Ejercicios Resueltos Diagrama De Bloques 3x1zc
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Aut omá c a E j er c i c i os
Ca pí t ul o2. Di a g r a ma sdeBl oquesyF l uj og r a ma s
J os éRa mónL l a t aGa r c í a E s t herGonz á l e zS a r a bi a Dá ma s oF er ná nde zPér e z Ca r l osT or r eF er r er o Ma r í aS a ndr aRobl aGóme z De pa r t a me nt odeT e c nol og í aE l e c t r óni c a eI ng e ni e r í adeS i s t e ma syAut omác a
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
EJERCICIO 2.1.
Obtener la función de transferencia del siguiente diagrama de bloques: H3 _ G1
+_
G2
+
+_
G3
G4
H1
H2
H3/G4 _ G1
+_
G2
+
+_
G3
H1
G4
H2 H3/(G4·G1)
_ +
_
G1
+_
G2
+_
G3
H1
G4
H2 H3/(G4·G1)
_ +
G1 G 2 1 G1 G 2 H1
G3 G 4 1 G3 G 4 H2
G3 G4 G1 G 2 1 G 1 G 2 H1 1 G 3 G 4 H 2 G3 G4 H3 G1 G 2 1 1 G 1 G 2 H1 1 G 3 G 4 H 2 G 4 G 1
G1G 2G 3G 4 1 G1G 2 H1 G 3G 4 H 2 G 2G 3H 3 G1G 2G 3G 4 H1H 2
1
Diagramas de Bloques y Flujogramas.
EJERCICIO 2.2.
Obtener la función de transferencia global del sistema mediante el movimiento de bloques. c
H2 _
R(s) + +_ a +
G1 b
+ d
G2
C(s)
G3
H1
La señal en el punto d será: d (a b)G 1 cH 2 aG 1 bG 1 cH 2 Se mueve el bloque restador cuya salida es el punto d hasta situarlo a continuación del punto de suma a: c H2 R(s) + a +_
_ + + b
G1
d
G2
C(s)
G3
H1
Se analiza ahora de que está formada la señal que llega al punto d: d (a cH 2 b)G 1 aG 1 bG 1 cH 2 G 1
Con respecto al valor inicial de la señal se puede observar que sobra G1 en el último sumando. Para resolver esto se dividirá el bloque H2 entre G1. c
H2/G1 R(s) + a +_
_ + + b
G1
H1
2
d
G2
G3
C(s)
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
Resolviendo el bucle interno: M 1 (s )
G 1G 2 1 G 1G 2 H 1
Con lo que el diagrama de bloques ahora será: H2/G1 R(s) + a +_
_
G 1G 2 G 3 1 G 1G 2 H 1
c C(s)
Resolviendo el lazo interno entre a y c: G 1G 2 G 3 G 1G 2 G 3 1 G 1G 2 H 1 M 2 (s ) G 1G 2 G 3 H 1 G 1G 2 H 1 G 2 G 3 H 2 1 2 1 G 1G 2 H 1 G 1
R(s) +_
G 1G 2 G 3 1 G 1G 2 H 1 G 2 G 3 H 2
C(s)
Y resolviendo el último lazo: G 1G 2 G 3 1 G 1G 2 H 1 G 2 G 3 H 2 G 1G 2 G 3 M 3 (s ) G 1G 2 G 3 1 G 1G 2 H 1 G 2 G 3 H 2 G 1G 2 G 3 1 1 G 1G 2 H 1 G 2 G 3 H 2
R(s)
G1G 2 G 3 1 G1G 2 H 1 G 2 G 3 H 2 G1G 2 G 3
C(s)
Otra posible forma de resolver sería moviendo la señal de realimentación tomada a la salida del bloque G2 hasta la salida del bloque G3. De esta forma modificando los bloques afectados se tendría:
3
Diagramas de Bloques y Flujogramas.
H2 R(s) +_
_ +
G1
+
+
G2
G3
C(s)
H1/G3
Resolviendo el bloque más interno: M 1 (s )
R(s) +_
+ +
G 2G 3 1 G 2G 3H 2
G2G3 1 G 2 G 3 H 2
G1
C(s)
H1/G3
Resolviendo el lazo más interno nuevamente: G 1G 2 G 3 1 G 2G 3H 2 G 1G 2 G 3 M 2 (s) G 1G 2 G 3 H 1 G 2 G 3 H 2 G 1G 2 H 1 1 1 1 G 2G 3H 2 G 3
R(s) +_
G 1G 2 G 3 1 G 2 G 3 H 2 G 1G 2 H 1
C(s)
Y resolviendo el último lazo: G 1G 2 G 3 1 G 2 G 3 H 2 G 1G 2 H 1 G 1G 2 G 3 M 3 (s ) G 1G 2 G 3 1 G 2 G 3 H 2 G 1G 2 H 1 G 1G 2 G 3 1 1 G 2 G 3 H 2 G 1G 2 H 1
4
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
EJERCICIO 2.3.
Para el diagrama de bloques de la figura encontrar Geq y Heq de forma analítica y gráfica. e
R(s) r +_
1 s 10
K
z
u
2 s 3
v
1 s
Y(s)
0.1 + w +
+ +
Analíticamente: 1 s 1 e r z r (0.1u w ) r (0.1u v v ) r 0.1u v s s s 1 2 2(s 1) 2(s 1) K u r 0.1 r 0.1u e u r 0.1 s s3 s(s 3) s(s 3) s 10 2(s 1) K e r 0.1 e s(s 3) s 10 0.1K 2 K (s 1) e1 r s 10 s(s 3)(s 10) 1
e 1
0.1K 2 K (s 1) s 10 s(s 3)(s 10) e
r
1 r s(s 3)(s 10) 0.1Ks(s 3) 2 K(s 1) s(s 3)(s 10)
s(s 3)(s 10) 3
s (13 0.1K )s 2 (30 2.3K )s 2 K
r
Por otro lado, la función de transferencia de lazo directo es directa: y
2K e s(s 3)(s 10)
G (s )
y 2K e s(s 3)(s 10)
5
Diagramas de Bloques y Flujogramas.
Entonces, la función de transferencia de lazo cerrado es:
M (s )
2K e s(s 3)(s 10)
Y (s ) R (s) s 3 (13 0.1K )s 2 (30 2.3K )s 2 K e s(s 3)(s 10)
M (s )
2K 3
2
s (13 0.1K )s (30 2.3K )s 2 K
Se busca ahora descomponer dicha función de lazo cerrado en las funciones correspondientes a la cadena directa, cuyo valor ya se conoce, y la realimentación. M (s )
G (s ) 1 G (s ) H (s )
Para este sistema, sustituyendo el valor de la cadena directa: 2K 2K 2K s(s 3)(s 10) 3 M (s ) 2 2K s(s 3)(s 10) 2 K H (s) s 13s 30s 2 K H (s) H (s ) 1 s(s 3)(s 10)
Luego igualando los denominadores de las dos expresiones obtenidas para M(s):
s 3 (13 0.1K )s 2 (30 2.3K )s 2 K s 3 13s 2 30s 2 K H (s)
s 3 13s 2 30s 0.1Ks 2 2.3Ks 2 K s 3 13s 2 30s 2 K H (s) 0.1Ks 2 2.3Ks 2 K 2 K H (s) H eq 0.05s 2 1.15s 1
R(s) +_
2K s(s 3)(s 10)
0.05s2 115 . s1
6
C(s)
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
Resolviendo ahora de forma gráfica: R(s) r +_
e
K
1 s 10
z
u
2 s 3
v
1 s
Y(s)
0.1 + w +
+ +
Pasando el último bloque delante del punto de bifurcación v:
R(s) r +_
e
K
1 s 10
z
u
2 s(s 3)
v
Y(s)
s
0.1 + w +
+ +
Agrupando las funciones de transferencia del último sumador:
R(s) r +_
e
u
K s 10
z
2 s(s 3)
v
Y(s)
s+1
0.1 + w +
Moviendo el bloque
R(s) r +_
2 delante del punto de bifurcación u: s(s 3)
e
u
2K s(s 3)(s 10)
v
01 . s(s 3) 2
z
+ w +
7
s+1
Y(s)
Diagramas de Bloques y Flujogramas.
Agrupando los dos elementos del sumador: R(s) r +_
e
Y(s)
2K s(s 3)(s 10)
z
0.05s2 115 . s1
EJERCICIO 2.4.
