Conjunto De Los Numeros Reales yg1s

CONJUNTO DE LOS NUMEROS REALES a. SIMBOLOS MAS UTILIZADOS PARA DETERMINAR CONJUNTOS

/  TAL QUE   MENOR QUE   MAYOR QUE Ν  NUMERO NATURALES Ζ  NUMERO ENTEROS O Y   PERTENECE   EXISTE   CONTENIDO EN   INTERSECCION   UNION   MENOR IGUAL QUE   MAYOR IGUAL QUE CONJUNTOS NUMERICOS NOTABLES: Los números más simples son los números naturales  : Números Naturales. Con ellos podemos contar.  : 1, 2, 3, 4

Si agregamos sus inversos aditivos y el cero, obtenemos los Enteros. Ζ : Números Enteros. Z :  1,  2,  3,  4 

 Cuando tratamos de medir longitudes, pesos o voltajes, los enteros son inadecuados, están demasiados espaciados para dar la suficiente presicion. Los números que se pueden escribirse en la forma m n y son enteros y n  0 , se llaman números racionales”Q”. ¿Sirven los números racionales para medir todas las longitudes? NO.

Este sorprendente hecho fue descubierto por los antiguos griegos varios siglos antes de cristo. Demostraron que a pesar de que

2 mide la hipotenusa de un triangulo

rectángulo cuyos lados tienen longitud unitaria, no puede escribirse como cociente de dos enteros por lo tanto

2 es Irracional.

Considérese al conjunto de todos los números (Racionales y Irracionales) que pueden medir longitudes, juntos con sus inversos aditivos y el cero, reciben el nombre de NUMEROS REALES.

Q   ENTEROS   NATURALES N      m   RACIONALESQ    n  0   fraccionarios n      m  n      REALES          IRRACIONALES ALGEBRA ELEMENTAL CONCEPTOS BASICOS a. Expresión Algebraica:

Es una expresión constituida por letras, números y otros símbolos algebraicos. Las partes de las mismas que estén conectadas por signos mas (+) o menos (-) se denominan términos. En todo termino se distinguen dos partes: el coeficiente (numero) y la variable (letras); esta ultima siempre estará elevada a un exponente natural. Son ejemplo de expresiones algebraicas de un solo término (monomios): 5 3x 2 z 3 ;2a ; y 2 ;7; x 4

Los coeficientes de cada términos son 3, -2,

5 , -7, 1 y las variables son x, z, a, y 4 0

respectivamente. La variable del término -7 es x . De igual manera son ejemplo de expresiones algebraicas de dos términos (binomios): 3x  2 yz 4 ;  x3  1;  7a  18 a 2

De forma similar, la expresión 3 x  5 x 2  2 x 4 consta de tres términos (trinomio). b.

Polinomio:

Cualquier suma de expresión algebraica se denomina polinomio. Los polinomios más sencillos son aquellos que se expresan en función de una sola variable. En general, un polinomio en una variable es toda expresión algebraica de la forma F ( x)  an x n  an 1 x n 1  ...  a2 x 2  a1 x  a0 En donde: X es la variable o indeterminada; an , an 1 ,..., a2 , a1 , a0 Son los coeficientes; a 0 Se denomina termino independiente (Va asociado a la variable x 0 );

n, n-1,…, 3, 2, 1, 0 son los exponentes de las variables. El mayor de los exponentes con el cual la variable aparece con coeficiente no nulo se denomina grado del polinomio. Por Ejemplo, en el polinomio P(t )  3t 5  0t 3  2t 4  8t , la variable es t, los coeficientes son: 3, 2 y -8, el término independiente es 0, y su grado es 5. c.

Valor numérico de un polinomio

Es el valor que se obtiene al sustituir la(s) variable(s) del polinomio por números y efectuar las operaciones indicadas Ejemplo: El valor numérico del polinomio P( x)  3x 5  x 3  2 x 4  1 Para x = 2

P(2)  3(2)5  (2)3  2(2) 4  1  57

De igual forma, el valor numérico del polinomio en dos variables: G (a, b)  5a 3b  6ab2  4a  7b  5 Para a = 1 y b = 2 es: G (1,2)  5(1)3 (2)  6(1)( 2) 2  4(1)  7(2)  5  49

OPERACIONES CON POLINOMIOS a. Suma Dados dos polinomios cualesquiera P (x) y Q (x), su suma es otro polinomio, cuyos términos se obtienen sumando algebraicamente los coeficientes de los términos que posean igual parte literal (términos semejantes). El grado del polinomio suma siempre corresponde al mayor grado de los polinomios sumados

Ejemplo a: Calcular la suma de los siguientes polinomios P( x)  4 x 5  7 x 4  6 x 3  4 x  5 x 2  6

Q( x)  3 x 4  3 x 2  2 x 3  5 Al sumar los términos semejantes de los polinomios se obtiene: P( x)  Q( x)  4 x 5  4 x 4  4 x 3  2 x 2  4 x  1

La suma de los polinomios cumple con las siguientes propiedades: Asociativa: P( x)  Q( x)  R( x)  P( x)  Q( x)  R( x) Existencia de elemento neutro: P( x)  0( x)  0( x)  P( x)  P( x) , en donde el polinomio 0(x) tiene todos sus coeficientes iguales a ceros y se denomina polinomio nulo. Además, es de grado cero. Existencia de elemento simétrico: P( x)  S ( x)  S ( x)  P( x)  0( x) en donde los coeficiente del polinomio S(x) son opuesto de P(x) y se denota como –P(x) Conmutativa: P( x)  Q( x)  Q( x)  P( x) Con base en la existencia del elemento simétrico, podemos definir la sustracción de polinomios como un caso particular de la adicción que consiste en sumar el primer polinomio el opuesto del segundo. Es decir P( x)  Q( x)  P( x)   Q( x) Ejemplo b: Con los polinomios del ejemplo a, determine P( x)  Q( x) P( x)  Q( x) = (4 x 5  7 x 4  6 x3  4 x  5 x 2  6)  (3x 4  3x 2  2 x3  5) Sumando términos semejantes, se obtiene: P( x)  Q( x)  4 x5  10x 4  8x3  4 x  8x 2  11 b.

