hombre camina por el parque. Él silba (157) No todo hombre no camina por el parque. Él silba

Claramente, ahora hay una diferencia: sólo en el caso de la oración (15^ podemos interpretar el pronombre en la segunda oración com o ligado anafórt 1 camente a un término en la primera. Este hecho se refleja en las DRS (158) vi (159) de los discursos (156) y (157): (158) ( { x } , { h o m b r e (x ),

c a m in a p o r el p a r q u e ( x ), s il b a r (x )})

(159J (0, { - '( ( { x } , { h o m b r e (x ) }) -> —-<0, { c a m in a p o r EL p a r q u e ( x ) } ) ) , s il b a r ( x )})

Esta última se puede abreviar de nuevo de la siguiente manera: (160) { - '( ( { x } ,

h o m b r e ( x ))

-> - . c a m in a

p o r el p a r q u e ( x )), s il b a r ( x )}

Mientras que la DRS (159) tiene un conjunto vacío de marcadores, el conjunto de marcadores de (158) es el conjunto no vacío { x } . Es precisamente esta dife rencia la que explica el hecho de que en (156) el pronombre de la segunda oración se pueda vincular anafóricamente al término indefinido en la pri mera oración, mientras que tal vínculo anafórico no es posible en (157). Dado que en (159) el conjunto de marcadores { x } está dentro de una condición en su conjunto de condiciones, es imposible que acote la variable x en otra condición, en este caso SlLBAR(x), en dicho conjunto. Así pues, a pesar de que (151) y (152) tienen las mismas condiciones de verdad, es decir, el mismo significado lógico, las diferencias entre (156) y (157) muestran que tienen un papel distinto en el discurso, es decir, un ‘significado de discurso’ . Por consiguiente, para ser capaces de explicar esta diferencia, parece esencial que las oraciones (151) y (152) correspondan a DRS distintas, con propiedades de discurso distintas. En consecuencia, es posible concluir que el nivel de representación de dis curso es un nivel esencial en la semántica. Si las DRS (153) y (154), que corres ponden a las oraciones (151) y (152), son distintas pero su significado lógico es el mismo, es sólo su diferencia en form a, su diferencia como representa ciones, la que puede explicar la diferencia en el comportamiento en el discurso. Asociar las DRS a sucesiones de oraciones por medio de reglas de construc ción de DRS es, entonces, un elemento esencial de la interpretación semántica que no se puede eliminar. Esta conclusión entra en contradicción con el principio de com posicion alidad, el principio líder de la Gramática de Montague. La situación a la que nos estamos enfrentando es la siguiente: la d r t ofrece una teoría semántica no

jüposicional que es capaz de explicar ciertos fenómenos empíricos que, cojjjo lo demostramos en §7.4.2., no se pueden explicar mediante la semántica c0mposicional ofrecida por la Gramática de Montague. Esto parece sugerir, j e una manera más bien poderosa, que la composicionalidad ha sido refu tada Por esôs hechos. Pero ¿cóm o es esto posible, teniendo en cuenta que en el capítulo 6 hemos enfatizado el hecho de que la composicionalidad es un principio metodológico en lugar de una hipótesis empírica? Es el principio de composicionalidad en sí mismo el que muestra la salida a este dilema. Con sideremos de nuevo los discursos (156) y (157). Ellos son sucesiones simples de dos oraciones pero, aunque la segunda oración es la misma en ambos, su significado difiere. Por consiguiente, la composicionalidad dicta que la primera oración de (156) y (157) difiere en significado. Pero ¿no acabamos de ver que ellas tienen las mismas condiciones de verdad? Entonces la composicionalidad muestra que su significado no reside en sus condiciones de verdad. ¿Qué noción de significado puede darnos medios para encontrar una di ferencia entre los dos discursos? De cierta manera, la noción de significado requerida ya está implícita en la definición 7.24., en particular en la cláusula (vi), en donde se define la interpretación de las DRS. Esto, dado que se puede observar que la noción recursiva básica en la semántica de las DRS es la de una asignación h, que es una imbuición verificadora para una DRS con respecto a una asignación g. La noción de verdad de una DRS no es la noción semántica recursiva básica en la DRT; es una noción semántica derivada. En la definición 7.25., la verdad de una DRS se define en términos de sus condiciones imbuidas. La verdad se usa aquí com o una noción global; no es la misma noción que lubrica los engranajes de la definición de interpretación. Por ejemplo, la verdad de una condición de la forma <£—>'!' se define en términos de las imbuiciones verificadoras de $ y 'I', y no en términos de sus condiciones de verdad. De esta manera, lo que la d r t - interpretado apropiadamente, es decir, composicionalmente— muestra en realidad es que el significado de una oración o un discurso no se puede identificar con sus condiciones de verdad, sino más bien reside en las condiciones de imbuición de las DRS en las cuales se traduce. En efecto, dos DRS pueden tener las mismas condiciones de verdad, incluso cuando sus condiciones de imbuición difieran. Por ejemplo, las DRS (153) y (154), las cuales corresponden a las oraciones inaugurales de los discursos (156) y (157), tienen las mismas condiciones de verdad, pero difieren no sólo en su forma, sino también en sus condiciones de imbuición.

Así pues, no hay necesidad, en absoluto, de concluir que necesitamos \ltl nivel de representación com o un nivel esencial de interpretación. No hay ur^ razón empírica para abandonar la composicionalidad, pues es esta la que lleva a la conclusión de que lo que realmente necesitamos es una noción más rica de significado que la de la semántica estándar. Lo que podemos concluir de todo esto es que, en principio, nada se inter pone en el camino de una unificación de la DRT con la Gramática de Montague en una teoría global del significado del discurso, en tanto que interpretemos apropiadamente lo que sucede en la DRT. No podemos discutir aquí todos los detalles de dicha unificación, por una razón, y es que la DRT es una teoría extensional de primer orden, mientras que en la Gramática de Montague utili zamos una semántica de orden superior intensional. De nuevo, esta elección de marco lógico está dictada por la composicionalidad. Así pues, nuestra teoría unificadora debe extender la interpretación del discurso a esa lógica de orden superior intensional. Hacer esto está por fuera del alcance de esta introducción. Nos concentraremos en el caso de primer orden, sólo para mostrar el camino. Haremos esto al comparar, para unos pocos ejemplos, las representaciones semánticas en el lenguaje de las DftS con las traducciones en lógica de predi cados de primer orden. En esta comparación, nos concentramos en la cuestión de hasta qué punto estas dos maneras de representación se pueden obtener por medio de un proceso com p osicion a l. La respuesta a esta pregunta será que algunas veces las DRS se pueden obtener de una manera ‘más com posicio nal’ que la de las traducciones de la lógica de predicados, pero que en otros casos, la construcción de DRS también deja algo que desear. Indicaremos una manera de superar esta falta de composicionalidad en la DRT, regresando al lenguaje de la lógica de predicados de primer orden, pero interpretándola de una manera diferente. Consideraremos primero la oración burro simple (161). (161) Si un hombre camina por el parque, [él] silba Su traducción en lógica de predicados, presentada en (162) y la DRS corres pondiente, presentada en (163) difieren esencialmente en su estructura: (162) V x ((h o m b r e (x ) (163) (0, { ( { x } ,

A

CAMINA POR e l p a r q u e (x )) —» s ilb a r (x ) )

h o m b r e ( x ),

CAMINA POR EL

p a r q u e (x ) })

—>

(0, { s il b a r ( x ) } ) } )

Desde un punto de vista composicional, la DRS (163) es una mejor repre sentación de la oración (161), que la fórmula (162). Las dos oraciones un

hombre camina por el parque y él silba, a partir de las cuales está forma da Ia oración (161), se pueden recobrar en la DRS (163) como las sub-DRS ({x}, (hom bre(x), camina POR e l p a rq u e(x)}) y (0, {s ilb a r (x )}). Este no

gg el caso para la traducción en lógica de predicados presentada en (162). gn efecto, una traducción composicional de la oración (161) en la lógica de predicados conllevaría a la fórmula (164): (164) 3 x ( h o m b r e ( x ) A c a m in a por el pa r q u e ( x )) —►silb ar (x )

Por supuesto que (164) no es una traducción apropiada de (161). La variable en el consecuente no está acotada por el cuantificador existencial en el antece dente; (164) no es equivalente a la interpretación correcta, pero no composicio nal, presentada en (162). Hemos visto que la interpretación de la relación de

implicación en la DRT asegura que el conjunto de marcadores en el antecedente tiene fuerza acotadora sobre variables en el consecuente.

Como un segundo ejemplo, consideremos, una vez más, la sucesión simple de dos oraciones, (165) (= (1 5 6 )= (9 3 )):

(165) Un hombre camina por el parque. El silba

Esta vez, la traducción en lógica de predicados presentada en (166) (=(95)) y la DRS correspondiente presentada en (167) (=(158)) tienen esencialmente la

misma estructura: (166) 3 x ( h o m b r e (x ) A c a m in a po r el p a r q u e (x ) A silb a (x )) (167) ({x }, { h o m b r e (x ), c a m in a por el p a r q u e (x ) , sil b a r (x )})

A diferencia del ejemplo previo, las dos oraciones un hombre camina por el parque y él silba, a partir de las cuales se construye la oración (165), no se pueden recuperar en la DRS (167) como sub-DRS. Para que así fuera, necesi taríamos una operación sobre las DRS, digamos A, que convertiría dos DRS en una nueva. Si tal operación estuviera disponible, la oración (165) se podría representar más composicionalmente como (168): (168) ({x }, { h o m b r e (x ), c a m in a por el p a r q u e (x )}) a (0, { sil b a r (x )})

En efecto, la estructura de (168) es lo que sería la traducción de (165) en lógica de predicados si la construyéramos composicionalmente, tal como lo muestra (169):

(169) 3x(h om bre(x) A camina p o r e l parque(x)) A silb a (x )

Pero de nuevo, esta fórmula no da una interpretación correcta del significado de (165). Para que la conjunción de las d r s en (168) tenga sentido, debemos añadir (170) com o una cláusula a la definición 7.23.: (170) Si $ y ^ son DRS, entonces (<E> A '!') es una

drs

Y debemos añadir una cláusula a la definición 7.24. para representar su inter pretación. Para encontrar la interpretación del operador A, primero observaremos de nuevo la interpretación de las DRS. Como hemos visto, la definición 7.24. pre senta la interpretación de las DRS en términos de la noción relacional h (=m ,3: lh es una imbuición verificadora de la DRS con respecto a g\ Lo que esto significa es que podemos tomar la interpretación de una DRS com o una rela ción entre asignaciones de valores a los marcadores de referencia. En lógica de predicados ordinaria, en donde definimos la noción de una fórmula como verdadera con respecto a una asignación, podemos ver el significado de una fórmula com o un conjunto de asignaciones: las asignaciones bajo las cuales la fórmula es verdadera. Similarmente, el significado de una DRS se puede tomar com o un conjunto de pares ordenados de asignaciones. Por ejemplo, el conjunto de pares de asignaciones que son la interpretación de la DRS simple ( {x }, {F (x ) } ) se puede escribir como: (171) { ( g, h) |h[x)g & h(x) € / ( / ) }

Obsérvese que el orden de los pares en (171) es el contrario al de la noción de h ¡=M,g. La razón de esto es que tiene sentido considerar dichos pares en tér minos de entradas y salidas. Con respecto a una asignación de entrada g, la salida del procedimiento que interpreta ({x }, {.F (x)}) corresponde aquellas asignaciones h que difieren de g a lo sumo en que asignan un objeto a x tal que dicho objeto pertenece a la interpretación del predicado F. Desde esta perspectiva, la tarea de encontrar una interpretación de $ A í ' viene a ser la de especificar la relación de entrada-salida de $ A 'I', en términos de las relaciones de entrada-salida asociadas con
(172) h (=m,s $ A í» sii existe alguna k tal que k (=M,g $ y h [=M,fe ^ P o r e je m p lo , p a r a

(165),

e s t o s ig n ific a q u e la s e c u e n c ia d e o r a c io n e s p u e d e ser

r e p r e s e n ta d a p o r m e d io d e la c o n ju n c ió n d e la s d r s e n s u la que

(172) p a r a l a (168) o b t i e n e

(168).

B a jo

la c lá u

in te r p r e ta c ió n d e la c r e a c ió n d e s u c e s io n e s , la in t e r p r e ta c ió n es la m is m a q u e la d e la DRS o r ig in a l

(158).

D e e sta m a n era ,

o b t e n e m o s la f o r m a q u e tie n e la D R T p a r a in t e r p r e t a r s u c e s io n e s d e o r a c io n e s c o n u n t é r m in o in d e fin id o e n la p r im e r a o r a c ió n y u n p r o n o m b r e e n la s e g u n d a . T a m b i é n p o d e m o s r e p r e s e n t a r l a a h o r a p o r m e d i o d e u n a D R S e n l a c u a l la s

(165) e s t á n r e p r e s e n t a d a s p o r s u b - D R S e n (168). Para un último ejemplo en la discusión de composicionalidad, volvemos de nuevo sobre la oración burro (173) (= (104)):

o r a c io n e s c o m p o n e n t e s d e

(173) Todo granjero que tenga un burro lo golpea La

o r a c ió n

(173) o b t i e n e l a m i s m a t r a d u c c i ó n (175) (= (10 6 )) e n (174) (= (12 1 )) y a m b a s s e r e p r e s e n t a n p o r l a m i s m a

p r e d ic a d o s q u e

ló g ic a DRS

de

(176)

(= (128)): (174) Si un granjero tiene un burro, lo golpea (175) VxVy ( ( g r a n j e r o ( x ) A b u r r o ( x ) A t e n e r ( x , y)) —> g o l p e a r ( x , y)) (176) (0,

(({x ,

y },

{ g r a n j e r o ( x ) , b u r r o ( j/ ) , t e n e r ( x , y ) } ) — ►

( 0 , { g o l p e a r (x , y ) } ) ) )

Como lo comparábamos en el ejemplo anterior, encontramos en este caso una brecha más dramática de la composicionalidad en la traducción en lógica de predicados. La oración (173) contiene el término indefinido un burro que normalmente se traduce com o un sintagma cuantificado existencial. En la tra ducción (175), sin embargo, estamos forzados a asociarlo con su cuantificación universal. Más aún, este cuantificador debe recibir alcance amplio sobre la implicación como un todo, mientras que el término indefinido un burro ocurre dentro de la cláusula relativa que es parte del sujeto del término de (173) y, por consiguiente, a partir de un punto de vista composicional, debería estar dentro del antecedente. Pero, de manera similar, no se puede encontrar ninguna subexpresión en la D R S (176) que corresponda al sintagma nominal común granjero que tenga un burro y que forme un componente en la oración (173). Esto mismo es cierto para el sintagma verbal intransitivo tiene un burro en la oración (174). Una d r s que correspondería a esta última oración sería (177):

(177) ( { y } , (BURHo(y), t e n e r ( x , y )}) Para llegar desde aquí a la representación de granjero que tenga un k j podemos utilizar nuestro nuevo operador A: (178) (0,

(G R A N J E R O (x )})

A

( { y } , (G R A N J E R O (y ), t e n e r ( x , y ) } )

El sintagma verbal lo golpea se puede asociar con la (179) (0,

{g o lp e a r (x ,

DRS

(179):

y )})

Lo que necesitamos ahora es una operación que combine la d r s (178), qUel corresponde al sintagma nominal común de la oración (173), con la d r s (1 7 9 ) ;jue corresponde a su sintagma verbal. Esta operación tiene que convertir estas DRS en una implicación que tenga (178) com o su antecedente y (179) como su consecuente. Más aún, el marcador de referencia x debe quedar acotado, es iecir, el antecedente debe, además, contener un conjunto de marcadores {x}. D R S (180) serviría, pues obtendríamos la interpretación correcta, dado que illa tiene las mismas condiciones de imbuición que la D R S original (134): 180) ( ( { x } , (0 , {

( g r a n j e r o (x ) } )

g o l p e a r (x

A

( { y } , (B U R R O (y ), t e n e r (x , y ) } ) ) —>

, y )})

*ero este resultado sólo se puede obtener al reemplazar el conjunto vacío en i primera oración de la conjunción de (178) por el conjunto { x } . Esta es una uerte de maniobra sintáctica que es, para decir lo menos, difícil de interpretar smánticamente. No es la clase de movida que se permite en un marco comosicional, pues nos fuerza a romper una estructura que ya estaba construida, ería preferible, si pudiéramos, simplemente preponer { x } al antecedente: .81) {x }((0 ,

( g r a n j e r o (x ) } )

A

( { y } , (B U R R o (y ), t e n e r (x , y ) } ) )

—>

(0 , { g o l p e a r (x , y ) } )

sro esto no cuadra con la cláusula (vi) de la definición 7.23. de la sintaxis ; las d r s y de las condiciones. De acuerdo con esta cláusula, el conjunto de arcadores { x } debe combinarse con un conjunto de condiciones y no con una IS. En efecto, en el momento en que se pueda conectar un conjunto de mardores con una D R S para formar una D R S nueva y más compleja, podemos finir una noción iterativa de cuantificación, conectando un conjunto sin-

* 11 {%} a una DRS’ en lugar de una noción no iterativa de la definición 23 Û6 611 Un âS° com^'na un conjunto { x i> •••>xn }, para n > 0, con un i'unto de) condiciones. Esto último se necesitaba en la definición 7.23., esto que el añadir un conjunto de marcadores cambia su estatus sintáctico: PU to convierte a las condiciones en D R S . Una noción iterativa de la cuantificajón en DRS aplica un conjunto unitario { x } sobre una D R S $ , la cual resulta una DRS {x}
de una c o n d i c i ó n ( o , d e m a n e r a a l t e r n a t i v a , a ñ a d i r u n a o p e r a c i ó n q u e c o n v i e r t e una c o n d i c i ó n e n u n a D R S ; s i n e m b a r g o , a q u í e s c o g e r e m o s l a p r i m e r a o p c i ó n ) . Así, ya n o n e c e s i t a m o s m á s l o s c o n j u n t o s d e c o n d i c i o n e s ; l o s r e e m p l a z a r e m o s por c o n j u n c i o n e s d e D R S , u t i l i z a n d o l a n o c i ó n d e c o n j u n c i ó n a n t e s d e f i n i d a . Todo e s t o r e s u l t a e n q u e l a s i n t a x i s d e l a s D R S s e p u e d e h a c e r i d é n t i c a a l a de la l ó g i c a d e p r e d i c a d o s d e p r i m e r o r d e n o r d i n a r i a , c o n u n a e x c e p c i ó n h a s t a ahora y e s q u e a ú n n o s h a c e f a l t a e l c u a n t i f i c a d o r u n i v e r s a l ; p e r o v e r e m o s más a d e l a n t e q u e p u e d e i n t r o d u c i r s e y d e f i n i r s e e n t é r m i n o s d e l c u a n t i f i c a d o r existencial y l a n e g a c i ó n d e l a m a n e r a u s u a l . Para obtener los efectos de la D R T , sólo tenemos que adaptar la semántica. En lugar de definir la noción de ‘la fórmula 0 es verdadera con respecto a la asignación g\ definimos la noción ‘la asignación h es una imbuición verificadora para la fórmula 0 con respecto a la asignación g. El sistema que obtenemos de esta manera se llama lógica de predicados dinámica (véase Groenendijk y Stokhof (1988a, 1991) para una introducción más detallada). Llegamos entonces a la siguiente definición de la interpretación semántica de l a lógica de predicados dinámica ( d p l ) : D efin ició n 7.26. (i) h (= m ,9 P ( t i , . . . , ín) sii h = g y ([íiJM,fc, •••, IM lvu) G I m{ P) (ii) h |=m ,9 t = t' sii h = g y [ í ] M,/i = [í'Jm,/! ( ii i )

h (=M,g ~'0 sii h = g y no hay ninguna k tal que k (=M,h 0

(iv) h [=M,g (0 A i/j) sii existe k tal que k (=m.s y h |=M.fc (v) h (0 ~^>VO sü h = g y para todo k, si k tal que j |=M,fc V’

<j>, entonces existe j

(vi)

h

(0 V

(vn) h

sii h = g y existe A; tal que k

cf> o k h M)ft $

3x sii existe k tal que k[x]h y h h M,fc <¿>

(Vüi)

V *

sii h

=

g y

para toda

*,

s¡

k [x ]K

exhte

_

.

