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TRABAJO COLABORATIVO 1 UNIDAD 1: PASO 1 - ERROR Y ECUACIONES NO LINEALES

GRUPO 100401

TUTOR

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD MÉTODOS NUMÉRICOS FEBRERO DEL 2018

EJERCICIO 1: Desde su campo de formación plantee y de solución a dos ejemplos sobre los tipos de errores (error absoluto, relativo, error relativo aproximado, error por truncamiento y por redondeo), teniendo en cuenta la precisión y exactitud de los mismos.

Error absoluto. Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como exacto. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida. ̅ − 𝑿𝒊 𝑬𝒂 = 𝑿 𝑬𝒂 = 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜 ̅ = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑢 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑜 𝑿 𝑿𝒊 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜

Ejemplo: Se realiza un experimento que consiste en medir el tiempo en el que tarda en llegar al suelo una bola que se deja caer desde una determinada altura. Para ello se utiliza un cronómetro cuya precisión es de 0.1 s. Las medidas obtenidas tras repetir el experimento son: 3.1, 3.2, 3.7, 3.4, 3.5, 3.4, 3.1, 3.4, 3.5, 3.9. Determina científicamente el resultado obtenido. 1. Si únicamente realizamos una sola medición con el instrumento de medida, el resultado final será el valor leído ± la precisión del instrumento de medida. 2. Si realizamos n medidas en las mismas condiciones, tomaremos como valor la media aritmética (X) ± el menor valor entre la imprecisión absoluta y la precisión del instrumento de medida.

Dado que se realizan n = 10 medidas del mismo experimento tenemos que basarnos en el punto 2. Para comenzar calcularemos la Imprecisión absoluta de la medición:

Tiempo (ti)

Frecuencia (fi)

ti·fi

εa=𝒕̅−ti

3.1 s

2

6.2 s

0.32 s

3.2 s

1

3.2 s

0.22 s

3.4 s

3

10.2 s

0.02 s

3.5 s

2

7s

-0.08 s

3.7 g

1

3.7 s

-0.28 s

3.9 g

1

3.9 s

-0.48 s

TOTAL

10

34.2 s

1.4

𝒏

𝒕̅ = ∑ 𝒊=𝟏

𝒕𝒊 ∗ 𝒇𝒊 𝟑𝟒. 𝟐 𝒔 = = 𝟑. 𝟒𝟐 𝒔 𝒏 𝟏𝟎

∑𝟏𝟎 𝟏. 𝟒 𝒊=𝟏|𝒕 − 𝒕𝒊| 𝑬𝒂 = = = 𝟎, 𝟏𝟒 𝒔 𝒏 𝟏𝟎 Ejemplo No. 2 Al medir la longitud de una varilla para construcción se obtiene el resultado aproximado de 19,999 cm. mientras que al medir la longitud de un clavo, se obtiene el resultado de 9 cm. Suponiendo que los valores verdaderos de la varilla y el clavo son de 20,000 cm. y 10 cm. respectivamente, calcular el error absoluto en ambos casos. Solución. Tenemos los siguientes resultados: Para el caso de la varilla, el error absoluto se calcula como: 𝐸𝑣= 20.000 − 19.999 = 1𝑐𝑚

Para el caso del clavo, el error absoluto se calcula como: 𝐸𝑣= 10 − 9 = 1𝑐𝑚 En ambos casos, el error absoluto es igual, pero obviamente tiene mayor trascendencia el error en el caso del clavo que en el caso de la varilla, es decir, necesitamos comparar el error absoluto contra el valor verdadero. Por ejemplo, en el caso de la varilla el error relativo porcentual es: 𝐸𝑣=

1 𝑥100% = 0.005% 20.000

Mientras que en el caso del clavo, el error relativo porcentual es: 𝐸𝑣=

1 𝑥100% = 10% 10

Podemos observar, que el error relativo porcentual refleja mejor la gravedad o no gravedad del error que se está cometiendo. Es claro, que en el caso de la varilla no es trascendente ya que representa solamente un 0.005% con respecto al valor verdadero, mientras que en el caso del clavo, el error si es representativo ya que es del 10% del valor verdadero. 

