Dornelles (2015, V.11) Calculo Numerico 413e3m

tolif FA*FX<=0b=x(k);FB=FX;elsea=x(k);FA=FX;endk= k+1;x(k)=0.5*(a+b);FX=f(x(k));e_rel=(x(k1), x(k));endz=x(k);n=size(A,1);fori=1:nforj=1: nifi==jC(i,j)=0;elseC(i,j)=A(i,j)/A(i,i);en Cálculo Numérico dendd(i,1)=)=((j1)/n)^(i);s(n+1,1);b(i)/A(i ,i);endk=1;x=ones(n,1);e_rel=+Inf;whilek tolk=k+1;x_ant=x;fori=1:nx(i)=C(i, :)*x+d(i);ende_rel=t(x_ant,x);endn=length(c );y=0;fork=1:ny=y.*x+c(k);endn=length(x);fo ri=1:nX(i,m+1)=1;forj=m:1:1X(i,j)=x(i)*X(i, j+1);endA=zeros(n+1,n+1);for)=((j1)/n)^(i1) ;s(n+1,1))=((j1)/n)^(i1);sfori=0:nwhilek<1; Notas de Aula

Cálculo Numérico Notas de Aula

Adalberto Ayjara Dornelles Filho

[email protected]

19 de fevereiro de 2015 versão 11

Sumário Apresentação

v

1 Introdução ao Matlab

1

1.1

Obtendo ajuda

1.2

Calculando com o Matlab

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.3

Programando com o Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3.1

Estruturas lógicas de um algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3.2

Estrutura de sequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3.3

Estruturas de decisão

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3.4

Estruturas de repetição

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Erros e Aritmética Computacional

1

14

2.1

Resolução de problemas numéricos

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2

Representação numérica de ponto utuante

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.3

Erros nos processos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.3.1

Erro de arredondamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.3.2

Erro de truncamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.4

Notação

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5

Estimativas para o erro

2.6

Convergência nos processos numéricos

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

14

18 20 21

ii

SUMÁRIO

2.7

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Zeros de funções

22

25

3.1

Denição do problema

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

3.2

Método da bisseção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

3.2.1

Critérios de parada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

3.3

Método de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

3.4

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

4 Sistemas Lineares

34

4.1


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

4.2

Método de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

4.2.1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

Pivotamento Parcial

4.3

Métodos iterativos

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

4.4

Método de Gauss-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

4.4.1

40

Convergência

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.5

Método de Gauss-Seidel

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

4.6

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

5 Interpolação

47

5.1


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

5.2

Método de Vandermonde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

5.3

Método de Lagrange

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

5.3.1

Fórmulas para 2 e 4 nodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

5.3.2

Erro na interpolação polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

5.4

5.5

Método do

spline

cúbico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

5.4.1

Denição e propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

5.4.2

Dedução dos coecientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

5.4.3

Determinação do

spline

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

iii

SUMÁRIO

6 Ajuste de funções

61

6.1


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

6.2

Resíduo quadrático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

6.3

Ajuste polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

6.3.1

Um pouco de Álgebra Linear

63

6.3.2

Obtendo o polinômio de ajuste

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

6.4

Ajuste exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

6.5

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

7 Integração Numérica

74

7.1


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

7.2

Método de Newton-Cotes simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

7.2.1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76

7.3

Método de Newton-Cotes composto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

7.4

Método de Newton-Cotes adaptável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

7.5

Método do

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

7.6

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

Dedução dos pesos de integração

Spline

Cúbico

8 Equações Diferenciais Ordinárias 8.1


8.2

Método de Euler

86

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

8.3

Método de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

8.4

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

A Respostas para problemas selecionados

96

Lista de Algoritmos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

VPol . . . . . . . . . . MVander . . . . . . . . PivotamentoParcial EpsilonMaq . . . . . . ErroRel . . . . . . . . RaizQuadrada . . . . ZeroBisseção . . . . . ZeroNewton . . . . . SLGaussProv . . . . . SLGauss . . . . . . . . ErroRelVet . . . . . SLGaussJacobi . . . . SLGaussSeidel . . . . ILagrange . . . . . . . CoefSpline3 . . . . . . ISpline3 . . . . . . . . AjustePol . . . . . . . QuadNCAdapt . . . . QuadRec . . . . . . . . QuadSpline3 . . . . . EDOEuler . . . . . . . EDORK4 . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

iv

Apresentação •

É cada vez mais intenso é o uso de técnicas computacionais para a resolução de problemas nas Ciências Exatas e Engenharias. Boa parte dessas técnicas requer o conhecimento dos fundamentos do

Cálculo Numérico. •

versidades a incluem em seus currículos (em intensidades muito variadas).

Notas de Aula

mente claros e simples de modo que o estudante iniciante seja capaz entender como funcionam;

Diante da importância dessa disciplina na formação de prossionais, as uniEstas

Simplicidade: O desenvolvimento e a implementação são suciente-

foram preparadas especicamente para o estudante

Desempenho:

Os algoritmos resolvem satisfatoriamente uma boa

quantidade de problemas que o estudante pode encontrar em sua vida prossional;

que se inicia nessa disciplina.

•

No Capítulo 1, veremos uma explicação breve das funcionalidades básicas do Matlab (incluindo cálculo e programação). No Capítulo 2, apresentamos a forma de representação numérica bem como os conceitos de

Base: A maioria das técnicas mais avançadas toma por base as ideias, ou combinações de ideias, de métodos mais simples como os aqui estudados.

erro (de truncamento e arredondamento) inerentes aos processos computacionais. O estudo dos métodos numéricos propriamente ditos se iniciam

O leitor interessado em outros métodos pode (e deve) recorrer a literatura

no Capítulo 3 com os métodos para determinar zeros de funções (bisse-

especializada como, por exemplo, [8, 19, 30, 40].

ção e Newton). No Capítulo 4 estudamos métodos diretos (escalonamento

Para complementar o entendimento da teoria, muitos problemas são

de Gauss) e iterativos (Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel) para resolução de

propostos.

sistemas de equações lineares. No Capítulo 5 estudamos o problema da interpolação polinomial (Vandermonde e Lagrange) e por

spline

(não numérica). Esse tipo de problema é importante para que o estudante exercite o-a-o e absorva as

estudado no Capítulo 7 com a apresentação dos métodos de Newton-Cotes cúbico. Por m, a

subjacentes aos método numéri-

O estudo do Cálculo Numérico não pode ser realizado sem a efetiva

implementação

dos métodos de Euler e Runge-Kutta. No apêndice A, são apresentadas as

dos algoritmos em alguma linguagem de programação. O

presente texto enfatiza essa visão, através dos exercícios propostos onde a

respostas e dicas problemas selecionados.

muitos

ideias

cos apresentados

resolução de equações diferenciais ordinárias é vista no Capítulo 8 a partir

Existem

indicam que o

uma calculadora, se for o caso) ou apresenta alguma resolução algébrica

ajuste de curvas polinomiais. O problema clássico da integração numérica é

spline

.

mesmo é sucientemente simples para ser resolvido à mão (com ajuda de

cúbico. Em

seguida, no Capítulo 6 estudamos o método dos quadrados mínimos para

(regras simples, compostas e adaptáveis) e por

Os problemas assinalados pelo símbolo

sempre solicitada nos exercícios precedidos Nesse sentido, o conhecimento de alguma linguagem de

implementação dos algoritmos é

métodos disponíveis para resolver cada um dos proble-

pelo símbolo

mas abordados. Para tornar o material sucientemente compacto para uso

+

.

programação deveria ser pré-requisito (o que nem sempre é o caso). Aos

em sala de aula tivemos que optar por escolher apenas um punhado deles.

estudantes que já conhecem linguagens de programação, esta disciplina

Seguindo a orientação de Burden e Faires [8], os métodos foram escolhidos

será uma excelente oportunidade de

de modo a seguir os seguintes critérios: v

aplicação

desse conhecimento.

Aos

vi

APRESENTAÇÃO

que não o possuem, será uma excelente oportunidade de

aprendizagem

de

tais linguagens. A princípio, qualquer linguagem pode ser utilizada (C, Pascal, Java, ...), desde que apresente os comandos matemáticos mínimos necessários. Por preferência pessoal do autor, estas notas utilizam a linguagem do Matlab.

Essa aproximação se reete em duas características do texto:

Primeiramente, os algoritmos, apresentados em pseudo-código, estão escritos usando uma estrutura sintática muito similar a do Matlab o que faz com que a implementação seja bastante simplicada. Em segundo lugar, ao longo do texto, diversos parágrafos precedidos pelo símbolo

mostram

informações relativas ao uso do Matlab e aos algoritmos implementados. Para os exemplos mostrados nestas notas, foi utilizada a versão R2012a. Existem boas opções (livres) ao Matlab: pode-se citar o Scilab e o Freemat. O autor agradece aos colegas Ana Grisa, Oclide J. Dotto,

Eliana S. Soares,

Mônica Scotti,

Vania P. Slaviero,

pelas correções, comentários e sugestões recebidas. O texto foi editado usando o sistema de preparação de documentos

AT X (www.latex-project.org). O editor de texto utilizado foi o L E

WinEdt

(www.winedt.com). A atualização de pacotes tipográcos foi feita com o auxílio do

MiKTeX (www.miktex.com). Os grácos foram elaborados com Matlab (www.mathworks.com) e os desenhos com o

o software matemático

IPE Draw (ipe7.sourceforge.net).

Capítulo 1

Introdução ao Matlab See also log1p, log2, log10, exp, logm, reallog.

Neste capítulo, estudaremos brevemente algumas características e funcionalidades do Matlab. O Matlab (acrônimo de

2. No menu

Matrix Laboratory ) é um software que permite

HELP >> MATLAB HELP,

é possível obter informações mais

detalhadas sobre os comandos, exemplos, informações técnicas, algo-

ao usuário efetuar cálculos via digitação direta de comandos e também a

ritmos e referências bibliográcas detalhadas.

construção de programas que automatizam procedimentos de cálculo mais complexos. O Matlab é uma ferramenta de larga utilização tanto no mundo

3. Na internet, ando o sítio ocial do fabricante (www.mathworks.

acadêmico (ensino, pesquisa, etc.) quanto no prossional (desenvolvimento

com),

de produtos, análise de problemas, etc.). Tem um interface simples e in-

é possível ar o e técnico, fóruns de discussão, tuto-

riais e manuais (em formato PDF), etc.

tuitiva, e constitui ferramenta indispensável (na visão do autor) para o estudante de ciências exatas e engenharia. Existem várias e boas referências bibliográcas para o estudante interessado.

Essential MATLAB for Engineers and Scientists

1.2 Calculando com o Matlab

Para citar apenas uma: de Brian D. Hahn e Da-

niel T. Valentine [24].

No Matlab, a janela de trabalho é o espaço onde os

comandos são digitados,

as operações são executadas e os resultados são mostrados. O símbolo

1.1 Obtendo ajuda

chamado

um comando. Após teclar

Enter

, o resultado é apresentado como mostra

a Figura 1.1.

Existem três níveis de ajuda: 1. Ao se digitar

>>,

prompt, denota que o Matlab está esperando que o usuário digite

Variáveis

help na área de trabalho do Matlab, se ob-

tém uma breve informação sobre o comando especicado, por exemplo:

No Matlab, todos os resultados (números, vetores, matrizes, etc.) armazenados em variáveis.

>> help log log Natural logarithm. log(X) is the natural logarithm of the elements of X. Complex results are produced if X is not positive.

Os nomes das variáveis devem começar com

uma letra seguida de qualquer número de letras, dígitos ou

>> a = 3, b = 7, c = a + b 1

são

underscores :

CAPÍTULO 1.

2

INTRODUÇÃO AO MATLAB

>> solução solução = | Error: The statements O uso de

= a * b * c a * b * c input character is not valid in MATLAB or expressions. ;

no nal de um comando de atribuição inibe a apresentação

do resultado:

Figura 1.1:

>> a = 1 + 3 a = 4 >> b = 5 - 2; >>

A janela de trabalho do Matlab.

a = 3 b = 7 c = 10

Comentários (muito úteis em programação) são escritos após um

>> b = 5; >> h = 7; >> A = b * h A = 35

>> fatorial_de_5 = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 fatorial_de_5 = 120 Se uma variável não é explicitada pelo usuário, o resultado será armazenado na variável

ans:

e

Var

representam variáveis distintas:

>> Num_1 = 1234, Num_2 = 4567 Num_1 = 1234 Num_2 = 4567 >> Tot = Num_1 + num_2 ??? Undefined function or variable 'num_2'. Não são permitidos diacríticos (acento, cedilha, til, etc.):

% base % altura % Área do retângulo

Operações elementares O Matlab realiza operações matemáticas elementares como uma calcula-

>> 7 * 8 ans = 56 O Matlab distingue letras maiúsculas de minúsculas. Assim

%:

dora.

As operações aritméticas elementares: var, VAR,

Adição, subtração, multiplicação, divisão:

>> 4 + 5 % adição ans = 9 >> 4 - 5 % subtração ans = -1 >> 4 * 5 % multiplicação ans = 20 >> 4 / 5 % divisão ans = 0.8000 >> 1 * 2 + 3 / 4 - 5 % Qual é o resultado?

CAPÍTULO 1.

Potenciação, raiz quadrada e outras raízes:

Funções trigonométricas inversas

Valor absoluto, resto da divisão inteira:

>> n = abs(-500) n = 500 >> r = rem(n, 3) r = 2

>> t1 = asin(sqrt(2)/2), t2 = asind(sqrt(2)/2) t1 = 0.7854 % ângulo em radianos t2 = 45.0000 % ângulo em graus

Exponencial e Logaritmo: Potência de base natural:

ex

>> exp(4) ans = 54.5982

Arredondamento:

>> x = sqrt(10) x = 3.1623 >> a = floor(x), b = ceil(x), a = 3 % arredonda para o b = 4 % arredonda para o c = 3 % arredonda para o

Seno, cosseno e tangente de um ângulo em graus:

>> a = sind(60), b = cosd(60), c = tand(60) a = 0.8660 b = 0.5000 c = 1.7321

>> a = sqrt(5), b = a^2 a = 2.2361 b = 5.0000 >> a = 7^(1/3), b = a^3 a = 1.9129 b = 7.0000

Logaritmos:

c = round(x) inteiro inferior inteiro superior inteiro mais próximo

Operações trigonométricas: O número

3


π:

>> pi ans = 3.1416 Seno, cosseno e tangente de um ângulo em radianos:

>> a = sin(pi/3), b = cos(pi/3), c = tan(pi/3) a = 0.8660 b = 0.5000 c = 1.7321

ln x, log10 x, log2 x

>> log(5) ans = 1.6094 >> log10(1000) ans = 3 >> log2(512) ans = 9

% logaritmo de base natural % logaritmo de base 10 % logaritmo de base 2

Vetores e matrizes O Matlab opera com vetores e matrizes com facilidade. Vetor denido por seus elementos:

>> x = [1 2 3 4 5] x = 1 2 3

4

5

Vetor denido por intervalo de valores:

CAPÍTULO 1.

4


>> y = 1 : 0.5 : 3 y = 1.0000 1.5000

2.0000

2.5000

3.0000

Operações com o vetores:

>> x + y % adição ans = 2.0000 3.5000 5.0000 6.5000 8.0000 >> x .* y % multiplicação elemento-elemento ans = 1 3 6 10 15 >> x.^2 % potência dos elementos ans = 1 4 9 16 25 >> exp(y) % operações elementares ans = 2.7183 4.4817 7.3891 12.1825 20.0855 >> dot(x, y) % produto escalar entre x e y ans = 35 >> n = length(x) % tamanho do vetor n = 5 Matriz denida por seus elementos:

>> A = [-2 0 1; -2 -3 0; 3 -2 -2] A = -2 0 1 -2 -3 0 3 -2 -2

>> inv(A) ans = 6.0000 -4.0000 13.0000

% uma matriz 3x3

% o determinante de A % a matriz inversa da A -2.0000 1.0000 -4.0000

3.0000 -2.0000 6.0000

>> A.^2 ans = 4 4 9

% multiplicando matrizes: A * A -2 9 10

-4 -2 7 % cada elemento de A ao quadrado

0 9 4

1 0 4

>> [l, c] = size(A) l = 3 c = 3 Os comandos

length

% número de linhas e colunas de A

e

size

são semelhantes mas têm uso distinto:

vetor matriz.

primeiro é indicado para determinar o tamanho de um último é indicado para determinar o tamanho de uma Transposição de vetores e matrizes:

Operações matriciais:

>> det(A) ans = 1

>> A^2 ans = 7 10 -8

>> A = [1 2 3; 4 5 6], x = [2 4 6] A = 1 2 3 4 5 6 x = 2 4 6 >> A', x' ans = 1 4 2 5 3 6 ans = 2 4 6 Matrizes especiais:

o

enquanto o

CAPÍTULO 1.

>> B = zeros(3,2) B = 0 0 0 0 0 0

% matriz de zeros

>> W = ones(2,3) W = 1 1 1 1 1 1 >> I = eye(3) I = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

% matriz de uns

>> rand(2,4) ans = 0.6223 0.7159

5


% matriz identidade

% matriz com elementos aleatórios 0.4123 0.3622

0.1355 0.9021

0.2896 0.7814

Os comandos acima funcionam também para matrizes:

>> A = [1 5; 3 -4] A = 1 5 3 -4 >> M = max(A) M = 3 5 >> MM = max(max(A)) MM = 5 >> S = sum(A) S = 4 1 >> S = sum(sum(A)) S = 5 Os colchetes

[ ]

% Uma matriz A

% Os maiores elementos de cada coluna de A % O maior elemento de A % A soma dos elementos de cada coluna de A % A soma de todos os elementos de A

podem ser usados para

justapor

(concatenar) vetores

ou matrizes:

Comandos úteis para vetores e matrizes Os comandos

>> x = x = 4 >> M = M = 5 >> m = m = -3 >> S = S = 4

max, min e sum, são bastante úteis na manipulação de vetores:

[4 -2 5 0 -3] -2 max(x)

5

% Um vetor x 0

-3

% O maior elemento de x

min(x)

% O menor elemento de x

sum(x)

% A soma dos elementos de x

>> A = [1 2; 4 5], b = [3; 6] A = 1 2 4 5 b = 3 6 >> Ab = [A b] Ab = 1 2 3 4 5 6

Função anônima O comando

@ dene funções a partir de expressões algébricas.

Por exemplo:

CAPÍTULO 1.

6


>> f = @(z) 1/sqrt(2*pi) * exp(-0.5 * z.^2) f = @(z)1/sqrt(2*pi)*exp(-0.5*z.^2) >> a = f(0), b = f(1) a = 0.3989 b = 0.2420 >> z = 0 : 5, d = f(z) z = 0 1 2 3 4 d = 0.3989 0.2420 0.0540 >> A variável

f

5 0.0044

pode ser ada como

argumento

como no exemplo a seguir, onde o comando função no intervalo

0.0001

quad

0.0000

para outras funções, calcula a integral da

−2 < z < 2:

>> P = quad(f, -2, 2) P = 0.9545

Grácos O Matlab possui uma variedade de comandos para produzir grácos. comando

>> >> >> >> >> >> >>

plot,

O

para grácos bidimensionais, é o mais simples deles.

z = -4 : 0.1 : 4; d = f(z); plot(z, d ,'r--') grid on xlabel('valor da variável aleatória') ylabel('densidade de probabilidade') title('Distribuição normal padrão')

% % % % % % %

A Figura 1.2 mostra o resultado dos comandos.

valores para z valores para f(t) gráfico grade rótulo horiz. rótulo vert. título

Figura 1.2:

Janela gráca do Matlab com um gráco 2D simples.

CAPÍTULO 1.

7


1.3 Programando com o Matlab O Matlab permite a execução de conjuntos de comandos a partir de

gramas.

pro-

P2 = 8.1 P3 = 8.6 H = 3 / (1/P1 + 1/P2 + 1/P3)

Os programas são arquivos de texto escritos em um editor de

Exemplo:

programas. A Figura 1.3 mostra a janela de edição.

Uma

function

para o cálculo da média harmônica:

function H = MH2(P1, P2, P3) H = 3 / (1/P1 + 1/P2 + 1/P3); O quadro a seguir, resume as principais diferenças entre

tions :

Uso: Entrada de dados: Saída de dados:

function

especíco

geral

A Figura 1.3 mostra a janela de edição com uma mostra a janela de edição com um da

function. Observe script.

e

script globais (workspace ) workspace ou no corpo do texto workspace ou eco na tela

Variáveis:

scripts

script.

func-

locais argumentos argumentos

function e a Figura 1.4

Observe a sintaxe do cabeçalho

também a forma como os dados estão inclusos no

corpo do

1.3.1 Estruturas lógicas de um algoritmo Um algoritmo é uma sequência determinada de os para a resolução

Figura 1.3:

A janela de edição de programas com uma

Os programas do Matlab são de dois tipos:

scripts

de algum problema.

function.

scripts e functions .

Os

functions

• Decisão:

script

• Repetição:

de dados.

Exemplo: clear all clc P1 = 7.6

Um

• Sequência:

realizam operações mais genéricas com entrada e saída

são programas que realizam operações especícas com dados xos

enquanto

para o cálculo da média harmônica:

Do ponto de vista lógico, existem 3 estruturas que

determinam quais, e como, os os devem ser executados: determina qual o deve ser executado antes de outro;

determina se um conjunto de os deve ou não ser exe-

cutado;

determina se (e quantas vezes) um conjunto de os

deve ser repetido.

A seguir veremos como essas estruturas lógicas podem ser implementadas na linguagem do Matlab, isto é, qual é a utilizados

sintaxe

dos comandos

CAPÍTULO 1.

8


1.3.2 Estrutura de sequência No Matlab os comandos são executados um de cada vez (não há processamento paralelo). E a sintaxe é simples: os comandos são escritos um a um de cima para baixo. Embora seja possível, não se recomenda escrever dois comando em uma mesma linha.

Exemplo:

Determinação das raízes de uma equação quadrática

ax2 + bx + c = 0

com

a 6= 0:

clear all clc a = 1 b = 2 c = -4 d = b^2 - 4*a*c x1 = (-b + sqrt(d))/(2*a) x2 = (-b - sqrt(d))/(2*a)

1.3.3 Estruturas de decisão O Matlab possui duas estruturas de decisão básicas:

switch...case.

Exemplo:

Figura 1.4:

A janela de edição de programas com um

script.

Cálculo da média harmônica com

function [H, C] = MH3(P1, P2, P3) % Calcula média harmônica if P1 <= 0 || P2 <= 0 || P3 <= 0 H = 0; else H = 3 / (1/P1 + 1/P2 + 1/P3); end % Calcula conceito if H >= 9.0 C = 4; elseif H >= 8.0 C = 3; elseif H >= 7.0

if...else...end

if...else...end:

e

CAPÍTULO 1.

9


function T = Tabuada(n) T = zeros(10,1); for i = 1 : 10 T(i) = i * n; end

C = 2; elseif H >= 6.0 C = 1; else C = 0; end

Exemplo: média, com

Exemplo:

Cálculo do intervalo de conança para uma estimativa de

switch...case:

function [a, b] = ICMed(xb, sig, n, alfa, L) switch L % IC lateral esquerdo case -1 z_alfa = norminv(1 - alfa); a = -inf; b = xb + z_alfa * sig / sqrt(n);

Exemplo:

1.3.4 Estruturas de repetição a estrutura

while...end.

Exemplo:

Cálculo da tabuada com

for...end:

Encontrando uma matriz singular com

while...end:

function [A] = MatrizSingular(n) D = 1; % para "entrar" no laço... while D ~= 0 A = fix(20 * rand(n) - 10); D = det(A); end

% IC lateral direito case +1 z_alfa = norminv(1 - alfa); a = xb - z_alfa * sig / sqrt(n); b = +inf; end

São duas as estruturas de repetição no Matlab: A estrutura

for...end aninhados :

clear all clc T = zeros(10,10); for j = 1 : 10 % para cada coluna j ... for i = 1 : 10 % para cada linha i ... T(i,j) = i * j; end end T

Exemplo:

% IC bilateral case 0 z_alfa_2 = norminv(1 - alfa/2); a = xb - z_alfa_2 * sig / sqrt(n); b = xb + z_alfa_2 * sig / sqrt(n);

Cálculo da tabuada com

for...end

e

Ordenamento de uma lista com várias estruturas:

function [L] = Ordenar(L) % Método 'Bubble Sort' % Inicialização n = length(L); cont = 1; % Enquanto ocorrerem trocas... while cont > 0 cont = 0; % ... faz varredura na lista

CAPÍTULO 1.

10


for i = 1 : n - 1 % Se elementos fora de ordem... if L(i) > L(i + 1) temp = L(i); L(i) = L(i + 1); L(i + 1) = temp; cont = cont + 1; end end end

1.11. 1.12.

√

1.2.

a = e2 ,

1.3.

a = cos(60◦ ), b = tg(π/4).

1.4.

a = log(1000), b = ln(1000), c = log2 (1000).

1.5.

a = |−5|, b = 9!.

z = [0

1.10.

u = [1

0 0 1 1

1.18. >> A = [1 2 3; 4 5 6], [m, n] = size(A)

1.19. >> a = ln(5)

Undefined function 'ln' for input arguments of type 'double'.

1.20. >> y = 1 + e^3

Undefined function or variable 'e'.

1.21. >> t = cos(3,1416)

Nos problemas 1.7 a 1.10 a seguir, escreva a linha de comando do Matlab necessária para construir os vetores dados. Justique.

1.9.

1.17. >> w = pi/2, e = exp(cos(w)) Ao se digitar os comandos mostrados nos problemas 1.19 a 1.22 a seguir, se obtém mensagens de erro. O que elas signicam? Como corrigir o comando?

a = 3,5603 × 104 + 2,0034 × 103 .

0,1

c = sqrt(y) - log(y)

1.16. >> z = 0.0001, d = abs(log10(z))

7. √ √ b = 3 2, c = 3 −8.

w = [0,0

 1 2 −3 1  . 0 3  1 −1

1.15. >> y = 100,

a = 25 , b =

1.8.

.

1.14. >> x = 30, b = sin(x) * cos(x)

1.1.

2 0

1.13. >> a = 1 + 2 / 3 - 4 * 5

Nos problemas 1.1 a 1.6 a seguir, escreva a linha de comando do Matlab necessária para calcular os valores dados. Justique.

x = [6

0  3 B=  −1 2

7 3

Nos problemas 1.13 a 1.18 a seguir, determine o resultado do comando no Matlab. Justique.

Comandos do Matlab

1.7.

A=

1 −4



1.4 Problemas

1.6.

5]

(um vetor-linha),

0,2 ··· ···

··· 0

9,8

0 0] 1

9,9

y = [6 2

0

5]T

(um vetor-coluna).

10,0].

(um vetor-linha com 20 zeros).

1 1]T

(um vetor-coluna com 20 uns).

Nos problemas 1.11 e 1.12 a seguir, escreva a linha de comando do Matlab necessária para construir as matrizes dadas. Justique.

Error using cos Too many input arguments.

1.22. >> x = 16, y = sqrt(X)

Undefined function or variable 'X'.

1.23.

Ao calcular o vetor de coecientes de um polinômio interpolador, um es-

tudante obteve o seguinte resultado:

c = 1.0e+003 * 0.0033 0.1742 -6.6277

CAPÍTULO 1.

11


1.33.

Quais são os valores dos coecientes? Qual é o polinômio?

Nos problemas 1.24 a 1.27 a seguir, desenhe os grácos das funções mostradas. Adicione grade, legenda, rótulos nos eixos x e y e título. Use os comandos plot, grid, legend, xlabel, ylabel, title.

1.24.

h(x) = 2 + 3 cos(πx)

1.27.

i(x) =

1.28.

Se

1.35.

C é uma matriz de ordem n × m, p é um número real e i e j são inteiros 1 ≤ i, j ≤ n. O que fazem as seguintes linhas de código?

Capítulo 4).

function

(a) Escreva um

recebe um vetor de

script

n

do problema anterior.

forma fatorada de Horner1 :

H(x) = (((3x − 2)x + 7)x − 5)x + 4. Do ponto de vista computacional, essa forma fatorada é preferida por realizar uma quantidade

menor

de operações.

1.36. p,

que gera um vetor de 5 elementos aleatórios e, em se-

script

function que

mean.

que gera um vetor de

que recebe um vetor de

Escreva uma

function

n

+

e

H(x).

Considere que o cálculo de

xn

é

Implemente o algoritmo VPol que usa a forma de Horner para avaliação

o valor

x

e determina

c com os coecientes de uma função polinomial y = p(x). Use y = y .* x + c(i) para implementar

x polyval

a linha 4, assim

pode ser tanto um escalar quanto um vetor. Compare com o

comando

do Matlab. (Esse algoritmo será utilizado no Capítulo 5).

1.37.

Em 1674, Leibniz

elementos aleatórios e, em

n

elementos e retorna o valor e a posição

max.

dada. Compare o resultado com o comando

Com três segmentos de reta de comprimento

sum.

a, b

e

c

ser calculado pela série

ÿ William George Horner (1786 - 1837), clérigo metodista e estudioso inglês, conhe-

A new method of solving numerical equations of all orders, by continuous approximation em 1819. No entanto o método não é original, foi antecipado no século XIX por Paolo 2

somente é possível

que recebe os comprimentos

a, b

e

c

de

3 segmentos de reta e retorna o valor 1 se eles podem representar lados de um triângulo e 0 em caso contrário.

π pode 1 1 1 π = 4 1 − + − + ··· , 3 5 7

Runi na Itália e, antes disso, no século XIII por Zhu Shijie na China [38].

construir um triângulo se o comprimento de cada segmento é menor que a soma

function

1

2 mostrou que o número

cido pelo método (que leva seu nome) de resolução de equações algébricas publicado em

que calcula a soma de todos os elementos de uma

dos outros dois. Escreva uma

F (x)

polinomial, isto é, recebe um vetor

do maior elemento do vetor. (c) Compare os resultados com o comando

1.32.

function

n isprime.

e retorna o valor 1 se

m.

elementos e retorna a média aritmética dos seus elementos.

(a) Escreva um

A

n

d conmod ou

Considere a função polinomial

seguida, determina o valor e a localização do maior elemento do vetor. (b) Escreva

matriz

que recebe um inteiro

Use os comandos

(b) Generalize o resultado do item anterior para o caso de um polinômio de grau

(c) Compare os resultados com o comando

1.31.

e retorne um vetor

efetuado com multiplicações.

guida, calcula a média aritmética desses elementos. (b) Escreva uma

function

n

inclusive.

é composto. Compare os resultados com o comando

são necessárias para calcular

Programação no Matlab

uma

n,

(a) Verique esse fato determinando quantas operações de multiplicação e adição

C(i,:) = C(i,:) + p * C(j,:); T = C(i,:); C(i,:) = C(j,:); C(j,:) = T;

1.30.

n

entre 1 e

Essa função pode ser reescrita na

x+1 x−1

Justique. Dê um exemplo. (Estas operações serão utilizadas nos algoritmos do

1.29.

Escreva uma

que recebe um inteiro

n

F (x) = 3x4 − 2x3 + 7x2 − 5x + 4.

positivos tais que

>> >> >> >>

1.34.

Sugestão: modique a

g(x) = e−x − 1

1.26.

function

rem.

é primo e 0 se

f (x) = x2 + x − 4

1.25.

Escreva uma

tendo todos os divisores de

ÿ Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646 - 1716), matemático e lósofo alemão, dy desenvolveu a teoria do Cálculo (é dele a notação dx ) na mesma época que Newton. É conhecido ainda pelos estudos na aritmética binária e pelo desenvolvimento de uma máquina mecânica de calcular. Tanto quanto matemático, Leibniz foi importante lósofo e, entre outros temas, tratou do problema da conciliação da noção do criado por um deus

bom

[38].

mal em um mundo

CAPÍTULO 1.

12


Algoritmo 1 VPol entrada : c, x saída : y

Algoritmo 2 MVander entrada : x, m saída : X

n ← tamanho de c y ←0 para i ← 1 : n y ← y · x + ci

1: 2: 3: 4:

2: 3: 4:

m

5:

n ← tamanho de x X ← Zeros(n, m + 1) para i ← 1 : n Xi,m+1 ← 1 para j ← m : −1 : 1 Xi,j ← xi · Xi,j+1

1:

5: 6:

[4, p. 132].

Escreva uma

aproximação P (n)

function

para o valor de

que recebe um valor

π

usando os

n

n

e que retorna uma

primeiros termos da série.

Quantos termos são necessários para se obter uma aproximação para o valor exato de

π

pítulos 5 e 6. Compare com o comando

1.39.

um

vetor

Escreva uma

ÿ Alexandre-Théophile

do Matlab.

Ela pode ser escrita recursivamente

determinante

de uma matriz. Embora já utilizados

na resolução de sistemas lineares, as propriedades algébricas dos determinantes ainda não eram bem conhecidas. É de Vandermonde a demonstração do efeito da permutação de linhas ou colunas de uma matriz sobre seu determinante. Dessa propriedade, deduziu que se duas linhas ou colunas de uma matriz são iguais, o seu determinante é zero [38].

ÿ Leonardo

Pisano (1170 - 1250), matemático italiano, mais conhecido por seu

apelido Fibonacci, teve papel importante na história da matemática.

Abaci

1.40.

Seu livro

Liber

de 1202 introduziu a notação decimal posicional com algarismos hindu-arábicos

que usamos até hoje.

A sequência numérica que leva seu nome é a solução de um

problema envolvendo a reprodução de coelhos.

A revista

The Fibonacci Quarterly,

editada ininterruptamente desde 1963, publica artigos sobre a matemática relacionada a essa sequência [38] [17, p. 108].

e retorna a razão

Fk . Fk−1

aumenta, a razão

Rk

aproxima-se de um certo

+

Implemente o algoritmo PivotamentoParcial que recebe uma matriz

1 ≤ j ≤ n − 1. Em seguida, i ≥ j o elemento de maior valor absoluto p (denominado pivô). Se p está na linha i, sendo i 6= j , então permuta as linhas i e j entre si. O programa retorna a matriz C pivotada. Esse

C,

Vandermonde (1735 - 1796), matemático francês, é conhe-

cido como o fundador da teoria do

4

k

k≥2

número. Que número é esse?

seu número de linhas

n

e um inteiro

procura entre os elementos da coluna

sequência de Fibonacci 4 .

Fk = Fk−1 + Fk−2 .

que recebe um inteiro positivo

Observe que a medida que

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . . 3

function

F2 = 1,

Rk =

A sequência

é conhecida como

F1 = 1,

x =

Esse algoritmo será utilizado nos Ca-

vander

m

com

+ Implemente o algoritmo MVander, que recebe [x1 , x2 , . . . , xn ]T e um inteiro positivo m e retorna a matriz  m  x1 · · · x21 x1 1 2  xm   2 · · · x2 x2 1  X= . . . . , . . .   .. . . . 2 m xn · · · xn xn 1

matriz de Vandermonde3 .

m

8:

cuja diferença

seja menor que 0,0005?

1.38.

denominada

P

7:

j,

j

tal que

nas linhas

algoritmo será utilizado pelo algoritmo SLGauss (p. 37) no Capítulo 4.

