Equacoes E Inequacoes Exponenciais E Logaritmicas 3r5a14

<1 ou a rel="nofollow">1, chama-se exponencial. a - é a base e x - é o expoente. 7.1.1. Estudo completo de f(x) = ax Função

∩ oy

Base a>1

Df R

Zeros Não ∃

P(0;1)

0

<1

R

Não ∃

P(0;1)

f(x) = ax

X<0 0 < 1 F(x) rel="nofollow">1

x>0 f(x)>1

Sinal +

0 < 1

+

Monotonia Crescente Decrescente

Gráficos: Os gráficos são curvas exponenciais simétricas em relação ao eixo das ordenadas (oy), ando pelo ponto P(0;1) que é a ordenada na origem

• •

∞[ ; O contradomínio da função CDf(x) é y ∈]0;+ Se x → −∞ ⇒ f ( x) → 0 , para a função exponencial crescente (a>1) e se x → +∞ ⇒ f ( x ) → 0 , para a função exponencial decrescente (0

<1). Portanto

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1

as curvas se aproximam ao eixo ox, sem contudo tocá-lo e a recta y = 0 denomina-se assímptota horizontal (AH) dos gráficos. Nota: Se a = 1, f(x) = 1x= constante. As funções exponenciais são injectivas, sendo assim item função inversa - a função logarítmica. Exemplos de funções exponenciais simples: f(x)=2x; f(x)=(

1 x 1 ) ; f(x)=10x; f(x)= ( ) x. 2 10

7.2. Equações Exponenciais Definição: Toda a equação onde a incógnita figura no expoente de um número real positivo e diferente de 1, chama-se equação exponencial. A sua resolução exige formar as potências de ambos os membros com a mesma base e procede-se a igualdade dos expoentes donde se determina a incógnita. Finalmente efectua-se a substituição do resultado obtido na equação primitiva para verificar a veracidade da igualdade de ambos os membros. Algumas propriedades úteis de potenciação: Para

+

∀ a ∈ R e ∀ ( x, y ) ∈ R ,

são válidas as relações:

ax rel="nofollow"> 0; a0 = 1;

i. ii.

1

iii.

(ax)-1 = (a-1)x =

iv. v.

(ax)y = axy = (ay)x ax . ay = ax+y

vi.

a =a a

a

x

x

vii.

x− y

y

p q

a

=q

a

p

Para quadrados perfeitos como por exemplo 4x, é válida a transformação: 4x = (22)x = (2x)2 = 22x Exemplos de casos simples 1) 5X = 53 ⇒x =3 ; 2)

1

2

−x

3

=8 ⇔ 2 = 2 ⇒ − x = 3⇒ x = − 3 x


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2

x +2

8

3)

x

3

4)

=4

=3

x+4

9

3( x + 2 ) )

⇔2

9

x

9

2( x +4)

=2

⇔3 =

⇒ 3x + 6 = 2 x + 8 ⇒ 3x − 2 x = 8 − 6 ⇒ x = 2 1 3

1−

x

⇔3 =9 1

x

⇔3 =

2(

3

3−1 ) 3

⇒x=

2.2 4 ⇒x = 3 3

9 2 125 2 2 2 ( ) = 8 ⇔ ( ) = 5 ⇔ ( ) = ( ) ⇒x =−3 5 5 2 5 5 4 =2 ⇔ 2 = 2 ⇒ 2 x − 2 = 4 − x ⇒ 3x = 6 ⇒ x = 2 3

x

5)

x

−3

x

3

3

x −1

6)

4− x

2 ( x −1)

4− x

Exemplos de casos mais gerais: x −3

x

3 +3

1)

x −4

−3

x −5

+3

= 250

Separemos as bases das potências aplicando as propriedades v e vi (ver pág. 2) e em seguida colocamos em evidência o factor comum membro a membro: x −3

x

3 +3 comum

x −4

−3

dos

x −5

+3

= 250

denominadores

x

x

x

3

4

5

⇔3 + 3 − 3 + 3 3 3 3 x

da

última

igualdade

= 250

é

o menor múltiplo

mmc(1;33;34;35)

=

35

x x x x . + . − .3 + 3 .1 3 3 3 3 → + − + = 250 ⇒ 3 3 3 3 3 = 250 3 4 5 3 1 3 3 3 x

