Ejercicios- Metodo Simplex 391e6m

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

Universidad Ricardo Palma

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El algoritmo SIMPLEX es un procedimiento general para resolver problemas de programación lineal, desarrollado por George Dantzing en el año 1947. La implementación en computadoras personales del método SIMPLEX y sus variantes se han convertido en herramientas tan poderosas que se usan a menudo para resolver problemas de programación lineal de miles de restricciones y miles de variables y , en ocasiones, problemas bastante más grandes. Como hemos visto en el material de trabajo autónomo 2 se trató el tema de solucionar problemas de dos o tres variables, aplicando el método gráfico, así como el análisis de sensibilidad de sus resultados. Ahora, en el material de trabajo autónomo 3 veremos el método de solución del SIMPLEX para solucionar problemas de n variables, tanto para maximizar o minimizar la función objetivo, considerando variables positivas, negativas y no restringidas.

Para los modelos de maximización se esta considerando el desarrollo de ejercicios planteados con variables positivas y variables no restringidas, para el caso de los problemas con variables negativas se esta planteando un ejercicio bajo el enfoque de minimización. Para los modelos de minimización se esta considerando el desarrollo de ejercicios planteados con variables positivas y variables negativas, para el caso de los problemas con variables no restringidas se esta planteando un ejercicio bajo el enfoque de maximización.

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Los modelos de maximización buscan casi siempre obtener la máxima rentabilidad, la mayor productividad, el máximo cumplimiento del nivel de servicio, el máximo cumplimiento de los objetivos, etc y se aplican en la industria , en los sistemas de comercialización, sistemas financieros, transportes, sistemas de salud, en el sector de servicios públicos, etc.

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Ahora veremos el desarrollo del método SIMPLEX aplicado a un modelo de maximización. Recordemos que el método SIMPLEX se aplica sólo a modelos que tienen restricciones del tipo menor o igual. Como primer paso debemos aplicar la forma estándar al modelo planteado, lo cual implica tres condiciones: La primera condición: que los lado derecho de las restricciones sean constantes mayores o iguales a cero, en nuestro ejemplo, los lado derecho de las restricciones ya son constantes positivas. La segunda condición: que las inecuaciones sean expresadas en forma de igualdades usando variables de holgura, en nuestro ejemplo, estamos agregando las variables de holgura S1 y S2 a las dos restricciones. La tercera condición: que las variables que participan en el modelo sean mayores o iguales a cero (es decir que sean variables positivas) en nuestro ejemplo, todas las variables son positivas.

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Ahora bien, implementamos el tablero inicial del simplex con la estructura de su forma estándar. Como se está maximizando, debemos seleccionar el coeficiente del Costo Reducido más negativo para obtener nuestra columna PIVOT, para nuestro caso corresponde al valor -3 de la columna asociada a la variable X2, y es la variable que ingresa a la base en el siguiente tablero.

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Luego obtenemos nuestra columna PIVOT asociada a la variable X2, ya que tiene el costo reducido más negativo con el valor -3. La variable X2 es la variable que ingresa a la base en el siguiente tablero. Posteriormente hallamos el ratio del cociente mínimo dividiendo la columna del lado derecho (solución) entre los valores de los elemento de la columna PIVOT (la división solo se hace para los elementos positivos), el menor ratio de cociente mínimo nos determina la fila PIVOT, para nuestro caso el menor ratio corresponde a la variable S1 que tiene como cociente mínimo 3. Esto significa que en el siguiente tablero debe salir de la base la variable S1 y su lugar debe ser remplazada por la variable X2. El elemento de intersección de la fila y columna PIVOT debe ser uno en el siguiente tablero, para ello dividimos la fila de la variable S1 entre 2, ya que el elemento de intercepción es 2 y colocamos el resultado en el siguiente tablero en la posición del renglón que le corresponde, y la variable S1 es reemplazada por la variable X2, generalizamos esta operación para toda la fila.

