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Elemento finito Triangular Lineal Función de aproximación es un elemento bidimensional de aproximación lineal de tres nudos y un grado de libertad por nudo, cuya función de aproximación es φ ( x, y ) = α 1 + α 2 x + α 3 y ∀( x, y) ∈ Ω ( e) Valores nodales φi = φ ( xi , yi ) = α 1 + α 2 xi + α 3 yi
φ j = φ ( x j , y j ) = α1 + α 2 x j + α 3 y j φ k = φ ( xk , yk ) = α 1 + α 2 xk + α 3 yk
φk
φj φi
Elemento finito Triangular Lineal Función de aproximación φi 1 xi φ = 1 x j j φk 1 xk
yi α 1 y j α 2 ⇔ yk α 3 1 det Z = 1 1
φi det Z1 = φ j φk
Aplicando la regla de Cramer Φ (e ) = Z α xi xj xk
α1 =
det Z1 det Z
, α2 =
det Z 2 det Z
, α3 =
det Z3 det Z
yi y j = ( x j yk − xk y j ) − ( xi yk − xk yi ) + ( xi y j − x j yi ) = 2 A yk Área del elemento finito xi yi x j y j = ( x j yk − xk y j )φi − ( xi yk − xk yi )φ j + ( xi y j − x j yi )φk xk yk
1 φi det Z 2 = 1 φ j 1 φk
yi y j = −( yk − y j )φi + ( yk − yi )φ j − ( y j − yi )φk yk
1 xi det Z3 = 1 x j 1 xk
φi φ j = ( xk − x j )φi − ( xk − xi )φ j + ( x j − xi )φk φk
Elemento finito Triangular Lineal Función de aproximación 1 ( x j yk − xk y j )φi + ( xk yi − xi yk )φ j + ( xi y j − x j yi )φk 2A 1 ( y j − yk )φi + ( yk − yi )φ j + ( yi − y j )φk α2 = 2A 1 α3 = ( xk − x j )φi + ( xi − xk )φ j + ( x j − xi )φ k 2A
α1 =
[
[
]
]
[
]
Sean ai = x j yk − xk y j
bi = y j − yk
ci = xk − x j
a j = xk yi − xi yk
b j = yk − yi
c j = xi − xk
ak = xi y j − x j yi
bk = yi − y j
ck = x j − xi
La función de aproximación se puede expresar como: 1 φ ( x, y ) = (ai + bi x + ci y)φi + (a j + b j x + c j y)φ j + (ak + bk x + ck y )φk 2A
[
φ ( x, y ) = N i( e ) ( x, y ) φi + N (j e ) ( x, y) φ j + N k(e ) ( x, y) φk
]
Funciones de forma Elemento Triangular Lineal
Nj =
Ni =
1 (ai + bi x + ci y ) 2A
ai = x j yk − xk y j a j = xk yi − xi yk ak = xi y j − x j yi
Nk =
1 (ak + bk x + ck y ) 2A
1 (a j + b j x + c j y) 2A
bi = y j − yk b j = yk − yi bk = yi − y j ci = xk − x j c j = xi − xk ck = x j − xi
Elemento finito Triangular Lineal Funciones de forma
Función de aproximación
φ ( x, y ) = N i( e ) ( x, y ) φi(e ) + N (je ) ( x, y) φ (j e ) + N k( e) ( x, y ) φk(e )
Matriz de funciones de forma
N (e ) = N i( e)
[
N (j e )
[
Vector de valores nodales
N k( e )
Φ ( e ) = φi( e) φ (j e ) φk( e )
]
]
T
Función de aproximación (expresión matricial)
φ = N ( e) Φ ( e) = [Ni(e )
N (e ) =
N (j e)
N k(e )
]
φi( e) ( e) ( e )T ( e )T φ → φ = Φ N j φ k( e)
1 (ai + bi x + ci y ) (a j + b j x + c j y ) (ak + bk x + ck y ) 2A
[
]
Elemento finito Triangular Lineal Derivadas de las funciones de forma
Derivadas de la función de aproximación
(e ) ∂φ ( x, y) ∂N i(e ) ( x, y ) ( e) ∂N j ( x, y ) ( e) ∂N k( e ) ( x, y ) ( e) = φi + φj + φk ∂x ∂x ∂x ∂x (e ) ∂φ ( x, y) ∂N i(e ) ( x, y ) ( e) ∂N j ( x, y ) ( e) ∂N k( e ) ( x, y ) ( e) = φi + φj + φk ∂y ∂y ∂y ∂y
expresada matricialmente ∂ x ∂ xφ ∂ x N i(e ) ∴ ∇ = , ∇φ = = ( e) φ ∂ ∂ ∂ N y y y i ∴ B ( e ) = ∇N ( e )
donde
∂ x N (j e ) ∂yN
(e ) j
, ∇φ = ∇N ( e ) Φ ( e ) = B ( e ) Φ ( e )
∂N i(e ) bi = ∂x 2A
∂N (j e) b j = ∂x 2A
Matriz de operadores diferenciales actuando sobre funciones de forma
(e ) φ i ( e) ∂ x N k ( e ) ∂ x ( e) φ = Ni (e ) j ∂ ∂ y N k (e ) φk y , ∇ T φ = Φ ( e )T B ( e ) T
∂N k(e ) bk = ∂x 2A
B
(e )
∂ x Ni(e ) = ( e) ∂ y N i
[
∂N i(e ) c = i ∂y 2A ∂ x N (j e ) ∂ y N (j e )
N (j e )
∂N (j e) c j = ∂y 2A
∂ x N k( e) 1 bi = (e ) ∂ y N k 2 A ci
N k(e )
]
φi( e) ( e) φ j φk( e)
∂N k(e ) ck = ∂y 2A bj cj
bk ck
Elemento finito Triangular Lineal Coordenadas de área k k
k
Coordenadas de área
L1 =
h1
L2 L1
L1 = 3 L1 = 4
L1 = 1
1 L1 = 2
b1
L1
L3
i
i
1 4
s1
j
j k
k
y
L1 =
h1 A2
L1 L1 = 0
A1
i
i
A3 j
s1 h1
b1 ⋅ s1 2 A1 = b1 ⋅ h1 2 A
b1
s1 j
x
Elemento finito Triangular Lineal Coordenadas de área k y
L2 =
b2 A2 sL2
b2 ⋅ s2 2 A2 = b2 ⋅ h2 2 A
y
k L3 =
h3
h2 A1
A2
L A1
i A3
i A3
1 x 2 A2 = 1 xk 1 xi 1 x 2 A1 = 1 x j 1 xk L1 =
y yk yi y yj yk
j
x
1 x 2 A3 = 1 xi 1 xj
y yi yj
s3
b3
j
x
L1 = N i 2 A1 = ( x j ⋅ yk − xk ⋅ y j ) + ( y j − yk ) ⋅ x + ( xk − x j ) ⋅ y
L2 = N j L3 = N k
1 1 ⋅ ( x j ⋅ yk − xk ⋅ y j ) + ( y j − yk ) ⋅ x + ( xk − x j ) ⋅ y = (a + b ⋅ x + ci ⋅ y ) = N i 2A 2A i i
[
b3 ⋅ s3 2 A3 = b3 ⋅ h3 2 A
]
Elemento finito Triangular Lineal Coordenadas de área
Integral de área
a b c L ⋅ L ⋅ L 1 2 3 dA = ∫ A
a! ⋅ b! ⋅ c! ⋅2A ( a + b + c + 2)!
