Fisika Kuantum-agus Purwanto 175b13

UANTUM

Agus Purwanto

PENERBIT GAVAMEDIA

kndasan

I~~II\;I yang berkembang sampai akhir abad sembilan belas III~I~II:IIsebagai fisika klasik dan mempunyai dua cabang utama ; 1111I niekanikaklasik Newtoniandan teori medan elektromagnetik Mekanika klasik dicirikan oleh kehadiran partikel Fl~~rwr?llian. I $11:lrjni sesuatu yang terkumngdi dalam ruang. lstilah terkurung 'I :~ r sederhana n dapat dikatakan sebagai adanya batas yang 11 $1I,,; nntara materi dan sesuatu di luar dirinya atau lingkungannya. ' .I 11 lrrngkan medan elektromagnetikdicirikanoleh kuantitas medan I 11IIl clelombang yang menyebar di dalam ruang. Medan tersebar I 11 IIr~lam ruang bagai kabut dengan ketebalan yang berbeda dan II 11 br~ipis sampai akhirnya benar-benarlenyap. Batas antara ruang I11 )Irnedan dan ruang tanpa medan tidak jelas atau kabur. Ciri utama fisika klasik adalah sifatnya yang common sense I 11 III deterministik. 1

I

I

I.1.l.Mekanika Sistem Partikel Perhatikan partikel berrnassa m yang pada saat 4 berada pnda posisi F = r ' ( t ) , memptmyai kecepatan 9 = $(t) dan

Landasan Fisika Kuanturn

Fisika Kuantum I

mengalamigaya F . Secara klasik partikel ini terikat oleh hukum Newton :

F = mF(t)

(1.1)

IIIII~~ teori I ~ medan I~ elektromagnetik. Dengan demikian, cahaya lit*ll!~gai gelombang elektromagnetik merupakan salah satu II11 ~l~ilastasi dari fenornena elektromagnetisme yang terumuskan I 111l:lm persamaan Maxwell :,

dan akan bergerakdengan lintasantertentu (definitepath).Karena itu, jika posisi, kecepatan, dan gaya saat ini diketahui maka keadaan masa lalu partikel dapat diketahui secara pasti, demikian pula keadaan masa depannya. lnilah yang dimaksud dengan sifat deterministik fisika klasik. Sifat ini secara grafik dapat dilukiskan sebagai berikut :

,

F(t'> t )

Gambar. 1.1 Lintasan Klasik suatu Partikel Dapat dikatakan, keadaan sistem partikel pada suatu saat t direpresentasikan oleh nilai sesaat dari posisi F ( t ) dan kecepatan

? ( t ). Fenomena yang ada di dalam sistem partikel (mekanika klasik) adalah fenomena tumbukan antara beberapapartikel yang memungkinkanterjadinya transfer momentumdan energi.

1.1.2 Medan Elektromagnetik Penemuan fenomena interferensi dan polarisasi cahaya di awal abad kesembilan belas meyakintan bahwa cahaya merupakangelombang. Siiat gelombangdari cahaya diidentifikasi beberapa dasawarsa kemudian sesuai perumusan Maxwell

~lrbnganfi = E?, dan H = 4 yang mana dan B adalah 111cvIanlistrik dan medan induksi magnetik, E dan ,u adalah ~~rrrmitivitas dan permeabilitas bahan, sedangkan p dan J IIlrvupakan distribusi (sumber) muatan listrik dan distribusi arus Il0:lrik di dalam bahan. Sampai menjelang abad kedua puluh, kedua teori tersebut I lilnmbah termodinamika dipandang sebagai teori puncak (ulti111ntetheory)yang mampu menjelaskan semua fenomena fisika. ! ivdangkan secara praktis, teori-teori tersebut telah memicu llrnbulnya revolusi industri.

1.2 KRlSlS FlSlKA KLASIK DAN SOLUSINYA I isika terus berkembang dan temuan baru terus didapatkan.

Ihtapi sayang, beberapafenomena fisis yang ditemukan di akhir r~badsembilan belas berikut ini tidak dapat dijelaskan oleh teori lisika klasik. Karenanya, orang mengatakan bahwa fisika klasik mengalami krisis !

1.2.1 Radiasi Benda Hitam Jika suatu benda dipanaskan ia akan meradiasi. Hasil

Landasan Fisika Kuantum

Fisika Kuantum

eksperimen yang menarik adalah sifat distribusi energi atau spektrum energi dari radiasi benda hitam yang bergantung pada frekuensi cahaya dan temperatur. Benda hitam didefinisikan sebagai benda atau sesuatu yang menyerap semua radiasi yang diterimanya. Hasil eksperimen tersebut untuk temperatur berbeda diungkapkan oleh Gambar 1.2.

I 11 II 11111 ndalah prediksi Rayleigh-Jeans, sedangkan garis putus 11 li 11:

111hasil eksperimen.

Gambar. 1.3 Distribusi energi radiasi klasik

Gambar. 1.2 Distribusi energi benda hitam Teori klasik yang dirumuskan oleh Rayleigh dan Jeans sampai pada bentuk fungsi distribusi energi :

dengan k= 1,38x10-l6 ergPK adalah konstanta Boltzman dan c adalah kecepatan cahaya. Jelas, hasil perumusan Rayleighdan Jeans (1.3) ini hanya sesuai untuk frekwensi kecil tetapi gagal pada frekwensi tinggi. Kegagalan atau penyimpangan teori Rayleigh-Jeanspada frekwensibesar ini dikenal sebagai bencana ultraungu (ultraviolet catastrophe).Grafik distribusi energi dari rumus Rayleigh-Jeans (1.3) diberikan oleh Gambar 1.3. Garis

Untuk mengatasi kesulitan analisa klasik, digunakan fakta I I;~hwa gelombang elektromagnetik yang merupakan radiasi di I lr darn rongga (cavity with a small aperture - sebagai realisasi I)r'nktiskonsep benda hitam) dapat dianalisa sebagai superposisi I I:~ri karakteristik moda normal rongga. Dalam setiap moda norIIlnl, medan bervariasi secara harrnonik. Dengan demikian, setiap t~lodanormal ekivalen dengan osilator harmonik dan radiasi lrlctmbentuk ensembel osilator harmonik. Bedasarkan pemahaman tersebut, Max Planck mengajukan I~ipotesisradikal sebagai berikut : 1 . Osilator di dalam benda hitam tidak memancarkan cahaya secara kontinu melainkan hanya berubah amplitudonya transisi amplitudo besar ke kecil menghasilkanemisi cahaya sedangkan transisi dari amplitudo kecil ke besar dihasilkan dari absorbsi cahaya. 2. Osilator hanya bisa memancarkan atau menyerap energi dalam satuan energi yang disebut kuanta sebesar hv ,

Landasan Fisika Kuantum

Fisika Kuantum bersifat bagai gelombang tetapi tidak menyebar melainkall terkurung di dalam ruang. Hal ini dipenuhi oleh paket gelombari!l yang merupakan kumpulan gelombang dan terkurung di dala111 ruang tertentu. Sebagai pendekatan terhadap konsep paket gelombang, perhatikan kombinasi dari dua gelombang bida,ig berikut

(

I

hmbar. 1.11 Superposisi dua gelombang tunggal

,111 Iqelombang tunggalnya diperbanyak,

yl (x,t) = Acos(o,t - klx) W, (x, t) = A cos(o,t - k,x) Prinsip superposisi memberikan

dengan amplitudo A,

Grafiknya,

Gambar. 1.12 Superposisi dari n gelombang

V)

.- .E

f a ,

5

Q

' l a,

L

e

a 25

$

cde

Y .-

F s-

*-

8 %

m m

.a

a a

C

f,

a

m

1-isikaKuantum

Landasan Fisika Kuantum

Gaussian yang bertransformasi Fourier juga dalam fungsi Gaussian. Untuk paket Gaussian,jika Ax dan Ak diambil deviasi standar dari (x) dan g(k),maka

h A k = 12

(1-43)

Karena pada umumnya paket gelombang tidak berbentuk Gaussian, maka

AxAk24

(1-44)

Kalikan pertidaksamaan (1-44) dengan ji dan mengingat Gambar. 1.15 Transform Fourier dari g ( k )

p = hk , maka didapatkan

Dari uraian contoh dan gambar transformasi Fourier di atas diperoleh hubungan antara Ax dan Ak (atau Ap). Hubungan ini secara grafik adalah sebagai berikut Pers(1.45) ini merupakanprinsip ketidakpastian Heisenberg (Heisenberg's uncertainty principle). Dalam kalimat, prinsip ini mengatakan :

"Tidak mungkin mengetahui atau mendapatkan posisi dan momentum suatu partikel dengan tepaf secara serempak atau bersamaanJJ

Gambar. 1.16 Kaitan antara & dan Hubungan antara Ax dan Ak bergantungdari bentuk paket gelombangdan bergantung pada Ak, Ax didefinisikan. Perkalian (Ax)(Ak) akan minimumjika paket gelombang berbentukfungsi

Prinsip ini merupakan fakta mendasar dari alam dan bukan sekedar disebabkanoleh keterbatasandan ketelitian pengukuran. Untuk mengatakanbahwa suatu partikel berada pada titik xdan bermomentum p berarti kita harus mengukur secara serempak koordinat x dan momentum p, karena tanpa pengukuran kita tidak mempunyai informasi apa-apa. Sebagai ilustrasi, perhatikangedanken eksperimen berikut ini. - Untuk mengamati elektron, kita harus menyinarinyadengan cahaya - Cahaya yang sampai di mikroskop adalahcahaya terhambur oleh elektron.

a

Fisika Kuantum

Landasan Fisika Kuantum

sehingga dari dua hubungan Ap dm Ax di atas didapatkan (1 4 3 )

AxAp = h (1Al2) sesuai dengan prinsip (1.45).

Contoh 1.8 a. Bila paket gelombang dalam komponen ruangnyasaja f ( x ) berbentuk Gaussian perlihatkan bahwa transformasi Fouriemya g(k) ,juga berbentuk Gaussian b. Bila & dm ~k diambil deviasi standar dari f(x) dan g(k) perlihatkan bahwa perkalian AxAk = $ . Gambar. 1.I7 Gedanken eksperiment penentuan posisi elektron - Momentumfoton terhambur p, = h l A, dan untuk menembus obyektif, foton hams bergerak dalam sudut a , sehingga komponen-x dari momentum mempunyai ketaktentuan

-

Ketaktentuan inijuga merupakan ketaktentuan dalam arah-x dari momentum elektron setelah hamburan, karena selama proses hamburan, momentum antara elektron dan foton dipertukarkan. Di sisi lain, posisi elektron juga tidak tentu disebabkan difraksi cahaya ketika menembus obyektif. Ketaktentuan posisi elektron sama dengan diameter pola difraksi yaitu 2ysin 8 dengan sin 0 h l d. Karena itu

-

Penyelesaian: a. Misalkan, paket gelombang Gaussian ternormalisasi berbentuk

ca

ilf(x)l

2

dengan

-0

Fouriemya

Maka pasangan transformasi

Landasan Fisika Kuantum

Fisika Kuantum

Selanjutnya

dan

Sehingga yang tidak lain adalah fungsi Gaussian, dengan

Dengan demikian b. Deviasi standar

didefinisikan

Evaluasi lengkapnya memberikan

Bentuk lain dari prinsip ketidakpastian Heisenberg dinyatakan dalam ketidaktentuan energi AE dan waktu A t ,

A AEAt 2Karena x fungsi ganjil sedangkan e-a2x2 fungsi genap.

Sehingga

2

(1.49)

Mengigat sedemikian kecilnya nilai h, prinsip ketaktentuan ini tidak relevan atau tidak tampak di dalam dunia makroskopik. Di dalam konteks ini, mekanika klasik untuk dunia makroskopik bersifat deterministik sedangkan dunia mikroskopik secara esensial non-deterministik.Karena itu, di dalam dunia mikroskopik tidak dikenal lintasan eksak.

Fisika Kuantum

Landasan Fisika Kuantum

Jika posisi paket gelombang berubah, laju gerak titik maksimumadalah kecepatan grup

Gambar. 1.18 Lintasan klasik dan kuantum Sekarang kembalipada persoalan paket gelombang, dan k i i selidiki kebergantungannya terhadap waktu. Misalkan, paket gelombang direpresentasikan oleh f(x,t).

1 (k)ei(h-m'dk

$0

f (x, t ) =

do



sebagai perluasan dari ungkapan (1.42). Pada saat t, paket gelombang f(x,t) mempunyai maksimum di titik X(t).

Seperti diperiihatkan padaGambar 1.16 di depan, amplitude g(k) bemilai maksimum, misalkan pada kodan tak no1hanya di sekitar harga kotersebut.Hal ini diambil atau diasumsikan agar momentum terdefinisi dengan baik. Dengan alasan serupa, frekuensi juga seperti itu, yaitu berharga di sekitar oo= o ( k o ). Karena itu, o dapat diekspansi Taylor di sekitar k,

dengan mengabaikansuku ekspansi orde dua dan seterusnya. Kembali pada persoalan kecepatan grup v,. Karena f(x,f) maksimum di X(t), maka

Diferensiasi sekali lagi pers. (1-53) terhadap waktu t, didapatkan

Substitusi uraian (1.52) ke dalam pers. (1.54),

Gambar. 1.19 Paket gelombang pada saat f

Persamaan

Postulat Max Planck dan konsep spekulatif de Broglie mengisyaratkanperlunya konsep barn tentang dunia mikroskopik. Di dalam bab ini diuraikan langkah-langkah penting dalam membangun mekanika baru yaitu mekanika gelombang atau mekanika kuantum dan beberapacontoh sistem sederhana serta konsep pokok terkait.

2.1 PARTIKEL BEBAS Kita berangkat dari konsep klasik yang telah kita kenal dengan baik. Secara klasik, energi partikelatau benda bebas bermassa m, diberikan oleh energi kinetik

dengar, ;3 adalah momentum partikel. Berikut ini diperlihatkan transisinya ke dalam persamaan kuantum. Ungkapanenergi Planck (1.4) dan momentumCompton (1.21) dapat ditulis sebagai

Fisika Kuantum

sehingga ungkapan paket gelombang (1-50)dapat ditulis ulang dalam bentuk

dan pem(2.5) dapat diperluas menjadi

dengan Nadalah konstanta normalisasi.

Diferensiasifungsi (2.3) terhadap waktu memberikan

Jika energi Ediasosiasikansebagai energi partikel bebas (2.1), maka

--

i(p.r-Et)lhd3jj

IY = w ( ~ , t ) =N J p m e

dan tetapan norrnalisasibaru N = Tetapi ruas kanan pers. (2.4a) dapat ditulis sebagai

2.2 PERSAMAAN SCHRODINGER 2.2.1 Partikel di dalam Potensial Dengan membandingkan pers.(2.1) dan pers(2.7) tampak adanya korespondensi antara energi E, momentum jj dan operator diferensial

Daridua persamaan di atas diperoleh persamaan diferensialpaket gelombang W bagi partikel bebas

Perluasan bentuk energi partikel bebas ke dalam ruang tiga dimensi diberikan oleh

Operator-operator ini bekerja padafungsigelombang w (J, t ) . Bentuk korespondensi ini nantinya yang digunakan untuk membangun persamaan gerak kuantum berangkat dari bentuk energi klasik. Selanjutnya, tinjau partikel yang mengalami gaya yang

Fisika Kuanturn

i

dapat dituliskan sebagai gradient dari energi potensial V(T,t )

Karena itu, energi total partikel Edapatdiungkapkansebagai

Berdasarkan korespondensi(2.9) persamaangerak kuanturn partikel di dalam potensial V ( 3 , t ) diberikan oleh

1

Persarnaan Schrodin,ger

2.2.2 Arti Fisis dari Fungsi Gelombang Di dalam persoalansesungguhnya Hamiltoniansuatu sistem diketahui atau diberikan. Mengacu pada persamaan Schrodinger yang merupakan persamaan diferensial (parsial) (2.14), jelas persoalannyasekarang adalah mencari solusi W dari persamaan tersebut. Jadi, fungsi gelombang W merupakan kuantitasteoritis fundamental di dalam mekanika kuantum. Meskipun demikian, seandainyafungsigelombang W sudah diperoleh, masih tersisa satu pertanyaan mendasar:

Fungsi gelombang merupakan suatu deskripsi dari kejadian yang mungkin, tetapi- kejadian apa? Atau, apa yang didiskripsikan oleh fungsi gelombang? Pers(2.12) ini dikenal sebagai persamaan gelombang Schrodinger untuk partikel di dalam potensial V ( 3 , t ) . Dalam banyak hal, sistem fisis dapat didekati dengan model satu dimensi. Persamaan Schrodinger satu dimensi behentuk

Secara umum, karena energi E dapat dinyatakan dalam Hamiltonian

E =~ ( r ' , ~ , t )

Singkatnya, apa arti fisis dari nilai y(T,t) di setiap posisi 7 pada saat t? Jawaban dari pertanyaan di atas diberikan oleh Max Born padatahun 1926yang menyatakan bahwa y(r', t ) itu sendiri tidak mempunyai arti fisis apa-apa, tetapi

diintepretasikan sebagai kerapatan probabilitas. Secara lebih spesifik

(2.14)

maka pers. (2.12) dapat dituliskan sebagai menyatakan kemungkinan untuk mendapatkan partikel yang dideskripsikan oleh y ( 7 , t ) berada dalam elemen volume dv di sekitar posisi T pada saat t. Di dalam kasus satu dimensi Hamiltonian H sekarang berperansebagai operator

yang bekej a padafungsi gelombang ~ ( 7t ) ,.

menyatakanbesar kemungkinanpartikel yang dideskripsikan oleh y/(x,t) berada di antara x dan x+dx pada saat t.

Fisika Kuantum

PersamaanSchrodinger

Jika partikel (memang) ada di dalam ruang, interpretasi di atas mensyaratkan

dengan integrasidilakukan ke seluruh ruang V. Fungsi gelombang yang memenuhi syarat (2.20) dikatakansebagai fungsi gelombang temorrnalisasi.