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Ahora bien, mediante operaciones suma fila debemos hacer canónico el vector columna asociado a la variable X2 en el siguiente tablero, de la siguiente manera: En el segundo tablero multiplicamos el valor “UNO” (el cual está resaltado en la fila de color rojo) por 3 y luego sumamos el valor -3 de la fila de los coeficientes reducidos en el primer tablero. El resultado es “cero” y lo colocamos en la misma posición pero del segundo tablero, replicamos esta operación para toda la fila con el valor del coeficiente reducido correspondiente del primer tablero.

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Luego, en el segundo tablero multiplicamos el valor “UNO” (el cual está resaltado en la fila de color rojo) por (– 1) y luego sumamos el valor 1 de la fila de S2 en el primer tablero. El resultado es “cero” y lo colocamos en la misma posición pero del segundo tablero, replicamos esta operación para toda la fila con el valor del coeficiente correspondiente del primer tablero.

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Continuando, como se está maximizando debemos seleccionar el coeficiente del Costo Reducido más negativo del segundo tablero para obtener nuestra columna PIVOT. Para nuestro caso corresponde al valor -1/2 de la columna asociada a la variable X1, y es la variable que ingresa a la base en el tercer tablero. Luego, hallamos el ratio del cociente mínimo dividiendo la columna del lado derecho (solución) entre los valores de los elementos de la columna PIVOT (la división solo se hace para los elementos positivos). El menor ratio de cociente mínimo nos determina la fila PIVOT, para nuestro caso el menor ratio corresponde a la variable S2 que tiene como cociente mínimo 10/3. Esto significa que en el tercer tablero debe salir de la base la variable S2 y su lugar debe ser remplazada por la variable X1.

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Ahora bien, el elemento de intersección de la fila y columna PIVOT debe ser uno en el siguiente tablero. Para ello dividimos la fila de la variable S1 entre 3/2, ya que el elemento de intercepción es 3/2 y colocamos el resultado en el tercer tablero en la posición del renglón que le corresponde, y la variable S2 es reemplazada por la variable X1, generalizamos esta operación para toda la fila.

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Luego mediante operaciones suma fila debemos hacer canónico el vector columna asociado a la variable X1 en el tercer tablero, de la siguiente manera: En el tercer tablero multiplicamos el valor “UNO” (el cual está resaltado en la fila de color rojo) por el valor 1/2 y luego sumamos el valor -1/2 de la fila de los coeficientes reducidos en el segundo tablero. El resultado es “cero” y lo colocamos en la misma posición pero del tercer tablero, replicamos esta operación para toda la fila con el valor del coeficiente reducido correspondiente del segundo tablero.

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Luego en el tercer tablero multiplicamos el valor “UNO” (el cual está resaltado en la fila de color rojo) por el valor (– 1/2) y luego sumamos el valor 1/2 de la fila de X2 en el segundo tablero. El resultado es “cero” y lo colocamos en la misma posición pero del tercer tablero. Replicamos esta operación para toda la fila con el valor del coeficiente correspondiente del segundo tablero. Luego, vemos que en el tercer tablero ya no existen más costos reducidos negativos, entonces se ha llegado a la solución final.

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Finalmente el tercer tablero nos da el tablero óptimo del cual obtenemos el vector solución, el cual está compuesto por las variables básicas (son aquellas variables que están en la columna base) las cuales obtienen su resultado de la columna solución y las variables no básicas (aquellas variables que no aparecen en la columna base) asumen valor cero por default. El valor de la función objetivo se obtiene del primer valor de la columna solución.

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La solución final se da en función a las variables de decisión: X1 asume un valor de 10/3 , X2 asume un valor de 4/3 , y La función objetivo asume un valor óptimo de 32/3

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Los modelos de maximización con variables no restringidas, buscan modelar condiciones donde las variables puedan tomar valores positivos ó negativos, como por ejemplo la condición de disponibilidad de horas, donde pueden existir horas sobrantes ó requerirse horas extras, la condición de disponibilidad de capital, donde puede existir capital sobrante ó requerirse capital adicional, entre otros casos; donde el resultado de la función objetivo es casi siempre obtener la máxima rentabilidad y se aplican en la industria , en los sistemas de comercialización, sistemas financieros, transportes, sistemas de salud, en el sector de servicios públicos, etc. A continuación mostraremos una formulación asociado a un modelo matemático donde se ilustra el uso de variables no restringidas.