Eisenberg & Malvern. Malvern. 1973
2h(b − s ' ) 2A s' 2 L1 = 1 = = 1− 2hb 2A b 2
Integral de lílínea. lado ij k y
h
L1 = l1 = N i A2
i
L2 = l2 = N j
Elem. Elem. Unidim. Unidim. lineal
L
A1 A1
s’ A3=0
L2 =
1
L ⋅ ∫ l1a ⋅ l2b dl = L ⋅ 0
b
j x
a! ⋅ b! (a + b + c + 1)!
Abramowitz & Stegun. Stegun. 1964
s' b
Elemento finito rectangular bilineal Función de aproximación
es un elemento bidimensional de aproximación bilineal de cuatro nudos y un grado de libertad por nudo, cuya función de aproximación es
φ (s, t ) = α1 + α 2 s + α 3t + α 4 st
Valores nodales
φi = φ (0,0) = α1 φ j = φ (2b,0) = α 1 + α 2 2b φk = φ (2b,2a ) = α1 + α 2 2b + α 3 2a + α 4 4ab φm = φ (0,2a) = α1 + α 3 2a
Funciones de forma
Elemento finito rectangular bilineal st N (e ) ( s, t ) = k 4ab
N i(e ) ( s, t ) =
(2b − s )(2a − t ) 4ab
s(2a − t ) N ( s, t ) = 4ab (e ) j
t (2b − s) N ( s, t ) = 4ab (e ) m
Elemento finito rectangular bilineal Función de aproximación (e ) ( e) ( e) (e) (e) (e ) (e ) (e ) Función de aproximación φ (s, t ) = N i (s, t ) φi + N j (s, t ) φ j + N k (s, t ) φ k + N m ( s, t ) φm
[
Matriz de funciones de forma
N (e ) = N i( e)
N (j e )
Vector de valores nodales
Φ ( e) = φi( e ) φ (j e ) φk( e ) φm( e)
[
N k(e )
N m( e)
]
]
T
Función de aproximación (expresión matricial) φi( e) ( e) φ φ = N ( e) Φ ( e) = Ni(e ) N (j e) N k(e ) N m(e ) j( e) → φ = Φ ( e)T N (e )T φk ( e) φm st (e ) (2b − s )(2a − t ) s(2a − t ) (e ) (e ) N ( s , t ) = N i ( s, t ) = N j ( s, t ) = k 4ab 4ab 4ab
[
]
N (e ) =
1 [(2b − s)(2a − t ) s (2a − t ) st t (2b − s)] 4ab
N m(e ) ( s, t ) =
t (2b − s) 4ab
Elemento finito rectangular bilineal Derivadas de la función de aproximación (e )
∂φ ∂φ ∂N i(e ) ( e ) ∂N j ( e) ∂N k(e ) (e ) ∂N m( e) (e ) = = φ + φ + φ + φ ∂x ∂s ∂s i ∂s j ∂s k ∂s m (e ) ∂φ ∂φ ∂N i(e ) ( e ) ∂N j ( e) ∂N k(e ) (e ) ∂N m( e) (e ) = = φi + φj + φk + φm ∂y ∂t ∂t ∂t ∂t ∂t
Derivadas de la función de aproximación expresada matricialmente
∂ x ∂ xφ ∂ x N i(e ) ∴ ∇ = , ∇φ = = ( e) φ ∂ ∂ ∂ N y y y i
∂ x ∇φ = N i(e ) ∂ y
[
∴ B ( e ) = ∇N ( e )
N (j e)
N k(e )
N m(e )
]
, ∇φ = ∇N ( e ) Φ ( e )
∂ x N (j e ) ∂ y N (j e )
φi( e) ( e) φ j φ k( e) ( e) φ m = B (e ) Φ (e )
∂ x N k(e ) ∂ y N k( e)
φi(e ) ∂ x N m(e ) φ (j e ) ∂ y N m(e ) φk(e ) (e ) φm
, ∇ T φ = Φ ( e )T B ( e )T
Elemento finito rectangular bilineal Derivadas de la función de aproximación
Matriz de operadores diferenciales actuando sobre funciones de forma ∂ x N i(e ) B (s, t ) = (e ) ∂ y Ni (e )
B (e ) (s, t ) =
∂ x N (j e )
∂ x N k( e)
∂ y N (j e)
∂ y N k(e )
∂ x N m(e ) ∂ y N m( e)
−t 1 − ( 2 a − t ) (2 a − t ) t 4ab − (2b − s) −s s (2b − s)
Elementos finitos de orden superior Elementos triangulares 3
3
φ = α1 + α 2 x + α 3 y
6
Triangular Lineal
y
5
y 1 1
x
x
3
2
4
9
Triangular cuadrá cuadrático
8
φ = α1 + α 2 x + α 3 y + α 4 xy + α 5 x 2 + α 6 y 2
7 10
1
6
y x
2
4 5
1
Triangular cúbico
x x2
2
φ = α1 + α 2 x + α 3 y + α 4 xy + α 5 x 2 + α 6 y 2 + + α 7 x 3 + α 8 x 2 y + α 9 xy 2 + α10 y 3
x3 x4
y xy
x2 y x3 y
Triá Triángulo de Pascal
y2 xy 2
x2 y 2
y3 xy 3
y4
Elementos rectangulares
Elementos finitos de orden superior
y 4
1
Rectangular de 9 nudos. Lagrange
Rectangular Bilineal. Bilineal. Lagrange
y
3
2
4
7
3
8
9
6
1
5
2
x
x
Rectangular de 5 nudos. Serendipity
y
Rectangular de 8 nudos. Serendipity
y 4
3
4 8
5
1
7
2
1 x
3 6
5
2 x
Elementos cuadrilaterales
Elementos finitos isoparam isoparamé étricos
Cuadrilateral Lineal. Isoparamé Isoparamétrico
y 4
η
4
3
3
Rectangular Bilineal
ξ 2
1
Elemento Patró Patrón
1 2
x
Cuadrilateral de 9 nudos. Isoparamé Isoparamétrico
η
4
7
3
8
9
6
1
5
y
3
7 4 9
8
6 ξ
2
Elemento Patró Patrón
1
5 2 x
Elemento finito cuadrilaterial lineal Elemento patrón Rectangular Bilineal
y
t
η 3
4
