Fungsi Kompleks - 4s3a5b

FUNGSI KOMPLEKS KELOMPOK 1 Oleh:

• Eka Anjarwati • Desy Qoraima Putri • Zulva Nurhayati

PENGERTIAN FUNGSI KOMPLEKS •Merupakan  

fungsi dari variabel kompleks yang menggambungkan antara fungsi/bilangan real dan imajiner. Misalkan adalah sebuah fungsi kompleks dengan , maka

Dengan dan merupakan fungsi-fungs riil dalam bidang kompleks.

Contoh: •  Buktikan bahwa setiap fungsi kompleks dapat dituliskan dalam bentuk seperti pada pers.1 dengan • Jawab:

FUNGSI KOMPLEKS ANALITIK •  Differensiasi sebuah fungsi kompleks dinytakan dengan : • Pada daerah yang mengandung titik . Berkaitan dengan fungsi w yang terdiri dari fungsi real dan imajiner, sperti :

 Jika

memiliki turunan / limit tunggal di titik , karena dan maka

turunan terhadap fungsi f di peroleh :

Jika kita ambil , dengan memilih sehingga , maka panjang sumbu x sejajar akan diperoleh :  

 Jika

kita mengambil sehingga , maka sepanjang sumbu y yang sejajar akan diperoleh : Maka untuk kedua keadaan * dan ** , akan di dapatkan :

Bentuk :

Contoh bahwa fungsi kompleks di bawah ini merupakan fungsi • Buktikan   analitik dengan • Jawab:

•

U(x,y)

• Bukti fungsi analitik

=

ANALITI K

LATIHAN SOAL •1.  Tentukan bilangan riil dari fungsi kompleks dan tentukan pula apakah fungsi tersebut termasuk fungsi analitik? 2. Tentukan bilangan riil dari fungsi kompleks dan tentukan pula apakah fungsi tersebut termasuk fungsi analitik? 3. Tentukan bilangan riil dari fungsi kompleks dan tentukan pula apakah fungsi tersebut termasuk fungsi analitik?

JAWABAN LATIHAN SOAL •  

 Bukti

fungsi analitik

= Terbukti fungsi analitik

 

+10

U(x,y)

Bukti fungsi analitik

= Terbukti fungsi analitik

 

Bukti fungsi analitik +1 = Terbukti fungsi analitik

FUNGSI HARMONIK •  Misalkan adalah nalitik dan semua turunan u dan v differensiabel, maka jika differensiasikan sekali lagi persamaan Chaucy-Rienmann terhadapa x akan diperoleh :

• Sedangkan jika kita differensiasikan terhadap y , diperoleh :

 Untuk

menjamin kekontinuan dan , maka dengan menjumlahkan

kedua persamaan diperoleh : dan

Dengan demikian fungsi u dan v memenuhi persamaan Laplace. Jadi : jika analitik dan memenuhi persamaan Laplace maka persamaan tersebut adalah Harmonic.

Contoh 1. •   Tunjukkan bahwa fungsi termasuk fungsi harmonik Jawab: Misal maka

 2v  2v  2 0 2 x y Bahwa turunan kedua v terhadap x dan y ada dan kontinue TERBUKTI U HARMONIK

LATIHAN SOAL •1.  Tunjukan bahwa fungsi merupakan fungsi harmonik! 2. Diketahui sebuah fungsi Tentukan nilai , agar fungsi tersebut merupakan fungsi harmonik.

JAWABAN LATIHAN SOAL •1.  Misal

Bahwa turunan kedua v terhadap x dan y ada dan kontinue TERBUKTI U HARMONIK

 2. Misal

agar menjadi fungsi analitik

Integral kontur Berbeda dengan definisi integral untuk fungsi riil yang batasbatasnya merupakan bilangan riil, dimana keduanya berada dalam satu garis bilangan, maka untuk integrasi fungsi kompleks batas-batas tersebut berada dalam bidang kompleks yang cara menghubungkannya ada tak-berhingga buah

Secara naif dapat diduga bahwa kontur lintasan integrasi yang berbeda secara umum membuat integral fungsi f(z) yang analitik pada lintasan tersebut berbeda pula. Untuk membuktikannya tinjau bentuk integral tertutup berikut  