Multiplicación de Monomios

Dados 2 monomios, su producto corresponde a otro monomio que se obtiene multiplicando los coeficientes respectivos y las partes literales que los acompañan. Ejemplo: Dados los monomios 3 x 5 y 4 ;  5 xy 7 , calcular su producto. Al multiplicar sus coeficientes y potencias respectivas, se obtiene:  15 x 6 y11

c.

Multiplicación de polinomios

Dados dos polinomios cualesquiera P(x) y Q(x), su producto es otro polinomio, cuyos términos se obtiene multiplicando todas las parejas de monomios que se puedan formar con los mismos. El grado del resultado corresponderá a la suma de los grados de los polinomios que intervienen. Ejemplo: Dado los polinomios F(x) y G(x), Calcular su producto, siendo F ( x)  3 x 2  4 x  2 ; G ( x)  2 x  3 x 2  3 La multiplicación de ambos polinomios será: F ( x)  G ( x)  (3x 2  4 x  2)  (2 x  3x 2  3)

Aplicando la definición se obtiene: F ( x)  G ( x)  (9 x 4  6 x3  9 x 2  12 x3  8 x 2  12 x  6 x 2  4 x  6)

Sumando términos semejante resulta: F ( x)  G ( x)  (9 x 4  18 x3  23 x 2  16 x  6)

La multiplicación de polinomios cumple con las siguientes propiedades: Asociativa: A( x)  B( x)  C ( x)  A( x)  B( x)  C ( x) Existencia de elemento neutro: P( x)  I ( x)  I ( x) IP( x)  P( x) , en donde el polinomio I(x) = 1, llamado polinomio identidad, su grado es cero. Conmutativa: P( x)  Q( x)  Q( x)  P( x) Distributiva respecto a la adición: A( x)  B( x)  C ( x)  A( x)  C ( x)  B( x)  C ( x) PRODUCTOS NOTABLES Son multiplicaciones entre polinomios que, debido a la frecuencia con que aparecen, se realizan en forma directa mediante la aplicación de mecanismos preestablecidos. A continuación se enumeran las más utilizadas: ( a  b) 2  a 2  2ab  b 2 ( a  b)(a  b)  a  b 2

2

Binomio al cuadrado Suma por su dif erencia

( x  a )( x  b)  x  (a  b) x  ab 2

( a  b)  a  3a b  3ab  b 3

3

2

2

3

Pr oductos de binomios con un tér min o común

Binomio al cubo

( a  b ))  ( a  b)(a  ab  b ) 3

3

2

2

( a 3  b3 ))  (a  b)(a 2  ab  b 2 )





Ejemplo: Efectuar y simplificar  2x  1  2 x  1  5 2x  x2  1 2

3

2

Desarrollando cada producto notable por separado, se obtiene:

 2 x  12  (2 x) 2  2 2 x 1  12  4 x 2  4 x  1

 x  13   x3   3 x 2  1  3 x  12   13   x3  3x 2  3x  1

2x  x

2









 



 1  2x   x2  1  22x  x2  2  x2 1  22x1  4x2  x4  1  4x3  2x2  4x 2

2

2

2

 x  4x  2x  4x  1 4

3

2

Sustituyendo los resultados, eliminando paréntesis y sumando términos semejantes, resulta:

4 x

2

 

 



 4 x  1  2  x3  3x 2  3x  1  5 x 4  4 x3  2 x 2  4 x  1  5 x 4  18 x 3  20 x 2  22 x  8

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Factorizar un polinomio significa escribirlo como el producto de varios polinomios más simples. Los principales casos de factorización son: a. Factor

Común: ( F.C)

Es todo factor que se repite en cada uno de los términos del polinomio y que constituye el máximo común divisor de ellos. Para aplicar esta factorización, expresamos el polinomio dado como el producto del factor común por otro polinomio de forma tal que la aplicación de la propiedad distributiva genere el polinomio inicial. En su forma más simple, se representa:

ax  ay  az  a( x  y  z ) b.

Diferencia de cuadrados: (D.C.)

Corresponde al proceso inverso del producto notable de una suma por su diferencia. Se expresa como:

a 2  b 2  a  b a  b  c.

Trinomio Cuadrado Perfecto: (T.C.P)

Corresponde al proceso inverso del producto notable de binomio al cuadrado. Se expresa como:

a 2  2ab  b 2  a  b 

2

d.