Contoh2.1 Fungsi gelombang sutu partikel yang bergerak sepanjang sumbu xdiberikan oleh: ~ ( x =) ~ e - "sin a x a. Tentukan konstanta C jika fungsi gelombang temormalisasi b. Jika a = 7~ , hitung kemungkinan untuk mendapatknan partikel berada di sebelah kanan titik x=l Penyelesaian : a. Secara eksplisit ~ ( xdiberikan ) oleh

Cex sina x, untuk x < 0 Ce-" sin a x, untuk x > 0

Gambar 2.1 Solusi Karena itu

r

-- \y(2& =1=

c~[~ sin2-m~ d x~ + C 2-~ e 2sin2 x mdx

= 2 c 2 ro e - " s i n 2 a h r

Untuk menghitung integral terakhir ini, tuliskan fungsi sinus dalam bentuk eksponensial dan akan didapatkan

sehingga

,&I2

=

(

~ ~ e ~ " s i n ~untuk a r , x

C2e-'" sin2 ax, untuk x > 0

Tampak bahwafungsiterakhiradalahfungsi genap, dan rekaan

grafiknya diberikan oleh gambar berikut

Didiipatkankonstanta normalisasi C

Fisika Kuantum

Pe~amaanSchrodinger

sehingga

b. Besar kemungkinan partikel berada di x 2 ]

=-ge

2a

Untuk a = n

+ a ' + sin 2a - cos 2 a )





atau

I

Pers.(2.21) ini tidak lain adalah persamaan kontinyuitas

I 2.2.3 Persamaan Kontinyuitas Kembali pada probabilitas (2.19), dan diferensiasi terhadap waktu atas besaran ini memberikan

1

I

dengan Padalah rapat probabilitas (2.18) dan fluks atau rapat arus probabilitas 3

Untuk kasus satu dimensi, persarnaankontinyuitas(2.21) menjadi

dengan rapat arus S

Fisika Kuantum

Persarnaan Schrodinger

komponen misalkan komponen-x

2.2.4 NilaiHarap Sekali lagi, seandainyafungsi gelombang II/ sudah diperoleh kita dapat mengajukan beberapa pertanyaan lagi. Misalnya, di mana partikel sering berada atau berapa momentum rata-rata partikel ? Jawaban atas pertanyaan ini diberikan oleh teorema Ehrenfest. Misalkan kita ingin tahu nilai rata-ratavariabeldinamis A(x,p), maka didefinisikan nilai harap (expectation value) dari besaranA sebagai

Suku kedua ruas kanan dapat diuraikan menjadi

v ) merepresentasikan dengan A,adalah operator ~ ( x , - i ~ yang variabel A di dalam mekanika kuantum. Secara lebih umum, jika W tak temormalisasi maka pers.(2.26) menjadi

Sebagai contoh, nilai rata-rataposisi 7 Subtitusi kembali ke dalam pers.(2.29b), memberikan

Sedang dari analogi klasik untuk nilai rata-rata momentum

I

I

sehingga

Untuk menghitung secara rinci, lakukan evaluasi per

1

Fisika Kuantum

PersamaanSchrodinger

2.2.6 Keadaan Stasioner dan Persamaan Nilai Eigen Tinjau partikelyang bergerak di dalam ruang dengan potensial tidak bergantung waktu V = V ( 7 ) . Untuk sistem seperti ini, ~ ( 7 , t dapat ) diuraikan rnenjadi perkalian bagian yang hanya bergantung ruang dan bagian yang hanya bergantung waMu

Pers.(2.36a) adalah persamaandiferensialorde satu dengan t Karena itu uraian solusi akan sebanding dengan exp(- i ~I h). (2.34) menjadi

Catatan: co(7)di sini tidak terkait dengan a,(k) pada pers.(2.3), dan hanya sama notasi belaka. Selanjutnya, subtitusi uraian (2.34) ke dalam pers.(2.12) kemudian dibagi q(3)f ( t ) maka didapatkan

Karena ruas kiri pers.(2.35) hanya bergantung waktu sedangkan mas kanan hanyabergantungvariabel ruang T ,maka keduanya akan selalu sama jika dan hanya jika keduanyasama dengan konstanta, misalkan E.Dengandemikian pers.(2.35) akan terpisah rnenjadi dua persamaan :

Pers(2.37) secara implisit menyatakan bahwa E harus riel, karenabila mempunyai harga imajiner E akan lenyap untuk semua r jika t -+ atau - oo sesuai tanda (-) atau (+) dariE . Hal ini tidak memenuhi syarat keberadaan partikel di dalam ruang memberikanrapat probabilitas (2.20). Selanjutnya per~~(2.37)

-

,v

yang tidak bergantungwaktu. Karena itu ~(7,') pada pers(2.37) menggambarkankeadaanstasioner (stationarystate) karena tidak ada karakter atau sifat partikel yang berubah terhadap waktu. Sedangkan pers.(2.36b) disebut persaman Schrodinger tak bergantung waktu. Mengingat bentuk pers.(2.16) dengan V = V(T), pers.(2.36b) dapat ditulis menjadi

dan

Atau

dan

Pers.(2.39) ini disebut persamaan karakteristik atau persamaan nilai eigen dengan rn(7)sebagai fungsi eigen dan H adalah operator diferensial dari energi. Eadalah nilai eigen dari operator H,dan disebut sebagai energi eigen dan ditafsirkan sebagai energi partikel.

Persarnaan Schrodinger

Fisika Kuantum

2.3 MODEL-MODEL POTENSIAL SEDERHANA Berikut ini diuraikan contoh-contohsistem partikel yang bergerak di dalam ruang dengan potensialsederhana dan kuantitasterkait.

A2 d 2 q - E ----

,

2m dx2

untuk 0 < x < L

atau

2.3.1 Kotak Potensial Satu Dimensi dan Keadaan Dasar Perhatikan partikel bermassa mberada di dalam sumur atau kotak potensial satu dimensi sepanjang L. llustrasinya diberikan oleh gambar di bawah ,

Jika dituliskan,

2mE - k2 -A

(2.m)

maka persamaan Schrodinger tidak bergantung waktu (2.40b) menjadi

Solusi umumnya diberikan oleh fungsi

q ( x ) = A coskx+Bsinkx Syarat batas di x = 0,memberikan hubungan

q(O)=O=A.l+O Gambar 2.3 Patikel dalam Kotak Potensial satu dimensi Potensial V + w di x = 0 dan x = L dibuat untuk menjamin agar partikel tidak dapat menembus dinding dan keluar kotak. Artinya tidak mungkin partikel berada di luar sumur potensial. Secara matematis ha1ini berarti

q(x)=0

untuk x 5 0 dan x 2 L

(2.40a)

Karena di dalam kotak V(x) = 0, maka persamaan Schrodinger sistem ini

yang berarti A = 0.Karena itu, (p menjadi

q ( x ) = B sin kx Syarat batas di x = L

Hal ini dipenuhi oleh

kL = nn,

dengan n = 1,2,3, ...

Fisika Kuantum

Persamaan Schrodjnger

atau

Dari hubungan antara E pers.(2.40c) dan k pers.(2.40i), diperoleh ungkapan energi partikeldi dalam kotak, yaitu:

Dengan demikian, fungsi gelombang ternormalisasi untuk partikel terperangkap dalam sumur .potensial satu dimensi berukuran L diberikanoleh

dan keadaan dasamya dengan

Jelas bahwa energi partikel tidak dapat bernilaisembarang atau kontinu seperti dalam fisika klasik melainkan diskrit yaitu kuadrat bilangan bulat kali energi terendah E,. Keadaandengan energi terendah disebut keadaan dasar (groundstate). Subtitusi bentuk akhir k ke dalam fungsi C p (x), didapatkan

Gralikfungsigelombang dan rapat probabilitas partikeldalam kotak diberikan oleh gambar-gambar berikut.

nR x q ~ ( x= ) 9,( x ) = B sin -

L

Konstanta B ditentukan melalui proses normalisasi, yaitu partikel pasti ada di dalam sumur. Karena itu,

Gambar 2.4. (a) fungsi gelombang, (b) rapat probabilitas sehingga

.

Jika partikelberada pada keadaan tereksitasi pertama, q, , maka posisi rata-rata partikel

F isika Kuantum

keadaan dasar dan keadaan eksitasi pertama. Kemudian hitung ( E ) tersebut. c. Tentukan posisi rata-rata (x) pamkel

dan momentum rata-ratanya

Penyelesaian a. Dari ungkapan (2.42) dan (2.37) didapatkan

. --4n i h jsm

L2

(y) ( y -x

cos - x

0

Kedua hasil di atas berlaku sama untuk semua qndan dapat diduga dari garnbar 2.4b. Pertarna, peluang partikel berada di sebelah kiri titik tengah U2 dan di sebelah kanannya sama. Karena itu secara rata-rata partikel berad di titik tengah U2.Kedua, akibat keadaan pertama ini maka kemungkinan partikel bergerak ke kanan ke kiri adalah sama. Dengan demikian momentum saling meniadakan atau momentum rata-ratanya adalah nol.

sehingga

dengan

Contoh 2.2 : Keadaan pertikel setiap saat di dalarn kotak satu dirnensi L diberikan oleh

b. Dari definisi nilai harap

a

L

( E } = o~ v ( ~ , f ) ' ~ f i z ~ ( ~ 9 ~ ) &

dengan Y ,( x , t ) dan Y , ( x , t ) adalah keadaan dasar dan keadaan tereksitasi tingkat pertarna setiap saat partikel di dalam kotak. a. Tuliskan secara eksplisit bentuk dari y ( x , t ) b. . Perlihatkanbahwa energi rata-rata partikel

t

I

1.

I

( E ) = E,P;+ E,P, dengan P, dan P2masing-masing adalah rapat probabilitas

' l;

= o[1$111(x,1)12

I

E

E* +-b2 2 (x,t)12 +>2 y; (x,r)~,(x,t) +

E

Fisika Kuantum

Persamaan Schrodinger

dengan

dan Karena itu,

1 ( x )= 2

karena qn( x )sudah ternorrnalisasi. Karena itu,

16L

937

L - ~ C O S ~



Jadi ( x ) berosilasi di sekitar titik tengah kotak dengan dan ' frekuensi v = w l 2 n = 3E, 1h . amplitudo sebesar 1 6 ~ 1 9 ~

Contoh2.3 Suatu elektron terperangkap di dalarn kotak satu dirnensi dengan panjang 1 A. Hitung: a. Energi tingkat dasar elektron tersebut. b. Besar peluang untuk rnenernukan elektron di daerah

c. Posisi rata-rata partikel, rnenggunakan notasi (3.1)

0

0

+A<x
Dari ungkapan partikel di dalam kotak satu dimensi didapatkan

I

I I

((P,(,o,x(P,(.)) = (92(49x(P*(x)) = XL dan

Untuk tingkat dasar n =I,maka



E, =

1.(6,626 x 1O-34)Z Joule 8.9,1~10-~~(10-~~)~

Fisika Kuantum

PersamaanSchrodinger

b. Dari Gambar 2.4, daerah %/2< x < %A identik dengan daerah U2 < x < 3L14 Karena itu,

Kasus 1. Jika EI V,

Persamaan Schrodinger sistem

Solusinya P-(x) = Ae

ik"

+

Be-ikr

dengan konstanta positif k

2.3.2 Tangga Potensial, Koefisien Refleksi dan Koefisien Tranmisi

dan

Partikel-partikelberrnassa m diternbakkan dari kiri ke kanan, dan bergerak di dalarn tangga potensial berikut.

+

q + ( x ) = Ce-qx Deqx

1

dengan

yang juga positif. Gambamya diberika, sebagai berikut:

Garnbar 2.5 Potensial Tangga Untuk sistem dengan potensial tangga di atas, perilaku partikel dibedakan menjadi dua kasus bergantung harga E, yaitu E s V,atau E > V,. Gambar 2.6 Energi Partikel kllrang dari Potensial

Persamaan Schrodinger

Fisika Kuantum

Suku eksponensial kedua p+jelas tidak dapat menggambarkan keadaan fisis atau tidak rnemenuhi syarat (2.22) karena meledak (9 cc ew -t m) di x + m. Agar 9, tetap rnewakili situasi fisis riel rnaka D harus nol. Karena itu 9+ menjadi

(2.48a)

, dan

i

Selanjutnya mengingat bentuk solusi umum bergantung waktu (2.37), maka suku eik dari p- dapat ditafsirkan sebagai partikel datang (dari x = -m ke kanan rnenuju x = 0) dan suku ejk"sebagaipartikel yang dipantul ke kiri (menuju x = -m ) oleh potensial V, di x = 0. Hasil yang mernbedakan dari potensial klasik adalah kehadiran suku eqxdari (p+.Suku ini rnenyatakan ada partikel yang menernbus (penefrafe) potensial Vo sarnpai kedalarnanx > 0 tertentu. Berikut ini kita tentukan konstanta A,B dan C rnenggunakan syarat kontinyuitas. Pertama, 9- (0) = q+(0) memberi hubungan

Kedua,

Dari ungkapan p- ,intensitas untuk partikel datang adalah JAI2.Sedangkan intensitas partikel terpantul adalah

i k + q - i k + q IAI2 = IA12 ik-q -ik-q

=--

ik-q

Jadi, intensitas medan terpantul sarna dengan intensitas rnedan datang. Ini berartisemua partikel datang akhirnya dipantul kernbali terrnasuk partikel yang sernpat dapat rnenembus potensial Vo. Hasil inijuga dapat dipahami dari besar fluks atau arusj(x) di x < 0 ,

I

rnamberikan ik(A

- 6) = - qc

Pers.(2.47a) dan (2.47~)rnenghaslkan

B=-ik + q A ik - q Sehingga

dan

2ik A C =ik-q

(2.49)

Grafik solusi

p- dan p+, untuk E IVo

Fisika Kuantum

Persamaan Schrodinger

Kasus 2. Jika E > V, PersamaanSchrodinger kasus ini sama dengan persamaan Schmdinger untuk Ec V, Solusi untuk daerah x < 0, sama dengan 9- kasus terdahulu. Tetapi solusi untuk daerah x 5 0 berbeda dari bentuk terdahulu, yaitu bentuk sinusosidal

Gambar 2.7 Fungsi Gelombang untuk tangga potensial,jika E
q+(x)=C e

ik'x

+

*le-ik'x

dengan

Mengingat partikel hanya ditembakkan dari kiri maka tidak ada partikel merambat dari kanan ( x = m) ke kiri di daerah x 2 0 . Karena itu, D'= 0 sehingga q+( x ) menjadi

dan

Grafiknya

Konstanta-konstanta A,B dan C' ditentukan dengan menggunakan syarat kontinyuitas di x = 0 (0) - (0) memberikan A + B = C' ii) 9- - 9+

Kedua hubungan di atas lebih lanjut memberikan

B=-

2k A dan C ' = - A k+k' k+k' k-k'

Dt. gan demikian Gambar 2.8 Fungsi gelombang untuk penghalang sangat tinggi

Fisika Kuantum dan

10 111lr:;innrefleksi =

-

fluks berkas terpantul fluks berkas datang

sedangka~iItoofisientransrnisi Kenyataan bahwa B 0 rnenyatakanads sebagian partikel yang dipantulkan walau energi partikel lebih besar dari energi tangga penghalang E > V,. lnilah yang rnernbedakan dari hasil fisika klasik yang rnenyatakan bahwa semua partikel akan diteruskan jika E > V, Mengingat kenyataan di atas, berikut ini kita hitung koefisien refleksi dan koefisien transrnisi dari keadaaan sistern tersebut. lntensitasdari berkas partikeldidefinisikan sebagai lntensitas Jumlah partikelpersatuan volume (diberikan oleh kuadrat modulo amplitude)

kc ~rrfisien tmnsmisi =

-

-

fluks berkas diteruskan fluks berkas datang

Dari dolinisi di atas, untuk kasus tangga potensial didapatkan -+. koefisien rc!llcksi R,

,

Sedangkan koefisien transmisi T Fluks dari berkas partikel atau kerapatan arus partikel di definisikansebagai Fluks jumlah partikelyang melewafidaerah satu satuan luas per satuan wakfu = kecepatan dikalikan intensitas.

Denganv adalah laju partikel-partikeldi daerah kiri ( x < O),

llustrasinya danv' laju partikel-partikeldi sebelah kanan ( x > 0)

Garnbar 2.9 llustrasi fluks sistern banyak partikel Koefisien refleksididefinisikan sebagai

Darihasildi atasjuga tampak bahwa kekekalanjurnlah partikel dip en^, .I, yaitu R+T=1 Gambar fungsi gelornbangnya,arnplitudo maupunperiodisitas untuk x < 0 dan x > 0 berbeda, mengapa? Pert,atikanpendekatanenergiberikut.

Fisika Kuantum

Persarnaan Schrodinger

I

1) Jika E >> Vo Dan ungkapan (2.51 b) dan (2.45b) diperoleh

Dengan demikian, dari pers. (2.52a) dan pers.(2.52b), didapatkan

p- ( x ) = Y),( x ) = ~e~~= p ( x ) Sketnya

Contoh 2.4 : Misalkan,ada seribu elektron yang masing-masingberenergi 27 eV ditembakkan ke arah daerah bertangga potensial dengan ketinggian 24 eV. Hitung jumlah elektron yang berbalik ketika elektron-elektron tersebut sampai pada tangga potensial.

Penyelesaian :

Energi elektron, E = 27 eV

Tangga potensial V,, = 27 eV

Koefisien refleksi untuk E > V, diberikan oleh pers. (2.54)

dengan k dan k'seperti ungkapan (2.45b) dan (2.51b). Dalam

ungkapan E dan Vo,

Gambar 2.10. Fungsi gelombang jika E >> Vo 2) Secara umum

Substitusi harga-harga Edan V,, didapatkan

R = 0,25 Karen? itu, ada sejumlah N N = l000xR

= 250 elektron

Gambar 2.11 Fungsi Gelombang untuk sembarang E > Vo yang dipantulkan.

Fisika Kuantum

Persamaan Schrodinger

Sekali lagi, inilah yang rnembedakan dad perurnusan klasik. Menuruk rnekanika klasik sernua elektron (1000 elektron) tersebut akan lolos rnelewati tangga potensial karena D V 0 , tanpa ada satupun elektron yang dipantulkan.

dan

I

h2 d 2 p V,rp = E q , 2m d 2 x

I

*---

I

I I

2.3.3. Sumur Potensial dan Paritas Berikut ini kita pelajari partikel yang bergerak di sumur

potensialdengan kedalarnan berhingga.

untuk 1x1 I a

(2.58b)

pnalisa terhadap sistem ini dibedakan antara energi partikel E < 0 dan energi E > 0.

A. Keadaan terikat. Energi Negatip

+

UntuK energi negatip, E -E dengan Ekuantitas positif, maka per. (2.58a) dan (2.58b) menjadi

dan

+d 2kp 2 p= 0,

untuk 1x1 < a

d 2x

dengan Gambar 2.12 Surnur potensialsedalarn Vo, selebar 2a Potensial sistern diberikan oleh :

g

= (2mE 1

~ ' ) " dan ~ k = (2m(v0 - E ) / h 2Y I 2

(2.60)

Solusi untuk daerah (1) dan (3) yaitu daerah 1x1 > a

, untuk daerah 2, -a r x 5 a untuk daerah 3, x < a

+ Be-9x

,p3 ( x ) = Eeqx+ Fe-qJ

(x) = Aeq'

untukdaerah 1, x < -a (2.57)

Dengandemikian, persarnan Schrodingersistem ini diberikan oleh

dengan A, B, E, dan F konstanta-konstanta. Sedangkan solusi untuk daerah (2))

, p 2 ( x ) = ~ c o s l r x +~ s i n k x untuk 1x1 > a

(2.58a)

(2.61b)

C dam D konstanta. Syaratfisis berhingga (2.32) rnembuat 5 dan E hardS nol, sehingga -81

Persarnaan Schrodinger

Fisika Kuantum

Pertama, jika A + F# 0 maka C # 0

q,(x)= Aeqx

q3(x)= Fe-qx

serta

Selanjutnya tentukan konstanta-konstantaA,ECdanDdengan ...

_.\..,.

(;' menerapkan syarat kontinyuitas di x = -a,

fit

.

...

r

h'..

.

.. 91(-4=92(-4

A=E -. '

F = Cew cos ka

(2.61d)

Kedua, jika A - F# 0 maka D # 0 dan

,- . membenkan Ae-qa= Ccos ka + D sin ka

D=O

q = -k cot ka

(2.61e)

(2.6%)

dan

Sedangkan

A=+

C=O

F = DIF sin ka Spektrurn Energi; berikut ini kita lihat perilaku energi partikel. Pers. (2.45) memberikan

memberikan

qAe-qa= -kCsin ka + kD cos ka

(2-619)

Dengan cara serupa, kontinuitas di x = a, memberi hubungan

1

Ccos ka + D sin ka = Fe-qa

- kC sin ka + kDcos ka = -qFe-qa

Setelah dikalikan a*, menjadi

(2.61h)

Selanjutnya, hubungan di atas memberikan

dengan parameter E

( i ) 2C cos ka = ( A+ F ) e-qa (ii) 2kC sin ka = ( A + F ) qe-qa (iii) 2 0 sin ka = -(A -F ) e-qa

(2.6 1i)

(iv) 2kD cos ka = ( A- F ) e-qa Lebih lanjut hubungan-hubunganini memberikan dua jenis solusi,

I I

berdimensi energi. Dengan demikian, parameter (v,1.5) pada pers(2.64) menyatakan ukuran dari kekuatan potensial. Kita tinjau solusi pertama (2.62a). Karena kdan q merupakan besaran positip maka dari pers. (2.62a), (@) = tan(ka) juga harus positip. Hal ini, tan (ka) positip, hanya dipenuhi jika ka berada

Fisika Kuantum

Persamaan Schrodinger

pada interval (1) dan (3), serta pengulangannya,

Sin ka

Kedua solusi (2.66b) dan (2.67b) rnenyiratkan bahwa hanya k diskrit tertentu yang memenuhi. Harga tersebut bisa diperoleh melalui pendekatan grafik berikut

;

tan $

I

X

ios ka

Gambar 2.1 3. daerah dengari'harga cosin(+) .

.