Para el diagrama de bloques mostrado en la figura calcular las funciones de transferencia G(s) y H(s) equivalentes de forma analítica y gráfica. Calcular también la función de transferencia G(s) equivalente para que el sistema tenga realimentación unitaria. R(s) r +_
e
v
10 s1
z
1 s
Y(s) y
2 + +
Analíticamente: 1 1 1 10 e r z r (2v y) r 2 v v r 2 v r 2 e s s s s 1 1 10 e r 2 e s s 1 2s 1 10 e 1 r s s 1 e
r s2 s s(s 1) 2 r 2 r 20s 10 s 21s 10 s 21 s 10 1 2 s s
La función de transferencia de cadena directa se obtiene de forma directa: G (s )
y 10 e s(s 1)
8
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
y
10 e s(s 1)
Y la función de transferencia de lazo cerrado es:
M (s )
10 e s(s 1)
y 10 2 2 r s 21s 10 s 21s 10 e s(s 1)
Sabiendo que: M (s )
G (s ) 1 G (s ) H (s )
10 10 s(s 1) M (s ) 2 10 1 H (s) s s 10 H (s) s(s 1) Igualando los denominadores de las dos funciones de transferencia M(s) obtenidas: s 2 21s 10 s 2 s 10 H (s)
20s 10 10 H (s) H (s) 2s 1 R(s) +_
Y(s)
10 s(s 1)
2s+1
Resolviendo el diagrama de bloques de forma gráfica: R(s) r +_
e
v
10 s1
z
1 s
2 + +
9
Y(s) y
Diagramas de Bloques y Flujogramas.
Moviendo el último bloque delante del punto v:
R(s) r +_
e
v
10 s(s 1)
z
Y(s) y
2s + +
Uniendo los elementos del sumador:
R(s) +_
10 s(s 1)
Y(s)
2s+1 Si se desea que Heq sea 1: R(s) +_
G’(s)
Y(s)
Como la función de transferencia de lazo cerrado es: M (s )
10 2
s 21s 10
Dividiendo el numerador y denominador de M(s) entre s 2 21s se tiene: 10 10 2 G ' (s ) M (s) 2 s 21s s 21s 10 1 G ' (s ) s 21s 10 1 2 2 2 s 21s s 21s s 21s 2
R(s) +_
10 s(s 21)
10
Y(s)
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
De forma gráfica partiendo de la función obtenida con Geq y Heq: R(s) +_
Y(s)
10 s(s 1)
2s+1 R(s) +_
Y(s)
10 s(s 1)
2s 1
10 10 10 10 s(s 1) s(s 1) 2 2 G ' (s ) 10 s(s 21) 2s s s 20s s 21s 1 s(s 1) s(s 1) R(s) +_
Y(s)
10 s(s 21)
EJERCICIO 2.5.
Resolver el siguiente diagrama de bloques de forma gráfica y mediante la técnica de los flujogramas. C(s) R(s) G1 G2 + -
G3
+_
G4
+ +
G6
G8
11
G5
G7
Diagramas de Bloques y Flujogramas.
Resolviendo primero gráficamente: En primer lugar se ha ordenado el diagrama de bloques de la forma típica:
R(s) +_
G3
+_
G5
G8
G1
G2
C(s)
G4
G7
+ +
G6
Ahora los bloques G5 y G2 se mueven delante del punto de bifurcación: R(s) +_
G3
+_
G1
G 8 G 5G 2
G7 G 5G 2
+ +
G6
Se agrupan los bloques de la realimentación interna:
12
G4
C(s)
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
R(s) +_
G3
+_
G1
G 8G 5G 2
C(s)
G7 G 4 G 6 G 5G 2
R(s) +_
G3
+_
G1
G 8G 5G 2
C(s)
G 6 (G 7 G 4 G 5 G 2 G 5G 2
Agrupando en un único bloque la realimentación interna:
G ' (s )
R(s) +_
G 8G 5G 2 G 8G 5G 2 G (G G 4 G 5 G 2 1 G 8 G 6 ( G 7 G 4 G 5 G 2 ) 1 G 8 G 5G 2 6 7 G 5G 2
G3
G 8G 5G 2 1 G 8 G 6 (G 7 G 4 G 5 G 2 )
G1
C(s)
Agrupando finalmente los elementos restantes: G 1G 3 G 8 G 5 G 2 G 8G 5G 2 G1 1 G 8 G 6 (G 7 G 4 G 5 G 2 ) 1 G 8 G 6 (G 7 G 4 G 5 G 2 ) M (s ) G 8G 5G 2 G 1G 3 G 8 G 5 G 2 1 G3 G1 1 1 G 8 G 6 (G 7 G 4 G 5 G 2 ) 1 G 8 G 6 (G 7 G 4 G 5 G 2 ) G3
13
Diagramas de Bloques y Flujogramas.
M (s )
M (s )
G 1G 3 G 8 G 5 G 2 1 G 8 G 6 (G 7 G 4 G 5 G 2 ) G 1 G 3 G 8 G 5 G 2
G 1G 2 G 3 G 5 G 8 1 G 6 G 7 G 8 G 2 G 4 G 5 G 6 G 8 G 1G 2 G 3 G 5 G 8
Aplicando la técnica de los flujogramas: Se construye en primer lugar el flujograma correspondiente al sistema: R
1
G3
G8
G2 G5
G1
1
C
G7 G4
-G6 -1
Se resuelve aplicando la regla de Mason: La relación entre la salida C(s) y la entrada R(s), viene dada por: C(s) M (s ) R (s )
k Tk k
siendo: (Determinante del flujograma.) = 1-i+ij-ijk+… Trayectos directos: "aquellos que partiendo de un nodo fuente llegan a un nodo final sin pasar dos veces por el mismo nodo" i: ganancia de cada lazo. i igual a la suma de ganancias de los bucles que tienen algún nodo común con cualquier trayecto directo. ij igual a la suma de productos de las ganancias de todas las combinaciones posibles de dos bucles disjuntos. TK es la ganancia del k-ésimo trayecto directo. K se calcula igual que , pero eliminando los bucles que tienen algún nodo común
14
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
con el k-ésimo trayecto directo. Trayectos directos: T1 G 3 G 8 G 2 G 5 G 1 Lazos: 1 G 3 G 8 G 2 G 5 G 1 2 G 8 G 7 G 6 3 G 8 G 2 G 5 G 4 G 6
i 1 2 3 G 3 G 8 G 2 G 5 G 1 G 8 G 7 G 6 G 8 G 2 G 5 G 4 G 6 No existen lazos disjuntos. 1 i 1 1 2 3 1 G 3G 8 G 2 G 5G1 G 8 G 7 G 6 G 8 G 2 G 5G 4 G 6 1 1 C(s) M (s ) R (s)
k Tk k
G 3G 8 G 2 G 5G1 1 G 3G 8 G 2 G 5G 1 G 8 G 7 G 6 G 8 G 2 G 5G 4 G 6
EJERCICIO 2.6.
Calcular la función de transferencia
C( s ) del siguiente flujograma: R (s )
-H2 R(s) 1
1
G1
G2
G3
1
C(s)
H1 -1
Trayectos Directos:
P1 G1G 2G 3
Lazos Independientes:
L1 G1G 2 H1 L 2 G 2 G 2 H 2
L3 G1G 2G 3 Determinante:
1 La L b Lc Ld Le Lf ...
15
Diagramas de Bloques y Flujogramas.
1 G1G 2 H1 G 2G 3H 2 G1G 2G 3 P1 G1G 2G 3
Cofactor:
1 1
Entonces: 1 Pk k k
M (s )
M (s )
G 1G 2 G 3 1 G 1G 2 H 1 G 2 G 3 H 2 G 1G 2 G 3
EJERCICIO 2.7.