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Ahora veremos el desarrollo del método SIMPLEX aplicado a un modelo de maximización con variables no restringidas. Encontrarán ocasiones en donde el modelo requiere hacer uso de variables que puedan asumir valores positivos o negativos y será necesario hacer un reemplazo de variables. Recordar que el método SIMPLEX se aplica solo a modelos que tienen restricciones del tipo menor o igual. Como primer paso debemos aplicar la forma estándar al modelo planteado, lo cual implica tres condiciones: La primera condición : que los lado derecho de las restricciones sean constantes mayores o iguales a cero, en nuestro ejemplo los lado derecho de las restricciones ya son constantes positivas. La segunda condición: que las inecuaciones sean expresadas en forma de igualdades usando variables de holgura, en nuestro ejemplo estamos agregando las variables de holgura S1 , S2 y S3 a las tres restricciones. La tercera condición: que las variables que participan en el modelo sean mayores o iguales a cero (es decir que sean variables positivas) en nuestro ejemplo la variable X y Y esta definida como no restringidas, por lo tanto debemos realizar un cambio de variable, X debe ser igual a X1 – X2 , también la variable Y debe ser igual a Y1-Y2, y luego hacemos el reemplazo en todo el modelo en su forma estándar.

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Como primer paso implementamos el tablero inicial del simplex con la estructura de su forma estándar. Como se esta maximizando debemos seleccionar el coeficiente del Costo Reducido más negativo para obtener nuestra columna PIVOT, para nuestro caso corresponde al valor -8 de la columna asociada a la variable X2, y es la variable que ingresa a la base en el segundo tablero.

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Luego hallamos el ratio del cociente mínimo dividiendo la columna del lado derecho (solución) entre los valores de los elemento de la columna PIVOT (la división solo se hace para los elementos positivos), el menor ratio de cociente mínimo nos determina la fila PIVOT, para nuestro caso el menor ratio corresponde a la variable S3 que tiene como cociente mínimo 1. Esto significa que en el segundo tablero debe salir de la base la variable S3 y su lugar debe ser remplazada por la variable X2. El elemento de intersección de la fila y columna PIVOT debe ser uno en el siguiente tablero, para ello dividimos la fila de la variable S3 entre 1, ya que el elemento de intercepción es 1 y colocamos el resultado en el segundo tablero en la posición del renglón que le corresponde, y la variable S3 es reemplazada por la variable X2, generalizamos esta operación para toda la fila.

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Mediante operaciones suma fila debemos hacer canónico el vector columna asociado a la variable X2 en el segundo tablero, de la siguiente manera: En el segundo tablero multiplicamos el valor “UNO” (el cuál esta resaltado en la fila de color rojo) por 8 y luego sumamos el valor ( - 8 ) de la fila de los coeficientes reducidos en el primer tablero, el resultado es “cero” y lo colocamos en la misma posición pero del segundo tablero, replicamos ésta operación para toda la fila con el valor del coeficiente reducido correspondiente del primer tablero.

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Luego, en el segundo tablero multiplicamos el valor “UNO” (el cuál esta resaltado en la fila de color rojo) por 1 y luego sumamos el valor (-1) de la fila de S1 en el primer tablero, el resultado es “cero” y lo colocamos en la misma posición pero del segundo tablero, replicamos ésta operación para toda la fila con el valor del coeficiente correspondiente del primer tablero.

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En el segundo tablero multiplicamos el valor “UNO” (el cuál esta resaltado en la fila de color rojo) por 1 y luego sumamos el valor (-1) de la fila de S2 en el primer tablero, el resultado es “cero” y lo colocamos en la misma posición pero del segundo tablero, replicamos ésta operación para toda la fila con el valor del coeficiente correspondiente del primer tablero.