^

Las cláusulas (i) a (ü l) y (T) a (vi) m

I

de la definición 7.2 4 . L a cláusula (¡v ) introduce la c o n j u n t e lo discútanos anteriormente. E a (v i¡) encontram os la i c i ó n

D »»“

ite r a d

fc"

>

cuantificacion DRS. Por su parte, la cláusula (vüi) introduce u n í ™

' '*

tenstica, a saber, la cuantificación universal Como va 1 ■ ,v *i

V& (arac'

se puede definir de la m anera usual c o l - l ^

C

o

l

™

lector, lo siguiente es válido:

H

puede verificar el

(182) Para todo M , g y h, h |=M-J Vx
e. cnantificador existencia, no se p n ^ e tificador universal. En otras palabras 3 x ó v

V

a

S

y del cuan‘

no tienen las mismas c o n d ic C e s d e ^ m b u L d ! ^ ^ ^ ?qUÍValentes>P“ » 3x F (x ) y -i\/x-iF(x) se 1, . ! ! de imbmcion. Por ejemplo, a las fórmulas por medio de la definición 7.26.gnan ^ SlgUlentes condlcl°nes de imbuición, (183) h

3x F (x ) sii h[x\g y h (x) G I ( F )

(184) h N m ,3 - V x - F ( X) sii h = g y para a,g|¡n * ^ ^

1

2

“

»“

^

^

g /(J ^

* W " individuo pertenezca a la interpre-

en la asignación de un L d v H

“ “ “ * P ^ ^ e n t e difiera de g

p a c i o n e s de

^

<“ *

otra, por m ediocte la ni,r ^ “ “ ** ^ fórmulas “ o s t i ó n le añadimos digam os Glx ) Las fóimirlí,rlt’lr>!l y S1 e's ta ú ltim a contiene la m ism a variable X,

« (* ), (!S5) h

d | = M ,ff

3x F (x )

A

G (x) sii h[x]g

^

W AGW y

el caso de (185), encontrarnos que la variable x en la segunda fórmula de la 'unción sigue acotada por el cuantificiador existencial de la primera fórmula ^ l a c o n j u n c i ó n . Es decir, encontramos que 3 x F (x ) A G (x ) tiene las mismas ^6 d i c i o n e s de imbuición que 3 x (F (x ) A G (x )). En efecto, lo siguiente es válido £fla DPL: (187) Para todo

g y ^ h ^=M’9

a ip sii h |=M,g 3x(
gn (186), sin embargo, la variable en la segunda fórmula de la conjunción, Q(x), no está acotada por el cuantificador universal. La condición (186) re quiere que h (x), que debe ser igual a g (x ), sea un elemento de I{G ). Por supuesto que estos hechos encajan con nuestra discusión anterior, en esta sección, sobre la diferencia entre los discursos (188) (=(165) y (189) (=(157)): (188) Un hombre camina por el parque. El silba (189) No todo hombre no camina por el parque. El silba Estos dos

d is c u r s o s s e t r a d u c e n e n la s s ig u ie n t e s fó r m u la s d e la D P L:

(190) 3 x (h o m b re (x ) A c a m in a r p o r

e l

p a rq u e (x )) A

S I L B A R ( :r )

(191) ->Vx(HOMBRE(2 :) —►-'CAMINAR POR EL PARQUE(x)) A SILBAR(x) Como lo acabamos de ver, las primeras fórmulas de las conjunciones (190) y (191) no son equivalentes en la D P L , precisamente porque el cuantificador existencial en (190) también tiene fuerza de acotación sobre la segunda fórmula de la conjunción (190). En la D P L , (190) es equivalente a (192): (192) 3 x (h o m b re (x ) A c a m in a r p o r e l p a rq u e (x )

a

s ilb a r ( x ) )

Esto no es válido para (191). Por supuesto que las condiciones de verdad para la primera fórmula de las conjunciones (190) y (191) son las mismas, incluso si su significado completo e s diferente. La definición de verdad sigue siendo la misma que la de la D R T : D efin ició n 7.27. Una fórmula 4> es verdadera en un modelo M con respecto a una asignación 9i [=M,g 4> sii existe una asignación h tal que h (=M.g

Si regresamos de nuevo a nuestros dos ejemplos simples, dadas las con^ J nes de imbuición (183) de 3 x F (x ) y (184) de -iV x-iF (x), puede verificf^B fácilmente que sus condiciones de verdad son las mismas de acuerdo 1 definición 7.27. En efecto, es válido de manera general que: ' (193) Para todo M , g y h, h |=M,g 3 x0 sii f=M,g -,V x-'0 Otro hecho importante sobre la D P L está relacionado con la interpretación las oraciones burro. Las fórmulas (197), (198) y (199) son las traduccione¿J de las oraciones burro (194), (195) y (196), respectivamente (=(161), (173^ (174), respectivamente): (194) Si un hombre camina por el parque, [él] silba (195) Todo granjero que tenga un burro lo golpea (196) Si un granjero tiene un burro, lo golpea (197) 3x(hom bre(x) (198)

A

cam inar p o r e l parque(x)) —> silb a r(x )

V x ( ( g r a n j e r o (x )

A 3y(BURR0(y) A t e n e r ( x , y ))) —►g o l p e a r ( x , y))

(199) 3 x ( g r a n je r o ( x ) A 3 y ( B U R R o ( y ) A t e n e r (x , y ))) —►g o l p e a r (x , y) Por supuesto que las traducciones (197) a (199) no serían traducciones en lógica de predicados ordinaria. El hecho esencial que determina que se a n traducciones correctas en la D P L se ilustra mejor con el ejemplo más sencillo de los tres. La fórmula (197) es una implicación con un antecedente cuantificado existencialmente y un consecuente en el cual ocurre una variable ‘libre’. En efecto, la variable no es libre en absoluto en la D P L : está acotada por el cuantificador existencial en el antecedente. Dado que tenemos un cuantificador universal a nuestra disposición, este hecho se puede establecer de la siguiente manera: en la D P L la fórmula (197) tiene exactamente la misma interpretación que (200), la cual es la traducción usual en la lógica de predicados de primer orden de la oración burro (194): (200) Vx (( g r a n je r o (x ) A 3y(BURRO(y) A t e n e r (x , y )) —> g o l p e a r (x , y))) De manera general, tenemos la siguiente equivalencia: (201) Para todo M , g y h, h [=m,3 3x0 —►%¡) sii h (=M,g Vx(0 —> i¡))

diferencia de la lógica de predicados, la equivalencia de 3 x0 —> t/> y Vx(0 —> i\ es válida sin importar si contiene ocurrencias libres de x. Por supuesto, de a c u e r d o con (201), las fórmulas (198) y (199) también son equivalentes y, ¿s aún, son equivalentes a (202), que es su traducción correcta en lógica predicados ordinaria: (202)

VxVy((GRANJERo(x)A BURRo(y)A

te n e r (x ,

y

)) —►

g o lp e a r (x ,

y))

Concluiremos esta sección observando que, aparte de ofrecer un sistema lógico con apariencia más ortodoxa y que provee una herramienta mejor para

un análisis semántico composicional de los discursos en lenguaje natural, la PPL y la tienen el mismo impacto empírico. En particular, los casos pro blemáticos de relaciones anafóricas discutidas al final de §7.4.4. son igualmente problemáticos en el marco de la Se necesita una semántica dinámica esen cialmente más rica, una semántica más dinámica, para tratar esos fenómenos problemáticos (véase Groenendijk y Stokhof (1988a)).

DRT

DPL.

E jercicio* 7.19. Considere de nuevo el ejemplo (97), que se trató en §7.4.2. y sobre el cual versa el ejercicio 7.15.: Exactamente un muchacho camina por el parque. El silba. De una traducción correcta de (97) en (a) lógica de predicados; (b) en el lenguaje DRS de la definición 7.1. y, (c) en lógica dinámica de predicados. Compare entre sí las traducciones realizadas en (a), (b) y (c) con respecto a su ‘nivel de composicionalidad’. E je rcicio * 7.20. Considere la siguiente alternativa para la interpretación semántica de la dis yunción: h Nm,9 4> V ip sii h t=M,s 4> o h

|=M ,g

(i) Discuta las diferencias entre esta interpretación y la de la disyunción com o se da en la cláusula (iv) de la definición 7.26. (ii) ¿Es posible explicar los ejemplos (149) y (150) del §7.4.4. bajo esta in terpretación de la disyunción? (ni) Intente encontrar un ejemplo típico de una sucesión de oraciones que exhiba el tipo de relación anafórica que se puede explicar con base en esta interpretación alternativa de la disyunción.

Ejercicio* 7 .2 1 .

En la lógica de predicados ordinaria es posible comenzar a partir de un con. junto mínimo de conectivos y cuantificadores y definir los otros en términos de éstos. Por ejemplo, A, V, y 3 se pueden definir en términos de -t, V, y ' Determine dicho conjunto mínimo para la lógica dinámica de predicados. Ejercicio* 7.22. Varias nociones de implicación son factibles para la lógica dinámica de predi cados (y la d r t ) . Considere las siguientes tres alternativas: (a) (j)

j = a ip

(b) (f> (=6 0 (c)
sii para todo

M , g,

y h: si h

|=M,g entonces h (= M .g

^

sii para todo M , g: si |=m ,9 4> entonces (=M,g

sii para todo M , g , y h: si h

|=M,g

entonces h

^

Con base en lo anterior: (i) Determine para cuáles de esas tres nociones de implicación es válido que: 3 x F (i) f= F ( x ); 3x F (x ) |= 3y F (y ). (ii) Determine para cuál de las tres nociones es válido que: (f) f= ip sii |= (f>— (iii) En lógica de predicados ordinaria la relación de implicación es reflexiva y transitiva. ¿Es esto cierto para las tres nociones definidas anteriormente? Si no lo es, presente un contraejemplo.

7.4.6.

Conclusión

Las conclusiones principales que se obtienen a partir de la discusión anterior son las siguientes. Primero que todo, se ha mostrado ampliamente que el cambio de la DRT a partir de una semántica estática y basada en oraciones, hacia una semántica dinámica y basada en discursos, es una movida muy exi tosa. Segundo, hemos visto que algunas de las características distintivas de la d r t , el lenguaje DRS poco ortodoxo, y en particular su postulado de un nivel intermedio de representación semántica entre la sintaxis del lenguaje natu ral y la interpretación semántica, no son ingredientes necesarios para su éxito empírico. En lugar de ello, podemos usar el lenguaje de la lógica de predicados de primer orden, interpretada de la manera composicional usual, si utilizamos una noción dinámica más rica en significado.

lógica dinámica de predicados no es simplemente una variante notaciomás ortodoxa de la d r t ; ella nos permite, en la medida en que esto es posible en el lenguaje de primer orden, obtener traducciones composicionales d i r e c t a s de las oraciones que ejemplifican el alcance empírico de la D R T . La

paJ

que la D P L es un marco lógico composicional ortodoxo, no parece ser tarea mayor transferir su interpretación dinámica a lenguajes intensionales d e o r d e n superior, tales com o el utilizado en la Gramática de Montague, y de e s t a manera intentar una unificación de la Teoría de Representación de Dis c u r s o s y la Gramática de Montague. D ado

una

La Gramática de Montague también se puede beneficiar de tal empresa. En §7.4.2. se mostró que los mecanismos de las reglas de cuantificación no s o n adecuados para explicar las relaciones anafóricas sobre las cuales trata l a D R T . En efecto, las traducciones en la D P L que obtenemos para las oracio n e s burro y el tratamiento de la D P L de otras relaciones anafóricas dentro y fuera de los límites de la oración sugieren, convincentemente, que no necesita m o s el mecanismo de cuantificación para explicar las relaciones anafóricas. Las traducciones que la D P L ofrece se parecen a las que obtenemos en una cons trucción directa, donde se establecen las acotaciones adecuadas por medio de l a dinámica del mecanismo de interpretación, en lugar del mecanismo de las reglas de cuantificación. Esto le quita la última de las dos funciones: explicar la s relaciones anafóricas. La única función de las reglas de cuantificación que permanece es la de explicar las ambigüedades de alcance (pero como lo indica m o s en §6.6., se han desarrollado alternativas que explican las ambigüedades de alcance de una manera diferente). Finalmente, le recordamos al lector que el tipo de fenómenos que se han estudiado en el marco de la D R T no se limitan a lo que aquí ha sido el énfasis principal, a saber, las relaciones anafóricas. Un primer ejemplo de otro cam po de aplicación es el de los estudios sobre tiempos y aspectos verbales. En Hinrichs (1986): Kamp (1981); Kamp y Rohrer (1983), y Partee (1984), se expone el punto de vista de que el papel de los tiempos y aspectos verbales en el discurso es un tema importante de la semántica de los tiempos y aspectos verbales y que el enfoque dinámico del significado arroja nueva luz sobre este análisis. Otro fenómeno que ha sido tratado dentro del marco de la D R T es el análi sis semántico de las oraciones sobre creencias y otros reportes de actitudes proposicionales. En Asher (1986, 1987) y Zeevat (1987), se expone el punto d e vista de que la filosofía representacional detrás de la D R T provee mejores medios para tratar muchos de los problemas añejos en este campo. Así pues,

esta es un área en donde se considera que el “representacionalismo” de la drt contribuye positivamente a nuestro entendimiento del fenómeno en cuestión.

Además de los tiempos y aspectos verbales y las actitudes proposicionales, también se han discutido otros fenómenos de la DRT, tales com o el impacto en el discurso de muchos otros términos y determinantes, además del pequeño grupo discutido anteriormente, y más relaciones anafóricas complejas en con textos intensionales (véase Kon (1987); Roberts (1987, 1989), y van Eyck (1985)).

Solución de los ejercicios seleccionados

Capítulo 2 Ejercicio 2.1. (a) (b) (c) (d) (e)

0 ~*p A -O -ip Op—O O p 0 (0 p —>p)
clave: p: usted me entiende clave: p: está lloviendo clave: p: está lloviendo clave: p: está lloviendo clave: p: está lloviendo ( esto = estálloviendo) clave: p: está lloviendo ( esto = puede estarlloviendo)

Ejercicio 2.2. ítem (a): (i) En w\ : VWl(D p)= 0, porque VW2 (p)—0 y w\Rw 2 ■ De lo que se sigue que VWl{D p ^ D D p )= l-, en w 2 : VrW2(D p )= l, pues VWl(p ) = 1 y sólo w\ es acce sible desde w2, y VW2(□ □ p )= 0 porque VW] (□ p )= 0 y w 2 Rw\. Entonces, VW2 (O p—»□ □ p )= 0 . Dado que VW2 (C\p—►□□p)=0, Dp-^D D p no es válida en M . (ii) En w\ : V^,1(-iD p )= l porque VrWl(D p)= 0; en w 2 : VW2 (-O p )= () porque Vm2 (\Hp)=l. Así, en el modelo M -O p no es válida. (iii) K ,1(0 p )= l, porque VWl(p )= 1 y w iR w i, y VW2(0 p ) = l, porque Vru,1(p )= l y w 2R w \. Esto significa que tanto V^ül(D 0 p )= l com o VU)2(D 0 p )= l y a partir de ahí VWl (p—O 0 p ) = l y VWl (p—0 < ) p ) = l. Entonces, en M . (p—O O p ) es válida.

ítem (b): (i) Vea la figura: p, q wi

P

(ii)

w 2 ->p, q

w3

1. VW2 (g )= l implica que VWl ( □ g ) = l , porque solamente w 2 es accesible desde w\. 2. VW3 (-i(p -* q ) ) = 1 implica que K ,2(D -i(p -> g ))= l porque solamente u >3 es accesible desde w2. 3. VWl(pAq) = l implica que VWl((pAq)V (~ p A ->q))=l. Entonces, V^3(D ((p A q) V (~tp A -> q )))= l, porque solamente w\ y son accesibles desde w3. 4. VW3 (p )= l, entonces VW2 (H\p)=1, porque solamente desde w2, entonces VWl (0 D p )= l, porque vú\Rw2.

es accesible

5. VW2 (p )= 0, entonces Vvn (()p)=0. porque solamente w 2 es accesible desde w i, entonces VWl (0 p A ()q)=0. (iii)

1. V^,(Dp)=l si y sólo si w = w 2. En consecuencia, 14,(0Clp)=l si y sólo si w = w i o w =v) 4 , porque w 2 es accesible sólo desde w\ y 104. De esto se sigue que Ku(0 0 n p ) = l si y sólo si w = w 3, porque tanto í/7] como 104 son accesibles sólo desde W3 . Entonces, VW2(§ D p V OODp)—0 y ODp V OO no es válido en M . 2. V ^ (D p )= l si y sólo si w = w 2. También VW2 { p p ) = 1. Entonces, para todo G W , V^(Dp—>-ip)=l. En M , IHp— es válido. 3- VWl(p)=\ y V^J,1(0 p )= 0 , dado que VW2 (p )= 0 y sólo w 2 es accesible desde w\. Se sigue que VWl(p—>0p)=0 y de ahí que Vm ((p—>0p) A (9-^ 0 q ))= 0 . En M . (p—>0p) A (g))=0, dado que VW2(p V -ig)= 0 y w\Rw2De esto se sigue que VWl ( 0 (p V -ip)—>D(p V -i^))=0. Entonces, 0 (p V ->p)—>[H(p V -ip) no es válido en M .

