Exercicio Resolvido Integrais Duplas w1s1e

1)INTEGRAIS DUPLAS: RESUMO

Exemplo 4

4 2

Exemplo 1

Calcule



 2x  6x 2 y dydx  

1 1

Exemplo 2



Calcule integral dupla

 2x 2  3y dA  , sendo R a região que  

R consiste de todos os pontos ( x,y) tais que 1 x  2 e 1 y  3.

Calcule

2

4

 

Exemplo 5

 2x  6x 2 y dxdy  1 1 



Calcule a integral

y 2 xdA , no retângulo

R R  x, y : 3  x  2,0  y  1.

O fato das integrais resolvidas nos exemplos 1 e 2 serem iguais Não é acidental. Se f é contínua, então as duas integrais iteradas são sempre iguais. Dizemos que a ordem é irrelevante. Entretanto, uma boa escolha da ordem pode simplificar os cálculos. Em alguns casos, pode não ser possível calcular a integral dupla para uma escolha e ser possível para outra. Veremos isso mais tarde com exemplos. Exemplo 3

Obs: Freqüentemente o retângulo R  x, y : a  x  b, c  y  d é expresso como a, bxc, d por simplificação.

Exemplo 6 Determine o volume do sólido limitado acima pelo plano z  4  x  y e abaixo pelo retângulo

R  0,2x0,2.

Calcule as integrais abaixo: Exemplo 7

3

a)

   

2

x 2 ydydx

0 1 2 2x

b)

c)

1

0

3

y2

  1



Calcule

R

ysen( xy)dA , onde R  1,2x0, 

R

xy 3dydx

4.2

Integrais genéricas

duplas

sobre

regiões

2 y cos x dxdy 4.2.1

6

4.1 Teorema: Seja R o retângulo definido pelas desigualdades a  x  b , c  y  d . Se f(x,y) for contínua neste retângulo, então: b d d b





f ( x, y)dA 

 a c

f ( x, y)dydx 

 c a

f ( x, y)dxdy

Definição 1

a) Uma região do tipo I é limitada à esquerda e à direita por retas verticais x=a e x = b e é limitada abaixo e acima por curvas contínuas y=g1(x) e y = g2(x) , onde g1(x)  g2(x) para a  x b . b) Uma região do tipo II é limitada abaixo e acima por retas horizontais y =c e y = d e é limitada à esquerda e à direita por curvas contínuas x=h1(y) e x = h2(t) , onde h1(y)  h2(x) para c  x d Veja Fig 1 e Fig. 2.

Resolução: Representamos na Fig. 3 a região R (base deste sólido):

Figura 1

Tipo I

Figura 3

Região R

1 1 x  , logo a 4 2 região é do Tipo I e podemos integrar deste modo: e

2

1 1 x 4 2

V Figura 2

Tipo II

0

Resultado: V  4.2.2

Teorema

0 y

Assim, 0  x  2

0 4  x  ydydx 15 u.v 4

Exemplo 9

a) Se R é uma região do tipo I então:

b

g 2 (x)

R f (x, y)dA   a  g 1 (x)

f ( x, y)dydx

h 2 ( y)

R f (x, y)dA   c  h 1 (y)



( x  y)dA , onde R é a

R

b) Se R é uma região do Tipo II, então:

d

Calcule a integral I 

f ( x, y)dxdy

Exemplo 8 Calcular o volume do sólido delimitado superiormente pelo gráfico de z  4  x  y , inferiormente pela região delimitada por x=0 , 1 1 x= 2 , y =0 e y  x  e lateralmente pelo 4 2 cilindro vertical cuja base é o contorno de R.

região limitada por y 1  x 2 y 2  2x Solução A região R está representada na Fig. 4.