CAPÍTULO 1.


Algoritmo 3 PivotamentoParcial entrada : C, n, j saída : C Inicialização 1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9: 10: 11: 12:

p ← |Cj,j | k ←j

Busca pivô para i ← j + 1 : n se |Ci,j | > p então p ← |Ci,j | k ←i

m m Pivotamento impossível se p = 0 então Erro: Pivotamento impossível m Permutação das linhas j e k se k > j então

13: 14: 15: 16:

m

T ← Cj,: Cj,: ← Ck,: Ck,: ← T

13

Capítulo 2

Erros e Aritmética Computacional No caso de se optar por uma resolução numérica:

Ao contrário do senso comum, o computador não é uma máquina de calcular

perfeita.

Os cálculos efetuados no computador estão sujeitos a erros

(em maior ou menor magnitude). A compreensão da natureza desses erros

1.

Determinação do método:

Existe algum método (algoritmo) dis-

permite estabelecer estratégias (algoritmos) para a resolução de problemas.

ponível? Qual método é mais indicado? Alguma adaptação ou ela-

Neste capítulo abordaremos a forma com que os números são armazena-

boração é necessária?

dos pelo computador e como os erros aparecem.

Veremos também uma 2.

estratégia geral de abordagem dos algoritmos numéricos: os renamentos

Codicação e implementação:

Qual é a linguagem a ser utili-

zada? Em que máquina ou sistema o programa vai rodar? O pro-

sucessivos.

grama está funcionando corretamente?

2.1 Resolução de problemas numéricos

3.

Processamento:

4.

Análise de resultados:

Resolver problemas é uma arte. Nas Ciências e Engenharias, o computador

o problema?

cumpre um papel importante no processo de resolução de problemas, espe-

resultado?

Resolver o problema. O resultado é o esperado? É solução para

Qual é a estimativa de erro?

Qual é a precisão do

cialmente naqueles onde o uso de cálculos aritméticos é intenso. O processo de resolução de problemas numéricos segue, em geral, os seguintes os: 1.

Denição do problema:

Exemplo 2.1. Consideremos o problema seguinte. Uma esfera de madeira (densidade relativa µe = 0,638) e raio r = 10 cm é colocada a utuar sobre a água (densidade relativa µa = 1) conforme mostra a Figura 2.1. Qual é a altura d da esfera que cará submersa? [30, p. 43]

O que se quer resolver? Qual a natureza

do problema? É teórico ou prático? Quais as informações disponíveis? Quais áreas do conhecimento são aplicáveis? 2.

Modelagem matemática:

Como representar o problema matema-

ticamente? Desenho, esquemas, equações, fórmulas? 3.

Resolução do problema matemático:

Solução:

Existe solução? É única?

Para encontrar o valor de

1

Princípio de Arquimedes , o peso da

Como determinar a solução? É possível encontrar solução exata (ana-

da água

lítica) ou devemos optar por uma solução aproximada (numérica)? 14

deslocada

d,

inicialmente observamos que, pelo

esfera

por sua porção submersa:

deve ser equilibrado pelo peso

CAPÍTULO 2.

15

ERROS E ARITMÉTICA COMPUTACIONAL

µe

x

f (x)

x

f (x)

x

f (x)

x

f (x)

0

2552

10,0

552,0

11,80

17,83

*11,860

0,4349

2

2440

10,2

492,0

11,82

12,03

*11,862

-0,1444

4

2136

10,4

432,1

11,84

6,23

11,864

-0,7235

6

1688

10,6

372,2

*11,86

0,43

11,866

-1,3027

8

1144

10,8

312,5

*11,88

-5,36

11,868

-1,8818

*10

552

11,0

253,0

11,90

-11,14

11,870

-2,4608

µa d

r

Figura 2.1:

*12

-40

11,2

193,7

11,92

-16,92

11,872

-3,0398

14

-584

11,4

134,7

11,94

-22,70

11,874

-3,6187

16

-1032

11,6

76,1

11,96

-28,47

11,876

-4,1977

18

-1336

*11,8

17,8

11,98

-34,24

11,878

-4,7765

20

-1448

*12,0

-40,0

12,00

-40,00

11,880

-5,3553

Assim um valor aceitável para a porção

Uma esfera utuante.

submersa é

d ≈ 11,861

Importante:

d

da esfera que cará

cm.

O Exemplo 2.1 demonstra um recurso muito comum na

resolução de problemas numéricos: a partir de uma

Me g = Ma g Z d h i 4πr3 2 µe = µa π r2 − (x − r) dx 3 0 πd2 (3r − d) = µa 3 3 4µe r = µa d2 (3r − d).

solução, segue uma sequência de

estimativa nal 1

ÿ Arquimedes

época.

(2.1)

renamentos

estimativa inicial

de solução com a qualidade desejada. de Siracusa (287 a. C. - 212 a. C.) foi o maior matemático de sua

Seu principal legado são suas contribuições na geometria onde seus métodos

para determinação de áreas e volumes anteciparam o cálculo integral dois mil anos antes de Newton e Leibniz. Homem bastante prático, inventou uma grande variedade de máquinas e dispositivos, incluindo polias e bombas d'água [38].

Após a substituição de valores, a expressão (2.1) pode ser reescrita como

d3 − 30d2 + 2552 = 0.

(2.2)

A solução do problema consiste em encontrar o valor de

d

que satisfaz

analítica de (2.2), embora existente, é um tanto complicada (veja o Problema 3.27). A solução numérica pode ser obtida calculando os

(2.2). A solução valores de

f (x) = x3 − 30x2 + 2552

de forma sistemática.

x e f (x) 0 ≤ x ≤ 20. Como a função é contínua e troca de 10 ≤ x ≤ 12 (assinalado com *), deduzimos que o valor

Na primeira tabela mostrada a seguir vemos os valores de calculados no intervalo

sinal

no intervalo

procurado de

d

está

dentro desse intervalo. A segunda tabela mostra os renado 10,0 ≤ x ≤ 12,0. Por raciocínio

valores calculados no intervalo

11,8 < d < 12,0, 11,860 < d < 11,862.

semelhante deduzimos que por m

depois que

11,86 < d < 11,88

e

de

que convergem para uma

CAPÍTULO 2.

16


2.2 Representação numérica de ponto utuante Na maioria dos computadores, os números são representados na

ria normalizada

(semelhante a

notação cientíca ).

base biná-

Por exemplo,

x = (5,125)10

Figura 2.2:

= 4 + 1 + 0,125

e

= 22 + 20 + 2−3 = 1 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20 + 0 × 2−1 + 0 × 2−2 + 1 × 2−3

F

= (101,001)2

= (1,01001)2 × 2

= (1,01001)2 × 2 f = 01001

expoente

e

e = 10

p = 11 são, respectivamente, a

parte fracionária

754, um número é representado por uma sequência de

bits )

k

dígitos binários

s = 0 para números positivos e s = 1 para números negativos. Os bits f1 f2 . . . ft = f representam a parte fracionária do número. Os bits e1 e2 . . . ep estão associados ao expoente e representa o sinal no número:

do número. Aqui os detalhes técnicos são um tanto complicados mas podemos simplicar um pouco dizendo que o expoente

e

está em um intervalo

[emin , emax ].

A mais importante consequência dessa representação é que, ao contrário

R

é limitado).

k = 64

bits com

dos números reais, o conjunto

F

representáveis pela máquina é intrinsecamente

e

limitado.

A Figura 2.2 mostra os números de ponto utuante (positivos) repre-

t = 2, emin = −2

e

(1.00...00)2 e (1.00...01)2 tem tamanho (2.3)

precisão da representação numérica.

Usando o Matlab

:

Para obter a precisão da máquina usamos o comando

>> eps ans = 2.2204e-016 Observe-se que

>> 1 + eps > 1 ans = 1 (verdadeiro!) >> 1 + eps/2 > 1 ans = 0 (falso!) O algoritmo

EpsilonMaq calcula a precisão de qualquer sistema com-

F

é nito). Observe que existe um espaço entre cada dois números (pois

p = 11 dígitos 2046 expoentes,

Com sentam

emax = 2.

Observe que apenas vinte valores positivos são representáveis (pois

bits para a parte fracionária e

putacional.

Isto é, nem todo número real pode ser representado na máquina.

sentáveis com os parâmetros

Isso determina a

dos números efetivamente

nito, discreto

t = 52

= 2−t = 2−52 ≈ 2,2204 × 10−16 .

x.

(s, e1 , e2 , . . . , ep , f1 , f2 , . . . , ft ) .

do conjunto

e de um

para o expoente.

e o

(

especicado por

F

Observemos que o espaço entre

da representação binária de ponto utuante de

bit s

(pois

Fmax

Nos padrão IEEE 754, os números de ponto utuante são representados

Nos sistemas computacionais que utilizam o padrão aritmético IEEE

O

Fmin

por um conjunto de

(10)2

= (1,f )2 × 2(e)2 ,

onde

t = 2, emin = −2

é discreto), bem como a existência de um maior número

menor número

2

Números de ponto utuante com parâmetros

emax = 2.

211 = 2048 combinações que repre= −1022 até emax = 1023. O maior

são possíveis desde

número representável é

emin

Fmax = (2 − ) × 2emax = (1,11...11)2 × 21023 ≈ 1,7977 × 10308 .

(2.4)

CAPÍTULO 2.

17


Algoritmo 4 EpsilonMaq entrada : nenhuma saída :

Usando o Matlab

enquanto 1 + t > 1

2: 3:

t ← t/2

4:

m

5:

← 2t

As duas combinações não utilizadas para o expoente são reservadas para os valores especiais

Usando o Matlab

aritméticos indenidos e :

O maior número representável é dado pelo comando

>> realmax ans = 1.7977e+308

>> realmax + 1 > realmax ans = 0 (falso!) >> 2*realmax ans = Inf (overflow!)

:

resultados

Alguns resultados de operações aritméticas:

Exemplo 2.2. Os parâmetros utilizados na representação numérica mostrada na Figura 2.2 são t = 2, emin = −2 e emax = 2. Determine os valores de , Fmin e Fmax .

menor número representável (normalizado) é

Fmin = 1 × 2emin = (1,00...00)2 × 2−1022 ≈ 2,2251 × 10−308 .

Usando o Matlab

NaN (Not a Number ) que representa Inf que representa overow.

>> 1/0 ans = Inf >> 0/0 ans = NaN

Observe-se que,

O

No Matlab,

>> a = eps * 2^-1022 a = 4.9407e-324 >> b = a/2 b = 0 (underflow!)

t ←1

1:

:

(2.5)

Solução:

Usando as equações (2.3), (2.4) e (2.5) temos

= 2−t = 2−2 = 0,25

Usando o Matlab

:

O menor número representável é dado pelo comando

>> realmin ans = 2.2251e-308 O menor número representável (não-normalizado) é

(0,00...01)2 × 2−1022 = × 2−1022 ≈ 4,9407 × 10−324 .

Fmin = 1 × 2emin = 1 × 2−2 = 0,25

Fmax = (2 − ) × 2emax = (2 − 0,25) × 22 = 7

2.3 Erros nos processos numéricos Em decorrência do que foi visto nas seções anteriores, os cálculos aritméticos efetuados pela máquina estarão impregnados de algum tipo de imprecisão, de erro. Nesta seção descrememos, de forma sucinta, dois tipos básicos de erros: o erro de

arredondamento e o erro de truncamento.

CAPÍTULO 2.

18


2.3.1 Erro de arredondamento O erro de arredondamento é devido a representação numérica nita da

innitos

...,

π é irracional e sua representação decimal

No formato hexadecimal, os três primeiros dígitos representam os bits do

dígitos. No entanto a máquina armazena e apresenta apenas

sinal e do expoente e os demais representam os bits da parte fracionária [33].

máquina. Por exemplo, o número tem

(0)16 = (e)16 = (1110)2 , (f)16 =

Cada dígito hexadecimal representa quatro dígitos binários:

(0000)2 , (1)16 = (0001)2 , (2)16 = (0010)2 , (1111)2 .

uma quantidade

nita

Assim, podemos visualizar a diferença na representação binária nos dois valo-

de dígitos. O Matlab realiza cálculos usando uma

res

precisão de 52 dígitos binários e apresenta seus resultados arredondados

a

e

b.

em, no máximo, 16 dígitos decimais:

Usando o Matlab

2.3.2 Erro de truncamento

:

O erro de truncamento é devido a interrupção de processos innitos. Por

>> format long >> pi ans = 3.141592653589793

exemplo, o processo de cálculo do valor de

base 10 é convertido para a base 2.

nita

Por exemplo, o número

mas representação binária

innita :

0,6

Poderíamos ter levado o processo adiante e ter encontrado o intervalo

11,861501508120412 ≤ d ≤ 11,861501508120413.

possui

(0,6)10 = (0,1001100110011 . . .)2 .

No entanto, não poderíamos

precisão da máquina não tamanho menor que esse. a

Esse tipo de situação pode acarretar erros de arredondamento nas operações aritméticas de ponto utuante. Por exemplo:

Usando o Matlab

no Exemplo 2.1 foi interrom-

11,860 ≤ d ≤ 11,862.

Também pode ocorrer erro de arredondamento quando um número na representação decimal

d

pido no intervalo

(subdividir) mais esse intervalo pois

Por exemplo, a constante de Euler

2 (e

= 2,7183 . . .)

pode ser obtida

pela série innita

:

>> a = 0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.4, b = 0.4 + 0.3 + 0.2 + 0.1 a = 1 b = 1.0000 >> a == b ans = 0 >> format hex, a, b a = 3ff0000000000000 b = 3fefffffffffffff

renar

permite distinguir extremos de intervalos de

e=

+∞ X 1 1 1 1 1 = 1 + 1 + + + + + ··· k! 2! 3! 4! 5!

(2.6)

k=0

Computacionalmente, não é possível somar os innitos termos de (2.6), logo a série deve ser truncada. A soma dos enquanto a soma dos

seis

três

primeiros termos é

primeiros termos é

2,7167.

2,5000

Quanto mais termos,

maior será a quantidade de dígitos corretos.

2.4 Notação No estudo dos erros computacionais, alguns termos e denições (bem como sua notação) são importantes. Seguem alguns: 2

Ver nota biográca na p. 86

CAPÍTULO 2.

1.

19


Valor exato, xˆ.

iguais

O valor verdadeiro, correto, real, de uma variável.

Valor aproximado, x.

Aproximação para o valor exato, estimativa,

Atenção:

numérico. Valor estimado, valor computado. Por exemplo,

3.

Erro, .

Diferença entre valor aproximado e exato:

≈ 2,718281828459046 ≈ 2,71828 ⇒ DSE = 6.

dígitos signicativos exatos :

e a

(2.7)

|rel | ≈ 8 × 10−7

= 0,8 × 10−6

1264 −e 465 ≈ 2,718279569892473 − 2,718281828459046

= 0,08 × 10−5 < 0,5 × 10−5 ⇒ DSE ≥ 5.

=

= −2,258566572432841 × 10−6 .

6.

Tolerância, tol.

Valor máximo itido para o erro relativo (ou

erro) em um processo numérico. Em geral, usado como

parada

em algoritmos iterativos. Para cálculos

manuais,

critério de

usa-se, em

0,5 × 10−3 . Para cálculos computacionais, os valo0,5 × 10−6 (precisão simples) e 0,5 × 10−12 (precisão

geral, o valor de

É a razão entre o erro e o valor exato:

rel

erro relativo

Por exemplo,

Por exemplo,

Erro relativo, rel .

res típicos são estendida).

x−x ˆ . = x ˆ

Por exemplo,

2,718279569892473 − 2,718281828459046 2,718281828459046 = −8,308802085150933 × 10−7 .

Exemplo 2.3. Determine o erro, o erro relativo e o número de dígitos signicativos exatos de x = 22 ˆ = π. 7 em relação a x

rel =

Note que tanto o ou negativos.

erro

erro relativo

podem ser positivos

No entanto, nos critérios de parada dos algoritmos,

utiliza-se, em geral, o 5.

quanto o

valor absoluto

x

≈ 2,718279569892473 ≈ 2,71828

|rel | < 0,5 × 10−m ⇒ DSE ≥ m.

=x−x ˆ.

4.

dígitos são os dígitos signicativos exatos de

Existe uma importante relação entre o

quantidade de

1264 ≈ 2,718279569892473. 465

k

Por exemplo,

x=

impregnada de algum erro. Em geral, a resposta de algum processo

x=

x ˆ.

1264 465 x ˆ=e

x ˆ = e = 2,718281828459046... 2.

então esses

em relação a

Em geral, a solução procurada de algum problema. Por exemplo,

destas quantidades.

Dígitos signicativos exatos, DSE. Se os números x e xˆ são arredondados para os primeiros k dígitos decimais e esses dígitos são

Solução:

x ˆ = π = 3,141592653589793 . . . 3,142857142857143 . . . o erro é dado por Como

=x−x ˆ

e

≈ 3,142857142857143 − 3,141592653589793 = 0,00126448926735.

x =

22 7

=

CAPÍTULO 2.

20


2.5 Estimativas para o erro

Algoritmo 5 ErroRel entrada : x1 , x2 saída : rel 1: se x2 = 0 então 2: 3: 4: 5:

x ˆ.

rel ← x1

senão m

rel ←

exatamente sem conhecer o valor exato aproximação para o erro ou uma tolerância

Como não é possível conhecer o erro Em geral assumimos uma

(cota) para o erro.

Em geral essa estimativa ou tolerância depende de

algum fato teórico sobre o problema a ser resolvido. O exemplo a seguir

x1 − x2 x2

mostra como se pode

estimar

usando um argumento engenhoso.

Exemplo 2.4. √ Encontre, de forma iterativa, uma representação decimal de xˆ = 53 usando apenas as quatro operações aritméticas.

O erro relativo é

x−x ˆ x ˆ 3,142857142857143 − 3,141592653589793 = 3,141592653589793 = 4,024994347707008 × 10−4 .

Solução:

rel =

Os valores de

x

e

x ˆ

temos que

tem-se que o erro o erro.

erro relativo.

(7,5)2 = 56,25

x1 = 7,5

ErroRel.

cota

para

não é uma boa estimativa, uma vez que

está um pouco afastado de

Se

x ˆ=

√

53

e

=x−x ˆ

53

(um

resíduo

de 3,25).

Um

então

x ˆ = x − ,

Como o cálculo do erro relativo e da diferença relativa são utilizados algoritmo

Isto signica que 0,5 é uma

raciocínio mais sosticado pode nos levar a resultados melhores.

deve ser usado em

com frequência, é conveniente escrever um algoritmo especíco.

primeira estimativa

|| = |x − x ˆ| ≤ 0,5.

No entanto, o valor

x ˆ ≈ 3,141592653589793 ≈ 3,14 ⇒ DSE = 3.

vez do

a < b ⇔ a < b. 7<x ˆ < 8. Fazendo a

x1 = 7,5

x ≈ 3,142857142857143 ≈ 3,14

x ˆ = 0, então o erro

√

√

armar que

podem ser arredondados para

Observemos que se o valor exato

√ f (x) =√ x é estritamente √ √ crescente Assim, se 49 < 53 < 64 podemos

Como a função dada por

Veja o

(2.8)

logo

x ˆ2 = (x − )2 ,

Importante: Note que se as entradas do algoritmo, x1 e x2 , representam duas aproximações para um dado valor exato x ˆ então a saída, rel representa a diferença relativa entre as aproximações. Caso as entradas do algoritmo sejam x e x ˆ representando uma aproximação e um valor exato então a saída, rel representa o erro relativo entre a aproximação e o valor

Se

exato.

e, portanto,

53 = x2 − 2x + 2 .

|| < 1

então

2 < ||,

logo

53 ≈ x2 − 2x ≈

1 x2 − 53 = 2x 2

53 x− . x

(2.9)

CAPÍTULO 2.

21


x1 = 7,5

Da estimativa inicial

Algoritmo 6 RaizQuadrada entrada : n, x, tol, kmax saída : x, rel , k

e de (2.9) podemos estimar

1 ≈ 0,2167.

2:

x2 = x1 − 1

4:

= 7,2833 x2

x ˆ≈ x ˆ

por

xk

e

(7,2833)2 =

de 0,0469). Combinando as equações (2.8) e (2.9)

obtemos

Substituindo

5:

é uma estimativa melhor, uma vez que

53,0469 ≈ 53 (um resíduo

x

1 2

x+

enquanto k < kmax e |rel | > tol

3:

= 7,5 − 0,2167

Agora, o valor

k ←1 rel ← +∞

1:

Assim, a partir de (2.8), podemos obter uma segunda estimativa

53 x

6: 7:

m

8:

k ←k + 1 u ←x x ← 12 x + nx rel ← ErroRel(u, x)

.

xk−1 obtemos uma 1 53 xk = xk−1 + . 2 xk−1 por

2. Os valores de DSE mostrados na tabela são fórmula recursiva:

processo iterativo, o valor exato

mar (2.10)

x1 , a fórmula recursiva (2.10) fornece √ x2 , x3 , x4 , . . . que converge rapidamente para 53

de

o erro relativo usando a

x5

e

x6

DSE (estimativa)

1

7,500000000000000

-

-

2

7,283333333333333

1

3

7,280110602593441

4

7,280109889280553

2,9748 × 10−2 4,4268 × 10−4 9,7981 × 10−8 4,7580 × 10−15

5

7,280109889280518

6

7,280109889280518

0

3 6

=

de valores sucessivos

xk−1 − xk . xk

O algoritmo

≥

16.

RaizQuadrada

generaliza o problema.

Note que o al-

goritmo apresenta a estrutura típica de processos iterativos:

estimativa

inicial, renamentos sucessivos, estimativa para erro relativo, número máximo de os permitido, tolerância para erro relativo, etc.

14 16

Observações: 1. O valor calculado para

relativa

esti-

são iguais. No Matlab, usando o padrão IEEE 754,

não é possível obter DSE diferença relativa

Durante o

3. Na última iteração, o DSE é estimado vericando que todos os 16 dígitos de

xk

diferença relativa

rel ≈ diferença

como mostra a tabela a seguir.

k

estimados :

é desconhecido mas podemos

x:

A partir de uma estimativa inicial uma sequência de valores

x ˆ

2.6 Convergência nos processos numéricos Nos processos iterativos, as soluções são obtidas a partir de uma sucessão

x6

coincide com o valor exato obtido com o

Matlab:

x1 , x2 , . . . que se aproxima do valor exato x ˆ. sequencia xk converge para x ˆ se, e somente se,

de estimativas uma

Dizemos que

lim xk = x ˆ.

>> sqrt(53) ans = 7.280109889280518

k→+∞

A velocidade com que a sequência converge para o valor exato indica quão rápida será a aproximação. Quanto

maior

for a velocidade de convergência,

CAPÍTULO 2.

menor

22


será a quantidade necessária de os para se atingir uma dada

tolerância. Dada uma sequência positivas

c

e

r

xk

que converge para

x ˆ,

se existem constantes

tais que

(2.11)

c é dito coeciente assintótico de convergência e r é dito ordem de convergência. Quanto maior o valor de r, mais rápida será a

então

convergência da sequência:

linear;

•

Se

r=1

•

Se

r > 1,

então a convergência é dita de ordem

superlinear;

•

Se

r = 2,


quadrática.

c < 1,


2.1. 2.2.

|k | |xk − x ˆ| lim r = lim r = c, k→+∞ |k−1 | k→+∞ |xk−1 − x ˆ|

e

máquina, (b) o menor número representável Fmin e (c) o maior número representável Fmax .

Observe que a denição dada pela equação (2.11) equivalente a dizer

2.3. em

De forma intuitiva, a ordem de convergência está associada ao ganho de

t = 45, emin = −255, emax = 256. O que é

overow.

overow ?

Dê um exemplo de comando do Matlab que resultaria

2.4. em

O que é underow ? underow.

Dê um exemplo de comando do Matlab que resultaria

Considere as expressões mostradas nos problemas 2.5 e 2.6 a seguir. Para cada uma, (a) determine o seu valor exato algebricamente (resolva à mão). (b) Determine o seu valor aproximado numericamente (use o Matlab). Use o comando format hex e verique se o que foi calculado em (a) é igual ao calculado em (b).

2.5.

x=

2.6.

1 4 − 4 y = 11 3 + . 1 5 11 − 6 31

2.7.

Na aritmética, a igualdade

que a medida que o processo iterativo avança tem-se

|k | ≈ c |k−1 |r .

t = 8, emin = −63, emax = 64.

1 6

+

1 6

+

1 6

+

1 6

+

1 6

+

1 6.

DSE a cada o. Para sequências de ordem linear, a quantidade de DSE

1 n = 1 é verdadeira para todo n 6= 0. Na aritmética computacional isso nem sempre é verdade. Encontre o menor inteiro

ganhos a cada o é aproximadamente constante. Já para sequências de

positivo para o qual a igualdade seja falsa.

ordem superlinear, a quantidade de

DSE

ganhos aumenta a cada o. A

sequência obtida no Exemplo 2.4 tem convergência de ordem observe como a quantidade de DSE aproximadamente

dobra

quadrática :

a cada o.

A análise de convergência dos métodos numéricos não é trivial e será omitida nesse texto. No entanto o estudante interessado pode consultar, por exemplo, [8], [10] e [30].

2.7 Problemas

2.8.

n×

As vezes, utilizando o Matlab, obtemos um

NaN

como resultado de uma

operação aritmética. O que isso signica? Dê um exemplo.

2.9.

+

Implemente, na sua linguagem favorita, o algoritmo EpsilonMaq e

determine a precisão de seu sistema computacional. Compare o resultado com o comando

eps

do Matlab.

Erro, Erro relativo, DSE

Representação de ponto utuante

Nos problemas 2.10 a 2.13 a seguir, determine (a) o erro , (b) o erro relativo rel e (c) o número de dígitos signicativos exatos DSE obtidos ao se aproximar x ˆ por x.

Nos problemas 2.1 e 2.2 a seguir, suponha que uma máquina tenha representação de ponto utuante com os parâmetros dados. Determine (a) a precisão da

2.10.

. x ˆ = 123 456, x = 123 400;

CAPÍTULO 2.

2.11. 2.12.

23


. x ˆ = 1,000000, x = 0,999999; √ . x ˆ = 2, x = 577 408 ;

2.13.

. x ˆ = φ = (1 +

2.14.

.

√

5)/2, x =

. rel = 4,92 × 10−12

2.17.

.

O número

s

é uma aproximação para o valor exato

sˆ com,

no máximo,

5 dígitos signicativos exatos. Qual é o erro relativo?

987 610 ;

Hoje sabemos que a área de um círculo é dada por

raio do círculo. No papiro de Ahmes

2.16.

Aˆ = πr2 ,

2.18. onde

r

é o

3 a área do círculo é aproximada pela área de

um octógono (não regular) circunscrito (recorte A, à direita, na gura a seguir) e em seguida é utilizada para determinar a área de um campo circular (recorte

+

Implemente, na sua linguagem favorita, o algoritmo ErroRel. Veri-

que seu funcionamento comparando os resultados com os do Exemplo 2.3.

2.19.

aproximações

A tabela a seguir mostra algumas

para

π

usadas nos primór-

dios da Matemática [4].

B, à esquerda, na gura a seguir). Em linguagem moderna, essa aproximação é equivalente a:

A= d

onde

relativo

valor

2 8 d , 9

p1 = p2 =

é o diâmetro do círculo. Determine uma expressão algébrica para o erro

rel

3 18 2 ( 16 9 )

p3 = 3

associado a essa aproximação.

p4 = p5 =

3 17 377 120

p6 =

√

p7 =

355 113

10

autor

época

Babilônios

∼ 2000

a. C.

Egípcios

∼ 2000

a. C.

Chineses

∼ 1200

a. C.

Arquimedes

∼ 300

Ptolomeu

∼ 200

Chung Hing

∼ 300

Valentius Otho

1573

a. C.

(a) Qual é o erro relativo de cada aproximação? (b) Quais erram por excesso? Quais erram por falta? (c) Qual é a melhor aproximação? Qual é a pior aproximação?

2.20.

Considere a função fatorial

fˆ(n) = n! = n · (n − 1) · · · 3 · 2 · 1. Em 1730, Stirling desenvolveu a fórmula de aproximação

Nos problemas 2.15 a 2.16 a seguir, o número r é uma aproximação para o valor exato rˆ com erro relativo rel dado. Estime a quantidade de DSE que r possui?

2.15. 3

. rel = −7,23 × 10

ÿ Ahmes

−8

problemas matemáticos envolvendo multiplicação, divisão, frações unitárias, equações, O papiro (descoberto em 1858 por Alexander Henry

Rhind) atualmente se encontra no Museu Britânico [38].

√

2πn

n n e

para a função fatorial. (a) Obtenha os valores de

(1680? a.C. - 1620? a.C.) escriba egípcio que transcreveu uma série de

progressões, áreas e volumes.

f (n) =

fˆ(n)

(b) Determine o erro relativo e [26, p. 52].

e

rel

f (n)

para

n = 5, 10, 15, 20.

de cada aproximação. Adaptado de [43, p. 48]

CAPÍTULO 2.

2.21.

24


Considere a seguinte expansão em série para

sen(x) = x −

x5 x7 x3 + − + ··· 3! 5! 7!

tˆ =

(a) Obtenha as aproximações para

sen(x):

√

2 2

= sen( π4 )

usando os

n = 3, 6, 9

pri-

meiros termos da série. (b) Determine erro relativo

rel

de cada aproximação.

Estimativas para o erro

2.22.

Implemente o algoritmo RaizQuadrada na sua linguagem preferida e

use-o para calcular os valores

a=

√

2

b=

e

√

834.

Verique o seu funcionamento comparando os resultados com o comando do Matlab. Use

2.23.

tol = 0,5 × 10−12 .

Generalize o algoritmo RaizQuadrada para calcular

calcular os valores

a=

√ 3

23

e

b=

√ 5

√

m

n.

sqrt

Use-o para

527.

Sugestão: Leia atentamente a seção 2.5 e obtenha uma fórmula recursiva semelhante a 2.10. Compare os resultados nais com

nthroot.

As sequências recursivas mostradas nos problemas 2.24 a 2.25 a seguir são convergentes para os valores xˆ mostrados. Para cada sequência, monte uma tabela contendo (a) os valores de xk para k = 1, . . . , 20, (b) as diferenças relativas xk−1 −xk e (c) os erros relativos xkxˆ−ˆx . Verique que os valores obtidos em (b) xk são aproximações razoáveis para os valores obtidos em (c).

2.24.

x1 = 1,

xk = 1 +

2.25.

x1 = 1,

xk =

√

1 xk−1 ,

x ˆ=

2 + xk−1 ,

√ 1+ 5 2

x ˆ=2

2.26. . Sejam x e y valores aproximados para os valores (ˆ y 6= 0), respectivamente. Os erro relativos são dados por x = Se

zˆ = x ˆ + yˆ (ˆ z 6= 0),

x−x ˆ x ˆ

e

y =

exatos

y − yˆ . yˆ

mostre que o erro relativo para

z

é tal que:

x ˆ (ˆ x 6= 0)

e

yˆ

x · x ˆ + y · yˆ ; x ˆ + yˆ

(a)

z =

(b)

min(x ,y ) ≤ z ≤ max(x ,y ).

O resultado obtido em (a) será usado no algoritmo QuadRec (p. 80).

Capítulo 3

Zeros de funções 3.1 Denição do problema

zero, mas estão são

Seja

f : R → R.

Um número

z

é dito

zero de f

isto é, determinar os valores de

z,

z

seja zero de

Solução:

g(x) = x3 − x2 − 1

zeros.

respectivas funções,

f.

vericar que os valores de z1 , z2 e z3 são os zeros das encontrá-los e que é mais trabalhoso. A função f do

exemplo é uma função polinomial de grau 3 e que seus zeros são óbvios:

z = {0, 1}.

Exemplo 3.1. Verique que z1 = 1, z2 = 1,465571231876768 e z3 = 0,588532743981861 são, respectivamente, zeros de f (x) = x3 − x2 ,

de zero, isto é, muito próximos da preci-

Para efeitos computacionais, podem ser considerados

Embora seja fácil

encontrar os zeros de uma função,

se existirem, tais que

muito próximos

da máquina.

efetivamente

se, e somente se,

f (z) = 0. O problema que estudaremos consiste em

Sendo

z=0

um zero de multiplicidade

2.

Já o zero de

tão fácil de encontrar pois não há uma fatoração imediata de

g

g

não é

e a fórmula

exata é um tanto trabalhosa (Veja o Problema 3.27). Ainda, na função determinação algébrica de

e h(x) = e−x − sen(x).

z3

é

impossível,

ha

isto é, não se pode encontrá-la

em termos de funções elementares. Os métodos numéricos para determinar zeros de funções consistem,

Inicialmente, veriquemos que, trivialmente,

basicamente, de duas fases:

f (1) = 13 − 12 = 1 − 1 = 0. Já para

g

e

h

1.

a vericação requer um pouco mais de trabalho.

Isolamento:

Vericação da existência e unicidade dos zeros (con-

intervalo [a, b] contendo um zero de f ou determinação de uma estimativa inicial x1 ≈ z . Na siderações teóricas).

No

Matlab:

Determinação de um

maioria dos casos, uma tabela de valores e um gráco da função são

>> z2 = 1.465571231876768; g = z2^3 - z2^2 - 1 g = -4.4409e-16 >> z3 = 0.588532743981861; h = exp(-z3) - sin(z3) h = 1.1102e-16 Observe que os valores calculados de

g(z2 )

e

h(z3 )

não são

sucientes. 2.

Renamento:

Processo iterativo em que o intervalo

ou que novas estimativas

de parada

exatamente

25

seja satisfeito.

[a, b] é reduzido

x2 , x3 , . . . são obtidas até que algum critério

CAPÍTULO 3.

26

ZEROS DE FUNÇÕES

3.2 Método da bisseção O método da bisseção é semelhante ao procedimento utilizado na resolução do Exemplo 2.1 e toma por base o seguinte teorema:

Teorema 3.1. (Teorema do Anulamento) Seja f uma função contínua em um intervalo [a, b] tal que f (a) e f (b) tenham sinais contrários. Então existe (pelo menos) um z ∈ (a, b) tal que f (z) = 0. Embora uma prova rigorosa do teorema possa ser encontrada em alguns livros de Cálculo [23, p. 511], gracamente o seu entendimento é imediato:

abaixo que acima

se o gráco de uma função está (digamos)

x = a e segue continuamente até que x = b então em algum ponto entre a e b Considere a função

g

g

ele ou

do eixo horizontal em

sobre

o eixo horizontal!

do Exemplo 3.1. Como toda função polinomial,

é contínua em toda parte. Além disso,

a função troca de sinal em

(−1, 2).

do eixo horizontal em

[−1, 2].

g(−1) = −3

Pelo teorema 3.1

e

g(2) = 3,

existe

isto é,

um zero em

Figura 3.1:

Figura 3.1 que mostra o gráco da função bem como a localização

de seu zero. O método da bisseção consiste nos seguintes os 1. 1. Partir de um intervalo inicial

[a, b]

tal que

f (a)

e

f (b)

tenham sinais

contrários;

2.

