Compute Csft Of 2d Sinc Function Ece438f11 - Rhea 2y3f3l

7/9/2016

DIV Contents

Practice Question on "Digital Signal Processing" Topic: Continuous­space Fourier transform of a 2D sinc function

Contents  [hide]  1 Question 2 Share your answers below 2.1 Answer 1 3 Instructor's challenge: Can somebody answer this using duality? ­pm 3.1 Answer 2 3.2 Answer 3

Question Compute the Continuous­space Fourier transform (CSFT) of

sin πx sin πy . πx πy

f(x, y) =

(Justify all your steps.)

Share your answers below You will receive  from your instructor and TA directly on this page. Other students are welcome to comment/discuss/point out mistakes/ask questions too!

Answer 1 sin πy πy

Claim that CSF T { sinπxπx

} = rect(u, v) = rect(u)rect(v)

Proof: ∞

iCSF T {rect(u)rect(v)} = ∫

∞

∫ −∞

∞

=∫

rect(u)e

2jπ(ux)

∞

=∫

1 2

−∞

rect(v)e2jπ(vy) dv

du ∫

−∞

rect(u)rect(v)e2jπ(ux+vy) dudv

−∞

e

2jπ(ux)

du ∫

1 2

e2jπ(vy) dv

− 12 − 12 jπx −jπx jπy −jπy https://www.projectrhea.org/rhea/index.php/Compute_CSFT_of_2D_sinc_function_ECE438F11

(

−

)(

−

)

1/3

7/9/2016

2

DIV Contents

2

(ejπx − e−jπx )(ejπy − e−jπy ) = (2jπx)(2jπy) =

sin(x)sin(y) (πx)(πy)

= sinc(x)sinc(y) = sinc(x, y)

Instructor's comment: Not bad, except for the fact that you are dividing by zero when either x or y is zero. Technically, you should split the cases. ­pm Another way is to show by "separality", since

f(x, y) = g(x)h(y), g(x) = sinc(x), h(y) = sinc(y) then F (u, v)

= G(u)H(v), G(u) = CT F T (f(x)), H(v) = CT F T (h(y))

by CTFT pairs, G(u)

= rect(u), H(v) = rect(v)

which shows CSF T {sinc(x, y)}

= rect(u)rect(v) = rect(u, v)

,

as the same above. ­­Xiao1 23:40, 12 November 2011 (UTC)

Instructor's comment: Before you use the second approach on the exam, make sure that the separability property is in the table. Otherwise, you must prove the property before using it. (But of course, proving that property is triviale.) ­pm

Instructor's challenge: Can somebody answer this using duality? ­pm Answer 2 Using duality we start with a 2­D rect and take the Fourier Transform.

∞

∞

https://www.projectrhea.org/rhea/index.php/Compute_CSFT_of_2D_sinc_function_ECE438F11

2/3

7/9/2016

DIV Contents

∞

∫

F (u, v) =

∞

rect(x, y)e−2jπ(ux+vy) dxdy

∫ −∞

−∞

∫

=

1 2

− 12

∫

1 2

− 12

e−2jπ(ux+vy) dxdy

(ejπu − e−jπu )(ejπv − e−jπv ) (2jπu)(2jπv) sin(πu)sin(πv)  (Eq. a) (πu)(πv) sinc(u)sinc(v) sinc(u, v)

= = = =

In Eq. a this is valid for all values of u and v because of the property that lim x→0

sin(x) x

=1.

Now we can use the duality property that states F (x, y) → f(−u, −v)  Also using the fact that  sin(−x) = −sin(x)  and since there is two sine functions multiplied together we get that

F (x, y) = sinc(x, y) = sinc(−x, −y) = F (−x, −y) → f(u, v) = rect(u, v) So we get that the Fourier transform of sinc(x,y) is rect(u,v) Instructor's comment: The "rect" function in red inside the integral on the first line was added by me. ­pm Yeah that is kind of important. Thanks

Answer 3 Write it here. Back to ECE438 Fall 2011 Prof. Boutin

https://www.projectrhea.org/rhea/index.php/Compute_CSFT_of_2D_sinc_function_ECE438F11

3/3