I

1

Gambar 2.14. Solusi grafik untuk nilai k yang diijinkan Misalkan, irisan antara (&/vo)"~ dan I cos ka I atau lsin kal terjadi pada k = kn,n = 0,1,2.. ., energi yang diperbolehkan

dengan r = 0,1,2,3. ... Berikutnya, subtitusi pers. (2.62a) ke pers.(2.64) didapatkan :

j I

Atau

i

Dengan cara serupa, untuk solusi jenis kedua (2.63a) didapatkan

Dan Garnbar 2.14 atau dari pers.(2.66a) tarnpak bahwajumlah energi yang diperoleh berhingga. Dari gambar, jika (E/VO)"~ ka sarna dengan satu nilai, k a berada dalarn interval ~ ( ~ 112ka) < (N+ 1)(7r/2) maka ada (N+I) irisan. Dengan kata lain ada ( N + l ) tingkat energi diskrit jika

(~~/~)N(E/vo)~'~ 5 1 < (7r/2)(~+ ~)(E/vo)"~ I

N 5 2/n(Vo/~)"~c N + l

atau ji ka (2.69)

1 i

dan (EIVO)"'

ka = lsin kal

1

Dengan dernikian, sedikitnya ada satu keadaantenkat untuk sedangkal apapun surnur potensial, yaitu jika (&/vo)"~ kecil sekali sehingga Nyang mernenuhi adalah nol. Fungsi Eigen dan Paritas. Berikut ini kita lihat perilaku fungsi gelornbang p untuk setiap energi En.Energi Endengan

Fisika Kuantum

PersamaanSchrodinger

n = 0,2,4,. .. berkaitan dengan solusi pertama

Grafikfungsi-fungsi ini

p,, ( x ) = Ceqnac ~ s ( k , a ) e ",~ untuk x < -a q2,,(x)=Ccosknx, u n t u k - a l x l a q3,,( x ) = Ceqna~ o S ( k , a ) e -,~untuk ~ ~ x >a

(2.70)

Sifat dari fungsi-fungsi di atas diilustrasikan secara grafis berikut :

Gambar 2.1 6 Fungsi eigen paritasganjil Fungsi eigen ini antisimetri terhadap titik asal

Gambar 2.1 5. Fungsieigen paritas genap Jika fungsi eigen keseluruhan dituliskan sebagai 9, (x) jelas bahwa y>, (x) simetri terhadap titik asal

Fungsi gelombang yang memenuhi sifat (2.73) ini disebut fungsi eigen paritas ganjil.

Confoh 2.5 Fungsi gelombang yang mempunyai sifat simetri (2.71) dikatakan mempunyai sifat paritasgenap. Sedangkan energi Endengan n=1,3,5, ... berkaitan dengan solusi kedua,

q,,,( x ) = -Beqnasin(kna)eqnx, untuk x < -a ~ ) ~ , , ( x ) = B s i n ( k ,,x ) u n t u k - a c x < a q3,, ( x ) = B e9# sin (k,a) e-qmx, untuk x > a

I

(2.72)

Suatu elektron bergerak di dalam sumur potensial yang mempunyai kedalaman 20 eV. Energi tingkat dasar electron temyata adalah -1 5 eV. Tentukanlhitung : a. Lebar sumur ( dalam A) b. Jumlah tingkat energi diskrit yang mungkin. c. Besar peluang mendapatkanelektron keadaandasar berada di luar sumur.

Fisika Kuantum

PersamaanSchrodinger

I

Penyelesaian: a. Karena energi tingkat dasar merupakanjenis solusi dengan paritas genap, maka lebar sumur 2a dapat ditentukan menggunakan pers.(2.66b), (2.65) dan (2.60),

I

Menggunakanungkapan (2.55) untuk fungsi 9 ,didapatkan.

-

-/,

'

arc c o s , / m

Subtitusi harga-harga V,, = 20 eVdan E= 15 eV, didapatkan lebar sumur :

dan,

I

b. Dari harga a di atas, didapat harga paremeter E I E=--

ti2

I

- 4,56 eV

1

2ma

I

sehingga,

1

Karena itu,

p(Ixl> a ) =

1+ Hal ini berarti, menggunakanpers(2.54) - harga N= 1. Karena itu tingkat energi diskrit yang mungkin adalah N + 1 = 2 c. Memperhatikankesimetrisanfungsi gelombang keadaan dasar (gambar 2.15), maka besar peluang untuk mendapatkan elektron di luar sumur cukup dihitung untuk daerah positf,

I

q a + -sin(2ka)

cos * (ka)

i

i

Subtitusi harga-harga k, q, a, e dan Vo, didapatkan I

I

I

Fisika Kuantum

PersamaanSchrodinger

2). Energi positif, E>0 ParUkeartikel ditembakkan dari kiri, Schrodingemya,

.

< 0. Persamaan

2.3.4 Kotak PotensialTiga Dimensi, Keadaan Degenerasi dan Kerapatan Energi Perhatikan partikel yang berada di dalam kotak potensial berukurana x bx cseperti diperlihatkanoleh Gambar 2.18. Setiap dinding kotak berpotensial besar sekali, V + co . Sedangkan potensial di dalam kotak sama dengan nol.

dengan,

q = ( 2 m ~ / h ~ ) dan k = (2m(Vo

+ E J / ~ 'j

(2.75)

Solusi umumnya diberikan oleh :

Gambar2.18 Kotak PotensialTiga Dimensi dengan A, B, C, D dan Ekonstanta. Grafik Fungsigelombangnya,

PersamaanSchrodinger untuk partikel berrnassa m di dalam kotak :

atau

Gambar2.17 Fungsi Gelombang untuk energi positip

Operator diferensial nabla diuraikan dalam koordinatyang sesuai yakni koordinat Cartesian, karena potensial berbentuk balok. Selanjutnya, terapkan metoda pemisahan variabel q ( T ) = q ( x ,y , ~=) X ( x ) Y ( y ) Z ( z ) dan nilai eigen E menjadi

Persamaan Schrodinger

E = Ex + E,, + Ez. Cara standar di dalam fisika matematika membuat pers. (2.77b)tereduksi ke dalam bentuk :

vtmn@,Y,4 @);(=

sin(l: -x

)-

r: ) r: )

sm -y

sin

-2

(2.80a)

dan

"I

Ketiga persarnaan ini tidak lain adalahpersamaan Schrodinger untuk partikeldi dalam kotak satu dirnensi yang telah dibahas di depan. Solusi eigennya:

2maz

Beberapaspesifikasifungsi eigen dan energinya diberikan oleh tabel berikut

Sehingga, setelah dilakukan normalisasi didapatkansolusi lengkap p(F) = ph (.x, y,

("-)"

= abc

sin($

.) sin(? y )

.z)

(2.79a)

dan

bilangan e , m dan n merupakan bilangan kuantum utama bagi sistem partikel di dalam kotak di atas. Bila kotak berupa kubus V = a3, maka

Tabel 1. Spesifikasibeberapafungsi eigen.

Fisika Kuantum

PersamaanSchrodinger

DariTabel.1tampak bahwaada satufungsi dengan satu energi, seperti E = 3 El untuk p, dan E = 12E1 untuk pZz2. Keadaan eigen dengan spesifikasi atau sifat di atas dikatakan sebagai keadaan non-degenerasi (non-degenerate state). Sedangkan beberapa keadaan atau fungsi eigen yang berbeda tetapi mempunyai energi eigen yang sama dikatakan sebagai keadaan terdegenerasi (degenerate state). Sebagai contoh untuk E= 6E1 fungsi eigennya ada tiga yaitu p, ,p,,,,p,, ,dan seterusnya. Jika kubus besar sekali maka El akan kecil sekali sehingga spektrum energinya akan tampak kontinyu. Tingkat energinya diilustrasikan oleh Gambar 2.19. Di dalam kasus seperti ini kita tertarik padajumlah tingkat energi yang ada di dalam selang dE, yaitu antara energi Ed m E+dE.

,,

,

,

Untuk menghitung rapat keadaan per satuan energi tersebut, buat vektor

di dalam ruang bilangan kuantum.

t

n3

Gambar 2.20. Vektor Z di dalam ruang bilangan kuantum nlrn2rn3 Dari Gambar2.20 tampak bahwa

Dalam notasi baru ini, ungkapan (2.80b) dapat ditulis menjadi

Sehingga panjang n dapat dinyatakan dalam energi E

(a)

(b)

Gambar 2.19 Spektrum Energi untuk (a) kubus kecil, (b) kubus besar

Misalkan N(E) adalah jumlah keadaan antara no1dan Emaka

Fisika Kuantum

Persamaan Schrodinger

Garnbar 2.22 Kerapatan Keadaan Gambar 2.21. Seperdelapan bola berjejari n

Daerah bintik-bintikdibawah kurvarnenyatakanjumlah seluruh keadaan yang mungkin antara energi no1dan energi E .

2.3.5 Penghalang Potensial dan Gejala Penerowongan. dengan V = a3.Jumlah keadaan antara Edan E+dE per satuan volume, dN

.

Misalkan, partikel-partikel berenergi E ditembakkan dan bergerak dari kiri ke kanan melewati penghalang potensialberikut

Biasanya didefinisikan rapat keadaan g(E) rnenurut dN(Q = g(E)dE, sehingga

Garnbar 2.23 Potensial Penghalangsetinggi Vo Kuantitas ini merupakanjurnlah keadaan per satuan selang energi pada energi E.

Persarnaan Schrodinger partikel-partikel tersebut

Solusi persamaan di atas dibedakan oleh besar energi partikel E

Fisika Kuantum

PersarnaanSchrodinger

1. Fenomena Penerowongan Untuk E < V,, maka pers. (2.87) menjadi

sekaligus yang membedakannya dari partikel klasik. Selanjutnya kita hitung koefisien transmisinya. Syarat kontinyuitasfungsi gelombangdan turunannya terhadap posisi memberikan :

dan

dengan

Pers.(2.91) yang kedua tidak lain adalah ungkapan dari amplitudorefleksi. Karena itu, menggunakan hukum kekekalan fluks R + T = 1 didapatkan koefisien transmisi T,

dan

Solusi umumnya,

Ungkapaneksplisitnya

q2( x ) = B+eqx+ B-e-qX

-a 5 x 5 a

v )( ~x ) = c e i k

x >a

dengan rnernpertimbangkanarah partikeldatang. Gambamya,

Bentuk (2.92b) ini juga dapat diperoleh melalui amplitudo

transisi (CIA,),

Berikut ini bila kita selidiki sifat dari Tuntuk harga qa ekstrim. Untuk qa kecil sekali Gambar 2.24. Fungsi gelombang untuk E < Vo Kehadiran solusi q3 yang tidak no1 untuk x>a ini dikenal sebagai fenomena penerowongan(funnelingphenomena),

Sehingga

!I

Fisika Kuantum

Persamaan Schrodinger

Perhatikanpenghalang potensial sebagai berikut :

dengan E diberikan oleh ungkapan (2.65). Sedangkan untuk 9a besar

I

Gambar2.25. (a) Penghalang sembarang (b) bagian yang diperhitungkan untuk koefisientransmisi

1! i :I

Darigambar 2.25b. didapatkan dan Ttereduksi menjadi

In T = -2 C ( A X ) ( ~ )

(2.98)

'

I!

1 1 1

II

Jika & -,0 , dan kembalikan ungkapan q dalam selisih energi maka

I

1'1

1 1I I

Jika diambil logaritmiknya

Dengandemikian Tampak bahwa suku pertama ruas kanan mendominasi penjumlahan, sehingga

Bentuk ini sangat menarik dan dapat diperluas untuk penghalang potensial yang tidak teratur. Langkah ini dapat dilakukan dengan mengingat bahwa 2a adalah lebar panjang penghalang dan q sebanding dengan akar kuadrat selisih antara potensial penghalangdan energi partikel.

i

T = exp - ~u!x,/-J

;,I,'

Contoh2.6

'1;

Menurutteori Gamow, Gumey dan Condon, partikel a di dalam sumur potensial yang dibentuk oleh inti dan gaya Coulomb

mempunyaipeluang untuk menerobos potensial penghalang.

Keluamya partikel a dari inti ini dikenal sebagai peluruhan a.

.'

101

8

I

I

;(I ,

,

Persamaan Schrodinger

Fisika Kuantum

llustrasinya diberikan oleh garnbar berikut.

Integral dapat diperoleh menggunakan tabel integral. Tetapi di sini akan dihitung langsungdengan penggantian variabel

r = bcos26 Dengan penggantianvariabel ini dipedeh Energi partikel a di dalarn inti berjejari R adalah E, .Hitung probabilitas partikel a meluruh atau keluar sumur potensial berjejariRtersebut. Penyelesaian: Potensial berbentuk

dr = -2b sin 8 cos 8 d e Untuk batas integrasi

r = R = b cos28,+ 8, = arccos 4Z-E

r = b = b c o s 2 0 2+e2 = O

maka

dan energi partikel-a

Probabilitas partikel a rneluruh T,

T = e-7 dengan

Fisika Kuantum

Persamaan Schrodinger

+ 90ThU4 + a (4,2 Me V)

92~238

Harga Tdiperoleh, dengan harga-harga

msm, =4~1,67~10-~'kg Z, = 90, nomor atom anak, dan

Jika E, sangat kecil, maka seperti tampak pada gambar di depan, b>>R.. Untuk x kecil sekali

Subtitusi nilai-nilai di atas, didapatkan koefisien transmisi T

partikel a

arccosx c arccosO-x = n / 2 - x Suatu harga yang tidak not walaupun sangat kecil.

Maka didapatkan Keadaan Resonansi

Untuk E > V,, maka ungkapan (2.89b) menjadi

Sehingga soiusi umum (2.90) juga mengalami perubahan

untuk daerah dua. Lengkapnya,

q , ( x ) = ~ + e ~ + A _ e - ' ~x, < - a

Dengan demikian

q2(x)=B+e'K"+~-e-ifi q3(x) = ceihr

-alx

x rel="nofollow">a

Gambar solusi (2.1 02) adalah sebagai berikut, Sebagai ilustrasi kongkret, ambil peluruhan

(2.102)

Persamaan Schrodinger

Fisika Kuantum

Grafik koefisientransmisi untuk tiga nilai V, / E yang berbeda.

Gambar 2.27 Fungsi gelombang untuk E > V,, Koefisien refleksi maupun koefisien transmisi dapat diperoleh dari pers.(2.91) dengan melakukan penggantian q -,iK . Sehingga diperoleh Gambar 2.28. Koefisientransmisi untuk tiga

V, / &

Sedangkan koefisien transmisi bersangkutan

Contoh2.7 :

Dari bentuk eksplisit koefisien transmisi ini tampak bahwa jika sin 2Ka = 0

Suatu elektron berenergi E ditembakkan dari kiri melewati

penghalangpotensialseperti Gambar2.23, dengan penghalang

,V, = 20 eVdan lebar 2A. Hitung :

a. Koefisientransmisi jika energi partikel E=V,. b. Energi resonansi pertama dan kedua dari elektron.

(2.105)

atau

Penyelesaian : a. Karena penghalang potensial konstan dan q + 0 maka penghitungan koefisien transmisi dapat diperoleh menggunakanungkapan (2.95). dengan

koefisien transmisi sama dengan satu. Hal ini secara fisis berarti bahwa semua partikel diteruskan. Keadaan ini dikenal sebagai keadaan resonansi. 107 --

I), ,,/I

Fisika Kuantum Dengan demikian, koefisientransmisinya

Jadi, ada sekitar 16 elektron dari 100 elektron datang, yang diteruskan rnelewati penghalang. b. Keadaan resonansi rnerupakan keadaan yang mana semua partikel (yang diternbakkan) dari kin tidak ada yang dipantulkan atau dengan kata lain sernua partikel diteruskan ,T=l. Hal ini hanya rnungkin tejadi jika E>Vo, tepatnya rnenggunakan koefisien transrnisi T (2.104) dengan energi partikelmemenuhi pers.(2.106)

Jadi energi keadaan resonansi pertama dan kedua

Perurnusan

Mekanika

Ada dua pendekatanurnum yang dilakukan di dalamfisika. Pertarna pendekatanfenornenologis yang diikuti perurnusandiferensial-integral biasadan lainnya pendekatanformal rnaternatis sejak awal. Pada bab ini disajikanperumusanformal dan berbagai konsekuensi dari mekanika kuantum yang berangkatdari pernyataan formal.

3.1. Postulat-postulat Dasar Mekanika Kuantum

(a) Representasi keadaan Postulat 1a. Keadaan (state) dari sistem (mekanika) kuantum didiskripsikan atau direpresentasikan oleh fungsi gelombang,y/ (7, t ) . Fungsigelornbang rnengandung sernua informasi keadaan sistem setiap saat dan tidak (dapat) diukur secara langsung. Postulat 1b. Prinsip Superposisi, y / , dan yf2 merupakan dua furlgsi gelombang yang menggambarkan dua keadaan dari suatu sistem maka untuk setiap kombinasi linier c,y/, + c2y , , dengan c, dan c, konstanta, terdapat suatu keadaan yang lain dari sistem.

Fisika Kuantum

Prinsip superposisi ini rnembawa pada konsep rua~lg vektor. Kumpulansernua fungsi gelombang dari suatu sistem mernbentuk ruang vektor linier kompleks berdimensi tak hingga Berkaitan dengan ruang vektor linier tersebut didefinisikan perkalia~,skalar (scalar product) antara dua fungsi gelornbang Q dan yberikut:

Definisi di atas rnernberikan hubungan lebih lanjut sebagai benkut

Perurnusan Umum Mekanika Kuantum

I

dengan c, c,, dan c, adalah konstanta-konstanta (bilangan) kornpleks.

Contoh3.1 Selidiki linieritas operator A yang didefinisikansebagai berikut:

I I

dengan c rnerupakan konstanta kornpleks, dan

d

a. A ~ ( x=)z ~ ( * ) + a , dengan a konstanta

Penyelesaian: a. OperatorA didefinsikan menurut

rnaka untuk c, c, , c, ,konstanta

i) berlaku

sarna dengan no1jika dan hanya jika y = 0

(b) RepresentasiVariabel Dinamis Postulat2. Setiap variabel dinamis A(?,P) direpresentasikan oleh operatorlinier A, = A ( ~ , B , ) = A(?,-~AV). Operator tersebut bekerja pada fungsi-fungsi dari sistern, dan rnengubahnya rnenjadi fungsi gelornbang yang lain.

atau Operator A disebut operator linier, jika bekerja pada fungsi gelornbang p, ry dan rnernenuhi hubungan:

~ ( c v ( x )#)

v(x))

Jadi operator A bukan operator linier karena ada satu sifat atau definisi operator linier yang tidak dipenuhi.

I

Fisika Kuantum

Perurnusan Umum Mekanika Kuantfrm

Sebagi contoh perhatikan cara mernperoleh kornutator antara x

d b. A Y ( x ) = x z Y ( x )

dan

P,

rnaka untuk c, c,, c, ,konstanta berlaku:

d

i) A ( c Y ( ~ ) ) = x ~ ( c Y ( ~ ) )

= C(AY ( x ) )

ii)

d

4,V ( X )+ c2V ( X 1) = x-dr {c, ~

Dengan dernikian

( x+ c2q(x) ) 1

xp-px = [x,p]= izi

(3.6)

Hubungan kornutasi antara x dan p ini dikenal sebagai kuantisasi pertarna. Secara urnurn, untuk xi dan pj dengan i,j = 1,2,3 berlaku

JadiAadalah operator tinier (karena kedua sifat dipenuhi) Di dalarn rnekanika kuanturn, variabel-vanabeldinarnis pada urnurnnya tidak kornut. Misalkan A dan B adalah dua variabel dinarnis, urnurnnya berlaku:

dengan x, = x, x2 = y, x, = z, p, = px, p2 = py, p3 = pZ, dan adalah fungsi delta Kronecker yang didefinisikan sebagai:

6.. =

6g

1, jikai = j

M n i s i kornutator (3.5) memberikan hubungankornutasi bagi tiga operator A , B dan C ,yaitu:

atau

Selanjutnya, didefinisikanhubungan kornutasi atau komutator antara A dan B ,

AB-BA = [A,B]

(3-5)

[AB,C ]= ABC - CAB = ABC - ACB + ACB -CAB = A(BC - CB)+ (AC - CA)B = A[B,C ]+ [A,

c]B

dan dengan cara serupa

(3.9a)

Fisika Kuantum

rcr clr 6 . -:an Umum Mekanika Kwnturn

Confoh 3.2: Hitung komutator :

;:k#"i:

Penyelesaian : a. x n = ,.-Ix = ,n-l,

Evaluasi lebiihnjut rnembeni maka Postubt3.Nilairafa-ra& daripengukuran variabel dinamis A yang dilakukan pada sistem yang mmpunyai keadaan I diberikan deh:

Memperhatikan pangkat dari x, didapatjuga [xn-' ,p] = [xn-* ,pJx + ih*' Karena itu,

Atau secara umum,

Besa;n (A), d

is e w hargae k p e k k i , nilai harap atau nilai duga dari variabel dinamis A. Untuk yang tidak temolmalii. i

Mempertimbangkan kenyataan fisis, maka hanya variabel dinamis berharga ekspektasi riel yang diukur secara langsung atau teramati (observabel). Dengan kata lainjika A observabel, diperlukanbatasan (A) = (A)' atau

Untuk m = n,

--

(c) Evdusi Sistem dan Tetapan Gerak Postulat4. Keadaan W bemriasi terhadap waMu menurut

mmaan

Perumusan Umum Mekanika Kuantum

Fisika Kuantum

Postulat ini dan pers. (3.10) memberikan evolusi terhadap

waktu bagi harga ekspektasi ( A )

dan

Dari pers. (3.14) ini tampak bahwa jika A tidak bergantungwaktu secara eksplisit dan komut terhadap H,

Maka

[A,H ] = 0 maka

yang beratti bahwa (A) tidak bergantung waktu. Dengan kata lain observabel A merupakan kuantitas kekal dan biasa disebut sebagai tetapan gerak.

