Ejercicios Algebra 5u1u2c

Universidad de Santiago de Chile Facultad de Ciencia DMCC Algebra I Control 2 12 de octubre del 2017

1. En los números enteros definimos la relación R por

xRy ⇔ ∃k ∈ IN ∪ {0} tal que y − x = k a) Demuestre que R es una relación de orden

(1,5 puntos)

b) ¿Es R una relación de orden total? Justifique

(0,5 puntos)

2. i) Si a ≡ b (mod m) ∧ b ≡ c (mod m) demuestre que a ≡ c (mod m) ii) Si a ≡ b (mod m) demuestre que ka ≡ kb (mod m)

(0,7 puntos) (0,7 puntos)

iii) Usando lo anterior y sabiendo que 32 ≡ 2 (mod 7) demuestre que

36 ≡ 1 (mod 7)

(0,6 puntos)

3. Determine la ecuación de la circunferencia que es tangente a la recta de ecuación 2 x − y − 3 = 0 en el punto A(2,1) y, el centro está en el eje Y. (2,0 puntos)

El control se responde en 80 minutos No se acepta el uso de celulares

Breve pauta de corrección sugerida

1 a) En los números enteros definimos la relación R por

xRy ⇔ ∃k ∈ IN ∪ {0} tal que y − x = k Demuestre que R es una relación de orden Resolución: Refleja

x − x = 0 ⇒ xRx Antisimétrica: xRy ∧ yRx ⇒ x = y Dem.

xRy ⇔ ∃k ∈ IN ∪ {0} tal que y − x = k

∧ yRx ⇔ ∃p ∈ IN ∪ {0} tal que x − y = p ⇒ 0 = k + p ⇒ k = −p ⇒ k = 0∧ p = 0 ⇒x= y Transitiva: xRy ∧ yRz ⇒ xRz

xRy ⇔ ∃k ∈ IN ∪ {0} tal que y − x = k

∧

yRz ⇔ ∃p ∈ IN ∪ {0} tal que z − y = p

⇒z−x=k+ p

⇒ ∃n = k + p ∈ IN ∪ {0} tal que z − x = n ⇒ xRz 1

b) No , ya que, por ejemplo, no se cumple que

3R6

2 i) Si a ≡ b (mod m) ∧ b ≡ c (mod m) demuestre que a ≡ c (mod m) ii) Si a ≡ b (mod m) demuestre que ka ≡ kb (mod m) iii) Usando lo anterior y sabiendo que 32 ≡ 2 (mod 7) demuestre que

36 ≡ 1 (mod 7) Resolucion i) Como a − b = mp; p ∈ Z ∧ b − c = mq; q ∈ Z entonces a − c = m( p + q); ( p + q) ∈ Z de donde a ≡ c(modm) ii) a − b = mp; p ∈ Z entonces ka − kb = mpk; k ∈ Z de donde ka ≡ kb(modm) iii) 32 ≡ 2(mod7) ⇒ 33 ≡ 6(mod7) ⇒ 34 ≡ 18(mod7) ⇒ 34 ≡ 4(mod7)

⇒ 35 ≡ 12(mod7) ⇒ 35 ≡ 5(mod7) ⇒ 36 ≡ 15(mod7) ⇒ 36 ≡ 1(mod7)

3) Determine la ecuación de la circunferencia que es tangente a la recta de ecuación 2 x − y − 3 = 0 en el punto A(2,1) y el centro está en el eje Y. Resolución La pendiente de la recta tangente es 2 , así la pendiente de la recta que pasa por el

1 , además esta recta pasa por 2 1 el punto A, así la ecuación de esta recta es y = − x + 2 como el centro 2 pertenece a esta recta y está en el eje Y el centro es el punto C (0,2) . centro y es perpendicular a la recta tangente es −

Luego el radio es r = d (C , A) = (2 − 0) + (1 − 2) = 5 2

2

Así la ecuación de la circunferencia que andamos buscando es

x 2 + ( y − 2) 2 = 5