Estanque Diluidor Piramidal 466j6h

ESTANQUE DILUIDOR PIRAMIDAL

Autores: Marco Rojas Fuica, Omar Rojas Muñoz

RESUMEN Globalmente hicimos el análisis de nuestro sistema de manera que deja en manifiesto todas las variables y posibles soluciones que nuestro sistema No-Lineal arrojo dentro de un rango de muestreo. Una vez utilizadas las principales señales básicas de prueba, inferimos el comportamiento principalmente tanto de la entrada como el de la salida de manera de obtener en todo tiempo t el comportamiento de nuestro sistema, de manera de no despreciar ninguna variable que nos aleje del valor que linealmente corresponde.

I.

de la pirámide piramidal, son representados matemáticamente mediante ecuaciones diferenciales ordinarias (con respecto al tiempo) o parciales (con respecto al tiempo y a la ubicación espacial). Las expresiones matemáticas obtenidas pueden ser usadas, a su vez, para el propósito de modelación. Es así como se distinguen los modelos fenomenológicos y los empíricos.

INTRODUCCIÓN

En este paper mencionaremos un sistema del tipo hidráulico, específicamente a un estanque diluidor piramidal en el que describiremos, explicaremos todo acerca del sistema, además de su funcionamiento y comportamiento en la realidad, eso lo lleva analizar su gráfico ante distinto tipo de señales básicas.

II.

PROCEDIMIENTO PARA LA PRESENTACIÓN DEL PAPER Un modelo es una representación de un sistema. Cabe destacar que para efectuar un análisis de un proceso es necesario conocerlo. En general, se desea llegar a conocer factores (internos y externos) que condicionan el comportamiento del mismo, tales como interrelaciones entre variables, el efecto de las perturbaciones, rangos de estabilidad, el efecto de la variación de parámetros, etc Los modelos Dinámicos, como es el caso

Figura 1. Sistema de un estanque diluidor piramidal

UNIDADES DE MEDIDA Para el sistema en desarrollo, se utiliza el S.I. (Sistema Internacional), Como una recomendación, es ocupar el mismo sistema no mezclar el S.I. con el C.G.S o el sistema del tipo inglés.

CONSEJOS ÚTILES

(

( )

)

Figuras y Tablas Las figuras e imágenes se muestran en la explicación del desarrollo del sistema

Así para la representación de estados de la matriz de estados es: ( ̇

[ ] ̇ Para desarrollar el modelamiento del sistema se plantea inicialmente la función que describe el área la cual corresponde a

Entonces el área de esa región tomada corresponde a: ( )

( ⁄ )

(

) ) ]

Donde Al tomar las variables ya mencionadas el sistema y reemplazarlas en ese sistema queda como: (

( ) ̇

̇ [ ] ̇

)

√

(

(

)

)

[

]

Lo cual se puede apreciar de un modelo no-

( ) ( )

(

[

Se plantean el equilibrio de materia en el estanque quedando como: ( )

)

√

(

)

lineal Al linealizarlo se obtienen las matrices del sistema las que son las siguientes:

( )

[

⁄

⁄

⁄

⁄

]

( ) ( ) √ (

Por otro lado, tenemos el balance de la materia el cual se diluye en el estanque de la siguiente manera: (

)

( )

[

]

( ) ⁄

[

Con [ (

Pero

)

√

)

√

]

⁄

⁄

⁄

⁄

⁄

[

]

]

( [

) ]

Esto es correspondiente a la representación del sistema no-lineal a uno que es lineal de la forma en variables de estado, cuyo formato es: ̇

̇

Para la representación de la salida en variables de estado son:

Diagrama polo-cero para variable continua

Cuyas matrices son: [

]

√ [ ] *

+

Función de Transferencia Para discutir en profundidad la función de transferencia tanto en un sistema discreto como en un sistema continuo, debemos notar que un sistema continuo se puede representar tanto como con la función de transferencia como también con las variables de estado. Ambas representaciones son equivalentes en el sentido que desde la función de transferencia se puede llegar a la representación de las variables de estado y viceversa, a través de las siguientes notaciones: ( )

(

( )

)

(

Figura 2. Diagrama polo-cero variable continuo

Para el caso discreto la función de transferencia es ( )

Cuyo único polo es , lo cual nos dice que se ubica al interior de la circunferencia unitaria, lo que nos quiere decir es que tiene una estabilidad BIBO. En la figura se muestra el diagrama polo-cero del sistema discreto

)

Mientras que un sistema discreto se logra al pasar una señal continua por un conversor análogo digital que dará como salida una señal sincretizada que se obtiene aplicando la Transformada de Laplace al sistema de variables de estado continuo.