2. Dividir o intervalo

[a, b]

em dois subintervalos

x= o ponto médio entre

a

e

[a, b]

tal que

f (a)

e

e

[x, b],

sendo

z

xk .

f (z) = 0

e

|δrel | = |f (xk )| < tol;

4.

k > kmax .

estimativas

f (xk ).

e seu zero.

3.

O critério 3 fornece a magnitude do

a diferença entre

b; f (b)

e

g(x) = x3 − x2 − 1

xk−1 − xk < tol; |rel | ≈ xk bk − ak < tol; |rel | ≈ 2xk

Os critérios 1 e 2 estabelecem

a+b 2

para o erro relativo

resíduo δ

rel

entre

da função, isto é,

O critério 4 estabelece um número

máximo de iterações.

3. Decidir qual subintervalo contém o zero de valo

[a, x]

O gráco da função

f

e obter um novo inter-

tenham sinais contrários;

4. Repetir os os 2 e 3 até atingir a precisão desejada.

Solução:

3.2.1 Critérios de parada Usualmente são utilizados os seguintes

Exemplo 3.2. Usar o método da bisseção para determinar o zero de g(x) = x3 − x2 − 1 com pelo menos 3 DSE. O gráco de

g

já está desenhado na Figura 3.1.

Matlab, obtemos uma tabela de valores:

critérios de parada :

Usando o

CAPÍTULO 3.

27

ZEROS DE FUNÇÕES

>> x = 1 : 0.2 : 2 x = 1.0000 1.2000 1.4000 >> y = x.^3 - x.^2 - 1 y = -1.0000 -0.7120 -0.2160 Vericamos que

g

1.6000

1.8000

2.0000

0.5360

1.5920

3.0000

troca de sinal no intervalo[1,4; 1,6], isto é,

isolamos

Algoritmo 7 ZeroBisseção entrada : f, a, b, tol, kmax saída : x, rel , k Estimativa inicial

o zero

nesse intervalo. Agora, com

tol = 0,5 × 10−3 ,

usamos o método da bisseção para obter

os valores mostrados na tabela a seguir

1: 2:

k

ak

xk

bk

g(ak )

g(xk )

g(bk )

rel

1

1,4000

1,5000

1,6000

-0,2160

0,1250

0,5360

-

2

1,4000

1,4500

1,5000

-0,2160

-0,0539

0,1250

0,0345

3

1,4500

1,4750

1,5000

-0,0539

0,0334

0,1250

-0,0169

4

1,4500

1,4625

1,4750

-0,0539

-0,0108

0,0334

0,0085

5

1,4625

1,4688

1,4750

-0,0108

0,0112

0,0334

-0,0043

6

1,4625

1,4656

1,4688

-0,0108

0,0002

0,0112

0,0021

7

1,4625

1,4641

1,4656

-0,0108

-0,0053

0,0002

0,0011

8:

8

1,4641

1,4648

1,4656

-0,0053

-0,0026

0,0002

-0,0005

9

1,4648

1,4652

1,4656

-0,0026

-0,0012

0,0002

-0,0003

9:

3: 4: 5: 6: 7:

k ←1 x ← 12 (a + b) f x ← f (x) f a ← f (a) f b ← f (b) rel ← +∞

Processo iterativo enquanto k < kmax e |rel | > tol se f a · f x ≤ 0 então b ←x fb ← fx

10:

senão

11: Assim podemos estabelecer

Para obter

x = 1,465571231876768

necessárias 49 iterações. e de

g(b)

algoritmo

z ≈ 1,47

com 3 DSE.

12: 13:

com

rel = −3,0301 ×

Observe, na tabela acima, que o

10−16 são

sinal

de

g(a)

permanecem os mesmos durante todo o processo iterativo.

ZeroBisseção

O

sistematiza o método da bisseção utilizando os

critérios de parada 1 e 4.

f

condições necessárias

16: 17: 18: 19:

Quanto a convergência do método da bisseção, observemos o seguinte: 1. As

15:

20:

Convergência

para que o método funcione são mínimas:

deve ser contínua e trocar de sinal em um intervalo

[a, b]

inicial.

m

14:

m

a ←x fa ← fx

k ←k + 1 u ←x x ← 12 (a + b) f x ← f (x) rel ← ErroRel(u, x)

CAPÍTULO 3.

28

ZEROS DE FUNÇÕES

Assumida essas condições, do Teorema 3.1, o processo é

seguramente

Trocando

x0

por

x

e

convergente. 2. Como

|k | ≈

1 2

|k−1 |,

por

z

tem-se

f (z) ≈ f (x) + f 0 (x)(z − x) ≈ 0,

o método possui convergência linear. São ne-

cessárias cerca de 3,3 iterações para cada DSE adicional: uma con-

x

pois

f (z) = 0.

Dessa forma, pode-se resolver a equação para

vergência considerada lenta.

z ≈x−

3.3 Método de Newton-Raphson 1

O método de Newton -Raphson

inicial x1

para o zero de

convergem para

3 de Taylor :

z.

f,

que pode ser transformada em uma

2 consiste em, a partir de uma

obter aproximações sucessivas

O método toma por base a expansão de

estimativa

Geometricamente,

f 00 (x0 )(x − x0 )2 f (k) (ξ)(x − x0 )k f (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) + +···+ . 2! k!

gente ao gráco de

f

xk

em

é a

obtendo

f (x) , f 0 (x)

fórmula de iteração :

xk = xk−1 −

x2 , x3 , · · · que f em sua série

z

projeção

f (xk−1 ) . f 0 (xk−1 )

sobre o eixo horizontal da reta tan-

(xk−1 , f (xk−1 ))

como mostra a Figura 3.2.

Truncando a série a partir do terceiro termo, obtém-se a aproximação

f (x) ≈ f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ). 1

ÿ Isaac

Newton (1643 - 1727) cientista inglês.

Newton desenvolveu as bases do

cálculo diferencial e integral. Por seus trabalhos na óptica e gravitação, é considerado o maior cientista de todos os tempos. Em seu

tarum

De metodis uxionum et serierum inni-

Newton descreve o método para encontrar zeros de funções polinomiais, dando 3 como exemplo a função f (x) = x − 2x − 5 que possui um zero entre 2 e 3 (veja o Problema 3.13). Embora escrito em 1671, somente foi publicado como

ons

Method of uxi-

em 1736. O nome de Newton também está relacionado às técnicas de quadratura

numérica (veja o capítulo 7) quando, em 1676, descreveu o método em uma carta a Leibniz [38]. 2

ÿ Joseph

Society.

Raphson (1648 - 1715) matemático inglês colega de Newton na

Em seu

Analysis aequationum universalis

Royal

de 1690 descreve, de forma indepen-

dente, o mesmo método para encontrar zeros de funções [38]. A fórmula iterativa (3.1) tal como conhecida atualmente é devida a Thomas Simpson em seu

the solution of equations in numbers 3

ÿ Brook

A new method for

de 1740 [37].

Taylor (1685 - 1731) matemático inglês.

Contribuiu signicativamente

para o estabelecimento do Cálculo. Criou o cálculo de diferenças nitas, inventou a técnica da integração por partes, e generalizou a expansão em série que leva seu nome em seu livro

Methodus incrementorum directa et inversa

de 1715. A importância desse tra-

balho foi reconhecida e enaltecida por Lagrange em 1772 como o Teorema Fundamental do Cálculo Diferencial [38].

Figura 3.2:

(3.1)

Interpretação geométrica do método de Newton.

CAPÍTULO 3.

29

ZEROS DE FUNÇÕES

Exemplo 3.3. Usar o método de Newton para determinar o zero de g(x) = x3 − x2 − 1 com pelo menos 3 DSE.

Solução: intervalo

1,5.

Já sabemos do Exemplo 3.1 que o zero de

[1,4 : 1,6] então podemos usar g(x) = x3 − x2 − 1, temos

f

encontra-se no

como estimativa inicial o valor

x=

2: 4:

g 0 (x) = 3x2 − 2x. tol = 0,5 × 10−3 ,

k ←1 F ← f (x) D ← f 0 (x) rel ← +∞

1: 3:

Como

Com

Algoritmo 8 ZeroNewton entrada : f, f 0 , x, tol, kmax saída : x, rel , k Estimativa inicial

usamos o método de Newton para obter os valores

mostrados na tabela a seguir

Processo iterativo enquanto k < kmax e |rel | > tol

5: 6: 7: 8:

k

xk

g(xk )

g 0 (xk )

rel

1

1,5000

0,1250

3,7500

-

10:

2

1,4667

0,0039

3,5200

0,0227

11:

3

1,4656

0,0000

3,5126

0,0007

4

1,4656

0,0000

3,5126

0,0000

z ≈ 1,47

com 3 DSE.

Assim podemos estabelecer

9:

2. Embora a convergência do método de Newton seja, em geral, mais rápida que a do método da bisseção, ela não é

De fato, na última iteração da tabela acima,

rel = 7,9061 × 10−7 < DSE. Para obter x =

0,5 × 10−5 , que garante z ≈ 1,4656 com 5 1,465571231876768 com |rel | < 0,5 × 10−15 são necessárias

apenas 6 itera-

ções!

O algoritmo

ZeroNewton

sistematiza o método de Newton, usando

os mesmos critérios de parada do algoritmo

m

12:

k ←k + 1 u ←x x ← x − F/D F ← f (x) D ← f 0 (x) rel ← ErroRel(u, x)

ZeroBisseção.

garantida

em todos os

casos. A Figura 3.3 mostra o caso de uma função em que a aplicação do método de Newton produz uma sequência de estimativas

divergente.

3. Existem vários teoremas descrevendo as condições que convergência do método.

xk

garantem

a

No entanto, do ponto de vista prático,

pode-se dizer que o método (geralmente) funciona se (a) em torno de

Convergência:

z, f

é sucientemente

suave

(contínua e diferenciá-

vel); (b) a estimativa inicial

x1

está sucientemente

próxima

de

z.

Quanto a convergência do método de Newton, observemos o seguinte: 1. Em geral, o método de Newton é mais ção. Quando convergência

xk ≈ z ,

temos

quadrática :

rápido

|k | ≈ |k−1 |2 ,

Comparativamente, os métodos da bisseção e de Newton são compleque o método da bisse-

isto é, temos uma taxa de

a quantidade de DSE

dobra a cada iteração.

mentares, sendo a principal característica do primeiro a timo a

velocidade.

robustez

e do úl-

CAPÍTULO 3.

30

ZEROS DE FUNÇÕES

Usando o Matlab

comando

fzero.

:

Para determinar zeros de funções podemos usar o

>> format long >> f = @(x) x^3 - x^2 - 1; >> z = fzero(f, 1.5) z = 1.465571231876768 Este recurso utiliza o algoritmo WDB (Wijngaarden-Dekker-Brent) que é uma combinação dos métodos de bisseção, interpolação linear e interpolação inversa quadrática [20, p. 161] e [40, p. 454].

Sobre a interpolação linear veja o

Problema 3.37 e sobre a interpolação inversa veja o Problema 5.29.

3.4 Problemas Método da Bisseção Nos problemas 3.1 a 3.4 a seguir são dados a expressão de uma função f e um intervalo [a, b]. Para cada uma das funções faça o seguinte: (a) Desenhe o gráco da função no intervalo dado, vericando que a função é contínua e que f (a) e f (b) tem sinais contrários. (b) Use o método da bisseção e, partindo do intervalo dado, preencha uma tabela contendo os valores de k, ak , xk , bk , f (ak ), f (xk ), f (bk ) e rel como no Exemplo 3.2. Preencha a tabela para as 4 primeiras iterações.

3.1. Figura 3.3: Newton.

3.2. Uma sequência de estimativas divergente para o método de

3.3. 3.4. 3.5. k

é a

. f (x) = x2 − 53 em [0, 10]. √ . f (x) = x2 + 1 − x2 em [0, 3]. . f (x) = x + cos(x)

em

. f (x) = e−x + x2 − 10 .

[−1, 1]. em

[2, 4].

No método da bisseção, o tamanho do intervalo em uma dada iteração

metade

do tamanho do intervalo na iteração anterior, isto é,

Tk = Determine o número tamanho

T0 = b − a

k

Tk−1 . 2

de os necessários para que um intervalo inicial de

seja reduzido a

Tk < 0,5 × 10−12 · (b − a).

CAPÍTULO 3.

3.6.

+

31

ZEROS DE FUNÇÕES

Implemente o algoritmo ZeroBisseção na sua linguagem preferida.

Para vericar a correção da implementação, refaça o Exemplo 3.2.

Nos problemas 3.7 a 3.10 a seguir utilize o algoritmo encontrar o zero da função. Use tol = 0,5 × 10−12 .

3.7.

Função do Problema 3.1.

3.8.


3.9.


3.10.


3.11.

.

ZeroBisseção

para

Mostre que os critérios de parada 1 e 2 (p. 26) do método da bisseção

são equivalentes.

3.12.

parada 3 e 4 (p. 26). Compare o número de iterações utilizadas pelo algoritmo original e pelo modicado para encontrar os zeros das funções dos problemas 3.1

tol = 0,5 × 10−12 .

Implemente o algoritmo ZeroNewton na sua linguagem preferida.

Nos problemas 3.19 a 3.22 a seguir utilize o algoritmo encontrar o zero da função dada. Use tol = 0,5 × 10−12 .

3.19. 3.20. 3.21. 3.22. 3.23.

ZeroNewton

para

Função do Problema 3.13. Função do Problema 3.14. Função do Problema 3.15. Função do Problema 3.16. Modique o algoritmo ZeroNewton de modo a empregar os critérios de

parada 3 e 4 (p. 26). Compare o número de iterações utilizadas pelo algoritmo

3

. f (x) = x − 2x − 5

3.14.

. f (x) = x + ln(x)

3.15.

. f (x) = x − cos(x) . f (x) = x cos(x2 )

3.17.

.

3.24.

O método de Newton tem diculdade de encontrar zeros com multiplicidade

elevada. A função

em

em

(0, 1], x1 = 0,5.

em

em

[−3, 3], x1 = 2,5.

[−π, π], x1 = 1,0.

[1, 2], x1 = 1,2.

estimativa inicial

= 1)

fn (x) = (x − 1)n com multiplicidade

n.

Determine o número de

Verique que a sequência recursiva dada pela equação (2.10) pode ser

obtida através da equação (3.1) aplicada a determinação do zero da função

2

f (x) = x − 53

f1 , f2 , . . . , f10 .

Use a

x1 = 2.

O método de Newton pode não ser convergente. Verique que, para as funções e estimativas iniciais mostradas nos problemas 3.25 e 3.26 a seguir, o método não funciona.

3.25. 3.26.

1 10

+ xe−x

com

x1 = 2.

f (x) = x3 − x − 3

com

x1 = −3.

f (x) =

Sortidos

3.27.

.

numéricos (aproximados) são analíticos (exatos). A determinação

Devido a sua praticidade, os métodos

frequentemente usados em vez dos métodos

de zeros de funções polinomiais de grau 3 (cúbicas) é um bom exemplo. quise a fórmula

pelo método de Newton.

tol = 0,5 × 10−12 .

iterações necessárias para encontrar o zero de cada função

Nos problemas 3.13 a 3.16 a seguir são dadas a expressão de uma função f , um intervalo [a, b] e uma aproximação x1 para o zero de f . Para cada uma das funções faça o seguinte: (a) Desenhe o gráco da função, vericando que a função é contínua e possui um zero no intervalo dado. (b) Encontre uma expressão para f 0 (x). (c) Use o método de Newton e, partindo da aproximação x1 , preencha uma tabela contendo os valores de k, xk , f (xk ), f 0 (xk ) e rel como no Exemplo 3.3. Preencha a tabela para as 4 primeiras iterações.

3.16.

mas 3.13 a 3.16. Use

possui um único zero (z

Método de Newton

3.13.

+

original e pelo modicado para encontrar os zeros das funções dadas nos proble-

Modique o algoritmo ZeroBisseção de modo a empregar os critérios de

a 3.4. Use

3.18.


exatamente 4

Fórmula de Cardano 4

o zero real da função

ÿ Girolamo

Pes-

(em [47, 1], por exemplo) para determinar

g(x) = x3 − x2 − 1

dos Exemplos 3.2 e 3.3.

Cardano (1501 - 1576) médico, astrônomo e matemático italiano. Seu

mais famoso trabalho é

Ars magna, de 1545, considerado o primeiro livro latino dedicado

apenas a álgebra. Neste tratado, descreve a solução de equações polinomiais cúbicas e quárticas [38].

CAPÍTULO 3.

3.28.

32

ZEROS DE FUNÇÕES

3.29.

por um corpo de prova na temperatura

Reconsidere o Exemplo 2.1 e encontre o zero da equação (2.2).

3.30.

Considere a função dada por

(a) Faça um esboço do gráco de

x

f (x) = e − ln x

f

no intervalo

com

(0, 2]

λ (em metros). k = 1,3807 × 10−23 J/K

de onda e

x > 0.

e verique que a função

xmin

3.31.

desse mínimo sabendo que

Um estudante comprou um

notebook

[25].

S(λ) para [0,5; 4,0] × 10−6 m.

(a) Obtenha o gráco de no intervalo

possui um ponto de mínimo nesse intervalo. (b) Determine a abscissa

S (em watt por metro cúbico) emitida T (em kelvin) em função do comprimento 8 −34 Nessa expressão, c = 2,9979×10 m/s, h = 6,6261×10 Js

descreve a quantidade de energia luminosa

Determine os zeros das funções dos Problemas 3.25 e 3.26.

F

onde

é o valor nanciado,

P

no valor de R$ 2499,00 e vai pagar

λmax = onde

F ·i

n

é o número de parcelas e

i

A gura a seguir mostra uma seção circular de área

S.

r

Encontre

3.34. Q

z,

ocorre em

λmax

λ

dado por

hc , zkT

o zero de

f,

x + e−x − 1. 5

e em seguida determine o valor de

λmax .

Em Termodinâmica, sob determinadas condições, a relação entre a calor

Tf − Ti é dada B C Q = nR A(Tf − Ti ) + (Tf2 − Ti2 ) + (Tf3 − Ti3 ) . 2 3

fornecido a um gás e sua variação de temperatura

por

R = 8,314 J/mol.K, A = 1,702, B = 9,081 × 10−3 K−1 , C = −2,164 × 10 K [46, p. 131]. Em uma câmara, tem-se n = 2 mol de metano a temperatura Ti = 300 K. Qual será a temperatura nal Tf se 20 kJ de energia é Para o gás metano,

−6

θ

S

Sugestão: Use

é o zero positivo de

f (x) =

é a taxa de juros. Qual é a taxa de juros do nanciamento?

3.32.

z

−n , 1 − (1 + i)

é o valor da parcela,

T = 3500 K.

(b) Pode-se mostrar [55, p. 390] que o maior valor de

f 0 (xmin ) = 0.

12 parcelas de R$ 249,00. A matemática nanceira estabelece que

P =

a temperatura

S

−2

absorvido pelo gás?

3.35.

A tensão elétrica sobre o capacitor de um circuito RLC-paralelo é dada por

u(t) = u0 e−αt cos(ωd t),

t ≥ 0,

onde

u0

Da geometria, sabemos que a área da seção é dada por

S= onde

r

θˆ tal

geométrica

3.33.

1 é a constante de amortecimento, 2RC 1 ω0 = √ é a frequência angular de oscilação (natural), LC p ωd = ω02 − α2 é a frequência angular de oscilação (amortecida).

r2 (θ − sen(θ)), 2

α=

θ é o ângulo que subtende a seção circular. Determine S seção seja um terço da área do círculo. Uma solução

é o raio do círculo e

o ângulo

A

que a área

é a tensão inicial sobre o capacitor,

do problema pode ser encontrada em [11].

A tensão

Lei da Radiação,

u

é dada em volts e o tempo

um circuito em que

2πc2 h 1 S(λ) = , 5 hc/λkT λ e −1

R

= 200

Ω, L

t

os valores na equação, desenhe o gráco de

t3

em segundos [36, p. 177]. Considere

C = 40 µF e u0 = 50 V. Substitua u(t) e determine os instantes t1 , t2 e

= 0,3 H,

onde a tensão atinge o valor 10 V.

CAPÍTULO 3.

3.36. os

Na Álgebra Linear, os

zeros

33

ZEROS DE FUNÇÕES

autovalores λ de uma matriz A são denidos como

 A=

3.37.

λ1 , λ2

e

xk = xk−1 −

0 −3 −1 2 . 2 3

de

2[f 0 (x

de

f

quarto

termo e

[51]. A fórmula de iteração é dada

2f (xk−1 )f 0 (xk−1 ) . 2 00 k−1 )] − f (xk−1 )f (xk−1 )

Modique o algoritmo ZeroNewton de modo a empregar o método de Halley. Compare o número de iterações necessárias para encontrar os zeros das funções dadas nos problemas 3.13 a 3.16 utilizando o algoritmo original e o modicado.

pA (x).

λ3

segunda derivada

por



−3 0 −3

(a) Encontre a expressão algébrica de (b) Encontre os autovalores

Uma variação para o método de Newton, conhecida como método de

5

usar a informação da

pA (x) = det(A − Ix). Considere a matriz

3.38.

Halley , consiste em truncar a série de Taylor a partir do seu

do polinômio característico

A.

Uma variação para o método da bisseção consiste em dividir o intervalo

[a, b] no (a, f (a))

c sobre o (b, f (b)) como

ponto

eixo horizontal que intercepta o reta que a por

e

mostra a gura a seguir.

interpolação linear

Essa técnica é denominada

e, em geral, apresenta velocidade de convergência maior que

a o método da bisseção.

(a) Mostre que

c=a−

f (a) (b − a). f (b) − f (a)

(b) Modique o algoritmo ZeroBisseção de modo a empregar a técnica da interpolação linear. Compare o número de iterações necessárias para encontrar os zeros das funções dadas nos problemas 3.1 a 3.4 com o algoritmo Zero-

Bisseção original.

5

ÿ Edmond Halley (1656 - 1742) astrônomo inglês.

Entre seus feitos está o cálculo da

órbita do cometa que leva seu nome. Halley propôs que os cometas que apareceram em 1531 e 1607 eram, de fato, um mesmo cometa e deveria reaparecer em 1758. O método para a determinação de raízes de equações polinomiais foi desenvolvido em 1694. fórmula tal como conhecida atualmente é devida a Schröder [42].

A

Capítulo 4

Sistemas Lineares 4.1 Denição do problema Um

sistema de equações lineares n incógnitas  a11 x1 +     a21 x1 +

a12 x2 a22 x2

. . .

. . .

• consistente :

ou, simplesmente,

sistema linear

com

m

equações e

   

+ ··· + ···

am1 x1 + am2 x2 + · · ·

+ +

a1n xn a2n xn . . .

= =

a11 a12 · · ·  a21 a22 · · ·  A= . . .  .. . am1 am2 · · ·

a1n a2n . . .

amn

se

não existe

solução;

resolver

um sistema linear dado. Os métodos

de resolução de sistema linear, podem ser classicados em:

+ amn xn = bm

• diretos :

pode ser representado pela equação matricial



única solução ou; uma innidade de soluções.

O problema em questão é

. . .

Ax = b, sendo     x1 b1  x2   b2       , x =  ..  , b =  ..  .   .  xn bm

solução, sendo que pode haver

uma

• inconsistente :

b1 b2

existe

se

Escalonamento (Gauss), inversão, determinantes (Cramer),

fatoração LU, etc.



• iterativos :

  . 

Gauss-Jacobi, Gauss-Seidel, gradiente conjugado, etc.

Neste capítulo estudaremos alguns métodos para a resolução de sistemas lineares

determinados (m = n)

com solução

única.

A resolução de

sistemas sobre-determinados ou sub-determinados ou com innitas solu-

Quanto a quantidade de equações (m) e incógnitas (n), um sistema

ções pode ser encontrado em [22].

linear pode ser classicado em

• sub-determinado : • determinado :

Se

Se

4.2 Método de Gauss

m < n;

m = n;

• sobre-determinado :

Se

1 (também conhecido como

O método de Gauss

eliminação gaussiana )

um método direto de resolução de sistemas lineares.

m > n.

1

Quanto a existência e unicidade de soluções, um sistema linear pode

ÿ Carl

é

O procedimento,

Friedrich Gauss (1777 - 1855), matemático alemão, fez importantes contri-

buições à matemática, física e astronomia. Em 1799 provou o Teorema Fundamental

ser classicado em

da Álgebra:

34

o número de raízes (reais, complexas ou múltiplas) de um polinômio é

CAPÍTULO 4.

35

SISTEMAS LINEARES

estudado na disciplina de Álgebra Linear, consiste basicamente em duas etapas:

escalonamento

e

retro-substituição.

A etapa do escalonamento consiste em, através de operações-linha elementares, obter um sistema linear

Ax = b a

Cx = d

equivalente ao sistema linear

original, isto é uma sistema com a mesma solução. A matriz

forma escalonada

C

é

da matriz completa (triangular-superior).

a1,1 a1,2  a2,1 a2,2   . . . .  . .   an−1,1 an−1,2 an,1 an,2 

c1,1 c1,2  0 c2,2   .. . .  . .   0 0 0 0

··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···

:

Nas operações acima, usamos uma notação derivada

k da matriz C, ci: ← ci: + mcj:

k,

isto é, linha

ck:

pode ser escrita como

a1,n−1 a2,n−1

a1,n a2,n

b1 b2

. . .

. . .

. . .

an−1,n−1 an−1,n bn−1 an,n−1 an,n bn c1,n−1 c2,n−1

c1,n c2,n

d1 d2

. . .

. . .

. . .

cn−1,n−1 cn−1,n dn−1 0 cn,n dn

   ∼  

xi =

di −

P

• Redimensionar • Adicionar

uma linha:

cii

,

 3 x1 + x2 − x3    3 x1 + 3 x2 − x3 9 x1 + 4 x2    x2 + 3 x3

    .  

Solução:

Escalonamento :

ci: ← ci: + mcj: .

Theoria motus corporum coelestium in sectionibus

conicis solem ambientium, estudou as observações astronômicas da órbita do asteroide

Pallas obtidas entre 1803 e 1809 e obteve um sistema de seis equações lineares e seis

= 5 = 5 . = 17 = 12

lineares que consiste exatamente no que conhecemos hoje como o método da eliminação gaussiana. Além disso, apresenta uma prova formal do método dos quadrados mínimos

−1 2 −1 4 0 8 3 7

 5 5  . 17  12

O primeiro elemento não-nulo da primeira linha (c11

pivô.

= 3) é denominado mij a seguir são

Os elementos abaixo dele serão zerados. Os valores

multiplicadores e são usados nas operações-linha elementares. c21 3 = − = −1, c11 3 c31 9 =− = − = −3, c11 3 c41 0 =− = − = 0, c11 3

m21 = −

c2: = c2: + m21 c1: ,

d2 = d2 + m21 d1 ,

m31

c3: = c3: + m31 c1: ,

d3 = d3 + m31 d1 ,

c4: = c4: + m41 c1: ,

d4 = d4 + m41 d1 .

incógnitas. Nesse texto, Gauss descreve uma forma sistemática de resolução de sistemas

(ver Capítulo 6) [28] [45, p. 44].

2 x4 4 x4 8 x4 7 x4

O sistema linear é representado pela matriz

3 1  3 3  [C|d] = [A|b] =  9 4 0 1

ditos

igual ao seu grau. Em 1809, no seu

+ + + +

completa

m 6= 0.

a uma linha, um múltiplo de outra:

i = n, n − 1, . . . , 2, 1.

Exemplo 4.1. Usar o método do escalonamento para resolver o sistema linear

ci: cj: .

ci: ← mci: ,

x são obtidos (em ordem

cij xj

j>i



duas linhas entre si:

No Matlab, a operação

C(i,:) = C(i,:) + m * C(j,:).

Na etapa da retro-substituição os elementos de



As operações-linha elementares utilizadas são:

• Permutar

refere-se a todos os elementos da linha

todas as colunas.

inversa) por

[A|b] ∼ [C|d] 

Usando o Matlab

da sintaxe do Matlab. O símbolo

m41

CAPÍTULO 4.

36

SISTEMAS LINEARES

Algoritmo 9 SLGaussProv entrada : A, b saída : x Inicialização

Assim, obtemos



3  0   0 0

1 2 1 1

−1 2 0 2 3 2 3 7

 5 0  . 2  12

1: Prosseguindo com o pivô

c32 1 =− c22 2 c42 1 =− =− c22 2

c22 = 2:

2:

m32 = −

c3: = c3: + m32 c2: ,

d3 = d3 + m32 d2 ,

m42

c4: = c4: + m42 c2: ,

d4 = d4 + m42 d2 ,



3  0   0 0

Finalmente, com o pivô

1 2 0 0

−1 2 0 2 3 1 3 6

5:

c33 = 3,

c43 3 =− = − = −1 c33 3

7:

 5 0  . 2  12

8: 9: 10:

obtemos

11:

c4: = c4: + m43 c3: ,

d4 = d4 + m43 d3 ,

obtemos a forma escalonada



3  0   0 0

Retro-substituição.

12:

de linhas de

A

Escalonamento para j ← 1 : n − 1 para i ← j + 1 : n

m ← −Ci,j /Cj,j Ci,: ← Ci,: + mCj,:

m m Retro-substituição x ← Zeros(n, 1) para i ← n : −1 : 1 m

xi ← (Ci,n+1 − Ci,1:n · x) /Ci,i

Logo, a solução do sistema é

1 2 0 0

−1 2 0 2 3 1 0 5

Os elementos de

x



5 0  . 2  10

forma vetorial,

x1 = 1, x2 = −2, x3 = 0

e

x4 = 2

ou, de



 1  −2   x=  0 . 2

são obtidos:

10 d4 = =2 c44 5 d3 − (c34 x4 ) 2 − (1 · 2) x3 = = =0 c33 3 d2 − (c23 x3 + c24 x4 ) 0 − (0 · 0 + 2 · 2) x2 = = = −2 c22 2 d1 − (c12 x2 + c13 x3 + c14 x4 ) 5 − (1 · (−2) − 1 · 0 + 2 · 2) x1 = = =1 c11 3

x4 =

4: 6:

obtemos

m43

3:

n ← número C ← [A|b]

O algoritmo

SLGaussProv (provisório )

sistematiza o método do es-

calonamento de Gauss.

4.2.1 Pivotamento Parcial O algoritmo

SLGaussProv tem um problema:

ele não toma cuidado com

possíveis divisões por zero, que ocorrem quando o elemento-pivô não está na diagonal. Uma estratégia para evitar divisões por zero, consiste em permutar as linhas da matriz de modo que o elemento-pivô seja (em valor absoluto)

CAPÍTULO 4.

37

SISTEMAS LINEARES

Algoritmo 10 SLGauss entrada : A, b saída : x Inicialização 1: 2: 3: 4: 5: 6:

n ← número C ← [A|b]

9: 10: 11: 12: 13:

de linhas de

m

m ← −Ci,j /Cj,j Ci,: ← Ci,: + mCj,:

Após escrever a matriz

Ax = b

A e o vetor-coluna b, é possível

com o comando \.

O comando \ chama uma série de subrotinas do Matlab para a resolução

de sistemas lineares. Cada subrotina possui alguma especicidade com relação

m Retro-substituição x ← Zeros(n, 1) para i ← n : −1 : 1 m

:

>> A = [3 1 -1 2; 3 3 -1 4; 9 4 0 8; 0 1 3 7]; >> b = [5; 5; 17; 12]; >> x = A\b x = 1.0000 -2.0000 -0.0000 2.0000

A

Escalonamento para j ← 1 : n − 1 C ← PivotamentoParcial(C, n, j ) para i ← j + 1 : n

7: 8:

Usando o Matlab

resolver o sistema linear

ao tipo de sistema linear: determinado, sub-determinado, sobre-determinado, real, complexo, etc. No entanto, o método de resolução usado é basicamente o mesmo: método de Gauss com pivotamento parcial. Deve-se ter o cuidado de vericar que esse procedimento sempre produz

xi ← (Ci,n+1 − Ci,1:n · x) /Ci,i

uma resposta: 1. a solução, se o sistema linear for possível e determinado; 2. uma solução, se o sistema linear for possível e indeterminado;

maior ou igual aos os elementos abaixo de si em sua coluna, isto é,

|cjj | ≥ |cij | , Esse procedimento, denominado

3. uma pseudo-solução (a solução de quadrados mínimos, ver Capítulo 6), se o sistema linear for impossível.

i > j.

pivotamento parcial,

Uma maneira de vericar que tipo de solução está sendo obtida é vericar a

além de evi-

tar a divisão por zero, garante ainda que os multiplicadores serão pequenos (|mij | ritmo

≤ 1),

o que tende a minimizar os erros de arredondamento. O algo-

PivotamentoParcial

(p. 13) já implementado, realiza as permu-

tações necessárias. A técnica do pivotamento total (que busca o elemento de maior valor absoluto nas linhas abaixo e nas colunas à direita da posição de pivô) gera maior precisão, porém tem custo mais elevado [8, p. 352] e é pouco utilizada. O algoritmo

SLGauss (denitivo ) utiliza o pivotamento parcial.

Note

que, o sistema linear que não tiver solução única ou não tiver solução, será detectado pela algoritmo de pivotamento.

forma escalonada reduzida da matriz completa do sistema linear com o comando

>> rref(A) ans = 1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

Se a matriz resultante for a identidade (única) do sistema linear.

In ,

então a solução obtida é a solução

CAPÍTULO 4.

38

SISTEMAS LINEARES

4.3 Métodos iterativos Nos métodos

iterativos

Exemplo 4.2. Considere os vetores 

para resolução de sistemas lineares, inicialmente

C e um vetor d são obtidos de A e b. Em seguida, a partir de (1) , uma sequência de novas estimativas uma estimativa inicial de solução x (2) (3) (4) x , x , x , . . . é calculada através da fórmula de iteração

x(1)

uma matriz

x(k) = Cx(k−1) + d. Se

C

e

d

ˆ, a x C e d levam a métodos

forem escolhidos adequadamente, a sequência converge para

solução do sistema linear. As diferentes escolhas de diferentes.

Nos métodos iterativos, é necessário denir alguns

critérios de parada.

1.

2.

3.

Solução: rel

(1)

x − x(2)

=

x(2) p (1,0002 − 0,9994)2 + (2,0086 − 2,0015)2 + (−2,9978 + 3,0007)2 p = 0,99942 + 2,00152 + (−3,0007)2 p 5,9460 × 10−5 √ = 14,0090 = 0,0021

Como

rel = 0,0021 < 0,5 × 10−2

estimativa para o erro relativo rel entre ˆ a partir de duas aproximações sucessivas. O critério 2 determina o x (k) e b). Note que em ambos os casos, valor do resíduo relativo δ entre Ax rel ≥ 0, uma vez que a norma-2 de um vetor é não-negativa. O critério 3

x(1) ≈ x(2) ≈ [1,0

e

estabelece um número máximo de iterações. Note como esses critérios de

parada são semelhantes aos usados nos métodos da bisseção e de Newton (p. 26). Nos algoritmos e exemplos deste capítulo, usaremos o critério de parada 1 e 3.

k·k

representa a norma (ou norma euclideana) de um vetor

que é denida por

q kvk = v12 + v22 + · · · + vn2 .

deduzimos que os valores numéricos

dos vetores possuem 2 DSE, isto é,

k > kmax .