5

x

2

x

x

5

(

5

3) x

2

( 3)

(3 )

5

(1)

2

x

( + − 3 + 1) (243 + 9 − 3 + 1) ⇒3 3 3 = 250 ⇒ 3 = 250 ⇒ 3 .250 = 3 .250 ⇒ 3 3 ⇒ 3 = 3 ⇒ x = 5 é a solução procuradaque satisfaz a equaçãodada. verifique x

5

x

5

5

5

2)

3 +3

x +1

x +2

x

2 x −1

−3

2

x

1

2

2x

. .3 =81 ⇔3 3 + 3 − 3 1

2

3

x

x

2x

=81 ⇔27 .3 +9. 3 −3 =3.81 ⇔

⇔ 36 . 3 −(3 x) − 243 =0 ⇔ (3 x) −36 . 3 + 243 = 0 x

x

Se após separação das bases, os expoentes que contêm a variável são diferentes, usa-se a mudança de variável; escreve-se em seguida a equação na forma canónica e ________________________________________________________________ Textos de Apoio e Exercícios Seleccionados de Matemática – SIFAP Abner Mutekuza Foia

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3

determinam-se os valores da nova variável. Finalmente determinam-se os valores da variável inicial, tendo em atenção todas as condições da substituição efectuada. Tem-se: 3x = k>0, já que a função exponencial é sempre positiva na condição dada. Então, k2 – 36k + 243 = 0. Podemos utilizar os métodos estudados para resolver a equação do segundo grau, por exemplo, a soma das raizes k 1+ k2=36 e o produto delas

 k1 = 9  k2 = 2 7

k1.k2=243 donde vem que

; com k1=9 ⇒ com k2=27 ⇒

Portanto, a equação tem as soluções x=2 ou x=3.

x

= 3 ⇒ x1 = 2 e

x

= 3 ⇒ x2 = 3

3

3

2

3

Exercícios 1. Resolva em R, as equações exponenciais a seguir: a) −x

−x

4 +2

2 x +1

e)2

−2

x +3

+2 3 x −1

x

2x

x

b)2 +

=6

h)2 .9 − 2. 6 4 x −2

− 5. 3

x +7

x +2

j)3

l)2

2 x −1

−2

x +1

6

2

x

2x

2 x −1

x

f)3

−2 =0 2 x −1

+4

4 x −2

.3

i)9

=0

x+4

x +1

+9

x −2

x+2

g)2

= 315

x

x

−1

2 x+

−3

d)2

x +4

x

+ 8. 3 + 3 = 3

k)16 2 − 4

+4 = 0

=3

2 x −1

x

c)4. 2 − 4. 2 − 3 = 1

=5

m)4

1 2

x +1

2 x+2

x

−4

2 x +1

−3

x +2

2x

n)(

7)

.(

2)

x −1

2 x −2

+3 +3

=1

o)x +1 a = x

a

2

x .81 2 x +1 3 p) 2 x = 3

x

p) (a x −1) = 1

3

7.3. Função Logarítmica Definição1:

Chama-se

função

logarítmica

log x; (0 < a < 1) ou (a > 1) e x > 0 a

a

toda

a

função

do

tipo

y=

que é inversa da função exponencial com a

mesma base, isto é: y=

y

−1

=

f

−1

log

a

x⇔ x=a

y

x

( x) = a ... função inversa de f ( x), por isso f ( x) é também injectiva .


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2x

+6=4 −2

2

x −1

x −1

+2 −4

x+2

2 x +1

=3

x +1

x+ 2

+19.3

= 322 + 2

2 x −1

+4

−2

4

Estudo Completo de f(x)= Y=f(x)

log

a

Base x a>1

Df

0

<1

R

+

R

+

log

a

x

CDf

R R

Zeros P(1;0)

∩ oy Não

0<x<1 -

x rel="nofollow">1 +

Monotonia Crescente

P(1;0)

Não

+

-

Decrescente

∃

∃

Gráficos: Os gráficos chamam-se curvas logarítmicas simétricas em relação ao eixo ox ando pelo ponto P(1;0) que é o zero da função. Se

x →0 ⇒ y →±∞ log o, a recta x = 0 é a assímptota

vertical

dos gráfi cos .