Calcular la función de transferencia
Y (s ) del siguiente flujograma: R (s )
6 R(s) 1
1
1 s+1
-4 1
-3
s s+2
3
-5
Trayectos Directos: P1
3s (s 1)(s 2)
P2
4 (s 1)
P3 6 Lazos Independientes: L1
3 (s 1)
L2
5s (s 2 )
Pares de lazos: L1 L 2 Determinante:
15s (s 1)(s 2)
1 La L b Lc Ld Le Lf ...
16
1 Y(s)
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
3 5s 15s 1 (s 1) (s 2) (s 1)(s 2)
Cofactores: P1
3s (s 1)(s 2) 1 1
P2 4 (s 1) 5s 2 1 (s 2)
P3 6 3 5s 15s 3 1 (s 1) (s 2) (s 1)(s 2)
Entonces: M (s )
1 Pk k k
5s 3s 3 5s 15s 4 1 61 1 (s 2) (s 1)(s 2) (s 1) (s 2) (s 1)(s 2) s 1 M (s ) 3 3 5s 15s 5s 15s 1 1 (s 1) (s 2) (s 1)(s 2) (s 1) (s 2) (s 1)(s 2) M (s )
36s 2 135s 40 6s 2 26s 8
EJERCICIO 2.8.
Calcular la función de transferencia del siguiente flujograma:
H1 R(s) 1
G1
G5
G2
H2 G3
H3 G6
H4 G7
17
G4
1 C(s)
G8
Diagramas de Bloques y Flujogramas.
Trayectos Directos: P1 G1G 2G 3G 4 P2 G 5G 6 G 7 G 8 Lazos Independientes: L1 G 2 H1
L 2 G 3H 2 L3 G 6 H 3 L4 G 7H4 Pares de lazos: L1L 4 G 2 H1G 7 H 4 L 2 L 3 G 3H 2 G 6 H 3 Determinante:
1 La L b L c Ld L e Lf ...
1 G 2 H1 G 3H 2 G 6 H 3 G 7 H 4 G 2 H1G 7 H 4 G 3H 2G 6 H 3 Cofactores: P1 G1G 2G 3G 4 1 1 G 6 H 3 G 7 H 4 P2 G 5G 6 G 7 G 8 2 1 G 2 H1 G 3H 2 Entonces: M (s )
M (s )
1 Pk k k
(G G G G )(1 (G H G H )) (G G G G )(1 (G H G H )) 1 2 3 4 6 3 7 4 5 6 7 8 2 1 3 2 1 (G H G H G H G H ) (G H G H G H G H ) 2 1 3 2 6 3 7 4 2 1 7 4 3 2 6 3
EJERCICIO 2.9.
Calcular las funciones de transferencia indicadas para el siguiente flujograma:
18
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
-4
R1(s) 1 R2(s) 1
1 s
1 C1(s) s s+2 10 1 C2(s) 1 s+3
T11
C 1 (s) R 1 (s )
T21
C 2 (s ) R 1 (s )
T21
C 1 (s ) R 2 (s )
T22
C 2 (s ) R 2 (s )
1- T11 C1 (s) R1 (s)
-4
R1(s) 1 1 s
1 C1(s) s s+2 10 1 s+3
10 s 1 1 s2 s(s 3) T11 (s) 4s 40 1 s 2 s(s 3) T11 (s)
s 3 3s 2 10s 20 5s 3 17s 2 46s 80
2- T21 C 2 (s) R1 (s)
-4
R1(s) 1 1 s
s s+2 10 1 C2(s) 1 s+3
1 1 s(s 3) T21 (s) 4s 40 1 s 2 s(s 3)
19
Diagramas de Bloques y Flujogramas.
T21 (s)
s2 3
5s 17s 2 46s 80
3- T21 C1 (s) R 2 (s)
-4 1 s
R2(s) 1
1 C1(s) s s+2 10 1 s+3
10 1 (s 3) T12 (s) 4s 40 1 s 2 s(s 3) T12 (s)
10s 2 2s 5s 3 17s 2 46s 80
4- T22 C 2 (s) R 2 (s)
-4
R2(s) 1
1 s
s s+2 10 1 C2(s) 1 s+3
1 40 1 (s 3) s(s 3) T22 (s) 4s 40 1 s 2 s(s 3) T22 (s)
5s 2 2s 5s 3 17s 2 46s 80
EJERCICIO 2.10.
Calcular las funciones de transferencia del siguiente flujograma:
20
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
R2(s) 1 s -2
R1(s) 1 1
R3(s) 1
6 -4
1 1 1 Y1(s) s -3
Y2(s) T11
Y1 (s) R 1 (s )
T12
Y1 (s) R 2 (s )
T13
Y1 (s) R 3 (s )
T21
Y2 (s) R 1 (s )
T22
Y2 (s) R 2 (s )
T23
Y2 (s) R 3 (s )
1- T11 Y1 (s) R1 (s)
1 s -2
R1(s) 1
6 -4
1 s -3
1 Y1(s)
6 2 1 s T11 (s) 2 3 24 6 1 s s s s2 T11 (s)
6 s 29s 6 2
2- T12 Y1 (s) R 2 (s)
R2(s) 1 1 s 6 -2
1 s -3
-4
1 Y1(s)
6 1 s T11 (s) 2 3 24 6 1 s s s s2 T11 (s)
6s s 29s 6 2
21
Diagramas de Bloques y Flujogramas.
3- T13 Y1 (s) R 3 (s)
R3(s) 1 s -2
1 1 1 Y1(s) s -3
6 -4
1 1 2
T13 (s)
s 2 3 24 6 1 s s s s2
T13 (s)
s( s 2 ) s 2 29s 6
4- T21 Y2 (s) R1 (s)
1 s -2
R1(s) 1 1
6 -4
1 s -3
Y2(s)
1 1 3 24 T21 (s)
s
s
2 3 24 6 s s s s2
1
T21 (s)
s(s 27) s 2 29s 6
5- T22 Y2 (s) R 2 (s)
R2(s)
1
1 1 s 6 -2
-4
1 s -3
Y2(s)
2 1 3
T22 (s)
s 2 3 24 6 1 s s s s2
22
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
T22 (s)
s( 2s 6) s 2 29s 6
6- T23 Y2 (s) R 3 (s)
R3(s) 1 s -2
1
6 -4
Y2(s) T23 (s)
1 1 s -3
81 2 3 24 6 s s s s2
1
T23 (s)
8s 2 s 2 29s 6
EJERCICIO 2.11.
La función de transferencia G(s) viene definida por el siguiente diagrama de flujo:
Donde:
G1 = 1
G2 = 1/s
G3 = 1/s
G4 = 1/s
G5 = 4
G6 = 1
G7 = -1
G8 = -2
G9 = -3
G10 = 1
G11 = 2.
Calcular, mediante Mason, la función de transferencia de G(s).
G (s)
1 TK K K
Trayectos directos: 1 1 1 4 T1 G1 G 2 G 3 G 4 G 5 G 6 1 4 1 3 s s s s 1 1 T2 G 1 G 2 G 10 G 6 1 1 1 s s
23
Diagramas de Bloques y Flujogramas.
1 1 2 T3 G1 G 2 G 3 G11 G 6 1 2 1 2 s s s
Determinante del sistema: 1 La L b Lc ... 1 2 3 1 G 2 G 7 G 2 G3 G8 G 2 G3 G 4 G9 1 2 3 s s s Cofactores: 1 1 2 1 3 1
Función de transferencia: 4 2s s 2 4 1 2 2 3 3 s s 3 2s G (s) s 1 2 3 1 2 3 s s 2s 3 s s s s3 G (s)
s 2 2s 4 s3 s 2 2s 3
EJERCICIO 2.12.
Calcular la función de trasferencia del sistema de la figura mediante la aplicación de la regla de Mason: Y(s) R(s) +
-
G2(s)
G1(s)
+
-
G5(s)
G4(s)
G3(s)
+ +
G6(s)
G7(s)
G8(s) 1 s2 1 G 5 (s) s
G1 (s)
G 2 (s) (s 1)
G 3 (s) 5
G 6 (s) 1
G 7 (s)
T (s)
Tn n
Trayectos: T1 G 3G 8G 5G 2G1
24
1 s 1
G 4 (s) s
G 8 (s) s
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
Lazos: L1 G 3G 8G 5G 2G1 L 2 G 8G 5G 2 G 4 G 6 L 3 G 8G 7 G 6 1 (G 3G 8G 5G 2G1 G 8G 5G 2G 4G 6 G 8G 7 G 6 ) T (s )
G 3G 8 G 5G 2 G1 1 ( G 3 G 8 G 5 G 2 G 1 G 8 G 5 G 2 G 4 G 6 G 8 G 7 G 6 )
1 1 5 s (s 1) 2 s s T (s ) 1 1 1 1 1 5 s (s 1) 2 s (s 1) s 1 s 1 s s s 1 s T (s )
5(s 1) 2 s 5 2s 4 3s 3 6s 2 10s 5
EJERCICIO 2.13.