(jV)

1. Suponga Vr¿ (D p ) = l para algún w

G W y un V' arbitrario en el

marco. Esto significa que (p) = 1 para todo u/ accesible desde w. Cada w en el marco tiene un w' accesible desde él. De ahí V^(()p)—\. Entonces Dp—>0p es válido en el marco. 2. Suponga V^,(00np) = l para algún w G W y un V' arbitrario en el marco. Entonces, hay un w' y un w " tal que wRw ' , w'Rw", y F '„(IH p )= 1. Para probar la validez de 0 0 Op—>p es suficiente mos trar que w "R w debe ser válido (si esto es verdad, V ¿{p ) = 1 se sigue de V ^ (D p )= l). Este es, en efecto, el caso: si w=w\, entonces debe ser el caso que w '= w 2 y w"=w^\ si W=W 2 , entonces debe ser el caso que w '=w s y w"=w\ o w" = si w = w 3, entonces debe ser el caso que w'=w\ o w '=w 4 y w "= w 2; si w = w 4, entonces debe ser el caso que w '= w 2 y w"=w^. En todos los casos w "Rw. Entonces, 0 0 E\p—>p es válida en el marco. Ejercicio 2.3. ítem (a): (i) Suponga que M es un modelo con un marco simétrico subyacente. Supon ga ahora que V^,(0n<^)=l- Debe mostrarse que Vw{4>)—1. De V ^ (O d 0 )= l se sigue que para algún w' tal que wRw'\ V^,/(D0)=1. De la simetría de R se sigue que w'Rw. Este hecho, junto con el hecho de que VU,/(D 0)= 1, implica que VW(4>)=1. (ii) Suponga ahora que la relación R en un marco no es simétrica. Entonces, hay mundos w\ y tales que w 1R.W2 , mientras que W2 RW1 no se obtiene. Ahora, en ese marco definimos un modelo estipulando que Vw(p )= l si y sólo si W2 Rw. En consecuencia, VW2 (□/->) = 1 y, entonces, VWl (0 D p )= l. Sin embargo, VWl {p )= 0, por lo que se sigue que VWl (0O p—>p )= 0. En este modelo 0 \3p—>p no es válido. ítem (b): Solamente daremos los resultados. En los marcos, 0 0 0 ^ —►

V2 = w); 0 0 0 0 —> (f> corresponde a la fórmula V'u;Ví; 1\/i>2V'6'3((wRv 1 A v\Rv 2 A v\R v-¿)^ v¿= w ). Así, la generalización para el caso con sucesiones arbitrarias 0 i, ■•■, 0 n será obvia.

Ejercicio 2 . 7 . (a) p A F -ip (b) p A G p (c) P p A P q

clave: clave: clave:

(d) P (p A P ij)

clave:

(e) P (p A Fg) (f) (Fp V -iFp) A (F p—>HFp) (g) G q —>Gp o G q Gp

clave: clave: clave:

p: p: p: q: p:

usted es joven, te soy fiel. Juan lee La guerra y la paz. Carlos lee La guerra y la paz. María entra.

q: Juan pone la botella de whiskey en la nevera, com o en (d). p: una batalla naval tiene lugar, p: tú estás conmigo. q: yo estoy feliz.

Ejercicio 2.8. ítem (a): (i) Vea la figura:

(ii)

1. Dado que Vt(-ip ) = 1 sólo en los casos Í= Í4 y Í= Í5, necesitamos deter minar V í(FG p) solamente para esos valores de t. Ahora Vts (G p)= l porque Vt6 (p )= 1 y te es el único t después de £5. Además, Vt6 (G p)= l, dado que no hay t tal que t^Rt. En consecuencia, Vt4(F G p )= l y V'Í5(F G p )= l y -ip—>FGp es válida en el modelo. 2. Vrt4(F -.p )= l, dado que V'Í5(p)= 0 y t 4 R t5, pero Vu (FF->p)=0 porque ->p no es verdadero en te. De ahí que F->p—>FF-ip no sea válida en el modelo. 3. V¿6( P —ip—>-ip)=0, dado que Vt6 (P ^ p )= l y Vt6(-ip)=0. De esto se sigue que, por ejemplo, Vt5 (G (P ^ p —>->p))=0 porque t 5 R t 6 y, Por consiguiente, G (P -ip —>-ip) no es válida en el modelo. 4- Vt6(p A G p )= l, mientras que Víf] ÍH p)=0. porque t 5 R t 6 y Vt5 (p )-^ De lo que se sigue que (p A G p )—>Hp no es válida en el modelo.

íte m (b ) :

(i) Validez de FG<£—>GF4> en el marco F significa, con respecto al tiempo eje T de F , que si dos puntos del tiempo están después de un punto dado en el tiempo, siempre habrá un punto en el tiempo que esté después de estos dos puntos; es decir, si tRt\ y tR t2, entonces hay un Í3 en T tal que t\Rt3 y t 2 R t3. En otras palabras, una configuración como en la figura (a) siempre puede extenderse a una configuración como la que se presenta en la figura (b). (a)

(b)

Asuma primero que esta propiedad es cierta para F y que Vrt (FG )=l para algún t £ T en un modelo en F. Entonces, hay un t\ € T tal que tR ti y para cada t! con t\Rt' es el caso que Vf(<j))=l. Ahora, tome un t 2 arbitrario con tR t2. Como se asumió, hay un t-¿ con t\Rtz y t 2 Rt-¿. Dado que tiRt^, Vt3 ((f>)=1, y porque t2Rts es cierto, V¿2(F )=l es cierto también. Dado que t 2 ha sido escogido arbitrariamente con la propiedad tR t2, se sigue que Vrt (G F 0 ) = l. Esto significa que si la propiedad relacional dada es cierta para F, F G 0 —>GF^> es válida en cada modelo en F. Suponga ahora que la propiedad no es cierta para F . Entonces, hay puntos en el tiempo t, ti, t 2 € T de F tales que tRt] y tR t2, mientras que no hay ¿3 tal que t\Rt^ y t 2 Rts. Ahora se define un modelo en F , estipulando que Vt'(jp)=1 si y sólo si t\Rt'. Entonces, Vt1(G p )= l y, en consecuencia, V f(F G p )= l. Por otra parte, V¿2(F p )= 0 porque no hay t! con t 2 Rt' tal que Vt'( p ) = 1. Entonces, V ^ G F p ^ O . De ahí que F G p —>GFp no sea válida en este modelo y que también falle en F. (ii) La validez de G( A ~^<j>) V F G (0 A -■) en un marco F significa que en el eje temporal del marco cada punto en el tiempo es seguido por un punto final (excepto por el punto final mismo). Indicamos en el texto que t es un punto final en el tiempo si y sólo si Vt(G(<j) A ->0))=1. Esto implica que Vt(FG((f> A ~'4>))=1 si y sólo si t es seguido por un punto final y Vt(G(<j> A V FG((/> A - i 0 ) ) = l si y sólo si t es un punto final o es seguido por uno.

(iii) La validez de P P ^-^P ^, en un marco significa que la relación de accesi bilidad R de el marco es transitiva. Para ver esto, suponga primero que R es transitiva y que Vt(P P <£)=l. Entonces, habrá un t' y un t" con t” Rt' y t'R t tal que Vt"((j))= 1. Dado que R es transitiva, t"R t también es cierta y de ahí Vt(P)=l. Por esto, para cada modelo en un marco con una relación de accesibilidad transitiva, P P 0 — es válida. Suponga ahora, por otra parte, que R 110 es transitiva. En este caso, hay t", t! y t con t"R t' y t'Rt, mientras que t"R t no es cierta. Ahora, se define un modelo estipulando que Vt" ( p ) = 1; pero V hace falso a p en todas las demás partes. Entonces, Vt{P P p ) = l es en efecto cierto, mientras que V ¿(P P p)=0. Así, P P p —>Pp no es válida en este modelo.

Capítulo 3 Ejercicio 3.1. Las claves y dominios serán dejados implícitos en la siguiente solución. Además, abreviamos H0AAG como A (siempre (p) y P 0 V 0 V F com o Ecfr (algunas veces 4>)• Será claro que A <j> es equivalente a —>E—10, y E ó a -iA (a) O F W lw (b) 0 V x (H x -> H 3 y A x y ) (c) (}3yW x(H x—*U A xy) (d) \/x\/y(x 7^ y—►OS'xy)—>VxOVy(x ^ y -+ S x y ) (e) \/x(3y()KFxy A VyOEFxy A -lO VyAFxy)

( Ustedes es interpretado aquí como todos. Esta es solamente una lectura posible). (f) 3x(V y(Py <-> y = x ) A G D x ) (El presidente actual siempre será un demócrata) y: G 3x (V y (P y y = x ) A D x) (Quienquiera que sea el presidente, él o ella será un demócrata) (g) V x(S x^ >B (x, 3 y (M y A W y t))) (de dicto) 3 y (M y A V x (S x —>B(x, W y t))) (de re) V x (S x -^ 3 y (M y A B (x , W y t))) (de re, pero para cada estudiante posible mente uno diferente).

Ejercicio

3 .4 .

(a) Construimos un contraejemplo para VxO0 —

en la siguiente figura:

D Wl — D W2 — D w3 — {a, 6}; IWl(A ) — i/),IW2 (A ) { a } , I W3 (A ) {^}Es claro que para un g arbitrario, Vjyi,W2,g[x/a)(Ax) = 1 y de ahí que ^M,iui ,g[x/a\ (O A x) = 1. También V^j[^W3 g^x {A x) 1 y, consecuente mente, Vm,íü1,9[x/6](0^x)=1. De esto se sigue que FM,iu1,g(Vx0^4x)=l. Por otra parte, dado que Vm,w2 ^ x A x ) = 0 y que Vm,w3 ^ x A x ) = 0, VM,u;i(OVxAa:)=0. Entonces, Vx<Mx—»OVxAx no es válida en M . (b) Suponga que M satisface el requisito de dominios decrecientes y que Vm,u)( 0)=1- Tomemos un g arbitrario. El hecho de que Vm,uj.c/(O3x 0 )= 1 significa que para algún w' con wRw', es el caso que Vm,w',9(3 x 0 )= 1 y, entonces, VMw-ig[x/d]((j) ) = 1 es el caso para algún d £ D w>. Dado que M satisface el requisito de dominios decrecientes, es ver dad también que d £ D w. Esto significa que ^M.u,;g[I / (i](O 0 )= l y de ahí que Vm,u>,9(3xO0 ) = 1. Si M no satisface el requisito de disminución de dominios, entonces hay mundos w y w' donde wRw', con una entidad d tal que d £ D wt y d £ D w. Ahora hagamos que g {y)~ d . Entonces, VMjli)/>9[x/ d](x = y ) = 1 y, por consiguiente, VM,ti/,s (3 x (x = y ) )= l y V M ,u),g(03x(x=y))=l. Por otra parte, para todo d' £ D w (observe que d! siempre es diferente al d de arriba) y wRw', el valor de Vm .,w',g[x/d,') (x = y) es siempre 0 o indefinido. Entonces, VMw^ x/ d '](0{x= y))= 0 y, por consiguiente, Vm,u;,9(0 3 x (x = y) -»• 3 x 0 (x = y)) = 0.

Ejercicio 3.5. (a) Definimos M de la siguiente manera: W = { ^ 1, ^ 2}; R = { ( ^ 1, ^ 2)}; D = {a, 6}; IWl(E ) = {a }; IW2 (E ) = {a, 6}; Im (A ) = IW2 (A ) = {a }. Mostraremos que Vm,wi (Vx(.Ex—>DAx)—►□Vx(.Ex—>Ax)) = 0. Para una asignación arbitraria g, ,Wljg[x/b](Ex) = 0 es cierta y, entonces, VM.w ^ g l x / b ^ E x - * ^ ^ 1- También V ^ W2^ x/a] { A x ) = l es cierta, por lo

que V ^ Wug[x/a]{U A x )= l y VMtWug[x/a](E x -> O A x )= l. En consecuencia, ^M.ioi ,3(Wx(Ex ÊH.í4.x)) 1. Por otra parte, ^*^))—0, (jg donde se deduce que VM.Wl,g(O \ / x(E x^ A x))= 0 . que es lo que se quería. (b) En un modelo M , (78) es válida si y sólo si el predicado de existen cia en M es creciente, es decir, si wRvo' implica que IW(E ) C IW>(E). Supongamos que se cumple la condición anterior y que Vm,u),j(É2:) = 1. Esto significa que g (x ) £ IW(E ). Dado que IW(E ) C Iwi ,g ( x ) £ IW'(E) será válida para todo w' con wRw', Vm,™',g (E x )= l. Esto prueba que VM ,yj,g(OEx)=l. Dado que g fue escogido arbitrariamente, se sigue que V m ,w (V x(E x^ -O E x))=1. Ahora, asuma que Vm,w(Vx(Ex—> D £ ’x ) ) = ; 1 y suponga que wRw ', d £ IW(E ). Basta mostrar que d £ IW>(E) es válida también. Ahora, VM,w,g[x/ d\(E x-*O E x)=l. Dado que d £ IW(E ), tam bién se sigue que VM^w^ x/ ^ (E x )= l y así, VM w g[x/^ (\ J E x)= l. Pero esto significa que Vm,w',g[x/d\(Ex)=1 y, entonces, d £ IW'(E ).

Capítulo 4 Ejercicio 4.1.

(a) (i) no; (ii) no; (iii) sí, tipo (e, t)\ (iv) sí, tipo í; (v) sí, tipo í; (vi) no; (vii) sí, tipo £; (viii) sí, tipo t.

(b)

(i) c0(M ) debe ser del tipo (e ,i), dado que j es del tipo e, entonces a = ( ( e , t ) ,{ e ,t ) ) . (ii) (iii)

M ( j) es del tipo t, entonces a = (t , t). S (M )

es del tipo (e, t), entonces a es e.

(iv) De nuevo, a= e, entonces b= (t,t). (v)

Dado que ca es aplicable a 5, a = (( (e, t) ,(e, t ) ) , a' ) ,para algú a'; dado que ca(S), al ser del tipo a', es aplicable a M , o! — ((e, t ) , a") para algún tipo a", entonces b= (a " ,t ) para el mismo tipo a” . En consecuencia, no tenemos aquí una única solución.

Ejercicio

4 .2 .

j : Juan; a: Alberto; m: María; s: el salami; c: el sofá; M : dormir; S: rebanar; f{: sentar; T: profundamente (tipo ( ( e , i ) , (e, í))); C : cuidadosamente (tipo ((e, t) , (e, í))); ci: presumiblemente (tipo (t,t)); c2: hacer (tipo ((e, í ) , (e ,t))); c3: mal (en (d), tipo ( ( ( e , í ) , (e ,í)) , ( ( e , í ) , (e ,*)))); C4: en ((e, ( ( e , f ) , (e ,í)))); C5: entre (y), (tipo (e, (e, ((e, í ) , (e ,£))))); W : mal (en (e), tipo ((e ,i) ,í)). Traducciones: (a) ( T (M ))(j) (b) c i ( M ( j ) ) (c) ( C ( S ( s M a ) (d) V x ( -3 Y ( c 2 ( Y ) ( x ) )

-

(e) V x ( - a y ( c 2( y ) ( x ) ) -

- 3 y ( c 3(c2) ( y ) ( x ) ) ) - a y ( c 2( y ) ( x ) a w ( y ) ) )

(f) ((c4(c ))(i? ))(m ) (g) ((c5Ü')(a))(i?))(m)

(h) ((c5( j) (a ))( (c 4(c ))(fí)))(m ) E je rc ic io 4.4.

ítem (a): 7 (c 1) = P 1; 7(e2) = ( P 2); / ( e 3)= ( P 3); 7 (M )(P 1)= 1 ; 7 (M )(P 2)= 1 ; 7(A7)(P3)=0; I(A )(P \ ) es la función /1 tal que /i( P i) = 0 ,/i( P 2 ) = /i( P 3 ) = 1 - 7 (A )(P 2) es la función /2 tal que /2 (P i)= /2 (P 2 )= /2 (P 3 )= 0 . /( A ) ( P 3) es la función / 3 tal que / 3(P i)= 0 y / 3(P2)= /3 (P 3 ) = 1. 7 ( £ ) ( /x) = l sii X # 0, X + {P 3}7 (T ) ( /x ) ( y ) = l sii ( /x ) ( y ) = 0 . ítem (b): (i) Esta fórmula expresa que hay un punto con flechas a dos puntos, uno de los cuales es rodeado, mientras que el otro no lo es. Esto es válido para P i, por lo que la sentencia es verdadera. La interpretación puede obtenerse con la ayuda de la definición 4, de la siguiente manera:

Supongamos que g (x )—P 1; g(y)=P-¿\ g (z)= P z. Por esta elección, I (A )(9 (v ))(9 (v ) ) = 1 y I ( A ) ( g ( z ) ) ( g ( x ) ) = l , entonces IA (¡/)(® )]Mj9^ [ A ( z ) ( x ) 1 m ,s = 1 -

Además, I ( M ) ( g ( y ) ) = l , entonces [M (y )]M,s= l y I ( M )(g (z ))=Q, en con secuencia [M (2)]m ,9=0 y [_,M (z)]]M ,g=l- De este hecho y del precedente se sigue que \A(y)(:r ) A M (y ) A ( A ) ( z ) ( x ) A m,9= 1, de donde se sigue que l3 x 3 y 3 z (A (y )(x ) A M ( ¡ / ) A yl(z)(x) A -iM (z))J m ,j= 1 . (ii) Esta fórmula expresa que una flecha va desde un punto hacia sí mismo si y sólo si no está rodeado. Esto es verdadero porque hay una flecha desde P3 hacia sí mismo y P3 es el único punto no rodeado. Esto puede elaborarse de la manera que proponemos a continuación: |[j4(x)(x)lM,g,[a;/Pi]=::íJ4 (;l:)(*c)]M,g,[a:/P2]= ^ y I^.(*c)(*z')jM,g,[:r/P3] = l- Más

aún: [-< (M (*))]m j,[x/J ií] =

H M (x ))1m,9,(x/p2] =

°> mientras que

|[-.(M(a:))]M,g,[i/P3j = 1- De ahí> I ^ X * ) ^ ^ M ix )lM ig,[x/d\=t para to do d, € D , lo cual significa que ¡[Vx(A(:z)(x) «-> ' iM (i))J m ,9=1. (iii) Esta fórmula expresa que para cada punto que tenga una flecha que llega a él mismo hay también una flecha que va hacia un punto rodeado. Esto es verdadero: P3 es el único punto con una flecha que va hacia él mismo y desde P3 hay una flecha que va hacia P2, el cual es un punto rodeado. Esto puede elaborarse de la manera que proponemos a continuación: tenemos [A (x )(£ )]m ,p,[x/Pi] = 0 y I ^ (x )(a::)lM,9,[x/P2] = 0, mientras que I-^-(y)(a')lM ,3,[x/P3][y/P2] = 1 y I-^(^)lM,g,[a:/P3][j//P2] — !• De los dos últimos resultados se sigue que l3 y (A (y )(x ) A M (y))]M ,g,[x/p3]= l y Que lA (x )(x )-+ 3 y (A (y )(x ) A M {y))\ yl^ x/P^ = l . De los dos primeros resul tados obtenemos que lA (x )(x )-* 3 y (A (y )(x ) A M ( y ))]M)fli[a./P.] = l, para i = 1,2. De ahí, p / x (A (x )(x )^ 3 y (A (y )(x ) A M ( y ) ) ) } Mt9 t[x/p3]= l . (iv) Esta fórmula significa que cada subconjunto del dominio contiene un elemento. Esto no es verdadero: el conjunto vacío no contiene elementos. Más formalmente, supongamos que g ( X ) es la función característica de 0, es decir, la función en el dominio que asigna el valor 0 para todos los tres puntos. Entonces, { X ( x ) j M^ t[x/P^ = g (X )(g [x / P i](x ))= g (X )(P i)= 0 y, además, [X (x)])m ,3,[x/P2] = = 0. Esto implica que [3 x X ( o;)Im ,9=0 y, entonces, que |VX3x X ( x ) ] m =0. (v) Esta fórmula expresa que si un conjunto de puntos no contiene elementos rodeados, es porque contiene un elemento con una flecha apuntando hacia

sí mismo o porque es el conjunto vacío. Esto es verdad: un conjunto sin elementos rodeados sólo puede ser {P 3} o 0. Esto se puede elaborar de la siguiente manera: basta— asumiendo que [[Vy(M(y)— (y))lM,s,[X/C]=l> para algún C arbitrario en el dominio— mostrar que [3 y ( X (y)A A (y)(y))V - ,3yX (y)]Mg![X/ C]= l. Primero, mostramos que C no contiene P\ o P2, es decir, que l X ( y ) } M ,g,[X/C][v/Pi] = lX(y)lM,g,[x/C\wn] = Por ejemplo, suponga que I X ( 2 / ) l M , g , [ x / q [ y / P 1] = 1 ; de donde I - ’X(y)])M ,g,[x/C][y/Pi] = 0 con secuentemente, dada nuestra suposición, [M (y )]Mi9i[x/C][v/Pi]—1 0- Así, I ( M) ( g [ X / C] [ y / Pi ] { y ) ) = I ( M) ( P i ) = 0 , lo cual contradice nuestras supo siciones. Ahora hay dos posibilidades: (a )[[X (y)]M ,g,[x/C][y/P3]= 0 ; o (b) lX(y)ÍM,g,[x/C][y/P3r l - En (a M 3 y X (y )J M,<,,[x/C]=0 y, en consecuen

cia, [- '3 y X (y )]M)gi[x/C ]= 1- En (b )> I^(2/)(2/)1m,3iyX (y )¡Migt[X/C¡=l ■ (vi) Esta fórmula afirma que hay un grupo tal que tanto él como su comple mento contienen puntos rodeados. Esto es verdadero. Tome { P i } , por ejemplo. Tanto { P i } com o {P 2, P3} contienen un punto rodeado. Esto puede elaborarse de la manera que proponemos a continuación: -f ( ^ ) ( /{ P i } ) = / (^ )(/{P 2 ,P3} ) =:1; 7 (r ) ( /{ P i } ) = /{ P 2 ,P3}- Supongamos que g ( X ) = f { Ply, entonces, tanto [ £ p O ] M,9 = 1, com o [T (X )1 m ,s = /{ p 2,p3} son ciertas y, en consecuencia, I^(P(X ))1m ,p = 1- Con esto \£{X) A £ (T (X ))J M.9=1 y, finalmente, [3 X ( £ ( X ) A £ ( T ( X ) ) ) ] M,9=1-