Propriedades dos Logaritmos 1) log 1 = 0

logb a b. a a 9) alog a logb = (a log a b) = blogb = a

2) log 0 = não ∃

10) log b. log a =1

3) log a =1

11) log

4) log

12) log

a

a

a

a

a

a

x

x

7) log

α

a

x α

a α 8) alog a x =

2

a

a

1 loga x α α

x

14) log

a

15) alog a

2

a

a

= α . log x

x=

1 = − log x = Co log x a a x

α α α x .log x = log a x = α log a 13) log x. y = log x + log y

=x

5) alog a = x 6) log

a

b

a

x

a

x = log x − log y; ( x, y > 0) a a y ( x. y )

x y x+ y = alog a . alog a = alog a log a = x. y

α α x = (a log a x) = a log a

Fórmulas para mudança de base, (a,b,x>0)  Saída de uma base a para outra b, escolhida fora do logaritmo dado ________________________________________________________________ Textos de Apoio e Exercícios Seleccionados de Matemática – SIFAP Abner Mutekuza Foia

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5

log log x = log

b

a

b

x a

 Saída de uma base a para a base x, escolhida dentro do logaritmo dado

log

a

x=

log log

x x

x a

=

1

log

x

a

Resolução de Equações Logarítmicas A resolução de equações logarítmicas a em primeiro lugar pela determinação do domínio de existência das funções integrantes, seguindo-se a redução à mesma base. Aplicam-se as propriedades dos logaritmos, incluindo a mudança de base, se for necessário; finalmente igualam-se os argumentos (logaritmandos) e a solução é dada dentro do domínio de existência previamente determinado.

Exemplos:

1)

log

3

•

x=2 Domínio de existência: a função logarítmica não é definida para argumentos negativos. Sendo assim, a condição para o domínio é x>0, o mesmo que x ∈]0;+ ∞[ . Por definição de logaritmo, tem-se:

•

log x = 2 ⇔ 3 = x ⇔ x = 9 É solução issível, pois 9 pertence ao D . 2) log2 ( x − 5) = 3 2

f

3

•

Podemos formar um sistema no qual teremos a condição para o Domínio e a resolução efectiva da equação por definição:

x − 5 > 0 ⇒ x > 5 → x ∈ ] 5;+ ∞[ é o dom íniodeexistência  3  .  ( x − 5) = 2 ⇒ x = 8 + 5 = 1 3é a soluçaoquesatisfazas duascondiçõesem sim ultâneo 3)

log

4

( x − 2) + log ( x − 3) = 4

1 2


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6

Solução:

 ( x − 2) > 0 ⇒ x > 2   ( x − 3) > 0 ⇒ x > 3   1 1 log4 ( x − 2) + log4 ( x − 3) = 2 ⇒ log4 [( x − 2)( x − 3)] = 2 ⇒ (∗) ⇔

x

2

2

− 5 x + 4 = 0 ; ∆ = b − 4ac = 25 − 16 = 9;

x1,2 =

x

2

1

− 5 x + 6 = 42 (∗)

 = 1∉ D E −b± ∆ ⇒  x1 2a  x2 = 4

O domínio de existência é definido pelas duas primeiras condições do sistema, isto é, x ∈]3;+∞[ Por esta razão apenas x = 4 é solução da equação

4)

log

2

dada .

( x + 1) − log (3x − 7) = − 1

Solução:

2

    ( x +1) > 0 ⇒ x > −1   7 (3 x − 7) > 0 ⇒ x >  3   x +1 = −1 ⇔ x +1 = 1 ⇒ 2 x + 2 = 3 x − 7 ⇔3 x − 2 x = 2 + 7 ⇒ x = 9 3 x − 7 2 3x − 7 2  7 A solução x = 9 é do domínio de existência ( x ∈] ;+∞[) 3 

Definição 2: Chama-se logaritmo de b na base a (a>0 e a ≠ 1), ao expoente c que é necessário elevar a base para se obter o número b>0. Simbolicamente,

log

a

b =c ⇔ b = a

c

Definição 3: Logarítmo decimal ou Briggs diz-se ao logaritmo de um número b>0 na base 10, que se anota,

log

10

c

b = c ⇔ lg b = c ⇔ b = 10

Definição 4:Chama-se logaritmo natural de um número b, ao logaritmo desse número na base e (e=2,71828…, no irracional dito no de Nepper) e anota-se como ln b=c ⇔

log b = c, dondec − é o log aritmo natural de b e


_____________ /Formador/

7

Exercícios Propostos I.