G(s) está definida por el diagrama de flujo: 3
U(s)
2
1/s
1
1/s -4
-5
Obtener la función de transferencia.
Aplicando la regla de Mason: T Trayectos directos:
Lazos independientes:
Tn n
T1
3 s
1 1
T2
2 s2
2 1 L1
25
4 s
Y(s)
Diagramas de Bloques y Flujogramas.
L2 1
5 s2
4 5 s s2
3 2 3s 2 2 2 3s 2 s s 2 s 2 G (s ) 4 5 1 2 s 4s 5 s 4s 5 s s s2 G (s )
3(s 0.66) s 2 4s 5
EJERCICIO 2.14.
Obtener la función de transferencia de una planta que viene definida por el siguiente flujograma: 1 R'(s) 4 31 1 2 /(s+1) /(s+1) 7
6
1
5
C'(s)
La relación entre la salida C'(s) y la entrada R'(s), viene dada por: C' (s) M ' (s) R ' (s)
k Tk k
T1 2 5 10
1 1
T2 3 6 18
2 1
T3 4 7 28
3 1
26
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
Bucles:
T4 2
1 12 6 s 1 s 1
4 1
T5 2
1 1 14 7 s 1 s 1 (s 1) 2
5 1
T6 3
1 21 7 s 1 s 1
6 1
No hay
Bucles disjuntos: No hay. Luego, sustituyendo: . = 1-i+ij-ijk+… = 1 - 0= 1 Se tiene entonces: M ' (s)
k Tk k
M ' (s) 10 18 28
M ' (s)
T11 T2 2 ... T6 6 1
12 14 21 33 14 56 2 s 1 (s 1) s 1 s 1 (s 1) 2
56 s 2 112 s 56 33 s 33 14 (s 1) 2
M ' (s)
56 s 2 145 s 103 (s 1) 2
EJERCICIO 2.15.
Para el sistema del ejercicio 1.14. hallar la función de transferencia que relaciona la altura del líquido en el depósito h(t) y la tensión de referencia u(t), mediante la técnica de flujogramas. En el ejercicio 1.14. el sistema quedó definido por el siguiente diagrama de bloques: F(s) U(s) E(s) Qe(s) 1 H(s) 0.2 V(s) 10 101 +_ +_ s s Qs(s) 0.009
27
Diagramas de Bloques y Flujogramas.
Obtener en primer lugar el flujograma correspondiente al diagrama de bloques mostrado en la figura. U
1
E
0.2 10 1 s V
10
1 s
Qe
H
-0.009 -1
Aplicando la Regla de Mason se obtendrá la función de transferencia: T
Tn n
1 L1 L 2
1 0.2 T1 10 1 10 s s 1 1
1 0.2 L1 101 10 (1) s s 1 L 2 (0.009) s
0.2 1 1 1 101 10 (1) (0.009) s s s s 0.2 H(s) s2 T s 0.2 0.009 U(s) 1 100 2 s s 100
T
H(s) 100(s 0.2) 2 U(s) s 100s 20 0.009s
T
H(s) 100(s 0.2) 2 U(s) s 100.009s 20
28
1
H
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
EJERCICIO 2.16.
Dado un sistema de control representado por el siguiente diagrama de bloques: R2(s)
R1(s)
Y(s) G2(s)
G1(s)
+
-
H1(s)
+
H2(s)
+ H3(s)
1.- Dibujar el flujograma correspondiente. 2.- Si se hace R2(s) = 0, hallar mediante la regla de Mason,
Y(s) M (s) R1 (s)
1 1 . ; G1(s) = K y G2(s) = ( s 4)( s 6) s Obtener la función de transferencia G3(s) para que M(s) sea equivalente al sistema de la figura:
3.- Si en M(s), hacemos H2(s) = H3(s) = 1; H1(s) =
C(s)
R(s) G3(s)
+
-
1 s
1. Flujograma: Sustituyendo el diagrama de bloques: R2(s) 0
1
1
G1(s)
2
R1(s)
1
-1
3
-1
-H1(s)
G2(s)
5
H2(s)
4 -H3(s)
2- Ahora R2(s) = 0. La función de transferencia global del sistema será: M (s)
Y(s) R1 (s)
29
TK K
1
6 Y(s)
Diagramas de Bloques y Flujogramas.
Trayectos directos: 0 – 1 – 2 – 3 – 5 – 6 : G1(s)G2(s) Bucles:
B1:
1 – 2 – 3 – 5 – 1 : G1(s)G2(s)[-H3(s)]
B2:
1 – 2 – 3 – 5 – 4 – 1: G1(s)G2(s)[-H1(s)]H2(s)
B3:
2 - 3 – 5 – 4 –2 : G2(s)[-H2(s)]
Bucles disjuntos: No hay. Luego, sustituyendo: . = 1 – [G1(s)G2(s)[-H3(s)] + G1(s)G2(s)[-H1(s)]H2(s) +G2(s)[-H2(s)]] + 0 = = 1 + G2(s)[G1(s)[-H3(s)] + G1(s)[-H1(s)]H2(s) + H2(s)] K = 1 = 1 – 0 = 1 T1 = G1(s)G2(s) Se tiene entonces: M (s)
Y(s) R1 (s)
TK K
G1 (s) G 2 (s) 1 G 2 (s) G1 (s) H 3 (s) G1 (s) H1 (s) H 2 (s) H 2 (s)
1 1 3. Ahora, H 2 (s) H 3 (s) 1; H1 (s) ; G1 (s) K; G 2 (s) s (s 4)(s 6) sustituyendo en la ecuación anterior de M(s), se tiene: K Ks Ks (s 4)(s 6) M (s) 3 2 1 K 1 (K 1) s(s 4)(s 6) s(K 1) K s 10s (25 K )s K (s 4)(s 6) s
R1(s)
Ks 3 2 s 10 s (25 K ) s K
Y(s)
R(s)
C(s) G3(s)
1 s
M(s)
30
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
G 3 (s)
M (s)
1 G 3 (s)
1 s
s G 3 (s) s G 3 (s)
G 3 (s)
s M (s) K 2 s M (s) s 10s (25 K )
Luego la función de transferencia en lazo abierto del nuevo sistema, teniendo en cuenta que K = 1000, será: 1 F.T.L.A.' K G 3 (s) s F.T.L.A.'
1000 s(s 2 10s 1025)
EJERCICIO 2.17.
G(s) es la función de transferencia de una planta, de la que se conoce su flujograma, que es el siguiente: -4 1 s 1 1
+1
2 s2
1 2 s s
2
-s
4
3
3 s3
5
+1
+10 6
1 s 4
8 s8
2
9
1 s
8
-7
1 s 10
-6
Calcular la función de transferencia de la planta, aplicando la regla de Mason.
Trayectos directos:
31
7
Diagramas de Bloques y Flujogramas.
1 2 3 4 9 10 6 7 P1
1 2 8 9 10 6 7 P2 Lazos disjuntos: L1
1 1 10 1 1 2 10 2 2 s s s (s s)(s 1) s 1 s s 1 8 1 1 8 2 2 s 4 s 8 s s s (s 4)(s 8) 2
4 56 8 1 6 ; L 2 s; L3 7 ; L 4 6 ; s8 s8 s s s s 1 1 3 s 30 L5 10 s s s 3 s 2 s(s 2)(s 3) 2
Determinante del flujograma: 1 L1 L 2 L 3 L 4 L1 L 2 L1 L 3 L1 L 4 L 2 L 3 L 2 L 4 L1 L 2 L 3 L1 L 2 L 4 56 6 4( s) 4( 56) 4( 6) 4 1 2 s 2 s 8 s s s (s 2 s)(s 8) s(s 2 s) s s 6 56 4 s( 56) s( 6 ) 4 ( s ) 2 ( s ) 2 s8 s s s s s s8 s
s 5 72s 4 193s 3 450s 2 520s 192 s 2 (s 1)(s 8)
Cofactores: 1 1 L 2 1 (s) 1 s 3 2 4s s 2s 5s 4 4 (s) 2 2 1 (L1 L 2 ) L1 L 2 1 2 s(s 1) s s s s
Luego, G (s )
P1 1 P2 2
Y sustituyendo los valores queda: G (s )
18s 3 96s 2 80s 352 s(s 2 4)(s 5 72s 4 193s 3 450s 2 520s 192)
32
Ca pí t ul o2. Di a g r a ma sdeBl oquesyF l uj og r a ma s
J os éRa mónL l a t aGa r c í a E s t herGonz á l e zS a r a bi a Dá ma s oF er ná nde zPér e z Ca r l osT or r eF er r er o Ma r í aS a ndr aRobl aGóme z De pa r t a me nt odeT e c nol og í aE l e c t r óni c a eI ng e ni e r í adeS i s t e ma syAut omác a
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
EJERCICIO 2.1.