Ejercicio 4.5. (a) Las expresiones básicas reciben las siguientes categorías: CN: hombre, caballo T: Juan, Pedro T /C N : el, un CN /C N : verde, grande, honesto T\S: caminar, suda (T \ S )/T : ira a, maldice a, persigue a

(b)

(i) Modificadores de predicado como suavem ente, rápidamente . . .; por ejemplo, suda suavemente (ii) Preposiciones com o sobre, encima, por encima; por ejemplo, sobre el caballo (iii) Posesivo de; por ejemplo, el caballo de Juan (iv) La cópula es; por ejemplo, es honesto (hay un problema aquí: expre siones com o es honesto y es verde se convierten en categorías T\S entonces debe ser posible combinarlas con modificadores de predi cado, pero este no es el caso. En la Gramática de Montague este problema se resuelve por ‘duplicación’ de categorías (ver §6.2.11.)).

La gramática independiente de contexto completa es: S => N P V P V P => V P Adv I VintT V P =► i Vtr N P

N => hombre, caballo Adv => suavem ente, rápidamente Adv => P N P Víntr =>• camina, ju ra

i, Adj Vcjyp

Vtrans =► ira a, maldice a, persigue a

( P rop N

Vcop

N P =>■ <

es

Adj =>• verde, grande, honesto

[Det N P ro p N => Juan, P edro N =► Adj N P =>■ sobre, encima, por encim a

D et =^- el, un D et => N P P os P os => de

Ejercicio 4.8. (i) (ü) (iii) (iv) (v)

no sí, sí, sí, sí,

t (e, t) (e,t) t

(vi) (vii) (viii) (ix) (x)

sí, (e, ( ( e, t ) t ) ) no sí, (e,t) no sí, t

(xi) (xii) (xiii) (xiv)

sí, t no sí, t sí, t

Ejercicio 4 . 9 . La clave usada en la siguiente solución es: E: C: B:

F: Gv. G 2: C\\ c2: T:

S i:

5 2: L: /C:

bañar poner restaurar haber olvidado haber sabido saber ahora siempre, tipo ( t , t) otra vez, tipo ( t , í) correctamente, tipo ((e, ( e ,í ) ) ,( e , (e,í}>) adelante atrás amar a importante

£>: M i: -M 2: W i: H 2: L j: ¿ 2: M : ü i:

i?2: Q: m:

saludable resulta en jaque mate posible bueno malo crecer brillar humano perfecto ser (existir) reina María

Las traducciones son: 1. /C (A x ((r (£ ))(x )(x ))) 2. £>(Ax 3y( L( y) ( x) ) ) 3. XUXy \x(( S\(U))(y) (x) V (5 2(f7 ))(y )(x )) (compare la respuesta (d)) 4. A 4 i(A x((S i(C ))(< /)(x) V (S2(C ))(g )(x ))) 5. A x (L i(x ) A L 2( x ) A V y ( M ( y ) - > c i ( c 2 ( JB ( y ) ( x ) ) ) ) ) , tomado como el conjun to de los objetos que satisfacen la descripción (hay, además, una lectura del sintagma nominal, la cual se omite aquí) 6. A x 3 y (F (y )(x ))= A x 3 y (G i(y )(x ) A ->G2(y )(x )) 7. - i.A/í 2 (A x ( c i ( x =

x

)))

8. XxRi(x)=Xx\/X(' H\(X)—>X(x)) 9. A x W í(7í2( X ) — (X (x ) «-*• X ( m ) ) ) 10. Xy{Xx(R 2 ( x) )(y) V -.(Ax(J?2(x ))(y ))) es decir: Xy(R 2 (y) V ->i?2(y))

\quí las traducciones surgen, en general, de una interpretación de las formas ;ategoriales generales, junto con una explicación detallada de las constantes ógicas, cuando es posible. Ejercicio 4.10. 'i )M (j); (ii)M (j); (iii)M (j); (iv)V y(A (J)(y)); (v) A-conversión directa no es posible: y no es libre para x en Vy( A( x) ( y) ) . Sin embargo, A-conversión es posible si Vy{ A( x) ( y) ) es traspuesto primero en Vz( A( x) ( z) ) , en cuyo caso uno obtiene Vz( A( y) ( z) ) . (vi) M ( j ) . (vii) Aquí también, A-conversión directa no 3S posible. Por trasposición de Vx ( Y( x ) ) en Vz ( Y( z) ) , uno primero obtiene 1z( \y( A( x) ( y ) ) ( z ) ) y, entonces, Vz( A( x) ( z) ) .

Capítulo 5 Ejercicio 5.1. ítem (a): (i) (ii) (iii) (iv) (v)

sí, t no no sí, t no

(vi) (vii) (viii) (ix) (x)

sí, t sí, t no no no

(xi) (xii) (xiii) (xiv)

sí, (s,t) no sí, (s, (s, e)) sí, t

ítem (b): (i)

a es de tipo ((s, i ) , t), dado que Ap es de tipo (s, t)

(ü) (iii) (iv)

(< * .e ),t) y a ( j ) es de tipo í, entonces, v a es de tipo (e,t) y a, de tipo (s, (e, t)) v a es de tipo ((s, í ) , e) y, entonces a es de tipo (s, ((s, t ) , e))

Ejercicio 5.2. ítem (a):

;

I ( j ) { w i ) = I { j ) ( w 2) = a I { j ) ( w 3 ) = b

I ( m ) ( w ) —c para todo w £ W I ( M ) ( w 1) ( a ) = I { M ) { w 1) ( b) =l

j(M )(m )(c)=I(M )(w i)(d)=0 /(M ) ( ^ 2 ) ( a ) = /( M ) ( w 2)(6)= 0 j l M ) i w 2 ) ( c ) = I { M ) ( w 2) ( d ) = l j ( M ) ( m ) { e ) = 0 para todo e G D I(í\í)(w 3 ){' w)(e)=l para todo w G W y para todo e G D ítem (b):

(i)

¡ j Í M , W 2 ,9 = I ( j ) M = a

(ii) [AÍllM,«;i,g= aquella h G D w tal que para todo w G W: /i(u;)=[7]]m,w,s , es decir, I (j ) (iii) Iaj] (iv)

m

,U;3,s = í 0')> com o en (¡i)

l M ( j ) } M , w 2 , g = l M } M ,w2 , g { b l M , W 2 , 9 ) = I ( M ) ( w 2 ) ( I { j ) { w 2 ) ) = I ( M ) ( w 2 ) ( a )

= 0

(v) Iv M } W3 = l M í w 3 ( m ) = I ( M ) { w 3 ){ w3) = la función desde { 0 , 1 } D que pro duce el valor 1 para todo e G D (vi)

= l M } wl{wi) = I ( M ) ( w i ) ( w i ) = I ( M ) { w i ) y

Ív^Ü ')U i=/ (?w')(wi)(lí;i)(7(Í)(u;i))=/ (M )(wi)(a)=1 (vii) Iv íW (j)l«;2= / ( ^ ) ( u ; 2)(w 2)(-/'(j)(^ 2))= ^ (M )(u ;2)(a )= 0 (viii) [íW = A M j Wl = 1 sii M « , ! = IAM ]W1. Ahora, IíW]Wl es la función I ( M ) ( w i ) = I ( M ) . Por otra parte, [AM ] Wl es la función h tal que para todo w G W: h ( w ) = l M } w y este es, además, exactamente igual a I ( M) . De esto se sigue que \M =h M\Wl=\ (ix)

3 = 1 sii r ^ ] u , 3= l M l W3. Ahora, como en (v), M\W3 es la función de { 0 , 1 } D, lo cual produce el valor 1 para todo d G D. Por otra parte, \M }W3= I ( M) ( w s ) , la función que asigna el valor 0 para todo d e D . Así, ! M = M } W3=0.

Item (c): (i)

Dado (bviii), |íW=AM ] m ,íí)i ,s = 1 es válida. En consecuencia, se sigue que [ 0 ( ^ = a -^)1m,iu,9=1^ para todo w G W. Entonces 0 ( ^ = " ,ed£,eM ) es válida en M .

(ii) Dado (bix), |v íVf=M]M,u>3,g =0 es válida. Esto significa que para t o f l w G W , [ □ ( v íW =M )Jm ,w,9= 0 , por lo que □ (v f t í= M ) es inválida en \ J

(iii) En todo w G W, m refiere a c. Esto significa que [m = x ]M w g [x/ J 1 P ( m = * ) ] M ,ti;,s,[x/c]=l Y p x D ( m = x ) l M ,w,9= l , para todo w G W .

significa que 3x\JÍ(m=x) es válida en M . Ejercicio 5.5. [AvalM ,ít;,g= la función h G tal que h(u/)=|[v ajM ,w',9, para todo w' c 1 W = la función h G D™ tal que /i(«/)= [a ]M ,iu ',s (u/)> Para todo w' G W = l«| función h G tal que h( w' ) =g( a) ( wl), para todo w' G W . Esto significa que h=g( a) , entonces, [AVajM ,u ^ = 7i= s(oO = IajM ,■
Ejercicio 5.7. (i) v íW(j) (teorema 5). (ii) AxAX ( v X ( x ) ) ( j ) ( AM ) se reduce a X X ( VX ( j ) ) ( AM ) y luego a VAM (j) por el teorema 5, y éste se reduce a M ( j ) por el teorema 2. (iii) \x\X\I\(v X ( x ) ) ( j ) ( AM ) no se reduce, porque la variable x está en el alcance de □ y j ^ I C E . (iv) X X AxD (v X (x ))(AM ) ( j ) se reduce a AxD (VAM ( x ) ) ( j ) por el teorema 5, porque AM G I C E . Por el teorema 2, AxD(VAM ( x ) ) ( j ) se reduce a A x D M (x )(j), el cual no puede ser reducido, dado que x está en el alcance de □ y j £ IC E . (v) AxA(M (x ) Av íW'(x))(y) se reduce a A(M (y ) Av %í(y)) por el teorema 5, dado que y G IC E . (vi) XpcXyD(B(^)(y))(A{j )(j) se reduce a XyC\(B(Aj ) ( y) ) ( j ) por el teorema 5, porque Aj G I C E . Dado que y está en el alcance de □ y j ^ IC E , Xy\Z\(B(A(j)(y )){j) no puede ser reducida más allá. (vii) Dado que z G I C E , XyX?cA3x(B(?c)(y) A Ax = i/)(AVz )(Ax) se reduce por el teorema 3 a XyX^3x( B(^) (y) A Ax = t/)(z )(Ax), el cual se reduce por el teorema 5 a AÂ3x(i?(a:)(z) A Ax = z ) ( Ax), nuevamente, porque z G I C E . La reducción se detiene aquí, dado que x está en el alcance de 3x. Si reemplazamos este cuantificador y su variable acotada por 3y y y, respectivamente, podemos continuar con la reducción con la ayuda del teorema 5, porque Ax G I C E , de donde se obtiene A3 y ( B ( Ax ) ( z ) A Ay=z) .

Cap'tu l° 6 ¡¡jerctcio 6 .1 .

ítem (a) : Categoremáticamente, el árbol de análisis se da en la figura a: una mujer pasea, O, S2

a-

una mujer, T , S3’ una, T /N C

pasear, VI

mujer, NC

El árbol de traducción se da en la figura b:

3 x ( m u j e r ( x ) A P A S E A R (x )), VA-eliminación Jk

3 x (m u je r (x ) A

va

p a s e a r ( x ) ) , A-conversión A

V

A X 3 x (m u je r (x ) A

v

X ( x ) ) ( a p a s e a r ) , í, T2

A X 3 x ( m u j e r ( x ) A v X( x ) ) , VA-eliminación

p a s e a r , ( e , t ) ,T l a

$ A X 3 x (v a m u je r (x ) A

v

X ( x ) ) , A-conversión

$ Ay A X 3 x (v y (x )

Av X (

x

))(a

m u je r

) , ( ( s , (e , í ) > , í ) ,

m u je r ,

AF AX3x(vy(x)

Av

T3'

(e, t)

X(x)), «a, (e, t» , ((s, (e, t)), t ) ,),

, T

lo

T ic '

Sincategoremáticamente, el árbol de análisis se da en la figura c: C.

u n a m u je r p a s e a , O ,

una mujer, T , S5

I mujer, NC

S2 pasear, VI

El árbol de traducción se da en la figura d: d.

3 x ( m u j e r ( x ) A p a s e a r ( x ) ) , VA- e l im i n a c ió n

$ 3 x ( m u j e r ( x ) A v a p a s e a r ( x ) ) , A -c o n v e r s ió n

$ A X 3 x ( m u j e r ( x ) A X ( x ) ) ( a p a s e a r ) , t, T 2

A X 3 x (m u je r (x ) A

v

X( x ) ) , ((s, (e,t)) ,í) ,T 5

M U JER , ( e ,

t)

p asear,

( e ,í ) ,T l a

,T \ a

ítem (b):

X Y A X -i3 x (vY (x ) A vX ( x ) )

E je rc ic io

6.2.

(i) Arbol de análisis: véase figura a; árbol de traducción: véase figura b (ii) Árbol de análisis: véase figura c; árbol de traducción: véase figura d a.

Juan conoce a María, O, S2 Juan, T

conocer a María, VI, S7 conocer, V T

b -

C 0 N 0 C E R (j,A

AX

wX { m ) ) ,

María, T

NCI

A V*

C O NO C E R ( A A X v X ( m ) ) ( j ) , v A - e l i m i n a c i ó n

$ vAc ON oc er (AAX v X (m )) ( j ), A-conversión ±

v A X v X O ) ( a c o n o c e r ( a \ X v X ( m ) ) ) , t,

A X v X ( j ) , ( ( s , (e , í ) ) , í ) , T lb

T2

C O N O C E R (A A X v X ( m ) ) , (e, í ) , T 7

C O N O C E R , ( ( s , ( { s , ( e , í ) ) , t ) ) , ( e , í » , T ía

AX v X ( m ) , { { s , ( e , t ) ) , t ) , T lb

c-

toda mujer añora un solo anillo, O, S2 toda mujer, T , S3 mujer, NC

añora un solo anillo, V I, S7 añora, V T

un solo anillo, T , S6

I anillo, NC

Vx (m

u je r

(: e ) — >•A Ñ ORARAS,A A X 3 2 / V z ( ( a n i l l o ( z )

A v X ( z ) ) <-» ? / = z ) ) ) VA-e lim , A -c o n v , NCI

$ AyVx(MUJER(x)—* Vy ( x ) ) ( AAÑORAR(AX3í/Vz((ANILLO(z) A vX ( z ) ) <-> y = z ))), t , T2

A y V x (M U J E R (a :)—* v y ( x ) ) ((s , (e , t )) ,t), T 3

m u j e r , (e,t), T í a

a ñ o r a r ( a A X 3 i / V z ( ( a n i l l o ( z ) A vX ( z ) ) «-> y = z ) ) (e , t ) , T 7

A Ñ ORAR, T í a ((s, ( ( s , (e , í » , t ) ) , (e , í ) )

A X 3 j / V z ( ( a n i l l o ( z ) A v X ( z ) ) <-> y = z ) ( ( s , (e,t)) ,t), T 6

I a n il l o ,

(e ,í) , T ía

Ejercicio 6.3. (i)

C 0 N 0C E R ( j,A A X v X ( m ) ) = C O N O C E R * ( j , m )

(ii)

V x (m u je r(x )-> a ñ o ra r(x ,a AX3yV2:((HOMBRE(z)A

PS1 y CN 2

y X ( z ) ) +-> y = z ))) =V x ( m ujer (x )—>VAA X 3yVz((ANiLLo(z) Av X ( z ) ) y = z ) [ A\m AÑORAR*(x, m ))) = V x ( m ujer (x )—>AAr3yVz((ANlLLO(,2:) Av X ( z ) ) <-> y = z ) (AAm AÑORAR*(x, m ))) =Vx(MUJER(x)—>3yV.2(( ANILLO ( 2 ) A VAA m AÑORAR»(x,m)(z)) <-> y = z ) )

Teorema 1 VA-elim. A-conv.

= V x ( m ujer (x ) —>-32/Vz (( a n il l o ( z ) A A m A Ñ O R A R *( x ,

m) ( z) )

<-► y = z ) )

VA-e lim .

= V x ( m u j e r ( x ) —>3 j/V 2:((A N IL LO ( z )

A a ñ o ra r*(x , z ))

y —z ))

A-conv.