Funciones de Forma en coordenadas naturales 1 (1 − ξ )(1 − η ) 4 1 N 2(e ) (ξ ,η ) = (1 + ξ )(1 −η ) 4 1 N 3(e ) (ξ ,η ) = (1 + ξ )(1 + η ) 4 1 N 4(e ) (ξ ,η ) = (1 − ξ )(1 + η ) 4 N1(e ) (ξ ,η ) =
a
ξ Coordenadas naturales
b a
b
1
s
2 Coordenadas locales
Coordenadas globales
x
Función de aproximación
φ (ξ ,η ) = N1(e ) (ξ ,η )φ1( e ) + N 2( e) (ξ ,η )φ2(e ) + N 3(e ) (ξ ,η )φ3(e ) + N 4(e ) (ξ ,η )φ4( e )
Elemento finito cuadrilaterial lineal Definición Cuadrilateral Lineal
y
Funciones de Forma en coordenadas naturales
η 4
(x3 , y3 ) (x, y )
(x4 , y4 )
3
ξ 1
(x1, y1 )
(x2 , y2 )
1 (1 − ξ )(1 − η ) 4 1 N 2(e ) (ξ ,η ) = (1 + ξ )(1 −η ) 4 1 N 3(e ) (ξ ,η ) = (1 + ξ )(1 + η ) 4 1 N 4(e ) (ξ ,η ) = (1 − ξ )(1 + η ) 4 N1(e ) (ξ ,η ) =
2
x
Las funciones de forma del elemento cuadrilaterial lineal son iguales a las de su elemento patrón: el rectangular bilineal
Función de aproximación
φ (ξ ,η ) = N1(e ) (ξ ,η )φ1( e ) + N 2( e) (ξ ,η )φ2(e ) + N 3(e ) (ξ ,η )φ3(e ) + N 4(e ) (ξ ,η )φ4( e )
Elemento finito cuadrilaterial lineal Función de aproximación
Función de aproximación
φ (ξ ,η ) = N1(e ) (ξ ,η )φ1( e ) + N 2( e) (ξ ,η )φ2(e ) + N 3(e ) (ξ ,η )φ3(e ) + N 4(e ) (ξ ,η )φ4( e ) Geometría del elemento x(ξ ,η ) = N1(e ) (ξ ,η ) x1(e ) + N 2(e ) (ξ ,η ) x2(e ) + N 3(e ) (ξ ,η ) x3(e ) + N 4(e ) (ξ ,η ) x4(e ) y(ξ ,η ) = N1(e ) (ξ ,η ) y1( e ) + N 2( e) (ξ ,η ) y2(e ) + N 3( e ) (ξ ,η ) y3(e ) + N 4(e ) (ξ ,η ) y4(e ) Las funciones de forma de la función de aproximación definen la geometría del elemento finito
Cuadrilateral Lineal
y
η 4
Ejemplo: geometría del lado 3-4
(x3 , y3 ) (x, y )
− 1 ≤ ξ ≤ 1 , η = 1 → N1(e ) = 0 , N 2(e ) = 0 1 1 N 3(e ) (ξ ) = (1 + ξ ) , N 4(e ) (ξ ) = (1 − ξ ) 2 2 x(ξ ) = 12 (1 + ξ ) x3(e ) + 12 (1 − ξ ) x4( e) ( e) 3
y(ξ ) = (1 + ξ ) y 1 2
+ (1 − ξ ) y 1 2
(e ) 4
(x4 , y4 )
3
ξ 1
(x1, y1 )
(x2 , y2 )
2
x
Elemento finito cuadrilaterial lineal Función de aproximación y geometría
φ1( e) ( e) Función de aproximación (e ) (e ) ( e) ( e ) φ2 (e ) (e) φ (ξ ,η ) = N1 φ (ξ ,η ) = N (ξ ,η ) Φ (expresión matricial) N2 N3 N4 φ3( e) ( e) φ4 Función de forma 1 (e ) N = [(1 − ξ )(1 −η ) (1 + ξ )(1 − η ) (1 + ξ )(1 + η ) (1 − ξ )(1 + η )] (expresión matricial) 4
[
]
Geometría del elemento (expresión matricial)
[x
[
y ] = N1( e )
N 2(e )
N 3(e )
~ x (e ) (ξ ,η ) = Ν (e ) (ξ ,η ) x (e )
N 4( e)
]
x1( e) ( e) x2 x3( e) ( e) x4
y
η 4
y1(e ) y2(e ) y3(e ) y4(e )
(x3 , y3 ) (x, y )
(x4 , y4 )
3
ξ 1
(x1, y1 )
(x2 , y2 )
2
x
Elemento finito cuadrilaterial lineal Matriz Jacobiano
Cambio de variables para integrales dobles
∫∫
f
(e )
( x, y ) dx dy = ∫∫ f
1 1 (e)
(s, t ) ds dt = ∫ ∫ f (e ) (ξ ,η ) ⋅ det J (e ) (ξ ,η ) dξ dη −1 −1
J(e)
∂x ∂ξ = ∂x ∂η
J(e)
∂N1(e ) ∂ξ = (e ) ∂N1 ∂η
∂y ∂ ∂ξ ∂ξ = [x ∂y ∂ ∂η ∂η (e ) 2
∂N ∂ξ ∂N 2(e ) ∂η
(e ) 3
∂N ∂ξ ∂N 3(e ) ∂η
y] = ∇~ x (e ) = ∇N ( e ) (ξ ,η ) x (e ) = B ( e) (ξ ,η ) x (e ) ∂N x1 (e ) ∂ξ x2 ∂N 4(e ) x3(e ) ∂η x4(e )
1 − (1 − η ) (1 − η ) J (ξ ,η ) = 4 − (1 − ξ ) − (1 + ξ ) (e)
(e ) 4
(e )
(1 + η ) (1 + ξ )
, ∴ B (e ) = ∇N (e )
y1( e ) y2( e ) y3( e ) y4( e ) x1(e ) − (1 + η ) x2(e ) (1 − ξ ) x3(e ) (e ) x4
y1( e) y2( e) = B (e ) (ξ ,η ) x (e ) ( e) y3 y4( e)
Elemento finito cuadrilaterial lineal Cuadratura de Gauss – Legendre 1
n
−1
i =1
∫ g (ξ ) dξ = ∑ W g (ξ )
Espacio unidimensional
i
i
Mayor P.
n
ξi
Wi
1
0.0
2.0
1
1.0
2
1.0
3
1
8/9
4
∫ g (ξ ) dξ
5/9
5
2 3
-0.577350 +0.577350 0.0 -0.774597 +0.774597
g(ξ) g(-0.577350)
−1
-1
5/9
2n −1 ≥ mayor potencia de ξ
-0.577350
g(+0.577350)
ξ
+0.577350 +1
1
∫ g (ξ ) dξ = 1.0 ⋅ g (−0.577350) + 1.0 ⋅ g (+0.577350) −1
Elemento finito cuadrilaterial lineal Cuadratura de Gauss – Legendre 1 1
n
∫ ∫ g (ξ ,η ) dξ dη = ∑∑ W ⋅W
Espacio bidimensional
i
2 3
Wi
0.0
2.0
1
1.0
2
1.0
3
8/9
4
-0.774597
5/9
5
+0.774597
5/9
0.0
⋅ g (ξi ,η j )
(x4 , y4 )
Mayor P.