Suma y Diferencia de cubos: (S.C) o (D.C.U):

Es un tipo de factorización de mayor complejidad. Los dos casos posibles son:









a 3  b3  a  b  a 2  ab  b 2

a 3  b3  a  b  a 2  ab  b 2 EJEMPLO: Analice las siguientes factorizaciones

3 x 2  6 x 612 x  3 x( x  2 x 4  4)





y 4  25  y 2  5 y 2  5



D.C

9 z 2  6 z  1  3 z  1

2



x 3  27   x  3 x 2  3 x  9

t

3





 8  t  2  t 2  2t  4

F .C





T .C.P S .C D.C.U

MÉTODO DE RUFFINI Conocido como división sintética, constituye un mecanismo práctico que permite hallar directamente el cociente y el residuo de la división de dos polinomios P(x) y Q(x), cuando el divisor Q(x) es de la forma (x + a). Para aplicar este método basta seguir el siguiente algoritmo: a) Se ordena y completa con ceros el polinomio dividendo P(x). Sus coeficientes se escriben uno a continuación del otro en forma horizontal. b) Se traza una galera debajo de los coeficientes y en su parte inferior izquierda se coloca el valor “– a” c) Se baja el primer coeficiente. d) Se multiplica por (- a) y el resultado se escribe debajo del segundo coeficiente. e) Se suma este resultado con el segundo coeficiente. f) El resultado anterior se multiplica (- a) y se le suma al siguiente coeficiente. g) Se repite el proceso desde el paso (d) hasta el término independiente. h) El último número de la tercera fila corresponderá al residuo de la división. Los números restantes representaran los coeficientes del polinomio cociente, cuyo

grado será una unidad menor que el grado del polinomio dividendo, y estará ordenado de forma decreciente. Ejemplo # 1 Hallar el cociente y residuo de la siguiente división (-2x3 – 1 + 3x5 + 4x2) : (x + 2) 3x5 0 - 2x3 + 4x2 0 - 1 : x + 2

3 -2 3

0

-2

4

0

-1

-6

12

-20

32

-64

-6

10

-16

32

-65

El resultado es un polinomio de coeficiente de grado 4 y el residuo es -65

3x

4

– 6x

3

+ 10x

2

– 16x + 32

; R(x) = - 65

CASOS ESPECIALES DE FACTORIZACIÓN Es necesario conocer algunas factorizaciones que no se encuentran en los casos anteriores; por lo cual, es inevitable ejercitar hasta lograr su correcta realización. A continuación se muestran alguna de ellas: a.

Factorización por amplificación:

Se utiliza cuando la mayor potencia tiene un coeficiente sin raíz cuadrara exacta. Se multiplica y divide el polinomio por este coeficiente y se convierte, si es posible, en uno de la forma “trinomio no cuadrado perfecto: Ejemplo: Factorizar el polinomio 2 x 2  13x  15 Observe con cuidado la siguiente secuencia: 2 x 2  13 x  15  b.





2 x   132 x   30  2 x  15 2 x  2  2 x  15 x  1 2 2 x 2  13 x  15  2 2 2 2

Factorización por sustitución:

Cuando existen dentro del polinomio expresiones que se repiten, es conveniente realizar un cambio de variable que, al ser sustituidas en el polinomio, facilita su factorización.

Ejemplo: Factorizar la expresión  x  2 y   3 x  2 y   10 2

Realizando el cambio de variable x  2 y   t , queda la expresión t 2  3t  10

Al factorizar se obtiene: Regresando el cambio:

c.

t  5t  2 x  2 y  5x  2 y  2

Factorización por etapas:

Se aplica cuando la expresión polinómica posee más de tres términos y es necesario, por tanto, agrupar algunos de éstos: Ejemplo: Factorizar y 2  4 xy  4 x 2  3 y  6 x Extrayendo factor común a los dos últimos términos y 2  4 xy  4 x 2  3( y  2 x) Factorizando los tres primeros términos  y  2 x 2  3( y  2 x) Extrayendo  y  2 x  como factor común, tenemos  y  2 x ( y  2 x  3) d.

Factorización mediante suma y resta de un mismo término:

Esta factorización es factible en ocasiones muy específica y amerita un cierto grado de imaginación para dar con el artificio adecuado. Analice detenidamente el ejemplo siguiente: Ejemplo: factorizar x 4  4 Si sumamos y restamos 4x 2 , y agrupamos, la expresión queda: x 4  4 x 2  4  4 x 2 





Factorizando como trinomio cuadrado perfecto: x2  2  2 x Por ultimo, factorizando como diferencia de cuadrado resulta: x 2  2 x  2 x 2  2 x  2  2

2

SIMPLIFICACION DE EXPRESIONES RACIONALES La factorización de polinomios provee un mecanismo muy efectivo para efectuar simplificaciones de ciertos tipos de expresiones algebraicas. Diremos que una expresión es racional si involucra de alguna manera una división y diremos que está en su mínima expresión si el numerador y el denominador solo ite como factor común el 1.

a.

Suma y Resta:

Para sumar o restar expresiones algebraicas, aplicaremos el siguiente algoritmo: I. Se factorizan los polinomios denominadores, se calcula su m.c.m y se coloca como denominador. II. Se divide el m.c.m entre cada denominador y el resultado se multiplica por su respectivo numerador III. Se efectúa la suma algebraica de los numeradores.

Ejemplo: Efectuar y simplificar la siguiente operación

Aplicando el algoritmo se tiene:

5x 3 x   x 4 x2 x2 2

5x 3 x 5 x  3x  2   x x  2     x  2x  2 ( x  2)( x  2) x  2 x  2

5x 3 x  x 2  6 x  6  ( x 2  6 x  6)     De donde: 2 x  2x  2 x  4 x  2 x  2  x  2  x  2 

Observe que el polinomio numerador no es factorizable. b.

Multiplicación y División:

Para multiplicar y dividir expresiones racionales se puede aplacar el siguiente proceso:

I. Transformar las divisiones en multiplicaciones

a c a c    b d b d

II. Factorizar al máximo todos los polinomios III. Efectuar la multiplicación y/o división de las potencias de igual base para simplificar la expresión ( Cancelación de factores)

x3  4 x 2  x  4 2 x 2  x  1 8x 2  8x  2  Ejemplo: Efectuar y simplificar 2x  6 x  5x  6 2 x  4

Transformando en producto y factorizando cada polinomio: x 3  4 x 2  x  4 x 2  5 x  6 8 x 2  8 x  x  1 x  1 x  2  x  3 x  18 x x  4   2   2x  6 2x  x  1 2x  4 2 x  3 x  12 x  12 x  2  

2 xx  4x  1x  1 2x  1 c.