Diagrama polo-cero discreto

Al tomar la función de transferencia en la variable continua obtenemos lo siguiente ( )

(

)

Cuyo único polo es , lo cual graficándolo en el diagrama nos muestra que se ubica en el semiplano izquierdo, lo que nos dice que el sistema es tiene una estabilidad BIBO. Lo que se puede apreciar en el gráfico es el único polo y no presenta ceros en la función de transferencia continua, y además se presenta en el semiplano izquierdo.

Figura 3. Diagrama polo-cero en variable discreta Sistemas equivalentes discretos-continuos Según nuestros parámetros asignados

( )

Luego se sustituyen en las matrices ya linealizadas cuyos valores son:

(

)

la que tiene como valor de * [

+

*

+

( )

]

Mientras que de las matrices discretas cuya representación es de la forma ̇(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Y que su equivalencia está dado por las ecuaciones: ( ) (

∫

*

+ *

+

[

] [ ]

Para garantizar que el sistema continuo es equivalente con el sistema discreto deben cumplirse 3 condiciones

(ii) (iii)

( )

(

)

Cuyo valor es ( ) ( ) ( ) Lo que se cumple en la condición (iii), entonces el sistema es equivalente discreto-continuo.

)

Finalmente Obteniendo la matrices A y B discretas, se procede a evaluar en un tiempo de muestreo apropiado el cual será

(i)

Para el sistema discreto se evalúa en la función de transferencia h(1)

Debe cumplirse , donde ,son los polos de la variable z y s respectivamente Ídem al enunciado anterior pero con relación a los ceros Por último la condición de la ganancia “dc” ( ) ( )

Si tomamos la condición (i) polo y el valor de tiempo de muestreo vemos que resulta

En la condición (ii) como no tiene ceros la función de transferencia en el sistema continuo, implicaría que tampoco en el sistema discreto lo tendrá Para verificar el punto (iii), se analizará la ganancia dc del sistema en variable continua

Estabilidad Ya se ha mencionado anteriormente, la estabilidad en el sistema como entrada/salida (BIBO), Ahora se dirá sobre la “estabilidad internamente” del sistema y tiene relación con los valores propios de la matriz “A” tanto del sistema continuo como del discreto, los cuales esos eigenvalores en el discreto se deben ubicar en el S.P.I (semiplano izquierdo), en tanto al discreto deben ubicarse al interior de la circunferencia unitaria

Señales de pruebas básicas

Para señales de pruebas básicas se realizarán simulaciones para un impulso y escalón respectivamente tanto en el sistema continuo y discreto.

Sistema continuo

Figura 4. Respuesta con entrada impulso Para el gráfico de la respuesta impulso corresponde a la función de transferencia pero en el plano del tiempo, y como la función de trasferencia es una fracción, al aplicarle la T. Laplace correspondería a la función exponencial decreciente en donde a los 4 segundos se ve que la respuesta impulso alcanza

Figura 7. Respuesta escalón en variable discreta

Simulación del sistema discreto ante una entrada escalón

Figura 5. Respuesta ante una entrada escalón

Sistema de variable discreta

Figura 8. Simulación del sistema en línea azul corresponde a la variable continua y la roja es la variable discreta.

Figura 6. Respuesta impulso en variable discreta

En el gráfico se muestra la respuesta escalón tanto para el sistema continuo representado en la línea azul y en rojo la de variable continua, se puede apreciar que a partir de los 2 segundos se muestra tanto para los 2 graficas un incremento notable, pero en los 4 segundos el sistema se muestra una estabilidad de acuerdo a la respuesta que se obtiene.

III.

CONCLUSIONES Siempre tendremos un buen número de relaciones matemáticas que vincularán las variables descriptivas del modelo y que serán consecuencia tanto de los fenómenos físicos considerados (relaciones constitutivas) como de la interacción entre los mismos en función de su disposición en el sistema (relaciones estructurales que tienen relación con los factores externos ya sea perturbaciones típicas del sistema o como también del mismo entorno). La obtención de la función de Transferencia es vital en el conocimiento completo de nuestro sistema, ya que nos permite conocer todo lo necesario como para dejar descrito completamente nuestro sistema asegurándonos tanto su estabilidad como el comportamiento en el plano discreto y continuo a través de una representación tan explicativa como el diagrama de Bode.

IV.

REFERENCIAS

-W. L. Luyben, “Process modeling, simulation and control for chem...”, McGraw Hill, 1989. - K. Ogata, “Sistemas de control en tiempo discreto”, Prentice-Hall 2000.* - K. Ogata, “Ingeniería de Control Moderna”, Prentice-Hall 2003, 4ta edición.* - B. Kuo, “Sistemas de Control Automático”, Prentice-Hall 2000. - Técnica de los sistemas dinámicos discretos. Autor: Miguel Romera Garcia, Miguel Romera - Modelación Fenomenológica. Cap 1. Ingeniería en Mecatrónica