ξi -0.577350 +0.577350
j
i =1 j =1
−1 −1
nó m 1
m
2n − 1 ≥ mayor potencia de ξ 2m − 1 ≥ mayor potencia de η
(x3 , y3 ) 4
η 3
PG3 : (+ 0.5773,+ 0.5773)
PG 4 : (− 0.5773,+ 0.5773)
ξ PG1 : (− 0. 5773,−0.5773)
PG 2 : (+ 0.5773, −0.5773)
1 2
(x1, y1 ) n=m=2
(x2 , y2 )
Elemento finito cuadrilaterial lineal Vector de términos independientes 1 1
f
(e)
=Q
( e)
∫∫ N
( e) T
( x, y) dx dy = Q
(e )
∫∫ N
( e) T
( s, t ) ds dt = Q
(e )
( e) T N ∫ ∫ (ξ ,η ) ⋅ det[J ] dξ dη −1 −1
f
( e)
=Q
(e )
n
m
∑∑W W i
j
N (e )T (ξi ,η j ) ⋅ det J ( e) (ξ i ,η j )
(x3 , y3 )
i =1 j =1
η
(x4 , y4 )
Considerando que la mayor potencia de la función integrada es 1 4
3
n = m = 1 → f ( e ) = Q ( e) ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ N (e )T (0,0) ⋅ det J (e ) (0,0) ξ
Matriz Jacobiano evaluada en el punto de Gauss
J ( e ) (0,0) = B ( e ) (0,0) x( e)
1 − 1 1 = 4 − 1 − 1
1 1
x − 1 x 1 x x
( e) 1 ( e) 2 ( e) 3 ( e) 4
y y y y (e ) 1 (e ) 2 (e ) 3 (e ) 4
PG1 : (0.0,0.0) 1
(x1, y1 )
Matriz de funciones de forma evaluada en el punto de Gauss 1 N (e ) (0,0) = [1 1 1 1] 4
2
n=m=1
(x2 , y2 )
Elemento finito cuadrilaterial lineal Matriz de operadores diferenciales actuando funciones de forma
∂N (e ) (ξ ,η ) ∂x ∂N ( e) ( x, y) ∂y ∂N (e ) ( x, y ) = ⋅ + ⋅ ∂ξ ∂ξ ∂x ∂ξ ∂y ∂N (e ) (ξ ,η ) ∂x ∂N ( e ) ( x, y ) ∂y ∂N (e ) ( x, y) = ⋅ + ⋅ ∂η ∂η ∂x ∂η ∂y ∂ ξ N ((ξe ),η ) ∂ξ x ∂ξ y ∂ x N (( ex), y ) ( e) ( e) (e ) = = ∇ N ( , ) = J ( , ) ∇ N ( x, y ) ξ η ξ η (e ) (e ) ∂ x ∂ y ∂η N (ξ ,η ) η η ∂ y N ( x, y ) T
T
∂ ∂ ∂ ∂ ∇= , ∇ = ∂ξ ∂η ∂x ∂y B ( e) (ξ ,η ) = J (e ) (ξ ,η ) B (e ) ( x, y ) → B (e ) ( x, y ) = J ( e )−1 (ξ ,η ) B (e ) (ξ ,η ) B ( e)
∂ ∂ξ ( e) (e ) = ∇ N (ξ ,η ) = N1 ∂ ∂η
[
N 2(e )
N 3( e)
N 4(e )
]
Elemento finito cuadrilaterial lineal Matriz de rigidez
1 1
K
(e ) D
= ∫∫ B
( e )T
( x, y) D B ( x, y ) dx dy = ∫ ∫ B (e )T (ξ ,η ) D (e )B ( e) (ξ ,η ) ⋅ det J (e ) (ξ ,η ) dξ dη ( e)
(e )
−1 −1
K
(e ) D
n
m
= ∑∑Wi W j B ( e)T (ξi ,η j ) D(e ) B (e ) (ξi ,η j ) ⋅ det J ( e) (ξ i ,η j ) i =1 j =1
K
(e ) D
n
m
= ∑∑Wi W j B ( e )T (ξ i ,η j ) J (e )−T (ξi ,η j ) D(e ) J (e )−1 (ξi ,η j ) B (e ) (ξi ,η j ) ⋅ det J (e ) (ξi ,η j ) i =1 j =1
siendo B ( e) (ξ i ,η j ) =
1 − (1 −η j ) 4 − (1 − ξi )
J ( e ) (ξi ,η j ) = B (e ) (ξi ,η j ) x( e)
(1 − η j )
(1 + η j )
− (1 + ξi )
(1 + ξi )
− (1 + η j ) , x (e ) (1 − ξ i )
x1(e ) (e ) x = 2(e ) x3 (e ) x4
y1( e) y2( e) y3( e) y4( e)
Elemento finito cuadrilaterial lineal Matriz de rigidez
Considerando que la mayor potencia de la función integrada es 2 n=m=2
K
(e ) D
PG (k (k)
ξ
η
W
1
-0.577350
-0.577350
1.0
2
-0.577350
0.577350
1.0
3
0.577350
-0.577350
1.0
4
0.577350
0.577350
1.0
4
= ∑ B (e )T (ξ k ,ηk ) J ( e )−T (ξ k ,η k ) D( e) J ( e) −1 (ξ k ,η k ) B (e ) (ξ k ,ηk ) ⋅ det J ( e ) (ξ k ,η k ) k =1
siendo 1 − (1 −η k ) (1 − η k ) B (ξ k ,η k ) = 4 − (1 − ξ k ) − (1 + ξ k ) ( e)
(1 + η k ) (1 + ξ k )
− (1 + η k ) , x (e ) (1 − ξ k )
x1(e ) (e ) x = 2(e ) x3 (e ) x4
y1( e) y2( e) y3( e) y4( e)
J ( e ) (ξ k ,η k ) = B (e ) (ξ k ,ηk ) x (e ) Elementos finitos de campo bidimensional. Cuadrilateral Lineal
Elemento finito cuadrilaterial lineal Matriz de rigidez
B ( e) (ξ k ,ηk ) (ξ,η)=((ξ,η)=(-0.577350, -0.577350)
(ξ,η)=((ξ,η)=(-0.577350, 0.577350)
(ξ,η)=(0.577350, (ξ,η)=(0.577350, -0.577350)
(ξ,η)=(0.577350, (ξ,η)=(0.577350, 0.577350)
Elemento finito cuadrilaterial lineal Matriz de rigidez 1 1
K
(e ) G
= ∫∫ G N (e )
(e )T
( x, y )N ( x, y) dx dy = ∫ ∫ G ( e) N (e )T (ξ ,η ) N (e ) (ξ ,η ) ⋅ det J (e ) (ξ ,η ) dξ dη ( e)
−1 −1
K
(e ) G
n
m
= ∑∑ Wi W j G (e ) N ( e)T (ξi ,η j ) N ( e) (ξ i ,η j ) ⋅ det J (e ) (ξi ,η j ) i =1 j =1
Considerando que la mayor potencia de la función integrada es 2 n=m=2
K
(e ) G
punto
ξ
η
W
1
-0.577350
-0.577350
1.0
2
-0.577350
0.577350
1.0
3
0.577350
-0.577350
1.0
4
0.577350
0.577350
1.0
4
= ∑ G (e ) N ( e )T (ξ k ,η k ) N (e ) (ξ k ,ηk ) ⋅ det J ( e) (ξk ,η k ) k =1
Elemento finito cuadrilaterial lineal Matriz de rigidez
Matriz de funciones de forma 1 N (e ) (ξ k ,ηk ) = [(1 − ξ k )(1 − ηk ) (1 + ξ k )(1 − ηk ) (1 + ξ k )(1 + η k ) (1 − ξ k )(1 + ηk )] 4 Matriz de operadores diferenciales en coordenadas naturales actuando sobre funciones de forma 1 − (1 − ηk ) (1 − ηk ) B (ξ k ,η k ) = 4 − (1 − ξ k ) − (1 + ξ k ) ( e)
Matriz de coordenadas de los nudos
x( e)
x1(e ) (e ) x = 2(e ) x3 (e ) x4
y1(e ) y2(e ) y3(e ) y4(e )
(1 + ηk ) (1 + ξ k )
− (1 + ηk ) (1 − ξ k ) Matriz Jacobiano
J ( e ) (ξ k ,η k ) = B (e ) (ξ k ,ηk ) x( e )
Elemento finito cuadrilaterial lineal Matriz de rigidez
N (e )T (ξ k ,ηk ) N (e ) (ξ k ,ηk ) 1
(ξ,η)=((ξ,η)=(-0.577350, -0.577350)
2
(ξ,η)=((ξ,η)=(-0.577350, 0.577350)
0.386894 0.103668 0.027778 0.103668
0.027778 0.007443 0.027778 0.103668
0.103668 0.027778 0.007443 0.027778
0.007443 0.001994 0.007443 0.027778