O símbolo

x(2)

 0,9994 =  2,0015  . −3,0007

O erro relativo para vetores é dado por

O critério 1 estabelece uma

x(k)



Determine rel usando o critério 1 e a quantidade de DSE dos vetores.

Os mais usados são os seguintes:

(k−1)

x − x(k)

rel ≈ < tol.

x(k)

(k)

Ax − b δrel = < tol. kbk

 1,0002 =  2,0086  , −2,9978

(4.1)

O algoritmo

ErroRelVet

aproximação vetorial. (p. 20)

2,0

− 3,0]T .

sistematiza o cálculo do erro relativo na

Note a semelhança com o algoritmo

ErroRel

CAPÍTULO 4.

39

SISTEMAS LINEARES

Algoritmo 11 ErroRelVet entrada : u, v saída : rel 1: se kvk = 0 então 2:

3:



0  a  − 21  a22 C=  . .   a. n1 − ann

rel ← kuk

senão

4: 5:

que pode ser expresso na forma

m

rel ←

ku − vk kvk

4.4 Método de Gauss-Jacobi 2

No método de Gauss-Jacobi , a determinação de

C

e

d

é feita da seguinte

 a11 x1     a21 x1     Isolando

x1

+ a12 x2 + a22 x2

. . .

. . .

Ax = b

+ ··· + ···

an1 x1 + an2 x2 + · · ·

da primeira equação,

x2

= b1 = b2

. . .

. . .

.

Solução:

+ ann xn = bn

da segunda equação, ...,

xn

ÿ Carl

da

n-ésima

a12 x2 a11 a21 = − x1 a22 = −

a1n xn a11 a2n − xn a22

···

−

0

···

. . .

−

b1 a11 b2 + a22 , . . .

an,n−1 bn xn−1 + ann ann

Gustav Jacob Jacobi (1804 - 1851), matemático alemão. Fez contribuições

Über eine neue auösungsart der bei der methode der kleinsten quadrate vorkommenden linearen gleichungen introduz o método iterativo para resolução 1845, no artigo

de sistemas lineares. No mesmo artigo faz uso de rotações planares para aumentar a dominância diagonal da matriz. Uma abordagem pioneira do que se chama atualmente

pré-condicionamento

[38, 5].

     .    

(4.2)

Inicialmente vericamos que para obter 3 DSE devemos usar

Em seguida, a partir de

 −20 0 9 A =  −1 −5 1  , 2 2 5

+

fundamentais na teoria das funções elípticas e das equações diferenciais parciais. Em

de

···

    d=  .  ..   bn ann

   ,   



. .   . .  . .    a  n1   xn = − x1 · · · ann 2

an2 ann

. . .

b1 a11 b2 a22

tol = 0,5 × 10−3 .

equação obtemos

   x1        x2

−

···





 + 9 x3 = 78  − 20 x1 − x1 − 5 x2 + x3 = −5 ,  2 x1 + 2 x2 + 5 x3 = 8

na forma

+ a1n xn + a2n xn

. . .

···

a1n − a11 a2n − a22

sendo

Exemplo 4.3. Resolva o sistema linear mostrado a seguir usando o método de Gauss-Jacobi. Use a estimativa inicial de solução o vetor x(1) = 1 = [1 1 1]T e o critério de parada 1 para obter 3 DSE.

maneira. Consideremos o sistema linear

a12 − a11 0

x = Cx + d,



 78 b =  −5  , 8

e de (4.2) temos



0,00 C =  −0,20 −0,40

 0,00 0,45 0,00 0,20  , −0,40 0,00



 −3,90 d =  1,00  . 1,60

A Tabela a seguir mostra a sequência das primeiras aproximações

CAPÍTULO 4.

40

SISTEMAS LINEARES

(k)

k

(k)

(k)

x1

x2

x3

1

1,0000

1,0000

1,0000

-

2

-3,4500

1,0000

0,8000

1,2105

3

-3,5400

1,8500

2,5800

0,4153

4

-2,7390

2,2240

2,2760

0,2226

5

-2,8758

2,0030

1,8060

0,1362

6

-3,0873

1,9364

1,9491

0,0639

7

-3,0229

2,0073

2,0604

0,0352

8

-2,9728

2,0167

2,0062

0,0181

9

-2,9972

1,9958

1,9825

0,0097

10

-3,0079

1,9959

2,0005

0,0051

11

-2,9998

2,0017

2,0048

0,0026

1:

12

-2,9978

2,0009

1,9992

0,0014

2:

13

-3,0003

1,9994

1,9988

0,0007

3:

14

-3,0006

1,9998

2,0004

0,0004

4:

rel

Algoritmo 12 SLGaussJacobi entrada : A, b, tol, kmax saída : x, rel , k Matriz e vetor de iteração

5: A solução do sistema, com 3 DSE, é

O algoritmo

SLGaussJacobi

x1 = −3,00, x2 = 2,00 e x3 = 2,00.

sistematiza o método de Gauss-Jacobi.

Vimos que o método funcionou para o problema do Exemplo. A pergunta natural é:

funciona sempre ?

A resposta é

não.

Vejamos por quê na

seção seguinte.

ˆ x

8:

x(1)

11:

14: é tal que

ˆ + , x(1) = x é o erro de aproximação.

Dessa forma, a próxima estimativa

é

15: 16: 17: 18: 19: 20:

x

(2)

(1)

= Cx

+d

= C(ˆ x + ) + d = Cˆ x + C + d ˆ + d) + C = (C x ˆ + C. =x

m

9: 10:

13:

a solução do sistema linear, a estimativa inicial

onde o vetor

7:

12:

4.4.1 Convergência Sendo

6:

n ← número de linhas de A C ← Zeros(n, n) d ← Zeros(n, 1) para i ← 1 : n para j ← 1 : n se i 6= j então Ci,j ← −Ai,j /Ai,i

m

di ← bi /Ai,i

m Processo iterativo k ←1 x ← Uns(n, 1) rel ← +∞ enquanto k < kmax e rel > tol k ←k + 1 u ←x x ← Cx + d rel ← ErroRelVet(u, x)

m

CAPÍTULO 4.

41

SISTEMAS LINEARES

Se convergir, a sequência de estimativas obtidas pelo método de Gauss-

E assim

linear, isto é, kk+1 k ≈ c kk k. A velocidade de convergência será maior quanto menor for o raio espectral da matriz de iteração C ou, de forma semelhante, maior for a dominância di-

Jacobi tem convergência de ordem

ˆ + C2 x(3) = x ˆ + C3 x(4) = x

agonal da matriz

. . .

x

(k)

A

do sistema linear. O método a seguir permite acelerar

a convergência do método de Gauss-Jacobi.

k−1

ˆ+C =x

.

4.5 Método de Gauss-Seidel Para que a sequência

x(1) , x(2) , . . .

tenha convergência para

ˆ x

é neces-

sário que (4.3)

k→+∞

Pode-se mostrar [8, p. 415] que a condição (4.3) é verdadeira se a matriz tem

raio espectral ρ menor que a unidade, isto é, ρ = max {|λ1 | , |λ2 | , . . .} < 1,

onde

λ1 , λ2 . . .

são os autovalores de

dominante, isto é,

|aii | >

X j6=i

|aij | ,

C;

ou a matriz

A

é

diagonal-

1 ≤ i ≤ n.

é calcular a componente

(autovalor complexo) (autovalor complexo) (autovalor real) (raio espectral)

Na segunda iteração (k

j >i

da

da iteração

= 2), a primeira componente de x (i = 1)

(2)

x1 = C1,: · x + d1 , 0,00

= −3,4500.

do

Exemplo 4.3, podem ser obtidos com os seguintes comandos

>> lambda = eig(C) lambda = -0.0650 + 0.5222i -0.0650 - 0.5222i 0.1300 >> ro = max(abs(lambda)) ro = 0.5262

j < i, já calculadas

,

é calculada por

= [0,00

C

(k−1)

xj

Exemplo 4.4. Resolva o sistema linear do Exemplo 4.3 usando o método de Gauss-Seidel com os mesmos parâmetros de tolerância e estimativa inicial de solução.

cessário, porém é mais facilmente vericado.

Os autovalores e o raio espectral da matriz

, a partir das componentes

corrente.

trabalhoso de ser vericado. O segundo critério é suciente mas não ne-

:

(k)

xi

(k) iteração anterior e das componentes xj ,

Solução:

O primeiro critério é necessário e suciente, porém é computacionalmente

Usando o Matlab

3 é uma modicação do método de Gauss-Jacobi

para fazer com que o processo iterativo seja mais rápido. A ideia básica

lim Ck = 0.

C

O método de Gauss-Seidel

A segunda (i

3

ÿ Philipp

= 2)

0,45] · [1,0000

componente de

x

1,0000

1,0000]T − 3,90,

é calculada a partir de

x∗

(vetor

Ludwig von Seidel (1821 - 1896), matemático alemão. Trabalhou com

óptica (desenvolveu a teoria da aberração óptica em telescópios astronômicos) e análise matemática (desenvolveu o importante conceito de convergência não-uniforme). A denominação

método de Gauss-Seidel

é, segundo alguns autores, um abuso pois Gauss

aparentemente não o conhecia e Seidel não o recomendava! [38, 5].

CAPÍTULO 4.

42

SISTEMAS LINEARES

com a primeira componente

atualizada ).

(2)

x2 = C2,: · x∗ + d2 , = [−0,20

0,00

= 1,8900. A terceira (i

= 3)

0,20] · [−3,4500∗

componente de

x

com a primeira e segunda componentes

1,0000]T + 1,00,

1,0000

é calculada a partir de

atualizadas ).

x∗∗

Algoritmo 13 SLGaussSeidel entrada : A, b, tol, kmax saída : x, rel , k Matriz e vetor de iteração

(vetor

(2)

x3 = C3,: · x∗∗ + d3 , = [−0,40

= 2,2240.

0,00] · [−3,4500∗

− 0,40

1,8900∗

1:

1,0000]T + 1,60,

2: 3: 4:

Prosseguindo com esse esquema, os demais valores são calculados, como

5:

mostrado na tabela a seguir.

6:

k

(k)

(k)

x1

x2

(k)

x3

7:

rel

8: 9:

1

1,0000

1,0000

1,0000

-

2

-3,4500

1,8900

2,2240

1,0401

10:

3

-2,8992

2,0246

1,9498

0,1560

11:

4

-3,0226

1,9945

2,0112

0,0341

5

-2,9949

2,0012

1,9975

0,0077

6

-3,0011

1,9997

2,0006

0,0017

7

-2,9997

2,0001

1,9999

0,0004

A solução do sistema, com 3 DSE, é

12: 13: 14: 15:

x1 = −3,00, x2 = 2,00 e x3 = 2,00.

16: 17:

Pode-se mostrar [40, p. 1062] que o método de Gauss-Seidel executa, em média,

a metade

18:

do número de os do método de Gauss-Jacobi

19:

para uma dada tolerância. Nos Exemplos 4.3 e 4.4 observamos que, com

20:

o método de Jacobi, uma solução (com a tolerância

tol = 0,5 × 10−3 )

é

21:

obtida na iteração 14, enquanto que no método de Seidel, ela é obtida já

22:

tol = 0,5 × 10−15 , com o método de obtida na iteração k = 57 e com o método de Seidel na iteração k = 26.

na iteração 7. Para uma tolerância Jacobi uma solução é uma solução é obtida O algoritmo

SLGaussSeidel

sistematiza o método de Gauss-Seidel.

n ← número de linhas de A C ← Zeros(n, n) d ← Zeros(n, 1) para i ← 1 : n para j ← 1 : n se i 6= j então Ci,j ← −Ai,j /Ai,i

m

m

di ← bi /Ai,i

m Processo iterativo k ←1 x ← Uns(n, 1) rel ← +∞ enquanto k < kmax e rel > tol k ←k + 1 u ←x para i ← 1 : n xi ← Ci,: · x + di

m

m

rel ← ErroRelVet(u, x)

CAPÍTULO 4.

43

SISTEMAS LINEARES

Usando o Matlab

:

Ao implementar os algoritmos, tome cuidado para

4.3.

.

4.4.

.

4.5.

Implemente o algoritmo SLGaussProv na sua linguagem preferida. Para



0,2 A =  0,0 −0,8

assegurar que os vetores sejam sempre vetores-coluna. Caso contrário, as operações de produto matriz-vetor resultarão em erros:

>> A = [2 1; -1 3] A = 2 1 -1 3 >> x = [1 2], y = A*x x = 1 2 Error using * Inner matrix dimensions must agree.

0,3 −0,5 −2,2

 0,1 −0,3  , −0,6

 2 2 0 1 −1 0  , −5 2 1  6 7 8



1  0 A=  −1 2



 0,6 b =  0,0  . −4,4  −3  2   b=  −2  . 12 

vericar a correção da implementação, refaça o Exemplo 4.1.

4.6.

Alguns sistemas lineares

não

podem ser resolvidos sem pivotamento (troca

de linhas). Verique que o algoritmo SLGaussProv não resolve o sistema linear

>> x = [1; 2], y = A*x x = 1 2 y = 4 5

Ax = b

com

4.7.

Implemente o algoritmo SLGauss na sua linguagem preferida.

+



2 3 A= 2 3 1 4

 5 −4  , −1

 1 b =  −8  . −8 

Para


4.8.

Uma boa maneira de testar a correção dos algoritmos é gerar e resolver

sistemas lineares aleatórios.

4.6 Problemas

(a) Crie uma matriz

(b) Resolva o sistema

Método de Gauss

.

A=

4.2.

.

e um vetor

Ax = b

b10×1

aleatórios.

com o algoritmo SLGauss.

(c) Conra o resultado calculando o resíduo relativo entre os vetores

Nos problemas 4.1 a 4.4 a seguir são dados a matriz A e o vetor b de um sistema linear Ax = b. Resolva os sistemas lineares usando o método do escalonamento. Não é necessário usar pivotamento.

4.1.

A10×10

4 2

−2 1

,

b=

8 0

4.9.

e

b.

Mesmo sistemas lineares pequenos podem ser mal-condicionados. Considere

o sistema linear

Ax = b 

dado por

 43 −86 −16 72  , A =  23 −46 −32 30 58

.

Ax

cuja solução é

x = [1 1

1]T .



 −59 b =  49  , 56

Resolva-o mediante os algoritmos SLGaussProv

e SLGauss e verique que os resultados são bem distintos.



3 A= 0 −6

 −1 2 2 4 , 1 −2



 4 b =  0 . −4

4.10.

Modique o algoritmo SLGauss para incluir um

aritméticas (+,

contador

de operações

-, *, /). Gere sistemas lineares aleatórios de tamanho n de 2 a 50 e determine o número N (n) de operações efetuadas para resolver cada sistema. N (n) 3 Verique que N (n) ∼ n , calculando n3 e vericando que essa razão tende para uma constante a medida que n aumenta.

CAPÍTULO 4.

44

SISTEMAS LINEARES

Erro Relativo Nos problemas 4.11 e 4.12 a seguir são dados duas estimativas sucessivas x(1) e x(2) para a solução de um sistema linear. Determine a diferença relativa rel das estimativas.

4.11.

. x(1) =

4.12.

.

+

1,75 −2,01

x(2) =

,



x(1)

4.13.

 1,9974 =  −0,1996  , 3,2897

1,77 −1,99

onde

 1,9997 =  −0,2003  . 3,2975

Implemente o algoritmo ErroRelVet na sua linguagem preferida.

Ax = b dado por 1 + t −1 t A= , b= , 1 −1 0

Considere o sistema linear

0

é uma constante.

(a) Encontre (algebricamente) a solução

ˆ x

do sistema.

Ax = b com seu algoritmo SLGaussProv para t = 1, 10 , 10 , . . . , 10−15 e determine o erro relativo entre a solução exata e a solução numérica. O que ocorre com o erro relativo à medida que t diminui?

(b) Resolva o sistema

−1

−2

Método de Gauss-Jacobi

.

.

4.19.

Implemente o algoritmo SLGaussJacobi na sua linguagem preferida.



4  −1 A=  0 0

2 0 4 2 −1 4 0 −1

  0  0  ,b =    2 4

 0 9  . 0  4


Método de Gauss-Seidel Nos Problemas 4.20 a 4.23 a seguir, utilize o método de Gauss-Seidel e determine: (a) a matriz C e o vetor d de iteração; (b) as primeiras 4 estimativas de solução: x(k) , k = 1, . . . , 4. (c) Estime o erro relativo da última iteração.

4.20.

.

Sistema linear do Problema 4.15

4.21.

.


4.22.

.


4.23.

.


4.24.

+

Implemente o algoritmo SLGaussSeidel na sua linguagem preferida.

4.25.

Compare o número de iterações utilizadas pelos algoritmos SLGauss-

Jacobi e SLGaussSeidel para resolver ao problemas 4.15 a 4.18 acima com

tol = 0,5 × 10−12 .

4.26.

Modique o algoritmo SLGaussSeidel de modo a empregar o critério de

parada 2 em vez do critério 1 (p. 38). Compare número de iterações utilizadas

A=

4.16.

.

   20 5 1 32 A =  −2 10 2  , b =  −20  . 1 4 10 14


Nos problemas 4.15 a 4.18 a seguir são dados a matriz A e o vetor b de um sistema linear Ax = b. Considere o método de Gauss-Jacobi e (a) determine a matriz C e o vetor d de iteração; (b) determine as primeiras 4 estimativas de solução: x(k) , k = 1, . . . , 4; (c) Estime o erro relativo da última iteração.

4.15.

4.18.



.


4.14.

.



x(2)

4.17.



2 1

5 A= 2 1

entre esse algoritmo e o original refazendo os problemas 4.15 a 4.18 acima com

−1 2

2 5 2

   1 5 2 ,b =  1 . 5 9

,

b=

2 6

.

tol = 0,5 × 10−12 .

CAPÍTULO 4.

45

SISTEMAS LINEARES

4.30.

Sortidos

4.27.

não é

h1 = 2 m e (2 ≤ k ≤ 9)

Verique que o sistema linear

   

2 x1

  

3 x1

2 x2

+

6 x2

diagonal dominante.

diagonal dominante

+ +

5 x3 3 x3 2 x3

+ + +

2 x4 3 x4 2 x4

= 1 = 2 = 3 = 4

No entanto, o sistema pode ser

preservando

reescrito

na forma

a solução.

Se um sistema linear satisfaz as condições de convergência, então o pro-

qualquer

e determine a altura de cada poste.

4.31.

Um modo de encontrar a matriz inversa

ordem

n)

B de uma dada matriz A (de AB = In então A [b1 b2 · · · bn ] = [i1 i2 · · · in ], que é equivalente a [Ab1 Ab2 · · · Abn ] = [i1 i2 · · · in ]. Isso é equivalente a resolução de n sistemas lineares da forma Ab1 = i1 , Ab2 = i2 , . . ., Abn = in , onde bk é a k -ésima coluna de B e ik é a k -ésima coluna de I. Use esse fato para determinar a 2

a coluna da matriz inversa de

Para vericar esse fato, altere o algoritmo SLGaussJacobi para que ele inicie o

   A=   

estimativa inicial

processo iterativo a partir de (a) (b) (c)

x(1) = [0 0 · · · 0]T .

x(1) = [1 2 · · · n]T .

4.32.

x(1) = [100 100 · · · 100]T .

1,3 −2,0 −6,0 6,2 −3,7 5,7

4.29.

tol = 0,5 × 10−12 .

suciente, mas não é necessária

para os métodos iterativos

que vimos.

Determine os valores de pela

(a) Verique que no sistema abaixo os métodos GJ e GS geram estimativas con-

10 x1 − 11 x1

− +

x2 10 x2

= =

média aritmética

1,5 6,7 −6,9 −7,2 4,7 5,5

    .   

100

100

100

500

T2 T5 T8

T3 T6 T9

500

100

T1 T4 T7

100

100

100

100

500

Tk , (k = 1, . . . , 9),

500 500

sabendo que cada valor

Tk

é obtido

dos seus quatro vizinhos: de cima, de baixo, da esquerda

T6 =

T3 + T9 + T5 + 500 . 4

(Esse modelo é usado para determinar a distribuição de temperaturas em uma

cilantes (não convergentes).

placa homogênea, para mais detalhes ver [2, p. 254] ou [29, p. 11]).

4.33. x3 − x2 + 2 x2

7,1 6,9 0,8 4,5 4,4 −3,5

e da direita. Por exemplo,

17 8

(b) Verique que no sistema abaixo os métodos GJ e GS geram estimativas os-

  x1 x1  x1

−0,1 −1,9 5,8 0,5 3,6 −6,3

100

vergentes.

6,8 0,9 −0,3 −6,1 6,0 −0,1

100 100

A condição de que a matriz dos coecientes se um sistema linear deve ser

diagonal dominante é

−4,5 0,4 −0,2 3,1 0,1 3,8

Considere o quadro:

Aplique o algoritmo para resolver o sistema linear do Exemplo 4.3 e compare o número de os necessários para se obter a solução com

tol = 0,5 ×

é observar que se



converge para

hk

2hk−1 + hk+1 . 3

10−12

x(1) .

x(k) = Cx(k−1) + d

postes

A altura de cada poste intermediário

Encontre o sistema linear que modela este problema, resolva-o com

(b) Qual é a solução do sistema linear?

cesso iterativo

h10 = 8 m.

a do último é

10

A altura do primeiro poste é

é a média aritmética ponderada das alturas de seus vizinhos

hk =

(a) Como isso pode ser feito?

4.28.

Um artista plástico deseja fazer uma escultura composta de

verticais colocados lado a lado em um gramado.

− 3 x3

= 6 = 3 = 9

Em química, as quantidades molares dos componentes de uma reação po-

dem ser determinados via resolução de sistemas lineares. Considere a reação

x1 K2 Cr2 O7 + x2 N a2 C2 O4 + x3 H2 SO4 →

x4 K2 SO4 + x5 Cr2 (SO4 )3 + x6 N a2 SO4 + x7 H2 O + x8 CO2 .

CAPÍTULO 4.

46

SISTEMAS LINEARES

ω

Como a quantidade de oxigênio nos reagentes deve ser igual à quantidade de

onde

oxigênio nos produtos, temos

ω

(entre 0 e 2) garante que o método converge mais rapidamente. Observe que

se

ω = 1,

7x1 + 4x2 + 4x3 = 4x4 + 12x5 + 4x6 + x7 + 2x8 . Assim temos

uma

equação linear para

x1 , x2 , . . . , x8 .

Como a reação envolve 7

elementos (K, Cr, O, N a, C, H, S ) podemos obter um sistema linear com 7 equações e 8 incógnitas. Para a

resolução do sistema linear devemos prescrever o valor

de uma das incógnitas, por exemplo, fazendo

x8 = 1.

(b) Resolva o sistema e encontre as quantidades molares dos componentes da reação. No cálculo do erro relativo

rel

para vetores, além da norma-2 denida

em (4.1), outras normas podem ser utilizadas como, por exemplo, a norma-∞, denida por

kvk∞ = max {|v1 | , |v2 | , . . . , |vn |} . Altere o algoritmo ErroRelVet para considerar essa norma. Em seguida refaça o Exemplo 4.3 comparando as diferenças relativas e o número de iterações utilizadas. Os métodos são equivalentes?

4.35.

O

método das diferenças nitas

transforma a equação diferencial ordinária

y 00 + x2 y 0 − 4xy = 0, y(0) = 0, y(1) = 5

x ∈ [0, 1]

em um sistema de equações lineares da forma

2 − k 2 h3 yk−1 − 4 1 + 2kh3 yk + 2 + k 2 h3 yk+1 = 0 com

k = 1, 2, . . . , (n − 1), h = 1/n, y0 = 0

(a) Faça

n = 5,

e

yn = 5.

e monte o sistema linear associado;

(b) Resolva numericamente o sistema linear; (c) Compare a solução numérica com a solução analítica exata

4.36.

O método denominado

successive overrelaxation

ção do método de Gauss-Seidel [6] [8, p. 426]. componente rior

ui

xi

temos o método Gauss-Seidel usual.

(a) Modique o algoritmo SLGaussSeidel para utilizar o método SOR; (b) Resolva o sistema linear dado no Exemplo 4.4 usando usando

ω

entre 0,5 e 1,5;

yˆ(x) = x4 + 4x.

(SOR) é uma generaliza-

Nessa generalização, cada nova

é calculada a partir da média ponderada entre a estimativa ante-

e a estimativa calculada pelo método de Gauss-Seidel. A implementação

pode ser feita reescrevendo a linha 19 do algoritmo SLGaussSeidel:

xi ← ω(Ci,: · x + di ) + (1 − ω)ui ,

tol = 0,5 × 10−15

e

ωmin para o qual a solução é obtida com menor número Observação: O ponto fraco do método é que, com exceção de casos especiais, o valor ótimo ωmin não pode ser conhecido antecipadamente.

(c) Determine o valor de

(a) Obtenha as demais equações do sistema linear correspondente a reação.

4.34.

é o parâmetro de relaxação. Sob certas condições, a escolha do valor de

de iterações.

Capítulo 5

Interpolação 5.1 Denição do problema Seja

f :R→R

uma função conhecida apenas por um conjunto nito de

valores, isto é,

y1 = f (x1 ), onde

y2 = f (x2 ),

x1 < x 2 < . . . < x n .

...,

yn = f (xn ),

interpolação consiste em função de interpolação g

O problema da

terminar a expressão algébrica de uma

detal

que

g(x1 ) = f (x1 ),

g(x2 ) = f (x2 ),

...,

g(xn ) = f (xn ).

Em geral, a função de interpolação é usada para estimar o valor de

f (u) ≈ g(u)

v =

u ∈ / {x1 , x2 , . . . , xn } e x1 < u < xn . A Figura 5.1 (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), . . . , (xn ,yn ) ditos nodos de interpolação,

quando

mostra os pontos

uma curva (polinomial) de interpolação e um ponto interpolado. Basicamente, as funções de interpolação podem ser divididas em dois grupos:

•

Funções denidas por todo o intervalo

uma única

[x1 , xn ].

expressão algébrica denida para

Por exemplo, funções polinomiais ou racio-

nais.

•

Funções denidas por cada subintervalo

Figura 5.1:

mais de uma expressão algébrica denidas para

[x1 , x2 ], [x2 , x3 ], . . ., [xn−1 , xn ].

de funções denidas por partes. Por exemplo, polinomiais de grau 1) ou

spline

Também chamadas

spline

linear (funções

cúbico (funções polinomiais de grau

3). 47

A curva de interpolação a sobre os nodos de interpolação.

CAPÍTULO 5.

48

INTERPOLAÇÃO

Às vezes, há o interesse na interpolação, mesmo quando a função é conhecida em todo o intervalo

[x1 , xn ].

É o caso da integração numérica

A matriz

X

descrita acima é denominada

terpolador (5.2).

que veremos no Capítulo 7. Neste capítulo veremos métodos de interpolação por função polinomial (Vandermonde e Lagrange) e por

spline

cúbico.

Exemplo 5.1. Considere a função f conhecida nos nodos (x, y) dados na tabela a seguir.

5.2 Método de Vandermonde O método de Vandermonde

1 consiste em determinar um

polinômio in-

terpolador p que e por todos os n nodos de interpolação, isto é, p(x1 ) = y1 ,

p(x2 ) = y2 ,

...,

p(xn ) = yn .

(5.1)

Pode-se mostrar [10, p. 196] que existe um polinômio que satisfaz as condições dadas em (5.1) com grau

dem de interpolação. c0 , c1 , . . . , cn−1

m ≤ n − 1.

O valor

n−1

é dito

 p(x1 ) = cn−1 xn−1 + ···  1    p(x2 ) = cn−1 xn−1 + · · · 2 . . .

. . .

incógnitas

n

+ c1 x1 + c1 x2

  X= 

1

(5.2)

0,0 1,0 4,0 6,0

1,0 2,3 2,2 3,7

2. Use o polinômio para estimar o valor de v = f (5).

. . .

. . .

. . .

. . .

+ c2 x2n + c1 xn + c0 = yn (5.3)

cn−1 , . . . , c2 , c1 , c0 .

xn−1 1 xn−1 2 . . .

xn−1 n

··· ···

x21 x22 . . .

. . .

···

x2n

xn


x1 x2

Solução:

Como

n = 4,

o polinômio interpolador é da forma

p(x) = c3 x3 + c2 x2 + c1 x + c0

+ c0 = y1 + c0 = y2

Xc = y correspondente é     0 0 0 1 c3  1    1 1 1     c2    64 16 4 1   c1  =  216 36 6 1 c0

e o sistema linear

 1,0 2,3  , 2,2  3,7

cuja solução (obtida pelo método do escalonamento, ver Capítulo 4) é

O sistema linear (5.3) pode ser escrito na forma matricial



y

1. Encontre o polinômio p interpolador aos nodos dados.

equações lineares

+ c2 x21 + c2 x22

p(xn ) = cn−1 xn−1 + ··· n n

x

do polinômio

De (5.1) e (5.2) obtemos o sistema de

nas

or-

Desse modo, deve-se determinar os coecientes

pn−1 (x) = cn−1 xn−1 + cn−2 xn−2 + · · · + c2 x2 + c1 x + c0 .

   

matriz de Vandermonde.

A solução do sistema linear (5.3) fornece os coecientes do polinômio in-





cn−1

1  ..  . 1    .  , c =  c2 .   .  c1 1 c0



Xc = y

  y1    y2      , y =  ..  .   .   yn

com



 0,0817  −0,7417   c=  1,9600  . 1,0000 Assim, o polinômio interpolador é

p(x) = 0,0817x3 − 0,7417x2 + 1,9600x + 1,0000.

(5.4)

CAPÍTULO 5.

O valor de

49

INTERPOLAÇÃO

v = f (5)

é estimado por

p(5) = 2,4667.

A Figura 5.1 mostra

os nodos de interpolação, o gráco do polinômio interpolador interpolado

p

5.3 Método de Lagrange

e o ponto

(u,v).

O objetivo do método de Lagrange interpolador

Usando o Matlab

:

os

coecientes

conjunto de

do seguinte modo:

>> x = [0; 1; 4; 6]; >> y = [1.0; 2.3; 2.2; >> X = MVander(x,3) X = 0 0 0 1 1 1 64 16 4 216 36 6 >> c = SLGauss(X, y) c = 0.0817 -0.7417 1.9600 1.0000 >> v = VPol(c,5) v = 2.4667

3.7]; 1 1 1 1

=

valor

do polinômio

= =

=

construímos um

(x − x2 )(x − x3 )(x − x4 ) · · · (x − xn ) (x1 − x2 )(x1 − x3 )(x1 − x4 ) · · · (x1 − xn ) (x − x1 )(x − x3 )(x − x4 ) · · · (x − xn ) (x2 − x1 )(x2 − x3 )(x2 − x4 ) · · · (x2 − xn ) (x − x1 )(x − x2 )(x − x4 ) · · · (x − xn ) (x3 − x1 )(x3 − x2 )(x3 − x4 ) · · · (x3 − xn )

,

(x − x1 )(x − x2 )(x − x3 ) · · · (x − xn−1 ) (xn − x1 )(xn − x2 )(xn − x3 ) · · · (xn − xn−1 ) n Y

Li (x) =

j=1,j6=i

x − xj , xi − xj

i = 1, . . . , n.

A Figura 5.2 ilustra a propriedade básica dos polinômios auxiliares:

Li (xj ) =

na interpolação de polinômios de grau elevado: a matriz

X

p

valores

como no método de Lagrange, discutido a seguir.

Observemos que para um conjunto de

n nodos, o polinômio interpolador

É raro, mas pode ocorrer que o polinômio

interpolador tenha grau menor que

n−1

como mostra o Problema 5.5.

base

no es-

Assim o polinômio interpolador

p(x) = y1 L1 (x) + y2 L2 (x) + · · · + yn Ln (x) n X = yi Li (x),

pode torna-se

do polinômio sem calcular seus

n−1.

pode ser obtido pela combinação linear

o que ocasiona erros na determinação dos coecientes

tornar esse problema é calcular os

1, i = j . 0, i = 6 j

Pode-se mostrar que os polinômios auxiliares formam uma paço vetorial dos polinômios de grau

do polinômio interpolador (veja o Problema 5.28). Uma maneira de con-

grau máximo (ordem) n−1.

o

p.

ou seja,

Apesar de conceitualmente simples, o método pode se tornar impreciso

terá

v,

sem necessidade de determinar previamente

x1 < x2 < . . . < xn n polinômios auxiliares Li dados por

n

algoritmo é deixada como exercício (veja o Problema 5.3).

coecientes

de

   L1 (x)        L2 (x)     L3 (x)      .  .  .       L (x)

O método de Vandermonde é bastante simples. A implementação do

mal-condicionada

u,

na abcissa

Dados as abscissas dos nodos

Se os algoritmos MVander (p. 12), VPol (p. 12)

e SLGauss (p. 37) já foram implementados, o Exemplo 5.1 pode ser resolvido

p

2 é determinar

i=1 2

ÿ Joseph-Louis

Lagrange (1736 - 1813), matemático francês, nascido italiano. De-

senvolveu consideravelmente o campo da análise, da teoria dos números e da mecânica celeste. O método de interpolação que leva seu nome foi descrito em

res sur les mathématiques données a l'école normale em 1795.

Leçons élémentai-

Aparentemente Lagrange

desconhecia que o mesmo método tenha sido antecipado por Edward Waring em 1779 e por Leonhard Euler em 1783 [38, 31].

CAPÍTULO 5.

50

INTERPOLAÇÃO

Algoritmo 14 ILagrange entrada : x, y, u saída : v Inicialização 1: 2: 3:

Figura 5.2:

4: 5:

Polinômios auxiliares.

n ← tamanho de x m ← tamanho de u v ← Zeros(m, 1)

Interpolação para k ← 1 : m s ←0

para i ← 1 : n

6: onde as ordenadas

yi

dos nodos são os coecientes da combinação.

p(x) =

yi

i=1 O valor

v = f (u) ≈ p(u)

O algoritmo

ILagrange

n Y j=1,j6=i

9: 10:

x − xj xi − xj

é estimado substituindo-se

(5.5)

x

por

u

em (5.5).

sistematiza a interpolação pelo método de La-

grange.

