Distribusi Weibull 3q155e

DISTRIBUSI WEIBULL Distribusi Weibull ini diperkenalkan oleh ahli fisikawan Swedia Waloddi Weibull pada tahun 1939. Distribusi Weibull biasanya digunakan untuk menyelesaikan masalah-masalah yang menyangkut lama waktu(umur) suatu objek yang mampu bertahan hingga akhirnya objek tersebut tidak berfungsi sebagaimana mestinya ( rusak atau mati). Distribusi Weibell memiliki parameter α dan β, dimana α>0 dan β>0. Bentuk distibusi peluangnya nya adalah sebagai berikut:

   1  ( x /  ) x0 x e  f W ( x;  )     yang lain  0

x

FW ( x;  ,  )  P ( X  x)   0

  1 ( t /  ) ( x /  )  t e dt  1  e  Fungsi

distribusi kumulatif Weibull :

Pembuktian Misal :

: 1

t α =z → t=z α β β

()

dz 1 (α −1) = αt dt β α dz

=

1 α t ( α −1 ) dt α β

Maka: x

α

x

x

−( ) ∫ βαα t( α−1 ) e β d t=∫ e−z dz 0 0

x

−z = −e |0

x

( βt ) | α

−

=

−e

0

α

( xβ ) ( −0 ) − −e

−

=

−e

α

( xβ )

−

= −e

+1 α

( xβ )

−

= 1−e

Jika β=1 maka distribusi weibull menjadi distribusi eksponensial Jika β>1 maka kurvanya mirip lonceng dan menyerupai kurva normal tetapi agak mencong Grafik distribusi weibull untuk dan berbagai nilai parameter dilukiskan pada gambar berikut ini:

Ciri khusus dari distribusi ini adalah adanya parameter skala (α) parameter bentuk (β). Parameter skala (scale parameter) adalah jenis khusus dari parameter numerik yang menunjukkan besarnya distribusi data. Semakin besar nilai parameter skala maka distribusi data akan semakin menyebar dan sebaliknya. Sedangkan parameter bentuk (shape parameter) adalah jenis khusus dari parameter numerik yang

menunjukkan bentuk dari kurva (untuk lebih jelas dapat dilihat pada gambar diatas.

Mean dan Varian Distribusi Weibull adalah: 1   x  E ( X )    1     2   1          1      1              2 x

2



2



Pembuktian: μ = E(x) = β

Γ

(1+

∞

E(x) =

∫ x f ( x ) dx −∞

  1  ( x /  ) x e ∫ x  ∞

E(x) =

−∞

∞

E(x) =

∫x −∞

α−1 +1

dx

    e ( x /  )

dx

    e ( x /  )

∞

E(x) =

∫x

α

−∞

∞

E(x) =

x β

( )

∫α −∞

Misal : x α β

( )

e ( x /  )



dx

= t

=

x β

x

=

( t )α

dx

=

1 α β

x

=

−∞ → t=0

x

=

∞ → t=∞

(t )

1 α

α

dx

1

β 1

( t )α

−1

dt

∞

E(x) =

∫ α t e−t α1 0

∞

E(x) =

∫e

−t

β (t )

1

( t )α

β

1 −1+1 α

dt

0

1 Γ (1+ ) α

E(x) = β

Var(x) = E(X2) – (E(X))2 ∞

E(x2) =

∫ x 2 dx −∞ ∞

2

E(x ) =

∫ x 2+α −1 dx −∞

−1

dt Ingat rumus gamma! ∞

(n) =

∫ un −1 0

∞

E(x2) =

∫ x α +1 dx −∞ ∞

2

E(x ) =

∫ x α x dx −∞ ∞

E(x2) =

( ) 1

x

=

1 α

dx

=

1 α β

x

=

−∞ → t=0

x

=

∞ → t=∞

β

∞

∫α t t

E(x ) =

∫t

1 α

∫t

2 α

(t )

1 −1 α

β 2 e−t dt

β 2 e−t dt

0

∞ 2

2

∫ t α e−t dt

E(x ) =

β

E(x2) =

2 2 β Γ (1+ ) α

2

dt

1 α β

e−t

1 1 1+ + −1 α α

−1

0

∞

E(x2) =

1

( t )α

0

∞ 2

0

Maka: Var(x)

dx

x β

(t )

E(x ) =



= t

=

2

e ( x /  )

α

( )

∫αx −∞

Misal : α x β

( t )α

x β

= E(X2) – (E(X))2

dt

Var(x)

=

Var(x)

=

2 −¿ α

( )

β 2 Γ 1+

(

1 β Γ (1+ ) α

[( )(

β 2 Γ 1+

2 1 − Γ (1+ ) α α

2

)

)] 2

Contoh Soal dan Pembahasan 1. Sebuah mesin fotokopi mempunyai masa hidup yang berdistribusi weibull dengan β= 0.8 dan α= 3. Berapa peluang mesin tersebut beroperasi lebih dari 1 tahun ? Dik : β = 0.8 α=3 x=1 e = 2.71828 Dit : x>1? Jawab : P(x>1) = 1- P ( x<1 ) = 1- F(1) 3

= 1- (

( 0,81 )

−

1−e

)

3

=

( 0,81 )

−

e

= (2,71828-1,953125) = 0,141830 Analisis : Jadi, peluang mesin tersebut beroperasi lebih dari 1 tahun adalah 0,141830 atau 14,1830%. 2. Sebuah mesin fotokopi mempunyai masa hidup yang berdistribusi weibull dengan β= 0.8 dan α= 3. Berapa peluang mesin tersebut beroperasi kurang dari 1 tahun? Dik : β= 0.8 α=3 x=1 e = 2.71828 Dit : x < 1 ? Jawab : P ( x<1 ) = F(1)

3

=

( 0,81 )

−

1−e

= 1 – 0,141830 = 0.85816 Analisis : Jadi, peluang mesin tersebut beroperasi kurang dari 1 tahun adalah 0.85816 atau 85.816% 3. Waktu sampai gagal bekerjanya sebuah pelat gesek (dalam jam) pada sebuah kopling dapat dimodelkan dengan baik sebagai sebuah variabel acak Weibull dengan α = 0,5 dan β = 5000. Hitunglah waktu sampai-gagal rata-rata dari pelat gesek tersebut dan hitunglah probabilitas pelat gesek tersebut akan mampu bekerja sekurang-kurangnya 6000 jam.