Error por truncamiento y redondeo

Si en el ejemplo anterior uno de los resultados hubiese sido por ejemplo: 1.6949 Error por truncamiento seria 1.6 Error por redondeo seria 1.7

EJERCICIO 2: Usar el Método de Punto Fijo para aproximar la raíz de 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 5𝑥 − 𝑒 𝑥 , comenzando con xo=0, con 5 iteraciones. Gráficamente se nota que no existen raíces entonces: 𝑥 2 − 5𝑥 + 𝑒 𝑥 = 0 5𝑥 = 𝑥 2 + 𝑒 𝑥 𝑥=

𝑥2 + 𝑒 𝑥 5

Definimos que 𝑔(𝑥) =

𝑥2 + 𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑛 𝑥0 = 0 5

ITERACCIONES

VALOR

𝑛=1

𝑔(𝑥0) = 0,3

𝑛=1

𝑔(0,3) = 0,5022411788

𝑛=1

𝑔(0,5022411788) = 0,6348888983

𝑛=1

𝑔(𝑥0,6348888983) = 0,7632988049

EJERICIO 3: 1. Determine la raíz de la función 𝟎 = 𝒙𝟐 − 𝒆−𝒙 , usando el Método de Newton-Raphson con xo= -2. Realice 3 iteraciones. Calcule el error relativo porcentual en la última iteración, con base en el hecho de que la raíz es 0,70346742250.

Como 𝒇(𝟎), 𝒇(𝟏) < 𝟎 entonces en dicho intervalo existe una raíz Método: 𝑿𝒓 = 𝑿𝒃 − ⟦

𝒇(𝑿𝒃) (𝑿𝒃)−(𝑿𝒂) ⟧ 𝒇(𝑿𝒃)−𝒇(𝑿𝒂)

Donde [𝑿𝒂, 𝑿𝒃] =[𝟎, 𝟐]

Primera Interacción

𝑿𝒓𝟏 = 𝟏 − ⟦

𝒇(𝟏) (𝟏−𝟎) ⟧= 𝒇(𝟏)−𝒇(𝟎)

0,2468153060

𝒇(𝟎)

𝒇(0,2468153060)

𝑓(1)

-

+

+

La raíz está en el intervalo ⟦0, 0.2468153060⟧ ⟦(Xa), (Xb)⟧

Segunda Interacción 𝑋𝑟2 = 0,2468153060 − ⟦

𝑓(0,2468153060) (0,2468153060 − 0) ⟧ 𝑓(0,2468153060) − 𝑓(0)

𝑋𝑟2 = 0,1098595370 𝒇(𝟎)

𝒇(0,1098595370)

𝒇(0,2468153060)

-

+

-

La raíz está en el intervalo ⟦0, 0.1098595370⟧ ⟦(Xa), (Xb)⟧

Tercera Interacción 𝑋𝑟3 = 0,1098595370 − ⟦

𝑓(0,1098595370) (0,1098595370 − 0) ⟧ 𝑓(0,1098595370) − 𝑓(0)

𝑋𝑟3 = 0,09629402134 𝒇(𝟎)

𝒇(0,09629402134)

𝒇(0,1098595370)

-

+

+

La raíz está en el intervalo ⟦0, 0.09629402134⟧ ⟦(Xa), (Xb)⟧

Cuarta Interacción 𝑋𝑟4 = 0,09629402134 − ⟦

𝑓(0,09629402134) (0,09629402134 − 0) ⟧ 𝑓(0,09629402134) − 𝑓(0)

𝑋𝑟4 = 0,09507156042 𝒇(𝟎)

𝒇(0,09507156042)

𝒇(0,09629402134)

-

+

+

La raíz está en el intervalo ⟦0, 0.09507156042⟧ ⟦(Xa), (Xb)⟧

Quinta Interacción 𝑋𝑟5 = 0,09507156042 − ⟦

𝑓(0,09507156042) (0,09507156042 − 0) ⟧ 𝑓(0,09507156042) − 𝑓(0)

𝑋𝑟5 = 0,09496239993

Error: ⟦𝝃𝒂 ⟧ = ⟦

(𝟎,𝟎𝟗𝟒𝟗𝟔𝟐𝟑𝟗𝟗𝟗𝟑)− (𝟎,𝟎𝟗𝟓𝟎𝟕𝟏𝟓𝟔𝟎𝟒𝟐) ⟧ (𝟎,𝟎𝟗𝟒𝟗𝟔𝟐𝟑𝟗𝟗𝟗𝟑)

= 𝟎, 𝟎𝟎𝟏

Raíz: 𝟎, 𝟎𝟗𝟒𝟗𝟔𝟐𝟑𝟗𝟗𝟗𝟑

EJERICICO 4: Aproxime con 10-4 de precisión la raíz de la ecuación 𝒙 − 𝟎, 𝟖 − 𝟎, 𝟐𝒔𝒆𝒏(𝒙) = 𝟎 en el intervalo [0,1/2ϖ] utilizando el método de la secante.