5.3.1 Fórmulas para 2 e 4 nodos Existem dois casos particulares de (5.5) que são muito úteis e merecem destaque. Para

n=2

nodos temos

v 2 = y1

u − x2 u − x1 + y2 , x1 − x2 x2 − x1

para j ← 1 : n se j 6= i então

8:

Finalmente, o polinômio interpolador é obtido por

n X

p ← yi

7:

(5.6)

11:

m

p ← p · (uk − xj )/(xi − xj )

12:

m

13:

s ←s + p

14:

m

15:

vk ← s

16:

m

CAPÍTULO 5.

conhecida como fórmula de Para

n=4

51

INTERPOLAÇÃO

interpolação linear

(pois

p

Assim, substituindo os valores tabelados obtemos

tem grau 1).

temos

(5,0 − 1,0)(5,0 − 4,0)(5,0 − 6,0) + (0,0 − 1,0)(0,0 − 4,0)(0,0 − 6,0) (5,0 − 0,0)(5,0 − 4,0)(5,0 − 6,0) + 2,3 (1,0 − 0,0)(1,0 − 4,0)(1,0 − 6,0) (5,0 − 0,0)(5,0 − 1,0)(5,0 − 6,0) + 2,2 (4,0 − 0,0)(4,0 − 1,0)(4,0 − 6,0) (5,0 − 0,0)(5,0 − 1,0)(5,0 − 4,0) 3,7 , (6,0 − 0,0)(6,0 − 1,0)(6,0 − 4,0)

p(5) =1,0

(u − x1 )(u − x3 )(u − x4 ) (u − x2 )(u − x3 )(u − x4 ) + y2 + (x1 − x2 )(x1 − x3 )(x1 − x4 ) (x2 − x1 )(x2 − x3 )(x2 − x4 ) (u − x1 )(u − x2 )(u − x4 ) (u − x1 )(u − x2 )(u − x3 ) y3 + y4 , (x3 − x1 )(x3 − x2 )(x3 − x4 ) (x4 − x1 )(x4 − x2 )(x4 − x3 )

v4 =y1

(5.7)

conhecida como fórmula de

Importante: Ao usar nodos mais próximos de u. cutivos

x1

e

x2

interpolação cúbica

(pois

p

tem grau 3).

as fórmulas (5.6) e (5.7) deve-se escolher os

que resulta em

Em geral, isso signica escolher nodos conse-

p(5) = 0,1667 − 0,7667 + 1,8333 + 1,2333

tais que

= 2,4667,

x1 < u < x 2 ou nodos consecutivos

x1 , x2 , x3

e

x4

que, como era de se esperar, corresponde ao mesmo valor obtido no Exem-

tais que

plo 5.1.

x1 < x2 < u < x3 < x4 .

Exemplo 5.2. Reconsidere a função f do Exemplo 5.1. Use o método de Lagrange com 2 e 4 nodos para estimar o valor de v = f (5).

Solução:

Para

n = 2,

usamos (5.6) com

x1 = 4,0

e

x2 = 6,0.

Assim,

5.3.2 Erro na interpolação polinomial vˆ = f (u) por v = p(u) na interpolação polinomial? Por denição, o erro = v − v ˆ = p(u)−f (u) somente pode ser obtido se conhecemos o valor exato de v ˆ = f (u) o que, usualmente, é Qual é o erro cometido ao se aproximar

desconhecido.

substituindo os valores tabelados obtemos

v2 = 2,2

Existem fórmulas para

5,0 − 6,0 5,0 − 4,0 + 3,7 , 4,0 − 6,0 6,0 − 4,0

tantes) das derivadas de

[8, p. 106 e

f.

Uma alternativa utilizada usualmente é veri-

de nodos de interpolação. Veja o Problema 5.13.

v2 = 1,10 + 1,85

Se os nodos de interpolação são igualmente espaçados, o erro na in-

= 2,95.

terpolação polinomial é menor se nodos.

n = 4,

o valor máximo do erro

car a diferença relativa dos valores interpolados com quantidades crescentes

que resulta em

Para

estimar

p. 148], mas essas fórmulas necessitam de estimativas para as cotas (limi-

usamos (5.7) com

x1 = 0,0, x2 = 1,0, x3 = 4,0

e

x4 = 6,0.

No entanto, se

u

u

está na

região central

do conjunto de

se afasta da região central o polinômio tente a

oscilar violentamente e erro tende a aumentar com o grau do polinômio interpolador . Esse problema, ilustrado na Figura 5.3, é conhecido como

fenômeno de Runge 3 . 3


CAPÍTULO 5.

52

INTERPOLAÇÃO

5.4 Método do spline cúbico spline 4 é ligar os nodos de interpolação por segmentos de retas (no caso do spline linear) ou segmentos curvos (no caso do spline cúbico). A Figura 5.4 mostra a interpolação por spline linear e cúbico aos nodos do Exemplo 5.1. A ideia fundamental da interpolação por

Figura 5.3:

Erro na interpolação polinomial.

Para diminuir a oscilação nas regiões não centrais pode-se diminuir o espaçamento dos nodos nessas regiões, o que leva ao método de Chebyshev [30, p. 237]. Outro modo de evitar essa oscilação, é usar um polinômio de grau

Figura 5.4:

baixo (1 ou 3, usualmente) para cada intervalo entre nodos (denominado

spline ) que veremos na seção seguinte. por

spline

Interpolação por

spline

linear e cúbico.

De um modo geral, a interpolação

é mais conável que a interpolação polinomial, a menos que o

4

O termo

spline

pode ser rastreado até o século 18, mas pelo nal do século 19 foi

valor a ser interpolado que na região central dos nodos de interpolação

utilizado para se referir a uma régua exível de madeira ou borracha dura usada por

(como mostra o Problema 5.20). Na interpolação pelo método de Lagrange,

desenhistas para projetar curvas interpoladoras grandes. Tais

mesmo com um tabela de muitos valores, é costume utilizar 2, 4 ou 6 nodos simétricos ao ponto de interpolação.

splines

mecânicas foram

usadas, por exemplo, para desenhar as curvas necessárias na fabricação de seções de cascos de navios. Pregos ou pesos eram colocados sobre a régua para forçá-la a ar por nodos determinados. A parte livre assume uma geometria tal que minimiza a energia potencial de exão [31].

CAPÍTULO 5.

53

INTERPOLAÇÃO

5.4.1 Denição e propriedades Um

spline

e

mk = s00k (xk ) .

(5.16)

cúbico é uma função denida por partes,

S(x) =

 s1 (x),     s2 (x),      .. .

sk (x), xk ≤ x < xk+1     .  .  .    sn−1 (x), xn−1 ≤ x < xn

De modo que, em cada intervalo cúbico

O termo

x1 ≤ x < x2 x2 ≤ x < x3

xk ≤ x < xk+1 ,

do

,

(5.8)

suavidade.

spline

A dedução dos coecientes

é denido um polinômio

s00k (x)

(5.9)

k = 1, . . . , n − 1,

yk+1 , k = 1, . . . , n − 1.

S

são sua

Usando (5.16) e fazendo

s0k+1 (xk+1 ),

s00k (xk+1 ) =

s00k+1 (xk+1 ),

dk ,

inicia aplicando (5.10) em

k = 1, . . . , n − 1,

(5.17)

(5.18)

x = xk mk , 2

em (5.19) obtemos

mk = 2bk .

(5.19)

Assim

k = 1, . . . , n − 1,

(5.20)

(5.11)

Aplicando a condição (5.13) em (5.19) obtemos

6ak (xk+1 − xk ) + 2bk = 6ak+1 (xk+1 − xk+1 ) + 2bk+1

k = 1, . . . , n − 2, k = 1, . . . , n − 2.

Devemos encontrar, então, um conjunto de coecientes

e

(5.10)

Enquanto a condição de suavidade é estabelecida por

s0k (xk+1 ) =

ak , bk , ck

= 6ak (x − xk ) + 2bk .

bk =

sk (xk+1 ) =

é a incli-

s0k (x) = 3ak (x − xk )2 + 2bk (x − xk ) + ck ,

A condição de continuidade é estabelecida

yk ,

pk

é a concavidade

Diferenciando (5.9) obtemos

por

sk (xk ) =

mk

interpolador em cada nodo.

dk = yk ,

As duas propriedades fundamentais da curva interpoladora e sua

é a distância entre duas abscissas consecutivas,

(5.9) obtendo

sk (x) = ak (x − xk )3 + bk (x − xk )2 + ck (x − xk ) + dk .

continuidade

hk

nação da reta que a por dois nodos consecutivos e

6ak (xk+1 − xk ) + 2bk = 2bk+1

(5.12) (5.13)

e usando (5.14) e (5.20) obtemos

ak , bk , ck , dk

tais

6ak hk + mk = mk+1 ,

que a função (5.9) satisfaça as condições (5.10 a 5.13). portanto

5.4.2 Dedução dos coecientes

ak =

Inicialmente, algumas denições úteis:

hk = xk+1 − xk ,

(5.14)

yk+1 − yk pk = , hk

(5.15)

mk+1 − mk , 6hk

k = 1, . . . , n − 1,

Agora, aplicando a condição (5.13) em (5.9) obtemos

ak (xk+1 − xk )3 + bk (xk+1 − xk )2 + ck (xk+1 − xk ) + dk = yk+1 ak h3k + bk h2k + ck hk + dk = yk+1

(5.21)

CAPÍTULO 5.

54

INTERPOLAÇÃO

Substituindo-se

ak , bk

e

dk

pelas expressões já determinadas obtemos

mk+1 − mk 3 mk 2 hk + h + ck hk + yk = yk+1 6hk 2 k mk+1 − mk mk yk+1 − yk hk + hk + ck = 6 2 hk (2mk + mk+1 )hk yk+1 − yk − . ck = hk 6 Usando (5.15) obtemos

ck = pk −

(2mk + mk+1 )hk , 6

Observe que os coecientes

ak , bk , ck

e

hk , pk (conhecidos) e mk (desconhecido). mk aplicamos a condição (5.12) em (5.18)

k = 1, . . . , n − 1, dk

do denominado

Hm = P, com

         

1 h1 0 ··· 0 0 0

0 2(h1 + h2 ) h2 ··· ··· ··· ···

Para determinar os valores de e obtemos

3

ak , bk , ck

ck+1

A equação (5.23) representa um sistema linear

n

m1 = 0

e

mn = 0,

•

0 6(p2 − p1 ) 6(p3 − p2 )

     ,    



     . . P= .   6(pn−2 − pn−3 )   6(pn−1 − pn−2 ) 0

     .    

spline

é o seguinte

subdeterminado

pois

Usar (5.14) e (5.15) para encontrar Construir a matriz

H

e o vetor

para encontrar os valores de

mk .

P

hk

e

pk .

e resolver o sistema linear (5.24)

Observe que a matriz

H

é diagonal

dominante e pode ser resolvida ecientemente pelo método de GaussSeidel.

(5.23)

incógnitas (m1 , . . . , mn ). Para tornar o sistema

condições de contorno

•

k = 1, . . . , n − 2,

determinado devemos xar duas condições extras, ditas condições de contorno. Há muitas maneiras de xar as condições de contorno, cada uma delas levando a um spline distinto (ver Problema 5.23). Usando as

linear

     ,    



0 0 0 ··· 0 hn−1 1

obtemos

hk mk + 2(hk + hk+1 )mk+1 + hk+1 mk+2 = 6(pk+1 − pk ),

equações e



··· ··· ··· ··· hn−2 2(hn−2 + hn−1 ) 0

O procedimento para a obtenção dos coecientes do e

que após as devidas simplicações resulta em

n−2

··· ··· 0 ··· 2(hn−3 + hn−2 ) hn−2 0

+ 2bk hk + ck = ck+1

(2mk + mk+1 )hk (2mk+1 + mk+2 )hk+1 mk+1 − mk 2 mk hk + 2 hk + pk − = pk+1 − , 6hk 2 6 6

temos

··· 0 h3 ··· hn−3 0 ···

5.4.3 Determinação do spline

= 3ak+1 (xk+1 − xk+1 )2 + 2bk+1 (xk+1 − xk+1 ) + ck+1 Substituindo-se as expressões para

m1 m2 m3

     . . m= .   mn−2   mn−1 mn

s0k (xk+1 ) = s0k+1 (xk+1 )

3ak h2k

0 h2 2(h2 + h3 ) ··· 0 ··· ···



yk ,

3ak (xk+1 − xk )2 + 2bk (xk+1 − xk ) + ck =

(5.24)

H=

(5.22)

são dados em termos de

spline natural, obtemos o sistema linear

•

Usar (5.21), (5.20), (5.22) e (5.17) para encontrar

ak , bk , ck

e

dk .

Exemplo 5.3. Encontre o spline cúbico que interpola os nodos dados no Exemplo 5.1. Em seguida, use o spline obtido para estimar o valor de v = f (5).

CAPÍTULO 5.

Solução:

55

INTERPOLAÇÃO

Usando (5.14) e (5.15) encontramos os valores de

k

hk

1

1,0

1,3000

2

3,0

-0,0333

3

2,0

0,7500

hk

e

pk :

pk

Para estimar o valor de



1  1 H=  0 0

0 8 3 0

0 3 10 0

H 

P:

valores

x

e

Usando o Matlab

>> x >> y >> u >> v v = e e

x

e

spline

cúbico

y.

y.

spline:

m3 = 0,8676 ak , bk , ck

determina os coecientes do

ISpline3 determina as ordenadas v para um conjunto de u usando a interpolação por spline cúbico natural a um conjunto

de nodos

isto é,

Determinamos, em seguida, os valores de

pertence ao

O algoritmo

 0,00  −8,00   P=  4,70  0,00 

Hm = P, obtemos:   0,0000  −1,3254   m=  0,8676  , 0,0000

m2 = −1,3254;

CoefSpline3

(natural) interpolador a partir do conjunto de nodos

Resolvendo o sistema linear

m1 = 0,0000;

u=5

≈ 2,7331

e o vetor

0 0  , 2  1

notamos que

v ≈ −0,0723(5 − 4)3 + 0,4338(5 − 4)2 + 0,1716(5 − 4) + 2,2000

O algoritmo Em seguida, determinamos a matriz

v = f (5),

terceiro intervalo, portanto

m4 = 0,0000.

= = = =

:

A interpolação por spline pode ser feita com o comando

[0; 1; 4; 6]; [1.0; 2.3; 2.2; 3.7]; 5; spline(x, y, u)

2.4667

Esse comando retorna os valores

dk :

vi = S(ui ) para o conjunto de nodos x e y .

Os

valores calculados pelo Matlab diferem dos calculados pelo algoritmo ISpline3 pois as condições de contorno são diferentes.

O comando

spline

usa, por

k

ak

bk

ck

dk

1

-0,2209

0,0000

1,5209

1,0000

impõe restrições de continuidade também a

2

0,1218

-0,6627

0,8582

2,3000

Para conjuntos de 3 ou 4 nodos, os valores do spline interpolador coincidem com

3

-0,0723

0,4338

0,1716

2,2000

o do polinômio interpolador. Outros tipos de interpolação estão disponíveis no

padrão, as condições de contorno denominadas not-a-knot (nenhum-nó) que

S 000 (x)

em

x2

e

xn−1

[8, p. 148].

Spline Toolbox. Portanto, o

spline

interpolador é dado por

S(x) =

 3 2  −0,2209(x − 0) + 0,0000(x − 0) + 1,5209(x − 0) + 1,0000, 3 0,1218(x − 1) − 0,6627(x − 1)2 + 0,8582(x − 1) + 2,3000,  −0,0723(x − 4)3 + 0,4338(x − 4)2 + 0,1716(x − 4) + 2,2000,

0≤x≤1 1≤x≤4 , 4≤x≤6 (5.25)

e seu gráco é mostrado na Figura 5.4.

5.5 Problemas Método de Vandermonde Use o método de Vandermonde e determine o polinômio interpolador aos nodos dados nos problemas 5.1 e 5.2.

CAPÍTULO 5.

56

INTERPOLAÇÃO

Algoritmo 15 CoefSpline3 entrada : x, y saída : C Determinação de h e p 1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9: 10: 11: 12: 13: 14: 15: 16: 17: 18: 19: 20: 21: 22: 23:

n ← tamanho de x h ← Zeros(n − 1, 1) p ← Zeros(n − 1, 1) para k ← 1 : n − 1 hk ← xk+1 − xk pk ← (yk+1 − yk )/hk

m Determinação de H, P e m H ← Zeros(n, n) P ← Zeros(n, 1) H1,1 ← 1 P1 ← 0 para k ← 2 : n − 1 Hk,k−1 ← hk−1 Hk,k ← 2(hk−1 + hk ) Hk,k+1 ← hk Pk ← 6(pk − pk−1 )

m

Hn,n ← 1 Pn ← 0 m ← SLGaussSeidel(H; P; 0,5 × 10−12 ; 100)

Determinação dos coecientes C ← Zeros(n − 1, 4) para k ← 1 : n − 1

24: 25: 26: 27:

m

Ck,1 Ck,2 Ck,3 Ck,4

← (mk+1 − mk )/(6hk ) ← mk /2 ← pk − ((2mk + mk+1 ) hk )/6 ← yk

Algoritmo 16 ISpline3 entrada : x, y, u saída : v Determina coecientes 1: C ← CoefSpline3(x, y) Interpolação 2: 3: 4: 5:

n ← tamanho de x r ← tamanho de u v ← Zeros(r, 1) para i ← 1 : r

Determina intervalo k ←1

6:

enquanto ui > xk+1 e k < n − 1

7:

k ←k + 1

8:

m Determina ordenada

9: 10: 11: 12:

m

t ← ui − xk vi ← ((Ck,1 t + Ck,2 )t + Ck,3 )t + Ck,4

CAPÍTULO 5.

5.1.

Método de Lagrange

. x y

5.2.

5.3.

57

INTERPOLAÇÃO

0

2

2

4

5.6.

. Use v = f (12) aos

3 2

o método de Lagrange com 2 e 4 nodos para interpolar o valor nodos dados a seguir. Use as equações (5.6) e (5.7).

.

+

x

-1

1

2

y

7

-1

1

5.7.

.

x

0

5

35

41

81

89

y

13

15

19

20

27

60

A tabela a seguir mostra a população brasileira

p,

em milhões de habi-

tantes, levantada em censos demográcos [12]. Use o método de Lagrange com 2

Implemente os algoritmos MVander (p. 12), SLGauss (p. 37) e VPol

e 4 nodos para estimar a população do Brasil no ano se seu nascimento.

(p. 12) na sua linguagem preferida. Em seguida, una todos em um só algoritmo

[c, v] = IVander(x,y,u).

t

Para vericar a correção da implementação, refaça

o Exemplo 5.1.

5.4.

p (106

A tabela a seguir fornece alguns valores da função

Erfc(x).

Erro Complementar

(a) Determine o polinômio interpolador ao conjunto de nodos dados.

(b) Estime o valor de

Erfc(0,5).

(use o comando

do Matlab).

erfc

5.8.

.

1950

1960

1970

1980

1991

2000

2010

51,9

71,0

94,5

121,1

146,9

169,6

190,8

hab.)

Reconsidere a equação (5.6). Mostre que se

(c) Compare o valor estimado com o valor exato

v2 = x

5.5.

(anos)

5.9.

Erfc(x)

.

u = 12 (x2 + x3 )

1,0000

0,2

0,7773

0,4

0,5716

0,6

0,3961

0,8

0,2579

5.10.

1,0

0,1573

os nodos dados no Problema 5.4.

v4 =

Use o método de Vandermonde e determine o polinômio interpolador aos

5.11.

+

x1 , x2 , x3 e x4 são igualmente

então

0,0

.

então

y1 + y2 . 2

Reconsidere a equação (5.7). Mostre que se

espaçados e

u = 12 (x1 + x2 )

− y1 + 9 y2 + 9 y3 − y4 . 16

Use as fórmulas dos Problemas 5.8 e 5.9 para estimar

Erfc(0,5)

usando

Implemente o algoritmo ILagrange na sua linguagem preferida. Para


nodos dados a seguir.

x

-1

0

2

4

7

y

0

3

3

-5

-32

O polinômio deveria ter grau

5 − 1 = 4,

5.12.

A tabela a seguir fornece alguns valores da função

não? O que houve? Desenhe em uma

mesma gura os nodos e o polinômio interpolador.

f (x) =

√

x

1

4

9

16

25

36

49

64

81

100

f (x)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x.

Use o método de Lagrange com 2, 4 e 6 nodos simétricos para estimar o valor de

√

53.

Compare os resultados com o valor exato dado pelo comando

Matlab.

sqrt(53)

do

CAPÍTULO 5.

5.13.

58

INTERPOLAÇÃO

A tabela a seguir fornece alguns valores da função de

ordem, J0 (x).

Bessel de primeira

(b) Determine os valores de

5.15. k

xk

J0 (xk )

1

0,0

1,0000

2

0,5

0,9385

3

1,0

0,7652

4

1,5

0,5118

5

2,0

0,2239

6

2,5

-0,0484

7

3,0

-0,2601

8

3,5

-0,3801

9

4,0

-0,3971

.

Um

spline

S(2,5)

e

S(6,0).

cúbico natural interpolador aos nodos

por

S(x) =

v2 , v4

Utilize as propriedades de continuidade, suavidade e condições de contorno do

v6 , os valores do polinômio interpolador com 2, 4 e 6 nodos de a 1,75, isto é, calculados em {x4 , x5 }, {x3 , x4 , x5 , x6 } e {x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 }. Determine os erros relativos entre esses valores aproximados e o valor exato de J0 (1,75).

interpolação

(b) Calcule

e

simétricos

w2 , w4

e

w6 ,

nodos de interpolação

spline

e encontre os valores de

5.16.

.

a, b

c.

e

Considere a tabela de valores a seguir:

{x4 , x5 , x6 , x7 }

e

a

1,75,

{x4 , x5 , x6 , x7 , x8 , x9 }.

isto é, calculados em

{x4 , x5 },

Determine os erros relativos entre

esses valores aproximados e o valor exato de

J0 (1,75).

(c) O que se pode concluir a respeito do efeito da simetria dos nodos de interpolação?

.

5.17.

.

resolver

x

1

2

4

6

y

2

3

7

5

H e o vetor P do método do spline cúbico.

o sistema.

Reconsidere o Problema 5.16. A solução do sistema

Hm = P

é





0,00  1,91   m=  −2,73  . 0,00

spline

Encontre a expressão algébrica do

5.18.

+

interpolador.

Implemente os algoritmos CoefSpline3 e ISpline3 na sua linguagem

preferida. Para vericar a correção da implementação, refaça o Exemplo 5.3.

5.19.

A tabela de valores a seguir mostra a emissão de luz

função da potência

Método do Spline Cúbico

5.14.

Não é necessário

os valores do polinômio interpolador com 2, 4 e 6

não-simétricos

é dado

−(x − 1)3 + 2(x − 1) + 1, 1≤x≤2 a(x − 2)3 + b(x − 2)2 + c(x − 2) + 2, 2 ≤ x ≤ 3

A partir dos dados, determine a matriz (a) Calcule

x = {1, 2, 3}

P

E

(em lúmens) em

(em watts) fornecida a uma lâmpada incandescente comum

[14]:

Aplicando a técnica de interpolação por

x

2

3

5

7

y

2

5

6

8

spline

aos valores da tabela

(a) Encontre o

spline

P (W )

51

55

58

60

E(lm)

607

704

795

864

interpolador ao conjunto de dados.

(b) Determine a emissão de luz esperada para a potência de 57 W.

5.20.

obtemos os seguintes coecientes (aproximados)

a1 = −0,48 a2 = 0,33 a3 = −0,09

b1 = 0,00 b2 = −1,43 b3 = 0,55

(a) Escreva a expressão algébrica do

c1 = 3,48 c2 = 2,05 c3 = 0,27

d1 = 2,00 d2 = 5,00 d3 = 6,00.

Os valores tabelados no Exemplo 5.1 referem-se a função

1 f (x) = 1 + x + sen(x). 2 As expressões para o polinômio interpolador p(x) e para o spline interpolador S(x) foram dadas nas equações (5.4) e (5.25), respectivamente. Desenhe, na mesma

spline.

gura, os grácos das funções erro

Ep (x) = p(x) − f (x)

e

ES (x) = S(x) − f (x).

CAPÍTULO 5.

59

INTERPOLAÇÃO

5.24.

Sortidos

5.21.

Modique o algoritmo CoefSpline3 para utilizar as condições de con-

spline cúbico

torno do A tabela a seguir, adaptada de [8, p. 115], mostra o peso

colônia de larvas da mariposa

w (em mg) de uma

Operophtera Bromata L. Geometridae

em uma estufa em função do tempo

t

cultivadas

(em dias).

5.25.

.

w

(dias)

(mg)

0

6,67

6

17,33

10

42,67

13

37,33

17

30,10

20

29,31

28

28,74

5.26.

(a) Desenhe o gráco dos nodos de interpolação juntamente com o

spline

e

spline

D = 0,0.

spline cúbico periódico

y1 = yn , xa também: 0 s1 (x1 ) = s0n−1 (xn ) s001 (x1 ) = s00n−1 (xn )

Mostre que as condições acima levam a

polinômio

interpolador. Qual curva apresenta comportamento

2h1 m1 + h1 m2 + hn−1 mn−1 + 2hn−1 mn m1 − mn

= 6(p1 − pn−1 ) = 0

Modique o algoritmo CoefSpline3 para utilizar as condições de con-

torno do

interpolador e o

E = 0,5

Outras condições de contorno possíveis são as do

em que, além da igualdade

t

mostradas no problema anterior. Desenhe o

interpolador aos nodos dados no Problema 5.21 com

spline cúbico periódico

mostradas no problema anterior.

SLGauss para resolver o sistema linear

Hm = P

Atenção : Use H não é

pois, agora, a matriz

mais diagonal-dominante. Determine o spline interpolador aos nodos:

mais plausível? (b) Encontre o peso máximo da colônia determinando o ponto de máximo do

spline

5.22.

interpolador.

menor

de operações aritméticas.

modicando os algoritmos envolvidos para incluir méticas elementares (+,

−, ×, ÷).

manho 3 a 20 e determine o problema com

cada

número

contadores

Verique isso,

de operações arit-

Gere conjuntos de nodos aleatórios de tade operações efetuadas para resolver

cada

método. Faça um gráco do número de operações em função

do tamanho dos conjuntos de dados.

Sugestão: Use os resultados obtidos nos

problemas 1.35 e 4.10.

π 2

π

3π 2

2π

y

0

1

0

-1

0

.

Além das condições de contorno do

spline

cúbico

spline cúbico natural, outras con que xa as inclinações do

no primeiro e no último nodo:

s01 (x1 ) = s0n−1 (xn ) =

E D

Mostre que as condições acima levam a

Desenhe, no mesmo sistema de coordenadas, os nodos de interpolação, o spline periódico e a função

5.27.

g(x) = sen(x).

A tabela seguinte é usada para determinar a expectativa de vida de ho-

mens e mulheres brasileiros a partir da sua idade no ano-base de 2010 [13]. Por exemplo, uma mulher que tinha 20 anos de idade em 2010, tinha esperança de viver

mais

59,29 anos, isto é, sua expectativa de vida é de 79,29 anos. Para idades

intermediárias, deve-se interpolar os valores.

dições muito utilizadas são as do

spline

0

Uma das justicativas da preferência do método de Lagrange sobre o de

Vandermonde é a quantidade

5.23.

x

2h1 m1 + h1 m2 hn−1 mn−1 + 2hn−1 mn

= 6(p1 − E) = 6(D − pn−1 )

CAPÍTULO 5.

60

INTERPOLAÇÃO

Idade

Homem

Mulher

0

69,73

77,32

5

66,88

74,01

10

62,00

69,09

15

57,12

64,16

20

52,55

59,29

25

48,19

54,46

30

43,81

49,66

35

39,45

44,90

40

35,15

40,22

45

30,97

35,66

50

26,97

31,25

55

23,16

27,00

60

19,63

22,97

65

16,37

19,19

70

13,43

15,71

75

10,96

12,63

80

9,01

10,06

(monotônica, por exemplo), o processo é o mesmo da interpolação de Lagrange convencional apenas trocando os nodos de interpolação no Problema 5.13.

(a) Determine a expectativa de vida de um

homem, que em 2010 tinha 22 anos.

(b) Determine a expectativa de vida de uma

mulher, que em 2010 tinha 48 anos.

(c) Determine a

5.28.

sua

expectativa de vida.

O método de Vandermonde pode tornar-se instável quando o tamanho

do sistema linear envolvido torna-se elevado ou quando a matriz de coecientes possui valores muito discrepantes entre si. Nesses casos, o método de Lagrange é recomendado. Para vericar isso faça o seguinte: (a) Reconsidere os dados mostrados no Problema 5.7. método de Vandermonde para encontrar

data de nascimento.

pV

Use

todos

os nodos e o

a população brasileira na sua

[Se você nasceu em um ano correspondente a um nodo,

use um valor intermediário.]

pL .

(b) Repita o procedimento usando o método de Lagrange e encontre (c) Determine a diferença relativa entre

pV

e

pL .

Quantos são os DSE?

(d) Uma maneira de evitar essa diferença de valores consiste em redimensionar os valores das abscissas dos nodos. Repita os itens anteriores usando Os valores de

5.29.

A

pV

e

pL

t0 =

t−1950 10 .

cam mais próximos? Quanto?

interpolação inversa

consiste em determinar um valor de

abscissas a partir de um valor de

v

x

por

com 2, 4 e 6 nodos simétricos e determine estimativas para o

u

no eixo da

no eixo das ordenadas. Se a função é inversível

y.

Use essa técnica

zero

da função dada

Capítulo 6

Ajuste de funções 6.1 Denição do problema n nodos (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), . . . , (xn , yn ) e uma função de ajuste fβ : R → R determinada por um conjunto de parâmetros β = {β0 , β1 , . . . , βm }. O problema do ajuste de funções consiste em

Considere um conjunto de

determinar os valores dos parâmetros nida pela função de ajuste

f

β

que fazem com que a curva de-

e o mais perto possível dos nodos. Por

β0 , β1 f (x) = β2 x2 + β1 x + β0

β2

exemplo, desejamos determinar os valores

e

a curva dada pela função

(uma parábola) e o

que fazem com que

mais perto possível de um conjunto de 20 nodos como ilustra a Figura 6.1. O problema do

ajuste de funções ajuste.

também é denominado

ajuste de curvas

ou simplesmente

A motivação para esse problema geralmente provém da

servações experimentais

análise de ob-

onde desejamos ajustar uma curva teórica a dados

Figura 6.1:

experimentais (observados) que, devido a erros de medida e a perturbações

Uma curva de ajuste a um conjunto de nodos.

externas, oscilam em torno de valores previstos (esperados). O método de ajuste mais popular, denominado

método dos quadrados mínimos,

1 2 neiramente desenvolvido por Legendre e Gauss .

A função de ajuste obtida pode ser usada para estimar valores 1

ÿ Adrien-Marie

do intervalo de dados, isto é, pode ser usada para

foi pio-

Observe que, em geral, a função de

dados.

• polinomial : fβ (x) = βm xm + βm−1 xm−1 + · · · + β2 x2 + β1 x + β0 ;

As primeiras provas formais do

método são devidas a Adrain (1808) e Gauss (1809) [32, 38]. 2

No entanto, neste capítulo, trataremos apenas de dois tipos de

ajuste:

Nouvelles methodes pour la determination des orbites

de 1805, porém sem uma prova formal.

de dados.

Em princípio, qualquer função pode ser ajustada a um conjunto de

contribuições à Matemática foi o desenvolvimento da teoria das integrais elípticas. em 2 1794 forneceu um prova da irracionalidade do número π . O método dos mínimos

des cometes

extrapolação

estudada no Capítulo 5

não pode ser usada desta maneira.

fora

Legendre (1752 - 1833) matemático francês. Uma de suas maiores

quadrados foi publicado em seu

interpolação

• exponencial : fa,b (x) = aebx ;


61

CAPÍTULO 6.

62

AJUSTE DE FUNÇÕES

No ajuste polinomial, a função de ajuste é um polinômio de ordem (grau máximo) mas

pode

m.

por f (x) = −0,25x + 2,5

No ajuste exponencial, a função de ajuste não é polinomial

ser transformada em uma função polinomial, de ordem 1. Por

exemplo, a Figura 6.5 mostra uma função polinomial (de grau 2) e uma

aos nodos.

(6.1)

função exponencial ajustadas a um conjunto de dados.

Solução:

6.2 Resíduo quadrático

Para

Esses valores são mostrados na tabela a seguir.

Como determinar se uma curva a o mais perto possível de um conjunto de nodos? Ou, em outras palavras, como medir a

qualidade

de um

ajuste? A maneira mais comum de medir a distância entre a função de ajuste

f

e os nodos

(xi , yi ) é denominada resíduo quadrático e é denida

por

SQE =

n X i=1

2

[yi − f (xi )] .

O resíduo quadrático é uma medida que leva em consideração as

renças

entre as ordenadas dos nodos

f (xi ).

Quanto mais próximo de zero for o valor de

Por essa denição, uma função tem resíduo quadrático zero.

drática de erros, é de uso é denominado regressão.

i = 1, . . . , 5 calculamos as ordenadas f (xi ) dos pontos 2 yi − f (xi ) e as diferenças quadráticas [yi − f (xi )] .

ajustados, as diferenças

yi

dife-

interpoladora

A notação

proveniente de

soma qua-

yi

f (xi )

yi − f (xi )

[yi − f (xi )]

1

0,5

4,4

2,375

2,025

4,1006

2

2,8

1,8

1,800

0,000

0,0000

3

4,2

1,0

1,450

-0.450

0,2025

4

6,7

0,4

0,825

-0.425

0,1806

5

8,3

0,2

0,425

-0.225

0,0506

SQE = 4,1006 + 0,0000 + 0,2025 + 0,1806 + 0,0506 = 4,5344.

melhor o ajuste.

(como vista no Capítulo 5)

SQE ,

xi

Em seguida determinamos o resíduo quadrático

e as ordenadas da função de ajuste

SQE ,

2

i

A Figura 6.2 mostra os nodos e a reta determinada por

f.

comum na Estatística onde o ajuste de funções Naturalmente, innitas retas distintas podem ser traçadas ando por

Exemplo 6.1. Considere os nodos dados pela tabela a seguir:

entre os nodos. A função dada por (6.1), obtida à olho, é apenas uma entre todas (daí o título de provisória). O qual é a função que

i

xi

yi

1 2 3 4 5

0,5 2,8 4,2 6,7 8,3

4,4 1,8 1,0 0,4 0,2

quadrático

mínimo.

melhor

problema do ajuste

é determinar

se ajusta aos nodos, isto é, possui resíduo

6.3 Ajuste polinomial O ajuste polinomial consiste em determinar um polinômio de ajuste

f (x) = βm xm + βm−1 xm−1 + · · · + β2 x2 + β1 x + β0 ,

Determine o resíduo quadrático da função de ajuste (provisória) dada (de ordem

m,

com

m+1

(6.2)

coecientes) cujo resíduo quadrático é mínimo.

CAPÍTULO 6.

63

AJUSTE DE FUNÇÕES

fazendo

   X= 

onde

X

xm 1 xm 2 . . .

··· ···

··· xm n

é denominada

x21 x22

x1 x2

. . .

. . .

x2n xn





βm

1  ..  . 1    .  , β =  β2 .   .  β1 1 β0

matriz de planejamento.



  y1   y2       , y =  ..  ,   .   yn

Observe que, neste caso,

ela toma a forma de uma matriz de Vandermonde de ordem

n × (m + 1).

Porém, ao contrário do sistema linear (5.3) (visto no Capítulo 5) que

sempre

tem solução, o sistema linear (6.5) pode

que, em geral, polinomial de

m << n m.

e os

n

nodos

não

não

ter solução uma vez

estão alinhados sobre uma curva

Como obter, então, o polinômio de ajuste de resíduo quadrático mínimo?

Figura 6.2:

Uma função de ajuste linear (provisória).