Figura 4

Podemos ver que a região R pode ser enquadrada nos dois tipos: Figura 5

y  0  x  2  x x ou R :  2 R: 2  0  y  4 x  y  2 x

0  x  1  Podemos ter R1     2  y  

Logo, podemos resolver a integral I pelos dois tipos:

Daí I 

2

2x

R (x  y)dA   0  x 2 x  ydydx 

4

  0

R Resposta: I 

Exemplo 10 Calcular I 

x y 2

I

x  y dxdy I

52 15



I ysen( xy )dA onde R é o

 2  0

ysen( xy )dxdy



1    1   y .  cos xy  dy   y 0 2





1  cos xy   dy  0   2 

 2 - cosy  1 dy

Agora, integrando em relação à y, obtemos:

R

 π  π retângulo de vértices  0, , 1,  ,  2  2 0, π  .

1

Integramos primeiramente em relação à x, e obtemos:

ou

( x  y)dA 



1, π  ,

I  seny  y

  2

   I   sen      sen   2 2   I   1 2  I 1 2 Também poderíamos escolher a mesma região porém integrar de forma invertida:

Solução Região R representada graficamente na Fig. 5

I

y

  2

1



 0  2

ysen( xy ) dy dx . Porém esta

escolha necessitaria de integração por partes.

Exemplo 11

I

Calcular

1

 0

4  2  e y  4x 

a

Integral

 dy dx .  

1 1 I   e 16  e 0 8 8 1 I  1  e 16   8 

Resolução: Verificamos que não seria possível resolver a primeira integral



4  2  e y  4x 

 dy  

pois a

2 função f ( y)  e  y não possui primitiva elementar. Assim, é necessário mudar os limites de integração. Figura 6

A região está representada graficamente na Fig. 6, onde vemos que a região R1 é dada por:

Exemplo 12

0  x  1 R1   4x  y  4

Calcule

Assim,

I

temos:

4

  0

y 2 4  e  y  0 

 dx dy  

A qual é possível resolver. Assim temos:

I

4

  0

y 2 4  e  y  0 



I



4  2  1 y.e  y  0 4

I

1 4

4 2  y.e  y  0



4 0

y  x  1 ,

Resolução: Consideramos R como uma região do Tipo II. A região R e a reta horizontal correspondente ao ponto fixo y são mostradas na Fig. 7. Para integrar numa região do tipo II, os limites esquerdo e direito devem ser expressos sob a forma x=h1(y) e x = h2(y). Por isso, devemos reescrever as equações dos limites y = x+1 e y = x+1 como x = 1 y e x = y  1 respectivamente.

 dy  

 dy  

Esta integral podemos resolver por substituição de variáveis. Assim temos: 2 1 I  e y 8

R R compreendida entre as retas y1  x 1 e y 2  3 .

y  4  dy   0

4  2  x.e  y  0 

I

 dx dy  



 2x  y 2 dA , na região triangular  

Figura 7

A reta intercepta a região R na fronteira à esquerda x = 1 y e na fronteira à direita x = y  1. Esses são os limites de integração de x. Agora, movendo a reta primeiro para baixo e depois para cima ela gera os limites de y, sendo y = 1 e y = 3. Assim,

R  2x  y 2 dA  

R

3

1 

 2x  y 2 dA   

 

y 1

 2x  y 2 dx dy  1 y 



y 1 x 2  y 2 x  dy  1 y 1  3

3

8 1 - 2y  2y 2  y 3   1  2 y  y 3  Figura dy         1  O resultado desta integração é o mesmo 3 mostrado anteriormente. 2 3  2 y  2 y dy   Inversão da ordem de integração 1  3 Às vezes, o cálculo da integral iterada pode ser  2y3 y 4  68 simplificado invertendo-se a ordem de     integração. Este próximo exemplo ilustra esta 2  3  3 1 situação.



Neste exemplo poderíamos ter tratado R como uma região do Tipo I, entretanto neste caso a fronteira superior R é a reta y = 3 ( Veja Fig 8) e a fronteira inferior consiste em duas partes, a reta y = -x + 1 à esquerda e a reta y = x +1 à direita da origem. Para fazer esta integração devemos separar a região R em duas partes conforme mostra a Fig. 8.