Fracciones de varios niveles:

En este tipo de fracciones aparecen tanto en el numerador como en el denominador, operaciones entre expresiones racionales. Para resolverlas, utilizamos el siguiente procedimiento:

I. Simplificar por separado el numerador y denominador. II. Efectuar la división. III. Simplificar los factores. n2 nm Ejemplo: efectuar y simplificar m2 1 2 n  m2 n

Aplicando el procedimiento indicado, se tiene: n2 nn  m   n 2 n 2  mn  n 2 nm n    nm nm nm nm

1

m2 n2  m2  m2 n2   n 2  m 2 n  m n  m  n  m n  m 

Sustituyendo numerador y denominador: n2 nm   nm n  m n  m   m(n  m) nm  nm    2 2 m n  n  m n2 n 1 2 2 n  m n  m  n m n

CONCEPTOS BASICOS ECUACIONES a.

Identidad:

Es una igualdad que se satisface para cualquier valor de la variable. Son ejemplo de identidades: 6x  3 I. 2 x  1   3 II.

a  22  a 2  4a  4

III. x 2  3x  2  x  2x  1

Observe que si se sustituye la variable en ambos lados de la igualdad por cualquier valor, y se desarrollan las operaciones indicadas, la igualdad se cumple siempre.

b.

Ecuación:

Es una igualdad que se satisface para determinados valores de las variables. Son ejemplo de ecuaciones:

I. 2x  1  9 Observe que solo se cumple la igualdad cuando x = 4 II. a 2  4a  4  0 Observe que solo se cumple la igualdad cuando a = -2 III. x 2  3x  2  0 Observe que solo se cumple la igualdad cuando x = 2 ó x = 1 Resolver una ecuación consiste en establecer los valores de la incógnita que convierten en verdadera la igualdad. ECUACION DE PRIMER GRADO Son aquellas ecuaciones que pueden reducirse a la forma ax+b = 0, con a  o . Observe que el exponente de la incógnita “x” es 1. Una ecuación de primer grado siempre ite una única solución que será de la forma: x

Ejemplo: Resolver la ecuación

b a

2x  1 5  2x x  1   1 3 2 3

Multiplicando ambos de la ecuación por 6, se eliminan los denominadores:

22 x  1  35  2 x   2x  1  6 Aplicando la propiedad distributiva, agrupando términos semejantes y despejando, resulta: 8x  9  0  x 

9 8

ECUACION DE SEGUNDO GRADO Son aquellas ecuaciones que pueden reducirse a la forma ax2  bx  c  0 con a  o . Observe que el exponente de la incógnita “x” es 2. Resolver una ecuación de este tipo, consiste en determinar los valores de la incógnita que satisface la igualdad. Para que una ecuación de segundo grado ita solución real, es necesario que se cumpla que la expresión   b2  4ac , también llamada discriminante, no sea negativa, es decir   b2  4ac  0 Para determinar las soluciones de la ecuación de segundo grado, se aplicara la expresión siguiente denominada resolverte:

 b  b 2  4ac x 2a

La naturaleza de las soluciones de una ecuación de segundo grado, pueden determinarse analizando el discrimínate, así: a) b2  4ac  0 , entonces las ecuaciones tienen dos soluciones reales diferentes. b) b2  4ac  0 , entonces las ecuaciones tienen dos soluciones reales e iguales. c) b2  4ac  0 , entonces la ecuación no tiene solución real. Ejemplo: Determinar la naturaleza de las soluciones de las ecuaciones a)

x 2  5 x  6  0; b)

x 2  10 x  25  0; c)

x2  x  1  0

a)   b2  4ac  25  24  1 La ecuación tiene dos soluciones reales y diferentes. b)   b2  4ac  100  100  0 La ecuación tiene dos soluciones reales e iguales. c)   b2  4ac  1  4  3

La ecuación no tiene solución real.

Ejemplo: Resolver la ecuación 3x 2  8x  4  0 En primer lugar identifiquemos los coeficientes: a = 3; b = -8; y c = 4, sustituyendo estos valores en la resolvente, se tiene: x

  8 

 82  4  3  4 23

x1 

84 2 6

y



8  16 8  4  6 6

x2 

84 2  6 3

ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR Muchas ecuaciones de este tipo se resuelven mediante la factorización de polinomios correspondiente y la igualación de sus diferentes factores a ceros. En casos de que las factorización no sean directas, se deberá recurrir a la regla práctica de Ruffini, la cual será analizada más adelante. Ejemplo: Resolver la ecuación x3  3x 2  2 x  0 Al factorizar nos quedará:

xx  1x  2  0

Igualando a cero cada factor y despejando, obtenemos: x1  0; x2  1; x3  2

ECUACIONES IRRACIONALES Son aquellas en donde la incógnita aparece formando parte de una cantidad subrradical. El algoritmo para su resolución se inicia aislando en un miembro de la ecuación a algunos radicales que intervienen y elevar a ambos a un exponente igual al índice de dicho radical. El proceso se repetirá hasta que todos los radicales desaparezcan. Cuando existan radicales en el denominador, el mecanismo se simplifica previamente si se efectúa la racionalización del mismo. Conviene señalar que este tipo de ecuaciones, al elevar ambos pueden generarse soluciones extrañas a la ecuación inicial; por tanto, siempre será necesario sustituir estos valores obtenidos, a fin de excluir aquellos que no verifican la igualdad. Ejemplo: Resolver la ecuación

3

3x  1  4  2

Aislando el radical y elevando ambos al cubo, obtenemos: 3 217 3 3 3x  1  6  3x  1  216  x  3





Ejemplo: Resolver la ecuación.

x5  x 3 2 x 5  x 3

Racionalizando el denominador y agrupando términos semejantes, se obtiene:

x 5  x 3 x 5  x 3  2 x 5  x 3 x 5  x 3

x2  2x  15  7  x Elevando ambos al cuadrado

x

2



 2 x  15  49  14 x  x 2  14 x  64  x  4

Al sustituir en la ecuación inicial, se comprueba la igualdad.