Inicialmente, supomos ser possível que

f

6.3.1 Um pouco de Álgebra Linear

e por sobre todos os nodos,

Da Álgebra Linear, sabemos que um sistema linear

isto é,

f (x1 ) = y1 ,

f (x2 ) = y2 ,

...,

f (xn ) = yn .

A ∈ Rm×n , tem solução se e somente se b ∈ Rm linear dos n vetores-coluna a1 , . . . , an da matriz A,

de

 f (x1 ) = βm xm + ···  1    f (x2 ) = βm xm + · · · 2

+ β2 x21 + β2 x22

   

+ β2 x2n + β1 xn + β0 = yn

n

. . .

. . .

f (xn ) = βm xm + ··· n equações e

m+1

+ β 1 x1 + β 1 x2 . . .

+ β 0 = y1 + β 0 = y2 . . .

. . . (6.4)

incógnitas

βm , . . . , β2 , β1 , β0 .

(6.5)

é uma

combinação

x1 a1 + x2 a2 + · · · + xn an = b, sendo as

n componentes de x os pesos

dessa combinação. Isso é equivalente

a dizer que o sistema linear tem solução se o vetor coluna de

b

pertence ao espaço-

A, Col(A).

não tem solução (clássica). Po∗ ∗ ∗ demos, no entanto, determinar uma pseudo-solução x tal que Ax = b , ∗ sendo b o vetor no espaço-coluna de A que está mais próximo de b. ∗ Pode-se mostrar [29, p. 361] que a distância entre b e b será mínima ∗ quando b for a projeção ortogonal de b sobre Col(A) (como mostra a Se

O sistema linear (6.4) pode ser escrito na forma matricial

Xβ = y,

(6.6)

com

De (6.2) e (6.3) obtemos o sistema linear

. . .

Ax = b

(6.3)

b∈ / Col(A),

o sistema linear (6.6)

Figura 6.3). Para isso, é necessário que o vetor

(b∗ − b)

seja ortogonal a

CAPÍTULO 6.

64

AJUSTE DE FUNÇÕES

6.3.2 Obtendo o polinômio de ajuste b∗ − b

b

Os coecientes do polinômio de ajuste (6.2) serão obtidos, pela resolução do sistema linear (6.5) no sentido dos

quadrados mínimos.

Isto é, pela

resolução do sistema linear

a2

cada ak v

O vetor

b∗

De acordo com (6.8), a solução

Col(A)

a1

Figura 6.3:

XT Xβ ∗ = XT y.

b∗

é a projeção ortogonal de

A). Lembrando uT v = 0, então

(os vetores-coluna de

aT1 (b∗ − b) = 0,

b

sobre

Col(A).

n n X X ∗ 2 ky − yk = (yi − yi ) = [f (xi ) − yi ]2 = SQE .

aT2 (b∗ − b) = 0,

que dois vetores-coluna

...,

u

b∗ = Ax∗ ,

2

i=1

Exemplo 6.2. Reconsidere os nodos dados pela tabela do Exemplo 6.1. Encontre a função polinomial de ordem 1 (uma função am) de ajuste (de resíduo quadrático mínimo) aos nodos.

aTn (b∗ − b) = 0,

AT (b∗ − b) = 0,

Solução:

temos T

i=1

e

que é equivalente a

e, como

do sistema linear (6.9) garante que

será mínimo o valor do resíduo quadrático

∗

são ortogonais quando

β∗

(6.9)

De acordo com a tabela, temos



∗

A (Ax − b) = 0,

  x=  

e nalmente

AT Ax∗ = AT b.

(6.7)

sempre tem solução. Sua solução x∗ é dita solução dos quadrados mínimos do sistema linear (6.6). Essa denominação O sistema linear (6.7)

provém do fato de que a distância entre os vetores pela norma (tamanho) do vetor diferença

b∗

e

b,

   ,  

   y=  

4,4 1,8 1,0 0,4 0,2

   .  

X,

a matriz de Vandermonde (de ordem 1), e sua transposta



0,5 2,8 4,2 6,7 8,3

XT :

determinada

b∗ − b,

v u n uX ∗ kb − bk = t (b∗i − bi )2 ,

Assim, temos

0,5 2,8 4,2 6,7 8,3

  X=   (6.8)

1 1 1 1 1

    , XT = 0,5  1 

2,8 1

4,2 1

6,7 1

8,3 1

i=1

é

mínima

e é uma soma de

quadrados.

A matriz

XT X T

e o vetor

X X=

XT y

139,51 22,5

do sistema linear (6.9) são

22,5 5

,

T

X y=

15,78 7,80

.

.

CAPÍTULO 6.

65

AJUSTE DE FUNÇÕES

Resolvendo o sistema linear (pelo método do escalonamento de Gauss) obtemos

β∗ =

−0,5050 3,8323

,

que corresponde a função

f (x) = −0,5050x + 3,8323. Os valores ajustados

f (xi )

(6.10)

são

f (0,5) = 3,5799; f (2,8) = 2,4184; f (4,2) = 1,7115; f (6,7) = 0,4491; f (8,3) = −0,3589; e o resíduo quadrático é

SQE = 1,8761.

Observe que o resíduo quadrático obtido nesse último exemplo menor

que o obtido no exemplo anterior. De fato, esse último é o menor de todos os possíveis resíduos quadráticos. A função obtida em (6.10) é denominada função de ajuste de resíduo quadrático mínimo. A Figura 6.4 mostra

os grácos das duas funções de ajuste (a provisória e a de resíduo quadrático mínimo) aos dados do Exemplo 6.1.

Exemplo 6.3. Reconsidere os nodos dados pela tabela do Exemplo 6.1. Encontre a função polinomial de ordem 2 (uma função quadrática) de ajuste (de resíduo quadrático mínimo) aos nodos.

Solução: 2)

X

De acordo com os dados, a matriz de Vandermonde (de ordem

e sua transposta

   X=  

0,25 0,5 7,84 2,8 17,64 4,2 44,89 6,7 68,89 8,3

1 1 1 1 1

XT    ,  

são

Figura 6.4:

0,25 XT =  0,5 1

7,84 2,8 1

17,64 4,2 1

44,89 6,7 1



68,89 8,3  . 1

XT X e o vetor XT y do sistema linear (6.9) são     7133,6419 968,7150 139,5100 64,5860 22,5000  , XT y =  15,7800  . XT X =  968,7150 139,5100 139,5100 22,5000 5,0000 7,8000

A matriz

A função de ajuste (provisória) e a função de ajuste dos qua-

drados mínimos.



CAPÍTULO 6.

66

AJUSTE DE FUNÇÕES

Resolvendo o sistema linear (pelo método do escalonamento de Gauss) obtemos





0,0940 β ∗ =  −1,3426  , 4,9787

que corresponde a função

Algoritmo 17 AjustePol entrada : x, y, m saída : β, v, SQE Matriz de Vandermonde e resolução do sistema linear 1: X ← MVander(x, m) 2:

f (x) = 0,0940x2 − 1,3426x + 4,9787;

3: 4:

cujo gráco é mostrado na Figura 6.5. Os valores ajustados

f (xi )

f (0,5) = 4,3310;

são

f (2,8) = 1,9565;

f (6,7) = 0,2032; e o resíduo quadrático é

5:

f (4,2) = 0,9981;

6:

A ← XT X b ← XT y β ← SLGauss(A,b)

Determinação do resíduo quadrático v ← Xβ SQE ← ky − vk2

f (8,3) = 0,3111; O algoritmo

SQE = 0,0803.

AjustePol sistematiza o procedimento para o ajuste po-

linomial de ordem

m

qualquer.

Usando o Matlab

:

obtidos com o comando

Os coecientes do polinômio de ajuste podem ser

polyfit,

cujo procedimento é basicamente o mesmo

do algoritmo AjustePol.

>> x = [0.5; 2.8; 4.2; 6.7; 8.3]; >> y = [4.4; 1.8; 1.0; 0.4; 0.2]; >> beta = polyfit(x,y,2) beta = 0.0940 -1.3426 4.9787

Observação:

Se os valores da variável independente ou o grau do

polinômio interpolador forem moderadamente elevados, a matriz de Vandermonde associada ao sistema linear pode se tornar mal-condicionada e promover erros de arredondamento. Por exemplo, no Problema 6.9 se usarmos os valores 1960, ..., 2010 ou 6, ..., 11 teremos previsões ligeiramente diferentes.

Nesses casos recomenda-se fazer uma

variável independente e diminuir seus valores.

Figura 6.5:

Uma função de ajuste polinomial e uma função de ajuste ex-

ponencial.

Observe que, ao aumentar a ordem do polinômio de ajuste o resíduo quadrático diminui, isto é, se obtém um ajuste

melhor.

mudança de escala

na

CAPÍTULO 6.

67

AJUSTE DE FUNÇÕES

6.4 Ajuste exponencial

i

xi

yi

zi = ln yi

1

0,5

4,4

1,4816

O método dos mínimos quadrados, como visto na seção anterior, somente

2

2,8

1,8

0,5878

é aplicável se a função de ajuste é

nos coecientes. Em alguns casos

3

4,2

1,0

0,0000

de interesse, a função de ajuste não é linear mas pode ser transformada em

4

6,7

0,4

-0,9163

outra função, equivalente e linear. Nesta seção trataremos do caso da fun-

5

8,3

0,2

-1,6094

linear

ção exponencial, no entanto outras funções também podem ser trabalhadas Em seguida, encontramos os coecientes do ajuste linear

(veja, por exemplo, o Problema 6.25). O

ajuste exponencial consiste em determinar os coecientes a e b da (6.11)

e, em seguida, os coecientes do ajuste exponencial

a um conjunto de dados.

a = eβ0 = 5,3641 b = β1 = −0,3936.

Existem diversos métodos para determinar a função de ajuste exponencial. Uma maneira de proceder consiste em, inicialmente, observar que

y = aebx Como os coecientes

b

ln y = bx + ln a

Assim, a função de ajuste é dada por

f (x) = 5,3641e−0,3936x .

(6.12)

ln a são constantes, a função da parte direita de (6.12) é linear. Fazendo z = ln y , β1 = b e β0 = ln a vericamos que o ajuste da função (6.11) aos nodos (x, y) é possível a partir do ajuste se

y > 0.

⇔ e

O resíduo quadrático do ajuste é obtido com

SQE =

n X [f (xi ) − yi ]2 = 0,0014. i=1

da função polinomial

z = β1 x + β0 aos nodos

com

β1 = −0,3936 β0 = 1,6797

função exponencial

f (x) = aebx

z = β1 x + β0

o algoritmo AjustePol

O gráco da função de ajuste exponencial é mostrado na Figura 6.5.

(x, ln y) O ajuste exponencial é muito utilizado em vários problemas de enge-

O exemplo a seguir ilustra o procedimento

nharia. Um algoritmo para obter os coecientes do ajuste exponencial é

Exemplo 6.4. Considere os nodos dados pela tabela do Exemplo 6.1. Obtenha a função de ajuste exponencial aos dados.

facilmente obtido modicando o algoritmo

Inicialmente obtemos os valores de

zi = ln yi

para

i = 1 : n:

e é deixado como

O problema do ajuste é muito importante no contexto das Engenharias e Ciências Exatas.

Solução:

AjustePol

exercício (ver Problema 6.11).

Diversas técnicas da análise de dados experimentais

tomam por base o ajuste de

modelos lineares.

Além dos casos vistos aqui,

existem diversas sosticações e generalizações possíveis (ver Problemas 6.24 e 6.25). Para maiores detalhes, livros de Estatística [49] ou Álgebra Linear [29] são recomendados.

CAPÍTULO 6.

68

AJUSTE DE FUNÇÕES

6.5 Problemas

6.4.

.

A tabela a seguir fornece a quantidade de vínculos de trabalho formal

em Caxias do Sul em anos recentes [18, p. 5].

Ajuste polinomial

6.1.

t .


2006

135

2007

147

4

6

7

9

2008

157

y

1

4

7

9

2009

157

2010

171

p1 (x) = β1 x + β0 ,

que se ajusta aos (a) Encontre o polinômio

dados.

N (t)

de ajuste de ordem

1.

Sugestão: para facilitar as

contas, use 6, 7, ..., 10 em vez de 2006, 2007, ..., 2010.

(b) Determine o resíduo quadrático do ajuste. (c) Desenhe um gráco mostrando os nodos e o polinômio de ajuste.

(b) Determine o resíduo quadrático do ajuste. (c) Use o polinômio de ajuste para prever o número de vínculos em 2011.

.


6.5.

+

Implemente o algoritmo AjustePol na sua linguagem preferida. Para

x

-1

0

1

3

4


y

2

1

2

4

6

6.6.

A tabela a seguir, adaptada de [49, p. 235], mostra a altura

e o peso (a) Determine o polinômio de ordem 2,

p2 (x) = β2 x2 + β1 x + β0 ,

P

H

(b) Determine o resíduo quadrático do ajuste. (c) Desenhe um gráco mostrando os nodos e o polinômio de ajuste.

.

A tabela a seguir fornece a produção

P

certa máquina em função de seu tempo de serviço

T P

(anos) (peças/h)

0 28

1 28

2 26

53,0

80

67,5

344 416

72,0

348

T

73,5

262

68,5

360

73,0

332

37,0

34

(em anos).

22

4 19 (a) Encontre o polinômio ajuste

P (H)

(b) Determine o resíduo quadrático

F (T ) = −0,5T 2 − 0,1T + 28,

G(T ) = −0,5T 2 − 0,3T + 28

(em polegadas)

(lb)

72,0

São dadas três funções:

e

H(T ) = −0,6T 2 − 0,2T + 29. Determine o resíduo quadrático de cada uma das funções. Qual delas se ajusta melhor aos dados?

P

(pol)

(em peças por hora) de uma

3

H

(em libras) de ursos selvagens anestesiados.

que se ajusta

aos dados.

6.3.

1000 vínculos)

x

(a) Determine o polinômio de ordem 1,

6.2.

N (×

(ano)

de ordem 1 (reta).

SQE .

(c) Desenhe no mesmo gráco: os nodos e a função de ajuste. (d) Um biólogo observa um urso na selva e estima que tenha 65 polegadas de altura. Qual deve ser o seu peso?

CAPÍTULO 6.

6.7.

69

AJUSTE DE FUNÇÕES

A tabela a seguir, adaptada de [44, p. 305], mostra a fração percentual

F

θ

(em graus).

f (t)

◦

( )

F

50

2,75

52

1,45

54

0,50

56

0,15

58

0,20

60

0,85

tmin

(c) Determine o mês

(%)

para fevereiro, etc.

(d) Determine, o mês

6.9.

no qual a diferença entre

tmax

E(t)

e

é mínima.

E(t)

é máxima.

C de Dióxido de Carbono

Mauna Loa (Hawaii, EUA) entre os anos de entre 1960

e 2010 [48].

1960

1

316,91

1970

2

325,68

no qual a

1980

3

338,68

fração de luz polarizada é mínima. Na Óptica, esse ângulo é conhecido como

1990

4

354,35

ângulo de Brewster

2000

5

369,52

2010

6

389,85

F (θ)

de ordem 2.

(b) Usando o modelo obtido, faça uma estimativa para o ângulo

θB

3 [25, p. 31].

(c) Desenhe no mesmo gráco:

e

f (t)

A tabela a seguir mostra os valores da concentração

medidos no observatório de

t2

os nodos, o polinômio de ajuste e o ponto

(θB , FB ).

C

(ppm)

Deseja-se estimar a concentração de CO2 para o ano de 2020. Para tanto, uma

A tabela a seguir fornece a energia elétrica

E,

em kilowatt-hora, consumida

no período de 12 meses em uma certa residência.

t

ÿ David

e encontre o polinômio

f (t)

no qual a diferença entre

t1

(a) Encontre a função de ajuste polinomial

3

t = 2 3.

para janeiro,

de ajuste de ordem

(b) Desenhe um gráco mostrando os nodos e o polinômio de ajuste.

θ

6.8.

t = 1

(a) Faça

de luz polarizada reetida por uma superfície em função do ângulo de incidência

(mês)

E

(kWh)

jan

159

fev

148

mar

176

abr

203

mai

250

jun

230

jul

289

ago

291

set

314

out

256

nov

220

dez

192

Brewster (1781 1868), físico escocês. Estudioso dos fenômenos ópticos,

função de ajuste polinomial de ordem 3 para a concentração de CO2 na atmosfera em função do tempo

t

deve ser encontrada.

(a) A partir dos dados da tabela, determine uma função de ajuste polinomial

p1 (t)

de ordem 3 usando os valores da coluna

Estime o valor de

(b) Determine uma função de ajuste polinomial lores da coluna

t2

t1

para variável independente.

p1 (2020). p2 (t)

de ordem 3 usando os va-

para variável independente. Estime o valor de

p2 (7).

(c) Observe que os valores estimados em (a) e (b) são ligeiramente diferentes. Determine a diferença relativa entre os valores. (d) Desenhe um gráco mostrando os nodos e os valores estimados.

Ajuste Exponencial

6.10.

.

Ajuste uma função exponencial aos dados do Problema 6.2.

6.11.

+

Estude cuidadosamente o método da na seção 6.4 e implemente uma

picos. Estudou também aspectos da polarização da luz, especialmente quando reetida

function [a, b] = AjusteExp(x, y) para encontrar a função de ajuste exponencial a um conjunto de nodos dados. Para vericar a correção da implementação

em superfícies de materiais dielétricos e metálicos[53].

refaça o Exemplo 6.4

descobriu o efeito da bi-refringência causada pela compressão de alguns sólidos isotró-

CAPÍTULO 6.

6.12.

70

AJUSTE DE FUNÇÕES

Considere os dados do Problema 6.9.

(a) Encontre a função de ajuste exponencial aos dados. (b) Faça uma estimativa para a concentração de CO2 para o ano de 2020. (c) Faça um desenho mostrando os dados originais, a função de ajuste exponencial e o valor previsto para 2020.

6.13.

As tabelas a seguir, adaptadas de [50, p. 144], mostram medidas de po-

tência

P

(em

horse power )

tempo de aceleração 60 milhas/hora.

T

de alguns automóveis.

A tabela mostra também o

(em segundos) que cada automóvel necessita para atingir

P (HP)

T (s)

P (HP)

T (s)

85

17,6

110

13,5

76

14,7

75

15,5

67

19,9

72

19,5

105

14,5

180

12,5

88

16,0

200

15,0

88

16,5

140

13,2

65

21,0

52

19,4

88

18,0

71

14,9

71

24,8

75

18,2

155

14,9

98

19,0

60

22,1

61

19,0

85

17,0

140

10,5

85

16,7

60

22,0

(a) Ajuste uma função exponencial aos dados. (b) Desenhe um gráco mostrando os dados e a função de ajuste. Sugestão: Use o comando

semilogy.

(c) Usando o modelo obtido, faça uma estimativa do número de transistores em um microprocessador para 2020. (d) Usando o modelo obtido, faça uma estimativa do ano em que o número de

(a) Encontre a função de ajuste exponencial (b) Determine o tempo de aceleração

T

T (P )

transistores em um microprocessador atinja a marca de

aos dados.

esperado de um automóvel com potência

de 80 HP. (c) Determine a potência esperada de um automóvel com tempo de aceleração de 14 s.

6.14.

A capacidade de processamento dos computadores pessoais (PC) tem au-

mentado continuamente desde o início da era da Microeletrônica. Essa capacidade está intimamente relacionada com a quantidade transistores colocados dentro de cada microprocessador.

Este crescimento é conhecido como

Lei de Moore 4 .

A

tabela a seguir mostra a quantidade de transistores montados dentro de cada modelo de microprocessador fabricado pela empresa Intel [39]. 4

ÿ Gordon

Earle Moore (1929 ) cientista norte-americano. Nasceu em San Fran-

cisco onde obteve o bacharelado em Química (1950, Universidade da Califórnia) e dou-

1 × 1012 .

Sortidos

6.15.

Considere os dados a seguir.

torado em Química e Física (1954, California Institute of Technology - Caltech). Foi

circuito integrado. Em 1957, é co-fundador Fairchild Semiconductor. Em 1965, publica artigo Cramming more components onto integrated circuits [35] onde prevê a forma de crescimento da capacidade computacional dos microprocessadores. Em 1968, é co-fundador da Intel Corporation onde permaneceu um dos pioneiros no desenvolvimento do da

ativo até 1987. Dono de uma das grandes fortunas do mundo, em 2001 doa 600 milhões de dólares ao Caltech para investimentos em pesquisa e tecnologia. (Adaptado de [52])

CAPÍTULO 6.

71

AJUSTE DE FUNÇÕES

(a) Desenhe um gráco mostrando os nodos e a função de ajuste trigonométrica.

x

y

0,1

3,81

(b) Calcule o resíduo quadrático do ajuste.

2,0

4,00

4,1

12,61

O problema do ajuste não-linear geral está além do nível proposto neste texto.

4,4

14,56

Ver, por exemplo, [10, p. 240].

4,6

15,96

5,2

20,64

6.18.

6,7

35,49

7,4

43,96

8,4

57,76

9,3

71,89

Em alguns livros, como [19, p. 149] ou [10, p. 234], os coecientes do

polinômio de ajuste de ordem 1 são dados por

P P x2i − xi xi yi , P 2 P 2 n xi − ( xi ) P P P n xi yi − xi yi β1 = P P 2 . n x2i − ( xi ) P

β0 =

(a) Use o programa AjustePol para ajustar um polinômio de ordem 5 ao conjunto de dados.

6.16.

.

P

Verique que as fórmulas acima resultam nos mesmos coecientes calculados no

(b) Observe que (a menos de erros de arredondamento) o grau do polinômio obtido é efetivamente

yi

menor

que 5. Por que isso ocorre?

Um estudante de Cálculo Numérico usou o programa AjustePol para

Exemplo 6.2.

6.19.

Como medida da

qualidade do ajuste, o resíduo quadrático SQE tem alguns SQE se altera se as unidades de

defeitos. Entre eles podemos citar o fato de que

ajustar um polinômio de ordem 4 a um conjunto de 15 nodos. Ao terminar de

medida são alteradas.

fazer as contas obteve os seguintes coecientes para o polinômio de ajuste:

um ajuste polinomial (grau 1) aos dados do Problema 6.6 para dois sistemas de

Verique esse fato calculando o resíduo quadrático de

unidades: lb - pol e kg - cm (Use

c = 0.0000 -0.0012 0.0925 -1.1288 6.2356

6.20.

Uma medida de qualidade de ajuste que não possui o defeito discutido no

problema anterior é denominado

onde

SQT =

n X i=1

O programa deve ter feito alguma conta errada pois o primeiro coeciente do polinômio é zero e correspondem a um polinômio de ajuste de grau 3, o que é impossível.

E(t) = C + A sen e

n

2

(yi − y¯)

e

y¯ =

1X yi . n i=1

Esse coeciente varia de 0 (ajuste nulo) a 1 (ajuste perfeito).

bém o coeciente de determinação.

Aos dados do Problema 6.8, é possível ajustar uma função trigonométrica

C = 227,3333, A = −70,1327

SQE , SQT

(a) Altere a implementação do algoritmo AjustePol para que ele calcule tam-

A conclusão do estudante está correta? Justique.

onde

coeciente de determinação r2 obtido por

r2 = 1 −

O estudante escreveu a seguinte conclusão em seu relatório:

6.17.

1 pol = 2,54 cm, 1 lb = 0,4536 kg).

π 6

t+φ ,

φ = 0,5545.

(b) Reconsidere os dados do Problema 6.19 com os dois sistemas de medidas:

2

lb - pol e kg - cm. Verique que os coecientes de determinação (r ) obtidos são iguais. (c) Qual é a unidade de medida do coeciente de ajuste

6.21.

r2 ?

Reconsidere a tabela populacional mostrada no Problema 5.7.

CAPÍTULO 6.

(a) Encontre uma função de ajuste

exponencial

72

AJUSTE DE FUNÇÕES

polinomial

(ordem 2) e uma função de ajuste

6.23.

A pressão sanguínea

p

de uma criança sadia é dada por

ao conjunto de dados.

p = β0 + β1 ln m,

(b) Use o coeciente de determinação denido no problema anterior para vericar qual dos ajustes é melhor.

6.22.

Um caso interessante do problema de ajuste de funções denominado

condicionado

m

onde

(c) Estime a população do Brasil para o ano de 2020 usando os dois modelos.

é o peso da criança.

ajuste

m

[16] consiste em determinar a reta de ajuste de grau 1 que é con-

dicionada (forçada) a ar pelo ponto Nesse caso, o coeciente

β1

(0, 0),

isto é,

f (x) = β1 x

(com

Os coecientes

β0 = 0).

P xi yi β1 = P 2 . xi V

E

(mL)

(em gramas-força) recebida.

E

98 103

113

110

131

112

(a) Determine a matriz de planejamento associada ao problema;

(gf )

(c) Estime a pressão

p

β0

e

β1 ;

para uma criança de 100 lb.

10

13,3

20

25,5

6.24.

30

37,9

(cometa, asteroide, planeta, etc.) é descrita por

40

50,3

50

62,9

60

75,3

70

87,4

80

100,3

90

111,8

100

124,5

De acordo com a primeira lei de Kepler, a órbita de um corpo celeste

r = β0 + β1 (r cos θ), usando as coordenadas polares

β0

e

β1

r

e

θ,

tendo o Sol como origem. Os coecientes

são constantes a serem determinadas. A tabela mostra os dados obtidos

por observações astronômicas de um cometa.

(a) Use o algoritmo AjustePol e encontre a função de ajuste (sem condiciona-

r

(rad)

(u.a.)

0,88

3,00

1,10

2,30

(b) Use a fórmula acima e encontre a função de ajuste (com condicionamento)

1,42

1,65

β1 e c01 nos ajustes sem e com

1,77

1,25

2,14

1,01

fsc (V ) = β1 V + β0 .

Verique que

β0 6= 0.

fcc (V ) = c01 V . Observe se os valores de condicionamento são iguais.

são constantes a serem

91

81

θ mento)

β1

(mmHg)

61

(b) Determine os valores dos coecientes

V

e

(em mi-

lilitros) na imersão de um cilindro de alumínio em um recipiente com glicerina líquida e respectiva força de empuxo

p

(lb) 44

é dado por

Na tabela (adaptada de [3]) a seguir são dados o volume deslocado

β0

determinadas. A tabela mostra os dados obtidos por observações de um pediatra.

(c) Faça um desenho mostrando os nodos e as duas retas de ajuste. (a) Determine a matriz de planejamento associada ao problema;

O método dos quadrados mínimos pode ser aplicado a qualquer função linear em seus coecientes, como βm fm (x,y)+· · ·+β1 f1 (x,y)+β0 f0 (x,y) = y , mudando apenas a estrutura da matriz de planejamento X. Os problemas 6.23 e 6.24 a seguir (adaptados de [29, p. 374]) podem ser resolvidos especicando corretamente a matriz de planejamento.

(b) Determine o valor dos coecientes (c) Desenhe o gráco de

r(θ)

β0

e

β1 ;

em coordenadas polares.

CAPÍTULO 6.

6.25.

Use o método do ajuste da

para ajustar a

73

AJUSTE DE FUNÇÕES

função logística

função exponencial

p(x) =

(dada pela equação 6.11)

1 , 1 + eβ0 +β1 x

ao conjunto de dados a seguir.

x p(x)

6,2

8,5

9,4

10,1

12,7

13,9

15,8

19,3

0,02

0,05

0,25

0,33

0,69

0,88

0,93

0,99

(a) Determine o valor dos coecientes

β0

e

β1 ;

(b) Desenhe o gráco dos nodos e da função logística de ajuste.

Capítulo 7

Integração Numérica 7.1 Denição do problema

7.2 Método de Newton-Cotes simples

Considere a integral denida dada por

O método de Newton -Cotes

Z

1

integral (7.1) através da

b

Q=

f (x) dx.

(7.1)

Z

a O problema da

integração numérica

O problema da integração

algébrica

Q

x0 = a,

f

F

F

em e

w0 , w1 , . . . , wn

é conhecida em apenas um conjunto discreto de valores.

(7.2)

são os

pesos

..., [a, b]

xn = a + nh = b

(7.3)

igualmente espaçados com

b−a n

da ponderação.

A quantidade de nodos e os respectivos pesos são denidos de acordo

os métodos de

f

Newton-Cotes que são indicados para problemas do tipo 1 e o método

splines

no intervalo de integração

h=

com a

dos

x2 = a + 2h,

é

termos de funções elementares.

Estudaremos dois métodos de integração numérica:

x1 = a + h,

n + 1 nodos

são

mas sua primitiva

de difícil obtenção, isto é, não é conhecida uma expressão para

f

f (x) dx ≈ (b − a) [w0 f (x0 ) + w1 f (x1 ) + · · · + wn f (xn )] ,

é mais complicado e está

A integração numérica é especialmente indicada quando:

2. A função

consiste em estimar o valor da

onde

é um resultado

além do escopo destas notas de aula.

1. É conhecida uma expressão algébrica para

n

média ponderada

b

a

consiste na avaliação de (7.1) por

métodos numéricos. Note que, sendo a integral denida,

numérico.

2 de ordem

1

que é indicado para problemas do tipo 2.

2

do

ordem do método. A ideia central é aproximar a função de integração polinômio interpolador p de grau n. Os pesos w de ordem n são

por um


ÿ Roger

Cotes (1682 - 1716), matemático inglês. Foi o editor da segunda edição

Philosophiae naturalis principia mathematica

de Newton. Trabalhou na teoria dos

logaritmos e nos métodos de aproximação racional por frações continuadas. Sua obra póstuma,

Harmonia mensurarum

de 1722, desenvolve métodos de interpolação parti-

cularmente úteis no estudo da órbita de cometas e métodos de integração numérica. [38].

74

CAPÍTULO 7.

75

INTEGRAÇÃO NUMÉRICA

determinados de modo que a soma ponderada seja igual a integral

Tabela 7.1:

exata

Pesos das fórmulas de Newton-Cotes

do polinômio. A Figura 7.1 mostra os polinômios utilizados nas primeiras Ordem

4 ordens do método de Newton-Cotes.

w0

w1

w2

w3

0

1

1

1/2

1/2

2

1/6

4/6

1/6

3

1/8

3/8

3/8

1/8

4

7/90

32/90

12/90

32/90

w4

Regra retângulo trapézio

a de Simpson3 a 2 de Simpson

1

7/90

Exemplo 7.1. Determine estimativas para a integral as ordens 2 e 4 do método de Newton-Cotes.

Solução:

Para a estimativa de

a = 1,

b = 4,

4

Boole

R4√ 1

x dx usando

ordem 2, tem-se

h=

b−a 4−1 = = 1,5000. n 2

Os nodos, os valores da função e os respectivos pesos são:

Figura 7.1:

i

xi

f (xi )

wi

0

1,0000

1,0000

0,1667

1

2,5000

1,5811

0,6667

2

4,0000

2,0000

0,1667

ÿ Thomas Simpson (1710 - 1761) matemático inglês. Em 1737 publica seu A New Treatise of Fluxions, um livro didático de alta qualidade dedicado ao cálculo de uxões, a 2

Diferentes ordens da quadratura de Newton-Cotes.

versão newtoniana do cálculo innitesimal. O método de integração numérica conhecido

A Tabela 7.1 mostra os pesos utilizados nas primeiras ordens do método de Newton-Cotes que, por razões históricas, recebem nomes próprios.

hoje como regra de Simpson, embora apareça em seu livro, é devido Newton como o próprio Simpson reconheceu [38]. 3

ÿ George

Boole (1815 - 1864) matemático inglês. Sua contribuição mais famosa (a

álgebra booleana) é a incorporação da lógica pela matemática através da álgebra. Boole também trabalhou em equações diferenciais e cálculo das diferenças nitas. A regra de integração que leva seu nome aparece em 1860 em seu

Dierences

[38].

Treatise on the Calculus of Finite

CAPÍTULO 7.

76


Assim temos

os nodos

Q2 = (b − a)

X

wi f (xi )

= (4 − 1)(0,1667 · 1,0000 + 0,6667 · 1,5811 + 0,1667 · 2,0000)

= 4,6623.

Para a estimativa de

a = 1,

h=

b−a 4−1 = = 0,7500. n 4

i

xi

f (xi )

wi

0

1,0000

1,0000

0,0778

1

1,7500

1,3229

0,3556

2

2,5000

1,5811

0,1333

3

3,2500

1,8028

0,3556

4

4,0000

2,0000

0,0778

o 1:

Inicialmente realizamos a mudança na variável de integração

x = a + (b − a)t, com

dx = (b − a)dt. Z Q=

ˆ= Q

Z 1

4√

" x dx =

x3/2 3/2

0

1

f [a + (b − a)t](b − a) dt.

φ(t) = f [a + (b − a)t],

o 2:

=

Z

1

14 = 4,6667, 3 (2 DSE) e erro relativo em

O método que estudaremos, com nodos denidos pelas equações (7.3),

fechado por incluir os extremos a b do intervalo de integração. Existem também, variações que não incluem os extremos a e b e são ditos abertos. Ainda, existem métodos em que

é denominado método de Newton-Cotes

1

φ(t) dt. [a, b]

e transformada na

[0, 1].

1

φ(t) dt ≈ w0 φ(t0 ) + w1 φ(t1 ) + · · · + wn φ(tn ),

com

tk =

k , n

k = 0, . . . , n.

Em seguida, aproximando-se a função de grau

(7.5)

0

A integral em (7.5) é aproximada pela média ponderada

0

#4

Z

Assim a integral original (7.1) no intervalo integral (7.5) no intervalo

Q2 é rel = −9,4050 × 10−4 = −3,9233 × 10−5 (4 DSE).

o erro relativo em

e

Z f (x) dx =

Redenindo

Como o valor exato da integral é dado por

rel

b

a

wi f (xi )

= 4,6665.

(7.4)

Assim (7.1) pode ser reescrita como

Q = (b − a)

0,3556 · 1,8028 + 0,0778 · 2,0000)

é

das ponderações é feita através dos

obtemos

= (4 − 1)(0,0778 · 1,0000 + 0,3556 · 1,3229 + 0,1333 · 1,5811+

Q4

pesos

seguintes os:

Assim temos

Q4 = (b − a)

[1,

7.2.1 Dedução dos pesos de integração

Os nodos, os valores da função e os respectivos pesos são:

X

método de Gauss

são igualmente espaçados, como o

De modo geral, a dedução dos

ordem 4, tem-se

b = 4,

não

p. 887] [40, p. 160].

(7.6)

(7.7)

φ por um polinômio interpolador

n φ(t) ≈ cn tn + · · · + c1 t + c0 ,

CAPÍTULO 7.

obtém-se, no lado

Z

77


esquerdo

1

Z

A resolução do sistema (7.11) para cada ordem

de (7.6),

1

(cn tn + · · · + c1 t + c0 ) dt 0 Z Z 1 Z 1 n t dt + c0 t dt + · · · + c1 = cn

φ(t) dt = 0

0

0

direito

o 3: 1 dt (7.8)

= w0 (cn tn0 + · · · + c1 t0 + c0 ) + · · · + wn (cn tnn + · · · + c1 tn + c0 )

= cn (w0 tn0 + w1 tn1 + · · · + wn tnn ) + · · · + c0 (w0 + w1 + · · · + wn ) . c0 , c1 , . . . , cn

+ w1 + w1 t1 + w1 t21

+ w2 + w2 t2 + w2 t22

w1 tn1

w2 tn2

. . .