(terbukti).

Contoh 3.3.

Contoh 3.4

Turunkan pes(3.14)

Mengingatsifat nonkomutdari dua observabelA dan 6,maka secara umum berlakir

Penyelesaian: Dari pers.(3.10) diperoleh Petlihatkandengan 2contoh eksplisit untuk (i) A dan 5 kornut dan (ii)A dan B tidak komut. Penyelesaian: (i) Misal, A = x, B = py, dengan komutator (3.7) Selanjutnyagunakan pers.(3.13), diperoleh

I Fisika Kuantum

Perumusan Umum Mekanika Kuantum

J ( A ~ ) dv= '~ ~y*~'ydv

(3.18)

Sedangkan, suatu operator A dikatakan operator Henitian jika:

= 2ihp,p,

A+ = A

Dengan demikian

(3.19)

Contoh 3.6 Untuk dua operator Karena itu,

A dan 3 perlihatkanbahwa

(AB)' = B' A'

Karena Lz komut dengan Hamiltonianpartikel bebasdan tidak tergantung waktu secara eksplisit maka momentum sudut (L,) dari partikel bebas merupakantetapan gerak atau kuantitaskekal.

(3.20)

Penyelesaian:

MisalkanAB = C maka dari definisi (3.18) didapatkan

3.2 OPERATOR DAN MASALAH ElGEN 3.2.1 Operator Hermite

Masih dari definisi (3.18), uraian per operator memberikan

Untuk operator liniersebaang, didefinisikannilai haap

(A)* = (A) = fV*A

dv

(3.10)

Karena itu

Dari dua hasil di atas, jelas bahwa

(AB)* = B+ A+

3.2.2 Masalah Nilai Eigen dan Degenerasi Jika operator A bekerja pada fungsi qrdan berlaku Operator sekawan HerrnitedariA, ditulisA+,didefinisikansebagai:

A 9 =a9

(3.21)

Perumusan Umum Mekanika Kuanturn

Fisika Kuantum

Dari persamaan eigen di atas, didapatkan, .

0 = J'bqn

YR

Karena a # b untuk

m

# n rnaka

.

dv- J q n p 'dv ~

-

= j(b*%*b" dv l V " * b ~ d "v

Karena itu berlaku

= (b*- b)lPnopn dv =O

Mengingatpertaksamaan(3.2d).

yang berati bahwa p, ,p,, ortogonal.

secara umum

3.2.4 Kelengkapan dan Normalisasi Fungsi Eigen Fungsi eigen (suatu sistem) dari operator Hermite A, {,) dikatakan membentuk himpunan lengkap (completeset)jika fungsi sebarang 9, dari sistem bersangkutandapat diekspansi: atau mrd

b*=b

Suku pertama ekspansi berlaku bagi nilai eigen diskrit. sedangkan suku kedua bila kontinyu. Jika semua nilai eigen dari A diskrit, maka untuk V ternormalisasiberlaku

Jadi nilai eigen b riel.

ii. Sekali lagi menggunakan pers.(3.18) ( ~ ~ r n ~ ~ n ) = ( ~ r n , ~ ~ n )

dan dari dua persarnaaneigen untuk pm ,p,, serta nilaieigen

riel dari H, maka

(~~rn,~rn)=a(qrn,qn)

atau

I

Jadi koefisien mernenuhi persyaratan

Fisika Kuantum

Perumusan Urnum Mekanika Kuantum

Dengan cara yang sama, untuk semua nilai eigen kontinyu

J

I = Jc*(m)qLdm Jc(n)qndn dv = Ic*(m)c(n)dmdnIpiqndv =

IJc*(m)c(n)drndn~~~

Hasil pengukuranAadalah salah satu dari nilai-nilaieigennya, dan kernungkinanmendapatkan nilai tertentu a, jika sistem dalarn keadaan adalah IcmI2.Dengan demikian, arti fisis dad nilai-nilai eigen (dari) suatu observabel rnerupakan hasil yang mugkin dari pengukuran observabeltersebut. Sedangkan fungsi eigen m (dari A) rnerepresentasikan satu keadaan yang mana observael A rnernpunyai nilai tertentu a .,

(3.25b)

3.2.6 Fungsi Gelombang dalam Ruang Momentum

= jc(m)12dm

Secara umum, jika y dapat diekspansi seperti pers. (3.24), maka

Jadi, normalisasi dapat dilakukan dengan mernbuatjumlah seluruh modulus dari koefisien ekspansi sama dengan satu.

Fungsigelombang yang telah kita bahas merupakanfungsi gelombang dalam ruang koordinat. Berikut ini diuraikan representasi momentumbagi fungsi gelombang yaitu ungkapanfungsi gelornbang dalam ruang (variabel) momentum. Kaitan antara fungsi gelombang dalam ruang koordinat dan ruang momentum diberikan oleh transformasi Fourier (2.3').

3.2.5 lnterpretasi Fisis Perhatikan ungkapan ekspektasi dari A dalam keadaan y, dengan spektrurn diskrit dengan N = ( 2 r ~ ) " " . Pasangan transformasi Fouriernya diberikan oleh: = ( ~ c :.)A(?Cn

pn]dv Untuk kasus satu dimensi tak bergantung waktu,

= CCc:cn J9):Aqn dv rn

n

= Cx~:~.a.~." m

(3.25~1)

n 2

=CJcrn)am

dan

m

Jadi, harga ekspektasi (A) adalah rata-rata bobot nilai eigen

a, dari A.

dengan N' = (27rh)':, p = p,

.

P~rurnusanUmum Mekanika Kuantum

Fisika Kuantum

Selanjutnya dari definisi harga ekspektasi, didapatkan

Secara umum, operator f ( x ) di dalam ruang momentum diberikan oleh:

Perumusan di atas dapat diperluas ke dalam kasus tiga dimensi.

Contoh 3.5 : Sedangkan produk skalar p(p) sendiri memberikan hasil sesuai teorsma Farsevai,

Fungsi gelombang suatu saat dari partikel yang bergerak sepanjang sumbu x berbentuk :

e, untuk 1x1 2 a

Jyr* ( F ) ~ P dp ) = Jm' ( P I N 'JY (x)e-'"" dxdp

= J y ( x )Jp* ~ ( p )e"P"R dp n~

= jY(x)Y*(x)&

(3.28)

=1 Hasil(3.27) dan (3.28) mengisyaratkan bahwa q ( p ) dapat diinterpretasikan sebagai fungsi gelombang di dalam ruang momentum dengan Iyr(p)12merupakan kerapatan probabilitas untuk mendapatkan partikel berrnornentum p . Denyan demikian, dari hasil(3.27) tampak bahwa operator momentum p, dalam ruang momentum diberikzn oleh:

Tentukan : a. C jika cy ternorrnalisasi b. Fungsi gelombang momentum ~ ( p ) c. Rapat probabilitas P ( p ) dan grafiknya d. Harga rata-rata momentum ( p ) dengan (i) fungsi gelombang ruang koordinat (ii) fungsi gelombang ruang momentum Penyelesaian : a. cy(x)ternorrnalisasi,

Selanjutnya, dari (hukum) kuantisasipertama (3.6),

[x,p ] = ii'i didapztkanobservabel x dalam ruang momentum, yaitu:

jadi

Perurnusan Umum Mekanika Kuanturn

Fisika Kuantum

d. Nilaiduga ( p ) ,

Sehingga

untuk 1x1 5 a untuk 1x1 > a

10,

dv(x) karena - = O

dx

b.

.

Fungsigelombang q ( p ) ,dari pers. (2.3d)

=

-+Im-,J2a

-

1 (2) (

1

1

J z z ip

.-ip"

e-ialfi

ii) atau

dx

-""I"

'(i1

Karena p fungsi ganjilsedangkan sin -P fungsigenap.

nA

(ap / A )

c. Rapatprobabilitas P ( p )

3.3 PRlNSlP KETIDAKTENTUAN HEISENBERG 3.3.1 HubunganUmum Hargaekspektasiadalah rata-ratadaribeberapa pengukuran, dan pengukuranindividualakanmenyirnpang(deviate)dari harga rata-ratatersebut. Standartdeviasiyang didefinisikansebagaiakar kuadratdari rata-rata kuadratdeviasi,

Grafiknya

- ..

Gambar. 3.1 Probabilitasdalam ruangmomentum

dapat dianggap sebagai ukuran penyebaran dari nilai terukur. Penyebaran dalampengukuran A inidisebutketidaktentuan (uncertainties)di dalam pengukuran A . Sekarang dimisalkan ada dua observabel A dan B, dan dituliskan

Fisika Kuanturn

Perurnusan Umum Mekanika Kuantum

maka

L, = (r x

p),

I1

= XPY - YPX Sebagaimanapers. (2.Ma) atau (2.6). Hamiltonian parSkel bebas

11;

diberikan oleh :

1

1I 1

(I

11

(ii) BilaA = x, B = pxmenggunakankomutator (3.6), diperoleh Dengan demikian

(xpx)2 = (xpxxxpx

-

=X(P~X)P,

= x(xpx - ih)p,

= x 2 p ,2

-i h p ,



Dari dua contoh (i) dan (ii) di depan dapat disimpulkan bahwa (AB)2= A2B2jika dan hanya jika A dan B komut. Sedangkanjika A = r', B = F , maka

(F.b)2 = (XP, + YP, + ZP, =r

dengan L2 =

2

p - L2 + ih(F.2)

(3.16)

i.i adalah operator momentum sudut

-

Gunakan komutator (3.9), didapatkan (3.1 7 )

Uraikan pe~(3.16)sebagai latihan dan melemaskantangan.

Perlihatkan bahwa komponen z dari momentum sudut Lz sistem partikel bebas merupakan tetapan gerak. Penyelesaian:

Dari pers. (3.17)diperoleh

II

?

2

L=r'xJj

Karena p, tidak tergantung x dan y maka komut dengan L,. Uaian lebih lanjut memberikan

11 ;

-

__11_.1

Perurnusan Urnurn Mekanika Kuanturn

Fisika Kuantum

atau

Pertanyaannya,dapatkah diperoleh keadaanyang membuat dan keduanya no1atau A dan B keduanya rnempunyai nilai presisi? Untuk menjawab pertanyaan ini, tuliskan kuantitas

Menggunakanungkapan (3.32') didapat

Ungkapan (3.35) merupakan ungkapan urnum dari prinsip ketaktentuan untuk pasangan observabel A dan B. Sebagai contoh, A dan B adalah pasangan sekawan kanonik x dan p ,dengan

dan at-nya:

[ x , p] = iA dengan h adalah parameter riel. Dari sifat operator dan sekawan Herrnitenya didapatkan

((a- i/lp))((a+ iaB))2 0

maka

(3.344

atau uraiannya

mengingat

atau

sebagaimana telah diperoleh pada bab terdahulu. Dibanding pers. (1.31) yang diperoleh dengan pendekatan semikualitatif, pers. (3.36) merupakan bentuk yang lebih mendasar dari prisip ketaktentuan Heisenberg. '

Ruas kiri pers. (3.34b) mempunyai harga minimumjika derivative terhadap h mernpunyai harga nol. Hal ini teQadijika

Contoh3.7:

Untuk harga h ini, pers. (3.34b) menjadi

Perhatikankernbali partikel yang terperangkap di dalam kotak satu dimensi sepanjang L. Fungsi gelombang keadaan dasar, keadaan tereksitasi pertarna dan keadaan tereksitasi kedua berturut-turut diberikan sebagai berikut:

Fisika Kuanturn

Hitung: a. h untuk setiap keadaan tersebut di atas. b. (p2)dan Ap ,dan c. periksa apakah hubungan Ax& 2 f h selalu dipenuhi.

Perurnusan Urnurn Mekanika Kuanturn

Integralterakhir dihitung menggunakan integral parsial dan didapatkan

Penyelesaian: Uraian kbih lanjut dari persamaan(3.32) M = memberikan :

Karena itu, untuk menghitung & dan Ap perlu dihitung. (x) ,(x2), (P) dan (p2)terlebih dahulu. Subtitusi kembali ke dalam (x2) didapatkan: a. Mengingat gambar 2.4b (terlampir), tampak bahwa kemungkinan untuk mendapatkan partikel di sebelah kanan % dan di sebelah kiri % adalah sama. Karena itu, rata-rata posisi (x) untuk semua tingkat keadaan secara kualitatif adalah %. Para pembaca silahkan membuktikan secara kuantitatif. Sedangkan (x2)..

Selanjutnya subtitusi ke dalam deviasi (3.37) didapatkan:

Fisika Kuanturn

Perurnusan Umum Mekanika Kuantum

Rinciannya, untuk p, ( x )

Sedangkan ( p ) ,mengingatalasan kualitatifjawabana, yaitu kemungkinan partikel bergerak ke kanan sama dengan kemungkinan partikel bergerak ke kiri maka rata-rata momentum ( p ) adalah no1untuk semua tingkat keadaan. Coba

Untuk p,(x)

perlihatkan. Karena itu

Untuk p3(x)

c. Gunakan solusi a dan b, b. Untuk deviasi momentum

=2nn qijzxz

j

- 2h2n2n2 sin L3 0 - (nnT Z ) ~

Tarnpak bahwa besarandi dalam tanda a k a r , / m > 1 untuk semua n Sehingga

(T

)' d~

-x

L

L

{.i;; -

.in($

x)}I

0

Jadi, ( p 2 )untuk q,,q2dan q3,berturut-tumt diberikan oleh

?r2ii2 4z2ii2 9n2h2 dan L2 '

L~

L2

.

untuk semua tingkat keadaan n.

3.3.2 Observabel Komut Unhrk kasus dua observabel A, B komut, maka mas kanan (3.35) ,101, sehingga M dan AB bisa nol. Dengan kata lain, terdapat keadaan dengan A, B rnempunyai nilai presisi dan terdapat fungsi eigen serempak (simultaneously) dari A dan 6. Tinjau fungsi eigen qo dari A ;

Fisika Kuantum

Jika A dan B komut, AB = BA, maka

Perumusan Umurn Mekanika Kuantum dan 2, dan setiap observabel 1 akan kornut dengan setiap observabel 2 karena mereka merupakan dua sistern yang berbeda. Harniltonian sistem gabungan ditulis H(1,2), rnisal Harniltonian ini dapat disusun sebagai penjumlahan dari Harniltonian dan subsistern kedua H2(2), subsistern pertarna H, (I)

atau

Jadi, pa dan Bq,, merupakanfungsi eigen dari A dengan nilaieigen sama, a. Tetapijika nondegenerasi, maka Bpa harus konstanta kali qa ,

Hal ini berarti q,,juga fungsi eigen dari B dengan nilai eigen b. Karena itu 9, , rnerupakan fungsi eigen serempak dari A dan B, dan biasa ditulis qa+ qab. Tetapi apa yang terjadi jika nilai eigennya degenerasi? Dari pers. (3.38b), tampak bahwa Bqa juga fungsi eigen dari A. Meskipundernikian, selalu mungkindipilih sejumlah r fungsi eigen (rrnerupakantingkat degenerasi dari nilai eigen a)yang kombinasi liniernya rnerupakanfungsi eigen dari B. Artinya, selalu bisa dipilih sekurnpulan lengkap dari fungsi eigen serernpak qabuntuk pasanganobservabel kornut A dan 6 .

3.4.1 Sistem lnteraktif Misalkan ada dua sistem yang masing-masing mempunyai sekumpulan variabel dinamisnya sendiri. Dua sistem tersebut bisa berupa satu elektron dan satu atom, atau dua atom dan seterusnya. Keadaan sistem tersebut dilabel dengan simbol 1

Gabungan dua subsistern ini merupakan dua sistem bebas atau dua sistem tak berinteraksi, keduanyatidak saling rnempengaruhi. Jika u(l), v(2) masing-masingfungsi eigen dari H , ( l ) dan

H2(2)

rnaka

dengan energi eigen

Dengan dernikian, fungsi eigen dari sistem gabungan yang terdiri dari dua subsistem takberinteraksi adalah perkalian dari masing-masing !f~ngsi eigen subsistem individual, sedangkan nilai eigennya adalahjurnlah masing-masing nilai eigen individual. Jiha kedua sistem tersebut berinteraksi maka H(1,2) tidak dapat diuraikan seperti pers. (3.40) melainkan:

Fisika Kuantum

Perumusan Umum Mekanika Kuantum

Jadi, Pdan Hkornut dengan Hin(1,2) sebagai bagian atau Harniltonian interaksi dan H, (I), H, (2) bagian Harniltonian bebas. Fungsi eigen sistern tidak lagi perkalian u(l)v(2).

Karena itu, P rnerepresentasikan suatu kuantitas kekal. Dari definisi (3.45) didapat,

3.4.2 Sistem Partikel ldentik Dua partikeldikatakan identikjika tidak ada efek ketika kedua partikel tersebut dipertukarkan. Lebih tepatnya, sernua kuantitas terarnati hams tidak berubahjika posisi, momentum, dan variabel dinarnis lainnya seperti spin dari partikel pertarna (secara kolektif ditulis 1) dipertukarkandengan variabel dinarnis dari partikel kedua (ditulis 2), yaitu

sehingga P = l Bentuk ini rnernberi nilai eigen + 1. Selanjutnya, untuk rnenghindarikerancuan sirnbol, sebagai fungsi eigen dari Parnbil Y + q ,dengan

Berkaitan dengan sistern partikel identik ini, didefinisikan operator pertukaran (exchaGe operator) P yang bekerja pada fungsi gelornbang ry(1,2) sebagai berikut:

Jika

Operator pertukaran P rnernpertukarkan partikel (1) dan partikel(2). Jika ry(1,2) rnerupakanfungsi eigen dari Harniltonian (3.44).

rnaka 2 2 = 1. Seperti telah disebutkan di depan nilai eigen 1= 1 atau ;1=-1. Berkaitan dengan nilai eigen ini, arnbil qsdan qa yang rnernenuhi hubungan:

rnaka penerapan P pada persarnaaneigen tersebut rnernberikan: Definisi (3.45) dan pers. (3.51) rnernberikanfungsi eigen q.y(231)= qs(192)

(3.52a)

yang disebutfungsieigen sirnetri (terhadap pertukaran partikel). Sedangkan

Fisika Kuantum

Perumusan Umum Mekanika Kuantum

disebut fungsi eigen antisimetri. Fungsiyang memenuhi dua sifat di atas adalah

Hukum untuk dua partikel identik tersebut dapat diperluas untuk sistem Npartikel. Sebagai misal, pehatikanfungsi gelornbang sistem tiga partikel, jika partikelnya fermion,

Sebagai ilustrasi, perhatikanoperasi berikut

sedangkan untuk boson,

Jika ketiga partikel tersebut tidak berinteraksi satu dengan lainnya, maka y dapat dituliskan sebagai perkalianfungsi eigen individual

Hasil atau ungkapan bahwa P merupakan tetapan gerak mempunyai arti bahwa keadaan simetri setiap saat akan selalu simetri, dan keadaan antisimetri akan senantiasa tetap antisimetri. Kesimetrian ini merupakan hukum alam dan menjadi karakteristik dari partikel-partikel. Hukum simetri-antisimetri dirumuskan oleh Pauli dan menyatakan: 1) Sistem yang terdiri dari partikel-partikel identik ber-spin tengahan (1/2,3/2,5/2, ...) digambarkanoleh fungsi gelombang antisimetri. Partikel-partikel ini disebut fermion dan memenuhi statistik Fermi-Dirac. 2) Sistem yang terdiri dari partikel-partikel identik ber-spin bulat (0, 1, 2, ...) digambarkan oleh fungsi gelombang simetri. Partikel-partikel ini disebut boson dan memenuhi statistik Bose-Einstein.

dan seterusnya; dengan u(1) adalah keadaan u untuk partikel 1, dan seterusnya. Menggunakanungkapan (3.55), fungsi gelombang antisimetri (3.54a) dapat dituliskan sebagai:

Sedangkan fungsi gelombang simetri (3.54b) dapat diperoleh melal,*:determinan (3.56) dengan mengganti semua tanda minusmenjadi tanda plus. Perluasannya untuk N partikel, dapat diperoleh dengan mengarnbil Nfungsi eigen untuk Npartikel, u, ( j ) yang berarti partikel ke-j mempunyailmenempati keadaan ke-i. Fungsi

Fisika Kuantum

gelornbang antisirnetri q, diberikan oleh determinan,

Determinan(3.57) ini disebut determinan Slater. Jelas, dari deterrninan ini jika terdapat sedikitnya dua keadaan individual ui = uj maka qa lenyap. Artinya, tidak boleh ada dua partikel (atau lebih) yang menempati keadaan sarna; ha1 inilah yang dikenal sebagai prinsip larangan Pauli (exclusion principle of Pauli) untuk ferrnion. Seperti dalarn kasus tiga partikel, fungsi gelornbang sirnetri untuk boson diperoleh dari ekspansi determinan Slater dengan mengganti sernua tanda minus dengan plus. Konsekwensi penggantian tanda ini adalah jika ui = uj, (os tidak nol. Artinya, dua atau lebih partikel boson bisa menernpati satu keadaan yang sama. Berikut ini kita lihat konsekwensi penting dari prinsip larangan Pauli terhadap tingkat energi sistem boson dan sistern ferrnion. Misalkan ada Npartiel identik di dalarn kubus potensialberukuran L3.Menurut uraian pada subbab 2.3.4, didapatkan energi eigen untuk setiap partikel.

dan fungsi eigennya

Energi keadaan dasar bagi sistern dengan partikel-partikel

identik boson atau fermion mempunyai perbedaan Yang $anengat menyolok. Pertama, bila partikel-partikeltersebut adalah bosonnKanarena satu keadaan boleh ditempati oleh lebih dari satu b o s o n V a k a dalam keadaan dasar semua boson menernpatikeadaandemZngan .Energi r n a s i n g - m a s i n ! ~ a n ~ ~ ~ ~ ~ ~ energi terendah yaitu q = q(lylyl) boson adalah

Karena itu, energi total sistern yang terdiri dari Nbos~nidebentik tidak lain adalah N kali energi partikel individual

Kedua, bila N partikel tersebut adalah ferrnion misa alnya elektron. Karena elektron mempunyai spin-UP dan s~in-dbown, rnaka setiap titik (n,,n,,n3) diisi oleh dua elektron. D a l a m k ~ ~ ~ ~ ~ keadaan dasar, elektron mengisi keadaan-keadaan den9a -nergi paling rendah yang mungkin. Energitertinggi yang dite"Wwi olet, elektron ke-Ndalam keadaan dasar dikenal sebagaieneergi bemiMengingat setiap titik kisi bisa ditempati oleh dUa elehn R1. maka jumlah elektron di dalam seperdelapan bola berjejari ndal*lah.