0.027778 0.007443 0.001994 0.007443
0.027778 0.007443 0.027778 0.103668
0.103668 0.027778 0.007443 0.027778
0.103668 0.027778 0.103668 0.386894
3
(ξ,η)=(0.577350, (ξ,η)=(0.577350, -0.577350)
4
(ξ,η)=(0.577350, (ξ,η)=(0.577350, 0.577350)
0.027778 0.103668 0.027778 0.007443
0.001994 0.007443 0.027778 0.007443
0.103668 0.386894 0.103668 0.027778
0.007443 0.027778 0.103668 0.027778
0.027778 0.103668 0.027778 0.007443
0.027778 0.103668 0.386894 0.103668
0.007443 0.027778 0.007443 0.001994
0.007443 0.027778 0.103668 0.027778
φ j = φ ( x j , y j ) = α1 + α 2 x j + α 3 y j φ k = φ ( xk , yk ) = α 1 + α 2 xk + α 3 yk
φk
φj φi
Elemento finito Triangular Lineal Función de aproximación φi 1 xi φ = 1 x j j φk 1 xk
yi α 1 y j α 2 ⇔ yk α 3 1 det Z = 1 1
φi det Z1 = φ j φk
Aplicando la regla de Cramer Φ (e ) = Z α xi xj xk
α1 =
det Z1 det Z
, α2 =
det Z 2 det Z
, α3 =
det Z3 det Z
yi y j = ( x j yk − xk y j ) − ( xi yk − xk yi ) + ( xi y j − x j yi ) = 2 A yk Área del elemento finito xi yi x j y j = ( x j yk − xk y j )φi − ( xi yk − xk yi )φ j + ( xi y j − x j yi )φk xk yk
1 φi det Z 2 = 1 φ j 1 φk
yi y j = −( yk − y j )φi + ( yk − yi )φ j − ( y j − yi )φk yk
1 xi det Z3 = 1 x j 1 xk
φi φ j = ( xk − x j )φi − ( xk − xi )φ j + ( x j − xi )φk φk
Elemento finito Triangular Lineal Función de aproximación 1 ( x j yk − xk y j )φi + ( xk yi − xi yk )φ j + ( xi y j − x j yi )φk 2A 1 ( y j − yk )φi + ( yk − yi )φ j + ( yi − y j )φk α2 = 2A 1 α3 = ( xk − x j )φi + ( xi − xk )φ j + ( x j − xi )φ k 2A
α1 =
[
[
]
]
[
]
Sean ai = x j yk − xk y j
bi = y j − yk
ci = xk − x j
a j = xk yi − xi yk
b j = yk − yi
c j = xi − xk
ak = xi y j − x j yi
bk = yi − y j
ck = x j − xi
La función de aproximación se puede expresar como: 1 φ ( x, y ) = (ai + bi x + ci y)φi + (a j + b j x + c j y)φ j + (ak + bk x + ck y )φk 2A
[
φ ( x, y ) = N i( e ) ( x, y ) φi + N (j e ) ( x, y) φ j + N k(e ) ( x, y) φk
]
Funciones de forma Elemento Triangular Lineal
Nj =
Ni =
1 (ai + bi x + ci y ) 2A
ai = x j yk − xk y j a j = xk yi − xi yk ak = xi y j − x j yi
Nk =
1 (ak + bk x + ck y ) 2A
1 (a j + b j x + c j y) 2A
bi = y j − yk b j = yk − yi bk = yi − y j ci = xk − x j c j = xi − xk ck = x j − xi
Elemento finito Triangular Lineal Funciones de forma
Función de aproximación
φ ( x, y ) = N i( e ) ( x, y ) φi(e ) + N (je ) ( x, y) φ (j e ) + N k( e) ( x, y ) φk(e )
Matriz de funciones de forma
N (e ) = N i( e)
[
N (j e )
[
Vector de valores nodales
N k( e )
Φ ( e ) = φi( e) φ (j e ) φk( e )
]
]
T
Función de aproximación (expresión matricial)
φ = N ( e) Φ ( e) = [Ni(e )
N (e ) =
N (j e)
N k(e )
]
φi( e) ( e) ( e )T ( e )T φ → φ = Φ N j φ k( e)
1 (ai + bi x + ci y ) (a j + b j x + c j y ) (ak + bk x + ck y ) 2A
[
]
Elemento finito Triangular Lineal Derivadas de las funciones de forma
Derivadas de la función de aproximación
(e ) ∂φ ( x, y) ∂N i(e ) ( x, y ) ( e) ∂N j ( x, y ) ( e) ∂N k( e ) ( x, y ) ( e) = φi + φj + φk ∂x ∂x ∂x ∂x (e ) ∂φ ( x, y) ∂N i(e ) ( x, y ) ( e) ∂N j ( x, y ) ( e) ∂N k( e ) ( x, y ) ( e) = φi + φj + φk ∂y ∂y ∂y ∂y
expresada matricialmente ∂ x ∂ xφ ∂ x N i(e ) ∴ ∇ = , ∇φ = = ( e) φ ∂ ∂ ∂ N y y y i ∴ B ( e ) = ∇N ( e )
donde
∂ x N (j e ) ∂yN
(e ) j
, ∇φ = ∇N ( e ) Φ ( e ) = B ( e ) Φ ( e )
∂N i(e ) bi = ∂x 2A
∂N (j e) b j = ∂x 2A
Matriz de operadores diferenciales actuando sobre funciones de forma
(e ) φ i ( e) ∂ x N k ( e ) ∂ x ( e) φ = Ni (e ) j ∂ ∂ y N k (e ) φk y , ∇ T φ = Φ ( e )T B ( e ) T
∂N k(e ) bk = ∂x 2A
B
(e )
∂ x Ni(e ) = ( e) ∂ y N i
[
∂N i(e ) c = i ∂y 2A ∂ x N (j e ) ∂ y N (j e )
N (j e )
∂N (j e) c j = ∂y 2A
∂ x N k( e) 1 bi = (e ) ∂ y N k 2 A ci
N k(e )
]
φi( e) ( e) φ j φk( e)
∂N k(e ) ck = ∂y 2A bj cj
bk ck
Elemento finito Triangular Lineal Coordenadas de área k k
k
Coordenadas de área
L1 =
h1
L2 L1
L1 = 3 L1 = 4
L1 = 1
1 L1 = 2
b1
L1
L3
i
i
1 4
s1
j
j k
k
y
L1 =
h1 A2
L1 L1 = 0
A1
i
i
A3 j
s1 h1
b1 ⋅ s1 2 A1 = b1 ⋅ h1 2 A
b1
s1 j
x
Elemento finito Triangular Lineal Coordenadas de área k y
L2 =
b2 A2 sL2
b2 ⋅ s2 2 A2 = b2 ⋅ h2 2 A
y
k L3 =
h3
h2 A1
A2
L A1
i A3
i A3
1 x 2 A2 = 1 xk 1 xi 1 x 2 A1 = 1 x j 1 xk L1 =
y yk yi y yj yk
j
x
1 x 2 A3 = 1 xi 1 xj
y yi yj
s3
b3
j
x
L1 = N i 2 A1 = ( x j ⋅ yk − xk ⋅ y j ) + ( y j − yk ) ⋅ x + ( xk − x j ) ⋅ y
L2 = N j L3 = N k
1 1 ⋅ ( x j ⋅ yk − xk ⋅ y j ) + ( y j − yk ) ⋅ x + ( xk − x j ) ⋅ y = (a + b ⋅ x + ci ⋅ y ) = N i 2A 2A i i
[
b3 ⋅ s3 2 A3 = b3 ⋅ h3 2 A
]
Elemento finito Triangular Lineal Coordenadas de área
Integral de área
a b c L ⋅ L ⋅ L 1 2 3 dA = ∫ A
a! ⋅ b! ⋅ c! ⋅2A ( a + b + c + 2)!
Eisenberg & Malvern. Malvern. 1973
2h(b − s ' ) 2A s' 2 L1 = 1 = = 1− 2hb 2A b 2
Integral de lílínea. lado ij k y
h
L1 = l1 = N i A2
i
L2 = l2 = N j
Elem. Elem. Unidim. Unidim. lineal
L
A1 A1
s’ A3=0
L2 =
1
L ⋅ ∫ l1a ⋅ l2b dl = L ⋅ 0
b
j x
a! ⋅ b! (a + b + c + 1)!