•icio 6 .4 .

(a): ración Todo hombre busca un tesoro tiene tres lecturas diferentes. Primero iodo, tiene una lectura de dicto que no nos compromete a la creencia de os tesoros existan. Segundo, hay una lectura en la cual cada hombre busca ismo unicornio existente. Y tercero, la oración puede significar que cada bre busca a un unicornio que existe; la oración es indeterminada en cuanto realmente todos los hombres tratan de encontrar el mismo unicornio. Las ñas dos lecturas son ambas de re. primera lectura puede construirse directamente, com o se muestra en la ra a: todo hombre busca un unicornio, O, S2 todo hombre, T , S3

busca un unicornio, V I, S7

I hombre, NC

buscar, V T

un unicornio, T , S5

I unicornio, NC

traducción de a es: tesoro h-> t e s o r o F±(tesoró) i—> A X 3 x ( t e s o r o ( x ) buscar BUSCAR Fe(buscar, un tesoro)*—> b u s c a r (a

hombre

A X 3 x (t e s o

r o (x

T ía A

wX ( x ) )

T ía

) A VX ( x ) ) )

H O M B RE

F 2 (/io m 6 r e )

h->

T5

T7 T ía

A y \ /y (H O M B R E (y )—>v y ( y ) )

T3

F\{todo hombre, buscar un tesoro) i—> A y V í/(H O M B R E (y )—> v^

>•

(2 /))(a b u

s c a r (a

A X 3 x (t e s o

r o (x

) Av X ( x ))))

vX (x )))(y )) >•

A-conv.

=Ví/(HOMBRE(y)-> BUSCAR(AAX3x(TESORO(x)A

vX (x )) )(y ) ) LO.

T2

= V y ( H O M B R E ( y ) —> VAB U S C A R (A A X 3 x ( T E S O R O ( x ) A

VA-elim.

= Ví/( h o m b r e ( j/) —>b u sc a r (?/, AAX3x(TESORO(x) A

V* ( z ) ) )

CN1

La segunda lectura se puede obtener por la cuantificación de un unicornio en todo hombre loo busca, como se muestra en la figura b: b.

todo hombre busca un tesoro, O, S8, 0 un unicornio, T , S5

todo hombre loo busca, O, S2

I tesoro, NC

todo hombre, T , S3

loo buscar, VI, S7

I hombre, NC

/ buscar, V T

\ élo, T

La traducción del árbol de análisis b es la siguiente:

1. 2. 3. 4. 5. 6.

élo ^ A X vX ( x 0) buscar i—> B U S C A R F 6 (buscar, élo) »-*■ b u s c a r (a A X v X ( x 0)) hombre *—> H O M B R E F 2 (hombre) i—> AYVY(HOMBRE(y)—>vY (y ))

T lb T ía T7 T ía T3

F\(todohombre,I oq buscar) i—> AYVy(HOMBRE(y)—> vy ( y ) ) ( ABUSCAR(AA X v X ( x 0)))

T2

7.

=Vy(HOMBRE(y)—>VABUSCAR(AA X vX ( x 0))(y))

A-conv.

8.

=Vy(HOMBRE(y)-+BUSCAR(AA X vX ( x 0))(y))

VA-elim.

9. 10. 11. 12. 13.

= V y ( H O M B R E ( y ) — > B U S C A R (y ,A

14.

A X v X ( x 0)))

= V y (H O M B R E (y )-> B U S C A R * (y ,x o ))

tesoro i—* T E S O R O F ^ teso ro ) >-+ A X 3 x (te s o r o (x ) A vX (x )) Fifi{uv/tesoro, todo hombre loo busca) i—> A X 3 x (te s o r o (x ) A vX ( x ) ) ( AAx0Vy(HOMBRE(y)—>

CN1 CN2 T ía T5

BUSCAR*(y,x0))) 3 x (te s o r o (x ) A VAAx0Vy(HOMBRE(y)—>

T8.0

B U S C A R *(y , X 0 ) ) ( x ) )

A-conv.

15.

3 x (t e s o r o (x ) A Ax0Vy(HOMBRE(y)-^BUSCAR*(y,x0))(x))

16.

3 x (te s o r o (x ) A Vy(buscar*(y, x )))

VA-elim.

A-conv.

En la tercera lectura, un tesoro tiene un alcance más amplio que buscar, pero está en el alcance de todo hombre. Esta lectura puede obtenerse al cuantificar primero un tesoro en la oración él\ loo busca. Esto resulta en él\busca un tesoro. Entonces todo hombre puede cuantificarse, como se muestra en c:

c.

todo hombre busca un tesoro, O, S8, 1 todo hombre, T , S3

eli busca un tesoro, O, S8, 0

I hombre, NC

un tesoro, T , S5

éli loo busca, O, S2

I tesoro, NC

^

\

éli, T

lo o buscar, V I, S7

/ buscar, V T

\ élo, T

La traducción de c procede de la siguiente manera: T lb T ía T7 T lb

5.

élo ^ A X v X ( x 0) buscar i—►BUSCAR Fe (buscar, élo) ^ b u sc a r (a A X v X ( x 0)) éh *-+ AF vr ( x i ) F\(él\,loQ buscar) XY vF (x i)

6.

(a b u s c a r ( a A X vX (x 0))) = vab u s c a r ( a A X v A '( xo))( x 1)

7.

= b u s c a r ( a A X v X ( x 0))( x !)

8.

= b u s c a r (x i , a A X v X ( xo))

9.

=BUSCAR*

10. 11. 12 .

tesoro h-> t e s o r o F i{teso ro ) >—> A X 3 x (te s o r o (x ) A vX (x )) F 7 to(un teso ro, él\ loo busca) i—>

T2 A-conv. VA-elim. CN1 CN2 T ía T5

1.

2. 3. 4.

13. 14. 15. 16. 17. 18.

(x i, Xo)

A X 3 x (te s o r o (x ) a vX ( x ) ) ( aAxoBuscar*(xi,xo)) 3x(TESORO(x) A VAAxoBUSCAR*(xi, xo)(x)) 3 x (te s o r o (x ) A AxoB uscar*(xi,xo)(x)) 3 x (te s o r o (x ) A BUSCAR»(xi, x)) hombre *-> HOMBRE F 2 (hom bre) i—> AXVy(HOMBRE(y)—>vX (y )) FT¿(todo hombre, él\ busca un tesoro) i—► AX3y(HOMBRE(y)—*•v X ( y ) )

T8,0 A-conv. VA-elim. A-conv. T ía T3

T 8,l

19.

(a A x i3 x (te s o r o (x ) a b u s c a r* (x i,x ))) =Vy(HOMBRE(y)—>vaA x i3 x (te so r o (x )A b uscar* (x i,x )) (y)) =Vy(HOMBRE(y) —>Axi3x(TESORO(x)A

A-conv.

20. 21.

BUSCAR*(xi,x))(y)) =Vy ( h o m b r e ( y ) —>3x ( t e s o r o (x) A B U SCA R *(y, x)))

VA-elim. A-conv.

ítem (b): Comenzamos con la construcción indirecta de Juan encuentra un tesoro. Esto se representa en el árbol de análisis d: Juan encuentra un tesoro, O, S8, 3

d.

un tesoro, T, S5 Juan I03 encuentra, O, S2

I

/

tesoro, NC

I03 encontrar, VI, S7

Juan, T

encontrar, VT

él3, T

La traducción del árbol d es: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

él3 ~ X X y X { x 3) encontrar 1—> ENCONTRAR F 6 (encontrar, él3) i-> ENCONTRAr (a A X v X ( x 3)) Juan AY v Y ( j ) Fi(Juan, lo 3 encontrar) AY V y ( j) ( AENCONTRAR(AA X VX ( X 3 ) ) ) = VAENCONTRAR(AA X VX ( x 3 ))(j)

T lb T ía T7 T lb

=ENCONTRAR(AA X VX ( x 3))(j)

VA-elim. CN1 CN2 T ía T5

= ENCONTRAR(j, AA X VX (xa)) =ENCONTRAR*(j, X 3 )

tesoro 1—►TESORO F4(tesoro) A X 3 x ( t e s o r o (x ) A v^ ( x ) ) F i¿(u n teso ro , Juan lo 3 encuentra) 1—> A X 3 x (t e s o r o (x )A 3x(TESORO(x) A VAAx3ENCONTRAR*(j, x 3)(x))

A-conv.

3x(TESORO(x) A Ax3ENCONTRAR*(j, ®3 )(x))

VA-elim.

3x(TESORO(x) A ENCONTRAR»(j, x))

A-conv.

La construcción directa se muestra en la figura e.: e.

A-conv.

T8,3

VX ( x ) ) ( AAx3ENCONTRAR*(j,X3))

13. 14. 15.

T2

Juan encuentra un tesoro, O, S2 Juan, T

encuentra un tesoro, VI, S7

encuentrar, VT

un tesoro, T, S5

I tesoro, NC

La traducción del árbol de análisis e es: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.

tesoro h-» tesor o F i(teso ro ) A X 3 x (t e s o r o (x ) A S/X ( x ) ) encontrar i—*•e n c o n t r a r Fe(encontrar, un tesoro) e n c o n t r a r (a A X 3 x (t e s o r o (x ) a v X ( x ))) Juan AY v Y ( j ) F\ (Juan, encuentra un tesoro) i—> AY v Y ( j ) (a e n c o n t r a r ( a A X 3 x (t e s o r o (x ) a v X ( x )))) = vae n c o n t r a r ( a A X 3 x (t e s o r o (x ) A v X ( x ) ) ) ( j ) = e n c o n t r a r ( a A X 3 x (t e s o r o (x ) Av X ( x ) ) ) ( j ) =ENCONTRAR(j, AX X 3x(TESORO(x) AV AT(x ))) = va A X 3 x (t e s o r o (x ) AVX ( x ))(AAy ENCONTRAR*(j, y)) = A X 3 x (t e s o r o (x ) Av X ( x ) ) ( AXy e n c o n t r a r * (j, y)) = 3x(TESORO(x) A VAAy ENCONTRAR* (j, y) (x)) = 3 x (t ESORO(x ) A Ay ENCONTRAR* (j, y)(x)) = 3 x (t ESORO(x ) A ENCONTRAR*( j , x) )

T ía T5 T ía T7 T lb T2 A-conv. VA-elim.

CN1 Teorema 1 VA-elim. A-conv. VA-elim. A-conv.

Ejercicio 6.6. El problema es mostrar que (iii) no se sigue de (i) y (ii): (i) Juan busca a la reina (ii) Elisa es la reina (iii) Juan busca a Elisa Esto lo hacemos analizando sintácticamente cada una de las oraciones, de tal forma que la traducción de (iii) no se siga de la traducción de (i) y (ii), dado este análisis sintáctico. Las oraciones (ii) y (iii) no son ambiguas, pueden construirse de diferentes formas, pero al final resultan en la misma traducción, (iv) y (v), respectivamente: (iv) 3x(Vy(RElNA(y) (v)

BUSCAR* ( j , e)

x=y) A x=e)

Por otra parte, la oración (i) es ambigua. Tiene una lectura de re y una de dicto. Obtenemos la última construyendo (i) directamente, com o en a: a.

Juan busca a la reina, O, S2 Juan, T

busca a la reina, V I, S7 buscar, V T

la reina, T , S4

I reina, NC

Este análisis sintáctico produce la siguiente traducción: (vi)

B U S C A R (j,A AX3x(Vy(RElNA(y)

x = y ) A v -X(x)))

La fórmula (v) no se sigue de las fórmulas (vi) y (iv). Asumamos un modelo M con un mundo w tal que (vi) y (iv) sean verdaderas en w, dado M . Un contraejemplo se puede producir fácilmente mostrando que no se sigue que (v) sea verdadero en M para w. Para ver esto, observemos primero que de la definición de BUSCAR* se sigue que (v) es equivalente a (vii): (vii)

B U S C A R (j,A

X X wX ( e ) )

La fórmula (vii) se sigue de (vi) sólo si AAX3x(Vy(REINA(y) x = y ) Av X ( x ) ) se refiere en M a la misma función de mundos en conjuntos de propiedades de primer-orden, como lo hace AX X y X ( e ) (la extensión de estas dos expresiones depende sólo del modelo M , no del mundo o la asignación. Esto se debe a que ellos son expresiones intensionalmente cerradas que no contienen variables libres. Este es el caso si para todo w 1 £ W en M . AX3x(Vy(RElNA(y) x = y ) Av X (x)) se refiere al mismo conjunto de propiedades de primer-orden que A X vX ( e ) ) . Esto es verdad sólo si (iv) 3x(Vy(RElNA(y) <-> x = y ) A x = e ) es verda dero en todo w' . Por suposición, (iv) es verdadero en w y, entonces, tanto AX3x(Vy(RElNA(y) «-> x = y ) Av X { x ) ) como A X vX ( e ) refieren en w al mismo conjunto de propiedades de primer-orden. Sin embargo, esto no dice nada sobre el valor de verdad de 3x(Vy(RElNA(y) <x = y ) A x = e ) en mundos diferentes de w. Entonces, sin contradecir nuestra su posición original, podemos asumir que M , además de w, también contiene un mundo w' en el cual (iv) es falso. En w', AX3x(Vy(RElNA(y) <-> x = y ) Av X ( x ) ) y XX JX (e) refieren a conjuntos diferentes de propiedades de primer-orden.

De esto se sigue que AAX3x(Vj/(RElNA(y) «-» x = y ) A v X ( x ) ) y AA X vj f ( ej refieren en M a funciones diferentes y, de ahí también, que la fórmula (v) no se sigue de (vi), incluso si (iv) es válida. Así podemos construir un contraejempl0 para la declaración de que (v) se sigue de (vi) y (iv), tomando un modelo JVJ con un mundo w en el cual tanto (vi), com o (iv) sonverdaderas,mientras que (v) no es verdadera; y un mundo w' en el cual (iv) no sea verdadera. Esto muestra que (iii) no se sigue de (i) y (ii). Después de todo, hemos dado análisis sintácticos para (i), (ii) y (iii), tales que la traducción de (iii) no se sigue de las traducciones de (i) y (ii). Se debe notar, sin embargo, que la lectura de re hace válido el argumento Esta lectura resulta de una construcción indirecta, com o se muestra en la figura b: Juan busca a la reina, O, S8 , 4

b.

Juan I04 busca, O, S2

la reina, T , S4 reina

I04 buscar, VI, S7

Juan, T

buscar, V T

éU, T

La traducción que resulta es la siguiente: (viii) 3 x(V j/(rein a(j/) <-* x = y )

A

b u sca r*(j,x))

La fórmula (v) se sigue directamente de (viii) y (iv).

Ejercicio 6.7. Para la oración Juan besa a María o a la reina y la ama, hay dos árboles de análisis, que resultan en dos traducciones que no son equivalentes. El primer árbol de análisis se da en la figura a.: a.

Juan besa a María o a la reina y la ama, O, S8 , 0 María o la reina, T , S13 Juan lao besa y lao ama, O, S2 / \ ^ María, Tía reina, T , S4Juan, T

\ loo besar y loo amar, VI, S i l

I reina, NC

\ loo besar, VI, S7 / besar, V T

loo amar, VI, S7

\ / élo, T amar, V T

\ élo, T

j,a traducción del árbol de análisis a es: 1. 23. 4. 5.

6.

besar * BESAR él0 A X vX ( x 0)) Fe{besar, élo) i-> b e s a r ( a A X am ar BESAR Fe(amar, élo) b e s a r (a A X Fe(am ar, élo) l—> A x ( b e s a r ( a AAÍ v X ( x 0 ) ) ( x )

7. 8. 9.

10.

A

= A x ( b e s a r ( x , a A X v AT(x 0 ) )

v

X (

x

0 ))

v X ( x 0))

a m a r

A

( a AAT v X ( x o ) ) ( x ) )

a m a r

(x , a A X v X ( x o )))

= A x (b e s a r * (x , x o ) A a m a r * (x , x 0))

Juan i—> AX v X ( j ) F\{Juan, loo besar y loo am ar) A X vX ( j ) ( a A x (b e s a r * (x ,x o ) A a m a r * ( x , x 0)))

11. 12 . 13. 14. 15. 16. 17.

= VAAx(BESAR»(x,

X0)

a AMAR*(x,

=A x(besar*(x,

x

= BESAR»(j,

A AMAR* (J, X 0 )

X0)

0)

X0))(j)

A a m a r * (x , x 0))(j)

María t—►AX v X ( m ) reina i—» REINA F 3 (reina) AY3x(Vy(RElNA(y) <->■ x = y ) A vY ( x ) ) Fq (María, la reina)^> X Y ( A X VX ( m ) ( X ) V AY3x(Vy(REiNA(y) <-»• x = y ) A vY ( x ) ) ( X ) )

18. 19.

= \ X ( v X (m ) V 3x(Vy(RElNA(y) <-*■ x = y ) A v X ( x ) ) )

T ía T lb T7 T ía T7 T il CN1 CN2 T lb T2 A-conv. VA-elim. A-conv. T lb T ía T4 T13 A-conv.

F'j^(María o la reina, Juan loo besar y loo amar) i—> A X ( v X ( m ) A 3x(Vy(RElNA(y) <->■ x = y ) A v X ( x ) ) ) (AAx0(BESAR*(j,X0) A AMAR*(j,

20.

3x(Vy(REiNA(y) AvaAx0(b e s a r * ( j ,

21.

X 0 )))

T8, 0

VAAx0( b e s a r *(j , x 0) A AM AR*(j,x0))(m )A x=y) x

0)

A AMAR*(j, x 0))(x))

A-conv.

Ax0(BESAR*(j,X0) A AMAR*(j,X0))(m )A 3x(Vy(REiNA(y) <-> x = y ) AAx 0( b ESAR*(j , X0) A AMAR*(j, x 0))(x))

22.

VA-elim.

= ( b e s a r * ( j , xo) A a m a r * (j, m )) V 3x(Vy(REiNA(y) <->■ X = y ) A BESAR*(j, x) A AMAR*(j, x))

A-conv.

De esta manera, obtenemos una lectura en la cual la oración puede ser verda dera en una situación cuando no hay reina, esto eso, en la situación en la cual es verdad que Juan besa y ama a María.

,a lectura en la cual se asegura la existencia de la reina puede obtenerse nalizando la oración sintácticamente, com o se muestra en la figura b: Juan besa a María o a la reina y la ama, O, S8, 2 la reina, T , S4

Juan besa a María o a él2 y la ama, O, S8, 0

reina, NC María o él2, T , S13

/ María, T

Juan loo besa y loo ama, O, S2

\ él2, T

Juan, T loo besar y loo amar, V I, S i l loo besar, VI, S7

/ besar, V T

loo amar, VI, S7

\ élo, T

/

\

amar, V T élo, T

^ traducción del árbol de análisis b es la siguiente: I.

Juan loo besa y Ioq ama i—►. . . BESAR*( j , X 0)

A A M A R *( j , X 0)

María i—> XX v X (m ) él2 ^ X X v X ( x 2)) Fg(María, él2) ^ X X ( X X VX { m ) { X ) V A X vX ( x 2) ( X ) ) = A X (vX (m ) V v X ( x 2)) F j to(María o él2, Juan loo besa y loo amao)i—►

ver (1) a (13) arriba T lb T lb T13 A-conv.