Perurnusan Urnum Mekanika Kuantum

Fisika Kuantum

Atau, erlergi Fermi sistem diberikan oleh:

dengan p = N/ V merupakan kerapatan partikel per satuan volume. Energi total sistem merupakan jumlah seluruh energi yang mungkin,

N merupakan jumlah partikel pada titik-titik kisi di dalam seperdelapan bola bejejari R

Contoh 3.8 : Dua elektron tak berinteraksi berada dalam kotak potensial satu dimensi sepanjang L. Jika kedua spin elektron tersebut sama, tentukan : a. Fungsi gelombang keadaan dasar, dan b. Energi keadaan dasar siste dua elektron tersebut. Penyelesaian : a. Karena spin kedua elektron sama maka keadaan dasar yang mungkinadalah satu elektron di U = q, dan elektron lainnya di V = q2,dengan

atau

Sehingga energi total sistem elektron adalah:

Dan, fungsi gelombang keadaan dasar anti simetrinya : Atau, dalam ungkapan energi Fermi,

Perumusan Umum Mekanika Kuantum

Fisika Kuantum

llustrasi keadaan dua partikel dalam keadaan dasar,

b. Energi keadaan dasarnya :

(a)

Contoh.3.9 :

Gambar. 3.2 Keadaan Dasar Sistem Dua (a) fermion berspin sama, (b) boson

Ulangi contoh soal, jika kedua partikelnya adalah boson.

Penyelesaian : a. Keadaan dasar sistem ini adalah keadaan dengan kedua , partikel boson berada di tingkat paling bawah 9,

Ingat, secara umum posisi kedua boson berbeda, x, Jadi,

b. Energinya,

(b)

;t x , .

Contoh 3.10 Lima belas elektrondengan spin-up dan spin-down yang tidak saling berinteraksiberada pada perrnukaan potensial dua dimensi L x L. Dinding tepi permukaan berpotensial tidak berhingga, sedangkan potensialdi dalam adalah nol. Sistem dalam keadaan dasar.

--"

Fisika Kuantum

Tentuka~ a. Sernua tingkat energi yang diternpati elektron b. Energi Ferrni sistern. Penyelesaian: a. Serupa dengan kotak potensial pada pasa12.3.4 rnaka tingkat energi setiap elektron bermassa medi dalam kotak

Keadaan eigennya setiap elektron

Dalarn keadaan dasar elektron-elektronmenata diri dengan rnenempati keadaan dengan tingkat energi paling rendah. Karena elektron rnempunyai dua spin berbeda maka setiap tingkat dapat diternpati oleh dua elektron. Dengan dernikian, energi kelima belas elektron tersebut.

---

- -

-

--

-

Perumusan Umum Mekanika Kuantum

Jurnlah elektron pada dua keadaanterakhir dapat dipertukarkan. Energi total sistern dalarn keadaan terendah adalah jumlah selumh energi di atas, yaitu E,, = 119 E, . b. Energi Fermi adalah energi elektron terluar, yaitu E, = 13 E,

I I

Atom Htdrogen

Pada bab ini akan diuraikan solusi dari persamaan Schrodinger untuk sistem fisis riel atom hidrogen dan mengkaji berbagai konsekuensinya. Atom hidrogen merupakan atom paling sederhana yang terdiri dari satu proton sebagai nukleusdan satu elektron yang mengitarinya

4.1 PERSAMAANSCHRODINGERATOM HIDROGEN Massa proton mpjauh lebih besar dibanding masa elektron me,mp= 1836me.Di dalam pembahasan pada bab ini dilakukan penyederhanaanberupa asumsi proton diam di pusat koordinat dan elektron bergerak mengelilinginyadi bawah pengaruh medan atau gaya Coulomb.

Atom Hidrogen

Fisika Kuantum

Mengingat sistem atom hidrogen mempunyai sirnetri bola, analisis menjadjlebihsederhana bila operator ~2 diungkapkan dalam koordinat bola. Di dalam koordinat bola (r,6 ,p) , pers(4.4) rnenjadi

, {z(r 3 ar ) sins as (

K L Zme r 2

l

a

.

a y - l a- y

as)

sins am'}

-

- ), (4:0 1 r

, ,=

Gambar. 4.1. Posisi relatif antara proton dan elektron Pendekatanyang lebih baik dilakukan dengan memandang kedua partikel proton dan elektron berotasidi sekitar pusat massa bersarna yang berada (sedikit) di dekat pusat proton. Tetapi, sekali lagi untuk penyederhanaan, efek ini diabaikan di sini. Karena proton diangap diam, maka kontribusienergi sistem hanya diberikan oleh elekron yaitu energi kinetik

dan energi potensial

Selanjutnya, untuk mendapatkan solusi bagi pers.(4.5) di atas dilakukan pemisahan variabel v ( 7 )= ry(r,8,p) sebagai berikut

Subtitusi ungkapan (4.6) ke dalam pers.(4.5) kernudian dikalikan (2m,r2/h2) dan dibagi ungkapan (4.6) didapatkan

Dari pers.(4.7) ini tampak bahwa suku pertama dan keempat hanya bergantung kri-jxi r, suku kedua dan ketiga hanya

yaitu

Dengan dernikian, persamaan Schrodinger untuk atom hidrogen

bergantung sudut 8 dan y, . Penjumlahan suku-suku yang hanya bergantung pada jarijari dan dua sudut ini akan selalu sarna dengan no1 untuk sembarang nilai r, 8 dan y, jika masing-masing suku sama dengan kontanta. Seperti akan jelas pada pers.(4.3d), tefapkan keduanya sama dengan tetapan c = fl(l + 1). Suku yang hanya bergantungjari-jari menjadi

Fisika Kuantum

Atom Hidrogen

L~(z:) R dr r - +-2 ~ $ z ( ~ + ~ ) = t ( t + l ) (4.Bal 4ns,r

s i n O d ( sine-d@) +t(e+l)sin2B=mZ O de atau, setelah dikalikan dengan @/sinZ8 diperoleh

atau

('

dr

z)

r -

+-2;

-kqt)R 4m0r

=

e(* + I)R

(4.Bb)

Sedangkan suku yang hanya mengandungsudut 8 dan q menjadi

I d @sinedB Setelah dikalikan dengan

sin8 d

+

1 -dZ@ @sinZ0 d q Z -

-@ + 1)

(4.9a)

sin2 0 , pers.(4.9a) menjadi 1 dZO

3+{

L L (sine-

(4.9b)

Tampak bahwa pers.(4.9b) juga terpisah menjadi dua bagian yaitu bagian yang hanya bergantung pada sudut azimut p dan bagian yang bergantung pada 0 . Selanjutnya tetapkan masingmasing bagian sama dengan konstanta -m2, dan n?. Dengan alasan yang akan menjadijelas kemudian, pilih

sin8 d 8

@+I)-

4.1.1 Persamaaan Azimut Kita mulai dari persamaan paling sederhana (4.10a) yakni persamaan azimuth yang menggambarkan rotasi di sekitar sumbu z. Sudut rotasi di sekitar sumbu-z ini adalah no1sampai 2n ,dan periodisitasnya. ltulah sebabnya konstanta (4.1 l a ) dipilih negatip (= -m2)agar memberi solusi berupafungsi sinusoidalyang periodik. Bila dipilih positip akan memberi solusi fungsi eksponensial, sehingga untuk satu posisi yang sama akan diberi nilai yang berbeda @(n/ 6) cc e-"I6 , dan @(2n + n 16) oc e-z"-"'6 karena posisi p = n16 sama dengan posisi p = 2n + n / 6 . Jelas pemilihan konstanta positip ini tidak menceritakan kondisi fisis sesungguhnya. Untuk konstanta negatip, solusinya

Keunikan @ di setiap q yaitu. (4.1Ob)

Sehingga

(4.11b)

Dengan demikian, pers.(4.5) dapat dipisah menjadi tiga persamaan deferensial biasa. Selanjutnya, kita tentukan solusi masing-masingpersamaan tersebut.

@ = @, (p) = Aeimp atau

"'}@=o sin28

untuk setiap m bulat, di penuhi m=O,f l , f 2, ...

(4.12)

Fisika Kuantum

Atom Hidrogen

Sedangkan syarat norrnalisasi bagi @,

X

( Q ~Q. ~ . =~ N.;),N,,.

fern (COS e)e:';".(cose)sin e d e = 6,.6,. (4.17a)

o

dipenuhi oleh konstanta A =I/&. diinginkanadalah

Karena itu solusi yang

Mengingat sifat ortogonalitas P;(cos 8)

2

I

(!+ml6

jern (COS ~ ) ~ : ' ( c oes) sin e d e = -

0

2 e + 1 (t-m)!

6 cr .-

mms

(4.17b)

didapatkan Bilangan bulat m disebut bilangan kuantum magnetik.

4.1.2 Persamaan Polar Sehingga

Selanjutnya kita tentukan solusi pers.(4.11 b),

sin 0 dB

sin20

0=0

(4.11b)

Persamaan diferensial(4.11b) dengan konstanta !( + I) dan m? dikenal sebagai persamaan diferensial Legendre terasosiasi. Solusi dari persaaan ini dapat diperoleh menggunakan metode Frobeniusdan diberikanoleh deret berhinggayang dikenalsebagai polinorn Legendre terasosiasi. lnilah alasan pengambilan tetapan f!(! + 1) ketika rnenguraikanper.(4.7) menjadi pers.(4.8a) dan (4.9a). Bila konstantanya bukan f !( + 1) maka solusinya adalall deret takberhingga. Solusi pers.(4.llb) diberikan oleh polinom Legendrrr

P;I (COS e)

Bentuk eksplisit polinom P;"(cos 8) dapat diperoleh melalui rumus Rodigues:

Dari hubungan (4.19) ini tampak bahwa untuk harga !tertentu maka m maksimum terjadi jika m = 8 dan P,"

-

1 '12 d2' I : " = ~ ' ( C O S ~ ) = - ( I - ~ ~ ~ ~ B )(cosz 6 - ly = Wsin' 6 2'!! d cos 6" 2'P! ' :odan?kan m minimum terjadi pada

dengan N , merupakan konstanta norrnalisasi

= -!

F isika Kuantum Jika dikaitkan dengan ungkapan (4.14). maka untuk l tertentu m dapat berharga

Bilangan bulat -! disebut sebagai bilangan kuantum orbital.

4.1.3 Persamaan Radial

Atom Hidrogen tuliskan terlebih dulu pers.(4.23) dalam bentuk

Untuk daerah jauh sekali p + oo , pers.(4.23*) secara efektif menjadi

Sekarang kita tentukan solusi pers.(4.8b). Pengalian (1/P) pada persamaan (4.3a) memberikan Solusi persamaan ini adalah

R K edpI2 Tampak pada persamaan radial ini terdapat nilai atau energi eigen E. Pada pembahasan di sini dibatasi pada keadaanterikat yaitu keadaan dengan energi negatif E= -1q. Perubahanvariabel

(4.25)

Sedangkan pada daerah titik asal, Rditulis sebagai

U(P> R(P) = P

(4.26)

dan subtitusikan ke dalam suku pertama pers. (4.23*) diperoleh

membuat pers(4.8~)tereduksi menjadi Karena itu pers.(4.23) tereduksi menjadi persamaan diferensial untuk U dengan Selanjutnya kalikan dengan p2dan ambil limit mendekati pusat koordinat Untuk menentukan solusi pen(4.23) kita selidiki terlebih dahulu (perilaku) persamaan tersebut pada dua daerah ekstrim yaitu daerahjauh sekali dan daerah pusat koordinat Sebelumnya, Tampak bahwa suku dominannya adalah

Fisika Kuantum

Atoin Hidrogen

I =n maka a,, Solusi yang rnernenuhi persarnaan suku dorninan ini dan kondisi fisis keberhinggaan p + 0 adalah

(4.35)

dan seterusnya akan menjadi no1jika

s=n-C-1

Sehingga L(p)merupakan polinomial

Karena itusolusi untuk daerah asal (koordinat), rnenggunakan hasil(4.29) dan hubungan (4.26) diberikan oleh: Menggunakan pemilihan ;1= n ,pers. (4.17) menjadi Mempertimbangkan solusi-solusi untuk daerah ekstrirn di depan, solusi urnurnnya diusulkan berbentuk perkalian antara solusi titik asal, posisi jauh sekali dan fungsi umum terhadap jarak

Subtitusi ungkapan (4.31) ke dalam pers(4.23) didapatkan persamaan untuk L, yaitu

Pers(4.38) ini tidak lain adalah persarnaan diferensial Laguerre terasosiasi, yang mempunyai bentuk umum

Solusinya disebut polinom Laguerre terasosiasi diperoleh dari rumus Rodrigues

L: dapat

Solusi deret Untuk kasus kita koefisien p dan q dihubungkan dengan bilangan kuantum orbital & dan bilangan bulat n yang nantinya disebut bilangan kuantum utama menurut akan memberi rumus rekursi

Karena itu solusi pers.(4.38) diberikan oleh Tarnpak bahwa deret akan berhinggajika A adalah bilangan bulat, misalkan

L = L; = Lt? ( p )

(4.42)

Atom Hidrogen

Fisika Kuantum

4.1.4 Solusi Eigen dan Distribusi Probabilitas

Dengan demikian, solusi radial R diberikan oleh r

R = R,, = N,,P e

-pl2

Dari uraian di depan diperoleh solusi eigen lengkap bagi pers.(4.5), yaitu

2t+1

L",, (PI

dengan N,, adalah konstanta normalisasi dengan dan diberikan oleh

dengan a. = A' /(m,e2) adalah radius Bohr. Dengan demikian, solusi lengkap pers.(4.8c) berbentuk

dan m pada y,, Kombinasi ketiga bilangan n, mendefinisikansatu keadaan dari atom hidrogen. Mengingat R,,, 0, dan 0,merupakanfungsi-fungsi temormalisasi, maka y,, juga temormalisasi

dari hubungan p, q, n dan Iserta penyebut pada ungkapan (4.41) didapatkan bahwa q-p harus lebih besar atau sama dengan nol, atau

Hal ini sesuai dengan penafsiran awal bahwa V*V merupakan rapat probabilitas untuk mendapatkan partikel dalam ~). bentuk (4.26), keadaan n, I,m pada posisi ( r , ~ , Mengingat fungsi rapat probabilitas dapat diuraikan menjadi bagian radial dan bagian angular.

Contoh 4.1 Untuk bilangan kuantum n = 4 , tuliskan fungsi eigen dengan semua nilai f dan m yang mungkin.

atau (21 + 1) 5 n + t ,tepatnya

Jadi untuk n tertentu maka

!= 0,1,2,3

,..., n - 1

Bilangan bulat n ini disebut bilangan kuantum utama.

(4.48~)

Penyelesaian : Dari uraian di depan didapatkan bahwa untuk ntertentu terdapat n harga . Untuk n = 4 maka

.--

Fisika Kuantum

Sedangkan untuk e tertentu ada (21 + 1) harga m. Lengkapnya, diberikan dalam fungsi gelombang ry,, seperti tabel berikut:

Atom Hidrogen

Bentukfungsi probabilitas ini selain bergantung pada jarak juga bergantung pada bilangan kuantum n dan e . Untuk spesifikasi keadaan seringkali digunakan notasi spektroskopik sebagai berikut:

e

0

1

2

3

...

notasi spektroskopik

s

p

d

f

...

.

Untuk mendapatkan gambaran perilaku umum Pn,(r) kita gunakan kenyataan-kenyataaansebagai berikut: i. Rumus rekursi (4.34) dan polinom (4.37) memperlihatkan bahwa polinom L(p) merupakan polinom berorde = ,-(-I sehingga L(p) mempunyai s titik nol. Akibatnya, Pnt(r) mempunyai n - e gelembung atau titik puncak. ii. Untuk nilai !terbesar ( ( = n - 1 ), Pnt( r ) hanya mempunyai satu gelembung. Menurut ungkapan (4.47).

Karena itu, puncak Pnn-l( d a

DistribusiProbabilitas Radial.Dari hubunganortonormalitas R,, pers.(4.44), tampak bahwa probabilitas per satuan panjang rdiberikan oleh:

terjadi jika

dipenuhi oleh

Beberpa fungsi R, diberikan oleh pada tabel berikut:

Fisika Kuantum

Atom Hidrogen

Tabel 4.1. Fungsi Radial

P

Grafik-grafik proabilitas radial P,, ( r ) diberikan oleh Gambar4.2

(b)

(a) Gambar4.2 Rapat Probabilitas sebagai fungsi jarak

,

1

Contoh 4.2: Hitung kemungkinan mendapatkan elektron berada pada jarak kurang dari jari-jari Bohr untuk atom hidrogen dalam keadaan dasar.

Atom Hidrogen

Fisika Kuantum

Penyelesaian: Fungsiradial keadaan dasar atom hidrogen

Tabel 4.2. Fungsi Harmonik Bola I

I

I

Maka probalitas per satuan panjang untuk mendapatkan elemon pada jarak rdari inti

Karena itu, probabiliis elektronberada padajarak kurang dari a,

/

1;,,(0,s)=

6 1 -sin

e e"

yZi2 (0,v )= s

i

2

e

1

Mengingat bentuk eksplisit @, , maka rapat probabilitas polar hanya bergantung pada sudut 8

P(B,q ) = yr: (0,P)Y, (6,a)

02@)oh(8)= ~ ( 0 )

(4.56)

Gambar-gambarprobabilitasangular diberikan dalam diagram tiga dimensi berikut Disfribusi Probabilitas Angular. Dari pers.(4.49), (4.15) dan

(4.18) diperoleh bagian sudut

Fungsi Y, (8,p) disebut fungsi harrnonik bola (spherical harrnonics function), dan memenuhi ortonormalitas

Beberapa bentuk eksplisit fungsi harrnonik bola Y, ( B , ~ ) diberikan pada tabel berikut

Atom Hidrogen

Fisika Kuantum

Karena itu, enersi kinetik rata-ratanya :

Gambar 4.3 RepresentasiPerrnukaan Y, ( 0 , ~ )

Rapat probabilitas di setiap titik di dalam ruang diperoleh dari perkalian antara distriusi angular ~ ( 0dan ) distribusi radial

P(r) Solusi eigen lainnya yakni nilaieigen diperoleh dari pers(4.24) dan (4.35), yaitu energi atom hidrogen

yang bersesuaian dengan prediksiteori atom Bohr terdahulu.