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Continuando, como se esta maximizando debemos seleccionar el coeficiente del Costo Reducido más negativo del segundo tablero para obtener nuestra columna PIVOT, para nuestro caso corresponde al valor -7 de la columna asociada a la variable Y2, y es la variable que ingresa a la base en el tercer tablero. Luego hallamos el ratio del cociente mínimo dividiendo la columna del lado derecho (solución) entre los valores de los elemento de la columna PIVOT (la división solo se hace para los elementos positivos), el menor ratio de cociente mínimo nos determina la fila PIVOT, para nuestro caso el menor ratio corresponde a la variable S2 que tiene como cociente mínimo 5/3. Esto significa que en el tercer tablero debe salir de la base la variable S2 y su lugar debe ser remplazada por la variable Y2.

El elemento de intersección de la fila y columna PIVOT debe ser uno en el tercer tablero, para ello dividimos la fila de la variable S2 entre 3, ya que el elemento de intercepción es 3 y colocamos el resultado en el tercer tablero en la posición del renglón que le corresponde, y la variable S2 es reemplazada por la variable Y2, generalizamos esta operación para toda la fila.

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Mediante operaciones suma fila debemos hacer canónico el vector columna asociado a la variable Y2 en el tercer tablero, de la siguiente manera: En el tercer tablero multiplicamos el valor “UNO” (el cuál esta resaltado en la fila de color rojo) por 7 y luego sumamos el valor ( - 7 ) de la fila de los coeficientes reducidos en el segundo tablero, el resultado es “cero” y lo colocamos en la misma posición pero del tercer tablero, replicamos ésta operación para toda la fila con el valor del coeficiente reducido correspondiente del primer tablero.

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Luego, en el tercer tablero multiplicamos el valor “UNO” (el cuál esta resaltado en la fila de color rojo) por 2 y luego sumamos el valor (-2) de la fila de S1 en el segundo tablero, el resultado es “cero” y lo colocamos en la misma posición pero del tercer tablero, replicamos ésta operación para toda la fila con el valor del coeficiente correspondiente del segundo tablero.

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En el tercer tablero multiplicamos el valor “UNO” (el cual está resaltado en la fila de color rojo) por 1 y luego sumamos el valor (-1) de la fila de Y2 en el segundo tablero. El resultado es “cero” y lo colocamos en la misma posición pero del tercer tablero, replicamos esta operación para toda la fila con el valor del coeficiente correspondiente del segundo tablero. Luego, vemos que en el tercer tablero ya no existen más costos reducidos negativos; entonces, se ha llegado a la solución final.

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El tercer tablero nos da el tablero óptimo del cual obtenemos el vector solución, compuesto por las variables básicas (son aquellas variables que están en la columna base) las cuales obtienen su resultado de la columna solución y las variables no básicas (aquellas variables que no aparecen en la columna base) asumen valor cero por default. El valor de la función objetivo se obtiene del primer valor de la columna solución.

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La solución final se da en función a las variables de decisión: X asume un valor de – 8/3 , Y asume un valor de - 5/3 , y La función objetivo asume un valor óptimo de 59/3

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Los modelos de minimización buscan casi siempre obtener el mínimo costo, el menor tiempo de producción, el menor desperdicio, la menor cantidad de piezas rechazadas, el menor tiempo de entrega, el menor tiempo de espera, etc y se aplican en la industria , en los sistemas de comercialización, sistemas financieros, transportes, sistemas de salud, en el sector de servicios públicos, etc.

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Una empresa produce harina de tipo I para uso interno y harina tipo II para venta. El área de ventas estima que la diferencia entre la harina tipo I y II debe ser a lo mas 6 toneladas. Una tonelada de harina tipo I de uso interno genera un costo de 2 mil soles y requiere un operario y una tonelada de harina tipo II destinada a la venta genera una ganancia de 3 mil soles y requiere 2 operarios. Se dispone de 4 operarios.

¿cuánto y qué tipo de harina se debe producir para minimizar los costos?