A X (vX (m ) V vX ( x 2))(AAx0(BESAR*(j,x0)A

7.

9. 10.

II. 12-

AMAR*(j,X0))) VAAx0(BESAR*(j, Xo) A AMAR*(j, X 0) ) ( m ) V

T8, 0

VAAxo(BESAR*(j, X 0 ) a AMAR*(j,X0))(x 2) Ax 0( b esa r *(j , Xo) A AMAR*(j, x 0))(m )V

A-conv.

Ax0(BESAR*(j,X0) A AMAR*(j, X0))(x 2) = (BESAR* ( j , m ) A A M A R * (j,m )) V (BESAR* (j, X 2) A

VA-elim.

A M A R *( j , X 2))

A-conv. T ía T4

reina r e in a F 3 (reina) i-> AX3x(Vy(REINA(y) <-> x = y ) A vX (x )) F’jîla reina, Juan besa a María o a é/2 y lo a m a )A X 3 x (V y (R E lN A (y ) x=y) A v X ( x ) ) ( a Ax2( ( b e s a r * (í, m ) (B E S A R *(j, X 2)

A AMAR* ( j , m ) ) V

A A M A R *(j, X 2) ) ) )

T8, 2

13. 14. 15.

=3x(Vy(REiNA(y) <-> x = y ) VAAx2( (besar* (j, m)A AMAR»(j, m )) V (BESAR*(j, x 2) A AMAR*(j, x 2)))(x)) =3x(Vy(RElNA(y) <-> x = y ) A Ax2( (BESAR* (j, m )A AMAR*(j,m)) V (BESAR*(j,x2) A AMAR*(j, x2)))(x)) =3x(Vy(REINA(y) <-> x = y ) A ( (BESAR* (j, m )A AMAR*(j, m )) V (BESAR*(j, x) A AMAR*(j, x)))

A-conv. VA-elim. A-conv.

Ejercicio 6.8. ítem (a): La oración Juan afirma que Elisa trata de encontrar un tesoro contiene dos expresiones intensionales: afirmar y tratar de encontrar. El término un tesoro puede tener un alcance estrecho o amplio con respecto a ambas expresiones. De esto resultan tres lecturas, las cuales pueden parafrasearse de la siguiente manera: (i) Hay un unicornio y Juan afirma que Elisa trata de encontrarlo. (ii) Juan afirma que hay un unicornio y que Elisa trata de encontrarlo. (iii) Juan afirma que Elisa trata de encontrar un unicornio. La tercera lectura, en la cual un tesoro tiene un alcance estrecho con respecto a afirmar y tratar de encontrar, es el resultado de construir el árbol de manera directa, como se muestra en la figura a: a.

Juan afirma que Elisa trata de encontrar un tesoro, O, S2 Juan, T , S4

afirma que Elisa trata de encontrar un tesoro, VI, S I5

afirma que, V I /O

Elisa trata de encontrar un tesoro, O, S2

Elisa, T

trata de encontrar un tesoro, V I, S16

trata de, V I/V I encontrar un tesoro, V I, S7 encontrar, V T

un tesoro, T , S5

I tesoro, NC

Traducción: 1.

2. 3. 4.

5. 6.

7.

8.

tesoro i-> t e s o r o F^tesoró) i—> AX3x(tesoro(x) A SJX( x) ) encontrar i—> E N C O N T R A R Fêncontrar un tesoro) i—> ENCONTRAR(aAX3x(TESORO(x) A v X( x) ) ) trata de i—> TRATA Fi2 (tratar de, encontrar un tesoro) i—> TRATAR(Aencontrar(A\X3x(TESORo(x) A vX(x)))) Elisa A y v y(e) Fi(Elisa trata de encontrar un tesoro) i—►AXvX(e)

11.

(atr a t a r (aen co n tra r(aAX3x(tesoro(x) A vX(x))))) = vaTRATAR(a ENCONTRAR (a AX3 x (tesoro (x ) Av X(x))))(e) = t r a t a r ( aen con trar(aAX3x(tesoro(x) A vX(x))))(e) = T R A T A R ( e , aen con trar(aAX3x(tesoro(x) A v X ( x ))))

12.

= T R A T A R ( e , A Ay e n c o n t r a r

9. 10.

aAX3x(tesoro(x) Av X ( x )))) = T R A T A R ( e , aAj/(vaAX3x(tesoro(x) A v X(x) ) (AAzENCONTRAR*(y, z)))) = T R A T A R ( e , AAyAX3x(TESORO(x) A v X(x) ) (AA z ENCONTRAR»(y, z))) =TRATAR(e, AAy3x(TESORO(x)Ava Az ENCONTRAR* (y, z)(x))) = T R A T A R ( e , AAy3x(TESORO(x) A Az E N C O N T R A R » (y, z)(x))) = T R A T A R ( e , AAy3x(TESORO(x) A E N C O N T R A R * (y, x)))

T ía

T5 T ía

T7 T ía T16 T lb T2

A-conv. VA-conv. CN1 CN1,

A-abstr.

(y,

13. 14.

15. 16. 17. 18. 19.

afirm ar que af ir m a r Fu(a firm ar que, Elisa trata de encontrar un tesoro) i—>

20.

AFIRMAR(ATRATAR(e, AAy3x(TESORO(x) A ENCONTRAR* (y, x)))) Juan ■-» XXvX ( j )

21.

22.

23. 24.

Teorema 1 VA-elim. A-conv. VA-elim. A-COnv. T ía

T15 T lb

Fi(Juan, asegurar que Elisa trata de encontrar un tesoro) i—► A XvX ( j) ( AASEGURAR(ATRATAR(e, Ay3x(TESORO(x) AENCONTRAR* (y, x))))) = vaasegurar(atra ta r(c, Aí/3x(tesoro(x)A ENCONTRAR* (y, x))))(j) = A S E G U R A R ( A T R A T A R ( e , Ay3x(TESORO(x) A encontrar * (y, x))))(j) = A S E G U R A R ( j , A T R A T A R ( e . Ay3x(TESORO(x)A en con trar,(y, x ) ) ) )

T2

A-conv. VA-elim. CN1

En la segunda lectura, un tesoro tiene alcance estrecho con respecto a asegurar, pero alcance amplio sobre tratar de encontrar. Por supuesto, esta lectura se obtiene usando la regla de cuantificación, com o se muestra en la figura b:

Juan afirma que Elisa trata de encontrar un tesoro, O, S2

b.

Juan, T

afirma que Elisa trata de encontrar un tesoro, VI, S15

afirma que, V I /O

Elisa trata de encontrar un tesoro, O, S8, 0

un tesoro, T , S5 | Elisa trata de encontrarloo, O, S2 tesoro, NC

Elisa, T tratar de encontrarloo, VI, S16

\ tratar de, V I/V I

loo encontrar, VI, S7

^ encontrar, V T

\ élo, T

Omitiendo los pasos que resultan en la traducción de Elisa trata de encontrarloo, los cuales son completamente análogos a los pasos 1 a 17 en la traducción de a, obtenemos la siguiente traducción de la figura b: 1.

F\ (Elisa, tratar de encontrarloo)

2.

tesoro

T R A T A R (e , A A y E N C O N T R A R » ( y , X 0 ) )

h-> t e s o r o

4.

F\{tesoro) t—* A X 3 x ( t e s o r o ( x ) A v X( x ) ) Fjfi(un tesoro, Elisa trata de encontrarloo) ►A X 3 x ( t e s o r o ( x ) A v X ( x ) ) ( AA x 0 T R A T A R (e , AXy e n c o n t r a r » (y,xo)))

5.

= 3 x (te s o r o (x )A

3.

VAA x 0 T R A T A R (e, A A y e n c o n t r a r * ( y , x 0 ) ) ( x ) )

6.

= 3 x ( t e s o r o ( x ) A A x 0 T R A T A R (e, A A y e n c o n t r a r » ( y , x 0 ) ) ( x ) )

7.

= 3 x (t E S O R O (x ) A T R A T A R ( e , a Aj/ e n

8.

afirm ar que i—» a f i r m a r F\\ (afirmar que, Elisa trata de encontrar un tesoro)>—> a f i r m a r ( a 3 x ( t e s o r o ( x ) A v t r a t a r ( c , A\y e n c o n t r a r » (y, x))))

9.

10 . 11.

AAy e n c o n t r a r » (y, Xo)))))

T 8, 0 A-conv. VA-elim. A-conv. T ía T15 T lb

T2

(y, x))))(j)

A-conv.

(y, x))))(j)

VA-elim.

a fir m a r (a 3 x (te s o r o (x )A T R A T A R (e , A A y e n c o n t r a r »

14.

(y, x ) ) )

T5

v a a fir m a r (a 3 x (t e s o r o (x )a T R A T A R (e , A A y e n c o n t r a r »

13.

»

Juani - AX v X { j ) F\(Juan, afirma que Elisa trata de encontrar un tesoro) >—* \ X VX ( j ) ( A A F IR M A r ( A 3 x (t E S O R O (x ) A T R A T A R (e ,

12 .

co n trar

ver arriba T ía

a fir m a r (j, a 3 x (t e s o r o (x )A T R A T A R (e ,

A\y e n c o n t r a r » (y,x))))

CN1

Finalmente, en la tercera lectura, un tesoro tiene un alcance amplio sobre afirmar y sobre tratar de encontrar. Esta lectura se puede obtener también con la ayuda de la regla de cuantificación, com o se muestra en la figura c:

c.

Juan afirma que Elisa trata de encontrar un tesoro, O, S8, 0 un tesorcj, T , S5

Juan afirma que Elisa trata de

I

encontrarloo, O, S2

tesoro, NC Juan, T

afirmar que Elisa trata de encontrarloo, VI, S15 afirmar que, V I /O

Elisa trata de encontrarloo, O, S2

Elisa, T tratar de encontrarloo, VI, S16 tratar de, V I /V I

loo encontrar, V I, S7

encontrar, V T

élo, T

Omitiendo nuevamente los pasos que dirigen la traducción de Juan afirma que Elisa trata de encontrarloo> porque son completamente análogos a los de la traducción del árbol a con élo en lugar de un tesoro, obtenemos la traducción del árbol c que se muestra a continuación: (Juan afirma que Elisa tratar de encontrarloo) i—> AFIRMAR(j, ATRATAR(e, AXy ENCONTRAR* (y, X 0 ) ) ) 2. tesoro i—►teso ro 3. F AX3x(tesoro(x) A S/X( x) ) 4. Fj ü(un tesoro, Juan afirma que Elisa trata de encontrarloo) 1.

5.

AX3 x (tesoro (x ) A v X ( x )) (AAxo AFIRMAR(j, ATRATAR(e, AA?/ ENCONTRAR»( y , = 3 x (tesoro (x ) a

X o))))

VAA x o A F I R M A R ( j , A T R A T A R ( e , A A y E N C O N T R A R » ( y , X o ) ) ) ( x ) )

6. 7.

ítem

= 3 x (tesoro (x )A Ax0AFIRMAR(j, ATRATAR(e, AAy ENCONTRAR»(y, x0)))(x)) = 3 x (tesoro (x )A AFIRMAR(j, ATRATAR(e, AXy ENCONTRAR»(y, x))))

ver arriba T ía T5

T8, 0 A-conv. VA-elim. A-conv.

(b ):

S21: si 7 G P(vi//vi)/T y a € PT, entonces ^ 1 7 (7 , a ) G Pyi//vi y F n h , <*)=7 a T21 : si 7 G P ( v i / / v i ) / t y Q ^ P t y 71—>7' y a*-+a' , entonces F i e ^ , a ) * - + y ( Aa ').

ítem (c): El árbol de análisis en la figura d representa la construcción directa: d.

Juan camina por un jardín, O, S2 Juan, T

caminar por un jardín, VI, S19

por un jardín, V I //V I , S21 por, ( V I //V I ) /T

caminar, VI

un jardín, T , S5

I jardín, NC

La traducción del árbol de análisis d es la siguiente: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

jardín <—> jardín Fi(jardín) i—> AX3 x (jardÍn (x ) A vX(x)) por h-> POR F\e{por, un jardín) i-> por(a AX3 x (jardín(x ) A vX(x))) caminar >—> CAMINAR F15(por, un jardín, caminar) >—>

Tía T5 Tía T21 Tía

por (a AX3 x (jardín(x ) A v X ( x )))( acaminar )

T19 Tlb

Juanh-» AX yX { j ) FiJuan, caminar por un jardíni—> XX^X( j )

7. 8.

(apor (a AX3 x (jardín(x ) a v X ( x )))( acaminar )) 9. 10.

avpor(a AX3 x (jardín(x ) a v X ( x )))( acaminar )(j )

POR(AAX3 x (JARDÍN(i ) A vX (x )))(ACAMINAR)(j)

T2 A-conv. VA-elim.

Esta traducción expresa que hay una relación triádica POR entre la propie dad de segundo orden expresada por un jardín, la propiedad de caminar y el individuo Juan. Esto deja indeterminada la existencia de jardines, lo cual no está en concordancia con el significado de la oración analizada. La cons trucción indirecta dada en la figura e resulta en una traducción en la cual la existencia de jardines puede inferirse: e.

Juan camina por un jardín, O, S8, 0 un jardín, T , S5 Juan camina por élo, O, S2 jardín, NC

Juan, T

caminar por élo, VI, S19

por élo, ( V I //V I ) , S21 por, ( V I //V I ) /T

élo, T

caminar, VI

La traducción de e es la siguiente: 1.

2. 3. 4.

5.

6. 7.

Juan camina por élo P O R ( A A X v X ( a : o ) ) ( AC A M I N A R ) ( j ) jardín i-+ jardín F4 (jardín) h-> A X 3x(jardÍn(x) A ^X(x)) F\fl(un jardín, Juan camina por élo)y—> A X 3x(jardín(x) A vX (x )) (AAx0POR(AA X VX(a:o))(ACAMINAR)(j)) 3x(jardín(x) A vaAx0 p o r(aA X vX ( x 0)) (a caminar )(j )( x )) 3 x (jardín (x ) A Ax 0 por ( a A X v X '( x 0)) (Ac am inar ) 0')( x )) 3x ( jardín (x ) a por ( a A X v AT(x ))( a cam in ar )(j ))

ver arriba T ía T5

T8,

0

A-conv. VA-elim.

A-conv.

ítem (d): La oración Juan camina por un jardín no es ambigua: por denota una relación entre una entidad, una propiedad y otra entidad. El siguiente postulado de significado da cuenta de esto: 3 £ > V X V X V x D (E N (X )p O (x ) «-» VX ( AAy D ( y ) { X ) { x ) ) )

D es una variable del tipo (e, ((s, (e, i)), (e, £))), el tipo de relación triàdi ca entre entidades, propiedades de entidades y entidades. Con la ayuda de la siguiente convención notacional, obtenemos una notación para la relación triàdica cuya existencia está garantizada por el postulado de significado: P O R ^defX yX X X x POR(AA y vY ( j /) ) ( X ) ( x ) El siguiente teorema es válido, gracias al significado del postulado y a la con vención notacional: V X V X V x D ( e n ( X ) ( A :) ( x ) «-» v X ( AAy E N *(y )(X )(x )))

El resultado de la construcción directa de Juan camina por un jardín puede, ahora, reducirse con la ayuda de este teorema:

10. 11.

POr(a A X 3 x ( j a r d Í n ( x ) A

vX

( x ) ) ) ( a CAMINAr )( j )

Teorema 1

( a CAMINAr )( j ))

12 .

= A X 3 x ( j a r d Ín ( x ) A

vX

( x ) ) ( AAy POR*(y)

( a c a m i n a r )( jí)) 13.

ver arriba

= vaA X 3 x ( j a r d Í n ( x ) A v X ( x ) ) ( AAy POR*(y)

= 3 x ( j a r d Í n ( x ) A VAAy POR*(y)(ACAMlNAR)(j)(x))

14.

= 3 x ( j a r d Í n ( x ) A Ay POR»(y)(ACAMlNAR)(j)(x))

15.

= 3 x ( j a r d í n (x ) A

p o r *( x )( a c a m i n a r )( j ))

VA-elim. A-conv. VA-elim. A-conv.

jjl resultado de la construcción indirecta puede reducirse también a 15. Sólo necesitamos la convención notacional para efectuarlo. 7.

=

8.

=

3x (jA R D ÍN (a ;) 3x ( jA R D Í N (x )

A P O R (a A X v X ( x ) ) ( AC A M lN A R )(j)(x ))

v e r a r r ib a

A P O R *(x )(AC A M IN A R )(j))

CN

Capítulo 7 Ejercicio 7.1. (i) {X \ j e X } (ii) {X\2

< card (X f l i N j ) } (para lo cual podemos añadir la condición de que card (X fl |ArJ) no exceda un número especificado contextualmente (‘relativamente pocos Ar’ ))

(üi)

{x\
(iv)

{X | X

fl | 7 V ]= 0 },

con la presuposición de que c ar d( l N} ) =2

(v) {X \ card(X fl [ÍVJ) es finito}

Ejercicio 7.2. (a)(i), (ii) y (iv) son monótonos ascendentes; los otros no lo son.

(b)

Dado que [S Nj es no vacío y que { P j = E , se sigue que hay un Xt que X G { SNj y X C |Pj . De ahí, [P ] 6 ISNj , si S N es monótono ascendente. Esta propiedad no es una condición suficiente para la monotonía ascen dente. Por ejemplo, todo o ningún N, satisface esta condición pero no es monótona ascendente.

Ejercicio 7.4. Asuma que Q satisface la definición 1 y escoja X y Y tales que X H Y G Q. Dado que X O Y C. X y l n Y C 7 , s e sigue, por la definición 1, que X G Q y Y € Q, lo cual significa que Q satisface la definición 3. Asuma que Q satisface la definición 7.3. y escoja X y Y tales que X C Y y X G Q. Si X C Y, entonces X fl Y = X y, por consiguiente, Y GQ por la definición 3; así, Q satisface la definición 7.1.