Obtener la función de transferencia del siguiente diagrama de bloques: H3 _ G1
+_
G2
+
+_
G3
G4
H1
H2
H3/G4 _ G1
+_
G2
+
+_
G3
H1
G4
H2 H3/(G4·G1)
_ +
_
G1
+_
G2
+_
G3
H1
G4
H2 H3/(G4·G1)
_ +
G1 G 2 1 G1 G 2 H1
G3 G 4 1 G3 G 4 H2
G3 G4 G1 G 2 1 G 1 G 2 H1 1 G 3 G 4 H 2 G3 G4 H3 G1 G 2 1 1 G 1 G 2 H1 1 G 3 G 4 H 2 G 4 G 1
G1G 2G 3G 4 1 G1G 2 H1 G 3G 4 H 2 G 2G 3H 3 G1G 2G 3G 4 H1H 2
1
Diagramas de Bloques y Flujogramas.
EJERCICIO 2.2.
Obtener la función de transferencia global del sistema mediante el movimiento de bloques. c
H2 _
R(s) + +_ a +
G1 b
+ d
G2
C(s)
G3
H1
La señal en el punto d será: d (a b)G 1 cH 2 aG 1 bG 1 cH 2 Se mueve el bloque restador cuya salida es el punto d hasta situarlo a continuación del punto de suma a: c H2 R(s) + a +_
_ + + b
G1
d
G2
C(s)
G3
H1
Se analiza ahora de que está formada la señal que llega al punto d: d (a cH 2 b)G 1 aG 1 bG 1 cH 2 G 1
Con respecto al valor inicial de la señal se puede observar que sobra G1 en el último sumando. Para resolver esto se dividirá el bloque H2 entre G1. c
H2/G1 R(s) + a +_
_ + + b
G1
H1
2
d
G2
G3
C(s)
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
Resolviendo el bucle interno: M 1 (s )
G 1G 2 1 G 1G 2 H 1
Con lo que el diagrama de bloques ahora será: H2/G1 R(s) + a +_
_
G 1G 2 G 3 1 G 1G 2 H 1
c C(s)
Resolviendo el lazo interno entre a y c: G 1G 2 G 3 G 1G 2 G 3 1 G 1G 2 H 1 M 2 (s ) G 1G 2 G 3 H 1 G 1G 2 H 1 G 2 G 3 H 2 1 2 1 G 1G 2 H 1 G 1
R(s) +_
G 1G 2 G 3 1 G 1G 2 H 1 G 2 G 3 H 2
C(s)
Y resolviendo el último lazo: G 1G 2 G 3 1 G 1G 2 H 1 G 2 G 3 H 2 G 1G 2 G 3 M 3 (s ) G 1G 2 G 3 1 G 1G 2 H 1 G 2 G 3 H 2 G 1G 2 G 3 1 1 G 1G 2 H 1 G 2 G 3 H 2
R(s)
G1G 2 G 3 1 G1G 2 H 1 G 2 G 3 H 2 G1G 2 G 3
C(s)
Otra posible forma de resolver sería moviendo la señal de realimentación tomada a la salida del bloque G2 hasta la salida del bloque G3. De esta forma modificando los bloques afectados se tendría:
3
Diagramas de Bloques y Flujogramas.
H2 R(s) +_
_ +
G1
+
+
G2
G3
C(s)
H1/G3
Resolviendo el bloque más interno: M 1 (s )
R(s) +_
+ +
G 2G 3 1 G 2G 3H 2
G2G3 1 G 2 G 3 H 2
G1
C(s)
H1/G3
Resolviendo el lazo más interno nuevamente: G 1G 2 G 3 1 G 2G 3H 2 G 1G 2 G 3 M 2 (s) G 1G 2 G 3 H 1 G 2 G 3 H 2 G 1G 2 H 1 1 1 1 G 2G 3H 2 G 3
R(s) +_
G 1G 2 G 3 1 G 2 G 3 H 2 G 1G 2 H 1
C(s)
Y resolviendo el último lazo: G 1G 2 G 3 1 G 2 G 3 H 2 G 1G 2 H 1 G 1G 2 G 3 M 3 (s ) G 1G 2 G 3 1 G 2 G 3 H 2 G 1G 2 H 1 G 1G 2 G 3 1 1 G 2 G 3 H 2 G 1G 2 H 1
4
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
EJERCICIO 2.3.
Para el diagrama de bloques de la figura encontrar Geq y Heq de forma analítica y gráfica. e
R(s) r +_
1 s 10
K
z
u
2 s 3
v
1 s
Y(s)
0.1 + w +
+ +
Analíticamente: 1 s 1 e r z r (0.1u w ) r (0.1u v v ) r 0.1u v s s s 1 2 2(s 1) 2(s 1) K u r 0.1 r 0.1u e u r 0.1 s s3 s(s 3) s(s 3) s 10 2(s 1) K e r 0.1 e s(s 3) s 10 0.1K 2 K (s 1) e1 r s 10 s(s 3)(s 10) 1
e 1
0.1K 2 K (s 1) s 10 s(s 3)(s 10) e
r
1 r s(s 3)(s 10) 0.1Ks(s 3) 2 K(s 1) s(s 3)(s 10)
s(s 3)(s 10) 3
s (13 0.1K )s 2 (30 2.3K )s 2 K
r
Por otro lado, la función de transferencia de lazo directo es directa: y
2K e s(s 3)(s 10)
G (s )
y 2K e s(s 3)(s 10)
5
Diagramas de Bloques y Flujogramas.
Entonces, la función de transferencia de lazo cerrado es:
M (s )
2K e s(s 3)(s 10)
Y (s ) R (s) s 3 (13 0.1K )s 2 (30 2.3K )s 2 K e s(s 3)(s 10)
M (s )
2K 3
2
s (13 0.1K )s (30 2.3K )s 2 K
Se busca ahora descomponer dicha función de lazo cerrado en las funciones correspondientes a la cadena directa, cuyo valor ya se conoce, y la realimentación. M (s )
G (s ) 1 G (s ) H (s )
Para este sistema, sustituyendo el valor de la cadena directa: 2K 2K 2K s(s 3)(s 10) 3 M (s ) 2 2K s(s 3)(s 10) 2 K H (s) s 13s 30s 2 K H (s) H (s ) 1 s(s 3)(s 10)
Luego igualando los denominadores de las dos expresiones obtenidas para M(s):
s 3 (13 0.1K )s 2 (30 2.3K )s 2 K s 3 13s 2 30s 2 K H (s)
s 3 13s 2 30s 0.1Ks 2 2.3Ks 2 K s 3 13s 2 30s 2 K H (s) 0.1Ks 2 2.3Ks 2 K 2 K H (s) H eq 0.05s 2 1.15s 1
R(s) +_
2K s(s 3)(s 10)
0.05s2 115 . s1
6
C(s)
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
Resolviendo ahora de forma gráfica: R(s) r +_
e
K
1 s 10
z
u
2 s 3
v
1 s
Y(s)
0.1 + w +
+ +
Pasando el último bloque delante del punto de bifurcación v:
R(s) r +_
e
K
1 s 10
z
u
2 s(s 3)
v
Y(s)
s
0.1 + w +
+ +
Agrupando las funciones de transferencia del último sumador:
R(s) r +_
e
u
K s 10
z
2 s(s 3)
v
Y(s)
s+1
0.1 + w +
Moviendo el bloque
R(s) r +_
2 delante del punto de bifurcación u: s(s 3)
e
u
2K s(s 3)(s 10)
v
01 . s(s 3) 2
z
+ w +
7
s+1
Y(s)
Diagramas de Bloques y Flujogramas.
Agrupando los dos elementos del sumador: R(s) r +_
e
Y(s)
2K s(s 3)(s 10)
z
0.05s2 115 . s1
EJERCICIO 2.4.