ECUACIONES QUE SE RESUELVEN POR CAMBIO DE VARIABLES

Cuando en una ecuación se observa una expresión que se repite, siempre será posible efectuar una sustitución que simplifique la igualdad. Este cambio de variable introduce una incógnita distinta que, una vez calculadas, permita determinar los valores de la incógnita original. Ejemplo: Resolver la ecuación

3

3 5  20 x  3 3 x2  6x  9

En primer lugar, factorizamos el segundo subrradical y obtenemos:

3

3 5  20 x  3 3 x  32

Cada una de las raíces puede se expresada como una potencia de exponente fraccionario: 3x  3 3  5x  3 

1



2 3

20

Realizando el cambio de variable: y  x  3 3 , resulta: 

1

3y  5 y2  2  0  5 y2  3y  2  0

2 5 Al sustituir estos resultados en el cambio de variable, se generan las ecuaciones:

Aplicando la resolvente se obtienen las raíces siguientes: y1  1;

x  3 3 1

1 ;

x  3 3

Resolviendo cada una, resultará x1  4 ; x2  

1



y2  

2 5

101 8

RAÍCES DE UN POLINOMIO Dado un polinomio P(x), se denomina raíz o cero del mismo a cualquier solución de la ecuación P(x) = 0. Como información adicional, vale la pena saber que, geométricamente, la raíz de un polinomio representa la abscisa del punto donde la grafica de y = P(x) interseca el eje de las X. Ejemplo: Calcular las raíces del polinomio dado: P( x)  x 2  5 x  6

Aplicando la definición, sus raíces serán las soluciones de la ecuación de segundo grado: x 2  5x  6  0 Utilizando la resolvente, se obtienen los valores:

x1  2

y

x2  3

FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO Todo polinomio de coeficientes reales de la forma P x   an x n  an 1 x n 1  ......  a2 x 2  a1 x  a0

Que ite como raíces a r 1, r2 ........ rn pude se factorizado como P( x)  an x  r1 x  r2 x  r3 .......... .x  rn 

Para calcular dichas raíces aplicamos los siguientes postulados:

a) Si un polinomio ite raíces enteras, ellas necesariamente serán divisores del término independiente a 0 . En caso de no existir este termino en l polinomio, se extraerá como factor común la menor potencia de “x” y el valor x = 0 será al menos una raíz.

b) Si un polinomio ite raíces fraccionarias, los numeradores de las mismas serán siempre divisores del término independiente a 0 y los denominadores serán divisores del coeficiente a n , el cual corresponde a la variable con mayor potencia.

c) Si un polinomio ite como raíz al complejo (a+bi), también itirá a su conjugada (a+bj). Ejemplo: Factorizar el polinomio P( x)  x 4  x 3  x  1

Del postulado a) se deriva que las posibles raíces enteras son 1 y -1. El postulado b) nos garantiza que no existen raíces fraccionarias, ya que a n es igual a 1. Aplicando el método de Ruffini:

1 1 0 1 1 1

1

1 2

2

1

1 2 2

1

0

1 1

1

1 1

1

0

El polinomio cociente C(x) = x 2  x  1 no ite raíces reales (puesto que su discrimante es negativo), por lo que no es factorizable en R. En consecuencia, el polinomio P(x) quedará factorizado como: P( x)  x  1x  1x 2  x  1

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS.- son igualdades que contienen funciones trigonométricas y que son valederas para todos los valores de los ángulos para los cuales están definidas estas funciones

Procedimiento.- No puede darse ningún método general de resolución pero se puede seguir los siguientes consejos: a) Cuando contiene ángulos múltiples o fraccionarios se recomienda expresar dichas funciones en función de ángulos sencillos. b) Cuando contiene suma o diferencia de ángulos, se sustituye por su formula respectiva. c) Si después de haber hecho esto, no aparece ningún método factible, es ventajoso cambiar todas las funciones a senos y cósenos. Ejemplos: 1.

Cosx  Tgx  Senx

Razonamiento Cosx 

2.

Sen x  Sen x Cos x

Senx  Ctgx  Cosx Tgx  Cscx

Razonamiento Expresar la Tg x, Ctg x y Csc x en función de Senx y Cos x: Sen x  Ctg x  Tg x  Csc x Sen2 x  Cos x Sen x  Sen2 x  Cos x Sen x  Cos x