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Hemos visto hasta aquí las aplicaciones del modelo SIMPLEX aplicado a problemas de maximización, sin embargo, encontraran ocasiones donde es necesario minimizar la función objetivo. Ahora veremos el desarrollo del método SIMPLEX aplicado a un modelo de minimización. Recordar que el método SIMPLEX se aplica solo a modelos que tienen restricciones del tipo menor o igual. Como primer paso debemos aplicar la forma estándar al modelo planteado, lo cual implica tres condiciones: La primera condición : que los lado derecho de las restricciones sean constantes mayores o iguales a cero, en nuestro ejemplo los lado derecho de las restricciones ya son constantes positivas. La segunda condición: que las inecuaciones sean expresadas en forma de igualdades usando variables de holgura, en nuestro ejemplo estamos agregando las variables de holgura S1 y S2 a las dos restricciones. La tercera condición: que las variables que participan en el modelo sean mayores o iguales a cero (es decir que sean variables positivas) en nuestro ejemplo todas las variables son positivas.

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Como primer paso implementamos el tablero inicial del simplex con la estructura de su forma estándar. Como se esta minimizando debemos seleccionar el coeficiente del Costo Reducido más positivo para obtener nuestra columna PIVOT, para nuestro caso corresponde al valor 3 de la columna asociada a la variable X2, y es la variable que ingresa a la base en el segundo tablero.

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Luego hallamos el ratio del cociente mínimo dividiendo la columna del lado derecho (solución) entre los valores de los elemento de la columna PIVOT (la división solo se hace para los elementos positivos), el menor ratio de cociente mínimo nos determina la fila PIVOT, para nuestro caso el menor ratio corresponde a la variable S1 que tiene como cociente mínimo 1. Esto significa que en el segundo tablero debe salir de la base la variable S1 y su lugar debe ser remplazada por la variable X2. El elemento de intersección de la fila y columna PIVOT debe ser uno en el siguiente tablero, para ello dividimos la fila de la variable S1 entre 1, ya que el elemento de intercepción es 1 y colocamos el resultado en el segundo tablero en la posición del renglón que le corresponde, y la variable S1 es reemplazada por la variable X2, generalizamos esta operación para toda la fila.

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Mediante operaciones suma fila debemos hacer canónico el vector columna asociado a la variable X2 en el segundo tablero, de la siguiente manera: En el segundo tablero multiplicamos el valor “UNO” (el cuál esta resaltado en la fila de color rojo) por (-3) y luego sumamos el valor 3 de la fila de los coeficientes reducidos en el primer tablero, el resultado es “cero” y lo colocamos en la misma posición pero del segundo tablero, replicamos ésta operación para toda la fila con el valor del coeficiente reducido correspondiente del primer tablero.

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Luego, en el segundo tablero multiplicamos el valor “UNO” (el cuál esta resaltado en la fila de color rojo) por 1 y luego sumamos el valor (-1) de la fila de S2 en el primer tablero, el resultado es “cero” y lo colocamos en la misma posición pero del segundo tablero, replicamos ésta operación para toda la fila con el valor del coeficiente correspondiente del primer tablero. Luego vemos que en el segundo tablero ya no existen mas costos reducidos positivos, entonces se ha llegado a la solución final.

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El segundo tablero nos da el tablero óptimo del cual obtenemos el vector solución, el cual está compuesto por a) las variables básicas (son aquellas variables que están en la columna base) las cuales obtienen su resultado de la columna solución, y b) las variables no básicas (aquellas variables que no aparecen en la columna base) que asumen valor cero por default. El valor de la función objetivo se obtiene del primer valor de la columna solución.

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La solución final se da en función a las variables de decisión: X1 asume un valor de 0 , X2 asume un valor de 4 , y La función objetivo asume un valor óptimo de - 12

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Los modelos de minimización con variables negativas, buscan modelar condiciones donde las variables puedan asumir valores negativos, como por ejemplo la condición de cuantificar costos, desembolsos de un flujo de dinero, cuantificar perdidas, capital faltante, inventario faltante, entre otros casos; donde el resultado de la función objetivo es casi siempre obtener el menor costo y se aplican en la industria , en los sistemas de comercialización, sistemas financieros, transportes, sistemas de salud, en el sector de servicios públicos, etc. A continuación mostraremos una formulación asociado a un modelo matemático donde se ilustra el uso de variables negativas.