Ejercicio 7.6. Si \muchacho\ m es un singleton, \exactamente un muchachoJm es monotóni co ascendente; y si lmuchacho}M =®, \exactamente un muchacho}-^ es notónico descendente. Ejercicio 7.7. Considere los siguientes ejemplos: (i) Juan y ninguna mujer caminaron rápidamente ^ Juan y ninguna mujer caminaron. (ii) Juan y ninguna mujer caminaron V- Juan y ninguna mujer caminaron rápidamente. El primer ejemplo muestra que Juan y ninguna mujer no es monótono ascen dente; el segundo muestra que tam poco es monótono descendente. De manera formal, escoja un modelo M y sean X , Y y Z tales que X G \Juan y ninguna mujer]m, Y = X — { j } , y Z = X U {w}, con v G fm u je r jw Tenemos que \Juan y ninguna m ujer\={X \j G X k, X D \m ujer\=$}. Ahora, tenemos Y C X y Y ^ |Juan y ninguna mujer}] de donde Juan y ninguna mujer no es monótono descendente. También, tenemos Z D I y Z ^ \Juan y ninguna mujer]|; por lo que Juan y ninguna mujer no es monótono ascendente. Ejercicio 7.10. Primero consideremos la negación, que definimos de la siguiente manera: ^D ={{X,Y)\(X,Y)tD } Para X e Y arbitrarios tenemos: {X, Y) G ->D sii (por definición de -¡D) (X , Y ) £ D sii (por conservatividad de D ) (X , X fl Y ) £ D sii (por definición de ->D) ( X , X r \ Y ) 6 -
2= d

xn d

{x, y) e

2= { ( x , y) |

d, &

{x, y ) e

d

2}

Se sigue que: {X , Y) € D\ A D 2 sii (por definición de D\ A D 2) (X, Y) € D\ y ( X , Y ) £ D 2 sii (por conservatividad de D\ y de D 2) ( X , X fl Y) E D\ y (X, X fl Y) 6 D 2 sii (por definición de D\ A D 2) (X , X fl Y) G D\ A D 2. Finalmente, miremos la restricción: D A( X , Y ) = D ( X n A , Y )

(X , Y) G D a sii (por definición de Da) ( X n A, Y) G D sii (por conservatividad de D) { X n A, X n A n Y) G D sii ( X n A, X n A n X n Y) £ O sii (por conservatividad de D) ( X n A, X D Y ) G D sii (por definición de

Entonces:

D a ) ( X , x n Y ) e D A. Ejercicio 7.11. Todos excepto uno tiene el mismo significado que exactamente uno no, lo cual, a su turno, puede verse com o la conjunción al menos uno no y a lo sum o uno no. Ya que tanto al menos uno, como a lo sumo son determinan tes monotónicos, es suficiente mostrar que este tipo de negación convierte un determinante m onótono en otro determinante monótono. La definición es la siguiente: D -i * = { ( X , Y) |(X, E - Y)

G

D)

Se puede probar que esta negación invierte la monotonicidad: D es mon | (mon ],) sii D -i* es mon J. (mon |). Mostramos que si D es mon |, entonces D~'* es mon |. Suponga D es mon j. Escoja X , Y y Z tales que (X , E - Y ) G D y Y C Z. Lo primero garantiza, por la definición de D->*, que (X , Y ) 6 D~<*. Lo segundo implica que E —Z C E —Y , de donde, por monotonía descendente de D, { X , E — Z) G D. Por definición de D~<*, nuevamente, tenemos (X, Z ) G D - 1*, lo que muestra que D -¡* es mon |. El otro caso es similar. Se puede mostrar de la siguiente manera que un número par no es una conjunción de determinantes monotónicos: en vista del hecho 6, es suficiente mostrar que este determinante no es continuo. Construya M de la siguiente manera: E m = {1 ,2 , 3 ,4 }, [-/VJm = {1,2, 3 ,4 }, I^ i1 m = {1 ,2 }, [VblM= { l , 2 ,3 }, IV 3J m = {1 ,2,3 ,4}. Entonces, tenemos que {un número par de 7V'Vi|M=[[wn número par de N V3]m=1, pero que |un número par de N F2]m = 0 , aun cuando [Vi]m Q Ejercicio 7.14. (a)

x m uchacho(x)

y muchacha(y)

x ama a y

(b) x

y

muchacho (x)

muchacha (y)

x ama a y

(c )

x, y

x —Juan y —María x ama a y

y ama a x

x odia a y

y odia a x

Note que para obtener una representación correcta del significado de esta se cuencia de oraciones, los marcadores de referencia x y y y las condiciones x = Juan y y = María tienen que ponerse en el DRS principal y no en los antecedentes de la primera oración; de otro modo, ellos no podrían ligar

las ocurrencias de x y y en el segundo condicional. Esta es la manera general en la que DRT maneja los nombres propios: ellos siempre introducen nuevos marcadores en el DRS principal.

Ejercicio 7.15. La regla de construcción DRS para los SN con el determinante e x a c ta m e n te uno se lee de la siguiente manera: (i) adicionar un marcador de referencia nuevo x para el DRS; (ii) si a es el NC del SN, adicionar una condición o¡{x) al DRS; (iii) reemplazar el sujeto SN de la oración con el marcador de refer^ncja x ; (iv) adicionar una condición que consiste de dos sub-DRSs conectada?* p0r —►al DRS; (v) repetir los pasos (i) a (iii) en la caja de la izquierda con un marcador nuevo y; (vi) adicionar una condición y = x a la caja de la derecha. Usando esta regla de construcción la secuencia de oraciones (96) resuHa en el siguiente DRS:

X

m uchacho(x) x camina por el parque y =>

muchacho (y) y camina por el parque

x=y

silba(x)

Ejercicio 7.16. (a) (b)

(c)

( { x } , {M U C H A C H O (x ), ( { { y } , M U C H A C H A (y )}) - »

(0,

{(({£ }>

(0,

{ ( ( { y } , {M U C H A C H A (y)}) - >

{ a m a r (x , y ) } ) ) } )

{ m u c h a c h o (x ) } ) —>

({x , y }, {x =

(0,

(0,

JUAN, y =

{A M A R (y, x ) } ) ) ,

({0,

M ARÍA,

(0,

{ a m a r (x , y ) } ) ) } ) ) } )

((0,

{ a m a r (x , y ) } ) - »

{O D lA R (y , x ) } ) - +

(0 ,{O D IA R (x,y)}})}|

(d)

( { x } , { M U C H A C H O ( x ) , C A M I N A R EN EL P A R Q U E ( x ) , ( ( { y } , { M U C A C H O ( y ) , C A M I N A R EN EL P A R Q U E ( y ) } ) —> (0, { y = x } ) ) , s i l b a r (x ) } )

Si usamos nuestras convenciones notacionales abreviadas, (a )-(d ) podemos escribir como: (a)

( { x } , { m u c h a c h o (x ), ( ( { y } , m u c h a c h a ( y ) ) - > a m a r (x , y ) ) } )

(b)

( { x } , m u c h a c h o ( x ) ) - > ( ( { y } , M U C H A C H A (y )) - > a m a r (x , y ) )

(c)

( { x , y } , { x = J U A N , y = M A R Í A , (a m a r ( x , y ) — > A M A R (y, x ) ) , ( o D i A R ( y , x ) — >o d i a r ( x , y ) ) } )

(d)

( { x } , { M U C H A C H O ( x ) , C A M I N A R EN EL P A R Q U E ( x ) , ( ( { y } , ( M U C H A C H O ( y ) , C A M I N A R E N EL P A R Q U E ( y ) } ) — >y = sil b a r

(x ) } )

x),

ercicio 7.18. 143)

( { x } , { h o m b r e (x ) } ) - > { c a m i n a r

144)

( { x } , { H O M B R E ( x ) } ) — ► {-'C A M IN A R e n

145)

( { x } , { j u g a d o r (x ) } ) - >

en

el

p a r q u e

el

{P E Ó N (y ), E SC O G E R (x , y ), PONER e n

146)

(x ), s i l b a r (x ) }

p a r q u e

(x ), c a s a (x ) }

EL C U A D R A D O ( x , y ) } )

( { x } , { c l i e n t e (x ), e n t r a r (x ) } ) — > {tratar

A M A B L E M E N T E (u S T E D ,x ) , O F R E C E R C A F É ( U S T E D , x ) }

ercicio 7.19. la

DRS,

una fórmula de la lógica de predicados y una fórmula

DPL

que repre-

uten correctamente el significado de (96) son (a), (b) y (c), respectivamente vitamos el uso de material equivalente en (b) para hacer más fácil la comiración): (a) ({x }, { M U C H A C H O ( x ) , C A M I N A R (({y }, ( M U C H A C H O ( y ) , C A M I N A R

EN EL P A R Q U E ( x ) , EN EL P A R Q U E ( y ) } ) —>

(0,{y=x})),SIL B A R (x)}) (b) 3x(MUCHACHO(x)

A C A M I N A R EN EL

Vy((MUCHACHO(y)ACAMINAR (c) 3x(MUCHACHO(x)

A

CAMINAR

Vy((MUCHACHO(y)ACAMINAR

E N EL

PARQUE(x)A PARQUE(y))—>y=x) ASILBAR(x))

EN EL P A R Q U E ( x ) A E N E L P A R Q U E ( y ) ) — > y = x ) ) ASILBAR(x)

3 sólo en la fórmula D P L (c) que la traducción de la primera oración de (96) jarece como una subfórmula en la traducción de la sucesión de oraciones, anto en la D R S (a) como en la fórmula lógico-predicativa (b), la traducción 3 la segunda oración tiene que traerse bajo el alcance del cuantificador {x } 3x, respectivamente, para obtener resultados semánticamente correctos. En msucesión, la fórmula D P L es la única traducción composicional de las tres; la RS y la traducción a lógica de predicados son igualmente no-composicionales. ote que en la semántica de D P L (b) y (c) son equivalentes.

'jercicio 7.20. ajo la interpretación de la disyunción dada en la definición 4, un cuantificador cistencial 3x en la primera disyunción no puede acotar ocurrencias libres de

x en la segunda disyunción (ni de manera contraria). Más aún, si continuamos una disyunción 0 V tp con una nueva conjunción: (0 V VO A \ >un cuantificador existencial 3x en 0 o ip no puede acotar ocurrencias de x en xB ajo la definición alternativa de disyunción propuesta, todavía no es po sible para un cuantificador en la primera disyunción acotar variables en la se gunda (ni viceversa). Entonces, esta interpretación alternativa de disyunción no puede ayudar a explicar relaciones anafóricas en las disyunciones burro problemáticas (148) y (149), discutidas en §7.4.4. Dicho sea de paso, estos ejemplos son de la forma ->3 x0 (x) V tp{x). Así, la negación bloquea la acotación de variables fuera del alcance de la negación por cuantificadores dentro del alcance de la negación; ninguna definición al ternativa de la disyunción puede ayudar a explicar las relaciones anafóricas en estos ejemplos. Lo que también parece necesario es una definición alternativa de la negación. Pero la interpretación alternativa de la disyunción propuesta difiere de la original en otro aspecto. De acuerdo con la definición alternativa, es posible para un cuantificador 3x en cualquiera de las disyunciones

Ax) y, por consiguiente, 3 x (0 A x ) V3x(?/>Ax)En consecuencia, podemos usar la noción alternativa de disyunción para ex plicar las relaciones anafóricas en una sucesión de oraciones com o la siguiente: (203) Un profesor o un profesor asistente atenderán la reunión. El la reportará a la facultad Para traducir los dos términos indefinidos un profesor y un profesor asistente debemos usar el mismo cuantificador 3x; por su parte, el pronombre en la segunda oración debe ser traducido por la variable x. Ejercicio 7.21. En DPL hay un único subconjunto más pequeño que {3, V, A, V, —>} en térmi nos del cual el resto de constantes lógicas puede definirse. Como se explicó en el texto, Vx0 puede definirse como -i3x->0, pero 3x(p no puede definirse com o —Nx^4>. 3x0 y ->Vx—'<¡> no son fuertemente equivalentes

en DPL. Ellas no tienen las mismas condiciones de imbuición, a pesar de qUe tienen las mismas condiciones de verdad. Similarmente, es posible definir <j) V ip com o A -|V0 y definir 0 —^ com o —i(^> A pero no es posible definir ip) o como . Estas tres fórmulas tienen las mismas condiciones de verdad pero no las mismas condiciones de imbuición (dicho sea de paso, lo mismo es válido para (j) y En consecuencia, el único subconjunto mínimal posible del conjunto total de constantes lógicas {3, V, A, V, -►} es el conjunto {3, A}. Ejercicio 7.22. (i)

3x F x \£a F x 3 x F x \£b F x 3x F x |=c F x

3x F x y=-a 3 y Fy 3x F x (=5 3y F y 3x F x \=c 3y F y

(ii)
diferencia de f=Q y |=¿, la relación de implicación |=c no es ni refle xiva, ni transitiva. Un contraejemplo de reflexividad es F x A 3xG x F x A 3x G x. Mientras la ocurrencia de x en F x en la premisa es libre, su ocurrencia en la conclusión está acotada por el cuantificador en la premisa. Un contraejemplo de transitividad es: aunque 3x F x (=c 3yF y Y 3y F y \=c F y son válidos, no es válido que 3x F x f=c F y.

Notas bibliográficas

Estas notas bibliográficas contienen sugerencias para lecturas futuras, sin ninguna pretensión de ser exhaustivas. En general, no se repiten las referencias a la literatura presentadas al interior del texto.

1. Orígenes de las lógica intensional Los artículos originales en los que Frege desarrolla sus ideas acerca del significado son Frege (1892b,a, 1918a,b, 1923). Estos artículos se recogen en Frege (1962a,b). Traducciones al inglés de los primeros dos artículos pueden encontrarse en Geach y Black (1960}, y de los otros artículos en Geach (1975). La referencia para una exposición y valoración detallada de la filosofía del lenguaje de Frege se encuentra en Dummett (1973); ver también Dummett (1981). Un estudio desde una perspectiva histórica es Sluga (1980). Una colección de artículos recientes está en Wright (1984).

2. Lógica proposicional intensional Dos excelentes» libros de texto sobre lógica modal proposicional son Hughes y Cresswell (1968) y Chelllas (1980). Un estudio general de los sistemas intensionales con varias aplicaciones pmede encontrarse en van Benthem (1988). Para conexiones computacionales recientes, ver también Goldblatt (1987). Una colección útil de estudios de varias ramas de la l»ógica intensional es Gabbay y Guenthner (1984). Un trabajo pionero en la construcción de sistemas actuales de lógica intensional es Lewis (1918). Para el trabajo origimal de Carnap, Kanger, Hintikka y Kripke, ver Carnap (1947); Kanger (1957); Hintüxka (1961); Kripke (1963). No existein trabajos introductorios de estatus similar disponibles para la lógica temporal (peiro cf. Rescher y Urquhart (1971)). El lector puede consultar el traba-

) original de Prior (1967). Un estudio técnico avanzado es van Benthem (1983). 11 análisis del tiempo de Reichenbach puede encontrarse en Reichenbach (1947). Un studio polémico interesante de la relación entre la lógica estándar y la lógica temporal uede encontrarse en Needham (1975). Para el análisis de Kamp del n-operador, ver [amp (1971). El análisis de Lewis de los contrafácticos puede encontrarse en Lewis (1973). Ver ambién Veltman (1981, 1985), y Kratzer (1981).

i. Lógica de predicados intensional ,a mayoría de los libros de texto sobre lógica intensional se concentran en la lógica iroposicional. Pero Hughes y Cresswell (1968) contiene una sección interesante sobre Sgica modal de predicados. Hintikka (1969) y Plantinga (1974) hacen un análisis losóficamente interesante. Se recoge un número de artículos clásicos en este campo e Quine, Kaplan, Kripke y Hintikka, entre otros, en Linsky (1971). Para la Teoría de Designación Rígida el lector puede consultar, además de los rtículos de Kripke referidos en este texto, los trabajos de Kripke, Putnam, Donellan Kaplan que pueden encontrarse en Schwartz (1977) y en French et al. (1979).

Quine, por su parte, expresó sus ideas acerca de la lógica intensional en una serie le artículos; ver Quine (1961). Para la Teoría de Contrapartes de Lewis ver Lewis 1968, 1973).

L Teoría de Tipos y la Gramática Categorial

■Jo se dispone de libros de texto accesibles sobre Teoría de Tipos. Una formulación emprana puede encontrarse en Church (1940). Para la Teoría Finita de Tipos de lussell ver Russell (1908). El lector podría consultar también Hindley y Seldin (1986). La formulación original de la sintaxis categorial fue dada por Lesniewski (1929). /er también Adjuciewicz (1935). Para las proposiciones hechas por Bar-Hillel, ver 3ar-Hillel (1953); para las de Lyons ver Lyons (1968). Otra literatura relevante s Lewis (1972); Montague (1970a, 1973); Cresswell (1973); Geach (1972); Bartsch r Vennemann (1972) y Bartsch (1976b). Ver también §7.3. para referencias a literaura más reciente.

>. Teoría de Tipos Intensional

Jn estudio lógico extensivo de la Teoría de Tipos Intensional y de la Teoría de Tipos Di-sorteada se encuentra en Gallin (1975). Ver también Janssen (1986). Para la Teoría de Preguntas usada en §5.5. ver Groenendijk y Stokhof (1982, 1984, 1988b).

6. G r a m á t ic a d e M o n t a g u e

La última sección de este capítulo contiene referencias a textos introductorios y a otra literatura. Ver también las referencias en el capítulo 7. Las ideas de Tarski referidas en §6.1.2. pueden encontrarse en Tarski (1935, 1944). Para la teoría de Kripke ver Kripke (1975); para la alternativa de Gupta ver Gupta (1982). Ambos se han reimpreso, entre otros artículos relevantes, en Martin (1984). Ver también Barwise y Etchemendy (1987).

7. D e s a r r o llo s r e c ie n te s

Ver las referencias dadas en el texto. Un desarrollo importante e influyente no tratado en el capítulo 7 es la ‘semántica situacional’. Ver Barwise y Perry (1983) y el número especial de Linguistics and Philosophy, 8 (1985).