Contoh 4.3 : Hitung : a. Energi kinetik rata-rata b. Energi potensial rata-rata, elektron dalam keadaan dasar dari atom hidrogen.

Penyelesaian : a. Fungsi gelombang keadaan dasar v,, hanya bergantung pada jari-jan r,

b. Energi total elektron keadaan dasar

maka

Sehingga

Atom Hidrogen

4.2.1 Operator MomentumSudut Operator momentum sodut didefinisikansebagaimana fisika klasik seperti pers.(g 17).Di dalam teori kuantum kuantitas ini menjadi operator rnelalui korespondensi(2.9)

Di dalam koordinat bola kornponen-komponenoperator momentum sudut di atas dapat din)'atakansebagai berikut

1 a = -fi2{--(sin~-&)+a$} sin 0 ae

1

Selanjutnya, perhatikan penerapan operator LZpada fungsi ytm(e,ip)

= -ih(im){J-

4n(e + in)!

P;'

(COS

}

e)eimv

(4.61)

Jadi Y, (8, p) merupakanfungsi eigen dari operator momentum sudut Lzdengannilai eigen (mh).Sedangkan pengoperasianL2 dan Y,,(Q,v)

Operator yang banyakdig~nakanadalah kuadrat dari momentum sudut. Dan' pers.(3.i6) diperoleh

Menggunakan hasil perhitungan (4.61),

Atom Hidrogen

Fisika Kuantum

Karena itu

L2 Ycm =-A2

=

{sii -e: '$) 02) -L)O.,,,)~ - &Iytm

(Sin

1 d sin 0 d6

38

sin2e

(4.62~)

Artinya, momentum sudut terkuantisasi dalam ruang. llustrasigerak elektronnya diberikan oleh gambar berikut:

Selanjutnya, gunakan pers (4.11B) untuk @ ,

1 d d@tm --(sin@7)+k(L+l)-abh sin 6 dB

{ sin - ~8 d@ d ( s i8%) ~

m2

sin28

=

Momentum sudut sebesar A , / m ini tidak mepunyai arah yang bebas melainkiin sedemikian rupa sehingga proyeksinya telhadap sum bu-Z,

=O

-e(( + l p t m(4.63)

Dengan demikian, diperoleh

L2yfm= -h2[-~(~+1)0tm@m Gambar 4.4. llustrasiklasik gerak elektron

Arbnya, Y, (6,p) juga merupakanfungsi eigen dati L2dengan ) fungsi nilai eigen P(! + l)A2 . Hal ini berarti Y ,( o , ~merupakan eigen serempak dari Lz dan L2 , dan hasil ini memberikan konsekwensi lebih lanjut yaitu

Dari operasi LZ dan L2 pada fungsi harmonik Y,(O,~), memungkinkan untuk melakukanpenafsiran fisis sebagai berikut. Y;,(8,p) menggambarkan perilaku elektron dengan besar momentum sudut L

Dari Gambar 4.4 tampak bahwa kendala bagi arah momentum sudut J? adalah :

Sebagai sumbu z biasanya diambil arah medan luar misalnya medan magnet B yang meliputiatom

Atom Hidrogen

Fisika Kuantum

Hyn, (7) = En~ntn('1 dengan energi eigen hanya bergantungpada bilangankuantum utama n

Gambar 4.5 Berbagaigerak elektron Kemudian menginat ortonormalitas fungsi eigen cy,, (7) ( W ~ . ~ , , . , W= ~ ,J~n . , ~ , . , ~ r n h kita dapatkan

Gambar. 4.6. Kuantisasi ruang bagi momentum sudut

J6ti

Contoh4.4: Satu elektron di dalam medan Coulomb dari suatu proton mempunyai keadaan yang dinyatakan oleh fungsi gelombang:

Hitung harga ekspektasidari a. Energi b. L2 c. LZ,dari elektron Penyelesaian

a. Hamiltonian(4.3) dan persamaan eigen (4.4) memberikan

b. Menggunakanpers.(4.64)

I? ytm= e(e + i ) Y~, yang hanya bergantung pada bilangan kuantumorbital, maka i) Z ~ ~ , ~ ( ? ) = O

P

Fisika Kuantum

ii) ~ ~ l y ~ , , ( T ) = 2 A ~ y ~ ~ ~ ( r ' ) iii) ~ ~ ~ , , ~= 2A21y2,0 ( r ' ) (r')

42.2 Spektrum Nit Bi Eigen Komutator (3.7b

dan (3.9),serta operator (3.l7)

lorn Hidrogen

memberikan:

b) L2v2,-, (7) = 2A2v,,-,

(3) Sehingga

c. Mmenggunakanpers(4.61)

s i r l u ~bagi L, Dengan cara Serupa diperoleh hubungan

dan L, yang secab a kompak dituliskan

$,

yang hanya bergantung bilangan kuantum magnetik, diperoleh

L,v,oo (7) = 0 ii) L,v2, (7)= A v2,,( 7) iii) Lzt,v210 ( 7 )= 0 b) L,v2,-1( 7 )= -A v21-,(?I i)

,

Bersama ortonormalitas (4.25) memberikan

an Eiik adalah

= L, d symbol pemutagi

Yang (dapat) berharga

jika permutasi genap jika permutasi ganjil jika ada indeks sama Selanjutnyq SeD~gai kombinasi didefinisikan operator L, ,

dari dua komp0t.l en operator momentum sudut

Mengingat L, L #aka r LZadalahoperator Hermitian

Atom Hidrogen

L,L+ y, = (L,L+ - L+L, )ycm+ L+L,Y h Menggunakan hasil operasi (4.61) dan komutator kedua (4.74). diperoleh dan sebaliknya

Sedangkan perkalian anatara dua operator tersebut memberikan

Tampak bahwa L+Yh(O,p) merupakan fungsi eigen dari L, dengan nilai eigen ( m + 1)h . Karena itu, setelah membandingkan dengan pem(4.61) diperoleh

Kita andaikan

dan

L-L+ = LS; + L; -hL, =L2-L:-AL, Kornutator-kornutatordari operator momentum sudut secara lengkap diberikan oleh pe~(4.70)dan persamaan berikut

dengan konstanta kompleks C +(1, m) yang akan kita tentukan. Dari definisi operator sekawan Henite (3.18)

(L+yem,L+y,)= I c + ( ~ , m ) ~ ( y C m , y h )

=

Ic+ (L,m)I2

(4.77a)

20

dan mengingatpers.(4.72a) serta (4.73b) maka didapatkan:

Berikut ini kita gunakan kornutator-komutatoroperator momentum sudut untuk menguraispektrum nilaieigen dari fungsi eigen

qm( 0 , P)

r

Pertama, kita lihat pengaruh L+ pada Y, ( 8 , ~yakni ) L+Y,(B,p). Untuk realisasi maksud ini operasikan Lz pada L + Y , (0, p ) ,didapatkan

Dua hasil terakhir memberikan

,v

Atom Hidreen

Lakukanoperasi L- dan gunakan pers.(4.73b), didapatkan Dengan demikian

, ~ tingkat ) rnenjadi Jadi, L+ menaikkan keadaan ~ ~ ( 8 satu keadaan Y,+,(0, c). Karena itu, disabut sebagai operator tangga penaik. Langkahserupa dapat diterapkan untuk operator L- ,dengan menggunakan komutator

1

[L,,L- = -hL-

Persamaan terakhir ini dipenuhi oleh

m + =!

(4.82)

Sedangkan untuk m minimum, misalkan m = m- didefinisikan

Operasikan L+dan pers.(4.73a) memberikan

memberikan

Jadi L- rnenurunkan fungsi eigen ,Y ( 8 , ~ )+ Y,+, (8,q) dan misalkan ditulis

yang dipenuhi oleh

didapatkan:

Seperti telah diperlihatkan di depan L+(L-)menaikkan (menurunkan) bilangankuantumrn satu tingkat. Karena itu, untuk e tertentu m berharga

C-(!,m)

= h 2,/P(~+I)-~(~-I)

(4.79~)

Sehingga seperti hasil yang diperoleh di depan.

Spektrum nilai eigen m diilustrasikan sebagai berikut.

Selanjutnya kita tentukan m rnaksimum dan m minimum untuk !tertentu. Untuk m maksimum, misalkan m = m+ didefinisikan

'I

Atom Hidrogen

Fisika Kuantum

Jelas suku ketiga ruas kanan sama dengan nol, karena W tidak bergantung 9 secara eksplisit. Sementara dua suku lainnya,

I

-r126

a

Cre-r/26

==-

d cos 0

-2-(sin2e)

sine 88 e-r126

sin 0

(2sin 8cos 8)

Gambar4.7 Spektrum dari operator Lz untuk [ tertentu

Contoh 4.5 : a. Tunjukkan bahwa fungsi

h ry = c r e - r 1 2 6 cos8, dengan S = mke2 adalah solusi dari atom hidrogen. b. Tentukan energi keadaan tersebut. c. Hitung nilai momentum sudut (i) L dan (ii) Lz d. Hitung komponen momentum sudut LZdari L+v Penyelesaian : a. Operasikan operator energi kinetik pada ry ,

2 6

r (26)'

= 2c r e-'Iz6 cos B - -r c r e-'lts cos 0 + -cr

e-'IM cos tJ

Substitusi kembali ke dalam persamaan kinetis di atas, kita dapatkan

I'

Fisika Kuantum

Atom Hidrogen

Tarnpak bahwa nilai eigen dari operator L~ adalah 2h2 . Karena itu, nilai mornenturn sudut L adalah f i h . ii) Terapkan operator L, (4.32~)untuk rnendapatkan nilai kornponen-komponendari momentum sudut

Atau

Persarnaan ini tidak lain adalah persarnaan Schrodinger untuk atom hirogen dengan energi potensial V(r) = --k eZ , sehingga dalarn ungkapan HarniltonianH,

r

karena W tidak bergantung pada 9 secara eksplisit. d. Menggunakan ungkapan (4.71) dan (4.59) didapatkan

b. Dari persarnaaneigen

= itz(sin p, - i cos 9)cr e-r126(-sin 0)

= -ih c r e-'"%in didapatkan bahwa energi keadaan tersebut adalah

Selanjutnya operasikan L, pada L+y

L, (L, y ) = -ih

a -(- ih c r e-r"b sin 0(sin p, - i cos p,)} 89

= c. Nilai momentumsudut L dapat diperoleh dengan rnenerapkan

i) Operasikan L* seperti (4.33) pada ry ,

sin p, - i cosp,)

=

d sin 6)- (sin p, - i cos (D) ap, ih c r e-r"6 sin excos p,+ i sin p,)

ih

-I(-

e-r"6

= A(- iftc r e-"" sin 8)- i eos p, + Sin p,) =

RCifi e r e-'"& sin sin

(o

- i COS 9))

Fisika Kuantum

Jadi L+y adalah fungsi eigen dari L, dengan nilai eigen A . Atau dengan kata lain, komponen-z momentum sudut keadaan elektron L+cy adalah A .

Di dalam persoalan mekanika kuantum lebih lanjut seringkali orang tidak peduli pada ungkapan sebenarnya dari fungsi eigen. Sebagai gantinya orang rnenggunakan simbol-simbol abstrak yang masih membawa sifat dari fungsi eigen dan hasil operasi dari suatu operator padanya. Hal ini dilakukan karena selain rnemberikan hasil yang sama, dalam banyak ha1persoalanjuga menjadi jauh lebih sederhana. Di dalarn bab ini diuraikan metoda (dengan simbol-simbol) abstrak tersebut.

5.1 REPRESENTASI MATRIKS Perhatikan fungsi harrnonik bola ytm(6,V ) = (-1)"'

4 7 ~ (!+m)!

Fungsi ini bersifat ortonormal

Py (cos 8)ei"""

(5.1)

Metoda Operator

Fisika Kuantum

Sekarang, perkenalkan notasi baru yang dikenal sebagai notasi Dirac ) ,yang dibaca bra

I

I

Didefinisikanpasangan Hermite ( ,dibaca ket, dari fungsi yang dituliskan dengan notasi Dirac ( ) , yakni

Notasi Dirac diperkenalkan untuk'memudahkan serta menyedehanakanpenulisan. Dalam notasi ini seringkali kita tidak perlu tahu bentuk eksplisit dari fungsi yang dinyatakannya. sebagai gantinya kita hanya mengganti dengan sifat-sifat ortogonalitas dan bila dikenai operasi suatu operator. Perhatikan sifat berikut

atau

L=1 em) = mhl em)

(5.7)

Perkalian skalar dan pemakaian notasi Dirac Untuk kasus (em),

1

(em]= ern)+

Dalam kasus di atas sekawan Herrnite dapat diganti dengan adalah fungsi biasa bukan sekawan kompleks karena &,,,(0,9) matriks. Tetapi notasi Dirac ini dapat digunakan untukfungsi yang lebih urnum seperti dalam bentuk matriks kolorn. Notasi Dirac ini juga dapat dikatakan mengungkapkan(merepresentasikan)fungsi Y,,(e,p) dalam bentuk matriks seperti akan kita lihat nanti. Dalam notasi Dirac ini, perkalianskalar (5.2) dapat dituliskan sebagai

1

Untuk memperoleh bentuk matriks baik bagi em) maupun L,, kita ambil contoh kasus I f = I = I dan tuliskan llm) = im) . Untuk kasus ini, dari pers.(5.8) diperoleh

Di dalam representasimatriks (L, )_., menyatakanelemen baris ke-m'dan kolom ke-m dari matriks operator L, . Bentuk eksplisit elemen ini diberikanoleh rnAF,,,,, . Dari uraian momentum sudut

1

1

Fisika Kuantum

Metoda Operator

didapatkan untuk f = 1 maka m = 1.0, -1 .Dengan demikian elemen lengkap operator L, diberikan oleh

m'\m

1

0

-1

Sedangkan dari pers.(49) kita dapatkan

1

dengan m) =

1

L- l m ) = h , / e ( e +1) - m(m - l)l l m - 1)

1lm)

Dengan cara yang sama untuk

(5.13a)

= 1,didapatkan

dan

Contoh5.1. Berikan ungkapan (representasi) matriks operator untuk ! = I .

L+ dan t-

Penyelesaian: Dari pers.(4.48b) didapatkan hubungan

Perlu ditekankan di sini bahwa bentuk matriks bagi L, L, dan L- diperoleh dari vektor basis standar (5.11b). Bentuk di atas dapat berubah untuk vektor basis ortonormal yang lain, dengan hubungan operasionalyang tetap (tidak bisa berubah).

Perkalianskalar untuk 2 = 1

Contoh 5.2 Berikan ungkapan matriks Lz untuk vektor basis ortonormal

(m'l m) = 6,,,., Maka.

Metoda Operator

Fisika Kuantum

Penyelesaian: Misalkan bentuk LZdiberikanoleh

dan dengan cara serupa didapatkan

Maka, dari pers.(S.IO) yang harus tetap, diperoleh

Dari perhitungan di atas diperoleh c = f = g = h = 0 ,

i = -A dan a = b = d = e = A l 2 . Dengan dernikian

5.2 SPIN

5.2.1 Representasi Matriks dari Spin Dari proses perurnusan matematis untuk rnendapatkan bentuk fungsi harrnonik bola Y,(0,q) kita ketahui bahwa fungsi ini hanya didefinisikan untuk P bulat. Dalam notasi Dirac [em) dan representasi matriks fungsi inijuga dapat didefinisikan untuk

1

Metoda Operator

Fisika Kuantum

C tidak bulat misalkan 1 = 112 dan definisikan kuantitas mirip momentum sudut f, yaitu momentum sudut internalyang disebut spin 3

Contoh 5.3 dengan komponen spin sebagaimana

Z

S

Berikan representasi matriks dari Sxdan S,

memenuhi hubungan kornutasi

Penyelesaian: Dari operasi operator tangga diperoleh

S-1sm) = h,/s(s + 1) - m(m - I)] sm - 1) Didefinisikanpula S, ,

maka untuk S,

l

.

m untuk 1 = 112 diperoleh m = 112 dan m = -112. Fungsi eigen dari Szadalah $) = dan If +) = I- f ) ,dengan Dari hubungan antara

dan

If

I$)

dan

..

Sedangkan untuk SRepresentasi matriks dari SZdapat diperoleh dari hubungan (5.10) setelah dimodifikasi

( m ' l ~ , I m= ) (s,)~,,, = inh6,., dan bentuk eksplisitnya diberikan oleh

dengan vektor basis standar

dan

Dengan demikian

Metoda Operator

Fisika Kuantum

Dari hasil-hasil di atas, definisikan matriks 0,. menurut

dan

h Si = -oi dengan i= x,y,z 2

maka

Matriks ini dikenal sebagai matriks (spin) Pauli.

Operator ini hanya bekerja pada keadaan spin masingmasing, elektron pertama

elektron kedua

5.2.2 Penjumlahan Momentum Sudut Pada pembahasan terdahulu kita hanya membahasmomentum sudut satu elektron. Masalahnya sekarang bila terdapat dua elektron masing-masing dengan momentum sudut internal S, dan 3, atau satu elektron dengan momentumsudut dan spin bagaimana momentum sudut total sistem. Untuk penyederhanaan kita tinjau dua elektron dengan momentum sudut internal 3 , dan 3, , dan mengabaikan momentum sudut keduanya. Misalkan keadaan spin masing-masing dituliskan X I dan X Z . Jika spin-up ditulis dengan tanda plus dan spin-down dengan tanda minus, jelas bahwa keseluruhan spin masing-masingyang mungkin adalah X: , X; , X: dan X; . Sedangkan seluruh kombinasi keadaan individual tidak berinteraksi yang mungkin adalah

Masalahnya, bagaimana bila keduanya berinteraksi? Operator spin masing-masing 3, dan 3, ,memenuhi

dan

Sl,x: = 0

Spin total didefinisikan

Operasikan

Fisika Kuantum

Metoda Operator atau

Masalahselanjutnya bagaimana membedakandua keadaan dengan m = 0 di atas ? Untuk menjawab pertanyaan ini kita gunakan operator penaik dan penurun total (5.31)

Si = SI*+ S2i

Dengan cara serupa,

Operator ini berfungsi menaikkan bilangan kuantum dalam satu multipletyang sama.

m di

dan

Sedangkan untuk dua spin down

dan

Dan hasil-hasil di atas, diperoleh empat keadaan yaitu satu dengan m= 1, dua dengan m=0 dan satu m=-1. Untuk kasusm= 0, dapatjuga dibenkan oleh kombinasi tinier setelah dinorrnalisasi

- (%)Xi -

45 + XI- (fix;

JZ

= Afix;x;

1 (5.32b)

Fisika Kuantum

Metoda Operator

Sedangkan

Perurnusandi atas dapat dinyatakandalam notasi Dirac, Ism)

dan dan

Spin total

-

6% k -

(fin;)

~ l -

ISM)

yang diperoleh

(5.32d)

JZ

Daricontoh di atas, didapatkan bahwa dan

membangunsatutripetdan masingmasingkeadaandihubungkan oleh S, ,sedangkan

Secara sederhana, penjumlahan momentum sudut dapat dilakukandengan S=Sl+s2,Sl+s2 -1

... , I S 1 - S * I

(5-36a)

dan masing-masing S, mempunyai merupakansinglet.

M=S.S-1,s-2

...,-S

(5.36b)

Fisika Kuantum

Metoda Operator

Jumlah keadaan baru sama dengan jumlah keadaan kombinasi

yang lama.

Contoh 5.4 Momentum Sudut Orbital dan Spin. Elektron di dalam atom hidrogen selain mempunyai momentum sudut karena gerak or-

bital mengelilingi inti atom juga mempunyai spin. Untuk 1 = I, tentukan: a. Semua kombinasimomentum individual b. Semua momentum sudut total c. Setiap momentum sudut baru sebagai kombinasi linier

kombinasi momentum individual.

c. Keadaan yang dapat diketahui dan bukan merupakan

kombinasi linier adalah keadaan tertinggi dan terendah,

I$$)= ll.l)l++) I$+)=11-1)1+?)