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Ahora veremos el desarrollo del método SIMPLEX aplicado a un modelo de minimización con variable negativa. Encontrarán ocasiones en donde el modelo requiere hacer uso de variables que puedan asumir valores negativos y será necesario hacer un reemplazo de variables. Recordar que el método SIMPLEX se aplica solo a modelos que tienen restricciones del tipo menor o igual. Como primer paso debemos aplicar la forma estándar al modelo planteado, lo cual implica tres condiciones: La primera condición : que los lado derecho de las restricciones sean constantes mayores o iguales a cero, en nuestro ejemplo los lado derecho de las restricciones ya son constantes positivas. La segunda condición: que las inecuaciones sean expresadas en forma de igualdades usando variables de holgura, en nuestro ejemplo estamos agregando las variables de holgura S1 y S2 a las dos restricciones. La tercera condición: que las variables que participan en el modelo sean mayores o iguales a cero (es decir que sean variables positivas) en nuestro ejemplo la variable Y esta definida como negativa, por lo tanto debemos realizar un cambio de variable, Y debe ser igual a – Y1, y hacemos el reemplazo en todo el modelo en su forma estándar.

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Como primer paso implementamos el tablero inicial del simplex con la estructura de su forma estándar. Como se esta minimizando debemos seleccionar el coeficiente del Costo Reducido más positivo para obtener nuestra columna PIVOT, para nuestro caso corresponde al valor 1 de la columna asociada a la variable Y1, y es la variable que ingresa a la base en el segundo tablero.

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Luego hallamos el ratio del cociente mínimo dividiendo la columna del lado derecho (solución) entre los valores de los elemento de la columna PIVOT (la división solo se hace para los elementos positivos), el menor ratio de cociente mínimo nos determina la fila PIVOT, para nuestro caso el menor ratio corresponde a la variable S2 que tiene como cociente mínimo 4. Esto significa que en el segundo tablero debe salir de la base la variable S2 y su lugar debe ser remplazada por la variable Y1. El elemento de intersección de la fila y columna PIVOT debe ser uno en el siguiente tablero, para ello dividimos la fila de la variable S2 entre 1, ya que el elemento de intercepción es 1 y colocamos el resultado en el segundo tablero en la posición del renglón que le corresponde, y la variable S2 es reemplazada por la variable Y1, generalizamos esta operación para toda la fila.

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Mediante operaciones suma fila debemos hacer canónico el vector columna asociado a la variable Y1 en el segundo tablero, de la siguiente manera: En el segundo tablero multiplicamos el valor “UNO” (el cuál esta resaltado en la fila de color rojo) por (-1) y luego sumamos el valor 1 de la fila de los coeficientes reducidos en el primer tablero, el resultado es “cero” y lo colocamos en la misma posición pero del segundo tablero, replicamos ésta operación para toda la fila con el valor del coeficiente reducido correspondiente del primer tablero.

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Luego, en el segundo tablero multiplicamos el valor “UNO” (el cuál esta resaltado en la fila de color rojo) por 1 y luego sumamos el valor (-1) de la fila de S1 en el primer tablero, el resultado es “cero” y lo colocamos en la misma posición pero del segundo tablero, replicamos ésta operación para toda la fila con el valor del coeficiente correspondiente del primer tablero. Luego vemos que en el segundo tablero ya no existen mas costos reducidos positivos, entonces se ha llegado a la solución final.

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El segundo tablero, nos da el tablero óptimo del cual obtenemos el vector solución, compuesto por las variables básicas ( son aquellas variables que están en la columna base) las cuales obtienen su resultado de la columna solución y las variables no básicas (aquellas variables que no aparecen en la columna base) asumen valor cero por defoul . El valor de la función objetivo se obtiene del primer valor de la columna solución.

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La solución final se da en función a las variables de decisión: X asume un valor de 0 , Y asume un valor de - 4 , y La función objetivo asume un valor óptimo de - 4

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