Abramowitz & Stegun. Stegun. 1964
s' b
Elemento finito rectangular bilineal Función de aproximación
es un elemento bidimensional de aproximación bilineal de cuatro nudos y un grado de libertad por nudo, cuya función de aproximación es
φ (s, t ) = α1 + α 2 s + α 3t + α 4 st
Valores nodales
φi = φ (0,0) = α1 φ j = φ (2b,0) = α 1 + α 2 2b φk = φ (2b,2a ) = α1 + α 2 2b + α 3 2a + α 4 4ab φm = φ (0,2a) = α1 + α 3 2a
Funciones de forma
Elemento finito rectangular bilineal st N (e ) ( s, t ) = k 4ab
N i(e ) ( s, t ) =
(2b − s )(2a − t ) 4ab
s(2a − t ) N ( s, t ) = 4ab (e ) j
t (2b − s) N ( s, t ) = 4ab (e ) m
Elemento finito rectangular bilineal Función de aproximación (e ) ( e) ( e) (e) (e) (e ) (e ) (e ) Función de aproximación φ (s, t ) = N i (s, t ) φi + N j (s, t ) φ j + N k (s, t ) φ k + N m ( s, t ) φm
[
Matriz de funciones de forma
N (e ) = N i( e)
N (j e )
Vector de valores nodales
Φ ( e) = φi( e ) φ (j e ) φk( e ) φm( e)
[
N k(e )
N m( e)
]
]
T
Función de aproximación (expresión matricial) φi( e) ( e) φ φ = N ( e) Φ ( e) = Ni(e ) N (j e) N k(e ) N m(e ) j( e) → φ = Φ ( e)T N (e )T φk ( e) φm st (e ) (2b − s )(2a − t ) s(2a − t ) (e ) (e ) N ( s , t ) = N i ( s, t ) = N j ( s, t ) = k 4ab 4ab 4ab
[
]
N (e ) =
1 [(2b − s)(2a − t ) s (2a − t ) st t (2b − s)] 4ab
N m(e ) ( s, t ) =
t (2b − s) 4ab
Elemento finito rectangular bilineal Derivadas de la función de aproximación (e )
∂φ ∂φ ∂N i(e ) ( e ) ∂N j ( e) ∂N k(e ) (e ) ∂N m( e) (e ) = = φ + φ + φ + φ ∂x ∂s ∂s i ∂s j ∂s k ∂s m (e ) ∂φ ∂φ ∂N i(e ) ( e ) ∂N j ( e) ∂N k(e ) (e ) ∂N m( e) (e ) = = φi + φj + φk + φm ∂y ∂t ∂t ∂t ∂t ∂t
Derivadas de la función de aproximación expresada matricialmente
∂ x ∂ xφ ∂ x N i(e ) ∴ ∇ = , ∇φ = = ( e) φ ∂ ∂ ∂ N y y y i
∂ x ∇φ = N i(e ) ∂ y
[
∴ B ( e ) = ∇N ( e )
N (j e)
N k(e )
N m(e )
]
, ∇φ = ∇N ( e ) Φ ( e )
∂ x N (j e ) ∂ y N (j e )
φi( e) ( e) φ j φ k( e) ( e) φ m = B (e ) Φ (e )
∂ x N k(e ) ∂ y N k( e)
φi(e ) ∂ x N m(e ) φ (j e ) ∂ y N m(e ) φk(e ) (e ) φm
, ∇ T φ = Φ ( e )T B ( e )T
Elemento finito rectangular bilineal Derivadas de la función de aproximación
Matriz de operadores diferenciales actuando sobre funciones de forma ∂ x N i(e ) B (s, t ) = (e ) ∂ y Ni (e )
B (e ) (s, t ) =
∂ x N (j e )
∂ x N k( e)
∂ y N (j e)
∂ y N k(e )
∂ x N m(e ) ∂ y N m( e)
−t 1 − ( 2 a − t ) (2 a − t ) t 4ab − (2b − s) −s s (2b − s)
Elementos finitos de orden superior Elementos triangulares 3
3
φ = α1 + α 2 x + α 3 y
6
Triangular Lineal
y
5
y 1 1
x
x
3
2
4
9
Triangular cuadrá cuadrático
8
φ = α1 + α 2 x + α 3 y + α 4 xy + α 5 x 2 + α 6 y 2
7 10
1
6
y x
2
4 5
1
Triangular cúbico
x x2
2
φ = α1 + α 2 x + α 3 y + α 4 xy + α 5 x 2 + α 6 y 2 + + α 7 x 3 + α 8 x 2 y + α 9 xy 2 + α10 y 3
x3 x4
y xy
x2 y x3 y
Triá Triángulo de Pascal
y2 xy 2
x2 y 2
y3 xy 3
y4
Elementos rectangulares
Elementos finitos de orden superior
y 4
1
Rectangular de 9 nudos. Lagrange
Rectangular Bilineal. Bilineal. Lagrange
y
3
2
4
7
3
8
9
6
1
5
2
x
x
Rectangular de 5 nudos. Serendipity
y
Rectangular de 8 nudos. Serendipity
y 4
3
4 8
5
1
7
2
1 x
3 6
5
2 x
Elementos cuadrilaterales
Elementos finitos isoparam isoparamé étricos
Cuadrilateral Lineal. Isoparamé Isoparamétrico
y 4
η
4
3
3
Rectangular Bilineal
ξ 2
1
Elemento Patró Patrón
1 2
x
Cuadrilateral de 9 nudos. Isoparamé Isoparamétrico
η
4
7
3
8
9
6
1
5
y
3
7 4 9
8
6 ξ
2
Elemento Patró Patrón
1
5 2 x
Elemento finito cuadrilaterial lineal Elemento patrón Rectangular Bilineal
y
t
η 3
4
Funciones de Forma en coordenadas naturales 1 (1 − ξ )(1 − η ) 4 1 N 2(e ) (ξ ,η ) = (1 + ξ )(1 −η ) 4 1 N 3(e ) (ξ ,η ) = (1 + ξ )(1 + η ) 4 1 N 4(e ) (ξ ,η ) = (1 − ξ )(1 + η ) 4 N1(e ) (ξ ,η ) =