Cosx Senx  Senx 1  Cosx Senx Senx 

Sen x  Sen x  Cos x Sen x  Sen x  Sen x  Cos x Sen x  Cos x

Sen x  Cos x Sen x  Cos x  Cos x Sen x  Cos x Sen x 2

2

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS sen 

co hip

sen 

1 csc

sen  1  cos2 

sen2  1  cos2 

1  sen 1  cot 2 

cos 

ca hip

cos 

1 sec

cos  1  sen2

cos2   1  sen2

1  cos tan2   1

tan  

co ca

tan  

1 cot 

tan  sec2   1

tan 2   sec2   1

1  tan csc2   1

cot  

ca co

cot  

1 tan 

cot   csc2   1

cot 2   csc2   1

1  cot  sec2   1

sec 

hip ca

sec 

1 cos

sec  tan2   1

sec2   tan 2   1

1  sec 1  sen2

csc 

hip co

csc 

1 sen

csc  1  cot 2 

csc2   1  cot 2 

1  csc 1  cos2 

sen 

cos cot 

csc 

sec tan 

tan   cos   sen

cos 

sen tan 

sec 

csc cot 

cot   sen   cos

tan  

sen cos

tan  

sec csc

tan   csc   sec

cot  

cos sen

cot  

csc sec

cot   sec   csc

cot 

1  cos2 θ tan θ  cosθ

sen  csc   1 tan   cot    1 cos  sec   1

1  csc2   cot 2 

cos   cos 

cos  

1  cot2  sen sec   1 2

tan  

sen 1  sen 2 

csc2   1 csc

1  sec2   tan 2 

sen  sen  sen 

sen 

cos 1  cos2 

1  tan  2

cos csc   1 2

tan  1  cos  2

sec 2   1 sec 

sen  cos  tan  

cot  

cos  sen csc2   1 sec  sen  cos sec2   1 csc 

sec   cot  

tan 

sec  

1  cot2  cot  csc csc2   1

csc  csc 

1 1  cot 2  1 tan 2   1 1 csc 2   1 1 sec 2   1

1 1  sen 2 1 1  cos 2 

1  tan 2  tan  sec  sec 2   1

SISTEMAS DE ECUACIONES Sistema de dos Ecuaciones con dos Incógnitas. Se llama sistema de dos Ecuaciones Lineales con dos incógnitas al par de ecuaciones de la forma siguiente: Ax  By  C Dx  Ey  F Donde: A y D  son los Coeficientes de x. B y E  son los Coeficientes de Y. C y F  son los Coeficientes de Independientes. Clases de Sistema de Ecuaciones Los sistemas de Ecuaciones se clasifican según el número de Ecuaciones: Sistema de compatible determinado: El sistema posee una única solución, las rectas son secantes y se cortan en un solo punto. Sistema de compatible indeterminado: El sistema posee infinitas soluciones; las rectas son superpuesta, hay infinitos puntos de intersección. Sistema incompatible: El sistema no tiene solución; las rectas son paralelas, su intersección es vacía.

Solución de un Sistema. Se pueden emplear los siguientes métodos:

Método Analítico

 Reducción   Igualación    Sustitución     Cramer 

Método de Reducción. Consiste en transforma las Ecuaciones del sistema, en ecuaciones cuyos coeficientes sean iguales en ambas ecuaciones. Luego sumamos algebraicamente dichas ecuaciones para eliminar una de las incógnitas. Ejemplo:

Resolver el sistema por el método de reducción:

 8x  4y  1 20x  3y  3  1.- Hallamos el “m.c.m” de los coeficientes de unas de las variables, en este caso de la de “x”. 2.- Dividimos el “m.c.m” entre los coeficiente de la variable de “x” en cada ecuación. Así obtenemos los números por los cuales hay que multiplicar cada ecuación. 40 40 ; 5 2 8 20 La primera ecuación la multiplicamos por (5) y la segunda por (-2) ya que para sumar algebraicamente las ecuaciones, los coeficientes de las incógnitas deben tener diferente signo. Ósea:

 (8x  4y  1) (5) (20x  3y  3)(-2) 

40x  20y  5 - 40x  6 y  6 



0 -14y = 11

3.- Hallamos el valor de “ y”

(14 y  11) 1

11 14 4.-Por ultimo sustituimos el valor de “y” hallado en una de las ecuaciones, iniciales para hallar el valor de “x”.  14 y  11 

En la Ecuación (1) Sustituimos y  

11 14

Efectuamos el producto

y

8x  4 y  1

 11  8 x  4    1  14 

8x 

44 1 14

Efectuamos la suma de Fracciones

112x  44 1 14

Traspasamos el 14 al segundo

112 x  44  114 

Miembro multiplicando Obteniendo

112x  44  14

Agrupamos los términos independientes

112x  14  44

112x  30

Despejamos la “x”

x

Simplificamos

30 112

(Criterio de divisibilidad por 2) Sol. 

x

15 56

Y

x

y

15 56

11 14

Método de Igualación. Consiste en igualar las dos ecuaciones a una misma incógnita y hallar el valor de la otra. Ejemplo: Resolver el sistema por el método de Igualación:

2x  y  4  3x  5y  7  1.-Despejamos la misma incógnita en cada ecuación (En este caso se despejo “x” en las dos ecuaciones). De la primera ecuación.

2 x  y  4

 2 x  4  y 

De la segunda ecuación. 3x  5 y  7

 3x  7  5 y

x

7  5y 3

2.-Igualamos ambas ecuaciones y resolvemos para obtener el valor de la otra variable (en este caso”y”) 7  5y x 3 7  5y  4  y  3 2



2(7  5 y)  3(4  y)

14  10 y  12  3 y

Agrupamos los términos semejantes

   

 13 y  26 26 y 13  y  2

El valor de la variable no puede ser negativa por lo que multiplicamos por (-1) ambos lado de la igualdad:

 - y  -2(1)



3.- Sustituimos el valor de 2 x  y  4

y2

y  2 en cualquiera de las dos ecuaciones iniciales:

2 x  2  4

 2 x  (2)  4 

 

Sol. 