= =

Pers. 1

 

Dimana C merupakan kontur sebarang lintasan tertutup dengan . Selanjutnya dengan menggunakan Teorema Green pada bidang yang telah dibahas, tinjau bagian riil ruas kanan baris kedua persamaan :  dxdy

Pers. 2

Berdasarkan kondisi Cauchy-Riemann dapat dengan mudah dibuktikan bahwa ruas kanan integral (2) berharga nol. Melalui cara yang persis sama dapat dibuktikan pula bahwa bagian imajiner ruas kanan (1) baris kedua persamaan juga memenuhi kondisi:  

Karena C adalah lintasan dengan kontur tertutup dan misalkan f(z) analitik ada didalamnya, maka:  

Teorema Cauchy Goursat

CONTOH SOAL Terdapat fungsi u=3x+y dan v=3y-x dengan batas seperti pada gambar di bawah. Buktikan apakah sesuai dengan teorema Cauchy? y

1 2

x

JAWAB  

=0

NOW

Integral Cauchy

Tinjau fungsi dan gambar: dengan

Sehingga

CONTOH SOAL

Hitunglah ( z 2 )dz dalam bidang  kompleksCsepanjang lintasan yang di tunjukkan pada gambar di bawah ini ?

y

1 x

JAWAB

f ( z)  z 2

 ( x  iy ) 2  x 2  2ixy  y 2  x 2  y 2  i 2 xy

 f ( z )dz  0

C



C

f ( z ) dz  0 2

2 ( x  y  i 2 xy)( dx  idy ) 

C

2 2 2 2 x dx  y dx  2 ixydx  ix dy  iy dy  2 xydy 

C

2

1

0

0

2 2 2 2 ( x  y  2 ixy ) dx  ( ix  iy  2 xy) dy  

 1 2  2 2 x  xy  ix y  3 

2

0



 

1 3  2 x y  y  xy 2  3 

1  8    2 2  2 y  i 4 y  ix  i  x  3    3 1  8   2 2  2 y  x  ix  i 4 y  i  3   3  real

imajin er

1

0

LATIHAN SOAL 1. Terdapat fungsi u  x 2  y 2 dan v  2xy2 dengan batas seperti pada gambar di bawah. Tentukan apakah sesuai dengan teorema Cauchy?

y

1 2

2.

dz

 ( z  3) Hitung C

, jikaC :| z  2 |. 2

x

dz  ( z  1)dalam 3. Hitunglah bidang kompleks sepanjang lintasan yang di tunjukkan pada gambar! 2

C

-1

-1

1

0

1

JAWABAN 1

du dv C (vdx  udy )  A ( dx  dy )dxdy



C

1 2

2 2 2 d ( x  y ) d ( 2 xy ) 2 2 2 2 xy dx  x  y dy    (  )dxdy dx dy 0 0







1 2



   2 x  4 xy dxdy 0 0

 x



1



2

 2 x 2 y dy

0 1



2

0

  4  8 y dy 0



 4y  4y



2 1 0

 44  0

1 tidak analitik diz  3 yang berada di dalam z 3 interior C. Dibuat lintasan Ctertutup di dalam C z  3 1 berpusatz di 1 1 3 e 0  t  2 C : z 3  dz  e 2 2 . Diperoleh 2 Yaitu , dan

2

f (z) 

1

it

1

Menurut Teorema Cauchy Goursat yang diperluas,



C

dz dz  C1 ( z  3) ( z  3) 

i



2

0



2

0

 2 i

dt

1 2

i e i t dt it 1 2 e

it

dt

f ( z)  z  1 2

3

 ( x  iy ) 2  1  x 2  2ixy  y 2  1  x 2  y 2  1  i 2 xy



f ( z ) dz

C

2

2 ( x  y  1  i 2 xy)( dx  idy ) 

C

2 2 2 2 x dx  ix dy  y dx  iy dy  dx  idy  i 2 xydx  2 xydy) 