Para el diagrama de bloques mostrado en la figura calcular las funciones de transferencia G(s) y H(s) equivalentes de forma analítica y gráfica. Calcular también la función de transferencia G(s) equivalente para que el sistema tenga realimentación unitaria. R(s) r +_
e
v
10 s1
z
1 s
Y(s) y
2 + +
Analíticamente: 1 1 1 10 e r z r (2v y) r 2 v v r 2 v r 2 e s s s s 1 1 10 e r 2 e s s 1 2s 1 10 e 1 r s s 1 e
r s2 s s(s 1) 2 r 2 r 20s 10 s 21s 10 s 21 s 10 1 2 s s
La función de transferencia de cadena directa se obtiene de forma directa: G (s )
y 10 e s(s 1)
8
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
y
10 e s(s 1)
Y la función de transferencia de lazo cerrado es:
M (s )
10 e s(s 1)
y 10 2 2 r s 21s 10 s 21s 10 e s(s 1)
Sabiendo que: M (s )
G (s ) 1 G (s ) H (s )
10 10 s(s 1) M (s ) 2 10 1 H (s) s s 10 H (s) s(s 1) Igualando los denominadores de las dos funciones de transferencia M(s) obtenidas: s 2 21s 10 s 2 s 10 H (s)
20s 10 10 H (s) H (s) 2s 1 R(s) +_
Y(s)
10 s(s 1)
2s+1
Resolviendo el diagrama de bloques de forma gráfica: R(s) r +_
e
v
10 s1
z
1 s
2 + +
9
Y(s) y
Diagramas de Bloques y Flujogramas.
Moviendo el último bloque delante del punto v:
R(s) r +_
e
v
10 s(s 1)
z
Y(s) y
2s + +
Uniendo los elementos del sumador:
R(s) +_
10 s(s 1)
Y(s)
2s+1 Si se desea que Heq sea 1: R(s) +_
G’(s)
Y(s)
Como la función de transferencia de lazo cerrado es: M (s )
10 2
s 21s 10
Dividiendo el numerador y denominador de M(s) entre s 2 21s se tiene: 10 10 2 G ' (s ) M (s) 2 s 21s s 21s 10 1 G ' (s ) s 21s 10 1 2 2 2 s 21s s 21s s 21s 2
R(s) +_
10 s(s 21)
10
Y(s)
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
De forma gráfica partiendo de la función obtenida con Geq y Heq: R(s) +_
Y(s)
10 s(s 1)
2s+1 R(s) +_
Y(s)
10 s(s 1)
2s 1
10 10 10 10 s(s 1) s(s 1) 2 2 G ' (s ) 10 s(s 21) 2s s s 20s s 21s 1 s(s 1) s(s 1) R(s) +_
Y(s)
10 s(s 21)
EJERCICIO 2.5.
Resolver el siguiente diagrama de bloques de forma gráfica y mediante la técnica de los flujogramas. C(s) R(s) G1 G2 + -
G3
+_
G4
+ +
G6
G8
11
G5
G7
Diagramas de Bloques y Flujogramas.
Resolviendo primero gráficamente: En primer lugar se ha ordenado el diagrama de bloques de la forma típica:
R(s) +_
G3
+_
G5
G8
G1
G2
C(s)
G4
G7
+ +
G6
Ahora los bloques G5 y G2 se mueven delante del punto de bifurcación: R(s) +_
G3
+_
G1
G 8 G 5G 2
G7 G 5G 2
+ +
G6
Se agrupan los bloques de la realimentación interna:
12
G4
C(s)
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
R(s) +_
G3
+_
G1
G 8G 5G 2
C(s)
G7 G 4 G 6 G 5G 2
R(s) +_
G3
+_
G1
G 8G 5G 2
C(s)
G 6 (G 7 G 4 G 5 G 2 G 5G 2
Agrupando en un único bloque la realimentación interna:
G ' (s )
R(s) +_
G 8G 5G 2 G 8G 5G 2 G (G G 4 G 5 G 2 1 G 8 G 6 ( G 7 G 4 G 5 G 2 ) 1 G 8 G 5G 2 6 7 G 5G 2
G3
G 8G 5G 2 1 G 8 G 6 (G 7 G 4 G 5 G 2 )
G1
C(s)
Agrupando finalmente los elementos restantes: G 1G 3 G 8 G 5 G 2 G 8G 5G 2 G1 1 G 8 G 6 (G 7 G 4 G 5 G 2 ) 1 G 8 G 6 (G 7 G 4 G 5 G 2 ) M (s ) G 8G 5G 2 G 1G 3 G 8 G 5 G 2 1 G3 G1 1 1 G 8 G 6 (G 7 G 4 G 5 G 2 ) 1 G 8 G 6 (G 7 G 4 G 5 G 2 ) G3
13
Diagramas de Bloques y Flujogramas.
M (s )
M (s )
G 1G 3 G 8 G 5 G 2 1 G 8 G 6 (G 7 G 4 G 5 G 2 ) G 1 G 3 G 8 G 5 G 2
G 1G 2 G 3 G 5 G 8 1 G 6 G 7 G 8 G 2 G 4 G 5 G 6 G 8 G 1G 2 G 3 G 5 G 8
Aplicando la técnica de los flujogramas: Se construye en primer lugar el flujograma correspondiente al sistema: R
1
G3
G8
G2 G5
G1
1
C
G7 G4
-G6 -1
Se resuelve aplicando la regla de Mason: La relación entre la salida C(s) y la entrada R(s), viene dada por: C(s) M (s ) R (s )
k Tk k
siendo: (Determinante del flujograma.) = 1-i+ij-ijk+… Trayectos directos: "aquellos que partiendo de un nodo fuente llegan a un nodo final sin pasar dos veces por el mismo nodo" i: ganancia de cada lazo. i igual a la suma de ganancias de los bucles que tienen algún nodo común con cualquier trayecto directo. ij igual a la suma de productos de las ganancias de todas las combinaciones posibles de dos bucles disjuntos. TK es la ganancia del k-ésimo trayecto directo. K se calcula igual que , pero eliminando los bucles que tienen algún nodo común
14
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
con el k-ésimo trayecto directo. Trayectos directos: T1 G 3 G 8 G 2 G 5 G 1 Lazos: 1 G 3 G 8 G 2 G 5 G 1 2 G 8 G 7 G 6 3 G 8 G 2 G 5 G 4 G 6
i 1 2 3 G 3 G 8 G 2 G 5 G 1 G 8 G 7 G 6 G 8 G 2 G 5 G 4 G 6 No existen lazos disjuntos. 1 i 1 1 2 3 1 G 3G 8 G 2 G 5G1 G 8 G 7 G 6 G 8 G 2 G 5G 4 G 6 1 1 C(s) M (s ) R (s)
k Tk k
G 3G 8 G 2 G 5G1 1 G 3G 8 G 2 G 5G 1 G 8 G 7 G 6 G 8 G 2 G 5G 4 G 6
EJERCICIO 2.6.
Calcular la función de transferencia
C( s ) del siguiente flujograma: R (s )
-H2 R(s) 1
1
G1
G2
G3
1
C(s)
H1 -1
Trayectos Directos:
P1 G1G 2G 3
Lazos Independientes:
L1 G1G 2 H1 L 2 G 2 G 2 H 2
L3 G1G 2G 3 Determinante:
1 La L b Lc Ld Le Lf ...
15
Diagramas de Bloques y Flujogramas.
1 G1G 2 H1 G 2G 3H 2 G1G 2G 3 P1 G1G 2G 3
Cofactor:
1 1
Entonces: 1 Pk k k
M (s )
M (s )
G 1G 2 G 3 1 G 1G 2 H 1 G 2 G 3 H 2 G 1G 2 G 3
EJERCICIO 2.7.
Calcular la función de transferencia
Y (s ) del siguiente flujograma: R (s )
6 R(s) 1
1
1 s+1
-4 1
-3
s s+2
3
-5
Trayectos Directos: P1
3s (s 1)(s 2)
P2
4 (s 1)
P3 6 Lazos Independientes: L1
3 (s 1)
L2
5s (s 2 )
Pares de lazos: L1 L 2 Determinante:
15s (s 1)(s 2)
1 La L b Lc Ld Le Lf ...
16
1 Y(s)
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
3 5s 15s 1 (s 1) (s 2) (s 1)(s 2)
Cofactores: P1
3s (s 1)(s 2) 1 1
P2 4 (s 1) 5s 2 1 (s 2)
P3 6 3 5s 15s 3 1 (s 1) (s 2) (s 1)(s 2)
Entonces: M (s )
1 Pk k k
5s 3s 3 5s 15s 4 1 61 1 (s 2) (s 1)(s 2) (s 1) (s 2) (s 1)(s 2) s 1 M (s ) 3 3 5s 15s 5s 15s 1 1 (s 1) (s 2) (s 1)(s 2) (s 1) (s 2) (s 1)(s 2) M (s )
36s 2 135s 40 6s 2 26s 8
EJERCICIO 2.8.