+

. . .

+

+ ··· + ··· + ··· + ···

(7.9)

+ w2 + w2 n2 2 + w2 n2 . . .

+ w2

2 n n

+ wn = + wn t n = + wn t2n =

1 1/3

. . .

+ = n + wn t n =

(7.10)

. . .

1/(n+1)

+ ··· + ··· + ··· + ···

+ wn = + wn = + wn = . . .

+ = + wn =

1 1/2 1/3 . . .

,

   C=  

··· ··· ···

1 1 1

0 (1/n)n (2/n)n · · ·

1

. . .

. . .

. . .

. . .



n = 2 o sistema linear (7.11) torna-se      w0 1 1 1 1  0 1/2 1   w1  =  1/2  . 1/3 w2 0 1/4 1

que pode ser resolvido com a ajuda do algoritmo SLGauss (p. 37):

>> C = [1 1 1; 0 1/2 >> format rat >> w = SLGauss(C,d) w = 1/6 2/3 1/6

ordens distintas

rel ≈

(7.11)



      , w =      

w0 w1 w2 . . .

wn



1; 0



      , d =      

1 1/2 1/3 . . .

1/(n+1)

1/4

1]; d = [1; 1/2; 1/3];

geral, a diferença relativa entre duas estimativas

com

1 2/n (2/n)2

, obtenha os

(7.11)

Q utiliza-se, em Qj calculadas por

Para se obter uma estimativa de erro relativo para

1/(n+1)

Cw = d, 1 1 1/n 0 0 (1/n)2

Para

1/2

que, por sua vez, pode ser escrito na forma matricial



Solução:

em (7.8) e (7.9) obtém-se

Agora, substituindo (7.7) em (7.10) obtém-se o sistema linear

 w0 + w1     + w1 n1   2 + w1 n1  .  .   .  n  + w1 n1

pode ser encontrada em [15].

Exemplo 7.2. A partir do sistema linear dado por pesos da quadratura de Newton-Cotes de ordem 2.

de (7.6),

Comparando os fatores de

Substituindo (7.7) em (7.4) obtemos os nodos de integração

Observação: Uma dedução ligeiramente diferente da que zemos acima

0

w0 φ(t0 ) + w1 φ(t1 ) + · · · + wn φ(tn ) =

 w0       w0 t 0 w0 t20  .  .  .    w0 tn0

resulta

(7.3). Os pesos permanecem inalterados.

1

1 1 = cn + · · · + c1 + c0 1, n+1 2 e, no lado

n = 0, 1, 2, 3, 4,

no conjunto de pesos mostrados na Tabela 7.1.

    .  

com

j>i

(em geral, usa-se

Qi

e

Qi − Qj , Qj

j = 2i).

Exemplo 7.3. Determine uma estimativa de erro relativo para a integral do Exemplo 7.1.

CAPÍTULO 7.

Solução:

78


Como

Q2 = 4,6623

e

Q4 = 4,6665

tem-se

Q2 − Q4 Q4 4,6623 − 4,6665 ≈ 4,6665 ≈ −9,0130 × 10−4

rel ≈

As duas estimativas compartilham 2 DSE.

7.3 Método de Newton-Cotes composto O método de Newton-Cotes tal como visto na seção anterior é sucientemente

simples

para o cálculo manual mas não é muito utilizado nas imple-

mentações computacionais.

Isso ocorre por que, para ordens elevadas, o

polinômio interpolador pode sofrer grandes oscilações (fenômeno de Runge,

Figura 7.2:

como visto no Capítulo 5) que interferem negativamente na precisão das

Quadratura NC composta: 3 composições, ordem 2.

estimativas. Para corrigir esse problema, no método de Newton-Cotes composto, inicialmente divide-se o intervalo original [a, b] em m subintervalos (composições) de tamanho

H=

b−a . m

Em seguida, aplica-se o método de Newton-Cotes de ordem

Sj .

n

simples

baixa em cada subintervalo obtendo-se

m

com uma regra

resultados parciais

O resultado nal é obtido, somando-se os resultados parciais:

Qm,n =

m X j=1

Sj ,

com

Sj = H

n X

Exemplo 7.4. Determine uma estimativa Q3,2 para a integral do Exemplo 7.1 usando m = 3 composições do método de Newton-Cotes de ordem n = 2.

Solução: em

m = 3

vez, esses intervalos são

h = H/n = 1/2 = 0,5000. Em cada composição

wi f (xi ).

i=0

a = 1 até b = 4 deve ser dividido 4−1 H = b−a = 1,0000. Por sua m = 3 subdivididos em n = 2 subintervalos de tamanho

O intervalo original de intervalos de tamanho

S1 = H

X

j

obtemos uma estimativa parcial

Sj

da integral:

wi f (xi )

i

A Figura 7.2 mostra o esquema para 3 composições de ordem 2.

= 1,0000 · (0,1667 · 1,0000 + 0,6667 · 1,2247 + 0,1667 · 1,4142) = 1,2189

CAPÍTULO 7.

S2 = H

79


X

7.4 Método de Newton-Cotes adaptável

wi f (xi )

i

= 1,0000 · (0,1667 · 1,4142 + 0,6667 · 1,5851 + 0,1667 · 1,7321)

= 1,5785

O método de Newton-Cotes composto, visto na seção anterior, é bastante

preciso

mas não é muito

eciente

(do ponto de vista computacional) pois

realiza a mesma quantidade de avaliações da função tanto em partes mais suaves (sujeitas a menor erro) quanto em partes menos suaves (sujeitas

S3 = H

X

a maior erro).

wi f (xi )

Uma alternativa mais eciente, denominada de

i

= 1,0000 · (0,1667 · 1,7321 + 0,6667 · 1,8708 + 0,1667 · 2,0000)

Cotes adaptável, consiste em:

método de Newton-

= 1,8692

(a) Fazer uma estimativa

Q1,2

para a integral no intervalo

uma fórmula de baixa ordem (usaremos A tabela a seguir sistematiza os valores calculados:

j 1

2

3

i

xi

f (xi )

wi

0

1,0000

1,0000

0,1667

1

1,5000

1,2247

0,6667

2

2,0000

1,4142

0,1667

0

2,0000

1,4142

0,1667

1

2,5000

1,5851

0,6667

2

3,0000

1,7321

0,1667

0

3,0000

1,7321

0,1667

1

3,5000

1,8708

0,6667

2

4,0000

2,0000

0,1667

Sj

(b) Subdividir o intervalo original em dois: timativa composta

Q2,2

[a, b]

usando

n = 2); [a, c]

e

[c, b]

e fazer uma es-

usando a fórmula de ordem baixa em cada

subintervalo. Veja a Figura 7.3.

1,2189

1,5785

1,8692

A estimativa nal é dada pela soma das estimativas parciais:

Q3,2 =

X

Sj = 1,2189 + 1,5785 + 1,8692 = 4,6666

j

No Matlab obtemos

−2,2203 ×

Q32 = 4.666563053222490 com erro relativo rel =

10−5 (4 DSE). O método NC composto produz, em geral, me-

lhores estimativas que o método NC simples com a mesma quantidade de nodos.

A implementação do método de Newton-Cotes composto não é

muito complicada e é deixada como exercício (Veja o Problema 7.12).

Figura 7.3:

Determinação de

adaptável (ordem 2).

Q1,2

e

Q2,2

no método de Newton-Cotes

CAPÍTULO 7.

80


Algoritmo 18 QuadNCAdapt entrada : f, a, b, tol, kmax saída : Q, rel , k Inicialização 1: 2: 3: 4: 5: 6: 7:

k ←0 c ← (a + b)/2 fa ← f (a) fc ← f (c) fb ← f (b)

Algoritmo 19 QuadRec entrada : f, a, c, b, fa , fc , fb , k, tol, kmax saída : Q, rel , k Inicialização

Chamada inicial da função recursiva [Q, rel , k] ← QuadRec(f, a, c, b, fa , fc , fb , k, tol, kmax ) m

1: 2: 3: 4:

(c) Se a diferença relativa entre

Q1,2

e

Q2,2

é sucientemente pequena, o

método termina. Caso contrário, o método é reaplicado aos subintervalos Os algoritmos

[a, c]

e

recursivamente

[c, b].

6:

QuadNCAdapt

e

QuadRec

sistematizam o método.

A Figura 7.4 mostra como se distribuem os pontos de avaliação de uma função no método de Newton-Cotes adaptável.

menos

suaves da função o algoritmo utiliza

Observe que nas regiões

mais

a partir de

Q1,2

e

Q2,2 ,

QuadRec

Q1,2

e

Q2,2

é feita uma estimativa para

5

ˆ Q

são estimativas para

ˆ Q

usando,

respectivamente, 1 e 2 composições de ordem 2 (regra de Simpson) então

ˆ ˆ − Q2,2 ≈ Q − Q1,2 . Q 16 5

ÿ Werner

(7.12)

9:

nazista e da guerra na europa, teve que migrar por países da europa diversas vezes: Ucrânia (1934), Checoslováquia (1937), Noruega (1938), Suécia (1940), novamente Noruega (1947) e nalmente retorna a Alemanha (1968). Em 1955 publica seu

Vereinfachte

contendo o método de integração numérica que leva seu nome.

Embora tenha se graduado em física, é reconhecido por suas contribuições à matemática aplicada, aos métodos numéricos e à computação digital. [38].

11: 12: 13: 14: 15: 16:

Romberg (1909 - 2003) físico e matemático alemão. Por conta do regime

Numerische Integration

8:

10:

denominada extrapolação de Romberg . Pode-se

mostrar [30, p. 362] que se

7:

pontos de avaliação da

função. No o 10 do algoritmo

5:

17:

k ←k + 1 d ← (a + c)/2 e ← (c + b)/2 fd ← f (d) fe ← f (e)

Estimativas

b−a (fa + 4fc + fb ) 6 b−a (fa + 4fd + 2fc + 4fe + fb ) Q2,2 ← 12 rel ← ErroRel(Q1,2 , Q2,2 ) se (|rel | ≤ tol e k ≥ 3) ou k ≥ kmax Q1,2 ←

Retorno

Q ← Q2,2 + (Q2,2 − Q1,2 )/15

senão Recursão

[QE , rel E , kE ] ← QuadRec(f, a, d, c, fa , fd , fc , k, tol, kmax ) [QD , rel D , kD ] ← QuadRec(f, c, e, b, fc , fe , fb , k, tol, kmax ) Q ← QE + QD rel E · QE + rel D · QD rel ← QE + QD k ← max(kE , kD )

m

CAPÍTULO 7.

81


Isolando

ˆ Q

na expressão acima, obtemos

Problema 7.13).

ˆ ≈ Q2,2 + (Q2,2 − Q1,2 )/15 Q

No o 14, a estimativa de integral pela soma da parcela da esquerda

QE

Q

(Ver

sobre todo o intervalo é feita

e da direita

QD .

No o 15, estima-

se o erro relativo total pela média ponderada dos erros relativos em cada parcela (Ver Problema 2.26).

Usando o Matlab

o comando

quad.

:

Para determinar o valor de uma integral denida usar

>> format long >> f = @(x) sqrt(x); >> a = 1; >> b = 4; >> Q = quad(f, a, b) Q = 4.666666648763247 Este recurso utiliza, basicamente, o método de Newton Cotes adaptável que descrevemos com uma tolerância na ordem de

10−6 .

A implementação toma

algumas salva-guardas contra singularidades [21].

7.5 Método do Spline Cúbico Nos métodos de Newton-Cotes vistos até agora, a integral denida (7.1) é estimada a partir da integração de uma

Figura 7.4: vel.

Pontos de avaliação de

f

no método de Newton-Cotes adaptá-

função interpoladora

polinomial ou

f . A ideia básica do método do spline cúbico, é interpolar f , a partir dos nodos dados, por um spline

polinomial por partes da função integranda

cúbico (como visto na seção 5.4) e estimar o valor de sua integral denida. Se o intervalo

[a, b]

é particionado por

n

nodos tais que

a = x1 < x2 < . . . < xn = b

CAPÍTULO 7.

e o spline

Z

S(x)

82


Algoritmo 20 QuadSpline3 entrada : x, y saída : Q Matriz de coecientes do spline 1: C ← CoefSpline3(x, y) Estimativa para Q

dado por (5.8) e (5.9) então temos

b

Q=

f (x) dx a

≈ ≈ ≈

Z

b

S(x) dx a n−1 X Z xk+1 k=1 xk n−1 X Z xk+1 k=1

xk

2:

sk (x) dx

3: 4:

ak (x − xk )3 + bk (x − xk )2 + ck (x − xk ) + dk dx

5: (7.13)

6: 7:

n ← tamanho de x Q ←0 para k ← 1 : n − 1 h ← xk+1 − xk

Ck,3 2

ak 4 bk 3 ck 2 h + hk + hk + dk hk 4 k 3 2

Ck,1 4 h

Q ←Q +

m

+

Ck,2 3

h+

h + Ck,4 h

A resolução da integral (7.13) não é complicada (veja Problema 7.21). Fazendo

hk = xk+1 − xk

o tamanho do

k -ésimo

subintervalo obtemos a

fórmula da quadratura pelo método dos splines:

Q=

n−1 X k=1

ak 4 bk 3 ck 2 h + hk + hk + dk hk 4 k 3 2

partir de (7.14):

Q=

(7.14)

Exemplo 7.5. Reconsidere o Exemplo 5.1. Determine a integral denida de f no intervalo de 0 a 6 a partir dos nodos dados aplicando o método dos splines cúbicos.

n−1 X k=1

−0,2209 4 0,0000 3 1,5209 2 ·1 + ·1 + · 1 + 1,0000 · 1 + 4 3 2 0,1218 4 −0,6627 3 0,8582 2 ·3 + ·3 + · 3 + 2,3000 · 3 + 4 3 2 −0,0723 4 0,4338 3 0,1716 2 ·2 + ·2 + · 2 + 2,2000 · 2 4 3 2 = 1,7052 + 7,2650 + 5,6108 =

= 14,5810

Solução:

Os coecientes do spline cúbico interpolador já foram determi-

nados no Exemplo 5.3, portanto necessitamos apenas calcular a integral a

Para efeito de comparação, integrando o polinômio interpolador em (5.4), obtém-se

Qp = 14.3400.

estimativa para o erro relativo: O algoritmo splines cúbicos.

A diferença relativa desses valores é uma

rel ≈ −0,0165

(1 DSE).

QuadSpline3 implementa a quadratura pelo método dos Observe que na linha 6 a fórmula está com o termo

h

fatorado como na forma de Horner, o que diminui o número de operações aritméticas.

CAPÍTULO 7.

83


7.6 Problemas Newton-Cotes simples

.

R1

7.2.

.

Re

7.3.

.

Rπ

7.4.

.

R1

7.5.

.

−1

ex dx.

1 1 x 0

+

Estude cuidadosamente o método de Newton-Cotes composto e imple-

f,

+

uma

a

e

b

para as fórmulas de ordem a integral.

n

m

para

Sugestão: utilize o programa implementado no Problema 7.7.

7.13.

Considere a integral dada no Problema 7.1.

ˆ Q

da integral.

(x + 1)2 (x − 1)2 dx.

estimativas para a integral usando de Newton-Cotes de ordem 2 (regra

(c) Verique se a relação (7.12) é satisfeita, isto é, verique se

Resolva o sistema linear (7.11) para encontrar os pesos da quadratura

tm =

n = 4.

n = 10.

Use

format long

Q

n

para

para visualizar os resultados.

Estude cuidadosamente o método de Newton-Cotes simples e implemente

7.14.

ˆ − Qm,2 Q ≈ 16, ˆ − Q2m,2 Q

m = 1, 2, 4.

Devido a sua estrutura simétrica, pode-se obter fórmulas fechadas para

o método de Newton-Cotes composto. Mostre que a fórmula

(= 1, 2, 3, ou 4) e retorna uma

m−1 X 1 fi = h (f0 + fm ) + 2 i=1

"

Qm,1

para a integral. Para vericar a correção da implementação, refaça

o Exemplo 7.1.

#

com

Newton-Cotes composto Para as integrais dadas nos Problemas 7.8 a 7.11 a seguir: (a) Determine Q6,1 , uma estimativa para a integral usando m = 6 composições do método de NewtonCotes de ordem n = 1; (b) Determine Q3,2 , uma estimativa para a integral usando m = 3 composições do método de Newton-Cotes de ordem n = 2 [Repare que os nodos são os mesmos, os pesos é que mudam]; (c) Determine a diferença relativa entre Q6,1 e Q3,2 .

7.8.

.

Integral do Problema 7.1.

7.9.

.


.

Q


Q1,2 , Q2,2 , Q4,2 e Q8,2 , m = 1, 2, 4, 8 composições do método

do intervalo de integração e a ordem

7.10.

de composições

(= 1, 2, 3, ou 4) e retorna uma estimativa

de Simpson).

−1

estimativa

que recebe uma função

do intervalo de integração, o número

(b) Determine

function [Q] = QuadNC(f, a, b, n) que recebe uma função f , os extremos

b

function Q = QuadNCComp(f, a, b, m, n)

os extremos

Resolva o sistema linear (7.11) para encontrar os pesos da quadratura de

7.7. e

7.12.

sen(x) dx.

Newton-Cotes de ordem

a


(a) Determine o valor exato

dx.

de Newton-Cotes de ordem

7.6.

.

mente uma

Para as integrais dadas nos Problemas 7.1 a 7.4 a seguir (a) Aplique as fórmulas de Newton-Cotes de ordem 1, 2, 3 e 4 para estimar as integrais, (b) Determine o valor exato de cada integral (resolva analiticamente) e (c) Determine o erro relativo de cada estimativa feita no item (a).

7.1.

7.11.


fi = f (xi ), é equivalente a

m

xi = a + ih,

(i = 0, . . . , m),

e

h=

b−a m

composições de ordem 1.

Newton-Cotes adaptável

7.15.

+

Implemente os algoritmo QuadNCAdapt e QuadRec na sua lingua-

gem preferida. Para vericar a correção da implementação, compare as aproximações obtidas com os valores exatos das integrais dos Problemas 7.1 a 7.4.

As integrais dadas nos Problemas 7.16 a 7.19 a seguir não podem ser resolvidas analiticamente. Use o método de Newton-Cotes adaptável para estimar o valor das integrais com tol = 0,5 × 10−12 e kmax = 15.

CAPÍTULO 7.

7.16.

84


y = sen(t) no intervalo Z πp L= 1 + cos2 (t) dt.

Comprimento da curva

de 0 a

π:

0

7.17.

Função Erro. Use

x = 1: 2 Erf(x) = √ π

7.18.

x

2

e−t dt.

0

a espécie. Use

Integral elíptica completa de 1

Z

π/2

K(k) = 0

7.19.

Z

k = 0,5:

Sortidos

1 p dt. 1 − k 2 sen2 (t)

7.24.

6 Integral de Fresnel . Use

x = 1: Z x π C(x) = cos t2 dt. 2 0

de

f

. .

(b) Usando os mesmos conjuntos de nodos, encontre estimativas usando o método dos

Reconsidere Problema 5.14. Com os

splines

obtidos, estime a integral

splines ;

(c) Determine a diferença relativa entre cada par de estimativas.

7.25.

A cobertura parabólica do hangar de dirigíveis de Orly, França, foi um

audacioso projeto de engenharia em concreto pré-tensionado para a sua época Faça a integração indicada na equação (7.13) e obtenha a equação

(7.14).

7.22.

são equivalentes. Para

ples com ordens 1, 2, 3, e 4;

no intervalo dado.

7.21.

não

(a) Encontre estimativas para a integral usando o método de Newton-Cotes sim-

Splines 7.20.

Os métodos de Newton-Cotes simples e splines

vericar isso, considere a integral do Problema 7.1:

(1923). Destruído na 2

a guerra mundial, possuía cerca 90 m de largura, 60 m de

altura e 175 m de comprimento.

+

Implemente o algoritmo QuadSpline3 na sua linguagem preferida.

(a) Mostre que o arco parabólico pode ser descrito por


7.23.

4x2 f (x) = H 1 − 2 . L

A gura a seguir mostra o uxo de veículos na rodovia BR-101 na véspera

de ano novo de 2009 [41]. O uxo, medido de hora em hora, é dado em veículos por minuto.

Use a quadratura por

splines

para estimar a

quantidade total

de

veículos que trafegaram no período de 24 horas do dia 30 de dezembro. Atenção: informação que não consta na gura:

26 veículos/min às 24 h.

ÿ Augustin-Jean

S

Cuidado com as

do arco parabólico resolvendo

Z

L/2

S=

unidades de medida. 6

(b) Determine o comprimento

Fresnel (1788 - 1827), engenheiro e físico francês.

Suas mais

importantes contribuições estão no estudo do comportamento ondulatório da luz, tanto de forma experimental quanto teórica. As

integrais de Fresnel

campo distante em fenômenos de difração óptica [54].

surgem da descrição do

−L/2

q

2

1 + [f 0 (x)] dx.

CAPÍTULO 7.

85


y H

− L2

7.26.

L 2

x

O maior dos tanques cilíndricos, mostrados na gura a seguir, tem diâmetro

D = 1,5 m,

comprimento

C = 4m

com líquido até a altura

h = 1,2 m.

C

D h

O volume de líquido é dado pela integral

Z V (h) = 2C 0

h

p x(D − x) dx.

(a) Determine uma estimativa numérica para o volume de líquido no tanque. (b) Determine o erro relativo entre o resultado numérico obtido acima e o resultado exato obtido por

V (h) = C

πD2 D p D2 2h + h− h(D − h) − arcsin 1 − . 8 2 4 D

Capítulo 8

Equações Diferenciais Ordinárias 8.1 Denição do problema

Se o método de resolução utiliza nodos igualmente espaçados (ti+1 dizemos que ele é de

Equações

diferenciais

u0 , u00 , . . . , u(k) .

combinam uma função incógnita

o xo.

ordinária.

denidas em um intervalo

u e suas derivadas:

A

ordem

de uma equação diferencial é dada

8.2 Método de Euler

I⊆

Rn e restritas a condições de contorno (ou

1 toma por base a expansão de

O método de Euler

iniciais) nas bordas do intervalo. Resolver uma equação diferencial, implica determinar a função incógnita

u que satisfaz a equação e suas condições de u(t + h) = u(t) + u0 (t)h +

contorno. Existem inúmeras maneiras de construir equações diferenciais e as técnicas de resolução dependem da classicação da equação [7].

Problema de Valor Inicial (PVI), se constitui em uma equação

diferencial ordinária cuja solução

u(t) está denida em um intervalo fechado

 0  u = F (t, u) a≤t≤b  u(a) = ua ,

Trocando

função incógnita a A resolução

u(ti )

t

por

ti

e

(intervalo)

(8.1)

u0 (t)

por

F (ti , ui )

temos

u(ti + h) ≈ u(ti ) + F (ti , ui )h.

(valor inicial) 1

F

u00 (t)h2 u(k) (ξ)hk + ··· + . 2! k!

u(t + h) ≈ u(t) + u0 (t)h.

(equação diferencial)

0 determina a derivada u em termos de

u em sua série de Taylor:

Truncando a série a partir do segundo termo, obtém-se a aproximação

e restrita a assumir um valor especicado no início do intervalo:

onde a função

Nesse

Se a função incógnita é dependente de apenas uma variável,

a equação é dita

[a, b]

= ti +h),

o variável.

capítulo, nos ocuparemos de alguns métodos de o xo.

por sua derivada de mais alta ordem. As equações diferenciais podem ser

Um

Caso contrário é de

t

e de da própria

ÿ Leonhard Euler (1707 - 1783), matemático suíço, fez inúmeras contribuições para

a matemática e física, incluindo geometria analítica, trigonometria, geometria, cálculo e teoria dos números. A produção cientíca de Euler é surpreendente: por 50 anos após

u.

numérica

a sua morte, a Academia de Ciências de São Petersburgo ainda publicava seus artigos

de um PVI consiste em determinar os valores de

para um conjunto de nodos

ti

em

f (x) para funções, e para a base dos π para a razão entre a circunferência 2 somatório, ∆y, ∆ y, . . . para diferenças nitas e

inéditos. Devemos a Euler algumas notações como

[a, b]:

logaritmos naturais,

i

para a unidade imaginária,

e o diâmetro de um círculo, muitas outras [38].

a = t1 < t2 < . . . < tn = b.

86

P

para o

CAPÍTULO 8.

87

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS

Assim obtemos as fórmulas recursivas:

ti+1 = ti + h ui+1 = ui + F (ti , ui )h.

Exemplo 8.1. Use o método de Euler para resolver o PVI  0  u = 1 + t − 2u 0≤t≤1 ,  u(0) = 1

com o h = 0,2.

Solução:

Das condições iniciais temos

t1 = 0; Das fórmulas recursivas, temos

u1 = 1.

F (ti , ui ) = 1 + ti − 2ui .

E, assim:

Figura 8.1:

t2 = t1 + h = 0 + 0,2 = 0,2 u2 = u1 + F (t1 , u1 )h

Algoritmo 21 EDOEuler entrada : F, a, b, ua , h saída : t, u Inicialização

= 1 + F (0, 1) · 0,2 = 1 − 1 · 0,2

= 0,8

A tabela a seguir mostra os valores obtidos para os pontos seguintes.

i

ti

ui

F (ti , ui )

1

0,0000

1,0000

-1,0000

2

0,2000

0,8000

-0,4000

3

0,4000

0,7200

-0,0400

4

0,6000

0,7120

0,1760

5

0,8000

0,7472

0,3056

6

1,0000

0,8083

-

1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9:

A Figura 8.1 mostra os valores calculados.

10: 11:

O algoritmo

EDOEuler

Solução do PVI com o método de Euler (h

12: sistematiza o método de Euler.

n ← b1 + (b − a)/hc t ← Zeros(n, 1) u ← Zeros(n, 1) i ←1 ti ← a ui ← ua Determinação de u(t) enquanto ti < b k ← F (ti , ui ) ti+1 ← ti + h ui+1 ← ui + kh i ←i + 1

m

= 0,2).

CAPÍTULO 8.

88


Análise de erro A solução exata (analítica) do PVI dado no Exemplo 8.1 é

u ˆ(t) =

1 3e−2t + 2t + 1 , 4

(8.2)

ui calculados exatos u ˆi e os erros

(veja o Problema 8.1). A tabela a seguir mostra os valores pelo método de Euler com o

h = 0,2,

os valores

=u−u ˆ. i

ui

u ˆi

1

1,0000

1,0000

0,0000

2

0,8000

0,8527

-0,0527

3

0,7200

0,7870

-0,0670

4

0,7120

0,7759

-0,0639

5

0,7472

0,8014

-0,0542

6

0,8083

0,8515

-0,0432

Figura 8.2:

O erro máximo cometido é max = 0,0670. Pode-se mostrar [8] que max = O(h), isto é, o erro é proporcional ao tamanho do o. Para h = 0,1 obtemos max = 0,0301 e para h = 0,05 temos max = 0,0144. A Figura 8.2 mostra as estimativas de solução para o PVI do Exemplo 8.1 com

h = 0,2, h = 0,1

e

h = 0,01.

Mostra também a solução exata

dada por (8.1).

F0

e

F 00

é proporcional ao o

h.

são dadas por

∂ ∂ F (t,u) + F (t,u) · u0 , ∂t ∂u ∂ ∂ 0 F 00 (t,u) = F 0 (t,u) + F (t,u) · u0 . ∂t ∂u F 0 (t,u) =

No entanto, exige a determinação das derivadas de ordem superior de

u

em sua série de Taylor

truncada a partir do segundo termo. Pode-se obter extensões do método, truncando a série em termos de ordem superior. Por exemplo, truncando (8.1) a partir do quarto termo obtemos:

ui+1 = ui + F (ti ,ui )h + F 0 (ti ,ui )

Observe que as derivadas

Com esse método se obtém boas aproximações (veja Problema 8.17).

Métodos com base na série de Taylor O método de Euler toma por base a expansão de

No método de Euler, o erro

h3 h2 + F 00 (ti ,ui ) . 2! 3!

(8.3)

o que nem sempre é viável.

F,

CAPÍTULO 8.

89


8.3 Método de Runge-Kutta 2

O método de Runge -Kutta

3 pode ser visto como um desenvolvimento do

método de Euler. Se a função

(a, b)

u(t) for contínua e diferenciável no intervalo

então a equação diferencial

u0 (t) = F (t, u) [ti , ti+1 ]

que pode ser integrada no intervalo

Z

ti+1

Z

0

com

ti+1

F (s, u(s)) ds.

u (s) ds = ti

ti obtendo

Z

ti+1

Figura 8.3:

F (τ, u(τ )) dτ

ui+1 = ui + = ui + Qi .

ui+1 devemos estimar o valor da u(s) nem F (s, u(s)). Veja a Figura 8.3.

Uma forma de estimar a integral em (8.4), o

integral

Qi ,

já que não se

calculada no

início

método de Euler, é fazer

e no

David Tolmé Runge (1856 1927) físico-matemático alemão. Desenvolveu

o seu método numérico para a resolução das equações diferenciais que surgem do estudo de espectros atômicos. Seu trabalho seminal

Über emperische

functionen und die interpolation zwischen äquidistanten ordinaten de 1901.

Runge sem-

pre foi atlético e ativo, na festa de aniversário de 70 anos divertiu seu netos e amigos plantando bananeira [38, 31, 20].

ÿ Martin

ramento,

Wilhelm Kutta (1867 - 1944) engenheiro alemão.

Sua tese de douto-

Beiträge zur näherungsweisen Integration totaler Dierentialgleichungen a

1900, contém o desenvolvimento até a ordem 5 Kutta [38, 9].

regra do

[ti , ti+1 ]:

ui+1 = ui + 12 (k1 + k2 )h que dá origem ao método de

O(h2 ).

de

do hoje denominados métodos de Runge-

k1 é F em ti+1 .

Observe que

estimativa

Über die numerisehe Autising yon

foi escrito em 1895. O problema da oscilação do polinômio in-

terpolador nos extremos de um intervalo (Cap. 5) foi descrito em seu

3

do intervalo

k2 = F (ti + h, ui + k1 h)

regra do retângulo do método de NewtonCotes (como visto no Capítulo 7) com o nodo no início do intervalo [ti , ti+1 ].

Dierentialgleichungen

m

k1 = F (ti , ui )

que nada mais é do que aplicar a

ÿ Carle

pode ser estimado por uma adaptação

Um modo engenhoso de melhorar essa estimativa é usar a

trapézio

Qi ≈ F (ti ,ui )h,

2

Qi

(8.4)

Para encontrar conhece

O valor da integral

do método de Newton-Cotes.

ti

para

Runge-Kutta de ordem 2, pois max = exato de F no em ti mas k2 é uma

o valor

Outra forma de estimar a integral em (8.4) é dada por uma adaptação

da

1a regra de Simpson :

k1 = F (ti , ui ) k2 = F (ti + h2 , ui + k1 h2 ) k3 = F (ti + h2 , ui + k2 h2 ) k4 = F (ti + h, ui + k3 h) ui+1 = ui + 16 (k1 + 2k2 + 2k3 + k4 ) h

CAPÍTULO 8.

que dá origem ao método de

O(h4 ). k2 e k3

Observe que são

90


k1

estimativas

Runge-Kutta de ordem 4, pois max = exato de F no início do intervalo [ti , ti +h],

Das fórmulas recursivas, temos

é o valor para

F

no meio do intervalo e

k4

para

F

E, assim:

t2 = t1 + h = 0 + 0,2 = 0,2

no m do

k1 = F (ti , ui ) = F (0, 1) = −1,0000

intervalo.

k2 = F (ti + h2 , ui + k1 h2 ) = F (0,1; 0,9) = −0.7000

A Figura 8.4 mostra, esquematicamente, os pontos de avaliação de

k = F (t,u)

F (ti , ui ) = 1 + ti − 2ui .

k3 = F (ti + h2 , ui + k2 h2 ) = F (0,1; 0,93) = −0,7600

nos métodos de Runge-Kutta de ordem 2 e 4.

k4 = F (ti + h, ui + k3 h) = F (0,2; 0,8480) = −0,4960 k=

1 6

(k1 + 2k2 + 2k3 + k4 ) = −0,7360

ui+1 = ui + kh = 1 − 0,7360 · 0,2 = 0,8528 A tabela a seguir mostra os valores obtidos para os pontos seguintes.

Figura 8.4:

Pontos de avaliação de

F (t,u)

nos métodos de Runge-Kutta de

i

ti

ui

k1

k2

k3

k4

k

1

0,0

1,0000

-1,0000

-0,7000

-0,7600

-0,4960

-0,7360

2

0,2

0,8528

-0,5056

-0,3045

-0,3447

-0,1677

-0,3286

3

0.4

0.7871

-0.1742

-0.0393

-0.0663

0.0524

-0.0555

4

0.6

0.7760

0.0480

0.1384

0.1204

0.1999

0.1276

5

0.8

0.8015

0.1970

0.2576

0.2455

0.2988

0.2503

6

1,0

0.8516

-

-

-

-

-

ordem 2 e 4. A Figura 8.5 mostra os valores calculados usando o método de Euler e

Exemplo 8.2. Use o método de Runge-Kutta de 4a ordem para resolver o PVI dado no Exemplo 8.1 com o h = 0,2.

Solução:

Das condições iniciais temos

t1 = 0;

u1 = 1.

o método de Runge-Kutta de ordem 4.

O algoritmo

EDORK4

sistematiza o método de Runge-Kutta 4.

Análise de erro a ordem no

O erro máximo cometido pelo método de Runge-Kutta de 4

max = 8,0842 ×

10−5 . Pode-se mostrar que

4

max = O(h ), a isto é, o erro é proporcional a 4 potência do tamanho do o, o que Exemplo 8.2 é

h = 0,1 = 4,3477×10−6 e para h = 0,05 temos max = 2,4993×10−7 . Na

garante um DSE a mais cada vez que se divide o o por 2: Para temos max

ausência da resposta exata, uma maneira usual de avaliar o erro cometido é comparar os valores obtidos para dois tamanhos de o (h e

h/2).

CAPÍTULO 8.

91


Algoritmo 22 EDORK4 entrada : F, a, b, ua , h saída : t, u Inicialização 1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9: 10: 11: 12: 13:

Figura 8.5: (h

= 0,2).

Soluções do PVI com o método de Euler e Runge-Kutta 4

14: 15: 16:

n ← 1 + (b − a)/h t ← Zeros(n, 1) u ← Zeros(n, 1) i ←1 ti ← a ui ← ua Determinação de u(t) enquanto ti < b k1 ← F (ti , ui ) k2 ← F (ti + h2 , ui + k1 h2 ) k3 ← F (ti + h2 , ui + k2 h2 ) k4 ← F (ti + h, ui + k3 h) k ← 16 (k1 + 2(k2 + k3 ) + k4 ) ti+1 ← ti + h ui+1 ← ui + kh i ←i + 1

m

CAPÍTULO 8.