Assim, a solução da integral deveria ser:



 2x  y 2 dA   

R 



 2x  y 2 dA   

R1

Exemplo 13 Calcule

2

1

 0  y2

ex

2

dx dy

Como não existe antiderivada elementar de 2 e x , a integral não pode ser resolvida integrando-se primeiro em relação a x. Para solucionar este problema devemos calcular essa integral expressando-a com a ordem inversa de integração. Na integração interna, x está variando entre as retas y/2 e x = 1. Veja Fig 9.



Invertendo a ordem de integração devemos 2 dA  2x  ydefinir  os limites.  

R2

Observando a Fig. 9, podemos ver que fixando x 2 3  2x  y 2 dy dx   2x  y 2dedy 0 àdx 1, y irá variar de zero à 2x.    2  x 1 0 x 1

0

 

3



0  y  2  Ry  x 1  2

0  x  1 ou R   0  y  2 x

Figura 10 Figura 9

Verificamos que a região R pode ser escrita das duas formas, sendo:

Assim, essa integral deve ser escrita como se segue:

2

1

 0  y2 





ex

2

dx dy 

1

2x

0 0

ex

2

dy dx



1  2  2x x e y  dx 0   0



1

2xe x

2

dx

0

Exemplo 14 Seja R a região do plano x-y delimitada pelos gráficos de y1  x 2 e y2 = 2x. Calcule



 0  x  2 ou R 2   2  x  y  2 x

Utilizando a região R1, temos:

2 1 x e   0  e -1

I

0  y  4  R1   y x y  2

R (x  y)dA  

 0  2y

x

 x 3  4 y dxdy  

e utilizando a região R2, temos:

R

( x  y)dA 

2

2x

 0  x 2  x3  4y dydx

Verificamos que ambas as integrais possuem o 32 mesmo resultado, isto é, I  3 Exemplo 15

4

Dada I =

  0

( x 3  4 y)dA .

R

4

2

y cos x 5 dx dy ,

y

inverta a ordem de integração e calcule a integral resultante.

Solução: A Fig 10 apresenta o gráfico desta região R.

Solução:

Observamos que da maneira como está definida esta integral, fica difícil a sua resolução. Assim, uma mudança na ordem de integração poderá nos facilitar o trabalho. Observamos pela Fig.11 que a região R está definida com as fronteiras esquerda e direita pelos gráficos de x  y e x = 2, respectivamente com 0  y  4

x y

E.1

Calcule as integrais duplas abaixo:

3

5

    

3

    

xydydx

b)

 

 

 

Figura 11

E.2

Notamos que R também pode ser definida pelas fronteiras inferior e superior dadas por respectivamente, com y  0 e y  x2 0  x  2 . Assim, a integral pode ser calculada como sendo:

4

I=

  0

2

I=

2

y cos x 5dx dy

y

x2

0 0

y cos x 5dy dx x2

I=

I=



2 2  y  cos x 5   0  2 0



2

 

Calcule

Assim, temos que: I = 0.055 EXERCÍCIOS DE INTEGRAIS MÚLTIPLAS

f ( x , y)dxdy onde:

1  x  3 R é o retângulo  0  y  1 0  x  3 b)f (x, y)  yexy , R é o retângulo  0  y  1 0  x  2  c)f (x, y)  x cos(xy) , R é retângulo   0  y  2 2  x  3 d)f (x, y)  y ln x , R é o retângulo  1  y  2

a )f ( x, y)  xe xy ,

1 , xy

dx

Esta integral pode ser resolvida com uma simples substituição de variáveis. (u).