Calcular la función de transferencia del siguiente flujograma:
H1 R(s) 1
G1
G5
G2
H2 G3
H3 G6
H4 G7
17
G4
1 C(s)
G8
Diagramas de Bloques y Flujogramas.
Trayectos Directos: P1 G1G 2G 3G 4 P2 G 5G 6 G 7 G 8 Lazos Independientes: L1 G 2 H1
L 2 G 3H 2 L3 G 6 H 3 L4 G 7H4 Pares de lazos: L1L 4 G 2 H1G 7 H 4 L 2 L 3 G 3H 2 G 6 H 3 Determinante:
1 La L b L c Ld L e Lf ...
1 G 2 H1 G 3H 2 G 6 H 3 G 7 H 4 G 2 H1G 7 H 4 G 3H 2G 6 H 3 Cofactores: P1 G1G 2G 3G 4 1 1 G 6 H 3 G 7 H 4 P2 G 5G 6 G 7 G 8 2 1 G 2 H1 G 3H 2 Entonces: M (s )
M (s )
1 Pk k k
(G G G G )(1 (G H G H )) (G G G G )(1 (G H G H )) 1 2 3 4 6 3 7 4 5 6 7 8 2 1 3 2 1 (G H G H G H G H ) (G H G H G H G H ) 2 1 3 2 6 3 7 4 2 1 7 4 3 2 6 3
EJERCICIO 2.9.
Calcular las funciones de transferencia indicadas para el siguiente flujograma:
18
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
-4
R1(s) 1 R2(s) 1
1 s
1 C1(s) s s+2 10 1 C2(s) 1 s+3
T11
C 1 (s) R 1 (s )
T21
C 2 (s ) R 1 (s )
T21
C 1 (s ) R 2 (s )
T22
C 2 (s ) R 2 (s )
1- T11 C1 (s) R1 (s)
-4
R1(s) 1 1 s
1 C1(s) s s+2 10 1 s+3
10 s 1 1 s2 s(s 3) T11 (s) 4s 40 1 s 2 s(s 3) T11 (s)
s 3 3s 2 10s 20 5s 3 17s 2 46s 80
2- T21 C 2 (s) R1 (s)
-4
R1(s) 1 1 s
s s+2 10 1 C2(s) 1 s+3
1 1 s(s 3) T21 (s) 4s 40 1 s 2 s(s 3)
19
Diagramas de Bloques y Flujogramas.
T21 (s)
s2 3
5s 17s 2 46s 80
3- T21 C1 (s) R 2 (s)
-4 1 s
R2(s) 1
1 C1(s) s s+2 10 1 s+3
10 1 (s 3) T12 (s) 4s 40 1 s 2 s(s 3) T12 (s)
10s 2 2s 5s 3 17s 2 46s 80
4- T22 C 2 (s) R 2 (s)
-4
R2(s) 1
1 s
s s+2 10 1 C2(s) 1 s+3
1 40 1 (s 3) s(s 3) T22 (s) 4s 40 1 s 2 s(s 3) T22 (s)
5s 2 2s 5s 3 17s 2 46s 80
EJERCICIO 2.10.
Calcular las funciones de transferencia del siguiente flujograma:
20
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
R2(s) 1 s -2
R1(s) 1 1
R3(s) 1
6 -4
1 1 1 Y1(s) s -3
Y2(s) T11
Y1 (s) R 1 (s )
T12
Y1 (s) R 2 (s )
T13
Y1 (s) R 3 (s )
T21
Y2 (s) R 1 (s )
T22
Y2 (s) R 2 (s )
T23
Y2 (s) R 3 (s )
1- T11 Y1 (s) R1 (s)
1 s -2
R1(s) 1
6 -4
1 s -3
1 Y1(s)
6 2 1 s T11 (s) 2 3 24 6 1 s s s s2 T11 (s)
6 s 29s 6 2
2- T12 Y1 (s) R 2 (s)
R2(s) 1 1 s 6 -2
1 s -3
-4
1 Y1(s)
6 1 s T11 (s) 2 3 24 6 1 s s s s2 T11 (s)
6s s 29s 6 2
21
Diagramas de Bloques y Flujogramas.
3- T13 Y1 (s) R 3 (s)
R3(s) 1 s -2
1 1 1 Y1(s) s -3
6 -4
1 1 2
T13 (s)
s 2 3 24 6 1 s s s s2
T13 (s)
s( s 2 ) s 2 29s 6
4- T21 Y2 (s) R1 (s)
1 s -2
R1(s) 1 1
6 -4
1 s -3
Y2(s)
1 1 3 24 T21 (s)
s
s
2 3 24 6 s s s s2
1
T21 (s)
s(s 27) s 2 29s 6
5- T22 Y2 (s) R 2 (s)
R2(s)
1
1 1 s 6 -2
-4
1 s -3
Y2(s)
2 1 3
T22 (s)
s 2 3 24 6 1 s s s s2
22
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
T22 (s)
s( 2s 6) s 2 29s 6
6- T23 Y2 (s) R 3 (s)
R3(s) 1 s -2
1
6 -4
Y2(s) T23 (s)
1 1 s -3
81 2 3 24 6 s s s s2
1
T23 (s)
8s 2 s 2 29s 6
EJERCICIO 2.11.
La función de transferencia G(s) viene definida por el siguiente diagrama de flujo:
Donde:
G1 = 1
G2 = 1/s
G3 = 1/s
G4 = 1/s
G5 = 4
G6 = 1
G7 = -1
G8 = -2
G9 = -3
G10 = 1
G11 = 2.
Calcular, mediante Mason, la función de transferencia de G(s).
G (s)
1 TK K K
Trayectos directos: 1 1 1 4 T1 G1 G 2 G 3 G 4 G 5 G 6 1 4 1 3 s s s s 1 1 T2 G 1 G 2 G 10 G 6 1 1 1 s s
23
Diagramas de Bloques y Flujogramas.
1 1 2 T3 G1 G 2 G 3 G11 G 6 1 2 1 2 s s s
Determinante del sistema: 1 La L b Lc ... 1 2 3 1 G 2 G 7 G 2 G3 G8 G 2 G3 G 4 G9 1 2 3 s s s Cofactores: 1 1 2 1 3 1
Función de transferencia: 4 2s s 2 4 1 2 2 3 3 s s 3 2s G (s) s 1 2 3 1 2 3 s s 2s 3 s s s s3 G (s)
s 2 2s 4 s3 s 2 2s 3
EJERCICIO 2.12.
Calcular la función de trasferencia del sistema de la figura mediante la aplicación de la regla de Mason: Y(s) R(s) +
-
G2(s)
G1(s)
+
-
G5(s)
G4(s)
G3(s)
+ +
G6(s)
G7(s)
G8(s) 1 s2 1 G 5 (s) s
G1 (s)
G 2 (s) (s 1)
G 3 (s) 5
G 6 (s) 1
G 7 (s)
T (s)
Tn n
Trayectos: T1 G 3G 8G 5G 2G1
24
1 s 1
G 4 (s) s
G 8 (s) s
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
Lazos: L1 G 3G 8G 5G 2G1 L 2 G 8G 5G 2 G 4 G 6 L 3 G 8G 7 G 6 1 (G 3G 8G 5G 2G1 G 8G 5G 2G 4G 6 G 8G 7 G 6 ) T (s )
G 3G 8 G 5G 2 G1 1 ( G 3 G 8 G 5 G 2 G 1 G 8 G 5 G 2 G 4 G 6 G 8 G 7 G 6 )
1 1 5 s (s 1) 2 s s T (s ) 1 1 1 1 1 5 s (s 1) 2 s (s 1) s 1 s 1 s s s 1 s T (s )
5(s 1) 2 s 5 2s 4 3s 3 6s 2 10s 5
EJERCICIO 2.13.