Usando o Matlab

o comando

92


ode45.

:

Para determinar a solução de um PVI podemos usar

Usando o Matlab

:

Sendo

u

um vetor de duas componentes, pode-se

denir uma função vetorial com

>> F = @(t,u) 1 + t - 2*u F = @(t,u)1+t-2*u >> a = 0; b = 1; ua = 1; >> [t, u] = ode45(F, [a b], ua) t = 0 0.0250 0.0500 ... u = 1.0000 0.9759 0.9536 ...

>> F = @(t, u) [2*u(1) - u(2), t - (u(2))^2]

0.9500 0.8372

0.9750 0.8442

Este recurso utiliza o método de Runge-Kutta de ordem 4.

1.0000 0.8515

Exemplo 8.3. Use o método de Runge-Kutta de 4a ordem para resolver o PVI acoplado dado a seguir com h = 0,2. u01 = 2u1 − u2 u02 = t − u22

Com a ajuda de

um método de Runge-Kutta de ordem 5, o algoritmo consegue, a cada o, estimar o erro cometido. O tamanho do o pode ser reduzido ou aumentado comparando o erro estimado com uma tolerância dada. Esse tipo de método é dito de o variável

no intervalo 0 ≤ t ≤ 1 com as condições iniciais u1 (0) = 1,

PVI acoplados e de segunda ordem Um conjunto de funções

u1 (t), u2 (t), . . . , um (t)

Solução: que devem satisfazer

A tabela a seguir mostra os valores obtidos para os pontos

seguintes.

 0 u = F1 (t, u1 , u2 , . . . , um )    10 u2 = F2 (t, u1 , u2 , . . . , um ) ···    0 um = Fn (t, u1 , u2 , . . . , um ) todas no intervalo

a≤t≤b

u1 (a) = u1a , é dito um PVI

com as condições iniciais

u2 (a) = u2a ,

...,

um (a) = uma ,

acoplado com m equações diferencias e condições iniciais. vetorialmente como

O sistema pode ser descrito

 0  u = F(t, u) a≤t≤b  u(a) = ua , 0 onde u, u e

ua

são vetores de

m

componentes.

Do ponto de vista computacional, os métodos de Euler e Runge-Kutta continuam válidos e os algoritmos são facilmente adaptados para receber entradas

vetoriais.

u2 (0) = 2.

u(i)

i

ti

k

1

0.0

[1.0000

2.0000]

[0.3630

-2.7744]

2

0.2

[1.0726

1.4451]

[1.0376

-1.3761]

3

0.4

[1.2801

1.1699]

[1.7993

-0.6941]

4

0.6

[1.6400

1.0311]

[2.8048

-0.2932]

5

0.8

[2.2009

0.9724]

[4.2240

-0.0324]

6

1.0

[3.0457

0.9660]

A Figura 8.6 mostra os valores calculados usando o método de Euler e o método de Runge-Kutta de ordem 4.

Um PVI de

segunda ordem é descrito por  00 u = F (t, u, u0 )    a≤t≤b . u(a) = ua    0 u (a) = va

CAPÍTULO 8.

93


Solução:

Fazendo a transformação

v = u0

obtemos:

 0 u =v      v 0 = −u 0 ≤ t ≤ 2π .   u(0) = 0    v(0) = 1 A resolução numérica do problema ca como exercício (Veja o Problema 8.25).

8.4 Problemas Método de Euler

Figura 8.6:

Soluções do PVI acoplado Runge-Kutta 4 (h

= 0,2).

Uma técnica de resolução consiste em reescrevê-los como PVI acoplados de primeira ordem, mediante a transformação

v = u0 :

 0 u =v      v 0 = F (t, u, v) a≤t≤b ,   u(a) = ua    v(a) = u0 (a) = va

Exemplo 8.4. Reescreva o PVI de segunda ordem  00 u = −u    0 ≤ t ≤ 2π  u(0) = 0   0 u (0) = 1

como um PVI acoplado.

Nos Problemas 8.1 a 8.4 a seguir são dados um PVI e sua solução exata (analítica). (a) Use o método de Euler para estimar u(t) com o o sugerido. Faça uma tabela contendo os valores de i, ti , ui e k. (b) Desenhe os pontos (ti , ui ) calculados juntamente com a solução exata. (c) Determine o maior erro cometido.

8.1.

.

Solução exata:

8.2.

.

Solução exata:

8.3.

.

Solução exata:

 0  u = −u 0≤t≤1 ,  u(0) = 1 u ˆ(t) = e−t .

Use o

h = 0,2

 0  u = 1 − u/t 1≤t≤3 ,  u(0) = 5/2 u ˆ(t) = t/2 + 2/t.

Use o

h = 0,5

 0  u = −3u + 6t + 5 0≤t≤1 ,  u(0) = 3 u ˆ(t) = 2e−3t + 2t + 1.

Use o

h = 0,2

CAPÍTULO 8.

8.4.

.

8.5.

+

Sortidos

 0  u = t2 (5 − u) 0≤t≤2 ,  u(0) = 0

Solução exata:

94


u ˆ(t) = 5 − 5e−t

3

/3

. Use o

8.16.

Verique que a solução do PVI dado no Exemplo 8.1 é, de fato, a função

mostrada na equação (8.2).

h = 0,25

8.17.

Implemente o algoritmo EDOEuler na sua linguagem preferida. Para

vericar a correção da implementação, compare os resultados obtidos com o

Reconsidere o PVI dado no Exemplo 8.1.

(a) (a) Mostre que

Exemplo 8.1.

Considere os PVI dados nos Problemas 8.6 a 8.9 a seguir. (a) Use o método de Euler para estimar u(t). Desenhe os pontos (ti , ui ) calculados juntamente com a solução exata. (b) Determine o maior erro cometido.

8.6. PVI dado no Problema 8.1. Use o h = 0,01. 8.7. PVI dado no Problema 8.2. Use o h = 0,02. 8.8. PVI dado no Problema 8.3. Use o h = 0,05. 8.9. PVI dado no Problema 8.4. Use o h = 0,10. 8.10. O método de Euler pode ser bastante instável,

F 0 (t,u) = −1 − 2t + 4u,

F 00 (t,u) = 2 + 4t − 8u.

(b) Modique o algoritmo EDOEuler para obter um método com base na série de Taylor dada por (8.3), isto é, reescreva o algoritmo de modo que ele receba como entradas tanto

F (t, u)

h = 0.1, . . . , 0.5

8.18.

e

F 00 (t,u).

Resolva o PVI dado

Em uma população

n

sucientemente grande, seja

u

a quantidade de pes-

soas que conhecem um boato. A velocidade de espalhamento do boato (difusão especialmente para pro-

social) pode ser modelada por

du = k · u(n − u), dt

na solução do PVI

 0  u = −5u 0≤t≤5 ,  u(0) = 5 cuja solução exata é

F 0 (t,u)

no Exemplo 8.1 e compare os resultados com a solução exata dada por (8.2).

blemas envolvendo equações com efeito de amortecimento abrupto. Verique o efeito dos os

quanto

isto é, a velocidade é proporcional ao número de pessoas que conhecem o boato

t seja k = 1/1000 e 2 pessoas dão início a um boato no momento t = 0 população de n = 1000 pessoas. Determine em quantos dias o boato

multiplicado pelo número de pessoas que não o conhecem. Suponha que medido em dias,

u ˆ(t) = 5e−5t .

em uma

atinge 800 pessoas.

Método de Runge-Kutta

8.11.

+

8.19.

Implemente o algoritmo EDORK4 na sua linguagem preferida. Para ve-

ricar a correção da implementação, compare os resultados obtidos com o Exemplo 8.2.

Considere os PVI dados nos Problemas 8.12 a 8.15 a seguir. (a) Use o método de Runge-Kutta para estimar u(t). Desenhe os pontos (ti , ui ) calculados juntamente com a solução exata. (c) Determine o maior erro cometido.

8.12. 8.13. 8.14. 8.15.

PVI dado no Problema 8.1. Use o

h = 0,01.


h = 0,02.


h = 0,05.


h = 0,10.

Pirólise é um processo químico no qual um composto (sólido ou líquido)

é volatilizado sob altas temperaturas e ausência de oxigênio. Se

α

é a fração de

material volatilizado, a taxa de transformação em função da temperatura

T

do

reator pode ser modelada por

A E dα = exp − (1 − α), dT β RT β é a taxa de aquecimento do reator, E é a R é a constante universal dos gases [27]. Em −1 um experimento, determinou-se que A = 0,005 min , E = 0,530 J/mol, R = J K 8,314 /mol·K, β = 0,300 /min. Resolva o PVI com 300 ≤ T ≤ 500 K. Desenhe o gráco de α × T e determine a que temperatura α ≈ 0,90.

onde

A

é o fator pré-exponencial,

energia de ativação do processo,

CAPÍTULO 8.

8.20.

A função erro

Erf(x)

(como no Problema 7.17). diferencial

é geralmente

denida

a partir da sua forma integral

No entanto, pode ser denida a partir da equação

2 2 d Erf(x) = √ e−x , dx π

Compare o resultado com a função

erf

u(t)

A amplitude

θ

(em radianos) de um pêndulo (ideal) pode ser modelada

pelo PVI de segunda ordem

 g  θ¨ = − sen(θ)   L  0≤t ,  θ(0) = θ0    ˙ θ(0) = v0

Erf(x)

no intervalo

0 ≤ x ≤ 2.

do Matlab. (adaptado de [34])

Reconsidere o PVI dado no Problema 8.4. Desenhe em uma mesma gura,

os grácos de

8.26.

Erf(0) = 0.

Resolva o PVI acima para desenhar o gráco de

8.21.

95


para os seguintes valores iniciais:

ua = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

O que

onde

L

é o comprimento do pêndulo e

g

é a aceleração gravitacional. Se a ampli-

tude de oscilação é pequena, o período é dado por

T = 2π

p

L/g .

essa familia de soluções tem em comum?

8.22.

(a) Fixe

Reconsidere o PVI dado no Problema 8.3.

(a) Determine o erro máximo

h = 0,08; 0,04; 0,02; 0,01.

max

cometido pelo método de Euler usando

Verique que o erro é proporcional a

h:

aproxi-

2.

que o erro é proporcional a por 2 o erro é dividido por

+

sejam

h4 : aproximadamente, 24 = 16.

Verique

quando o o é dividido

Modique a implementação do algoritmo EDORK4 para que

vetores,

assim será possível resolver PVI acoplados.

F, u

e

Para vericar a

correção da implementação, compare os resultados obtidos com o Exemplo 8.3.

8.24.

O modelo de Lotka-Volterra é um clássico em ecologia matemática. Seja

um ecossistema constituído de

c(t)

coelhos (presas) e

r(t)

raposas (predadores).

As taxas de crescimento das populações são dadas por

dc = αc − βcr dt dr = γcr − δr dt c(0) = 300 e c(t) e r(t) no intervalo 0 ≤ t ≤ 10. Use os α = 2, β = γ = 0,01 e δ = 1. Observe que o padrão

Supondo as populações iniciais de coelhos e raposas como sendo

r(0) = 150,

desenhe o gráco de

seguintes parâmetros:

populacional é periódico: Qual é o período?.

8.25. sen(t).

L = 1m

e determine o período de oscilação teórico do

(b) Modele o PVI de segunda ordem como um PVI acoplado, resolva-o numericamente usando

θ0 = 0

e

v0 = 1,

desenhe um gráco e verique se o período

encontrado é similar ao previsto; (c) Aumente gradativamente a velocidade inicial e verique o que ocorre com o

(b) Faça o mesmo procedimento usando o método de Runge-Kutta.

8.23.

e

pêndulo;

madamente, quando o o é dividido por 2 o erro também é dividido por

ua

g = 10 m/s2

A solução exata do PVI de segunda ordem dado no Exemplo 8.4 é Resolva numericamente o PVI (Use

gráco as soluções numérica e exata.

h = 0,1)

u(t) =

e desenhe em um mesmo

período de oscilação.

Apêndice A

Respostas para problemas selecionados Capítulo 1

1.27. Um script pode ser escrito assim:

1.1.

a = 2^5, b = sqrt(7)

1.3.

a = cosd(60), b = tan(pi/4)

1.5.

a = abs(-5), b = factorial(9)

1.7.

x = [6 2 0 5], y = [6 2 0 5]'

1.9.

z = zeros(1,20)

1.11.

A = [1 7; -4 3]

1.13.

a = -18.3333.

1.15.

c = 5.3948.

1.17.

w = 1.5708, e = 1.

Verique a ordem de precedência dos operadores:

O comando

ln

1.21. A vírgula é

separador

\, *, +, -.

determina o logaritmo natural de

Observe que

1.19. O comando

1.23. O polinômio é

log(y)

e

cos(π/2)

y.

0

1.29. Um script pode ser escrito assim:

= e = 1.

não existe. O correto é usar

clear all clc n = 5 x = rand(1,n) s = 0 for i = 1:n s = s + x(i) end m = s/n

a = log(5).

de elementos. O correto é

3,3x2 + 174,2x − 6627,7.

clear all clc clf x = -1 : 0.01 : 3; y = (x + 1)./(x - 1); plot(x,y) grid on legend('i(x) = (x + 1)/(x - 1)') xlabel('x') ylabel('i(x)') title('Problema 1.27')

t = cos(3.1416).

Observe o fator

103

multiplicando os

elementos do vetor. 1.25. Um script pode ser escrito assim:

clear all clc clf x = -3 : 0.01 : 3; y = exp(-x) - 1; plot(x,y) grid on legend('g(x) = exp(-x) - 1') xlabel('x') ylabel('g(x)') title('Problema 1.25')

A função pode ser escrita assim:

function [m] = Media(x) n = length(x); s = 0; for i = 1:n s = s + x(i); end m = s/n; 96

APÊNDICE A.

O comando

97

RESPOSTAS PARA PROBLEMAS SELECIONADOS

m = mean(x)

F(1) = 1; F(2) = 1; for i = 3 : k F(i) = F(i-1) + F(i-2); R(i) = F(i)/F(i-1); end

calcula a mesma média

1.31. Uma função pode ser escrita assim:

function s = SomaMatriz(A) [m, n] = size(A); s = 0; for i = 1 : m for j = 1 : n s = s + A(i,j); end end O comando

m = sum(sum(A))

A sequência minada

function d = Divisores(n) k = 0; for t = 1 : n if rem(n,t) == 0 k = k + 1; d(k) = t; end end (a)

Para grau 4,

adições.

m

(b)

F

multiplicações e

m

m, F

√ φ = ( 5 + 1)/2 = 1,618033988749895 . . .

2.1.

(a) = 0,0039 (b) Fmin = 1,0842 × 10−19 (c) Fmax = 3,6821 × 10+19

2.3.

Overow

2.5.

exato = 3ff0000000000000, aprox = 3fefffffffffffff.

é um truncamento para innito. Por exemplo:

m(m + 1)/2

H

usa 4 multiplicações e 4

multiplicações e

adições.

m

adições.

H

usa

São necessários 2000 termos. 1.39. Uma função pode ser escrita assim:

function R = FibonacciRazaoAurea(k) if k < 2 error('k deve ser igual ou maior que 2!') end F = zeros(k, 1); R = zeros(k, 1);

= 2,2204 × 10−16 .

(b) rel = −1,0000 × 10−6 (c) DSE = 6

2.11.

(a) = −1,0000 × 10

2.13.

(a) = −1,2019 × 10−6 (b) rel = −7,4279 × 10−7 (c) DSE = 6

2.15.

DSE ≥ 6.

2.17.

rel < 0,5 × 10−5 .

2.19.

rel(1) = −5,2816 × 10−3 , rel(2) = 6,0164 × 10−3 , rel(3) = −4,5070 × 10−2 , rel(4) = 4,0250 × 10−4 , rel(5) = 2,3559 × 10−5 , rel(6) = 6,5842 × 10−3 , rel(7) = 8,4914 × 10−8 .

2.21.

t3 = 0,707143045779360, rel(3) = 5,1286 × 10−5 , t6 = 0,707106781179619, rel(6) = −9,7977 × 10−12 , t9 = 0,707106781186547, rel(9) = 0.


function [p] = Pi_Leibniz(n) soma = 0; num = -1; for i = 1 : n num = -num; den = 2*i - 1; soma = soma + num / den; end p = 4 * soma;

−6

a = 10^10^10^10.

n = 49.

2.9. Para a maioria dos sistemas computacionais

usa

deno-

razão áurea.

2.7. A primeira desigualdade ocorre para

usa 10 multiplicações e 4 adições,

Para grau

aproxima-se de

Capítulo 2

calcula a mesma soma.


1.35.

Rk

2.23. Dica: Faça a expansão de

x ˆm = (x − )m

e elimine os termos com

2.25. Observe a sequência:

k 1 2 3 4 5 ... 15 16 17 18 19 20

x(k) 1.000000000000 1.732050807569 1.931851652578 1.982889722748 1.995717846477 ... 1.999999995915 1.999999998979 1.999999999745 1.999999999936 1.999999999984 1.999999999996

dif_rel(k) +Inf -4.23e-01 -1.03e-01 -2.57e-02 -6.43e-03 ... -6.13e-09 -1.53e-09 -3.83e-10 -9.57e-11 -2.39e-11 -5.98e-12

err_rel(k) -5.00e-01 -1.34e-01 -3.41e-02 -8.56e-03 -2.14e-03 ... -2.04e-09 -5.11e-10 -1.28e-10 -3.19e-11 -7.98e-12 -1.99e-12

2 , 3 , . . . , m .

APÊNDICE A.

98


Capítulo 3 3.1.

(a)

(b)

k 1 2 3 4

Veja o gráco:

Veja a tabela:

a x -1.0000 0 -1.0000 -0.5000 -1.0000 -0.7500 -0.7500 -0.6250

b 1.0000 0 -0.5000 -0.5000

fa fx -0.4597 1.0000 -0.4597 0.3776 -0.4597 -0.0183 -0.0183 0.1860

3.5.

k > 1 + 12 log2 (10) = 40,8631,

3.7.

z = 7,280109889281903, rel = 3,1232 × 10−13 , k = 42.

3.9.

z = −0,739085133214985, rel = 3,0764 × 10−13 , k = 43.

logo

k = 41.

3.11. Dica: Faça um desenho mostrando a posição de Suponha que 3.13.

(b)

k 1 2 3 4 3.3.

(a)

(a)

bk−1 − ak−1 = 4h.

Veja o gráco:

Veja a tabela:

a 0 5.0000 5.0000 6.2500

x 5 7.5000 6.2500 6.8750

b 10 10.0000 7.5000 7.5000

fa -53 -28.0000 -28.0000 -13.9375

fx -28 3.2500 -13.9375 -5.7344

fb 47 47.0000 3.2500 3.2500

erel Inf -0.3333 0.2000 -0.0909

Veja o gráco:

(b) f 0 (x) = 3x2 − 2 (c)

k 1 2 3 4 3.15.

(a)

x 2.5000 2.1642 2.0971 2.0946

f(x) 5.6250 0.8079 0.0289 0.0000

Veja o gráco:

Veja a tabela:

f'(x) 16.7500 12.0510 11.1939 11.1615

fb erel 1.5403 Inf 1.0000 -1.0000 0.3776 -0.3333 0.3776 0.2000

erel Inf 0.1552 0.0320 0.0012

ak−1 , xk−1 , bk−1 , ak , xk

e

bk .

APÊNDICE A.

(b) f 0 (x) = 1 + sen(x) (c)

k 1 2 3 4

99


x 1.0000 0.7504 0.7391 0.7391

3.17. Dica: Substitua

f(x) 0.4597 0.0189 0.0000 0.0000

(b) z = 4,965114231744277, λmax = 8,293892607811290 × 10−7 .

Veja a tabela:

f'(x) 1.8415 1.6819 1.6736 1.6736

f (xk−1 ) = x2k−1 − 53

erel Inf 0.3327 0.0152 0.0000 e

3.35.

f 0 (xk−1 ) = 2xk−1

(a)

Veja o gráco:

em (3.1) e faça as

simplicações necessárias. 3.19.

z = 2.094551481542327, rel = 0, k = 7.

3.21.

z = 0.739085133215161, rel = 0, k = 6.

3.23. Veja a tabela:

f(x) x.^3 - 2*x - 5 x + log(x) x - cos(x) x * cos(x^2)

x_ini 1.0 0.5 1.0 1.2

z 2.094551481542327 0.567143290409784 0.739085133215161 1.253314137315500

k(orig.) 11 6 6 6

x1 = 2,0000 tem-se x2 = 4,0000; x3 = 5,3333; x4 = 6,5641 xk → +∞. r r q q 3 29 31 31 z = 3 29 + + − 108 + 31 54 108 54

3.25. A partir de

3.27.

3.31.

z = 11,861501508119545, rel = 3,0670 × 10−13 , k = 39. f (i) = 249 ∗ 1 − (1 + i)−12 − 2499 · i, i = 0,0286.

3.33.

(a)

3.29.

k(mod.) 10 5 5 5

Veja o gráco:

com

(b) t1 = 0,004615059332323, t2 = 0,019321607610775, t3 = 0,023947605178773. 3.37. Usando

tol = 0,5 × 10−12

obtemos os zeros com a quantidade de os dada na

tabela:

f(x) z x^2 - 53 7.28010988928 sqrt(x^2 + 1) - x^2 1.27201964951 x + cos(x) -0.739085133215 exp(-x) + x^2 - 10 3.15553233080

k(Bis.) 38 43 43 41

k(I. Lin.) 10 40 12 14

APÊNDICE A.

Capítulo 4

4.25. A tabela a seguir mostra o número de os utilizados em cada método:

4.1.

x = [1

− 2]T .

4.3.

x = [1

3

4.9. Usando obtemos 4.11.

− 5]T .

SLGaussProv obtemos x x2 = [1

1

1

= [3

2

1]T

(errado!). Usando

(correto!).

SLGauss

x(1) 1 1.5000 2.2500 2.1250

norm para calcular a norma euclidiana. 0,0 0,5 1 C= e d = , obtemos −0,5 0,0 3

Erel Inf 0.5423 0.2485 0.1395  0,00 −0,25 0,20 0,00 Obtemos, a partir de C =  −0,10 −0,40

A = os valores:

x(2) 1 2.5000 2.2500 1.8750

b =

   −0,05 1,6 −0,20  e d =  −2,0 , obtemos 0,00 1,4

os valores:

k 1 2 3 4

x(1) 1 1.3000 2.0550 1.9765

x(2) 1 -2.0000 -1.9200 -2.0030

4.21. Obtemos, a partir de

x(3) Erel 1 Inf 0.9000 1.1832 2.0700 0.3994 1.9625 0.0457   0,0 −0,4 −0,2 0,0 −0,4  C =  −0,4 −0,2 −0,4 0,0

x(1) 1 0.4000 0.7712 0.9442



e

 1,0 d =  0,2 , 1,8

obtemos os

x(2) 1 -0.3600 -0.8541 -0.9726


x(3) Erel 1 Inf 1.8640 0.8862 1.9874 0.2744 2.0002 0.0869  0,00 −0,50 0,00  0,25 0,00 −0,50 C=  0,00 0,25 0,00 0,00 0,00 0,25

 0,00 0,00   −0,50  0,00

obtemos os valores:

k 1 2 3 4

x(1) 1 -0.5000 -0.8125 -1.0469

kGJ 43 73 20 52

kGS 23 19 14 28

x(2) 1 1.6250 2.0938 1.9707

x(3) 1 -0.0938 0.0352 -0.0117

x(4) 1 0.9766 1.0088 0.9971

3 0 0 2

0 6 2 0

2 3 5 0

0 2 2 3

4 3 1 2

x = 1.290322580645370 0.532258064516400 0.064516129032287 -0.193548387096914 4.29. Para o primeiro sistema linear obtemos:

valores:

k 1 2 3 4

Prob. 4.15 4.16 4.17 4.18

4.27. Permutando as linhas obtém-se o sistema linear a seguir:


4.17.

1]T

rel = 0,0106.

4.13. Dica: Use o comando

k 1 2 3 4

100


Erel Inf 0.9980 0.2351 0.1101

 0,00  2.25   d=  0,00 , 1,00 

e

Método Gauss-Jacobi k x(1) x(2) 1 1 1 2 1.8000 1.9000 3 1.8900 2.7800 4 1.9780 2.8790 ... 9 1.9999 2.9997 10 2.0000 2.9998 11 2.0000 3.0000 ... Método Gauss-Seidel k x(1) x(2) 1 1 1 2 1.8000 2.7800 3 1.9780 2.9758 4 1.9976 2.9973 5 1.9997 2.9997 6 2.0000 3.0000 7 2.0000 3.0000

Erel Inf 0.4601 0.2631 0.0379 0.0003 0.0000 0.0000

Erel Inf 0.5893 0.0741 0.0081 0.0009 0.0001 0.0000

APÊNDICE A.

101


... Para o segundo sistema linear obtemos:

Método Gauss-Jacobi k x(1) x(2) 1 1 1 2 5.0000 -2.0000 3 8.0000 2.0000 4 8.6667 5.0000 5 5.0000 5.6667 6 2.7778 2.0000 7 3.5556 -0.2222 ... Método Gauss-Seidel k x(1) x(2) 1 1 1 2 5.0000 2.0000 3 6.0000 3.0000 4 5.0000 2.0000 5 6.0000 3.0000 6 5.0000 2.0000 7 6.0000 3.0000 ...

x(3) 1 -2.0000 -2.6667 1.0000 3.2222 2.4444 -0.7407

Erel Inf 1.0150 0.5820 0.4758 0.5282 1.0360 1.0885

x(3) 1

Erel Inf 0.7878 0.2554 0.3216 0.2554 0.3216 0.2554

0 1.0000 0 1.0000 0 1.0000

0 2.0720 -4.2560

0 0 0 -10.6400 y = 0.8082 1.6358 2.5403 3.6173 y_hat = 0.8016 1.6256 2.5296 3.6096

Capítulo 5 5.1.

5.5.

p(x) = −x2 + 3x + 2.

p(x) = −x2 + 2x + 3.

Como os nodos se posicionam sobre uma parábola, um

polinômio de grau 2 é suciente para interpolá-los. Veja o gráco:

A = [2 0 0 -2 0 0 0 0; 2 0 0 0 -2 0 0 0; 7 4 4 -4 -12 -4 -1 -2; 0 2 0 0 0 -2 0 0; 0 2 0 0 0 0 0 -1; 0 0 2 0 0 0 -2 0; 0 0 1 -1 -3 -1 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 1] b = [0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 1] x =[1/6; 1/2; 7/6; 1/6; 1/6; 1/2; 7/6; 1] A = -4.0640

2.0320 -4.1920 1.8720

function [v, c] = IVander(x, y, u) n = length(x); X = MVander(x, n-1); c = SLGauss(X, y); v = VPol(c, u);

b2 = -0.1138 0.0272 -0.0479 -0.1347 0.0828 -0.0034

4.35.

-4.1280 1.9280 0

5.3. Uma possível implementação:

4.31. A segunda coluna da matriz inversa:

4.33.

b =

1.9680 0 0

2.0080

0

0

APÊNDICE A.

102




5.19.

0,0922 Coecientes do spline: C =  −0,0210 −0,1530 polado: E(57) = 762,6628.

0 1,1069 0,9179

22,7742 27,2017 33,2761

5.21. O gráco a seguir mostra as curvas de interpolação. O

 607 704  795

spline

Valor inter-

parece mais plau-

sível.

5.7. Para quem nasceu em 5.9. Dica: Faça

u = 1987

tem-se

v2 = 136,5778

e

5.11. Dica: Cuide para que todos os vetores envolvidos sejam 5.13.

v4 = 136,3369.

x2 = x1 + h, x3 = x1 + 2h, x4 = x1 + 3h.

vetores-coluna.

Valor exato: v_exato = 0.369032530185151 Nodos simétricos: v2 = 0.367850000000000 v4 = 0.369031250000000 v6 = 0.369024218750000 e_rel_2 = -3.2044e-03 e_rel_4 = -3.4690e-06 e_rel_6 = -2.2522e-05

No

5.23. Dica:

5.15.

S(x) =

0 Substitua as expressões envolvendo s1 (x1 ) e

coecientes

ak , bk , ck

expressões envolvendo

wmax = 43,22

g.

s0n−1 (xn ) por (5.18) e faça

dk por (5.21), hk , mk e pk .

e

(5.20), (5.22) e (5.17) para determinar as

5.25. Siga as mesmas dicas dadas para o Problema 5.23. 5.27. Expectativa para o homem: 72,7937 anos; Expectativa para a mulher: 80,9960 anos. 5.29.

u2 = 2,4111; u4 = 2,4027; u6 = 2,4094; z = 2,4048.

Capítulo 6 6.1. O polinômio de ajuste é tem-se

b = −3.

5.17.

 

interpolador, o valor máximo é aproximadamente

as simplicações necessárias. Em seguida substitua as expressões envolvendo os

Nodos assimétricos: w2 = 0.367850000000000 w4 = 0.368712500000000 w6 = 0.369094140625000 e_rel_2 = -3.2044e-03 e_rel_4 = -8.6721e-04 e_rel_6 = 1.6695e-04 Para os nodos assimétricos o erro é maior. 0 0 00 00 Fazendo s1 (2) = s2 (2) tem-se c = −1. Fazendo s1 (2) = s2 (2) 00 Fazendo s2 (3) = 0 tem-se a = 1.

spline

0,3183(x − 1)3 + 0,0000(x − 1)2 + 0,6817(x − 1) + 2,0000, −0,3867(x − 2)3 + 0,9550(x − 2)2 + 1,6367(x − 2) + 3,0000,  0,2275(x − 4)3 − 1,3650(x − 4)2 + 0,8200(x − 4) + 7,0000,

1≤x≤2 2≤x≤4 4≤x≤6

1,1923.

Gráco a seguir:

p(x) = 1,6538x − 5,5000

com resíduo quadrático

SQE =

APÊNDICE A.

103


6.3.

SQE−F = 2,20, SQE−G = 1,40, SQE−H = 2,24.

6.7.

F (θ) = 0,0614θ2 − 6,9465θ + 196,6393; θB = 56,5825◦ ;

A função

G

tem melhor ajuste.

6.11. Dica: Use a mesma estrutura do algoritmo necessárias.

Veja o gráco: 6.13.

AjustePol, mas faça as adaptações

T (P ) = 23,4857e−0,0035P , Te = 17,7102 s; Pe = 146,6305 HP.

6.15. Em vez de ajuste, temos efetivamente uma interpolação, pois os pontos estão 2 sobre polinômio p(x) = x − 2x + 4. Observe os coecientes:

c = -0.000000000000166 0.000000000003986 -0.000000000033734 1.000000000117891 -2.000000000144785 4.000000000016654 SQE = 1.4011e-21 6.17.

6.9.

C(t) = 0,0119t2 − 45,6670t + 44219; C(2013) = 395,9609;

Gráco a seguir:

SQE = 2691,1.

Veja o gráco a seguir:

APÊNDICE A.

6.19.

SQE pol-lb = 2,6613 × 104 ; SQE cm-kg = 5,4758 × 103 .

6.21.

Ppol (t) = 2,9720×10−3 t2 −9,3863t+7,0520×103 , Pexp (t) = 1,8491×10−17 e0,0218t . 2 2 = 0,9984, rexp = 0,9627. Ppol (2020) = 218,7330, Pexp (2020) = 261,9514. rpol

6.23. A matriz de planejamento é dada por:

X =

1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

104


7.1.

3.7842 4.1109 4.3944 4.7274 4.8752

Os coecientes são

ˆ = 2,3504 (a) Q1 = 3.0862, Q2 = 2,3621, Q3 = 2,3556, Q4 = 2,3505 (b) Q (c) rel(1) = 3,1304 × 10−1 , rel(2) = 4,9572 × 10−3 , rel(3) = 2,2318 × 10−3 ,

rel(4) = 2,9151 × 10−5 . 7.3.

ˆ = 2 (c) (a) Q1 = 1,9237 × 10−16 , Q2 = 2,0944, Q3 = 2,0405, Q4 = 1,9986 (b) Q rel(1) = −1,0000, rel(2) = 0,0472, rel(3) = 0,0203, rel(4) = −7,1463 × 10−4 .

7.5. Usando

β0 = 17,9243

e

β1 = 19,3850. p(100) = 107,1956

β0 = 7,7713

e

mmHg.

β0 + β1 x = ln (1/p − 1). β1 = −0,6622. Figura a seguir

6.25. Dica: A função logística pode ser reescrita como o ajuste, os coecientes são

Capítulo 7

A =

Após

b =

W =

format rat:

1 0 0 0 0 1 1/2 1/3 1/4 1/5

7/90 16/45 2/15 6/45 7/90

1 1/4 1/16 1/64 1/256

1 1/2 1/4 1/8 1/16

1 3/4 9/16 27/64 81/256

1 1 1 1 1

APÊNDICE A.

7.7. Dica: note que os pesos 7.9. 7.11. 7.13.

105


w

8.3.

da integração já estão pré-determinados.

Q6,1 = 1,0059, Q3,2 = 1,0002, rel = 0,0057. −3

Q6,1 = 1,0658, Q3,2 = 1,0700, rel = −3,8462 × 10 . ˆ = 2,3504; Q1,2 = 2,3621; Q2,2 = 2,3512; Q4,2 = 2,3505; Q8,2 = 2,3504; Q t1 = 14,7031; t2 = 15,6517; t4 = 15,9113.

7.17.

Q = 0,746824132812427, rel = 2,8884 × 10−14 , k = 10, Erf(1) = 0,842700792949715.

7.19. 7.21.

Q = 0,779893400376823, rel = −2,4536 × 10−14 , k = 14. R a (x − b)n+1 . Dica: a(x − b)n dx = n+1

7.23.

Q19 = 0,129723899884824; rel = 1,6668 × 10−13 ; k = 15.

√2 Q π

=

(a)

Veja a tabela:

i 1 2 3 4 5 6

t(i) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

u(i) 3.0000 2.2000 2.1200 2.3280 2.6512 3.0205

(b)

Veja o gráco:

Capítulo 8 8.1.

(a)

Veja a tabela:

i 1 2 3 4 5 6

t(i) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

u(i) 1.0000 0.8000 0.6400 0.5120 0.4096 0.3277

(b)

Veja o gráco:

k -1.0000 -0.8000 -0.6400 -0.5120 -0.4096

(c) |max | = 0,2976. 8.7.

(c) |max | = 0,0402.

(a)

Veja o gráco:

k -4.0000 -0.4000 1.0400 1.6160 1.8464

APÊNDICE A.

106


(b) |max | = 0,0101. 8.9.

(a)

Veja o gráco:

(b) |max | = 6,7775 × 10−5 . 8.17. O maior erro cometido é

|max | = 9,9609 × 10−4 .

(b) |max | = 0,0363. 8.13.

(a)

Veja o gráco:

8.19.

(b) |max | = 2,2204 × 10−15 . 8.15.

(a)

Veja o gráco:

T = 432 K.

Veja o gráco a seguir

Veja o gráco a seguir:

APÊNDICE A.


8.21. Todas as curvas convergem assintoticamente para

8.25. Veja o gráco a seguir

u∞ = 5.

Veja o gráco a seguir

107

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