𝑓(𝑥 )

Formula 𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 − 𝑚 𝑓′(𝑥𝑛

𝑛)

𝑥1 = −1 𝑥2 = 𝑥1 −

𝑓(𝑥1 ) 0,8 = −1 − = 2,308 𝑓(𝑥1 ) 0,34657

𝑥3 = 𝑥2 −

𝑓(𝑥1 ) 1,1765 = 2,308 − = 1,6229 𝑓(𝑥1 ) 1,7166

𝑥4 = 𝑥3 −

𝑓(𝑥1 ) 0,2400 = 1,6229 − = 1,3981 𝑓(𝑥1 ) 1,0674

𝑥5 = 𝑥4 −

𝑓(𝑥1 ) 0,0177 = 1,3981 − = 1,3787 𝑓(𝑥1 ) 0,9134

𝑥6 = 𝑥5 −

𝑓(𝑥1 ) 0,0011 = 1,3787 − = 1,3775 𝑓(𝑥1 ) 0,9011

La aproximación a la raíz es de 1,3775 EJERCICO 5

Determine las raíces reales de 𝑓(𝒙) = −𝟐𝟔 + 𝟖𝟐, 𝟑𝒙 − 𝟖𝟖𝒙𝟐 + 𝟒𝟓, 𝟒𝒙𝟑 𝟗𝒙𝟒 + 𝟎, 𝟔𝟓𝒙𝟓

usando el Método de la Regla Falsa aproximar en el

intervalo [0.5 , 1] con ξa = 0,1%

Evaluar Intervalos

Intervalos

Verificar Raíz

A

B

f(A)

f(B)

f(A)*f(B)

Raíz

0

1

2,71828

0,115130524 -0,312957

SI

Iteracion

A

B

f(A)

f(B)

Xr

0

0

1

2,71828

0,115130524 0,959366805 0,028195777

1

0

0,959366805

2,71828

0,959366805 1,482635757 1,846024692

2

1,482635757

0,959366805

1,482635757 0,959366805 0

2,71828

3

1,482635757

0

1,482635757 0

0

2,71828

4

1,482635757

0

1,482635757 0

0

2,71828

5

1,482635757

0

1,482635757 0

0

2,71828

f(Xr)

EJERCICO 6 Demostrar que f(x) = x3 + 2x2 – 6 tiene una raíz en [1, 2] y utilizando el Método de bisección determine una aproximación a la raíz con una precisión de al menos 10-4.

X

Y

i

a

b

Xr

f(a)

f(b)

f(Xr)

f(a)*f(Xr)

