Edificios Simples 3i444y

EDIFICIOS SIMPLES Existen estructuras modeladas como sistemas con un solo grado de libertad. El modelo con un solo grado de libertad provee la respuesta dinámica exacta solamente cuando la estructura puede asumir, durante su movimiento, una forma única de desplazamiento. Es caso contrario cuando la estructura puede desplazarse en más de una forma durante su movimiento, la solución que se obtiene con un modelo con un grado de libertad será solamente la aproximación al verdadero comportamiento dinámico. Las estructuras no siempre pueden describirse dinámicamente empleando un solo grado de libertad y, en general, es necesario modelar las estructuras como sistemas con múltiples grados de libertad. En realidad las estructuras son sistemas continuos y como tales poseen un número infinito de grados de libertad. Existen métodos analíticos para describir el comportamiento dinámico de las estructuras como sistemas continuos, que tiene propiedades de materiales uniformes y geometría simple. Estos métodos de análisis, aunque son particularmente interesantes puesto que dan información sobre modelos estructurales discretos, son complejos y solo aplicables a estructuras relativamente simples. Requieren un considerable análisis matemático, incluyendo la solución de ecuaciones diferenciales parciales. Por ahora consideremos uno de los modelos estructurales más instructivos al que se conoce como Edificios simples. ECUACIÓN DE RIGIDEZ PARA EDIFICIOS SIMPLES Un edificio simple puede ser definido como un edificio en el cual no se producen rotaciones en los horizontales a la altura de los pisos. A este respecto, el edificio simple, sometido a excitaciones que producen desplazamientos horizontales, tiene muchas de las características de una viga en voladizo deformada solamente por el esfuerzo de corte. Para conseguir esta deformación en un edificio debemos suponer las siguientes condiciones: 1) Que toda la masa de la estructura está concentrada al nivel de los pisos 2) Que las vigas en los pisos son infinitamente rígidas, con relación a la rigidez de las columnas 3) Que la deformación de la estructura es independiente de las fuerzas axiales presentes en las columnas La primera condición transforma el problema, de un sistema con un número infinito de grados de libertad (debido a la masa uniformemente distribuida), a un sistema que tiene solamente tantos grados de libertad como numero de masas concentradas a nivel de los pisos. Un edificio de tres pisos modelado como un edificio simple (Figura 1(a)), tiene 3 grados de libertad, esto es, los desplazamientos horizontales a la altura de los tres pisos. La segunda condición introduce el requisito de que las uniones entre las columnas y las vigas estén fijas

sin rotación. La tercera condición establece que las vigas rígidas en los pisos permanezcan horizontales durante el movimiento de la estructura.

Figura 1(a)

Figura 2(a)

Figura 1(b)

Figura 2(b)

Debe notarse que el edificio puede tener cualquier número de vanos y es sólo por conveniencia que representamos el edificio simple con solamente un vano, como se muestra en la figura 1(a). En realidad podemos idealizar el edificio simple como una sola columna (Figura 2(a)), con masas concentradas a la altura de los pisos, en el bien entendido de que sólo son posibles desplazamientos horizontales de estas masas.

Figura 3(a) y 3(b) Otra alternativa para representar un edificio simple es adoptar un modelo de resortes y masas, como se muestra en la figura 3(a). En cualquiera de las representaciones mostradas en las figuras 1(a), 2(a), 3(a) el coeficiente de rigidez o constante de resorte K, entre dos masas consecutivas, es la fuerza requerida para producir un desplazamiento relativo de magnitud unitaria entre dos pisos adyacentes. Para una columna uniforme, con sus dos extremos fijos sin posible rotación, la constante del resorte está dada por:

1(a) Y para una columna con un extremo fijo y el otro articulado

1(b) Donde E es el modulo de elasticidad del material, I el momento de inercia del área de la sección y L la distancia entre pisos. Debe aclararse que las tres representaciones que aparecen en las figuras 1 a 3 para un edificio simple son equivalentes. En consecuencia las ecuaciones del movimiento de un edificio simple de tres pisos se pueden obtener de cualquiera de los correspondientes diagramas de cuerpo libre mostrado en estas figuras, esto

es, igualando a cero la suma de las fuerzas que actúan en cada una de las masas. Así obtenemos ̈

̈ ̈ (2) Este sistema de ecuaciones constituye la formulación de rigidez de las ecuaciones del movimiento para este edificio simple de tres pisos. Las ecuaciones (2) pueden escribirse convenientemente usando matrices como: [ ]{ ̈ }