 R

e) f ( x , y ) 

x4 cos x 5 dx 2 0

2

(2 x 2  3y)dxdy 1 2 1 1 1 2 2 4 c) ( x  y)dydx d ) ( x 2  2 y 2  1)dxdy 0 0 1 0 1 2 1 2y e) dydx f) (1  2 x 2  2 y 2 )dxdy 0 0 0 y 2 2y  y 2 2 x g) 3ydxdy h) dydx 0 3y 2  6 y 0 0 3y 2 1 1 i) dydx j) dxdy x 0 0 y2 2 a)

1  x  2 R é o retângulo  1  y  2

 

x  2 y dA ,

E.3

Calcule

E.4

D 2 D : y  2x e y 1 x2 Determine o volume do sólido que está contido abaixo do parabolóide z  x 2  y 2 e acima da região D do



onde



plano xy limitada pela reta y = 2x e pela parábola y = x2.

E.5

Calcule

a

1

  0

E.6

1 x

integral

sen (y 2 ) dy dx

 

x  4dx dy , onde R é o

Calcular

R retângulo 0  x  2 , 0  y  6 . E.7

 

8  x  y dx dy , onde R é

Calcular

R região

a

delimitada



Calcular





x sen y x dx dy , onde

é

a

região

y0 , x E.9

Calcular

delimitada



senx sen y dx dy , onde

R é o retângulo 0  x 





y ln x dy dx , onde R é o x

 x 2  y 2 dx dy , onde R  

R é a região delimitada y0 , x4 e y x . E.12 Calcular

a

por

 

R região

896 15

E10. 0

E11.

1728 35

  1 E9. 2 1533 E12. 20

E8.

1

Teorema Se f é contínua em uma caixa retangular B  a, bxc, dxr, s , então: s d b f ( x, y, z)dV  f ( x, y, z)dxdydz r c a B



  , 0 y 2 2

R retângulo 1  x  2 , - 1  y  1 E.11 Calcular

E7.

por

 e y x . 2

R

E.10 Calcular

E6. 60

2) INTEGRAIS TRIPLAS

R

R

E.1. a) 42 b) –24 c) 3 d)20/3 e)2 f)13/6 g) 16 h)2 i)1 j)5/12 E2. 1 4 a )e 3  e  2 b) e 3  4 c)  3   3 d) 3 ln 3  2 ln 2  1 e)10 ln 2  6 ln 3 2 32 216 1 E3. E4. E5. 1  cos1 35 15 2

por

y  x2 e y  4. E.8

Respostas

2x  y dx dy , onde R é

delimitada por 2 x  y -1 , x  5 , y  -1 e y  2 .



Exemplo 16

Calcule



f ( x , y, z)dV ,

G nos seguintes itens, sendo: a )f ( x, y, z)  12xy 2 z 3  , com - 1  x  2   0 y3 e 0z2 Resp: 648 b)f ( x, y, z)  xyz2 , com 0  x  1 , -1 y  2 e 0  z  3

Resp:

27 4

c)f (x, y, z)  xyz2 , com T : 0,1x0,2x1,3 26 Resp: 3 b)f ( x, y, z)  ( y  x 2 ) z , com 1  x  2 , 0  y 1 e - 3  z  5

Resp:

68 3

EXERCÍCIOS E.13 Calcule as seguintes integrais triplas:

a)

b)

1

1 y

0 1

0 x

0

x2 x2

      2

c)

4

2

0 2

y 2x

1

x

2

f)

dzdxdy 0 2 x  y x. dzdydx 0

y

0 0 0       x2

   1

g)

y dzdxdy 0 xy z dzdydx 0 1 x x 2 y 2 z dz dy dx

2

0 0 1 4 x 2 2

0

0

  3

h ))

y dzdydx

y

d)

e)

xy



9 y2

x 2  4y 2 dz dy dx 0 3x 2  3y 2

 3   9 y2  4x 2  4y2 9 dz dx dy

Respostas: 1 a) b) 6 95 e) f) 8

31 120 127 42

c)

128 21

g) 

128 21 81 h) 2 d)