a
ξ Coordenadas naturales
b a
b
1
s
2 Coordenadas locales
Coordenadas globales
x
Función de aproximación
φ (ξ ,η ) = N1(e ) (ξ ,η )φ1( e ) + N 2( e) (ξ ,η )φ2(e ) + N 3(e ) (ξ ,η )φ3(e ) + N 4(e ) (ξ ,η )φ4( e )
Elemento finito cuadrilaterial lineal Definición Cuadrilateral Lineal
y
Funciones de Forma en coordenadas naturales
η 4
(x3 , y3 ) (x, y )
(x4 , y4 )
3
ξ 1
(x1, y1 )
(x2 , y2 )
1 (1 − ξ )(1 − η ) 4 1 N 2(e ) (ξ ,η ) = (1 + ξ )(1 −η ) 4 1 N 3(e ) (ξ ,η ) = (1 + ξ )(1 + η ) 4 1 N 4(e ) (ξ ,η ) = (1 − ξ )(1 + η ) 4 N1(e ) (ξ ,η ) =
2
x
Las funciones de forma del elemento cuadrilaterial lineal son iguales a las de su elemento patrón: el rectangular bilineal
Función de aproximación
φ (ξ ,η ) = N1(e ) (ξ ,η )φ1( e ) + N 2( e) (ξ ,η )φ2(e ) + N 3(e ) (ξ ,η )φ3(e ) + N 4(e ) (ξ ,η )φ4( e )
Elemento finito cuadrilaterial lineal Función de aproximación
Función de aproximación
φ (ξ ,η ) = N1(e ) (ξ ,η )φ1( e ) + N 2( e) (ξ ,η )φ2(e ) + N 3(e ) (ξ ,η )φ3(e ) + N 4(e ) (ξ ,η )φ4( e ) Geometría del elemento x(ξ ,η ) = N1(e ) (ξ ,η ) x1(e ) + N 2(e ) (ξ ,η ) x2(e ) + N 3(e ) (ξ ,η ) x3(e ) + N 4(e ) (ξ ,η ) x4(e ) y(ξ ,η ) = N1(e ) (ξ ,η ) y1( e ) + N 2( e) (ξ ,η ) y2(e ) + N 3( e ) (ξ ,η ) y3(e ) + N 4(e ) (ξ ,η ) y4(e ) Las funciones de forma de la función de aproximación definen la geometría del elemento finito
Cuadrilateral Lineal
y
η 4
Ejemplo: geometría del lado 3-4
(x3 , y3 ) (x, y )
− 1 ≤ ξ ≤ 1 , η = 1 → N1(e ) = 0 , N 2(e ) = 0 1 1 N 3(e ) (ξ ) = (1 + ξ ) , N 4(e ) (ξ ) = (1 − ξ ) 2 2 x(ξ ) = 12 (1 + ξ ) x3(e ) + 12 (1 − ξ ) x4( e) ( e) 3
y(ξ ) = (1 + ξ ) y 1 2
+ (1 − ξ ) y 1 2
(e ) 4
(x4 , y4 )
3
ξ 1
(x1, y1 )
(x2 , y2 )
2
x
Elemento finito cuadrilaterial lineal Función de aproximación y geometría
φ1( e) ( e) Función de aproximación (e ) (e ) ( e) ( e ) φ2 (e ) (e) φ (ξ ,η ) = N1 φ (ξ ,η ) = N (ξ ,η ) Φ (expresión matricial) N2 N3 N4 φ3( e) ( e) φ4 Función de forma 1 (e ) N = [(1 − ξ )(1 −η ) (1 + ξ )(1 − η ) (1 + ξ )(1 + η ) (1 − ξ )(1 + η )] (expresión matricial) 4
[
]
Geometría del elemento (expresión matricial)
[x
[
y ] = N1( e )
N 2(e )
N 3(e )
~ x (e ) (ξ ,η ) = Ν (e ) (ξ ,η ) x (e )
N 4( e)
]
x1( e) ( e) x2 x3( e) ( e) x4
y
η 4
y1(e ) y2(e ) y3(e ) y4(e )
(x3 , y3 ) (x, y )
(x4 , y4 )
3
ξ 1
(x1, y1 )
(x2 , y2 )
2
x
Elemento finito cuadrilaterial lineal Matriz Jacobiano
Cambio de variables para integrales dobles
∫∫
f
(e )
( x, y ) dx dy = ∫∫ f
1 1 (e)
(s, t ) ds dt = ∫ ∫ f (e ) (ξ ,η ) ⋅ det J (e ) (ξ ,η ) dξ dη −1 −1
J(e)
∂x ∂ξ = ∂x ∂η
J(e)
∂N1(e ) ∂ξ = (e ) ∂N1 ∂η
∂y ∂ ∂ξ ∂ξ = [x ∂y ∂ ∂η ∂η (e ) 2
∂N ∂ξ ∂N 2(e ) ∂η
(e ) 3
∂N ∂ξ ∂N 3(e ) ∂η
y] = ∇~ x (e ) = ∇N ( e ) (ξ ,η ) x (e ) = B ( e) (ξ ,η ) x (e ) ∂N x1 (e ) ∂ξ x2 ∂N 4(e ) x3(e ) ∂η x4(e )
1 − (1 − η ) (1 − η ) J (ξ ,η ) = 4 − (1 − ξ ) − (1 + ξ ) (e)
(e ) 4
(e )
(1 + η ) (1 + ξ )
, ∴ B (e ) = ∇N (e )
y1( e ) y2( e ) y3( e ) y4( e ) x1(e ) − (1 + η ) x2(e ) (1 − ξ ) x3(e ) (e ) x4
y1( e) y2( e) = B (e ) (ξ ,η ) x (e ) ( e) y3 y4( e)
Elemento finito cuadrilaterial lineal Cuadratura de Gauss – Legendre 1
n
−1
i =1
∫ g (ξ ) dξ = ∑ W g (ξ )
Espacio unidimensional
i
i
Mayor P.
n
ξi
Wi
1
0.0
2.0
1
1.0
2
1.0
3
1
8/9
4
∫ g (ξ ) dξ
5/9
5
2 3
-0.577350 +0.577350 0.0 -0.774597 +0.774597
g(ξ) g(-0.577350)
−1
-1
5/9
2n −1 ≥ mayor potencia de ξ
-0.577350
g(+0.577350)
ξ
+0.577350 +1
1
∫ g (ξ ) dξ = 1.0 ⋅ g (−0.577350) + 1.0 ⋅ g (+0.577350) −1
Elemento finito cuadrilaterial lineal Cuadratura de Gauss – Legendre 1 1
n
∫ ∫ g (ξ ,η ) dξ dη = ∑∑ W ⋅W
Espacio bidimensional
i
2 3
Wi
0.0
2.0
1
1.0
2
1.0
3
8/9
4
-0.774597
5/9
5
+0.774597
5/9
0.0
⋅ g (ξi ,η j )
(x4 , y4 )
Mayor P.