x  1

Y

2 x  4  2 2x  2 2 x 2 x  1

y2

Método de Sustitución: Consiste en despejar en una de las ecuaciones, una de las incógnitas y sustituir el valor obtenido en la otra ecuación, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita. Ejemplo: Resolver el siguiente sistema por el método de sustitución:

2x  5y  10  3x - 4y  8  1.- Despejamos de la primera ecuación la incógnita “x” 2 x  5 y  10

 2 x  10  5 y



x

10  5 y 2

2.-Sustituimos este valor obtenido en la segunda ecuación: 3x  4 y  8

 10  5 y   3   4y  8  2 



30  15 y  4y  8 2



Agrupamos términos semejantes



en el primer miembro

30  15 y  8 y 8 2 30  23 y 8 2

30  23 y  28

Traspasamos el 2 al segundo

 30  23 y  16

Miembro multiplicando. Despejamos la variable “Y”

 23 y  16  30

 23 y  14 14 y 23 El valor de la variable no puede ser negativa por lo que multiplicamos por (-1) ambos lado de la igualdad: 14  14  y   y   (1) 23  23 

Sustituimos el valor hallado y 

14 en la primera ecuación. 23

70  14  2 x  5 y  10  2 x  5   10  2 x   10 23  23 

Efectuamos la suma de Fracciones: 2 x(23)  1(70)  10 23



Traspasamos el 23 al segundo Miembro multiplicando

Agrupamos términos independientes en el segundo Miembro

46 x  70  10 23

 46x  70  23(10)

46x  70  230 46x  230  70 46x  160

Despejamos la variable “x”

x

160 46

Simplificamos

x

(Criterio de divisibilidad por 2)

Sol. 

x

80 23

Y

y

80 23

14 23

Método de Cramer: Para resolver sistemas de ecuaciones por determinantes se a de seguir el siguiente procedimiento: 1.- El valor de “x” es una fracción cuyo denominador es la determinante formada por los coeficientes de las variables “x” e “y” (determinantes del sistema) y cuyo numerador es la determinante que se obtiene sustituyendo en la determinante del sistema la columna de los coeficientes de “x”, por la columna de los términos independientes de la ecuaciones dadas. 2.- El valor de “y” es una fracción cuyo denominador es la determinante del sistema y cuyo numerador es la determinante que se obtiene sustituyendo en la determinante del sistema la columna de los coeficientes de “y”, por la columna de los términos independientes de la ecuaciones dadas. Ax  By  C Dx  Ey  F

Por lo tanto los valores de “x” e “y” pueden obtenerse de la siguiente manera: C B A C F E D F x , y A B A B D E D E Ejemplo: Resolver el siguiente sistema por el método de Cramer:

 5x  3y  5 4x  7y  27  Para resolver determinantes de orden 2 se aplica el siguiente procedimiento:

Deter min ante 

A B D E

,

A B D E

 AE  BD

Resolviendo el ejercicio planteado:

5

3

27 7 57   327  35  81  46     2 5 3 57   34  35  12 23 4 7 x  2

x

5 y

5

4 27 527  54 135  20 115    5 5 3 57   34 35  12 23 4 7 y 5

EJERCICIOS PROPUESTOS EJERCICIOS PRACTICOS FACTORIZACIONES 1) 5a2 + a = 2) m2 + 2mx + x2 = 3) a2 + a - ab - b = (a - b).(a + 1) 4) x2 - 36 = 5)

9x2 - 6xy + y2 = (3x - y)2

6) x2 - 3x - 4 = ( x - 4 ) · ( x + 1 ) 7) 1 + x3 = 8) 27a3 - 1 = 9) a3 - 3a2b + 5ab2 = a ( a2 - 3ab + 5b2 ) 10) 2xy - 6y + xz - 3z = 11) 8m3 - 27y6 = (2m)3 - (3y2)3 = 12)

16a2 - 24ab + 9b2 = ( 4a - 3b )2

13)

8a3 - 12a2 +6a - 1 = = ( 2a - 1 )3

14) 1 - m2 = 12 - m2 = 15)

x4 + 4x2 - 21 = ( x2 + 7 ) · ( x2 - 3 )

16)

125a6 + 1 = ( 5a2 + 1 ) · ( 25a4 - 5a2 + 1 )

17) a2 + 2ab + b2 - m2 = ( a + b + m ) · ( a + b - m ) 18)

8a2b + 16a3b -24a2b2 = 8a2b (2a - 3b + 1)

19)

25x4 - 81y2 = ( 5x2 + 9y ) · ( 5y2 - 9y )

20) 1 - m3 = 21) 21m5n - 7m4n2 + 7m3n3 - 7m2n = 7m2n ( 3m3 - m2n + mn2 - 1 ) 22) a ( x + 1 ) - b ( x + 1 ) + c ( x + 1 ) = ( x + 1 ) · ( a - b + c ) 23)

4 + 4 (x - y ) + ( x - y )2 = ( 2 + x - y )2

24) 1 - a2b4 = ( 1 + ab2 ) · ( 1 - ab2 ) 25)

b2 + 12ab + 36a2 = ( 6a + b )2

26)

x6 + 4x3 - 77 = ( x3 - 7 )·( x3 + 11)

27)

a10 - a8 + a6 + a4 = a4 ( a6 - a4 + a2 + 1 )

28) 2x ( a + 1 ) - a - 1 = ( 2x - 1 ) · ( a + 1 ) 29) ( m + n ) · ( m - n ) + 3n ( m - n ) = ( m + 4n ) · ( m - n ) RESOLVER SIGUIENDO EL EJEMPLO:

2-4 =

1 1 2 = 2 16

3-4 =

5-4 =

6-4 =

3-6.22 =

2-3.52 =

CALCULAR LAS SIGUIENTES POTENCIAS Y RAÍCES a)