Calcule os logaritmos:

1 ; 4 64

25 5 4

a) log 9 = ;

b) log

c) log2

d ) lg 10 ;

e) log1 27

f ) log 6,25

3

0, 4

3

g ) lg 0,0001

h) log4

40

2

i)

log 16.log 27 log 8 2

3

2

II.Calcule 2 3. 3 a ) 3 log3 log33

III.

b) log [log a

a

x

a )]

Sejam dados:

log

log 14 = a ; a ) log 32 2

10

log

2 = 0,3;

10

3 = 0,477 calcule : b) log 2

49

IV.

a

(

3

Resolva em R

a ) log

2

d ) (ln

x)

x

2

= log 4 ; 2

3

− 4 ln

b)

x =0

2

g ) ln( x + 3 x + 1) = ln 11

2 1 (2 x − 1) = 1 − lg x − 9 ; c) log x + log x − 2 = 0 lg 3 3 2 3 e) lg x + = 3(lg x − 1) f ) ln( 2 x + 3e) = 1 1 + lg x 2

h) ln( x − x + 2) = ln 4

i ) log

2

x −2

( x − 6 x + 10) = 1

2

j ) ln( 4 + 2 x − x ) = 0 V.

Resolva aplicando as propriedades de logaritmos


_____________ /Formador/

8

a ) log x − log 7 = log 5

5

5

x ; 7

b) lg [3 + 2 lg (1 + x)] = 0

2 3 1 9 c) lg x = [lg m + lg (m + n) − 2 lg (m − n)] − lg n ; d ) 2log4 = x 3 4 2 VI. Resolva aplicando mudança de base dos logaritmos. a)

2 log2 x + ln x = 8; 3

b) 3 log x + log x = 10; 4

16 d ) 2logx = x

c) log1 ( x − 4) + log x = − log 3 2

2

2

VII.

2

2

Resolva as equações seguintes pelo método de substituição por nova variável.

2 1 2 a) ln x = ; b) log x = 4 − 3 log x; c) lg2 3 3 4

x + lg x − 3 = 0 2

d)

1

2

+

5 + lg x 1 − lg x

VIII. Resolva em R as equações que se seguem:

a) log (2 + 1) = 2; x

3

b) e

−2 x

=

1 ; 4

c) log (25 + 6) = x + 1; x

5

3− x

x

d)2 − 6 + 2

VII.4. Inequações Exponenciais e Logarítmicas A resolução de inequações exponenciais e Logarítmicas efectua-se obedecendo às mesmas propriedades aplicadas na resolução de equações exponenciais e logarítmicas tendo sempre em atenção que as soluções deverão ser apresentadas em função dos respectivos domínios de existência para cada caso concreto. Exercícios Propostos 1. Resolva as inequações exponenciais a seguir


_____________ /Formador/

9

=0

=

3 x −7

a)4 − 1 < 2 ; b)10 − 5 + 2 ≥ 1; c)(0,72) x

2x

1+ x

e)5

1− x

+5

> 10; f)(

x

3 ) 4

x

x +1

16 ) 9

2 x +1

≤(

x

x

; g)2 .(

2. Resolva as inequações exponenciais duplas:

1 a)5 ≤ ( ) 5 −2

≤ (0,72)

x

1 < 3 ) ( ) 3 2

x −5

x

x

; d)4 − 3. 2 − 4

x +1

x

1 b )5 ≤ ( ) ≤ 2 2 −5

≤ 4;

3

3. Resolva em R, as inequações logarítmicas e dê as soluções em função dos respectivos domínios de definição das funções dadas.

a)log x > log 3; 2

2

b)log 1 ( x − x) + log x > −2; 2

2

2

e)log ( x −1) ≤ 3; f)log (5 − 2 x) − 2 ≤ 0; 2

2

3

c)log 1 x ≤ −2; d)log 1 ( 4 − 2

3

g)log

3

2 x +1 1 < − ; h)lg ( 4 x +1 2

FIM

Bom Trabalho


_____________ /Formador/

10

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Overview 5o1f4z

More details 6z3438

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