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Indice analitico

CAT, 189, 191, 196, 256 C O N , 101, 107, 108, 149, 150, 154, 198 D E T , 283, 285, 303, 304, 306, 308, 309, 311, 313 N , 283, 285, 289, 296-300, 303, 304, 308, 309 N C , 189, 193, 194, 198, 248, 283 O, 189, 192, 196, 203, 244, 285, 303 SN , 283-296, 299-303, 305, 308, 309, 311-313, 322, 323, 328, 329, 344 346

conversión, 136,138,139, 164, 171, 172, 200, 203, 205, 206, 209, 210, 220, 222, 223, 333 operador, 128, 130-132, 134, 137, 140-143, 162, 165, 214, 240, 327, 328 K , 35 árbol de análisis, 194, 195, 205, 208, 209, 230, 242, 253, 269-273 de construcción, 126, 184

de números, 315, 318, 320, 321 de traducción, 205, 207, 209 V A R, 101, 107, 108, 131, 149, 150, estructural, 229 154, 162 árboles V I , 189, 192, 194, 283, 341, 344 análisis, 269 W E , 102, 107, 108, 131 éln, 190, 225 VA-eliminación, 200, 203, 205, 206, 210, índice, 84, 226, 227 220 a lo sumo, 291, 301-304, 306, 313 A de dicto, 185 abstracción, xxii, 131, 136, 139, de re, 185 144, 164, 200. 228, 287, 329, de re, 185, 223 VI, 190 333

de dicto, 214, 224, 225, 231-233, 244, algunas veces, véase adverbio tempo 246, 251, 253, 270, 433 ral de re, 185, 214, 224, 225, 230-233, 244- alternativa epistémica, 21 246, 252, 270, 433 ambigüedad, 59, 184-187, 224 de dicto, 233 abajo, 150 de re, 233 abstracción de dicto, 185, 214 funcional, 131 de re, 185, 214 sobre una variable, 134 de alcance, 207, 213, 224, 225, 230, sobre una variable libre, 130, 134 233, 234, 371 abstractor de conjuntos, 131 derivacional, 185, 187, 225 abstraer vacíamente, 130 estructural, 184, 185 acotada anáfora, 275, 278, 344 ocurrencia, xxiv relación anafórica, 335, 355, 369 actitudes proposicionales, 56, 278, 332, análisis 371, 372 árbol, 194, 195, 205, 208, 209, 230, adjetivo, 57, 60, 96, 184, 193, 243, 246242, 253, 269-273 248, 275, 300, 309, 311, 328 estructural, 185 extensional, 247, 248 sintáctico, 16, 115, 183-187, 204, intensional, 247, 310, 311 238 intersectivo, 248, 310 analogistas, 3 prenominal, 246, 250 anomalistas, 3 pronominal, 249 antipersistencia, 303-305 relativo, 96, 97, 99, 248 adverbio, 47, 57, 60, 215, 216, 243, aplicación funcional, 99, 101, 110, 112, 131, 275, 323, 328 192, 194, 204, 206, 208, 244extensional, 251 246, 249-251, 260, 323, 324, predicativo, 96, 97, 99, 249-251 327 predicativos, 249 argumento que modifica oraciones, 197, 250 disminución, 325 temporal, 50 Aristóteles, xix, 23, 39 alétheia, 37 argumento batalla naval, 39 alcance, xxiv, 39,48, 49, 58, 60, 62, arriba, 150 126, 137, 164, 172, 184, 213, 214, 224, 225, 234, 242, 268, artículo, véase determinante 275, 338, 343, 345, 348, 363, asignación, xxiv, 74, 75, 80, 162, 168, 170, 199, 200, 203, 204, 219, 371 220, 278, 318, 322, 345, 350estrecho, 225 353, 359, 362, 365-367 relativo, 224, 234

autómata semántico, 320 autonomía de la sintaxis, 177, 186, 268 autoreferencia, 179, 180 axioma, 24, 35, 36 esquema, 36 f bautismo inicial, 65 Bedeutung (Frege), 10 ungerade, 15 cópula, 234 caja, 340 cap, 150 caracterización de marcos, 31 categoría, 24, 189-193, 195, 196, 202, 204, 206-208, 213, 225, 234, 244, 246, 249, 256, 257, 278, 279, 283, 285, 311, 312, 322, 323, 325-329 asignación de, 189 básica, 115,116, 121,188, 189,191, 192, 256, 323 cambio de, 278, 322, 323, 327-330 derivada, 115-118, 188-190, 197, 256 functorial, 192, 197, 199, 204, 249, 256 ciertos, 23 citación, 55, 56 cláusula, 20, 22, 28 inductiva, xxiii intencional, 22 relativa, 243, 248, 260, 274, 337, 341, 344, 363 relativa restrictiva, 193, 248, 340 clausura semántica, 175 complemento infinitivo, 190, 245, 246

oracional, 190, 246 componente discontinuo, 122, 123 composición de predicados, composicionalidad, 7, 175, 267, 271-275, 332, 360, 363, 369 de la referencia, 14-16 de la traducción, 140, 331, 363 del sentido, 15

133, 134 176, 199, 357, 359,

199, 204,

del significado, 6, 140, 175, 268, 271 principio de, 15, 225, 230, 266, 268, 272, 274, 358, 359 concatenación, 115, 117, 122, 124, 126, 188, 189, 244 concepto individual, 18, 61, 73, 85, 156, 254, 258, 259, 263 conceptualismo, 4 conectivos, 20, 22, 28, 162, 214, 240, 370 interpretación ‘fuerte’ y ‘débil’ de los, 70 conjunción, xxiii, 111, 126, 129, 202, 239, 240, 243, 248, 292, 295, 301, 302, 334, 343, 365-367 reducción de la, 277, 281 regla de, 192, 239, 260 conjunto potencia, xxv conjunto vacío, xxiv conocer, véase actitudes proposiciona les conocimiento, 16, 19, 177 conservatividad, 308-312, 315, 317, 318, 328, 329 constante individual, xxiii

construcción cuantificación, 225 de oraciones, 214, 225, 226, 244, de orden superior, 111 245 vacía, 270 extensional, 15 cuantificador, 18, 28, 50, 149, 162, 193, 214, 238, 287, 288, 290, 293, intensional, 9, 20 294, 302, 307, 308, 313, 348, manera directa de, 227, 371 370 manera indirecta de, 227 autodual, 298 contexto, 16-18, 20-22, 40, 85, 165, dual, 298 168, 169, 172, 177, 188, 254, existencial, xxiv, 176, 338, 346, 361, 264, 275, 279, 280, 314-317, 365-368 322, 328 múltiple, 6 de uso, 84 monótono ascendente, 290, 291 funciones de, 253 monótono descendente, 294 hiperintensional, 91, 92 monotonicidad, 297, 298 intensional, 19, 197, 214, 329, 372 negación de, 295 momentos en el tiempo, 20 Teoría de Cuantificadores Gene opaco, 55-58, 147 ralizados, xx, xxii, 277, 279, transparente, 55 281-287, 289, 290, 301, 303, contexto:, 83 307, 310, 322 contradicción, xxiv Teoría de los Cuantificadores Ge contraejemplo, 16, 31, 32, 34, 43, 44, neralizados, 276 161, 164, 171, 261, 299, 310, universal, xxiv, 176, 345, 365-368 312, 370 cup, 150 contrafáctico, 12, 52, 53, 65, 89 contrapartida, 90 de dicto, 55 convención notacional, 210, 220, 221, de dicto, 58-60, 62, 75, 78, 88 350 de re, 55 CN1, 210 de re, 58-60, 62, 75, 78, 88, 89 CN2, 220, 266 debe, 23 CN3, 262 deducción natural, xxiv, 35, 325 convencionalismo, 3 definición de verdad, véase modelo coordinación, 325 de un discurso, 331 correferencia, 241, 252 definición inductiva (recursiva), xxiii creencia, 16, 19, 72, 73, 92, 332, 371 densidad, 45 creer, véase actitudes proposicionales, dependencia véase actitudes proposiciona del contexto, 16, 20, 172, 315, 316 les derivabilidad axiomática, xxiv cuadro de oposición, 298

sintáctica, xxiv descripción definida, xxv, 8, 13, 61-63, 65, 66, 73, 199, 202 descubrir, véase actitudes proposicio nales t

disyunción, xxiii, 111, 239, 240, 243, 292, 293, 295, 301, 302, 346, 348, 354, 356, 369 regla de, 239, 260 doble indexación, 87 designador rígido, 65, 71, 72, 79, 85, dominio, xxiv, 5, 6, 94, 150-152, 155, 165-167, 170, 198, 214, 258, 91, 164,217-219, 221,229, 231, 278, 282, 283, 285-288, 296, 258, 263 308, 313-317, 322, 337, 343, destinatario, véase índice, véase índi 350 ce creciente, 71, 73, 75, 77, 78 determinante, 142, 144, 193, 194, 196, de expresiones de tipo a, 105 206, 207, 215, 225, 238, 243, DPL, 365, 367-369, 371 282, 283, 328, 329, 346, 372 DRS, 340-348, 350, 352, 354, 356-366, antipersistente, 304 369, 370 complejo, 194 condición, 342, 347 conservativo, 308 imbuición verificadora, 343, 345, continuo, 314 350-352, 359, 362, 365 cuantitativo, 315 regla de construcción, 340, 342, 344 homogeneidad, 319 346 intensional, 310 subordinación, 344, 345 lógico, 315 verdad de, 351 persistente, 304 DRT, 330-333, 337, 339-341, 343, 348, posesivo, 316 353-361, 363, 365, 367, 369que tiene extensión, 314 372 simple, 194, 300 y la composicionalidad, 357 uniformidad, 319

dual, véase cuantificador dual

variedad, 312 vive en, 308 discurso, xxii, 177, 278, 330-332, 334337, 339, 355-360, 367, 369 372 análisis de, 278 punto de discurso, 49 referente, 337, 341 representación, 275, 276 representación de, 345 discurso indirecto, 56

eje temporal, 41-43, 45-47, 51 con ramificaciones, 44 ramificado, 44 el/la, 193, 206 elemento léxico, 116, 119, 192 eliminación: AV, 160 en absoluto, véase polaridad negativa entidad, 2-8, 10, 11, 61, 62, 66-68, 149, 152, 153, 155, 157, 159, 163, 166, 167, 203, 211, 212,

222, 231-233, 236, 253, 254, 256, 257, 263 intensional, 147-149, 152 equivalencia, xxiv, 24, 30, 108, 155, 161, 171, 221, 222, 271, 369 débil, 119 fuerte, 119 lógica, xxiv material, xxiii relación, 36, 37, 271 esencialismo, 58, 89 esquema argumentativo, xxiv, 39 axioma, 36 de demostración, 321 de reglas, 226, 248, 252 estructura de representación de discursos, 340 modal, véase marco sintáctica, 268, 273 subyacente, 267, 268 superficial, 267, 268 temporal, 44-46 temporal ramificada, 52 expresión básica, 190, 234, 259 regla, 191 tipo, 98 cerrada intensionalmente, 162, 164, 172 extensión, 1, 2, 6, 17, 18, 47, 154, 155, 162-166, 168, 169, 178, 196, 197, 201, 202, 212, 216-219, 222, 247, 258, 259, 275, 278, 284, 295, 304, 314, 315, 317319, 329, 436 extensionalidad, 7, 20, 23, 217, 222, 237, 238, 245, 250, 262, 265

principio de, xxiv, 7, 15 extensionalistas, 182 Färbung (Frege), 10 fórmula Barcan, 76, 78, 81, 82 válida, 30 válida en F , 31 forma gramatical, 266 lógica, 266 que induce a error, 267 frecuentemente, véase adverbio tem poral fuerza (Frege), 10 función característica, 104, 105, 142, 143 de interpretación, xxiv dominio, 66, 69, 70 futuro, 40

Geach regla de, 323, 324, 327 gedanke (Frege), 13 gramática lógica, 175 categorial, xxii, 115, 117, 276, 325, 328, 329 bidireccional, 117, 119-121 flexible, 322 de estructura de frase generaliza da, 125 de lógica, 175 de Montague, xx, xxii, 174, 175, 183, 185, 188, 194, 196-198, 202,274,330-339, 358-360, 31 flexible, 328 generativa, 176, 177, 181, 267, 268 274, 275

independiente del contexto, 119, 120, 122-125 lógica, xix, xx, xxii, 18, 177-179, 181, 183, 267, 268, 273-275 universal, 281 t

de segundo orden, 95, 106, 113 de predicados dinámica, 365 de predicados intensional, 18 de predicados modal, 217 de primer orden, 211, 222, 338, 340, 346, 352, 360, 365, 368, ha sido, 40 370 hablante, véase índice de proposicional, xx, xxv historia derivacional, 185, 230, 269, 273 de tipos di-sorteada, 166 deóntica, 19, 74 ideas (Frege), 10 epistémica, 19 identidad, 71, 238 implicacional, 325, 326 predicado de, 71 multi-valuada, xx, 39, 70 ser, 235 proposicional, xix, xxiii, xxiv, 1, transmundana 6, 7, 18, 20, 26, 28, 35, 39, 40, problema de la, 89, 90 51, 176 imbuición verificadora, 343, 345, 350 proposicional modal, xxi, 23, 26352, 359, 362, 365 28, 33, 38 implicación (material), xxiii proposicional modal minimal, 35, indiscernibilidad de los idénticos, 7 36 individuo, véase entidad segundo orden, xx, 1 intención, 56 temporal, xxi, 19, 40-42, 44-47, intensionalistas, 182 50, 51, 82 interpretación Lambek calculus, 326-328 directa, 186, 202, 288 lectura indirecta, 186, 214 específica, 232 intersección, xxiv no específica, 232 introducción lectura existencia, 231 categoremática, 127, 206, 243 lenguaje objeto, 179 sincategoremática, 126, 194 lexicón, 191 ley de Leibniz, 7 kraft (Frege), 10 libre lógica ocurrencia, xxiv de predicados, xix-xxi, xxiii-xxv, libre para x, 137 1,2, 5-7, 38, 50, 200,201,203, lugar, véase índice 210, 236, 283, 343, 345, 347, 348, 352, 353, 357, 360-363, marcador de referencia, 341 365, 368-370 marco, 27 de primer orden, 95 irreflexivo, 33

reflexivo, 31 transitivo, 32 mentalismo, 177 metalenguaje, 179 metavariable, xxiii modalidad, 24 alética, 37 epistémica, 38 modelo de Kripke, 22 de lógica proposicional intensional,

22 de la lógica temporal proposicio nal, 41 lógica modal de predicados, 61 lógica proposicional modal, 27 Teoría de Tipos, 106 Teoría de Tipos Intensional, 152, 154, 159, 160, 164, 165, 168170 momentos de tiempo, 50, 82-84 monótono ascendente, 290, 295 decreciente, 294, 295 descendente, 294 números enteros, 45 números racionales, 45 nadie, véase polaridad negativa naturalismo, 3 necesario, 20 físicamente, 21 lógicamente, 21 negación, xxiii externa, 296 interna, 296 regla de, 242 negación de los cuantificadores externa, 296

interna, 296 nombre propio, 8, 61-63, 110, 258, 325, 333 nominalización, 324 notación polaca, 127 nunca, véase adverbio temporal obligación, 19 ocurrencia acotada, xxiv libre, xxiv operación sintáctica, 189 F l, 192, 204 FIO, 242 F l l , 244 F12, 245 F13, 246 F14, 248 F15, 249 F16, 250 F2, 193 F2\ 194, 206 F3, 193, 201 F4, 193, 201 F5, 193, 201 F6, 208, 209 F7,n, 225, 227, 252, 260 F8, 239 F9, 239 operador A, 128, 130-132, 134, 137,140-143 temporal, 49, 150, 165 operadores modales apilados, 29 oraciones contrafácticas, 12 oraciones burro, 337 orden lineal, 44

paréntesis, 101, 102, 105, 126, 130 paradoja de la implicación material, 24 de Russell, 98, 139 del lucero m atutino/el ûcero ves pertino, 8, 63 del mentiroso, 179 semántica, 178 parcialidad de la interpretación, 70 pasado, 40 pensamiento (Frege), 13 permiso, 19 persistencia, 303-305 Platón, 3 platonismo, 4 polaridad negativa, 277, 280 por lo menos, 288 postulado de significado, 216 PS1, 218 PS10, 264 PS2, 219, 265 PS3, 237 PS4, 237 PS5, 246 PS6, 247 PS7, 250 PS8, 262 PS9, 263 pragmática, 92, 112 predicado de existencia, 66 de verdad, 178 principio de extensionalidad, 157 de Frege, véase composicionalidad producto cartesiano, xxv pronombre anafórico, 241

deíctico, 83 personal, 83, 85 pronombres reflexivos, 226 propiedad, 147, 148, 152, 163 accidental, 58 de primer orden, 153, 158 esencial, 58 proposición, 13, 147, 148, 152, 153, 158 puede, 23 punto de evento, 49 de referencia, 49 raramente, véase adverbio temporal realismo, 5 reducción, véase A-conversión referencia auto-, 179 indirecta, 15 múltiple, 18 marcador de, 341 referencia (Frege), 10 indirecta, 15 referencia múltiple, 18 referente del discurso, 337 regla básica, 191 de cuantificación, 225 de Geach, 323 de la negación, 242 de Montague, 325 regla de traducción T (c), 235 T l ( a ’), 238 T I (a), 198, 258 T l(b ), 204, 258 T l ( c ’ ), 206 T l(c ), 259

T l(d ), 250 TIO, 239 T i l , 239 T12, 239 T13, 239 T14, 242 T15, 244 T16, 245 T17, 246 T18, 248 T19, 249 T2, 204 T20, 250 T21, 252 T3, 201 T3\ 206 T3), 259 T4, 201, 259 T5, 201, 259 T6, 201, 259 T7, 209 T8,n, 227 T8,n), 260 T9, 239 regla sintáctica 51, 191 510, 239 511, 239 512, 239 513, 239 514, 242 515, 244 516, 245 517, 246 518, 248 519, 249 52, 192 520, 250

S21, 252 53, 193 S3’ , 194 54, 193 55, 193 56, 193 57, 208 58, 225 59, 239 relación anafórica, 335 anterior a, 40, 41 conectada, 34 de accesibilidad, 22 de contrapartida, 90 de equivalencia, 36 de similitud, 54 irreflexiva, 33 reflexiva, 31 transitiva, 44 representación mental, 181 restricciones, 282 globales, 307 S5, 36 semántica de las oraciones, 216 de las palabras, 216 semántica situacional, 180 sentencias, xxiv sentido (Frege), 10 ser, 234 siempre, véase adverbio temporal significado léxico, 216 significado por correspondencia, 2 sinn (Frege), 10 sinonimia, 182 sintagma

de Tipos Intensional Di-sorteada, 166 del Significado, 2, 5, 9, 360 del Significado por Corresponden cia, 2, 4-6 Intensional de Tipos, xxii Intensional del Significado, xx, xxi Pictórica del Significado, 5 Referencial del Significado, 5, 7, 8, término, 191 181 término cuantificado, 259 Teoría de Categorías Semánticas, 115 tal vez, 23 Teorías tautología, xxiv del Significado, 2 reoría tesis de la forma que induce a error, de Tipos, 18 267 de Tipos Intensional, 18 tiempo discreto, 45 del Sentido de Frege, 12, 14 tiempo verbal, 40 del Significado, 6 tipo del Significado de Frege, 10, 11, 14 básico, 98 Semántica no Composicional, 358 derivado, 99 Conductista del Significado, 2 di-sorteado, 167 de Conjuntos, xxiii, xxiv, 284, 288, intensional, 329 346, 347 todo, 193, 206 de Cuantificadores Generalizados, tono (Frege), 10 xxii, 277, 279, 281-287, 289, traducción 290, 301, 303, 307, 310, 322 composicional, 140 de las Descripciones Definidas, xx explícita, 140 de las Relaciones, 322 finita, 140 de los Cuantificadores Generaliza formal, 140 dos, xx función / , 196, 257 de Modelos Abstracta, 277 de Representación de Discursos, un solo, 193, 206 xx, xxii, 278, 330, 371 un(a), 193, 206 de Significado de Grice, 2 unión, xxiv de significado es uso, 2 universales semánticos, 281, 300 de Tipos, xix, xx, xxii, 285, 322 de Tipos Di-sorteada, xxii, 51 va a ser, 40 de Tipos Intensional, 146, 148, 149, validez 151-153, 157, 163-166 en un marco, 42 verbal intransitivo, 189, 196 verbal transitivo, 207 sintaxis categorial, 188 sistema lógico extensional, 7, 182 t intensional, 157, 182 sospechar, véase actitudes proposicio nales

en un modelo, 30 teorema, xxiv universal, xxiv, 155 valuación, xxiv variable libre, 128, 130 meta-, xxiii sintáctica, 190, 258 verbo extensional, 222 verdad relativa, 155 VI, 189, 196 VT, 207 vocabulario, 100 Vorstellungen (Frege), 10 yo, 83

E s t e libro fue compuesto en caracteres Times New Román de 11 puntos, impreso sobre papel bond de 75 gramos y encuadernado con método Hot Melt, en el mes de abril de 2010, en Bogotá, D .C ., Colombia.

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