[ ]{ }

{ }

(3)

Donde [ ] y { } son respectivamente las matrices de masa y de rigidez dadas por: [ ]=

(4)

Y por [ ]=

(5)

Y donde { } { ̈ } { } son, respectivamente, los vectores de desplazamiento, aceleración y fuerza, dados por ̈ { }

̈

{ ̈}

{ }

(6)

̈ Debe notarse que en la matriz de masa (ecuación 4), correspondiente a un edificio simple, es una matriz diagonal, (los elementos distintos a cero están sólo en la diagonal principal). Los elementos de la matriz de rigidez (ecuación (5)), son llamados coeficientes de rigidez. En general el coeficiente de rigidez se define como la fuerza en la coordenada i cuando la coordenada j se desplaza una unidad, mientras que todas las otras coordenadas permanecen fijas. Por ejemplo, el coeficiente de la segunda fila y de la segunda columna de la matriz de la

ecuación (5), , es la fuerza requerida en el segundo piso del edificio cuando este piso se desplaza una unidad. ECUACIONES DE FLEXIBILIDAD PARA UN EDIFICIO SIMPLE Un método alternativo para expresar las ecuaciones del movimiento de una estructura es la formulación de flexibilidad. En esta formulación, las propiedades elásticas de la estructura se definen por medio de los coeficientes de flexibilidad, que se definen como las deformaciones producidas por una fuerza unitaria aplicada a una de las coordenadas. Específicamente, el coeficiente de flexibilidad se define como el desplazamiento de la coordenada i, cuando una fuerza estática unitaria es aplicada a la coordenada j. La figura 4 muestra los coeficientes de flexibilidad correspondientes a una fuerza unitaria aplicada al nivel de cada uno de los pisos del edificio simple. Usando estos coeficientes y aplicando la superposición, podemos calcular el desplazamiento de una de las coordenadas como la suma de los productos de los coeficientes de flexibilidad de esa coordenada multiplicada por las fuerzas correspondientes.

Figura (4) Las fuerzas que actúan en el edificio simple de tres pisos (incluidas las fuerzas de inercia), se muestran en la figura (5). Por lo tanto, los desplazamientos para el edificio de tres pisos pueden expresarse en función de los coeficientes de flexibilidad como ̈

̈ ̈

̈

̈

̈

̈

̈ ̈

Ordenando los términos en estas ecuaciones y usando matrices, tenemos

{ }

[ ]{ }

[ ][ ]{ }

(7)

Donde [ ] es la matriz de masa, ecuación (4), [ ] es la matriz de flexibilidad dada por [ ]

(8)

Y { } { ̈ } { } son, respectivamente, los vectores de desplazamiento, aceleración y fuerza dados en la ecuación (6). RELACIÓN ENTRE LAS MATRICES DE RIGIDEZ Y FLEXIBILIDAD Las definiciones dadas para los coeficientes de rigidez o de flexibilidad están basadas en consideraciones estáticas, en las cuales los desplazamientos son producidos por fuerzas estáticas. La relación entre fuerzas estáticas y desplazamientos puede obtenerse igualando a cero el vector aceleración{ ̈ } en la ecuación (3) o en la ecuación (7), por lo tanto [ ]

{ }{ }

(9)

[ ]

{ }{ }

(10)

De estas ecuaciones resulta que la matriz de rigidez [ ] y la matriz de flexibilidad [ ] son inversas, esto es [ ]

[ ]

O bien [ ]

(11) [ ]

En consecuencia la matriz de flexibilidad [ ] puede obtenerse ya sea calculando la matriz inversa de la matriz de rigidez, o directamente de la definición de los coeficientes de flexibilidad. Siguiendo este último procedimiento, tenemos para el edificio simple de tres pisos mostrado en la figura (4) que

Y Análogamente de la figura 4(b) y 4(c) obtenemos que , Y

,

,

Puesto que los coeficientes de flexibilidad para resortes en serie están dados por la suma de los valores recíprocos de las constantes de los resortes. Introduciendo estas expresiones para los coeficientes de flexibilidad en la matriz de flexibilidad, ecuación (8) resulta

[ ]

(12) La extensión de la matriz de flexibilidad para un edificio simple de tres pisos a un edificio con cualquier número de pisos se deduce de la manera indicada en la ecuación 12