3

27.a6 .b9 .c3

b)

5

 32.x10 b15

c)

2. b 

3



d) 5. a 2 .x

e)



3

9. 16   3 

7

8.a 3  

7

5-4 =

40 =

7-5.8-3 =

f)

g)

x 2  x.y 

4

y2 4

81.b8 16.c12 6

3

27a m n

h)

9

392b c

2

2

SIMPLIFIQUE A SU MÍNIMA EXPRESIÓN a)

2.a.m2  2.m2 .x  a 2 .m2  x 2 .m2 2.a.m2

b)

a 2 .a  b   a.b.a  b   a 2. a 2  b2

c)

a.m  b.m  c.m  a.n  b.n  c.n  a  b  c  2.a2  a.x  2.a.b  b.x  2.a.c  c.x





a3  a2  a 1  d) a 2 1

a.b  b 2  2.b.c  c 2  a.c  e) a  b  c . b 3  c3





f)

x 2  y  z   2 z 2  y  x 

g)

x 2  4.x.y  4.y 2  z 2  z 2  2.y.z  x.z

h) i)

j)

2

x 2 1  x 2  2.x  1 3.a.x  3.b  2 2 a .x  2.a.b.x b 2 2.x 2  x.y  2.a.x  a.y  2.x 2  2.a 2

 x 2 y 2  x.y   . y x  xy k)   1 1 1   x 2 y 2 x.y

l)

x 2  x.y  y 2 x  y  x 2  y2 xy ; 2 3 6.x .y x 2  y2

a  ay 2   y y y a :   m)  2 2.a.x  2.a  x    

n)

x 2  2.x  1 x 2  x  1 x . .  x2  x x 1 x3 1

 b2 b  a  2   1. 3 a a  a  b3  o)  1 a 2  a.b

x 2  x.y  y 2 x  y  x 2  y2 xy  p) 2 3 6.x .y x 2  y2 RESOLVER LAS SIGUIENTES ECUACIONES:

1 1  5x   2 x  1  3    1    x  3  2  6    3  6 3  3 x x  1  x  2   4 x  2   31      x     23 b)  3 6   2   3  a)

c)

 x  1 2 x  3  x  1 x  3  1 3    x  4      x  32  x   0 4 3 2  4  2

2x 2 1 x 1 1  x   2 3 6 22 x  1 32 x  1 f)  5 0 2x  1 2x  1 2x  1 x  7 3x  1 g)   4 x 1 x 1 x2 1 1 i) 3  x  4   7  x  x  3  91  4 x  7   1

d)

1 j) 2  x 2  1  9 1   x  1   0   1

k)

x 2  2 x  5  9 1  x   x 1 2x  5

m)

 x  1 x  2   3 1

x2 x 3 1 x

DEMOSTRAR LAS SIGUIENTES FUNCIONES TRIGONOMETRICAS a) b) c) d) e) f) g)

tgx  sec x senx sec x  csc x  csc x 1  tgx

1  ctg 2 x sec2 x  2 2ctg 2 x tgx  ctgx 2 x tg 3 x  1  tgx  ctg 2 x tg 3 x  1 senx  ctgx  senx  ctgx tgx  csc x 2tgx sen 2 x  1  tg 2 x 1  tg 2 x cos 2 x  1  tg 2 x Leer atentamente antes de proceder

1)

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por los métodos de: a) Igualación b) Sustitución c) Reducción d) Determinantes a - 3.x - 2.y = -16 5.x + 4.y = 10

f - x/5 - y = -2 4.x + y/4 = 41

k - 3.x - 4.y = 1 2.x - 3.y = 0

p - -7.x + 4.y = 3 y=x

b - 4.x - y = 12 2.x + 3.y = -5

g - 2.x - y/2 = 9/2 x - y/5 = 9/5

l - 4.x + 3.y = 27 6.x + 3.y - 3 = 0

q- y=2 2.x + 2.y -1 = 0

c - 3.x + y = -8 2.x - 5.y = -11

h - 4.x - 8.y = 44 2.x + 4.y = 22

m - x + y = 50 x/y = 4

r - x - 2.y -1 = 0 y - 2.x + 2 = 0

d - 4.x - 3.y = 6 5.x + y = 17

i - 22.x - 3.y = 0 4.x - y/3 = 14

n- x+y=5 -x + y = -2

s- x-1=0 1-y=0

e - 5.x - 4.y = 2 2.x + 3.y = 17/4

j - x + 2.y = 0 5.x + 10.y = 14

o - 2.x - 3.y = 0 4.x + y = 14

t - 3.y + 8.x -1 = 0 y = 5 - 2.x

Respuestas a - P(-1;5)

f - P(10;4)

k - P(3;2)

p - P(-1;-1)

b - P(31/14;-20/7)

g - P(0;-9)

l - P(-12;25)

q - P(-1/2;2)

c - P(-3;1)

h - P(11;0)

m - P(40;10)

r - P(1;0)

d - P(3;2)

i - P(9;66)

n - P(7/2;3/2)

s - P(1;1)

e - P(1;3/4)

j - Sin solución

o - P(3;2)

t - P(3;-1)

Resolver cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones: x + y = 4  x + 2y = 7 (a )  (b)  x - y = 2 x - y = 1  x + 3y = 1 (c)  x - y = 9

2x + 3y = 2 (d)  2x - 3y = 0

2x + 3y = 1 (e)  -x + y = 1

3x + 5y = 11 (f)  15x - 15y = 7

2x - y = 3 ( g)  4x + 2y = 50

5x -11y = 3 (h)  5x + 11y = 3

( i)

x + y = 1  4x - 4y = 6