G(s) está definida por el diagrama de flujo: 3
U(s)
2
1/s
1
1/s -4
-5
Obtener la función de transferencia.
Aplicando la regla de Mason: T Trayectos directos:
Lazos independientes:
Tn n
T1
3 s
1 1
T2
2 s2
2 1 L1
25
4 s
Y(s)
Diagramas de Bloques y Flujogramas.
L2 1
5 s2
4 5 s s2
3 2 3s 2 2 2 3s 2 s s 2 s 2 G (s ) 4 5 1 2 s 4s 5 s 4s 5 s s s2 G (s )
3(s 0.66) s 2 4s 5
EJERCICIO 2.14.
Obtener la función de transferencia de una planta que viene definida por el siguiente flujograma: 1 R'(s) 4 31 1 2 /(s+1) /(s+1) 7
6
1
5
C'(s)
La relación entre la salida C'(s) y la entrada R'(s), viene dada por: C' (s) M ' (s) R ' (s)
k Tk k
T1 2 5 10
1 1
T2 3 6 18
2 1
T3 4 7 28
3 1
26
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
Bucles:
T4 2
1 12 6 s 1 s 1
4 1
T5 2
1 1 14 7 s 1 s 1 (s 1) 2
5 1
T6 3
1 21 7 s 1 s 1
6 1
No hay
Bucles disjuntos: No hay. Luego, sustituyendo: . = 1-i+ij-ijk+… = 1 - 0= 1 Se tiene entonces: M ' (s)
k Tk k
M ' (s) 10 18 28
M ' (s)
T11 T2 2 ... T6 6 1
12 14 21 33 14 56 2 s 1 (s 1) s 1 s 1 (s 1) 2
56 s 2 112 s 56 33 s 33 14 (s 1) 2
M ' (s)
56 s 2 145 s 103 (s 1) 2
EJERCICIO 2.15.
Para el sistema del ejercicio 1.14. hallar la función de transferencia que relaciona la altura del líquido en el depósito h(t) y la tensión de referencia u(t), mediante la técnica de flujogramas. En el ejercicio 1.14. el sistema quedó definido por el siguiente diagrama de bloques: F(s) U(s) E(s) Qe(s) 1 H(s) 0.2 V(s) 10 101 +_ +_ s s Qs(s) 0.009
27
Diagramas de Bloques y Flujogramas.
Obtener en primer lugar el flujograma correspondiente al diagrama de bloques mostrado en la figura. U
1
E
0.2 10 1 s V
10
1 s
Qe
H
-0.009 -1
Aplicando la Regla de Mason se obtendrá la función de transferencia: T
Tn n
1 L1 L 2
1 0.2 T1 10 1 10 s s 1 1
1 0.2 L1 101 10 (1) s s 1 L 2 (0.009) s
0.2 1 1 1 101 10 (1) (0.009) s s s s 0.2 H(s) s2 T s 0.2 0.009 U(s) 1 100 2 s s 100
T
H(s) 100(s 0.2) 2 U(s) s 100s 20 0.009s
T
H(s) 100(s 0.2) 2 U(s) s 100.009s 20
28
1
H
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
EJERCICIO 2.16.
Dado un sistema de control representado por el siguiente diagrama de bloques: R2(s)
R1(s)
Y(s) G2(s)
G1(s)
+
-
H1(s)
+
H2(s)
+ H3(s)
1.- Dibujar el flujograma correspondiente. 2.- Si se hace R2(s) = 0, hallar mediante la regla de Mason,
Y(s) M (s) R1 (s)
1 1 . ; G1(s) = K y G2(s) = ( s 4)( s 6) s Obtener la función de transferencia G3(s) para que M(s) sea equivalente al sistema de la figura:
3.- Si en M(s), hacemos H2(s) = H3(s) = 1; H1(s) =
C(s)
R(s) G3(s)
+
-
1 s
1. Flujograma: Sustituyendo el diagrama de bloques: R2(s) 0
1
1
G1(s)
2
R1(s)
1
-1
3
-1
-H1(s)
G2(s)
5
H2(s)
4 -H3(s)
2- Ahora R2(s) = 0. La función de transferencia global del sistema será: M (s)
Y(s) R1 (s)
29
TK K
1
6 Y(s)
Diagramas de Bloques y Flujogramas.
Trayectos directos: 0 – 1 – 2 – 3 – 5 – 6 : G1(s)G2(s) Bucles:
B1:
1 – 2 – 3 – 5 – 1 : G1(s)G2(s)[-H3(s)]
B2:
1 – 2 – 3 – 5 – 4 – 1: G1(s)G2(s)[-H1(s)]H2(s)
B3:
2 - 3 – 5 – 4 –2 : G2(s)[-H2(s)]
Bucles disjuntos: No hay. Luego, sustituyendo: . = 1 – [G1(s)G2(s)[-H3(s)] + G1(s)G2(s)[-H1(s)]H2(s) +G2(s)[-H2(s)]] + 0 = = 1 + G2(s)[G1(s)[-H3(s)] + G1(s)[-H1(s)]H2(s) + H2(s)] K = 1 = 1 – 0 = 1 T1 = G1(s)G2(s) Se tiene entonces: M (s)
Y(s) R1 (s)
TK K
G1 (s) G 2 (s) 1 G 2 (s) G1 (s) H 3 (s) G1 (s) H1 (s) H 2 (s) H 2 (s)
1 1 3. Ahora, H 2 (s) H 3 (s) 1; H1 (s) ; G1 (s) K; G 2 (s) s (s 4)(s 6) sustituyendo en la ecuación anterior de M(s), se tiene: K Ks Ks (s 4)(s 6) M (s) 3 2 1 K 1 (K 1) s(s 4)(s 6) s(K 1) K s 10s (25 K )s K (s 4)(s 6) s
R1(s)
Ks 3 2 s 10 s (25 K ) s K
Y(s)
R(s)
C(s) G3(s)
1 s
M(s)
30
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
G 3 (s)
M (s)
1 G 3 (s)
1 s
s G 3 (s) s G 3 (s)
G 3 (s)
s M (s) K 2 s M (s) s 10s (25 K )
Luego la función de transferencia en lazo abierto del nuevo sistema, teniendo en cuenta que K = 1000, será: 1 F.T.L.A.' K G 3 (s) s F.T.L.A.'
1000 s(s 2 10s 1025)
EJERCICIO 2.17.
G(s) es la función de transferencia de una planta, de la que se conoce su flujograma, que es el siguiente: -4 1 s 1 1
+1
2 s2
1 2 s s
2
-s
4
3
3 s3
5
+1
+10 6
1 s 4
8 s8
2
9
1 s
8
-7
1 s 10
-6
Calcular la función de transferencia de la planta, aplicando la regla de Mason.
Trayectos directos:
31
7
Diagramas de Bloques y Flujogramas.
1 2 3 4 9 10 6 7 P1
1 2 8 9 10 6 7 P2 Lazos disjuntos: L1
1 1 10 1 1 2 10 2 2 s s s (s s)(s 1) s 1 s s 1 8 1 1 8 2 2 s 4 s 8 s s s (s 4)(s 8) 2
4 56 8 1 6 ; L 2 s; L3 7 ; L 4 6 ; s8 s8 s s s s 1 1 3 s 30 L5 10 s s s 3 s 2 s(s 2)(s 3) 2
Determinante del flujograma: 1 L1 L 2 L 3 L 4 L1 L 2 L1 L 3 L1 L 4 L 2 L 3 L 2 L 4 L1 L 2 L 3 L1 L 2 L 4 56 6 4( s) 4( 56) 4( 6) 4 1 2 s 2 s 8 s s s (s 2 s)(s 8) s(s 2 s) s s 6 56 4 s( 56) s( 6 ) 4 ( s ) 2 ( s ) 2 s8 s s s s s s8 s
s 5 72s 4 193s 3 450s 2 520s 192 s 2 (s 1)(s 8)
Cofactores: 1 1 L 2 1 (s) 1 s 3 2 4s s 2s 5s 4 4 (s) 2 2 1 (L1 L 2 ) L1 L 2 1 2 s(s 1) s s s s
Luego, G (s )
P1 1 P2 2
Y sustituyendo los valores queda: G (s )
18s 3 96s 2 80s 352 s(s 2 4)(s 5 72s 4 193s 3 450s 2 520s 192)
32
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