(5.39)

Keadaan tertinggi tidak dapat dinaikkan sedangkan keadaan

terendah tidak dapat diturunkan

Dua keadaan di antaranya dapat diperoleh dengan menerapkanoperator tangga pula,

Penyelesaian: a. Untuk momentum sudut orbital t = 1 maka m = I, 0, - 1 sedangkan spin s = f maka m = f ,-f . Dengan demikian ada enam kombinasi keadaan yang mungkin, yaitu

Suku ruas lainnya,

b. Karena kombinasiindividual keadaan lama ada enam maka keadaan am juga ada enam yaitu untuk L = 1 + f = f dengan M = $, $,-L, , -2 dan L = l - f = f dengan M = l - l Keadaan-keadaantersebut adalah 122) 111) 2 2 2

9

2 2

7

2 2

)

2'

2 '



Penyamaan kedua persamaan di atas, setelah dimasukkan faktor normalisasi, diperoleh

( 3 -3)

' 77

dan Dengan cara yang sama

s,l++)

=&,/+(++l)+f(-L+l

3 d + l) =h&IT 3 3 2 ) (5.433)

1 1 ~ 2

Metoda Operator

Fisika Kuantum "..

sehihgga pers.(5.54b) rnenjadi

atau, dalarn frekwensi gerak osilasi

=

fi

Persarnaan ini dipenuhi oleh sernua z jika q = 112, A = 1. Artinya, u ( Z ) = e-z2'2 rnerupakan solusi eksak bagi pers (5.54b) dengan a = 1,

Dari persarnaan energi total ini diperoleh persarnaan Schrodingertakbergantung waktu ii2 d2g,

2m dx2

Nilai 1 = 1I2 juga menjamin bahwa fungsi gelombang lenyap g, + 0 pada posisi jauh sekali, z -,* w . Hasil di atas rnenyatakan bahwa solusi urnurn haruslah rnernuat u ( ~=)e - z 2 ' 2 . Karena itu kita arnbil bentuk urnurn sernbarang yang rnerupakan perkalian dengan U ( Z ) = e - z 2 ' 2 ,

1 + -mo2x2g, = Eg,

2

Pergantianvariabel

mernbuat pers.(5.52) rnenjadi

Subtitusikan bentuk ini ke dalarn pers.(5.57) diperoleh persarnaan baru bagi f ( 2 )

atau Solusi dari persarnaandiferensialorde dua ini dapat diperoleh dengan rnetoda Frobrnius yakni dengan cara rnengekspansidalarn deret takhingga.

d2" (a-z ' b = o -+ dz

dengan

Untuk rnendapatkan solusi pers.(5.54b), g, = u(z) = e-v2 dan diperoleh

cobakan

Subtitusi deret (5.60) ke dalarn pers.(5.59) diperoleh

1

Metoda Operator

Fisika Kuanturn

sehihgga pers.(5.54b) menjadi

atau, dalam frekwensi gerak osilasi

=

Persamaan ini dipenuhi oleh semua z jika 7 = 112, A. = 1. Artinya, u(Z)= e-'t'2 merupakan solusi eksak bagi pers (5.54b) dengan A = 1 ,

Dari persamaan energi total ini diperoleh persamaan Schrodingertakbergantungwaktu Nilai 77 = 112 juga menjamin bahwa fungsi gelombang lenyap p -,0 pada posisi jauh sekali, z -,+XI. Hasil di atas menyatakan bahwa solusi umum haruslah . arena itu kita ambil bentuk umum memuat u(z) = e - z 2 ' 2 K sembarang yang merupakan perkalian dengan u ( ~ )= e - z 2 ' 2 ,

Pergantianvariabel

p = e-"" f (z)

membuat pers.(5.52) menjadi

(5.58)

Subtitusikan bentuk ini ke dalam pers.(5.57) diperoleh persamaan baru bagi f (2)

atau Solusi dari persamaandiferensialorde dua ini dapat diperoleh dengan metoda Frobmius yakni dengan cara mengekspansidalam deret takhingga.

dengan

Untuk mendapatkan solusi pers.(5.54b), = e-w2 dan diperoleh p=

cobakan

Subtitusi deret (5.60) ke dalam pers.(5.59) diperoleh

Fisika Kuantum

Metoda Operator

Dengan pengambilan - 1 = 2n pers(5.59) menjadi

dan solusi deretnya diberikan oleh 0

=

a,,, (k+ 2)(k + l)z *

k=O

-x ca

a,(2r - ( A - l))zr

f (z)= a, + a,z+ a,z2 +---+anzn

(5.61)

Persoalan selanjutnya adalah menentukan bentuk koefisien a,,a,,a,, ,a, . Rumus rekursi (5.62b) dapat ditulis menjadi

r=O

-..

Persamaan di atas akan selalu dipenuhi oleh semua z jika koefisien Z k adalah not,

atau

Misalkan diketahui a, maka

dan

Pers.(5.62b) mengisyaratkan bahwa solusi akan berbentuk deret berhingga yakni berhenti pada k = n jika

yaitu (5.63b)

an+*= 0, a, f 0 dan kita ambil

an+,= 0 Sehingga a,+, =a,+,= a,,, = a,,, =

(5.63~)

--- = 0.

(5.65)

= (-1)j

n! 0" 2*j(n- 2j)! j !

Fisika Kuantum

Metoda Operator

Bila n genap maka a, terendah adalah a, terjadi pada . j = N = n / 2 tetapi bila n ganjil rnaka a, terendah adalah a, yaitu n - 2j = 1 atau j = N= (n - 1)/2.Dengan demikian, solusi deret (5.65) menjadi N

f (2)= a,,C j=o 2" (n - 2j)!j !

+ genap n -+ ganjil (5.68a) 11

(n - 1) 12,

Pernilihan an = 2" rnemberikan

f (2)= Hn(z)=

x (n(-l)jn! 2j)! j=o

-

(2z)"-*j

j !

Dengan dernikian solusi lengkap pers.(5.52), setelah dinor-nalisasi, diberikan oleh

Garnbar 5.2 Solusi Ganjil Osilator Harrnonik Sedangkan dari pers.(5.55) dan (5.63a) diperoleh energi

Grafik beberapafungsi diberikan oleh garnbar berikut

Gar!-'7ar5.3 Energi Potensial Klasik, Nilai dan Fungsi Eigen Osilator Harrnonik Garnbar 5.1 Solusi Genap Osilator Harrnonik

Metoda Operator

Fisika Kuantum

Bila n genap maka a , terendah adalah a, terjadi pada j = N = n l 2 tetapi bila n ganjil maka a, terendah adalah a , yaitu n - 2 j = 1 atau j = N= (n - 1)12. Dengan demikian, solusi deret (5.65) menjadi N

f(z)=a,C = ,,

n/2,

,. 2 ' ( n - 2 j ) !j !

n

+ genap

( n - 1 ) / 2 , n+ganjil (5.68a)

Pemilihan a , = 2" memberikan

(-l)jn!

f ( 2 ) = H , (2) = C j=o (n - 2 j)! j

(2~)"-~j !

Dengan demikian solusi lengkap pers.(5.52), setelah

dinormalisasi, diberikan oleh

Gambar 5.2 Solusi Ganjil Osilator Harmonik

Sedangkan dari pers.(5.55) dan (5.63a) diperoleh energi

E + E, = ( n + + h m

(5.70)

Grafik beberapafungsi diberikan oleh gambar berikut

Gar!.'lar 5.3 Energi Potensial Klasik, Nilai dan Fungsi Eigen Osilator Harmonik Gambar 5.1 Solusi Genap Osilator Harmonik

Fisika Kuantum

Contoh 5.5

Metoda Operator

Dengandernikian

Sifat Fungsi Eigen Osilator Harrnonik. Perhatikan solusi persamaan Schrodinger untuk osilator harmonik a. Perlihatkan ortogonatitas p,

atau

IH,,,

OD

( z )H,,(z)e"'dz = &2" n!6,,,

menggunakanfungsi pembangkit

4

Selanjutnya

b. Tentukan xp, , dan =

JTn2" m!2"n!, jHm(mx).,, ( m X k - ? d ( e x )

Penyelesaian: a. Tinjau integral dari perkalian dua fungsi pernbangkit

b. Gunakan bentuk eksplisit (5.68b)

Evaluasi ruas kiri

rnaka

I

Fisika Kuantum

Hn+,(z)=

Metoda Operator

C ((-l)j(n+l)! (2z)"+l-2i n+1-2j)!j! j=o

,=o

-

(n - 2j)!j!(n + 1 - 2 j )

(-l)'n!(n+l-2j) 2zg(n-2j)!j!(n+I-2j) (2~)"-~' &2"+' ( n + I ) !

C

(-l)jn! ( 2 ~ ) " - ~+' N (- 1)j n!(2j) (2Z)n+I-2j (n-2j)!j! (n+l-2j)!j!

=2 z C

j=o

e-22Hn+l( z )

N

= 2zHn + 2 c ,=,

= 2zH,

+2

(-1)' n! (2Z)n+l-2j

(n+l-2j)!(j-I)!

(-~)~+'n! (2Z)n+l-2(k+l) ,j=k+l k=o (n + 1 - 2(k + I))!k! c

c. Gunakan pers(5.76) dan bentuk eksplisit (5.68b),diperoleh

(-~)~(n-l)! = 2zH, - 2 n x n=o (n-1-2k)!k! (2.4 = 2zHn - 2nHn-,

(5.75a) Sehingga

Karena itu,

+

JyJLJfi2^-'

Jmolh

2n

( n - l)!

-f.' (2n)$ j=o

(-1)jb

-I)! (2z)"-'-2'

( n - 1- 2j)! j !

I

I

-

--

F isika Kuantum

Metoda Operator

Contoh 5.6 Tentukan a. x2pn

Penyelesaian: a. Dari pers(5.76)

maka operasi lebih lanjut memberikan

5.3.2 Operator Tangga dan Representasi Ma iks LY

Perhatikan kembali hasil operasi x dan - pada (on yaitu dx

pers.(5.77) dan pers.(5.78). Penjumlahan dan pengurangan dua operasi tersebut memberikan

=

R ~Fw% (x) + (2n , +,1)~.+(XI~ + J%GP~-, (XI) 2mo

atau

(5.78a) b. Dari pers(5.77)

didapatkan

Hubungan ini cukup menarik, sebab dua operasi berturut-turut

Metoda Operator

Fisika Kuantum

Dari definisi ini, didapatkan hubungan sebaliknya

Artinya, p, ( x ) merupakanfungsi eigen dari dua operator dengan urutan seperti di atas dan rnempunyai nilai eigen n . Perurnusan di atas dapat disederhanakan dengan rnendefinisikanoperator

rnaka

dan Kedua operator a dan a+ ini disebut sebagai operator tangga. Dari kornutator [x,

= ih

dan

(5.82a)

- --mAm(a2-2a+a-1+(a+)~) 2

didapatkan

Karena itu, Hamiltonianosilator harrnonik rnenjadi

F isika Kuantum

Metoda Operator

Selanjutnya, definisikan pula keadaan eigen In) ' ~ n

1")

(5.87)

dan ortonormalitas

(mln)

='mn

Keadaan vakum dapat ditafsirkan sebagai ketiadaan partikel dengan frekwensi o .3ari pers.(5.89) didapatkan

(5.88)

Hubungan(5.79b) dan (5.80) memberikan Karena itu, operator a disebut juga operatoranihilasiatau pemusnahsatu partikel menjaditidak ada 11) + lo), sedangkan a+ operator kreasi dari vakum menjadi ada satu partikel

Io>+I1>Karena itu, operator a disebut sebagai operatortanggapenurun In) + n - 1) , a+ operator tangga penaik in) +In + 1) sedangkan

disebut operatorjumlah atau operator bilangan. Didalam ungkapan operator tangga ini, persamaan eigen bagi osilator harmonik menjadi

Contoh 5.7 Keadaan Eigen. Tentukan a. komutator antara 8 dan a b. komutatorantara fi dan a+ c. hubunganantara keadaantereksitasi In) dan keadaanvakum

10) Penyelesaian: a. Dari komutator tiga operator

dengan

Selanjutnyadefinisikan keadaan dasar atau keadaanvakum (0) yang memenuhi b. Dengan cara serupa dan

Metoda Operator

Fisika Kuantum

c. Terapkan pers(5.89) untuk operator kreasi n kali berturutturut dan

2 parameter kecil.

Penyelesaian: a. Ortonormalitas dan operasi a, a+terhadap In), diperoleh komponen matrtiks

Bentuk eksplisitnya

Sehingga,

Serupa, kornponen matriks

Contoh5.8 Representasi Matriks. Berikan representasimatriks dari a. Operator a dan a+ b. Hamiltonian osilator harrnonik c. Hamiltonianosilator harmonik terganggu

dengan

Bentuk eksplisitnya

I

I

Metoda Operator

Fisika Kuantum

b. Komponen matriks hamiltonian osilator harrnonik

Bentuk eksplisitnya

c. Untuk mendapatkan suku kubik dalam hamiltonian, pematikan hubungan

dan

Elemen matriks bersangkutan

Atau

Kedua persamaan ini memberikan

Operasi lebih lanjut Dengan demikian, Hamiltonian osilator harrnonik terganggu

Teori Gangguan

Bentuk-bentukdi depan diberoleh menggunakan basis

Dari contohcontoh terdahulu kita dapatkan hanya sedikit sistem fisis yang dapat diselesaikan secara eksak yaitu surnur potensial takhingga, atom hidrogen dan osilator harmonik. Dalarn banyak kasus, solusi hanya dapat diperoleh menggunakan pendekatan, Salah satu solusi pendekatan tersebut adalah teori gangguan.

6.1 GANGGUAN STASIONER 6.1 .I Keadaan Nondegenerasi Di dalam teori gangguan, Harniltonian sistem diuraikan menjadi dua bagian utama yaitu bagian tanpa gangguan dan bagian atau suku pengganggu. Suku pengganggu rnasih diklasifikasikan menjadi dua yaitu gangguan stasioner atau takbergantung vv.!ktu dan gangguan yang berubahterhadap waktu. Pertama akan dibahas gangguan yang tak bergantung waktu. Hamiltoiiian sistem dapat dituliskan dalam bentuk umurn

H = H , +AH, dengan ;1 parameter kecil

(6.1)

Fisika Kuantum

Teori Cangguan

Hamiltonianyang telah dipisah dari bagian pengganggu hams diketahui solusi eigennya, misalkan

Hoqn= E,"%

(6-2)

dengan fungsi eigen rnernenuhi ortonormalitas

Pada pernbahasansekarang k ibatasi pada kasus nondegenerasi yaitu

E; untuk

#

qmn

E,"

cnk ( a ) = LC;; + a2c;:) + a3c&) +. -

(6.8)

Sehingga

I,= qn+ act:," pk+ A' ktn

xc;:'(Dk 2 +

ktn

~Li'qk

+.

..

(6.9)

ktn

Serupa dengan fungsi eigen, nilai eigen yang memenuhi kondisi (6.5) diuraikan dalarn deret

Subtitusi ekspansi (6.9) dan (6.10) ke dalam pers(6.4) diperoleh

m*n

Sekarang, dirnisalkan Harniltonianmernenuhi persamaan eigen

Maka dalarn limit A + 0 pem(6.4) mereduksi rnenjadi pem(6.2) dengan

Fungsi eigen yang memenuhi sifat tersebut dapat berbentuk

Persamaan di atas akan dipenuhi jika semua komponen dari sarna. Pengalian masing-masing suku memberikan, untuk komponen l o ,

yang konsistendengan pem(6.2). Sedangkan unatk kornponen A

x

x0

ktn

c:;qk + Hlqn= E,"

c;:)qk+ E ~ ) A

ktn

(6.1 3)

atau dengan menerapkanpem(6.2) rnenjadi Kondisi (6.5) ;Z + 0 , y n + q, dipenuhi oleh ktn

Arnbil N(A) = 1 dan

ktn

Selanjutnya lakukan kali skalar dengan q, dan menggunakanortonormalitas (6.3) diperoleh, mas kiri

Fisika Kuantum

Teori Gangguan

Eixc:~)(qn,qk)+(qn,Hl~n)=~E,"c:l)6nk k tn

+(% I H l l h )



Selanjutnya komponendari l2

x~

ktn

H,

x

2+ H', c!;'tpk ~ ~= E,"CC!:'pk + E,!" k+n

ktn

dan ruas kanan

E."

x

x

C$',

+ E;)qn

ktn

(6.16)

atau

)

(qn3 q k ) + ( q n 9 ' , ! ' ) ~ n = E;

c::)

ktn

ktn

x

c:i)6nk

ktn

+

(qn

I

PJI

)

E,"

Cc!;)vk +H , kt"

x

C c;:)vk+ E:) Cc : ; )+~E;)v,, ,

= E,"

ktn

Ptn

ktn

(6.16a)

Seperti proses sebelumnya, lakukan perkalianskalar dengan p,, ,dari ruas kindiperoleh

Sehingga

E ; ~ c : )I (%~) .+ ~ C ! ?l (~~, l~p . ) =E ; x c : )+ ~ X ( "~I ~ ~~ I " ) ( ~ ~ kin

lnilah energi koreksi orde pertarna dari energi keadaan ke-n. Selanjutnya, lakukan perkalian skalar pada pers.(6.13a) dengan pTuntuk m # n . Ruas kiri

km

A*"

ILI

=o+C

E:

(PA ) t H I I ~ m ) ( ~ n

E:

kin

- E,"

IH,I%)

) . H l l ~ k )

- E,"

Ruas kanan memberikan

~ , " z ~ : : ) ( q m 3 q k ) + ( q m , ~ I q n ) = ~ ~ , " ~ :+(qm ~ ) ~ ml Hkl l q n ) ktn

ktn

Sehingga didapatkanenergi koreksi orde dua dari tinykat energi ke-n

dan mas kanannya

E,"

c

( ~ m q, k

)+( q n

9

' : " ~ n

ktn

) = E:

x

c::)6mk

ktn

+ E:') (%

1

q n )

E:

=z

(qk ~

ktn

~

I

~

~ l Hnl l q) k )(

~

n

E," - E,"

Dari dua persarnaanterakhir ini diperoleh (1) 'nm

- (qm IHIlqn) -

E," - Ez



Kor'eksi untuk orde lebih tinggi dapat dilakukan dengan prosedur serupa.

~

I

Teori Cangguan

Fisika Kuantum

Contoh 6.1 Model Matriks. Hamiltonian suatu sistem diberikan oleh matriks berikut:

Jadi energi eigen tanpa gangguan

E," = 0 ,

E," = 1 ,

E; = 2

Fungsieigen bersangkutan

Tentukan: a. Solusi eigen tanpa gangguan b. Koreksi energi orde pertama c. Koreksi energi orde dua.

b. Koreksi energi orde pertama, dari pers(6.14)

Penyelesaian:

a. Hamiltonian dapat diuraikan menjadi

Dengan cara yang sama maka

c. Koreksi energi orde kedua, dari pers.(6.17)

Nilai eigen dari H , ,diperoleh dari persamaan sekular -

~;)r

KE;E,"I H , -(E,"~ ; ) ( 2+ I(E; E;I H , 1E," -

Dengan cara yang sama

I 1

Fisika Kuantum

E22 =

Teori Cangguan

I(", I S lEr)12 + I H I IqI2- -E," - EP E," - E," 2 -

1

Dari hasil-hasil perhitungan di depan, energi sistem sampai koreksiorde dua

Gambar6.2 Sumur Potensial Dasar Tidak Rata Tentukan energi partikel sampai orde pertama tonjolan dasar

sumur.

Penyelesaian:

Untuk menyelesaikan persoalan di atas kita gunakan sumur

potensial satu dimensi dengan gangguan dasar sumur miring.