C

x

C

2







 y 2  1  i 2 xy dx   ix 2  iy 2  i  2 xy dy C

 1 3 2 2   3 x  xy  x  ix y    

1



1 3 2   ix y  i y  iy  xy  3   1 2

2 1    2 2  2 y  2    ix  i  i  x 3 3      

  x  2y

2

 

  x  2y 

real

2

1

2 1   2 2 i    ix  i 3 3   4 4  2     ix  i  3 3  imajin er

0

Deret laurent •Bagaimana   penderetannya bila f(z) fungsi meromorfik yang gagal analitik di sebuah kutub z = a di dalam daerah konvergensinya? Di dalam sebuah anulus berpusatkan di z = a fungsi f(z) menjadi analitik, karena z = a sudah berada di luar kontur. Daerah kovergensinya menjadi : r < | z-a| < Di dalam daerah penderetan yang berupa anulus ini, deret fungsi yang dihasilkan tidak hanya deret taylor tetapi menjadi lebih umum:

•  

• Dengan an

1  2i

 k

f (t ) (t  z 0 ) n 1

dan

1 bn  2i



C

f (t ) (t  z 0 )  n 1

Suku pertama di ruas kanan tidak lain adalah deret taylor dan suku keduanya yang berupa polinomial berpangkat negatif disebut sebagai bagian utama dari deret laurent.

DERET LAURENT Intinya : Deret laurent seperti halnya dengan deret taylor, uraian MacLaurin, atau deret pangkat suatu fungsi. f ( x )  C0  C1 ( x  a )  C2 ( x  a ) 2  ...  Cn ( x  a ) n  ... 

1 f ( x)   f n  0 n!  1 f ( x)   f n  0 n! (1  x )

p

(n)

( a )( x  a ) n

(n)

(0)( x ) n

p ( p  1) 2 p ( p  1)( p  2) 3  1  px  x  x  ... 2! 3!

Deret Pangkat Deret Taylor

Deret MacLaurin Deret Binominal

Beberapa fungsi dasar pada uraian maclaurin •   • Cos x • Sin x

CONTOH SOAL Uraikan fungsi di sekitar z = 0. ez Pembahasan : f ( z )  z Bentuk umum uraian Laurent f(z) di sekitar z = 0 adalah : f ( z) 



 an z



bn zn



n

n 0

zn       ...     ... e  1  z        n!  ez 1  z2 z3 zn f ( z)    1  z    ...   ...  z z 2! 3! n!  z



n 1

z2 2!





z3 3!





1 z2 z3 zn  1   ...   ... z 2! 3! n!

Karena z ≠ 0, maka uraian laurent diatas berlaku dalam cincin tak hingga.

0 | z | 

• •   Tentukan deret laurent : • Jawab: • Sesuai dengan deret binomial: • +…)

• •  Jadi:  

• (+…)

LATIHAN SOAL  1)

Uraikan deret laurent dari fungsi disekitar z = 0 2) Tentukan deret laurent dalam pangkat dari z untuk 3) Tentukan deret laurentz

PEMBAHASAN NOMOR 1 f ( z) 

1 1 1 1     z 2  3z  2 ( z  1)( z  2) z 1 z  2 1 1   1 2   z 1   z 1   z z   1 1    1  z z

1

1 2   1  z z

1

,z 0

Diselesaikan dengan menggunakan deret binomial diperoleh:

1  1    z  

1

2   1  z 

1



  1

 

1 1 1 1   2  3  4  ...  z z z z 

2 4 8 16  1      ...    2 3 4 z z z z  

PEMBAHASAN NOMOR 1 Jadi:

1 1    1  z z



1

1 2   1  z z

1

,z 0

1 1 1 1 1 1 2 4 8 16   1      ...  1      ...     2 3 4 2 3 4 z z z z z z z z z z  

1 1 1 1      2  3  4  ...  z z z z  



1 3 7    ... 2 3 4 z z z Dengan:



 

0 z

1 2 4 8   2  3  4  ...  z z z z 

PEMBAHASAN NOMOR 3 •   • +…)

PEMBAHASAN NOMOR 2 • •   Penyelesaian: • Misal maka

•   • Deret konvergen nilai

THANK YOU