-10

-608

0

1

2

1,5

-3

16

4,375

-13,125

-9

-413

1

1

1,5

1,25

-3

4,375

0,203125

-0,609375

20

-8

-264

2

1

1,25

1,125

-3

0,203125

-1,513671875

4,541015625

11,11111111

-7

-155

3

1,125

1,25

1,1875

-1,513671875

0,203125

-0,684814453

1,036584377

5,263157895

-6

-80

4

1,1875

1,25

1,21875

-0,684814453

0,203125

-0,248321533

0,170054175

2,564102564

-5

-33

5

1,21875

1,25

1,234375

-0,248321533

0,203125

-0,024478912

0,006078641

1,265822785

-4

-8

6

1,234375

1,25

1,2421875

-0,024478912

0,203125

0,088851452

-0,002174987

0,628930818

-3

1

7

1,234375

1,2421875

1,23828125

-0,024478912

0,088851452 0,032068551

-0,000785003

0,315457413

-2

0

8

1,234375

1,23828125

1,236328125

-0,024478912

0,032068551 0,003765412

-9,21732E-05

0,157977883

-1

-5

9

1,234375

1,236328125 1,235351563

-0,024478912

0,003765412 -0,010364099

0,000253702

0,079051383

0

-8

10 1,235351563 1,236328125 1,235839844

-0,010364099

0,003765412 -0,003301181

3,42138E-05

0,039510075

1

-3

11 1,235839844 1,236328125 1,236083984

-0,003301181

0,003765412 0,000231656

-7,64737E-07

0,019751136

2

16

12 1,235839844 1,236083984 1,235961914

-0,003301181

0,000231656 -0,001534878

5,06691E-06

0,009876543

3

55

13 1,235961914 1,236083984 1,236022949

-0,001534878

0,000231656 -0,00065164

1,00019E-06

0,004938028

4

120

14 1,236022949 1,236083984 1,236053467

-0,00065164

0,000231656 -0,000209999

1,36844E-07

0,002468953

5

217

15 1,236053467 1,236083984 1,236068726

-0,000209999

0,000231656 1,08264E-05

-2,27354E-09

0,001234461

6

352

16 1,236053467 1,236068726 1,236061096

-0,000209999

1,08264E-05

-9,95869E-05

2,09132E-08

0,000617234

7

531

17 1,236061096 1,236068726 1,236064911

-9,95869E-05

1,08264E-05

-4,43803E-05

4,4197E-09

0,000308616

8

760

18 1,236064911 1,236068726 1,236066818

-4,43803E-05

1,08264E-05

-1,6777E-05

7,44569E-10

0,000154308

9

1045

19 1,236066818 1,236068726 1,236067772

-1,6777E-05

1,08264E-05

-2,9753E-06

4,99166E-11

7,71539E-05

10

1392

20 1,236067772 1,236068726 1,236068249

-2,9753E-06

1,08264E-05

3,92555E-06

-1,16797E-11

3,85769E-05

X

Y

i

f(a)

f(b)

f(Xr)

f(a)*f(Xr)

Error

21 1,236067772 1,236068249 1,23606801

-2,9753E-06

3,92555E-06

4,75126E-07

-1,41364E-12

1,92885E-05

22 1,236067772 1,23606801

-2,9753E-06

4,75126E-07

-1,25009E-06

3,71938E-12

9,64423E-06

a

b

Xr

1,236067891

Error

X

Y

23 1,236067891 1,23606801

1,236067951

-1,25009E-06

4,75126E-07

-3,8748E-07

4,84384E-13

4,82212E-06

24 1,236067951 1,23606801

1,236067981

-3,8748E-07

4,75126E-07

4,38229E-08

-1,69805E-14

2,41106E-06

25 1,236067951 1,236067981 1,236067966

-3,8748E-07

4,38229E-08

-1,71829E-07

6,65803E-14

1,20553E-06

26 1,236067966 1,236067981 1,236067973

-1,71829E-07

4,38229E-08

-6,40029E-08

1,09975E-14

6,02765E-07

27 1,236067973 1,236067981 1,236067977

-6,40029E-08

4,38229E-08

-1,009E-08

6,4579E-16

3,01382E-07

28 1,236067977 1,236067981 1,236067979

-1,009E-08

4,38229E-08

1,68664E-08

-1,70183E-16

1,50691E-07

29 1,236067977 1,236067979 1,236067978

-1,009E-08

1,68664E-08

3,38822E-09

-3,41872E-17

7,53456E-08

30 1,236067977 1,236067978 1,236067977

-1,009E-08

3,38822E-09

-3,35089E-09

3,38105E-17

3,76728E-08

31 1,236067977 1,236067978 1,236067978

-3,35089E-09

3,38822E-09

1,86642E-11

-6,25416E-20

1,88364E-08

32 1,236067977 1,236067978 1,236067977

-3,35089E-09

1,86642E-11

-1,66611E-09

5,58296E-18

9,4182E-09

33 1,236067977 1,236067978 1,236067977

-1,66611E-09

1,86642E-11

-8,23723E-10

1,37242E-18

4,7091E-09

34 1,236067977 1,236067978 1,236067977

-8,23723E-10

1,86642E-11

-4,02529E-10

3,31572E-19

2,35455E-09

35 1,236067977 1,236067978 1,236067977

-4,02529E-10

1,86642E-11

-1,91933E-10

7,72584E-20

1,17727E-09

36 1,236067977 1,236067978 1,236067977

-1,91933E-10

1,86642E-11

-8,66338E-11

1,66279E-20

5,88637E-10

37 1,236067977 1,236067978 1,236067977

-8,66338E-11

1,86642E-11

-3,39835E-11

2,94412E-21

2,94319E-10

38 1,236067977 1,236067978 1,236067977

-3,39835E-11

1,86642E-11

-7,65876E-12

2,60271E-22

1,47159E-10

39 1,236067977 1,236067978 1,236067978

-7,65876E-12

1,86642E-11

5,50315E-12

-4,21473E-23

7,35797E-11

40 1,236067977 1,236067978 1,236067977

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a

b

Xr

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