Hamiltoniandiberikan oleh

h2 d 2

L +Vo, O < x < -

2

7 -

2m dx2 ' Gambar 6.1 Spektrum Energi

Contoh 6.2 Sumur Potensial Dasar Tidak Rata. Partikel berrnassa m terperangkapdalam sumur potensial sebagai berikut

yang dapat dipisah menjadi

dengan

L , dengan Vo << -<x
Fisika Kuantum

Teori Gangguan

6.1.2 Kasus Degenerasi Berikut ini k i bahas sisternfisis yang rnengalarni degenarasi, yaitu Solusi untuk sumur potensial rata H, ,

E: = E," untuk

dan fungsi eigen

Koreksi energi orde pertama

Bila ha1 ini terjadi rnaka penyebut (6.15) dan (6.17) menjadi nol. Karena itu, perurnusandi depan rnenjadi tidak terdefinisi dan perlu dirnodifikasi. Misalkan energi tingkat ke-n rnernpunyai derajat degenerasi g dan keadaan degenerasi kita label qf), i = l , 2, -..,g. Keadaan ini rnernpunyai ortonormalitas

Langkah rnodifikasi sederhana dilakukan dengan rnengubah ekspansi (6.9) rnenjadi

Selanjutnya subtitusi ekspansi ini dan uraian energi (6.10) ke dalarn pers.(6.4) diperoleh kornponen untuk suku ,

Jadi energi tingkat ke-n partikel di dalarn surnur

Seperti kasus nondegenerasi, lakukan kali skalar dengan

qi didapakan

I

Fisika Kuantum

Tmri Cangguan

2.i (q:1~ i=l

I

19:)= ~ i l ' t a( ip i 9; )

,

i=l

= Ell)a,

Tuliskan

Tentukan energi sistem sampai koreksi orde pertama.

(4I X , I ~ : )

= h;

Penyelesaian: a. Hamiltonian

maka

Persamaan ini tidak lain

h,",a,+ h:a2

hka, =Ell)a,

+ . a * +

h;,a, + h&a, + ..-+ h&a, = Ei1)a2 hila, + h,",a,

+ .-.+ h k a ,

atau

h,;

h,",

[h;

.

h,", h,",

1

I

;/I

. .-.

!["]= .

= Eil)ag

ag

Solusinya ag

Jelas, koreksi energi orde pertama keadaan terdegenerasi merupakan nilai eigen dari Hamiltoniangangguan dalam basis ortogonal baru.

I! l1

I

I' )

Contoh 6.3

I

I!

Hamiltonian Ho memberi persamaan sekular

Model Matriks. Hamiltonian sistem fisis diberikan oleh

dan fungsi eigen bersangkutan

Fisika Kuantum

b. Energi koreksi orde pertama dibagi menjadi dua bagian. Pertama, keadaan nondegenerasi dengan E; = 1 . Untuk kasus ini digunakan hubungan (6.14)

h r i Cangguan

yaitu

Didapatkan E!) = S .Untuk E;" = 3

Kedua, keadaan degenerasi dengan E," = E," = 5

dipenuhi oleh a, = 1 , a, = -fi .Sehingga

Untuk E!) = -3

dipenuhi oleh a, = A, a, = 1. Sehingga

Energi koreksi orde satu adalah nilai eigen dari

Jadi, energi eigen setelah dikoreksi

E; = 1 , E," 3 5 - 3 4 E," = 5 + 3 i l Spektrum energi diberikan oleh Gambar 6.3

.

Fisika Kuantum

dengan bilangan kuanturn

dan energi eigen

Sebagai catatan, untuk tingkat energi ke-n tertentu ada n 2 kedaan eigen yang berbeda. Dengan dernikian sernua keadaan atom hidrogen rnerupakan keadaan degenerasi kecuali keadaan dasar yaitu keadaan dengan n = 1. Energi koreksi. Energi koreksi untuk tingkat dasar.

Garnbar 6.3 Pernisahan EnergiTerdegenerasi

Contoh 6.4 Efek Stark. Atom hidrogen diternpatkan dalarn ruang yang ada medan listrik lernah dan hornogen. Tentukan spektrurn energi atom hidrogen. Penyelesaian: Medan listrik E rnenirnbulkan beda potensial listrik pada titiktitik yang berlainan di dalam ruang. Misalkan, arah rnedan diarnbil sebagai arah surnbu z rnaka Harniltoniangangguan diberikan oleh Karena integral Jcosesin

=

0

AH,= - E l .

L' x l0l0voltlm &<<(A'lrn,ej

Energi koreksi untuk keadaan eksitasi pertarna, n = 2 . Energi hidrogen bebas keadaan ini

Harniltonianatom hidrogen tanpa rnedan luar,

Persarnaaneigen bersangkutan

Hoyntm ('9 3' 'PI = En~ntm(9'

9'

9)

(6.26b)

dan keadaan degenerasi yn, adalah y 2 , ,, V 2 , ~V, ~ I - IV, ~ O .O Tuliskan yn,, dalarn notasi Dirac, y,, = Intm). Energi koreksi orde pertama keadaandegenerasi lipat ernpat ini rnerupakan nilai eigen dari

Jeori Gangguan

Fisika Kuantum

Untuk menghitung persamaan eigen di atas, tinjau terlebih dahulu operator momentum sudut LZ,

Selanjutnya, menggunakan Tabel 4.1 dan Tabel 4.2, evaluasi komponen-komponen di atas

Jelas, operator ini komut dengan z,

Mengingat bentuk (6.25) maka

Dengan demikian, H , tidak mengubah nilai eigen Lz yaitu m

LZ( H I

vnh) = HlLzvntm = H,mfiV,,, = m f i ( H , ~ n )m

. Pada evaluasi di atas kontribusijarak dapat diabaikan karena apa pun kontribusinya dilenyapkan kontribusi oleh sudut 0 . Dengan demikian, persamaan menjadi

Jadi H,I,u,, a ly,, dan akibatnya

Dengan demikian, sepuluh elemen matriks dalam pers.(6.26) menjadi no1 dan secara efektif merupakan persamaan matriks orde dua

Fisika Kuantum

Teori Gangguan Untuk E:" = 3es a,

Persamaan di atas memberi persamaan sekular 1

fi . Artinya, keadaan terpisah dengan

diperoleh a2 = -a4 =-

E:') = 3 e a,~ merupakan kombinasi linier Solusinya

E:" = $2 1 O ~ H1200)l ,

Selanjutnya, evaluasi komponen nondiagonal memberikan (2001~~1210) = es(2001z1210)

IIL

(6.37)

Dengan cara yang sama, untuk E!) = 3es a, diperoleh 1 a2 = a4 = , sehingga

JZ

Contoh 6.5. Rotator Tegar. Sistem rotator tegar diungkapkan oleh Hamiltonian 1 H =-L2 " 21

Dengan demikian, energi koreksi

dengan L adalah operator momentum sudut dan Iadalah momen kelembaman I = rnr: .Tentukan a. spektrum nilai eigen sistem. b. Koreksi efek Stark y = -& f terhadap energi eigen rotator sampai orde kedua.

E:') = S e s a, Penyelesaian: a. Persamaaneigen tanpa gangguan

I , il

Fisika Kuantum

Mengingat bentuk Harniltoniandan persarnaan eigen rnornenturn sudut pada pernbahasanatom hidrogen rnaka ry + t m ) dan

1

Jadi spektrum nilai eigen rotator

E E E ot' = h2e(t+ 1 ) 0

21

dengan fungsi eigen degenerasi lipat ( 2 t + 1) , Itm) dengan m = 0,+1,f2,...,+t. b. Koreksi energi oleh potensial v =-&; untuk kasus degenerasi dapat dicek untuk nilai f! tertentu dan m berbeda (dalam subruang degenerasi).

Ortonomalitas

Ilm)

( e l m ' ( e m) = 6 ( . t 6 m . m mernberikan

VI

(em'[ t m ) = (em'(- E 2)em) = -&(tm1lcos 81em) Menggunakan hubungan pengulangan (recurrence relation) polinorn Legendreterasosiasi

(emll Vl em) = -c(lrn1l cos 81 em)

e

= -LC: (lmll - 1, m) - LC::, (tm'l t + 1, m ) =0

(2e + l).~;"( x ) = (t + m ) e ( ~x ) ~ + (l - m + 1 ) & ~ , (x), x = cos 8 atau

E(') = (em e+m 22 + 1

cos 8 P," (cos 8) = -P;1,(cos 8 ) +

Maka

Karena itu, koreksi orde pertarna

t-m+~ 2t+l

&:I

(COS 8)

~ v I !m) = 0 ,

untuk semua t

Sedangkan koreksi orde dua

Teori Cangguan

Gunakan hublingan yang diperoleh di depan

6.2 GANGGUAN BERGANTUNG WAKTU

6.2.1 Perumusan Umum Hasil ini memberi kaidah seleksi yaitu At = +1 dan -.m= 0. Untuk el= c - 1,

(e - I,m Ivltm)=

Perhatikan kehadirangangguan kecilyang berubah terhadap waktu dan persamaan Schrodinger dapat dituliskan sebagai

-EC,"

dan

Seperti dalam kasus takbergantungwaktu, kita mempunyai solusi lengkap

Untuk e ' = ! + l ,

dengan

dan

) dalam suku-suku solusi lengkap Selanjutnya, ~ ( t diekspansi ini

Subtitusi hasil-hasil di atas pada energi koreksi orde dua Subtitusi uraian (6.46) ke dalam pers(6.43) memberikan

Tampak jika V ( t )= 0 , dan dari pers(6.44) didapatkan c, ( t ) harus konstan. Pers.(6.47) memberikan

Fisika Kuantum Lakukan perkalian skalar dengan q,, dan gunakan ortonormalitas (6.45) diperoleh Kembali ke pers.(6.46), persamaan ini dapat ditafsirkan bahwa pada waktu t keadaan terdiri dari kombinasi semua keadaan 9" dengan koefisien cn(t). Dengan demikian, probabilitas keadaan ry(t) pada waktu t berada dalam keadaan eigen dari H, dengan energi E: ,terapkan ortogonalitas (6.45), adalah

atau

dc ( t ) A=dt

I

A. ~ e - ~ ( ~ ; - ' : ) (')(A ", v(t)1pn) ih

.

Selanjutnya, koefisien c, diekspansi dalam C,

( t ) = C,O+

( t )+ A.~c?) ( t )+ - ..

1

pm(0= l(qn1 ~ ( t ) )=l lcm ~ (t)12

A. (6.49)

(6.55)

Untuk orde pertama, dari (6.54) diperoleh

Subtitusi (6.49) ke dalam (6.48) diperoleh

6.2.2 lnteraksi Elektromagnetik Jelas,

Atom berada di dalam ruang dengan medan elektromagnetik yang dinyatakandalam potensialvektor j ( ~ , t .)Hamiltonianatom tersebut diberikan oleh

karena suku A. mas kanan paling rendah adalah orde satu. Syarat awal, A. -,0 yakni pada t + to = 0 , dan y ( 0 ) = q, memberikan ern( 0 ) = cr' ( 0 ) = 6,.

Suku orde pertama

Uraian suku kinetiknya

( j j + g p =jj2+".j+A.d)+ij2

e2 C

C

ieh ieh = -h2V2 - 2 - ( A - v ) - - ( v - A ) + , j 2 C

Dalam gauge Coulomb dan orde ke-k

V . ~ = O

C

e2 C

. (6-58)

Teori Gangguan

F isika Kuanturn rnaka Hamiltonian (6.57) rnenjadi

Dari bentuk eksplisit medan vektor didapatkan

Misalkan, potensialvektor dapat diekspansi sebagai Kerapatan energi elektromanetik per satuan volume Dan persamaanMaxwelldapat diturunkan persarnaangelombang bagi potensialvektor Evaluasinya memberikan

rnaka

Kebergantunganpotensialvektor terhadap ruang dapat dinyatakan

dan

(7) = joeii.i Karena itu,

Gauge Coulomb memberikan

- 2 ( x~io)(Zx 2:))

Perata-rataanterhadap waktu akan membuat suku osilasi lenyap sehingga suku yang memberikontribusiterhadap kerapatan energi hanya suku silang 2,. 2;. Karena itu,

Dari elektrornagnetisrne, hubungan antara rnedan listrik, rnedan magnet dan potensialvektor dinyatakanoleh bentuk Misalkan energi ini ditirnbulkan oleh N foton di dalarn kotak V, maka

Teori Gangguan

Fisika Kuantum

sin 2

-

Hubungan ini memberikanbentuk,

(%k

+

42

[

]

. ( a m k + 0)t

- ASin2[+] A2 dengan vektor polarisasi 2 memenuhi

+

dengan A = w,,,, w. Grafiknya,

Dengandemikian, bagianpotensialyang memberikanprosesemisi

Karena itu, energi satufoton

Koefisienekspansiorde satu diberikanoleh Gambar 6.4 Fungsi untuk ProbabilitasTransisi Untuk limit t

+ oo ,fungsi di atas akan menjadi fungsi delta

maka probabilitas I'+,,,

(t)=

27re2 Ie)(t)l= m2~vm 2

JC.jj eii"lpk)l

1

1)

/ei(md+m)'dtl

Evaluasibagiantemporal menghasilkan

16.78)

Probabilitas transisi per satuanwaktu didefinisikan

Teori Cangguan

Fisika Kuantum

Sedangkan laju transisi didefinisikan

Sehingga

IE

1

!I

1-

I(qm j ei'+ m: = l(qm& ' j l q k ) I

(6.86)

Pendekatan ini dikenal sebagai pendekatandipol. Untuk rnengevalusi integral ini, perhatikan integran berikut Kaidah Seleksi. Untuk rnengevaluasilebih lanjut, perhatikan dua operator

Maka

atau Aproksimasi Dipol. Untuk rnenghitung laju transisi terlebih dulu kita evaluasi

Dalarn tiga dimensi Ekspansi suku eksponensial Karena

[V(r), P] = 0

Untuk

1 2

dan

k - ? = - ~ < I rnaka eik.i

=I

rnaka, dari hubungan operator V diperoleh

= sin @(Ex cos

Sehingga im

4z

4 + zYsin I)+ JT&,

rn)

(6,

I[HO~'II~~)

(qn1 I~'-?Iqk)=~~'(qrn im =-&

A

im

=-(E: A

E, - i c y - sin 0 ei'

.(vmI (HO7-' H O ) ( P ~ ) ---~,")z-(q.

= imq"kz - ( %

1

('lqk)

2

+ E , + i ~ , , 2

(6.91)

qvk)

Subtitusi kembali ke dalam ungkapan laju transisi, diperoleh Karena itu

Bentuk eksplisit perkalian skalar

Bentuk ini memberi kaidahseleksi transisi yakni transisi diijinkan

jika dipenuhi

Di dalam koordinat bola

Contoh 6.6

Gunakan cos e

, Y,,(6,

= T,/L sin e efi4

8z

(6.94)

Atom hidrogen berada di dalam ruang dengan medan

.

elektromagnetik yang dinyatakan oleh potensial vektor Tentuhn laju transisi keadaan 2 p + 1 s .

Penyelesaian: Keadaan 2 p = ry,,,

dan 1s = y,, , maka

Fisika Kuantum

Teori Canggiisn Subtitusi ke pers.(6.92) diperoleh

Integralfungsi harmoniknya membenkan

Untuk integrasi angular dipilih kondisi sederhana yakni keadaan awal p dapat berada dalam tiga keadaan-m yang mungkin dengan probabilitas yang sama.

Sedangkan bagian radialnya R

( r )( r )2

(

--

-

e-"'~ 2 ~ ( : ~ ( ~ ) e - r 1 2 a a r 3 &

Transisi dari keadaan tereksitasi pertama ke keadaan dasar terjadi dengan melepas foton dengan frekwensi

Selanjutnya, mengingat ada dua polarisasi maka laju transisi harus dikalikan faktor dua Sehingga 2

'.(Y/I,~'(Y/~I~)=

-

(3J

8a,

-

dan kuadrat mutlaknya

E,

E,

--icy

(T'l.-nl

+-

+ isy

JZ

4,

+ &zSom

I!

..

Teori Gangguan

Fisika Kuantum

Contoh 6.7 Atom hidrogen ditempatkan di dalam ruang yang ada medan listrik serbasama dan berubahterhadap waktu menurut

Atom hidrogen semula berada dalam keadaan dasar, hitung probabilitas transisi pada keadaan 2p setelah waktu t -,a.

Bagian radialnya

Penyelesaian: Ambil arah medan listrik sebagai arah sumbu-z, energi potensial elektron oleh medan luar diberikan oleh

d V ( t ) = ei?. r' = eErcos8 Subtitusi ke pers.(7.14) Sehingga

--eE -

1

+

iA ( i o , y )

l

(P", rcose1Pk)

Koefisien ekspansi orde pertama

Sedangkan

Dengan demikian

Dua suku dengan bilangan magnetik berbeda lenyap

Evaluasi bagian sudut,

Acosta, V., Cowan, C.L., and Graham, B.J., Essentials of Mode m Physics, Harper and Row, New York, 1973. Alonso, M., and Finn, E.J.. Fundamental University Physics Ill, Addison-Wesley, Massachussetts, 1968. Beiser, A., Konsep Fisika Modem, terjemahan The Houw Liong, Erlangga, Jakarta, 1983. Gasiorowicz, S., Quantum Physics, John Wiley and Sons, New York, 1974. Liboff, R. L, Introductory to Quantum Mechanics, 3'11.ed., Addison-Wesley, Massachussetts, 1992. Mathews, P.M. and Venkatesan, K. A Textbook of Quantum Mechanics,Tata McGraw-Hill, New Delhi, 1976. Meyerhof,W.E., Elements ofNuclearPhysics,McGraw-Hill, New York, 1967. Park, D., Introduction to Quantum Theory, 3'11, McGraw-Hill, New York, 1992. Pauling, L. and Wilson, E.B., Introduction to Quantum Mechanics, McGraw-Hill, New York, 1935. Poweil J.L. and Crasemann, B. Quantum Mechanics, AddisonWesley, Massachussetts, 1961. Purwanto,A.. PenganfarFisikaKuantum,Citra Media, Surabaya, 1997.

Fisika Kuanturn

Reid, J.M., The Atomic Nucleus, Penguin Books, V'ddlesex, 1972. Rohlf, J.W., Modern Physics from a to Z, John 'Aliley and Sons, New York, 1994. Zimmerman, R.L. and Olness, F.I., Mathemar. ;a for Physics, Addison-Wesley, Massachussetts, 1995. Zukav, G., The Dancing of Wu Li Master, Bantam Books, New York, 1979.

I

W I D \

KUANT ralkan salah sat^ ar bangur ! new[ ~ u d n t u m(lainnya budah teori ~ ~ l a u v i t a sbalk ) 31: Ian3 mengharuskan kelahirannya, evolusi dari klasik k -ta evolusi formalisme diferensial-integral yang n alisme operator yang abstrak. Penjelasan ]Ian s: p konsep selalu berangkat dari sesuatu yang tela :enal u-~lgan baik (well known) dalam fisika klasik da _ . zngkapi contoh-contoh dengan penjabaran matematis yan sangat terinci. Hal terakhir inilah yang menjadi kekuatan dan nil: tambah utama buku ini. Sifatnya yang demikian menjadikan buk i pemula baik mahasiswa "
I

r

'

-

'

"

1

Bidang minatnya adalah neutrino, teori medan tetnperatur hinsga, dimensi ekstra ( iagadraya asimerrikatauharyogenesis,,~eneli~i~va ernahdi ublikasikan di Modem Physics Letter, :I, 1 1 ; I , I I ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ I \ [ , # ~'I,,,;,: [ ~,\,I\ ~ ~ , \ I ~ ~ ~ \ . ! \ I \ ProgressoTheorctca h s , , , , . ,:'I ,: , 1 , Physical Revicw , , : I ! ;! I , ( I I l~'!\~'l!:''',.l !,,I NuclearPhysics. ' ' 1: , , ,, ,, , ~ ; . ~ , / , , ~ ! ~ ~11;I , ' III ~' i ~ , 1 :lama kuliah S1 aktif menjadi asisten Laboratorium Fisika Dasar. mata kuliah Fisika Dasa, sika Matematik, Gelombang dan Mekanika Kuantum. Pernah tnendirikan dan menjadi ken@ :lompokdishsi Fisika Astronomi'Teoritik (FiAsTe) ITB, 1987-1989. Aktifmenulisdi m e d b assa seperti Kuntum, Suara Muhammadiyah, Mekatronika. Kharisma, Simponi, Suryk :puhlika dan Kompas. Sejak tahun 1989 menjadi staf pcngajar rusan fisika FMIPA lnstitut Teknologi Sepuluh Nopemher (IT: trabaya. Selai~itercatat sehagai staf pengajar Program Pascasarjal sikajuga tercatat sebagai salah seorangpendiri danpengajarprogra Pascasarjana Studi Penihangunan ITS dengan mata h l i a h Sain Teknologi, Filsafat dan Agama. Penulis adalah kepala Laboratoriu 4) ITS. Penulis juga menja ika ~ e o r dan i Filsafat Alam (Ls a o t a Himpunan Fisika Indonesia 'hysical Society of lapan

'1 I , ; .. .