ξi -0.577350 +0.577350
j
i =1 j =1
−1 −1
nó m 1
m
2n − 1 ≥ mayor potencia de ξ 2m − 1 ≥ mayor potencia de η
(x3 , y3 ) 4
η 3
PG3 : (+ 0.5773,+ 0.5773)
PG 4 : (− 0.5773,+ 0.5773)
ξ PG1 : (− 0. 5773,−0.5773)
PG 2 : (+ 0.5773, −0.5773)
1 2
(x1, y1 ) n=m=2
(x2 , y2 )
Elemento finito cuadrilaterial lineal Vector de términos independientes 1 1
f
(e)
=Q
( e)
∫∫ N
( e) T
( x, y) dx dy = Q
(e )
∫∫ N
( e) T
( s, t ) ds dt = Q
(e )
( e) T N ∫ ∫ (ξ ,η ) ⋅ det[J ] dξ dη −1 −1
f
( e)
=Q
(e )
n
m
∑∑W W i
j
N (e )T (ξi ,η j ) ⋅ det J ( e) (ξ i ,η j )
(x3 , y3 )
i =1 j =1
η
(x4 , y4 )
Considerando que la mayor potencia de la función integrada es 1 4
3
n = m = 1 → f ( e ) = Q ( e) ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ N (e )T (0,0) ⋅ det J (e ) (0,0) ξ
Matriz Jacobiano evaluada en el punto de Gauss
J ( e ) (0,0) = B ( e ) (0,0) x( e)
1 − 1 1 = 4 − 1 − 1
1 1
x − 1 x 1 x x
( e) 1 ( e) 2 ( e) 3 ( e) 4
y y y y (e ) 1 (e ) 2 (e ) 3 (e ) 4
PG1 : (0.0,0.0) 1
(x1, y1 )
Matriz de funciones de forma evaluada en el punto de Gauss 1 N (e ) (0,0) = [1 1 1 1] 4
2
n=m=1
(x2 , y2 )
Elemento finito cuadrilaterial lineal Matriz de operadores diferenciales actuando funciones de forma
∂N (e ) (ξ ,η ) ∂x ∂N ( e) ( x, y) ∂y ∂N (e ) ( x, y ) = ⋅ + ⋅ ∂ξ ∂ξ ∂x ∂ξ ∂y ∂N (e ) (ξ ,η ) ∂x ∂N ( e ) ( x, y ) ∂y ∂N (e ) ( x, y) = ⋅ + ⋅ ∂η ∂η ∂x ∂η ∂y ∂ ξ N ((ξe ),η ) ∂ξ x ∂ξ y ∂ x N (( ex), y ) ( e) ( e) (e ) = = ∇ N ( , ) = J ( , ) ∇ N ( x, y ) ξ η ξ η (e ) (e ) ∂ x ∂ y ∂η N (ξ ,η ) η η ∂ y N ( x, y ) T
T
∂ ∂ ∂ ∂ ∇= , ∇ = ∂ξ ∂η ∂x ∂y B ( e) (ξ ,η ) = J (e ) (ξ ,η ) B (e ) ( x, y ) → B (e ) ( x, y ) = J ( e )−1 (ξ ,η ) B (e ) (ξ ,η ) B ( e)
∂ ∂ξ ( e) (e ) = ∇ N (ξ ,η ) = N1 ∂ ∂η
[
N 2(e )
N 3( e)
N 4(e )
]
Elemento finito cuadrilaterial lineal Matriz de rigidez
1 1
K
(e ) D
= ∫∫ B
( e )T
( x, y) D B ( x, y ) dx dy = ∫ ∫ B (e )T (ξ ,η ) D (e )B ( e) (ξ ,η ) ⋅ det J (e ) (ξ ,η ) dξ dη ( e)
(e )
−1 −1
K
(e ) D
n
m
= ∑∑Wi W j B ( e)T (ξi ,η j ) D(e ) B (e ) (ξi ,η j ) ⋅ det J ( e) (ξ i ,η j ) i =1 j =1
K
(e ) D
n
m
= ∑∑Wi W j B ( e )T (ξ i ,η j ) J (e )−T (ξi ,η j ) D(e ) J (e )−1 (ξi ,η j ) B (e ) (ξi ,η j ) ⋅ det J (e ) (ξi ,η j ) i =1 j =1
siendo B ( e) (ξ i ,η j ) =
1 − (1 −η j ) 4 − (1 − ξi )
J ( e ) (ξi ,η j ) = B (e ) (ξi ,η j ) x( e)
(1 − η j )
(1 + η j )
− (1 + ξi )
(1 + ξi )
− (1 + η j ) , x (e ) (1 − ξ i )
x1(e ) (e ) x = 2(e ) x3 (e ) x4
y1( e) y2( e) y3( e) y4( e)
Elemento finito cuadrilaterial lineal Matriz de rigidez
Considerando que la mayor potencia de la función integrada es 2 n=m=2
K
(e ) D
PG (k (k)
ξ
η
W
1
-0.577350
-0.577350
1.0
2
-0.577350
0.577350
1.0
3
0.577350
-0.577350
1.0
4
0.577350
0.577350
1.0
4
= ∑ B (e )T (ξ k ,ηk ) J ( e )−T (ξ k ,η k ) D( e) J ( e) −1 (ξ k ,η k ) B (e ) (ξ k ,ηk ) ⋅ det J ( e ) (ξ k ,η k ) k =1
siendo 1 − (1 −η k ) (1 − η k ) B (ξ k ,η k ) = 4 − (1 − ξ k ) − (1 + ξ k ) ( e)
(1 + η k ) (1 + ξ k )
− (1 + η k ) , x (e ) (1 − ξ k )
x1(e ) (e ) x = 2(e ) x3 (e ) x4
y1( e) y2( e) y3( e) y4( e)
J ( e ) (ξ k ,η k ) = B (e ) (ξ k ,ηk ) x (e ) Elementos finitos de campo bidimensional. Cuadrilateral Lineal
Elemento finito cuadrilaterial lineal Matriz de rigidez
B ( e) (ξ k ,ηk ) (ξ,η)=((ξ,η)=(-0.577350, -0.577350)
(ξ,η)=((ξ,η)=(-0.577350, 0.577350)
(ξ,η)=(0.577350, (ξ,η)=(0.577350, -0.577350)
(ξ,η)=(0.577350, (ξ,η)=(0.577350, 0.577350)
Elemento finito cuadrilaterial lineal Matriz de rigidez 1 1
K
(e ) G
= ∫∫ G N (e )
(e )T
( x, y )N ( x, y) dx dy = ∫ ∫ G ( e) N (e )T (ξ ,η ) N (e ) (ξ ,η ) ⋅ det J (e ) (ξ ,η ) dξ dη ( e)
−1 −1
K
(e ) G
n
m
= ∑∑ Wi W j G (e ) N ( e)T (ξi ,η j ) N ( e) (ξ i ,η j ) ⋅ det J (e ) (ξi ,η j ) i =1 j =1
Considerando que la mayor potencia de la función integrada es 2 n=m=2
K
(e ) G
punto
ξ
η
W
1
-0.577350
-0.577350
1.0
2
-0.577350
0.577350
1.0
3
0.577350
-0.577350
1.0
4
0.577350
0.577350
1.0
4
= ∑ G (e ) N ( e )T (ξ k ,η k ) N (e ) (ξ k ,ηk ) ⋅ det J ( e) (ξk ,η k ) k =1
Elemento finito cuadrilaterial lineal Matriz de rigidez
Matriz de funciones de forma 1 N (e ) (ξ k ,ηk ) = [(1 − ξ k )(1 − ηk ) (1 + ξ k )(1 − ηk ) (1 + ξ k )(1 + η k ) (1 − ξ k )(1 + ηk )] 4 Matriz de operadores diferenciales en coordenadas naturales actuando sobre funciones de forma 1 − (1 − ηk ) (1 − ηk ) B (ξ k ,η k ) = 4 − (1 − ξ k ) − (1 + ξ k ) ( e)
Matriz de coordenadas de los nudos
x( e)
x1(e ) (e ) x = 2(e ) x3 (e ) x4
y1(e ) y2(e ) y3(e ) y4(e )
(1 + ηk ) (1 + ξ k )
− (1 + ηk ) (1 − ξ k ) Matriz Jacobiano
J ( e ) (ξ k ,η k ) = B (e ) (ξ k ,ηk ) x( e )
Elemento finito cuadrilaterial lineal Matriz de rigidez
N (e )T (ξ k ,ηk ) N (e ) (ξ k ,ηk ) 1
(ξ,η)=((ξ,η)=(-0.577350, -0.577350)
2
(ξ,η)=((ξ,η)=(-0.577350, 0.577350)
0.386894 0.103668 0.027778 0.103668
0.027778 0.007443 0.027778 0.103668
0.103668 0.027778 0.007443 0.027778
0.007443 0.001994 0.007443 0.027778
0.027778 0.007443 0.001994 0.007443
0.027778 0.007443 0.027778 0.103668
0.103668 0.027778 0.007443 0.027778
0.103668 0.027778 0.103668 0.386894
3
(ξ,η)=(0.577350, (ξ,η)=(0.577350, -0.577350)
4
(ξ,η)=(0.577350, (ξ,η)=(0.577350, 0.577350)
0.027778 0.103668 0.027778 0.007443
0.001994 0.007443 0.027778 0.007443
0.103668 0.386894 0.103668 0.027778
0.007443 0.027778 0.103668 0.027778
0.027778 0.103668 0.027778 0.007443
0.027778 0.103668 0.386894 0.103668
0.007443 0.027778 0.007443 0.001994
0.007443 0.027778 0.103668 0.027778
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